**切比雪夫多项式**（Chebyshev polynomials）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号*T**n*表示， 第二类切比雪夫多项式用*U**n*表示。切比雪夫多项式 *T**n* 或 *U**n* 代表 *n* 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程

{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0}
和

{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0}
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

定义
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**第一类切比雪夫多项式**由以下递推关系确定

{\displaystyle T\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle T\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle T\_{n+1}(x)=2xT\_{n}(x)-T\_{n-1}(x).\,}
也可以用母函数表示

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }T\_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}
**第二类切比雪夫多项式**由以下递推关系给出

{\displaystyle U\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle U\_{1}(x)=2x\,}
{\displaystyle U\_{n+1}(x)=2xU\_{n}(x)-U\_{n-1}(x).\,}
此时母函数为

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }U\_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.}

从三角函数定义
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切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

{\displaystyle T\_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}
其中 *n* = 0, 1, 2, 3, ..... {\displaystyle \cos n\theta \,} 是关于 {\displaystyle \cos \theta \,} 的 *n*次多项式，这个事实可以这么看： {\displaystyle \cos n\theta \,}是:{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,}的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含{\displaystyle \sin \theta \,}的项中，{\displaystyle \sin \theta \,}都是偶数次的，从而可以表示成 {\displaystyle 1-\cos ^{2}\theta \,}的幂 。

用显式来表示

{\displaystyle T\_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}}
尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(*z*), cosh(*z*)以及他们的反函数，则有

{\displaystyle {\begin{matrix}T\_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
类似，第二类切比雪夫多项式满足

{\displaystyle U\_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.}

以佩尔方程定义
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切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

{\displaystyle T\_{i}^{2}-(x^{2}-1)U\_{i-1}^{2}=1\,\!}
在多项式环R[*x*] 上的解(e.g. 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

{\displaystyle T\_{i}+U\_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}

递归公式
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两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

{\displaystyle T\_{0}(x)=1}
{\displaystyle U\_{-1}(x)=1}
{\displaystyle T\_{n+1}(x)=xT\_{n}(x)-(1-x^{2})U\_{n-1}(x)}
{\displaystyle U\_{n}(x)=xU\_{n-1}(x)+T\_{n}(x)}
证明的方式是在下列三角关系式中用{\displaystyle \cos \vartheta } 代替{\displaystyle x}

{\displaystyle T\_{n+1}(x)=T\_{n+1}(\cos \vartheta )={}}{\displaystyle \cos((n+1)\vartheta )={}}{\displaystyle \cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}}{\displaystyle T\_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U\_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}}{\displaystyle xT\_{n}(x)-(1-x^{2})U\_{n-1}(x)}

正交性
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*T**n* 和*U**n* 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系. 

第一类切比雪夫多项式带权

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}
即:

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}T\_{n}(x)T\_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.}
可先令*x=* cos(θ) 利用
*Tn* (cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
即:

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}U\_{n}(x)U\_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}}
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质
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对每个非负整数{\displaystyle n}， {\displaystyle T\_{n}(x)} 和 {\displaystyle U\_{n}(x)} 都为 {\displaystyle n}次多项式。 
并且当{\displaystyle n}为偶（奇）数时，它们是关于{\displaystyle x} 的偶（奇）函数， 在写成关于{\displaystyle x}的多项式时只有偶（奇）次项。

{\displaystyle n\geq 1}时，{\displaystyle T\_{n}} 的最高次项系数为 {\displaystyle 2^{n-1}} ，{\displaystyle n=0}时系数为{\displaystyle 1} 。

最小零偏差
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对{\displaystyle n\geq 1}，在所有最高次项系数为1的{\displaystyle n}次多项式中 ， {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T\_{n}(x)} 对零的偏差最小，即它是使得{\displaystyle f(x)}在{\displaystyle [-1,1]} 上绝对值的最大值最小的多项式。 
其绝对值的最大值为{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}} ， 分别在{\displaystyle -1} 、 {\displaystyle 1} 及 {\displaystyle f} 的其他 {\displaystyle n-1} 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系
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两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T\_{n}(x)=nU\_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
{\displaystyle T\_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U\_{n}(x)-\,U\_{n-2}(x)).}
{\displaystyle T\_{n+1}(x)=xT\_{n}(x)-(1-x^{2})U\_{n-1}(x)\,}
{\displaystyle T\_{n}(x)=U\_{n}(x)-x\,U\_{n-1}(x).}
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

  

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

{\displaystyle 2T\_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T\_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T\_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots }

例子
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前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.
前几个第一类切比雪夫多项式是

{\displaystyle T\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle T\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle T\_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
{\displaystyle T\_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
{\displaystyle T\_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
{\displaystyle T\_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
{\displaystyle T\_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
{\displaystyle T\_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
{\displaystyle T\_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
{\displaystyle T\_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,}
前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.
前几个第二类切比雪夫多项式是

{\displaystyle U\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle U\_{1}(x)=2x\,}
{\displaystyle U\_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
{\displaystyle U\_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
{\displaystyle U\_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
{\displaystyle U\_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
{\displaystyle U\_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,}
第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

{\displaystyle T\_{n}'(1)=n^{2}\,}
{\displaystyle T\_{n}'(-1)=-(-1)^{n}\*n^{2}\,}
{\displaystyle T\_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,}
{\displaystyle T\_{n}''(-1)=(-1)^{n}\*(n^{4}-n^{2})/3\,}

按切比雪夫多项式的展开式
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一个*N* 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

{\displaystyle p(x)=\sum \_{n=0}^{N}a\_{n}T\_{n}(x)}
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根
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两类的*n*次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有*n* 个不同的根, 称为**切比雪夫根**, 有时亦称做 切比雪夫节点（英语：） ，因为是多项式插值时的 *插值点*. 从三角形式中可看出*T**n* 的*n*个根分别是：

{\displaystyle x\_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.}
类似地， *U**n* 的*n*个根分别是：

  

{\displaystyle x\_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.}

参看
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* 切比雪夫节点（英语：）
* 切比雪夫滤波器