ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : α → Type v
self : AList β
⊢ self.entries.NodupKeys
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
g : δ → α
l' : Filter δ
b : δ
hf : IsMinFilter f l (g b)
hg : Filter.Tendsto g l' l
⊢ IsMinFilter (f ∘ g) l' b
α : Type u_2
Ring α
a b : α
ha : Odd a
hb : Even b
⊢ Odd (a - b)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ x ∈ s * closedBall 1 δ ↔ x ∈ ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hbot : H ≠ ⊥
⊢ ∃ b, H = closure {b}
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (f z - f x) / (z - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
X Y Z : C
a b c : M
f : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
g : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift M
⊢ (f.comp g h).map F = (f.map F).comp (g.map F) h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
n : ℕ
hn : r < (μ.restrict (s n)) F
K : Set α
KF : K ⊆ F
hKp : p K
hK : r < (μ.restrict (s n)) K
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
⊢ TypeVec.comp TypeVec.prod.fst TypeVec.prod.diag = TypeVec.id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
⊢ s ∩ r.codom ⊆ r.image (r.preimage s)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0
γ : G
x : α
⊢ γ⁻¹ • x ∈ {x | a < f x} ↔ x ∈ {x | a < f x}
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (𝓓 a 𝒜).shatterer ⊆ 𝒜.shatterer
α : Sort u_4
β : Sort u_5
⊢ IsEmpty (α ⊕' β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
⊢ ¬(Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ (Polynomial.rootMultiplicity a p + 1) ∣ p
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.dblXYZ P = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ (Submodule.span R s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure (Set.univ • s)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
N : Type u_4
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
f : M →+ N
hf : Continuous ⇑f
s : Set α
⊢ ↑(v.mapRange f hf) s = f (↑v s)
z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g₁ g₂ : Fix F → α
h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ g₁ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩ = g₂ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ Associates.mk p ∈ (Associates.mk a).factors ↔ p ∣ a
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ
⊢ volume (Metric.ball a r) = ofReal (2 * r)
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
R : ↑(CompHausLike.finiteCoproduct X).toTop
⊢ ∃ a r, R = (CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) r
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
h : {x}.Subsingleton
⊢ IsClosed {x}
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsMinOn f s a
hg : Set.MapsTo g t s
ha : g b = a
⊢ IsMinOn (f ∘ g) t b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
x✝ y✝ x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y
⊢ log y < log x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ FirstOrder.Language.JointEmbedding (L.age M)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl
⊢ f * g₁ * g₂ = f * (g₁ * g₂)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_11, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_9, u_4} D
Zero I₂
DecidableEq I₂
CategoryTheory.Limits.HasInitial C₂
F₁ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁)
F₂ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₃)
G : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₃ D)
associator : CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ CategoryTheory.Functor.id C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ CategoryTheory.Functor.id C₃
(X₁ : C₁) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
(X₃ : C₃) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj
        ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)).HasMap
    τ.p₁₂
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁
              ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂))).obj
        X₃).HasMap
    π
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)).obj
        X₃).HasMap
    τ.p₂₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)
          X₃)).HasMap
    π
CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃
CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle :
  ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃) ((G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃)) =
      (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁
        ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap G π (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom) =
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap G π
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
⊢ ⊥.IsMaximal
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
⊢ τ f < z
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
ω : α
⊢ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop
R : Type u_1
AddCommMonoid R
StarAddMonoid R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x + x)
x y : ℕ∞
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
lf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
h : ∀ (i : ι), ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x₀
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (W.Φ n).coeff (n.natAbs ^ 2) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
e : α ≃ β
f : β → M
⊢ ∑ᶠ (i : α), f (e i) = ∑ᶠ (i' : β), f i'
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
g' : Γ'
hg' : ¬A (((of R).symm (B u)).coeff g') = 0
hAB : ((of R).symm (B u)).coeff g' = 0
⊢ A 0 = 0
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : p.IsRoot x
y : ℝ
hy : p.IsRoot y
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
z : ℝ
hz1 : z ∈ Set.Ioo x y
hz2 : deriv (fun x => eval x p) z = 0
⊢ z ∈ (derivative p).roots.toFinset
α : Type u
self : StrictOrderedSemiring α
a b c : α
⊢ a < b → 0 < c → a * c < b * c
