ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k
hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)
sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
sub_both_sides : (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) (↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2) = (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) ((-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2)
⊢ psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
sz : ℕ
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ l.rotateL x (Ordnode.node sz m y r) = if m.size < Ordnode.ratio * r.size then l.node3L x m y r else l.node4L x m y r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
hy : y ∈ U
⊢ F.germ ⟨y, hy⟩ ≫ F.stalkSpecializes h = F.germ ⟨x, ⋯⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
⊢ AlgebraicIndependent R x
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
AddZeroClass α
M : Matrix (m × o) (n × o) α
k : o
⊢ (Matrix.blockDiagAddMonoidHom m n o α) M k = M.blockDiag k
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'
⊢ commProb (M × M') = commProb M * commProb M'
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
⊢ Finset.image (insert a) (Finset.memberSubfamily a 𝒜) = Finset.filter (fun x => a ∈ x) 𝒜
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic c, rexp x = rexp c
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : x < 0
⊢ |x ^ y| ≤ |x| ^ y
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
⊢ PreQuasiregular.val 1 = 0
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
n : ℕ
f g : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
⊢ (f + g).curryLeft = f.curryLeft + g.curryLeft
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det
j : Fin n.succ
x✝ : j ∈ univ
⊢ (-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : P
hlt : ∀ (h : x < y), h₁ h = p
heq : ∀ (h : x = y), h₂ h = p
hgt : ∀ (h : y < x), h₃ h = p
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = p
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ basicOpen 𝒜 (f * g) ≤ basicOpen 𝒜 f
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupNormClass F α β
f : F
⊢ f 1 = 0
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ count p n = (filter p (range n)).card
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ essSup f μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.inv η)) (F.map₂ η) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.map g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((ProbabilityTheory.Kernel.sum κ) a) s = ∑' (n : ι), ((κ n) a) s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
cmp : α → α → Ordering
self : Lake.EqOfCmpWrt α f cmp
a a' : α
⊢ cmp a a' = Ordering.eq → f a = f a'
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (∅ ∪ star ∅) ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ContinuousMul α
s : Set β
hs : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
hsc : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
⊢ Multipliable f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (f x, g x)
α : Type u
⊢ Stream'.Seq.nil.enum = Stream'.Seq.nil
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
Fintype α
a : α
f : α → β
⊢ ∑ i : α, f i = ∑ i ∈ {a}ᶜ, f i + f a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
α : Type u
Preorder α
OrderBot α
⊢ IsLeast Set.univ ⊥
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
xy : IsCompl x y
⊢ (∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ y) → ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ M ((monomial 0) a)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
⊢ x ∈ connectedComponent x
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J AddCommGrp
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ algebraMap R (MvPolynomial σ R) = MvPolynomial.C
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q
⊢ r * y * x + r - 1 ∈ I
a b c : Prop
⊢ (a ∧ b ↔ a ∧ c) ↔ a → (b ↔ c)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ ∀ (i : σ), ((expand p).comp (bind₁ f)) (X i) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) (X i)
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∑ x ∈ Finset.range a, -f (x₀ + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, -f x
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.map (fun x => x * a) (Bornology.cobounded α) = Bornology.cobounded α
R : Type u
CommSemiring R
a : R
⊢ (Polynomial.X + Polynomial.C a).Separable
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
a : α
ha : HasSum f a
n : ℕ
⊢ ‖∑ x ∈ Finset.range n, f x - a‖ ≤ C * r ^ n / (1 - r)
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
x : R
⊢ (Polynomial.aevalTower g y) ((algebraMap R R[X]) x) = g x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)
B : Nat.find A - 1 < Nat.find A
⊢ (s ∩ cylinder x (Nat.find A - 1)).Nonempty
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ≤ Booleanisation.lift b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.natDegree ≤ n ↔ ∀ (N : ℕ), n < N → p.coeff N = 0
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : Infinite α
⊢ ∃ a, Infinite ↑(f ⁻¹' {a})
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ (f '' s ∩ t).Nonempty ↔ (s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 ≤ ε
⊢ x ∈ closedBall x ε
a b : Int
⊢ 0 ≤ a + b ↔ -b ≤ a
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ [a].minimum = ↑a
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x
⊢ ∃ a, (eval IM I M R x) a = smoothSheaf.eval IM I R x y
