ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f‖ ≤ ‖f‖
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, (support fun y => (φ i).normed μ (x₀ - y)) ⊆ closedBall x₀ (φ i).rOut
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ mulRothNumber s ≤ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s)
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
h : Ideal.comap f I ≤ J
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.quotientMap I f H)
α : Type u_1
Semiring α
Invertible 2
a : α
⊢ SymAlg.sym (a * a) = SymAlg.sym a * SymAlg.sym a
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ mulSupport (f ∘ PLift.down)
⊢ x ∈ s
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, i) * 2 = n * (n - 1)
a✝ b n✝ n a : ℕ
⊢ (if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
α : Type u_1
as : Array α
start stop : Nat
h : stop ≤ start
⊢ as.extract start stop = #[]
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ (μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)) • μ = μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
⊢ p ∣ c
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
⊢ p / q = p - 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : a < b → f a < f b
⊢ f a < f b
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x
⊢ (s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h) = (t.whisker h).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
⊢ ‖(mul 𝕜 E) a⋆‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal (MvPolynomial σ R)
p : MvPolynomial σ R
hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I
⊢ ∀ m ∈ p.support, (monomial m) (coeff m p) ∈ I
α : Type u
n : ℕ
⊢ Function.Injective List.ofFn
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ T (c.toReal * C)
b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
α : Type u_4
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ⌈x⌉₊) Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallyUnramified R A
inst✝² : FormallyUnramified A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ f₁ = f₂
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Set N
h1 : t.Countable
h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ t
h' : x ∈ ↑((closure L).toFun t)
⊢ x ∈ range ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ
⊢ UniformFun.filter α γ (𝓤 γ) = 𝓤 (α →ᵤ γ)
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ ⨆ i, ↑(f i) ≠ ⊤ ↔ BddAbove (Set.range f)
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ univ ⊆ ↑?intro.convert_1 ∪ ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ¬μ s = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹ ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h✝ : H.IsComplement' K
h : ↑↑H
k : ↑↑K
x✝ : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ ⊤
⊢ (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ H ⊔ K
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ (∀ (i : ι), f i < c) → iSup f < c
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α
⊢ toLex (Sum.inl a) < toLex (Sum.inl b) ↔ a < b
α : Type u_2
AddSemigroup α
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ s + t = s + (a +ᵥ t)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ↑⊥ = ⊥
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
⊢ 0 < ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ BddAbove s → BddAbove t → BddAbove (Set.image2 f s t)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
⊢ #β ≤ #↑(range f)
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ span Rₛ (⇑f '' v)
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
S : Submonoid M
⊢ Submonoid.closure s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
α : Type u_2
Monoid α
a : α
n : ℕ
⊢ IsSquare a → IsSquare (a ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
n : ℕ
hn : Fact (FiniteDimensional.finrank K V = n + 1)
⊢ FiniteDimensional K V
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
_i : DistribLattice α := hS.distribLattice_of_sSup_eq_top h
_i₁ : IsAtomistic α
⊢ ComplementedLattice α
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
LinearOrder ι
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
i j : ι
⊢ ((Q.toBilin bm) (bm i)) (bm j) = if i = j then Q (bm i) else if i < j then QuadraticMap.polar (⇑Q) (bm i) (bm j) else 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
hB : μ (B j) ≠ ⊤
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ ↔ f.FinMeasSupp μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
inst✝¹ : Preorder β₁
inst✝ : Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂
⊢ map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a b : α
hs : s.Pairwise r
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
h : ¬r a b
⊢ a = b
a b : Nat
⊢ compare a b = Ordering.gt ↔ b < a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : Convex 𝕜 t
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ t ↔ s ⊆ t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hc : 0 < c
hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k
c' : ℝ
c'pos : 0 < c'
⊢ IsBigOWith c' l f k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
hp : Prime (Classical.choose ⋯)
⊢ (addVal R) a ≤ (addVal R) b ↔ a ∣ b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ^ n = 1
⊢ (σ * τ) a = (τ * σ) a
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x g : G
h : ↥H.op
⊢ h +ᵥ (g + x) = g + (h +ᵥ x)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
self : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d e : C
