ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
⊢ Codisjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯
⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Fix F α
⊢ (mk ∘ dest) x = x
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x - y + y) ^ p = x ^ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ CategoryTheory.IsPullback b.inl 0 b.snd 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop
h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop
A_meas : MeasurableSet A
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
l : ↑s →₀ R
hl : (Finsupp.total (↑s) R R Subtype.val) l = 1
⊢ ∀ (i : ↑s), ∃ n, f ↑i ^ n • x ∈ (Algebra.ofId R S).range
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj X
⊢ (f.toContinuousMap ≫ f.symm.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 X) x✝
α : Type u
Preorder α
NoMinOrder α
⊢ lowerBounds Set.univ = ∅
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range n.succ, a ^ x * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (b ^ (n - x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), a ^ x * b ^ (n - x) * ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
StarRing R
M : Matrix m m R
⊢ M.conjTranspose.det = star M.det
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : ¬[] ∈ l₁ :: l₂ :: L
⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
⊢ sSup s ≤ sSup t
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
⊢ (aeval (ϕ (root f))) f = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M × N →* P
⊢ (f.comp (MonoidHom.inl M N)).noncommCoprod (f.comp (MonoidHom.inr M N)) ⋯ = f
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ (fun x => a + x) '' Ico b c = Ico (a + b) (a + c)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖RCLike.I • y - 2 • z‖ * ‖RCLike.I • y - 2 • z‖ =
  2 * (‖RCLike.I • y - z‖ * ‖RCLike.I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖RCLike.I • y‖ * ‖RCLike.I • y‖
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 (⇑f) (polar (⇑f) a b) a b
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
g : α → β
⊢ List.map g (List.ofFn f) = List.ofFn (g ∘ f)
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
v : n → R
⊢ (∀ (w : n → R), Matrix.dotProduct v w = 0) ↔ v = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm ⋯ ⋯ x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m₂ (μ[s.indicator f|m]) μ
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
⊢ ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(↑(u * u⁻¹)).val
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p))
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : N
⊢ Monoid.Coprod.snd (Monoid.Coprod.inr x) = x
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
hx : IsAlgebraic K x
⊢ ∃ σ, σ x = y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsTerminal I
A : C
f : I ⟶ A
⊢ CategoryTheory.IsIso f
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).LF y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x.LF (y.moveRight j)
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
b c : β
⊢ b ∈ s → c ∈ t → b -ᵥ c ∈ s -ᵥ t
y z : ℝ
hyz : y < z
x : ℝ≥0
hx : 1 < ↑x
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
F : Type u_5
NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : MeasureTheory.Integrable g μ
hm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * g x) μ
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val → #↑s ≤ ↑n
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this✝ : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
this : ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x + i w, w⟫_ℝ) • f (x + i w)) = ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)
⊢ ∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o✝ : Ordinal.{u}
ho✝ : o✝.IsLimit
hsC✝ : contained C o✝
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
⊢ LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source
⊢ ∀ (a : Z), ↑(e.trans' e' h).symm a = ↑e.symm (↑e'.symm a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
this : upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, upcrossings a b f ω ≤ ↑k
⊢ (∃ k, ∀ (i : ℕ), ↑(upcrossingsBefore a b f i ω) ≤ ↑k) ↔ ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
⊢ ThreeAPFree (sphere x 0)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
⊢ ↑f 1 = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ y ∈ s, dist x y < ε
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (SimpleGraph.hasse α).Adj a b ↔ a ⋖ b ∨ b ⋖ a
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Surjective f
x : 𝕎 β
n : ℕ
⊢ (mapFun f (mk p fun n => Classical.choose ⋯)).coeff n = x.coeff n
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (Polynomial.cyclotomic' n R).degree = ↑n.totient
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
x : β
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ stabilizer G ↑1 ↔ x✝ ∈ H
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
⊢ y ∈ (extensionOfMax i f).domain
m : ℕ+
v : PrimeMultiset
h : m.factorMultiset ≤ v.prod.factorMultiset ↔ m ∣ v.prod := factorMultiset_le_iff
⊢ m.factorMultiset ≤ v ↔ m ∣ v.prod
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : ∀ (u : U), Function.Bijective (φ.star u)
u : U
⊢ Function.Bijective (φ.pathStar u)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ n < Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m ≤ n → ¬p m
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ })) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ
L : Finset V
h : Opposite.unop K ⊆ Opposite.unop (Opposite.op L)
⊢ ∃ D, ComponentCompl.hom h D = ↑e K
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
U₁ Z₁ : Set X
hU₁ : IsOpen U₁
hZ₁ : IsClosed Z₁
U₂ Z₂ : Set X
hU₂ : IsOpen U₂
hZ₂ : IsClosed Z₂
⊢ IsLocallyClosed (U₁ ∩ Z₁ ∩ (U₂ ∩ Z₂))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ≅ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G
