**肯普納級數**（英語：）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成

{\displaystyle \sum \_{\begin{smallmatrix}n=1\\n{\text{缺 }}9\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {1}{n}}\_{,}}
其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。奧伯利·肯普納（英语：）於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列A082838）。

直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。

施梅爾策與貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數n，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。）

命名
--

許多文獻中，級數未有命名。MathWorld用為條目名。朱利安·哈維爾所著《伽瑪》（論歐拉-馬斯刻若尼常數）亦採用同一名稱。

收斂
--

肯普納對數列收斂之證明，載於若干教科書，如哈代與賴特合著《數論導論》，亦是阿波斯托《數學分析》的習題。證明如下。

將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理，缺「9」的n位正整數共有{\displaystyle 8\times 9^{n-1}}個，因為最高位有8個選擇（1至8，首位不為零），而其後n-1位，每位有9種選擇（0至8），且各位的選擇互相獨立。任何n位數皆不小於{\displaystyle 10^{n-1}}，故其倒數至多為{\displaystyle 10^{1-n}}。所以，缺「9」的n位正整數之倒數，對級數的貢獻，至多是{\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}。因此，將各組貢獻加總，全個級數至多為

{\displaystyle 8\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}
若將禁止出現的「9」換成其他非零數字，則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況，缺「0」的n位正整數共有{\displaystyle 9^{n}}個，故缺「0」正整數的倒數和至多為：

{\displaystyle 9\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}
若刪去含有某串k位子字串的項，例如忽略所有分母含子字串「42」的項，則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣，先觀察在{\displaystyle 10^{k}}進制中，刪去含有該字串為「位」的項，則前述證明適用，證出新級數收斂。但是，新級數比欲證收斂的級數更大，原因是欲證收斂的級數中，不僅刪走以該字串為{\displaystyle 10^{k}}進制位的項，還刪走了跨{\displaystyle 10^{k}}進制位而含該字串的項。接續前一個例子，百進制的新級數略過4217（百進制的首位是42）和1742（百進制的末位是42），但未略過1427，而欲證收斂的級數中，連1427也一併略去。

巴基爾·法喜研究恰有n個數字d（滿足{\displaystyle 0\leq d\leq 9}）的正整數倒數和{\displaystyle S(d,n)}，此為肯普納級數的推廣，因為原級數即為{\displaystyle S(9,0)}。法喜證明，對每個d，數列{\displaystyle S(d,n)}由{\displaystyle n=1}起取值遞減，且當n趨向無窮大時，收斂到{\displaystyle 10\ln 10}。不過，數列一般並非由n = 0起遞減，例如原級數值為{\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10}，比n\geq 1時任意一個{\displaystyle S(9,n)}更小。

數值方法
----

級數收斂得很慢。貝利寫道，即使計算前1024項和，其後餘項仍超過1。

80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後，證明級數值接近23。此後，再由貝利改進到前述的22.92067…。

貝利以{\displaystyle s(i,j)}表示缺某指定數字的所有i位正整數的j次方倒數和，然後推導出，只要有齊{\displaystyle s(i,j+n)}對所有非負整數n的值，就能遞歸計算{\displaystyle s(i+1,j)}。於是，祗需較少的計算，已得到原級數{\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots }的準確估計。

參見
--

* 倒數和收斂
* 倒數和列表（英语：）

參考文獻
----

1. 1 2  
Kempner, A. J.  [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1914-02, **21** (2): 48–50. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074. doi:10.2307/2972074 （英语）.
2. 1 2 3 4  Baillie, Robert.  [缺給定數字的整數倒數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1979-05, **86** (5): 372–374. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321096. doi:10.2307/2321096 （英语）. 經訂正。
3. 1 2  
Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert.  [求某稀奇而收斂得慢的級數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 2008-06, **115** (6): 525–540. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642532. MR 2416253 （英语）.
4. ↑  赵显曾; 冯世; 程乃毅.. 南京工学院学报. 1985, (3)  [2021-11-08]. （原始内容存档于2021-11-08）.
5. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. ↑  Havil, Julian.  [伽瑪：探索歐拉常數]. Princeton: Princeton University Press. 2003. ISBN 978-0-691-09983-5 （英语）.
7. ↑  Hardy, G. H.; Wright, E. M.  [數論導論] 5th. Oxford: Clarendon Press. 1979. ISBN 0-19-853171-0 （英语）.
8. ↑  Apostol, Tom.  [數學分析]. Boston: Addison–Wesley. 1974. ISBN 0-201-00288-4 （英语）.  該書有中譯本：  
Tom M. Apostol（著）; 邢富冲; 邢辰; 李松洁; 贾婉丽（译）.. 华章数学译丛. 机械工业出版社. 2006. ISBN 7-111-18014-3.
9. ↑  
Farhi, Bakir.  [有關肯普納級數的稀奇結果]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 2008, **115** (10): 933–938. Bibcode:2008arXiv0807.3518F. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642640. MR 2468554. arXiv:0807.3518 可免费查阅 （英语）.
10. 1 2  
 [勘誤]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 1980, **87** (10): 866. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2320815 （英语）.
11. ↑  
Irwin, Frank.  [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). May 1916, **23** (5): 149–152. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974352. doi:10.2307/2974352 （英语）.