此條目介紹的是一个序列的总和。关于用序列表述的一串数字，请见「**数列**」。

**级数**（英語：）是数学中一个有穷或无穷的序列例如{\displaystyle u\_{1},u\_{2},u\_{3},u\_{4}\ldots }之和，即{\displaystyle s=u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\ldots }，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。

序列{\displaystyle u\_{0},u\_{1},u\_{2},\ldots }中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作{\displaystyle \textstyle u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\ldots }，使用求和符号时记作{\displaystyle \textstyle \sum u\_{n}}或者{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}，级数收敛时，其和通常被表示为{\displaystyle s=\sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}。

无穷级数的定义
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设{\displaystyle (u\_{n})}是一个无穷序列 ：{\displaystyle u\_{1},u\_{2},u\_{3},\ldots ,u\_{n},\ldots }，其前n项的和称为{\displaystyle \sum u\_{n}}的**部分和**：

{\displaystyle s\_{n}=u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\cdots +u\_{n}}
{\displaystyle (u\_{n})}部分和依次构成另一个无穷序列：{\displaystyle s\_{1},s\_{2},s\_{3},\ldots ,s\_{n},\ldots }

这两个序列合称为一个级数，记作{\displaystyle \sum u\_{n}}或者{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}。

无穷级数的敛散性
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对于级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}，如果当{\displaystyle n}趋于正无穷大时，{\displaystyle s\_{n}}趋向一个有限的极限：{\displaystyle s=\lim \_{n\to \infty }s\_{n}}，那么这个无穷级数就叫做是**收敛**的，{\displaystyle s}叫做级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是**发散**的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和*{\displaystyle s}*。这时可以定义级数{\displaystyle \sum u\_{n}}的**余项和**：{\displaystyle R\_{n}=S-S\_{n}}。

### 任意项级数

如果级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}中的各项可以是正数，负数或零，则级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}称为任意项级数。
将**任意项级数**各项{\displaystyle u\_{n}}取绝对值，得到正项级数。
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|u\_{n}|=|u\_{1}|+|u\_{2}|+|u\_{3}|+\cdots +|u\_{n}|+\cdots }

### 条件收敛

如果**任意项级数**{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}收敛，而**级数**{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|u\_{n}|}发散，则称**级数**{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}条件收敛。
### 绝对收敛

如果级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|u\_{n}|}收敛，则称级数绝对收敛
定理：如果任意项级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}的各项的绝对值所组成的正项级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|u\_{n}|}收敛，则级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}收敛。

| 证明： |
| --- |
| 令
{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{2}}(|u\_{n}|+u\_{n}),b\_{n}={\frac {1}{2}}(|u\_{n}|-u\_{n})}
于是，有
{\displaystyle 0\leq a\_{n}\leq |u\_{n}|,0\leq b\_{n}\leq |u\_{n}|}
因为{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}},{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }b\_{n}}均为正项级数，且{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|u\_{n}|}收敛，由**比较审敛法**知，级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}}和{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }b\_{n}}收敛。
又因为{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}=\sum \_{n=1}^{\infty }(a\_{n}-b\_{n})},所以由级数的定义可得，级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}收敛。
该定理表明，如果级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}绝对收敛，则级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}}必收敛。 |

收敛级数的性质
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* 若一个无穷级数{\displaystyle \sum u\_{n}\ :\ u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\cdots +u\_{n}+\cdots }收敛，其和为*{\displaystyle s}*，则如果每一项乘以一个常数{\displaystyle a}，得到的级数{\displaystyle \sum au\_{n}:\ au\_{1}+au\_{2}+au\_{3}+\cdots +au\_{n}+\cdots }也收敛，且和等于*as*。

* 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }u\_{n}=s}和 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }v\_{n}=t}，则
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(u\_{n}\pm v\_{n})=s\pm t}.
* 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

{\displaystyle s=u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\cdots +u\_{n}+\cdots }和 {\displaystyle s=u\_{12}+u\_{15}+u\_{16}+u\_{17}+\cdots +u\_{n}+\cdots }
这两个级数的敛散性是一样的。

* 当{\displaystyle n}趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }u\_{n}=0}

* 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{+\infty }u\_{n}}收敛的充要条件是，对任意{\displaystyle \epsilon >0} ，总存在{\displaystyle N\_{0}>0}，使得任意的{\displaystyle n>m>N\_{0}}，{\displaystyle |s\_{n}-s\_{m}|=|\sum \_{k=m+1}^{n}u\_{k}|=|u\_{m+1}+u\_{m+2}+\cdots +u\_{n}|<\epsilon }。

