在拓扑学的相关领域中，**积空间**是指一族拓扑空间的笛卡儿积與其配备的自然拓扑结构，這個自然拓扑结构被稱為**积拓扑**（英語：）。

無窮積空間
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直觀動機上，一族拓扑空间笛卡儿积，最「自然」的拓撲，應該是**使投影映射都是連續函數的最粗拓撲**；換句話說，設有集合族 {\mathcal {X}} ，具有指標集 I 與指標函數 x ：

{\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}
且有相應的一族拓扑 \mathcal{T} 與指標函數 \tau  ：

{\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}
{\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}
若 {\displaystyle \tau \_{\pi }} 就是无穷乘积 {\displaystyle \prod \_{x}{\mathcal {X}}} 上**滿足需求的那個拓撲**，那對於任意指標 {\displaystyle j\in I} ，以下的第 j 投影映射：

{\displaystyle \pi \_{j}:\prod \_{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}
{\displaystyle \left(\forall f\in \prod \_{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi \_{j}(f)=f(j)]}
必須對所有開集 {\displaystyle o\_{j}\in \tau (j)} 須滿足：

{\displaystyle {(\pi \_{j})}^{-1}(o\_{j})\in \tau \_{\pi }}
也就是說，{\displaystyle \pi \_{j}} 必須 {\displaystyle \tau \_{\pi }}-{\displaystyle \tau (j)} 连续。

首先從 {\displaystyle \pi \_{j}} 的定義，對任意 {\displaystyle f} 有：

{\displaystyle \left[f\in {(\pi \_{j})}^{-1}(o\_{j})\right]\Leftrightarrow \left\{\left(\forall f\in \prod \_{x}{\mathcal {X}}\right)\wedge {\big [}f(j)\in o\_{j}{\big ]}\right\}}
那如果取個一對一函數 {\displaystyle o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}} 滿足：

{\displaystyle (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}}
{\displaystyle o(j)=o\_{j}}
那以上的要求就可以寫為：

{\displaystyle {(\pi \_{j})}^{-1}(o\_{j})=\prod \_{o}o(I)\in \tau \_{\pi }}
也就是除了 {\displaystyle j\in I} 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 {\displaystyle \tau \_{\pi }} 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 {\displaystyle \tau \_{\pi }} ，應該是包含：

{\displaystyle \left\{\prod \_{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}
的最粗拓撲，總結如下：

**定義** — 設有集合族 {\mathcal {X}} ，具有指標集 I 與指標函數 x ：

{\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}
且有相應的一族拓扑 \mathcal{T} 與指標函數 \tau  ：

{\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}
{\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}
取：

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\prod \_{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}
那在 {\displaystyle \prod \_{x}{\mathcal {X}}} 上包含 \mathcal{C} 的最粗拓撲 {\displaystyle \tau \_{\pi }} 被稱為 {\displaystyle \prod \_{x}{\mathcal {X}}} 的**積拓撲**，而 {\displaystyle \left(\prod \_{x}{\mathcal {X}},\,\tau \_{\pi }\right)} 被稱為相應的**積空間**。

有限積空間
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如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；這是因為可以免除用函数定義无穷乘积的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的**有限积拓扑**：

設 {\displaystyle (X\_{1},\,\tau \_{1}),\,(X\_{2},\,\tau \_{2}),\,\dots ,\,(X\_{n},\,\tau \_{n})} 都是拓扑空间，若對任意自然数指標 {\displaystyle j\leq n} 來說，以下的投影映射 {\displaystyle \pi \_{j}}：

{\displaystyle \pi \_{j}:\prod \_{i=1}^{n}X\_{i}\to x(j)}
{\displaystyle \pi \_{j}(a\_{1},\,a\_{2},\,\dots ,\,a\_{n})=a\_{j}}
對於 {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}X\_{i}} 上的「自然拓扑 」{\displaystyle \tau \_{\pi }} ，取任意開集 {\displaystyle O\_{j}\in \tau \_{j}} 應滿足：

