在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，**音乐同构**（ 或**典范同构** ）是指（伪）黎曼流形 *M* 的切丛 *TM* 与余切丛 T^{\*}M 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 {\textstyle V}，這些同構自然給出了 V 和其對偶空間 V^\* 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。

正式定义
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黎曼流形 *M* 的黎曼度量 g=\sum\_{ij}g\_{ij}dx^i\otimes dx^j 是一个二階的对称、正定张量场 g \in \mathcal{T}\_2^0(M)。在任意一点 *x*∈*M*，黎曼度量會誘導出一個映射 \widehat{g}\_x

\widehat{g}\_x : T\_x M \longrightarrow T^{\*}\_x M
這映射給了點 x的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 *X**x* 属于 *T**x*M，定義

{\displaystyle {\widehat {g}}\_{x}(X\_{x})=\langle X\_{x},\cdot \rangle \in T\_{x}^{\*}M\ ,}
其中符號 \langle\,,\rangle 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

 \widehat{g}\_x(X\_x)(Y\_x) = \langle X\_x,Y\_x\rangle\ .
这些线性映射的集合定义了一个丛同构

\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{\*}M\ ,
这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 (U,x)下，设度量矩阵为 (g\_{ij})，逆矩阵为 (g^{ij})，向量場{\displaystyle X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}　。则这个同构會將X映射到

{\displaystyle {\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g\_{ij}d\,x^{j}\ .}
这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为**降号音乐同构**（）用符號{\displaystyle ^{\flat }}表示，例如以上的函數\widehat{g}可表示成：{\displaystyle (\sum \_{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum \_{ij}\alpha ^{i}g\_{ij}d\,x^{j}}；而其逆運算称为**升号**（）用符號{\displaystyle ^{\sharp }}表示：降号下降指标，升号上升指标，（Gallot，Hullin & Lafontaine 2004，p.75）。升号用局部坐标表示为：

\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha\_i d\,x^i \mapsto \alpha\_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .
这两个同构的核心是 *g* 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来
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同构 \widehat{g} 与其逆 \widehat{g}^{-1} 称为"音乐同构"是因为是因为常常用兩種音樂符號 \flat,\sharp來代替這些同構，比如 \widehat{g}(X) 會寫成 X^\flat，\widehat{g}^{-1}(\omega) 會寫成 \omega^{\sharp}，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 {\displaystyle \textstyle X=\sum \_{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} 經過 \flat 映射會變成餘向量場：

{\displaystyle (\sum \_{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum \_{ij}g\_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum \_{j}X\_{j}dx^{j}\ ,}
這裡\flat將{\displaystyle \sum \_{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}映射到{\displaystyle \sum \_{j}X\_{j}dx^{j}}，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號\flat表示。

而餘向量 \omega=\sum\_i\omega\_i dx^i，經過 \sharp 運算會變成向量

(\sum\_i \omega\_i dx^i)^\sharp=\sum\_{ij}g^{ij}\omega\_i \frac{\partial}{\partial x^j}\ ,
所以指标向下、向上移动好似符号降号（\flat）与升号（\sharp）下降与上升一个半音的音高（Gallot，Hullin & Lafontaine 2004，p.75）。

梯度、散度与旋度
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音乐同构可以用来定义 \mathbb {R} ^{3} 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：

\begin{align}
 \nabla f &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\
 \nabla \cdot F &= \star {\mathbf d} \star (F^\flat) \\
 \nabla \times F &= \left[ \star {\mathbf d} (F^\flat) \right]^\sharp
\end{align}

这里 f,F 分別是 \mathbb {R} ^{3} 裡的函數跟向量場，\star  是霍奇星号算子（Marsden & Raţiu 1999，p.135）。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 *f* 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 **v** 与 **w** 是 \mathbb {R} ^{3} 中向量场，容易证明

\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.

参考文献
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* Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques,  3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
* Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S.  2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .