一个二维晶体及其倒易点阵
**倒易点阵**（英語：），又称**倒（易）晶格**、**倒（易）格子**，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

数学描述
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### 一维晶格

对于以\boldsymbol{a}为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

{\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a}}}{a^{2}}}
### 二维晶格

对于以({\boldsymbol {a\_{{1}}}},{\boldsymbol {a\_{{2}}}})为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为{\boldsymbol {n}}，其倒格子的基矢为

{\boldsymbol {b\_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a\_{{2}}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a\_{{1}}}}\cdot ({\boldsymbol {a\_{{2}}}}\times {\boldsymbol {n}})}}
{\boldsymbol {b\_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a\_{{1}}}}}{{\boldsymbol {a\_{{2}}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a\_{{1}}}})}}
### 三维晶格

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 ({\boldsymbol {a\_{{1}}}},{\boldsymbol {a\_{{2}}}},{\boldsymbol {a\_{{3}}}})，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢({\boldsymbol {b\_{{1}}}},{\boldsymbol {b\_{{2}}}},{\boldsymbol {b\_{{3}}}})

{\boldsymbol {b\_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a\_{{2}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{3}}}}}{{\boldsymbol {a\_{{1}}}}\cdot ({\boldsymbol {a\_{{2}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{3}}}})}}
{\boldsymbol {b\_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a\_{{3}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{1}}}}}{{\boldsymbol {a\_{{2}}}}\cdot ({\boldsymbol {a\_{{3}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{1}}}})}}
{\boldsymbol {b\_{{3}}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a\_{{1}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{2}}}}}{{\boldsymbol {a\_{{3}}}}\cdot ({\boldsymbol {a\_{{1}}}}\times {\boldsymbol {a\_{{2}}}})}}
### 倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

{\boldsymbol {a\_{{i}}}}\cdot {\boldsymbol {b\_{{j}}}}=2\pi \delta \_{{ij}}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}
定义三维中的倒晶格向量**G**

{\mathbf {G}}=h{\boldsymbol {b\_{{1}}}}+k{\boldsymbol {b\_{{2}}}}+l{\boldsymbol {b\_{{3}}}}
其中(h,k,l)为密勒指数，向量**G**的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

{\mathbf {|G\_{{hkl}}|}}={\frac {2\pi }{d\_{{hkl}}}}
向量**G**和正晶格向量**R**有以下关系

{\mathbf {R}}=c\_{{1}}{\boldsymbol {a\_{{1}}}}+c\_{{2}}{\boldsymbol {a\_{{2}}}}+c\_{{3}}{\boldsymbol {a\_{{3}}}}
{\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}{\mathbf {G\cdot R}}}}=1
三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

\Omega \_{{G}}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}

倒晶格的物理意义
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在此以一维晶格为例。在一个以\boldsymbol{a}为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

\psi \_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})={\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})
定义其倒晶格向量

{\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots 
{\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a}}}{a^{2}}}
{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n
以及一个函数

{\begin{alignedat}{2}u\_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({{\boldsymbol {x}}})&={\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})\\u\_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({{\boldsymbol {x+a}}})&={\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}{\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x+a}})\\&={\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}
由于u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})是一个布洛赫波包，满足

u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x+a}})=u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})
所以

u\_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({\boldsymbol {x+a}})=u\_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({\boldsymbol {x}})
也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

{\begin{aligned}\psi \_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})&={\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})\\&={\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}}{\mathrm {e}}^{{-{\mathrm {i}}{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k}}}}({\boldsymbol {x}})\\&={\mathrm {e}}^{{{\mathrm {i}}({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}}u\_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi \_{{{\boldsymbol {k+G}}}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}
可见，倒晶格向量**G**描述了波函数在以**k**为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢{\boldsymbol {b\_{{i}}}}是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢**k**和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射
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晶体衍射满足布拉格定律

{\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d\_{{n}}}}\\\end{alignedat}}
定义入射波波矢为{\boldsymbol {k}}，则上述公式可变换为

{\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\{\mathbf {|G\_{{hkl}}|}}={\cfrac {2\pi }{d\_{{hkl}}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|{\mathbf {G}}|\\\end{array}}
因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为{\boldsymbol {k\_{i}}}，反射波波矢为{\boldsymbol {k\_{o}}}，可以得到

{\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k\_{o}}}-{\boldsymbol {k\_{i}}}={\mathbf {G}}
这个形式也和劳厄方程式相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中，为什么能量的分布是不連續的。

常见布拉菲晶格的倒晶格
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### 簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

{\boldsymbol {a\_{1}}}=a{\hat {x}}
{\boldsymbol {a\_{2}}}=a{\hat {y}}
{\boldsymbol {a\_{3}}}=a{\hat {z}}
體積為

{\boldsymbol {a\_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a\_{2}}}\times {\boldsymbol {a\_{3}}}=a^{3}
可推得倒晶格的素格子基矢

{\boldsymbol {b\_{1}}}={2\pi \over a}{\hat {x}}
{\boldsymbol {b\_{2}}}={2\pi \over a}{\hat {y}}
{\boldsymbol {b\_{3}}}={2\pi \over a}{\hat {z}}
所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 {2\pi \over a}。

### 面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

{\boldsymbol {a\_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {a\_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)
{\boldsymbol {a\_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)
體積為

{\boldsymbol {a\_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a\_{2}}}\times {\boldsymbol {a\_{3}}}={a^{3} \over 4}
可推得倒晶格之素格子基矢

{\boldsymbol {b\_{1}}}={2\pi \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {b\_{2}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {b\_{3}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)
面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

### 體心立方晶體(BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

{\boldsymbol {a\_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {a\_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {a\_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)
體積為

{\boldsymbol {a\_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a\_{2}}}\times {\boldsymbol {a\_{3}}}={a^{3} \over 2}
可推得倒晶格之素格子基矢

{\boldsymbol {b\_{1}}}={2\pi \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)
{\boldsymbol {b\_{2}}}={2\pi \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)
{\boldsymbol {b\_{3}}}={2\pi \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)
可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的({\boldsymbol {a\_{{1}}}},{\boldsymbol {a\_{{2}}}},{\boldsymbol {a\_{{3}}}}) (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸({\boldsymbol {b\_{{1}}}},{\boldsymbol {b\_{{2}}}},{\boldsymbol {b\_{{3}}}})與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

参阅
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* 晶体学
* 对偶空间
* 电子衍射
* 埃瓦尔德球（英語：）
* 密勒指数（英語：）
* 布里渊区

外部連結
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|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**倒易点阵** |

* （英文） （页面存档备份，存于） - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
* （英文）DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice（页面存档备份，存于）


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