**輸入-狀態穩定性**（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag（英语：）在1989年開始使用。

定義
--

考慮非時變常微分方程，其形式如下


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**1**)** |

其中{\displaystyle u:\mathbb {R} \_{+}\to \mathbb {R} ^{m}}是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 f是利普希茨連續函數。這可以確保系統(**1**)有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數（英语：）分類。令{\mathcal {K}}（K類函數）為連續遞增函數{\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \_{+}\to \mathbb {R} \_{+}}，且{\displaystyle \gamma (0)=0}形成的集合，令{\displaystyle {\mathcal {K}}\_{\infty }}為無界函數{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}，再令{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}（KL類函數）為若{\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}在所有的{\displaystyle t\geq 0}都成立，而且針對所有的{\displaystyle r>0}，{\displaystyle \beta (r,\cdot )}連續，且嚴格遞減至0。

系統(**1**)稱為**在原點全域漸近穩定**（0-GAS），若對應的零輸入系統


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**WithoutInputs**)** |

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}使得針對所有的初值 
x\_{0}以及任意時間{\displaystyle t\geq 0}，以下有關(**WithoutInputs**)解的估計都有效＞：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x\_{0}|,t).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**GAS-Estimate**)** |

系統(**1**)稱為**輸入-狀態穩定性**（ISS）若存在函數 
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}且{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}使得針對所有初值x\_{0}，所有可行的輸入 u 以及任意時間{\displaystyle t\geq 0}，以下的不等式都成立


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x\_{0}|,t)+\gamma (\|u\|\_{\infty }).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**2**)** |

上述不等式中的函數\gamma 稱為**增益**（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在{\displaystyle t\to \infty }時，{\displaystyle |u(t)|\to 0}，則在{\displaystyle t\to \infty }時，{\displaystyle |x(t)|\to 0}。

輸入-狀態穩定性質的特點
------------

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(**1**)為**全域穩定（GS）**，若存在 
{\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}，使得對於{\displaystyle \forall u}、{\displaystyle \forall t\geq 0}及{\displaystyle \forall x\_{0}}，下式都成立


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x\_{0}|)+\gamma (\|u\|\_{\infty }).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**GS**)** |

系統(**1**)滿足**漸近增益（AG）特性**，若存在{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}，使得對於{\displaystyle \forall x\_{0}}, {\displaystyle \forall u}，下式都成立


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \limsup \_{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|\_{\infty }).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**AG**)** |

以下的描述都是等效的
：

1. (**1**)有ISS（輸入-狀態穩定性）
2. (**1**)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
3. (**1**)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。

ISS-李亞普諾夫函數
-----------

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數{\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \_{+}}是系統(**1**)的ISS-李亞普諾夫函數，若{\displaystyle \exists \psi \_{1},\psi \_{2}\in {\mathcal {K}}\_{\infty }}, {\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}，以及正定函數 \alpha ，使得下式成立：

{\displaystyle \psi \_{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi \_{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}
以及
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}，下式成立：

{\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}
函數\chi稱為**李亞普諾夫增益**（Lyapunov gain）。

若系統(**1**)沒有輸入（也就是{\displaystyle u\equiv 0}），則最後一式可以簡化如下

{\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}
因此V也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(**1**)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數。

例子
--

考慮一系統

{\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}
定義候選的ISS-李亞普諾夫函數{\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \_{+}}如下
{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}

{\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}

選擇李亞普諾夫增益{\displaystyle \chi }為

{\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}.
可以得到在{\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}的條件下，下式成立

{\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}
可得V是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為{\displaystyle \chi }。

其他相關概念
------

### 積分輸入-狀態穩定性（iISS）

系統(**1**)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數{\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}及{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}，使得針對所有初值x\_{0}，所有可行的輸入 u 及任意時間{\displaystyle t\geq 0}下，以下不等式都會成立：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x\_{0}|,t)+\int \_{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**3**)** |

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有{\displaystyle r\geq 0}，令{\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}，且令{\displaystyle u\equiv c=const}，則估計(**3**)會變成以下的形式

{\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x\_{0}|,t)+\int \_{0}^{t}cds=\beta (|x\_{0}|,t)+ct,}
隨著{\displaystyle t\to \infty }，等號右側會趨近無限大 {\displaystyle t\to \infty }。

### 局部輸入-狀態穩定性（LISS）

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(**1**)為**局部輸入-狀態穩定性**（locally ISS、LISS）若存在常數{\displaystyle \rho >0}、函數 {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}及{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}使得：針對所有{\displaystyle x\_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x\_{0}|\leq \rho }，所有可行的輸入{\displaystyle u:\|u\|\_{\infty }\leq \rho }及任意時間{\displaystyle t\geq 0}，下式都成立


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x\_{0}|,t)+\gamma (\|u\|\_{\infty }).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**4**)** |

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。

### 其他的穩定性

也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。

時滯系統的ISS
--------

考慮非時變的时滞微分方程


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**TDS**)** |

其中{\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}是系統(**TDS**)在時間t的狀態，{\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}及{\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}需滿足特定假設，以確保系統(**TDS**)的解存在且唯一。

系統(**TDS**)為ISS，若且唯若存在函數{\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}及{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}，使得針對所有{\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}，所有可行的輸入，在任意時間{\displaystyle t\in \mathbb {R} \_{+}}下，下式都成立


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|\_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|\_{\infty }).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**ISS-TDS**)** |

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。

其他類型系統的輸入-狀態穩定性
---------------

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。

參考資料
----

1. 1 2  Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd. London, 2011.
2. ↑  E. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math. pages 163–220, Berlin, 2008. Springer
3. ↑   Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.
4. 1 2  Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability Archive-It的存檔，存档日期2011-04-01. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
5. 1 2  Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property （页面存档备份，存于）. Systems Control Lett. 24(5):351–359, 1995.
6. ↑  Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996
7. ↑  Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
8. ↑  Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.
9. ↑   Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.
10. ↑  P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett. 55(12):1006–1014, 2006.
11. ↑  Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.
12. ↑   Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.
13. ↑  C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
14. ↑  D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.
15. ↑  Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability （页面存档备份，存于）. Commun. Inf. Syst. 8(4):413–414, 2008.
16. ↑  Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems.[永久] In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013
17. ↑  F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.