ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (0 + f x))
⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
⊢ A *ᵥ -v = -(A *ᵥ v)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ Trivialization.linearMapAt R e b = ↑(Trivialization.linearEquivAt R e b hb)
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty
⊢ ∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ Set.Iio a ⊆ Set.Iic b ↔ a ≤ b
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y
⊢ derivWithin f (Set.Iio y) y < slope f x y
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0
⊢ ⇑(Equiv.mulRight₀ a ha) = fun x => x * a
R : Type u_1
Mul R
Add R
self : RightDistribClass R
a b c : R
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
x : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞
hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)
⊢ y.2 + ↑x < y.1
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
IsRightCancelAdd α
NoZeroDivisors α
ZeroLEOneClass α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ a * a + b * b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N
this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω
k : ℕ
hk : N < (fun n => upperCrossingTime a b f N n ω) k
⊢ False
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
s : Set α
⊢ LowerSemicontinuous fun f => eVariationOn f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableOn 𝕜 (A i) s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) s
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
PerfectField K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ ↑(LieAlgebra.corootSpace ⇑α) =
  Submodule.span K {(LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α)}
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ Nontrivial ↥S ↔ ∃ x ∈ S, x ≠ 0
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → Set β
⊢ ⋃₀ Set.range f = ⋃ x, f x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ (∀ s ∈ l₂, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ liminf s cofinite = {x | {n | x ∉ s n}.Finite}
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ
⊢ |c⁻¹| * |c| = 1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {1}
α : Type u_1
a : α
Preorder α
x : ↑(Set.Iic a)
⊢ x = ⊤ ↔ ↑x = a
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y : α
⊢ limit (pair x y) = Finset.univ.inf (pair x y).obj
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) < 1 / x
⊢ |log x * x| < 1
x y : UInt8
⊢ (x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt8.size
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
⊢ ¬False ∧ ∀ n < w.length, ∃ (h : n < w.length), 0 < w.get ⟨n, ⋯⟩
α : Type u
EMetricSpace α
CompleteSpace α
⊢ IsClosed (Set.range TopologicalSpace.NonemptyCompacts.toCloseds)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
self : UniformEmbedding f
⊢ Function.Injective f
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit (((Spec R).presheaf.germ ⟨x, _root_.trivial⟩) ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f
n p : ℕ
⊢ p ∈ n.primeFactorsList ↔ Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
⊢ False
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
f : (i : Fin (n + 1)) → α i
⊢ Fin.removeNth 0 f = Fin.tail f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)
u v : α
u_in : (u, v).1 ∈ ball x w
v_in : (u, v).2 ∈ ball x w
⊢ (u, v) ∈ V
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
v : ℕ → α
hv_mono : StrictMono v
hv_mem : ∀ (n : ℕ), v n ∈ Ioo (u 0) y
hvy : Tendsto v atTop (𝓝 y)
⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).IsCycle ↔ p.IsPath ∧ s(u, v) ∉ p.edges
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ 0 < Gamma y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
⊢ [TopologicalSpace.NoetherianSpace α, WellFounded fun s t => s < t, ∀ (s : Set α), IsCompact s,
    ∀ (s : TopologicalSpace.Opens α), IsCompact ↑s].TFAE
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.cos (f x)) s
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
Q' : M → N
h : Q' = ⇑Q
⊢ Q.copy Q' h = Q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
⊢ s ∈ l
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
A : Projectivization.Subspace K V
x : Projectivization K V
⊢ x ∈ A.carrier ↔ x ∈ A
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (OrderIso.mulRight a).toEquiv = Equiv.mulRight a
a b : Nat
⊢ (¬a < b) = (b ≤ a)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
⊢ ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I N)) = ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I n))
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = b
⊢ a = b ∨ a = b⁻¹
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
⊢ forIn (List.drop 0 as.data) b f = forIn as.data b f
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ↑e.symm x ∈ e.source
α : Type u
β : Type v
Monoid α
Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (ConjClasses.map f)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
⊢ (pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.fst f g).op.unop
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
g : ℝ → E
fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Set.Icc a b)
gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Set.Icc a b)
hderiv : Set.EqOn (derivWithin f (Set.Icc a b)) (derivWithin g (Set.Icc a b)) (Set.Ico a b)
hi : f a = g a
y : ℝ
⊢ y ∈ Set.Icc a b → f y = g y
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : u ∈ closure {f | IsCompactOperator ⇑f}
⊢ u ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
⊢ (FixedPoints.minpoly G F x).Monic
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t m : Multiset α
⊢ m.dedup.toFinset = m.toFinset
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α
