數學中，**高斯圓問題**（英語：）問以原點為中心，{\displaystyle r}為半徑的圓內，有多少個整數點（英语：）。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。

問題
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考慮{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}中以原點為中心和以{\displaystyle r\geq 0}為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點{\displaystyle (m,n)}使{\displaystyle m}和{\displaystyle n}都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}，問題等價於詢問有多少對整數{\displaystyle m}和{\displaystyle n}使得

{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}
以{\displaystyle N(r)}表示輸入為{\displaystyle r}時的答案。以下第一行先列出{\displaystyle r}由{\displaystyle 0}至{\displaystyle 12}時，{\displaystyle N(r)}的值，第二行列出{\displaystyle \pi r^{2}}四捨五入到最接近的整數，以作比較：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS數列A000328）
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS數列A075726）

解決方案和猜想的上下界
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{\displaystyle N(r)}大概是{\displaystyle \pi r^{2}} ，半徑範圍內的區域{\displaystyle r} 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， {\displaystyle \pi r^{2}} 。因此，應該預期

{\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}
對於某些錯誤項{\displaystyle E(r)}具有相對較小的絕對值。找到正確的上限{\displaystyle \mid E(r)\mid }因此是問題採取的形式。注意{\displaystyle r}不必是整數。後{\displaystyle N(4)=49}一個有{\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}在這些地方{\displaystyle E(r)}之後它減少（以{\displaystyle 2\pi r} ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明

{\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}
谢尔品斯基将指數改进至{\displaystyle 2/3}，以大O符号表示，即證明{\displaystyle |E(r)|=O(r^{2/3})}，约翰内斯·范德科皮特（英语：）引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為{\displaystyle 37/56}的結果（此數略小於{\displaystyle 2/3}）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為{\displaystyle 13/20}與{\displaystyle 24/37}的上界。

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|  | **未解決的數學問題：**設{\displaystyle E(r)}表示以原點為圓心，{\displaystyle r}為半徑的圓，其面積與圓內整點數之差，則使{\displaystyle |E(r)|=O(r^{t+\varepsilon })}對一切{\displaystyle \varepsilon >0}皆成立的最小{\displaystyle t}值為何？ |  |

下界方面，哈代和Landau分別獨立證明

{\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}
其中用到小o表示。據推測，正確的界線是

{\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}
設{\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}總成立，則關於{\displaystyle t}的最小可能值{\displaystyle t\_{0}}，目前所知的結果是

{\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}
其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由馬丁·赫克斯利（英语：）证明。

確切形式
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{\displaystyle N(r)}的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： 

{\displaystyle N(r)=1+4\sum \_{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}
這是雅可比二平方和定理（英语：）的結果，該定理來自雅可比三重積（英语：）。

如果將平方和函數（英语：）{\displaystyle r\_{2}(n)}定義為將自然數{\displaystyle n}寫為兩個整數平方之和的方法數，則{\displaystyle r\_{2}(n)/4}是一个积性函数，且可寫出較簡單的和式：

{\displaystyle N(r)=\sum \_{n=0}^{r^{2}}r\_{2}(n)}
Hardy首次發現了以下的最新成果： 

{\displaystyle N(x)-{\frac {r\_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {r\_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J\_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}
其中{\displaystyle J\_{1}}表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

概論
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儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

### 原始圓問題

另一個概括是計算互質整數解數量{\displaystyle m,n}的不等式

{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}
此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量{\displaystyle V(r)}然後的值{\displaystyle V(r)}為了*{\displaystyle r}*取小整數值是

0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）
使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為{\displaystyle 6/\pi ^{2}}，容易證明

{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}
與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是{\displaystyle 221/304+\varepsilon }。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是

{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}
其中{\displaystyle c}為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何{\displaystyle \varepsilon >0}，{\displaystyle 1-\varepsilon }的誤差項沒有限制。

參考文獻
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1. 1 2  G.H. Hardy, *Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed.* New York: Chelsea, (1959), p.67.
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7. ↑  Hirschhorn, Michael D.. 美國數學月刊. 2000, **107** (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 可免费查阅. JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321.
8. ↑  Sloane, N.J.A. (编).. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
9. ↑  Landau, Edmund.. Verlag S. Hirzel. 1927: 189.
10. ↑  J. Wu, *On the primitive circle problem*, Monatsh. Math. **135** (2002), pp.69–81.

外部鏈接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.