ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n
⊢ 𝓝 a ≤ n a
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
χ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
(i : ι) → Module R (ψ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (χ i)
(i : ι) → Module R (χ i)
e : (i : ι) → φ i ≃ₗ[R] ψ i
f : (i : ι) → ψ i ≃ₗ[R] χ i
⊢ LinearEquiv.piCongrRight e ≪≫ₗ LinearEquiv.piCongrRight f = LinearEquiv.piCongrRight fun i => e i ≪≫ₗ f i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSeparatedSpace α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (InjOn f s ∧ InjOn f {a} ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ {a}, f x ≠ f y) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
⊢ False
ι : Type u_2
a b : ℝ
f : ι → ℂ
s : Finset ι
ha₀ : 0 ≤ a
ha : ↑a = ∑ i ∈ s, f i
hb : ↑b = ∑ i ∈ s, ↑‖f i‖
⊢ a ≤ b
α : Type u_2
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ ((fun b => Finset.image (fun a => a * b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id → s.card ∣ (s * t).card
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
hJ : J ≤ I
x : ι → ℝ
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).boxes.val = {J}
x : ENNReal
⊢ ⊥ < x.log ↔ 0 < x
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ HasProd (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) (∑' (n : ℕ), f n)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
⊢ ∃ H, H.IsComplement' N
k : Type u
CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants
⊢ ((Representation.linHom.invariantsEquivRepHom X Y) f).hom = ↑f
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty
h₁ : ball x r = ball h.some r
⊢ ball x r = ball y r
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
x : G
hx : x ∈ ↑(closure (↑H * ↑N))
⊢ x ∈ ↑H * ↑N
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1
⊢ ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
s : Set β
⊢ Bornology.IsBounded (f '' s) ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ C
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : ↑(G.commonNeighbors u v)
⊢ ↑((G.walkLengthTwoEquivCommonNeighbors u v).symm w) = (SimpleGraph.Adj.toWalk ⋯).concat ⋯
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0
⊢ eval₂ f x (p * q) = 0
k : ℕ
⊢ (2 ^ k).bitIndices = [k]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right = c.snd
m n k : ℤ
⊢ (m * n).lcm (k * n) = m.lcm k * n.natAbs
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d y✝ z : F
r R : ℝ
x : F
hx : (fun x => c + x) x ≠ c
this : HasFDerivAt (inversion c R) ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) (c + x)
y : F
hy : y ∈ ↑(Submodule.span ℝ {x})ᗮ
⊢ ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) y = ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) y
G : Type u_1
Group G
a x y : G
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a x y
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none
⊢ (match none with | some b => b :: l | none => (#[].push a).toListAppend (lookmap f l)) = a :: lookmap.go f l #[]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0
⊢ ((r • s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - ((r • s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (r • s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ (algebraMap R K) (Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)) = (algebraMap R K) (p ^ n.succ * r)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc N.actLeft ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ = MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ r < 0
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
⊢ ↑n ^ (-1) ≤ |↑M - ↑m / ↑n|
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Iio a = Set.Ioi (a / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β
⊢ p.swap.1 = p.2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n
⊢ a ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q ↔
  HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
⊢ False
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
α : Type u_6
self : FilterBasis α
x y : Set α
⊢ x ∈ self.sets → y ∈ self.sets → ∃ z ∈ self.sets, z ⊆ x ∩ y
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
x y : PiLp p α
h : ∀ (i : ι), x i = y i
⊢ x = y
α : Type u_1
One α
⊢ MulOpposite.op 1 = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ 0 < μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
a b : ℤ
hab : a = b
⊢ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
⊢ 0 < s.einfsep
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty
this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite
i : ι
x✝ : i ∈ univ
x : X
hx : x ∈ f i
n : ℕ
hn : x ∈ compactCovering X n
⊢ i ∈ ⋃ i, {i_1 | (f i_1 ∩ compactCovering X i).Nonempty}
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ∫⁻ (a : X) in S \ s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ↑ε
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
ι : Type u_1
f : ι → F
s : Finset ι
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
⊢ (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).Separable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
⊢ ∀ (b : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ b, ∃ i, f x ∈ t i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
z : (F ⨿ G).obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductEquiv F G a) z =
  (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom.app a z
α : Type u_1
a : α
⊢ Quiver.SingleObj.toHom a = a
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Iio a ⊆ Set.Iic a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ G.obj Y
⊢ f ≫ g ≫ α.inv.app Y = f' ≫ g' ≫ α.inv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subsemiring R
⊢ ↑(m • S) = m • ↑S
