ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
hn : 1 ≤ n
⊢ i + n.factorial < (i + n).factorial
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : l.length ≤ n - 1
⊢ l.length + 1 ≤ n
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-x) = 1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p
⊢ ∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ Finset.range k, f (p ^ x)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
⊢ F.Final
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8
⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.Injective Basis.repr
x : ℝ
⊢ Real.cos x ^ 2 = 1 / 2 + Real.cos (2 * x) / 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.IsPushout 0 0 CategoryTheory.Limits.biprod.inl CategoryTheory.Limits.biprod.inr
α : Type u_1
DecidableEq α
c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial
⊢ (s \ {c}).Nonempty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Iio (f i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] Set.Iic f
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
DecidableEq α
t : Finset α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ t.card ≤ (s * t).card
ι : Type u_1
R : Type u_5
CommSemiring R
Finite ι
⊢ (Pi.basisFun R ι).toMatrix = Matrix.transpose
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIcoMod hp a b = c
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
⊢ 0 < infEdist x E ↔ x ∉ closure E
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
⊢ (s.product t).SupIndep f ↔ (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
f.NeBot
g.NeBot
⊢ (f -ᵥ g).NeBot
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
hP' : Presheaf.IsSheaf K (e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)
⊢ Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
⊢ (s (n + 1)).indicator (fun a => ‖1 a‖) ω ≤ 1
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < ↑x
hx1 : ↑x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
y : C
hy : y ∈ s
z : C
hz : z ∈ t
⊢ y * z ∈ s ⊔ t
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero R
⊢ Function.Injective Unitization.inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t : Finset M
h : (↑t).Finite
⊢ (span R ↑t).FG
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
x : E
⊢ mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) x = ↑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.tensorObj Y).src = (X.src ⨯ Y.src)
R : Type u_2
CommSemiring R
a : R
⊢ ↑(Polynomial.C a) = (PowerSeries.C R) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
ι : Type u_6
DecidableEq ι
i : ι
Y : ι → Type u_7
(j : ι) → TopologicalSpace (Y j)
f : (j : ι) → Y j
⊢ (Homeomorph.piSplitAt i Y) f = (f i, fun j => f ↑j)
α : Type u_1
a b : PosNum
this : Ordering.casesOn (a.cmp b) (↑a < ↑b) (a = b) (↑b < ↑a)
⊢ Ordering.casesOn ((pos a).cmp (pos b)) (↑(pos a) < ↑(pos b)) (pos a = pos b) (↑(pos b) < ↑(pos a))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
a : α
hf : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f) _auto✝
h : a < f.limsSup
⊢ ∃ᶠ (n : α) in f, a < n
n : ℕ
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
S : Type u_2
AddGroupWithOne S
a : ZMod n
⊢ a.cast.1 = a.cast
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : Rˣ
⊢ v.valuationOfNeZero ((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
t : Set α
h : Set.InjOn f s
⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' (s ∩ t)
α : Sort u
op : α → α → α
self : Std.Commutative op
a b : α
⊢ op a b = op b a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => 0) x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
x : CliffordAlgebra Q
⊢ star (r • x) = r • star x
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M
⊢ edist (a / c) (b / c) = edist a b
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → (b + a < c + a ↔ b < c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
⊢ Bijective f ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖∑' (n : ℕ), x ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
ι : Type u_3
Countable ι
Nonempty ι
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
G : Type u_3
AddGroup G
⊢ AddGroup.FG G ↔ ∃ n S, S.card = n ∧ AddSubgroup.closure ↑S = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖HurwitzKernelBounds.F_nat 1 a t‖ ≤
  rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))
G : Type u_1
Group G
self : IsKleinFour G
⊢ Monoid.exponent G = 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =Θ[l] g
⊢ f =O[l] g
R : Type u
Semiring R
f g : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (f + g) = Polynomial.derivative f + Polynomial.derivative g
α : Type ua
UniformSpace α
K : Set α
S : Set (Set α)
hK : IsCompact K
hopen : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hcover : K ⊆ ⋃₀ S
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ s ∈ S, UniformSpace.ball x V ⊆ s
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Sₘ : Type u_5
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
y : ↥M
⊢ IsUnit ((algebraMap R Sₘ) ↑y)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
inst✝² : CommSemiring S₂
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : Algebra R S₂
f : S₁ →ₐ[R] S₂
r : R
h₁ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = C ((algebraMap R S₁) r)
