Oscar Zariski

Tampaknya buku tersebut memperjelas ketidakpuasan Zariski terhadap pendekatan mazhab Italia terhadap geometri birasional. Permasalahan rigor ia selesaikan dengan beralih ke aljabar komutatif. Topologi Zariski cocok dengan "geomteri bireguler" yang variasi-variasinya dipetakan oleh fungsi polinomial. Teori tersebut terlalu dibatasi pada permukaan aljabar saja, dan bahkan pada kurva-kurva yang memiliki titik tunggal (singuler). Peta rasional terhadap peta reguler sama seperti fungsi rasional terhadap suatu polinomial, artinya ada beberapa titik yang tak dapat ditentukan. Dalam dunia geometri, seseorang harus menggunakan fungsi yang ditetapkan pada himpunan padat terbuka dalam variasi tertentu. Penjelasan perilaku tambahan ini bisa jadi memerlukan pengenalan titik hampir tak terbatas untuk membatasi perilaku "di sepanjang arah yang berbeda". Hal tersebut kelak memperkenalkan penggunaan teori valuasi dalam kasus permukaan untuk menjelaskan fenomena seperti peniupan ("blowing up") bergaya balon yang tidak meledak.