ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
⊢ (quotQuotEquivComm I f) ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
⊢ (π.map f).map p ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ ⟦H.evalAt x₀⟧ ≫ (π.map g).map p = H.diagonalPath' p
α : Type u
β : Type v
Sup α
Sup β
p q : α × β
⊢ p ⊔ q = (p.1 ⊔ q.1, p.2 ⊔ q.2)
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
⊢ ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = C
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ σ.cycleType.lcm = orderOf σ
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
v : V
vnL : v ∉ L
h : K ⊆ L
⊢ SimpleGraph.ComponentCompl.hom h (G.componentComplMk vnL) = G.componentComplMk ⋯
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.X.natTrailingDegree ≤ 1
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
H : Type u_16
FunLike H N P
AddMonoidHomClass H N P
h : H
f : α →₀ M
g : α → M → N
⊢ h (f.sum g) = f.sum fun a b => h (g a b)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
⊢ (∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b
⊢ HEq (hs (Classical.choose ⋯) ⋯) (hs b hb)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).π = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsMatching
c : G.ConnectedComponent
⊢ (M.induce (M.verts ∩ c.supp)).IsMatching
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
⊢ addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
⊢ deriv f x ≤ deriv f y
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
⊢ (bif f 0 then 1 else 0) + c * ∑' (x : ℕ), cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) x = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set (WeakDual 𝕜 E)
hb : Bornology.IsBounded (⇑NormedSpace.Dual.toWeakDual ⁻¹' s)
hc : IsClosed s
⊢ IsClosed (DFunLike.coe '' s)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝
⊢ B.a ≫ G.map h.inv = h.inv ≫ A.a
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.diff l₂ ⊆ l₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ y ∈ s, f y ≤ f x
R : Type u
M : Type v
Zero M
r : R
⊢ (TrivSqZeroExt.inl r).snd = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
inst✝¹ : ∀ (X : Dᵒᵖ), Limits.HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝ : IsDenseSubsite J K G
Y : Sheaf J A
U : C
X : A
⊢ IsIso ((yoneda.map ((G.op.ranCounit.app Y.val).app (op U))).app (op X))
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im
⊢ ↑(⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt u (u' x) [[a, b]] x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt v (v' x) [[a, b]] x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) MeasureTheory.volume
hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
X : Compactum
A B : Set X.A
⊢ Compactum.basic (A ∩ B) = Compactum.basic A ∩ Compactum.basic B
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F (f (f.symm x)) ∧ Splits ((↑↑f).comp (algebraMap F E)) (minpoly F (f.symm x))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd) = ⊤
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∑ i ∈ Ico m n, x ^ i) * (1 - x) = x ^ m - x ^ n
α : Type u_1
δ : α → Type u_7
(i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, g i ≤ f₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, g i ≤ f₂ i
⊢ g ≤ s.piecewise f₁ f₂
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
⊢ ⨆ x, ↑(f x) = ⊤ ↔ ¬BddAbove (Set.range f)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a
⊢ n + 1 < a ^ n + a ^ n
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n✝ n : ℕ
ihn : id^[n] = id
⊢ id^[n.succ] = id
R : Type u
CommRing R
X : QuadraticModuleCat R
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).toIsometryEquiv = QuadraticMap.IsometryEquiv.refl X.form
R : Type u_1
CommSemiring R
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
AddCommMonoid Mₗ
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
AddCommMonoid Qₗ
AddCommMonoid Qₗ'
Module R Mₗ
Module R Nₗ
Module R Pₗ
Module R Qₗ
Module R Qₗ'
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R] Nₗ
hₗ : Function.Surjective ⇑g
hᵣ : Function.Surjective ⇑g'
⊢ f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g' ↔ f₁ = f₂
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
y : L'
⊢ y ∈ f.fieldRange ↔ ∃ x, f x = y
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep
⊢ (map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l
α : Type u_1
Preorder α
a : WithBot α
b : α
⊢ a ≤ ↑(WithBot.unbot' b a)
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
a₁ : WithBot α
a₂ : WithTop α
h : Ordnode.Valid' a₁ t a₂
⊢ Ordnode.Valid' a₁ (Ordnode.erase x t) a₂ ∧ Ordnode.Raised (Ordnode.erase x t).size t.size
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
⊢ ∃ a, (aleph a).ord = o
s m n step : Nat
⊢ List.range' s m step ++ List.range' (s + step * m) n step = List.range' s (n + m) step
α : Type u
f : Filter α
self : f.NeBot
⊢ f ≠ ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.156646, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : δ (-1) 0 α = Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (desc φ α β eq).f p = (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ α.v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ β.f p
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ log x < log y
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : Finite a b
⊢ ↑((multiplicity a b).get h) ≤ multiplicity a b
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ MulAction.orbit (↥s) a = ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'
x : α
h₀ : g'' x ≠ 0
⊢ C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ ≤ C' * ‖g'' x‖
n : ℕ
⊢ 0 < n.size ↔ 0 < n
α : Type u_1
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
a b : α
⊢ max a b + min a b = a + b
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
⊢ ¬Set.InjOn f s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ log (x * y) = log x + log y ↔ x.arg + y.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
σ : ι ≃ ι'
⊢ ↑(AlternatingMap.domDomCongrₗ S σ) = AlternatingMap.domDomCongrEquiv σ
a b m n✝ p✝ d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0
h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
h2 : ¬n ≤ n / d * d
p : ℕ
hp : (n / d * d).factorization p < n.factorization p
⊢ False
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
SMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c • x) (MeasureTheory.ae μ) (MeasureTheory.ae μ)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
⊢ x ∈ ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C D
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).obj P).p = X.map P.p
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
ι : Type
