在抽象代數中，**幺半群**，又稱為**單群**、**亞群**、**独异点**、**具幺半群**或**四分之三群**（英語：）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。

么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換幺半群和語法幺半群被用來描述有限狀態自動機，而跡幺半群（英语：）和歷史幺半群（英语：）則是做為進程演算和並行計算的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩-羅德斯定理和星高問題（英语：）。

定義
--

**幺半群**是一個帶有二元運算 \*: *M* × *M* → *M* 的集合 *M* ，其符合下列公理：

* 結合律：對任何在 *M* 內的*a*、*b*、*c* ， (*a*\**b*)\**c* = *a*\*(*b*\**c*) 。
* 單位元：存在一在 *M* 內的元素*e*，使得任一於 *M* 內的 *a* 都會符合 *a*\**e* = *e*\**a* = *a* 。

通常也會多加上另一個公理：

* 封閉性：對任何在 *M* 內的 *a* 、 *b* ， *a*\**b* 也會在 *M* 內。

但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。

另外，幺半群也可以說是帶有單位元的半群。

幺半群除了沒有逆元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有逆元素的幺半群和群是一樣的。

### 生成元和子幺半群

幺半群 *M* 的 **子幺半群**是指一個在 *M* 內包含著單位元且具封閉性（即若*x*,*y*∈*N* ，則 *x*\**y*∈*N* ）的子集 *N*。很明顯地， *N* 自身會是個幺半群，在導自 *M* 的二元運算之下。等價地說，子幺半群是一個子集 *N* ，其中 *N*=*N*\* ，且上標 \* 為克萊尼星號。對任一於 *M* 內的子集 *N* 而言，子幺半群 *N*\* 會是包含著 *N* 的最小幺半群。

子集 *N* 被稱之為 *M* 的**生成元**，若且唯若 *M*=*N*\*。若 *N* 是有限的， *M* 即被稱為是**有限生成**的。

### 可交換幺半群

運算為可交換的幺半群稱之為**可交換幺半群**（或稱為**阿貝爾幺半群**）。可交換幺半群經常會將運算寫成加號。每個可交換幺半群都自然會有一個它自身的**代數**預序 ≤ ，定義為下： *x ≤ y* 若且唯若存在 *z* 使得 *x+z=y* 。可交換幺半群 *M* 的**序單位**是一個在 *M* 內的元素 *u* ，其中對任一在 *M* 內的元素 *x* 而言，總會存在一個正整數 *n* 使得 *x ≤ nu*。这经常用在 *M* 是偏序阿贝尔群 *G* 的正锥体的情况，在这种情况下我们称 *u* 是 *G* 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格羅滕迪克群。

### 部分可交換幺半群

运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是跡幺半群；跡幺半群通常出现在并发计算理论中。

例子
--

* 每一個單元素集合 {*x*}都可給出一個單元素(當然)幺半群。對定固的*x*，其幺半群是唯一的，當其幺半群公理在此例子必須滿足*x*\**x*=*x*時。
* 每一個群都是幺半群，且每一個阿貝爾群都是可交換幺半群。
* 每一半格都是等冪可交換幺半群。
* 任一個半群*S*都可以變成幺半群，簡單地加上一不在*S*內的元素*e*，並定義*ee*=*e*和對任一在*S*內的*s*，*es*=*s*=*se*。
* 自然數**N**是加法及乘法上的可交換幺半群。
* 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素
	+ 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數
* 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內*n×n*矩陣所組成的集合

某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ\*，並稱為在Σ內的**自由幺半群**。

* 給定一幺半群*M*，並考慮包含其所有子集的冪集*P*(*M*)。這些子集的二元運算可以定義成*S* \* *T* = {*s* \* *t* : *s*在*S*內且 *t*在*T*內}。這使得*P*(*M*)變成了具有單位元{*e*}的幺半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在群子集的乘積下的幺半群。
* 設*S*為一集合。由所有函數*S* → *S*所組成的集合會是在複合函數下的幺半群。其單位元為恆等函數。若*S*為有限的且有*n*個元素，其幺半群也會是有限的，且有*n**n*個元素。
* 廣義化上述的例子，設*C*為一範疇且*X*為*C*內的一對象。由*X*所有自同態組成的集合，標記為End*C*(*X*)，是一在態射複合下的幺半群。更多有關範疇論和幺半群的關係請見下述。
* 在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當*a*標記為環面類且*b*標記為射影平面類，此一幺半群的每一個元素*c*都會有一唯一的表示式*c=na+mb*，其中*n*是大於等於零的整數，*m*為0、1或2，且會有*3b=a+b*。
* 設*<f>*是一個數為*n*的循環幺半群，亦即<f> = \{f^0,f^1,..f^{n-1}\}。然後，f^n = f^k，其中0 \le k \le n。事實上，不同的*k*會給出不同的幺半群，且每個幺半群都會和另一個同構。

此外，*f*也可以想成在點{0,1,2,..n-1}上的函數，給定如下

\begin{bmatrix} 
0 & 1 & 2 & ... & n-2 & n-1 \\ 
1 & 2 & 3 & ... & n-1 & k\end{bmatrix}
或等價地表示成

f(i) := \begin{cases} i+1, & \mbox{if } 0 \le i < n-1 \\ k, & \mbox{if } i = n-1. \end{cases} 
<f>元素間的乘法即由複合函數給定。

