ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖
α : Type u
Ring α
a b : α
u : αˣ
⊢ a - b /ₚ u = (a * ↑u - b) /ₚ u
α : Type u
Mul α
⊢ WithOne.map (MulHom.id α) = MonoidHom.id (WithOne α)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g ((MvPolynomial.monomial s) a) = f a * s.prod fun n e => g n ^ e
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 - -↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (1 - -↑x⁻¹ * t)
⊢ inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ ((α_ W X Y).inv ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).hom) ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k
⊢ slope (-f) x y = (-slope f) x y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
h : k ≤ l.castSucc
⊢ b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ LinearEquiv.lTensor M (f ≪≫ₗ g) = LinearEquiv.lTensor M f ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor M g
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s - (t₁ ∪ t₂) = s - t₁ ∪ (s - t₂)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
⊢ LinearMap.range (Finsupp.total α M R v) = Submodule.span R (Set.range v)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
e : x = y
⊢ x ⤳ y
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k
⊢ 1 = single 1 1
α : Type u_1
Primcodable α
f : ℕ → α → α
a : α
hf : Primrec₂ f
⊢ Primrec fun t => Nat.rec a f t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
α : Type u_2
A : Set α
S : Set (Set α)
⊢ Subtype.val ⁻¹' ⋃₀ S = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ S, Subtype.val ⁻¹' B = x}
X Y : CommGrp
f : X ⟶ Y
⊢ CommGrp.uliftFunctor.map f =
  CommGrp.ofHom (MulEquiv.ulift.symm.toMonoidHom.comp (MonoidHom.comp f MulEquiv.ulift.toMonoidHom))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ N ⊓ N' ↔ x ∈ N ∧ x ∈ N'
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (f + g) μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ + MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ 2 = (Real.cos b * Real.sin b - Real.cos a * Real.sin a + b - a) / 2
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c
⊢ IsSeparable (f '' s)
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p 0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsMaxOn (g ∘ f) s a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.unmop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z.unmop Y.unmop X.unmop).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ
hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ
⊢ μ univ < ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X
⊢ I ∈ T₁ ∩ T₂
n : ℕ∞
⊢ 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ θ.all.Realize v xs ↔ ∀ (a : M), θ.Realize v (Fin.snoc xs a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : αᵒᵈ → βᵒᵈ
a : WithTop α
⊢ WithBot.map f (WithTop.toDual a) = WithTop.map (⇑OrderDual.toDual ∘ f) a
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ LSeriesSummable (f ⍟ g) s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜
hf_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
⊢ (fun a => ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) ≤ comap (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (↑s →ᵤ β))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
∀ (d : D), CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.StructuredArrow d F)
⊢ F.Final
a : USize
b : Nat
⊢ (a.modn b).toNat = a.toNat % b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - RCLike.I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + RCLike.I • y‖ ^ 2) * RCLike.I) / 4
K : Type v
Field K
p : K[X]
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id K) p ↔ Multiset.card p.roots = p.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b
⊢ (match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = b :: l
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval r ∘ₗ comp p) q = (eval (Polynomial.eval r p)) q
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
hs₂ : g ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ s =ᶠ[ae μ'] ∅
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
a c : R
b d : ↥M
⊢ mk a b - mk c d = mk (↑d * a - ↑b * c) (b * d)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
p : F[X]
hFE : FiniteDimensional F E
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra K E
IsScalarTower F K E
x : E
hx : x ∈ p.aroots E
Fintype (K →ₐ[F] E)
Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)
⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) =
  Fintype.card (K →ₐ[F] E) * FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
this : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
⊢ Tendsto (((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h : 0 < f x
⊢ HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x
α : Type u_1
CommGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a / b ≤ b / a ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ ↑(upperClosure (⇑f '' s)) ↔ x✝ ∈ ↑((UpperSet.map f.symm).symm (upperClosure s))
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A
⊢ α ≫ K.liftCycles k j hj hk = K.liftCycles (α ≫ k) j hj ⋯
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ
⊢ Set.image f^[n] = (Set.image f)^[n]
P : TopCat → Prop
self : CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproducts P
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
⊢ CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Fork f f
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.IsIso c.ι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n
⊢ p ∣ a
α : Type u
lsize rsize : Nat
