Öklid geometrisi

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler[1] tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme[2] nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi (uzay geometrisi) ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.[1]

İki bin yıldan fazla bir dönem için "Öklid" sıfatı gereksizdi çünkü başka hiçbir geometri tasarlanmamıştı. Öklid'in aksiyomları sezgisel olarak o kadar açık görünüyordu (paralellik postülatının olası istisnası dışında), onlardan ispatlanan herhangi bir teorem mutlak, çoğu zaman metafiziksel anlamda doğru kabul edildi. Ancak günümüzde, ilkleri 19. yüzyılın başlarında keşfedilen diğer birçok kendinden tutarlı Öklid dışı geometri bilinmektedir. Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin bir sonucu, fiziksel uzayın kendisinin Öklidsel olmadığı ve Öklid uzayının sadece kısa mesafelerde iyi bir yaklaşım olduğudur (yer çekimi alanının gücüne bağlı olarak).[3]

Öklid geometrisi, noktalar ve çizgiler gibi geometrik nesnelerin temel özelliklerini tanımlayan aksiyomlar üzerinden mantıksal olarak ilerlediğinden, bu nesnelerle ilgili önermeler için tüm bu nesneleri belirlemek üzere koordinatlar kullanılmayan sentetik geometrinin bir örneğidir. Bu, geometrik önermeleri cebirsel formüllere çevirmek için koordinatları kullanan analitik geometrinin tersidir.

Elemanlar, daha önceki geometri bilgilerinin sistematikleştirilmesidir. Daha önceki yaklaşımlara göre gelişmesi hızla fark edildi, bunun sonucu olarak daha öncekilerin korunmasıyla ilgili çok az ilgi gösterildi ve şimdiyse neredeyse hepsi kaybolmuş durumdadır.

Öklid'in Elemanlar'ında 13 kitap vardır:

Öklid geometrisi, tüm teoremlerin ("doğru ifadeler") az sayıda basit aksiyomdan türetildiği aksiyomatik bir sistemdir. Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasına kadar, bu aksiyomların fiziksel dünyada açıkça doğru olduğu düşünülüyordu, böylece tüm teoremler de eşit derecede doğru olacaktı. Bununla birlikte, Öklid'in varsayımlardan sonuçlara kadar akıl yürütmesi, onların fiziksel gerçekliğinden bağımsız olarak geçerliliğini korur.[4]

Elemanlar'ın ilk kitabının başlangıcına yakın bir yerde, Öklid, (Thomas Heath tarafından çevrildiği şekliyle) çizimler açısından belirtilen, düzlem geometri için beş önerme (aksiyom) verir:[5] Aşağıdakileri varsayalım:

Öklid, çizilmiş nesnelerin varlığını yalnızca açık bir şekilde iddia etse de, muhakemesinde dolaylı olarak benzersiz oldukları varsayılır.

Elemanlar ayrıca aşağıdaki beş "ortak kavramı" içerir:

Modern bilim adamları, Öklid'in önermelerinin, Öklid'in sunumu için ihtiyaç duyduğu tam mantıksal temeli sağlamadığı konusunda hemfikirdir.[6] Modern yaklaşımlar daha kapsamlı ve eksiksiz aksiyom setleri kullanır.

Antik dönemdekilere göre, paralellik postülatı diğerlerinden daha az açık görünüyordu. Kesinlikle belirli önermelerden oluşan bir sistem yaratmayı amaçladılar ve onlara göre paralel doğru postülatı daha basit ifadelerle kanıt gerektiriyormuş gibi görünüyordu. Paralellik postülatının doğru olduğu ve diğerlerinin yanlış olduğu tutarlı geometri sistemleri (diğer aksiyomlara sadık kalarak) kurulabildiğinden, böyle bir ispatın imkansız olduğu artık bilinmektedir.[7] Elemanlar’ın organizasyonunun da gösterdiği gibi Öklid'in kendisi de onu diğerlerinden niteliksel olarak farklı olarak değerlendirmiş görünüyor: İlk 28 önermesi onsuz ispatlanabilecek olanlardır.

Paralellik postülatına mantıksal olarak denk olan birçok alternatif aksiyom formüle edilebilir (diğer aksiyomlar bağlamında). Örneğin, Playfair aksiyomu şöyle der:

Geriye kalan aksiyomlardan en az bir paralel doğrunun var olduğu kanıtlanabildiğinden, gereken tek şey "en fazla" koşuludur.

