刻上真空場方程式的紀念硬幣。
**愛因斯坦場方程**（英語：）是由阿爾伯特·愛因斯坦於1915年在廣義相對論中提出。場方程定義引力為一種幾何效應，而時空的曲率則是取決於物質的能量-動量張量。也就是說，如同牛頓的萬有引力定律中質量作為引力的來源，亦即有質量就可以產生吸引力，但牛頓的萬有引力定律將引力描述成瞬時傳播的力，而愛因斯坦認為並不存在所謂的"引力"，他從諧和座標的弱場近似得出弱力場的傳递速度為光速，而且場方程只要通過近似手段，如弱場、靜態、空間緩變，就能推出牛頓近似。

愛因斯坦重力場方程是用來計算動量與能量所造成的時空曲率，再搭配測地線方程，就可以求出物體在重力場中的運動軌跡。這個想法與電磁學的想法是類似的：當我們知道了空間中的電荷與電流(電磁場的來源)是如何分布的，藉由馬克士威方程組，我們可以計算出電場與磁場，再藉由勞倫茲力方程，即可求出帶電粒子在電磁場中的軌跡。

僅在一些簡化的假設下，例如：假設時空是球對稱，此方程組才具有精確解。這些精確解常常被用來模擬許多宇宙中的重力現象，像是黑洞、膨脹宇宙、重力波。如著名的史瓦西解

數學形式
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### 愛因斯坦重力場方程式

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g\_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}T\_{\mu \nu }}
其中

* {\displaystyle G\_{\mu \nu }\,}稱為愛因斯坦張量，
* {\displaystyle R\_{\mu \nu }\,}是從黎曼張量縮併而成的里奇張量，代表曲率項；
* {\displaystyle R\,}是從里奇張量縮併而成的純量曲率(或曲率標量)；
* {\displaystyle g\_{\mu \nu }\,}是從(3+1)維時空的度規張量；
* {\displaystyle T\_{\mu \nu }\,}是能量-動量-應力張量，
* {\displaystyle G\,}是牛頓重力常數，
* {\displaystyle c\,}是真空中光速。

愛因斯坦場方程是一組含有若干4階對稱張量的張量方程。每一個張量都有10個獨立的分量。由於4個畢安基恒等式，我們可以將10個愛因斯坦場方程式減少至6個獨立的方程組。這導致了度規張量*gμν*有4個自由度，與座標選取的4個自由度是對應的。

雖然愛因斯坦場方程一開始是一個應用在四維時空的理論，但是一些理論學家嘗試將它應用在探索n維時空上。真空中的場方程(當方程式右邊的T張量等於零)定義了愛因斯坦流形。

儘管愛因斯坦方程的形式看起來很簡單，實際上他們是一組複雜的二阶非線性微分方程。只要給定一個質量與能量分布，亦即能量-動量張量，愛因斯坦場方程就變成一個度規張量*gμν*的微分方程。

一般我們藉由定義愛因斯坦張量( 一個對稱的與度規*gμν*有關的二階張量)
： {\displaystyle G\_{\mu \nu }=R\_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g\_{\mu \nu },}
來將愛因斯坦場方程寫成一個更加簡單的形式： 

{\displaystyle G\_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T\_{\mu \nu }.}。

若使用幾何化單位制或稱自然單位制，則*G* = *c* = 1，場方程因此簡化為：

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=8\pi T\_{\mu \nu }\,.}

如果是使用相對論中的幾何化單位制（有理化的幾何化單位制），則場方程為：

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=2T\_{\mu \nu }\,.}

### 等價形式

經愛因斯坦方程組兩邊同乘以*gμν*：

{\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,}
其中D是時空維度。

兩邊再同除以{\displaystyle {\frac {D}{2}}-1}：

{\displaystyle -R+{\frac {D\Lambda }{({\tfrac {D}{2}}-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{{\tfrac {D}{2}}-1}}\,.}

兩邊再同乘−1/2*gμν*：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g\_{\mu \nu }}{{\tfrac {D}{2}}-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T\_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g\_{\mu \nu }\right).\,}

一般情況下，D=4：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-\Lambda g\_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}\left(T\_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g\_{\mu \nu }\right).\,}

