这11张王氏砖可以在邻边相互匹配（有相同的顏色）的條件下，非周期性密鋪（英语：）整個平面
**王氏砖**（英語：）也稱為**王氏多米诺骨牌**，最早由美籍華裔数学家、逻辑学家和哲学家王浩于1961年提出，屬於边缘匹配拼图（英语：），也是形式系統。

王氏砖的外觀是正方形，正方形的每一邊可以有不同的顏色，也可以以各邊和中心點組成的三角形來著色，一個王氏磚中裡可以有二個至四個不同的顏色。二個王氏砖拼合時，其相鄰的邊需要有相同的顏色，在王氏磚拼合時，不允許旋轉王氏磚，王氏磚也不能翻面。

关于特定一組王氏砖的基本问题是：是否可以用這組王氏磚密鋪平面？也就是以符合王氏磚規則的方式填合无限大的平面。下一個问题是是否存在周期性的密鋪方式？

多米诺骨牌问题
-------

例：由13个王氏砖組成的密鋪
王浩于1961年提出猜想，如果一组有限多個的王氏砖可以在邻边相互匹配的條件下，密铺整个平面，那么也存在針對這組王氏砖的周期性密铺铺法，也就是说这种铺法在二维点阵中的矢量平移转换下不变，就如壁纸图案一般。他还观察到，若這個猜想成立意味着有一种算法，可以用来判断任何一组有限多個的王氏砖是否可以密铺整个平面 。将瓷砖按照相邻边相互匹配的想法见于多米诺骨牌游戏中，所以王氏砖也被称为**王氏多米诺骨牌**。 判断一组骨牌是否可以平铺整个平面的算法问题被称为**多米诺骨牌问题** 。 

根据王浩的学生，罗伯特·伯杰（英语：）所言

> 
> 多米诺骨牌问题指的是，如何判断任何一组多米诺骨牌是否可解？对于任意规格的一组多米诺骨牌，若存在一种算法来帮助判定它是否可解，则我们讲多米诺骨牌问题是「可判定」的。 否则是「无法判定」的。
> 
> 
> 

换句话说，多米诺骨牌问题问的是，是否存在一个有效方法（英语：），对任何多米诺骨牌集，都能正确地解决问题？

1966年，伯杰解决了王氏砖的多米诺骨牌问题，他证明了不存在能够解决该问题的算法。其解法如下：可以将任何图灵机转变成一组密铺整个平面的王氏平铺，当且仅当此图灵机永不停止。而停机问题（测试图灵机是否最终停止的问题）的不可判断性导致了王氏平铺问题的不可判定性。

非周期性的瓷砖组
--------

结合王浩的观察以及伯杰的不可判断性结果，可以推测存在一组有限多個的王氏砖，可以密铺整个二维平面，但只能非周期性密铺。此密铺类似彭罗斯平铺（英语：），或准晶体中原子的排列。

伯杰在論文中有提到一種非周期性密铺集合，是由20,426块王氏砖組合，但他猜测也可能存在只能非周期性密铺的較小集合。伯杰发表的博士学位论文中有提到數量較少（104个）的王氏砖。在后来的几年中，又发现了越来越少的王氏砖组   。例如，上图中给出的13个图块是由Karel Culik II于1996年出版的非周期集。它可以密铺二维平面，但不能周期性密铺。2015年Emmanuel Jeandel和Michael Rao发现了使用4种颜色的11块非周期性密铺集合，并使用暴力搜索来確定，若減到10块王氏磚或是只有3种颜色，都不足以强制非周期性。

擴展
--

王氏砖可以擴展為其他的形式，而許多相關的問題也是不可判定的。例如，王氏立方体（Wang cubes）是具有彩色面的正立方体，相对的面拼合时需要有相同的颜色。Culik和Kari展示了非周期性的王氏立方体。 Winfree等已经证明了用DNA制成的分子"砖"的可行性，它与王氏砖有相似之处。米塔尔等人已经证明，这些王氏"砖"可以由肽核酸 （PNA）组成，肽核酸是稳定的DNA人工模拟物。

应用
--

王氏砖已用來做為程序化生成的產生工具，可以用來產生纹理、地形和其他大型和非重复的二维数据集。可以用较便宜的成本，预先计算或手工制作一小组的「源砖」，確認其它们拼貼出的结果不会有太明显的重复，且没有周期性。在这种情况下，传统的非周期性方格排列显示其非常规则的结构。王氏砖程序化生成的限制較少，而且确保可以密铺，并且可以用伪随机的方式选择每块砖    。

王氏砖也用于細胞自動機理论中决定性问题的证明。

流行文化
----

澳洲作家格雷格·伊根有一個短篇故事《王氏地毯》，后来扩展為小说《海外侨民（英语：）》（Diaspora），描写了有有居民生物和智慧生物的假想宇宙，這些生物都是由复杂分子模式实现的王氏砖。

