**海森堡模型**（英語：）是一個自旋系統的統計力學的模型，常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變與臨界點的現象（临界现象）。在量子力學發展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用，其數學形式是兩個自旋角動量的內積{\displaystyle {\vec {S}}\_{i}\cdot {\vec {S}}\_{j}}。海森堡模型的哈密頓算符是這些內積的總和。

{\displaystyle H=\sum \_{ij}J\_{ij}{\vec {S}}\_{i}\cdot {\vec {S}}\_{j}}
其中自旋角動量的x、y、z三個分量之間的互易關係為 {\displaystyle [S\_{i}^{\alpha },S\_{j}^{\beta }]=i\hbar \delta \_{ij}\epsilon \_{\alpha \beta \gamma }S\_{j}^{\gamma }}，\hbar 為普朗克常數除以 2\pi ，為了方便以下討論假設 {\displaystyle \hbar =1}。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用，且交互作用的強度{\displaystyle J\_{ij}}都均等，則哈密頓算符簡化為

{\displaystyle H=J\sum \_{\langle i,j\rangle }{\vec {S}}\_{i}\cdot {\vec {S}}\_{j}=J\sum \_{\langle i,j\rangle }\left(S\_{i}^{x}S\_{j}^{x}+S\_{i}^{y}S\_{j}^{y}+S\_{i}^{z}S\_{j}^{z}\right)}
可定義上昇算符 {\displaystyle S^{+}}和下降算符 {\displaystyle S^{-}}，

{\displaystyle S^{\pm }=S^{x}\pm iS^{y}}
則哈密頓算符可寫成

{\displaystyle H=J\sum \_{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S\_{i}^{+}S\_{j}^{-}+S\_{i}^{-}S\_{j}^{+}\right)+S\_{i}^{z}S\_{j}^{z}\right]}
相較於易辛模型，海森堡模型除了考慮自旋 z軸方向上的耦合以外，還考慮了 x和 y軸方向上的耦合，由於 {\displaystyle [S\_{i}^{\alpha },S\_{j}^{\beta }]=i\delta \_{ij}\epsilon \_{\alpha \beta \gamma }S\_{j}^{\gamma }}，這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

一維海森堡模型
-------

考慮 N個自旋排成一列，耦合強度 {\displaystyle J\equiv 1}，一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成

{\displaystyle H=\sum \_{j=1}^{N}{\vec {S}}\_{j}\cdot {\vec {S}}\_{j+1}=\sum \_{j=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}\left(S\_{j}^{+}S\_{j+1}^{-}+S\_{j+1}^{+}S\_{j}^{-}\right)+S\_{j}^{z}S\_{j+1}^{z}\right]}
如果是自旋-1/2的一維海森堡模型，在熱力學極限下({\displaystyle N\rightarrow \infty })，基態能量可利用貝特擬設（英语：）方法求得 {\displaystyle e\_{0}=-\ln 2+{\frac {1}{4}}}。

### 霍爾丹的猜想

自旋半奇整數（S={\frac {1}{2}}、{\displaystyle S={\frac {3}{2}}}、{\displaystyle S={\frac {5}{2}}}、…）和整數（{\displaystyle S=1}、{\displaystyle S=2}、{\displaystyle S=3}、…）的一維海森堡模型有不同的性質。在熱力學極限下，自旋半奇整數的反鐵磁一維海森堡模型的基態沒有自旋能隙。鄧肯·霍爾丹提出自旋整數的反鐵磁一維海森堡模型的基態都存在自旋能隙，後來被稱為「霍爾丹的猜想」。

奇數（symmetry protected topological）和偶數（trivial）。

二維海森堡模型
-------

Kagome晶格中的自旋液體。

各向異性
----

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之間的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，還可能出現一些各向異性（anisotropy）。當材料中有較強的自旋-軌道耦合時，常造成自旋 x、y、z軸上的耦合強度不同，此時哈密頓算符改寫為

{\displaystyle H=J\_{x}\sum \_{\langle i,j\rangle }S\_{i}^{x}S\_{j}^{x}+J\_{y}\sum \_{\langle i,j\rangle }S\_{i}^{y}S\_{j}^{y}+J\_{z}\sum \_{\langle i,j\rangle }S\_{i}^{z}S\_{j}^{z}}
被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型，也就是 {\displaystyle J\_{x}=J\_{y}\neq J\_{z}} 的情形，一維自旋-1/2的XXZ模型可利用貝特擬設（英语：）嚴格求解。

