**数列**（英語：）是由数字組成的序列，也就是以正整數系為定義域，值域包含於某數系的函数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究，而级数本身更是一種特殊的数列。

数列是特殊的序列，全部由数字组成。序列则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成，但有的微积分教材會用序列一词来称呼数列，读者需要自己留意。

正式定義
----

考慮到最一般的數為複數，可以作如下的定義：

**數列的定義** — 一個 {\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {C} } 的函數被稱為**無窮數列**，可記為 {\displaystyle {\left\{a\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 、 {\displaystyle {\left\langle a\_{i}\right\rangle }\_{i\in \mathbb {N} }} 或 {\displaystyle {\left(a\_{i}\right)}\_{i\in \mathbb {N} }} ，而 {\displaystyle a(i)} 會被簡記為 {\displaystyle a\_{i}} 。

若 {\displaystyle I\_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}} ，則一個 {\displaystyle a:I\_{n}\to \mathbb {C} } 的函數被稱為**有限數列**，可記為 {\displaystyle {\left\{a\_{k}\right\}}\_{k=1}^{n}} 、 {\displaystyle {\left\langle a\_{k}\right\rangle }\_{k=1}^{n}} 或 {\displaystyle {\left(a\_{k}\right)}\_{k=1}^{n}} 。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

{\displaystyle \left\langle a\_{k}\right\rangle \_{k=1}^{n}=\left\langle a\_{1},\,a\_{2},\,a\_{3},\,\cdots ,\,a\_{n}\right\rangle }
以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。{\displaystyle a\_{1}} 为数列的「第一项」、{\displaystyle a\_{2}} 为「第二项」，以此類推。{\displaystyle n} 被稱為有限數列的**項數**。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 {\displaystyle \left\langle a\_{k}\right\rangle \_{k=0}^{n}} ，換句話說，把 {\displaystyle 0 } 加入數列的定義域，並以第零項 {\displaystyle a\_{0}} 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 {\displaystyle 0 } 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 {\displaystyle a\_{1}} 。

數列中各個項的和稱為「級數」，換句話說

**級數的定義** — 對於 {\displaystyle {\left\{a\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} ，根據集合論的公理和數學歸納法，存在唯一的無窮數列 {\displaystyle {\left\{s\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 滿足：

* {\displaystyle s\_{0}=a\_{0}}
* 對所有的 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 有 {\displaystyle s\_{n+1}=s\_{n}+a\_{n}}

{\displaystyle {\left\{s\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 稱為 {\displaystyle {\left\{a\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 的**級數**。

一般會將 {\displaystyle {\left\{s\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 寫為 {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{i}} ，甚至更直觀的 {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}+\cdots +a\_{n}} 來凸顯級數源於＂求和＂的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函数級數（英语：）。

分類
--

### 單調性

* 若對所有 *n* ∈ **Z**+ ，*a**n*+1 ≥ *a**n*  ，则称数列 ⟨*a**k*⟩ 为「**递增数列**」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「**嚴格遞增數列**」。
* 若對所有 *n* ∈ **Z**+ ，*a**n*+1 ≤ *a**n*  ，则称数列 ⟨*a**k*⟩ 为「**递减数列**」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「**嚴格遞减數列**」。
* 若對所有 *n* ∈ **Z**+ ，*a**n*+1 = *a**n*  ，则称数列 ⟨*a**k*⟩ 为「**常数数列**」。

### 有限性

* 若數列 {\displaystyle \left\langle a\_{k}\right\rangle \_{k=1}^{n}} 的项数有限，則 ⟨*a**k*⟩ 为「**有限数列**」。
* 若數列 {\displaystyle \left\langle a\_{k}\right\rangle \_{k=1}^{\infty }} 的项数无限，則 ⟨*a**k*⟩ 为「**无穷数列**」。

### 有界性

* 若對所有 *n* ∈ **Z**+ ，*M* ≤ *a**n* ≤ *N*  ，则称数列 ⟨*a**k*⟩ 为「**有界数列**」。 *M* 稱為「下界」， *N* 稱為「上界」。
* 若對數列 ⟨*a**k*⟩ ，上述的 *M* 、 *N* 不存在，则称数列 ⟨*a**k*⟩ 为「無界数列」。

