ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
⊢ J ≤ FractionalIdeal.dual A K I
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N✝ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
⊢ s ⊆ {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.50538, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.50590, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
Y : C
f : op X ⟶ op (G.obj Y)
a✝ : ℱ.obj (op X)
⊢ (appHom α X ≫ ℱ'.val.map f) a✝ = (ℱ.map f ≫ α.app (op Y)) a✝
R : Type u_1
S : Type u_2
i j : Fin 2
⊢ (basisOneI.repr (![1, I] i)) j = (Finsupp.single i 1) j
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
⊢ (l.get? 0).getD 0 + l.tail.sum = l.sum
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
i : ι
g : G i
m : M
⊢ (TensorProduct.fromDirectLimit f M)
    ((Module.DirectLimit.of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)) =
  (Module.DirectLimit.of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
n : ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ MvPowerSeries.X s ^ n ∣ φ ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s < n → (MvPowerSeries.coeff R m) φ = 0
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b
⊢ ↑ArithmeticFunction.zeta * ArithmeticFunction.moebius = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
⊢ (x ∈ s ∧ ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)) → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ BoxIntegral.Box.Icc I = Set.univ.pi fun i => Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
hy : μ {y} = 0
⊢ ∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ico x y, f t ∂μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))
⊢ ↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
N : Matroid β
f : α → β
⊢ (N.comap f).E = f ⁻¹' N.E
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ (Summable fun n => f (n + k)) ↔ Summable f
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (Perm α)ᵈᵐᵃ
⊢ g • f = f ↔ f ∘ ⇑(mk.symm g) = f
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
⊢ Function.Injective (DFinsupp.single i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a m : α
⊢ IsSquare m ↔ ∃ c, m = c ^ 2
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'
⊢ ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) (algEquivMatrix'.symm A * algEquivMatrix'.symm A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B
⊢ A * ⅟B * B = A
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMul R V
x y : HahnSeries Γ V
⊢ (HahnModule.of R) (x + y) = (HahnModule.of R) x + (HahnModule.of R) y
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
h : a < b
⊢ beth a < beth b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
hb : AddLECancellable b
⊢ a + b - b = a
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
self : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ self.carrier → x⁻¹ ∈ self.carrier
X Y : Grp
f : X ⟶ Y
⊢ Grp.uliftFunctor.map f = Grp.ofHom (MulEquiv.ulift.symm.toMonoidHom.comp (MonoidHom.comp f MulEquiv.ulift.toMonoidHom))
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S
⊢ IsIntegral A pb.gen
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ IsCoprime x.num x.denom
α : Type u
f : Filter α
h : f.NeBot
⊢ ∃ u, ↑u ≤ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[<] a = ⊥ ↔ IsBot a ∨ ∃ b, b ⋖ a
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cone F.rightOp
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J
⊢ (m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, m • x = n • x
⊢ (finEquivMultiples x hx).symm ⟨n • x, hn⟩ = ⟨n % addOrderOf x, ⋯⟩
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1
⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent w i
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤
this : (fun x => ↑‖f x‖₊ * g x) =ᶠ[ae volume] fun x => ↑‖f x * (pdf X ℙ volume x).toReal‖₊
⊢ ∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 0 < 1 - 2 / rexp 1
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
⊢ ¬IsLeftRegular 0 ↔ Nontrivial R
x : SetTheory.PGame
xl' xr' : Type u_1
el : xl' ≃ x.LeftMoves
er : xr' ≃ x.RightMoves
j : x.RightMoves
⊢ (SetTheory.PGame.relabel el er).moveRight (er.symm j) = x.moveRight j
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ (↑f).toFun = ⇑f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
t : ι → Finset α
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ 1 = Multiset.foldr (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 (Multiset.map (fun i => 1) s.val)
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
⊢ Small.{v, u} α ↔ ∃ c', lift.{v + 1, u} #α = lift.{max u (v + 1), v} c'
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α →₀ M
⊢ ∑ a : α, single a (f a) = f
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 0 < ε → a ≤ b + ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
⊢ a✝ ∈ (f.trans (single b c)) x✝ ↔ a✝ ∈ ⊥ x✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last n
j : Fin n
⊢ {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit c ↔
  ∀ {X' Y' : C} (c' : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp αX c.inl = CategoryTheory.CategoryStruct.comp c'.inl f →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp αY c.inr = CategoryTheory.CategoryStruct.comp c'.inr f →
        (Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c') ↔
          CategoryTheory.IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ CategoryTheory.IsPullback c'.inr αY f c.inr)
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
