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| 量子力学 |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }薛定谔方程 |
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設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。
描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 \psi\_N =(\psi\_0+\psi\_1)/\sqrt{2} 。
在量子力學裏，**定態**（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為

{\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0 ；
其中，\Psi(x,\,t) 是定態的波函數，x 是位置，t 是時間 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi  ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，m 是質量，V(x) 是位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

\Psi (x,\,t)=\psi (x)e^{{-iEt/\hbar }} ；
其中，\psi (x) 是 \Psi(x,\,t) 的不含時間部分，E 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi +V\psi =E\psi  。
這是一個不含時薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 E 與伴隨的本徵函數 \psi\_E(x) 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 E ，波函數 \psi (x) 是定態薛丁格方程式的本徵函數 \psi\_E(x) 。

機率密度與時間無關
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雖然定態 \Psi(x,\,t) 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

|\Psi (x,\,t)|^{2}=|\psi (x)|^{2} 。
所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如，位置的期望值 \langle x\rangle  是

{\begin{aligned}\langle x\rangle &=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\Psi ^{\*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\,dx\\&=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\,x|\Psi (x,\,t)|^{2}\,dx\\&=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\,x|\psi (x)|^{2}\,dx\\\end{aligned}} 。
再舉一例，動量的期望值 \langle p\rangle  是

{\begin{aligned}\langle p\rangle &=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\Psi ^{\*}(x,\,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,\,t)\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi (x)e^{{iEt/\hbar }}{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi (x)e^{{-iEt/\hbar }})\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\,\psi ^{\*}(x){\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\,dx\\\end{aligned}} 。
所以，\langle x\rangle  和 \langle p\rangle  都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 f(x,\,p) ，期望值 \langle f(x,\,p)\rangle  必然與時間無關。

參閱
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* 純態
* 混合態
* 基態
* 激發態
* 束縛態
* 真空態
* 相干態
* 簡併態

參考文獻
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* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.