**舒尔正交关系**（英語：）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 *SO*(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。

有限群
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令 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{mn}} 是一个 |*G*| 阶（即 *G* 有 |*G*| 个元素）有限群 {\displaystyle G=\{R\}} 的一个不可约矩阵表示 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 是酉的：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{l\_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nm}^{\*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nk}=\delta \_{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}
这里 {\displaystyle l\_{\lambda }} 是表示 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 的（有限）维数。

**正交关系**，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nm}^{\*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)\_{n'm'}=\delta \_{\lambda \mu }\delta \_{nn'}\delta \_{mm'}{\frac {|G|}{l\_{\lambda }}}.}
这里 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nm}^{\*}} 是 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nm}\,} 的複共轭，求和遍及 *G* 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}，则克罗内克函数 {\displaystyle \delta \_{\lambda \mu }} 是单位；如果 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 与 {\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}} 不等价则{\displaystyle \delta \_{\lambda \mu }}为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等（{\displaystyle n=n'} 和 {\displaystyle m=m'}）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做**广义正交定理**。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)\_{nm}=0}
对 {\displaystyle n,m=1,\ldots ,l\_{\mu }} ，此式對任何不等于单位表示的不可约表示 {\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}成立。

### 例子

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 S\_{3}（对称群）。这个群同构于点群 {\displaystyle C\_{3v}}，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（*l* = 2）。在 S\_{3} 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 {\displaystyle \lambda =[2,1]} 而在 {\displaystyle C\_{3v}} 情形通常写成 {\displaystyle \lambda =E}。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}}
元素 (1,1) 的正规化为：

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)\_{11}^{\*}\;\Gamma (R)\_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}
同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)\_{11}^{\*}\;\Gamma (R)\_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}
类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

### 直接推论

矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

{\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum \_{m=1}^{l}\Gamma (R)\_{mm}}.
所有迹的集合 {\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}} 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 {\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}

{\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)}.
利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{\*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta \_{\lambda \mu }|G|,}
这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

{\displaystyle \sum \_{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{\*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}
这帮助我们确认不可约表示 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 在具有特征标 {\displaystyle \chi (R)} 的可约表示 \Gamma \, 中包含的次数。

例如，如果

{\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}
这个群的阶是

{\displaystyle |G|=24\,}
则 {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,} 在给定"可约"表示 \Gamma \, 中包含的次数是

{\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}
关于群特征表参见特征标理论。

紧群
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有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 G 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 dg。设 {\displaystyle (\pi ^{\alpha })} 是 G 的不可约表示的一个完备集合，设 {\displaystyle \phi \_{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>} 是表示 {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分
1) 如果 {\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }} 则：

{\displaystyle \int \_{G}\phi \_{v,w}^{\alpha }(g)\phi \_{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}
2)如果 {\displaystyle \{e\_{i}\}} 是表示空间 {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的一个正交规范基，则：

{\displaystyle d^{\alpha }\int \_{G}\phi \_{e\_{i},e\_{j}}^{\alpha }(g)\phi \_{e\_{m},e\_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta \_{i,m}\delta \_{j,n}}
这里 {\displaystyle d^{\alpha }} 是 {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

### 例 {\displaystyle SO(3)}

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： {\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}。界限是 {\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi } 以及 {\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }。

体积元素 {\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx\_{1}dx\_{2}\cdots dx\_{r}} 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） {\displaystyle \omega (\mathbf {x} )} 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 {\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}，而 n, ψ 参数化给出权重t {\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}，其中 {\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi }。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

{\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)\_{nm}^{\*}.}
简记成

{\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}
正交关系具有形式

{\displaystyle \int \_{x\_{1}^{0}}^{x\_{1}^{1}}\cdots \int \_{x\_{r}^{0}}^{x\_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )\_{nm}^{\*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )\_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx\_{1}\cdots dx\_{r}\;=\delta \_{\lambda \mu }\delta \_{nn'}\delta \_{mm'}{\frac {|G|}{l\_{\lambda }}},}
群的体积是

{\displaystyle |G|=\int \_{x\_{1}^{0}}^{x\_{1}^{1}}\cdots \int \_{x\_{r}^{0}}^{x\_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx\_{1}\cdots dx\_{r}.}
我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（）{\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}，它们的维数是 {\displaystyle 2\ell +1}。故

{\displaystyle |SO(3)|=\int \_{0}^{2\pi }d\alpha \int \_{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int \_{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}
它们满足

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }\int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )\_{nm}^{\*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )\_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta \_{\ell \ell '}\delta \_{nn'}\delta \_{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}
### 脚注

1. ↑  {\displaystyle l\_{\lambda }} 的有限性是由于一个有限群 *G* 的不可约表示包含于正则表示。
2. ↑  这种选择不是惟一的，这个矩阵的任意正交相似变换给出一个等价的不可约表示。

参考文献
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任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

* M. Hamermesh, *Group Theory and its Applications to Physical Problems*, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
* W. Miller, Jr. *Symmetry Groups and their Applications*, Academic Press, New York (1972).
* J. F. Cornwell, *Group Theory in Physics,* (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).