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| 物理算符 |
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| 位置算符 |
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| 动量算符 |
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| 角動量算符 |
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| 哈密顿算符 |
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| 阶梯算符 |
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| 創生及消滅算符 |
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| 自旋算符 |

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在量子力學裏，**位置算符**（）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 \hat{x} 的本徵態 |x\rang 滿足方程式

{\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle  ；
其中，x 是本徵值，是量子態為 |x\rang 的粒子所處的位置，x 只是一個數值。

位置空間表現
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設定量子態 |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle  。量子態 |\Psi \rangle  、|\psi \rangle  的位置空間表現，即波函數，分別定義為

\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle  、
\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang 。
在位置空間裡，定義算符 {\hat {{\mathfrak {x}}}} 為

{\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x) 。
在位置空間裡，使用連續本徵態 |x'\rangle  所組成的基底，任意量子態 |\psi \rangle  展開為

|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle  。
將量子算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi \rangle  ，可以得到

{\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ {\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x')|x'\rangle  。
應用狄拉克正交歸一性，\langle x|x'\rangle =\delta (x-x') ，這方程式與左矢 \langle x| 的內積為

\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ {\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ {\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x) 。
量子態 |\Psi \rangle  的展開式為

\Psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ \Psi (x')|x'\rangle  。
應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 \langle x| 的內積為

\langle x|\Psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\mathrm {d}}x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x) 。
所以，兩個波函數 \Psi(x) 、\psi (x) 之間的關係為

\Psi (x)={\hat {{\mathfrak {x}}}}\psi (x) 。
總結，位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi \rangle  的結果 |\Psi \rangle  ，表現於位置空間，等價於波函數 \psi (x) 與 x 的乘積 \Psi(x) 。位置算符 \hat{x} 的位置空間表現是位算符 {\hat {{\mathfrak {x}}}} ，可以稱算符 {\hat {{\mathfrak {x}}}} 為位置算符。

本徵函數
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假設，在位置空間裡，位置算符 {\hat {{\mathfrak {x}}}} 的本徵值為 q 的本徵函數是 g\_{q}(x) 。用方程式表達，

{\hat {{\mathfrak {x}}}}g\_{q}(x)=qg\_{q}(x) 。
這方程式的一般解為，

g\_{q}(x)=g\_{0}\delta (x-q) ；
其中，g\_{0} 是常數，\delta (x-q) 是狄拉克δ函數。

注意到 g\_{q}(x) 無法歸一化：

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ g\_{q}^{\*}(x)g\_{q}(x)\ dx=|g\_{0}|^{2}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}} 。
設定 g\_{0}=1 ，函數 g\_{q}(x) 滿足下述方程式：

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ g\_{{q1}}^{\*}(x)g\_{{q2}}(x)\ dx=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2) 。
這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 \psi (x) 都可以表達為本徵函數的線性組合：

\psi (x)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi (q)g\_{{q}}(x)\ dq 。
雖然本徵函數 g\_{q}(x) 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 q ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值
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採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 {\mathcal {H}}=L^{2}({\mathbb {R}}) ，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是 

\langle \psi \_{1}|\psi \_{2}\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi \_{1}^{\*}(x)\psi \_{2}(x)\,{\mathrm {d}}x 。
對於任意量子態 \psi  ，可觀察量 x 的期望值為

\langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle  。
位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi \rangle  的結果，表現於位置空間，等價於波函數 \psi (x) 與 x 的乘積，所以，

\langle x\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,{\mathrm {d}}x=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}x\,|\psi (x)|^{2}\,{\mathrm {d}}x 。
粒子處於 x 與 x+dx 微小區間內的機率是

p(x){\mathrm {d}}x=\psi ^{\*}(x)\psi (x){\mathrm {d}}x 。
粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例
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推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 \mathbf {r}  的波函數為 {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} ，位置的期望值為

{\displaystyle \langle \mathbf {r} \rangle =\int \_{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } ；
其中，\mathbb{V} 是積分體積。

位置算符 {\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} } 的作用為

{\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi } 。

對易關係
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位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi  。
所以，[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar  。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。\hat{x} 與 {\hat {p}} 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，\hat{x} 的本徵態與 {\hat {p}} 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right| 。
由於 x 與 p 是兩個不相容可觀察量，\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2 。所以，x 的不確定性與 p 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p ，必定大於或等於 \hbar /2 。

參考文獻
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1. ↑  Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 1 2  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim,  2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914