数学中，**高阶范畴**是范畴论在*高阶*下的情形，一些等式可写成箭头，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于代数拓扑学（特别是同伦论），用于研究拓扑空间的代数不变量，如其基本弱准范畴。

严格高阶范畴
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一个平凡范畴拥有物件与态射两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。2-范畴在1-态射间加入了2-态射，这样往复下去，直到范畴包含(n-1)-态射与其间的n-态射，便得到了n范畴。

以记为**Cat**的范畴为例，其是包含所有小范畴和函子的范畴，实际上是个以自然变换为2-态射的2-范畴。同理，包含所有（小）n-范畴的n-**Cat**实际上是(n+1)-范畴。

n-范畴的定义通过对n的归纳来实现：

* 0-范畴是集合，
* (n+1)-范畴是n-**Cat**的增广。

所以，1-范畴只是局部小范畴（locally small category）。

**Set**的幺半范畴结构以笛卡儿积为张量，以单元素为单元。事实上任何具有有限积的范畴都可赋予幺半结构。n-**Cat**的递归构造很好用，因为如果一个范畴C具有有限积，则增广C范畴也具有有限积。

虽然这个概念对同伦论等的某些目的来说过于严格，因为在同伦论中，"弱"结构以更高范畴的形式展现，但也出现了严格立方高阶同伦广群，其在同调和同伦的边界上为代数拓扑提供了新的基础，参见下面书中提到的非阿贝尔代数拓扑这篇文章。

弱高阶范畴
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条目：弱n-范畴
在弱n-范畴中，结合性和同一性的条件不再严格（即不再由等价性得出），而是在下一层的同构之前得到满足。拓扑学中的一个例子是道路的构成，其中的同一性和结合性只在重参数化时成立，因此也只在同伦时成立，这就是这个2-范畴的2-同构。这些n-同构必须在态射集间有很好的表现，弱n-范畴在表达这一点上存在困难。弱2-范畴也称作双范畴，是第一个有明确定义的。它们的一个特殊性是，只有一个物件的双范畴其实就是幺半范畴，所以双范畴也可以说是"有许多物件的幺半范畴"。弱3-范畴也称作三范畴，再往上泛化，定义会越来越难明确。高阶范畴互相等价的条件与意义，已经成为范畴论中新的研究对象。

准范畴
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条目：准范畴
准范畴是满足弱Kan条件的单纯集合。André Joyal指出它们是高阶范畴论的良好基础。2009年，该理论得到了雅各·卢里的进一步系统化，他简单将它们统称为无穷范畴，尽管后者也是对任何k的{\displaystyle (\infty ,\ k)-}范畴的所有模型的一个通用术语。

简单增广范畴
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条目：简单增广范畴
简单增广范畴，或称简单范畴，是在简单集合上增广得到的范畴。但如果看成是{\displaystyle (\infty ,\ 1)-}范畴，那么许多范畴相关的概念（如极限 (范畴论)）便与增广范畴的相应概念不一致。对其他增广模型，如拓扑增广范畴来说也是如此。

拓扑增广范畴
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条目：拓扑范畴
拓扑增广范畴，或称拓扑范畴，是在拓扑空间的一些小范畴上增广来的范畴，如紧生成豪斯多夫空间。

西格尔范畴
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条目：西格尔范畴
这是由Hirschowitz和Simpson在1998年引入的高阶范畴模型，部分是受Graeme Segal于1974年的结果启发。

另见
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* icon数学主题

* 范畴化
* 高维代数
* 抽象废话
* 范畴化

参考文献
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* Baez, John C.; Dolan, James.. 1998. arXiv:math/9802029 可免费查阅.
* Leinster, Tom.. Cambridge University Press. 2004. ISBN 0-521-53215-9. arXiv:math.CT/0305049 可免费查阅.
* Simpson, Carlos.. 2010. arXiv:1001.4071 可免费查阅 [math.CT].  Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)

* Lurie, Jacob.. Princeton University Press. 2009. ISBN 978-0-691-14048-3. arXiv:math.CT/0608040 可免费查阅.  As PDF.
* nLab, the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
* Joyal's Catlab, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs
* Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael.. Tracts in Mathematics **15**. European Mathematical Society. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8.

外部链接
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|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**高阶范畴** |

* Baez, John.. 1996-02-24.
* The n-Category Cafe — a group blog devoted to higher category theory.
* Leinster, Tom.. 8 March 2010.

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* 论
* 编
范畴论 |
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|  基本概念 |
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| 基本概念 | 
* 範疇
* 伴隨函子
* 交换图表
* 具體範疇
* 函子
* 态射
* 自然變換
* 泛性质

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| 泛構造 | 

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| 極限 | 
* 終對象
* 積
* 等化子
	+ 核（英语：）
* 拉回
* 逆極限（英语：）

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| 餘極限 | 
* 始對象
* 餘積（英语：）
* 餘等化子（英语：）
	+ 餘核
* 推出
* 正極限（英语：）

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|  |
| 代數範疇（英语：） | 
* 集合
* 關係
* 原群
* 群
* 阿貝爾群
* 環（英语：）
	+ 域
* 模（英语：）
	+ 向量空間

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| 範疇上的構造 | 
* 自由範疇（英语：）
* 函子範疇
* 商範疇（英语：）
* 積範疇
* 子範疇

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 | A simple triangular commutative diagram |
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|  高階範疇論（英语：） |
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| 基本概念 | 
* 範疇化
* 濃縮範疇（英语：）
* 高維代數（英语：）
* 同倫假設（英语：）
* 模型范畴
* 单纯范畴

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| n-範疇 | 

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| 弱 n-範疇（英语：） | 
* 雙範疇（英语：）
	+ 偽函子（英语：）
* 三範疇（英语：）
* 四範疇（英语：）
* 闞複形（英语：）
* ∞-廣群（英语：）
* ∞-拓撲斯（英语：）

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| 強 n-範疇 | 
* 2-範疇
	+ 2-函子（英语：）
* 3-範疇（英语：）

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| 範疇化概念 | 
* 2-群（英语：）
* 2-環（英语：）
* *En*-環（英语：）
* (對稱（英语：）) 么半範疇
* *n*-群（英语：）
* *n*-么半群（英语：）

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