在数论中，特别在同余理论裏，一个整数X对另一个整数p的**二次剩余**（英語：）指X的平方{\displaystyle X^{2}}除以p得到的余数。

當存在某個X，式子{\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}成立時，稱**「d是模p的二次剩余」**

當对任意X，{\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}不成立時，稱**「d是模p的二次非剩余」**

研究二次剩余的理论称为**二次剩余理论**。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。

前几个自然数的二次剩余
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下表列出了1至25对2至25的二次剩余。

二次剩余列表| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 |
| mod 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| mod 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| mod 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| mod 5 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 |
| mod 6 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 7 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 |
| mod 8 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 9 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 |
| mod 10 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 |
| mod 11 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| mod 12 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 13 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 |
| mod 14 | 1 | 4 | 9 | 2 | 11 | 8 | 7 | 8 | 11 | 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 2 | 11 | 8 | 7 | 8 | 11 | 2 | 9 |
| mod 15 | 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 | 1 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 |
| mod 16 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 17 | 1 | 4 | 9 | 16 | 8 | 2 | 15 | 13 | 13 | 15 | 2 | 8 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 8 | 2 | 15 | 13 |
| mod 18 | 1 | 4 | 9 | 16 | 7 | 0 | 13 | 10 | 9 | 10 | 13 | 0 | 7 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 7 | 0 | 13 |
| mod 19 | 1 | 4 | 9 | 16 | 6 | 17 | 11 | 7 | 5 | 5 | 7 | 11 | 17 | 6 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 6 | 17 |
| mod 20 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 |
| mod 21 | 1 | 4 | 9 | 16 | 4 | 15 | 7 | 1 | 18 | 16 | 16 | 18 | 1 | 7 | 15 | 4 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| mod 22 | 1 | 4 | 9 | 16 | 3 | 14 | 5 | 20 | 15 | 12 | 11 | 12 | 15 | 20 | 5 | 14 | 3 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| mod 23 | 1 | 4 | 9 | 16 | 2 | 13 | 3 | 18 | 12 | 8 | 6 | 6 | 8 | 12 | 18 | 3 | 13 | 2 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| mod 24 | 1 | 4 | 9 | 16 | 1 | 12 | 1 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 1 | 12 | 1 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 25 | 1 | 4 | 9 | 16 | 0 | 11 | 24 | 14 | 6 | 0 | 21 | 19 | 19 | 21 | 0 | 6 | 14 | 24 | 11 | 0 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 |

研究历史以及基本概念
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从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在著作《算术研究》（*Disquisitiones Arithmeticae*，1801年）中首次引入了术语"二次剩余"与"二次非剩余"，并声明在不至于导致混淆的行文中，可以省略"二次"两字。

为了得到关于一个整数n的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,…, *n* − 1的平方模n的余数。但只要注意到*a*2 ≡(*n* − *a*)2(mod *n*)，我们就可以减少一半的计算量，只算到*n*/2了。于是，关于n的二次剩余的个数不可能超过*n*/2 + 1（*n*为偶数）或(*n* + 1)/2（*n*为奇数）。

两个二次剩余的乘积必然还是二次剩余。

基本结论
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### 质数二次剩余

对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。

以下討論p是奇質數的情況：

對於X，{\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}}而言，能滿足「d是模p的二次剩餘」的d共有{\displaystyle {\frac {(p+1)}{2}}}個（剩余类），分別為：

{\displaystyle 0^{2},1^{2},...\left({{\frac {(p-1)}{2}}-1}\right)^{2},\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}}（0計算在內）

此外是{\displaystyle {\frac {(p-1)}{2}}}个二次非剩余。但在很多情况下，我们只考虑乘法群**Z/*p*Z**，因此不将0包括在内。这样，每个二次剩余的乘法逆元仍然是二次剩余；二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等，都是{\displaystyle {\frac {(p-1)}{2}}}。此外，两个二次非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。

应用二次互反律可以知道，当p模4余1时，-1是p的二次剩余；如果p模4余3，那么，-1是p的二次非剩余。

要知道d是否為模p的二次剩餘，可以运用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

### 质数乘方的二次剩余

每个奇数的平方都模8余1，因此模4也余1。设*a*是一个奇数。*m*为8，16或2的更高次方，那么*a*是关于*m*的二次剩余当且仅当*a* ≡ 1(mod 8)。

