赵友钦割圆术
赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影
**赵友钦割圆术**是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。

如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 \ell ,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d

{\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}}

{\displaystyle e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}}

d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。

令正八边形的边长为{\displaystyle \ell \_{2}}

{\displaystyle \ell \_{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}}

{\displaystyle \ell \_{2}={\frac {1}{2}}\*{\sqrt {\ell ^{2}+4\*(r-{\frac {1}{2}}\*{\sqrt {4\*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}}

设{\displaystyle \ell \_{3}} 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断{\displaystyle \ell \_{3}}与{\displaystyle \ell \_{2}}的迭代关系：

{\displaystyle \ell \_{3}={\frac {1}{2}}\*{\sqrt {(\ell \_{2})^{2}+4\*(r-{\frac {1}{2}}\*{\sqrt {4\*r^{2}-(\ell \_{2})^{2}}})^{2}}}}

  

推而广之：

{\displaystyle \ell \_{n+1}={\frac {1}{2}}\*{\sqrt {(\ell \_{n})^{2}+4\*(r-{\frac {1}{2}}\*{\sqrt {4\*r^{2}-(\ell \_{n})^{2}}})^{2}}}}

令 r=1;

{\displaystyle \ell \_{1}={\sqrt {(}}2)}

{\displaystyle \ell \_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}}

  

{\displaystyle \ell \_{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}

{\displaystyle \ell \_{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}

{\displaystyle \ell \_{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}}

……

圆周率
---

赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。

> 角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极
> 
> 

他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得

> 三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇
> 
> 

```
{\displaystyle \pi ={\frac {3141.592}{1000}}}
```

| 正多边形 | 圆周率近似值 |
| --- | --- |
| 4 | 3.121445 |
| 8 | 3.136548 |
| 16 | 3.140331 |
| 32 | 3.141277 |
| 64 | 3.141513 |
| 128 | 3.141572 |
| 256 | 3.141587 |
| 512 | 3.141591 |
| 1024 | 3.141592 |
| 2048 | 3.141592 |
| 16384 | 3.141592+ |

密率
--

南朝祖冲之发现密率：

{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}

但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数。

赵友钦在获得

{\displaystyle \pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}}

後，他将 3141.592 乘以 113

> 以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此为其法所以极精密也
> 
> 

{\displaystyle 113\*\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}\*113=355}

即：

{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}

参见
--

割圆术 (刘徽)

参考文献
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1. ↑  李俨 《中国数学史》 第六章《宋元数学》 144-145页 商务印书馆 1998 ISBN 978-7-100-01474-3
2. ↑  Mikami, Yoshio.. New York: Chelsea Pub. Co. 1974: 135–136  [2022-03-22]. ISBN 978-0-8284-0149-4. OCLC 1297145. （原始内容存档于2022-03-22） （英语）.

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