Γ函數的倒數

Γ函數（藍色）、Γ函數的倒數（橘色）
Γ函數的倒數的函數圖形
倒數伽瑪函數 1/Γ(*z*) 的色相環複變函數圖形
在數學中，**倒數伽瑪函數**（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：

{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}}
其中，Γ(*z*)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。

倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了log log |1/Γ(*z*)|的成長速度不會高過log |1/Γ(*z*)|。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說log |1/Γ(*z*)|的增長速度比任何|*z*|的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的|*z*| log |*z*|大致成比例。

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展。

無窮乘積展開
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根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}
其中{\displaystyle \gamma \approx 0.577216...}是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

泰勒級數
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倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }
其中*γ*是歐拉-馬斯刻若尼常數。對*n* > 2的情形，其*z**n*的系數*a**n*可由遞迴定義求出：

{\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{2}a\_{n-1}-\sum \_{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a\_{n-j}}{n-1}}}
其中*ζ*(*s*)代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示：

{\displaystyle a\_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int \_{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.}
其前幾項的值為：

| *n* | *a**n* |
| --- | --- |
| 1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
| 2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
| 3 | −0.6558780715202538810770195151453904812798 |
| 4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
| 5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
| 6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
| 7 | −0.0096219715278769735621149216723481989754 |
| 8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |
| 9 | −0.0011651675918590651121139710840183886668 |
| 10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
| 11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
| 12 | −0.0000201348547807882386556893914210218184 |
| 13 | −0.0000012504934821426706573453594738330922 |
| 14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |
| 15 | −0.0000002056338416977607103450154130020573 |
| 16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |
| 17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |
| 18 | −0.0000000011812745704870201445881265654365 |
| 19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |
| 20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |
| 21 | −0.0000000000036968056186422057081878158781 |
| 22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |
| 23 | −0.0000000000000205832605356650678322242954 |
| 24 | −0.0000000000000053481225394230179823700173 |
| 25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |
| 26 | −0.0000000000000001181259301697458769513765 |
| 27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |
| 28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |
| 29 | −0.0000000000000000002298745684435370206592 |
| 30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |

而*a**n*的近似值為：

{\displaystyle a\_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz\_{0}}{\frac {z\_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z\_{0}}}}\right),}
其中，{\displaystyle z\_{0}={\frac {e^{W\_{-1}(-n)}}{-n}}}

而{\displaystyle W\_{-1}}是分支為負一的朗伯W函数。

漸近展開
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當|*z*|在arg(*z*)為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

{\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi }

以圍線積分表示
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倒數伽瑪函數可使用圍線積分（英语：）（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint \_{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}
其中，*H*為漢克爾圍線（英语：）。

階乘倒數
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階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

{\displaystyle \prod \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1}
其無窮級數收斂在*e*：

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\prod \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e}
由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：

{\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}}.
對於n\geq 1的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ：

{\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta }.
同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數c > 0 且 {\displaystyle z\in \mathbb {C} }，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式：

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,}
其中在{\displaystyle z:=n+1/2}的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

{\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}}

積分
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將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}（OEIS數列A058655）
這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數（英语：）。

參見
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* 伽瑪函數
* 反伽瑪函數

參考文獻
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1. 1 2 3  Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function （页面存档备份，存于）  (PDF).  [2018-12-22]. （原始内容存档 (PDF)于2018-12-22）. . *HAL archives*,
2. ↑  Hazewinkel, Michiel (编), , Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001 [1994], ISBN 978-1-55608-010-4
3. ↑  Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. *Mathematics of Computation*, *22*, 617–626. and   
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. *Mathematics of Computation*, *27*, 681–682.
4. ↑ .  [2018-12-28]. （原始内容存档于2019-06-10）.
5. ↑   Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语）  142.D
6. ↑  Graham, Knuth, and Patashnik.. Addison-Wesley. 1994: 566.
7. ↑ . Math Stack Exchange.  [2018-11-18]. （原始内容存档于2019-06-06）.
8. ↑  Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003.

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2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function （页面存档备份，存于）
3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*
4. Eric W. Weisstein, *Gamma Function（页面存档备份，存于）*, MathWorld