圖 1 ）圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 \sigma =30^{{\circ }} 。藍色環面的 \tau =0.5 。黃色半平面的 \phi =60^{{\circ }} 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.996,\ -1.725,\ 1.911) 。
圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ \sigma -坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ \tau -坐標曲面）。
**圓環坐標系**（英語：）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F\_{{1}} 與 F\_{{2}} 的直角坐標分別為 (-a,\ 0,\ 0) 與 (a,\ 0,\ 0) 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 a 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為**焦圓**，又稱為**參考圓**。

數學定義
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在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 最常見的定義是

x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi  、
y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi  、
z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }} ；
其中，(x,\ y,\ z) 是直角坐標，\sigma  坐標是 \angle F\_{{1}}PF\_{{2}} 的弧度，\tau  坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數：

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}} 。
圓環坐標的值域為 -\pi <\sigma \leq \pi  ，\tau \geq 0 ， 0\leq \phi <2\pi  。

### 坐標曲面

每一個 \sigma -坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }} 。
正值 \sigma  的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 \sigma  的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 \left|\sigma \right| 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，\left|\sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。

每一個 \tau -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

z^{{2}}+\left({\sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}-a\coth \tau \right)^{{2}}={\frac {a^{{2}}}{\sinh ^{{2}}\tau }} 。
\tau =0 曲線與 z-軸同軸。當 \tau  值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

### 逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 \sigma  與 \tau  的幾何詮釋。在一個方位角 \phi  為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。\overline {F\_{1}P} 與 \overline {F\_{2}P} 的夾角 \angle F\_{{1}}PF\_{{2}} 的弧度是 \sigma  。F\_{1}P 與 F\_{2}P 的比例的自然對數是 \tau  。\sigma  與 \tau  的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。
\tau  是 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數：

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}} 。
圓環坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表達。方位角 \phi  的公式為

\tan \phi ={\frac {y}{x}} 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是

d\_{{1}}^{{2}}=({\sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}+a)^{{2}}+z^{{2}} 、
d\_{{2}}^{{2}}=({\sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}-a)^{{2}}+z^{{2}} 。
如圖 3 ，\angle F\_{1}PF\_{2} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline {F\_{1}P} 與 \overline {F\_{2}P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma  。用餘弦定理來計算：

\cos \sigma ={\frac {d\_{1}^{2}+d\_{2}^{2}-4a^{2}}{2d\_{1}d\_{2}}} 。
### 標度因子

圓環坐標 \sigma  與 \tau  的標度因子相等：

h\_{{\sigma }}=h\_{{\tau }}={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }} 。
方位角的標度因子為

h\_{{\phi }}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }} 。
無窮小體積元素是

dV={\frac {a^{{3}}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{{3}}}}d\sigma d\tau d\phi  。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{{3}}}{a^{{2}}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}}\right] 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} 、\nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\sigma ,\ \tau ,\ z) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
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圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

參閱
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* 國際熱核聚變實驗反應堆


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* 论
* 编
正交坐标系 |
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| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

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* 直角坐标系
* 圆柱坐标系
* 球坐标系
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* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

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參考文獻
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* Arfken G.  2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Andrews, Mark.. Journal of Electrostatics. 2006, **64**: 664–672.

參考目錄
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* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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* Moon PH, Spencer DE..  2nd ed. 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)