ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type u_1
F : I → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
A : C
f g : c.pt ⟶ A
h : ∀ (i : I), c.inj i ≫ f = c.inj i ≫ g
⊢ f = g
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
⊢ Finset.Ici a = Finset.subtype p (Finset.Ici ↑a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
self : R.hasPullbacks
Y Z : C
f : Y ⟶ X
⊢ R f → ∀ {g : Z ⟶ X}, R g → CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ Eₘ[univ, t] = Fintype.card α * t.card ^ 2
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support
f g : ℝ → ℝ
h : f =ᶠ[Filter.atTop] g
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f ↔ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ
⊢ a ≤ sSup s ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
n : ℕ
ht : t.Nonempty
hn : s.card ≤ t.card * n
⊢ ∃ y ∈ t, (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card ≤ n
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Type u_8
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
a : α
⊢ Finsupp.single a (∑ b ∈ s, f b) = ∑ b ∈ s, Finsupp.single a (f b)
ι : Type u_1
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
Fintype ι
DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.orthogonalGroup ι ℝ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f✝ : α → 𝕜
f : α → ℝ
hf : Memℒp f 1 μ
⊢ Memℒp (fun x => ↑(f x)) 1 μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
⊢ ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
r' : ℝ≥0
h0 : 0 < r'
hr' : ↑r + ↑r' < p.radius
⊢ Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * r ^ s.fst
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductFunctor.obj X).obj Y = (X × Y)
C : Type u₁
⊢ Function.Injective CategoryTheory.MonoidalOpposite.mop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
g : β → γ
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map g) ((MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m) = (MeasureTheory.OuterMeasure.map (g ∘ f)) m
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
h : Nontrivial ↥↑(LieModule.shiftedWeightSpace R L M χ)
⊢ LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
w : F ≅ G
⊢ (P.conePointsIsoOfNatIso Q w).inv = CategoryTheory.Limits.IsLimit.map t P w.inv
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x y : L
h : y ∈ I
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ I
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : ClusterPt (x, y) (𝓤 α)
⊢ Inseparable x y
n m : ℕ
i j : Fin n
⊢ i ≤ j.rev ↔ j ≤ i.rev
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.ker f.rangeRestrict = LinearMap.ker f
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < Real.log x ↔ 1 < x
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
c : α → β
h : ∀ (a b : α), c a = c b
⊢ UniformContinuous c
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[s] a ⊓ 𝓟 t
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hs : s ⊆ Set.range e
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (MeasureTheory.Measure.comap e μ)
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
⊢ √(1 + ‖x‖ ^ 2) ≤ 1 + ‖x‖
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
⊢ (e.subtypeEquiv h).symm = e.symm.subtypeEquiv ⋯
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (Polynomial.nthRoots n 1).Nodup
α : Sort u_1
q : Prop
p : α → Prop
Decidable q
⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Mon_ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).X = F ⋙ Mon_.forget D
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
⊢ lift.{u, w} (iSup f) = ⨆ i, lift.{u, w} (f i)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.snd R M M₂ ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = 0
ι : Type u_6
Y₁ : ι → Type u_7
Y₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₂ i)
F : (i : ι) → Y₁ i ≃ₜ Y₂ i
⊢ (Homeomorph.piCongrRight F).symm = Homeomorph.piCongrRight fun i => (F i).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
x : α × α
hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < ε / ↑K}
⊢ edist (f x.1) (f x.2) * ↑K < ε
E : Type u_1
SeminormedAddGroup E
s t : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s - t)
α : Type u
P : α → Prop
a : α
s : Set α
⊢ (∀ x ∈ insert a s, P x) ↔ P a ∧ ∀ x ∈ s, P x
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x y : V
⊢ midpoint R (x - y) (x + y) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G
⊢ a * (b * c) = b * (c * a)
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set (Submodule R M)
⊢ (sSup s).toAddSubmonoid = sSup (Submodule.toAddSubmonoid '' s)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ ∃ f, StrictMono f
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ (fun a => (μ {a_1 | a < f a_1}).toReal) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => (μ {a_1 | a ≤ f a_1}).toReal
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n
⊢ ↑m < ↑n
ξ : ℚ
⊢ {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
⊢ borel α = ⊤
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ Tendsto (fun x => -x - -b * x ^ p) atTop atTop
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y), SimplexCategory.skeletalFunctor.map f = SimplexCategory.Hom.toOrderHom f
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖y‖
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
CompactSpace α
f g : C(α, β)
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact (f + g) =
  BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f + BoundedContinuousFunction.mkOfCompact g
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S
⊢ Function.Injective (LinearEquiv.restrictScalars R)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
h : s.Subsingleton
⊢ maximals r s = s
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
⊢ ↑(TensorProduct.comm R P Q) ∘ₗ LinearMap.rTensor Q g ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R Q N) = LinearMap.lTensor Q g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a
s : Set α
hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0
g : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => if a ∈ s then 0 else f n a
g_eq_f : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g n a = f n a
n : ℕ
a : α
⊢ g n a ≤ g (n + 1) a
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ≤ Real.log y ↔ Real.exp x ≤ y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S
hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)
hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c
⊢ ↥(map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)) ≃ S ⧸ P
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
⊢ 1 ≤ x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M
⊢ Finsupp.equivMapDomain f (Finsupp.single a b) = Finsupp.single (f a) b
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ (o.kahler y) z ≠ 0
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
R : Type u
EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p
⊢ p / q ∣ p
