Pierre de Fermat

Kummer menunjukkan bahwa semua bilangan prima kurang dari 37 adalah regular, tetapi 37 tidak regular karena 37 membagi pembilang dari B32. Bilangan prima kurang dari 100 yang tidak regular hanyalah 37,59, dan 67.Teknik yang lebih cangih digunakan untuk membuktikan FLT untuk bilangan ini. Pekerjaan ini dilakukan dan dilanjutkan oleh Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler,Vandiver dan lainnya. Meskipun diharapkan bahwa bilangan prima regular ini takberhingga banyaknya. Pada tahun 1915 Jensen membuktikan bahwa bilangan prima takregular takberhingga banyaknya. Alih-alih mendapatkan hadiah bagi siapa yang memecahkannya, FLT tetap tak terpecahkan. Ia merupakan teorema dengan banyak bukti yang salah. Sebagai contoh 1000 bukti yang salah telah diterbitkan antara tahun 1908 dan 1912. Satu-satunya kemajuan positif adalah hasil komputasi yang menunjukkan bahwa bukti penyangkal hanya bisa didapatkan untuk bilangan yang sangat besar. Dengan menggunakan teknik yang digunakan Kummer, FLT terbukti benar, dengan bantuan komputer untuk n sampai dengan 4 000 000 pada tahun 1993.
Pada tahun 1983 kontribusi besar dibuat oleh Gerd Falting yang membuktikan bahwa untuk n > 2 hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan relative prima x, y, z dengan x^n + y^n = z^n . Ini merupakan langkah besar tetapi bukti bahwa berhingga bilangan adalah 0 tampaknya tidak bisa didapatkan dengan memperluas argumen Falting. Bab terakhir dari cerita ini dimulai pada tahun 1955, meskipun pada tahap ini pekerjaan ini tidak ada kaitannya dengan FLT. Yutaka Taniyama memberikan pertanyaan menyangkut kurva eliptik, yakni kurva yang berbentuk y^2 = x^3 + ax + b dengan a dan b konstanta. Pekerjaan lanjutan oleh Weil dan Shimura menghasilkan suatu konjektur, dikenal sebagai Shimura Taniyama Weil conjecture. Pada tahun 1986 hubungan antara konjektur tersebut dengan FLT dibuat oleh Frey di Saarbrucken yang menunjukkan bahwa FLT jauh dari keingintahuan tak berguna dalam teori bilanagn tetapi pada kenyataannya ia berhubungan dengan sipat dasar yang dimiliki ruang. Pekerjaan lanjutan oleh matematikawan lain menunjukkan bahwa contoh penyangkal FLT juga merupakan contoh penyangkal terhadap Shimura-Taniyama-Weil Conjecture. Bukti dari FLT diselesaikan pada tahun 1993 oleh Andrew Wiles, matematikawan Inggris yang bekerja di Princenton, USA. Wiles memberikan tiga kuliah di Isaac Newton Institute di Cambridge, Inggris. Yang pertama pada hari Senin tanggl 21 Juni, yang kedua pada hari Selasa tanggal 22 Juni. Pada kuliah terakhir yakni pada tanggal 23 Juni 1993 sekitar jam 10.30 pagi Wiles mengumumkan bahwa bukti dari FLT merupakan corollary dari hasil utama yang ia peroleh. Sebenarnya Wiles berhasil membuktikan Shimura-Taniyama-Weil Conjecture untuk suatu contoh kelas, termasuk yang diperlukan untuk membuktikan FLT. Akan tetapi ini bukan akhir dari cerita. Pada tanggal 4 Desember 1993 memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mengatakan The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures.