ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
⊢ i ≤ j
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2 : k < n.minFac
⊢ k + 2 ≤ n.minFac
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ∀ (a : A), Polynomial.CAlgHom a = Polynomial.C a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ 1 = y
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ z < w ↔ RCLike.re z < RCLike.re w ∧ RCLike.im z = RCLike.im w
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
self : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ Measurable self.toFun
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ affineSpan k {p₁, p₂} = affineSpan k s
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : G →+ N
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ AddSubgroup.map f H.normalizer = (AddSubgroup.map f H).normalizer
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
M : Type u_1
Monoid M
α : Type u_2
MulAction M α
m : M
hm : IsUnit m
⊢ Function.Bijective fun a => m • a
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
⊢ False
α : Type u_2
Div α
s t u : Set α
⊢ s / t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x / y ∈ u
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ ∀ x < p ^ (n + 1), ¬p ∣ x ↔ ∀ (x_1 : ℕ), ¬(x_1 < p ^ n ∧ x_1 * p = x)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
F : C ⥤ₗ D
⊢ ((CategoryTheory.AdditiveFunctor.ofLeftExact C D).obj F).obj = F.obj
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
x : L
hx : x ∈ ↑I
⊢ f ↑⟨x, hx⟩ = ↑f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
⊢ f ×ˢ (g₁ ⊓ g₂) = f ×ˢ g₁ ⊓ f ×ˢ g₂
α : Type u_1
⊢ ofInt' ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
a : α
⊢ Sum.inl a ∈ s.disjSum t ↔ a ∈ s
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.Monic 1
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p μ ∧ IsBounded (range (f + g))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ
⊢ (((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) X.presheaf).app x = f.c.app x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousOn (f i) s
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') s
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]
⊢ RatFunc.mk p 0 = { toFractionRing := 0 }
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
⊢ f = g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
C : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ C
⊢ EMetric.diam s ≤ ENNReal.ofReal C
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap e.hom ≫ cyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.cycles
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.117978, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ leftHomologyMap e.hom ≫ leftHomologyMap e.inv = 𝟙 S₁.leftHomology
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
NormalSpace X
ParacompactSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 :
  ∀ (s t : Set X),
    IsClosed s →
      IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure ↔ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
n : ℕ
⊢ ↑(n + 1) = ↑n + 1
G : Type u_3
Mul G
IsRightCancelMul G
a : G
b c : G
⊢ b * a ≠ c * a ↔ b ≠ c
R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h1 : ∀ x ∈ insert a s, ∀ y ∈ insert a s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)
h2 : ∀ x ∈ insert a s, (f x).Separable
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x).Separable
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M
⊢ Filter.map (⇑DomAddAct.mk) (𝓝 x) = 𝓝 (DomAddAct.mk x)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T 1 1 • mk m s = mk m s
α : Type u
a : α
l m : List α
ainm : a ∈ m
lsubm : l ⊆ m
⊢ a :: l ⊆ m
M : Type u_1
B : Type u_3
AddMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
S : B
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x ∈ S
⊢ l.sum ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
⊢ Sum.inr ⁻¹' range Sum.inl = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃ i, s i)
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)
this : 2 < 2 ^ k
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
CommRing R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
a b : P
⊢ (AffineMap.homothety a ⅟2) b = midpoint R a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ↑n ! / ↑n ^ n ≤ 1 / ↑n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Set ↥(maximalIdeal R)
⊢ Submodule.span (ResidueField R) (⇑(maximalIdeal R).toCotangent '' s) = ⊤ ↔ Submodule.span R s = ⊤
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Codisjoint (￢a) b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.dropLast.Sublist l
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
⊢ ↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : MeasureTheory.HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) Filter.atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
⊢ ((f ⋆[L, ν] g) ⋆[L₂, μ] k) x₀ = (f ⋆[L₃, ν] g ⋆[L₄, μ] k) x₀
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : M →+ P
H : c ≤ AddCon.ker f
⊢ AddMonoidHom.mrange (c.lift f H) = AddMonoidHom.mrange f
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
h✝ : IsEmpty ι
⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ Continuous fun ν => ν.map ⋯
a : ℤ
⊢ Ideal.span {↑a.natAbs} = Ideal.span {a}
R : Type u_1
CommRing R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
x y : R
⊢ s ^ (x - y) = s ^ x / s ^ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Balanced C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsSeparator G → CategoryTheory.IsDetector G
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
inst✝¹ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ : α✝
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (s.sup fun b => f b \ a) = s.sup f \ a
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ UniformInducing ⇑f
