**提示**：此条目的主题不是**極大元**、**極小元**、**極大值**或**極小值**。 
60的因數集P，按整除偏序{\displaystyle x|y}畫成哈斯圖。紅色子集{\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，S沒有最大元。
数学分支序理论中，**最大元**是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。**最小元**與之對偶（英语：），小於等於該集合的任何元素。例如，實數集{\displaystyle \{-3,1,2.5,\pi \}}中，最大元是\pi ，而最小元是{\displaystyle -3}，但是區間{\displaystyle (0,1)=\{x:0<x<1\}}並無最大元或最小元。

此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。

嚴格定義
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設(P,\leq )為偏序集（或預序集亦可），S為其子集。若S的元素g滿足：

對S的任意元素s，皆有{\displaystyle s\leq g}，
則g稱為S的**最大元**（英語：）。對偶地，若S的元素l滿足：

對S的任意元素s，皆有{\displaystyle l\leq s}，
則l稱為S的**最小元**（）。

由定義，S的最大（小）元必定是S的上（下）界。且若P為偏序集，則集合S至多得一個最大元：若g\_{1}和g\_{2}皆為最大，則由定義有{\displaystyle g\_{1}\leq g\_{2}}，又有{\displaystyle g\_{2}\leq g\_{1}}，由反對稱性得{\displaystyle g\_{1}=g\_{2}}。所以若有最大元，則必定唯一。若改為預序集則不一定。

整個偏序集P的最大最小元又稱為**頂**（）和**底**（）。頂常以符號記作1或\top ，底則是{\displaystyle 0}或\bot ，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

### 與極大極小元、上下界之別

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系\mathbb {R} 中，任何正數皆是負數子集{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}的上界，且{\displaystyle 0}為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（）亦不同。

性質
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設{\displaystyle (P,\leq )}為偏序集，S為其子集。

* 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
* S若有最大元g，則g必定是極大元。此時，S衹有這一個極大元：對任意極大元M，由於g是最大元，必有{\displaystyle M\leq g}，從而由M極大知{\displaystyle M=g}。所以若S有多於一個極大元，則不能有最大元。
* 若P滿足升链条件，則其子集S有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
	+ 「僅當」：最大元必然是極大元。
	+ 「當」：假設S有唯一極大元m但沒有最大元。因為m不是最大，有{\displaystyle s\_{1}\in S}與m不可比，又{\displaystyle s\_{1}}不是極大，所以有某個{\displaystyle s\_{2}\in S}滿足{\displaystyle s\_{1}<s\_{2}}。s\_{2}與m也不可比：若{\displaystyle m<s\_{2}}，則與m極大矛盾；反之{\displaystyle s\_{2}\leq m}又推出{\displaystyle s\_{1}<m}，與s\_{1}、m不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈{\displaystyle s\_{1}<s\_{2}<\cdots <s\_{n}<\cdots }（其中每個s\_{i}皆與m不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

全序集的最大最小元
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假如{\displaystyle \,\leq \,}限制到子集S上為全序（如首段附圖的{\displaystyle S=\{1,2,4\}}），則在S中，最大元與極大元等價：若{\displaystyle m\in S}為極大，則對任意其他s\in S，必有{\displaystyle s\leq m}（{\displaystyle m<s}將與m極大矛盾），故m是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為**最大值**（），同理最小元與極小元也稱為**最小值**（）。但上述用法與實值函數（日语：）論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合S的最大最小值分別記作{\displaystyle \max S,\min S}。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數a, b之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併a \vee b和交a \wedge b。換言之：

{\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.}

例
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例2之哈斯圖
* 實數集\mathbb {R} 中，全體整數組成的子集\mathbb Z沒有上界，從而沒有最大元。
* 如圖所示，在集合{\displaystyle \{a,b,c,d\}}上，定義自反關係{\displaystyle \,\leq \,}使{\displaystyle a\leq c,} {\displaystyle a\leq d,} {\displaystyle b\leq c,} {\displaystyle b\leq d.}。則{\displaystyle c,d}皆是集合\{a,b\}的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又a, b不可比，\{a,b\}沒有最大元。
* 有理數集\mathbb {Q} 中，平方小於2的數所組成的子集{\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}}有上界（如100），但沒有最大元，也沒有上確界。
* \mathbb {R} 中，區間{\displaystyle [0,1)}有上確界1而沒有最大元。但區間[0,1]有最大元1，同時也是上確界。
* \mathbb {R} ^{2}配備積偏序（英语：）時，滿足{\displaystyle 0<x<1}（而y任意）的二元組(x, y)的集合A沒有上界，也沒有最大元。
* 但當\mathbb {R} ^{2}配備字典序時，A有上界{\displaystyle (1,0)}，但仍沒有上確界和最大元。

參見
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* 本质上确界和本质下确界
* 始对象和终对象
* 極大與極小元
* 上极限和下极限
* 上界和下界
* 上確界和下確界（英语：）

註
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1. ↑  {\displaystyle (a,b)\leq (x,y)}定義成{\displaystyle a\leq x}且{\displaystyle b\leq y}。
2. ↑  {\displaystyle (a,b)\leq (x,y)}定義成a < b或（a=b且{\displaystyle x\leq y}）。

參考文獻
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1. 1 2  松坂 1968，第90-97頁.
2. ↑  *nLab*的extremum: 1. Idea.條目
3. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. ↑  Billingsley, P.  [概率與測度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 （英语）.

* 西岡, 康夫.. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）.
* 松坂, 和夫.. 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）.
* Davey, B. A.; Priestley, H. A.  2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.