ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : N →* G
x : N
⊢ x ∈ comap f H.normalizer → x ∈ (comap f H).normalizer
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)
⊢ C ↑(p ^ (n + 1)) ∣ (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℤ (n + 1))) Φ - ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x = deriv f x
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : α → M
Sup M
MeasurableSup M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => f x ⊔ c
α : Type u
PseudoMetricSpace α
a : α
⊢ Filter.comap (fun x => dist x a) (𝓝 0) = 𝓝 a
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ∧
  MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f M n ω = MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h₁ : StrictMonoOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ StrictMonoOn f₂ s
α : Type u_2
Lattice α
s : Set αᵒᵈ
⊢ SupClosed (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ InfClosed s
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ⊤.cardQuot = 1
n✝ p n : ℕ
h : 1 < p
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
t : Finset β
s : Finset α
⊢ ((fun x => x • t) '' ↑s).PairwiseDisjoint id → t.card ∣ (s • t).card
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ a = 0 ↔ b = 0
G : Type u_1
AddGroup G
p p' : AddSubgroup G
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
α : Type u
s : Set α
x : α
⊢ s ⊆ {x} ↔ s = ∅ ∨ s = {x}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Div α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) / t = ⋃ i, ⋃ j, s i j / t
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ Ideal.span ↑I = I
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
⊢ ∫ (v : ι → ℝ), cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) =
  ∏ i : ι, (↑π / b i) ^ (1 / 2) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
⊢ logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ Polynomial.X.degree = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ Function.eval i '' Set.univ.pi t ⊆ t i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
⊢ Continuous ⇑g
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
DecidableEq m
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖Aᴴ‖ = ‖A‖
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : comap f ⊥ = ⊥
h₂ : I ≤ ⊥
⊢ I ≤ ⊥
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
⊢ x = ↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
x : α
hx : (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
⊢ ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ S.op.unop = S
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
⊢ IsUnit (Ring.inverse a) ↔ IsUnit a
⊢ Primrec₂ Nat.Partrec.Code.curry
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
⊢ Filter.Tendsto (norm ∘ f') l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto (norm ∘ g') l Filter.atTop
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : Function.RightInverse ⇑f ⇑g
⊢ Function.RightInverse ⇑(MvPolynomial.map f) ⇑(MvPolynomial.map g)
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra.Unramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.Unramified R B
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E
⊢ 2 * Cardinal.lift.{0, u_1} (Module.rank ℂ E) = Cardinal.lift.{0, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
R : Type u_1
Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (LaurentPolynomial.C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T :
  ∀ (n : ℕ) (a : R),
    M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T ↑n) → M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z :
  ∀ (n : ℕ) (a : R),
    M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (-↑n)) → M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (-↑n - 1))
⊢ M p
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ IsUnit q.leadingCoeff
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ico (f a) (f b) ⊆ f '' Set.Ico a b
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x y : α
h₁ : x ⊓ y ≤ ⊥
h₂ : ⊤ ≤ x ⊔ y
⊢ IsCompl x y
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
f : α → β
⊢ none.casesOn' x f = x
α : Type u_1
Nonempty α
⊢ ∃ x, x ∈ Set.univ
a b : ℕ
⊢ Disjoint (Finset.range a) (Finset.map (addRightEmbedding a) (Finset.range b))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
m a b d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m
⊢ d ∣ a ↔ d ∣ b
I : Type u
β : Type u_2
DecidableEq I
One β
i : I
x : β
i' : I
⊢ Pi.mulSingle i x i' = if i' = i then x else 1
p q : ℚ
⊢ (q + p).toNNRat ≤ q.toNNRat + p.toNNRat
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
⊢ x ∈ (Algebra.ofId R S).range
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g : ι → α
s : Set β
f : β → α
⊢ sSup (f '' s) = ⨆ a, f ↑a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ MonotoneOn (deriv f) S
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : SeparableSpace R
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : IsSeparable s
⊢ IsSeparable (⋃ n, (fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2) '' {f | ∀ (i : Fin n), (f i).2 ∈ s})
α : Type u_1
A : α → PSet
⊢ (PSet.mk α A).Type = α
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I
⊢ (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsPrime
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
⊢ (fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨ra * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
this : Multiset.card (f.aroots f.SplittingField) ≤ f.natDegree
⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
α : Type u_3
β : Type u_4
AddMonoid β
DecidableEq α
l : List α
f : α → β
comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.noncommSum f comm = (List.map f l).sum
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
⊢ (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
