ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Neg (α i j)
M : DMatrix m n α
i : m
j : n
⊢ (-M) i j = -M i j
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
⊢ ⋂ i, s i = Set.univ ↔ ∀ (i : ι), s i = Set.univ
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ = ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = n), ball x δ
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toNatLinearMap = g.toNatLinearMap
x : M
⊢ f x = g x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x y : Y
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 0
⊢ Sum.inr x = Sum.inr y
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
𝕜' : Type u_1
NormedField 𝕜'
NormedSpace 𝕜' G
SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
c : 𝕜'
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ -Metric.closedBall x δ = Metric.closedBall (-x) δ
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ (-2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : P f
⊢ P.map F (F.map f)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β₁ β₂ : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ (α.comp (β₁ + β₂) h).hom = (α.comp β₁ h + α.comp β₂ h).hom
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS' b c d 4 = d
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ (y - x)⁻¹ • (f y - f x) ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
Fintype β
f : β → α
Fintype ↑(Set.range f)
⊢ (Set.range f).toFinset = Finset.image f Finset.univ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : BiheytingAlgebra α
inst✝² : BiheytingAlgebra β
inst✝¹ : BiheytingAlgebra γ
inst✝ : BiheytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : BiheytingHom α β
g g₁ g₂ : BiheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.Equiv_iSup S)
    ((FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι (fun x => ↥(S x))
        (fun x x_1 h => FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) i)
      x) =
  (FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) x
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k
⊢ φ⁻¹ = PowerSeries.inv.aux ((PowerSeries.constantCoeff k) φ)⁻¹ φ
μ ν : YoungDiagram
⊢ μ = ν.transpose.transpose ↔ μ = ν
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h2 : p * (X - C a) ^ n ≠ 0
⊢ rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a p + n
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
⊢ HasFDerivAt (Function.update x i) (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))) y
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r x : R
⊢ (ψ.mulShift r) x = ψ (r * x)
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
⊢ Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ X.ρ g⁻¹ = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
α : Type u
s : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑s ≤ Cardinal.aleph0 ↔ s.Countable
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
⊢ P.roots.toFinset.card ≤ 3
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
h : f₂ =O[l] g
⊢ f₁ =O[l] g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
⊢ StronglyMeasurable (stoppedValue u τ)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : β → β → γ
g : α → β
a b : α
⊢ (f on g) a b = f (g a) (g b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fab : α → β
fbc : β → γ
ga : α → α
gb : β → β
gc : γ → γ
hbc : Function.Semiconj fbc gb gc
hab : Function.Semiconj fab ga gb
⊢ Function.Semiconj (fbc ∘ fab) ga gc
a x z✝ z : ℂ
hz : z = 0
⊢ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
x : α
⊢ x ∈ t.ite s₁ s₂ ↔ x ∈ s₁ ∪ s₂ \ t
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α}, (a :: l).get 0 = a
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) m
hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'
⊢ HasProd f (m * m')
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this✝ : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex
h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)
h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)
⊢ ∀ (g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))), g ^ (center G).index = 1
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.derivative 1 = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ Finset.image (fun x => x.1 + x.2) (s ×ˢ t) = s + t
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = x \ y ⊓ (x ⊓ y)
⊢ x \ y = z
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M
⊢ y ∈ closure {x} ↔ ∃ n, x ^ n = y
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ ⨆ a ∈ s, LinearMap.range (Finsupp.lsingle a) ≤ ⨅ a ∈ t, LinearMap.ker (Finsupp.lapply a)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
⊢ Metric.cthickening 0 E = closure E
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑f a ∂μ = f.lintegral μ
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
⊢ CategoryTheory.Quotient.natTransLift r (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a : N ⋊[φ] G
⊢ a⁻¹.left = (φ a.right⁻¹) a.left⁻¹
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
hu : (↑C.u * ↑C.u⁻¹) ^ 12 = 1
⊢ ↑C.u ^ 12 * ↑E.Δ'⁻¹ * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * E.c₄) ^ 3 = E.j
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (map (fun p => p.1 * p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₂ app₀ app₁ app₂ w₀ w₁).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₂ app₀.hom app₁.hom app₂.hom w₀ w₁
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t✝ r s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ range ⇑(sumSet h) = s ∪ t
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
DecidableEq α
h : a ≠ b
h₁ : f a = 1
⊢ Nat.multinomial {a, b} f = (f b).succ
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
⊢ ∀ (a : G), (IsometryEquiv.inv G) a = a⁻¹
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
⊢ (inl φ).v p q hpq ≫ (triangle φ).mor₃.f q = -(K.shiftFunctorObjXIso 1 q p ⋯).inv
n : ℕ
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (↑n).coeff 0 = ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f =O[l] g'
⊢ f =O[l] fun x => (f' x, g' x)
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
