ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)
⊢ f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Epi f
⊢ AddMonoidHom.range f = ⊤
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
⊢ (ChainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 0 = X₀
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
H : ¬∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'
⊢ False
K : Type u
DivisionRing K
s t : Set K
⊢ Subfield.closure (s ∪ t) = Subfield.closure s ⊔ Subfield.closure t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
Z' X' Y' P' : C
f' : Z' ⟶ X'
g' : Z' ⟶ Y'
inl' : X' ⟶ P'
inr' : Y' ⟶ P'
e₁ : Z ≅ Z'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : P ≅ P'
commf : f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ g'
comminl : inl ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ inl'
comminr : inr ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ inr'
⊢ CategoryTheory.IsPushout f' g' inl' inr'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I n (↑(chartAt H x).symm) (chartAt H x).target
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x = x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ Set.EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) e.target
α : Type u
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
A : Matrix m' n' α
row : Fin 0 → m'
col : o' → n'
⊢ A.submatrix row col = ![]
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S b)
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α
⊢ s.compl.compl = s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ ∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } n = (Γ₀.splitting K[X]).φ (((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p) n
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ (s ∪ t).innerDualCone = s.innerDualCone ⊓ t.innerDualCone
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hr : Symmetric r
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b
n✝ n : ℕ
⊢ ∃ y ∈ {p | Prime p}, n < y
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k
hb' : b = d₂ ^ k * b'
h' : a' * b' = 1
⊢ d₁ ^ k * ↑(Units.mkOfMulEqOne a' b' h') = a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ (γ₀ : Γ₀), γ₀ ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x < γ₀
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactSpace Y
f : C(X, C(Y, Z))
⊢ Continuous (Function.uncurry fun x y => (f x) y)
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n • m ∈ Submodule.span ℤ {m}
⊢ (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) (n • m) = g ⟨n • m, hn⟩
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ ¬↑p ∣ m
R : Type u_1
K : Type v
L : Type w
CommRing R
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
f : R[X]
h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap R L) f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Fu Gu : Type u
NormedAddCommGroup Fu
NormedSpace 𝕜 Fu
NormedAddCommGroup Gu
NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
f : E → Fu
n : ℕ
s : Set E
t : Set Fu
x : E
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : Set.MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
n : ℕ
⊢ ∃ k, Xor' (n = 2 * k) (n = 2 * k + 1)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[Set.univ] a = 𝓝 a
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
tan_cts_U : ContinuousOn tan U
tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U
deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y
mono : StrictMonoOn (fun y => tan y - y) (Ico 0 (π / 2))
zero_in_U : 0 ∈ U
⊢ x < tan x
α : Sort u_1
p : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
⊢ (∀ (x : α) (h : p x), P x h ∧ Q x h) ↔ (∀ (x : α) (h : p x), P x h) ∧ ∀ (x : α) (h : p x), Q x h
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a ⊗ₜ[R] m ∈ Submodule.baseChange A p
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (a : X), ↑(re (f a)) + I • ↑(im (f a)) ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
happ : ∀ (X : C), e.hom.app X = eqToHom ⋯
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ p * φ (p * n) = φ p * (φ n * p)
⊢ φ (p * n) = p * φ n
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ∂ (￢a) ≤ ∂ a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : Set (L.Substructure M)
x : M
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
⊢ MeasurableSet (range f)
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n
⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
R : Type u
M : Type v
N : Type w
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
h : Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank R N)
h' : Module.rank R N < ℵ₀
⊢ FiniteDimensional.finrank R M ≤ FiniteDimensional.finrank R N
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R) (fun x x_1 => x ++ x_1) fun x x_1 => x ++ x_1
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ (∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
a : α
⊢ ⌊↑n + a⌋ = ↑n + ⌊a⌋
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ⇔ b = (a ⊔ bᶜ) ⊓ (b ⊔ aᶜ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e₁ : α ↪ β
e₂ : γ ↪ δ
⊢ ⇑(e₁.sumMap e₂) = Sum.map ⇑e₁ ⇑e₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'
⊢ (f.homMk' g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
⊢ ¬Order.IsPredLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ Order.pred b = a
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsAffine X
⊢ CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
⊢ legendreSym p ↑a = -1 ↔ ¬IsSquare ↑a
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
⊢ (n + b - 1) / b < n
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x : α
⊢ orderOf (f.cycleOf x) ∣ orderOf f
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ
⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * ((diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * ((algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r * star ↑hA.eigenvectorUnitary)
α : Type u_1
CommMonoid α
a b c d : Associates α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a * c ≤ b * d
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length
⊢ Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)
R : Type u_1
V : Type u_2
Field R
AddCommGroup V
TopologicalSpace R
TopologicalSpace V
TopologicalRing R
Module R V
SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v
⊢ f []
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioo ↑x ↑y = Ioo x y
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
⊢ G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ TensorBimod.actLeft (P.tensorBimod Q) L ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1
⊢ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 + EuclideanGeometry.angle p2 p3 p1 + EuclideanGeometry.angle p3 p1 p2 = π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
i : ι
⊢ (hv.equiv hv (Equiv.refl ι)) (v i) = (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (v i)
⊢ Set.range ENNReal.toEReal = Set.Ici 0
α : Type u_2
MulZeroClass α
g : Filter α
hg : g.NeBot
⊢ 0 ≤ 0 * g
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
CommRing k
Module k V
DecidableEq ι
Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
⊢ b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
⊢ 1 = 1 /ₒ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
g : Z ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Presieve.pullbackArrows f (CategoryTheory.Presieve.singleton g) =
  CategoryTheory.Presieve.singleton (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
X Y : CategoryTheory.WithTerminal C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftToTerminal F hZ).map f =
  match X, Y, f with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.of y, f => F.map (CategoryTheory.WithTerminal.down f)
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.star, x_1 => hZ.from (F.obj x)
  | CategoryTheory.WithTerminal.star, CategoryTheory.WithTerminal.star, x => CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.LeftTotal R
⊢ ((R ⇒ fun x x_1 => x → x_1) ⇒ fun x x_1 => x → x_1) (fun p => ∃ i, p i) fun q => ∃ i, q i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
F : CategoryTheory.Functor J C
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.Cocone F)
m n a✝ b✝ c d : ℕ
co : n.Coprime m
a b z : ℕ
hzan : z ≡ a [MOD n]
hzbm : z ≡ b [MOD m]
⊢ z ≡ ↑(chineseRemainder co a b) [MOD n * m]
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
i : ι
⊢ (f + g).f i = f.f i + g.f i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
c : E
h : IsCompact (Metric.closedBall c r)
⊢ FiniteDimensional 𝕜 E
R : Type u
CommRing R
X Y Z : AlgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).map (α_ X Y Z).inv =
  (α_ ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj X)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Y)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Z)).inv
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l l' : Filter α
hl : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (l ⊓ l') μ
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ ∀ e ∈ p.reverse.edges, e ∈ H.edgeSet
F : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
Monoid M₁
Monoid M₂
FunLike F M₁ M₂
MonoidHomClass F M₁ M₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Monoid.exponent M₂ ∣ Monoid.exponent M₁
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
⊢ IsNilpotent f
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
⊢ range' m (l - m) = range' (n + 1 * (m - n)) (l - m)
⊢ ∀ {X Y : CondensedSet} (f : X ⟶ Y), condensedSetToTopCat.map f = CondensedSet.toTopCatMap f
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
L : Type v
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
n : ℕ
hn : (LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n = 0
⊢ (LieAlgebra.ad R ↥K) x ^ n = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B' : LinearMap.BilinForm R M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
AddCommMonoid M''
Module R M''
B'' : LinearMap.BilinForm R M''
f' : M' →ₗ[R] M''
g' : M'' →ₗ[R] M'
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
⊢ B.IsAdjointPair B'' (f' ∘ₗ f) (g ∘ₗ g')
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
i j : ↑(atlas H M)
x : M
⊢ (tangentBundleCore I M).coordChange i j x =
  fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (Set.range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
n : ℕ
⊢ Ring.multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ ContinuousOn f s
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
⊢ ∀ (i : { i // ↑i ⊆ ↑U' ∩ U }), ↑(μ.toFun ↑i) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ dist a (b / c) = dist (a * c) b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ homologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ homologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.left.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
⊢ (∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * ⊤) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}
α : Type u_1
a b : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ b ::ₘ s ↔ a = b ∨ a ∈ s
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
⊢ 0 ∈ s.centralizer
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'
⊢ (f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z)) ≫ (α_ X' Y Z).inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
⊢ (List.take i (List.ofFn f)).sum = ∑ j ∈ Finset.filter (fun j => ↑j < i) Finset.univ, f j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
hg : ContDiff 𝕜 (↑i) g
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (f + g) x = iteratedFDeriv 𝕜 i f x + iteratedFDeriv 𝕜 i g x
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive D
z z' : Cochain K L n
f : K ⟶ L
Φ✝ : C ⥤ D
inst✝¹ : Φ✝.Additive
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
Φ : C ⥤ D
inst✝ : Φ.Additive
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ Φ.map ((z₁.comp z₂ h).v p q hpq) = ((z₁.map Φ).comp (z₂.map Φ) h).v p q hpq
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ (∀ n < minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ring.DirectLimit.map (fun i => RingHom.id (G i)) ⋯ = RingHom.id (Ring.DirectLimit G fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h))
n : Nat
⊢ (Int.negSucc n).natAbs = n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hc : 0 ≤ c
hfg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hgk : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx' : ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ c * c' * ‖k x‖
a b : Bool
⊢ (a || (a || b)) = (a || b)
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ * g₂) s
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs
⊢ p ∣ (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
m n k : Nat
h : m < n * k
⊢ m / n < k
α : Type u
Inv α
a : α
⊢ ↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹
K : Type u_1
Field K
f : K[X]
a : K
⊢ f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a) +
    (Polynomial.X - Polynomial.C a) * Polynomial.derivative (f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)) =
  Polynomial.derivative f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap R A) r)