在同調代數中，**譜序列**是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

動機
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讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義
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以下固定一個阿貝爾範疇 {\mathcal {A}}，常見例子是一個環上的模範疇。**譜序列**是一個非負整數 r\_{0} 及下述資料：

* 對所有整數 r\geq r\_{0}，有範疇中的一個對象 E\_r。
* 自同態 d\_{r}:E\_{r}\to E\_{r}，滿足 d\_{r}^{2}=0，稱為**邊界映射**或**微分**。
* 從 E\_{{r+1}} 到 H(E\_{r},d\_{r}) 的同構。

通常省去 E\_{{r+1}} 與 H(E\_{r},d\_{r}) 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 C\_{\bullet }，它帶有一個微分 d。取 r\_{0}=0，並令 E\_{0}=C\_{\bullet }，於是必有 E\_{1}=H(C\_{\bullet })；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 E\_{1}=E\_{2}=\cdots 。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：

* E\_{0}=C\_{\bullet }
* E\_{r}=H(C\_{\bullet })\;(r\geq 1)

由於只有 r=0 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 E\_{r}^{{p,q}}，此時的微分映射次數與 r 有關：對於上同調譜序列，d\_{r}:E\_{r}\to E\_{r} 的次數是 (r,-r+1)。對於同調譜序列，通常將各項寫成 E\_r，微分映射 d^{r}:E\_{r}\to E\_{r} 的次數是 (-r,r-1)。

譜序列之間的態射 f:E\to E' 定義為一族態射 f\_{r}:E\_{r}\to E\_{r}'，使之與同構 E\_{{r+1}}\simeq H(E\_{r},d\_{r}) 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶
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交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的**正合偶**。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）{\mathcal {A}}，一個**正合偶**是：

* 一對對象 A,C
* 三個態射：
	+ f:A\to A
	+ g:A\to C
	+ h:C\to A

使之滿足下述正合條件：

* Image *f* = Kernel *g*
* Image *g* = Kernel *h*
* Image *h* = Kernel *f*

將這組資料簡記為 (A,C,f,g,h)。正合偶通常以三角形表示。C 對應到譜序列的 E\_{0} 項，而 A 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造**導出偶**。令：

* d:=g\circ h
* A':=f(A)
* C':={\mathrm {Ker}}(d)/{\mathrm {Im}}(d)
* f':=f|\_{{A'}}
* h':C'\to A' 由 h 導出。
* g':A'\to C' 定義如下：若 {\mathcal {A}} 為某個環上的模範疇，對任一 a\in A'，存在 b\in A' 使得 a=f(b)，定義 g'(a) 為 g(b) 在 C' 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 g'。

現在可以驗證 (A',C',f',g',h') 構成正合偶。C' 對應到譜序列的 E\_{1} 項。續行此法，可以得到一族正合偶 (A^{{(n)}},C^{{(n)}},f^{{(n)}},g^{{(n)}},h^{{(n)}})。相應的譜序列定義為 E\_{n}:=C^{{(n)}}，d\_{n}:=g^{{(n)}}\circ h^{{(n)}}。

圖解
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譜序列的 E2 項
一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 r,p,q。對每個 r，設想有一張方格紙，分別讓 p, q 對應於橫、縱軸。每一個格子點 (p,q) 對應到對象 E\_{r}^{{p,q}}。微分 d\_r 的次數為 (r,-r+1)，方向如圖所示。

收斂與退化
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在第一個簡單的例子中，譜序列在 r\geq 1 後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的**極限**為 E\_{\infty }:=E\_{r}\;(r\geq 1)。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

**定義**：若譜序列 E\_{r}^{{p,q}} 對每個 (p,q) 都存在 r(p,q)\in \mathbb{N} ，使得當 r\geq r(p,q) 時，d\_{r}^{{p-r,q+r-1}}:E\_{r}^{{p-r,q+r-1}}\to E\_{r}^{{p,q}} 及 d\_{r}^{{p,q}}:E\_{r}^{{p,q}}\to E\_{r}^{{p+r,q-r+1}} 皆為零，則稱 E\_{r}^{{p,q}} 之**極限項**為 E\_{\infty }^{{p,q}}:=E\_{r}^{{p,q}}（取充分大的 r）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標 p 指涉過濾結構。

