ফেলিক্স ক্লেইন (জন্ম: ২৫ এপ্রিল, ১৮৪৯, ডুসেলডর্ফ , প্রুশিয়া [জার্মানি]—মৃত্যু: ২২ জুন, ১৯২৫, গোটিনজেন , জার্মানি) ছিলেন একজন জার্মান গণিতবিদ যার জ্যামিতির একীভূত দৃষ্টিভঙ্গি ছিল স্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন যা একটি নির্দিষ্ট রূপান্তরের গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয় , যাকে বলা হয় এরল্যাঙ্গার প্রোগ্রাম , গাণিতিক উন্নয়নের উপর গভীর প্রভাব ফেলেছিল।  গণিতের উপর কাজ  বন বিশ্ববিদ্যালয়ে (পিএইচডি, ১৮৬৮) ছাত্র থাকাকালীন ক্লেইন পদার্থবিদ এবং ভূতত্ত্ববিদ জুলিয়াস প্লুকারের (১৮০১-৬৮) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে কাজ করেছিলেন। প্লুকারের মৃত্যুর পর, তিনি ভূতত্ত্ববিদ আলফ্রেড ক্লেবশের (১৮৩৩-৭২) সাথে কাজ করেছিলেন, যিনি গোটিনজেন বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগের প্রধান ছিলেন । ক্লেবশের সুপারিশে, ক্লেইনকে এরলানজেন বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের অধ্যাপক নিযুক্ত করা হয় (১৮৭২-৭৫), যেখানে তিনি তার এরলানজার প্রোগ্রামে অন্তর্ভুক্ত মতামতগুলি তুলে ধরেন । এই ধারণাগুলি নরওয়েজিয়ান গণিতবিদ সোফাস লির সাথে তার ঘনিষ্ঠ সহযোগিতার প্রতিফলন ঘটায় , যার সাথে তিনি ১৮৬৯ সালে বার্লিনে দেখা করেছিলেন। ১৮৭০ সালের জুলাই মাসে ফ্রাঙ্কো-জার্মান যুদ্ধ শুরু হওয়ার আগে , তারা প্যারিসে একসাথে জ্যামিতিতে রূপান্তর গোষ্ঠীর ভূমিকা এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তত্ত্ব সম্পর্কে তাদের প্রাথমিক ধারণাগুলি বিকাশ করছিলেন। ক্লেইন পরে মিউনিখের ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজিতে (১৮৭৫-৮০) এবং তারপরে লিপজিগ বিশ্ববিদ্যালয়ে (1880-86) এবং গটিংজেন (1886-1913) শিক্ষা দেন। 1874 সাল থেকে তিনি Mathematische Annalen ("Annals of Mathematics") এর সম্পাদক ছিলেন , যা বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় গণিত জার্নালগুলির মধ্যে একটি, এবং 1895 সাল থেকে তিনি মহান Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss iher Anwendungens (Peinschluss iher Anwendungens) এবং "Enschluss iher Anwendungen"-এর তত্ত্বাবধান করেন। প্রাথমিক গণিতের উপর তাঁর কাজ, যার মধ্যে রয়েছে Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (1908; "এলিমেন্টারি ম্যাথমেটিক্স ফ্রম অ্যান অ্যাডভান্সড স্ট্যান্ডপয়েন্ট"), ব্যাপক জনসাধারণের কাছে পৌঁছেছে। তার প্রযুক্তিগত কাগজপত্র ক্লেইন তার নিজের কাজের বাইরেও গণিতে তার সবচেয়ে