**提示**：此条目页的主题不是**几何级数**。 
**等比数列**，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名**几何数列**（英語：）。

例如数列：

{\displaystyle 3,6,12,24,48,96,...}
就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于{\displaystyle 2}。

性質
--

如果一个等比数列的首项記作{\displaystyle a}，公比記作{\displaystyle r}，那么该等比数列第{\displaystyle n}项{\displaystyle a\_{n}}的一般項为：

{\displaystyle a\_{n}=ar^{n-1}}
換句話說，任意一個等比数列{\displaystyle \{a\_{n}\}}都可以寫成

{\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}

  

在一個等比數列中，給定任意兩相連項{\displaystyle a\_{n+1}}和{\displaystyle a\_{n}}（其中{\displaystyle a\_{n}\neq 0}），可知公比

{\displaystyle r={\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}}
給定任意兩項{\displaystyle a\_{m}}和{\displaystyle a\_{n}}，則有公比

{\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a\_{m}}{a\_{n}}}}}
這裡注意，若{\displaystyle m-n}是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

  

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，{\displaystyle a\_{1}\times a\_{3}={a\_{2}}^{2}}。

更一般地說，有：

{\displaystyle a\_{n-1}\times a\_{n+1}={a\_{n}}^{2}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n-1}\times a\_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a\_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}
證畢。

  

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

{\displaystyle a\_{n}=\pm {\sqrt {a\_{n-1}\cdot a\_{n+1}}}}
此結果從上面直接可得。

  

如果有整數{\displaystyle m,n,p,q}，使得 {\displaystyle m+n=p+q}，那么则有：

{\displaystyle a\_{m}\cdot a\_{n}=a\_{p}\cdot a\_{q}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{m}\cdot a\_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a\_{p}\cdot a\_{q}\\\end{aligned}}}

  

由此可將上面的性質一般化成：

{\displaystyle a\_{n-k}\cdot a\_{n+k}={a\_{n}}^{2}}
{\displaystyle a\_{n}=\pm {\sqrt {a\_{n-k}\cdot a\_{n+k}}}}
其中{\displaystyle k}是一個小於{\displaystyle n}的正整數。

  

給定一個等比數列 {\displaystyle \{a\_{n}\}}，則有：

* {\displaystyle \{b\cdot a\_{n}\}} 是一個等比數列。
* {\displaystyle \{{\frac {b}{a\_{n}}}\}} 是一個等比數列。
* {\displaystyle \{\log \_{b}(a\_{n})\}} 是一個等差數列。

  

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

{\displaystyle a\_{n}=pq^{n}}
形式的數列，都是一個等比數列，其中公比{\displaystyle r=q}，首項{\displaystyle a=pq}。

等比数列和
-----

一個等比數列的首{\displaystyle n}項之和，稱為**等比数列和**（sum of geometric sequence）或**幾何級數**（geometric series），記作{\displaystyle S\_{n}}。

舉例來說，等比數列{\displaystyle \{1,2,4,8\}}的和是{\displaystyle 1+2+4+8=15}。

等比數列求和的公式如下：

{\displaystyle S\_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
其中{\displaystyle a}為首項，{\displaystyle n}為項數，{\displaystyle r}為公比，且{\displaystyle r\neq 1}。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

{\displaystyle S\_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}} ……(1)
将两边同乘以公比 *r*，有：

{\displaystyle rS\_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}} ……(2)
(1)式减去(2)式，有：

{\displaystyle (1-r)S\_{n}=a-ar^{n}}
当{\displaystyle r\neq 1}时，整理後得證。

當{\displaystyle r=1}時，可以发现：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}
综上所述，等比数列的求和公式为：

{\displaystyle S\_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}
當{\displaystyle -1<r<1}時，注意到

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}
因此，我們可得**無限項之和**（sum to infinity）的公式為

{\displaystyle S\_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}
由此可見，當{\displaystyle -1<r<1}時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积
-----

一個等比數列的首 *n* 項之積，稱為**等比数列積**（product of geometric sequence），記作 *Pn*。

舉例來說，等比數列{\displaystyle \{1,2,4,8\}}的積是{\displaystyle 1\times 2\times 4\times 8=64}。

  

等比數列求積的公式如下：

{\displaystyle P\_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}
第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為{\displaystyle n-1}。

参见
--

* 序列
* 數列
* 級數
* 幾何級數
* 幾何平均
* 等差數列
* 等諧數列
* 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献
----

* Bhardwaj, S. Abiy, T. Kulkarni, O. et al. "Geometric Progressions." From Brilliant.  （页面存档备份，存于）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.  （页面存档备份，存于）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.  （页面存档备份，存于）.


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
| --- |
|  |
| 算術序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
|  |
| 幾何序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
|  |
| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

 |
|  |
| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
|  |
| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
|  |
| 其他序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

 |

 |