模拟退火算法可用于求解组合问题。此处将模拟退火算法应用于求解旅行商问题，求出连接125个点的最小路线长度
使用模拟退火算法求解120个点的三维旅行商问题
**模擬退火**（英語：，缩写作SA）是一種逼近给定函数全局最优的通用概率演算法，具体来说，它是一种元启发算法，常用來在一定時間內，尋找在一個很大搜尋空間中的近似全局最優解。在有大量局部最优解时，模拟退火算法可以找到全局最优解。
模拟退火常用于搜索空间离散的情形（如旅行推销员问题、布尔可满足性问题、蛋白质结构预测、作业车间调度问题等）。对于在固定时间内找到近似全局最优优先于找到精确局部最优的问题，模拟退货算法可能优于梯度下降法或分支定界等精确方法。

模拟退火算法解决的问题包含多元目标函数与若干约束。实践中，约束可作为目标函数的一部分进行惩罚。

Pincus (1970)、Khachaturyan et al (1979, 1981)、Kirkpatrick、Gelatt及Vecchi (1983)、Cerny (1985)等人先后提出过类似技术。现在的"模擬退火"算法在1983年为S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt和M. P. Vecchi解决旅行推销员问题所發明，V. Černý也在1985年獨立發明此演算法。

模拟退火算法中的慢冷却是指在探索解空间的过程中，接受较差解的概率会缓慢下降。接受较差解可以更广泛地搜索全局最优解。总的来说，模拟退火算法的工作原理如下：温度从初始值逐渐降低到0，每个时间步长内，算法随机选择一个与当前解接近的解，并根据与温度相关的概率选择更优的。搜索过程中，这概率会趋近于1。

可通过求解概率密度函数的动力方程或随机采样法进行模拟。这种方法是N. Metropolis et al. (1953)发表的梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法的改进版，是一种生成热力学系统样本状态的蒙特卡罗方法。

簡介
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"模拟退火"來自冶金學术语退火，是將材料加熱後再經特定速率冷卻的技术，目的是增大晶粒的體積，並且減少晶格中的缺陷，以改变材料的物理性质。材料中的原子原來會停留在使內能有局部最小值的位置，加熱使能量變大，原子會離開原來位置，而隨機在其他位置中移動。退火冷卻時速度較慢，使得原子有較多可能可以找到內能比原先更低的位置。

模擬退火的原理也和金屬退火的原理近似：我們將熱力學的理論套用到統計學上，將搜尋空間內每一點想像成空氣內的分子；分子的能量，就是它本身的動能；而搜尋空間內的每一點，也像空氣分子一樣帶有"能量"，以表示該點對命題的合適程度。演算法先以搜尋空間內一個任意點作起始：每一步先選擇一個"鄰居"，然後再計算從現有位置到達"鄰居"的概率。

可以证明，模拟退火算法所得解依概率收敛到全局最优解。

模拟退火法可用于精确算法失效的高难度计算优化问题，虽然通常只能获得全局最优的近似，但对很多实际问题已经足够。

描述
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物理系统的热力学状态*s*，以及要最小化的函数{\displaystyle E(s)}（类似于系统当前状态下的内能）。目标是将系统从任意初始状态带到内能尽可能小的状态。

运用模拟退火算法搜索最大值，目标是达到最大值点。本例中，简单的爬山算法是不够的，因为有许多局部最值。缓慢降温可以找到全局最值。
### 基本迭代

模拟退火启发式在每一步都会考虑当前状态*s*的某邻态{\displaystyle s^{\*}}，并以概率决定是否移动到状态{\displaystyle s^{\*}}。概率最终引导系统进入低能状态。这步骤一般会重复进行，直到系统达到满足需求的状态，或达到预设的计算量。

### 状态的邻域

解的优化包括计算问题状态的邻域，即由保守改变现状态产生的新状态。例如，在旅行推销员问题中，状态是待访问城市的排列，状态的邻域是交换任意两城市产生的排列集合。良定义的到邻态的方法称为移动，不同移动会产生不同的邻态集。

