在幾何學中，**二十面體**（）是指具有二十個面的多面體。在三維歐幾里得空間中有兩種二十面體是正多面體，分別為凸正二十面體和大二十面體。除此之外，亦有許多二十面體是等面或等角的，例如十方偏方面體（等面），也有的二十面體所有的面都是正多邊形，例如正十八角柱、九角反稜柱、正三角台塔反角柱、同相（英语：）和異相雙三角帳塔柱（英语：）等。也有些二十面體是半正多面體（同時具備等角且組成面為正多邊形的立體稱為半正多面體），例如正十八角柱和正九角反稜柱。

正二十面體
-----

兩種正二十面體| 凸正二十面體 | 大二十面體 |

所有二十面體中，有兩種為正多面體。一種為凸多面體，另一種為非凸多面體。這兩種立體都具有30條邊和20個三角形面，以每個頂點為5個三角形的公共頂點交在12個頂點上。兩者皆具有二十面體群對稱性。詞彙「正二十面體」通常表達的是凸的正二十面體，而非凸的正二十面體稱為大二十面體。

### 凸正二十面體

条目：正二十面體
凸正二十面體通常簡稱為正二十面體，是五個柏拉圖立體之一，其在施萊夫利符號中可以用{3, 5}來表示，其共有20個三角形面，且每個頂點都是5個正三角形的公共頂點，並且這些面在頂點周圍以正五邊形之邊的排列方式進行排列，換言之即凸正二十面體的頂點圖為正五邊形。

凸正二十面體的對偶多面體是凸正十二面體，施萊夫利符號{5, 3}包含了12個正五邊形面，每個頂點都是3個正五邊形的公共頂點。

### 大二十面體

条目：大二十面體
大二十面體是四個克卜勒－龐索立體之一，其在施萊夫利符號中可以用{3, 5/2}來表示，與凸的正二十面體有相同的面數、邊數和頂點數，差別在於頂點圖的不同：大二十面體的頂點圖是五角星而非五邊形，導致其成為自相交的多面體。

大二十面體的對偶多面體為大星形十二面體，施萊夫利符號{5/2, 3}包含了12個正五角星面，每個頂點都是3個正五角星的公共頂點。

星形二十面體
------

条目：星形二十面體
多面體的星形化是指把多面體的面和邊沿伸直到向外相交成星形的立體。這個過程是對稱地完成的，以便生成保留了與原像相同的整體對稱性。

在書籍《五十九種二十面體》，考克斯特等人列出了58種正二十面體的星形化體。其中，許多星形二十面體的組成面都是單一面（即沒有同一個面包含分離區域的情況），因此這類立體也屬於二十面體。例如大二十面體就屬於這種立體。其他的星形二十面體有在同一個面中包含了分離區域的情況，因此可以將這些部分分離成結構更簡單的多面體，故雖然這些立體稱為二十面體，但它們不是嚴格的二十面體。

|  |
| --- |
| **著名的星形二十面體** |
| 凸正 | 均勻對偶 | 正複合 | 星形正 | 其他 |
| （凸）正二十面體 | 小三角六边形二十面体 | 內側三角六邊形二十面體 | 大三角六邊形二十面體 | 五複合正八面體 | 五複合正四面體 | 十複合正四面體 | 大二十面體 | 凹五角錐十二面體 | 完全星形二十面體 |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 正二十面體在星形化的過程中產生了些許二十面體對稱性的複合多面體 |

其他常見的二十面體
---------

### 五角十二面體對稱性的二十面體

五角十二面體對稱性的二十面體
条目：扭棱四面體
正二十面體可以被形變或標記（在面上著上不同顏色或標上不同標記並將不同顏色或標記的面視為相異以表示不同的對稱性）為較低的五角十二面體對稱性，這個立體又稱扭稜八面體（考克斯特扭稜）、扭稜四面體（康威扭稜）或偽二十面體。其也可以視為交錯的截角八面體。如果所有三角形都是正三角形，那麼也可以透過對8和12個三角形的三角形組著上不同顏色以將其視為相異來區分對稱性。

