**三角形内角的嵌入不等式**是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称**嵌入不等式**。该不等式指出，若*A*、*B*、*C*是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.}
首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆（英语：）。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。

证明
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注意到不等式：{\displaystyle (x-y\cos C-z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0} 对所有的实数 x、y、z以及任意角*A*、*B*、*C*成立，将其左侧展开，就得到：

{\displaystyle x^{2}+y^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)+z^{2}(\cos ^{2}B+\sin ^{2}B)-2xy\cos C-2xz\cos B-2yz\sin B\sin C+2yz\cos B\cos C\geqslant 0}
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz(\sin B\sin C-\cos B\cos C)}
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B-2yz\cos(B+C)}
由于*A*、*B*、*C*是三角形内角，{\displaystyle \cos(B+C)=\cos(\pi -A)=-\cos A}，因此上式等价于

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A.}
从证明中可推出，不等式中等号成立当且仅当{\displaystyle y\sin C=z\sin B}和{\displaystyle x=y\cos C+z\cos B}同时成立。也就是说，要么{\displaystyle x=y=z=0}，要么{\displaystyle x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C}。

推广与加强
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从以上证明中可以看到，证明成立的关键是{\displaystyle \cos(B+C)+\cos A=0}，所以可以将条件中的"*A*、*B*、*C*是三角形内角"推广到"{\displaystyle A+B+C=(2k+1)\pi ,\,k\in \mathbb {N} }"。而如果 {\displaystyle A+B+C=2k\pi }，则{\displaystyle \cos(B+C)=\cos A}，展开恒成立的不等式 {\displaystyle (x+y\cos C+z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0}便可得到不等式 

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B\geqslant 0.}
这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式：

如果{\displaystyle A+B+C=k\pi ,\,k\in \mathbb {N} }，那么对任意实数x、y、z，都有{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1)^{k}(xy\cos C+yz\cos A+zx\cos B)\geqslant 0.}
由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性，在应用中也会写成对称下标不等式：

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}\geqslant 2x\_{1}x\_{2}\cos \varphi \_{3}+2x\_{2}x\_{3}\cos \varphi \_{1}+2x\_{3}x\_{1}\cos \varphi \_{2}.}
或轮换下标不等式：

{\displaystyle x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}\geqslant 2x\_{1}x\_{2}\cos \varphi \_{1}+2x\_{2}x\_{3}\cos \varphi \_{2}+2x\_{3}x\_{1}\cos \varphi \_{3}.}
设 {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\alpha \_{3}}是三角形内角，对后一个不等式做变量代换

{\displaystyle x\_{1}\rightarrow x\_{1}{\sqrt {\frac {\sin \alpha \_{2}}{\sin \alpha \_{3}\sin \alpha \_{1}}}},\,x\_{2}\rightarrow x\_{2}{\sqrt {\frac {\sin \alpha \_{3}}{\sin \alpha \_{1}\sin \alpha \_{2}}}},\,x\_{3}\rightarrow x\_{3}{\sqrt {\frac {\sin \alpha \_{1}}{\sin \alpha \_{2}\sin \alpha \_{3}}}},}
可以得到不等式：

{\displaystyle (x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}){\frac {\cos \alpha \_{1}}{\sin \alpha \_{1}}}+(x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}){\frac {\cos \alpha \_{2}}{\sin \alpha \_{2}}}+(x\_{3}^{2}+x\_{1}^{2}){\frac {\cos \alpha \_{3}}{\sin \alpha \_{3}}}\geqslant 2x\_{1}x\_{2}{\frac {\cos \varphi \_{1}}{\sin \alpha \_{1}}}+2x\_{2}x\_{3}{\frac {\cos \varphi \_{2}}{\sin \alpha \_{2}}}+2x\_{3}x\_{1}{\frac {\cos \varphi \_{3}}{\sin \alpha \_{3}}}.}
由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广：

设{\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\cdots ,\alpha \_{n}}满足 {\displaystyle \alpha \_{1}+\alpha \_{2}+\cdots +\alpha \_{n}=\pi }， {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2},\cdots ,\varphi \_{n}}满足 {\displaystyle \varphi \_{1}+\varphi \_{2}+\cdots +\varphi \_{n}=\pi }，则有：
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{\frac {\cos \alpha \_{i}}{\sin \alpha \_{i}}}(x\_{i}^{2}+x\_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}x\_{i+1}{\frac {\cos \varphi \_{i}}{\sin \alpha \_{i}}}.}
其中{\displaystyle x\_{n+1}=x\_{1}}。而当{\displaystyle \alpha \_{1}=\alpha \_{2}=\cdots =\alpha \_{n}={\frac {\pi }{n}}}的时候，上面的不等式转化为：

{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{n}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}^{2}+x\_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}x\_{i+1}\cos \varphi \_{i}.}
嵌入不等式是此不等式在{\displaystyle n=3}时的特例。

