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   <title>高斯光束</title>
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高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖
场强（蓝色）和辐照度（黑色）在坐标轴上的分布情况
在光学中，**高斯光束**（英語：）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM<sub>00</sub>波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式
----

高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

<math>E(r,z) = E\_0 \frac{w\_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ , </math>
纳米激光器产生的激光
这里

<math>r</math> 为径向坐标，以光轴中心为参考点
<math>z</math> 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点
<math>i</math> 为虚数单位（即 <math>i^2 = -1</math>）
<math> k = { 2 \pi \over \lambda } </math> 为波数（以"弧度/米"为单位）
<math>E\_0 = |E(0,0)|</math>
<math>w(z)</math> 为当电磁场振幅降到轴向的1/*e*、强度降到轴向的1/*e*<sup>2</sup>的点的半径
<math>w\_0 = w(0)</math> 为激光的束腰宽度
<math>R(z)</math> 为光波波前的曲率半径
<math>\zeta(z)</math> 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响
此外，上式中默认忽略了含时项 <math display="inline">e^{i \omega t} </math> 。

对应的辐照度时域平均值为

<math>I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I\_0 \left( \frac{w\_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ , </math>
这里 <math>I\_0 = I(0,0)</math> 为光波束腰中心处的辐照度。常数 <math>\eta \,</math> 为光波所在传播介质中的波阻抗（英语：）。在真空中，<math> \eta = \eta\_0 = \sqrt{\frac{\mu\_0}{\varepsilon\_0}} = 1/(\varepsilon\_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega} </math>。

波束参数
----

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

### 束腰

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑（英语：）位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 <math>w\_0</math>，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 <math>\lambda</math> 的光波的腰斑位置在 <math>z</math> 轴上的分布为

<math>w(z) = w\_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z\_\mathrm{R}} \right)}^2 } \. </math>
这里将 <math>z = 0</math> 定义为束腰的位置。

<math>z\_\mathrm{R} = \frac{\pi w\_0^2}{\lambda}</math>
被称为瑞利距离。

### 瑞利距离和共焦参数

与束腰轴向距离等于瑞利距离 <math>z\_R</math> 处的束宽为

<math> w(\pm z\_\mathrm{R}) = w\_0 \sqrt{2}. \, </math>
这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

<math>b = 2 z\_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w\_0^2}{\lambda}\ .</math>
### 曲率半径

<math>R(z)</math> 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

<math>R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z\_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \. </math>
### 光束偏移

当 <math>z \gg z\_\mathrm{R}</math>，参数 <math>w(z)</math> 与 <math>z </math> 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的"偏移"，它等于

<math>\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w\_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in \ radians}). </math>
在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

<math>\Theta = 2 \theta\ .</math>
由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用<ref>Siegman (1986) p. 630.</ref>。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 <math>2 \lambda / \pi</math> 的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积（英语：）（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 <math>w\_0</math> 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为"M<sup>2</sup>"。高斯光束的 M<sup>2 </sup>值为1，而所有的是激光束的 M<sup>2 </sup>值均大于1，并且质量越好的激光的 M<sup>2 </sup>值越接近1。

### Gouy 相位

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

<math>\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z\_\mathrm{R}} \right) \ .</math>
当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 <math>e^{-i k z} </math> 外，多出一个额外的 Gouy 相移 <math>\pi</math>。

### 复数形式的光束参数

可以通过复数形式的光束参数 <math>q(z) </math> 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

<math> q(z) = z + q\_0 = z + iz\_\mathrm{R} \ .</math>
倒数 <math>1/q(z) </math> 显式提供了 <math>q(z) </math>，<math>w(z) </math> 与 <math>R(z) </math> 间的关系：

<math> { 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz\_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z\_\mathrm{R}^2 } - i { z\_\mathrm{R} \over z^2 + z\_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }.</math>

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 <math>q</math>，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

<math>{u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}\_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}\_x(z)}\right).</math>
在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

<math>{u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),</math>
对于圆对称的普遍情况，<math>{q}\_x = {q}\_y = {q}</math> 且<math>x^2 + y^2 = r^2</math>，可以得出<ref>See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29</ref>

<math>{u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).</math>

功率和辐照度
------

### 流经孔隙的功率

流经距离 *z* 轴半径为*r*的圆的功率为

<math> P(r,z) = P\_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,</math>
这里

<math> P\_0 = { 1 \over 2 } \pi I\_0 w\_0^2 </math> 为电磁波传播的总能量
流经以 <math>r = w(z) \, </math> 为半径的圆的能量占总能量的比值为

<math>{ P(z) \over P\_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .</math>
类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 <math>r = 1.07\cdot w(z) \, </math> 的圆形面积，总能量的95%通过 <math>r = 1.224\cdot w(z) \, </math> 的圆形面积，总能量的99%会通过 <math>r = 1.52 \cdot w(z) </math> 的圆。

### 辐照度的峰值和平均值

在与束腰的轴向距离为 <math>z</math> 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

<math>I(0,z) =\lim\_{r\to 0} \frac {P\_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2}

```
        = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} 
        = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.  </math>
```

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 <math>w(z)</math> 的圆的面积。

相關條目
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* 平頂光束
* 雷射光束光點分析儀（英语：）
* 貝索光束（英语：）

参考文献
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* Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl.. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp.&nbsp;80–107.

* Mandel, Leonard and Wolf, Emil.. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp.&nbsp;267.

* Siegman, Anthony E.. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.

* Yariv, Amnon.  3rd. Wiley. 1989. ISBN 0-471-60997-8.

* F. Pampaloni and J. Enderlein.. 2004. arXiv:physics/0410021 可免费查阅 `|class=`被忽略 (帮助).

* Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega.. Opt. Lett. (OSA). 2004, **29** (2): 144–146  [2012-04-05]. Bibcode:2004OptL...29..144B. PMID 14743992. doi:10.1364/OL.29.000144. （原始内容存档于2020-05-16）.
* E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato.. Opt. Lett. (OSA). 2007, **32** (21): 3053–3055  [2012-04-05]. Bibcode:2007OptL...32.3053K. PMID 17975594. doi:10.1364/OL.32.003053. （原始内容存档于2020-05-16）.
* Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
* Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport

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