**消失動量**(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

由來
--

在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 

母小波不能是一個無限長的函數。
2. 必須是實函數(Real) : 

因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。
3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失動量越高越好: 

這項是最難滿足的一項。 

5. 

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

定義
--

首先定義第 k 個動量( {\displaystyle k\_{th}} moment): 

```
{\displaystyle m\_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt}
```

若 {\displaystyle m\_{0}=m\_{1}=m\_{2}=...=m\_{p-1}=0}，

則我們說 \psi (t) 有 p 個消失動量。

如何計算消失動量
--------

我們可以看到 {\displaystyle m\_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt} 不太好計算，尤其是 k 很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

### 計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

```
{\displaystyle G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}
```

當令{\displaystyle f=0}時，可以看到以上公式變成:

```
{\displaystyle G(0)=\int g(t)\,dt}
```

正是第0個動量 m\_{0}。

因此，若要計算 g(t) 的第0個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 {\displaystyle f=0} )。

### 計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 k 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 k 次，就相當於時域乘上 {\displaystyle t^{k}} :

```
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}
```

當令{\displaystyle f=0}時，可以看到以上公式變成:

```
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}
```

正是第 k 個動量 {\displaystyle m\_{k}}。

因此，若要計算 g(t) 的第k個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 {\displaystyle f=0} )。

一些常用函數的消失動量
-----------

分成兩類**連續函數**與**連續函數的離散係數**

* 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
* 連續函數的離散係數**:**多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

### 連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

#### 哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下: 

```
\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}
```

\psi (t) 是一個奇函數，所以

```
{\displaystyle m\_{0}=\int \psi (t)\,dt=0}
```

但 {\displaystyle t\psi (t)} 是偶函數，所以

```
{\displaystyle m\_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0}
```

因此，**哈爾基底**的**消失動量為1**。

#### 墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

```
{\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}}
```

仔細觀察，\psi (t) 其實是高斯函數的二次微分:

```
{\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=} 常數。 
```

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

```
{\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}}。
```

利用

```
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}
```

可以算出

```
{\displaystyle m\_{0}=m\_{1}=0,m\_{2}\neq 0}。
```

所以**墨西哥帽函數**的**消失動量為2**。

#### 高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失動量為2。

當

```
{\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}}
```

其傅立葉轉換為

```
{\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}}。
```

利用

```
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}
```

可以算出

```
{\displaystyle m\_{0}=m\_{1}=m\_{p-1},m\_{p}\neq 0}。
```

所以**高斯函數p次微分**的**消失動量為p**。

---

### 連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

#### 多貝西小波

```
{\displaystyle 2n} 點的多貝西小波，消失動量 {\displaystyle =n}
```

#### Symlet

```
{\displaystyle 2n} 點的Symlet，消失動量 {\displaystyle =n}
```

**Coiflet**

```
{\displaystyle 6n} 點的Coiflet，消失動量 {\displaystyle =n}
```

**三者的比較**

1. Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }\phi (t)\,dt\neq 0}

{\displaystyle \int \limits \_{-\infty }^{\infty }t^{k}\phi (t)\,dt=0for1\leq k\leq p}

消失動量對於函數的意義
-----------

消失動量是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

```
{\displaystyle f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}}
```

當輸入值t逐漸往無限大增加時，此函數會以{\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}}的速率遞減。
我們可用利用定義中的動量積分式{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt}來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當k=0時，由於分子\sin(t)會在[-1,1]之間震盪，使得整個函數在{\displaystyle [-{\frac {1}{t^{2}}},{\frac {1}{t^{2}}}]}震盪。

此性質使得{\displaystyle k=0}時，

```
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0}
```

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量{\displaystyle m\_{0}=0}

當{\displaystyle k=1}時，

```
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi }
```

因此第1個動量{\displaystyle m\_{1}=\pi \neq 0}

對於{\displaystyle k>1}的情況，動量積分式均會隨著{\displaystyle t\to \infty }而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大k值來判斷函數的遞減速率，而此最大k值便是函數的消失動量。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失動量來描述。

消失動量的等價敘述
---------

依照定義，小波母函數\psi (t)有 p 個消失動量的條件為

```
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }t^{k}\psi (t)\,dt=0,\ for\ 0\leq k<p}
```

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為\varphi (t)，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

```
{\displaystyle \left|\psi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})}
```

```
{\displaystyle \left|\varphi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})}
```

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數{\displaystyle \psi (t)}有p個消失動量。

2. {\displaystyle \psi (t),\ \varphi (t)}的傅立葉轉換，以及前{\displaystyle p-1}次微分在{\displaystyle \omega =0}處均為零。

3. {\displaystyle h\_{\varphi }(t),\ H\_{\varphi }(e^{j\omega })}的傅立葉轉換，以及前{\displaystyle p-1}次微分在{\displaystyle \omega =0}處均為零。

4. 對於{\displaystyle 0\leq k<p} 區間內的任意 k 值

{\displaystyle q\_{k}(t)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }n^{k}\varphi (t-n)}
是最高次方為 k  的多項式函數。

消失動量與小波函數的設計
------------

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

```
{\displaystyle {\left|H\_{\varphi }(\omega )\right|}^{2}+{\left|H\_{\varphi }(\omega +\pi )\right|}^{2}=2}
```

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中{\displaystyle H\_{\varphi }(\omega )}代表離散低通濾波器{\displaystyle h\_{\varphi }[n]}離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失動量的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

```
{\displaystyle H\_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })}
```

其中{\displaystyle L(x)}為一多項式函數。

利用上述條件與消失動量的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

### 消失動量與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

```
{\displaystyle \varphi (t)=\sum \_{n}^{}h\_{\varphi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)}
```

```
{\displaystyle \psi (t)=\sum \_{n}^{}h\_{\psi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)}
```

其中{\displaystyle h\_{\varphi }[n]}為離散低通濾波器，{\displaystyle h\_{\psi }[n]}則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述{\displaystyle H\_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })}的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失動量p時，{\displaystyle H\_{\varphi }(e^{j\omega })}將會是具有較高{\displaystyle e^{j\omega }}次方的多項式函數，因此對應到的{\displaystyle h\_{\varphi }[n]}便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失動量與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失動量外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻
----

* Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform  （页面存档备份，存于） [viewed 17/01/2012]
* Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform （页面存档备份，存于）, February 2010
* S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed. Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed. December 2008.