在数学中，以法国数学家埃德蒙·拉盖尔（英语：）命名的**拉盖尔多项式**定义为**拉盖尔方程**的标准解。

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,
这是一个二阶线性微分方程。

这个方程只有当*n*非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中，计算形如\int \_{0}^{\infty }f(x)dx的积分。

这些多项式（通常用*L*0, *L*1等表示）构成一个多项式序列（英语：）。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。

L\_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{{-x}}x^{n}\right).
在按照下式定义的内积构成的内积空间中，拉盖尔多项式是正交多项式。

\langle f,g\rangle =\int \_{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{{-x}}\,dx.
拉盖尔多项式构成一个Sheffer序列（英语：）。

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分，就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式，即在上面的形式的基础上乘上一个*n*!。

前几个拉盖尔多项式
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前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下：

|  |  |
| --- | --- |
| *n* | L\_{n}(x)\, |
| 0 | 1\, |
| 1 | -x+1\, |
| 2 | {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\, |
| 3 | {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\, |
| 4 | {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\, |
| 5 | {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\, |
| 6 | {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\, |

前六个拉盖尔多项式

递归定义
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拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前两个拉盖尔多项式为：

L\_{0}(x)=1\,
L\_{1}(x)=1-x\,
然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

L\_{{k+1}}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L\_{k}(x)-kL\_{{k-1}}(x)\right).

广义拉盖尔多项式
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上面提到的拉盖尔多项式的正交性，也可以用另外一种方式表达。即：如果*X*是一个服从指数分布的随机变量（即，概率密度函数如下式）：

f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{{-x}}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.
那么：

E\left[L\_{n}(X)L\_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.
指数分布不是唯一的伽玛分布，对于任意的伽玛分布（概率密度函数如下，*α* > −1，参见Γ函数）

f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{{-x}}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.
相应的正交多项式为形如下式的**广义拉盖尔多项式**（可以通过罗德里格公式得到）：

L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)={x^{{-\alpha }}e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{{-x}}x^{{n+\alpha }}\right).
有时也将上面的多项式称为**连带（联属，伴随）拉盖尔多项式**。当取α = 0时，就回到拉盖尔多项式：

L\_{n}^{{(0)}}(x)=L\_{n}(x).

广义拉盖尔多项式的性质与应用
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* 拉盖尔函数可以由合流超几何函数和Kummer变换得到： L\_{n}^{{(\alpha )}}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum \_{{i=0}}(-1)^{i}{\frac {{n \choose i}}{{\alpha +i \choose i}}}x^{i}\, =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L\_{{-\alpha -n-1}}^{{(\alpha )}}(-x)=e^{x}\cdot \sum \_{{i=0}}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.当n为整数时，截断为n阶拉盖尔多项式。
* n阶拉盖尔多项式可以通过将莱布尼茨乘积求导公式（英语：）应用在罗德里格公式上而得到，结果为L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}。
* *n*阶拉盖尔多项式的首项系数为(−1)*n*/*n*!；
* 拉盖尔多项式在x=0的取值（常数项）为 L\_{n}^{{(\alpha )}}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};
* *L**n*(*α*)有*n*个实的正根（应该注意到 \left((-1)^{{n-i}}L\_{{n-i}}^{{(\alpha )}}\right)\_{{i=0}}^{n}构成以施图姆序列），且这些根全部位于区间(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]中。
* 当n很大，而\alpha 不变，x>0时，拉盖尔多项式的渐近行为如下：

L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)\approx {\frac {n^{{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}}{{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{{{\frac {x}{2}}}}}{x^{{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)，以及
L\_{n}^{{(\alpha )}}(-x)\approx {\frac {n^{{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{{-{\frac {x}{2}}}}}{x^{{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)。
* 前几个广义拉盖尔多项式为：

L\_{0}^{{(\alpha )}}(x)=1
L\_{1}^{{(\alpha )}}(x)=-x+\alpha +1
L\_{2}^{{(\alpha )}}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}
L\_{3}^{{(\alpha )}}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}
* 根据拉盖尔多项式的定义，可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式，程序代码如下：

```
 **function** LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    **for** i:= n **to** 1 **step** -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    **return** LaguerreL;
 }
```

