**同构基本定理**，或称**同态基本定理**、**同型定理**（英語：），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史
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同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊*数学分析*（Mathematische Annalen）发表的论文*Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern*中明确阐述。

群同構基本定理
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群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。 

### 群同構第一定理

給定一個群同態 {\displaystyle f:G\to G'}，根據群同態第一基本定理，我們可以把G除以G的核，使f 變成單射。

直觀來講，把一個群G除以G的子群H相當於把H裡的元素看成0(一元素）。把f的核除掉後，我們使得f(x)=0只在 x=0時才會成立，這是f的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}進行討論。

  

定理：
給定G和G'兩個群，和{\displaystyle f:G\rightarrow G'}群同態。則{\displaystyle \operatorname {Ker} f}是一個G的正規子群。

  

證明：
記 \cdot  為G和G'的運算符號，記e和{\displaystyle e'}他們的單位元，我們可以驗證{\displaystyle \operatorname {Ker} f} 在共軛運算下封閉，即對於所有{\displaystyle x\in G}、所有{\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}，有{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}。

我們有{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}。由於h在{\displaystyle \operatorname {Ker} f}裡面，即{\displaystyle f(h)=e'}，我們推論{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}。因此，{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}在{\displaystyle \operatorname {Ker} f}裡面，故{\displaystyle \operatorname {Ker} f}是G的正規子群。

  

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}是G的正規子群的這個性質讓我們可以在商群{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}上定義一個與G的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態{\displaystyle f:G\rightarrow G'}誘導出群同構{\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}。

我們有以下的定理：

群同構第一定理
給定G和G'兩個群，{\displaystyle f:G\rightarrow G'}群同態，則f誘導出一個從{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}打到{\displaystyle f(G)}的群同構。

  

證明：
記H為f的核。我們定義\hat f為{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}.

* 函數{\displaystyle {\widehat {f}}}定義良好，即{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}只依賴於{\displaystyle xH}而與代表x的選擇無關。理由是，若{\displaystyle y\in G}是{\displaystyle xH}的一個代表，即若{\displaystyle xH=yH}，則{\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}，所以{\displaystyle f(x)=f(y)}，從而{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}。
* 由商群運算的定義，{\displaystyle {\widehat {f}}}是一個群同態。
* 群同態{\displaystyle {\widehat {f}}}滿射：對於所有{\displaystyle y\in f(G)}，存在{\displaystyle x\in G}使得f(x)=y，由此{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}。
* 群同態{\displaystyle {\widehat {f}}}單射。理由是：考慮{\displaystyle {\widehat {f}}}的核裡的任意元素{\displaystyle xH}，則{\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}，即x在f的核H裡面。又{\displaystyle xH=H}是G/H的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

交換圖
### 群同構第二定理

群同構第二定理：
給定群 G 、其正規子群 N 、其子群 H ，則 {\displaystyle N\cap H} 是 H 的正規子群，且我們有群同構如下：
{\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}

證明：

* 必須先證明{\displaystyle HN}确实是一个群，以及N限定在{\displaystyle HN} 中亦是一個正規子群，才能討論商群 {\displaystyle HN/N}。

設 {\displaystyle hn} 和 {\displaystyle h'n'} 為 {\displaystyle HN} 中的兩個元素。我們有 {\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'} ，其中 {\displaystyle hh'\in H}, {\displaystyle h'^{-1}nh'\in N} (因為 N 在 G 中正規) 且 {\displaystyle n'\in N}，故 {\displaystyle hnh'n'} 在 {\displaystyle HN} 中，其證明了 {\displaystyle HN} 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 {\displaystyle N\subset HN\subset G} 的包含關係，並且 N 在 G 中正規，所以也在 {\displaystyle HN} 中正規。

* 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 {\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}單射群同態，定義為 {\displaystyle j(h)=h} ，
取標準滿射 {\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N} (值域是個群，因為 N 在 G 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 {\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N} 定義為 {\displaystyle f(h)=hN}。

* 群同態 f 是滿射。

理由是，設 {\displaystyle (hn)N\in HN/N} ，其中 {\displaystyle h\in H} 且 {\displaystyle n\in N} 。由於 n 在 N 裡面， {\displaystyle hnN=hN} ，故{\displaystyle hnN=f(h)}。

* f 的核是 {\displaystyle H\cap N} 。

理由是， {\displaystyle f(h)=hN} 是 {\displaystyle HN/N} 的單位元，即 N 若且唯若， h 在 N 裡面。由於 h 已經在 H 裡面，所以證明這個相當於證明 h 在 {\displaystyle N\cap H} 裡面。

* 由群同構第一定理知 {\displaystyle N\cap H} 是 H 的正規子群，且其誘導出的映射 {\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N} 是群同構。

  

如果我們弱化前提，假設 N 的正規化子包含 H (把相等改成包含)這個定理依然正確。

### 群同構第三定理

群同構第三定理：
給定群 G ， N 和 M 為 G 的正規子群，滿足 M 包含於 N ，則 {\displaystyle N/M} 是 {\displaystyle G/M} 的正規子群，且有如下的群同構：
{\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

證明：
{\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN} 為滿射，其核為 {\displaystyle N/M}

所以可由群同構第一定理得到 {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

环和模上的形式
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* 将定理中的"群"换为"*R*-模"，将"正规子群"换为"子模"，就得到对于确定的环*R*上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
* 将定理中的"群"换为"环"，"子群"换为"子环"，"正规子群"换为"理想"，"商群"换为"商环"就得到环的同构基本定理。
* 与子群的乘积*HK*相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用*H* + *K*而不再用*HK*表示。具体的定义是：

 H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}

推广
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在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设*A*是一个代数结构，*A*的一个**同余类**是*A*上的一个等价关系\Phi ，可看作是*A* × *A*上的子代数。等价类*A/*\Phi 的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与*A*同类型的代数结构。
### 第一同构定理

设*A*和*B*是两个代数结构，*f*是*A*到*B*的态射，则*A*等价关系\Phi ：*a~b*当且仅当*f(a)=f(b)* 是*A*上的一个同余类，并且*A/*\Phi 同构于*f*的像（*B*的子代数）。

### 第二同构定理

设*B*是*A*的子代数，\Phi 是*A*上的同余类。令[B]\Phi 是所有包含*B*种元素的同余类的集合，它是*A/*\Phi 的一个子集；\Phi\_B是\Phi 限制在
*B* × *B*上的部分。那么[B]\Phi 是*A/*\Phi 的子代数结构，\Phi\_B是*B*上的同余类，并且[B]\Phi 同构于*B/*\Phi\_B。

### 第三同构定理

设*A*是一个代数结构，\Phi 和\Psi是*A*上的两个同余关系，\Psi包含于\Phi 。则\Phi 定义了*A/*\Psi上的一个同余类\Theta：*[a]~[b]*当且仅当*a*与*b*关于 \Phi 同余（*[a]*表示*a*所在的\Psi-等价类），并且*A/*\Phi 同构于*(A/*\Psi*)/*\Theta。

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