ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u
Field k
n : ℕ
⊢ AlgebraicClosure.Step k (n + 1) = AlgebraicClosure.AdjoinMonic (AlgebraicClosure.Step k n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : OneOneEquiv p q
⊢ p ≤₁ r ↔ q ≤₁ r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Bot α
a b : WithTop α
⊢ a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
⊢ GaloisConnection (Submodule.map f) (Submodule.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
p : α × β → Prop
⊢ (∃ x ∈ s ×ˢ t, p x) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, p (x, y)
G : Type u_1
Group G
⊢ IsNormalSubgroup (IsSubgroup.trivial G)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
x✝ : R
⊢ inverse (↑x + x✝) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * x✝ * ↑x⁻¹ = inverse (↑x + x✝) - (∑ i ∈ range 2, (-↑x⁻¹ * x✝) ^ i) * ↑x⁻¹
M : Type u
Monoid M
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
X : C
f : M →* CategoryTheory.End X
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SingleObj M), (CategoryTheory.SingleObj.functor f).obj x = X
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty
⊢ ↑(sSup s) = sSup (toReal '' s)
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
x : G
u : α → G
A : Tendsto (fun x_1 => x) l (𝓝 x)
h : Tendsto u l (𝓝 x)
⊢ Tendsto (fun x_1 => u x_1 / x) l (𝓝 1)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : r < 1
⊢ (lineMap a b) r < b ↔ (lineMap a b) r < (lineMap a b) 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence'.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.comp CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
B : Type u₀
CategoryTheory.Category.{v₀, u₀} B
CategoryTheory.MonoidalCategory B
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor B C
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
X Y : B × D
⊢ (F.prod G).μ X Y = (F.μ X.1 Y.1, G.μ X.2 Y.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
⊢ (s ∪ t).chainHeight ≤ s.chainHeight + ↑a✝
r : ℚ
⊢ ↑r.num / ↑r.den = r
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ S.Exact ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ s' ∩ Set.range f = f '' s
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ ↑I =ᶠ[ae volume] Box.Icc I
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p : Quiver.Path a b
q₁ q₂ : Quiver.Path b c
⊢ p.comp q₁ = p.comp q₂ ↔ q₁ = q₂
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))
G : Type u_1
Group G
tG : Monoid.IsTorsion G
bounded : (Set.range fun g => orderOf g).Finite
⊢ Monoid.ExponentExists G
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
s : ℕ → Set Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.BorelCantelli.process s n) μ
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
⊢ ‖deriv f c‖ ≤ ε
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) Filter.atTop Filter.atTop
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
n : ℤ
⊢ ↑(r ^ n) = ↑r ^ n
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
CompleteSpace α
s : Set α
h : IsClosed s
⊢ IsComplete s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a + p = a + z • p
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop} {b₁ b₂ : β},
  Sum.Lex r s (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) ↔ s b₁ b₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : CompactSpace X
⊢ IsCompact Set.univ
a : ENNReal
⊢ ⊤ / a = if a = ⊤ then 0 else ⊤
α : Type u
inst✝¹ : Mul α
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α →ₙ* β
x : AssocQuotient α
⊢ ∀ (a b : α), AssocRel α a b → f a = f b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : MeasureTheory.SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ
  t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
R : Type u_1
A : Type u_2
Ring R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid R
StarAddMonoid A
StarModule R A
r : R
hr : r ∈ skewAdjoint R
a : A
ha : a ∈ skewAdjoint A
⊢ IsSelfAdjoint (r • a)
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30699
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq (Finset α)
s : Finset α
⊢ s.powerset = (range (s.card + 1)).biUnion fun i => powersetCard i s
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx : x ∈ U i
j : (ofOpenSubsets U).J
hy : x ∈ U j
⊢ (ofOpenSubsets U).Rel ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ⟨j, ⟨x, hy⟩⟩
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : LowerSemicontinuousOn f s
gmon : Antitone g
⊢ UpperSemicontinuousOn (g ∘ f) s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
V : Set α
hV : V ∈ l
⊢ l.HasBasis (fun i => p i ∧ s i ⊆ V) s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
⊢ ⇑(h₁.piCongr' h₂) = fun f b => (h₂ b) (f (h₁.symm b))
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ ¬a ≤ b → ¬a.toPGame ≤ b.toPGame
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L
⊢ (L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
b : Option β
⊢ Option.map₂ f (some a) b = Option.map (fun b => f a b) b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun x => G
⊢ CategoryTheory.IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun f => f)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s t : Set P
h : s ⊆ t
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ intrinsicClosure 𝕜 t
α : Type u
Infinite α
s : Set α
hf : s.Finite
⊢ sᶜ ∈ Filter.hyperfilter α
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s
⊢ #↑s = #E
n : ℕ+
h : n < 2
⊢ 1 ≤ n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
(x : β) → Decidable (f x ≤ g x)
f' g' : β → γ
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}
hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}
hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x
⊢ Continuous fun x => if f x ≤ g x then f' x else g' x
x : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZeta a 1))
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : 1 = 0
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen ∈ Algebra.adjoin K {ζ - 1}
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
x : G
s : Set G
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure ↑s = s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 n Inv.inv {0}ᶜ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
⊢ pmap f l H = map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i✝¹ : ι
x✝¹ : 𝒜 i✝¹
i✝ : ι
x✝ : ℬ i✝