⊢ (CategoryTheory.Quotient.natIsoLift r τ).inv = CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ.inv
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₀ * B₁ = B₁ * A₀
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hx : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ Differentiable ℝ fun x => Real.log (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsLocalMax (g ∘ f) a
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l
⊢ l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'
α : Sort u
β : Sort v
Countable β
f : α ↪ β
⊢ Countable α
α : Type u_1
CompleteLattice α
self : CompleteSublattice α
s : Set α
⊢ s ⊆ self.carrier → sInf s ∈ self.carrier
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M
this : LinearOrder ι := IsWellOrder.linearOrder WellOrderingRel
⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
α : Type u_2
r : α → α → Prop
⊢ ∅.WellFoundedOn r
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : (Matrix n n α)ˣ
⊢ ↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (𝟙_ C)).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
D₁ D₂ : LieDerivation R L L
⊢ ⁅x, ⁅D₁, D₂⁆⁆ = ⁅⁅x, D₁⁆, D₂⁆ + ⁅D₁, ⁅x, D₂⁆⁆
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
⊢ Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N'']
    [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄,
    Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor M f) ⇑(LinearMap.lTensor M g)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂ᵒᵖ
L : Φ.op.LeftResolution X₂
⊢ L.unop.w = L.w.unop
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ a + c ∈ Metric.ball (b + c) r ↔ a ∈ Metric.ball b r
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b → ⊤ ≤ a ⊔ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : F
⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => c + f y) ↔ Differentiable 𝕜 f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
⊢ f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'
E : Type u_2
Field E
S : Set E
F : Subfield E
T : Set E
HT : T ⊆ ↑F
⊢ T ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin (↥F) S)
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
⊢ BddBelow s → a ∈ s → sInf s ≤ a
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
p : δ → Prop
DecidablePred p
⊢ Measurable ⇑(Equiv.piEquivPiSubtypeProd p π).symm
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
⊢ (F.map (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = (F.commShiftIso n).hom.app T.obj₃ ≫ (n.negOnePow • (shiftFunctor D n).map (F.map T.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).right.hom = sq.f₃₄
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ∩ s₂ +ᵥ (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ +ᵥ t₁ ∪ (s₂ +ᵥ t₂)
a : ℤ
⊢ (-a.succ).succ = -a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = -1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
⊢ B.mulMap A = (A.mulMap B).comp ↑(Algebra.TensorProduct.comm R ↥B ↥A)
X : Type u
TopologicalSpace X
T1Space X
T35Space X
⊢ Set.SeparatesPoints Continuous
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]
⊢ (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
h : f =O[l] g
c' : R
⊢ (fun x => c' * f x) =O[l] g
α : Type u_1
n : ℕ
Sub α
x : α
v : Fin n → α
w : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x v - w = Matrix.vecCons (x - Matrix.vecHead w) (v - Matrix.vecTail w)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
hz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
⊢ y i < z i
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ a₁ : R
a₂ : ℕ
⊢ a₁ ^ a₂ * a₃ * b = a₁ ^ a₂ * (a₃ * b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ (Comon_ C)
⊢ (Bimon_.ofMon_Comon_obj C M).X = (Comon_.forgetMonoidal C).mapMon.obj M
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ (AddSubmonoid.center M).toAddSubsemigroup = AddSubsemigroup.center M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
A : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y * g y) s x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ 1 • x = x
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
H : (Ordnode.node s l x r).Sized
⊢ (Ordnode.node s l x r).size = l.size + r.size + 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f g : α × β → γ
h : f =ᵐ[μ.prod ν] g
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Function.curry f x =ᵐ[ν] Function.curry g x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ N
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ (preadditiveCoyoneda.obj (op G) ⋙ forget AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
b : P
hb : b ∈ ↑J
⊢ (↑I ∩ ↑J).Nonempty
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
CommGroup G
MeasurableMul₂ G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (f * g) μ ↔ AEMeasurable g μ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    𝒰.gluedCoverT' y z x ≫
      𝒰.gluedCoverT' z x y ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
          (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ (⇑(Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l) = fun l =>
  Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.C' C ho) (↑l).Tail
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
n : ZMod 2
⊢ CliffordAlgebra.reverse x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n ↔ x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n
α : Type u
s : Set α
⊢ IsEmpty ↑s ↔ s = ∅
a : ENNReal
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ b.addHaar = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → (coeff R b.1) p * (coeff R b.2) (X ^ n) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : E
⊢ ∫ (x : α), c ∂μ = (μ Set.univ).toReal • c
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n