ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f g✝ : α →*o β
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
⊢ TrivSqZeroExt.map LinearMap.id = AlgHom.id R' (tsze R' M)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ 0 < self.n₀
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ (b ⊔ a ⊓ b) ⊔ b \ (a ⊔ a ⊓ b) = a ∆ b
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ (fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (f + const α ‖f‖) x
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
f : β → α
⊢ ∅.sup f = ⊥
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
⊢ (prod 0).coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) 0).prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.IsEquivalence
⊢ F.Full
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hs : #↑s < c
⊢ #↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), #↑(t a ha) < c
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : β → γ
g : α → β
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kg : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t
Kf : ℝ≥0
u : Set β
hu : u ∈ 𝓝 (g x)
hfL : LipschitzOnWith Kf f u
⊢ LipschitzOnWith (Kf * Kg) (f ∘ g) (t ∩ g ⁻¹' u)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
Semiring Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.comapRingHom f) g) a = g (f a)
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R
⊢ Function.Injective ⇑(Ideal.quotientInfToPiQuotient I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ∧ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ ≠ ⊤
α : Type u_1
n : Type u_5
DecidableEq n
MulZeroClass α
v w : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v).hadamard (Matrix.diagonal w) = Matrix.diagonal (v * w)
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
v : n → R
⊢ (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A) v = (Matrix.toLin' ↑A) v
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N : Type w'
g : M ≃ N
⊢ (Equiv.bundledInduced L g).str = g.inducedStructure
R : Type u_4
S : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
F : Filter R
F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault
⊢ f F.limsSup = Filter.liminf f F
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r ≤ f x}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t
⊢ s ^ 0 ⊆ t ^ 0
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
DecidableEq M
Zero M
Zero N
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
hF : Function.Injective F
⊢ (Finsupp.mapRange F F0 f).neLocus (Finsupp.mapRange F F0 g) = f.neLocus g
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in 𝓝 p, 0 < x.1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
t : G
ht : ConvolutionExistsAt g k (x₀ - t) L₄ μ
⊢ (fun s => ∫ (u : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ) t = (fun s => (L₃ (f s)) (∫ (u : G), (L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ)) t
m n : ℕ
⊢ ↑(m % n) = ↑m % ↑n
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
⊢ (∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ
⊢ dist ((R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c) +ᵥ c) ((R / dist y c) ^ 2 • (y -ᵥ c) +ᵥ c) = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
OrderBot α
⊢ a ≤ Order.pred a ↔ a = ⊥
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.next { byteIdx := String.utf8Len m } = { byteIdx := String.utf8Len m }
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b
this : r = p
⊢ { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
m : ℕ
hm : m = 𝒜.card
⊢ supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
x : ℝ
h : 1 ≤ x
⊢ x.smoothTransition = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ X = X - C 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
⊢ IsFractional S I
x✝ : ℝ
⊢ (↑(π / 2) - ↑x✝).sin = (↑x✝).cos
n : ℕ
⊢ ↑n.totient = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.225151}
S T : Set α
h : T ⊆ S
⊢ Disjoint (S \ T) T
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (FirstOrder.Language.Equiv.refl L M).toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
H : m.WF
⊢ (Batteries.HashMap.Imp.filterMap f m).WF
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i
⊢ (s.ι.app j) ((f i j h) x) = ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) x
o : Ordinal.{u_4}
⊢ Order.succ o.pred = o ↔ ∃ a, o = Order.succ a
X : Type u_5
Y : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
DiscreteTopology ↑s
f : X → Y
hc : Continuous f
hinj : Function.Injective f
⊢ DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' s)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K : Subgroup G
M✝ : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M✝
M : Type u_8
inst✝ : Monoid M
f : G →* M
x : G
⊢ x ∈ f.toHomUnits.ker ↔ x ∈ f.ker
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this : toAddCommGroup = toAddCommGroup
⊢ inst₁ = inst₂
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
⊢ (cs.leftInvSeq ω).Nodup
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ upperBounds {a} = Set.Ici a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : b = a⁻¹ * c
⊢ a * b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
ι : Type u_3
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
i j : CategoryTheory.Discrete ι
hi : i ≠ j
⊢ CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj j))
