在数学中，**富比尼–施图迪度量**（）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 **CP***n*。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 

向量空间 **C***n*+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(*n*+1,**C**) 中一个酉子群 U(*n*+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(*n*+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，**CP***n* 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2*n*+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 **CP***n* 成为一个霍奇流形。

构造
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富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。

具体地，可以定义 **CP***n* 由 **C***n*+1 中复直线组成的空间，即 **C***n*+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 **C**\* = **C** \ {0} 的对角群作用下的商相同：

{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z\_{0},Z\_{1},\ldots ,Z\_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{\*}\}.}
这个商将 **C***n*+1 实现为底空间 **CP***n* 上的复线丛（事实上这就是 **CP***n* 上所谓的重言丛）。**CP***n* 中的一点等同于 (*n*+1)-元组 [*Z*0,...*Z**n*] 模去非零复缩放的一个等价类；这些 *Z**i* 称为这个点的齐次坐标。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 *z* = *R* *e*iθ 可以惟一地想成一个以模长 *R* 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 \theta  的复合，商 **C***n*+1→**CP***n* 分成两块。

{\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}
其中第 (a) 步以正实数乘法群 **R**+ 的缩放 **Z** ~ *R***Z**，这里 *R* ∈**R**+，作商；步骤 (b) 是关于旋转 **Z** ~ *e*iθ**Z** 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |**Z**|2 = |*Z*0|2 + ... + |*Z**n*|2 = 1 所定义的实超球面 *S*2*n*+1。第 (b) 步的商实现为 **CP***n* = *S*2*n*+1/*S*1，这里 *S*1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化*S*1 → *S*2*n*+1 → **CP***n*实现 ，纤维属于 {\displaystyle S^{2n+1}} 中的大圆。

### 作为度量商

当取一个黎曼流形（或一般的度量空间）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如，如果群 *G* 作用在黎曼流形 (*X*,*g*)上，则为了是轨道空间 *X*/*G* 拥有一个诱导度量，g 沿着 *G*-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 *h* ∈ *G* 以及一对向量场 X,Y 必须有 *g*(*Xh*,*Yh*) = *g*(*X*,*Y*)。

'*C**n*+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为

{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ\_{0}\otimes d{\overline {Z\_{0}}}+\cdots +dZ\_{n}\otimes d{\overline {Z\_{n}}}.\,}
它的实化是 **R**2*n* 上标准欧几里得度量。这个度量在 **C**\* 的作用下**没有**不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 **CP**n 中。但是，这个度量在旋转群 *S*1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。 

**富比尼–施图迪度量**是在商**CP***n* = *S*2*n*+1/*S*1 上诱导的度量, 其中 {\displaystyle S^{2n+1}} 带着所谓的"圆度量"，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

### 在局部仿射坐标中

对应于 **CP***n* 中具有齐次坐标(*Z*0,...*Z**n*) 的一点，只要 *Z*0 ≠ 0，存在惟一 *n* 个坐标集合 (*z*1,…,*z**n*) 使得

{\displaystyle [Z\_{0},\dots ,Z\_{n}]\sim [1,z\_{1},\dots ,z\_{n}],}
特别地 *z**j* = *Z**j*/*Z*0。这个 (*z*1,…,*z**n*) 组成 **CP***n* 在坐标片 *U*0 = {*Z*0 ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 *U**i*={*Z**i*≠0} 上通过除以 *Z**i*，得到一个仿射坐标系。这 *n*+1 个坐标片 *U**i* 盖住了 **CP***n*，在 *U**i* 上可以利用仿射坐标系 (*z*1,…,*z**n*) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 **CP***n* 全纯切丛的一个标架 {\displaystyle \{\partial \_{1},\ldots ,\partial \_{n}\}}，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量

{\displaystyle h\_{ij}=h(\partial \_{i},\partial \_{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta \_{ij}-{\bar {z}}\_{i}z\_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.}
这里|**z**|2 = *z*12+...+*z**n*2。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是

{\displaystyle {\bigl (}h\_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z\_{1}|^{2}&-{\bar {z}}\_{1}z\_{2}&\cdots &-{\bar {z}}\_{1}z\_{n}\\-{\bar {z}}\_{2}z\_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z\_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}\_{2}z\_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}\_{n}z\_{1}&-{\bar {z}}\_{n}z\_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z\_{n}|^{2}\end{array}}\right]}
注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 {\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} } 不会改变这个矩阵。

对应地，线元素为

{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z\_{i}{\bar {z}}^{i})dz\_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z\_{i}dz\_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z\_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}}
在最后的表达式中，使用了爱因斯坦求和约定，拉丁字母指标 *i* 和 *j* 从 1 求到 *n*。

