E1函数（顶）和Ei函数（底）。
在数学中，**指数积分**是函数的一种，它不能表示为初等函数。

定义
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对于实数*x*，指数积分Ei(*x*)可以定义为：

{\mbox{Ei}}(x)=\int \_{{-\infty }}^{x}{\frac {e^{t}}t}\,{\mathrm d}t.\,
其中e^t为指数函数。以上的定义可以用于正数*x*，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

{{\rm {E}}}\_{1}(z)=\int \_{z}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}}{t}}\,{\mathrm d}t,\qquad |{{\rm {Arg}}}(z)|<\pi .
当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

{{\rm {E}}}\_{1}(z)=\int \_{1}^{\infty }{\frac {e^{{-tz}}}{t}}\,{\mathrm d}t,\qquad \Re (z)\geq 0.
Ei与E1有以下关系：

{{\rm {Ei}}}(-x\pm {{\rm {i}}}0)=-{{\rm {E}}}\_{1}(x)\mp {{\rm {i}}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)
-{{\rm {Ei}}}(x)={\frac {1}{2}}{{\rm {E}}}\_{1}(-x+{{\rm {i}}}0)+{\frac {1}{2}}{{\rm {E}}}\_{1}(-x-{{\rm {i}}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.

性质
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### 收敛级数

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

{\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum \_{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0
E\_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum \_{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{{k+1}}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{{\rm {Re}}}(z)>0
其中~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要~x\!>\!0~。

### 渐近（发散）级数

截断和中取~N~项时，渐近展开式的相对误差
自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

{\displaystyle E\_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum \_{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]}
这个截断和可以用来计算~{{\rm {Re}}}(z)\!\gg \!1~时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。 

图中描述了以上估计的相对误差。

### 指数和对数的表现

~E\_{1}~在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。~E\_{1}~是位于以下两个函数之间的：

{\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E\_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0
这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是~{{\rm {E}}}\_{1}(x)~，不等式的右端用红色曲线来表示。

### 与其它函数的关系

指数积分与对数积分li(*x*)有密切的关系：

li(*x*) = Ei (ln (*x*))    对于所有正实数*x* ≠ 1。
另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

{{\rm {E}}}\_{1}(x)=\int \_{1}^{\infty }{\frac {e^{{-tx}}}{t}}\,{\mathrm d}t=\int \_{x}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}}{t}}\,{\mathrm d}t.
这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

{{\rm {Ei}}}(-x)=-{{\rm {E}}}\_{1}(x).\,
我们可以把两个函数都用整函数来表示：

{{\rm {Ein}}}(x)=\int \_{0}^{x}(1-e^{{-t}})\,{\frac {{\mathrm d}t}{t}}=\sum \_{{k=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{k+1}}x^{k}}{k\;k!}}.
利用这个函数，我们可以用对数来定义：

{{\rm {E}}}\_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{{\rm {Ein}}}(z),~~~~~~|{{\rm {Arg}}}(z)|<\pi ~
以及

{{\rm {Ei}}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{{\rm {Ein}}}(-x),~~~~~~x>0.
指数积分还可以推广为：

{{\rm {E}}}\_{n}(x)=\int \_{1}^{\infty }{\frac {e^{{-xt}}}{t^{n}}}\,{\mathrm d}t,
它是不完全伽玛函数的一个特例：

{{\rm {E}}}\_{n}(x)=x^{{n-1}}\Gamma (1-n,x).\,
这个推广的形式有时成为Misra函数\varphi \_{m}(x)，定义为：

\varphi \_{m}(x)={{\rm {E}}}\_{{-m}}(x).\,
### 導數

函数~{{\rm {E}}}\_{n}~与~{{\rm {E}}}\_{1}~的导数有以下简单的关系：

{\displaystyle {{\rm {E}}\_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)}
然而，这里假设了~n~是整数；复数~n~的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

### 複數變數指數積分

{{\rm {E}}}\_{1}({{\rm {i}}}\!~x) versus ~x~,
real part(black) and imaginary part (red).
从以下的表示法中

{{\rm {E}}}\_{1}(z)=\int \_{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{{\rm {d}}}t,~~~~~~({{\rm {Re}}}(z)\geq 0)
可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

{{\rm {E}}}\_{1}({{\rm {i}}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{{\rm {Si}}}(x)-{{\rm {i}}}\cdot {{\rm {Ci}}}(x),~~~~~~~~~(x>0)
图中的黑色和红色曲线分别描述了~{{\rm {E}}}\_{1}(x)~的实数和虚数部分。

参考文献
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1. ↑  Abramovitz, Milton; Irene Stegun.. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. 1964  [2008-08-27]. ISBN 0-486-61272-4. （原始内容存档于2010-10-11）.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)

* Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 5) （页面存档备份，存于）*

* R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
* S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Ei的公式和恒等式 （页面存档备份，存于）