ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ ∀ j ∈ range (m + m + 1), Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (g j)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
f : β → β → α
comm : ∀ (a b : β), f a b ≤ f b a
a b : β
⊢ f a b = f b a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
C : Type u_5
D : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
G : CategoryTheory.Functor D H
β : F ⟶ L.comp G
⊢ G.IsRightDerivedFunctor β W ↔ CategoryTheory.IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in residual ℝ, Liouville x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
⊢ K.ExactAt i ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero (K.homology i)
A : 0 < 3 / 2
this : (log ∘ Gamma) (↑2 + 1 / 2) ≤ (log ∘ Gamma) ↑2 + 1 / 2 * log ↑2
⊢ Gamma (3 / 2) < 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
Semiring β
f : α →+* β
a : α
⊢ IsUnit a → IsUnit (f a)
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
⊢ μH[d₂] s = 0 ∨ μH[d₁] s = ⊤
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a : M
b c : ↥S
⊢ f.mk' (a * ↑c) (b * c) = f.mk' a b
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R
⊢ ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Injective ⇑b
x y : F
e : (algebraMap F E) x = (algebraMap F E) y
⊢ b x = b y
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
⊢ l ∣ 2 * ↑n
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : List Γ
⊢ (Turing.ListBlank.mk l).tail = Turing.ListBlank.mk l.tail
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
W : (↑(f ⁻¹ᵁ U)).Opens
e : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V
⊢ Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ W) ⋯
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 4 = C W.preΨ₄ * W.ψ₂
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
f : F
hf : (algebraMap F E) f = x
⊢ (algebraMap F E) f ∈ ↑(adjoin F S)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hv₀ hv₁ : 0 < ↑v
hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hf : ξ = ↑⌊ξ⌋
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay R x z
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Ioi a).card = n - 1 - ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b : α
h✝ : Equivalence r
h : EqvGen r a b
⊢ r a b
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S.Nonempty
⊢ Dense (⋂₀ S)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).support
⊢ x ∈ p.support
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
⊢ g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
a : G
⊢ (↑(AddSubmonoid.multiples a)).Finite ↔ IsOfFinAddOrder a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
x : α → M
⊢ x ∉ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E
⊢ ‖y - ↑((orthogonalProjection U) y)‖ = ⨅ x, ‖y - ↑x‖
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α × β → γ
⊢ UniformContinuous₂ (Function.curry f) ↔ UniformContinuous f
σ : Type u_1
s : Set σ
R : Type u_3
CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ↑F.vars ⊆ s
⊢ ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (MvPolynomial.aeval x) F
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
⊢ n + a' = a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
e_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))
⊢ Localization.mk 0 ⟨f ^ i, ⋯⟩ = 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
⊢ ∀ {X Y : (Φ.LeftResolution X₂)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opFunctor Φ X₂).map φ).f = φ.unop.f.op
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
⊢ ∀ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ μ.innerContent (U i)
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁶ : Group G✝
inst✝⁵ : TopologicalGroup G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
n : G
hn : n ∈ N.topologicalClosure
g : G
⊢ g * n * g⁻¹ ∈ N.topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.inv.inv = r
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
i j k : Jᵒᵖ
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
⊢ (F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist p₁ ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) = ‖c‖₊ * nndist p₁ p₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
⊢ Function.Injective ⇑(quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯)
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
x : E
n : ℕ∞
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_8
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace K (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hΦ : ∀ (i : ι), ContDiffAt K n (fun x => Φ x i) x
⊢ ContDiffAt K n Φ x
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S
⊢ (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩
α : Type u_1
Max α
a b : α
⊢ max (some a) (some b) = some (max a b)
R : Type u_4
Ring R
r : R
k : ℤ
⊢ ↑k * r ∈ AddSubgroup.zmultiples r
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => I * x
α β : Type u
f : α → FreeGroup β
x : FreeGroup α
⊢ x⁻¹ >>= f = (x >>= f)⁻¹
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ
⊢ v ∘ (id ⊗ elim0) = v ⊗ fun i => f i v
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
⊢ Filter.Tendsto f (𝓟 s) (𝓟 t)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Set.Ioo (f x) (g x)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil).reverse = SimpleGraph.Walk.cons ⋯ SimpleGraph.Walk.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
SupSet α
s : Set β
f : β → α
⊢ sSup (f '' s) = ⨆ a, f ↑a
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a < b * c
hc : c ≤ 1
hb : 0 ≤ b
⊢ a < b
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : BumpCovering ι X s
⊢ self.toFun ≤ 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Y) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
x✝ : ↑I
⊢ (if h : ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then p ⟨2 * ↑x✝, ⋯⟩ else x₁) = p ⟨if ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then 2 * ↑x✝ else 1, ⋯⟩
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
⊢ Continuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β)).symm
α : Type u
p : α
s : Set α
⊢ (FreeCommRing.of p).IsSupported s ↔ p ∈ s
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m n : E
⊢ Zspan.fract b m = Zspan.fract b n ↔ -m + n ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α (β → γ)