应用
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三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式，例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什－莫德尔不等式。

{\displaystyle r\_{3}}（红）小于w\_{3}（蓝）.
埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式，其声称：对于任何三角形和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为{\displaystyle A\_{1},A\_{2},A\_{3}}，点O到这三个顶点的距离分别是{\displaystyle R\_{1},R\_{2},R\_{3}}，到它们对边的距离分别是{\displaystyle r\_{1},r\_{2},r\_{3}}，则埃尔德什-莫德尔不等式写作：

{\displaystyle R\_{1}+R\_{2}+R\_{3}\geqslant 2\left(r\_{1}+r\_{2}+r\_{3}\right)}
在嵌入不等式中令{\displaystyle x={\sqrt {R\_{1}}},y={\sqrt {R\_{2}}},z={\sqrt {R\_{3}}}}，{\displaystyle A={\frac {\angle A\_{2}OA\_{3}}{2}},B={\frac {\angle A\_{1}OA\_{3}}{2}},C={\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}}则可得到：

{\displaystyle R\_{1}+R\_{2}+R\_{3}\geqslant 2\left[{\sqrt {R\_{1}R\_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R\_{2}R\_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{2}OA\_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R\_{1}R\_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{3}}{2}}\right)\right]}
另一方面，计算三角形{\displaystyle A\_{1}OA\_{2}}在O点发出的角平分线长度w\_{3}，可得

{\displaystyle w\_{3}={\frac {2R\_{1}R\_{2}}{R\_{1}+R\_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}\right)\leqslant {\sqrt {R\_{1}R\_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}\right).}
同时作为角平分线，其长度必然大于O点到{\displaystyle A\_{1}A\_{2}}的距离{\displaystyle r\_{3}}，所以

{\displaystyle r\_{3}\leqslant w\_{3}\leqslant {\sqrt {R\_{1}R\_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}\right)}
{\displaystyle r\_{1}+r\_{2}+r\_{3}\leqslant {\sqrt {R\_{1}R\_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R\_{2}R\_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{2}OA\_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R\_{1}R\_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A\_{1}OA\_{3}}{2}}\right)}
因此 

{\displaystyle R\_{1}+R\_{2}+R\_{3}\geqslant 2\left(r\_{1}+r\_{2}+r\_{3}\right).}

等价形式
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设 {\displaystyle A+B+C=k\pi }, {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }, {\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }，则有

{\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant 4yz\sin ^{2}A+4zx\sin ^{2}B+4xy\sin ^{2}C,}
等号成立当且仅当 {\displaystyle x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C}。

### 证明

{\displaystyle LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^{2}+(y\sin 2C-z\sin 2B)^{2}.}
### 推论

对于 \triangle ABC，令 {\displaystyle x=ua^{2}}, {\displaystyle y=vb^{2}}, {\displaystyle z=wc^{2}}，其中 {\displaystyle u,v,w\in \mathbb {R} }，即得

{\displaystyle (ua^{2}+vb^{2}+wc^{2})^{2}\geqslant 4\sum vwb^{2}c^{2}\sin ^{2}A=16(vw+wu+uv)S^{2},}
等号成立当且仅当 {\displaystyle ua^{2}:vb^{2}:wc^{2}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C}，即 {\displaystyle u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C}。

### 一般形式

若非零实数 p,q,r 满足 {\displaystyle 2(pq+qr+rp)\geqslant p^{2}+q^{2}+r^{2}}，则对任意实数 x,y,z 恒有

{\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant {\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{pqr}}(pyz+qzx+rxy).}
证明：

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {LHS-RHS}}\\={}&\left(x+y+z-{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{2pqr}}(ry+qz)\right)^{2}\\&+{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{4p^{2}q^{2}r^{2}}}{\bigl (}(p+q-r)ry-(p-q+r)qz{\bigr )}^{2}.\end{aligned}}}

参见
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* 三角不等式
* 外森比克不等式

参考来源
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1. 1 2 3  朱华伟.. 中等数学. 2010年, (第1期): 第14–17页.
2. ↑  J. Wolstenholme, A Book of Mathematical Problems, Cambridge, London, 1867
3. 1 2 3  Shanhe Wu, Lokenath Debnath.. Computers & Mathematics with Applications. 2007年1月, **53** (1): 104–114  [2012-06-01]. （原始内容存档于2018-11-06）.
4. ↑  Marian Dinca.  (PDF). Articole si Note Matematice.  [2012-06-01]. （原始内容存档 (PDF)于2016-08-15）.
5. ↑ .  [2023-04-28]. （原始内容存档于2023-04-28）.
6. ↑ .  [2023-04-28]. （原始内容存档于2023-04-28）.
7. ↑ .  [2023-04-28]. （原始内容存档于2023-04-28）.