ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜
⊢ (((Matrix.toLinearMap₂' 𝕜) A) (star x)) x = 0 ↔ (Matrix.toLin' A) x = 0
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α
⊢ ↑s ⊂ ↑t ↔ s < t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ (i' : Set X), i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i' → ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id i'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
⊢ ConvexOn 𝕜 univ fun x => x ^ (n + n)
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
this : DecidableEq m := Classical.decEq m
⊢ span R (Set.range fun x => Pi.single x 1 ᵥ* M) = span R (Set.range M)
a b : Prop
⊢ ¬(a → b) → ¬¬a
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
c : G
⊢ IsOpenMap fun x => c • x
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
hmul : g ∈ connectedComponent (g * h)
⊢ g * h ∈ connectedComponent g
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
base : ∃ n, ∀ m > n, P m
step : ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P m) → P n
n : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), (fun n => ∀ m ≥ n, P m) (n + 1) → (fun n => ∀ m ≥ n, P m) n
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Tendsto (Prod.mk a ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)
n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j.contractNth op g k = g k.succ
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2
⊢ Continuous fun x => (f x).2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ
⊢ (⨅ i, f i) * r = ⨅ i, f i * r
A : Type u_5
NormedRing A
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
c : A
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x * c) μ a b
α : Type u_1
s : Finset α
a✝ a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ cons a s ha
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
⊢ (∀ (i : ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackCover f).J), Q ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackHom f i)) ↔ Q f
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s t : Multiset α
h : Multiset.Rel (fun x x_1 => x ≤ x_1) s t
⊢ s.sum ≤ t.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t = (Prod.mk '' s).seq t
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
⊢ l₁ ⤳ l₂ ↔ l₁ ≤ l₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m
⊢ (if j✝ = i then b i✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if j✝ = i then b i✝ else M j✝ i✝
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
i : ι
⊢ Filter.Tendsto (Function.eval i) (MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.pi μ)) (MeasureTheory.ae (μ i))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
⊢ g.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R = f ↔ g = (TensorAlgebra.lift R) f
S : Type u_3
AddGroup S
Mul S
t : RingCon S
a b c d : S
h : t a b
h' : t c d
⊢ t (a - c) (b - d)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f✝ : α → β
n : ℕ
f : ℕ → α
hf : ∀ i < n, f i ∈ s
f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ n ≤ s.ncard
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
bg : β ≃ γ
e : α ≃ β
⊢ ((Equiv.refl α).equivCongr bg) e = e.trans bg
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
α : Type u
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ a = b ∨ a < b
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
⊢ center G₀ˣ ⊆ Units.val ⁻¹' center G₀
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Antivary (f₁ - f₂) g
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
hs : BddAbove s
ht : BddAbove t
⊢ BddAbove (s + t)
⊢ Filter.Tendsto Real.Wallis.W Filter.atTop (𝓝 (π / 2))
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ thickening δ (thickening δ E)ᶜ ⊆ Eᶜ
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
⊢ α.app X.left ≫ (L ⋙ F).map φ.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ (R ⋙ F).map φ.right ≫ β.app Y.right
α : Type u
Semiring α
⊢ Ideal.span 1 = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
⊢ (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
x : SetTheory.PGame
⊢ ⟦1 * x⟧ = ⟦x⟧
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s t : Submodule R M
Module.Finite R ↥t
hst : s ≤ t
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥s ≤ FiniteDimensional.finrank R ↥t
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n
⊢ ↑↑a = a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
p : TangentBundle I H
q : TangentBundle I' H'
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (↑I' (f (↑I.symm p.1)), (mfderivWithin I I' f s (↑I.symm p.1)) p.2)) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
a : Pseudoelement P
x : Over P
⊢ Over.mk (x.hom ≫ f ≫ g) ≈ Over.mk ((Over.mk (x.hom ≫ f)).hom ≫ g)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ ⇑e.toEquiv = ⇑e
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφV : ∀ (n_1 : ℕ), ((u ∘ fun a => a + n) (φ (n_1 + 1)), (u ∘ fun a => a + n) (φ n_1)) ∈ V (n_1 + 1)
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
⊢ p a ha
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
⊢ False
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
m : ℕ
⊢ ↑(A ^ m) = ↑A ^ m
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : SpectralMap γ δ
g : SpectralMap β γ
h : SpectralMap α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
x : E
⊢ x ∈ Metric.closedBall x₀ R → ContinuousOn (fun t => v t x) (Set.Icc tMin tMax)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ σ.cycleType = {3}
m n : ℤ
⊢ m ≤ n - 1 ↔ m < n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
P : {a b : α} → Relation.TransGen r a b → Prop
a b : α
