ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT
s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)
sets_s : (i : { x // x ∈ S }) → Set (β ↑i)
hs2 : Set.univ.pi sets_s = s
t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)
sets_t : (i : { x // x ∈ T }) → Set (β ↑i)
ht2 : Set.univ.pi sets_t = t
hs1 : ∀ (i : { x // x ∈ S }), MeasurableSet (sets_s i)
ht1 : ∀ (i : { x // x ∈ T }), MeasurableSet (sets_t i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s ∩ (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t) = (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s) * (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
v : α
hv : v ∈ (mulTSupport f)ᶜ
⊢ 1 ∈ N
R : Type u_1
NonAssocRing R
⊢ ringChar R = 0 ↔ CharZero R
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b
⊢ ∃ c x, a * c = b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint (a :: l₂) → l₁.Disjoint l₂
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a
⊢ ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ∉ univ
⊢ False
M : Type u_1
AddSemigroup M
z : M
⊢ z ∈ AddSubsemigroup.center M ↔ ∀ (g : M), g + z = z + g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
c : G
hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)
⊢ a * b * c ∉ H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι
⊢ ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i m) = ↑(-m i)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ
⊢ Set.MapsTo f (Metric.ball x r) (Metric.ball (f x) r)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α
⊢ a ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g
⊢ (f * C g.leadingCoeff).Monic
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
⊢ Subgroup.map f H.normalizer ≤ (Subgroup.map f H).normalizer
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ 1 ≤ 2 * π
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ MulAction.orbit (↥(Subgroup.closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
⊢ ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A B : T.Algebra
self : A.Hom B
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map self.f) B.a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a self.f
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (Complex.ofReal' ∘ periodizedBernoulli k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * Complex.I * ↑n) ^ k
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
⊢ ∫ (x : α), ProbabilityTheory.truncation f A x ∂μ ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsAddFreimanIso n B C g
hf : IsAddFreimanIso n A B f
⊢ IsAddFreimanIso n A C (g ∘ f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.homologyFunctor C).map f = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
this : s.Terminates
⊢ m = n
x : SetTheory.PGame
x.Short
⊢ x.birthday < Ordinal.omega
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |ProbabilityTheory.truncation f A x| ≤ |A|
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
b : β
⊢ a ≤ u b → l a ≤ b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : C
⊢ e.functor.map (e.unit.app x✝) ≫ e.counit.app (e.functor.obj x✝) = 𝟙 (e.functor.obj x✝)
α : Type u_5
Monoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ h.unit⁻¹ • a = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D
Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E
Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F
Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G
isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D
isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD
gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD
Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip
Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀
Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD
Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖
su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
AddCommGroup S
Pow S ℕ
Module R S
p : Polynomial R
x : S
⊢ (-p).smeval x = -p.smeval x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p U
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), ⋃ x ∈ s, ball x (U i) ↔ x ∈ closure s
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)
⊢ -C ↑h.unit⁻¹ * (X - C a) + C ↑h.unit⁻¹ * (X - C b) = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
S : Type u_4
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι
⊢ ↑((Ideal.selfBasis b I hI) i) = Ideal.smithCoeffs b I hI i • (Ideal.ringBasis b I hI) i
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
⊢ x ∈ k
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : NormalWord d
⊢ w.prod • empty = w
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
x : α
⊢ Dense (AddAction.orbit M x)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' ℝ) (SimpleGraph.lapMatrix ℝ G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : AdjoinRoot g
i : Fin g.natDegree
⊢ ((AdjoinRoot.powerBasisAux' hg).repr f) i = ((AdjoinRoot.modByMonicHom hg) f).coeff ↑i
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
i : ι
⊢ (-1 * ∏ x ∈ Finset.univ \ {i}, 1 x)⁻¹ • e.orientation = -e.orientation
α : Sort u
β : Sort v
Countable α
Uncountable β
f : α → β
⊢ ¬Function.Surjective f
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
self : SMulPosReflectLE α β
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ • b ≤ a₂ • b → a₁ ≤ a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
s : Set β
f : β → α
⊢ IsLUB (f '' s) (⨆ x ∈ s, f x)
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I X
α : Type u
DecidableEq α
a b : α
l : List α
h : a ∈ b :: l
⊢ a = b ∨ a ≠ b ∧ a ∈ l
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h1 : IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥
⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
u : f.left ⟶ g.left
