ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Sub γ
ContinuousSub γ
f g : C(β, γ)
h : C(α, β)
⊢ (f - g).comp h = f.comp h - g.comp h
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
s : Set α
hs : s.Infinite
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, a < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
⊢ 𝓝[insert y s] x = 𝓝[s] x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M
⊢ (N.mulMap M) (n ⊗ₜ[R] m) = (M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)) (n ⊗ₜ[R] m)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan),
  (CategoryTheory.Limits.spanOp f g).hom.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
        X_1).hom
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * 0 = ↑t * 1
⊢ False
α : Type u_2
SubtractionMonoid α
⊢ Set.univ - Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
⊢ @iterate = @iterateTR
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Gamma s * Gamma (s + 1 / 2) = Gamma s * Gamma (s + 1 / 2) * 2 ^ (2 * s - 1) / √π * (2 ^ (2 * s - 1))⁻¹ * √π
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
x : E
hx : x ∈ separableClosure F E
⊢ x ∈ L
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ ¬a < ⊤ ↔ a = ⊤
n : ℕ
a : Fin n
⊢ a ∈ List.finRange n
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff 0 = B.det
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
c : R
x : E
⊢ e (c • x) = σ₁₂ c • e x
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 1 = M.trace
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y ≠ 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsFractionRing B L
IsDomain B
NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
⊢ Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) (Submodule.traceDual A (FractionRing A) I) =
  Submodule.traceDual A K (Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) I)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ Ioi b ⊆ Ici a ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMaxOrder α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
s : Set R
⊢ x ∈ NonUnitalSubring.closure s ↔ ∀ (S : NonUnitalSubring R), s ⊆ ↑S → x ∈ S
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : Y ⟶ H
⊢ f ≫ h = g ≫ h
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : Polynomial.eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ 0 < p.natDegree
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
a b : α
⊢ (SimpleGraph.regularityReduced P G ε δ).Adj a b =
  (G.Adj a b ∧ ∃ U ∈ P.parts, ∃ V ∈ P.parts, a ∈ U ∧ b ∈ V ∧ U ≠ V ∧ G.IsUniform ε U V ∧ δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V))
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ x ^ a ∈ {x | rexp 1 ≤ x}
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁.LF y₁ ↔ x₂.LF y₂
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
z : ℤ
⊢ IsSquare ↑z ↔ IsSquare z
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : Mˣ
⊢ IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
n n' m : Nat
i : Fin n'
h : m + n' = m + n
⊢ Fin.cast h (Fin.natAdd m i) = Fin.natAdd m (Fin.cast ⋯ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β
⊢ SMulPosReflectLE α β ↔ SMulPosReflectLT α β
k : Type u
Field k
R : Type u_1
CommRing R
IsAlgClosed k
Algebra R k
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R k)
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, (Polynomial.aeval x) p = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A B : StructuredArrow S T
f : A ⟶ B
this : (Functor.fromPUnit S).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ T.map f.right
⊢ A.hom ≫ T.map f.right = B.hom
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Finset.powersetCard s.card s = {s}
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
a0 : a ≠ 0
⊢ y = a⁻¹ • (a • y + z) + -a⁻¹ • z
R : Type u_1
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid N
AddCommMonoid N₂
Module R N
Module R N₂
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ Submodule.comap fₗ qₗ ≤ Submodule.comap (c • fₗ) qₗ
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Finite
⊢ a ≤ nth p k
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
⊢ (C a * T 0).degree = 0
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite ↥H
⊢ Nat.card ↥H ≤ 1 ↔ H = ⊥
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
h : x < y
z : α
⊢ x < z ∨ z < y
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
r : R
⊢ (MvPolynomial.C r).IsSymmetric
a b c : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a
⊢ a ^ b ≤ a ^ c ↔ b ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
⊢ LinearIndependent 𝕜 v
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
⊢ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y
⊢ a - b + c = a - (b - c)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
p : β → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.filter p (Finset.image f s) = Finset.image f (Finset.filter (fun a => p (f a)) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
κ : β → Type u_9
f : (i : β) → κ i → α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ x, f x.fst x.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
l : AssocList α β
⊢ findEntryP? p l = List.find? (fun x => match x with | (a, b) => p a b) l.toList
x : ℝ
n : ℕ∞
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : range u ⊆ s
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ↑K * b n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ↑(G.interedges UV.1 UV.2).card ≤ ∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ε * (↑UV.1.card * ↑UV.2.card)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : NoAtoms μ
b : ℝ
⊢ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[≥] 0) (𝓝 0)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Finset α
⊢ IsUnit ↑s ↔ IsUnit s
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
⊢ List.mergeSort r [] = []
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
⊢ X.Factors (X ⊓ Y).arrow
α : Type u
Add α
a b : WithBot α
⊢ a + b ≠ ⊥ ↔ a ≠ ⊥ ∧ b ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ Balanced 𝕜 (s - t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ↑(x n) =ᶠ[ae μ] ↑↑↑(toLp (x n) ⋯)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : Injective m
h : m '' s ∈ map m f
⊢ s ∈ f
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
SMulZeroClass S R
a : S
b : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a • b } = a • { toFinsupp := b }
