ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
this : ∀ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ f (u n)
⊢ ∑ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ (u (n + 1) - u n) • f (u n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = c • ν
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂map (⇑L) μ, s y) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map f ⋙ map g).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ (∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ y ∈ t, y ∈ s i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
i : ↑(Function.mulSupport g) → β
hi : Function.Injective i
hf : Function.mulSupport f ⊆ Set.range i
hfg : ∀ (x : ↑(Function.mulSupport g)), f (i x) = g ↑x
⊢ HasProd f a ↔ HasProd g a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
m : M
⊢ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L M ↔ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : ⊥ ⋖ f b
⊢ ⊥ ⋖ b
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : αᵒᵈ
⊢ Finset.Ioc (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ico b a)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : (ν.trim hm) s = 0
⊢ (μ.trim hm) s = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
η₁ η₂ : R
hη₁ : η₁ ∈ nthRootsFinset n R
hη₂ : η₂ ∈ nthRootsFinset n R
⊢ η₁ * η₂ ∈ nthRootsFinset n R
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
self : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ self.root j - (self.toLin (self.root j)) (self.coroot i) • self.root i = self.root ((self.reflection_perm i) j)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atTop (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ f.measure (Set.Ici x) = ENNReal.ofReal (l - Function.leftLim (↑f) x)
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
⊢ HasSum (fun n => rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ n / ↑n !) 1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
⊢ μ' s ≤ ν s
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
⊢ ∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedProcess f τ i) μ
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
⊢ (algebraMap A K) x✝² * ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = IsLocalization.mk' K x✝² ⟨x✝¹, ⋯⟩
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.addSubgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a + b ∈ H
⊢ b + a ∈ H
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup
⊢ (l.concat a).Nodup
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0
⊢ angle x y = 0
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
i : Fin n
v : M
hv : (ι R) v = ↑(f i)
⊢ (ι R) (ιInv ↑(f i)) = ↑(f i)
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
m : ℤ
⊢ Commute (a ^ m) b
n : ℕ
⊢ n.boddDiv2 = (n.bodd, n.div2)
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ (m * n) • a = m • n • a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌈a⌉₊
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
this✝ : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)
this : ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 + ↑k * (k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k)
⊢ ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
n : ℤ
d : ℤ
d_ne_zero : d ≠ 0
⊢ ∃ c, n = c * (↑n / ↑d).num ∧ d = c * ↑(↑n / ↑d).den
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
⊢ pure a ⊔ f ≤ 𝓝 a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c₁ = (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c₂ ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂
α : Type u_2
Add α
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s + t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, AddOpposite.op b +ᵥ s ⊆ u
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_2
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
ContinuousSMul ℝ F
T2Space F
f : E →+ F
hf : Continuous ⇑f
⊢ ⇑(f.toRealLinearMap hf) = ⇑f
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p ^ k ≤ m ↔ k ≤ p.count m.factors
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
l : List ↥H
⊢ ↑l.sum = (List.map Subtype.val l).sum
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
⊢ Odd (cs.length t)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y
⊢ M.Indep I
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubmonoid A
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
⊢ U ≤ iSup V
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b
⊢ ∀ (x : E), (a • p) x ≤ (b • q) x
α : Type u_1
Finite α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle
⊢ ∃! s, (↑s).formPerm ⋯ = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
S : ℕ → Set α
x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
hS_mono : Monotone S
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : CategoryTheory.Limits.Fan f
⊢ (AddCommGrp.HasLimit.productLimitCone f).isLimit.lift s = AddCommGrp.HasLimit.lift f s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafIso i).hom.val = (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.presheafIso i).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂.hom.app ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj K) =
  AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom.app K ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom.app K
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u} n
g : α.Arrow β
x y : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.WEquiv x y → MvQPF.WEquiv (MvFunctor.map g x) (MvFunctor.map g y)
x y z✝ : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
z : ℝ
⊢ (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
⊢ Nat.log b (b ^ x) = x
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M
⊢ (fun x => f (Q x)) (b • x) = (b * b) • (fun x => f (Q x)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1}) C
⊢ F = G
α : Type u
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ s.Nontrivial
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn ⋯ n ≡ yn b1 (n + 2) + yn ⋯ n [MOD c]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable l.sum μ
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrans α r
⊢ IsTrans α (Function.swap r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
⊢ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {a' : α}, ∃ a, a = a'
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi a ≤ a
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ ∀ (a : (i : ι) → Ms i ⧸ p i),
  (Submodule.quotientPi p).symm a = (Submodule.piQuotientLift p (Submodule.pi Set.univ p) LinearMap.single ⋯) a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
⊢ ∃ b, a ⋖ b ∧ (Set.Ici b).Infinite
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
this : 0 < p
⊢ go 0 p (p * n) = go 0 p n + 1
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A i)
(i : ι) → Algebra R (A i)
κ : Type u_5
s : Finset κ
x : κ → (i : ι) → A i
hx : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (x a) (x b)
⊢ (PiTensorProduct.tprod R) (s.noncommProd x hx) = s.noncommProd (fun k => (PiTensorProduct.tprod R) (x k)) ⋯
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ ⇑AddMonoidHom.mul = AddMonoidHom.mulLeft
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).comp p = ↑n
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : d' ∈ (im φ hφ).objs
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
M : Type u_1
Monoid M
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
N : ι → Type u_3
(i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
i : ι
y : N i
⊢ (MonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm) (Pi.mulSingle i y) = (ϕ i) y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.unop.pt = Opposite.unop c.pt
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝³ : TopologicalSpace M₂
inst✝² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M₁ → M₂
g : M₂ → M₃
hg : Continuous g
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ f ⁻¹' K ⊆ f ⁻¹' (g ⁻¹' (g '' K))
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : K
⊢ (FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x⁻¹
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
Group β
f g : α → β
⊢ f / g =ᵐ[μ] 1 ↔ f =ᵐ[μ] g
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
s : Set { x // p x }
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact (Subtype.val '' s)
α : Type u_1
RatCast α
q : ℚ
⊢ AddOpposite.op ↑q = ↑q
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) a = -c
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
M : Type u_11
N : Type u_12
AddMonoid N
VAdd M N
h : ∀ (x : M) (y : N), x +ᵥ 0 + y = x +ᵥ y
⊢ VAddAssocClass M N N
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ Subsingleton (AddSubmonoid M) ↔ Subsingleton M
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
x y : ↑s
⊢ Set.inclusion h x = Set.inclusion h y ↔ x = y
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * b < Cardinal.aleph0 ↔ a < Cardinal.aleph0 ∧ b < Cardinal.aleph0
n : Nat
x : BitVec n
y : Fin (2 ^ n)
⊢ x < { toFin := y } ↔ x.toFin < y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
⊢ lTensor.inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ LinearMap.lTensor Q g = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor Q f)).mkQ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
⊢ ContinuousOn (fun t => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s t) s
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hc : c ≠ 0
⊢ c • x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : ∃ i, x ∈ ⋃ (_ : i ∈ t), s i
⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
⊢ ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ
⊢ stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
α : Type u_1
LT α
x : WithBot α
⊢ ⊥ < x ↔ x ≠ ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
x y : ℤ
K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)
⊢ ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).totalShift₁Iso x ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) x).mapIso (K.totalShift₂Iso y) =
  (x * y).negOnePow •
    HomologicalComplex₂.total.mapIso ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso C x y).app K) (ComplexShape.up ℤ) ≪≫
      ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).totalShift₂Iso y ≪≫
        (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) y).mapIso (K.totalShift₁Iso x) ≪≫
          (CategoryTheory.shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).app (K.total (ComplexShape.up ℤ))
m n : ℕ
⊢ (∀ (a : ℕ), m ∣ a ↔ n ∣ a) ↔ m = n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ -((v Q) m * e0 Q) = e0 Q * (v Q) m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.sin (f x)) s x
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
α β : Type u
f g : FreeAddMagma (α → β)
x : FreeAddMagma α
⊢ (Seq.seq (f + g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) + Seq.seq g fun x_1 => x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
k : ℕ
t : S
⊢ Polynomial.eval₂ f t (p.comp^[k] q) = (fun x => Polynomial.eval₂ f x p)^[k] (Polynomial.eval₂ f t q)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun y => Complex.exp (f y)) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sInf s) = sInf (⇑f.symm ⁻¹' s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C
⊢ (colimitCocone X).ι.app Y ≫ (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s = s.ι.app Y
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
hs' : s ≠ 0
a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i
hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i
⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
n k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + k + 1)).smeval (-↑n) = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E
hmzero : Fin.init m 0 = m 0
hmtail : Fin.tail m (Fin.last n) = m (Fin.last n.succ)
⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)