代數幾何中，代數簇的**周環**（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。

有理等價
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定義周環前，我們需先定義"有理等價"。如名字所暗示，它是一個等價關係。假定X是一代數簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含於積族**P**1×X中，且以**P**1參數化的平坦族，使得Y和Z是它的兩個纖維，我們就稱Y和Z有理等價。用古典語言來說，我們想要一個積族的子簇，Y和Z是其兩纖維，且其所有纖維有相同的希爾伯特多項式。若我們將**P**1當作一條線，則此概念就是配邊的代數模擬。

周環的定義
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有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環，我們將採用余維數（X本身與子簇的維數差），這樣乘積才運行良好。對滿足{\displaystyle 0\leq k\leq \dim {X}}的整數*k*，我們定義群*A**k*(X)為余維數k的子簇的形式和，再模掉有理等價。
周環自身是它們的直和，即：

{\displaystyle A^{\*}(X)=\bigoplus \_{k=0}^{\dim {X}}A^{k}(X)}
環的結構以簇的相交給出：如果兩個等價類{\displaystyle [Y]}和{\displaystyle [Z]}分別在*A**k*(*X*)和*A**l*(*X*)中，我們定義它們的積為

{\displaystyle [Y]\cdot [Z]=[Y\cap Z]}
此定義有一系列技術細節，我們將在下面討論。可以肯定地說，在最好的情形（在有理等價下總成立），此交有余維數*k* + *l*，因而在*A**k* + *l*(*X*)中。這使得周環成為分次環。周環的元素常被稱為"圈"

幾何解釋
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周環的幾何內涵混合了有理等價和相交積，這使得似乎形式的數字系數得以被解釋為子簇的度。例如，射影空間**P***n*的周環是

{\displaystyle A^{\*}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Z} [\omega ]/(\omega ^{n+1})}
\omega 是超平面（單個線性函數的零點軌跡）的有理等價類。更進一步，任何度為d而余維數為k的子簇都有理等價於{\displaystyle d\omega ^{k}}。這意味著，如果有兩個子簇有互補的維數（它們維數和為n）且度數分別為d、e，則它們的積就是

{\displaystyle [Y]\cdot [Z]=de\;\omega ^{n}}
{\displaystyle \omega ^{n}}是單點的等價類。至少在*Y*和*Z*橫截相交時（參見此處），這說明它們恰有de個交點。這實則是貝祖定理。類似於此的觀察被極大地推廣，產生了計數幾何。

函子性
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圈的函子性，即定義在代數圈群*Z\*(X)*層面上的平坦拉回和適當前推可擴展至周環，這給出群同態

{\displaystyle f^{\*}\colon A^{k}(X')\to A^{k}(X)\,\!}和{\displaystyle f\_{\*}\colon A\_{k}(X)\to A\_{k}(X')\,\!}
事實上,f^\*給出在整個周環上的環同態（遵從相交積，至少在集合論層面上這是顯然的），但{\displaystyle f\_{\*}}不行（因為集合論層面上它就不行：我們並不總有{\displaystyle f\_{\*}}）。但是我們有所謂"投影公式"：對*X*的子簇*Y*和*X′*的子簇*Y′*，

{\displaystyle f\_{\*}([Y]\cdot f^{\*}([Y']))=f\_{\*}([Y])\cdot [Y']}

上同調聯繫
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周環非常像X上的整值上同調。事實上，有顯然的映射

{\displaystyle f\colon A^{\*}(X)\to H^{2\*}(X)\,\!}
（以上記號代表在偶維數生成的上同調環）。它將每個有理等價類{\displaystyle [Y]}先送到由閉子簇*Y*決定的同調類，再送到它的龐加萊對偶（這解釋了偶維數：複代數簇總有偶實維數，因此決定了偶維數的同調類）。可以證明，同一個有理等價類被送到同一個上同調類。更進一步，龐加萊對偶性的一部分說明同調類的相交積對應於上同調類的杯積，因此這映射是環同態。

有不少事實對周環和上同調環有完全相同的形式。例如推拉公式在同調和上同調中都成立。進一步，一基本結果聲稱，**P**n的上同調環和以上給出的周環是一樣的，乃至\omega 的解釋都一樣（這說明，對射影空間，實際上上一段定義的映射\omega 是同構）。但是對此結果，上同調證明技巧性頗高。相反，對周環我們給出一個相當簡單的幾何證明：

首先，設H為一超平面，從而同構於**P***n* − 1。任何另外的超平面*J*有理等價與它，因為若它們分別由線性形式*L*和*M*定義，我們可以把它們當成**P**n中的點（通過其系數），由此可得它們間唯一的線。線上的點都是線性形式，從而定義了一族超平面，且由構造*H*和*J*皆在其中。{\displaystyle H\cap J}是*H*中的超平面，且由定義它的等價類為\omega ^{2}。這樣我們便有一族超平面，其中每個都嵌在前一個中，依次同構與對應的射影空間且等價於\omega 的冪。