極限與數列
-----

**收斂性**是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為**收斂數列**，否則稱為**發散數列**。

簡單的說，一個數列\{x\_{n}\}有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近L（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值L，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 {\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{n}}} 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 {\displaystyle a\_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}}時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}。

### 收斂正式定義

我們說一個實數的數列\{a\_{n}\}收斂到實數L，如果有對任意的\epsilon >0 ，存在一個正整數N\in \mathbb{N} ，使得對所有的n\geq N，有{\displaystyle |a\_{n}-L|<\epsilon }。

重要的特殊数列
-------

* 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots 。
这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于2,9999与9997的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为d，但是d可为0。
若設首項a\_{1}=a，則等差數列的通項公式為a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d。
* 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为"质数相关数列"。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。
由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。
* 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots 。
这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2^{198}与2^{197}的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为r。
若設首項a\_{1}=a，則等比數列的通項公式為a\_{n}=ar^{n-1}。
* 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

以數學符號表示，即a\_{1}=a\_{2}=1，且對於n\geq 3，a\_{n}=a\_{n-1}+a\_{n-2}。
斐波那契数列的通项公式為a\_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]。
* 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

* 正负相间：(-1)^{n}或(-1)^{n-1}

* 隔项有零：{\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]或{\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]

数列的求和
-----

条目：求和符号
通常对第1项到第n项求和，记为{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}}。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数n的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

通项公式的求解
-------

条目：递回关系式
通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。没有一种解法是通用的。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

### 数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

### 逐差全加

给定数列差d\_{n}时逐差全加，例如：

a\_{1}=1，d\_{n}=a\_{n}-a\_{n-1}=2n, 求a\_{n}
a\_{n}=a\_{1}+\sum \_{k=2}^{n}d\_{k}=n^{2}+n-1
### 逐商全乘

给定数列比r\_{n}时逐差全乘，例如：

a\_{1}=1，r\_{n}={\frac {a\_{n}}{a\_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}，求a\_{n}
a\_{n}=a\_{1}\prod \_{k=2}^{n}r\_{k}=n
### 从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由S\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}a\_{n}可知S\_{n}-S\_{n-1}=a\_{n}

把S\_{n}看成一个数列，可以先对S\_{n}进行求解，然后得出a\_{n}。

### 换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

### 不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知Aa\_{n+1}+Ba\_{n}+C=0，其中A、B、C都是常数，求a\_{n}。  

求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

* 如果A\neq -B，那么这个式子就可以化成下面的形式：

A(a\_{n+1}+k)=-B(a\_{n}+k)。  

求出k，那么数列{a\_{n}+k}就是一个等比数列，从而求出通项公式。  

* 如果A=-B，这个递推关系就不能化为等比数列。如果A=-B，那么它就是等差数列。另外，当A=B的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
* 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

Aa\_{n+1}+Ba\_{n}+C=0  

Aa\_{n}+Ba\_{n-1}+C=0  

两边相减就有：A(a\_{n+1}-a\_{n})+B(a\_{n}-a\_{n-1})=0，如此就化成了一个等比数列。  

已知Aa\_{n+1}+Ba\_{n}+Ca\_{n-1}+D=0,其中A、B、C、D都为常数，求a\_{n}；  

与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：  

{\displaystyle Aa\_{n+1}+Ea\_{n}=k(Aa\_{n}+Ea\_{n-1})-D}  

求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列{Aa\_{n}+Ea\_{n-1}}的通项公式，然后求出a\_{n}的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。  

### 其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

在其他數學領域的使用
----------

### 拓樸

### 分析

### 線性代數

### 抽象代數

参见
--

* 整数数列线上大全 (OEIS)

参考资料
----

1. ↑  谭杰锋; 郑爱武.. 清华大学出版社; 北京交通大學出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中国大陆））. 。