বড় প্রভাব ফেলেছিলেন আধুনিক গণিতবিদদের সম্প্রদায়ের প্রধান স্থপতি হিসেবে , গোটিনজেনে, যা ১৯০০ থেকে ১৯১৪ সময়কালে ক্লেইন এবং ডেভিড হিলবার্টের (১৮৬২-১৯৪৩) অধীনে বিশ্বের অন্যতম শীর্ষস্থানীয় গবেষণা কেন্দ্র হিসেবে আবির্ভূত হয়েছিল। ক্লেইনের অবসর গ্রহণের পর রিচার্ড কুরান্ট (১৮৮৮-১৯৭২) ধীরে ধীরে এই প্রাণবন্ত সম্প্রদায়ের সাংগঠনিক নেতা হিসেবে ক্লেইনের ভূমিকা গ্রহণ করেন।  শিক্ষা, অধ্যাপনা ও গবেষণা ক্লেইন ডুসেলডর্ফের জিমনেসিয়াম থেকে স্নাতক ডিগ্রি অর্জন করেন। ১৮৬৫-১৮৬৬ সালের শীতকালীন সেমিস্টারে তিনি বন বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিত এবং পদার্থবিদ্যা অধ্যয়ন করেন, যেখানে তিনি ১৮৬৮ সালের ডিসেম্বরে ডক্টরেট ডিগ্রি অর্জন করেন। তার শিক্ষাকে আরও এগিয়ে নেওয়ার জন্য তিনি ১৮৬৯ সালের শুরুতে গোটিঙ্গেন, বার্লিন এবং প্যারিসে যান এবং প্রতিটি শহরে বেশ কয়েক মাস কাটিয়ে দেন। ফ্রাঙ্কো-প্রুশিয়ান যুদ্ধের ফলে ১৮৭০ সালে তাকে প্যারিস ছেড়ে যেতে বাধ্য করা হয়। মেডিকেল অর্ডলি হিসেবে অল্প সময়ের জন্য সামরিক চাকরি করার পর, ১৮৭১ সালের শুরুতে ক্লেইন গোটিঙ্গেনে প্রভাষক হিসেবে যোগ্যতা অর্জন করেন। পরের বছর তিনি এরলাঙ্গেনে গণিতের পূর্ণ অধ্যাপক নিযুক্ত হন, যেখানে তিনি ১৮৭৫ সাল পর্যন্ত শিক্ষকতা করেন। ১৮৭৫ থেকে ১৮৮০ সাল পর্যন্ত তিনি মিউনিখের টেকনিশে হচশুলে এবং ১৮৮০ থেকে ১৮৮৬ সাল পর্যন্ত লিপজিগ বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যাপক ছিলেন। ১৮৮৬ সাল থেকে মৃত্যু পর্যন্ত তিনি গোটিনজেন বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক ছিলেন। ১৯১৩ সালে তিনি অসুস্থতার কারণে অবসর গ্রহণ করেন। প্রথম বিশ্বযুদ্ধের সময় এবং তার পরে কিছু সময়ের জন্য তিনি তার বাড়িতে বক্তৃতা দিতেন। ১৮৭৫ সালের আগস্টে ক্লেইন দার্শনিকের নাতনী অ্যান হেগেলকে বিয়ে করেন; তাদের এক ছেলে এবং তিন মেয়ে ছিল।  তাঁর সময়ের অন্যতম শীর্ষস্থানীয় গণিতবিদ ক্লেইন গণিতের প্রায় সকল শাখায়, যার মধ্যে ছিল ফলিত গণিত এবং গাণিতিক পদার্থবিদ্যা, অনেক উদ্দীপক এবং ফলপ্রসূ অবদান রেখেছিলেন। তাছাড়া, তাঁর ব্যাপক কর্মকাণ্ড গোটিনজেনকে জার্মানিতে সঠিক বিজ্ঞানের প্রধান কেন্দ্রে পরিণত করতে ব্যাপক অবদান রেখেছিল। একপেশে পদ্ধতির বিরোধী হিসেবে, তিনি গবেষণার বিভিন্ন ক্ষেত্রের মধ্যে দ্রুত সম্পর্ক আবিষ্কার করার এবং সেগুলিকে ফলপ্রসূভাবে কাজে লাগানোর অসাধারণ ক্ষমতার অধিকারী ছিলেন।  