數學上，**阿廷群**（或**Artin group、稱廣義辮群）**，是指有如下展示的群：

{\displaystyle {\Big \langle }x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}{\Big |}\langle x\_{i},x\_{j}\rangle ^{m\_{i,j}}=\langle x\_{j},x\_{i}\rangle ^{m\_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }}
其中

{\displaystyle m\_{i,j}=m\_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}}.
對{\displaystyle m<\infty }，{\displaystyle \langle x\_{i},x\_{j}\rangle ^{m}}表示長度為m的x\_{i}和x\_{j}的交錯積，以x\_{i}開首。例如：

{\displaystyle \langle x\_{i},x\_{j}\rangle ^{3}=x\_{i}x\_{j}x\_{i}}，
{\displaystyle \langle x\_{i},x\_{j}\rangle ^{4}=x\_{i}x\_{j}x\_{i}x\_{j}}。
若{\displaystyle m=\infty }，按慣例這表示x\_{i}和x\_{j}間沒有關係。

在整數{\displaystyle m\_{i,j}}中加入{\displaystyle m\_{i,i}=1}，可以組成一個對稱矩陣，稱為這個群的考克斯特矩陣（）。在Artin群中加入所有形為{\displaystyle {x\_{i}}^{2}=1}的關係，得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態的核，稱為**純阿廷群**（）。

Artin群的類
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辮群是Artin群的一種，其考克斯特矩陣為{\displaystyle m\_{i,i+1}=3}，及當{\displaystyle |i-j|>1}時{\displaystyle m\_{i,j}=2}。

用Artin群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的Artin群：

### 有限型Artin群

若*M*是有限型考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群*W* = *A*(*M*)是有限群，那麼Artin群*A* = *A*(*M*)稱為**有限型Artin群**（）。其「不可約型」標記為*A**n* , *B**n* = *C**n* , *D**n* , *I**2*(*n*) , *F**4* , *E**6* , *E**7* , *E**8* , *H**3* , *H**4* 。一個有限型純Artin群，可以表現為**C***n*中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述，算出*A*的中心、上同調，及解出字問題和共軛問題。

### 直角Artin群

若矩陣*M*中除對角線外的元素都是2或∞，則對應的Artin群稱為**直角Artin群**（）。這類Artin群常用以下的方式標記：任何一個有*n*個頂點的圖 **Γ**，頂點標記為1, 2, …, n，都可定義一個矩陣*M*，其中若*i*和*j*在**Γ**中相連，則*m**ij* = 2，否則*m**ij* = ∞。與矩陣*M*對應的直角Artin群*A*(**Γ**)有*n*個生成元*x*1, *x*2, …, *x*n及關係

{\displaystyle x\_{i}x\_{j}=x\_{j}x\_{i}\quad }若*i*和*j*在\Gamma 中相連。
直角Artin群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，及有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每個秩為*r*的直角Artin群都是一個秩為*r*-1的直角Artin群的HNN擴張，兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積（）。直角Artin群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩1自由群（即無限循環群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形（）*K*，其基本群是一個給定的直角Artin群*A*(**Γ**)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證，給出具有性質(FP2)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群
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若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中，對所有*i* ≠ *j*都有*m**i*, *j* ≥ 3，稱這個群是大型（）的；若對所有*i* ≠ *j*都有*m**i*, *j* ≥ 4，則稱這個群是超大型（）的。

凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為：

1. 設*G*為超大型Artin或考克斯特群。若*J* ⊆ *I*，則*G**J*有一個展示由考克斯特矩陣*M**J*定義，且*G**J*在*G*中的廣義字問題可解。若*J*, *K* ⊆ *I*則*G**J* ∩ *G**K* = *G* (*J* ∩ *K*).
2. 超大型Artin群是無扭（即無有限目的元素）的。
3. 設*G*為超大型Artin群，則集合{*a**i*2 : *i* ∈ *I*}自由生成*G*的一個自由子群。
4. 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。

參考
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* Mladen Bestvina, Noel Brady, *Morse theory and finiteness properties of groups*. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
* Pierre Deligne, *Les immeubles des groupes de tresses généralisés*. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
* Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, *Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen*. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
* Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（页面存档备份，存于）
* Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（页面存档备份，存于）
* Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（页面存档备份，存于）
* Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（页面存档备份，存于）
* Appel, Kenneth I. and P. E. Schupp. *Artin Groups and Infinite Coxeter Groups.* Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220