| 李群 |
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|  |
| 典型群
* 一般线性群 GL(*n*)
* 特殊线性群 SL(*n*)
* 正交群 O(*n*)
* 特殊正交群 SO(*n*)
* 酉群 U(*n*)
* 特殊酉群 SU(*n*)
* 辛群 Sp(*n*)

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| 单李群

| 
无限单李群 |
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| * An,
* Bn,
* Cn,
* Dn
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| 
特殊单李群 |
| * G2（英语：）
* F4
* E6
* E7
* E8（英语：）
 |

 |
| 其他李群（英语：）
* 圓群
* 勞侖茲群
* 庞加莱群
* 共形群（英语：）
* 微分同胚群
* 圈群（英语：）
* 欧几里得群

 |
| 李代數
* 指数映射
* 李群的伴随表示
* 基灵型
* 李点对称

 |
| 半單李代數
* 丹金图（英语：）
* 嘉当子代数
* + 根系
	+ 外尔群
* 分裂李代数
* 紧李代数

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| 群表示论
* 李群表示
* 李代数表示（英语：）

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| 物理中的李群
* 粒子物理学与群表示论（英语：）
* 洛仑兹群的群表示论（英语：）
* 庞加莱群的群表示论（英语：）
* 伽利略群的群表示论（英语：）

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| 科学家
* 索菲斯·李
* 庞加莱
* 威廉·基灵
* 埃利·嘉当
* 赫尔曼·外尔
* 克勞德·謝瓦萊
* 哈里希-钱德拉

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| * 
* 论
* 编
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在数学中，{\displaystyle n} 阶**特殊酉群**（英語：），记作 {\displaystyle \operatorname {SU} (n)}，是行列式为 1 的 {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的酉群 {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 的一个子群，酉群又是一般线性群 {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} }) 的一个子群。

群 {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 在电弱相互作用与 {\displaystyle \operatorname {SU} (3)} 在量子色动力学中。

最简单的情形 {\displaystyle \operatorname {SU} (1)}，是平凡群，只有一个元素。群 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 同构于範數为 {\displaystyle 1} 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 到旋转群 {\displaystyle \operatorname {SO} (3)}，其核为 {\displaystyle \{+I,-I\}}。

性质
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特殊酉群 SU(*n*) 是一个 *n*2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(*n*) 的中心同构于循环群 **Z***n*。当 *n* ≥ 3，它的外自同构群是 **Z**2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(*n*) 代数由 *n*2 个算子生成，满足交换关系（对 *i*, *j*, *k*, *l* = 1, 2, ... n）：

{\displaystyle \left[{\hat {O}}\_{ij},{\hat {O}}\_{kl}\right]=\delta \_{jk}{\hat {O}}\_{il}-\delta \_{il}{\hat {O}}\_{kj}}
另外，算子

{\displaystyle {\hat {N}}=\sum \_{i=1}^{n}{\hat {O}}\_{ii}}
满足

{\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}\_{ij}\right]=0}
这意味着 SU(*n*) 独立的生成元个数是 *n*2-1。

生成元
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一般地，SU(*n*) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） *T*，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

* {\displaystyle \operatorname {tr} (T\_{a})=0,\,}

以及

* {\displaystyle T\_{a}=T\_{a}^{\dagger }.\,}

### 基本表示

在定义或基本表示中，由 {\displaystyle n\times n} 矩阵表示的生成元是：

* {\displaystyle T\_{a}T\_{b}={\frac {1}{2n}}\delta \_{ab}I\_{n}+{\frac {1}{2}}\sum \_{c=1}^{n^{2}-1}{(if\_{abc}+d\_{abc})T\_{c}}\,}

这里系数 {\displaystyle f} 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 {\displaystyle d} 对所有指标都是对称的。
从而

