本文介绍联络的挠率，关于挠率的其他用法，参见挠率。
沿着测地线的挠率
在微分几何中，**扭率**或稱**挠率**此一概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率，出现在弗莱纳公式中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，"测地挠率"描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架"没有扭曲的转动"。

更一般地，在装备一个仿射联络（即切丛的一个联络）的微分流形上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠率给出了切空间关于一条曲线平行移动怎样扭曲的内蕴刻画；而曲率描述了切空间沿着曲线怎样旋转。挠率可具体的描述为一个张量，或一个向量值2-形式。如果 ∇ 是微分流形上一个联络，那么挠率张量用向量场 *X* 与 *Y* 表示定义为：

T(X,Y)=\nabla \_{X}Y-\nabla \_{Y}X-[X,Y]
这里 [*X*,*Y*] 是向量场的李括号。

挠率在测地线几何的研究特别重要。给定一个参数化测地线系统，我们一定指定一族仿射联络具有这些测地线，但是具有不同的挠率。具有惟一"吸收挠率"的联络，将列维-奇维塔联络推广到其他，也许没有度量的情形（比如芬斯勒几何）。吸收挠率在G-结构与嘉当等价方法的研究中也起着重要的作用。挠率通过关联的射影联络在研究测地线非参数族也很有用。在相对论中，这种想法以爱因斯坦-嘉当理论的形式提供了工具。

挠率张量
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设 *M* 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。**挠率张量**（有时也称为嘉当（挠率）张量）是一个向量值 2-形式，定义在向量场 *X* 于 *Y*上

T(X,Y):=\nabla \_{X}Y-\nabla \_{Y}X-[X,Y]\ ,
这里 [*X*,*Y*] 是两个向量场的李括号。由莱布尼兹法则，对任何光滑函数 *f* 有 *T*(*fX*,*Y*) = *T*(*X*,*fY*) = *fT*(*X*,*Y*)。所以 *T* 是一个张量，尽管是用非张量的共变导数定义的：它给出了切向量上的一个 2 形式，但共变导数只对向量场有定义。

### 曲率和比安基恒等式

联络 ∇ 的曲率张量是一个映射 T*M* ∧ T*M* → End(T*M*) ，定义在向量场 *X*, *Y*, 与 *Z* 上

R(X,Y)Z=\nabla \_{X}\nabla \_{Y}Z-\nabla \_{Y}\nabla \_{X}Z-\nabla \_{{[X,Y]}}Z\ .
注意，对位于一点的向量，这个定义与这个向量如何扩张成一个向量场的方式无关（即定义了一个张量，类似于挠率）。

**比安基恒等式**联系了曲率和挠率。 将 *X*, *Y* 与 *Z* 的循环求和记为 {\mathfrak {S}}，例如

{\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .
那么下面的公式成立

1. **比安基第一恒等式**： 

{\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla \_{X}T)(Y,Z)\right)\ ,
2. **比安基第二恒等式**：

{\mathfrak {S}}\left((\nabla \_{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .
### 挠率张量的分量

挠率张量在切丛的局部截面的基 (**e**1, ... **e**n) 下可写成分量 T^{c}{}\_{{ab}}。令 *X*=**e**i，*Y*=**e**j，引入交换子系数 γkij**e**k := [**e**i,**e**j]。那么挠率的分量是

T^{k}{}\_{{ij}}:=\Gamma ^{k}{}\_{{ij}}-\Gamma ^{k}{}\_{{ji}}-\gamma ^{k}{}\_{{ij}},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.
如果基是和乐的，则李括号变为零，\gamma ^{k}{}\_{{ij}}=0，从而 T^{k}{}\_{{ij}}=2\Gamma ^{k}{}\_{{[ij]}}。特别地（见下），测地线方程确定联络的对称部分，而挠率张量确定反对称部分。

### 挠率形式

**挠率形式**，是挠率的另一种刻画，适用于 *M* 的标架丛 F*M*。这个主丛装备有一个联络形式 ω，一个 **gl**(*n*)-值的 1-形式将竖直向量映到 **gl**(*n*) 中的右作用的生成元，且通过在 **gl**(*n*) 上的伴随表示等变纠缠于 GL(*n*) 在 F*M* 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个典范 1 形式 θ，取值于
**R**n，定义在标架 *u* ∈ Fx*M*（视为一个线性函数 *u* : **R**n → Tx*M*）为

\theta (X)=u^{{-1}}(d\pi (X))
这里 π : F*M* → *M* 是主丛的投影映射。那么挠率形式是

\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .
等价地， Θ = Dθ，这里 *D* 是由联络确定的外共变导数。

