ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (blockDiagonal' M)ᴴ = blockDiagonal' fun k => (M k)ᴴ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : α' → β → γ
n : α → α'
m' : β → α → δ
n' : δ → γ
h_left_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), m (n a) b = n' (m' b a)
⊢ Filter.map₂ m (Filter.map n f) g = Filter.map n' (Filter.map₂ m' g f)
α : Type u
x : FreeCommRing α
⊢ ∃ s, x.IsSupported ↑s
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ ‖0‖₊ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Icc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Icc a₁ a₂)
X : (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.functor.obj X = Opposite.unop X
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : i ∈ ↑(indicator s f).support
⊢ i ∈ ↑s
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a⁻ᵐ ≤ 1 ↔ a⁻¹ ≤ 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s
⊢ IsLocalExtrOn f s a ↔ IsLocalExtrOn g s a
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
⊢ (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ≠ 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
β : ι → Type u_4
i : ι
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
⊢ (Set.univ.pi fun j => t j (Function.update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ {i}ᶜ.pi fun j => t j (f j)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
w : P → k
⊢ (affineCombination k s.attach Subtype.val) (w ∘ Subtype.val) = (affineCombination k s id) w
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m
M : Matrix m n R
⊢ Mᵀ.mulVecLin = M.vecMulLinear
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' t x
hst : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R
⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, diagonal d (σ i) i = ∏ i : n, d i
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
p : Submodule R M
⊢ (∃ N, ↑N = p) ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a :: l ≠ l
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁶ : SetLike σ A
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝⁴ : GradedRing 𝒜
a : A
n✝ i : ι
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
b : ↥(𝒜 i)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = if i ≤ n then ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b else 0
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DenselyOrdered α
⊢ (Finset.Ioo a b).Nonempty ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ
⊢ t ⊆ v ∪ t \ v
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α
h : (decide ¬r x x) = true
⊢ False
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z
⊢ log x * y < log x * z
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)
⊢ IsRelPrime x y
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
H2 : ∀ y ∈ s, y ≤ x
⊢ s.max' H ≤ x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ Irreducible p
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ↑(sInf ∅) = sInf (toReal '' ∅)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
⊢ ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ DiffContOnCl ℂ (fun z => invInterpStrip f z ε) (verticalStrip 0 1)
θ : Real.Angle
⊢ 2 • θ ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
R : ListBlank Γ
a : Γ
L : ListBlank Γ
⊢ ∀ {L' R' : ListBlank Bool} {l₁ l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂ R')) = Tape.mk' L' (ListBlank.append (enc a).toList R')
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
⊢ map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen) ≠ 0
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
h0' : 0 ∈ s
⊢ ⇑toContinuousMapHom ⁻¹' ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0'⟩)) = Set.univ
n k m : ℕ
⊢ (n + k).dist (m + k) = n.dist m
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
s : Set ι
f g : ι → M₀
⊢ (s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.41420, u_2} D
F G H : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ ∀ (X : Grothendieck F), (map (α ≫ β)).obj X = (map α ⋙ map β).obj X
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (Set.range f)
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Filter.map f F)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : FiniteDimensional.finrank k V = 2
⊢ Coplanar k s
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0
⊢ f i = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (AddOpposite.unop (HahnSeries.addOppositeEquiv x)).orderTop = x.orderTop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
Y : CategoryTheory.Over X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y) ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
n m : ℕ
a b c : Fin n
⊢ a ≤ b → ↑a = ↑b ∨ a < b
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
Star A
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →⋆ₙₐ[S] B
x : A
⊢ (NonUnitalStarAlgHom.restrictScalars R f) x = f x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.coeff 0 1 = 1
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ (m - n) • a = m • a + -(n • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option α
f : (a : α) → a ∈ x → Option β
y : β
⊢ x.pbind f = some y ↔ ∃ z H, f z H = some y
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K₁.carrier V
t : Finset G
h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index K₂.carrier V
⊢ K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s ∪ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[L', μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
M : Type u_1
Monoid M
x : M
⊢ x ∈ powers x
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ProbabilityTheory.evariance X μ
v : Sat.Valuation
l : Sat.Literal
a : Prop
c : Sat.Clause
b : Prop
h₁ : Sat.Literal.reify v l a
h₂ : Sat.Clause.reify v c b
⊢ Sat.Clause.reify v (Sat.Clause.cons l c) (a ∧ b)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
