ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ < b / c ↔ c < a * b
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ Set.image2 (fun x x_1 => x ⊔ x_1) s t = s ⊻ t
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
P : Sylow p H
f : H →* G
hf : IsPGroup p ↥f.ker
⊢ ∃ Q, Subgroup.comap f ↑Q = ↑P
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n
⊢ m < n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g
⊢ ¬Summable (⇑mul_g ∘ f)
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ < b / c ↔ c < a * b
Ω : Type u_1
f : ℕ → Ω → ℝ
i : ℕ
r : ℝ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.leastGE f r i ω ≤ i
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
⊢ P.toPoly.coeff 1 = P.c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
⊢ 1 < a ^ ↑n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Function.Injective ⇑e
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
n : ℕ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
⊢ (n • κ) a = n • κ a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
x : α
⊢ ∃ r > x, ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < r
x : ℝ
⊢ Irrational x⁻¹ ↔ Irrational x
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
⊢ #↑(insert a s) = #↑s + 1
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, cst t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (cst t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a b : α
⊢ AddAction.orbit G a = AddAction.orbit G b ↔ a ∈ AddAction.orbit G b
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ (fun h => g * h) '' ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
⊢ (I.prod J).boundary (M × N) = univ.prod (J.boundary N) ∪ (I.boundary M).prod univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
K : Type u_5
L : Type u_6
IsDomain R
IsDomain S
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
Algebra S L
IsIntegralClosure S R L
IsFractionRing S L
Algebra K L
IsScalarTower R S L
IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
⊢ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a}) ⊆ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
⊢ False
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
a : Fin (n + 2) → α
⊢ sum a = ∑ i : Fin (n + 2), a i
m n : Nat
k : Nat
hmn : m.Coprime n
⊢ m.Coprime (k.gcd n)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty
a : ℝ
⊢ interior {z | z.im ≤ a} = {z | z.im < a}
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
⊢ s ⊆ t ↔ Group.normalClosure s ⊆ t
α : Type u_1
m : Multiset α
r : α → α → Prop
⊢ (∀ x ∈ m, r x x) → Multiset.Rel r m m
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0
hf_top_rpow : (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), (g a ^ (p - 1)) ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc₁ : ChainClosure r c₁
hc₂ : ChainClosure r c₂
hc : SuccChain r c₂ = c₂
⊢ c₁ ⊆ c₂
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
⊢ {φ, Formula.not φ} ⊆ ↑p
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ ((((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (f₁ ⊗ (f₂ ⊗ g₁) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
m n k : ℕ+
⊢ k.Coprime n → (k * m).gcd n = m.gcd n
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set α
a✝ b✝ c : α
h : (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : ⊥ ∈ s
hab : b = ⊥
this : a = b
⊢ False
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ f a * r
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
v : V
⊢ (∀ (φ : Module.Dual K V), φ v = 0) ↔ v = 0
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ 0 < p - 1
z : ℂ
⊢ z ∈ Complex.slitPlane ↔ 0 < z.re ∨ z.im ≠ 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n
⊢ -b ^ n < 0
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
a : α
b : β
⊢ IsExtrFilter (fun x => b) l a
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I
⊢ ¬M.Dep (insert e I)
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
⊢ Function.Bijective RingEquiv.symm
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * ProbabilityTheory.mgf X μ t
n : ℕ
⊢ (↑n.succ).pred = ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ HasEigenvector (↑T) (↑(⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
⊢ N.LinearDisjoint M
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.uIcc r s)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable (-f) s ↔ LSeriesSummable f s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.23232, u_1} D
P : MorphismProperty C
⊢ P.map (𝟭 C) ≤ P.isoClosure
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α
⊢ Function.mulSupport f = s ↔ (∀ x ∈ s, f x ≠ 1) ∧ ∀ x ∉ s, f x = 1
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid α
f g : X → α
⊢ (tsupport fun x => f x + g x) ⊆ tsupport f ∪ tsupport g
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
s : Set α
hf : AntilipschitzWith K (s.restrict f)
g : β → α
t : Set β
g_maps : Set.MapsTo g t s
g_inv : Set.RightInvOn g f t
⊢ LipschitzWith K (t.restrict g)
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapDomain f s).support = Finset.image f s.support
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ T2Space X ↔ IsClosed (diagonal X)
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) I = ⊥
α : Type u
UniformSpace α
