ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : TopologicalAddGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x✝¹ : M →L[R] M
x✝ : M
⊢ (Ring.inverse x✝¹) x✝ = x✝¹.inverse x✝
I : Type u
inst✝²⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝²³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝²² : X₁.HasTensor X₂
inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃
inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄
inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄
inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)
inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
j i₁ i₂ i₃ i₄ : I
h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j
⊢ (α_ (X₁ i₁) (X₂ i₂) (X₃ i₃ ⊗ X₄ i₄)).inv ≫ (α_ (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂) (X₃ i₃) (X₄ i₄)).inv ≫ ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ (i₁ + i₂ + i₃) ⋯ ▷ X₄ i₄ ≫ ιTensorObj (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃) X₄ (i₁ + i₂ + i₃) i₄ j ⋯ = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).inv j ≫ (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).inv j
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ interior (closedBall x r) ⊆ ball x r
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.toSubgraph = p.toSubgraph
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M
⊢ Smooth I' (I.transDiffeomorph e) f ↔ Smooth I' I f
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ ∀ ⦃x : (i : ι) → φ i⦄, ((∀ i ∈ Iᶜ, x i = 0) ∧ ∀ i ∈ Jᶜ, x i = 0) → ∀ (a : ι), x a = 0 a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
α : Type u_1
s t : Finset α
h : t.card ≤ s.card
⊢ s ⊆ t ↔ s = t
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α
⊢ s.preimage (fun x => -x) ⋯ = -s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
f g : CauSeq β abv
h : ∀ (i : ℕ), ↑f i = ↑g i
⊢ f = g
ι : Type u_1
⊢ (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).toEquiv = WithLp.equiv 2 ((i : ι) → (fun x => ℝ) i)
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2
⊢ (p - 2 + 2).minFac :: ((p - 2 + 2) / (p - 2 + 2).minFac).primeFactorsList = [p - 2 + 2]
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.toContinuousLinearMap f) = LinearMap.ker f
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node4R x m y r).dual = r.dual.node4L y m.dual x l.dual
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
i : ι
s : Set α
⊢ s ∈ piiUnionInter π {i} ↔ s ∈ π i ∪ {univ}
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize.toFiniteMeasure)
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
h_mass : ¬μ.mass = 0
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
⊢ x ∈ range ⇑f
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype n
StarRing α
A : Matrix m n α
x : n → α
⊢ x ᵥ* Aᴴ = star (A *ᵥ star x)
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ x ∈ supp ⟨a, f⟩ i ↔ x ∈ f i '' univ
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
⊢ ⋃ i, f i = univ
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
⊢ ∀ (x y : R), x ≤ y → star x ≤ star y
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : m < (drop (n % l.length) l).length
⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
x : DirectSum ι fun i => β i
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support x, (DirectSum.of β i) (x i) = x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ Function.Bijective ((forget TopCat).map (D.t i j))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯
a : M
ha₁ : a ∈ N
ha₂ : a ≠ 0
this : Function.Injective ⇑f
⊢ IsIntegral R x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
this : ↑(ν.map f) A = ↑ν (f ⁻¹' A)
⊢ (ν.map f) A = ν (f ⁻¹' A)
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⩿ b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ {b}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
⊢ 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_4
Zero X
Zero Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace R
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
f : ContinuousMapZero X Y
g : ContinuousMapZero Y R
⊢ (ContinuousMapZero.nonUnitalStarAlgHom_precomp R f) g = g.comp f
X : Type u_1
LinearOrder X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
a : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Filter.Tendsto g lc l
⊢ (↑f).compTendsto g hg = ↑(f ∘ g)
M : Type u_5
CommMonoid M
s : List M
⊢ (List.map (fun i => {i}) s).prod = {s.prod}
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
⊢ p = q ↔ p.1 = q.1
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -x ‖ y ↔ x ‖ -y
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsLimit t.toCone
j : J
j' : Discrete J
⊢ t.ι j ≫ t.toCone.π.app j' = (Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0).π.app j'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ
⊢ multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b
R : Type u
Semiring R
a : R
m : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial m) a).natDegree ≤ m
n d k : ℕ
⊢ ThreeAPFree ↑(Behrend.sphere n d k)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : FullSubcategory P
⊢ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).map (β_ X Y).hom = inv ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y) ≫ (β_ ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj X) ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ Y X
a b m n k : ℕ
p : ℕ → Prop
H' : ¬p 0
H : ∃ n, p n
⊢ ∃ n, ¬p n ∧ p (n + 1)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
i : Fin2 n
x : F α
⊢ MvFunctor.supp x i = {u | ∀ (a : (MvQPF.P F).A) (f : (MvQPF.P F).B a ⟹ α), MvQPF.abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' Set.univ}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hgε : eLpNorm (sᶜ.indicator g) p μ < ↑ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.d 0 (i + 2) = 0
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
o : Ordinal.{u}
hl : ∀ i ∈ ↑l, Profinite.NobelingProof.ord I i < o
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.eval C '' {m | m < l} =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.πs C o) ''
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ''
      {m | m < l})
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
h : s.IsWF
a : α
⊢ (insert a s).IsWF
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun SV => Bornology.IsVonNBounded 𝕜 SV.1 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 0) fun SV => {f | Set.MapsTo (⇑f) SV.1 SV.2}
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
⊢ _root_.Finite M
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n
h : ψ a = 1
⊢ ¬ψ.mulShift a ≠ 1
n p : ℕ
⊢ p ∈ n.primeFactorsList ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ (f.pdiv g) (m * n) = (f.pdiv g) m * (f.pdiv g) n