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α) in s, (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ Symmetric CategoryTheory.Zigzag
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Iio b \ Iic a = Ioo a b
R : Type u
Γ₀ : Type v
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
r : R
⊢ r ∈ v.integer ↔ v r ≤ 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
ht : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s x
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 ≤ z ↔ ∃ x ≥ 0, ↑x = z
n : Nat
⊢ list (n + 1) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0
⊢ (a + b) /. c = a /. c + b /. c
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' e.hom h₁ h₂
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝¹ : R
h : x✝¹ ∈ closure s
x : R
x✝ : (fun x => ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x) x
L : List (List R)
hL : (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x
⊢ ∀ (head : List R) (tail : List (List R)), (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) tail)).sum = -(List.map List.prod tail).sum → (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) (head :: tail))).sum = -(List.map List.prod (head :: tail)).sum
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε
⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
⊢ IsNilpotent f
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R)) L
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
t₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Comma.coconeOfPreserves F t₁ c₂).ι.app j).left = c₁.ι.app j
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ∀ a ∈ s.erase i, (v i - v a)⁻¹ ≠ 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K
⊢ ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } z‖ = ‖z‖
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : ∀ x ∈ f.support, x ^ f x ≠ 0
⊢ (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
⊢ {c | ∃ S, Set.Unbounded r S ∧ #↑S = c}.Nonempty
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
s : Set E
⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s
⊢ Tendsto (fun x => rexp (-π * x)) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A
⊢ discr A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P.det ^ 2 * discr A b
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
z : Bundle.TotalSpace F E
hz : z.proj ∈ e.baseSet
⊢ e.symm z.proj (↑e z).2 = z.snd
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ (fun x => x ^ (a - b) • x ^ (-a)) t = (fun x => x ^ (-b)) t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
⊢ IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
⊢ (MonoidHom.fst M N).comp toProd = fst
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝² : CommRing P
g✝ : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f i j hij x) = (g✝ i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (g✝ i✝) g = 0
⊢ (of G f i✝) g = 0
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0
⊢ ↑(⨅ i, s i) = ⨅ i, ↑(s i)
f : ℕ → ℂ
⊢ AnalyticOn ℂ (LSeries f) {s | LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re}
m n : Nat
⊢ n * m = 0 ↔ n = 0 ∨ m = 0
x : ℝ
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
⊢ f '' s ∪ f '' sᶜ = range f
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
L L' : LieSubalgebra R L₁
h : ↑L = ↑L'
x : ↥L
⊢ ↑((LieEquiv.ofEq L L' h) x) = ↑x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
iter₁ iter₂ : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
f g : iter₁.Hom iter₂
h : f.natTrans = g.natTrans
⊢ f = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
f : K.toGradedObject ⟶ L.toGradedObject
comm₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ : I₂), c₁.Rel i₁ i₁' → f (i₁, i₂) ≫ (L.d i₁ i₁').f i₂ = (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ f (i₁', i₂)
comm₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), c₂.Rel i₂ i₂' → f (i₁, i₂) ≫ (L.X i₁).d i₂ i₂' = (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ f (i₁, i₂')
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ ((HomologicalComplex₂.homMk f comm₁ comm₂).f i₁).f i₂ = f (i₁, i₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Finset α
f : α → β → M
h : ∀ a ∈ s, (Function.mulSupport (f a)).Finite
⊢ ∏ a ∈ s, ∏ᶠ (b : β), f a b = ∏ᶠ (b : β), ∏ a ∈ s, f a b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)
⊢ ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ) = Set.range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableEq α
β : Type u_2
s : β → β → Prop
p q : α × β
w : ¬Prod.Lex r s p q
⊢ ¬r p.fst q.fst ∧ (p.fst ≠ q.fst ∨ ¬s p.snd q.snd)
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Finite
⊢ s.Nonempty → t.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
h : IsChain r univ
a b : α
⊢ r a b ∨ a = b ∨ r b a
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
M N : DMatrix m n α
⊢ (∀ (i : m) (j : n), M i j = N i j) → M = N
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ Sym2.diag a ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
hx : x ∈ s
n : ℤ
⊢ n • x ∈ s
a b c x : ℕ
⊢ x ∈ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b) ↔ x ∈ Ico a (a + b)
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
F : N ⋊[φ] G →* H
⊢ F = SemidirectProduct.lift (F.comp SemidirectProduct.inl) (F.comp SemidirectProduct.inr) ⋯
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X
⊢ ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ some) x
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (1 / z) ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a / b).toReal = a.toReal / b.toReal
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.247016, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
⊢ 2 < 3 + 1