ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
α : Type u_12
e : M ≃+ N
f : N → α
g : M → α
⊢ g ∘ ⇑e.symm = f ↔ g = f ∘ ⇑e
a : ℤ
⊢ (↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a.natAbs
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q
x : R
⊢ eval x (p - q) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β
⊢ (∑' (a_1 : α), (if a_1 = a then 1 else 0) * if h : (if a_1 = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a_1 h) b) = (f a ⋯) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y f))
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α
inst✝⁵ : SMul M β✝
inst✝⁴ : SMul N α
inst✝³ : SMul N β✝
a✝ : M
x : α × β✝
β : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction M β
a : M
b : α
⊢ a • (b, 0) = (a • b, 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : (cocompact α).IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[cocompact α] g
hg : IntegrableAtFilter g (cocompact α) μ
⊢ Integrable f μ
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i < i0
⊢ pred^[Nat.find ⋯] i0 = i
a b : Int
⊢ -a % b = (b - a) % b
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
⊢ #ι = Module.rank R M
α : Type u_1
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
⊢ i.pi s \ i.pi t ⊆ ⋃ a ∈ i, Function.eval a ⁻¹' (s a \ t a)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
⊢ IsLocalization.toLocalizationMap M (Localization M) = Localization.monoidOf M
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this✝ : abs x ≠ 0
this : abs y ≠ 0
⊢ (x.re * y.re + x.im * y.im) * ((abs y)⁻¹ * (abs x)⁻¹) = (x.re * (y.re * (abs y ^ 2)⁻¹) + x.im * (y.im * (abs y ^ 2)⁻¹)) * (abs y * (abs x)⁻¹)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
h : CategoryTheory.Epi 0
⊢ (CategoryTheory.Limits.isoZeroOfEpiZero h).hom = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : A ⟶ S.X₂
S.HasLeftHomology
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x S.f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k ⋯) S.leftHomologyπ = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m✝ n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a
m : σ →₀ ℕ
⊢ (coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) ((monomial R n) a * φ)
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f
⊢ f 1 = 1
m n : Nat
a : Nat
h : m ≤ n
⊢ a ^ m ∣ a ^ n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm x) (o.rightAngleRotation y) = ⟪x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E
⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : ι → M'
x : M
⊢ ((b.constr S) f) x = ∑ i : ι, b.equivFun x i • f i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
this : ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p).Monic
⊢ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = 0 + (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p)
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
⊢ Summable (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
⊢ (iso S f).symm m = LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.3042) (N : Type ?u.3041) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y ≤ b
z : α
hzc : c ≤ z
hzd : z < d
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⟨a, ha⟩ = a
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G
⊢ (groupCohomology.dTwo A) f g =
  (A.ρ g.1) (f (g.2.1, g.2.2)) - f (g.1 * g.2.1, g.2.2) + f (g.1, g.2.1 * g.2.2) - f (g.1, g.2.1)
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y
⊢ derivWithin (fun z => c - f z) s y = -derivWithin f s y
M : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
i : M
r : R
⊢ Finsupp.single i r ∈ AddMonoidAlgebra.grade R i
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
n : ℕ
⊢ Nat.nth p n = ↑((Nat.Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)) n)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).inv ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
f : X → A
x : X
⊢ ((FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R) f) (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R x) = f x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Function.Injective ⇑f
x : L
⊢ (f.equivRangeOfInjective h) x = ⟨f x, ⋯⟩
M : Type u_1
Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
⊢ SemiconjBy a ↑x⁻¹ ↑y⁻¹
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
u : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = deriv u x * v
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
r : R
⊢ ((Polynomial.X + Polynomial.C r) ^ n).natDegree = n
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : Aˣ
n : ℤ
ha : p ↑a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => x ^ n) ↑a = ↑(a ^ n)
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π
⊢ (starRingEnd ℂ) x ^ n = (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
g : A ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g X.arrow = f
⊢ CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ X
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ b.repr ((fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = lp.single 2 i 1
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
⊢ (erase i f) j = (f - single i (f i)) j
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  (fun n =>
      ∑ i ∈ Finset.range n, ProbabilityTheory.truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) =o[Filter.atTop]
    fun n => ↑n
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (adj₁.unit.app c)) (((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α).app (L₁.obj c)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app (G.obj ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))
    (R₂.map (α.app ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∩ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (frobenius x).coeff n = ((map (_root_.frobenius R p)) x).coeff n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
⊢ MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ↑(f x))
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
⊢ x ∈ P ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.continuum < Cardinal.lift.{v, u} c ↔ Cardinal.continuum < c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F₁ : CategoryTheory.Functor C D
F₂ : CategoryTheory.Functor D E
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C E
