ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C✝ : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C✝ ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
I : Type v₁
inst✝ : SmallCategory I
F : I ⥤ C
c : Cocone (F ⋙ yoneda)
hc : IsColimit c
isc : IsColimit ((Over.forget c.pt).mapCocone (colimit.cocone ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))) := PreservesColimit.preserves (colimit.isColimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))
⊢ Over.mk (𝟙 c.pt) ≅ colimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0
hmp : m ≤ p.natDegree
hmnd : m + 0 = (p * q).natDegree
hq : map (mk P) q = c * X ^ 0
hmn : 0 < m → 0 < 0 → False
hnq : 0 ≤ q.natDegree
hpmqn : p.natDegree = m ∧ q.natDegree = 0
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}
hd : Disjoint (I s) (I t)
hI : ∀ u ⊆ s ∪ t, μ u ≤ ∑' (i : ↑(I u)), μ (f ↑i)
⊢ μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ ((-1) ^ ↑x✝¹ • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Pointed ↔ ¬S.Blunt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t
hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)
⊢ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → Filter α
⊢ 𝓝 (⨅ i, f i) = ⨅ i, 𝓝 (f i)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D1 D2 : LieDerivation R L L
⊢ ↑⁅D1, D2⁆ = ⁅↑D1, ↑D2⁆
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-(↑v)⁻¹ * 2⁻¹ * x ^ 2) = 1
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g
⊢ DenseRange (Prod.map f g)
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0
⊢ x ^ z ≤ 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h₁ : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 ∨ g x ≠ ⊤
h₂ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0 ∨ f x ≠ ⊤
⊢ ContinuousOn (fun x => f x * g x) s
α : Sort u_1
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
f : α → γ
h : ∀ (a₁ a₂ : α), r a₁ a₂ → f a₁ = f a₂
a : α
⊢ Quot.lift f h (Quot.mk r a) = f a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ spanSingleton S 0 ↔ x✝ ∈ 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
⊢ Ex ≤ Ey
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : (a' * g) ^ n ∣ (b' * g) ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
⊢ a' * g ∣ b' * g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel
⊢ S.LeftHomologyData
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
a b : G
⊢ -a = b ↔ a = -b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ProjectiveResolution.lift f P Q).f 0) (Q.π.f 0) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
⊢ content 1 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.toCotangent ⟨x, hx⟩
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Distrib α
A : Matrix l m α
B₁ B₂ : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (B₁ + B₂) =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B₁ + Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B₂
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
this : Mono f
⊢ (Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
⊢ (fun m => m • Q) (hPy.unit / hPx.unit * (hQx.unit / hQy.unit)) = P
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
⊢ (if h : ↑j = ↑j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = j✝ then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ x /ₚ u₁ /ₚ u₂ = x /ₚ (u₂ * u₁)
L : Type u_1
CompleteLattice L
u : L
⊢ (Locale.openOfElementHom L) u = {x | x u}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence.unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Square C))
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (List.ofFn f).length
⊢ (List.ofFn f).nthLe i h = f ⟨i, ⋯⟩
α : Sort u_4
β : α → Sort u_3
⊢ Nonempty (PSigma β) ↔ ∃ a, Nonempty (β a)
R : Type u_1
MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f.IsMultiplicative ↔ f 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ denom (x * y) z = (↑(↑↑x 1 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 1 1)) * denom y z
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)
X : Type u_1
EMetricSpace X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : Set X
t : ι → Set X
⊢ IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
⊢ ∑ i ∈ s, w₁ i • (p i -ᵥ p j) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p i -ᵥ p j)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
b : β
⊢ Computation.LiftRel R ca (Computation.pure b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Symmetric r
⊢ Symmetric rᶜ
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
⊢ J ≤ π.biUnionIndex πi J
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
C : ℝ≥0
s : Set ℝ
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ LocallyBoundedVariationOn f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ logDeriv id x = 1 / x
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ¬(SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ)
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
⊢ s.length ≠ 0 ↔ {x | x ∈ s}.Nontrivial
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : _root_.Embedding f
hg : _root_.Embedding g
x✝¹ x✝ : X × Z
x₁ : X
z₁ : Z
x₂ : X
z₂ : Z
⊢ Prod.map f g (x₁, z₁) = Prod.map f g (x₂, z₂) → (x₁, z₁) = (x₂, z₂)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x✝ y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n
this : CauchySeq u
x : α
xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)
n p : ℕ
hp : p ∈ Ici n
⊢ u p ∈ s n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
VAdd 𝕜 β
ContinuousVAdd 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x +ᵥ c
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Iic x, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Iio x, f t ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L
⊢ Codisjoint a b ↔ Codisjoint ↑a ↑b
R : Type u
Ring R
self : RingFilterBasis R
U : Set R
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V * V ⊆ U
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Unique J
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).isBilimit.isLimit = (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).isLimit
