在數學中，**史特靈數**用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由詹姆士·史特靈（英语：）引入並以其命名，以**第一類史特靈數（英语：）**和**第二類史特靈數（英语：）**的稱呼區分。此外，有時候也將**拉赫數（英语：）**稱爲第三類史特靈數。

第一類史特靈數
-------

### 定義

**第一類史特靈數（英语：）**可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數，即



(
x

)

n

=

∑

k
=
0

n

s
(
n
,
k
)

x

k


{\displaystyle (x)\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,}

{\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,}
其中，{\displaystyle s(n,k)\,}（{\displaystyle 0\leq k\leq n\,}）即爲第一類史特靈數。例如：



(
x

)

3

=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)

{\displaystyle (x)\_{3}=x(x-1)(x-2)\,}

{\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)\,}
則



(
x

)

3

=
0
⋅

x

0

+
2
⋅
x
−
3
⋅

x

2

+
1
⋅

x

3


{\displaystyle (x)\_{3}=0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}\,}

{\displaystyle (x)_{3}=0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}\,}
於是{\displaystyle s(3,0)=0\,}，
{\displaystyle s(3,1)=2\,}，
{\displaystyle s(3,2)=-3\,}，
{\displaystyle s(3,3)=1\,}。

由此可知，{\displaystyle s(n,k)\,}是代數數，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符號史特靈數的絕對值{\displaystyle |s(n,k)|\,}可以看作（或直接定義爲）把n\,個元素排列成k\,個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以{\displaystyle |s(n,k)|\,}是算術數，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲{\displaystyle c(n,k)\,}或{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}。例如：把1\,，2\,，3\,三個數排列成0\,個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成1\,個非空圓圈，有{\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\2&&3\end{matrix}}\right)\,}，{\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\3&&2\end{matrix}}\right)\,}兩種方法；排列成2\,個非空圓圈，有{\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,}{\displaystyle \left({\begin{matrix}2&3\end{matrix}}\right)\,}，{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\end{matrix}}\right)\,}{\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,}和{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&3\end{matrix}}\right)\,}{\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,}三種方法；排列成3\,個非空圓圈，有{\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,}{\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,}{\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,}一種方法，所以{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]=0\,}{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]=2\,}，{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]=3\,}，{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]=1\,}。可以看到這和前面有符號史特靈數{\displaystyle s(n,k)\,}在n=3\,時的結果一致（只是符號差異）。

與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數，即



(
x

)

n
¯

=

∑

k
=
0

n

[

n

k

]

x

k


{\displaystyle (x)^{\overline {n}}=\sum \_{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}\,}

{\displaystyle (x)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}\,}
其中，{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}（{\displaystyle 0\leq k\leq n\,}）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}有時候會用來表示高斯二项式系数。

有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：



s
(
n
,
k
)
=
(
−
1

)

n
−
k

[

n

k

]

{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}

{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}
### 拓展示例

無符號史特靈數有更多的應用。例如，將n\,個元素分成k\,組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}求得。以{\displaystyle \left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=11\,}爲例：

1. (A,B)(C,D)
2. (A,C)(B,D)
3. (A,D)(B,C)
4. (A)(B,C,D)
5. (A)(B,D,C)
6. (B)(A,C,D)
7. (B)(A,D,C)
8. (C)(A,B,D)
9. (C)(A,D,B)
10. (D)(A,B,C)
11. (D)(A,C,B)

或用有向圖[來源請求]表示如下：

s(4,2)=11
### 遞推關係式

無符號史特靈數有如下遞推關係式：


[

n
+
1

k

]

=
n

[

n

k

]

+

[

n

k
−
1

]

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=n\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right]\,}

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=n\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right]\,}
其中，k>0，且初始條件爲
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,}，{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right]=0\,}（n>0）。

有符號史特靈數有如下遞推關係式：



s
(
n
+
1
,
k
)
=
−
n
s
(
n
,
k
)
+
s
(
n
,
k
−
1
)

{\displaystyle s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)}

{\displaystyle s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)}
### 第一類史特靈數表

下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式：



s
(
n
,
k
)
=
(
−
1

)

n
−
k

[

n

k

]

{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}

{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}
求得。

|  kn  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 0 | 1 |  |  |  |  |  |
| 2 | 0 | 1 | 1 |  |  |  |  |
| 3 | 0 | 2 | 3 | 1 |  |  |  |
| 4 | 0 | 6 | 11 | 6 | 1 |  |  |
| 5 | 0 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |  |
| 6 | 0 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |

