ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))
⊢ o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) (r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) = ↑(Real.arctan r)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) (p ^ n) = 0
⊢ (Polynomial.aeval x) p = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z
⊢ dist y z ≤ dist x z
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x (W.negY x y) ↔ W.Equation x y
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddCommGroup F
FunLike 𝓕 E F
ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (Polynomial.aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ x⁻¹ = -((Polynomial.aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))
a : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^ 0 = 1
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this✝ : (constantSheaf K A).Faithful
this : (constantSheaf K A).Full
⊢ e.inverse.obj F ∈ (constantSheaf J A).essImage ↔ F ∈ (constantSheaf K A).essImage
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
Semiring A
Module R A
Fintype n
Fintype n'
eₘ : m ≃ m'
eₙ : n ≃ n'
eₒ : o ≃ o'
M : Matrix m n A
N : Matrix n o A
⊢ (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₙ) M * (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₙ eₒ) N =
  (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₒ) (M * N)
α : Type u_1
AddCommGroup α
l : ℤ
r : α
tl : ℤ
tr t : α
prl : l = tl
prr : r = tr
prt : Mathlib.Tactic.Abel.smulg tl tr = t
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.smulg l r = t
α β : FinBddDistLat
e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat
a : ↑β.toBddDistLat.toDistLat
⊢ (FinBddDistLat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I : Submodule R A
⊢ 1 ≤ 1 / I ↔ I ≤ 1
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
n✝ n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Icc 1 (n + 1), x ! = sf n + 1
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective f
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0
⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ =
  c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂
c : Char
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor (c :: l) r it
⊢ ValidFor l (c :: r) it.prev
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ ¬0 ≈ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k
i : ℕ
hi : i < n + 1
⊢ i = i % n.succ
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ G₁.edgeSet = G₂.edgeSet ↔ G₁ = G₂
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f g : β → α
p : β → Prop
DecidablePred p
⊢ (s.inf fun i => if p i then f i else g i) = (Finset.filter p s).inf f ⊓ (Finset.filter (fun i => ¬p i) s).inf g
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : BddAbove (Set.range fun n => f n ω)
⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
s : Set ℕ∞
⊢ sSup s = 0 ↔ ∀ a ∈ s, a = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : Tendsto (uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
⊢ Tendsto (fun i => (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) l (𝓝 z₀)
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
⊢ h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.aeval fun i => (MvPolynomial.map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n) =
  (MvPolynomial.aeval fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) Φ
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
⊢ (Multiset.map (⇑f) s).sum = f s.sum
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ∀ (a : ⨂[𝕜] (i : ι), E i),
  ((PiTensorProduct.mapLMultilinear 𝕜 E E') f) a =
    (PiTensorProduct.liftAux ((PiTensorProduct.tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f).toMultilinearMap) a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
⊢ vectorsProdEqOne G 1 = {1 ::ᵥ Vector.nil}
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
h : F ≅ F'
Y : D
hY : Y ∈ F.essImage
⊢ Y ∈ F'.essImage
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ f '' s = t → SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
n : ℕ
⊢ (y ^ n).val = y.val ^ n
n : Nat
⊢ ¬n ∈ List.range n
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Finset ℕ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
s t : Finset ℕ
a : ℕ
hat : a ∈ t
has : a ∉ s
ha : ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
⊢ (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := s } < (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := t }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C * ‖v‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap e.hom
R : Type u
CommRing R
x y : R
⊢ IsCoprime x (-y) ↔ IsCoprime x y
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
Zero α
One α
i : V
⊢ A.compl i i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α → β
s : Set α
h' : Set.EqOn g f s
⊢ ContinuousOn g s ↔ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → m ∈ List.argmin f l → f m ≤ f a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : LieModule.Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β') = ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β) - n
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hne : T.Nonempty
hS : IsPreconnected ∅
hc : ContinuousOn f ∅
hTm : MapsTo f ∅ T
⊢ ∃ y ∈ T, EqOn f (const α y) ∅
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
hS : Set.iUnion S = Set.univ
i : ι
x : ↑(S i)
⊢ Set.liftCover S f hf hS ↑x = f i x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
e : E
x : 𝕜
⊢ MeromorphicAt (fun x => e) x
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
self : L ≃ᴸ L'
⊢ self.toLHom.comp self.invLHom = FirstOrder.Language.LHom.id L'
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
⊢ (mk I M) a = 0
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
a : ↑β.toLat
⊢ (BddLat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
⊢ (Nat.unpair n).1 < n
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
s : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalMin f (g b)
hg : ContinuousOn g s
hb : b ∈ s
⊢ IsLocalMinOn (f ∘ g) s b
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.functor.map f =
    (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap CategoryTheory.Limits.WalkingPair (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)
        f.unop).unop
