在經典力學裏，**作用量-角度坐標**（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 () 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 () 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於  深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是  。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格 () 的解析，對於  的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 () 演化的構想，都佔有關鍵地位。

導引
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### 保守的哈密頓量系統

主條目：哈密頓特徵函數
假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 {\mathcal {H}} 不顯含時間；

{\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a\_{\mathcal {H}}} ；
其中，{\displaystyle a\_{\mathcal {H}}} 是運動常數，\mathbf{q} 是廣義坐標，\mathbf{p} 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )} 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

{\mathbf {p}}={\frac {\partial W}{\partial {\mathbf {q}}}} ，
{\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}} ；
其中，{\mathbf {Q}} 是新廣義坐標，\mathbf {P}  是新廣義動量。

新哈密頓量 {\mathcal {K}} 與舊哈密頓量 {\mathcal {H}} 相等：

{\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a\_{\mathcal {H}}} 。
新廣義動量的哈密頓方程式為

{\dot {{\mathbf {P}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\! 。
所以，新廣義動量是常數 \mathbf {a}  ：

{\mathbf {P}}={\mathbf {a}} ，
假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a\_{\mathcal {H}}} 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )} 可以分離為 n 個函數 W\_{i} ：

{\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum \_{i=1}^{n}\ W\_{i}(q\_{i};\ \mathbf {a} )} 。
哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

{\displaystyle p\_{i}={\frac {\partial W\_{i}(q\_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q\_{i}}}} ，
{\displaystyle Q\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W\_{j}(q\_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a\_{i}}}} 。
### 週期性運動

假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 {\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )} 。定義作用量為

{\displaystyle J\_{i}\equiv \oint p\_{i}dq\_{i}} ；
這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 p\_{i} 只跟 q\_i 、\mathbf {a}  有關，經過積分，作用量{\displaystyle J\_{i}} 只跟 \mathbf {a}  有關。所以，作用量向量 \mathbf {J}  只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

{\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum \_{i=1}^{n}\ W\_{i}(q\_{i};\ \mathbf {J} )} 。
雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 \mathbf {w}  為

{\displaystyle w\_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J\_{i}}}=\sum \_{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W\_{j}(q\_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J\_{i}}}} 。
由於所有的廣義坐標 q\_i 都相互獨立，所有的廣義動量 p\_{i} 也都相互獨立，所以，所有的作用量 J\_{i} 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

{\displaystyle W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum \_{i=1}^{n}\ W\_{i}(w\_{i};\ \mathbf {J} )} 。
新哈密頓量 {\displaystyle {\mathcal {K}}'} 與舊哈密頓量 {\mathcal {H}} 相等：

{\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a\_{\mathcal {H}}} 。
因為作用量 {\displaystyle J\_{i}=J\_{i}(\mathbf {a} )} 只是常數向量，所以，

{\displaystyle -{\dot {J}}\_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w\_{i}}}=0} 。
新哈密頓量 {\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )} ，只跟作用量 \mathbf {J}  有關，跟角度 \mathbf {w}  無關。

角度 w\_{i} 隨時間的導數 {\displaystyle \nu \_{i}} ，可以用哈密頓方程式決定：

{\displaystyle \nu \_{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}\_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J\_{i}}}} 。
每一個 J\_{i} 都是常數，所以，{\displaystyle \nu \_{i}(\mathbf {J} )} 也是常數：

{\displaystyle w\_{i}=\nu \_{i}t+\beta \_{i}} ；
其中，{\displaystyle \beta \_{i}} 是積分常數。

### 運動頻率

假設原本廣義坐標 q\_{{i}} 的振蕩或旋轉的運動週期為 T\_i ，則其對應的角度變數 {\displaystyle w\_{i}} 的改變是 {\displaystyle \Delta w\_{i}=\nu \_{i}T\_{i}} 。進一步了解物理量 {\displaystyle \nu \_{i}} 的性質，猜想 {\displaystyle \nu \_{i}} 與廣義坐標 q\_{{i}} 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 {\displaystyle w\_{i}} 是廣義座標 \mathbf{q} 與作用量 \mathbf {J}  的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 T\_i ：

{\displaystyle T\_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq\_{i}}{\dot {q\_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq\_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p\_{i}}}\ \ }}} 。
新哈密頓量 {\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )} 與舊哈密頓量 {\mathcal {H}} 相等。所以，

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p\_{i}}}=\sum \_{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J\_{j}}}{\frac {\partial J\_{j}}{\partial p\_{i}}}=\sum \_{j=1}^{n}\nu \_{j}{\frac {\partial J\_{j}}{\partial p\_{i}}}} 。
假若 {\displaystyle q\_{j}} 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 p\_{j} 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

