ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
m : MeasureTheory.OuterMeasure β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) m) = m
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ -x ≈ 0 ↔ x ≈ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioo a b ∩ Set.Ioi c = Set.Ioo (max a c) b
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ThreeAPFree (⇑(map (2 * d - 1)) '' ↑(sphere n d k))
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
b : Basis ι ℝ E
⊢ parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Set.Icc 0 1}
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
⊢ n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = 0 ↔ eval (W.addX x₁ x₂ L) (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0
α : Type u
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ op (List.foldl op a₁ l) a₂ = op a₁ (List.foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ l)
R' : Type u_6
CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
⊢ x * r ∣ y * r ↔ x ∣ y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.yoneda.obj X ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.coneOfHom h f = (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.limitCone h).extend f
⊢ (LinearMap.toMatrix Complex.basisOneI Complex.basisOneI) Complex.conjAe.toLinearMap = !![1, 0; 0, -1]
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p : β → Prop
hf : Set.SurjOn f s t
hf' : Set.MapsTo f s t
⊢ (∀ y ∈ t, p y) ↔ ∀ x ∈ s, p (f x)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card + sᶜ.card = Fintype.card α
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
x : R
y : ↥M
⊢ (IsLocalization.algEquiv M S Q).symm (IsLocalization.mk' Q x y) = IsLocalization.mk' S x y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a b : R
dvd : a ∣ b
⊢ torsionBy R M a ≤ torsionBy R M b
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ r, Iic ↑r) ∂ν a = (κ a) (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)
α : Type u
l : List α
⊢ l.cyclicPermutations ≠ []
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : 0 < n
g₀ : G
this : DecidableEq R
⊢ (filter (fun g => g ^ n = g₀) univ).card ≤ Multiset.card (nthRoots n (f g₀))
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous AddOpposite.op
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (r • (tprod R) f)) = r • (tprod R) f
X Y : CommSemiRingCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
E' : Type u_6
F'' : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
⊢ (fun x => 0) =Θ[l] g'' ↔ g'' =ᶠ[l] 0
m n✝ a✝ b✝ c d : ℤ
a b n : ℕ
⊢ ↑a % ↑n = ↑b % ↑n ↔ ↑(a % n) = ↑(b % n)
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Inv β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α
⊢ ↑f⁻¹ x = (↑f x)⁻¹
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
hS : Set.iUnion S = Set.univ
i : ι
x : α
hx : x ∈ S i
⊢ Set.liftCover S f hf hS x = f i ⟨x, hx⟩
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x
⊢ c (w ^ Int.ofNat n) (x ^ Int.ofNat n)
q : ℚ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ n /. n = 1
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |Real.exp x - 1 - x| ≤ x ^ 2
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0
⊢ nfp (fun x => a * x) 1 ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
h : A = B
⊢ (CategoryTheory.eqToHom h).hom₂ = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson R → ∀ {I : Ideal R}, I.IsRadical → I.jacobson = I
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
⊢ ↑2 ^ lift.{v, u} #α = 2 ^ lift.{v, u} #α
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Functor.functorialityCompPostcompose α).inv.app X).hom = α.inv.app X.pt
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
φ : R →+* S
⊢ PerfectionMap.map p ⋯ ⋯ φ = Perfection.map p φ
k : ℕ
n : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (n ^ k).primeFactors = n.primeFactors
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
⊢ a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec some
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
b : ℤ
v : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ (b • v) i = b • v i
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_2
α : Type u_3
f : β₁ → β₂
g₁ : α → β₁ → β₁
g₂ : α → β₂ → β₂
l : List α
init : β₁
H : ∀ (x : α) (y : β₁), g₂ x (f y) = f (g₁ x y)
⊢ List.foldr g₂ (f init) l = f (List.foldr g₁ init l)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : 0 < ↑s.card
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ 2 * ↑s.card ≤ (↑s.card * ∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ↑s.card
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
⊢ SeparatingDual R V ↔ ∀ (x : V), x ≠ 0 → ∃ f, f x ≠ 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ f = (p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).conj (id.prodMap 0)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y
⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g g' : β → δ
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
h : g =ᵐ[ν] g'
⊢ g ∘ f =ᵐ[μ] g' ∘ f
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
z : DirectLimit G f
hz : (lift G f P g Hg) z = 0
⊢ z = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddRightCancelMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j : ι
