ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0
⊢ (taylor r) f = (taylor r) 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
{X Y : Cᵒᵖ} →
    (f : X ⟶ Y) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)
        (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
∀ (X : Cᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
⊢ (PresheafOfModules.colimitBundledCore F).obj X = CategoryTheory.Limits.colimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, rexp x = rexp b - rexp a
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.codeSupp Turing.ToPartrec.Code.succ k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal Turing.ToPartrec.Code.succ k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.contSupp k
X : PartialFun
⊢ partialFunEquivPointed.unitIso.inv.app X =
  pointedToPartialFun.map { toFun := Option.elim' none fun a => some ⟨some a, ⋯⟩, map_point := ⋯ } ≫
    pointedToPartialFun.map (Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe none) ⋯).hom ≫
      (PartialFun.Iso.mk
          { toFun := fun a => ⟨some a, ⋯⟩, invFun := fun a => (↑a).get ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u v : α → β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
bddmax : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a
cobddmax : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => max (u a) (v a)
⊢ limsup (fun a => max (u a) (v a)) f ≤ max (limsup u f) (limsup v f)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z : ℤ_[p]
hev : Polynomial.eval z F = 0
hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z - soln
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
⊢ Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
a : αᵒᵖ
⊢ Opposite.unop a ∈ s.unop ↔ a ∈ s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : Set G
f : Compacts G → ℝ
⊢ f ∈ haarProduct K₀ ↔ ∀ (K : Compacts G), f K ∈ Icc 0 ↑(index (↑K) K₀)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inr
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
c : Prop
Decidable c
a b : Ordering
⊢ ((if c then a else b) = Ordering.eq) = if c then a = Ordering.eq else b = Ordering.eq
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.30268, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
⊢ u₁₃ ≫ 𝟙 X₃ = u₁₂ ≫ u₂₃
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ (↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h).symm).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R J) = DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
⊢ (Polynomial.C (F d) * d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
I.Boundaryless
⊢ (I.prod J).boundary (M × N) = Set.univ.prod (J.boundary N)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.SurjOn f s (t i)
⊢ Set.SurjOn f s (⋃ i, t i)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1
⊢ IsUnit M.charpolyRev
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ (s.inf fun b => a \ f b) = a \ s.sup f
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ commutator G = Subgroup.normalClosure (commutatorSet G)
α : Type u_2
Div α
f g₁ g₂ : Filter α
⊢ g₁ ≤ g₂ → f / g₁ ≤ f / g₂
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) ≃ L'.Term (β ⊕ Fin n)
fr : (n : ℕ) → L.Relations n ≃ L'.Relations n
n : ℕ
⊢ ∀ (a : L'.BoundedFormula β n),
  (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRelEquiv ft fr).symm a =
    FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑(ft n).symm) (fun n => ⇑(fr n).symm) (fun x => id) a
α : Type u_1
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∑ i : ι, if i ∈ s then f i else 0) = ∑ i ∈ s, f i
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) (a ^ 2) = 1
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
⊢ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ⊆ {n | 0 < n}
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
x y : M
⊢ f (x * y) = f x * f y
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : (drop (n % l.length) l).length ≤ m
⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V
⊢ (toBaseChange A Q) (involute ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v))) = (Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id A A) involute) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)))
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log x * x ≤ log y * y
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {i} • dirac i = ∑' (a : α), f a * μ {a}
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
⊢ T R 2 = 2 * X ^ 2 - 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ Monotone (Sublattice.map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
⊢ κ.densityProcess ν n a x s ≤ κ.densityProcess ν n a x s'
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
AddCommMonoid γ
f : α₁ × α₂ → γ
⊢ ∑ x : α₁ × α₂, f x = ∑ y : α₂, ∑ x : α₁, f (x, y)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x / x') (y / y')
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
BorelSpace E
T2Space E
ContinuousSMul ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
Nontrivial E
r : ℝ
⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
K : IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset
hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module
this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯
⊢ finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) = finrank F ↥(↥K)⟮x⟯
α : Sort u_2
β : Sort u_1
p : α → β → Prop
⊢ (∀ (a : α) (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β) (a : α), p a b
x : ℝ
n : ℤ
h : -1 = 1
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1
⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
α' : Type u_5
CommMonoid α'
TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Function.Surjective e
f : β → α
g : γ → α'
he : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
⊢ Multipliable f ↔ Multipliable g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
H.Additive
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
⊢ (H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.inr φ) ≫
