ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
b : β
ha : f a = some b
⊢ b = g a → filterMap f l = map g l → b = g a ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a = some (g a)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
⊢ x = y
A₁ : Type u_8
B₁ : Type u_9
A₂ : Type u_10
B₂ : Type u_11
CommRing A₁
Ring B₁
CommRing A₂
Ring B₂
Algebra A₁ B₁
Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x : B₁
⊢ (Algebra.norm A₁) x = e₁.symm ((Algebra.norm A₂) (e₂ x))
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
a_eq_0 : a⁻¹ = 0
this : a * a⁻¹ = 1
⊢ False
x y : EReal
h : x < y
z : ℝ
⊢ x + ↑z < y + ↑z
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts = p.support.dropLast
n : ℕ
⊢ Cardinal.toENat ↑n = ↑n
m n : Nat
⊢ m < n + 1 ↔ m < n ∨ m = n
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n
⊢ ↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
hc₄_mem : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => |g x|) x) (c₄ * (fun x => |g x|) x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |g u| ∈ Set.Icc (c₃ * |g x|) (c₄ * |g x|)
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| * |g u| ∈ Set.Icc (c₁ * c₃ * (|f x| * |g x|)) (c₂ * c₄ * (|f x| * |g x|))
R : Type u_1
CommSemiring R
a₂ c₂ : R
ea₁ b c₁ : ℕ
xa₁ : R
⊢ ea₁ * b = c₁ → a₂ ^ b = c₂ → (xa₁ ^ ea₁ * a₂) ^ b = xa₁ ^ c₁ * c₂
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
hg : Function.Surjective ⇑g
k : (AddSubmonoid.map g S).LocalizationMap Q
⊢ Function.Surjective ⇑(f.map ⋯ k)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
δ : Type u_7
MeasurableSpace δ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
μd : MeasureTheory.Measure δ
MeasureTheory.SFinite μa
MeasureTheory.SFinite μc
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb
g : α → γ → δ
hgm : Measurable (Function.uncurry g)
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μa, MeasureTheory.Measure.map (g x) μc = μd
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun p => (f p.1, g p.1 p.2)) (μa.prod μc) (μb.prod μd)
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
hIJ : I \ J = {e}
⊢ ∃ f ∈ J \ I, J = insert f I \ {e}
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ imaginaryPart (Complex.I • a) = realPart a
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
Nontrivial B
a : A
⊢ minpoly A ((algebraMap A B) a) = Polynomial.X - Polynomial.C a
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
M : Matrix m n R
⊢ LinearMap.range M.vecMulLinear = Submodule.span R (Set.range M)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.degree ≤ f.degree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F ⟶ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceRightToLeft F X G).right.app x =
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc (G.left ≫ X.hom.app x)
    (fun i => G.right ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x i)) ⋯
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a
⊢ ↑a ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
TopologicalSpace HB
ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ Set.univ
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∃ φ u,
      ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ :
        SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u),
        (e.restr (u ×ˢ Set.univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ Φ U,
  ∃ (hU₀ : IsOpen U) (hΦ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x)) U) (h2Φ :
    SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph Φ hU₀ ⋯ ⋯)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsPreirreducible (irreducibleComponent x) ∧
  {x} ⊆ irreducibleComponent x ∧
    ∀ (u : Set X), IsPreirreducible u → irreducibleComponent x ⊆ u → u = irreducibleComponent x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ s ∈ ae (Measure.map f μ) ↔ f ⁻¹' s ∈ ae μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥f.domain
⊢ f.toFun x = ↑f x
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : ¬IsOfFinOrder x
n m : ℤ
hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m
⊢ n = m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
lift : (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) → E.pt ⟶ K.pt
fac : ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) (i : I.L), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (lift E) (K.ι i) = E.ι i
uniq :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) (m : E.pt ⟶ K.pt),
    (∀ (i : I.L), CategoryTheory.CategoryStruct.comp m (K.ι i) = E.ι i) → m = lift E
E : CategoryTheory.Limits.Multifork I
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multifork.IsLimit.mk K lift fac uniq).lift E = lift E
α : Type u
f₁ f₂ : Filter α
⊢ f₁ ≤ f₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f₁ → ↑g ≤ f₂
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ∀ (a : (TopologicalSpace.Opens α)ᵒᵈ),
  (RelIso.symm (TopologicalSpace.Closeds.complOrderIso α)) a = (TopologicalSpace.Opens.compl ∘ ⇑OrderDual.ofDual) a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
⊢ rexp ∘ Neg.neg '' univ = Ioi 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ y₁ - W.negY x₁ y₁ = evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : ExteriorAlgebra R M
hx : x ∈ ⋀[R]^i M
⊢ (liftι R M) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) i) ⟨x, hx⟩
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x
