**升餘弦濾波器**是一種經常用於數位調變的脈衝整形（英语：）濾波器，它能夠最大限度地減少符碼間干擾（英语：）（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（{\displaystyle \beta =1}）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸f上方。

數學描述
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升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應
升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應
升餘弦濾波器是一種低通奈奎斯特濾波器（英语：）的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约{\displaystyle {\frac {1}{2T}}}的奇對稱，T是通訊系统的符元週期。

其頻域描述為分段定義传递函数，由下式給出：

{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
或以餘的半正矢表示：

{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}
以兩個值為特徵；滾降係數 \beta  和符元率的倒數T 。

這種濾波器的脈衝響應由下式给出：

{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義{\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}，而非數學領域所用的定義。

### 滾降係數

滾降（英语：）係數\beta 是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬{\displaystyle {\frac {1}{2T}}}的部分，有些作者會使用\alpha  表示. 

若我們將多餘的頻寬表示為\Delta f ，則：

{\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R\_{S}/2}}=2T\,\Delta f}
{\displaystyle R\_{S}={\frac {1}{T}}}是符元率。

該圖顯示為\beta 在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著\beta 減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

\beta =0

當\beta 靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：

{\displaystyle \lim \_{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}
{\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}是矩形函數，所以脈衝響應會趨近{\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)} .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。

{\displaystyle \beta =1}

當{\displaystyle \beta =1} ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：

{\displaystyle H(f)|\_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
或

{\displaystyle H(f)|\_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
### 頻寬

升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：

{\displaystyle BW={\frac {R\_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}
### 自相關函數

升餘弦函數的自相關函數如下：

{\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}
自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

應用
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連續升餘弦脈衝，顯示零ISI特性
當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了n = 0 的情形之外，所有nT （n是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於{\displaystyle H(f)} **：**

{\displaystyle H\_{R}(f)\cdot H\_{T}(f)=H(f)}
因此**：**

{\displaystyle |H\_{R}(f)|=|H\_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}
這些濾波器稱為根升餘弦濾波器（英语：）。

升餘弦是一種常用於布拉格光纖光柵（英语：）的變跡濾波器。

參考文獻
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1. ↑   (PDF).  [2021-08-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-03-28）.
2. ↑  德語： German version of Raised-Cosine-Filter

* Glover, I.; Grant, P. (2004). *Digital Communications* (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
* Proakis, J. (1995). *Digital Communications* (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5ISBN 0-07-113814-5.
* Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) *Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems"*. IEICE Trans. Commun. Vol. E81-B, No. 9

外部連結
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* Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" （页面存档备份，存于） originally published in RF Design, written by Ken Gentile.