双曲抛物面
旋转抛物面
**抛物面**(英文：Paraboloid)是二次曲面的一种。抛物面有两种：**椭圆抛物面**和**双曲抛物面**。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.
双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

性质
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当*a = b*时，曲面称为**旋转抛物面**，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

曲率
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椭圆抛物面的参数方程为：

{\vec \sigma }(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}+{v^{2} \over b^{2}}\right)
高斯曲率为：

K(u,v)={4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}
平均曲率为：

 H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{\frac{3}{2}}} 
它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

{\vec \sigma }(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}-{v^{2} \over b^{2}}\right)
高斯曲率为：

K(u,v)={-4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}
平均曲率为：

 H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{\frac{3}{2}}}.

乘法表
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如果把双曲抛物面

z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}
顺着+*z*的方向旋转π/4的角度，则方程为：

 z = {1\over 2} \left(x^2 + y^2\right) \left({1\over a^2} - {1\over b^2}\right) + x y \left({1\over a^2}+{1\over b^2}\right) 
如果\ a=b，则简化为：

z={2 \over a^{2}}xy.
最后，设a={\sqrt {2}}，我们可以看到双曲抛物面

z={x^{2}-y^{2} \over 2}.
与以下的曲面是全等的：

\ z=xy
因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个{\mathbb {R}}^{2}\rightarrow {\mathbb {R}}函数

z\_{1}(x,y)={x^{2}-y^{2} \over 2}
和

\ z\_{2}(x,y)=xy
是调和共轭，它们在一起形成解析函数

f(z)={1 \over 2}z^{2}=f(x+iy)=z\_{1}(x,y)+iz\_{2}(x,y)
它是{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}函数\ f(x)={1 \over 2}x^{2}的解析延拓。

参见
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* 椭球
* 双曲面
* 类球面
* 二次曲面
* 抛物面反射器

参考文献
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* Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
* Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
* Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
* Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
* Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

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* 论
* 编
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