物理学中，**物理空间代数** （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{3,\ 0}(\mathbb {R} )}作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{3,\ 0}(\mathbb {R} )}在旋量表示{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{3,\ 0}(\mathbb {R} )}同构于克利福德代数{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{3,\ 1}(\mathbb {R} )}的偶子代数{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )}。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数{\displaystyle {\rm {Cl}}\_{1,\ 3}(\mathbb {R} )}。

狭义相对论
-----

### 时空位置副向量

APS中，时空位置可表为副向量



x
=

x

0

+

x

1

e

1

+

x

2

e

2

+

x

3

e

3

,

{\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} \_{1}+x^{2}\mathbf {e} \_{2}+x^{3}\mathbf {e} \_{3},}

{\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}
其中时间由标绿部分{\displaystyle x^{0}=t}给出，{\displaystyle {\vec {e}}\_{1},\ {\vec {e}}\_{2},\ {\vec {e}}\_{3}}是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是{\displaystyle c=1}，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为



x
→

(

x

0

+

x

3



x

1

−
i

x

2


x

1

+
i

x

2



x

0

−

x

3


)

{\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}
### 洛伦兹变换与转子

条目：洛伦兹变换和转子 (数学)
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量*W*进行指数化实现：



L
=

e

1
2

W

.

{\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.}

{\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.}
在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是{\displaystyle {\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )}群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：



L

L
¯

=

L
¯

L
=
1.

{\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}

{\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}
此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的{\displaystyle B=B^{\dagger }}与幺正的{\displaystyle R^{\dagger }=R^{-1}}，使得



L
=
B
R
.

{\displaystyle L=BR.}

{\displaystyle L=BR.}
酉元*R*称作转子，因为其编码了旋转，厄米元*B*则编码了递升。

### 四维速度副向量

四维速度也称**原速**，定义为时空位置副向量对原时*τ*的导数：



u
=

d
x

d
τ

=

d

x

0

d
τ

+

d

d
τ

(

x

1

e

1

+

x

2

e

2

+

x

3

e

3

)
=

d

x

0

d
τ

[

1
+

d

d

x

0


(

x

1

e

1

+

x

2

e

2

+

x

3

e

3

)

]

.

{\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} \_{1}+x^{2}\mathbf {e} \_{2}+x^{3}\mathbf {e} \_{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} \_{1}+x^{2}\mathbf {e} \_{2}+x^{3}\mathbf {e} \_{3})\right].}

{\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}
定义普通速度为


v

=

d

d

x

0


(

x

1

e

1

+

x

2

e

2

+

x

3

e

3

)
,

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} \_{1}+x^{2}\mathbf {e} \_{2}+x^{3}\mathbf {e} \_{3}),}

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}
回想伽马因子的定义：



γ
(

v

)
=

1

1
−

|

v

|

2

c

2


,

{\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}

{\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}
于是原速的更紧凑定义是：



u
=
γ
(

v

)
(
1
+

v

)
.

{\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}

{\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}
原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：



u

u
¯

=
1.

{\displaystyle u{\bar {u}}=1.}

{\displaystyle u{\bar {u}}=1.}
在**洛伦兹转子***L*作用下，原速变换为



u
→

u

′

=
L
u

L

†

.

{\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}

{\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}
### 四维动量副向量

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：



p
=
m
u
,

{\displaystyle p=mu,}

{\displaystyle p=mu,}
质壳条件转化为



p
¯

p
=

m

2

.

{\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}

{\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}

经典电动力学
------

条目：经典电动力学
### 电磁场、电势与电流

电磁场可表为双副向量*F*：



F
=

E

+
i

B

,

{\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}

{\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}
其中厄米部分代表电场*E*，反厄米部分代表磁场*B*。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为



F
→

(

E

3


E

1

−
i

E

2


E

1

+
i

E

2

−

E

3


)

+
i

(

B

3


B

1

−
i

B

2


B

1

+
i

B

2

−

B

3


)

.

{\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E\_{3}&E\_{1}-iE\_{2}\\E\_{1}+iE\_{2}&-E\_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B\_{3}&B\_{1}-iB\_{2}\\B\_{1}+iB\_{2}&-B\_{3}\end{pmatrix}}\,.}

{\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}
场*F*的源是电磁四维电流



j
=
ρ
+

j

,

{\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}

{\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}
其中标量部分等于电荷密度*ρ*，向量部分等于电流密度**j**。引入电磁势副向量：



A
=
ϕ
+

A

,

{\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}

{\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}
当中标量部分等于电势*ϕ*，向量部分等于磁势**A**。则电磁场为



F
=
∂

A
¯

.

{\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}

{\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}
此场也可分为电部分



E
=
⟨
∂

A
¯

⟩

V

{\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle \_{V}}

{\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}}
与磁部分



B
=
i
⟨
∂

A
¯

⟩

B
V

{\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle \_{BV}}

{\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}}
当中



∂
=

∂

t

+

e

1

∂

x

+

e

2

∂

y

+

e

3

∂

z

{\displaystyle \partial =\partial \_{t}+\mathbf {e} \_{1}\,\partial \_{x}+\mathbf {e} \_{2}\,\partial \_{y}+\mathbf {e} \_{3}\,\partial \_{z}}

{\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}
且*F*在下列规范变换下不变：



A
→
A
+
∂
χ

,

{\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}

{\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}
其中{\displaystyle \chi }是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是



F
→

F

′

=
L
F

L
¯

.

