ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y✝ y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I
y : F
hy : Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (Prepartition.single I J hJ)) (𝓝 y)
⊢ HasIntegral J l f vol y
n : ℕ
⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (n + 1, 0) ::ₘ Multiset.map (⇑((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })) (antidiagonal n).val
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : g.NeBot
s : Set α
⊢ s ∈ map Prod.fst (f ×ˢ g) ↔ s ∈ f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W W' : CategoryTheory.MorphismProperty C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f
⊢ W = W'
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s : Finset α
f g : α → β
⊢ (∏ x ∈ s, if p then f x else g x) = if p then ∏ x ∈ s, f x else ∏ x ∈ s, g x
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
⊢ PowerSeries.exp A * PowerSeries.evalNegHom (PowerSeries.exp A) = 1
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ min ⊥ a = ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ Tropical.untrop (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Tropical.untrop (f i)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
⊢ TensorPower.toTensorAlgebra (DirectSum.GAlgebra.toFun r) = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
⊢ (A.updateRow j (∑ k : n, c k • A k)).det = c j • A.det
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
⊢ IsAffine (pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g))
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : QuotientMap (g ∘ f)
⊢ QuotientMap g
α : Type u_1
⊢ ∀ (a : α), (Equiv.punitProd α).symm a = (PUnit.unit, a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α
⊢ (fun x => a :: x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
h : WellFounded rα
⊢ WellFounded (Sym2.GameAdd rα)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (b + m • p) = toIcoDiv hp a b + m
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
NormedLatticeAddCommGroup β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(f ⊓ g) = ⇑f ⊓ ⇑g
α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {b})) ≤ c
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) ≤ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) * c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Computation α
⊢ Computation.map (g ∘ f) s = Computation.map g (Computation.map f s)
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
k : ι
hk : k ∈ DFinsupp.support x
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single k (x k)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single k (x k)))
m n a b d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ 0 * a ≡ 0 * b [ZMOD 0 * n]
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
x : X
⊢ IsClopen (setOf (S.Rel x))
y z : PartENat
hz : z ≠ ⊤
m : ℕ
h : ↑m < y
⊢ ↑m + z < y + z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(CategoryTheory.forget C).PreservesMonomorphisms
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.injective C = CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C
x y : ℂ
⊢ x = y ↔ Complex.abs x = Complex.abs y ∧ x.arg = y.arg
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
⊢ 1 = ContinuousAlgHom.id R A
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • MeasureTheory.eLpNorm f p μ
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this✝ : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
this : Tendsto (fun n => (g n) v) atTop (𝓝 (a v))
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a v))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)
n : ℕ
⊢ μ ((fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) n) < ⊤
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c • f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
G : Type u_1
SubNegMonoid G
n : ℤ
x : G
⊢ SubNegMonoid.zsmul n x = n • x
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
⊢ Filter.blimsup u f p ≤ Filter.blimsup u f q
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
h1 : μ₁.AbsolutelyContinuous ν
h2 : μ₂.AbsolutelyContinuous ν'
⊢ (μ₁ + μ₂).AbsolutelyContinuous (ν + ν')
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a b : K
⊢ -b / a = -(b / a)
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α
⊢ ⇑(BoundedOrderHom.id α) = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
⊢ MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Vector α n
x : α
⊢ scanl f b (x ::ᵥ v) = b ::ᵥ scanl f (f b x) v
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (⇑e '' s)
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
⊢ ↑(Nat.card G) ^ 2 ≠ 0
α : Type u_1
s : Set α
T : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ insert s T = s ∩ ⋂₀ T
r p : ℝ
⊢ r.toNNReal ≤ p.toNNReal ↔ r ≤ p ∨ r ≤ 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)
⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton (Submodule R M)
this : Tendsto (fun x => -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) x) atTop (𝓝 (-γ))
⊢ Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) atTop (𝓝 (-γ))
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
⊢ (f + g).FinMeasSupp μ