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ gauge s x ≤ 1 ↔ x ∈ closure s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
a : α
h : ∀ (i : ι), a ∈ s i
⊢ a ∈ ⋂ i, s i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f g : CategoryTheory.Under X
h : f ⟶ g
CategoryTheory.Mono h
⊢ CategoryTheory.Mono h.right
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x => g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g a₀ i‖)
⊢ Memℓp (g a) ⊤
p q : ℚ
hq : 0 ≤ q
hp : 0 ≤ p
⊢ (q + p).toNNRat = q.toNNRat + p.toNNRat
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
a✝ : x ∉ s
hy : y ∉ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m) = ⇑(S.proj m ≫ S.diagram.map (Opposite.op (homOfLE h)))
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
X : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
Es : ℕ → Set X
Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)
Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n₁ n₂ : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
x✝² x✝¹ : ℤ
x✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹
⊢ (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (n₂.negOnePow • n₁.negOnePow • K.d (x✝² + n₂ + n₁) (x✝¹ + n₂ + n₁)) = ((n₁ + n₂).negOnePow • K.d (x✝² + (n₁ + n₂)) (x✝¹ + (n₁ + n₂))) ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
⊢ E.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = E
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n m : ℕ
x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ (if P m then X m ^ p ^ (n - m) else 0) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
k m n : ℕ
km : k ≤ m
mn : m ≤ n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE mn ∘ FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE km =
  FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE ⋯
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ inverse x * (x * y) = y
v : ℤ
h : 1 * v = -1
⊢ 1 = 1 ∧ v = -1 ∨ 1 = -1 ∧ v = 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ (NonUnitalAlgebra.adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure s)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ↑(ContinuousAlgHom.snd R A B) = AlgHom.snd R A B
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.Types.constPUnitFunctor C)
⊢ CategoryTheory.IsConnected C ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.colimit (CategoryTheory.Limits.Types.constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
⊢ f.comp (Algebra.Generators.Hom.id P) = f
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑↑↑f
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ ‖↑↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2
α : Type u
β : Type v
Ring α
F : Type u_1
Ring β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
u : αˣ
⊢ (Units.map ↑f) (-u) = -(Units.map ↑f) u
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
⊢ Nat.count p (Nat.nth p 0) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g
α : Type u_1
Finite α
h : Nontrivial α
⊢ 1 < Nat.card α
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
inst✝ : CompleteSpace E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
w✝² : ℝ≥0
w✝¹ w✝ : ℝ
hpl : IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ w✝² w✝¹ w✝
⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₁ : 0 < a
h₂ : a < 1
⊢ 1 < a⁻¹
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : tsze R M
⊢ (TrivSqZeroExt.sndCLM R M) x = x.snd
G : Type u_1
Mul G
self : UniqueProds G
A B : Finset G
⊢ A.Nonempty → B.Nonempty → ∃ a0 ∈ A, ∃ b0 ∈ B, UniqueMul A B a0 b0
⊢ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves = typesGrothendieckTopology.sieves
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
⊢ Besicovitch.multiplicity E ≤ 5 ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : x < ⊤
y : ℚ
hxy : x < ↑↑y
⊢ ∃ i', True ∧ Ioi ↑i' ⊆ Ioi x
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌈a⌉₊ < a + 1
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
h : a ≡ b [PMOD p]
⊢ c - a ≡ c - b [PMOD p]
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
⊢ IsClosedMap Prod.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : γ → α
s : Set γ
t : Set β
⊢ Set.MapsTo f (g '' s) t ↔ Set.MapsTo (f ∘ g) s t
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : Set α
⊢ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s
K : Type u_1
Field K
t : ℕ
Invertible ↑t
⊢ ¬ringChar K ∣ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multifork I
f : K₁ ⟶ K₂
⊢ (I.toPiForkFunctor.map f).hom = f.hom
n : ℕ
self : Fin n
⊢ (Fin.valOrderEmb n) self = ↑self
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
UniformSpace M₂
UniformAddGroup M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
CompleteSpace M₂
⊢ (compactOperator σ₁₂ M₁ M₂).topologicalClosure = compactOperator σ₁₂ M₁ M₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : CategoryTheory.End X
⊢ IsUnit f ↔ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (Norm.norm ∘ g) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x C
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite
⊢ ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ supp → f ∈ closure S
x : PGame
h : x ⧏ 0
⊢ x⁻¹ = -(-x).inv'
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R
⊢ W.polynomial.natDegree = 2
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ f.symm.trans f = PEquiv.ofSet {b | (f.symm b).isSome = true}
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = b.card
α : Type u_2
AddZeroClass α
a : α
⊢ Set.singletonAddMonoidHom a = {a}
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]
⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : Unit → α
⊢ Measurable f
α : Type u_3
β : Type u_4
Group α
a : α
MulAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (MulAction.orbitZPowersEquiv a b).symm ↑k = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone G
r t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
w : F ≅ G
⊢ (P.coconePointsIsoOfNatIso Q w).inv ≫ P.desc r = Q.map r w.inv
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a < b * c
hb : b ≤ 1
hc : 0 ≤ c
⊢ a < c
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
⊢ s = (JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯).toSignedMeasure
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
⊢ Rel.interedges r s₂ t₂ ⊆ Rel.interedges r s₁ t₁
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ∃ x, ∀ (a : R), ¬a = 0 → a • x ∉ N
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M
⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ Metric.closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
⊢ μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (Metric.closedBall 0 R)