⊢ (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) (⇑f ⁻¹' A) = (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
self : CategoryTheory.EffectiveEpiFamilyStruct X π
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
m : B ⟶ W
⊢ (∀ (a : α), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) m = e a) → m = self.desc e ⋯
σ K : Type u
Fintype K
Field K
Finite σ
p : MvPolynomial σ K
h : ∀ (v : σ → K), (MvPolynomial.eval v) p = 0
hp : p ∈ MvPolynomial.restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)
⊢ p = 0
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X).coeff (n + 1) = p.coeff n
f : ℝ → ℝ
f' x p : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) ((Pi.basisFun R n) i) = v₂ (e i)
⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
M : Type u_2
AddZeroClass M
H : AddSubmonoid M
b : { b // (fun x => x ∈ H.op) b }
⊢ ↑(H.equivOp.symm b) = AddOpposite.unop ↑b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M)
⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
Sub α
OrderedSub α
ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inl ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inl
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
s : AffineSubspace k P₁
⊢ AffineSubspace.map (AffineMap.id k P₁) s = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
⊢ atTop = comap Subtype.val atTop
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ PiNat.cylinder x n ⊆ PiNat.cylinder x m
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
h : M✶.RkPos
hB : M.Base B
⊢ B ⊂ M.E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
⊢ J ≤ 1 ↔ ∃ I, ↑I = J
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
x : M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id) = LinearMap.range (r ^ m • LinearMap.id)
⊢ ∃ n y, r ^ n.succ • y = r ^ n • x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
x : L
⊢ x ∈ dual A K I ↔ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.degree = 1
⊢ p = Polynomial.C p.leadingCoeff * Polynomial.X + Polynomial.C (p.coeff 0)
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ Function.Injective fun a => ↑a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ (⋃ x ∈ t, U x)ᶜ ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
⊢ (∀ ⦃c : α⦄, a < c → ¬c < b) ↔ Ioo a b = ∅
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) (s ∪ t) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) s + (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) t
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
x : G
⊢ (QuotientAddGroup.mk' N) x = ↑x
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ
⊢ f (x - ↑n) = f x - n • b
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)
⊢ cdf f.measure = f
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t
⊢ Disjoint ↑(I.splitCenterBox s) ↑(I.splitCenterBox t)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
⊢ MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
R : Type u
inst✝ : Ring R
X✝ : Type u
⊢ { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map (𝟙 X✝) = 𝟙 ({ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.obj X✝)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
⊢ UniformConcaveOn s φ (-f)
α : Type u_1
n : Type u_3
A B : Matrix n n α
Sub α
hA : A.IsSymm
hB : B.IsSymm
⊢ (A - B).IsSymm
n : ℕ
⊢ 1 + (↑n + 1)⁻¹ - 1 = (↑n + 1)⁻¹
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
⊢ a ∈ s.unop
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
f g : C(↑(σₙ R a), R)₀
hfg : f ≤ g
⊢ (cfcₙHom ha) f ≤ (cfcₙHom ha) g
R : Type u
CommRing R
U : (TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum R))ᵒᵖ
r : R
⊢ (algebraMap R ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj U)) r =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R (Opposite.unop U)) r
L : FirstOrder.Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
⊢ T.IsComplete
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ τ : Aut A
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)
⊢ autMap f (σ * τ) = autMap f σ * autMap f τ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).nextCoeff = f p.nextCoeff
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
y : β
s t : Set β
h : ContinuousWithinAt f (f ⁻¹' s) x
ht : t ∈ 𝓝[s] y
hxy : y = f x
⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[f ⁻¹' s] x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ nndist x y = 0 ↔ x = y
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
h : P n
⊢ PartENat.find P ≤ ↑n
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
⊢ ∀ (x y : R), { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrder.finsetIoc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
X Y : Type u
⊢ (CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductIso X Y).hom ≫ Prod.fst = CategoryTheory.Limits.prod.fst
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a : R
b : R
⊢ b ≠ 0 → ¬EuclideanDomain.r (a * b) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).counitIso.inv.app X = 𝟙 X
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
Nontrivial M₀
h : s.indicator 1 = t.indicator 1
⊢ s = t
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Antivary f g
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
l : List α
⊢ pwFilter R l = l ↔ Pairwise R l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
⊢ UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q ^ i q
⊢ p ∈ s
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b
⊢ Odd (a + -b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ fderiv 𝕜 id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
x : ℝ≥0
h : x ≠ 0
y : ℝ
⊢ ↑x ^ y = ↑(x ^ y)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₃ p₂ p₁).sign