斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的S\_z為上旋，另一道銀原子束的S\_z為下旋。在這裏，S\_z是可觀察量。
在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為**可觀察量**（）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述
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### 本徵態

假設，物理量O是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符\hat{O}，可能有很多不同的本徵值O\_i與對應的本徵態|e\_i\rang，這些本徵態|e\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n，形成了具有正交歸一性的基底：

\lang e\_i |e\_j\rang=\delta\_{ij}；
其中，\delta \_{ij}是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態|\psi \rangle ，都可以用這基底的本徵態表示為

|\psi\rang=\sum\_i \ c\_i|e\_i\rang ；
其中，c\_i=\lang e\_i |\psi \rang是複係數，是在量子態|e\_i\rang裏找到量子態|\psi \rangle 的機率幅。

假設，量子態|\psi \rangle 等於這些本徵態之中的一個本徵態|e\_{k}\rangle ，則對於這量子系統，測量可觀察量O，得到的結果必定等與本徵值O\_{k}，機率為1，量子態|\psi \rangle 是「確定態」。

### 統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為

|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}|e\_{i}\rangle 。
測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符\hat{O}的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態|e\_i\rang，則改變為這本徵態的機率為p\_{i}=|c\_{i}|^{2}，測量結果是本徵值O\_i，得到這本徵值的機率也為p\_{i}。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態|e\_i\rang。

將算符\hat{O}作用於量子態|\psi \rangle ，會形成新量子態|\phi \rangle ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}{\hat {O}}|e\_{i}\rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}O\_{i}|e\_{i}\rangle 。
從左邊乘以量子態\langle \psi |，經過一番運算，可以得到

\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}O\_{i}\langle \psi |e\_{i}\rangle =\sum \_{i}\ |c\_{i}|^{2}O\_{i}=\sum \_{i}\ p\_{i}O\_{i}。
所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量O的期望值：

\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{i}\ p\_{i}O\_{i}。
### 厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量O的期望值是實數： 

\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{\*}。
對於任意量子態|\psi \rangle ，這關係都成立：

\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{\*}。
根據伴隨算符的定義，假設{\hat {O}}^{{\dagger }}是\hat{O}的伴隨算符，則\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{{\dagger }}|\psi \rangle 。因此，

{\hat {O}}={\hat {O}}^{{\dagger }}。
這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

不相容可觀察量
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假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：

[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0；
其中，{\hat {A}}、{\hat {B}}分別是可觀察量A、B的算符。

這兩種算符{\hat {A}}與{\hat {B}}絕對不會有共同的基底。一般而言，{\hat {A}}的本徵態與{\hat {B}}的本徵態不同假設量子系統的量子態為|\psi \rangle 。對於算符{\hat {A}}，所有本徵值為a\_{i}的本徵態|\alpha \_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n，形成一個基底。量子態|\psi \rangle 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}|\alpha \_{i}\rangle ；
其中，c\_{i}=\langle \alpha \_{i}|\psi \rangle 是複係數，是在量子態|\alpha \_{i}\rangle 裏找到量子態|\psi \rangle 的機率幅。

對於算符{\hat {B}}，所有本徵值為b\_{i}的本徵態|\beta \_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n，形成了另外一個基底。量子態|\psi \rangle 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

|\psi \rangle =\sum \_{i}\ d\_{i}|\beta \_{i}\rangle ；
其中，d\_{i}=\langle \beta \_{i}|\psi \rangle 是複係數，是在量子態|\beta \_{i}\rangle 裏找到量子態|\psi \rangle 的機率幅。

對於量子系統的可觀察量A做測量，可能得到的結果是各種本徵態|\alpha \_{i}\rangle 的本徵值a\_{i}，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為a\_{i}的機率是|c\_i|^2。

假設測量的結果是本徵值a\_{j}，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態|\alpha \_{j}\rangle 。假若立刻再測量可觀察量A，由於量子態仍舊是本徵態|\alpha \_{j}\rangle ，所得到的測量值是本徵值a\_{i}機率為1。假若立刻再對本徵態|\alpha \_{j}\rangle 測量可觀察量B，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值b\_{k}，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態|\beta \_{k}\rangle 。

根據不確定性原理，

\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|。
設定\chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|。假設，A與B是兩個不相容可觀察量，則\chi >0。而A的不確定性與B的不確定性的乘積\Delta A\ \Delta B，必定大於或等於\chi。

實例
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為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

### 位置與動量

位置x，動量p都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

\langle x\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi ^{\*}x\psi \ dx=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ (x\psi )^{\*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{\*}，
\langle p\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi ^{\*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{\*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{\*}。
### 角動量

在三維空間裏，角動量算符的x-分量{\hat {L}}\_{x}是厄米算符。因為

\langle L\_{x}\rangle ^{\*}=\langle yp\_{z}-zp\_{y}\rangle ^{\*}=\langle yp\_{z}-zp\_{y}\rangle =\langle L\_{x}\rangle ；
其中，y與z分別是位置的y-分量與z-分量，p\_{y}與p\_z分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量{\hat {L}}\_{y}也是厄米算符。

參閱
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* 位置算符
* 動量算符
* 角動量算符
* 哈密頓算符

註釋
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1. ↑  通常這句話成立，但也存在有例外。思考氫原子的角量子數為零（{\displaystyle \ell =0\ }）的量子態，它是L\_{x}、L\_{y}、L\_{z}的本徵態，本徵值都為零，而這三個自伴算符都互不對易，它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。

參考文獻
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1. 1 2 3 4  Griffiths, David J. Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
2. 1 2 3  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim,  2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
3. ↑  A. P. French, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)