⊢ ∀ (x : ℕ → ι × α), Tendsto x atTop (l ×ˢ 𝓟 s) → Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ x) atTop (𝓤 β)
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ delayReflLeft 0 γ = (refl x).trans γ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
ha : a ≠ 0
⊢ a • Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) (r * 1) = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.toSubtype p) = TypeVec.toSubtype fun i => p i.fs
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ (s -ᵥ t).Nonempty → t.Nonempty
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ MulAction.IsBlock G (Subtype.val '' B)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a
⊢ (insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
x✝ : (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o
h₁ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)
h₂ : ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
a : Ordinal.{max u v}
⊢ (o.bsup fun x x_1 => f x) ≤ a ↔ ∀ b < o, f b ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
⊢ s.sum x ^ n = ∑ k ∈ s.sym n, ↑(↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑k).prod
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : 1 < padicNorm p a
⊢ ¬a.isInt = true
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
hk : k < l.length
⊢ (l.rotate n).nthLe ((l.length - n % l.length + k) % l.length) ⋯ = l.nthLe k hk
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
hl : Continuous l
⊢ IsClosed {x | Filter.Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 f g x_1 x) Filter.atTop (𝓝 (l x))}
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
⊢ ¬IsSquare a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace α
T3Space α
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
g : κ → α
s t : α
hf : HasSum f s
hg : HasSum g t
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ HasSum (fun x => f x.1 * g x.2) (s * t)
R : Type uR
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
⊢ ((f fun x_1 => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) =
  (f fun x_1 => x) fun x => y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ sInf (Set.image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x y : S
h : ↑(Algebra.adjoin R {x}) = ↑(Algebra.adjoin R {y})
⊢ conductor R x = conductor R y
α : Type u_1
⊢ Multiset.attach 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalUnitIso e).inv =
  CategoryTheory.monoidalCounit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this✝ : s =ᶠ[𝓝[≠] x] t
this : 𝓝[s \ {x}] x = 𝓝[t \ {x}] x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
m : β
h : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map f s.val, x = m
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
x : K
⊢ (IsPerfectClosure.equiv i j p) (i x) = j x
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ
⊢ (trace R M) (↑f⁻¹ * (↑f * g)) = (trace R M) g
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ ¬a < a
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η✝ : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε✝ : g ≫ f ≅ 𝟙 b
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ η.hom ▷ f ≫ ((α_ f g f).hom ≫ 𝟙 f ▷ (g ≫ f)) ≫ f ◁ (g ◁ ((ρ_ f).inv ≫ (f ◁ ε.inv ≫ (𝟙 f ▷ (g ≫ f) ≫ (α_ f g f).inv) ≫ η.inv ▷ f) ≫ (λ_ f).hom) ≫ ε.hom) = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set F
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (⇑h ⁻¹' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E
⊢ (↑(rexp (-x)) * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'
⊢ ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff x✝ = ((of R).symm (r • x)).coeff x✝
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
J : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
⊢ s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
DivisionRing L
AddCommGroup W
Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (Projectivization.map f hf)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
b p' : P₁
⊢ (AffineEquiv.vaddConst k b).symm p' = p' -ᵥ b
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| ≤ |b| ↔ |a| * |a| ≤ |b| * |b|
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
⊢ wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c ↔ a ≤ c * b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
b : P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
hb : 1 ≤ ↑r * ↑b
⊢ r⁻¹ ≤ b
b : ℤ
k : ℕ
L : List ℕ
⊢ Nat.ofDigits b L % ↑k = Nat.ofDigits (b % ↑k) L % ↑k
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
⊢ CG L M ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x => ‖p (x.fst - x.snd.card + x.snd.card)‖₊ * r ^ x.snd.card * r' ^ (x.fst - x.snd.card)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x = (AffineMap.lineMap c x) ((R / dist x c) ^ 2)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : t.Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t \ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ↑v (f ⁻¹' s) else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ↑v (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
f : (i : α) → E i
c : 𝕜
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (c • f) 0
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → F
hf_zero : f =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
X : D
⊢ (e.changeInverse iso).counitIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.functor.map (iso.inv.app X)) (e.counitIso.hom.app X)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ p f : Perm α
h : p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
x : α
hx : x ∈ p.support
⊢ x ∈ f.support
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddCommMonoid G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
x : G
⊢ f (n • a + x) = f x + n • b
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i