數學上，任一的{\displaystyle M\times N}離散線性轉換皆可表示成矩陣（Matrix） 的型式：{\displaystyle {\boldsymbol {Y=AX}}}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}y\left[{0}\right]\\y\left[{1}\right]\\y\left[{2}\right]\\\vdots \\y\left[{M-1}\right]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a\_{0}\left[0\right]}&{a\_{0}\left[1\right]}&{a\_{0}\left[2\right]}&\cdots &{a\_{0}\left[N-1\right]}\\{a\_{1}\left[0\right]}&{a\_{1}\left[1\right]}&{a\_{1}\left[2\right]}&\cdots &{a\_{1}\left[N-1\right]}\\{a\_{2}\left[0\right]}&{a\_{2}\left[1\right]}&{a\_{2}\left[2\right]}&\cdots &{a\_{2}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{a\_{M-1}\left[0\right]}&{a\_{M-1}\left[1\right]}&{a\_{M-1}\left[2\right]}&\cdots &{a\_{M-1}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\left[{0}\right]\\x\left[{1}\right]\\x\left[{2}\right]\\\vdots \\x\left[{N-1}\right]\end{bmatrix}}.}

{\displaystyle \mathbf {{CASE}\,{1}} }

再進一步假設，若矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {A}}} by正交基底 (Orthogonal basis) 列向量（Row vector） 所組成：

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\phi }}\_{0}^{\*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}\_{1}^{\*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}\_{2}^{\*}}\\\vdots \\{{\boldsymbol {\phi }}\_{M-1}^{\*}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\phi \_{0}^{\*}\left[0\right]}&{\phi \_{0}^{\*}\left[1\right]}&{\phi \_{0}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi \_{0}^{\*}\left[N-1\right]}\\{\phi \_{1}^{\*}\left[0\right]}&{\phi \_{1}^{\*}\left[1\right]}&{\phi \_{1}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi \_{1}^{\*}\left[N-1\right]}\\{\phi \_{2}^{\*}\left[0\right]}&{\phi \_{2}^{\*}\left[1\right]}&{\phi \_{2}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi \_{2}^{\*}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\phi \_{M-1}^{\*}\left[0\right]}&{\phi \_{M-1}^{\*}\left[1\right]}&{\phi \_{M-1}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi \_{M-1}^{\*}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {A}}.}

也可表示成級數和形式（Summation form）：

{\displaystyle y\left[m\right]=\left\langle {{\boldsymbol {\phi }}\_{m}^{\*}},x\left[n\right]\right\rangle =\sum \_{n=0}^{N-1}{\phi \_{m}^{\*}\left[n\right]}x\left[n\right],\quad {\mbox{for }}m=0,\,1,\,\cdots ,\,M-1.}

其中{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }代表內積運算（Inner product）。

{\displaystyle \mathbf {{CASE}\,{2}} }

同理也可假設，若矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {A}}} by正交基底行向量（Column vector） 所組成：

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\beta }}\_{0}^{\*}}&{{\boldsymbol {\beta }}\_{1}^{\*}}&{{\boldsymbol {\beta }}\_{2}^{\*}}&\cdots &{{\boldsymbol {\beta }}\_{N-1}^{\*}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\beta \_{0}^{\*}\left[0\right]}&{\beta \_{1}^{\*}\left[0\right]}&{\beta \_{2}^{\*}\left[0\right]}&\cdots &{\beta \_{N-1}^{\*}\left[0\right]}\\{\beta \_{0}^{\*}\left[1\right]}&{\beta \_{1}^{\*}\left[1\right]}&{\beta \_{2}^{\*}\left[1\right]}&\cdots &{\beta \_{N-1}^{\*}\left[1\right]}\\{\beta \_{0}^{\*}\left[2\right]}&{\beta \_{1}^{\*}\left[2\right]}&{\beta \_{2}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{\beta \_{N-1}^{\*}\left[2\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\beta \_{0}^{\*}\left[M-1\right]}&{\beta \_{1}^{\*}\left[M-1\right]}&{\beta \_{2}^{\*}\left[M-1\right]}&\cdots &{\beta \_{N-1}^{\*}\left[M-1\right]}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {A}}.}

