**热传**（heat transfer）有三种方式：

* 热传导（heat conduction）：一个分子向另一个分子传递振动能，使热能从高温向低温部分转移。各种材料的热传导性能不同，传导性能好的，如金属，还包括了自由电子的移动，所以传热速度快，可以做热交换器材料；传导性能不好的，如石棉，可以做热绝缘材料。
* 熱對流（heat convection）：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。不同的温度导致引起系统的密度差是造成对流的原因。对流传导因为牵扯到动力过程，所以比直接传导迅速。
* 熱輻射（heat radiation）：是直接通过電磁波辐射向外发散热量，传导速度取决于热源的绝对温度，温度越高，辐射越强。

根据传热的方式和工艺要求，设计热交换器，几乎各种化学工业都有热交换过程，需要各种热交换器。

熱傳分析
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热传递以其所有模式（即传导，对流和辐射）发生，一般运输方程的微分形式如下：

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\frac {\partial {(\rho \phi )}}{\partial t}}+{div\,(\rho u\phi )}={div\,(k\,grad\,\phi )}+{S\_{\phi }}} | （1） |

可以通过有限差分法（FDM），有限体积法（FVM）和有限元素法（FEM）获得上述方程的数值解。为了进行传热分析，将等式（1）中的标量函数ф替换为温度（T），将扩散系数Γ替换为导热系数k和源项{\displaystyle S\_{\phi }}由发热项e或任何热辐射源代替{\displaystyle Q\_{i}}或两者兼而有之（取决于可用来源的性质），并且针对不同情况存在不同形式的方程式。为了简单和容易理解，仅讨论了一维情况。

可以通过以下两种方式对物體进行传热分析

1. 稳态热分析
2. 瞬态热分析

#### 稳态热分析

稳态热分析包括以下类型的控制微分方程。

**情况1** ：一般稳态导热方程。

在这种情况下，控制微分方程（1）变为：

{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S\_{T}}\,}
**情况2** ：稳态热传导方程（不產生热量）

在这种情况下，控制方程（1）变为：

{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}\,}
**情况3** ：稳态热传导方程（不产生热，不对流）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

{\displaystyle {div\,(k\,grad\,T)}=0\,}
#### 瞬态热分析

瞬态热分析包括以下类型的控制微分方程。

**情况1** ：瞬态热传导

在这种情况下，控制微分方程（1）变为：

{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S\_{T}}\,}
**情况2** ：瞬态热传导（不发热）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}}
**情况3** ：瞬态热传导（不产生热也没有对流）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}={div\,(k\,grad\,T)}\,}
### 稳态传热分析中控制微分方程的离散化

考虑某物體厚度为L，发热为e，导热系数为k。將物體细分为M个相等的厚度区域\Delta x = x / T沿x方向，距一定間格分割為各節點，如图2所示。

图2：平面壁一维传导有限差分公式的节点和体积单元
如图所示，x方向上的整个墙区域按元素划分，所有内部元素的大小相同，而外部元素的大小为一半。

现在，要获得内部节点的有限差分解，请考虑由节点m表示的元素，该元素被相邻节点m-1和m + 1包围。 有限差分技术假定墙壁中的温度线性变化（如图3所示）。

有限差分解决方案是（对于除0和最后一个节点之外的所有内部节点）：

{\displaystyle {\frac {(T\_{m-1}^{i}-2T\_{m}^{n}+T\_{m}^{i})}{\Delta {x}^{2}}}+{\frac {e}{k}}=0}
图3：有限差分公式中的线性温度变化
#### 边界条件

上式仅对内部节点有效。为了获得外部节点的解决方案，我们必须应用如下边界条件（如适用）。

##### 规定的热通量边界条件

{\displaystyle q\_{0}A+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}

边界绝缘时（q = 0）

{\displaystyle kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}

##### 对流边界条件

{\displaystyle hA{(T\_{\infty }-T\_{0})}+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}
##### 辐射边界条件

{\displaystyle \epsilon \sigma A{(T\_{sur}^{4}-T\_{0}^{4})}+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}
##### 对流和辐射联合边界条件

{\displaystyle hA{(T\_{\infty }-T\_{0})}+\epsilon \sigma A{(T\_{sur}^{4}-T\_{0}^{4})}+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}
如图4所示，或当将辐射和对流传热系数组合时，上式如下：

