**牛顿法**（英語：）又称为**牛顿-拉弗森方法**（英語：），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

起源
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牛顿法最初由艾萨克·牛頓在《流数法》（*Method of Fluxions*，1671年完成，在牛顿去世后於1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鮑易也曾于1690年在*Analysis Aequationum*中提出此方法。

方法说明
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蓝线表示方程f而红线表示切线。可以看出x\_{n+1}比x\_n更靠近f所要求的根x。
首先，选择一个接近函数f(x)零点的x\_{0}，计算相应的f(x\_0)和切线斜率f'(x\_0)（这里f'表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点(x\_{0},f(x\_{0}))并且斜率为f'(x\_0)的直线和x轴的交点的x坐标，也就是求如下方程的解：

{\displaystyle 0=(x-x\_{0})\cdot f'(x\_{0})+f(x\_{0})}
我们将新求得的点的x坐标命名为x\_1，通常x\_1会比x\_{0}更接近方程f(x)=0的解。因此我们现在可以利用x\_1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

x\_{{n+1}}=x\_{n}-{\frac {f(x\_{n})}{f'(x\_{n})}}
已有证明牛顿迭代法的**二次收敛**必须满足以下条件：  

{\displaystyle f'(x)\neq 0}; 对于所有{\displaystyle x\in I}，其中I为区间[*α* − *r*, *α* + *r*]，且x\_{0}在区间其中I内，即 {\displaystyle r\geqslant \left|a-x\_{0}\right|} 的;   

对于所有{\displaystyle x\in I}，f''(x)是连续的;   

x\_{0}足够接近根 α。  

然而当f(x) = 0在{\displaystyle x=a}处有m重根时，这时牛顿法会降为**线性收敛**，虽然使用牛顿法也可以继续算下去，但收敛速度会减慢。

其它例子
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### 第一个例子

求方程{\displaystyle \cos(x)-x^{3}=0}的根。令{\displaystyle f(x)=\cos(x)-x^{3}}，两边求导，得{\displaystyle f'(x)=-\sin(x)-3x^{2}}。由于{\displaystyle -1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)}，则{\displaystyle -1\leq x^{3}\leq 1}，即{\displaystyle -1\leq x\leq 1}，可知方程的根位于{\displaystyle 0}和1之间。我们从{\displaystyle x\_{0}=0.5}开始。

{\begin{matrix}x\_{1}&=&x\_{0}-{\frac {f(x\_{0})}{f'(x\_{0})}}&=&0.5-{\frac {\cos(0.5)-0.5^{3}}{-\sin(0.5)-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112141637097\\x\_{2}&=&x\_{1}-{\frac {f(x\_{1})}{f'(x\_{1})}}&=&\vdots &=&\underline {0.}909672693736\\x\_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&\underline {0.86}7263818209\\x\_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&\underline {0.86547}7135298\\x\_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&\underline {0.8654740331}11\\x\_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&\underline {0.865474033102}\end{matrix}}
### 第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求a的m次方根。

x^{m}-a=0

设f(x)=x^{m}-a，f'(x)=mx^{{m-1}}

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：

x\_{{n+1}}=x\_{n}-{\frac {f(x\_{n})}{f'(x\_{n})}}

x\_{{n+1}}=x\_{n}-{\frac {x\_{n}^{m}-a}{mx\_{n}^{{m-1}}}}

x\_{{n+1}}=x\_{n}-{\frac {x\_{n}}{m}}(1-ax\_{n}^{{-m}})

（或 x\_{{n+1}}=x\_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x\_{n}-a{\frac {x\_{n}}{x\_{n}^{m}}}\right)）

應用
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### 求解最值問題

条目：應用於最優化的牛頓法
牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零，故可用牛頓法求導函數的零點，其疊代式為

{\displaystyle x\_{n+1}=x\_{n}-{\frac {f^{\prime }(x\_{n})}{f^{\prime \prime }(x\_{n})}}.}
求拐点的公式以此类推

電腦程式
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可以用程式寫出牛頓法:

例題:{\displaystyle f(x)=x^{3}-10x^{2}+x+1=0} 求x

用Python:

```
from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10\*x\*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3\*x\*x)-(20\*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

```
用C語言:

```
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
 int y = pow(x,3)-(10\*x\*x)+x+1;
 return y;}
double dx(double x){
 int y = (3\*x\*x)-(20\*x)+1;
 return y;}
int main (){
 for(int i=0;i<1000;i++){
 x = x - (f(x)/dx(x));}
 printf(" %f",x);
}

```
只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式

註解
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1. ↑   (PDF).  [2018-06-26]. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-24）.
2. ↑  张宏伟，金光日，施吉林，董波 (编).  2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 138. ISBN 9787040365955.

