ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.bind (MeasureTheory.SimpleFunc.const α) = f
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
⊢ ∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n
⊢ (fromBlocks M₁₁ 0 M₂₁ M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → υ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename g) ((MvPolynomial.bind₁ f) φ) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename g) (f i)) φ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g
hf : ¬Multipliable f
⊢ ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.compls.compls = s
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
⊢ x ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2
⊢ abs (cexp (↑a * (cexp z + cexp (-z)))) ≤ rexp (a * Real.cos b * rexp |z.re|)
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a * (b / c) = b * (a / c)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_3
M : Type u_5
TopologicalSpace M
SMul R M
ContinuousConstSMul R M
c : R
f : C(α, M)
a : α
⊢ (c • f) a = c • f a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
L : List A
h : ∀ x ∈ L, x ∈ S
⊢ L.prod ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
⊢ (Sum.inr x).swap = Sum.inl x
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ ↑n₁ * ↑d₂ = ↑n₂ * ↑d₁ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ c < a * b⁻¹ ↔ c * b < a
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ IsClosed (connectedComponent x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
k : ℕ
⊢ MeasurableSet {a | i k ≤ f a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
h : e none = none
⊢ e.symm none = none
R : Type u
x : Tropical R
⊢ Tropical.trop (Tropical.untrop x) = x
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
DecidableEq M
l : AList fun _x => M
⊢ l.lookupFinsupp.support = (List.filter (fun x => decide (x.snd ≠ 0)) l.entries).keys.toFinset
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
a0 : 0 ≤ a
⊢ a * b ≤ 1
G : Type u
Group G
a : G ⧸ (MonoidHom.id G).ker
⊢ QuotientGroup.quotientBot a = (QuotientGroup.kerLift (MonoidHom.id G)) a
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)
⊢ (sInf S).compl = ⨅ s ∈ S, s.compl
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R
⊢ colon I ⊤ = I
x y : PSet
h : x.Equiv y
⊢ ZFSet.mk x = ZFSet.mk y
R : Type u_1
n : Type u_3
DecidableEq n
Semiring R
Fintype n
a : R
i : n
⊢ ∑ x : n, Finsupp.single x (if i = x then a else 0) = Finsupp.single i a
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
S : Set L
h₁ : ∀ {a b : L}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S
h₂ : S 0
h₃ :
  ∀ (c : R) {x : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier
h₄ :
  ∀ {x y : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      y ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
        ⁅x, y⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier
⊢ ↑{ carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem' := h₄ } = S
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ l.toFilteriUnion I π₁ = l.toFilteriUnion I π₂
α : Type u_1
⊢ (PartialEquiv.refl α).target = Set.univ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ c ⊓ (b ⊓ a) ≤ c
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
ha : a ≠ i
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (transvection i j c * M) a b = M a b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
⊢ Prime (x * y) ↔ Prime x ∧ IsUnit y ∨ IsUnit x ∧ Prime y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ ↑U = Set.univ ↔ U = ⊤
m : Type → Type
ω σ : Type
⊢ ∀ {α : Type} {p : α → Prop} {x : StateRefT' ω σ m α} [inst : Monad m],
  SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ST.Ref ω σ), SatisfiesM p (x s)
z : ℂ
⊢ z.arg = π ↔ z.re < 0 ∧ z.im = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
e : α → β
ν : MeasureTheory.Measure β
h₁ : MeasureTheory.MeasurePreserving e μ ν
h₂ : MeasurableEmbedding e
f : β → E
s : Set β
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f s ν
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ Setoid.r (toNat p) (toNat q) ↔ ManyOneEquiv p q
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
x y : R
w : r x y
⊢ (mkRingHom r) x = (mkRingHom r) y
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
⊢ ∀ (a : Seminorm 𝕜 E) (a_1 : E), (Seminorm.coeFnAddMonoidHom 𝕜 E) a a_1 = a a_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))
⊢ (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0
this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)
⊢ HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ Subsemiring.closure s ↔ ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s) ∧ (List.map List.prod L).sum = x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : Multiset (α →₀ M)
h : α → M → N
h₀ : ∀ (a : α), h a 0 = 0
h₁ : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
a : α →₀ M
s : Multiset (α →₀ M)
ih : s.sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) s).sum
⊢ (a ::ₘ s).sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) (a ::ₘ s)).sum
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
g : ι → M → F
t : Set F
x : M
hx : x ∈ s
hg : ∀ (i : ι), (f i) x ≠ 0 → g i x ∈ t
ht : Convex ℝ t
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x ∈ t
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set α
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ (v.filterAt x).HasBasis p fun i => {t | t ∈ v.setsAt x ∧ t ⊆ s i}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ ⊤ ↔ U = ⊥
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
⊢ a * b ∈ H
G : Type u_1
Monoid G
H : Submonoid G
x : ↥H
⊢ IsOfFinOrder ↑x ↔ IsOfFinOrder x
x : ℂ
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (x + z) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p
