本文考虑微分几何中的前推算子，由光滑流形间的光滑映射的微分诱导。关于术语"前推"在数学中的其他使用，参见前推。
假设 *φ* : *M* → *N* 是光滑流形之间的光滑映射；则 *φ* 在一点 *x* 处的**微分**在某种意义上是 *φ* 在 *x* 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 *M* 在 *x* 处的切空间到 *N* 在 *φ*(*x*) 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 *M* 的切向量"前推"成 *N* 的切向量。 

映射 *φ* 的微分也被一些的作者称为 *φ* 的**导数**或**全导数**，有时它自己也之称为**前推**（）。

动机
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设 *φ*:*U*→*V* 是从 **R**m 的一个开集 *U* 到 **R**n 的开集 *V* 的一个光滑映射。对任何 *U* 中的给定点 *x*， *φ* 在 *x* 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 *φ* 在 *x* 的全微分的矩阵表示，这是一个从 **R**m 到 **R**n 的线性映射：

{\displaystyle \mathrm {d} \varphi \_{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .}
我们希望将其推广到 *φ* 是"任何"两个光滑流形 *M* 与 *N* 之间的光滑映射。

光滑映射的微分
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令 *φ* : *M* → *N* 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 *x* ∈ *M*，*φ* 在 *x* 的**微分**或**（全）导数**是从 *M* 在 *x* 的切空间到 *N* 在 *φ*(*x*) 的切空间一个线性映射

{\displaystyle \mathrm {d} \varphi \_{x}:T\_{x}M\to T\_{\varphi (x)}N\ ,}
映射 d*φ*x 运用到切向量 *X* 上有时称为 *X* 由 *φ* 的**前推**。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。

如果我们定义切向量为通过 *x* 的曲线等价类，那么微分由

{\displaystyle \mathrm {d} \varphi \_{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)}
给出，这里 *γ* 是 *M* 上满足 *γ*(0) = *x* 的一条曲线。换句话说，一条曲线 *γ* 在 0 处切向量的前推恰好是 *φ*\circ*γ* 在 0 处的切向量。

另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

{\displaystyle \mathrm {d} \varphi \_{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )}
给出，这里 *X* ∈ *TxM*，从而 *X* 是定义在 *M* 上的一个导子而 *f* 是 *N* 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 *M* 上 *x* 处 *X* 的前推在 *T**φ*(*x*)*N* 中，从而定义了一个N上的导子。

取定 *x* 与 *φ*(*x*) 附近的坐标卡以后，*F* 局部由 **R***m* 与 **R***n* 之间的光滑映射

{\displaystyle {\hat {\varphi }}:U\rightarrow V}
确定。而 d*φ*x 具有表示（在 *x* 附近）：

{\displaystyle \mathrm {d} \varphi \_{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}
这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 *x* 坐标卡相应的 *U* 中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

{\displaystyle (\mathrm {d} \varphi \_{x})\_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}
从而光滑映射 *φ* 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 **R***m* 到 **R***n* 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 *φ* 是一个局部微分同胚，那么在 *x* 点的前推是可逆的，其逆给出 *T**φ*(*x*)*N* 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。

微分经常有其他一些记法，比如

{\displaystyle D\varphi \_{x},\;(\varphi \_{\*})\_{x},\;\varphi '(x)\ .}
从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。

切丛上的微分
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光滑映射 *φ* 的微分以显而易见的方式诱导了从 *M* 的切丛到 *N* 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 d*φ* 或 *φ*\*，满足如下的交换图表：

这里 *πM* 与 *πN* 分别表示 *M* 与 *N* 切丛的丛投影。

等价地（参见丛映射），*φ*\* = d*φ* 是从 *TM* 到 *M* 上的拉回丛 *φ\*TN* 的丛映射，这可以看成 *M* 上向量丛 Hom(*TM*,*φ*\**TN*) 的一个截面。

向量场的前推
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给定了一个光滑映射 *φ*:*M*→*N* 与 *M* 上一个向量场 *X*，一般不能定义 *X* 通过 *φ* 的前推为 *N* 的一个向量场。譬如，如果映射 *φ* 不是满射，则在 *φ* 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 *φ* 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用"沿着映射的向量场"概念将难处变精确。

*M* 上 *φ\*TN* 的一个截面称为**沿着 *φ* 的向量场**。例如，如果 *M* 是 *N* 的一个子丛而 *φ* 是包含映射，那么沿着 *φ* 的向量场恰好是 *N* 沿着 *M* 的切丛的一个截面；特别的，*M* 上的向量通过 *TM* 包含到 *TN* 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设 *X* 是 *M* 上一个向量场，即 *TM* 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 *X* 的前推 
*φ*\**X*，这是一个沿着 *φ* 的向量场，即 *M* 上 *φ\*TN* 的一个截面。

任何 *N* 上的向量场 *Y* 定义了 *φ\*TN* 的一个拉回截面 *φ\*Y* 使得 (*φ\*Y*)*x* = *Y**φ*(*x*)。*M* 上一个向量场 *X* 与 *N* 上一个向量场 *Y* 称为 ***φ*-相关**的，如果作为沿着 *φ* 的向量场有 *φ\*X* = *φ\*Y*。换句话说，对任何 *x* 属于 *M*，有 d*φ**x*(*X*)=*Y**φ*(*x*)。

在某些情形，给定 *M* 上一个向量场 *X*，*N* 上只有惟一的向量场 *Y* 与 *X* *φ*-相关。特别地，这在 *φ* 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 *N* 上一个向量场 *Y*，由

{\displaystyle Y\_{x}=\varphi \_{\*}(X\_{\varphi ^{-1}(x)}).}
给出。一个更一般的情形是 *φ* 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 *M* 上的向量场 *X* 称为**可投影**的，如果对任何 *y* 属于 *N*, d*φ**x*(*X**x*) 与 *x* 属于 *φ*-1({*y*}) 的取法无关。这恰好是保证 *X* 的前推可以作为 *N* 上的一个良定的向量场的条件。

參閲
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* 拉回

参考文献
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* John M. Lee, *Introduction to Smooth Manifolds*, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
* Jurgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 *See section 1.6*.
* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, *Foundations of Mechanics*, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X *See section 1.7 and 2.3*.