ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
I : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
y : P'
⊢ y ∈ FractionalIdeal.map g I ↔ ∃ x ∈ I, g x = y
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R
⊢ ringConGen ⇑c ≤ c
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.IsMultiplicative
L L' : Φ.LeftResolution X₂
φ₁ φ₂ : L ⟶ L'
h : φ₁.f = φ₂.f
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
a : α
as : List α
i : Fin (as ++ [a]).length
h : ¬↑i < as.length
⊢ (as ++ [a]).get i = a
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝⁴ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this✝³ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
this✝² : IsDomain (Localization P')
this✝¹ : IsDedekindDomain (Localization P')
this✝ : DecidableEq (Ideal (Localization P')) := Classical.decEq (Ideal (Localization P'))
this : IsPrincipalIdealRing (Localization P')
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ (split I i x).iUnion = ↑I
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : hf.toFinset.card ≤ n
⊢ Nat.nth p n = 0
F : Type u_1
CommSemiring F
q : ℕ
f : Polynomial F
hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f
⊢ ∃ m, hf.degree * q ^ m = f.natDegree
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
hyp : ∀ (n : ι), IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : ∃ i, t1 ∈ s i
ht2 : t2 ∈ s'
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field F
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K₁
inst✝¹⁴ : Field K₂
inst✝¹³ : Field K₃
inst✝¹² : Algebra F K₁
inst✝¹¹ : Algebra F K₂
inst✝¹⁰ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E✝ : Type u_6
inst✝⁹ : Field E✝
inst✝⁸ : Algebra F E✝
inst✝⁷ : Algebra E✝ K₁
inst✝⁶ : Algebra E✝ K₂
inst✝⁵ : Algebra E✝ K₃
inst✝⁴ : IsScalarTower F E✝ K₁
inst✝³ : IsScalarTower F E✝ K₂
inst✝² : IsScalarTower F E✝ K₃
inst✝¹ : Algebra F K
E : IntermediateField F K
inst✝ : Normal F ↥E
f : ↥E →ₐ[F] K
this : Algebra ↥E ↥E := Algebra.id ↥E
g : ↥E ≃ₐ[F] ↥E := f.restrictNormal' ↥E
⊢ f.fieldRange = E
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
s : Setoid α
t : Setoid β
f : α → β → γ
h : ∀ (a₁ : α) (a₂ : β) (b₁ : α) (b₂ : β), Setoid.r a₁ b₁ → Setoid.r a₂ b₂ → f a₁ a₂ = f b₁ b₂
a : α
b : β
⊢ ⟦a⟧.liftOn₂' ⟦b⟧ f h = f a b
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
f : MeasureTheory.SimpleFunc α G
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Icc r s)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
ht : t₀ ∈ s
⊢ ContinuousAt γ t₀
S : Type u_3
AddSemigroup S
a b c : S
hab : AddCommute a b
hac : AddCommute a c
⊢ AddCommute a (b + c)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
⊢ p = 0 ∧ q = 0 ∨ p = 0 ∧ q = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : β → α
a : α
s : Set α
l : Filter β
h : ∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → (∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ i) ∧ ∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ ∀ {X Y : (Finset V)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (C : G.ComponentCompl ↑(Opposite.unop X)),
  G.componentComplFunctor.map f C = SimpleGraph.ComponentCompl.hom ⋯ C
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
⊢ b ^ (2 * p) - 1 - (b ^ 2 - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ x ∈ PiNat.cylinder x n
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ s ∈ pure a
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
⊢ (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel hd) ((changeLevel hm) χ)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
⊢ ¬Collinear ℝ (Set.range p)
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
x y : R
⊢ Commute x y ↔ ⁅x, y⁆ = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
A : Type u_7
Semiring A
SMul R A
Module A M
Module A N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R A N
f : M [⋀^ι]→L[A] N
⊢ ⇑(ContinuousAlternatingMap.restrictScalars R f) = ⇑f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔ n ∈ Finset.Icc (-↑(chainBotCoeff (⇑α) β)) ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.cycleOf x).IsCycle
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
b : M
⊢ (Finsupp.singleAddHom a) b = Finsupp.single a b
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
⊢ List.map f l₁ ⊆ List.map f l₂
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
x : α
