ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
x : α
⊢ x ∈ {a | IsAtom a} ↔ x ∈ {a | IsAtom a ∧ a ≤ ⊤}
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) ≠ ⊤
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(iSup K)
hx : ↑x ∈ K i
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 1 = X
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
⊢ H = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
Field α
CharZero α
s : Finset ι
f : ι → ℚ
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : ∃ r, ∃ p0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points), p₁ = r • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p0
hp₂ : ∃ r, ∃ p0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points), p₂ = r • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p0
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')
h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'
goal' : ↑↑↑f' =ᶠ[ae μ'] ↑(toSimpleFunc f')
⊢ ↑↑↑f' =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f')
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Ioi a)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a x y : G₀
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a x y
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hf : Nat.Primrec' f
⊢ Nat.Primrec' fun v => (Nat.unpair (f v)).1
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ f = g → f = g
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Module.Free R S
Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
CommRing Sₚ
Algebra S Sₚ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
Algebra R Sₚ
IsScalarTower R S Sₚ
IsDedekindDomain Sₚ
IsDomain S
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofAbelian S).i = CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹¹ : BorelSpace α✝
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁸ : BorelSpace β✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e
⊢ inst✝³ = borel α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Mon_ C
⊢ ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.counitIso C).hom.app X).hom = 𝟙 X.X
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
CommMonoid α
DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ i : ι, f i
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
⊢ { x // x ∈ G.edgeFinset } ≃ { x // x ∈ G'.edgeFinset }
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
a : α
⊢ ⋯ = ⋯
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ⇑DomMulAct.mkHomeomorph = ⇑DomMulAct.mk
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
c : α
f : β → α
l : Filter β
⊢ Filter.Tendsto (fun x => dist (f x) c) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l (Bornology.cobounded α)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
M₂ : Type u_3
AddCommGroup M₂
Module R M₂
f g : M ⧸ p →ₗ[R] M₂
h : ∀ (x : M), f (Submodule.Quotient.mk x) = g (Submodule.Quotient.mk x)
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g s
n : ℕ
⊢ AntivaryOn (n • f) g s
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8253, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : Vᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ f ≫ factorThruImage g = 0
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
hψ : ψ.IsHomogeneous n
⊢ (φ * ψ).IsHomogeneous (m + n)
G : Type u_3
DivisionCommMonoid G
k : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t = ∅
⊢ sSup s ∈ s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
eq : e.inv.τ₂ ≫ (s.r ≫ S₁.f + S₁.g ≫ s.s) ≫ e.hom.τ₂ = e.inv.τ₂ ≫ 𝟙 S₁.X₂ ≫ e.hom.τ₂
⊢ (e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
t : Set Y
ht : IsClosed t
s : Set X
⊢ IsClosed {f | Set.MapsTo (⇑f) s t}
E : Type u_1
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : T2Space E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x
⊢ ContDiff ℝ n fun y => toEuclidean (f y)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : ∀ (x : α), 0 ≤ f x
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
f : ℕ → ℂ
s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
⊢ LSeriesHasSum (-f) s (-a)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Word M
⊢ (equivPair i) ((equivPair i).symm (let __src := (equivPair i) w; { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }
x y : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ Surreal.Multiplication.IH1 x y
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
f : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (a • f) = a * (MvPowerSeries.coeff R n) f
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Finset.Ioc ↑a ↑b = Finset.map Function.Embedding.some (Finset.Ioc a b)
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun b => ⨅ i, f i b
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
k : ℕ
hi : (X ^ k).content = 1
⊢ (X ^ (k + 1)).content = 1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x (-y) + o.oangle y (-z) + o.oangle z (-x) = ↑π
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a b : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
⊢ StrictMono f ∨ StrictAnti f
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
⊢ f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
⊢ ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (q - ↑f i) < ε
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
⊢ IsUniversalColimit c
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
H : a < b
⊢ Ioo a b ∈ 𝓝[<] b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (f - g) ⋯ = MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf - MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
⊢ h.IsPrimitiveClassified
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
⊢ 0⁻ = 0
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝
⊢ (f ≫ g) t = f t >>= g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : CategoryTheory.coyoneda.obj X ⟶ CategoryTheory.coyoneda.obj Y
⊢ CategoryTheory.Coyoneda.fullyFaithful.preimage f =
  Quiver.Hom.op (f.app (Opposite.unop X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X)))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
⊢ ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
s : Set M
f : M → M'
g : M → N'
hf : SmoothOn I I' f s
hg : SmoothOn I J' g s
⊢ SmoothOn I (I'.prod J') (fun x => (f x, g x)) s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0
⊢ multiplicity a a = 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Function.Bijective f