Öklid Geometrisi yapıcıdır. 1, 2, 3 ve 5 nolu postülatlar, belirli geometrik şekillerin varlığını ve benzersizliğini ileri sürer ve bu iddialar yapıcı niteliktedir: yani, bize yalnızca belirli şeylerin var olduğu söylenmez, aynı zamanda bir pergel ve işaretsiz bir cetvelden[8] fazlası ile olmasa da bunları oluşturmak için yöntemler de verilir. Bu anlamda Öklid geometrisi, çoğu kez nesnelerin nasıl çizileceğini söylemeden varlığını iddia eden ve hatta teori içinde çizilemeyen nesnelerin varlığını iddia eden küme teorisi gibi birçok modern aksiyomatik sistemden daha somuttur.[9] Açıkça söylemek gerekirse, kağıt üzerindeki doğrular, bu nesnelerin örneklerinden ziyade biçimsel sistem içinde tanımlanan nesnelerin modelleridir. Örneğin, bir Öklid doğrusunun genişliği yoktur, ancak herhangi bir gerçek çizilmiş doğrunun genişliği olacaktır. Neredeyse tüm modern matematikçiler yapıcı olmayan yöntemleri yapıcı yöntemler kadar sağlam kabul etseler de, Öklid'in yapıcı kanıtları çoğu zaman yanlış, yapıcı olmayanların yerini aldı - örneğin, Pisagorcuların irrasyonel sayıları içeren bazı kanıtlarının, genellikle ".....'nın en büyük ortak ölçüsünü bulun."[10] gibi.

Öklid sıklıkla çelişki yoluyla ispat kullandı. Öklid geometrisi, bir şeklin uzayda başka bir noktaya aktarıldığı üst üste binme (süperpozisyon) yöntemine de izin verir. Örneğin, üçgenlerin kenar-açı-kenar benzerliği olan Önerme I.4, iki üçgenden birini, kenarlarından biri, diğer üçgenin eşit kenarı ile çakışacak şekilde hareket ettirerek ve ardından diğer kenarların da çakıştığını kanıtlayarak kanıtlar. Bazı modern yaklaşımlar, üst üste binmeye alternatif olarak kullanılabilen, üçgenin değişmezliği olan altıncı bir varsayım ekler.[11]

Öklid geometrisinin iki temel ölçüm türü vardır: açı ve mesafe. Açı ölçeği mutlaktır ve Öklid, temel birimi olarak dik açıyı kullanır, böylece, örneğin, 45 derecelik bir açı, bir dik açının yarısı olarak anılacaktır. Mesafe ölçeği görecelidir; birim olarak sıfır olmayan belirli bir uzunluğa sahip bir doğru parçasını rastgele seçer ve diğer mesafeler bununla ilişkili olarak ifade edilir. Mesafelerin eklenmesi, bir doğru parçasının uzunluğunu uzatmak için başka bir doğru parçasının sonuna kopyalandığı ve benzer şekilde çıkarma için tersi işlem yapılan bir yapı ile temsil edilir.

Alan ve hacim ölçümleri mesafelerden elde edilir. Örneğin, genişliği 3 ve uzunluğu 4 olan bir dikdörtgen, çarpımı yani 12'yi temsil eden bir alana sahiptir. Çarpmanın bu geometrik yorumu üç boyutla sınırlı olduğundan, dört veya daha fazla sayının çarpımını yorumlamanın doğrudan bir yolu yoktu ve Öklid, örneğin IX Kitap, Önerme 20'nin ispatında ima edilmesine rağmen bu tür çarpımlardan kaçındı.

Öklid, bir çift doğrunun veya bir çift düzlemin veya katı şeklin, sırasıyla uzunlukları, alanları veya hacimleri eşitse "eşit (Grekçe: ἴσος)" olarak işaret eder ve açılar için de benzer şekilde. Daha güçlü olan "eşlenik (denk)" terimi, tüm bir şeklin başka bir şekil ile aynı boyut ve şekilde olduğu fikrine atıfta bulunur. Alternatif olarak, biri diğerinin üzerine hareket ettirilebiliyorsa, iki şekil denktir, böylece tam olarak eşleşir. (Döndürmeye izin verilir). Bu nedenle, örneğin, 2x6 dikdörtgen ve 3x4 dikdörtgen eşittir ancak denk değildir ve R harfi onun ayna görüntüsüyle denktir. Farklı boyutları haricinde eşlenik olacak şekiller benzer olarak adlandırılır. Bir çift benzer şekilde karşılık gelen açılar eştir ve karşılık gelen kenarlar birbiriyle orantılıdır.