當磁矩（或自旋）大於1/2，真實材料中通常還可能出現另一種形式的各向異性，由晶格場造成的**單離子各向異性**，其數學形式為 {\displaystyle D(S^{z})^{2}+E[(S^{x})^{2}-(S^{y})^{2}]}，其中D項和E項分別稱為單軸的和菱形的單離子各向異性。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單離子各向異性，

{\displaystyle H=\sum \_{\langle i,j\rangle }(S\_{i}^{x}S\_{j}^{x}+S\_{i}^{y}S\_{j}^{y}+\Delta S\_{i}^{z}S\_{j}^{z})+D\sum \_{j}(S\_{j}^{z})^{2}+E\sum \_{j}[(S\_{j}^{x})^{2}-(S\_{j}^{y})^{2}]}
當 {\displaystyle \Delta =1} 且 {\displaystyle D=E=0}，模型回歸到各向同性的海森堡模型。

相關條目
----

* 易辛模型
* O(N)模型

阅读
--

* R.J. Baxter, *Exactly solved models in statistical mechanics*, London, Academic Press, 1982
* W. Heisenberg. Zur Theorie des Ferromagnetismus. *Zeitschrift für Physik* 49 (1928): 619-636.
* H. Bethe, Zur Theorie der Metalle, *Zeitschrift für Physik A*, 1931 doi:10.1007/BF01341708

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
量子场论 |
| --- |
|  |
| 量子场论的历史（英语：） |
|  |
| 背景理論 | 
* 场
* 经典场论
* 费曼图
* 路径积分表述
* 规范场论
* 陈-西蒙斯理论
* O(N)模型
* 非线性σ模型
* 共形場論
* 有效場論

 |  |
|  |
| 对称性 | 
* 自发对称破缺
* 庞加莱对称
* 电荷共轭
* 交叉（英语：）
* 宇称
* 時間反演對稱
* 量子力学的对称性（英语：）
* 自旋統計定理
* 任意子
* 法捷耶夫-波波夫鬼粒子

 |
|  |
| 工具 | 
* 創生及湮滅算符
* 反常
* 共形反常
* 真空期望值
* 正則量子化
* 瞬子
* 法捷耶夫-波波夫鬼粒子
* 费曼图
* LSZ约化公式（英语：）
* 格林函數
* 配分函数
* 传播子
* 摄动理论
* 量子化
* 重整化
* 重整化群
* 正規化
* 真空态
* 维克定理
* 威克轉動
* 怀特曼公理体系（英语：）

 |
|  |
| 方程式 | 
* 克莱因-戈尔登方程
* 狄拉克方程式
* 外尔方程式
* 普洛卡方程式（英语：）
* 惠勒-德威特方程式
* 巴格曼－维格纳方程式（英语：）
* 馬約拉納方程式

 |
|  |
| 标准模型 | 
* 楊-米爾斯理论
* 電弱交互作用
* 希格斯机制
* 量子色動力學
* 量子電動力學
* 楊-米爾斯存在性與質量間隙

 |
|  |
| 未完成理论 | 
* 量子引力
* 弦理論
* 超对称
* 人工色（英语：）
* 万有理论
* 電弱交互作用

 |
|  |
| 物理學者 | 
* 陈省身
* 阿德勒
* 贝特
* 博戈柳博夫
* 卡伦
* 科尔曼
* 德维特
* 狄拉克
* 戴森
* 法捷耶夫
* 费米
* 费曼
* 菲尔茨（英语：）
* 福克
* 弗勒利希
* 盖尔曼
* 戈德斯通
* 格娄斯
* 特胡夫特
* 贾基夫
* 克莱因
* 约当
* 肯德尔
* 基博爾
* 兰姆
* 朗道
* 李政道
* 雷曼
* 马约拉纳
* 南部阳一郎
* 帕里西
* 佩斯金
* 泊里雅科夫
* 萨拉姆
* 施温格
* 斯卡姆（英语：）
* 斯塔克伯格
* 西蒙泽克
* 朝永振一郎
* 韦尔特曼
* 温伯格
* 魏斯科普夫
* 威爾森
* 威滕
* 杨振宁
* 汤川秀树
* 齐默尔曼
* 金恩-贾斯廷