OrderTop β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_top : f a = ⊤
x : α
⊢ x ≤ a
X Y : Type u
x : X
y : Y
⊢ (β_ X Y).hom (x, y) = (y, x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
q q' : Submodule R₂ M₂
⊢ q ≤ q' → Submodule.comap f q ≤ Submodule.comap f q'
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ b
⊢ a ≤ b - c ↔ c ≤ b - a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
⊢ Cycle.Chain r ↑(a :: l) ↔ List.Chain r a (l ++ [a])
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
t₁ t₂ : Finset α
ht₁ : s.card = t₁.card ∧ { ofColex := t₁ } ≤ { ofColex := s }
ht₂ : { ofColex := t₂ } < { ofColex := t₁ } ∧ t₂.card = s.card
⊢ { ofColex := t₂ } ≤ { ofColex := s }
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ Int.negSucc n
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun y => y ^ x
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : FG I.num
⊢ (↑I).FG
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e₁₂ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
e₂₃ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃
⊢ (CliffordAlgebra.equivOfIsometry e₁₂).trans (CliffordAlgebra.equivOfIsometry e₂₃) =
  CliffordAlgebra.equivOfIsometry (e₁₂.trans e₂₃)
k G : Type u
Field k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V
⊢ (FDRep.of ρ).ρ = ρ
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑P * ↑Pᶜ = 0
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g h : G
comm : AddCommute g h
j : ℤ
⊢ j • h +ᵥ AddAction.fixedBy α g = AddAction.fixedBy α g
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
⊢ b (min_bi b) / 2 < 1
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type u_1
Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ Fintype.card ι ≤ FiniteDimensional.finrank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Zero β
Preorder β
Zero γ
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
SMulPosMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
⊢ SMulPosMono α β
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
f g : (i : ι) → π i
⊢ (Finset.univ.erase i).piecewise f g = Function.update f i (g i)
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
⊢ ⇑(AddMonoidHom.mulRight r) = fun x => x * r
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
⊢ AEMeasurable id μ
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
⊢ Monotone t.truncateToReal
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n
⊢ (fun a => (a / n, ↑a)) ((fun p => p.1 * n + ↑p.2) p) = p
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M
⊢ (∀ (w : M), v w = 0) → v = 0
u : ℤˣ
n : ℕ
⊢ u ^ n = u ^ (n % 2)
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ StrictAnti f ↔ Function.Injective f
α : Type u_1
s : Set α
a : α
⊢ s \ {a} ⩿ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
⊢ CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
⊢ IsExtreme 𝕜 A C
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ (∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderivWithin I I' f s x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ ∃ a < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord,
  ∃ b < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord, a ≠ b ∧ OrdinalApprox.lfpApprox f x a = OrdinalApprox.lfpApprox f x b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)
⊢ nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α
⊢ ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : x ∈ t
⊢ 0 < t.size
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ 0 ≤ ‖f‖
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0
⊢ ↑p ≠ 0
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
⊢ (fun x_1 => x ^ x_1) 0 = ↑⟨y, ⋯⟩
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
j : J
r : R
⊢ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (mkOfSMul (coconePointSMul F)).smul r = (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
⊢ (fun h => f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x : ι → α
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i
h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i
hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε
δ : α
hδ : 0 < δ
hδε : δ < Finset.univ.inf' ⋯ ε
⊢ ∃ ε_1, 0 < ε_1 ∧ ∀ (i : ι), x i + ε_1 < (x + ε) i
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
m : Type u → Type u
Applicative m
α β : Type u
f : α → m β
x : t' α
⊢ Equiv.traverse eqv f x = ⇑(eqv β) <$> traverse f ((eqv α).symm x)
p : ℝ[X]
⊢ Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | ¬x ≤ 0}) (𝓝 0)
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45742, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45746, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ m + n + a = a''
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
f : β → α
b : β
l : List β
⊢ List.Chain R (f b) (List.map f l) ↔ List.Chain (fun a b => R (f a) (f b)) b l
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsCompact s ↔ IsCompact Set.univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X
⊢ Filter.Tendsto (g ∘ f) (𝓝 x) l ↔ Filter.Tendsto g (𝓝 (f x)) l
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x z : ℂ
⊢ z * x = x * z
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ (cexp (-(↑x * I)) - cexp (↑x * I)) * I - (2 * ↑x - ↑1 * ↑x * ↑x * ↑x / 3) = (cexp (-(↑x * I)) - (1 / (↑0 + 1) + -(1 * (↑x * I)) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + -(1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I)) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)) - (cexp (↑x * I) - (1 / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)))) * I
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ
⊢ ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x✝ x y z : C
⊢ z ∈ closure {x, y} ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_6
Group G'
MulAction G' α
MeasurableSpace G'
MeasurableSMul G' α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G' α μ
SMulCommClass G' G α
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
g : G'
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G (g • s) μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
w₁ : InfinitePlace K
⊢ ∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0