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埃爾溫·薛丁格
**薛丁格繪景**（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從t\_{0}流易到t，而經過這段時間間隔，態向量|\psi (t\_{0})\rangle 演化為態向量|\psi (t)\rangle ，這時間演化過程以方程式表示為

|\psi (t)\rangle =U(t,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle ；
其中，U(t,t\_{0})是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為

U(t,t\_{0})=e^{-iH(t-t\_{0})/\hbar }；
其中，\hbar 是約化普朗克常數，指數函數e^{-iH(t-t\_{0})/\hbar }必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符
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### 定義

時間演化算符U(t,\,t\_{0})定義為

|\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle ；
其中，右矢|\psi (t)\rangle 表示時間為t的態向量，U(t,\,t\_{0})是時間演化算符，從時間t演化到時間t\_{0}。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符U(t,\,t\_{0})作用於時間是t\_{0}的態向量|\psi (t\_{0})\rangle ，則會得到時間是t的態向量|\psi (t)\rangle 。

類似地，也可以用左矢\langle \psi |來定義：

\langle \psi (t)|=\langle \psi (t\_{0})|U^{\dagger }(t,\,t\_{0})；
其中，算符U^{\dagger }是算符U的厄米共軛。

### 性質

#### 幺正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle 。
可是，

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t\_{0})|U^{\dagger }(t,\,t\_{0})U(t,\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle 。
所以，

U^{\dagger }(t,\,t\_{0})U(t,\,t\_{0})=I ;
其中，I是單位算符。

#### 單位性

時間演化算符U(t\_{0},\,t\_{0})必須是單位算符U(t\_{0},\,t\_{0})=I，因為，

|\psi (t\_{0})\rangle =U(t\_{0},\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle 。
#### 閉包性

從初始時間t\_{0}到最後時間t的時間演化算符，可以視為從中途時間t\_{1}到最後時間t的時間演化算符，乘以從初始時間t\_{0}到中途時間t\_{1}的時間演化算符：

U(t,\,t\_{0})=U(t,\,t\_{1})U(t\_{1},\,t\_{0})。
根據時間演化算符的定義，

|\psi (t\_{1})\rangle =U(t\_{1},\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle ，
|\psi (t)\rangle =U(t,\,t\_{1})|\psi (t\_{1})\rangle 。
所以，

|\psi (t)\rangle =U(t,\,t\_{1})U(t\_{1},\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle 。
可是，再根據定義，

|\psi (t)\rangle =U(t,\,t\_{0})|\psi (t\_{0})\rangle 。
所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

U(t,\,t\_{0})=U(t,\,t\_{1})U(t\_{1},\,t\_{0})。
### 時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定t\_{0}=0，初始時間t\_{0}永遠是{\displaystyle 0 }，則可忽略時間演化算符的t\_{0}參數，改寫為U(t)。含時薛丁格方程式為

i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ；
其中，H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle 。
由於|\psi (0)\rangle 可以是任意恆定態向量（處於t=0的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)。
假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

U(t)=e^{-iHt/\hbar }。
注意到在時間t=0，時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由於H是算符，指數函數e^{-iHt}必須通過其泰勒級數計算：

e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots 。
按照時間演化算符的定義，在時間t，態向量為

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle 。
注意到|\psi (0)\rangle 可以是任意態向量。假設初始態向量|\psi (0)\rangle 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是E，則在時間t，態向量為

|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle 。
這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int \_{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)。
假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int \_{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)；
其中，T是時間排序算符。

必須用戴森級數（英语：）來表示，

U(t)=1+\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int \_{0}^{t}dt\_{1}\int \_{0}^{t\_{1}}dt\_{2}\dots \int \_{0}^{t\_{n-1}}dt\_{n}H(t\_{1})H(t\_{2})\dots H(t\_{n})。

各種繪景比較摘要
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為了便利分析，位於下標的符號{\displaystyle {\mathcal {H}}}、{\displaystyle {\mathcal {I}}}、{\mathcal {S}}分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：


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| 右矢 | 常定 | {\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {I}}=e^{iH\_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}} | {\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}} |
| 可觀察量 | {\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A\_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }} | {\displaystyle A\_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH\_{0}t/\hbar }A\_{\mathcal {S}}e^{-iH\_{0}t/\hbar }} | 常定 |
| 密度算符 | 常定 | {\displaystyle \rho \_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH\_{0}t/\hbar }\rho \_{S}(t)e^{-iH\_{0}t/\hbar }} | {\displaystyle \rho \_{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho \_{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }} |
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參閱
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* 哈密頓-亞可比方程式

參考文獻
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1. 1 2 3 4 5 6  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim,  2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
2. ↑  Parker, C.B.  2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
3. ↑  Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht.. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.
4. ↑  Robert D. Klauber.  (PDF). Sandtrove Press. 2013  [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-22）.

* Shankar, R.  2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.


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