ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r
⊢ ∃ r < ↑n, x = ζ ^ r ∨ x = -ζ ^ r
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ →₀ ℕ
⊢ (1 = 0 ∨ i ≤ j) ∧ 1 ∣ 1 ↔ i ≤ j
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
fr : RestrictScalars ℝ 𝕜 F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
⊢ fr.extendTo𝕜 x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
hf : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
c : ℝ
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (c • f) vol (c • y)
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n
⊢ 0 * k = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Function.LeftInverse ⇑TensorAlgebra.ιInv ⇑(TensorAlgebra.ι R)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
⊢ x = y
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S i → x ∈ iSup S
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
⊢ IsUnit x ↔ ∀ (y : α), x ∣ y
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : ℝ → F
⊢ IntegrableOn g (f '' s) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |f' x| • g (f x)) s volume
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ENNReal.ofReal r
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
⊢ (n / d).totient = (Finset.filter (fun k => n.gcd k = d) (Finset.range n)).card
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsTruncGE
j : ι
k' : ι'
h : c'.Rel (e.f j) k'
⊢ ∃ k, e.f k = k'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
Y Z : C
q n : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
f : Z ⟶ Y
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q (f ≫ φ)
x : ℝ
⊢ ↑x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set α
⊢ EMetric.diam s ≤ ↑K * EMetric.diam (f '' s)
h : IsSquare (-1)
⊢ ∃ x y, 1 = x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_2
DecidableEq α
GroupWithZero α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s / 0 = 0
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
I.IsMaximal
⊢ IsCoatom I
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
⊢ factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image f') (ι f') (factorThruImage f') ⋯) ≫ ι f'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
H : P f
⊢ P (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
⊢ Monotone (SimpleGraph.map f)
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
⊢ ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
Algebra S R
DistribMulAction S A
IsScalarTower S R A
⊢ algebraMap S (Unitization R A) = (Unitization.inlRingHom R A).comp (algebraMap S R)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ s ∩ f ⁻¹' t ⊆ f ⁻¹' (f '' s ∩ t)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s
⊢ p x hx
α : Sort v
β : α → Sort u
a₁ a₂ : α
b : (x : α) → β x
h : a₁ = a₂
⊢ HEq
  (let x := a₁;
  b x)
  (let x := a₂;
  b x)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
⊢ x ^ (n % orderOf x) = x ^ (n % orderOf x + orderOf x * (n / orderOf x))
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f (x + 1) = f x + 1
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ dist a 1 = ‖a‖
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : WithBot α
⊢ a * ⊥ = if a = 0 then 0 else ⊥
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
b : β
hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t
a : β
hab : a ≠ b
ha : ∀ t ∈ 𝓝 a, 0 < m t
⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2
m : ℕ
e : n / 2 = m.succ
⊢ (match (n.bodd, n / 2) with | (false, m) => Option.map Sum.inl (decode m) | (fst, m) => Option.map Sum.inr (decode m)) = none
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Balanced C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
⊢ IsIso f
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
⊢ Set.InjOn (fun s => ∏ p ∈ s, p) ↑(𝒜 \\ 𝒜)
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n ! / ↑n ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
M : Type x
AddMonoid M
f g : G ⧸ N →+ M
h : f.comp (QuotientAddGroup.mk' N) = g.comp (QuotientAddGroup.mk' N)
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ Submodule.comap f q
x : M
⊢ (p.mapQ q f h) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x y : ModP K v O hv p
⊢ ModP.preVal K v O hv p (x + y) ≤ max (ModP.preVal K v O hv p x) (ModP.preVal K v O hv p y)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
⊢ a⁻¹ = 0 ↔ a = 0
x y : USize
⊢ x.toNat = y.toNat → x = y
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
H : ¬∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
⊢ False
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ULift.up
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
SemilatticeSup M
OrderBot M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (Finsupp.weight w) d ≤ MvPolynomial.weightedTotalDegree w φ
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
⊢ Subgroup.map f (derivedSeries G n) = derivedSeries G' n
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4
ε : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c → Sort u_5
p q : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → (d : δ a b c) → ε a b c d → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c) (e : ε a b c d), p a b c d e ↔ q a b c d e
⊢ (∃ a b c d e, p a b c d e) ↔ ∃ a b c d e, q a b c d e
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ
⊢ iterate f a (m + n) = iterate f a m ++ iterate f (f^[m] a) n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)
⊢ (sum ⟦l⟧).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ⟦l⟧, b.Disjoint a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
n : ↑S.X₁
cn : ι →₀ R
hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'
hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n
hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)
⊢ m' ∈ span R (range u)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
a : α
hf : ContinuousWithinAt f s a
h₀ : f a ≠ 0
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => Real.log (f x)) s a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
M : Type u_1
AddMonoid M
x : M
⊢ 0 ∈ multiples x
G : Type u_1
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
⊢ ⇑(Homeomorph.neg G) = Neg.neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
