在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用**態向量**來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範數是1，是一個單位向量。標記量子態\psi\,\!的態向量為|\psi\rangle\,\!。

每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：

|\psi \rangle =c\_{1}|e\_{1}\rangle +c\_{2}|e\_{2}\rangle +\dots +c\_{n}|e\_{n}\rangle \,\!；
其中，|e\_{1}\rangle ,\,|e\_{2}\rangle ,\,\dots ,\,|e\_{n}\rangle \,\!是單範正交基的基向量，n\,\!是單範正交基的基數，c\_{1},\,c\_{2},\,\dots ,\,c\_{n}\,\!是複值的係數，是|\psi\rangle\,\!的分量，c\_{i}\,\!是|\psi\rangle\,\!投射於基向量|e\_{i}\rangle \,\!的分量，也是|\psi\rangle\,\!處於|e\_{i}\rangle \,\!的機率幅。

換一種方法表達：

|\psi \rangle =(c\_{1},\,c\_{2},\,\dots ,\,c\_{n})^{T}={\begin{pmatrix}c\_{1}\\c\_{2}\\\vdots \\c\_{n}\end{pmatrix}}\,\!。
在狄拉克標記方法裏，態向量|\psi\rangle\,\!稱為右矢。對應的左矢為\langle \psi |\,\!，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為

\langle \psi |=|\psi \rangle ^{{\dagger }}=(c\_{1}^{\*},\,c\_{2}^{\*},\,\dots ,\,c\_{n}^{\*})\,\!；
其中，\dagger \,\!象徵為取厄米共軛。

設定兩個態向量|\alpha \rangle =(a\_{1},\,a\_{2},\,\dots ,\,a\_{n})^{T}\,\!，|\beta \rangle =(b\_{1},\,b\_{2},\,\dots ,\,b\_{n})^{T}\,\!。定義|\alpha \rangle \,\!內積|\beta \rangle \,\!為

\langle \alpha |\beta \rangle =\sum \_{i}\ a\_{i}^{\*}b\_{i}\,\!。
這內積的結果是一個複數。

性質
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1）共軛複數

|\beta \rangle \,\!內積|\alpha \rangle \,\!是|\alpha \rangle \,\!內積|\beta \rangle \,\!的共軛複數：

\langle \beta |\alpha \rangle =\langle \alpha |\beta \rangle ^{\*}\,\!。
2）歸一性

定義|\alpha \rangle \,\!內積|\alpha \rangle \,\!的平方根為|\alpha \rangle \,\!的範數，標記為|\alpha |\,\!。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：

|\alpha |={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}=1\,\!。
3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式闡明：

\langle \alpha |\beta \rangle ^{2}\leq \langle \alpha |\alpha \rangle \langle \beta |\beta \rangle \,\!。

參考文獻
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費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修.. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

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