Noktalar geleneksel olarak alfabenin büyük harfleri kullanılarak adlandırılır. Doğrular, üçgenler veya daireler gibi diğer şekiller, ilgili şeklin net bir biçimde seçilebilmesi için yeterli sayıda nokta listelenerek adlandırılır, örneğin ABC üçgeni tipik olarak A, B ve C noktalarında köşeleri olan bir üçgen olacaktır.

Toplamı dik açı olan açılara, tümler denir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve dik açıyı oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde tümler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.

Toplamı düz bir açı olan açılar, bütünlerdir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve düz açıyı (180 derecelik açı) oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde bütünler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.

Modern terminolojide, açılar normalde derece veya radyan cinsinden ölçülür.

Modern okul ders kitapları genellikle doğrular (sonsuz), ışınlar (yarı-sonsuz) ve doğru parçaları (sonlu uzunlukta) olarak adlandırılan ayrı şekiller tanımlar. Öklid, bir ışını tek yönde sonsuzluğa uzanan bir nesne olarak tanımlamak yerine, zaman zaman "sonsuz doğrulardan" söz etmesine rağmen, normalde "doğru yeterli bir uzunluğa uzatılırsa" gibi konumlandırmaları kullanır. Öklid'deki bir "doğru" ya düz ya da kavisli olabilir ve gerektiğinde daha spesifik olan "düz doğru" terimini kullandı.

Pons asinorum (eşek köprüsü), ikizkenar üçgenlerde tabandaki açıların birbirine eşit olduğunu ve eşit düz doğrular daha fazla uzatılırsa, tabanın altındaki açıların birbirine eşit olduğunu belirtir.[12] Adı, okuyucunun zekasının Elemanlar'daki ilk gerçek sınav olarak sık sık rol oynamasına ve ardından gelen daha zor önermelere bir köprü olarak atfedilebilir. Ayrıca, geometrik şeklin dik bir köprüye benzemesi nedeniyle sadece sağlam ayaklı bir eşeğin geçebileceği biçiminde adlandırılmış olabilir.[13]

Üç kenarı da eşitse (KKK), iki kenarı ve aralarındaki açı eşitse (KAK) veya iki açı ve bir kenarı eşitse (AKA) (Kitap I, Önermeler 4, 8 ve 26) üçgenler denktir. Üç eşit açılı (AAA) üçgenler benzerdir, ancak mutlaka denk değildir. Ayrıca, iki eşit kenarlı ve bitişik bir açıya sahip üçgenler mutlaka eşit veya denk değildir.

Bir üçgenin açılarının toplamı düz bir açıya (180 derece) eşittir.[14] Bu, bir eşkenar üçgenin 60 derecelik üç iç açıya sahip olmasına neden olur. Ayrıca, her üçgenin en az iki dar açıya ve bir geniş açıya veya dik açıya sahip olmasına neden olur.

Ünlü Pisagor teoremi (Kitap I, Önerme 47) herhangi bir dik üçgende, kenarı hipotenüs olan karenin alanının (dik açının karşısındaki kenar), kenarları iki bacak (dik açıyla birleşen iki kenar) olan karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

Miletli Thales'in adını taşıyan Thales teoremi, A, B ve C, AC doğrusunun dairenin çapı olduğu bir daire üzerindeki noktalarsa, ABC açısının dik açı olduğunu belirtir. Cantor, Thales'in teoremi Öklid Kitap I, Önerme 32 ile Öklid Kitap III, Önerme 31'in tarzından sonra kanıtladığını varsaydı.[15][16]

Modern terminolojide, bir düzlem şeklin alanı, doğrusal boyutlarından herhangi birinin karesiyle orantılıdır, 



A
∝

L

2




{\displaystyle A\propto L^{2}}

 ve bir katının hacmi küpüyle, 



V
∝

L

3




{\displaystyle V\propto L^{3}}

. Öklid, bu sonuçları bir daire alanı[17] ve paralel yüzlü bir katının[18] hacmi gibi çeşitli özel durumlarda kanıtladı. Öklid, orantılılığın ilgili sabitlerinin hepsini değil, bazılarını belirledi. Örneğin, bir kürenin hacminin, kendisini çevreleyen silindirin hacminin 2/3'ü olduğunu kanıtlayan onun halefi Arşimet'ti.[19]

Öklid geometrisinin matematikteki temel statüsü nedeniyle, burada uygulamaların temsili bir örneklemesinden fazlasını vermek pratik değildir.

