|  |
| --- |
| 系列條目 |
| 微积分学 |
|  |
| 
* 函数
* 极限论
* 微分学
* 积分

* 微积分基本定理
* 微积分发现权之争（英语：）

 |
| 基础概念（含极限论和级数论）

| 
實數性質 |
| --- |
| 函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（銜尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷（英语：） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 ·  · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：） · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：） · 一致收斂 · 迪尼定理 |
| 
數列與級數 |
| 
連續 |
| 
函數 |

 |
| 一元微分

|  |
| --- |
| 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：） · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数 |

 |
| 一元积分

|  |
| --- |
| * 积分表
 |
| 
定义 |
| * 不定积分
* 定积分
* 黎曼积分
* 达布积分
* 勒贝格积分
* 积分的线性
 |
| 
求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · **微积分基本定理** · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 數值積分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理 |

 |
| 多元微积分

|  |
| --- |
| 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分（英语：） · 积分顺序（英语：）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · **格林公式** · **高斯散度定理** · **斯托克斯定理**及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：）（加托导数 · 弗雷歇导数（英语：） · 矩阵的微积分（英语：）） · 弱微分 |

 |
| 微分方程

|  |
| --- |
| 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特徵方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程 |

 |
| 相关数学家
牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 約翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：） · 婆什迦羅第二 · 阿涅西 · 阿基米德
 |
| 历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
 |
| 分支学科

|  |
| --- |
| 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析 |

 |
| * 
* 论
* 编
 |

| 三角学 |
| --- |
|  |
| * 历史（英语：）
* 三角函数 (反三角函数)
* 广义三角函数（英语：）
 |
| 
参考 |
| * 恒等式
* 精确值
* 三角表（英语：）
* 单位圆
 |
| 
定理 |
| * 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 勾股定理
 |
| 微积分 |
| * 三角换元法
* 积分 (反三角函数)
* 微分
 |
| * 
* 论
* 编
 |

**三角换元法**是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。

含有*a*2-*x*2的积分
--------------

在积分

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
中，我们可以用以下的代换

{\displaystyle x=a\sin \theta ,\ dx=a\cos \theta \,d\theta }
{\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}}
这样，积分变为：

{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=\int d\theta =\theta +C\\&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C\\\end{aligned}}}
注意以上的步骤需要a>0和{\displaystyle \cos \theta >0}；我们可以选择a 为{\displaystyle a^{2}}的算术平方根，然后用反正弦函数把\theta 限制为{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}。

对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当x从0增加到{\displaystyle {\frac {a}{2}}}时，{\displaystyle \sin \theta }从0增加到{\displaystyle {\frac {1}{2}}}，所以\theta 从0增加到{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}。因此，我们有：

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {a}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int \_{0}^{\frac {\pi }{6}}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}

含有*a*2+*x*2的积分
--------------

在积分

\int\frac{dx}{a^2+x^2}
中，我们可以用以下的代换：

{\displaystyle x=a\tan \theta ,\ dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta }
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {x}{a}}}
这样，积分变为：

{\displaystyle {\begin{aligned}\quad \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}[1+\tan ^{2}\theta ]}}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\&={\frac {\theta }{a}}+C\\&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C\end{aligned}}}
（*a* > 0）。

含有*x*2 − *a*2的积分
----------------

以下的积分

\int\frac{dx}{x^2 - a^2}
可以用部分分式的方法来计算，但是，

\int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx
则必须要用换元法：

{\displaystyle x=a\sec \theta ,\ dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta }
{\displaystyle \theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\quad \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int \sec \theta \ (\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}}

含有三角函数的积分
---------

对于含有三角函数的积分，可以用以下的代换：

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad u=\sin x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad u=\tan\frac x2
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du\\&={\frac {1}{4}}\int (1-u^{4})\,du\\&={\frac {1}{4}}\left(u-{\frac {1}{5}}u^{5}\right)+C\\&={\frac {(1+3\cos x+\cos ^{2}x)\sin x}{5(1+\cos x)^{3}}}+C\end{aligned}}}

参见
--

* 正切半角公式