ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
⊢ b / n ≥ N (b % n)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
⊢ (insert a s).ncard ≤ s.ncard + 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
⊢ {x | ∃ a ∈ s, f a = x}.Pairwise Commute
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ (G □ H).Adj (a, b₁) (a, b₂) ↔ H.Adj b₁ b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β → γ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
y : β
⊢ Measurable fun x => f x y
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
x : ↑(obj' f M)
⊢ (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) x = x
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
a : α
⊢ M.evalFrom S [a] = M.stepSet S a
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
⊢ Function.Surjective ⇑e.toLieModuleHom
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (F.map f.1).app X✝.2 ≫ ((F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2) ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ [MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ, ∀ (c : G) (s : Set α), MeasurableSet s → μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s,
    ∀ (c : G) (s : Set α), MeasurableSet s → μ (c • s) = μ s, ∀ (c : G) (s : Set α), μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s,
    ∀ (c : G) (s : Set α), μ (c • s) = μ s, ∀ (c : G), MeasureTheory.Measure.map (fun x => c • x) μ = μ,
    ∀ (c : G), MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => c • x) μ μ].TFAE
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_6
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : N →+ G
hf : Function.Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ AddSubgroup.comap f H.normalizer = (AddSubgroup.comap f H).normalizer
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
F : Type u
Field F
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0
⊢ f.natSepDegree ≤ g.natSepDegree
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ Function.Surjective SimpleGraph.Walk.reverse
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ p.primeFactors = {p}
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Nat.card { x // x ∈ s } = s.card
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
⊢ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
F.ReflectsMonomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono (F.map f)
⊢ CategoryTheory.Mono f
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) x
⊢ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) =ᶠ[𝓝 x] s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
⊢ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.desc g) =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => F.map (g j)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ⇑e '' s = t
⊢ (e.toPartialEquivOfImageEq s t h).source = s
x : ZFSet
h : x.IsTransitive
⊢ x.powerset.IsTransitive
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
a : ι → ℝ
ha : a ∈ upperBounds (range f)
⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : LazyList α
ys : Thunk (LazyList α)
f : α → LazyList β
⊢ (xs.append ys).bind f = (xs.bind f).append { fn := fun x => ys.get.bind f }
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Finite
⊢ (s ∪ t).ncard ≤ s.ncard + t.ncard
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
z : L
x : ↥(integralClosure A L)
y : A
hy : y ≠ 0
hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x
h : (algebraMap A C) y = 0
⊢ (algebraMap A L) y = 0
α : Type u_1
Mul α
AddMonoidWithOne α
Invertible 2
a : α
Invertible a
⊢ ⅟(SymAlg.sym a) = SymAlg.sym ⅟a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (↑s).infsep = if hs : s.offDiag.Nonempty then s.offDiag.inf' hs (uncurry dist) else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
ne : S.Nonempty
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ S, 𝓟 (s i) ↔ ∃ i ∈ S, s i ⊆ t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ EMetric.diam s = ⊤ ↔ ¬Bornology.IsBounded s
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤
⊢ ↑a ∈ Subtype.val '' ↑(Subfield.rangeOfWType s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (map (fun i => f i + g i) 0).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (antidiagonal 0)).sum
X : TopCat
T : Type v
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (X.presheafToType T).obj U
⊢ (X.presheafToType T).map i f = f ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
⊢ Associated p ϖ
α : Type u_2
LinearOrder α
p : α → Prop
x y : α
hx : y ≤ x → p x
hy : x ≤ y → p y
⊢ p (max x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
lb : Filter β
p : α → β → Prop
h : ∃ᶠ (x : α) in la, ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y
⊢ ∃ᶠ (xy : α × β) in la ×ˢ lb, p xy.1 xy.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
⊢ e.toMatrix (update v j x) i' k = (e.toMatrix v).updateColumn j (⇑(e.repr x)) i' k
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(Metric.sphere 0 r)
⊢ ↑x ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ 0 ≠ 1
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
x✝¹ x✝ : E →ₗ.[R] F
hy₁ : f.graph.topologicalClosure = x✝¹.graph
hy₂ : f.graph.topologicalClosure = x✝.graph
⊢ x✝¹.graph = x✝.graph
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
⊢ closure {σ | σ.IsCycle} = ⊤
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
⊢ IsTotallyDisconnected Set.univ
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)
⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card) - (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card|
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
x : α
y : β
hd : α
tl : List α
ihl : tl.Nodup → map (update f x y) tl = if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl
hl : hd ∉ tl ∧ tl.Nodup