  (c.ι.app i) (c.ι.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ e.restr Set.univ = e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))
⊢ univ = univ ×ˢ univ
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IsBigOWith c l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r
R : Type u
σ : Type v
CommRing R
I : Ideal (MvPolynomial σ R)
p : MvPolynomial σ R
hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff m p ∈ Ideal.comap MvPolynomial.C I
⊢ p ∈ I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).symm = CategoryTheory.Iso.refl X
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ f, f x ≠ 0
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
Semiring β
Mul α
Mul α₂
F : Type u_6
FunLike F α α₂
MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
⊢ MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) (x * y) = MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) x * MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) y
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalCommRing R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ
⊢ AEMeasurable (f * l.prod) μ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (↑(Nat.bit b n)).testBit 0 = b
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set R
T : Set M
⊢ Ideal.span S • Submodule.span R T = Submodule.span R (⋃ s ∈ S, ⋃ t ∈ T, {s • t})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α
⊢ x ∈ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} ↔ x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
⊢ g =ᶠ[ae μ] aeSeqLim
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
M : Type u_5
AddCommMonoid M
Module R M
f g : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ ↑(GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ) = g ∘ₗ ↑(GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ)
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ x = f x
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f✝ g : RatFunc F
f : F[X]
hf : f ≠ 0
⊢ ↑f ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite μ
ν : MeasureTheory.Measure γ
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.const α μ).prod (ProbabilityTheory.Kernel.const α ν) =
  ProbabilityTheory.Kernel.const α (μ.prod ν)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1
⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
α : Type u
Top α
⊢ ⊤.down = ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
⊢ affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ vectorSpan k s₁ = vectorSpan k s₂ ∧ (s₁ = ∅ ↔ s₂ = ∅)
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)
X : C
e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y : CategoryTheory.GradedObject J D
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofan.inj (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitorCofan F X e p hp Y j) ⟨(0, j), ⋯⟩ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j))
    (e.hom.app (Y j))
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H
⊢ ((traceForm K (↥H) L) ⟨x, hx⟩) y = 0 y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ B ⊆ M.E
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.Exact ∧ CategoryTheory.Mono S₁.f ↔ S₂.Exact ∧ CategoryTheory.Mono S₂.f
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ : ℤ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (∅.weightedVSub p) w = 0
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
this : 0 < ↑q₂
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (A * B).rank = B.rank
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)
hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
⊢ IsSemisimpleModule R M
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1
⊢ ¬1 = -1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
ht : t.Finite
hst : s ⊆ t
hts : (t \ s).encard + s.encard ≤ 0 + s.encard
hdiff : t ⊆ s
⊢ s = t
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β
⊢ extend f g e _b ≤ 1 _b
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
X : A
⊢ (equivalence₁ hF).unitIso.hom.app X ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = (equivalence₂UnitIso eB hF).hom.app X
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddGroup G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x + n • a) = f x + n • b
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B : Finset α
C : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A + B).card * A'.card ≤ (A' + B).card * A.card
⊢ (A + B + C).card * A.card ≤ (A + B).card * (A + C).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
r.IsCompatibleWithShift A
F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.LiftCommShift.iso F r hF a).inv.app ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) =
  (F.commShiftIso a).inv.app X ≫
    (CategoryTheory.Quotient.lift r F hF).map (((CategoryTheory.Quotient.functor r).commShiftIso a).hom.app X)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup N
⊢ ⊤.prod H = AddSubgroup.comap (AddMonoidHom.snd G N) H
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
FiniteDimensional 𝕜 E
_hT : Fact T.IsSymmetric
x : E
μ : Module.End.Eigenvalues T
⊢ ((DirectSum.decompose fun μ => Module.End.eigenspace T (↑T μ)) x) μ =
  (orthogonalProjection (Module.End.eigenspace T (↑T μ))) x
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
b : Finset ι
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑ i ∈ b, f i x') s x
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ↑⊤ = Set.univ