|  |
| --- |
| **餘割** |
|  |
| *性質* |
| 奇偶性 |  奇  |
| 定義域 | {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}} |
| 到達域 | {\displaystyle \left|\csc x\right|\geq 1} |
| 周期 | 2\pi （360°）  |
| *特定值* |
| 當x=0 |  ∞  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  |  +∞  |
|  最小值  |  -∞  |
| *其他性質* |
| 渐近线 | {\displaystyle x=k\pi }（x=180°*k*）  |
| 根 |  無實根  |
| 臨界點 | {\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}（180°*k*-90°）  |
| 不動點 |  當x軸為弧度時：±1.11415714087193...（±63.8365018863243...°）±2.77260470826599...（±158.858548041742...°）±6.4391172384172...（±368.934241551242...°）...
當x軸為角度時：±7.5804535084227...°±179.6811235695917...°±360.15908484761767...°...  |
| k是一個整數。 |

**餘割**（Cosecant，\csc ）是三角函数的一种。它的定义域不是{\displaystyle k\pi }（或180°*k*，其中k為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为2\pi （360°）。

**餘割**是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、**餘割**、餘矢）之一，所以在2k \pi（360°*k*）到2 k \pi + \frac{\pi}{2}（360°*k*+90°）的區間之間，函數是遞减的，另外**餘割**函数和正弦函数互為倒數。

在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。

符号史
---

余割的符号为\csc ，取自英文，其又源於拉丁文的及。

定义
--

### 直角三角形中

直角三角形，\angle C為直角，\angle A的角度為 \theta ， 對於\angle A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
在直角三角形中，一个銳角\angle A的**餘割**定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

{\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}
其定義與正弦函數互為倒數。

### 直角坐标系中

设\alpha 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P\left( {x,y} \right)是角的终边上一点，r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原点O的距离，则\alpha 的余割定义为：

{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}

### 单位圆定义

单位圆
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同*x*轴正半部分得到一个角\theta ，并与单位圆相交。这个交点的*y*坐标等于{\displaystyle \sin \theta }。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2\pi （360°）或小于{\displaystyle -2\pi }（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为2\pi （360°）的周期函数：

{\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}
对于任何角度\theta 和任何整数k。

### 與其他函數定義

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

{\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}
### 級數定義

餘割也能使用泰勒級數來定義：

{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}
其中{\displaystyle B\_{2n}}為伯努利數。

另外，我们也有

{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.}
### 微分方程定义

{\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}
{\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}
### 指数定义

{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}

恆等式
---

### 和差角公式

\csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}

參見
--

|  |  |
| --- | --- |
|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**餘割** |

* icon数学主题

* 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 正割
* 三角学
* 三角函数
* 函數
* 正弦波


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
三角函数 |
| --- |
|  |
| 基本函數 | 
* 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 正割
* 餘割

 |  |
|  |
| 反函數 | 
* 反正弦
* 反餘弦
* 反正切
* 反餘切
* 反正割‎
* 反餘割

 |
|  |
| 少見函數 | 
* 正矢
* 餘矢
* 正弧
* 餘弧
* 半正矢
* 半餘矢
* 外正割
* 外餘割

 |
|  |
| 函數分類 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 正函數 | 
* 正角
* 正弦
* 正切
* 正割
* 正矢
* 正弧
* 半正矢
* 外正割

 |
|  |
| 餘函數 | 
* 餘角
* 餘弦
* 餘切
* 餘割
* 餘矢
* 餘弧
* 半餘矢
* 外餘割

 |

 |
|  |
| 其他函數 | 
* 弦函數
* arc函數
* cis函數
* 餘cis函數
* cas函數
* arg函數
* atan2
* 古德曼函數

 |
|  |
| 双曲函数 | 
* 雙曲正弦
* 雙曲餘弦

 |
|  |
| 相關概念 | 
* 割圓八線（粤语：）
* 同界角
* 辐角
* 單位圓
* 圓心角
* 週期性

 |
|  |
| 定理 | 
* 正弦定理
* 餘弦定理
* 正切定理
* 餘切定理
* 勾股定理

 |
|  |
| 其他 | 
* 诱导公式
* 三角函数线
* 三角函數恆等式
* 三角函數精確值
* 三角函数积分表
* 三角函数表
* 雙曲三角函數
* 雙曲三角函數恆等式

 |

 |