ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)
f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c
f_succ : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → f n (m + 1) = f n m ∩ e (m + 1)
le_d_f : ∀ (n m : ℕ), m ≤ n → γ - 2 * (1 / 2) ^ m + (1 / 2) ^ n ≤ d (f m n)
s : Set α := ⋃ m, ⋂ n, f m n
γ_le_d_s : γ ≤ d s
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m
⊢ map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (filter ((fun x => x.2 = m) ∘ ⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' interior s = interior (⇑h '' s)
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left :
  ∀ (x x' y : M), QuadraticMap.polar toFun (x + x') y = QuadraticMap.polar toFun x y + QuadraticMap.polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), QuadraticMap.polar toFun (a • x) y = a • QuadraticMap.polar toFun x y
⊢ ∀ (a : M), (QuadraticMap.ofPolar toFun toFun_smul polar_add_left polar_smul_left) a = toFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ s} ∂ν a = (κ a) s
X : Type u_1
F : Type u_4
MeasurableSpace X
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
s : Set X
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯ = c • MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ₑ D
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.ofExact C D).obj F = { obj := F.obj, property := ⋯ }
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.map f (bernsteinPolynomial R n ν) = bernsteinPolynomial S n ν
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
d : D
X : (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow F d).obj X =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.op
⊢ ⋂ r, Set.Iic ↑r = ∅
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop
hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯
h0 : C 0 ⋯
hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, N i
⊢ C x hx
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
⊢ Nat.card ↥f.range = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
⊢ IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n ↔ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G
⊢ (∃ i, a⁻¹ * (↑i)⁻¹ * x ∈ ↑K) ↔ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : 𝕜), deriv f x = 0
x y : 𝕜
⊢ f x = f y
α : Type u_2
self : NormedOrderedAddGroup α
x y : α
⊢ dist x y = ‖x - y‖
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b
⊢ a ≤ b
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ 0 = ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
ContinuousMul α
DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (Function.update f b 1)
⊢ ∏' (x : β), f x = f b * ∏' (x : β), if x = b then 1 else f x
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
⊢ x ^ 2 = x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ pure (IntCast.intCast (n + 1)) ≤ 𝓝[≥] ↑(n + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement s ↔ IsCompact ↑s
R : Type u_2
Add R
Mul R
r : R → R → Prop
⊢ ringConGen r = sInf {s | ∀ (x y : R), r x y → s x y}
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
y : Y
f : X → Z
⊢ (Inducing fun x => (f x, y)) ↔ Inducing f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D} (η : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.plusPlusSheaf J D).map η).val = J.sheafifyMap η
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizer f
Nonempty J
W : C
k : Y ⟶ W
h : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₁) k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₂) k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f)
    (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.desc k h) =
  k
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)
⊢ (Spec R).basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
hn : 0 < n
e : α ^ n = a
⊢ Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (Polynomial.X - Polynomial.C (ζ ^ i * α))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
⊢ Meq.mk S (mk w) = s
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ interior s
this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s
⊢ False
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
s : Set G
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (-s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J K : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} K
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
h : F.cones ≅ G.cones
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit G
b e : String.Pos
s : Substring
⊢ s.Valid → { str := s.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid → (s.extract b e).toString = s.toString.extract b e
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
y : α
hy : y ∈ connectedComponentIn F x
⊢ connectedComponentIn F y ∈ 𝓝 y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1
⊢ p.degree = 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ (∀ (x : α), f x = 0) ↔ f = 0
α : Type u_1
l : Filter α
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s ≤ᶠ[l] t
α : Type u_2
β : Type u_3
C : β → Type u_7
(b : β) → SemilatticeInf (C b)
(b : β) → OrderTop (C b)
s : Finset α
f : α → (b : β) → C b
b : β
⊢ s.inf f b = s.inf fun a => f a b
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
⊢ f = LinearIsometryEquiv.refl ℝ ℂ ∨ f = Complex.conjLIE
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g
⊢ UniformConvexOn s (φ + ψ) (f + g)
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
⊢ I.jacobson = I ↔ ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
