ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_10, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.40310, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.40314, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.40318, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.40330, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
G : D₁ ⥤ D₂
e : L₁ ⋙ G ≅ L₂
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (homEquiv W L₁ L₂) f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W
this : IsIso (L₂.map φ.s)
⊢ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ φ.map L₂ ⋯ ≫ (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a'✝ ⋯
⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β
⊢ f.preimage (s ∩ t) ⊆ f.preimage s ∩ f.preimage t
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
⊢ (MeasureTheory.Measure.mkMetric fun x => ⊤) = ⊤
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
⊢ s.SSameSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_16, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_15, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_12, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_14, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ρ₁₂.I₁₂
h₁₂ : ρ₁₂.p (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((G.map (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂ i₁ i₂ i₁₂ h₁₂)).app (X₃ i₃))
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj G ρ₁₂.q
      (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂) X₃ i₁₂ i₃ j ⋯)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x n r
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
s : Set α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
hf' : Function.Injective f
h : IsTotallyDisconnected (f '' s)
⊢ IsTotallyDisconnected s
s : String
p : Char → Bool
⊢ s.all p = s.data.all p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤
α : Type u_1
s t u : Set α
hst : s ⊆ t
htu : t ⊆ u
x : ↑s
⊢ Set.inclusion htu (Set.inclusion hst x) = Set.inclusion ⋯ x
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
⊢ (CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂) ((CliffordAlgebra.ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1) =
  (CliffordAlgebra.ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, 0)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
o : Ordinal.{u_1}
⊢ aleph' o < succ (aleph' o)
m : Type u → Type v
α ε : Type u
Monad m
x : m α
⊢ (ExceptT.lift x).run = Except.ok <$> x
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
R : Type u_1
CommRing R
⊢ ↑ArithmeticFunction.zetaUnit = ↑ArithmeticFunction.zeta
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder β
PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
⊢ Set.range f = Set.range g ↔ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
S : C
self : CategoryTheory.PreOneHypercover S
i₁ i₂ : self.I₀
j : self.I₁ i₁ i₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.p₁ j) (self.f i₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.p₂ j) (self.f i₂)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
⊢ Ideal.span {d} ≠ 0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e
⊢ ⁅⁅e, f⁆, f⁆ = -(2 • f)
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ default = G.selfColoring.toPartition
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
⊢ ∃ x_1 ∈ ↑↑K, f x_1 = f x
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ (induce {v_1 | v_1 ∈ p.support} G).Connected
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
⊢ ∀ (n : ℕ), (bind₁ fun k => (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : a < 1
⊢ b * a < c
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
⊢ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) = {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a b : α
hb : 1 ≤ b
⊢ a * b ≤ b → a∗ ≤ b
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) m) = 0
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = 0
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ AList.extract a s = (AList.lookup a s, AList.erase a s)
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
n : ℤ
d : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → ↑d ≠ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ≤ a ∧ x ≤ -b ∨ -a ≤ x ∧ b ≤ x
⊢ x ∈ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
dvd : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf (x ^ n) = orderOf x / n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
st : s.Nonempty ∧ t.Nonempty
⊢ s ×ˢ t ⊆ s₁ ×ˢ t₁ ↔ s ⊆ s₁ ∧ t ⊆ t₁ ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
Zero β
One β
m : MeasurableSpace β
s : ι → Set Ω
hs : ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun _n => m) (fun n => (s n).indicator fun _ω => 1) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
⊢ ∀ {a b : α × γ}, Prod.Lex s u ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Prod.Lex r t a b
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ
⊢ x ^ n ∈ K
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = (α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ Γ.app a ▷ (G.map f ≫ ι.app b) ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ SupPrime (OrderDual.toDual a) ↔ InfPrime a
α : Type u_1
l : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ ((fun x => |u x|) =o[l] fun x => |v x|) ↔ u =o[l] v
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
x✝ : R
⊢ (algebraMap R T) x✝ = (((↑↑e).comp h.map).comp C) x✝
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α →ₘ[μ] E
⊢ f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ ↔ MeasureTheory.eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → ℝ≥0
hf : Summable f
g : β → ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b
⊢ Summable g
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 3
⊢ (ofJ0 R).j = 0
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