⊢ (FreeAddMonoid.countP p) (FreeAddMonoid.of x) = if p x = (true = true) then 1 else 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ range ⇑e = univ
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma ++ mb ∈ a ++ b
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
⊢ ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
self : StarSubalgebra R A
a : A
⊢ a ∈ self.carrier → star a ∈ self.carrier
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : x ∈ image f s.support
⊢ x ∈ (mapDomain f s).support
R : Type u_1
CommRing R
h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
⊢ IsUnit ↑↑n
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'
⊢ l.Nodup ↔ l'.Nodup
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : α → β → γ
hr : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), s b₁ b₂ → t (f a b₁) (f a b₂)
hs : ∀ (a₁ a₂ : α) (b : β), r a₁ a₂ → t (f a₁ b) (f a₂ b)
a : α
b : β
⊢ Quot.map₂ f hr hs (Quot.mk r a) (Quot.mk s b) = Quot.mk t (f a b)
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ p' * (ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p') = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ degreeLT R n ≤ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
R : Type u
a : R
Ring R
⊢ Polynomial.C (-a) = -Polynomial.C a
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ
a : α
⊢ (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → openSegment 𝕜 x y ⊆ s
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
ha : AddCommute a₁ a₂
hb : Commute b₁ b₂
⊢ Commute (AddMonoidAlgebra.single a₁ b₁) (AddMonoidAlgebra.single a₂ b₂)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
⊢ algebraMap R (Unitization R A) = Unitization.inlRingHom R A
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
⊢ s₁.length = s₂.length
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
⊢ (RingEquiv.refl M).symm (j x) = j x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α
⊢ Multipliable (f ∘ Subtype.val)
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.cdf μ) x) = μ (Set.Iic x)
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : A →+ Additive M
⊢ ⇑(AddChar.toAddMonoidHomEquiv.symm ψ) = ⇑Additive.toMul ∘ ⇑ψ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ≅ T₂
⊢ (CategoryTheory.Monad.algebraEquivOfIsoMonads h).unitIso =
  CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomId.symm ≪≫
    CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomEq ⋯ ≪≫ CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomComp h.hom h.inv
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : 1 < a
⊢ Injective fun x => a ^ x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → Real.Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π
⊢ ContinuousOn (Real.Angle.sign ∘ f) s
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (p.comp q) = Polynomial.derivative q * (Polynomial.derivative p).comp q
E : Type u_9
self : SeminormedGroup E
x y : E
⊢ dist x y = ‖x / y‖
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
a : α → ℝ
t₀ : Filter α
h : ∀ᶠ (n : α) in t₀, ‖f n‖ ≤ a n
h' : Filter.Tendsto a t₀ (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f t₀ (𝓝 1)
⊢ ClosedEmbedding ⇑natUnionInftyEmbedding
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioo (f a) b
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ
n : ℕ
NeZero n
⊢ Function.RightInverse ZMod.val Nat.cast
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
b : Fin 2 → ℤ
⊢ Complex.abs (↑(b 0) * ↑z + ↑(b 1)) ^ (-k) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
⊢ (∀ (x : L), x ∈ F.toSubalgebra ↔ x ∈ E.toSubalgebra) ↔ ∀ (x : L), x ∈ ↑F ↔ x ∈ ↑E
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α → Prop
h : ∃ᶠ (x : α) in Filter.atBot, p x
a : α
⊢ ∃ b ≤ a, p b
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ CharP R p ↔ ↑p = 0
X : Type w
TopologicalSpace X
UCompactlyGeneratedSpace X
Y : Type u_1
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)
⊢ Continuous f
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, ¬y ≤ x
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ -1 = 1 ↔ ringChar R = 2
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f : α → β
⊢ f ≤ᶠ[l] f
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
P : ι → Prop
DecidablePred P
x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i
z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i