⊢ ↑((r * (DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r') (j + i)) = ↑(r j) * ↑r'
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb).symm = e.symm b
B : Type u_1
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → Zero (E₁ x)
(x : B) → Zero (E₂ x)
⊢ (e₁.prod e₂).baseSet = e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A : Finset α
hA : ∃ A_1, ∃ (hA : A_1 ∈ P.parts), A ∈ (chunk hP G ε hA).parts
⊢ A.card = m ∨ A.card = m + 1
ι : Type u_1
R : Type u
CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
b : ↥(Algebra.adjoin R (Set.range x))
⊢ hx.aevalEquiv.symm b = Function.surjInv ⋯ b
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e₁ e₂ : ENorm 𝕜 V
⊢ e₁ = e₂ ↔ ∀ (x : V), ↑e₁ x = ↑e₂ x
α : Type u_2
Group α
s t : Set α
x : α
⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a * b⁻¹ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
⊢ IsBot x ↔ IsBot x.1 ∧ IsBot x.2
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)
⊢ ∀ x ∈ range (padicValNat p n), ∀ y ∈ range (padicValNat p n), p ^ (x + 1) = p ^ (y + 1) → x = y
M : Type u_1
Add M
x : M
⊢ x ∉ ⊥
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : 0 < y
⊢ arctan x + arctan y < π / 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
Y : C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q (φ ≫ X.σ ⟨b, ⋯⟩)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1
⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x') ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤
⊢ Memℒp (s.indicator fun x => c) p μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π / 2
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ LSeries.term (f - g) s = LSeries.term f s - LSeries.term g s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝¹ f✝ : ℂ → E
hf✝ : Differentiable ℂ f✝
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
n : ℕ
⊢ (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h
⊢ (f ≫ h) ≫ inv h ≫ inv f = 𝟙 X
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ LiftPropAt P g x
R : Type u
CommRing R
r : R
⊢ (AdjoinRoot.of (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1)) r * AdjoinRoot.root (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
⊢ (X ⊗ Y).fst = X.fst ⊗ Y.fst
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 1
⊢ P.toPoly.Monic
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻¹ < b ∧ a < b ↔ b⁻¹ < a ∧ a < b
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ f.support
⊢ (Finsupp.total ι M R v) f ≠ v x
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x y : R[X]
⊢ x ∣ y → Polynomial.map f x ∣ Polynomial.map f y
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Tendsto (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
⊢ FixedPoints.minpoly G F x = minpoly (↥(FixedPoints.subfield G F)) x
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • t)).Nonempty
M : Type u_3
Monoid M
s : Submonoid M
⊢ ↑s * ↑s = ↑s
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapId a) (self.map f))
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (self.map f)).hom)
μ : YoungDiagram
⊢ YoungDiagram.ofRowLens μ.rowLens ⋯ = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
⊢ 0 - a = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g
⊢ x.coeff (⋯.min ⋯) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ r.comp ⊥ = ⊥
a b : Int
⊢ a.mod b = a - b * a.div b
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g
⊢ v (x + -y) ≤ g
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
f : C(X, ℝ)₀
⊢ φ (r • f).toNNReal - φ (-(r • f)).toNNReal = r • (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal)
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c : R
x : R
e : ℕ
pq_pf : a + b = c
⊢ x ^ e * a + x ^ e * b = x ^ e * c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
⊢ ¬s ⊆ t ↔ ∃ a ∈ s, a ∉ t
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a
⊢ ∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
⊢ J ∈ π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition ↔ J ∈ π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Type u
⊢ (prod fun i => #(f i)) = 0 ↔ ∃ i, (fun i => #(f i)) i = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
f : α → 𝕜
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith ‖c‖⁻¹ l f fun x => c * f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ShortComplex.π₂.map f = f.τ₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 / b ≤ a
r : ℝ
f : ℕ → ℝ
⊢ (ofSeq f).IsSt r ↔ Germ.Tendsto (ofSeq f) (𝓝 r)
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.Surjective f
⊢ Function.Surjective ⇑f.val.base
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ iSup f * a = ⨆ i, f i * a
F : Type u
Field F
⊢ 2 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 0
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => √x * log x) ((2 + log x) / (2 * √x)) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsIrreducible s ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
⊢ HasSum f (⨆ s, ∑ a ∈ s, f a)
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)
key : Tendsto (diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))
⊢ diracProba (diracProbaEquiv.symm μ) = ↑μ