ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ.compProd η) a) s = 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᵐ[κ a] 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪x, o.rightAngleRotationAux₁ y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x
⊢ logb b x < 0 ↔ 1 < x
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
⊢ IsClosed ↑(ker 0) ∨ Dense ↑(ker 0)
m n : ZNum
⊢ ↑(m * n) = ↑m * ↑n
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ LieSubmodule.comap f (LieModule.weightSpace M₂ χ) = LieModule.weightSpace M χ
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {cut : α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {path : Batteries.RBNode.Path α}
  {t' : Batteries.RBNode α} {path' : Batteries.RBNode.Path α} {c₀ : Batteries.RBColor} {n₀ : Nat}
  {c : Batteries.RBColor} {n : Nat},
  t.Balanced c n →
    Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path c n →
      Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path') →
        ∃ c n, t'.Balanced c n ∧ Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path' c n
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
Fintype α
hG : G.Colorable (Fintype.card α)
⊢ G.chromaticNumber = ↑(Fintype.card α) ↔ ∀ (C : G.Coloring α), Function.Surjective ⇑C
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sInf s)
Mf : Monotone f
ne : s.Nonempty
H : BddBelow s
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
α : Type u_1
f : List α → List α
n : Nat
l : List α
h : n ≤ l.length
⊢ ∃ l₁ l₂, l = l₁ ++ l₂ ∧ l₁.length = n ∧ List.modifyNthTail f n l = l₁ ++ f l₂
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
⊢ ringChar R ≠ 1
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
w x y z : R
⊢ span {w, x} * span {y, z} = span {w * y, w * z, x * y, x * z}
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α} {p : α → Bool} {as : Array α}, x ∈ Array.filter p as 0 ↔ x ∈ as ∧ p x = true
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ m • MulAction.orbit M a ⊆ MulAction.orbit M a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ ⇑(Equiv.prodAssoc E F G).symm
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x
hg2 : g ∣ minpoly G F x
this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0 ∨ Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x g = 0
⊢ f = 1 ∨ g = 1
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R
⊢ Polynomial.eval₂ f x ((Polynomial.monomial n) r) = f r * x ^ n
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
⊢ ↑(Sym.replicate n a) = Multiset.replicate n a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f) _auto✝
⊢ μ {y | ¬f y ≤ essSup f μ} = 0
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
m : p.Monic
hsplit : Splits (RingHom.id K) p
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
⊢ ‖↑x‖ = |x|
α : Type u_1
x : Quiver.SingleObj α
p : Quiver.Path (Quiver.SingleObj.star α) x
⊢ Quiver.SingleObj.listToPath (Quiver.SingleObj.pathToList p) = Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ closure s ⊆ s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ finrank F E = 1
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
fixed : m ^ n • a = a
⊢ 0 < MulAction.period m a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
⊢ (∃ l ∈ s.subchain, l.length = 1) ↔ s.Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X Y : C
f : J → C
g h : X ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y (⨁ f)
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp h
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j))
⊢ g = h
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
⊢ IsOpen e.source
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p * p.mirror).coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree) = p.sum fun n x => x ^ 2
b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
⊢ b ♯ a ≤ c ♯ a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
m : M
n : N
⊢ (f.flip n) m = (f m) n
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
P : ClassGroup R → Prop
h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)
x : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ P ↑I
V W : SemiNormedGrp
CompleteSpace ↑W
T0Space ↑W
f : V ⟶ W
⊢ SemiNormedGrp.completion.incl ≫ SemiNormedGrp.completion.lift f = f
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice K L
⊢ Module.Free ℤ ↥L
X : CategoryTheory.RelCat
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.id X = fun x x_1 => x = x_1
ξ : ℝ
n : ℕ
⊢ ξ.convergent (n + 1) = ↑⌊ξ⌋ + ((Int.fract ξ)⁻¹.convergent n)⁻¹
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
y : ↑(range f)
m : y ∈ s
⊢ ⟨f ↑⟨rangeSplitting f y, ⋯⟩, ⋯⟩ ∈ s
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
Z : C
g h : Z ⟶ X
x✝ : g ≫ f = h ≫ f
⊢ g = h
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ▷ 𝟙_ C
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsConnected s
f : α → β
hinj : Function.Injective f
hf : IsOpenMap f
hsf : s ⊆ Set.range f
⊢ IsConnected (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
⊢ Finset.Ici a * Finset.Ici b ⊆ Finset.Ici (a * b)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ ∀ (a : Aᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.op f) a = MulOpposite.op (f (MulOpposite.unop a))
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o o' : Ordinal.{u}
ho : o < type r
ho' : o' < type r
⊢ ¬r (enum r o' ho') (enum r o ho) ↔ o ≤ o'
α : Sort u
β : Sort v
a₁ a₂ : α
b : α → β
h : a₁ = a₂
⊢ (let x := a₁;
  b x) =
  let x := a₂;
  b x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.rightOp α).app X = (α.app (Opposite.op X)).op
β : Type u_3
γ : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
⊢ (LinearOrderedField.inducedOrderRingIso β γ).symm = LinearOrderedField.inducedOrderRingIso γ β