⊢ (f.domDomRestrict P z) x = f fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑↑m + x)
⊢ Irrational x
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
⊢ ∃ k ∈ s, (H k).FiniteIndex
α : Sort u_4
r : α → α → Prop
a bot : α
ha : Acc r a
C : α → Prop
ih : ∀ (b : α), b ≠ bot → C b → ∃ c, r c b ∧ C c
⊢ C a → C bot
R : Type u_1
CommRing R
a b c : R
h : ∀ (s : R), discrim a b c ≠ s ^ 2
x : R
⊢ a * x * x + b * x + c ≠ 0
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (ArithmeticFunction.sigma 0) (p ^ i) = i + 1
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = joinM (g <$> f t)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
t : NonUnitalSubsemiring R
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ NonUnitalSubsemiring.closure s
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure s = t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : Setoid α} {r : α → α → Prop} (H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂) (a : Quotient x),
  (Quotient.out'RelEmbedding H) a = a.out'
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
w : Set M
x : ↥(span R w)
⊢ (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) ⋯.choose = ↑x
α : Type u_1
Mul α
Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α) x * (equivShrink α) y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
x y : ↑↑X
h : x ⤳ y
⊢ Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f y ≫ X.presheaf.stalkSpecializes h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
m : M
⊢ (finsuppScalarRight R M ι).symm (Finsupp.single i m) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i 1
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |↑i| ^ s.re
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
a : A
⊢ (D1 - D2) a = D1 a - D2 a
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
Bornology δ
f : LocallyBoundedMap γ δ
g : LocallyBoundedMap β γ
h : LocallyBoundedMap α β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h)
α : Type u
β : α → Type v
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.entries ⊆ s₂.entries
k : α
hk : k ∈ s₁.keys
this✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α
this : lookup k s₂ = some ((lookup k s₁).get ⋯)
⊢ k ∈ s₂.keys
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ colimMap (𝟙 (J.diagram P (unop x✝))) = 𝟙 ({ obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj x✝)
α : Type u
Preorder α
⊢ LeftOrdContinuous id
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
h1 : (↑f).toFun 1 = 1
hmul : ∀ (x y : α), (↑f).toFun (x * y) = (↑f).toFun x * (↑f).toFun y
⊢ { toZeroHom := ↑f, map_one' := h1, map_mul' := hmul } = f
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f H ≤ AddSubgroup.map f K ↔ H ≤ K ⊔ f.ker
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
G : C ⥤ D
G' : D ⥤ E
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
L : CategoryTheory.GrothendieckTopology E
G.IsCocontinuous J K
G'.IsCocontinuous K L
⊢ (G ⋙ G').IsCocontinuous J L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot
f g : β → α
a b : α
ha : Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Tendsto g l (𝓝 b)
h : Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)
⊢ Inseparable a b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ g.support, f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
a : Part α
Decidable a.Dom
⊢ a.toOption = none ↔ ¬a.Dom
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
⊢ a - b < a - c ↔ c < b
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length
⊢ x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] <+: y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
⊢ s.secondInter p v ∈ s ↔ p ∈ s
G : Type u_1
Group G
⊢ ⊤.toSubmonoid = ⊤
⊢ ⇑NNRat.coeHom = NNRat.cast
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
⊢ legendreSym p a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a : α
⊢ Periodic (fun x => f (x - a)) c
n p : ℕ
hp : Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3
⊢ 5 ≤ p
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
⊢ ↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ comp 0 p = 0
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ mabs (mabs a) = mabs a
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ 1 ∈ primitiveRoots 1 R ∧ ∀ x ∈ primitiveRoots 1 R, x = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
this : ↑p ≠ 0
⊢ padicNorm p (q * r) = padicNorm p q * padicNorm p r