⊢ ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (ModuleCat.of R R)) f ≫ (ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor N).hom =
  (ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor M).hom ≫ f
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
⊢ ‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ (_ : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g), ∫⁻ (a : α), (fun x => (f x)⁻¹ * i x) a ∂μ.withDensity f
R : Type u_1
LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]
⊢ Quaternion.normSq (a / b) = Quaternion.normSq a / Quaternion.normSq b
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ ↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + (↑b + ↑b + 1)
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s₁ s' : Set (Set Ω)
s₂ : Set (Set Ω)
h₁ : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s₁ ∩ s₂) s' μ
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
⊢ x ∈ UniformSpace.ball x V
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ Module.support R M = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(Module.annihilator R M)
α : Type u_1
n : ℕ
xs ys : List α
h : xs.Sublist ys
⊢ (List.sym n xs).Sublist (List.sym n ys)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J' C
x : ℝ≥0
⊢ ↑↑x ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.isLimit X Y)).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift b.fst b.snd
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => x / a
M : Type u_7
CommMonoid M
⊢ rootsOfUnity 1 M = ⊥
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
x : E
y : F
⊢ Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n.factorization.prod fun p k => (σ 0) (p ^ k)) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
⊢ max (v x) (v y) ≥ v (x + y)
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f g : α →𝒄 β
x y : α
h₁ : f ≤ g
h₂ : x ≤ y
⊢ f x ≤ g y
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : LipschitzOnWith K f s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ f x ≤ f y + ↑K * dist x y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
⊢ (P I) S = (P J) T
⊢ Subgroup.normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} = ⊤
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ comap f (map f S) = S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (Lat.Iso.mk e).hom.toSupHom a = e a
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeSemigroup α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x✝ : FreeSemigroup α
x : α
y : FreeSemigroup α
hx : f (of x) = g (of x)
hy : f y = g y
⊢ f (of x * y) = g (of x * y)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e.trans (LinearEquiv.refl S M₂) = e
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
i : ι
⊢ f i ≤ Ordinal.sup f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
⊢ 0 < ↑q ↔ 0 < q
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f ≠ 0
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
⊢ ∃ V ⊆ S, V.Nonempty ∧ IsClosed V ∧ ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V
lc : Lean.Omega.LinearCombo
i : Int
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (i * lc).eval v = i * lc.eval v
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
⊢ x.toReal = 0 ↔ x = 0 ∨ x = ⊤
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Ordinal.{u_2}
hc : ℵ₀ < c.cof
hf : ∀ i < c, f i < c
a : Ordinal.{u_2}
⊢ a < c → Ordinal.nfp f a < c
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α
⊢ foldrAux f a { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
DecidableEq α
⊢ (Finset.Iic (Fintype.card α)).biUnion 𝒜.slice = 𝒜
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ x
this : 0 < 1 - 2 / rexp 1
⊢ 2 ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
g : F → G
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
f : E → F
l : Filter E
⊢ (fun x' => g (f x')) =O[l] f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : α →ₛ β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}
⊢ MeasurableSet {a | r a (↑f a)}
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
p : R
r : X
s : ↥S
⊢ p -ₒ s +ᵥ (r -ₒ 0) = p +ᵥ r -ₒ s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ + (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ + S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f + h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ + φ₄.τ₂)
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
⊢ logb b x ≤ logb b y ↔ x ≤ y
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
⊢ ∃ a, f a = y
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s
r : ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r).trim = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r
x : ℝ
⊢ deriv Real.tan x = 1 / Real.cos x ^ 2
R : Type u_1
r : R
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ IsUnit (Polynomial.C r + Polynomial.X * P) ↔ IsUnit r ∧ IsNilpotent P
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0
a b m n p✝ p : ℕ
pp : Prime p
⊢ Icc 1 ((factorization 0) p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ 0) (Ico 1 0)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U : OpenAddSubgroup G
g : G
⊢ g ∈ ↑U ↔ g ∈ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e
de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)
⊢ ∃ c, Tendsto f (comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r = {x | ‖x‖ < r}
α : Type u_2
InvolutiveInv α
ι : Sort u_5
f : ι → α
⊢ (Set.range f)⁻¹ = Set.range fun i => (f i)⁻¹
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α
⊢ max a 0 + max (-a) 0 = |a|
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ Monotone fun f => ∃ x ∈ s, ClusterPt x f
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
⊢ logDeriv f x = deriv f x / f x
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : Multiset ℚ
⊢ ↑s.sum = (Multiset.map Rat.cast s).sum
V : Type u
G : SimpleGraph V
H₁ H₂ : G.Subgraph
h : Disjoint H₁ H₂
⊢ Disjoint H₁.edgeSet H₂.edgeSet
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ (↑‖c‖₊)⁻¹