在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
詹姆斯·馬克士威
在電磁學裏，**馬克士威應力張量**(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

導引
--

為了方便參考，先列出馬克士威方程組：

馬克士威方程組（國際單位制）| 名稱 | 微分形式 |
| --- | --- |
| 高斯定律 | {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon \_{0}}} |
| 高斯磁定律 | {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}=0 |
| 法拉第感應定律 | {\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}} |
| 馬克士威-安培定律 | {\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}+\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\  |

其中，\mathbf {E}  是電場，\mathbf {B}  是磁場，\rho  是電荷密度，\mathbf {J} 是電流密度，\varepsilon \_{0} 是電常數，\mu \_{0} 是磁常數。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 \mathbf{f} 是

{\mathbf {f}}=\rho {\mathbf {E}}+{\mathbf {J}}\times {\mathbf {B}} 。
應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：

{\mathbf {f}}=\epsilon \_{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}\right){\mathbf {E}}+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\times {\mathbf {B}}-\epsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}} 。
應用乘積法則和法拉第感應定律：

{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}})={\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}}+{\mathbf {E}}\times {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}}) ，
稍加編排，將 \mathbf{f} 寫為

{\begin{aligned}{\mathbf {f}}&=\epsilon \_{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}\right){\mathbf {E}}+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\times {\mathbf {B}}-\epsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right)-\epsilon \_{0}{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\\&=\epsilon \_{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\right]+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left[-{\mathbf {B}}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\right]-\epsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right)\\\end{aligned}} 。
為了使 \mathbf {E}  的項目 \mathbf {B}  的項目能夠相互對稱，加入一個 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 項目： 

{\mathbf {f}}=\epsilon \_{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\right]+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}-{\mathbf {B}}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\right]-\epsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right) 。
應用向量恆等式，對於任意向量 \mathbf{A}

{\mathbf {A}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {A}})={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-({\mathbf {A}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {A}}，
將 \mathbf{f} 的方程式內的旋度項目除去：

{\mathbf {f}}=\epsilon \_{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}+({\mathbf {E}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {E}}\right]+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}+({\mathbf {B}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {B}}\right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon \_{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu \_{0}}}B^{2}\right)-\epsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right) 。
這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 \mathbf {S}  ：

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu \_{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}} 。
設定馬克士威應力張量 {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：

T\_{{ij}}\equiv \epsilon \_{0}\left(E\_{i}E\_{j}-{\frac {1}{2}}\delta \_{{ij}}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(B\_{i}B\_{j}-{\frac {1}{2}}\delta \_{{ij}}B^{2}\right) ；
其中，\delta \_{ij} 是克羅內克函數。

定義一個向量 \mathbf{A} 與馬克士威應力張量 {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} 的內積為

({\mathbf {A}}\cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}})\_{j}=\textstyle {\sum \_{i}}\ A\_{i}T\_{{ij}} 。
那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 \mathbf{f} 是

{\mathbf {f}}=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}-\epsilon \_{0}\mu \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {S}}}{\partial t}} 。

馬克士威應力張量的性質
-----------

馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為

T\_{{ij}}=\left({\begin{matrix}\epsilon \_{0}(E\_{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon \_{0}E\_{x}E\_{y}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{x}B\_{y})&\epsilon \_{0}E\_{x}E\_{z}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{x}B\_{z})\\\epsilon \_{0}E\_{x}E\_{y}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{x}B\_{y})&\epsilon \_{0}(E\_{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon \_{0}E\_{y}E\_{z}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{y}B\_{z})\\\epsilon \_{0}E\_{x}E\_{z}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{x}B\_{z})&\epsilon \_{0}E\_{y}E\_{z}+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{y}B\_{z})&\epsilon \_{0}(E\_{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu \_{0}}}(B\_{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right) 。
馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

動量守恆定律
------

在一個體積 {\mathcal {V}} 內的電荷，所感受到的總作用力 \mathbf {F}  是

{\mathbf {F}}=\int \_{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {f}}{\mathrm {d}}\tau =\int \_{{{\mathcal {V}}}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}{\mathrm {d}}\tau -\epsilon \_{0}\mu \_{0}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau  。
應用散度定理，可以得到

{\mathbf {F}}=\oint \_{{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}-\epsilon \_{0}\mu \_{0}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau  ；
其中，{\mathcal {S}} 是體積 {\mathcal {V}} 的閉合表面。

根據牛頓第二定律，

{\mathbf {F}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}}{{\mathrm {d}}t}} ；
其中，\mathbf{p} 是動量。

所以，電荷的動量 {\mathbf {p}}\_{{charge}} 可以表達為

{\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}\_{{charge}}}{{\mathrm {d}}t}}=\oint \_{{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}-{\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}\_{{em}}}{{\mathrm {d}}t}}；
其中，{\mathbf {p}}\_{{em}}=\epsilon \_{0}\mu \_{0}\oint \_{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau  是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 \mathbf {S}  是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式：

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}({\mathbf {p}}\_{{charge}}+{\mathbf {p}}\_{{em}})=\oint \_{{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}} 。
動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘**流入**閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 -{\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為

{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}\_{{charge}}+{\mathfrak {p}}\_{{em}})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} ；
其中，{\mathfrak {p}}\_{{charge}} 是電荷的動量密度，{\mathfrak {p}}\_{{em}} 是電磁場的動量密度。

相關條目
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* 電磁能量密度
* 坡印廷向量
* 電磁應力-能量張量
* 電磁場的數學表述

參考文獻
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* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Jefimenko, Oleg.. American Journal of Physics. Nov 1983, **51** (11): pp. 988–996.  引文格式1维护：冗余文本 (link)[永久]

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