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| **反正割** |
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| *性質* |
| 奇偶性 |  非奇非偶 |
| 定義域 | {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}} |
| 到達域 | {\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}}{\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}} |
| 周期 |  N/A  |
| *特定值* |
| 當x=0 |  不存在 |
|  當x=+∞  | \frac{\pi}{2}（90°）  |
|  當x=-∞  | \frac{\pi}{2}（90°）  |
|  當x=1  |  0  |
|  當x=-1  | \pi （180°）  |
| *其他性質* |
| 渐近线 | {\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}（*y*=90°）  |

**反正割**（英語：、記為：{\displaystyle \operatorname {arcsec} }或{\displaystyle \sec ^{-1}}）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在[0,\pi ]（[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間[-1,1]不存在。

符號
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反正割一般記為{\displaystyle \sec ^{-1}z}或{\displaystyle \operatorname {arcsec} z}，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec-1 z一般用於表示多值函數。在符號{\displaystyle \sec ^{-1}z}上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為{\displaystyle \operatorname {arcsec} z}，因為{\displaystyle \sec ^{-1}}可能會與{\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}混淆，{\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}是餘弦函數。

定義
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原始的定義是將正割函數限制在[0,\pi ]（[0, 180°]）的反函數  

在複變分析中，反正割是這樣定義的：

\operatorname{arcsec} x=-{{\mathrm {i}}}\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {{\mathrm {i}}}{x^{2}}}}}\right)\,
這個動作使反正割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

拓展到複數的反正割函數
### 直角三角形中

在直角三角形中，**反正割**定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的\angle A的大小，也就是：

{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}
* 直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
* 直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為x且鄰邊為單位長，x代入反正割可求得對應的角的大小：

{\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}
因此，根據畢氏定理可以使**反正割**利用其他反三角函數表示：

\sin(\operatorname{arcsec} x)={\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}}{x}}
\cos(\operatorname{arcsec} x)={\frac {1}{x}}
\tan(\operatorname{arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}
### 直角坐標系中

若\alpha 是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，P\left( {x,y} \right)是角的终边上一点，r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原点O的距离，若已知{\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}，則可利用反正割求得未知的象限角\alpha ：

{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}
### 級數定義

反正割函數可以使用無窮級數定義：

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
反正割函數的泰勒展開式為：

{\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }

參見
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|  | 维基词典中的词条「」。 |

|  |  |
| --- | --- |
|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**反正割** |

* 反餘弦
* 正割
* 餘弦

註釋
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1. ↑  由於反正割在x=0未定義，因此考慮複變反正割函數，但由在x=0時於左極限不等於右極限，因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。

參考文獻
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1. ↑  Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. ↑  反正割在x=0的極限 wolframalpha.com [2014-08-08]
3. ↑  反正割arcsecant-學術名詞資訊 （页面存档备份，存于） 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
4. ↑  Gradshtein, I. S. I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
5. ↑  Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
6. 1 2  Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing （页面存档备份，存于）. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
7. ↑  Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science （页面存档备份，存于）. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
8. ↑  Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
9. ↑  《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, *Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie*, Encyclopædia Universalis.
10. ↑  Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.

外部連結
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* icon数学主题

* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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