愛因斯坦場方程式的性質
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### 能量與動量守恆

場方程式的一個重要結果是遵守局域的（local）能量與動量守恆，透過應力-能量張量（代表能量密度、動量密度以及應力）可寫出：

{\displaystyle \nabla \_{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}\_{;\nu }=0}
場方程式左邊（彎曲幾何部份）因為和場方程式右邊（物質狀態部份）僅成比例關係，物質狀態部份所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部份也有相似的數學結果。透過微分比安基恒等式，以描述時空曲率的里奇張量{\displaystyle R^{\mu \nu }\,}（以及張量縮併後的里奇純量{\displaystyle R\equiv R\_{\mu }^{\mu }\,}）之代數關係所設計出來的愛因斯坦張量{\displaystyle G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R}可以滿足這項要求：

{\displaystyle \nabla \_{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}\_{;\nu }=0}
### 場方程式為非線性的

愛因斯坦場方程式的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來說，電磁學的麦克斯韦方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定谔方程，對於機率波函數也是線性的。

### 對應原理

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程式退化為牛頓重力定律。事實上，場方程式中的比例常數是經過這兩個近似，以跟牛頓重力理論做連結後所得出。

添加宇宙常數項
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愛因斯坦為了使宇宙能呈現為靜態宇宙（不動態變化的宇宙，既不膨脹也不收縮），在後來又嘗試加入了一個常數{\displaystyle \Lambda \,}相關的項{\displaystyle \Lambda g\_{\mu \nu }\,}於場方程式中，使得場方程式形式變為：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg\_{\mu \nu }+\Lambda g\_{\mu \nu }=\kappa T\_{\mu \nu }}
可以注意到{\displaystyle \Lambda g\_{\mu \nu }\,}這一項正比於度規張量，而維持住守恆律：

{\displaystyle \nabla \_{\nu }(\Lambda g\_{\mu \nu })=\Lambda \nabla \_{\nu }(g\_{\mu \nu })=0}
此一常數{\displaystyle \Lambda }被稱為宇宙常數。

這個嘗試後來因為兩個原因而顯得不正確且多此一舉：

1. 此一理論所描述的靜態宇宙是不穩定的。
2. 十年後，由愛德溫·哈伯對於遠處星系所作觀測的結果證實我們的宇宙正在膨脹，而非靜態。

因此，{\displaystyle \Lambda }項在之後被捨棄掉，且愛因斯坦稱之為「一生中最大的錯誤」("biggest blunder [he] ever made")。之後許多年，學界普遍設宇宙常數為0。

儘管最初愛因斯坦引入宇宙常數項的動機有誤，將這樣的項放入場方程式中並不會導致任何的不一致性。事實上，近年來天文學研究技術上的進步發現，要是存在不為零的{\displaystyle \Lambda }確實可以解釋一些觀測結果。

愛因斯坦當初將宇宙常數視為一個獨立參數，不過宇宙常數項可以透過代數運算移動到場方程式的另一邊，而將這一項寫成應力-能量張量的一部分：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g\_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}\left(T\_{\mu \nu }-{\frac {c^{4}\Lambda g\_{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)}
剛才提到的項即可定義為：

{\displaystyle T\_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g\_{\mu \nu }}{8\pi G}}}
而另外又可以定義常數

{\displaystyle \rho \_{\mathrm {vac} }\equiv {\frac {c^{2}\Lambda }{8\pi G}}}
為「真空能量」密度。宇宙常數的存在等同於非零真空能量的存在；這些名詞前在廣義相對論中常交替使用。也就是說可以將{\displaystyle T\_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g\_{\mu \nu }}{8\pi G}}}看成和{\displaystyle T\_{\mu \nu }\,}是一樣類型的量，只是{\displaystyle T\_{\mu \nu }\,}的來源是物質與輻射，而{\displaystyle -{\frac {c^{4}\Lambda g\_{\mu \nu }}{8\pi G}}}的來源則是真空能量。物質、輻射與真空能量三者在物理宇宙學中扮演要角。

真空場方程式
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### 宇宙常數為零

若能量-動量張量{\displaystyle T\_{\mu \nu }}在所關注的區域中為零，則場方程式被稱作真空場方程式。在完整的場方程式中設定{\displaystyle T\_{\mu \nu }=0}，則真空場方程式可寫為：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }={1 \over 2}g\_{\mu \nu }R\ }
對此式做張量縮併，亦即使指標μ跟ν相同：

{\displaystyle R\equiv R\_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }R\_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }{1 \over 2}g\_{\mu \nu }R}
由於{\displaystyle g^{\mu \nu }g\_{\mu \nu }=\delta \_{\mu }^{\mu }}，整理可得：

{\displaystyle R=\delta \_{\mu }^{\mu }{1 \over 2}R}
而克羅內克爾δ在四維空間（時空）下取跡數為4，所以式子可寫作：

