图论中，**布鲁克定理**（英語：） 描述了图的着色数与图中最大度数的关系，提供了图着色数的一个上界。定理斷言，若连通图*G*中，每個頂點都不多於Δ個鄰居，且*G*不是完全图或奇环，则*G*可以被Δ-着色，即*G*可以被染成Δ种颜色，使得相邻点颜色互不相同。

背景
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### 图染色数

条目：圖着色問題
考慮為G的頂點染色，而使每邊的兩端不同色。以符號表示，條件是：对于图G中任意两个顶点u,v，如果{\displaystyle uv\in E(G)}，那么u,v所染成的颜色不同。

对于图G，如果存在一个k种颜色的恰当染色方案，称G可染k色（或「k可着色」）。在所有满足条件的{\displaystyle k\in \mathbb {Z\_{+}} }中，称最小的那个k稱為染色數{\displaystyle \chi (G)}。

### 图最小染色数和图最大度数关系

圖G的最大度記作{\displaystyle \Delta (G)}。对于任意图G，{\displaystyle \chi (G)\leq \Delta (G)+1}始终成立。但是这个上界并不足够紧。而布鲁克斯定理提供了一个更紧的上界。

图着色问题有一个贪心染色法（），将颜色标号为{\displaystyle 1,2,...\Delta (G)+1}，将图*G*的顶点排序为{\displaystyle v\_{1},v\_{2},...v\_{n}}，按顺序对顶点v\_{{i}}进行染色。染v\_i時，其邻居至多有{\displaystyle \Delta (G)}個，所以已染色的鄰居中，至多衹用了{\displaystyle \Delta (G)}種色，尚有某種色未用，可选择該種色作为v\_{{i}}的着色。

根据布鲁克斯定理，不等式{\displaystyle \chi (G)\leq \Delta (G)+1}取等当且仅当*G*为完全图或奇环。当*G*为完全图时，{\displaystyle \chi (G)=n}，{\displaystyle \Delta (G)=n-1}，当*G*为奇环时，{\displaystyle \chi (G)=3}，{\displaystyle \Delta (G)=2}，均满足{\displaystyle \chi (G)=\Delta (G)+1}。

定理敍述
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如果G是一个连通图，而且G不是奇环{\displaystyle C\_{2n+1}}或者完全图K\_n，那么{\displaystyle \chi (G)\leq \Delta (G)}。其中{\displaystyle \chi (G)}是图G的最小着色数，{\displaystyle \Delta (G)}是图G中点的最大度数。

定理证明
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此處给出洛瓦兹·拉兹洛的一个证明（亦見諸）。

记{\displaystyle k=\Delta (G)}。当{\displaystyle k=0,1}的时候，G是完全图。当k=2的时候，由于G不是奇环，那么G要么是一条路径P，或者偶环{\displaystyle C\_{2n}}。此时{\displaystyle \chi (G)=2=\Delta (G)}。所以，衹需从{\displaystyle k\geq 3}开始考虑。分下列三種情況：

### *G*不是*k*正则图

选择*G*中度小于*k*的点v\_0最后染色。由於G連通，有某種排序方式使得除v\_0之外，每个节点都有一个邻点排在它的后面：例如从v\_0出发对图*G*进行深度优先遍历，按照DFS序的逆序排列*G*的节点。故只有小于等于*k* - 1个邻点排在它前面，这样，只有小于等于*k* - 1个邻点排在它前面，而{\displaystyle d(v\_{0})\leq k-1}，故也只有小于等于*k* - 1个邻点排在它前面，按該次序的貪心染色最多衹用*k*種色。

若要避免術語「DFS」，可以构造下列集合{\displaystyle \{S\_{i}\}}直到里面包含G中所有顶点：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{0}&={v\_{0}}\\S\_{1}&=N(v\_{0})\\S\_{2}&=N(S\_{1})-S\_{1}-S\_{0}\\\dots \\S\_{l}&=N(S\_{l-1})-S\_{l-1}-S\_{l-2}\dots -S\_{0}\end{aligned}}}
然后可以用上述贪心染色算法对图G进行染色。染色顺序为：先染{\displaystyle S\_{l}}中的点，再染{\displaystyle S\_{l-1}}中的点，一直这么下去直到染完S\_{0}中的点。这种算法使用l种颜色就能完成。当染到点{\displaystyle u\in S\_{i}(i\neq 0)}時，u在{\displaystyle S\_{i-1}}中至少有一个邻居，所以u邻居中至多只有k-1个被染色过，所以能对u进行染色。