### 在齐次坐标中

在齐次坐标 **Z** = [*Z*0,...*Z**n*] 中也有相应的表达式。形式上，我们有

{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z\_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ\_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z\_{\alpha }dZ\_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z\_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z\_{[\alpha }dZ\_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z\_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}
上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 *n*，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

{\displaystyle Z\_{[\alpha }W\_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z\_{\alpha }W\_{\beta }-Z\_{\beta }W\_{\alpha }\right).}
现在，d*s*2 的这个表达式显然在重言丛 **C***n*+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 **CP***n* 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 **CP***n* 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。

差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

{\displaystyle \omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.}
其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|**Z**|2 是 **CP***n* 的凯勒数量。

### *n* = 1 情形

当 *n* = 1，有由球极投影给出的微分同胚 {\displaystyle S^{2}\cong \mathbb {CP} ^{1}}。这导致了特殊的霍普夫纤维化 *S*1→*S*3→*S*2。当在 **CP**1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 *S*2 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地，如果 *z* = *x* + i*y* 是黎曼球面 **CP**1 上标准仿射坐标卡，且*x*=*r*cosθ, *y* = *r*sinθ 是 **C** 上的极坐标，则一个简单的计算表明

{\displaystyle ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds\_{us}^{2}}
这里 {\displaystyle ds\_{us}^{2}} 是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 *r* tan(φ/2) = 1, tanθ = *y*/*x* 给出的 *S*2 "数学家的"球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。

曲率性质
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在 *n* = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 *R* 球面的数量曲率是 1/R^{2}）。但是，对 *n* > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出

{\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}
这里 {\displaystyle \{X,Y\}\in T\_{p}\mathbf {CP} ^{n}} 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，*J* : *T***CP***n* → *T***CP***n* 是 **CP***n* 上的复结构，而 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 是富比尼–施图迪度量。

这个公式的一个推论是任何 2-维平面 \sigma  的截面曲率满足 {\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 *J*(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 *J*(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 **CP***n* 成为一个（非严格的）四分之一拼挤流形（英语：）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 *n*-流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 *i*,*j* 我们有

{\displaystyle Ric\_{ij}=\lambda g\_{ij}.}
除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 
**CP***n* 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

量子力学
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富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

{\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum \_{k=0}^{n}Z\_{k}\vert e\_{k}\rangle =[Z\_{0}:Z\_{1}:\ldots :Z\_{n}]}
这里 {\displaystyle \{\vert e\_{k}\rangle \}} 是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合，Z\_{k} 是复数，而 {\displaystyle Z\_{\alpha }=[Z\_{0}:Z\_{1}:\ldots :Z\_{n}]} 是射影空间 {\mathbb {C}}P^{n} 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么，给定空间中两点 {\displaystyle \vert \psi \rangle =Z\_{\alpha }} 与 {\displaystyle \vert \phi \rangle =W\_{\alpha }}，它们之间的距离是

{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}
或等价地，在射影簇记号中，

{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z\_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W\_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z\_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W\_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.}
这里 {\displaystyle {\overline {Z}}^{\alpha }} 是 Z\_{\alpha } 的复共轭。分母中出现的 {\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle } 提醒了 {\displaystyle \vert \psi \rangle } 以及类似的 {\displaystyle \vert \phi \rangle } 不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为**量子角**（）。这个角度是实值的，取值于零到 \pi/2。

通过取 {\displaystyle \phi =\psi +\delta \psi }，或等价地 {\displaystyle W\_{\alpha }=Z\_{\alpha }+dZ\_{\alpha }}，马上可以等到这个度量的无穷小形式

{\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}
在量子力学中，**CP**1 叫做布洛赫球面；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为，包括量子纠缠和贝里相位（Berry phase（英语：））效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

乘积度量
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通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入（英语：）中是可分的。这是说如果 {\displaystyle \vert \psi \rangle } 是一个可分态，从而可以写成 {\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi \_{A}\rangle \otimes \vert \psi \_{B}\rangle }，则度量是子空间上度量之和：

{\displaystyle ds^{2}={ds\_{A}}^{2}+{ds\_{B}}^{2}}
这里 {\displaystyle {ds\_{A}}^{2}} 和 {\displaystyle {ds\_{B}}^{2}} 是在子空间 *A* 与 *B* 上各自的度量。

相关条目
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* 非线性σ模型
* 卡鲁扎-克莱因理论

参考文献
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1. ↑  Sakai, T. *Riemannian Geometry*, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.

* Besse, Arthur L. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8
* Brody, D.C.; Hughston, L.P. Journal of Geometry and Physics, 2001, **38**: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8
* Griffiths, P.; Harris, J. Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8
* Onishchik, A.L. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .