ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0
⊢ a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
⊢ Matrix.fromBlocks 0 0 0 0 = 0
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j
⊢ ↑(((DirectSum.decompose ℳ) x) j) = 0
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ Set.range ⇑(algebraMap R A) ≤ ↑S
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : M ⊨ T
p : T.CompleteType α
⊢ ∃ M, p ∈ T.realizedTypes (↑M) α
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
⊢ (shiftFunctorZero (PullbackShift C φ) A).hom.app X = (pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorZero C B).hom.app X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
Ring α
n : ℕ
a a' : α
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.ofNat n)
e : ↑n = a'
⊢ a = a'
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι
⊢ (algebraMap R S) (((restrictScalars R b).repr m) i) = (b.repr ↑m) i
R : Type u_1
Rack R
x y : R
⊢ MulOpposite.op x ◃⁻¹ MulOpposite.op y = MulOpposite.op (x ◃ y)
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
⊢ Primrec fun a => F a (c a)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
i₁ : ZMod 2
hm₁ : m₁ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ i₁
hm₂ : m₂ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₂ 0
⊢ Commute ((CliffordAlgebra.map f₁) m₁) ((CliffordAlgebra.map f₂) m₂)
ι✝ : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t✝ : ι✝ → Finset α
inst✝ : Fintype ι✝
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
this : DecidableEq ι
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b) (c • w) = c • (s.weightedVSubOfPoint p b) w
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
⊢ False
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
(↑P).FiniteIndex
g : G
hg : g ∈ P
⊢ (MonoidHom.transferSylow P hP) g = ⟨g ^ (↑P).index, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
hs : s = ∅
⊢ IsLUB s (sSup s)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : IntermediateField F E
h : S.FG
⊢ S.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
⊢ f x ≤ sSup (f '' Iio y)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) '' Set.Icc b c = Set.Icc (b - a) (c - a)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ 2⁻¹ + 2⁻¹ = 1
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ 1 ≤ c ↔ c ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ s.center p₂ p₁
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Add β
Mul β
a : α
⊢ e.ringEquiv a = e a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
G : Type u_6
Group G
MulAction G β
ContinuousConstSMul G β
c : G
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => f x • g x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p
⊢ ↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
⊢ P ⊥
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ colimMap (J.diagramNatTrans (𝟙 P) (unop x✝)) = (𝟙 { obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app x✝
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
⊢ ¬‖↑r.den‖ < 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opFunctor C).obj S = (Opposite.unop S).op
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
TopologicalSpace α
f g : α → G
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x / g x) s x
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
x y : CentroidHom α
⊢ (x * y).toEnd = x.toEnd * y.toEnd
V : Type u
a b : V
s : Set (SimpleGraph V)
hs : s.Nonempty
⊢ (sInf s).Adj a b ↔ ∀ G ∈ s, G.Adj a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
CategoryTheory.Mono S.f
⊢ CategoryTheory.IsIso h.f'
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ ⟨f, ⋯⟩ = ⟨g, ⋯⟩ → ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption (-x)
h₂ : x₂.IsOption (-x)
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y
⊢ P24 x₁ x₂ y'
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
⊢ s • interior t ⊆ interior (s • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
SemilatticeInf β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)
b : β
⊢ a ≤ f b
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : CategoryTheory.Arrow.mk φ ≅ CategoryTheory.Arrow.mk φ'
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), K'.HasHomology i
∀ (i : ι), L'.HasHomology i
⊢ QuasiIso φ ↔ QuasiIso φ'
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}
n : ℕ
NeZero n
a : ℕ
⊢ Fin.ofNat'' a = ↑a
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E
⊢ ↑↑(ProperCone.positive 𝕜 E) = ConvexCone.positive 𝕜 E
n k : ℕ
h : k.succ ≤ n.succ
⊢ (n.succ - k.succ)! * n.succ.descFactorial k.succ = n.succ !
