**交叉數不等式**是數學的圖論分支中的一条不等式，給出了一幅图画在平面上时交叉數的下界；这一结论又名**交叉数引理**。給定一幅圖，該下界可由其邊數和頂點數計算出。不等式斷言，若邊數e与頂點數n的比值大于某个常数，則交叉數不小于{\displaystyle e^{3}/n^{2}}乘以另一个固定的常数。

交叉數不等式在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。其由奧伊陶伊·米克洛什（英语：）、瓦茨拉夫·赫瓦塔爾（英语：）、蒙提·紐邦（英语：）、塞邁雷迪·安德烈四人以及湯姆森·雷頓（英语：）分別獨立發現。

敍述及歷史
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交叉數不等式說明，若無向簡單圖G恰有n個頂點和e條邊，且{\displaystyle e>7n}，則交叉數{\displaystyle {\text{cr}}(G)}（即將G畫在平面上時，邊的交點數的最小可能值）滿足不等式

{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.}
式中的常數29為截至2019年所知最優。此為伊爾·艾克曼（Eyal Ackerman）的結果。
先前常數較弱的結果，可見Pach & Tóth (1997)和Pach 等人 (2006)。
条件中的常數7也可以縮少至更佳的4，但代價是29要換成較差的{\displaystyle 64}。此版本的證明見後文。

注意式中交叉數{\displaystyle {\text{cr}}(G)}與**兩兩交叉數**{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}不同。如Pach & Tóth (2000)指出，兩兩交叉數{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}係指相交邊對的最小可能數，而交叉數{\displaystyle {\text{cr}}(G)}係指由任意兩邊所成交叉點的最小可能數，從而{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)\leq {\text{cr}}(G)}。（一些作者可能假定圖的畫法中不允許兩條邊交叉多於一次，因此需要作出區分。）

應用
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雷頓研究交叉數，是為了理論計算機科學中，超大型積體電路設計方面的應用。

此後，Székely (1997)發現此不等式在關聯幾何方面有應用，能夠簡短地證明一些重要定理，例如塞邁雷迪－特羅特定理，其在已知平面上的點數和直線數時，給出關聯數（即點線對{\displaystyle (p,\ell )}的數目，其中{\displaystyle p\in \ell }）的上界。證明方法是，先構造一幅圖，其頂點即為平面上的點，而邊則為同一直線上相鄰兩個關聯點之間的線段。倘若關聯數大於塞邁雷迪－特羅特的上界，則利用交叉數不等式可證，該圖的交叉數必多於直線的二元組數，但此為不可能（因為兩條直線只能交於獨一點）。此不等式同樣適用於證明貝克定理（英语：），即若平面上n個點中，不存在線性多（即{\displaystyle n/C}）個點共線，則其兩兩連線產生平方多（即{\displaystyle n^{2}/K}）條不重合的直線，其中C和K為正常數。
塔馬爾·戴伊（英语：）類似地證明了幾何*k*-集（英语：）數的上界。

證明
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### 引理

先利用歐拉公式證明以下初步估計：若圖G恰有n個頂點和e條邊，則

{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq e-3n.}
考慮G的一個僅得{\displaystyle {\text{cr}}(G)}個交叉的畫法。可以在每個交叉刪走其中一條邊，從而消除所有交叉。於是，剩下的邊組成一幅平面圖（因為不再有交叉），其邊數至少為{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)}，頂點數則仍舊為n。根據平面圖的歐拉公式，{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n}，所以上述估計成立。（更準確來說，對於n\geq 3，有{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n-6}。）

### 交叉數不等式

有了上述引理，就可以利用概率方法（英语：）證明原來的交叉數不等式。設{\displaystyle p\ (0<p<1)}為待定的概率參數，依如下步骤構造G的隨機子图H：1. 以概率p独立随机选取G的各个顶点；2. 若G中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分別以{\displaystyle e\_{H}}、{\displaystyle n\_{H}}和{\displaystyle {\text{cr}}\_{H}}表示H的邊數、頂點數和交叉數。由於H是G的子圖，G的畫法已含有H的畫法。由引理，得

