ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]
⊢ supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Faithful
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ F.map f = F.map g ↔ f = g
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F F' : CategoryTheory.Functor C H
iso₂ : F ≅ F'
⊢ L.HasLeftKanExtension F ↔ L.HasLeftKanExtension F'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
⊢ span R {x} = ⊤ ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R
⊢ IsRelPrime x (x * z + y)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
⊢ 0 ≤ x.orderTop ↔ 0 ≤ x.order
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist p₂ ((homothety p₁ c) p₂) = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
⊢ Finset.sumLift₂ f g a b = ∅ ↔
  (∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = Sum.inl a₁ → b = Sum.inl b₁ → f a₁ b₁ = ∅) ∧
    ∀ (a₂ : α₂) (b₂ : β₂), a = Sum.inr a₂ → b = Sum.inr b₂ → g a₂ b₂ = ∅
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0
⊢ Memℓp f 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) =
  if n = 0 then a
  else
    -a *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
⊢ WellFounded (Pi.Lex r fun {i} => s i)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})
⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsPreirreducible s
u : Set X
hu : IsOpen u
v : Set X
hv : IsOpen v
x✝ : X
hxs✝ : x✝ ∈ s
hxu✝ : ⟨x✝, hxs✝⟩ ∈ val ⁻¹' u
y : X
hys : y ∈ s
hyv : ⟨y, hys⟩ ∈ val ⁻¹' v
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
hxv : x ∈ v
⊢ (univ ∩ (val ⁻¹' u ∩ val ⁻¹' v)).Nonempty
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S), (∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → (∃ (hx : y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → ∃ (hx : x + y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x + y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y
⊢ z ∈ Set.Ioc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
x : G
⊢ (AddMonoidAlgebra.single 0 r * f) x = r * f x
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
⊢ (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod.Monic
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
u : β → α
h : CauchySeq u
⊢ Filter.Tendsto (Prod.map u u) Filter.atTop (𝓤 α)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
⊢ s.erase a \ t = (s \ t).erase a
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ Finset.powersetCard n s ⊆ Finset.powersetCard n t
f : StieltjesFunction
a : ℝ
u : ℕ → ℝ
u_mono : StrictMono u
u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a
L1 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (f.measure {a}))
L2 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)))
⊢ f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
⊢ Disjoint t u
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ico 0 b = Set.Ico 0 (Pi.single i b)
α : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n
a b c : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n
s : Finset R := {a, b, c}
d : R := s.gcd id
A : R
hA : a = d * A
B : R
hB : b = d * B
C : R
hC : c = d * C
⊢ False
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ↑(X.restrict h).toPresheafedSpace = U
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : (p.comp (X + C x)).trailingCoeff * (q.comp (X + C x)).trailingCoeff ≠ 0
⊢ rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A' B'
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A' B')
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B) ≫
    CategoryTheory.Limits.coprod.map (F.map f) (F.map g) =
  F.map (CategoryTheory.Limits.coprod.map f g) ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A' B')
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) Set.univ x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hZ : IsClosed Z
⊢ x ∈ Z ↔ S ⊆ Z
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃ x_1, x.IsAmalgamation x_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
s : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑(a • s)
⊢ (a • s).toFinset = a • s.toFinset
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Fintype ↑s
f : α → β
Fintype ↑(f '' s)
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y
⊢ Fintype.card ↑(f '' s) = Fintype.card ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x => c) =o[l] g ↔ (fun _x => 1) =o[l] g
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ Down.compression a 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Iio a, Ico l a ⊆ s
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : Mul β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R
⊢ eval₂ f x ((monomial n) r) = f r * x ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s₂
hs : IsOpen s₂
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (deriv f₂) s₂
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
⊢ ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
α : Type u_2
LT α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
s : Set α
⊢ s.IsWF
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ (CategoryTheory.coalgebraEquivOver X).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun f =>
      CategoryTheory.Over.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.overToCoalgebra X).comp (CategoryTheory.coalgebraToOver X)).obj f).left)
        ⋯)
    ⋯
p : Prop
a b c : ℕ
self : Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT p a b c
⊢ p → a.pow b = c
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ preNormEDS b c d (-n) = -preNormEDS b c d n
