**改進型韋格納分佈**(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。  
韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。  
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

原理
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### 韋格納分佈的數學定義

{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{\*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }{\displaystyle =\int \_{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{\*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta }
### 改進型韋格納分佈的數學定義

為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。

* + 定義一：:{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{\*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{\*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }

，其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 {\displaystyle w(t)={\begin{cases}1\ \ \ if\ |t|<B\\0\ \ \ otherwise\end{cases}}}
* + 定義二：:{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }P(\theta )Y(t,f+\theta /2)Y^{\*}(t,f-\theta /2)d\theta }  
	， 其中 {\displaystyle Y(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }w(\tau )x(t+\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }； {\displaystyle P(\theta )\,} 類似遮罩函數，

{\displaystyle P(\theta )\approx 1\ }， 當θ很小
{\displaystyle P(\theta )\approx 0\ }， 當θ很大
適當地選擇{\displaystyle P(\theta )\approx 1\ }的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。
* 定義三：{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+{\tfrac {\tau }{2L}})\cdot {\overline {x^{L}(t-{\tfrac {\tau }{2L}})}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }

增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)

* 定義四：{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }[\prod \_{l=1}^{q/2}x(t+d\_{l}\tau )x^{\*}(t-d\_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau }

當 q = 2 和 {\displaystyle d\_{l}=d\_{-l}=0.5}，就是原本的韋格納分佈。
當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term)
然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。
<說明>
定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)
{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int \_{-\infty }^{\infty }[\prod \_{\ell =1}^{q/2}x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau }
If {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n}}}
所以 {\displaystyle d\_{\ell }} 必須要能滿足下面的式子：
{\displaystyle e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau }=\prod \_{\ell =1}^{q/2}x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )}
{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi (f-\sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1})na\_{n}t^{n-1}\tau }d\tau \cong \delta (f-\sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau )}
其中 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}}為 x(t) 的瞬時頻率
接下來，我們來看 {\displaystyle d\_{\ell }} 要怎麼設定：
(1) 當 {\displaystyle q=2} 的時候： {\displaystyle x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{2}na\_{n}t^{n-1}\tau }}
如果我們把 {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a\_{n}t^{n}}}代入，可以得到下列式子：
{\displaystyle a\_{2}(t+d\_{1}\tau )^{2}+a\_{1}(t+d\_{1}\tau )-a\_{2}(t-d\_{-1}\tau )-a\_{1}(t-d\_{-1}\tau )=2a\_{2}t\tau +a\_{1}\tau }
{\displaystyle {\begin{cases}d\_{1}+d\_{-1}=1\\d\_{1}-d\_{-1}=0\end{cases}}} {\displaystyle \Longrightarrow {\begin{cases}d\_{1}={\tfrac {1}{2}}\\d\_{-1}={\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}
由此可以知道，當 {\displaystyle q=2} 並且 {\displaystyle d\_{-1}=d\_{1}={\tfrac {1}{2}}} 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同
{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }[\prod \_{l=1}^{q/2}x(t+d\_{l}\tau )x^{\*}(t-d\_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int \_{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{\*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau ,\quad if\quad q=2,\ d\_{-1}=d\_{1}={\tfrac {1}{2}}}
(2) 當 {\displaystyle q=4} 的時候： {\displaystyle x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{3}na\_{n}t^{n-1}\tau }}
如果我們把 {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a\_{n}t^{n}}}代入，可以得到下列式子：
{\displaystyle a\_{3}(t+d\_{1}\tau )^{3}+a\_{2}(t+d\_{1}\tau )^{2}+a\_{1}(t+d\_{1}\tau )a\_{3}(t+d\_{2}\tau )^{3}+a\_{2}(t+d\_{2}\tau )^{2}+a\_{1}(t+d\_{2}\tau )-a\_{3}(t+d\_{-1}\tau )^{3}-a\_{2}(t+d\_{-1}\tau )^{2}-a\_{1}(t+d\_{-1}\tau )-a\_{3}(t+d\_{-2}\tau )^{3}-a\_{2}(t+d\_{-2}\tau )^{2}-a\_{1}(t+d\_{-2}\tau )}
{\displaystyle =3a\_{3}t^{2}\tau +2a\_{2}t\tau +a\_{1}\tau }
{\displaystyle {\begin{cases}a\_{3}(t+d\_{1}\tau )^{3}+a\_{3}(t+d\_{2}\tau )^{3}-a\_{3}(t+d\_{-1}\tau )^{3}-a\_{3}(t+d\_{-2}\tau )^{3}\\a\_{2}(t+d\_{1}\tau )^{2}+a\_{2}(t+d\_{2}\tau )^{2}-a\_{2}(t+d\_{-1}\tau )^{2}-a\_{2}(t+d\_{-2}\tau )^{2}\\a\_{1}(t+d\_{1}\tau )+a\_{1}(t+d\_{2}\tau )-a\_{1}(t+d\_{-1}\tau )-a\_{1}(t+d\_{-2}\tau )\end{cases}}}{\displaystyle ={\begin{cases}3a\_{3}t^{2}\tau \\2a\_{2}t\tau \\a\_{1}\tau \end{cases}}}
所以我們可以得到
{\displaystyle {\begin{cases}d\_{1}+d\_{2}+d\_{-1}+d\_{-2}=1\\{d\_{1}}^{2}+{d\_{2}}^{2}-{d\_{-1}}^{2}-{d\_{-2}}^{2}=0\\{d\_{1}}^{3}+{d\_{2}}^{3}+{d\_{-1}}^{3}+{d\_{-2}}^{3}=0\end{cases}}}
可以看到如果 q 太大，{\displaystyle d\_{\ell }} 會不好設計。

性能表現
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在此有兩個例子來說明**改進型韋格納分佈**確實能消除相交項。

1. **{\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(3\pi t)\ \ \ t\leq -4\\\cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\leq 4\ \ \ \\\cos(4\pi t)\ \ \ t>4\end{cases}}}**

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。
1. **{\displaystyle x(t)=\exp(j\cdot (t-5)^{3}-j\cdot 6\pi \cdot t)}**

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。

同時參閱
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* 信號處理
* 時頻分析
* 短時距傅立葉變換

參考資料
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* Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
* L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.