在数学领域，**牛顿不等式**以艾萨克·牛顿命名。假设 *a*1, *a*2, ... *a**n* 是实数，令 {\displaystyle \sigma \_{k}} 表示 *a*1, *a*2, ... *a**n* 上的 *k* 阶基本对称多项式。那么**基本对称均值**

{\displaystyle S\_{k}={\frac {\sigma \_{k}}{\binom {n}{k}}}}
满足不等式

{\displaystyle S\_{k-1}S\_{k+1}\leq S\_{k}^{2},}
其中当且仅当所有 *a**i* 相等时取等号。

证明
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一个简洁的证明是利用数学分析中的罗尔定理。设有*n* 个实数：{\displaystyle a\_{1}\leq a\_{2}\leq \cdots \leq a\_{n}}。构造以{\displaystyle -a\_{1},-a\_{2},\cdots ,-a\_{n}}为根的多项式：

{\displaystyle P=\prod \_{k=1}^{n}(x+a\_{k})}
这个多项式可以写成：

{\displaystyle P=\prod \_{k=1}^{n}(x+a\_{k})=\sum \_{i=0}^{n}\sigma \_{i}x^{n-i}=x^{n}+\sum \_{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}S\_{i}x^{n-i}}
首先证明：存在另一组*n*-1 个实数：{\displaystyle b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n-1}}，使得它们的基本对称均值{\displaystyle S\_{1}^{\prime },S\_{2}^{\prime }\cdots ,S\_{n-1}^{\prime }} 恰好就是原来*n* 个实数的基本对称均值中的前*n*-1 个：{\displaystyle S\_{1},S\_{2}\cdots ,S\_{n-1}}。

具体的方法是考察多项式**P**的导数多项式{\displaystyle P^{\prime }}。根据罗尔定理，如果两个实数{\displaystyle -a\_{i+1}} 和{\displaystyle -a\_{i}} 不相同，那么他们之间必然存在一个数{\displaystyle -b\_{i}}使得{\displaystyle P^{\prime }(-b\_{i})=0}。而如果{\displaystyle -a\_{i}} 是多项式**P**的一个*j* 次重根的话，那么它也是{\displaystyle P^{\prime }} 的*k*-1 次重根。所以，{\displaystyle P^{\prime }} 一定有*n*-1 个实根。设这些实根等于{\displaystyle -b\_{1},-b\_{2},\cdots ,-b\_{n-1}}，那么：

{\displaystyle P^{\prime }=n\prod \_{k=1}^{n-1}(x+b\_{k})=nx^{n-1}+\sum \_{i=1}^{n-1}n{\binom {n-1}{i}}S\_{i}^{\prime }x^{n-1-i}}
而同时：

{\displaystyle P^{\prime }=nx^{n-1}+\sum \_{i=1}^{n-1}(n-i){\binom {n}{i}}S\_{i}x^{n-1-i}}
对比两边系数，就可以得到：

{\displaystyle \forall 1\leq i\leq n-1,\,\,n{\binom {n-1}{i}}S\_{i}^{\prime }=(n-i){\binom {n}{i}}S\_{i}}
然而组合数中：

{\displaystyle n{\binom {n-1}{i}}=(n-i){\binom {n}{i}}}
所以等式变成：

{\displaystyle \forall 1\leq i\leq n-1,\,\,S\_{i}^{\prime }=S\_{i}}
这样便找到了*n*-1 个实数来"代替"原来的*n* 个实数，使得基本对称均值的前*n*-1 个都不变。这样子，对于任意的{\displaystyle 1\leq k\leq n-1}，经过若干次变换后，可以转化成*k*+1 个实数，使得基本对称均值{\displaystyle S\_{k-1},S\_{k},S\_{k+1}} 变成最"靠边"的那一项。实际上，以上的转换说明：只需要证明

{\displaystyle S\_{n-2}S\_{n}\leq S\_{n-1}^{2}}
这一项就行了。

下面证明这一点。首先，如果{\displaystyle a\_{i}} 中有一个是0，那么不等式左边的{\displaystyle S\_{n}=\prod \_{k=1}^{n}a\_{k}=0}，所以左边等于0，显然小于右边。而如果{\displaystyle a\_{i}} 中没有一个是0的话，那么由于这个不等式是齐次不等式，所以可以假设{\displaystyle \prod \_{k=1}^{n}a\_{k}=1}。这样的话，不等式就变成：

