ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Ioo (Sum.inlₗ a) (Sum.inrₗ b) = Finset.map toLex.toEmbedding ((Finset.Ioi a).disjSum (Finset.Iio b))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
⊢ W.Ψ₃.coeff 4 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in atTop, x ^ q = 0 → x ^ p = 0
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
f : α → β → γ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
i : l × n
j : m × p
⊢ Matrix.kroneckerMap f A B i j = f (A i.1 j.1) (B i.2 j.2)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Multiset α
⊢ {x | x ∈ s}.Finite
β : Type u_5
CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
⊢ u * a ~ᵤ a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ
⊢ 1 ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
⊢ (x • μ).WeaklyRegular
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l
⊢ ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)
⊢ F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x
α : Type u
Fintype α
Fintype (Shrink.{v, u} α)
⊢ Fintype.card (Shrink.{v, u} α) = Fintype.card α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
a : α
⊢ (∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → a ∈ s → b ∈ s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b < a → a ∈ s → b ∈ s
a✝ b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c x✝ : ℕ
dvd : c + 1 ∣ a + 1
dvd2 : a + 1 ∣ x✝
⊢ x✝ / ((a + 1) / (c + 1)) / (c + 1) = x✝ / (a + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : SubtractionMonoid β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
n : ℕ
⊢ f (↑(Int.negSucc n) * c) = 0
z : ℂ
⊢ (norm ℝ) z = normSq z
R : Type u_1
G : Type u_3
AddCommGroup G
CommRing R
Nontrivial R
⊢ Algebra.FiniteType R (AddMonoidAlgebra R G) ↔ AddGroup.FG G
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
⊢ AdicCompletion.map I 0 = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ s.max = ↑(s.max' H)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
⊢ I = P ^ i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ closure s = f ⁻¹' closure (f '' s)
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
⊢ (starRingEnd ℂ) (0 φ) = 0 (ComplexEmbedding.conjugate φ)
n : ZNum
⊢ ZNum.ofInt' ↑n = n
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
⊢ μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.cocomplex.d n (n + 1)) (I.cocomplex.d (n + 1) (n + 2)) = 0
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
L : ℝ
hL1 : L < M
hL2 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ L
⊢ ‖cderiv r f z‖ < M / r
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R[X]
⊢ p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
⊢ f = PFunctor.M.corec g
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Subring R
y : S
⊢ y ∈ Subring.map f s ↔ ∃ x ∈ s, f x = y
F : Type u_1
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
FunLike G B A
f : F
g : G
h₁ : ∀ (x : A), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : B), f (g x) = x
a : A
⊢ (StarAlgEquiv.ofStarAlgHom f g h₁ h₂) a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P ({a} ∪ t) {x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ + ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ ↔ ⟪x, x⟫_ℝ = ⟪y, y⟫_ℝ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
ι : Type u_3
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (⨅ i, FirstOrder.Language.Substructure.map f (S i)) = iInf S
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
⊢ IsUnit q
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
n : ℕ
hn : m ∣ n
⊢ Function.IsPeriodicPt f n x
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0
⊢ b ∣ b * (a / b)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : j < i
t : Set α
ht : t ∈ generateMeasurableRec s j
⊢ tᶜ ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
⊢ ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
a b c : ℕ
h : a / c < b
hc : 0 < c
⊢ a < b * c
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
⊢ comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0).toFinsupp
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x
⊢ ((κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a
⊢ IsUnit ↑u⁻¹
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0
⊢ (n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂) * (n₃ /. ↑d₃) = n₁ /. ↑d₁ * (n₃ /. ↑d₃) + n₂ /. ↑d₂ * (n₃ /. ↑d₃)
m : Nat
n i : Nat
hi : i < m
⊢ Fin.natAdd n ⟨i, hi⟩ = ⟨n + i, ⋯⟩
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β
hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)
f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯
key : minpoly F γ = minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)
⊢ P γ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : Cᵒᵖ
w : X ⟶ Y
hw : W.op w
⊢ (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L.op W.op w hw).inv = (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W w.unop hw).inv.op
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
⊢ (Measure.map (⇑f) μ) K < ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imI 1 = 0
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.val.base = Set.range ⇑g.val.base
