ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) → C i
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (i : I), f i = g i
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
v : E
hv : HasEigenvector T (↑μ) v
hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2
this : RCLike.re ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ‖v‖ ^ 2
⊢ 0 ≤ μ
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
e : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (Equiv.Perm.decomposeFin.symm (p, e)) 0 = p
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid α
SMul 𝕜 α
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 Set.univ ⇑f
⊢ StrictConvexOn 𝕜 Set.univ ⇑f.symm
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s✝ : Set M
x : M
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ EqOn f (↑e) e.source
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ Function.Injective A.mulVec ↔ IsUnit A
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
⊢ False
P Q : Prop
⊢ Xor' P Q ↔ ¬(P ↔ Q)
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
⊢ Set.Sized n ↑𝒜.compls ↔ Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜
α : Type u
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l
⊢ Dioph {v | List.Forall (fun S => v ∈ S) l}
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
l : List (Matrix m n α)
⊢ l.sumᵀ = (List.map Matrix.transpose l).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
a : α
δ : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : β × γ → δ
hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))
α : Type u_6
Zero α
One α
n : ℕ
⊢ (Matrix.circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = 1
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
⊢ Cardinal.lift.{max u v, u} (cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (cof s)
θ : Angle
⊢ 0 < θ.cos ↔ |θ.toReal| < π / 2
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
v : α →₀ M
f : α ↪ β
g : β → M → N
⊢ ∏ x ∈ v.support, g (f x) ((embDomain f v) (f x)) = ∏ a ∈ v.support, g (f a) (v a)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)
hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)
⊢ z ∈ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
X : P.I
⊢ (P.toCostructuredArrow.obj X).hom = P.cocone.ι.app X
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑(restrictDvd hpq)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
sl : List α
sl' : sl.Nodup
tl : List α
tl' : tl.Nodup
h : sl.Disjoint tl
comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheafOpensLeCover ↔ F.IsSheafPairwiseIntersections
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d₁ d₂ : G.Dart
⊢ d₁ = d₂ ↔ d₁.toProd = d₂.toProd
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
⊢ (map (fun p => ∃ a, p a) l).TFAE
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).roots = n • {0}
ι : Type u_5
Fintype ι
⊢ dimH Set.univ = ↑(Fintype.card ι)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
L : CategoryTheory.GrothendieckTopology A
F : C ⥤ D
hF : CategoryTheory.CoverPreserving J K F
G : D ⥤ A
hG : CategoryTheory.CoverPreserving K L G
⊢ CategoryTheory.CoverPreserving J L (F ⋙ G)
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • choose r k + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 1 < ↑n
R Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra.FormallyEtale R Sₘ
⊢ Algebra.FormallyEtale Rₘ Sₘ
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
b : R
hb : b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
⊢ ∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
α : Type u_2
MulOneClass α
⊢ ⇑Set.singletonMonoidHom = singleton
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ setToL1S T (f - g) = setToL1S T f - setToL1S T g
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ (AlternatingMap.domDomCongrₗ S σ) f = AlternatingMap.domDomCongr σ f
⊢ ‖Complex.reCLM‖₊ = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 (f x) (⇑f '' s)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ ‖midpoint 𝕜 (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → m ∈ List.argmax f l → f a ≤ f m
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ op e • x.1 * e⁻¹ • x.2 ⊆ x.1 * x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
⊢ IntegrableOn f ∅ μ
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
y : N
⊢ y ∈ Subgroup.map f K ↔ ∃ x ∈ K, f x = y
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ (∃ s, a.factors = ↑s) ↔ a ≠ 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
Y' : C
f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate
⊢ ∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
⊢ (μ.restrict s) univ = μ s
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
a b : R
⊢ (MvPowerSeries.monomial R m) a * (MvPowerSeries.monomial R n) b = (MvPowerSeries.monomial R (m + n)) (a * b)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃
hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop
hc₂ : (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
⊢ (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).tan * ‖y‖ = ‖x‖
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.gcd (n - m) = m.gcd n
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ✝ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : α × β → γ
μ : Measure α
ν : Measure β
τ : Measure γ
hf : Measurable f
inst✝ : SFinite ν
h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
h2s : τ s = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ν ((fun x_1 => f (x, x_1)) ⁻¹' s) ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : (α × β) × γ
⊢ (Equiv.prodAssoc α β γ) p = (p.1.1, p.1.2, p.2)
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimitCoconeOfUnique f).isColimit.desc s = s.ι.app default
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
w : Set M
x : ↥(span R w)
⊢ (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (repr R w x) = ↑x
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousInv α
ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (s • t)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
⊢ mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a
⊢ ContDiffAt 𝕂 n (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 % a = ma % mb
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.kernelOpUnop f).hom =
  (CategoryTheory.Limits.kernel.lift f.op (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f).op ⋯).unop
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
