在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，**愛因斯坦求和約定**（）是一種標記的約定，又稱為**愛因斯坦標記法**（），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，

y=c\_{i}x^{i}\,\!
的意思是

y=\sum \_{{i=1}}^{3}c\_{i}x^{i}=c\_{1}x^{1}+c\_{2}x^{2}+c\_{3}x^{3}\,\!。
請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，x^{1}\,\!、x^{2}\,\!、x^{3}\,\!分別表示x\,\!坐標、y\,\!坐標、z\,\!坐標，而不是x\,\!、x\,\!的平方、x\,\!的立方。

簡介
--

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

y=c\_{1}x^{1}+c\_{2}x^{2}+c\_{3}x^{3}+\cdots +c\_{n}x^{n}\,\!。
通常會將這寫為求和公式形式：

y=\sum \_{{i=1}}^{n}c\_{i}x^{i}\,\!。
在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

y=c\_{i}x^{i}\,\,\!
採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

向量的表示
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在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，a^{i}\,\!。給予一個n\,\!維向量空間{\mathbb {V}}\,\!和其任意基底{\mathbf {e}}=({\mathbf {e}}\_{1},{\mathbf {e}}\_{2},\dots ,{\mathbf {e}}\_{n})\,\!（可能不是標準正交基），那麼，向量{\mathbf {a}}\,\!表示為

{\mathbf {a}}=a^{i}{\mathbf {e}}\_{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!。
餘向量的分量是用下標來標明，例如，\alpha \_{i}\,\!。給予{\mathbb {V}}\,\!的對偶空間{\mathbb {V}}^{\*}\,\!和其任意基底{\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!（可能不是標準正交基），那麼，餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!表示為

{\boldsymbol {\alpha }}=\alpha \_{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha \_{1}&\alpha \_{2}&\cdots &\alpha \_{n}\end{bmatrix}}\,\!。
採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從{\mathbf {e}}\,\!改變為\overline {{\mathbf {e}}}\,\!，反變向量會變換為

{\overline {a}}^{{i}}={\frac {\partial {\overline {x}}^{{i}}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!；
其中，{\overline {a}}^{{i}}\,\!是改變基底後的向量的分量，{\overline {x}}^{{i}}\,\!是改變基底後的坐標，x^{j}\,\!是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從\boldsymbol{\omega}\,\!改變為\overline {{\boldsymbol {\omega }}}\,\!，共變向量會會變換為

\overline {\alpha }\_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{{j}}}}\alpha \_{j}\,\!。

一般運算
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矩陣A\,\!的第m\,\!橫排，第 n\,\!豎排的元素，以前標記為A\_{{mn}}\,\!；現在改標記為A\_{n}^{m}\,\!。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

### 內積

給予向量{\mathbf {a}}\,\!和餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!，其向量和餘向量的內積為純量：

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a\_{i}\alpha ^{i}\,\!}。
### 向量乘以矩陣

給予矩陣A\,\!和向量{\mathbf {a}}\,\!，它們的乘積是向量{\mathbf {b}}\,\!：

b^{i}=A\_{j}^{i}a^{j}\,\!。
類似地，矩陣A\,\!的轉置矩陣B=A^{{\mathrm {T}}}\,\!，其與餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!的乘積是餘向量{\boldsymbol {\beta }}\,\!：

\beta \_{j}=B\_{j}^{i}\alpha \_{i}=\alpha \_{i}B\_{j}^{i}\,\!。
### 矩陣乘法

矩陣乘法表示為

C\_{k}^{i}=A\_{j}^{i}\,B\_{k}^{j}\,\!。
這公式等價於較冗長的普通標記法：

C\_{{ik}}=(A\,B)\_{{ik}}=\sum \_{{j=1}}^{N}A\_{{ij}}B\_{{jk}}\,\!。
### 跡

給予一個方塊矩陣A\_{j}^{i}\,\!，總和所有上標與下標相同的元素A\_{i}^{i}\,\!，可以得到這矩陣的跡t\,\!：

t=A\_{i}^{i}\,\!。
### 外積

M維向量{\mathbf {a}}\,\!和N維餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!的外積是一個M×N矩陣A\,\!：

