**向量算子**是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

\operatorname {grad}\equiv \nabla 
\operatorname {div}\ \equiv \nabla \cdot 
\operatorname {curl}\equiv \nabla \times 
拉普拉斯算符表示为：

\nabla ^{2}\equiv \operatorname {div}\ \operatorname {grad}\equiv \nabla \cdot \nabla 
向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

\nabla f
得到*f*的梯度，但是

f\nabla 
是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

三維空間中的純量函數與向量函數
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### 純量函數

令 U 為空間位置 (x,y,z) 的多變數純量函數（英语：） ，例如：

{\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}
表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。

### 向量函數

令 V 為空間位置 (x,y,z) 的向量函數（英语：） ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

{\displaystyle V(x,y,z)=V\_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V\_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V\_{z}(x,y,z){\hat {k}}}

梯度與Nabla算子的定義
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条目：梯度
純量函數 {\displaystyle U(x,y,z)} 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}}
因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}
其加總即為 U 的組合變率：

{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}
如同微分算子 D 被用來表示某函數的導數，例如 {\displaystyle D(f)} 或 {\displaystyle Df}，我們使用  \nabla  來表示組合變率：

{\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)}
其中 V 為一向量函數。組合變率 {\displaystyle \nabla U} 稱為 U 的導數（derivative），U 則稱為 {\displaystyle \nabla U} 的本原（primitive）。

{\displaystyle \nabla U} 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 U 的梯度、或斜率。

### Nabla算子的單獨使用

条目：Nabla算子
我們可以把 \nabla  當作一個函數，唸為 {\displaystyle del}，記為 \operatorname {grad}，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：

{\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}}，因此：
{\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U}
將 \nabla  當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

散度：Nabla算子與向量函數的內積
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条目：散度
將 \nabla  當作一個形式向量，與向量函數 V 做內積：

{\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V\_{x}{\hat {i}}+V\_{y}{\hat {j}}+V\_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V\_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V\_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V\_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)}
這裡得到一個純量函數 U，稱為 V 的散度。

我們也可以將 {\displaystyle \nabla \cdot } 當作一個算子，唸為 {\displaystyle del\ dot}，記為 \operatorname {div}，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

{\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}}

旋度：Nabla算子與向量函數的叉積
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条目：旋度
將 \nabla  當作一個形式向量，與向量函數 V 做叉積：

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V\_{x}{\hat {i}}+V\_{y}{\hat {j}}+V\_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V\_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V\_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V\_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V\_{x}&V\_{y}&V\_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
這裡得到一個向量函數，稱為 V 的旋度。

我們也可以將 {\displaystyle \nabla \times } 當作一個算子，唸為 {\displaystyle del\ cross}，記為 \operatorname {curl}，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

{\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}}

拉普拉斯算子
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条目：拉普拉斯算子
對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

{\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
這稱為拉普拉斯算子，記為 \nabla^2 或者 \Delta ，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

参见
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* Nabla算符
* 达朗贝尔算符
* *Vector Analysis*, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

延伸阅读
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* H. M. Schey (1996) *Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus*, ISBN 0-393-96997-5.