ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
(Filter.cocompact α).IsMeasurablyGenerated
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[Filter.cocompact α] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g (Filter.cocompact α) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ finrank K V ≤ 1 ↔ ∃ v, ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ {a | (Finset.SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty} ⊆ s • t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
⊢ 0 ≤ sSup s - sInf s
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
x y : R
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : R), Prime z → z ∣ x → ¬z ∣ y
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L
s n : Nat
⊢ List.range' s (n + 1) = List.range' s n ++ [s + n]
D : TopCat.GlueData
i : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑(D.U i)
⊢ IsOpen (⇑(D.ι i) '' ↑U)
α : Type u
β : α → Type v
⊢ #((a : α) × (β a → WType β)) = sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, v} #(β a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
n : ℕ
⊢ ∀ (y : E), ((p n) fun x => y) = 0
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ (QuotSMulTop.map r) f ∘ₗ (r • ⊤).mkQ = (r • ⊤).mkQ ∘ₗ f
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ (s + t).Nonempty → t.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
i : Fin n
v : Vector α n
⊢ v.toList.get (Fin.cast ⋯ i) ∈ v.toList
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (z₁ - z₂).v p q hpq = z₁.v p q hpq - z₂.v p q hpq
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
ContinuousAdd M₃
f₁ : M₁ →L[R₁] M₃
f₂ : M₂ →L[R₁] M₃
x : M₁ × M₂
⊢ (f₁.coprod f₂) x = f₁ x.1 + f₂ x.2
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
hs : InfClosed s
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ μ (symmDiff s t) = μ (s \ t) + μ (t \ s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)
f g : F ⟶ G
h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' f 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' g 0 ⋯
h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.map f = CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.map g
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
⊢ ∀ (a_1 : α), a_1 ∉ filter (fun x => a ≠ x) ↑(replicate (↑m.fst) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x
⊢ x ^ z ≤ x ^ 1
a b : ℤ
h : a < b
P : Prop
h' : ∀ (n : ℕ), a + ↑n.succ = b → P
⊢ P
R : Type u
⊢ Function.Injective (@NonAssocRing.toNonUnitalNonAssocRing R)
a : ℝ
⊢ frontier {z | z.re < a} = {z | z.re = a}
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → Y
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
⊢ IsLocallyConstant f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
⊢ Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
t : TopologicalSpace α
hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
ht : PolishSpace α
s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s
⊢ PolishSpace α
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
hf : AEMeasurable f ↑ν
⊢ ↑(ν.map hf) = MeasureTheory.Measure.map f ↑ν
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a / b < 1 ↔ a < b
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
h : List.Sorted r l
⊢ List.Sorted r l.tail
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ Y₂ Z₂ : GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
ψ : Y₂ ⟶ Z₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h✝ : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (φ ≫ ψ) (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }.app X₃ j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ ({ app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }).app X₃ j
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : MulAction.IsBlock (↥H) B
g : G
⊢ MulAction.IsBlock (↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)) (g • B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
α : Type u_5
β : Type u_6
TopologicalSpace α
CommMonoid α
T2Space α
ContinuousMul α
DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (Function.update f b x) a'
⊢ a * x = a' * f b
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ (d.sum fun x e => e) ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s
⊢ f '' s₁ ⊂ f '' s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
t : ↑(Set.Ioc 0 1)
⊢ t ≤ 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ edist (AddOpposite.unop x) (AddOpposite.unop y) = edist x y
E : Type u_4
F : Type u_5
AddGroup E
AddGroup F
p : AddGroupSeminorm E
f : F →+ E
⊢ ⇑(p.comp f) = ⇑p ∘ ⇑f
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x)) = fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤
⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
this : ∀ ⦃x_1 : E × F⦄, x_1 ∈ (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)).prod (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) → x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
n : ℕ
⊢ (n + 1)‼ ≤ (n + 1)‼ * n‼
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
C : ℝ
_C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖φ x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v‖ ≤ C * ‖v‖
x y z : SetTheory.PGame
⊢ ⟦x * (y + z)⟧ = ⟦x * y⟧ + ⟦x * z⟧
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
u : Finset α
s t : Set α
⊢ ↑u ⊆ s ⊻ t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' ⊻ t'
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.fst.prod AddMonoid.Coprod.snd = AddMonoid.Coprod.toSum
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2
⊢ False
n : ℕ
⊢ 1 ≤ n ↔ n ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X ≃ Y
hf : Inducing ⇑f
⊢ Continuous (⇑f ∘ f.invFun)
M : Type u_3
A : Type u_4
