围道 *C*（黑色），*f* 的零点（蓝色）以及 *f* 的极点（红色）。
在复分析中，**辐角原理**（）或称**柯西辐角原理**（）说如果 *f*(*z*) 是在某个围道 *C* 上以及内部一个亚纯函数，且 *f* 在 *C* 上没有零点或极点，则下列公式成立

\oint\_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)
这里 *N* 与 *P* 分别表示 *f*(*z*) 在围道 *C* 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 *C* 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 *C* 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω 中可缩为一点。对每个 *z* ∈ Ω，令 *n*(*C*,*z*) 是 *C* 绕点 *z* 的卷绕数。则

\oint\_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi i \left(\sum\_a n(C,a) - \sum\_b n(C,b)\right),
这里第一个求和对 *f* 所有零点 *a* 进行并计重数，第二个求和在 *f* 的所有极点 *b* 上进行。

证明
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设 *z*N 是 *f* 的一个零点。我们可将 *f* 写成 *f*(*z*) = (*z* −
*z*N)*k**g*(*z*) 这里 *k* 是零点的重数，从而
*g*(*z*N) ≠ 0。我们有

f'(z)=k(z-z\_N)^{k-1}g(z)+(z-z\_N)^kg'(z)\,\!
以及

{f'(z)\over f(z)}={k \over z-z\_N}+{g'(z)\over g(z)}.
因 *g*(*z*N) ≠ 0，故 *g*′(*z*)/*g*(*z*)在 
*z*N 没有奇点，从而在 *z*N 解析，这意味着 
*f*′(*z*)/*f*(*z*) 在 *z*N 的留数是 *k*。

设 *z*P 是 *f* 的一个极点。我们可写成 *f*(*z*) = (*z* −
*z*P)−*m**h*(*z*) 这里 *m* 是极点的阶数，从而
*h*(*z*P) ≠ 0。我们有

f'(z)=-m(z-z\_P)^{-m-1}h(z)+(z-z\_P)^{-m}h'(z)\,\!.
以及

{f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z\_P}+{h'(z)\over h(z)}
因为 *h*(*z*P) ≠ 0，故 *h*′(*z*)/*h*(*z*) 在 *z*P 没有奇点，从而在 *z*P 解析。我们发现 
*f*′(*z*)/*f*(*z*) 在 *z*P 的留数是 −*m*。

将它们放在一起，*f* 的每个 *k* 重零点 *z*N 产生 
*f*′(*z*)/*f*(*z*) 的一个留数为 *k* 的单极点，而 *f* 的每个 *m* 阶极点 *z*P 产生 *f*′(*z*)/*f*(*z*) 的一个留数为 −*m* 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 *f*′(*z*)/*f*(*z*) 没有其它极点，从而没有其它留数。 

由留数定理我们有关于 *C* 的积分是 2πi 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 *z*N 的 *k* 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

推论
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假设 *C* 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 *f*(*z*) 关于 0 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 *f*′(*z*)/*f*(*z*) 在 *C* 上的积分是 log *f*(*z*) 值的变化。因为 *C* 是闭的我们只需考虑 i arg *f*(*z*) 在 *C* 上的变化，它将是 2πi 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

\oint\_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)
约去因子 2\pi i，我们得到

N-P = I(C, 0)\,\!
这里 *I*(*C*,0) 表示 *f* 在 *C* 上关于 0 的卷绕数。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 *g* 是 Ω 中一个解析函数，则

 \frac{1}{2\pi i} \oint\_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum\_a n(C,a)g(a) - \sum\_b n(C,b)g(b).
例如，如果 *f* 是以一个简单围道 *C* 内部 *z*1, ... *z*p 为零点的多项式，以及*g*(*z*) = *z*k，则

 \frac{1}{2\pi i} \oint\_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z\_1^k+z\_2^k+\dots+z\_p^k,
是 *f* 的根的次方和對稱多項式。

另一个推论是如果我们计算复积分：

\oint\_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,
对一个合适的*f*，我们有阿贝尔-普兰纳公式（英语：）：

 \sum\_{n=0}^{\infty}f(n)-\int\_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int\_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,
这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

历史
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按照弗兰克·史密西斯一书（*Cauchy and the Creation of Complex Function Theory*, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说"一个单复变量函数 *Z* 的对数计量（*compteurs logarithmiques*，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 *Z* 的零点与极点）。从而现代"辐角原理"可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

### 应用

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。

参考文献
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* Ahlfors, Lars.. McGraw Hill. 1979.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Module for the Argument Principle by John H. Mathews
* An Illustration of the Argument Principle （页面存档备份，存于） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

相关条目
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* 儒歇定理
* 路径积分
* 奈奎斯特稳定性判据
* 奥古斯丁·路易·柯西