**提示**：此条目的主题不是**解析表达式**或**解析函数**。 
在数学和信号处理中，**解析信号**（英語：）是没有负频率（英语：）分量的复值函数。 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。

实值函数的**解析表示**是*解析信号*，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是"解析函数"），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广： 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

定义
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创建一个解析信号的传递函数
若 s(t) 是一个*实值*函数，其傅里叶变换为 S(f)，S(f)為一於 f = 0 埃尔米特对称之函數：

{\displaystyle S(-f)=S(f)^{\*},}   其中，{\displaystyle S(f)^{\*}}为 S(f) 的复共轭。
函数：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} \_{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}

> 
> 其中：
> 
> 
> * {\displaystyle \operatorname {u} (f)} 是单位阶跃函数，
> * {\displaystyle \operatorname {sgn}(f)} 是符号函数，
> 
> 
> 

仅包含 S(f) 的*非负频率*分量。而且由于 S(f) 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：

{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S\_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S\_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S\_{\mathrm {a} }(-f)^{\*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S\_{\mathrm {a} }(f)+S\_{\mathrm {a} }(-f)^{\*}].\end{aligned}}}

  

s(t) 的**解析信号**是 S\_\mathrm{a}(f) 的傅里叶逆变换：

{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S\_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} \_{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} \_{j{\frac {1}{\pi t}}}\*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} \_{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}\*s(t)\right]} \_{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}
其中

* {\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]} 是 s(t) 的希爾伯特轉換；
* \* 是卷积符号；
* j 是虛數單位。

例子
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### 例1

{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}   其中  {\displaystyle \omega >0.}
于是：

{\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),}
{\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}  第三个等式为欧拉公式。

  

欧拉公式的一个推论是 {\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).} 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率（英语：）分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

### 例2

这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})}
于是：

{\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}
### 例3

这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 s(t)，没有什么能阻止我们计算 {\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)}。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 s(t) 为实值函数。

{\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}, 其中 {\displaystyle \omega >0}.
于是：

{\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}
{\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}

负频率分量
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由于 {\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s\_{\mathrm {a} }(t)]}，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 {\displaystyle \operatorname {Im} [s\_{\mathrm {a} }(t)]} 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 {\displaystyle s\_{\mathrm {a} }^{\*}(t)} *仅*由负频率分量构成。因此 {\displaystyle \operatorname {Re} [s\_{\mathrm {a} }^{\*}(t)]} 恢复了被减弱的正频率分量。

应用
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### 包络和瞬时相位

一个函数（蓝色）和它的解析表示的模（红），显示出包络现象。
解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：

{\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)=s\_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}
其中：

* {\displaystyle s\_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s\_{\mathrm {a} }(t)|} 称作*瞬时振幅*或*包络（英语：）*；
* {\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s\_{\mathrm {a} }(t)\right]} 称作*瞬时相位*。

在附图中，蓝色曲线描绘 s(t)，红色曲线描绘对应的 {\displaystyle s\_{\mathrm {m} }(t)}。

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作*瞬时角频率*：

{\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).}
因此，*瞬時頻率*（单位赫兹）为：

{\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}  
瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

###  复包络/基带

解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：

{\displaystyle {\underline {s\_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s\_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega \_{0}t}=s\_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega \_{0}t)},}
其中 \omega\_0 是任意参考角频率。

这个函数有不同的名称，如*复包络*和*复基带*。复包络不是唯一的；它是由 \omega\_0 的选取决定的。这个概念通常用于处理带通信号（英语：）。如果 s(t) 是调制信号，\omega\_0 可能会等于它的载波频率（英语：）。

在其他情况下，\omega\_0 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是*解析信号*。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升採樣）。

若选取的 \omega\_0 大于 {\displaystyle s\_{\mathrm {a} }(t)} 的最高频率，则 {\displaystyle {\underline {s\_{\mathrm {a} }}}(t)} 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做*下边带*的单边带信号。

参考频率的其他选择：
有时 \omega\_0 的选取是要最小化

{\displaystyle \int \_{0}^{+\infty }(\omega -\omega \_{0})^{2}|S\_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}
另外， \omega\_0 选取还可以是要最小化线性逼近*解缠的*瞬时相位 \phi (t) 的均方误差：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega \_{0}]^{2}|s\_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}
再或者（对最佳 \theta ）：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega \_{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}
在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。

有时复包络与复振幅同义；
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的包络（英语：）产生恒定的振幅。

参见
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* 希爾伯特轉換
* 负频率（英语：）

### 应用

* 单边带调制
* 正交滤波器（英语：）
* 因果滤波器（英语：）

参考文献
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1. ↑  ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition*, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III*
Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University,  （页面存档备份，存于）[7/16/2014 1:07:57 PM]
2. 1 2  Bracewell, Ron. *The Fourier Transform and Its Applications*. McGraw-Hill, 1965. p269
3. ↑  B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
4. ↑  Justice, J.. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, **27** (6): 670–684  [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. （原始内容存档于2014-10-20）.
5. ↑  B. Boashash, "Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis", IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
6. ↑  Hlawatsch, Franz; Auger, François.. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 （英语）.
7. ↑  Driggers, Ronald G.. CRC Press. 2003-01-01  [2016-08-05]. ISBN 9780824742508. （原始内容存档于2014-10-21） （英语）.
8. ↑  Okamoto, Kenʼichi.. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 （英语）.

延伸阅读
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* Leon Cohen, *Time-frequency analysis*, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
* Frederick W. King, *Hilbert Transforms*, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
* B. Boashash, *Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference*, Elsevier Science, Oxford, 2003.

外部链接
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* Analytic Signals and Hilbert Transform Filters （页面存档备份，存于）