**条件收敛**是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为**条件可积**函数。

详细定义
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### 条件收敛的级数

给定一个实数项无穷级数A=\sum \_{{n}}a\_{n}，如果它自身收敛于一个定值C\in {\mathbb {R}}：

\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{n}=C,
但由每一项的绝对值构成的正项级数：A\_{s}=\sum \_{{n}}|a\_{n}|不收敛：

\sum \_{{n=1}}^{\infty }|a\_{n}|=\infty ,
那么就称这个无穷级数A=\sum \_{{n}}a\_{n}是一个条件收敛的无穷级数。

### 条件收敛的广义积分

给定一个在区间[a,\infty )上有定义的函数f(x)，如果f(x)在任意的闭区间[a, b]上都可积，并且广义积分：

\int \_{{a}}^{{+\infty }}f(x){\mathrm {d}}x=\lim \_{{b\to +\infty }}\int \_{{a}}^{b}f(x){\mathrm {d}}x
收敛，而函数绝对值的广义积分：

\int \_{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|{\mathrm {d}}x=\lim \_{{b\to +\infty }}\int \_{{a}}^{b}|f(x)|{\mathrm {d}}x
发散，那么就称广义积分\int \_{{a}}^{{+\infty }}f(x){\mathrm {d}}x条件收敛。

例子
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### 无穷级数

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

A\_{{h}}=1-{\frac 12}+{\frac 13}-{\frac 14}+\cdots =\sum \_{{n}}{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}
它收敛到定值：\ln 2，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：H=\sum \_{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}{\bigg |}=\sum \_{{n}}{\frac {1}{n}}叫做调和级数，是发散的。

\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .
### 广义积分

条件收敛的广义积分的一个例子是函数：\frac{\sin x}{x}在正实数轴上的积分：

I=\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x
任取实数a > 1，运用分部积分法可以得到：

\int \_{{1}}^{{a}}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int \_{{1}}^{{a}}{\frac {\cos x}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x
而对任意的正实数A,B>1：

{\Bigg |}\int \_{{A}}^{{B}}{\frac {\cos x}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x{\Bigg |}\leqslant \int \_{{A}}^{{B}}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x\leqslant \int \_{{A}}^{{B}}{\frac {1}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x\leqslant {\frac {1}{A}}
由柯西收敛原理可知广义积分\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\cos x}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x收敛，所以

\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x=\lim \_{{a\to +\infty }}\int \_{{1}}^{{a}}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x=\cos 1-\lim \_{{a\to +\infty }}{\frac {\cos a}{a}}-\lim \_{{a\to +\infty }}\int \_{{1}}^{{a}}{\frac {\cos x}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x=\cos 1-\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\cos x}{x^{2}}}{\mathrm {d}}x
即积分：I=\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x收敛。但是，绝对值函数的积分：I\_{s}=\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}{\mathrm {d}}x不收敛。这是因为对任意自然数k，积分：

I\_{k}=\int \_{{k\pi }}^{{(k+1)\pi }}{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}{\mathrm {d}}x\geqslant \int \_{{k\pi }}^{{(k+1)\pi }}{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}{\mathrm {d}}x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}
所以

I\_{s}=\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}{\mathrm {d}}x\geqslant \sum \_{{k=1}}^{{+\infty }}I\_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum \_{{k=1}}^{{+\infty }}{\frac {1}{k+1}}=+\infty 
因此，积分I=\int \_{{1}}^{{+\infty }}{\frac {\sin x}{x}}{\mathrm {d}}x是条件收敛的。

相关定理
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* 黎曼级数定理：假设\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数C，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)，使得

\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{{\sigma (n)}}=C.
此外，也存在另一种排列\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)，使得

\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{{\sigma '(n)}}=\infty .
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于-\infty ，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

参见
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* 无条件收敛
* 绝对收敛

参考来源
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1. ↑  J. A. Fridy.. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
2. 1 2  清华大学数学科学系.. 北京: 清华大学出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171.
3. 1 2  S. Ponnusamy.. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.