ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥
⊢ 0 ∈ s ∨ s = ∅
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
x : 𝕜
⊢ deriv (⇑f) x = f.linear 1
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
k : ℕ
⊢ (f.genEigenspace 0) k = LinearMap.ker (f ^ k)
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
p : Char → Bool
l m r : List Char
⊢ Substring.takeWhileAux { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m } p
    { byteIdx := String.utf8Len l } =
  { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len (List.takeWhile p m) }
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α
⊢ Option.rec (some a) (fun val => if val < a then some a else some val) (argmax id l) = max (argmax id l) ↑a
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U.carrier = ⋃ i ∈ s, ↑↑i
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s, f (g +ᵥ x) ∂μ
α : Type u_1
Preorder α
IsEmpty α
⊢ krullDim α = ⊥
n : ℤ
⊢ ZMod.χ₈ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 7 then 1 else -1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
⊢ MulChar.toUnitHom ((DirichletCharacter.changeLevel hm) χ) = (MulChar.toUnitHom χ).comp (ZMod.unitsMap hm)
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
⊢ (e.oadd n a).NF → a.NFBelow e.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) Set.univ ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
α : Type u_3
Ring α
a : α
n : ℤ
⊢ Commute a (↑n * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
⊢ μ (Metric.ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.ball 0 s)
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 0 → R
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.oneFunc x = 1
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
s : Set E
⊢ MeasureTheory.pdf.IsUniform id s (ProbabilityTheory.cond μ s) μ
a b : ℕ
h : b ≤ a
⊢ a ≡ b [MOD a - b]
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
⊢ ((A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card) * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[0] x ≤ g^[0] x
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R
⊢ ↑(Matrix.GeneralLinearGroup.det A)⁻¹ = (↑A⁻¹).det
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F
⊢ IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (ContinuousLinearMap.adjoint S)))
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ ⇑↑f = ⇑f
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ ∀ {x : A}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
x y : G
DecidableEq G
⊢ y ∈ AddSubmonoid.multiples x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
IsTrichotomous ι r
hr : WellFounded (Function.swap r)
⊢ WellFounded (DFinsupp.Lex r s)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
a : F
⊢ ↑(Z.localTrivAt b) { proj := b, snd := a } = (b, a)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
c : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.mgf (fun x => c) μ t = (μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.rightDistributor f X).hom
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ WithBot.map₂ f ↑a ↑b = ↑(f a b)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
⊢ ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ (Equiv.swap x y).support = {x, y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E
⊢ x +ᵥ r • closedBall 0 1 = closedBall x r
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0
⊢ dist ↑z ↑(w.center r) ^ 2 = 2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Icc a₂ b₂
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
G : Type u_7
AddCommGroup G
A : Type u_8
DecidableEq A
l : List A
f g : A → G
a : A
⊢ (List.map (fun x => if x = a then f x else g x) l).sum = List.count a l • (f a - g a) + (List.map g l).sum
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a
⊢ (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ⋯) ({ toFun := (σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ?f')
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ (MvPolynomial.eval P) W'.polynomialX = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
X : C
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
i : I
⊢ (CategoryTheory.Sieve.ofArrows Y f).arrows (f i)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Order.pred a ≤ Order.pred b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.einfsep < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
i : (a : α) → a ∈ s → β
j : (a : β) → a ∈ t → α
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
a1 : α
h1 : a1 ∈ s
a2 : α
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ a1 = a2
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation Polynomial.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (X 1 ^ 2 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * X 2 + C W.a₃ * X 1 * X 2 ^ 2 - (X 0 ^ 3 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * X 2 + C W.a₄ * X 0 * X 2 ^ 2 + C W.a₆ * X 2 ^ 3)) = P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 - (P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3)
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
this : Nontrivial S
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
ht : IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ (Subalgebra.toSubmodule ⊥).FG
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1
⊢ ¬p.degree = ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∫ (θ : ℝ) in Set.Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
