**逆威沙特分布**，也叫**反威沙特分布**作是统计学中出现的一类概率分布函数，定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中，逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵 {\displaystyle {\mathbf {B} }} 的逆矩阵 {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}} 遵从威沙特分布 {\displaystyle W({\mathbf {\Psi } }^{-1},m)} 的话，那么就说矩阵 {\displaystyle {\mathbf {B} }} 遵从逆威沙特分布：

{\displaystyle \mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}

概率密度函数
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逆威沙特分布的概率密度函数是：

{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma \_{p}(m/2)}},}
其中 {\displaystyle {\mathbf {B} }} 和 {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }} 都是 {\displaystyle p\times p} 的正定矩阵，而Γ*p*(·) 则是多变量伽马分布（英语：）。函数

{\displaystyle \mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )}
指的是迹函数。

相关定理
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### 威沙特分布矩阵之逆的概率分布

设矩阵{\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },m)} 并且 {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }} 是{\displaystyle p\times p} 的矩阵，那么 {\displaystyle {\mathbf {B} }={\mathbf {A} }^{-1}} 遵从逆威沙特分布：{\displaystyle {\mathbf {B} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},m)}。它的概率密度函数是：

{\displaystyle p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma \_{p}(m/2)}}}
其中 {\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}}，而 {\displaystyle \Gamma \_{p}(\cdot )} 是多变量伽马分布。

### 威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布

设矩阵 {\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)} 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 {\displaystyle {\mathbf {A} }} 和 {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }} 都有相适合的分块矩阵表示方式： 

{\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \_{11}&\mathbf {A} \_{12}\\\mathbf {A} \_{21}&\mathbf {A} \_{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } \_{11}&\mathbf {\Psi } \_{12}\\\mathbf {\Psi } \_{21}&\mathbf {\Psi } \_{22}\end{bmatrix}}}
其中子矩阵 {\displaystyle {\mathbf {A} \_{ij}}} 和 {\displaystyle {\mathbf {\Psi } \_{ij}}} 是 {\displaystyle p\_{i}\times p\_{j}} 的矩阵，那么会有：

甲）{\displaystyle {\mathbf {A} \_{11}}} 和 {\displaystyle {\mathbf {A} }\_{11}^{-1}{\mathbf {A} }\_{12}} 与 {\displaystyle {\mathbf {A} }\_{22\cdot 1}} 相互独立，其中 {\displaystyle {\mathbf {A} \_{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }\_{22}-{\mathbf {A} }\_{21}{\mathbf {A} }\_{11}^{-1}{\mathbf {A} }\_{12}} 是子矩阵 {\displaystyle {\mathbf {A} \_{11}}} 在 {\displaystyle {\mathbf {A} }} 中的舒尔补。

乙） {\displaystyle {\mathbf {A} \_{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } \_{11}},m-p\_{2})}; 

丙） {\displaystyle {\mathbf {A} }\_{11}^{-1}{\mathbf {A} }\_{12}|{\mathbf {A} }\_{22\cdot 1}\sim MN\_{p\_{1}\times p\_{2}}({\mathbf {\Psi } }\_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }\_{12},{\mathbf {A} }\_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }\_{11}^{-1})}，其中 {\displaystyle MN\_{p\times q}(\cdot ,\cdot )} 是矩阵正态分布。

丁）{\displaystyle {\mathbf {A} }\_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }\_{22\cdot 1},m)}

### 共轭分布

假设要求先验分布 {\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } )}} 为逆威沙特分布 {\displaystyle W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)} 的协方差矩阵{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}。如果观测值
{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} \_{1},\ldots ,\mathbf {x} \_{n}]} 是从互相独立的 p-变量正态分布 {\displaystyle N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })} 的随机变量得到的，那么条件分布 
{\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } |\mathbf {X} )}} 遵从的是逆威沙特分布：{\displaystyle W^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+m)}。其中 {\displaystyle {\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}} 是样本协方差矩阵的{\displaystyle n}倍。