⊢ (CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
DecidableEq β
t : Finset β
a : α
h : 0 ∈ t
⊢ 0 ∈ a • t
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b ∆ (a ⊓ b) = a ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β
⊢ HasSum f 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
ε a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ |a₁ - b₁| < ε → |a₂ - b₂| < ε → |a₁ ⊔ a₂ - b₁ ⊔ b₂| < ε
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
h : ¬IsPredLimit (pred a)
⊢ (let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
h : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
CategoryTheory.Epi f.val.base
⊢ CategoryTheory.IsIso f
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ (0 ≤ if x.val ≤ n / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) ↔ x.val ≤ n / 2
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_3
AddAction R X
C : Sort u_2
P : X → ↥S → X → ↥S → C
hP :
  ∀ (r₁ : X) (t₁ : R) (s₁ : ↥S) (ht₁ : t₁ + ↑s₁ ∈ S) (r₂ : X) (t₂ : R) (s₂ : ↥S) (ht₂ : t₂ + ↑s₂ ∈ S),
    P r₁ s₁ r₂ s₂ = P (t₁ +ᵥ r₁) ⟨t₁ + ↑s₁, ht₁⟩ (t₂ +ᵥ r₂) ⟨t₂ + ↑s₂, ht₂⟩
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ AddOreLocalization.lift₂Expand P hP (r₁ -ₒ s₁) (r₂ -ₒ s₂) = P r₁ s₁ r₂ s₂
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
⊢ 4 * n - j + ?m.167070 i2n j2n ≤ 2 * n + ?m.167070 i2n j2n
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : List α
⊢ a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
z : ℂ
⊢ |z.im| = Complex.abs z ↔ z.re = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x y : α × β
⊢ Prod.Lex r s x y ↔ r x.1 y.1 ∨ x.1 = y.1 ∧ s x.2 y.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι' : Sort u_5
la : Filter α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
H : Filter.Tendsto f la lb
hlb : lb.HasBasis pb sb
i : ι'
⊢ pb i → ∀ᶠ (x : α) in la, f x ∈ sb i
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i j : ι
⊢ (B ((B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j) = (B (b i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j)
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ p.toNNReal.IsConjExponent q.toNNReal
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
t : Set α
ι : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
⊢ Absorbs G₀ (⋂ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, Absorbs G₀ (s i) t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α
⊢ (x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α α
μ : MeasureTheory.Measure α
hκ : κ.Invariant μ
⊢ κ ∘ₖ ProbabilityTheory.Kernel.const α μ = ProbabilityTheory.Kernel.const α μ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : sheafify J P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ
⊢ sheafifyLift J (toSheafify J P ≫ η) hQ = γ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
⊢ ¬(condCount s) t < 1
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.ΨSq (2 * (↑m + 3)) =
  (W.preΨ' (m + 2) ^ 2 * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 5) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 4) ^ 2) ^
      2 *
    W.Ψ₂Sq
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
⊢ Continuous (f ∘ ⇑h) ↔ Continuous f
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : ∃ x_1, AccPt x_1 (𝓟 A) ∧ f x_1 = x
⊢ x ∈ derivedSet (f '' A)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
⊢ (s.map F).r = F.map s.r
α : Type u
Group α
i : ℕ
a b : α
⊢ (a * b * a⁻¹) ^ i = a * b ^ i * a⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ a • b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
⊢ dist ⟨n.succ, f n x⟩ ⟨n, x⟩ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
CategoryTheory.IsFiltered C
⊢ CategoryTheory.IsFiltered D
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖Matrix.col ι v‖₊ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖₊
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
x : n → R
⊢ (Matrix.toLin' (M * N)) x = (Matrix.toLin' M) ((Matrix.toLin' N) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
FaithfulSMul G α
g h : G
ne_one : g ≠ 1
disjoint : Disjoint (MulAction.fixedBy α g)ᶜ (h • (MulAction.fixedBy α g)ᶜ)
⊢ ¬Commute g h
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
α : Type u_1
⊢ Relation.Comp List.Perm List.Perm = List.Perm
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a
⊢ a < b + c → a - b < c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
l : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α M R v) l = l.sum fun i a => a • v i
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
hVmem : (z, τ) ∈ V
hVp : IsPreconnected V
f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2
f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2
hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p
u : ℤ → ℝ := fun n => 3 * π * ↑|n| ^ 2 * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n
hu_sum : Summable u
hf_sum : Summable fun n => f n (z, τ)
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
h : Function.Injective (g ∘ f)
⊢ Set.InjOn g (Set.range f)
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
𝕜 : Type u_4
NormedDivisionRing 𝕜
CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ x ∈ closure s ↔ (Filter.comap Subtype.val (𝓝 x)).NeBot
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
n : ℕ
ι : Type
fι : Fintype ι
p : ι → ℤ
hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
⊢ G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod ((fun i => (p i).natAbs) i ^ e i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-1 * f).LimZero