鑒於這些發現，我們考察任意余維數*k*度數*d*的子簇。如果*k*=0，那麼*Y*必須等於**P***n*本身，因為射影空間不可約。如果*k*不是0，不妨假定H由令最後一個座標為0定義，且{\displaystyle P=[0:\dots :0:1]}不在*Y*中。對每個**P**1中不是{\displaystyle [0:1]}的點{\displaystyle t=[t\_{0}:t\_{1}]}，定義映射

{\displaystyle f\_{t}\colon \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\}\to \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\},f\_{t}([a\_{0}:\dots :a\_{n-1}:a\_{n}])=[t\_{0}a\_{0}:\dots :t\_{0}a\_{n-1}:t\_{1}a\_{n}]}
*Y*在這些映射下的像形成了一個在**P**1除去一點上的簇族。我們在 **P**1 × **P**n中取閉包來得到*Y*的有理等價（這是一個等價關係得自一個非平凡但標準的事實：取閉包對應於取"平坦極限"）。如此，無窮遠點處的纖維就是*Y*到超平面*H*上的投影，因此有與*Y*相同的度和維數。因為*H*本身就是射影空間，我們可重複此過程直到*Y*維數過大不能繼續。由此可得*Y*有理等價與{\displaystyle d\omega ^{k}}，而且我們已經找到了積結構。

一個類似的證明建立此定理的推廣，在上同調中以勒雷-赫希定理聞名。它用對應纖維叢的陳類和底空間的周環計算了射影空間叢的周環。上同調的證明則要用到譜序列。

某些事實在周環中不成立，但在上同調環中成立。尤其是Künneth公式不成立，儘管勒雷-赫希定理對射影空間的積重建了它。進一步，儘管周環在簇上有逆變函子性，但在代數拓撲的意義下它構不成上同調理論，因為沒有"相對周群"的概念。的確，在代數簇中，沒有邊界的概念，因此正面考慮替代品是無望的。

構造的細節
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上面所給*A*k(*X*)的構造需要一些關於"模掉有理等價"的說明。相關的技術細節是，就像在計算射影空間周環時一樣，有時兩個並非簇對應的圈有理等價，儘管有理等價似乎僅僅與集合結構有關。解法是由概形理論而來，即一個由理想層定義的子簇可以被認為有重數*d*如果我們代理想I以{\displaystyle I^{d}}。這樣有理等價的古典陳述便不夠了，且我們必須密切關注平坦族的細節。最後，等價類的形式和，例如*aY* + *bZ*，應該被認為是"有度的簇"*aY*和*bZ*的不交並，一旦建立了這些約定，我們就可借有理等價為圈的自由阿貝爾群上的等價關係來得到周環。

相交積的定義有點更加複雜。主要問題是在相交中保持正確的維數。如果*Y*和*Z*是兩個余維數為*k*和*l*的子簇，它們的交並非總有余維數*k*+*l*。就如平凡的例子，兩簇可能完全相同。為了克服此難處，我們可以證明"移動引理"。它斷定在任何兩個有理等價類中，我們總可以找到一般橫截的兩代表元，此時它們的交表現良好。子簇的橫截性定義類似於流形的：先定義子簇的紮利斯基切空間，它們自然是*X*的切空間的子空間。如果這些子空間張成*X*的切空間，那麼此交是橫截的。如果橫截性在它的一個稠密子集上成立，那麼它是一般橫截的。

某種意義上，對於可對上同調環證明的事實，聲稱周環可給出更簡單的證明有些狡猾。特別是概形論的構造、平坦族和平坦極限，以及移動引理都解決了大量隱藏於周環下的技術困難。但是，這些技術細節大都是理論的基礎，一旦它們被建立，幾何上的優勢就很明顯了。

發展
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周群被拓展至高階周群，這平行於從*K*0 (零階代數K-理論)到高階代數K-理論的拓展。

算術周群是**Q**上代數簇的周群與記錄阿基洛夫理論信息——即有關複流形結構的信息——部分的混合。

歷史
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有理等價和環A\*在20世紀初由意大利代數幾何學派定義，且被Severi和他的學派使用(可參考Severi的論文，他本質上研究了代數曲面S的群A0(S)；也可參閱芒福德論文開頭的評論）。
Serge在他1930年的論文中用了對奇異曲線的環A0更精細的研究來描述P2中代數曲面的支線。在1956年周煒良寫了一篇重要的論文後，環A\*被稱作周環。有些幾何學家堅持是格羅滕迪克提出將此環命名為周環。

延伸阅读
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[在维基数据编辑]

维基文库中的相关文本： 《舊五代史·卷95》，出自薛居正《舊五代史》

参考文献
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* Bloch, Spencer, Advances in Mathematics, 1986, **61** (3): 267–304, ISSN 0001-8708, MR852815
* Chow, Wei-Liang, Annals of Mathematics, 1956, **64**: 450–479, ISSN 0003-486X
* Fulton, William, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics **2**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323
* Gillet, H.; Soulé, C. Invent. Math. 1992, **110**: 473–543, doi:10.1007/BF01231343

注釋
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1. ↑  （Bloch 1986）
2. ↑  （H. Gillet & C. Soulé 1992）
3. ↑  F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5,
(1934), p. 239
4. ↑  F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7
5. ↑  D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204
6. ↑  B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)
7. ↑  W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956