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| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

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| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
複數 \mathbb {C} 
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
  | 负数 \mathbb{R}^-
整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
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| **其他** |
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| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
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圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
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雙曲複數乘法表| × | 1 | *j* |
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| 1 | 1 | *j* |
| *j* | *j* | 1 |

**雙曲複數**（英語：或），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義
--

考慮數z=x+jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j^2是實數。

選取j^2=-1，得到一般複數。取+1的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)
(x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)
### 共軛、範數

對於z=x+jy，其共軛值z^{\*}=x-jy。對於任何雙曲複數z,w，

(z+w)^{\*}=z^{\*}+w^{\*}
(zw)^{\*}=z^{\*}w^{\*}
(z^{\*})^{\*}=z
可見它是自同構的。

定義內積為 \langle z,w\rangle =Re(zw^{\*})=Re(zw^{\*})=xu-yv 。若\langle z,w\rangle =0 ，說z,w（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

\lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{\*}=z^{\*}z=x^{2}-y^{2}。
這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert 。

### 除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

z^{{-1}}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{\*}}{zz^{\*}}}={\frac {z^{\*}}{\lVert z\lVert }}

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為k(1\pm j)，其中k是實數。

### 基

雙曲複數的冪等元有：

列方程(x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj。有四個解：1,0,s=(1-j)/2,s^{\*}=(1+j)/2。

s和s^\*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{\*} 。

若將z=ae+be^{\*}表示成(a,b)，雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d)=(ac,bd) 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為(a,b)^{\*}=(b,a)，範數\lVert (a,b)\rVert =ab。

幾何
--

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為**R**1,1。正如歐几里得平面**R**2的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在**R**，對於非零的a，點集 \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\} 是雙曲線。左邊和右邊的會經過a和-a。a=1稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是\{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\} ，會分別經過{\displaystyle ja}和{\displaystyle -ja}。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 \{z:\lVert z\lVert =0\} 分開。

歐拉公式的相應版本是e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)。

歷史
--

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。

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* 论
* 编
数的系統 |
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| 可數集 | 
* 自然数 ({\mathbb N})
* 整数 (\mathbb Z)
* 有理数 (\mathbb {Q} )
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 (\mathbb{Z}[i])
* 艾森斯坦整数

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| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
* 八元数 ({\mathbb O})

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| 凯莱－迪克森结构 | 
* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
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* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

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* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

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| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
* 十六元數  ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
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* 幾何代數（英语：）
	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
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	+ 無法良好構建
* 六元數

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* 擴展自然數（英语：）
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* 列維-奇維塔域（英语：）
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* 超自然數（英语：）
* 上超實數（英语：）

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* 列表级条目 列表（英语：）

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