e : F₁.comp F₂ ≅ F₁₂
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
L : CategoryTheory.GrothendieckTopology E
F₁.IsContinuous J K
F₂.IsContinuous K L
⊢ F₁₂.IsContinuous J L
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
M : Matrix m n α
⊢ M * 0 = 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).distortion = max π₁.distortion π₂.distortion
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
RegularSpace E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s ∧ Balanced 𝕜 s) id
c₁ c₂ : Cardinal.{u_1}
h₁ : ℵ₀ ≤ c₁
h₂ : 2 ≤ c₂
h₂' : c₂ ≤ c₁
⊢ c₂ ^ c₁ = 2 ^ c₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} = s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b ∂κ a
α : Type u_1
IdemSemiring α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → ∀ (a : α), n • a = a
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e e' : PartialHomeomorph M H
G : StructureGroupoid H
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
HasGroupoid M G
ClosedUnderRestriction G
s : TopologicalSpace.Opens M
hs : Nonempty ↥s
⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e'.subtypeRestr hs ∈ G
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
n : α
a : Unit
⊢ (a ∈ bif f n then Part.some () else Part.none) ↔ a ∈ Part.assert (f n = true) fun x => Part.some ()
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
hb : b ≠ 0
⊢ (DFinsupp.single i b).support = {i}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero α
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
PosSMulStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
⊢ PosSMulStrictMono α β
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
⊢ x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁) = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
x y : α
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.swap x y) = if x = y then 1 else -1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this : (f - 0).LimZero
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R s
p : (x : A) → x ∈ Algebra.adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ Algebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ Algebra.adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ Algebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ Algebra.adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
⊢ p x hx
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ((↑s).get? n).get = ↑s n
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.range n, (x + 1).factorial = n.superFactorial
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract (Int.fract a) = Int.fract a
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
p₁ p₂ : P
⊢ f.contLinear (p₁ -ᵥ p₂) = f p₁ -ᵥ f p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ s ∈ Set.preimage f '' {s | IsOpen s}
α : Type u_1
LE α
MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ b * a ≤ a ↔ b ≤ 1
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
⊢ (cs.rightInvSeq ω.reverse).Nodup
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.Tendsto (⇑e) Filter.atBot Filter.atBot
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
a : Set α
σ✝ : Type u_5
F✝ : CFilter (Set α) σ✝
⊢ a ∈ F✝.toFilter ↔ ∃ b, { σ := σ✝, F := F✝, eq := ⋯ }.F.f b ⊆ a
α : Type u
Preorder α
WellFoundedLT α
⊢ StrictMono ⇑toWellOrderExtension
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0
⊢ ↑s.card ≠ 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
⊢ X - C a ∣ p - C (eval a p)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < Ordinal.sup f
⊢ (Ordinal.sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
⊢ ↑(FiniteDimensional.finrank R M) = #ι
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ ENNReal.ofReal (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)
α : Type u
self : UniformSpace.Core α
⊢ (self.uniformity.lift' fun s => s ○ s) ≤ self.uniformity
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ z
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
p : A → Prop
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)
x✝ : ContinuousOn (exp 𝕜) (spectrum 𝕜 a)
a✝ : ↑(spectrum 𝕜 a)
⊢ { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict (exp 𝕜), continuous_toFun := ⋯ } a✝ = (exp 𝕜 { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ }) a✝
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable (fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) s ↔ 1 < s.re
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x =
  (⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N
⊢ (Finsupp.lcongr e₁ e₂).symm (Finsupp.single k n) = Finsupp.single (e₁.symm k) (e₂.symm n)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
one : C 1 ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (Hx : x ∈ ⨆ i, S i), C x Hx
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = (φ a)⁻¹
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℕ
⊢ round (↑y + x) = ↑y + round x
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
h : ∀ (r : β), Convex 𝕜 {x | r ≤ f x}
⊢ QuasiconcaveOn 𝕜 s f
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
a : α
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 a)
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : Set M
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
f g : M →+ N
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
x_in : x ∈ F
h : pathComponentIn x F = F
⊢ ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
G : Type u_1
AddGroup G
H N : AddSubgroup G
h : H.normalizer ≤ N
⊢ H.normalizer.addSubgroupOf N = (H.addSubgroupOf N).normalizer
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ IsLocalization.mk' K a b = x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ comap N.incl N = ⊤
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)
⊢ (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact
α : Type u
β : Type v
s : Set (Filter β)
m : α → β
⊢ Filter.comap m (sSup s) = ⨆ f ∈ s, Filter.comap m f
G : Type u_3
AddGroup G
⊢ AddGroup.FG G ↔ AddMonoid.FG G
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ p.obj a = R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
i : Fin (n + 1)
H : j = i.castSucc
⊢ X.σ i ≫ X.δ j = 𝟙 (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))