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ (s.erase a).erase a = s.erase a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
⊢ setToFun (⊤ • μ) T hT f = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
hE : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {f | ∫ (z : α × β), ↑↑f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ}
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a ≤ b → a < b ∨ a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
⊢ x * y ∈ I
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
⊢ ∃ h, Bijective h
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ - b⁻¹ = (b - a) / (a * b)
n : Nat
i : Fin n
⊢ i.succ.castSucc.pred ⋯ = i.castSucc
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
⊢ Function.Injective NonUnitalSubalgebra.toSubmodule
a b : ℤ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = (b - a).toNat
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
CategoryTheory.Limits.HasPullback (f' ≫ f) g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackRightPullbackFstIso f g f').hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (f' ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
α : Type u
Preorder α
k j : α
hkj : k ≤ j
⊢ Monotone fun x =>
  match x with
  | ⟨i, hi⟩ => ⟨i, ⋯⟩
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal a.toReal = a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
AddCommGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f + g) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
DecidableEq β
s : Finset α
H : Function.Injective f
⊢ (Finset.image f s).card = s.card
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]
⊢ x ∈ RingHom.ker (toZModPow n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
y : ℝ≥0∞
⊢ (⊤ * y).log = ⊤.log + y.log
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
G : V ⥤ W
G.Additive
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (G.mapHomologicalComplex c).map (Homotopy.nullHomotopicMap' hom) =
  Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
hF : F.Final
⊢ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J
⊢ (H.map (post F G) ≫ post (F ⋙ G) H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝ = post F (G ⋙ H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
⊢ s ⊆ ↑(Ideal.torsionOf R M x)
S : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
⊢ (CategoryTheory.equivYoneda' S).inv.val = (CategoryTheory.equivYoneda S.val ⋯).inv
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K ⋯) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) = x
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
hlt : -π < OfNat.ofNat n * x.arg
hle : OfNat.ofNat n * x.arg ≤ π
y : ℂ
⊢ x ^ (OfNat.ofNat n * y) = (x ^ OfNat.ofNat n) ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : 0 ≤ A i j
⊢ -(↑B * (A i j)⁻) ≤ v j * A i j
α : Sort u
r : α → α → Prop
q : Quot r
⊢ Exists fun a => Quot.mk r a = q
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Set α
⊢ 0 * s ⊆ 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ Ioo k n ⊆ Ioc k (max (k + 1) n)
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
⊢ ⇑l.toFinsupp = fun x => l.getD x 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₀ : 0 < a
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (Fin.last N) = 0
lastr : a.r (Fin.last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
⊢ ∃ c', (∀ (n : Fin N.succ), ‖c' n‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {0})) 0 = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
f : α → β
x : ι → Filter α
y : ι → Filter β
h : ∀ (i : ι), Filter.Tendsto f (x i) (y i)
⊢ Filter.Tendsto f (iSup x) (iSup y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0
⊢ a < b / c ↔ c * succ a ≤ b
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a b : R
⊢ b * EuclideanDomain.quotient a b + EuclideanDomain.remainder a b = a
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ 1 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ Continuous ConnectedComponents.mk
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
⊢ ∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), Finsupp.coeFnAddHom a a_1 = a a_1
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ((powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}) = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
⊢ (X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toLightCondSet.val.map x✝) a✝
D : CategoryTheory.GlueData (Type v)
x : D.glued
⊢ ∃ i y, D.ι i y = x
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ 1 ≤ ifp_succ_n.b
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C
this : ∀ (X Y : C), F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
⊢ (F.μ A.X A.X ≫ F.map (β_ A.X A.X).hom) ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
x y : ℝ*
⊢ ¬x.InfinitePos → y.InfiniteNeg → (x + y).InfiniteNeg
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CharZero R
f : α → α
x : α
h : Function.IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ birkhoffAverage R f g n x = g x
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < turnBound s
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hg : Differentiable 𝕜 g
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 f
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x : α
h : f (f x) ≠ x
⊢ (Equiv.swap x (f x) * f).support = f.support \ {x}
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
h₁ : f =O[l] g
h₂ : g =Θ[l] k
⊢ f =O[l] k
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
⊢ { toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = 0
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
self : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ c₁₂.Rel (TotalComplexShape.π c₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (TotalComplexShape.π c₁ c₂ c₁₂ (i₁', i₂))
F : Type u_1
ι : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α✝ → β → β
op : α✝ → α✝ → α✝
inst✝³ : Monoid α✝
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α✝ β
α : Type u_6
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α
⊢ s.noncommProd ⋯ = s.prod
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
T : Projectivization.Subspace K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
hvw : v + w ≠ 0
⊢ Projectivization.mk K v hv ∈ T → Projectivization.mk K w hw ∈ T → Projectivization.mk K (v + w) hvw ∈ T