挠率形式是一个取值于 **R**n的（水平）扭曲形式，意味着在 *g* ∈ Gl(*n*) 的右作用下等变：

R\_{g}^{\*}\Theta =g^{{-1}}\cdot \Theta \ ,
这里 *g* 通过它在 **R**n 上的基本表示作用在左边。

### 曲率形式与比安基恒等式

曲率形式是 **gl**(*n*)-值 2-形式

\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .
这里，*D* 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示，相应的比安基恒等式为：

1. D\Theta =\Omega \wedge \theta
2. D\Omega =0.\,

进一步，我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 Fx*M* 中的点 *u*，我们有

R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{{-1}}(X),\pi ^{{-1}}(Y))\right)(u^{{-1}}(Z)),
T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{{-1}}(X),\pi ^{{-1}}(Y))\right),
这里 *u* : **R**n → Tx*M* 是确定纤维中标架的函数，且向量通过 π-1 的提升与选取无关，因为曲率和挠率形式是水平的（它们在不确定的竖直向量上为 0）。

#### 标架中的曲率形式

参见：联络形式
挠率形式可用底流形 *M* 上的联络形式，在切丛的一个特殊的标架 (**e**1,...**e**n) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数

D{{\mathbf e}}\_{i}=\sum \_{{j=1}}^{n}{{\mathbf e}}\_{j}\omega \_{i}^{j}\ .
切丛的焊接形式（关于这个标架）是 **e**i 的对偶基 θi ∈ T\**M*，所以 θi(**e**j) = δij （克罗内克函数）

那么挠率 2-形式有分量

\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum \_{{j=1}}^{n}\omega \_{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum \_{{i,j}}T\_{{ij}}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .
在最右边的表达式中，

T\_{{ij}}^{k}=\theta ^{k}(\nabla \_{{{\mathbf e}\_{i}}}{\mathbf e}\_{j}-\nabla \_{{{\mathbf e}\_{j}}}{\mathbf e}\_{i}-[{\mathbf e}\_{i},{\mathbf e}\_{j}])
是挠率张量的标架分量，由首先的定义给出。

容易证明 Θi 像张量一个变化：如果另一个标架

{\tilde {{\mathbf e}}}\_{i}=\sum \_{j}{\mathbf e}\_{j}g\_{i}^{j}
对某个可逆矩阵值函数 (*g*ij)，那么

{\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{{-1}})\_{j}^{i}\Theta ^{j}.
换句话说，Θ 是 (1,2) 型张量（一个反变、两个共变指标）。

做为另一种选择，焊接形式能用无标架形式刻画为 *M* 上的 T*M*-值 1形式θ，在对偶同构 End(T*M*) ≈ T*M* ⊗ T\**M* 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是 

\Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)
的一个截面，由

\Theta =D\theta \ ,
给出。这里 *D* 是外共变导数（更多细节参见联络形式）。

### 不可约分解

挠率张量可以分解为两个不可约部分：不含迹的部分与包含迹的部分。用指标记法，*T* 的迹为

a\_{i}=T\_{{ik}}^{k}\ ,
不含迹的部分为

B\_{{jk}}^{i}=T\_{{jk}}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta \_{j}^{i}a\_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta \_{k}^{i}a\_{j}
这里 δij 是克罗内克函数。

本质上有，

T\in \operatorname {Hom}\left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .
*T* 的迹 tr *T*，是如下定义的 T\**M* 中一个元素。对固定的任何向量*X* ∈ T*M*，*T* 定义了一个 Hom(T*M*, T*M*) 中一个元素 *T*(*X*)，通过

T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .
那么 (tr *T*)(*X*) 定义为这个同态的迹。这就是，

(\operatorname {tr}\,T)(X){\stackrel {{\text{def}}}{=}}\operatorname {tr}(T(X))\ .
*T* 不含迹的部分为

T\_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr}\,T)
这里 ι 表示内乘。

作为比安基恒等式的推论，1-形式 tr T 是一个闭 1-形式：

d(\operatorname {tr}\,T)=0\ ,
这里 *d* 是外导数。

特征描述与解释
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这一节中总是假设：*M* 是微分流形，∇ 是 *M* 切丛上的共变导数除非另外指明。

### 仿射进化

假设 *x*t 是 *M* 上一条曲线。*x*t 的仿射进化（英语：）定义为 Tx0*M* 中惟一的曲线 *C*t 使得

{\dot {C}}\_{t}=\tau \_{t}^{0}{\dot {x}}\_{t},\quad C\_{0}=0
这里

\tau \_{t}^{0}:T\_{{x\_{t}}}M\to T\_{{x\_{0}}}M
是与 ∇ 关联的平行移动。

特别地，如果 *x*t 是一个闭环路，则 *C*t 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的螺位错。这样，挠率与联络的和乐转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换（在黎曼联络情形或为旋转）。