### 递推关系

拉盖尔多项式满足以下的递推关系：

L\_{n}^{{(\alpha +\beta +1)}}(x+y)=\sum \_{{i=0}}^{n}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)L\_{{n-i}}^{{(\beta )}}(y),
特别地，有

L\_{n}^{{(\alpha +1)}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{n}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)以及L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L\_{i}^{{(\beta )}}(x)，或L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L\_{i}^{{(\beta -i)}}(x);
还有

{\begin{aligned}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)-\sum \_{{j=0}}^{{\Delta -1}}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum \_{{i=0}}^{{n-\Delta }}{\frac {{n+\alpha \choose n-\Delta -i}}{(n-i){n \choose i}}}L\_{i}^{{(\alpha +\Delta )}}(x)\\&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum \_{{i=0}}^{{n-\Delta }}{\frac {{n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}}{(n-i){n \choose i}}}L\_{i}^{{(n+\alpha +\Delta -i)}}(x).\end{aligned}}
运用以上式子可以得到以下四条关系式：

* L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=L\_{n}^{{(\alpha +1)}}(x)-L\_{{n-1}}^{{(\alpha +1)}}(x)=\sum \_{{j=0}}^{k}{k \choose j}L\_{{n-j}}^{{(\alpha -k+j)}}(x),
* nL\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=(n+\alpha )L\_{{n-1}}^{{(\alpha )}}(x)-xL\_{{n-1}}^{{(\alpha +1)}}(x), or {\frac {x^{k}}{k!}}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L\_{{n+i}}^{{(\alpha -k)}}(x),
* nL\_{n}^{{(\alpha +1)}}(x)=(n-x)L\_{{n-1}}^{{(\alpha +1)}}(x)+(n+\alpha )L\_{{n-1}}^{{(\alpha )}}(x)
* xL\_{n}^{{(\alpha +1)}}=(n+\alpha )L\_{{n-1}}^{{\alpha }}(x)-(n-x)L\_{n}^{{(\alpha )}}(x);

将它们组合在一起，就得到了最常用的递推关系式：

L\_{{n+1}}^{{(\alpha )}}(x)={\frac {1}{n+1}}\left((2n+1+\alpha -x)L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)-(n+\alpha )L\_{{n-1}}^{{(\alpha )}}(x)\right).
当i与n均为整数时，拉盖尔多项式有以下的有趣性质：

{\frac {(-x)^{i}}{i!}}L\_{n}^{{(i-n)}}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L\_{i}^{{(n-i)}}(x);
进一步可以得到部分分式分解：

{\frac {L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)}{{n+\alpha \choose n}}}=1-\sum \_{{j=1}}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L\_{{n-j}}^{{(j)}}(x)}{(j-1)!}}=1-x\sum \_{{i=1}}^{n}{\frac {L\_{{n-i}}^{{(-\alpha )}}(x)L\_{{i-1}}^{{(\alpha +1)}}(-x)}{\alpha +i}}.
### 拉盖尔多项式的导函数

将拉盖尔多项式对自变量*x*求导*k*次，得到：

{\frac {{\mathrm d}^{k}}{{\mathrm d}x^{k}}}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=(-1)^{k}L\_{{n-k}}^{{(\alpha +k)}}(x)\,;
进一步有：

{\frac {1}{k!}}{\frac {{\mathrm d}^{k}}{{\mathrm d}x^{k}}}x^{\alpha }L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)={n+\alpha \choose k}x^{{\alpha -k}}L\_{n}^{{(\alpha -k)}}(x),
运用柯西多重积分公式（英语：）可以得到：

L\_{n}^{{(\alpha ')}}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int \_{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{{\alpha '-\alpha -1}}}{x^{{\alpha '}}}}L\_{n}^{{(\alpha )}}(t)\,dt.
将拉盖尔多项式对参变量\alpha 求导，得到下面的有意思的结果：

{\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}\alpha }}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=\sum \_{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{n-i}}.
广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程：

xL\_{n}^{{(\alpha )\prime \prime }}(x)+(\alpha +1-x)L\_{n}^{{(\alpha )\prime }}(x)+nL\_{n}^{{(\alpha )}}(x)=0,\,
可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。

xL\_{n}^{{(k)\prime \prime }}(x)+(k+1-x)L\_{n}^{{(k)\prime }}(x)+(n-k)L\_{n}^{{(k)}}(x)=0,\,
仅在此式中，L\_{n}^{{(k)}}(x)\equiv {\frac {dL\_{n}(x)}{dx^{k}}}（后面这个符号又有了新的含义）。