AddCommMonoid M
s : Set M
hs : IsAddSubmonoid s
f : A → M
t : Finset A
⊢ (∀ b ∈ t, f b ∈ s) → ∑ b ∈ t, f b ∈ s
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
N : ℕ
hNN₀ : N₀ ≤ N
hN : ‖f N‖ ≠ 0
h' : Tendsto (fun n => f (n + N)) atTop (𝓝 0)
⊢ 0 < ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h : ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
⊢ ∀ x₁ ∈ s i, ∀ x₂ ∈ s i, x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x i ∧ x₂ = x i
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S M
IsScalarTower S R M
Module S N
IsScalarTower S R N
a : S
x y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) x (a • y) = a • QuadraticMap.polar (⇑Q) x y
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s✝ : Set α✝
t✝ : Set β
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s
⊢ 𝓟 t = comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ UpperSet.Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, UpperSet.Ici (f i j)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulZeroOneClass α
inst✝² : MulZeroOneClass β
inst✝¹ : MulZeroOneClass γ
inst✝ : MulZeroOneClass δ
f✝ g✝ f g : α →*₀o β
h : f.toMonoidWithZeroHom = g.toMonoidWithZeroHom
⊢ ∀ (a : α), f a = g a
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
⊢ maybeNormalize num den g den_nz reduced = normalize num den ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
MeasurableSpace V
BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : MeasureTheory.Measure V
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierSMulRight L f v) μ
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a + b < a
⊢ b < 0
o₁ o₂ : Ordering
⊢ (o₁.then o₂).swap = o₁.swap.then o₂.swap
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
⊢ (Q W).map f ≫ Qinv s hs = homMk (mk f s hs)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α
⊢ (a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
f : α → G₀
TopologicalSpace α
hf : Continuous f
h0 : ∀ (x : α), f x ≠ 0
⊢ Continuous fun x => (f x)⁻¹
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g +ᵥ t = t
hts : μ (t ∩ s) = 0
⊢ μ t = 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 2 = W.Ψ₂Sq
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (Localization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ μ.mass ≠ 0 ↔ μ ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ s → a ∈ t
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ φ' ψ' : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h' : T.SemanticallyEquivalent φ' ψ'
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⟹ φ') (ψ ⟹ ψ')
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s t : Set F
y : F
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ HasGradientWithinAt f f' s x ↔ HasGradientWithinAt f f' t x
x : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ ¬I.IsPrime ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
g : S → R
f : R →+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : R
⊢ ↑((RingEquiv.ofLeftInverseS h) x) = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B
⊢ ↑v A + ↑v (B \ A) = ↑v B
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
⊢ μ.restrict (⋃ i, s i) = ν.restrict (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
G : Type u_3
Group G
b : G
⊢ Function.Injective fun a => a / b
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → Archimedean α
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : Commute a b
⊢ Commute a b⁻¹
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Algebra.EssFiniteType R S
⊢ Algebra.EssFiniteType R T ↔ Algebra.EssFiniteType S T
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ x • ↑s = y • ↑s ↔ x⁻¹ * y ∈ s
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
⊢ Nat.Prime p
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν
⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t = ν t → μ tᶜ = ν tᶜ
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubring S
f : F
⊢ ↑(NonUnitalSubring.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ MulAction.fixedBy α g
⊢ s ∈ MulAction.fixedBy (Set α) g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ
⊢ ∀ x_1 ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {x}), 0 ≤ x_1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
h : a - ↑⌊a⌋ = b - ↑⌊b⌋
⊢ a - b = ↑(⌊a⌋ - ⌊b⌋)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ (H ⊓ K).addSubgroupOf K = H.addSubgroupOf K
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
⊢ P f s x
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ ⊥ * I = ⊥
α : Type u
β : Type v
l l' : Filter α
f g : α → β
h₁ : f =ᶠ[l] g
h₂ : l' ≤ l
⊢ f =ᶠ[l'] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
⊢ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
x : E
h₁ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2}
h₂ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2}
⊢ ↑t.toPartialHomeomorph e₁ = ↑t.toPartialHomeomorph e₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ (ρ_ (F.obj X)).hom
α β : Type u
Infinite α
le : #β ≤ #α
⊢ #↑{f | Function.Surjective f} = #(α → β)
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
zero_eq_one : 0 = 1
⊢ x = 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ ⟨x, hx⟩ + ⟨y, hy⟩ = ⟨x + y, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
⊢ e.symm.IsImage t s ↔ e.IsImage s t
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
h : (Finset.filter p s).card = s.card
x : α
hx : x ∈ s
⊢ p x
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z
⊢ 1 < x ^ z
⊢ Bipointed.swap ⋙ bipointedToPointedSnd = bipointedToPointedFst
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
M₀ : Type u_4
Zero M₀
f : X → M₀
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)