ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x, g x)) μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
⊢ P α
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1
hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t
⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z₁ • (f' ∘ γ) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
⊢ (e.transPartialEquiv f').target = f'.target
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : G' → E
g : G' → F
f' : G' →L[𝕜] E
g' : G' →L[𝕜] F
x : G'
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => (B (f y)) (g y))
  (((ContinuousLinearMap.precompR G' B) (f x)) g' + ((ContinuousLinearMap.precompL G' B) f') (g x)) x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ AntisymmRel (Function.swap r) = AntisymmRel r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hf : StrongLT 0 f
⊢ Antivary f⁻¹ g ↔ Monovary f g
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, ¬p n'
⊢ ∀ x ∈ range n, ¬p x
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
⊢ ↑(ν.map f) = MeasureTheory.Measure.map f ↑ν
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0
δ : ι → 𝕜
hδ0 : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0
hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i
hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖
a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖
⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n
⊢ 0 ≤ ⋯.eigenvalues i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cones.functoriality F G).map f).hom = G.map f.hom
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
s : Finset (Box ι)
⊢ ∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, ∀ (I J : Box ι), J ∈ s → ∀ J' ∈ splitMany I t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
α : Type u_2
InvolutiveInv α
a : α
⊢ {a}⁻¹ = {a⁻¹}
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : TopologicalSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : A →A[R] A
⊢ ↑f = AlgHom.id R A ↔ f = ContinuousAlgHom.id R A
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t t' : Set α
h : Set.EqOn f g (t ∩ s)
h' : Set.EqOn f' g (t' ∩ sᶜ)
⊢ Set.EqOn (s.piecewise f f') g (s.ite t t')
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
CategoryTheory.IsIso α
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
hc : CategoryTheory.IsUniversalColimit c
⊢ CategoryTheory.IsUniversalColimit ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c)
A B : TopCat
⊢ ∀ (X Y : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))) (f : X ⟶ Y), HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n
⊢ ∑ a ∈ S.support, a ⊗ₜ[R] S a = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ ⊥ = ⟨a, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ
⊢ ∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(addNSMul h δ n) = b
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ∀ (v : E), ⟪(-o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, v⟫_ℝ
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R
⊢ x1.fromRows y1 = x2.fromRows y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ eval 1 (cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ { proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R
⊢ (if a = 0 then ⊥ else sum 0 fun x e => e) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E
⊢ (F.prod' G).ε = (F.ε, G.ε)
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
⊢ f x = x ∨ g x = x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.homEquiv X R =
  AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X.toLocallyRingedSpace R
G : Type u_1
Group G
a : G
m n : ℤ
⊢ Commute (a ^ m) (a ^ n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
⊢ Differentiable 𝕜 ⇑e
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
hwf : w ≫ f = 0
n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt
hn : 0 = w
this : IsIso (coequalizer.π u v)
⊢ u ≫ coequalizer.π u v = v ≫ coequalizer.π u v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
p : ℝ
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ p) ((p * f x ^ (p - 1)) • f') x
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
α : Type u
xs ys : List (List α)
a : α
hxs : xs ≠ []
hys : ys ≠ []
⊢ (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (List.modifyHead (List.cons a) xs) ys).join =
  a :: (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) xs ys).join
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
⊢ v ↑p < preVal K v O hv p x ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
f : ι → α
⊢ sInf (⋃ i, Set.Ici (f i)) = ⨅ i, f i
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
⊢ x ∈ closure {1} ↔ ‖x‖ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) ((CategoryTheory.exp.coev A).app B))
    ((CategoryTheory.exp.ev A).app (A ⨯ B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⨯ B)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
hy : y = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : (CokernelCofork.ofπ σ ⋯).pt ⟶ Y
hg : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ σ ⋯) ≫ g = prod.map f f ≫ σ
⊢ f = g
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)
⊢ Measurable (stoppedValue u τ)
x nx z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x nx → nx.sqrt = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x.sqrt z
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n =
  ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(Real.sin x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : L₁ ≅ L₂
L₁.IsLocalization W
⊢ L₂.IsLocalization W
G : Type u_1
Group G
x : G
n : ℤ