v : f.right ⟶ g.right
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom v
⊢ (CategoryTheory.Arrow.homMk w).right = v
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure ↑(AddSubmonoid.closure s) = NonUnitalSubsemiring.closure s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
s : 𝕜 → 𝕜
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
n : ℕ
⊢ MeromorphicOn (s ^ n) U
α : Type u_1
MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ENNReal
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C);
Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'
⊢ ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) (A * A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.IsNoetherian (AlgebraicGeometry.Spec R) ↔ IsNoetherianRing ↑R
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
n : ℕ
⊢ ↑((p.toSubring T hp).coeff n) = p.coeff n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e
⊢ (inl φ).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) ⋯ = γ
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
⊢ IsIntegral R 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : CategoryTheory.Arrow.mk i ≅ CategoryTheory.Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
hip : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i' p
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
p : G.Walk u✝ v✝
hnp : ¬p.Nil
u v w : V
huv : G.Adj u v
q : G.Walk v w
⊢ (notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons huv q) ⋯).support = (cons huv q).support.tail
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
⊢ ¬(norm ∘ f) w < (norm ∘ f) z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (F.ofArrowIso sq).I = F.I
I : Type u
f : I → Type v₁
(i : I) → Zero (f i)
⊢ 0 = fun x => 0
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ o.card ≤ OfNat.ofNat n ↔ o ≤ OfNat.ofNat n
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
⊢ (RatFunc.toFractionRingRingEquiv K).symm = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)).toRingEquiv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g = g ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ a ::ₘ s - t = a ::ₘ (s - t)
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : g₁ a * g₂ a ≠ 0
⊢ a ∈ g₁.support ∩ g₂.support
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
⊢ ∑' (x : ι), f x / a = (∑' (x : ι), f x) / a
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R
⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e ↔ OrthogonalIdempotents e ∧ ∑ i : I, e i = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m
hy' : ¬Acc r y
⊢ False
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑?m.44242
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
⊢ x - 1 / 2 < ↑(round x)
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)))
G : Type uG
E' : Type uE'
NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
SeminormedAddCommGroup G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SFinite μ
NormedSpace ℝ E'
CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : Function.support f ⊆ Metric.ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist (MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x₀) z₀ ≤ ε
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub f ≤ Order.succ (Ordinal.sup f)
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ ¬⊥ < a ↔ a = ⊥
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H
⊢ ↑(H.transferFunction g q) = q
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
hST : S ⊆ T
⊢ generatePiSystem S ⊆ generatePiSystem T
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, n ≤ f x
⊢ s.card • n ≤ s.sum f
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Iic a = Set.Iic b ↔ a = b
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) ↔ (a → b) ∧ (b → a)
α : Type u
β : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~r l₂
f : α → β
⊢ List.map f l₁ ~r List.map f l₂
r : ℕ+
H : 1 < ADEInequality.sumInv {2, 3, r}
⊢ r < 6
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
k : Nat
hk' : k < (a.swap i j).size
⊢ (a.swap i j)[k] = if k = ↑i then a[j] else if k = ↑j then a[i] else a[k]
α : Type u_1
s t : Set α
Ixx : α → α → Set α
⊢ Filter.TendstoIxxClass Ixx (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, Ixx x y ⊆ t
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
f : σ → R
⊢ (MvPolynomial.eval f) ((MvPolynomial.monomial s) a) = a * s.prod fun n e => f n ^ e
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
g : N →+ P
f : α → M →+ N
⊢ g.comp (Finsupp.liftAddHom f) = Finsupp.liftAddHom fun a => g.comp (f a)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
N : Submodule R M
s t : Set S
⊢ (s ⊔ t) • N = s • N ⊔ t • N
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.mul ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom)) ≫ (ρ_ M.X).hom =
  ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul
α : Type u_1
p : Option α → Prop
⊢ (∃ x, x ≠ none ∧ p x) ↔ ∃ x, p (some x)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
p : G₀ → Prop
⊢ (∃ u, p ↑u) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ p x
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b - a‖ ≤ r
M : Type u_12
N : Type u_13
P : Type u_14
Q : Type u_15
Mul P
Mul Q
f : M ≃ N
g : P ≃* Q
h : M → P
n : N
⊢ (MulEquiv.arrowCongr f g) h n = g (h (f.symm n))
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs
⊢ n.natAbs = 0
G : Type u_3
H : Type u_4
Monoid G
a : G
n : ℕ
MulAction G H
b : H
⊢ (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V
⊢ Fintype.card G.Dart = ∑ v : V, G.degree v
A : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid A
SMul α A
Zero α
self : DivisibleBy A α
n : α
a : A
⊢ n ≠ 0 → n • DivisibleBy.div a n = a
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 h.lim)