在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」；源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。
對於與源位置的距離呈反比的位勢，其球多極展開所得到的係數稱為**球多極矩**（Spherical multipole moments）。例如，電勢、磁向量勢、重力勢等等，都是這種位勢。

點電荷案例
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給予在源位置 {\mathbf {r}}'=(r',\theta ',\phi ') 的電荷分佈，計算在場位置 {\mathbf {r}}=(r,\theta ,\phi ) 產生的電勢。
源位置為 {\mathbf {r}}^{{\prime }} 的點電荷 q ，其電勢 \Phi ({\mathbf {r}}) 在場位置 \mathbf {r}  為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r^{{\prime }}}}|}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}}}{\frac {1}{{\sqrt {r^{{2}}+r^{{\prime 2}}-2r^{{\prime }}r\cos \gamma }}}} ；
其中，\varepsilon \_{0} 是電常數，\gamma  是 \mathbf {r}  與 {\mathbf {r}}^{{\prime }} 之間的夾角。

假設 r'<r ，場位置比源位置離原點更遠，則此距離倒數函數 1/|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r^{{\prime }}}}| 以 r^{{\prime }}/r 的冪和勒壤得多項式展開為 ：

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}r}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\left({\frac {r^{{\prime }}}{r}}\right)^{{\ell }}P\_{{\ell }}(\cos \gamma ) 。
應用球餘弦定律（）， \cos \gamma  表示為

\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{{\prime }}+\sin \theta \sin \theta ^{{\prime }}\cos(\phi -\phi ^{{\prime }}) 。
這結果也可以直接用向量代數直接計算出來。

應用球諧函數加法定理，P\_{{\ell }}(\cos \gamma ) 又表示為

P\_{{\ell }}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }}) ；
其中，Y\_{{\ell m}} 是球諧函數。

將這方程式代入電勢的方程式，可以得到

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}r}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\left({\frac {r^{{\prime }}}{r}}\right)^{{\ell }}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }}) 。
點電荷的「球多極矩」 定義為

q\_{{\ell m}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ qr^{{\prime \ell }}Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }}) 。
則電勢的方程式又可寫為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {q\_{{\ell m}}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{{\ell +1}}}} 。
假設 r<r' ，場位置比源位置離原點更近，則此距離倒數函數 1/|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r^{{\prime }}}}| 可以以 r/r^{{\prime }} 的冪和勒壤得多項式展開：

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{{\prime }}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\left({\frac {r}{r^{{\prime }}}}\right)^{{\ell }}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }}) 。
點電荷的「內部球多極矩」（前述的球多極矩稱為外部球多極矩）定義為

I\_{{\ell m}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\frac {q}{\left(r^{{\prime }}\right)^{{\ell +1}}}}Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }}) 。
則電勢的方程式寫為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {I\_{{\ell m}}r^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}} 。

電荷密度案例
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前述多極展開方法可以推廣至電荷密度分佈。將點電荷 q 改換為微小電荷元素 \rho ({\mathbf {r}}^{{\prime }})d{\mathbf {r}}^{{\prime }} ，然後積分，則可得到電勢的方程式（假設 r'<r ）：

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {q\_{{\ell m}}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{{\ell +1}}}} ；
其中，電荷密度分佈的球多極矩定義為 q\_{{\ell m}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{{\mathbb {V}}'}}\rho ({\mathbf {r}}^{{\prime }})\left(r^{{\prime }}\right)^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }})\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}^{{\prime }} ，\mathbb{V}' 是積分體積。

特別注意，由於電勢 \Phi ({\mathbf {r}}) 為實值，這展開式的複共軛也是同樣正確的球多極展開式。然而，這樣做會導致球多極矩的定義式含有 Y\_{{\ell m}} 項目，而不是其複共軛數 Y\_{{\ell m}}^{\*} 。在某些領域，例如物理化學，這是一般常規。更詳盡資料，請參閱條目分子多極矩（）。

### 內部球多極矩

類似地，假設 r<r' ，場位置比源位置離原點更近，則電勢的方程式為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {I\_{{\ell m}}r^{{\ell }}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}} ；
其中，電荷密度分佈的內部球多極矩定義為 I\_{{\ell m}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}^{{\prime }})Y\_{{\ell m}}^{{\*}}(\theta ^{{\prime }},\phi ^{{\prime }})}{\left(r^{{\prime }}\right)^{{\ell +1}}}}\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}^{{\prime }} 。

