在抽象代数中，一个群的**交換子**（commutator）或**换位子**是一个二元運算子。设*g*及*h* 是 群*G*中的元素，他們的**交換子**是*g* −1 *h* −1 *gh*，常記為[ *g*, *h* ]。只有当*g*和*h*符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群*G*的全部交换子生成的子群叫做群*G*的导群，记作*D(G)*。

群論
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群G中两个元素g和h的**交换子**为元素

[*g*, *h*] = *g*−1*h*−1*gh*
它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即*gh* = *hg*）。

環論
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环或结合代数上两个元素*a*和*b*的**交换子**定义为：

{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}

量子力學
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量子力学中，经常用到**对易关系**（**commutation relation**），即

[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}；
其中；{\hat {A}}、{\hat {B}}均为量子力学的算符，[{\hat {A}},{\hat {B}}]是其对易算符，也称**交换子**。

如果上式等于零，则称{\hat {A}}、{\hat {B}}是**对易**的，即意味着{\hat {A}}和{\hat {B}}两个算符的运算顺序可以调换。反之则称**非对易**的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，**交換子**有以下特性:

[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]
[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]
[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]
[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...
[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]
[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0
量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，\hat{x}是位置算符、{\hat {p}}是动量算符、{\hat {L}}是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而\delta \_{ij}是克罗内克δ、\epsilon \_{{ijk}}是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

| 对易关系 | 更具体的形式 |
| --- | --- |
| [{\hat {x}}\_{i},{\hat {x}}\_{j}]=0 | [{\hat {x}},{\hat {x}}]=0、[{\hat {x}},{\hat {y}}]=0 |
| [{\hat {p}}\_{i},{\hat {p}}\_{j}]=0 | [{\hat {p}}\_{x},{\hat {p}}\_{x}]=0、[{\hat {p}}\_{x},{\hat {p}}\_{y}]=0 |
| [{\hat {x}}\_{i},{\hat {p}}\_{j}]=i\hbar \delta \_{{ij}} | [{\hat {x}},{\hat {p}}\_{x}]=i\hbar 、[{\hat {x}},{\hat {p}}\_{y}]=0、[{\hat {y}},{\hat {p}}\_{x}]=0、[{\hat {y}},{\hat {p}}\_{y}]=i\hbar  |
| [{\hat {L}}\_{i},{\hat {L}}\_{j}]=i\hbar \epsilon \_{{ijk}}{\hat {L}}\_{k} | [{\hat {L}}\_{x},{\hat {L}}\_{y}]=i\hbar {\hat {L}}\_{z}、[{\hat {L}}\_{y},{\hat {L}}\_{z}]=i\hbar {\hat {L}}\_{x}、[{\hat {L}}\_{z},{\hat {L}}\_{x}]=i\hbar {\hat {L}}\_{y} |

### 正則對易關係

物理學中，**正則對易關係**是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

[x,p]=i\hbar 
上面的*x*與*p*分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而[x,p]=xp-px為所謂x與p的交換算符，i是虛數單位，\hbar 為約化普朗克常數，等於h/2\pi 。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

### 與古典力學的關係

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數i\hbar 換成1：

\{x,p\}=1\,\!
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量f,g其量子對應項{\hat f},{\hat g}應滿足

[{\hat f},{\hat g}]=i\hbar \widehat {\{f,g\}}\,。
於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

延伸阅读
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* Fraleigh, John B.  2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976  [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始内容存档于2021-07-09）
* Griffiths, David J. 需要免费注册 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Herstein, I. N.  2nd, John Wiley & Sons, 1975
* Liboff, Richard L.  4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
* McKay, Susan, Queen Mary Maths Notes **18**, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
* McMahon, D. USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

相關條目
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* 正則量子化
* 正則變換
* 李導數
* 群
* 李代數
* 泊松括號
* 雅可比恆等式

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* 论
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