**自然密度**（英語：），又称**渐进密度**（英語：），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

简介
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以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数n都可以找到对应的平方数n^{2}与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。
然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。
考虑自然数的一个子集A和整数区间{\displaystyle [1,n]}：

如果从整数区间{\displaystyle [1,n]}中随机选取一个整数，那么这个整数属于A的概率应该等于A与整数区间{\displaystyle [1,n]}的交集中的所有元素在整数区间{\displaystyle [1,n]}中的占比。当n趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为A的自然密度。
A的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于A的概率。
自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论（英语：）的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

定义
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对于一个自然数集的子集A，当n趋向于无穷时，若A中不大于n的元素个数与n的比值收敛到\alpha ，则称A的自然密度为\alpha 。

更进一步，若定义a(n)为A里不大于n的元素个数，那么命题"A的自然密度为\alpha "等效于：

{\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }，当n\to \infty 
从定义中可以看出，若\alpha 是某个集合A的自然密度，则一定有{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}。

### 上自然密度

设A 是自然数集{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}的一个子集。对任何n\in \mathbb {N} ，定义{\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}，{\displaystyle a(n)=|A(n)|}。

则A的**上自然密度**（英語：）为：

{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
其中{\displaystyle \limsup }是上极限。 {\displaystyle {\overline {d}}(A)}也可简称为A的**上密度**。 

### 下自然密度

同样地，定义A的**下自然密度**（英語：）为：

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
### 自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说A的**自然密度**d(A)是：

若{\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}，则d(A)等于{\displaystyle {\overline {d}}(A)}（或{\displaystyle {\underline {d}}(A)} ） 。
2. 自然密度的定义还可以表示为：

{\displaystyle d(A)=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}（若极限存在）
3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集\mathbb{N}的子集A写作一个递增数列：
{\displaystyle A=\{a\_{1}<a\_{2}<\ldots <a\_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}
那么
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a\_{n}}},}
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a\_{n}}}}
{\displaystyle d(A)=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a\_{n}}}}（若极限存在）
### 推广

一个稍弱的密度定义是 **上Banach密度**（英語：）。对于{\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }，定义{\displaystyle d^{\*}(A)}为：

{\displaystyle d^{\*}(A)=\limsup \_{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}

性质
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* 若对于集合A存在d(A)，则对于其补集{\displaystyle A^{\complement }}，{\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}成立。
* 若d(A)，{\displaystyle d(B)}及{\displaystyle d(A\cup B)}均存在，则{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}成立。
* 自然数集的自然密度为1，即{\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}成立。
* 对于自然数集的任意有限子集F, 有{\displaystyle d(F)=0}成立。
* 对于平方数集{\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}，有{\displaystyle d(A)=0}成立。
* 对于偶数集{\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}，有{\displaystyle d(A)=0.5}成立。更一般地，对于等差级数组成的集合{\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}，有{\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}成立。
* 对于质数集合P，由质数定理知：{\displaystyle d(P)=0}成立。
* 无平方数因数的数的集合的自然密度为\frac{6}{\pi^2}。更一般地，无n次方因数的数的集合的自然密度为{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}，其中\zeta (n)是黎曼ζ函數。
* 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
* 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即{\displaystyle A=\bigcup \limits \_{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim \_{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim \_{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}
而其下自然密度为：
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim \_{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim \_{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}
* 同样，所有十进制表示法中以1开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为{\displaystyle {\frac {5}{9}}}而其下自然密度为{\displaystyle {\frac {1}{9}}}。
* 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列（英语：）{\displaystyle \{\alpha \_{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }}，定义单调集族{\displaystyle \{A\_{x}\}\_{x\in [0,1]}}:

{\displaystyle A\_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha \_{n}<x\}}
则依定义有：
对于任意的x，{\displaystyle d(A\_{x})=x}。
* 若S有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理（英语：）表明S包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理（英语：）表明，S内一定存在差为平方数的两个元素。

其他密度函数
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用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合A的**对数密度**（英語：）可以定义为：

{\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum \_{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}（若极限存在）
同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关条目
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* 狄利克雷密度（英语：）
* 施尼勒尔曼密度

参考文献
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1. 1 2  Tenenbaum (1995) p.261
2. ↑  Nathanson (2000) pp.256–257
3. ↑  Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald.. Cambridge Tracts in Mathematics **90**. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
4. ↑  Deléglise, Marc.. Experimental Mathematics. 1998, **7** (2): 137–143  [2018-10-18]. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. （原始内容存档于2020-10-13）.