**最大流最小割定理**是最优化理论的定理。根据该定理，在一个网络流中，从源点到汇点的最大的流量，等于它的最小割中每一条边的容量之和。"割"指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。

**最大流最小割定理**是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。

定义
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最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。

### 图

设 G=(V,E) 为一个有向图，其中有一個起源点 s 和一個超匯点 t，代表 s 是所有流的源頭，t 是所有流的終點。这个图的每一条边都有一个**容量** *c* : *E* → **R**+，记做 {\displaystyle c\_{uv}} 或者 c(u,v)，代表着能通过边 (u,v) 的最大流量。

### 最大流

**定义：** **流量**代表一种映射 {\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}，记做{\displaystyle f\_{uv}} 或者 f(u,v)，代表通过边 (u,v) 的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：

1. **流量限制**：{\displaystyle f\_{uv}\leq c\_{uv}\quad \forall \,(u,v)\in E.} 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。
2. **流量守恒**：{\displaystyle \sum \nolimits \_{\{u:(u,v)\in E\}}f\_{uv}=\sum \nolimits \_{\{w:(v,w)\in E\}}f\_{vw}\quad \forall \,v\in V\setminus \{s,t\}.} 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。

规定在一个图中，流的值是

{\displaystyle |f|=\sum \nolimits \_{v:(s,v)\in E}f\_{sv}=\sum \nolimits \_{v:(v,t)\in E}f\_{vt}.}
也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。

**最大流问题：**计算|f|的最大值，即从s到t的最大流量。

### 最小割

**定义：** **s-t割** {\displaystyle C=(S,T)} 将图 G 完全劃分为两部分，使得 {\displaystyle s\in S,t\in T,} 也就是一侧有源，一侧有汇。C 的**割集** X\_C 是 {\displaystyle \{(u,v)\in E\ :\ u\in S,v\in T\}.} 也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在 X\_C 里。因此如果 C 的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，則 {\displaystyle |f|=0}。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中，s-t割的**容量**是

{\displaystyle c(S,T)=\sum \nolimits \_{(u,v)\in X\_{C}}c\_{uv}=\sum \nolimits \_{(i,j)\in E}c\_{ij}d\_{ij},} 其中当 {\displaystyle i\in S,j\in T} 时，d\_{{ij}} 为 1, 否则为 {\displaystyle 0}。
通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。

**最小 s-t 割问题：** 计算 {\displaystyle c(S,T)} 的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

### 主定理

可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

线性规划公式
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最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划對偶问题。

|  | Max-flow (Primal) | Min-cut (Dual) |
| --- | --- | --- |
| **variables** | {\displaystyle f\_{uv}} {\displaystyle \forall (u,v)\in E} *[a variable per edge]* | {\displaystyle d\_{uv}} {\displaystyle \forall (u,v)\in E} *[a variable per edge]*
{\displaystyle z\_{v}} {\displaystyle \forall v\in V\setminus \{s,t\}} *[a variable per non-terminal node]* |
| **objective** | maximize {\displaystyle \sum \nolimits \_{v:(s,v)\in E}f\_{sv}}
*[max total flow from source]* | minimize {\displaystyle \sum \nolimits \_{(u,v)\in E}c\_{uv}d\_{uv}}
*[min total capacity of edges in cut]* |
| **constraints** | subject to 
{\displaystyle {\begin{aligned}f\_{uv}&\leq c\_{uv}&&\forall (u,v)\in E\\\sum \_{u}f\_{uv}-\sum \_{w}f\_{vw}&=0&&v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}}
*[a constraint per edge and a constraint per non-terminal node]* | subject to
{\displaystyle {\begin{aligned}d\_{uv}-z\_{u}+z\_{v}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E,u\neq s,v\neq t\\d\_{sv}+z\_{v}&\geq 1&&\forall (s,v)\in E,v\neq t\\d\_{ut}-z\_{u}&\geq 0&&\forall (u,t)\in E,u\neq s\\d\_{st}&\geq 1&&{\text{if }}(s,t)\in E\end{aligned}}}
*[a constraint per edge]* |
| **sign constraints** | {\displaystyle {\begin{aligned}f\_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}d\_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\z\_{v}&\in \mathbb {R} &&\forall v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}} |

