在几何学中，**开世定理**是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

叙述
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{\displaystyle t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}-t\_{13}\cdot t\_{24}=0}
开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为{\displaystyle \,R} 的一个圆{\displaystyle \,O}，圆内又有四个圆{\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} 内切于圆{\displaystyle \,O}（如右图）。如果将圆{\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} 的外公切线的长度设为{\displaystyle \,t\_{ij}}，那么开世定理声称，有下列等式成立。

{\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}}
可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆{\displaystyle \,O} 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明
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设大圆的圆心是点{\displaystyle \,O}；四个圆的圆心分别是点{\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}}，半径分别是{\displaystyle \,R\_{1},R\_{2},R\_{3},R\_{4}}。每个圆与大圆{\displaystyle \,O} 的切点分别是{\displaystyle \,K\_{1},K\_{2},K\_{3},K\_{4}}。

首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的*i* 和*j*，都有

{\displaystyle \,t\_{ij}^{2}={\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)}
接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用{\displaystyle \,K\_{i},K\_{j}} 来表示。

考虑三角形{\displaystyle \,O\_{i}OO\_{j}}，根据三角形的余弦定理：

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}={\overline {OO\_{i}}}^{2}+{\overline {OO\_{j}}}^{2}-2{\overline {OO\_{i}}}\cdot {\overline {OO\_{j}}}\cdot \cos \angle O\_{i}OO\_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)}
由于每个圆{\displaystyle \,O\_{i}} 都和大圆相切，所以：

{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}=R-R\_{i},\,\angle O\_{i}OO\_{j}=\angle K\_{i}OK\_{j}}
设点{\displaystyle \,C} 为大圆{\displaystyle \,O} 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形{\displaystyle \,K\_{i}CK\_{j}}之中，有：

{\displaystyle {\overline {K\_{i}K\_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K\_{i}CK\_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}}
所以，余弦式

{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K\_{i}K\_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
将以上{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}} 与{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}} 代入式子(2)中，就可以得到：

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
{\displaystyle =(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle =((R-R\_{i})-(R-R\_{j}))^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle =(R\_{i}-R\_{j})^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
再代入式子(1)中，就得到{\displaystyle t\_{ij}}的表达式：

{\displaystyle t\_{ij}={\sqrt {{\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R\_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{j}}}\cdot {\overline {K\_{i}K\_{j}}}}{R}}}
以上等式对所有的*i* 和*j* 都成立，因此只要注意到四边形 {\displaystyle \,K\_{1}K\_{2}K\_{3}K\_{4}} 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

{\displaystyle t\_{12}t\_{34}+t\_{14}t\_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{2}}}\cdot {\overline {K\_{3}K\_{4}}}+{\overline {K\_{1}K\_{4}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{3}}}\right)}
{\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{3}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{4}}}\right)=t\_{13}t\_{24}}
证明完毕。

推广
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可以用类似的方法证明，只要当圆{\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} 与大圆{\displaystyle \,O} 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的*i* 和*j*：

如果圆{\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} 是与大圆{\displaystyle \,O} 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则{\displaystyle \,t\_{ij}}表示两个圆的外公切线的长度；
如果圆{\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} 是与大圆{\displaystyle \,O} 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则{\displaystyle \,t\_{ij}}表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。

应用
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在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

参考书籍
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* （英文） Roger A. Johnson.. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（*modern geometry*）之名出版。）.
* （英文）O. Bottema, Reinie Erne.. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Shailesh Shirali: *On a generalized Ptolemy Theorem*[永久]