⊢ (AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.isoOfRangeEq f g e).inv ≫ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
a : α
⊢ (OrderIso.sumLexAssoc α β γ) (toLex (Sum.inl (toLex (Sum.inl a)))) = toLex (Sum.inl a)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ
⊢ (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t => if t = i then a else 0) a_1 = f
α : Type u
β' : Type v
⊢ #↑{f | Function.Surjective f} = 0 ↔ Cardinal.lift.{v, u} #α < Cardinal.lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitCoconeOfUnique f).cocone.pt = f default
n m l a : ℕ
a✝ : n ≤ a
h₂ : a < m
h₃ : m ≤ a
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ n * a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = Set.univ
⊢ OpenEmbedding ↑e
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ span R (-s) = -span R s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
⊢ p a ha
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0
⊢ sInf (Set.range (toReal ∘ fun i => s i)) = sInf (Set.range fun i => ↑(s i))
⊢ Filter.Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 ↑γ)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
x : R × S
⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0 → Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
⊢ ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k') = ζ ^ (orderOf ζ / (orderOf ζ).factorizationLCMLeft (orderOf ζ')) * ζ' ^ (orderOf ζ' / (orderOf ζ).factorizationLCMRight (orderOf ζ'))
α : Type u_2
DecidableEq α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
Fintype α
h : ∀ (a : α), (Finset.filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
⊢ ∑ s ∈ B, s.card ≤ Fintype.card α * n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Finite
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop
⊢ X.Finite
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
hik2 : ¬k < i
⊢ i.castSucc < k.succ
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.ΨSq n).leadingCoeff = ↑n ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hf : Function.Injective2 f
⊢ f a b ∈ Set.image2 f s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s}
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.subLeft c).toEquiv = Equiv.subLeft c
K : Type u
Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ p - Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ
⊢ ((p.bindOnSupport f).bindOnSupport g) a = (p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯) a
n m : ℕ
⊢ (Nat.Partrec.Code.const n).eval m = Part.some n
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f g : A →ₑ+[φ] B
h : f = g
x : A
⊢ f x = g x
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝
⊢ x✝.next.Valid
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] x) = 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ ⇑(AdicCompletion.eval I M n) = fun f => ↑f n
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
⊢ (p.bindOnSupport f).support = ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R
⊢ I.minimalPrimes = comap (Quotient.mk I) '' minimalPrimes (R ⧸ I)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, SupClosed s
⊢ SupClosed (⋂₀ S)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ MonotoneOn f Set.univ ↔ Monotone f
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
r : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
α : Type u_1
f : α → ℂ
h : Summable f
⊢ (∑' (a : α), f a).re = ∑' (a : α), (f a).re
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
hFS : ∅ ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ∅
⊢ ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ ∅, lb ⊆ s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap e.hom
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : G
⊢ x⁻¹ ∈ H ↔ x ∈ H
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrime
⊢ I.IsPrimary
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' coborder s ⊆ coborder (f ⁻¹' s)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g
⊢ sq.HasLift
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
x : B
hx : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ adjoin A {b | ∃ n ∈ ∅, b ^ ↑n = 1}
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
CompletelyDistribLattice α
f : (a : ι) → κ a → α
⊢ ⨅ a, ⨆ b, f a b = ⨆ g, ⨅ a, f a (g a)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none
b' : σ
h' : b' ∈ f b
right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c
⊢ False
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
hm : Function.Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m
⊢ ⇑m ⁻¹' (s * t) = ⇑m ⁻¹' s * ⇑m ⁻¹' t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
ai : α i
⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = ai
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0
⊢ s.Finite
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
T2Space F
α : Type u_5
p : α → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
hp : Summable p
m : (i : ι) → E i
⊢ (∑' (a : α), p a) m = ∑' (a : α), (p a) m
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 < a₁.x
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a = b
⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s}