A : Type u_2
AddMonoid A
TopologicalSpace A
x : A
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.id A) x = x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
g : (i' : ι') → κ' i' → α
h : ∀ (i : ι') (j : κ' i), ∃ i' j', f i' j' ≤ g i j
⊢ ⨅ i, ⨅ j, f i j ≤ ⨅ i, ⨅ j, g i j
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
n : ℤ
⊢ ∃ n_1, x ^ n_1 = (x ^ n)⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
⊢ R v + R v = w + w
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
One β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ (∀ (x : α), f x = 1) ↔ f = 1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j
this : (∏ x ∈ n.divisors \ {i, n}, cyclotomic x K) * ((X - C μ) * k * ((X - C μ) * j)) = X ^ n - 1
hn : Squarefree (X ^ n - 1)
⊢ False
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
⊢ a + c + (b - c) = a + b
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
hcf : HasCompactSupport f
hcg : HasCompactSupport g
⊢ HasCompactSupport (MeasureTheory.convolution f g L μ)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
Hc : IsColimit c
j : Fin (n + 1)
⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ }))
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n
⊢ (p - 1) * padicValNat p (n.choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits (n - k)).sum - (p.digits n).sum
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ContinuousOn sin [[a, b]]
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMaxOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖log ↑0‖ ≤ ↑0 ^ ε / ε
α : Type u_1
Encodable α
a : α
⊢ Encodable.decode₂ α (Encodable.encode a) = some a
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
⊢ Module.annihilator R (M ⧸ N) = N.colon ⊤
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a : α
⊢ Associates.mk a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
LE β
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) = Filter.Germ.LiftRel fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Zero β
Preorder β
Zero γ
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
SMulPosReflectLT α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
⊢ SMulPosReflectLT α β
α : Type u_1
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Sym2.Mem.other h ∈ z
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ connectedComponent x ⊆ ⋂ Z, ↑Z
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
k : ℕ
_h : 0 < k + 2
⊢ ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖newton_seq (k + 1) - a‖
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
h : s(a, b) ∈ xs.sym2
⊢ a ∈ xs
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Nat.Prime N
⊢ Nat.factoredNumbers (insert N s) = Nat.factoredNumbers s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hb : h * a * k ∈ doset a ↑H ↑K
⊢ doset (h * a * k) ↑H ↑K = doset a ↑H ↑K
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : b ≤ a
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
a b : Nat
⊢ a.succ * b.succ = a * b + a + b + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
h : Function.Injective f
⊢ Function.RightInverse (Set.rangeFactorization f) (Set.rangeSplitting f)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ
⊢ (∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < n✝ + 1) → ∑ i : Fin (n✝¹ + 1), x i ^ 2 = k → x ∈ {x | ∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < n✝ + 1 + (n✝ + 1) - 1}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multicofork I
f : K₁ ⟶ K₂
b : I.R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K₁.π b) f.hom = K₂.π b
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : X → ℝ
hs : Continuous s
⊢ Continuous fun x => ∫ (t : ℝ) in a₀..s x, f x t ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β
⊢ BddAbove (⇑e ⁻¹' s) ↔ BddAbove s
R : Type u_7
A : Type u_8
B : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
SemilatticeSup B
OrderBot B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : A → B
hzero : D 0 = 0
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
ι : Type u_10
s : Finset ι
f : ι → AddMonoidAlgebra R A
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, AddMonoidAlgebra.supDegree D (f i)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
μ.IsOpenPosMeasure
f : α → ℝ
x : α
f_cont : Continuous f
f_int : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_x : f x ≠ 0
⊢ 0 < ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : IsOrderRightAdjoint f g₁
h₂ : IsOrderRightAdjoint f g₂
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i ∧ MeasurableSet (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
⊢ (filter (fun x => x ≠ i) f) j = (erase i f) j
M : Type u_1
SubtractionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ Set.addCenter M
hb : b ∈ Set.addCenter M
⊢ a - b ∈ Set.addCenter M
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ (S ∪ T) = ⋂₀ S ∩ ⋂₀ T
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommRing R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc f a ≤ 0 ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 0
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
StarAddMonoid α
NormedStarGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖Aᴴ‖₊ = ‖A‖₊
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u
s t u : Set α
h : s ⊆ u
d : Disjoint u t
⊢ Disjoint s t
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a : A
⊢ (GradedRing.projZeroRingHom 𝒜) a = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) a) 0)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
ex : ∃ n ≥ N, u k < u n
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u k < u n
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
⊢ ∑ j_1 : Fin n, biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j_1 ≫ (F j_1).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j_1 = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s (cosZeta (↑a) s)
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
a : α
S : Submonoid M
⊢ ↑(a • S) = a • ↑S