ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_bot : f a = ⊥
x : α
p : β
⊢ ⊥ ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Injective f
h : Nat.card α = 0
⊢ Nat.card β = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.obj).hom
β : Type u_1
ι : Type u_2
t : ι → TopologicalSpace β
T : ι → Set (Set β)
h_basis : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (T i)
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i}
I : Type u
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
F : (i : I) → f i → g i
hF : ∀ (i : I), Function.Bijective (F i)
⊢ Function.Bijective fun x i => F i (x i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
T2Space M
Zero M'
n : ℕ∞
U : TopologicalSpace.Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiff I I' n (Function.extend Subtype.val f 0)
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * ↑hx.unit⁻¹ - 1 = 1 - 1
⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
⊢ cons i {j} ⋯ ⊆ s
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (𝓝[>] OfNat.ofNat n).NeBot
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Monovary f g₂
⊢ Monovary f (g₁ + g₂)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β
⊢ a ∉ erase a s
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
Nonempty α
⊢ AddAction.IsPretransitive G α ↔ Nonempty (Unique (AddAction.orbitRel.Quotient G α))
α : Type u
p : α → Prop
x : α
⊢ {x | p x} x ↔ p x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ f.Pos → g.Pos → (f * g).Pos
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N
⊢ i (r * a ^ n * b ^ (N - n)) = i b ^ N * (i r * eval (i a * bi) X ^ n)
a : ℤ
n : ℕ
h : jacobiSym a n = -1
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ jacobiSym a p = -1
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0
⊢ (1 + sin x ^ 2 / cos x ^ 2)⁻¹ = cos x ^ 2
x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ arcsin x = arccos √(1 - x ^ 2)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
V : SemiNormedGrp
⊢ ⇑(𝟙 V) = id
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
⊢ x.toReal ^ z = (x ^ z).toReal
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ ∀ {x x_1 : TopCat.Presheaf.SheafCondition.OpensLeCover U} (g : x ⟶ x_1),
  (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U hY).map g = CategoryTheory.Over.homMk g ⋯
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ {a}.lcm = normalize a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Bialgebra R A
⊢ Coalgebra.counit 1 = 1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ 0 ≤ ProbabilityTheory.variance X μ
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ : M
⊢ (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) (((CliffordAlgebra.even.ι Q).bilin m₁) m₂) = (f.bilin m₁) m₂
α : Type u
a : α
⊢ List.nil.getLastD a = a
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : MeasureTheory.SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (MeasureTheory.SimpleFunc.integral (μ.restrict ↑I) f)
ι : Type u_1
G : Type u_2
Group G
ConditionallyCompleteLattice G
CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (Set.range f)
a : G
⊢ (⨆ i, f i) / a = ⨆ i, f i / a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : T.mor₂ = 0
⊢ CategoryTheory.Mono T.mor₃
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
⊢ 0 ≤ a * b ↔ 0 ≤ b
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ¬Q.Anisotropic ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ Q x = 0
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∉ s
hit : i ∈ t
⊢ z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => c - f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d
⊢ MulAction.toEndHom h w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ hs.toFinset, f i
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ((IntFractPair.stream v n).bind fun ap_n => if ap_n.fr = 0 then none else some (IntFractPair.of ap_n.fr⁻¹)) = none ↔ IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
⊢ ∃ W h1 h2, ((w.pullback I.f).pullback II.f).refine h1 = ((t I).pullback II.f).refine h2
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y
sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y
tan_cts_U : ContinuousOn tan U
tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U
deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y
⊢ x < tan x
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).primeFactorsList.Perm (a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
⊢ ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h
⊢ f < h
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 7 → β
⊢ ∑ i : Fin 7, f i = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6
n m k : ℕ
h : m ∈ n.smoothNumbers
h' : k ∣ m
⊢ k ∈ n.smoothNumbers
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c + b
hb : b < ℵ₀
⊢ a = c
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
i : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ HomogeneousLocalization.mk (-i) = -HomogeneousLocalization.mk i
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
this : ∀ (i : ι), ∃ φ, φ (m i) = 1
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
