在幾何學中，**大截角截半二十面體**（英語：）又稱為**星形截角截半二十面體**（英語：或）是一種非凸均勻多面體，由30個正方形、20個正六邊形和12個正十角星組成，其索引為U68，對偶多面體為大四角化菱形三十面體（維基數據所列：），具有二十面體群對稱性（英语：）。在施萊夫利符號中，大截角截半二十面體可以表示為t0,1,2{5⁄3,3}或t'{3  
5/2}，在考克斯特—迪肯符号（英语：）中可以表示為node_1 5 rat d3 node_1 3 node_1 ，在威佐夫記號中可以表示為5⁄3 2 3 |。在拓樸學上，這個立體與大斜方截半二十面体拓樸同構。

性質
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大截角截半二十面體由62個面、180條邊和120個頂點組成。在其62個面中有30個正方形、20個正六邊形和12個正十角星。組成大截角截半二十面體的十角星為施萊夫利符號計為{10⁄3}的十角星，與組成截角截半大十二面體的十角星相同。組成大截角截半二十面體的120個頂點皆為十角星、正方形與正六邊形的公共頂點，在頂點圖中可以用10⁄3.4.6或6.10⁄3.4來表示。

大截角截半二十面體的凸包為形變的大斜方截半二十面体。

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| 大截角截半二十面體的凸包 | 大截角截半二十面體 |

### 分類

由於大截角截半二十面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此大截角截半二十面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、截角截半大十二面體和**大截角截半二十面體**。這些立體由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰·皮奇（Johann Pitsch）於1881年發現並描述。

### 二面角

大截角截半二十面體共有三種二面角，分別為四邊形面和十角星面的交角、六邊形面和十角星面的交角和四邊形和六邊形的交角。

其中四邊形和十角星的交角約為121.717度：

{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)}{\displaystyle =\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}{\displaystyle \approx 2.12437068569194}{\displaystyle \approx 121.717474^{\circ }}
六邊形和十角星的交角約為79.188度：

{\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)}{\displaystyle =\arccos \left({\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}{\displaystyle \approx 1.382085796}{\displaystyle \approx 79.187683^{\circ }}
四邊形和六邊形的交角約為69.095度：

{\displaystyle \arccos \left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 1.20593249868\approx 69.094843^{\circ }}
### 頂點座標

若一個幾何中心位於原點的大截角截半二十面體邊長為單位長，則其頂點座標為：

{\displaystyle (\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}})}、
{\displaystyle (\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1)}、
{\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}})}、
{\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}。

參見
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* 星形均勻多面體

參考文獻
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1. 1 2  Wenninger, M.J.. Cambridge University Press. 1974  [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
2. 1 2  George W. Hart.. 1996  [2022-07-26]. （原始内容存档于2018-09-19）.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Richard Klitzing.. bendwavy.org.  [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-01-25）.
4. 1 2 3  Jürgen Meier.. 3d-meier.de （德语）.
5. 1 2 3 4 5 6 7  David I. McCooey..  [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-02-14）.
6. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. 1 2  Maeder, Roman.. MathConsult.  [2022-07-26]. （原始内容存档于2020-02-17）.
8. ↑  Zvi Har'El.. harel.org.il.  [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-08-22）.
9. 1 2  Eric W. Weisstein.. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25  [2022-07-26]. （原始内容存档于2021-12-04）.
10. ↑  V.Bulatov..  [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-07-26）.
11. ↑  Paul Bourke.. paulbourke.net. 2004-10  [2022-07-26]. （原始内容存档于2014-04-02）.
12. ↑  Jonathan Bowers.. polytope.net. 2012. （原始内容存档于2021-03-02）.
13. ↑  Jim McNeill.. orchidpalms.com.  [2022-07-26]. （原始内容存档于2015-09-24）.
14. ↑  David I. McCooey..  [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-02-14）.
15. ↑  Jean Paul Albert Badoureau.. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
16. ↑  Johann Pitsch.. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216.
17. ↑  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
18. ↑  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
19. ↑ . dmccooey.com.  [2022-07-26]. （原始内容存档于2018-01-24）.

