阿爾伯特·愛因斯坦
**爱因斯坦模型**是一种固体模型，基于三种假设：

* 晶格中的每一个原子都是三维量子谐振子；
* 原子不互相作用；
* 所有的原子都以相同的频率振动（与德拜模型不同）。

第一个假设是相当准确的，而第二个假设则不是。如果原子真的不互相作用，那么声波就不会在固体内传播。

历史上的影响
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原先的理论是由爱因斯坦在1907年提出的，具有很大的历史相关性。由杜隆-珀蒂定律所预言的固体的热容已经知道是与经典力学一致的。然而，低温下的实验观察表明，热容在绝对零度时趋于零，在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的量子化假设，爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与光电效应在一起，这成为需要量子化的最重要的证据之一（值得注意的是，爱因斯坦是在现代量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题）。尽管它成功了，但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零，而正确的表现则是遵守T^3幂定律。这个缺陷后来由德拜模型在1912年纠正。

热容（微正则系综）
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比較德拜、愛因斯坦分別對於熱容与温度之間关系的預測。注意到在高温时趋于3*Nk*的实验值
恒定体积*V*的物体的热容，通过内能*U*定义为：

C\_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)\_{V}.
T是系统的温度，可以从熵求出：

{1 \over T}={\partial S \over \partial U}.
为了求出熵，考虑由N个原子所组成的固体，每一个原子都有3个自由度。因此，总共有3N个量子谐振子（以下称SHO）。

N^{{\prime }}=3N
SHO的可能的能量为：

E\_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)
或者说，能级是均匀分隔的，我们可以定义能量的*量子*：

\varepsilon =\hbar \omega 
它是SHO的能量可以增长的最小的，也是唯一的数量。接着，我们必须计算系统的多重性。也就是说，计算有多少种方法把q个能量量子分布在N^{{\prime }}个SHO。我们可以想象把q个石头分布在N^{{\prime }}个盒子中：

或把一堆石头分成N^{{\prime }}-1份：

或把q个石头和N^{{\prime }}-1个划分排成一行：

最后一个图最能说明问题。把n 样东西排成一行，有n! 种方法。因此，把q个石头和N^{{\prime }}-1个划分排成一行的方法有\left(q+N^{{\prime }}-1\right)! 种，然而，如果把第2个划分和第5个划分互换位置，是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的*不可区分*的排列方法，我们必须把排列的总数除以*不可区分*的排列的数目。一共有q!种相同的量子排列，以及(N^{{\prime }}-1)! 种相同的划分排列。因此，系统的多重性为：

\Omega ={\left(q+N^{{\prime }}-1\right)! \over q!(N^{{\prime }}-1)!}
正如上面所提及的，这就是把q个能量量子放在N^{{\prime }}-1个谐振子中的方法数目。系统的熵具有下列形式：

S/k=\ln \Omega =\ln {\left(q+N^{{\prime }}-1\right)! \over q!(N^{{\prime }}-1)!}.
N^{{\prime }}是一个很大的数，把它减去一总体上没有任何影响：

S/k\approx \ln {\left(q+N^{{\prime }}\right)! \over q!N^{{\prime }}!}
利用斯特灵公式的帮助，熵可以简化：

S/k\approx \left(q+N^{{\prime }}\right)\ln \left(q+N^{{\prime }}\right)-N^{{\prime }}\ln N^{{\prime }}-q\ln q.
固体的总能量为：

U={N^{{\prime }}\varepsilon \over 2}+q\varepsilon .
我们现在来计算温度：

{1 \over T}={\partial S \over \partial U}={\partial S \over \partial q}{dq \over dU}={1 \over \varepsilon }{\partial S \over \partial q}={k \over \varepsilon }\ln \left(1+N^{{\prime }}/q\right)
把这个公式两边取倒数，以求出*U*：

U={N^{{\prime }}\varepsilon \over 2}+{N^{{\prime }}\varepsilon \over e^{{\varepsilon /kT}}-1}.
两边关于温度求导，以求出C\_{V}：

C\_{V}={\partial U \over \partial T}={N^{{\prime }}\varepsilon ^{2} \over kT^{2}}{e^{{\varepsilon /kT}} \over \left(e^{{\varepsilon /kT}}-1\right)^{2}}
或

C\_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over kT}\right)^{2}{e^{{\varepsilon /kT}} \over \left(e^{{\varepsilon /kT}}-1\right)^{2}}
虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容，在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算，参见德拜模型。

热容（正则系综）
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热容可以通过利用SHO的正则配分函数来获得。