爬山算法之类启发法逐个寻找更好的邻态来移动，并在无更好邻态时停止，显然这很容易陷入局部最优。元启发算法利用解的邻域作为探索解空间的一种方式，虽然更喜欢较好的邻态，但也接受较差的邻态，以免陷入局部最优。若运行时间够长，则可以找到全局最优。

### 接受概率

从现状态*s*转移到候选的新状态{\displaystyle s\_{\mathrm {new} }}的概率由接受概率函数（acceptance probability function）{\displaystyle P(e,e\_{\mathrm {new} },T)}确定，其取决于两状态的能量{\displaystyle e=E(s),\ e\_{\mathrm {new} }=E(s\_{\mathrm {new} })}，以及称作温度的全局时变参数*T*。转移到能量更小的状态的概率更大。概率函数*P*在{\displaystyle e\_{\mathrm {new} }<e}时也是正的，这可以防止算法陷入局部最优。

*T*趋近于0时，若{\displaystyle e\_{\mathrm {new} }>e}，概率{\displaystyle P(e,e\_{\mathrm {new} },T)}也要趋近于0或某正值。对足够小的*T*，系统会越来越倾向于"下山"（向低能值移动）而避免"上山"。{\displaystyle T=0}时，程序将简化为贪心算法，只进行下山转移。

在模拟退火的原始描述中，{\displaystyle e\_{\mathrm {new} }<e}时概率{\displaystyle P(e,e\_{\mathrm {new} },T)=1}，即无论温度如何，程序找到下山的方法时总会下山。许多模拟退火算法的描述和实现仍将此条件作为方法定义的一部分，但这条件实际上并非必须。

*P*函数通常是这样选择的：当差值{\displaystyle e\_{\mathrm {new} }-e}增加时，接受较小上山转移的概率就会比较大的更大。不过，在满足上述要求的前提下，这要求并非绝对必要。

鉴于这些特性，温度*T*在控制系统状态*s*演化方面起到关键作用，因为它对系统能量变化非常敏感。确切地说，*T*的大小决定着*s*演化敏感的"粒度"。

### 退火历程

Fast快Slow慢冷却时间对模拟退火性能的影响。待解决问题是重新排列一幅图像的像素，使某势能函数最小，它会使较近的相似颜色相互吸引，较远的则相斥，基本移动是像素交换位置。快速冷却（左）与较慢冷却（右）时，结果分别类似于无定形体与晶体。
算法名称与灵感要求嵌入一个与温度有关的有趣特征。开始时，温度*T*被设为一个较大值（或无穷大），按用户指定的退火历程，每次迭代降温，但必须在一定时间预算内结束为{\displaystyle T=0}。这样，预计系统最初会在搜索空间中包含良好解的广阔区域内游荡，忽略能量函数的微小特征；然后，向能量更低的区域漂移，最后根据梯度下降法启发式向下移动。

对任意给定的有限问题，随着退火历程延长，模拟退火算法以全局最优解终止的概率趋近于1。但这理论结果并不很有用，因为确保显著成功概率的耗时通常大于暴力搜索整个解空间的耗时。

伪代码
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尋找能量 {\displaystyle E(s)} 最低的狀態 {\displaystyle s}

```
s := s0; e := E(s) // 設定目前狀態為s0，其能量E (s0)
k := 0 // 評估次數k
while k < kmax and e > emin // 若還有時間（評估次數k還不到kmax）且結果還不夠好（能量e不夠低）則：
 sn := neighbour(s) // 隨機選取一鄰近狀態sn
 en := E(sn) // sn的能量為E (sn)
 if random() < P(e, en, temp(k/kmax)) // 決定是否移至鄰近狀態sn
 s := sn; e := en // 移至鄰近狀態sn
 k := k + 1 // 評估完成，次數k加一
return s // 回傳狀態s

