ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ t ∈ Finset.filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t =
  ∑ a ∈ Finset.filter (fun a => a.1 < k) (Finset.antidiagonal k),
    ∑ A ∈ Finset.powersetCard a.1 Finset.univ, ∑ j : σ, f (A, j)
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ (a + b) * (x✝¹ * x✝) = (a + b) * x✝¹ * x✝
⊢ @AlgebraicGeometry.UniversallyClosed = (AlgebraicGeometry.topologically @IsClosedMap).universally
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < ↑p.natTrailingDegree
⊢ p.coeff (p.natTrailingDegree - 1) = 0
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap K A) x (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂
⊢ ∀ (a : (i : ι) → (fun i => M₁ i →ₗ[R] M₁' i) i) (m : (i : ι) → M₁ i),
  ((MultilinearMap.piLinearMap g) a) m = g fun i => (a i) (m i)
α : Type u
Nonempty α
l : List α
⊢ l.rotate 1 = l ↔ ∃ a, l = List.replicate l.length a
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1
hdq : (q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = 2 • q.degree + 3
⊢ (p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N = ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject C} (f : X ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.alternatingCofaceMapComplex C).map f = AlgebraicTopology.AlternatingCofaceMapComplex.map f
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
h'' : IsAdjoinRoot U f
z : S
⊢ ((h.aequiv h').trans (h'.aequiv h'')) z = (h.aequiv h'') z
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
T2Space B
s : Set A
f g : A →A[R] B
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) (closure ↑(Algebra.adjoin R s))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
⊢ (adjointAux (adjointAux A)) v = A v
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
simplif : ∀ (a b c d e f : Y ⟶ X _[n + 1]), b = f → d + e = 0 → c + a = 0 → a + b + (c + d + e) = f
⊢ ∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑i) • φ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ((-1) ^ a * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + (∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ ↑i * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 1) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 2) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 2, ⋯⟩) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.op.f = φ.f.op
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
self : IsSubmonoid s
⊢ 1 ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
G : AlgebraCat R
H : Type u
Ring H
Algebra R H
f : ↑G →ₐ[R] H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f : M → M'
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔
  ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : Monoid.Coprod M N →* P
⊢ MonoidHom.mrange f = MonoidHom.mrange (f.comp Monoid.Coprod.inl) ⊔ MonoidHom.mrange (f.comp Monoid.Coprod.inr)
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
div : p ∣ n
⊢ 1 ≤ padicValNat p n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : ↑(characterSpace 𝕜 A)
⊢ ((fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }) 1) a = 1 a
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ ∀ (a : Submodule R N), Submodule.comap g (Submodule.map g a) = a ⊔ LinearMap.range f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : ∀ j ∈ u, ContDiffOn 𝕜 (↑i) (f j) s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) s x = ∑ j ∈ u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f j) s x
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ LinearMap.ker M.mulVecLin = ⊥ ↔ ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
⊢ Subsingleton G ↔ Subsingleton P
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ
⊢ Decidable (y ∈ natGeneratingSequence α n)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
⊢ Subsingleton (R ⧸ I) ↔ I = ⊤
α : Type u
Nonempty α
⊢ #(List α) = max #α ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
Fintype β
f : β → α
⊢ HasSum f (∑ b : β, f b)
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ (if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
self : f.IsEisensteinAt 𝓟
⊢ f.leadingCoeff ∉ 𝓟
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8
⊢ ∀ (a : α ⊕ β →₀ M), (Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R) a = Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.toFun a
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
ContinuousAdd B
T2Space B
⊢ ClosedEmbedding ContinuousAddMonoidHom.toContinuousMap
b c a : Prop
h : b ↔ c
⊢ a ∨ b ↔ a ∨ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
⊢ (Bornology.cobounded E).NeBot
x : ℝ
⊢ ↑x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
α β : Sort u_1
h : α = β
x : α
⊢ (Equiv.cast h) x = cast h x
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G
⊢ ∀ (a a_1 : V), (SimpleGraph.toSubgraph H h).Adj a a_1 = H.Adj a a_1
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
m : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p
⊢ q ^ (n - m) ∣ (⇑Polynomial.derivative)^[m] p
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
DecidablePred fun x => x ∈ insert 0 A
⊢ schnirelmannDensity (insert 0 A) = schnirelmannDensity A
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
x : X
⊢ ((FreeAlgebra.lift R) f) (FreeAlgebra.ι R x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
⊢ (f.bind g).Dom ↔ ∃ (h : f.Dom), (g (f.get h)).Dom
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (Set.range u)
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : { U // ↑U ≤ Scheme.Hom.opensRange f }
⊢ IsAffineOpen ↑↑U
β : Type u_2
AddCommMonoid β
x : β
n : ℕ
⊢ ((multiplesAddHom β) x) n = n • x
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Relations x✝²
x✝ : Fin x✝² → V
⊢ RelMap x✝¹ x✝ ↔ RelMap x✝¹ x✝
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → (bind₁ onePoly) (C (↑p ^ b) * X b ^ p ^ (n - b)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ
⊢ f^[n] x ∈ periodicPts f
α : Type u
Inf α
a b : α
⊢ { down := a ⊓ b } = { down := a } ⊓ { down := b }
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⇑f '' s)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ id <$> x = x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)
⊢ α = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
x : List α
y : List β
h : List.Forall₂ R x y
i : ℕ
hx : i < x.length
hy : i < y.length
⊢ R (x.nthLe i hx) (y.nthLe i hy)
