**克萊姆法則**或**克拉瑪公式**（英語：）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

基本方程
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一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

Ax = c\, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)
其中的A是一个n\times n的方塊矩陣，而向量 x=( x\_1, x\_2, \cdots x\_n )^T 是一个长度为**n**的行向量(中國大陸為列向量）。c=( c\_1, c\_2, \cdots c\_n )^T 也一样。

克莱姆法则说明：如果A是一个可逆矩陣（ \det{A} \neq 0 ），那么方程(1)有解 x=( x\_1, x\_2, \cdots x\_n )^T，其中

x\_i = { \det(A\_i) \over \det(A)} (1)

当中x\_{i}是列向量x的第*i行*（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中A\_{i}是列向量c取代了A的第*i列*后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用\Delta 來表示\det(A)，用\Delta\_i來表示\det(A\_i)。所以等式(1)可以寫成為：

x\_i = { \Delta\_i \over \Delta }\,。

抽象方程
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更多：餘因子矩陣
設R為一個環，A就是一個包含*R*的系數的n\times n矩陣。所以：

{\displaystyle \mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}
當中{\displaystyle \det(A)}就是*A*的行列式，以及I就是單位矩陣。

證明概要
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对于n元线性方程组
Ax=c

把系数矩阵 {\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}} 表示成行向量的形式

A=\left(u\_{1},u\_{2},\cdots ,u\_{n}\right)

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解x^{\*}=A^{{-1}}c.

设x^{\*}=(x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n})^{T}，即

Ax^{\*}=\sum \_{{k=1}}^{n}x\_{k}u\_{k}=c

考虑\Delta\_i的值，利用行列式的線性和交替性質，有

{\begin{aligned}\Delta \_{i}&=det\left(\cdots ,u\_{{i-1}},c,u\_{{i+1}},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u\_{{i-1}},\sum \_{{k=1}}^{n}x\_{k}u\_{k},u\_{{i+1}},\cdots \right)\\&=\sum \_{{k=1}}^{n}x\_{k}\cdot det\left(\cdots ,u\_{{i-1}},u\_{k},u\_{{i+1}},\cdots \right)\\&=x\_{i}\cdot det\left(\cdots ,u\_{{i-1}},u\_{i},u\_{{i+1}},\cdots \right)\\&=x\_{i}\Delta \end{aligned}}

于是

x\_{i}={\frac {\Delta \_{i}}{\Delta }}

例子
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运用**克萊姆法則**可以很有效地解決以下方程组。

已知：

ax + by = {\color{red}e}\,
cx + dy = {\color{red}f}\,
使用矩陣來表示時就是：

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}
当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
以及
y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}
用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

ax + by + cz = {\color{red}j}\,
dx + ey + fz = {\color{red}k}\,
gx + hy + iz = {\color{red}l}\,
當中的矩陣表示為：

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}
当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }、   y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }   以及   z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }
### 微分幾何上的應用

**克萊姆法則**在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式F(x, y, u, v) = 0\,和G(x, y, u, v) = 0\,。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義x = X(u, v)\,和y = Y(u, v)\,。

找出一條等式適合\partial x/\partial u是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算F、G、x和y的導數：

dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv
將dx和dy代入{\displaystyle dF}和{\displaystyle dG}，可得出：

dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0
因為u和v互不相关，所以du和dv的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}
現在用克萊姆法則就可得到：

\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}
用類似的方法就可以找到\frac{\partial x}{\partial v}、\frac{\partial y}{\partial u}以及\frac{\partial y}{\partial v}。

### 基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

### 線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点
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克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个n阶线性方程组时，所需乘法次数为{\displaystyle (n+1)!} 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要{\displaystyle 26!}（即4.03×1026）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

參考文獻
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1. ↑  张宏伟，金光日，施吉林，董波 (编).  2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955.

{\displaystyle }

外部链接
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* Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
* Systems Solver

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