在泛函分析中有多个有名的定理冠以**里斯表示定理**（英語：），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

希尔伯特空间的表示定理
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此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。

**定理**：{\displaystyle H}是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 {\displaystyle f:H\to \mathbb {C} }，存在唯一的 {\displaystyle v\_{f}\in H} 使得

{\displaystyle f(h)=\langle v\_{f},\,h\rangle }
證明的重點在於先證明 f  的核的正交补是  H 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 z，設 {\displaystyle v\_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}}。

### 與狄拉克符號的關係

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } 對每個任意態向量 |\phi\rangle 都是連續的時候，可以視為每个左向量 \langle \psi | （也就是表示躍遷到 \psi  狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 |\psi \rangle  來同時代表同一個純態 \psi  ，因為根據以上的表現定理， {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } 就是 |\psi \rangle  和 |\phi\rangle 的內積。

里斯-马尔可夫表示定理
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条目：里斯-馬可夫-角谷表示定理（英语：）
### 歷史

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现

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> 给定算子 A[f]，（任何人）可以構造一個有界变差函数 \alpha(x)，使得，對任何连续函数 f(x) ，（任何人）有
> 
> 
> {\displaystyle A[f]=\int \_{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}。
>   
> 
>  A[f]  \alpha(x)  f(x) 
> 
> 
> {\displaystyle A[f]=\int \_{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}.
>   
>  — Riesz, 1909
> 
> 
> 

### 支集為緊的連續函數空間

{\displaystyle C\_{c}(X)} 意為由所有支集為紧的连续函数 {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } 所構成的函数空间。

**定理**： *X* 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 *{\displaystyle \Lambda :C\_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}}*，存在一個含有所有 *X* 的博雷爾集的Σ-代数 *{\displaystyle {\mathfrak {M}}}* ，且存在唯一的测度*{\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}}* 使得

{\displaystyle \Lambda (f)=\int \_{X}f\,d\mu }
且（以下的條件稱為**正則的**） 

* 对所有 *X* 的紧子集 *{\displaystyle K\subseteq X}* ，*{\displaystyle \mu (K)\in \mathbb {R} }*。
* 若 *{\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}* ，則 {\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}}
* 若 *{\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}* 且 *{\displaystyle \mu (E)\in \mathbb {R} }* ，則 {\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}}
* 若*{\displaystyle O}* 為 *X* 的開集，則{\displaystyle \mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}}

### 於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 {\displaystyle C\_{0}(X)} 為 *X* 上所有在無窮遠處消失的连续函数 {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } 所構成的函数空间。

**定理**：*X* 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 *{\displaystyle \Lambda :C\_{0}(X)\to \mathbb {R} }*，存在一個含有所有 *X* 的博雷爾集的Σ-代数 *{\displaystyle {\mathfrak {M}}}* ，且存在唯一的**正則**测度*{\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}}* 使得

{\displaystyle \Lambda (f)=\int \_{X}f\,d\mu }
且 *{\displaystyle \Lambda }* 的范数是 *\mu*  的全变差（英語：），即

{\displaystyle \|\Lambda \|=|\mu |(X).}
最后，*{\displaystyle \Lambda }* 是正的当且仅当测度 *\mu*  是非负的。 

**注**：{\displaystyle C\_{c}(X)} 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 {\displaystyle C\_{0}(X)}上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 {\displaystyle C\_{c}(X)} 上一个无界正线性泛函不能延拓为 {\displaystyle C\_{0}(X)} 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献
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* M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. *C. R. Acad. Sci. Paris* **144**, 1414–1416.
* F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. *C. R. Acad. Sci. Paris* **144**, 1409–1411.
* F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. *C. R. Acad. Sci. Paris* *149*, 974–977.
* J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
* P. Halmos *Measure Theory*, D. van Nostrand and Co. 1950.
* P. Halmos, *A Hilbert Space Problem Book*, Springer, New York 1982 *(problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems)*.
* D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, *American Mathematical Monthly*, **90**(4), 277-280 *(A category theoretic presentation as natural transformation)*.
* Walter Rudin, *Real and Complex Analysis*, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
*. PlanetMath.


1. ↑  Gray, J. D.. Archive for History of Exact Sciences. 1983-08-15, (31): 127–187  [2023-02-13]. doi:10.1007/BF00348293 –Springer.
2. 1 2  Walter Rudin.. McGRAW-HILL. 1976. ISBN 978-0070542327.