ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
a b : X
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
Preorder X
CompactIccSpace X
T2Space X
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ
P : ℕ∞ → Prop
a : ℕ∞
h0 : P 0
hsuc : ∀ (n : ℕ), P ↑n → P ↑n.succ
htop : (∀ (n : ℕ), P ↑n) → P ⊤
⊢ P a
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : W.IsInvertedBy F
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
⊢ φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivAt a a' x
hb : HasFDerivAt b b' x
⊢ HasFDerivAt (fun y => a y * b y) (a x • b' + a'.smulRight (b x)) x
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
hc : c ∈ S.objs
d : C
hd : d ∈ S.objs
hcd : S.hom.obj ⟨c, hc⟩ = S.hom.obj ⟨d, hd⟩
⊢ ⟨c, hc⟩ = ⟨d, hd⟩
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e.toIsometryEquiv = ⇑e
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v
⊢ Even p.length ↔ (c u = true ↔ c v = true)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.ConcreteCategory A
H.IsCocontinuous J K
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective K f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
p : pkg.space → Prop
a : pkg.space
hp : IsClosed {a | p a}
ih : ∀ (a : α), p (pkg.coe a)
⊢ p a
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map (AddMonoidHom.id G) K = K
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
⊢ False
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : α → Prop
⊢ (∃ a ∈ Set.range f, p a) ↔ ∃ i, p (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α
⊢ PosSMulStrictMono α β ↔ PosSMulReflectLE α β
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ
⊢ ↑(orderOf x) ∣ i ↔ x ^ i = 1
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s
⊢ L (f ⍟ g) s = L f s * L g s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k l : ℕ
h : l ≤ k
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I ≤ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L l I
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : ZeroHom N P
f₂ : ZeroHom M N
⊢ Finsupp.mapRange.zeroHom (f.comp f₂) = (Finsupp.mapRange.zeroHom f).comp (Finsupp.mapRange.zeroHom f₂)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.subtype.ker = ⊥
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)
AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b
ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1
ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)
ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1
q : ℕ
hq : A * B - 1 = 2 * p * q
ha₈ : b ^ (2 * p) - 1 ∣ b ^ (A * B - 1) - 1
⊢ (A * B).ProbablePrime b
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)
⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
e : α ↪o β
x y : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Ι (e x) (e y) = Ι x y
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap 1 0) (1 - c) = c
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a' : α) → a' ∈ m → δ a'
δ' : α → Sort u_3
φ : ⦃a' : α⦄ → δ a' → δ' a'
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
⊢ (fun h => ⋯ ▸ φ b) = fun h => φ (⋯ ▸ b)
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
⊢ x < tan x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
⊢ (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i)) = ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
⊢ FreeAbelianGroup.map (g ∘ f) = (FreeAbelianGroup.map g).comp (FreeAbelianGroup.map f)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable F' μ
h_lip : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (Metric.ball x₀ ε)
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
⊢ MeasureTheory.Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ Polynomial.eval x 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
⊢ IsClosed (s ∩ f ⁻¹' t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
f : α →ₛ F
s : Finset F
hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s
x : F
hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0
hx : x ∉ f.range
⊢ (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
i : ι
⊢ s i ⊆ ⋃ i, s i
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ {a} ⊆ s ↔ a ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s ↔ MonovaryOn g f s
ι : Type u_1
R₂ : Type u_4
M : Type u_6
CommRing R₂
AddCommGroup M
Module R₂ M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
v : M
i : ι
⊢ ((e.unitsSMul w).repr v) i = (w i)⁻¹ • (e.repr v) i
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.2‖₊ = ‖a‖₊
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⊤
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
α : Type u_2
Preorder α
Zero α
⊢ NonemptyInterval.toProd 0 = 0
α : Type u_1
R : Type u_3
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
c : R
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ (c • m) s = c • m s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WOppSide x y
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
⊢ s.WOppSide x z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
⊢ (reflection (Submodule.span 𝕜 {u})) v = 2 • (⟪u, v⟫_𝕜 / ↑‖u‖ ^ 2) • u - v
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
⊢ Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))
⊢ cg ≤ max cf cg