当染点v\_0的时候，由于{\displaystyle d(v\_{0})<k}，v\_0邻居中至多只有k-1个被染色过，所以同样能对v\_0进行染色。所以用k种颜色对G恰当染色。

### *G*是*k*正则图但有割点

假设割点为u，那么{\displaystyle G'=G-\{u\}}就不是连通图，设G'有t个連通分量{\displaystyle G\_{1},G\_{2},\dots ,G\_{t}}。对于任意一个连通分支G\_{i}，考虑{\displaystyle H\_{i}=G\_{i}\cup \{u\}}。由于u在H\_{i}的度數小於k，{\displaystyle \Delta (H\_{i})<k}。由前述贪心染色算法可知，H\_{i}可染k色。然后只需令这些染色方案中u所染的颜色一样（如果不一样，将所有点染的颜色重新排列一下），就能拼成G的染色方案，所以可用k种颜色对G恰当染色。

### *G*是*k*正则图且無割点

由于G中没有割点，G是2连通图（英语：）。斷言可以找到一个顶点u ，使得它有两个邻点{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}，满足{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}不相邻，且{\displaystyle G-\{v\_{1},v\_{2}\}}连通。如果这样的{\displaystyle u,v\_{1},v\_{2}}存在，就可以先將{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}染成同色，然後貪心地為其他點染色，使u最後染。这样貪心染法衹用不超過k種色，因为除u之外的点，只有小于等于k-1个邻点排在它前面，而u又有兩個邻点{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}同色，故u的鄰域衹用前k-1種色，尚有餘下顏色可用。以下說明為何有此種{\displaystyle u,v\_{1},v\_{2}}。

如果G是3连通的，則可以選取距離為2的兩點{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}（因為G不是完全圖），及其公共鄰點u。如此有{\displaystyle v\_{1}v\_{2}\notin E(G)}，又由于G是3连通的，{\displaystyle G-\{v\_{1},v\_{2}\}}是连通图，即為所求。

僅剩G是2连通但不是3连通的情況。此時有頂點u使{\displaystyle G-u}僅為1連通，考慮{\displaystyle G-u}各個雙連通分支（英语：），之間以割點連接，組成一棵樹。因為{\displaystyle G-u}不是2連通，該樹至少有兩個叶区块（），設為{\displaystyle B\_{1},B\_{2}}。又因为G无割点，所以{\displaystyle G-u}的每一个叶区块中，必有某個非割點與u相邻。於是，可以在{\displaystyle B\_{1},B\_{2}}中各取u的鄰點{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}，使{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}不是{\displaystyle G-u}的割点。如此，{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}不相邻（否則{\displaystyle B\_{1},B\_{2}}屬同一雙連通分支），且{\displaystyle G-\{u,v\_{1},v\_{2}\}}连通。因为{\displaystyle k\geq 3}，所以{\displaystyle G-\{v\_{1},v\_{2}\}}连通。證畢。

参考文献
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1. ↑  Brooks, R. L. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society（英语：）, 1941, **37** (2): 194–197, doi:10.1017/S030500410002168X
2. ↑  Mitchem, John, The Computer Journal（英语：）, 1976, **19** (2): 182–183, MR 0437376, doi:10.1093/comjnl/19.2.182
3. ↑  Lovász, L. Journal of Combinatorial Theory（英语：）, Series B, 1975, **19** (3): 269–271, doi:10.1016/0095-8956(75)90089-1
4. ↑  Douglas B.West.. Pearson Enducation. 2002. ISBN 81-7808-830-4.

* Rigo, Michel.. London, UK. 2008: 90–92. ISBN 978-0-387-79711-3.  `|author1=`和`|last1=`只需其一 (帮助)
* Bondy, J. A.. New York: Springer. 2008: 359-363. ISBN 978-1-84628-969-9.  `|author1=`和`|last1=`只需其一 (帮助)

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* 论
* 编
图论 |
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| 图 | 

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| 種類 | 
* 有向图
* 无向图
* 有向无环图
* 二分图
* 多分圖
* 连通图
* 完全图
* 圖標號
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| 結構 | 
* 节点
* 边
* 回路
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* 弦
* 環
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* 團
* 補圖

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| 属性 | 
* 边连通
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* 重数
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* 尺寸
* 顶点连通
* 圖不變量

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| 二元運算 | 
* 圖乘積
* 圖運算

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| 映射、關係 | 
* 圖同態
* 圖同構
* 圖同胚
* 圖子式

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| 定理 | 

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| 染色 | 
* 四色
* 布鲁克斯

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| 平面性 | 
* 库拉托夫斯基
* 交叉數不等式

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| 極值（英语：） | 
* 圖蘭
* 艾狄胥-斯通
* 霍爾

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