Geometri diferensial

Difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut isometri. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara "lokal", yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, Theorema Egregium yang diajukan Carl Friedrich Gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur Gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur Riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah ruang simetris Riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.