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝¹ : (i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')
inst✝ : (i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')
f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')
x✝ : ℝ≥0
⊢ ‖pi f‖₊ ≤ x✝ ↔ ‖f‖₊ ≤ x✝
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
self : M₁ →L[R₁] M₁
⊢ ContinuousLinearMap.toLinearMapRingHom self = ↑self
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
is : List ι
hl : (i :: is).Nodup
v w : TProd α (i :: is)
hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi
⊢ v.2 = w.2
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : LeftRigidCategory V
h : ↑H
⊢ (ᘁX).ρ h = ᘁX.ρ h⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ i) x)} = ⊤
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
h : m ≤ ↑n
⊢ m.toNat ≤ n
F : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
Star R
Star S
FunLike F R S
StarHomClass F R S
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
f : F
⊢ IsSelfAdjoint (f x)
n d : ℤ
h : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ Rat.divInt n d ≠ 0
a : Int
b : Int
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a.fmod b
α : Type u_7
β : Type u_8
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
s : Set α
f : α → β
h₂ : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn f s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)
i :
  CategoryTheory.Bicategory.lan f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) ≅
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lan f g) h
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f i.hom) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f g) h)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.Bicategory.lan f g) h).hom
⊢ CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x ((weightedHomogeneousComponent w m) p) = coeff x (if m = n then p else 0)
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
⊢ False
α : Type u_1
f : α → α
x y : α
n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
hy : Function.IsPeriodicPt f n y
hn : 0 < n
h : f x = f y
⊢ x = y
n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (1 ^ k).minFac = minFac 1
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l : List ι
DecidableEq ι
hl : (i :: l).Nodup
hj : j ∈ l
v : List.TProd α (i :: l)
⊢ v.elim ⋯ = List.TProd.elim v.2 hj
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Fintype.card { a // a.IsDiag } = Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopEquiv C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.unmopFunctor C ⋙ CategoryTheory.mopFunctor C)
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
ha : 1 < a
l : ℕ
hk : l.succ ≠ 0
⊢ 1 < a ^ l.succ
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n.succ
⊢ ↑v.tail = (↑v).tail
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U
U : Set Y
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen (s.piecewise f g ⁻¹' U)
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α
⊢ ⨆ x, 0 = 0
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
⊢ 1 * (↑b * ↑b * (a + c)) = 1 * (↑b * (↑b * c + ↑b * a))
b : Int
e : Nat
⊢ b ^ (e + 1) = b ^ e * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
⊢ (∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), ¬x = ∅) → ⋃₀ S = univ
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ (1 - f p)⁻¹ = ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
⊢ sign (f.subtypePerm h₁) = sign f
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (↑x).arg = 0
f₁ f₂ : CircleDeg1Lift
h₁ : Function.Bijective ⇑f₁
h₂ : Function.Bijective ⇑f₂
h : f₁.translationNumber = f₂.translationNumber
⊢ ∃ F, Function.Semiconj ⇑F ⇑f₁ ⇑f₂
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s = ∅
⊢ hausdorffDist s t ≤ r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
h : ∀ (r : β), Convex 𝕜 {x | f x ≤ r}
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderBot α
hs : IsLowerSet s
⊢ ⊥ ∉ s ↔ s = ∅
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
μ : MeasureTheory.Measure F
μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Filter.Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ x) (Bornology.cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
⊢ Filter.Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ (c • x)) • g x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (g 0))
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
SemilatticeSup γ
OrderBot γ
s : Finset β
f : β → α
g : α → γ
g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y
bot : g ⊥ = ⊥
⊢ g (s.sup f) = s.sup (g ∘ f)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ (Subalgebra.toSubmodule S).toSubalgebra ⋯ ⋯ = S
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Nonempty Z
MetricSpace Z
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
⊢ Isometry (Metric.toGlueL hΦ hΨ)
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 1 ≤ x) → ∀ x ∈ s, x ≤ s.prod
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
M : Type u_2
Monoid M
σ : M →* M
self : MonoidHom.CompTriple.IsId σ
⊢ σ = MonoidHom.id M
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.postcomposeWhiskerLeftMapCone α c).inv.hom = α.inv.app c.pt
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
K : Subgroup H
f : α →* H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Nat.card ↥(Subgroup.comap f K) ∣ Nat.card ↥K
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
⊢ Relation.Comp (fun x x_1 => x = x_1) r = r
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
⊢ ⋂ Z, ↑Z ⊆ connectedComponent x
α : Type u_1
Preorder α
a : α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
NoMinOrder α
h : Order.IsPredLimit a
⊢ IsMax a
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
⊢ ↑f i ≤ hτ.measurableSpace
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
⊢ ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s) ⊆ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))