拋物線坐標系的綠色的 \sigma  等值曲線和紅色的 \tau  等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。
**拋物線坐標系**（英語：）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

二維拋物線坐標系
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直角坐標 (x,\ y) 可以用二維拋物線坐標 (\sigma ,\ \tau ) 表示為

x=\pm \,\sigma \tau  、
y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2}}-\sigma ^{{2}}\right) ；
其中，\sigma \geq 0 ，\tau \geq 0 。

反算回來，二維拋物線坐標 (\sigma ,\ \tau ) 可以用直角坐標 (x,\ y) 表示為

\sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} 、
\tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} 。
坐標 \sigma  為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

2y={\frac {x^{{2}}}{\sigma ^{{2}}}}-\sigma ^{{2}} ，
而坐標 \tau  為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

2y=-{\frac {x^{{2}}}{\tau ^{{2}}}}+\tau ^{{2}} 。
這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子
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拋物線坐標 (\sigma ,\ \tau ) 的標度因子相等：

h\_{{\sigma }}=h\_{{\tau }}={\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}} 。
因此，面積的無窮小元素是

dA=\left(\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}\right)d\sigma d\tau  。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\left({\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \sigma ^{{2}}}}+{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \tau ^{{2}}}}\right) 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} ， \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\sigma ,\ \tau ) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系
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三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 \tau =2 。藍色的拋物曲面的坐標 \sigma=1 。黃色的半平面的坐標 \phi =-60^{\circ } 。三個面相交於點 {\mathbf {P}}=(1.0,-1.732,1.5) （以黑色小球表示）。
將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為**旋轉拋物線坐標系**。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 (x,\ y,\ z) 可以用三維拋物線坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 表示為

x=\sigma \tau \cos \phi  、
y=\sigma \tau \sin \phi  、
z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2}}-\sigma ^{{2}}\right) ；
其中，\sigma \geq 0 ，\tau \geq 0 ，方位角 \phi  定義為

\tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi  。
反算回來，三維拋物線坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 表示為

\sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、
\tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、
\phi =\tan ^{{-1}}{\frac {y}{x}} 。
每一個 \sigma -坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）**拋物曲面**：

2z={\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{\sigma ^{{2}}}}-\sigma ^{{2}} ，
而每一個 \tau >-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）**拋物曲面**：

2z=-{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{\tau ^{{2}}}}+\tau ^{{2}} 。
這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子
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三維標度因子為：

h\_{{\sigma }}={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}} 、
h\_{{\tau }}={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}} 、
h\_{{\phi }}=\sigma \tau \, 。
我們可以觀察出，標度因子 h\_{{\sigma }} ， h\_{{\tau }} 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

dV=h\_{\sigma }h\_{\tau }h\_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi  。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}} 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} ， \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述
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另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

\eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} 、
\xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} 、
\phi =\arctan {y \over x} 。
假若 \phi=0 ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 x\geq 0 的 +xz-半平面：

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}} 、
\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}} 。
假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \eta  是一個常數，\eta =c ，則

\left.z\right|\_{{\eta =c}}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2} 。
這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \xi 是一個常數，\xi =b ，則

\left.z\right|\_{{\xi =b}}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b} 。
這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 \eta =c 與任何一條向下的拋物線 \xi =b ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

{x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b} 。
稍微計算，可得

x={\sqrt {bc}} 。
將相交點的横坐標 x 代入向上的拋物線的公式，

z\_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2} 。
所以，相交點 P 坐標為 \left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right) 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

{\frac {dz\_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {{\frac {b}{c}}}}=s\_{c} 。
向下的拋物線的切線的斜率為

{dz\_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s\_{b} 。
兩個斜率的乘積為

s\_{c}s\_{b}=-1 。
所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 \phi \neq 0 。讓 \phi  值從 {\displaystyle 0} 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 \phi  值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi  、
y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi  、
z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ) 。

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* 论
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參考文獻
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* Margenau H, Murphy GM.. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Sauer R, Szabó I.. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Zwillinger D.. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Moon P, Spencer DE..  corrected 2nd ed. 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

1. ↑  Menzel, Donald H.. United States of America: Dover Publications. 1961: pp. 139. ISBN 978-0486600567 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)