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| **反餘弦** |
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| *性質* |
| 奇偶性 |  非奇非偶函数  |
| 定義域 |  [-1, 1]  |
| 到達域 | [0,\pi ]（[0,180°]）  |
| 周期 |  N/A  |
| *特定值* |
| 當x=0 | \frac{\pi}{2}（90°）  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  | \pi （180°）  |
|  最小值  | {\displaystyle 0} |
| *其他性質* |
| 渐近线 |  N/A  |
| 根 |  1  |
| 拐點 | {\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)}{\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)} |
| 不動點 |  y軸為弧度時：
0.7390851332152...（42.3464588340929...°）
y軸為角度時：0.999847741531088...°（0.0174506351083467...）  |
| k是一個整數。 |

**反餘弦**（arccosine, {\displaystyle \arccos }, \cos ^{-1}）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反餘弦是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和反正弦定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將**反餘弦**函數的值域定義在{\displaystyle \left[0,\pi \right]}（[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間[-1,1]，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間[-1,1]，將傳回複數。

命名
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反餘弦的數學符號是{\displaystyle \arccos }，最常被計為\cos ^{-1}。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

定義
--

原始的定義是將餘弦函數限制在[0,\pi ]（[0,180°]）的反函數  

在複變分析中，反餘弦是這樣定義的:

\arccos x=-{{\mathrm {i}}}\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,
這個動作使反餘弦被推廣到複數。

拓展到複數的反餘弦函數

性質
--

**反餘弦函數**是一個定義在區間{\displaystyle \left[-1,1\right]}的嚴格遞減連續函數。  

{\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}
（{\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]}）
其圖形是對稱的，即對稱於點{\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}，或表示為{\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}，所以滿足{\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)}  

反餘弦函數的導數是：  

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}.  

反餘弦函數的泰勒級數是：  

{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}}
基於上述級數在{\displaystyle |x|}接近1時收斂速度十分緩慢，在{\displaystyle x=-1}求得的泰勒級數是：  

{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}}
由於先前描述的對稱關係{\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}，可由上式計算{\displaystyle |x|}接近1時的反餘弦值。  

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:

{\displaystyle \arccos x\_{1}+\arccos x\_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x\_{1}x\_{2}-{\sqrt {1-x\_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x\_{2}^{2}}}\right)&x\_{1}+x\_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x\_{1}x\_{2}-{\sqrt {1-x\_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x\_{2}^{2}}}\right)&x\_{1}+x\_{2}<0\end{cases}}}  

{\displaystyle \arccos x\_{1}-\arccos x\_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x\_{1}x\_{2}+{\sqrt {1-x\_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x\_{2}^{2}}}\right)&x\_{1}\geq x\_{2}\\\arccos \left(x\_{1}x\_{2}+{\sqrt {1-x\_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x\_{2}^{2}}}\right)&x\_{1}<x\_{2}\end{cases}}}.

應用
--

直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

參見
--

* 餘弦
* 反正弦

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* 论
* 编
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