ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
a : α
x : β
s : Finset α
⊢ ∑ a' ∈ s, Pi.single a x a' = if a ∈ s then x else 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
CategoryTheory.Mono i₃
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).inv =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift
    (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ⋯)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) ⋯)
    ⋯
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
⊢ n.natAbs ∣ a.natAbs * d
n : ℕ
⊢ IsSquare ↑n ↔ IsSquare n
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2
⊢ p.minFac :: (p / p.minFac).primeFactorsList = [p]
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_6
CommRing R₁
Algebra R₁ K
IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
(↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ I * FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ (Submodule.IsPrincipal.generator ↑I)⁻¹ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.IsIso f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f (n + 1) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
e : F.mapTriangle.obj T' ≅ T
⊢ G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp ((C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n))
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ ∀ (a : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι a) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι a).val.base ⁻¹' U)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsIsoLeftRightHomologyComparison' h₁ h₂).iso =
  CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
⊢ Algebra.adjoin R {root f} = ⊤
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
⊢ (fun x => rexp (MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[μ] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑(pos p).pred = (↑(pos p)).pred
a✝ b n✝ n a : ℕ
⊢ (n.floorRoot a).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles A)
g : G
⊢ ↑f (g, 1) = (A.ρ g) (↑f (1, 1))
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
n : ℕ
hn : Fact (0 < n)
⊢ IsDedekindDomain.selmerGroup.fromUnit.ker = (powMonoidHom n).range
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
⊢ (¬∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true) ↔ none ∈ l
l : List ℕ
k : ℕ
⊢ l.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ l, n.Coprime k
α : Type u
Inhabited α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.takeI l₁.length (l₁ ++ l₂) = l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b
⊢ Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x \ y) \ z = x \ y ⊓ x \ z
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
⊢ MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ ∀ {s t : WSeq α}, s ~ʷ t → s.head ~ t.head
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) y
⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
⊢ ↑(S ⊓ T) = ↑S ∩ ↑T
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
⊢ ((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f) x) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph0 ≤ c ↔ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ c
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ ↑f (z₁ + z₂) ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAddMagma α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
⊢ gauge (a • s) = gauge (|a| • s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A → B
h₁ : ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : A),
    { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ : Coalgebra.counit ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } = Coalgebra.counit
h₄ :
  TensorProduct.map { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } ∘ₗ
      Coalgebra.comul =
    Coalgebra.comul ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, counit_comp := h₃, map_comp_comul := h₄ } = f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
hIJ : I ≤ J
x : R
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) x ∈ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
⊢ SigmaFinite (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R 0) 1 = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Set.MapsTo (⇑(P.coreflection i)) (Set.range ⇑P.coroot) (Set.range ⇑P.coroot)
α : Type u
Infinite α
⊢ #(List α) = #α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E
⊢ ((adjoint S).comp (T.comp S)).IsPositive
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 1 ≤ p
hμs : μ s ≠ ⊤
hμ_restrict_univ : (μ.restrict s) univ < ⊤
hμ_finite : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ Memℒp (↑↑f) 1 (μ.restrict s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
m_pos : m > 0
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = (∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ).toReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Mono i
hi : AlgebraicTopology.DoldKan.Isδ₀ i
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i = K.d Δ.len Δ'.len
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ContDiff ℝ 1 fun x => ‖x‖ ^ p
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
i : ℕ
hi : i ≤ (minpolyDiv R x).natDegree
⊢ (minpolyDiv R x).coeff ((minpolyDiv R x).natDegree - i) - x ^ i ∈ Submodule.span R ((fun x_1 => x ^ x_1) '' Set.Iio i)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
j : J
x : F.obj j
⊢ x ∈ F.eventualRange j ↔ ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ Set.range (F.map f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
app' : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X
naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app' Y).hom = (app' X).hom ≫ G.map f
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatIso.ofComponents app' naturality).app X = app' X
