**提示**：此条目的主题不是**特徵多項式**。 
**特徵方程式**（characteristic equation）或**輔助方程式**（auxiliary equation）為数学名詞，是對應n階微分方程或差分方程（英语：）的n次（英语：）代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為y，*a**n*, *a**n* − 1, ... *a*1, *a*0為常数

{\displaystyle a\_{n}y^{(n)}+a\_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a\_{1}y'+a\_{0}y=0,}
其特徵方程式如下

{\displaystyle a\_{n}r^{n}+a\_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a\_{1}r+a\_{0}=0}
根據其解*r*1, *r*2, ... *r**n*可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

{\displaystyle y\_{t+n}=b\_{1}y\_{t+n-1}+\cdots +b\_{n}y\_{t}}
也有其特徵方程式

{\displaystyle r^{n}-b\_{1}r^{n-1}-\cdots -b\_{n}=0,}

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。

推導
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考慮常係數的線性齊次微分方程
*a**n*, *a**n* − 1, ... *a*1, *a*0,

{\displaystyle a\_{n}y^{(n)}+a\_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a\_{1}y^{\prime }+a\_{0}y=0}
假設*y*(*x*) = *erx*，而指數函數*erx*的導數是本身的倍數，*y*′ = *rerx*, *y*″ = *r*2*erx*，*y*(*n*) = *rnerx*。因此上式中的每一項都會是*erx*的倍數。若r為特定值，可以讓*erx*的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解r，可以將*y* = *erx*及其導數替換到微分方程中，可以得到

{\displaystyle a\_{n}r^{n}e^{rx}+a\_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a\_{1}re^{rx}+a\_{0}e^{rx}=0}。
因為*erx*不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

{\displaystyle a\_{n}r^{n}+a\_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a\_{1}r+a\_{0}=0}
求解特徵方程式中的r，可以求得微分方程的通解。例如，若r為3，其通解為*y*(*x*) = *ce*3*x*，其中c為積分常數。

有關通解的公式
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找到特徵方程式的根*r*1, ... *r**n*，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有h個重根，或是k個複數的根，其解分別為*y*D(*x*), *y*R1(*x*), ... *y*R*h*(*x*)及*y*C1(*x*), ... *y*C*k*(*x*)，因此通解為

{\displaystyle y(x)=y\_{\mathrm {D} }(x)+y\_{\mathrm {R} \_{1}}(x)+\cdots +y\_{\mathrm {R} \_{h}}(x)+y\_{\mathrm {C} \_{1}}(x)+\cdots +y\_{\mathrm {C} \_{k}}(x)}
### 例子

以下是常係數的線性齊次微分方程

{\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}
其特徵方程為

{\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}
將特徵方程因式分解，可得到

{\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}
可以看到r的解有一個單根，*r*1 = 3以及重根的複數根*r*2,3,4,5 = −1 ± *i*，因此其通解為

{\displaystyle y(x)=c\_{1}e^{3x}+e^{-x}(c\_{2}\cos x+c\_{3}\sin x)+xe^{-x}(c\_{4}\cos x+c\_{5}\sin x)}
其中有常數*c*1, ... *c*5。

### 相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若*u*1, ... *u**n*是特定微分方程的n個線性無關的解，則*c*1*u*1 + ... + *cnun*也是其解，其中*c*1, ... *cn*為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根*r*1, ... *rn*，則通解為

{\displaystyle y\_{\mathrm {D} }(x)=c\_{1}e^{r\_{1}x}+c\_{2}e^{r\_{2}x}+\cdots +c\_{n}e^{r\_{n}x}}。
### 重根實根

若特徵方程式中有重複k次的根*r*1，可以確定*y*p(*x*) = *c*1*e**r*1*x*會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他*k* − 1的根提供線性獨立的解。因為*r*1為k次重根，可以將微分方程改寫為

{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r\_{1}\right)^{k}y=0}.
因為*y*p(*x*) = *c*1*e**r*1*x*為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式*y*(*x*) = *u*(*x*)*e**r*1*x*，其中 *u*(*x*)是待確認的函數。將*ue**r*1*x*代入後可得

{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r\_{1}\right)ue^{r\_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r\_{1}x}\right)-r\_{1}ue^{r\_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r\_{1}x}+r\_{1}ue^{r\_{1}x}-r\_{1}ue^{r\_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r\_{1}x}}
其中*k* = 1。上述的式子應用k次，可以得到

{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r\_{1}\right)^{k}ue^{r\_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r\_{1}x}=0}
除以*e**r*1*x*後可得

{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}
上述式子若且唯若*u*(*x*)是*k* − 1次的多項式，因此*u*(*x*) = *c*1 + *c*2*x* + *c*3*x*2 + ... + *ckx**k* − 1.。因為*y*(*x*) = *ue**r*1*x*，因此通解中對應*r*1的解會是

{\displaystyle y\_{\mathrm {R} }(x)=e^{r\_{1}x}\left(c\_{1}+c\_{2}x+\cdots +c\_{k}x^{k-1}\right)}
### 複數根

若二階微分方程有共轭复数根*r*1 = *a* + *bi*及*r*2 = *a* − *bi*，其對應的通解為*y*(*x*) = *c*1*e*(*a* + *bi*)*x* + *c*2*e*(*a* − *bi*)*x*。利用欧拉公式（*eiθ* = cos *θ* + *i* sin *θ*），可以將通解改寫如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c\_{1}e^{(a+bi)x}+c\_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c\_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c\_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c\_{1}+c\_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c\_{1}-c\_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}
其中*c*1和*c*2是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為*y*(*x*)是實數，*c*1 − *c*2需要是虛數或是零，*c*1 + *c*2為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若*c*1 = *c*2 = 1/2，可以得到特解*y*1(*x*) = *eax* cos *bx*，另外，若*c*1 = 1/2*i*及*c*2 = −1/2*i*，可以得到另一個獨立的解*y*2(*x*) = *eax* sin *bx*。利用重疊原則，有*r* = *a* ± *bi*複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

{\displaystyle y\_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c\_{1}\cos bx+c\_{2}\sin bx\right)}
上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。

參考資料
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1. 1 2 3 4 5 6  Edwards, C. Henry; Penney, David E.. . David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. 2008: 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
2. 1 2 3  Smith, David Eugene.. University of South Florida.  [2019-05-05]. （原始内容存档于2011-07-20）.
3. ↑  Baumol, William J.  3rd. 1970: 172.
4. ↑  Chiang, Alpha.  3rd. 1984: 578, 600.
5. 1 2  Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom.. eFunda.  [1 March 2011]. （原始内容存档于2019-10-24）.
6. 1 2 3 4 5  Cohen, Abraham.. D. C. Heath and Company. 1906.
7. ↑  Dawkins, Paul.. Paul's Online Math Notes.  [2 March 2011]. （原始内容存档于2021-04-14）.