⊢ DenseEmbedding CauchyFilter.pureCauchy
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ⊂ insert a s
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : Multipliable fun n => f ↑n
hf₂ : Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ Multipliable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
h : p (f a)
⊢ ∃ b ∈ t, p b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ False
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
⊢ quadraticCharFun F 1 = 1
M : Type u_6
AddMonoid M
a : AddUnits M
⊢ Function.Bijective fun x => x + ↑a
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
n : ℕ
⊢ e (x ^ n) = e x ^ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F.map f.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map f.op s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
Nonempty α
⊢ dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ x ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s x) * s.noncommProd (fun i => f i ^ x i) ⋯
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) = LieIdeal.map f I
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' x
⊢ f' < slope f x y
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
⊢ ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M
⊢ (Algebra.TensorProduct.basisAux A b) (a ⊗ₜ[R] m) = a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) ≤ g
⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) ≤ g
R : Type u
Rack R
a b : Rack.PreEnvelGroup R
⊢ Rack.PreEnvelGroupRel R a b → Rack.PreEnvelGroupRel R b a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ Monotone (FirstOrder.Language.Substructure.map f)
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
hb : b ≤ a
⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
α : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
a b : ℕ
⊢ ↑(max a b) = max ↑a ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
X : C
⊢ (CategoryTheory.unitOfTensorIsoUnit F m n h).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.ε.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map h.inv).app X) ((F.μIso m n).inv.app X))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ ι)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun k => X ↑k
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : ↥(AddMonoidHom.mrange f)), (AddEquiv.ofLeftInverse' f h).symm a = g ↑a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d
⊢ ‖f d‖ - ‖f c‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
Ring S
f : R ≃+* S
IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing S
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
x : A
n : ℕ
I : Ideal A
⊢ Associates.mk I ^ n ≤ Associates.mk (Ideal.span {x}) ↔ x ∈ I ^ n
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
DecidableEq α
a : α
⊢ (Finset.Ici a).erase a = Finset.Ioi a
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
n : s.Nodup
⊢ (a ::ₘ s).Nodup
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
⊢ ∃ a, f a = x
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
t : Set α
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ + ν)
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f ν
α : Type u_1
x : α
z : Sym2 α
⊢ Sym2.Mem x z ↔ x ∈ z
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
f : X ⟶ Y
h : Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.map f.op)
⊢ AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Submartingale (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i • h i = f ^ (n + 1)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
m n : Nat
⊢ Int.negOfNat m + Int.negOfNat n = Int.negOfNat (m + n)
b x✝ y✝ : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ logb b x < logb b y
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1
⊢ False
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) + dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) + dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]
⊢ ⊥ < ↑n
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : UpperSet α
⊢ ↑(s * t) = ↑s * ↑t
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N✝ : Type v'
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N✝
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N✝
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Module S N✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R S N✝
p : Submonoid R
inst✝⁶ : IsLocalization p S
f✝ : M →ₗ[R] N✝
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f✝
hp : p ≤ R⁰
N : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
⊢ Module.rank S N = Module.rank R M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (M.associatorBimod (Bimod.regular Y) N).hom ≫ M.whiskerLeft N.leftUnitorBimod.hom =
  Bimod.whiskerRight M.rightUnitorBimod.hom N
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ BddBelow (⇑e ⁻¹' s) ↔ BddBelow s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a
⊢ (reflection s) ((reflection s) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : F.compl₁₂ ↑e ↑e ∘ₗ e.symm.conj f = (F ∘ₗ f).compl₁₂ ↑e ↑e
hᵣ : (B.compl₁₂ ↑e ↑e).compl₂ (e.symm.conj f) = (B.compl₂ f).compl₁₂ ↑e ↑e
⊢ B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑n
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
⊢ f.fieldRange.toSubfield = (↑f).fieldRange