ডান|থাম্ব|250x250পিক্সেল| একটি টরাস, বীজগণিতীয় টপোলজিতে যেসব বিষয় সবচেয়ে বেশি অধ্যয়ন করা হয় সেগুলোর মধ্যে একটি বীজগাণিতিক টপোলজি হল গণিতের একটি শাখা যেখানে টপোলজিকাল স্পেস অধ্যয়নের জন্য বিমূর্ত বীজগণিত থেকে বিভিন্ন বিষয়াদি অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এটির মূল লক্ষ্য হল বীজগণিতের অপরিবর্তনগুলো (ইনভ্যারিয়েন্ট) খুঁজে বের করা যা হোমোমরফিজম পর্যন্ত টপোলজিকাল স্পেসকে শ্রেণীবদ্ধ করে। যদিও বেশিরভাগ ক্ষেত্রে হোমোটোপি সমতুল্য পর্যন্ত শ্রেণীবদ্ধ করা হয়।  যদিও বীজগণিতীয় টপোলজি প্রাথমিকভাবে টপোলজিকাল সমস্যাগুলো নিয়ে আলোচনার জন্য বীজগণিতকে ব্যবহার করে, আবার বীজগাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য টপোলজি ব্যবহার করাও অনেক ক্ষেত্রে সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, বীজগণিতীয় টপোলজি প্রমাণ করে, একটি মুক্ত গোষ্ঠীর যেকোনো উপগোষ্ঠী আবার নিজেই একটি মুক্ত গোষ্ঠী।   প্রধান শাখাসমূহ  বীজগাণিতিক টপোলজিতে আলোচনা করা হয় এমন কিছু বিষয় নীচে উল্লেখ করা হলো:   হোমোটোপি গ্রুপ   গণিতে টপোলজিকাল স্পেসকে শ্রেণীবদ্ধ করতে বীজগাণিতিক টপোলজিতে হোমোটোপি গ্রুপকে ব্যবহার করা হয়। প্রথম এবং সবচেয়ে সহজ হোমোটোপি গ্রুপ হল মৌলিক গ্রুপ, যা একটি স্থানের লুপ সম্পর্কে তথ্যাবলি লিপিবদ্ধ করে। হোমোটোপি গ্রুপগুলো টপোলজিক্যাল স্পেসের মৌলিক আকৃতি বা খাদ সম্পর্কে তথ্য লিপিবদ্ধ করে।   হোমোলজি   বীজগাণিতিক টপোলজি এবং বিমূর্ত বীজগণিতে হোমোলজি ( গ্রীক ὁμός homos "অভিন্ন" থেকে) হচ্ছে একটি পদ্ধতি যা একটি গাণিতিক বস্তু যেমন টপোলজিকাল স্পেস বা কোন নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর সাথে অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ বা মডিউলগুলোর একটি ক্রমকে সংযুক্ত করে।    কোহোমোলজি  হোমোলজি তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক টপোলজিতে কোহোমোলজি হল একটি সাধারণ শব্দ যা কোচেন কমপ্লেক্সে এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলোর একটি ক্রম। অর্থাৎ, কোহোমোলজিকে কোচেন, কোসাইকেল এবং কোবাউন্ডারির বিমূর্ত অধ্যয়ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। কোহোমোলজিকে এরকমই একটি টপোলজিকাল স্পেসে বীজগাণিতিক পরিবর্তনগুলোকে যুক্ত করার একটি পদ্ধতি হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে হোমোলজির চাইতে আরও পরিমার্জিত বীজগাণিতিক কাঠামো রয়েছে। হোমোলজি তৈরির বীজগাণিতিক দ্বৈতকরণ থেকেই কোহোমোলজির উদ্ভব হয়। অপেক্ষাকৃত কম বিমূর্তভাবে সংজ্ঞায়িত করলে, মূলত কোচেনগুলো হোমোলজি তত্ত্বের চেইনগুলোর "পরিমাণ" নির্ধারণ করে।   বহুভাঁজ   বহুভাঁজ হল একটি টপোলজিক্যাল স্থান যা প্রতিটি বিন্দুর নিকটবর্তী ইউক্লিডীয় স্থানের অনুরূপ। উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে সমতল, গোলক এবং টরাস। এগুলোকে তিনটি মাত্রায় পাওয়া যায়, তবে ক্লেইন বোতল এবং বাস্তব প্রজেক্টিভ প্লেন-কে তিনটি মাত্রায় এম্বেড করা যায় না, তবে চারটি মাত্রায় এম্বেড করা যেতে পারে। সাধারণত, বীজগণিতের টপোলজির ফলাফল বৈশ্বিক, বহুগুণগুলোর সাদৃশ্যের দিকে আলোকপাত করে; উদাহরণস্বরূপ পয়েনকেয়ার দ্বৈততা।   