蓝色曲线是指数函数，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前*n*+1项和的曲线
在数学中，**幂级数**（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见"多元幂级数"一节）。单变量的幂级数形式为：

f(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}\left(x-c\right)^{n}
=a\_{0}+a\_{1}(x-c)^{1}+a\_{2}(x-c)^{2}+a\_{3}(x-c)^{3}+\cdots 
其中的*c*和a\_{0},a\_{1},a\_{2}\cdots a\_{n}\cdots 是常数。a\_{0},a\_{1},a\_{2}\cdots a\_{n}\cdots 称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是"无穷次的多项式"。

如果把(x-c)看成一项，那么幂级数可以化简为\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}\left(x-c\right)^{n}的形式称为将函数在*c*处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的*x*被固定为{\frac {1}{10}}。在p-进数中则可以见到*x*被固定为10的幂级数。

例子
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多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式f(x)=x^{2}+2x+3可以写成标准形式的幂级数：

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots 
也可以写成（c=1）：

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots 
实际上，多项式可以写成在任意*c*附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对|x|<1，有

{\frac {1}{1-x}}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：
e^{x}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,
以及正弦函数（对所有实数x成立）：

\sin(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,
这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如1+x^{{-1}}+x^{{-2}}+\cdots 就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数a\_{n}必须是和*x*无关，比如\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,就不是一个幂级数。

敛散性
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作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量*x*在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

**阿贝尔引理**：给定一个幂级数\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}，如果对实数r\_{0}>0，数列(|a\_{n}|r\_{0}^{n})\_{{n\geq 0}} 有界，那么对任意复数|x|<r\_{0}，\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}绝对收敛。

**证明**：

如果|x|<r\_{0}，那么由于数列(|a\_{n}|r\_{0}^{n})\_{{n\geq 0}} 有界，存在正实数*M*使得对任意的*n*，总有0\leq |a\_{n}|r\_{0}^{n}\leq M。所以：

\sum \_{{n=0}}^{\infty }|a\_{n}\,x^{n}|=\sum \_{{n=1}}^{\infty }\left(|a\_{n}|\,r\_{0}^{n}\right)\cdot \left({\frac {|x|}{r\_{0}}}\right)^{n}
\ \ \leq \sum \_{{n=0}}^{\infty }M\cdot \left({\frac {|x|}{r\_{0}}}\right)^{n}
\ \ =M\cdot \sum \_{{n=0}}^{\infty }\left({\frac {|x|}{r\_{0}}}\right)^{n}
正数比值{\frac {|x|}{r\_{0}}}严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}绝对收敛。

按照引理，使得幂级数\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为**收敛圆盘**，其边界称为**收敛圆**。具体来说，就是：

1. 要么对所有的非零复数，\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}都发散；
2. 要么存在一个正常数（包括正无穷）R，使得当|x|<R时，\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}绝对收敛，当|x|>R时，\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数R被称为幂级数的**收敛半径**，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}，当|x|<R（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当|x|>R时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果|x|=R（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数\sum a\_{n}x^{n}满足{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }|{a\_{n+1} \over a\_{n}}|=\rho }，则：

|  |
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| \rho 是正实数时，R={1 \over \rho }。 |
| \rho =0时，R=\infty 。 |
| \rho =\infty 时，R=0。 |

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

R=\liminf\_{n\to\infty} \left|a\_n\right|^{-\frac{1}{n}}
或者\frac{1}{R}=\limsup\_{n\to\infty} \left|a\_n\right|^{\frac{1}{n}}。

幂级数的运算
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形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

(a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+\cdots +a\_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b\_{0}+b\_{1}x+b\_{2}x^{2}+\cdots +b\_{n}x^{n}+\cdots )=(a\_{0}+b\_{0})+(a\_{1}+b\_{1})x+(a\_{2}+b\_{2})x^{2}+\cdots +(a\_{n}+b\_{n})x^{n}+\cdots 
两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：

\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}\right)
=\sum \_{{i=0}}^{\infty }\sum \_{{j=0}}^{\infty }a\_{i}b\_{j}(x-c)^{{i+j}}
=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left(\sum \_{{i=0}}^{n}a\_{i}b\_{{n-i}}\right)(x-c)^{n}。
各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

一致收敛性
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对一个收敛半径为*R*的幂级数\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为**内闭一致收敛**。因此，考虑幂级数函数

f:(-R,R)\longrightarrow {\mathbb {R}}
.\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}
它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

幂级数函数的求导和积分
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可以证明，幂级数函数*f*在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数*f*在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}x^{n}的收敛半径*R*。具体形式为：

f^{\prime }(x)=\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{n}nx^{{n-1}}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{{n+1}}\left(n+1\right)x^{{n}}
\int f(x)\,dx=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {a\_{n}x^{{n+1}}}{n+1}}+k=\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {a\_{{n-1}}x^{{n}}}{n}}+k

函数的幂级数展开
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鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点*c*附近**可展**（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数*R*>0，使得在复平面中以*c*为圆心以*R*为半径的圆*D*(*c*,*R*)内（不包括边界）有：

\forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}a\_{n}(z-c)^{n}
其中a\_{n}为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（C^{{\infty }}），并且在这点附近的展开式是唯一的。

\forall n\in {\mathbb {N}},\,a\_{n}={f^{{(n)}}(c) \over {n!}}
即是在这点的泰勒展开的第*n*项的值。这时展开得到的幂级数称为函数*f*在*c*点的泰勒级数。

### 函数的可展性

对于一般的无穷可导函数f，也可以写出幂级数\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{f^{{(n)}}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于f。例如函数f：

当*x*>0时，f(x)=e^{{-1/x^{2}}}
当x\leq 0时，f(x)=0
可以证明f无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{f^{{(n)}}(0) \over {n!}}(x)^{n}恒等于0，不等于f。

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零：
R\_{n}(x)=f(x)-\sum \_{{n=0}}^{{n}}{f^{{(n)}}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0，

一个更常用到的充分条件是：
如果存在正实数*r*，使得f在区间(c-r,c+r)上无穷可导，并且存在正数*M*使得对任意的*n*，任意的x\in (c-r,c+r)都有

{\displaystyle |f^{n}(x)|\leq M^{n}}，那么f可以在*c*附近展开成幂级数：
\forall x\in (c-r,c+r),\ \ f(x)=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{f^{{(n)}}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}。
### 常见函数的幂级数展开

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

1. \forall x\in {\mathbb {C}},\,e^{x}=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{n}}{n!}}}.
2. \forall x\in {\mathbb {R}},\,\cos x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n}}}{(2\,n)!}}}.
3. \forall x\in {\mathbb {R}},\,\sin x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{(2\,n+1)!}}}.
4. \forall x\in {\mathbb {R}},\,\operatorname {ch}\,x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{{2\,n}}}{(2\,n)!}}}.
5. \forall x\in {\mathbb {R}},\,\operatorname {sh}\,x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{(2\,n+1)!}}}.
6. \forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{x^{n}}.
7. \forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum \_{{n=1}}^{{+{\infty }}}(-1)^{{n+1}}{x^{{n}} \over {n}}.
8. \forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}(-1)^{n}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}\;，特别地，\pi =4\,\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}{{\frac {(-1)^{{n}}}{2\,n+1}}}。
9. \forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,{\mathbb {N}},\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum \_{{n=1}}^{{+{\infty }}}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.
10. \forall x\in {\mathbb {R}},\,\forall \alpha \,\in \,{\mathbb {N}},\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum \_{{n=1}}^{{+{\infty }}}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum \_{{n=0}}^{{\alpha }}{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.
11. \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh}\,x=\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,{{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}.
12. \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum \_{{n=1}}^{{+{\infty }}}\,\left({{\frac {\prod \_{{k=1}}^{{n}}\,(2\,k-1)}{\prod \_{{k=1}}^{{n}}\,2\,k}}}\right){{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}
13. \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh}\,x=x+\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,(-1)^{n}\,\left({{\frac {\prod \_{{k=1}}^{{n}}\,(2\,k-1)}{\prod \_{{k=1}}^{{n}}\,2\,k}}}\right){{\frac {x^{{2\,n+1}}}{2\,n+1}}}
14. \forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum \_{{n=0}}^{{+{\infty }}}\,{\left({{\frac {x}{\pi }}}\right)}^{{2\,n+1}}(2^{{2\,n+2}}-1)\;\zeta (2\,n+2)，其中\forall p>1,\,\zeta (p)=\sum \_{{n=1}}^{{+{\infty }}}\,{\frac {1}{n^{p}}}

幂级数与解析函数
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条目：解析函数
局部上由收敛幂级数给出的函数叫做**解析函数**。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据*零点孤立原理*，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

形式幂级数
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条目：形式幂级数
在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为**形式幂级数**。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

多元幂级数
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幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

f(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\sum \_{{j\_{1},\dots ,j\_{n}=0}}^{{\infty }}a\_{{j\_{1},\dots ,j\_{n}}}\prod \_{{k=1}}^{n}\left(x\_{k}-c\_{k}\right)^{{j\_{k}}},
其中*j* = (*j*1, ... *j**n*)是一个系数为非负整数的向量。系数*a*(*j1,...jn*)通常是实数或复数。*c* = (*c*1, ... *c**n*)和变量*x* = (*x*1, ... *x**n*)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

f(x)=\sum \_{{\alpha \in {\mathbb {N}}^{n}}}a\_{{\alpha }}\left(x-c\right)^{{\alpha }}.

参见
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* 泰勒级数
* 解析函数
* 阿贝尔定理
* 零点孤立原理

参考来源
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1. ↑  史济怀，组合恒等式，中国科学技术大学出版社，2001

參考文獻
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* 幂级数介绍
* 幂级数展开 （页面存档备份，存于）
* 幂级数与泰勒展开[永久]
* Henri Cartan, *Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes*
* Jean Dieudonné, *Calcul infinitésimal*
* John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006