ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
⊢ (shiftAddHom K L n a) 0 = 0
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n
⊢ succAbove 0 i = i.succ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.IsCompatibleWithTriangulation
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
    ∀ (a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁) (b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂),
      W a →
        W b →
          CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₁ b = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a T₂.mor₁ →
            ∃ c,
              ∃ (_ : W c),
                CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₂ c = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b T₂.mor₂ ∧
                  CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a) =
                    CategoryTheory.CategoryStruct.comp c T₂.mor₃
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → E
hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ
hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ
hE : CompleteSpace E
this : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ = ↑‖∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ‖₊
⊢ Summable fun x => ‖∫ (a : α), ‖F x a‖ ∂μ‖₊
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
M₀ : Type u_6
inst✝⁴ : MulZeroOneClass α
inst✝³ : MulZeroOneClass β
inst✝² : MulZeroOneClass γ
inst✝¹ : MulZeroOneClass δ
inst✝ : FunLike F α β
g : β →*₀ γ
f₁ f₂ : α →*₀ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
α : Type u_1
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
path : Batteries.RBNode.Path α
⊢ Batteries.RBNode.Path.fill' (Batteries.RBNode.zoom cut t path) = path.fill t
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ (Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f 0 + ↑⌊x⌋ ≤ f x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s
H : EMetric.hausdorffEdist s t < r
⊢ ∃ y ∈ t, edist x y < r
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a
⊢ IsAtom a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : ↥(alternatingGroup α)
hc : IsConj ↑σ ↑τ
hσ : (↑σ).support.card + 2 ≤ Fintype.card α
⊢ IsConj σ τ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}
r : ℝ
r0 : r > 0
rt : Metric.ball x r ⊆ t
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun b => -f b) (-a)
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
⊢ ∃ s, n ≤ s.card
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ∈ pathComponent y ↔ y ∈ pathComponent x
x : ℝ
h : x < 0
⊢ Real.arctan x⁻¹ = -(Real.pi / 2) - Real.arctan x
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
x : M₁ i
⊢ f (update (c • m) i x) = c ^ (Fintype.card ι - 1) • f (update m i x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑(f.extend I) x)
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
LE β
One β
v₁ : α₁ → β
v₂ : α₂ → β
⊢ Sum.elim v₁ v₂ ≤ 1 ↔ v₁ ≤ 1 ∧ v₂ ≤ 1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ ↑(AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimit F) =
  CategoryTheory.Limits.colimit (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
⊢ l[n] = x ↔ ∃ h, l[n] = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝¹ : Nontrivial M ∧ ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)
left✝ : Nontrivial M
h : ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)
m : Submodule R M
ne_bot : ¬m = ⊥
x : M
hxm : x ∈ m
hx0 : x ≠ 0
y : R
x✝ : (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ ⊤
⊢ (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ m
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : C ⥤ Comon_ D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.hom.app X).app X_1).hom = 𝟙 (X.obj X_1).X
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ Function.Injective ⇑(LieSubalgebra.inclusion h)
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, v i * star (v i) = 0) ↔ v = 0
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
⊢ f - g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f
⊢ False
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber ≤ ↑n
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑t) ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ∩ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ∩ t i j
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
⊢ EisensteinSeries.r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
C : Type u
X Y Z : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ ⟦f.comp g⟧ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ⟦f⟧ ⟦g⟧
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
⊢ IsBounded s ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃
⊢ (conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = (conjugateEquiv adj₁ adj₃).symm (α ≫ β)
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
⊢ AddSubgroup.IsComplement S T ↔ ∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 + ↑x.2 = g
α : Type u
l : List α
i : ℕ
h1 : l.length - 1 - i < l.reverse.length
h2 : i < l.length
⊢ l.reverse.nthLe (l.length - 1 - i) h1 = l.nthLe i h2
α : Type u_4
β : Type u_5
Fintype α
Fintype β
f : α ≃ β
⊢ Fintype.card α = Fintype.card β
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => True) = Filter.liminf u f
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
V : Set E
⊢ (∃ i, (∃ i_1 r, 0 < r ∧ i = (i_1.sup p).ball 0 r) ∧ id i ⊆ V) ↔ ∃ a b, 0 < b ∧ (a.sup p).ball 0 b ⊆ V
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
⊢ IsProperMap (Prod.map f g)
G : Type u
inst✝² : Groupoid G
inst✝¹ : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
a b : Generators G
e : a ⟶ b
H : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b
⊢ treeHom T (let_fun this := a; this) ≫ of e = treeHom T b
L : FirstOrder.Language
⊢ Cardinal.mk ((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) = Cardinal.mk ((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1))
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
k seed : ℕ
hk : 1 < k
