**提示**：此条目的主题不是**完整**。 
微分几何中，一個微分流形上的联络的**完整**（英語：，又譯**和樂**），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性（英语：）現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為**黎曼和樂**）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為**和樂群**。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間（英语：）的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格（英语：） 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定义
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### 向量叢聯絡的和樂

設 *M* 為光滑流形，*E* 為其上的 *k* 維向量丛，∇ 為 *E* 上的聯絡。給定 *M* 上一點 *x* 和以 *x* 為基點的分段光滑環圈 *γ* : [0,1] → *M*, 該聯絡定義了一個平行移动映射 *P**γ* : *Ex* → *Ex*. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(*Ex*) 的元素。∇ 以 *x* 為基點的**和樂群**定義為

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{x}(\nabla )=\{P\_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E\_{x})\mid \gamma {\text{ 為 以}}\ \ x{\text{ 為 基 點 的 環 圈 }}\}.}
以 *x* 為基點的**限制和樂群**是由可縮（英语：）環圈 *γ* 給出的子群{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{x}^{0}(\nabla )}.

若 *M* 連通，則不同基點 *x* 的和樂群 僅相差 GL(*k*, **R**) 的共軛作用。更具體說，若 *γ* 為 *M* 中由 *x* 到 *y* 的路徑，則

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{y}(\nabla )=P\_{\gamma }\operatorname {Hol} \_{x}(\nabla )P\_{\gamma }^{-1}.}
選取 *Ex* 的另一組基（即以另一種方式將 *Ex* 視為與 **R***k* 等同）同樣會使和樂群變成 GL(*k*, **R**) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

* {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 是 GL(*k*, **R**) 的連通李子群。
* {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 是 {\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )} 的單位連通支（英语：）。
* 存在自然的滿群同態 {\displaystyle \pi \_{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),} 其中 {\displaystyle \pi \_{1}(M)} 是 *M* 的基本群。該同態將同倫類 [\gamma ] 映到陪集 {\displaystyle P\_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}
* 若 *M* 單連通，則 {\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}
* ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(*P*)（特徵標理論的跡）。

### 主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 *G* 為李群，*P* 為仿緊光滑流形 *M* 上的主 *G* 叢。設 *ω* 為 *P* 上的聯絡。給定 *M* 中一點 *x*, 以 *x* 為基點的分段光滑環圈 *γ* : [0,1] → *M*, 以及 *x* 纖維上一點 *p*, 該聯絡定義了唯一的*水平提升* {\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P} 使得 {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.} 水平提升的終點 {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)} 未必是 *p*, 因為其可為 *x* 纖維上的另一點 *p*·*g*. 若兩點 *p* 和 *q* 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 *p* ~ *q*. 如此，~ 是 *P* 上的等價關係。

*ω* 以 *p* 為基點的**和樂群**定義為

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}
若在定義中僅允許可縮（英语：）環圈 *γ* 的水平提升，則得到以 *p* 為基點的**受限和樂群** {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )}. 其為和樂群{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )} 的子群。

若 *M* 和 *P* 皆連通，則不同基點 *p* 的和樂群僅在 *G* 互為共軛。更具體說，若 *q* 是另一個基點，則有唯一的 *g* ∈ *G* 使得 *q* ~ *p*·*g*. 於是，

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} \_{p}(\omega )g.}
特別地，

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} \_{p}(\omega )g,}
再者，若 *p* ~ *q*, 則 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )=\operatorname {Hol} \_{q}(\omega ).} 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

* {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 是 *G* 的連通李子群。
* {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 是 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )} 的單位連通支（英语：）。
* 存在自然的滿群同態{\displaystyle \pi \_{1}(M)\to \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )/\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ).}
* 若 *M* 單連通，則 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )=\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ).}
* ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 為平凡群。

### 和樂叢

同上，設 *M* 為連通仿緊流形，*P* 為其上的主 *G* 叢，*ω* 為 *P* 上的聯絡。設 *p* ∈ *P* 為主叢上的任意一點。以 *H* (*p*) 表示 *P* 中可與 *p* 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 *H* (*p*) 連同其到 *M* 的投影也構成 *M* 上的主叢，且具有結構群 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )}（即 *H* (*p*) 是主 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )} 叢）。 此主叢稱為該聯絡 *ω* 經過 *p* 的**和樂叢**。*ω* 限制到 *H* (*p*) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 *H* (*p*) 不變。故 *H* (*p*) 是該聯絡的約化主叢。此外，*H* (*p*) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 *P* 中等變。具體說，若 *q* ∈ *P* 是另一個基點，則有 *g* ∈ *G* 使得 *q* ~ *p* *g*（按假設，*M* 是路連通的）。故 *H* (*q*) = *H* (*p*) *g*. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 *g*.