⊢ b • m = 1 ⊗ₜ[R] b • m
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
⊢ (support fun i => ↑(x i)).Finite
x : ℝ
⊢ Real.sin x = 0 ↔ ∃ n, ↑n * Real.pi = x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C
⊢ (X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 (g ∘ f)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / p * (1 / q) * q)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
⊢ s.sup p ≤ ∑ i ∈ s, p i
α : Type u_2
Zero α
s : Set α
h : s.Nonempty
⊢ s ⊆ 0 ↔ s = 0
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial k = 0 ↔ n < k
α : Type u_1
⊢ Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α ∨ Infinite α
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Memℒp f 1 μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
hc : Continuous fun u => u ^ n * (1 - u ^ 2) ^ m
⊢ -∫ (x : ℝ) in b..a, sin x ^ (2 * m + 1) * cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in b..a, (1 - cos x ^ 2) ^ m * -sin x * cos x ^ n
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
⊢ (CochainComplex.mappingCone φ).d i j ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v j j ⋯ =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij ≫ φ.f j + (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯ ≫ G.d i j
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m
⊢ Raised (n + k) (m + k)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
⊢ (fun x => x * ↑n) (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x) = (fun x => x * ↑n) (↑x * (1 - ↑x) / ↑n)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
Field k
IsAlgClosed k
CharP k p
V : Type u_3
AddCommGroup V
WittVector.Isocrystal p k V
h_dim : FiniteDimensional.finrank (FractionRing (WittVector p k)) V = 1
⊢ ∃ m, Nonempty (WittVector.IsocrystalEquiv p k (WittVector.StandardOneDimIsocrystal p k m) V)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
⊢ ∀ (x y : FractionalIdeal R⁰ K), count K v x = 0 → count K v y = 0 → count K v (x * y) = 0
X₁ X₂ : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ ∀ (a : X₁ ⟶ X₂),
  CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.inverse.map a =
    CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap CategoryTheory.Limits.WalkingPair X₁ X₂ a
α : Type u
s : Set α
⊢ (𝓟 s).NeBot ↔ s.Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
h : a ∈ l
⊢ ⟨a, h⟩ ∈ l.attach
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
P : Finpartition t
⊢ (interedges r s t).card = ∑ b ∈ P.parts, (interedges r s b).card
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (CategoryTheory.inv (F.map f) ▷ G.obj X ≫ F.map f ▷ G.obj X ≫ F.obj Y ◁ G.map f)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K (Fin.snoc v x) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) ^ 2 = a * b / mabs (b / a)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite G
⊢ Nat.card ↥H ≤ Nat.card G
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
⊢ IsUnramified k (mk φ)
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)
⊢ a = 0 ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∧ b ≤ a ↔ a = 0 ∧ b = 0
α : Type u_1
Mul α
a x y : α
⊢ SemiconjBy (MulOpposite.op a) (MulOpposite.op y) (MulOpposite.op x) ↔ SemiconjBy a x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X : C
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).obj X = X
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ (-Quotient.mk'' y).val = -val (Quotient.mk'' y)
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ a ≤ a * a
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
⊢ Function.Injective fun n => Polynomial.cyclotomic n R
G : Type u_1
Group G
IsSimpleGroup G
H : Subgroup G
Hn : H.Normal
⊢ H = ⊥ ∨ H = ⊤
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1
k : n
⊢ A.cramer (∑ i : n, b i • Pi.single i 1) k = ((of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b) k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
self : X.Hom Y
U : C
⊢ self.f ▷ U ≫ (Y.snd.β U).hom = (X.snd.β U).hom ≫ U ◁ self.f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ s.inf (untrop ∘ f) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).inf
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Neg α
f : m → n → α
⊢ -Matrix.of f = Matrix.of (-f)
α : Type u
f : Filter α
⊢ ∅ ∈ f ↔ f = ⊥
m : ℕ
n : ℕ
⊢ StrictMono (Fin.natAdd n)
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
⊢ AddSubgroup.IsComplement S Set.univ ↔ ∃ g, S = {g}
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP p l = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
SeminormedAddCommGroup W₃
f₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'
⊢ (ψ'.comp ψ).comp f₁ = f₃.comp (φ'.comp φ)
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S T : ValuationSubring K
⊢ S ≤ g • T ↔ g⁻¹ • S ≤ T
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : (i : ι) → β i
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)).symm f‖ = ‖f‖
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
𝒰 : X.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)
⊢ P f
α : Type u_1
Zero α
TopologicalSpace α
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
OrderTopology α
a : α
h : 0 < a
⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
x : G₀
h : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun y => y * x
V : Type u
G : SimpleGraph V
s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ G.deleteEdges s₂ ≤ G.deleteEdges s₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
⊢ p.length + 1 = Fintype.card α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
h : IsCompl p q
hp : IsClosed ↑p
hq : IsClosed ↑q
⊢ ⇑(Submodule.linearProjOfClosedCompl p q h hp hq) = ⇑(Submodule.linearProjOfIsCompl p q h)