在理论物理中，**重整化群**（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为"标度变换（英语：）"。重整化群与"标度不变性（英语：）"和"共形不变性（英语：）"的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

方程
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基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：

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| *g*(*μ*) = *G*−1( (*μ*/*M*)d *G*(*g*(*M*)) ) , |

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| *g*(κ) = *G*−1( (κ/*μ*)d *G*(*g*(*μ*)) ) = *G*−1( (κ/*M*)d *G*(*g*(*M*)) ) |

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相變。 他1982年赢了诺贝尔奖。

块自旋
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这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为T，相互作用的强度使用耦合常数J来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为H(T,J)。

现在，我们把这个系统分为有着2\times 2个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数T和J不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到H(T'',J'')，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个**不动点**上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数J代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

1. T=0和J\to \infty 。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
2. T\to \infty 和J\to 0。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
3. T=T\_{c}且J=J\_{c}。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

基本理论
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假设有一个可以用状态变量\{s\_{i}\}和一组耦合常数\{J\_{k}\}表示的函数Z。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换\{s\_{i}\}\to \{{\tilde s}\_{i}\}，{\tilde s}\_{i}所包含的数目必须小于s\_{i}。接下来我们可以把函数Z只用{\tilde s}\_{i}来表示。如果\{J\_{k}\}\to \{{\tilde J}\_{k}\}也是可以实现的，那么就说这个物理系统是**可重整化**的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：\{{\tilde J}\_{k}\}=\beta (\{J\_{k}\})。这一函数可以在J空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

举例计算
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参见Phi fourth theory（英语：）（四次交互论； {\displaystyle \phi ^{4}}论）。欧几里得空间的拉氏量是

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial \_{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.}配分函数或泛函积分是：

{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial \_{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}通过重正化以及正规化 \Lambda ：

{\displaystyle [D\phi ]\_{\Lambda }=\prod \_{|p|<\Lambda }d\phi (p)}

{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]\_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial \_{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}若 {\displaystyle 0<b<1}：

{\displaystyle {\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}{\displaystyle \phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}所以

{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]\_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial \_{\mu }\phi +\partial \_{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].}介绍 {\displaystyle \phi {\hat {\phi }}} ：

{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]\_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial \_{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].}所以新的拉氏量是{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\textrm {eff}}(\phi )}以及

{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]\_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}\_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},}{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\textrm {eff}}(\phi )} 不同于{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )}，因为{\displaystyle \lambda ,\phi } 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory（英语：）。若 {\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda }.

{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}\_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '\_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '\_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]}假设

{\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi }{\displaystyle m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}}{\displaystyle \lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}}{\displaystyle B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}}{\displaystyle C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}}所以

{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}\_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '\_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '\_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]}耦合常數的变量为 {\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda }。耦合常數的演进是动力系统的临界点：

{\displaystyle m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}}
### 三种耦合

* 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
* 相关耦合（relevant）：耦合增加了
* 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 {\displaystyle d=4}，因为{\displaystyle b<1}所以B和C是无关的，m是相关的，并且\lambda 是边缘的。

而且{\displaystyle \phi ^{4}}论是可重整化的。

动力系统的重整化
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米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等

其他应用包括：

* 混沌理论
* 湍流
* 分形
* 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation（英语：）、参见马丁·海雷尔的研究
* 渗流理论

等

参见
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* 重整化
* 密度矩陣重整化群
* 临界现象
* 普遍性

扩展阅读
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### 入门教程与历史回顾

* S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. **69**, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
* N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
* D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 （页面存档备份，存于）. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
* B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 （页面存档备份，存于）. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 （页面存档备份，存于）
* H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 （页面存档备份，存于）. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
* K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 （页面存档备份，存于）
* Shirkov, D. V.. CERN Courier. 2001-08-31  [2008-11-12]. （原始内容存档于2008-12-03）.

### 相关著作

* T. D. Lee 李政道; *Particle physics and introduction to field theory*, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
* L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; *The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence*; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
* Vasil'ev, A. N.; *The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics*; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
* Zinn-Justin, Jean; *Quantum field theory and critical phenomena*, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
* The same author: *Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories*, in: de Witt-Morette C. Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on *Quantum Field Theory: Perspective and Prospective*, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in *PostScript* （页面存档备份，存于）.
* Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; *Critical Properties of φ4-Theories*, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7*. Full text available in PDF （页面存档备份，存于）.*

参考文献
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1. ↑  M. Gellman and F. E. Low.  (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2018-07-24）.
2. ↑  Mehra, Jagdish; Milton, Kimball A.. Oxford University Press. 2003-08-14  [2020-03-04]. ISBN 978-0-19-170959-3. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. （原始内容存档于2020-07-28） （美国英语）.  缺少或`|title=`为空 (帮助)
3. ↑ . NobelPrize.org. 1966  [2020-03-04]. （原始内容存档于2021-04-21） （美国英语）.
4. ↑  Schwinger.  (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2020-03-04）.
5. 1 2  Kadanoff, Leo P.. Physics Physique Fizika. 1966-06-01, **2** (6): 263–272. ISSN 0554-128X. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 （英语）.
6. ↑  Wilson, Kenneth G.. Reviews of Modern Physics. 1975-10-01, **47** (4): 773–840. ISSN 0034-6861. doi:10.1103/RevModPhys.47.773 （英语）.
7. ↑  Wilson, Kenneth G.. Physical Review B. 1971-11-01, **4** (9): 3174–3183. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3174 （英语）.
8. ↑  Wilson, Kenneth G.. Physical Review B. 1971-11-01, **4** (9): 3184–3205. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3184 （英语）.
9. ↑  Wilson, Kenneth G.; Fisher, Michael E.. Physical Review Letters. 1972-01-24, **28** (4): 240–243. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.28.240 （英语）.
10. ↑   (PDF). K. G. Wilson. （原始内容存档 (PDF)于2021-05-07）.
11. ↑   (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2010-12-14）.
12. ↑  Étienne Ghys.  (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2020-03-04）.
13. ↑  A. Avila.. （原始内容存档于2021-01-26）.
14. ↑  Hairer.. （原始内容存档于2021-03-08）.
15. ↑  Hairer, Martin.. arXiv:1803.03044 [math-ph]. 2018-03-08  [2020-03-04]. （原始内容存档于2021-05-06）.
16. ↑  Chandra, Ajay; Hairer, Martin.. arXiv:1612.08138 [math-ph]. 2018-01-22  [2020-03-04]. （原始内容存档于2021-05-06）.



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* 论
* 编
量子场论 |
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