于是，当\alpha =0时，广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示：
L\_{n}^{{(k)}}(x)=(-1)^{k}{\frac {dL\_{{n+k}}(x)}{dx^{k}}}
式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

### 正交性

伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数*x**α* *e*−*x*正交：

\int \_{0}^{{\infty }}x^{\alpha }e^{{-x}}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)L\_{m}^{{(\alpha )}}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta \_{{n,m}},
这可由下式得到：

\int \_{0}^{\infty }x^{{\alpha '-1}}e^{{-x}}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').
伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为：

{\begin{aligned}K\_{n}^{{(\alpha )}}(x,y)&{:=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum \_{{i=0}}^{n}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)L\_{i}^{{(\alpha )}}(y)}{{\alpha +i \choose i}}}\\&{=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)L\_{{n+1}}^{{(\alpha )}}(y)-L\_{{n+1}}^{{(\alpha )}}(x)L\_{n}^{{(\alpha )}}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\&{=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum \_{{i=0}}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L\_{{n-i}}^{{(\alpha +i)}}(x)L\_{{n-i}}^{{(\alpha +i+1)}}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}
也有下面的递推关系：

K\_{n}^{{(\alpha )}}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K\_{{n-1}}^{{(\alpha +1)}}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L\_{n}^{{(\alpha +1)}}(x)L\_{n}^{{(\alpha )}}(y)}{{\alpha +n \choose n}}}.
进一步地，在伴*L*2[0, ∞)空间上，有：

y^{\alpha }e^{{-y}}K\_{n}^{{(\alpha )}}(\cdot ,y)\rightarrow \delta (y-\,\cdot ),
在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式：

\int \_{0}^{{\infty }}x^{{\alpha +1}}e^{{-x}}\left[L\_{n}^{{(\alpha )}}\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).
### 级数展开

设一个函数具有以下的级数展开形式：

f(x)=\sum \_{{i=0}}f\_{i}^{{(\alpha )}}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x).
则展开式的系数由下式给出

f\_{i}^{{(\alpha )}}=\int \_{0}^{\infty }{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{{i+\alpha \choose i}}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{{-x}}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.
这个级数在Lp空间L^{2}[0,\infty )上收敛，当且仅当

\|f\|\_{{L^{2}}}^{2}:=\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{{-x}}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}dx=\sum \_{{i=0}}{i+\alpha \choose i}|f\_{i}^{{(\alpha )}}|^{2}<\infty .
一个相关的展开式为： 

f(x)=e^{{{\frac {\gamma }{1+\gamma }}x}}\cdot \sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}\left({\frac {x}{1+\gamma }}\right)}{(1+\gamma )^{{i+\alpha +1}}}}\sum \_{{n=0}}^{i}\gamma ^{{i-n}}{i \choose n}f\_{n}^{{(\alpha )}};
特别地

e^{{-\gamma x}}\cdot L\_{n}^{{(\alpha )}}(x(1+\gamma ))=\sum \_{{i=n}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{(1+\gamma )^{{i+\alpha +1}}}}\gamma ^{{i-n}}{i \choose n},
这可由下式得到：

L\_{n}^{{(\alpha )}}\left({\frac {x}{1+\gamma }}\right)={\frac {1}{(1+\gamma )^{n}}}\sum \_{{i=0}}^{n}\gamma ^{{n-i}}{n+\alpha \choose n-i}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x).
还有，当\operatorname {Re}{(2\alpha -\beta )}>-1时，

{\frac {x^{{\alpha -\beta }}f(x)}{\Gamma (\alpha -\beta +1)}}={\alpha \choose \beta }\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\beta )}}(x)}{{\beta +i \choose i}}}\sum \_{{n=0}}^{i}(-1)^{{i-n}}{\alpha -\beta \choose i-n}{\alpha +n \choose n}f\_{n}^{{(\alpha )}},
这个结果可以由下式导出，

{\frac {x^{{\alpha -\beta }}L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)}{\Gamma (\alpha -\beta +1)}}={\alpha \choose \beta }{\alpha +n \choose n}\sum \_{{i=n}}(-1)^{{i-n}}{\alpha -\beta \choose i-n}{\frac {L\_{i}^{{(\beta )}}(x)}{{\beta +i \choose i}}}
#### 更多的例子

幂函数可以展开为：

{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum \_{{i=0}}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)=(-1)^{n}\sum \_{{i=0}}^{n}L\_{i}^{{(\alpha -i)}}(x){-\alpha \choose n-i},
二项式可以展开为：

{n+x \choose n}=\sum \_{{i=0}}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L\_{{n-i}}^{{(x+i)}}(\alpha ).
进一步可以得到：

e^{{-\gamma x}}=\sum \_{{i=0}}{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{{i+\alpha +1}}}}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)（当且仅当 \operatorname {Re}{(\gamma )}>-{\frac {1}{2}}时收敛）
更一般地

{\frac {x^{\beta }e^{{-\gamma x}}}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{{\alpha +i \choose i}}}\sum \_{{j=0}}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+\gamma )^{{\alpha +\beta +j+1}}}}{\alpha +\beta +j \choose j}{\alpha +i \choose i-j}.
对于非负的整数\beta ，可以化简为：

{\frac {x^{n}e^{{-\gamma x}}}{n!}}=\sum \_{{i=0}}{\frac {\gamma ^{i}L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{(1+\gamma )^{{i+n+\alpha +1}}}}\sum \_{{j=0}}^{n}(-1)^{{n-j}}\gamma ^{j}{n+\alpha \choose j}{i \choose n-j},
当\gamma =0时，可以化简为：

{\frac {x^{\beta }}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum \_{{i=0}}(-1)^{i}{\beta \choose i}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{{\alpha +i \choose i}}},或
{\frac {x^{\beta }L\_{n}^{{(\gamma )}}(x)}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{{\alpha +i \choose i}}}\sum \_{{j=0}}^{n}(-1)^{{i-j}}{n+\gamma \choose n-j}{\beta +j \choose i}{\alpha +\beta +j \choose j}.
雅可比Theta 函数有下面的表示：

\sum \_{{k\in {\mathbb {Z}}}}e^{{-k^{2}\pi x}}=\sum \_{{i=0}}L\_{i}^{{(\alpha )}}\left({\frac {x}{t}}\right)\sum \_{{k\in {\mathbb {Z}}}}{\frac {(k^{2}\pi t)^{i}}{(1+k^{2}\pi t)^{{i+\alpha +1}}}};
随意选定参量t，贝塞尔函数可以表示为：
{\frac {J\_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{{-t}}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{{i+\alpha \choose i}}}{\frac {t^{i}}{i!}};
Γ函数可以展开为： 

\Gamma (\alpha )=x^{\alpha }\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}(x)}{\alpha +i}}\qquad \left(\Re (\alpha )<{\frac 12}\right);
低阶不完全伽玛函数可展开为：

{\frac {\gamma (s;z)}{t^{s}\Gamma (s)}}={\frac {\left({\frac {z}{t}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{i}^{{(\alpha )}}\left({\frac {z}{t}}\right)}{{\alpha +i \choose i}}}\sum \_{{j=0}}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+t)^{{s+j}}}}{s-1+j \choose j}{\alpha -1+i \choose i-j},
{\frac {\gamma (s;z)}{t^{s}\Gamma (s)}}={\alpha +s \choose \alpha +1}\sum \_{{i=0}}{\frac {{\alpha +i+1 \choose i+1}-L\_{{i+1}}^{{(\alpha )}}\left({\frac {z}{t}}\right)}{{\alpha +i+1 \choose i}}}\sum \_{{j=0}}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+t)^{{\alpha +1+s+j}}}}{\alpha +s+j \choose j}{\alpha +i+1 \choose i-j}.
还有：

\gamma (s,z)={\frac {\gamma ^{s}}{\Gamma (1-s)}}\sum \_{{i=0}}{\frac {L\_{{i+1}}^{{(-s)}}(0)-L\_{{i+1}}^{{(-s)}}\left({\frac {z}{\gamma }}\right)}{(1+\gamma )^{{i+1}}}}\sum \_{{n=0}}^{i}\gamma ^{{i-n}}{\frac {{i \choose n}}{n+1-s}};
于是，高阶不完全伽玛函数就是：