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : E'), ∫ (x : α) in s, ⟪c, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) x⟫_𝕜 ∂μ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.symm.inv = α.hom
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f 0 x 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (fderiv 𝕜 ∘ f) g' l s
hf : ∀ (n : ι), DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (X ^ 0 - C a)
⊢ False
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOn F p s
hF' : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
this : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)
⊢ ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x y : ℝ × ℝ), e x ≤ e y ↔ x ≤ y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom.app K).f.f n =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).unop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (Opposite.unop X)).symm
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Multiset α
DecidableEq α
a : α
⊢ a ^ Multiset.count a s = (Multiset.filter (Eq a) s).prod
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasLeftKanExtension F
G : D ⥤ H
⊢ L.lanUnit.app (L ⋙ G) ≫ whiskerLeft L ((L.lanAdjunction H).counit.app G) = 𝟙 (L ⋙ G)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C b).degree < (C a * X).degree
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ H.mapCoconePrecomposeEquivalenceFunctor.hom.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
⊢ μ (spanningSets μ n) ≠ ⊤
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
b : α
ha : Squarefree a
⊢ Squarefree (gcd a b)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
⊢ Exists.choose ⋯ = w
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => Real.exp z.re) = fun z => Real.exp z.re ^ 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : IsNilpotent R L M
⊢ (match nilpotencyLength R L M with | 0 => ⊥ | k.succ => lowerCentralSeries R L M k) ≠ ⊥
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Polynomial.Splits i h
h_roots : (Polynomial.map i h).roots = {i x}
⊢ h = Polynomial.C h.leadingCoeff * (Polynomial.X - Polynomial.C x)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.StructureSheaf.isLocallyFraction 𝒜).pred 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
⊢ s ⊔ ⨆ x_1 ∈ t, update f x s x_1 = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* R
r : R
s : S
hr : eval₂ f r p = 0
⊢ eval₂ f (f s * r) (p.scaleRoots s) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (LinearEquiv.rTensor M f) (n ⊗ₜ[R] m) = f n ⊗ₜ[R] m
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • (fun i => fourierBasis.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) f
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y
⊢ x < logb b y ↔ b ^ x < y
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π
⊢ (2 • θ).sign = θ.sign ↔ |θ.toReal| < π / 2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c
⊢ (swap a b * swap a c).support = {a, b, c}
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s t : Set A
h : s ⊆ t
⊢ NonUnitalSubalgebra.centralizer R t ≤ NonUnitalSubalgebra.centralizer R s
α : Type u_1
p q : α → Prop
Fintype { x // p x }
Fintype { x // q x }
Fintype { x // p x ∨ q x }
⊢ Fintype.card { x // p x ∨ q x } ≤ Fintype.card { x // p x } + Fintype.card { x // q x }
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : F (α → β)
y : F α
⊢ (fun {α} => η.app α) (Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq ((fun {α} => η.app α) x) fun x => (fun {α} => η.app α) y
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
ι : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ IsNilpotent ((toMatrix b b) f) ↔ IsNilpotent f
x : Lean.Omega.IntList
m : Nat
⊢ List.length (x.bmod m) ≤ List.length x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
⊢ (f.sum fun e a => (RingHom.id R) a * (x + y) ^ e) = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ (f.map hy k) (f.mk' x y) = k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
Semiring S
Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂ : ι₂ → Type w₂
(i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
(i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
(i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i₁ : ι₁
m₁ : M₁ i₁
i₂ : ι₂
m₂ : M₂ i₂
⊢ (TensorProduct.directSum R S M₁ M₂) ((DirectSum.lof S ι₁ M₁ i₁) m₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.lof R ι₂ M₂ i₂) m₂) =
  (DirectSum.lof S (ι₁ × ι₂) (fun i => TensorProduct R (M₁ i.1) (M₂ i.2)) (i₁, i₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | s b (f a)}
y : β
h : y ∈ {b | s b (f a)}
⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨y, h⟩
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
l : List α
⊢ (↑l).inf = List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
⊢ ⨆ n, f n ∈ ⋂ n, Icc (f n) (g n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ↑(mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]
⊢ (List.map (fun f => f.support.sup degb) (List.replicate n f)).sum = (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
⊢ IsUnit a ↔ a = 1
α : Type u
R : α → α → Prop
⊢ Equivalence R → Equivalence (Stream'.WSeq.LiftRel R)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : ↥(𝒜 0)
⊢ ↑((projZeroRingHom' 𝒜) ↑a) = ↑a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑(affineSpan 𝕜 s)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))
n k : Nat
⊢ n < k + n → 0 < k
G : Type u_1
Group G
s : Set G
N : Subgroup G
N.Normal
⊢ s ⊆ ↑N ↔ Subgroup.normalClosure s ≤ N
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
⊢ Measurable (s.piecewise f fun x => f default)
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ Injective fun x => f ↑x
R : Type u_1
CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = 0 ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {q})) p = 0
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a
this : Nonempty (Quotient.out o).α
⊢ ∀ (i : (Quotient.out o).α), IsNormal (o.familyOfBFamily f i)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
⊢ ⇑f.toSupBotHom = ⇑f