```

下面以自然语言解说模拟退火算法的演算步骤。

### 初始化

由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解，并定义一个足够大的数值作为初始温度。

### 迭代过程

迭代过程是模拟退火算法的核心步骤，分为新解的产生和接受新解两部分：

1. 由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
2. 计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
3. 判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则：若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。
4. 当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的起点）无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率1收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

### 停止准则

迭代过程的一般停止准则：温度T降低至某阈值时，或连续若干次迭代均未接受新解时，停止迭代，接受当前寻找的最优解为最终解。

### 退火方案

在某个温度状态T下，当一定数量的迭代操作完成后，降低温度T，在新的温度状态下执行下一个批次的迭代操作。

选择参数
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将模拟退火算法用于实际问题，需要指定状态空间、能量（目标）函数`E()`、候选解生成器`neighbour()`、接受概率函数`P()`、退火历程`temperature()`以及初始温度`init_temp`。这些选择会对算法效率产生重大影响，遗憾的是它们的选择不适合所有问题，也没有针对特定问题找到最佳选择的通用方法。下面几节将给出一些通用指导。

### 充分近的邻态

模拟退火可建模为搜索图上的随机游走，其顶点是所有状态，边为候选的移动。`neighbour()`的基本要求是提供从初态到任何可能是全局最优态的足够短路径，这要求搜索图的直径足够小。以上面的旅行推销员问题为例，n = 20个城市的搜索空间有n! = 2,432,902,008,176,640,000（243亿亿）个状态，而每个顶点有{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}=190}条边（来自n选2），图直径为{\displaystyle n-1}。

### 转移概率

要研究模拟退火算法在特定问题上的行为，可考虑算法实施过程中各种设计选择产生的转移概率。对搜索图中的每条边{\displaystyle (s,s')}，转移概率定义为现态为*s*时转移到{\displaystyle s'}的概率，取决于`temperature()`指定的当前温度、`neighbour()`生成的候选移动的顺序及接受概率函数`P()`（注意转移概率不是简单的{\displaystyle P(e,e',T)}，因为候选转移是以序列测试的）。

### 接受概率

`neighbour()`、`P()`、`temperature()`的指定是多余的，因为实践中通常会使用相同的接受函数`P()`，并根据具体问题调整其他函数。

在Kirkpatrick et al.的方法中，若{\displaystyle e'<e}则接受概率函数{\displaystyle P(e,e',T)=1}，否则为{\displaystyle \exp(-(e'-e)/T)}。表面上看，这个公式是通过类比物理系统的转移来证明的；在{\displaystyle T=1}且梅特罗波利斯-黑斯廷斯的提议分布对称时，对应梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法。即使与梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法中的提议分布类似的`neighbour()`函数不对称或根本不是概率分布，也常用于模拟退火。因此，转移概率同类似物理系统的转移概率并不对应，恒定温度*T*下的长期状态分布也不必同物理系统在任何温度下的热力平衡态分布有任何相似处。尽管如此，大多数模拟退火的描述都会假定原接受函数，而这种函数可能在许多模拟退火的实现中都是硬编码（hard-coded）的。

Moscato and Fontanari (1990)与Dueck and Scheuer分别提出，确定性更新（即不基于概率接受规则的）可加速优化，且不影响最终质量。Moscato and Fontanari通过观察"阈值更新"退火的类"比热"曲线得出结论："在模拟退火算法中，Metropolis更新的随机性在寻找近优最小值的过程中没有发挥主要作用。"相反，他们认为"高温下成本函数景观的平滑化与冷却过程中最小值的逐步确定是模拟退火算法成功的基本要素。"后来，由于Dueck and Scheuer的命名，这种方法也称作"阈值接受法"。Franz, Hoffmann and Salamon (2001)表明，在一大类模拟成本/能量景观随机游走的算法中，确定性更新策略确实是最优策略。