若存在對象 E^{\bullet }、過濾結構 \cdots \subset F^{{p+1}}E^{\bullet }\subset F^{{p}}E^{\bullet }\subset \cdots ，及一族同構 \beta ^{{p,q}}:E\_{\infty }^{{p,q}}\simeq {\mathrm {gr}}^{p}E^{{p+q}}，滿足 \bigcap \_{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup \_{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }（這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 E\_{r}^{{p,q}} **收斂**到 E^{\bullet }，通常表為下述符號：

E\_{r}^{{p,q}}\Rightarrow \_{p}E\_{\infty }^{{p,q}}
習慣上，人們也常將左式寫成 E\_{2}^{{p,q}}，因為譜序列中最重要的頁往往是 E\_{2}^{{p,q}}。

最簡單的收斂特例是**退化**：

**定義**：固定 r\in \mathbb{N} ，若對每個 s\geq r，微分映射 d\_{s} 都是零，則稱該譜序列在第 r 頁退化。

退化性保證了 E\_{r}\simeq E\_{{r+1}}\simeq \cdots ，此時 E\_r 即其極限。如果一個雙分次譜序列 E\_{r}^{{p,q}} 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 r=2 時退化。

例子
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### 過濾結構導出的譜序列

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 C 及微分映射 d:C\to C ，使之滿足 d^{2}=0，以及

C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{{n+1}}C=0
dF^{p}C\subset F^{p}C
同調群上也有相應的過濾

F^{p}H(C,d):={\mathrm {Im}}(H(F^{p}C,d)\to H(C,d)
對此，定義相應的分次對象

{\mathrm {gr}}\_{F}C:=\bigoplus \_{{p\geq 0}}F^{p}C/F^{{p+1}}C
{\mathrm {gr}}\_{F}H(C):=\bigoplus \_{{p\geq 0}}F^{p}H(C)/F^{{p+1}}H(C))
取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：

Z\_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{{p+r}}C}
E\_{r}^{p}:=Z\_{r}^{p}/(dZ\_{{r-1}}^{{p-r+1}}+Z\_{{r-1}}^{{p+1}})=Z\_{r}^{p}/(Z\_{r}^{p}\cap (dF^{{p-r+1}}C+F^{{p+1}}C))
此時有 E\_{0}^{p}=F^{p}C/F^{{p+1}}C,E\_{1}^{p}=H({\mathrm {gr}}^{p}C)，且譜序列收斂：

E\_{r}^{p}\Rightarrow E\_{\infty }^{p}={\mathrm {gr}}^{p}H(C)
通常也寫成 E\_{r}\Rightarrow H(C)。

取 {\mathcal {A}} 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 C 是個上鏈複形 \cdots \to C^{q}\to C^{{q+1}}\to \cdots ，d 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 p,q,r，並可進一步化成下述形式：

E\_{0}^{{p,q}}=F^{p}C^{{p+q}}/F^{{p+1}}C^{{p+q}}
E\_{1}^{{p,q}}=H^{{p+q}}({\mathrm {gr}}^{p}C^{\bullet })
E\_{\infty }^{{p,q}}={\mathrm {gr}}^{p}(H^{{p+q}}(C^{\bullet }))
### 雙複形的譜序列

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的**雙複形**，即一組對象 C^{{p,q}}，及兩組微分映射 d':C^{{p,q}}\to C^{{p+1,q}} 及 d'':C^{{p,q}}\to C^{{p,q+1}}，滿足

d'^{2}=d''^{2}=0
d'd''+d''d'=0
對一個雙複形，可定義其**全複形** (C,D)（也記為 T(C) 或 {\mathrm {Tot}}(C)） 為

C^{n}:=\bigoplus \_{{p+q=n}}C^{{p,q}}
D:=d'+d''
C 上有兩組過濾，分別是：

('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus \_{{i+j=n,\,i\geq p}}C^{{i,j}}
(''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus \_{{i+j=n,\,j\geq q}}C^{{i,j}}
它們給出兩個譜序列 'E\_{r} 與 ''E\_{r}。首先計算 'E\_{0},'E\_{1},'E\_{2} 項：

'E\_{0}^{{i,j}}=C^{{i,j}}
'E\_{1}^{{i,j}}=H\_{{d''}}^{j}(C^{{i,\bullet }})
'E\_{2}^{{i,j}}=H\_{{d'}}^{i}(H\_{{d''}}^{j}(C^{{\bullet ,\bullet }}))\qquad （即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）
同理可計算 ''E\_{0},''E\_{1},''E\_{2}：