অন্যদিকে, সূক্ষ্ম এবং বিস্তারিত গণনার প্রয়োজন এমন কাজে তিনি কম আগ্রহী ছিলেন, যা তিনি আনন্দের সাথে তার ছাত্রদের উপর ছেড়ে দিয়েছিলেন। তার পরবর্তী বছরগুলিতে ক্লেইনের দুর্দান্ত সাংগঠনিক দক্ষতা প্রকাশ পায়, যার ফলে তিনি গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্র, তার প্রয়োগ এবং শিক্ষাদানের উপর নিবেদিত বৃহৎ পরিসরে বিশ্বকোষীয় কাজ শুরু এবং তত্ত্বাবধান করতে সক্ষম হন। এছাড়াও, ক্লেইনের গণিতের প্রায় সকল ক্ষেত্র এবং ঊনবিংশ শতাব্দীতে তাদের ঐতিহাসিক বিকাশের উপর ভিত্তি করে লেখা তাঁর বহু বইয়ের মাধ্যমে তিনি ব্যাপকভাবে পরিচিতি লাভ করেন।  গণিতবিদ হিসেবে ক্লেইনের অসাধারণ দ্রুত বিকাশ ছিল বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত। প্রথমে তিনি একজন পদার্থবিদ হতে চেয়েছিলেন এবং ছাত্র থাকাকালীন তিনি বনে তার পদার্থবিদ্যার বক্তৃতাগুলিতে জে. প্লুকারকে সহায়তা করেছিলেন। সেই সময় প্লুকার, যিনি দীর্ঘ সময় ধরে পদার্থবিদ্যায় নিবেদিত থাকার পর গণিতে ফিরে এসেছিলেন, তিনি " Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf der geraden Linie als Raumelement" নামক একটি বইয়ের উপর কাজ করছিলেন । ১৮৬৮ সালে তাঁর আকস্মিক মৃত্যু তাঁকে এটি সম্পন্ন করতে বাধা দেয় এবং তরুণ ক্লেইন এই কাজটি গ্রহণ করেন। ক্লেইনের গবেষণাপত্র এবং তাঁর প্রথম পরবর্তী রচনাগুলিও রেখা জ্যামিতির বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করে। তাঁর প্রচেষ্টার নতুন দিকগুলি ছিল যে তিনি সমজাতীয় স্থানাঙ্ক নিয়ে কাজ করেছিলেন, যা প্লুকার কেবল মাঝে মাঝেই করতেন; তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে কীভাবে অল্প সময়ের আগে ওয়েয়ারস্ট্রাস দ্বারা বিকশিত প্রাথমিক বিভাজকের তত্ত্বকে দ্বিঘাত সরলরেখা জটিলতার শ্রেণীবিভাগে প্রয়োগ করতে হয় (তার গবেষণাপত্রে); এবং তিনি প্রাথমিকভাবে P 3 এর রেখা জ্যামিতিকে P 5 এর চতুর্ভুজের বিন্দু জ্যামিতি হিসেবে দেখেছিলেন , যা ছিল সম্পূর্ণ নতুন ধারণা।  রেখার মৌলিক বৈশিষ্ট্য আবিষ্কার  ১৮৭০ সালে ক্লেইন এবং এস. লাই ( দেখুন ওয়ের্ক , ১, ৯০-৯৮) বিখ্যাত কুমার পৃষ্ঠের অ্যাসিম্পটোটিক রেখার মৌলিক বৈশিষ্ট্য আবিষ্কার করেন, যা একটি সাধারণ দ্বিঘাত সরলরেখা জটিলের এককতার পৃষ্ঠ হিসাবে বীজগণিতীয় রেখা জ্যামিতিতে একটি স্থান দখল করে। এখানে এবং ঘন পৃষ্ঠের তার যুগপত তদন্তে ( ওয়ের্ক , ২, ১১-৬৩) জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টির প্রতি ক্লেইন বিশেষ উদ্বেগের প্রমাণ পাওয়া যায়, তা সমতল বক্ররেখার রূপ বা স্থানিক নির্মাণের মডেল সম্পর্কেই হোক না কেন। লাইয়ের সাথে তার সহযোগিতার আরও একটি ফলাফল ছিল তথাকথিত W-বক্ররেখার একটি যৌথ গবেষণায় ( ওয়ের্ক , ১, ৪২৪-৪৬০)। এগুলি এমন বক্ররেখা যা নিজেদের মধ্যে একদল প্রক্ষিপ্ত রূপান্তরকে স্বীকার করে।  