### 高效生成邻态

选择候选生成器`neighbour()`时，必须考虑到算法迭代几次后，现态的能量将低于随机状态。因此一般来说，生成器应偏向更接近目标状态{\displaystyle s'}能量的邻域。这种启发式（也是梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法的主要原理）往往会排除"非常好"与"非常坏"的转移，不过前者通常更少见，所以启发式往往相当有效。

例如，在上述旅行商问题中，低能旅行中交换两连续城市对能量（总距离）影响不大，而交换两任意城市更可能增加能量。因此，连续交换优于随机交换，尽管后者能提供更优路径（{\displaystyle n-1}次交换，而非{\displaystyle n(n-1)/2}次）。

启发式一个更准确的诠释是，应先尝试{\displaystyle P(E(s),E(s'),T)}较大的邻态{\displaystyle s'}。对上述"标准"接受函数*P*来说，这意味着{\displaystyle E(s')-E(s)}在*T*或更小的数量级上因此在上述旅行商问题中，可用交换两随机城市的`neighbour()`，并设置两城市距离超过*T*时不予选择。

### 避免障碍

选择候选生成器`neighbour()`时，还必须尽量减少能量远低于所有邻态的"深"局部最优（或相连状态集）数，这种"能量函数盆地"可能会以较高概率（与盆地中状态数大致呈正比）与较长时间（与周围状态同盆地底部的能量差大致呈指数关系）困住模拟退火算法。

一般来说设计不出既能满足这一目标，又能优先处理能量相近的候选粒子的候选发生器。另一方面，往往可对生成器进行相对简单的修改，大大提高模拟退火的效率。例如，在旅行商问题中，不难找到两条长度几乎相等的路线{\displaystyle A,\ B}，使得(1) {\displaystyle A}最优、(2) 将{\displaystyle A}转换为{\displaystyle B}的城市交换序列要经历比二者长得多的距离、(3) {\displaystyle A} 可通过翻转（颠倒顺序）一组连续的城市序列变为{\displaystyle B}。此例中，{\displaystyle A,\ B}就处于不同的"盆地"中，但若生成器执行随机分段翻转，则将位于同一个盆地。

### 冷却历程

模拟退火的物理类比假设冷却速率足够低，当前状态的概率分布比任意时刻都接近热力平衡。 然而，弛豫时间（relaxation time，温度变化后恢复平衡耗时）很大程度上取决于能量函数的"地形"和当前温度。模拟退火算法中，弛豫时间还以非常复杂的方式取决于候选生成器。注意所有参数通常作为黑盒函数提供给模拟退火算法。因此，理想的冷却速度无法事先确定，只能根据经验分析具体问题。自适应模拟退火算法将冷却历程同搜索进度联系起来，解决了这一问题。其他自适应法有热力学模拟退火，会根据热力学定律，依两状态能量差自动调整每步的温度。

重启
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有时，从现态出发不如回到明显更优的解，这一过程称作模拟退火的重启（restarting）。为此，置`s`、`e`为`sbest`、`ebest`，然后重启退火历程。重启的决定可基于多个标准，其中值得注意的是包括基于固定步数、基于当前能量与迄今最优的能量、随机重启等等。

