ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i.succ + q
⊢ n + 1 ≤ ↑i + q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P Q : C
S T : D
f : (P, S) ⟶ (Q, T)
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ CategoryTheory.IsIso f.1 ∧ CategoryTheory.IsIso f.2
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
s : Set X
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯ = MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑g ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑((A * C).card * B.card) ≤ ↑((A * B).card * (B * C).card)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
h : IsUnit f
x : M
⊢ h.unit.inv (f x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : α
⊢ (∃ i, x ∈ t (i + m)) → ∃ i, x ∈ t (i + n)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
c x : A
hx : x ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q
⊢ c • x ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖
⊢ ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s : Finset α
⊢ s / ∅ = ∅
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 3 = pqr
⊢ 1 < sumInv pqr
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioi a ∩ Iio b) (Ioi (a + d) ∩ Iio (b + d))
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift → Nonempty sq.LiftStruct
n d : ℤ
⊢ (n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s
κ : Cardinal.{w}
T : FirstOrder.Language.empty.Theory
⊢ κ.Categorical T
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
c : α
⊢ a - c < b - c
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ = c ↔ R = 0
k p : ℕ
hk : k ≠ 0
hp : Nat.Prime p
⊢ (p ^ k).primeFactors = {p}
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulStrictMono α β
SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ < a₂
hb : b₁ < b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable β
f : β → Set α
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ (b : β), C (f b)
n : ℕ
⊢ C (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) Polynomial.X = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangleMap φ₁ φ₂ a b comm).hom₁ = a
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ colimit.ι F j ≫ (isoOfEquivalence e w).hom = F.map (e.unit.app j) ≫ w.inv.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ colimit.ι G (e.functor.obj ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
⊢ ∃ a ∈ 𝒜, s ⊆ a
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ Ordinal.bsup 0 f = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) g).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).hom) =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom g
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
s : Set α
⊢ Metric.thickening δ s = ∅
X : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ F
⊢ 1 ≤ (thickenedIndicator δ_pos F) x
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.disconnect.objs = S.objs
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelFamily f).obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero = X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' m' : ℤ
hn' : n' + a = n
m : ℤ
hm' : m' + a = m
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n' m' (γ.rightShift a n' hn') =
  a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n m γ).rightShift a m' hm'
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ t ≤ s ∪ t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
⊢ p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = p.leadingCoeff * ((-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k))
α : Type u_1
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Basis J I
⊢ J = I
⊢ Set.MapsTo Real.sin (Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)) (Set.Ioo (-1) 1)
R : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup α
Module R α
BoundedSMul R α
⊢ BoundedSMul R (Matrix m n α)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 2 = C X * W.ψ₂ ^ 2 - C W.Ψ₃
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
SmoothManifoldWithCorners I M
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ Function.Surjective ⇑(mfderiv I I' (↑e) x)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ Relation.ReflTransGen r a b ↔ b = a ∨ Relation.TransGen r a b
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f
a✝ : β
hx : ∀ (i : ↑f.sets), a✝ ∈ closure (image2 ϕ (↑i) s)
⊢ a✝ ∈ closure (image2 ϕ u s)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x
⊢ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) =ᶠ[𝓝[s] x] f'
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* S
r : R
n : ℕ
⊢ (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) (n + 1) ^ p = (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) n
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
(j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'
⊢ ∀ (a : (b : ι) → β (e.symm.symm b)) (a_1 : ι'),
  (UniformEquiv.piCongrLeft e) a a_1 = (Equiv.piCongrLeft' β e.symm).symm a a_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
P' : Ideal S
hP' : P' ∈ normalizedFactors (map f p)
P'_eq : Associated P P'
⊢ Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.prod η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
X : Type u
Preorder X
x : Xᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.orderDualEquivalence X).inverse.obj x = OrderDual.toDual (Opposite.unop x)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ p' 1 ⋯
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i
⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (diagramIsoSpan (span f g ⋙ F)).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X₁ ⟶ Y₁
⊢ α.inv ≫ (α.hom ≫ f ≫ β.inv) ≫ β.hom = f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ
⊢ x ≤ ⌊max 0 (↑x + 1)⌋₊
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 0 0 ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (toMatrix (g • v₁) v₂) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) i✝ j✝
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A
⊢ ↑(star S) = star ↑S
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ⟦s₁⟧.Disjoint ⟦s₂⟧
⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ = ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₁⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
val : β
⊢ (RelEmbedding.sumLiftRelInr r s) val = Sum.inr val
f g : CircleDeg1Lift
⊢ dist (f 0 + g 0) (f (g 0)) < 1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
⊢ sInf s a ↔ ∀ r ∈ s, r a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
b : Multiset β
⊢ Multiset.Rel r 0 b ↔ b = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure (s ∪ t) = closure s ∪ closure t
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ ↑0 = 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source
⊢ IsOpen (↑e '' s)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f - g) ≫ h = f ≫ h - g ≫ h
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → Dist (α i)
p : ℝ≥0∞
hp : 0 < p.toReal
f g : PiLp p α
⊢ dist f g = (∑ i : ι, dist (f i) (g i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ (s.restrict f)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : ¬∃ a ∈ sf, ∃ a_1 ∈ sg, -(a - α) / (a_1 - β) = ϕ c
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α
⊢ Matrix.dotProduct ![a₀, a₁] ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1
⊢ f 0 = ↑0
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q
⊢ (1 - t_inv • M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det = (invert.mapMatrix (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C)).det
α : Type u
Semiring α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
hne : M ≠ M'
⊢ M ⊔ M' = ⊤
X : Type u_5
t : TopologicalSpace X
self : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace X
⊢ ∃ m, UniformSpace.toTopologicalSpace = t
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
(i : ι) → AddGroup (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ |f| = fun i => |f i|
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
ha : ¬IsMax a
⊢ ¬IsSuccLimit (succ a)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : α → M
s t : Set α
h₀ : s = t
h₁ : ∀ x ∈ t, f x = g x
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), g i
F : PFunctor.{u}
r : F.M → Sort u_2
x : ↑F F.M
f : (x : ↑F F.M) → r (PFunctor.M.mk x)
⊢ (PFunctor.M.mk x).casesOn f = f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
X : C × D × E
⊢ (CategoryTheory.prod.inverseAssociator C D E).obj X = ((X.1, X.2.1), X.2.2)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ c.left.C = c.C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : (i : ι) → β i
s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
⊢ i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk s }.support ↔ { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 / p.2) (μ.prod ν) μ
α : Type u_2
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range (Set.Iic ∘ 𝓟))
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]
⊢ (∏ i ∈ s, f i).coeff 0 = ∏ i ∈ s, (f i).coeff 0
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace
h : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε
⊢ TopologicalSpace.IsSeparable s
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts
⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ StrictAnti (Prod.snd ∘ Concept.toProd)
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : a ∈ s.pi fun a => {f a}
i : α
hi : i ∈ s
⊢ a i hi = f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.associator P Q R).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift
    (CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.fst
      (CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst))
    (CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
x : CommRingCat.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r x.neg = -Quot.mk Setoid.r x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᵐ[κ] μ.rnDeriv κ
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
⊢ Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
x : S
h : IsNilpotent ((Polynomial.aeval x) P)
n : ℕ
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
α : Type u
HasSSubset α
IsIrrefl α fun x x_1 => x ⊂ x_1
a : α
⊢ ¬a ⊂ a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : Set.range cs.simple = Set.range cs.simple ∪ (Set.range cs.simple)⁻¹
⊢ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
⊢ f.support.card = 0 ↔ f = 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
⊢ ∃ f, StrictMono f
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
⊢ M.Basis I Y
G : Type u_1
Group G
Fintype G
x : G
⊢ x ^ Fintype.card G = 1
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s t : Set α
⊢ BddBelow (s ∪ t) ↔ BddBelow s ∧ BddBelow t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y
X : C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.inclLift F M hM).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (match CategoryTheory.WithInitial.incl.obj X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => F.obj x
    | CategoryTheory.WithInitial.star => Z)