在線性代數中，**正交轉換**是線性轉換的一種。如果对于任意向量{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }其內積等於正交轉換後之向量{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}和{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}之內積，则称之为正交变换。

{\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle }

按照长度的定义，可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同。

{\displaystyle \|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {x} \|}

其中{\displaystyle \|\mathbf {x} \|}在空間{\displaystyle R^{n}}內，{\displaystyle n}表示維度。

{\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\textstyle \sum \_{n=0}^{N-1}u[n]v[n]\displaystyle }

其中{\displaystyle N}為向量長度，{\displaystyle u[n]}和{\displaystyle v[n]}分別為{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上，如果{\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }為正交變換，則為\mathbf{A} 正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣\mathbf{A} ，其每個列互為正交，令\mathbf{A} 為{\displaystyle M\times N}之矩陣，取兩個不相同的列{\displaystyle \phi \_{k}}和{\displaystyle \phi \_{h}} ({\displaystyle k\neq h})遵守下列關係。

{\displaystyle \langle \phi \_{k},\phi \_{h}\rangle =0}

性質
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1. 正交變換{\displaystyle T}不會改變向量間的正交性，如果{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }正交，則{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}和{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}亦為正交。

{\displaystyle Proof:}

根據畢氏定理，正交變換後的向量會符合下式：

{\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}}

因為正交變換屬於線性轉換：

{\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}}

正交變換前後向量的長度相同：

{\displaystyle \|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}}

再根據畢氏定理，且和正交：

{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}}

再根據正交變換的性質，正交變換前後向量的長度相同：

{\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}}

2. 如果{\displaystyle \mathbf {A} }和{\displaystyle \mathbf {B} }皆為正交矩陣，則{\displaystyle \mathbf {AB} }亦為正交矩陣。

{\displaystyle Proof:}

令一正交變換為：

{\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {ABx} }

正交變換後長度不變：

{\displaystyle \|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {ABx} \|=\|\mathbf {A(Bx)} \|=\|\mathbf {Bx} \|=\|\mathbf {x} \|}

3. 如果{\displaystyle \mathbf {A} }為正交矩陣，{\displaystyle \mathbf {A} }的反矩陣{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}亦為正交矩陣。

{\displaystyle Proof:}

令一正交變換為：

{\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {Ax} }

單位矩陣{\displaystyle \mathbf {I} }和{\displaystyle \mathbf {x} }相乘為{\displaystyle \mathbf {x} }自己，且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣：

{\displaystyle \mathbf {Ix} =\mathbf {AA^{-1}x} =\mathbf {x} }

正交變換後長度不變：

{\displaystyle \|\mathbf {AA^{-1}x} \|=\|\mathbf {A(A^{-1}x)} \|=\|\mathbf {x} \|}

4. 正交變換容易做反運算

{\displaystyle Proof:}

令ㄧ正交矩陣{\displaystyle \mathbf {A} }，{\displaystyle \mathbf {A} }和{\displaystyle \mathbf {A} ^{H}}相乘為一對角矩陣{\displaystyle \mathbf {D} }，其中上標{\displaystyle H}表示Hermitain運算。

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}=\mathbf {D} }

將{\displaystyle \mathbf {D} }乘上自己的反矩陣{\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}}可得一單為矩陣{\displaystyle \mathbf {I} }。

{\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I} }

又{\displaystyle \mathbf {D} }可分解為{\displaystyle \mathbf {A} }和{\displaystyle \mathbf {A} ^{H}}

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I} }

根據上式，將兩側乘上{\displaystyle \mathbf {A} }的反矩陣{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}即可得知的反矩陣知公式。

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}}

計算{\displaystyle \mathbf {D} }的反矩陣{\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}}比直接求反矩陣容易，只要相對角線之值做倒數即可。如果{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}的每一行皆為單位向量，則：

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}}

5. 對於正交變換{\displaystyle T}，如果{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }可以做內積，{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}和{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}做內積之值等於{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }做內積之值。

{\displaystyle Proof:}

根據極化恆等式：

{\displaystyle \langle {\mathbf {x} ,\mathbf {y} }\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2})}

將上式代入{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })}和{\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })}：

{\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} )-T(\mathbf {v} )\|^{2})}

因為{\displaystyle T}為線性轉換，轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同：

