ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
⊢ ∫⁻ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ Function.Antiperiodic f (-c)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
val✝ : Encodable ι
⊢ MeasurableSpace.pi = generateFrom (univ.pi '' univ.pi C)
R : Type uR
Semiring R
T : Type uT
Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
x : R
⊢ (RingQuot.lift ⟨f, w⟩) ((RingQuot.mkRingHom r) x) = f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
G.IsLocallyFaithful K
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving K G
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ dite P A B = c ↔ (∃ h, A h = c) ∨ ∃ h, B h = c
X : Type u_1
⊢ Set.range OnePoint.some ∪ {OnePoint.infty} = Set.univ
R : Type u_2
Ring R
⊢ IsSimpleModule R R ↔ Nontrivial R ∧ ∀ (x : R), x ≠ 0 → IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f g : Filter β
u : β → α
h : f ≤ g
⊢ Filter.IsBoundedUnder r g u → Filter.IsBoundedUnder r f u
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k j : ZMod N
⊢ toCircle (-(j * k)) • χ j = χ j * (stdAddChar.mulShift (-k)) j
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this : IsComplete univ
⊢ MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2}
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
LinearOrder γ
OrderClosedTopology γ
Zero γ
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf).posPart = MeasureTheory.AEEqFun.mk (fun x => max (f x) 0) ⋯
ζ : ℂ
n : ℕ
h : ζ ^ n = 1
hn : n ≠ 0
⊢ ‖ζ‖₊ = 1
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : { f // f GradedMonoid.GOne.one = 1 ∧ ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), f (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = f ai * f aj }
xi : ι
xv : A xi
⊢ ↑((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) f)) xv = ↑f xv
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
f : P → P₂
hf : Isometry f
p : P
g : V → V₂
hg : ∀ (v : V), g v = f (v +ᵥ p) -ᵥ f p
⊢ g = ⇑(vaddConst 𝕜 (f p)).symm ∘ f ∘ ⇑(vaddConst 𝕜 p)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : L.IsCountablyGenerated
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) L (𝓝 (μ E))
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E
⊢ ∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • e
a b : Prop
⊢ ¬a → ¬b ↔ b → a
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f + CauSeq.Completion.mk g = CauSeq.Completion.mk (f + g)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddZeroClass α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
⊢ f c = -f 0
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
β : Type u_4
s : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β s
⊢ WellFounded s ↔ ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})
⊢ ⋂ r, Iic ↑r = ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
⊢ (∃ t₁ ∈ f, t₁ * univ ⊆ s) → s = univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F G : CategoryTheory.Functor A B
H : CategoryTheory.Functor A B
η : F ⟶ G
γ : G ⟶ H
J.HasSheafCompose F
J.HasSheafCompose G
J.HasSheafCompose H
⊢ CategoryTheory.sheafCompose_map J (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.sheafCompose_map J η) (CategoryTheory.sheafCompose_map J γ)
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Type u_3
f : I → Type u_4
i' : I
inst : ∀ (i : I), Nonempty (f i)
inst✝ : Nontrivial (f i')
this : DecidableEq ((i : I) → f i) := Classical.decEq ((i : I) → f i)
⊢ Nontrivial ((i : I) → f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
h : Set.MapsTo f s t
hc : Continuous f
ht : IsClosed t
⊢ Set.MapsTo f (closure s) t
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ ⊥.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
⊢ N' ≤ N
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : λ ∣ -x - 1
⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
p : Turing.ListBlank Γ → Prop
q : Turing.ListBlank Γ
h : ∀ (a : List Γ), p (Turing.ListBlank.mk a)
⊢ p q
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
α : Type u_2
Fintype α
⊢ StrictMono Finset.dens
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
⊢ IsOpen {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x : E
⊢ (c • p).ball x r = p.ball x (r / ↑c)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map D.δ ((forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)) = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ D.δ x₃ = D.v₂₃.τ₁ x₁
G : Type u_2
Group G
S : Set (Subgroup Gᵐᵒᵖ)
⊢ (sInf S).unop = sInf (Subgroup.op ⁻¹' S)
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (limUnder Filter.atTop f))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
ι : Type u_4
s : Finset ι
A : ι → Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x
i j : n
⊢ abv ((∑ k ∈ s, A k) i j) = abv (∑ k ∈ s, A k i j)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (Set.range (F.map f)).Finite
⊢ F.IsMittagLeffler
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.rotate C).map f).hom₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
LE α
LE β
EquivLike F α β
self : OrderIsoClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f a ≤ f b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
m : M
⊢ (ExteriorAlgebra.GradedAlgebra.ι R M) m * (ExteriorAlgebra.GradedAlgebra.ι R M) m = 0
a b : ℕ
⊢ a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
ι : Type u_6
x : ℕ → ι
p : ι → Prop
l : Filter ι
h_tendsto : Filter.Tendsto x Filter.atTop l
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, p (x n)
⊢ ∃ ns, Filter.Tendsto (fun n => x (ns n)) Filter.atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j) ((Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
R : Type u_1
CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ w ⬝ᵥ (crossProduct v) w = 0
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
