此条目的主題是流体动力学。其他意义的欧拉方程，請見「**欧拉方程**」。
在流體動力學中，**歐拉方程**是一組支配無黏性流體運動的方程，以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導項的纳维-斯托克斯方程。歷史上，只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為"歐拉方程"。

跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法："守恆形式"及"非守恆形式"。守恆形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程，或假設流速的散度為零。

本條目假設經典力學適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程。

歷史
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第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程及連續性方程，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程，第三條方程後來被稱為絕熱條件。

在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量。

守恆形式（分量）
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以下是用微分形式寫成的歐拉方程：

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}
其中

* *ρ*為流體的質量密度；
* **u** 為流體速度向量，分量為*u*、*v*及*w*；
* *E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )*為每一單位容量所含的總能量，其中*e*為流體每一單位容量所含的內能；
* *p*為壓力；
* *\otimes*代表張量積。

第二條方程包含了一并矢積的散度，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：

{\partial (\rho u\_{j}) \over \partial t}+\sum \_{{i=1}}^{3}{\partial (\rho u\_{i}u\_{j}) \over \partial x\_{i}}+{\partial p \over \partial x\_{j}}=0,
其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量：*( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )*及*( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )*。

注意以上方程是用守恆形式的，而守恆形式強調的是方程的物理起因（因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示：

{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}
但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。

守恆形式（向量）
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以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程：

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} \_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} \_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} \_{z}}{\partial z}}=0,}
其中

{\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}
{\displaystyle {\mathbf {f} \_{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} \_{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} \_{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}
在這個形式下，不難看出**f***x*、**f***y*及**f***z*是通量。

以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程；最常用的是理想氣體定律（即*p = ρ (γ−1) e*，其中*ρ*為密度，*γ*為絕熱指數，*e*為內能）。

注意能量方程的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程。附加含*p*的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。

取流線上歐拉方程的積分，假設密度不變，及狀態方程具有足夠的剛性，可得有名的伯努利定律。

非守恆形式（通量雅可比矩陣）
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在構建數值解，例如求雷曼問題的近似解的時候，展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程，展開其通量可得非守恆形式如下：

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} \_{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} \_{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} \_{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}
其中**A***x*、**A***y*及**A***z*為通量雅可比矩陣，各矩陣為：

{\displaystyle \mathbf {A} \_{x}={\frac {\partial \mathbf {f} \_{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} \_{y}={\frac {\partial \mathbf {f} \_{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} \_{z}={\frac {\partial \mathbf {f} \_{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}
上式中這些通量雅可比矩陣**A***x*、**A***y*及**A***z*，還是狀態向量**m**的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量**m**平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。

### 理想氣體的通量雅可比矩陣

將理想氣體定律用作狀態方程，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下：

| 理想氣體的通量雅可比矩陣 |
| --- |
| *x*方向的通量雅可比矩陣：

{\displaystyle \mathbf {A} \_{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}
*y*方向的通量雅可比矩陣：
{\displaystyle \mathbf {A} \_{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}
*z*方向的通量雅可比矩陣：
{\displaystyle \mathbf {A} \_{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}
其中{\hat {\gamma }}=\gamma -1. |

總焓*H*為：

H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},
及聲速*a*為：

a={\sqrt {{\frac {\gamma p}{\rho }}}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.
### 線性化形式

將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態***m*** = ***m***0的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程如下：

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} \_{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} \_{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} \_{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}
其中**A***x,0* 、**A***y,0*及**A***z,0*分別為**A***x*、**A***y*及**A***z*於某參考狀態***m*** = ***m***0的值。

### 線性化一維的非耦合波方程

如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話，歐拉方程可被變換成非耦合波方程。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程：

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} \_{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}
矩陣**A***x,0*可被對角化，即可將其分解成：

{\mathbf {A}}\_{{x,0}}={\mathbf {P}}{\mathbf {\Lambda }}{\mathbf {P}}^{{-1}},
{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} \_{1},\mathbf {r} \_{2},\mathbf {r} \_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}
{\mathbf {\Lambda }}={\begin{bmatrix}\lambda \_{1}&0&0\\0&\lambda \_{2}&0\\0&0&\lambda \_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.
上式中，**r***1*、**r***2*及**r***3*為矩陣**A***x,0*的右特徵向量（若Ax\_{R}=\lambda \_{R}x\_{R},\ ，則*x\_R*為右特徵向量），而*λ1*、*λ2*及*λ3*則為對應的特徵值。

設特徵變量為：

{\mathbf {w}}={\mathbf {P}}^{{-1}}{\mathbf {m}},
由於**A***x,0*不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程，乘上**P**−1後可得：

{\frac {\partial {\mathbf {w}}}{\partial t}}+{\mathbf {\Lambda }}{\frac {\partial {\mathbf {w}}}{\partial x}}=0
經過這樣的處理後，方程實際上已經被非耦合化，而且可被視作三條波方程，其中特徵值為波速。變量*w*i為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

衝擊波
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歐拉方程為非線性雙曲方程，而它們的通解為波。与海浪一樣，由歐拉方程所描述的波碎掉後，所謂的衝擊波就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰，如果要從方程上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件，在流動的物理量中避開不連續點"跳躍"，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學及火箭推進。

一維中的方程
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在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程會用到黎曼的特徵線法。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即*x*及*t*）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程（PDE）會退化成常微分方程（ODE）。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。

注釋
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1. ↑  Anderson, John David.. New York, NY: McGraw-Hill. 2010  [2022-07-21]. ISBN 978-0-07-001685-9. OCLC 711810200. （原始内容存档于2022-07-21） （英语）.
2. ↑  Christodoulou, Demetrios.. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-06-18, **44** (4). ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0 （英语）.
3. ↑  見Toro (1999)

資料來源及延伸閱讀
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* Batchelor, G. K.. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.
* Thompson, Philip A.. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055.
* Toro, E.F.. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.

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* 论
* 编
莱昂哈德·欧拉 |
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* 歐拉-拉格朗日方程
* 歐拉-洛特卡方程（英语：）
* 欧拉-麦克劳林求和公式
* 欧拉-丸山法
* 歐拉-馬斯刻若尼常數
* 歐拉-泊松-達布方程（英语：）
* 歐拉-羅德里格斯公式（英语：）
* 欧拉-特里科米方程
* 歐拉連分數公式（英语：）
* 欧拉临界负载
* 欧拉公式
* 欧拉四平方和恒等式
* 欧拉恒等式
* 歐拉泵和渦輪方程（英语：）
* 欧拉旋转定理
* 欧拉猜想
* 欧拉定理 (数论)
* 欧拉方程 (流体动力学)
* 歐拉函數 (複變函數)
* 欧拉方法
* 欧拉数
* 欧拉数 (物理学)
* 欧拉-伯努力栋梁方程
* 以他命名的事物（英语：）

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