| 各種函數 |
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| *x* ↦ *f* (*x*) |
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不同定義域和陪域 |
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* X → {\displaystyle \mathbb {B} }, {\displaystyle \mathbb {B} } → X, {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}} → {\displaystyle \mathbb {B} }
* X →（英语：） \mathbb {Z} , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}→ X
* X →（英语：） \R, \R → X, \R^n →（英语：） X
* X →（英语：） {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {C} } → X, {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} →（英语：） X

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| 函數類/性質 |
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* 常值
* 恆等
* 線性
* 多項式
* 有理
* 代數
* 解析
* 光滑
* 連續
* 可測
* 單射
* 满射
* 双射

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構造 |
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* 限制
* 複合
* λ
* 逆

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推廣 |
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* 偏（英语：）
* 多值
* 隱

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| * 
* 论
* 编
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在数学中，**有序对**是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是"第一个元素"而另一个是"第二个元素"（第一个元素和第二个元素也叫做**左投影**和**右投影**）。带有第一个元素*a*和第二个元素*b*的有序对通常写为(*a*, *b*)。

符号(*a*, *b*)也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号\langle a,b\rangle 。

一般性
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设(*a*1, *b*1)和(*a*2, *b*2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：

(a\_{1},b\_{1})=(a\_{2},b\_{2})\leftrightarrow (a\_{1}=a\_{2}\land b\_{1}=b\_{2})
有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序*n*-元组（*n*项的列表）。例如，有序三元组 (*a,b,c*)可以定义为(*a*, (*b,c*))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

有序对的集合论定义
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诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：

(x,y)\equiv \_{{def}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}
他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

### 标准Kuratowski定义

在公理化集合论中，有序对(*a*,*b*)通常定义为库拉托夫斯基对：

(a,b)\_{K}\equiv \_{{def}}\{\{a\},\{a,b\}\}
陈述"*x*是有序对*p*的第一个元素"可以公式化为

\forall \ Y\in p:x\in Y
而陳述"*x*是*p*的第二个元素"为

(\exists \ Y\in p:x\in Y)\land (\forall \ Y\_{1}\in p,\forall \ Y\_{2}\in p:Y\_{1}\neq Y\_{2}\rightarrow (x\notin Y\_{1}\lor x\notin Y\_{2}))
注意这个定义对于有序对*p* = (*x*,*x*) = { {*x*}, {*x*,*x*} } = { {*x*}, {*x*} } = { {*x*} }仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ *Y*1 ∈ *p*, ∀ *Y*2 ∈ *p* : *Y*1 ≠ *Y*2 → (*x* ∉ *Y*1 ∨ *x* ∉ *Y*2))顯然是真的，因为不会有*Y*1 ≠ *Y*2的情况。

### 变体定义

上述有序对的定义是"充足"的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果(*a*,*b*)=(*x*,*y*)则*a*=*x*且*b*=*y*）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

1. (*a*,*b*)reverse:= { {*b*}, {*a*,*b*} }
2. (*a*,*b*)short:= { *a*, {*a*,*b*} }
3. (*a*, *b*)01:= { {0,*a*}, {1,*b*} }

"逆"（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。"短"（short）对有一個缺點，它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着2是对 (0,0)short。

### 证明有序对的特征性质

**Kuratowski**对：
证明：(*a,b*)K = (*c,d*)K当且仅当*a*=*c*且*b*=*d*。

*僅當：*

如果*a*=*b*，则 (*a,b*)K = {{*a*}, {*a,a*}} = { {*a*} }，且 (*c,d*)K = {{*c*},{*c,d*}} = { {*a*} }。所以{*c*} = {*a*} = {*c,d*}，或*c=d=a=b*。
如果*a*≠*b*，则{{*a*}, {*a,b*}} = {{*c*},{*c,d*}}。
如果{*c,d*} = {*a*}，则*c=d=a*或{{*c*},{*c,d*}} = {{*a*}, {*a,a*}} = {{*a*}, {*a*}} = { {*a*} }。但這樣{{*a*}, {*a, b*}}就會等於{{*a*}}，繼而*b = a*，跟先前的假設矛盾。
如果{*c*} = {*a,b*}，则*a=b=c*，这矛盾于*a*≠*b*。所以{*c*} = {*a*}，即*c=a*，且{*c,d*} = {*a,b*}。
并且如果*d=a*，则{*c,d*} = {*a,a*} = {*a*}≠{*a,b*}。所以*d=b*。
所以同樣有*a=c*且*b=d*。
*當：*

反过来，如果*a=c*并且*b=d*，则顯然{{*a*},{*a,b*}} = {{*c*},{*c,d*}}。所以 (*a,b*)K = (*c,d*)K。

  

**逆**对：
(*a,b*)reverse = {{*b*},{*a,b*}} = {{*b*},{*b,a*}} = (*b,a*)K。

如果 (*a,b*)reverse = (*c,d*)reverse，则 (*b,a*)K = (*d,c*)K。所以*b=d*且*a=c*。
反过来，如果*a=c*和*b=d*，则顯然{{*b*},{*a,b*}} = {{*d*},{*c,d*}}。所以 (*a,b*)reverse = (*c,d*)reverse。
### Quine-Rosser定义

Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设\mathbb{N} 是自然数的集合，x\setminus \mathbb{N} 是\mathbb{N} 在x內的相對差集，並定義：

\varphi (x)=(x\setminus \mathbb{N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb{N} )\}
φ(*x*)包含在*x*中所有自然数的后继，和*x*中的所有非数成员。特别是，φ(*x*)不包含数0，所以对于任何集合*A*和*B*，\phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)。

以下是有序对 (*A*,*B*)的定义：

(A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.
提取这个对中那些不包含0的所有元素，然後再還原\varphi 的作用，就得出了*A*。类似的，*B*可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做"类型齐平"有序对）。因此一個函数（定义为有序对的集合），有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。

### Morse定义

Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定义投影为集合的有序对。接着，他*重定义*对 (*x*,*y*)为 

(x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))
这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且

s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}|t\in x\}
這便允許了定義以真類為投影的有序對。

参考文献
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1. ↑  J. Barkley Rosser, 1953. *Logic for Mathematicians*. McGraw-Hill.
2. ↑  Holmes, Randall (1998) *Elementary Set Theory with a Universal Set （页面存档备份，存于）*. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
3. ↑  Morse, Anthony P. 1965. *A Theory of Sets*. Academic Press

参见
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* 笛卡儿积
* 二元关系


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