Z=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}e^{{-E\_{n}/kT}}
其中

E\_{n}=\varepsilon \left(n+{1 \over 2}\right)
把该式代入配分函数的公式，得：

{\begin{aligned}Z&{}=\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}e^{{-\varepsilon \left(n+1/2\right)/kT}}=e^{{-\varepsilon /2kT}}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}e^{{-n\varepsilon /kT}}=e^{{-\varepsilon /2kT}}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\left(e^{{-\varepsilon /kT}}\right)^{n}\\&{}={e^{{-\varepsilon /2kT}} \over 1-e^{{-\varepsilon /kT}}}={1 \over e^{{\varepsilon /2kT}}-e^{{-\varepsilon /2kT}}}={1 \over 2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.\end{aligned}}
这是*一个*SHO的配分函数。因为，统计上来说，固体的热容、能量，以及熵，都是在它的原子（SHO）中均匀分布的，因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量，然后直接把它们乘以N^{{\prime }}以得出总量。接着，我们来计算每一个谐振子的平均能量：

\langle E\rangle =u=-{1 \over Z}\partial \_{{\beta }}Z
其中

\beta ={1 \over kT}.
因此：

u=-2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right){-\cosh \left({\varepsilon \over 2kT}\right) \over 2\sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}{\varepsilon \over 2}={\varepsilon \over 2}\coth \left({\varepsilon \over 2kT}\right).
于是，*一个*谐振子的热容为：

C\_{V}={\partial U \over \partial T}=-{\varepsilon \over 2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}\left(-{\varepsilon \over 2kT^{2}}\right)=k\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.
整个固体的热容由C\_{V}=3NC\_{V}给出：

C\_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.
它与前面推导的公式是相等的。

物理量T\_{E}=\varepsilon /k的量纲是温度，是晶体的一个特有的性质。它称为"爱因斯坦温度"。因此，爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率T/T\_{E}的通用函数。类似地，德拜模型预言了比率T/T\_{D}的通用函数。

参考文献
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* "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.

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统计力学 |
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* 熵
* 配分函数

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* 费米–狄拉克统计
* 自旋統計定理
* 全同粒子
* 任意子

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* 微正则系综
* 正则系综
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* 等温等压系综
* 等焓等压系综
* 开放统计系综（英语：）

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阿尔伯特·爱因斯坦 |
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| 貢獻 | 
* 狭义相对论
* 廣義相對論
* 質能轉換公式（E=mc2）
* 布朗运动
* 光电效应
* 爱因斯坦系数
* 爱因斯坦模型
* 等效原理
* + 爱因斯坦张量
* 愛因斯坦半徑（英语：）
* 爱因斯坦关系
* 宇宙學常數
* 玻色–爱因斯坦凝聚
* 玻色–爱因斯坦统计
* 玻色–爱因斯坦相关（英语：）
* 愛因斯坦-嘉當理論
* 愛因斯坦-英費爾德-霍夫曼方程（英语：）
* 爱因斯坦-德哈斯效应
* 愛波羅
* -愛因斯坦之爭
* 遠距平行性（英语：）
* 愛因斯坦的思想實驗（英语：）
* 愛因斯坦的失敗研究（英语：）
* 波粒二象性
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* 茶叶悖论
* 爱因斯坦求和约定
* 愛因斯坦同步法
* 爱因斯坦-希尔伯特作用量

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| 著作 | 
* 《奇蹟年論文》（1905）
* 《論動體的電動力學》（1905）
* 《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮粒子的運動（英语：）》（1905）
* 《相對論入門:狹義和廣義相對論（英语：）》（1916）
* 《相对论的意义》（1922）
* 《我的世界觀（英语：）》（1934）
* 《》（1938）
* 《为什么要社会主义？》（1949）
* 《罗素—爱因斯坦宣言》（1955）

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| 獎項 | 
* 阿尔伯特·爱因斯坦奖
* 阿爾伯特·愛因斯坦獎章
* 卡林加獎（英语：）
* 阿尔伯特·爱因斯坦和平奖
* 阿尔伯特·爱因斯坦世界科学奖
* 爱因斯坦奖（英语：）
* 爱因斯坦奖 (美国物理学会)

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| 家族 | 
* 波琳·科赫（母亲）
* 赫尔曼·爱因斯坦（父亲）
* 瑪雅·愛因斯坦（英语：）（妹妹）
* 米列娃·馬利奇（第一任妻子）
* 爱尔莎·爱因斯坦（第二任妻子及表姊）
* 麗瑟爾·愛因斯坦（英语：）（女兒）
* 汉斯·爱因斯坦（兒子）
* 愛德華·愛因斯坦（英语：）（兒子）
* 伯恩哈德·凯撒·爱因斯坦（孫子）
* 艾弗琳·爱因斯坦（養孫女）
* ·愛因斯坦（英语：）（表弟）
* 西格貝特·愛因斯坦（英语：）（遠房親戚）

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* 政治觀
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* 爱因斯坦望远镜
* 阿尔伯特·爱因斯坦研究所
* 愛因斯坦-西拉德信件
* 愛因斯坦與中國
* 大眾文化（英语：）
	+ 《世紀天才》（第一季，2017）

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1. ↑  Ralph Baierlein.. Cambridge University Press. 15 July 1999. ISBN 978-0-521-65838-6.
2. ↑  Pais, Abraham, Oxford University Press, 1982, ISBN 0-19-853907-X