### 参考标架的扭曲

在经典曲线的微分几何中，弗莱纳公式描述了一个特别的活动标架（弗莱纳标架）沿着一条曲线怎样"扭曲"。用物理语言，挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺的角动量。

带有（度量）联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在惯性参考系中，因为她没有经历过加速度。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统（一个坐标系）。每根杆都是直线段，一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是平行移动，这些杆是沿着轨迹物理的"携带"的事实意味着是"李拖曳"或传播，所以沿着切向量每根杆子的李导数为零。类似于弗莱纳标架上的陀螺，它们可能经受力矩（或扭力）。这个力便由挠率衡量。

更准确地，假设观察者沿着测地线 γ(*t*) 移动，携带着一个测量杆。当观察者移动时，杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 (*t*,*x*)，这里 *t* 是由观察者确定的时间参数，*x* 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为

\left.\nabla \_{{\partial /\partial \tau }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right|\_{{x=0}}=0.
从而，挠率由

\left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|\_{{x=0}}=\left.\nabla \_{{{\frac {\partial }{\partial x}}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|\_{{x=0}}.
给出。如果不是零，则杆上标出的这点（点 *x* =  常曲线）的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。

这种挠率的解释在平行引力理论中扮演着重要的角色。平行引力理论，也称为爱因斯坦-嘉当理论，是相对论的一种替代性表述。

### 纤维的挠率

在材料科学中，特别是弹性理论，挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题是藤生长的建模，专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态，藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度（或长度）最大化。在此情形，藤的挠率与这对纤维的挠率有关（或等价地，链接两条纤维的带子的曲面挠率），这反映了藤的长度最大化（测地线）布局与能量最小化布局之间的差异。

### 挠率与涡旋

在流体力学中，挠率自然与涡线相关。

测地线与挠率的吸收
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假设 γ(*t*) 是 *M* 上一条曲线。则 γ 是一条**仿射参数化测地线**如果

\nabla \_{{{\dot {\gamma }}(t)}}{\dot {\gamma }}(t)=0
对属于 γ的定义域中所有时间 *t*（这里点表示关于 *t* 求导，得到了 γ(t) 处切向量 
{\dot {\gamma }}(t)）。每条测地线由初始 *t*=0 切向量{\dot {\gamma }}(0) 惟一确定。

联络的挠率的一个运用涉及到联络的测地波浪（）：粗略地讲为所有仿射参数化测地线。

用测地波浪将联络分类时，不同挠率不能区分开来：

* 两个联络 ∇ 与 ∇′ 具有相同的仿射参数化测地线（即相同的测地波浪），只在挠率有区别。

更准确地，如果 *X* 与 *Y* 是 *p* ∈ *M*的一对切向量，那么令

\Delta (X,Y)=\nabla \_{X}{\tilde {Y}}-\nabla '\_{X}{\tilde {Y}}
是两个联络的差，用 *X* 与 *Y* 从 *p* 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则，我们看出 Δ 事实上与 *X* 和 *Y* 如何扩张无关（所以定义了 *M* 上一个张量）。设 *S*与 *A* 分别为 Δ 的对称与交替部分：

S(X,Y)={\tfrac 12}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)
A(X,Y)={\tfrac 12}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)
则

* A(X,Y)={\tfrac 12}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right) 是挠率张量之差。
* ∇ 与 ∇′ 定义了相同的仿射参数化测地线族当且仅当 *S*(*X*,*Y*) = 0。

换句话说，两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线，然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是

* 给定任何仿射联络 ∇，存在惟一一个无挠联络 ∇′ 具有共同的仿射参数化测地线。

这是黎曼几何基本定理到（也许无度量）仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为**挠率的吸收**，这是嘉当等价方法的一个使用之处。

另见
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* 曲率张量
* Contorsion tensor（英语：）
* 列维-奇维塔联络
* 曲线的挠率

参考文献
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* Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. Dover, 1980
* Cartan, Elie.. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, **40**: 325–412  [2008-11-06]. （原始内容存档于2014-04-11）.
* Cartan, Elie.. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, **41**: 1–25  [2008-11-06]. （原始内容存档于2014-04-11）.
* Elzanowski, M; Epstein, M, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, **88** (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R.  (PDF), BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, （原始内容 (PDF)存档于2006-12-29）
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi,  **1 & 2** New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Spivak, Michael, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713

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* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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|  |
| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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|  |
| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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