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ J l R * -J l R = 1
α : Type u_1
Nonempty α
s : Set (Set α)
h : ⋃₀ s = Set.univ
⊢ s.Nonempty
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β
⊢ (⨅ f, ↑f a) b ↔ ∀ r ∈ s, r a b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun x => ‖∫ (x : α) in s x, f x ∂μ‖) l (𝓝 0)
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1
⊢ x ∣ y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
⊢ ∀ (a : A), (starLinearEquiv R) a = star a
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F
⊢ ∃ g, g • x = m • x
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
g : α
⊢ Quotient.out' ↑g = g * ↑⟨g⁻¹ * Quotient.out' ↑g, ⋯⟩
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (f * g * h) = (trace R M) (h * f * g)
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0∞
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
hfg : Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = (μ.withDensity f).withDensityᵥ g
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
⊢ Monotone fun m => f^[m]
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsLocallyClosed s
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ Rel.comp Eq r = r
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.PreSubmersivePresentation R S
Fintype P.rels
DecidableEq P.rels
⊢ P.jacobian = (algebraMap P.Ring S) P.jacobiMatrix.det
α : Type u_1
l : List α
⊢ ofFn (get ⟨l, ⋯⟩) = ⟨l, ⋯⟩
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ BddAbove (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ BddBelow s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) ‖f‖
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K
⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F (φ x))
α : Type u_1
Semifield α
b d : α
a c : α
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b + c / d = (a * d + b * c) / (b * d)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
⊢ s ∈ f.lift g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ a • b₁ < a • b₂ ↔ b₂ < b₁
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ c = EuclideanGeometry.inversion c R x ↔ x = c
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
⊢ ContinuousWithinAt g (Ici a) a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
x : E
hx : ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)
h'x : ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v
L : E →L[ℝ] ℝ := LinearMap.toContinuousLinearMap ((B.constr ℝ) fun i => lineDeriv ℝ f x (B i))
v : E
hv : v ∈ s
J : L v = lineDeriv ℝ f x v
⊢ HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
⊢ ↑(LieIdeal.comap f J) = Submodule.comap ↑f ↑J
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ∀ {x : A}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ
⊢ X i ^ 0 = 1
w x y z r : ℝ
l : List ℝ≥0
this : ↑(List.map (fun x => x ^ r) l).prod = ↑(l.prod ^ r)
⊢ (List.map (fun x => x ^ r) (List.map toReal l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddOreLocalization.AddOreSet S
AddAction M X
VAdd R X
VAdd R M
VAddAssocClass R M M
VAddAssocClass R M X
r : R
x : AddOreLocalization S X
⊢ r +ᵥ 0 +ᵥ x = r +ᵥ x
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)
m : ℤ
hm : 2 * π * z✝ = 2 * π * z✝¹ + ↑m * (2 * π) * T
⊢ ↑m * T = -z✝¹ + z✝
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u✝ v✝ : Finset α
hε : 0 < ε
u v : Finset α
⊢ (u, v) ∉ ⊥.nonUniforms G ε
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.exp (Real.exp x) x
a : Ordinal.{u_1}
⊢ ω ≤ (ord ∘ aleph) a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor A C
X : A
⊢ (F.prod'CompSnd G).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
CategoryTheory.Injective J
hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f f = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g (hS.descToInjective f hf) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b < a
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
Field 𝕂
Field 𝕂'
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕂' 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸
⊢ ((NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (NormedSpace.expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
⊢ 0 < eval (↑(-1)) (cyclotomic n ℤ)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ Function.Surjective ⇑AddMonoid.Coprod.snd
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p
⊢ (1 + stdBasisMatrix (e t_i) (e t_j) c✝) a b = (1 + stdBasisMatrix t_i t_j c✝) (e.symm a) (e.symm b)
ι : Type u
β : ι → Type v
α : Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
⊢ ⇑(∑ a ∈ s, g a) = ∑ a ∈ s, ⇑(g a)
R : Type u
Semiring R
InvariantBasisNumber R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α → R) ≃ₗ[R] β → R
⊢ Fintype.card α = Fintype.card β
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
⊢ False
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ ∀ {x : Invertible a}, a * (⅟a * b) = b
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
⊢ Monotone fun x => x * a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
⊢ I = J
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousOn (fun p => (fderivWithin 𝕜 f s p.1) p.2) (s ×ˢ Set.univ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.IsIso f
Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = g
R : Type u
CommSemiring R
⊢ Polynomial.Separable 1
α : Type u_2
Fintype α
Encodable α
x : α
⊢ x ∈ Encodable.sortedUniv α
x✝ y x : ℝ
⊢ 1 < rexp x ↔ 0 < x