**一元二次方程式**是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，{\displaystyle x^{2}-3x+2=2}，{\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}，{\displaystyle t^{2}-3=0} 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是　{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}

其中，{\displaystyle ax^{2}}是二次项，{\displaystyle bx}是一次项，{\displaystyle c}是常数项。{\displaystyle a\neq 0}是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，{\displaystyle a\neq 0}也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現复數根。

歷史
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古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作*Liber embadorum*中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

**在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。**
将其转化为数学语言：解关于{\displaystyle x}的方程 {\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即{\displaystyle 4a}，得　{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即{\displaystyle b^{2}}，得　{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}

然后在方程的两边同时开二次方根，得　{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}

解法
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阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据{\displaystyle a}、{\displaystyle b}、{\displaystyle c}三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的**根**。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合{\displaystyle a\neq 0}的原則就可以了。

### 因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}後，如果{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}存在两个实根{\displaystyle x\_{1},x\_{2}}，那么它可以因式分解为{\displaystyle a(x-x\_{1})(x-x\_{2})=0}。

例如，解一元二次方程{\displaystyle x^{2}-3x+2=0}时，可将原方程左边分解成{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}，所以{\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}，可解得{\displaystyle x\_{1}=1\quad x\_{2}=2}

### 公式解法

對於{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}，它的根可以表示為　{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

當{\displaystyle c\neq 0}時也寫成　{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}}

#### 公式解的證明

公式解可以由配方法得出。首先先將一元二次方程的一般形式{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}除以{\displaystyle a}（{\displaystyle a}在一元二次方程中不為零），將會得到　{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}，即　{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數到等式的左邊，使等式左邊有完全平方{\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}的樣子。

當{\displaystyle 2xy={\frac {b}{a}}x}時，得到{\displaystyle y={\frac {b}{2a}}}，亦即當式子的兩邊加上{\displaystyle y^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}將得到{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}，現在式子的左邊變成了一個完全平方式了，並且可以看出是{\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)}的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了　{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

接下來，對式子的兩邊開根號　{\displaystyle \left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}

最後，式子兩邊同時減去{\displaystyle {\frac {b}{2a}}}得公式解　{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

#### 一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、複數或是任意数域中适用。

公式中的根式{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為{\displaystyle b^{2}-4ac}的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

#### 根的判别式

对于**實係数**一元二次方程{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}，{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}称作一元二次方程根的**判別式**。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

* 如果{\displaystyle \Delta >0}，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數，且{\displaystyle \Delta }是一个完全平方数，則這兩個根都是有理数，否則這兩個根至少有一個是無理數。

* 如果{\displaystyle \Delta =0}，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}

* 如果{\displaystyle \Delta <0}，则这个一元二次方程有兩個不同的複數根，兩根互为共轭复数。這時根為{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}}，其中 {\displaystyle {\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}}

### 非實係數一元二次方程

即係數为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意**根的判别式不適用於非實係數一元二次方程**。

### 根與係數

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。



x

1

+

x

2

=

−
b
+

b

2

−
4
a
c
 

2
a

+

−
b
−

b

2

−
4
a
c
 

2
a

=

−
2
b

2
a

=
−

b
a

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}

{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}

x

1

⋅

x

2

=

−
b
+

b

2

−
4
a
c
 

2
a

⋅

−
b
−

b

2

−
4
a
c
 

2
a

=

b

2

−

b

2

+
4
a
c

4

a

2


=

4
a
c

4

a

2


=

c
a

{\displaystyle x\_{1}\cdot x\_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}

{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}
### 图像解法

{\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}，则该函数与x轴相交（有两个交点）
  

{\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
  

{\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}，则该函数与x轴相离（没有交点）
一元二次方程{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根的几何意义是二次函数{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}的图像（為一条抛物线）与{\displaystyle x}轴交点的x坐标。

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的解是{\displaystyle y=x^{2}}和{\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}交點的X座標
另外一种解法是把一元二次方程{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}化为{\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}} 的形式。

则方程{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根，就是函数{\displaystyle y=x^{2}}和{\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

### 计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解



x

1
,
2

=

−
b
±

b

2

−
4
a
c
 

2
a


{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

参见
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* 方程
* 三次方程
* 和平方
* 差平方
* 平方差
* 配方法

参考资料
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1. ↑

外部連結
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* 101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于），Part II （页面存档备份，存于）