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
⊢ (((whiskeringLeft (SimplicialObject C) (Karoubi (SimplicialObject C)) (Karoubi (SimplicialObject C))).obj (toKaroubi (SimplicialObject C))).preimage (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans)).app P = (N₂ ⋙ Γ₂).map P.decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app P.X ≫ P.decompId_p
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
TopologicalSpace β
hf : IsLocalMinOn f s a
(𝓝[<] f a).NeBot
⊢ ¬𝓝 (f a) ≤ Filter.map f (𝓝[s] a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ (x : α), BddBelow (Set.range fun i => f i x)
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuous (f i)
⊢ UpperSemicontinuous fun x' => ⨅ i, f i x'
n m : ℕ
⊢ m ≤ n / 2 ↔ ↑m * 2 ≤ ↑n
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (fun x => ν' (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ'] 0
⊢ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I J : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I
⊢ BoxIntegral.Integrable J l f vol
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k
⊢ (p - 1) * padicValNat p (n + k)! - ((p - 1) * padicValNat p k ! + (p - 1) * padicValNat p (n + k - k)!) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
⊢ IsUnit P
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps ↔ ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
a : G
b : k
⊢ ((lift k G A) F) (single a b) = b • F a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ≠ 0 ↔ ∃ d, MvPolynomial.coeff d p ≠ 0
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ x * y ≤ x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : ¬p.natTrailingDegree ≤ n
⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
self : CategoryTheory.EffectiveEpi f
⊢ Nonempty (CategoryTheory.EffectiveEpiStruct f)
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
⊢ (Module.AEval.comapSubmodule R M a) (Module.AEval.mapSubmodule a hp) = p
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsClosed {b | f b ≤ g b}
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j : ι
⊢ (prevD j) f = (toPrev j) f ≫ D.dTo j
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
ι : Sort u_1
S : ι → Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (⨅ i, S i) = ⨅ i, Subalgebra.toSubmodule (S i)
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ BlankExtends l₁ l₂
α : Type u_2
R : Type u_7
CommRing R
f : α → ℤ
s : Finset α
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
⊢ openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)
x : PartENat
⊢ x + ⊤ = ⊤
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
Fintype K
Fintype V
k : ℕ
hk : k ≤ FiniteDimensional.finrank K V
⊢ Nat.card { s // LinearIndependent K s } =
  ∏ i : Fin k, (Fintype.card K ^ FiniteDimensional.finrank K V - Fintype.card K ^ ↑i)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
⊢ (⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))) s ≤ ((map f) (⨅ i, (comap f) (m i))) s
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)
⊢ ∏ x ∈ Finset.eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
r s : R
⊢ (taylor r) ((taylor s) f) = (taylor (r + s)) f
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
⊢ IsGalois F E
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
m : M
i : ι
⊢ (h.coeffs m) i = (ε i) m
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsCompact {x}
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
⊢ ↑⋯.unit ^ 2 + ↑⋯.unit + 1 = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝¹ : s ⊆ insert a u
this✝ : t ⊆ insert a u
this : insert a s ⊆ insert a u
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
α : Type u_2
DistribLattice α
a : α
⊢ InfPrime a ↔ InfIrred a
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
⊢ #(α ≃ β') = 2 ^ lift.{v, u} #α
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Iic a ∩ Set.Ioi b = Set.Ioc b a
f : ℝ → ℝ
hf' : Differentiable ℝ f
hf'' : Differentiable ℝ (deriv f)
hf''_nonneg : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ deriv^[2] f x
⊢ ConvexOn ℝ Set.univ f
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
a : α
⊢ MulAction.period m a ≤ Monoid.exponent M
M : Type u_1
Semigroup M
V : Ultrafilter M
⊢ Continuous fun x => x * V
θ : Angle
⊢ (-θ).sin = -θ.sin
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
h : G ≤ H
⊢ G.cliqueSet n ⊆ H.cliqueSet n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
h : a ∈ s - t
h' : a ∈ t
⊢ count a s ≤ count a t
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y + o.oangle y x = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
D : Type u_5
Semiring D
Algebra R D
TopologicalSpace D
h : C →A[R] D
g : B →A[R] C
f : A →A[R] B
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
a✝ : δ < ⊤
ε_top : ¬↑ε = ⊤
⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ + ↑ε
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
i : ℕ
hs : (s ∩ f i).Nonempty
ht : (t ∩ f i).Nonempty
⊢ μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ dickson k a n = X * dickson k a (n - 1) - C a * dickson k a (n - 2)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]
⊢ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : SlashInvariantForm Γ k
n : α
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix m n₁ R
B₂ : Matrix m n₂ R
⊢ A₁.fromColumns A₂ = B₁.fromColumns B₂ ↔ A₁ = B₁ ∧ A₂ = B₂
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric' m).IsMetric
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ IsSquare (-2) ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
AddMonoid M
TopologicalSpace X
f : X → AddUnits M
⊢ Continuous f ↔ Continuous (AddUnits.val ∘ f) ∧ Continuous fun x => ↑(-f x)
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
k : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
⊢ (f ⊓ g).LimZero