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| * 
* 论
* 编
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（英語：），用于求合成函数的導數。

正式表述
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兩函數 f 和 g 的定義域 ({\displaystyle D\_{f}} 和 {\displaystyle D\_{g}}) 、值域 (I\_f 和 {\displaystyle I\_{g}}) 都包含於實數系 \mathbb {R}  ，若可以定義合成函數 g\circ f (也就是 {\displaystyle I\_{f}\cap D\_{g}\neq \varnothing } )，且 f 於 {\displaystyle a\in D\_{f}} 可微分，且 g 於 {\displaystyle f(a)\in I\_{f}\cap D\_{g}} 可微分，則

{\displaystyle {(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)}
也可以寫成

{\displaystyle {\frac {dg[f(x)]}{dx}}{\bigg |}\_{x=a}={\frac {dg(y)}{dy}}{\bigg |}\_{y=f(a)}\cdot {\frac {df}{dx}}{\bigg |}\_{x=a}}

例子
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求函数 f(x)=(x^{2}+1)^{3}的导数。

设 g(x)=x^{2}+1
{\displaystyle h(g)=g^{3}\to h(g(x))=g(x)^{3}.}
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
{\displaystyle f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^{2}(2x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.}
求函数 \arctan \,\sin \,x的导数。

{\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}
{\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}
{\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}

证明
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嚴謹的證明需要以下**連續函數的極限定理**：

f 和 g 都是实函数，若可以定義合成函數 g\circ f 且

* {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=L}
* {\displaystyle \lim \_{y\to L}g(y)=g(L)}

則有

{\displaystyle \lim \_{x\to a}g[f(x)]=g(L)}

  

只要展開極限的δ-ε定義，並考慮 f(x) 等於或不等於 L 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 G ，其定義域 {\displaystyle D\_{G}=D\_{g}} ， 而對應規則為

{\displaystyle G(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {g(y)-g[f(a)]}{y-g[f(a)]}}&y\neq f(a)\\\\g^{\prime }[f(a)]&y=f(a)\end{cases}}}
和一個函數 F ，其定義域 {\displaystyle D\_{F}=D\_{f}} ， 而對應規則為

{\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&x\neq a\\\\f^{\prime }(a)&x=a\end{cases}}}
這樣，考慮到 g\circ f 於 a 的導數是以下函數（定義域為{\displaystyle D\_{g\,\circ f}}）的極限

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=\lim \_{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)}
因為可微則必連續(根據乘法的極限性質)，所以 f 於 a 連續、 G 於 f(a) 連續，故根據上面的極限定理有

{\displaystyle \lim \_{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime }[f(a)]}
而且針對一開始可微的前提有

{\displaystyle \lim \_{x\to a}F(x)=f^{\prime }(a)}
再根據乘法的極限性質有

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)}
即為所求。 \Box

多元复合函数求导法则
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考虑函数*z* = *f*(*x*, *y*)，其中*x* = *g*(*t*)，*y* = *h*(*t*)，*g*(*t*)和*h*(*t*)是可微函数，那么：

{\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.
假设*z* = *f*(*u*, *v*)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，*u* = *h*(*x*, *y*)，*v* = *g*(*x*, *y*)，且这些函数都是可微的。那么，*z*的偏导数为：

{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}
{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.
如果我们考虑

{\vec r}=(u,v)
为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与{\vec r}的偏导数的数量积：

{\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec \nabla }f\cdot {\frac {\partial {\vec r}}{\partial x}}.
更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

{\frac {\partial (z\_{1},\ldots ,z\_{m})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{p})}}={\frac {\partial (z\_{1},\ldots ,z\_{m})}{\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}}{\frac {\partial (y\_{1},\ldots ,y\_{n})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{p})}}.

高阶导数
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复合函数的最初几个高阶导数为：

{\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}
{\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}
{\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}
{\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.

参见
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* 乘积法则
* 除法定则