空间曲线的切向量 **T**，法向量 **N** 和副法向量 **B**；以及切向量和法向量张成的密切平面。
在向量微积分中，**弗勒内-塞雷公式**（**Frenet–Serret 公式**）用来描述欧几里得空间**R***3*中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的**切向，法向，副法方向**之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。

单位切向量 **T**，单位法向量 **N**，单位副法向量 **B**，被称作 **弗勒内标架**，他们的具体定义如下：

* **T** 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
* **N** 是切向量 **T** 对弧长参数的微分单位化得到的向量。
* **B** 是 **T** 和 **N** 的外积。

弗勒内公式如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}
其中*d*/*ds* 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式
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平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。
记**r**(t) 为欧式空间**R***3*中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量**r**′(t)和加速度向量**r**′′(t)不为零的曲线。

记 *s(t)* 为 *t*时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

s(t)=\int\_0^t \|\mathbf{r}'(\tau)\|d\tau.
由于假设**r**′ ≠ 0，因此可以将 *t* 表示为 *s* 的函数，因此可将曲线表示为弧长 *s* 的函数 **r**(s) = **r**(*t*(*s*))。 *s* 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 **r**(*s*)，**弗勒内标架** (或**弗勒内基底**)定义如下：

* 单位切向量 **T**：

 \mathbf{T} = {d\mathbf{r} \over ds}. \qquad \qquad (1) 
* 主法向量 **N**：

 \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\|}. \qquad \qquad (2) 
* 副法向量 **B** 定义为 **T** 和 **N** 的外积：

 \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3) 
螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。
由于 |\mathbf{T}|=1, \frac{d(\mathbf{T}\cdot \mathbf{T})}{ds} =2\mathbf{T}\cdot\mathbf{N} =0, 所以 **N** 与 **T** 垂直。 方程 (3) 说明 **B** 垂直于 **T** 和 **N**，因此向量 **T**，**N**，**B** 互相垂直。

弗勒内公式如下：

\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式有时也被称作*弗勒内定理*，并且可以写做矩阵的形式：

 \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.
其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

参阅
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* 曲线仿射几何
* 曲线微分几何
* 达布标架
* 运动学

参考资料
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* Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L. Bulletin of Mathematical Biology, 1993, **55** (1): 213–230
* Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino,  7th, John Wiley & Sons: 896, 1995
* Frenet, F.  (PDF), Thèse, Toulouse, 1847  [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2011-07-16） . Abstract in *J. de Math. '17'*, 1852.
* Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R.  (PDF), Springer-Verlag, 2006, （原始内容 (PDF)存档于2006-12-29） .
* Griffiths, Phillip, Duke Mathematics Journal, 1974, **41** (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5 .
* Guggenheimer, Heinrich, Dover, 1977, ISBN 0-486-63433-7
* Hanson, A.J.  (PDF), Indiana University Technical Report, 2007
* Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V. Phys. Rev. D, 1993, **48** (12): 5706–5720
* Jordan, Camille, C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, **79**: 795–797
* Kühnel, Wolfgang, Student Mathematical Library **16**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174
* Serret, J. A.  (PDF), J. De Math. 1851, **16**  [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2022-03-15） .
* Spivak, Michael, Publish or Perish, Inc. 1999 .
* Sternberg, Shlomo, Prentice-Hall, 1964
* Struik, Dirk J. Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部链接
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* Rudy Rucker's KappaTau Paper.
* Very nice visual representation for the trihedron

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| * 
* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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* 主曲率
* 高斯曲率
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* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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