ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
n : ℕ
⊢ (r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) • (p + q).scaleRoots r).coeff n = (p.scaleRoots r + q.scaleRoots r).coeff n
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ 0 < d * y ^ 2
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m → α
⊢ Matrix.vecHead (Matrix.vecCons x u) = x
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
T : (s.get? n).Terminates
⊢ s.destruct.Terminates
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
x : Ei 0
m : (i : Fin n) → Ei i.succ
⊢ (f.curryLeft x) m = f (Fin.cons x m)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (FirstOrder.Language.Substructure.map f)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ
⊢ StrongConcaveOn s 0 f ↔ ConcaveOn ℝ s f
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomotopyCategory V c
f : C ⟶ D
⊢ (HomotopyCategory.quotient V c).map (Quot.out f) = f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ s₂) s₂
x : PartENat
y : ℕ
h : x ≤ ↑y
⊢ x.Dom
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : Polynomial.eval₂ i a f = 0
g : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.lift i a h) ((AdjoinRoot.mk f) g) = Polynomial.eval₂ i a g
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Bijective f
⊢ Function.Bijective fun g => g ∘ f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace 𝕜 P
Nonempty ↥s
⊢ s.subtypeₐᵢ.linear = s.direction.subtype
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ ↑(g - g₂) = ↑g - ↑g₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
I : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ (CategoryTheory.zeroMul t).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
⊢ minpoly ℚ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen)
G : Type u_7
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
g : ↥(H.subgroupOf K)
⊢ ↑((Subgroup.subgroupOfEquivOfLe h) g) = ↑↑g
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
⊢ (InitialSeg.refl r) x = x
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : a < 1
⊢ a * b < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ∃ j, μ (s ∩ MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
x✝¹ : α
x✝ : ℕ
⊢ Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)
n d : ℤ
⊢ ↑n / ↑d = Rat.divInt n d
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2
r s : ℤ
h : ↑a * ↑b = r ^ 2 + s ^ 2
⊢ ∃ r s, ↑a * ↑b = ↑r ^ 2 + ↑s ^ 2
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type w
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
B : LinearMap.BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
⊢ B.Nondegenerate ↔ ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
a : α
f : α → β
⊢ {a}.noncommProd f ⋯ = f a
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * f) s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b + 1
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
DecidableEq α
DecidableEq α'
g : (a : α) → β a
f : α' → α
hf : Function.Injective f
i : α'
a : β (f i)
⊢ (fun j => Function.update g (f i) a (f j)) = Function.update (fun i => g (f i)) i a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
⊢ Function.Injective 𝓝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n
⊢ orderOf (r ↑i.val) = n / n.gcd i.val
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ (-x).num * x.denom = -x.num * (-x).denom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ
⊢ Option (α × WSeq α) → Option (β × WSeq β) → Prop
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => Finset.univ.sup fun j => ‖A i j‖₊)
R : Type u
CommRing R
M : AlgebraCat R
⊢ M.ofSelfIso.inv = 𝟙 M
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousAt (f i) x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x' => ⨅ i, f i x') x
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
o₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
o₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ o₁).NF
h : e₁ < e₂
⊢ e₁.oadd n₁ o₁ < e₂.oadd n₂ o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
i j : ι
⊢ e ((ofEquivFun e) i) j = e (e.symm (update 0 i 1)) j
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
⊢ Even a ↔ 2 ∣ a
α : Type u
a : α
⊢ ↑(FreeRing.of a) = FreeCommRing.of a
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ (l ++ [x]).rdrop (n + 1) = l.rdrop n
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup
⊢ l₁.diff (a :: l₂) = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X✝ Y✝ Z✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ autoParam ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (f.f ≫ g.f) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map g.f) _auto✝
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
N : ℕ
x : α
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e (N + 1)) x =
  if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e N) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
hfsA : Set.SurjOn f ↑A ↑s
⊢ mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
⊢ P f
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f g : X → Y
x : X
u : Set X
hx : x ∈ u
hu : IsOpen u
hf : ConformalAt f x
h : ∀ x ∈ u, g x = f x
⊢ ConformalAt g x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
⊢ s.direction = vectorSpan k ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
⊢ ∀ (x x_1 : C × D × E) (f : x ⟶ x_1), (CategoryTheory.prod.inverseAssociator C D E).map f = ((f.1, f.2.1), f.2.2)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
x : β
c : Chain α
z : β
⊢ Function.const α x (ωSup c) ≤ z ↔ ∀ (i : ℕ), (Function.const α x ∘ ⇑c) i ≤ z
n : ℕ
⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
cm : β →₀ R
hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)
⊢ m ∈ span R (range u)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.14791, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ P.p = P.p ≫ P.p ≫ P.p
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
DecidableRel H.Adj
h : G ≤ H
⊢ G.cliqueFinset n ⊆ H.cliqueFinset n
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
b : α
⊢ 0 +ᵥ b = b
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
⊢ a ^ m = a ^ n ↔ m = n
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.cocardinal α hreg ↔ #↑sᶜ < c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n