m₂ m₁ : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid →
  s.toString.data = m₁.reverse ++ m₂ →
    ∀ (n : Nat), s.prevn n { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len (List.drop n m₁) }
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc a b, f x ∂μ
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = ⇑f - fun x => f 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E
⊢ ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
⊢ (LeftFraction.mk ((α.f + α.f') ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f ≫ γ.f + α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
⊢ M.closure J ∩ I ⊆ J
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
⊢ 0 ∪ s = s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y W : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.EffectiveEpi f
e : Y ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (g₁ g₂ : Z ⟶ Y),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ f →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ e = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.EffectiveEpi.desc f e ⋯) = e
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
f : ↑Γ(X, U)
hf₁ : X.basicOpen f ≤ V
hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f
g : ↑Γ(X, V)
hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f
hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g
f' : ↑Γ(X, U)
hf' : X.basicOpen f' = X.toRingedSpace.basicOpen g
⊢ ∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
h : b ∈ Metric.ball a r
⊢ ‖b‖ < ‖a‖ + r
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
⊢ dimH s ≤ dimH (⇑e '' s)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ nodal ∅ v ≠ 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0
⊢ a = b
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set ι
LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
⊢ ↑n < find P ↔ ∀ m ≤ n, ¬P m
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₂
⊢ ↑(AffineSubspace.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : (μ.restrict s) univ < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * ((μ.restrict s) univ).toReal
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ dist (a + b) b = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (Filter.comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
PartialOrder 𝕜
StarRing 𝕜
StarOrderedRing 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
Invertible D
hD : D.IsHermitian
⊢ Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star (Sum.elim x y)) (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D)) (Sum.elim x y) =
  Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star ((D⁻¹ * B.conjTranspose).mulVec x + y)) D)
      ((D⁻¹ * B.conjTranspose).mulVec x + y) +
    Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star x) (A - B * D⁻¹ * B.conjTranspose)) x
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
CategoryTheory.Limits.HasKernels V
i j j' : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i j'
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.d i j) = CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.d i j')
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
ρ : MeasureTheory.Measure δ
h : δ → γ
h₁ : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
h₂ : ProbabilityTheory.IdentDistrib g h ν ρ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib f h μ ρ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₃
hf : f ≫ T.mor₃ = 0
⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₂
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subring R
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
α : Fin 2 → Type u_8
(i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α) = fun f => (f 0, f 1)
n i j : ℕ
⊢ (n &&& 2 ^ i).testBit j = ((n.testBit i).toNat * 2 ^ i).testBit j
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
⊢ (¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) → x = y
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ map (single i) (p i) ≤ pi Set.univ p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ z + 1 ≤ ⌈a⌉ ↔ ↑z < a
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
⊢ ω ≤ a
R : Type u
CommRing R
X : BialgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).toBialgEquiv = BialgEquiv.refl R ↑X.toBundled
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
n : ℤ
⊢ IsAlgebraic R ↑n
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s✝ : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s✝
s : R
x : P
hx : IsInteger R (a • x)
⊢ IsInteger R (s • a • x)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
⊢ K.incl.range = K
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι₂ : Sort u_6
s : ι → Set α
t : ι₂ → Set α
h : ∀ (i : ι), ∃ j, s i ⊆ t j
⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ i, t i
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
parts : Finset α
sup_indep : parts.SupIndep id
sup_parts : parts.sup id = a
⊢ (Finpartition.ofErase parts sup_indep sup_parts).parts = parts.erase ⊥
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
hc : ℵ₀ < c
⊢ CountableInterFilter l
G : Type u_2
α : Type u_3
Inv G
MeasurableSpace G
MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
z : ℂ
i j : Fin 2
⊢ (leftMulMatrix basisOneI) z i j = !![z.re, -z.im; z.im, z.re] i j
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t t' : Set β
⊢ Set.image2 f (s ∩ s') (t ∪ t') ⊆ Set.image2 f s t ∪ Set.image2 f s' t'
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
CommSemiring R
TopologicalSemiring R
StarRing R
ContinuousStar R
f : ContinuousMapZero X R
⊢ ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f = ↑f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ
I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝³ : X₃.HasTensor X₄
inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A
inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g
i₁ i₂₃₄ : I
h' : i₁ + i₂₃₄ = j
⊢ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).val = Multiset.ndinsert a s.val
x : EReal
⊢ ⊥ + x = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
x y : ZFSet
h : x.Nonempty
⊢ y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
⊢ ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y
⊢ (z \ y) \ y ≤ x
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
⊢ y ∉ s
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : x ∣ y * z
⊢ x ∣ z