ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m✝ : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b m : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
ho : m ∈ Option.casesOn (foldl (argAux r) o tl) (some a) fun c => if r a c then some a else some c
c : α
hf : foldl (argAux r) o tl = some c
⊢ ¬r b m
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ frontier {b | f b < g b} ⊆ {b | f b = g b}
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Zero α
⊢ sSup 0 = 0
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ Multiplicative.ofAdd s.sum = (Multiset.map (⇑Multiplicative.ofAdd) s).prod
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A
⊢ (M ⊔ N) * P = M * P ⊔ N * P
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G
⊢ ((CategoryTheory.ihom.ev A).app B).hom =
  (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe A →ₗ[k] CoeSort.coe B) (CoeSort.coe B)) LinearMap.id.flip
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ s ⊆ {a, b} ↔ s = {a} ∨ s = {b} ∨ s = {a, b}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s : Set E
hs_zero : 0 ∈ s
hs_open : IsOpen s
hs_balanced : Balanced 𝕜 s
hs_convex : Convex ℝ s
⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id s
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then Set.univ else t h) ↔ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
⊢ span Set.univ = ⊤
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
K : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ 0 ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
hG : 0 < Fintype.card G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ ∅ ^ k
⊢ ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(∅ ^ k) = Fintype.card ↑(∅ ^ Fintype.card G)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ (Set.Icc a b).Nonempty ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Measure.rnDeriv 0 ν =ᵐ[ν] 0
α : Type u
β : Type v
inst✝ : OrderedSemiring β
l : Filter α
f g : α → β
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ 0 ≤ᶠ[l] f * g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ ⇑h.toEquiv = ⇑h
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
⊢ ∀ (x : Ideal R), x ∉ nonPrincipals R
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h's : IsCompact (closure s)
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x
⊢ n ≤ (n / r + 1) * r
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P ψ.all
hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P φ.ex
hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)
⊢ P φ
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
h : χ.FactorsThrough d
⊢ χ = (DirichletCharacter.changeLevel ⋯) h.χ₀
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).ι i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
⊢ ∀ (a : A[X]), ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) a = (mapAlgEquiv (f.trans g)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : p a
⊢ ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : WithBot (Box ι)
⊢ ⋃ J, ⋃ (_ : ↑J = I), ↑J = ↑I
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : sᶜ ∉ f
⊢ ∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f
z : ℤ
c : ℝ≥0
⊢ |z| ≤ ↑⌊c⌋₊ ↔ ‖z‖₊ ≤ c
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(↑n).minFac
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddGroup n
i j : n
⊢ circulant (Pi.single 0 1) i j = 1 i j
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i) = 1
x : ℂ
⊢ deriv Complex.tan x = 1 / Complex.cos x ^ 2
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Ico a b) = Finset.Ico ↑a ↑b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
f : K ⟶ L
i₁ i₁' : I₁
i₂ : I₂
⊢ (f.f i₁).f i₂ ≫ (L.d i₁ i₁').f i₂ = (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ (f.f i₁').f i₂
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e e' : X ≃ᵈ X
⊢ ⇑(e * e') = ⇑e ∘ ⇑e'
o : Ordinal.{u_3}
⊢ #(Quotient.out o).α = o.card
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.EnrichedFunctor.id V C).map X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq l
f : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
⊢ (Summable fun x => Matrix.blockDiagonal' (f x)) ↔ Summable f
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
⊢ Algebra.adjoin R (Set.range f) = ((FreeAlgebra.lift R) f).range
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), f n < ack m n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y
n m : Nat
⊢ n * m.pred = n * m - n
σ : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)
⊢ (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) f = (MvPolynomial.expand p) f
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
⊢ a = 0 ∨ 0 < a ∧ 0 ≤ b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
⊢ μ.WeaklyRegular
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp : p ≠ 0
⊢ ↑(normUnit p) = C p.leadingCoeff⁻¹
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS
k : ℕ
hk : ¬k = n
i : R
hi : f i = p.coeff k
⊢ (erase n p).coeff k ∈ f.rangeS
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
⊢ z • r ∈ AddSubgroup.zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ AddSubgroup.zmultiples p
α : Type u
x y z w : α
⊢ {x, y} = {z, w} ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Set R
hs : IsSubring s
⊢ IsSubring (⇑f '' s)
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.bsize = String.utf8Len m
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
⊢ Function.RightInverse (List.map f) (List.map g) ↔ Function.RightInverse f g
f : CircleDeg1Lift
⊢ dist (f 0) f.translationNumber ≤ 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
a b : G
⊢ f (a / b) = f a / f b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable (↑f) μ
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T f
a b : EReal
⊢ -a ≤ b ↔ -b ≤ a
α : Type u_1
I B X : Set α
M : IndepMatroid α
⊢ ∀ ⦃I : Set α⦄, M.Indep I ↔ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ HurwitzZeta.oddKernel a =O[Filter.atTop] fun x => rexp (-p * x)
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ⋃₀ B = Set.univ
⊢ Bornology.cobounded α = Filter.comk (fun x => x ∈ B) empty_mem subset_mem union_mem
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
Lattice γ
BoundedOrder γ
g : BoundedLatticeHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : BoundedLatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ BoundedLatticeHom.dual.symm (g.comp f) = (BoundedLatticeHom.dual.symm g).comp (BoundedLatticeHom.dual.symm f)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
x y : X
⊢ f (Sum.inl x, Sum.inl y) = dist x y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ((toZModPow n) x).cast = (toZModPow m) x
α : Type u_2
MulZeroClass α
s : Set α
⊢ s * 0 ⊆ 0
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
⊢ a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective (f.val.app (Opposite.op S.compHaus))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s ×ˢ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ×ˢ t i j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a ≤ c + (b - c) + (a - b)
a b : NONote
⊢ (a.cmp b).Compares a b
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.eval 0 ((⇑Polynomial.derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) =
  Polynomial.eval (↑(n - (ν - 1))) (ascPochhammer R ν)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Add (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p q : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth (x + y) (p + q) = i.insertNth x p + i.insertNth y q
R : Type u
Ring R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (𝟙 M) m = m
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
n : ℕ
⊢ x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n = (∏ i ∈ Finset.range n, (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i)) * (x - y)
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ p' 1 ⋯
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ l.set n a = [] ↔ l = []
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Booleanisation.comp ⊥ = ⊤
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
Nontrivial α
⊢ ∃ a, 0 < a
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
f : Multiplicative α →* β
⊢ ⇑(MonoidHom.toAdditive'' f) = ⇑Additive.ofMul ∘ ⇑f ∘ ⇑Multiplicative.ofAdd
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
⊢ (X.restrictFunctor.map i).left = AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGLB s a
Hb : IsGLB s b
⊢ a = b
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
⊢ ∀ (x : ↥(nonZeroDivisors S)), ∃ m, m * ↑x ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g
⊢ Antivary f⁻¹ g⁻¹ ↔ Antivary f g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : f ≤ᶠ[l] h
hg : g ≤ᶠ[l] h
⊢ f ⊔ g ≤ᶠ[l] h
ι : Sort u_1
M : Type u_2
MulOneClass M
S : ι → Submonoid M
⊢ (iInf S).op = ⨅ i, (S i).op
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
(x : X) → Decidable (x ∈ s)
(y : Y) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
Hs : e.source ∩ frontier s = e'.source ∩ frontier s
Heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ frontier s)
⊢ (e.piecewise e' s t H H' Hs Heq).toPartialEquiv = e.piecewise e'.toPartialEquiv s t H H'
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c
⊢ a < b - c ↔ a + c < b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
⊢ C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) (f.coeff n)
α : Type u
s : Set α
⊢ ∅ ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsFiltered C
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
h : S = ⊥
⊢ Module.rank R ↥S = 0
α : Type u_2
TopologicalSpace α
a : { x // IsClosed x ∧ IsIrreducible x }
⊢ TopologicalSpace.IrreducibleCloseds.equivSubtype'.symm a = { carrier := ↑a, is_irreducible' := ⋯, is_closed' := ⋯ }
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s : Finset α
a : α
⊢ s * {a} = Finset.image (fun x => x * a) s
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
K : Set G
Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K
⊢ closure K ⊆ s
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
x : (i : ι) × ↑(s i)
⊢ (Function.Embedding.sigmaSet h) x = ↑x.snd
R : Type u
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring B
Algebra R B
f g : R[X] →ₐ[R] B
hX : f Polynomial.X = g Polynomial.X
⊢ f = g
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Function.Surjective ⇑(S.transitionMapLE h)
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c))
⊢ Tendsto f l (𝓝 c)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
y : ι → ℝ
⊢ -(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y‖ ^ 2) = -b * ∑ i : ι, ↑(y i) ^ 2
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : 0 ≤ r₁
h₂ : r₁ ≤ r₂
⊢ (fun n => r₁ ^ n) =O[Filter.atTop] fun n => r₂ ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : b * a ∈ I ^ n
⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I
n m : Nat
⊢ n + m = 0 → n = 0 ∧ m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ a ∈ Ι a b ↔ b < a
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b✝ b : EReal
⊢ (∀ (z : ℝ), b < ↑z → limsup u f ≤ ↑z) ↔ ∀ (c : ℝ), b < ↑c → ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ ↑c
k : Type u_1
V1 : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
p₀ p₁ : V1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = c • (p₁ - p₀) + p₀
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ ↔
  μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
w : ι → R
z : ι → E
s t : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i + ∑ i ∈ t, w i = 0
hz : ∑ i ∈ s, w i • z i + ∑ i ∈ t, w i • z i = 0
⊢ s.centerMass w z = t.centerMass w z
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ ∀ (a : Submodule R N), Submodule.map f (Submodule.comap f a) = a ⊓ LinearMap.range f
x : ℝ
⊢ (↑x).expMapCircle = expMapCircle x
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} = Set.Ici a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2
⊢ ‖(L₁ - L₂) y‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖y‖
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ MeasurePreserving (⇑f) volume volume
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
hf : Computable fun p => f p.1 p.2
⊢ Computable₂ f
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g₁ g₂ : G
⊢ g₁ • HNNExtension.NormalWord.ofGroup g₂ = HNNExtension.NormalWord.ofGroup (g₁ * g₂)
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
a₁ a₂ : M
b₁ b₂ : N
⊢ (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)