নট তত্ত্ব   নট তত্ত্ব হল গাণিতিক গিঁটের বিষয়ে অধ্যয়ন। দৈনন্দিন জীবনে জুতার ফিতা এবং দড়িতে প্রদর্শিত গিঁটগুলো থেকে অনুপ্রাণিত হলেও, একজন গণিতজ্ঞের আলোচিত গিঁট কিছুটা ভিন্ন হয়ে থাকে, যেমন এদের প্রান্তগুলো এমনভাবে সংযুক্ত থাকে যাতে এটিকে পূর্বাবস্থায় ফেরানো যায় না। সুনির্দিষ্ট গাণিতিক ভাষায়, একটি গিঁট হল ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি বৃত্তের এমবেডিং, . দুটি গাণিতিক গিঁট সমান হয় যদি একটিকে বিকৃতির মাধ্যমে নিজের উপরেই অন্যটিতে রূপান্তরিত করা যায়  (একটি পরিবেষ্টিত আইসোটোপি হিসাবে পরিচিত); এই রূপান্তরগুলো একটি গিঁটযুক্ত স্ট্রিংয়ের ম্যানিপুলেশনের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যা স্ট্রিংটি কাটা বা স্ট্রিংটিকে নিজের মাধ্যমে পাস করা, এ ধরনের ঘটনার সাথে জড়িত নয়।   কমপ্লেক্স  থাম্ব|200x200পিক্সেল| একটি সিমপ্লিসিয়াল 3-কমপ্লেক্স। সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স হল একটি নির্দিষ্ট ধরণের টপোলজিক্যাল স্পেস, যা বিন্দু, রেখার অংশ, ত্রিভুজ এবং তাদের এন -ডাইমেনশনাল কাউন্টারপার্টসকে একসাথে যুক্ত করে নির্মিত হয় (চিত্র দেখুন)। আধুনিক সরল হোমোটোপি তত্ত্বে বর্ণিত একটি সিমপ্লিসিয়াল সেটের অন্যান্য বিমূর্ত ধারণার সাথে সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সগুলোকে মিলিয়ে ফেলা উচিত নয়। একটি সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সের পূর্ণরূপে সমন্বিত প্রতিরূপ হল একটি বিমূর্ত সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স।  CW কমপ্লেক্স হল এক ধরনের টপোলজিকাল স্পেস যা জেএইচসি হোয়াইটহেড হোমোটোপি তত্ত্বের প্রয়োজনে প্রবর্তন করেছেণ। স্পেসগুলির এই শ্রেণিটি বিস্তৃত এবং সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সের তুলনায় বেশ কিছু ভাল শ্রেণীগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, কিন্তু তারপরও এটি একটি সমন্বিত বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে যা গণনা করার সুযোগ দেয় (প্রায়শই অনেক ছোট কমপ্লেক্সের সাথে)।   বীজগাণিতিক পরিবর্তনের পদ্ধতি  এই বিষয়টিকে পূর্বে কম্বিনেটরিয়াল টপোলজি বলা হতো, যেখানে আলোচনা করা হয় যে একটি এক্স স্পেস কীভাবে সরল স্পেস থেকে তৈরি করা যায় . (এই ধরনের নির্মাণের জন্য আধুনিক মানক সরঞ্জাম হল CW কমপ্লেক্স )। ১৯২০ এবং ১৯৩০-এর দশকে, বীজগাণিতিক গ্রুপগুলো থেকে তাদের সাদৃশ্যের সন্ধান করে টপোলজিকাল স্পেস নিয়ে গবেষণার উপর ক্রমবর্ধমান জোর দেওয়া হয়েছিল, যার ফলে এটির নাম পরিবর্তন করে বীজগাণিতিক টপোলজি রাখা হয়। . কম্বিনেটরিয়াল টপোলজি নামটি এখনও কখনও কখনও স্থানগুলোর বিকারের উপর ভিত্তি করে একটি অ্যালগরিদমিক পদ্ধতির উপর গুরুত্ব আরোপ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। .  বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে, কেউ একজন স্পেস এবং গ্রুপের মধ্যে একটি সাদৃশ্য খুঁজে পায় যা স্থানগুলোর হোমোমরফিজম (বা আরও সাধারণ অর্থে হোমোটোপি ) এর সম্পর্ককে গুরুত্ব দেয়। এটি টপোলজিকাল স্পেস সম্পর্কে বিবৃতিগুলোকে গ্রুপগুলোর বিবৃতিগুলোতে পুনঃস্থাপন করে ফেলে, যেগুলোর অনেকগুলোর আবার পরিচালনাযোগ্য কাঠামো রয়েছে, যা প্রায়শই এই বিবৃতিগুলোকে প্রমাণ করা সহজ করে তোলে। দুটি প্রধান উপায়ে এটি করা যেতে পারে তা হল মৌলিক গ্রুপগুলোর মাধ্যমে, বা আরও সাধারণভাবে হোমোটোপি তত্ত্ব, এবং হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপের মাধ্যমে। মৌলিক গ্রুপগুলো আমাদের টপোলজিকাল স্পেসের গঠন সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য দেয়, তবে এগুলো প্রায়শই ননবেলিয়ান হয় এবং এগুলো নিয়ে কাজ করাও কিছুটা কঠিন। একটি (সীমিত) সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সের মৌলিক গ্রুপের একটি সসীম উপস্থাপনা থাকা সম্ভব।  অন্যদিকে, হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপগুলো, আবেলিয়ান এবং অনেক গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে সসীমভাবে তৈরি করা যায়। চূড়ান্তভাবে তৈরি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপগুলো সম্পূর্ণরূপে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় এবং এগুলো নিয়ে কাজ করা বেশ সহজ।   বিভাগ তত্ত্বে সেট করা  সাধারণভাবে বীজগাণিতিক টপোলজির সকল গঠনই কার্যকারী । বিভাগ, চালক এবং প্রাকৃতিক রূপান্তরের ধারণা এখানে উদ্ভূত হয়েছে। মৌলিক গ্রুপ, হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপগুলো কেবল অন্তর্নিহিত টপোলজিকাল স্পেসের পরিবর্তন নয়, বরং এই অর্থে যে দুটি টপোলজিকাল স্পেস হোমোমরফিক গ্রুপে রয়েছে, তাদের সম্পর্কিত মরফিজমগুলোতেও মিল রয়েছে - স্পেসগুলোর একটি ক্রমাগত ম্যাপিং এর মাধ্যমে গ্রুপ হোমোমরফিজম তৈরি হয়। সংশ্লিষ্ট গ্রুপ, এবং এই হোমোমরফিজমগুলো ম্যাপিংয়ের অ-অস্তিত্ব (বা, আরও গভীরভাবে, অস্তিত্ব) দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।  বিভিন্ন ধরনের কোহোমোলজি নিয়ে কাজ করা প্রথম গণিতবিদদের একজন ছিলেন জর্জেস ডি রহ্যাম। বহুগুণে সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলোর সমাধানযোগ্যতা বের করতে যে কেউ ডি রহ্যাম কোহোমোলজি বা চেক বা শেফ কোহোমোলজির মাধ্যমে মসৃণ বহুগুণগুলোর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করতে পারেন। ডি রহ্যাম দেখিয়েছিলেন যে এই ধরনের পদ্ধতিগুলো পরস্পরের সাথে সম্পর্কিত ছিল এবং একটি বন্ধ, ভিত্তিক বহুগুণের জন্য, সরল হোমোলজির মাধ্যমে প্রাপ্ত বেটি সংখ্যাগুলো আসলে একই বেটি সংখ্যা ছিল যেগুলো ডি রাম কোহোমোলজির মাধ্যমে পাওয়া যায়। এটি ১৯৫০ এর দশকে আরও প্রসারিত হয়, যখন স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং নরম্যান স্টেনরড এই পদ্ধতির সাধারণীকরণ করেছিলেন। তারা হোমোলজি এবং কোহোমোলজিকে একটি নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিতে প্রাকৃতিক রূপান্তর এর মাধ্যমে সজ্জিত চালক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন (যেমন, শূন্যস্থানের একটি দুর্বল সমতা হোমোলজি গ্রুপগুলোর একটি আইসোমরফিজমের দিকে অগ্রসর হয়), এটি যাচাই করে যে সমস্ত বিদ্যমান (কো) হোমোলজি তত্ত্বগুলো এই স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বগুলোকে সন্তুষ্ট করে এবং প্রমাণ করে যে এই ধরনের একটি স্বতঃসিদ্ধকরণ ওই তত্ত্বটিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করতে সক্ষম।   