ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ s = 𝓟 s ↔ IsOpen s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
a : α
⊢ Sum.inl a ∈ s.disjSum t ↔ a ∈ s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g).hom (F.map h))
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom))
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ cmp y x = cmp y' x'
x : ℂ
n : ℕ
hx : Complex.abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
⊢ Complex.abs (Complex.exp x - ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ Complex.abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ Finset.Icc a b \ Finset.Ioc a b = {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt g p x n
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t
⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L t)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ
⊢ μ[∑ i ∈ ∅, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ ∅, μ[f i|m]
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ |(o.areaForm x) y| = ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.contains a l = l.toList.any fun x => x.fst == a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => -x) (-1) x
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
c : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
c' : R
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (‖c'‖ * c) l (fun x => c' * f x) g
n m : ℕ
h : n < m
⊢ [n] ++ Ico n.succ m = n :: Ico (n + 1) m
α : Type u_1
ι : Sort u_6
m : ι → MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (⋃ n, {t | MeasurableSet t}) = ⨆ n, m n
α : Type u_1
M : IndepMatroid α
⊢ ∀ (x : Set α), M.matroid.Base x = (x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I})
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
hx : X.basicOpen ((X.presheaf.map i.op) x) = ⊥
⊢ X.basicOpen x = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
a : α
⊢ (Finsupp.filter p f) a = if p a then f a else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : { f // AEStronglyMeasurable f μ } := Quotient.out' f
this : g = ⟨↑g, ⋯⟩
⊢ ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ n
⊢ s.prod ≤ n ^ Multiset.card s
K : Type u_1
Field K
x : RatFunc K
⊢ Valued.v x = (Polynomial.idealX K).valuation x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ False
a c b d : Nat
hac : a < c
hbd : b ≤ d
hd : 0 < d
⊢ a * b < c * d
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ MeasurableSet (Ioc a c)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
x : L
⊢ LieModule.posFittingCompOf R M x = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ A
HA : μ A < ⊤
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
k : ℕ
⊢ derivative (bernoulli k) = ↑k * bernoulli (k - 1)
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑↑(F.obj j₃))ᵒᵖ
⊢ (F.map (f ≫ g)).c.app U = (F.map g).c.app U ≫ ((pushforward C (F.map g).base).map (F.map f).c).app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
⊢ ⟦H.evalAt x⟧ = eqToHom ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) ≫ eqToHom ⋯
m n : Nat
⊢ Int.negOfNat n * Int.negSucc m = Int.ofNat (n * m.succ)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 = x ∨ 0 < x
hxy : x < y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
⊢ ∀ {X Y : D} (f : X ⟶ Y) (t : C),
  ((CategoryTheory.evaluationRightAdjoint D c).map f).app t =
    CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun g =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => X) g) f
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
⊢ ↑φ = 1 ↔ φ = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖c • ‖x‖⁻¹ • x‖ = c
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α
⊢ ¬⊤ < a
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
⊢ (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j + (F.obj j).smul s ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ }
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Finset ι
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
⊢ -a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
⊢ S.leftInv.leftInv ≤ S
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).reverse = p.reverse.transfer H ⋯
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R (n - 1) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R n - Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1)
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₂.HasTensor X₃
X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I C
Y₂.HasTensor Y₃
Y₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₂ f₃) j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f₁ i₁) (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f₂ i₂) (f₃ i₃)))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h)
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S T : AddSubgroup A
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p Set.univ x ↔ HasFPowerSeriesAt f p x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (volume.restrict (Ioi 0))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y ∈ U
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Surjective (image f) ↔ Surjective f
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f g : Module.End K M
FiniteDimensional K M
PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
⊢ (f * g).IsSemisimple
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b \ Ico a b = {b}
F : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
⊢ IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(CategoryTheory.Limits.colimit.ι F CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ ¬a < b → ¬a.toPGame ⧏ b.toPGame
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
⊢ κ.rnDeriv η = fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
a : β × α
g : γ → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.swapLeft a = ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ a.swap
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ AddCommGroup.DirectLimit.map (fun i => AddMonoidHom.id (G i)) ⋯ = AddMonoidHom.id (AddCommGroup.DirectLimit G f)
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
IsNoetherianRing R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑I
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x) = 1
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D T
X : T
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T)) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F X).obj X_1).left = F.obj X_1.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t
⊢ insert x ↑s \ ↑t = insert x (↑s \ ↑t)
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
⊢ IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ (CategoryTheory.sheafOfTypesBotEquiv.inverse.obj P).val = P
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂0 = 0
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)
⊢ x ∈ piFinset s ↔ init x ∈ piFinset (init s) ∧ x (last n) ∈ s (last n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
DecidableEq α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊥
⊢ ⊥ < ∏ i ∈ s, f i
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
⊢ ↑I ≤ ⊥
a b : Rat
⊢ { num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
⊢ ↑(⨅ i, f i) = a ⊓ ⨅ i, ↑(f i)
s : Set EReal
⊢ s ∈ 𝓝 ⊤ ↔ ∃ y, Set.Ioi ↑y ⊆ s
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₃ : Type u_3
J : Type u_4
Zero I₂
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
self : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π
i₁ : I₁
⊢ self.p₁₂ (i₁, 0) = i₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
⊢ ((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ⊥ < map f ↑x) ↔ StrictMono f
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : ι →₀ R
n : N
i : ι
⊢ ((finsuppScalarLeft R N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = (p.sum fun i m => Finsupp.single i (m • n)) i
x z : EReal
h : x < z
⊢ ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvx : Tendsto v atTop (𝓝[≤] x)
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β γ : Type v
x : Functor.Comp F G α
f : Functor.Comp F G (α → β)
g : Functor.Comp F G (β → γ)
⊢ (Seq.seq g fun x_1 => Seq.seq f fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (Function.comp <$> g) fun x => f) fun x_1 => x
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
hB : Q.Anisotropic
⊢ LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated' Q)
x y : ℂ
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
a : α
hf : ContinuousAt f a
h₀ : f a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => Real.log (f x)) a
M : Type u_2
N : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ ∀ (a : Mᵐᵒᵖ), (MonoidHom.op f) a = (MulOpposite.op ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.unop) a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
⊢ JoinedIn F x y
K : Type u_3
Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0
⊢ b - a / c = (b * c - a) / c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
e : h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ h₂₂
⊢ CategoryTheory.IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂) ↔ CategoryTheory.IsPushout h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ ¬P ≈ Q
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ Complex.normSq ((o.kahler x) y) = (‖x‖ * ‖y‖) ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ (K.isoHomologyπ i j hi h).inv ≫ K.homologyπ j = 𝟙 (K.homology j)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
M : Type u_3
AddCommGroup M
S : AddSubgroup M
⊢ ↑(AddSubgroup.toIntSubmodule S) = ↑S
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
g : α → β
y : α
q : Fin n → α
⊢ g ∘ Fin.cons y q = Fin.cons (g y) (g ∘ q)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
α : Type u
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : a ∈ List.filter p l
⊢ a ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, o = succ a
⊢ o.pred ≤ o
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ LieSubalgebra.ofLe h = LieSubalgebra.comap K'.incl K
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContinuousOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : (i : ι) → β i
s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
⊢ i ∈ ↑s ∧ f i ≠ 0 ↔ f i ≠ 0
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
⊢ J(↑a | b) = J(↑a | b % (4 * a))
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm
⊢ ∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Finite β
f : α → β
H : Function.Injective f
⊢ Finite α
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
f : ι₁ → ↥M'
hf : LinearIndependent R f
g : ι₂ → M
hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)
x : M
h₁ : x ∈ span R (range fun x => ↑(f x))
h₂ : x ∈ span R (range g)
⊢ x = 0
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ X ^ n - C a ≠ 0