hs : P seed.succ
hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (k * x)
n : ℕ
⊢ P n
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source
⊢ map (↑e) (𝓝[s] x) = 𝓝[t] ↑e x
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M
⊢ F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
⊢ AnalyticOn ℂ f univ ↔ DifferentiableOn ℂ f univ
α : Type u_4
self : HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇨ ⊥ = aᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n✝ : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
n : ℕ
⊢ ‖(p n) fun x => y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ x ∈ range xs, ball x U = univ
K : Type u_1
RCLike K
h : RCLike.I = 0
⊢ ∀ (a : K), (RCLike.realLinearIsometryEquiv h) a = (RCLike.realRingEquiv h).toFun a
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M
⊢ ‖m‖ ∈ (fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
⊢ ConcaveOn NNReal Set.univ fun x => x ^ p
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a < 1 / b ↔ b < a
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
s : Finset (ι × ℝ)
h₁ : (π₁.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
h₂ : (π₂.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun a => ↑‖f a‖₊
a b : Char
⊢ a ≤ b ↔ a.val ≤ b.val
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
⊢ (p.prod q).radius = min p.radius q.radius
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
x : B
y : F
e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
h : x ∈ e'.baseSet
⊢ (↑e'.symm (x, y)).proj = x
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0
⊢ ∃ m, n * m % k = n.gcd k
X : FinPartOrd
⊢ FinPartOrd.dual.obj X = FinPartOrd.of (↑X.toPartOrd)ᵒᵈ
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ -s ↔ -a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : TransOrd α
inst✝ : TransOrd β
⊢ TransCmp (compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ A.fst = Δ ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑((s ∪ {∅} ∪ compl '' ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
M : Type u_1
Add M
s : AddSubsemigroup M
⊢ (AddMemClass.subtype s).srange = s
α β : Type u
n c : ℕ
h : ↑c ≤ ↑n
⊢ ∃ m ≤ n, ↑c = ↑m
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ variationOnFromTo f s a b = (eVariationOn f (s ∩ Set.Icc a b)).toReal
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i : ι
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (HomologicalComplex.homologyMap S.f i) (HomologicalComplex.homologyMap S.g i) ⋯).Exact
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
L : Type u_6
RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (∀ (U : Finset (Set X)), (∀ u ∈ U, IsOpen u) → (∀ u ∈ U, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑U).Nonempty) ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) (x + x') y = QuadraticMap.polar (⇑Q) x y + QuadraticMap.polar (⇑Q) x' y
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemiring α
l : Filter β
f : β → α
c : α
hc : 0 < c
hf : Filter.Tendsto (fun x => f x * c) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : List α}, l <+: [] ↔ l = []
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.constVSub 𝕜 p).symm =
  (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜).toAffineIsometryEquiv.trans (AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 p)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasLeftResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj
L : Φ.LeftResolution (L₂.objPreimage X₂)
⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
IsRefl α r
IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'
⊢ (s ×ˢ t).PartiallyWellOrderedOn fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (p i).ball 0 r ∈ p.basisSets
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.GaloisCategory C
⊢ ∃ F, Nonempty (CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
w : ((Functor.const WalkingCospan).obj t.pt).map inl ≫ t.π.app WalkingCospan.one = t.π.app WalkingCospan.left ≫ (cospan f g).map inl
⊢ t.π.app WalkingCospan.one = t.fst ≫ f
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
i : ι
hi : i ≠ j
⊢ IsZero (if i = j then A else 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ List.map (Prod.map id f) l.enum = (List.map f l).enum
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Subsingleton (Module.Dual K V) ↔ Subsingleton V
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i = ∏ i ∈ s, x ^ w i
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
h : Module.rank E K ≤ Module.rank F ↥S
⊢ sepDegree F K = Module.rank E K
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))
x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => x * log x) x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v 1 = 1
⊢ Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
FunLike F R S
n : ℕ
h : NeZero ↑n
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ NeZero ↑n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n i : ℕ
⊢ i ∈ Finset.Iio n ↔ i ∈ Finset.range n
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i = x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
B : Set α
⊢ (N.comap f).Base B ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ Set.InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E
R : Type u
M : Type v
Sub R
Sub M
x₁ x₂ : tsze R M
⊢ (x₁ - x₂).snd = x₁.snd - x₂.snd
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ (a • S).toAddSubmonoid ↔ x✝ ∈ a • S.toAddSubmonoid
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
h : SpecializingMap f
x : X
⊢ IsClosed (f '' closure {x})
a b : ℝ
t : ℂ
ht : t ≠ -1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x * (1 + ↑x ^ 2) ^ t =
  (1 + ↑b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + ↑a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ im ⟪x, y⟫_𝕜 = -im ⟪y, x⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
⊢ m = n
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN (f₁ + f₂) = μ.testAgainstNN f₁ + μ.testAgainstNN f₂