参见
--

* 边缘匹配拼图（英语：）
* 永恒II拼图（英语：）
* 珀西·亚历山大麦克·马洪（英语：）
* TetraVex

参考文献
----

1. ↑  Wang, Hao, Bell System Technical Journal, 1961, **40** (1): 1–41, doi:10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x
2. ↑  Wang, Hao, Scientific American, November 1965: 98–106 . Presents the domino problem for a popular audience.
3. ↑  Renz, Peter, The Two-Year College Mathematics Journal, 1981, **12** (2): 83–103, doi:10.2307/3027370 .
4. ↑  Berger, Robert, Memoirs of the American Mathematical Society, 1966, **66**: 72, MR 0216954 . Berger coins the term "Wang tiles", and demonstrates the first aperiodic set of them.
5. 1 2  Berger, Robert, Memoirs of the American Mathematical Society, 1966, **66**: 72, MR 0216954 . Berger coins the term "Wang tiles", and demonstrates the first aperiodic set of them.
6. ↑  Robinson, Raphael M. Inventiones Mathematicae, 1971, **12**: 177–209, Bibcode:1971InMat..12..177R, MR 0297572, doi:10.1007/bf01418780 .
7. 1 2  Culik, Karel, II, Discrete Mathematics, 1996, **160** (1-3): 245–251, MR 1417576, doi:10.1016/S0012-365X(96)00118-5 （包括5個顏色的13個王氏磚）
8. ↑  Kari, Jarkko, Discrete Mathematics, 1996, **160** (1-3): 259–264, MR 1417578, doi:10.1016/0012-365X(95)00120-L .
9. 1 2  Jeandel, Emmanuel; Rao, Michael, Computing Research Repository, 2015, Bibcode:2015arXiv150606492J, arXiv:1506.06492 可免费查阅 （包括4個顏色的11個王氏磚）}
10. ↑  Culik, Karel, II; Kari, Jarkko, Journal of Universal Computer Science, 1995, **1** (10): 675–686  [2019-08-13], MR 1392428, doi:10.1007/978-3-642-80350-5\_57, （原始内容存档于2019-08-13） .
11. ↑  Winfree, E.; Liu, F.; Wenzler, L.A.; Seeman, N.C. Nature, 1998, **394**: 539–544, Bibcode:1998Natur.394..539W, PMID 9707114, doi:10.1038/28998
12. ↑  Lukeman, P.; Seeman, N.; Mittal, A. , 2002 .
13. ↑  Stam, Jos,  (PDF), 1997  [2019-08-13], （原始内容 (PDF)存档于2016-04-30） . Introduces the idea of using Wang tiles for texture variation, with a deterministic substitution system.
14. ↑  Cohen, Michael F.; Shade, Jonathan; Hiller, Stefan; Deussen, Oliver,  (PDF), New York, NY, USA: ACM: 287–294, 2003  [2019-08-13], ISBN 1-58113-709-5, doi:10.1145/1201775.882265, 原始内容存档于2006-03-18 . Introduces stochastic tiling.
15. ↑  Wei, Li-Yi, , New York, NY, USA: ACM: 55–63, 2004  [2019-08-13], ISBN 3-905673-15-0, doi:10.1145/1058129.1058138, （原始内容存档于2016-05-07） . Applies Wang Tiles for real-time texturing on a GPU.
16. ↑ . Kopf, Johannes; Cohen-Or, Daniel; Deussen, Oliver; Lischinski, Dani, , New York, NY, USA: ACM: 509–518, 2006  [2019-08-13], ISBN 1-59593-364-6, doi:10.1145/1179352.1141916, （原始内容存档于2019-08-18） . Shows advanced applications.
17. ↑  Kari, Jarkko, , Physica D: Nonlinear Phenomena **45** (1-3): 379–385, 1990, Bibcode:1990PhyD...45..379K, MR 1094882, doi:10.1016/0167-2789(90)90195-U .
18. ↑  Burnham, Karen, Modern Masters of Science Fiction, University of Illinois Press: 72–73, 2014, ISBN 9780252096297

外部链接
----

|  |  |
| --- | --- |
|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**王氏砖** |

* Steven Dutch的页面，包括许多非周期性瓷砖的图片
* 一个简单的王氏平铺方法的动画演示 （页面存档备份，存于） - 需要Javascript和HTML5

延伸阅读
----

* Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. New York: W. H. Freeman, 1987, ISBN 0-7167-1193-1

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
多格形 |
| --- |
|  |
| 二維平面 | 
* 多格骨牌
* 一格骨牌
* 二格骨牌
* 三格骨牌
* 四格骨牌
* 五格骨牌
* 六格骨牌
* 七格骨牌
* 八格骨牌
* 九格骨牌
* 十格骨牌

 |
|  |
| 高維空間 | 
* 多流形（英语：）
* 多連立方體

 |
|  |
| 正方形以外 | 
* 多等腰直角三角形（英语：）
* 多30°-60°-90°三角形（英语：）
* 多六邊形（英语：）
* 多正三角形（英语：）
* 偽多格骨牌（英语：）
* 多線段（英语：）

 |
|  |
| 相關項目 | 
* 骨牌
* 西洋骨牌
* 双体模型
* 疊蓆
* 王氏砖
* 肢解國際象棋盤問題
* 俄羅斯方塊
* 杨表
* 角鬥士棋
* 索馬立方
* 蛇仔骰
* 七巧板
* Tantrix（英语：）

 |
|  |
|  数学 |

 |