最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下：

{\displaystyle d\_{uv}={\begin{cases}1,&u\in S,v\in T\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}}
{\displaystyle z\_{u}={\begin{cases}1,&u\in S\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}}
最小化目标是使在割中的边最小。

下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。

* 限制 {\displaystyle d\_{uv}-z\_{u}+z\_{v}\geq 0}(即 {\displaystyle d\_{uv}\geq z\_{u}-z\_{v}}) 确保了对两个非源点或汇点 *u,v*, 如果*u* 在 *S*中 且 *v* 在 *T*中, 那么边 (*u*,*v*)一定会被记在割中 ({\displaystyle d\_{uv}\geq 1})。
* 限制 {\displaystyle d\_{sv}+z\_{v}\geq 1}(即 {\displaystyle d\_{sv}\geq 1-z\_{v}}) 确保了如果 *v* 在 *T* 中, 那么边 *(s,v)* 一定会被记在割中。
* 限制 {\displaystyle d\_{ut}-z\_{u}\geq 0}(即 {\displaystyle d\_{ut}\geq z\_{u}}) 确保了 *u* 在 *S* 中, 那么边 *(u,t)* 一定会被记在割中。

需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。

注意到在给定的 s-t 割 {\displaystyle C=(S,T)} 中，如果 {\displaystyle i\in S} 那么 {\displaystyle z\_{i}=1} 并且 0 反之。 所以 {\displaystyle z\_{s}} 应该等于 1 并且 {\displaystyle z\_{t}} 应该等于0。由线性规划中的强對偶定理推得**最大流最小割問題**中的等式，也就是說如果原问题有一个最优解 *x*\*，則对应问题也有一个最优解 *y*\* ，並且两个解相等。

举例
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一个流量等于s-t 割的容量的流网络
上圖是一個網絡，上有流量為 7 的流。令 S 集合和 T 集合分別包含所有白色和灰色的點， 從而形成了一個割集包含圖中虛線的 s-t 割，並且其容量為 7，與流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流與 s-t 割皆達到流量及容量的極值。

应用
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### 廣義最大流最小割定理

額外規定映射 {\displaystyle c\colon V\rightarrow R^{+}}為點的容量，記做 c(v)，使得一個流 f 不只要滿足邊的流量限制與流量守恆，還要滿足點的流量限制，即

{\displaystyle \forall v\in V\setminus \{s,t\}:\qquad \sum \nolimits \_{\{u\in V\mid (u,v)\in E\}}f\_{uv}\leq c(v).}
換句話說，流過 v 點的總流量不能超過 v 的容量 c(v)。一個 *s-t 割* 的定義為一個包含一些點和邊的集合，滿足與任一條由 s 到 t 的路徑皆不互斥。並且 s-t 割的*容量* 定義成所有點和邊的容量總和。

在此定義之下，**廣義最大流最小割定理**的敘仍為流量的最大值等於所有 s-t 割的容量最小值。

### 門格爾定理

参见：門格爾定理不共邊路徑問題為給定無向圖 G=(V,E) 及兩頂點 s、t，求從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值。

門格爾定理的敘述為從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值等於在所有 G 的 s-t 割(以原本的定義)中，頂點分別在不同集合的邊數的最小值。

### 計畫選擇問題

参见：最大流問題
計畫選擇問題的網絡型態
計畫選擇問題敘述如下：當下有 n 個計畫 {\displaystyle p\_{1},\dots ,p\_{n}}可以被實施、m 種設備 {\displaystyle q\_{1},\dots ,q\_{m}} 可以被購買，要執行計畫必須擁有該計畫要求的設備，執行計畫 p\_{i}可獲得 {\displaystyle r(p\_{i})} 的收益，但購買設備 {\displaystyle q\_{j}} 要支付 {\displaystyle c(q\_{j})} 的費用。如何選擇執行計畫並購買所需設備以獲得淨利的最大值？

