ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set α
⊢ ⇑m '' (s - t) = ⇑m '' s - ⇑m '' t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
l : List α
hl : l ≠ []
⊢ (map norm l).prod = (fun a => ↑a) (map nnnorm l).prod
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Field K
Field L
CommRing M
Algebra R K
Algebra R M
Algebra K M
IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
f : K →+* L
h : Polynomial.Splits (f.comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)
⊢ Polynomial.Splits f (minpoly K x)
α : Type u_2
Ring α
a b : α
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ Even (a - b)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
⊢ Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ
⊢ List.map f l₁ ~r List.map f (l₁.rotate n)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
⊢ s.SOppSide x z
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
x : M
hx : LinearIndependent R (Fin.cons x v)
⊢ ∃ x, LinearIndependent R fun i => Fin.cons x v ((finRotate (n + 1)) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
⊢ (Multiset.map f s.dedup).dedup = (Multiset.map f s).dedup
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A
⊢ prod.fst ≫ diag A = 𝟙 (A ⨯ A)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
h₂ : r₂ ≠ 0
⊢ (r₃ / r₂) • (r₂ • v +ᵥ p₁ -ᵥ p₁) = r₃ • v
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
s : Finset α
⊢ Finset.coeAddMonoidHom s = ↑s
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ
⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (c⁻¹ • x) r
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ countP p s ≤ countP p t
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ'.haarScalarFactor μ • μ s ≤ μ' s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
SemilatticeSup α
SemilatticeInf β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y
⊢ AntitoneOn f s
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι'✝ : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
ι' : Type u_2
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Fintype.card ι' ≤ Fintype.card ι
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)
⊢ IsCoprime ((↑A *ᵥ v) 0) ((↑A *ᵥ v) 1)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
s : AList β
⊢ a ∈ AList.insert a' b' s ↔ a = a' ∨ a ∈ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
s : Set E
x₀ x : E
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : Summable fun n => f n x₀
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
⊢ PadicInt.limNthHom f_compat (r * s) = PadicInt.limNthHom f_compat r * PadicInt.limNthHom f_compat s
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ {a | p a} ⊆ {a | q a} ↔ ∀ (a : α), p a → q a
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∏ x ∈ s, f (σ x) = ∏ x ∈ s, f x
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m * Int.negSucc n = Int.ofNat (m.succ * n.succ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ orthonormalBasisOneI.repr.trans (v.repr.symm.trans f) = (orthonormalBasisOneI.repr.trans v.repr.symm).trans f
α : Type u_1
⊢ Function.Injective FreeAddMonoid.of
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
h :
  ∀ (J : Type w) {𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J},
    CategoryTheory.FinCategory J → CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteLimits C
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : Subsingleton E'
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c * ‖g' x‖
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ProperSpace E
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (s.indicator fun x => c)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
⊢ dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ t, f n x) < ε
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a + (b - c) = b + (a - c)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
z w : PGame
h : w.IsOption y
⊢ z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a < c * b
⊢ a * b⁻¹ < c
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsLUB {a} a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet f κ μ ↔ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets (fun i => {f i}) κ μ
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a b : Ordinal.{max v u}
⊢ o.nfpBFamily f a ≤ b ↔ ∀ (l : List (Quotient.out o).α), List.foldr (o.familyOfBFamily f) a l ≤ b
α : Type u
Sup α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (a ⊓ b) = OrderDual.ofDual a ⊔ OrderDual.ofDual b
q : ℚ
⊢ q = 0 ↔ q.num = 0
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
AddZeroClass α
M N : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
⊢ (M + N).blockDiag' = M.blockDiag' + N.blockDiag'
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
t₂' : Nonempty (IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)))
⊢ Nonempty (IsColimit c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b ∪ Set.Icc b a
x y z : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), 0 < cosh x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
hl : l.HasBasis p s
⊢ t ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n
⊢ AddSubmonoid.closure (Set.range fun x => x ^ n) = AddSubmonoid.nonneg ℚ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0
f : ℕ →. ℕ
⊢ Partrec f ↔ Nat.Partrec f
p : Bool → Prop
b : Bool
⊢ (∀ (x : Bool), p x) ↔ p b ∧ p !b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)
⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β
