**σ-有限测度**是测度论中的一个概念。對测度空间 {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，若测度 \mu  其對任意 {\displaystyle A\in \Sigma } 的取值 {\displaystyle \mu (A)} 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为**有限测度**。若有限測度的母集合 X 可表示为 \Sigma  的某可測集合序列 {\displaystyle \{E\_{n}\in \Sigma \}\_{n\in \mathbb {N} }} 的并集：

{\displaystyle X=\bigcup \_{n\in \mathbb {N} }E\_{n}}
則么就称这个测度为**σ-有限测度**。進一步的，如果 X 的某个子集能够表示为 \Sigma  之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。

例子
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* 勒贝格测度：实数集\mathbb {R} 上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的"长度"，也就是全集\mathbb {R} 的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为\mathbb {R} 可以表示为所有形如[-n,n]的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于2n）：
{\mathbb {R}}=\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}[-n,n].
* 计数测度：实数集\mathbb {R} 上的计数测度，是将任何的子集的元素"个数"作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集。不过，自然数集\mathbb{N}上的计数测度就是σ-有限测度，因为全集\mathbb{N}可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：
{\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \_{n=1}^{\infty }\{n\}.}
* 局部紧群：设G是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群G上的哈尔测度是σ-有限测度。

性质
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σ-有限测度中，全集可以表示为{\mathcal {A}}中的可数个有限测度子集的并集：\Omega =\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}B\_{n}，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

\forall n\in {\mathbb {N}},\;\;C\_{n}=\bigcup \_{{k=1}}^{{n}}B\_{k}\in {\mathcal {A}},
那么\forall n\in {\mathbb {N}},\;\;\mu (C\_{n})\leqslant \sum \_{{k=1}}^{{n}}\mu (B\_{k})，也就是说\left(C\_{n}\right)\_{{n\in {\mathbb {N}}}}也是一系列有限测度的子集，并且C\_{1}\subset C\_{2}\subset \cdots \subset C\_{n}\subset C\_{{n+1}}\subset \cdots ，所以\mu (C\_{1})\leqslant \mu (C\_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C\_{n})\leqslant \mu (C\_{{n+1}})\leqslant \cdots 。随着下标增大，C\_{n}的测度越来越大，趋向正无穷大，并且\Omega =\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}C\_{n}。这称为全集的升序表示。而如果令：

C\_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in {\mathbb {N}},\;\;D\_{n}=C\_{{n}}\setminus C\_{{n-1}}\in {\mathcal {A}},，
那么\left(D\_{n}\right)\_{{n\in {\mathbb {N}}}}也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且\Omega =\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}D\_{n}。\left(D\_{n}\right)\_{{n\in {\mathbb {N}}}}被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

### 半有限和一致σ-有限

与σ-有限测度的概念相关的概念还有**半有限测度**和**一致σ-有限测度**。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集\Omega 能够表示为{\mathcal {A}}中的可数个有限测度子集的并集：\Omega =\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}B\_{n}，而且要求存在一个正实数m，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于m。

\Omega =\bigcup \_{{n=1}}^{{\infty }}B\_{n},\qquad B\_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B\_{n})|<m,
勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度\mu \_{c}：

\forall E\in {\mathbb {N}},\;\;\mu \_{c}(E)=\sum \_{{k\in E}}k
就不是一致σ-有限测度。

半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果(\Omega ,{\mathcal {A}})上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是σ-有限测度。

### 与概率测度的等价性

给定(\Omega ,{\mathcal {A}})，其上的任何σ-有限测度\mu 都等价于一个(\Omega ,{\mathcal {A}})的概率测度。具体的构造方法是：令\left(B\_{n}\right)\_{{n\in {\mathbb {N}}}}为全集\Omega 的一个不交覆盖（划分），并且每个B\_{n}在\mu 下的测度都是有限的；再令\left(\omega \_{n}\right)\_{{n\in {\mathbb {N}}}}为一个由正实数构成的数列，并且级数和

\sum \_{{n=1}}^{\infty }w\_{n}=1.
那么以下方式定义的测度\nu ：

\forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum \_{{n=1}}^{\infty }w\_{n}{\frac {\mu (A\cap B\_{n})}{\mu (B\_{n})}}
就是一个与\mu 等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。

参见
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* 富比尼定理
* 叶戈罗夫定理
* 拉东-尼科迪姆定理

参考资料
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1. 1 2  （英文）Vladimir I. Bogachev.. Springer. 2007. ISBN 9783540345145.
2. 1 2 3 4 5  （英文）Carlos S. Kubrusly.. Gulf Professional Publishing，插图版. 2007. ISBN 9780123708991.
3. ↑  （英文）A. B. Kharazishvili.. Springer. 2009. ISBN 9789491216367.