ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
EquivLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ (RelIso.symm (Submodule.orderIsoMapComap f)) p = Submodule.comap f p
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma N
⊢ f (ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z) = f z
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]
⊢ q ^ (n - 1) ∣ derivative (q ^ n * r)
i : Nat
xs : Lean.Omega.IntList
h : List.length xs ≤ i
⊢ xs.get i = 0
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
⊢ (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (f x)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Function.Surjective (ULift.map f) ↔ Function.Surjective f
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
n : ℤ
⊢ UniformContinuous fun x => n • x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
⊢ p1 -ᵥ p2 ∈ vectorSpan k s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass ↥H ≤ Group.nilpotencyClass G
m n : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin m → α
ys : Fin n → α
⊢ Fin.append xs ys ∘ Fin.rev = Fin.append (ys ∘ Fin.rev) (xs ∘ Fin.rev) ∘ Fin.cast ⋯
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s = s ↔ ∀ x ∈ s, p x
G : Type u_10
InvolutiveNeg G
⊢ Equiv.symm (Equiv.neg G) = Equiv.neg G
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
c : ℝ
hc : c ≠ 0
h : IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
⊢ IntervalIntegrable f volume a b
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} [inst : MeasurableSpace γ] [inst_1 : Countable δ] {l : Filter δ}
  [inst_2 : l.IsCountablyGenerated] (l' : Filter γ) [inst_3 : l'.IsCountablyGenerated] [hl' : l'.IsMeasurablyGenerated]
  {f : δ → β → γ}, (∀ (i : δ), Measurable (f i)) → MeasurableSet {x | Filter.Tendsto (fun n => f n x) l l'}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEStronglyMeasurable (f i) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
x : R
m : ℕ
hx : x ^ m ∈ I.radical
⊢ x ∈ I.radical
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
x : M
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g t x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ p.degree = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M
⊢ ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p n = ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p (p.1 + p.2)
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
a b : α
hf : Antitone f
⊢ f (max a b) = min (f a) (f b)
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α✝
inst✝¹ : Semiring β
a b : α✝
m n : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : Semiring α
x : α
⊢ (x ∈ Set.range fun x => 2 * x) ↔ x ∈ {a | Even a}
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
⊢ comap N.incl N₂ = ⊥ ↔ N ⊓ N₂ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ↔ f = α.inv
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ (natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom).app ((functor r).obj X) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
n : Type u_3
α : Type v
Semiring α
DecidableEq n
Fintype n
r : α
M : Matrix n n α
⊢ Commute ((Matrix.scalar n) r) M ↔ r • M = MulOpposite.op r • M
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
h : { Dom := Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p
⊢ ↑2 ≤ multiplicity q p
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n : M
h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M
h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M
H : h₁.hom ▷ m ≫ (λ_ m).hom = (α_ m n m).hom ≫ m ◁ h₂.hom ≫ (ρ_ m).hom
X : C
⊢ (F.obj m).map ((unitOfTensorIsoUnit F m n h₁).inv.app X) ≫ (F.μ n m).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.map h₂.hom).app ((F.obj m).obj X) ≫ F.εIso.inv.app ((F.obj m).obj X) = 𝟙 ((F.obj m).obj X)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)
this : Mono (app' φ 2 ⋯)
⊢ IsIso (app' φ 2 ⋯)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ minimals r (minimals r s) = minimals r s
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : (quadraticChar F) a = -1
⊢ IsUnit a
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (g - f) x ∂μ
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.completedCosZeta a) s
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
this : ℵ₀ ≤ 1
⊢ False
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X₁, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
g : C(X, ↑t)
hg : g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X
⊢ ∀ (g : G), g • orbit (↥N) a = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (g • orbit (↥N) a) (orbit (↥N) a)
α : Type u_1
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β' → γ
g : β → β'
f' : β → α → δ
g' : δ → γ
h_right_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' b a)
⊢ Set.image2 f s (g '' t) = g' '' Set.image2 f' t s
E : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
OrderedAddCommGroup β
Module ℝ β
OrderedSMul ℝ β
f : E → β
a : E
h_local_max : IsLocalMax f a
h_conc : ConcaveOn ℝ Set.univ f
x : E
⊢ f x ≤ f a
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ f.closure.HasCore f.domain
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : Set.MapsTo ⇑g ↑p ↑p
⊢ Commute (f.restrict hf) (g.restrict hg)
G : Type u_2
S : Type u_4
Group G
SetLike S G
SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
⊢ MulOpposite.op a • ↑s = ↑s
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym α n.succ
a : α
h : a ∈ s
⊢ a ::ₛ s.erase a h = s
x : SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.LF 0 x ↔ ∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
s : Set X
h : x ∈ closure s
⊢ lim (𝓝[s] x) = x
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
⊢ 1 ≤ (↑(x 0) / ‖x‖) ^ 2 ∨ 1 ≤ (↑(x 1) / ‖x‖) ^ 2
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
x y : α
⊢ x ≤ y → ⌊x⌋₊ ≤ ⌊y⌋₊
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