兩個球多極矩之間的相互作用能
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兩個互不重疊，同心的電荷分佈可以用簡單公式來描述。設定第一個電荷分佈 \rho \_{{1}} 在第二個電荷分佈 \rho \_{{2}} 的內部，則由 \rho \_{{1}} 所產生的電勢 \Phi \_{{1}} ，因為作用於 \rho \_{{2}} 而涉及的相互作用能 U 為

U=\int \_{{{\mathbb {V}}}}\rho \_{{2}}({\mathbf {r}})\Phi \_{{1}}({\mathbf {r}})\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}} 。
電勢 \Phi \_{{1}}({\mathbf {r}}) 可以以外部球多極矩展開為

\Phi \_{1}({\mathbf {r}})={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {q\_{{1\ell m}}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{{\ell +1}}}} ；
其中，q\_{{1\ell m}} 是第一個電荷分佈的 \ell m 外部球多極矩。

將這方程式代入相互作用能 U 的方程式，可以得到

U={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {q\_{{1\ell m}}}{2\ell +1}}\int \_{{{\mathbb {V}}}}{\frac {\rho \_{{2}}({\mathbf {r}})Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )}{r^{{\ell +1}}}}\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}} 。
注意到其積分項目等於 \rho \_{{2}}({\mathbf {r}}^{{\prime }}) 的內部球多極矩 I\_{{2\ell m}} 的複共軛數，相互作用能 U 的方程式約化為簡單形式

U={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {q\_{{1\ell m}}I\_{{2\ell m}}^{{\*}}}{2\ell +1}} 。
這方程式可以用來計算，原子核產生的電勢因為與其周圍的原子軌域耦合而涉及的相互作用能。反過來，給定相互作用能與電子軌域的內部球多極矩，則可以計算原子核的外部球多極矩，從而得知其形狀。

軸對稱特別案例
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假設電荷密度為「軸對稱」，即與方位角 \phi ^{{\prime }} 無關，則球多極展開式的形式很簡單。在 q\_{{\ell m}} 與 I\_{{\ell m}} 的定義式內，對於 \phi ^{{\prime }} 積分，則可以發覺除了 m=0 球多極矩以外，其它球多極矩都等於零。應用數學恆等式

P\_{{\ell }}(\cos \theta )={\sqrt {{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}Y\_{{\ell 0}}(\theta ,\phi ) ，
軸對稱球多極矩定義為

q\_{{\ell }}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{4\pi }}}}\ \rho ({\mathbf {r}}^{{\prime }})\left(r^{{\prime }}\right)^{{\ell }}P\_{{\ell }}(\cos \theta ^{{\prime }})\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}^{{\prime }} ，
則外部球多極展開式為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}{\sqrt {{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}\ {\frac {q\_{{\ell }}P\_{{\ell }}(\cos \theta )}{r^{{\ell +1}}}} 。
類似地，軸對稱內部球多極矩定義為

I\_{{\ell }}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{4\pi }}}}\ {\frac {\rho ({\mathbf {r}}^{{\prime }})}{\left(r^{{\prime }}\right)^{{\ell +1}}}}P\_{{\ell }}(\cos \theta ^{{\prime }})\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}^{{\prime }} ，
內部球多極展開式為

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}{\sqrt {{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}I\_{{\ell }}r^{{\ell }}P\_{{\ell }}(\cos \theta ) 。

球多極矩的表達式
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注意到 q\_{{\ell (-m)}}=(-1)^{m}q\_{{\ell m}}^{\*} 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係：

{\displaystyle {\begin{aligned}q\_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q\_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p\_{x}-ip\_{y})\\q\_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta '}\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p\_{z}\\q\_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q\_{11}-2iQ\_{12}-Q\_{22})\\q\_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q\_{13}-iQ\_{33})\\q\_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int \_{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q\_{33}\end{aligned}}} 。
其中，(p\_{x},p\_{y},p\_{z}) 是笛卡兒電偶極矩，Q\_{{ij}} 是笛卡兒電四極矩（）。

參閱
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* 立體調和函數（）
* 圓柱多極矩

參考文獻
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1. ↑  Griffiths, David J. Prentice Hall: pp. 146–148, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 1 2 3  Jackson, John David,  3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結
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