數學上，**一致有界性原理**，又稱**巴拿赫–斯坦豪斯定理**、**共鸣定理**，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子范数意義下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯（英语：）於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。

定理內容
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設 *X* 和 *Y* 為兩個巴拿赫空間。假設 *F* 為由 *X* 映向 *Y* 的若干個連續線性算子的集合。若對於 *X* 中的任意一個 *x* ，都有

{\displaystyle \sup \nolimits \_{T\in F}\|T(x)\|\_{Y}<\infty ,}
則

{\displaystyle \sup \nolimits \_{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|\_{Y}=\sup \nolimits \_{T\in F}\|T\|\_{B(X,Y)}<\infty .}
### 證明

由於 *X* 完備，利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 *X* 中的任意一個 *x*, 都有

{\displaystyle \sup \nolimits \_{T\in F}\|T(x)\|\_{Y}<\infty .}
對任意整數 {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}記

{\displaystyle X\_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits \_{T\in F}\|T(x)\|\_{Y}\leq n\right\}.}
則 {\displaystyle X\_{n}} 為閉集，且由假設有

{\displaystyle \bigcup \nolimits \_{n\in \mathbf {N} }X\_{n}=X\neq \varnothing .}
貝爾綱定理適用於非空的完备空间 *X*, 故存在 *m* 使得 {\displaystyle X\_{m}} 的內部非空，即存在 {\displaystyle x\_{0}\in X\_{m}} 和 ε > 0 使得

{\displaystyle {\overline {B\_{\varepsilon }(x\_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x\_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X\_{m}.}
設 *u* ∈ *X* 滿足 ǁ*u*ǁ ≤ 1 和 *T* ∈ *F*, 則有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|\_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x\_{0}+\varepsilon u\right)-T(x\_{0})\right\|\_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x\_{0}+\varepsilon u)\right\|\_{Y}+\left\|T(x\_{0})\right\|\_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x\_{0}+\varepsilon u,\ x\_{0}\in X\_{m}]\\\end{aligned}}}
使 *u* 歷遍 *X* 的單位球，並取遍 {\displaystyle T\in F,} 得到

{\displaystyle \sup \nolimits \_{T\in F}\|T\|\_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .}
因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 （Sokal 2011）.

推論
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該定理可以推出：若一列有界算子 (*Tn*) 逐點收斂，即對 *X* 的任意元素 *x*, 序列 (*Tn*(*x*)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 *T*.

注意上述推論並未斷言 *Tn* 在算子範數的意義下收斂到 *T*, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (*Tn*) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 *T*, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 *Tn* 一致收斂到 *T*.

另一推論為：賦範空間 *Y* 的弱有界子集 *S* 必然有界。

理由是，可以將 *S* 看成巴拿赫空間 *X* = *Y\** (*Y*的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，*S* 的元素（視為 *X* 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 *Y\*\** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，*S* 的任意元素 *s* 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 *Y* 的範數。

記 *L*(*X*, *Y*) 為自 *X* 映向 *Y* 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 *F* 為 *L*(*X*, *Y*) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits \_{T\in F}\|Tx\|\_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing }
更甚者，*R* 在 *X* 中稠密。原因是，*R* 在 *X* 中的補集是 ∪*Xn*, 故為閉集 *Xn* 的可數並。按照定理的證明過程，每個 *Xn* 都无处稠密，故 ∪*Xn* 為第一綱集。所以 *R* 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為*剩餘集*）是稠密的。如此推理可得**奇點凝聚原理**，即：

若 *X* 為巴拿赫空間，{*Yn*} 為一系列賦範空間，*Fn* 為 *L(X, Yn)* 的無界子集，則集合
{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} ,\;\sup \nolimits \_{T\in F\_{n}}\|Tx\|\_{Y\_{n}}=\infty \right\}}
為第二綱集，因此在 *X* 中稠密。

原因是，*R* 的補集可以寫成第一綱集的可數並

{\displaystyle \bigcup \nolimits \_{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits \_{T\in F\_{n}}\|Tx\|\_{Y\_{n}}\leq m\right\}.}
因此其剩餘集 *R* 稠密。

例子：傅立葉級數的逐點收斂
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設 {\displaystyle \mathbb {T} } 為單位圓，{\displaystyle C(\mathbb {T} )} 為 {\displaystyle \mathbb {T} } 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對 {\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),} 其傅立葉級數定義為

{\displaystyle \sum \_{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum \_{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int \_{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}
而級數的第 *N* 階對稱部分和為

{\displaystyle S\_{N}(f)(x)=\sum \_{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }f(t)D\_{N}(x-t)\,dt,}
其中 *DN* 為第 *N* 階狄利克雷核。選定 {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,} 然後考慮序列 (*SN*(*f*)(*x*)) 的收斂性。以下式定義泛函 {\displaystyle \varphi \_{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C} } ：

{\displaystyle \varphi \_{N,x}(f)=S\_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}
則 φ*N,x* 有界。而 φ*N,x* 於 {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 的對偶空間的範數，是帶號測度（英语：） (2π)−1*D**N*(*x*−*t*) d*t* 的範數，故

{\displaystyle \left\|\varphi \_{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }\left|D\_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }\left|D\_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D\_{N}\right\|\_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}
可以驗證

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }|D\_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}
故族 {φ*N,x*} 是 {\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast }} ({\displaystyle C(\mathbb {T} )} 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}傅立葉級數於 *x* 發散的連續函數在 {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (*xm*) 為 {\displaystyle \mathbb {T} } 中的稠密序列。如上定義 φ*N,xm*. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 *xm* 都發散的連續函數在 {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理（英语：），一個連續函數 *f* 的傅立葉級數，幾乎於每一點 {\displaystyle x\in \mathbb {T} } 都收斂到 *f*(*x*).

推廣
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受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間（英语：）。其上的一致有界性原理為（Bourbaki 1987，Theorem III.2.1）:

給定桶型空間 *X* 和局部凸空間（英语：）*Y*, 則任意一族由 *X* 映向 *Y* 的逐點有界的连续线性算子都等度连续。

若把 *X* 換成一個貝爾空間而保持 *Y* 為局部凸的，則結論同樣成立。（Shtern 2001）

Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間（英语：）上一個較弱的結論：

若 *X* 為 Fréchet 空間， *Y* 為賦範空間，*H* 為由 *X* 映向 *Y* 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 *X* 中的任意元素 *x*，

{\displaystyle \sup \nolimits \_{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,}
則族 *H* 等度連續。

參見
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* 桶型空間（英语：）是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

參考文獻
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1. ↑  张鸿林; 葛显良.. 清华大学出版社. 2005: 53  [2022-07-23]. ISBN 9787302098935. （原始内容存档于2022-07-23）. Banach–Steinhaus theorem 巴拿赫-斯坦豪斯定理

* Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo,  (PDF), Fundamenta Mathematicae（英语：）, 1927, **9**: 50–61  [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01） . （法文）
* Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
* Dieudonné, Jean, Academic Press, 1970 .
* Rudin, Walter, McGraw-Hill, 1966 .
* Shtern, A.I. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Sokal, Alan, Amer. Math. Monthly, 2011, **118**: 450–452, arXiv:1005.1585 可免费查阅, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .

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