在抽象代數中。**合成列**是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組**過濾** \{0\}=M\_{0}\subset \cdots \subset M\_{n}=M，使每個子商 M\_{i}/M\_{{i+1}} 皆為單模；這些單模稱為**合成因子**，n 稱為**合成長度**，都是 M 的不變量。亦可考慮 M 的子模範疇 {\mathcal {A}}，此時 [M]\in K({\mathcal {A}}) 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的**半單化**。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而**若尔当-赫尔德定理**斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

群的情形
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設 G 為群，G 的合成列是對應於一族子群

\{e\}=H\_{0}\subset H\_{1}\subset \cdots \subset H\_{n}=G
滿足 H\_{i}\triangleleft H\_{{i+1}}，使其子商 H\_{{i+1}}/H\_{i} 皆為非平凡的單群；易言之，H\_{i} 是 H\_{{i+1}} 的極大正規子群。這些子商也稱作**合成因子**。對於有限群，恆存在合成列。

模的情形
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固定環 R 及 R-模 M。M 的**合成列**是一族子模

\{0\}=J\_{0}\subset \cdots \subset J\_{n}=M
其中每個子商 J\_{{k+1}}/J\_{k} 皆為非平凡的單模 。易言之，J\_{k} 是 J\_{{k+1}} 的極大子模。這些子商也稱為**合成因子**。若 R 是阿廷環，根據 **Hopkins-Levitzki 定理**，任何有限生成的 R-模皆有合成列。

例子
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**例子**. 考慮 12 階循環群 C\_{{12}}，它具有三個相異的合成列

C\_{1}\triangleleft C\_{2}\triangleleft C\_{6}\triangleleft C\_{{12}},
C\_{1}\triangleleft C\_{2}\triangleleft C\_{4}\triangleleft C\_{{12}},
C\_{1}\triangleleft C\_{3}\triangleleft C\_{6}\triangleleft C\_{{12}}
合成因子分別為

C\_{2},C\_{3},C\_{2}
C\_{2},C\_{2},C\_{3}
C\_{3},C\_{2},C\_{2}
其間僅差個置換。

若尔当-赫尔德定理
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**定理**. 若群 G〔或 R-模 M〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。
**略證**：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

\{0\}=M\_{0}\subset \cdots \subset M\_{r}=M
\{0\}=M'\_{0}\subset \cdots \subset M'\_{s}=M
對 {\mathrm {min}}(r,s) 行數學歸納法。若 {\mathrm {min}}(r,s)=0 則 M=0，若 {\mathrm {min}}(r,s)=1 則 M 是單模。以下假定 r,s\geq 2。

若 M\_{{r-1}}=M\_{{s-1}}，據歸納法假設，r-1=s-1 且 M\_{{i+1}}/M\_{i} 與 M'\_{{i+1}}/M'\_{i}（0\leq i\leq r-2）之間僅差置換。此外 M/M\_{{r-1}}=M\_{/}M'\_{{s-1}}，故定理成立。

設 M\_{{r-1}}\neq M'\_{{s-1}}。此時必有 M\_{{r-1}}+M'\_{{s-1}}=M。置 N:=M\_{{r-1}}\cap M'\_{{s-1}}，於是

M/M\_{{r-1}}=(M\_{{r-1}}+M'\_{{s-1}})/M\_{{r-1}}\simeq M'\_{{s-1}}/N
M/M'\_{{s-1}}=(M\_{{r-1}}+M'\_{{s-1}})/M'\_{{s-1}}\simeq M\_{{r-1}}/N
取 N 的合成列 \{0\}=K\_{0}\subset \cdots \subset K\_{t}=N，依上式知

\{0\}=K\_{0}\subset \cdots \subset K\_{t}=N\subset M\_{{r-1}}\subset M\quad \ldots (\*)
\{0\}=K\_{0}\subset \cdots \subset K\_{t}=N\subset M'\_{{s-1}}\subset M\quad \ldots (\*\*)
皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 M，則 (\*) 與 (\*\*) 的合成因子分別等同於合成列 M\_{\bullet },M'\_{\bullet } 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

參見
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* 正規列
* 長度 (模論)

站外連結
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* O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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