在數論上，一個整數n的**p進賦值**指的是能除盡n的質數p的最高次方，一般記做{\displaystyle \nu \_{p}(n)}。一個等價的定義是，{\displaystyle \nu \_{p}(n)}是n的質因數分解中p的次方數。

p進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數\mathbb {R} 中的完備化一般，p進絕對值是有理數在P進數\mathbb{Q}\_p.

自然數在2進賦值中的分布，並加上十進位中的2的次方做標籤；0的賦值為無限。

定義與性質
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以下假定p為質數。

### 整數

整數n的**p進賦值**定義如下：

{\displaystyle \nu \_{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}
其中\mathbb{N}是自然數的集合，而{\displaystyle m\mid n}代表n可被m整除。特別地，{\displaystyle \nu \_{p}}的定義域及值域如次：{\displaystyle \nu \_{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}.

像例如說，{\displaystyle \nu \_{2}(-12)=2}, {\displaystyle \nu \_{3}(-12)=1}，而{\displaystyle \nu \_{5}(-12)=0} since {\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}。

{\displaystyle p^{k}\parallel n}這符號有時用以表示{\displaystyle k=\nu \_{p}(n)}。

若n是一個正整數，那麼有

{\displaystyle \nu \_{p}(n)\leq \log \_{p}n}
而這可由{\displaystyle n\geq p^{\nu \_{p}(n)}}直接推得。

### 有理數

p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上：

{\displaystyle \nu \_{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
其定義如下：

{\displaystyle \nu \_{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu \_{p}(r)-\nu \_{p}(s)}
像例如說，{\displaystyle \nu \_{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}且{\displaystyle \nu \_{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}，而這是因為{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：

{\displaystyle \nu \_{p}(r\cdot s)=\nu \_{p}(r)+\nu \_{p}(s)}
{\displaystyle \nu \_{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu \_{p}(r),\nu \_{p}(s){\bigr \}}}
此外，若{\displaystyle \nu \_{p}(r)\neq \nu \_{p}(s)}，那麼

{\displaystyle \nu \_{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu \_{p}(r),\nu \_{p}(s){\bigr \}}}
其中\min 是最小值（也就是兩者中較小者）。

p進絕對值
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有理數集\mathbb{Q}的p進絕對值定義如下：

{\displaystyle |\cdot |\_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \_{\geq 0}}
而其定義為

{\displaystyle |r|\_{p}=p^{-\nu \_{p}(r)}.}
因此對所有的p而言，{\displaystyle |0|\_{p}=p^{-\infty }=0}；而一個p進絕對值的例子如次：{\displaystyle |{-12}|\_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}} and {\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}\_{2}=2^{-(-3)}=8}

p進絕對值滿足下列性質：

|  |  |
| --- | --- |
| 非負性 | {\displaystyle |r|\_{p}\geq 0} |
| 正定性 | {\displaystyle |r|\_{p}=0\iff r=0} |
| 積性 | {\displaystyle |rs|\_{p}=|r|\_{p}|s|\_{p}} |
| 非阿基米德性 | {\displaystyle |r+s|\_{p}\leq \max \left(|r|\_{p},|s|\_{p}\right)} |

由積性{\displaystyle |rs|\_{p}=|r|\_{p}|s|\_{p}}可知，對於單位根1和-1而言，{\displaystyle |1|\_{p}=1=|-1|\_{p}}，因此這表示說{\displaystyle |{-r}|\_{p}=|r|\_{p}}；而次可加性{\displaystyle |r+s|\_{p}\leq |r|\_{p}+|s|\_{p}}可由非阿基米德三角不等式{\displaystyle |r+s|\_{p}\leq \max \left(|r|\_{p},|s|\_{p}\right)}得出。

對{\displaystyle p^{-\nu \_{p}(r)}}這個冪的基底p的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：

{\displaystyle \prod \_{0,p}|r|\_{p}=1}
其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值，而此處常規絕對值記做{\displaystyle |r|\_{0}}。

這項可由質因數分解得出：質因數的冪p^{k}會成為相對應的p進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」；[來源請求]然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。

一個度量空間可用如下（非阿基米德且平移對稱（英语：）的）度量由\mathbb{Q}生成：

{\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \_{\geq 0}}
其定義為

{\displaystyle d(r,s)=|r-s|\_{p}.}
以此度量對有理數\mathbb{Q}所做的完備化即p進數的集合\mathbb{Q}\_p。

參見
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* p進數
* 阿基米德公理
* 重複度
* 奥斯特洛夫斯基定理
* 勒讓德定理

參考資料
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1. ↑  中的完備化。Dummit, David S.; Foote, Richard M.  3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. ↑  Ireland, K.; Rosen, M.. New York: Springer-Verlag. 2000: 3.
3. ↑  Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L.  5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. ↑  再延伸的數線上，這帶有一般的序關係，也就是說
{\displaystyle \infty >n},
及算術關係
{\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }
5. ↑  Khrennikov, A.; Nilsson, M.. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.