ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
g : α → β
hgm : Measurable g
⊢ ↑(f.comp g hgm) = ↑f ∘ g
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R M
⊢ (Submodule.orderIsoMapComap e) p = Submodule.comap e.symm p
⊢ Real.cos (Real.pi / 16) = √(2 + √(2 + √2)) / 2
⊢ Set.SurjOn Real.log (Set.Iio 0) Set.univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
j : CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.toBiconeFunctor.obj b).ι j = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.casesOn j b.inl b.inr
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
⊢ Tendsto (⇑normSq) (cocompact ℂ) atTop
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : Z.Fiber b
⊢ (fun y => (↑(Z.localTriv i) { proj := b, snd := y }).2) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hpx : x ^ p.natDegree = -∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)
hvx : 1 < v x
⊢ False
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
hn : x < 0
⊢ x.Infinite
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).darts ~r c.darts
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M✝
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M✝
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M✝
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
⊢ i = j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f
⊢ LocallyLipschitz (f ^ 0)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
ι : Type w
Fintype ι
b : Basis ι R S
DecidableEq ι
i j : ι
⊢ (BilinForm.toMatrix b) (Algebra.traceForm R S) i j = (Algebra.trace R S) (b i * b j)
⊢ RingHom.OfLocalizationSpan fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q x
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
CommRing R
CommRing S
Field K
CommRing L
Algebra R S
Algebra R K
Algebra R L
Algebra S L
Algebra K L
IsScalarTower R S L
IsScalarTower R K L
IsFractionRing S L
Algebra.IsIntegral R S
⊢ Algebra.IsAlgebraic K L
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
⊢ x⁻¹ ⤳ y⁻¹
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
φ φ' : f ⟶ g
h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 0 ⋯
h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 1 ⋯
h₂ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 2 ⋯
⊢ φ = φ'
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
⊢ ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ ∀ ⦃x : α⦄, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = x
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
α : Type u_1
f : α → ℂ
c : ℂ
⊢ HasSum f c ↔ HasSum (fun x => (f x).re) c.re ∧ HasSum (fun x => (f x).im) c.im
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
s t : Set α
g : G
t_ss_s : t ⊆ s
s_in_fixedBy : s ∈ MulAction.fixedBy (Set α) g
⊢ g • t ⊆ s
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
⊢ VanishesTrivially R m n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.inv (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂) h₂.homologyIso.inv
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
h : n + 1 = m
eq : CochainComplex.HomComplex.δ n m β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ ↑(CochainComplex.mappingCone.liftCocycle φ α β h eq) = CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ (↑α) β h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x
⊢ x ∈ {y | l.formPerm y ≠ y}
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : PreconnectedSpace ↑s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ s.restrict g₁ = s.restrict g₂
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F x = ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasFDerivAt g (↑f'.symm) a
K : Type u_1
DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
z : ℤ
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(q ^ z) = ↑q ^ z
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
a : R
x y : M
⊢ (B x) (a • y) = a * (B x) y
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
q : Products I
hq : q < (↑l).Tail
this : Inhabited I
⊢ List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑q)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ homologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Sup.sup = Union.union
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ ∀ (a : M'),
  (IsLocalizedModule.iso S f).symm a = (Equiv.ofBijective ⇑(IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f) ⋯).symm a
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.id M) S = S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CokernelCofork (f - g)
⊢ f ≫ Cofork.π c = g ≫ Cofork.π c
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSMul G α
c : G
⊢ (MeasurableEquiv.smul c).toEquiv = MulAction.toPerm c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
T : CategoryTheory.Comonad C
D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)
t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.coconePoint D c t).a =
  t.desc (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.newCocone D c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
a : α
⊢ (κ a) (f '' Set.univ) = 1
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : G
⊢ AddCommute (h + a + -h) (h + b + -h) ↔ AddCommute a b
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
y : H
s : Set H
⊢ y ∈ s.innerDualCone ↔ ∀ x ∈ s, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
