数学分析中，**分布**（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称**施瓦兹分布**（Schwartz distribution）、**施瓦兹广义函数**（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。

广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

基本理念
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很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得"某个粒子的位置"的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数f与其它函数的"相互作用"来刻画这个函数。具体来说，我们观察f和一群"测量函数"\varphi 之乘积的积分：\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x。之所以使用积分作为"观察"的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要"多得多"；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种"平均值"的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的"广义函数"，称为**分布**，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说，分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求：

* 连续的函数属于分布；
* 可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作，而且结果应该也是分布，并且应该对应于原函数的微分/原函数；
* 基本的微积分法则适用于分布；
* 存在适当的收敛定理，可以对分布进行极限操作。

对每一个实数值的"测试函数"\varphi ，将它映射到积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x，就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为f对应的分布。积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x的存在性取决于函数f与\varphi 的乘积，所以对\varphi 要求越高，就能对越多的f定义对应的分布。分布理论中选取的"测试函数"的集合是紧支撑的函数空间D(**R**)，也就是满足以下两个条件的**R**射到**R**函数的集合：

1. 拥有任意阶的导函数，并且导函数连续，
2. 除了在某一个紧致集合（一般可以简化为一个有限区间）以外，函数的取值都是0.

一般来说，一个分布就定义为 D(**R**) 射到**R**的连续线性泛函。一个分布T（作用在"测试函数"\varphi 上）的值一般使用类似内积的符号记为\langle T , \varphi \rangle。当"测试函数"空间选为D(**R**)的时候，只要 f局部可积，就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为T\_f，以和f 区分，而它的值就是： 

\langle T\_f , \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x
对于概率分布函数\mathbb {P} ，也可以将它定义为分布T\_{ \mathbb{P} }。对给定的一个测试函数\varphi ，可以定义分布T\_{ \mathbb{P} }作用在\varphi 上的值是： \langle T\_{ \mathbb{P} } , \varphi \rangle = \int \varphi(x) \mathbb{P}(\mathrm{d}x).  这样定义下的T\_{ \mathbb{P} }是线性的泛函，所以满足分布的定义。

除了对普通的函数可以定义分布，对一些普通意义上无法定义的"函数"也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为：

\delta\_0 (\varphi) = \varphi(0).
也就是说它对每一个函数的"效果"是取其0点上的值。

严格定义
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接下来，我们定义**R***n*中开集**U**上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 **R***n* 替换为任何（仿紧）光滑流形。

首先需要定义**U**上的检验函数空间 D(**U**) （即所谓的"测试函数"），定义其上的拓扑和极限。D(**U**)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

### 检验函数空间

函数\varphi : **U** → **R**具有紧支撑集，当且仅当存在**U**的紧子集**K**，使得对任意 **U**\**K** 中的元素x，都有\varphi(x)=0。

定义D(**U**)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的隆起函数）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下：

一列函数\left(\varphi\_k\right)\_{k\in\mathbb{N}}收敛到某个\varphi\_{\infty}\in D(\mathbf{U})，当且仅当其满足以下两条性质：
1. 存在紧集 \mathbf{K} \subset \mathbf{U}包含所有 \varphi\_k 的支撑集：
\bigcup\_k \operatorname{supp}(\varphi\_k)\subset \mathbf{K} \subset \mathbf{U}.
2. 对任意多重指标\alpha , 偏微分序列 \left( \partial^{\alpha}\varphi\_k \right)\_{k\in\mathbb{N}}都一致收敛到\partial^{\alpha}\varphi\_{\infty}.

在如此定义下的拓扑中，D(**U**)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间，且满足海涅－博雷尔定理，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D(**U**)上的泛函u连续，当且仅当对任意收敛到零的\left(\varphi\_k\right)\_{k\in\mathbb{N}}，都有\lim\_{k\to\infty}u(\varphi\_k )=0.

