ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
u v : m → α
x y : n → α
⊢ Sum.elim u x ⬝ᵥ Sum.elim v y = u ⬝ᵥ v + x ⬝ᵥ y
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ (f ⊔ g) i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ f = 0 ↔ ↑f = 0
x y : ℝ
⊢ √x ≤ y ↔ 0 ≤ y ∧ x ≤ y ^ 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = fun n => MvPolynomial.coeff n φ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.card ^ 2 ≤ (s \\ s).card ^ 2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (Algebra.TensorProduct.map f g).range =
  (Algebra.TensorProduct.includeLeft.comp f).range ⊔ (Algebra.TensorProduct.includeRight.comp g).range
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
T : Set ↑I
hTc : T.Countable
hU : ⋃ i ∈ T, s ↑i = ⋃ i, s ↑i
⊢ ∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
⊢ x < tan x
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
⊢ M.Basis I (I ∪ X) ↔ M.Indep I ∧ X ⊆ M.closure I
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
s.OrdConnected
x y : ↑s
⊢ Subtype.val '' Set.Ico x y = Set.Ico ↑x ↑y
f : ℕ → NNReal
hf : Summable f
k : ℕ
⊢ Summable fun i => f (i + k)
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc : IsUnit c
h : f =o[l] g
⊢ f =o[l] fun x => c * g x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
H : u.inv • (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a
⊢ a = 0 ∨ 0 < a ∧ 0 ≤ b
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
a : R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C a).degree = 1
G : Type u_3
α : Type u_7
Group G
MulAction G α
g : G
a b : α
⊢ a = g⁻¹ • b ↔ g • a = b
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
⊢ a - a / 2 = a / 2
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
s : Set G.Subgraph
⊢ (sSup s).Adj a b ↔ ∃ G_1 ∈ s, G_1.Adj a b
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 * g i.2 / ↑n ^ s = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2
p : ℕ
R : Type u_1
x y : 𝕎 R
h : ∀ (n : ℕ), x.coeff n = y.coeff n
⊢ x = y
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ 1 * M = M
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ Continuous fun x => ‖(f.extend e h_dense ⋯) x‖
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
Group K
ϕ : K →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ
⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.comap ϕ H)
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
n : ℕ
f : R[A]
⊢ n • f.support.inf degt ≤ (f ^ n).support.inf degt
α : Type u_2
x y : α
⊢ Equiv.Perm.SameCycle 1 x y ↔ x = y
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α
⊢ Inv.inv '' s = s⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
to_fun : M → M₂
inv_fun : M₂ → M
map_add : ∀ (x y : M), to_fun (x + y) = to_fun x + to_fun y
map_smul :
  ∀ (m : R) (x : M),
    { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun (m • x) =
      (RingHom.id R) m • { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun x
left_inv : Function.LeftInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun
right_inv : Function.RightInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun
⊢ ⇑{ toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul, invFun := inv_fun, left_inv := left_inv,
        right_inv := right_inv }.symm =
  inv_fun
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ homologyMap' φ h₁ h₂ = (h₁.iso.hom ≫ (homologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op).unop) ≫ h₂.iso.inv
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ * a ≤ 1 * a ↔ 1 ≤ a
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑(a - b) = n + ↑a - ↑b ↔ a < b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Eᶜᶜ ⊆ (thickening δ (thickening δ E)ᶜ)ᶜ
R : Type u_1
MonoidWithZero R
Nontrivial R
⊢ ¬Squarefree 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ f ∈ Ideal.map Polynomial.C I → (Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) Polynomial.X) f = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s t : Finset α
hst : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ s ^ n ⊆ t ^ n
n✝ p n : ℕ
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G
⊢ x ∈ ⋃ h, (↑h * a) • ↑K ↔ x ∈ doset a ↑H ↑K
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
c : Code
h : c.Ok
v✝ v : List ℕ
⊢ Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v) = pure (Cfg.halt v)
n : ℕ
⊢ (Fin.cycleRange 2).IsThreeCycle
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Filter.Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
⊢ s ⊆ exterior t ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → t ⊆ U → s ⊆ U
n x y : ℤ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : IsCoprime x y
u v : ℤ
huv : u * x + v * n = 1
H : u * y * (u * y) - -1 = n * (-v ^ 2 * n + u ^ 2 + 2 * v)
⊢ IsSquare (-1)
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
⊢ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset ⊆ ↑⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
α : Type u_1
self : Filter α
⊢ Set.univ ∈ self.sets
N : Type u_2
r : N → N → Prop
AddGroup N
⊢ Covariant N N (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) r ↔ Contravariant N N (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) r
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁
⊢ ((toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂ b₂) id = ((toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e₀ : E
f₀ : F
⊢ HasFDerivAt (fun e => (e, f₀)) (ContinuousLinearMap.inl 𝕜 E F) e₀
α : Type u_1
R : Type u_7
Semiring R
f : α → R
r : R
h : (Function.support f).Finite
⊢ (∑ᶠ (a : α), f a) * r = ∑ᶠ (a : α), f a * r
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ |z.sign| = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map₂ Prod.mk f g = f ×ˢ g
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
⊢ Localization.mk a₁ a₂ = Localization.mk b₁ b₂ ↔ ↑b₂ * a₁ = ↑a₂ * b₁
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝[≠] x = ⊥
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c c' : Cardinal.{u_3}
h : c.ord = c'.ord
⊢ c = c'
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set ℝ
h : Filter.atTop.HasBasis p s
⊢ (Bornology.cobounded E).HasBasis p fun i => norm ⁻¹' s i
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t.setBlack ↔ Batteries.RBNode.Ordered cmp t
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
