ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
⊢ A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
⊢ ∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.inr R M M₂) q = ⊥.prod q
R : Type u_2
AddZeroClass R
Mul R
c : RingCon R
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
⊢ -↑η - 1 + ↑η + 1 = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ c d, d ≠ 0 ∧ d • a = b * c
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ
G : Type u_1
AddGroup G
IsSimpleAddGroup G
H : AddSubgroup G
Hn : H.Normal
⊢ H = ⊥ ∨ H = ⊤
b x : ℕ
hx : x ≠ 0
hxb : x < b
⊢ b.digits x = [x]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ComposableArrows C 0
⊢ S.IsComplex
α : Type u_1
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α
⊢ u (l.toFun x) ⊔ u (l.toFun y) ≤ u (l.toFun (x ⊔ y))
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂
⊢ p₁.prod p₂ = ⊤ ↔ p₁ = ⊤ ∧ p₂ = ⊤
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
h : ⇑f ⤳ ⇑g
⊢ f ⤳ g
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ IsPreconnected ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq E
s : Set E
⊢ (∀ (i j : { x // x ∈ s }), ⟪↑i, ↑j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0) ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
S' : Type u_1
CommSemiring S'
f : R →+* S
g : S →+* S'
x : PrimeSpectrum S'
⊢ (PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) x = (PrimeSpectrum.comap f) ((PrimeSpectrum.comap g) x)
α : Type u_1
a : α
o : Option α
h : o.isSome = true
⊢ a ∈ o → o.get h = a
n : Nat
x y : Nat
⊢ BitVec.ofNat n x - BitVec.ofNat n y = BitVec.ofNat n (2 ^ n - y % 2 ^ n + x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.tensorRightMopIso X).hom.app X_1).unmop =
    𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X X_1.unmop)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : f.FinitePresentation
⊢ f.FiniteType
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
this : ∀ x ∈ s • t, ∃ g ∈ s, g⁻¹ • x ∈ t
⊢ IsClosed (s • t)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
f : α' → α
x : List α'
⊢ (DFA.comap f M).eval x = M.eval (List.map f x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
i : ι
b : α
⊢ Finsupp.single i b = Finsupp.indicator {i} fun x x => b
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
X : Set (C(α, β) × C(α, β))
⊢ X ∈ 𝓤 C(α, β) ↔ ∃ K V, IsCompact K ∧ V ∈ 𝓤 β ∧ {fg | ∀ x ∈ K, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V} ⊆ X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.map g) ((FreeGroup.map f) x) = (FreeGroup.map (g ∘ f)) x
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in l, ↑n * ‖Real.log (max x.re |x.im|)‖ ≤ ‖x.re‖
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
R : Type u_4
CommRing R
Ring.DimensionLEOne R
p : Ideal R
h : p.IsPrime
hp : p ≠ ⊥
⊢ p.IsMaximal
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p : β[X]
n : ℕ
c : β
⊢ SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) ((monomial n) c) * f x
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)
⊢ ∀ (acc : Array ((a : α) × β a)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push ⟨a, b⟩) acc (l₂ a)).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₁
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂) ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * Real.log x
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
AddCommMonoid β
Module α β
a b : α
s : Set β
⊢ (a + b) • s ⊆ a • s + b • s
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
x : Rₘ
⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) x = (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯) x
⊢ ((fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) (fun x x_1 => x ∨ x_1) fun x x_1 => x ∨ x_1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial M
⊢ ¬LinearMap.BilinForm.Nondegenerate 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasImages C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.HasImage f
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
⊢ ↑f.fieldRange = Set.range ⇑f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ {i}.pi t = Function.eval i ⁻¹' t i
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
s : Set α
MeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ (PMF.uniformOfFintype α).toMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
h : s ∪ t ⊆ u
⊢ t ⊆ u
n : ℕ
⊢ image (Prod.snd ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisorsAntidiagonal = n.divisors
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
a✝ : Nontrivial L
this : ExpChar L q
⊢ f x = g x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0
⊢ e₁ = e₂
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p q : T[X]
hpq : p * q ≠ 0
⊢ (p * q).aroots S = p.aroots S + q.aroots S
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 0 < a * b
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : G ≃+ H
⊢ UniqueSums G ↔ UniqueSums H
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b
⊢ Int.log b r ≤ ⌊logb (↑b) r⌋
V : Type u
G : SimpleGraph V
p : G.ConnectedComponent → Prop
⊢ (∀ (c : G.ConnectedComponent), p c) ↔ ∀ (v : V), p (G.connectedComponentMk v)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist x (e N) < ε
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
self : CategoryTheory.FullSubcategory AlgebraicGeometry.Scheme.Spec.essImage
⊢ AlgebraicGeometry.AffineScheme.forgetToScheme.obj self = self.obj
k k' : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
⊢ (k.then k').eval v = k.eval v >>= k'.eval
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent φ ∼∼φ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).comp ↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)
    ⋯ =
  0
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ 0 ≤ RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
Zero M₁
hA : ZeroMemClass A M₁
S' : A
⊢ ↑0 = 0
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ Disjoint (LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) p)) (LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) q))
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : ¬b ≤ a
⊢ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ {x | ∃ a ∈ s.val, f a = x}.Pairwise Commute
