ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Sum.inr ⁻¹' Set.range Sum.inl = ∅
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ p ∈ restrictDegree σ R n ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
p : MvPolynomial σ R
hp : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p m
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) p = p
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop
⊢ (∃ a, P a) ∨ ¬∃ x, P x
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
b : ι → α
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
NoMaxOrder α
⊢ MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Iio (b i)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
EMetricSpace α
FunLike F α β
PseudoEMetricSpace β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Embedding ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
⊢ s.sum x ^ n = ∑ i : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑i).multinomial * (Multiset.map x ↑↑i).prod
R : Type u_2
CommSemiring R
n m : ℕ
f : PowerSeries R
h : n < m
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ↑(PowerSeries.trunc m f) = (PowerSeries.coeff R n) f
B : Type u
Quiver B
a b c : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.FreeBicategory.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
h : (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0
u : E
hu : u ∈ U
v : E
hv : v ∈ V
⊢ v = v - ↑((orthogonalProjection U) v)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length
⊢ (take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (drop (i + 1) l).length + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ (skewAdjoint R).carrier ↔ star x = -x
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
j : J
⊢ Cofan.inj (mapBifunctorRightUnitorCofan F Y e p hp X j) ⟨(j, 0), ⋯⟩ = (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).hom ≫ e.hom.app (X j)
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x.IsOption (-y) ↔ (-x).IsOption y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ CategoryTheory.IsPullback CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd 0 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ degrees 0 = 0
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
BorelSpace Ω
⊢ Function.Injective MeasureTheory.FiniteMeasure.toWeakDualBCNN
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ True ∧ ∀ (b : α), b ∈ l ∧ b = a → b = a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖ = 0
⊢ Tendsto (fun x_1 => ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ / ‖x_1 - x‖) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ (basisSingleton ι h v hv) default = v
x✝ y x : ℝ
⊢ -x < √(1 + x ^ 2)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : a ⩿ b
hbc : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) b c
⊢ a ⩿ c
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ ∀ (a : ℝ), 0 a ≤ (fun x => ‖f x‖) a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (⋃ i, t i) = ⨅ i, ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (t i)
x y : SetTheory.PGame
⊢ -y ≤ x ↔ -x ≤ y
R : Type u_1
OrderedRing R
x : R
⊢ Sbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0
⊢ filter (fun x => x ∈ A) (Ioo 0 k) ⊆ Ioo 0 k
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ Function.Injective ⇑N.incl
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Sym2 α → Sym2 β → Prop
i : Sym2 α
j : Sym2 β
hf : ∀ (a₁ a₂ : α) (b₁ b₂ : β), f s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)
⊢ f i j
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s
⊢ ball x✝¹ δ = {x✝¹} * ball 1 δ
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
f : A →ₐ[R] B
s : Set A
⊢ s ⊆ ⇑f ⁻¹' ↑(adjoin R (⇑f '' s))
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
s : Set ℝ
⊢ μH[1] ((fun r => r • 0) '' s) = ‖0‖₊ • μH[1] s
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
j : yl
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inr (i, j)) =
  xR i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yL j - xR i * yL j
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num
q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num
q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num
q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num
q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv
q_inv_num_denom_ineq : q⁻¹.num - ⌊q⁻¹⌋ * ↑q⁻¹.den < ↑q⁻¹.den
⊢ ↑q.den - q.num * ⌊q_inv⌋ < q.num
η : Type u_14
Fintype η
α : Type u_16
ιs : η → Type u_17
AddMonoid α
f : (j : η) × ιs j →₀ α
j : η
i : ιs j
⊢ (Finsupp.sigmaFinsuppAddEquivPiFinsupp f j) i = f ⟨j, i⟩
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
⊢ ↑(hST.equiv g).2 = 1 ↔ g ∈ S
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
hc : c ≠ 0
⊢ ∃ t ⊆ c • s, IsOpen t ∧ c • x ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
Countable α
DenselyOrdered β
Nontrivial β
⊢ Nonempty (α ↪o β)
α : Sort u_1
IsEmpty α
f : α → ℝ
⊢ ⨅ i, f i = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
⊢ f.ker.index = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ card (n • s) = n * card s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd (f ∘ Subtype.val) (a i)
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ i ∈ s, a i)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
⊢ (map f l).head = f.f l.head
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hy : y.Numeric
ihyx : IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ y.moveLeft k < -(-y).moveLeft l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
m : ℕ
⊢ Localization.mk (↑m) 1 = ↑m
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
m n : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (x ^ m) (y ^ n)
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ (↑a).gcd ↑b
⊢ False
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0
⊢ ∑' (x : ι), f x * a = (∑' (x : ι), f x) * a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑X
⊢ (𝟙 X) x = x
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
i : ι
⊢ (v.unitsSMul w) i = w i • v i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ h.symm.h₁ = -h.h₁
ctx : Nat.Linear.Context
c₁ c₂ : Nat.Linear.PolyCnstr
h₁ : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c₁
h₂ : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c₂
⊢ Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx (c₁.combine c₂)
c : Type u → Type u
hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → Type u
self : CategoryTheory.BundledHom hom
α β : Type u
Iα : c α
Iβ : c β
⊢ Function.Injective (self.toFun Iα Iβ)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : -2 = ↑(-2)
⊢ legendreSym p (-2) = χ₈' ↑p
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ arcsin (x / √(1 + x ^ 2)) = arcsin √(1 - (√(1 + x ^ 2))⁻¹ ^ 2)
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
⊢ cantorFunctionAux c f 0 + ∑' (b : ℕ), cantorFunctionAux c f (b + 1) = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R
⊢ SameRay R (r • v) v ↔ 0 ≤ r ∨ v = 0
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : eval 1 (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w) ^ 2 = eval 1 (trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z) ^ 2
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x
p : TangentBundle I M
hp : p.proj ∈ s
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ HEq (tangentMapWithin I I' f s p).snd (tangentMapWithin I I' f₁ s p).snd
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
hgm : S.g m ∈ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
⊢ m ∈ span R (range u)
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v
⊢ ∀ (a : ℕ), (FirstOrder.Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).Relations a = FirstOrder.Sequence₂ PEmpty.{v + 1} r₁ r₂ a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
α : Type u
x : α
⊢ default = ⟨x, ⋯⟩
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A✝ A : C
i : ι
hi : i ≠ j
⊢ IsZero (((single C c j).obj A).homology i)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)
hJ' : M.Basis J (X ∩ Y)
⊢ M.Basis I Y
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : OneHom M N
⊢ (OneHom.id N).comp f = f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s
⊢ LipschitzOnWith K (s.restrict f) t ↔ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.ncard = s.encard.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (t \ (s ∩ t)).card ≤ (t \ s).card
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ x y : R
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M ≃+ N
⊢ (Finsupp.mapRange.addEquiv f).symm = Finsupp.mapRange.addEquiv f.symm
α : Type u
σ : Type v
s : σ
a : Option α
⊢ εNFA.step 0 s a = ∅
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ Function.const β a
f✝ g f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂
⊢ dist (g₁ 0) (f (g₁ 0) - f 0) + dist (f (g₁ 0) - f 0) (g₂ 0) = dist (f 0 + g₁ 0) (f (g₁ 0)) + dist (g₂ 0 + f 0) (g₂ (f 0))
R : Type u_1
Semiring R
V : Type u_18
V₂ : Type u_17
⊢ ⇑(LinearEquiv.curry R V V₂) = Function.curry
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤
h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0
h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0
htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
α : Type u_1
n : ℕ
v : Fin n → α
⊢ (Matrix.circulant v).IsSymm ↔ ∀ (i : Fin n), v (-i) = v i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsLindelof (range f)
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Surjective fun x => a ∆ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x₀
⊢ (fun x => f x - f x₀) =O[𝓝 x₀] fun x => x - x₀
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M
⊢ ↑c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
F : Type u_6
MonoidWithZero M₀
GroupWithZero G₀
Nontrivial M₀
FunLike F G₀ M₀
MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
f : F
a : G₀
⊢ f a = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
⊢ ∀ b ∈ X, b ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
α : Type u_2
⊢ Function.Injective (@LinearOrder.toPartialOrder α)
α : Type u
R : Type v
CommRing R
f : FreeCommRing α →+* R
⊢ FreeCommRing.lift (⇑f ∘ FreeCommRing.of) = f
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ (∃ j, G.moveRight j ≈ 0) ↔ G ‖ 0
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G →* K
g : H →* K
⊢ (lift f g).range = f.range ⊔ g.range
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
x : F α
⊢ TypeVec.id <$$> x = x
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))
⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd (-a) s = -HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ f '' (s \ f ⁻¹' t) = f '' s \ t
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉) (𝓝[≤] ↑n) (𝓝 ↑n)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
⊢ Integrable (K.indicator fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf = MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg ↔ f =ᵐ[μ] g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
α : Type
X : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ let_fun this := ⋯;
(CategoryTheory.Limits.piComparison F fun x => Opposite.op (X x)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (F.map
      (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct' hc
          (CategoryTheory.Limits.productIsProduct fun x => Opposite.op (X x))).inv)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj)
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ 0 < n.natSize
β : Type u_2
α : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
f.NeBot
b : β
⊢ Filter.limsup (fun x => b) f = b
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((map fun i => g i ∘ₗ f i).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map g ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) MeasureTheory.volume
h'f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f MeasureTheory.volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ iteratedFDeriv ℝ n (𝓕 f) = 𝓕 fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑s ∩ ↑(AffineSubspace.mk' p s.directionᗮ) = {EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ EMetric.diam {x, y} = edist x y
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cone D
m : s.pt ⟶ (liftedCone c t).pt
J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone c t).π.app j = s.π.app j
⊢ m.f = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P' Q' : Fin 3 → R
u v : Rˣ
⊢ W'.add ((fun m => m • P') u) ((fun m => m • Q') v) ≈ W'.add P' Q'
n₁ n₂ : ℤ
⊢ (n₁ - n₂).negOnePow = n₁.negOnePow * n₂.negOnePow
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
β : Sort u_2
f : α → β
h : ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
x : α
⊢ Quotient.liftOn' (↑x) f h = f x