α : Type u_2
Zero α
⊢ Set.Nonempty 0
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
⊢ 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1 + (n + 1)), (m - ↑k)
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : FirstOrder.Language
(a : α) → L.Structure (M a)
∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula β n
x : β → (a : α) → M a
v : Fin n → (a : α) → M a
⊢ (φ.Realize (fun i => Quotient.mk' (x i)) fun i => Quotient.mk' (v i)) ↔
  ∀ᶠ (a : α) in ↑u, φ.Realize (fun i => x i a) fun i => v i a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
f : M →L[A] M₂
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.restrictScalars R f) = ↑R ↑f
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (Equiv.addRight a ^ n) x✝ = (Equiv.addRight (n • a)) x✝
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ Inseparable a 1 ↔ ‖a‖ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
⊢ J = ⊤
α : Type u_1
n : Nat
a : α
p : α → Bool
⊢ List.takeWhile p (List.replicate n a) = if p a = true then List.replicate n a else []
α : Type u_1
Lattice α
IsLowerModularLattice α
a b : α
⊢ a ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ b
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
⊢ (Pi.basisFun R ι).det = Matrix.detRowAlternating
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α β : 𝟭 C ⟶ 𝟭 C
X : C
⊢ (α ≫ β).app X = (β ≫ α).app X
R : Type u
CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin n) R
⊢ Polynomial.eval 0 (Polynomial.derivative (1 + Polynomial.X • M.map ⇑Polynomial.C).det) = M.trace
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
x : α
⊢ |x - ↑(round x)| = min (Int.fract x) (1 - Int.fract x)
n : ℕ
G : Type u_6
AddGroup G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
⊢ (nsmulCoprime h) (-g) = -(nsmulCoprime h) g
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.pure id ⊛ s = s
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
hdvd : DvdNotUnit a (minpoly A x)
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
⊢ a.natDegree < (minpoly A x).natDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)
⊢ ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ f.range, ((μ.trim hm) (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
α : Type u'
⊢ (FirstOrder.Language.constantsOn α).card = Cardinal.mk α
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : X.X
ha : a ≠ X.point
⊢ ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun (some ⟨a, ha⟩) = (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun (some ⟨a, ha⟩)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.lastFun (TypeVec.ofSubtype p) = id
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ l ≤ Filter.cofinite ↔ ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
⊢ Set.InjOn f s
G : Type u_3
AddSemigroup G
a b : G
h : AddCommute a b
⊢ Function.Commute (fun x => a + x) fun x => b + x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Iio a ↔ x✝ ∈ Iio ⌈a⌉₊
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.liminf u f)ᶜ = Filter.limsup (compl ∘ u) f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
CategoryTheory.Limits.HasImage (g ≫ h)
CategoryTheory.Limits.HasImage (f ≫ g ≫ h)
CategoryTheory.Limits.HasImage h
CategoryTheory.Limits.HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ CategoryTheory.Limits.image.preComp f (g ≫ h) ≫ CategoryTheory.Limits.image.preComp g h =
  CategoryTheory.Limits.image.eqToHom ⋯ ≫ CategoryTheory.Limits.image.preComp (f ≫ g) h
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
⊢ f = 1 ∨ g = 1
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜),
    ∃ L₀ L₀' D₀,
      (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L₀).prod * M *
          (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L₀').prod =
        Matrix.diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ ∃ L L' D,
  (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M * (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod =
    Matrix.diagonal D
n m : Nat
⊢ n ^ (m + 1) = n ^ m * n
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ (k + m))
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ReflTransGen r a b
⊢ a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b
A B : Grp
f : A ⟶ B
a : ↑A
this : f a ∈ {b | h b = g b}
⊢ g (f a) = h (f a)
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
e e' : E ≃ₗᵢ[R] E
⊢ ⇑(e * e') = ⇑e ∘ ⇑e'
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) β) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
⊢ ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp α β)).app b = (rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ (aeval 1) g_poly = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : ℕ → α
hf : CauchySeq f
⊢ Cauchy (map f Filter.cofinite)
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.indicator f = f ↔ Function.support f ⊆ s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ φ (o.rightAngleRotation x) = o.rightAngleRotation (φ x)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ↑b ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (a⁻¹ * x) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : F
⊢ (Z.localTriv i).symm b v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v
α : Type u_1
Inhabited α
a : α
⊢ a ∈ Semiquot.univ
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
Y₁ : Sort u_3
Y₂ : Sort u_4
Z₁ : Type u_5
Z₂ : Type u_6
TopologicalSpace X₁
TopologicalSpace X₂
TopologicalSpace Z₁
TopologicalSpace Z₂
f₁ : X₁ → Y₁
g₁ : Z₁ → Y₁
f₂ : X₂ → Y₂
g₂ : Z₂ → Y₂
mapX : X₁ → X₂
contX : Continuous mapX
mapY : Y₁ → Y₂
mapZ : Z₁ → Z₂
contZ : Continuous mapZ
commX : f₂ ∘ mapX = mapY ∘ f₁
commZ : g₂ ∘ mapZ = mapY ∘ g₁
⊢ Continuous (Function.mapPullback mapX mapY mapZ commX commZ)