ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : PolishSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
hf : Measurable f
b : Set (Set ↑(range f))
b_count : b.Countable
hb : IsTopologicalBasis b
this✝ : Countable ↑b
T : ↑b → TopologicalSpace α
Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t
Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α
h✝ : ∀ (s : ↑b), IsClosed (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
Topen : ∀ (s : ↑b), IsOpen (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)
t' : TopologicalSpace α
t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
this : Continuous (rangeFactorization f)
⊢ Continuous f
α : Type u
TopologicalSpace α
U : Set α
⊢ ConnectedComponents.mk ⁻¹' (ConnectedComponents.mk '' U) = ⋃ x ∈ U, connectedComponent x
α : Type u_1
⊢ FreeMonoid.ofList [] = 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Saturated ↔ ∀ (n : ℕ) (g : G), g ^ n ∈ H → n = 0 ∨ g ∈ H
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α = 0 ↔ IsEmpty α
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
s : Set R
⊢ a • Subsemiring.closure s = Subsemiring.closure (a • s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
m : CategoryTheory.Limits.ImageMap sq
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage f.hom ≫ m.map = sq.left ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImage g.hom
⊢ Nat.Primrec' fun v => v.head - v.tail.head
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂ + CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ' h₁ h₂
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
x : FiniteAdeleRing R K
hx : ∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), ∃ y ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), x_1 * y = x
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
_hp : DecidablePred p
f g : α → γ
h : γ → β
⊢ ∏ x ∈ s, h (if p x then f x else g x) =
  (∏ x ∈ Finset.filter p s, h (f x)) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, h (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ m) x → x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
⊢ ¬s.Nonempty ↔ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
x : ℝ≥0
right✝ : ↑x < ε
h0r : 0 < ↑x
hrε : ↑x < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∑' (i : ι), ↑(ε' i) < ε
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ X.toRestrictTop.base = (TopologicalSpace.Opens.inclusionTopIso ↑X).inv
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (s.indicator fun x => c) p μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (rename f) ((monomial d) r) = (monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.exp (f x)) x
α : Type u_2
β : Type u_3
C : β → Type u_7
(b : β) → SemilatticeInf (C b)
s : Finset α
H : s.Nonempty
f : α → (b : β) → C b
b : β
⊢ s.inf' H f b = s.inf' H fun a => f a b
F : Type u_3
Field F
Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ ∃ a, ¬IsSquare a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
x : α
⊢ ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
θ : ℂ
n : ℤ
⊢ Polynomial.eval (Complex.cos θ) (Polynomial.Chebyshev.U ℂ n) * Complex.sin θ = Complex.sin ((↑n + 1) * θ)
α : Type u
Monoid α
self : αˣ
⊢ self.inv * ↑self = 1
n : ℕ
⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ (h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (h.counit.app B))) ≫ prodComparison F A B = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)
x y : UInt16
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt16.size
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
s : Set X
hs : IsCompact (closure s)
f : X → Y
hf : ContinuousOn f (closure s)
⊢ f '' closure s = closure (f '' s)
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b c : α
h : Disjoint (a ⊓ b) c
hle : b ≤ c
⊢ Disjoint a b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)) + C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)) * C (C (W.a₁ + L)))} = span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (C (C W.a₁ * X + C W.a₃) + C (C L * (X - C x₁) + C y₁) + Y)}
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊)
μ : YoungDiagram
self : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
