ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalRing R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcₙ (fun x => f (-x)) a = cfcₙ f (-a)
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Set.Iic y, f x = (∫⁻ (x : ℝ) in Set.Iio z, f x) + ∫⁻ (x : ℝ) in Set.Icc z y, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ Fintype.card ↑s = Fintype.card α ↔ s = Set.univ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counitInv.app Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β
⊢ Nat.card ↑(Set.range f) ≤ Nat.card α
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ x ∈ s, Lagrange.basis s v x = 1
n k : ℕ
x : Fin k → ℕ
⊢ x ∈ List.Nat.antidiagonalTuple k n ↔ ∑ i : Fin k, x i = n
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
n : ℕ
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
⊢ a ∈ insert b s
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
(i : ι) → Lattice (α i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
ht : ∀ i ∈ s, IsSublattice (t i)
⊢ IsSublattice (s.pi t)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ
⊢ a ∣ a * e
α : Type u
Add α
a b : WithBot α
x : α
⊢ a + b = ↑x ↔ ∃ a' b', ↑a' = a ∧ ↑b' = b ∧ a' + b' = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, c ∂μ = c * μ s
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k
⊢ I ^ n ≤ I ^ m
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b < c
⊢ Set.Iic c ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc a b)
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
c : β → α
h : Set.range c ∈ f
W : Set β
W_in : W ∈ Filter.comap c f
⊢ c '' W ∈ f
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)
⊢ LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (LinearMap.ker f.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
k : ℕ
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count a.factors
a✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ b, a = b ^ k
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.IsReduced ω.reverse ↔ cs.IsReduced ω
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
⊢ ↑((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv R S).symm f) = ↑f
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p 0 ↔ MvPolynomial.weightedTotalDegree w p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x
⊢ Tendsto f (𝓝[s i] x) (𝓝 (f x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : F.Elementsᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).functor.obj X =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.yonedaEquiv.symm (Opposite.unop X).snd)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : CompleteSpace E
f : PartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) a
hf : ContDiffAt 𝕜 ⊤ (↑f) (↑f.symm a)
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ (↑f.symm) a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
⊢ Convex ℝ (parallelepiped v)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p.primPart.IsPrimitive
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
⊢ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a ⋙ shiftFunctor C b).obj X)) = ((F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
⊢ False
α : Type u
DecidableEq α
s : Set α
a : α
hs : (insert a s).Finite
⊢ hs.toFinset = insert a ⋯.toFinset
a b c d : ℝ≥0∞
⊢ c ≠ ⊤ → a < b → c ≤ d → a + c < b + d
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h✝ : abv.IsAdmissible
A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι
i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ
ne : i₀ ≠ i₁
h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε
k : ι
⊢ ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
⊢ __src✝.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅__src✝.toFun x, __src✝.toFun y⁆
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
⊢ M⁻¹.PosSemidef
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
⊢ p.coeff 0 = (Polynomial.aeval 0) p
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r ↪r s
⊢ f = g ↔ ∀ (x : α), f x = g x
w : Nat
x y z : BitVec w
⊢ x ^^^ y ^^^ z = x ^^^ (y ^^^ z)
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α
⊢ ofFn (Fin.append a b) = ofFn a ++ ofFn b
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
⊢ (p.append q connect).toFun (↑↑(Fin.natAdd p.length i) + 1) = q.toFun i
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
x ζ : (𝓞 K)ˣ
f : Fin (rank K) → ℤ
hζ : ζ ∈ torsion K
h : x = ζ * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ f i
⊢ f = ⇑((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x))
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
b : M i
⊢ DFinsupp.single i b = (DirectSum.lof R ι M i) b
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
CommRing K
Semiring M
Algebra K M
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
⊢ LinearIndependent K AlgHom.toLinearMap
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (a ::ₘ s) = (if p a then {a} else 0) + Multiset.filter p s
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ (n + 1) = a ^ (n + 1) * b ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedCommRing β
OrderTopology β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
hfg : ∀ (x : α), |g x| ≤ |f x|
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa
⊢ SurjOn fb (range f) (range f)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ (∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1) ↔ x ∈ f.domain
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ (cmp a b).Compares a b
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
SMulMemClass S R M
s : S
⊢ ↑(Submodule.span R ↑s) = ↑s
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℂ 2 AddCircle.haarAddCircle)
i : ℤ
⊢ ↑(fourierBasis.repr f) i = fourierCoeff (↑↑f) i
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
⊢ μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
