三次函数y=x^3-8x^2+x+15的图像。该函数与x轴相交3次说明方程{\displaystyle x^{3}-8x^{2}+x+15}有3个实数根。
**三次方程**是未知项總次数**最高**为3的整式方程，**一元**三次方程一般形式為

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，
其中{\displaystyle a,b,c,d(a\neq 0)}是屬於一個域的數字，通常這個域為**ℝ**或**ℂ**。

本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。

历史
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中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出"商常为正，实常为负，从常为正，益常为负"的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如{\displaystyle x^{3}+mx=n}的方程。事实上，如果我们允许{\displaystyle m,n}是複数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道複数。

尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺注意到塔爾塔利亞的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

判别式
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当\Delta >0时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): \Delta =0**
时，方程有三个实根：当

\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0
时，方程有一个三重实根；

当

\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0时，方程的三个实根中有两个相等；

当\Delta <0时，方程有三个不等的实根。

三次方程解法
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### 求根公式法

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}

{\displaystyle x\_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}

{\displaystyle x\_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}

{\displaystyle x\_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}
红色字体部分为判别式\Delta 。

当\Delta >0时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当\Delta =0时，方程有三个实根：

当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0时，方程有一个三重实根；

当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0时，方程的三个实根中有两个相等；

当\Delta <0时，方程有三个不等的实根。

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}

{\displaystyle x=-{{b} \over {3a}}+{{{\sqrt[{3}]{2}}\left(b^{2}-3ac\right)} \over {3a\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}}}+{{\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}} \over {3{\sqrt[{3}]{2}}a}},k=0,1,2}  

### 三角函数解

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a\ne0。

若令{\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0}，则

x\_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{{{\frac {3}{2}}}}}}}{3}}\right]

x\_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{{{\frac {3}{2}}}}}}+2\pi }{3}}\right]

x\_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{{{\frac {3}{2}}}}}}-2\pi }{3}}\right]

### 卡尔达诺法

令K為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r，然後把方程{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}除以{\displaystyle x-r}，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個**代數封閉**域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：

* 把原來方程除以首項係數{\displaystyle a\left(a\neq 0\right)}，得到：

{\displaystyle x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0}，其中{\displaystyle b'={\frac {b}{a}}}，{\displaystyle c'={\frac {c}{a}}}，{\displaystyle d'={\frac {d}{a}}}。
* 代換未知項{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}，以消去二次項。當展開{\displaystyle \left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{3}}，會得到{\displaystyle -b'z^{2}}這項，正好抵消掉出現於{\displaystyle b'\left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{2}}的項{\displaystyle b'z^{2}}。故得：

{\displaystyle z^{3}+pz+q=0}，其中p和q是域中的數字。
{\displaystyle p=c'-{\frac {b'^{2}}{3}}}；{\displaystyle q={\frac {2b'^{3}}{27}}-{\frac {b'c'}{3}}+d'}。
* 設u,v滿足{\displaystyle 3uv=-p,u^{3}+v^{3}=-q},則{\displaystyle u+v}為解

這個假設的hint如下:
記{\displaystyle z=u+\upsilon }。前一方程化為{\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0}。
展開：{\displaystyle u^{3}+3u^{2}\upsilon +3u\upsilon ^{2}+\upsilon ^{3}+pu+p\upsilon +q=0}。
重組：{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(3u\upsilon ^{2}+3u^{2}\upsilon +pu+p\upsilon )=0}。
分解：{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(u+\upsilon )(3u\upsilon +p)=(u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+z(3u\upsilon +p)=0}。
* 設{\displaystyle U=u^{3}}和{\displaystyle V=\upsilon ^{3}}。我們有{\displaystyle U+V=-q}和{\displaystyle UV=-{\frac {p^{3}}{27}}}因為{\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3}})^{3}}。所以U和V是輔助方程{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3}}{27}}=0}的根，可代一般二次方程公式得解。

接下來，u和v是U和V的立方根，適合{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}，{\displaystyle z=u+v}，最後得出{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}。

在域\mathbb {C} 裡，若u\_{0}和v\_0是立方根，其它的立方根就是{\displaystyle \omega u\_{0}}和{\displaystyle \omega ^{2}u\_{0}}，當然還有{\displaystyle \omega v\_{0}}和{\displaystyle \omega ^{2}v\_{0}}，其中{\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}，是1的一个复数立方根。

因為乘積{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}固定，所以可能的{\displaystyle (u,v)}是{\displaystyle (u\_{0},v\_{0})}，{\displaystyle (\omega u\_{0},\omega ^{2}v\_{0})}和{\displaystyle (\omega ^{2}u\_{0},\omega v\_{0})}。因此三次方程的其它根是{\displaystyle \omega u\_{0}+\omega ^{2}v\_{0}-{\frac {b'}{3}}}和{\displaystyle \omega ^{2}u\_{0}+\omega v\_{0}-{\frac {b'}{3}}}。

#### 判别式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在\mathbb {C} 裡，就是\mathbb {R} 的代數閉包。其中差異出現於U和V的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}，

* 若{\displaystyle \Delta >0}，方程有一个实根和两个共轭複根；
* 若{\displaystyle \Delta =0}，方程有三个实根：当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}=0时，方程有一个三重实根；当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}\ne 0时，方程的三个实根中有两个相等；
* 若{\displaystyle \Delta <0}，方程有三个不等的实根：{\displaystyle x\_{1}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta }{3}}-{\frac {b}{3a}},x\_{2,3}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3}}-{\frac {b}{3a}},}其中{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q}}}},Q=-{\frac {p}{3}},R={\frac {q}{2}}}（注意，由於此公式應對於{\displaystyle x^{3}+px=q}的形式，因此這裡的q實際上是前段的-q，應用時務必注意取負號即R=-\frac{q}{2}）。