A={\mathbf {a}}\,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!。
採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

A\_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha \_{j}\,\!
由於i\,\!和j\,\!代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣A\,\!的標號。

向量的內積
-----

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量{\hat {{\mathbf {i}}}}\,\!、{\hat {{\mathbf {j}}}}\,\!及{\hat {{\mathbf {k}}}}\,\!來描述三維空間的向量。

{\mathbf {u}}=u\_{x}{\hat {{\mathbf {i}}}}+u\_{y}{\hat {{\mathbf {j}}}}+u\_{z}{\hat {{\mathbf {k}}}}\,\!。
把直角坐標系的基底向量{\hat {{\mathbf {i}}}}\,\!、{\hat {{\mathbf {j}}}}\,\!及{\hat {{\mathbf {k}}}}\,\!寫成{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}\,\!、{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{2}\,\!及{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{3}\,\!，所以一個向量可以寫成：

{\mathbf {u}}=u\_{1}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}+u\_{2}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{2}+u\_{3}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{3}=\sum \_{{i=1}}^{3}u\_{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\,\!。
根據**愛因斯坦求和约定**，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

{\mathbf {u}}=u^{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}=\sum \_{{i=1}}^{3}u^{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\,\!。
由於基底是標準正交基，{\mathbf {u}}\,\!的每一個分量u^{i}=u\_{i}\,\!，所以，

{\mathbf {u}}=\sum \_{{i=1}}^{3}u\_{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\,\!。
兩個向量{\mathbf {u}}\,\!與\mathbf{v}\,\!的内积是

{\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}=(u^{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i})\cdot (v^{j}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j})=\left(\sum \_{{i=1}}^{3}u\_{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\right)\cdot \left(\sum \_{{j=1}}^{3}v\_{j}{\mathbf {e}}\_{j}\right)=\sum \_{{i=1}}^{3}\sum \_{{j=1}}^{3}u\_{i}v\_{j}({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\cdot {\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j})\,\!。
由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\cdot {\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j}=\delta \_{{ij}}\,\!；
其中，\ \delta \_{{ij}}\,\!就是克羅內克函數。當i=j\,\!時，則\delta \_{{ij}}=1\,\!，否則\delta \_{{ij}}=0\,\!。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數\ \delta \_{{ij}}\,\!，就可以把方程式中的標號i\,\!轉為j\,\!或者把標號j\,\!轉為i\,\!。所以，

{\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}=\sum \_{{i=1}}^{3}\sum \_{{j=1}}^{3}u\_{i}v\_{j}\delta \_{{ij}}=\sum \_{{i=1}}^{3}u\_{i}v\_{i}\,\!。

向量的叉積
-----

採用同樣的標準正交基{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}\,\!、{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{2}\,\!及{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{3}\,\!，兩個向量{\mathbf {u}}\,\!與\mathbf{v}\,\!的叉積，以方程式表示為

{\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}}=(u^{j}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j})\times (v^{k}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{k})=\left(\sum \_{{j=1}}^{3}u\_{j}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j}\right)\times \left(\sum \_{{k=1}}^{3}v\_{k}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{k}\right)\,\!
=\sum \_{{j=1}}^{3}\sum \_{{k=1}}^{3}u\_{j}v\_{k}({\mathbf {e}}\_{j}\times {\mathbf {e}}\_{k})=\sum \_{{j=1}}^{3}\sum \_{{k=1}}^{3}u\_{j}v\_{k}\epsilon \_{{ijk}}{\mathbf {e}}\_{i}\,\!。
注意到

