在微分几何中，一个曲面 {\displaystyle S} 的**平均曲率**（）H，是一个"外在的"弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

定义
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令 p 是曲面 S 上一点，考虑 S 上过 p 的所有曲线 {\displaystyle C\_{i}}。每条这样的 C\_i 在 p 点有一个伴随的曲率 K\_{i}。在这些曲率 K\_{i} 中，至少有一个极大值 {\displaystyle \kappa \_{1}} 与极小值 {\displaystyle \kappa \_{2}}，这两个曲率 {\displaystyle \kappa \_{1},\kappa \_{2}} 称为 S 的主曲率。

{\displaystyle p\in S} 的**平均曲率**是两个主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章），由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

{\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa \_{1}+\kappa \_{2})\ .}
利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

{\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,}
这里 {\displaystyle E,F,G} 是第一基本形式的系数，{\displaystyle L,M,N} 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章），一个超曲面 T 的平均曲率为：

{\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\kappa \_{i}\ .}
更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}。

另外，平均曲率 H 可以用共变导数 \nabla  写成 

{\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla \_{i}\nabla \_{j}X\ ,}
这里利用了高斯-Weingarten 关系，{\displaystyle X(x,t)} 是一族光滑嵌入超曲面，{\vec {n}} 为单位法向量，而 g\_{{ij}} 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 {\displaystyle S} 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。 

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未{\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

### 3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

{\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,}
这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面"远离"法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 {\displaystyle z=S(x,y)}，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

{\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}
如果曲面还是轴对称的，满足 {\displaystyle z=S(r)}，则

{\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ }

流体力学
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在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

{\displaystyle H\_{f}=(\kappa \_{1}+\kappa \_{2})\ .}
这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 {\displaystyle H\_{f}}；两个曲率等于小滴半径的倒数 {\displaystyle \kappa \_{1}=\kappa \_{2}=r^{-1}}。

极小曲面
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Costa 极小曲面示意图
条目：极小曲面
一个**极小曲面**是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Costa极小曲面（英语：）（1982年）与Gyroid（英语：）（1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面（陈维桓 2006，4.6节）。

参见
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* 高斯曲率
* 平均曲率流
* 逆平均曲率流
* 面积公式第一变分

参考文献
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* 斯皮瓦克, 迈克尔,  3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
* 陈维桓, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9 请检查`|isbn=`值 (帮助)

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* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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