**金兹堡-朗道方程**，或**金兹堡-朗道理论**，是由维塔利·金兹堡和列夫·朗道在1950年提出的一个描述超导现象的理论。早期的金兹堡-朗道方程只是一个唯象的数学模型，从宏观的角度描述了第一类超导体。1957年，苏联物理学家阿列克谢·阿布里科索夫基于金兹堡-朗道理论提出了第二类超导体的概念。1959年，列夫·戈尔科夫（英语：）结合BCS理论，从微观角度严格证明了金兹堡-朗道理论是BCS理论的一种极限情况。为了表彰金兹堡和阿布里科索夫对超导理论的贡献，他们与研究超流理论的安东尼·莱格特共同获得了2003年的诺贝尔物理学奖。

理论
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金兹堡－朗道方程是由金兹堡和朗道在朗道的二级相变理论的基础上提出的。他们断言超导态可以通过一个复序参量（complex order parameter）ψ(**r**) 来表征。这个形似波函数的序参量测量的是超导体在低于超导转变温度Tc时的超导有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理论的框架中可以视为描述库柏对质量中心位置的单粒子波函数。在临界相变点附近，超导体的自由能密度 f 可被展开为如下形式：

{\displaystyle f=f\_{n0}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{\*}}}\left|\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{\*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}}
若 \psi = 0，则上式化为常态下的自由能 {\displaystyle f\_{n0}+{\frac {h^{2}}{8\pi }}}。m^\*表示有效质量，{\displaystyle e^{\*}}表示有效电荷，**A** 是磁矢势，H为磁场强度。在后续的实验中，人们发现 {\displaystyle e^{\*}\approx 2{\mathit {e}}}（{\displaystyle {\mathit {e}}} 为基本电荷）。

当自由能取极小值时可得**金兹堡-朗道方程**：

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|  {\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{\*}}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{\*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0} |

由 {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} }，可推导出电流密度

{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {e^{\*}}{m^{\*}}}\left|\psi \right|^{2}\left(\hbar \nabla \varphi -{\frac {e^{\*}}{c}}\mathbf {A} \right)}

分析
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如果不考虑金兹堡－朗道方程中的磁场与梯度项，方程可化为：

{\displaystyle f\_{s}-f\_{n}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta |\psi |^{4}}
由于 \beta >0 ，当 \alpha >0 时，自由能的最小值出现在 {\displaystyle |\psi |^{2}=0}，对应着非超导的普通状态。当 {\displaystyle \alpha <0} 时，自由能的最小值出现在 {\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}=|\psi \_{\infty }|^{2}}；之所以被记为 {\displaystyle |\psi \_{\infty }|^{2}}，是因为 \psi  是在超导体内部"无穷深"处取得的这一函数值，"无穷深"意味着完全屏蔽了外表面的电磁场或电流。

若已知 {\displaystyle e^{\*}=2{\mathit {e}}}，且 {\displaystyle m^{\*}=2m}，则可以计算出金兹堡－朗道方程中各个系数的表达式。使用经验方程进行估计可知：

{\displaystyle |\psi |^{2}\propto 1-t^{4}\approx 4(1-t)}
{\displaystyle \alpha \propto {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\approx (1-t)}
{\displaystyle \beta \propto {\frac {1}{(1+t^{2})^{2}}}\approx const}
其中 {\displaystyle t=T/T\_{c}}。

相干长度与穿透深度
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金兹堡-朗道方程预测了超导体中两个新的特征长度。

第一个叫做**超导相干长度（英语：）***ξ*。对于*T* > *Tc* (一般相)，相干长度由以下方程给出：

{\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.}
对于 *T* < *Tc* (超导相)，相干长度由以下方程给出：

{\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.}
第二个叫做**穿透深度***λ*。这个概念最初是由伦敦兄弟在他们的伦敦理论中提出的。如果使用金兹堡-朗道模型中的参数来表示，穿透深度可以写作：

{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu \_{0}e^{2}\psi \_{0}^{2}}}},}
其中*ψ0* 表示在没有电磁场的条件下序参量的平衡值。外加磁场在超导体中的指数衰减可以通过穿透深度来定义。通过计算超导电子密度恢复到其平衡值*ψ0* 时产生的微小扰动，我们可以确定这个指数衰减。磁场的指数衰减与高能物理中的希格斯机制是等价的。

