ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
⊢ Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α
⊢ f '' s = ∅ ↔ s = ∅
K : Type u_2
Field K
NumberField K
⊢ Fintype.card { φ // ¬NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ } = 2 * NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => Complex.exp (f x)) s
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
Fintype l
DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜
⊢ ‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (2 * y) = true
⊢ x.sqrt = y
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r
⊢ q / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x z - o.oangle x y = o.oangle y z
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
⊢ (s.ordConnectedComponent x).Nonempty ↔ x ∈ s
M : Type u_1
Monoid M
ι : Type u_3
hι : Nonempty ι
s : ι → Set M
hs : ∀ (i : ι), IsSubmonoid (s i)
Directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k
⊢ IsSubmonoid (⋃ i, s i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
hfsA : Set.SurjOn f ↑A ↑s
⊢ (image (invFunOn f ↑A) s).card ≤ mulRothNumber A
n : Type u_1 → Type u_2
m : Type u_1 → Type u_3
α ρ : Type u_1
MonadLiftT n m
x : n α
ctx : ρ
⊢ (monadLift x).run ctx = monadLift x
x y : SetTheory.PGame
⊢ ¬x ≤ y ↔ y.LF x
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M
⊢ QuadraticMap.polar (⇑Q) y 0 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂
⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
y : TensorProduct R N M
⊢ (LinearEquiv.rTensor M (f ≪≫ₗ g)) y = (LinearEquiv.rTensor M g) ((LinearEquiv.rTensor M f) y)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) y → recF u ((P F).wMk a f' f) = recF u y
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
S₁ S₂ : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥S₂
hle : S₁ ≤ S₂
hd : FiniteDimensional.finrank K ↥S₂ ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥S₁
⊢ S₁ = S₂
α : Type u_1
a : α
LE α
x : WithBot α
⊢ ↑a ≤ x ↔ ∃ b, x = ↑b ∧ a ≤ b
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
t : Set A
z : A
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(toAlgHom R S A).range) A) = Set.range ⇑(algebraMap S A)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
⊢ H = ⊤
ι : Type u_2
α : Type u_3
DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
n : ℤ
⊢ (Multiset.map (fun i => f i ^ n) m).prod = (Multiset.map f m).prod ^ n
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Pairwise R l → List.Pairwise (List.Lex (Function.swap R)) l.sublists'
I : Type u_4
Fintype I
DecidableEq I
R : I → Type u_5
(i : I) → Ring (R i)
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents fun x => Pi.single x 1
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f g : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
h : f ≤ g
⊢ Filter.bliminf u g p ≤ Filter.bliminf u f p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
IsAlgClosed 𝕜
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
R : Type u_3
M : Type u_4
UniformSpace R
UniformSpace M
⊢ uniformity (tsze R M) =
  Filter.comap (fun p => (p.1.fst, p.2.fst)) (uniformity R) ⊓ Filter.comap (fun p => (p.1.snd, p.2.snd)) (uniformity M)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → 𝕜
c : E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x • c ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) • c
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ IsCompl Weight.ker (span K {coroot α})
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n
⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ 1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoTopOrder α
a : α
⊢ ∃ b, a < b
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
p : ℝ
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
⊢ ℝ≥0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
⊢ Continuous f ↔ Continuous (g ∘ f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : CategoryTheory.IsIso 0
⊢ ⋯ = ⋯
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
a : ℕ
⊢ f.coeff a ∈ I ^ a ↔ a ∈ f.support → f.coeff a ∈ I ^ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).snd = b.π CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)
M : Type u_1
Mul M
⊢ ↑Subsemigroup.topEquiv = MulMemClass.subtype ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
f : ι → Set α
⊢ lowerClosure (⋃ i, f i) = ⨆ i, lowerClosure (f i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
⊢ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op [n])).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) ≫
    AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n =
  ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op [n])).inj
    (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : IsArtinian R M
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}
⊢ Acc (CutExpand r) s
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α
⊢ (equivShrink α) x⁻¹ = ((equivShrink α) x)⁻¹
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ LinearMap.range (f'.prod φ') ≠ ⊤
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
NatCast M
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s
⊢ (-tsupport f + s).indicator (fun t => (‖L‖ * ⨆ i, ‖f i‖) * ‖g t‖) t = (-tsupport f + s).indicator (fun t => ‖L.flip‖ * ‖g t‖ * ⨆ i, ‖f i‖) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 ∣ b