因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

### 矩相关特性

期望值：

{\displaystyle E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.}
矩阵 {\displaystyle \mathbf {B} } 的每一个系数的方差：

{\displaystyle {\mbox{var}}(b\_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi \_{ij}^{2}+(m-p-1)\psi \_{ii}\psi \_{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}}
对角系数的方差是在上式中令 {\displaystyle i=j} 得到，化简后变成：

{\displaystyle {\mbox{var}}(b\_{ii})={\frac {2\psi \_{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.}

相关分布
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当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：逆伽马分布（英语：）。也就是说，当 {\displaystyle p=1}、{\displaystyle \alpha =m/2}、{\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2} 以及 {\displaystyle x=\mathbf {B} } 的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：

{\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma \_{1}(\alpha )}}.}

  

这正是逆伽马分布。其中 {\displaystyle \Gamma \_{1}(\cdot )} 是通常的伽马函数。

  

而逆威沙特分布也有推广，其中一个是正态逆威沙特分布（英语：）。

参见
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* 威沙特分布
* 矩阵正态分布

参考来源
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1. ↑  A. O'Hagan, and J. J. Forster.  **2B** 2. Arnold. 2004. ISBN 0-340-80752-0.
2. 1 2  Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby.. Academic Press. 1979. ISBN 0-12-471250-9.

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| * 
* 论
* 编
概率分布（列表（英语：）） |
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| 離散單變量 | 

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| 有限支集 | 
* 本福特定律
* 伯努利分布
* Β-二项式分布
* 二項式分布
* categorical（英语：）
* 超几何分布
	+ negative（英语：）
* Poisson binomial（英语：）
* Rademacher（英语：）
* 孤子分布
* 離散型均勻分佈
* 齊夫定律
* Zipf–Mandelbrot（英语：）

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| 無限支集 | 
* beta negative binomial（英语：）
* Borel（英语：）
* Conway–Maxwell–Poisson（英语：）
* discrete phase-type（英语：）
* Delaporte（英语：）
* extended negative binomial（英语：）
* Flory–Schulz（英语：）
* Gauss–Kuzmin（英语：）
* 幾何分佈
* 对数分布
* mixed Poisson（英语：）
* 负二项分布
* Panjer（英语：）
* parabolic fractal（英语：）
* 卜瓦松分布
* Skellam（英语：）
* Yule–Simon（英语：）
* zeta（英语：）

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| 連續單變量 | 

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| 紧支集 | 
* arcsine（英语：）
* ARGUS（英语：）
* Balding–Nichols（英语：）
* Bates（英语：）
* Β分布
* beta rectangular（英语：）
* continuous Bernoulli（英语：）
* 歐文–賀爾分佈
* Kumaraswamy（英语：）
* logit-normal（英语：）
* noncentral beta（英语：）
* PERT（英语：）
* raised cosine（英语：）
* reciprocal（英语：）
* 三角形分布
* U-quadratic（英语：）
* 連續型均勻分布
* 維格納半圓分布

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| 半無限區間支集 | 
* Benini（英语：）
* Benktander 1st kind（英语：）
* Benktander 2nd kind（英语：）
* beta prime（英语：）
* Burr（英语：）
* chi（英语：）
* 卡方分佈
	+ noncentral（英语：）
	+ inverse（英语：）
		- scaled（英语：）
* Dagum（英语：）
* Davis（英语：）
* 爱尔朗分布
	+ hyper（英语：）
* 指数分布
	+ 亚指数分布
	+ logarithmic（英语：）
* F-分布
	+ noncentral（英语：）
* folded normal（英语：）
* Fréchet（英语：）
* 伽玛分布
	+ generalized（英语：）
	+ inverse（英语：）
* gamma/Gompertz（英语：）
* Gompertz（英语：）
	+ shifted（英语：）
* half-logistic（英语：）
* half-normal（英语：）
* Hotelling's *T*-squared（英语：）
* 逆高斯分布
	+ 广义逆高斯分布
* 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验
* Lévy（英语：）
* log-Cauchy（英语：）
* log-Laplace（英语：）
* log-logistic（英语：）
* 对数正态分布
* log-t（英语：）
* Lomax（英语：）
* matrix-exponential（英语：）
* 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
* Maxwell–Jüttner（英语：）
* Mittag-Leffler（英语：）
* Nakagami（英语：）
* 帕累托分布
* phase-type（英语：）
* Poly-Weibull（英语：）
* 瑞利分布
* relativistic Breit–Wigner（英语：）
* 莱斯分布
* truncated normal（英语：）
* type-2 Gumbel（英语：）
* 韦伯分布
	+ discrete（英语：）
* Wilks's lambda（英语：）