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Icc 0 1)
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
⊢ v ᵥ* ↑γ ∈ gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))
α : Type u_1
One α
a : α
⊢ AddOpposite.op a = 1 ↔ a = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ {p} -ᵥ {p} = {0}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.L₀.g S.δ = 0
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = ⁅H₂, H₁⁆
n p : ℕ
pp : Prime p
i : ℕ
⊢ p.Coprime i ∨ ¬p.Coprime i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖
⊢ eLpNorm (s.indicator (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Nonempty ↑(Set.Icc a b)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
⊢ I = (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u
i : Nat
a : Array α
⊢ a.extract i i = #[]
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
a : M
l₁ : List M
b : M
l₂ : List M
h : (a :: l₁).prod = (b :: l₂).prod
hl₁ : ∀ p ∈ a :: l₁, Prime p
hl₂ : ∀ p ∈ b :: l₂, Prime p
⊢ a :: l₁ ~ b :: l₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
this : infEdist x ∅ ≤ hausdorffEdist s ∅
⊢ hausdorffEdist s ∅ = ⊤
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s
f : Y✝ ⟶ i
⊢ F.map f (F.map g x) ∈ s ↔ x ∈ F.map (g ≫ f) ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ (ρ_ ((free R).obj X)).hom = (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
⊢ IsOpen (Ioi a)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⋃ (_ : s.Nonempty), s = s
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⊆ t ↔ s.val ⊆ t.val
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ) = n.divisors
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α
⊢ [[a, b]] = [[b, a]]
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
⊢ ∀ (x : M), LinearMap.vecEmpty₂ x = LinearMap.vecEmpty
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0
⊢ LucasLehmerTest p
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
f : Code → ℕ →. ℕ
hf : Partrec₂ f
cf : Code
ef : cf.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => f p.1 p.2) a)
c : Code
e : (cf.curry (encode c)).eval = c.eval
n : ℕ
⊢ c.eval n = f c n
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Mathlib.Vector α n
f : α → β
i : Fin n
⊢ (Mathlib.Vector.map f v).get i = f (v.get i)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑(newton_cau_seq hnorm) i) F‖) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset α
hs : dist (∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal
⊢ dist (∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b)) f ^ p.toReal < ε ^ p.toReal
G : Type u_1
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
⊢ ⇑(Homeomorph.inv G) = Inv.inv
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
i : ι
j : κ i
h : s i j ⊆ t
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j ⊆ t
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
⊢ ∀ (i_1 : n), 0ᵀ.updateColumn j (Pi.single i 1) i_1 j' = 0
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝
⊢ (l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
G : Type u_8
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 G
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
L : E ≃ₗᵢ[𝕜] G
i : ι
⊢ (b.map L) i = L (b i)
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
⊢ go₂ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } = c :: cs
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
⊢ ∀ (f : α × β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
⊢ (Multipliable fun b => (f b)⁻¹) ↔ Multipliable f
d : ℤ
z : ℤ√d
⊢ (-z).re = -z.re
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X)) ≫ (F.map (ρ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R
⊢ ∑ x : ι, ((Pi.basisFun R ι).repr w) x • v x = ∑ i : ι, w i • v i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a • x)) (a⁻¹ • c)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∃ c, IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'
α : Type u_1
β : Type u_2
Denumerable α
Denumerable β
n : ℕ
⊢ Denumerable.ofNat (α × β) n = (Denumerable.ofNat α (Nat.unpair n).1, Denumerable.ofNat β (Nat.unpair n).2)
M : Type u_11
N : Type u_12
AddZeroClass N
VAdd M N
VAddCommClass M N N
x : M
y : N
⊢ y + (x +ᵥ 0) = x +ᵥ y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x
⊢ (fun a => ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜) x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ ⨅ i₂, (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i₂})ᗮ
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) (PowerSeries.X * φ) = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ PontryaginDual.map (ContinuousMonoidHom.one A B) = ContinuousMonoidHom.one (PontryaginDual B) (PontryaginDual A)
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
⊢ ∑' (a : α), s.indicator (⇑p) a ≠ ⊤
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ dist (a / b) (a / c) = dist b c
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in d..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective fun g => f.comp g
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯
⊢ (s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
⊢ FP (Stream'.drop i a).tail (a.get j)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_4
Ring A
Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
⊢ (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔
  (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f =
    LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)
α : Type u_2
β : Type u_3
BEq α
LawfulBEq α
f : α → β
a : α
as : List α
h : a ∈ as
⊢ List.lookup a (List.map (fun x => (x, f x)) as) = some (f a)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ ∃ φ, f = φ.map L ⋯
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ ⨅ r, ↑f ↑↑r = ⨅ r, ↑f ↑r