**拉克斯－米爾格拉姆定理**是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述
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設

* {\mathcal {H}}是實希爾伯特空間，其內積記作\langle\cdot,\cdot\rangle，導出範數\|\cdot \|，
* a(\cdot,\cdot)是雙線性型，使得

* 在\mathcal{H}\times\mathcal{H}上連續：

\exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|，
* 在{\mathcal {H}}上強制（有稱為{\mathcal {H}}－橢圓性)：

\exists \,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 ，
* L是{\mathcal {H}}上的連續線性型。

那麼存在唯一的u \in \mathcal{H}，使得對所有v\in\mathcal{H}都有a(u,v)=Lv：

(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=Lv。
而且如果a是對稱的，那麼 u 是{\mathcal {H}}中唯一的元素，使得以下泛函取最小值J:\mathcal{H}\rightarrow\R，J(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-Lv對所有v\in\mathcal{H}，即：

(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min\_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)。

證明
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### 一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的f\in\mathcal{H}，使得Lv=\langle f,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。

對所有u\in\mathcal{H}，映射v\mapsto a(u,v)是{\mathcal {H}}上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的A\_u\in\mathcal{H}，使得a(u,v)=\langle A\_u,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。易知算子A:u\mapsto A\_u 是一個{\mathcal {H}}上連續線性自同態。由此可把(1)表示成如下等價形式：

\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f
要證明此命題，只要證得A是從{\mathcal {H}}到{\mathcal {H}}的**雙射**。首先證明它是**單射**，再證它是**滿射**。 

從a的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何v\in\mathcal{H}

\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|
從而知對任何v \in \mathcal{H}

\|Av\| \geq \alpha\|v\| (\*)。
這證明了A是單射。

要證明滿射，考慮算子A在{\mathcal {H}}內的像\mathcal{Z}。

不等式(\*)表示，如A u\_n是柯西序列，那麼u\_{n} 是{\mathcal {H}}內的柯西序列。由{\mathcal {H}}的完備性，u\_{n}收斂至u \in \mathcal{H}。因A連續，得出A u\_n收斂至A u。

\mathcal{Z}因此為{\mathcal {H}}中的閉子空間，由投影定理可知\mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}。

再設元素w \in \mathcal{Z}^{\perp}，從定義有\langle Aw,w\rangle = 0，因此

\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0
故得w=0。所以\mathcal{Z}^{\perp}為\{0\}，證得A是滿射。

自同態A是雙射，故在{\mathcal {H}}內存在唯一的u使得Au=f，且可以由u=A^{-1}f得出。

### 附注

不用求出u，有其範數的上界估計

\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}
其中\|\cdot\|' 表示對偶空間\mathcal{H}^\*的範數。

### 對稱情形

如果雙線性型a對稱，那麼對所有w\in\mathcal{H}有：

J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-Lw\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)
因u是命題(1)的唯一解，有

J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)
從a的強制性有：

J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2
取v = u+w，從上式有J(u) \leq J(v)對任意v\in\mathcal{H}成立，因而得到(2)的結果。

應用
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這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在{\mathcal {H}}內求u，而是在{\mathcal {H}}的有限n維子空間\mathcal{H}\_n內求u\_{n}，那麼

* 如果a對稱，以a為內積，u\_{n}是u的投影。
* 給出\mathcal{H}\_n的基(\varphi\_i)，上述問題化為求解線性方程組：

\underline{\underline{A}} \underline{u\_n} = \underline{b}
其中A\_{ij}=a(\varphi\_j,\varphi\_i)，b\_i=L\varphi\_i。

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* 论
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泛函分析 |
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