ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (𝟙 (φ.obj c))
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'
⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R
⊢ ↑I ≠ 1 ↔ I ≠ 1
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β
⊢ sInf s a b ↔ ∀ r ∈ s, r a b
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
c : NNReal
h : ‖g‖ ≤ ↑c
⊢ ‖SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w‖ ≤ ↑c
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
u : Set G
hu : u.IsPWO
a : P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
h : u ⊆ s
⊢ Finset.SMulAntidiagonal hu ht a ⊆ Finset.SMulAntidiagonal hs ht a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑Z)ᵒᵖ
⊢ (α ≫ β).c.app U = β.c.app U ≫ α.c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map β.base).obj (Opposite.unop U)))
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
ι : Sort u_3
S : ι → IntermediateField F E
⊢ (iInf S).toSubfield = ⨅ i, (S i).toSubfield
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
DivisionRing β
a : α
b : β
⊢ b ∈ LinearOrderedField.cutMap β a ↔ ∃ q, ↑q < a ∧ ↑q = b
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R
⊢ {r} - spectrum R a = spectrum R ((algebraMap R A) r - a)
R : Type u
AddCommGroup R
⊢ ↑(AddCommGrp.of R) = R
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.whiskerRight Γ ι).app a = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app a) (ι.app a)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ Computation.map f s
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
α : Type u_1
η : Type u_14
Fintype η
ιs : η → Type u_15
Zero α
f : (j : η) × ιs j →₀ α
j : η
i : ιs j
⊢ (Finsupp.sigmaFinsuppEquivPiFinsupp f j) i = f ⟨j, i⟩
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D
⊢ F.map f ≫ F.map q.rightRetraction = F.map q.leftRetraction ≫ F.map ι
x y : ℝ
⊢ sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
α : Type u_3
TopologicalSpace α
PolishSpace α
⊢ T2Space α
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c - MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c' =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs (c - c')
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
x : P
⊢ x ∈ nonZeroDivisors P ↔ x ∈ Submonoid.map h.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
⊢ s.sdiff t = s ↔ Disjoint (↑s) t
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)
G : Type u_1
Group G
⊢ IsAscendingCentralSeries (upperCentralSeries G)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac
hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
⊢ MeasureTheory.Measure.map X ℙ = MeasureTheory.Measure.withDensity μ (MeasureTheory.pdf X ℙ μ)
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))
hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1
ic : IsCompatible (sheaf X).val V g
gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))
gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i
i : ↥U
⊢ ((sheaf X).val.map (iVU i).op) f * g i = 1
R : Type u_1
CommRing R
a b : ℤ
h : IsCoprime a b
⊢ IsCoprime ↑a ↑b
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
H : t.IsKan
s : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (H.desc s)) = s.unit
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1
⊢ Summable (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i))
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
N' : Type u_8
AddCommGroup N'
Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
Q : QuadraticMap R M N
⊢ (f.compQuadraticMap' Q).polarBilin = LinearMap.compr₂ Q.polarBilin f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b
⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubringClass.subtype S = ↑(NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype S)
q : ℚ
f : ℚ → ℚ → ℚ
f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ
fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂
f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0
a b c d : ℤ
b0 : b ≠ 0
d0 : d ≠ 0
H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁
⊢ f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } (c /. d) = f₁ a b c d /. f₂ a b c d
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J
⊢ HasLimitsOfShape (WidePullbackShape J) C
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
hv' : ∀ (n : ℕ), (σ.toLinearMap ^ n) v = ζ ^ n • v
⊢ ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[(c • f) j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (c • f) i
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ l r) =
  ((LinearMap.toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * (LinearMap.toMatrix b₂' b₂) r
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
⊢ (CompleteSublattice.map f L).carrier = ⇑f '' ↑L
M : Type u_3
f : ℕ → M
m n : ℕ
AddCommGroup M
hmn : m < n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, f i - f m = ∑ i ∈ Finset.Ico (m + 1) n, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
s : Set β
t : Set γ
hg : Set.MapsTo g s t
f : α → β
⊢ Set.MapsTo (g ∘ f) (f ⁻¹' s) t
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
d : (List.map f l).Nodup
x : α
⊢ x ∈ l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ l → f x = f y → x = y
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
R : Type u_1
SMul R β
r : R
x : α
⊢ r • x = e.symm (r • e x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter (⇑e) e x L
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ s₁.tail ⋈ s₂.tail = (s₁.head :: s₂.head :: (s₁.tail ⋈ s₂.tail)).tail.tail
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
p : α → Prop
AddCommMonoid N
v : α →₀ M
h : α → M → N
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
⊢ ((Finsupp.subtypeDomain p v).sum fun a b => h (↑a) b) = v.sum h
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Mul α
AddCommMonoid α
Unique ι
a b : n → α
⊢ (Matrix.col ι a * Matrix.row ι b).diag = a * b
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
⊢ (PMF.ofMultiset s hs).toOuterMeasure t =
  (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ (∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M
x : PGame
⊢ x.birthday = 0 ↔ IsEmpty x.LeftMoves ∧ IsEmpty x.RightMoves