{\displaystyle \operatorname {cr} \_{H}\geq e\_{H}-3n\_{H}.}
取期望值，可知

{\displaystyle \mathbb {E} [\operatorname {cr} \_{H}]\geq \mathbb {E} [e\_{H}]-3\mathbb {E} [n\_{H}].}
由於G中每個頂點选入H中的概率為p，有{\displaystyle \mathbb {E} [n\_{H}]=pn}。類似知G中每條邊入选H的概率為p^2（因為其兩端皆要入选H），所以{\displaystyle \mathbb {E} [e\_{H}]=p^{2}e}。最後，在G的畫法中，每個交叉有{\displaystyle p^{4}}的概率落入H，因為每個交叉牽涉四個頂點。（若從同一個頂點出發畫出兩條邊有交叉，則不妨將兩條邊第一次相交以後的部分對調，從而令交叉的數目變少。由於所考慮的畫法僅得{\displaystyle {\text{cr}}(G)}個交叉，無法再減少交叉，所以每個交叉必由兩條無公共端點的邊組成。）因此，{\displaystyle \mathbb {E} [cr\_{H}]=p^{4}{\text{cr}}(G)}，於是上式可寫成

{\displaystyle p^{4}\operatorname {cr} (G)\geq p^{2}e-3pn.}
現在取{\displaystyle p=4n/e<1}（已設{\displaystyle e>4n}），移項化簡得不等式

{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{64n^{2}}}.}
以上論證對於{\displaystyle e>7.5n}的情況可以將常數由{\displaystyle 64}改進到{\displaystyle 33.75}。

推廣
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若圖的圍長大於2r且{\displaystyle e\geq 4n}，Pach，Spencer & Tóth (2000)將不等式改進成

{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq c\_{r}{\frac {e^{r+2}}{n^{r+1}}}.}
卡里姆·阿迪普拉西托將不等式推廣到高維情況： 若\Delta 為單體複形，且其d維面數為{\displaystyle f\_{d}(\Delta )}，{\displaystyle (d-1)}維面數為{\displaystyle f\_{d-1}(\Delta )}，滿足{\displaystyle f\_{d}(\Delta )>(d+3)f\_{d-1}(\Delta )}，則當\Delta 映射到{\displaystyle \mathbf {R} ^{2d}}（將圖畫在平面上的高維類比）時，相交的d維面對的數目至少為

{\displaystyle {\frac {f\_{d}^{d+2}(\Delta )}{(d+3)^{d+2}f\_{d-1}^{d+1}(\Delta )}}.}

參考資料
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1. ↑  Ajtai, M.; Chvátal, V.; Newborn, M. M.; Szemerédi, E. , North-Holland Mathematics Studies **60**, North-Holland, Amsterdam: 9–12, 1982, MR 0806962 （英语） .
2. 1 2  Leighton, T. Foundations of Computing Series, Cambridge, MA: MIT Press, 1983 （英语） .
3. 1 2  Ackerman, Eyal, Computational Geometry, 2019, **85**: 101574, 31, MR 4010251, arXiv:1509.01932 可免费查阅, doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 （英语） .
4. ↑  Pach, János; Tóth, Géza, Combinatorica, 1997, **17** (3): 427–439, MR 1606052, doi:10.1007/BF01215922 （英语） .
5. ↑  Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza, Discrete and Computational Geometry, 2006, **36** (4): 527–552, MR 2267545, doi:10.1007/s00454-006-1264-9 可免费查阅 （英语） .
6. ↑  Pach, János; Tóth, Géza, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2000, **80** (2): 225–246, doi:10.1006/jctb.2000.1978 （英语） .
7. ↑  Székely, L. A. Combinatorics, Probability and Computing, 1997, **6** (3): 353–358, MR 1464571, doi:10.1017/S0963548397002976 （英语） .
8. ↑  Dey, T. K. Discrete and Computational Geometry, 1998, **19** (3): 373–382, MR 1608878, doi:10.1007/PL00009354 可免费查阅 （英语）
9. ↑  Pach, J.; Spencer, J.; Tóth, G. Discrete and Computational Geometry, 2000, **24** (4): 623–644, MR 1799605, doi:10.1145/304893.304943 （英语） .
10. ↑  Adiprasito, Karim.. 2018-12-26. arXiv:1812.10454v3 可免费查阅 [math.CO] （英语）.

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