তবে জ্যামিতিতে ক্লেইনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অর্জন ছিল অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির প্রক্ষিপ্ত ভিত্তি এবং "এরলাঙ্গার প্রোগ্রাম" তৈরি। এই দুটিই তার অত্যন্ত উৎপাদনশীল যৌবনকালে সম্পন্ন হয়েছিল।  এটা সত্য যে, লোবাচেভস্কি (১৮২৯) এবং জে. বোলাই (১৮৩২) ইতিমধ্যেই হাইপারবোলিক জ্যামিতি আবিষ্কার করেছিলেন; এবং ১৮৬৮ সালে, ক্লেইনের কিছুক্ষণ আগে, ই. বেল্ট্রামি স্বীকৃতি দিয়েছিলেন যে এটি ধ্রুবক ঋণাত্মক বক্রতার পৃষ্ঠের উপর বৈধ। তবুও, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিগুলি তখনও গণিতবিদদের মধ্যে সাধারণ জ্ঞানে পরিণত হয়নি যখন, ১৮৭১ এবং ১৮৭৩ সালে, ক্লেইন Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie ( Werke , I, 254-351) নামে দুটি রচনা প্রকাশ করেছিলেন। এখানে তার অপরিহার্য অবদান ছিল তিন ধরণের জ্যামিতির জন্য তথাকথিত প্রক্ষেপণমূলক মডেল উপস্থাপন করা: হাইপারবোলিক, বোলাই এবং লোবাচেভস্কি থেকে উদ্ভূত; উপবৃত্তাকার, এমন একটি গোলকের উপর বৈধ যার উপর প্রতিপদ বিন্দু অভিন্ন হিসাবে নেওয়া হয়েছে; এবং ইউক্লিডীয়। ক্লেইন তার কাজটি সি. স্টাউড্ট কর্তৃক পূর্বে প্রতিষ্ঠিত প্রক্ষেপণীয় জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে তৈরি করেছিলেন, যা দূরত্ব এবং কোণের মেট্রিক ধারণা ব্যবহার না করেই প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, কেবল স্টাউড্টের নির্মাণে একটি ধারাবাহিকতা নীতি যোগ করে। তারপর তিনি উদাহরণস্বরূপ, সমতল হাইপারবোলিক জ্যামিতিকে একটি বাস্তব শঙ্কু বিভাগের অভ্যন্তরে বৈধ জ্যামিতি হিসাবে ব্যাখ্যা করেছিলেন এবং রেখা এবং কোণগুলিকে ক্রস অনুপাতের দিকে হ্রাস করেছিলেন। এটি ইতিমধ্যেই 1853 সালে লাগুয়ের এবং আরও সাধারণভাবে, 1860 সালে এ. কেলি দ্বারা ইউক্লিডীয় কোণের জন্য করা হয়েছিল; কিন্তু ক্লেইনই প্রথম স্পষ্টভাবে স্বীকৃতি দিয়েছিলেন যে এইভাবে প্রশ্নে থাকা জ্যামিতিগুলি সম্পূর্ণরূপে প্রক্ষিপ্তভাবে তৈরি করা যেতে পারে। এইভাবে কেলি-ক্লেইন মেট্রিক সহ ক্লেইন মডেলগুলির কথা বলা হয়।  "Erlanger Programm" নামে একত্রিত ধারণাগুলি 1872 সালে "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ( Werke , I, 460-498) বইয়ে উপস্থাপিত হয়েছিল। এই রচনাটি গ্রুপের ধারণার সাথে প্রাথমিক পরিচিতি প্রকাশ করে যা ক্লেইন মূলত লির সাথে যোগাযোগের মাধ্যমে এবং সি. জর্ডানের কাছ থেকে অর্জন করেছিলেন। "Erlanger Programm" এর সারমর্ম হল যে এখন পর্যন্ত জানা প্রতিটি জ্যামিতি একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর উপর ভিত্তি করে তৈরি, এবং প্রশ্নে থাকা জ্যামিতির কাজ হল এই গোষ্ঠীর ইনভেরিয়েন্টগুলি স্থাপন করা। সবচেয়ে সাধারণ গোষ্ঠীর সাথে জ্যামিতি, যা ইতিমধ্যেই পরিচিত ছিল, টপোলজি ছিল; এটি সমস্ত ক্রমাগত রূপান্তরের গ্রুপের ইনভেরিয়েন্টগুলির জ্যামিতি - উদাহরণস্বরূপ, সমতলের। ক্লেইন এরপর ধারাবাহিকভাবে প্রক্ষিপ্ত, অ্যাফাইন এবং ইকুইয়াফাইন বা নির্দিষ্ট মাত্রার প্রধান গোষ্ঠীকে আলাদা করেন; কিছু ক্ষেত্রে পরবর্তী গোষ্ঠীটি পূর্ববর্তীটির একটি উপগোষ্ঠী। এই গোষ্ঠীগুলির মধ্যে রয়েছে প্রক্ষিপ্ত, অ্যাফাইন এবং ইকুইয়াফাইন জ্যামিতি, তাদের অপরিবর্তনীয় সহ, যার ফলে ইকুইয়াফাইন জ্যামিতি ইউক্লিডীয় প্রাথমিক জ্যামিতির মতোই।  কেলি-ক্লেইন মডেলের সাহায্যে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিগুলি, সেইসাথে মোবিয়াস, লাগুয়ের এবং লাই দ্বারা উদ্ভাবিত বিভিন্ন ধরণের বৃত্তাকার এবং গোলাকার জ্যামিতিগুলিকেও একইভাবে প্রক্ষিপ্ত গোষ্ঠীর কিছু উপগোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব হিসাবে দেখা যেতে পারে। তার পরবর্তী বছরগুলিতে ক্লেইন "এরলাঞ্জার প্রোগ্রাম"-এ ফিরে আসেন এবং একাধিক রচনায় ( ওয়ের্ক , I, 503-612), দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে তাত্ত্বিক পদার্থবিদ্যা, এবং বিশেষ করে আপেক্ষিকতার তত্ত্ব, যা ইতিমধ্যেই আবির্ভূত হয়েছিল, সেখানে উপস্থাপিত ধারণাগুলির ভিত্তিতে বোঝা যায়। "প্রোগ্রাম" ছয়টি ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছিল এবং পরবর্তী বছরগুলিতে গৃহীত অনেক কাজকে নির্দেশিত করা হয়েছিল: উদাহরণস্বরূপ, লোথার হেফটারের বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি , স্কুল নির্দেশনা এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে ডব্লিউ. ব্লাশকের আজীবন প্রচেষ্টা। বিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে এটিকে স্থান দেওয়া হয়েছিল।  ক্লেইন গণিতে ফাংশন তত্ত্বের উপর তার কাজকে তার কাজের শীর্ষস্থান বলে মনে করতেন। তিনি তার কিছু বৃহৎ সাফল্যের জন্য রিম্যানের ধারণার বিকাশ এবং অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব, সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগণিত, গোষ্ঠী তত্ত্ব, বহুমাত্রিক জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের সাথে তার ঘনিষ্ঠ জোটের জন্য দায়ী ছিলেন, বিশেষ করে তার নিজস্ব ক্ষেত্রগুলিতে, উপবৃত্তাকার মডুলার ফাংশন এবং অটোমরফিক ফাংশন।  