### 簡單性質

觀察前面的"第一類史特靈數表"，我們可以得到一些簡單的性質：

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,}，{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=0\,}（{\displaystyle n>0\,}）。
如果k>0\,，我們有

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right]=0\,}；
或更一般地，如果{\displaystyle k>n\,}，我們有

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=0\,}。
還有

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]=(n-1)!\,}，
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right]=1\,}，
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]={n \choose 2}\,}，
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){n \choose 3}\,}，
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,}。
注：這裏記號{\displaystyle {n \choose k}\,}表示组合数。

### 其他性質

第二類史特靈數
-------

### 定義

**第二類史特靈數（英语：）**與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義爲


x

n

=

∑

k
=
0

n

{

n

k

}

(
x

)

k


{\displaystyle x^{n}=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)\_{k}\,}

{\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}\,}
其中，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,}即爲第二類史特靈數，也可以記爲{\displaystyle S(n,k)\,}。例如：


x

3

=

{

3

0

}

(
x

)

0

+

{

3

1

}

(
x

)

1

+

{

3

2

}

(
x

)

2

+

{

3

3

}

(
x

)

3


{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}(x)\_{0}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}(x)\_{1}+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}(x)\_{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}(x)\_{3}\,}

{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}(x)_{0}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}(x)_{1}+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}(x)_{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}(x)_{3}\,}
即


x

3

=

{

3

0

}

+

{

3

1

}

x
+

{

3

2

}

x
(
x
−
1
)
+

{

3

3

}

x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)

{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}x+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}x(x-1)+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)\,}

{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}x+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}x(x-1)+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)\,}
將遞降階乘展開並合併同類項，得


x

3

=

{

3

0

}

+

(

{

3

1

}

−

{

3

2

}

+
2

{

3

3

}

)

x
+

(

{

3

2

}

−
3

{

3

3

}

)

x

2

+

{

3

3

}

x

3


{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x^{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x^{3}\,}

{\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x^{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x^{3}\,}
比較等式兩邊係數，得



{

{

3

0

}

=
0


{

3

1

}

−

{

3

2

}

+
2

{

3

3

}

=
0


{

3

2

}

−
3

{

3

3

}

=
0


{

3

3

}

=
1



{\displaystyle {\begin{cases}\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\end{cases}}\,}

{\displaystyle {\begin{cases}\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\end{cases}}\,}
解得

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,}。

第二類史特靈數計算的是將含有n\,個元素的集合拆分爲k\,個非空子集的方法數目。例如：對於集合{\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}，若拆分爲0\,個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲1\,個非空子集，只有{\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}一種方法；拆分爲2\,個非空子集，有{\displaystyle \left\{1\right\}\,}{\displaystyle \left\{2,3\right\}\,}，{\displaystyle \left\{1,2\right\}\,}{\displaystyle \left\{3\right\}\,}，{\displaystyle \left\{2\right\}\,}{\displaystyle \left\{1,3\right\}\,}三種方法；拆分爲3\,個非空子集，有{\displaystyle \left\{1\right\}\,}{\displaystyle \left\{2\right\}\,}{\displaystyle \left\{3\right\}\,}一種方法。於是{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,}。

第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：


{

n

k

}

=

1

k
!

∑

i
=
0

k

(
−
1

)

i

(

k

i

)

(
k
−
i

)

n


{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum \_{i=0}^{k}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right)(k-i)^{n}\,}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right)(k-i)^{n}\,}
取{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,}進行驗算，有


{

3

2

}

=

1

2
!

∑

i
=
0

2

(
−
1

)

i

(

2

i

)

(
2
−
i

)

3


{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2!}}\sum \_{i=0}^{2}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}2\\i\end{matrix}}\right)(2-i)^{3}\,}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2!}}\sum _{i=0}^{2}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}2\\i\end{matrix}}\right)(2-i)^{3}\,}
即


{

3

2

}

=

1
2

(

(

2

0

)

×

2

3

−

(

2

1

)

×

1

3

+

(

2

2

)

×

0

3

)

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(\left({\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right)\times 2^{3}-\left({\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\times 1^{3}+\left({\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right)\times 0^{3}\right)\,}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(\left({\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right)\times 2^{3}-\left({\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\times 1^{3}+\left({\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right)\times 0^{3}\right)\,}
於是


{

3

2

}

=

1
2

(

1
×
8
−
2
×
1
+
1
×
0

)

=
3

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(1\times 8-2\times 1+1\times 0\right)=3\,}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(1\times 8-2\times 1+1\times 0\right)=3\,}
### 拓展示例

將n\,個人分成k\,組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1\,組，只能所有人在同一組，因此{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}；若所有人分成4\,組，只能每人獨立一組，因此{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\4\end{matrix}}\right\}=1\,}；若分成2\,組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：

1. {甲, 乙}{丙, 丁}
2. {甲, 丙}{乙,丁}
3. {甲, 丁}{乙, 丙}
4. {甲}{乙, 丙, 丁}
5. {乙}{甲, 丙, 丁}
6. {丙}{甲, 乙, 丁}
7. {丁}{甲, 乙, 丙}

因此{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}=7\,}。同理，可以得到{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\3\end{matrix}}\right\}=6\,}。

### 遞推關係式

第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：


{

n
+
1

k

}

=
k

{

n

k

}

+

{

n

k
−
1

}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right\}\,}

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right\}\,}
其中，k>0，且初始條件爲
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right\}=0\,}（n>0）。

### 第二類史特靈數表

下面爲部分第二類史特靈數：

|  kn  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 0 | 1 |  |  |  |  |  |
| 2 | 0 | 1 | 1 |  |  |  |  |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 1 |  |  |  |
| 4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 |  |  |
| 5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |  |
| 6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |

### 簡單性質

觀察前面的"第二類史特靈數表"，我們可以得到一些簡單的性質：

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,}，{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}（{\displaystyle n>0\,}）。
如果k>0\,，我們有

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right\}=0\,}；
或更一般地，如果{\displaystyle k>n\,}，我們有

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=0\,}。
還有

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}=2^{n-1}-1\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}={n \choose 2}\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,}，
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,}。
### 其他性質

貝爾數和第二類史特靈數有如下關係：


B

n

=

∑

k
=
0

n

{

n

k

}

{\displaystyle B\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,}

{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,}

兩類之間的關係
-------

第一類和第二類史特靈數可以看作互爲逆矩陣的關係：



∑

j
≥
0

s
(
n
,
j
)
S
(
j
,
k
)
=

∑

j
≥
0

(
−
1

)

n
−
j

[

n

j

]

{

j

k

}

=

δ

n
k


∑

j
≥
0

s
(
n
,
j
)
S
(
j
,
k
)
=

∑

j
≥
0

(
−
1

)

n
−
j

[

n

j

]

{

j

k

}

=

δ

n
k



{\displaystyle \sum \_{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum \_{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta \_{nk}}{\displaystyle \sum \_{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum \_{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta \_{nk}\,}

{\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,}
以及



∑

j
≥
0

S
(
n
,
j
)
s
(
j
,
k
)
=

∑

j
≥
0

(
−
1

)

j
−
k

{

n

j

}

[

j

k

]

=

δ

n
k


∑

j
≥
0

S
(
n
,
j
)
s
(
j
,
k
)
=

∑

j
≥
0

(
−
1

)

j
−
k

{

n

j

}

[

j

k

]

=

δ

n
k



{\displaystyle \sum \_{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum \_{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta \_{nk}}{\displaystyle \sum \_{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum \_{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta \_{nk}\,}

{\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,}
其中，{\displaystyle \delta \_{nk}\,}是克羅內克爾δ。

拉赫數
---

### 定義

**拉赫數（英语：）**是由伊沃·拉赫（英语：）在1954年發現的，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲**第三類史特靈數**。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲


x

(
n
)

=

∑

k
=
0

n

L
(
n
,
k
)
(
x

)

k


{\displaystyle x^{(n)}=\sum \_{k=0}^{n}L(n,k)(x)\_{k}\,}

{\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,}
或



(
x

)

n

=

∑

k
=
0

n

(
−
1

)

n
−
k

L
(
n
,
k
)

x

(
k
)


{\displaystyle (x)\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}\,}

{\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}\,}
其中， {\displaystyle L(n,k)\,}即爲拉赫數。例如：


x

(
3
)

=

∑

k
=
0

3

L
(
3
,
k
)
(
x

)

k


{\displaystyle x^{(3)}=\sum \_{k=0}^{3}L(3,k)(x)\_{k}\,}

{\displaystyle x^{(3)}=\sum _{k=0}^{3}L(3,k)(x)_{k}\,}
即

{\displaystyle x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x-1)+L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,}
等式兩邊展開並合併同類項，得



