ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝³ : LocallyCompactSpace H
this✝² : LocallyCompactSpace M
this✝¹ : SecondCountableTopology H
this✝ : SecondCountableTopology M
this : MetrizableSpace M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
⊢ 0 = ∫ (x : M) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ filter p s + filter (fun a => ¬p a) s = s
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1
⊢ x = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
hg : ∑ i : Fin (minpoly K x).natDegree, g i • x ^ ↑i = 0
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ g i = 0
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 8 → β
⊢ ∑ i : Fin 8, f i = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
n : ℤ
⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittZSMul p m n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
⊢ (∃! a, a ∈ (G'.neighborSet v).toFinset) ↔ ∃! w, G'.Adj v w
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
z : G
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 ι z‖ = ‖z‖
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this
ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
e_1✝ : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p}) = { g // ↑g 1 = p }
g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})
⊢ (↑g • z).re = (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
b✝ x y a b c : ℝ
h₁ : b ≠ 0
h₂ : b ≠ 1
h₃ : b ≠ -1
⊢ log b / log a * (log c / log b) = log c / log a
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup N
f : G →* N
⊢ ↑(Subgroup.comap f K) = ⇑f ⁻¹' ↑K
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : Fintype Kˣ
⊢ ∏ x : Kˣ, x = -1
α : Type u_2
AddGroup α
b : α
⊢ Finset.preimage 0 (fun x => x + -b) ⋯ = {b}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.id h).right = CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.id h.right
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(Nat.factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
q : G.Walk w x
⊢ (p.concat h).append q = p.append (cons h q)
G : Type u_1
a b : G
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
⊢ a * b ∈ s ↔ b ∈ s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n ≤ upperCentralSeries G (n + 1)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
p : l₁.Perm l₂
⊢ (List.kinsert a b l₁).Perm (List.kinsert a b l₂)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : X ≃ₕ Y
⊢ (self.invFun.comp self.toFun).Homotopic (ContinuousMap.id X)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ b ∈ Metric.ball a r ↔ ‖b - a‖ < r
r : ℝ≥0
⊢ ↑r ≠ 0 ↔ r ≠ 0
a b : Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (max a b) = max (Cardinal.lift.{u, v} a) (Cardinal.lift.{u, v} b)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
φ ψ : TensorProduct R (TensorProduct R M N) (TensorProduct R P Q) →ₗ[R] S
H : ∀ (w : M) (x : N) (y : P) (z : Q), φ ((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] z) = ψ ((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] z)
⊢ φ = ψ
u : XgcdType
a b : ℕ+
this : 0 < ↑a
⊢ (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h1 : p ∣ q
h2 : q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ q.degree
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ s.direction = ⊤ ↔ s = ⊤
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : (M ↾ R).Dep X
⊢ M.Dep X
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
⊢ preVal K v O hv p (x * y) = preVal K v O hv p x * preVal K v O hv p y
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H
n : ℤ
⊢ (g • a) ^ n = g ^ n • a ^ n
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
f : Additive α →+ β
a : α
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative' f) a = Multiplicative.ofAdd (f (Additive.ofMul a))
α : Type u_1
Semiring α
a b c : α
m n : ℕ
ha : c ^ m ∣ a
hb : c ^ n ∣ b
⊢ c ^ min m n ∣ a + b
α : Type u
DivisionCommMonoid α
c : α
h : IsUnit c
a b : α
⊢ c * a / (c * b) = a / b
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔
  ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)
⊢ c ^ n * u 0 < u n
α : Type u_1
Add α
a x y : αᵃᵒᵖ
⊢ AddSemiconjBy (AddOpposite.unop a) (AddOpposite.unop y) (AddOpposite.unop x) ↔ AddSemiconjBy a x y
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
⊢ (s.embDomain f) (f a) = s a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ) (h : x ∈ I), (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, h⟩ ∈ range γ.extend
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ
⊢ 0 < dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(tensorQuotEquivQuotSMul M I).symm ∘ₗ (I • ⊤).mkQ = (TensorProduct.mk R M (R ⧸ I)).flip 1
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
⊢ Function.Bijective ⇑f
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially Real.log
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) = ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f✝ f : ι → Set α
⊢ (closure (⋃ i, f i))ᶜ = (⋃ i, closure (f i))ᶜ
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ (fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (const α ‖f‖ - f) x
a n m : Nat
h : 1 < a
w : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1
⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node' x r).dual = r.dual.node' x l.dual
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α ≃ β
o : ∀ ⦃a b : α⦄, s (f a) (f b) ↔ r a b
⊢ ⇑{ toEquiv := f, map_rel_iff' := o } = ⇑f
R : Type u
σ : Type u_1
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval x) (MvPolynomial.eval₂ f g p) =
  MvPolynomial.eval₂ ((MvPolynomial.eval x).comp f) (fun s => (MvPolynomial.eval x) (g s)) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
self : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f self.rightRetraction = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.leftRetraction ι
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I
⊢ I * H = I * 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω},
