在雙縫實驗裏，從光源{\mathrm {a}}傳播出來的相干光子束，照射在一塊刻有兩條狹縫{\mathrm {b}}和{\mathrm {c}}的不透明擋板{\mathrm {S2}}。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏{\mathrm {F}}，用來紀錄到達{\mathrm {F}}的任何位置{\mathrm {d}}的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏{\mathrm {F}}的干涉圖樣。

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在量子力学裏，**态叠加原理**（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。

從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量A，而可觀察量A的本徵態|a\_1\rang、|a\_2\rang分別擁有本徵值a\_{1}、a\_2，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態|\psi\rang=c\_{1}|a\_1\rang+c\_{2}|a\_2\rang也可以是這量子系統的量子態；其中，c\_1、c\_{2}分別為疊加態處於本徵態|a\_1\rang、|a\_2\rang的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量A，則測量獲得數值是a\_{1}或a\_{2}的機率分別為|c\_{1}|^2、|c\_{2}|^2，期望值為\langle\psi |A|\psi\rang=|c\_{1}|^2 a\_1 +|c\_{2}|^2 a\_2。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態|0\rangle 與|1\rangle 的線性疊加。這兩個基底態|0\rangle 、|1\rangle 的本徵值分別為{\displaystyle 0}、1。

理論
--

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 |f\_{1}\rangle 或|f\_{2}\rangle  ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合|f\rangle =c\_{1}|f\_{1}\rangle +c\_{2}|f\_{2}\rangle ，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，c\_1、c\_{2}是複值係數，為了歸一化|f\rangle ，必須讓|c\_{{1}}|^{2}+|c\_{{2}}|^{2}=1。

假設\theta 為實數，則雖然e^{{i\theta }}|f\_{2}\rangle 與|f\_{2}\rangle 標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，|f\_{1}\rangle +|f\_{2}\rangle 、|f\_{1}\rangle +e^{{i\theta }}|f\_{2}\rangle 分別標記兩種不同的量子態。但是，|f\_{1}\rangle +|f\_{2}\rangle 和e^{{i\theta }}(|f\_{1}\rangle +|f\_{2}\rangle )都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。

### 電子自旋範例

設想自旋為1/2的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態|\uparrow \rangle 與下旋態|\downarrow \rangle ，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

|\psi \rangle =c\_{{\uparrow }}|\uparrow \rangle +c\_{{\downarrow }}|\downarrow \rangle ；
其中，c\_{{\uparrow }}、c\_{{\downarrow }}分別是複值係數，為了歸一化|\psi \rangle ，必須讓|c\_{{\uparrow }}|^{2}+|c\_{{\downarrow }}|^{2}=1。

這是最一般的量子態。係數c\_{{\uparrow }}、c\_{{\downarrow }}分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

p\_{{\uparrow }}=|c\_{{\uparrow }}|^{2}、
p\_{{\downarrow }}=|c\_{{\downarrow }}|^{2}。
總機率應該等於1：
p=p\_{{\uparrow }}+p\_{{\downarrow }}=|c\_{{\uparrow }}|^{2}+|c\_{{\downarrow }}|^{2}=1。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

|\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle 。
電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

p\_{{\uparrow }}=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}、
p\_{{\downarrow }}=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}。
再次注意到總機率應該等於1：

p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1。
### 非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為

 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)；
其中，\hbar 是約化普朗克常數，\Psi(\mathbf{r},t)是粒子的波函數，\mathbf {r} 是粒子的位置，t是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

\Psi ({\mathbf {r}},t)=e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}；
其中，\mathbf{k}是波向量，\omega 是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega。
由於粒子存在的機率等於1，波函數\Psi(\mathbf{r},t)必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

\Psi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{(2\pi )^{{3/2}}}}\int \_{{{\mathbb {K}}}}A({\mathbf {k}})e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}{\mathrm {d}}{\mathbf {k}}；
其中，積分區域\mathbb {K} 是\mathbf{k}-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

\Psi (x,t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}A(k)~e^{{i(kx-\omega (k)t)}}\ {\mathrm {d}}k；
其中，振幅A(k)是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}\_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x ；
其中，\Psi(x,0)是在時間t=0的波函數。

所以，知道在時間t=0的波函數\Psi(x,0)，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數\Psi (x,t)。

參見
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* 叠加原理
* 波函数
* Delta 位勢阱
* Delta 位勢壘

參考文獻
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1. 1 2 3  French, Anthony, W. W. Norton, Inc. 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查`|isbn=`值 (帮助)

* Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, *Nature* Supplement 14 April 1928, **121**: 580–590 （页面存档备份，存于）.
* Cohen-Tannoudji, C. Diu, B. Laloë, F. (1973/1977). *Quantum Mechanics*, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, ISBN 0471164321.
* Dirac, P. A. M. (1930/1958). *The Principles of Quantum Mechanics*, 4th edition, Oxford University Press.
* Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), *Albert Einstein: Philosopher-Scientist* （页面存档备份，存于）, volume II, Open Court, La Salle IL.
* Feynman, R. P. Leighton, R.B. Sands, M. (1965). *The Feynman Lectures on Physics*, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
* Merzbacher, E. (1961/1970). *Quantum Mechanics*, second edition, Wiley, New York.
* Messiah, A. (1961). *Quantum Mechanics*, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French *Mécanique Quantique*, North-Holland, Amsterdam.
* Wheeler, J. A.; Zurek, W.H.. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.  已忽略文本"John Archibald Wheeler" (帮助)


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