ক্লেইনের মতে, রিম্যান পৃষ্ঠ আর অগত্যা একটি বহু-পাতিত আচ্ছাদন পৃষ্ঠ নয় যেখানে একটি সমতলে বিচ্ছিন্ন শাখা বিন্দু রয়েছে, যা রিম্যান তার নিজস্ব প্রকাশনাগুলিতে উপস্থাপন করেছেন। বরং, ক্লেইনের মতে, এটি জটিল সমতলের সাথে এবং তারপরে, সাধারণত, ত্রিমাত্রিক স্থানের সাথে তার সম্পর্ক হারিয়ে ফেলে। ক্লেইনের মাধ্যমেই রিম্যান পৃষ্ঠকে ফাংশন তত্ত্বের একটি অপরিহার্য উপাদান হিসাবে বিবেচনা করা হয়, এবং কেবল বহু-মূল্যায়িত ফাংশন উপস্থাপনের একটি মূল্যবান মাধ্যম হিসাবেই নয়।  রিম্যান পৃষ্ঠ বিষয়ে ধারণা  ক্লেইন ১৮৮২ সালে Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrade বইতে Riemann পৃষ্ঠ সম্পর্কে তার ধারণার একটি বিস্তৃত বিবরণ প্রদান করেন । এই বইটিতে তিনি ফাংশন তত্ত্বকে জ্যামিতিক ফাংশন তত্ত্ব হিসেবে বিবেচনা করেন যা সম্ভাব্য তত্ত্ব এবং কনফর্মাল ম্যাপিংয়ের সাথে সম্পর্কিত - যেমনটি রিম্যান করেছিলেন। অধিকন্তু, প্রকৃত সম্পর্কগুলি উপলব্ধি করার এবং নতুন ফলাফল তৈরি করার প্রচেষ্টায়, ক্লেইন ইচ্ছাকৃতভাবে স্থানিক ধারণা এবং পদার্থবিদ্যা থেকে ধার করা ধারণাগুলি নিয়ে কাজ করেছিলেন, বিশেষ করে তরল গতিবিদ্যা থেকে। তিনি বারবার জোর দিয়েছিলেন যে তিনি এই প্রদর্শন পদ্ধতির ত্রুটিগুলি সম্পর্কে খুব চিন্তিত ছিলেন এবং তিনি আশা করেছিলেন যে ভবিষ্যতে সেগুলি দূর করা হবে। ক্লেইন কর্তৃক ব্যবহৃত অস্তিত্ব তত্ত্বগুলির একটি অংশ ইতিমধ্যেই প্রমাণিত হয়েছিল, ক্লেইন কর্তৃক বইটি প্রকাশের আগে, HA Schwarz এবং C. Neumann দ্বারা। ক্লেইন তার নিজের কাজে তাদের ফলাফল অন্তর্ভুক্ত করেননি: তিনি Weierstrass-এর নেতৃত্বে বার্লিন গণিতবিদদের রাজত্বকারী স্কুলের চেতনার বিরোধিতা করেছিলেন, যার বিমূর্ত-সমালোচনামূলক, পাটিগণিত প্রবণতা ছিল; রিম্যানের দৃষ্টিভঙ্গি, যা জ্যামিতি এবং স্থানিক উপস্থাপনার দিকে বেশি ঝোঁক ছিল, তাকে তিনি আরও ফলপ্রসূ বলে মনে করেন। ক্লেইন যে নিজস্ব উপপাদ্যের দৃঢ় ভিত্তি এবং রিম্যান এবং ওয়েয়ারস্ট্রাসের ধারণাগুলির সংমিশ্রণ আশা করেছিলেন এবং আশা করেছিলেন, তার প্রকাশ - আজও বৈধ - 1913 সালে এইচ. ওয়েলের ডাই আইডি ডের রিম্যানসেন ফ্লাচে- এ পাওয়া গেছে ।  