ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f g : CoprodI M →* N
h : ∀ (i : ι), f.comp of = g.comp of
x✝ : (i : ι) × M i
i : ι
x : M i
⊢ (g.comp of) x = (g.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a * b).imI = a.re * b.imI + a.imI * b.re - c₂ * a.imJ * b.imK + c₂ * a.imK * b.imJ
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
⊢ (FrameHom.id α) a = a
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
x : G₀
h : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun y => x * y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 OnePoint.infty) l ↔
  Filter.Tendsto f (pure OnePoint.infty) l ∧ Filter.Tendsto (f ∘ OnePoint.some) (Filter.coclosedCompact X) l
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0
⊢ eLpNorm f (↑p) μ ^ ↑p = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ↑p ∂μ
ι : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_7
αs : ι → Type u_13
Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
AddCommMonoid N
f : (i : ι) × αs i → M → N
⊢ l.sum f = ∑ i ∈ l.splitSupport, (l.split i).sum fun a b => f ⟨i, a⟩ b
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
H1 : max (x 0).natAbs (x 1).natAbs = (x 1).natAbs
⊢ 1 ≤ (↑(x 1) / ‖x‖) ^ 2
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (-f) p μ = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
⊢ ∃ t, Meq.mk S t = s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousOn f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt f x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
f : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂
⊢ ⇑f.symm '' s = ⇑f ⁻¹' s
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v y < v x
⊢ v (x - y) = v x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c +ᵥ (f - g) = c +ᵥ f - (c +ᵥ g)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ Monotone f
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ SeparationQuotient.map f (SeparationQuotient.mk a) = SeparationQuotient.mk (f a)
α : Type u
a : α
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' α
⊢ a ∈ s₁ → a ∈ s₁ ⋈ s₂
E : Type u_2
Norm E
x : E
⊢ ‖{ down := x }‖ = ‖x‖
α : Type u
Countable α
⊢ Set.univ.Countable
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousAt F x₀
⊢ EquicontinuousAt F x₀
α : Type u_1
E : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace E] [inst_1 : AddGroup E] [inst_2 : MeasurableAdd E] {g : α → E},
  Measurable g → ∀ (f : MeasureTheory.SimpleFunc α E), Measurable (↑f + g)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun h => h + x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ x ^ (n + 1) ≤ 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ μ ({x} + r • s) / μ ({y} + r • t) = μ s / μ t
α : Type u_1
x : α → ℕ
⊢ 0 x = 0
w : Nat
x : BitVec w
⊢ x.msb = true ↔ 2 * x.toNat ≥ 2 ^ w
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(evenOdd Q i')
⊢ ∀ (m : M), (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g ≫ f = AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p2 𝒰 f g ≫ g
α : Type u
Order.Frame α
s : Set α
a : α
⊢ a ⊓ sSup s = ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
DiscreteTopology α
f : C(α, β)
a : α
⊢ (ContinuousMap.equivFnOfDiscrete α β) f a = f a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[>] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ioc a u ⊆ s
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ : AddSubmonoid M
S₂ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ
⊢ S₁.op ≤ S₂ ↔ S₁ ≤ S₂.unop
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p 1) x = x ^ p
q : ℍ
⊢ ‖NormedSpace.exp ℝ q‖ = ‖NormedSpace.exp ℝ q.re‖
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α
⊢ (PMF.ofFinset f s h h') a = f a
M : Type u_6
CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ Finset.range n, f (i + 1) / f i = f n / f 0
K : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (K ⊗ 𝟙_ SSet).obj Δ
⊢ (ρ_ K).hom.app Δ x = x.1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
u₂ : Set (β × β)
h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β
hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂
u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
P : 1 ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime 1
hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑1 ≠ 0
c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0
hdivn : 1 ∣ N.natAbs
⊢ False
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
s : Subring R
⊢ Subring.comap f (Subring.map f s) = s
α : Type u_1
self : Matroid α
I : Set α
⊢ self.Indep I ↔ ∃ B, self.Base B ∧ I ⊆ B
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.IsThin ↔ ∀ (c : ↑S.objs), Subsingleton ↑(S.arrows ↑c ↑c)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
t : MonoOver Z
⊢ (pullback (f ≫ g)).obj (Quotient.mk'' t) = (pullback f).obj ((pullback g).obj (Quotient.mk'' t))
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.shiftComm X i j).hom
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C j).map f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C j).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map f))
    (CategoryTheory.shiftComm Y i j).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}
⊢ x = y → ¬y = x
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
W : C
X Y Z : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ F.map (𝟙 W, f ≫ g) = F.map (𝟙 W, f) ≫ F.map (𝟙 W, g)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
t : R
f : P →ᴬ[R] W
⊢ (t • f).contLinear = t • f.contLinear
R : Type u_1
Add R
PartialOrder R
a : R
ha : AddLECancellable a
⊢ IsAddLeftRegular a
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ
i : R
⊢ i ∈ I ^ x✝ ↔ i ∈ I ^ x✝ • ⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).op.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).op.map (eqToHom ⋯)) ≫ eqToHom ⋯)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g⁻¹ * h * g ∈ H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E
⊢ 0 ≤ re (↑‖T x‖ ^ 2)
a b c : Int
h : a < b + c
⊢ -b + a < c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
n : ℕ
⊢ ↑(I ^ n) = ↑I ^ n