> 比如说，在模32时，所有的奇數的平方分别是：
> 
> 
> 12 ≡ 152 ≡ 1
> 32 ≡ 132 ≡ 9
> 52 ≡ 112 ≡ 25
> 72 ≡ 92 ≡ 17  
> 
> 模8都余1。而偶数的二次剩余是：
> 
> 
> 02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
> 22 ≡ 62≡ 102 ≡ 142≡ 4
> 42 ≡ 122 ≡ 16
> 

可以看出，关于8，16或2的更高次方的二次剩余是具有4*k*(8*n* + 1)形式的所有数，其中k、n为整数。

对于奇质数p以及与p 互质的整数A，A是关于p的若干次乘方的剩余当且仅当它是关于p的剩余。

设模的是*p**n*（n次乘方）， 

那么*p**k**A*   

当*k* ≥ *n*时是模*p**n*的剩余；
当*k* < *n*并为奇数时是模*p**n*的非剩余。
当*k* < *n*并为偶数时，

如果A是关于p的剩余，那么*p**k**A*就是模*p**n*的剩余；
如果A是关于p的非剩余，那么*p**k**A*就是模*p**n*的非剩余。
### 合数二次剩余

首先可以看出，

如果*a*是模*n*的剩余，并且*p**k* 整除*n*，那么*a*是模*p**k*的剩余。
如果*a*是模*n*的非剩余，那么存在*p**k* 整除*n*，使得*a*是模*p**k*的非剩余。
对于模合数的情况，两个剩余的乘积仍然是剩余，剩余和非剩余的乘积必为非剩余，但是两个非剩余的乘积则可能是剩余、非剩余或0。

> 
> 比如，对于模15的情况 
>   
> 
> ***1***, 2, 3, ***4***, 5, ***6***, 7, 8, ***9***, ***10***, 11, 12, 13, 14（粗斜体为二次剩余）。
>   
> 
> 两个二次非剩余2和8的乘积是二次剩余1，但另外两个二次非剩余2和7的乘积是二次非剩余14。
> 
> 
>

相关记号
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高斯使用**R**和**N**来分别表示二次剩余及二次非剩余。例如：2 R 7，5 N 7，并且1 R 8，3,5,7 N 8。尽管这种记号在某些方面来说十分简洁，但现今最常用的是勒让德符号，或称二次特征（见狄利克雷特征）。对于整数*a*及奇质数*p*，

|  |  |
| --- | --- |
| \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0\\+1\\-1\end{cases}} | 如果p整除a； |
| 如果a是模p的二次剩余且p不整除a |
| 如果a是模p的二次非剩余。 |



之所以将0另分一类有两个原因。首先，这使公式和定理叙述方便。其次，二次特征是一个从乘法群**Z/pZ**射到复数域的群同态，{\displaystyle ({\tfrac {np}{p}})=0}可以将这个同态扩张到整数构成的乘法半群。

相比高斯的记号，勒让德符号的优势在于可以写在公式里（作为一个数字值）。此外勒让德符号可以推广到三次以至高次剩餘。

勒让德符号中的分母只限奇质数，对于一般的奇合数，有推广的雅可比符号。雅可比符号的性质比前者复杂。如果*a* **R** *m*那么{\displaystyle ({\tfrac {a}{m}})=1}，如果({\tfrac {a}{m}})=-1那么*a* **N** *m*。但如果{\displaystyle ({\tfrac {a}{m}})=1}，我们不能知道*a* **R** *m*还是*a* **N** *m*。

推广
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二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意X，{\displaystyle X^{n}\equiv d{\pmod {p}}}中d是否為模p的n次剩餘的問題。

相關條目
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* 勒让德符号
* 同餘
* 欧拉准则
* 二次互反律
* 三次互反律

注释及参考来源
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1. ↑  Lemmemeyer, Ch. 1
2. ↑  Lemmermeyer, pp 6–8, p. 16 ff
3. ↑   Gauss, *Disquisitiones Arithmeticae*（以下称DA）, art. 94
4. 1 2   Gauss, DA, art. 96
5. 1 2   Gauss, DA, art. 98
6. ↑   Gauss, DA, art. 103
7. ↑   Gauss, DA, art. 102
8. ↑  Gauss, DA, art. 131
9. ↑  比如哈代和怀特就使用它们。
10. ↑  Gauss, DA, art 230 ff.
11. ↑  这个扩张对于定义*L*函数是必须的。

* 闵嗣鹤、严士健，《初等数论》，第二版，高等教育出版社，2001年。

外部链接
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* 李宗儒，高斯二次互反律[永久]