ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : SeqCompactSpace X
⊢ IsSeqCompact Set.univ
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ Real.Gamma s * Real.Gamma (s + 1 / 2) = Real.Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
⊢ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c a✝ : α
⊢ a✝ ∈ s ○ t ↔ a✝ ∈ t ○ s
n k : Nat
h : n ≠ 0
⊢ k ≤ n.log2 ↔ 2 ^ k ≤ n
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ (u • P) x = u ^ 2 * P x ∧ (u • P) y = u ^ 3 * P y ∧ (u • P) z = u * P z
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.SOppSide (v +ᵥ x) y ↔ s.SOppSide x y
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Function.Injective Interval.pure
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
a : α
⊢ ‖‖a‖‖₊ = ‖a‖₊
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
Nonempty α
Nonempty β
⊢ CompleteSpace (α × β) ↔ CompleteSpace α ∧ CompleteSpace β
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
⊢ pushforwardFamily α x f ⋯ = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)
x y : ℝ
⊢ ↑(cos x ^ 2) = ↑(1 / 2 + cos (2 * x) / 2)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ E), ¬(σ⁻¹ * τ) x = x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictAntiOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f a < f b ↔ b < a
θ ψ : Angle
h : θ = ↑(π / 2) - ψ ∨ θ = ↑(π / 2) - ψ + ↑π
⊢ |θ.cos| = |ψ.sin|
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
⊢ IsUnit (A ^ 0).det ↔ IsUnit A.det ∨ 0 = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
κ : ι → Sort u_9
f : ι → α
⊢ ⨅ i, f i ≤ ⨅ i, ⨅ x, f i
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂
R : Type u_1
AddZeroClass R
⊢ IsAddRegular 0
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p : RingNorm R
⊢ p.toFun = ⇑p
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
⊢ x = 0 ∧ y = 0
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet s = (s = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ Set.range f = s)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ↑e' x ∈ (e'.symm ≫ₕ e).source
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Filter.Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Filter.Tendsto g₂ l (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun t => HasStrictFDerivAt.implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)
n k : ℕ
⊢ (n + k).descFactorial k = (n + 1).ascFactorial k
x : ℝ
⊢ 0 ≤ 0 ^ x
α : Type u_1
I B X : Set α
M : Matroid α
hM : ∃ M_1, M.E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I
⊢ ∀ X ⊆ M.E, ExistsMaximalSubsetProperty M.Indep X
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
v : m → Matrix n n 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (Matrix.blockDiagonal v) = Matrix.blockDiagonal (NormedSpace.exp 𝕂 v)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) x✝¹ + (decompose 𝒜) x✝) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
⊢ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ
⊢ (Algebra.adjoin R s).unop = Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)
α : Type u_1
Preorder α
a : αᵒᵈ
⊢ SimpleGraph.hasseDualIso a = OrderDual.ofDual a
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
⊢ (∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.exp (f x)) s
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : Set α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C
h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_mono : Monotone S
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
⊢ ⨆ n, f (S n) ≤ C
α : Type u_1
CommMonoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
⊢ multiplicity a 1 = 0
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f₁ f₂ : M →+ N
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))
a x z✝ z : ℂ
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re ∨ z.im < 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ (C a * X ^ n).roots = n • {0}
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S
⊢ g x * ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)⁻¹ = v ↔ g x = g ↑y * v
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x ≠ 0 → x.leadingCoeff ≠ 0
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G.Fuzzy 0 ↔ G.LF 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.sinh (f x)) x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
x : ↥V
⊢ (↑U).presheaf.germ x ≫ (U.stalkIso ↑x).hom = X.presheaf.germ ⟨↑↑x, ⋯⟩
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ 𝓝ˢ (Set.Ioi a) = 𝓟 (Set.Ioi a)
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A
m : M
⊢ g ((ι R) m) * g ((ι R) m) = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
h : x = y
⊢ y ∈ s
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁.disjSups t₁ ⊆ s₂.disjSups t₂
α : Type u
β : α → Type v
⊢ ∅.entries = []
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ⊥ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊥
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ + t ⊆ (s₁ + t) ∩ (s₂ + t)
α : Type u_1
Add α
a b : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (a + b) = SymAlg.unsym a + SymAlg.unsym b
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b
⊢ r b a
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) l < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X (MeasureTheory.toMeasurable μ s) ℙ μ ↔ MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
t : (filter (fun u => u ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ u.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card ≤ 2 ^ ((P.nonuniformWitnesses G ε U).card - 1)
⊢ (P.nonuniformWitnesses G ε U).card ≤ P.parts.card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
c : E
hc : c ∈ Cᶜ
⊢ ∃ a ∈ C, (segment 𝕜 c a ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᵐ[μ] r • ν.rnDeriv μ
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²³ : Semifield R
inst✝²² : StarRing R
inst✝²¹ : MetricSpace R
inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁸ : Semifield S
inst✝¹⁷ : StarRing S
inst✝¹⁶ : MetricSpace S
inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝¹⁴ : ContinuousStar S
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : Algebra S A
inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S A
inst✝⁵ : StarModule R S
inst✝⁴ : ContinuousSMul R S
inst✝³ : CompleteSpace R
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ cfcHom hpa = starAlgHom (cfcHom hqa) h
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
x : E
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c‖₊⁻¹
R : Type u
CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂
⊢ e.toAlgebraIso.hom = ↑e
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t
⊢ ↑(e.piecewise e' s t H H').symm = t.piecewise ↑e.symm ↑e'.symm
α : Sort u
self : WellFoundedRelation α
⊢ WellFounded WellFoundedRelation.rel
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq β
hf : Function.Injective2 f
⊢ Finset.image₂ f s (t ∩ t') = Finset.image₂ f s t ∩ Finset.image₂ f s t'
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hD : Function.Injective D
ap aq : A
hp : supDegree D p ≤ D ap
hq : supDegree D q ≤ D aq
⊢ aq ∉ q.support → (if ap + aq = ap + aq then p ap * q aq else 0) = 0
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F (CategoryTheory.Limits.limit.cone F) = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.limit F)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
φ : r ↪r r'
⊢ IsAntichain r' (⇑φ '' s) ↔ IsAntichain r s
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
x✝¹ : CoeSort.coe A
x✝ : G
⊢ (dZero A) x✝¹ x✝ = 0 x✝¹ x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1
⊢ 4 * Real.arctan 5⁻¹ - Real.arctan 239⁻¹ = Real.pi / 4
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
⊢ f * g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior (⇑f '' s)
R : Type u_3
Γ : Type u_5
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
NoZeroDivisors R
x : HahnSeries Γ R
n : ℕ
⊢ (x ^ n).order = n • x.order
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hwt : m ∈ t
hws : m ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, m < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < m
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
c : Turing.ToPartrec.Code
v : List ℕ
⊢ ∃ b,
  Turing.PartrecToTM2.TrCfg (Turing.ToPartrec.stepNormal c Turing.ToPartrec.Cont.halt v) b ∧
    Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr) (Turing.PartrecToTM2.init c v) b
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
Topology.IsLower α
⊢ t₁ ≤ t₂
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ¬(a n ≤ a m ∧ a n ≠ a m) ↔ a n = a m
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
h : Odd (FiniteDimensional.finrank k K)
⊢ IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
⊢ ContinuousOn (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf)) s ↔
  ContinuousOn (Function.uncurry f) (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk ⁻¹' s)
L R : List SetTheory.PGame
⊢ -SetTheory.PGame.ofLists L R = SetTheory.PGame.ofLists (List.map (fun x => -x) R) (List.map (fun x => -x) L)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
⊢ iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
x : 𝕜
hx : 0 < x
⊢ (∃ n, n • p = x) ↔ ∃ n, n • p = x
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
f : ι → ℝ
g : ι' → ℝ
hf : Summable f
hg : Summable g
hf' : 0 ≤ f
hg' : 0 ≤ g
⊢ Summable fun x => f x.1 * g x.2
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ↑RCLike.imCLM = RCLike.imLm
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
⊢ IntegrableOn f s μ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ (CategoryTheory.Limits.colimit.coconeMorphism c).hom = c.ι.app j
α : Type u
Mul α
One α
a : α
⊢ ∀ {x : Invertible a}, a * ⅟a = 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.edges = p.edges.reverse
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ -a = 0 ↔ a = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖
α : Type u_5
β : Type u_6
LE α
LE β
⊢ (OrderIso.sumComm α β).symm = OrderIso.sumComm β α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ 0
⊢ Memℓp f 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
⊢ Multiset.gcd 0 = 0
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ
⊢ (↑n).im = 0
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.ofNat n) 1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
t : Finset β
a : α
DecidablePred (r a)
⊢ ↑(Finset.bipartiteAbove r t a) = {b | b ∈ t ∧ r a b}
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
⊢ (g₁ + g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a