ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
⊢ (fun x => !x) ∘ isNone = isSome
α : Type u
a : α
s t : Stream'.Seq α
⊢ (Stream'.Seq.cons a s).append t = Stream'.Seq.cons a (s.append t)
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a = b / c ↔ a * c = b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p.support = ∅ ↔ p = 0
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane
⊢ log (1 + -z) = -z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ ‖SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w‖ ≤ ‖g‖
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
m n : ℕ
h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n
hmlen : m ≤ n
hmn✝ : ¬m = n
hmn : m < n
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
n : ℤ
⊢ α.conjAut (f ^ n) = α.conjAut f ^ n
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
h : Function.Surjective F.obj
⊢ F.EssSurj
α : Type u_3
a : Multiset α
l : List (Multiset α)
⊢ l.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ l, b.Disjoint a
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
i : n
A : ↥(Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R))
⊢ (Matrix.SpecialLinearGroup.center_equiv_rootsOfUnity' i) A = rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size
H3 : 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3 ∨ rl.size + rr.size ≤ 2
H3_0 : l.size = 0 → rl.size + rr.size ≤ 2
H3p : l.size > 0 → 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3
ablem : ∀ {a b : ℕ}, 1 ≤ a → a + b ≤ 2 → b ≤ 1
hlp : l.size > 0 → ¬rl.size + rr.size ≤ 1
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
⊢ ↑N ≤ rexp 16
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (Mathlib.Vector.mOfFn fun i => Part.some (f i)) = Part.some (Mathlib.Vector.ofFn f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Continuous ⇑h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 + ∠ p4 p3 p1 = π
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, f i ∩ t = (⋂ i ∈ s, f i) ∩ t
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBSet α cmp
cut : α → Ordering
f : Option α → Option α
self : t.AlterWF cut f
⊢ Batteries.RBNode.WF cmp (Batteries.RBNode.alter cut f t.val)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ↑(∏ i ∈ range k, (n - i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M
⊢ (∃ a_1, f a_1 ≠ 0 ∧ { toFun := fun a => (a, f a), inj' := ⋯ } a_1 = (a, m)) ↔ f a = m ∧ m ≠ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a
⊢ s₁.gcd f = s₁.gcd g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ F =ᶠ[ae μ] fun a => ⨆ n, f n a
i : Fin 2
hi : i ≠ 0
⊢ i = 1
α : Type u
TopologicalSpace α
F : Set α
x : α
h : x ∉ F
⊢ connectedComponentIn F x = ∅
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ WeaklyConnectedComponent.mk b✝ = WeaklyConnectedComponent.mk (let_fun this := a✝; this)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x ↑f) ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ ‖MeasureTheory.L1.integral f‖₊ ≤ ‖f‖₊
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun a => L (φ a)) μ ↔ MeasureTheory.Integrable φ μ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) = g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
⊢ Differentiable 𝕜 ⇑f
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ ((limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
σ : R →+* R
RingHomId σ
⊢ ⇑LinearMap.id' = id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}.Countable
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
x✝ y✝ x y : ℝ
h : 0 < x
⊢ x / √x = √x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n✝ : ℕ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, x ^ m = x ^ n
⊢ (finEquivPowers x hx).symm ⟨x ^ n, hn⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
⊢ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b
n : ℕ
⊢ Multiset.card (Multiset.range n) = n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : α → β
TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
OrderTopology β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault
⊢ μ {y | essSup f μ < f y} = 0
n : ℕ
⊢ ↑(bif (↑n).bodd then 1 else 0) + 2 * (↑n).div2 = ↑n
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map (↑e) p = Submodule.comap (↑e.symm) p
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
PartialOrder β
gi : GaloisInsertion l u
⊢ Function.Injective u
α : Type u_2
Zero α
⊢ Filter.NeBot 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
a : A
⊢ (TensorProduct.assoc R A A A) ((LinearMap.rTensor A Coalgebra.comul) (Coalgebra.comul a)) =
  (LinearMap.lTensor A Coalgebra.comul) (Coalgebra.comul a)
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca ca' : Computation α
cb cb' : Computation β
ha : ca.Equiv ca'
hb : cb.Equiv cb'
⊢ Computation.LiftRel R ca cb ↔ Computation.LiftRel R ca' cb'
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s t : Multiset α
H : s ⊆ t
⊢ Multiset.map f s ⊆ Multiset.map f t
x y : ℂ
s1 : cos x = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
s2 : cos ((x + y) / 2 - (x - y) / 2) = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
⊢ cos x - cos y = -2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
⊢ log b o = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
a b : α
s : Set β
x : β
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => (a + b) • x) x ∈ a • s + b • s
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
C : c.Quotient → Prop
q : c.Quotient
H : ∀ (x : M), C ↑x
⊢ C q
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ 0 < Pell.d a1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
⊢ Balanced 𝕜 (0 ∪ interior A)
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
A : Matrix n n α
⊢ (-A).IsDiag ↔ A.IsDiag
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑f = ↑g ↔ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
⊢ ∃ x, ∀ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x ≤ x_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
⊢ (fun s => ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b) =o[l.smallSets] fun s => (μ s).toReal
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddZeroClass G
One G
Add H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
⊢ f 1 = f 0 + b
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → Prop
⊢ (∀ (y : β), p y) ↔ ∀ (x : α), p (f x)
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Bijective f
x : β
⊢ f ((Equiv.ofBijective f hf).symm x) = x
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ p = MvPolynomial.C (MvPolynomial.coeff 0 p)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