h : Relation.TransGen r a b
base : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯
ih : ∀ {a b c : α} (h₁ : Relation.TransGen r a b) (h₂ : Relation.TransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯
⊢ P h
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0
hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0
i : ι
⊢ g i = 0
a b : ℤ
⊢ Finset.Icc a b = Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding a)) (Finset.range (b + 1 - a).toNat)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
⊢ D.diagram.L = (D.J × D.J)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ Function.HasTemperateGrowth f
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
r : R
⊢ Matrix.Represents b ((algebraMap R (Matrix ι ι R)) r) ((algebraMap R (Module.End R M)) r)
α : Type u_1
LE α
a : WithBot α
b : WithTop αᵒᵈ
⊢ a ≤ WithTop.ofDual b ↔ b ≤ WithBot.toDual a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
Zero M'
⊢ SmoothOn I I' 0 s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.mapZ φ) (data.factorizationData g).p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.factorizationData f).p φ.right
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l₁ l₂ : LowerAdjoint u
⊢ l₁.toFun = l₂.toFun → l₁ = l₂
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = Localization.mk x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun x => CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (Comon_ C)).obj x)) ⋯
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallyUnramified R A
inst✝² : FormallyUnramified A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)
this : Algebra A C := (f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)).toAlgebra
F₁ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₁.toRingHom, commutes' := ⋯ }
⊢ f₁ = f₂
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
a : K
j : ι
hjs : j ∈ s
hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))
g'' : (i : ι) → i ∈ s → R
hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i
this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable
g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0
hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i
hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, (fun i => (algebraMap R S) (g' i)) i • (⇑f' ∘ b) i = 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'
⊢ (e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
s : CategoryTheory.Limits.Cocone S.arrows.diagram
⊢ (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s).Compatible
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
⊢ NormedAddGroupHom.completion 0 = 0
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n δ ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α × β) = map (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
⊢ s.indicator f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a✝ : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
a x : α
hx1 : |x| < 1
⊢ IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, a * x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : l.Germ β
g : l.Germ γ
h : l.Germ δ
p : l.Germ β → l.Germ γ → l.Germ δ → Prop
H : ∀ (f : α → β) (g : α → γ) (h : α → δ), p ↑f ↑g ↑h
⊢ p f g h
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
S : Set E
q : ℕ
ExpChar F q
⊢ IntermediateField.adjoin F S = IntermediateField.adjoin F ((fun x => x ^ q) '' S)
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
f g : Set (α → M)
hf : A.Definable L f
hg : A.Definable L g
⊢ A.Definable L (f ∪ g)
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E
⊢ finrank ℝ E = 2 * finrank ℂ E
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T
x : R
s : ↥N
e : y * (algebraMap R T) ↑(x, s).2 = (algebraMap R T) (x, s).1
⊢ ∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP₁ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α ≃ₜ β), P ⇑f
hP₂ :
  ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β)
    (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)
⊢ (AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso
G : Type u_1
Group G
⊢ upperCentralSeries G 0 = ⊥
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hn : 1 < n
⊢ a ^ n < a
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X : CategoryTheory.ForgetEnrichment W C
⊢ CategoryTheory.ForgetEnrichment.of W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W X) = X
⊢ 2 * arctan 3⁻¹ + arctan 7⁻¹ = π / 4
ι : Type u_1
X : Type u_2
MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, Metric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
h : MvPolynomial.constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (wittStructureRat p Φ n) = 0
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < (W.Φ n).natDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a : α
⊢ ↑(map (fun b => max b 0) f - map (fun b => max b 0) (-f)) a = ↑f a
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ (Polynomial.monomial n) r * Polynomial.X = (Polynomial.monomial (n + 1)) r
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ∀ k ≤ r, ((List.drop k (listTransvecCol M)).prod * M) (inl i) (inr ()) = if k ≤ ↑i then 0 else M (inl i) (inr ())
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x - y) x).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : C × D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.braiding C D).functor.map f = (f.2, f.1)
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
a : S
⊢ a ∈ p.rootSet S ↔ p ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval a) p = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ (aeval f).range
⊢ a.IsSemisimple