与「**极限 (范畴论)**」標題相近或相同的条目，請見「**极限**」。
在數學裡的範疇論中，**極限**（英語：）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為**極限**與**餘極限**（又稱**上極限**），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

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| 餘極限/上極限（colimit） | 正（向）極限（direct limit） | 歸納極限（inductive limit） |
| 極限（limit） | 逆（向）極限（inverse limit） | 投射極限/射影極限（projective limit） |

本條目用語取**歸納極限**與**射影極限**。

定義
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一範疇 *C* 中的極限及上極限可用 *C* 中的圖示來定義。形式上，*C* 中類型 *J* 的圖示是指一個由 *J* 映射至 *C* 的函子：

*F* : *J* → *C*.
範疇 *J* 稱之為「索引範疇」，圖示 *F* 可想做是以 *J* 索引 *C* 內的物件及態射。*J* 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

### 極限

設 *F* : *J* → *C* 為一個在範疇 *C* 中類型 *J* 的圖示。一個對應於 *F* 的「錐體」是指 *C* 中的一物件 *N* ，具有可以 *J* 內之物件 *X* 索引的態射族 ψ*X* : *N* → *F*(*X*)，使得對每個 *J* 內的態射 *f* : *X* → *Y*，均有 *F*(*f*) o ψ*X* = ψ*Y*。

圖示 *F* : *J* → *C* 的**極限**是一個對應於 *F* 的錐體 (*L*, φ)，使得對所有其他對應於 *F* 之錐體 (*N*, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 *u* : *N* → *L*，使得對所有 *J* 中的 *X*，φ*X* o *u* = ψ*X*。

A universal coneA universal cone
可以說，錐體 (*N*, ψ) 能被唯一的因子 *u* 分解成錐體 (*L*, φ)。此一態射 *u* 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 *L* 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，*L* 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 *F* 的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

### 上極限

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 *F* : *J* → *C* 的「上錐體是指 *C* 中的一物件 *N*，具有可以每個 *J* 中的物件 *X* 索引的態射族

ψ*X* : *F*(*X*) → *N*
使得對每個 *J* 內的態射 *f* : *X* → *Y*，均有 ψ*Y* o *F*(*f*)= ψ*X*。

圖示 *F* : *J* → *C* 的**上極限**是 *F* 的上錐體 (*L*, \phi )，使得對所有其他對應於 *F* 的上錐體 (*N*, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 *u* : *L* → *N*，使得對所有 *J* 中的 *X*，*u* o \phi *X* = ψ*X*。

A universal co-coneA universal co-cone
上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 *F* 的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示 *F* 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

### 歸納系統與射影系統

以下固定一個範疇\mathcal{C}，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙{\mathcal {U}}，並假定\mathcal{C}是{\mathcal {U}}-範疇，即：對任意兩個對象X, Y，態射集\mathrm{Hom}\_\mathcal{C}(X,Y)同構於{\mathcal {U}}裡的某個集合。\mathbf{Set}表所有{\mathcal {U}}裡的集合構成的範疇。

設I為對{\mathcal {U}}的一個小範疇，所謂**歸納系統**（或稱**I-圖**）係指一個函子\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}，**射影系統**則指一函子\beta: I^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathcal{C}。

形象地說，歸納系統不外是給定\mathcal{C}中一族對象\{X\_i : i \in I\}，對每個態射i \rightarrow j都有\mathcal{C}中對應的態射X\_i \rightarrow X\_j，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向：X\_i \leftarrow X\_j。

固定一對象X \in \mathcal{C}，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從I^\mathrm{op}到\mathbf{Set}的函子

\mathrm{Hom}\_\mathcal{C}(\alpha, X): i \mapsto \mathrm{Hom}(\alpha(i), X)
\mathrm{Hom}\_\mathcal{C}(X, \beta): i \mapsto \mathrm{Hom}(X, \beta(i))
我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設\mathcal{C} = \mathbf{Set}，\mathbf{Set}上的歸納系統不外是I上的預層。給定一個歸納系統β，定義：

\varprojlim \beta := \{ (x\_i) \in \prod\_{i \in I} \beta(i) : \forall i,j \in I, s \in \mathrm{Hom}(i,j) \; \beta(s)(x\_j) = x\_i \} 
（注意：若I是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）
可手工驗證下述自然同構：

\mathrm{Hom}\_\mathbf{Set}(X, \varprojlim \beta) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim \mathrm{Hom}\_\mathbf{Set}(X, \beta)

若干例子
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### 始對象與終對象

令I為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

\forall X \in \mathcal{C}, |\mathrm{Hom}(X, \varprojlim \emptyset)| = |\mathrm{Hom}(\varinjlim \emptyset, X)| = 1
這不外就是\mathcal{C}裡的始對象與終對象。

### 纖維積與纖維餘積

令I為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族\mathcal{C}的對象\{ X\_i: i \in I \}，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令I為範疇\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet；設\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}對應於Y\_1 \stackrel{f\_1}{\longleftarrow} X \stackrel{f\_2}{\longrightarrow} Y\_2。若其歸納極限存在，稱之Y\_1, Y\_2對X的纖維餘積，寫作Y\_1 \sqcup\_X Y\_2。

對偶地看，對於\beta: I^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}，對應於X\_1 \stackrel{f\_1}{\longrightarrow} Y \stackrel{f\_2}{\longleftarrow} X\_2，若其射影極限存在，稱之X\_1, X\_2對Y的纖維積，寫作X\_1 \times\_Y X\_2。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

