**提示**：此条目的主题不是**微分**或**微积分学**。 
函數的圖（以黑色線表示）以及函數的切線（以紅色直線表示）。切線的斜率即為函數在該位置的導數

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| 微积分学 |
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* 函数
* 极限论
* 微分学
* 积分

* 微积分基本定理
* 微积分发现权之争（英语：）

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實數性質 |
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| 历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
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| 分支学科

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| 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析 |

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| * 
* 论
* 编
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**微分学**（英語：）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。

微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數的過程即為微分。若以圖示表示，函數在某一點的微分是函数图形在那一點的切線斜率（前提是在那一點的導數存在而且有定義）。針對單實數變數的實值函數（英语：）而言，函數在某一點的導數也就可以決定在那一點最佳的线性近似。微分和積分的關係可以由微积分基本定理來說明，此定理說明微分是積分的逆運算。

幾乎所有量化的學科中都有微分的應用。例如在物理学中，運動物體其位移對時間的導數即為其速度，速度對時間的導數就是加速度、物體动量對時間的導數即為物體所受的力，重新整理後可以得到牛顿第二运动定律F=ma。化学反应的化學反應速率也是導數。在運籌學中，會透過導數決定在運輸或是設計上最有效率的作法。

導數常用來找函數的极值。含有微分項的方程式稱為微分方程，是自然現象（英语：）描述的基礎。微分以及其廣義概念出現在許多數學領域中，例如複分析、泛函分析、微分几何、测度及抽象代数。

導數
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在(*x*,*f*(*x*))處的切線
一個可微函數在不同位置的導數
条目：导数
假設x和*y*是實數，而且*y*是*x*的函數，也就是說，針對每一個*x*，都有一個對應的*y*。兩者的關係可以表示為*y* = *f*(*x*)。若*f*(*x*)是直線的方程式（稱為一次方程），則會存在兩個實數*m*和*b*使得*y* = *mx* + *b*。在這個「斜率－截距式」中，*m*是斜率，可以用下式來求得：

{\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}
其中符號Δ（是希臘大寫字母Δ）表示「變化」。以下的式子會成立：Δ*y* = *m* Δ*x*.

一般的函數不是直線，因此沒有斜率。在幾何上來看，函數*f*在*x* = *a*的導數就是函數*f*在*a*點切線的斜率（如圖）。常會表示為*f* ′(*a*) 或*dy*/*dx*|*x* = *a*。因為導數是*f*在*a*點線性近似的斜率，因此導數（以及函數*f*在*a*點的值）是函數*f*在*a*點附近最佳的線性化近似。

若在函數*f*定義域中的每一點*a*都有導數，則存在一函數可以將每一點*a*對應到函數*f*在*a*點的導數。例如，若函數*f*(*x*) = *x*2，則其導數函數*f* ′(*x*) = *dy*/*dx* = 2*x*。

另一個有關的表示法是函數的微分。若*x*和*y*是實數變數，函數*f*在*x*點的導數為函數*f*在*x*點切線的斜率。因為*f*的引數及輸出都是純量，因此*f*的導數也是實數。若*x*和*y*是向量，則*f*圖形的最佳線性近似會和函數*f*在不同方向的變化有關。找到在單一方向的最佳近似，也就決定了偏微分，一般會表示為∂*y*/∂*x*。若找到了函數*f*在所有方向的線性化近似，則稱為全微分。

微分的歷史
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条目：微分学历史若以切線來看，微分的概念很早以前就出現了，像希臘幾何學家欧几里得（約300 BC）、阿基米德（約287–212 BC）及阿波罗尼奥斯（約262–190 BC）。阿基米德也引進了無窮小量的使用，不過最早是用在面積及體積上的研究，而不是在導數及切線上，參考阿基米德使用的無窮小量（英语：）。

在印度數學家（英语：）的研究中有看到用無窮小量來探討量的變化，最早也許可以推到西元500年，當時天文學家及數學家阿耶波多用無窮小量來研究月球軌道。在印度數學家婆什迦羅第二（1114–1185）時，用無窮小量來計算量變化的研究有顯著的進展，也有人提到在他的著作中已提到許多微分学的重要概念，例如罗尔定理。

