ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
b : β
bs : List β
⊢ List.map₂Right' f [] (b :: bs) = (f none b :: List.map (f none) bs, [])
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card
⊢ (fun x => x + t.dens) (s \ t).dens = (fun x => x + t.dens) (t \ s).dens
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ x⁻¹.toNNReal = x.toNNReal⁻¹
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
⊢ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ (∃ Z_1 g_1 h, ∃ (_ : Triangle.mk g g_1 h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z_1) ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
s : Set α
⊢ t ∈ 𝓝[s] a ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ a ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ t
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.addRight a) = fun x => x + a
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose
ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))
ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
⊢ ∀ (i : ℕ), ↑i < min φ.order ψ.order → (coeff R i) (φ + ψ) = 0
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ 0 < Function.minimalPeriod f x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
⊢ ↑p ^ 0 ⊆ ↑(p ^ 0)
n : ℕ
d : ℕ
a : Fin n → ℕ
⊢ (Behrend.map d) a = ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_10
MulZeroClass α
f g : X → α
⊢ (tsupport fun x => f x * g x) ⊆ tsupport g
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i
⊢ (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = ↑x
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
⊢ (p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F : CategoryTheory.ComposableArrows C 0
⊢ ∃ X, F = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₀ X
n : ℕ
x : ZMod n
⊢ (-x).cast = -x.cast % ↑n
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y
v : ↥((↑A).toPMap p).domain
⊢ ⟪↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y, ↑v⟫_𝕜 = ⟪↑x, ↑((↑A).toPMap p) v⟫_𝕜
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
OreLocalization.OreSet (nonZeroDivisors R)
NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ (r /ₒ s)⁻¹ = if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a +ᵥ t ↔ ∃ y ∈ t, a +ᵥ y = x
α : Type u_1
p : α → Bool
xs : List α
w : List.findIdx p xs < xs.length
⊢ p (xs.get ⟨List.findIdx p xs, w⟩) = true
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (R.boundedFormula₂ t₁ t₂).Realize v xs ↔ RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Group.rank ↥(commutator G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
⊢ ∀ (x : β), p x ∧ q x → p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
h✝ : (↑s).Nontrivial
⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι
ξ : Basis ι 𝕜 E
this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E := comm_topologicalAddGroup_is_uniform
⊢ Continuous ⇑ξ.equivFun
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
a : α
ha : 0 < a
n : ℕ
⊢ 0 < a ^ n
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.left
α : Type u_1
s : List α
x : α
hn : 0 < (List.permutations'Aux x s).length := ⋯
⊢ (List.permutations'Aux x s).get ⟨0, hn⟩ = x :: s
α : Type u_1
a : α
f : α →₀ ℕ
⊢ f.multinomial = (f.sum fun x => id).choose (f a) * (f.update a 0).multinomial
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
val✝ : Fintype G
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ ClassGroup.mk0 ⟨ClassGroup.integralRep ↑I, ⋯⟩ = ClassGroup.mk I
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => (g +ᵥ t) ∩ s)
⊢ μ t ≤ μ s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_1
t : ι → Set (PrimeSpectrum R)
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (⋃ i, t i) = ⨅ i, PrimeSpectrum.vanishingIdeal (t i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : A →ₙₐ[R] B
⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.map f ⊥) = ↑⊥
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a
⊢ p = 1
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : AddSubmonoid M
⊢ ↑x.op = AddOpposite.unop ⁻¹' ↑x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
⊢ ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Topology.IsLawson.lawsonBasis α)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Zero G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
⊢ ⇑0 = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this : ContinuousSMul G H
⊢ IsOpenMap ⇑f
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥v.submodule = 1
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f y
⊢ deriv f y < slope f x y
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.dist u v = sInf (Set.range SimpleGraph.Walk.length)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ ⇑f.toMultilinearMap = ⇑f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j
⊢ IsCoprime (1 - e i) (1 - e j)
n : ℕ
⊢ ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) = if Even n then ↑n / 2 else ↑n
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ (IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r) = RingHom.id S
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
⊢ minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
⊢ (φ ≫ (𝟙 (X _[n + 1]) + (Hσ q).f (n + 1))) ≫ X.δ j.succ = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hst : ↑s ≃ ↑t
⊢ s.Finite ↔ t.Finite
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.dualCoannihilator Φ) =
  FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.dualAnnihilator Φ)
x : ℂ
⊢ Complex.cos ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.cos x)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊆ tᶜ ↔ Disjoint s t
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Ring E
Algebra F E
hr : FiniteDimensional.finrank F E = 2
⊢ IsSimpleOrder (Subalgebra F E)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasStrictFDerivAt a a' x
b : 𝔸
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => a y * b) (a'.smulRight b) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist x y / ↑K ≤ edist (f x) (f y)
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∃ x, p x
F : Type u
Field F
r : F
⊢ ↑(RatFunc.C r) = HahnSeries.C r
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, ⊥⁆ = ⊥
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m * m < n * n ↔ m < n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.withDensity 1) a✝¹) s✝ = (κ a✝¹) s✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
p : α × β
⊢ Prod.map f g p = (f p.1, g p.2)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝² : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this✝¹ : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsAlgebraic E ↥E⟮x⟯
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N
⊢ r • m ∈ s • N
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
AddAction G β
⊢ AddAction.orbitRel G (α × β) ≤ Setoid.comap Prod.snd (AddAction.orbitRel G β)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : AddSubmonoid M
hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p
hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p
ab : A ⊗[R] B
m : M
x✝ : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ 0 • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
⊢ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype α
x : α
hx : f x ≠ x
hy : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
⊢ ∀ (y : Cycle α), (fun s => ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f) y → y = ↑(f.toList x)
α : Type u_1
ι : Sort u_3
f : ι → Filter α
⊢ (iInf f).smallSets = ⨅ i, (f i).smallSets
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
n : ℕ
⊢ CauSeq.const abv (x ^ n) = CauSeq.const abv x ^ n
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis ((fun x If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) x) ((fun x If => ⋂ i ∈ If.1, If.2 i) x)
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
⊢ f.nextCoeff = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
⊢ limsup u (f ⊔ g) = limsup u f ⊔ limsup u g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
a : α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
ha✝ : a ∈ x
ha : x = some a
⊢ pmap f x h = some (f a ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ < t₂
⊢ s₁.disjSum t₁ < s₂.disjSum t₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
⊢ S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
q : { q // IsCompl p q }
⊢ ↑(p.isComplEquivProj q) = p.linearProjOfIsCompl ↑q ⋯
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A
f : A →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑f
t : Finset A
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))
g : ↑↑t
f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g
⊢ (ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : α → Prop
⊢ (∀ a ∈ Set.range f, p a) ↔ ∀ (i : ι), p (f i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : HasFDerivWithinAt f f' s x
ht : HasFDerivWithinAt f f' t x
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝[s] x ⊔ 𝓝[t] x)
R : Type u_1
L : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L
⊢ ((↑(LieAlgebra.ad R L)).polyCharpoly b).coeff (LieAlgebra.rank R L) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇨ aᶜ = aᶜ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
g : LatticeHom β γ
f₁ f₂ : LatticeHom α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k))
⊢ (Summable fun k => ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.blocks.sum = n
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
CommRing A'
Algebra R A
Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
hfv : AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
⊢ AlgebraicIndependent R x
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsDomain K
k : ℕ
⊢ (k + 1 + 1)! = (k + 1 + 1)‼ * (k + 1)‼
N k : ℕ
⊢ (N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x
⊢ (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) (p * q) = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p * (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) q