ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : HasFiniteIntegral f μ
s : Set α
⊢ HasFiniteIntegral f (μ.restrict s)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g
⊢ (CategoryTheory.TwoSquare.EquivalenceJ.functor w g).obj f =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Finite ι
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (Zspan.fundamentalDomain b) μ
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : q.natDegree < p.natDegree
⊢ (p - q).natDegree = p.natDegree
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w
⊢ x ∈ ↑⟨w, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
f : X → E
hf_meas : StronglyMeasurable f
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ.trim hm
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
h_mon : toMonoid = toMonoid
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
this : Monoid.npow = Monoid.npow
⊢ m₁ = m₂
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ BddAbove t → BddAbove s
ι : Type u_1
N : Type u_4
TopologicalSpace N
Monoid N
ContinuousMul N
T2Space N
f : ι → Nˣ
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
l.NeBot
h₁ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)
⊢ ↑(h₁.units h₂) = r₁
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (x - a)) c
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
⊢ Real.arctan x + Real.arctan y = Real.arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + Real.pi
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
⊢ (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
this : DecidableEq ι
⊢ ((Finsupp.total ι (Dual R M) R b.coord) f) (b i) = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
⊢ ℕ → 𝕜
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
v : ι → M
hv : ¬Function.Injective v
⊢ f v = 0
G : Type u_7
AddGroup G
self : NonarchAddGroupSeminorm G
r s : G
⊢ self.toFun (r + s) ≤ max (self.toFun r) (self.toFun s)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
G : Type u_2
FunLike G S R
g : G
I : Ideal S
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
⊢ Ideal.comap f I ≤ Ideal.map g I
u v m n : ℤ
⊢ ¬n % 2 = 1 ↔ n % 2 = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
Field L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
Algebra.IsAlgebraic K L
ϕ : L ≃ₐ[K] L
⊢ (Algebra.IsAlgebraic.algEquivEquivAlgHom K L) ϕ = ↑ϕ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x
this : Disjoint (𝓝ˢ k ⊓ 𝓟 s) (comap f (cobounded α))
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' (t ∩ s))
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_5
s : Set ι
f : ι → α
a : α
hs : s.Nonempty
hf : BddAbove (f '' s)
⊢ ⨆ i, f ↑i ≤ a ↔ ∀ i ∈ s, f i ≤ a
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
h0' : 0 < -x
h1' : -x < 1
⊢ log (-x) < 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
w : Nat
x y : BitVec w
pred : ∀ (i : Fin w), x.getLsb ↑i = y.getLsb ↑i
⊢ x = y
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
MeasurableSpace E
MeasurableSingletonClass E
Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
x : S
a✝ : Nontrivial S
⊢ (liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) x) = x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ I.den • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval (-↑n) = 0
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
h : c ≠ 0
hab : a * c ≤ b * c
⊢ a ≤ b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : ι → Type u_5
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_4
SMul R Y
r : R
f : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (r • f) x = r • f x
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)) ∧ ℵ₀ ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint (t \ s) s
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s : Set A
z : A
⊢ z ∈ StarSubalgebra.centralizer R s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo ↑a ↑b
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
⊢ ∑ m ∈ Finset.antidiagonal k, k.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2) = 0
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom f)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₁ p₂ p₃ p₄ : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₂) c -ᵥ (AffineMap.lineMap p₃ p₄) c = (AffineMap.lineMap (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)) c
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ IsOpen (Set.Iio a)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
⊢ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)).flip ((lof R ι ℬ 0) b) = (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ((lof R ι ℬ 0) b)
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
p : R[X]
x : R
P : Ideal R
hP : x ∈ P
n✝ : ℕ
i : n✝ < (p.scaleRoots x).natDegree
⊢ (p.scaleRoots x).coeff n✝ ∈ P
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ mabs a / a = a⁻ᵐ ^ 2
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x✝ : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace ⋯
x y : α
⊢ dist x y ≤ ↑(Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ * dist (f x * g x) (f y * g y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)
⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSober α
IrreducibleSpace α
⊢ IsGenericPoint (genericPoint α) ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∈ s
⊢ s ∩ {a} = {a}
α : Type u
x : FreeRing α
⊢ (FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (FreeAbelianGroup.lift ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l)) x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r) (p • (single R a) b) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R a) b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a₁ b₁ : R
a₂ b₂ : ↥M
H : ↑a₂ * b₁ = ↑b₂ * a₁
⊢ IsLocalization.mk' S a₁ a₂ = IsLocalization.mk' S b₁ b₂
x : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
