ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
⊢ ‖f‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : MeasureTheory.Integrable f μ
a : ℝ
⊢ Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftProp P g
⊢ LiftPropOn P g s
m k n : Nat
⊢ m + n ≤ k + n ↔ m ≤ k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊
⊢ eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
⊢ μ ∈ spectrum R f
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
w : Set ℝ≥0∞
w_count : w.Countable
w_dense : Dense w
left✝ : 0 ∉ w
w_top : ⊤ ∉ w
I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤
A : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)
a : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)) (Ioi 0)
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β
MeasurableNeg β
hfg : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (-f) g μ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R (n + 1) = 2 * X * U R n - U R (n - 1)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
x : E
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f univ x ↔ AnalyticAt 𝕜 f x
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
⊢ (∀ {x : α}, (zoom cut t.val).fst.root? = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst
α : Type u_1
CompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sSup (s - t) = sSup s - sInf t
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
a : ℝ
h0 : 0 < rexp a
b : ℝ
hle : a ≤ b
hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)
hc : ContinuousOn f A
R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]
g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x
hdg : Differentiable ℂ g
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.mulRight₀ a ha)) = fun x => x * a⁻¹
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ Metric.diam {x, y} = dist x y
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
a✝ : List R[A]
⊢ (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r a✝)).support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) (Quot.mk Setoid.r a✝)).sum
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t
⊢ StarConvex 𝕜 x (s ∪ t)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun x => True) fun x => Set.Ioi ↑x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
x : E
⊢ 0 ≤ f.normed μ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ∆ b = b \ a
r : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto (fun b => ↑r - b) (𝓝 b) (𝓝 (↑r - b))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
I.Boundaryless
x : M
⊢ IsOpen (extChartAt I x).target
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
X : (CategoryTheory.CostructuredArrow F.op (Opposite.op d))ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow' F d).obj X =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.unop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f₁ f₂) (CategoryTheory.forget C)
x₁ : (CategoryTheory.forget C).obj X₁
x₂ : (CategoryTheory.forget C).obj X₂
h : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₁ f₂) (CategoryTheory.Limits.Concrete.pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h) = x₁
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
he : e.toBasis.orientation = o
⊢ ((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
⊢ Submodule.colon J (span {x}) = ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : E →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f (f'.comp ↑iso.symm) s (iso x)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α ≃+*o β
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ s.Nonempty
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ G.Adj a b ↔ ∃ e, ↑e = s(a, b)
a : Int
⊢ ∃ n, a = ↑n ∨ a = -↑n
α : Type u_1
Max α
n : Nat
a : α
w : max a a = a
h : 0 < n
⊢ (List.replicate n a).maximum? = some a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a
this : IsIso (equalizer.ι f g)
⊢ f = g
k : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
FiniteDimensional k V
n : ℕ
T : Affine.Simplex k V n
hrank : FiniteDimensional.finrank k V = n
⊢ affineSpan k (Set.range T.points) = ⊤
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Set.up s < Set.up t ↔ s ⊂ t
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hζ : ↑ζ = ζ✝
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
X : AlgebraicGeometry.Scheme
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ ⇑(AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.base ⁻¹' PrimeSpectrum.zeroLocus s = X.zeroLocus s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S N
f : M → N
s : S
x y : M
⊢ polar (s • f) x y = s • polar f x y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s
⊢ ⨆ i ∈ s, comap f (p i) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : β → α
hf : Antitone f
hg : StrictAnti g
⊢ StrictAnti fun x => f x * g x
α : Type u_1
self : Matroid α
B : Set α
⊢ self.Base B → B ⊆ self.E
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s = LinearMap.id
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsCyclic α
⊢ ∃ x, ∀ (y : α), y ∈ Submonoid.powers x
P : Type u_1
Preorder P
F : Order.PFilter P
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) ↑F
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
c : M
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
hd : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y
⊢ IsLocalMax (norm ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e c)
α : Type u_1
Monoid α
x y z : α
⊢ x ~ᵤ y → y ~ᵤ z → x ~ᵤ z
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformLeft e x).2 = x.2 ∪ (-e +ᵥ x.2)