⊢ a ∈ v.toList ↔ ∃ i, v.get i = a
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : FirstOrder.Language
ψ : L'' →ᴸ L'
L3 : FirstOrder.Language
θ : L' →ᴸ L3
⊢ θ.comp (ϕ.sumElim ψ) = (θ.comp ϕ).sumElim (θ.comp ψ)
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₂
K : Type w₃
f : K → J
g : J → I
X : (i : K) × (fun i => C (g (f i))) i
⊢ (CategoryTheory.Sigma.mapComp C f g).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨g (f X.fst), X.snd⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s ↔ ∀ (a b : 𝕜), 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
K : Type u_2
Field K
NumberField K
x : K
⊢ ∏ w : NumberField.InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
m : Nat
b : Int
H : 0 < b
⊢ -[m+1] / b = -((↑m).div b + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : C(α, β)
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.LeftFraction X Y
⊢ φ.unop.s = φ.s.unop
F : Type u
Field F
⊢ Function.Injective RatFunc.coeToLaurentSeries_fun
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ
⊢ ↑θ = ↑ψ
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ
⊢ (image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op = A.e.op ≫ θ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s : Set V
⊢ SimpleGraph.induceHom SimpleGraph.Hom.id ⋯ = SimpleGraph.Hom.id
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)
⊢ ∃ S, I * J = span (Subtype.val '' S)
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ DFinsupp.toMultiset f ≤ DFinsupp.toMultiset g ↔ f ≤ g
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (forget C).Corepresentable
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
G : J ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
⊢ Small.{v, max v w} ↑(G ⋙ forget C).sections
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ AddSubgroup.center G ≤ AddSubgroup.centralizer s
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : Subgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite ν
ν.IsHaarMeasure
ν.IsMulRightInvariant
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν (ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕) • MeasureTheory.Measure.haarMeasure K)
α : Type u_1
s s' : Multiset α
hs : s = s'
p p' : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred p'
hp : ∀ x ∈ s, p x = p' x
⊢ Multiset.countP p s = Multiset.countP p' s'
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
⊢ f ∘ₗ g = LinearMap.id ↔ g ∘ₗ f = LinearMap.id
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
h : f < g
⊢ ∏' (n : ι), f n < ∏' (n : ι), g n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ s.card % P.parts.card ≤ P.parts.card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hcμs : c * μ s ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (c.toReal * (μ s).toReal)
⊢ C * (c.toReal * (μ s).toReal) = c.toReal * C * (μ s).toReal
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
j : n
c : m → α
DecidableEq n
j' : n
⊢ M.updateColumn j c i j' = if j' = j then c i else M i j'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : Set β
h : b ∈ s
⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = Set.univ
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.functorialityEquivalence F e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (e.unitIso.app ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cone F)).obj c).1) ⋯) ⋯
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Finsubgraph
⊢ ↑(G₁ \ G₂) = ↑G₁ \ ↑G₂
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s U : Opens M
x : ↥U
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x
⊢ ↑e.symm =ᶠ[𝓝 (↑e ↑x)] Subtype.val ∘ ↑(chartAt H x).symm
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β : Type u
⊢ Bitraversable.tfst pure = pure
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ IsLeast {C | ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊} ‖f‖₊
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
⊢ IsOpen fun x => x.1 = 0 → False
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
f g : K ⟶ (HomologicalComplex.single V c j).obj A
hfg : f.f j = g.f j
⊢ f = g
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
⊢ μ' = μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
x : M
f : M → M'
g : M → N'
hf : SmoothAt I I' f x
hg : SmoothAt I J' g x
⊢ SmoothAt I (I'.prod J') (fun x => (f x, g x)) x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source
⊢ Filter.map (↑e) (𝓝[s] x) = 𝓝[t] ↑e x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
l' : L₂ ⟶ L₃
X : CategoryTheory.Comma L₃ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftComp R l l').hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
h : ¬pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] 0
⊢ AEMeasurable X ℙ
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ (-φ).IsHomogeneous n
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
CharZero R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
⊢ Polynomial.rootMultiplicity t (Polynomial.derivative p) = Polynomial.rootMultiplicity t p - 1
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid
n : ℕ
hx' : (fun x => y ^ x) n ∈ ↑I
⊢ (fun x => y ^ x) n ∈ ⊥
E'' : Type u_9
NormedAddCommGroup E''
c : E''
⊢ (fun _x => c) =o[Filter.atBot] id
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : I.IsPrime
this : (I.prod ⊤).IsPrime := isPrime_ideal_prod_top
⊢ (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod ⊤)).IsPrime
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
⊢ f.pair g = mk (fun x => (↑f x, ↑g x)) ⋯
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x y : F.M
⊢ PFunctor.Approx.Agree (x.approx n) (y.approx (n + 1)) ↔ PFunctor.M.Agree' n x y
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
t : ι → Set α
V : ι → Set (β × β)
ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖
hmono : Monotone t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasAntitoneBasis fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.ReflectsEffectiveEpis
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.EffectiveEpi (F.map f)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpi f
a : Nat
xs : List Nat
m : a ∈ xs
h : a ≠ 0
⊢ xs.nonzeroMinimum ≤ a
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Zero α
One α
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G).IsSymm