拓撲學及數學的相近分支中，**局部緊**拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個**緊鄰域**。

數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：）的首字母簡稱為LCH空間。

嚴格定義
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設X為拓撲空間。通常稱X**局部緊**的意思是，X的每點x，都有緊鄰域，即開集U和緊集K，令{\displaystyle x\in U\subseteq K}。

也有其他常見定義。下列定義在X豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：

1. X的每點皆有緊鄰域；
2. X的每點皆有閉的緊鄰域；
2′. X的每點皆有相對緊（英语：）鄰域；
2″. X的每點皆有相對緊（英语：）鄰域組成的局部基；
3. X的每點皆有緊鄰域組成的局部基；
3′. 對X的每點x，x的每個鄰域都包含其一個緊鄰域；
4. X為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。
上述條件中的邏輯關係有：

* 條件2、2′、2″等價；
* 條件3、3′等價；
* 條件2、3互不推出對方；
* 全部皆推出條件1；
* 緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。

條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當X豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為**局部相對緊**，而與局部緊空間區分。斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）稱條件2、2′、2″為**強局部緊**，而稱條件1為**局部緊**。

採用條件4的例子有布爾巴基。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

例子與反例
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### 緊豪斯多夫空間

緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

* 單位區間[0,1]、
* 康托爾集、
* 希爾伯特立方（英语：）。

### 局部緊但不緊的豪斯多夫空間

* 歐氏空間{\mathbb R}^{n}（特例有數軸\mathbb {R} ）為局部緊（海涅-博雷尔定理的推論）。
* 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
* 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
* 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
* p進數空間{\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。

### 非局部緊的豪斯多夫空間

若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

* 有理數空間\mathbb {Q} （配備\mathbb {R} 的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在\mathbb {Q} 中，從而不是緊鄰域。
* \mathbb {R} ^{2}的子空間{\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}，因為原點並無緊鄰域。
* 實數集\mathbb {R} 的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限（英语：）。
* 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T0，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方（英语：）作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

### 非豪斯多夫的局部緊空間

* 有理數空間\mathbb {Q} 的單點緊化（英语：）是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
* 任何無窮集上的特定點拓撲（英语：）在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲（英语：）也同樣。
* 所以，若取前兩項例子的不交並（英语：），則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
* 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology））非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

性質
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局部緊的預正則空間（英语：）必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為**局部緊正則空間**。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱**局部緊豪斯多夫空間**。

局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間（英语：）。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。

局部緊豪斯多夫空間Y的拓撲子空間X也是局部緊，當且僅當X是Y某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間Y的子空間X為局部緊當且僅當X是開子集。若將Y放寬成**任意**豪斯多夫空間，則由子空間X局部緊，仍能推出X為Y某兩個閉子集之差，反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，局部均勻收斂（英语：）與緊收斂等價。

### 無窮遠點

設X為局部緊豪斯多夫空間，則X作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間{\displaystyle b(X)}，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為**單點緊化（英语：）**。新空間{\displaystyle a(X)}僅比X多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的{\displaystyle a(X)}為豪斯多夫，當且僅當X本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

{\displaystyle a(X)}多出的一點可直觀視為**無窮遠點**，此點不在X的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。
舉例，定義在X上的連續實值（英语：）或複值函數（英语：）f稱為**消失於無窮遠**，是指給定任意正實數\varepsilon ，X皆有緊子集K，使{\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }對K**外**的一切點x成立。前述定義適用於任意拓撲空間X，而在X為局部緊豪斯多夫的特例，等價於f能延拓成單點緊化{\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}上的連續函數g，使{\displaystyle g(\infty )=0}。 

消失於無窮遠的連續複值函數之集合C\_{0}(X)是C\*代數。反之，可交換的C\*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間X的C\_{0}(X)，其中X在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C\*代數範疇對偶（英语：），其證法用到蓋爾范德表示（英语：）。前一範疇中，X加入無窮遠點，變成{\displaystyle a(X)}之事，在後一範疇對應向C\_{0}(X)添加單位元。

### 局部緊群

条目：局部緊群（英语：）
拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群（英语：）G都自然配備哈爾測度，因而在G上定義可測函數的積分。實數軸\R的勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群（英语：）A的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當A是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶（英语：）。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

參見
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* F. 里斯定理（英语：）

參考文獻
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1. ↑  Folland, Gerald B.  [實分析：現代技巧及應用] 2nd. John Wiley & Sons. 1999  [2021-08-21]. ISBN 978-0-471-31716-6. （原始内容存档于2021-05-07） （英语）.
2. ↑  Lowen-Colebunders, Eva.  [論閉集及緊集的收斂] （英语）.
3. ↑  Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław.  [半格準基的沃爾曼對偶]. 2020. arXiv:2002.05943 可免费查阅 [math.GN].
4. ↑  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.  [拓撲學的反例] Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
5. ↑  Bourbaki, Nicolas.  [一般拓撲學，第一部] reprint of the 1966. Berlin: Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-19374-X.
6. ↑   [亞爾馬·埃克達爾拓撲]. π-base.  [2021-08-21]. （原始内容存档于2021-08-21） （英语）.
7. ↑  *nLab*的蓋爾范德表示條目

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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
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| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
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| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
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| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
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| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
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| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
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| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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