此条目的主題是載流導線與其產生的磁場之間的關係。描述兩條載流導線相互作用的力的定律，請見「**安培力定律**」。
在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
安德烈-馬里·安培。
**安培環路定律**（英語：）常直接簡稱為"安培定律"，是由安德烈-馬里·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。

安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感应强度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為

{\displaystyle \oint \_{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu \_{0}I\_{\text{enc}}}；
其中，\mathbb {C} 是環繞著導線的閉合迴路，\mathbf {B} 是磁感应强度（又稱為B場），\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}是微小線元素向量，\mu \_{0}是磁常數，{\displaystyle I\_{\text{enc}}}是閉合迴路\mathbb {C} 所圍住的電流。

亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。

1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為**馬克士威-安培方程式**，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為

{\displaystyle \oint \_{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu \_{0}\int \_{\mathbb {S} }\left(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }；
其中，\mathbb {S} 是邊緣為\mathbb {C} 的任意曲面，\mathbf {J} 是穿過曲面\mathbb {S} 的電流的電流密度，\mathbf{ D }是電位移，\mathrm {d} \mathbf {a} 是微小面元素向量。

右手定則
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載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。

安培右手定則：將右手的大拇指指向電流I方向，再將四根手指握緊電線，則彎曲的方向决定磁場\mathbf {B} 的方向
右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

原版安培環路定律
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一條載流導線所載有的電流會產生磁場。
安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量\mathbf {F} ，

{\displaystyle \int \_{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint \_{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}。
所以，這兩種形式是等價的。

### 積分形式

电流I在一个曲面\mathbb {S} 上的通量，等於磁場\mathbf {B} 沿著\mathbb {S} 的邊緣閉合迴路\mathbb {C} 的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為：

\oint \_{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=\mu \_{0}I。
請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

* 第一，邊界曲線\mathbb {C} 的正向与曲面\mathbb {S} 的侧符合右手规则。

* 第二，（固定\mathbb {C} ，）定理之成立與以\mathbb {C} 為邊界的\mathbb {S} 的選擇無關。

安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的叠加性证明（請參閱必歐-沙伐定律）。在静磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

### 微分形式

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}。
磁场{\mathbf {B}}的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度{\mathbf {J}}。

電流分類
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電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度\mathbf {J} 是

{\mathbf {J}}={\mathbf {J\_{f}+J\_{M}+J\_{P}}}；
其中，{\mathbf {J}}\_{f}是自由電流密度或傳導電流密度，{\mathbf {J}}\_{M}是磁化電流密度，{\mathbf {J}}\_{P}是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場\mathbf {B} 和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場）\mathbf{H}和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

### 自由電流

通常在教科書內所提及的单独的"電流"二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

### 磁化電流

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏观電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為**磁化電流**，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」{\mathbf {J}}\_{M}，用方程式定義為

{\mathbf {J}}\_{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times {\mathbf {M}}；
其中，\mathbf {M} 是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

### 電極化電流

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」{\mathbf {J}}\_{P}，用方程式定義為

{\mathbf {J}}\_{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathbf {P}}}{\partial t}}；
其中，\mathbf {P} 是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

\nabla \cdot {\mathbf {P}}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho \_{b}；
其中，\rho \_{b}是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

\nabla \cdot {\mathbf {J}}\_{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot {\mathbf {P}})。
所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

\nabla \cdot {\mathbf {J}}\_{P}=-{\frac {\partial \rho \_{b}}{\partial t}}。

原版安培環路定律的不足處
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原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}；
其中，\mathbf {B} 是B場，\mu \_{0}是磁常數，{\mathbf {J}}是總電流。

取散度於這方程式，則會得到

\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})=\mu \_{0}\nabla \cdot {\mathbf {J}}。
應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})=0。
這意味著電流密度的散度等於零：

\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0。
在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

 一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面\mathbb {S} 包圍。這圓柱表面的右邊表面\mathbb {R} 處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面\mathbb{L}處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面\mathbb {R} ，而有電流I通過表面\mathbb{L}。
舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面\mathbb{L}的邊緣為閉合迴路\mathbb {C} 。應用安培定律，

{\displaystyle \oint \_{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu \_{0}I\_{\text{enc}}}。
在這裡，{\displaystyle I\_{\text{enc}}}是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路\mathbb {C} 。所以，這任意曲面可以是表面\mathbb{L}，而{\displaystyle I\_{\text{enc}}}是I；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面{\mathbb {S}}-{\mathbb {L}}，而由於通過這任意曲面的電流是{\displaystyle 0}，{\displaystyle I\_{\text{enc}}}是{\displaystyle 0}。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。