 |
|  |
| 参见：模板 模板:量子力学 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
弦理論 |
| --- |
|  |
| 基本对象 | 
* 弦
* 膜
* D膜
* S膜（英语：）
* NS5膜
* M2膜
* M5膜
* 黑膜（英语：）

 |  |
|  |
| 背景理論 | 
* 南部-后藤作用
* 泊里雅科夫作用量
* 陳-西蒙斯理論
* 共形场论
* 量子引力
* 卡鲁扎-克莱因理论
* 全像原理
* 万有理论
* 杨-米尔斯理论

 |
|  |
| 微扰弦理论 | 
* 玻色弦理論
* 超弦理論
* 第一型弦理論
* 第二型弦理論（第二A型 · 第二B型）
* 混合弦理論（SO(32)雜弦 · *E*8x*E*8雜弦）
* 弦拓扑
* 扭量弦理論（英语：）

 |
|  |
| 非微扰结果 | 
* 弦場論
* 弦論對偶性
* S對偶
* T對偶
* U對偶
* 镜像对称性
* M理论（入門）
* AdS/CFT对偶

 |
|  |
| 现象学 | 
* 弦唯象学
* 弦宇宙學
* 弦論地景
* 膜宇宙學

 |
|  |
| 数学方法 | 
* 陈–怕吞因素
* 摄动理论
* 巴塔林-維爾可維斯基代數
* 格爾斯滕哈伯代數
* 顶点算子代数
* 維拉宿代數
* 卡茨-穆迪代數
* 1/N展开

 |
|  |
| 几何 | 
* RNS体系（英语：）
* GS体系（英语：）
* GSO映射（英语：）
* 卡拉比—丘流形
* K3曲面
* G2流形（英语：）
* 紧化
* 軌形（英语：）
* 定向形（英语：）
* 錐形(弦论)（英语：）
* 塞伯格-維騰理論
* 塞伯格-維騰不變量
* 塞伯格-維騰映射
* 快子凝聚
* 微扰反常
* O(N)模型
* 非线性σ模型

 |
|  |
| 规范场论 | 
* 陈-西蒙斯形式
* 楊-米爾斯理論
* Wess-Zumino-Witten模型
* 纽结理论
* 瞬子
* BRST量子化
* BPS態
* 磁单极子

 |
|  |
| 超对称 | 
* 超引力
* 超空間
* 李超群（英语：）
* 超對稱楊-米爾斯理論

 |
|  |
| 理论家 | 
* 阿尔卡尼-哈米德
* 迈克尔·阿蒂亚
* 湯姆·班克斯
* 陈省身
* 戴克赫拉夫
* 朵夫（英语：）
* 費斯勒（英语：）
* 丹尼爾·弗里丹
* 蓋茲（英语：）
* Gliozzi（英语：）
* 迈克尔·格林 (物理学家)
* 布莱恩·葛林
* 戴维·格娄斯
* 葛布澤（英语：）
* 哈維（英语：）
* 霍扎瓦（英语：）
* 加来道雄
* Klebanov（英语：）
* 南部阳一郎
* 孔采维奇
* 胡安·马尔达西那
* 曼德尔施塔姆
* Martinec（英语：）
* 格雷·穆爾
* 莫特爾
* Nekrasov（英语：）
* Neveu（英语：）
* 奧利佛（英语：）
* 波尔钦斯基
* 泊里雅科夫
* 加來道雄
* 麗莎·藍道爾
* 皮埃尔·拉蒙
* Rohm（英语：）
* Scherk（英语：）
* 约翰·施瓦茨
* 内森·塞伯格
* Sen（英语：）
* Sơn（英语：）
* 安德鲁·施特罗明格
* 桑壯（英语：）
* 萨斯坎德
* 特·胡夫特
* Townsend（英语：）
* 瓦法
* 韦内齐亚诺
* 埃·弗尔林德
* 赫·弗尔林德（英语：）
* 爱德华·威滕
* 杨振宁
* 丘成桐
* Zaslow（英语：）
* 弗朗克·韦尔切克
* 文小刚
* 徐一鴻

 |
|  |
| 
* 历史
* 词汇

 |

 |