粒子的運動軌道與虛軌道分別為x(t)與x'(t)。在位置x\_1、時間t\_{1}，虛位移為\delta x。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為x\_{0}與x\_2。
在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為**虛功**（英語：）。以方程式表達，虛功\delta W是

\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}；
其中，\mathbf {F} 是作用力，\delta {\mathbf {r}}是虛位移。

在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：

{\mathbf {R}}^{{T}}{\mathbf {r}}={\mathbf {R}}^{{T}}{\mathbf {B}}{\mathbf {q}}；
其中，{\mathbf {R}},\ {\mathbf {r}},\ {\mathbf {q}}都是向量，\mathbf {B} 是方塊矩陣。

假若，\mathbf{R}是個任意非零向量，則可以將任意項目\mathbf{R}從方程式中除去，得到{\mathbf {r}}={\mathbf {B}}{\mathbf {q}}。

虛功原理
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**虛功原理**闡明，一個物理系統處於靜態平衡（），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零。以方程式表達，

\delta W=\sum \_{{i}}{\mathbf {F}}\_{{i}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0。
考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點P\_i可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和{\mathbf {F}}\_{{i}}^{{(T)}}等於零：

{\mathbf {F}}\_{{i}}^{{(T)}}=0。
給予這質點P\_i 虛位移\delta {\mathbf r}\_{i}，則合力{\mathbf {F}}\_{{i}}^{{(T)}}所做的虛功\delta W\_{i}為零：

\delta W\_{i}={\mathbf {F}}\_{{i}}^{{(T)}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0。
總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：

\delta W=\sum \_{{i}}\ {\mathbf {F}}\_{{i}}^{{(T)}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0。
將合力細分為外力{\mathbf F}\_{i}與約束力{\mathbf C}\_{i}：

\delta W=\sum \_{{i}}{\mathbf {F}}\_{{i}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}+\sum \_{{i}}{\mathbf {C}}\_{{i}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0。
假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零：

\sum \_{{i}}{\mathbf {C}}\_{{i}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0，
則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：

\delta W=\sum \_{{i}}{\mathbf {F}}\_{{i}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}=0。
注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為**反作用力的虛功假設**：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。

在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

### 適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

* 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})^{2}=L\_{{ij}}^{2}；其中，剛體內部的質點P\_i、P\_{j}的位置分別為{\mathbf {r}}\_{i}、{\mathbf {r}}\_{j}，它們之間的距離L\_{{ij}}是個常數。所以，兩個質點的虛位移\delta {\mathbf {r}}\_{i}、\delta {\mathbf {r}}\_{j}之間的關係為

\delta ({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})^{2}=2({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})(\delta {\mathbf {r}}\_{i}-\delta {\mathbf {r}}\_{j})=0。
在這裏，有兩種可能的狀況：
1、\delta {\mathbf {r}}\_{i}=\delta {\mathbf {r}}\_{j}：
對於這狀況，由於{\mathbf {C}}\_{{ji}}=-{\mathbf {C}}\_{{ij}}，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，
{\mathbf {C}}\_{{ij}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}+{\mathbf {C}}\_{{ji}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{j}=0，
所以，約束力所做的虛功的總合是零。
2、({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})\perp (\delta {\mathbf {r}}\_{i}-\delta {\mathbf {r}}\_{j}) : 
由於{\mathbf {C}}\_{{ij}}\ \|\ {\mathbf {C}}\_{{ji}}\ \|\ ({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})，
{\mathbf {C}}\_{{ij}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}+{\mathbf {C}}\_{{ji}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{j}={\mathbf {C}}\_{{ij}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {C}}\_{{ij}}\cdot \delta {\mathbf {r}}\_{j}={\mathbf {C}}\_{{ij}}\cdot (\delta {\mathbf {r}}\_{i}-\delta {\mathbf {r}}\_{j})=0。
所以，約束力所做的虛功的總合是零。
所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。
* 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。。

### 在位形空間的意義

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力{\mathcal {F}}\_{i}和廣義坐標q\_i表達，

\delta W=\sum \_{{i}}{\mathcal {F}}\_{i}\delta q\_{i}=0。
設定一個N維位形空間，其坐標為(q\_{1},q\_{2},\dots ,q\_{N})，其內中表示位置的點稱為**位形點**。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力{\boldsymbol {{\mathcal {F}}}}=(F\_{1},F\_{2},\dots ,F\_{N})垂直於符合約束條件的虛位移\delta {\mathbf {q}}=(\delta q\_{1},\delta q\_{2},\dots ,\delta q\_{N})。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力{\boldsymbol {{\mathcal {F}}}}不可能垂直於N維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力{\boldsymbol {{\mathcal {F}}}}必須等於零。

假設，這物理系統有L個約束條件，則自由度為N-L，位形點必需處於位形空間的某N-L維子空間，而廣義力{\boldsymbol {{\mathcal {F}}}}必須垂直於這子空間，因此必需使用N-L個運動方程式來表達這物理系統。

### 保守系統

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數V(q\_{1},q\_{2},\dots ,q\_{N})的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：

F\_{{i}}=-{\frac {\partial V}{\partial q\_{i}}}。
虛功與廣義位勢的關係為

\delta W=\sum \_{{i}}-{\frac {\partial V}{\partial q\_{i}}}\delta q\_{i}=-\delta V=0。
由於位勢的變分\delta V等於零，一個靜態平衡系統的位勢V乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢V必須是個局域極小值。

參見
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* 柔度法（英语：）
* 拉格朗日力学
* 哈密頓力学

參考文獻
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1. 1 2  Lanczos, Cornelius, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Torby, Bruce, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. 1 2  Goldstein, Herbert.  3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結
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* 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于）（英文）

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| * 
* 论
* 编
经典力学 |
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* 分析力学（拉格朗日力学
* 哈密頓力學）

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