Bilangan alef

formula_2 adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω, mempunyai kardinalitas formula_2. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas formula_2 jika dan hanya jika bilangan itu , yaitu, ada (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:formula_3 adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω atau (kadang-kadang) Ω. ω sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu . Jadi, formula_3 berbeda dari formula_2. Definisi formula_3 menyiratkan (dalam ZF, "tanpa" aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara formula_2 dan formula_3.
Kardinalitas suatu himpunan bilangan real () adalah formula_15. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ( dengan ) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis continuum ("continuum hypothesis"), CH, ekuivalen dengan persamaan identitas