⊢ (update f x y hd :: if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl) = if x = hd ∨ x ∈ tl then (f hd :: map f tl).set (indexOf x (hd :: tl)) y else f hd :: map f tl
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f
⊢ i ∈ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
⊢ (Matroid.sigma M).E = Set.univ.sigma fun i => (M i).E
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x > x_1) s
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ s ⊆ ↑(upperClosure s)
α : Type u_7
β : Type u_8
Lattice α
Lattice β
self : LatticeHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a ⊓ b) = self.toFun a ⊓ self.toFun b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
⊢ s ≤ u ∧ u ≤ t ↔ ∃ a ⊆ t \ s, s ∪ a = u
α : Type u_1
CompleteLattice α
One α
⊢ sSup 1 = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)
h_disjoint : univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i
x y : α
h : Disjoint (f (hs.index x) '' s (hs.index x)) (f (hs.index y) '' s (hs.index y))
⊢ hs.piecewise f x ≠ hs.piecewise f y
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ LipschitzWith 1 ⇑f
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
z : ℤ
⊢ ⇑↑z = ↑z
d : ℕ
a : ℤ√↑d
n : ℕ
ha : a.Nonneg
⊢ (↑↑n * a).Nonneg
x y : ℤ
⊢ toComplex { re := x, im := y } = ↑x + ↑y * I
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : Field.finSepDegree F E = 1
⊢ IsPurelyInseparable F E
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
⊢ ↑(if hn : n = 0 then ⟨a, ⋯⟩ else if hm : m = 0 then ⟨b, ⋯⟩ else ⟨((↑n * (n.xgcd m).1 * ↑b + ↑m * (n.xgcd m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(n.lcm m)).toNat, ⋯⟩) < n.lcm m
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ (𝒰.pullbackCover' f).f x = 𝒰.f (f.val.base x)
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.graph.topologicalClosure = f.closure.graph
n : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
hi : i.castSucc ≠ 0 := ⋯
⊢ p.predAbove i.castSucc = i.castSucc.pred hi
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
t : Set α
s : Set M
⊢ t.indicator 0 ⁻¹' s ∈ {Set.univ, ∅}
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
⊢ x ∈ A f L r δ
ι : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
⊢ s.card ≤ (s.biUnion f).card + (Finset.filter (fun i => f i = ∅) s).card
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, IsCompl (ker (f ^ b)) (range (f ^ b)) ∧ ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ b) ∧ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ b)
h₁ : IsCompl (ker (f ^ k)) (range (f ^ k))
h₂ : ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ k)
h₃ : ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ k)
⊢ IsCompl (⨆ n, ker (f ^ n)) (⨅ n, range (f ^ n))
G : Type u_1
Add G
IsRightCancelAdd G
g h : G
⊢ (addRightEmbedding g) h = h + g
α : Type u_1
One α
a : α
⊢ SymAlg.sym a ≠ 1 ↔ a ≠ 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) * if n = n + 1 - 1 then 1 else 0) = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ⊔ b ⇨ a = b ⇨ a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ f.toContinuousLinearMap = g.toContinuousLinearMap ↔ f = g
⊢ StrictMonoOn Real.arcsin (Set.Icc (-1) 1)
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c
⊢ ∃ c d, d ≠ 0 ∧ d • a = b * c
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a b : α
⊢ Setoid.r a b ↔ a ∈ MulAction.orbit G b
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ b ⊓ c = (a ⊓ c) ∆ (b ⊓ c)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔
  ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
Preorder α
b x : α
⊢ x ∈ Set.Iic b ↔ x ≤ b
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁
⊢ (-B).IsSymm ↔ B.IsSymm
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
EquivLike F α β
AddEquivClass F α β
f : F
hfAB : Set.BijOn (⇑f) A B
⊢ IsAddFreimanIso n A B ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_6
SMul R ENNReal
IsScalarTower R ENNReal ENNReal
_m : MeasurableSpace α
c : R
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (c • μ) s = c • μ s
G : Type u_1
A : Type u_2
H : Type u_3
Group G
MulAction G A
Monoid H
x : G
⊢ ∀ (a : A → H) (a_1 : A), (MulEquiv.symm (mulAutArrow x)) a a_1 = (x⁻¹ • a) a_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v
⊢ sq.HasLift
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ioc a b₁ ⊆ Set.Ioc a b₂
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
F : Polynomial ℤ_[p]
hnorm : Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑ncs i) F‖) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ Polynomial.eval ncs.lim F = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
⊢ δ / 4 + dist (x - const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ term (f - g) s = term f s - term g s
N : Type u_2
Monoid N
p : N
n : ℕ
h : IsIdempotentElem p
⊢ IsIdempotentElem (p ^ n)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : WittVector p (ZMod p)
⊢ WittVector.frobenius x = x
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α
a : α
⊢ M.evalFrom s (x ++ [a]) = M.step (M.evalFrom s x) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Set β
h : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
hh : Monotone h
⊢ (f.lift' g).lift h = f.lift fun s => h (g s)
C : Type u₁
⊢ Function.Injective CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmop
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid M
x : M
hx : x ∈ S
⊢ f x ∈ AddSubmonoid.map f S
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable ↑f
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
AddCommGroup N
Module R M
Module R P
Module R N
IsArtinian R M
IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
⊢ IsArtinian R N
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f
⊢ S.liftCycles k ⋯ ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ |(μ (π.filter fun i => π.tag i ∈ s).iUnion).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| * ‖y‖ ≤ ↑ε * ‖y‖