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
⊢ i ∉ s \ {i}
n d : PosNum
⊢ ↑(↑n.pred' / ↑d).succ = ↑(↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)).succ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
f g : F ⟶ G
h : f.hom = g.hom
⊢ f = g
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
IsReduced B
⊢ IsRadical (minpoly A x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y
⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
⊢ False
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ↑(n - m) + ↑m = ↑n
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ nndist (a₁ + a₂) (b₁ + b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M : Matrix m n R
i : m
⊢ (M.toMvPolynomial i).IsHomogeneous 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).card + (s ∩ t).card = s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)
⊢ Monotone fun n b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
a : MvPolynomial S₁ R[X]
⊢ (MvPolynomial.optionEquivRight R S₁).symm a =
  (MvPolynomial.aevalTower (Polynomial.aeval (MvPolynomial.X none)) fun i => MvPolynomial.X (some i)) a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ ↑N ↔ x ∈ N
F : Type u_10
M : outParam (Type u_11)
N : outParam (Type u_12)
One M
One N
FunLike F M N
self : OneHomClass F M N
f : F
⊢ f 1 = 1
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
⊢ dist f 0 < M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 < M
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : ↥f.domain
⊢ (↑f x, ↑x) ∈ f.inverse.graph
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
⊢ p.primPart.content = 1
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : x ∈ ball y ε
⊢ ∃ ε' < ε, x ∈ ball y ε'
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Sub α
A B : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (A - B) i j = A i j - B i j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
⊢ ∀ (a : δ), Measurable fun x_1 => if hi : a ∈ s then x_1 ⟨a, hi⟩ else x a
⊢ ∀ (a : ℝ × ℝ), (Complex.equivRealProdLm.symm a).re = a.1
α : Type u
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
l m : List α
o : Ordinal.{u}
hl : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
hm : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m
hmltl : m < l
hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
i : α
⊢ i ∈ m → Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
α : Type u
a : α
as : List α
⊢ (a :: as).dropLast.length = as.length
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasDerivAtFilter (A i) (A' i) x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Surjective f
⊢ (f '' s)ᶜ ⊆ f '' sᶜ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
⊢ (c * (g' * (c * g'))).IsThreeCycle
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f
⊢ ω f ϕ s = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard ≠ 0 ↔ s.Nonempty
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : G ≃+ H
⊢ TwoUniqueSums G ↔ TwoUniqueSums H
α : Type u_1
s : Finset α
Fintype { x // x ∈ s }
⊢ Fintype.card { x // x ∈ s } = s.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a i : M
l : List M
hil : (∀ x ∈ l, x = 1) → l.prod = 1
hl : ∀ x ∈ i :: l, x = 1
⊢ (i :: l).prod = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)
h2 : ↑(twoCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ ↑(threeCochainsLequiv A)
⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
⊢ IsPrimitiveRoot (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n))) n
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
F : p₀.Homotopy p₁
x : ↑I × ↑I
⊢ F.symm x = F (σ x.1, x.2)
a : ℤ
n : ℕ
⊢ Int.pred^[n] a = a - ↑n
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
M'' : Type u_6
N'' : Type u_7
MulOneClass M''
MulOneClass N''
f' : M' →* M''
g' : N' →* N''
f : M →* M'
g : N →* N'
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.map f' g') ((Monoid.Coprod.map f g) x) = (Monoid.Coprod.map (f'.comp f) (g'.comp g)) x
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ s
⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (λ_ g).inv
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
h_sep : h.Separable
h_root : eval β h = 0
h_splits : Splits ιEE' h
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
⊢ c • Metric.ball x r = Metric.ball (c • x) (‖c‖ * r)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint (a ⊔ b) c ↔ Codisjoint (a ⊔ c) b
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ
⊢ x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx' : x ∈ s
hx : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ s
hxc : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
⊢ False
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ IsLieAbelian L ↔ LieAlgebra.center R L = ⊤
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
a b : A
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CategoryTheory.OppositeShift C A) a b).inv.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).hom.app (Opposite.unop X)).op
p : ℕ
⊢ Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH - 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 - (unpair p).2
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Subsingleton → Subsingleton ↑s
α : Type u_1
l : List (Option α)
⊢ l.length = l.reduceOption.length + (List.filter Option.isNone l).length
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
⊢ count p (nth p k) < count p n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X
e_1✝ : (X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) = ((stalkFunctor C x).obj X.presheaf ⟶ (stalkFunctor C x).obj X.presheaf)
⊢ (𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom = 𝟙 X.presheaf
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
ℱ : TopCat.Presheaf C X
x : ↑X
⊢ (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).obj ℱ = ℱ.stalk x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
f : R → Γ₀
h0 : f 0 = ⊤
h1 : f 1 = 0
hadd : ∀ (x y : R), min (f x) (f y) ≤ f (x + y)
hmul : ∀ (x y : R), f (x * y) = f x + f y
r : R
⊢ (AddValuation.of f h0 h1 hadd hmul) r = f r
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a
⊢ ⅟a * (a * b) = b
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ b < a
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ AList.lookup a s = none ↔ a ∉ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ s.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = s.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u =O[l] 0
⊢ u ~[l] 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)
⊢ ⇑φ = ⇑ψ