**泊松分布**（法語：；英語：）又稱**Poisson分布**、**分布**、**布瓦松分布**、**布阿松分布**、**普阿松分布**、**波以松分布**、**卜氏分布**、**帕松小數法則**（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率f）。

泊松分布的機率質量函数为：

P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
泊松分布的参数\lambda 是随机事件发生次数的数学期望值。

记号
--

若X服从参数为\lambda 的泊松分布，记为X \sim \pi(\lambda)，或记为{\displaystyle X\sim Poisson(\lambda )}.

性质
--

1、服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数\lambda  : {\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }

2、兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 {\displaystyle X\sim Poisson(\lambda \_{1})}且 {\displaystyle Y\sim Poisson(\lambda \_{2})}，則{\displaystyle X+Y\sim Poisson(\lambda \_{1}+\lambda \_{2})}。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理（英语：））。

3、其動差母函數为：

{\displaystyle M\_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum \_{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum \_{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}}

推導
--

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum \_{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum \_{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum \_{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}}

我們可以得到：{\displaystyle Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda }

如同性質：{\displaystyle E(X)=Var(X)=\lambda }、{\displaystyle \sigma \_{X}={\sqrt {\lambda }}}

泊松分布的来源（泊松小数定律）
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在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积{\displaystyle \lambda =np}比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數e的定义：

\lim\_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},
二项分布的定义：

{\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}。
如果令{\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}， n趋于无穷时P的极限：

\begin{align}

\lim\_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim\_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\
 &=\lim\_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\
&=\lim\_{n\to\infty}
\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}\_F
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}\_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}\_{\to 1} \\
&= \lim\_{n\to\infty}
\underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}\_{\to 1}
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}\_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}\_{\to 1} \\
&= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)
\end{align}

最大似然估計（MLE）
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给定n个样本值k\_i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数*\lambda* 的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

{\displaystyle {\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod \_{i=1}^{n}f(k\_{i}\mid \lambda )\\&=\sum \_{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k\_{i}}}{k\_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum \_{i=1}^{n}\ln(k\_{i}!).\end{aligned}}}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0
\iff -n + \left(\sum\_{i=1}^n k\_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!
解得*λ*从而得到一个驻点（stationary point）：

\widehat{\lambda}\_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^n k\_i. \!
检查函数L的二阶导数，发现对所有的*\lambda* 与k\_i大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数*L*的极大值点：

\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum\_{i=1}^n -\lambda^{-2} k\_i

例子
--

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟\*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到\lambda 的估计为{\displaystyle {\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87}。

生成泊松分布的随机变量
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一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

```
**algorithm** *poisson random number (Knuth)*:
    **init**:
         **Let** L ← *e*−λ, k ← 0 and p ← 1.
    **do**:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and **let** p ← p×u.
    **while** p > L.
    **return** k − 1.
```

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值k，平均是*\lambda* 。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的*\lambda* 值，{\displaystyle e^{-\lambda }}可能导致数值稳定性问题。对于较大*\lambda* 值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的*\lambda* 值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过u的样本，才需要检查累积概率。

```
**algorithm** *Poisson generator based upon the inversion by sequential search*:
    **init**:
         **Let** x ← 0, p ← *e*−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    **do**:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    **while** u > s.
    **return** x.
```

参见
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* 泊松过程
* 概率论
* 泊松回归
* 概率分布

参考文献
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### 引用

1. ↑  Luc Devroye, *Non-Uniform Random Variate Generation*（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505  （页面存档备份，存于）

### 来源

* Guerriero V.. Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, **1**: 21–28  [2017-10-30]. （原始内容存档于2018-02-21）.
* Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter.. Computing. 1974, **12** (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108.
* Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter.. ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, **8** (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997.
* Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers.. SIAM Review. 1988, **30** (2): 314–317. doi:10.1137/1030059.
* Donald E. Knuth.. The Art of Computer Programming. Volume 2. Addison Wesley. 1969.



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| * 
* 论
* 编
常见一元（英语：）概率分布 |
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| 连续 | 
* Β
* 柯西
* χ²
* 指数
* *F*
* Γ
* 拉普拉斯
* 对数正态
* 正态
* 帕累托
* 学生*t*
* 均匀
* 韦伯

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| 离散 | 
* 伯努利
* 二项
* 离散均匀
* 几何
* 超几何
* 负二项
* 泊松

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| 概率分布列表（英语：） |

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| * 
* 论
* 编
概率分布（列表（英语：）） |
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| 離散單變量 | 

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| 有限支集 | 
* 本福特定律
* 伯努利分布
* Β-二项式分布
* 二項式分布
* categorical（英语：）
* 超几何分布
	+ negative（英语：）
* Poisson binomial（英语：）
* Rademacher（英语：）
* 孤子分布
* 離散型均勻分佈
* 齊夫定律
* Zipf–Mandelbrot（英语：）

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|  |
| 無限支集 | 
* beta negative binomial（英语：）
* Borel（英语：）
* Conway–Maxwell–Poisson（英语：）
* discrete phase-type（英语：）
* Delaporte（英语：）
* extended negative binomial（英语：）
* Flory–Schulz（英语：）
* Gauss–Kuzmin（英语：）
* 幾何分佈
* 对数分布
* mixed Poisson（英语：）
* 负二项分布
* Panjer（英语：）
* parabolic fractal（英语：）
* 卜瓦松分布
* Skellam（英语：）
* Yule–Simon（英语：）
* zeta（英语：）

