**文数**或**文數**是指像14641这样"对称"的数，即：将这数的位数反轉排列得到的「倒序數」或「反序數」和原数一样。这裡，"回文"是指像"妈妈爱我，我爱妈妈"这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如

* 回文素数：2、3、5、7、11、101、131、151、…OEIS A002385
* 回文完全平方数：0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、…OEIS A002779

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》（）把回文数也叫做**沙拉扎数**（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何進位制都有无限个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接*n*个0再后接一个1）等各项在任何進制都是回文数，可组成有无限项的序列，这進制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

正式定义
----

虽然通常考虑十进制回文数，但**回文性**质可延伸到任何记数系统的自然数。以*b*（*b*≥2）为底的数*n*（*n*＞0）可按标准方式表示为*k*＋1个数a\_{i}，即

n=\sum \_{{i=0}}^{k}a\_{i}b^{i}
其中，如惯例，对所有*i* 都要求0\leq a\_{i}\leq b，且a\_{k}\neq 0。则*n*称为回文数，当且仅当对所有*i* 都有{\displaystyle a\_{i}=a\_{k-i}}。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基*b*，当且仅当：

* *n*是一位数，或
* *n*为两位相同数字，或
* *n*由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从*n*中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数*n*称为回文。

十进制
---

10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝
三位回文数有90个：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝
四位回文数也有90个：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝
小于104的回文数共199个，小于105的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10n来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS數列A070199）个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 1010 |
| *n*为自然数 | 10 | 19 | 109 | 199 | 1099 | 1999 | 10999 | 19999 | 109999 | 199999 |
| *n*为偶数 | 5 | 9 | 49 | 89 | 489 | 889 | 4889 | 8889 | 48889 | 88889 |
| *n*为奇数 | 5 | 10 | 60 | 110 | 610 | 1110 | 6110 | 11110 | 61110 | 111110 |
| *n*为完全平方数 | 3 | 6 | 13 | 14 | 19 | ＋ | ＋ |
| *n*为素数 | 4 | 5 | 20 | 113 | 781 | 5953 |
| *n*为因数中不含平方数的数 | 6 | 12 | 67 | 120 | 675 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为可被某平方数整除的数（即μ(*n*)＝0） | 3 | 6 | 41 | 78 | 423 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为素数的平方数 | 2 | 3 | 5 |
| *n*有偶数个相异的素因子（即μ(*n*)＝1） | 2 | 6 | 35 | 56 | 324 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*有奇数个相异的素因子（即μ(*n*)＝－1） | 5 | 7 | 33 | 65 | 352 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*本身为偶数并有奇数个素因子 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| *n*本身为偶数并有奇数个相异的素因子 | 1 | 2 | 9 | 21 | 100 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*本身为奇数并有奇数个素因子 | 0 | 1 | 12 | 37 | 204 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*本身为奇数并有奇数个相异的素因子 | 0 | 0 | 4 | 24 | 139 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 | 1 | 2 | 11 | 15 | 98 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 | 1 | 4 | 24 | 41 | 226 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为奇数并有正好两个素因子 | 1 | 4 | 25 | 39 | 205 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为偶数并有正好两个素因子 | 2 | 3 | 11 | 64 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为偶数并有正好三个素因子 | 1 | 3 | 14 | 24 | 122 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为偶数并有正好三个相异的素因子 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| *n*为奇数并有正好三个素因子 | 0 | 1 | 12 | 34 | 173 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为卡迈克尔数 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
| *n*为满足σ(*n*)是回文数的数 | 6 | 10 | 47 | 114 | 688 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |

其它基数
----

十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…
以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS數列A006995）。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像1646110＝404D16（下标数字表示基数，*n*16表示以十六进制写出的*n*）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为"协回文"，copalindromic），如10510在五套不同進制都是回文数：12214＝1518＝7714＝5520＝3334；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

* 73＝ 111
* 74＝ 777
* 76＝ 12321
* 79＝1367631

任何数*n*在所有*b*≥*n*＋1的基数*b*都是回文（这时*n*是单位数）；在基为*n*－1时同样也是回文数（这时*n*就成了11*n*－1）。如果對於2≤*b*≤*n*－2，某数在基*b*都是非回文数，则称其是**严格非回文数**（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS數列A016038）。

参见
--

* 利克瑞尔数（）
* 回文
* 回文素数

參考文獻
----

1. 1 2  徐连信.. 清华大学出版社. 2005.

外部链接
----

* Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的（页面存档备份，存于）
* 196及其它利克瑞尔数（页面存档备份，存于）
* 10萬以下的回文数（页面存档备份，存于）来自Ask Dr. Math