**费马小定理**（英語：）是数论中的一个定理。假如a是一个整数，p是一个質数，那么a^{p}-a是p的倍数，可以表示为

a^{p}\equiv a{\pmod {p}}
如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成更加常用的一种形式

a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}
費馬小定理的逆敘述不成立，即假如a^{p}-a是p的倍数，p不一定是一个質数。例如{\displaystyle 2^{341}-2}是{\displaystyle 341}的倍数，但{\displaystyle 341=11\times 31}，不是質数。滿足費馬小定理的合數被稱為费马伪素数。

历史
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皮埃爾·德·費馬
皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。

1736年，歐拉出版了一本名為"一些與素數有關的定理的證明"（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio）"的論文集，其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。

有些數學家獨立提出相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國猜想），當2^{{p}}\equiv 2{\pmod {p}}成立時，p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如，2^{{341}}\equiv 2{\pmod {341}}，而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。

### 卡邁克爾數

条目：卡邁克爾數
如上所述，中國猜想仅有一半是正确的。符合中國猜想但不是素数的数被称为伪素数。

更极端的反例是卡迈克尔数：
假設a與561互质，則a^{{560}}被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數，561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义，但直到1910年才由卡邁克爾（Robert Daniel Carmichael）发现第一个卡邁克爾数：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。

证明
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### 方法一

（i）若a是整数，p是质数，且{\displaystyle \gcd(a,p)=1}。若p不能整除x-y，则p不能整除{\displaystyle a(x-y)}。取整數集A为所有小於p的正整数集合（A构成p的完全剩余系，即A中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。

換句話說，{\displaystyle \gcd(a,p)=1}，考慮{\displaystyle 1\times a,2\times a,3\times a,....(p-1)\times a}共{\displaystyle (p-1)}個數，將它們分別除以p，餘數分別為{\displaystyle r\_{1},r\_{2},r\_{3},....r\_{p-1}}，則集合{\displaystyle \{r\_{1},r\_{2},r\_{3},....r\_{p-1}\}}為集合{\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,(p-1)\}}的重新排列，即{\displaystyle 1,2,3,\ldots ,(p-1)}在餘數中恰好各出現一次；這是因為對於任兩個相異{\displaystyle k\*a}而言（{\displaystyle k=1,2,3,\ldots ,(p-1)}），其差不是p的倍數（所以不會有相同餘數），且任一個{\displaystyle k\*a}亦不為p的倍數（所以餘數不為0）。因此

{\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-1)\equiv (1\cdot a)\cdot (2\cdot a)\cdot \dots \cdot ((p-1)\cdot a){\pmod {p}},}
即 

W\equiv W\cdot a^{{p-1}}{\pmod {p}},
在这里{\displaystyle W=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (p-1)}，且{\displaystyle (W,p)=1}，因此将整个公式除以W即得到： 

a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}
也即 a^{p}\equiv a{\pmod {p}}
（ii）若p整除a，则显然有p整除{\displaystyle a^{p}}，即{\displaystyle a^{p}\equiv a\equiv 0{\pmod {p}}}。

### 方法二

参见：中一新生之夢
若p为质数，n为整数，且{\displaystyle p\geq n}。考慮二項式係數{\tbinom {p}{n}}={\tfrac {p!}{n!(p-n)!}}，並限定n不為p或{\displaystyle 0}，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即{\tbinom {p}{n}}恆為p的倍數。

再考慮{\displaystyle (b+1)^{p}}的二項式展開，模p，則

(b+1)^{p}\equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{p-1}}b^{{p-1}}+{\dbinom {p}{p-2}}b^{{p-2}}+\dots +{\dbinom {p}{2}}b^{2}+{\dbinom {p}{1}}b^{1}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}
\equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}
\equiv b^{p}+1{\pmod {p}}
因此

(b+1)^{p}\equiv b^{p}+1{\pmod {p}}
\equiv (b-1)^{p}+1+1{\pmod {p}}
\equiv (b-2)^{p}+1+1+1{\pmod {p}}
\equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1{\pmod {p}}
\dots 
\equiv {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1+1}\\b+1\end{matrix}}{\pmod {p}}
\equiv b+1{\pmod {p}}
令{\displaystyle a=b+1}，即得a^{p}\equiv a{\pmod {p}}。

### 方法三

在抽象代数教科书中，费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子。显然只需考虑 {\displaystyle (a,p)=1} 情形。此时模 p 所有非零的余数，在同余意义下对乘法构成一个群，这个群的阶是 p-1。考虑群中的任何一个元素 b，根据拉格朗日定理，b 的阶必整除群的阶。证毕。

應用
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* 計算2^{{100}}除以13的餘數

2^{{100}}\equiv 2^{{12\times 8+4}}{\pmod {13}}
\equiv (2^{{12}})^{8}\cdot 2^{4}{\pmod {13}}
\equiv 1^{8}\cdot 16{\pmod {13}}
\equiv 16{\pmod {13}}
\equiv 3{\pmod {13}}
故餘數為3。

