數學上，**超積**（英語：）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：）。**超冪**（英語：）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒（英语：）的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義
--

超積的一般定義中，先選定指標集I、對應每個下標i\in I的结构{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}（具相同的表徵（英语：）），以及I上的超濾子{\displaystyle {\mathcal {U}}}。通常僅考慮I為無窮集，且{\displaystyle {\mathcal {U}}}不為主超濾子的情況，即{\displaystyle {\mathcal {U}}}的元素有齊I的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积

{\displaystyle \prod \_{i\in I}{\mathcal {M}}\_{i}}
上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算+，{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})\_{i}=a\_{i}+b\_{i}}。然後，在笛氏積上，定義等价关系\sim，使{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}}當且僅當

{\displaystyle \left\{i\in I:a\_{i}=b\_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}
（應當理解為「{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}與{\displaystyle {\boldsymbol {b}}}在大多數位置相等」）。

最後，所得的**超積**，是模\sim的商集。所以，該超積有時記為

{\displaystyle \prod \_{i\in I}{\mathcal {M}}\_{i}/{\mathcal {U}}.}
另一種看法是，在指標集I上，定義一個有限可加的测度m（弱於一般可數可加的條件），僅取{\displaystyle 0,1}二值，若{\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}則稱{\displaystyle m(A)=1}，否則稱{\displaystyle m(A)=0}。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係（英语：）同理可作引申：

{\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}\_{i}}(a\_{i}^{1},\ldots ,a\_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},}
其中{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]}表示{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}模\sim所屬的等價類。

特別地，若每個{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂**超冪**，意思是所有因子{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}皆相等的超積：

{\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod \_{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,}
也可以推廣到{\displaystyle {\mathcal {U}}}不為超濾子，而僅為I上普通一個滤子的情況。此時所得的模型{\displaystyle \prod \_{i\in I}{\mathcal {M}}\_{i}/{\mathcal {U}}}稱為**約化積**（英語：）。

例子
--

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，{\displaystyle \omega \_{n}=n}的序列{\displaystyle (\omega \_{n})}所在的等價類，記為超實數\omega ，比任意實數都要大，因為對於任意實數r，{\displaystyle (\omega \_{n})}除有限項外皆比r大。於是，\omega 可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數系（英语：）、非標準複數系（英语：）等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數\psi 為序列{\displaystyle \psi \_{n}=2n}所在的等價類。由於對每個n都有{\displaystyle \psi \_{n}>n=\omega \_{n}}，在超積中，有{\displaystyle \psi >\omega }，所以\psi 是較原先構造出的\omega 更大的無窮大數。又考慮與{\displaystyle \omega \_{n}=n}類似的序列{\displaystyle (\chi \_{n})}，令{\displaystyle n\neq 7}時，{\displaystyle \chi \_{n}=n}，但{\displaystyle \chi \_{7}=8}。則雖然兩個序列{\displaystyle (\chi \_{n})\neq (\omega \_{n})}，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有{\displaystyle \omega =\chi }。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子{\displaystyle {\mathcal {U}}}，然後取整個集合論全類關於{\displaystyle {\mathcal {U}}}的超積。此時，{\displaystyle {\mathcal {U}}}的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若{\displaystyle {\mathcal {U}}}可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

沃希定理
----

**沃希定理**（英語：），又稱**超積基本定理（英语：）**，由耶日·沃希（英语：）所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積{\displaystyle \prod {\mathcal {M}}\_{i}/{\mathcal {U}}}中為真，當且僅當使該公式在{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}中成立的指標i的集合，是{\displaystyle {\mathcal {U}}}的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

> 
> 設有表徵\sigma ，指標集I，其上的超濾子{\displaystyle {\mathcal {U}}}，且對每個i\in I，有\sigma 結構{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}。又設{\displaystyle {\mathcal {M}}}為{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{i}}關於{\displaystyle {\mathcal {U}}}之超積，即{\displaystyle {\mathcal {M}}=\prod \_{i\in I}{\mathcal {M}}\_{i}/{\mathcal {U}}}。則對任意n個多元組{\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}\_{i}}，其中{\displaystyle a^{k}=(a\_{i}^{k})\_{i\in I}}，以及對任意\sigma 公式\varphi ，
> 
> 
> {\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}\_{i}\models \varphi (a\_{i}^{1},\ldots ,a\_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.}
> 

定理對公式\varphi 的複雜度歸納得證。{\displaystyle {\mathcal {U}}}為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的轉移原理（英语：）。

### 實例

設R為結構{\displaystyle {\mathcal {M}}}上的一元關係，並構造{\displaystyle {\mathcal {M}}}的超冪。則集合{\displaystyle S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}}在超冪中有對應的子集{\displaystyle {}^{\*}S}，而在{\displaystyle {\mathcal {M}}}中，對S量化且為真的一階公式，將S換成{\displaystyle {}^{\*}S}後，仍在超冪中成立。例如，設{\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} }為實數集。設{\displaystyle Rx}表示「x為有理數」。則在{\displaystyle {\mathcal {M}}}中，對每對有理數{\displaystyle x<y}，總有無理數z介於兩者之間。即：

{\displaystyle {\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).}
既然有理數集S此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集{\displaystyle {}^{\*}S}仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數x同時滿足{\displaystyle x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots }此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數\omega ，就比{\displaystyle 1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots }都要大。

超冪的正極限（超極限）
-----------

  关于一列度量空間的超積，请见「**超極限**」。
模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（英语：）（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為**超極限**（英語：）或**極限超冪**（英語：）。

從某結構{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{0}}和超濾子{\displaystyle {\mathcal {U}}\_{0}}開始，構造出超冪{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}}，並重複，得到{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{2}}等。對每個n，有典範對角嵌入{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}\_{n+1}}。在極限階段，如{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\omega }}，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見
--

* 紧致性定理——若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足
* 勒文海姆–斯科伦定理——一階理論無法控制無窮模型的大小
* 轉移原理（英语：）

參考資料
----

* Bell, John Lane; Slomson, Alan B.  [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）.
* Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P.  [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981]  [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （英语）.