⊢ (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) 0).toMvPolynomial i) = 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃
comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a✝ = c ≫ T₂.mor₃
a : T₁.invRotate.obj₃ ⟶ T₂.invRotate.obj₃
ha₁ : T₁.invRotate.mor₂ ≫ a = a✝ ≫ T₂.invRotate.mor₂
ha₂ : T₁.invRotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c) = a ≫ T₂.invRotate.mor₃
⊢ ∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a✝ ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.106857, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.106861, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctor D a).map (τ.app X) = (F₁.commShiftIso a).inv.app X ≫ τ.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (F₂.commShiftIso a).hom.app X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b \ c = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α
⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (some a)) = encode ((some a).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))
R : Type u_1
S : Type ?u.268667
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Finite R M
inst✝¹ : Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
this : FinitePresentation R P
⊢ Free R P
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
hsurj : Function.Surjective ⇑f
s : Set F
⊢ frontier (⇑f ⁻¹' s) = ⇑f ⁻¹' frontier s
a b c d m n i : ℤ
⊢ -i - i = 2 * -i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
self : μ.FiniteSpanningSetsIn C
⊢ ⋃ i, self.set i = Set.univ
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α
⊢ filter (fun x => compress u u x ∈ s) s ∪ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = s
α : Type u
s t : Set α
x : α
h1 : x ∈ s
h2 : ¬x ∈ t
⊢ x ∈ s \ t
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'
⊢ Submodule.map p'.subtype (LinearMap.range (Submodule.inclusion h)) = p
n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
⊢ a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ ⊗ₘ κ) s = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
⊢ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
M : Type u_1
L.Structure M
L'.Structure M
ϕ.IsExpansionOn M
n : ℕ
R : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap (ϕ.onRelation R) x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →o β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' ⇑f ↔ OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
φ ψ : PowerSeries R
⊢ (φ * ψ).order = φ.order + ψ.order
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (Iic b).erase b ↔ a✝ ∈ Iio b
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) ((MvPowerSeries.C σ R) a * φ) = a * (MvPowerSeries.coeff R n) φ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E
⊢ f (-x) = -f x
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ log (1 + z) - z = log (1 + z) - logTaylor (1 + 1) z
a b : Int
⊢ -a ∣ b ↔ a ∣ b
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → ∀ (n : Nat), Substring.ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ 2 • x = x + x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
PartialOrder α
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
α : Type u
x : α
⊢ (FreeAddSemigroup.of x).tail = []
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
⊢ ∀ (m : R) (x : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun x
α : Type u_1
ι : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (f : α → ℝ≥0∞) (μ : ι → MeasureTheory.Measure α),
  HasSum (fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i) (∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.sum μ)
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousSMul R N
f : M [⋀^ι]→L[R] R
z : N
⊢ ∀ (a : (i : ι) → (fun x => M) i), (f.smulRight z) a = f a • z
α : Type u_2
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜 # k ⊆ Finset.falling k 𝒜
⊢ SetTheory.PGame.star.RightMoves = PUnit.{u_1 + 1}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
h : f.SameCycle x y
z : α
⊢ (f.cycleOf x) z = (f.cycleOf y) z
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
β : Type v
UniformSpace β
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
⊢ Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓟 idRel
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, f i - ∑ i ∈ range x, f i * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (b : ℕ), f b * z ^ b))
⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y : ℕ
⊢ ↑x = ↑y ↔ ↑x = ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ (F.mapBinaryBicone b).fst = F.map b.fst
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
⊢ m ∈ span R (range ⇑b) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : m.Coprime n
⊢ (↑m ^ k).Coprime (↑n ^ l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
⊢ s.erase a = ∅ ↔ s = ∅ ∨ s = {a}
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ s / Metric.ball 1 δ = Metric.thickening δ s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
⊢ (F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) = (F.map (f ▷ n)).app X ≫ (F.μIso m' n).inv.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → α
e : ↑(Function.support f) ≃ ↑(Function.support g)
he : ∀ (x : ↑(Function.support f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ HasSum f a ↔ HasSum g a
α : Type u
p q : α → Prop
⊢ {x | x ∈ {y | p y} ∧ q x} = {x | p x ∧ q x}
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ π.iUnion = ↑I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ ∀ (b : ℕ), 1 ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x