ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent R (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩)
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₁ : σ₁
ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁
ab : TransGen (fun a b => b ∈ f₁ a) a₁ b₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches f₂ a₂ b₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : S.LocalizationMap P
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y ↔ g.toMap x = g.toMap y
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 5 → β
⊢ ∑ i : Fin 5, f i = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4
α : Type u_1
n : Type u_4
InvolutiveStar α
A : Matrix n n α
⊢ A.conjTranspose.IsHermitian ↔ A.IsHermitian
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ fderivWithin ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) s x = Complex.cos (f x) • fderivWithin ℂ f s x
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ∃ R > 0, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ R
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'
u : XgcdType
a b : ℕ+
⊢ (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅}
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      MeasureTheory.Memℒp f p μ → MeasureTheory.Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → MeasureTheory.Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → E
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ → P f
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing
x : R
hx : IsNilpotent x
⊢ x = 0
K : Type u_1
Field K
s : SimpContFract K
n : ℕ
not_terminatedAt_n : ¬(↑s).TerminatedAt n
⊢ (↑s).nums n * (↑s).dens (n + 1) - (↑s).dens n * (↑s).nums (n + 1) = (-1) ^ (n + 1)
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'
⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q✝ : MvPolynomial σ R
f q : R →+* S₁
r : R
hr : ∀ (r' : R), q r' = 0 ↔ r ∣ r'
φ : MvPolynomial σ R
⊢ C r ∣ φ ↔ (map q) φ = 0
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
DivisionCommMonoid β
⊢ ∏ x ∈ s, (f x)⁻¹ = (∏ x ∈ s, f x)⁻¹
M : Type u_12
N : Type u_13
F : Type u_14
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
a : M
⊢ (MulEquiv.ofBijective f hf) a = f a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)
⊢ (fun i => f i) = fun i => span (Subtype.val '' s i)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
x x' : α
h : x = x'
⊢ x = Mathlib.Tactic.Abel.term 1 x' 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ EMetric.diam (Metric.cthickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
⊢ Injective ⇑?f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : 1 ≤ r
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
n : ℕ
c : Composition n
h : 0 < n
⊢ 0 < c.length
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : y ≤ x
⊢ [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
⊢ Filter.Tendsto F l (𝓝 f) ↔
  ∀ (K : Set X),
    IsCompact K → Filter.Tendsto (fun i => ContinuousMap.restrict K (F i)) l (𝓝 (ContinuousMap.restrict K f))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a * (f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) + b * (f y + m / 2 * ‖y‖ ^ 2) - m / 2 * ‖a • x + b • y‖ ^ 2 = a * f x + b * f y + m / 2 * a * b * ‖x - y‖ ^ 2
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.πs C o))
    (ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α
⊢ ¬r a (enum r 0 h0)
f : Type u₀ → Type u₁
self : EquivFunctor f
α : Type u₀
⊢ EquivFunctor.map (Equiv.refl α) = id
f : ℕ → ℕ
⊢ Primrec f ↔ Nat.Primrec f
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.intValuationDef r < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
⊢ (fun i => (ϕ i).range) i ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j ≤ ⊥
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.addSubgroupOf ⊥ = ⊤
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) (f ^ n) = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) f ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
α : Type u_4
⊢ Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℕ
x.AtLeastTwo
v : m → α
⊢ v ᵥ* OfNat.ofNat x = MulOpposite.op (OfNat.ofNat x) • v
α : Type u_1
ι : Type u_2
E✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → E✝
g✝ : α → E✝
E : Type u_4
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hfg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ε
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε
α : Type u_3
β : Type u_4
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
f : α →+ β
hf : Continuous ⇑f
a : α
⊢ (f.completion hf) (↑α a) = ↑β (f a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ cgf X μ 0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z : C
h : { h // CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g }
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.homIso ht Z).symm h = ↑(CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.lift' ht ↑h ⋯)
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
SMul M X
IsometricSMul M X
c : M
s : Set X
⊢ EMetric.diam (c • s) = EMetric.diam s
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
⊢ p ∣ Q.coeff 0
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ IsUnit (Polynomial.C x) ↔ IsUnit x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ s = (MeasureTheory.inducedOuterMeasure (fun s x => μ s) ⋯ ⋯) s
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x
⊢ f x = f 0
b c : Int
a : Int
⊢ a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c
C : ℝ → Prop
x : ℝ
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (Real.mk y)
⊢ C x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ
