ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
R : Type u
CommRing R
V W : HopfAlgebraCat R
⊢ Function.Injective HopfAlgebraCat.Hom.toBialgHom
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.123089, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
⊢ (inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M
⊢ ∃ n f, Function.Surjective ⇑f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ 0 = default
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ variance X μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β
⊢ f.comp (NonUnitalRingHom.id α) = f
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
⊢ Monotone NonUnitalSubring.toSubsemigroup
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
i : m
j : n₂
⊢ A.toColumns₂ i j = A i (Sum.inr j)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
p : α → Prop
⊢ (∀ (c : α), (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c) → p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m' : MeasurableSpace β
inst✝ : BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap (fun a => (f a)ᶜ) inferInstance = MeasurableSpace.comap f inferInstance
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
⊢ ModuleCat.ExtendScalars.map' f (l₁₂ ≫ l₂₃) = ModuleCat.ExtendScalars.map' f l₁₂ ≫ ModuleCat.ExtendScalars.map' f l₂₃
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
sm : Subsemigroup R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
⊢ (NonUnitalSubring.mk' s sm sa hm ha).toSubsemigroup = sm
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set α
⊢ s ∈ iInf f ↔ ∃ i, s ∈ f i
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial
⊢ s.einfsep ≠ ⊤
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m
⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑ _x ∈ s, m
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
G : K ⥤ D
h : CategoryTheory.Limits.Cocone G ≌ CategoryTheory.Limits.Cocone F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit (h.functor.obj c)
s : CategoryTheory.Limits.Cocone G
⊢ ((CategoryTheory.Limits.IsColimit.ofCoconeEquiv h) P).desc s =
  (h.unit.app c).hom ≫ (h.inverse.map (P.descCoconeMorphism (h.functor.obj s))).hom ≫ (h.unitInv.app s).hom
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
Eu : Type u
NormedAddCommGroup Eu
NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
NormedAddCommGroup Fu
NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
NormedAddCommGroup Gu
NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
n k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
A : C
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt ((CochainComplex.single₀ C).obj A) (n + 1)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_zero : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hg_zero : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = 0
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β
hf : UniformEmbedding f
⊢ UniformEmbedding (g ∘ f)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atBot = 𝓝[>] a
n : ℕ
i j : Fin n
h : i ≠ j
⊢ ↑i ≠ ↑j
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : c i = some a
j : ℕ
hb : some b = c j
⊢ a = b
m n k : ℕ
⊢ (n * k + m).Coprime n ↔ m.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
ha : a ∉ s
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, r a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α
⊢ l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists' ~ l.sublists ++ map (cons a) l.sublists
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁ ⊆ l₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.Icc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y
⊢ ∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q
α : Type u_1
EuclideanDomain α
DecidableEq α
x y : α
⊢ Ideal.span {EuclideanDomain.gcd x y} = Ideal.span {x, y}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : CategoryTheory.WithTerminal.star ⟶ CategoryTheory.WithTerminal.of X
⊢ False
α : Type u_1
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
⊢ ModularForm.slash k A (c • f) = c • ModularForm.slash k A f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a l' : α
s : Set α
hl' : l' < a
⊢ s ∈ 𝓝[≤] a ↔ ∃ l ∈ Set.Ico l' a, Set.Ioc l a ⊆ s
x : ℝ≥0
⊢ Real.nnabs ↑x = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter α
⊢ (map f F).NeBot ↔ F.NeBot
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ e.restr (e.source ∩ s) = e.restr s
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : 0 = 0 ∧ 1 = 0 ∨ 1 = 0 ∧ 0 = 0
⊢ False
s : Finset ℕ
m n p✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
h : Squarefree (p ^ k)
⊢ Prime (p ^ k)
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
a₁ a₂ : R
⊢ -(a₁ + a₂) = -a₁ + -a₂
R : Type u
Semiring R
p : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := p }.support = p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l
x : ℝ
⊢ Real.cos x ^ 2 = 1 - Real.sin x ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
h' : a < b - c
⊢ a + c ≠ b
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
⊢ (z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! = ((z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)!) / 2 + ((z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)!) / 2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
m : M
⊢ LieModuleEquiv.refl m = m
α : Type u_1
Nonempty α
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
⊢ ∃ β x sgn g,
  (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
s : Multiset α
a : α
⊢ ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ≤ s.inf ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b) → (a ≤ (a_1 ::ₘ s).inf ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ≤ b)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (⋂ i, Function.fixedPoints (f i))
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : Integrable f ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y
⊢ ∃ a, 1 < a
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
Zero M
l : List (ι →₀ M)
x : ι
⊢ x ∈ List.foldr (fun x x_1 => x.support ⊔ x_1) ∅ l ↔ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support
a b : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a < a / b * b + b
