*f*(*z*) = *z*3 − 1的牛顿分形
**牛顿分形**（英語：）是将牛顿法应用于一给定多项式*p*(*Z*) ∈ ℂ[*Z*]或超越函数而得到的复平面上的一个边界集。它是由牛顿法所定义的亚纯函数*z* ↦ *z* − *p*(*z*)/*p′*(*z*)的朱利亚集。当不存在吸引循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为不同的区域*Gk*，每个区域与多项式的根*ζk*相关联，其中*k* = 1, …, deg(*p*)。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。

将复平面上的某一点作为牛顿法迭代*z**n* + 1 := *zn* − *p*(*zn*)/*p'*(*zn*)的初始点*z*0，可以通过迭代得到一个点序列*z*1, *z*2, …,。如果这一序列收敛于根*ζk*，则将*z*0划入区域*Gk*。如此便能将复平面上的这一点与多项式的某一个根相对应。不过值得注意的是，对于二次以上的多项式，都存在一些点会使得牛顿迭代无法收敛到任何根上，例如不同根的吸引域的边界。甚至存在一些多项式，某些开集中的任意初始点都无法收敛到任何根上。一个简单的例子是*z*3 − 2*z* + 2，某些点会被吸引到循环0、1、0、1……中，而不被任何根所吸引。

如果以一个开集中的任意点为初始点，迭代最终都收敛于某一根或循环，则该集合是这一牛顿迭代的法图集。一个法图集对应于一个根或循环。所有这些法图集的并集与朱利亚集为互补集。这一朱利亚集即是法图集的共同边界。因此，朱利亚集中的每个点都是每个法图集的一个聚点。正是由于这一性质导致了朱利亚集的分形结构（当多项式的次数大于2时）。

为了绘制一个牛顿分形图像，可以首先选择指定数量d的复点(*ζ*1, …, *ζd*)并计算多项式的系数(*p*1, …, *pd*)

{\displaystyle p(z)=z^{d}+p\_{1}z^{d-1}+\cdots +p\_{d-1}z+p\_{d}:=(z-\zeta \_{1})(z-\zeta \_{2})\cdots (z-\zeta \_{d})} .
于是，对于复平面上的一个矩形网格

{\displaystyle z\_{mn}=z\_{00}+m\,\Delta x+in\,\Delta y;\quad m=0,\ldots ,M-1;\quad n=0,\ldots ,N-1}
找到每个点(*m*,*n*)对应的根*ζ**k*(*m*,*n*)的编号*k*(*m*,*n*)，并通过为每一点分配一个颜色*f**k*(*m*,*n*)来填充这一*M* × *N*网格。另外，颜色可以取决于距离*D*(*m*,*n*)。对于某一固定的小*ε* > 0，距离D可以定义为第一个使得|*zD* − *ζ**k*(*m*,*n*)| < *ε*成立的D值。

牛顿分形的推广
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牛顿迭代的一种推广可表示为

{\displaystyle z\_{n+1}=z\_{n}-a{\frac {p(z\_{n})}{p'(z\_{n})}}}
其中a是任意复数。当*a* = 1时即对应于牛顿分形。当a位于以1为圆心、半径为1的圆盘以内时，该映射的不动点是稳定的。而当a位于这个圆盘之外时，不动点是局部不稳定的，不过该映射仍能表现出朱利亚集的分形结构。如果p是d次多项式，则当是a位于以d为圆心、半径为d的圆盘内时，序列zn是有界的。

更一般地，牛顿分形是朱利亚集的一个特例。

* p(z) = z3 − 1的牛顿分形，颜色表示需要的迭代步数*p*(*z*) = *z*3 − 1的牛顿分形，颜色表示需要的迭代步数
* p(z) = z3 − 1的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根*p*(*z*) = *z*3 − 1的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根
* p(z) = z3 − 2z + 2的牛顿分形，红色区域中的点不收敛到任何根*p*(*z*) = *z*3 − 2*z* + 2的牛顿分形，红色区域中的点不收敛到任何根
* 一个7次多项式的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示收敛速度一个7次多项式的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示收敛速度
* p(z) = z8 + 15z4 − 16的牛顿分形*p*(*z*) = *z*8 + 15*z*4 − 16的牛顿分形
* p(z) = z5 − 3iz3 − (5 + 2i)z2 + 3z + 1的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示迭代步数*p*(*z*) = *z*5 − 3*iz*3 − (5 + 2*i*)*z*2 + 3*z* + 1的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示迭代步数
* p(z) = sin z的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示迭代步数*p*(*z*) = sin *z*的牛顿分形，颜色表示最终收敛到的根，深浅表示迭代步数
* p(z) = sin z的牛顿分形*p*(*z*) = sin *z*的牛顿分形
* p(z) = z3 − 1的广义牛顿分形（a = −1/2）*p*(*z*) = *z*3 − 1的广义牛顿分形（*a* = −1/2）
* p(z) = z2 − 1的广义牛顿分形（a = 1 + i）*p*(*z*) = *z*2 − 1的广义牛顿分形（*a* = 1 + *i*）
* p(z) = z3 − 1的广义牛顿分形（a = 2）*p*(*z*) = *z*3 − 1的广义牛顿分形（*a* = 2）
* p(z) = z4 + 3i − 1的广义牛顿分形（a = 2.1）*p*(*z*) = *z*4 + 3*i* − 1的广义牛顿分形（*a* = 2.1）
* p(z) = z6 + z3 − 1的牛顿分形*p*(*z*) = *z*6 + *z*3 − 1的牛顿分形
* p(z) = sin z − 1的牛顿分形*p*(*z*) = sin *z* − 1的牛顿分形
* p(z) = cosh z − 1的牛顿分形*p*(*z*) = cosh *z* − 1的牛顿分形