* {\displaystyle \left[T\_{a},T\_{b}\right]\_{+}={\frac {1}{n}}\delta \_{ab}+\sum \_{c=1}^{n^{2}-1}{d\_{abc}T\_{c}}\,}
* {\displaystyle \left[T\_{a},T\_{b}\right]\_{-}=i\sum \_{c=1}^{n^{2}-1}{f\_{abc}T\_{c}}\,}

我们也有

* {\displaystyle \sum \_{c,e=1}^{n^{2}-1}d\_{ace}d\_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta \_{ab}\,}

作为一个正规化约定。

### 伴随表示

在伴随表示中，生成元表示由 {\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)} 矩阵表示，其元素由结构常数定义：

* {\displaystyle (T\_{a})\_{jk}=-if\_{ajk}\,}

SU(2)
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{\displaystyle \operatorname {SU} \_{2}(\mathbb {C} )} 一个一般矩阵元素形如

{\displaystyle U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}
这里 {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } 使得 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}。我们考虑如下映射 {\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}，（这里 {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

{\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}
考虑到 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 微分同胚于 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 和 {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 同胚于 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}，我们可看到 {\displaystyle \varphi } 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 {\displaystyle \varphi } 限制在三维球面上，记作 {\displaystyle S^{3}}，我们可发现这是三维球面到 {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 {\displaystyle \varphi (S^{3})=\operatorname {SU} \_{2}(\mathbb {C} )}，作为一个流形微分同胚于 {\displaystyle \operatorname {SU} \_{2}(\mathbb {C} )}，使 {\displaystyle \operatorname {SU} \_{2}(\mathbb {C} )} 成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 {\displaystyle {\mathfrak {su}}\_{2}(\mathbb {C} )}，一个一般元素形如

{\displaystyle U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}}
这里 {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 以及 {\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

{\displaystyle u\_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u\_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u\_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}
易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 {\displaystyle u\_{3}u\_{2}=-u\_{2}u\_{3}=u\_{1}} 和 {\displaystyle u\_{2}u\_{1}=-u\_{1}u\_{2}=u\_{3}}。从而交换子括号由

{\displaystyle [u\_{1},u\_{3}]=2u\_{2},\qquad [u\_{2},u\_{1}]=2u\_{3},\qquad [u\_{3},u\_{2}]=2u\_{1}.}
确定。上述生成元与泡利矩阵有关，{\displaystyle u\_{1}=i\sigma \_{1}}, {\displaystyle u\_{2}=-i\sigma \_{2}} 及 {\displaystyle u\_{3}=i\sigma \_{3}}。

SU(3)
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SU(3) 的生成元 *T*，在定义表示中为

{\displaystyle T\_{a}={\frac {\lambda \_{a}}{\sqrt {2}}}.\,}
这里 {\displaystyle \lambda \,} 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

|  |  |  |
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| {\displaystyle \lambda \_{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \lambda \_{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \lambda \_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} |
| {\displaystyle \lambda \_{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \lambda \_{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \lambda \_{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}} |
| {\displaystyle \lambda \_{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle \lambda \_{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}} |  |

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

* {\displaystyle \left[T\_{a},T\_{b}\right]=i\sum \_{c=1}^{8}{f\_{abc}T\_{c}}\,}

这里 *f* 是结构常数，如上所定义，它们的值为
{\displaystyle f^{123}=1\,}
{\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}
{\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
*d* 的取值：

{\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
{\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}
{\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,}

李代数
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{\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 对应的李代数记作 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 {\displaystyle n\times n} 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 {\displaystyle i}，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} 是 {\displaystyle \mathbb {R} } 上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 在 {\displaystyle \mathbb {R} } 上的一组基：

{\displaystyle i\sigma \_{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}
{\displaystyle i\sigma \_{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
{\displaystyle i\sigma \_{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}
（这里 {\displaystyle i} 是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 {\displaystyle i}）一起

{\displaystyle iI\_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}}
它们也是 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 {\displaystyle \mathrm {Cl} \_{3}}，而在交换子括号下生成李代数 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}。