n : ℕ
⊢ (C r * X ^ n).eraseLead = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
hinf : (B₂ \ B₁).encard = ⊤
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
⊢ x ∈ Submodule.span S a ↔ ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = IsLocalization.mk' S 1 z • y
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'
⊢ Set.EqOn (↑e) (↑e') e.source
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'
b : B
v : F
⊢ ↑(FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU hφ h2φ ≫ₕ FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ' hU' hφ' h2φ') (b, v) =
  (b, (φ' b) ((φ b) v))
⊢ ∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y = Ordering.lt → cmp y z ≠ Ordering.gt → cmp x_1 z = Ordering.lt
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p) = ⇑(TotalSpace.toProd H E)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ
⊢ LipschitzWith Kf fun x => min (f x) a
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b
⊢ ⅟a = ⅟b
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a < 1 / b ↔ b < 1 / a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (∃ z, b = a + z • p) → toIocMod hp a b = a + p
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ ∀ f_1 ∈ {f, g}, Continuous f_1
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ - 1 = -q⁻¹
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => a - x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
Z : C
h : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasKernel (f ≫ h)
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f ≤ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (f ≫ h)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R
⊢ ((toBasicOpen R f).comp (algebraMap R (Localization.Away f))) g = (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)) g
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c
⊢ a * ⅟c = b ↔ a = b * c
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a < b
⊢ Set.Ioo a b ∪ {a} = Set.Ico a b
S : Type u_6
LinearOrderedRing S
a : S
⊢ AbsoluteValue.abs a = |a|
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ ⋃ n, Metric.closedBall x ↑n = Set.univ
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hx_le_one : (∂κ a/∂η a) x ≤ 1 x
⊢ κ.rnDerivAux η a x ≤ 1 x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
H : (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0
⊢ (φ.polyCharpoly b').coeff k = 0
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
⊢ Filter.Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Filter.Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)
M₀ : Type u_2
CommMonoidWithZero M₀
a : M₀
ha : ⟦a⟧ ∈ (Associates M₀)⁰
⊢ associatesNonZeroDivisorsEquiv ⟨⟦a⟧, ha⟩ = ⟦⟨a, ⋯⟩⟧
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x
⊢ deriv f x ≤ deriv f x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor η).hom.app a = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).hom
R' : Type u_5
M' : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommMonoid M'
Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
⊢ ↑(Ideal.span s) • N = s • N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
x : DirectSum ι fun i => ↥(V i)
i : ι
CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
⊢ ((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) = μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mapAugmentedCechConerve F).left = F.left
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b
⊢ a ^ n < a ^ b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_12
Ring R'
Module R' E
p q : Submodule R' E
h : p = q
⊢ (LinearIsometryEquiv.ofEq p q h).symm = LinearIsometryEquiv.ofEq q p ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t)
R : Type u
a : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X).degree = 1
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
h₁ : UniformContinuous f₁
h₂ : UniformContinuous f₂
⊢ UniformContinuous fun a => (f₁ a, f₂ a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G H : C ⥤ D
X : C
⊢ (α_ F G H).hom.app X = (α_ (F.obj X) (G.obj X) (H.obj X)).hom
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
⊢ 1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
α : Type u
f : Filter α
⊢ Filter.comap id f = f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E₁ : Type u_9
E₂ : Type u_10
UniformSpace E₁
UniformSpace E₂
AddCommGroup E₁
AddCommGroup E₂
Module R₁ E₁
Module R₂ E₂
UniformAddGroup E₁
UniformAddGroup E₂
e : E₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
h₁ : Continuous ⇑e
h₂ : Continuous ⇑e.symm
⊢ UniformEmbedding ⇑e
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∃ x, p x.fst x.snd) ↔ ∃ a b, p a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι → Finset α
⊢ f ∈ s.finsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
⊢ (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iio a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
Semiring A
Module R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
Module.Finite R A
Module.Finite A M
⊢ Module.Finite R M
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
h : c < 0
⊢ a * c < b * c ↔ b < a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M
⊢ (TensorAlgebra.GradedAlgebra.ι R M) m =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(LinearMap.range (TensorAlgebra.ι R) ^ i)) 1) ⟨(TensorAlgebra.ι R) m, ⋯⟩
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
a : α
s : Set α
f g : α → M
hfg : a ∈ s → f a ≤ g a
⊢ s.mulIndicator f a ≤ g a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ (o.rotation ↑π) x = -x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s
C : interior (frontier s) ⊆ frontier s
this : interior (frontier s) ⊆ interior s ∩ (s \ interior s)
⊢ interior (frontier s) = ∅
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
⊢ Finset.Iio = Finset.Ico ⊥
n : ℕ
⊢ (Tree.treesOfNumNodesEq n).card = catalan n
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree
⊢ (Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom x).toFinsupp ⋯) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
(j : I) → Decidable (J j)
(j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ ⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C J) l) ∘
    Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C hJK =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C K) l)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
a b : ℝ
φ : ℝ → F →L[𝕜] E
hφ : IntervalIntegrable φ μ a b
v : F
⊢ (∫ (x : ℝ) in a..b, φ x ∂μ) v = ∫ (x : ℝ) in a..b, (φ x) v ∂μ