在相對論中，**四維加速度**是牛頓力學中三維加速度的對應推廣，其為一個四維向量。四維加速度應用於反質子湮滅反應、奇異粒子共振、加速電荷的輻射現象等研究領域中。

慣性座標系中的四維加速度
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在狹義相對論的慣性座標系中，四維加速度\mathbf{A}定義為四維速度\mathbf{U}對一移動物體之原時\tau 的微分，也就是說

{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma \_{u}{\dot {\gamma }}\_{u}c,\gamma \_{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma \_{u}{\dot {\gamma }}\_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma \_{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma \_{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma \_{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma \_{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma \_{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)},
其中

{\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}} ，應用到三維加速度{\displaystyle \mathbf {a} }與三維速度{\displaystyle \mathbf {u} }；
以及

{\displaystyle {\dot {\gamma }}\_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma \_{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}
應用到速度u（{\displaystyle |\mathbf {u} |=u}）下的勞侖茲因子{\displaystyle \gamma \_{u}}。變數上方的點代表對本參考系座標時間t的微分，而非對物體原時\tau 的微分。也就是說{\displaystyle {\dot {\gamma }}\_{u}={d\gamma \_{u} \over dt}})。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中{\displaystyle \mathbf {u} =0}, {\displaystyle \gamma \_{u}=1}以及{\displaystyle {\dot {\gamma }}\_{u}=0}。亦即在這樣的參考系中，

{\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)}。
幾何學上來看，四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。

因此四維向量的大小（乃一純量）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。

一物體的四維速度與四維加速度的內積（純量積）總是為0。

四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式：

{\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}
其中*m*是物體的不變質量。

當四維力為零，則僅只重力現象影響物體的軌跡，與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的時空幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

非慣性座標系中的四維加速度
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非慣性座標系，包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下，四維加速度為四維速度對原時的絕對導數：

{\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}\_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}
慣性座標系中，克里斯多福符號{\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}\_{\mu \nu }}皆為零，所以此式還原成上一節的式子。

值得注意的是：克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動，則克里斯多福符號不全為零。

相關條目
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* 四維向量
* 四維速度
* 四維動量
* 四維力

參考文獻
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1. ↑  Tsamparlis M.  Online. Springer Berlin Heidelberg. 2010: 185. ISBN 978-3-642-03837-2.
2. ↑  
Pauli W.  1981 Dover. B.G. Teubner, Leipzig. 1921: 74. ISBN 978-0-486-64152-2.
3. ↑  Synge J.L.; Schild A.  1978 Dover. University of Toronto Press. 1949: 149, 153 and 170. ISBN 0-486-63612-7.

* Papapetrou A.. D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3.
* Rindler, Wolfgang.. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.

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* 论
* 编
狭义相对论 |
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