''E\_{0}^{{i,j}}=C^{{j,i}}
''E\_{1}^{{i,j}}=H\_{{d'}}^{j}(C^{{\bullet ,i}})
''E\_{2}^{{i,j}}=H\_{{d''}}^{i}(H\_{{d'}}^{j}(C^{{\bullet ,\bullet }}))\qquad （即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。
這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 r 增大，它們都收斂到 H(C)，由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子
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### Tor函子的交換性

利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構：

{\mathrm {Tor}}\_{i}(M,N)={\mathrm {Tor}}\_{i}(N,M)
取定平坦分解 P\_{\bullet }\to M\to 0 及 Q\_{\bullet }\to N\to 0。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 d,e。考慮雙複形 C\_{{i,j}}:=P\_{i}\otimes Q\_{j}，其微分映射定義為 d\_{{i,j}}:=d\_{i}\otimes {\mathrm {id}}+(-1)^{j}{\mathrm {id}}\otimes e\_{j}（以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

'E\_{{p,q}}^{2}=H\_{p}^{I}(H\_{q}^{{II}}(P\_{\bullet }\otimes Q\_{\bullet }))=H\_{p}^{I}(P\_{\bullet }\otimes H\_{q}^{{II}}(Q\_{\bullet }))
''E\_{{p,q}}^{2}=H\_{q}^{{II}}(H\_{p}^{I}(P\_{\bullet }\otimes Q\_{\bullet }))=H\_{q}^{{II}}(Q\_{\bullet }\otimes H\_{p}^{I}(P\_{\bullet }))
由於複形 P\_{\bullet },Q\_{\bullet } 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

H\_{p}^{I}(P\_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}\_{p}(M,N)
H\_{q}^{{II}}(Q\_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}\_{q}(N,M)
故 'E\_{{p,q}}^{2} 只在 p=0 上有非零項，而 ''E\_{{p,q}}^{2} 只在 q=0 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

{\mbox{Tor}}\_{p}(M,N)\cong E\_{{p,q}}^{\infty }={\mbox{gr}}\_{p}H^{{p+q}}(T(C\_{{\bullet ,\bullet }}))
{\mbox{Tor}}\_{q}(N,M)\cong E\_{{p,q}}^{\infty }={\mbox{gr}}\_{q}H^{{p+q}}(T(C\_{{\bullet ,\bullet }}))
當 p=q 時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

### 示性數

運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是**示性數**：固定一個阿貝爾範疇 {\mathcal {A}} 及一個交換群 C，所謂示性數是一個函數 \chi :{\mathrm {Ob}}{\mathcal {A}}\to C，滿足：

* \forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)
* X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)

例如：取 {\mathcal {A}} 為某個域 k 上的有限維向量空間範疇，則 \chi :V\mapsto \dim \_{k}V 是一個示性數。

對任一 {\mathcal {A}} 上的有限複形 K^{\bullet }，定義

\chi (K^{\bullet })=\sum \_{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})
容易證明 \chi (K^{\bullet })=\sum \_{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))。考慮任一在 {\mathcal {A}} 上的收斂譜序列 (E\_{r}^{\bullet })，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到

\chi (E\_{r}^{\bullet })=\chi (E\_{{r+1}}^{\bullet })=\cdots =\chi (E\_{\infty }^{\bullet })
然而

\chi (E^{n})=\sum \_{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{{p+1}}E^{n})=\sum \_{p}\chi (E\_{\infty }^{{p,n-p}})
於是得到

\forall r,\;\sum \_{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E\_{r}^{\bullet })

參考資料
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### 歷史文獻

* Leray, Jean.. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, **222**: 1366––1368.
* Leray, Jean.. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, **222**: 1419––1422.
* Koszul, Jean-Louis.. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, **225**: 217––219.
* Massey, William S.. Ann. of Math. (2nd series). 1952, **56**: 363––396.
* Massey, William S.. Ann. of Math. (2nd series). 1953, **57**: 248––286.

### 當代文獻

* S.N. Malygin, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* McCleary, John.  2nd Edition. Cambridge University Press. February 2001: 560 pp. doi:10.2277/0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Mosher, Robert; Martin Tangora.. Harper and Row. 1968.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
* Hatcher, Allen.  (PDF).  [2007-08-17]. （原始内容存档于2014-02-05）.
* Chow, Timothy Y.  (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, **53**: 15––19  [2007-08-17]. （原始内容存档 (PDF)于2006-10-06）.