0
⋅

x

0

+
2
⋅
x
+
3
⋅

x

2

+
1
⋅

x

3

=
L
(
3
,
0
)
+
[
L
(
3
,
1
)
−
L
(
3
,
2
)
+
2
L
(
3
,
3
)
]
⋅
x
+
[
L
(
3
,
2
)
−
3
L
(
3
,
3
)
]
⋅

x

2

+
L
(
3
,
3
)
⋅

x

3


{\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x+3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}

{\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x+3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}
比較等式兩邊係數，得



{

L
(
3
,
0
)
=
0



L
(
3
,
1
)
−
L
(
3
,
2
)
+
2
L
(
3
,
3
)
=
2



L
(
3
,
2
)
−
3
L
(
3
,
3
)
=
3



L
(
3
,
3
)
=
1




{\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{L(3,2)-3L(3,3)=3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}

{\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{L(3,2)-3L(3,3)=3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}
解得
{\displaystyle L(3,0)=0\,}，{\displaystyle L(3,1)=6\,}，
{\displaystyle L(3,2)=6\,}，{\displaystyle L(3,3)=1\,}。

或



(
x

)

3

=

∑

k
=
0

3

(
−
1

)

3
−
k

L
(
3
,
k
)

x

(
3
)


{\displaystyle (x)\_{3}=\sum \_{k=0}^{3}(-1)^{3-k}L(3,k)x^{(3)}\,}

{\displaystyle (x)_{3}=\sum _{k=0}^{3}(-1)^{3-k}L(3,k)x^{(3)}\,}
即

{\displaystyle x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x+1)+L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,}
等式兩邊展開並合併同類項，得



0
⋅

x

0

+
2
⋅
x
−
3
⋅

x

2

+
1
⋅

x

3

=
−
L
(
3
,
0
)
+
[
L
(
3
,
1
)
−
L
(
3
,
2
)
+
2
L
(
3
,
3
)
]
⋅
x
+
[
−
L
(
3
,
2
)
+
3
L
(
3
,
3
)
]
⋅

x

2

+
L
(
3
,
3
)
⋅

x

3


{\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}

{\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}
比較等式兩邊係數，得



{

L
(
3
,
0
)
=
0



L
(
3
,
1
)
−
L
(
3
,
2
)
+
2
L
(
3
,
3
)
=
2



−
L
(
3
,
2
)
+
3
L
(
3
,
3
)
=
−
3



L
(
3
,
3
)
=
1




{\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{-L(3,2)+3L(3,3)=-3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}

{\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{-L(3,2)+3L(3,3)=-3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}
解得
{\displaystyle L(3,0)=0\,}，{\displaystyle L(3,1)=6\,}，
{\displaystyle L(3,2)=6\,}，{\displaystyle L(3,3)=1\,}。

以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下：


x

(
n
)

=
(
−
1

)

n

∑

k
=
0

n

L
(
n
,
k
)
(
x

)

k


{\displaystyle x^{(n)}=(-1)^{n}\sum \_{k=0}^{n}L(n,k)(x)\_{k}\,}

{\displaystyle x^{(n)}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,}
或



(
x

)

n

=

∑

k
=
0

n

(
−
1

)

k

L
(
n
,
k
)

x

(
k
)


{\displaystyle (x)\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}L(n,k)x^{(k)}\,}

{\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}L(n,k)x^{(k)}\,}
無符號拉赫數計算的是將含有n\,個元素的集合拆分爲k\,個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合{\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}，若拆分爲0\,個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲1\,個非空線性有序子集，有{\displaystyle \left\{(1,2,3)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(1,3,2)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(2,1,3)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(2,3,1)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(3,1,2)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(3,2,1)\right\}\,}六種方法；拆分爲2\,個非空線性有序子集，有{\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(2,3)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(3,2)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(1,3)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(3,1)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(1,2)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}{\displaystyle \left\{(2,1)\right\}\,}六種方法；拆分爲3\,個非空線性有序子集，有{\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}，{\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}一種方法。於是{\displaystyle L(3,0)=0\,}，{\displaystyle L(3,1)=6\,}，
{\displaystyle L(3,2)=6\,}，{\displaystyle L(3,3)=1\,}。

無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：



L
(
n
,
k
)
=

(

n
−
1

k
−
1

)



n
!

k
!



{\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}

{\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}
有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：


L
′

(
n
,
k
)
=
(
−
1

)

n


(

n
−
1

k
−
1

)



n
!

k
!



