ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
CategoryTheory.HasWeakSheafify K A
G.IsCocontinuous J K
G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
⊢ CategoryTheory.toSheafify J (G.op ⋙ F) ≫ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val =
  CategoryTheory.whiskerLeft G.op (CategoryTheory.toSheafify K F)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : g = ⊥
⊢ comap m ⊥ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
⊢ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) < ε
i₁ i₂ : String.Pos
⊢ i₁ = i₂ ↔ i₁.byteIdx = i₂.byteIdx
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
α : Type u
β : Type v
Fintype β
DecidableEq α
f : β → Set α
(w : β) → Fintype ↑(f w)
⊢ (⋃ x, f x).toFinset = Finset.univ.biUnion fun x => (f x).toFinset
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
⊢ s.prod t = ⊥ ↔ s = ⊥ ∧ t = ⊥
a : Nat
b c : Nat
h : b ≤ c
⊢ a + b - c = a - (c - b)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f g : C(↑(spectrum R a), R)
⊢ (cfcHom ha) f ≤ (cfcHom ha) g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
β : Type u_5
f : α → β
SeminormedAddCommGroup β
NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖↑(hf.approxBounded c n) x‖ ≤ c
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
g : ↑↑t
f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g
this : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away ↑g)
⊢ (ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ × σ → σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Computable₂ h
⊢ Computable fun a => Nat.rec (g a) (fun y IH => h a (y, IH)) (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 6 → β
⊢ ∏ i : Fin 6, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
⊢ 1 / -1 = -1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
⊢ n / 2 * 2 + 1 = n
x : ZFSet
⊢ ↑(ZFSet.toSet_equiv x) = x.toSet
x : ℂ
hx : x ≠ 0
y : ℂ
⊢ x ^ y = Complex.exp (Complex.log x * y)
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
M : Type w
L.Structure M
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
Countable M
h : FirstOrder.Language.IsFraisseLimit K M
⊢ FirstOrder.Language.IsFraisse K
G : Type u_3
H : Type u_4
Sub G
Sub H
a b : G × H
⊢ (a - b).2 = a.2 - b.2
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.45154, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.45158, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.45162, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_10, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.45174, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
g : L₁.obj Y ⟶ L₁.obj Z
⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (f ≫ g) = (homEquiv W L₁ L₂) f ≫ (homEquiv W L₁ L₂) g
n : Type u_12
m : Type u_13
m' : Type u_15
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype m'
DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) B * M = (LinearMap.toMatrix₂' R) (B.compl₂ (Matrix.toLin' M))
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ^ a * (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1)) ^ b = (∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 ^ (1 / a)) ^ (1 / (1 / a)) * (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f b t a ^ (1 / b)) ^ (1 / (1 / b))
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
ncf : ¬G.CliqueFree h.finpartition.parts.card
⊢ False
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ < ⊤
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
a : L
ha : a • f v = f u
⊢ f (τ a • v) = f u
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
⊢ M.Basis I X ↔ M.Basis' I X ∧ X ⊆ M.E
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
x : (i : ι) → Ms i
⊢ ((piQuotientLift p q f hf) fun i => Quotient.mk (x i)) = Quotient.mk (((lsum R Ms R) f) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α × β
⊢ (Equiv.prodSumDistrib α β γ).symm (Sum.inl a) = (a.1, Sum.inl a.2)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ (star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b) i j = 1 i j
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h : Set.uIcc a b ⊆ Set.uIcc c d
⊢ Ι a b ⊆ Ι c d
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
h : E → 𝕜
S : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 h S
hz : ∀ x ∈ S, h x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (h x)⁻¹) S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type v
CategoryTheory.SmallCategory I
CategoryTheory.IsFiltered I
F : CategoryTheory.Functor I C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.ofCocone c hc).ℐ = inst✝
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ H.relindex K ∣ H.index
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
E' : Type u_4
AddCommGroup E'
Module 𝕜 E'
f : E → F
x : E'
L : E' →ₗ[𝕜] E
v : E'
hf : LineDifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑L) x v
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f (L x) (L v)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
j : Fin2 n
y : (P F).B a j
⊢ f j y ∈ supp x j
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.ofLimitCone ht).π j = t.π.app { as := j }
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∀ (y₁ y₂ : (presheafHom F G).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (u : Ultrafilter X), ↑u ≤ 𝓝 x → s ∈ u → x ∈ s
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.num = 0
⊢ HomogeneousLocalization.mk f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformlyOnFilter f g l l'
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l l'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (f * f') (g * g') l l'
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
Mul R
Mul S
Add R
Add S
Mul S'
Add S'
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* S'
⊢ (e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