### 位移電流

条目：位移電流
在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度P來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度{\mathbf {J}}\_{D}定義為

{\mathbf {J}}\_{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathbf {D}}}{\partial t}}；
其中，{\mathbf {D}}是電位移，定義為

{\mathbf {D}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon \_{0}{\mathbf {E}}+{\mathbf {P}}；
其中，\varepsilon \_{0}是電常數，{\mathbf {P}}是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

 \mathbf{J}\_D = \varepsilon\_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}。
這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式
------------------

將馬克士威修正項目加入安培方程式：

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}+\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}  ;
或者，使用H場\mathbf{H}和位移電流\mathbf {D} 來表達，

\nabla \times {\mathbf {H}}={\mathbf {J}}\_{f}+{\frac {\partial {\mathbf {D}}}{\partial t}}。
這就是**馬克士威-安培方程式**，可以補救原本安培環路定律的限制。

假若使用B場\mathbf {B} 的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱\varepsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

### 等價證明

| 馬克士威-安培方程式的等價證明 |
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| 這裏證明方程式
{\mathbf {\nabla }}\times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}+\mu \_{0}\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}。
等價於方程式
\nabla \times {\mathbf {H}}={\mathbf {J}}\_{f}+{\frac {\partial {\mathbf {D}}}{\partial t}}，
注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據克耳文-斯托克斯定理，微分形式等價於積分形式。
回想電位移的定義式為
{\mathbf {D}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon \_{0}{\mathbf {E}}+{\mathbf {P}}。
還有，\mathbf{H}的定義式為
{\mathbf {H}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu \_{0}}}{\mathbf {B}}-{\mathbf {M}}。
將這兩個定義式代入H場\mathbf{H}的馬克士威-安培方程式，
\nabla \times \left({\frac {1}{\mu \_{0}}}{\mathbf {B}}-{\mathbf {M}}\right)={\mathbf {J}}\_{f}+\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {P}}}{\partial t}}。
經過一番運算，可以得到
\nabla \times \left({\frac {1}{\mu \_{0}}}{\mathbf {B}}\right)={\mathbf {J}}\_{f}+\nabla \times {\mathbf {M}}+{\frac {\partial {\mathbf {P}}}{\partial t}}+\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}={\mathbf {J}}\_{f}+{\mathbf {J}}\_{M}+{\mathbf {J}}\_{P}+\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}。
稍加整理，即可得到磁場\mathbf {B} 的馬克士威-安培方程式
{\mathbf {\nabla }}\times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}+\mu \_{0}\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}。 |

CGS單位制的安培方程式
------------

採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為

\oint \_{{\mathbb {C}}}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\int \_{S}\left(4\pi {\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\right)\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}；
其中，c是光速。

其微分形式可以寫為

{\mathbf {\nabla }}\times {\mathbf {B}}={\frac {1}{c}}\left(4\pi {\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\right)。

备注
--

1. ↑  在物理学上，英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义；在以下內文中，汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有：環路、迴路、迴圈、環線、迴線，或是閉環、閉路。

参见
--

* 電荷守恆定律

註釋
--

1. ↑  沿著閉合迴路\mathbb{C} 線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有，I\!\ 是通過邊緣為閉合迴路\mathbb{C} 的曲面\mathbb {S} 的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。
2. ↑  通過邊緣為閉合迴路\mathbb{C} 的曲面有無限多選擇（設想在一个閉合铁环上懸跨着一个肥皂泡，假若輕輕地往这个肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為\mathbb{C} 的曲面皆可被證明為正確的選擇。

參考文獻
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1. ↑ .  [2022-04-21]. （原始内容存档于2022-04-21）.
2. 1 2  David J Griffiths.  3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑  
Daniel M. Siegel.. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295.
4. ↑  James C. Maxweel.  (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961  [2009-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2009-06-12）.

外部連結
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* Morgan, Kirby.  (PDF). Project PHYSNET.  [2009-08-08]. （原始内容 (PDF)存档于2006-02-21）.  外部链接存在于`|publisher=` (帮助)
* Smith, Walter Fox.  (PDF). PhysicsSongs.org.  [2009-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2010-10-11）.  外部链接存在于`|publisher=` (帮助)

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