⊢ sin (x * I) = sinh x * I
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃* H
⊢ (MonoidAlgebra.domCongr k A e).symm = MonoidAlgebra.domCongr k A e.symm
R : Type u_3
CommRing R
x : R
⊢ (↑x).im = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
⊢ s.chainHeight = 0 ↔ s = ∅
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
l m r : List Char
s : Substring
⊢ Substring.ValidFor l m r s → s.toString = { data := m }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.EnoughInjectives Cᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.EnoughProjectives C
α : Type u_1
a b b' : α
LE α
h : a ≤ b
eq : b = b'
⊢ a ≤ b'
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
⊢ γ = J.sheafifyLift η hQ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ
⊢ T v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α
⊢ univ.dens = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0)))
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X
⊢ F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
s : Set ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (∀ (x : ι), ¬f x = 0 → x ∈ s) ↔ ∀ i ∉ s, f i = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h✝ : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)
b : Cardinal.{u}
e : lift.{v, u} b = succ (lift.{v, u} a)
h : b < succ a
⊢ False
x : ℂ
hx : Complex.abs x ≤ 1
⊢ Complex.abs (Complex.exp x - 1 - x) ≤ Complex.abs x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : t.card ≤ 1
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
fst_eq✝ : a :: l₁' = l₁
snd_eq✝ : b :: l₂' = l₂
⊢ l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s
⊢ MulAction.orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a ⊆ s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
hm : m ≤ m0
hsf_zero : ∀ (g : α → E), g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0 → s.indicator g =ᶠ[ae μ] g
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
⊢ y * x ∈ I ↔ x ∈ I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (φ i) x
⊢ fderiv 𝕜 (fun x i => φ i x) x = ContinuousLinearMap.pi fun i => fderiv 𝕜 (φ i) x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.contsAux (n + 2) = g.contsAux (n + 1)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ κ.withDensity 0 = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
⊢ x = y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
A : Type u_2
NonUnitalRing A
StarRing A
Module ℝ A
φ : ContinuousMapZero X NNReal →⋆ₙₐ[NNReal] A
f : ContinuousMapZero X NNReal
⊢ φ.realContinuousMapZeroOfNNReal
    ({ toFun := NNReal.toReal, continuous_toFun := NNReal.continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f) =
  φ f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ a / c ≤ b / c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
Z : C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (a : M), (CategoryTheory.shiftFunctor C a).PreservesZeroMorphisms
a : M
β : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
b c : M
h : b + a = c
⊢ β.comp 0 h = 0
α : Type u
G : Type u_1
Group G
f : G →* Function.End α
⊢ ∀ (a : G), ⇑(f.toHomPerm a) = f a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
this✝ : Fact (μ s < ⊤)
this : Fact (μ t < ⊤)
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ + ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
⊢ ∀ ⦃f g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), g ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
j : S →+* Q
hj : ∀ (x : R), j ((algebraMap R S) x) = (algebraMap P Q) (g x)
⊢ IsLocalization.map Q g hy = j
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
⊢ (c * g').cycleType = {c.support.card}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (-f) (-pf) x r
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MulZeroClass (α i)
DecidableEq ι
i : ι
f : (i : ι) → α i
a : α i
⊢ Pi.single i (f i * a) = f * Pi.single i a
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0
⊢ (a + b) / b = a / b + 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
y : α
h : ∀ x ∈ s, Commute y x
⊢ Commute y (s.noncommProd comm)
a r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall a r) = ENNReal.ofReal (2 * r)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → α → γ
la : List α
lb : List β
⊢ List.zipWith3 f la lb la = List.zipWith (fun a b => f a b a) la lb
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hbc : Relation.TransGen r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).getVert (n + 1) = p.getVert n
a b c : Int
H1 : b ≠ 0
H2 : a = b * c
⊢ a.div b = c
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
⊢ (laurent 0) f = f
n d : PosNum
⊢ ↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / -↑d
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter α
s : Set β
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓟 s) ↔ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
inst✝ : AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
⊢ f - g =ᶠ[l] 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (r • s) μ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
a : α
⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => ∅) = ∅
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Int.fract (a + OfNat.ofNat n) = Int.fract a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(n • B).card ≤ (↑(A - B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ X
⊢ X ≈ Y