থাম্ব|৩৬০×৩৬০পিক্সেল|নীল ও খয়েরী সমকোণী ত্রিভুজ দুটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 17 ও 13, যেখানে 13 হল উভয়ের সাধারণ বাহুর দৈর্ঘ্য, 7 হল খয়েরী সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং উভয়ের তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য হল √120 যার বর্গ 120 সংখ্যাটি একটি কংগ্রুয়াম তথা (72, 132, 172) সমান্তর প্রগমনের সাধারণ অন্তর। একইভাবে তিনটি হলুদ বৃত্তের অন্তর্ভুক্ত বলয় দুটির ক্ষেত্রফল সমান যা কংগ্রুয়ামের π গুণ।  শুধু তিনটি বর্গসংখ্যা নিয়ে গঠিত কোন সমান্তর প্রগমনের সাধারণ অন্তরকে অর্থাৎ প্রগমনটির অন্তর্ভুক্ত দুটি ধারাবাহিক বর্গসংখ্যার অন্তরফলকে সংখ্যা তত্ত্বের ভাষায় কংগ্রুয়াম বলা হয়। যদি x, y এবং z এই তিনটি পূর্ণ সংখ্যার x2, y2 এবং z2 বর্গগুলো একটি সমান্তর প্রগমন গঠন করে তবে এদের সাধারণ অন্তর অর্থাৎ  হবে প্রগমনটির কংগ্রুয়াম। কংগ্রুয়াম নিজে কখনো বর্গ সংখ্যা হয় না।  কোন সমান্তর প্রগমনে বর্গসংখ্যা এবং ঐ বর্গসংখ্যার কংগ্রুয়ামসমূহ বের করার সমস্যাটিই কংগ্রুয়াম সমস্যা নামে পরিচিত। একে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের মাধ্যমে লেখা যায়। x, y ও z পূর্ণ সংখ্যা তিনটির ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ হল:  যদি এই সমীকরণটি সত্য হয় তাহলে এর উভয় পক্ষই x2, y2 এবং z2 সংখ্যা তিনটি নিয়ে গঠিত অনুক্রমটির কংগ্রুয়ামের সমান।  সকল কংগ্রুয়াম এবং এসকল কংগ্রুয়াম সংশ্লিষ্ট সমান্তর প্রগমনগুলো বের করার জন্যে একটি পরামিতিকৃত সূত্র নির্ণয়ের মাধ্যমে ফিবোনাচ্চি কংগ্রুয়াম সমস্যাটির সমাধান করেছেন। এই সূত্রানুসারে সকল কংগ্রুয়াম একটি পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের চারগুণ। কোন সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো মূলদ সংখ্যা সেই সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যে ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা সেই সংখ্যাটিই একটি কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যা। কংগ্রুয়ামসমূহ কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সাথে ওতোপ্রোতোভাবে জড়িত; প্রতিটি কংগ্রুয়াম একটি কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যা এবং প্রতিটি কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যা হল একটি মূলদ সংখ্যার বর্গের সাথে একটি কংগ্রুয়ামের গুণফল।   উদাহরণ  2, 10 এবং 14 এর বর্গ যথাক্রমে 4, 100 এবং 196; এই বর্গসংখ্যাগুলো যে সমান্তর প্রগমনটি (4, 100, 196) তৈরি করে তার সাধারণ অন্তর হল 96। এখানে 96 সংখ্যাটি একটি কংগ্রুয়াম।  প্রথম কয়েকটি কংগ্রুয়াম এখানে দেওয়া হল: 24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720 … .   ইতিহাস  মূলত ১২২৫ সালে পবিত্র রোমান সম্রাট, দ্বিতীয় ফ্রেডরিখ কর্তৃক আয়োজিত গণিতের এক প্রতিযোগিতায় কংগ্রুয়াম সমস্যাটি উপস্থাপন করা হয়। ঐ সময়ে ফিবোনাচ্চি এর সঠিক সমাধান দেন এবং তার বর্গ সংখ্যার বইয়ে এটি লিপিবদ্ধ করেন।.  একটি কংগ্রুয়ামের যে বর্গ হওয়া সম্ভব নয় সে ব্যাপারটি ফিবোনাচ্চি ভালভাবেই জানতেন, তবে এর পক্ষে তিনি কোন সন্তোষজনক প্রমাণ দিতে পারেন নি। জ্যামিতিকভাবে এর মানে হল, একটি পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির অন্য আরেকটি পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু ও অতিভুজ হওয়া সম্ভব নয়। ঘটনাক্রমে পিয়ের দ্য ফের্মা এর একটি প্রমাণ দেন যা এখন ফের্মার সমকোণী ত্রিভুজ উপপাদ্য নামে পরিচিত। ফের্মা এটাও অনুমান করেন যে, চারটি বর্গসংখ্যা নিয়ে গঠন করা যায় এরূপ কোন সমান্তর প্রগমন পাওয়া যাবে না; পরে যা লেওনার্ড অয়লার সঠিক প্রমাণ করেন।.Euler's proof is not clearly written.   