数学上，同调代数领域中的一个**链复形**(A\_{\bullet },d\_{\bullet })是一个交换群或者模的序列*A*0, *A*1, *A*2... 通过一系列同态*d**n* : *A**n*→*A**n*-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：*d**n* o *d**n*+1 = 0对于所有*n*。它们常常写作如下形式：

\ldots \longrightarrow A\_{{n+1}}{\begin{matrix}d\_{{n+1}}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{n}{\begin{matrix}d\_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{{n-1}}{\begin{matrix}d\_{{n-1}}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{{n-2}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A\_{2}{\begin{matrix}d\_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{1}{\begin{matrix}d\_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{0}{\begin{matrix}d\_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.
定義鏈複形的**同調群**為 H\_{n}(A\_{\bullet }):={\mathrm {Ker}}(d\_{n})/{\mathrm {Im}}(d\_{{n+1}})。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。

链复形概念的一个变种是*上链复形*。一个**上链复形**(A^{\bullet },d^{\bullet })是一个交换群或者模的序列*A*0, *A*1, *A*2...由一系列同态*d**n* : *A**n*→*A**n*+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：*d**n*+1 o *d**n* = 0 对于所有的*n*: 

0\longrightarrow A\_{0}{\begin{matrix}d\_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{1}{\begin{matrix}d\_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A\_{{n-1}}{\begin{matrix}d\_{{n-1}}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{n}{\begin{matrix}d\_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A\_{{n+1}}\longrightarrow \ldots .
定義上鏈複形的**上同調群**為 H^{n}(A^{\bullet }):={\mathrm {Ker}}(d^{n})/{\mathrm {Im}}(d^{{n-1}})。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个**有界复形**是其中，几乎所有的*A**i*为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。

例子
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### 奇异同调

假定我们给定一个拓扑空间*X*。

定义*C**n*(*X*)（对于自然数*n*）为自由交换群由*X*中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射

\partial \_{n}:C\_{n}(X)\to C\_{{n-1}}(X):\,(\sigma :[v\_{0},\ldots ,v\_{n}]\to X)\mapsto (\partial \_{n}\sigma =\sum \_{{i=0}}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v\_{0},\ldots ,{\hat v}\_{i},\ldots ,v\_{n}]),
其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以(C\_{\bullet },\partial \_{\bullet })是一个链复形；*奇异同调* H\_{\bullet }(X)是该复形的同调类；也就是说，

H\_{n}(X)=\ker \partial \_{n}/{\mbox{im }}\partial \_{{n+1}}.
### 德拉姆上同调

任何光滑流形上的微分*k*-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个**R**-向量空间）称为Ω*k*(*M*)。
外导数 *d* = *d* *k* 映射 Ω*k*(*M*) → Ω*k*+1(*M*)，而且*d* 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以*k*-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：

\Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .
该复形的上同调是*德拉姆上同调*

H\_{{{\mathrm {DR}}}}^{k}(M)=\ker d\_{{k+1}}/{\mbox{im }}d\_{k}.

鏈映射
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兩個鏈複形 (A\_{\bullet },d\_{{A,\bullet }})、(B\_{\bullet },d\_{{B,\bullet }}) 之間的**鏈映射**是一族同態 f\_{n}:A\_{n}\rightarrow B\_{n}，使之滿足： f\_{n}\circ d\_{{A,n}}=d\_{{B,n}}\circ f\_{{n+1}}；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 (X^{\bullet },d\_{X}^{\bullet })、(Y^{\bullet },d\_{Y}^{\bullet }) 之間的**上鏈映射**是一族同態 f^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n}，使之滿足： {\displaystyle f^{n+1}\circ d\_{X}^{n}=d\_{Y}^{n}\circ f^{n}}。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是**函子性**或稱**自然性**的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

鏈同倫
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兩個鏈映射 f\_{n},g\_{n}:A\_{\bullet }\rightarrow B\_{\bullet } 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 D\_{n}:A\_{n}\rightarrow B\_{{n+1}} 使得 f\_{n}-g\_{n}=d\_{{n+1}}\circ D\_{n}+D\_{{n-1}}\circ d\_{n}。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 D^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{{n+1}}。以下給出上鏈同倫的圖解：

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

### 参看

* 同调
* 微分分级代数