**格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔**（德語：，1845年3月3日—1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家（波羅的海德國人）。他创立了现代集合论，是實數系以至整个微积分理论体系的基础，還提出了势和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了"無限的無窮" 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。

康托爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康托爾的理論，是在挑戰神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質。康托爾自 1869年任職於德國哈勒大學直到 1918年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑鬱症一直再發的病因，被歸咎於當代學界的敵對態度，儘管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病徵。他所受到的嚴厲攻擊，與後來的讚譽相匹配：在 1904年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數學研究者的最高榮譽。

在康托尔死後數十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術界指責「集合論是假借通過數學而有害處的方言」的氛圍，他認為那是「可笑」和「錯誤」的「完全無稽之談」。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」（原文另譯：我們屏息敬畏地自知在康托所鋪展的天堂裡，不會遭逢被驅逐出境的。）

生平
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### 青年時期

1870年左右的康托尔
康托尔1845年出生于俄国圣彼得堡的商人殖民地，並在城裡生活直到他十一歲，他父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。他是六個孩子中最年長的一個，被認為是一位傑出的小提琴手。他的祖父弗蘭茲伯姆（Franz Böhm, 1788-1846，小提琴家約瑟夫·伯姆的兄弟）是俄羅斯帝國管弦樂團的著名音樂家和獨奏家。康托爾的父親曾是聖彼得堡證券交易所的成員；當他生病時，為了尋求比聖彼得堡更溫和的冬天，於 1856年他们全家先遷移到了德國的威斯巴登，然後到了法蘭克福。1860年康托爾從達姆施塔特的Realschule區中學畢業；他在數學方面的學業成績優異，尤其是三角學。1862年康托爾進入瑞士聯邦理工學院。在1863年6月他父親去世後，他繼承了豐厚的財產；康托爾將他的學業轉移到柏林大學，研習卡尔·魏尔施特拉斯、利奥波德·克罗内克和恩斯特·库默尔的課程。1866年夏天他在哥廷根大學度過了一段時間。格奧爾格·康托爾是一個好學生，在 1867年于柏林大学获得了博士学位。

### 任教及研究生涯

康托爾於1867年在柏林大學提交了關於數論的論文。在柏林女子學校短暫講授後，康托爾在哈勒大學任職並在那度過了他整個的職業生涯，在 1869年他任職時所提出的數論論文，因而取得了特许任教资格。1874年康托爾與 Vally Guttmann結婚，在他們度過哈爾茨山脈的蜜月期間，康托爾花了很多時間與理查德·戴德金討論數學，兩人結識是因他兩年前的瑞士度假時而遇到戴德金。他們育有六個孩子，1886年出生的魯道夫是他們最小的孩子。儘管他任教職的薪酬很低，但康托爾能負擔這人口眾多的家庭生計支出，要歸功於他父親的優渥遺產。康托爾在 1872年升任副教授，並在他三十四歲時(1879年)就成為教授，是一個顯著的功名；但康托爾希望在德國柏林更有聲望的領先大學中，擔任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反對，每當康托爾在柏林申請更高階的職位，他都被拒絕了。通常是因當時克羅內克有異議的關係，使其所望難以實現。所以康托爾相信因為克羅內克的反對立場，會讓他無法離開哈勒。1881年康托爾的同事愛德華海涅去世，產生了一個主席空缺。哈勒大學採納康托爾的提議，將主席此一職位依序提供給戴德金、安里西·韋伯或是弗朗茨·梅滕斯 這三位，但他們全都拒絕了；這個職位最終任命給 Friedrich Heinrich Albert Wangerin，但他從來沒有接近過康托爾。1882年康托爾和戴德金之間通信聯繫的數學關係告一段落，顯然是由於戴德金拒絕了哈勒大學的主席一職。

在 1884年5月康托爾遭受了自身抑鬱症的第一次發作。對他工作的批評讓他頭腦昏沉：他在 1884年寫給 米塔·列夫勒 的52封信，每封信中都提到克羅內克，其中一段內文揭漏了他自信心所受到的殘害：

> ......我不知道何時會回到崗位上繼續我的研究。此刻我無能為力，並將我自己限制在論文中最必要的責任上；如果我心智精神能有新鮮的感覺，我能比較快樂地參與學界的活動。
> 
> 

此後康托爾康復，隨後作出了進一步的重要貢獻，包括他的對角論證和定理。1889年康托爾成立了德國數學學會，並於 1891年在哈勒大學主持了首次會議，在那裡他首先介紹了他發明的對角線論證法；儘管克羅內克反對他的工作，但此時他的聲譽已足夠強大到確保當選，為這個學術社群的第一任主席。他最終撇開了克羅內克對他的敵意，並尋求與克羅內克的和解，康托爾邀請他在會上發言，但克羅內克卻因為妻子因當時的滑雪事故中死亡而無法出席。而即使克羅內克在 1891年 12月 29日去世之後，康托爾也再達不到其於 1874-84年發表論文的卓越水準。分裂它們的哲學分歧和困難依舊存在。康托爾在 1897年在瑞士蘇黎世舉行的第一屆國際數學家大會中也發揮了重要作用。

