「」至此。關於状态方程，請見「**理想气体状态方程**」。
**克劳修斯-克拉伯龙方程**（英語：）是用于描述单组分系统在相平衡时氣壓随温度的变化率的方法，以鲁道夫·克劳修斯和埃米尔·克拉伯龙命名。

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}T}}={\frac {L}{T\,\Delta V}}
此处\mathrm{d}P/\mathrm{d}T是压强随温度的变化率，L是相变焓（早年称为潜热），T是相平衡温度，\Delta V是相变过程中的比容变化。

推导
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### 从状态假设出发进行的推导

使用热力学状态假设，以s代表均质物质的比熵得出比容v和温度T的方程

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)\_T \mathrm{d} v + \left(\frac {\partial s}{\partial T}\right)\_v \mathrm{d} T.
在相变过程中，温度保持不变，于是

{\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)\_{T}\mathrm {d} v}。
使用麦克斯韦关系式，可以得到

{\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{v}\mathrm {d} v}。
因为相变之中温度和压力都不变，所以压力对温度的导数并不是比容的函数，于是其中偏微分可以变成全微分，可以求得积分关系

s\_{\beta} - s\_{\alpha} = \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} (v\_{\beta} - v\_{\alpha}),
{\displaystyle {\frac {dP}{dT}}={\frac {s\_{\beta }-s\_{\alpha }}{v\_{\beta }-v\_{\alpha }}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}}}。
这里\Delta s\equiv s\_{\beta}-s\_{\alpha}以及\Delta v\equiv v\_{\beta}-v\_{\alpha}分别是比熵和比容从初相态\alpha 到末相态\beta 的变化。

对于一个内部经历可逆过程的封闭系统，热力学第一定律表达式为

\mathrm{d} u = \delta q + \delta w = T\;\mathrm{d} s - P\;\mathrm{d} v.\,
使用焓的定义，并考虑到温度和压力为常数

{\displaystyle \mathrm {d} u+P\;\mathrm {d} v=dh=T\;\mathrm {d} s\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} h}{T}}\Rightarrow \Delta s={\frac {\Delta h}{T}}={\frac {L}{T}}}。
将这一关系带入压力的微分的表达式，可以得到

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {L}{T \Delta v}
这是克拉佩龙方程。

### 从吉布斯-杜亥姆方程进行推导

假设两个相态\alpha 和\beta 相互关联且达到相平衡，则其化学势的关系为\mu\_{\alpha} = \mu\_{\beta}。沿着共存曲线，我们也可以得到\mathrm{d}\mu\_{\alpha} = \mathrm{d}\mu\_{\beta}。现在用吉布斯-杜安方程\mathrm{d}\mu = M(-s\mathrm{d}T + v\mathrm{d}P)，其中s和v分别是比熵和比容，M是摩尔质量，可得到

-(s\_{\beta}-s\_{\alpha}) \mathrm{d}T + (v\_{\beta}-v\_{\alpha}) \mathrm{d}P = 0. \,
因此，整理后得到

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {s\_{\beta }-s\_{\alpha }}{v\_{\beta }-v\_{\alpha }}}}。
如同上面推导的延伸。

### 使用理想气体状态方程近似

对于有气相参加的相变过程，气相比容v\_{\mathrm{g}}要远远大于固体或液体的体积v\_{\mathrm{c}}，所以固体和液体的体积可以忽略\Delta v =v\_{\mathrm{g}}\left(1-\tfrac{v\_{\mathrm{c}}}{v\_{\mathrm{g}}}\right)\approx v\_{\mathrm{g}}在较低的压力和气体分子间作用力的前提下，气体可以近似视为理想气体，v\_{\mathrm{g}} = R T / P,此处R是个別气体常数。于是

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {PL}{T^{2}R}}}。
这就被称为克劳修斯-克拉佩龙方程。一般来说，相变焓L是温度的函数，但如果相变焓随温度变化不大，那么可以积分得

\frac {\mathrm{d} P}{P} = \frac {L}{R} \frac {\mathrm{d}T}{T^2},
\int\_{P\_1}^{P\_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} = \frac {L}{R} \int \frac {\mathrm{d} T}{T^2}
\left. \ln P\right|\_{P=P\_1}^{P\_2} = -\frac{L}{R} \cdot \left.\frac{1}{T}\right|\_{T=T\_1}^{T\_2}
或者形式为
\ln \frac {P\_2}{P\_1} = \frac {L}{R} \left ( \frac {1}{T\_1} - \frac {1}{T\_2} \right )
这里(P\_1,T\_1)和(P\_2,T\_2)是P-T图上的两个点，这是很有用的一个关系，因为他联系了饱和蒸汽压、温度和相变焓。不需要比容的数据，就可以估算饱和蒸汽压随温度变化的关系。

参考文献
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1. ↑  Clausius, R. Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen. Annalen der Physik, 155: 500–524 (1850). doi:10.1002/andp.18501550403
2. ↑  Clapeyron, M. C. Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur. （页面存档备份，存于） Journal de l'École polytechnique 23: 153–190 (1834). ark:/12148/bpt6k4336791/f157
3. 1 2 3 4 5 6 7 8  Wark, Kenneth..  5th. New York, NY: McGraw-Hill, Inc. 1988 [1966]. ISBN 0-07-068286-0.
4. ↑  Carl Rod Nave.. HyperPhysics. Georgia State University. 2006  [2007-10-16]. （原始内容存档于2007-10-29）.
5. 1 2  Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A.. McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering 3rd. Boston, MA.: McGraw-Hill. 1998 [1989]. ISBN 0-07-011927-9.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
6. ↑  Salzman, William R.. Chemical Thermodynamics. University of Arizona. 2001-08-21  [2007-10-11]. （原始内容存档于2007-06-07）.

参见
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* 范特霍夫方程
* 安托万方程