### 單延拓群

和樂叢 *H* (*p*) 是主 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )} 叢，因此受限和樂群 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )}（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 *H* (*p*) 上。離散群 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )/\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 稱為聯絡的**單延拓（英语：）群**。其作用在商叢 {\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 上。存在滿同態{\displaystyle \varphi :\pi \_{1}\to \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )/\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ),} 使得 {\displaystyle \varphi (\pi \_{1}(M))} 作用在 {\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 上。基本群的這個群作用稱為基本群的**單延拓表示**。

### 局域及無窮小和樂

若 π: *P* → *M* 為主叢，ω 為 *P* 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 *M* 的開集的纖維上。若 *U* 為 *M* 的連通開集，則將 ω 限制到 *U* 上可得叢 π−1*U* 的聯絡。該叢的和樂群記為 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega ,U),} 而受限和樂群則記為 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ,U),} 其中 *p* 為滿足 π(*p*) ∈ *U* 的點。

若 *U* ⊂ *V* 為包含 π(*p*) 的兩個開集，則有包含關係

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ,V).}
*p* 點的**局域和樂群**定義為

{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{\*}(\omega )=\bigcap \_{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ,U\_{k}),}
其中 *U**k* 為任意一族滿足 {\displaystyle \bigcap \_{k}U\_{k}=\pi (p)} 的遞降（即 {\displaystyle U\_{k}\subset U\_{k+1}\ \forall k} ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega )} 的連通李子群。
2. 每點 *p* 都有鄰域 *V* 使得 {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{\*}(\omega )=\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ,V).} 局域和樂群僅取決於 *p*, 而非序列 *U**k* 的選取。
3. 局域和樂群在結構群 *G* 的作用下等變，即對任意 *g* ∈ *G*, {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{pg}^{\*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} \_{p}^{\*}(\omega ).}（注意由性質 1, 局域和樂群是 *G* 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

* 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}^{\*}(\omega )=\operatorname {Hol} \_{p}^{0}(\omega ).}

詞源
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英文與「全純」（）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（法语：）（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（法语：）（1819–1895）引入，來自希臘文（*holos*）和（*morphē*），意思分別是「全」、「形態」。

""與""的前半（*holos*）一樣。至於後半：

> 
> 非常難在網絡上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：
> 
> 
> 
> > 我相信潘索（）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （""）系統，所以它的意思「整體法則」（""）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（）。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根。
> > 
> 
> 
> ——S. Golwala
> 
> 
> 

參見νόμος（*nomos*）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理
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**安布羅斯－辛格定理**（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若{\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M}是M中某曲面的坐標表示，則向量V可以沿\sigma 的邊界平行移動，由原點出發，先沿{\displaystyle (x,0)}，再沿{\displaystyle (1,y)}，再{\displaystyle (x,1)}（x反方向，即由1遞減至{\displaystyle 0}），最後{\displaystyle (0,y)}，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量V沿該圈平行移動的結果，相當於\sigma 邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在V上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應\sigma 坐標中的區域{\displaystyle [0,x]\times [0,y]}，而x, y趨向於{\displaystyle 0}），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於{\displaystyle x=y=0}處的導數：

{\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}
其中R為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，{\displaystyle R(X,Y)}是{\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )}的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為G的主叢{\displaystyle P\to M}某聯絡的和樂。以{\mathfrak g}表示G的李代數，則聯絡的曲率形式是P上的{\mathfrak g}值2-形式\Omega 。安布羅斯－辛格定理斷言：

> {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )}的李代數，是由{\mathfrak g}中所有形如{\displaystyle \Omega \_{q}(X,Y)}的元素線性張成，其中q取遍所有可以用水平曲線{\displaystyle (q\sim p)}與p連接的點，而X, Y皆是q處的水平切向量。
> 
> 
> 

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

> {\displaystyle \operatorname {Hol} \_{p}(\omega )}的李代數，是{\mathfrak g}中形如{\displaystyle \Omega \_{q}(X,Y)}的元素張成的線性子空間，其中q取遍{\displaystyle H(p)}的元素，而X, Y取遍q處的水平向量。
> 
> 
>

黎曼和樂
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### 可約和樂與德拉姆分解

設x\in M為任意一點，則和樂群{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}作用在切空間{\displaystyle T\_{x}M}上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將{\displaystyle T\_{x}M}分解成正交子空間的直和

{\displaystyle T\_{x}M=T'\_{x}M\oplus T''\_{x}M,}
而兩個子空間皆在{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}作用下不變。此時亦稱M**可約**。

設M為可約流形。上式說明，在每一點x處，切空間可以約化分解成{\displaystyle T'\_{x}M}和{\displaystyle T''\_{x}M}，所以當x變動時，就定義出向量叢{\displaystyle T'M}和{\displaystyle T''M}，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形（英语：）皆為完全測地（英语：）子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察M，是笛卡爾積{\displaystyle M'\times M''}。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

> 設M為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，{\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M}為切叢的完全約化分解，而和樂群在{\displaystyle T^{(0)}M}上的作用平凡（恆等映射），則M局部等距同構於乘積
> 
> 
> {\displaystyle V\_{0}\times V\_{1}\times \cdots \times V\_{k},}
> 其中V\_{0}是歐氏開集，而每個V\_i是{\displaystyle T^{(i)}M}的積分流形。更甚者，{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}是{\displaystyle \mathrm {Hol} (M\_{i})}的直積（M\_{i}是{\displaystyle T^{(i)}}過某點的極大積分流形）。
> 
> 
> 

