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* 论
* 编
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数学上，**曲面积分**，也称为**面积分**（英語：），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。

面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。

面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。
单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。

标量场的面积分
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考虑定义在曲面*S*上的實函數 f，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 f 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 f 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這个實數為實數值函數 f 在曲面 S 上的面積分。

要找到面积分的直接公式，首先需要参数化曲面*S*，也即在*S*上建立坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为**x**(*s*, *t*)，其中(*s*, *t*)在某个平面上的区域*T*中变化。则 f 在曲面 S 的面积分为

{\displaystyle \iint \_{S}f\,\mathrm {d} S=\iint \_{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
其中 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| 是**x**(*s*, *t*)的偏导数的外積這向量的長度，而 {\displaystyle \textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\mathrm {d} t} 在微分幾何裡又叫作流形 S 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某个函数（z=f\,(x,y)）形状的曲面面积，就有

{\displaystyle A=\iint \_{S}\,\mathrm {d} S=\iint \_{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
其中{\mathbf {r}}=(x,y,z)=(x,y,f(x,y))。所以，{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial x}}=(1,0,f\_{x}(x,y))，且{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial y}}=(0,1,f\_{y}(x,y))。因此

{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \_{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \_{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \_{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}
这就是一般以 (x,y,f(x,y)) 為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因为外积的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分
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曲面上的向量场。
考虑*S*上的向量场**v**，对于每个*S*上的点**x**，**v**(**x**)是一个向量。想象一个穿过*S*的液体流，使得**v**(**x**)决定液体在**x**的速度。则流量定义为单位时间穿过*S*的液体量。

这个解释意味着如果向量场和*S*在每点相切，则流量为0，因为液体平行于*S*流动，从而不进不出。这也意味着如果**v**不仅仅沿着*S*流动，也即，如果**v**既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取**v**和*S*上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

{\displaystyle \int \_{S}{\mathbf {v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int \_{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint \_{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.}
右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式*定义*为向量场**v**在*S*上的面积分。

微分2-形式的面积分
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令

{\displaystyle \omega =f\_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f\_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+f\_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
为定义在曲面*S*上的2阶微分形式，并令

{\mathbf {x}}(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!
为一保定向的在曲面 S 上的参数化，其中(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2。利用變數變換，则 \omega  在*S*上的面积分變成

{\displaystyle \iint \_{D}\left[f\_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f\_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}+f\_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
其中

{\partial {\mathbf {x}} \over \partial s}\times {\partial {\mathbf {x}} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)
为*S*的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

{\displaystyle \int \_{S}\omega =\iint \_{S}(f\_{x},f\_{y},f\_{z})\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint \_{S}(f\_{x},f\_{y},f\_{z})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}

  

也就是說，對 \omega  該2-形式的积分和以f\_x、f\_y和f\_z.为分量的向量场的面积分相同。

涉及面积分的定理
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面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。

进阶问题
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注意面积分的定义中用到曲面*S*的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。

对于向量场，情况复杂一些，因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要規定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。

参看
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* 散度定理
* 斯托克斯定理
* 体积分
* 不同坐标系下的体积和面积元

外部链接
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* 曲面积分 -- MathWorld （页面存档备份，存于）
* 曲面积分 -- 理论和习题 （页面存档备份，存于）