⊢ ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)
n k : Nat
h : n < n + k
⊢ 0 < k
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J
⊢ (ρ_ F).inv.app j = (ρ_ (F.obj j)).inv
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
⊢ a ∣ b
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42
⊢ ↑a (n + k) ∈ Submodule.comap f (I ^ n • range f)
a n : ℕ
⊢ Nat.pred^[n] a = a - n
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hac : AddLECancellable (a - c)
h : c ≤ a
⊢ a + b = b + c + (a - c)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k
⊢ x ∈ mulTSupport f
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
α : Type u
⊢ Equivalence (Relation.Join FreeAddGroup.Red)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₀ p : P
⊢ EuclideanGeometry.angle p p₀ p₀ = π / 2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) < ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
n : ℕ
a b : ZMod n
⊢ (a + b).cast = if ↑n ≤ a.cast + b.cast then a.cast + b.cast - ↑n else a.cast + b.cast
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
y : α
s : Multiset α
ih : y ∈ s → map f (s.erase y) = (map f s).erase (f y)
h : y ∈ y ::ₘ s
⊢ map f ((y ::ₘ s).erase y) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f y)
R : Type u_1
F : Type u_3
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
Field R
Module R F
ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
ht : t ≠ 0
⊢ IsOpenMap ⇑(AffineMap.homothety x t)
n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg).π = CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f
α : Type u_1
r : ℕ
⊢ Set.Sized r ∅
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
⊢ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (Polynomial.idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors))) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors)))
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ Function.IsFixedPt (⇑f) (OrderHom.gfp f)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z
⊢ Sbtw R w y z
α : Type u_2
CompleteLattice α
self : IsAtomistic α
b : α
⊢ ∃ s, b = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
R : Type u_1
Semiring R
a : R
⊢ (Polynomial.C a).mirror = Polynomial.C a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u
⊢ p.length = 0 ↔ p = SimpleGraph.Walk.nil
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
hn₀ : n ≠ 0
hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p
⊢ n.primeFactorsList.Subperm (p ^ n.factorization p).primeFactorsList
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
t : ℕ → Set β
ht : s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
k : ℕ
⊢ ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' t k)) ≤ ⨅ i, (m i) (t k)
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ a ∆ b ↔ Disjoint a b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : ∀ (a b : C), HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
d : D
F : C ⥤ D
f : (evaluationLeftAdjoint D c).obj d ⟶ F
x : C
g : c ⟶ x
⊢ (Sigma.ι (fun x => d) g ≫ Sigma.desc fun h => (Sigma.ι (fun x => d) (𝟙 c) ≫ f.app c) ≫ F.map h) = Sigma.ι (fun x => d) g ≫ f.app x
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
H : a ∉ s
b : PUnit.{u + 1}
⊢ (Equiv.Set.insert H).symm (Sum.inr b) = ⟨a, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β
⊢ sublistsLenAux n l f r = map f (sublistsLen n l) ++ r
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
l' : Filter α
h : IsMaxFilter f l a
hl : l' ≤ l
⊢ IsMaxFilter f l' a
X : Type u
TopologicalSpace X
t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (Filter.cocompact X)
⊢ f ×ˢ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (Set.univ ×ˢ t)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asIdeal f_deg hm q ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
⊢ 𝓝[≤] a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), 𝓟 (Ioc l a)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
⊢ ‖(f ∘ Neg.neg) z‖ ≤ C
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
this✝ : DecidableEq α
this : DecidableEq β
⊢ ∀ (g : (a : α) → a ∈ s → α), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a * f (g a ha) = 1) → (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 1 → g a ha ≠ a) → ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∏ x ∈ s, f x = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R
⊢ C (eval (C L * (X - C x) + C y) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
r₁ : ℝ≥0∞
h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p x r₁
⊢ HasFPowerSeriesAt g p x
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N P : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
inst✝ : Epi p
⊢ Epi (M.freeHomEquiv.symm σ.s ≫ p)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ K.homologyπ i ≫ HomologicalComplex.homologyMap φ i = HomologicalComplex.cyclesMap φ i ≫ L.homologyπ i
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i i' : ι
w : c.Rel i i'
⊢ (dNext i) f = C.d i i' ≫ f i' i
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
⊢ StrictMono fun x => f x + g x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
⊢ ↑N ≤ rexp (4 ^ 2)
i : Nat
⊢ Nat.testBit 1 i = true ↔ i = 0
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t
this : Countable ↑t
⊢ 2 ^ 𝔠 ≤ 𝔠
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁ <:+: l₂
α : Type u
AddCommGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a - d ≤ b - c
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.sinh x
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
⊢ HasSum (fun x => ↑(2 * ↑x * Real.sin (2 * π * a * ↑x) * rexp (-π * ↑x ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ Ideal.comap (Ideal.Quotient.mk I) (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J) = J
X : Type u_1
x : X
⊢ ((FundamentalGroupoid.equiv X).symm x).as = x
z : ℂ
x : ℝ
⊢ (z / ↑x).im = z.im / x