**算术基本定理**，又称为**正整數的唯一分解定理**，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。

例如：6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}，1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}，{\displaystyle 5207=41\times 127}。

算术基本定理的内容由两部分构成：

* 分解的存在性：
* 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等數論中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定理陳述
----

{\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod \_{i=1}^{n}p\_{i}^{a\_{i}}=A}. 其中 {\displaystyle p\_{1}<p\_{2}<p\_{3}<\cdots <p\_{n}} 而且 p\_{i} 是一个質数，{\displaystyle a\_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}}.

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

證明
--

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數p|ab，则不是 p|a，就是p|b。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

### 存在性

用反證法：假設存在大於 1 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 n。

n 不可爲質數，因爲 {\displaystyle n=n} 可被寫成質數的乘積。因此 n 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 1 的自然數的積。設 
n=a\times b ，則根據假設，由於 n 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 {\displaystyle a=p\_{1}p\_{2}...p\_{j}} 和 {\displaystyle b=q\_{1}q\_{2}...q\_{j}} 都能被寫成質數的乘積。然而 {\displaystyle n=ab=p\_{1}p\_{2}...p\_{j}q\_{1}q\_{2}...q\_{j}} 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 1 的自然數必可寫成質數的乘積。

### 唯一性

歐幾里得引理：若質數p|ab，则不是 p|a，就是p|b。

引理的证明：若p|a 则证明完毕。若p\nmid a，那么两者的最大公约数为1。根据貝祖等式，存在(m,n) 使得ma+np=1。于是b=b(ma+np)=abm+bnp。
由于p|ab，上式右边两项都可以被*p*整除。所以p|b。

再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设n是其中最小的一個。

首先n不是質数。將n用兩種方法寫出：n=p\_{1}p\_{2}p\_{3}\cdots p\_{r}=q\_{1}q\_{2}q\_{3}\cdots q\_{s} 。根據引理，質数p\_{1}|q\_{1}q\_{2}q\_{3}\cdots q\_{s} ，所以q\_{1},q\_{2},q\_{3}\cdots q\_{s} 中有一個能被p\_{1}整除，不妨设为q\_{1}。但q\_{1}也是質数，因此q\_{1}=p\_{1} 。所以，比n小的正整数n'=p\_{2}p\_{3}\cdots p\_{r}也可以写成q\_{2}q\_{3}\cdots q\_{s} 。这与*n* 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

相關
--

在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 {\mathbb {Q}}({\sqrt {-D}})\quad (D\in {\mathbb {N}}) 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 D 是 D=163。例如，6可以以兩種方式在 {\mathbb {Z}}[{\sqrt {-5}}] 中表成整數乘積：2\times 3 和 (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 \mathbb {Z}  中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數 {\mathbb {Z}}[{\sqrt {-1}}] 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 (\pm 1,\pm i) 之作用，那麼這個唯一分解定理在 {\mathbb {Z}}[{\sqrt {-1}}] 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯类数
----

对于二次方程：ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)，它的根可以表示为：
{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

因为负数不能开平方，b^{{2}}-4ac的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)
{\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}
两个复数解為:
{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}

a+b{\sqrt[ {}]{-d}}哪个d值可以得到唯一分解定理？
{\displaystyle d=1,2,3}皆可得到定理，但當{\displaystyle d=5}时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。
{\displaystyle 6=2\times 3}；{\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}。在高斯时代，已知有9个d使得a+b{\sqrt[ {}]{-d}}所产生的数有唯一因子分解（a，b如上面指出那样取值）。
{\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}高斯认为d的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納（英语：）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个d值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。
为了紀念长期被忽视的希格内尔，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。
参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部連結
----

* （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于）

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
和因數有關的整數分類 |
| --- |
|  |
| 簡介 | 
* 質因數分解
* 因數
* 元因數
* 除數函數
* 質因數
* 算术基本定理

 | Divisibility of 60 |
|  |
| 依因數分解分類 | 
* 质数
* 合数
* 半素数
* 普洛尼克数
* 楔形数
* 无平方数因数的数
* 冪數
* 質數冪
* 平方數
* 立方數
* 次方數
* 阿喀琉斯數
* 光滑數
* 正规数
* 粗糙數
* 不尋常數

 |
|  |
| 依因數和分類 | 
* 完全数
* 殆完全數
* 准完全数
* 多重完全數
* Hemiperfect數
* Hyperperfect number（英语：）
* 超完全數
* 元完全數
* 半完全数
* 本原半完全数
* 實際數

 |
|  |
| 有許多因數 | 
* 过剩数
* 本原過剩數
* 高過剩數
* 超過剩數
* 可羅薩里過剩數
* 高合成数
* Superior highly composite number（英语：）
* 奇異數

 |
|  |
| 和真因子和數列有關 | 
* 不可及数
* 相亲数
* 交際數
* 婚約數

 |
|  |
| 其他 | 
* 亏数
* 友誼數
* 孤獨數
* 卓越数
* 歐爾調和數
* 佩服數
* 節儉數
* 等數位數
* 奢侈數

 |

 |

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
基本数学定理（英语：） |
| --- |
|  |
| 
* 算术
* 代数
* 微积分
* 几何
	+ 曲线（英语：）
	+ 射影（英语：）
	+ 黎曼（英语：）
* 群
	+ 循环（英语：）
	+ 有限生成阿貝爾群
* 线性代数
* 线性规划（英语：）
* 變分法
* 向量分析
* 同态
* 伽罗瓦理论

 |

 |