在拓撲學和其相關的數學領域裡，**拓撲比較**是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

定義
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**定義** — {\mathfrak {T}}\_{1} 和 **{\mathfrak {T}}\_{2}** 都是 X 的拓扑，若 {\displaystyle {\mathfrak {T}}\_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}\_{2}} 称 {\mathfrak {T}}\_{2} 比 {\mathfrak {T}}\_{1}更**细**（fine）或更**強**（strong），或称 {\mathfrak {T}}\_{1} 比 {\mathfrak {T}}\_{2}更**粗**（coarse）或更**弱**（weak）。

進一步的，若 {\displaystyle {\mathfrak {T}}\_{1}\subset {\mathfrak {T}}\_{2}} ，称 {\mathfrak {T}}\_{2} 比 {\mathfrak {T}}\_{1}**嚴格细**（strictly fine），或称 {\mathfrak {T}}\_{1} 比 {\mathfrak {T}}\_{2}**嚴格粗**（strictly coarse）。

直觀上，{\mathfrak {T}}\_{2} 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 {\mathfrak {T}}\_{2} 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於**嚴格**細或粗，就是額外要求 {\displaystyle {\mathfrak {T}}\_{1}\neq {\mathfrak {T}}\_{2}} 。

二元關係 \subseteq 在 *X* 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。

### 例子

X 的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

{\displaystyle {\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}}
而最细的拓扑是**离散拓扑**（discrete topology），也就是X 的冪集：

{\displaystyle {\mathfrak {T}}\_{D}={\mathcal {P}}(X)}

最粗拓撲
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**定理** — 設 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X 的一個子集族，則：

{\displaystyle \tau \_{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
也是 X 的拓扑。

**證明**
根據定理的條件，對所有集合 A 有：

{\displaystyle O\in \tau \_{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}} (a)
以下將逐條檢驗拓扑的定義，來驗證 {\displaystyle \tau \_{\mathcal {F}}} 的確是X 的拓扑：

(1) {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau \_{\mathcal {F}}}

若 {\displaystyle {\mathfrak {T}}} 的確是 X 的拓扑，那由拓扑的定義可以得到 {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}} ，這樣從式(a)右方就可以得到 {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau \_{\mathcal {F}}} 。

(2) {\displaystyle U,\,V\in \tau \_{\mathcal {F}}} 則 {\displaystyle U\cap V\in \tau \_{\mathcal {F}}}

若 {\displaystyle U,\,V\in \tau \_{\mathcal {F}}} ，從式(a)左方有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}}
{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}}
所以有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}}
所以根據拓扑的定義有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}}
這樣從式(a)右方就可以得到 {\displaystyle U\cap V\in \tau \_{\mathcal {F}}} 。

(3) {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau \_{\mathcal {F}}} 則 {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau \_{\mathcal {F}}}

若 {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau \_{\mathcal {F}}} ，那對任意 {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} ，從式(a)左方有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}}
所以有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}}
所以根據拓扑的定義有：

{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}}
所以從式(a)右方可以得到 {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau \_{\mathcal {F}}} 。

綜上所述，來驗證 {\displaystyle \tau \_{\mathcal {F}}} 的確是 X 的拓扑。\Box 

根據以上的定理，可以做以下的定義：

**定義** — {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X 的一個子集族，則：

{\displaystyle \tau \_{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
稱為包含 \mathcal{F} 的**最粗拓撲**（或**最弱拓撲**）。

另見
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* 初拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
* 終拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。

參考資料
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1. ↑  
Munkres, James R.  2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.

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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
|  |
| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
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| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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