পঞ্চম ডিগ্ৰি সমীকরণ  ক্লেইনকে পঞ্চম-ডিগ্রি সমীকরণের সমাধান খুবই আগ্রহী করে তুলেছিল, কারণ এর চিকিৎসায় বীজগণিতীয় গ্রুপ তত্ত্ব, জ্যামিতি, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং ফাংশন তত্ত্বের একযোগে বিবেচনা জড়িত ছিল। হারমাইট, ক্রোনেকার এবং ব্রায়োশি ইতিমধ্যেই পঞ্চম ডিগ্রির সাধারণ বীজগণিতীয় সমীকরণের সমাধানে ট্রান্সসেন্টেন্টাল পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। ক্লেইন প্রাচীনকাল থেকে পরিচিত নিয়মিত পলিহেড্রার মধ্যে একটি আইকোসাহেড্রনের বিবেচনা থেকে এই সমীকরণের সম্পূর্ণ তত্ত্বটি বের করতে সফল হন। এই বস্তুগুলিকে কখনও কখনও ঘূর্ণনের একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপের মাধ্যমে নিজেদের মধ্যে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। বিশেষ করে আইকোসাহেড্রন নিজেই ষাটটি ঘূর্ণনের অনুমতি দেয়। যদি কেউ একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের চারপাশে একটি গোলককে ঘিরে ফেলে এবং স্টেরিওগ্রাফিক প্রক্ষেপণের মাধ্যমে এটিকে একটি সমতলে ম্যাপ করে, তাহলে পলিহেড্রনের ঘূর্ণনের গ্রুপের সাথে সমতলের রৈখিক রূপান্তরের গ্রুপের মিল রয়েছে। ক্লেইন দেখিয়েছেন যে এইভাবে রৈখিক রূপান্তরের সমস্ত সসীম গ্রুপ পাওয়া যায়, যদি তথাকথিত ডাইহেড্রাল গ্রুপ যোগ করা হয়। ডাইহেড্রন ক্লেইন বলতে n বাহুবিশিষ্ট একটি নিয়মিত বহুভুজকে বোঝানো হয়েছিল, যাকে শূন্য আয়তনের অনমনীয় বস্তু হিসেবে বিবেচনা করা হত।  পঞ্চম-ডিগ্রি সমীকরণের সাথে রৈখিক রূপান্তরের সম্পর্কের মাধ্যমে এবং HA Schwarz-এর ত্রিভুজাকার ফাংশন তত্ত্বের সাথে তার তদন্তের যোগসূত্রের মাধ্যমে, ক্লেইন উপবৃত্তাকার মডুলার ফাংশনের দিকে পরিচালিত হন, যা উপবৃত্তাকার ফাংশনে তাদের উপস্থিতির জন্য তাদের নামকরণ করে। তিনি তাদের জন্য মৌলিক রচনার একটি দীর্ঘ সিরিজ উৎসর্গ করেছিলেন এবং R. Fricke-এর সাথে, দুটি বিস্তৃত খণ্ডে এই ফাংশনগুলির সম্পূর্ণ তত্ত্ব উপস্থাপন করেছিলেন যা এখনও গবেষণার জন্য অপরিহার্য। তত্ত্বের পৃথক দিকগুলি আগে জানা ছিল। এখানে অনন্তে একটি মেরু সহ উপরের অর্ধ-সমতল ℋ-এ হলোমরফিক ফাংশনের প্রশ্ন ছিল, যা মডুলার গ্রুপ Γ-এর রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে:  যদি কেউ z = x + iy সেট করে, তাহলে z বিন্দুর সেট F , যার সাথে  এবং অতিরিক্তভাবে, x ⩽ 0 যদি x 2 + y 2 = 1 হয়, তাহলে ℋ এর প্রতিটি বিন্দুতে Γ এর অধীনে সেই বিন্দুর সমান ঠিক একটি বিন্দু থাকে । F হল ℋ এর সাপেক্ষে Γ এর জন্য একটি মৌলিক ডোমেন । এটি ইতিমধ্যেই গাউস দ্বারা uch হিসাবে স্বীকৃত হয়েছিল। 1877 সালে, ডেডেকিন্ডের কিছুটা পরে এবং তার থেকে স্বাধীনভাবে, ক্লেইন মৌলিক অপরিবর্তনীয় J (τ) আবিষ্কার করেন, যা F এর প্রতিটি মান ঠিক একবার ধরে নেয় এবং যার মাধ্যমে সমস্ত মডুলার ফাংশনকে যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যায়।  