ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
c✝ c : M'
x : M
⊢ HasMFDerivAt I I' (fun x => c) x 0
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
this : star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖star a * a‖
⊢ star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
I : Set α
hI : I ⊆ f ⁻¹' N.E
x✝ : ∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' I = f '' I₀
I₀ : Set α
hI₀ : N.Indep (f '' I₀)
right✝ : InjOn f I₀
hII₀ : f '' I = f '' I₀
⊢ N.Indep (f '' I)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = (f' ⋆[L, μ] g') x
α : Type u_1
p : α → Bool
y : α
xs : List α
w : xs.get? (List.findIdx p xs) = some y
⊢ p y = true
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ Polynomial.IsSplittingField K K[n√a] (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop
⊢ (∀ (fab : (ab : α ⊕ β) → γ ab), p fab) ↔
  ∀ (fa : (val : α) → γ (Sum.inl val)) (fb : (val : β) → γ (Sum.inr val)), p fun t => Sum.rec fa fb t
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
f : FrameHom β γ
g : FrameHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(μ Set.univ)⁻¹ • μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β → γ
s : Set γ
⊢ s ∈ (Filter.map m f).seq g ↔ ∃ t u, t ∈ g ∧ u ∈ f ∧ ∀ x ∈ u, ∀ y ∈ t, m x y ∈ s
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒵 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
G H : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒴 𝒵
α : G ⟶ H
⊢ (CategoryTheory.BasedCategory.whiskerLeft F α).toNatTrans = CategoryTheory.whiskerLeft F.toFunctor α.toNatTrans
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.map (g ∘ f) s = Stream'.WSeq.map g (Stream'.WSeq.map f s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α
⊢ MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
l : Filter α
h : f'' =O[l] g'
hf : ∃ᶠ (x : α) in l, f'' x ≠ 0
⊢ ¬g' =o[l] f''
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
self : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
p : c ⟶ d
⊢ p ∈ self.arrows c d → CategoryTheory.Groupoid.inv p ∈ self.arrows d c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ + g₂) s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
h : π.IsSubordinate r
π' : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ (π.infPrepartition π').IsSubordinate r
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
⊢ ⟨Associates.mk p, ⋯⟩ ∈ factors' a
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.isEmpty = true ↔ s.toString = "")
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ C (C 4 * X ^ 3 + C (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)) * X + C (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)) = (C (C 2) * Y + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃)) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + C W.toAffine.a₄ * X + C W.toAffine.a₆))
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible b
⊢ a * b * ⅟b = a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
⊢ Smooth I I fun x => -x
x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℂ
hlt : x < 0
⊢ ↑x ^ y = (-↑x) ^ y * cexp (↑π * I * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
⊢ min y z < x ↔ x > y ∨ x > z
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 3
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
x : α
⊢ ⊥ ≤ x
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subring R
x : R
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p s ≤ s
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0
⊢ ℕ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ ((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t)).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ)
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
S : Set G
hSK : Subgroup.IsComplement S ↑K
g k : G
h : k ∈ K
⊢ hSK.equiv (g * k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * ⟨k, h⟩)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
m : M
⊢ m ∈ Submodule.span R (⇑b '' ↑(b.repr m).support)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
X : ℰ
⊢ ∀ {X_1 Y : Cᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj X).obj (A.op.obj X_1)),
  ((CategoryTheory.Presheaf.restrictedYoneda A).obj X).map f a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (A.map f.unop) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
⊢ IsConnected {x}ᶜ
R : Type u
CommRing R
x : R
⊢ RingHom.ker (Polynomial.evalRingHom x) = Ideal.span {Polynomial.X - Polynomial.C x}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.L1.SimpleFunc.posPart f) = MeasureTheory.Lp.posPart ↑f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ Complex.abs ((o.kahler x) y) = ‖x‖ * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
⊢ r ≤ pf.radius
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
p : α → Prop
x y : Subtype p
⊢ edist x y = edist ↑x ↑y
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)
⊢ f ∈ idealOfSet R s ↔ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0
α : Type u_1
Zero α
a : α
⊢ AddOpposite.op a = 0 ↔ a = 0
M : Type u_3
A : Type u_4
CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
f : A → M
t : Finset A
⊢ (∀ b ∈ t, f b ∈ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
h : y ≤ 0
⊢ y ≤ gauge s (y • x₀)
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
Fintype ↑(Set.Iic a)
⊢ (Set.Iic a).toFinset = Finset.Iic a
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
s : Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
x : α
⊢ ↑(φ + (ψ - φ)) x ≤ max (↑φ x) (↑ψ x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E
⊢ im ⟪x, (adjoint T) (T x)⟫_𝕜 = 0
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
x y : α
⊢ (g ∘ f) (x + y) = (g ∘ f) x + (g ∘ f) y
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : Polynomial 𝕜
hdeg : 0 < p.degree
⊢ spectrum 𝕜 ((Polynomial.aeval a) p) = (fun x => Polynomial.eval x p) '' spectrum 𝕜 a
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ μ.restrict (s ∩ t) + μ.restrict (s \ t) = μ.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i ≤ l