伊斯蘭數學家納色阿爾圖斯（英语：）（1135年–1213年）在其著作《Treatise on Equations》中說明了部份三次方程有解的條件，是透過找適當三次多項式的最大值來求得。他證明了三次多項式 *a x2 — x*3的最大值出現在*x* = 2*a*/3，並且得到結論：方程式 *a x*2 — *x*3 = *c*在*c* = 4 *a*3/27時恰有一正值的解，若0 < *c* < 4 *a*3/27會有二個正值的解。科學歷史學家Roshdi Rashed（英语：）認為阿爾圖斯一定是用到了三次多項式的導數才得到此一結果。不過也有其他學者質疑Rashed的想法，他們認為Rashed也可能用了其他不用導數概念的作法。

普遍認為近代微積分的發展是因為艾萨克·牛顿（1643年–1727年）及戈特弗里德·莱布尼茨（1646年–1716年）同時但獨立個別的研究，並且整合了有關微分及導數的作法。不過其中關鍵的概念（也是後來認定微積分是由他們兩人創始的原因）是結合微分以及積分的微积分基本定理，這也讓以往計算面積及體積，自從海什木（Alhazen）以來沒有大幅進步的的方式變的過時。有關牛顿和莱布尼茨在微分上的想法，都是以早期數學家的貢獻為基礎，例如皮埃爾·德·費馬（1607年-1665年）、伊萨克·巴罗（1630年–1677年）、勒内·笛卡尔（1596年–1650年）、克里斯蒂安·惠更斯（1629年–1695年）、布莱兹·帕斯卡（1623年–1662年）及約翰·沃利斯 (1616年–1703年）。有關費馬的影響，牛頓曾在一封信中提到：「我從費馬畫切線的方式得到有關（通量）方法的暗示，將其用在抽象的方程……，我擴展了這個概念（directly and invertedly, I made it general.）。一般會將導數早期的發展歸功於伊萨克·巴罗，不過牛頓和莱布尼茨仍在微分學的歷史上有重要的貢獻，其中也包括了牛頓將微分用在理论物理学中，而莱布尼茨發展的符號到現今仍在普遍使用。

自從17世紀起，許多數學家都對微分学有所貢獻。在19世紀時，在奧古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（1826年–1866年）及卡尔·魏尔斯特拉斯（1815年–1897年）等數學家的貢獻下，微分學已更加的嚴謹。微分學也在此一時期擴展到欧几里得空间及复平面。

微分的應用
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### 最佳化

若*f*是在ℝ（或是其他開區間）內的可微函数，而*x*是*f*有局部最小值或是局部最大值的位置，則*f*在*x*處的導數為零。滿足*f'*(*x*) = 0的點稱為臨界點或是驻点（則*f*在*x*處的值稱為臨界值（英语：））。若*f*沒有處處可微的特性，則*f*不可微的點也稱為臨界點。

若*f*是二次可微，則*f*的臨界點*x*可以用*f*在*x*的二次導數來分析：

* 若二次導數為正，則*x*是局部最小值
* 若二次導數為負，則*x*是局部最大值
* 若二次導數為零，則*x*可能是局部最小值、是局部最大值，也可能都不是（例如，*f*(*x*) = *x*3在*x* = 0處為臨界點，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 *f*(*x*) = ± *x*4在*x* = 0處為臨界點，分別是局部最小值及局部最大值）

上述作法稱為二次導數測試（英语：）。一次導數測試（英语：）是另一種分析方式，考慮*f'*在臨界點前後的符號變化。

取導數，並且求解臨界點是要找局部最小值或最大值的最簡單作法，常應用在最优化中。根據极值定理，連續函數在閉區間內至少會有一次局部最小值及局部最大值。若函數可微，其局部最小值及局部最大值只會出現在臨界點或是端點上。

取局部最小值及局部最大值也可以在函數圖形的繪制上：只要找到可微分函數的局部最小值、局部最大值以及位，可以根據觀察函數在各臨界點之間的趨勢來繪制簡圖。

在高維度的空間中，标量函數的臨界點是其梯度為0的點。仍然可以用二次導數測試來分析臨界點，作法是考慮函數在臨界點上二階導數形成海森矩阵的特征值。若所有特徵值都為正，此點為局部最小值；若所有特徵值都為負，此點為局部最大值；若部份為正，部份為負，表示臨界點為鞍點；不過若有部份特徵值為零，則無法以此方式判斷。