p : c ⟶ d
⊢ p ∈ self.arrows c d → ∀ {q : d ⟶ e}, q ∈ self.arrows d e → CategoryTheory.CategoryStruct.comp p q ∈ self.arrows c e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A
u : F.obj (Opposite.op X)
h : CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s u
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows.val ⟨u, h⟩ = u
α : Type u_1
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
s : Set α
g : α → M
x : α
⊢ f (s.indicator g x) = s.indicator (⇑f ∘ g) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).obj X).X = A.X.obj X
α : Type u_2
⊢ Function.Injective PiNat.res
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Zero β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) 0 = 0
⊢ Differentiable ℂ fun s => (Complex.Gamma s)⁻¹
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
s : Set L
hs : LieSubalgebra.lieSpan R L s = ⊤
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
⊢ D1 = D2
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i✝ f
hf0 : (map i✝ f).degree ≠ 0
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
hf0' : ¬map i✝ f = 0
g : L[X]
hg : Irreducible g ∧ g ∣ map i✝ f
x : L
hx : g.IsRoot x
i : L[X]
hi : map i✝ f = g * i
⊢ eval₂ i✝ x f = 0
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this : CompactSpace M'
⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
y : M
hfg : a ∈ s → f a ≤ y
hg : a ∉ s → 1 ≤ y
⊢ s.mulIndicator f a ≤ y
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.ListBlank.cons l.head l.tail = l
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
⊢ Integrable (fun x => f x • g x) μ
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
⊢ ↑H.op = MulOpposite.unop ⁻¹' ↑H
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict s + μ.restrict sᶜ = μ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ v.valuation (IsLocalization.mk' K r s) = v.intValuation r / v.intValuation ↑s
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.closedBall x r ↔ p (y - x) ≤ r
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnion πi).iUnion = ⋃ J ∈ π, (πi J).iUnion
cmp✝ : ?m.4485 → ?m.4485 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.4483
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp y x = Ordering.lt
h₂ : cmp z y = Ordering.lt
⊢ cmp z x = Ordering.lt
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
x : lc.pt
j : J
y : K.obj j
⊢ c.ι.app j y ∈ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {x} ↔ lc.ι.app j { down := y } = x
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
enc₀ : enc default = Vector.replicate n false
x✝ : Cfg₁
v : σ
L : ListBlank Γ
q : Stmt₁
R : ListBlank Γ
⊢ Reaches (step (tr enc dec M)) (stepAux (trNormal dec q) v (trTape' enc0 L R)) (trCfg enc enc0 (stepAux q v (Tape.mk' L R)))
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
a : α
⊢ 0 < MulAction.period m a
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝
j : J
⊢ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) ≫ limit.π Z✝ j = ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β) ≫ limit.π Z✝ j
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
⊢ ↑(μ.toFun L') + ⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
f : E → 𝕜
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
h₀ : ∀ x ∈ closure s, f x ≠ 0
⊢ DiffContOnCl 𝕜 f⁻¹ s
α : Type u_1
AddCommGroupWithOne α
m n : ℤ
⊢ ↑(m * n) = m • ↑n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝ : Star α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
⊢ (fromBlocks A B C D)ᴴ = fromBlocks Aᴴ Cᴴ Bᴴ Dᴴ
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ x ^ OfNat.ofNat n = x ^ OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ p.applyComposition (Composition.single n hn) v = fun _j => (p n) v
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hy : c.IsClosed y
⊢ c x ≤ y ↔ x ≤ y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
m : Multiset ι
hm : m.Nodup
⊢ { val := m, nodup := hm }.prod f ≠ 0 → ({ val := m, nodup := hm }.prod f).roots = { val := m, nodup := hm }.val.bind fun i => (f i).roots
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (Polynomial.X - Polynomial.C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.obj F).map f).f = (F.map f.f).f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a : R
⊢ (DiscreteValuationRing.addVal R) a = ⊤ ↔ a = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ (MonoidHom.fst M N).comp Monoid.Coprod.toProd = Monoid.Coprod.fst
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousAt f x
hg : UpperSemicontinuousAt g x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x
M : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
m : M
a : AddMonoidAlgebra R M
⊢ a ∈ AddMonoidAlgebra.grade R m ↔ a.support ⊆ {m}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
val✝ : α
h : ↑s n = some val✝
⊢ s.Terminates
a b c : Prop
⊢ ((a ↔ b) ↔ c) ↔ ((a ↔ c) ↔ b)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Setoid α
⊢ Measurable Quotient.mk''
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U
x : Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set (Y × X)
hU : IsOpen U
hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U
V : Set Y
W : Set X
hV : IsOpen V
hxV : {x} ⊆ V
hKW : K ⊆ W
hVWU : V ×ˢ W ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (a : Y) in 𝓝 x, {a} ×ˢ K ⊆ U
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.IsRoot a ↔ Polynomial.eval a p = 0