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ π.iUnion = π.iUnion
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g ↔ ∀ (x : α), g • x ∈ s ↔ x ∈ s
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ ↑(MulAction.stabilizer G s) * s = s
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R d) (f ^ n) =
  ∑ l ∈ (Finset.range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ Finset.range n, (MvPowerSeries.coeff R (l i)) f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderTop β
inst✝ : OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hg : f ≤ᶠ[l] g
hf : ∀ i < ⊤, ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ Ioi i
x : β
hx : x < ⊤
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, g a ∈ Ioi x
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ
⊢ Int.clog b (↑b ^ z) = z
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : c ≤ b
⊢ a - c - (b - c) = a - b
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
⊢ a < b - c ↔ a + c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
x : Option (α × β)
⊢ Option.map (Function.uncurry f) x = Option.map₂ f (Option.map Prod.fst x) (Option.map Prod.snd x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
𝒢 : Set C
Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢
⊢ CategoryTheory.WellPowered C
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
LieAlgebra R L₃
e₁ : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
e₂ : L₂ ≃ₗ⁅R⁆ L₃
⊢ (e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
Group G₁
Group G₂
Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →* G₃
hh : h.comp f = g
⊢ h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨g, hg⟩
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0
⊢ (fun x => -1) =ᶠ[nhds a] ⇑SignType.sign
R : Type u
S : Type v
CommRing R
IsDomain R
CommSemiring S
Algebra R S
f : R[X]
z : S
hz : (Polynomial.aeval z) f = 0
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
⊢ (Polynomial.aeval (z * (algebraMap R S) f.leadingCoeff)) f.integralNormalization = 0
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
⊢ (-A).IsHermitian
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
s : Set X
⊢ Disjoint (𝓝 x) (𝓝ˢ s) ↔ x ∉ closure s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a✝) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iE : EquivLike E α β
e : E
f : β → γ
⊢ Function.Bijective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Bijective f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ f x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a : α
⊢ a ≡ a [PMOD p]
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal (f x)) μ
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
n : Type u_9
Fintype n
x y : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ dist x y = √(∑ i : n, dist (x i) (y i) ^ 2)
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
x y : α
⊢ Setoid.r x y ↔ -x + y ∈ s
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ ∀ {d : α}, a ≤ d → b ≤ d → a ≤ d
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᴹᵒᵖᴹᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).unitIso.inv.app X).unmop.unmop = (𝟙 X.unmop).unmop
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.add y = x + y
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h : p * q = 1
⊢ p = 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
⊢ B ∩ X ⊆ I
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
ι : Type u_4
Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (Subalgebra.inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
h : K i ≤ T
⊢ (Subalgebra.iSupLift K dir f hf T hT).comp (Subalgebra.inclusion h) = f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
F.IsHomological
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).op.map F).Exact
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
x y : UInt16
⊢ x = y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ ∅.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ ∅, ∀ b ∈ ∅, a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α
⊢ x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ↔ x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ∩ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ ↑(f.restrict s) a = s.indicator (↑f) a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) ((↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')) s x
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E
this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯
this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯
this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv
ν : Measure F := map (⇑φ) μ
this : ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}
n : ℕ
f✝ : Vector ℕ n → ℕ
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ Primrec' fun v => f v.head
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico 0 p
⊢ x ∈ Ico 0 (0 + p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable f μ'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h₁ : Function.LeftInverse g f
h₂ : Function.RightInverse g f
⊢ Set.image f = Set.preimage g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
⊢ (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) a) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) a)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) a) y) '' Ioo 0 1)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
⊢ 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀
⊢ a * b = a ↔ b = 1 ∨ a = 0
α β : Type u
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
⊢ BddAbove (f '' s)
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
p : ℝ
⊢ MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOneConst μ p = MeasureTheory.lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p ^ p⁻¹
p : ℕ
g : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R
f : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R
WittVector.IsPoly₂ p g
WittVector.IsPoly p f
⊢ WittVector.IsPoly₂ p fun _R _Rcr x y => g x (f y)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.comap involute.toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.relindex H = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q < padicValRat p r
⊢ padicValRat p (q + r) = padicValRat p q