ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s
⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)
⊢ (∃ y ∈ span 𝕜 {1}, ∃ z ∈ (adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}).toSubmodule, y + z = x) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
x : R
⊢ (MulSemiringActionHom.id M) x = x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ 0 < (a ^ n.pred.succ).y
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
x : L
n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id
h₁ : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x = n + χ x • LinearMap.id
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ))) x = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ X.one ▷ X.X ▷ N.X) ≫ X.mul ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
⊢ IsGδ {x | (fun x => x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)) x}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
E : K ⥤ J
CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (E ⋙ F) (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker E c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
⊢ ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M).val = M.val.presheaf
G : Type w
H : Type x
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
Group H
TopologicalSpace H
TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : s.topologicalClosure = ⊤
⊢ (Subgroup.map f s).topologicalClosure = ⊤
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p ↔ x ∈ q
⊢ p = q
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ∈ Ι b c ↔ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b
α : Type u_6
n : Type u_7
Zero α
One α
DecidableEq n
AddGroup n
⊢ Matrix.circulant (Pi.single 0 1) = 1
b : Bool
⊢ SNum.bit b (SNum.zero b) = SNum.zero b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U
⊢ 0 < μ U ↔ U.Nonempty
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E
⊢ ⇑(p ⊔ q) = ⇑p ⊔ ⇑q
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
ι : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
⊢ [EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
    ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
    ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
    ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤].TFAE
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R
⊢ (∃ n, x ^ p ^ n = 0) → x = 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ioo (f b) (f a) ⊆ f '' Set.Ioo a b
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
a : I
ha : ↑y a = true
hx : ↑x a = false
⊢ a ∈ s ∧ (if ↑x a = true then e (π C fun x => x ∈ s) a else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a) = 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ G ≈ 0 ∨ G ‖ 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a✝ : Nontrivial M₀
⊢ inverse 0 = 0
F : Type u
Field F
f : F[X]
hf : Irreducible f
⊢ f.Separable ↔ Polynomial.derivative f ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor C D
h : W.IsInvertedBy L
⊢ W.op.IsInvertedBy L.op
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
⊢ 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(SimpleGraph.regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) <
  2 * ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ Algebra.IsAlgebraic K ↥(adjoin K S)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)
⊢ Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ (x + y))) k)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.inl M N) s = s.prod ⊥
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
Fintype ι
Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι ⊕ ι') → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm)
  ((MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))
  (MeasureTheory.Measure.pi μ)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : Associates.FactorSet α
⊢ (a + b).prod = a.prod * b.prod
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
H : 0 < a₁
⊢ (if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
DecidableEq σ
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (φ i).vars)
⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars = t.biUnion fun i => (φ i).vars
α : Type u_2
AddZeroClass α
⊢ ⇑Set.singletonAddMonoidHom = singleton
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
⊢ Fin.snoc (Function.update p i y) x = Function.update (Fin.snoc p x) i.castSucc y
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
G : Type u_5
FunLike G α β
ContinuousMapClass G α β
CompactSpace α
⊢ CompactlySupportedContinuousMapClass G α β
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s ν
hμ : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
h : ↑f x = 0
⊢ 0 ∈ Icc 0 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a
⊢ a - b + c = a + c - b
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
hF : Equicontinuous F
hf : Continuous f
⊢ IsClosed {x | Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds (f x))}
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N P : Bimod X Y
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
X Y : C
n a a' : M
ha' : n + a = a'
f : X ⟶ Y
⊢ (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app Y =
  (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (F.shift a').map f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a < d
h₂ : c < b
⊢ Ioo a b ∪ Ioo c d = Ioo (min a c) (max b d)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
a b : ℝ
hle : a ≤ b
⊢ ∃ f, Set.EqOn (⇑f) (Function.const X a) s ∧ Set.EqOn (⇑f) (Function.const X b) t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc a b
α : Type u_1
l : Filter α
hl : l.Subsingleton
⊢ l.IsCountablyGenerated
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ UniformEmbedding DFunLike.coe
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space X
h : X ≃ₜ Y
⊢ T0Space Y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ (l ⊓ l').HasBasis (fun i => p i.fst ∧ p' i.snd) fun i => s i.fst ∩ s' i.snd
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑((SzemerediRegularity.increment hP G ε).energy G)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
M : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h_C : ∀ (a : R), M (MvPolynomial.C a)
h_add_weak :
  ∀ (a : σ →₀ ℕ) (b : R) (f : (σ →₀ ℕ) →₀ R),
