**二元运算**是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說，整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。

定义
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**二元運算的定義** — 给定集合 A，二元函数 {\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A} 称为集合 A 上的**二元运算**。

直觀上，也就是集合 A 裡的一組數 {\displaystyle (a,\,b)} 都對應一個 A 裡的數值 {\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)} ，那對應規則的整體 {\mathrm {F}} 就是所謂的二元運算。

{\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)} 通常写为 {\displaystyle a\mathrm {F} b} ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 {\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A} 這個符號本身就保證了：「只要 {\displaystyle a,\,b\in A} 就會有 {\displaystyle a\mathrm {F} b\in A} 」，這個性質也稱為（二元）運算**封閉性**。

常用性质和术语
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关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

### 幺元

设 \circ: {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A 上的二元运算，{\displaystyle i\in A}，则：

* 称 i 为 A 在 \circ 下的**左幺元**，若 i 满足：{\displaystyle \forall a\in A,i\circ a=a}；
* 称i 为 A 在 \circ 下的**右幺元**，若 i 满足：{\displaystyle \forall a\in A,a\circ i=a}；
* 称 i 为 A 在 \circ 下的**幺元**，若 i 满足：i 既是 A 在二元运算 \circ 下的左幺元，又是 A 在二元运算 \circ 下的右幺元。

### 逆元

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，{\displaystyle a,b\in A},i是A在\circ下的幺元。则：

* 称a是b在\circ下的**左逆元**，若a,b满足：{\displaystyle a\circ b=i}。
* 称a是b在\circ下的**右逆元**，若a,b满足：{\displaystyle b\circ a=i}。
* 称a是b在\circ下的**逆元**，若a,b满足：a既是b在\circ下的**左逆元**，又是b在\circ下的**右逆元**。（显然此时b也是a的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素a的逆元通常记为a^{{-1}}。

### 零元

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，{\displaystyle z\in A}，则：

* 称z为A在\circ下的**左零元**，若z满足：{\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z}；
* 称z为A在\circ下的**右零元**，若z满足：{\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z}；
* 称z为A在\circ下的**零元**，若z满足：z既是A在\circ下的左零元，又是A在\circ下的右零元。

### 零因子

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，{\displaystyle a\in A}且{\displaystyle a\neq z},z是A在\circ下的零元。则：

* 称a是A中在\circ下的**左零因子**，若a满足：{\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}，使{\displaystyle a\circ b=z}。
* 称a是A中在\circ下的**右零因子**，若a满足：{\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}，使{\displaystyle b\circ a=z}。
* 称a为A在\circ下的**零因子**，若a满足：a既是A在\circ下的左零因子，又是A在\circ下的右零因子。

### 交換律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，则：
称\circ满足**交换律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}；

### 结合律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，则：
称\circ满足**结合律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}；

### 消去律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，则：

称\circ满足**左消去律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b}

称\circ满足**右消去律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c}

称\circ满足**消去律**，若\circ同时满足左消去律与右消去律。

### 幂等律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，则：
称\circ满足**幂等律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a}；

### 幂幺律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，i是A在\circ下的幺元，
则：称\circ满足**幂幺律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i}（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

### 幂零律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的二元运算，z是A在\circ下的零元，
则：称\circ满足**幂零律**，若\circ满足：{\displaystyle \forall a\in A}，有{\displaystyle a\circ a=z}（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

### 分配律

设\circ: {\displaystyle A\times A\to A}和{\displaystyle \diamond }: {\displaystyle A\times A\to A}是集合A上的两个二元运算，则：

* 称\circ对{\displaystyle \diamond } 满足**左分配律**，若\circ，{\displaystyle \diamond } 满足：{\displaystyle \forall a,b,c\in A}，有{\displaystyle a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c}；
* 称\circ对{\displaystyle \diamond } 满足**右分配律**，若\circ，{\displaystyle \diamond } 满足：{\displaystyle \forall a,b,c\in A}，有{\displaystyle (b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a}；
* 称\circ对{\displaystyle \diamond } 满足**分配律**，若\circ對{\displaystyle \diamond } 滿足左分配律以及右分配律；

  


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| * 
* 论
* 编
二元运算的性質 |
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| 閉包（封閉律） · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 冪等律 · 冪零律 |
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| 結合性 | 结合律 · 冪結合性 |
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| 交錯性 | 交換律 · 反交換律 |
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| 單位元 | 加法單位元 · 乘法單位元素 · 有单位的 |
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| 逆元素 | 加法逆元 · 乘法反元素 |

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