這兩塊理想鼓膜發出的聲音一樣，但其形狀不同。 所謂聲音一樣，意思是其具有相同的特徵頻率，因此敲擊發出的音色將具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韋伯，以及沃爾珀特給出。留意兩個多邊形具有相同的面積和周長
從鼓的音色（即其泛音列），利用數學理論，來獲取鼓膜形狀的信息，謂之**聽出鼓的形狀**。美國數學月刊於1966年刊登了馬克·卡克（英语：）的論文〈能否聽出鼓的形狀？〉，文題由利普曼·伯斯（英语：）給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔。

卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲萊斯特·福特獎（英语：），並於1968年獲肖夫內獎（英语：）。

鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若已知形狀，則可用亥姆霍兹方程求出頻率。該些頻率為空間（鼓膜）上的拉普拉斯算子的特征值。問題是單由該些頻率是否能確定鼓膜的形狀。例如，沒有其他形狀的鼓膜與正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在兩個不同的形狀，其具有相同的泛音列。結果，在1992年，戈登、韋伯，以及沃爾珀特證得頻率不能完全決定形狀，解決了原來的問題。

正式敍述
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更正式地，鼓視為邊界鉗緊的彈性膜，數學上表示成平面上的一個區域 *D*. 設 λ*n* 為其狄利克雷特徵值（英语：）：即以下拉普拉斯算子的狄利克雷問題

{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|\_{\partial D}=0\end{cases}}}
的特徵值。兩個區域若具有完全相同的特徵根列，則稱其等譜（英语：），或**同音**（英語：）。稱為「同音」的原因是，該些狄利克雷特徵值恰好是鼓所能發出的基調：其為鉗緊邊界的波動方程的解的傅立葉系數。

於是，可以將問題轉述成：只知 *λ**n* 之值，可以推導出 *D* 的何種性質？又或，更具體地，是否有兩個不同形狀但等譜的區域？

也可以從數個不同方向推廣，提出同樣的問題。其一，可將平面換成高維或黎曼流形，考慮其上的拉氏算子的狄利克雷問題。其二，可將拉氏算子換成其他橢圓算子，例如柯西－黎曼算子或狄拉克算子。其三，可考慮狄利克雷條件以外的其他邊界條件，例如諾伊曼邊界條件。相關課題屬於譜幾何（英语：）的研究。

答案
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由一個連續參數給出的一族等譜的鼓
問題提出後，約翰·米爾諾很快觀察到，恩斯特·維特（英语：）的一條定理足以推出存在兩個不同形狀的 16 維環面，其具有相同的特徵值。然而，原來的二維問題要待1992年才得到解決。當時，卡羅林·戈登（英语：） , 大衛·韋伯 (數學家)（英语：）  和斯科特·沃爾珀特利用砂田方法（得名自砂田利一（英语：））, 在平面上構造了兩個不同形狀，但卻具有同樣特徵值的區域。該些區域為凹多邊形。其特徵值相等的證明用到拉氏算子的對稱性。彼得·布塞尔（英语：）與合作者推廣了此想法，從而構造了若干類似的例子。因此，卡克原先問題的答案是否定的：對於許多形狀，不能完全聽出鼓的形狀，不過仍可推斷出若干性質。

另一方面，史提夫·澤爾迪奇（英语：）證明，若將卡克的問題收窄到僅考慮邊界解析的平面凸區域，則會得到肯定的答案。仍未知道是否存在兩個非凸的解析區域具有同樣的特徵值，但已知的是，與某個給定區域等譜的所有區域組成的集合，在 C∞ 拓撲中是緊集。又例如，由鄭氏特徵值比較定理（英语：）知，球面是譜剛的（英語：, 即若有流形與之等譜，則其形狀亦必與之相同）。此外，利用奧斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和薩納克（Sarnak）的成果，可以證明固定虧格的黎曼面組成的模空間中，没有過任何點的連續等譜流，且該模空間在弗雷歇－施瓦茨拓撲（英語：）下為緊。

外爾公式
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条目：外爾定律（英语：）
外爾公式斷言，可藉 λ*n* 的增長速度推斷鼓的面積 *A*。定義 *N*(*R*) 為小於 *R* 的特徵值的數目，則可得

{\displaystyle A=\omega \_{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim \_{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},\,}
其中 *d* 是維數，*{\displaystyle \omega \_{d}}* 是 *d*-維單位球的體積。外爾猜想迫近式的第二項將給出 *D* 的周長，即有

{\displaystyle \,N(R)=(2\pi )^{-d}\omega \_{d}AR^{d/2}+{\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega \_{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}),\,}
其中 *L* 表示周長（高維情況下則為表面積）。維克托·伊夫里（英语：）於1980年證明了上式對於某類邊界光滑的流形適用，其不具由兩個連續參數給出的一族測地線（例如球面則具有如此一族測地線）。

外爾－貝里猜想
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對於邊界非光滑的情況，邁克爾·貝里於 1979 年猜想，修正值的量級應為

{\displaystyle R^{D/2},\,}
其中 *D* 為邊界的豪斯多夫維數。寶樂沙 (法語：）和卡莫納（法語：）推翻了此猜想，但提出應將豪斯多夫維數改成頂盒維數（即上計盒維數）。在平面上，邊界維數為 1 的情況已獲證（1993 年），但大多數高維情況被否證（1996 年），兩個結論都是拉皮迪（法语：）和波默蘭斯（英语：）的成果。

相關條目
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* 圓形膜的振動（英语：）
* 加斯曼三元組（英语：）
* 等譜（英语：）
* 譜幾何（英语：）
* 推廣到疊代函數系統生成的碎形的情況

行內引用
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1. ↑ .  [2020-10-04]. （原始内容存档于2021-05-06）.
2. ↑  Arrighetti, W.; Gerosa, G.. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences **69**. World Scientific. 2005: 65–75. ISBN 978-981-256-368-2. arXiv:math.SP/0503748 可免费查阅. doi:10.1142/9789812701817\_0007.  `|journal=`被忽略 (帮助)

參考資料
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外部鏈結
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* Isospectral Drums （页面存档备份，存于） （由特拉華大學的 Toby Driscoll 所寫）
* Some planar isospectral domains （页面存档备份，存于） by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
* Drums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Benguria, Rafael D. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4