{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{j}\times {\hat {{\mathbf {e}}}}\_{k}=\epsilon \_{{ijk}}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\,\!；
其中，張量\ \epsilon \_{{ijk}}\,\!是列维-奇维塔符号，定義為

|  |  |
| --- | --- |
| \epsilon \_{{ijk}}=\epsilon ^{{ijk}}\ {\stackrel {def}{=}}{\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,\! | ，若(i,j,k)=\,\! \{1,2,3\}\,\!、\{2,3,1\}\,\!或\{3,1,2\}\,\! （偶置換） |
| ，若(i,j,k)=\,\! \{3,2,1\}\,\!、\{2,1,3\}\,\!或\{1,3,2\}\,\!（奇置換） |
| ，若 i=j\,\!、j=k\,\!或i=k\,\! |

所以，

{\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}}=(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {{\mathbf {e}}}}\_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {{\mathbf {e}}}}\_{3}\,\!。
設定{\mathbf {w}}={\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}}\,\!，那麼，

w^{i}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}=\epsilon ^{{ijk}}u\_{j}v\_{k}{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{i}\,\!。
所以，

\ w^{i}=\epsilon ^{{ijk}}u\_{j}v\_{k}\,\!。

向量的共變分量和反變分量
------------

在歐幾里得空間{\mathbb {V}}\,\!裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量{\mathbf {b}}\,\!，通過下述方程式，向量{\mathbf {a}}\,\!唯一地確定了餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!：

{\boldsymbol {\alpha }}({\mathbf {b}})={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}\,\!。
逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量{\boldsymbol {\alpha }}\,\!唯一地確定了向量{\mathbf {a}}\,\!。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予{\mathbb {V}}\,\!的一個基底{\mathfrak {f}}=(X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})\,\!，則必存在一個唯一的對偶基底{\mathfrak {f}}^{{\sharp }}=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!，滿足

Y^{i}\cdot X\_{j}=\delta \_{j}^{i}\,\!；
其中，張量\delta \_{j}^{i}\,\!是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量{\mathbf {a}}\,\!可以寫為兩種形式

{\begin{aligned}{\mathbf {a}}&=\sum \_{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X\_{i}={\mathfrak {f}}\,{\mathbf {a}}[{\mathfrak {f}}]\\&=\sum \_{i}a\_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,{\mathbf {a}}[{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\! ；
其中，a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!是向量{\mathbf {a}}\,\!對於基底{\mathfrak {f}}\,\!的反變分量，a\_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!是向量\mathbf{v}\,\!對於基底{\mathfrak {f}}\,\!的共變分量，

### 歐幾里得空間

將向量{\mathbf {a}}\,\! 投影於坐標軸{\mathbf {e}}^{i}\,\!，可以求得其反變分量a^{i}\,\!；將向量{\mathbf {a}}\,\!投影於坐標曲面的法線{\mathbf {e}}\_{i}\,\!，可以求得其共變分量a\_{i}\,\!。
在歐幾里得空間{\mathbb {R}}^{3}\,\!裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為{\mathbf {e}}\_{1}\,\!、{\mathbf {e}}\_{2}\,\!、{\mathbf {e}}\_{3}\,\!，就可以計算其對偶基底的基底向量：

{\mathbf {e}}^{1}={\frac {{\mathbf {e}}\_{2}\times {\mathbf {e}}\_{3}}{\tau }};\qquad {\mathbf {e}}^{2}={\frac {{\mathbf {e}}\_{3}\times {\mathbf {e}}\_{1}}{\tau }};\qquad {\mathbf {e}}^{3}={\frac {{\mathbf {e}}\_{1}\times {\mathbf {e}}\_{2}}{\tau }}\,\!；
其中，\tau ={\mathbf {e}}\_{1}\cdot ({\mathbf {e}}\_{2}\times {\mathbf {e}}\_{3})\,\!是基底向量{\mathbf {e}}\_{1}\,\!、{\mathbf {e}}\_{2}\,\!、{\mathbf {e}}\_{3}\,\!共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