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ℙ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type w
CommRing S
f : R ≃+* S
M : Matrix n n R
⊢ f M.det = (f.mapMatrix M).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ
⊢ s = sᶜᶜ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ ↑(c1 + c2).den = ↑c1.den * ↑c2.den
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
ι : Type u_6
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → V
hw : s.sum w = 0
⊢ (s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i
R : Type u
inst✝²⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²³ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²² : Field K
inst✝²¹ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²⁰ : Field L
inst✝¹⁹ : Algebra S L
inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module R V
inst✝¹⁵ : Module K V
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V
inst✝¹³ : AddCommGroup V'
inst✝¹² : Module R V'
inst✝¹¹ : Module S V'
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'
inst✝⁹ : AddCommGroup V''
inst✝⁸ : Module R V''
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
inst✝ : IsNoetherian R S
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b' : ι → S := fun i => ⋯.choose
b_eq_b' : ⇑b = ⇑(↑R (Submodule.mkQ (map (algebraMap R S) p))) ∘ b'
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
left✝ : ifp_n.fr ≠ 0
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
⊢ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
α : Type u_1
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Forall₂ Rₐ l l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → Rₐ x x
p : ℝ≥0∞ → Prop
⊢ (∀ (a : ℝ≥0∞), a ≠ ⊤ → p a) ↔ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym α n
a : α
h : a ∈ a ::ₛ s := ⋯
⊢ (a ::ₛ s).erase a h = s
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ IsIntegral R f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
x y : α × β
⊢ IsCompl x y ↔ IsCompl x.1 y.1 ∧ IsCompl x.2 y.2
x y : SetTheory.PGame
r : x.Relabelling y
⊢ y ≤ x
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K
⊢ (idealX K).valuation RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ Affine.Simplex.altitude t₂ j₂ = affineSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
c : L.Constants
v : α → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v c.term = ↑c
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
⊢ b ∈ List.dlookup a l ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → β
hf : Function.Injective f
DecidablePred fun x => x ∈ Set.range f
g : α → M
⊢ (∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ Set.range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x, -y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
α : Type u_2
AddMonoid α
a : α
⊢ IsAddUnit a → IsAddUnit (pure a)
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥s
⊢ ↑((s.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
α : Type u
UniformSpace α
⊢ Filter.map Prod.swap ((𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen) ≤ (𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen
α : Type u
β : Type v
l : List α
d : α
n : ℕ
f : α → β
⊢ (List.map f l).getD n (f d) = f (l.getD n d)
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
MeasurableSpace E
MeasurableSpace F
BorelSpace E
BorelSpace F
SecondCountableTopology F
SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Module.Finite R M
Module.Free R M
x y : L
⊢ (LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).Monic
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = (X + (1 - X)) ^ n
G : Type u_2
Group G
S : Subgroup G
⊢ S.op.unop = S
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝² : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝¹ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this✝ : IsGalois K L := isGalois n K L
Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)
this : NeZero ↑↑n
⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
s : Flag α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
⊢ (lineMap y ((pointReflection R x) y)) 2⁻¹ = x
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy l
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
self : MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
⊢ μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
e : Option.rec none some = id
h : (fun x => x) = id
⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β
⊢ ∑ y ∈ s, μ (↑f ⁻¹' {y}) = μ (↑f ⁻¹' ↑s)
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
U : (TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R))ᵒᵖ
x : ↥(Opposite.unop U)
r : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj U)
m : ModuleCat.Tilde.Localizations M ↑x
⊢ r • m = ↑r x • m
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b => f a b) t ⊆ u
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R
⊢ x.support.IsWF
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'
⊢ (fun x => I * x) J ≤ (fun x => I * x) J'
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ x ∈ ↑(torsion R M) ↔ x ∈ {x | ∃ x_1, (∀ (n : M), (∃ a, a • x = n) → x_1 • n = 0) ∧ x_1 ≠ 0}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
AddCommMonoid A
U : AddSubmonoid A
R : Type u_6
AddCommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →+ A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N
⊢ (k.map hl j) ((f.map hy k) x) = (f.map ⋯ j) x
M : Type u_1
Monoid M
a : Mˣ
ha : ↑a ∈ Set.center M
⊢ ↑a⁻¹ ∈ Set.center M
α : Type u
n : ℕ
x : α
StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n
⊢ 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i < 1
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
⊢ f = g ↔ ∀ (x : A), f x = g x
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
⊢ NonUnitalSubring.map (NonUnitalRingHom.id R) s = s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioc 0 1)
⊢ 0 < ↑x
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
y : N
⊢ e (e.symm y) = y
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hp : p ≠ 0 := ⋯
hi : i ≠ Fin.last n := ⋯
⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.castPred hi
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
⊢ Semiconj g' ⇑fb ⇑fa
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
⊢ normSq ↑√x = x