Kelimenin etimolojisinde önerildiği gibi, geometriye ilgi duymanın en eski nedenlerinden biri ölçme idi[20] ve resmen kanıtlanmadan çok önce[21] Öklid geometrisinden 3-4-5 üçgeninin dik açı özelliği gibi bazı pratik sonuçlar kullanıldı. Öklid geometrisindeki temel ölçüm türleri, her ikisi de doğrudan bir araştırmacı tarafından ölçülebilen mesafeler ve açılardır. Tarihsel olarak, mesafeler genellikle Gunter zinciri gibi zincirlerle ve dereceli dairelerle ve daha sonra teodolit kullanılarak açılar ile ölçülürdü.

Öklid uzay geometrisinin bir uygulaması, n boyutlu kürelerin en verimli şekilde sıkıştırılmasını bulma problemi gibi, sıkıştırma düzenlemelerinin belirlenmesidir. Bu problemin hata tespiti ve düzeltilmesinde uygulamaları vardır.

Geometrik optik, ışığın mercekler ve aynalarla odaklanmasını analiz etmek için Öklid geometrisini kullanır.

Geometri, mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Geometri, origami tasarlamak için kullanılabilir. Geometrinin bazı klasik yapım problemlerini, yalnızca pergel ve çizgilik (yani eş ölçeksiz, sadece doğru çizmeye yarayan bir cetvel) kullanılarak gerçeklemek imkansızdır, ancak origami kullanılarak çözülebilir.[22]

Oldukça fazla sayıda CAD (bilgisayar destekli tasarım) ve CAM (bilgisayar destekli üretim) Öklid geometrisine dayanmaktadır. Tasarım geometrisi tipik olarak düzlemler, silindirler, koniler, toruslar vb. ile sınırlanmış şekillerden oluşur. Günümüzde CAD/CAM, arabalar, uçaklar, gemiler ve akıllı telefonlar dahil olmak üzere hemen hemen her şeyin tasarımında çok önemlidir. Birkaç on yıl önce, sofistike ressamlar, Pascal teoremi ve Brianchon teoremi gibi şeyler de dahil olmak üzere oldukça gelişmiş bazı Öklid geometrisini öğrendiler. Ama artık buna gerek yok çünkü geometrik yapıların tamamı CAD programları tarafından tasarlanıyor.

Öklid, aksiyomlarının fiziksel gerçeklikle ilgili apaçık ifadeler olduğuna inanıyordu. Öklid'in ispatları, belki de Öklid'in temel aksiyomlarında[23] açık olmayan varsayımlara bağlıdır, özellikle şekillerin belirli hareketlerinin, şekillerin ötelenmesini, yansımalarını ve dönüşlerini içeren sözde Öklid hareketleri, kenarların uzunlukları ve iç açılar gibi geometrik özelliklerini değiştirmez.[24] Uzayın fiziksel bir açıklaması olarak ele alındığında, postülat 2 (bir doğruyu uzatan) uzayın deliklere veya sınırlara sahip olmadığını (başka bir deyişle, uzay homojen ve sınırsızdır); postülat 4 (dik açıların eşitliği) uzayın izotropik olduğunu ve şekillerin denklik korunurken herhangi bir yere taşınabileceğini söyler; ve postülat 5 (paralellik postülatı) uzayın düz olduğunu (içsel eğriliği olmadığını) var sayar.[25]

Aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışıldığı gibi, Albert Einstein'ın görelilik teorisi bu görüşü önemli ölçüde değiştirir.