{\mathbf {e}}\_{1}={\frac {{\mathbf {e}}^{2}\times {\mathbf {e}}^{3}}{\tau '}};\qquad {\mathbf {e}}\_{2}={\frac {{\mathbf {e}}^{3}\times {\mathbf {e}}^{1}}{\tau '}};\qquad {\mathbf {e}}\_{3}={\frac {{\mathbf {e}}^{1}\times {\mathbf {e}}^{2}}{\tau '}}\,\!；
其中，\tau '={\mathbf {e}}^{1}\cdot ({\mathbf {e}}^{2}\times {\mathbf {e}}^{3})=1/\tau \,\!是基底向量{\mathbf {e}}^{1}\,\!、{\mathbf {e}}^{2}\,\!、{\mathbf {e}}^{3}\,\!共同形成的平行六面體的體積。

雖然{\mathbf {e}}\_{i}\,\!與{\mathbf {e}}^{j}\,\!並不相互標準正交，它們相互對偶：

{\mathbf {e}}\_{i}\cdot {\mathbf {e}}^{j}=\delta \_{i}^{j}\,\!。
雖然{\mathbf {e}}^{i}\,\!與{\mathbf {e}}\_{j}\,\!並不相互標準正交，它們相互對偶：

{\mathbf {e}}^{i}\cdot {\mathbf {e}}\_{j}=\delta \_{j}^{i}\,\!。
這樣，任意向量{\mathbf {a}}\,\!的反變分量為

a^{1}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{1};\qquad a^{2}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{2};\qquad a^{3}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{3}\,\!。
類似地，共變分量為

a\_{1}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{1};\qquad a\_{2}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{2};\qquad a\_{3}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{3}\,\!。
這樣，{\mathbf {a}}\,\!可以表示為

{\mathbf {a}}=a\_{i}{\mathbf {e}}^{i}=a\_{1}{\mathbf {e}}^{1}+a\_{2}{\mathbf {e}}^{2}+a\_{3}{\mathbf {e}}^{3}\,\!，
或者，

{\mathbf {a}}=a^{i}{\mathbf {e}}\_{i}=a^{1}{\mathbf {e}}\_{1}+a^{2}{\mathbf {e}}\_{2}+a^{3}{\mathbf {e}}\_{3}\,\!。
綜合上述關係式，

{\mathbf {a}}=({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}){\mathbf {e}}^{i}=({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{i}){\mathbf {e}}\_{i}\,\!。
向量{\mathbf {a}}\,\!的共變分量為

a\_{i}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}=(a^{j}{\mathbf {e}}\_{j})\cdot {\mathbf {e}}\_{i}=({\mathbf {e}}\_{j}\cdot {\mathbf {e}}\_{i})a^{j}=g\_{{ji}}a^{j}\,\!；
其中，g\_{{ji}}={\mathbf {e}}\_{j}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}\,\!是度規張量。

向量{\mathbf {a}}\,\!的反變分量為

a^{i}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{i}=(a\_{j}{\mathbf {e}}^{j})\cdot {\mathbf {e}}^{i}=({\mathbf {e}}^{j}\cdot {\mathbf {e}}^{i})a\_{j}=g^{{ji}}a\_{j}\,\! ;
其中，g^{{ji}}={\mathbf {e}}^{j}\cdot {\mathbf {e}}^{i}\,\!是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義
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思考維度為n\,\!的向量空間{\mathbb {V}}\,\!。給予一個可能不是標準正交基的基底({\mathbf {e}}\_{1},{\mathbf {e}}\_{2},\dots ,{\mathbf {e}}\_{n})\,\!。那麼，在{\mathbb {V}}\,\!內的向量\mathbf{v}\,\!，對於這基底，其分量為v^{1}\,\!、v^{2}\,\!、...v^{n}\,\!。以方程式表示，