Fintype ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Exact ⇑(AdicCompletion.map I (LinearMap.ker f).subtype) ⇑(AdicCompletion.map I f)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s
⊢ r a • f a = r a • f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f) → StronglyMeasurable l.prod
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, StronglyMeasurable f_1
⊢ StronglyMeasurable (f :: l).prod
P : Prop
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
Decidable P
⊢ dite P Q R ↔ (∃ p, Q p) ∨ ∃ p, R p
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
self : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ Function.LeftInverse self.invFun (↑self.toLieHom).toFun
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
s : Set α
n : ℕ
hGH : G ≤ H
hH : H.CliqueFreeOn s n
⊢ G.CliqueFreeOn s n
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * q).natDegree ≤ p.natDegree + q.natDegree
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
hs : s₁ = s₂
hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a
⊢ s₁.sup f = s₂.sup g
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
self : { x // x ∈ Set.univ }
⊢ (AffineSubspace.topEquiv k V P) self = ↑self
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)
t : Set β
ht : MeasurableSet t
i : ι
ω : Ω
⊢ τ ω ≤ i → (u (τ ω) ω ∈ t ↔ u (min (τ ω) i) ω ∈ t)
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
h : 0 = 1
p : R[X]
⊢ p = 0
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
p : Polynomial T
n : ℕ
⊢ (p ^ n).aroots S = n • p.aroots S
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
⊢ LowerSemicontinuousAt (s.indicator fun _x => y) x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α✝
γ : Type w
inst✝¹ : MetricSpace γ
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u_3
fβ : Encodable β
F : α → β
hF : ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε
Finv : ↑(range F) → α := rangeSplitting F
x : α
⊢ ∃ y ∈ range Finv, dist x y ≤ ε
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
inst✝ : Nontrivial α
⊢ 0 < 1
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β
⊢ Filter.map Neg.neg Filter.atBot = Filter.atTop
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
y : F
⊢ (Trivialization.coordChangeL R e e' b) y = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b y }).2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.val.obj X)
⊢ PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r 0 = 0
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
a b : G
hab : a * b ∈ s
⊢ b * a ∈ s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s
⊢ 𝓟 t = Filter.comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y
⊢ x (firstDiff x y) ≠ y (firstDiff x y)
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
⊢ a - a = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
⊢ (Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => Fin.tail v i * vandermonde (Fin.tail v) i j) = Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * vandermonde (Fin.tail v) i j
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M
⊢ Finsupp.single a ((Finsupp.single a' b) a) = (Finsupp.single a' (Finsupp.single a' b)) a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ ^ ↑k
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : β → α → β
H : RightCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f b a)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
⊢ p (foldr (fun x y => f y x) ⋯ x s)
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℤ
⊢ (m + n) • a = m • a + n • a
α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
p q : Prop
⊢ q ∈ {p}ᶜ ↔ q ∈ {¬p}
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
⊢ ∃ a b, ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 = ↑x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzWith K (v t)
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Ici t) t
hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Ici t) t
ha : f a = g a
⊢ Set.EqOn f g (Set.Icc a b)
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] ((Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.lift T φ).hom₁ = CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun j => (φ j).hom₁
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K
⊢ ¬IsField (NumberField.RingOfIntegers K)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ ({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op)).hom
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') =
  ∑ s ∈ Finset.filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
H : Set ι
i : ι
l : ι →₀ R
supp_l : l ∈ Finsupp.supported R R H
hmem : (Finsupp.total ι M R e) l ∈ Submodule.span R (e '' H)
hi : (ε i) ((Finsupp.total ι M R e) l) ≠ 0
⊢ i ∈ H
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁₂ : S₁ ⟶ S₂
φ₂₃ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂ φ₂₃).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₁ φ₂₃.τ₁
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
a : R
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (PowerSeries.inv.aux a φ) =
  if n = 0 then a
  else
    -a *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (PowerSeries.coeff R x.1) φ * (PowerSeries.coeff R x.2) (PowerSeries.inv.aux a φ) else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
x : N
⊢ h (h.symm x) = x
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f
⊢ f (↑(toPartialHomeomorph f h).symm x) = x
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ 2
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ ↑(comap f s.topologicalClosure) = ↑(comap f s).topologicalClosure
R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T✝ : Type ?u.93774
inst✝⁵ : CommRing T✝
inst✝⁴ : Algebra R T✝
inst✝³ : Algebra S T✝
inst✝² : IsScalarTower R S T✝
T : Type ?u.94985
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S
x : T ⊗[R] S
⊢ ∃ a, (aeval fun x => 1 ⊗ₜ[R] P.val x) a = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁'.obj S = S.L₁'
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) (Complex.log (1 + z))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ IsPreconnected (Metric.sphere x r)
R S : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommSemiring S
P A : Type u
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
I✝ : Ideal P
f : P →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝² : FormallySmooth R P
g : A →ₐ[R] P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2
hg : f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
i : A →ₐ[R] C ⧸ I
l : P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2 →ₐ[R] C := Ideal.Quotient.liftₐ (RingHom.ker f.toRingHom ^ 2) (lift I ⋯ (i.comp f)) ⋯
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = i
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
hs : Bornology.IsBounded s
i : ι
⊢ Bornology.IsBounded (Function.eval i '' s)