Orijinal olarak Öklid tarafından formüle edilen aksiyomların muğlak karakteri, farklı yorumcuların uzayın yapısına ilişkin diğer sonuçlarından bazıları, örneğin sonsuz olup olmadığı[26] (aşağıya bakınız) ve topolojisinin ne olduğu konusunda anlaşamamalarına olanak sağlar. Sistemin[27] modern, daha sıkı yeniden formülasyonları tipik olarak bu sorunların daha temiz bir şekilde bertaraf edilmesini amaçlamaktadır. Öklid aksiyomlarını bu daha modern yaklaşımın ruhunda yorumlayarak, 1-4. aksiyomlar ya sonsuz ya da sonlu uzay ile tutarlıdır (eliptik geometride olduğu gibi) ve beş aksiyomun tümü çeşitli topolojilerle (örneğin, bir düzlem, bir silindir veya iki boyutlu Öklid geometrisi için bir simit) tutarlıdır.

Hakkında pek çok tarihsel anekdotun kaydedildiği renkli bir şahsiyet olan Arşimet (MÖ 287 - MÖ 212), Öklid ile birlikte en büyük antik matematikçilerden biri olarak hatırlanır. Çalışmalarının temelleri Öklid tarafından atılmış olsa da, Öklid'in aksine çalışmalarının tamamen orijinal olduğuna inanılıyor.[28] İki ve üç boyutlu çeşitli şekillerin hacimleri ve alanları için denklemleri ispatladı ve sonlu sayıların Arşimet özelliğini açıkladı.

Pergeli Apollonius (MÖ 262 - MÖ 190 dolayları) esas olarak konik kesitleri araştırmasıyla tanınır.

René Descartes (1596-1650), geometriyi cebire dönüştürmeye odaklanan ve geometriyi biçimlendirmek için alternatif bir yöntem olan analitik geometriyi geliştirdi.[29]

Bu yaklaşımda, bir düzlemdeki bir nokta Kartezyen (x, y) koordinatlarıyla temsil edilir, bir doğru denklemiyle temsil edilir ve bu böyle devam eder.

Öklid'in orijinal yaklaşımında, Pisagor teoremi, Öklid'in aksiyomlarını izler. Kartezyen yaklaşımda, aksiyomlar cebrin aksiyomlarıdır ve Pisagor teoremini ifade eden denklem, şimdi teorem olarak kabul edilen Öklid aksiyomlarındaki terimlerden birinin tanımıdır.

İki nokta P = (px, py) ve Q = (qx, qy) arasındaki mesafeyi tanımlayan aşağıdaki denklem;

Öklid metriği olarak bilinir ve diğer ölçütler Öklid dışı geometrileri tanımlar.

Analitik geometri açısından, klasik geometrinin pergel ve düz kenarlı cetvelle çizim sınırlandırılması, birinci ve ikinci dereceden denklemlerde bir sınırlama anlamına gelir, örneğin, y = 2x + 1 (bir doğru) veya x2 + y2 = 7 (bir çember).

Aynı zamanda 17. yüzyılda, perspektif teorisinin motive ettiği Girard Desargues, sonsuzda idealize edilmiş noktalar, doğrular ve düzlemler kavramını tanıttı. Sonuç bir tür genelleştirilmiş geometri (projektif geometri) olarak düşünülebilir, ancak aynı zamanda özel durumların sayısının azaltıldığı sıradan Öklid geometrisinde ispat üretmek için de kullanılabilir.[30]

18. yüzyılın geometricileri, Öklid sisteminin sınırlarını belirlemek için mücadele etti. Birçoğu, ilk dördünden beşinci varsayımı ispatlamak için boşuna uğraştı. 1763'e gelindiğinde, en az 28 farklı kanıt yayınlandı, ancak tümü yanlış bulundu.[31]

Bu döneme kadar, geometriciler ayrıca Öklid geometrisinde hangi çizimlerin başarılabileceğini belirlemeye çalıştılar. Örneğin, pergel ve cetvel ile verilen bir Açıyı üçe bölme problemi, teoride doğal olarak ortaya çıkan bir problemdir, çünkü aksiyomlar, bu araçlarla gerçekleştirilebilecek yapıcı işlemlere atıfta bulunur. Ancak, Pierre Wantzel 1837'de böyle bir çizimin imkansız olduğuna dair bir kanıt yayınlayana kadar, yüzyıllar süren çabalar bu probleme bir çözüm bulamadı. İmkansız olduğu kanıtlanan diğer çizimler arasında Küpü iki katına çıkarma (Delos Problemi) ve Daireyi kareleştirme yer alıyor. Küpün hacminin ikiye katlanması durumunda, çizimin imkansızlığı, pergel ve cetvel yönteminin, sıralaması ikinin integral kuvveti olan denklemleri içermesinden kaynaklanır,[32] bir küpün hacmini iki katına çıkarmak, üçüncü dereceden bir denklemin çözümünü gerektirir.

