**连通图**（英語：）是图论中最基本概念之一，其定义基于连通的概念。在一个无向图*G*中，若从顶点{\displaystyle v\_{i}}到顶点{\displaystyle v\_{j}}有路径相连（从{\displaystyle v\_{j}}到{\displaystyle v\_{i}}也一定有路径），则称{\displaystyle v\_{i}}和{\displaystyle v\_{j}}是连通的。如果*G*是有向图，那么连接{\displaystyle v\_{i}}和{\displaystyle v\_{j}}的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。

严格定义
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对一个图*G*= (*V*,*E*)中的两点{\displaystyle x}和{\displaystyle y}，若存在交替的顶点和边的序列{\displaystyle \Gamma =(x=v\_{0}-e\_{1}-v\_{1}-e\_{2}-\cdots -e\_{k}-v\_{k}=y)}（在有向图中要求有向边{\displaystyle v\_{i}-v\_{i+1}}属于*E*），则两点{\displaystyle x}和{\displaystyle y}是连通的。{\displaystyle \Gamma }是一条{\displaystyle x}到{\displaystyle y}的连通路径，{\displaystyle x}和{\displaystyle y}分别是起点和终点。当{\displaystyle x=y}时，{\displaystyle \Gamma }被称为**回路**。如果通路{\displaystyle \Gamma }中的边两两不同，则{\displaystyle \Gamma }是一条**简单通路**，否则为一条**复杂通路**。如果图*G*中每两点间皆连通，则*G*是**连通图**。

一个有向图被称作**弱连通**(**weakly connected**)的，如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的，如果对于任意一对顶点{\displaystyle u}，{\displaystyle v}，或者存在一条从{\displaystyle u}到{\displaystyle v}的有向路径，或者存在一条从{\displaystyle v}到{\displaystyle u}的有向路径，则该图是**单连通**(**unilaterally conncected**)的，如果对于如果对于任意一对顶点{\displaystyle u}，{\displaystyle v}，同时存在一条从{\displaystyle u}到{\displaystyle v}的有向路径和一条从{\displaystyle v}到{\displaystyle u}的有向路径，则该图是**强连通**(**strongly connected**)的。

分量和割
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无向图*G*的一个极大连通子图称为*G*的一个连通分量（或**连通分支**）。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量，连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。

有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。

连通图{\displaystyle G}的**割点**是指一个由顶点组成的集合，在{\displaystyle G}删除了这些点之后，会变得不连通。点连通度{\displaystyle \kappa (G)}是割点集阶数的最小值。如果图{\displaystyle G}不是完全图，且{\displaystyle \kappa (G)=k},则图{\displaystyle G}是{\displaystyle k}-点连通的。更确切地来说，如果图{\displaystyle G}（不论是否完全）可以在删除了{\displaystyle k+1}个点之后变得不连通，却不能在删除{\displaystyle k-1}个点之后变得不连通，则图{\displaystyle G}是{\displaystyle k}-点连通的，特别地，阶数为{\displaystyle n}的完全图是{\displaystyle n-1}-点连通的。

一对端点{\displaystyle u},{\displaystyle v}的**割点**是是指一个由顶点组成的集合，在{\displaystyle G}删除了这些点之后，{\displaystyle u},{\displaystyle v}会变得不连通。局部连通度{\displaystyle \kappa (u,v)}是{\displaystyle u},{\displaystyle v}的最小割点集的阶数。在无向图上，局部连通度是对称的，也就是说，{\displaystyle \kappa (u,v)=\kappa (v,u)}，另外，除了完全图之外，{\displaystyle \kappa (G)}为所有不相邻的点对{\displaystyle u},{\displaystyle v}的局部联通度中的最小值。

类似的概念可以用来定义**边连通度**。如果在{\displaystyle G}上删除一条边可以导致不连通性，则这条边被称作桥。更一般地，**割边**是指一个由边组成的集合，在
在{\displaystyle G}删除了这些边之后，会变得不连通。边连通度在{\displaystyle \lambda (G)}是最小的割边集的大小，局部边连通度{\displaystyle \lambda (u,v)}是

如果图{\displaystyle G}的边连通度大于等于{\displaystyle k}，则它被称作{\displaystyle k}-边连通的。

在一个图上，以下的不等式成立:{\displaystyle \kappa (G)\leqslant \lambda (G)\leqslant \delta (G)}，其中{\displaystyle \delta (G)}是{\displaystyle G}的最小度(minimum degree)。
如果图{\displaystyle G}的点连通度等于其最小度,则被称作**极大连通**的，如果它的边连通度等于其最小度，则它被称作**极大边连通的。**

### Super- and hyper-连通

如果图{\displaystyle G}上，每一个最小的割点集都能孤立一个顶点，则图{\displaystyle G}被称作**super-connected**或者 **super-κ**。如果{\displaystyle G}删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量，并且其中一个是单点，那么图{\displaystyle G}被称作**hyper-connected**或**hyper-κ**。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量，则图{\displaystyle G}被称作**semi-hyper-connected**或**semi-hyper-κ**。

一个割点集{\displaystyle X}被称作non-trivial的，如果对于任意不属于{\displaystyle X}的顶点{\displaystyle v}，其邻域{\displaystyle N(u)}都不包含在{\displaystyle X}中。{\displaystyle G}的**superconnectivity**可以被表示成：
{\displaystyle \kappa (G)=}= min{|X| : X is a non-trivial cutset}.

