ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑s), s_1.card ≤ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = X
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' p' (𝓟 s')
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (𝓟 (s ×ˢ s'))
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation P = (idealX K).intValuation ↑P
α : Sort u_1
a b c : List Nat
ctx : Lean.Data.AC.Context α
h : Std.Commutative ctx.op
h₂ : Lean.Data.AC.evalList α ctx a = Lean.Data.AC.evalList α ctx b
h₃ : a ≠ []
h₄ : b ≠ []
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort.loop a c) = Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort.loop b c)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : δ ≤ 0
⊢ thickening ε (thickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s
θ : Angle
⊢ ↑θ.toReal = θ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α
⊢ Set.MapsTo (fun x => g • x) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x))
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, x ∈ Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (TrivSqZeroExt.inrHom R M) m = TrivSqZeroExt.inr m
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
x✝ : n
⊢ (x ᵥ* (A + B)) x✝ = (x ᵥ* A + x ᵥ* B) x✝
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousWithinAt (F i) S x₀
X : RingedSpace
U V : (Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst✝ : IsIso i
f : ↑(X.presheaf.obj U)
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = X.basicOpen f
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Function.Commute f id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalCounitIso e).inv =
  CategoryTheory.monoidalUnit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : CartesianClosed C
inst✝ : Reflective i
h : (A : C) → i ⋙ exp A ⋙ reflector i ⋙ i ≅ i ⋙ exp A
⊢ ExponentialIdeal i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hg : Measurable g
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => (κ.seq n).comap g hg) = κ.comap g hg
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
⊢ x * x ^ (orderOf x - 1) = 1
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
⊢ max q 1 = q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ MorphismProperty.StableUnderBaseChange @QuasiCompact
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 l)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.dist u v = G.dist v u
a b : Nat
h : a ≤ b
⊢ min a b = a
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
X : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X =
  CategoryTheory.Limits.Types.Limit.mk (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X X)
    (fun j => CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp CategoryTheory.Cat.objects) j X))
    ⋯
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
⊢ (Cochain.mk fun p q hpq => z.v p (p + n) ⋯ ≫ G.d (p + n) q + m.negOnePow • F.d p (p + m - n) ≫ z.v (p + m - n) q ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
G : Type u_3
AddCommSemigroup G
a b c : G
⊢ a + b + c = a + c + b
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure.normalize = μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ ∀ (a : R), map f ((C a).comp q) = (map f (C a)).comp (map f q)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
g : ConnectedComponents α → β
hg : g ∘ ConnectedComponents.mk = f
⊢ g = h.connectedComponentsLift
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2))) ((-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1))
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
⊢ NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ
⊢ LipschitzWith (K ^ n * K) (f ^ n * f)
M : Type u_4
AddMonoid M
n : ℕ
a : M
⊢ (List.replicate n a).sum = n • a
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
x : { x // x ∈ s }
⊢ 𝓝 x = Filter.comap Subtype.val (𝓝[s] ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ ⇑(chainTop α β) = chainTopCoeff α β • α + ⇑β
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') m) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) m)
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') ((ι Q) x * m)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((ι Q) x * m))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
CompactSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
hf : MDifferentiable I 𝓘(ℂ, F) f
⊢ IsLocallyConstant f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)
⊢ ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
⊢ 0 < infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
⊢ zeroLocus ↑I ⊆ zeroLocus ↑J ↔ J ≤ I.radical
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} C₃
W : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
F : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
G : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
⊢ (W.map F).IsInvertedBy G ↔ W.IsInvertedBy (F.comp G)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ ((Measure.map f μ).restrict s) t = (Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))) t
R : Type u_1
S : Type v₃
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
CommSemiring R'
CommSemiring S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R' S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
H : Algebra.IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
Semiring A
Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
a : S'
⊢ (Algebra.pushoutDesc S' f g hf) a = (⋯.lift g.toLinearMap) a
n : Num
⊢ ↑n.succ' = ↑n + 1
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_2
γ : Type u_1
σ₂ : Type
xs : Mathlib.Vector α n
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s : σ₂
f₁ : β → γ
⊢ Mathlib.Vector.map f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s).2 =
  (Mathlib.Vector.mapAccumr
      (fun x s =>
        let r := f₂ x s;
        (r.1, f₁ r.2))
      xs s).2
α : Type u_1
β : Type u_3
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
DecidableEq δ
DecidableEq δ'
DecidableEq ε
s : Finset α
t : Finset β
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ Finset.image₂ f (Finset.image₂ g s t) u = Finset.image₂ g' (Finset.image₂ f' s u) t
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
l : α →₀ M
f : α ↪ β
a : β
b : M
hb : b ≠ 0
h : Finsupp.embDomain f l = Finsupp.single a b
⊢ ∃ x, l = Finsupp.single x b ∧ f x = a