{\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\|^{2})}

正交變換前後向量的長度相同：

{\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|^{2})}

再根代入{\displaystyle \mathbf {u} }和{\displaystyle \mathbf {v} }之據極化恆等式：

{\displaystyle \langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle }

範例和應用
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正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。

1. 對於{\displaystyle reflect\_{V}()}以subspace {\displaystyle V}為基準做鏡射({\displaystyle V} in {\displaystyle R^{n}})，令{\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}為平行之向量，{\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}為正交之向量：

{\displaystyle \|reflect\_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}}

因為{\displaystyle \mathbf {x} ^{\shortparallel }}和{\displaystyle \mathbf {x} ^{\perp }}互為正交，可以根據畢氏定理做分解：

{\displaystyle \|reflect\_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} \|^{2}}

2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣，對於{\displaystyle N}點DFT，可得一個{\displaystyle N\times N}矩陣，且{\displaystyle \omega ^{n}=e^{j2\pi n/N}}：

{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \mathbf {W} }為symmetric矩陣，令的{\displaystyle \mathbf {W} }每個列為：

{\displaystyle \mathbf {w} \_{n}={\begin{bmatrix}1&\omega ^{n}&\omega ^{2}n&\cdots &\omega ^{(N-1)n}\end{bmatrix}}}

令任意二列做內積：

{\displaystyle \langle {\mathbf {w} \_{m},\mathbf {w} \_{n}}\rangle =\mathbf {w} \_{m}\centerdot \mathbf {w} \_{n}^{H}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \_{k=0}^{N-1}e^{j2\pi km/N}e^{-j2\pi kn/N}\displaystyle ={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \_{k=0}^{N-1}e^{j(2\pi km/N)(m-n)}\displaystyle }

上式可以化成pulse function，只有列和自己做內積才為1，即：

{\displaystyle \langle {\mathbf {w} \_{m},\mathbf {w} \_{n}}\rangle ={\begin{cases}1,&{\text{if }}m=n\\0,&{\text{if }}m\neq n\end{cases}}}

3. 正交變換可以參數計算變得容易，令{\displaystyle \phi \_{n}}為正交矩陣的列，列彼此互相正交，{\displaystyle c\_{n}}而為{\displaystyle \phi \_{n}}對應之參數，即給定下式中的{\displaystyle y}和{\displaystyle \phi \_{n}}，參數{\displaystyle c\_{n}}之值可以很容易的計算出來。

{\displaystyle y=\textstyle \sum \_{n=0}^{N-1}c\_{n}\phi \_{n}\displaystyle }

如果要求出{\displaystyle c\_{m}}，則將上式與{\displaystyle \phi \_{m}}做內積：

{\displaystyle \langle y,\phi \_{m}\rangle =\textstyle \sum \_{n=0}^{N-1}c\_{n}\langle \phi \_{n},\phi \_{m}\rangle \displaystyle }

因為在{\displaystyle n\neq m}時，{\displaystyle \phi \_{n}}和{\displaystyle \phi \_{m}}做內積為0，可得下式：

{\displaystyle \langle y,\phi \_{m}\rangle =c\_{m}\langle \phi \_{m},\phi \_{m}\rangle }

最後同除{\displaystyle \langle \phi \_{m},\phi \_{m}\rangle }即可得到對應之參數：

{\displaystyle c\_{m}={\frac {\langle y,\phi \_{m}\rangle }{\langle \phi \_{m},\phi \_{m}\rangle }}}

4. 在訊號壓縮上，對於原始訊號：

{\displaystyle y=\textstyle \sum \_{n=0}^{N-1}c\_{n}\phi \_{n}\displaystyle }

假設進行壓縮，要壓縮成：

{\displaystyle {\hat {y}}=\textstyle \sum \_{n=0}^{K-1}c\_{n}\phi \_{n}\displaystyle }

當{\displaystyle K\leq N}時，{\displaystyle K}越大，{\displaystyle |y-{\hat {y}}|}越小

5. 在通訊應用上，會利用正交基來和訊號做調變，正交的特性會使通道間不會互相干擾。

参见
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* 瑕旋转
* 内积空间
* 线性变换
* 正交矩阵
* 酉变换

参考文献
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1. ↑   (PDF).  [2017-06-29]. （原始内容存档 (PDF)于2018-05-17）.
2. 1 2   (PDF).  [2017-06-29].
3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides]  （页面存档备份，存于）

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides]  （页面存档备份，存于）

5. (2007). [PDF slides]