  ProbabilityTheory.iIndep m μ → ProbabilityTheory.iIndepSets (fun x => {s | MeasurableSet s}) μ
a b : ℝ
m n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x ^ (2 * m) * Real.cos x ^ (2 * n) =
  ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - Real.cos (2 * x)) / 2) ^ m * ((1 + Real.cos (2 * x)) / 2) ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
⊢ ContinuousOn γ s
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
g₁ g₂ : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
h : g₁.toLieHom.comp (UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) = g₂.toLieHom.comp (UniversalEnvelopingAlgebra.ι R)
⊢ g₁ = g₂
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'
⊢ (e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin (↥K) S) = IntermediateField.adjoin F (↑K ∪ S)
R : Type u_1
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
⊢ Matrix.toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) = Matrix.toLinearMap₂' R
γ : Type u_3
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
T2Space β
MeasurableSpace β
s : Set γ
f : γ → β
OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
PolishSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : Set.InjOn f s
⊢ MeasurableSet (f '' s)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x y : G
⊢ Inseparable x y ↔ x / y ∈ closure 1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0
rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0
i : ℕ
ne_zero : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ≠ 0
mem : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
h : p a
⊢ ∃ x, x ∈ a :: l ∧ p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)
⊢ MeasurableSet (s.pi t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
⊢ f x ≤ leftLim f y
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a : R
b : R
⊢ b ≠ 0 → EuclideanDomain.r (EuclideanDomain.remainder a b) b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → IsChain r t → IsChain r s
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Algebra.adjoin R s = ((FreeAlgebra.lift R) Subtype.val).range
α : Type u_1
l : Filter α
s : Set α
⊢ Filter.EventuallyConst s l ↔ (∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∉ s
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
n : ℕ
⊢ n • (a - b) = n • a - n • b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : ℝ
hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Iic a ↔ x✝ ∈ Iic ⌊a⌋
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ x ⤳ x
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => x / a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w : { w // w.IsReal }
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.indexEquiv K) (Sum.inl w) = (↑w).embedding
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
⊢ Integrable (fun x => (f x).toNNReal • g x) μ ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
⊢ ↑T⁻¹ = !![1, -1; 0, 1]
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ AEMeasurable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) * g x) μ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
⊢ μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
⊢ fr.extendTo𝕜' x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)
⊢ ∀ (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C).hom.app X).app X_1).τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).X₂
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
⊢ s = Multiset.replicate (Multiset.card s) a ↔ ∀ b ∈ s, b = a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
b0 : b ≠ 0
⊢ a < (b ^ a).ord.cof
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : T ≤ S ⊔ T
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace
fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf
h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x
U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))
⊢ (fc.app (op U)) s = (gc.app (op U)) s
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
⊢ bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q * r) = ↑q * ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ ↑s = Set.univ ↔ s = univ
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ S.W f
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a / c * (b * c) = a * b
α : Sort u
p : α → Prop
b : Prop
h₁ : Exists fun x => p x
h₂ : ∀ (a : α), p a → b
⊢ b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ
⊢ multiplicity p (a ^ k) = k • multiplicity p a
m n : ℕ
h : m ∣ n
⊢ fib m ∣ fib n
R : Type u
a b : R
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).natDegree ≤ 1
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 0) fun SV => {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Finite
hf : Measurable (sᶜ.restrict f)
⊢ Measurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
PartialOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ
⊢ (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)
R : Type u
S : Type w
Star R
SetLike S R
hS : StarMemClass S R
s : S
x : ↥s
⊢ ↑(star x) = star ↑x
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed ∅
α : Type u_1
M : Matroid α
R X : Set α
⊢ (M.restrict R).Dep X ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : ∑' (i : ℕ), ↑(d i) ≠ ⊤
⊢ CauchySeq f
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ sᶜ
⊢ (Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inr ⟨x, hx⟩
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x) → IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
⊢ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
⊢ False
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : Set (AddSubmonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
s n : Nat
⊢ range' s (n + 1) = range' s n ++ [s + n]
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y
⊢ (pointReflection R x) x ≠ (pointReflection R x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
⊢ MeasureTheory.Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable f (μ i)