#### 變分法

条目：變分法
最佳化問題的一個例子是：找到在一曲面上，通過曲面上二點的最短路徑。若是在平面上，其最短路徑是直線。不過若曲面是較複雜的形狀（例如蛋形），最短路问题的解就不是那麼直觀了，此路徑稱為测地线，而這也是最佳化問題中最簡單的問題之一。另一個例子是：找到可以填充空間中封閉曲線的最小面積曲面，此曲面稱為极小曲面，也可以透過變分法求得。

### 物理

微分在物理學上格外重要：許多物理的現象都是用有關微分的方程式來描述，這類方程稱為微分方程。物理學格外關注物理量隨時間的變化，而**时间导数**是物理量隨時間的變化率，是許多重要概念精準定義的基礎。尤其在牛頓力學中，很重視一物體位置的时间导数：

* 速度是一物體位移（相對於時間）的微分。
* 加速度是一物體速度（相對於時間）的微分，也就是位移（相對於時間）的二階微分。

例如：若物體在一直線上的位置可以用下式表示

{\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
則其速度為

{\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
而加速度為

{\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}
此時加速度已為定值。

### 微分方程

条目：微分方程
微分方程是指一函數和其微分之間的關係。**常微分方程**會描述單變數函數和其微分之間的關係。而**偏微分方程**則是多變數函數和其偏微分之間的關係。在自然科學、數學建模，甚至是數學領域中都常常會出現微分方程。例如，牛頓第二定律描述力和加速度的關係，可以表示為以下的常微分方程

{\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}
一維空間下的熱傳導方程式描述熱在一桿狀物上如何傳遞，其偏微分方程如下

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
此處*u*(*x*,*t*)為桿狀物時間*t*時，在位置*x*的溫度，而*α*為一常數，和熱在桿狀物上傳遞的速度成正比。

### 均值定理

条目：均值定理
均值定理：對於每個可微分函數{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }（a<b），存在{\displaystyle c\in (a,b)}使得{\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}.
均值定理提供了函數的導數和其原始值之間的關係。若*f*(*x*)是實值函數，而*a* 和*b*是實數，且*a* < *b*，則根據均值定理（配合少許的假設），兩點(*a*, *f*(*a*))和(*b*, *f*(*b*))之間的斜率會等於在*a*和*b*中間某一點*c*的切線斜率。換句話說

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
實際上，均值定理是以其導數的方式來控制一個函數。例如，假設*f*有導數，在每一點均為0，這表示其每一點的切線都是水平線，因此其函數應該也就是水平線。均值定理證明這是對的：*f*圖上二點之間的斜率必須等於*f*中的某一條切線。而所有的切線斜率都是0，因此從函數上任二點之的直線斜率也是0。這表示函數不會上昇也不會下降，因此是水平線。若是導數的條件比較複雜，所產生的原函數資訊會比較不準確，但仍然有用。

### 泰勒多項式及泰勒級數

条目：泰勒级数
一函數的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似，不過這和實際的函數可能有很大的差異。改善近似的一個方式就是進行二次近似。也就是說，實值函數*f*(*x*)在*x*0點的線性化是線性多項式*a* + *b*(*x* − *x*0)，若考慮一個二次多項式*a* + *b*(*x* − *x*0) + *c*(*x* − *x*0)2，可能會有更好的近似結果。若二次多項式改為三次多項式*a* + *b*(*x* − *x*0) + *c*(*x* − *x*0)2 + *d*(*x* − *x*0)3，近似效果會更好一些，此概念可以擴展到任意多次的高次多項式。針對一個多項式，都應該會有一個最佳的係數*a*、*b*、*c*、*d*……的組合，讓近似的效果最好。