一个non-trivial 割边和**edge-superconnectivity** λ1(G)可以被类似地定义。

门格尔定理
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图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理，它用定点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令
{\displaystyle u}，{\displaystyle v}为图{\displaystyle G}的两个顶点，一系列连接{\displaystyle u}和{\displaystyle v}的路径被称作点独立的，如果它们之间除了{\displaystyle u}，{\displaystyle v}之外，不会有相同的顶点。类似地，它们被称作边独立的，如果它们不会有相同的边。{\displaystyle u}
和{\displaystyle u}点独立的路径的个数被记作{\displaystyle \kappa '(u,v)}，边独立的路径的个数被记作{\displaystyle \lambda '(u,v)}。
门格尔定理告诉我们，若{\displaystyle u}
，{\displaystyle v}不相同，则{\displaystyle \lambda '(u,v)=\lambda (u,v)}，若{\displaystyle u}，{\displaystyle v}不相同且不相邻，则
{\displaystyle \kappa '(u,v)=\kappa (u,v)} 。
事实上，这其实是最大流最小割定理的特殊情况。

连通度的计算方面
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判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决，例如广度优先算法。更一般地，判断一个图是否连通，以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决（例如使用并查集，一个简单算法的伪代码可以写成：

1. 从{\displaystyle G}的任意一个顶点开始
2. 使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点，并计数
3. 搜索完成，如果计数等于{\displaystyle G}的阶数，则{\displaystyle G}是连通的，否则{\displaystyle G}不连通。

根据门格尔定理，在连通图{\displaystyle G}上，对于任意一对顶点{\displaystyle u}，{\displaystyle v}，{\displaystyle \kappa (u,v)}，{\displaystyle \lambda (u,v)}可以通过最大流最小割算法迅速的计算，因此，{\displaystyle G}的边连通度和点联通度分别作为{\displaystyle \kappa (u,v)}，{\displaystyle \lambda (u,v)}的最小值，可以被迅速地计算。

### 连通图的个数

{\displaystyle n}阶（小于等于16）的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 A001187中，前几个份量是


| *n* | 个数 |
| --- | --- |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 4 | 38 |
| 5 | 728 |
| 6 | 26704 |
| 7 | 1866256 |
| 8 | 251548592 |

一些例子
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* 不连通图的边连通度和点连通度均为{\displaystyle 0}
* 1-点连通等价于阶数大于等于{\displaystyle 2}的图的连通性。
* {\displaystyle n}阶完全图的边连通度是{\displaystyle n-1},其他类型的{\displaystyle n}阶图的边连通度严格小于{\displaystyle n-1}
* 在树中，任意两个顶点之间的局部边连通度都是{\displaystyle 1}

其他性质
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* 连通性被图同态保持
* 如果{\displaystyle G}是连通的，则它的线图{\displaystyle L(G)}也是连通的
* 图{\displaystyle G}是2-边连通的，当且仅当它有一个定向，且是强连通的。
* 根据G. A. Dirac的结论，如果图{\displaystyle G}是{\displaystyle k}-点连通的，且{\displaystyle k\geqslant 2}，则对于每k个顶点组成的集合，存在一个环经过这个集合上所有的顶点。 在{\displaystyle k=2}时，反过来亦成立。

* 一个无向图*G*= (*V*,*E*)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：{\displaystyle |E|\geq |V|-1}，而反之不成立。

* 如果*G*= (*V*,*E*)是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：{\displaystyle |E|\geq |V|}，而反之不成立。

* 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：{\displaystyle \displaystyle |E|=|V|-1}。

参见
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* 代数连通度
* Cheeger constant (graph theory)
* Dynamic connectivity, 并查集
* 扩展图
* Strength of a graph

參考文獻
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1. ↑   (PDF).  [2020-10-04]. （原始内容存档 (PDF)于2020-01-10）.
2. ↑  Diestel, R. : 12. 2005  [2020-10-04]. （原始内容存档于2019-12-16）.
3. ↑  Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay.. CRC Press. 2004: 335. ISBN 978-1-58488-090-5.
4. ↑  Liu, Qinghai; Zhang, Zhao.. Discrete Applied Mathematics. 2010-03-01, **158** (5): 516–521. doi:10.1016/j.dam.2009.10.017.
5. ↑  Balbuena, Camino; Carmona, Angeles.. Ars Combinatorica. 2001-10-01, **61**: 3–22.
6. ↑  Gibbons, A.. Cambridge University Press. 1985.
7. ↑  Nagamochi, H.; Ibaraki, T.. Cambridge University Press. 2008.
8. ↑  Dirac, Gabriel Andrew.. Mathematische Nachrichten. 1960, **22** (1–2): 61–85. MR 0121311. doi:10.1002/mana.19600220107. .
9. ↑  Flandrin, Evelyne; Li, Hao; Marczyk, Antoni; Woźniak, Mariusz.. Discrete Mathematics. 2007, **307** (7–8): 878–884. MR 2297171. doi:10.1016/j.disc.2005.11.052. .

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| * 
* 论
* 编
图论 |
| --- |
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| 图 | 

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| 種類 | 
* 有向图
* 无向图
* 有向无环图
* 二分图
* 多分圖
* 连通图
* 完全图
* 圖標號
* 超图
* 多重图
* 平面图
* 伪图
* 正则图
* 树
* 赋权图
* 轮图
* 線圖

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| 結構 | 
* 节点
* 边
* 回路
* 自環
* 弦
* 環
* 桥
* 子图
* 團
* 補圖

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| 属性 | 
* 边连通
* 围长
* 重数
* 階
* 尺寸
* 顶点连通
* 圖不變量

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| 二元運算 | 
* 圖乘積
* 圖運算

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|  |
| 映射、關係 | 
* 圖同態
* 圖同構
* 圖同胚
* 圖子式

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| 定理 | 

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| 染色 | 
* 四色
* 布鲁克斯

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| 平面性 | 
* 库拉托夫斯基
* 交叉數不等式

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| 極值（英语：） | 
* 圖蘭
* 艾狄胥-斯通
* 霍爾

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