一個使用仿射变换所製造有自相似性的碎形
**仿射变换**（Affine transformation），又称**仿射映射**，是指在几何中，對一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

一個對向量{\vec {x}}平移{\vec {b}}，與旋轉缩放 A的仿射映射為

{\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}
上式在齐次坐标上，等價於下面的式子

{\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&{\vec {b}}\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}
在分形的研究裡，收縮平移仿射映射可以製作具有自相似性的分形。

數學定義
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一個在兩個仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現線性之座標點的變換（即為空間中點與點之間的向量）。以符號表示的話，*f'使得* \varphi *，決定任一對點的線性變換：*
P,Q\in {\mathcal {A}}:

\overrightarrow {f(P)~f(Q)}=\varphi (\overrightarrow {PQ})
或者
f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).

### 其他定義

我們可以將此定義繼續延伸：
假設選定一原點 , O\in {\mathcal {A}}且 B表示其圖像f(O)\in {\mathcal {B}} , 如此即代表對任何向量 \vec{x}:
f:(O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).

  

假設選定一原點O'\in {\mathcal {B}} ,此即可以拆解成一仿射變換g:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}} 使得
O\mapsto O', 特定而言

g:(O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),,

  

總結即，很直觀的， f包含了一個變換與線性座標。

  

給定同一場中的兩個仿射空間{\mathcal {A}} 與 \mathcal{B} , 一函數f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}} 為一仿射映射若且唯若對任一加權點的集合 \{(a\_{i},\lambda \_{i})\}\_{{i\in I}} of weighted points in {\mathcal {A}}於 such that

我們得到

f\left(\sum \_{{i\in I}}\lambda \_{i}a\_{i}\right)=\sum \_{{i\in I}}\lambda \_{i}f(a\_{i})\,.
此定義等價於 f 保留了 質心.

表示
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如上所示，仿射變換為兩函數的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣「Ａ」，平移被表示為向量 \vec{b}，一仿射映射 f可被表示為

{\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.
### 增廣矩陣

二維平面上的仿射變換可呈現於三維空間中。平移即為沿著z軸的錯切，旋轉則以z軸為軸心
使用一 增廣矩陣 與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長 "1"且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個 "1"。

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}}
等價於

{\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.
以上所言之擴長矩陣被稱為 "仿射變換矩陣"，又或稱為 "投射變換矩陣" （其可應用於 投影轉換)。

此表示法以 *K**n*之半直積 與 GL(*n*, *k*)展示了 所有可逆 仿射變換的集合。 此為一個於眾函數集結下進行的一個 群, 被稱為 仿射群

普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一座標 "1"，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。 因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1)。原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為錯切變換）。在高維度中的座標即為 齊次座標的一例。 假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間。

使用齊次座標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於 計算機圖形, 計算機視覺 與 機器人學。

性質
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仿射變換保留了：

1. 點之間的共线性（英语：）：在同一条直线上的三个或更多的点（称为共线点）在变换后依然在同一条直线上（共线）；
2. 直线的平行性：两条或以上的平行直线，在变换后依然平行；
3. 集合的凸性：凸集合变换后依然是凸集合。并且，最初的极值点被映射到变换后的极值点集；
4. 平行线段的长度的比例：两条由点 {\displaystyle p\_{1},p\_{2},p\_{3},p\_{4}} 定义的**平行**线段，\overrightarrow {p\_{1}p\_{2}} 與 {\displaystyle {\overrightarrow {p\_{3}p\_{4}}}}的长度的比例等于\overrightarrow {f(p\_{1})f(p\_{2})}与{\displaystyle {\overrightarrow {f(p\_{3})f(p\_{4})}}}的长度的比例；
5. 不同質量的點组成集合的质心。

仿射變換為可逆的当且仅当A為可逆的。用矩陣表示，其逆元為：

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0,&\ldots &,0&1\end{array}}\right]}

可逆仿射變換組成仿射群（英语：），其中包含具n階的一般線性群為子群，且自身亦為一 n+1 階的一般線性群之子群。
當A為常數乘以正交矩陣時，此子集合構成一子群，稱之為相似變換。舉例而言，假如仿射變換於一平面上且假如 A 之行列式為 1 或 -1 ，那麼該變換即為等面積變換（英语：）。此類變換組成被稱為*等仿射群*的子群。一同時為等面積變換與相似變換的變換，即為一平面上保持歐幾里德距離不變的保距映射。

這些群都有一保留了原定向的子群，也就是其對應之 A 的行列式大於零。最後一个例子，即三維空间中剛體的運動组成的群（旋轉和平移），刚体的运动在机器人学中尤为常用。

如果有一固定點，我們可以將其當成原點，則仿射變換被縮還到一線性變換。這使得變換更易於分類與理解。舉例而言，將一變換敘述為特定軸的旋轉，相較於將其形容為平移與旋轉的結合，更能提供變換行為清楚的解釋。只是，這取決於應用與內容。