H : ⊤ ≤ LinearMap.ker (mkLinearMap S M)
x : M
s : ↥S
⊢ Function.uncurry (IsLocalizedModule.mk' (mkLinearMap S M)) (x, s) = 0
l : List ℤ
n : ℕ
⊢ jacobiSym l.prod n = (List.map (fun a => jacobiSym a n) l).prod
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t.setRed ↔ Batteries.RBNode.Ordered cmp t
α : Type u
x y : α
L1 L2 : List α
⊢ { head := x, tail := L1 } * { head := y, tail := L2 } = { head := x, tail := L1 ++ y :: L2 }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
P : C
Q R : C
J : Type u_2
s : Finset J
g : J → (Q ⟶ R)
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft P (∑ j ∈ s, g j) =
  ∑ j ∈ s, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft P (g j)
n : ℕ
⊢ n.descFactorial 0 = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
h✝ : x✝ ∉ s
⊢ 0 = 0 * 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
α : Type u
s t : Set α
⊢ t = s ∩ t ↔ t ⊆ s
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n
⊢ 1 = det 1
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
α : Type v
x y : Functor.Comp F G α
⊢ x.run = y.run → x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
i₁ i₂ : E.I₀
⊢ (E.map F).I₁ i₁ i₂ = E.I₁ i₁ i₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A
⊢ (List.map f l).prod =
  GradedMonoid.mk (l.dProdIndex fun i => (f i).fst) (l.dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Icc a b \ Set.Ioo a b = {a, b}
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
⊢ P (pullback.fst f g)
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
⊢ (A * B).FermatPsp b
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R
x : σ
⊢ degreeOf x (C a) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ ∅ ∈ map m f → ∅ ∈ f
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
⊢ F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftStar F M hM).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p₂ : α → Prop
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {q : α_1 → Prop} {f : m (α → α_1)} [inst : Applicative m] [inst_1 : LawfulApplicative m] {x : m α},
  SatisfiesM (fun f => ∀ {a : α}, p₂ a → q (f a)) f → SatisfiesM p₂ x → SatisfiesM q (Seq.seq f fun x_1 => x)
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R
⊢ NonUnitalSubsemiring.center R ≤ NonUnitalSubsemiring.centralizer s
n : ℕ
⊢ 0 < n → n.zeckendorf = n.greatestFib :: (n - Nat.fib n.greatestFib).zeckendorf
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
⊢ ↑e 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
⊢ Part.map (fun x => decide ((bif x then 0 else 1) = 0)) (p a n) = p a n
a : Prop
⊢ ¬(¬a ∧ a)
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
⊢ ∀ a ∈ 𝒜 \\ 𝒜, (fun s => ∏ p ∈ s, p) a ∈ Ioo 0 n
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f)
G : Type u_1
AddMonoid G
y : AddUnits G
⊢ addOrderOf ↑y = addOrderOf y
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A✝ A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryCoproduct A✝ B
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct (F.obj A✝) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts D
A : C
inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (coprodComparison F A B)
⊢ IsIso { app := fun B => coprodComparison F A B, naturality := ⋯ }
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α
⊢ M₁ = M₂✶ ↔ M₁✶ = M₂
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x
⊢ P (algebraMap R' S')
α : Type u_1
ord : Ord α
inst : Batteries.OrientedOrd α
⊢ Batteries.OrientedOrd α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β
⊢ z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p : P
⊢ ↑(affineSpan k {p}) = {p}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddSemigroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂
⊢ Periodic f (c₁ + c₂)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (s * t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ≤ J₁.close S
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
⊢ ∃ s_1, zeroLocus 𝒜 s = zeroLocus 𝒜 s_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ
⊢ (r • s).singularPart μ = r • s.singularPart μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ balancedCore 𝕜 s ⊆ balancedCoreAux 𝕜 s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter β
x : α
⊢ (∀ (A : Set α), ∀ B ∈ F, f ⁻¹' B ⊆ A → x ∈ A) ↔ ∀ B ∈ F, f x ∈ B
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : optParam (LocalRing S) ⋯
⊢ (algebraMap R S) x ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
⊢ ∑ p ∈ antidiagonal (single () n), (MvPowerSeries.coeff R p.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ
α : Type u_4
β : Type u_5
a : Part α
Decidable a.Dom
b : β
f : α → β
⊢ a.toOption.elim b f = if h : a.Dom then f (a.get h) else b
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)
t : Set (α × α)
_h : t ∈ 𝓤 α
⊢ gen t ⊆ s ↔ ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (↑a) b = (-1) ^ (a / 2 * (b / 2)) * jacobiSym (↑b) a
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
⊢ f.withTop.toSupHom = f.withTop
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₂) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : E
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖
⊢ ‖f x + Function.const E (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖Function.const E (f c) x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sSup s) = ⨆ a ∈ s, f a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt
wπ : f' ≫ 0 = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 wπ)
⊢ S.LeftHomologyData
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
⊢ ((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
i : X ≅ X
⊢ ((hf.autMulEquivOfFullyFaithful X) i).inv = f.map i.inv
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
h : 0 < ⌊a⌋₊
⊢ 0 < a
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
l l' : List α
⊢ List.Sorted r l → List.Sorted r l' → List.Sorted r (List.merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) l l')
G : Type u
self : AddLeftCancelSemigroup G
a b c : G
⊢ a + b = a + c → b = c
⊢ Filter.Tendsto Stirling.stirlingSeq Filter.atTop (𝓝 √π)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
n : Nat
⊢ (List.map f l)[n]? = Option.map f l[n]?