本文描述的是古典力學中的諧振子。量子力學中的諧振子請見量子諧振子與量子阻尼諧振子。
一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。
古典力學中，一個**諧振子**（英語：）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力F正比於位移x，並遵守虎克定律：

F=-kx\,
其中k是一個正值常數。

如果F是系統僅受的力，則系統稱作**簡諧振子**（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。

若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為**阻尼振子**。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是**受驅振子**。

力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見RLC電路）。

簡諧振子
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簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

F=-kx\,
利用牛頓第二定律

F=ma=-kx\,
則加速度a等於是x的二次微分導數：

m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}=-kx
若定義{\omega \_{0}}^{2}=k/m，則方程式可以寫為如下：

{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\omega \_{0}}^{2}x=0
可以觀察到：

{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\ddot x}={\frac {{\mathrm {d}}{\dot {x}}}{{\mathrm {d}}t}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {{\mathrm {d}}{\dot {x}}}{{\mathrm {d}}x}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}{\dot {x}}}{{\mathrm {d}}x}}{\dot {x}}
然後代回原式得到

{\frac {{\mathrm {d}}{\dot {x}}}{{\mathrm {d}}x}}{\dot x}+{\omega \_{0}}^{2}x=0
{\mathrm {d}}{\dot {x}}\cdot {\dot x}+{\omega \_{0}}^{2}x\cdot {\mathrm {d}}x=0
積分可得

{\dot {x}}^{2}+{\omega \_{0}}^{2}x^{2}=K
其中*K*是積分常數，設*K* = (*A* *ω*0)*2*

{\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega \_{0}}^{2}-{\omega \_{0}}^{2}x^{2}
{\dot {x}}=\pm {\omega \_{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}
{\frac {{\mathrm {d}}x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega \_{0}}{\mathrm {d}}t
經過積分，結果（包括積分常數φ）為

{\begin{cases}\arcsin {{\frac {x}{A}}}=\omega \_{0}t+\phi \\\arccos {{\frac {x}{A}}}=\omega \_{0}t+\phi \end{cases}}
並有一般解

x=A\cos {(\omega \_{0}t+\phi )}\,
其中振幅A\,以及相位\phi \,可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

x=A\sin {(\omega \_{0}t+\phi )}\,
其中\phi \,的值與前面形式相比，偏移了\pi /2\,；

又可以寫作

x=A\sin {\omega \_{0}t}+B\cos {\omega \_{0}t}\,
其中A\,與B\,為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的A\,與\phi \,。

振動頻率則為

f={\frac {\omega \_{0}}{2\pi }}
動能為

T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega \_{0}t+\phi ).
以及勢能（位能）為

U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega \_{0}t+\phi )
所以系統總能為定值：

E={\frac {1}{2}}kA^{2}

受驅諧振子
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一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程

{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\omega \_{0}}^{2}x=A\_{0}\cos(\omega t)，
其中A\_{{0}}是驅動振幅而\omega 是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

阻尼諧振子
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一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程

{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}+{\omega \_{0}}^{2}x=0，
其中b是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式F=-bv。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

\omega \_{1}={\sqrt {\omega \_{0}^{2}-R\_{m}^{2}}}
其中

{\displaystyle R\_{m}={\frac {b}{2m}}}。

受驅阻尼振子
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受驅阻尼振子滿足方程式

m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+r{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}+kx=F\_{0}\cos(\omega t)。
其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

x(t)={\frac {F\_{0}}{Z\_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )
其中

Z\_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}
為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值

Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)
而

\phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)
為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率 \omega 時，振子振動之振幅（相對於一給定之F\_{0}）達到最大。這發生在頻率為

{\omega }\_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}
之時，而此現象稱之為**（位移上的）共振**。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

完整數學描述
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多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}+{\omega \_{0}}^{2}x=A\_{0}\cos(\omega t)
其中*t*是時間，*b*是阻尼常數，ωo是本徵角頻率，而*A*ocos(ω*t*)代表驅動系統的某種事物，其振幅*A*o而角頻率ω。*x*是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率*f*有關，關係式為

 f = \frac{\omega}{2 \pi}。
### 重要項

* 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
* 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
* 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
* 角頻率：\omega =2\pi f
* 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为\pi ）。
* 初始條件：*t* = 0时系统的状态。