⊢ f ''ᵁ ⊤ = f.opensRange
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
x : α
⊢ f = pure x ↔ {x} ∈ f
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
⊢ x ∈ support (deriv f) → x ∈ tsupport f
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
⊢ Continuous S.proj
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
⊢ Bornology.cobounded α = Filter.cocompact α
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hg : ∀ (i : α), g i 0 = 1
⊢ g y (f y) * (Finsupp.erase y f).prod g = f.prod g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Set (Set E)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
f : m → n
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.funLeft R M f)
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p a
h₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p a
⊢ List.pmap f (l₁ ++ l₂) ⋯ = List.pmap f l₁ h₁ ++ List.pmap f l₂ h₂
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (o.oangle x y).cos = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a x : α
b : M
⊢ (Finsupp.single a b) x = 0 ↔ x = a → b = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1
⊢ ¬q ∣ p
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
n : ℕ
a : M
b : ↥S
⊢ mk a b ^ n = mk (a ^ n) (b ^ n)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
⊢ s = Set.univ
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
⊢ 2 • a = a + a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] F
s : Set E
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, F) n (⇑L) s
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ (spectrum ℝ A).Finite
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
AddGroup G
AddAction G X
self : ProperVAdd G X
⊢ IsProperMap fun gx => (gx.1 +ᵥ gx.2, gx.2)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
hi'_eq_i : i' = i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
M : Type u_5
F : Type u_6
Group M
FunLike F M M
MonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x y : M
⊢ (⇑f)^[n] (x / y) = (⇑f)^[n] x / (⇑f)^[n] y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ (s.weightedVSub fun x => p) w = 0
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
⊢ Subtype.val '' MulAction.orbit R m = MulAction.orbit R ↑m
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ ¬¬IsUnit a ∨ ¬∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α
⊢ (∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a) ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ IndexSet.id (op [i]) → ((s.πSummand b ≫ (s.cofan (op [i])).inj b) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1
⊢ f (χ ↑a) ≠ f 1
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
⊢ y = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
⊢ P.coeff l • Q = 0
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x : PerfectClosure K p
q : PerfectClosure K p → Prop
h : ∀ (x : ℕ × K), q (PerfectClosure.mk K p x)
⊢ q x
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (s + t).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = hs.toFinset + ht.toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
a : α
⊢ ‖s.indicator f a‖ = s.indicator (fun a => ‖f a‖) a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
ht : t ∈ ({t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ a b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.U i).presheaf.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x
⊢ (eval IM I M R x) ((forgetStalk IM I M R x).inv y) = smoothSheaf.eval IM I R x y
α : Type u
R : Type u_1
CommSemiring R
Small.{v, u} α
Semiring α
Algebra R α
⊢ ∀ (a : α), (Shrink.algEquiv α R).symm a = (equivShrink α) a
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate (n % l.length) = l.rotate n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
functor : CategoryTheory.Functor C D
inverse : CategoryTheory.Functor D C
unit_iso : CategoryTheory.Functor.id C ≅ functor.comp inverse
counit_iso : inverse.comp functor ≅ CategoryTheory.Functor.id D
f :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (functor.map (unit_iso.hom.app X)) (counit_iso.hom.app (functor.obj X)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.id (functor.obj X)
⊢ { functor := functor, inverse := inverse, unitIso := unit_iso, counitIso := counit_iso,
      functor_unitIso_comp := f }.counitInv =
  counit_iso.inv
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
⊢ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) = prod.map (𝟙 X) (prod.lift prod.snd prod.fst) ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Y)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
⊢ b ≤ a ⊔ b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
this : ↑(Multiset.count (normalize J) (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x) ≠ 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
⊢ f ≫ CategoryTheory.Limits.Cofork.π s = 0
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x < y
hinf : y ⊓ z ≤ x ⊓ z
⊢ x ⊔ z < y ⊔ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL
  0
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s : Set ι
i : ι
Nontrivial M₀
⊢ s.indicator 1 i = 1 ↔ i ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
pos : 0 < r
sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
a : α
v' : Vector α n
h : v = a ::ᵥ v'
⊢ (map f v).head = f v.head
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hx : ∃ y, ↑y = (x, x').1 ∧ ↑f y = (x, x').2
hy : ∃ y_1, ↑y_1 = (y, y').1 ∧ ↑f y_1 = (y, y').2
hxy : x = y
⊢ x' = y'