h_nonempty : (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}).Nonempty
⊢ u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
ha : OrderHom.lfp f ≤ a
⊢ OrderHom.lfp f ≤ f a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u - b /ₚ u = (a - b) /ₚ u
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
⊢ Set.EqOn (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀)
  (((Set.Ioo 0 1).indicator fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) + {1}.indicator fun x => P.f₀ - P.f 1)
  (Set.Ioi 0)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → (∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (s.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ s.powerset, f (s.piecewise m m')) → ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f ((insert a s).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert a s).powerset, f (s.piecewise m m')
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ Function.Bijective ((forget C).map f)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
z : W
⊢ ∃ a, (↑K f) a = z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
x y : α
⊢ ‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
e : α ≃ β
p : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign (e.permCongr p) = Equiv.Perm.sign p
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
⊢ LinearMap.range g.toLinearPMap.toFun = Submodule.map (LinearMap.snd R E F) g
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
α : Type u_9
TopologicalSpace α
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
f : α → M₁
⊢ Continuous (⇑e ∘ f) ↔ Continuous f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
f : SchwartzMap E F
⊢ (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 m) f =
  (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.inv.app X).unop =
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.hom.app
      (Opposite.op ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj (Opposite.unop X)))).unop
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
MN : L.ElementarilyEquivalent M N
NP : L.ElementarilyEquivalent N P
⊢ L.ElementarilyEquivalent M P
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
s : Set α
ho : Set.Ioo a b ⊆ s
hc : s ⊆ Set.Icc a b
⊢ s ∈ {Set.Icc a b, Set.Ico a b, Set.Ioc a b, Set.Ioo a b}
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ z ≤ 0 ↔ re z ≤ 0 ∧ im z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter β
h : Filter.Tendsto f (𝓝 a) l
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) l
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R
⊢ IsClosed {f | f 0 = 0}
⊢ LipschitzWith 1 fun p => min p.1 p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α
⊢ 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ ascPochhammer S (n + 1) = ascPochhammer S n * (X + ↑n)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ GaloisConnection (Algebra.adjoin R) SetLike.coe
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1
⊢ s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
⊢ d.edge ∈ G.edgeSet
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
q : ℚ≥0
x : ↥s
⊢ ↑(q • x) = q • ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y
⊢ tan x < tan y
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Filter.Tendsto (fun X => s.partialGamma X) Filter.atTop (𝓝 s.GammaIntegral)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)
⊢ ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨x, hx⟩)) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
⊢ ∃ a, f a = i
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
f : G →* M
⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ MeasurePreserving (⇑e) volume volume
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
h : CategoryTheory.Limits.IsIndObject A
⊢ CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝
⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = X✝.hom.app [0] ≫ η.right.app [0]
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ
⊢ (frobenius R p) ↑n = ↑n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
h : a ∣ b
⊢ a * ↑u * ↑u⁻¹ = a
c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) c.ord
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Prop
inst✝ : IsDomain R
h_pos : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → CharP R p → P
h_equal : Algebra ℚ R → P
h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P
⊢ ∀ (p : ℕ), p ≠ 0 → CharP R p → P
G : Type u_2
AddGroup G
ι : Sort u_5
S : ι → AddSubgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 0
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
M : Type u_3
AddCommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij.1 ij.2 = ∑ k ∈ Finset.range n.succ, f k (n - k)
G : Type u_1
AddGroup G
H' H : AddSubgroup G
h : H' ≤ H
⊢ ∃ S, ↑H' + S = ↑H ∧ Nat.card ↥H' * Nat.card ↑S = Nat.card ↥H
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
t : τ
x : p 0
⊢ Function.FromTypes.const p t x = Function.FromTypes.const (Matrix.vecTail p) t
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
⊢ Finset.univ.inf (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.inf f