在数学上，每个闭曲面在几何拓扑的意义下，可以由一个偶数条边的有向多边形，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为**基本多边形**（）。

由一对向量定义的基本平行四边形，生成环面。
这个构造可以表示成一个长为2*n*的字符串，一共*n*个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

例子
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曲面的基本多边形| 球面 | 实球射影平面 | 克莱因瓶 | 环面 |

上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。

* 球面：AA^{{-1}}或{\displaystyle ABB^{-1}A^{-1};}
* 实射影平面：AA或{\displaystyle ABAB;}
* 克莱因瓶：{\displaystyle ABAB^{-1}}或{\displaystyle AABB;}
* 环面：ABA^{{-1}}B^{{-1}}或{\displaystyle ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.}

群生成元
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对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个群的生成元。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的自由群上一个约束，给出有一个约束的群呈示。

因此，例如给定欧几里得平面\mathbb {R} ^{2}，设群元素A在这个平面上有作用{\displaystyle A(x,y)=(x+1,y)}而{\displaystyle B(x,y)=(x,y+1)}。则A,B生成格{\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{2}}，而环面由商空间给出（一个齐性空间）{\displaystyle T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}。更一般地，两个生成元A,B可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌。

对环面，在两个字母的自由群上的约束由{\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}=1}给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外，平面可用六边形铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同，又得到了环面。这一回约束是{\displaystyle ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1}，刻划了六边形格生成元在平面上的作用。

在实际中，大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面，由群{\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}中一个离散格作用在上半平面实现。这样的格称为富克斯群（Fuchsian group）。

标准基本多边形
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亏格*n*可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

{\displaystyle A\_{1}B\_{1}A\_{1}^{-1}B\_{1}^{-1}A\_{2}B\_{2}A\_{2}^{-1}B\_{2}^{-1}\cdots A\_{n}B\_{n}A\_{n}^{-1}B\_{n}^{-1}=1.\,}
（不可定向）亏格*n*的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

{\displaystyle A\_{1}A\_{1}A\_{2}A\_{2}\cdots A\_{n}A\_{n}.\,}
或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格*n* 克莱因瓶与亏格*n* 实射影平面。亏格2*n*克莱因瓶由一个4*n*边形给出

{\displaystyle A\_{1}B\_{1}A\_{1}^{-1}B\_{1}^{-1}A\_{2}B\_{2}A\_{2}^{-1}B\_{2}^{-1}\cdots A\_{n}B\_{n}A\_{n}^{-1}B\_{n}=1,\,}
（注意最后的B\_{n}没有上标 -1；与可定向情形比较，这个翻转是不可定向性的缘故）。亏格2*n*+1射影平面由一个4*n*+2边形给出

{\displaystyle A\_{1}B\_{1}A\_{1}^{-1}B\_{1}^{-1}A\_{2}B\_{2}A\_{2}^{-1}B\_{2}^{-1}\cdots A\_{n}B\_{n}A\_{n}^{-1}B\_{n}^{-1}C^{2}=1.\,}
最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。

紧黎曼曲面的基本多边形
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一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（Fuchsian model）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形**H**/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

### 度量基本多边形

给定上半平面**H**中一点z\_0，以及PSL(2,**R**)一个离散子群Γ 自由不连续作用在上半平面，则我们可定义**度量基本多边形**（）为点集

{\displaystyle F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z\_{0})<d(z,gz\_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,}
这里*d*是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为**狄里克雷区域**（）或**沃罗诺伊多边形**（Voronoi polygon）。

* 这个基本多边形是一个基本区（fundamental domain）。
* 这个基本多边形是凸集，连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部。
* *F*的直径小于或等于**H**/Γ的直径。特别地，*F*的闭包紧。
* 如果Γ在**H**中没有不动点且**H**/Γ紧，则*F*的边数有限。
* 多边形的每条边是一个测地线。
* 对多边形的每条边*s*，恰有另外一条边*s'* 使得*gs=s'* 对某个*g*属于Γ。从而这个多边形有偶数条边。
* 将边两两连接的群元素集合*g*是Γ的生成元，没有更小的集合可生成Γ。
* *F*的闭包在Γ的作用下铺满上半平面。即{\displaystyle H=\cup \_{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}}这里\overline {F}是*F*的闭包。

### 标准基本多边形

给定任何度量基本多边形*F*，用有限步可以构造另一个基本多边形，**标准基本多边形**（），它具有额外一组值得注意的性质：

* 标准多边形的顶点都是等价的。"顶点"是说两条边相交的点。"等价"意味着每个顶点可以由Γ中某个*g*变到任何其它一个顶点。
* 边数可被4整除。
* Γ中一个给定元素*g*至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于Γ的作用保持定向，如果一条边为A，则这一对中另一个可以标记为相反的方向A^{-1}。
* 可以安排标准多边形的边，使得相邻边取形式{\displaystyle A\_{1}B\_{1}A\_{1}^{-1}B\_{1}^{-1}A\_{2}B\_{2}A\_{2}^{-1}B\_{2}^{-1}\cdots A\_{n}B\_{n}A\_{n}^{-1}B\_{n}^{-1}}。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
* 标准多边形是凸集。
* 边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形**H**/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为基本群{\displaystyle \pi \_{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}中一个元素。特别地，基本群{\displaystyle \pi \_{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}有2*n*个生成元素{\displaystyle A\_{1},B\_{1},A\_{2},B\_{2},\cdots A\_{n}B\_{n}}，由一个约束定义，

{\displaystyle A\_{1}B\_{1}A\_{1}^{-1}B\_{1}^{-1}A\_{2}B\_{2}A\_{2}^{-1}B\_{2}^{-1}\cdots A\_{n}B\_{n}A\_{n}^{-1}B\_{n}^{-1}=1.\,}
所得流形**H**/Γ的亏格是*n*。

### 例子

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点*x*，然后对Γ中*g*，考虑*x*与*gx*之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的轨迹与*x*和*gx*距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

### 面积

标准基本多边形的面积是{\displaystyle 4\pi (n-1)}，这里*n*是黎曼曲面的亏格（等价于4*n*是多边形的边数）。由于标准多边形是**H**/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出，在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推广。

标准多边形的具体形式
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对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群\Gamma 。对一个亏格*n*定向曲面，群可由2*n*格生成元a\_{k}给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

对{\displaystyle 0\leq k<2n}：

{\displaystyle a\_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)}
参数由

{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)}
和

{\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{4n}}}
以及

{\displaystyle p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}}
给出。可以验证这些生成元服从约束

{\displaystyle a\_{0}a\_{1}\cdots a\_{2n-1}a\_{0}^{-1}a\_{1}^{-1}\cdots a\_{2n-1}^{-1}=1,\,}
这给出整个群呈示。

推广
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在高維，基本多变形的想法体现为齐性空间。

另见
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* 凯莱图
* 欧几里得环
* 沃罗诺伊图（Voronoi diagram）

参考文献
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* Alan F. Beardon, *The Geometry of Discrete Groups* (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, *Compact Riemann Surfaces* (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.