ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝² : Preorder α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : β → α
inst✝ : IsLower α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)
R : Type uR
A : Type uA
CommRing R
Ring A
Algebra R A
s : Set A
x : A
⊢ x ∈ Algebra.adjoin R s ↔ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
⊢ ∫ (a_1 : Ω), (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r
this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r
this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ AnalyticAt 𝕜 f y
x : ℝ
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ HasDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ p) (p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x) x
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
⊢ (M.biprodIsoProd N).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = LinearMap.fst R ↑M ↑N
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α✝ → β
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsQuasiSeparated Set.univ ↔ QuasiSeparatedSpace α
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 < q.degree
hq0 : q ≠ 0
⊢ (p / q).degree < p.degree
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
a : α
⊢ MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hS₀ : S ∈ Algebra.adjoin K {(ad K L) x}
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 1 ≤ Real.exp x
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Icc a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
A B : Set β
a : α
⊢ a +ᵥ A ⊆ a +ᵥ B ↔ A ⊆ B
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
b : M₁
⊢ ↑e b = e b
p : ℚ
q : ℚ≥0
hp : 0 ≤ p
⊢ q ≤ p.toNNRat ↔ ↑q ≤ p
R : Type u_1
Ring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
⊢ Subsingleton (OreLocalization S R) ↔ 0 ∈ S
R : Type u_3
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_4
CommSemiring A
Algebra R A
IsLocalization S A
M : Type u_5
N : Type u_6
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
f : M →ₗ[A] N
⊢ LinearMap.extendScalarsOfIsLocalization S A (↑R f) = f
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, y + z = m
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : 0 < a
⊢ b ⌈/⌉ a ≤ c ↔ b ≤ a • c
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
z : A
⊢ z ∈ ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) ↔ z ∈ ↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
𝕜 : Type u_4
B : I → Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
k : 𝕜
⊢ Memℓp ((algebraMap 𝕜 ((i : I) → B i)) k) ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 g)
⊢ Measurable g
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ legendreSym p 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : t.Finite := by toFinite_tac
b : β
⊢ b ∈ t → ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
⊢ (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) 0
α β : Type u
n : ℕ
⊢ succ ↑n = ↑n + 1
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1
this : hurwitzZetaEven a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
⊢ completedCosZeta a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedCosZeta a s / s.Gammaℝ)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = S.sum fun n m => m ⊗ₜ[R] n
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K
⊢ g ∈ E / E
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
h₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj n m ≅ 𝟙_ M
H :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight h₁.hom m)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m n m).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m h₂.hom)
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).hom)
⊢ (CategoryTheory.equivOfTensorIsoUnit F m n h₁ h₂ H).inverse = F.obj n
ι : Type u_6
α : Type u_8
DecidableEq ι
CommSemiring α
κ : ι → Type u_9
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ ∏ i : ι, ∑ j : κ i, f i j = ∑ x : (i : ι) → κ i, ∏ i : ι, f i (x i)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
⊢ gauge s x = sInf {r | r ∈ Set.Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ filter (fun x => a == x) l = replicate (count a l) a
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
⊢ ∃ a, (aleph a).ord = o
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b = c ∆ b ↔ a = c
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ n = (a ^ n)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
hμ : μ ≠ 0
⊢ AEMeasurable f μ
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
⊢ a * c * (b * c)⁻¹ = a * b⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ Set.InjOn f (insert a s) ↔ Set.InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
α : Type u_1
Inhabited α
l : List α
n : Nat
⊢ l.get! n = l.getD n default
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Injective fun g => g ∘ f
z τ : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂ z τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s : Seq α
⊢ match (corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s)).destruct, s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ ∃ s_1, s = corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s_1) ∧ s' = s_1 | x, x_1 => False
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s.Finite → t.Finite → (s • t).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
⊢ (map g1 S).prod ∣ (map g2 S).prod
