ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ ⊥ᶜ = ⊤
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))
⊢ IsIso (homologyMap φ')
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
n : ℕ
hn : n < (p.toList x).length
⊢ (p.toList x).nthLe n hn = (p ^ n) x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β
⊢ f.comp (SpectralMap.id α) = f
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (t₁.lt t₂).Realize v xs ↔ realize (Sum.elim v xs) t₁ < realize (Sum.elim v xs) t₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (-f) x
α : Type u_2
LinearOrder α
⊢ ∅.max = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ w ∈ t \ s, filter (fun x => w < x) s = filter (fun x => w < x) t
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C * ‖v‖
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
⊢ 2 * Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1)) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)))) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
⊢ ¬Summable f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
z : ℤ
⊢ ⇑(z • s) = z • ⇑s
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V
⊢ 𝓕⁻ f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ e * Equiv.refl α = e
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k
⊢ ∃ x, x ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.zeroProdIso X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hop : t₁ = 0
hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s
hpc₁ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁
hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂
hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
hp₂ : dist (1 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁
⊢ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : Y
⊢ f ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂) x) = x
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
r : R
s : S
⊢ g ((r • s) • y) = g (r • s • y)
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c ↔
  ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
ι : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
⊢ Rel.interedges r s (t.biUnion f) = t.biUnion fun b => Rel.interedges r s (f b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.comp G)
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.colimitCoconeOfComp F t).cocone = CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone.obj t.cocone
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ δ n' (n' + 1) ((↑γ).leftShift a n' hn') = 0
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)
U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}
hU : IsClopen U
j : J
V : Set ↑(F.obj j).toTop
hV : IsClopen V
h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
⊢ ⇑f ⁻¹' {0} = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
⊢ ∀ {X Y : C ⥤ D} (η : X ⟶ Y) (A : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.whiskering C D).map η).app A).right =
    η.app (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.obj A)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), AddSubgroup.map ϕ.toAddMonoidHom H ≤ H
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ Computation.LiftRel Equiv (s.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o)) (t.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o))
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f g : InfTopHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : HasProd (fun n => f (n + k)) m
⊢ HasProd f ((∏ i ∈ range k, f i) * m)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B
⊢ (q.compHom F).i = F q.i
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
Y₁ : ι₁ → Type u_8
Y₂ : ι₂ → Type u_9
(i₁ : ι₁) → TopologicalSpace (Y₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → TopologicalSpace (Y₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → Y₁ i₁ ≃ₜ Y₂ (e i₁)
⊢ (Homeomorph.piCongr e F).toEquiv = (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv).trans (Equiv.piCongrLeft Y₂ e)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ DenseEmbedding Subtype.val
α : Type u_1
DecidableEq α
CommMonoid α
m : Multiset α
⊢ m.prod = ∏ x : m.ToType, x.fst
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ (CochainComplex.shiftEval C n i i' hi).inv.app X = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑m = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑n
⊢ ↑m = ↑n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α → δ
h : ∀ (i : ι) (hi : p i), UpperSemicontinuousAt (f i hi) x
⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x' => ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi x') x
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ (Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis K L b))).toAddSubgroup = L
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
AddCommMonoid A
u : σ →₀ ℕ
r : R
b : (σ →₀ ℕ) → R → A
w : b u 0 = 0
⊢ Finsupp.sum ((MvPolynomial.monomial u) r) b = b u r
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
A : C
k : I
f : (i₁ i₂ : I) → i₁ + i₂ = k → (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (X₁ i₁) (X₂ i₂) ⟶ A)
i₁ i₂ : I
hi : i₁ + i₂ = k
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ k hi)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObjDesc f) =
  f i₁ i₂ hi
α : Type v
Small.{u, v} α
f : Ordinal.{u} → α
⊢ ¬Function.Injective f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.inverse.IsRightAdjoint
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
⊢ completedHurwitzZetaEven a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ)
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
⊢ False
x : ℝ
⊢ Real.arccos x = π / 2 ↔ x = 0