⊢ LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n) = LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n * f)
n a : ℕ
ha : n / 2 < a
ha' : a < n
⊢ (↑a).valMinAbs = ↑a - ↑n
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
k : ℕ
hn : p.natDegree = k
⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α
⊢ x✝ ∈ Ioo a b ∩ Iio c ↔ x✝ ∈ Ioo a (min b c)
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (β i)
g₁ g₂ : DirectSum ι fun i => β i
i : ι
⊢ (g₁ - g₂) i = g₁ i - g₂ i
X : TwoP
a : ((𝟭 TwoP).obj X).toBipointed.X
⊢ (TwoP.swapEquiv.counitIso.inv.app X).toFun a = a
α : Type u_1
a : α
p : α → Bool
l : List α
⊢ a ∈ List.eraseP p l → a ∈ l
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → inverse (↑x + y) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * y) * ↑x⁻¹
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : J ≤ I
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.single I J h).IsPartition ↔ J = I
α : Sort u
r : α → α → Prop
x y : α
h₁ : Acc r x
h₂ : r y x
⊢ Acc r y
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ENNReal
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p (μ.trim hm)
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
C : Type u
n : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject C
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C)).normalizeObj n = n
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ sin x
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g
⊢ (map (AdjoinRoot.of f.factor) f).IsRoot (AdjoinRoot.root f.factor)
α : Type u_2
LE α
OrderTop α
⊢ TopHom.dual.symm (BotHom.id αᵒᵈ) = TopHom.id α
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length
⊢ (∀ (x : α), l.formPerm x = x ∨ l'.formPerm x = x) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → a ∈ l' → False
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α
⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ insert x t
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) = x
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R →ₙ+* S
g : R →ₙ+* T
⊢ (NonUnitalRingHom.snd S T).comp (f.prod g) = g
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (image.ι g.unop).op ≫ (imageUnopOp g).hom = factorThruImage g
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
S : NonUnitalSubring R
⊢ x ∈ nonUnitalSubalgebraOfNonUnitalSubring S ↔ x ∈ S
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ico A B)) l fun i => Set.Ico (a i) (b i)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x✝ : R
a✝ : ↑X
⊢ ((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMapOn X, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(↑X, R)) x✝) a✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C
F G : ℕ ⥤ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)
k : ℕ
⊢ ∀ ⦃i j : ℕ⦄ (hk : j = i + k), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app j = app i ≫ G.map (homOfLE ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
w : V
⊢ w ∈ G.neighborFinset v ↔ G.Adj v w
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ 0
⊢ num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (Asymptotics.IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
k : ℕ
hk : k ≠ 0
this : 2 ^ (2 * k - 1) = 2 ^ (2 * k) / 2
⊢ (-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulli (2 * k))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)
⊢ s.points (({i}.orderEmbOfFin ⋯) i✝) = s.points i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure Set.univ = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
⊢ (f + g).neLocus f = g.support
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(BialgEquiv.refl R A) = CoalgEquiv.refl R A
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s = ⊤
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : β → γ
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹
self : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ AEMeasurable g ν
α : Type u_1
I : Set α
M : Matroid α
M.Finitary
⊢ M.Indep I ↔ ∀ J ⊆ I, J.Finite → M.Indep J
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint p b) w) ↔
  ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) b) w
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
⊢ ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.proj j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app { as := j }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.lift h k w) ≫ CategoryTheory.Limits.pullbackComparison G f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift (G.map h) (G.map k) ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ T
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
TopologicalSpace ι
T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
⊢ IsCompact (closure s)
X : Grp
⊢ Grp.uliftFunctor.obj X = Grp.of (ULift.{v, u} ↑X)
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i
⊢ IsUnit (c 0)
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(M F)
⊢ ∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ ≤ b / c ↔ c ≤ a * b
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ -(x * y * log (x * y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblU (u • P) = u ^ 4 * W'.dblU P
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
left : F.left = G.left
right : F.right = G.right
w :
  F.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom left)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp G.hom (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ F = G
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
⊢ iSup f = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f ⟨i, h⟩