{\displaystyle {(\pi \_{j})}^{-1}(O\_{j})\in \tau \_{\pi }}
也就是說，{\displaystyle \pi \_{j}} 都應 {\displaystyle \tau \_{\pi }}-{\displaystyle \tau \_{j}} 连续。那從 {\displaystyle \pi \_{j}} 的定義，對任意 {\displaystyle p=(p\_{1},\,p\_{2},\,\dots ,\,p\_{n})} 有：

{\displaystyle \left[p\in {(\pi \_{j})}^{-1}(O\_{j})\right]\Leftrightarrow (\forall i\in \mathbb {N} )\left\{(p\_{i}\in X\_{i})\wedge (p\_{j}\in O\_{j})\right\}}
換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

{\displaystyle {(\pi \_{j})}^{-1}(O\_{j})=X\_{1}\times \dots \times X\_{j-1}\times O\_{j}\times X\_{j+1}\times \dots \times X\_{n}\in \tau \_{\pi }} （{\displaystyle 1<j\leq n}）
{\displaystyle {(\pi \_{j})}^{-1}(O\_{1})=O\_{1}\times X\_{2}\times \dots \times X\_{n}\in \tau \_{\pi }}
那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：

{\displaystyle V:\mathbb {N} \to \bigcup \{\tau \_{1},\,\tau \_{2},\,\dots ,\,\tau \_{n}\}}
{\displaystyle V(i)=V\_{i}\in \tau \_{i}}
要求：

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}V\_{i}=V\_{1}\times \dots \times V\_{n}\in \tau \_{\pi }}
那因為 {\displaystyle X\_{i}\in \tau \_{i}} （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

{\displaystyle V\_{i}=V\_{1}\times \dots \times V\_{n}=\bigcap \_{j=1}^{n}X\_{1}\times \dots \times X\_{j-1}\times V\_{j}\times X\_{j+1}\times \dots \times X\_{n}}
所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

**定義** — 設 {\displaystyle (X\_{1},\,\tau \_{1}),\,(X\_{2},\,\tau \_{2}),\,\dots ,\,(X\_{n},\,\tau \_{n})} 都是拓扑空间，取：

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\prod \_{i=1}^{n}V\_{i}\,{\Bigg |}\,V\_{i}\in \tau \_{i}\right\}}
那在 {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}X\_{i}} 上包含 \mathcal{C} 的最粗拓撲 {\displaystyle \tau \_{\pi }} 被稱為 {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}X\_{i}} 的**有限積拓撲**，而 {\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}X\_{i},\,\tau \_{\pi }\right)} 被稱為相應的**有限積空間**。

例子
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从实直线**R**上的标准拓扑开始，定义*n*份**R**的乘积，就得到普通的**R***n*上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

属性
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乘积空间*X*加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若*Y*是拓扑空间，并且对于每个*I*中的*i*，*fi* : *Y* → *Xi*是一个连续映射，则存在*恰好一个*连续映射*f* : *Y* → *X*满足对于每个*I*中的*i*如下交换图成立：

乘积空间的特性乘积空间的特性
这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射*f* : *Y* → *X*连续当且仅当*fi* = *pi* o *f*对于所有*I*中的*i*连续。在很多情况下，检查分量函数*fi*的连续性更为方便。检验映射*f* : *Y*→ *X*是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用*pi*连续这一点。

除了连续，标准投影*pi* : *X* → *Xi*也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到*Xi*上还是开集。反过来不真：若*W*是到所有*Xi*的投影都是开集的积空间的子空间，则*W*不一定是*X*中的开集。（例如，*W* = **R**2 \ (0,1)2.）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为*点式收敛拓扑*，因为：*X*上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到*X**i*的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间*X* = **R***I* 对于所有*I*上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于选择公理。

和其它拓扑概念的联系
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* 可分离性
	+ 每个T0空间的积是T0的。
	+ 每个T1空间的积是T1的。
	+ 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
	+ 每个正则空间的积是正则的。
	+ 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
	+ 正规空间的积*不一定*是正规的。
* 紧致性
	+ 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
	+ 局部紧致空间的积*不一定*是局部紧致的。
* 连通性
	+ 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
	+ 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影*F* × *U* → *U*的空间称为纤维丛。

参看
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* 盒拓扑
* 不交并 (拓扑学)
* 商空间
* 子空间拓扑

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| 

| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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|  |
| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
|  |
| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
|  |
| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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