**努梅罗夫方法**属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由
俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。

方法
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可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为

{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+f(x)\right)y(x)=0}
求出函数 y(x) 在区间 [a, b] 上等距格点上的值，从连续的两个格点上的函数值 x\_{n-1} 和 x\_n 开始，其他的函数值可由

{\displaystyle y\_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f\_{n}\right)y\_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f\_{n-1}\right)y\_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f\_{n+1}}}}
算得。

其中， {\displaystyle f\_{n}=f(x\_{n})} 和 {\displaystyle y\_{n}=y(x\_{n})} 为在格点 x\_n 上的函数值，{\displaystyle h=x\_{n}-x\_{n-1}}为格点间距。

对于非线性方程，

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=f(t,y)}
则非线性方程的**努梅罗夫方法**为

{\displaystyle y\_{n+1}=2y\_{n}-y\_{n-1}+{\tfrac {1}{12}}h^{2}(f\_{n+1}+10f\_{n}+f\_{n-1}).}
该式为隐式的线性多步方法。当 f 是 y 的线性函数时，该式变为显式方法，精度为4阶（Hairer，Nørsett & Wanner 1993，§III.10）。

应用
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在物理中用于数值求解任意势场中径向薛定谔方程：

{\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\left({\frac {1}{r}}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}r-{l(l+1) \over r^{2}}\right)+V(r)\right]R(r)=ER(r)}
此式可重写为

{\displaystyle \left[{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}-{l(l+1) \over r^{2}}+{2\mu \over \hbar ^{2}}\left(E-V(r)\right)\right]u(r)=0}
其中 {\displaystyle u(r)=rR(r)}. 与Numerov方法求解的方程形式做比较，

{\displaystyle f(x)={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}}
这样，我们可以数值求解薛定谔方程。

推导
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从 {\displaystyle y(x\_{n})} 的泰勒展开开始， 我们可求 x\_n 的相接邻点上的函数值

{\displaystyle y\_{n+1}=y(x\_{n}+h)=y(x\_{n})+hy'(x\_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x\_{n})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x\_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x\_{n})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x\_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})}
{\displaystyle y\_{n-1}=y(x\_{n}-h)=y(x\_{n})-hy'(x\_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x\_{n})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x\_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x\_{n})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x\_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})}
上两式之和为

{\displaystyle y\_{n-1}+y\_{n+1}=2y\_{n}+{h^{2}}y''\_{n}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''\_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})}
用所求微分方程的定义式 {\displaystyle y''\_{n}=-f\_{n}y\_{n}} 替换掉 {\displaystyle y''\_{n}}，

{\displaystyle h^{2}f\_{n}y\_{n}=2y\_{n}-y\_{n-1}-y\_{n+1}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''\_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})}
对所求微分方程的定义式 {\displaystyle y''\_{n}=-f\_{n}y\_{n}} 取二次微分

{\displaystyle y''''(x)=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]}
将其代入到四阶微分项中，并把二阶导 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]} 替换为 {\displaystyle f\_{n}y\_{n}} 的二阶差分公式 {\displaystyle {\frac {f\_{n-1}y\_{n-1}-2f\_{n}y\_{n}+f\_{n+1}y\_{n+1}}{h^{2}}}}

{\displaystyle h^{2}f\_{n}y\_{n}=2y\_{n}-y\_{n-1}-y\_{n+1}-{\frac {h^{4}}{12}}{\frac {f\_{n-1}y\_{n-1}-2f\_{n}y\_{n}+f\_{n+1}y\_{n+1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{6})}
求解 y\_{n+1} 可得

{\displaystyle y\_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f\_{n}\right)y\_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f\_{n-1}\right)y\_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f\_{n+1}}}+{\mathcal {O}}(h^{6}).}
忽略掉 {\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{6})} 就可以得到努梅罗夫方法，最终收敛阶数为4(假定稳定)。

参考文献
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* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 978-3-540-56670-0 .   
 This book includes the following references:
	+ Numerov, Boris Vasil'evich, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1924, **84**: 592–601 .
	+ Numerov, Boris Vasil'evich, Astronomische Nachrichten, 1927, **230**: 359–364 .

外部链接
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* Lecture notes: Computerphysik und Numerik （页面存档备份，存于） - by Jan Krieger
* Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
* Lecture notes of Alexander Wagner （页面存档备份，存于）