无穷级数的研究历史
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将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 **π** 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

### 对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

{\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }
的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

{\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }
的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效）
，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

### 对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

类别
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更多級數請參見級數列表。
### 几何级数

条目：幾何級數
**几何级数**（或**等比级数**）是指通项为等比数列的级数，比如：

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2}
一般来说，几何级数{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }z^{n}}收敛当且仅当{\displaystyle \left\vert z\right\vert <1}。

### 调和级数

条目：调和级数
**调和级数**是指通项为{\displaystyle {1 \over n}}的级数：

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}}
它是发散的。

### {\displaystyle p}-级数

*{\displaystyle p}*-级数是指通项为{\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}}的级数：

{\displaystyle U\_{p}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}
对于实数值的*{\displaystyle p}*，当{\displaystyle p>1}时收敛，当{\displaystyle p\leq 1}时发散。这可以由**积分比较审敛法**得出。

函数{\displaystyle \zeta :p\mapsto U\_{p}}是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼{\displaystyle \zeta }函數有著名的黎曼猜想。
特別地，當{\displaystyle p=1}時，{\displaystyle p}-級數即為調和級數。

### 裂项级数

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(b\_{n}-b\_{n+1})}
收敛当且仅当数列{\displaystyle b\_{n}}收敛到某个极限{\displaystyle L}，并且这时级数的和是{\displaystyle b\_{1}-L}。

### 泰勒级数

条目：泰勒级数
**泰勒级数**是关于一个光滑函数{\displaystyle f}在一点{\displaystyle a}附近取值的级数。泰勒函数由函数在点{\displaystyle a}的各阶导数值构成，具体形式为：

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
这是一个幂级数。如果它在{\displaystyle a}附近收敛，那么就称函数{\displaystyle f}在点{\displaystyle a}上是解析的。

### 交错级数

具有以下形式的级数

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}\!}
其中所有的{\displaystyle a\_{n}}非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

### 幂级数

条目：幂级数
形同{\displaystyle \sum a\_{n}(x-x\_{0})^{n}}的函数项无穷级数称为{\displaystyle x-x\_{0}}的**幂级数**。它的收敛与否和系数{\displaystyle a\_{n}}有关。

### 傅里叶级数

条目：傅里叶级数
任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为**傅里叶级数**。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为{\displaystyle 2\pi }的周期函数{\displaystyle f(x)}可以表示为：

{\displaystyle f(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }(a\_{n}\cos nx+b\_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots }
其中，{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}，{\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx}，特别的，{\displaystyle a\_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)dx}

常数项无穷级数审敛法
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条目：审敛法
### 正项级数

若通项为实数的无穷级数{\displaystyle \sum u\_{n}}每一项{\displaystyle u\_{n}}都大于等于零，则称{\displaystyle \sum u\_{n}}是一**正项级数**。

如果无穷级数 {\displaystyle \sum u\_{n}} 是正项级数，则部分和{\displaystyle S\_{n}}是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列*Sn*有界，{\displaystyle \sum u\_{n}}收敛，且{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S\_{n}=s} ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

#### 比较判别法

设{\displaystyle \sum u\_{n}} 和 {\displaystyle \sum v\_{n}}是正项级数。

如果存在正实数{\displaystyle M}，使得从若干项开始，{\displaystyle u\_{n}\leq Mv\_{n}}（也就是说{\displaystyle u\_{n}=O\_{\infty }(v\_{n})}），则
* 当{\displaystyle \sum v\_{n}} 收敛时，可推出 {\displaystyle \sum u\_{n}} 也收敛。
* 当{\displaystyle \sum u\_{n}} 发散时，可推出 {\displaystyle \sum v\_{n}} 也发散。

如果{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{u\_{n} \over v\_{n}}=0}，则
* 当{\displaystyle \sum v\_{n}} 收敛时，可推出 {\displaystyle \sum u\_{n}} 也收敛。
* 当{\displaystyle \sum u\_{n}} 发散时，可推出 {\displaystyle \sum v\_{n}} 也发散。

如果{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{u\_{n} \over v\_{n}}=1}或其它有限数，则{\displaystyle \sum v\_{n}} 和{\displaystyle \sum u\_{n}} 同时收敛或发散。
比如，我们已知级数：{\displaystyle \sum {1 \over n^{2}}}收敛，则级数：{\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}也收敛，因为对任意的{\displaystyle n}，{\displaystyle \sin n\leq 1}。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：{\displaystyle U\_{p}=\sum {1 \over n^{p}}}作为"标准级数"，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当{\displaystyle p\leq 1}时，{\displaystyle U\_{p}}发散，当{\displaystyle p>1}时，{\displaystyle U\_{p}}收敛。