也可表示成級數和：

{\displaystyle y\left[m\right]=\sum \_{n=0}^{N-1}x\left[n\right]{\beta \_{n}^{\*}\left[m\right]},\quad {\mbox{for }}m=0,\,1,\,\cdots ,\,M-1.}

假若{\displaystyle M=N}時，則{\displaystyle det(A)\neq 0}可得

{\displaystyle {\begin{cases}Y=AX&({\mbox{Forward transform}})\\X=A^{-1}X&({\mbox{Inverse transform}})\end{cases}}.}

離散正交轉換
------

大致上，可簡單化將矩陣分類由（a）列向量（Row Vector）或（b）行向量（Column Vector）所組成。

### 正交矩陣by列向量：

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\phi }}\_{0}^{\*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}\_{1}^{\*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}\_{2}^{\*}}\\\vdots \\{{\boldsymbol {\phi }}\_{M-1}^{\*}}\end{bmatrix}}}

**若**{\displaystyle {\begin{cases}\;\left\langle {\boldsymbol {\phi }}\_{l}^{\*},{\boldsymbol {\phi }}\_{k}^{\*}\right\rangle =\sum \_{n=0}^{N-1}{\phi \_{l}^{\*}\left[n\right]}\left({\phi \_{k}^{\*}\left[n\right]}\right)^{T}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k\\\;\left\langle {\boldsymbol {\phi }}\_{l}^{\*},{\boldsymbol {\phi }}\_{l}^{\*}\right\rangle =\sum \_{n=0}^{N-1}{\phi \_{l}^{\*}\left[n\right]}\left({\phi \_{l}^{\*}\left[n\right]}\right)^{T}=C\_{l}=Constant\end{cases}},}

其中，{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{M-1}^{\*}}}為一組列向量的正交集合且稱{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ }為一種離散正交轉換。

再者，若滿足{\displaystyle C\_{l}=1,\;{\mbox{for any }}l}。則{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{M-1}^{\*}}}將組成一組列向量的正規化正交集合且稱{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ }為一種離散正規化正交轉換。

此時，我們可利用{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}\_{M-1}^{\*}}}來求得{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}的反矩陣：

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}{C\_{0}^{-1}\phi \_{0}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{1}^{-1}\phi \_{1}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{2}^{-1}\phi \_{2}^{\*}\left[0\right]}&\cdots &{C\_{N-1}^{-1}\phi \_{N-1}^{\*}\left[0\right]}\\{C\_{0}^{-1}\phi \_{0}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{1}^{-1}\phi \_{1}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{2}^{-1}\phi \_{2}^{\*}\left[1\right]}&\cdots &{C\_{N-1}^{-1}\phi \_{N-1}^{\*}\left[1\right]}\\{C\_{0}^{-1}\phi \_{0}^{\*}\left[2\right]}&{C\_{1}^{-1}\phi \_{1}^{\*}\left[2\right]}&{C\_{2}^{-1}\phi \_{2}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{C\_{N-1}^{-1}\phi \_{N-1}^{\*}\left[2\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{C\_{0}^{-1}\phi \_{0}^{\*}\left[M-1\right]}&{C\_{1}^{-1}\phi \_{1}^{\*}\left[M-1\right]}&{C\_{2}^{-1}\phi \_{2}^{\*}\left[M-1\right]}&\cdots &{C\_{N-1}^{-1}\phi \_{N-1}^{\*}\left[M-1\right]}\end{bmatrix}},}

其中{\displaystyle C\_{m}=\left\langle {\boldsymbol {\phi }}\_{m}^{\*},{\boldsymbol {\phi }}\_{m}^{\*}\right\rangle }。再者，也可表示成級數和（Summation）形式：

{\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum \_{m=0}^{N-1}C\_{m}^{-1}{\phi \_{m}^{\*}\left[n\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.}

