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图中白色和黑色方块完全分散，此时依据四邻规则计算的莫兰指数为-1。如果白色方块集中在棋盘的一半，黑色方块集中在另一半，随着方块数增加，莫兰指数会逼近+1。方块颜色随机排列时，莫兰指数会接近0。
统计学中，**莫兰指数**（）是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一种空间自相关度量。空间自相关即空间中邻近的位置之间存在相关性。空间自相关比一维自相关更复杂，因为空间相关性是多维的（即空间的二维或三维）和多方向的。

全局莫兰指数
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全局莫兰指数（I）是对空间数据的整体聚集的度量，其定义如下：

{\displaystyle I={\frac {N\sum \_{i=1}^{N}\sum \_{j=1}^{N}w\_{ij}(x\_{i}-{\bar {x}})(x\_{j}-{\bar {x}})}{W\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}
其中：

* N是空间单元的个数；
* i和j是两个空间单元的索引编号；
* x是相关变量；{\bar x}是x的平均值；
* w\_{{ij}}是空间单元i和j之间关系的空间权重，主对角线上取值为0（即{\displaystyle w\_{ii}=0}）；
* W是所有w\_{{ij}}的总和。

### 定义空间权重矩阵

I的值可能很大程度上依赖空间权重矩阵{*wij*}中的假设。之所以需要该矩阵，是因为在处理空间自相关和建立空间相互作用模型时，需要约束予以考虑的邻居的数量。这与托布勒的地理学第一定律有关，该定律指出，所有事物都是相关的，但更接近的事物更相关——换句话说，该定律表明空间中存在距离衰减，尽管所有观测值都对其他观测值有影响，但在某个距离阈值后，其影响已经微弱得可以忽略不计。

其思路是构建一个矩阵，以准确地反映对讨论的特定空间现象的假设。一种常见的做法是，如果两个空间单元是邻居，则权重为1，否则为0（但"邻居"的定义可能会有所不同）。另一种常见的方法可能是给k个最近的邻居赋予1的权重，其他为0。还有一种方法是使用距离衰减函数来分配权重。有时，共边的长度用于为邻居分配不同的权重。空间权重矩阵的选择应以研究的相关现象的理论为指导。I的值对权重非常敏感，并且会影响对现象的结论，尤其是在使用距离时。

### 期望值

在不存在空间自相关的虛無假說下，莫兰指数的期望值为：

{\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}
对应该期望值的零分布是x输入遵循随机均匀地选取的排列\pi 。

在大样本量下（即N趋于无穷大时），期望值接近于零。

其方差等于

{\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS\_{4}-S\_{3}S\_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}
其中

{\displaystyle S\_{1}={\frac {1}{2}}\sum \_{i}\sum \_{j}(w\_{ij}+w\_{ji})^{2}}
{\displaystyle S\_{2}=\sum \_{i}\left(\sum \_{j}w\_{ij}+\sum \_{j}w\_{ji}\right)^{2}}
{\displaystyle S\_{3}={\frac {N^{-1}\sum \_{i}(x\_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum \_{i}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}
{\displaystyle S\_{4}=(N^{2}-3N+3)S\_{1}-NS\_{2}+3W^{2}}
{\displaystyle S\_{5}=(N^{2}-N)S\_{1}-2NS\_{2}+6W^{2}}
I的值通常在−1到+1之间。显着低于-1/(*N*-1)的值表示空间负相关（分散），显着高于-1/(*N*-1)的值表示空间正相关（集聚）。对于统计假說檢定，莫兰指数的值可以转换为Z-分数。

莫兰指数与吉尔里C数（英语：）成负相关，但并不完全等同。莫兰指数是全局空间自相关的度量，而吉尔里C数对局部空间自相关更敏感。

局部莫兰指数
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全局空间自相关分析只能得到一个概括整个研究区域的一个统计量。换句话说，全局分析假设空间是相对均质的。若该假设不成立，那么只有一个统计数据是意义不大，因为统计数据在空间上应该是不同的。

而且，即使不存在全局自相关或聚类，我们仍然可能通过局部空间自相关分析，在局部层面上找到聚类。"空间关联的局部指标"（local indicators of spatial association，LISA）利用莫兰指数是叉积总和这一事实，通过计算每个空间单元的局部莫兰指数并评估每个Ii的统计显著性来评估这些个体单元的聚类。局部莫兰指数最早由卢卡·安瑟林（英语：）于1995年提出。由全局莫兰指数的等式可导出：

{\displaystyle I\_{i}={\frac {x\_{i}-{\bar {x}}}{m\_{2}}}\sum \_{j=1}^{N}w\_{ij}(x\_{j}-{\bar {x}})}
其中：

{\displaystyle m\_{2}={\frac {\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}}
因此，

{\displaystyle I=\sum \_{i=1}^{N}{\frac {I\_{i}}{N}}}
I为衡量全局空间自相关性的全局莫兰指数，Ii为局部莫兰指数，N为地图中分析单元的总数。

空间关联的局部指标可以用GeoDa软件来计算，其中就包含了局部莫兰指数的计算功能。

应用
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莫兰指数广泛应用于地理学和地理信息科学领域。例子有：

* 健康变量的地理差异分析；
* 表征公共水中锂浓度对心理健康的影响；
* 方言学中，用来衡量区域语言变异的显著性；
* 地貌学研究中，用来定义有意义的地形分割的目标函数。

参见
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* 地理学第一定律
* 距离衰减
* 吉尔里C数（英语：）
* 空间异质性（英语：）

参考文献
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1. ↑  Moran, P. A. P.. Biometrika. 1950, **37** (1): 17–23. JSTOR 2332142. PMID 15420245. doi:10.2307/2332142.
2. ↑  Li, Hongfei; Calder, Catherine A.; Cressie, Noel.. Geographical Analysis. 2007, **39** (4): 357–375. doi:10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x.
3. ↑  Cliff and Ord (1981), Spatial Processes, London
4. ↑  Anselin, Luc.. Geographical Analysis. 1995, **27** (2): 93–115  [2022-06-28]. doi:10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x. （原始内容存档于2022-07-12）.
5. ↑  Anselin, Luc.  (PDF). Spatial Analysis Laboratory: 138. 2005  [2022-06-28]. （原始内容 (PDF)存档于2021-06-14）.
6. ↑  Getis, Arthur.. Geographical Analysis. 3 Sep 2010, **24** (3): 189–206. doi:10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x 可免费查阅.
7. ↑  Helbich, M; Leitner, M; Kapusta, ND.. Int J Health Geogr. 2012, **11** (1): 19. PMC 3441892 可免费查阅. PMID 22695110. doi:10.1186/1476-072X-11-19.
8. ↑  Grieve, Jack.. International Journal of Corpus Linguistics. 2011, **16** (4): 514–546. doi:10.1075/ijcl.16.4.04gri.
9. ↑  Alvioli, M.; Marchesini, I.; Reichenbach, P.; Rossi, M.; Ardizzone, F.; Fiorucci, F.; Guzzetti, F.. Geoscientific Model Development. 2016, **9**: 3975–3991. doi:10.5194/gmd-9-3975-2016 可免费查阅.