{\mathbf {v}}=v^{i}{\mathbf {e}}\_{i}.\,\!。
在這方程式右手邊，標號i\,\!在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從i\,\!等於1\,\!到n\,\!，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從{\mathbb {V}}\,\!用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，{\mathbb {V}}\otimes {\mathbb {V}}\,\!，{\mathbb {V}}\,\!與自己的張量積，擁有由形式為{\mathbf {e}}\_{{ij}}={\mathbf {e}}\_{i}\otimes {\mathbf {e}}\_{j}\,\!的張量組成的基底。任意在{\mathbb {V}}\otimes {\mathbb {V}}\,\!內的張量{\mathbf {T}}\,\!可以寫為

{\mathbf {T}}=T^{{ij}}{\mathbf {e}}\_{{ij}}\,\!。
向量空間{\mathbb {V}}\,\!的對偶空間{\mathbb {V}}^{\*}\,\!擁有基底({\mathbf {e}}^{1},{\mathbf {e}}^{2},\dots ,{\mathbf {e}}^{n})\,\!，遵守規則

{\mathbf {e}}^{i}\cdot {\mathbf {e}}\_{j}=\delta \_{j}^{i}\,\!；
其中，\delta \_{j}^{i}\,\!是克羅內克函數。

範例
--

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

* 思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（）運算後，變為一個純量：

c=a^{\mu }b\_{\mu }=a^{0}b\_{0}+a^{1}b\_{1}+a^{2}b\_{2}+a^{3}b\_{3}\,\!。
* 方程式的右手邊有兩個項目：

c^{\nu }=a^{{\mu \nu }}b\_{\mu }+f^{\nu }=a^{{0\nu }}b\_{0}+a^{{1\nu }}b\_{1}+a^{{2\nu }}b\_{2}+a^{{3\nu }}b\_{3}+f^{\nu }\,\!。
由於運算結果與標號\mu \,\!和\nu \,\!無關，可以被其它標號隨意更換，所以，\mu \,\!和\nu \,\!稱為**傀標號**。
**自由標號**是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，\nu \,\!是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目a^{{\mu \nu }}b\_{\mu }\,\!裏，標號\mu \,\!出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱\mu \,\!為**求和標號**。
* 思考在黎曼空間的弧線元素長度ds\,\!：

ds^{2}=g\_{{ij}}dx^{i}dx^{j}=g\_{{0j}}dx^{0}dx^{j}+g\_{{1j}}dx^{1}dx^{j}+g\_{{2j}}dx^{2}dx^{j}+g\_{{3j}}dx^{3}dx^{j}\,\!。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。
進一步擴展，
ds^{2}=g\_{{00}}dx^{0}dx^{0}+g\_{{10}}dx^{1}dx^{0}+g\_{{20}}dx^{2}dx^{0}+g\_{{30}}dx^{3}dx^{0}\,\!
\qquad +g\_{{01}}dx^{0}dx^{1}+g\_{{11}}dx^{1}dx^{1}+g\_{{21}}dx^{2}dx^{1}+g\_{{31}}dx^{3}dx^{1}\,\!
\qquad +g\_{{02}}dx^{0}dx^{2}+g\_{{12}}dx^{1}dx^{2}+g\_{{22}}dx^{2}dx^{2}+g\_{{32}}dx^{3}dx^{2}\,\!
\qquad +g\_{{03}}dx^{0}dx^{3}+g\_{{13}}dx^{1}dx^{3}+g\_{{23}}dx^{2}dx^{3}+g\_{{33}}dx^{3}dx^{3}\,\!。
注意到ds^{2}\,\!是ds\,\!乘以ds\,\!，是(ds)^{2}\,\!，而不是(s^{2})\,\!坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

參閱
--

* 狄拉克標記
* 抽象指标记号
* 潘洛斯圖形標記法（）

參考文獻
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1. ↑  Einstein, Albert, Annalen der Physik, 1916  [2006-09-03], （原始内容 (PDF)存档于2007-07-22）
2. ↑  Byron, Frederick; Fuller, Robert, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Kuptsov, L.P. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