### 新星分形

新星分形（Nova fractal）是由Paul Derbyshire于1990年代发明的一种分形。它也是牛顿分形的一种推广，即在每一步迭代时都增加了一个c值： 

{\displaystyle z\_{n+1}=z\_{n}-a{\frac {p(z\_{n})}{p'(z\_{n})}}+c=G(a,c,z)}
新星分形的"朱利亚"版本令c为常数，并将像素坐标设为初始值*z*0。而新星分形的"曼德博"版本则用像素坐标来初始化c，并将*z*0设置为一临界点，满足

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}G(a,c,z)=0.}
例如，*p*(*z*) = (*z* − 1)3的临界点位于*z* = 1处。

实现
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为了用计算机实现牛顿分形，需要有一个起始函数及其导函数：

{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=z^{3}-1\\f'(z)&=3z^{2}\end{aligned}}}
该函数的三个根是

{\displaystyle z=1,\ -{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i,\ -{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}
该函数可以以伪代码表示如下：

```
//z^3-1 
float2 Function (float2 z)
{
 return cpow(z, 3) - float2(1, 0); //cpow is an exponential function for complex numbers
}

//3\*z^2
float2 Derivative (float2 z)
{
 return 3 \* cmul(z, z); //cmul is a function that handles multiplication of complex numbers
}

```

之后只需用给定函数实现牛顿法即可：

```
float2 roots[3] = //Roots (solutions) of the polynomial
{
 float2(1, 0), 
 float2(-.5, sqrt(3)/2), 
 float2(-.5, -sqrt(3)/2)
};
 
color colors[3] = //Assign a color for each root
{
 red,
 green,
 blue
}

For each pixel (x, y) on the target, do:
{
 zx = scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.5, 1))
 zy = scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-2, 1))

 float2 z = float2(zx, zy); //z is originally set to the pixel coordinates

 for (int iteration = 0;
 iteration < maxIteration;
 iteration++;)
 {
 z -= cdiv(Function(z), Derivative(z)); //cdiv is a function for dividing complex numbers

 float tolerance = 0.000001;
 
 for (int i = 0; i < roots.Length; i++)
 {
 float2 difference = z - roots[i];
 
 //If the current iteration is close enough to a root, color the pixel.
 if (abs(difference.x) < tolerance && abs (difference.y) < tolerance)
 {
 return colors[i]; //Return the color corresponding to the root
 }
 }
 
 }
 
 return black; //If no solution is found
}

```

参考文献
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1. ↑  Simon Tatham..  [2022-06-05]. （原始内容存档于2022-06-15）.
2. ↑  Damien M. Jones..  [2022-06-05]. （原始内容存档于2018-12-15）.
3. ↑  Damien M. Jones..  [2022-06-05]. （原始内容存档于2017-08-20）.
4. ↑  Michael Condron..  [2022-06-05]. （原始内容存档于2022-03-28）.
5. ↑  Frederik Slijkerman..  [2022-07-08]. （原始内容存档于2022-01-04）.

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* 论
* 编
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| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
	+ 拓撲維數
* 递归
* 自相似

 | An image of a fern which exhibits affine self-similarity.Barnsley fern（英语：） |
|  |
| 迭代函数系统 | 
* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
* 科赫雪花
* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
* 
* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

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| 奇異吸子 | 
* 多重分形系統（英语：）

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* 分形灌木（英语：）
* H树
* 空間填充曲線（英语：）

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* 朱利亚集合
	+ 朱利亚填充集合（英语：）
* 李亞普諾夫分形（英语：）
* 牛頓分形（英语：）
* 燃燒巨輪分形（英语：）
* 三角帽分形（英语：）

