**最佳投影方程**（optimal projection equations）是控制理论中，建構局部最佳降階LQG控制器的充分必要条件。

LQG控制（線性二次高斯控制）問題是最优控制領域中最基礎的問題之一，這問題包括了存在不確定性的線性系統，受到加性高斯白噪声的影響，沒有完整的狀態資訊（無法量測到所有的狀態變數，也無法透過回授得知），對應二次的成本泛函。不過存在唯一解，而且可以建構線性動態回授的控制律，易於計算以及實現。而LQG控制器也是非線性系統中最佳擾動控制的基礎。

LQG控制器的架構會類似要控制的系統，兩者會有相同的維度。因此若系統本身就是高維度，要實現（全階）LQG控制器會很困難。降階LQG問題（固定階LQG問題）事先固定LQG控制器的階數，因此克服了這個困難。不過在全階LQG控制器中適用的分離原理，在降階LQG問題中已無法適用，因此這方面會更困難，而且其解也不唯一。不過可以找到數值分析的演算法來求解對應的最佳投影方程。

問題的數學表示以及其解
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### 連續時間

降階的LQG控制問題幾乎和全階的LQG控制問題相同。令{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t)}表示降階LQG控制器的狀態，唯一的差異是LQG控制器的狀態維度{\displaystyle n\_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t))}是事先定義好的值，比受控系統的狀態維度{\displaystyle n=dim({\mathbf {x} }(t))}要少。

降階LQG控制器可以表示為下式：

{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}\_{r}(t)=A\_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t)+B\_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K\_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C\_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(0)={\mathbf {x} }\_{r}(0),}
{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L\_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t).}
上述公式刻意寫的類似傳統全階LQG控制器的形式，降階的LQG控制問題也可以改寫為下式：

{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}\_{r}(t)=F\_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t)+K\_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(0)={\mathbf {x} }\_{r}(0),}
{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L\_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}\_{r}(t),}
其中

{\displaystyle F\_{r}(t)=A\_{r}(t)-B\_{r}(t)L\_{r}(t)-K\_{r}(t)C\_{r}(t).}
降階LQG控制器的矩陣{\displaystyle F\_{r}(t),K\_{r}(t),L\_{r}(t)}和{\displaystyle {\mathbf {x} }\_{r}(0)}是由所謂的**最佳投影方程**（optimal projection equations、OPE）來決定。

n維的最佳投影方陣{\displaystyle \tau (t)}是**OPE**的核心。此矩陣的秩在所有狀態下幾乎都等於{\displaystyle n\_{r}}。相關投影為斜投影（oblique projection）：{\displaystyle \tau ^{2}(t)=\tau (t)}。最佳投影方程包括四個矩陣微分方程。前二個是LQG控制器對應的矩陣Riccati微分方程的擴展。在方程式中{\displaystyle \tau \_{\perp }(t)}表示{\displaystyle I\_{n}-\tau (t)}，而I\_n為n維的單位矩陣

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau \_{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '\_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '\_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau \_{\perp }(t),\end{aligned}}}
{\displaystyle S(T)=F.}
若LQG的維度沒有減少，也就是{\displaystyle n=n\_{r}}，則{\displaystyle \tau (t)=I\_{n},\tau \_{\perp }(t)=0}，上述二個方程就是二個沒有耦合的矩陣Riccati微分方程，對應全階的LQG控制器。若{\displaystyle n\_{r}<n}，則兩個方程會有斜投影項{\displaystyle \tau (t).}。這也是為何降階的LQG控制器無法分離的原因，斜投影{\displaystyle \tau (t)}是由另外二個矩陣微分方程所決定，其中也和秩的條件（rank conditions）有關。這四個矩陣微分方程組成了最佳投影方程。為了要列出另外二個矩陣微分方程，先定義以下二個矩陣：

{\displaystyle \Psi \_{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'}
{\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),}
{\displaystyle \Psi \_{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))}
{\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).}
則最後二個矩陣微分方程如下：

{\displaystyle {\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi \_{1}(t)+\Psi \_{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n\_{r}} almost everywhere,
{\displaystyle -{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi \_{2}(t)+\Psi \_{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n\_{r}} almost everywhere,
其中

{\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{\*}.}
此處的 \* 表示群廣義逆矩陣（group generalized inverse）或Drazin逆矩陣（英语：），是唯一的，定義如下

{\displaystyle A^{\*}=A(A^{3})^{+}A.}
其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩陣{\displaystyle P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)}都需要是非負對稱矩陣。可以建構最佳投影方程的解，而此解可以決定降階LQG控制器矩陣{\displaystyle F\_{r}(t),K\_{r}(t),L\_{r}(t)}和{\displaystyle {\mathbf {x} }\_{r}(0)}：

{\displaystyle F\_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),}
{\displaystyle K\_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),}
{\displaystyle L\_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),}
{\displaystyle {\mathbf {x} }\_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).}
上式中的矩陣{\displaystyle G(t),H(t)}是符合以下性質的矩陣：

