「」、「」和「」均至此。关于以同一個數學家命名的回归映射，请见「**庞加莱映射**」。
物理學上，**龐加萊復現定理**（英語：，又译为**庞加莱回复定理**或**庞加莱回归定理**）斷言，對於某類系統而言，只要經過充分長但有限的時間，一定会到达某個與初始態任意接近的狀態（若該系統具連續的狀態），或者一定返回初始態本身（若該系統離散）。

龐加萊復現時間是復現前經過的時長。对于不同的初始態和不同的要求接近的程度，此時間亦不同。定理僅適用於滿足某些條件的孤立力學系統，例如所有粒子都必須約束在某個有限體積的範圍內。定理可以放在遍歷理論、動態系統，或者統計力學的背景中討論。適用此定理的系統稱為守恆系統（英语：）（與耗散系統相對）。

定理得名自亨利·龐加萊，其於1890年討論過此定理。1919年，康斯坦丁·卡拉西奧多里利用測度論證明了此定理。

嚴謹敍述
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對於任何一個由常微分方程式定義的動態系統，都有相應的流映射 *f**t*，而對每個固定的 *t*（可當成時間）, *f**t* 皆是由該系統的相空間射去相空間本身的映射。若相空間中，每個可以計算體積（稱為相體積）的子集，都在流中保持體積，則稱該系統保體積。例如，根據劉維爾定理，所有哈密頓系統皆保體積。

有了上述的背景之後，可以將定理敍述如下：若流保體積，且其所有轨道（英语：）皆有界，則對於相空間中每個開集，都有軌道與之相交無窮多次。

證明討論
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定性理解，證明的關鍵在於兩個前提：

1. 可達（）的相空間總體積具有有限的上界。對於力學系統，可要求其受限於某個有界的「實際」空間（於是，該系統不得將粒子射出至極遠處而從不返回）。如此，再加上能量守恆，就足以證明系統受限於相空間的某個有限區域。
2. 動態變化當中，有限元的相體積守恆。（對於力學系統，此條件由劉維爾定理保證。）

取相空間中任意一塊體積有限的起始區域，其按照系統的動態而移動，「掃過」相空間的一部分點。由於該區域的體積在過程中保持不變，其掃過的總體積（稱為相管，）理應隨時間線性增加（至少在起始不久後如此）。然而，由於可達的相空間總體積有限，相管的體積會達到某個飽和值，而不能一直增加，否則終會大於可達的總相體積。這正說明，相管必與自身相交。倘若要與自身相交，則必須先經過起始的區域。所以，起始體積中至少有體積非零的一部分復現（）。

此時，考慮起始區域中永不返回的部分。按上段的論證，若該部分的體積非零，則其必有體積非零的部分復現，但若永不返回的部分中，有一部分復現，則後者亦必返回到原始區域內，造成矛盾。所以，起始區域中永不返回的部分體積只能為零，即與起始區域相比是極小。

注意定理（並其證明）並不保證復現的若干性質：

* 仍然可能有若干個特別的始態永不返回起始區域，或是僅返回有限多次後便不再返回。然而，此種情況極為罕見，與起始區域相比僅是無窮小的部分。
* 起始區域的各部分不必同一時間復現。相管首次通過自身時，可能有一部分體積會錯過起始區域，從而該部分會較遲復現。
* 相管確實可能先窮竭可達相空間的全部體積，然後才返回到起始區域。一個簡單例子是諧振子。能夠歷遍整個可達相空間的體積的系統稱為滿足遍歷假設（英语：）（但此取決於「可達體積」的定義）。
* 可保證的是，從幾乎所有始態出發，系統都終將返回到某個與始態任意接近的態。復現時間取決於所要求的「近」的程度，即初始區域的相體積。若要得出更精確的復現，則須取較小的初始區域，所以所需的復現時間更長。
* 給定某個區域和其中某個相，其復現的時刻不必具周期性。第二次復現的時間不必是首次復現時間的兩倍。