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ ¬a > a
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring Rᵐᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (Subsemiring.op ⁻¹' S)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι
⊢ (dNext i) h₁.hom + (prevD i) h₁.hom + g₁.f i + ((dNext i) h₂.hom + (prevD i) h₂.hom + g₂.f i) = (dNext i) h₁.hom + (dNext i) h₂.hom + ((prevD i) h₁.hom + (prevD i) h₂.hom) + (g₁.f i + g₂.f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
x✝ : ℝ≥0∞
⊢ x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ ⨅ d, uncurry edist ↑d
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
a : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ ExteriorAlgebra.liftAlternatingEquiv a = ExteriorAlgebra.liftAlternating a
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
α : Type u_2
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
⊢ s ∈ 𝒜 → t ∈ ℬ → s ∩ t ∈ 𝒜 ⊼ ℬ
a b : UInt8
⊢ a + b = { val := a.val + b.val }
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)
⊢ ⇑g₂₃ ∘ ⇑g₁₂ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
n : ι
⊢ sᶜ.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] sᶜ.indicator (f n)
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n
⊢ i ∈ Fin.find p → p i
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
⊢ Summable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b ∈ t, f b ∈ e
R : Type u_1
Semiring R
⊢ LaurentSeries.powerSeriesPart 0 = 0
p : ℝ≥0
⊢ ⊤ / ↑p = ⊤
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε
⊢ ↑((P.nonUniforms G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V).card < 4 * ε * ↑A.card ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b
⊢ Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree
⊢ (p - q).degree = p.degree
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s → ∃ t, s = a ::ₘ t
n k : ℕ
⊢ n.ascFactorial k.succ = (n + k) * n.ascFactorial k
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (interior s).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
n : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v.trim ⋯ = v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ ⋂ i, s' i = ∅
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
x : P
I J K s t : Ideal P
hx : x ∉ I
h : I = I ⊔ principal x
⊢ x ∈ I
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
h : q₁ ∈ Turing.TM1.stmts₁ q₂
hs : Turing.TM1.SupportsStmt S q₂
⊢ Turing.TM1.SupportsStmt S q₁
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIdIso C).hom.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₁
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a c d : α
⊢ a⁻¹ ∈ Set.Ioc c d ↔ a ∈ Set.Ico d⁻¹ c⁻¹
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : G
h₀ : f g = 0
⊢ (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g, h₀⟩ ∈ f.completion.ker
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
⊢ (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
s : Finset ι
hs : ∀ i ∉ s, 1 ≤ f i
hf : HasProd f a
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ a
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Set X
h : s.Subsingleton
⊢ dimH s = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s s' : Finset α
P : Prop
Decidable P
⊢ s ∩ s' ⊆ if P then s else s'
δ : Type u_3
AddCommMonoid δ
f : ℕ → δ
k : ℕ
m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
⊢ ∑ j ∈ Finset.Ico k m, f (n - j) = ∑ j ∈ Finset.Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
xy : x ≤ y
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
⊢ s ×ˢ univ = Prod.fst ⁻¹' s
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
⊢ 𝒜 # r ⊆ 𝒜
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p
a : Set α
ha : ρ a / μ a < ↑p
⊢ ρ a ≤ ↑p * μ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
(x : β) → Decidable (f x ≤ g x)
f' g' : β → γ
hf' : Continuous f'
hg' : Continuous g'
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x
⊢ Continuous fun x => if f x ≤ g x then f' x else g' x
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E
⊢ IsSeparable F x✝
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
F G : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) D
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget D)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.regularTopology C) f.val
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
⊢ S.Subsingleton
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ L1.length + L2.length + 2 = L1.length + ((x, b) :: (x, !b) :: L2).length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq β
i : β
⊢ i ∈ image Prod.snd (s ×ˢ t) → i ∈ t
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
⊢ π₁.iUnion = ∅ ↔ π₁ = ⊥
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i < j.succ
⊢ i.succ.succAbove j.succ = (i.succAbove j).succ
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D
F : D ⥤ E
inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
⊢ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x * z = y
⊢ x = y * inverse z
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ 0 + ↑n = ofNat n
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b = c * b
⊢ a = c
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
⊢ A ≃ₗ[R] ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ Summable (norm ∘ fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m n : ℕ
h : m < n
⊢ (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