ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : (α.f ≫ β.f ≫ γ.s) ≫ σ = (T₁.mor₁ ≫ γ.f) ≫ σ
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N✝ : Matroid β
E B I : Set α
N : Matroid β
f : α → β
⊢ N.comapOn (f ⁻¹' N.E) f = N.comap f
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ x ⊔ xᶜ = ⊤
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.29822
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ∃ i i_1, ∃ (_ : MeasurableSet i_1), ∅ = cylinder i i_1
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
a : α
⊢ Function.Injective (f a)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRel R ca cb.think ↔ Computation.LiftRel R ca cb
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
this : FormallySmooth S Sₘ
⊢ FormallySmooth Rₘ Sₘ
E : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : T2Space E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
p : ℝ
hp : 0 < p
F : Type u_1 := E
this✝³ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝² : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝¹ : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝ : MeasurableSpace F := borel F
this : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
⊢ μ {x | g x < 1} = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
hδ : 0 ≤ δ
t : ↑(Icc a b)
n : ℕ
ht : t ∈ Icc (addNSMul h δ n) (addNSMul h δ (n + 1))
⊢ |a + (n + 1) • δ - (a + n • δ)| ≤ δ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.P
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝ : 𝕜
⊢ ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝‖ = ‖x✝‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
⊢ Tendsto f fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m : Associates α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
hle : m ≤ Associates.mk p
⊢ m = 1 ∨ m = Associates.mk p
α : Type u_5
β : Type u_6
Monoid α
Mul β
MulAction α β
IsScalarTower α β β
SMulCommClass α β β
a : α × β
⊢ smulMulHom a = a.1 • a.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
M : Type u_1
Add M
a b : Mᵈᵃᵃ
⊢ DomAddAct.mk.symm (a + b) = DomAddAct.mk.symm b + DomAddAct.mk.symm a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : Set (NonUnitalStarSubalgebra R A)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
⊢ Set.BijOn g (Function.fixedPoints (f ∘ g)) (Function.fixedPoints (g ∘ f))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
⊢ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
⊢ f.restrict hf * g.restrict hg = g.restrict hg * f.restrict hf
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
⊢ upperBounds (l '' s) = u ⁻¹' upperBounds s
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g +ᵥ x) = f x
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W.negAddY P Q =
  ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) *
        (W.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2) +
      P y * Q z ^ 3 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 3) /
    (P z * Q z) ^ 3
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
b : Basis n R N
M : Matrix n n R
⊢ minpoly R ((Matrix.toLin b b) M) = minpoly R M
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ QuotientMap ⇑DomAddAct.mk.symm
n : ℕ
i j : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.xa i * QuaternionGroup.xa j = QuaternionGroup.a (↑n + j - i)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
z : S
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
p : R[X]
p_ne_zero : p ≠ 0
px : (aeval z) p = 0
a : R := p.leadingCoeff
⊢ ∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
⊢ ((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀
b v : Ordinal.{u_1}
hb : b ≠ 0
u : Ordinal.{u_1}
hv : v ≠ 0
w : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 < b ^ u * v + w
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ (∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ s
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ NullMeasurableSet (f ⁻¹' {0}ᶜ) (μ.restrict s)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β
s u : Set α
t v : Set β
a : α
b : β
hu : u ∈ 𝓝[s] a
hv : v ∈ 𝓝[t] b
⊢ u ×ˢ v ∈ 𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (CompleteLat.Iso.mk e).hom.toFun a = e a
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ
⊢ x ^ (m * n) = (x ^ m) ^ n
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
⊢ x - x ^ 3 / 4 < Real.sin x
R : Type u
CommRing R
X Y : Type u
Ring X
Ring Y
Algebra R X
Algebra R Y
e : X ≃ₐ[R] Y
⊢ algEquivIsoAlgebraIso.hom e = e.toAlgebraIso
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
h₂ : i < m
h₃ : i ≤ m
hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0
this : ↑(m.choose (i + 1) * (i + 1)) = ↑(m.choose i * (m - i))
⊢ f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
P : Prop
Decidable P
x : β → ¬P → α
⊢ (∑' (b : β), if h : P then 0 else x b h) = if h : P then 0 else ∑' (b : β), x b h
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ
⊢ if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i
f₁ f₂ : CircleDeg1Lift
h₁ : IsUnit f₁
h₂ : IsUnit f₂
h : f₁.translationNumber = f₂.translationNumber
⊢ ∃ F, Function.Semiconj ⇑F ⇑f₁ ⇑f₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
⊢ EMetric.diam (⇑f '' s) = EMetric.diam s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero γ
f : α → β
⊢ Function.extend f 0 0 = 0
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 1
⊢ P.toPoly.Monic
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ comap f s.topologicalClosure = (comap f s).topologicalClosure
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ f.hom ▷ N.X = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ (α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → ((c X) R).arrows f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
