**代数数域**是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为**数域**，指有理数域\mathbb{Q}的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作\mathbb{Q}上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

定义
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### 预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为"加法"、"乘法"）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域\mathbb{Q}。

域的扩张
域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S记录），规定相互间的运算法则后，"最小的"将它们都包含在内的域L称为"F（添加S中元素得到）的扩域"。称F是L的子域。一般将"F到L的域扩张"记作F⊂L或L/F。

向量空间
另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组：(x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n})。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张
设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作[L : F]。

### 定义

若域L是有理数域\mathbb{Q}的有限扩张，则称之为代数数域。

例子
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最小最基本的代数数域是有理数域\mathbb{Q}。因为\mathbb{Q}自身是\mathbb{Q}-向量空间，维数是1。因此\mathbb{Q}是\mathbb{Q}自身的域扩张，[{\mathbb {Q}}:{\mathbb {Q}}]=1.

高斯有理数{\mathbb {Q}}(i)（i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

a+bi,\;\;a,b\in {\mathbb {Q}}
的数构成的集合。可以证明，{\mathbb {Q}}(i)是域，而且是\mathbb{Q}-向量空间，以\{1,i\}为基，空间维数是2。所以{\mathbb {Q}}(i)是\mathbb{Q}的二次扩张，[{\mathbb {Q}}(i):{\mathbb {Q}}]=2.

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域{\mathbb {Q}}({\sqrt {d}})在\mathbb{Q}中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明{\mathbb {Q}}({\sqrt {d}})是\mathbb{Q}-向量空间，以\{1,{\sqrt {d}}\}为基，空间维数是2，即[{\mathbb {Q}}({\sqrt {d}}):{\mathbb {Q}}]=2.

考虑多项式方程x^{n}=1的n个复根\xi \_{1},\xi \_{2},\cdots ,\xi \_{n}，它们被称做n次单位根，具体可以写作：

\xi \_{i}=e^{{{\frac {2i\pi }{n}}}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.
在\mathbb{Q}中添加\xi \_{1},\xi \_{2},\cdots ,\xi \_{n}得到的扩域称为n次分圆域，记作{\mathbb {Q}}(\xi \_{n})。可以证明{\mathbb {Q}}(\xi \_{n})是有限维\mathbb{Q}-向量空间，维数为\varphi (n)（\varphi 是数论中的欧拉函数），即[{\mathbb {Q}}(\xi \_{n}):{\mathbb {Q}}]=\varphi (n).

实数域\mathbb {R} 、复数域\mathbb {C} 和p进数域\mathbb{Q}\_p都不是\mathbb{Q}的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是\mathbb{Q}的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域\mathcal{C}和全体代数数构成的域{\mathcal {A}}（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是\mathbb{Q}的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数域与代数数
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代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域L，依定义，域扩张{\mathbb {Q}}\subset L是有限扩张。设其次数为正整数m。将L看作是m维\mathbb{Q}-向量空间，在L中任意选一个不属于\mathbb{Q}的数z，它可以被看作是m维\mathbb{Q}-向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量：

1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}
它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数：a\_{0},a\_{1},\cdots ,a\_{m}，使得：

a\_{0}+a\_{1}z+\cdots +a\_{m}z^{m}=0.
考虑非零多项式P=a\_{0}+a\_{1}X+\cdots +a\_{m}X^{m}，P(z)=0，即z是多项式P的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数
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条目：代数整数
代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作{\mathcal {O}}\_{F}。例如\mathbb{Q}上的代数整数环就是\mathbb {Z} ，因此在代数数域研究中\mathbb {Z} 也被称作"有理整数"（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环{\mathcal {O}}\_{F}与\mathbb {Z} 有不同的代数性质。{\mathcal {O}}\_{F}不一定是唯一分解整环。举例来说，设F={\mathbb {Q}}({\sqrt {-5}})，F中的整数环是{\mathcal {O}}\_{F}={\mathbb {Z}}[{\sqrt {-5}}]。2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}都是{\mathcal {O}}\_{F}中的"素数"。正整数6，作为{\mathcal {O}}\_{F}中的元素，它的素因数分解有两种方式：

6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：{\mathcal {O}}\_{F}的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种"理想的唯一素分解"可部分弥补"代数整数一般不能唯一素因子分解"的不足，在历史上使代数数论发展起来。

代数数域的基
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### 整数基

设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合：

B=\{b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n}\}
使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合，即：

\forall x\in {\mathcal {O}}\_{F},\;\;\exists !\;(m\_{1},m\_{2},\cdots ,m\_{n})\in {\mathbb {Z}}^{n}，使得x=m\_{1}b\_{1}+m\_{2}b\_{2}+\cdots +m\_{n}b\_{n}.
换句话说，整数基B是{\mathcal {O}}\_{F}作为自由\mathbb {Z} -模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

\forall x\in F,\;\;\exists !\;(q\_{1},q\_{2},\cdots ,q\_{n})\in {\mathbb {Q}}^{n}，使得x=q\_{1}b\_{1}+q\_{2}b\_{2}+\cdots +q\_{n}b\_{n}.
这说明B是F作为n维\mathbb{Q}-向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有q\_{1},q\_{2},\cdots ,q\_{n}都是有理整数。

### 乘幂基

设F为n次代数数域。作为n维\mathbb{Q}-向量空间，F包含如下形式的基：

B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{{n-1}}\}
其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张{\mathbb {Q}}\subset F的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（）。

参见
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* 狄利克雷单位定理, S-单位
* 库默尔扩张
* 闵可夫斯基定理 几何数论
* Chebotarev稠密定理
* 射线类群
* 分解群
* 亏格域

参考来源
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1. ↑  蓝以中.  第二版. 北京大学出版社. 2007年7月: 9. ISBN 978-7-301-05370-6.
2. 1 2  张贤科.. 清华大学 数学科学系.  [2014-05-26]. （原始内容存档于2014-11-12）.
3. 1 2  David Hilbert.. Springer（插图版）. 1998. ISBN 9783540627791.
4. ↑  康明昌.. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期.  [2014-05-24]. （原始内容存档于2017-05-14）.

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* Serge Lang, *Algebraic Number Theory*, second edition, Springer, 2000
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* Narkiewicz, Władysław, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
* Neukirch, Jürgen, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften **322**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften **323**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
* Andre Weil, *Basic Number Theory*, third edition, Springer, 1995