α : Type u_1
R : Type u_3
n : Type u_4
Monoid R
AddMonoid α
DistribMulAction R α
k : R
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
⊢ (k • A).IsDiag
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b
⊢ 1 < a * b
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
⊢ LipschitzWith 2 (Subtype.val ∘ fun p => p.1 - p.2)
m n : ℕ
⊢ ↑(m * (n + 1)) = ↑m * ↑(n + 1)
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
Module.Flat R ↑M
C : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hC : C.Exact
⊢ (C.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight M)).Exact
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i})) → a = 0
⊢ ∀ {α : Type u_1} {s₁ t₁ s₂ t₂ : List α}, s₁ ++ t₁ = s₂ ++ t₂ → t₁.length = t₂.length → s₁ = s₂ ∧ t₁ = t₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P
⊢ (Equiv.pointReflection x) y = x -ᵥ y +ᵥ x
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
a₁ a₂ : A
s₁ s₂ : ↥S
⊢ LocalizedModule.mk a₁ s₁ * LocalizedModule.mk a₂ s₂ = LocalizedModule.mk (a₁ * a₂) (s₁ * s₂)
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
⊢ ∀ ⦃X Y : W.Localization⦄ (f : X ⟶ Y), F₁.map f ≫ NatTransExtension.app τ Y = NatTransExtension.app τ X ≫ F₂.map f
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h✝ : i ∈ univ
⊢ f 0 = 0
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
v : M
hv : v ≠ 0
⊢ (Module.Ray.map e) (rayOfNeZero R v hv) = rayOfNeZero R (e v) ⋯
E : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E ≃ᵢ F
x : E
⊢ f.toRealLinearIsometryEquiv x = f x - f 0
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ p.restriction.Monic ↔ p.Monic
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : FinEnum α
⊢ (List.map (⇑equiv.symm) (List.finRange (card α))).Nodup
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Nonempty X
MeasurableSpace X
MeasurableSpace.CountablySeparated X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : MeasureTheory.NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₁₂
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)
G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)
X₁ : C₁
X₂ : C₂
X₃ : C₃
⊢ ((CategoryTheory.bifunctorComp₁₂Obj F₁₂ G X₁).obj X₂).obj X₃ = (G.obj ((F₁₂.obj X₁).obj X₂)).obj X₃
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ (x - y).toNat = (x.toNat + (2 ^ n - y.toNat)) % 2 ^ n
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
s : Set M
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
z : ℍ
⊢ (↑z).im = z.im
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i : ι
a : (i : ι) → α i
⊢ ({i}.sigma fun i => {a i}) = {⟨i, a i⟩}
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s : NonemptyInterval α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a⁻¹ ∈ s⁻¹
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
⊢ HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x) (inl e + inr (e • x.snd))
x y : ℝ
⊢ ↑(cos (2 * x)) = ↑(cos x ^ 2 - sin x ^ 2)
α : Type u
l : List α
⊢ l.rotate' l.length = l
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
⊢ (g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
⊢ S.liftCycles k hk ≫ h.cyclesIso.hom = h.liftK k hk
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ ∃ ψ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.s φ.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.f φ.s
γ : Type w
LinearOrder γ
s : Set γ
a b : γ
ha : IsLUB s a
hb : b ∈ s
⊢ IsLUB (s ∩ Set.Ici b) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ o.brange f = range (o.familyOfBFamily f)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
⊢ IntermediateField.map i (perfectClosure F E) ≤ perfectClosure F K
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
⊢ (if ¬0 < a then insert t (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts) else filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = b
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁
⊢ ¬∃ a₂ b₂ c₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inl c₁ = inr c₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ 0 < ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)
aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree
⊢ IsNilpotent (M.charpolyRev - reflect M.charpoly.natDegree (X ^ Fintype.card n))
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C
⊢ f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ 𝟙 Y ⊗ 𝟙 Z)
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
x y : R
⊢ (frobenius R p) (x * y) = (frobenius R p) x * (frobenius R p) y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ s.pi t = ∅ ↔ ∃ i ∈ s, t i = ∅
R : Type u
S : Type u_1
Ring R
Ring S
IsPrincipalIdealRing R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsPrincipalIdealRing S
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ (g 0)) (f fun i => (Fin.partialProd g i.castSucc.castSucc * g i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g i.succ.castSucc * g i.succ)) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : β → γ
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹
self : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : ↥⊤
⊢ Subalgebra.topEquiv a = ↑a
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (s.sup f) = s.inf (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : b ∈ (π * σ * π⁻¹).support
⊢ π⁻¹ b ∈ σ.support