ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ (1 - x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 1
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
hp_ne_zero : p.toNNReal ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift (F.map f) (F.map g) ≫ (F.mapBiprod X Y).inv =
  F.map (CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g)
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableSMul M α
x : α
⊢ Measurable fun x_1 => x_1 • x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∀ (g : G), ∃! s, ↑↑s = ↑g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ C.comp WeierstrassCurve.VariableChange.id = C
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
y : ℕ
hb : m * y ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_7
f : ι → α
h : DenseRange f
x : α
⊢ (𝓝[Set.range f] x).NeBot
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
this : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
α : Type u_1
Unique α
s : Finset α
⊢ s.Nonempty ↔ s = {default}
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
AddCommMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
ι : Type u_5
t : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∑ c ∈ t, f c ∈ S
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
h : IsDedekindDomainInv A
⊢ IsDedekindDomain A
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (MeasureTheory.pdf X ℙ μ x).toReal) =ᵐ[μ] MeasureTheory.pdf X ℙ μ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R
g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R
⊢ MvPolynomial.comap (g.comp f) = MvPolynomial.comap f ∘ MvPolynomial.comap g
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
⊢ U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r
n : ℕ
⊢ (2 * n + 1).div2 = n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₁ < b₂
x : α
⊢ x ∈ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioo a₂ b₂ ↔ x ∈ Ioc (max a₁ a₂) b₁
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ Disjoint z (y \ x) ↔ z ≤ x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]
hp : p ≠ 0
⊢ factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ↑R
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑T)
⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) (Polynomial.X ^ n) = LaurentPolynomial.T ↑n
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
⊢ Function.LeftInverse ⇑(ExteriorAlgebra.map g) ⇑(ExteriorAlgebra.map f) ↔ Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n : ℕ
⊢ (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ ∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f (x + p) = f x + p_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (F.whiskerIsoMapGenerateCocone U hY).hom.hom = F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
⊢ QuaternionGroup.xa i ^ 4 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ : Set ℕ
inst✝² : Infinite ↑s✝
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) (List.range ↑x)).length = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
f : X → Y
g : Y → X
h : Function.LeftInverse f g
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsClosed (Set.range g)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Ring R
i : V
⊢ (lapMatrix R G *ᵥ fun x => 1) i = 0 i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.leftOp
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeLeftOp c).ι.app j = (c.π.app (Opposite.op j)).op
α : Type u_2
Add α
IsRightCancelAdd α
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
⊢ (s + {a}).card = s.card
m : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
A : Matrix m m R
C : Matrix n m R
D : Matrix n n R
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 C D).det = A.det * D.det
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im.imI = a.imI
R : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
⊢ ⇑1 = id
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ x✝¹ * ↑↑n * x✝ = x✝¹ * (↑↑n * x✝)
R : Type u_1
Semiring R
r : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R) (MulOpposite.op (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n)) =
  Polynomial.C (MulOpposite.op r) * Polynomial.X ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.rotate.mor₃ = -(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : α →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f (g a)
⊢ f₀.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∉ l
⊢ l.formPerm x = x
a : Int
H : a ≤ 0
⊢ ↑a.natAbs = -a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
⊢ StrictAntiOn (deriv f) S
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
⊢ ↑(μ.toFun L') + ⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ ⇑(Multiset.countPAddMonoidHom p) = Multiset.countP p
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥⊤) E = 1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ↑(↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : Measurable f
⊢ AEMeasurable f μ
R : Type u_3
OrderedSemiring R
x y : R
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hn : n ≠ 0
⊢ x ^ n + y ^ n ≤ (x + y) ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
⊢ N ≤ J • N
M : Type u_1
Monoid M
u₁ u₂ : Mˣ
⊢ Commute ↑u₁ ↑u₂ → Commute u₁ u₂
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
hi : M.Indep (insert f (B ∩ X))
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
⊢ eval₂ (RingHom.id R) (x + y) f = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)
⊢ IsCoprime f g
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑I.symm = ↑I.symm
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
S : Type u_3
SMul S R
SMul S M
IsScalarTower S R M
r : S
x : M
⊢ Submodule.Quotient.mk (r • x) = r • Submodule.Quotient.mk x
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ¬w.IsReal ↔ w.IsComplex
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : List Γ
⊢ Turing.Tape.map f (Turing.Tape.mk₁ l) = Turing.Tape.mk₁ (List.map f.f l)