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| 連續單變量 | 

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| 紧支集 | 
* arcsine（英语：）
* ARGUS（英语：）
* Balding–Nichols（英语：）
* Bates（英语：）
* Β分布
* beta rectangular（英语：）
* continuous Bernoulli（英语：）
* 歐文–賀爾分佈
* Kumaraswamy（英语：）
* logit-normal（英语：）
* noncentral beta（英语：）
* PERT（英语：）
* raised cosine（英语：）
* reciprocal（英语：）
* 三角形分布
* U-quadratic（英语：）
* 連續型均勻分布
* 維格納半圓分布

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| 半無限區間支集 | 
* Benini（英语：）
* Benktander 1st kind（英语：）
* Benktander 2nd kind（英语：）
* beta prime（英语：）
* Burr（英语：）
* chi（英语：）
* 卡方分佈
	+ noncentral（英语：）
	+ inverse（英语：）
		- scaled（英语：）
* Dagum（英语：）
* Davis（英语：）
* 爱尔朗分布
	+ hyper（英语：）
* 指数分布
	+ 亚指数分布
	+ logarithmic（英语：）
* F-分布
	+ noncentral（英语：）
* folded normal（英语：）
* Fréchet（英语：）
* 伽玛分布
	+ generalized（英语：）
	+ inverse（英语：）
* gamma/Gompertz（英语：）
* Gompertz（英语：）
	+ shifted（英语：）
* half-logistic（英语：）
* half-normal（英语：）
* Hotelling's *T*-squared（英语：）
* 逆高斯分布
	+ 广义逆高斯分布
* 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验
* Lévy（英语：）
* log-Cauchy（英语：）
* log-Laplace（英语：）
* log-logistic（英语：）
* 对数正态分布
* log-t（英语：）
* Lomax（英语：）
* matrix-exponential（英语：）
* 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
* Maxwell–Jüttner（英语：）
* Mittag-Leffler（英语：）
* Nakagami（英语：）
* 帕累托分布
* phase-type（英语：）
* Poly-Weibull（英语：）
* 瑞利分布
* relativistic Breit–Wigner（英语：）
* 莱斯分布
* truncated normal（英语：）
* type-2 Gumbel（英语：）
* 韦伯分布
	+ discrete（英语：）
* Wilks's lambda（英语：）

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|  |
| 无限区间支集 | 
* 柯西分布
* exponential power（英语：）
* 費雪z分佈
* Kaniadakis κ-Gaussian（英语：）
* Gaussian *q*（英语：）
* generalized normal（英语：）
* generalized hyperbolic（英语：）
* geometric stable（英语：）
* 耿贝尔分布
* Holtsmark（英语：）
* hyperbolic secant（英语：）
* Johnson's *SU*（英语：）
* 朗道分布
* 拉普拉斯分布
	+ asymmetric（英语：）
* logistic（英语：）
* noncentral *t*（英语：）
* 正态分布
* normal-inverse Gaussian（英语：）
* skew normal（英语：）
* slash（英语：）
* 稳定分布
* 司徒頓t分布
* Tracy–Widom（英语：）
* variance-gamma（英语：）
* 福格特函数

 |
|  |
| 可变类型支集 | 
* generalized chi-squared（英语：）
* generalized extreme value（英语：）
* generalized Pareto（英语：）
* Marchenko–Pastur（英语：）
* Kaniadakis *κ*-exponential（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Gamma（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Weibull（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Logistic（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Erlangl（英语：）
* *q*-exponential（英语：）
* *q*-Gaussian（英语：）
* *q*-Weibull（英语：）
* shifted log-logistic（英语：）
* Tukey lambda（英语：）

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|  |
| 混合單變量 | 

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| 連續離散 | 
* 修正高斯分佈（英语：）

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| 联合分布 | 
* *Discrete:*
* Ewens（英语：）
* multinomial（英语：）
	+ Dirichlet（英语：）
	+ negative（英语：）
* *Continuous:*
* 狄利克雷分布
	+ generalized（英语：）
* multivariate Laplace（英语：）
* 多元正态分布
* multivariate stable（英语：）
* multivariate *t*（英语：）
* normal-gamma（英语：）
	+ inverse（英语：）
* *随机矩阵*
* LKJ（英语：）
* 矩阵正态分布
* matrix *t*（英语：）
* matrix gamma（英语：）
	+ inverse matrix gamma（英语：）
* 威沙特分佈
	+ normal（英语：）
	+ 逆威沙特分佈
	+ normal-inverse（英语：）

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| 定向統計（英语：） | 
*循環單變量定向統計（英语：）*
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：）
wrapped normal（英语：）
wrapped Cauchy（英语：）
wrapped exponential（英语：）
wrapped asymmetric Laplace（英语：）
wrapped Lévy（英语：）
*球形雙變量*
Kent（英语：）
*環形雙變量*
bivariate von Mises（英语：）
*多變量*
von Mises–Fisher（英语：）
Bingham（英语：）
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| 退化分布和奇異分佈（英语：） | 
*退化*
狄拉克δ函数
*奇異*
康托尔分布
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| 其它 | 
* Circular（英语：）
* 复合泊松分布
* elliptical（英语：）
* exponential（英语：）
* natural exponential（英语：）
* location–scale（英语：）
* Maximum entropy（英语：）
* Mixture（英语：）
* Pearson（英语：）
* Tweedie（英语：）
* Wrapped（英语：）

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