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0
⊢ cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x)) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x / (I * ↑x)) (-1 / (I * ↑x))) = ↑(1 / x ^ (1 / 2)) * jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑(1 / x))
X : Type u_1
MeasurableSpace X
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] f
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict s] 0
M : Type u_4
Monoid M
l₁ l₂ : List M
⊢ (l₁ ++ l₂).prod = l₁.prod * l₂.prod
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g
o : Ordinal.{u_2}
h : ω ≤ o
⊢ (Cardinal.aleph' (Order.succ o)).IsRegular
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α
⊢ ∀ (a : Matrix m n α), (Matrix.transposeLinearEquiv m n R α) a = (Matrix.transposeAddEquiv m n α).toFun a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
⊢ ⨆ x, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ s ⊆ univ
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapL f) g = g.compContinuousLinearMap f
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Sort u_5
f : M →ₙ* N
s : ι → Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.map f (iSup s) = ⨆ i, Subsemigroup.map f (s i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ asympBound g a b =O[atTop] T
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }
⊢ Multiset.map (fun j => f ↑j) (s.attach.erase x) = Multiset.map f (s.erase ↑x)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ S
⊢ S.val ⟨x, hx⟩ = x
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i ∩ s) i) + ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i \ s) i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.index = 2 ↔ ∃ a, ∀ (b : G), Xor' (b * a ∈ H) (b ∈ H)
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => j < c ^ x) (Finset.range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
u v : Set α
u_op : IsOpen u
v_op : IsOpen v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
x : α
x_in_s : x ∈ s
x_in_u : x ∈ u
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
y : α
y_in_s : y ∈ s
y_in_v : y ∈ v
hy : y ∉ u
this : ContinuousOn u.boolIndicator s
⊢ False
X Y : AddCommMonCat
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget AddCommMonCat).map f = ⇑f
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b x : α
h : (Equiv.swap a b) x ≠ x
⊢ x = a ∨ x = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Infinite β
⊢ ∏' (x : β), a = a ^ Nat.card β
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : tsze R M
⊢ (TrivSqZeroExt.fstCLM R M) x = x.fst
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
PseudoEMetricSpace α
f : α → V
g : α → P
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) (f +ᵥ g)
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ ↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α
⊢ ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q)
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)
⊢ ↑MF ⊨ φ
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₂ : ∃! x, ∃! h, q x h
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
⊢ b
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
hs_sup : SupClosed s
hs_inf : InfClosed s
ht_sup : SupClosed t
ht_inf : InfClosed t
⊢ { carrier := s, supClosed' := hs_sup, infClosed' := hs_inf } <
    { carrier := t, supClosed' := ht_sup, infClosed' := ht_inf } ↔
  s ⊂ t
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSimple R L
I : LieIdeal R L
⊢ IsAtom I ↔ I = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ψ (Polynomial.map ι f))
⊢ Irreducible f
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜
⊢ (PiLp.basisFun p 𝕜 ι).map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (ι → 𝕜)) = Pi.basisFun 𝕜 ι
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom).FG
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
⊢ Continuous (sSup ∅)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)
⊢ M.IsMatching ↔ ∀ v ∈ M.verts, M.degree v = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ Tendsto (fun n => x ^ n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
𝒜 ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
hℬ : MeasureTheory.IsSetAlgebra ℬ
⊢ MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜 ⊆ ℬ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
this : (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • 0) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
⊢ P.f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 ⊆ t
x : ℝ*
hi : x.Infinite
⊢ x.st = 0
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x + g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) + ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x
α : Type u_1
EMetricSpace α
s : Set α
Finite ↑s
⊢ 0 < s.einfsep
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
⊢ (polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ
⊢ (∃ a, a ::ₘ m ≤ replicate (n + 1) x) ↔ m ≤ replicate n x
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
s : Set X
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
u s : Set α
⊢ (fun x => ↑((Equiv.Set.image f s hf).symm x)) ⁻¹' u = Subtype.val ⁻¹' (f '' u)
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ ∀ (x : α), Levenshtein.defaultCost.delete x = 1
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
s : Set β
⊢ s ∈ f.lift g ↔ ∃ t ∈ f, s ∈ g t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝¹ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝ : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
Fintype ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(V i)
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
x : E
hx : x ∈ iSup V
⊢ ∑ i : ι, ↑((orthogonalProjection (V i)) x) = x
n : ℤ
⊢ |↑n.negOnePow| = 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.1‖ = ‖a.toProd.2‖
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup M
T : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N
⊢ S ≤ Subsemigroup.comap f T → Subsemigroup.map f S ≤ T
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A
⊢ a * a * (a * b) = a * (a * a * b)
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin n → Set α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).sum ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).sum = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.natTransPInfty_f C n).app X = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
h : IsClosed (Set.range f)
⊢ IsClosedMap f
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsCartesian f φ
⊢ CategoryTheory.Functor.IsCartesian.map p f φ φ = 𝟙 a
o : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.lsub (Ordinal.typein fun x x_1 => x < x_1) = o
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
x✝ : G
⊢ (∃ x ∈ ↑A, ∃ y, (y ∈ ↑B ∧ y ∈ ↑C) ∧ x * y = x✝) ↔ (∃ x ∈ ↑A, ∃ y ∈ ↑B, x * y = x✝) ∧ x✝ ∈ ↑C
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
⊢ multiplicity 2 (x ^ (d + d) - y ^ (d + d)) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(d + d)