用古氏積木排列出合數10的因數
合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示
在數論中，**合數**（也稱為**合成數**）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。而1則被認為不是質數，也不是合數。

例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成2\times 7。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS數列A002808）。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積。例如，合數299可以寫成13 × 23，合數360可以寫成23 × 32 × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是算术基本定理。

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

性質
--

* 所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
* 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）
* 所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。
* 對任一大於5的合數n，{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}。（威爾遜定理）
* 對於任意的正整數n，都可以找到一個正整數x，使得x、x+1、{\displaystyle x+2}、…、{\displaystyle x+n}都是合數。

合數的類型
-----

100以內的过剩数、本原過剩數、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成数、superior highly composite number（英语：）、奇異數和完全数的歐拉圖，以及和亏数、合数的關係
分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}
（其中μ為默比烏斯函數且x為質因數個數的一半），而前者則為

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}
注意，對於質數，此函數會傳回-1，且\mu (1)=1。而對於有一個或多個重複質因數的數字n，\mu (n)=0。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數p的平方，其正因數有\{1,p,p^{2}\}。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為光滑數或粗糙數。

腳註
--

1. ↑  Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)
2. 1 2  Long (1972, p. 16)
3. ↑  Fraleigh (1976, pp. 198,266)
4. ↑  Herstein (1964, p. 106)
5. ↑  Fraleigh (1976, p. 270)
6. ↑  Long (1972, p. 44)
7. ↑  McCoy (1968, p. 85)
8. ↑  Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

參考文獻
----

* Fraleigh, John B.  2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1
* Herstein, I. N. Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016
* Long, Calvin T.  2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950
* McCoy, Neal H. Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

相關條目
----

|  |  |
| --- | --- |
|  | 維基教科書中的相關電子：**小学数学/质数与合数** |

* 質數
* 質因數
* 最小公倍數
* 最大公因數
* 整数分解
* 埃拉托斯特尼筛法
* 素因子表

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
和因數有關的整數分類 |
| --- |
|  |
| 簡介 | 
* 質因數分解
* 因數
* 元因數
* 除數函數
* 質因數
* 算术基本定理

 | Divisibility of 60 |
|  |
| 依因數分解分類 | 
* 质数
* 合数
* 半素数
* 普洛尼克数
* 楔形数
* 无平方数因数的数
* 冪數
* 質數冪
* 平方數
* 立方數
* 次方數
* 阿喀琉斯數
* 光滑數
* 正规数
* 粗糙數
* 不尋常數

 |
|  |
| 依因數和分類 | 
* 完全数
* 殆完全數
* 准完全数
* 多重完全數
* Hemiperfect數
* Hyperperfect number（英语：）
* 超完全數
* 元完全數
* 半完全数
* 本原半完全数
* 實際數

 |
|  |
| 有許多因數 | 
* 过剩数
* 本原過剩數
* 高過剩數
* 超過剩數
* 可羅薩里過剩數
* 高合成数
* Superior highly composite number（英语：）
* 奇異數

 |
|  |
| 和真因子和數列有關 | 
* 不可及数
* 相亲数
* 交際數
* 婚約數

 |
|  |
| 其他 | 
* 亏数
* 友誼數
* 孤獨數
* 卓越数
* 歐爾調和數
* 佩服數
* 節儉數
* 等數位數
* 奢侈數

 |

 |