⊢ (∏ x : { x // x ∈ filter p univ }, f ↑x ⋯) * ∏ x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) univ }, g ↑x ⋯ = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
val✝ : Fintype τ
z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0
reassoced : ∀ {t : τ} {W : C} (h : T t ⟶ W), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t ≫ h = 0 ≫ h
⊢ 𝟙 (S s) = 0
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (OrderIso.mulRight a).symm = OrderIso.mulRight a⁻¹
p : Polynomial ℤ
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((Polynomial.aeval z) p = 0 ∧ (Polynomial.aeval z) p.mirror = 0)
⊢ Irreducible p
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ ∀ (i : I), Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}
⊢ IsClosed {x | 0 ≤ x}
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
hf_ind : StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))
⊢ StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀
⊢ Nonempty (Denumerable α)
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ ((colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j
n : ℕ
⊢ (ack 0 n + 1) ^ 2 ≤ ack (0 + 3) n
q r : ℚ
⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
CommSemiring R
e : α ≃ β
Semiring β
Algebra R β
b : β
⊢ (AlgEquiv.symm (Equiv.algEquiv R e)) b = e.symm b
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0
⊢ 2 * ↑n + 2 = ↑(2 * n + 2)
α : Type u
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite
⊢ h.toFinset = Finset.filter p Finset.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.zero h₁ h₂).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.zero h₁.left h₂.left
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →L[ℝ] E
hf : LinearMap.det ↑f ≠ 0
s : Set E
⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det ↑f)⁻¹| * μ s
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
N : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ B.dualSubmodule N ↔ ∀ y ∈ N, (B x) y ∈ 1
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s t : (i : ι) → κ i → Set α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t i j
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, t i j
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
⊢ Function.Surjective nnnorm
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Semiring S
Algebra R S
Module S M
IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsGenericPoint x (closure {x})
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ dist 1 = norm
z : ℂ
⊢ Complex.equivRealProd z = (z.re, z.im)
ι : Type u_1
I J₁ J₂ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : J₁ ∈ π
h₂ : J₂ ∈ π
hle : J₁ ≤ J₂
⊢ J₁ = J₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.op.inl = c.fst.op
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
t : Set A
ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val
hr : s ≤ t
⊢ s = t
G : Type u_1
AddGroup G
k : Set G
p : G → Prop
x : G
h : x ∈ AddSubgroup.closure k
mem : ∀ x ∈ k, p x
one : p 0
mul : ∀ (x y : G), p x → p y → p (x + y)
inv : ∀ (x : G), p x → p (-x)
⊢ p x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
LinearOrder α
m n : ℕ
s : Finset α
hm : s.card = m
hn : sᶜ.card = n
i : Fin n
⊢ (finSumEquivOfFinset hm hn) (Sum.inr i) = (sᶜ.orderEmbOfFin hn) i
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
⊢ ∃ T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ SimpleGraph.triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1
⊢ ∃ x, s = {x}
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ (r + 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
Field K
AddCommGroup V
Module K V
Field K₁
AddCommGroup V₁
Module K₁ V₁
Field K₂
AddCommGroup V₂
Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.IsOrtho (a • x) y
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
n : ℕ
c : Fin n → ℂ
⊢ torusMap c 0 = Function.const (Fin n → ℝ) c
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
a : α
x : β
⊢ (MulAction.toPerm a) x = a • x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)
m n : ℕ
h : m.Coprime n
⊢ m.lcm n = m * n
c : ℂ
R : ℝ
⊢ Continuous (circleMap c R)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ F.map (α.f + β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f + β.f)
motive : Nat → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (n : Nat) → motive n → motive (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.recAux zero succ (n + 1) = succ n (Nat.recAux zero succ n)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I J : Ideal R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule K I ≤ IsLocalization.coeSubmodule K J ↔ I ≤ J
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ ↑m ≤ Cardinal.lift.{u, v} x ↔ ↑m ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
⊢ Disjoint (↑(upperClosure s)) t ↔ Disjoint s t
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.ShortExact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
F.PreservesRightHomologyOf S
CategoryTheory.Mono (F.map S.f)
CategoryTheory.Epi (F.map S.g)
⊢ (S.map F).ShortExact
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
⊢ ω f₁ (fun t x => ϕ (m t) x) s ⊆ ω f₂ ϕ s
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
⊢ a ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h = ⨆ i, ⨆ (h : p i), a ⊔ f i h
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r r' : R₁ ⟶ R₂
h : r = r'
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightEq L r r' h).inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioi a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