實例
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### 實數之仿射變換

函數*f* : **R** → **R**, *f*(*x*) = *mx* + *c* ，其中*m*與*c*為常數，此即為一般之仿射變換。

### 有限體的仿射變換

以下等式表示了有限體(28)中的仿射變換:

\{\,a'\,\}=M\{\,a\,\}\oplus \{\,v\,\},
此處[M]為矩陣 且 {v} 為向量 :

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| :M\{\,a\,\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}  :\{\,v\,\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}. |

舉例來講，將以大端序二進位表示的元素{a} = *y*7 + *y*6 + *y*3 + *y* = {11001010}轉換成大端序十六進位，計算如下：

a\_{0}'=a\_{0}\oplus a\_{4}\oplus a\_{5}\oplus a\_{6}\oplus a\_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1
a\_{1}'=a\_{0}\oplus a\_{1}\oplus a\_{5}\oplus a\_{6}\oplus a\_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0
a\_{2}'=a\_{0}\oplus a\_{1}\oplus a\_{2}\oplus a\_{6}\oplus a\_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1
a\_{3}'=a\_{0}\oplus a\_{1}\oplus a\_{2}\oplus a\_{3}\oplus a\_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1
a\_{4}'=a\_{0}\oplus a\_{1}\oplus a\_{2}\oplus a\_{3}\oplus a\_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0
a\_{5}'=a\_{1}\oplus a\_{2}\oplus a\_{3}\oplus a\_{4}\oplus a\_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1
a\_{6}'=a\_{2}\oplus a\_{3}\oplus a\_{4}\oplus a\_{5}\oplus a\_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1
a\_{7}'=a\_{3}\oplus a\_{4}\oplus a\_{5}\oplus a\_{6}\oplus a\_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.

  

于是， {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED}。

### 平面幾何之仿射變換

一個實數平面上的簡單仿射變換
在 ℝ2，左方所示之變換即為以下映射：

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}
將原紅色三角形之三個頂點作變換後給出了新藍色三角形的三個頂點。事實上，所有三角形皆可由仿射變換來達成，所有平行四邊形也可以，但一般四邊形不行。

参看
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* 仿射变换的变换矩阵
* 平移的矩阵表示
* 仿射群
* 仿射几何
* 线性（第二个意思是在1维中的仿射变换）
* 三维投影

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| 

| * 
* 论
* 编
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|  |
| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
	+ 拓撲維數
* 递归
* 自相似

 | An image of a fern which exhibits affine self-similarity.Barnsley fern（英语：） |
|  |
| 迭代函数系统 | 
* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
* 科赫雪花
* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
* 
* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

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| 奇異吸子 | 
* 多重分形系統（英语：）

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| L系統 | 
* 分形灌木（英语：）
* H树
* 空間填充曲線（英语：）

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|  |
| 逃逸時間分形 | 
* 曼德博集合
* 朱利亚集合
	+ 朱利亚填充集合（英语：）
* 李亞普諾夫分形（英语：）
* 牛頓分形（英语：）
* 燃燒巨輪分形（英语：）
* 三角帽分形（英语：）

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| 渲染技术 | 
* 佛像分形
* 轨迹陷阱（英语：）
* Pickover 杆（英语：）

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| 隨機分形 | 
* 布朗运动
	+ 布朗樹（英语：）
	+ 布朗馬達
* 分形地形（英语：）
* 擴散限制凝聚（英语：）
* 萊維飛行（英语：）
* 曼德尔盒（英语：）
* 曼德尔球
* 渗流理论
* 自避行走

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| 學者 | 
* 格奥尔格·康托尔
* 费利克斯·豪斯多夫
* 加斯東·朱利亞（英语：）
* 海里格·馮·科赫
* 保羅·皮埃爾·萊維
* 亞歷山大·李亞普諾夫
* 本華·曼德博
* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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| 其他相關 | 
* 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》
	+ 海岸線悖論（英语：）
* 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：）
* 《分形之美（英语：）》 (1986)
* 分形艺术（英语：）
* 《混沌学传奇（英语：）》 (1987)
* 《大自然的分形几何学》 (1982)
* 分形压缩
* 仿射变换

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1. ↑  Schneider, Philip K. & Eberly, David H.. Morgan Kaufmann. 2003: 98  [2015-03-10]. ISBN 978-1-55860-594-7. （原始内容存档于2013-10-13）.
2. ↑  Reinhard Schultz.  (PDF).  [27 February 2017]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-25）.
3. ↑  Robotic Systems Lab, ETH Zurich.  (PDF).  [2020-04-25]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-12）.