外部連結
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* icon数学主题

* JAVA：牛頓勘根法 （页面存档备份，存于） （繁體中文）

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* 论
* 编
 求根演算法 |
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| 求根算法 | 二分法 · 牛頓法 · 割線法 · 迭代法 · 盈不足術（試位法） |

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* 论
* 编
艾萨克·牛顿爵士 |
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| 科學著作 | 
* 《流数法》（1671）
* 《物體在軌道中之運動（英语：）》（1684）
* 《自然哲学的数学原理》（1687）
* 《光学（英语：）》（1704）
* 《The Queries（英语：）》（1704）
* 《廣義算術（英语：）》（1707）
* 《用無窮級數做數學分析（英语：）》（1711）

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| 其它著作 | 
* 《若干哲學問題（英语：）》（1661–1665）
* 《站在巨人的肩膀上（英语：）》（1675）
* 《Notes on the Jewish Temple（英语：）》（約1680）
* 《總釋（英语：）》（1713；《不作假设（英语：）》）
* 《古王國年表，修訂（英语：）》（1728）
* 《两处著名圣经讹误的历史变迁（英语：）》（1754）

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| 貢獻 | 
* 微积分学
	+ 流數
* 冲击深度
* 慣性
* 牛頓色環（英语：）
* 牛頓多邊形（英语：）
	+ 牛頓–奧昆科夫體（英语：）
* 牛頓反射望遠鏡（英语：）
* 牛顿望远镜
* 牛頓溫標
* 牛頓合金（英语：）
* 光學頻譜
* 结构色

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| 牛頓主義（英语：） | 
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* 冷却定律
* 万有引力定律
	+ 后牛顿力学近似方法
	+ 後牛頓形式論
	+ 万有引力常数
* 牛頓–嘉當理論（英语：）
* 薛定谔-牛顿方程
* 牛顿运动定律
	+ 第一定律
	+ 第二定律
	+ 第三定律
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* 牛頓動力學（英语：）
* 應用於最優化的牛頓法
	+ 问题
	+ 截斷牛頓法（英语：）
* 高斯牛頓算法（英语：）
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* 牛頓橢圓定理（英语：）
* 牛顿-问题
* 牛頓位（英语：）
* 牛顿流体
* 
* 光的微粒理论
* 牛顿与莱布尼茨的微积分学论战（英语：）
* 牛頓記法（英语：）
* 旋轉球體（英语：）
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	+ 列表（英语：）

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* 伍尔索普庄园（出生地）
* Cranbury Park（英语：）（成長地）
* 早年生活（英语：）
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* 蘋果樹（英语：）
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| 人際關係 | 
* 凱瑟琳·巴頓（英语：）（侄女）
* 約翰·孔杜伊特（英语：）（姪女婿）
* 艾萨克·巴罗（指導教授）
* 威廉·克拉克（英语：）（指導者）
* Benjamin Pulleyn（英语：）（導師）
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* 威廉·琼斯（好友）
* （好友）
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| 描繪（英语：） | 
* 《牛顿》（單版畫）
* 《牛顿（英语：）》（雕塑）
* 《艾薩克·牛頓雨漏（英语：）》
* 《天文學家紀念碑（英语：）》

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| 相關（英语：） | 
* 牛頓 (單位)
* 牛顿摆
* 艾萨克·牛顿研究所（英语：）
* 艾萨克·牛顿奖章
* 艾萨克·牛顿望远镜
* 艾萨克·牛顿望远镜组（英语：）
* XMM-牛顿卫星
* 施密特-牛頓望遠鏡
* 艾薩克·牛頓爵士大學預科學校（英语：）
* 艾薩克·牛頓斯塔塔爾高等教育學院（英语：）
* 牛頓國際獎學金（英语：）

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| 分類 | 
  艾萨克·牛顿
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* LCCN: sh92005466

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