* 證明對於任意整數a而言，a^{{13}}-a恆為2730的倍數。
	+ 易由a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}推得{\displaystyle a^{n(p-1)+1}\equiv 1^{n}\cdot a\equiv a{\pmod {p}}}，其中n為正整數。
	+ 故對指數13操作如下：13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，根據定理的延伸表達式，a^{{13}}-a為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即2\*3\*5\*7\*13=2730的倍數。

推广
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### 欧拉定理

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果 {\displaystyle (a,n)=1} ，那么

a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}
这里 \varphi (n) 是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 n 的正整数中与 n 互質的数的个数。假如 n 是一个素数，则 \varphi (n)=n-1 ，即费马小定理。

证明
上面证明费马小定理的群论方法，可以同理地证明欧拉定理。

考虑所有与 n 互素的数，这些数模 n 的余数所构成的集合，记为 {\displaystyle {\cal {S}}}，并将群乘法定义为相乘后模 n 的同余。显然 {\displaystyle {\cal {S}}} 是一个群，因为它对群乘法封闭（若 {\displaystyle (a,n)=1} 和 {\displaystyle (b,n)=1} 则 {\displaystyle (ab,n)=1}），含幺元（即"1"），且任何一个元素 a 的逆元素也在集合中（因为若 {\displaystyle a\in {\cal {S}}} 则由群乘法封闭性任何a 的幂次都在 {\displaystyle {\cal {S}}} 中，所以 {\displaystyle \langle a\rangle } 是 {\displaystyle {\cal {S}}} 这个有限集的子集）。根据定义， {\displaystyle {\cal {S}}} 的阶是 \varphi (n)，于是根据拉格朗日定理， {\displaystyle {\cal {S}}} 中任何一个元素的阶必整除 \varphi (n)。证毕。

### 卡邁克爾函數

条目：卡邁克爾函數
卡邁克爾函數比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。

a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}
### 多项式除法

因為p|x^p-x \Rightarrow p^k|(x^p-x)^k

所以由{\displaystyle x^{N}{\pmod {(x^{p}-x)^{k}}}}的結果可以得出{\displaystyle x^{N}{\pmod {p^{k}}}}的結果

用多項式除法可以得出{\displaystyle x^{N}}除以{\displaystyle (x^{p}-x)^{k}}的次數少於p^{k}的餘式

例如{\displaystyle 3\mid x^{3}-x}，由多項式除法得到{\displaystyle x^{5}=(x^{2}+1)(x^{3}-x)+x}，則{\displaystyle x^{5}\equiv x{\pmod {3}}}

這個餘式的一般結果是：

{\displaystyle \displaystyle x^{pk}\equiv \sum \_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {k}{i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}}（除式）

{\displaystyle \displaystyle x^{pk+(p-1)n}\equiv \sum \_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {n+i-1}{i-1}}{\binom {n+k}{k-i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}}

n=0时为除式，用数学归纳法证明余式。

求x^{1000}\pmod{5^2}
{\displaystyle x^{10+4n}\equiv (n+2)x^{6}-(n+1)x^{2}{\pmod {5^{2}}}}

x^{1000} \equiv 249x^8 -248x^4 \equiv 24x^8 -23x^4 \pmod{5^2}

参见
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* 费马大定理
* 拉格朗日定理

參考
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1. ↑  Fermat's Little Theorem （页面存档备份，存于）.WolframMathWorld.（英文）
2. ↑ .  [2012-12-11]. （原始内容存档于2015-06-16）.
3. 1 2  許介彥.  (PDF). 科學教育月刊 (私立大葉大學電機工程學系). 2006年10月, (第293期): 37–44  [2015-04-18]. （原始内容 (PDF)存档于2015-04-18）.
4. ↑ . Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27  [2021-04-26]. （原始内容存档于2022-03-25） （英语）.
5. ↑  聂灵沼; 丁石孙.  第二版. 北京: 高等教育出版社. 2000: 第33页. ISBN 7-04-008893-2.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
6. ↑  黄嘉威.. 数学学习与研究. 2015, (9): 第104页  [2015-07-19]. （原始内容存档于2020-10-20）.

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* 论
* 编
皮埃爾·德·費馬 |
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| 成就 | 
* 费马大定理
* 費馬數
* 費馬原理
* 费马小定理
* 费马多边形数定理
* 费马伪
* 費馬點
* 费马引理
* 费马平方和定理
* 费马螺线
* 費馬直角三角形定理（英语：）

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| 相關 | 
* 以皮埃爾·德·費馬命名的事物列表（英语：）
* 懷爾斯對費馬大定理的證明（英语：）
* 流行作品中的費馬大定理（英语：）
* 費馬獎
* 《費馬的最後探戈（英语：）》（2000年音樂劇）
* 《費馬大定理（英语：）》（科普書籍）

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