Ruang (matematika)

Situasi yang berbeda terjadi pada abad ke-19: dalam beberapa geometri jumlah dari tiga sudut suatu segitiga telah terdefinisi dengan baik tetapi berbeda bila dibandingkan dengan nilai klasik (180 derajat). Geometri hiperbola non-euklidean, diperkenalkan oleh Nikolai Lobachevsky pada tahun 1829 dan János Bolyai pada tahun 1832 (dan Carl Gauss pada tahun 1816, tidak diterbitkan) yang menyatakan bahwa jumlah yang dimaksud adalah bergantung kepada bentuk segitiga dan selalu lebih kecil daripada 180 derajat. Eugenio Beltrami pada tahun 1868 dan Felix Klein pada tahun 1871 memperoleh "model-model" euklidean dari geometri hiperbola non-euklidean, dan dengan demikian lengkaplah justifikasi akan teori ini.