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| 无限区间支集 | 
* 柯西分布
* exponential power（英语：）
* 費雪z分佈
* Kaniadakis κ-Gaussian（英语：）
* Gaussian *q*（英语：）
* generalized normal（英语：）
* generalized hyperbolic（英语：）
* geometric stable（英语：）
* 耿贝尔分布
* Holtsmark（英语：）
* hyperbolic secant（英语：）
* Johnson's *SU*（英语：）
* 朗道分布
* 拉普拉斯分布
	+ asymmetric（英语：）
* logistic（英语：）
* noncentral *t*（英语：）
* 正态分布
* normal-inverse Gaussian（英语：）
* skew normal（英语：）
* slash（英语：）
* 稳定分布
* 司徒頓t分布
* Tracy–Widom（英语：）
* variance-gamma（英语：）
* 福格特函数

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| 可变类型支集 | 
* generalized chi-squared（英语：）
* generalized extreme value（英语：）
* generalized Pareto（英语：）
* Marchenko–Pastur（英语：）
* Kaniadakis *κ*-exponential（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Gamma（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Weibull（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Logistic（英语：）
* Kaniadakis *κ*-Erlangl（英语：）
* *q*-exponential（英语：）
* *q*-Gaussian（英语：）
* *q*-Weibull（英语：）
* shifted log-logistic（英语：）
* Tukey lambda（英语：）

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| 混合單變量 | 

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| 連續離散 | 
* 修正高斯分佈（英语：）

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| 联合分布 | 
* *Discrete:*
* Ewens（英语：）
* multinomial（英语：）
	+ Dirichlet（英语：）
	+ negative（英语：）
* *Continuous:*
* 狄利克雷分布
	+ generalized（英语：）
* multivariate Laplace（英语：）
* 多元正态分布
* multivariate stable（英语：）
* multivariate *t*（英语：）
* normal-gamma（英语：）
	+ inverse（英语：）
* *随机矩阵*
* LKJ（英语：）
* 矩阵正态分布
* matrix *t*（英语：）
* matrix gamma（英语：）
	+ inverse matrix gamma（英语：）
* 威沙特分佈
	+ normal（英语：）
	+ 逆威沙特分佈
	+ normal-inverse（英语：）

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| 定向統計（英语：） | 
*循環單變量定向統計（英语：）*
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：）
wrapped normal（英语：）
wrapped Cauchy（英语：）
wrapped exponential（英语：）
wrapped asymmetric Laplace（英语：）
wrapped Lévy（英语：）
*球形雙變量*
Kent（英语：）
*環形雙變量*
bivariate von Mises（英语：）
*多變量*
von Mises–Fisher（英语：）
Bingham（英语：）
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| 退化分布和奇異分佈（英语：） | 
*退化*
狄拉克δ函数
*奇異*
康托尔分布
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| 其它 | 
* Circular（英语：）
* 复合泊松分布
* elliptical（英语：）
* exponential（英语：）
* natural exponential（英语：）
* location–scale（英语：）
* Maximum entropy（英语：）
* Mixture（英语：）
* Pearson（英语：）
* Tweedie（英语：）
* Wrapped（英语：）

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