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
AddCommMonoid β
h : s₁ = s₂
⊢ (∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₁.sum f = s₂.sum g
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'
⊢ ∀ (X : V), (of ⋙q lift φ).obj X = φ.obj X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ s.lcm f = 0 ↔ 0 ∈ f '' ↑s
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ (↑U).Nonempty ↔ ∃ x, x ∈ U
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : CuspForm Γ k
n : α
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f ⊥ n ω = ⊥
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.balance' x r).size = l.size + r.size + 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ 0 ⟂ₘ μ
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk v.supp) v.supp = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A
⊢ of ↑(φ a) = of ↑(φ a) * t * t⁻¹
α : Type u_1
p q : α → Prop
t : RBNode α
⊢ All (fun a => p a ∧ q a) t ↔ All p t ∧ All q t
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
self : H.IsCartanSubalgebra
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).map φ) ↔
  CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective φ
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((x + y * if k = m then 1 else 0) + z * if k = n then 1 else 0)
hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
c1 c2 : Computation (Option (α × WSeq α))
s t : WSeq α
h : c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)
⊢ Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)) (s.append t).destruct.destruct (s.destruct.bind (destruct_append.aux t)).destruct
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
⊢ (monomial i) 1 = (monomial j) 1 ↔ i = j
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
⊢ ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x * y = ↑(abs x) * ↑(abs y) * (cexp (↑x.arg * I) * cexp (↑y.arg * I))
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
⊢ (StarAlgEquiv.ofInjective f hf) a = f.rangeRestrict a
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
a b : X₁ ⊕ X₂
⊢ Quot.mk (Rel f g) a = Quot.mk (Rel f g) b ↔ Rel' f g a b
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : s.min = ↑b
⊢ a ∉ s
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∀ (x : α), (∀ (t : Set α), M.Flat t → X ∩ M.E ⊆ t → x ∈ t) ↔ x ∈ M.E ∧ ∀ a ⊆ M.E, X ∩ M.E ⊆ a → M.Flat a → x ∈ a
α : Type u_1
is l : List α
H : l.Perm ([] ++ is) → (∃ ts', ∃ (_ : ts'.Perm []), l = ts' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
⊢ l.Perm is → l ∈ is.permutations
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)
hx' : IsUnit ⟨star x * x, ⋯⟩
⊢ ↑hx.unit⁻¹ ∈ elementalStarAlgebra ℂ (star x * x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝¹ : PartialOrder X
x y : X
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Ioo x y, f t ∂μ
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 < s.circumradius
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ IsOpen (closedBall x r ⊓ (ball x r)ᶜ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t ∈ B, x ∈ t ∧ closure t ⊆ s
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]
⊢ (p * Polynomial.X).degree = p.degree + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.kernel.lift f h w) ≫ CategoryTheory.Limits.kernelComparison f G =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (G.map f) (G.map h) ⋯
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.toStructuredArrow F).obj j =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ #↑{t | GenerateMeasurable s t} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R
⊢ (mk (span {x})) y = 0 ↔ x ∣ y
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n) = p ^ n.succ * r
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : ↑(Set.range f) → Prop
⊢ (∀ (a : ↑(Set.range f)), p a) ↔ ∀ (i : ι), p ⟨f i, ⋯⟩
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size
⊢ ((a ++ b).extract i j).size = (a.extract i j).size
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc (T + T') f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ Real.log x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
⊢ (e.toMatrix v)ᵀ j = ⇑(e.repr (v j))
s step m n : Nat
h : m + 1 < n + 1
⊢ (range' s (n + 1) step)[m + 1]? = some (s + step * (m + 1))
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h : a < Order.succ b
⊢ Set.Ioc a (Order.succ b) = insert (Order.succ b) (Set.Ioc a b)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ IsUnit (P y)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ↔ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, p x
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s : Set (Sym2 V)
x✝¹ x✝ : V
⊢ (G.deleteEdges s).Adj x✝¹ x✝ ↔ (G.deleteEdges (s ∩ G.edgeSet)).Adj x✝¹ x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t✝ : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
t : Set E
ht1 : Balanced 𝕜 t
ht2 : t ⊆ s
hy : y ∈ t
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
CategoryTheory.Preadditive C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
⊢ CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ 0 = 0
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx_pos : 0 < x
hx : x ≠ 1
⊢ Real.logb b x ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
IsLocalization S A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_4
AddCommMonoid M'
Module R M'
Module A M'
IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
DecidableEq α
S : Finset α
h₁ : p ∅
h₂ : ∀ {a : α} {s : Finset α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → p s → p (insert a s)
⊢ p S
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
m : Type u_5
n : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
⊢ Matrix.toEuclideanLin A.conjTranspose = LinearMap.adjoint (Matrix.toEuclideanLin A)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd ω * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
e : F.obj X ≅ F.obj Y
⊢ (hF.preimageIso e).hom = hF.preimage e.hom
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
self : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X Y) (F Z) ≫
    CategoryTheory.LaxMonoidal.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
      CategoryTheory.map F (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F X) (F Y) (F Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F X) (CategoryTheory.LaxMonoidal.μ Y Z) ≫
      CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)