两个正实数x和y的**算术-几何平均数**定义如下：

首先计算x和y算术平均数（相加平均），称其为a\_{1}。然后计算x和y几何平均数（相乘平均），称其为g\_{1}；这是xy的算术平方根。

a\_{1}={\frac {x+y}{2}}
g\_{1}={\sqrt {xy}}.
然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列\{a\_{n}\}和\{g\_{n}\}：

a\_{{n+1}}={\frac {a\_{n}+g\_{n}}{2}}
g\_{{n+1}}={\sqrt {a\_{n}g\_{n}}}.
这两个数列收敛于相同的数，这个数称为x和y的**算术-几何平均数**，记为{\displaystyle M(x,y)}，或{\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)}。

例子
--

欲计算{\displaystyle a\_{0}=24}和{\displaystyle g\_{0}=6}的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

a\_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,
{\displaystyle g\_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,}{\displaystyle 12}
然后进行迭代：

a\_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,
{\displaystyle g\_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,}{\displaystyle 13.416407864999} etc.
继续计算，可得出以下的值：

| *n* | *a**n* | *g**n* |
| --- | --- | --- |
| 0 | 24 | 6 |
| 1 | 15 | 12 |
| 2 | 13.5 | 13.416407864999... |
| 3 | 13.458203932499... | 13.458139030991... |
| 4 | 13.458171481745... | 13.458171481706... |

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质
--

{\displaystyle M(x,y)}是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r>0，则{\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)}。

{\displaystyle M(x,y)}还可以写为如下形式：

\mathrm{M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}
其中K(x)是第一类完全椭圆积分。

1和{\sqrt {2}}的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

{\frac {1}{\mathrm{M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots

存在性的证明
------

由算术几何不等式可得

g\_{n}\leqslant a\_{n}
因此

g\_{{n+1}}={\sqrt {g\_{n}\cdot a\_{n}}}\geqslant {\sqrt {g\_{n}\cdot g\_{n}}}=g\_{n}
这意味着 \{g\_{n}\} 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（x,y 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 g 使得:

\lim \_{{n\to \infty }}g\_{n}=g
然而，我们又有:

a\_{n}={\frac {g\_{{n+1}}^{2}}{g\_{n}}}
从而:

\lim \_{{n\to \infty }}a\_{n}=\lim \_{{n\to \infty }}{\frac {g\_{{n+1}}^{2}}{g\_{{n}}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g
证毕。

关于积分表达式的证明
----------

该证明由高斯首次提出。
令

{\displaystyle I(x,y)=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}
将积分变量替换为 \theta ', 其中

\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},
于是可得

{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}
因此，我们有

{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a\_{1},g\_{1})=I(a\_{2},g\_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}}
最后一个等式可由 {\displaystyle I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}} 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

{\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.}

参考文献
----

### 引用

1. ↑  David A. Cox.. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (编).. Springer. 2004: 481  [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. （原始内容存档于2020-06-14）.  first published in *L'Enseignement Mathématique*, t. 30 (1984), p. 275-330

### 来源

* Jonathan Borwein, Peter Borwein, *Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity.* Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc. New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

参见
--

* 算术平均数
* 几何平均数


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
统计学 |
| --- |
|  |
| 描述统计学 | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 

|  |  |
| --- | --- |
| 集中趋势 | 
* 平均数
	+ 平方
	+ 算術
	+ 幾何
	+ 調和
	+ 算术-几何
	+ 几何-调和
	+ 希羅／平均数不等式
* 中位數
* 眾數

 |
|  |
| 离散程度 | 
* 全距
* 变异系数
* 百分位數
* 四分位距
* 四分位数
* 標準差
* 
* 平均差
* 標準分數
* 
* 

 |
|  |
| 分布形态（英语：） | 
* 中心极限定理
* + 偏態
	+ 峰態

 |

 |
|  |
|  | 
* 次數（英语：）
* · 列聯表（英语：）

 |

 |  |
|  |
| 推論統計學和假說檢定 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 推論統計學 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 显著性差异
* 元分析
* 

 |
|  |
| 实验设计 | 
* 
* 抽樣
* 重抽样
	+ 刀切法
	+ 自助法
	+ 交叉驗證
* 重复（英语：）
* 阻碍
* 靈敏度和特異度
* 區集（英语：）
* 缺失数据

 |
|  |
| 样本量（英语：） | 
* 標準誤
* 
* 
* 
* 
* 效应值

 |
|  |
| 常规估计 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 
* 最小距離估計（英语：）
* 估计
* 最大间距

 |
|  |
|  | 
* Z檢驗
* 
* F檢定
* 卡方检验
* Wald檢定（英语：）
* 曼-惠特尼檢定（英语：）
* 秩和检验

 |
|  |
| 生存分析 | 
* 生存函数
* 乘積極限估計量
* 對數秩和檢定
* 失效率
* 危險比例模式

 |

 |
|  |
| 相關及迴歸分析 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 相关性 | 
* 干擾因素
* 積相關係數
* 等級相關（英语：） (斯皮尔曼等级相关系数
* 肯德等級相關係數（英语：）)
* 自由度
* 误差和残差

 |
|  |
| 線性回歸 | 
* 線性模型（英语：）
* 一般线性模型
* 廣義線性模型
* 简单线性回归
* 普通最小二乘法
* 贝叶斯回归（英语：）
* 分析
* 分析（英语：）

 |
|  |
| 非线性回归 | 
* 非参数回归模型（英语：）
* 半参数回归模型（英语：）
* 邏輯迴歸

 |

 |
|  |
| 统计图形 | 
* 
* 
* 双标图
* 箱形圖
* 管制圖
* 森林圖（英语：）
* 
* 分位圖
* 趋势图
* 
* 莖葉圖
* 雷达图（英语：）
* 示意地圖

 |
|  |
| 其他 | 
* 统计类型（維基數據所列：）
* 回應過程效度
* 統計誤用

 |
|  |
| 
* 分类**分类**
* 主题**主题**
* 共享资源页面**共享资源**
* 专题 **专题**

 |

 |