⊢ Function.Bijective (List.map f)
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
⊢ ⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n) = ⇑((RingAut.toPerm R) (frobeniusEquiv R p ^ n))
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a✝ : Ordinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
a x : α
x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)
b : α
h : typein r b < typein r x
⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r b)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
f : α →₀ M
h : a' ≠ a
⊢ (Finsupp.erase a f) a' = f a'
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
ε : α
x : α
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ q, |x - ↑q| < ε
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ {I | M.Indep I} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
Applicative m
LawfulApplicative m
x : m α
⊢ SatisfiesM (fun x => True) x
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0
⊢ ⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
g : α
x y : β
h : g +ᵥ x = g +ᵥ y
⊢ x = y
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)
this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)
⊢ M.LinearDisjoint N
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i]
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ b < Order.succ a ↔ b ≤ a
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : PseudoMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ nndist (a / b) (a / c) = nndist b c
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
⊢ Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p ≠ 0
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_1
Fintype ι
E' : ι → Type u_2
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
φ' : (i : ι) → E' i
⊢ HasDerivAt φ φ' x ↔ ∀ (i : ι), HasDerivAt (fun x => φ x i) (φ' i) x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m = (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist u t ≠ ⊤
I : hausdorffDist u s ≤ hausdorffDist u t + hausdorffDist t s
⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ z < w ↔ re z < re w ∧ im z = im w
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
⊢ Submodule.map reverse (p ^ n) = Submodule.map reverse p ^ n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup G
Module 𝕜 E
AddTorsor G E
VAddCommClass G E E
a : G
b c : E
⊢ a +ᵥ [b-[𝕜]c] = [a +ᵥ b-[𝕜]a +ᵥ c]
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Finite
⊢ t.Nonempty → s.Finite
γ : Type u
x : γ
f : Listβ γ (Listα.cons x) → WType (Listβ γ)
⊢ ofList γ (toList γ (mk (Listα.cons x) f)) = mk (Listα.cons x) f
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
⊢ f (a * b⁻¹) = 1
n : Nat
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑(i + 1) = if i = Fin.last n then 0 else ↑i + 1
α : Type u_6
β : Type u_7
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
h : ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y
⊢ ⇑(Dilation.mkOfDistEq f h) = f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
⊢ (s.ofIso e).r = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.inv.τ₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.r e.hom.τ₁)
α : Type u
s₁ s₂ : Stream' α
⊢ (∀ (n : ℕ), Stream'.take n s₁ = Stream'.take n s₂) → s₁ = s₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ LocallyCompactSpace ↑s
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq l
DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : m
r : n → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.updateRow i r).submatrix ⇑e ⇑f = (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow (e.symm i) fun i => r (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
c' : E →L[𝕜] G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
d' : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y))
  (((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H) (c x)).comp d' + ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H).flip (d x)).comp c') s x
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Function.Injective ⇑f.kerLift
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C
⊢ (X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ (α_ X.fst Y₂.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₂.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₂.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₂.fst ≫ (α_ U X.fst Y₂.fst).hom = ((α_ X.fst Y₁.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₁.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₁.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₁.fst ≫ (α_ U X.fst Y₁.fst).hom) ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 0 → β
⊢ ∑ i : Fin 0, f i = 0
α : Type u
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ List.sublistsLen (n + 1) (a :: l) = List.sublistsLen (n + 1) l ++ List.map (List.cons a) (List.sublistsLen n l)
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
⊢ Associates.mk a ∣ Associates.mk b ↔ a ∣ b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (∏ σ : ↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E, σ (adjoin.powerBasis hx).gen) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
x : α
⊢ x ∈ MeasureTheory.spanningSets μ (MeasureTheory.spanningSetsIndex μ x)
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
hc : ∀ i ∈ t, IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
⊢ Dense (⋃ i ∈ t, interior (f i))
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H = K
x : ↥K
⊢ ↑((MulEquiv.subgroupCongr h).symm x) = ↑x
a b c : Prop
h : Or a b
left : a → c
right : b → c
⊢ c
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
⊢ IsPreconnected s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
this : s.indicator (const X c) * f = s.indicator (c • f)
⊢ IntegrableOn (c • f) s μ
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n = l' ↔ l.rotate n = l'.rotate (((l'.length - n % l'.length) % l'.length + n % l'.length) % l'.length)
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)
⊢ 0 < deriv cosh x
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
S : Set ι
⊢ induced S.restrict topologicalSpace = ⨅ i ∈ S, induced (eval i) (T i)
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r : X
s : ↥S
⊢ 0 • (r /ₒ s) = 0
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
h : a.factors ≤ b.factors
ha : ¬a = 0
⊢ p.count a.factors ≤ p.count b.factors