o : Ordinal.{u_3}
⊢ o ≤ 0 ↔ o = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
q : ↥p → Prop
⊢ (∀ (x : ↥p), q x) ↔ ∀ (x : B) (h : x ∈ p), q ⟨x, h⟩
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0
⊢ LocallyCompactSpace 𝕜
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
⊢ (s.pi t).val = s.val.pi fun a => (t a).val
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : z = 0
⊢ padicNorm p ↑z ≤ 1
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
⊢ 0 ∉ Finset.range n → C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) = 0
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
MeasurableDiv G
hf : Measurable f
c : G
⊢ Measurable fun x => f x / c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A'
CategoryTheory.Limits.HasProducts A'
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P' ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf' J P'
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
hf : Multipliable f
s : Set β
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val)
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a✝ b a : α
ha : 0 < a
⊢ a * 0 < a * a⁻¹
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P
⊢ (↑IF.I)ᶜ = ↑IF.F
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
⊢ ∀ (x : CliffordAlgebra Q), P (reverse x)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
s : Set (PrimeSpectrum R)
hs : s ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)
⊢ ((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) s = id s
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α × β
⊢ x.swap.swap = x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤
⊢ Ideal.span {(aeval x) (derivative (minpoly A x))} ≤ differentIdeal A B
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (n + 1) < y (n + 1)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
⊢ ⊥.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₁ ∪ s₂)
n : ℕ
⊢ n % 2 = 1 ↔ n % 4 = 1 ∨ n % 4 = 3
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)
⊢ W.dblXYZ P = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
adj : L ⊣ R
⊢ R.Final
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ BddBelow s ↔ ∃ a, s ⊆ Set.Ici a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
⊢ (∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (a : (j : I) → P.obj (op (X j))), Arrows.Compatible P π a → ∃! x, forkMap P X π x = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : CategoryTheory.Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ (CategoryTheory.Dial.tensorHom f g).f = CategoryTheory.Limits.prod.map f.f g.f
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ J ∈ π.filter p ↔ J ∈ π ∧ p J
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
⊢ ∀ (x y : α × Closeds α), infEdist x.1 ↑x.2 ≤ infEdist y.1 ↑y.2 + 2 * edist x y
m n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
α : Type u_2
CommSemiring α
ι : Type u_6
Fintype ι
a b : α
⊢ ∑ s : Finset ι, a ^ s.card * b ^ (Fintype.card ι - s.card) = (a + b) ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
⊢ (p.toList x).Nodup
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ WittVector.coeff 1 n = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y P : C
f : X ⟶ Y
π : Y ⟶ P
w : f ≫ π = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ π w) = π
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * a.val = n
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν
this : SigmaFinite μ'
hμ' : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
x : α
hx₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) x = μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x
hx₂ : μ.rnDeriv ν x = μ'.rnDeriv ν x
hx_eq : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
⊢ (fst f hi ≫ f) ⟨x, h⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h⟩
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
⊢ wellOrderSucc b < a
a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d Turing.PartrecToTM2.K'.main = a
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
this : (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m = (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h' : f' = f₁'
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f₁'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α
⊢ c ∈ Iic (⨅ i, f i) ↔ c ∈ ⨅ i, Iic (f i)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
⊢ F.d p' p ≫ (ofHom φ).v p q hpq = F.d p' q ≫ φ.f q
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
l : List α
f : α → β
⊢ Finset.image (fun x => f (l.get x)) Finset.univ = (List.map f l).toFinset
A✝ : Type u_1
inst✝⁹ : AddCommGroup A✝
inst✝⁸ : Module ℂ A✝
inst✝⁷ : StarAddMonoid A✝
inst✝⁶ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℂ A
inst✝² : IsScalarTower ℂ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
a_eq : a = ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)
⊢ star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) + (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) = 2 • (↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + ↑(ℑ a) * ↑(ℑ a))
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ ↑(n.choose x) / ↑n ! = 1 / (↑x ! * ↑(n - x)!)