ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
⊢ ↑(hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Primrec Mathlib.Vector.ofFn
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
⊢ ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
h : ∀ (i : ι), Smooth I' I (f i)
hfin : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
⊢ Smooth I' I fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
⊢ M.closure univ = M.E
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ (1 / y)) ^ y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
f : δ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)) a
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p⁻¹⁻¹
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
a : m → α
b : n → β
i₁ : m
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n
⊢ kroneckerMap f (diagonal a) (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = diagonal (fun mn => f (a mn.1) (b mn.2)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)
z : Complex.UnitDisc
⊢ (-z).im = -z.im
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
f : H →* G
hf : IsPGroup p ↥f.ker
inst✝ : Finite (Sylow p G)
h_exists : ∀ (P : Sylow p H), ∃ Q, comap f ↑Q = ↑P := fun P => exists_comap_eq_of_ker_isPGroup P hf
g : Sylow p H → Sylow p G := fun P => Classical.choose ⋯
hg : ∀ (P : Sylow p H), comap f ↑(g P) = ↑P
P Q : Sylow p H
h : g P = g Q
⊢ comap f ↑(g Q) = ↑Q
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Af : Antitone f
bdd : BddBelow (Set.range g) := by bddDefault
⊢ f (⨅ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
a✝ b✝ c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b n : ℕ
⊢ a ^ b % n = (a % n) ^ b % n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
x : SetTheory.PGame
i : (-x).RightMoves
⊢ (-x).moveRight i = -x.moveLeft (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg.symm i)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
α : G₂.obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)
hα : adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
⊢ (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) ((adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))).symm (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
i_inj : ∀ (a₁ : ι) (ha₁ : a₁ ∈ s) (a₂ : ι) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), i a ha = b
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0
this : Injective fun k => k • x
⊢ lift.{v, u} #R ≤ lift.{u, v} #E
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n ≠ 0
ih : digits 2 n = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) n.bits
⊢ digits 2 (bit b n) = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) (b :: n.bits)
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if x = j then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
⊢ ofFn f = ofFnTR f
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m * δ)
α : Type u
a : α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ insert a s ⊆ insert a t
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f ↔ Mono ((forget₂ C Ab).map f)
⊢ Function.Antiperiodic Real.Angle.sign ↑π
p q : ℚ≥0
hn : p.num = q.num
hd : p.den = q.den
⊢ p = q
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
H : SimpleGraph V
K : Finset V
left✝ : K ⊆ univ
hr : 0 < K.card
hn : K.card ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal K.card
h : G.CliqueFree K.card
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
hg : HolderWith Cg rg g
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith Cf rf f s
⊢ HolderOnWith (Cg * Cf ^ ↑rg) (rg * rf) (g ∘ f) s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi (a * 0)) volume
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
ContinuousConstSMul 𝕜 F
CompleteSpace F
T2Space F
h : RestrictGenTopology {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖NormedAddGroupHom.id V‖ = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ List.filter (fun x => a == x) l = List.replicate (List.count a l) a
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N
⊢ ∃ c, ↑c * (↑(f.sec b).2 * (f.sec a).1) = ↑c * (↑(f.sec a).2 * (f.sec b).1)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : h' c = 0
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
a b : ℝ
h : a < b
⊢ Subalgebra.comap (ContinuousMap.compRightAlgHom ℝ ℝ (iccHomeoI a b h).symm.toContinuousMap)
    (polynomialFunctions unitInterval) =
  polynomialFunctions (Set.Icc a b)
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
m n : ℕ
hfm : (Perfection.coeff R p m) f ≠ 0
hmn : m ≤ n
⊢ (Perfection.coeff R p n) f ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ ∀ (x : α) (y : Array (List α)), ?g₂ x y.toList = (Array.foldl (fun r l => r.push (x :: l)) y y 0).toList
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
⊢ (s.mulIndicator f = fun x => 1) ↔ Disjoint (mulSupport f) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_2
Pow β γ
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
c : γ
⊢ (fun x => f x ^ c) =ᶠ[l] fun x => g x ^ c
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
Group H
ϕ : G ≃* H
⊢ IsPGroup p H
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.radical
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I
⊢ p ∈ vanishingIdeal {x}
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
n : ℕ
p : R[X]
hn : p.degree < ↑n
hp : ¬p = 0
⊢ ∑ i : Fin n, f (↑i) (p.coeff ↑i) = p.sum f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
a : α
l : List α
⊢ scanr f b (a :: l) = foldr f b (a :: l) :: scanr f b l
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
IsEmpty α
⊢ ‖f‖ = 0
ι : Type u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (Set.range f)
a : G
⊢ (⨆ i, f i) * a = ⨆ i, f i * a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
x : α
hx : t \ s = {x}