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
pb : PowerBasis K L
i : Fin pb.dim
⊢ ((Algebra.traceForm K L).dualBasis ⋯ pb.basis) i =
  (minpolyDiv K pb.gen).coeff ↑i / (Polynomial.aeval pb.gen) (Polynomial.derivative (minpoly K pb.gen))
α : Type u_1
x : α
as bs : List α
⊢ x ∈ as.reverseAux bs ↔ x ∈ as ∨ x ∈ bs
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
b₁ b₂ : β
a : α
ha : a ∈ s
h : f a * b₁ = f a * b₂
⊢ (∏ a ∈ s, f a) * b₁ = (∏ a ∈ s, f a) * b₂
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.dist u v = G.dist v u
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit F).desc c = CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (W.ψ n) = (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (W.Ψ n)
a b c : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → a + b ≤ a + c → b ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.MapsTo f (s i j) t
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (Nat.bit a m).ldiff (Nat.bit b n) = Nat.bit (a && !b) (m.ldiff n)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ UniformContinuousOn f s ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ SetLike.GradedMonoid (MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R)
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℤ
x : α
⊢ f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
α : Type u_2
One α
h : Set.Finite 1 := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset h = 1
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
⊢ HasGradientWithinAt f f' s x ↔ (fun x' => f x' - f x - ⟪f', x' - x⟫_𝕜) =o[𝓝[s] x] fun x' => x' - x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
⊢ ⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f
f : ℕ → ℂ
⊢ f * LSeries.delta = f 1 • LSeries.delta
G : Type u_1
CommGroup G
s : Set G
⊢ s * ↑(MulAction.stabilizer G s) = s
a : ℕ
⊢ Nat.ceilRoot 0 a = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f g : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, t.piecewise f g x = ∑ x ∈ s ∩ t, f x + ∑ x ∈ s \ t, g x
R : Type u_1
S : Type u_7
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* S
⊢ ∀ (a : S), f.toSemilinearEquiv.symm a = f.invFun a
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R M
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Bijective ⇑f ∨ f = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) x
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a b x✝ : G
⊢ (x /ᵒᶠ (a + b)) x✝ = (x /ᵒᶠ a /ᵒᶠ b) x✝
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
⊢ eval x (↑n * p) = ↑n * eval x p
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f
this : f.order.get ⋯ = 0
⊢ divided_by_X_pow_order hf = X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeInf α
Countable α
⊢ Filter.atBot.HasCountableBasis (fun x => True) Set.Iic
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p ∈ s
α : Type u_1
β : Type v
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Multiset α
DecidablePred fun b => ∃ a, p a ∧ f a = b
⊢ Multiset.map f (Multiset.filter p s) = Multiset.filter (fun b => ∃ a, p a ∧ f a = b) (Multiset.map f s)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ↑(NonemptyInterval.pure a) = Interval.pure a
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
⊢ K.incl.range = K
f : ℕ → ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
f f' g : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Ici a)
hft : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioi a)
hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' Set.Ici a) MeasureTheory.volume
hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Set.Ici a) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Set.Ioi (f a), g u
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => j < ↑⌊c ^ x⌋₊) (Finset.range N), 1 / ↑⌊c ^ i⌋₊ ^ 2 ≤ c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 / j ^ 2
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
⊢ (minpoly A ((algebraMap A B) x)).degree = 1
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C × C × C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftAssocTensor C).map f =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.1 f.2.1) f.2.2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
⊢ b.repr.symm (Finsupp.single i c) = b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1)
a b : Ordinal.{u}
⊢ a * b ≤ a ⨳ b
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ n).smeval x = p.smeval x * x ^ n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
f : ℕ → ↥(Lp E p μ)
hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N
M : ℝ
hB : HasSum B M
B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)
hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)
hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤
f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)
N n m : ℕ
hn : N ≤ n
hm : N ≤ m
⊢ eLpNorm (f1 n - f1 m) p μ < B1 N
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2
⊢ IsUnit (2 ^ 4) ∧ IsUnit W.Δ ↔ IsUnit W.Δ
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
⊢ z = ↑z.re
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
⊢ a⁻¹ ≤ 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Set X
x : X
⊢ x ∈ derivedSet A ↔ AccPt x (𝓟 A)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝¹ : Mono S₁.f
this✝ : Mono S₂.f
this : Epi S₁.g
⊢ IsIso φ.τ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
n : ℕ
f : α ↪ β
Nonempty α
⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
n : ℕ
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => r ^ x) n, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ nndist f g = sInf {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C}
A : Type u_1
SeminormedCommGroup A
m : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
⊢ (fun y => y ^ m) '' approxOrderOf A (n * m) δ ⊆ approxOrderOf A n (↑m * δ)
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ a
h : ¬c = 0
⊢ b % c < c
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
x : R
i✝ j✝ : n
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (DistribMulAction.toLinearMap R M₁ x) i✝ j✝ = Matrix.diagonal (fun x_1 => x) i✝ j✝
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : SecondCountableTopology H
⊢ MetrizableSpace M
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ min a b = a ∨ min a b = b