ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.lanCompIsoWhisker f g h).inv.right =
  (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.isKan f g h).desc
    (CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
α : Type u
Zero α
LT α
a : α
⊢ 0 < ↑a ↔ 0 < a
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n a : ℕ
⊢ r a 0 → (Chain r 0 (map succ (range n)) ↔ Chain' r (0 :: map succ (range n)))
a b c : PartENat
hc : c ≠ ⊤
⊢ a + c = b + c ↔ a = b
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b : β
hba : b < LinearOrderedField.inducedMap α β a * LinearOrderedField.inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ LinearOrderedField.cutMap β (a * a), b < c
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ T ((hT.eigenvectorBasis hn) i) = ↑(hT.eigenvalues hn i) • (hT.eigenvectorBasis hn) i
α : Type u
a a₁ : α
l₁ : List α
a₀ : α
l₀ : List α
⊢ Stream'.cycleG (a, a₁ :: l₁, a₀, l₀) = (a₁, l₁, a₀, l₀)
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ x * ∑' (i : ℕ), x ^ i = ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
⊢ (𝟙 X).base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N
⊢ ⨆ i, Submonoid.closure (range fun b => (f ⟨i, b⟩.fst) ⟨i, b⟩.snd) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (f i)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
IsTrans γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
a : α
⊢ (f.trans g).toRelEmbedding a = g.toRelEmbedding (f.toRelEmbedding a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ CPolynomialAt 𝕜 f y
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
_l₁ _l₂ : List α
⊢ _l₁ ≈ _l₂ ↔ ∀ (a : α), count a ⟦_l₁⟧ = count a ⟦_l₂⟧
n : ℕ
R : Type u_1
hpos : 0 < n
Ring R
Nontrivial R
⊢ 0 < (Polynomial.cyclotomic n R).degree
n : Nat
i : Fin n
⊢ i.castSucc.succ = i.succ.castSucc
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
i j : n
⊢ LinearMap.BilinForm.toMatrix' B i j =
  (B ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
a : α
s : Set β
hs : BddAbove s
ha : 0 ≤ a
⊢ BddAbove (a • s)
α : Type u
S : Set (Set (Set α))
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, TopologicalSpace.generateFrom s
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hg : ∀ (i : ι), g i ⊆ f i
⊢ LocallyFinite g
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
⊢ 1 < a⁻¹ ↔ 0 < a ∧ a < 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
⊢ ∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
LE E
hm : m ≤ m0
f₁ f₂ : α → E
h12 : f₁ ≤ᵐ[μ.trim hm] f₂
⊢ f₁ ≤ᵐ[μ] f₂
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : p.degree < q.degree
⊢ (p + q).Monic
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
Nontrivial E
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] F
⊢ ‖f.toContinuousLinearMap‖ = 1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ ∀ {X Y Z : Scheme} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y) [h : IsAffine Y], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α
⊢ (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x * g.cycleOf x
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x * ↑m)
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
⊢ F.Final ↔
  (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧
    ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c),
      ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s (F.map t) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s' (F.map t)
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E
⊢ (algebraMap E K₃) (((ψ.restrictNormal E).comp (ϕ.restrictNormal E)) x✝) = (algebraMap E K₃) (((ψ.comp ϕ).restrictNormal E) x✝)
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
⊢ Measurable fun x => x.1 * x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α
⊢ ⋃ x, ⋃ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∪ ⋃ x, ⋃ (h : p x), s x ⋯
α : Type u
β : Type v
Add β
F : AddHom (FreeAddMagma α) β
⊢ ∀ (a : α), FreeAddMagma.lift.symm F a = (⇑F ∘ FreeAddMagma.of) a
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (y : ℝ), ∫⁻ (x : α), (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y ∂μ ∂volume = ∫⁻ (a : ℝ), (Ioi 0).indicator (fun t => μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)) a
α : Type u_1
Zero α
One α
LE α
ZeroLEOneClass α
x : α
hx : 0 ≤ x
⊢ ⟨x, hx⟩ = 1 ↔ x = 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
⊢ (Finsupp.total ι M R v) f ≠ v x
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
l : List ι
⊢ (∀ i ∈ l, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) →
  Filter.Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) l).sum) x (𝓝 (List.map a l).sum)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₁.f
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hg₂ : S₂.g = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₂.f
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₂) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₁) f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsColimitCokernelCofork φ hg₁ c₁ hc₁ hg₂ c₂ hc₂ f comm).φK = φ.τ₂
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s : Set β
⊢ ⋃ g, g⁻¹ • s = ⋃ g, g • s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.id C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hc : c ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm (c • f) p μ
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing Rₘ
inst✝¹² : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ
inst✝⁹ : Algebra S Sₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝² : FormallySmooth R Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra Rₘ Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f✝ : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I
this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra
this : IsScalarTower R Rₘ Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q := let __src := lift I ⋯ (AlgHom.restrictScalars R f✝); { toRingHom := __src.toRingHom, commutes' := ⋯ }
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp f = f✝
m n : ℕ
⊢ ↑(Nat.bitwise (fun x y => x && !!y) m n) = ↑(m &&& n)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x : E
