গণিতে, একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে উপাদান দ্বারা উপাদান গুণনের ফলাফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানটি একটি পাটিগণিত ক্রমটির n তম উপাদান এবং একটি জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানের গুণফল।  একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজ হল এমন একটি পদের সমষ্টি যা একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান। অ্যারিথমেটিকো-জ্যামিতিক ক্রম এবং সিরিজগুলি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে উদ্ভূত হয়, যেমন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মানের গণনা, বিশেষ করে বার্নোলি প্রক্রিয়াগুলিতে ।  উদাহরণস্বরূপ, ক্রম     একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক উপাদানটি লবটিতে (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিকটি হর (সবুজ রঙে) প্রদর্শিত হয়। এই ক্রমটির অসীম উপাদানগুলির সিরিজ যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এটির মান 2।  সাধারণভাবে,     </br> পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয় বৈশিষ্ট্যের সমন্বয়ে বিভিন্ন বস্তুকে পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের লেবেলও দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক-জ্যামিতিক অনুক্রমের ফরাসি ধারণাটি সেই ক্রমগুলিকে বোঝায় যা ফর্মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। , যা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একত্রিত করে  পাটিগণিত ক্রম এবং জন্য  জ্যামিতিক ক্রমগুলির জন্য। এই ক্রমগুলি তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণের একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অবিচ্ছিন্ন প্রথম ক্রম রৈখিক পুনরাবৃত্তি সহ ধ্রুবক সহগ ।   উপাদান  একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান  একটি গাণিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির পণ্য  (নীল রঙে) প্রাথমিক মান সহ  এবং সাধারণ পার্থক্য ,  জ্যামিতিক অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে  (সবুজ রঙে) প্রাথমিক মান সহ  এবং সাধারণ অনুপাত ,  যাতে      এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং তিনটিতে হ্রাস করা যেতে পারে:  এবং    উদাহরণ  ক্রম     পরামিতি সহ পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম , , এবং  .   সিরিজ    আংশিক যোগফল  একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম  পদের যোগফলের ফর্ম আছে     যেখানে  এবং  এগুলি যথাক্রমে পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের  তম উপাদান।  এই আংশিক যোগফলের বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি আছে      ডেরিভেশন  গুণ করা K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3.      দিয়ে দেয়      থেকে  বিয়োগ করা, উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা , এবং টেলিস্কোপিং সিরিজের কৌশল (দ্বিতীয় সমতা) এবং একটি সসীম জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (পঞ্চম সমতা) দেয়     যেমন দাবি করা হয়েছে।   অসীম সিরিজ  যদি −1 < r < 1 হয়, তাহলে পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল S, অর্থাৎ অনুক্রমের উপাদানগুলির আংশিক যোগফলের সীমা  দ্বারা দেওয়া হয়।     যদি r উপরের সীমার বাইরে হয়, b শূন্য নয়, এবং a এবং d উভয়ই শূন্য নয়, সীমাটি বিদ্যমান নেই এবং সিরিজটি ভিন্ন ।   উদাহরণ  যোগফল    ,  দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি , , এবং , এবং এটি একত্রিত হয়  . এই ক্রমটি "টেইল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা টসের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সম্ভাবনা  টসে প্রথমবার টেল পাওয়া নিম্নরূপ:    .  অতএব, প্রথম "টেলস" পৌঁছানোর জন্য টসের প্রত্যাশিত সংখ্যা দেওয়া হয়     একইভাবে, যোগফল     দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি , , , এবং , এবং এটি 6-এ রূপান্তরিত হয়। এই ক্রমটি একটি ডাই রোলে একটি নির্দিষ্ট মান পেতে প্রয়োজনীয় ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাইস রোলের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ "5"। সাধারণভাবে, সঙ্গে এই সিরিজ , , , এবং  "সাফল্যের সম্ভাবনা" সহ বার্নৌলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার সংখ্যা" এর প্রত্যাশা দিন  . প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা একটি জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং সিরিজের শর্তাবলীতে জ্যামিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে, যখন প্রতি ফলাফলের পরীক্ষার সংখ্যা শর্তাবলীতে গাণিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে।   তথ্যসূত্র    নোট        বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা