ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iio a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iio b = Set.Iio ↑b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E
this : ‖x₀‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun h => h * x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ ≠ 0 → a ≠ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ decodeSum n = none
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFiniteAux Set.univ ≤ 1
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
f : j ⟶ j'
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' (F.map f x) = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x
x : EReal
⊢ -x = ⊤ ↔ x = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
h : ¬Multipliable f
⊢ ∏' (b : β), f b = 1
self : TopCat.GlueData.MkCore
i j : self.J
k : self.J
x : ↥(self.V i j)
⊢ ↑x ∈ self.V i k → ↑((self.t i j) x) ∈ self.V j k
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : l₁ <+ l₂
h₂ : l₂ <+ l₃
⊢ l₁ <+ l₃
𝕜 : Type u_1
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : SchwartzMap ℝ F
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f ≤ M
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
⊢ (sInf s).toReal = sInf (ENNReal.toReal '' s)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖))
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i j : ι
⊢ (if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuous (f i)
⊢ LowerSemicontinuous fun z => ∑ i ∈ a, f i z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ filter p (s₁ ∪ s₂) ↔ x✝ ∈ filter p s₁ ∪ filter p s₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
h0 : ∀ (f : A →L[𝕜] A) (C : ℝ≥0), (∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊) → ‖f‖₊ ≤ C
⊢ ‖a.toProd.1‖ = ‖a.toProd.2‖
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[ℕ]
⊢ (p * q) n = ∑ x ∈ antidiagonal n, p x.1 * q x.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ edist a b = ↑‖a / b‖₊
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).tail = s
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
DecidableEq ι
i i' : ι
⊢ (LinearMap.stdBasis R (fun _x => R) i) 1 i' = if i = i' then 1 else 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ Orthonormal ℝ ⇑(e.toBasis.adjustToOrientation x)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F : Filter X
⊢ AccPt x F ↔ ClusterPt x (𝓟 {x}ᶜ ⊓ F)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ≠ 0 → b ≤ c → a ^ b ≤ a ^ c
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
NoZeroSMulDivisors A B
⊢ ↑(differentIdeal A B) ≤ I ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (Submodule.restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ 1 + m ≤ n ↔ m < n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set ι
this✝ : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)
this : ∀ (p : MvPolynomial (↑s) R), (rename Subtype.val) p = 0 ↔ p = 0
⊢ AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x + -y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
⊢ ⇑f.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier = ⇑g.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
⊢ l i = 0 i
α : Type u_1
⊢ Topology.WithLowerSet.toLowerSet.symm = Topology.WithLowerSet.ofLowerSet
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l
⊢ ∀ (l : List α), p l
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
self : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ TotalComplexShapeSymmetry.σ c₁ c₂ c₁₂ i₁ i₂ * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) =
  c₂.ε₁ c₁ c₁₂ (i₂, i₁) * TotalComplexShapeSymmetry.σ c₁ c₂ c₁₂ i₁ i₂'
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
L : List (List α)
⊢ L.join.Nodup ↔ (∀ l ∈ L, l.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint L
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (ν.withDensity f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] f
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g * x) = -f x
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
i : ι
⊢ Ordinal.bfamilyOfFamily f (Ordinal.typein WellOrderingRel i) ⋯ = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
f : Equiv.Perm β
⊢ (e.sumCongr f)⁻¹ = e⁻¹.sumCongr f⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
x✝¹ : ℕ
x✝ : M
⊢ ([].set x✝¹ x✝).prod = ((take x✝¹ []).prod * if x✝¹ < [].length then x✝ else 1) * (drop (x✝¹ + 1) []).prod
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
⊢ ∑ x_1 : ι, (b.toBasis.repr x) x_1 • b.toBasis x_1 = x
R : Type u
Semiring R
S T : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
x : X
h : x ∈ s
⊢ 𝓝 x ≤ 𝓝ˢ s
⊢ PrimrecRel fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a
⊢ MeasurableSet (Ioi a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)
x : Fin m
hx : x ≠ i
⊢ ↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0
R : Type u_2
S : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R →ₙ+* S
hf : ∀ (x y : R), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = MulOpposite.op ∘ ⇑f
R : Type u
Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.degree
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, P ^ i).Monic
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T
⊢ a ≠ ⊥
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive (m + 1) (n + 1)
n : Nat
⊢ Nat.casesDiagOn 0 (n + 1) zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = zero_succ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
n : ℕ
j : ι
f : ι → α → β
g : α → β
Preorder ι
Countable ι
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasurableSet (MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j)
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α
⊢ ∀ I ⊆ (loopyOn E ↾ R).E, (loopyOn E ↾ R).Indep I ↔ (loopyOn R).Indep I
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj [n])
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = U
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
p : Submodule k V
x : V
⊢ x ∈ p.toAffineSubspace ↔ x ∈ p
α : Type u_1
Inv α
a : α
⊢ AddOpposite.op a⁻¹ = (AddOpposite.op a)⁻¹
α : Type v
LinearOrder α
s : Set α
a : α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
⊢ ⋃ x ∈ s, Set.Ici x = Set.Ici a
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃ β
h₁ : Monotone ⇑e
h₂ : Monotone ⇑e.symm