相关算法
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* 交互式梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法（或顺序蒙特卡洛）将模拟退火转移同配备交互式回收机制的最佳拟合个体的接受-剔除相结合。
* 量子退火用"量子扰动"而非热波动来穿越目标函数中较薄的障碍。
* 随机隧道法试图以隧道穿越障碍，克服了随温度降低，模拟退火越来越难以摆脱局部最优的问题。
* 禁忌搜索通常会移动到能量较低的邻态，发现陷入局部最优时，就会采取上坡转移，并会保留已知解列表（即"禁忌表"）以避免循环。
* 双相演化是一组算法与过程（SA属于其中），利用搜索空间的相变，在局部搜索与全局搜索之间进行调节。
* 反应式搜索优化将机器学习与优化相结合，增加内部反馈回路，根据问题、实例与当前解周围的情形，对算法的自由参数进行自我调整。
* 遗传算法保留一组解（"池"，pool），而非一个解。新的候选解可由突变（如SA）和"重组"从池中产生。概率标准和SA中所用的类似，用于选择突变或重组的解，并剔除多余解。
* 文化基因算法使用一组既合作又竞争的搜索器（agent）搜索解。有时搜索器的策略设计模拟退火，以便在重组之前获得高质量解。退火也被认为是增加搜索多样性的一种机制。
* 渐进优化在优化过程中对目标函数进行"平滑化"处理。
* 蚁群算法（ACO）用许多搜索器遍历解空间，并找到局部较优的区域。
* 交叉熵法（CE）通过参数化概率分布生成候选解。参数通过交叉熵最小化进行更新，以便在下次迭代中生成更好的样本。
* 和声搜索模拟音乐家即兴演奏的过程，每个音乐家演奏一个音符，共同寻找最佳的和声。
* 随机优化是一系列方法的总称，包括模拟退火等很多方法。
* 粒子群优化是一种以群体智能为模型的算法，能在搜索空间中找到优化问题的解，或在有目标的情形下模拟、预测群体行为。
* 茎根算法（runner-root algorithm，RRA）是一种元启发优化算法，用于解决单模态和多模态问题，灵感来自植物的茎与叶的关系。
* 智能水滴算法（Intelligent water drops algorithm，IWD）模仿自然水滴的行为解决优化问题。
* 并行退火在不同温度（或哈密顿量）下模拟模型副本，以克服潜在障碍。
* 多目标模拟退火用于多目标优化。

另见
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* 自适应模拟退火
* 组合优化
* 双相演化
* 图割 (计算机视觉)
* 智能水滴算法
* 马尔可夫链
* 分子动力学
* 多学科设计优化
* 粒子群优化
* 布局布线
* 量子退火
* 旅行推销员问题

延伸閲讀
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* A. Das and B. K. Chakrabarti (Eds.), *Quantum Annealing and Related Optimization Methods[],* Lecture Note in Physics, Vol. 679, Springer, Heidelberg (2005)
* Weinberger, E.. Biological Cybernetics. 1990, **63** (5): 325–336. S2CID 851736. doi:10.1007/BF00202749.
* Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP..  3rd. New York: Cambridge University Press. 2007  [2021-09-02]. ISBN 978-0-521-88068-8. （原始内容存档于2011-08-11）.
* Strobl, M.A.R.; Barker, D.. Molecular Phylogenetics and Evolution. 2016, **101**: 46–55. PMC 4912009 可免费查阅. PMID 27150349. doi:10.1016/j.ympev.2016.05.001.
* V.Vassilev, A.Prahova: "The Use of Simulated Annealing in the Control of Flexible Manufacturing Systems", International Journal INFORMATION THEORIES & APPLICATIONS, VOLUME 6/1999 （页面存档备份，存于）

参閲
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* 演算法
* 旅行推銷員問題
* 蚁群算法
* 遗传算法

外部链接
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* 基于MATLAB实现的全局优化算法：SIMPSA（SA和单纯的组合），洗牌复杂的演化（SCA）和粒子群优化（PSO）。
* Simulated Annealing （页面存档备份，存于） A Javascript app that allows you to experiment with simulated annealing. Source code included.
* "General Simulated Annealing Algorithm" （页面存档备份，存于） An open-source MATLAB program for general simulated annealing exercises.
* Self-Guided Lesson on Simulated Annealing A Wikiversity project.
* Google in superposition of using, not using quantum computer （页面存档备份，存于） Ars Technica discusses the possibility that the D-Wave computer being used by Google may, in fact, be an efficient simulated annealing co-processor.
* （页面存档备份，存于） A Simulated Annealing-Based Multiobjective Optimization Algorithm: AMOSA.


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