| 各種函數 |
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| *x* ↦ *f* (*x*) |
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不同定義域和陪域 |
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* X → {\displaystyle \mathbb {B} }, {\displaystyle \mathbb {B} } → X, {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}} → {\displaystyle \mathbb {B} }
* X →（英语：） \mathbb {Z} , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}→ X
* X →（英语：） \R, \R → X, \R^n →（英语：） X
* X →（英语：） {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {C} } → X, {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} →（英语：） X

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| 函數類/性質 |
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* 常值
* 恆等
* 線性
* 多項式
* 有理
* 代數
* 解析
* 光滑
* 連續
* 可測
* 單射
* 满射
* 双射

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構造 |
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* 限制
* 複合
* λ
* 逆

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推廣 |
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* 偏（英语：）
* 多值
* 隱

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| * 
* 论
* 编
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**可测函数**（英語：）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義
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**可測函數的定義** — 設 {\displaystyle (X,\Sigma \_{X})} 與 {\displaystyle (Y,\Sigma \_{Y})} 為可测空间。那函数 {\displaystyle f:X\to Y} 對任意 {\displaystyle B\in \Sigma \_{Y}} 若滿足：

{\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}
則稱 f 為一個 {\displaystyle \Sigma \_{X}} - {\displaystyle \Sigma \_{Y}} **可測函數**。

重要範例
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### 實可測函數

取本節定義中的 Y 為实数系 \R ，然後取：

{\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}
{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
換句話說，{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\mathbb {R} }} 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 {\mathcal {I}} 本身是個拓扑基），那麼這樣的{\displaystyle \Sigma \_{X}} - {\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\mathbb {R} }} 可測函數 f ，通常會簡稱為 {\displaystyle \Sigma \_{X}} - **實可測函數**；甚至簡稱為**實可測函數**。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

### **博雷爾**函数

如果{\displaystyle (X,\tau \_{X})} 與 {\displaystyle (Y,\tau \_{Y})} 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：

{\displaystyle \sigma (\tau \_{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau \_{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
{\displaystyle \sigma (\tau \_{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau \_{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
換句話說，{\displaystyle \sigma (\tau \_{X})} 是由 X 上开集所生成的博雷爾代數；{\displaystyle \sigma (\tau \_{Y})} 是由 Y 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 {\displaystyle \sigma (\tau \_{X})} - {\displaystyle \sigma (\tau \_{X})} 可测函数 *f* 又称为 {\displaystyle \tau \_{X}} - {\displaystyle \tau \_{Y}} **博雷爾函数**（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義， {\displaystyle \tau \_{X}} - {\displaystyle \tau \_{Y}} 博雷爾函数必定 {\displaystyle \tau \_{X}} - {\displaystyle \tau \_{Y}} 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质
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**定理(1)** — 設 {\displaystyle (X,\Sigma \_{X})} 為可测空间， Y 為一集合，且有函数 {\displaystyle f:X\to Y} 。那

{\displaystyle \Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}\right\}}
為 Y 的σ代數。

**證明**
以下將逐條檢驗 \Sigma  是否符合σ代數的定義

(1) {\displaystyle Y\in \Sigma }

因為：

{\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma \_{X}}
所以 {\displaystyle Y\in \Sigma }。

(2) {\displaystyle B\in \Sigma } ，則 {\displaystyle Y-B\in \Sigma }

若 {\displaystyle B\in \Sigma } ，因為：

{\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}
所以 {\displaystyle Y-B\in \Sigma } 。

(3)可數個并集仍在 \Sigma  中

若 {\displaystyle \{B\_{1},\,B\_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma } ，那因為：

{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B\_{1},\,B\_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B\_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B\_{1}),\,f^{-1}(B\_{2}),\,\dots \}\in \Sigma \_{X}}
所以 {\displaystyle \bigcup \{B\_{1},\,B\_{2},\,\dots \}\in \Sigma } 。

綜上所述， \Sigma  的確是Y 的σ代數。\Box 

**定理(2)** — {\displaystyle (X,\Sigma \_{X})} 為可测空间 ，{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 是集合 Y 的一個子集族 ，那對函数 {\displaystyle f:X\to Y} 來說，以下兩敘述等價：

1. 對所有 {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}\_{Y}} 有 {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}
2. f 是 {\displaystyle \Sigma \_{X}} - {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})} 可測函數

**證明**
(1 \Rightarrow  2)

若對所有 {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}\_{Y}} 都有：

{\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}
換句話說：

{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}\right\}}
那根據本節之定理(1)和最小σ代数 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})} 的定義有：

{\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}\right\}}
換句話說，只要 {\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})} 就有 {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}，故 f 是 {\displaystyle \Sigma \_{X}} - {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})} 可測函數。\Box 

(2 \Rightarrow  1)

若對所有{\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})} 都有 {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}}，換句話說：

{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}\_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}\right\}}
這樣的話，的確可以從 {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}\_{Y}} 推出 {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma \_{X}} 。\Box 

**定理(3)** — 設 {\displaystyle (X,\Sigma \_{X})}為可测空间，{\displaystyle (Y,\tau \_{Y})} 與 {\displaystyle (Z,\tau \_{Z})} 為拓扑空间，若： 

* {\displaystyle f:X\to Y} 為 {\displaystyle \Sigma \_{X}}- {\displaystyle \sigma (\tau \_{Y})}可測函數
* {\displaystyle g:Y\to Z} 為 {\displaystyle \tau \_{Y}} - {\displaystyle \tau \_{Z}} 连续函數

則复合函数 g\circ f 為 {\displaystyle \Sigma \_{X}}- {\displaystyle \sigma (\tau \_{Z})}可測函數。

**證明**
根據定理(2)， g\circ f 為 {\displaystyle \Sigma \_{X}}- {\displaystyle \sigma (\tau \_{Z})}可測函數等價於：

「對所有的 {\displaystyle C\in \tau \_{Z}} ， {\displaystyle {(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma \_{X}}」
但因為g 為 {\displaystyle \tau \_{Y}} - {\displaystyle \tau \_{Z}} 连续函數，故：

「對所有的 {\displaystyle C\in \tau \_{Z}} ， {\displaystyle g^{-1}(C)\in \tau \_{Y}\subseteq \sigma (\tau \_{Y})}」
但 f 又為 {\displaystyle \Sigma \_{X}}- {\displaystyle \sigma (\tau \_{Y})}可測函數，故可以得到 {\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma \_{X}} ，所以本定理得証。\Box 

* 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
* 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
* 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
* 卢辛定理

勒贝格可测函数
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勒贝格可测函数是一个实函数*f* : **R** → **R**，使得对于每一个实数*a*，集合

\{x\in \mathbb{R} :f(x)>a\}
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数
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不是所有的函数都是可测的。例如，如果A是实数轴\R的一个不可测子集，那么它的指示函数1\_{A}(x)是不可测的。

参见
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* 可测函数的向量空间：L^p空间
* 保测动态系统

参考文献
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1. ↑  Billingsley, Patrick.. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.