設 P 為**不**被執行的計畫的集合，Q 為所購買的設備，則問題變成求最大值

{\displaystyle \max \_{P,Q}\sum \_{i=1}^{n}r(p\_{i})-\sum \_{p\_{i}\in P}r(p\_{i})-\sum \_{q\_{j}\in Q}c(q\_{j})}
注意到 {\textstyle \sum \_{i}r(p\_{i})}與 P、Q 的選擇無關，故只需求後兩項和的最小值，即

{\displaystyle \min \_{P,Q}\sum \_{p\_{i}\in P}r(p\_{i})+\sum \_{q\_{j}\in Q}c(q\_{j})}
現在考慮一個網絡，起源点 s 連接到 n 個點 {\displaystyle p\_{1},\dots ,p\_{n}}，邊的容量分別為 {\displaystyle r(p\_{i})}，超匯点 t 連接到 m 個點 {\displaystyle q\_{1},\dots ,q\_{m}}，邊的容量分別為 {\displaystyle c(q\_{j})}，若執行任務 p\_{i}需購買設備 {\displaystyle q\_{j}} ，則在 p\_{i}、{\displaystyle q\_{j}} 之間連上一條容量為無限大的邊，若不需購買設備，則不連上邊。則 {\textstyle \sum \_{p\_{i}\in P}r(p\_{i})+\sum \_{q\_{j}\in Q}c(q\_{j})} 對應到一個 s-t 割的容量，其中的兩個集合是要執行的計畫與要購買的設備和它的餘集，也就是

{\displaystyle \{s\}\cup (P'\setminus P)\cup Q{\text{、 }}\{t\}\cup P\cup (Q'\setminus Q)}
在此，{\displaystyle P'=\{p\_{1},\dots ,p\_{n}\}}，{\displaystyle Q'=\{q\_{1},\dots ,q\_{m}\}}。於是，原問題轉成求該圖的最大流問題，並且可以藉由各種算法求得其極值。

以下給出一個計畫選擇問題的例子，右圖是該問題對應到的網絡。

|  | 計畫收入 *r*(*pi*) | 設備價格 *c*(*qj*) | 備註 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 100 | 200 | 執行計畫 *p*1 須購買設備 *q*1、*q*2。 |
| 2 | 200 | 100 | 執行計畫 *p*2 須購買設備 *q*2。 |
| 3 | 150 | 50 | 執行計畫 *p*3 須購買設備 *q*3。 |

該網絡的最小 s-t 割是選擇計畫 *p*2、*p*3 與設備 *q*2、*q*3，容量為 250。三個計劃的總收益是 450，因此最大淨利為 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解為將計畫所給予的收益流過所需設備，如果無法流滿設備至 t 的邊，代表執行計畫不合成本，最小割將選擇穿過 s 到計畫的邊而非穿過設備到 t 的邊。

### 影像分割問題

Each black node denotes a pixel.
設原圖有 n 像素，想要把該圖分割為前景和背景，並且將 i 像素歸類為前景有效益  fi，歸類為背景有效益  bi，但是若 i、j 像素相鄰且被歸類為不同塊，則會減少 pij 的效益。求將該圖分割為前後景的最有效益方法。

令 P 為前景的集合，Q 為背景的集合，於是問題轉化成求最大值

{\displaystyle \max \_{P,Q}\sum \_{i\in P}f\_{i}+\sum \_{i\in Q}b\_{i}-\sum \_{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p\_{ij}}
因為  fi、 bi 的總合是與 P、Q的選取無關，因此等價於求以下最小值

