代数拓扑中，**万有系数定理**建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间*X*，其整同调群是：

{\displaystyle H\_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}
对任何阿贝尔群*A*，都能完全确定其系数在*A*中的同调群：

{\displaystyle H\_{i}(X;\ A)}
其中{\displaystyle H\_{i}}可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数*A*，代价是使用Tor函子。

例如，通常取*A*为{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了*X*的贝蒂数{\displaystyle b\_{i}}与*F*域中的系数的贝蒂数{\displaystyle b\_{i,\ F}}之间的关系。但只有当*F*的特征是素数*p*、且同调中存在某种*p*-扭化时，才会有所不同。

同调情形的说明
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考虑模的张量积{\displaystyle H\_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A}。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列

{\displaystyle 0\to H\_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H\_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} \_{1}(H\_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}
其中*μ*是双射{\displaystyle H\_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H\_{i}(X;\ A)}诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。

若系数环*A*是{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

上同调的万有系数定理
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令*G*为主理想域*R*（如{\displaystyle \mathbb {Z} }或某个域）上的模。

还有一个涉及Ext函子的**上同调的万有系数定理**，断言有自然的短正合列

{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} \_{R}^{1}(H\_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} \_{R}(H\_{i}(X;R),G)\to 0.}
与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设

{\displaystyle H\_{i}(X;G)=\ker \partial \_{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial \_{i+1}\otimes G}
并定义：

{\displaystyle H^{\*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}
则上面的*h*就是规范映射：

{\displaystyle h([f])([x])=f(x).}
另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中*h*将*X*到{\displaystyle K(G,\ i)}的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。

例子：实射影空间的模2上同调
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令{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}，即实射影空间。计算*X*的系数在{\displaystyle R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

{\displaystyle H\_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
有**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): {\displaystyle {\rm Ext}(R,\ R)=R,\ {\em Ext}(\Z,\ R)=0}**
，于是上述正合列给出

{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}
事实上，总上同调环结构是

{\displaystyle H^{\*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}

推论
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定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形*X*，{\displaystyle H\_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}是有限生成的，因此有如下分解：

{\displaystyle H\_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta \_{i}(X)}\oplus T\_{i},}
其中{\displaystyle \beta \_{i}(X)}是*X*的贝蒂数，{\displaystyle T\_{i}}是{\displaystyle H\_{i}}的扭部分。可以检验

{\displaystyle \operatorname {Hom} (H\_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta \_{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T\_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta \_{i}(X)},}
且

{\displaystyle \operatorname {Ext} (H\_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta \_{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T\_{i},\mathbf {Z} )\cong T\_{i}.}
这给出了整上同调的如下声明：

{\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta \_{i}(X)}\oplus T\_{i-1}.}
对于有向闭连通*n*维流形*X*，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出{\displaystyle \beta \_{i}(X)=\beta \_{n-i}(X)}。

万有系数谱序列
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对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

{\displaystyle E\_{2}^{p,q}=Ext\_{R}^{q}(H\_{p}(C\_{\*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C\_{\*};G)}
其中*R*是单位环，{\displaystyle C\_{\*}}是*R*上自由模的链复形，*G*是某单位环*S*的任意{\displaystyle (R,S)}-双模，{\displaystyle {\rm {Ext}}}是Ext群。微分{\displaystyle {\rm {d}}^{r}}的度为{\displaystyle (1-r,\ r)}。

同调也类似

{\displaystyle E\_{p,q}^{2}=Tor\_{q}^{R}(H\_{p}(C\_{\*}),G)\Rightarrow H\_{\*}(C\_{\*};G)}
其中{\displaystyle {\rm {Tor}}}是Tor群，微分{\displaystyle {\rm {d}}\_{r}}的度为{\displaystyle (r-1,\ -r)}。

参考文献
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* Allen Hatcher, *Algebraic Topology*, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
* Kainen, P. C.. Mathematische Zeitschrift. 1971, **122**: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560.
* Jerome Levine. "Knot Modules. I." Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50.

外部链接
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* Universal coefficient theorem with ring coefficients