若{\displaystyle C\_{m}=1}，即簡化成，

{\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum \_{m=0}^{N-1}{\phi \_{m}^{\*}\left[n\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.}

### 正交矩陣by行向量：

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\beta }}\_{0}^{\*}}&{{\boldsymbol {\beta }}\_{1}^{\*}}&{{\boldsymbol {\beta }}\_{2}^{\*}}&\cdots &{{\boldsymbol {\beta }}\_{N-1}^{\*}}\end{bmatrix}}}

**若**{\displaystyle {\begin{cases}\;\left\langle {\boldsymbol {\beta }}\_{l}^{\*},{\boldsymbol {\beta }}\_{k}^{\*}\right\rangle =\sum \_{m=0}^{M-1}\left({\beta \_{l}^{\*}\left[m\right]}\right)^{T}{\beta \_{k}^{\*}\left[m\right]}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k\\\;\left\langle {\boldsymbol {\beta }}\_{l}^{\*},{\boldsymbol {\beta }}\_{l}^{\*}\right\rangle =\sum \_{m=0}^{M-1}\left({\beta \_{l}^{\*}\left[m\right]}\right)^{T}{\beta \_{l}^{\*}\left[m\right]}=C\_{l}=Constant\end{cases}},}

其中，{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{N-1}^{\*}}}為一組行向量的正交集合且也稱{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ }是一種離散正交轉換。

再者，若滿足{\displaystyle C\_{l}=1,\;{\mbox{for any }}l}。則{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{N-1}^{\*}}}將組成一組行向量的正規化正交集合且稱{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ }為一種離散正規化正交轉換。

此時，我們再利用{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{0}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{1}^{\*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}\_{2}^{\*}},\;\ldots ,\;}和{\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}\_{N-1}^{\*}}}來組成{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}的反矩陣：

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}{C\_{0}^{-1}\beta \_{0}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{0}^{-1}\beta \_{0}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{0}^{-1}\beta \_{0}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{C\_{0}^{-1}\beta \_{0}^{\*}\left[N-1\right]}\\{C\_{1}^{-1}\beta \_{1}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{1}^{-1}\beta \_{1}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{1}^{-1}\beta \_{1}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{C\_{1}^{-1}\beta \_{1}^{\*}\left[N-1\right]}\\{C\_{2}^{-1}\beta \_{2}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{2}^{-1}\beta \_{2}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{2}^{-1}\beta \_{2}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{C\_{2}^{-1}\beta \_{2}^{\*}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{C\_{M-1}^{-1}\beta \_{M-1}^{\*}\left[0\right]}&{C\_{M-1}^{-1}\beta \_{M-1}^{\*}\left[1\right]}&{C\_{M-1}^{-1}\beta \_{M-1}^{\*}\left[2\right]}&\cdots &{C\_{M-1}^{-1}\beta \_{M-1}^{\*}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}},}

其中{\displaystyle C\_{n}=\left\langle {\boldsymbol {\beta }}\_{n}^{\*},{\boldsymbol {\beta }}\_{n}^{\*}\right\rangle }。再者，也可表示成級數和：

{\displaystyle x\left[{n}\right]=C\_{n}^{-1}\sum \_{m=0}^{N-1}{\beta \_{n}^{\*}\left[m\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.}

若{\displaystyle C\_{n}=1}，即簡化成，

{\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum \_{m=0}^{N-1}{\beta \_{n}^{\*}\left[m\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.}

例子
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* 離散傅里葉變換
* 離散餘弦變換、離散正弦變換、離散哈特利轉換
* 瓦希轉換、哈爾小波轉換
* 離散勒詹德轉換
* 離散正交多項式轉換

如：哈恩轉換、Krawtchouk多項式、Charlier多項式。

特性
--

* 其列向量型式與行向量型式為一體兩面的情形：

* + 順向轉換（Forward Transform）：列向量型式{\displaystyle \Longrightarrow }反向轉換（Inverse Transform）：行向量型式。
	+ 順向轉換（FT）：行向量型式{\displaystyle \Longrightarrow }反向轉換（IT）：列向量型式。