g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(f.seq g) a = ↑f a (↑g a)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1
h₂ : (X - C x).degree = 0
⊢ p.degree = 1
α : Type u
Zero α
β : Type u_1
f : α → β
⊢ WithBot.map f 0 = ↑(f 0)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α
⊢ countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = 0 ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, ¬p a
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
⊢ StrictMono fun n => f^[n] x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ
⊢ (s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : Kˣ
⊢ ↑((toPrincipalIdeal R K) x) = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ↑x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
h : v x < v y
⊢ v (x + y) = v x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f✝ g✝ : X → Y
f g : (i : ι) → π i
⊢ (f ~ᵢ g) ↔ ∀ (i : ι), f i ~ᵢ g i
G : Type u_1
Group G
⊢ IsNormalSubgroup (IsSubgroup.center G)
ι : Type u_1
I J : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ↑I ⊆ ↑J ↔ I ≤ J
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ IsNormalAddSubgroup s
m : Type u
DecidableEq m
R : Type u_2
CommRing R
Fintype m
A : Matrix m m R
Invertible A
⊢ Function.Surjective A.mulVec
α : Type u
x y : ULift.{v, u} α
Add α
⊢ (x + y).down = x.down + y.down
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
i : ℕ
hi : i ≤ N
⊢ IsNilpotent (P.coeff i)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).natDegree = 0
α : Type u
Order.Coframe α
s : Set α
b : α
⊢ sInf s ⊔ b = ⨅ a ∈ s, a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖
⊢ (fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
s : Set α
f : α → β
ctsf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[s] x ≤ Filter.comap f (𝓝[f '' s] f x)
⊢ ∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), Function.Surjective ⇑e.toRingHom
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
⊢ UniformEquicontinuousOn (F ∘ rangeSplitting F) S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom =
  CategoryTheory.tensor_μ C (𝟙_ C, X₁) (𝟙_ C, X₂) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
ι : Type w
Fintype ι
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
b : Basis ι A B
z : B
⊢ Algebra.traceMatrix A ⇑b *ᵥ b.equivFun z = fun i => (Algebra.trace A B) (z * b i)
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
e : ↑s ↪ ↑t
⊢ s.encard ≤ t.encard
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (reverse (Quot.mk Setoid.r a✝)).formPerm ⋯ = (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h)⁻¹
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
t : Multiset α
h : Rel r 0 t
⊢ countP (r x) 0 = countP (r x) t
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y
⊢ x ∈ cylinder y n
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h₁ : Embedding f
h₂ : IsClosedMap f
⊢ ClosedEmbedding f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n : ℕ
⊢ span R ↑{1} = M ^ Nat.zero
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ∀ (x : E), ContinuousAt (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) x
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α
⊢ List.ofFn (Fin.append a b) = List.ofFn a ++ List.ofFn b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α ⊕ γ
⊢ (Sum.map f g x).isLeft = x.isLeft
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α
⊢ c.IsClosed x → c x = x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ ∃ s, a ∈ s ∧ IsOpen s ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
P : Prop
Decidable P
a b : α
c d : β
⊢ f (if P then a else b) (if P then c else d) = if P then f a c else f b d
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ (LinearEquiv.refl R M).symm = LinearEquiv.refl R M
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ≤ log x / x
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
⊢ esymm σ R n = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, (monomial (Finsupp.single i 1)) 1
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ I ^ n ≤ I ^ m
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ 𝟭 (Subobject A) = ThinSkeleton.map (𝟭 (MonoOver A))
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ e.symm = e.symm.toEquiv
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b
⊢ Finset.Ico a b ∪ Finset.Ico c d = Finset.Ico (min a c) (max b d)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Padic.addValuationDef 0 = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ UniqueMDiffOn J (⇑h '' s)
G : Type u_6
AddGroup G
x : G
⊢ addOrderOf x ∣ Nat.card G
f g : MulRingNorm ℚ
⊢ (∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n) ↔ ∀ (n : ℤ), f ↑n = g ↑n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι
this : colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom = Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i
⊢ OpenEmbedding ⇑(colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
h : Function.Surjective f
h' : ¬Function.Injective f
⊢ Fintype.card β < Fintype.card α
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
⊢ finrank K V ≤ finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH2✝ : (is.permutationsAux []).length + [].length ! = (is.length + [].length)!
IH2 : (is.permutationsAux []).length + 1 = is.length !
IH1 : (ts.permutationsAux (t :: is)).length + is.length ! * is.length.succ = (ts.length + is.length)! * (ts.length + is.length).succ
⊢ ((t :: ts).permutationsAux is).length + is.length ! = ((t :: ts).length + is.length)!
α : Type u_1
l : List (List (List α))
⊢ l.join.join = (List.map List.join l).join
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
CompleteSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (g x₀))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
⊢ ρ.IicSnd r ≤ ρ.fst
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → ℝ},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (f x).toNNReal
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
ie : IsEmpty α
⊢ ((LHom.id L).sumElim (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)).comp (L.lhomWithConstants α) = LHom.id L
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hx : ∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)
⊢ IsIntegral K x