{\displaystyle J\_{j}\equiv \oint p\_{j}dq\_{j}=p\_{j}\oint dq\_{j}=p\_{j}\ell } ；
其中，\ell  是 {\displaystyle q\_{j}} 運動一週期的值。

這樣，

{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p\_{i}}}=\sum \_{j=1}^{n}\nu \_{j}\delta \_{ij}\,\ell =\nu \_{i}\,\ell } 。
代入週期 T\_i 的公式，

{\displaystyle T\_{i}=\oint {\frac {dq\_{i}}{\nu \_{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu \_{i}}}} 。
肯定地，{\displaystyle \nu \_{i}} 是廣義坐標 q\_i 的頻率。

假若 {\displaystyle q\_{j}} 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 p\_{j} 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 {\displaystyle w\_{i}} 跟廣義坐標 \mathbf{q} 、作用量 \mathbf {J}  有關： 

{\displaystyle w\_{i}=w\_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )} 。
保持作用量不變，角度的虛位移 {\displaystyle \delta w\_{i}} 是：

{\displaystyle \delta w\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}{\frac {\partial w\_{i}}{\partial q\_{j}}}dq\_{j}} 。
在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 q\_i 都有它運動的週期 T\_i 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為**多重週期性物理系統**。假若，兩個廣義坐標的週期不同 T\_{1} 、T\_{2} 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 T ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

{\displaystyle T=m\_{1}T\_{1}+m\_{2}T\_{2}} ；
其中，{\displaystyle {\frac {T}{T\_{1}}}} 、{\displaystyle {\frac {T}{T\_{2}}}} 、m\_{1} 、m\_{2} ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是**完全可通約的**，稱此系統為**完全可通約系統**。那麼，新週期 T 為

{\displaystyle T=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}T\_{i}} ；
其中，{\displaystyle {\frac {T}{T\_{i}}}} 、m\_{i} ，都是正值的整數。

經過一個週期 T ，角度 {\displaystyle w\_{i}} 的變化是：

{\displaystyle \Delta w\_{i}=\nu \_{i}m\_{i}T\_{i}=\oint \sum \_{j=1}^{n}{\frac {\partial w\_{i}}{\partial q\_{j}}}dq\_{j}=\oint \sum \_{j=1}^{n}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W\_{k}(q\_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q\_{j}\ \partial J\_{i}}}dq\_{j}} 。
由於作用量 {\displaystyle J\_{i}} 是個常數，可以將它從積分內提出： 

{\displaystyle \Delta w\_{i}={\frac {d}{dJ\_{i}}}\oint \sum \_{j=1}^{n}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\partial W\_{k}(q\_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q\_{j}}}dq\_{j}={\frac {d}{dJ\_{i}}}\oint \sum \_{j=1}^{n}p\_{j}dq\_{j}={\frac {d}{dJ\_{i}}}\sum \_{j=1}^{n}m\_{j}J\_{j}=m\_{i}} 。
所以，頻率是 

{\displaystyle \nu \_{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}} 。
假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 q\_i 、{\displaystyle q\_{j}} ，其週期 T\_i 、T\_j 的比例是無理數。那麼，q\_i 不可能與 {\displaystyle q\_{j}} 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，{\displaystyle \nu \_{i}} 、{\displaystyle \nu \_{i}} 仍舊分別是 q\_i 、{\displaystyle q\_{j}} 的頻率。

### 傅立葉級數

角度 \mathbf {w}  是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 q\_{{k}} 可以用角度的傅立葉級數表示：

{\displaystyle q\_{k}=\sum \_{s\_{1}=-\infty }^{\infty }\sum \_{s\_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum \_{s\_{N}=-\infty }^{\infty }A\_{s\_{1},s\_{2},\ldots ,s\_{N}}^{k}e^{i2\pi s\_{1}w\_{1}}e^{i2\pi s\_{2}w\_{2}}\ldots e^{i2\pi s\_{N}w\_{N}}} ；
其中， {\displaystyle A\_{s\_{1},s\_{2},\ldots ,s\_{N}}^{k}} 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a\_{\mathcal {H}}} 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 q\_{{k}} 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

{\displaystyle q\_{k}=\sum \_{s\_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s\_{i}w\_{i}}} 。

基本規則總結
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一般程序有三個步驟：

1. 計算作用量變數 {\displaystyle J\_{i}} 。
2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 {\displaystyle \nu \_{i}} 。

簡併度
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在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，{\displaystyle \nu \_{i}=\nu \_{j}} for i\neq j 。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。

參考文獻
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* Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) *Mechanics*, 3rd. ed. Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

* H. Goldstein, (1980) *Classical Mechanics*, 2nd. Ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.