this : S.HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ p₂ ≠ p₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
C : ℝ≥0
hf' : AntilipschitzWith C ⇑f'
⊢ (fun x' => x' - x) =O[L] fun x' => f x' - f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0
⊢ t = s
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ lowerBounds (Set.Icc a b) = Set.Iic a
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n k : ℕ
⊢ ((⇑WittVector.verschiebung)^[n] x).coeff (k + n) = x.coeff k
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ AddOpposite.unop (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
⊢ (∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true
a n : Nat
h : 0 < a
⊢ 0 < a ^ n
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α
⊢ ωSup (c✝.map ↑(f x)) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))
⊢ (f - g) =O[l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * expR (max cf cg * |u z|))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
p : β → Prop
hf : Filter.Tendsto f l₁ l₂
h : ∀ᶠ (y : β) in l₂, p y
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l₁, p (f x)
σ K : Type u
inst✝ : Field K
⊢ Module.rank K (MvPolynomial σ K) = Cardinal.mk (σ →₀ ℕ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
DiscreteTopology X
f : X → Y
⊢ IsLocallyConstant f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hbc : Relation.ReflTransGen r b c
⊢ Relation.ReflTransGen r a c
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffOn I' I n (f i) s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ (K.iCyclesIso i j hj h).inv ≫ K.iCycles i = 𝟙 (K.X i)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(p - 1)! = -1
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ↑I ≠ ⊥ ↔ I ≠ 0
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ (permutationsAux2 (id t) ts (map f []) ys ?f').2 = (permutationsAux2 t ts [] ys f).2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : R.n₀ ≤ n
⊢ ∀ (i : α), r i n < n
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
⊢ ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, |f x| ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ
⊢ Finite a b ↔ Finite a.natAbs b.natAbs
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.4635) (N : Type ?u.4634) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ico a b * Icc c d ⊆ Ico (a * c) (b * d)
s : List Char
i e n : Nat
⊢ go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
⊢ x ∈ closure s
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ⇑LinearMap.toContinuousLinearMap.symm = ContinuousLinearMap.toLinearMap
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
hsc : MeasureTheory.Measure.count s = 0
⊢ s = ∅
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
⊢ ‖x‖₊ = max ↑(x 0).natAbs ↑(x 1).natAbs
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
α : Type u_4
s : Finset α
f : α → AdicCompletion I M
n : ℕ
⊢ ↑(s.sum f) n = ∑ a ∈ s, ↑(f a) n
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 {x} = {x}
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
x : M
⊢ 1 x = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
e✝ : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Finite κ
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
i✝ j✝ : ι'
⊢ (b.reindex e).toMatrix v i✝ j✝ = (reindexAlgEquiv R R e) (b.toMatrix (v ∘ ⇑e)) i✝ j✝
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ b ⇨ a = a
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Set Y
hs : s.Finite
f : Y → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClopen (f i)
⊢ IsClopen (⋂ i ∈ s, f i)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ContinuousAdd M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
x y : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f.linearDeriv x) y = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i j k : ι
x : B
hx : x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∩ Z.baseSet k
v : F
⊢ ((Z.coordChange j k x).comp (Z.coordChange i j x)) v = (Z.coordChange i k x) v
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
⊢ Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑x ^ ↑n = 1 ↔ ∃ i < ↑n, cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)
⊢ (G'.neighborSet v).toFinset.card = G'.degree v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s✝ : Multiset (Multiset α)
a : Multiset α
s : Multiset (Multiset α)
ih : (map sum s).prod = (map prod s.Sections).sum
⊢ (map sum (a ::ₘ s)).prod = (map prod (a ::ₘ s).Sections).sum
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ pushoutComparison G f g ≫ G.map (pushout.desc h k w) = pushout.desc (G.map h) (G.map k) ⋯
n : ℕ
h₁ : 1 < n
h₂ : ¬Nat.Prime n
⊢ n.FermatPsp 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace γ
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
f : γ → ↑(Set.Icc a b) → β
g : γ → α
hf : Continuous ↿f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun a_1 => Set.IccExtend h (f a_1) (g a_1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A : Cᵒᵖ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
x : Opposite.unop A ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃
⊢ ((CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp x
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C n₀).map T.mor₃)
      ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁))
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α
⊢ x ∈ t ↔ x ∈ ⋃ i, (fun x => s ↑x ∩ t) i
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (jacobiTheta₂_fderiv z τ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
self : CategoryTheory.ExactPairing X Y
⊢ Y ◁ CategoryTheory.ExactPairing.coevaluation' ≫ (α_ Y X Y).inv ≫ CategoryTheory.ExactPairing.evaluation' ▷ Y =
  (ρ_ Y).hom ≫ (λ_ Y).inv
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