若同時假設M測地完備（英语：）（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各M\_{i}本身也是測地完備流形。

### 伯格分类

1955年，馬塞爾·伯格（英语：）將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱（英语：））、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。**伯格分類**表如下：

| {\displaystyle \mathrm {Hol} (g)} | {\displaystyle \mathrm {dim} (M)} | 流形類型 | 備註 |
| --- | --- | --- | --- |
| 正交群SO(n) | n | 可定向流形 | — |
| 酉群U(n) | 2n | 凯勒流形 | 凱勒 |
| 特殊酉群{\displaystyle SU(n)} | 2n | 卡拉比–丘流形 | 里奇平、凱勒 |
| 辛群\mathrm{Sp}(n) | {\displaystyle 4n} | 超凱勒流形（英语：） | 里奇平、凱勒 |
| {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)} | {\displaystyle 4n} | 四元數凱勒流形（英语：） | 愛因斯坦（英语：） |
| 例外單李群（英语：）G\_{2} | 7 | G2流形（英语：） | 里奇平 |
| 旋量群{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)} | 8 | Spin(7)流形（英语：） | 里奇平 |

1965年，愛德蒙·博南（英语：）及同時研究和樂群為{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南（英语：）於1966年最早引入和樂群為G\_{2}或{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}（作為{\displaystyle SO(16)}的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（）一人，與布朗（）、格雷（）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面（英语：）{\displaystyle F\_{4}/\mathrm {Spin} (9)}局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見G\_{2}流形（英语：）和{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}流形（英语：）。

注意{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)}，故超凱勒流形（英语：）必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間（英语：），而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}（作用於{\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}），以及{\displaystyle U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)}（作用於{\displaystyle \mathbb {R} ^{4m}}）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面（英语：））的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

| 和樂群 | 度量符號（英语：） |
| --- | --- |
| {\displaystyle SO(p,q)} | (p, q) |
| {\displaystyle U(p,q)} | {\displaystyle (2p,2q)} |
| {\displaystyle SU(p,q)} | {\displaystyle (2p,2q)} |
| {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)} | {\displaystyle (4p,4q)} |
| {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)} | {\displaystyle (4p,4q)} |
| {\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )} | {\displaystyle (n,n)} |
| {\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )} | {\displaystyle (2n,2n)} |
| 分裂G\_{2} | {\displaystyle (4,3)} |
| {\displaystyle G\_{2}(\mathbb {C} )} | {\displaystyle (7,7)} |
| {\displaystyle \mathrm {Spin} (4,3)} | {\displaystyle (4,4)} |
| {\displaystyle \mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )} | {\displaystyle (7,7)} |
| {\displaystyle (\*)\ \mathrm {Spin} (5,4)} | {\displaystyle (8,8)} |
| {\displaystyle (\*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )} | {\displaystyle (16,16)} |

但是，標(\*)的兩種和樂群（分裂{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}及複化{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群{\displaystyle SO(n,\mathbb {C} ),G\_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為{\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}子群的流形，R. McLean證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間G/H同構，其局部和樂群同構於H，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

### 特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

* {\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)}，當且僅當M上存在平行的射影純旋量場。
* 若M為旋量流形（英语：），則{\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)}，當且僅當M具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到{\displaystyle SU(n)}的典範歸約。
* 若M是七維旋量流形，則M具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是G\_{2}的子群。
* 若M為八維旋量流形，則M具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。

### 應用

#### 弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具SU(2)或SU(3)和樂的卡拉比–丘流形上，以及G\_{2}流形（英语：）上。

#### 機器學習

在机器学习，尤其流形學習（英语：）方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射（英语：）），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

仿射和樂
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**仿射和樂群**（英語：），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為**非度量和樂群**（英語：）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱（英语：）的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（英语：）（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間（英语：）、四元數凱勒對稱空間（英语：）之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設V為有限維複向量空間，{\displaystyle H\subseteq \mathrm {Aut} (V)}為不可約半單複連通李子群，又設{\displaystyle K\subseteq H}為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如{\displaystyle G/(U(1)\cdot K)}，則H和{\displaystyle \mathbb {C} ^{\*}\cdot H}兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中V為K的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如{\displaystyle G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)}，則H為非對稱不可約仿射和樂群，而當{\displaystyle \dim V=4}時，{\displaystyle \mathbb {C} ^{\*}\cdot H}亦然。此時，{\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cdot K}的複化切表示是{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes V}，而H保V上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G\_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}
利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

{\displaystyle {\begin{aligned}Z\_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta \_{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot E\_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}
其中{\displaystyle Z\_{\mathbb {C} }}可取平凡群，亦可取為{\displaystyle \mathbb {C} ^{\*}}。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z\_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z\_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge \_{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta \_{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E\_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}
（第二行中，{\displaystyle Z\_{\mathbb {C} }}必須取為平凡群，除非n=2，此時可取為{\displaystyle \mathbb {C} ^{\*}}。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間（英语：）。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见
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* A-B效应

参考文献
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| * 
* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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|  |
| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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