数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），**同调** （homology，在希腊语中*homos* = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造
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其过程如下：给定对象X，首先定义链复形，它包含了X的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A\_0,A\_1,A\_2,\dots的序列，群同态 d\_n : A\_n \rightarrow A\_{n-1}满足任何两个相连的同态的复合为0:  d\_n \circ d\_{n+1} = 0 对于所有*n*成立。这意味着第*n*+1个映射的像包含在第*n*个映射的核中，我们定义***X*的第*n*阶同调群**为商群（商模）

 H\_n(X) = \mathrm{ker}(d\_n) / \mathrm{im}(d\_{n+1}).
链复形称为正合的，如果（*n* + 1）阶映射的像总是等于*n*阶映射的核。因此X的同调群是X所关联的链复形和正合有"多远"的衡量。

非正式的例子
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非正式地，拓扑空间*X*的同调是*X*的拓扑不变量的集合，用其*同调群*来表示

{\displaystyle H\_{0}(X),H\_{1}(X),H\_{2}(X),\ldots }
其中第k个同调群{\displaystyle H\_{k}(X)}描绘了*X*中的*k*维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔，因此{\displaystyle H\_{0}(X)}描绘了*X*中的路径连通分支。

圆，或称为1维球面S^{1}
一维球面 S^{1}是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞，但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

{\displaystyle H\_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&k\neq 0,1\end{cases}}}
其中\mathbb Z为整数群，\{0\}为平凡群。群{\displaystyle H\_{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }表示一个有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。

2维球面S^{2}即球的球壳，不包括球的内部。
二维球面S^{2}拥有1个连通分支，0个一维洞，1个二维洞，无更高维的洞。其对应的同调群为

{\displaystyle H\_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&k\neq 0,2\end{cases}}}
一般地，对*n*维球面*Sn*，其同调群为

{\displaystyle H\_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}}
实心盘，即2维球{\displaystyle B^{2}}
二维球*B*2是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支，但与圆不同的是，它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了{\displaystyle H\_{0}(B^{2})=\mathbb {Z} }以外均为平凡群。

环面{\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}
环面被定义为两个圆{\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支，两个独立的一维洞（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维洞（环面的内部）。其对应的同调群为

{\displaystyle H\_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&k>=3\end{cases}}}
两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }.

例子
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导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形X的**单纯同调**。A\_{n}在这里就是X中的*n*维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为*边界映射*，它将单纯形

 (a[0],a[1],\dots,a[n]) 
映射为如下的和

 \sum\_{i=0}^n (-1)^i(a[0],\dots,a[i-1],a[i+1],\dots,a[n]).
如果我们将模取在一个域上，则X的*n*阶同调的维数就是X中*n*维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间X的奇异同调。我们定义X的上同调的链复形中的空间为A\_{n}为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从*n*为单纯形到X的连续函数。同态d\_{n}从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子F和某个模X开始。X的链复形定义如下：首先找到一个自由模F\_{1}和一个满同态 p\_1 : F\_1 \rightarrow X 。然后找到一个自由模F\_{2}和一个满同态 p\_2 : F\_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p\_1) 。以该方式继续，得到一个自由模F\_n和同态p\_{n}的序列。将函子F应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调H\_{n}仅依赖于F和X，并且按定义就是F作用于X的*n*阶导出函子。

同调函子
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链复形构成一个范畴：从链复形(d\_n : A\_n \rightarrow A\_{n-1})到链复形(e\_n : B\_n \rightarrow B\_{n-1})的态射是一个同态的序列 f\_n : A\_n \rightarrow B\_n ，满足f\_{n-1} \circ d\_n = e\_{n-1} \circ f\_n 对于所有*n*成立。*n*阶同调 H\_{n}可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。 

若链复形以协变的方式依赖于对象X（也就是任何态射 X \rightarrow Y 诱导出一个从X的链复形到Y的链复形的态射），则H\_{n}是从X所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为H^n）构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质
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若(d\_n : A\_n \rightarrow A\_{n-1})是链复形，满足出有限个A\_{n}外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

 \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A\_n) 
（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

 \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H\_n) 
并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象X的重要的不变量\chi.

每个链复形的短正合序列

 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 
导致一个同调群的长正合序列

 \cdots \rightarrow H\_n(A) \rightarrow H\_n(B) \rightarrow H\_n(C) \rightarrow H\_{n-1}(A) \rightarrow H\_{n-1}(B) \rightarrow H\_{n-1}(C) \rightarrow H\_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,
所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射 H\_n(C) \rightarrow H\_{n-1}(A) 之外。后者称为连接同态，有蛇引理给出。

参看
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* 奇异同调
* 上同调
* 同调论
* 同调代数

參考文獻
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1. ↑  Spanier 1966，第155頁
2. 1 2  Gowers 2010，第390–391頁 harvnb error: no target: CITEREFGowers2010 (help)
3. ↑  Hatcher 2002，第106頁

* Hatcher, A.. Cambridge University Press. 2002  [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
* Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编).. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.
* Spanier, Edwin H.. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.