### 分布

**U**上的**分布**定义为D(**U**)上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}（或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}）满足连续性，即对D(**U**)中任意的收敛函数列\left(\varphi\_k\right)\_{k\in\mathbb{N}}，都有

\lim\_{n\to\infty}S(\varphi\_n)= S\left(\lim\_{n\to\infty}\varphi\_n\right)
那么就称此泛函为**U**上的一个分布。

另一个更具可操作性的定义是，如果D(**U**)上的一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}（或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}）满足以下的条件：

对任意的紧子集K\in \mathbf{U}，都存在C\_{K} >0和p\_{K} \in \mathbb{N}，使得对任意支撑集在\operatorname{supp}(\varphi)\subset K的检验函数 \varphi，都有
 \langle S , \varphi\rangle \leqslant C\_K \max\_{|\alpha |\leqslant p\_K} \sup\_{x\in K} \vert \partial^{\alpha}\varphi (x)\vert .
就称之为**U**上的一个分布。如果存在的正整数p 使得对任意的K\in \mathbf{U}，都有p\_{K} \leqslant p，那么最小的这样的p 称为这个分布的阶数（order），称S 为一个p 阶分布。

**U**上的分布集合记为D'(**U**)，是D(**U**)的拓扑对偶空间。D'(**U**)中的元素S和D(**U**)中的元素\varphi 之间的对偶关系可以用尖括号表示：

\mathrm{D}'(\mathbf{U}) \times \mathrm{D}( \mathbf{U} ) \ni (S, \varphi) \mapsto \langle S, \varphi \rangle \in \mathbf{R}.
在弱＊拓扑下，D'(**U**)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'(**U**)中序列\left(S\_k\right)\_{k\in\mathbb{N}}弱＊收敛到S当且仅当对于任意的检验函数\varphi ，有

\langle S\_k, \varphi\rangle \xrightarrow[]{k\to\infty} \langle S, \varphi\rangle
### 函数对应的分布

一个局部可积函数f : \quad \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{R}是指在**U**的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的L*p*可积函数。在以上定义的D(**U**)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(**U**)上的连续线性泛函，也就是D'(**U**)中的一个元素，记作T\_f。线性泛函T\_f作用在D(**U**)中任一个检验函数\varphi 上的取值是：

\langle T\_f,\varphi \rangle = \int\_{\mathbf{U}} f\varphi\, \mathrm{d}x.
一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将T\_f和f等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：

\langle f, \varphi\rangle = \langle T\_f,\varphi\rangle = \int\_{\mathbf{U}} f\varphi\,\mathrm{d}x.
可以证明，两个局部可积函数f和g对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，**U**上的每个Radon测度\mu 都有一个对应的分布T\_{\mu}，定义为：

\langle T\_{\mu},\varphi \rangle = \int\_{\mathbf{U}} \varphi\, \mathrm{d}\mu.
与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成\scriptstyle{\langle\mu,\varphi\rangle}。

可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(**U**)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布S\in D\prime(\mathbf{U})都是某个检验函数（分布）序列\left(\varphi\_k\right)\_{k\in\mathbb{N}}收敛的极限。对任意的检验函数\phi\in D(\mathbf{U})，都有：

\langle\varphi\_n,\phi\rangle\to \langle S,\phi\rangle. \;

参见
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* 伪微分算子
* 里斯表示定理
* 模糊拓扑
* 弱解

参考来源
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* Benedetto, J.J. CRC Press, 1997 .
* Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E.  **1–5**, Academic Press, 1966–1968 .
* Hörmander, L. Grundl. Math. Wissenschaft. **256**, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 .
* Kleinert, H.; Chervyakov, A.  (PDF), Europ. Phys. J. 2001, **C 19** (4): 743–747  [2012-07-14], Bibcode:2001EPJC...19..743K, doi:10.1007/s100520100600, （原始内容存档 (PDF)于2008-04-08） .
* Kleinert, H.; Chervyakov, A.  (PDF), Phys. Lett. 2000, **A 269**: 63  [2012-07-14], doi:10.1016/S0375-9601(00)00475-8, （原始内容存档 (PDF)于2008-04-08） .
* Rudin, W.  2nd, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
* Schwartz, L. C.R.Acad. Sci. Paris, 1954, **239**: 847–848 .
* Schwartz, L.  **1–2**, Hermann, 1950–1951 .
* Stein, Elias; Weiss, Guido, Princeton University Press, 1971, ISBN 0-691-08078-X .
* Strichartz, R. CRC Press, 1994, ISBN 0-8493-8273-4 .
* Trèves, François, Academic Press: 126 ff, 1967 .

拓展阅读
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* M. J. Lighthill (1959). *Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
* H. Kleinert, *Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets*, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here （页面存档备份，存于）). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
* V.S. Vladimirov (2002). *Methods of the theory of generalized functions*. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
* Vladimirov, V.S. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
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* Vladimirov, V.S. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Oberguggenberger, Michael, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .



1. ↑ .  [2022-11-14]. （原始内容存档于2022-11-14）.