回到一般的 {\displaystyle \mathrm {SU} (n)}：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 {\displaystyle n\times n} 矩阵子空间组成一个 {\displaystyle n-1} 维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 {\displaystyle n\times n} 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 {\displaystyle \mathrm {h} } 只是 {\displaystyle n-1} 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 {\displaystyle i} 个基向量是在第 {\displaystyle i} 个对角元素为 {\displaystyle 1} 而在其它处为零的矩阵。则权由 {\displaystyle n} 个坐标给出，而且在所有 {\displaystyle n} 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 的秩是 {\displaystyle n-1}，它的邓肯图由 {\displaystyle A\_{n-1}} 给出，有 {\displaystyle n-1} 个顶点的链。

它的根系由 {\displaystyle n(n-1)} 个根组成，生成一个 {\displaystyle n-1} 欧几里得空间。这里，我们使用 {\displaystyle n} 冗余坐标而不是 {\displaystyle n-1} 坐标来强调根系的对称（{\displaystyle n} 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 {\displaystyle n-1} 维向量空间嵌入 {\displaystyle n}-维中。则根由所有 {\displaystyle n(n-1)} 置换 {\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)}。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

{\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)},
{\displaystyle (0,1,-1,\dots ,0)},
…,
{\displaystyle (0,0,0,\dots ,1,-1)}.
它的嘉当矩阵是

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}}.
它的外尔群或考克斯特群是对称群 {\displaystyle S\_{n}}，{\displaystyle (n-1)}-单形的对称群。

广义特殊酉群
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对一个域 *F*，***F* 上广义特殊酉群** SU(*p*,*q*;*F*)，*F* 上一个秩为 *n*=*p*+*q* 的向量空间上使得一个符号为 (*p*,*q*) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 *F* 上符号为 (*p*,*q*) 的特殊酉群。域 *F* 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(*n*,**R**) 中一个符号为 (*p*,*q*) 的埃尔米特矩阵，则所有

{\displaystyle M\in SU(p,q,R)}
满足

{\displaystyle M^{\*}AM=A\,}
{\displaystyle \det M=1.\,}
经常可以见到记号 {\displaystyle SU\_{p,q}} 略去环或域，在这种形式环或域是指 **C**，这给出一个典型李群。当 *F*=**C** 时，*A* 的标准选取是

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I\_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}
对某些维数 *A* 可能有更好的选择，当限制为 **C** 的一个子环时有更好表现。

### 例子

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;**Z**[*i*])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,**Z**) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 {\displaystyle HC^{2}} 上作用的基本，参见 。

另一个例子是 SU(1,1;**C**)，同构于 SL(2,**R**)。

重要子群
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在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 *p*>1，*n*-*p*>1：

{\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).}
为了完整性，还有正交与辛子群：

{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}
{\displaystyle SU(2n)\supset USp(2n).}
因为 SU(*n*) 的秩是 *n*-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(*n*) 是多个其它李群的子群：

{\displaystyle SO(2n)\supset SU(n)}
{\displaystyle USp(2n)\supset SU(n)}
{\displaystyle Spin(4)=SU(2)\times SU(2)}（参见自旋群）
{\displaystyle E\_{6}\supset SU(6)}
{\displaystyle E\_{7}\supset SU(8)}
{\displaystyle G\_{2}\supset SU(3)}（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。
有同构 **SU(4)=Spin(6)**，**SU(2)=Spin(3)=USp(2)** 以及 **U(1)=Spin(2)=SO(2)**。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目
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* 数学数学主题

* SU(2)的表示论
* 射影特殊酉群 *PSU(n)*
* 埃尔米特矩阵
* 辛矩阵
* 酉群
* 酉算子
* 矩阵分解

参考文献
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* Halzen, Francis; Martin, Alan.. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.
* Maximal Subgroups of Compact Lie Groups  （页面存档备份，存于）

外部链接
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* Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （页面存档备份，存于）