⊢ (A i₁ - A i₀).coeff j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
β' : Type u_3
γ : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
f : β → β'
g : α → β' → γ
⊢ List.zipWith g l₁ (List.map f l₂) = List.zipWith (fun a b => g a (f b)) l₁ l₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ
⊢ ↑((homeomorphUnitSphereProd E) x).2 = ‖↑x‖
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
x : ↥p
hx : x ∈ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ
⊢ x ∈ ⊥
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx' : x ∈ U i
hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s
⊢ ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ t
R : Type u_1
CommSemiring R
x y : R
⊢ ⇑(Polynomial.evalEvalRingHom x y) = Polynomial.evalEval x y
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ x ∈ S, f x = 0
x : M ⧸ S
⊢ ‖(QuotientAddGroup.lift S f.toAddMonoidHom hf) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ 0 = x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ ⇑0 = 0
U : Type u_1
Quiver U
u v w u' w' : U
p : Quiver.Path u v
e : v ⟶ w
hu : u = u'
hw : w = w'
⊢ Quiver.Path.cast hu hw (p.cons e) = (Quiver.Path.cast hu ⋯ p).cons (Quiver.Hom.cast ⋯ hw e)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
StarAlgHomClass F R A B
s : Set A
h : StarAlgebra.adjoin R s = ⊤
f g : F
hs : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u_1
x y : Part α
z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ {x} + Metric.ball y δ = Metric.ball (x + y) δ
α : Type u_1
r s : Setoid α
x y : α
⊢ (r ⊓ s).Rel x y ↔ r.Rel x y ∧ s.Rel x y
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
⊢ #↑{x | f ↑x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ Measurable f
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ I = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = K ⊔ J
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
m : ℕ
hm : m ≠ 1
n : ℕ
⊢ n ∈ {n | n ≡ 1 [MOD m]} ↔ n ∈ {n | n % m = 1}
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.P I 0
⊢ Cardinal.univ.{u, v}.ord = Ordinal.univ.{u, v}
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
a : α
⊢ -{a} = {-a}
α : Type u
β : Type v
f✝ f : α → β
hf : Bijective f
s : Set β
t : Set α
⊢ f ⁻¹' s = t ↔ s = f '' t
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₁' : x < y
h₂ : 0 ≤ 0
⊢ x ^ 0 ≤ y ^ 0
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock G (Subtype.val ⁻¹' B)
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : W
⊢ (equivariantProjection G π) v = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) v
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
R : Type u_6
NormedRing R
f : α → R
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
c : R
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => c * f x) p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
y : K
hy : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ y ∈ ↑(↑I)⁻¹
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
S : ι → Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
η : Type u_1
α : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ
ι : Type
_inst : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → { x // x ∈ S }) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l
⊢ ∃ a > 0, ∃ b c, ∀ s ∈ S, C (a • s + b) = c
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this✝ : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
this : u ∈ 𝓝 (↑I.symm (↑I x))
⊢ ↑I.symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑I x)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
k : ℕ
⊢ p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitPullbacks P
hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f
X Y Z : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
π : Z ⟶ Y
hπ : EffectiveEpi π
⊢ Function.Surjective ⇑(pullback.fst f π)
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball w (dist w w))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball w (dist w w)) w
⊢ ‖f w‖ = ‖f w‖
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
hn : ¬a = 0
⊢ False
a b c : ℕ
⊢ a < c - b ↔ b + a < c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F (CategoryTheory.forget C)
D : CategoryTheory.Limits.Cone F
hD : CategoryTheory.Limits.IsLimit D
⊢ Function.Injective fun x j => (D.π.app j) x
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s
⊢ (a ⊔ v) \ u ∈ s
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inlCLM R M) r = TrivSqZeroExt.inl r
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
h : T ≤ S
⊢ S.Blunt → T.Blunt
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹¹ : Monoid M
inst✝¹⁰ : Monoid N
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : DistribMulAction M α
inst✝⁷ : SMulCommClass M α α
inst✝⁶ : IsScalarTower M α α
inst✝⁵ : DistribMulAction N α
inst✝⁴ : SMulCommClass N α α
inst✝³ : IsScalarTower N α α
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : SMulCommClass R α α
inst✝ : IsScalarTower R α α
T S : CentroidHom α
a b : α
⊢ (⇑T ∘ ⇑S) (a * b) = (⇑S ∘ ⇑T) (a * b)
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
⊢ IsCompl W (B.orthogonal W) ↔ Disjoint W (B.orthogonal W)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
⊢ False
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ CondIndepSet m' hm' s t μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ ↑↑a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ type (Sum.Lex EmptyRelation fun x x_1 => x < x_1) ≤ type fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndepSets π κ μ
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ π i
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.BiTotal R
⊢ ((R ⇒ Iff) ⇒ Iff) (fun p => ∀ (i : α), p i) fun q => ∀ (i : β), q i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
⊢ ↑(-v) i = -↑v i
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => t ∩ s i
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ f = 0 ↔ ↑↑f =ᵐ[μ] 0