⊢ j1 < j2 → (i, j2) ∈ μ → self.entry i j1 ≤ self.entry i j2
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g₁ g₂ : β → α
fa : Filter α
fb : Filter β
hleft : ∀ᶠ (x : α) in fa, g₁ (f x) = x
hright : ∀ᶠ (y : β) in fb, f (g₂ y) = y
htendsto : Filter.Tendsto g₂ fb fa
⊢ g₁ =ᶠ[fb] g₂
α : Type u_1
⊢ ⇑FreeAddMonoid.toList ∘ ⇑FreeAddMonoid.ofList = id
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
⊢ I < J ↔ ↑I ⊂ ↑J
α : Type u_2
Preorder α
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).IsPWO ↔ s.IsPWO ∧ t.IsPWO
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
⊢ ↑s.card ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
Mul β
⊢ commProb (α → β) = commProb β ^ Fintype.card α
z w : Complex.UnitDisc
⊢ (z * w).conj = z.conj * w.conj
G : Type u₂
k : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
Semiring k
Monoid G
Monoid H
FunLike F G H
MonoidHomClass F G H
f : F
⊢ ∀ (a : G →₀ k), (MonoidAlgebra.mapDomainRingHom k f) a = (↑(Finsupp.mapDomain.addMonoidHom ⇑f)).toFun a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
x : α
x_in_s : x ∈ s
xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s
⊢ ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (GCDMonoid.lcm l ↑n)
key : φ r ≤ 1
⊢ l ∣ 2 * ↑n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ
⊢ f.HasEigenvalue μ
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ CategoryTheory.CosimplicialObject.augmentedCechConerve.obj f = f.augmentedCechConerve
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (Ordnode.erase x t).Valid
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
A : CommMon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj A).obj X).mul = A.mul.app X
α : Type u_1
f : α → α
⊢ ⋃ n, Function.ptsOfPeriod f ↑n = Function.periodicPts f
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
⊢ ↑P ≠ ⊥
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
ι : Type u_1
α : Type u_2
Finite ι
DecidableEq α
t : ι → Finset α
⊢ (∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
⊢ ∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0
α : Type u_2
PartialOrder α
x y : α
⊢ x ≤ y → y = x ↔ ¬x < y
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i : ι
a : α i
hx : x ∈ A i
⊢ ((h.collectedBasis v).repr x) ⟨i, a⟩ = ((v i).repr ⟨x, hx⟩) a
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ 2 * X ^ 6 + C (f W.b₂) * X ^ 5 + 5 * C (f W.b₄) * X ^ 4 + 10 * C (f W.b₆) * X ^ 3 + 10 * C (f W.b₈) * X ^ 2 + C (f W.b₂ * f W.b₈ - f W.b₄ * f W.b₆) * X + C (f W.b₄ * f W.b₈ - f W.b₆ ^ 2) = Polynomial.map f (2 * X ^ 6 + C W.b₂ * X ^ 5 + 5 * C W.b₄ * X ^ 4 + 10 * C W.b₆ * X ^ 3 + 10 * C W.b₈ * X ^ 2 + C (W.b₂ * W.b₈ - W.b₄ * W.b₆) * X + C (W.b₄ * W.b₈ - W.b₆ ^ 2))
a b : Ordinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} a < Ordinal.lift.{u, v} b ↔ a < b
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ Orthonormal ℝ ⇑(e.toBasis.adjustToOrientation x)
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
a : Set α
h : d.Has aᶜ
⊢ d.Has a
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : True → α
⊢ iSup s = s trivial
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f : A₁ ≃+* A₂
hf : ∀ (x : R), f ((algebraMap R A₁) x) = (algebraMap R A₂) x
⊢ ↑(AlgEquiv.ofRingEquiv hf) = { toFun := ⇑f, invFun := ⇑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α
⊢ (Matrix.diagonal v).toBlocks₁₁ = Matrix.diagonal fun i => v (Sum.inl i)
C : FloatCfg
this : ↑prec ≤ ↑(2 * emax)
⊢ emin + ↑prec - 1 ≤ ↑emax
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : ι → Set α
⊢ (⋂ i, if p i then f i else g i) = (⋂ i, ⋂ (_ : p i), f i) ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬p i), g i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Mono h.g'
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : MeasureTheory.IsProjectiveMeasureFamily P
hJI : J ⊆ I
⊢ (P I) Set.univ = (P J) Set.univ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ u ∈ p.support
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors
⊢ ∃ k, (x + k * n).Coprime m
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
a x✝ z x y : ℂ
⊢ ↑x.arg = ↑y.arg ↔ x.arg = y.arg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
