Teorema keunikan Alexandrov

Permukaan polihedron cembung di ruang Euklides membentuk ruang metrik, di mana jarak antara dua titik diukur dengan panjang jalur terpendek dari satu titik ke titik lainnya di sepanjang permukaan. Jalur ini dikenal sebagai geodetik, dan bersifat isometrik ke ruas garis. Sebuah ruang di mana setiap pasang titik dihubungkan oleh geodetik disebut "ruang geodetik". Ruang metrik yang dibentuk dari polihedron dengan cara ini disebut sebagai pengembangannya.
Polihedron dapat dianggap sebagai sesuatu yang dilipat dari selembar kertas (jaring untuk polihedron) dan mewarisi geometri yang sama dengan kertas: untuk setiap titik formula_1 di dalam sisi polihedron, lingkungan formula_1 terbuka yang cukup kecil akan memiliki jarak yang sama dengan subset dari bidang Euklides. Hal yang sama juga berlaku untuk titik-titik pada tepi polihedron: mereka dapat dimodelkan secara lokal sebagai bidang Euklides yang dilipat sepanjang garis dan disematkan ke dalam ruang tiga dimensi, namun lipatannya tidak mengubah struktur jalur terpendek di sepanjang permukaan. Namun, simpul dari polihedron memiliki struktur jarak yang berbeda: geometri lokal dari simpul polihedron sama dengan geometri lokal pada puncak kerucut. Setiap kerucut dapat dibentuk dari selembar kertas datar dengan pasak yang dikeluarkan darinya dengan menempelkan ujung-ujung yang terpotong ke tempat dimana irisannya dilepas. Sudut pasak yang dilepas disebut sebagai cacat sudut pada simpul; ini merupakan angka positif dalam interval terbuka dari 0 sampai 2. Cacat simpul polihedron dapat diukur dengan mengurangkan sudut pandang pada titik dari 2. Misalnya, dalam tetrahedron biasa, setiap sudut sisi adalah /3, dan pada masing-masing simpul ada tiga, sehingga jika dikurangi dari 2, akan meninggalkan cacat pada masing-masing simpul yang berjumlah empat. Demikian pula, sebuah kubus memiliki cacat /2 pada masing-masing dari delapan simpulnya. Teorema Descartes tentang cacat sudut total (sebuah versi lain dari teorema Gauss-Bonnet) menyatakan bahwa jumlah cacat sudut dari semua simpul selalu tepat 4. Singkatnya, pengembangan polihedron cembung bersifat geodetik, homeomorfisma (setara secara topologi) hingga menjadi bulatan, dan pada umumnya bersifat Euklides, kecuali sejumlah titik kerucut terbatas yang cacat sudutnya mencapai 4.