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ Antitone (OrdinalApprox.gfpApprox f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : γ), g c ∂(η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g c ∂η b ∂κ a
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t :
  CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c))
⊢ t.ofCompId.right = t.extension
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ t ⊆ f '' s ↔ ∃ u ⊆ s, f '' u = t
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisCoinsertion l u
a : α
hb : IsAtom (l a)
⊢ IsAtom a
R : Type u
Semiring R
r : R
⊢ Polynomial.X * Polynomial.C r = Polynomial.C r * Polynomial.X
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
⊢ (map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) q
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ Metric.infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * Metric.infDist x s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = (f.app A.obj ≫ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℚ M
AddCommGroup M₂
Module ℚ M₂
⊢ Function.Injective AddMonoidHom.toRatLinearMap
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ ⊤ ^ n = ⊤
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ c.toCocone.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = c.inl
x : ℝ*
⊢ x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹⁻¹ < 0 ↔ x.Infinitesimal ∧ x < 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
n : ℕ
⊢ enumerateCountable h default n ∈ insert default s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)
h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)
r : ℝ
hr : r > 0
h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V
n : ℕ
hn : r < ↑n
h1 : r ≤ ‖↑n‖
hn' : ¬n = 0
⊢ False
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K
⊢ ∃ a, a • ↑↑r = m • ↑↑r * n • ↑↑r
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
h : p.natDegree = 0
this : p = C (p.coeff 0)
⊢ C (p.coeff 0) = 1
α : Sort u_1
a' : α
motive : (a : α) → a' = a → Sort u_2
p : motive a' ⋯
a : α
t : a' = a
⊢ HEq (t ▸ p) p
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
⊢ ∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
n : ℕ
G : Type u_3
Group G
f : Fin (n + 1) → G
⊢ (f 0 • Fin.partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) = f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C
⊢ A.comul.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (α_ (op A.X) (op A.X) (op A.X)).hom ≫ op A.X ◁ A.comul.op ≫ A.comul.op
α : Type u
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
h₁ : s₁ ⊆ s₂
h₂ : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁ ∪ t₁ ⊆ s₂ ∪ t₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Balanced C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
CategoryTheory.Epi S₁.g
CategoryTheory.Epi S₂.g
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.Epi φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.Epi φ.τ₂
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ : AddSubgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
⊢ Function.Injective fun g => ↑g.1 + ↑g.2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → SMul α (β i)
k : α
x y : (i : ι) → β i
hk : ∀ (i : ι), IsSMulRegular (β i) k
⊢ hammingDist (k • x) (k • y) = hammingDist x y
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
f : α → β
xs : t α
⊢ Traversable.toList (f <$> xs) = f <$> Traversable.toList xs
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℕ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (n • y).val = n • y.val
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), Finsupp.lcoeFun a a_1 = a a_1
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ f.opensFunctor.obj ⊤ = f.opensRange
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
a : α
⊢ OrderEmbedding.birkhoffSet a = ↑(OrderIso.lowerSetSupIrred a)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ iso'.hom.app X = iso'.hom.app X
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_9
Preorder α
CompleteLattice β
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Monotone (f i)
⊢ Monotone (⨆ i, f i)
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit m ∧ IsUnit L.prod
⊢ ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n)
⊢ Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate v n = v
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
s : Part σ
Decidable s.Dom
⊢ Partrec fun x => s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
⊢ MeasurableSpace.comap Prod.snd (borel β) ≤ borel (α × β)
a b : Ordinal.{u}
ha : a ≠ 0
hb : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) b
hb₂ : 2 < b
⊢ a * b = b ^ Order.succ (Ordinal.log b a)
S : Type u_1
Ring S
a : ℕ
⊢ ↑(a.descFactorial 2) = ↑a * (↑a - 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
⊢ (f '' {M | M.E ⊆ E}).Finite
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f' n a)) μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y
⊢ ⇑h ⁻¹' closure s = closure (⇑h ⁻¹' s)
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R
⊢ EuclideanDomain.xgcd x y = (EuclideanDomain.gcdA x y, EuclideanDomain.gcdB x y)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E
⊢ HasSum (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x) (∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x)
a b : ℝ
⊢ frontier {z | a ≤ z.re ∧ b ≤ z.im} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ b ≤ z.im}
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n j : ℕ
hj : j < p ^ n
⊢ ↑(n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ≤ ↑(n - (multiplicity p j.succ).get ⋯)
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeInf ι
NoMinOrder ι
Nonempty ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
⊢ J / FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ d = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J