⊢ H = ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (⨅ i, m i) = ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
x : α
hx : 0 x ≤ f x
⊢ ↑‖f x‖₊ = ENNReal.ofReal (f x)
m n : ℕ
⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ ⊥ < affineSpan k s ↔ s.Nonempty
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ k ≤ card s
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
B✝ : PowerBasis S A
hB✝ : IsIntegral R B✝.gen
B B' : PowerBasis K S
P : R[X]
h : (aeval B.gen) P = B'.gen
hB : IsIntegral R B.gen
hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
j : Fin B'.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr ((fun i => B'.gen ^ ↑i) j)) i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.obj c).left = c.pt
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hwx : Submodule.span ℝ {w} = Submodule.span ℝ {x}
hyz : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • o.oangle w y = 2 • o.oangle x z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
⊢ a ⊔ b < c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ Even (a ^ n * a)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (cyclotomic n ℚ)
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{u, v} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
y : ↑X
h : p₀ ⤳ y
U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ
inc : U ⟶ V
⊢ eqToHom ⋯ ≫ (fun U => eqToHom ⋯) V = (fun U => eqToHom ⋯) U ≫ ((Functor.const (OpenNhds y)ᵒᵖ).obj A).map inc
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => ↑(f x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ AntilipschitzWith 1 ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun y => ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p) ++ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module k A
IsScalarTower k A A
SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a : MonoidAlgebra k G
⊢ ((MonoidAlgebra.liftMagma k) f) a = Finsupp.sum a fun m t => t • f m
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F.op ≅ G.op
⊢ (CategoryTheory.NatIso.removeOp α).hom = CategoryTheory.NatTrans.removeOp α.hom
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N
⊢ f.symm x ∈ ↑K ↔ f.symm x ∈ K
a b : ℕ+
⊢ (Ico a b).card = (Ico ↑a ↑b).card
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : ⟦α⟧ = succ c
⊢ c < (succ c).ord.cof
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S ≤ T
x : A
hx : x ∈ S
⊢ (NonUnitalSubalgebra.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩
α : Type u
Finite α
s t : Set α
h : #↑s = #↑t
⊢ #↑sᶜ = #↑tᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
h :
  ∀ (J : Type w) {𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J},
    CategoryTheory.FinCategory J → CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α
⊢ ⇑e '' Ioi a = Ioi (e a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
ι : Sort u_5
f : ι → α
⊢ Inv.inv '' range f = range fun i => (f i)⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝² : G.Full
inst✝¹ : G.Faithful
I : D
hI : Injective (G.obj I)
X Y : D
f : X ⟶ I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g
this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_2, v₁, u_1, u₁} G
w : G.obj Y ⟶ G.obj I
h : G.map g ≫ w = G.map f
⊢ g ≫ inv (adj.counit.app Y) ≫ F.map w ≫ adj.counit.app I = f
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
⊢ (y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (update I.lower i (max x (I.lower i)) i_1) (I.upper i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f a.1.1 * g a.1.2 * (f a.2.1 * g a.2.2) = f (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).1 * g (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).2
α : Type u_1
a : α
x : Option (Option α)
h : a ∈ x.join
⊢ some a ∈ x
a b c : Prop
h : a ↔ b
⊢ a → c ↔ b → c
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L₂ M₂
inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hf : Surjective ⇑f
hg : Surjective ⇑g
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w
⊢ {v, w}.toFinset ⊆ Set.univ.toFinset
α : Type u_3
Preorder α
a : α
⊢ grade α a = a
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a ≤ toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) b ↔ a ≤ b
x : ℝ*
h : x ≠ 0
⊢ x.Infinitesimal ↔ x⁻¹⁻¹.Infinitesimal