সসীম সূচক, তাদের মৌলিক ক্ষেত্র ক্লেইন পরবর্তীতে সসীম সূচক, তাদের মৌলিক ক্ষেত্র এবং সম্পর্কিত ফাংশন সহ Γ এর উপগোষ্ঠী Γ 1 অনুসন্ধান করেন। এভাবে তিনি বীজগণিতীয় ফাংশন ক্ষেত্রে পৌঁছান, যা তিনি রিম্যানের ফাংশন তত্ত্বের ধারণা এবং পদ্ধতির সাথে তদন্ত করেন। আবেলান ইন্টিগ্রাল এবং ডিফারেনশিয়াল, এবং এর ফলে মডুলার ফাংশনগুলির একটি সাধারণীকরণ হিসাবে মডুলার ফর্মগুলি Γ 1 এর উপর মডুলার ফাংশনের দিকে পরিচালিত করে । আমরা ক্লেইনের কাছে ঐক্য গোষ্ঠীর জন্যও ঋণী। এগুলি Γ এর উপগোষ্ঠী Γ 1 যা সমস্ত রূপান্তরের গ্রুপ ধারণ করে।  a ≡ d ≡ ± 1, b ≡ c ≡ 0 মোড m  স্থির প্রাকৃতিক সংখ্যা m এর জন্য। একটি গ্রুপের জন্য সর্বনিম্ন সম্ভাব্য m Γ 1 ক্লেইনকে গ্রুপের স্তর হিসাবে মনোনীত করা হয়েছে। সর্বসমতা গ্রুপগুলি সংখ্যা তত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্যের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। মডুলার ফাংশনের তত্ত্বটি আরও বিকশিত হয়েছিল ক্লেইনের প্রত্যক্ষ ছাত্রদের দ্বারা, যেমন এ. হারউইটজ এবং আর. ফ্রিক, এবং বিশেষ করে এরিখ হেক দ্বারা; বেশ কয়েকটি চলকের উপর এর প্রয়োগ বিশেষভাবে ডেভিড হিলবার্ট এবং কার্ল লুডভিগ সিগেলের কারণে।   ফেলিক্স ক্লেইন পুরস্কার ফেলিক্স ক্লেইন পুরস্কার গণিত শিক্ষায় আজীবন একাডেমিক কৃতিত্বের জন্য প্রদান করা হয়। এই পুরস্কারের লক্ষ্য সেইসব চমৎকার পণ্ডিতদের স্বীকৃতি প্রদান করা যারা তাদের জীবদ্দশায় গণিত শিক্ষার ক্ষেত্রকে রূপ দিয়েছেন। এই পুরস্কারটি সেইসব প্রার্থীদের সম্মানিত করে যারা উল্লেখযোগ্য গবেষণায় অবদান রেখেছেন এবং নতুন বিষয়, ধারণা, দৃষ্টিভঙ্গি এবং সমালোচনামূলক প্রতিফলনও উপস্থাপন করেছেন। অতিরিক্ত বিবেচনার মধ্যে রয়েছে নেতৃত্বের ভূমিকা, পরামর্শদান এবং সহকর্মীদের স্বীকৃতি, সেইসাথে গবেষণা এবং গণিত শিক্ষার উন্নতির মধ্যে প্রকৃত বা সম্ভাব্য সম্পর্ক, গবেষণা এবং অনুশীলনের মধ্যে সংযোগের মাধ্যমে।  তথ্যসূত্র  বিষয়শ্রেণী:১৮৪৯-এ জন্ম বিষয়শ্রেণী:১৯২৫-এ মৃত্যু বিষয়শ্রেণী:১৯শ শতাব্দীর জার্মান গণিতবিদ বিষয়শ্রেণী:২০শ শতাব্দীর জার্মান গণিতবিদ বিষয়শ্রেণী:কপলি পদক বিজয়ী বিষয়শ্রেণী:বন বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রাক্তন শিক্ষার্থী বিষয়শ্রেণী:হামবোল্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রাক্তন শিক্ষার্থী বিষয়শ্রেণী:রয়েল সোসাইটির বিদেশি সদস্য বিষয়শ্রেণী:রয়্যাল নেদারল্যান্ডস কলা ও বিজ্ঞান একাডেমির সদস্য বিষয়শ্রেণী:ডি মর্গান পদক বিজয়ী