* 於正規化正交情況下：

* + 若為行向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的列向量形成的反矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {\left(A^{-1}\right)}}}必為正規化正交矩陣。
	+ 若為列向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的行向量形成的反矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {\left(A^{-1}\right)}}}必為正規化正交矩陣。

優點
--

* 彼此間的列向量（或行向量）不會互相產生干擾（Interference）。

* + 在同一維度（dimension）下，**DOT**提供正交矩陣內的列向量（或行向量） 彼此間重要的正交特性，可藉由此避免其他使用者干擾進而來實現多工存取技術。

{\displaystyle {\boldsymbol {Orthognal:}}\quad \left\langle {\boldsymbol {\phi }}\_{l}^{\*},{\boldsymbol {\phi }}\_{k}^{\*}\right\rangle =\sum \_{n=0}^{N-1}{\phi \_{l}^{\*}\left[m\right]}{\phi \_{k}^{\*}\left[m\right]}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k.}

* 其本身的**FT**與對應的**IT**結構為相當類似。

* 此外，離散正交轉換較非正交轉換（Non-orthogonal Transform）計算上較為簡單。

* 將**DOT**應用於影像重建（Reconstruction） 或壓縮上，可藉由增加正交基底（Orthogonal basis）來控制誤差的產生，是採用非正交轉換所能及的。

應用於影像重建
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通常對於影像重建或壓縮上大都採用局部重建（Parital reconstruction）的機制，即：

(a) 正交情況下

{\displaystyle x\_{k}\left[{n}\right]=\sum \_{m=0}^{K-1}C\_{m}^{-1}y\left[{m}\right]{\phi \_{m}^{\*}\left[n\right]},\quad {\mbox{for }}K<N.}

因此，對於局部重建所產生的平方誤差（Sqaure error）：
{\displaystyle \left\|x\left[n\right]-x\_{k}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum \_{n=0}^{N-1}\left\|\sum \_{m=k}^{N-1}C\_{m}^{-1}y\left[{m}\right]\phi \_{m}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum \_{n=0}^{N-1}\sum \_{m=k}^{N-1}C\_{m}^{-1}y\left[{m}\right]\phi \_{m}\left[n\right]\sum \_{h=k}^{N-1}C\_{h}^{-1}y^{\*}\left[{h}\right]\phi \_{h}^{\*}\left[n\right]=\sum \_{m=k}^{N-1}C\_{m}^{-1}\left|\ y\left[{m}\right]\right|^{2}.}

從此結果可發現{\displaystyle C\_{m}^{-1}\left|\ y\left[{m}\right]\right|^{2}}必定為正的，因此可藉由增加正交基底數來改善影像重建後的平方誤差值。

（b）非正交情況下

{\displaystyle x\_{k}\left[{n}\right]=\sum \_{m=0}^{K-1}B\left[{n,m}\right]y\left[m\right],\quad {\mbox{for }}K<N.}

因此，對於局部重建所產生的平方誤差：
{\displaystyle \left\|x\left[n\right]-x\_{k}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum \_{n=0}^{N-1}\left\|\sum \_{m=k}^{N-1}B\left[{n,m}\right]y\left[m\right]\right\|^{2}=\sum \_{m=k}^{N-1}\sum \_{h=k}^{N-1}y\left[{m}\right]y^{\*}\left[h\right]\sum \_{n=0}^{N-1}B\left[{n,m}\right]B^{\*}\left[{n,h}\right].}

從此結果可發現{\displaystyle y\left[{m}\right]y^{\*}\left[h\right]\sum \_{n=0}^{N-1}B\left[{n,m}\right]B^{\*}\left[{n,h}\right]}不一定為正的，所以無法利用增加基底數來改善平方誤差。

參閱
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* 離散傅里葉變換
* 離散餘弦變換
* 離散正弦變換
* 哈爾小波轉換
* 正交矩陣

參考文獻
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* Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008.
* （页面存档备份，存于）.
* （页面存档备份，存于）.