Ruang (matematika)

Ruang topologi adalah memiliki sifat-sifat analitik. Ruang terbuka, diberikan dalam ruang topologi berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai fungsi kontinu, lintasan, peta; barisan konvergen, limit; interior, batas, eksterior. Tetapi, kontinuitas seragam, himpunan terbatas, barisan cauchy, fungsi terdiferensialkan (lintasan, peta) masih saja tak terdefinisi. Isomorfisma antara ruang-ruang topologi secara tradisional disebut homeomorfisma; kedua-duanya merupakan korespondensi satu-satu yang kontinu pada masing-masing arah. Interval terbuka formula_8 adalah homeomorfik bagi keseluruhan garis real formula_9 tetapi tidak homeomorfik bagi interval tertutup formula_10, tidak pula bagi lingkaran. Permukaan kubus adalah homeomorfik bagi bola (permukaan bola) tetapi tidak homeomorfik bagi torus. Dua ruang euklidean yang berbeda dimensi tidaklah saling homeomorfik, yang sepintas menjadi bukti, tetapi sebenarnya tidak mudah untuk membuktikan ini. Dimensi suatu ruang topologi adalah sukar dibuktikan; "dimensi induktif" dan "dimensi selimut Lebesgue" adalah digunakan. Setiap subhimpunan suatu ruang topologi adalah ruang topologi juga (sebaliknya, hanya subhimpunan "linear" dari suatu ruang linear adalah ruang-ruang linear). Sembarang ruang topologi, diselidiki oleh topologi umum (disebut pula sebagai topologi himpunan-titik) adalah terlalu beranekaragam untuk suatu klasifikasi lengkap (hingga homeomorfisma). Mereka tak-homogen (pada umumnya). Ruang topologi padat adalah sebuah kelas penting dari ruang topologi ("spesies" dari "jenis" ini). Setiap fungsi kontinu adalah terbatas pada ruang yang bersangkutan. Interval tertutup formula_10 dan garis real yang diperpanjang formula_12 adalah padat; sedangkan interval terbuka formula_8 dan garis formula_9 tidaklah padat. Topologi geometri menyelidiki lipatan ("spesies" lain dari "jenis" ini); yang ini adalah ruang topologi yang homeomorfik secara lokal terhadap ruang euklidean. Lipatan berdimensi-rendah adalah terklasifikasi sepenuhnya (hingga homeomorfisma).