⊢ ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ i✝) x✝ * 1) = (r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Set.Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioi 0))
s : ℂ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T MeasureTheory.volume
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ ↑(-x) = -↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
One β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1
hf : ContinuousOn f (closure s)
⊢ Continuous (s.mulIndicator f)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x : R
⊢ EuclideanDomain.lcm 0 x = 0
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ba : b ≤ a
⊢ max a b / min a b = mabs (a / b)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
p q : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (Submodule.comap f p ⊔ Submodule.comap f q) = p ⊔ q
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual.flip
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
hA : A.Nonempty
n : ℕ
ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
⊢ ↑((A * B).card * (A * B ^ n).card) ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ = 1 ↔ ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I✝ : MultispanIndex C
K : Multicofork I✝
I : MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)
⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y), I.multispan.map f ≫ (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) Y = (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) X ≫ ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hs : IsSigmaCompact s
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsSigmaCompact (f '' s)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : V →ᴬ[R] W
⊢ ⇑f = ⇑f.contLinear + Function.const V (f 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f Set.univ
⊢ Continuous f
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
ij : ι × ι
⊢ b.end ij = (Matrix.toLin b b) ((Matrix.stdBasis R ι ι) ij)
C : CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.Quiv.forget.obj C = CategoryTheory.Quiv.of ↑C
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ μ sᶜ = μ Set.univ - μ s
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
p : R[X]
hp : f = EuclideanDomain.gcd f g * p
⊢ eval₂ ϕ α f = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ¬∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
x : (i : α) → π i
a : α
ha : a ∈ i
hx : (∀ i_1 ∈ i, x i_1 ∈ s i_1) ∧ ∀ x_1 ∈ i, eval x_1 x ∈ s x_1 → eval x_1 x ∈ t x_1
⊢ x a ∈ t a
R : Type u
Semiring R
StrongRankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R
i : Function.Injective ⇑f
⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
n✝ : ℕ
n_ih : map (frobenius R p ^ n✝) ((expand R (p ^ n✝)) f) = f ^ p ^ n✝
⊢ f ^ p ^ (n✝ + 1) = map (frobenius R p ^ (n✝ + 1)) ((expand R (p ^ (n✝ + 1))) f)
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hac : a ≤ c
hbd : b ≤ d
⊢ a + b = c + d ↔ a = c ∧ b = d
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
⊢ a * b = b ↔ a * b = 1 * b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
r : R
f : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.lTensor M (r • f) = r • LinearMap.lTensor M f
α : Type u_1
NormedAddCommGroup α
Lattice α
self : HasSolidNorm α
x y : α
⊢ |x| ≤ |y| → ‖x‖ ≤ ‖y‖
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (ρ_ g).inv
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0
⊢ comap C P = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b
⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ closedBall x r → a ∉ s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (adj.homEquiv X Y') (f ≫ g) = (adj.homEquiv X Y) f ≫ G.map g
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ IsUnit a ↔ a ≠ 0
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeMagma α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x x✝ y✝ : FreeMagma α
a✝¹ : f x✝ = g x✝
a✝ : f y✝ = g y✝
⊢ f (x✝ * y✝) = g (x✝ * y✝)
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α
⊢ ConnectedComponents.mk x = ConnectedComponents.mk y ↔ x ∈ connectedComponent y
K : Type u
DivisionRing K
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover S
E.HasPullbacks
mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S
mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (CategoryTheory.Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.OneHypercover.mk' E mem₀ mem₁').toPreOneHypercover = E
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit c) ↔ ∀ s ∈ F.sections, ∃! x, ∀ (j : J), c.π.app j x = s j
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ∀ (x x_1 : R[X]),
  Polynomial.mul x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFinsupp := a }, { toFinsupp := b } => { toFinsupp := a * b }
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s.totalVariation ≪ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure
⊢ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure = μ
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1
⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0) (↑(n + 1) * τ f) ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monad.id C).obj X = X
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
⊢ ∀ {a b : Subobject A}, { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ ∃ n, l.get? n = some a
α : Type u_3
TopologicalSpace α
self : LocallyConnectedSpace α
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ IsConnected s) id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProducts C
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = 0
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬Order.IsSuccLimit x
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a
⊢ ¬↑p ∣ x ^ p ^ a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ
⊢ (M.toSquareBlock b a).det = 1
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
⊢ (QPF.corecF g x).dest = (QPF.P F).map (QPF.corecF g) (QPF.repr (g x))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (∏ x ∈ Finset.Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Finset.Ici a, f x
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.length = 1 ↔ ∃ a, l = [a]
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
⊢ M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.Mono g
⊢ (F.compMono g).e = F.e
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ M.whiskerLeft (𝟙 N) = 𝟙 (M.tensorBimod N)