在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，{x}^{{\mu }}\,\!或{x}\_{{\mu }}\,\!。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，(x)^{2}\,\!表示x\,\!平方；而{x}^{2}\,\!是{x}^{{\mu }}\,\!的第二個分量。
**波向量**是波的向量表示方法。波向量是一个向量，其大小表示波数（k=|{{\mathbf k}}|=2\pi /\lambda ），其方向表示波传播的方向。

波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义
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参见：行波
正弦波波长*λ*可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点（英语：）。
当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。
波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以2\pi ，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。

### 物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )
其中：

* *x*为位置；
* *t*为时间；
* \psi （*x*和*t*的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，\psi 是超出水面的高度；对於声波，\psi 是超气压）；
* *A*是波的振幅（振动的峰值）；
* \varphi 是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
* \omega 是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
* k是波数，与波长成反比，由k=2\pi /\lambda 求出。

此波在+x方向上行进，相速度为\omega /k。

推广到三维情况下，方程为：

\psi \left({{\mathbf r}},t\right)=A\cos \left({{\mathbf k}}\cdot {{\mathbf r}}-\omega t+\varphi \right)
其中：

* **r**是三维空间中的位置矢量；
* \cdot  是矢量点积；
* **k**是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数|{{\mathbf k}}|=2\pi /\lambda 。波矢的方向是平面波行进的方向。

### 晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：

\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )
\psi \left({{\mathbf r}},t\right)=A\cos \left(2\pi ({{\mathbf k}}\cdot {{\mathbf r}}-\nu t)+\varphi \right)。
不同点在於：

* 晶体学定义使用了频率\nu ，而不是角频率\omega ，由公式2\pi \nu =\omega ，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
* 波数*k*以及波矢**k**的定义方式不同。此处的k=|{{\mathbf k}}|=1/\lambda ，而在物理学定义中，k=|{{\mathbf k}}|=2\pi /\lambda 。

狭义相对论
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接近单色光的波包可以由波矢

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,
准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,且
k\_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k\_{1},-k\_{2},-k\_{3}\right)\,。
於是波矢的大小为

k^{2}=k^{\mu }k\_{\mu }=k^{0}k\_{0}-k^{1}k\_{1}-k^{2}k\_{2}-k^{3}k\_{3}\,
={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,
最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

k={\frac {\omega }{c}}\,
### 洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

\Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}。
在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系*S* s，地球位於观测系*S* obs。
对波矢进行洛伦兹变换得到

k\_{s}^{{\mu }}=\Lambda \_{\nu }^{\mu }k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{\nu }\,。
只考虑\mu =0分量的情况，得到

k\_{s}^{{0}}=\Lambda \_{0}^{0}k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{0}+\Lambda \_{1}^{0}k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{1}+\Lambda \_{2}^{0}k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{2}+\Lambda \_{3}^{0}k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{3}\,。

|  |  |
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| {\frac {\omega \_{s}}{c}}\, | =\gamma {\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{c}}-\beta \gamma k\_{{{\mathrm {obs}}}}^{1}\, |
|  | \quad =\gamma {\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{c}}\cos \theta \,
其中\cos \theta \,是k^{1}关於k^{0}的方向余弦k^{1}=k^{0}\cos \theta 。 |

因此

|  |
| --- |
| {\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{\omega \_{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\, |

#### 波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，\theta =\pi ，方程变为：

{\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{\omega \_{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1+\beta }}={\frac {{\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}}{1+\beta }}={\frac {{\sqrt {1-\beta }}}{{\sqrt {1+\beta }}}}\,。
#### 波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，\theta =0，方程变为：

{\frac {\omega \_{{{\mathrm {obs}}}}}{\omega \_{s}}}={\frac {{\sqrt {1+\beta }}}{{\sqrt {1-\beta }}}}\,。

参考文献
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* Brau, Charles A.. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.

1. ↑  物理学定义：Handbook of Physics, by Harris, Benenson, Stöcker, 第288页. 晶体学定义：Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页.
2. ↑  Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页