⊢ (p - q).natDegree = (q - p).natDegree
R : Type u_2
Ring R
S : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ ↑S.unop = MulOpposite.op ⁻¹' ↑S
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y : x},
  cmp x_1 y = Ordering.gt → cmp y x_1 ≠ Ordering.gt
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n
⊢ b i ∉ b.flag i.castSucc
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : β → α
g : α → M
x : β
⊢ (f ⁻¹' s).mulIndicator (g ∘ f) x = s.mulIndicator g (f x)
a : ℕ
IH : ∀ m < a, ∀ {b : ℕ} {flip : Bool} {ha0 : m > 0}, b % 2 = 1 → b > 1 → fastJacobiSymAux m b flip ha0 = if flip = true then -J(↑m | b) else J(↑m | b)
b : ℕ
flip : Bool
ha0 : a > 0
hb2 : b % 2 = 1
hb1 : b > 1
ha4 : ¬a % 4 = 0
ha2 : ¬a % 2 = 0
ha1 : ¬a = 1
hba : ¬b % a = 0
⊢ (if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = if flip = true then -if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a) else if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct s.destruct
G : Type u
Group G
TopologicalSpace G
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Filter.Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Filter.Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
⊢ TopologicalGroup G
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.toAddSubmonoid ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : e (some x) = none
⊢ some (e.removeNone_aux x) = e none
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ midpoint R x y = z ↔ (AffineEquiv.pointReflection R z) x = y
α : Type u
s : Computation α
a : α
⊢ a ∈ s → s.Promises a
⊢ Path.Homotopy.transAssocReparamAux 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
f : α → β → δ
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.mapVal f l).toList =
  List.map
    (fun x =>
      match x with
      | (a, b) => (a, f a b))
    l.toList
α : Type u
s t : Set α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ f.comp (LatticeHom.id α) = f
α : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
⊢ m.sum = ∑ i ∈ s, Multiset.count i m • i
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ -cos b - -cos a = cos a - cos b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
tensorObj : Mon_ C → Mon_ C → Mon_ C := fun M N => { X := M.X ⊗ N.X, one := (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one), mul := tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul), one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ (X₁.mul ⊗ X₂.mul)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = ((f.hom ⊗ g.hom) ⊗ f.hom ⊗ g.hom) ≫ tensor_μ C (Y₁.X, Y₂.X) (Y₁.X, Y₂.X) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)
ι : Type (max u_2 u_3)
f : ι → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ (∀ (i : ι), f i < c.ord) → Ordinal.sup f < c.ord
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ Balanced 𝕜 (p.closedBall 0 r)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal 1) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C).map φ).hom₃ = φ.unop.hom₁.op
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic
⊢ IsCoatom ⟨A, hAB⟩ ↔ IsCoatom (B.mapIic (Submodule.comap B.subtype A))
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂).comp (CliffordAlgebra.ofProd Q₁ Q₂) =
  AlgHom.id R (CliffordAlgebra (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂))
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X
⊢ (if h : ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1 ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1, ⋯⟩, (σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).2) else G (⟨2 * ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1 - 1, ⋯⟩, (σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).2)) = if h : ↑(t, snd✝).1 ≤ 1 / 2 then G.symm (⟨2 * ↑(t, snd✝).1, ⋯⟩, (t, snd✝).2) else F.symm (⟨2 * ↑(t, snd✝).1 - 1, ⋯⟩, (t, snd✝).2)
R : Type u
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ (KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) P =
  Polynomial.derivative P • (KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) Polynomial.X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.rec (encode (Option.map f (decode z))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) (decode (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).1 (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).1 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).2.pred))))) n) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1).2)) (Nat.pair (id n) (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = Nat.unpaired (fun m n => encode ((decode m).bind fun a => Option.map (fun n => Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) n) (decode n))) n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ d
hc : c ≠ d
⊢ dist d c * dist b d ≤ dist d b * dist c d + dist b c * dist d d
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ (∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree < Fintype.card n - 1
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
⊢ ∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 1 }).prod p') t)
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
⊢ (o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.bsup f
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ ((Rep.diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
i : Ordinal.{max u v}
hi : i < o'
⊢ f (g i hi) ⋯ ≤ o.bsup f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B C : Set E
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
hBA : B ⊆ A
hCB : C ⊆ B
⊢ IsExtreme 𝕜 B C
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
u : Submonoid (M × N)
⊢ u ≤ s.prod t ↔ Submonoid.map (MonoidHom.fst M N) u ≤ s ∧ Submonoid.map (MonoidHom.snd M N) u ≤ t
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
i : Ordinal.{u}
hi : i < a
⊢ i ♯ 1 < succ a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
a : ℤ
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : R →* ℤ
hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ = List.pmap (fun a x => (⇑χ ∘ Nat.cast) a) b.primeFactorsList ⋯
n : ℕ
⊢ (Fin.last n).succAbove = Fin.castSucc
x : ℝ
⊢ Real.exp x - Real.sinh x = Real.cosh x
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
x : R
⊢ (LocalRing.residue R) x ≠ 0 ↔ IsUnit x
n m : ℕ
⊢ m ∈ n.smoothNumbers ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p < n
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
⊢ topologicalSpace B F = induced (Prod.fst ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