ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
⊢ ∃ v', v < v'
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
⊢ p x hx
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} D₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.CatCommSq G L₁ L₂ G'
CategoryTheory.CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.Localization.η adj L₁ L₂ W₂ G' F').app (L₂.obj X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G'.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂))
      (L₂.map (adj.counit.app X₂)))
α : Type u_1
⊢ (match (motive := Bool → Num → Num) true with | true => Num.bit1 | false => Num.bit0) 0 = 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < M * r i
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
α : Type u_1
s : Set α
⊢ SetSemiring.down (Set.up s) = s
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ l ⊆ List.insert a l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F
⊢ Continuous fun a => y (a x)
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a : α
⊢ Encodable.decode₂ α n = some a ↔ Encodable.encode a = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ (γ.leftShift a n' hn').rightShift a n hn' = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a
β : Type u_2
α : Type u_4
Finite (α ⊕ β)
⊢ Finite β
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
hs : s.Finite
⊢ span R ↑hs.toFinset = span R s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ico a b) μ
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
u₁ u₂ : ℤˣ
⊢ u₁ / u₂ = u₁ * u₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
⊢ MonotoneOn (dist x) (Ici x)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj (op P))
⊢ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
⊢ (α + β).f = α.f + β.f
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
hc : Continuous fun u => u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n
x✝ : ℝ
⊢ cos x✝ * cos x✝ = 1 - sin x✝ * sin x✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType
⊢ m.coeEmbedding x ∈ m.toEnumFinset
m n : ℤ
hne : m ≠ n
⊢ 1 ≤ |↑m - ↑n|
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a * b / (a / c) = b * c
n m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ n ∣ m → n ≤ m
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ a / b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
α : Type u
a : α
⊢ [a].reverse = [a]
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this✝¹ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j
this✝ : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right
this : g₁.right = g₂.right
⊢ f₁ = f₂
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
h : (interior s).Nonempty
⊢ dimH s = ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
⊢ k.Coprime p
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a * b * a⁻¹ = 1 ↔ b = 1
α : Type u
s : Set α
⊢ Disjoint s ∅
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ List.takeD l₁.length (l₁ ++ l₂) a = l₁
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
H : ∀ (c : α), a ≤ c ↔ b ≤ c
⊢ a = b
a b : Prop
h : a = True
⊢ (a ↔ b) = b
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.card s = Multiset.countP p s + Multiset.countP (fun x => ¬p x) s
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p q : List α}, p ++ q = [] ↔ p = [] ∧ q = []
⊢ RingHom.RespectsIso @RingHom.FinitePresentation
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
⊢ ¬Nat.Prime (mersenne p) → ¬LucasLehmerTest p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
b : 𝔸
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => b * a y) x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasInitial C
h : ∀ (A : C) (f : A ⟶ ⊥_ C), IsIso f
I A : C
f : A ⟶ I
hI : IsInitial I
this : IsIso (f ≫ hI.to (⊥_ C))
⊢ f ≫ hI.to (⊥_ C) ≫ inv (f ≫ hI.to (⊥_ C)) = 𝟙 A
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ im (r • z) = r * im z
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
Nonempty ι
LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => Filter.liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) Filter.atTop) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
C' : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C'
D' : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D'
iC : CategoryTheory.Functor C C'
iD : CategoryTheory.Functor D D'
L' : CategoryTheory.Functor C' D'
R' : CategoryTheory.Functor D' C'
adj : L' ⊣ R'
hiC : iC.FullyFaithful
hiD : iD.FullyFaithful
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
comm1 : iC.comp L' ≅ L.comp iD
comm2 : iD.comp R' ≅ R.comp iC
X : C
⊢ iC.map ((adj.restrictFullyFaithful hiC hiD comm1 comm2).unit.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app (iC.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R'.map (comm1.hom.app X)) (comm2.hom.app (L.obj X)))
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
⊢ s.IsPWO ↔ ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
⊢ ↑((S.leftInvEquiv hS).symm x) * ↑x = 1
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g * (1 - f.inv hf * f)).LimZero
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ rank 0 = 0
G : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
⊢ (univ.lcm fun x => exponent (M x)) ∣ exponent ((i : ι) → M i)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
self : CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.ColimitCocone F)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => c ^ f x) ((c ^ f x * Complex.log c) • f') s x
α : Sort u
β : Sort v
⊢ Function.Injective fun e => ⇑e
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
⊢ a • 1 ⊗ₜ[R] m ∈ baseChange A p
𝕜 : Type u
ι : Type v
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
k : ℕ
x : (i : ι) → E₁ i
⊢ ‖f.iteratedFDeriv k x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial k) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - k)
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
⊢ s.tail.get? n = s.get? (n + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]
hp : p ≠ 0
this : ∀ q ∈ Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p), Prime q
⊢ factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)
α : Type u_1
β : Type u_2
Div β
a b : β
⊢ Function.const α a / Function.const α b = Function.const α (a / b)
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.ofSubtype p) = TypeVec.ofSubtype (TypeVec.dropFun p)