পরামিতিকৃত সমাধান  দুটি স্বতন্ত্র ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা m এবং n নির্ধারণের মাধ্যমে কংগ্রুয়াম সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে, যেখানে m > n এবং 4mn(m2 −n2) সংখ্যাটি একটি কংগ্রুয়াম। বর্গসংখ্যার সমান্তর প্রগমনটির মধ্যম পদটি হবে (m2 + n2)2 এবং অবশিষ্ট বর্গসংখ্যা দুটি এই মধ্যম পদের সাথে কংগ্রুয়াম যোগ বা বিয়োগ করে বের করা যেতে পারে। উপরন্তু কোন কংগ্রুয়ামকে একটি বর্গ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে ভিন্ন আরেকটি কংগ্রুয়াম পাওয়া যাবে। নতুন এই কংগ্রুয়ামটি যে নতুন প্রগমনটির অংশ সেই প্রগমনটির মধ্যম পদ ব্যতিত অপর দুটি পদ বা অপর দুটি বর্গ সংখ্যাও প্রথম প্রগমনের সংশ্লিষ্ট সংখ্যার সাথে ঐ গুণকের গুণফলের সমান। যেমন: (4, 100, 196) সমান্তর প্রগমনের কংগ্রুয়াম হল 96। এই 96 কে একটি বর্গ সংখ্যা যেমন: 9 দ্বারা গুণ করলে পাব 864, 4 কে 9 দ্বারা গুণ করলে পাব 36 এবং 196 কে 9 দ্বারা গুণ করলে পাব 1764। এখন (36, 900, 1764) হল একটি সমান্তর প্রগমন যেখানে কংগ্রুয়াম হল 864।  কংগ্রুয়াম সমস্যার সমাধান উপর্যুক্ত পদ্ধতি দুটির মধ্যে কোন না কোনটির মাধ্যমে বের হবেই। যেমন: m = 3 এবং n = 1 ধরে 4mn(m2 −n2) সূত্র থেকে 96 কংগ্রুয়ামটি গঠন করা সম্ভব। অপরদিকে সর্বাপেক্ষা ক্ষুদ্র কংগ্রুয়াম 24 কে বর্গসংখ্যা 4 দ্বারা গুণ করে 96 কংগ্রুয়ামটি এবং বর্গসংখ্যা 9 দ্বারা গুণ করে 216 কংগ্রুয়ামটি পেতে পারি। (1, 25, 49) হল সর্বাপেক্ষা ক্ষুদ্র কংগ্রুয়াম 24 যুক্ত সমান্তর প্রগমন।  বার্নার্ড ফ্রেনিকেল ডি বেসি এই সমাধানের আরেকটি সূত্র দিয়েছেন। বার্নার্ড ফ্রেনিকেলের সূত্রানুসারে, x2, y2 এবং z2 বর্গ সংখ্যা তিনটি নিয়ে গঠিত সমান্তর প্রগমনের ক্ষেত্রে মধ্যম সংখ্যা y একটি পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের অতিভুজ হবে এবং x ও y সংখ্যা দুটি হবে ঐ পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজেরই সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অন্তরফল ও যোগফল। উপরন্তু আলোচিত সমান্তর প্রগমনের কংগ্রুয়ামটি নিজে ঐ পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের চারগুণ হবে। যেমন: (3, 4, 5) হল একটি পিথাগোরাসীয় ত্রয়ী। (12 = 1, 52 = 25, 72 = 49) হল একটি সমান্তর প্রগমন যার কংগ্রুয়াম হল 24। মধ্যম সংখ্যা 5 হল (3, 4, 5) ত্রয়ীটি যে পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজ তথা সমকোণী ত্রিভুজকে নির্দেশ করে তার অতিভুজ এবং 1 = 4 – 3 ও 7 = 4 + 3। পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হল 6 এবং লক্ষ্যণীয় যে উদ্দিষ্ট কংগ্রুয়াম 24 = 6 × 4।   কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সাথে সম্পর্ক  কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যাকে মূলদ বাহুযুক্ত সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কারণ, পরামিতিকৃত সমাধান ব্যবহার করে প্রতিটি কংগ্রুয়ামকে একটি পিথাগোরাসীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসেবে পাওয়া যেতে পারে, যার অর্থ হল সকল কংগ্রুয়ামই কংগ্রুয়েন্ট। বিপরীতভাবে, সকল কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যাই একটি মূলদ সংখ্যার বর্গের সাথে একটি কংগ্রুয়ামের গুণফল। সে যাই হোক, কোন সংখ্যা কংগ্রুয়েন্ট কিনা তা পরীক্ষা করার চেয়ে বরং সংখ্যাটি কংগ্রুয়াম কিনা সেটা পরীক্ষা করা অধিক সহজ। কংগ্রুয়াম সমস্যার ক্ষেত্রে পরামিতিকৃত সমাধান এই পরীক্ষণ-সমস্যাটিকে মানসমূহের পরামিতি নিয়ে গঠিত একটি সসীম সেটের পর্যবেক্ষণ হিসেবে সঙ্কুচিত করে। অপরদিকে কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সমস্যার ক্ষেত্রে, বার্চ ও সুইনার্টন-ডায়ার অনুমান যে সত্য সেই ধারণার ভিত্তিতে এবং টানেলের উপপাদ্যের আলোকে কোন সসীম পরীক্ষণ প্রক্রিয়ার ব্যাপারে শুধু অনুমান করা সম্ভব।   তথ্যসূত্র    বহিঃসংযোগ     পূর্ণ সংখ্যার অনুক্রম বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের উপপাদ্য বিষয়শ্রেণী:ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বে বর্গসংখ্যা