{\displaystyle R=4\cdot {1 \over 2}R=2R}
是故{\displaystyle R=0\,}。

因此可以得到此一更常見、等價的跡數反轉（trace-reversed）式：

{\displaystyle R\_{\mu \nu }=0\ }
### 宇宙常數不為零

若宇宙常數不為零，則方程式為

{\displaystyle R\_{\mu \nu }={1 \over 2}g\_{\mu \nu }R-\Lambda g\_{\mu \nu },\ }
若同上面宇宙常數為零的例子，其跡數反轉（trace-reversed）形式為

{\displaystyle R\_{\mu \nu }=\Lambda g\_{\mu \nu }\ }
真空場方程式的解顧名思義稱作真空解。平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解範例。不尋常的真空解範例包括了史瓦西解與克爾解。

附帶一提的是：微分幾何中，里奇張量為零（即：{\displaystyle R\_{\mu \nu }=0}）的流形稱作里奇平坦流形，另外里奇張量與度規成比例關係的流形，稱為愛因斯坦流形（Einstein manifold）。

愛因斯坦-麦克斯韦方程
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参见：弯曲时空中的麦克斯韦方程组
如果方程組右邊的能量-動量張量等於電磁學中的能量-動量張量，也就是

{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F\_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F\_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}
則此方程組稱為「 愛因斯坦-麦克斯韦方程」：

{\displaystyle R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu \_{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F\_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F\_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}
其中{\displaystyle F\_{\alpha \beta }}稱為電磁張量，定義如下：

{\displaystyle F\_{\alpha \beta }=A\_{\alpha ;\beta }-A\_{\beta ;\alpha }=A\_{\alpha ,\beta }-A\_{\beta ,\alpha }\!}
其中{\displaystyle A\_{\alpha }}是4-向量勢，分號代表協變微分，逗號代表偏微分。

參見
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* 爱因斯坦-希尔伯特作用量
* 廣義相對論

參考文獻
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1. ↑  Einstein, Albert.. *Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin*. November 25, 1915: 844–847  [2006-09-12]. （原始内容存档于2016-10-27）.
2. ↑  Einstein, A.. Annalen der Physik. 1916, **354** (7)  [2022-10-15]. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. （原始内容存档于2022-11-23） （德语）.
3. ↑  西恩·卡罗尔（英语：）.. 2004: 151–159. ISBN 0-8053-8732-3 （英语）.
4. ↑  Gamow, George.  [我的世界线：一份非正式自传]. Viking Adult. 1970-04-28  [2007-03-14]. ISBN 0670503762. （原始内容存档于2019-05-16） （英语）.
5. ↑  Wahl, Nicolle.. 2005-11-22  [2007-03-14]. （原始内容存档于2007-03-07）.
6. ↑  Turner, Michael S.. International Journal of Modern Physics A. 2002-10, **17** (supp01)  [2022-10-15]. ISSN 0217-751X. arXiv:astro-ph/0202008 可免费查阅. doi:10.1142/S0217751X02013113. （原始内容存档于2022-10-17） （英语）.

* Amir D. Aczel.. Delta Science. 1999 （英语）.
* Misner, Charles; Thorne, Thorne; Wheeler, John.  [重力论（英语：）]. W. H. Freeman. 1973.


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* 论
* 编
相对论 |
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| 狭义相对论 | 

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| 背景 | 
* 相对性原理
* 狭义相对论入门

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| 基礎 | 
* 相對運動
* 参考系
* 光速
* 馬克士威方程組

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| 公式化 | 
* 伽利略变换
* 洛伦兹变换

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| 結果 | 
* 時間膨脹
* 狹義相對論中的質量
* 質能等價
* 长度收缩
* 相對同時
* 相對論性多普勒效應
* 湯馬斯進動
* 特勒尔旋转

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| 时空 | 
* 閔可夫斯基時空
* 世界线
* 闵可夫斯基图
* 光锥

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| 廣義相對論 | 

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| 背景 | 
* 廣義相對論入門
* 廣義相對論中的數學

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* 狭义相对论
* 等效原理
* 马赫原理
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* 引力透镜
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* 線性化重力
* 參數化後牛頓重力形式
* 爱因斯坦场方程
* 測地線方程
* 弗里德曼方程
* ADM質量
* BSSN形式（英语：）
* 哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