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m % n = m ↔ m < n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
hb : Disjoint a b
hc : Disjoint a c
⊢ Disjoint a (b ⊔ c)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ f a ≤ cfcₙ g a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
DecidableEq X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
⊢ ContinuousOn (Function.update f x y) s ↔ ContinuousOn f (s \ {x}) ∧ (x ∈ s → Filter.Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y))
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Neg (f i)
DecidableEq I
f₁ : (i : I) → f i
i : I
x₁ : f i
⊢ Function.update (-f₁) i (-x₁) = -Function.update f₁ i x₁
p : ℕ
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (WittVector.mapFun f)
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
f : ℝ → ℝ
a : ℝ
h : IsLocalMax f a
⊢ deriv f a = 0
α : Type u
a b c : α
LE α
h₁ : a = b
h₂ : b ≤ c
⊢ a ≤ c
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ f.comp (AffineMap.id k P1) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ diam (closure s) = diam s
a : Nat
b c : Nat
h : b ≤ c
⊢ (a + b = c) = (a = c - b)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t ⊔ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t' ≤ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (t ∩ t')
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
h : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
ab : a * b = a0 * b0
⊢ f a * f b = f a0 * f b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a
⊢ blimsup u f p = blimsup v f p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
⊢ τ = τ'
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : AEFinStronglyMeasurable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ
⊢ f - g =ᶠ[ae μ] 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
⊢ ⇑(v.toOrthonormalBasis hv) = ⇑v
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ ∑ s ∈ 𝒜, (↑((Fintype.card α).choose s.card))⁻¹ ≤ AhlswedeZhang.infSum 𝒜
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⋂ n, Ioi ↑n = {⊤}
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a + star a = 2 * ↑a.re
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : _root_.Disjoint s t
⊢ (s.disjUnion t h).dens = s.dens + t.dens
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
⊢ (∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).J), Q (Scheme.Hom.app ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).map i ≫ f) ⊤)) ↔ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
a : β
⊢ ∀ (x : β), (∀ y < x, f y = g y) → f x = g x
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime (y * x) z ↔ IsCoprime y z
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
SupSet α
Inhabited ↑s
⊢ sSup ∅ = default
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
⊢ (Multiset.map f s).prod ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
F : RingQuot r →+* T
⊢ (fun f => preLift ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩) F) = F
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i : Fin (n + 1)
⊢ ⇑(Equiv.piFinSuccAbove α i) = fun f => (f i, i.removeNth f)
R : Type u
σ : Type u_1
a a' : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C a * (MvPolynomial.monomial s) a' = (MvPolynomial.monomial s) (a * a')
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
hnm : m < n
⊢ n = m
α β : Type u
Infinite α
Zero β
Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) = max #α #β
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeGroup.Red.Step (L₁ ++ (x, !b) :: (x, b) :: L₂) (L₁ ++ L₂)
n m : Nat
⊢ n * (m + 1) = n * m + n
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
⊢ (frobenius (Ring.Perfection R p) p).comp (Perfection.pthRoot R p) = RingHom.id (Ring.Perfection R p)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x - x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y X' Y' : C
f g : X ⟶ Y
f' g' : X' ⟶ Y'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
wf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p f'
wg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g'
⊢ (CategoryTheory.Limits.parallelPairHom f g f' g' p q wf wg).app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.IsFiltered J
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i j : J
x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)
y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i) x = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) y ↔ ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m
k : ℕ
h_k_le : k ≤ finrank K V
hk : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
⊢ LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
α : Type u
x : WithOne α
⊢ x ≠ 1 ↔ ∃ a, ↑a = x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
he : IsEmpty ↑(F.obj X)
⊢ False
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
p : ι × ℝ
⊢ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I (insert p s) =
  BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s ⊓ BoxIntegral.Prepartition.split I p.1 p.2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
⊢ ∀ (f₁ : Subobject Y), (map g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj f₁ ⊓ (map g).obj f₂
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
p.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat p = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (((λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ N.actLeft) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
p : ℕ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hp : p ≠ 0
⊢ ProbabilityTheory.centralMoment 0 p μ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
g : E → ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.map (ENNReal.toReal ∘ g) f) =
  (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β
⊢ a ∈ interedges r s (t.biUnion f) ↔ a ∈ t.biUnion fun b => interedges r s (f b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F F' : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imageSheafι f).val =
  (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J
      (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f.val)).ι
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
⊢ f = CategoryTheory.Limits.Types.descFun hc lc ↔ ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ f' =O[l] fun x => (f' x, g' x)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p ^ k ≤ m ↔ k ≤ Associates.bcount ⟨p, h₂⟩ m.factors