Euler, üçüncü ve dördüncü postülatları açı (dik üçgenler anlamsız hale gelir) ve genel olarak doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği (çemberler anlamsız hale gelir) kavramlarını ortadan kaldıracak şekilde zayıflatarak paralellik kavramlarını çizgiler arasında bir eşdeğerlik ilişkisi ve paralel doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği olarak korurken (böylece doğru parçalarının bir orta noktası vardır) beşinci postülatı değiştirilmemiş olarak tutarak Öklid geometrisinin afin geometri adı verilen bir genellemesini tartıştı.

19. yüzyılın başlarında, Carnot ve Möbius, sonuçları basitleştirme ve birleştirmenin bir yolu olarak işaretli açıların ve çizgi parçalarının kullanımını sistematik olarak geliştirdi.[33]

Yüzyılın geometrideki en önemli gelişimi, 1830'larda János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky, paralellik postülatın geçerli olmadığı Öklid dışı geometri üzerine ayrı ayrı yayınladıkları zaman meydana geldi.[34] Öklid dışı geometri, Öklid geometrisiyle kanıtlanabilir şekilde nispeten tutarlı olduğundan, paralellik postülatı diğer postülalardan kanıtlanamaz.

19. yüzyılda, Öklid'in on aksiyomunun ve genel mefhumlarının Elemanlar’da belirtilen tüm teoremleri ispatlamak için yeterli olmadığı da anlaşıldı. Örneğin, Öklid örtük olarak herhangi bir doğrunun en az iki nokta içerdiğini varsaydı, ancak bu varsayım diğer aksiyomlardan kanıtlanamaz ve bu nedenle de bir aksiyom olması gerekir. Yukarıdaki şekilde gösterilen Elemanlar'daki ilk geometrik kanıt, herhangi bir doğru parçasının bir üçgenin parçası olduğudur; Öklid, her iki uç noktanın etrafına daireler çizerek ve bunların kesişimini üçüncü köşe olarak alarak bunu her zamanki gibi çizer. Bununla birlikte, aksiyomları, çemberlerin gerçekte kesiştiğini garanti etmez, çünkü Kartezyen terimlerle gerçek sayıların tamlık özelliğine eşdeğer olan sürekliliğin geometrik özelliğini iddia etmezler. 1882'de Moritz Pasch ile başlayarak, en iyi bilinenleri Hilbert,[35] Birkhoff,[36] ve Tarski'ninki olmak üzere, geometri için birçok gelişmiş aksiyomatik sistem önerilmiştir.[37]

Einstein'ın özel görelilik teorisi, dört boyutlu bir uzay-zamanı, Öklidyen olmayan Minkowski uzayını içerir. Bu, paralellik postülatının kanıtlanamayacağını göstermek için görelilik kuramından birkaç yıl önce ortaya atılan Öklid dışı geometrilerin fiziksel dünyayı tanımlamak için de yararlı olduğunu göstermektedir.

Bununla birlikte, Minkowski uzayının üç boyutlu "uzay kısmı" Öklid geometrisinin uzayı olarak kalır. Uzay-zamanın uzay bölümünün geometrisinin Öklid geometrisi olmadığı genel görelilik durumu böyle değildir.[38] Örneğin, üç ışık ışınından bir üçgen oluşturulmuşsa, o zaman genel olarak iç açıların toplamı yer çekimi nedeniyle 180 dereceyi bulmaz. Dünya'nın veya Güneş'inki gibi nispeten zayıf bir yer çekimi alanı, yaklaşık olarak, ancak tam olarak değil, Öklid olan bir ölçü ile temsil edilir. 20. yüzyıla kadar Öklid geometrisinden sapmalarını tespit edebilecek bir teknoloji yoktu, ancak Einstein bu tür sapmaların var olacağını öngördü. Daha sonra 1919'da bir güneş tutulması sırasında Güneş'in yıldız ışığının hafif bükülmesi gibi gözlemlerle doğrulandılar ve bu tür düşünceler artık GPS sistemini çalıştıran yazılımın ayrılmaz bir parçası.