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ 0
hdiv : ¬p ∣ 0
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x : G
x✝¹ : InClosure s x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x
hd : G
tl : List G
ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹
⊢ (List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y) Z =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y Z).inv)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
h : (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) (f, g) = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) (f, g)
⊢ (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a \ a = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f.hom ≫ F.map Y✝.comul ≫ F.δ Y✝.X Y✝.X = (F.map X✝.comul ≫ F.δ X✝.X X✝.X) ≫ (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂'.map f).τ₂ = f.f₃.τ₁
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.CG ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun S = N
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
g : α → β
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace α} {f : γ → α} {μ : MeasureTheory.Measure γ}
  {ν : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν →
    MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
⊢ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x))) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
⊢ ↑(A * C).card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card / ↑B.card
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁ = μ₂ ↔ ∀ (s : Set α), μ₁ s = μ₂ s
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.closure ↑K = K
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ Set.range ⇑(algebraMap R A) ⊆ ↑S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
s : Finset I
P : I → CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
h : ∃ i ∈ s, (P i).Factors f
⊢ (s.sup P).Factors f
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
hp : 1 < a.succ
hk : 1 < n.succ
h : a.succ ^ n.succ ∣ a.succ
⊢ a.succ * a.succ ^ n ∣ a.succ * 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.degree < p.degree
hcontra : p ∣ q
⊢ False
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
g : G
x : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule
⊢ (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (MonoidAlgebra.single g 1 • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)) = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)))))
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
⊢ ↑u ≤ 𝓝 x ↔ x = joinM u
α : Type u
b : ULift α
⊢ Eq { down := b.down } b
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ↑a⁻¹
⊢ k ∈ (σ ↑a)⁻¹
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
j : Fin n
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
ih : j.castSucc ≠ j.castSucc → j.castSucc < j.castSucc → swap j.castSucc j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : j.castSucc ≠ j.succ
lt : j.castSucc < j.succ
⊢ swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : a ⊔ c ≤ b ⊔ c
⊢ a \ c ≤ b \ c
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : ℝ
⊢ ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 * a.2
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsUnit x
b : R
hb : b * x = 1
⊢ b * x + 0 * x = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) (-⟪y, x⟫_𝕜) = -⟪x, y⟫_𝕜
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
h : ¬a * b < ℵ₀ ↔ ¬(a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀) := Iff.not mul_lt_aleph0_iff
⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
f : α → E
g : E → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
R : Type u
Semiring R
⊢ { toFinsupp := 1 } = 1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : s ⊆ t
h : μ.restrict t = ν.restrict t
⊢ μ.restrict s = ν.restrict s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
⊢ ∀ (a : ↥S₁), (StarSubalgebra.inclusion h) a = Subtype.map id h a
R : Type u
Ring R
⊢ Polynomial.restriction 1 = 1
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.braiding P Q).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.153874
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (directSumRight R M₁' M₂).symm ((lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y
G : Type u_3
Group G
G' : Type u_5
Group G'
Group.FG G
Group.FG G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Group.rank G' ≤ Group.rank G
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
x✝ : minpoly A x ∣ p
q : A[X]
hq : p = minpoly A x * q
⊢ (Polynomial.aeval x) p = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
h_spec : spectrum R a ⊆ {0}
ha : p a := by cfc_tac
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
⊢ {x | (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
help₂ : ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Set α
⊢ Set.range f ⊆ s ↔ ∀ (y : ι), f y ∈ s
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
⊢ ⇑Matrix.detMonoidHom = Matrix.det
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ 𝟙 N.X) (M.X ◁ 𝟙 N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
⊢ I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(PrimeSpectrum.comap f)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
self : Sylow p G
⊢ IsPGroup p ↥↑self