⊢ (sum (sum a₁ fun a₁ b₁ => sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) fun m t => t • f m) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r =>
  {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (X n).vars = {n}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval ↑x) p = ↑((Polynomial.aeval x) p)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact ∅
hmono : MonotoneOn f ∅
⊢ IntegrableOn f ∅ μ
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s → aᶜ ∈ s.compls
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
⊢ arccos (⟪x, 0⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖0‖)) = π / 2
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N n ω
x : ℝ
⊢ Real.cos x = -1 ↔ ∃ k, Real.pi + ↑k * (2 * Real.pi) = x
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M
⊢ B.IsSkewAdjoint f ↔ (-B).IsAdjointPair B f f
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.mulRight g).toEquiv = Equiv.mulRight g
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
M.FiniteRk
hI : M.Indep I
⊢ I.Finite
A : Type u_3
Ring A
Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hqf : IsField (R ⧸ I)
⊢ I.IsMaximal
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
hst : μ (s ∩ t) = 0
⊢ ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t))⁻¹ * ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ (t ∩ u))) = (μ (s ∩ t))⁻¹ * μ (s ∩ t ∩ u)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
⊢ ∃ k, ∀ (x : L), (LieAlgebra.ad R L) x ^ k = 0
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s : Submonoid M
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
f : S₁ ⟶ S₂
CategoryTheory.IsIso f.τ₁
CategoryTheory.IsIso f.τ₂
CategoryTheory.IsIso f.τ₃
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
pn : p.degree ≤ ↑n
p1 : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.degree = ↑n
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream v (n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace β}, Measurable Prod.snd
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c)) μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : (affineSpan k ↑s).direction ≤ (affineSpan k ↑(affineSpan k ↑t)).direction
⊢ s.card ≤ t.card
n : Nat
i : Fin n
⊢ i.castSucc < i.succ
K : Type u_1
RCLike K
⊢ RCLike.normSq 0 = 0
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRelAux R C (Sum.inr ca) (Sum.inr cb) = C ca cb
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ μ s = μ.mass * μ.normalize s
α : Type u_1
Lattice α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ∈ Set.Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Set.Icc a₂ b₂
⊢ Set.uIcc a₁ b₁ ⊆ Set.Icc a₂ b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
a b c✝ d e : α
m n : ℤ
β : Type u_4
inst✝ : Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
c : α
hc : 0 < c
⊢ StrictMono fun x => f x / c
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : a = b
⊢ a = b
p : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable p}, decide p = false → p = False
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖x.1 ^ x.2‖) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : 2 ≤ n
hx : 0 < x
⊢ f ↑n + x * log (↑n - 1) ≤ f (↑n + x)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ dist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, dist (f i) (f (i + 1))
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : Equivalence r
x : α
⊢ r x x
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f ≠ 0
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
l : Filter α
f g : α → P
x y : P
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (f -ᵥ g) l (𝓝 (x -ᵥ y))
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : M ≃ₗ[R] M
⊢ ↑(LinearEquiv.det f)⁻¹ = LinearMap.det ↑f.symm
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x / g x
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms
this✝ : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'
this : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, max (u₁ + 1) (v₁ + 1)} s
⊢ IsSheaf J P' ↔ IsSheaf J (P' ⋙ s)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = Ideal.map (↑f) I
a : S ⧸ J
⊢ (I.quotientEquiv J f hIJ).symm a = (Ideal.quotientMap I ↑f.symm ⋯) a
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
⊢ ⇑((UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) f) ∘ ⇑(UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) = ⇑f
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
InfSet α
Inhabited ↑s
⊢ sInf = fun t =>
  if ht : t.Nonempty ∧ BddBelow t ∧ sInf (Subtype.val '' t) ∈ s then ⟨sInf (Subtype.val '' t), ⋯⟩ else default
a : Bool
x : ℕ
⊢ Nat.bit a x % 2 = 1 ↔ a = true
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
f : { x // x ∈ tris } → Sym2 α := fun t => s(fx ⋯, fy ⋯)
hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
t₁ : Finset α
ht₁ : t₁ ∈ tris
t₂ : Finset α
ht₂ : t₂ ∈ tris
tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩
t : fx ⋯ = fx ⋯ ∧ fy ⋯ = fy ⋯ ∨ fx ⋯ = fy ⋯ ∧ fy ⋯ = fx ⋯
i : (↑t₁ ∩ ↑t₂).Subsingleton
⊢ False
α : Type u_1
l : List α
⊢ [] <:+ l
α : Type u_5
LinearOrderedSemiring α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hb : b < 0
hc : 0 ≤ c
⊢ a ≤ b * c ↔ a = 0 ∧ c = 0
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup ↔ A ≤ B
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
⊢ ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ.tilted f = (∫ (x : α), rexp ((f + g) x) ∂μ) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ
x y : ℂ
⊢ sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ↑((Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U)) = ↑((opensFunctor (D.f j i)).obj ((Opens.map (D.t j i).base).obj ((Opens.map (D.f i j).base).obj U)))
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
i j : K
F : J ⥤ K ⥤ C
f : i ⟶ j
⊢ (limitObjIsoLimitCompEvaluation F i).inv ≫ (limit F).map f = limMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f)) ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation F j).inv
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x => (s n).comp (Prod.mk x) ⋯
f' : ℕ → α → E := fun n => {x | Integrable (f x) ν}.indicator fun x => SimpleFunc.integral ν (s' n x)
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
α : Type u_1
SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α
⊢ c (x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)