**热传导方程**（或稱**熱方程**）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

物理机制
----

一维热方程图解（观看动画版）
熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達：

{\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u\_{xx}+u\_{yy}+u\_{zz})\quad }
其中：

* *u* =*u*(*t*, *x*, *y*, *z*)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。
* {\partial u}/{\partial t}是空間中一點的溫度對時間的變化率。
* u\_{{xx}}, u\_{{yy}}與u\_{{zz}}溫度對三個空間座標軸的二次導數。
* *k*是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。

如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。

利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式

u\_{t}=k\Delta u,\quad 
其中的\Delta 是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如布莱克-斯科尔斯模型與奥恩斯坦-乌伦贝克过程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

以傅立葉級數解熱方程
----------

在理想狀態下一根棍子的熱傳導，配上均勻的邊界條件。
以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作*Théorie analytique de la chaleur*（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：

(1)\ u\_{t}=ku\_{{xx}}\quad 
其中*u* = *u*(*t*, *x*)是*t*和*x*的雙變數函數。 

* *x*是空間變數，所以*x* ∈ [0,*L*]，其中*L*表示棍子長度。
* *t*是時間變數，所以*t* ≥ 0。

假設下述初始條件

(2)\ u(0,x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L] \quad 
其中函數*f*是給定的。再配合下述邊界條件

(3)\ u(t,0) = 0 = u(t,L) \quad \forall t > 0 \quad .
讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式：

(4)\ u(t,x) = X(x) T(t). \quad
這套技術稱作分離變數法。現在將*u*代回方程式(1)，

{\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad 
由於等式右邊只依賴*x*，而左邊只依賴*t*，兩邊都等於某個常數− λ，於是：

(5) \ T'(t) = - \lambda kT(t) \quad 
(6) \ X''(x) = - \lambda X(x). \quad 
以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解：

1. 

假設λ < 0，則存在實數*B*、*C*使得 

X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}。
從(3)得到 

X(0)=0=X(L).\quad 
於是有*B* = 0 = *C*，這蘊含*u*恆等於零。 

1. 

假設λ = 0，則存在實數*B*、*C*使得 

X(x)=Bx+C.\quad 
仿上述辦法可從等式(3)推出*u*恆等於零。

1. 

因此必然有λ > 0，此時存在實數*A*、*B*、*C*使得

T(t)=Ae^{{-\lambda kt}}\quad 
X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x)。
從等式(3)可知*C* = 0，因此存在正整數*n*使得

\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}。
由此得到熱方程形如(4)的解。

一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：

u(t,x)=\sum \_{{n=1}}^{{+\infty }}D\_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}}
其中 

D\_n = \frac{2}{L} \int\_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx。
### 推廣求解技巧

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子u\mapsto u\_{{xx}}可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。

考慮線性算子Δ *u* = *u**x x*，以下函數序列

e\_{n}(x)={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}（*n* ≥ 1）
是Δ的特徵向量。誠然：

 \Delta e\_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e\_n。
此外，任何滿足邊界條件*f*(0)=*f*(*L*)=0的Δ的特徵向量都是某個*e**n*。令L2(0, *L*)表 [0, *L*]上全體平方可積函數的向量空間。這些函數*e**n*構成L2(0, *L*)的一組正交歸一基。更明白地說：

\langle e\_{n},e\_{m}\rangle =\int \_{0}^{L}e\_{n}(x)e\_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.
最後，序列{*e**n*}*n* ∈ **N**張出L2(0, *L*)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化。

非均勻不等向介質中的熱傳導
-------------

一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。

* 單位時間內流入區域 *V*的熱量由一個依賴於時間的量*q**t*(*V*)給出。假設*q*有個密度*Q(t,x)*，於是

q\_{t}(V)=\int \_{V}Q(t,x)\,dx\quad 
* 熱流是個依賴於時間的向量函數**H**(*x*)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為*dS*而單位法向量為**n**的無窮小曲面元素的熱量是

{\mathbf {H}}(x)\cdot {\mathbf {n}}(x)\,dS
因此單位時間內進入*V*的熱流量也由以下的面積分給出

q\_{t}(V)=-\int \_{{\partial V}}{\mathbf {H}}(x)\cdot {\mathbf {n}}(x)\,dS
其中**n**(x)是在*x*點的向外單位法向量。

* 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係

 \mathbf{H}(x) = -\mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) 
其中**A**(*x*)是個3×3實對稱正定矩陣。
利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分

 q\_t(V) = - \int\_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS 
 = \int\_{\partial V} \mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS 
 = \int\_V \sum\_{i, j} \partial\_{x\_i} a\_{i j}(x) \partial\_{x\_j} u(t,x)\,dx 
* 溫度在*x*點對時間的改變率與流進*x*点所在的無窮小区域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。

\partial \_{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,
將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。

 \partial\_t u(t,x) = \kappa(x) \sum\_{i, j} \partial\_{x\_i} a\_{i j}(x) \partial\_{x\_j} u(t,x) 
**註記**： 

* 係數κ(*x*)是該材料在*x*點的密度和比熱的积的倒数。

* 在等方向性介質的情況，矩陣**A**只是個純量，等於材料的導熱率。

* 在非等向的情況，**A**不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果*A*是個對稱矩陣，那麼由

