「」至此。關於状态方程，請見「**理想气体状态方程**」。
**克劳修斯-克拉伯龙方程**（英語：）是用于描述单组分系统在相平衡时氣壓随温度的变化率的方法，以鲁道夫·克劳修斯和埃米尔·克拉伯龙命名。

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta V}}}
此处{\displaystyle \mathrm {d} P/\mathrm {d} T}是压强随温度的变化率，{\displaystyle L}是相变焓（早年称为潜热），{\displaystyle T}是相平衡温度，{\displaystyle \Delta V}是相变过程中的比容变化。

推导
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### 从状态假设出发进行的推导

使用热力学状态假设，以{\displaystyle s}代表均质物质的比熵得出比容{\displaystyle v}和温度{\displaystyle T}的方程

{\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)\_{T}\mathrm {d} v+\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)\_{v}\mathrm {d} T.}
在相变过程中，温度保持不变，于是

{\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)\_{T}\mathrm {d} v}。
使用麦克斯韦关系式，可以得到

{\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{v}\mathrm {d} v}。
因为相变之中温度和压力都不变，所以压力对温度的导数并不是比容的函数，于是其中偏微分可以变成全微分，可以求得积分关系

{\displaystyle s\_{\beta }-s\_{\alpha }={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}(v\_{\beta }-v\_{\alpha }),}
{\displaystyle {\frac {dP}{dT}}={\frac {s\_{\beta }-s\_{\alpha }}{v\_{\beta }-v\_{\alpha }}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}}}。
这里{\displaystyle \Delta s\equiv s\_{\beta }-s\_{\alpha }}以及{\displaystyle \Delta v\equiv v\_{\beta }-v\_{\alpha }}分别是比熵和比容从初相态{\displaystyle \alpha }到末相态{\displaystyle \beta }的变化。

对于一个内部经历可逆过程的封闭系统，热力学第一定律表达式为

{\displaystyle \mathrm {d} u=\delta q+\delta w=T\;\mathrm {d} s-P\;\mathrm {d} v.\,}
使用焓的定义，并考虑到温度和压力为常数

{\displaystyle \mathrm {d} u+P\;\mathrm {d} v=dh=T\;\mathrm {d} s\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} h}{T}}\Rightarrow \Delta s={\frac {\Delta h}{T}}={\frac {L}{T}}}。
将这一关系带入压力的微分的表达式，可以得到

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\Delta v}}}
这是克拉佩龙方程。

### 从吉布斯-杜亥姆方程进行推导

假设两个相态{\displaystyle \alpha }和{\displaystyle \beta }相互关联且达到相平衡，则其化学势的关系为{\displaystyle \mu \_{\alpha }=\mu \_{\beta }}。沿着共存曲线，我们也可以得到{\displaystyle \mathrm {d} \mu \_{\alpha }=\mathrm {d} \mu \_{\beta }}。现在用吉布斯-杜安方程{\displaystyle \mathrm {d} \mu =M(-s\mathrm {d} T+v\mathrm {d} P)}，其中{\displaystyle s}和{\displaystyle v}分别是比熵和比容，{\displaystyle M}是摩尔质量，可得到

{\displaystyle -(s\_{\beta }-s\_{\alpha })\mathrm {d} T+(v\_{\beta }-v\_{\alpha })\mathrm {d} P=0.\,}
因此，整理后得到

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {s\_{\beta }-s\_{\alpha }}{v\_{\beta }-v\_{\alpha }}}}。
如同上面推导的延伸。

### 使用理想气体状态方程近似

对于有气相参加的相变过程，气相比容{\displaystyle v\_{\mathrm {g} }}要远远大于固体或液体的体积{\displaystyle v\_{\mathrm {c} }}，所以固体和液体的体积可以忽略{\displaystyle \Delta v=v\_{\mathrm {g} }\left(1-{\tfrac {v\_{\mathrm {c} }}{v\_{\mathrm {g} }}}\right)\approx v\_{\mathrm {g} }}在较低的压力和气体分子间作用力的前提下，气体可以近似视为理想气体，{\displaystyle v\_{\mathrm {g} }=RT/P,}此处R是个別气体常数。于是

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {PL}{T^{2}R}}}。
这就被称为克劳修斯-克拉佩龙方程。一般来说，相变焓{\displaystyle L}是温度的函数，但如果相变焓随温度变化不大，那么可以积分得

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{P}}={\frac {L}{R}}{\frac {\mathrm {d} T}{T^{2}}},}
{\displaystyle \int \_{P\_{1}}^{P\_{2}}{\frac {\mathrm {d} P}{P}}={\frac {L}{R}}\int {\frac {\mathrm {d} T}{T^{2}}}}
{\displaystyle \left.\ln P\right|\_{P=P\_{1}}^{P\_{2}}=-{\frac {L}{R}}\cdot \left.{\frac {1}{T}}\right|\_{T=T\_{1}}^{T\_{2}}}
或者形式为
{\displaystyle \ln {\frac {P\_{2}}{P\_{1}}}={\frac {L}{R}}\left({\frac {1}{T\_{1}}}-{\frac {1}{T\_{2}}}\right)}
这里{\displaystyle (P\_{1},T\_{1})}和{\displaystyle (P\_{2},T\_{2})}是P-T图上的两个点，这是很有用的一个关系，因为他联系了饱和蒸汽压、温度和相变焓。不需要比容的数据，就可以估算饱和蒸汽压随温度变化的关系。

参考文献
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1. ↑ . Chemistry LibreTexts. 2014-06-01  [2024-02-16] （英语）.
2. ↑  Clausius, R. Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen. Annalen der Physik, 155: 500–524 (1850). doi:10.1002/andp.18501550403
3. ↑  Clapeyron, M. C. Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur. （页面存档备份，存于） Journal de l'École polytechnique 23: 153–190 (1834). ark:/12148/bpt6k4336791/f157
4. 1 2 3 4 5 6 7 8  Wark, Kenneth..  5th. New York, NY: McGraw-Hill, Inc. 1988 [1966]. ISBN 0-07-068286-0.
5. ↑  Carl Rod Nave.. HyperPhysics. Georgia State University. 2006  [2007-10-16]. （原始内容存档于2007-10-29）.
6. 1 2  Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A.. McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering 3rd. Boston, MA.: McGraw-Hill. 1998 [1989]. ISBN 0-07-011927-9.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
7. ↑  Salzman, William R.. Chemical Thermodynamics. University of Arizona. 2001-08-21  [2007-10-11]. （原始内容存档于2007-06-07）.

参见
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* 范特霍夫方程
* 安托万方程