形式敍述
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設 

{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
為總測度有限的測度空間，並設 

f\colon X\to X
為保測函數，即其可測，且對任意的可測子集 {\displaystyle A\in \Sigma } 有 {\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A).}
以下為定理的兩種敍述：

### 定理一

對任意可測子集 {\displaystyle E\in \Sigma ,} E 中滿足：存在正整數 N ，使得對任意 {\displaystyle n>N} 都有 {\displaystyle f^{n}(x)\notin E} 的點 x 的集合的測度為零。

換言之，E 中幾乎所有點皆會返回到 {\displaystyle E,} 且會返回無窮多次，即

{\displaystyle \mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.}
證明見於所引參考資料。

### 定理二

以下為定理的拓撲版本：

若 X 為第二可數的豪斯多夫空間，而 \Sigma  包含其博雷爾σ-代數，則 f 的復現點集的測度等於 X 的全測度，即幾乎所有點皆復現。

證明同樣見於所引參考資料。

更一般地，定理適用於守恆系統（英语：），而不僅是保測動態系統。

量子力學版本
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對於非時變的量子力學系統，若其能量特徵態離散，則有類似的定理成立。對於任意的 \varepsilon >0 和 {\displaystyle T\_{0}>0,} 皆存在時間 *T* 大於 {\displaystyle T\_{0},} 使得 {\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,} 其中 {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 表示系統於時間 *t* 的態向量。

證明的關鍵如下。系統的狀態按下式隨時間變化：

{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum \_{n=0}^{\infty }c\_{n}\exp(-iE\_{n}t)|\phi \_{n}\rangle ,}
其中 E\_n 為能量特徵值（此處使用自然單位，故約化普朗克常數 {\displaystyle \hbar =1}），而 {\displaystyle |\phi \_{n}\rangle } 為相應的能量特徵態。時間 T 和時間 {\displaystyle 0} 的態向量的距離平方為

{\displaystyle \left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum \_{n=0}^{\infty }|c\_{n}|^{2}[1-\cos(E\_{n}T)].}
可於某項 *n* = *N* 截尾，而 *N* 不取決於 *T*, 因為

{\displaystyle \sum \_{n=N+1}^{\infty }|c\_{n}|^{2}[1-\cos(E\_{n}T)]\leq 2\sum \_{n=N+1}^{\infty }|c\_{n}|^{2},}

而又有 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }|c\_{n}|^{2}=1} 收斂（此為始態的範數平方），故上式中 N 取很大時，能使上式的值任意小。

而有限和

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}|c\_{n}|^{2}[1-\cos(E\_{n}T)]}
按以下的構造，也能藉着揀選特定的時刻 *T*, 而使之任意小。取任意的 {\displaystyle \delta >0,} 然後取 *T*, 使得對於 {\displaystyle 0\leq n\leq N,} 都總存在整數 k\_n 滿足 

{\displaystyle |E\_{n}T-2\pi k\_{n}|<\delta .}
對此 *T*, 有 

{\displaystyle 1-\cos(E\_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}
於是，

{\displaystyle 2\sum \_{n=0}^{N}|c\_{n}|^{2}[1-\cos(E\_{n}T)]<\delta ^{2}\sum \_{n=0}^{N}|c\_{n}|^{2}<\delta ^{2},}
亦即態向量 {\displaystyle |\psi (T)\rangle } 會回到與始態 {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 任意接近之處。

相關條目
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* 遍歷假設（英语：）
* 復現圖（英语：）
* 復現周期密度熵（英语：）
* 遊蕩集
* 波茲曼大腦

參考文献
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1. ↑ . 术语在线.  [2020-10-15].
2. ↑  叶向东、邵松.  (PDF). 2016-04-19  [2020-10-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-10-17）.
3. ↑  王磊杰.. 《文山学院学报》. 2011, **24** (6): 29–31.
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延伸閱讀
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* Page, Don N.. November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193 可免费查阅.

外部連結
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* Padilla, Tony.. Numberphile. Brady Haran.  [2013-04-08]. （原始内容存档于2013-11-27）.
*.  [2020-10-05]. （原始内容存档于2020-12-23）.

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