h₂ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r = C ((algebraMap R S₂) r)
⊢ ↑↑(map ↑f) ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
⊢ x = 0
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
⊢ ↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x
key : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0
⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : a * b = 1
⊢ a⁻¹ = b
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
self : p.IsHomLift f φ
⊢ CategoryTheory.IsHomLiftAux p f φ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : 0 < ε
⊢ x ∈ ball x ε
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N
⊢ eval₂ i (⅟x) (reflect N f) = 0 ↔ eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = 0
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s) = 𝓤 α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D
⊢ (whiskerLeft G (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ adj2.counit).app x = adj1.counit.app x
n m : ℕ
hnm : n < m
⊢ filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = [n]
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
⊢ J₁.close (Sieve.pullback f S) ≤ Sieve.pullback f (J₁.close S)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
⊢ sSup s ∈ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
x y : M
hy : y ∈ ↑p
e : f y = f x
⊢ x ∈ p ⊔ LinearMap.ker f
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
⊢ Irreducible (c 1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hy : x ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) x
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ |RCLike.im z| ≤ ‖z‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
⊢ (F.mapPresheaf.map f).c = CategoryTheory.whiskerRight f.c F
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
⊢ IsPathConnected {x}ᶜ
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰
⊢ (if h : φ ↑d ∈ S[X]⁰ then { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, h⟩ } else 0) = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
⊢ (quadraticChar (ZMod p)) ↑(a ^ 2) = 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : openSegment 𝕜 x y ⊆ frontier s
a : 𝕜
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1
⊢ x = y
R : Type u
CommSemiring R
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ (PrimeSpectrum.vanishingIdeal s).IsRadical
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u : E i →L[𝕜] E' i
⊢ update (fun j => ↑(f j)) i ↑u = fun j => ↑(update f i u j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ h.toComonad.ε = h.counit
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
⊢ (B x) y = 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
h : s.OrdConnected
⊢ IsPreconnected s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 - 2 * dist p1 p2 * dist p3 p2 * Real.cos (∠ p1 p2 p3)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G
⊢ z ∈ center G ↔ ∀ (g : G), g * z = z * g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f p q = Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a = c / d * b ↔ a / c = b / d
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
⊢ generateFrom (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) = generateFrom {t | ∃ k ∈ S, s k = t}
R : Type u
M : Type v
ι : Type u_3
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ TrivSqZeroExt.inl (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, TrivSqZeroExt.inl (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0
⊢ g i = 0
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ
⊢ ((a ≤ x ∧ x < b) ∧ ∃ c, x = c * r) ↔ ∃ a_1, (a ≤ a_1 * r ∧ a_1 * r < b) ∧ { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } a_1 = x
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
q₁ : ℚ
h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f
algeq : ↥(integralClosure R K) ≃ₐ[R] R := ((integralClosure R K).equivOfEq ⊥ ⋯).trans (Algebra.botEquivOfInjective ⋯)
this : (algebraMap R K).comp (↑algeq).toRingHom = (integralClosure R K).toSubring.subtype
H : ∃ q, map (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K) q = g * C g.leadingCoeff⁻¹
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
n : ℕ
f : ℕ → R → S[X]
⊢ (p.sum f).coeff n = p.sum fun a b => (f a b).coeff n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ CompleteSpace α ↔ IsComplete (range f)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f vol
m : Type u_1
A : Type u_3
Fintype m
CommRing A
IsDomain A
DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : Matrix.vecMul v M = 0
⊢ v = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
x : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index x
x_le_y : x ≤ x
⊢ x = x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : ↑F.val.sections
h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
⊢ ↑x W = ↑y W
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ ⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a₁ a₂ : α
⊢ a₂ ∈ AddAction.orbit M a₁ ↔ ∃ x, x +ᵥ a₁ = a₂
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
l : Filter α
f : α → G₀
hx : x ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (f x)⁻¹) l (𝓝 x⁻¹) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
α : Sort u
b c : Prop
Decidable b
Decidable c
x y u v : α
h_c : b ↔ c
h_t : x = u
h_e : y = v
⊢ (if b then x else y) = if c then u else v