### 核與上核

核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 X\_0 \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows} } X\_1 的歸納或射影系統，此時的歸納極限\mathrm{Coker}(f,g)稱作上核，射影極限\mathrm{Ker}(f,g)稱作核。它們的泛性質圖解如下：

在加法範疇中僅須考慮g=0的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的核與餘核。

性質
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### 極限之交換

設I,J為小範疇，\alpha: I \times J \rightarrow \mathcal{C}為歸納系統，則有自然同構

\varinjlim\_{i,j} \alpha(i,j) = \varinjlim\_i \varinjlim\_j \alpha(i,j) = \varinjlim\_j \varinjlim\_i \alpha(i,j)
將箭頭反向，對射影系統\beta: (I \times J)^\mathrm{op} = I^\mathrm{op} \times J^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}亦有自然同構

\varprojlim\_{i,j} \beta(i,j) = \varprojlim\_i \varprojlim\_j \beta(i,j) = \varprojlim\_j \varprojlim\_i \beta(i,j)
歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若I是濾通範疇，則\varinjlim\_I與任意\varprojlim\_J交換。

### 完備性

若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之**完備範疇**；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到**上完備範疇**的定義及其充要條件。

### 正合函子

更多：正合函子
考慮一個函子F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C'}。

* 若\mathcal{C}裡存在任意的有限射影極限，且F與有限射影極限交換，則稱F為**左正合**。
* 若\mathcal{C}裡存在任意的有限歸納極限，且F與有限歸納極限交換，則稱F為**右正合**。
* 若上述條件同時被滿足，則稱F為**正合**。

在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質，\mathrm{Hom}(-,-)函子無論對哪個變數都是左正合的。

設(F,G)是一對伴隨函子。若\mathcal{C}存在任意有限歸納極限，則F右正合；若存在任意有限射影極限，G左正合。此法可建立許多函子的正合性。

具體實例
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### 集合論

* 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇I及歸納系統\alpha: I \rightarrow \mathbf{Set}，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：

\varinjlim \alpha := \dfrac{\coprod\_{i \in I} \alpha(i)}{(\exists i\_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i\_n, x \in \alpha(i\_1) \mapsto \cdots \mapsto y \in \alpha(i\_n)) \Rightarrow (x \sim y)}
* 兩個集合的纖維積與上積為

Y\_1 \sqcup\_X Y\_2 = Y\_1 \sqcup Y\_2 / \{ f\_1(y\_1) = f\_2(y\_2) \Rightarrow x\_1 \sim x\_2~\}
X\_1 \times\_Y X\_2 = \{(x\_1,x\_2) \in X\_1 \times X\_2 : f(x\_1)=f(x\_2) \}
* 設f,g: X\_0 \rightarrow X\_1，則

\mathrm{Ker}(f,g) = \{x\_0 \in X\_0 : f(x\_0)=g(x\_0) \}，這是「等化」一詞的來由。
\mathrm{Coker}(f,g) = X\_1 / \{\forall x\_0 \in X\_0, f(x\_0) \sim g(x\_0) \}
* \mathbf{Set}是完備且上完備的。

### 拓撲空間

拓撲空間範疇\mathbf{Top}也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間X滿足豪斯多夫性質的充要條件是p\_1, p\_2: X \times X \rightarrow X的核\Delta: X \rightarrow X \times X是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。

### 概形

概形範疇\mathbf{Sch}（或相對版本\mathbf{Sch}\_{/S}）有終對象\mathrm{Spec}\mathbb{Z}（或S），並存在有限的纖維積。

### 抽象代數

阿貝爾群範疇\mathbf{Ab}或一個環R上的模範疇\mathbf{Mod}\_R都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是p進整數：\mathbb{Z}\_p := \varprojlim\_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}。

文獻
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* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, *Categories and Sheaves*, Springer. ISBN 3540279490

外部連結
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* Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira

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| * 
* 论
* 编
范畴论 |
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|  基本概念 |
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| 基本概念 | 
* 範疇
* 伴隨函子
* 交换图表
* 具體範疇
* 函子
* 态射
* 自然變換
* 泛性质

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| 泛構造 | 

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| 極限 | 
* 終對象
* 積
* 等化子
	+ 核（英语：）
* 拉回
* 逆極限（英语：）

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| 餘極限 | 
* 始對象
* 餘積（英语：）
* 餘等化子（英语：）
	+ 餘核
* 推出
* 正極限（英语：）

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| 代數範疇（英语：） | 
* 集合
* 關係
* 原群
* 群
* 阿貝爾群
* 環（英语：）
	+ 域
* 模（英语：）
	+ 向量空間

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| 範疇上的構造 | 
* 自由範疇（英语：）
* 函子範疇
* 商範疇（英语：）
* 積範疇
* 子範疇

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 | A simple triangular commutative diagram |
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|  高階範疇論（英语：） |
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| 基本概念 | 
* 範疇化
* 濃縮範疇（英语：）
* 高維代數（英语：）
* 同倫假設（英语：）
* 模型范畴
* 单纯范畴

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| n-範疇 | 

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| 弱 n-範疇（英语：） | 
* 雙範疇（英语：）
	+ 偽函子（英语：）
* 三範疇（英语：）
* 四範疇（英语：）
* 闞複形（英语：）
* ∞-廣群（英语：）
* ∞-拓撲斯（英语：）

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| 強 n-範疇 | 
* 2-範疇
	+ 2-函子（英语：）
* 3-範疇（英语：）

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| 範疇化概念 | 
* 2-群（英语：）
* 2-環（英语：）
* *En*-環（英语：）
* (對稱（英语：）) 么半範疇
* *n*-群（英语：）
* *n*-么半群（英语：）

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