ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X)) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
⊢ I.interior M ⊓ I.boundary M = ⊥
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
⊢ ‖x‖ < ↑p ^ n ↔ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (n - 1)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
⊢ deriv (⇑e) x = e 1
α : Type u_1
a : Array α
v : α
i : USize
h : i.toNat < a.size
⊢ (a.uset i v h).size = a.size
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cone F
f g : c ⟶ c'
w : f.hom = g.hom
⊢ f = g
r : ℝ
⊢ ↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ HurwitzZeta.evenKernel a x = 0
α : Type u
AddGroup α
f g : AddGroupTopology α
h : TopologicalSpace.IsOpen = TopologicalSpace.IsOpen
⊢ f = g
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
a b : α
⊢ (∃ n, Order.succ^[n] a = b) ∨ ∃ n, Order.succ^[n] b = a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
r k : ℕ
ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
t : Finset α
⊢ t ∈ ∂⁺ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
v : Fin 0 → E
⊢ (pf 0) v = f x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
⊢ ↑(ofSubring T p).coeffs ⊆ ↑T
α : Type u_1
Add α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (x + y) = AddOpposite.unop y + AddOpposite.unop x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'
⊢ ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a = ↑(2 * a.re) - a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).functor = Comon_.Comon_ToMon_OpOp C
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.mulETransformLeft 1 x = x
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this : ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ = ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier
t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
⊢ ∃ ub, ∀ a ∈ c, a ≤ ub
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
hK : Dense ↑K
h : x ∈ Kᗮ
⊢ x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.inv.map (F.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.asEquivalence.unitInv.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (F.asEquivalence.unit.app Y))
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ p.coeff n ∈ p.coeffs
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.pullback f S).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Y_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hm : n < s.card
⊢ False
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y
⊢ ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i : ι, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ (b.coord x✝) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w x✝
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension.whiskerHom i h).right = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight i.right h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq N
inst✝² : Zero N
inst✝¹ : DecidableEq M
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
x : α
⊢ x ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) → x ∈ f.neLocus g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}
⊢ Measurable fun a => min (τ a) j
α : Type u
Subsingleton α
r : α → α → Prop
hr : IsIrrefl α r
⊢ IsWellOrder α r
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
⊢ Nat.card ↥⊤ = Nat.card α
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
h : x ∈ Submodule.span R s
⊢ Submodule.span R (insert x s) = Submodule.span R s
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y
⊢ (∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient a✝¹ a✝)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this✝ : HasBinaryBiproducts C
this : PreservesBinaryBiproducts F
⊢ F.Additive
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : α → Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
x : β
⊢ x ∈ s₁.biUnion t → x ∈ s₂.biUnion t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
⊢ Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) ((f a) x)) l (𝓝 (((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) (A x)))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F
⊢ s ⊆ connectedComponentIn F x
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
this : G.Colorable (sInf {n' | G.Colorable n'})
⊢ G.Colorable n
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ Disjoint (s.sup f) a ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Disjoint (f i) a
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
M : Type u_4
MulOneClass M
a : M
⊢ [a].prod = a
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
M : Type u_5
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁
inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝³⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
inst✝²⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝²⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝²³ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝²² : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝²¹ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
EB : Type u_8
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_9
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_10
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB
inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₁) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₂) (continuousLinearMapCoordChange (RingHom.id 𝕜) e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_2
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
⊢ HSMul.hSMul m = Polynomial.map (MulSemiringAction.toRingHom M R m)
M : Type u_1
S : Set M
AddMonoid M
z : M
⊢ z ∈ AddSubmonoid.centralizer S ↔ ∀ g ∈ S, g + z = z + g
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ b < a ⊔ b ↔ ¬a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x
⊢ (ν.rnDeriv μ)⁻¹ x = μ.rnDeriv ν x
d : ℤ
z w : ℤ√d
⊢ (z * w).re = z.re * w.re + d * z.im * w.im
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
x : M
⊢ x ∈ p.carrier ↔ x ∈ ↑p
S : Profinite