    (CochainComplex.mappingCone.mapHomologicalComplexIso φ H).hom =
  CochainComplex.mappingCone.inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑I
v : Set α
hv : v ∈ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
x✝ : u ≠ v
⊢ Disjoint u v
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0 ∧ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
⊢ I = 0 ∨ I = 1
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ((of j).comp (φ j)).range ≤ (of j).range
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
⊢ (∀ (x y : Quotient s), x = y) ↔ ∀ {x y : α}, ⊤ → s.Rel x y
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal
⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ i.pred hi < j ↔ i < j.succ
α : Type u
CommGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
⊢ derivFamily f o < derivFamily f (succ o)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a
⊢ iSup f + iSup g ≤ a
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ permsOfList l → ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
⊢ (b - a) • dslope f a b = f b - f a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : ∀ y ∈ ball t₀ ε, (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, EqOn f g s
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β
⊢ u (sInf s) = ⨅ a ∈ s, u a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
Algebra.IsIntegral R A
h' : Algebra.FiniteType R A
⊢ Module.Finite R A
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e (x - y) = ↑e (x + -y)
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∈ s
⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = univ
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : a < 0
⊢ a < -a
b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit 0
⊢ 0 = 1
ι : Type u_1
Fintype ι
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ PiTensorProduct.injectiveSeminorm =
  sSup
    {p |
      ∃ G x x_1,
        p =
          (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp
            (PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap G)}
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
⊢ ↑f 0 = 0
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
⊢ (algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a ↔ r ∈ quasispectrum R a
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ (Algebra.Generators.Cotangent.map f) (Algebra.Generators.Cotangent.mk x) =
  Algebra.Generators.Cotangent.mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R
⊢ (if a0 : a = 0 then 0 else let_fun x := ⋯; gcd (0 % a) a) = a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.erase n p).toFinsupp = Finsupp.erase n p.toFinsupp
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
⊢ x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
⊢ 2 * n + 2 * n ≤ 2 * n + j
m n : ℕ+
⊢ m ∣ n ↔ m.gcd n = m
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
NonAssocSemiring γ
Preorder γ
NonAssocSemiring δ
Preorder δ
f : γ →+*o δ
g : β →+*o γ
h : α →+*o β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ f (x * c ^ n) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
d : G.Dart
p : G.Walk u v
⊢ d ∈ p.reverse.darts ↔ d.symm ∈ p.darts
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ Continuous fun a => ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure β
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => ProbabilityTheory.Kernel.const α (μ n)) =
  ProbabilityTheory.Kernel.const α (MeasureTheory.Measure.sum μ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)‖ ≤ C * ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
⊢ 0 < 1 / c ∧ (fun x => g x ^ (1 / c)) = ⇑f
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
Z : C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
F : (A : IndexSet Δ) → s.N (unop A.fst).len ⟶ Z
A : IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ F = F A
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ 0
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
⊢ (CategoryTheory.Limits.Sigma.map fun a => 𝟙 (f a)) = 𝟙 (∐ f)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
⊢ (funMap f fun i => realize v (![t₁, t₂] i)) = funMap f ![realize v t₁, realize v t₂]
a b : UInt64
h : a = b
⊢ a.val = b.val
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ t.flip.inr = t.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Sbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z
⊢ Sbtw R w y z
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇨ b ⇨ c = a ⊓ b ⇨ c
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
⊢ x.swap ⩿ y.swap ↔ x ⩿ y
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
P : Type u₁
L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
hs_eq : s = f ⁻¹' (f '' s)
⊢ ∫⁻ (a : β), (map f μ).rnDeriv (map f ν) a ∂map f (ν.restrict s) = μ s
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ (s * t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a b : α
⊢ pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e
r : ℝ
⊢ r⁻¹.sign = r.sign
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C i).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-i)).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-i) i ⋯).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-i) i ⋯).inv.app Y))
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ S = ⊥ ↔ ∀ x ∈ S, x = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hss' : s' ⊆ s
⊢ UniformCauchySeqOn F p s'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
H : ∀ b' < b, a * b' ≤ c
⊢ ¬c < a * b
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H K : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
h : H ≤ K
x : G
hx : x ∈ H
⊢ (AddSubgroupClass.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = Ordering.lt ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableEq (Associates α)
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : ¬Irreducible p
⊢ p.count = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id h.left.H
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
⊢ (map Prod.swap ρ).snd = ρ.fst