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* 格奥尔格·康托尔
* 费利克斯·豪斯多夫
* 加斯東·朱利亞（英语：）
* 海里格·馮·科赫
* 保羅·皮埃爾·萊維
* 亞歷山大·李亞普諾夫
* 本華·曼德博
* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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| 其他相關 | 
* 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》
	+ 海岸線悖論（英语：）
* 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：）
* 《分形之美（英语：）》 (1986)
* 分形艺术（英语：）
* 《混沌学传奇（英语：）》 (1987)
* 《大自然的分形几何学》 (1982)
* 分形压缩
* 仿射变换

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* 论
* 编
艾萨克·牛顿爵士 |
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| 科學著作 | 
* 《流数法》（1671）
* 《物體在軌道中之運動（英语：）》（1684）
* 《自然哲学的数学原理》（1687）
* 《光学（英语：）》（1704）
* 《The Queries（英语：）》（1704）
* 《廣義算術（英语：）》（1707）
* 《用無窮級數做數學分析（英语：）》（1711）

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| 其它著作 | 
* 《若干哲學問題（英语：）》（1661–1665）
* 《站在巨人的肩膀上（英语：）》（1675）
* 《Notes on the Jewish Temple（英语：）》（約1680）
* 《總釋（英语：）》（1713；《不作假设（英语：）》）
* 《古王國年表，修訂（英语：）》（1728）
* 《两处著名圣经讹误的历史变迁（英语：）》（1754）

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| 貢獻 | 
* 微积分学
	+ 流數
* 冲击深度
* 慣性
* 牛頓色環（英语：）
* 牛頓多邊形（英语：）
	+ 牛頓–奧昆科夫體（英语：）
* 牛頓反射望遠鏡（英语：）
* 牛顿望远镜
* 牛頓溫標
* 牛頓合金（英语：）
* 光學頻譜
* 结构色

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| 牛頓主義（英语：） | 
* 水桶實驗（英语：）
* 牛頓不等式
* 冷却定律
* 万有引力定律
	+ 后牛顿力学近似方法
	+ 後牛頓形式論
	+ 万有引力常数
* 牛頓–嘉當理論（英语：）
* 薛定谔-牛顿方程
* 牛顿运动定律
	+ 第一定律
	+ 第二定律
	+ 第三定律
	+ 开普勒定律
* 牛頓動力學（英语：）
* 應用於最優化的牛頓法
	+ 问题
	+ 截斷牛頓法（英语：）
* 高斯牛頓算法（英语：）
* 牛頓環
* 牛頓橢圓定理（英语：）
* 牛顿-问题
* 牛頓位（英语：）
* 牛顿流体
* 
* 光的微粒理论
* 牛顿与莱布尼茨的微积分学论战（英语：）
* 牛頓記法（英语：）
* 旋轉球體（英语：）
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	+ 廣義高斯-牛顿法（英语：）
* 
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* 牛頓旋轉軌道定理
* 牛顿-歐拉方程式（英语：）
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	+ 吻球數問題（英语：）
* 牛頓商（英语：）
* 力的平行四边形（英语：）
* 牛顿-皮瑟理論（英语：）
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* 以太
* 牛頓級數
	+ 列表（英语：）

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* 伍尔索普庄园（出生地）
* Cranbury Park（英语：）（成長地）
* 早年生活（英语：）
* 晚年生活（英语：）
* 蘋果樹（英语：）
* 宗教思想（英语：）
* 神秘學研究（英语：）
* 科学革命
* 哥白尼革命

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* 凱瑟琳·巴頓（英语：）（侄女）
* 約翰·孔杜伊特（英语：）（姪女婿）
* 艾萨克·巴罗（指導教授）
* 威廉·克拉克（英语：）（指導者）
* Benjamin Pulleyn（英语：）（導師）
* 约翰·基尔（英语：）（徒弟）
* 威廉・斯圖凱利（英语：）（好友）
* 威廉·琼斯（好友）
* （好友）
* （仇敵）

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| 描繪（英语：） | 
* 《牛顿》（單版畫）
* 《牛顿（英语：）》（雕塑）
* 《艾薩克·牛頓雨漏（英语：）》
* 《天文學家紀念碑（英语：）》

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| 相關（英语：） | 
* 牛頓 (單位)
* 牛顿摆
* 艾萨克·牛顿研究所（英语：）
* 艾萨克·牛顿奖章
* 艾萨克·牛顿望远镜
* 艾萨克·牛顿望远镜组（英语：）
* XMM-牛顿卫星
* 施密特-牛頓望遠鏡
* 艾薩克·牛頓爵士大學預科學校（英语：）
* 艾薩克·牛頓斯塔塔爾高等教育學院（英语：）
* 牛頓國際獎學金（英语：）

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| 分類 | 
  艾萨克·牛顿
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