#### 达朗贝尔判别法

条目：达朗贝尔审敛法
在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设{\displaystyle \sum u\_{n}}是通项大于零的正项级数。并且{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{u\_{n+1} \over u\_{n}}=p}，则
* 当{\displaystyle p<1} 时，级数{\displaystyle \sum u\_{n}}收敛。
* 当{\displaystyle p>1} 时，级数{\displaystyle \sum u\_{n}}发散。
* 当{\displaystyle p=1} 时，级数{\displaystyle \sum u\_{n}}可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为**比值判别法**或**比值审敛法**。

#### 柯西收敛准则

条目：根值审敛法
设 {\displaystyle \sum u\_{n}} 是正项级数。并且{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u\_{n}}}=p}，则
* 当{\displaystyle p<1}时，级数 {\displaystyle \sum u\_{n}} 收敛。
* 当{\displaystyle p>1}时，级数 {\displaystyle \sum u\_{n}} 发散。
* 当{\displaystyle p=1}时，级数 {\displaystyle \sum u\_{n}} 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为**根值判别法**或**根值审敛法'**。

### 交错级数

条目：交错级数判别法
具有以下形式的级数

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}\!}
其中所有的{\displaystyle a\_{n}}非负，被称作交错级数。

#### 莱布尼茨判别法

条目：莱布尼茨审敛法
在上述的级数{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}\!}中，如果当{\displaystyle n}趋于无穷时, 数列{\displaystyle a\_{n}}的极限存在且等于 0，并且每个{\displaystyle a\_{n}}小于{\displaystyle a\_{n-1}}（即, 数列{\displaystyle a\_{n}}是单调递减的），那么级数收敛。

### 任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数{\displaystyle \sum u\_{n}}，将级数{\displaystyle \sum |u\_{n}|}称为它的绝对值级数。可以证明，如果{\displaystyle \sum |u\_{n}|}收敛，那么 {\displaystyle \sum u\_{n}}也收敛，这时称 {\displaystyle \sum u\_{n}}**绝对收敛**。如果{\displaystyle \sum u\_{n}}收敛，但是{\displaystyle \sum |u\_{n}|}发散，则称{\displaystyle \sum u\_{n}}**条件收敛**。比如说，级数{\displaystyle \sum {\sin n \over n^{2}}}绝对收敛，因为前面已经证明 {\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}收敛。而级数{\displaystyle \sum {(-1)^{n} \over n}}是条件收敛的。它自身收敛到{\displaystyle \ln {1 \over 2}}，但是它的绝对值级数{\displaystyle \sum {1 \over n}}是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数{\displaystyle \sum u\_{n}}条件收敛，那么对于任意的实数{\displaystyle x}，存在一个正整数到正整数的双射{\displaystyle \sigma }，使得级数{\displaystyle \sum u\_{\sigma (n)}}收敛到 {\displaystyle x}。对于正负无穷大，上述双射也存在。

函数项级数
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设{\displaystyle (u\_{n}(x))\_{n\geq 0}}为定义在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}上的函数列，则表达式：{\displaystyle u\_{1}(x)+u\_{2}(x)+\cdots +u\_{n}(x)+\cdots }称为函数项级数，简记为{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}。对函数项级数的主要研究是：

1. 确定对哪些{\displaystyle x}，{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}收敛。
2. {\displaystyle \sum u\_{n}(x)}收敛的话，其和是什么，有什么性质？

### 收敛域

对区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}上的每个 {\displaystyle x\_{0}}，级数 {\displaystyle \sum u\_{n}(x\_{0})}是常数项级数。若
{\displaystyle \sum u\_{n}(x\_{0})}收敛，则称{\displaystyle x\_{0}}是{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}的一个**收敛点**，{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}全体收敛点的集合称为它的**收敛域**。若
{\displaystyle \sum u\_{n}(x\_{0})}发散，则称{\displaystyle x\_{0}}是{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}的一个**发散点**，{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}全体发散点的集合称为它的**发散域**。{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}的**和函数**，记为{\displaystyle S(x)}。按照定义，{\displaystyle S(x\_{0})=\lim \_{n\to \infty }S\_{n}(x\_{0})}，其中{\displaystyle S\_{n}(x\_{0})=u\_{1}(x\_{0})+u\_{2}(x\_{0})+\cdots +u\_{n}(x\_{0})}为函数项级数在{\displaystyle x\_{0}}点上的部分和。