{\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}

{\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}
### 麦克斯韦方程组与洛伦兹力

麦克斯韦方程组可用单一方程表示：



∂
¯

F
=

1
ϵ


j
¯

,

{\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}

{\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}
其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为



d
p

d
τ

=
e
⟨
F
u

⟩

R

.

{\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle \_{R}\,.}

{\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}
### 电磁拉格朗日量

电磁拉格朗日量是



L
=

1
2

⟨
F
F

⟩

S

−
⟨
A

j
¯

⟩

S

,

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle \_{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle \_{S}\,,}

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}
是实标量不变量。

相对论量子力学
-------

条目：相对论量子力学
对质量为*m*、电荷为*e*的带电粒子，其狄拉克方程的形式为



i

∂
¯

Ψ

e

3

+
e

A
¯

Ψ
=
m

Ψ
¯

†

,

{\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} \_{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },}

{\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },}
其中{\displaystyle {\vec {e}}\_{3}'}是任意酉向量，*A*是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势*A*中。

经典旋量
----

条目：旋量
与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为



d
Λ

d
τ

=

e

2
m
c

F
Λ
,

{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}

{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}
这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：



u
=
Λ

Λ

†

,

{\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}

{\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}
积分之，就可得到时空轨迹{\displaystyle x(\tau )}，同时还能使用



d
x

d
τ

=
u
.

{\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}

{\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}

另见
--

* 副向量
* 多重向量
* wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
* 相对论量子力学
* 代数

参考文献
----

### 教科书

* Baylis, William.  2nd. 2002. ISBN 0-8176-4025-8.
* Baylis, William (编).. Springer. 1999 [1996]. ISBN 978-0-8176-3868-9.
* Doran, Chris; Lasenby, Anthony.. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6.
* Hestenes, David.  2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8.

### 文章

* Baylis, W E.. Canadian Journal of Physics. 2004, **82** (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158 可免费查阅. doi:10.1139/p04-058.
* Baylis, W E; Jones, G.. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, **22** (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
* Baylis, W. E.. Physical Review A. 1 March 1992, **45** (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293.
* Baylis, W. E.; Yao, Y.. Physical Review A. 1 July 1999, **60** (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.

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| 

| * 
* 论
* 编
数的系統 |
| --- |
|  |
| 可數集 | 
* 自然数 ({\displaystyle \mathbb {N} })
* 整数 ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* 有理数 ({\displaystyle \mathbb {Q} })
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 ({\displaystyle \mathbb {Z} [i]})
* 艾森斯坦整数

 |
|  |
| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })

 |
|  |
| 凯莱－迪克森结构 | 
* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })
* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

 |
|  |
| 分裂形式 | 
* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

 |
|  |
| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
* 十六元數  ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
* 多重複數
* 幾何代數（英语：）
	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
* 三元數
	+ 無法良好構建
* 六元數

 |
|  |
| 其他系統 | 
* 基數
* 擴展自然數（英语：）
* 無理數
* 模糊數（英语：）
* 超實數
* 列維-奇維塔域（英语：）
* 超現實數
* 超越數
* 序数
* *p*進數
* 超自然數（英语：）
* 上超實數（英语：）

 |
|  |
| 
* 分類
* 列表级条目 列表（英语：）

 |

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| * 
* 论
* 编
应用数学 |
| --- |
|  |
| 运算数学 | 
* 算法
	+ 算法设计
	+ 算法分析
* 自動機理論
* 自动化定理证明
* 编码理论
* 计算几何
* 约束满足
	+ 约束编程
* 计算机逻辑
* 密码学
* 信息论
* 计算统计学

 |
|  |
| 离散数学 | 
* 计算机代数
* 计算数论
* 组合数学
* 图论
* 离散几何学

 |
|  |
| 数学分析 | 
* 逼近理论
* 克利福德分析（英语：）
	+ 克利福德代数
* 微分方程
	+ 常微分方程
	+ 偏微分方程
	+ 随机微分方程
* 微分几何
	+ 微分形式
	+ 规范理论 (数学)（英语：）

* + 几何分析（英语：）
* 动力系统
	+ 混沌理论
	+ 控制理论
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	+ 算子代数
	+ 算子理论
* 调和分析
	+ 傅里叶分析
* 多重线性代数
	+ 外代数
	+ 几何代数
	+ 张量
	+ 向量代数

* 多元微积分
	+ 外微积分
	+ 几何微积分（英语：）
	+ 张量微积分（英语：）
	+ 向量微积分
* 数值分析
	+ 数值线性代数
	+ 常微分方程数值方法
	+ 偏微分方程数值方法
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| 概率论 | 
* 概率分布（随机变量）
* 随机过程 / 随机分析
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* 马利阿温微积分（英语：）

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	+ 拓扑弦论
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