⊢ ClosedEmbedding (ι S)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
X : Type u_2
x : FreeAbelianGroup X
⊢ Finsupp.toFreeAbelianGroup (FreeAbelianGroup.toFinsupp x) = x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Commute Polynomial.X p
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
⊢ 1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
α : Type u_1
Mul α
a b : Part α
⊢ a * b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y * x) b
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ f.symm.toHom.comp f.toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L M
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨅ i, m i) ≤ ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (m i)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : Y ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ (𝒰.add f).f x = some (𝒰.f x)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a + b
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : SMul γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
⊢ (-a) ∣[k;γ] g + a ∣[k;γ] g = 0
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L' ⟶ L.comp G
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')
⊢ ∀ {X_1 Y : D} (f_1 : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).obj X).right.map f_1 = X.right.map (G.map f_1)
α : Type u_2
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Opens α
⊢ IsOpen self.carrier
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
⊢ ∀ (C : ⊤.Coloring V), Surjective ⇑C
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true → q x = true
⊢ List.countP p l ≤ List.countP q l
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasCoequalizer f g
inst✝ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
⊢ G.map f ≫ G.map h = G.map g ≫ G.map h
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
⊢ Finset.image (⇑f) (s ⊼ t) = Finset.image (⇑f) s ⊼ Finset.image (⇑f) t
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
f g h : C(X, Y)
h₀ : f.HomotopicRel g S
h₁ : g.HomotopicRel h S
⊢ f.HomotopicRel h S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
⊢ a = b ∨ a ∈ s → a ∈ cons b s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
⊢ ∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)
n j : ℕ
left✝ : Prime j
a1 : 1 ≠ 1
hp : Prime (1 * j)
⊢ 1 * j = 1
x : ℂ
⊢ (log x).im ≤ π
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀
φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯
⊢ Continuous ⇑g
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ IsIntegral R (AdjoinRoot.root g)
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E
⊢ X \ Y ⊆ M.E
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (1 - A * B).det = (1 - B * A).det
a b : ℍ
h : ↑a = ↑b
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β
⊢ Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Icc a b * Finset.Icc c d ⊆ Finset.Icc (a * c) (b * d)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set (Set α)
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
⊢ (⋃₀ s).Pairwise r ↔ ∀ a ∈ s, a.Pairwise r
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L R
self : CategoryTheory.CommaMorphism X Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map self.left) Y.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R.map self.right)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
⊢ a ∉ s ∪ t ↔ a ∉ s ∧ a ∉ t
α : Type u_3
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Filter.atTop = Filter.comap Subtype.val Filter.atTop
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ (-a).imI = -a.imI
z : ℍ
⊢ 0 < (-↑z)⁻¹.im
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
g : α →₀ M
⊢ Finsupp.mapRange id ⋯ g = g
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ 1 ∣ Nat.card G
⊢ p ∣ Nat.card ↥↑P
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
⊢ a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ P.decompId_i.f = P.p
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
C : ℝ
Cpos : C > 0
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.think.Equiv s
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : IsUpperSet s
⊢ MeasureTheory.volume (frontier s) = 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : IsIso (piComparison F fun x => op (X x))
⊢ ∀ (y : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X), Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj y = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj y → ∃! x, Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = y
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly A x
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ sphere n d k
⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)‖ = √↑k
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T1Space X ↔ ∀ ⦃x y : X⦄, x ≠ y → Disjoint (𝓝 x) (pure y)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 1
hn' : ↑n ≠ 0
A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n
⊢ ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) = ↑n * ((1 - ↑x) ^ n * (↑x * ↑n) ^ (s - 1))
α : Type u_1
Add α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
bc : a + b ≤ a + c
⊢ b ≤ c
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ LipschitzWith 1 fun x => Metric.infDist x s
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
p : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hp : Function.Surjective ⇑p
f : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := ofTensorProduct I M ∘ₗ LinearMap.baseChange (AdicCompletion I R) p
g : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := map I p ∘ₗ ofTensorProduct I (Fin n → R)
hfg : f = g
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(ofTensorProduct I M)
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ (p.toSubring T hp).Monic ↔ p.Monic
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
n : ℕ
hn : Even n
a : α
⊢ |a| ^ n = a ^ n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ f = eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