#### 耶森二十面體

条目：耶森二十面體
與之類似的十二面體還有耶森二十面體。耶森二十面體同樣擁有與正二十面體相同的面數、邊數、頂點數，但其面的形狀、二面角和連接方式略有不同。

|  |  |
| --- | --- |
| 耶森二十面體 | 正二十面體（左）與耶森二十面體（右）的差異 |

### 十八角柱

正十八角柱
十八角柱是一種底面為十八邊形的柱體，是二十面體的一種，其由20個面、36個頂點和54個邊組成。正十八角柱代表每個面都是正多邊形的十八角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個十八邊形的公共頂點，頂點圖以{\displaystyle 4{.}4{.}18}表示，在施萊夫利符號中可以利用{18}×{} 或 t{2, 18}來表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：）中可以利用node_1 1x 8 node 2 node_1 來表示；在威佐夫符號（英语：）中可以利用2 18 | 2來表示；在康威多面體表示法中可以利用P18來表示。若正十八角柱底面邊長為s、高為h，則其體積V和表面積S為：

{\displaystyle V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 25.5208hs^{2}}
{\displaystyle S=9s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)\approx 9s\left(2h+5.67128s\right)}
### 十九角錐

十九角錐
**十九角錐**是一種底面為十九邊形的錐體，是二十面體的一種，其具有20個面、38條邊和20個頂點，其對偶多面體是自己本身。正十九角錐是一種底面為正十九邊形的十九角錐。若十九角錐的底面之邊長為s、高為h則這個正十九角錐的體積V和表面積S為：

{\displaystyle V={\frac {19hs^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}}{12}}\approx 9.4884hs^{2}}
{\displaystyle S={\frac {19s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{19}}}}+s\cot {\frac {\pi }{19}}\right)}{4}}\approx 3.75s\left({\sqrt {4h^{2}+35.9121s^{2}}}+5.99267s\right)}
### 菱形二十面體

菱形二十面體
条目：菱形二十面體
菱形二十面體是一個由20個全等的菱形所組成的環帶多面體。其可以透過移除菱形三十面體的10個中間面來構成。雖然菱形二十面體的20個面皆全等，但其不滿足面可遞的特性，換句話說，即菱形二十面體存在一組兩個面，這兩個面透過將一個面經由若干旋轉、平移和鏡射整個立體將該面的位置變換到另外一個面的位置後，其面與附近的結構並不佔有相同的空間區域。若菱形二十面體的邊長為a，則其體積V和表面積S為：

{\displaystyle V=2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{3}}
{\displaystyle S=8{\sqrt {5}}a^{2}}
### 六角罩帳

正六角罩帳
六角罩帳是指以六邊形為底的罩帳，是一種二十面體，由1個六邊形面、1個十二邊形面、6個五邊形面和12個三角形面組成，共有20個面、42條邊和24個頂點，其中六邊形與十二邊形互相平行，三角形與五邊形交錯地圍繞軸分佈在周圍。

以正六邊形為底的六角罩帳稱為正六角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正六邊形和底面的正十二邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳。

正六角罩帳的對稱群為C6v（英语：）群，階數為12階。

### 九角反角柱

正九角反角柱
**九角反角柱**是一種底面為九邊形的反角柱，由20個面、36條邊和18個頂點組成。正九角反角柱代表每個面都是正多邊形的九角反角柱，其每個頂點都是3個正三角形和1個正九邊形的公共頂點，頂點圖以{\displaystyle 3{.}3{.}3{.}9}表示，在施萊夫利符號中可以用{\displaystyle s\left\{{\begin{matrix}2\\9\end{matrix}}\right\}}來表示。邊長為單位長的正九角反角柱體積V為以下多項式的正實根，約為5.43974：

{\displaystyle 64x^{6}-1872x^{4}-648x^{2}+81}
表面積S為以下多項式的正實根，約為20.1579：

{\displaystyle x^{6}-486x^{4}+32805x^{2}-177147}
### 雙十角錐

雙十角錐
**雙十角錐**是一種以十邊形為基底的雙錐體，是二十面體的一種，其可以視為兩個十角錐底面對底面疊合成的立體，由20個面、30條邊和12個頂點組成，對偶多面體為十角柱。

雙十角錐在施萊夫利符號中可以用{ }+{10}來表示，在考克斯特符號中可以用node_f1 2 node_f1 10 node 來表示，在康威多面體表示法中可以用dP10來表示。

### 十方偏方面體

**十方偏方面體**是一種以十邊形為底的偏方面體，由20個全等的鳶形組成，為十角反角柱的對偶多面體，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第八個成員。所有十方偏方面體都有20個面、40條邊和22個頂點，其中，頂點有兩種，分別為10個鳶形的公共頂點和3個鳶形的公共頂點。