### 晚年時期

康托尔的后半生受到精神疾病的严重影响工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测，他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗蘭西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无限即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大學的精神病院。

數學領域上的成就
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康托爾在 1874至1884 這十年間的研究成果，是集合論的起源。在此之前追溯已往到亞里斯多德時代，數學領域中的集合，從最初就隱含地使用了相當原始的集合概念。沒有人意識到集合這個概念中，有任何未深入研討的內容。在康托爾之前的集合概念，只區分為一般人直覺上容易理解的有限集合，而所謂的"無窮"集合被認為是哲學而非數學研討的命題。康托爾證明無窮集合存在著許多可能的大小，而擴展了數學領域中對於集合概念，其真實涵義的研討。

集合論已經發揮了現代數學基礎理論的作用，因為它明確定義並解釋了，幾乎所有的傳統數學領域（如代數，分析和拓撲）中的數學對象（例如數系和函數）的命題；根據康托爾所建立起的這一套集合理論，提供了標準的公理來證明或反證它們。因此集合論的基本概念，現在被應用在整個數學領域中。在他最早的一篇論文中，康托爾證明了實數系集合和自然數集合，在大小比較上實數系要"多更多了"；這首次表明即使兩個元素都是無窮的集合，在大小上仍然會存在有不同的組合；他也是第一個理解集合論中的一對一對應關係（以下稱為"一一對應關係"）的重要性的人。他用這種概念來定義有限和無窮集合，將後者再區分為可數的（或可數無窮）以及 非可數的無窮集合。

康托爾發展了拓撲中的重要概念，其與基數的關係。例如，他表明康托尔集不是密集的，而與實數系集合一樣具有相同的基數，而有理數的集合是密集而且可數的。他還表明了線性稠密可數的、而沒有終點的序，和有理數集合是同構的。康托爾介紹了集合論的基本結構，如A集合的冪集，是對於A集合其中所有元素，各種組合而構成的一個子集。他後來證明了即使 A屬於無窮集合， A的冪集大小，也將會是嚴格大於 A的大小，這個結果很快就被稱為康托爾定理。康托爾發展了整套的集合論和無窮集合的算術，稱為基數和序數，它擴充了自然數的算術。他對基數的標記符號是希伯來文 {\displaystyle \aleph }與自然數下標；對於標示序的符號他採用了希臘字母 ω。這個符號表示法目前數學界仍在使用。

康托爾的連續統假說是 1900年巴黎數學家國際會議，大衛·希爾伯特提出23個尚無證明命題的第一個。康托爾的研究成果也吸引了其它人的關注。美國哲學家皮尔士讚揚他的集合論；而在 1897年蘇黎世舉行的第一屆國際數學家會，康托爾發表的公開講座之後，Hurwitz 和阿达马也都表示了欽佩。在那次大會上康托爾重新與戴德金交換了友誼和信件。自 1905年起康托爾與英國翻譯家菲利普朱爾丹就集合論的歷史，和康托爾的宗教思想，進行了對談，這些對談後來集成出版為康托爾的講述作品。

  

### 數論，三角級數和序數

康托爾的前十篇論文題目是關於數論。在哈勒大學教授愛德華海涅的建議下，康托轉向分析。海涅提出了困惑著約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷、鲁道夫·利普希茨、波恩哈德·黎曼和海涅自己的問題：如何呈現三角级数的建構函數的唯一性質？康托爾在 1869年解決了這個難題，而在研究這個三角級數唯一定理的時候，他發現了超限序數，出現在對於三角級數的集合*S*，其下標為*n*的第*n*個索引的導出集合 *S**n*之中。

1870 至 1872年之間康托爾發表了更多關於三角函數的論文，並且還將無理數定義為有理數的收斂序列。戴德金引用了這篇論文，並在他的論文中首次提出了戴德金切割的實數定義。即使康托爾革命性地以無限基數的概念來擴大集合概念的同時，他卻自相矛盾地反對同期數學分析學者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的無限小理論；康托爾還發表了一個錯誤的"證明"，試圖證明無窮小量的不一致性。

### 集合論

一个使用對角論證法证明不可数集存在性的例子。 底部的序列并不包含在上面的无穷个序列中。
#### 一一对应和對角線證明方法

康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是"一样大"的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于 1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及 n维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序定理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。

#### 连续统假设

参见：连续统假设
康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。

#### 絕對無限的，有序的定理和悖論

哲學，宗教和康托爾的數學
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参见
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* 朴素集合论
* 康托尔集合
* 康托尔定理
* 康托尔悖论
* 配对函数
* 良序定理

