ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ Differentiable ℝ fun x => f x ^ g x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => min (f x) (g x)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ maximals r (s ∪ t) ⊆ maximals r s ∪ maximals r t
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ≃[L] N
⊢ f.toElementaryEmbedding.toEmbedding = f.toEmbedding
R : Type u
CommSemiring R
p q : ℕ
f : R[X]
⊢ (Polynomial.expand R (p * q)) f = (Polynomial.expand R p) ((Polynomial.expand R q) f)
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ ∀ (a : α), UniformSpace.Completion.toCompl a = ↑α a
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hn : Fintype.card α < Fintype.card β
hm : 0 < Fintype.card α
hA : A ≠ 0
⊢ ∃ t,
  t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑(Fintype.card β) * ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))
α : Type u_1
s : Multiset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
h : ∀ (b : α), p b → q b
⊢ Multiset.filter p s ≤ Multiset.filter q s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
⊢ U R (-↑(k + 1) + 2) = 2 * X * U R (-↑(k + 1) + 1) - U R (-↑(k + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m m' : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
h_mono : m' ≤ m
f_approx : ℕ → α →ₛ β := fun n => { toFun := ↑(hf.approx n), measurableSet_fiber' := ⋯, finite_range' := ⋯ }
⊢ StronglyMeasurable f
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n
⊢ i ∈ Fin.find p → ∀ {j : Fin n}, j < i → ¬p j
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
hs_sup : SupClosed s
hs_inf : InfClosed s
ht_sup : SupClosed t
ht_inf : InfClosed t
⊢ { carrier := s, supClosed' := hs_sup, infClosed' := hs_inf } ≤
    { carrier := t, supClosed' := ht_sup, infClosed' := ht_inf } ↔
  s ⊆ t
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x y : (n : ℕ) → E n
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
H : longestPrefix x s < firstDiff x y
xs : x ∉ s
ys : y ∉ s
l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s
⊢ x ∈ cylinder y (longestPrefix x s)
α : Type u_1
Monoid α
Preorder α
a b : αˣ
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
h : b ∈ Metric.ball a r
⊢ ‖b‖ < ‖a‖ + r
x : ℝ
⊢ (↑(Real.arctan x)).re ≤ π / 2
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
⊢ x * (2 * x) ^ √(2 * x) * 4 ^ (2 * x / 3) ≤ 4 ^ x
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
ha : Even a
hab : a ∣ b
⊢ Even b
α : Type u_1
Preorder α
s : Set (Topology.WithLowerSet α)
⊢ IsLowerSet (⇑Topology.WithLowerSet.toLowerSet ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
hd₁ : α
tl₁ : Mathlib.Vector α n
hd₂ : β
tl₂ : Mathlib.Vector β n
f : α → β → γ
⊢ Mathlib.Vector.map₂ f (hd₁ ::ᵥ tl₁) (hd₂ ::ᵥ tl₂) = f hd₁ hd₂ ::ᵥ Mathlib.Vector.map₂ f tl₁ tl₂
α : Type u
β : α → Type v
s t : Finmap β
⊢ s.entries = t.entries → s = t
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
g : G
x : β
⊢ f.symm ((fun x => e.symm g • x) x) = (fun x => g • x) (f.symm x)
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β
⊢ l (u a ⊔ u b) = a ⊔ b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → α → ℝ≥0∞
s : Finset α
Nonempty ι
h : ∀ (t : Finset α) (i j : ι), ∃ k, ∀ a ∈ t, f k a ≤ f i a ∧ f k a ≤ f j a
⊢ ⨅ i, ∑ a ∈ s, f i a = ∑ a ∈ s, ⨅ i, f i a
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0
⊢ c ^ (2 * (c ^ 2 + 1) + d) < (2 * (c ^ 2 + 1) + d - 1)!
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Iio ⊤ = univ
α : Sort u_2
β : α → Sort u_1
a : (i : α) ×' β i
⊢ (Equiv.psigmaEquivSigmaPLift β) a = ⟨{ down := a.fst }, { down := a.snd }⟩
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ (↑e).linear = ↑e.linear
A : Type u_1
B : Type u_2
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
StarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
CompleteSpace B
StarRing B
ψ : A →⋆ₐ[𝕜] B
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 B)
⊢ (WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap ψ) φ =
  WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom.symm ((WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom φ).comp ψ.toAlgHom)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
⊢ WfDvdMonoid α
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
⊢ f.invOfMemRange ⟨f a, ⋯⟩ = a
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α : Type u₀
⊢ EquivFunctor.mapEquiv f (Equiv.refl α) = Equiv.refl (f α)
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β
⊢ {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 α) ⊓ comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : C(γ, δ)
g : C(β, γ)
h : C(α, β)
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ ↑S.op = MulOpposite.unop ⁻¹' ↑S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, gauge s x ∈ Icc 0 ε
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
⊢ p.IsPath
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
eq : (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x) = (R.map p.op) r • (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) x
⊢ (N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
m : ℤ
hms : x - ↑m ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑m
hm1 : x - ↑m < 1
⊢ fract x ∈ s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f g : α → ℝ
⊢ ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ.tilted f = (∫ (x : α), rexp ((f + g) x) ∂μ) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
⊢ (HNNExtension.NormalWord.ofGroup g).toList = []
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S T
h : X = Y
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).right = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
c : P.Ring
⊢ ↑((f.subToKer g) c) = f.toAlgHom c - g.toAlgHom c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
j : ι
hp : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j
w : ι → kˣ
⊢ LinearIndependent k fun i => ↑(w ↑i) • (p ↑i -ᵥ p j)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.fst R M M₂ ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = LinearMap.id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] g
n : ℤ
⊢ (2 * n).negOnePow = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
n✝¹ n✝ : ℕ
⊢ ((taylor 0 ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝ = ((LinearMap.id ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : W.LeftFraction X Y
⊢ e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = g.map L ⋯
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
