ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_3
N : Type u_4
⊢ ∀ {x : Mul M} {x_1 : CommSemigroup N} (f g : M →ₙ* N), ⇑f * ⇑g = fun x_2 => f x_2 * g x_2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0) → 0 = f
R A B : Type u
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ (CommRingCat.pushoutCocone R A B).pt = CommRingCat.of (A ⊗[R] B)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ =
  f₁₁ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inl + f₁₂ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inr
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ f.comp (MonoidHom.id M) = f
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u
⊢ a * u ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
⊢ ∃ i, ∃ (hi₁ : MeasurableSet i) (hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i) (hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ), s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
P : (Fin n → α) → Prop
hf : P f
h :
  ∀ (σ : Equiv.Perm (Fin n)) (i j : Fin n),
    i < j → (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i → P (f ∘ ⇑σ) → P (f ∘ ⇑σ ∘ ⇑(Equiv.swap i j))
⊢ P (f ∘ ⇑(Tuple.sort f))
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (aeval s) p = 0
⊢ (aeval s) p.primPart = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ s.card / P.parts.card ≤ t.card
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ (x * MvPolynomial.X i).modMonomial (Finsupp.single i 1) = 0
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
x✝ : M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I
h : M.Indep B
h' : ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I
⊢ M.Base B
w i : Nat
x : BitVec w
⊢ BitVec.truncate (i + 1) x = BitVec.cons (x.getLsb i) (BitVec.truncate i x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
Nonempty ι
Nonempty ι'
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ WithSeminorms q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
⊢ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s (V i))
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd αᵃᵒᵖ α
s : Set α
a : α
b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ s + {a} ∈ 𝓝 (b + a)
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)
⊢ (∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0) ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q)
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b c : α
hac : a ⩿ c
hbc : b ⩿ c
hab : a ≠ b
⊢ a ⊔ b = c
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
ij : i < n + 1
j2n : n + 1 ≤ 2 * n
jnn : n + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)
o : n = n ∨ n < n
lin : i < n
⊢ xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.1 i.2 ∧ s i.1 i.2 ⊆ t
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a ∨ -‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
m n : ℕ
⊢ Nat.fib (m + n + 1) = Nat.fib m * Nat.fib n + Nat.fib (m + 1) * Nat.fib (n + 1)
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree
⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
⊢ ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b)) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
z : (i : ι) → α i
h₁ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)
h₂ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)
⊢ False
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Continuous' g
⊢ Continuous' fun x => f <$> g x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ ∃ S,
  MeasurableSet S ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 S ∧
      MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧
        j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
⊢ WithTop.map (⇑ofDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑ofDual)
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ ‖0‖ = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
⊢ (fun x => (n + k + 1).factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + k + 1)) = (fun x => (n + k + 1).factorial • x) 0
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
⊢ x.leadingCoeff = 0
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
⊢ Fin.snoc p x (Fin.last n) = x
z : ℍ
⊢ ‖cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑z)‖ < 1
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
⊢ ContinuousWithinAt f (Icc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ b ∈ Multiset.Ioc a b ↔ a < b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F ⊥ = ⊥
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommSemiring Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rₛ M
IsScalarTower R Rₛ M
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b
⊢ LinearIndependent Rₛ b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal
⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
⊢ IsMulFreimanHom n A C (g ∘ f)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
⊢ ∀ (x : o), x ≠ k → (∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0) = 0
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ↑n
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S
⊢ IsVonNBounded 𝕜₁ S
R : Type u_1
CommSemiring R
b b' c : R
a a' : ℕ
⊢ a = a' → b = b' → a' • b' = c → a • b = c
f : ℕ → ENNReal
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
⊢ ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k) ≤ f 1 + 2 * ∑' (k : ℕ), f k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
n m : ℕ
hm : n ≠ m
⊢ (1 &&& 2 ^ n / 2 ^ m != 0) = false
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ ↔ Memℒp f p μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0