প্রয়োগ  বীজগাণিতিক টপোলজির সর্বোত্তম কিছু প্রয়োগ:   ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য : ইউনিট n -ডিস্ক থেকে প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু আছে।  একটি সরল কমপ্লেক্সের n তম হোমোলজি গ্রুপের মুক্ত র্যাঙ্ক হল n তম বেটি সংখ্যা, যার মাধ্যমে অয়লার-পয়নকেয়ার বৈশিষ্ট্য গণনা করা যায়।  কোন প্রশ্নে বহুগুণে সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলোর সমাধানযোগ্যতা অনুসন্ধান করতে ডি রহ্যাম কোহোমোলজি বা চেক বা শেফ কোহোমোলজির মাধ্যমে মসৃণ বহুগুণগুলোর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করা যায়।  একটি মেনিফোল্ড প্রাচ্যযোগ্য হয় যখন শীর্ষ-মাত্রিক অখণ্ড হোমোলজি গ্রুপটি পূর্ণসংখ্যার হয় এবং যখন এটি ০ হয় তখন অমুখী হয়।  n-স্ফেয়ার একটি কোথাও-বিলুপ্ত না হওয়া অবিচ্ছিন্ন একক ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্বীকার করে যদি এবং শুধুমাত্র n বিজোড় হয়। (এর জন্য n = 2, এটিকে কখনও কখনও "হেয়ারি বল উপপাদ্য"ও বলা হয়।)  বোরসুক-উলাম উপপাদ্য : n -sphere থেকে ইউক্লিডিয়ান n -space পর্যন্ত যেকোন একটানা মানচিত্র অন্তত এক জোড়া অ্যান্টিপোডাল বিন্দুকে চিহ্নিত করে।  একটি ফ্রি গ্রুপের যে কোনো উপগোষ্ঠী একটি ফ্রি গ্রুপ। এই ফলাফলটি বেশ আকর্ষণীয়, কারণ বিবৃতিটি সম্পূর্ণরূপে বীজগাণিতিক তবে এর সবচেয়ে সহজ পরিচিত এবং প্রমাণ হল টপোলজিক্যাল। যেমন, যেকোনো মুক্ত গ্রুপ G একটি গ্রাফ X এর মৌলিক গ্রুপ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। স্পেস কভার করার প্রধান উপপাদ্য আমাদের বলে যে G- এর প্রতিটি সাবগ্রুপ H হল X এর কিছু আচ্ছাদিত স্থান Y- এর মৌলিক গ্রুপ; কিন্তু এই ধরনের প্রতিটি Y আবার একটি গ্রাফ। অতএব, এর মৌলিক গ্রুপ H একটি মুক্ত গ্রুপ। অন্যদিকে, এই ধরনের প্রয়োগকে গ্রুপোয়েডের কভারিং মরফিজম ব্যবহার করে আরও সহজভাবে পরিচালনা করা হয়, এবং এই কৌশলটি বীজগাণিতিক টপোলজি পদ্ধতি দিয়ে এখনও প্রমাণিত হয়নি এমন উপগোষ্ঠী উপপাদ্যগুলো তৈরি করেছে;  দেখুন।  টপোলজিক্যাল কম্বিনেটরিক্স।   উল্লেখযোগ্য মানুষ    গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য    আরও দেখুন    মন্তব্য    তথ্যসূত্র    (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).  .   (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).  . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."  .  . "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."   This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.    . A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.  . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.    .       আরও পড়ুন    and .     Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.  বিষয়শ্রেণী:বীজগাণিতিক টপোলজি