ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
Fintype ↑s
card_lt : s.toFinset.card < FiniteDimensional.finrank R M
⊢ Submodule.span R s < ⊤
a b n : ℕ
⊢ n.floorRoot a ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
s : Set (Bundle.TotalSpace F E)
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n Bundle.TotalSpace.proj s
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph
⊢ f = g
H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
α : Type u_4
self : BiheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a \ b ≤ c ↔ a ≤ b ⊔ c
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(const _root_.abs (∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i !)) j ≤ ↑⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ j
R : Type u
a b c d : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).natDegree ≤
  3
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
this : IsSymm E fun x y => 1 ≤ ‖x - y‖
s : Finset E
⊢ ∃ y, ‖y‖ ≤ R ∧ ∀ x ∈ s, 1 ≤ ‖x - y‖
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
⊢ ∀ (x_1 : ↥(V x ⊓ V y)), (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S T : Set ι
hST : S ⊆ T
⊢ piiUnionInter π S ⊆ piiUnionInter π T
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup N
⊢ Subgroup.map f (Subgroup.comap f H) = f.range ⊓ H
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Set.graphOn f ∅ = ∅
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
⊢ (f * g) • h = f • g • h
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
x : G
mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x * y) ⋯
mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x⁻¹ * y) ⋯
⊢ ∀ (h : x ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p x ⋯
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b
⊢ a / d < b / d
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.divRight c).symm = IsometryEquiv.mulRight c
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ S.X₃.liftCycles x₃ j ⋯ hx₃ ≫ S.X₃.homologyπ i ≫ hS.δ i j hij = S.X₁.liftCycles x₁ k hk ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ j
n : ℕ
⊢ Fintype.card (Fin n) = n
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
⊢ ∀ (a : ↥(CliffordAlgebra.even Q)),
  (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) a = (((CliffordAlgebra.foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ↑a).1
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
⊢ ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}
h₁ : map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) = (𝓤 α).lift' f
h₂ : (𝓤 α).lift' f ≤ (𝓤 α).lift' gen
⊢ map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen
α β : Sort u_4
p : α → Prop
q : β → Prop
a : { x // p x }
b : { y // q y }
h : α = β
h' : HEq p q
⊢ HEq a b ↔ HEq ↑a ↑b
a : ℝ
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ici a) MeasureTheory.volume
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommRing S
Algebra R S
S' : Subalgebra R S
s : Set S
l : ↑s →₀ S
hs : (Finsupp.total (↑s) S S Subtype.val) l = 1
hs' : s ⊆ ↑S'
hl : ∀ (i : ↑s), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ S'
⊢ x ∈ S'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (Setoid.ker f).classes ⊆ Set.range fun y => {x | f x = y}
α : Type u_1
E B I : Set α
hIE : I ⊆ E
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).Base B ↔ B = I
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ _root_.Disjoint (map Embedding.inl s) (map Embedding.inr t)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ hV.linearIsometry (lp.single 2 i x) = (V i) x
b o : Ordinal.{u}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
⊢ x ∈ Ordinal.CNF b o → x.2 < b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
e : K ≌ J
α : e.functor ⋙ F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e α).inverse =
  CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.inv ⋙
    CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.inverse ⋙ CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(I ⊔ J) = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ∩ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
K K' : ℝ≥0
f : α → β
g : β → γ
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
⊢ MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }
⊢ (Sym.filterNe a ↑m).snd ∈ s.sym (n - ↑(Sym.filterNe a ↑m).fst)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
G : Type u_1
Group G
IsCoatomic (Subgroup G)
K : Subgroup G
h : K ⊔ frattini G = ⊤
⊢ K = ⊤
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
⊢ P.toPoly.degree ≤ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (Set.range ⇑f).OrdConnected
⊢ f a ⩿ f b
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
n : ℕ
ι : Type
fι : Fintype ι
p : ι → ℤ
hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M
⊢ (s ∪ t).indicator f a = s.indicator f a + t.indicator f a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =O[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ (1 + n).pred = n
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node3L x m y r).dual = r.dual.node3R y m.dual x l.dual
α : Type u_1
⊢ ∀ (a : α), Function.Embedding.coeWithTop a = ↑a
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω
⊢ MeasurableSet ↑Finset.univ
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ Function.Injective fun x => A * x
α : Type u
ι : Type x
PseudoEMetricSpace α
f : ι → Function.End α
K : ι → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)
l : List ι
⊢ LipschitzWith (List.map K l).prod (List.map f l).prod
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (Metric.closedBall 0 r)
⊢ FiniteDimensional 𝕜 E
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
⊢ 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure
f : C(X, 𝕜)
f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f
