**代数扩张**（英語：）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張L/K被稱作**代數擴張**，若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为**超越擴張**。最簡單的代數擴張例子有：{\mathbb {C}}/{\mathbb {R}}、{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }。

定义
--

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/K，L某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多項式的根，则称其为K上的**代数元**。如果L中所有元素都是K上的代数元，就称域扩张L/K为代数扩张。

次數
--

設有域擴張L/K，L可以看作是K上的向量空間，将其維度稱作這個擴張的**次數**，记作[L:K]。有限次數的擴張（簡稱**有限擴張**）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張L/K，則L裡的任一元素α生成的子擴張K(α)/K都是K的有限擴張。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

代數擴張與多項式的根
----------

在一個代數擴張L/K中，L中的每個元素α都是某個以K中元素为系数的多項式（以下简称K-多项式，所有K-多项式的集合记作*K*[*X*]）f的根。所有以α为根的K-多項式中次數最低者稱作α的**极小多項式**（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。

若K-多项式f不可約，則商環*L* := *K*[*X*]/( *f* )是K的一個域擴張，它的次数[*L* : *K*] = deg(*f*)，而且不定元X在商环中的像是在f的一個在L中的根，其极小多項式正是f。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如{\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域：複數域\mathbb {C} 。

给定域扩张L/K，如果K-多项式f可以在L中分解成一次因子的積，則稱f在L中**分裂**。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂；K'裡滿足此性質的"最小"子擴張稱作f在K上的**分裂域**。f在K上的任兩個分裂域至多差一個K上的同構（即：一個限制在K上的部分為恆等映射的環同構）。

正規擴張
----

条目：正规扩张
正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作**正規擴張**，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

* 固定代數閉包*K*alg，任何K上的（即在K上是恆等映射的）域嵌入*σ* : *L* → *K*alg，都有*σ*(*L*) = *L*。
* 存在一族在L上分裂的多項式{\displaystyle (f\_{i})\_{i\in I}\subset K[X]}，使得L/K是在K中添加它們的根生成的域扩张。
* *K*[*X*]中任何不可約多項式若在L裡有根，則在L裡分裂（全部的根都在L里面）。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着*K*[*X*]里的一个多项式。

### 例子

* {\displaystyle x^{2}+1\,} 在\mathbb {R} 上的分裂域是\mathbb {C} 。
* {\displaystyle x^{3}+2\,} 在\mathbb{Q}上的分裂域是{\displaystyle \mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})}。
* {\displaystyle (x^{2}-2)(x^{2}-3)\,} 在\mathbb{Q}上的分裂域是{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}。
* {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 是正規域擴張， {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} }卻不是，因為後者並沒有包括{\displaystyle x^{3}-2\,}的所有根，欠了{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}}。

可分擴張
----

条目：可分扩张
設L/K為代數擴張，如果α的极小多項式沒有重根，則稱α**可分**（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於(*f*, *f'* ) = 1，這可以直接在K中計算）。所有可分元素形成一個中间域K⊂F⊂L，[*L* : *K*]*s* := [*L**s* : *K*]稱作L/K的**可分次數**。若*L**s* = ; *L*，則稱L/K是**可分擴張**。

當L/K是有限擴張時，定義**不可分次數**[*L* : *K*]*i* := [*L* : *K*]/[*L* : *K*]*s*。當基域的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

参考文献
----

* Serge Lang, *Algebra* (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

外部链接
----

* 簡介 Galois 理論 /李華介 （页面存档备份，存于）


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
| --- |
|  |
| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

 |
|  |
| 環論 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

 |
|  |
| 論 | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

 |

 |