十方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上傳遞，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀，然而二十面骰通常以正二十面體居多。

十方偏方面體在施萊夫利符號中可以用{ }⨁{10}來表示，在考克斯特符號中可以用node_fh 2 node_fh 20 node 或node_fh 2 node_fh 10 node_fh 來表示，在康威多面體表示法中可以用dA10來表示。

### 星形均勻多面體

部分星形均勻多面體具有20個面，分別為小立方立方八面體、大立方截半立方體和立方截角立方八面體。

* 小立方立方八面體小立方立方八面體
* 大立方截半立方體大立方截半立方體
* 立方截角立方八面體立方截角立方八面體

### 詹森多面體

以下是屬於詹森多面體的二十面體：

| J22 | J35 | J36 | J59 | J60 | J92 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正三角帳塔反角柱 | 同相雙三角帳塔柱（英语：） | 異相雙三角帳塔柱（英语：） | 對二側錐十二面體（英语：） | 間二側錐十二面體（英语：） | 三角廣底球狀罩帳 |
|  |  |  |  |  |  |
| 16個三角形3個正方形 1個六邊形 | 8個三角形12個正方形 | 8個三角形12個正方形 | 10個三角形 10個五邊形 | 10個三角形 10個五邊形 | 13個三角形3個正方形3個五邊形1個六邊形 |

### 二十面體列表

| 名稱 | 種類 | 圖像 | 符號 | 頂點 | 邊 | 面 | χ | 面的種類 | 對稱性 | 展開圖 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 凸正二十面體 | 正多面體 |  | {3,5} | 12 | 30 | 20 | 2 | 20個正三角形 | Ih, H3, [5,3], (\*532) |  |
| 大二十面體 | 正多面體 |  | {3,5/2} | 12 | 30 | 20 | 2 | 20個正三角形 | Ih, H3, [5,3], (\*532) |
| 十八角柱 | 稜柱體 |  | t{2,18}{18}x{}node_1 2 node_1 18 node  | 54 | 36 | 20 | 2 | 2個十八邊形18個矩形 | D18h, [18,2], (\*18 2 2) |
| 十九角錐 | 稜錐體 |  | ( )∨{19} | 20 | 38 | 20 | 2 | 1個十九邊形19個三角形 | *C*19v, [19], (\*19 19) |  |
| 九角反棱柱 | 反棱柱 |  | s{2,18}sr{2,9} | 18 | 36 | 20 | 2 | 2個九邊形18個三角形 | D6d, [2+,12], (2\*6), 24階 |  |
| 九角帳塔 | 帳塔 |  | {9}||t{9} | 27 | 45 | 20 | 2 | 9個三角形9個正方形1個九邊形1個十八邊形 | C9v, [1,9], (\*99), 18階 |  |
| 雙十角錐 | 雙錐體 |  | { }+{10} | 12 | 30 | 20 | 2 | 20個三角形 | D10h, [10,2], (\*10 2 2), 40階 |  |
| 十方偏方面體 | 偏方面體 |  | { }⨁{10} | 22 | 40 | 20 | 2 | 20個鷂形 | D10d, [2+,10], (2\*10) |  |
| 六角罩帳 | 罩帳 |  |  | 24 | 42 | 20 | 2 | 1個六邊形頂面1個十二邊形底面6個五邊形側面12個三角形側面 | C6v（英语：）, [4], (\*66), 12階 |  |
| 雙五角錐反角柱 | 雙錐反柱體 |  |  | 12 | 30 | 20 | 2 | 20個三角形 | D5d, [2+,10], (2\*5), order 20 |

扭歪二十面體
------

六角四片三角孔扭歪正二十面體是一個扭歪二十面體，其面向鏡頭的正六邊形面已去除。其位於四維空間，圖為四維到三維的施萊格爾投影。
扭歪二十面體是指面與頂點並不存在同一個三維空間（共面在四維空間的推廣）而無法確定體積的二十面體，是一種扭歪多面體，所有的扭歪二十面體只能存於四維或以上的空間。例如有一種六維空間的扭歪二十面體。