朗道还定义了一个参数*κ*。*κ* =  \lambda/{\displaystyle \xi } 现今被称为**金兹堡-朗道参数**。朗道提出，第一类超导体应满足 0<*κ*<1/{\sqrt {2}}，而第二类超导体应满足*κ*>1/{\sqrt {2}}。如此一来，金兹堡-朗道理论通过定义这两个长度，就表征了所有的超导体。

解析解
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金兹堡-朗道方程可化为以下形式的非线性偏微分方程：

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c|u|^{2}u=0}

其中u(x,t)是一个复值函数，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c为复常数，b∈ℝ。若假设a、b、c都是正实数，则金兹堡-朗道方程有下列行波解：

{\displaystyle sol[1]:=u=-(1/2)\*b/{\sqrt {(}}c\*b)+(1/2)\*{\sqrt {(}}c\*b)\*tanh(\_{C}1+(1/4)\*{\sqrt {(}}2)\*{\sqrt {(}}a\*b)\*x/a-(3/4)\*b\*t)/c}
{\displaystyle sol[2]:=u=-(1/2)\*b/{\sqrt {(}}c\*b)+(1/2)\*{\sqrt {(}}c\*b)\*coth(\_{C}1+(1/4)\*{\sqrt {(}}2)\*{\sqrt {(}}a\*b)\*x/a-(3/4)\*b\*t)/c}
{\displaystyle sol[3]:=u=-(1/2\*I)\*b/{\sqrt {(}}-c\*b)-(1/2)\*{\sqrt {(}}-c\*b)\*tan(\_{C}1+(1/4)\*{\sqrt {(}}-2\*a\*b)\*x/a-(3/4\*I)\*b\*t)/c}
{\displaystyle sol[4]:=u=-(1/2)\*b/{\sqrt {(}}c\*b)+(1/2)\*{\sqrt {(}}c\*b)\*tanh(\_{C}1+(1/4)\*{\sqrt {(}}2)\*{\sqrt {(}}a\*b)\*x/a-(3/4)\*b\*t)/c}
{\displaystyle sol[5]:={\frac {-{\sqrt {(}}3)\*exp(-1-(1/4)\*{\sqrt {(}}3)\*x+(9/4)\*t)}{(exp(1+(1/4)\*{\sqrt {(}}3)\*x-(9/4)\*t)+exp(-1-(1/4)\*{\sqrt {(}}3)\*x+(9/4)\*t))}}}

  

部分解析解的行为如下所示：

  

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相关条目
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* 朗道理论（英语：）
* 磁畴
* 畴壁（英语：）
* 磁通钉扎（英语：）
* 磁通量量子
* 量子涡旋（英语：）
* 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程
* 反应-扩散系统
* 塞伯格-维腾理论
* 拓扑缺陷

参考文献
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1. ↑  V. L. Ginzburg; L. D. Landau.. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1950, **20**: 1064. doi:10.1016/B978-0-08-010586-4.50078-X.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
2. ↑  A.A. Abrikosov.. Zh.Eksp.Teor.Fiz. 1956-11, **32**: 1442–1452.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
3. ↑  L.P. Gor'kov.  (PDF). Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1959, **36**: 1918–1923  [2018-01-18]. （原始内容存档 (PDF)于2018-11-23）.
4. ↑  A.A. Abrikosov; Beknazarov.. Amsterdam: North-Holland. 1988: 589  [2018-01-19]. ISBN 0444870946.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
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延伸阅读
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### 超导理论相关

* 阿布里科索夫2003年的诺贝尔奖讲座：pdf （页面存档备份，存于） 或 视频 （页面存档备份，存于）
* 金兹堡2003年的诺贝尔奖讲座：pdf （页面存档备份，存于） 或 视频 （页面存档备份，存于）
* Neil W. Ashcroft; N. David Mermin.  (PDF) 27. repr. New York: Holt, Rinehart and Winston. 1977: 747  [2018-01-19]. ISBN 0030839939. （原始内容 (PDF)存档于2018-01-20）.
* Tinkham, Michael.  (PDF) 2nd ed. Mineola, NY: Dover Publications. 2004: 110  [2018-01-19]. ISBN 0486435032. （原始内容存档 (PDF)于2019-05-02）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* A.A. Abrikosov; Beknazarov.. Amsterdam: North-Holland. 1988. ISBN 0444870946.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)

### 偏微分方程相关

1. 谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》 上海科学技术出版社
2. 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
3. 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
4. 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
5. 何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
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9. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
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12. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
13. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

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非线性偏微分方程理论与解法 |
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