t : Set (α × β)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' t)) =ᶠ[ae μ] 0
⊢ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae μ] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
n : ZNum
⊢ n + n + 1 = n.bit1
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
a : α
Invertible a
⊢ 0 ≤ ⅟a ↔ 0 ≤ a
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
x : α
hxf : f i x = f' i x
hxg : g x = g' x
⊢ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x ↔ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
⊢ ∃ y_1 ∈ (extensionOfMax i f).domain, ∃ z ∈ Submodule.span R {?y}, y_1 + z = y
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i
⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f i) x) i 0 = 0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
⊢ μ ↑s = 0
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable
m : Ideal S
hm : m.IsMaximal
⊢ p.Separable
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
⊢ x ∈ I
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : ⌊a⌋₊ < n
⊢ a < ↑n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
e : PartialHomeomorph M H
⊢ e.symm ≫ₕ e ∈ analyticGroupoid I
a : EReal
⊢ 1 ≤ a.exp ↔ 0 ≤ a
f : CircleDeg1Lift
τ' : ℝ
h : Filter.Tendsto f.transnumAuxSeq Filter.atTop (𝓝 τ')
⊢ f.translationNumber = τ'
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
p : α → Prop
hx : p x
hy : p y
⊢ p (min x y)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
h : (trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g
⊢ (trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
⊢ ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ = y
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hsμ : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hsμ c = MeasureTheory.indicatorConstLp p ht htμ c ↔ s =ᵐ[μ] t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist ∅ s = 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ algebraMap (↥S) R = S.subtype
L : List ℕ
⊢ L.headI + L.tail.sum = L.sum
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
g h : Set α → Filter β
⊢ (f.lift fun x => g x ⊓ h x) = f.lift g ⊓ f.lift h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : AEMeasurable φ μ
f : β → G
hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.map φ μ)
g : β → G := AEStronglyMeasurable.mk f hfm
⊢ Measure.map φ μ = Measure.map (AEMeasurable.mk φ hφ) μ
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ ((β_ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (ρ_ X₂).hom) = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A + B).card * A'.card ≤ (A' + B).card * A.card
n : ℕ
⊢ ↑(A + n • B).card ≤ (↑(A + B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ max (a - c) (b - c) = max a b - c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
hx : v y < v x
⊢ v (x - y) = v y
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid α
f : β → α
g : γ → α
h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x ∈ u', g x = ∑ b ∈ v', f b
⊢ Filter.map (fun s => ∑ b ∈ s, f b) Filter.atTop ≤ Filter.map (fun s => ∑ x ∈ s, g x) Filter.atTop
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(↑n).toNNReal = ↑↑n
α : Type u
s t u : Set α
hs : t ∩ u ⊆ s
ht : s ∩ u ⊆ t
⊢ s ∩ u = t ∩ u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h✝ : (g - f).LimZero ∨ (-(g - f)).Pos
h : (-(g - f)).Pos
⊢ g < f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ IsCompl (CliffordAlgebra.evenOdd Q 0) (CliffordAlgebra.evenOdd Q 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ p ∈ support R M ↔ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ico a (a + p)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
b : β
⊢ b ∈ f.bind g ↔ ∃ a ∈ f, b ∈ g a
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ b ≠ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : C
f : Sum.inl X ⟶ Sum.inl Y
⊢ (CategoryTheory.sum.inverseAssociator C D E).map f = f
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
⊢ (∃ x, ψ x ≠ 1) → ψ 1 ≠ 1
α : Type u_4
CommMonoid α
TopologicalSpace α
β : Type u_5
f : β → α
⊢ tprod f = if h : Multipliable f then if (Function.mulSupport f).Finite then finprod f else Exists.choose h else 1
α : Type u_1
cut : α → Ordering
cmp : α → α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBNode α
H : Batteries.RBNode.OnRoot (fun x => Batteries.RBNode.cmpEq cmp (f x) x) (Batteries.RBNode.zoom cut t).fst
h : Batteries.RBNode.Ordered cmp t
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp (Batteries.RBNode.modify cut f t)
K : Type u_2
Field K
s : ℕ
⊢ Valued.v ((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ K) PowerSeries.X ^ s) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑s))
x y : ℝ
⊢ ↑(tan x) = ↑(sin x / cos x)
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
IsAddCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), a.val • t = b.val • t
⊢ a = b
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (-φ) = -CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.span R Set.univ = ⊤
K : Type v
Field K
n : ℕ
f : K[X]
⊢ Polynomial.SplittingFieldAux (n + 1) f = Polynomial.SplittingFieldAux n f.removeFactor
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x y : E
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ * ⟪a, y⟫_ℝ + (o.areaForm a) x * (o.areaForm a) y = ‖a‖ ^ 2 * ⟪x, y⟫_ℝ
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsLeftRegular (a * b)
⊢ Function.Injective ((fun x => a * x) ∘ fun x => b * x)
E : Type u_2
NNNorm E
x : E
⊢ ‖Additive.ofMul x‖₊ = ‖x‖₊
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i
⊢ (finSuccEquiv' i) m.castSucc = some m