⊢ (-x).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesNeg i) = -x.moveRight i
R : Type u
Semiring R
S T : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
α : Type u_1
as bs cs : List α
h : as ++ bs = cs ++ bs
⊢ as = cs
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
⊢ dickson 1 1 1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑1).comp (C ⅟2 * X)
K : Type u_1
RCLike K
x : K
⊢ ‖(starRingEnd K) x + x‖ ^ 2 = RCLike.re ((starRingEnd K) x + x) ^ 2
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < (∏ i ∈ Finset.range 2, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑2)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.lsubtypeDomain s) f = Finsupp.subtypeDomain (fun x => x ∈ s) f
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ ι R = f ↔ (lift R).symm g = f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : α → β
v : α →₀ M
g : M → N
h0 : g 0 = 0
hadd : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
⊢ Finsupp.mapDomain f (Finsupp.mapRange g h0 v) = Finsupp.mapRange g h0 (Finsupp.mapDomain f v)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
⊢ ∃ i, (p i) x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, span R {x})
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
⊢ l ~ n.primeFactorsList
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : K
⊢ (σ • w) x = w (σ.symm x)
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c a' : Ordinal.{u_1}
ha : a' < a
d : Ordinal.{u_1}
hd : d < b ♯ c
⊢ a' ⨳ (b ♯ c) ♯ a ⨳ d < a ⨳ b ♯ a ⨳ c ♯ a' ⨳ d
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
x✝ : M
⊢ 1 * x✝ = x✝ * 1
α : Type u_1
Preorder α
s : NonemptyInterval α
a : α
⊢ ↑s = Interval.pure a ↔ s = NonemptyInterval.pure a
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
h : ∀ (x : α), f x = 1
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (s ∩ u').Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
⊢ ↑r ≤ p.radius
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I = (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
⊢ m.left = s.pt.hom
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular
⊢ 0 < c.ord
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ 1 ≤ Function.const β a ↔ 1 ≤ a
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }
⊢ Function.Injective ⇑((ZMod.lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ (HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).iCycles = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ B.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ∫ (x : α) in i, (f + g) x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : LocalRing R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Nontrivial S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R
hab : IsUnit (f (a + b))
⊢ IsUnit (f a) ∨ IsUnit (f b)
α : Type u_1
CommMonoid α
u : (Associates α)ˣ
⊢ u = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime y (z * x) ↔ IsCoprime y z
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).coeff 0 = 1
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
⊢ omegaLimit f ϕ s = ⋂ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ u s)
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : Cone F
⊢ (limitCone h).extend (homOfCone h s) = coneOfHom h (homOfCone h s)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : M → Prop
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x₁
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]
hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0
hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0
x : ↑{x | IsAlgebraic R x}
⊢ ↑x ∈ (g x).rootSet A
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫ (x : α), 0 ∂μ = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j
⊢ φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ
n : Nat
⊢ 0 < n → n - 1 + 1 = n
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : X ⟶ C.X 0
w : f ≫ C.d 0 1 = 0
i j : ℕ
⊢ (C.augment f w).d (i + 1) (j + 1) = C.d i j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X : C
CategoryTheory.Closed A
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.curry
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A ((CategoryTheory.Functor.id C).obj X))) =
  (CategoryTheory.ihom.coev A).app X
α : Type u_1
Nontrivial α
x : α
⊢ ∃ y, y ≠ x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n < (a :: l).length
⊢ n - 1 < l.length
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ ∈ affineSpan k {p₂} ↔ p₁ = p₂
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
hb : Order.IsSuccLimit b
ha : a < b
⊢ Order.succ a < b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Set.Iic y)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.support.card ≠ 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
i : Nat
⊢ List.iota (i + 1) = (i + 1) :: List.iota i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : Augmented C
F : Arrow C
G : Augmented.toArrow.obj X ⟶ F
x : SimplexCategoryᵒᵖ
i : Fin ((Opposite.unop x).len + 1)
⊢ (X.left.map ((SimplexCategory.mk 0).const (Opposite.unop x) i).op ≫ G.left) ≫ F.hom = X.hom.app x ≫ G.right
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
⊢ x.coeff (⋯.min ⋯) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.fst ∈ dom ∧ p i.fst i.snd) ∧ s i.fst i.snd ⊆ t
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A
⊢ Function.Surjective (F.map f)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R[X]
g : S[X]
h : f.support ⊆ g.support
⊢ f.degree ≤ g.degree
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β → γ → α
⊢ (s.sup fun b => t.sup (f b)) = t.sup fun c => s.sup fun b => f b c
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0 m
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᵐ[μ] f' i
h_right : g =ᵐ[μ] g'
h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f' l g'
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Iic b ⊆ Set.Iic a ∪ Set.Ioc a b