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* 论
* 编
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| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
	+ 拓撲維數
* 递归
* 自相似

 | An image of a fern which exhibits affine self-similarity.Barnsley fern（英语：） |
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| 迭代函数系统 | 
* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
* 科赫雪花
* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
* 
* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

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| 奇異吸子 | 
* 多重分形系統（英语：）

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| L系統 | 
* 分形灌木（英语：）
* H树
* 空間填充曲線（英语：）

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|  |
| 逃逸時間分形 | 
* 曼德博集合
* 朱利亚集合
	+ 朱利亚填充集合（英语：）
* 李亞普諾夫分形（英语：）
* 牛頓分形（英语：）
* 燃燒巨輪分形（英语：）
* 三角帽分形（英语：）

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| 渲染技术 | 
* 佛像分形
* 轨迹陷阱（英语：）
* Pickover 杆（英语：）

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|  |
| 隨機分形 | 
* 布朗运动
	+ 布朗樹（英语：）
	+ 布朗馬達
* 分形地形（英语：）
* 擴散限制凝聚（英语：）
* 萊維飛行（英语：）
* 曼德尔盒（英语：）
* 曼德尔球
* 渗流理论
* 自避行走

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| 學者 | 
* 格奥尔格·康托尔
* 费利克斯·豪斯多夫
* 加斯東·朱利亞（英语：）
* 海里格·馮·科赫
* 保羅·皮埃爾·萊維
* 亞歷山大·李亞普諾夫
* 本華·曼德博
* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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| 其他相關 | 
* 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》
	+ 海岸線悖論（英语：）
* 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：）
* 《分形之美（英语：）》 (1986)
* 分形艺术（英语：）
* 《混沌学传奇（英语：）》 (1987)
* 《大自然的分形几何学》 (1982)
* 分形压缩
* 仿射变换

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| * 
* 论
* 编
西尔维斯特奖章获得者 |
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| 1900年代 | 
* 1901年：儒勒·昂利·庞加莱
* 1904年：格奥尔格·康托尔
* 1907年：威廉·维廷格（英语：）

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| 1910年代 | 
* 1910年：亨利·弗雷德里克·贝克
* 1913年：詹姆斯·维特布莱德·李·格莱舍
* 1916年：讓·加斯東·達布
* 1919年：珀西·亚历山大·麦克马洪（英语：）

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| 1920年代 | 
* 1922年：图利奥·列维-齐维塔
* 1925年：阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德
* 1928年：威廉·亨利·扬（英语：）

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| 1930年代 | 
* 1931年：埃德蒙·泰勒·惠特克
* 1934年：伯特兰·罗素
* 1937年：奥古斯塔斯·乐甫

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| 1940年代 | 
* 1940年：戈弗雷·哈罗德·哈代
* 1943年：約翰·恩瑟·李特爾伍德
* 1946年：喬治·奈維爾·沃森
* 1949年：路易斯·乔尔·莫德尔（英语：）

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| 1950年代 | 
* 1952年：阿布拉姆·萨莫伊洛维奇·别西科维奇
* 1955年：爱德华·查尔斯·蒂奇马什（英语：）
* 1958年：马克斯·纽曼（英语：）

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| 1960年代 | 
* 1961年：菲利浦·霍爾
* 1964年：玛丽·卡特赖特（英语：）
* 1967年：哈罗德·达文波特（英语：）

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| 1970年代 | 
* 1970年：乔治·弗雷德里克·詹姆斯·坦普尔（英语：）
* 1973年：约翰·威廉·斯科特·卡斯尔斯（英语：）
* 1976年：戴维·乔治·肯德尔（英语：）
* 1979年：格雷厄姆·希格曼（英语：）

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| 1980年代 | 
* 1982年：约翰·弗兰克·亚当斯（英语：）
* 1985年：約翰·格里格斯·湯普森
* 1988年：查尔斯·特伦斯·克莱格·沃尔（英语：）

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| 1990年代 | 
* 1991年：克勞斯·羅特
* 1994年：彼得·惠特尔（英语：）
* 1997年：哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特

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| 2000年代 | 
* 2000年：奈杰尔·希钦
* 2003年：里纳特·卡尔松
* 2006年：彼得·斯温纳顿-戴尔（英语：）
* 2009年：约翰·麦克劳德·鲍尔（英语：）

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| 2010年代 | 
* 2010年：Graeme Segal（英语：）
* 2012年：约翰·弗朗西斯·托兰（英语：）
* 2014年：本·格林（英语：）
* 2016年：蒂莫西·高爾斯

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| Category:西尔维斯特奖章获得者 |

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1. ↑  这与康托尔 1891 年论文的第一部分密切相关