{\begin{aligned}{\frac {\Gamma (s,z)}{z^{s}e^{{-z}}}}&=\sum \_{{k=0}}{\frac {L\_{k}^{{(\alpha )}}(z)}{(k+1){k+1+\alpha -s \choose k+1}}}\qquad \left(\Re \left(s-{\frac \alpha 2}\right)<{\frac 14}\right)\\&=\sum \_{{k=0}}L\_{k}^{{(\alpha )}}(z\,t)\cdot {\frac {\_{2}F\_{1}\left(1+\alpha +k,1+k;2+\alpha +k-s;{\frac {t-1}{t}}\right)}{t^{k}(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}}\\&=t^{s}\sum \_{{k=0}}L\_{k}^{{(\alpha )}}(z\,t)\cdot {\frac {\_{2}F\_{1}\left(1-s,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;{\frac {t-1}{t}}\right)}{(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}}\\&=t^{{1+\alpha }}\sum \_{{k=0}}L\_{k}^{{(\alpha )}}(z\,t)\cdot {\frac {\_{2}F\_{1}\left(1+\alpha +k,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;1-t\right)}{(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}},\end{aligned}}
\_{2}F\_{1}表示超几何函数。

围道积分表示
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拉盖尔多项式可以用围道积分表示，如下式所示：

L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{{-{\frac {xt}{1-t}}}}}{(1-t)^{{\alpha +1}}\,t^{{n+1}}}}\;dt
积分方向逆时针绕原点一周。

与埃爾米特多項式的关系
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广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系：

H\_{{2n}}(x)=(-1)^{n}\ 2^{{2n}}\ n!\ L\_{n}^{{(-1/2)}}(x^{2})
以及

H\_{{2n+1}}(x)=(-1)^{n}\ 2^{{2n+1}}\ n!\ x\ L\_{n}^{{(1/2)}}(x^{2})
这里的*H**n*表示乘上了exp(−*x*2)的埃爾米特多項式（所谓的"物理学家形式"）。
正因为这样，广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

与超几何函数的关系
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拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义，具体地说，是用合流超几何函数定义：

L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)\_{n}}{n!}}\,\_{1}F\_{1}(-n,\alpha +1,x)
(a)\_{n}是阶乘幂，这里表示**升阶乘**。

与贝塞尔函数的关系
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拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系：

{\displaystyle {\begin{aligned}L\_{n}^{(\alpha )}(x)=&e^{\frac {x}{2}}\left({\frac {x}{4}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}{\frac {2}{{\sqrt {\pi }}(n+1)!{-{\frac {1}{2}} \choose n+1}}}\cdot \\&\cdot \sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k}{\frac {{n+\alpha \choose n}{\alpha +2n+1 \choose n-k}}{n-k+\alpha \choose n-k}}\left(k+{\frac {1}{2}}\right)K\_{k+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)\\=&e^{\frac {x}{2}}\left({\frac {4}{x}}\right)^{n+\alpha +{\frac {1}{2}}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right){-\alpha -1 \choose n}{-\alpha -{\frac {1}{2}} \choose n}\cdot \\&\cdot n!\sum \_{k=0}^{n}{\frac {{-2n-1-2\alpha \choose k-n}{-2n-1-\alpha \choose k-n}}{-\alpha -1 \choose k-n}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}+k\right)I\_{\alpha +{\frac {1}{2}}+k}\left({\frac {x}{2}}\right)\end{aligned}},}
进一步有：

L\_{n}^{{(\alpha )}}(x)={\frac 2{4^{n}(2n+1){-{\frac 12} \choose n}}}\sum \_{{k=0}}^{n}\left(k+{\frac 12}\right){\frac {{2n+1 \choose n-k}}{{n \choose k}^{2}}}{n+\alpha \choose k}{2n+\alpha +1 \choose n-k}{\frac {x^{{n-k}}}{(n-k)!}}L\_{k}^{{-2k-1}}(x).

外部链接
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* 氢原子量子力学处理中的拉盖尔多项式的快速求导法（页面存档备份，存于）

参考文献
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* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1965), "Chapter 22 （页面存档备份，存于）", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
* B Spain, M G Smith, *Functions of mathematical physics*, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
* Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial （页面存档备份，存于）", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* George Arfken and Hans Weber.. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6.
* S. S. Bayin (2006), *Mathematical Methods in Science and Engineering*, Wiley, Chapter 3.