X : V
⊢ HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 X =
  CategoryTheory.Iso.refl (((HomologicalComplex.single V (ComplexShape.down ℕ) 0).obj X).X 0)
x : ℂ
⊢ Complex.tan (x - ↑Real.pi) = Complex.tan x
F : Sort u_2
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iF : EquivLike F β γ
f : α → β
e : F
⊢ Function.Injective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Injective f
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
⊢ G.IsRightAdjoint ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.StructuredArrow A G)
x : ℝ
⊢ 0 < ↑x ↔ 0 < x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α
x : α
⊢ x ∈ u → x ∈ t.ite s s' ↔ (x ∈ u ∩ t → x ∈ s) ∧ (x ∈ u \ t → x ∈ s')
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
⊢ IsOpenMap Bundle.TotalSpace.proj
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
x : ℝ
hx : limsup u f + limsup v f < ↑x
y : ℝ
sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y
y_lt_x : ↑y < ↑x
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x
α : Type u
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none
⊢ List.lookmap f (a :: l) = a :: List.lookmap f l
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)
this : CauchySeq u
y : α
hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, u x_1 ∈ A (x n :: res x n)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
this : take c.length c.blocks = c.blocks
⊢ ↑(Fin.last n) = n
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ ⇑FirstOrder.Language.Substructure.topEquiv = Subtype.val
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (Set.range fun x_1 => (p x_1) x)
⊢ BddAbove (Set.range p)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
f : (b : β) → Z b
b : β
⊢ (h₁.piCongr' h₂).symm f (h₁.symm b) = (h₂ b).symm (f b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
⊢ P ≤ P.isoClosure
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ map ϕ.toMonoidHom H
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.SOppSide x (v +ᵥ y) ↔ s.SOppSide x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α
⊢ EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s) / ↑(ratio f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
h : f.Dom
⊢ (g (f.get h)).Dom → (f.bind g).Dom
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ MeasurableSet μ.sigmaFiniteSet
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ (Matrix.toEuclideanLin M) v = (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm (M.mulVec ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) v))
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ MeasureTheory.Integrable (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v) MeasureTheory.volume
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ (p.comp f) x = p (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
⊢ e = e'
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ x < y ↔ x' < y'
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ Measurable (AEMeasurable.mk f hf)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set β
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ Set.range f)
α : Sort u_1
a' : α
⊢ ∃! a, a' = a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f₁ univ x f'
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_1}
⊢ (ord ∘ aleph') o ≤ a ↔ ∀ b < o, (ord ∘ aleph') b ≤ a
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ Field.finInsepDegree F E = FiniteDimensional.finrank F E
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsLocalMinOn f (Icc a b) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
⊢ f a ≤ f c
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
β : Type v
Primcodable β
Inhabited β
p : α → Prop
q : β → Prop
⊢ ManyOneDegree.of p = ManyOneDegree.of q ↔ ManyOneEquiv p q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ s ⊆ (f.extend I).source
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
⊢ μ (frontier s) = 0
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
⊢ ∏ i : Fin (n + 1), f i = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
h₃ : CategoryTheory.Mono φ.τ₃
S₁.HasLeftHomology
S₂.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap φ)
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l✝ l : Filter α
⊢ ∀ (S : Set (Set α)), #↑S < ℵ₀ → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋂₀ S ∈ l
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Over X
y : Over Y
v : x ⟶ (pullback f).obj y
⊢ (v.left ≫ pullback.fst y.hom f) ≫ y.hom = ((map f).obj x).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
⊢ ↑f a✝ ≤ ↑(f ⊔ g) a✝
G : Type u_6
AddGroup G
H : Type u_9
AddGroup H
f : G → H
map_div : ∀ (a b : G), f (a + -b) = f a + -f b
⊢ ⇑(AddMonoidHom.ofMapAddNeg f map_div) = f
α : Type u_1
BEq α
L : List (List α)
a : α
⊢ List.count a L.join = Nat.sum (List.map (List.count a) L)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
α : Type u_2
Zero α
a : α
⊢ Finset.singletonZeroHom a = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (Iic s).card = 2 ^ s.card
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ (deriv fun x => -cos x) = sin
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor I C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.colimitHomIsoLimitYoneda F A).inv
    ((CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op).app A) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op.comp (CategoryTheory.yoneda.obj A)) (Opposite.op i)
α : Type u_2
GroupWithZero α
⊢ 0⁻¹ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C =
  (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : Y' ⟶ f.left
⊢ (f.homMk' g).left = g
a : ℝ
⊢ #↑(Set.Iio a) = 𝔠
α : Type u
DistribLattice α
a b c : α
⊢ (a ⊔ b) ⊓ c = a ⊓ c ⊔ b ⊓ c
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
a b : P₁
c : k
⊢ e ((AffineMap.lineMap a b) c) = (AffineMap.lineMap (e a) (e b)) c