在数学中，**微分算子**（英語：）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。

记号
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最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}}、D（在不會搞混哪个变量微分時），以及D\_{x}（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶*n*-次导数时，下列替代性记号是有用的：{\displaystyle \mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}、D^{n}、D\_{x}^{n}。

记号*D*的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

\sum \_{{k=0}}^{n}c\_{k}D^{k}
另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

\Delta =\nabla ^{{2}}=\sum \_{{k=1}}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x\_{k}^{2}}
另一个微分算子是Θ算子，定义为

{\displaystyle \Theta =z{\mathrm {d} \over \mathrm {d} z}}
有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于*z*的单项式：

\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots 
在*n*个变量中齐次算子由

\Theta =\sum \_{{k=1}}^{n}x\_{k}{\frac {\partial }{\partial x\_{k}}}
给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随
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参见：埃尔米特伴随
给定一个线性微分算子*T*

Tu=\sum \_{{k=0}}^{n}a\_{k}(x)D^{k}u，
这个算子的伴随定义为算子T^{\*}使得

\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{\*}v\rangle 
这里记号\langle\cdot,\cdot\rangle表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

### 单变量中的形式伴随

在平方可积函数空间中，数量积定义为

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x}
如果另外增添要求*f*或*g*当x\to a与x\to b等于零，我们也可定义*T*的伴随为

T^{\*}u=\sum \_{{k=0}}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a\_{k}(x)u]
此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当T^{\*}用这个公式定义时，它称为*T*的**形式伴随**。

一个（形式）**自伴算子**是与它的（形式）伴随相等的算子。

### 多变量

如果Ω是**R**n中一个区域，而*P*是Ω上一个微分算子，则*P*在*L*2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

\langle f,P^{\*}g\rangle \_{{L^{2}(\Omega )}}=\langle Pf,g\rangle \_{{L^{2}(\Omega )}}
对所有光滑*L*2函数*f*与*g*。因为光滑函数在*L*2中是稠密的，这在*L*2的一个稠密子集上定义了伴随：: P\*是一个稠定算子。

### 例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子*L*可以写成如下形式

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!
这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

{\begin{aligned}L^{\*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}
这个算子在施图姆-刘维尔理论（）
中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质
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微分是线性的，即

D(f+g)=(Df)+(Dg)
D(af)=a(Df)
这里*f*和*g*是函数，而*a*是一个常数。

任何以函数为系数之*D*的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

(D\_{1}\circ D\_{2},f)=D\_{1}(D\_{2}(f))
复合微分算子。需要一些注意：首先算子*D*2中的任何函数系数必须具有*D*1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子*gD*一般与*Dg*不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

Dx-xD=1
但这些算子的子环：*D*的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（）。

多变量
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同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。

坐标无关描述以及与交换代数的关系
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在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设E与F是流形M上两个向量丛。截面的一个\mathbb {R} -线性映射P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)称为一个***k*-阶微分算子**，如果它分解穿过节丛J^{k}(E)。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

i\_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F
使得

P={\hat {i}}\_{P}\circ j^{k}
这里{\hat {i}}\_{P}表示由i\_{P}，在截面上诱导的映射，而j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))，是典范（或通用）*k*-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面s of E，P(s)在一个点x\in M的值完全由s在x的*k*-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着P(s)(x)由s在x的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：
一个\mathbb {R} -线性映射P是一个*k*-阶微分算子，如果对任何(*k* + 1)阶光滑函数f\_{0},\ldots ,f\_{k}\in C^{\infty }(M)我们有

[f\_{k}[f\_{{k-1}}[\cdots [f\_{0},P]\cdots ]]=0
这里括号[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)定义为交换子

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)
线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子
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* 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

* 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

* 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

參見
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* 差分算子
* 德尔塔算子（英语：）
* 分数微积分