Au(x):=\sum\_{i, j} \partial\_{x\_i} a\_{i j}(x) \partial\_{x\_j} u(x)
定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。

粒子擴散
----

### 粒子擴散方程

在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及

* 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作*c*。或者
* 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作*P*。

不同情況下的方程式：

c\_{t}=D\Delta c,\quad 
或者

P\_{t}=D\Delta P.\quad 
*c*與*P*都是位置與時間的函數。*D*是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。

如果擴散係數*D*依賴於濃度*c*（或第二種情況下的機率密度*P*），則我們得到非線性擴散方程。

單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。

如果一個粒子在時間t=0時置於{\vec R}={\vec 0}，則相應的機率密度函數具有以下形式：

P({\vec R},t)=G({\vec R},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{{3/2}}}}e^{{-{\frac {{\vec R}^{2}}{4Dt}}}}
它與機率密度函數的各分量R\_{x}、R\_{y}和R\_{z}的關係是：

P({\vec R},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{{3/2}}}}e^{{-{\frac {R\_{x}^{2}+R\_{y}^{2}+R\_{z}^{2}}{4Dt}}}}=P(R\_{x},t)P(R\_{y},t)P(R\_{z},t)
隨機變數R\_{x},R\_{y},R\_{z}服從平均數為0、變異數為2\,D\,t的正態分佈。在三維的情形，隨機向量{\vec R}服從平均數為{\vec 0}、變異數為6\,D\,t的正態分佈。

在*t=0*時，上述P({\vec R},t)的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數，記為\delta(\vec R)（三維的推廣是\delta(\vec R) = \delta(R\_x)\delta(R\_y) \delta(R\_z)）；擴散方程對此初始值的解也稱作*格林函數*。

### 擴散方程的歷史源流

粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。

### 以格林函數解擴散方程

格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點{\vec 0}時，相應的格林函數記作G({\vec R},t)（*t>0*）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置{\vec R}^{0}，相應的格林函數是G({\vec R}-{\vec R}^{0},t)。

對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。

舉例來說，設*t=0*時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值c({\vec R},0)分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加：

c({\vec R},t=0)=\int c({\vec R}^{0},t=0)\delta ({\vec R}-{\vec R}^{0})dR\_{x}^{0}\,dR\_{y}^{0}\,dR\_{z}^{0}
擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻*t*，濃度分佈變為：

c({\vec R},t)=\int c({\vec R}^{0},t=0)G({\vec R}-{\vec R}^{0},t)dR\_{x}^{0}\,dR\_{y}^{0}\,dR\_{z}^{0}
在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。

#### 一維格林函數解列表

以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。

{\begin{cases}u\_{{t}}=ku\_{{xx}}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}
u(x,t)={\frac {1}{{\sqrt {4\pi kt}}}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy
\begin{cases} u\_{t}=ku\_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases} 
u(x,t)={\frac {1}{{\sqrt {4\pi kt}}}}\int \_{{0}}^{{\infty }}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy
\begin{cases} u\_{t}=ku\_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u\_{x}(0,t)=0 & BC \end{cases} 
u(x,t)={\frac {1}{{\sqrt {4\pi kt}}}}\int \_{{0}}^{{\infty }}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy
{\begin{cases}u\_{{t}}=ku\_{{xx}}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}
u(x,t)=\int \_{{0}}^{{t}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds
\begin{cases} u\_{t}=ku\_{xx}+f(x,t)& 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases} 
u(x,t)=\int \_{{0}}^{{t}}\int \_{{0}}^{{\infty }}{\frac {1}{{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds
{\begin{cases}u\_{{t}}=ku\_{{xx}}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}
u(x,t)=\int \_{{0}}^{{t}}{\frac {x}{{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds
（可能的問題：根據上解，u(0)=0）

{\begin{cases}u\_{{t}}=ku\_{{xx}}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}
\quad {u=w+v}
{\begin{cases}v\_{{t}}=kv\_{{xx}}+f,\,w\_{{t}}=kw\_{{xx}}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}
\begin{cases} u\_{t}=ku\_{xx}+f & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=h(t) & BC\end{cases} 
\quad {u=w+v+r}
{\begin{cases}v\_{{t}}=kv\_{{xx}}+f,\,w\_{{t}}=kw\_{{xx}},\,r\_{{t}}=kr\_{{xx}}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

應用
--

熱方程在許多現象的數學模型中出現，而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以轉成熱方程，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。

熱方程在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱方程在黎曼幾何中有许多應用。

參見
--

* 熱
* 偏微分方程
* 发展方程

文獻
--

* Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905.  （页面存档备份，存于）

* Wilmott P. Howison S. Dewynne J. (1995)*The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction.* Cambridge University Press.

* L.C. Evans, *Partial Differential Equations*, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

外部連結
----

|  |  |
| --- | --- |
|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**熱傳導方程式** |

* 熱方程的推導 （页面存档备份，存于）
* Linear heat equations （页面存档备份，存于）:邊界值問題的特解 - 來自EqWorld