ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
⊢ UniqueMDiffOn I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s)
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
CategoryTheory.Epi p.unop
⊢ (A.epiComp p).fst = A.fst
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ bernsteinPolynomial R n ν = (bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
⊢ WittVector.frobenius (WittVector.verschiebung x) = x * ↑p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ padicValRat p (q / r) = padicValRat p q - padicValRat p r
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
s : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ ↑s * ↑s → x ∈ ↑s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
hfx : IsSeparable R pb.gen
this : DecidableEq F := Classical.decEq F
⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
x : α × β
⊢ ((WithLp.equiv p (α × β)).symm x).1 = x.1
α : Type u
CancelMonoid α
a : α
⊢ IsConj a 1 ↔ a = 1
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ Real.cosh (dist z w) = ((z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2) / (2 * z.im * w.im)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hij : c.Rel i j
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₃ K i j).Exact
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3
⊢ False
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ Lagrange.basisDivisor x y + Lagrange.basisDivisor y x = 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => True) fun n => {p | edist p.1 p.2 < 2⁻¹ ^ n}
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset β
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α
⊢ (s.inf' hs fun b => t.inf' ht (f b)) = t.inf' ht fun c => s.inf' hs fun b => f b c
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}
⊢ s = {x, y}
α : Type u_6
AddCommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + m), f k - ∑ k ∈ Finset.range n, f k = ∑ k ∈ Finset.range m, f (n + k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.inv.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app X.obj₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
T : Set β
hT : IsClosed T
hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)
hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)
hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))
hxT : f y ∈ T
⊢ f ⁻¹' closure (T ∩ range f) = f ⁻¹' T
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
⊢ hausdorffEdist s ∅ = ⊤
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
G' : ι → Type v'
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →+ G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →+ G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
n : ℤ
⊢ A ^ (n - 1) = A ^ n * A⁻¹
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ₁ σ₂ : K ≃ₐ[k] K
h₁ : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₁
⊢ σ₁ = σ₂ ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₂
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ (s \ t) = s ∩ t
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iio b ⊆ Set.Iio a ∪ Set.Ico a b
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ -Set.Ico a b = Set.Ioc (-b) (-a)
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ ↑((m + n) • x).toCircle = (fourier m) x * (fourier n) x
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α
⊢ some (e.removeNone x) = e none ↔ e.symm none = some x
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit b n).testBit 0 = b
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
T : Scheme
g : T ⟶ W
x✝ : ⊤.arrows g
φ : T ⟶ (D.vPullbackCone i₁ i₂).pt
h₁ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).fst = g ≫ p₁
h₂ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).snd = g ≫ p₂
⊢ ({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).antidiagonal = ↑(Multiset.powersetAux' l).revzip
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
hφ : (mk φ).IsComplex ∧ ((mk φ).comap (algebraMap k K)).IsReal
⊢ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
⊢ ¬s.gcd f = 0
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
h : ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (↑a, I * ↑x)
⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
s : Set β
hf : Function.mulSupport f ⊆ s
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd f a
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
c : AddCon N
x y : M
⊢ (AddCon.comap f H c) x y ↔ c (f x) (f y)
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : (e.oadd n a).repr < ω ^ succ e.repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
R✝ : Type u
S✝ : Type v
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S✝
inst✝⁸ : FunLike F R✝ S✝
rc : RingHomClass F R✝ S✝
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S✝
G : Type u_2
inst✝⁷ : FunLike G S✝ R✝
rcg : RingHomClass G S✝ R✝
ι : Sort u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M
⊢ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) I • N) = I • Submodule.restrictScalars R N
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ⊆ s
⊢ (s + t).dedup = s.dedup
α : Type u_3
Preorder α
a : α
ha : IsBot a
⊢ Filter.atBot = 𝓟 (Set.Iic a)
a : Int
⊢ a < 0 → ∃ n, a = Int.negSucc n
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
⊢ (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ)ᵀ.det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
t : α
⊢ Multiset.map f ∘ Multiset.cons t = Multiset.cons (f t) ∘ Multiset.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ 𝓝[I.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i) ⊓ ⨅ (_ : i ∈ I), 𝓟 (s i))
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : star x = -x
⊢ Commute (star x) x
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ b ≤ Order.pred a ↔ b < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ SeparationQuotient.mk ⁻¹' (SeparationQuotient.mk '' s) = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ balancedCore 𝕜 s ⊆ s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c : α
⊢ a ∣ gcd b c ↔ a ∣ b ∧ a ∣ c
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : Ideal R
isPrime✝ : x.IsPrime
⊢ { asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ range toPrimeSpectrum ↔ { asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ {x | x.asIdeal.IsMaximal}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x + x') (y + y')
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : Dense s