⊢ f ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
(𝓝[<] a).NeBot
⊢ (𝓝ˢ (Set.Ici a)).HasBasis (fun x => x < a) Set.Ici
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ takeWhile p l.reverse
⊢ p x = true
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
x y : M
⊢ f (x * y) = f x * f y
b : String
⊢ Levenshtein.stringLengthCost.insert b = b.length
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
G : K ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
⊢ (P.conePointsIsoOfEquivalence Q e w).inv =
  P.lift ((CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
h1 : 0 ≤ a
h2 : a < b
⊢ a * a < b * b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
⊢ HasFiniteIntegral Y μ
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Ico b c = Ico (b + a) (c + a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsTruncGE
∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : e.BoundaryGE i
⊢ (K.truncGE' e).d i j = (K.truncGE'XIsoOpcycles e hi' hi).hom ≫ K.fromOpcycles i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
p : α → Prop
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
htc : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict tᶜ, p x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
g : A₂ ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
CategoryTheory.Mono g
h : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ CategoryTheory.Subobject.mk g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f g h) g = f
w : Nat
α : Type u_1
f : Fin w → α → α × Bool
state : Nat → α
value : BitVec w
a : α
init : state 0 = a
step : ∀ (i : Fin w), f i (state ↑i) = (state (↑i + 1), value.getLsb ↑i)
⊢ BitVec.iunfoldr f a = (state w, BitVec.truncate w value)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ X.toΓSpecFun ⁻¹' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier = (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
⊢ (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑i, ⋯⟩).length = b.blocksFun i
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
DecidableEq δ'
l : List δ'
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : δ'), i ∈ l
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piMeasurableEquivTProd hnd h).symm = List.TProd.elim' h
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
a : α
h : ¬p a
⊢ a ∉ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => p x) s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ ↑s ⊆ a • ↑t ↔ a⁻¹ • ↑s ⊆ ↑t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g f' g' : X ⟶ Y
α : CategoryTheory.Limits.parallelPair f g ⟶ CategoryTheory.Limits.parallelPair f' g'
c : CategoryTheory.Limits.Fork f g
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α).obj c) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.ι (α.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s.diag.card = s.card
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊔ b)ᶜ = aᶜ ⊓ bᶜ
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : C × D ⥤ E
h : curry.obj F₁ = curry.obj F₂
⊢ F₁ = F₂
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm
⊢ f x = f y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|
⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
a : Prop
h : (¬a) = True
⊢ a = False
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
⊢ x ∈ adjoin ℤ {ζ}
⊢ π ^ 4 / 90 = -(8 * π ^ 4 * ↑(bernoulli 4)) / ↑4!
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
⊢ ∀ x ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ x ∈ t
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.max = ⊥ ↔ s = ∅
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
⊢ (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂)) = rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y
⊢ derivWithin f S y < slope f x y
m n k : ℕ
⊢ ↑m >>> (↑n + ↑k) = ↑m >>> ↑n >>> ↑k
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Iio a ⊆ Set.Iic b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G β
VAdd α β
VAddCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ AddAction.stabilizer G b ≤ AddAction.stabilizer G (a +ᵥ b)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ n).nextCoeff = n • p.nextCoeff
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
m n : ℕ
h : m = n
h' : m ≤ n
φ : L.BoundedFormula α m
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h' φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.cast h)
α : Type u
b : Set (Set α)
hc : b.Countable
⊢ SecondCountableTopology α
q : ℚ
⊢ sqrt (q * q) = |q|
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
L : Filter E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasFDerivAtFilter f₂ f₂' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => (f₂ x).1) ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).comp f₂') x L
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
⊢ Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.val (g j)
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : Ideal.span {a} = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (z - x) * f y < (z - y) * f x + (y - x) * f z
x : ℝ
⊢ -deriv arcsin x = -(1 / √(1 - x ^ 2))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ
⊢ round (x + ↑y) = round x + y
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
⊢ prod 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
E B : Set α
h : Set.BijOn f E N.E
⊢ (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ B ⊆ E
R : Type u
Field R
p q : R[X]
⊢ q * p.div q + p.mod q = p
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
hd : p ∣ n
⊢ False
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
⊢ domCoprod' ((∑ σ : Perm ιa, Perm.sign σ • domDomCongr σ a) ⊗ₜ[R'] ∑ σ : Perm ιb, Perm.sign σ • domDomCongr σ b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)