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : x.im = 0
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Sym2 α → Sym2 β → γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ ↑(Sym2.lift₂.symm F) a₁ a₂ b₁ b₂ = F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
n : ℕ
⊢ single a b ^ (n + 1) = single ((n + 1) • a) (b ^ (n + 1))
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Filter.Tendsto (fun x => n • f x) l Filter.atBot
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h : ∀ x ∈ f.support, g1 x (f x) = g2 x (f x)
⊢ f.sum g1 = f.sum g2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ Tendsto f (cocompact E) (cocompact F)
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
h : (↑s).Nonempty
⊢ IsConnected {y | s.SSameSide x y}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
P : C
π : Y ⟶ P
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g π
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π w).π = π
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i✝ : Fin n
i : Fin n.succ
⊢ i✝.succ < i ↔ ∃ a, i✝ < a ∧ (succEmb n) a = i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Set.Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
⊢ ∃ x ∈ s, Set.Unbounded r x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₁
x : M
hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g x
hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n f x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n (fun x => (g x).comp (f x)) x
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ moveLeft 0 i) ∧ ∀ (j : (moveLeft 0 i).RightMoves), x ⧏ (moveLeft 0 i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j' : RightMoves 0), x.moveRight j ⧏ moveRight 0 j') ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeAddSemigroup α
⊢ (FreeAddSemigroup.lift f) (FreeAddSemigroup.of x + y) = f x + (FreeAddSemigroup.lift f) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E
⊢ U₁ ⊔ U₂ ⟂ V ↔ U₁ ⟂ V ∧ U₂ ⟂ V
α : Type u
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ (Mathlib.Vector.cons a v).toList = a :: v.toList
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
v : m → α
⊢ v ᵥ* 1 = v
o : ONote
⊢ o.FundamentalSequenceProp o.fundamentalSequence
K : Type u_1
RCLike K
n : ℤ
⊢ RCLike.im ↑n = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
A : Submodule R M
⊢ Function.Surjective ⇑A.mkQ
x y : ℝ
⊢ Real.exp (x - y) = Real.exp x / Real.exp y
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =O[l] g → ∃ c, Asymptotics.IsBigOWith c l f g
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
⊢ SameRay R (e.unitsSMul w).det (e.unitsSMul w).det
r : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(n • r) = n • ↑r
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
N' : Submodule R S
h : N' ≤ N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)
⊢ M.LinearDisjoint N'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
⊢ HomologicalComplex₂.total.map (𝟙 K) c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, i = n * (n - 1) / 2
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
e : Sym2 V
⊢ List.count e p.edges ≤ 1
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0
⊢ Tendsto Complex.ofReal' (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] ↑x)
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
⊢ (sum fun i => #↑(f i)) = sum fun i => lift.{v, u} #↑(f i)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
⊢ ((aeval f) (q * q')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) q) ∧ ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
c : G
hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)
⊢ a * b ∈ H
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ (s₁ ∩ s₂).disjSups t ⊆ s₁.disjSups t ∩ s₂.disjSups t
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
b : R
⊢ (LinearMap.toSpanSingleton R M x) b = b • x
u : Set ℝ≥0∞
h : u.OrdConnected
⊢ (ENNReal.ofReal ⁻¹' u).OrdConnected
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ mfderiv I I' f₁ x = mfderiv I I' f x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (w ∩ u) = ↑(-s) (w ∩ v)
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
t : Set M'
g : M' → M''
hg : SmoothOn I' I'' g t
hf : Smooth I I' f
ht : ∀ (x : M), f x ∈ t
⊢ Smooth I I'' (g ∘ f)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g₁ g₂ : β →Co γ
f : α →Co β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ Encodable.decode₂ α n ↔ Encodable.encode a = n
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
Subsingleton R
⊢ M.LinearDisjoint N
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α ≃ β
⊢ card α = card β
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : M), Q x = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ f.curryRight.uncurryRight m = f m
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
x : R
⊢ (MulChar.trivial R R') x = if IsUnit x then 1 else 0
α : Type u
CommSemiring α
x y : α
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, (x + y) ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * x + y ^ n = (x + y) ^ n
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
DecidableEq m
Fintype o
Fintype m
Semiring α
M : o → Matrix m m α
n : ℕ
⊢ Matrix.blockDiagonal (M ^ n) = Matrix.blockDiagonal M ^ n
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Module.Free R S
Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
CommRing Sₚ
Algebra S Sₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
Algebra R Sₚ
IsScalarTower R S Sₚ
IsDedekindDomain Sₚ
IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ P ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11
⊢ ⋃ x, {x} = univ
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : α → E
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : Y × Z → W
g : X → Y
h : X → Z
x : X
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousAt g x
hh : ContinuousAt h x
⊢ ContinuousAt (fun x => f (g x, h x)) x
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ ↑(harmonic (n + 1)) - log ↑(n + 1) < ↑(harmonic n) - log ↑n
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
⊢ proj i ∘ₗ stdBasis R φ j = diag j i