⊢ (c • p).closedBall x r = p.closedBall x (r / ↑c)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
⊢ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (↑e ⁻¹' s) = e.target ∩ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictAnti f
⊢ f '' Set.Ioi a ⊆ Set.Iio (f a)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ f = o.rotation (o.oangle x (f x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S T : J.Cover X
x : CategoryTheory.Meq P S
y : CategoryTheory.Meq P T
⊢ CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk x = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk y ↔
  ∃ W h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
⊢ m ∈ f' '' s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
⊢ (p - q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
z : ℝ
⊢ z + 2 * π = z + ↑1 * (2 * π)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
hαx : 0 x = 0
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ x = 0
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ EMetric.infEdist x (Metric.thickening δ s) = EMetric.infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ φ.order.Dom ↔ φ ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})
hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})
⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f • g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
z : ℂ
⊢ Complex.normSq (-z) = Complex.normSq z
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β
⊢ u a ≤ u b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
NormedRing α
Nontrivial α
x : αˣ
⊢ 0 < ‖↑x‖₊
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0
⊢ (rename f) p = 0
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (W_ R n) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
⊢ 2 ≤ c.length ∧ c.length < n + 1 ∧ ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
AddCommMonoidWithOne R
i : V
⊢ ↑(G.degree i) = ∑ j : V, if G.Adj i j then 1 else 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (f.toAlgHom.toLinearMap - g.toAlgHom.toLinearMap) x ∈ Submodule.restrictScalars R P'.ker
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ
⊢ b ∣ n ↔ ↑b ∣ ofDigits c (b'.digits n)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x, slope f x x_1 ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (-(2 * ↑k)) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.mulDysonETransform e (Finset.mulDysonETransform e x) = Finset.mulDysonETransform e x
M : Type u_5
CommMonoid M
ι : Type u_6
s : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, f i ~ᵤ g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i ~ᵤ ∏ i ∈ s, g i
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : ℕ → Set G
hU : ∀ (i : ℕ), IsOpen (U i)
⊢ μ.innerContent { carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (RegularExpression.char a).deriv b = 0
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
TopologicalSpace G₂
T2Space G₂
Neg G₁
Neg G₂
ContinuousNeg G₂
⊢ IsClosed {f | ∀ (x : G₁), f (-x) = -f x}
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : Disjoint (⋃ i ∈ u, U i)ᶜ s
⊢ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
z : E
⊢ (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
s' : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff s' (x.divMonomial s) = MvPolynomial.coeff (s + s') x
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : IntermediateField F E
t : Finset E
ht : Algebra.adjoin F ↑t = S.toSubalgebra
⊢ S.FG
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ (Multiset.ndinsert a s).gcd = gcd a s.gcd
s : Set ℤ
h : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
⊢ ∃ a, a • y = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ (weightSpace M 0).normalizer ≤ weightSpace M 0
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs
⊢ IsWeaklyRegular (M₂ ⊗[R] M) rs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
desc : (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) → K.pt ⟶ E.pt
fac :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) (i : I.R), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.π i) (desc E) = E.π i
uniq :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) (m : K.pt ⟶ E.pt),
    (∀ (i : I.R), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.π i) m = E.π i) → m = desc E
E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicofork.IsColimit.mk K desc fac uniq).desc E = desc E
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }
⊢ map (fun x => (f ∘ val) x) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
z₁ z₂ : FirstObj P R
h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : R f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₂
⊢ ∀ (j : Discrete ((Y : C) × { f // R f })), limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hμst : μ (symmDiff s t) ≠ ⊤
⊢ μ s = ⊤ ↔ μ t = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ x.2.card + (e⁻¹ • x.2).card = 2 * x.2.card
g : ℝ → ℝ
g' u : ℝ
L' : Filter ℝ
h : HasGradientAtFilter g g' u L'
⊢ HasDerivAtFilter g g' u L'
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Monoid M
x : Mˣ
u : (↥(Submonoid.centralizer {↑x}))ˣ
⊢ (Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u * x = x * (Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
PartialOrder P
CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h₁ : Q₁.PosDef
h₂ : Q₂.PosDef
⊢ (Q₁.prod Q₂).PosDef
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
h : ‖x‖ = ‖0‖
⊢ SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ (fun x => f (Q x)) (x + y) = (fun x => f (Q x)) x + (fun x => f (Q x)) y + ((LinearMap.compr₂ B f) x) y
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ (s₁ ∩ s₂) • (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ • t₁ ∪ s₂ • t₂
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hf : (Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ s) hf.toFinset, f i
α : Type u
l : List α
a : α
⊢ {x | x ∈ a :: l} = insert a {x | x ∈ l}
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard < t.ncard ↔ (s \ t).ncard < (t \ s).ncard
α : Type u
β : Type v
f₁ : α → Option β
f₂ : β → Option α
h : ∀ (a : α) (b : β), a ∈ f₂ b ↔ b ∈ f₁ a
x : α
⊢ { toFun := f₁, invFun := f₂, inv := h } x = f₁ x