在*x*0的邻域，對*a*來說，最理想的數值一定是*f*(*x*0)，對*b*來說，最理想的數值一定是*f'*(*x*0)，對For *c*、*d*及更高階的係數來說，其係數最理想的數值是由*f*更高階的導數決定。*c*最理想的數值一定是*f''*(*x*0)/2，and *d*最理想的數值一定是*f'''*(*x*0)/3!。利用這些係數，可以得到*f*的**泰勒多項式**。*d*次的泰勒多項式是對*f*可以有最佳近似的*d*次多項式，其係數可以用上述公式推廣而得。泰勒公式提供近似程度的精確範圍。若函數*f*是次數小於等於*d*的多項式。則此函數的*d*次泰勒多項式即為函數*f*。

泰勒多項式的極限是無窮級數，稱為泰勒级数。多半來說泰勒级数是原函數非常理想的近似。一函數若都各點等於其泰勒级数，稱為解析函数。若函數有不連續點或是斜率不連續的尖角，此函數不會是解析函数，不過相反的，存在一些函數是光滑函数（無窮階可導的函數），卻不是解析函数（非解析的光滑函數（英语：））。

### 隐函数定理

条目：隐函数定理
有些幾何圖形（例如圆）無法用函数图形來表示。例如若*f*(*x*, *y*) = *x*2 + *y*2 − 1，其圓即為所有使*f*(*x*, *y*) = 0的點 (*x*, *y*)的集合。這個集合稱為*f*的零集。這和*f*本身的圖形（抛物面）不同。隐函数定理可以將*f*(*x*, *y*) = 0之類的關係轉換為函數。其中提到，若*f*是連續可微函數，*f*的零集中大部份都可以表示為函數圖形「粘貼」的組合。零集上的個點是否滿足上述條件，可以用一個和*f*微分有關的方式來確認。例如圓可以表示成二個函數圖形±{\displaystyle {\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}}「粘貼」後的結果。圓上除了(−1, 0)和(1, 0)二點之外，在其餘每一個點的鄰域上，上述二個函數中都有一個的圖形和圓的圖形類似。（上述二個函數其實剛好也通過(−1, 0)和(1, 0)，不過這不是隐函数定理中提到的內容）

隐函数定理和反函数定理有密切的關係。反函数定理提到一函數在一點的開區域內具有反函數的充分條件。

参见
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* 微分
* 微分几何
* 數值微分
* 导数列表
* 微积分学主题列表

參考資料
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1. ↑ . www.merriam-webster.com.  [2018-05-01]. （原始内容存档于2021-11-22） （英语）.
2. ↑  ，可參考《几何原本》、阿基米德重寫本及約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：）,  （英语）
3. ↑  約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：）,  （英语）
4. ↑  Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II. （页面存档备份，存于）
5. ↑  Broadbent, T. A. A.; Kline, M.. The Mathematical Gazette. October 1968, **52** (381): 307–8. JSTOR 3614212. doi:10.2307/3614212.
6. 1 2  J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", *Journal of the American Oriental Society* **110** (2), pp. 304-309.
7. ↑  Cited by J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", *Journal of the American Oriental Society* **110** (2), pp. 304-309.
8. ↑  牛顿在1666年開始此研究，莱布尼茨在1676年開始。但是莱布尼茨在1684年發表第一篇相關的論文，在牛頓1693年的第一篇論文之前。有可能莱布尼茨看過牛頓在1673年或1676年研究的草稿，也有可能是牛頓用了莱布尼茨的研究來改進他自己的論文。最後造成了牛顿和莱布尼茨在微積分上的爭議（英语：），內容就是誰才是第一個創建微積分的人，這造成18世紀初期的數學家群體中的震撼
9. ↑  此定理限制較多的版本以往已由詹姆斯·格雷果里（1638年–1675年），而皮埃爾·德·費馬（1601年–1665）的著作中也有提到一些關鍵的例子，不過這仍是具有紀念性的成就
10. ↑  Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", *Mathematics Magazine* **68** (3): 163-174 [165-9 & 173-4]
11. ↑  Sabra, A I.. Cambridge University Press. 1981: 144. ISBN 978-0521284363.
12. ↑  Eves, H. (1990).

* J. Edwards.. London: MacMillan and Co. 1892  [2018-07-18]. （原始内容存档于2019-05-21）.

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