ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : solvableByRad.P (α ^ n)
⊢ solvableByRad.P α
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasWideEqualizers C
T : C
hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
endos : Type v := T ⟶ T
i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id
this : Nonempty endos
⊢ HasInitial C
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : AddGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
φ : ℕ → α →ₛ E
hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))
this : Tendsto (fun n x => ↑(φ n) x + g x) atTop (𝓝 (f + g))
⊢ Measurable (f + g)
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m + ↑n = Int.subNatNat n m.succ
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : Set.RightInvOn g₁ f₁ t₁
h₂ : Set.RightInvOn g₂ f₂ t₂
⊢ Set.RightInvOn (fun x => (g₁ x.1, g₂ x.2)) (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (t₁ ×ˢ t₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.Hom.τ₃ 0 = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ
⊢ (ρ_ Y).inv ≫ Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ (α_ Y X Xᘁ).inv ≫ (f ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ) ▷ Xᘁ = 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.re 1 = 1
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
⊢ a ≤ midpoint k a b ↔ a ≤ b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.diag C).μ X Y =
  𝟙
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((CategoryTheory.Functor.diag C).obj X)
      ((CategoryTheory.Functor.diag C).obj Y))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n
⊢ 0 ≤ ↑(m % n) / ↑n
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α
⊢ (Matrix.diagonal v).toBlocks₁₂ = 0
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
g : N →* G
hl : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
hr : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.map f H = Subgroup.comap g H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList
M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id
H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })
H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)
⊢ ∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), pure { data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data } { down := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data) } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N P Q : Bimod Y Z
f : N ⟶ P
g : P ⟶ Q
⊢ (M.whiskerLeft (f ≫ g)).hom = (M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g).hom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ F.rightDerivedZeroIsoSelf.inv = F.toRightDerivedZero
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ gauge s (a • x) = a • gauge s x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
x : P.obj (Opposite.op X)
⊢ yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm x ≫ presheafHom φ P) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n
hm : m ∣ (n - 1)!
⊢ n ∣ (n - 1)! + 1
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x
⊢ ↑x.choice ′ ↑y ∈ ↑y
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
x : ↥S
⊢ Localization.mk 0 x = 0
w n : Nat
x : BitVec w
⊢ x.shiftLeftZeroExtend n = BitVec.zeroExtend (w + n) x <<< n
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ ↑n < p.degree ↔ n < p.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b
⊢ insert a (Ioo a b) = Ico a b
n : ℕ
⊢ harmonic (n + 1) = harmonic n + (↑(n + 1))⁻¹
α : Type u
β : Type v
Mul α
Mul β
e : α ≃* β
a : WithOne α
⊢ e.withOneCongr a = (WithOne.map e.toMulHom) a
R : Type u_1
A : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
CharZero R
⊢ CharZero A
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) +ᵥ t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j +ᵥ t
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f' φ'
⊢ CategoryTheory.Functor.IsStronglyCartesian.map p f φ hf' φ' ≫ φ = φ'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
α : Type u_1
k : Heap α → Heap α
n : Nat
le : α → α → Bool
res : FindMin α
s✝ : Heap α
m : Nat
hk : ∀ (s : Heap α), (k s).realSize = m + s.realSize
hres : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize res n
r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
eq : n = m + (cons r a c s).realSize
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (findMin le (k ∘ cons r a c) s (if le res.val a = true then res else { before := k, val := a, node := c, next := s })) n
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∏ a ∈ s, f a).toNNRat = ∏ a ∈ s, (f a).toNNRat
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι
⊢ IsOpen (⋃ i_1, s i_1 \ s i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
Fact (1 ≤ p)
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑((ContinuousLinearMap.compLpL p μ L) f) =ᵐ[μ] fun a => L (↑↑f a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
⊢ IsPreconnected s ↔ s.OrdConnected
q₁ q₂ : ℚ
⊢ (q₁ * q₂).num = q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.functorialityEquivalence F e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun c => CategoryTheory.Limits.Cocones.ext (e.counitIso.app c.pt) ⋯) ⋯
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (x : M), IsAddUnit (f x)
x : M
⊢ ↑(-(IsAddUnit.liftRight f h) x) + f x = 0
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
