**巴拿赫不动点定理**，又称为**压缩映射定理**或**压缩映射原理**，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

定理
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设(*X*, *d*)为非空的完备度量空间。设*T* : *X* → *X*为*X*上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数*q* < 1，使得对于所有*X*内的*x*和*y*，都有：

d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)
那么映射*T*在*X*内有且只有一个不动点*x*\*（这就是说，*Tx*\* = *x*\*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从*X*内的任意一个元素*x*0开始，定义一个迭代序列*x**n* = *Tx**n*-1，其中*n* = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为*x*\*。以下的不等式描述了收敛的速率：

d(x^\*, x\_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x\_1,x\_0).
等价地：

d(x^\*, x\_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x\_{n+1},x\_n)
且

d(x^\*, x\_{n+1}) \leq q d(x\_n,x^\*).
满足以上不等式的最小的*q*有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的*x*和*y*都有d(*Tx*, *Ty*) < d(*x*, *y*)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射*T* : [1,∞) → [1,∞)，*T*(*x*) = *x* + 1/*x*，就没有不动点。但是，如果空间*X*是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义*X*，使*T*把元素从*X*映射到*X*，即*Tx*总是*X*的一个元素。

证明
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选择任何x\_0 \in (X, d)。如果{\displaystyle Tx\_{0}=x\_{0}}，则不必证明；以下设{\displaystyle x\_{1}=Tx\_{0}\neq x\_{0}}。对于每一个{\displaystyle n\in \{2,\ldots \}}，定义x\_n = Tx\_{n-1}\,\!。我们声称对于所有的n \in \{1, 2, \dots\}，以下等式都成立：

d(x\_{n+1}, x\_n) \leq q^n d(x\_1, x\_0)。
我们用数学归纳法来证明。对于n = 1\,\!的情况，命题是成立的，这是因为：

d(x\_{1+1}, x\_1) = d(x\_2, x\_1) = d(Tx\_1, Tx\_0) \leq qd(x\_1, x\_0)。
假设命题对于某个k \in \{1, 2, \ldots\}是成立的。那么，我们有：

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| d(x\_{(k + 1) + 1}, x\_{k + 1})\,\! | = d(x\_{k + 2}, x\_{k + 1})\,\! |
|  | = d(Tx\_{k + 1}, Tx\_k)\,\! |
|  | \leq q d(x\_{k + 1}, x\_k) |
|  | \leq q \cdot q^kd(x\_1, x\_0) |
|  | = q^{k + 1}d(x\_1, x\_0)\,\!。 |

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的n \in \{1, 2, \ldots\}，以上的命题都成立。

设\epsilon > 0\,\!。由于0 \leq q < 1，我们便可以找出一个较大的N \in \{1, 2, \ldots\}，使得：

q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x\_1, x\_0)}。
利用以上的命题，我们便有对于任何m\,\!，n \in \{0, 1, \ldots\}以及m > n \geq N，都有：

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| d\left(x\_m, x\_n\right) | \leq d(x\_m, x\_{m-1}) + d(x\_{m-1}, x\_{m-2}) + \cdots + d(x\_{n+1}, x\_n) |
|  | \leq q^{m-1}d(x\_1, x\_0) + q^{m-2}d(x\_1, x\_0) + \cdots + q^nd(x\_1, x\_0) |
|  | = d(x\_1, x\_0)q^n \cdot \sum\_{k=0}^{m-n-1} q^k |
|  | < d(x\_1, x\_0)q^n \cdot \sum\_{k=0}^\infty q^k |
|  | = d(x\_1, x\_0)q^n \frac{1}{1-q} |
|  | = q^n \frac{d(x\_1, x\_0)}{1-q} |
|  | < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x\_1, x\_0)}\cdot\frac{d(x\_1, x\_0)}{1-q} |
|  | = \epsilon\,\!。 |

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中0 \leq q < 1，因此它收敛。以上表明\{x\_n\}\_{n\geq 0}是(X, d)\,\!内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设x^\* = \lim\_{n\to\infty} x\_n。我们作出两个声明：第一，x^\*\,\!是T\,\!的一个不动点，也就是说，Tx^\* = x^\*\,\!；第二，x^\*\,\!是T\,\!在(X, d)\,\!中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的n \in \{0, 1, \ldots\}，都有：

0 \leq d(x\_{n+1}, Tx^\*) = d(Tx\_n, Tx^\*) \leq q d(x\_n, x^\*)。
由于当n \to \infty时，qd(x\_n, x^\*) \to 0，因此根据夹挤定理，可知\lim\_{n\to\infty} d(x\_{n+1}, Tx^\*) = 0。这表明当n \to \infty时，x\_n \to Tx^\*。但当n \to \infty时，x\_n \to x^\*，且极限是唯一的；因此，一定是x^\* = Tx^\*\,\!的情况。

为了证明第二个命题，我们假设y\,\!也满足Ty = y\,\!。那么：

0 \leq d(x^\*, y) = d(Tx^\*, Ty) \leq q d(x^\*, y)。
由于0 \leq q < 1，因此上式意味着0 \leq (1-q) d(x^\*, y) \leq 0，这表明d(x^\*, y) = 0\,\!，于是根据正定性，x^\* = y\,\!，定理得证。

逆定理
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巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设f:X\rightarrow X为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代*f*n都有一个唯一的不动点。设*q*为一个实数，0 < q < 1。那么存在*X*上的一个完备度量，使得*f*是压缩映射，且*q*是压缩常数。

推广
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一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

* 为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。
* 首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
* 其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
* 那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
* 又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。
* 事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)\*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。
* 现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。
* 根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

参考文献
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* Vasile I. Istratescu, *Fixed Point Theory, An Introduction*, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
* Andrzej Granas and James Dugundji, *Fixed Point Theory* (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
* Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A.. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2.
* William A. Kirk and Brailey Sims, *Handbook of Metric Fixed Point Theory* (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
* Bourbawiki[永久]上巴拿赫不动点定理的证明