⊢ Subsemigroup.closure (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤
b : Prop
p : b → Prop
⊢ Exists p → b
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ⊥.index = Nat.card G
X : RingCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
⊢ s.circumcenter = s.points i
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
One β
⊢ 1 ×ˢ 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => ‖f a‖) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b : ℝ
φ : ℝ → F →L[𝕜] E
hφ : IntervalIntegrable φ μ a b
v : F
⊢ (∫ (x : ℝ) in a..b, φ x ∂μ) v = ∫ (x : ℝ) in a..b, (φ x) v ∂μ
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)
⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, (z + ↑(x + 1)) * (1 - z + ↑x)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.WellPowered C
CategoryTheory.Limits.HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (CategoryTheory.Subobject A)
f : CategoryTheory.Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g
⊢ f ≤ CategoryTheory.Subobject.sInf s
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Iio ↑i.castSucc = map (castSuccEmb.trans valEmbedding) (Iio i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.unop
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeUnop c).ι = CategoryTheory.NatTrans.removeUnop c.π
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
⊢ (p + C a).natDegree = p.natDegree
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
h : φ.IsAtomic
⊢ φ.IsPrenex
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ congr f g ^ n = congr (f ^ n) (g ^ n)
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true → q x = true
⊢ countP p l ≤ countP q l
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α
⊢ 1 ≤ a∗
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S
⊢ { toFun := fun x => __src✝.toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = (ContinuousMap.pi f) x
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
g : A →ₐ[R] B ⧸ I
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (Algebra.FormallySmooth.lift I hI g) = g
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ s = ⋃ i, ↑i
g' g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, 0 ≤ g' x
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioc a b) MeasureTheory.volume
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
⊢ (iSup f).sets = ⋂ i, (f i).sets
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'
⊢ x • m' = ↑h.unit m'
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
⊢ (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) (Prod.snd ⁻¹' s) = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCodetector G
A✝ B✝ : Cᵒᵖ
f : A✝ ⟶ B✝
hf : IsIso ((yoneda.obj G).map f)
⊢ IsIso f
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
⊢ ⋃ i, s i = Set.range fun a => ↑a.snd
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
i : Option ι
hi : i = none
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (HomologicalComplex.extend.X K i)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ min (a - b) (a - c) = a - max b c
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ n.gcd (n - m) = n.gcd m
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ∃ g_1, f g_1 = f g ∧ ‖g_1‖ ≤ C' * ‖f g‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ AlgebraicIndependent R fun i => ↑i
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
u v w : List (Symbol T g.NT)
huv : g.Derives u v
hvw : g.Produces v w
⊢ g.Derives u w
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
heq : q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0
⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
i : ℕ
hi : i ∈ (W_ ℚ n).vars
⊢ (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
b : β
⊢ l a ≤ b → a ≤ u b
R : Type u
Semiring R
n m : ℕ
r s : R
⊢ (Polynomial.monomial n) r * (Polynomial.monomial m) s = (Polynomial.monomial (n + m)) (r * s)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
y : M
⊢ (Module.preReflection x f) y = y - f y • x
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
⊢ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j
α : Type u_2
One α
f : Filter α
⊢ f ≤ 1 ↔ 1 ∈ f
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d
⊢ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
i : ι
FaithfulSMul M (α i)
⊢ FaithfulSMul M ((i : ι) × α i)
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ
⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
h : (yoneda.obj G).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', f ≫ h' = h
⊢ IsIso f
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X ℙ
⊢ ProbabilityTheory.evariance X ℙ = (∫⁻ (ω : Ω), ↑(‖X ω‖₊ ^ 2)) - ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) ^ 2)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
l r : M →ₗ[R] M
⊢ (B.compRight r).compLeft l = B.comp l r
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
P : Type u_2
MetricSpace P
p c : P
ps : Set P
r : ℝ
hp : p ∈ ps
hps : ps ⊆ Metric.sphere { center := c, radius := r }.center { center := c, radius := r }.radius
⊢ dist p c = r
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
j : β
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fan.mk P p).proj j = p j
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y
⊢ cylinder x n = cylinder y n
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)
⊢ x✝ ∈ Gamma 1 ↔ x✝ ∈ ⊤
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
L.Structure M
Nonempty M
M ⊨ T
v : α → M
φ : L.Formula α
⊢ FirstOrder.Language.Formula.equivSentence φ ∈ T.typeOf v ↔ φ.Realize v
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
LinearOrderedSemiring R
Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
⊢ (n + k).choose k • choose (r + ↑k) (n + k) = choose (r + ↑k) k * choose r n
α : Type u_3
s : Finset α
M : Type u_6
CommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
nonempty : s.Nonempty
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (∏ x ∈ s, f x)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
S : Type u_5
R : Type u_6
N : Type u_7
M : Type u_8
SetLike S R
SetLike N M
SMul R M
VAdd ιA ιB
A : ιA → S
B : ιB → N
SetLike.GradedSMul A B
i : ιA
j : ιB
x : ↥(A i)
y : ↥(B j)
⊢ ↑(GradedMonoid.GSMul.smul x y) = ↑x • ↑y
z w : ℂ
⊢ ↑(z + w) = ↑z + ↑w
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id c ∈ S.arrows c c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Ioi a ∪ {a} ↔ x ∈ Ici a
M : Type u_4
Add M
c : AddCon M
x : M
⊢ Quot.mk (⇑c) x = ↑x
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ 0 ≤ x + π / 2