⊢ ∃ a, t = insert a s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ ‖↑q‖ = ↑(padicNorm p q)
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ a ∈ s, ↑(f a).toNNReal
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁
⊢ u₁ = u₂
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
One F
NormOneClass F
TopologicalSpace α
a : α
⊢ (f =O[𝓝[≠] a] fun x => 1) ↔ f =O[𝓝 a] fun x => 1
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨c⁻¹ ^ 2, ⋯⟩ * v) x = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x : (i : ι) → α i
Nonempty ι
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Iio (x i)) ⊆ Set.Iio x
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ I ∈ Ideal.isPrincipalSubmonoid R ↔ Submodule.IsPrincipal I
s : Set ℝ
a : ℝ
⊢ 1 ∈ posTangentConeAt s a ↔ a ∈ closure (Set.Ioi a ∩ s)
α : Type u_2
s : Finset (Set α)
⊢ s.inf id = ⋂₀ ↑s
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Equivalence ContinuousMap.Homotopic
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R
⊢ List.destutter R (List.destutter R l) = List.destutter R l
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.get n.succ = s.tail.get n
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s t : Set Y
h : SeparatedNhds s t
hf : Continuous f
⊢ SeparatedNhds (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
r : AdicCompletion I R
x : M
⊢ ((AdicCompletion.ofTensorProductBil I M) r) x = r • (AdicCompletion.of I M) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.39244, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e
⊢ -1 + e = d
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
(i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ Function.Injective ⇑(MonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm)
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p)).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
Y : CategoryTheory.Functor C D
e : C
⊢ ((CategoryTheory.evaluationAdjunctionRight D c).counit.app Y).app e = CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun h => Y.map h
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
DecidableEq I
⊢ OrthogonalIdempotents e ↔ ∀ (i j : I), e i * e j = if i = j then e i else 0
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
a : α
ha : g a ≠ a
ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y
b : β
hb : (g.extendDomain f) b ≠ b
⊢ (g.extendDomain f).SameCycle (↑(f a)) b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ (∃ u, toDual a < toDual u ∧ Icc (toDual a) (toDual u) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a + b).re = a.re + b.re
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).X₁ = f.left.left
α : Type u_1
p : Multiset α → Sort u_3
n : ℕ
H : (t₁ : Multiset α) → ({t₂ : Multiset α} → Multiset.card t₂ ≤ n → t₁ < t₂ → p t₂) → Multiset.card t₁ ≤ n → p t₁
s : Multiset α
⊢ Multiset.strongDownwardInduction H s = H s fun {t₂} ht _hst => Multiset.strongDownwardInduction H t₂ ht
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) 1 μ
α : Type u_1
l l' : List α
a b : α
⊢ l.concat a = l'.concat b ↔ l = l' ∧ a = b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ (f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
⊢ q.degree ≤ p.degree
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ ⇑e.toNatLinearEquiv = ⇑e
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ_[p]
⊢ ⟨↑k, ⋯⟩ = k
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Finset.Icc a b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1
P : Ideal R
hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime
⊢ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ {J | P ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
⊢ stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜₂ (E₂ x)
x₀ : B
⊢ (trivializationAt (F₁ →SL[σ] F₂) (Bundle.ContinuousLinearMap σ E₁ E₂) x₀).source =
  Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' ((trivializationAt F₁ E₁ x₀).baseSet ∩ (trivializationAt F₂ E₂ x₀).baseSet)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop
⊢ n ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C
⊢ M.X ◁ M.mul ≫ M.mul = (α_ M.X M.X M.X).inv ≫ M.mul ▷ M.X ≫ M.mul
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
⊢ q = c 1 ^ n
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume
α : Type u_1
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.ncard ≤ 1
M : Type u_2
AddCommGroup M
𝕜 : Type u_7
Field 𝕜
Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
⊢ FiniteDimensional 𝕜 M
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
hu : ¬IsUnit p
⊢ 0 < p.degree
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
⊢ (ShortComplex.mk ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1 + 1) (n + 1)) ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1) n) ⋯).Exact
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hmn : 0 ≤ n
hs : card s = 0
ht : card t = 0
⊢ (map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
h : c + a = b
⊢ a = b - c
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ
⊢ ∑ x : ι, Submodule.Quotient.mk ((lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
i : xl
⊢ (xL i).LF (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
X✝ Y✝ : Karoubi C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map f.f).f = ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ (F.map f.f).f ≫ ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) Y✝).p
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
val✝ : Fintype (G ⧸ H)
⊢ H.index ≠ 0
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)
⊢ IsRelPrime x z
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ↑a ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => ↑a * x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
hzero : Nat.card ↑(F.obj X) = 0
⊢ Nonempty (IsInitial X)