參見
--

* 二十邊形

參考文獻
----

1. 1 2 3  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. 1 2 3  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. ↑  Coxeter, H.S.M. and DuVal, P. and Flather, H.T. and Petrie, J.F.. Springer New York. 2012  [2022-08-29]. ISBN 9781461382164. （原始内容存档于2022-08-29）.
8. ↑  John Baez.. September 11, 2011  [2022-08-29]. （原始内容存档于2018-05-19）.
9. ↑  Jessen, Børge.. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, **15** (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494.
10. ↑  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
11. 1 2  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
12. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
13. ↑  Johnson, Norman W.（英语：）, Canadian Journal of Mathematics（英语：）, 1966, **18**: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
14. 1 2 3  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
15. 1 2  David I. McCooey..  [2022-09-14]. （原始内容存档于2021-09-24）.
16. 1 2  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
17. ↑  McLean, K. Robin, The Mathematical Gazette, 1990, **74** (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822 .
18. ↑  Cromwell, Peter R. "Polyhedra" (1997) Page 327.
19. ↑  David I. McCooey.. （原始内容存档于2016-03-24）.
20. ↑  David I. McCooey..  [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
21. ↑  David I. McCooey..  [2022-08-29]. （原始内容存档于2022-02-14）.
22. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. .
23. ↑  Johnson, N.W.. . 2018. 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c. ISBN 978-1-107-10340-5.
24. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
多面体 |
| --- |
|  |
| 1 - 10 | 
* 一面體
* 二面體
* 三面體
* 四面體
	+ 正四面體
	+ 鍥形體
* 五面體
	+ 三角柱
	+ 四角錐
* 六面體
	+ 立方體
	+ 長方體
	+ 四角柱
	+ 五角錐
	+ 平行六面体
	+ 雙三角錐
* 七面體
* 八面體
* 九面體
* 十面體

 |
|  |
| 11 - 20 | 
* 十一面體
* 十二面體
* 十三面體
* 十四面體
* 十五面體
* 十六面體
* 十七面體
* 十八面體
* 十九面體
* 二十面體

 |
|  |
| 其他 | 
* 空多胞形
	+ 零面體
* 多面形
	+ 三面形
* 超二十面體
* 二十二面體
* 二十四面體
* 二十七面體
* 三十面體
* 六十面體
* 無限面體

 |
|  |
| 正多面體 | 
* 正四面體
* 正六面體
* 正八面體
* 正十二面體
* 正二十面體
* 正無限面體

 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
各類凸多面體 |
| --- |
|  |
| 柏拉圖立體（正多面體） | 
* 正四面體
* 立方體
* 正八面體
* 正十二面體
* 正二十面體

 |
|  |
| 阿基米德立體（半正多面體） | 
* 截角四面體
* 截角立方体
* 截半立方體
* 截角八面體
* 小斜方截半立方体
* 大斜方截半立方體
* 扭棱立方体
* 截角十二面体
* 扭棱十二面体
* 截半二十面體
* 截角二十面體
* 小斜方截半二十面体
* 大斜方截半二十面体

 |
|  |
| 卡塔蘭立體（阿基米德立體的對偶） | 
* 三角化四面體
* 菱形十二面體
* 三角化八面體
* 四角化立方體
* 鳶形二十四面體
* 四角化菱形十二面體
* 五角二十四面體
* 菱形三十面體
* 三角化二十面體
* 五角化十二面體
* 鳶形六十面體
* 四角化菱形三十面體
* 五角六十面體

 |
|  |
| 康威多面體 | 
* 截角三角化四面体
* 截半截角二十面體
* 截角五角六十面體
* 四角化扭棱立方體
* 五角化扭棱十二面體
* 六角化五角化截角三角化四面體
* 菱形九十面體

 |
|  |
| 正二面體群立體 | 
* *多邊形二面體*
* *多面形*
	+ *三面形*

 |
|  |
| 均勻二面體群立體 | 

|  |
| --- |
| 
* 棱柱
* 反棱柱

 |
|  |
| **對偶** | 
* 雙錐體
* 偏方面體

 |

 |
|  |
| 其他凸多面體 | 
* 棱柱（反棱柱）
* 棱锥（類錐體、雙錐體）
* 錐台（雙錐台）
* 角錐柱（反角錐柱、雙角錐柱）
* 偏三角面體
* 截對角偏方面體
* 半偏方面體
* 雙錐反柱體
* 帳塔
* 罩帳
* 雙帳塔（英语：）
* 雙罩帳
* 半偏方面體錐
* 柱狀
* 盾片状
* 约翰逊多面体
* 條件邊正多邊形凸多面體
* 菱形二十面體

 |
|  |
| *斜體*表示退化多面體 |

 |