**Tanh 函数展开法**是目前求解非线性偏微分方程行波解的最强劲的和行之有效的方法。1992年数学家 Malfliet 首先应用 tanh 展开法
运用这个方法要进行的大量繁杂的运算，必须借助Maple、Mathematica、Matlab等计算机代数系统。

设一个非线性偏微分方程可以用下列表述：

\psi (u,u\_{{t}},u\_{{x}},u\_{{tt}},u\_{{xx}},u\_{{tx}})=0

作变数代换：

u(x,t)→ U(\xi )

\xi =k\*(x-c\*t)

得到常微分方程

{\displaystyle \psi (U(\psi ),-kc\*{\frac {dU}{d\psi }},k\*{\frac {dU}{d\psi }},}{\displaystyle k^{2}\*c^{2}\*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}}}{\displaystyle ,k^{2}\*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}},-k^{3}\*c^{3}\*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}},k^{3}\*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}})=0}

作Malfliet 的 tanh 函数代换，引入新函数：

{\displaystyle Y=tanh(\xi )}

由此：

{\displaystyle {\frac {dY}{d\xi }}=1-tanh^{2}(\xi )=1-Y^{2}}

{\displaystyle {\frac {dF(Y)}{d\xi }}={\frac {dF(Y)}{dY}}\*{\frac {dY}{d\xi }}={\frac {dF(Y)}{dY}}\*(1-Y^{2})}

显然

{\displaystyle {\frac {d}{d\xi }}=L=(1-Y^{2})\*{\frac {d}{dY}}}

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\xi ^{2}}}=L^{2}=-2\*(1-Y^{2})\*Y\*{\frac {d}{dY}}+(1-Y^{2})^{2}\*{\frac {d^{2}}{dY^{2}}}}

依此类推。
设 F(Y)=Σ(a\_{i}\*Y^i)

代入 常微分方程 
{\displaystyle \psi (U(\psi ),-kc\*{\frac {dU}{d\psi }},k\*{\frac {dU}{d\psi }},}{\displaystyle k^{2}\*c^{2}\*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}}}{\displaystyle ,k^{2}\*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}},-k^{3}\*c^{3}\*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}},k^{3}\*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}})=0}

得到Y的多项式。用机械代数法或吴文俊消元法解多项式，反代入原式，即得偏微分方程的行波解。

实例
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用tanh函数展开法求KdV方程的行波解。

\partial \_{t}\phi +6\phi \partial \_{x}\phi +\partial \_{x}^{3}\phi =0
作行波代换

{\displaystyle tr1:={t=tau,u=U(\xi ),x=\xi /k+c\*tau}} 得常微分方程：

  

{\displaystyle -ck{\frac {dU(\xi )}{d\xi }}+6kU(\xi ){\frac {dU(\xi )}{d\xi }}+k^{3}{\frac {d^{3}U(\xi )}{d\xi ^{3}}}=0}

对ξ积分，得：

{\displaystyle -ckU(\xi )+3kU(\xi )^{2}+k^{3}{\frac {d(U(\xi )}{d^{2}\xi ^{2}}}=0}
令 {\displaystyle U(\xi )=F(Y)}得：

{\displaystyle -ckF(Y)+3kF(Y)^{2}+k^{3}(1-Y^{2})(-2Y{\frac {d(F(Y)}{dY}}+(1-Y^{2}){\frac {d^{2}(F(Y)}{d^{2}Y}})=0}

令 {\displaystyle U(\xi )=F(Y)=a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M}+}……
得：
{\displaystyle -ck(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M})+3k(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M})^{2}+k^{3}(1-Y^{2})(-2Y(a[1]+2a[2]Y+3a[3]Y^{2}+4a[4]Y^{3}+5a[5]Y^{4}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +Ma[M]Y^{M-1})+(1-Y^{2})(2a[2]+6a[3]Y+12a[4]Y^{2}+20a[5]Y^{3}+30a[6]Y^{4}))}

由此得 M=2;而且：

{\displaystyle (3ka[2]^{2}+6k^{3}a[2])Y^{4}+(2k^{3}a[1]+6ka[1]a[2])Y^{3}+}{\displaystyle (-cka[2]+3ka[1]^{2}+6ka[0]a[2]-8k^{3}a[2])Y^{2}+}{\displaystyle (-cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^{3}a[1])Y-cka[0]+3ka[0]^{2}+2k^{3}a[2]=0}

令系数为0，得下列关于 a[0],a[1],a[2],c,k 的五元多项式方程组：

{\displaystyle -cka[0]+3ka[0]^{2}+2k^{3}a[2]=0}

{\displaystyle -cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^{3}a[1]=0}

{\displaystyle >-cka[2]+3ka[1]^{2}+6ka[0]a[2]-8k^{3}a[2]=0}

{\displaystyle 2k^{3}a[1]+6ka[1]a[2]=0}

{\displaystyle 3ka[2]^{2}+6k^{3}a[2]=0}

利用Maple,Mathematica,Matlab等计算机代数系统，解多项式方程组，得两组非平凡解：

a[0]=2k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=4k^2;

a[0]=(2/3)k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=-4k^2;

于是KdV 方程的行波解为：

{\displaystyle u(x,t)=2k^{2}(1-tanh^{2}(k(x-4k^{2}t))=2k^{2}sech^{2}(k(x-4k^{2}t))}

{\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{3}}k^{2}(1-3tanh^{2}(k(+4k^{2}t)))}

推广
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Malfliet 的tanh 函数展开法被后人推广到 三角函数、雅可比橢圓函數、魏爾斯特拉斯橢圓函數。

JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN, WeierstrassP, arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh 等。

软件包
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Maple商业计算机代数系统内包括一个求解偏微分方程的软件包，可用于多种非线性性偏微分方程，求得显式解析解。这个软件包称为为**TWSolutions**,功能丰富，可求多数非线性偏微分方程的行波解，但仍非万能，对有些非线性偏微分方程无解或只有平凡解

基本用法
tws:={TWSolutions(pdes,functions = [arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, identity, ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh, JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN])};

其中 pdes 代表 非线性偏微分方程，或非线性偏微分方程组；若function= 列出所有可用的函数集合，常可一下子给出十几个到几十个解如果不写"function="，则只作tanh展开。用包括所有可用函数的Tanh 函数展开法在Intel Core i7笔记本电脑计算，一道非线性偏微分方程往往需时几十分以至十几小时。

中国数学家李志斌写了一个名为RATH 的Maple学术软件包，用双曲函数展开法和吴文俊消元解非线性偏微分方程 软件包RATH可以下载。

参考文献
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1. ↑  W. Malfliet, Solitary Wave Solution of Nonlinear wave equation, Am J.of Physics 60(7) 1992,650-654
2. ↑  Graham W Griffiths, William E.Schiesser, Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations p393-396 Academic Press 2012
3. 1 2  Graham Griffiths, p436-437 *Maple Built-in Procedure TWSolutions*
4. ↑  李志斌 《非线性数学物理方程的行波解》第119-130
5. ↑ .  [2014-03-20]. （原始内容存档于2014-03-20）.

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* 论
* 编
非线性偏微分方程理论与解法 |
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* C-K直接约化法
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