{\displaystyle G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I\_{n\_{r}}}幾乎在所有狀態下。
可以由{\displaystyle {\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)}的投影分解中得到：

若降階LQG問題中的所有矩陣都是非時變的，且最終時間（horizon）T趨近無限大，則最佳降階LQG控制器和最佳投影方程也都會是非時變的。此情形下，最佳投影方程左側的微分項會為零。

### 離散時間

離散時間的情形類似連續時間的例子，要處理的是將n階傳統離散時間全階LQG問題轉換為事先已知固定階數的{\displaystyle n\_{r}<n}階降階LQG控制器。為了要表示離散時間的OPE，先引入以下二個矩陣：

{\displaystyle \Psi \_{i}^{1}=\left(A\_{i}-B\_{i}(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i})^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}A\_{i})\right){\hat {P}}\_{i}\left(A\_{i}-B\_{i}(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i})^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}A\_{i})\right)'}
{\displaystyle {}+A\_{i}P\_{i}C'\_{i}(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i})^{-1}C\_{i}P\_{i}A'\_{i}}
{\displaystyle \Psi \_{i+1}^{2}=\left(A\_{i}-A\_{i}P\_{i}C'\_{i}(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i})^{-1}C\_{i}\right)'{\hat {S}}\_{i+1}\left(A\_{i}-A\_{i}P\_{i}C'\_{i}(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i})^{-1}C\_{i}\right)}
{\displaystyle {}+A'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i})^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}A\_{i}}
則離散時間OPE為

{\displaystyle P\_{i+1}=A\_{i}\left(P\_{i}-P\_{i}C'\_{i}\left(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i}\right)^{-1}C\_{i}P\_{i}\right)A'\_{i}+V\_{i}+\tau \_{\perp i+1}\Psi \_{i}^{1}\tau '\_{\perp i+1},P\_{0}=E\left({\mathbf {x} }\_{0}{\mathbf {x'} }\_{0}\right)}.
{\displaystyle S\_{i}=A'\_{i}\left(S\_{i+1}-S\_{i+1}B\_{i}\left(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i}\right)^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}\right)A\_{i}+Q\_{i}+\tau '\_{\perp i}\Psi \_{i+1}^{2}\tau \_{\perp i},S\_{N}=F}.
{\displaystyle {\hat {P}}\_{i+1}=1/2(\tau \_{i+1}\Psi \_{i}^{1}+\Psi \_{i}^{1}\tau '\_{i+1}),{\hat {P}}\_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}\_{i})=n\_{r}} almost everywhere,
{\displaystyle {\hat {S}}\_{i}=1/2(\tau '\_{i}\Psi \_{i+1}^{2}+\Psi \_{i+1}^{2}\tau \_{i}),{\hat {S}}\_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}\_{i})=n\_{r}} almost everywhere.
斜投影（oblique projection）矩陣為

{\displaystyle \tau \_{i}={\hat {P}}\_{i}{\hat {S}}\_{i}\left({\hat {P}}\_{i}{\hat {S}}\_{i}\right)^{\*}.}
非負對稱矩陣{\displaystyle P\_{i},S\_{i},{\hat {P}}\_{i},{\hat {S}}\_{i}}是離散時間OPE的解，也決定了降階LQG控制器的矩陣{\displaystyle F\_{i}^{r},K\_{i}^{r},L\_{i}^{r}} and {\displaystyle {\mathbf {x} }\_{0}^{r}}：

{\displaystyle F\_{i}^{r}=H\_{i+1}\left(A\_{i}-P\_{i}C'\_{i}\left(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i}\right)^{-1}C\_{i}-B\_{i}\left(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i}\right)^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}\right)G'\_{i},}
{\displaystyle K\_{i}^{r}=H\_{i+1}P\_{i}C'\_{i}\left(C\_{i}P\_{i}C'\_{i}+W\_{i}\right)^{-1},}
{\displaystyle L\_{i}^{r}=\left(B'\_{i}S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i}\right)^{-1}B'\_{i}S\_{i+1}G'\_{i},}
{\displaystyle {\mathbf {x} }\_{0}^{r}=H\_{0}E({\mathbf {x} }\_{0}).}
在上述的方程中，矩陣{\displaystyle G\_{i},H\_{i}}是有以下性質的矩陣：

{\displaystyle G'\_{i}H\_{i}=\tau \_{i},G\_{i}H'\_{i}=I\_{n\_{r}}}幾乎在所有狀態下。
這些矩陣可以從{\displaystyle {\hat {P}}\_{i}{\hat {S}}\_{i}}的投影因式分解中求得。

如同在連續時間中的例子一樣，若問題中所有的矩陣都是非時變，且且最終時間（horizon）T趨近無限大，降階LQG控制器就會是非時變的。因此離散時間OPE會收斂到穩態解，決定非時變的降階LOG控制器。

離散時間OPE也可以應用在狀態維度，輸入維度或是輸出維度可變的離散時間系統（具有時變維度的離散時間系統）。若在數位控制器中的取樣是不同步的，就可能會出現這類的系統。

參考資料
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