注意當k=0時，函數*f*是\{0,1,2,..n-1\}的置換，並給出個數為*n*的唯一循環群。

性質
--

在一幺半群內，可以定義一元素*x*的正整數冪：*x*1=*x* 及 *x*n=*x*\*...\**x* (乘上*n*次)，其中*n*>1。冪的規則*x*n+p=*x*n\**x*p則是很明顯的。

由定義可以證明其單位元*e*是唯一的。然後，對任一*x*，可以設*x*0為*e*，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。

*逆元素*：一元素*x*稱為可逆，若存在一元素*y*，使得*x*\**y* = *e*且*y*\**x* = *e*。此一元素*y*便稱做*x*的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

若 *y*是*x*的逆元素，則可以定義*x*的負冪，以*x*−1=*y*及 *x*−n=*y*\*...\**y* (乘上*n*次)，其中*n*>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼*x*的逆元素通常會寫做*x*−1。所有在幺半群*M*內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個幺半群都含有一個群。

但並不是每個幺半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個幺半群，其兩個元素*a*和*b*會有*a*\**b*=*a*的關係，即使*b*不是單位元。如此的幺半群是不可能包含於一個群內的，
因為在群裡，兩邊一同乘*a*的逆元素，就會得到*b* = *e*的結果，但這不是真的。一個幺半群(M,\*)若具有消去性，即表示對任何在*M*內的*a*、*b*、*c*，*a*\**b* = *a*\**c*永遠意指*b* = *c*且*b*\**a* = *c*\**a*也永遠意指*b* = *c*。一具有消去性的可交換幺半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換幺半群)建立。但一具有消去性的不可交換幺半群則一定不可能包含於一個群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它會是一個群。

一可逆幺半群為一幺半群，其任一在*M*內的*a*，總存在一唯一在*M*內的a-1，使得a=aa-1a且a-1=a-1aa-1。

一幺半群*G*的子幺半群是*G*的子集*H*，其包含有單位元，且若*x*、*y*屬於*H*，則*xy*屬於*H*。很清楚地，*H*本身也是個幺半群，在*G*的二元運算之下。

作用和算子幺半群
--------

条目：幺半群作用
**算子幺半群**是一作用在集合*X*上的幺半群*M*。亦即，存在一運算$ : *M* × *X* → *X*符合幺半群的運算。

* 對任一在*X*內的*x*：*e$x=x*。
* 對任何在*M*內的*a*、*b*及在*X*內的*x*：*a $ (b $ x) = (a \* b) $ x*。) = (a \* b) • x*.*

運算子幺半群也叫做**作用**(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。

幺半群同態
-----

兩個幺半群(*M*, \*)和(*M*′, @)之間的同態是一個函數*f* : *M* → *M*′，會有如下兩個性質：

* *f*(*x*\**y*) = *f*(*x*)@*f*(*y*) 對所有在*M*內的*x*和*y*
* *f*(*e*) = *e*′

其中*e*和*e*′分別是*M*和*M*′的單位元。

不是每一個群胚同態都會是個幺半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於幺半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

雙射幺半群同態稱做幺半群同構。

幺半群同余和商幺半群
----------

**幺半群同余**是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集

\sim\;\subseteq M\times M
使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 x\sim y\, 且 u\sim v\, 对于所有 *M* 中的 x,y,u 和 v，则有 x\*u\sim y\*v\, 的性质。

幺半群同余引发同余类

[m] = \{x\in M\vert\; x\sim m\}
而幺半群运算 \* 引发在同余类上的二元运算 \circ: 

[u]\circ [v] = [u\*v]
它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做**商幺半群**，可以写为

M/\sim\; = \{[m]\,\vert\; m\in M\}
一些额外的符号是公用的。给定子集 L\subseteq M，写

[L] = \{[m] \,\vert\; m\in L\}
对于引发自 *L* 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 [M]=M/\sim \,。但是一般的说，[L] \, 不是幺半群。走相反的方向，如果 X\subseteq [M] 是商幺半群的子集，写

\bigcup X = \{m \,\vert\; [m]\in X\}
当然这只是 *X* 的成员的并集。一般的说，\bigcup X 不是幺半群。

明显的有 L\subseteq \bigcup[L] 且 \left[\bigcup X\right]=X。

和範疇論的關係
-------

幺半群可視之為一類特殊的範疇。幺半群運算滿足的公理同於範疇中從一個對象到自身的態射。換言之：

*幺半群實質上是只有單個對象的範疇。*
精確地說，給定一個幺半群 (*M*,\*)，可構造一個只有單個對象的小範疇，使得其態射由 *M* 的元素給出，而其合成則由 幺半群的運算 \* 給出。

同理，幺半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是幺半群概念的延伸。許多關於幺半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。

幺半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 **Mon**，其對象是幺半群而態射是幺半群的同態。

範疇論中也有么半對象的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的幺半群。

参考文献
----

* John M. Howie, *Fundamentals of Semigroup Theory* (1995), Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-851194-9

外部链接
----

* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* *Monoid* at PlanetMath.


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
| --- |
|  |
| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

 |
|  |
| 環論 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

 |
|  |
| 論 | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

 |

 |