{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}\right)^{2}\geq n^{2}\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {1}{a\_{i}a\_{j}}}}
也就是

{\displaystyle (n-1)\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}\right)^{2}\geq 2n\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {1}{a\_{i}a\_{j}}}}
{\displaystyle (n-1)\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}^{2}}}+(n-1)\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {2}{a\_{i}a\_{j}}}\geq 2n\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {1}{a\_{i}a\_{j}}}}
{\displaystyle (n-1)\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}^{2}}}+(n-1)\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {2}{a\_{i}a\_{j}}}\geq 2n\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {1}{a\_{i}a\_{j}}}}
{\displaystyle n\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}^{2}}}\geq \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}^{2}}}+2\sum \_{1\leq i<j\leq n}{\frac {1}{a\_{i}a\_{j}}}=\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{a\_{k}}}\right)^{2}}
最后的不等式是均方不等式，必然成立。于是不等式得证。

与二次方程判别式的关系
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另一种证明方法涉及到一个高等数学中的结论作为引理：如果对于关于两个变元的齐次多项式

{\displaystyle F(x,y)=c\_{0}x^{n}+c\_{1}x^{n-1}y+\cdots +c\_{n}y^{n}}
存在实数{\displaystyle r\_{1},r\_{2}\cdots ,r\_{n}}，使得当{\displaystyle {\frac {x}{y}}=r\_{k}} 时就会有{\displaystyle F(x,y)=0}，那么这个多项式的任意次数的偏导数（仍然是齐次多项式）构成的方程：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j}F}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}=0}
也会满足这个条件：存在实数{\displaystyle r\_{1},r\_{2}\cdots ,r\_{n-i-j}}，使得当{\displaystyle {\frac {x}{y}}=r\_{k}} 时就会有{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j}F}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}=0}

具体的证明是考虑上一节证明中用到的多项式：

{\displaystyle P=\prod \_{k=1}^{n}(x+a\_{k})=\sum \_{i=0}^{n}\sigma \_{i}x^{i}=x^{n}+\sum \_{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}S\_{i}x^{n-i}}
将它改写成关于两个变元的多项式：

{\displaystyle F(x,y)=\sum \_{i=0}^{n}\sigma \_{i}x^{i}=x^{n}+\sum \_{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}S\_{i}x^{n-i}y^{i}}
这个多项式满足引理的条件，所以只要考虑它的一个特定的偏导数方程：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{n-2}F}{\partial x^{n-k-1}\partial y^{k-1}}}=0}
这个方程可以写成

{\displaystyle S\_{k-1}x^{2}+2S\_{k}xy+S\_{k+1}y^{2}=0}
根据引理，对应二次方程{\displaystyle S\_{k-1}t^{2}+2S\_{k}t+S\_{k+1}=0} 有两个实根。从而这个方程的判别式大于等于零，也就是说：

{\displaystyle S\_{k-1}S\_{k+1}\leq S\_{k}^{2}}
从这个证明可以看出，牛顿不等式也是对应着一个二次方程的判别式条件，如同柯西不等式一样。利用判别式的性质，可以得到一系列类似于牛顿不等式的不等式。

历史
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这个不等式首先被牛顿用来作为估计实系数多项式的虚根的个数的一个方法。牛顿在他的著作《广义算术》（）的第二章第二节中不加任何证明地提出了一个断言：多项式

{\displaystyle P=\prod \_{k=1}^{n}(x+a\_{k})}
中虚根的个数不小于数列 {\displaystyle S\_{0}^{2},S\_{1}^{2}-S\_{0}S\_{2},\ldots ,S\_{k}^{2}-S\_{k-1}S\_{k+1},\ldots ,S\_{n-1}^{2}-S\_{n-2}S\_{n}} 变号的次数。换句话说，如果多项式只有实根而没有虚根，那么这个数列恒为非负。1729年，麦克劳林已经给出了一个直接的证明，但这个问题的圆满解决要等到1865年，西尔维斯特证明了一个非同一般的更广泛结果为止。

参阅
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* 麥克勞林不等式

註釋
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1. 1 2  Constantin P.NICULESCU.  (PDF). Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 2000,. Volume 1 (Issue 2)  [2010-04-25]. （原始内容存档 (PDF)于2020-12-31）.