### 一致收敛

条目：一致收敛
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}中的每一项{\displaystyle u\_{n}(x)}在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设{\displaystyle \displaystyle u\_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}}，也就是说{\displaystyle \displaystyle u\_{0}(x)=1-x}，{\displaystyle \displaystyle u\_{1}(x)=x-x^{2}}等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在{\displaystyle x} 点上的部分和{\displaystyle S\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}}。在区间{\displaystyle [0,1]}的每一点上，部分和都有极限：
当{\displaystyle x\neq 1}时，{\displaystyle S\_{n}(x)\rightarrow 1}
当{\displaystyle \displaystyle x=1}时，{\displaystyle S\_{n}(x)\rightarrow 0}
于是在区间{\displaystyle [0,1]}上，级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x)} 收敛，其和函数{\displaystyle S(x)}为：
当{\displaystyle 0\leq x<1}时，{\displaystyle S(x)=1}；{\displaystyle S(1)=0}。
这不是一个连续函数。
然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的**一致收敛**性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}在某个区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}内（关于某个范数{\displaystyle \left\|\cdot \right\|}）一致收敛的定义是它的部分和函数{\displaystyle S\_{n}} 在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}上一致收敛到和函数{\displaystyle S}，

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left\|S-S\_{n}\right\|\_{\mathcal {I}}=0}
或者写成{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left\|\sum \_{k=n}^{\infty }u\_{k}\right\|\_{\mathcal {I}}=0}
可以证明：

> 如果级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x)} 在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}} 内一致收敛，并且每个{\displaystyle u\_{n}(x)} 都是连续函数，那么和函数{\displaystyle S} 在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}} 上也是连续函数。
> 
> 

进一步的，如果导函数级数的每一项都是{\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}函数（{\displaystyle p}阶连续可微函数），并且各阶导函数级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x),\sum u\_{n}^{(1)}(x),\sum u\_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u\_{n}^{(p)}(x)}在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}内都一致收敛，那么级数和函数{\displaystyle S(x)=\sum u\_{n}(x)} 也是{\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}函数，并且：

{\displaystyle \forall 0\leq i\leq p} ，{\displaystyle S^{(i)}(x)=\sum u\_{n}^{(i)}(x)}。
### 绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}和范数{\displaystyle \left\|\cdot \right\|\_{\mathcal {I}}}，函数项级数{\displaystyle \sum u\_{n}(x)}在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}内绝对收敛，当且仅当常数级数{\displaystyle \sum \left\|u\_{n}\right\|\_{\mathcal {I}}}收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}内一致收敛。[來源請求]

### 幂级数

条目：幂级数
形同{\displaystyle \sum a\_{n}(x-x\_{0})^{n}}的函数项无穷级数称为{\displaystyle x-x\_{0}}的**幂级数**。一般只需讨论形同{\displaystyle \sum a\_{n}x^{n}}的幂级数。

#### 幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为{\displaystyle (-R,R)}（可开可闭）的形式。这个正数{\displaystyle R}（可以是无穷大）叫做幂级数的**收敛半径**。并有定理：

设幂级数{\displaystyle \sum a\_{n}x^{n}}满足{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{a\_{n+1} \over a\_{n}}=\rho }，则：

* {\displaystyle \rho }是正实数时，{\displaystyle R={1 \over \rho }}。
* {\displaystyle \rho =0}时，{\displaystyle R=\infty }。
* {\displaystyle \rho =\infty }时，{\displaystyle R=0}。

#### 幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数
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**渐进级数**是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和
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条目：发散级数
发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

推广
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级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

参见
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* 收敛
* 发散级数
* 函数级数（英语：）
* 级数展开
* 求和变换
* 阿贝尔定理
* 黎曼级数定理
* 柯西-阿达马公式

参考文献
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### 参考书目

* 同济大学数学系.  6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆））.
* 北京大学数学科学学院.  **2**. 北京大学出版社 （中文（中国大陆））.

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| 

| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
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| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
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| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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| 规范控制 編輯維基數據鏈接 | 
* AAT: 300055669
* BNE: XX526931
* BNF: cb11933261z (data)
* FAST: 1113168
* GND: 4049197-3
* J9U: 987007531747905171
* LCCN: sh85120237
* NDL: 00567344
* NKC: ph128240

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