ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (eval₂Hom (algebraMap R B) (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (eval₂Hom (algebraMap R B) fun i => (algebraMap A B) (x i)) p
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
GradedMonoid.GMonoid A
(i : ιB) → AddMonoid (M i)
self : DirectSum.GdistribMulAction A M
i : ιA
j : ιB
a : A i
⊢ GradedMonoid.GSMul.smul a 0 = 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ ↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s))
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
h : C₁ = C₂
n : ι
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).f n = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n a : ℕ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)
⊢ False
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ (match { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support) = match { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
⊢ False
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ∑ k ∈ antidiagonal n.succ, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)
⊢ Finset ?m.329269
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : DivisionMonoid G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
μ✝ μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasurePreserving (fun t => g * t⁻¹) μ μ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ MeasurableSet (⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ x✝), ⋂ i_1, ⋂ (_ : i_1 ≥ x✝), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ i) ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ x✝¹)})
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f ⁻¹' s i j
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Asymptotics.SuperpolynomialDecay Filter.atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
him : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
⊢ Set.EqOn f 0 {z | 0 ≤ z.re}
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ι m
τ η : Ω → ι
i : ι
s : Set Ω
DecidablePred fun x => x ∈ s
hτ_st : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ
hη_st : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 η
hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 (s.piecewise τ η)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∃ t ∈ P.parts, a ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑(v.map f) s = ↑v (f ⁻¹' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f : X ⟶ Y
h : P.Factors f
⊢ P.factorThru f h = 0 ↔ f = 0
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Real.exp (Real.log x) = |x|
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
⊢ (l₁.kunion l₂).NodupKeys
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.comp 0 f = 0
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ∑ i : Fin c.length, c.blocksFun i = n
a : ℝ
⊢ Isometry fun y => UpperHalfPlane.mk { re := a, im := rexp y } ⋯
G : Type u_2
AddGroup G
A B C : AddSubgroup G
h : A ≤ C
⊢ ↑A + ↑(B ⊓ C) = (↑A + ↑B) ∩ ↑C
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
x✝ : (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hBB' : Disjoint B B'
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
⊢ B ⊆ M.E \ B'
R : Type u
CommRing R
p : PrimeSpectrum R
r : R
⊢ (algebraMap R ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.stalk p)) r =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R p) r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
⊢ f = g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : Basis ι ℝ E
⊢ parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.isLeft = false ↔ x.isRight = true
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U V : TopologicalSpace.Opens α
i : U ≤ V
⊢ OpenEmbedding (Set.inclusion ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s
⊢ MonovaryOn (f₁ - f₂) g s
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
⊢ (Polynomial.trinomial k m n u v w).trailingCoeff = u
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ Sieve.pullback f S ≤ Sieve.pullback f R
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
x₀ : β
hf : ContinuousAt f x₀
hg : ContinuousAt g x₀
hfg : f x₀ < g x₀
⊢ ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, f x < g x
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 1
hy : y % 2 = 0
⊢ x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1 ∨ x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
hy : y ∈ M
⊢ (algebraMap R S) y * IsLocalization.mk' S x ⟨y, hy⟩ = (algebraMap R S) x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
a : α
ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
⊢ (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ Fin.cast ⋯ (i.addNat m) = Fin.natAdd m i
α : Type u_1
BEq α
l : List α
⊢ [] ∪ l = l
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
x y : CategoryTheory.Limits.limit F
⊢ x = y ↔ ∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.limit.π F j x = CategoryTheory.Limits.limit.π F j y
R : Type v
CommRing R
A : Matrix (Fin 1) (Fin 1) R
⊢ A.det = A 0 0
G : Type u_3
Group G
x : G
m : ℤ
n : ℤ
h : x ^ n = 1
⊢ x ^ m = x ^ (m % n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
InnerProductSpace 𝕜 G
CompleteSpace E
CompleteSpace G
CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousLinearMap.adjoint (A.comp B) = (ContinuousLinearMap.adjoint B).comp (ContinuousLinearMap.adjoint A)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (Measure.comap f (μ.restrict s)) t = ((Measure.comap f μ).restrict (f ⁻¹' s)) t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₀ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₁ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoN₁
    CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoΓ₀ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
⊢ evenOdd Q i * evenOdd Q j ≤ evenOdd Q (i + j)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
⊢ Field.insepDegree F E = Field.insepDegree F K
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
β : Type u_2
AddMonoid β
f : ℕ →+ β
n : ℕ
⊢ f n = n • f 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : l ≠ []
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []
⊢ (head✝ :: tail✝).maximum ≠ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
⊢ {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N
⊢ e.inducedStructureEquiv.toEquiv = e
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ b j * a j * h i = a i * (b j * h j)
G : Type u_2
Group G
S : Set (Subgroup Gᵐᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (Subgroup.op ⁻¹' S)
ι : Type u_1
α : Type u_3
CommMonoid α
Fintype ι
f : { i // i ∈ Finset.univ } → α
⊢ ∏ i ∈ Finset.univ.attach, f i = ∏ i : ι, f ⟨i, ⋯⟩
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous ⇑Multiplicative.ofAdd
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
⊢ (Walk.map f p).reverse = Walk.map f p.reverse
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
ha : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 0
⊢ ∑ᶠ (x : α), f x = f a
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
j : J
⊢ (fun x => ⟨𝟙 (F.obj j) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ P.part a
α : Type u_2
AddMonoid α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ n • s ⊆ n • t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).map f).τ₁ = f.f i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Icc 0 1)
bound : ∀ x ∈ Set.Ico 0 1, ‖derivWithin f (Set.Icc 0 1) x‖ ≤ C
⊢ ‖f 1 - f 0‖ ≤ C
x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃ : SetTheory.PGame
h₁ : Surreal.Multiplication.P3 x₃ x₂ y₂ y₃
h₂ : Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₃ y₂ y₁
⊢ Surreal.Multiplication.P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : b ≤ a
⊢ addRothNumber (Ico a b) = rothNumberNat (b - a)
A : Type u_1
R : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap A B)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ K + closure {0} = closure K
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! * (1 / ↑n !))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
x : E
hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ (-↑(n + 1))
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddMonoid M
s : Set G
hs : AddSubgroup.closure s = ⊤
f g : G →+ M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ Stream'.Seq.nil.append s = s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖
α : Type u_1
BooleanRing α
a : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg aᶜ = 1 + ofBoolAlg a
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i
⊢ ker f ≤ f.iterateMapComap i (0 + 1) K
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
p : R
n : ℕ
hp : Prime p
t u : Finset ℕ
b c : R
htus : t ∪ u = range n
htu : Disjoint t u
hx : (b * ∏ i ∈ t, p) * (c * ∏ i ∈ u, p) = b * c * p ^ n
⊢ ∃ i j b_1 c_1, i + j = n ∧ b * c = b_1 * c_1 ∧ b * ∏ i ∈ t, p = b_1 * p ^ i ∧ c * ∏ i ∈ u, p = c_1 * p ^ j
M : Type u_1
AddMonoid M
h : IsAddUnit 0
⊢ h.addUnit = 0
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x : Y
y : X
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.map η).left = η.left
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits CategoryTheory.ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
U₁ U₂ V : TopologicalSpace.Opens ↑X
i₁ : U₁ ⟶ V
i₂ : U₂ ⟶ V
hcover : V ≤ U₁ ⊔ U₂
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (Opposite.op V))
h₁ : (F.val.map i₁.op) s = (F.val.map i₁.op) t
h₂ : (F.val.map i₂.op) s = (F.val.map i₂.op) t
⊢ s = t
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submodule R M
⊢ (-S).toAddSubmonoid = -S.toAddSubmonoid
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
R : Type u_1
M : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ LinearMap.ker ((LinearMap.lsmul R M) a) = ⊥
l : List ℕ
⊢ l.IsZeckendorfRep → (List.map Nat.fib l).sum.zeckendorf = l
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4
h₂ : (c * z.im) ^ 4 / normSq (denom (↑g) z) ^ 2 ≤ 1
⊢ 9 * c ^ 4 < 16
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ W'.negY P = -P y
R : Type u_1
Ring R
I : TwoSidedIdeal R
x : ↥I
⊢ I.subtypeMop x = MulOpposite.op ↑x
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1
⊢ (1 * p).natDegree = (C ai * (C a * p)).natDegree
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P', inv := AssociatorBimod.inv M N P', hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
H : AddSubgroup G
x : ↥H.toAddSubmonoid
⊢ ↑((f.addSubgroupMap H) x) = f ↑x
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
⊢ supported R s = (rename Subtype.val).range
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝² : IsCancelAdd R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B
this : AddCancelMonoid R := let __src := inst✝²; let __src_1 := inferInstanceAs (AddCommMonoid R); AddCancelMonoid.mk ⋯
⊢ B.toQuadraticMap.IsOrtho x y ↔ LinearMap.IsOrtho B x y
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S
⊢ ((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m 1) = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1)
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ LinearMap.flip (LieModule.traceForm R L M) = LieModule.traceForm R L M