ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b i : α
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i
hin : ¬IsMax (succ^[n] i)
h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)
⊢ pred^[n + 1] (succ^[n + 1] i) = i
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → LowerSet α
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⋂ i, ↑(f i)
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
OrderTopology β
huv : u ~[l] v
hu : Filter.Tendsto u l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto v l Filter.atBot
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
G : Type (max uι u𝕜 uE)
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
x✝ : NormedSpace 𝕜 G
hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ ≤ projectiveSeminorm x
a b c x : ℕ
⊢ x ∈ Icc a.succ b ↔ x ∈ Ioc a b
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ
⊢ ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ((-o).kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler x) y)
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)
x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)
⊢ (LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x) = (LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝¹ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝
b_eq : b = Basis.extend this✝
i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯
⊢ S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
⊢ m ≤ EventuallyMeasurableSpace m l
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(count p (normalizedFactors x)) = ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
⊢ False
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ = S₂
x : ↥S₁
⊢ ↑((AffineEquiv.ofEq S₁ S₂ h) x) = ↑x
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y : R
⊢ star (star x * y) = star y * x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S₁.Hom S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₁ S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f self.τ₂
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
h : ∀ i ∈ l, Continuous (f i)
⊢ Continuous fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
C : Monoid.CoprodI M → Prop
m : Monoid.CoprodI M
one : C 1
mul : ∀ {i : ι} (m : M i) (x : Monoid.CoprodI M), C x → C (Monoid.CoprodI.of m * x)
⊢ C m
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) ρ
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
a b c : Int
h : c ≠ 0
⊢ a * c = b * c ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔
  HasFDerivAt f ((↑{ toLinearEquiv := iso.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp f')
    x
R : Type u
a : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a).degree = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a
comm :
  ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'),
    (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom =
      CategoryTheory.whiskerRight (iso a').hom (CategoryTheory.shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom
a : A
⊢ (CategoryTheory.SingleFunctors.isoMk iso comm).hom.hom a = (iso a).hom
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ
⊢ f^[m + n] = f^[m] ∘ f^[n]
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (NormedSpace.dualPairing 𝕜 E).SeparatingLeft
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Set.Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Set.Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, Metric.cthickening ε E
α : Type u
GroupWithZero α
a : α
Invertible a
⊢ a⁻¹ * a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A₁ A₂ : Set α
B₁ B₂ : Set β
f : α → β
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsAddFreimanIso n A₂ B₂ f
hf' : Set.BijOn f A₁ B₁
⊢ IsAddFreimanIso n A₁ B₁ f
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
y : β
o : Option α
⊢ y ∈ Option.map f o ↔ ∃ x, x ∈ o ∧ f x = y
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R P
Module R Q
p : Submodule R P
q : Submodule R Q
⊢ LinearMap.range (TensorProduct.mapIncl p q) = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
this : 2 ≤ 2 * p - 2
⊢ p < b ^ (2 * p - 2)
α : Type u_1
Neg α
x : α
⊢ AddOpposite.op (-x) = -AddOpposite.op x
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
t : Subfield K
⊢ Subfield.closure s ≤ t ↔ s ⊆ ↑t
β : Type u_2
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
T2Space G
a : G
⊢ ∏' (x : β), a = a ^ Nat.card β
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : F × E
hv : x ∈ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph
hv' : x.1 = 0
⊢ x.2 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = iY.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.lift Monoid.Coprod.inl Monoid.Coprod.inr = MonoidHom.id (Monoid.Coprod M N)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
this : (stdBasisMatrix i j 1 * M) i j = (M * stdBasisMatrix i j 1) i j
⊢ M i i = M j j
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
⊢ 0 ∈ ↑(span R s) ∧ s ⊆ ↑(span R s)
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hg : (g.comp f).FinitePresentation
hf : f.FiniteType
⊢ g.FinitePresentation
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ (fourier 1) x ≠ (fourier 1) y
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
⊢ (Equiv_iSup S).symm ((Substructure.inclusion ⋯) x) = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card
⊢ ℬ ⊆ 𝒜.shatterer
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x
ha : p a := by cfc_tac
⊢ (algebraMap R A) r ≤ a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : IsDomain (Localization M')
⊢ (map (algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')) ⊥).IsMaximal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ bliminf s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Set.Iic a)
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l Filter.atBot
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
⊢ (normalizeScaleRoots p).degree = p.degree
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
hf : Nat.Partrec' f
⊢ Nat.Partrec' fun v => f v.tail
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ F.biprodComparison' X Y = F.map CategoryTheory.Limits.biprod.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' sᶜ = (⇑h '' s)ᶜ
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x
supp : Set α := (fixedBy α f)ᶜ
fin : supp.Finite
supp_eq : supp = (fixedBy α f)ᶜ
⊢ f ∈ closure S
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
α : Type u_1
Zero α
ι : Type u_2
f : ι →₀ α
g : ι → α → A₁
⊢ e (f.prod g) = f.prod fun i a => e (g i a)
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k = ↑j
⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Disjoint (Set.diagonal α) s.offDiag
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
⊢ (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∑' (γ : ↥Γ.op), ∫ (x : G) in 𝓕, f (γ • x) ∂μ = ∫ (x : G) in 𝓕, ∑' (γ : ↥Γ.op), f (γ • x) ∂μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q u v x y z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hu : u ∈ segment 𝕜 x p
hv : v ∈ segment 𝕜 y q
⊢ ∃ x ∈ segment 𝕜 u v, x ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, z}
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
⊢ μ s = 0 ∨ μ s = ENNReal.ofReal T
⊢ ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToTop.map f = (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.snd, x.fst)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
BoundedOrder α
Preorder β
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β
⊢ (BoundedOrderHom.dual f).toOrderHom = OrderHom.dual f.toOrderHom
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i : ι
⊢ Set.range (Sigma.mk i) = Sigma.fst ⁻¹' {i}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
e : ι ≃ ι'
f : ι' → A
g : ι → A
h : f ∘ ⇑e = g
⊢ AlgebraicIndependent R g ↔ AlgebraicIndependent R f
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u (k + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)
α : Type u
l : List α
⊢ l.split.1.length ≤ l.length
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0
⊢ m ∈ Ico 0 ↑n
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 50
n p k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
⊢ (p ^ k).minFac = p
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
hx : x ∈ C0 C ho
i : I
hi : o < ord I i ∨ o = ord I i
⊢ false = x i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c
⊢ ∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)
⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g✝ f g : Perm α
x : α
⊢ x ∈ (f * g).support → x ∈ f.support ∪ g.support
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
⊢ False
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 < R
hc : ContinuousOn f (sphere c R)
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
hlt : ∃ z ∈ circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π), ‖f z‖ < C
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ < 2 * π * R * C
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ⟶ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ).app ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) = τ.app X
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜
⊢ iteratedDeriv n (fun x => f (-x)) a = (-1) ^ n • iteratedDeriv n f (-a)