    a ∉ f.support →
      b ≠ 0 →
        M f →
          M ((MvPolynomial.monomial a) b) →
            M
              ((let_fun this := (MvPolynomial.monomial a) b;
                this) +
                f)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * MvPolynomial.X n)
⊢ M p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular
⊢ (x • μ).WeaklyRegular
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (gcd a b * lcm a b) (a * b)
G : Type u_1
Group G
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)
(↑P).FiniteIndex
⊢ ⇑((MonoidHom.transferSylow P hP).restrict ↑P) = fun x => x ^ (↑P).index
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : IsEmpty ι
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume
hf : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la
⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in v t..b, f x) - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x) + (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (λ_ (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
α : Type u_1
R : Type u_5
Semiring R
α' : Type u_7
M' : Type u_8
AddCommMonoid M'
Module R M'
v' : α' → M'
f : α → α'
⊢ Finsupp.total α' M' R v' ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f = Finsupp.total α M' R (v' ∘ f)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
⊢ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s
G : Type u_1
Group G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)], Fintype.card G = p → ∀ {g : G}, g ≠ 1 → Submonoid.powers g = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal
R : Type u
CommRing R
s f : R
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R s) ((algebraMap R (Localization.Away s)) f) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
⊢ nndist x y = NNReal.sqrt (nndist x.1 y.1 ^ 2 + nndist x.2 y.2 ^ 2)
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
n : ℕ
i : ZMod n
⊢ i.cast = i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.up α)
n : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).X.X n = (K.X n).X
s : List Char
i b e n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char), go₂ (c :: cs) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₂ (c :: cs) { byteIdx := b } { byteIdx := e }
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ (fun x y z => 𝒰.gluedCoverT' x y z) x y z ≫ pullback.snd ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y z) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y x) = pullback.fst ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x y) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x z) ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom) x y
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset ι
r : α → β → Prop
f : ι → α
g : ι → β
h₁ : r 0 0
h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a + b) (g a + c)
⊢ r (Multiset.map f s).sum (Multiset.map g s).sum
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
⊢ (Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι
⊢ (basis A b).repr.symm (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
⊢ ∑ i : Fin pb.dim, (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
K : Type u
Field K
L : Type u_1
J : Type u_2
Field L
Field J
A : ValuationSubring J
g : L →+* J
f : K →+* L
⊢ (A.comap g).comap f = A.comap (g.comp f)
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : R[X]
r : R
⊢ (p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (Polynomial.eval r q)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ abv (f j - f i) < ε
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ IsGreatest (Set.Ioc a b) b
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.natDegree = n.succ
⊢ Splits (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) ((X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_1
f : ι → R
s : Finset ι
x y : ι
hfs : ((X - C (f y)) ^ 2 * ∏ x ∈ (s.erase x).erase y, (X - C (f x))).Separable
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hfxy : f x = f y
hxy : ¬x = y
⊢ False
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
⊢ ∃ z, x = z * z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
R : Type u
CommRing R
M N P : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
Coalgebra R M
Coalgebra R N
Coalgebra R P
⊢ Coalgebra.counit = Coalgebra.counit
a x : ℝ
⊢ ↑(HurwitzZeta.oddKernel (↑a) x) = HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' (↑a) (Complex.I * ↑x)
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F E
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ↑𝓘(𝕜, E) = id
α : Type u_1
Neg α
Small.{u_2, u_1} α
x : α
⊢ (equivShrink α) (-x) = -(equivShrink α) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D} (τ : X ⟶ Y) (f : CategoryTheory.Arrow C),
  (((CategoryTheory.Functor.mapArrowFunctor C D).map τ).app f).right = τ.app f.right
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
w✝ : Submodule R M
N' : Submodule R N
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl w✝ N'))
⊢ ∃ N', Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).mop =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft { unmop := Z } f.mop
α : Type u_1
p : Multiset α → Prop
S : Multiset α
h₁ : p 0
h₂ : ∀ {a : α} {s : Multiset α}, a ∈ S → s ⊆ S → p s → p (insert a s)
⊢ p S
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' = r
⊢ q ∣ p
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
x : Bundle.TotalSpace F E
y : EB × F
hy : y ∈ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target
⊢ writtenInExtChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x (↑(trivializationAt F E x.proj)) y = y
R : Type u_1
CommSemiring R
a₃ b c : R
a₁ : R
a₂ : ℕ
⊢ a₃ * b = c → a₁ ^ a₂ * a₃ * b = a₁ ^ a₂ * c
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x y : R
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x : α
y : α
z : α
h : x ≤ z
⊢ (x ⊔ y) ⊓ z = x ⊔ y ⊓ z
n : Int
d : Nat
z : d ≠ 0
n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
h : Rat.normalize n d z = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * ↑m ∧ d = d' * m
α : Type u
r : α → α → Prop
h₁ : α = α := ⋯
h₂ : HEq r r := ⋯
⊢ RelIso.cast h₁ h₂ = RelIso.refl r
x y : ℝ≥0
⊢ ↑x ≠ ↑y ↔ x ≠ y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
hl : l.HasBasis p s
hi : p i
ht : s i ⊆ t
⊢ t ∈ l