當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在x\_{0} 附近），則系統在x\_{0}處為李雅普诺夫稳定
在数学和自动控制领域中，**李雅普诺夫稳定性**（英語：，或**李亞普诺夫稳定性**）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x\_{0} 附近的軌跡均能維持在 x\_{0} 附近，那么该系统可以称为在x\_{0}處**李雅普诺夫稳定**。

若任何初始條件在 x\_{0} 附近的軌跡最後都趨近x\_{0}，那么该系统可以称为在x\_{0}處**漸近稳定**。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。

李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性（英语：），是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

历史
--

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的"李雅普诺夫第二方法"被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近[來源請求]李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

連續時間系統下的定義
----------

给定一个完备的赋范向量空间E（例如\mathbb {R} ^{n}），设U是E的開子集。考慮一個自治的非线性动力系统：

{\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t\_{0})=x\_{0},
其中x(t)\in U是系統的狀態向量，f:U\rightarrow E是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：*f*(*a*) = 0，则常数函数：x = a是动力系统的**驻定解**（或称**平衡解**）。称a是动力系统的平衡點。

1. 称點a**李雅普诺夫稳定**（简称**稳定**），如果對每個\epsilon >0，均存在\delta =\delta (\epsilon )>0，使得对所有满足\|x\_{0}-a\|<\delta 的x\_{0}，只要t\geqslant t\_{0}，就有\|x(t)-a\|<\epsilon 。
2. 称點a**漸近稳定**，如果點a李雅普诺夫稳定，且存在\delta >0，使得对所有满足 \|x\_{0}-a\|<\delta  的x\_{0}，\lim \_{{t\rightarrow \infty }}x(t)=a。
3. 称點a**指數稳定**，如果點a漸近稳定，且存在 \alpha ,\beta ,\delta >0 使得对所有满足\|x\_{0}-a\|<\delta 的x\_{0}，只要t\geqslant t\_{0}，就有\|x(t)-a\|\leq \alpha \|x\_{0}-a\|e^{{-\beta t}}。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 \epsilon ）。
2. 漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
3. 指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为x(t\_{0})=x\_{0}。称{\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t\_{0}\}为x的轨迹。如果對所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

\lim \_{{t\to \infty }}\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.
则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有y均成立，則称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且穩定，则x漸近稳定。不過，x有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

迭代系統下的定義
--------

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定度量空間(X,d)。设f\colon X\to X為一連續函數。稱點a\in X為**李雅普诺夫稳定**，如果對任意\epsilon >0，都存在\delta >0，使得只要x \in X满足d(x,a)<\delta ，就有

\forall n\in {\mathbb {N}},\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .
稱點a**漸近穩定**，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在\delta >0，使得只要x \in X满足d(x,a)<\delta ，就有 

\lim \_{{n\to \infty }}d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0

李雅普诺夫穩定性理論
----------

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

### 李雅普诺夫穩定性第二定理

考慮一個函數 *V(x)* : *Rn* → *R* 使得 

* V(x)\geq 0 只有在 x=0 處等號成立（正定函數）
* {\dot {V}}(x(t))<0 （負定）

則*V(x)*稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為**漸近穩定**。

上式中 V(0)=0 是必要的條件。否則，V(x)=1/(1+|x|)可以用來「證明」 {\dot x}(t)=x有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數。

例如考慮以下的系統

{\dot {x}}=-x^{3}\,
希望用李雅普诺夫函數來確認x=0\,附近的穩定性。令

V(x)=0.5x^{2}\,
V(x)本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

{\displaystyle {\dot {V}}(x(t))={\partial V \over \partial x}(-x^{3})=-x^{4}\,}
為負定函數，因此上述系統在x=0\,附近為漸近穩定。

線性系統狀態空間模型的穩定性
--------------

一個線性的狀態空間模型 

{\dot {{\textbf {x}}}}=A{\textbf {x}}
為漸近穩定（其實是指數穩定），若

A^{{T}}M+MA+N=0
的解存在。

其中 N=N^{{T}}>0 且 M=M^{{T}}>0 （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為V(x)=x^{T}Mx）

有輸入值系統的穩定性
----------

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示 

{\dot {{\textbf {x}}}}={\textbf {f(x,u)}}
其中輸入 u(t) 可視為*控制*、*外部輸入*、*擾動*、*刺激*或*外力*。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。

相關條目
----

* 李亞普諾夫函數
* 摄动理论
* 拉薩爾不變集原理

參考資料
----

1. ↑  Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li.. Prentice Hall. 1991. ISBN 978-0-13-040890-7.

* 本條目含有来自PlanetMath《asymptotically stable》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。

外部連結
----

* Lyapunov A.M. *Stability of motion*, Academic Press, New-York and London,1966
* Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B.. Computational and Applied Mathematics. October 2016, **37**: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7.
* 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
控制理论 |
| --- |
|  |
| 領域分支 | 
* 自适应控制
* 控制理论
* 數位控制
* 能量成型控制
* 模糊控制
* 混合（英语：）控制
* 智能控制
* 模型預測控制
* 神经系统控制
* 非線性控制
* 最优控制
* 实时计算
* 鲁棒控制
* 隨機控制

 |
|  |
| 系統特性 | 
* 時域
* 頻域
* 波德圖
* 奈奎斯特图
* 尼柯尔斯图
* 方塊圖
* 閉迴路傳遞函數
* 可控制性
* 傅里叶变换
* 频率响应
* 拉普拉斯变换
* 负反馈
* 可觀測性
* 性能
* 正回饋
* 根軌跡圖法
* 伺服機構
* 信号流图
* 状态空间
* 穩定性理論
* 穩態分析及設計
* 系统动力学
* 传递函数

 |
|  |
| 數位控制 | 
* 離散時間信號
* 数字信号处理
* 量化
* 實時軟體
* 取樣資料
* 系統識別
* Z轉換

 |
|  |
| 進階理論 | 
* 人工神经网络
* 係數圖法（英语：）
* 控制重構
* 分佈式參數系統
* 分數階控制
* 模糊逻辑
* H-infinity迴路成形
* 漢克爾奇異值
* 卡尔曼滤波
* Krener's theorem（英语：）
* 最小二乘法
* 李雅普诺夫稳定性
* 小迴路回授
* 知覺控制理論
* 狀態觀測器
* 向量控制
* 描述函數

 |
|  |
| 控制器 | 
* 嵌入式控制器
* 超前-滞后补偿器
* 数控机床
* PID控制器
* 可编程逻辑控制器

 |
|  |
| 控制應用 | 
* 分散式控制系統
* 电动机
* 工業控制系統
* 机械电子学
* 運動控制
* 过程控制
* 机器人学
* 数据采集与监控系统（SCADA）

 |

 |