⊢ x ^ n = 1 ↔ n ≡ 0 [ZMOD ↑(orderOf x)]
α β : Type u_1
s : Set α
f : α → Set β
h : s.Finite
hf : ∀ a ∈ s, (f a).Finite
⊢ (s >>= f).Finite
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
⊢ (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ A ∧ a = a_1 ∧ b = b_1 ∧ c = a_1 + b_1) ↔ (a, b) ∈ A ∧ c = a + b
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ ‖a / c‖ ≤ ‖a / b‖ + ‖b / c‖
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD p]
⊢ ↑a = ↑b
E : Type u_2
AddCommGroup E
F : Type u_3
AddCommGroup F
K : Type u_5
DivisionRing K
Module K E
Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
⊢ (f.supSpanSingleton x y hx).domain = f.domain ⊔ Submodule.span K {x}
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
J' : Submodule R R
hJJ' : J < J'
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'
⊢ False
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ • φ i x₀ = ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x₀ • φ i x₀
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
ι : Sort u_3
s : ι → Set α
⊢ fixingSubgroup M (⋃ i, s i) = ⨅ i, fixingSubgroup M (s i)
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
SMul G P
IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1
⊢ x = y
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_mono : Mono f
⊢ x.len ≤ y.len
p n k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
⊢ multiplicity p ((p ^ n).choose k) = ↑(n - (multiplicity p k).get ⋯)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
V : Type u_1
α : Type u_2
A : Matrix V V α
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
⊢ ¬A i j = 1 ↔ A i j = 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Real.log x * x ^ r) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε
M : ℕ
hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
Monoid S
AddMonoid M
SMul S R
DistribMulAction S M
s : S
r : R
⊢ TrivSqZeroExt.inl (s •> r) = s •> TrivSqZeroExt.inl r
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a : α
⊢ RegularExpression.deriv 0 a = 0
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
⊢ (LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i).IsHomogeneous 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y ⊆ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p) ↔ AffineIndependent k p
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
⊢ foldl (fun x y => y * x) ⋯ 1 s = foldl (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2
⊢ (List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if i < j then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : i < j then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.center R A).toNonUnitalSubalgebra = NonUnitalSubalgebra.center R A
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x).toNNReal
⊢ SigmaFinite (μ.withDensity fun x => ↑(f x).toNNReal)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
a : α
h : p a
⊢ ↑((Equiv.subtypePreimage p x₀).symm x) a = x₀ ⟨a, h⟩
k : Type u_1
E : Type u_2
Field k
AddCommGroup E
Module k E
f : k → E
a b : k
h : a ≠ b
⊢ slope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image₂ f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict A)] fun x => κ.density ν a x s
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
⊢ ↑(FractionalIdeal.spanFinset R₁ s f) = Submodule.span R₁ (f '' ↑s)
m k n : Nat
h₁ : m + k ≤ n
h₂ : 0 < k
⊢ n - (m + k) < n - m
M : Type u_1
MeasurableSpace M
Sup M
self : MeasurableSup M
c : M
⊢ Measurable fun x => c ⊔ x
α : Type u
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b
⊢ List.Pairwise r l
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.sinZeta a s = (HurwitzZeta.expZeta a s - HurwitzZeta.expZeta (-a) s) / (2 * Complex.I)
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ
⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑n
x : ℝ*
hi : x.Infinitesimal
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ ↑r < x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : CategoryTheory.Center C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).f = f.f ≫ g.f
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : μ t = 0
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (g n) μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᵐ[μ] f n
R : Type u
Ring R
r : ↥⊤
⊢ Subring.topEquiv r = ↑r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
hu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
hgu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault
hgu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault
⊢ g (Filter.liminf u f) = Filter.liminf (fun x => g (u x)) f
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ ‖f‖ = (μ Set.univ).toReal * ‖f‖
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
⊢ 0 ∉ Set.Ioo 0 1
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
i j : ι
hij : i ≠ j
x : M
hx : x ∈ A i
⊢ ((LinearEquiv.ofBijective (DirectSum.coeLinearMap A) h).symm x) j = 0
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
f : α → β
h : Transitive r
⊢ Transitive (InvImage r f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
U : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace ↥U
⊢ IsSelfAdjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Injective ⇑f
⊢ finrank R ↥(range f) = finrank R M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
hs : IsOpen s
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ IsOpen (f '' s)
x : ℂ
y : ℝ
⊢ Complex.abs (x ^ ↑y) = Complex.abs x ^ y
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α
⊢ ∃ u, DenseRange u
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
⊢ I⁻¹ * I = 1