ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.HasShift E ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
G : CategoryTheory.Functor D E
G.CommShift ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject E
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Preadditive E
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor E n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Pretriangulated D
CategoryTheory.Pretriangulated E
H : CategoryTheory.Functor C E
e : F.comp G ≅ H
H.CommShift ℤ
H.IsTriangulated
F.IsTriangulated
F.mapArrow.EssSurj
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ
⊢ G.IsTriangulated
α : Type u_1
Mul α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b < c * d
⊢ min a b < max c d
α : Type u_2
β : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Set.Ici a)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂
⊢ s = s'
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), ∃ l, List.Chain Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂
⊢ ∀ (j₁ j₂ : J), Zigzag j₁ j₂
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred AddSubgroup.FiniteIndex
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k +ᵥ ↑(H k) = Set.univ
α : Type u
β : Type v
Fintype β
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ (Finset.filter (fun b => ∃ a ∈ A, r a b) Finset.univ).card) ↔
  ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R
⊢ eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
α : Type
Finite α
Z : α → Stonean
a : α
⊢ OpenEmbedding ⇑(CategoryTheory.Limits.Sigma.ι Z a)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ P (normalizedFactors a).prod
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : Continuous ⇑p
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᵃ[R] W
h : Continuous f.toFun
⊢ ⇑{ toAffineMap := f, cont := h } = ⇑{ toAffineMap := f, cont := h }.contLinear + Function.const V ({ toAffineMap := f, cont := h } 0)
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
n : ℕ
⊢ f.reverse.coeff n = f.coeff ((Polynomial.revAt f.natDegree) n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
this : ∀ (a : α), ⨆ b, f b a = ⨆ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.Chebyshev.T R n) = Polynomial.Chebyshev.T S n
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree = 0
⊢ (map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : y₁ ^ 2 + W.a₁ * x₁ * y₁ + W.a₃ * y₁ = x₁ ^ 3 + W.a₂ * x₁ ^ 2 + W.a₄ * x₁ + W.a₆
h₂ : y₂ ^ 2 + W.a₁ * x₂ * y₂ + W.a₃ * y₂ = x₂ ^ 3 + W.a₂ * x₂ ^ 2 + W.a₄ * x₂ + W.a₆
hx : x₁ = x₂
⊢ y₁ = y₂ ∨ y₁ = W.negY x₂ y₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Multicofork I
f : K₁ ⟶ K₂
⊢ K₁.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one ≫ f.hom = K₂.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
a' : G
b' : H
ha : a = a'
hb : b = b'
⊢ ⇑(f.replaceConsts a' b' ha hb) = ⇑f
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h : f n = g n
⊢ Cardinal.cantorFunctionAux c f n = Cardinal.cantorFunctionAux c g n
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ Submodule.span R ↑(IsLocalization.invSubmonoid M S) = ⊤
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ ∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ interior s ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom M = T
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.ringEquivOfRingEquiv S Q j H) (IsLocalization.mk' S x y) = IsLocalization.mk' Q (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph fun v => f v ∣ g v
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
⊢ x ∈ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ f ⁻¹' V ⊆ s
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ (MeasureTheory.volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)
R : Type u
CommSemiring R
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t ⊔ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t' ≤ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (t ∩ t')
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) Filter.atTop (𝓝 (riemannZeta s))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Antitone fun x => Set.Iio (f x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).j = E.j
α : Type u_1
a b : α
n : ℕ
⊢ b ∈ Multiset.replicate n a ↔ n ≠ 0 ∧ b = a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
x✝ : ∃ g, ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = g
a b : G
hab : (a, b) ∈ A ×ˢ B
h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = (a, b).1 * (a, b).2
ha : (a, b).1 ∈ A
hb : (a, b).2 ∈ B
⊢ ∃ a0 b0, a0 ∈ A ∧ b0 ∈ B ∧ UniqueMul A B a0 b0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
X : HomologicalComplex₂ C c₂ c₁
i : I₂
⊢ ∀ (i_1 : I₁), (((HomologicalComplex₂.flipEquivalenceCounitIso C c₁ c₂).inv.app X).f i).f i_1 = 𝟙 ((X.X i).X i_1)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
γ : Type u_3
SMul γ β
IsScalarTower γ β β
c : γ
f : CauSeq β abv
⊢ c • CauSeq.Completion.mk f = CauSeq.Completion.mk (c • f)
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S
this : IsLocalRingHom f ↔ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R
⊢ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R ↔ ((PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S)).asIdeal = (closedPoint R).asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
f : α →+* β
a b : AsBoolAlg α
⊢ toBoolAlg (f (ofBoolAlg a + ofBoolAlg b + ofBoolAlg a * ofBoolAlg b)) = toBoolAlg (f (ofBoolAlg a)) ⊔ toBoolAlg (f (ofBoolAlg b))
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
⊢ ↑(Ideal.absNorm I.num) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a| = ↑(Ideal.absNorm I₀) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den|
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle (r • x) y = o.oangle x y
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
h : K ≤ K'
⊢ ⨆ f, map f K ≤ ⨆ f, map f K'
a b : ℕ+
⊢ Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : R
⊢ (c • p).comp f = c • p.comp f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ
hs : s.Nontrivial
⊢ (f ^ n) a = a ↔ s.card ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝¹ : Countable ι
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : ι → α → β → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))
⊢ κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
hm : MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (κ a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ
⊢ EventuallyConst (⇑f) atTop
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
⊢ χ.IsNontrivial ↔ χ ≠ 1
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ List.dlookup a l = none ↔ a ∉ l.keys
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
n : ℤ
⊢ (n • α).app X = n • α.app X
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
⊢ IsCompact s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
g : ℂ →L[ℂ] ℂ
this : fderiv ℝ (⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z) = ↑conjCLE
⊢ (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
⊢ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
⊢ f =O[⊤] g ↔ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : a ⋖ b
hbc : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) b c
⊢ a ⋖ c
a b : Int
⊢ a < 0 → 0 < b → a.fdiv b < 0
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
F : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
S : outParam (Type u_3)
Semiring R
Semiring S
σ : outParam (R →+* S)
σ' : outParam (S →+* R)
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
M : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
M₂ : outParam (Type u_5)
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
EquivLike F M M₂
self : ContinuousSemilinearEquivClass F σ M M₂
f : F
⊢ Continuous (EquivLike.inv f)
f : ℝ → ℝ
hf' : Differentiable ℝ f
hf'' : Differentiable ℝ (deriv f)
hf''_nonpos : ∀ (x : ℝ), deriv^[2] f x ≤ 0
⊢ ConcaveOn ℝ Set.univ f
α : Type u_5
E : Type u_6
R : Type u_7
AddCommMonoid E
DivisionSemiring R
Monoid α
Module R E
DistribMulAction α E
n : ℕ
s : α
x : E
⊢ (↑n)⁻¹ • s • x = s • (↑n)⁻¹ • x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ (p * X ^ n).natDegree = p.natDegree + n
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
⊢ Function.Bijective ⇑(Profinite.NobelingProof.iso_map C J)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s₁ t₁
h₂ : Set.SurjOn f s₂ t₂
⊢ Set.SurjOn f (s₁ ∪ s₂) (t₁ ∪ t₂)
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ cosKernel a x = 0
G : Type u_3
DivInvMonoid G
g : ConjAct G
h : G
⊢ g • h = ConjAct.ofConjAct g * h * (ConjAct.ofConjAct g)⁻¹
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
⊢ i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
⊢ dest P (g <$$> ⟨a, f⟩) = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩
α : Type u_3
Monoid α
s : List (Additive α)
⊢ Additive.toMul s.sum = (List.map (⇑Additive.toMul) s).prod
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab : ∀ (a b : Fin N.succ), G ↑a < G ↑b → p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧ p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a))
sc : SatelliteConfig α N p.τ := { c := fun k => p.c (p.index (G ↑k)), r := fun k => p.r (p.index (G ↑k)), rpos := ⋯, h := ⋯, hlast := ⋯, inter := ⋯ }
⊢ False
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.trim hm) s ≠ ⊤
c : F
⊢ ↑((MeasureTheory.lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm (MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c)) =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c
x : Int
m : Nat
p : x % ↑m < (↑m + 1) / 2
⊢ x.bmod m = x % ↑m
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) (Bornology.cobounded α)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
e₁ : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
e₂ : P₂ ≃ᵃⁱ[𝕜] P₃
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x a b : α
l : List α
⊢ (a :: b :: l).reverse.formPerm = (a :: b :: l).formPerm⁻¹
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ExistsAddOfLE R
h : a ^ 2 ≤ b
⊢ a ^ 4 ≤ b ^ 2
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜
hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1
val✝ : Fintype ι
g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))
this : CauchySeq g
a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a m))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤
⊢ setToFun (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) ⋯ f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))
t : ℝ
S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ
⊢ Integrable (fun x => f (x + t • v) * g x) μ
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E
⊢ finSepDegree F E = finrank F E
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
a : α
x : β
⊢ a • x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)
c : α
hc : a < c
⊢ ∃ i', a < i' ∧ Iic i' ⊆ Iio c
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : s.Finite
x✝ : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t
⊢ IsOpen (⋂₀ ∅)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃.f
⊢ z₁.comp z₂ = CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk (z₁.comp₀ z₂ z₃)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ
⊢ logDeriv cos x✝ = (-tan) x✝
x : ℝ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0
⊢ False
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom
⊢ pseudoApply S.f (Quot.mk (PseudoEqual S.X₁) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))) = ⟦b⟧
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
⊢ nth p n = (hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, hn⟩
a b : Bool
⊢ ((a || b) = true) = (a = true ∨ b = true)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : (C 0).degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ round (a - 1) = round a - 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
⊢ G = sheafify J G ↔ sheafify J G ≤ G
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y
⊢ (DilationEquiv.refl X).trans e = e
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = 0
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2|
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
k : Fin (n + 1)
⊢ f k < x
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
⊢ ⋃ n, Set.Ico (↑n) (↑n + 1) = Set.univ