h₂ : b ∣ 0
⊢ 0 = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ AntivaryOn f (g₁ * g₂) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))
⊢ (comap (Sigma.map f g) (map (Sigma.mk (f a)) l)).HasBasis (fun s => s ∈ l) fun i => Sigma.mk a '' (g a ⁻¹' id i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
L : D
R : CategoryTheory.Functor C D
L' : B
R' : CategoryTheory.Functor A B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : L' ⟶ G.obj L
β : R.comp G ⟶ F.comp R'
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).obj X).left = X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : Add α
inst✝¹ : DivisionMonoid β
inst✝ : HasDistribNeg β
hf : Antiperiodic f c
hg : Antiperiodic g c
⊢ Periodic (f / g) c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α
⊢ ¬b • g a = 0 → ¬g a = 0
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑f
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
⊢ ∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
F : Type u_6
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z
⊢ rexp (log x * y) < rexp (log x * z)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
ι : Type u_2
Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)
⊢ M.Basis I (⋃ i, X i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
x✝ : α
⊢ x✝ = x✝ - 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
u : (P₁ →ᵃ[k] P₁)ˣ
a : P₁
⊢ (AffineEquiv.equivUnitsAffineMap.symm u).symm a = ↑u⁻¹ a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in s, f (-g +ᵥ x) ∂μ
G : Type u_1
Group G
a : G
⊢ a ∈ IsSubgroup.center G ↔ ∀ (g : G), g * a = a * g
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • Complex.I = (starRingEnd ℂ) (↑⟪y, x⟫_ℝ + (o.areaForm y) x • Complex.I)
α : Type u
Add α
β : Type v
AddSemigroup β
f g : AddHom (AddMagma.FreeAddSemigroup α) β
h : f.comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of = g.comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.toAdjunction.counit = e.counit
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
⊢ HahnSeries.order 0 = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃
⊢ (f.h ≫ g.h) ≫ d₃.π = d₁.π
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)
k : K
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι (E ⋙ F) k ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (E.obj k)
⊢ Filter.Tendsto Int.cast Filter.cofinite (Filter.cocompact ℝ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s
⊢ s = closure s
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }
this : Algebra K K[n√a] := inferInstance
hn : 0 < n
hn' : ¬n = 1
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ x ∈ Finset.range n, ∀ y ∈ Finset.range n, (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ x * root (X ^ n - C a) = (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ y * root (X ^ n - C a) → x = y
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
⊢ lift.{v, w} #ι = lift.{w, v} (Module.rank R M)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)
α : Type u_2
CompleteLattice α
k : α
h : CompleteLattice.IsCompactElement k
⊢ IsCoatomic ↑(Set.Iic k)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (divX_hom ((monomial n) c)).natDegree = n - 1
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α
⊢ IsSublattice (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ IsSublattice s
M : Type u_5
N : Type u_6
Zero M
Zero N
⊢ 0 = (0, 0)
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * c < b * c
hc : c ≤ 0
⊢ b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β
⊢ maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ Set.range ⇑f)
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a • s.centerMass ws zs + b • t.centerMass wt zt = (s.disjSum t).centerMass (Sum.elim (fun i => a * ws i) fun j => b * wt j) (Sum.elim zs zt)
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) = id
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict {x | R < f x})] fun a => f a - R
α : Sort u_1
x y : α
Decidable (x = y)
⊢ x = y ∨ x ≠ y
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = ↑ψ ↔ φ = ψ
α β : Type u
⊢ ⇑(prodEquivPiFinTwo α β).symm = fun f => (f 0, f 1)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c
⊢ (fun x => c) = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : multiplicity.Finite a b
⊢ a ^ (multiplicity a b).get h ∣ b
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app default
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α
⊢ (HeytAlg.Iso.mk e).hom a = e a
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
b : β
⊢ b ∈ s +ᵥ t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x +ᵥ y = b
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
Module.Finite R M
f : Module.End R M
⊢ ∃ p, p.Monic ∧ (Polynomial.aeval f) p = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf : ¬f 0 = 0
⊢ cfcₙ f a = 0
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
f : K ⟶ L
⊢ quasiIso C c f ↔ QuasiIso f
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
p : ℕ
NeZero p
CharP R p
⊢ Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree = ⊥
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Measurable (MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f hf)