在數學裏，**卡西米爾不變量**（又稱**卡西米爾元**或**卡希米爾算子**）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 *J* 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。

定義
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最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

### 二次卡西米爾元

設 \mathfrak{g} 為一個 n 維半單李代數。設 *B* 為 \mathfrak{g} 上非奇異的二次型，並要求 *B* 在 \mathfrak{g} 的伴隨作用下不變，即對 \mathfrak{g} 中的任意 *X,Y,Z,* 都有 {\displaystyle B(ad\_{X}Y,Z)+B(Y,ad\_{X}Z)=0.} （例如，可取 *B* 為基灵型。）
設

{\displaystyle \{X\_{i}\}\_{i=1}^{n}}
為 \mathfrak{g} 的基，以及

{\displaystyle \{X^{i}\}\_{i=1}^{n}}
為 \mathfrak{g} 關於 *B* 的對偶基，則 *B* 的**卡西米爾不變量** \Omega  是泛包絡代數 {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 的元素

{\displaystyle \Omega =\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}X^{i}.}
儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 *Ω* 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 *B* 可以給出不同的 *Ω*. *B* 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 \mathfrak{g} 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 的中心的元素。

### 線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定 \mathfrak{g} 在向量空間 *V* 上的李代數表示（英语：） *ρ* （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 *ρ* 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

{\displaystyle \rho (\Omega )=\sum \_{i=1}^{n}\rho (X\_{i})\rho (X^{i}).}
此處假定了 *B* 為基靈型，否則必須指明 *B*.

該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析（英语：）中有重要作用。假設連通李群 *G* 的李代數 \mathfrak{g} 作用在微分流形 *M* 上，則在 *M* 的連續函數空間上，有 *G* 相應的表示 *ρ*. \mathfrak{g} 的元素均由 *M* 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 *ρ* 的卡西米爾元，其為 *M* 上的二階微分算子，且在 *G* 的作用下不變。

更進一步，若 *M* 有度量张量，使得 *G* 的元素作為 *M* 的保距變換，可遞地作用在 *M* 上，且一點的穩定子 *G*x 不可約地作用在切空間 *TxM* 上，則 *ρ* 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論（英语：）研究伪微分算子時用到。

### 一般情況

每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數（英语：） {\displaystyle {\mbox{ad}}\_{\mathfrak {g}}.} 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

{\displaystyle C\_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X\_{i}\otimes X\_{j}\otimes \cdots \otimes X\_{k},}
其中 *m* 是對稱張量 {\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}} 的階，且 X\_{i} 組成 \mathfrak{g} 的基。域 *K*上的多项式环 {\displaystyle K[t\_{i},t\_{j},\cdots ,t\_{k}]} 內，有 *m* 元對稱齊次多項式

{\displaystyle c\_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t\_{i}t\_{j}\cdots t\_{k}}
與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理（英语：）給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，*並非*每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 X\_{i}, 都滿足

{\displaystyle [C\_{(m)},X\_{i}]=0}.
考慮结构常数 *fijk*，其滿足

{\displaystyle [X\_{i},X\_{j}]=f\_{ij}^{\;\;k}X\_{k}.}
於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

{\displaystyle f\_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f\_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f\_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.}
此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示（英语：）能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 *r*, 即其嘉当子代数的維數為 *r*, 則其恰有 *r* 個卡西米爾元。

性質
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### 唯一性

一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

### 與 G 上拉普拉斯算子的關係

若 G 為李群，且其李代數為 \mathfrak{g}, 則 \mathfrak{g} 上的不變二次型對應 G 上的雙不變黎曼度量。並且， \mathfrak{g} 的泛包絡代數等同於 G 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，\mathfrak{g} 上雙線性型的卡西米爾元，對應 G 關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

### 推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何既約表示（英语：）中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。

例：{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
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考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 {\displaystyle L\_{x},\,L\_{y},\,L\_{z}} 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

{\displaystyle L^{2}=L\_{x}^{2}+L\_{y}^{2}+L\_{z}^{2}}
給出。
考慮 {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的一個不可約表示。記其中 L\_{z} 的最大特徵值為 \ell , 則 \ell  的可能取值為 {\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots .} 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 *I* 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

{\displaystyle L^{2}=L\_{x}^{2}+L\_{y}^{2}+L\_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}
在量子力学中，常數 \ell  稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，\ell  總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（英語：)，否則稱為费米子表示（英語：)。 

給定 \ell , 得到的矩陣表示是 {\displaystyle (2\ell +1)} 維的。例如 {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的三維表示對應於 {\displaystyle \ell \,=\,1}, 由下列的生成元給出：

{\displaystyle L\_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L\_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L\_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
其中照物理學常用的約定加入了 i 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

{\displaystyle L^{2}=L\_{x}^{2}+L\_{y}^{2}+L\_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}
當 {\displaystyle \ell \,=\,1}時，{\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

特徵值
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由於卡西米爾元 \Omega  在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 \langle ,\rangle  為 \Omega  定義採用的對稱非退化二次型。記 {\displaystyle L(\lambda )} 為具有最高權 \lambda  的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 \Omega  在 {\displaystyle L(\lambda )} 的作用為乘常數 

{\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}
其中 \rho  為所有正根之和之半。

若 {\displaystyle L(\lambda )} 非平凡（即 {\displaystyle \lambda \neq 0}), 則上述常數非零。原因是，由於 \lambda  是優控的（英語：, 即與任意正根的內積皆非負），若 {\displaystyle \lambda \neq 0}，則 {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}, 且 {\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}, 故 {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}. 此結果適用於魏爾完全可約性定理（英语：）的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法（英语：）證明該常數非零。

參見
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* 哈里希·錢德拉同構（英语：）
* 包立－魯班斯基偽向量（英语：）

參考文獻
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1. ↑  Oliver, David.. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6.
2. ↑  Hall 2015 Proposition 10.5
3. ↑  Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics （页面存档备份，存于）" (2005) *Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics*.
4. ↑  Racah, Giulio.. Springer Berlin Heidelberg. 1965.
5. ↑   Hall 2013 Proposition 17.8
6. ↑  Hall 2015 Proposition 10.6
7. ↑  Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2

* Hall, Brian C. Graduate Texts in Mathematics **267**, Springer, 2013
* Hall, Brian C. Graduate Texts in Mathematics **222** 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
* Humphreys, James E. Graduate Texts in Mathematics **9** Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5

延伸閱讀
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* Jacobson, Nathan.. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.