参考文献
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* Newton, Isaac.. 1707.
* P. S. Bullen.. Springer. 2003. ISBN 978-1-402-01522-9.

* Maclaurin, C.. Phil. Transactions,. 1729, **36**: 59–96.

外部連結
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* Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics

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* 论
* 编
艾萨克·牛顿爵士 |
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| 科學著作 | 
* 《流数法》（1671）
* 《物體在軌道中之運動（英语：）》（1684）
* 《自然哲学的数学原理》（1687）
* 《光学（英语：）》（1704）
* 《The Queries（英语：）》（1704）
* 《廣義算術（英语：）》（1707）
* 《用無窮級數做數學分析（英语：）》（1711）

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| 其它著作 | 
* 《若干哲學問題（英语：）》（1661–1665）
* 《站在巨人的肩膀上（英语：）》（1675）
* 《Notes on the Jewish Temple（英语：）》（約1680）
* 《總釋（英语：）》（1713；《不作假设（英语：）》）
* 《古王國年表，修訂（英语：）》（1728）
* 《两处著名圣经讹误的历史变迁（英语：）》（1754）

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| 貢獻 | 
* 微积分学
	+ 流數
* 冲击深度
* 慣性
* 牛頓色環（英语：）
* 牛頓多邊形（英语：）
	+ 牛頓–奧昆科夫體（英语：）
* 牛頓反射望遠鏡（英语：）
* 牛顿望远镜
* 牛頓溫標
* 牛頓合金（英语：）
* 光學頻譜
* 结构色

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| 牛頓主義（英语：） | 
* 水桶實驗（英语：）
* 牛頓不等式
* 冷却定律
* 万有引力定律
	+ 后牛顿力学近似方法
	+ 後牛頓形式論
	+ 万有引力常数
* 牛頓–嘉當理論（英语：）
* 薛定谔-牛顿方程
* 牛顿运动定律
	+ 第一定律
	+ 第二定律
	+ 第三定律
	+ 开普勒定律
* 牛頓動力學（英语：）
* 應用於最優化的牛頓法
	+ 问题
	+ 截斷牛頓法（英语：）
* 高斯牛頓算法（英语：）
* 牛頓環
* 牛頓橢圓定理（英语：）
* 牛顿-问题
* 牛頓位（英语：）
* 牛顿流体
* 
* 光的微粒理论
* 牛顿与莱布尼茨的微积分学论战（英语：）
* 牛頓記法（英语：）
* 旋轉球體（英语：）
* 牛顿大炮
* 
* 牛顿法
	+ 廣義高斯-牛顿法（英语：）
* 
* 牛頓恆等式
* 牛顿多项式
* 牛頓旋轉軌道定理
* 牛顿-歐拉方程式（英语：）
* 牛頓數
	+ 吻球數問題（英语：）
* 牛頓商（英语：）
* 力的平行四边形（英语：）
* 牛顿-皮瑟理論（英语：）
* 絕對時空
* 以太
* 牛頓級數
	+ 列表（英语：）
* 功率數

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* 伍尔索普庄园（出生地）
* Cranbury Park（英语：）（成長地）
* 早年生活（英语：）
* 晚年生活（英语：）
* 蘋果樹（英语：）
* 宗教思想（英语：）
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* 科学革命
* 哥白尼革命

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* 《牛顿》（單版畫）
* 《牛顿（英语：）》（雕塑）
* 《艾薩克·牛頓雨漏（英语：）》
* 《天文學家紀念碑（英语：）》

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| 相關（英语：） | 
* 牛頓 (單位)
* 牛顿摆
* 艾萨克·牛顿研究所（英语：）
* 艾萨克·牛顿奖章
* 艾萨克·牛顿望远镜
* 艾萨克·牛顿望远镜组（英语：）
* XMM-牛顿卫星
* 施密特-牛頓望遠鏡
* 艾薩克·牛頓爵士大學預科學校（英语：）
* 艾薩克·牛頓斯塔塔爾高等教育學院（英语：）
* 牛頓國際獎學金（英语：）

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| 分類 | 
  艾萨克·牛顿
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