ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
x : CentroidHom α
⊢ (-x).toEnd = -x.toEnd
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h) = 1
α : Type u_2
Lattice α
S : Set (Sublattice α)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ L ∈ S, ↑L
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing 𝕜
StarRing A
StarModule 𝕜 A
NormedStarGroup A
a : A
⊢ DoubleCentralizer.coeHom a = ↑𝕜 a
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
⊢ ∀ (x y : Cofix F α), R x y → LiftR' (α.RelLast' R) x.dest y.dest
this : HasDerivAt Gamma ↑(-√π * (γ + 2 * Real.log 2)) ↑(1 / 2)
⊢ HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
⊢ MeasurableSet ↑s
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
⊢ ∀ (a : G), (IsometryEquiv.neg G) a = -a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P.Hom Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p f.f = f.f
x y : SetTheory.PGame
h : x ≤ y
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).LF y
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
⊢ UniqueMul (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
    (MulOpposite.op b0) (MulOpposite.op a0) ↔
  UniqueMul A B a0 b0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂'.obj S = S.L₂'
α : Type u_1
β : Type u_2
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α →+* β
I : Type u_3
h : I → α
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂✝ : γ₂
w✝¹ : α₁
w✝ : β₁
c₂ : γ₁
left✝¹ : a = inl w✝¹
left✝ : b = inl w✝
h : inr c₂✝ = inl c₂
right✝ : c₂ ∈ f w✝¹ w✝
⊢ False
α : Type v
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsConnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Set.Icc a b ⊆ s
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid N
h : S ≤ MonoidHom.mrange f
⊢ map f (comap f S) = S
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
U : (Matrix m m 𝔸)ˣ
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (↑U * A * ↑U⁻¹) = ↑U * NormedSpace.exp 𝕂 A * ↑U⁻¹
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : Embedding ⇑f
H₂ : Embedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ NonUnitalSubalgebra.centralizer R Set.univ = NonUnitalSubalgebra.center R A
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
p₁ p₂ : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (Nat.Linear.Poly.combineAux fuel p₁ p₂) =
  Nat.Linear.Poly.denote ctx p₁ + Nat.Linear.Poly.denote ctx p₂
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ f' ^ (n + 1) = (f' ^ n) ∘ₗ f'
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ k = 0 + k
M : Type u_2
Mul M
e₁ e₂ : MulAut M
⊢ ⇑(e₁ * e₂) = ⇑e₁ ∘ ⇑e₂
p n : ℕ
⊢ padicValNat p n = 0 ↔ p = 1 ∨ n = 0 ∨ ¬p ∣ n
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x = ((p * ‖x‖ ^ (p - 2)) • (innerSL ℝ) x) 1
a b c d : ℕ
⊢ a / b * (c / d) ≤ a * c / (b * d)
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
b : β
⊢ (OrderIso.sumLexDualAntidistrib α β).symm (Sum.inl (OrderDual.toDual b)) = OrderDual.toDual (Sum.inr b)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
⊢ (a < b ∨ c < b) ∧ a < c ↔ a < b ∧ a < c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ List.indexOf (l.get i) l = ↑i
m n : ℕ
IH : shiftLeft' true m n ≠ 0 → (shiftLeft' true m n).size = m.size + n
h : ¬bit true 0 = 0
s0 : shiftLeft' true m n = 0
this : shiftLeft' true m n + 1 = 1
⊢ (size 0).succ = (m.size + n).succ
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y
hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y
C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f
hC : IsClosed C
U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ
⊢ False
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
R : Type u_9
S : Type u_10
Semiring S
SMul R M₁
Module S M₁
SMul R M₂
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M₁ M₂ R S
f : M₁ →L[S] M₂
c : R
x : M₁
⊢ f (c • x) = c • f x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
ι : Type u_3
s : Finset ι
X : C
α : ι → (F ⟶ G)
⊢ (∑ i ∈ s, α i).app X = ∑ i ∈ s, (α i).app X
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
a b : α
⊢ Order.pred (max a b) = max (Order.pred a) (Order.pred b)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
hI : M.Basis' I X
hJ : M.Basis' J X
⊢ I.encard = J.encard
⊢ ∀ {α : Type u_1} {cut : α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {path : Batteries.RBNode.Path α}
  {t' : Batteries.RBNode α} {path' : Batteries.RBNode.Path α},
  Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path') →
    Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path → Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path'
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
⊢ 0 < 1 - rexp (-π)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor F).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F (𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C))).obj X)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r✝ r : List (List α)
l : List α
ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]
⊢ foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r) [l] = sublistsAux a r ++ [l, a :: l]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
x y : X
⊢ f x = f y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
ι : Type u_4
s : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : M
w : σ → M
h : ∀ i ∈ s, MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (φ i) n
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (∑ i ∈ s, φ i) n
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
r : R
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g) (MvPolynomial.C r) = f r
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₂.HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
i₂₃ : I
h' : i₂ + i₃ = i₂₃
⊢ CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (X₁ i₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₂ X₃ i₂ i₃ i₂₃ h'))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) i₁ i₂₃ j
      ⋯)
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
⊢ (iInf f).toReal = ⨅ i, (f i).toReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f self.r = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₁
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hx : ¬↑p ∣ y
k : R
hk : x - y = ↑p * k
⊢ ¬↑p ∣ y ^ (p - 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E
X Y : C
