ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (mapRange f hf g).support ⊆ g.support
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν
⊢ Integrable f ((μ + ν).restrict s)
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPullback f i
f : ℝ → ℝ
a f' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' a
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L
⊢ -(⁅⁅z, x⁆, y⁆ + -⁅⁅z, y⁆, x⁆) = - -⁅⁅z, y⁆, x⁆ - - -⁅⁅z, x⁆, y⁆
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j k : ι
w : NeWord H i j
hhead : k ≠ i
hlast : k ≠ j
heq1 : (lift f) w.prod = 1
this : X k ⊆ X i
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Icc a (Order.pred b) = Set.Ico a b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : StrongFEPair E
⊢ self.g₀ = 0
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
⊢ Ordnode.BalancedSz l.size r.size → Ordnode.Valid' o₁ (l.glue r) o₂ ∧ (l.glue r).size = l.size + r.size
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
K : Type u_1
Field K
NumberField K
A : Type u_2
NormedField A
IsAlgClosed A
NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
⊢ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}.Finite
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E
⊢ edist (e x) (e y) = edist x y
z w : ℂ
⊢ Complex.normSq (z / w) = Complex.normSq z / Complex.normSq w
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ SemidirectProduct.left 1 = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
⊢ s = s'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
Bnonempty : B.Nonempty
⊢ ∃ x, ⨅ t ∈ B, f t = ⨅ i, f (x i)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)
⊢ MeasurableSet (s.pi t)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
⊢ ∑ τ : Perm n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (τ i) * N (τ i) i = ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j)
n✝ n : ℕ
⊢ (1 - 1) * ∑ i ∈ range (log 1 n).succ, n / 1 ^ i.succ = n - (digits 1 n).sum
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ Continuous fun f => integralCLM f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.univ.Nonempty
⊢ ∑ x_1 ∈ (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T Set.univ) x
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
⊢ ContinuousWithinAt f (Iic a) a
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (Finset.image Sym2.mk s.offDiag).card = s.card.choose 2
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
f g : ↑(Ω^ N X x)
⊢ ⟦transAt i f g⟧ = ⟦transAt j f g⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a ≤ ((κ.compProd η) a) s
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c
⊢ pow ≤ p.maxPowDiv n
A : Type u_1
Add A
Mul A
Star A
⊢ ⇑StarRingEquiv.refl = id
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ 0 y = 0
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : FiniteDimensional.finrank K ↥S = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ S = ⊤
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
⊢ (∀ (a : Ordinal.{max u v}), derivFamily f a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)) ∧ ∀ b ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i), ∃ a, derivFamily f a = b
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n✝ : ℕ
hf : Involutive f
n : ℕ
⊢ f^[2 * n] = id
k m n : Nat
⊢ k ∣ m → k ∣ n → k ∣ m.gcd n
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t = 0 ↔ s = t
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : D),
  ((CategoryTheory.curry.obj F).map f).app Y_1 = F.map (f, CategoryTheory.CategoryStruct.id Y_1)
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup
not_mem_l : a ∉ l
prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
⊢ a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, b)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
⊢ ¬Nonempty (α → β) ↔ ¬(IsEmpty α ∨ Nonempty β)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
⊢ (volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)
n : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite n).coeff n = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
⊢ comap abs atTop = atBot ⊔ atTop
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup P
NormedSpace 𝕜 P
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
s : Set P
n : ℕ∞
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => MeasureTheory.convolution (g x) f L μ (v x)) s
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M N).comp AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoid.Coprod.inr
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖₊ = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
⊢ a₀ * b₁ + a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Integrable (fun x => y₀) μ
n : ℕ
⊢ Integrable (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) μ
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f₀
hf : ContDiff 𝕜 1 f₀
hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g₀ μ
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (MeasureTheory.convolution f₀ g₀ L μ) (MeasureTheory.convolution (deriv f₀) g₀ L μ x₀) x₀
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ a :: l
comm : ∀ x ∈ a :: l, ∀ y ∈ a :: l, x * y = y * x
⊢ a * ((a :: l).erase a).prod = (a :: l).prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ DenseEmbedding ⇑h
R : Type u_1
Rack R
G : Type u_2
Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
a b : Rack.PreEnvelGroup R
⊢ Rack.PreEnvelGroupRel' R a b → Rack.toEnvelGroup.mapAux f a = Rack.toEnvelGroup.mapAux f b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ s + replicate (n - m) a✝
⊢ a ∈ A
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ [a] <+ l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
⊢ (CategoryTheory.Presheaf.tautologicalCocone P).pt = P
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
⊢ ⊥ < M
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ X.toΓSpecMapBasicOpen r = X.toRingedSpace.basicOpen r
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeEquivalence α).functor = CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.hom