⊢ a + ↑(-u) = 0 ↔ a = ↑u
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
⊢ f y = 0 ∧ g z = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (f : α × β → E), Integrable f (μ.prod ν) → ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a (1 - s) = HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
⊢ ∀ (j : Discrete α), c'.ι.app j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
⊢ ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
⊢ a + (b + 3) ≤ a * (b + 3)
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.type r).blsub (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f) = Ordinal.lsub f
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G S).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Iic a = Set.Iic (e a)
α : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
TopologicalSpace α
f : α → R
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => star (f x)
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
j : ι
snd✝ : κ₁ j
⊢ (toMatrix (h₁.collectedBasis b₁) (h₂.collectedBasis b₂)) f ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩ = Matrix.blockDiagonal' (fun i => (toMatrix (b₁ i) (b₂ i)) (f.restrict ⋯)) ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩
M : Type u_3
G : Type u_6
H : Type u_7
AddZeroClass M
AddCommGroup G
AddCommGroup H
φ : G →+ H
ψ : M →+ G
⊢ φ.comp (-ψ) = -φ.comp ψ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ
⊢ UniformFun.filter α γ (⨅ i, 𝓤 γ) = ⨅ i, 𝓤 (α →ᵤ γ)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
m : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
⊢ ∀ (a : S), ((KaehlerDifferential.linearMapEquivDerivation R S) m) a = m ((KaehlerDifferential.D R S) a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
⊢ ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
self : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₃ = self.h₃ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.h₂ S₂.g + φ₂.τ₃
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
⊢ ∑ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ (u (n + 1) - u n) • f (u n)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R
X Y : R
h : W'.toAffine.Nonsingular X Y
h0 : fromAffine (Affine.Point.some h) = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosMono α β
SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ a₁ • b ≤ a₂ • b ↔ a₁ ≤ a₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1
hy : y ≠ 0
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
⊢ ↑a ≤ l.maximum ↔ ∃ b, b ∈ l ∧ a ≤ b
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ (Subsemiring.closure s).unop = Subsemiring.closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ (coeff R 0) (X s * φ) = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
⊢ False
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : MeasureTheory.Measure Ω
TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
this : Mono (f ≫ i.hom)
⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
⊢ CategoryTheory.FinallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ (num / ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℤ
h : Even n
⊢ (-1) ^ n = 1
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
l : Lists' α true
⊢ Lists'.ofList l.toList = l
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ MetrizableSpace M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ Integrable (f - g) μ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
z w : ℂ
Hd : DifferentiableOn ℝ f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun z => Complex.I • (fderiv ℝ f z) 1 - (fderiv ℝ f z) Complex.I)
    ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) MeasureTheory.volume
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * Complex.I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * Complex.I)) +
      Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * Complex.I)) -
    Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * Complex.I) =
  ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
    ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im,
      Complex.I • (fderiv ℝ f (↑x + ↑y * Complex.I)) 1 - (fderiv ℝ f (↑x + ↑y * Complex.I)) Complex.I
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : 0 + l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨0 + l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩
⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
i : X ≅ Y
p : CategoryTheory.Arrow T
sq : CategoryTheory.Arrow.mk i.hom ⟶ p
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.inv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left p.hom) = sq.right
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2
R : Type u
Ring R
P : Type (max u v)
AddCommGroup P
Module R P
huniv :
  ∀ {M : Type (max v u)} {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : AddCommGroup N] [inst_2 : Module R M]
    [inst_3 : Module R N] (f : M →ₗ[R] N) (g : P →ₗ[R] N), Function.Surjective ⇑f → ∃ h, f ∘ₗ h = g
⊢ Module.Projective R P
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (((ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ N.actRight ▷ 𝟙_ C) ≫ N.X ◁ Y.one) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ ∑ p : n × n, (algebraMap R A) (M p.1 p.2) ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix p.1 p.2 1 = 1 ⊗ₜ[R] M