ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
⊢ ↑(e.transHomeomorph f').symm = ↑e.symm ∘ ⇑f'.symm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋃₀ s)
R : Type u
x : R
⊢ Tropical.trop ↑x ≠ 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
⊢ f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
α : Type u
l' : List α
l : List α
h : l' ∈ l.cyclicPermutations
⊢ l'.length = l.length
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : a ∈ Multiset.filter p s
⊢ p a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
s t : Finset α
⊢ Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊼ t) =
  Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊼ Finset.map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (e.unit.app Z))) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f'
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h' (e.unit.app Z))) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' h')
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : g ∈ MeasureTheory.Lp E p μb
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ g.compMeasurePreserving f hf ∈ MeasureTheory.Lp E p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A
⊢ ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) y)
R : Type u_1
CommSemiring R
f g : PowerSeries R
⊢ (f + g).derivativeFun = f.derivativeFun + g.derivativeFun
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ d * (n / d) < n ↔ ¬d ∣ n
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a
x✝ : 𝕜
⊢ f x✝ = ((fun x => f (-x)) ∘ Neg.neg) x✝
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v : V
x : P
⊢ dist x (v +ᵥ x) = ‖v‖
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Icc a b = Icc (a / c) (b / c)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : U R (n + 1) = X * U R n + T R (n + 1)
h₂ : U R (n + 1 + 1) = X * U R (n + 1) + T R (n + 1 + 1)
⊢ T R (n + 2) = X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
⊢ (DFinsupp.sum a fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
n k m : ℕ
⊢ n + k - (m + k) + (m + k - (n + k)) = n - m + (m + k - (n + k))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π
⊢ p₁ ≠ p₃
α : Type u_1
Zero α
a : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop a = 0 ↔ a = 0
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.Injective f
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ 1 < a ^ k
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt ((fun t => f (x + t • v)) ∘ g) (c • f') (g ⁻¹' s') 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff 0 = sign x • ∏ i : n, B (x i) i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : (OpenNhds (f x))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) V ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) V ≫ Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
M : Type u_4
Monoid M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ (List.map f (List.range n.succ)).prod = f 0 * (List.map (fun i => f i.succ) (List.range n)).prod
L R : Type v
fst snd : L → R
X Y Z : CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan fst snd
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
⊢ maximum_of_length_pos h ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x : α
⊢ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x ≤ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoidWithZero M
S : Finset α
p : M
pp : Prime p
g : α → M
hS : ∀ a ∈ S, ¬p ∣ g a
⊢ ¬p ∣ S.prod g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂.hom (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃.hom (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀.hom app₁.hom app₂.hom app₃.hom app₄.hom w₀ w₁ w₂ w₃
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
⊢ ⊤ * ⊤ = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α
⊢ preimage 1 (fun x => a⁻¹ * x) ⋯ = {a}
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
⊢ Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ s → a ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
hf : mulSupport f ⊆ ↑s
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b ∈ s, f b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ e.invFun = ⇑e.symm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
⊢ v ∈ (fun x => x -ᵥ p i₀) '' (p '' (univ \ {i₀})) ↔ v ∈ range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ StrictMono AddSubgroup.ofAddUnits
n : ℕ
⊢ Odd n ↔ n % 2 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
⊢ ∑ x ∈ Finset.image g f.range, x * μ (↑(map g f) ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
n a : ℕ
l : List ℕ
hl : (a :: l).IsZeckendorfRep
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
⊢ (map fib (a :: l)).sum < fib n
R : Type u_1
CommSemiring R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
⊢ s ^ 1 = s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
⊢ min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : PointClass F
a✝¹ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝¹)
a✝ : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ W.NonsingularLift (W.addMap (Quot.mk Setoid.r a✝¹) (Quot.mk Setoid.r a✝))
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Z) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map g ⋙ map f).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : 0 < c
⊢ 0 = c * 0
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
⊢ IsNormal f ↔ StrictMono f ∧ Continuous f
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^< min b c = min (a ^< b) (a ^< c)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
⊢ a / b = 0
M : Type u_2
Monoid M
n : ℕ
⊢ 1 ^ n = 1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : Matrix m n α
v : n → α
⊢ Matrix.row ι (M.mulVec v) = (M * Matrix.col ι v).transpose
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a ⊔ b - c = (a - c) ⊔ (b - c)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q