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* 史瓦西度規
* 凱斯納度規（英语：）
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* 哥德爾度規（英语：）克爾度規
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* 米尔恩模型
* 弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规
* pp時空波（英语：）
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| 科學家 | 
* 阿尔伯特·爱因斯坦
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* 论
* 编
廣義相對論 |
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| 入門 · 數學表述 · 验证 |
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| 基礎概念 | 狭义相对论 · 等效原理 · 马赫原理 · 广义相对性原理 · 世界线 · 黎曼几何 |
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| 现象 | 引力時間膨脹 · 引力时间延迟 · 重力紅移 · 引力透镜 · 开普勒问题 · 重力磁性 · 参考系拖拽 · 测地线效应 · 冷澤-提爾苓進動 · 重力波 · 黑洞 · 引力奇点 · 事件視界 |
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| 方程 | 線性化重力 · 後牛頓形式論 · 爱因斯坦场方程 · 弗里德曼方程 · 哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程 · 雷乔杜里方程 · 厄恩斯特方程 |
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| 進階理論 | 卡魯扎-克萊因理論 · 量子引力 |
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| 精确解 | 史瓦西度規 · 卡斯納度規（英语：） · 克爾度規 · 克尔-纽曼度规 · 萊斯納-諾德斯特洛姆度規  · 弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规 · 米爾恩模型 |
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| 近似解与数值模拟 | 数值相对论 |
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| * 
* 论
* 编
阿尔伯特·爱因斯坦 |
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| 貢獻 | 
* 狭义相对论
* 廣義相對論
* 質能轉換公式（E=mc2）
* 布朗运动
* 光电效应
* 爱因斯坦系数
* 爱因斯坦模型
* 等效原理
* + 爱因斯坦张量
* 愛因斯坦半徑（英语：）
* 爱因斯坦关系
* 宇宙學常數
* 玻色–爱因斯坦凝聚
* 玻色–爱因斯坦统计
* 玻色–爱因斯坦相关（英语：）
* 愛因斯坦-嘉當理論
* 愛因斯坦-英費爾德-霍夫曼方程（英语：）
* 爱因斯坦-德哈斯效应
* 愛波羅
* -愛因斯坦之爭
* 遠距平行性（英语：）
* 愛因斯坦的思想實驗（英语：）
* 愛因斯坦的失敗研究（英语：）
* 波粒二象性
* 
* 茶叶悖论
* 爱因斯坦求和约定
* 愛因斯坦同步法
* 爱因斯坦-希尔伯特作用量

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| 著作 | 
* 《奇蹟年論文》（1905）
* 《論動體的電動力學》（1905）
* 《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮粒子的運動（英语：）》（1905）
* 《相對論入門:狹義和廣義相對論（英语：）》（1916）
* 《相对论的意义》（1922）
* 《我的世界觀（英语：）》（1934）
* 《》（1938）
* 《为什么要社会主义？》（1949）
* 《罗素—爱因斯坦宣言》（1955）

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| 獎項 | 
* 阿尔伯特·爱因斯坦奖
* 阿爾伯特·愛因斯坦獎章
* 卡林加獎（英语：）
* 阿尔伯特·爱因斯坦和平奖
* 阿尔伯特·爱因斯坦世界科学奖
* 爱因斯坦奖（英语：）
* 爱因斯坦奖 (美国物理学会)

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| 家族 | 
* 波琳·科赫（母亲）
* 赫尔曼·爱因斯坦（父亲）
* 瑪雅·愛因斯坦（英语：）（妹妹）
* 米列娃·馬利奇（第一任妻子）
* 爱尔莎·爱因斯坦（第二任妻子及表姊）
* 麗瑟爾·愛因斯坦（英语：）（女兒）
* 汉斯·爱因斯坦（兒子）
* 愛德華·愛因斯坦（英语：）（兒子）
* 伯恩哈德·凯撒·爱因斯坦（孫子）
* 艾弗琳·爱因斯坦（養孫女）
* ·愛因斯坦（英语：）（表弟）
* 西格貝特·愛因斯坦（英语：）（遠房親戚）

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| 相關 | 
* 獎章與榮譽
* 爱因斯坦的大脑
* 美國故居（英语：）
* 雕像（英语：）
* 政治觀
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* 以阿爾伯特·愛因斯坦命名的事物（英语：）
* 阿爾伯特·愛因斯坦檔案館（英语：）
* 阿尔伯特·爱因斯坦广场
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* 爱因斯坦水槽
* 爱因斯坦望远镜
* 阿尔伯特·爱因斯坦研究所
* 愛因斯坦-西拉德信件
* 愛因斯坦與中國
* 大眾文化（英语：）
	+ 《世紀天才》（第一季，2017）

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