⊢ (F.prod' G).μ X Y = (F.μ X Y, G.μ X Y)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).π = F.map h.π
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : CategoryTheory.Limits.image f.hom ⟶ CategoryTheory.Limits.image g.hom
map_ι : map ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom = CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right := by aesop_cat
map' : CategoryTheory.Limits.image f.hom ⟶ CategoryTheory.Limits.image g.hom
map_ι' : map' ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom = CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right
⊢ (map = map') = True
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).Φ n = Polynomial.map f (W.Φ n)
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
r : R
⊢ eval (f r) (eval (map f q) (map (mapRingHom f) p)) = f (eval r (eval q p))
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
s : Set β
⊢ (a • s).Infinite ↔ s.Infinite
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
⊢ ‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * (fun x => ‖f x‖) x * (fun x => ‖g x‖) (x₀ - x)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)
⊢ ↑↑((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) ((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) x)) = ↑↑x
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
a b c d : ℕ
hmin : ∀ m < 1, ¬(m < p ∧ 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p)
hmp : 1 < p
hm₀ : 0 < 1
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 * p
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) < ↑n
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
⊢ ∃ x ∈ 𝒜 (k' • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = f ^ k' • val z
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
ι : Sort u_4
Countable ι
p : α → ι → Prop
⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X Y : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ mk f
⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso f).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso f).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f.op).unop =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.cokernelOpUnop f).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_3
CommSemiring S
Algebra R S
B : Type u_4
Ring B
TopologicalSpace B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
C : Type u_5
Ring C
TopologicalSpace C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : B →A[S] C
⊢ ↑(ContinuousAlgHom.restrictScalars R f) = AlgHom.restrictScalars R ↑f
R : Type u_1
CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M
Module R M₁
Module R M₂
Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C ((f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C m
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b
⊢ f '' a ⊆ f '' b
α : Type u
β : Type v
Add β
f g : AddHom (FreeAddSemigroup α) β
h : ⇑f ∘ FreeAddSemigroup.of = ⇑g ∘ FreeAddSemigroup.of
⊢ f = g
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
z : E i
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨i, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨i, z⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ egauge 𝕜 (c • s) x = egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
m n : ℤ
hx : 1 < a
⊢ a ^ m < a ^ n ↔ m < n
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
⊢ ↑s.toAddSubgroup = ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : C
X : C
CategoryTheory.Closed A
CategoryTheory.Closed B
f : B ⟶ A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev A).app X)
    ((CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f).app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev B).app X)
    ((CategoryTheory.ihom B).map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : R
⊢ (algebraMap R K) x = 0 ↔ x = 0
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ BddAbove
  {p |
    ∃ G x x_1,
      p =
        (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp
          (PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap G)}
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
⊢ (Algebra.intNorm A B) x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
bc : b ≤ c
ha : a < 1
b0 : 0 < b
⊢ b * a < c
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
⊢ ofFn f = (ofFn fun i => ofFn fun j => f ⟨m * ↑i + ↑j, ⋯⟩).join
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
Q : Type u_2
L.Structure Q
f : L.Equiv M N
g : L.Equiv N P
h : L.Equiv P Q
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α
x : α
ht : IsAtom {x}
⊢ ↑(Closeds.closure {x}) = {x}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
h : x ⤳ y
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C c : ℝ
hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1
hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
n : ℕ
hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n
hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
⊢ ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
j : J
⊢ ((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitCocone F).ι.app j).base =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C) j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι
hjt : j ∈ t
⊢ j ∈ Finset.image g (s.erase i)
M : Type u_2
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ ν : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ μ.mconv ν = ν.mconv μ
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
⊢ pNilradical R p = ⊥
m n : ℕ
α : Type u_1
a : Fin n → α
⊢ Fin.repeat m a ∘ Fin.rev = Fin.repeat m (a ∘ Fin.rev)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
α : Type u_1
Zero α
One α
Neg α
β : Type u_2
One β
Neg β
Zero β
f : α → β
h₁ : f 1 = 1
h₂ : f 0 = 0
h₃ : f (-1) = -1
s : SignType
⊢ f ↑s = ↑s
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B
⊢ DiscreteQuotient.comap f A ≤ DiscreteQuotient.comap f B
α : Type u
One α
a : α
LT α
⊢ ↑a < 1 ↔ a < 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ ↑(PointedCone.positive 𝕜 E) = ConvexCone.positive 𝕜 E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
⊢ K₁ᗮᗮ ≤ K₂ᗮᗮ
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i
⊢ nndist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁))
    ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) =
  nndist b₁ b₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ tβ = induced f tα ↔ ∀ (b : β), 𝓝 b = comap f (𝓝 (f b))