{\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}

{\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}
### 拓展示例

無符號拉赫數（*n*和*k*取1到4）
### 遞推關係式

無符號拉赫數有如下遞推關係：

{\displaystyle L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k)}
或

{\displaystyle L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\,}
其中，{\displaystyle L(n,0)=0\,}，{\displaystyle L(n,0)=0\,}，{\displaystyle L(n,k)=0\,}（{\displaystyle k>n\,}），{\displaystyle L(1,1)=1\,}

### 拉赫數表

下面爲部分無符號拉赫數：

|  kn  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 0 | 1 |  |  |  |  |  |
| 2 | 0 | 2 | 1 |  |  |  |  |
| 3 | 0 | 6 | 6 | 1 |  |  |  |
| 4 | 0 | 24 | 36 | 12 | 1 |  |  |
| 5 | 0 | 120 | 240 | 120 | 20 | 1 |  |
| 6 | 0 | 720 | 1800 | 1200 | 300 | 30 | 1 |

### 簡單性質

觀察前面的"拉赫數表"，我們可以得到一些簡單性質：

{\displaystyle L(0,0)=1}，
{\displaystyle L(n,0)=0}（n>0）

如果{\displaystyle k>n}，有
{\displaystyle L(0,0)=1}，{\displaystyle L(n,k)=0}

還有

{\displaystyle L(n,1)=n!}
{\displaystyle L(n,2)={\frac {(n-1)n!}{2}}}
{\displaystyle L(n,3)={\frac {(n-2)(n-1)n!}{12}}}
{\displaystyle L(n,n-1)=n(n-1)}
{\displaystyle L(n,n)=1}
{\displaystyle \sum \_{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}
### 其他性質

無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：

{\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!}
{\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}
無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下：



L
(
n
,
k
)
=

∑

j
=
0

n

[

n

j

]

{

j

k

}

{\displaystyle L(n,k)=\sum \_{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,}

{\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,}
取{\displaystyle L(3,2)\,}進行驗算，有



L
(
3
,
2
)
=

∑

j
=
0

3

[

3

j

]

{

j

2

}

{\displaystyle L(3,2)=\sum \_{j=0}^{3}\left[{\begin{matrix}3\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\2\end{matrix}}\right\}\,}

{\displaystyle L(3,2)=\sum _{j=0}^{3}\left[{\begin{matrix}3\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\2\end{matrix}}\right\}\,}
即



L
(
3
,
2
)
=

[

3

0

]

{

0

2

}

+

[

3

1

]

{

1

2

}

+

[

3

2

]

{

2

2

}

+

[

3

3

]

{

3

2

}

{\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,}

{\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,}
於是



L
(
3
,
2
)
=

[

3

2

]

{

2

2

}

+

[

3

3

]

{

3

2

}

=
3
×
1
+
1
×
3
=
6

{\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\times 1+1\times 3=6\,}

{\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\times 1+1\times 3=6\,}
由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有


∑

j
≥
0

L
(
n
,
j
)
L
(
j
,
k
)
=

δ

n
k


{\displaystyle \sum \_{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta \_{nk}\,}

{\displaystyle \sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,}
其中，{\displaystyle \delta \_{nk}\,}是克羅內克爾δ。

三類之間的關係
-------

三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示：

參考資料
----

1. ↑  Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav.. Kluwer Academic Publishers. 2004: 464. ISBN 9781402025464.
2. ↑ . Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962). : 530–532,. JSTOR 2311194..
3. ↑  Antonio Salmeri (编). . : pp. 44–54.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
4. ↑  Knuth, D.E. (1992) (编). . : 403-422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211 可免费查阅. doi:10.2307/2325085.
5. ↑  Brualdi,R.A. (编).. 由冯速等人翻译. 北京: 机械工业出版社. 2012.4: 176页. ISBN 978-7-111-37787-0.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
6. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2019-06-06]. （原始内容存档于2019-06-06） （英语）.
7. ↑  Lah, Ivo.  **9**. 1954: 7–15.  `|journal=`被忽略 (帮助)
8. ↑  John Riordan, *Introduction to Combinatorial Analysis* （页面存档备份，存于）, Princeton University Press (1958, reissue 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reprinted again in 2002 by Dover Publications).
9. ↑  Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz.  **12**. Fall 2007: 417–424. JSTOR 24340704.  `|journal=`被忽略 (帮助); `|number=`被忽略 (帮助)
10. ↑  Comtet, Louis.. Dordrecht, Holland: Reidel. 1974: 156.