Ruang (matematika)

Ruang linear adalah memiliki sifat-sifat aljabar; terdapat ruang linear real (pada lapangan bilangan real), ruang linear kompleks (pada lapangan bilangan kompleks), dan lebih umumnya, ruang linear pada sembarang lapangan. Setiap ruang linear kompleks adalah juga ruang linear real (yang ditulis terakhir "mendasari" yang ditulis lebih awal), karena tiap-tiap bilangan real adalah juga bilangan kompleks. Operasi linear, yang diberikan dalam ruang linear berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai garis lurus (dan bidang, dan subruang-subruang linear lainnya); garis-garis sejajar; elips (dan elipsoida). Tetapi, garis-garis ortogonal (tegak lurus) tidak dapat didefinisikan, dan lingkaran tidak dapat dikhususkan di antara semua elips. Dimensi suatu ruang linear didefinisikan sebagai bilangan terbesar dari vektor-vektor yang bebas linear atau, secara ekivalen, sebagai bilangan terkecil dari vektor-vektor yang merentang ruang tersebut; bilangan yang dimaksud boleh saja berhingga, boleh juga tak-hingga. Dua ruang linear pada lapangan yang sama adalah isomorfik jika dan hanya jika mereka berdimensi sama.