{\displaystyle hA\_{combined}{(T\_{\infty }-T\_{0})}+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0\,}
图4：平面壁左边界上对流和辐射相结合的有限差分公式的示意图
##### 对流，辐射和热通量边界条件的组合

{\displaystyle q\_{0}A+hA{(T\_{\infty }-T\_{0})}+\epsilon \sigma A{(T\_{sur}^{4}-T\_{0}^{4})}+kA{\frac {(T\_{1}-T\_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}
##### 接觸面邊界条件

在非均質物體，如複合壁中，具有不同热物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定两种不同的固体介质A和B完全接触，因此在节点m的界面处具有相同的温度（如图5所示）。

{\displaystyle k\_{A}A{\frac {(T\_{m-1}-T\_{m})}{\Delta {x}}}+k\_{B}A{\frac {(T\_{m+1}-T\_{m})}{\Delta {x}}}+{\frac {e\_{A,m}}{2}}A\Delta {x}+{\frac {e\_{B,m}}{2}}A\Delta {x}=0}
图5：两种具有完美热接触的介质A和B的界面边界条件的有限差分示意图
在上式中，

q\_0 =表示指定的热通量在{\displaystyle (W/m^{2})} ，

h =對流系数，

{\displaystyle h\_{combined}} =對流和辐射的總純熱系数，

{\displaystyle T\_{s}ur} =周圍表面的温度，

{\displaystyle T\_{(}\infty )} =環境温度，

T\_0 =初始節點的溫度。 T\_0到{\displaystyle T\_{l}}之間的熱流關係，也可適用於{\displaystyle T\_{l}}到T\_{2}之間；將T\_0到{\displaystyle T\_{\infty }}之間的熱流串聯，便能得經過該複合牆面，從室外到室內的熱流。

### 瞬态传热分析中控制微分方程的离散化

瞬态热分析比稳定热分析更重要，因为该分析包括随时间变化的环境条件。在瞬态热传导中，温度随时间和位置而变化。如图6所示，瞬态热传导的有限差分法解除了空间離散以外，还需要时间步階离散。

图6：有限差分随时间变化的问题涉及时间以及空间上的离散点
如图7所示，存在平面壁中一维传导有限差分法瞬态公式的节点和体积元素。

图7：平面壁一维瞬态有限差分公式的节点和体积元素
对于这种情况，方程式（1）的有限差分显式解如下：

{\displaystyle kA{\frac {(T\_{m-1}^{i}-T\_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+kA{\frac {(T\_{m+1}^{i}-T\_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+{e\_{m}}A\Delta {x}=(\rho c\_{p}\Delta xA){\frac {(T\_{m}^{i+1}-T\_{m}^{i})}{\Delta x}}}
上面的方程可以针对温度明确求解{\displaystyle (T\_{m}^{i+1})}给

{\displaystyle {T\_{m}^{i+1}}=\tau {(T\_{m+1}^{i}-T\_{m}^{i})}+{(1-2\tau )}T\_{m}^{i}+\tau {\frac {(e\_{m}\Delta {x}^{2})}{k}}}
此處，

{\displaystyle \tau ={\frac {(\alpha \Delta t)}{\Delta x^{2}}}\,}
和

{\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c\_{p}}}\,}
这里， \tau 代表细胞傅立叶号，  \alpha 代表热扩散率{\displaystyle c\_{p}}代表恒压下的比热，  \Delta t 代表时间步长， {\displaystyle \Delta x}代表空间步长。

上面的等式对所有内部节点均有效，并找到第一个和最后一个节点的关系，应用边界条件（如适用），如稳态传热中所述。对于对流和辐射边界，如照射物體的太陽辐射 {\displaystyle q\_{solar}} ，單位為 {\displaystyle (W/m^{2})} ，反照率常数K已知，与温度的关系如下：

**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): {\displaystyle h A {(T\_{\infty}^i - T\_{0}^i )}+ \kappa A q\_{solar} = (\rho c\_{p} \Delta x A) \frac{(T\_{1}^i - T\_{0}^i )}{\Delta x} }**

參考文獻
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1. ↑  Versteeg, H.. Pearson Publications. 2009. ISBN 978-81-317-2048-6.
2. ↑  A. Cengel, Yunus.. Tata McGraw-Hills. 2008. ISBN 978-0-07-063453-4.

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