外部連結
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* Rawlings, Steve,  (PDF), Oxford University, 2007-02-01  [2010-05-10], （原始内容 (PDF)存档于2017-01-06）

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| * 
* 论
* 编
阿尔伯特·爱因斯坦 |
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| 貢獻 | 
* 狭义相对论
* 廣義相對論
* 質能轉換公式（E=mc2）
* 布朗运动
* 光电效应
* 爱因斯坦系数
* 爱因斯坦模型
* 等效原理
* + 爱因斯坦张量
* 愛因斯坦半徑（英语：）
* 爱因斯坦关系
* 宇宙學常數
* 玻色–爱因斯坦凝聚
* 玻色–爱因斯坦统计
* 玻色–爱因斯坦相关（英语：）
* 愛因斯坦-嘉當理論
* 愛因斯坦-英費爾德-霍夫曼方程（英语：）
* 爱因斯坦-德哈斯效应
* 愛波羅
* -愛因斯坦之爭
* 遠距平行性（英语：）
* 愛因斯坦的思想實驗（英语：）
* 愛因斯坦的失敗研究（英语：）
* 波粒二象性
* 
* 茶叶悖论
* 爱因斯坦求和约定
* 愛因斯坦同步法
* 爱因斯坦-希尔伯特作用量

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| 著作 | 
* 《奇蹟年論文》（1905）
* 《論動體的電動力學》（1905）
* 《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮粒子的運動（英语：）》（1905）
* 《相對論入門:狹義和廣義相對論（英语：）》（1916）
* 《相对论的意义》（1922）
* 《我的世界觀（英语：）》（1934）
* 《》（1938）
* 《为什么要社会主义？》（1949）
* 《罗素—爱因斯坦宣言》（1955）

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| 獎項 | 
* 阿尔伯特·爱因斯坦奖
* 阿爾伯特·愛因斯坦獎章
* 卡林加獎（英语：）
* 阿尔伯特·爱因斯坦和平奖
* 阿尔伯特·爱因斯坦世界科学奖
* 爱因斯坦奖（英语：）
* 爱因斯坦奖 (美国物理学会)

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| 家族 | 
* 波琳·科赫（母亲）
* 赫尔曼·爱因斯坦（父亲）
* 瑪雅·愛因斯坦（英语：）（妹妹）
* 米列娃·馬利奇（第一任妻子）
* 爱尔莎·爱因斯坦（第二任妻子及表姊）
* 麗瑟爾·愛因斯坦（英语：）（女兒）
* 汉斯·爱因斯坦（兒子）
* 愛德華·愛因斯坦（英语：）（兒子）
* 伯恩哈德·凯撒·爱因斯坦（孫子）
* 艾弗琳·爱因斯坦（養孫女）
* ·愛因斯坦（英语：）（表弟）
* 西格貝特·愛因斯坦（英语：）（遠房親戚）

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| 相關 | 
* 獎章與榮譽
* 爱因斯坦的大脑
* 美國故居（英语：）
* 雕像（英语：）
* 政治觀
* 宗教观
* 以阿爾伯特·愛因斯坦命名的事物（英语：）
* 阿爾伯特·愛因斯坦檔案館（英语：）
* 阿尔伯特·爱因斯坦广场
* 爱因斯坦论文项目
* 愛因斯坦冰箱（英语：）
* 瑞士故居（英语：）
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* 馬克斯·塔爾梅（英语：）
* 愛因斯坦黑板（英语：）
* 爱因斯坦十字
* 爱因斯坦水槽
* 爱因斯坦望远镜
* 阿尔伯特·爱因斯坦研究所
* 愛因斯坦-西拉德信件
* 愛因斯坦與中國
* 大眾文化（英语：）
	+ 《世紀天才》（第一季，2017）

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* 分类 **分類**

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