self : Lean.Diff.Histogram.Entry α lsize rsize
⊢ self.rightCount = 0 ↔ self.rightIndex = none
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
i : ι
hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
⊢ ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)
⊢ ∀ (x : E), A x = B x
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
h : G ≤ H
⊢ G.cliqueSet ≤ H.cliqueSet
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M
⊢ map f p ≤ map f p' ↔ p ≤ p' ⊔ ker f
α : Sort u
p : α → Prop
w : α
h₁ : p w
h₂ : ∀ (y : α), p y → y = w
⊢ ∃! x, p x
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'
⊢ (x ⊔ x') ⊓ (y ⊓ y') = ⊥
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk z₁).comp
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk z₂) =
  z₁.comp z₂
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R
⊢ (xgcd 0 s).2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
β' : Type u_4
f : β ↪ γ
g : α ↪ β
f' : α ↪ β'
g' : β' ↪ γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)
⊢ Finset.map f (Finset.map g s) = Finset.map g' (Finset.map f' s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => max a (f x)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂
⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₁.map f)) ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₂.map f)
α : Type u
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
⊢ l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
⊢ CircleIntegrable (-f) c R
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₁).toFun t) ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₂).toFun t) ≤
  (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
⊢ ⨅ i, ↑(f i) ≠ ⊤ ↔ Nonempty ι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor Q f) ⇑(LinearMap.lTensor Q g)
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
l : Multiset R
x : M
⊢ l.sum • x = (Multiset.map (fun r => r • x) l).sum
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n
⊢ 1 / a ^ n ≤ 1 / a ^ m
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
A : Matrix (Fin m.succ) n' α
B : Matrix n' o' α
i : Fin m
j : o'
⊢ (A * B) i.succ j = (Matrix.of (Matrix.vecTail (Matrix.of.symm A)) * B) i j
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
⊢ EuclideanGeometry.Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄}
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq ι
Fintype ι
κ : ι → Type u_6
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : ((i : ι) → i ∈ Finset.univ → κ i) → β
⊢ ∑ x ∈ Finset.univ.pi t, f x = ∑ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
a : CategoryTheory.FinCategory.AsType α
⊢ (CategoryTheory.FinCategory.asTypeToObjAsType α).obj a = id a
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid α
Monoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
⊢ {x | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise Commute
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : ↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
h : 1 / a = 1 / b
⊢ a = b
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hm : IsMaximal x (x ⊔ y)
⊢ Iso (x, x ⊔ y) (x ⊓ y, y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
⊢ f₂ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).snd.map L ⋯
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
⊢ False
α : Type u
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : ι → Filter α
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ⨆ b, fs b, p x) ↔ ∀ (b : ι), ∀ᶠ (x : α) in fs b, p x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d
y : Submodule R M
hyd : y ∈ d
hxy : x ∈ y
⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
hf : Summable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ s, ∀ (t : Set α), Disjoint t ↑s → ∑' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
⊢ (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ inv ((F.μIso m' n).inv.app X) = inv ((F.μIso m n).inv.app X) ≫ (F.map (f ▷ n)).app X
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasLimits C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑X.toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
H' : IsIso (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
this : IsIso (((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y) ≫ inv (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y))
⊢ IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H I : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
θ : G ⟶ H
ι : H ⟶ I
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.associator η θ ι).inv.app a =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (ι.app a)).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ Monotone r.core
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : m ≠ 0
⊢ a ≤ a ^ m
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.nums 0 = g.h
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
𝓕 : Set α
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G 𝓕 ν
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (ν.restrict 𝓕) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
AddZeroClass Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
⊢ (LocallyConstant.comapAddMonoidHom f) g = LocallyConstant.comap f g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ ∃ d, (f d).NeBot
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C
eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} (L.obj ((shiftFunctor C a).obj X) ⟶ L.obj ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
⊢ (∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))