⊢ p = q
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (p + b) = toIcoDiv hp a b + 1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ X.zeroLocus ∅ = Set.univ
b c : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 ^ (b + c) = 0 ^ b * 0 ^ c
γ : Type w
SemilatticeInf γ
a : γ
b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB (insert a s) (a ⊓ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → Semiquot β
b : β
⊢ b ∈ q.bind f ↔ ∃ a ∈ q, b ∈ f a
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
CommRing R
CommRing S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
⊢ Ideal.map f (I * J) = Ideal.map f I * Ideal.map f J
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : C
⊢ (CategoryTheory.Comonad.comparisonForget h).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Comonad.comparison h).comp h.toComonad.forget).obj X)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
x : ↥S
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x y : E
⊢ HasSum (fun i => ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜)
  ⟪x, y⟫_𝕜
α β : Type u_2
m : α → β
f : Filter α
⊢ m <$> f = Filter.map m f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
⊢ f₁.lift g₁ ×ˢ f₂.lift g₂ = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g
⊢ UniformConcaveOn s (φ + ψ) (f - g)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε
a : α
⊢ Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i a) atTop (𝓝 (↑(F n - f) a))
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
this : ∀ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : M) (hx : x ∈ s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
h✝ : x ∈ closure s
h : x ∈ mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)
⊢ p x h✝
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
f g : A →ₗc[R] R
⊢ f = g
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : Y ≅ X
g g' : Y ⟶ Z
⊢ f.inv ≫ g = f.inv ≫ g' ↔ g = g'
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
h' : (a + o).NFBelow b
⊢ (e.oadd n a + o).NFBelow b
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
S : Set (Set α)
hS : S.Countable
⊢ m (⋃₀ S) = 0 ↔ ∀ s ∈ S, m s = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
h : Covariant M N μ r
⊢ Covariant M N μ (flip r)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
b : β
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.const α b‖ ≤ ‖b‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F G : CategoryTheory.BraidedFunctor C D
i : F.toMonoidalFunctor ≅ G.toMonoidalFunctor
⊢ (CategoryTheory.BraidedFunctor.mkIso i).hom = i.hom
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
c : M₂
⊢ e (e.symm c) = c
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulMono α γ
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
hb : f b₁ ≤ f b₂
⊢ a • f b₁ ≤ a • f b₂
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
Monoid M
Monoid N
MulAction N α
f : M →* N
h : MulAction.IsPretransitive M α
⊢ MulAction.IsPretransitive N α
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}) =
  Prod.instMeasurableSpace
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (I.cocomplex.d n (n + 1)) (I.cocomplex.d (n + 1) (n + 2)) ⋯).Exact
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
i : σ
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.X i ^ n).IsHomogeneous n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t
hf : t.Finite
⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
h : a ∈ UV.compression u v s
ha : a ∉ s
⊢ Disjoint v a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
⊢ eLpNormEssSup f (μ.restrict {x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}) = 0
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
⊢ f ≠ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
h₁ : R (v - w) = -(v - w)
⊢ R v + R v = w + w
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
x : R
⊢ (IsLocalization.lift hg) ((algebraMap R S) x) = g x
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ 0 < s.addEnergy t
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ K₂.carrier
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K₁ ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ 1 < Nat.card α ↔ Nontrivial α
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
⊢ f₁ = f₂
n : ℕ
⊢ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ≈ powHalf n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s
H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
N : ℕ
hN : μ (t N) ≠ 0
hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0
htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ
T : Set α := t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
⊢ ↑f ⟨x, hx⟩ = ↑g ⟨y, hy⟩
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s
h₄ : (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s < ↑k + 1 + (↑m + 1)
⊢ False
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap T (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' T a s) = mk ((algebraMap R A) a) s
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ insert a' u ⊆ t
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι
⊢ (update f i (a • f₀) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (a • f₀ (x i)) j
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
t : CategoryTheory.Limits.Trident f
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z : C
k : Z ⟶ t.pt
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Trident.IsLimit.homIso ht Z) k) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k t.ι
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
⊢ IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) MeasureTheory.volume 0 X
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, t ∩ f i = t ∩ ⋂ i ∈ s, f i