⊢ ⇑(e.toOrderIso h₁ h₂) = ⇑e
x : ENNReal
y : ℝ
⊢ (x ^ y).log = ↑y * x.log
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ a + -b = a - b
α : Type u_1
β : α → Type u_4
i : α
⊢ Function.Injective (Sigma.mk i)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ (∀ (r : R), r ∣ p.content → IsUnit r) ↔ IsUnit p.content
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ MeasureTheory.cylinder s S₁ ∩ MeasureTheory.cylinder s S₂ = MeasureTheory.cylinder s (S₁ ∩ S₂)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
μ : Measure β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((comapₗ f) μ) s = μ (f '' s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
⊢ p2 -ᵥ p ∈ s.direction ↔ p2 ∈ s
α : Type u_1
I✝ B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
J : Set α
hJss : J ⊆ insert e I
hJfin : J.Finite
⊢ Indep J
n a b : ℤ
m : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n * m] → a ≡ b [ZMOD n]
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 2 ≤ a
⊢ Injective fun x => a ^ x
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ QuasiIsoAt f i ↔ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.homologyMap f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
⊢ ((adj.functorialityUnit K).app c).hom = adj.unit.app c.pt
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ μ.restrict A = 0 ↔ μ A = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ Function.Surjective ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.LeftInvOn (↑e.symm) (↑e) e.source
c c' : Cardinal.{u_1}
hc : c ≤ Cardinal.aleph0
hc' : c' ≤ Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toPartENat c = Cardinal.toPartENat c' ↔ c = c'
x : ℝ
m : ℤ
⊢ Irrational (x ^ m) → Irrational x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
⊢ (connectedComponent x).Subsingleton ↔ connectedComponent x = {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
r s : α → β → Prop
(a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
(a : α) → (b : β) → Decidable (s a b)
hr : PrimrecRel r
H : ∀ (a : α) (b : β), r a b ↔ s a b
⊢ PrimrecRel s
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
x : Mˣ
⊢ ↑((Units.map' hf) x) = f ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E
⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
⊢ m = n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
⊢ ↑(map id ⟨f, al⟩) = ↑⟨f, al⟩
R : Type u_1
m : ℕ
this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i
⊢ m + 1 ≤ 2 * m + 1 + 1
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (r = 0 ∨ Finsupp.single i 1 ≤ j) ∧ 1 ∣ r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ (s.circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧
    Set.range s.points ⊆ Metric.sphere s.circumsphere.center s.circumsphere.radius) ∧
  ∀ (cs : EuclideanGeometry.Sphere P),
    cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius →
      cs = s.circumsphere
α : Type u_1
SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖a‖ ^ n
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
⊢ Submonoid.closure (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
⊢ AnalyticSet (f '' s)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter p Finset.univ
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ DiscreteTopology ↑s → t ⊆ s → DiscreteTopology ↑t
α : Type u
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), s ⊆ u ↔ t ⊆ u
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) Filter.atTop (pure ((Set.iUnion s).mulIndicator f a))
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
⊢ (rTensor M (refl R N)) y = y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
h_Iio_eq_Iic : Set.Iio i = Set.Iic i'
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : t ⊆ s
⊢ s \ (s \ t) = t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
Y' : C
h : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso h
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectCompIso f h).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject (f ≫ h)).arrow ≫ CategoryTheory.inv h
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
u : Rˣ
f : α → R
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖↑u⁻¹‖ l f fun x => ↑u * f x
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ ∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), ↑e (↑e.symm y) = y
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
hl : n < (a :: l).length
⊢ (a :: l).nthLe n hl = if hn : n = 0 then a else l.nthLe (n - 1) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
AddCommMonoid G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
g : F →ₗ[𝕜] G
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 G
⊢ ConvexCone.comap f (ConvexCone.comap g S) = ConvexCone.comap (g ∘ₗ f) S
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))
⊢ ϖ * (a * b) ≠ 1
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
⊢ √↑x = ↑x ^ (1 / 2)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.414921, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ 2 < 5 + 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
⊢ ∀ (x : V), x ∈ ↑C
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
A : Tendsto (fun n => ⌊c ^ n⌋₊) atTop atTop
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) + ((fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) ∘ fun n => ⌊c ^ n⌋₊) x
R✝ : Type u
S✝ : Type v
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S✝
inst✝⁸ : FunLike F R✝ S✝
rc : RingHomClass F R✝ S✝
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S✝
G : Type u_2
inst✝⁷ : FunLike G S✝ R✝
rcg : RingHomClass G S✝ R✝
ι : Sort u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M
⊢ Submodule.restrictScalars R (⨆ b ∈ ↑I, (algebraMap R S) b • N) = ⨆ a ∈ ↑I, Submodule.restrictScalars R ((algebraMap R S) a • N)
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
hT : 0 < T
t : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Set.Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
f : α → β
⊢ Filter.map f 0 = pure (f 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ (-f).unop = -f.unop
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
self : X.Hom Y
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsLocalRingHom (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap self.val x)