Öklid bazen "sonlu doğrular" (örneğin, Postülat 2) ve " sonsuz doğrular" (Kitap I, Önerme 12) arasında açıkça ayrım yapar. Ancak, gerekli olmadıkça tipik olarak bu tür ayrımlar yapmazdı. Postülatlar açık bir şekilde sonsuz doğrulara atıfta bulunmazlar, ancak örneğin bazı yorumcular, herhangi bir yarıçapa sahip bir dairenin varlığını postulat 3'ü, uzayın sonsuz olduğunu ima ettiği şeklinde yorumlarlar.[26]

Sonsuz küçük nicelikler kavramı daha önce Elea Okulu (Eleatic School) tarafından kapsamlı bir şekilde tartışılmıştı, ancak hiç kimse onları kesin bir mantıksal temele oturtamamıştı, Zeno'nun paradoksu gibi evrensel tatmin için çözülmemiş paradokslar ortaya çıktı. Öklid, sonsuz küçükler yerine tükenme yöntemini kullandı.[39]

Proclus (MÖ 410-485) gibi daha sonraki antik yorumcular, sonsuzluk hakkındaki birçok soruyu ispat gerektiren konular olarak ele aldılar ve örneğin Proclus, vakaları ele aldığı çelişki yoluyla kanıta dayanarak onu oluşturan çift ve tek sayıların durumlarını değerlendirerek bir doğrunun sonsuz bölünebilirliğini kanıtladığını iddia etti.[40]

20. yüzyılın başında, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese ve diğerleri, Newton-Leibniz algısında iki nokta arasındaki mesafenin sonsuz veya sonsuz küçük olabileceği Öklid geometrisinin Arşimet özelliği olmayan modelleri üzerinde tartışmalı çalışmalar ürettiler.[41] Elli yıl sonra, Abraham Robinson, Veronese'nin çalışmaları için sağlam bir mantıksal temel sağladı.[42]

Kadimlerin paralellik postülatını diğerlerinden daha az kesin olarak ele almalarının bir nedeni, çok uzak bir noktada bile asla kesişmediklerini kontrol etmek için fiziksel olarak doğrulamanın, iki doğruyu incelememizi gerektirmesidir ve bu inceleme potansiyel olarak sonsuz bir zaman alabilir.[43]

Tümevarım yoluyla ispatın modern formülasyonu 17. yüzyıla kadar geliştirilmemiştir, ancak daha sonraki bazı yorumcular, bunun Öklid'in bazı ispatlarında örtük olarak bulunduğunu, örneğin asalların sonsuzluğunun kanıtında olduğunu düşünürler.[44]

Zeno'nun paradoksu gibi sonsuz dizileri içeren varsayımsal paradokslar Öklid'den önceydi. Öklid bu tür tartışmalardan kaçındı, örneğin Kitap IX, Önerme 35'teki geometrik serinin kısmi toplamlarının ifadesini terimlerin sayısının sonsuz olmasına izin verme olasılığı üzerine yorum yapmadan verdi.

Öklid sık sık çelişki ile ispat yöntemini kullandı ve bu nedenle Öklid geometrisinin geleneksel sunumu, her önermenin doğru ya da yanlış olduğu klasik mantığı varsayar, yani herhangi bir P önermesi için, "P ya da P değil" önermesi otomatik olarak doğrudur.

Matematikçiler yüzyıllardır Öklid geometrisini sağlam bir aksiyomatik temele oturtmak ile meşguldü.[45] İlkel kavramların veya tanımlanmamış kavramların rolü, Peano delegasyonundan Alessandro Padoa tarafından 1900 Paris konferansında açıkça ortaya konmuştu:[45][46]

O halde, başlangıçta seçtiğimiz fikirler sistemi basitçe tanımlanmamış sembollerin bir yorumudur; ama bu yorum, zihninde onu koşulları karşılayan başka bir yorum ile değiştirmekte özgür olan okuyucu tarafından göz ardı edilebilir ...

Böylece mantıksal sorular, ampirik veya psikolojik sorulardan tamamen bağımsız hale gelir ...

Yani matematik, hiyerarşik bir çerçeve içindeki bağlamdan bağımsız bilgidir. Bertrand Russell'ın söylediği gibi:[47]

Bu tür temel yaklaşımlar, temelcilik ve biçimcilik arasında değişir.