{\displaystyle \min \_{P,Q}\sum \_{i\in Q}f\_{i}+\sum \_{i\in P}b\_{i}+\sum \_{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p\_{ij}}
以上的最小值問題可以被描述為一個網絡的最小割問題，其中該網絡如右圖，以橘點為起源點；紫點為超匯點。各個像素被描述為網絡的頂點，起源點至第 i 個像素連上一條容量為  fi 的有向邊；第 i 個像素至超匯點連上一條容量為 bi 的有向邊。相鄰的像素 i、j 之間連上來回兩條容量為 pij 的有向邊。則一個 s-t 割代表一種將部分像素歸類為前景 P、其餘歸類為背景 Q 的安排。

历史
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**最大流最小割问题**最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。

证明
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同之前的設定，*G* = (*V*, *E*) 是一個網絡(有向圖) ，s 點和 t 點分別為 G 的起源點和超匯點。

將所有流考慮成一個歐式空間的有界閉子集，滿足流量限制與流量守恆，而流量是一個連續函數，因此有極大值 |f| 。

設 f 達到最大流，令 (*Gf* ) 是 f 的殘留網絡，定義

1. A：在 (*Gf* ) 中可以從 s 出發到達的點
2. Ac：A 以外的點，即 V − A

換句話說，v∈A 若且唯若 s 可以流出更多流量到 v。

我們**宣稱** {\displaystyle |f|=c(A,A^{c})}，其中該 s-t 割的**容量**定義為 

{\displaystyle c(S,T)=\sum \nolimits \_{(u,v)\in (S\times T)\cap E}c\_{uv}}.
由於 |f| 的大小等於所有流出集合 *A* 的流量總和減所有流入集合 *A* 的流量總和，故 {\displaystyle |f|\leq c(A,A^{c})}，並且等號成立若且唯若

* 所有從 *A* 流向 *Ac* 的邊流量均已達飽和。
* 所有從 *Ac* 流向 *A* 的邊流量均為 0。

我們用反證法分別證明以上兩點：

* 假設存在從 *A* 流向 *Ac* 的邊 {\displaystyle (x,y)\in A\times A^{c}} 並未達到飽和，即 {\displaystyle f(x,y)<c\_{xy}}。因此，可以從 x 流更**多**的流量到 y，(x,y) 是 Gf 的一條邊。由 x∈A 知 Gf 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 *A* 流向 *Ac* 的邊流量均已達飽和。
* 假設存在從 *Ac* 流向 *A* 的邊 {\displaystyle (y,x)\in A^{c}\times A} 其流量不為 0，即 {\displaystyle f(x,y)>0}。因此，可以從 y 流更**少**的流量到 x，(x,y) 是 Gf 的一條邊。由 x∈A 知 Gf 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 *Ac* 流向 *A* 的邊流量均為 0。

於是，聲稱得證。

由於流量恆不超過容量，|f| 是容量的下界，所以 {\displaystyle c(A,A^{c})} 是容量的最小值，由聲稱知，最大流最小割定理得證。

参见
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* 线性规划
* 最大流
* 最小割
* 网络流
* Edmonds–Karp 算法
* Ford–Fulkerson 算法
* 近似最大流最小割定理

参考文献
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1. ↑  Dantzig, G.B.; Fulkerson, D.R.  (PDF). RAND corporation. 9 September 1964: 13  [10 January 2018]. （原始内容存档 (PDF)于2018-05-05）.
2. ↑  Trevisan, Luca.  (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2019-11-01）.
3. 1 2  P. Elias, A. Feinstein, and C. E. Shannon, A note on the maximum flow through a network, IRE. Transactions on Information Theory, 2, 4 (1956), 117–119

* Eugene Lawler.. . Dover. 2001: 117–120. ISBN 0-486-41453-1.
* Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz.. . Dover. 1998: 120–128. ISBN 0-486-40258-4.
* Vijay V. Vazirani.. . Springer. 2004: 93–100. ISBN 3-540-65367-8.