在数学领域，**π的莱布尼茨公式**说明

{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;}
右边的展式是一个无穷级数，被称为**莱布尼茨级数**，这个级数收敛到{\frac {\pi }{4}}。它通常也被称为**格雷戈里-莱布尼茨级数**用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：

{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum \_{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}

证明
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考虑下面的幾何數列：

{\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!}
对等式两边积分可得到反正切的幂级数：

{\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}
将*x* = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当*x* = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。

### 初等证明

考虑如下分解

{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}
对于|*x*| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数*x*成立。上式两端从0到1积分可得：

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}
当{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

{\displaystyle 0\leq \int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int \_{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!} 当 {\displaystyle n\rightarrow \infty \!}
这便证明了莱布尼茨公式。

### 格点与数论证明

通过以(0,0)为圆心，R为半径的圆上及圆内格点（即横坐标与纵坐标皆为整数）个数计算公式来得出，在这里先考虑费马平方和定理：一个奇素数能表示成两个平方数之和当且仅当该素数模4余1，并且不考虑符号与交换律下其形式唯一（由于必为一奇一偶，因此不考虑符号但考虑交换律下必然为两种形式），比如{\displaystyle 29\equiv 1{\pmod {4}}}可以得出{\displaystyle 29=2^{2}+5^{2}=5^{2}+2^{2}}，而{\displaystyle 23\equiv 3{\pmod {4}}}因此无法分解成两个平方和形式。

现在对于所有正整数N，有其唯一的素因数分解形式：

{\displaystyle N=2^{k}(p\_{1}^{\alpha \_{1}}p\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots p\_{m}^{\alpha \_{m}})(q\_{1}^{\beta \_{1}}q\_{2}^{\beta \_{2}}\cdots q\_{n}^{\beta \_{n}})}
其中{\displaystyle \{p\_{1},p\_{2},\cdots ,p\_{m}\}}为互不相同的模4余1的素数，{\displaystyle \{q\_{1},q\_{2},\cdots ,q\_{n}\}}为互不相同的模4余3素数。

* 如果{\displaystyle \{\beta \_{1},\beta \_{2}\cdots ,\beta \_{n}\}}只要其中一个为奇数，则正整数N不存在表示成两个平方和的形式（比如{\displaystyle 75=3\times 5^{2}}，3的次数为1，因此不能表示成两平方和）；
* 而当{\displaystyle \{\beta \_{1},\beta \_{2}\cdots ,\beta \_{n}\}}全为偶数时，此时能表示成平方数形式的数量等于{\displaystyle (\alpha \_{1}+1)(\alpha \_{2}+1)\cdots (\alpha \_{m}+1)}（不考虑符号但考虑交换律的情况，比如{\displaystyle 65=5\times 13}，其中5与13次数均为1，因此有{\displaystyle (1+1)(1+1)=4}，即{\displaystyle 65=1^{2}+8^{2}=2^{2}+7^{2}=7^{2}+2^{2}=8^{2}+1^{2}}）；
* 2的幂次k不影响N表示两平方和形式的个数，比如不管k是多少，{\displaystyle 2^{k}\times 65}能表示成两个平方和形式都是4种。

接下来引入狄利克雷特征函数，定义{\displaystyle \chi (N)={\begin{cases}1&N\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&N\equiv 3{\pmod {4}}\\0&N\equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}}，因此为积性函数，满足{\displaystyle \chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)}。

* 对于模4余1的素数p以及自然数\alpha ，总有{\displaystyle p^{\alpha }\equiv 1{\pmod {4}}}，因此{\displaystyle \chi (1)+\chi (p)+\chi (p^{2})+\cdots +\chi (p^{\alpha })=\alpha +1}；
* 对于模4余3的素数q以及自然数\beta ，则有{\displaystyle q^{\beta }\equiv (-1)^{\beta }{\pmod {4}}}，因此{\displaystyle \chi (1)+\chi (q)+\chi (q^{2})+\cdots +\chi (q^{\beta })={\begin{cases}1&\beta \equiv 0{\pmod {2}}\\0&\beta \equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}；
* 对于2以及自然数k，当k=0时{\displaystyle 2^{0}=1}，即{\displaystyle \chi (1)=1}；当k>0时总有{\displaystyle \chi (2^{k})=0}，因此{\displaystyle \chi (1)+\chi (2)+\chi (4)+\cdots +\chi (2^{k})=1}。

由于{\displaystyle \chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)}，而这些结果正好与上述性质相吻合，因此N表示成两个平方和形式的数量可以由其所有因数t相应的{\displaystyle \chi (t)}之和{\displaystyle \sum \_{t|N}\chi (t)}来表示，比如{\displaystyle 30=2\times 3\times 5}，于是相应地有{\displaystyle \chi (1)+\chi (2)+\chi (3)+\chi (5)+\chi (6)+\chi (10)+\chi (15)+\chi (30)=0}。

小于等于{\displaystyle R^{2}}能被正整数n整除的正整数有{\displaystyle \left\lfloor {\frac {R^{2}}{n}}\right\rfloor }个，因此对于半径为R圆上及圆内格点数总和为：

{\displaystyle 1+4\left[\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor \chi (1)+\left\lfloor {\frac {R^{2}}{2}}\right\rfloor \chi (2)+\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R}}\right\rfloor \chi (R)\right]=1+4\left(\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {R^{2}}{3}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R'}}\right\rfloor ^{\frac {R'-1}{2}}\right)}
其中R'为不超过R的最大奇数，再由圆面积为\pi R^{2}，当{\displaystyle R\to \infty }时，两者比值极限得{\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}。

参考文献
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* Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, *Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery*, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

1. ↑ .  [2022-04-06]. （原始内容存档于2022-04-06）.

外部链接
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* Implementation of the Leibniz formula for TI Basic （页面存档备份，存于）
* use the Leibniz formula to approximate pi
* Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly （页面存档备份，存于）