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
S : Type u_10
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass R S N
c : S
m : ι → M
⊢ (c • f) m = c • f m
α : Sort u_4
⊢ IsEmpty (PLift α) ↔ IsEmpty α
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Order.pred a ⋖ a
⊢ ContinuousOn Real.tan {x | Real.cos x ≠ 0}
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ
p : K[X]
hp : minpoly K f = (X - C μ) * p
con : LinearMap.ker (f - (algebraMap K (End K V)) μ) = ⊥
u : (V →ₗ[K] V)ˣ
hu : ↑u = f - (algebraMap K (End K V)) μ
p_ne_0 : p ≠ 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) < -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x y : S
p : R[X][Y]
⊢ Polynomial.eval₂ (Polynomial.eval₂RingHom f x) y p =
  Polynomial.evalEval x y (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) p)
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
x : α
⊢ ∀ (a : β), (DistribMulAction.toAddEquiv β x) a = x • a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
⊢ P.StableUnderBaseChange
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => ((z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)! + (-z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)!) / 2) ((z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)!)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
H : J.OneHypercoverFamily
self : H.IsGenerating
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ ∃ E, ∃ (_ : H E), E.sieve₀ ≤ S
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
r : F
⊢ ↑(r • f) = r • ↑f
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0 ↔ ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ≠ 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.toFiniteAux s = ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIocDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIocDiv hp (-a) b • p)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' t x
hst : s ⊆ t
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
a b : α
⊢ f a ≤ f b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
a0 : 0 < a
⊢ 1 < a * b
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
hRS : Algebra.FiniteType R S
hSA : Algebra.FiniteType S A
⊢ Algebra.FiniteType R A
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
⊢ Nat.Prime p
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r
⊢ q = p * (C a⁻¹ * r)
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0
⊢ p ≤ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
⊢ MvPolynomial.psum σ R 0 = ↑(Fintype.card σ)
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝⁵ : CommRing 𝒪
inst✝⁴ : IsDomain 𝒪
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra 𝒪 K
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
inst✝ : ValuationRing 𝒪
⊢ IsFractionRing 𝒪 K ↔ (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ nndist ‖a‖₊ ‖b‖₊ ≤ ‖a - b‖₊
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
g : α → α
hg : ContractingWith K g
C : ℝ
hfg : ∀ (z : α), dist (f z) (g z) ≤ C
⊢ dist (ContractingWith.fixedPoint f hf) (ContractingWith.fixedPoint g hg) ≤ C / (1 - ↑K)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : Karoubi (ChainComplex C ℕ)
n : ℕ
⊢ ((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).map X.decompId_i).f.f n ≫ X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂✝ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
F : Type u_20
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M
⊢ f (r • x) = r • f x
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f g : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
h : f = g
x : M
y : N
⊢ (f x) y = (g x) y
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * b.im) * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * c.im) * b.im))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
⊢ l = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
e : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) ≃ₛₗ[id S] ↥(ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) := LinearEquiv.ofEq (Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) (ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) ⋯
⊢ IsLocalizedModule M (↑(LinearEquiv.restrictScalars R e) ∘ₗ Algebra.idealMap S (ker g))
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).b₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)
α : Type u_1
l : List α
d : α
⊢ (Set.range fun n => l[n]?.getD d) = insert d {x | x ∈ l}
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : z ∈ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)
i : ι
⊢ y i < z i
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
n : ℕ
ih : normalizedFactors (x ^ n) = n • normalizedFactors x
h0 : ¬x = 0
⊢ normalizedFactors (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • normalizedFactors x
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsClosed t
⊢ closure s ⊆ t
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
S : Set K
hprim : IntermediateField.adjoin F S = ⊤
⊢ IntermediateField.adjoin E S = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
⊢ Summable ((fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst) ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β
⊢ Finsupp.mapDomain f 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : Disjoint p p'
x : ↥p'
⊢ ↑x ∈ p ↔ x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n).map f).hom₁ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ composePath (G.map f).toPath = G.map f
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ.extend 0 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
hg' : g univ = ⊤
⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
b₁' : Basis n' R M₁'
Fintype n'
DecidableEq n'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ f) = ((LinearMap.toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
a b : L
⊢ (fun u => {x | x u}) (a ⊓ b) = (fun u => {x | x u}) a ⊓ (fun u => {x | x u}) b
G : Type u_3
Mul G
IsLeftCancelMul G
a : G
⊢ Function.Injective fun x => a * x