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| * 
* 论
* 编
從星形正多面體變換的星形均勻多面體 |
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| 大十二面體node 5 rat d2 node 5 node_1 node 5 rat d3 node 5 node_1 （原像） | 小星形十二面體node_1 5 rat d2 node 5 node node_1 5 rat d3 node 5 node （對偶） |

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| 大二十面體node 5 rat d2 node 3 node_1 node 5 rat d3 node 3 node_1 （原像） | 大星形十二面體node_1 5 rat d2 node 3 node node_1 5 rat d3 node 3 node （對偶） |

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| 截角大十二面體\*node 5 rat d2 node_1 5 node_1 node 5 rat d3 node_1 5 node_1 （截角） | 截角小星形十二面體node_1 5 rat d2 node_1 5 node （截角） |  | 截角大二十面體\*node 5 rat d2 node_1 3 node_1 node 5 rat d3 node_1 3 node_1 （截角） | 截角大星形十二面體node_1 5 rat d2 node_1 3 node （截角） |
| 小星形截角十二面體\*node_1 5 rat d3 node_1 5 node （星形截角） | 大星形截角十二面体\*node_1 5 rat d3 node_1 3 node （星形截角） |
| 截半大十二面體\*node 5 rat d2 node_1 5 node node 5 rat d3 node_1 5 node （截半） | 大截半二十面体\*node 5 rat d2 node_1 3 node node 5 rat d3 node_1 3 node （截半） |
| 斜方截半大十二面體\*node_1 5 rat d2 node 5 node_1  | 全截大十二面體node_1 5 rat d2 node_1 5 node_1  | 小複雜斜方截半二十面體node_1 5 rat d2 node 3 node_1  | 全截大二十面體node_1 5 rat d2 node_1 3 node_1  |
| 複雜斜方截半大十二面體node_1 5 rat d3 node 5 node_1  | 截角截半大十二面體\*node_1 5 rat d3 node_1 5 node_1  | 非凸大斜方截半二十面體\*node_1 5 rat d3 node 3 node_1  | 大截角截半二十面體\*node_1 5 rat d3 node_1 3 node_1  |
| 扭稜小星形十二面體\*node_h 5 rat d2 node_h 5 node_h  | 扭稜大星形十二面體\*node_h 5 rat d2 node_h 3 node_h  |
| 反扭稜小星形十二面體\*node_h 5 rat d3 node_h 5 node_h  | 反扭稜大星形十二面體\*node_h 5 rat d3 node_h 3 node_h  |

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| 星號\*表示該立體屬於非退化的星形均勻多面體。黃色和紅色為來自原像的面；藍色為截邊出現的正方形面；灰色為扭稜出現的三角形面。 |

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| * 
* 论
* 编
均勻多面體 |
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| 四面體群對稱 | 
* 正四面體
* 截角四面體
* 四面半六面體

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| 八面體群對稱 | 
* 立方體
* 正八面體
* 截角立方体
* 截角八面體
* 截半立方體
* 小斜方截半立方体
* 大斜方截半立方体
* 扭棱立方体
* 八面半八面體
* 立方半八面體
* 小斜方立方體
* 小立方立方八面體
* 非凸大斜方截半立方體
* 星形截角立方体
* 大斜方立方體
* 大立方截半立方體
* 立方截角立方八面體
* 星形截角截半立方體

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|  |
| 二十面體群對稱 | 
* 正十二面體
* 正二十面體
* 小星形十二面體
* 大十二面體
* 大星形十二面體
* 大二十面體
* 截角十二面体
* 截半二十面体
* 截角二十面體
* 小斜方截半二十面体
* 大斜方截半二十面体
* 扭棱十二面体
* 大雙三斜三十二面體
* 小十二面半十二面體
* 大十二面半十二面體
* 小十二面半二十面體
* 大十二面半二十面體
* 小二十面半十二面體
* 大二十面半十二面體
* 小十二面二十面體
* 大十二面二十面體
* 斜方二十面體
* 小斜方十二面體
* 大斜方十二面體
* 小十二面截半二十面體
* 大十二面截半二十面體
* 小雙三角十二面截半二十面體
* 大雙三角十二面截半二十面體
* 小二十面化截半二十面體
* 大二十面化截半二十面體
* 雙三斜十二面體
* 小雙三斜三十二面體
* 大截半二十面体
* 截角大十二面體
* 截半大十二面體
* 小星形截角十二面體
* 大星形截角十二面体
* 截角大二十面體
* 斜方截半大十二面體
* 非凸大斜方截半二十面體
* 二十面截角十二面十二面體
* 二十面化截半大十二面體
* 截角截半大十二面體
* 大截角截半二十面體
* 大二重斜方截半二十面體
* 大二重扭稜二重斜方十二面體
* 完全扭稜二十面體
* 小反屈扭稜二十面截半二十面體
* 大反屈扭稜截半二十面體
* 扭稜小星形十二面體
* 反扭稜小星形十二面體
* 扭稜大星形十二面體
* 反扭稜大星形十二面體
* 大扭稜十二面截半二十面體
* 扭稜二十面化截半大十二面體

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| 其他 | 
* 柱狀均勻多面體
* 星形均勻多面體

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