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ y ^ p
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel i 0
⊢ C.d i 0 ≫ ↑f = 0
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : 0 < r
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r ≤ a ↔ b ≤ a
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
h'aux : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
⊢ (A * B).rank ≤ A.rank
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ √(x * y) = √x * √y
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Injective Option.map
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ f.iterateKer n = LinearMap.ker (f ^ n)
R : Type u
CommRing R
X Y : QuadraticModuleCat R
i : X ≅ Y
a : ↑Y.toModuleCat
⊢ i.toIsometryEquiv.invFun a = i.inv.toIsometry a
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h' : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
hu : ¬limsup (-u) f = ⊤
hv : ¬limsup (-v) f = ⊤
⊢ limsup (-(u + v)) f ≤ limsup (-u) f + limsup (-v) f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K
⊢ Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (Algebra.toRingHom ↑↑r * ↑↑r) = Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (↑↑r * ↑↑r)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s
⊢ (Finset.cons b s hb).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
m n : ℕ∞
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s
⊢ (fun x => y) =ᶠ[atTop] fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n
⊢ LinearMap.det Complex.conjAe.toLinearMap = -1
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i < x i
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B : Set E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
⊢ Set.extremePoints 𝕜 B = B ∩ Set.extremePoints 𝕜 A
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : b ≤ a
hc : c ≤ 0
d : α
hcd : 0 = c + d
⊢ c * a ≤ c * b
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
ι : Type u_5
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R S
a : S
⊢ (algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((Algebra.leftMulMatrix b) a) =
  (Algebra.leftMulMatrix (Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) ((algebraMap S Sₘ) a)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)))} = span {(mk W) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x₁) + C y₁))} ⊔ span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)))}
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y
⊢ -f y < -f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
⊢ t.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one = t.π
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b ≤ c
⊢ b ≤ a + c
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
TopologicalSpace B'
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ Continuous Bundle.TotalSpace.proj
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) s x
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
⊢ cramer 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : Set (Sym2 α)
x y : α
⊢ ToRel s x y → ToRel s y x
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℤ
⊢ n • x ∈ s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
⊢ μ s = μ t
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ μ (BoxIntegral.Box.Icc I) < ⊤
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
this : (𝟭 C).map m.left ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt.hom = s.pt.hom ≫ (Functor.fromPUnit B).map m.right
⊢ m.left = s.pt.hom
α : Type u
x y : List α
⊢ y = x ++ y ↔ x = []
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ cosZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s + (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / 2
n a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] ↔ n ∣ b - a
f : ℂ → ℂ
c : ℂ
R : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R) (Metric.ball c R)
hc : f c = c
h₀ : 0 < R
⊢ Complex.abs (deriv f c) ≤ 1
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H
⊢ (of i) ((φ i) x) = (base φ) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
⊢ |x - ↑(round x)| ≤ |x - ↑z|
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) 1 = 1
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
⊢ StronglyMeasurable (U n)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).boxes = π₁.boxes ∪ π₂.boxes
ι : Type u
γ : Type w
α : Option ι → Type v
Monoid γ
(i : Option ι) → AddMonoid (α i)
(i : Option ι) → DistribMulAction γ (α i)
r : γ
f : Π₀ (i : Option ι), α i
⊢ DFinsupp.equivProdDFinsupp (r • f) = r • DFinsupp.equivProdDFinsupp f
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R
⊢ ∏ x ∈ s, x ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
M : Type u_1
Neg M
a : M
⊢ DomAddAct.mk (-a) = -DomAddAct.mk a
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
p : Submodule R₁ M₁
⊢ ↑p.subtypeL = p.subtype
α β : Frm
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (Frm.Iso.mk e).hom a = e a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : frobeniusRotation p ha₁ ha₂ = 0
⊢ solution p a₁ a₂ = 0
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂
sd : ↥S
hd : ↑sd * (↑sc * rb) = ↑sd * (rc * ra)
⊢ ∃ u v, u • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑u * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f⁻¹ l (𝓝 0)
M : Type u
MulOneClass M
P : Prop
Decidable P
a b : M
⊢ (if P then 1 else a * b) = (if P then 1 else a) * if P then 1 else b
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J
⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X 0))).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ p) 0