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對於一個Delta位勢阱的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。
在量子力學裏，**Delta位勢阱**是一個阱內位勢為負狄拉克Delta函數，阱外位勢為0的位勢阱。**Delta位勢阱問題**專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

定義
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一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!；
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，E\,\!是能量，\psi(x)\,\!是波函數，V(x)\,\!是位勢，表達為

V(x)=-\lambda \delta (x)\,\!；
其中，\delta (x)\,\!是狄拉克Delta函數，\lambda \,\!是狄拉克Delta函數的強度。

導引
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這位勢阱將一維空間分為兩個區域：x<0\,\!與x>0\,\!。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加（參閱自由粒子）：

\psi \_{L}(x)=A\_{r}e^{{ikx}}+A\_{l}e^{{-ikx}}\quad x<0\,\!，
\psi \_{R}(x)=B\_{r}e^{{ikx}}+B\_{l}e^{{-ikx}}\quad x>0\,\!；
其中，A\_r\,\!、A\_l\,\!、B\_r\,\!、B\_l\,\!都是必須由邊界條件決定的常數，下標r\,\!與l\,\!分別標記波函數往右或往左的方向。k={\sqrt {2mE/\hbar ^{{2}}}}\,\!是波數。 

當E>0\,\!時，\psi \_{L}\,\!與\psi \_{R}\,\!都是行進波。可是，當E<0\,\!時，\psi \_{L}\,\!與\psi \_{R}\,\!都隨著座標x\,\!呈指數遞減或指數遞增。

在x=0\,\!处，邊界條件是：

\psi \_{L}=\psi \_{R}\,\!，
{\frac {d}{dx}}\psi \_{L}={\frac {d}{dx}}\psi \_{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!。
特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在x=0\,\!並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於x=0\,\!的一個非常小的鄰域：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}V(x)\psi \,dx=E\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\psi \,dx\,\!；(1)
其中，\epsilon \,\!是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

E\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!。(2)
当\epsilon \to 0\,\!时，该項趋向于0。

方程式(1)左邊是

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{{\epsilon }}-{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{{-\epsilon }}\right)+\lambda \int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\delta (x)\psi \,dx=0\,\!(3)
根據狄拉克Delta函數的定義，

\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\delta (x)\psi \,dx=\psi \_{R}(0)\,\!。(4)
而在\epsilon \to 0\,\!的極限，

\lim \_{{\epsilon \to 0}}{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{{-\epsilon }}={\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{0}\,\!，(5)
\lim \_{{\epsilon \to 0}}{\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{{\epsilon }}={\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{0}\,\!。(6)
將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二個邊界條件方程式：在x=0\,\!，

{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}={\frac {d\psi \_{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!。
從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

A\_{r}+A\_{l}=B\_{r}+B\_{l}\,\!，
ik(A\_{r}-A\_{l}-B\_{r}+B\_{l})={\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B\_{r}+B\_{l})\,\!。
### 散射態

一個Delta位勢阱的反射係數R\,\!（用紅線表示）與透射係數T\,\!（用綠線表示）隨著能量E\,\!的變化。在這裏，能量E>0\,\!。能量的單位是{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。
假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，x<0\,\!或x>0\,\!。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態為**散射態**。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定A\_{r}=1\,\!，A\_{l}=r\,\!，B\_{l}=0\,\!，B\_{r}=t\,\!。求算反射的機率幅r\,\!與透射的機率幅t\,\!：

r=-\ {\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}+1}}\,\!，
t={\cfrac {1}{-\ {\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!。
反射係數是

R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!。
這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。

透射係數是

T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!。
* 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
* 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

### 束縛態

 Delta位勢阱的束縛態，在任何一個位置，波函數都是連續的；可是，除了在x=0\,\!以外，在其它任何位置，波函數隨位置的導數都是連續的。
每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個束縛態（）。由於E<0\,\!，波數變為複數。設定\kappa =-ik={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,\!。前述的振盪的波函數\psi \_{L}\,\!與\psi \_{R}\,\!，現在卻隨著座標x\,\!呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不發散於x\to \pm \infty \,\!。那麼，A\_r\,\!與B\_l\,\!必須被設定為0。波函數變為

\psi \_{L}(x)=A\_{l}e^{{\kappa x}}\,\!，
\psi \_{R}(x)=B\_{r}e^{{-\kappa x}}\,\!。
從邊界條件與歸一條件，可以得到

A\_{l}=B\_{r}={\sqrt {\kappa }}\,\!，
\kappa ={\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}}\,\!。
Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是

E=-\ {\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-\ {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}\,\!。
束縛態的波函數是

\psi (x)={\frac {{\sqrt {m\lambda }}}{\hbar }}e^{{-m\lambda \mid x\mid /\hbar ^{2}}}\,\!。
Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度V\_{0}\to \infty \,\!與阱寬L\to 0\,\!的極限，同時保持V\_{0}L=\lambda \,\!，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。

雙井迪拉克Delta函數模型
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当核间距R=2时，双势井狄拉克Delta函数模型中的对称与反对称的波函数
Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 达德利·赫施巴赫（"Dudley R. Herschbach"）團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)
電位現為：

{\displaystyle V(x)=-q\left[\delta (x-{\frac {R}{2}})+\lambda \delta (x+{\frac {R}{2}})\right]}
其中0<R<\infty 是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於x=\pm {\textstyle {\frac {R}{2}}}（圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用原子单位制且設\hbar =m=1。此處0<\lambda <1為一可調參數。從單井的例子，可推論擬設於此解為：

{\displaystyle \psi (x)~=~Ae^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}}
令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式：

\left|{\begin{array}{cc}q-d&qe^{{-dR}}\\q\lambda e^{{-dR}}&q\lambda -d\end{array}}\right|=0~,\qquad E=-{\frac {d^{2}}{2}}~.
因此，d是由偽二次式方程：

{\displaystyle d\_{\pm }(\lambda )~=~{\textstyle {\frac {1}{2}}}q(\lambda +1)\pm {\textstyle {\frac {1}{2}}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\,\lambda q^{2}\lbrack 1-e^{-2d\_{\pm }(\lambda )R}]\right\}^{1/2}}
它有兩解d=d\_{{\pm }}。若等價情況（對稱單核），\lambda =1則偽二次式化為：

d\_{{\pm }}=q[1\pm e^{{-d\_{{\pm }}R}}]
此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而A=B稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其A=-B稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維H\_{2}^{{+}}的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為：

{\displaystyle d\_{\pm }=q~+~W(\pm qRe^{-qR})/R}
其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解d\_{{+}}。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化朗伯W函数章節與相關參考）。

外部链接
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1. ↑  D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), *Dimensional Scaling in Chemical Physics*, Springer, (1992).  （页面存档备份，存于）
2. ↑  T.C. Scott, J.F. Babb, Alexander Dalgarno and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", *J. Chem. Phys.*, 99, pp. 2841-2854, (1993).

參閱
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* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta位勢壘
* 量子穿隧效應