**U-统计量**是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量，它在估计理论中扮演重要角色。名称中的" U"为无偏（unbiased）之意。在初等统计学中，U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。 

U-统计量的一个重要性是，对概率分布来说，其可估计参数的最小方差无偏估计量 是一个U-统计量。  因此通过研究U-统计量的一般性质，可以系统地了解这些估计量的统计学性质。

U-统计量在非参数统计中尤其重要，不少用于估计和统计检验的统计量，在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性，这方便了基于它的统计推断。 近年来，U-统计量在研究复杂的随机过程和随机网络类型数据的随机性质方面，发挥了作用。

目前，统计学家们对U-统计量性质的了解，几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文。在这篇论文里，Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解。

定义
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定义 {\displaystyle h(x\_{1},\ldots ,x\_{r}):\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} } 为一个函数，其具有对称性，即交换任意 x\_i,x\_j 的位置，h 的值保持不变。对随机变量 {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} ，基于 h 的U-统计量定义如下： 

{\displaystyle U\_{n}={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{r}\leq n}h(X\_{i\_{1}},\ldots ,X\_{i\_{r}})}
这里，{\displaystyle h(\cdot )} 称为U-统计量的**核函数（Kernel function）**，而核函数的维数 r 称为该U-统计量的**度（degree）**。

### 两样本U-统计量

定义 {\displaystyle h(x\_{1},\ldots ,x\_{r};y\_{1},\ldots ,y\_{s}):\mathbb {R} ^{r+s}\to \mathbb {R} } 为一个函数，其对 X 和 Y 分别具有对称性，即交换任意 {\displaystyle x\_{i\_{1}},x\_{i\_{2}}} 的位置或交换任意 {\displaystyle y\_{j\_{1}},y\_{j\_{2}}} 的位置，h 的值保持不变（但不能随意交换 {\displaystyle x\_{i},y\_{j}} ）。对随机变量 {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{m};Y\_{1},\ldots ,Y\_{n}} ，基于 h 的两样本U-统计量定义如下：

{\displaystyle U\_{m,n}={\frac {1}{{\binom {m}{r}}{\binom {n}{s}}}}\sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{r}\leq m}\sum \_{1\leq j\_{1}<\cdots <j\_{s}\leq n}h(X\_{1},\ldots ,X\_{r};Y\_{1},\ldots ,Y\_{s})}
目前在机器学习中，最常见的情形是 {\displaystyle r=s=1}，例如能量距离和最大平均差异（MMD）。

Hoeffding的ANOVA分解定理
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### 定理表述

**Hoeffding的ANOVA分解定理**是现代U-统计量理论的基础。为表述该定理，定义：{\displaystyle \mu =\mathbb {E} [h(X\_{1},\ldots ,X\_{r})]}。
对所有 {\displaystyle 1\leq k\leq r} ，定义**投影函数**：

{\displaystyle a\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{k})=\mathbb {E} [h(X\_{1},\ldots ,X\_{r})|X\_{1}=x\_{1},\ldots ,X\_{k}=x\_{k}]-\mu }

然后定义**正交化投影函数**：

{\displaystyle g\_{1}(x\_{1})=a\_{1}(x\_{1})}，{\displaystyle g\_{2}(x\_{1},x\_{2})=a\_{2}(x\_{1},x\_{2})-g\_{1}(x\_{1})-g\_{2}(x\_{2})}，等等，每一个 g\_{k} 都定义为相应的 a\_{k}减去之前定义过的所有 {\displaystyle g\_{1},\ldots ,g\_{k-1}}，直至最后一个函数 {\displaystyle g\_{r}}：

{\displaystyle g\_{r}(x\_{1},\ldots ,x\_{r})=a\_{r}(x\_{1},\ldots ,x\_{r})-\sum \_{j=1}^{r-1}\sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{j}\leq r}g\_{j}(x\_{i\_{1}},\ldots ,x\_{i\_{j}})}

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是：

{\displaystyle U\_{n}-\mu ={\binom {n}{r}}^{-1}\sum \_{k=1}^{r}{\binom {n-k}{r-k}}\cdot \sum \_{1\leq i\_{1}<\cdots <i\_{k}\leq n}g\_{k}(X\_{i\_{1}},\ldots ,X\_{i\_{k}})}

### 分解项的性质

所有的正交化投影函数 g\_{k} 都满足：

{\displaystyle \mathbb {E} [g\_{k}(X\_{1},\ldots ,X\_{k})|X\_{1},\ldots ,X\_{k-1}]=0}

因此，所有的分解项之间是互不相关的，并且度为 k 的分解项之平均的阶为 {\displaystyle O\_{p}\left(n^{-k/2}\right)}.

在大多数应用中，一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质，可以得到如下的两项ANOVA分解式：

{\displaystyle U\_{n}-\mu ={\frac {r}{n}}\sum \_{i=1}^{n}g\_{1}(X\_{i})+{\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum \_{1\leq i<j\leq n}g\_{2}(X\_{i},X\_{j})+O\_{p}(n^{-3/2})}

### 定理应用

* U-统计量的渐近正态性是Hoeffding的ANOVA分解定理的简单推论。具体而言，有如下结论：记 {\displaystyle \xi \_{1}^{2}=\mathrm {Var} (g\_{1}(X\_{1}))} ，则:

{\displaystyle n^{1/2}\left(U\_{n}-\mu \right)\ {\stackrel {d}{\to }}\ N\left(0,r^{2}\xi \_{1}^{2}\right)}
同时，分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差，和对其进行t-标准化。

* 由该定理出发，在不同强度的假设条件下，可以用一项或两项的Edgeworth展开来高精度地逼近U-统计量的分布。

具体例子
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* 度为1的例子：令 {\displaystyle h(x)=x} ，则U-统计量 {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}h(X\_{i})={\bar {X}}\_{n}}是样本均值。

* 度为2的例子：令 {\displaystyle h(x\_{1},x\_{2})=|x\_{1}-x\_{2}|} ，则U-统计量

{\displaystyle {\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum \_{1\leq i<j\leq n}h(X\_{i},X\_{j})}
称为"平均成对偏差"。 

* 另一个度为2的例子：令 {\displaystyle h(x\_{1},x\_{2})=(x\_{1}-x\_{2})^{2}/2} ，则U-统计量有如下变形：

{\displaystyle {\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum \_{1\leq i<j\leq n}h(X\_{i},X\_{j})=\sum (X\_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}
这正是人们熟知的样本方差 {\displaystyle S\_{n}^{2}}。 

* 度为3的例子：样本偏度定义中的分子项：

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}(X\_{i}-{\bar {X}})^{3}}
展开后可以写成一个U-统计量。

* 在机器学习中，用核函数方法进行一样本或两样本非参数统计检验时，检验统计量是一个能量距离或最大平均差异（MMD），两者均为U-统计量或表达式包含两样本U-统计量。

参见
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* V-统计量

参考文献
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