一只黑乌鸦
非黑非乌鸦
**乌鸦悖论**（英語：），也叫做**亨佩尔的乌鸦**或**亨佩尔悖论**，是1940年代德国逻辑学家卡尔·亨普尔为了说明归纳法违反直觉而提出的一个悖论。

问题的综述
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几千年以来，无数人观察了许多事务，比如地心引力法则，人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成"归纳法原理"：

如果实例 *X* 被观察到和论断 *T* 相符合，那么论断 *T* 正确的概率增加。
亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子： "所有乌鸦都是黑色的"论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后，我们对"所有乌鸦都是黑的"的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。

现在问题出现了。"所有乌鸦都是黑的" 的论断在逻辑上和"所有不是黑的东西不是乌鸦"等价。如果我们观察到一個红苹果，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增加我们对"所有不是黑的东西不是乌鸦"的信任度，因此更加确信"所有的乌鸦都是黑的！"这个问题被总结成：


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| 余未嘗見有紫牛，
然苟余或遇其一，
則烏鴉俱黑者，
豈其益發可信兮？ | -{*I never saw a purple cow*
*But if I were to see one*
*Would the probability ravens are black*
*Have a better chance to be one?*}- |
| （改寫自吉利特·伯吉斯（英语：）的诗） |

解决提議
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解决它和直觉的冲突，哲学家们提出了一些方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼建议对我们的推理添加一些限制，比如永远不要考虑支持论断"所有P满足Q"且同时也支持"没有P满足Q" 的实例。

其他一些哲学家质疑"等价原理"。也许红苹果能够增加我们对论断"所有不是黑的东西不是乌鸦"的信任度，而不增加我们对 "所有乌鸦都是黑色的"信任。这个提议受到质疑，因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度，如果你知道他们都是真的或都是假的。

古德曼，以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因，使用术语「*projectible predicate*」来描述这些类似于「乌鸦」和「黑色」的命题，所有这类命题是支持归纳推理法的；而「非projectible predicate」则为与之相反的后者，如「非黑」和「非乌鸦」这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想：如果任何命题是projectible的；在无限物件组成的全集中，一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。 

这样一来，虽然「所有乌鸦都是黑的」和「所有不是黑的东西都不是乌鸦」这两个命题所拥有的信任度必须相等，但只有「黑色的乌鸦」才能同时增加两者的信任度，而「非黑色的非乌鸦」并不增加任何一个命题的信任度。

还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的，出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性！这就相当于：如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看，而你发现所有的物体都不是乌鸦，那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑的了。这个「悖论」看上去荒谬只是因为宇宙中「不是黑的」物体远远多于「乌鸦」，所以发现一个「不是黑的」物体只增加了极其微小的对于「乌鸦都是黑的」的信任度，而相对而言，每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的证据了。

### 贝叶斯定理

除了以上的陈述以外，「归纳法原理」还有另一种形式，就是贝叶斯推理。

设 *X* 为支持论断 *T* 的一个实例，而 *I* 表示我们所有的已知信息。

\Pr(\bullet |\circ ) 表示论断 *T* 成立的几率，已知 *X* 和 *I* 都是成立的，可以推得，

\Pr(T|XI)={\frac {\Pr(T|I)\cdot \Pr(X|TI)}{\Pr(X|I)}}
这里 Pr(T|I) 表示在只有 *I* 是已知成立的情况下，*T* 成立的几率；Pr(X|TI) 表示在 *T* 和 *I* 都已知成立的情况下，*X* 成立的几率；而 Pr(X|I) 表示在只有 *I* 是已知成立的情况下，*X* 成立的几率。

利用这个原理，这个悖论就不会出现了。如果有人随机选一个「**苹果**」，那么他看到一个红苹果的几率和「**乌鸦**」的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母，所以分数等于1，所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

而如果那人是随机选择一个非黑的「物件」，那个物件正好是一个红的苹果，那么我们會得到一个分子大于分母的，几乎等于一的假分数。所以在这个情况下，看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

其实，随着一个人看到的不是黑色的东西的增加（并发现其中没有乌鸦），「乌鸦都是黑色的」的几率会趋向于1。

参见
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* 贝叶斯定理
* 贝叶斯推理
* 白马非马

参考书目
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* Hempel, C. G. *A Purely Syntactical Definition of Confirmation.* J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943.
* Hempel, C. G. *Studies in Logic and Confirmation.* Mind 54, 1-26, 1945.
* Hempel, C. G. *Studies in Logic and Confirmation. II.* Mind 54, 97-121, 1945.
* Hempel, C. G. *Studies in the Logic of Confirmation.* In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin （页面存档备份，存于），eds. *Probability, Confirmation, and Simplicity*. New York: Odyssey Press, 1966. Pp 145-183
* Falletta, Nicholas. *The Paradoxicon: a Collection of Contradictory Challenges, Problematical Puzzles, and Impossible Illustrations*. 1983. Pp 126-131. ISBN 0385179324

外部链接
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* （英文）PRIME Encyclopedia

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