⊢ ↑p ≠ 0
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf✝ : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'
K : ℝ≥0
t : Set E'
ht : t ∈ 𝓝 ?m.51584
hf : LipschitzOnWith K f t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
α : Type u_5
Preorder α
⊢ IsStronglyCoatomic α ↔ ∀ (a b : α), a < b → ∃ x, a ≤ x ∧ x ⋖ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X : C
n : ℕ
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Abelian.extFunctorObj X n).map f = AddCommGrp.ofHom ((CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯)
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v : V₁
⊢ ↑((NormedAddGroupHom.ker.lift f g h) v) = f v
n : ℕ
X : Type u_1
Zero X
f : Fin n → X
⊢ SSet.Augmented.StandardSimplex.shiftFun f 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x : M
⊢ p.mkQ x = Submodule.Quotient.mk x
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
⊢ ↑(lowerClosure (interior s)) ⊆ interior ↑(lowerClosure s)
P : Type u_1
Preorder P
OrderTop P
⊢ Order.Ideal.principal ⊤ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
G₀ : Type u_7
TopologicalSpace β
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ β
ContinuousConstSMul G₀ β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {c : G₀},
  c ≠ 0 → ((MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c • f x) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable f)
α : Type u_1
cut : α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.modify cut f t = Batteries.RBNode.alter cut (Option.map f) t
C : Type uC
inst✝³ : Category.{vC, uC} C
D : Type uD
inst✝² : Category.{vD, uD} D
G✝ : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.9506, u_1} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
X Y : C
i₁ i₂ : X ⟶ Y
e : G.map i₁ = G.map i₂
s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))
h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X), j ≫ i₁ = j ≫ i₂ → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t
⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer i₁ i₂)).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
S : Type u_5
LinearOrderedSemifield S
R : Type u_6
DivisionSemiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a : R
⊢ abv a⁻¹ = (abv a)⁻¹
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖f w‖ / abs (w - z) < ‖f z‖ / r
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
h : IsEmpty ((i : δ) → π i)
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1
⊢ (AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ≤ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔
  slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b ≤ slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
⊢ { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } ≤ b * { re := ↑a, im := -1 }
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card ≤ Fintype.card α
n m : ℕ
⊢ ¬↑n + 1 + ↑m = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv
h : Orthonormal 𝕜 v
⊢ Orthonormal 𝕜 (v ∘ ⇑(Equiv.ofInjective v hv).symm)
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
M N : ModuleCat R
φ : M ⟶ N
⊢ φ ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf N).inv =
  (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf M).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars f).map φ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪y, x⟫_ℝ = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₂ z₁
α : Type u
a : α
l : List α
n m : ℕ
⊢ ((a :: l).rotate' (n + 1)).rotate' m = (a :: l).rotate' (n + 1 + m)
n i : Nat
h : i < (list n).length
⊢ (enum n).data[i] = cast ⋯ ⟨i, h⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
hs_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
⊢ μ univ < ⊤
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommRing R
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1
⊢ χ (-1) = 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h2✝ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
h1✝ : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
x : K
n : ℕ
y : E
h2 : (algebraMap E K) y = x ^ q ^ n
m : ℕ
z : F
h1 : (algebraMap F E) z = y ^ q ^ m
⊢ (algebraMap F K) z = x ^ q ^ (n + m)
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ (∃ x, x ∈+ l) ↔ ¬l.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s t : Set β
⊢ Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t) ↔ Disjoint s t
⊢ ∀ {X Y : TwoP} (f : X ⟶ Y) (a : X.toBipointed.X), (TwoP.swap.map f).toFun a = f.toFun a
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ z.im < 0
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : IsLieAbelian L
⊢ Subsingleton L
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
⊢ s.SSameSide x y ↔ s.SSameSide y x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasurableSet {x | MeasureTheory.Integrable (f x) (κ x)}
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e_3✝ : MeasureSpace.toMeasurableSpace = inst✝¹
⊢ volume = map (⇑b.measurableEquiv.symm) (EuclideanSpace.basisFun ι ℝ).toBasis.addHaar
V : Type u
G : SimpleGraph V
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u SimpleGraph.Walk.nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u : V
⊢ SimpleGraph.Walk.concatRec Hnil Hconcat SimpleGraph.Walk.nil = Hnil
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs.get? i = xs.get? j
⊢ i = j
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p x y : 𝕜
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R
⊢ s.val.prod ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q
⊢ ∀ (h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1), P ιv ⋯