C : CategoryTheory.Cat
⊢ CategoryTheory.nerveFunctor.obj C = CategoryTheory.nerve ↑C
⊢ ∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1}, f <$> none = none
p : Prop
⊢ {p}ᶜ = {¬p}
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
T0Space X
CompletelyRegularSpace X
⊢ Continuous ⇑MeasureTheory.diracProbaEquiv.symm
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p : RingSeminorm R
⊢ ⇑p.toAddGroupSeminorm = ⇑p
α : Type u_1
n : Type u_4
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α
⊢ (A + A.conjTranspose).IsHermitian
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)
⊢ inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.fst = prod.fst
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x + 1 ≤ Real.exp x
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ Quaternion.imI 0 = 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Nontrivial M₀
inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'
inst✝³ : FunLike F G₀ M₀
inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'
f✝ : F
a : G₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f a = g a
ha : a ≠ 0
⊢ f a⁻¹ = g a⁻¹
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : List ℚ
⊢ ↑s.prod = (List.map Rat.cast s).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
c : ι
⊢ Submodule.span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic c) = Submodule.span 𝕜 (f '' Set.Iic c)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).natDegree = n
n : ℕ
⊢ Ordinal.toNatOrdinal ↑n = ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
self : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopBraidedFunctor C).obj self = self.unmop
α : Type u_1
LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Finset.Colex.IsInitSeg 𝒜₁ r
h₂ : Finset.Colex.IsInitSeg 𝒜₂ r
⊢ 𝒜₁ ⊆ 𝒜₂ ∨ 𝒜₂ ⊆ 𝒜₁
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : WittVector p R
⊢ x.verschiebungFun.coeff 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)
⊢ (𝟙 X).right = 𝟙 X.right
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
⊢ N.mulMap M = M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
⊢ EqOn f g (Icc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
⊢ ↑⊥ = ∅
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : X - C μ ∣ cyclotomic n K
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : X - C μ ∣ cyclotomic i K
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
⊢ False
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
⊢ a ∈ (p ^ k).divisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = 0
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : ↥(closure s) → Prop
a : ↥(closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)
b : R
hb : b ∈ closure s
⊢ ∃ (x : b ∈ closure s), p ⟨b, x⟩
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
t : Set ι
t' : (i : ι) → Set (π i)
f g : (i : ι) → π i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'
⊢ s.piecewise f g ∈ t.pi t'
v i : Nat
⊢ (BitVec.allOnes v).getLsb i = decide (i < v)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
h : IsOfFinOrder x
⊢ 0 < orderOf x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
CompactSpace X
W : TopologicalSpace.Clopens (X × Y)
⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
hij : i ≠ j
⊢ diagonal A.diag i j = A i j
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f g).map i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f (𝒰.map i))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f (𝒰.map i))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : Submodule ℝ E
⊢ K.orthogonalBilin bilinFormOfRealInner = Kᗮ
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, ↑(f i j)
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⊤ ≠ OfNat.ofNat n
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup β
⊢ (map ⇑e) ((map ⇑e.symm) x) = x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
⊢ (s f S n ≫ WidePullback.base fun x => f.hom) = WidePullback.base fun x => f.hom
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.coeEquiv.toEmbedding.trans (Function.Embedding.subtype fun x => x ∈ m.toEnumFinset) = m.coeEmbedding
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
x : (i : ι) → β i
i : ι
⊢ toLex x i = x i
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).iUnion = π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion
α : Type u_3
Preorder α
self : SuccOrder α
a : α
⊢ a ≤ SuccOrder.succ a
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
⊢ 0 < p.count m.factors → p ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | g x < f x}, f x ∂μ
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
⊢ 0 ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : 0 < multiplicity a b
⊢ a ^ 1 ∣ b
a : Nat
b : Nat
h : 0 < a
⊢ 0 < a / a.gcd b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this✝ : Unique ι
this : b default = 1 ∨ b default = -1
⊢ (⇑b = fun x => 1) ∨ ⇑b = fun x => -1
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hp : p ≠ 0
⊢ p / gcd p q ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
CategoryTheory.StrongMono (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.StrongMono f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c + f x) μ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c
⊢ (algebraMap S L) (d • a) = (algebraMap S L) (b * mk' S ↑c ⋯)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin S ↑(Algebra.adjoin R s) = Algebra.adjoin S s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f
⊢ fderiv 𝕜 f x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ ∃ t, ⇑(f.toPartitionOfUnity i) =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match Encodable.decode (Encodable.encode i) with | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i) | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈ 𝒟 i
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val) = ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)))