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ typeToBoolAlgOp.map f =
  Quiver.Hom.op
    (let __src := { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ };
    { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ })
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
⊢ Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : √x = y
⊢ y * y = x
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K
⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ insert a s
G : Type u_1
inst✝ : Mul G
A B : Finset G
h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc : ¬(A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1)
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ b₁ < a • b₂
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
x : G
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x_1 / x) (𝓝 1) = 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ Module.End.HasEigenvalue T ↑(hT.eigenvalues hn i)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s t : Associates α
d : Associates α
eq : t = s * d
⊢ s.factors ≤ s.factors + d.factors
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
⊢ (irreducibleComponents α).Finite
α : Type u_2
DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Finset.Ioo s t = Finset.filter (fun x => s ⊂ x) t.ssubsets
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < Ordinal.mex f
⊢ ∃ i, f i = a
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
⊢ append (cons a as) bs = cons a (append as bs) ∘ cast ⋯
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x
α : Type u
l : List α
⊢ l.getLast?.isSome = true ↔ l ≠ []
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, g ≤ f
⊢ underlying.obj (sSup s) ⟶ underlying.obj f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
h : b ≠ a
⊢ ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct u) ((crossProduct v) w) = (crossProduct ((crossProduct u) v)) w + (crossProduct v) ((crossProduct u) w)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω ≤ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N m ω
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → Dist (α i)
f g : PiLp 0 α
⊢ dist f g = ↑⋯.toFinset.card
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
⊢ ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x y : ↥H
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ b ∈ closure (Ioo a b)
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → Set α
heq : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ⋃ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ⋃ i ∈ s, g i
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l l' : L₁ ⟶ L₂
h : l = l'
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftEq R l l' h).hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.newCone c).pt = c.pt
G : Type u_3
AddGroup G
a b c d : G
H : a - b = c - d
⊢ a = b ↔ c = d
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (ChainComplex C ℕ)
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂.obj P).p.app Δ =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting P.X).desc Δ fun A =>
    P.p.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting P.X).cofan Δ).inj A
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s U : Set X
⊢ ContinuousOn U.boolIndicator s ↔ IsClopen (Subtype.val ⁻¹' U)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
⊢ (f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x
a b : Prop
h : b = False
⊢ (a → b) = ¬a
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a
⊢ 0 ≤ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ factors' a = factors' b
x y : ℝ
⊢ x ^ y = (↑x ^ ↑y).re
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k l m n : ℕ
u v : R
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ Finsupp.single k u + Finsupp.single l v = Finsupp.single m u + Finsupp.single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
G : Type u_1
Group G
tG : Monoid.IsTorsion G
H : Subgroup G
⊢ Monoid.IsTorsion ↥H
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Finset V
hts : ↑t ⊆ s
b : AffineBasis ↑↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ (interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = Filter.comap (fun y => (y, x)) (𝓤 α)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.flip.f₁₂ = sq.f₁₃
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : BoundedContinuousFunction α β
h₁ h₂ : BoundedContinuousFunction δ β
⊢ dist (BoundedContinuousFunction.extend f g₁ h₁) (BoundedContinuousFunction.extend f g₂ h₂) =
  max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (Set.range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (Set.range ⇑f)ᶜ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
h : Set.MapsTo f s t
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) s
K : Type u_1
DivisionRing K
p q : K[X]
hp0 : p ≠ 0
⊢ q ∣ p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹ ↔ q ∣ p
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j = (limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (WittVector.truncate k).comp g = f k
⊢ WittVector.lift f f_compat = g
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ IsCompact self.carrier
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
⊢ M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
α : Type u_1
UniformSpace α
p : UniformSpace.Completion α → Prop
a : UniformSpace.Completion α
hp : IsClosed {a | p a}
ih : ∀ (a : α), p (↑α a)
⊢ p a
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
z : ↑(Y.presheaf.stalk (e.hom.val.base (e.inv.val.base y)))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.inv y)
    ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y)) z) =
  (Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯) z
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
e : R ≃+* S
x : S
⊢ e.toRingHom.IsIntegralElem (e (e.symm x))
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop
⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop