Teorema keunikan Alexandrov

Polihedron yang mewakili ruang metrik yang diberikan dapat mengalami degenerasi: polihedron tersebut bisa saja membentuk poligon cembung dua dimensi yang tertutup ganda (dihedron) dan bukan polihedron tiga dimensi utuh. Dalam kasus ini, metrik permukaannya terdiri dari dua salinan poligon (dua sisinya) yang direkatkan di sepanjang tepi yang sesuai.
Meskipun teorema Alexandrov menyatakan bahwa ada polihedron cembung yang unik yang permukaannya memiliki metrik yang diberikan, mungkin juga ada polihedra yang tidak mengandung cembung dengan metrik yang sama. Contohnya diberikan oleh ikosahedron reguler: jika lima segitiganya dilepas, dan digantikan oleh lima segitiga kongruen yang membentuk lekukan ke dalam polihedron, metrik permukaan yang dihasilkan tetap tidak berubah.