关于組合數學的計數原理，请见「**乘法原理**」。

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从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
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| * 
* 论
* 编
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**乘积法则**（英語：），也称**積定則**、**莱布尼兹法则**，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数f,g及其导数f',g'，则它们的积fg的导数为：

(fg)'=f'g+fg' \,
這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现
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人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设*u*(*x*)和*v*(*x*)为*x*的两个可导函数。那么，*uv*的微分是：

\begin{align}
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}

由于*du*·*dv*的可忽略性（法语：），因此有：

d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,
两边除以*dx*，便得：

\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} 
若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,

例子
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* 假设我们要求出*f*(*x*) = *x*2 sin(*x*)的导数。利用乘积法则，可得*f*'(*x*) = 2*x* sin(*x*) + *x*2cos(*x*)（这是因为*x*2的导数是2*x*，sin(*x*)的导数是cos(*x*)）。
* 乘积法则的一个特例，是"常数因子法则"，也就是：如果*c*是实数，*f*(*x*)是可微函数，那么*cf*(*x*)也是可微的，其导数为(*c* × *f*)'(*x*) = *c* × *f* '(*x*)。
* 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积
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假设

 h(x) = f(x)g(x),\,
且*f*和*g*在*x*点可导。那么：

h'(x) = \lim\_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim\_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)
现在，以下的差

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) 
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

{\displaystyle f(w){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}
因此，(1)的表达式等于：

{\displaystyle \lim \_{w\to x}\left(f(w)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}
如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

{\displaystyle \left(\lim \_{w\to x}f(w)\right)\left(\lim \_{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim \_{w\to x}g(w)\right)\left(\lim \_{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}
现在：

{\displaystyle \lim \_{w\to x}f(w)=f(x)\,}
因为当*w* → *x*时，*f*(*x*)不变；

 \lim\_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) 
因为*g*在*x*点可导；

 \lim\_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) 
因为*f*在*x*点可导；以及

 \lim\_{w\to x} g(w) = g(x)\, 
因为*g*在*x*点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

证明二：使用对数
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设*f* = *uv*，并假设*u*和*v*是正数。那么：

\ln f = \ln u + \ln v.\,
两边求导，得：

{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v
把等式的左边乘以*f*，右边乘以*uv*，即得：

{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.

证明三：使用导数的定义
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设  h(x) = f(x)g(x),\,

且*f*和*g*在*x*点可导。那么：

{\displaystyle h'(x)=\lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}

{\displaystyle =\lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim \_{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim \_{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim \_{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}
= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

推廣
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* 若有n个函数f\_1,f\_2,...f\_n，则：

{\displaystyle \left({\prod \_{k=1}^{n}{f\_{k}}}\right)^{\prime }=\sum \_{k=1}^{n}{\left({f'\_{k}\cdot \prod \_{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f\_{j}}}\right)}}
* （萊布尼茲法則）若f,g均為可導n次的函數，則fg的n次導數為：

(f\cdot g)^{(n)}=\sum\_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}
其中{n \choose k}是二項式係數。

应用
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乘积法则的一个应用是证明以下公式：

 {d \over dx} x^n = nx^{n-1} 
其中*n*是一个正整数（该公式即使当*n*不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果*n* = 1，{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim \_{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}}

假设公式对于某个特定的*k*成立，那么对于*k* + 1，我们有：

{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}
因此公式对于*k* + 1也成立。

参见
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* 除法定则
* 倒数定则
* 鏈式法則
* 分部积分法