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Subgroup.comap f H ⊔ Subgroup.comap f K = Subgroup.comap f (H ⊔ K)
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
φ : L.Sentence
⊢ M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l
⊢ ((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o ∧ isGood (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l
α : Type u
s : Set α
h : s.Countable
default : α
⊢ Set.range (Set.enumerateCountable h default) ⊆ insert default s
a b n : ℕ
hn : 0 < n.succ
⊢ (a ^ n.succ).Coprime b ↔ a.Coprime b
K : Type u_1
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) (-x) = (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ ((opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
h : i < (as ++ bs).size
hle : as.size ≤ i
hlt : i - as.size < bs.size := ⋯
⊢ (as ++ bs)[i] = bs[i - as.size]
V : Type u_1
W : Type u_2
Quiver V
Quiver W
obj : V → W
map : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
X : V
⊢ { obj := obj, map := map }.obj X = obj X
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
⊢ LinearIndependent E v
M : Type u_1
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ρ
⊢ (μ + ν).mconv ρ = μ.mconv ρ + ν.mconv ρ
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 < 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
a : 𝓞 K
ha : a ≠ 0
h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1
⊢ 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a|
k n : Nat
⊢ 0 < k → n < k + n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
⊢ (X.tensorObj Y).fst = X.fst ⊗ Y.fst
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
⊢ Set.SurjOn (⇑f) Set.univ ↑K
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
s : Set α
⊢ (PMF.uniformOfFintype α).toOuterMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
n : ℕ
x : AdicCompletion I M
⊢ ↑((AdicCompletion.map I f) x) n = (LinearMap.reduceModIdeal (I ^ n) f) (↑x n)
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.28361, u_3} D'
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
Y : C
P : CostructuredArrow L (L.obj Y) → Prop
hP₀ : P (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj Y)))
hP₁ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (f : X₁ ⟶ X₂) (φ : L.obj X₂ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk (L.map f ≫ φ))
hP₂ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (w : X₁ ⟶ X₂) (hw : W w) (φ : L.obj X₁ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk ((isoOfHom L W w hw).inv ≫ φ))
g : CostructuredArrow L (L.obj Y)
g' : StructuredArrow (op ((Functor.fromPUnit (L.obj Y)).obj g.right)) L.op := StructuredArrow.mk g.hom.op
⊢ P (CostructuredArrow.mk g'.hom.unop)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞
U : Set α
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < c * ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ r < (c • μ) K
α : Type u
inst✝³ : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ ⋯.extend f (pureCauchy a) = f a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆ + 2 * C.r * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃) + C.r ^ 2 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) + 4 * C.r ^ 3)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ t → {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s
⊢ x ∈ t
α : Type u_1
One α
AddZeroClass α
PartialOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ a < a + 1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign ≠ 0
⊢ x ≠ y
p : Prop → Prop
⊢ (∃ h, p h) ↔ p False ∨ p True
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.prev { byteIdx := String.utf8Len cs } = { byteIdx := String.utf8Len cs.dropLast }
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ' : QuasiIso φ'
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ p.ball x r = ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
⊢ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) = p
x y : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
j : y.RightMoves
⊢ (x * y).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesMul (Sum.inr (i, j))) =
  x.moveRight i * y + x * y.moveRight j - x.moveRight i * y.moveRight j
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p
⊢ x = 0 ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[f|⋯.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x ≤ i}] μ[f|hτ.measurableSpace]
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S
⊢ IsLUB S (Classical.choose ⋯)
α : Type u_2
Zero α
f : Filter α
h : f.NeBot
⊢ f ≤ 0 ↔ f = 0
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source
h' : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[univ] x
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
⊢ ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
α : Type u_1
l : List α
k : Nat
⊢ List.drop k l = [] ↔ l.length ≤ k
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ IsLocalMax f a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
⊢ ((X ^ p ^ n - C y) ^ m).roots = (m * p ^ n) • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
α : Type u_2
Sub α
f₁ f₂ g : Filter α
⊢ f₁ ≤ f₂ → f₁ - g ≤ f₂ - g
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V
⊢ ∀ (r : k) (f_1 : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (r • f_1)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (r • f_1)) (f x)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x y : X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X
⊢ R1Space X
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
ψ : L.Formula α
v : α → M
⊢ (φ.onFormula ψ).Realize v ↔ ψ.Realize v
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
⊢ u = v
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x✝ : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
x y : αᵒᵈ
hlt : x < y
he : Ioo x y = ∅
⊢ Ioo y x = ∅
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ ‖term (n + 1) s‖ ≤ term (n + 1) 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FirstObj P S.arrows
⊢ ((firstObjEqFamily P S.arrows).hom x).SieveCompatible ↔ firstMap P S x = secondMap P S x
M : Type u_6
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
a b : M
h : Inseparable a b
n : ℕ
⊢ Inseparable (n • a) (n • b)