注意到实系数三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在+\infty 和-\infty 的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。

#### 第一個例子

解{\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0}。

我們依照上述步驟進行：

* {\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0}（全式除以2）
* 設{\displaystyle t=x-1}，代換：{\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0}，再展開{\displaystyle x^{3}+3x+1=0}。
* {\displaystyle x=u+v}，{\displaystyle U=u^{3}}，{\displaystyle V=v^{3}}。設{\displaystyle U+V=-1}和{\displaystyle UV=-1}。U和V是{\displaystyle X^{2}+X-1=0}的根。

{\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}和{\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}，
{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}}和{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}}。
t = x - 1 = u + v - 1，
= \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1.3221853546
该方程的另外两个根：

{\displaystyle t\_{2}\approx -0.838907+1.75438i}，
{\displaystyle t\_{3}\approx -0.838907-1.75438i}，
#### 第二个例子

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是{\displaystyle x^{3}-15x-4=0}。

从函数{\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4}算出判别式的值{\displaystyle \Delta =-13068<0}，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：{\displaystyle x=u+v}，{\displaystyle U=u^{3}}，{\displaystyle V=v^{3}}。

{\displaystyle U+V=4}和{\displaystyle UV=125}。
U和V是{\displaystyle X^{2}-4X+125=0}的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出{\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} }}和{\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} }}。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：
现设{\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }}。

{\displaystyle u^{3}=2-11{\mathrm {i} }}等价于：
{\displaystyle a^{3}-3ab^{2}=2}（实部）
{\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-11}（虚部）
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=5}（模）
得到a = 2和{\displaystyle b=-1}，也就是{\displaystyle u=2-{\mathrm {i} }}，而v是其共轭：{\displaystyle v=2+{\mathrm {i} }}。

归结得{\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4}，可以立时验证出来。

其它根是{\displaystyle x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}}和x'' = j^2 (2 - {\mathrm{i}}) + j(2 + {\mathrm{i}}) = - 2 - \sqrt 3，其中j=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}。

当\Delta 是负，U和V共轭，故此u和v也是（要适当选取立方根，记得{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}）；所以我们可确保x是实数，还有x'和x''。

### 盛金公式法

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}，其中系数皆为实数。

#### 判别式

重根判别式：{\displaystyle A=b^{2}-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^{2}-3bd}；

总判别式：{\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}。

#### 情况1：{\displaystyle A=B=0}

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=x\_{3}={\frac {-b}{3a}}={\frac {-c}{b}}={\frac {-3d}{c}}}。

#### 情况2：{\displaystyle \Delta >0}

让{\displaystyle y\_{1,2}=Ab+3a\left({\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2}}\right)}，得：

{\displaystyle x\_{1}={\frac {-b-\left({\sqrt[{3}]{y\_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y\_{2}}}\right)}{3a}}}；

{\displaystyle x\_{2}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y\_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y\_{2}}}\right)+{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y\_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y\_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}；

{\displaystyle x\_{3}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y\_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y\_{2}}}\right)-{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y\_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y\_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}。

#### 情况3：{\displaystyle \Delta =0}

让{\displaystyle k={\frac {B}{A}}\ (A\neq 0)}，得：

{\displaystyle x\_{1}={\frac {-b}{a}}+k}；

{\displaystyle x\_{2}=x\_{3}={\frac {-k}{2}}}。

#### 情况4：{\displaystyle \Delta <0}

让{\displaystyle t={\frac {2Ab-3aB}{2A{\sqrt {A}}}}\ (A>0,-1<t<1),\theta =\arccos t}，得：

{\displaystyle x\_{1}={\frac {-b-2{\sqrt {A}}\cos {\frac {\theta }{3}}}{3a}}}；

{\displaystyle x\_{2}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}；

{\displaystyle x\_{3}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}。

极值
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### 驻点的公式

设{\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

将其微分，可得\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c

1. 

* 有序列表项

### 拐点

\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b

设\frac{d^2y}{dx^2}=0，可得y。

x=-\frac{b}{3a}

### 驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：  

f^{\prime \prime}(x\_e)<0，{\displaystyle x\_{e}}是f(x)的极大值点；  

f^{\prime \prime}(x\_e)>0，{\displaystyle x\_{e}}是f(x)的极小值点；  

f^{\prime \prime}(x\_e)=0，{\displaystyle x\_{e}}是f(x)的拐点。  

  

\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b=2(3ax+b)可知：  

{\displaystyle 3ax\_{e}+b<0}，y的驻点为极大值点；  

{\displaystyle 3ax\_{e}+b>0}，y的驻点为极小值点；  

{\displaystyle 3ax\_{e}+b=0}，y的驻点为拐点。

參見
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參考資料
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1. ↑  三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。

外部链接
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* 代數學的故事：三次方程的一般解（页面存档备份，存于），李白飛
* 三次方程的判別式（页面存档备份，存于），應用（页面存档备份，存于），Carto Wong
* 以複變函數求解一元三次方程式的根（页面存档备份，存于）
* 一元三次方程解法

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| * 
* 论
* 编
多項式 |
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| 函數 | 
* 零次函數(常數函數)
* 一次函數
* 二次函数
* 三次函數
* 四次函數
* 五次函數

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| 方程 | 
* 一次方程
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| 算法 | 
* 多项式除法
* 因式
* 不可约多项式
* 最大公因式（英语：）
* 秦九韶算法
* 結式
* 判别式

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