⊢ DenseRange Subtype.val
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V''
Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ Cardinal.lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ Cardinal.lift.{v'', v'} g.rank
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
x : ↥I
y : ↥I
⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑⊥
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
NeZero μ
t : Set β
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν) ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
⊢ K.index ∣ H.index
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ InfClosed s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
hSx : IsIntegral (↥S) x
Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})
MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx
⊢ IsIntegral R x
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
Finite ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id F = CategoryTheory.BasedNatTrans.id F
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ edist x y = (edist x.1 y.1 ^ 2 + edist x.2 y.2 ^ 2) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a : α
h : ↑↑(negPart f) a = max (-↑↑f a) 0
⊢ ↑↑(negPart f) a = -min (↑↑f a) 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) s < ⊤ → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (s.indicator fun x => c)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
x : R
IsLocalization.Away x S
⊢ (algebraMap R S) x * IsLocalization.Away.invSelf x = 1
a b : ℤ
h : a ≤ b
⊢ ↑(Ioc a b).card = b - a
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
lb : Filter β
⊢ (↑f).Tendsto lb ↔ Filter.Tendsto f l lb
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
⊢ x ∉ mulTSupport f ↔ f =ᶠ[𝓝 x] 1
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℤ
r : R
hr : 0 < r
⊢ r < ↑b ^ x ↔ Int.log b r < x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b✝ b : β
x : α
y : β
⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ map { toFun := fun i => (i, b), inj' := ⋯ } s
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / (b * c) = a / b * (1 / c)
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
b : R
v : DirectSum ι fun i => M i
i : ι
⊢ (b • v) i = b • v i
L : Type u_1
TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
SemilatticeSup L
OrderBot L
ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Filter.Tendsto (fun a => s.sup fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup g))
n m : Nat
h : n ≤ m
k : Nat
⊢ n - k ≤ m - k
R : Type u
CommSemiring R
x : R
⊢ IsCoprime x 0 ↔ IsUnit x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f ⁅I₁, I₂⁆ ≤ ⁅LieIdeal.map f I₁, LieIdeal.map f I₂⁆
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_7
h : F
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
⊢ ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
α : Type u_1
l : Filter α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ l.Subsingleton ↔ ∃ i, p i ∧ (s i).Subsingleton
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ
P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)
S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ
φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)
⊢ ∀ b ∈ Sᶜ, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ S), φ a ha = b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
h : IsLocalMin f a
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ IsLocalMin g a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R1Space α
OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular
⊢ μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e : Trivialization F proj
b : B
h : b ∈ e.baseSet
x : F
⊢ e.coordChange e b x = x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ ⊤
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • ∅ = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
I : (S.bind T).Arrow
⊢ S.sieve.arrows I.fromMiddleHom
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ p * q = ∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (monomial (i + j)) (p.coeff i * a)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
⊢ ¬InfPrime ⊤
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑↑i).IsSupported s
⊢ (↑↑i + 1).IsSupported s
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁
⊢ (Module.dualPairing K V₁).Nondegenerate
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.asIsoHomologyπ hf).inv S.homologyπ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.homology
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁
this : Lifting L₁ W₁ ((G ⋙ F) ⋙ L₁) (G' ⋙ F') := { iso' := CatCommSq.iso'.symm }
⊢ (ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
a : ℝ≥0
⊢ HasSum (fun n => ↑(f n)) (↑a + ∑ i ∈ Finset.range k, ↑(f i)) ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 1
⊢ χ = 1
β : Type v
π : β → Type u_2
Fintype β
(b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), EMetric.diam (s b) ≤ c
⊢ EMetric.diam (Set.univ.pi s) ≤ c
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_6
β₂ : ι₂ → Type u_7
(i₁ : ι₁) → UniformSpace (β₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → UniformSpace (β₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ ≃ᵤ β₂ (e i₁)
⊢ (UniformEquiv.piCongr e F).toEquiv = (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv).trans (Equiv.piCongrLeft β₂ e)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f g : α → β
hf : Measurable f
hgf : g =ᶠ[l] f
⊢ EventuallyMeasurable m l g
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
ι : Type u
β : ι → Type v
ι₁ : Type u₁
DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
(i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
(i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
i₂ : ι
⊢ (f.sum g) i₂ = f.sum fun i₁ b => (g i₁ b) i₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz : 0 ≤ z.re
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z
hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hgn : ∀ (z : ℂ), ‖g z‖ = expR (ε * z.re) * ‖f z‖
⊢ Tendsto (fun x => g ↑x) atTop (𝓝 0)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
⊢ sᶜ ∈ f
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
n : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt f (m * n) x
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ LinearMap.proj i ∘ₗ LinearMap.stdBasis R φ i = LinearMap.id
α : Type u_1
EMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y