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I.num ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ f a ∈ Finset.image f s
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0
L : 𝕜 → E := fun t => t • v
⊢ LocallyCompactSpace 𝕜
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
this : ↑x ∈ Icc 0 1
⊢ (γ.truncate 0 1) x = γ x
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
L'' : FirstOrder.Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
⊢ (φ.comp ψ).onTerm = φ.onTerm ∘ ψ.onTerm
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
inst✝ : CompactSpace ↑s
⊢ closure ↑(polynomialFunctions s).starClosure = Set.univ
x a : ℝ
⊢ 0 ^ x = a ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
⊢ A'.adjugate.det = A'.det ^ (Fintype.card n - 1)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μs i) Filter.atTop (𝓝 μ)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
T : ℝ
hT : 0 ≤ T
⊢ ‖GaussianFourier.verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard ≠ 0 ↔ s.Nonempty
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝
⊢ b • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
this : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s
⊢ nilpotencyClass x = k + 1 ↔ x ^ (k + 1) = 0 ∧ x ^ k ≠ 0
a b : ℚ
⊢ a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree
⊢ (X ^ ↑i).toFinsupp ↑j = (Finsupp.single i 1) j
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ✝ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : α × β → γ
μ : Measure α
ν : Measure β
τ : Measure γ
hf : Measurable f
inst✝ : SFinite ν
h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ
⊢ map f (μ.prod ν) ≪ τ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i + f j) (f k) μ
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
⊢ ∑ x : σ → K, (eval x) F = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc✝ : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)
⊢ sx.circumcenter = c
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
NormedAddCommGroup γ
BorelSpace γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) μ ν
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K
⊢ ∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
⊢ ∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, |f x| ∂μ ≤ (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
z : γ
⊢ (∃ x ∈ t, (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ t, r x_1 x) ∧ s x z
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc (a / c) (b / c)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.cosZeta a) s
n m k : Nat
⊢ n - m - k = n - (m + k)
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β)).symm
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)
a b : ℤ
ha : 0 < a
hab : a ∣ b
⊢ a ≤ b ↔ 0 < b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
⊢ ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ < ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app (Opposite.unop X)).op
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).inv.app X)
x y : SetTheory.PGame
hy : y.Numeric
ihyx : Surreal.Multiplication.IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ Surreal.Multiplication.P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E
⊢ ↑f (c - x) = ↑f (c + x)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E }), ?f x = _root_.id ↑x
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ j < i.pred hi ↔ j.succ < i
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
f : ι → G.Subgraph
⊢ (⨅ i, f i).Adj a b ↔ (∀ (i : ι), (f i).Adj a b) ∧ G.Adj a b
a b : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ Continuous ↑α
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
h : ∀ (a : α), a ∈ s
⊢ s ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
⊢ IsGenericPoint (↑H.genericPoint) t
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
G : Type u_1
Group G
SMul G R
MulAction G M
IsScalarTower G R M
g : G
x : M
⊢ g • x ∈ p ↔ x ∈ p
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
g : β → φ
f : α → β
hg : Function.Injective g
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (g ∘ f)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
⊢ F.toOplax.toPrelaxFunctor = F.toPrelaxFunctor
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this : TopologicalSpace R := I.adicTopology
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s • t).card ≤ s.card • t.card
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
⊢ 0 < μ
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) (L₁.map f) = L₂.map f
α : Type u
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.Results a s.length
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1
h₂ : n < n + 1 + 1
⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun t => implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕝 E
ι : Sort u_13
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p' : ι → Prop
s : ι → Set E
p : Seminorm 𝕜 E
hb : (𝓝 0).HasBasis p' s
h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
h₂ : ∀ (i : ι), p' i → ∃ r > 0, p.ball 0 r ⊆ s i
⊢ 𝓝 0 ≤ 𝓝 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ μ (aeSeqSet hf p)ᶜ = 0
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
⊢ {x | ∃ k, beattySeq r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
a n : ℕ
⊢ n.floorRoot a = 0 ↔ n = 0 ∨ a = 0
x y : Int
h : y ≥ x
⊢ ¬y < x
α : Type u_1
m n : Nat
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
h : m ≤ n
⊢ (take m (x :: xs)).Disjoint (drop n (x :: xs))