**代数基本定理**说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是"至少有一个根"的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为"代数基本定理"，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

证明
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所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或複数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有複数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定複系数多项式*p*(*z*)，以下的多项式

q(z)=p(z)\overline {p(\overline {z})}
就是一个实系数多项式，如果*z*是*q*(*z*)的根，那么*z*或它的共轭複数就是*p*(*z*)的根。

许多非代数证明都用到了"增长引理"：当|*z*|足够大时，首系数为1的*n*次多项式函数*p*(*z*)的表现如同*zn*。一个更确切的表述是：存在某个正实数*R*，使得当|*z*| > *R*时，就有：

{\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|
### 複分析证明

#### 证明一

寻找一个中心为原点，半径为*r*的闭圆盘*D*，使得当|*z*| ≥ *r*时，就有|*p*(*z*)| > |*p*(0)|。因此，|*p*(*z*)|在*D*内的最小值（一定存在，因为*D*是紧致的），是在*D*的内部的某个点*z*0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，*p*(*z*0) = 0。也就是说，*z*0是*p*(*z*)的一个零点（根）。

#### 证明二

由于在*D*之外，有|*p*(*z*)| > |*p*(0)|，因此在整个複平面上，|*p*(*z*)|的最小值在*z*0取得。如果|*p*(*z*0)| > 0，那么1/*p*在整个複平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个複数*z*，都有|1/*p*(*z*)| ≤ |1/*p*(*z*0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/*p*是常数，因此*p*是常数。于是得出矛盾，所以*p*(*z*0) = 0。

#### 证明三

这个证明用到了辐角原理。设*R*为足够大的正实数，使得*p*(*z*)的每一个根的绝对值都小于*R*；这个数一定存在，因为*n*次多项式函数最多有*n*个根。对于每一个*r* > *R*，考虑以下的数：

{\frac {1}{2\pi i}}\int \_{{c(r)}}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,
其中*c*(*r*)是中心为0，半径为*r*的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是*p*(*z*)在中心为0、半径为*r*的开圆盘内的零点的数目*N*，由于*r* > *R*，所以它也是*p*(*z*)的零点的总数目。另一方面，*n*/*z*沿着*c*(*r*)的积分除以2π*i*，等于*n*。但这两个数的差为：

{\frac {1}{2\pi i}}\int \_{{c(r)}}{\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{{c(r)}}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.
被积分的有理表达式中的分子，次数最多是*n* − 1，而分母的次数是*n* + 1。因此，当*r*趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于*N* − *n*，因此有*N* = *n*。

#### 证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个*n* > 0次複系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个複数特征值。证明用到了反证法。

设*A*为大小*n* > 0的方块矩阵，并设*In*为相同大小的单位矩阵。假设*A*没有特征值。考虑预解函数

R(z)=(zI\_{n}-A)^{{-1}},\,
它在複平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。*A*的特征值正好是*R(z)*的极点。根据假设，*A*没有特征值，因此函数*R(z)*是整函数，根据柯西积分定理可知：

\int \_{{c(r)}}R(z)dz=0.\,
另一方面，把*R(z)*展开为几何级数，可得：

R(z)=z^{{-1}}(I\_{n}-z^{{-1}}A)^{{-1}}=z^{{-1}}\sum \_{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot 
这个公式在半径为||*A*||的闭圆盘的外部（*A*的算子范数）成立。设*r* > ||*A*||。那么：

\int \_{{c(r)}}R(z)dz=\sum \_{{k=0}}^{{\infty }}\int \_{{c(r)}}{\frac {dz}{z^{{k+1}}}}A^{k}=2\pi iI\_{n}
（仅当*k* = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此*A*一定有一个特征值。

### 拓扑学证明

设*z*0 ∈ **C**为使|*p*(*z*)|在*z*0取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把*p*(*z*)写成*z* − *z*0的多项式：存在某个自然数*k*和一些複数*ck*、*c**k* + 1、…、*cn*，使得*ck* ≠ 0，以及：

p(z)=p(z\_{0})+c\_{k}(z-z\_{0})^{k}+c\_{{k+1}}(z-z\_{0})^{{k+1}}+\cdots +c\_{n}(z-z\_{0})^{n}.
可推出如果*a*是(*p*(*z*)-*p*(*z*0))/*ck*的一个*k*重根，且*t*是足够小的正数，那么|*p*(*z*0 + *ta*)| < |*p*(*z*0)|，这是不可能的，因为|*p*(*z*0)|是|*p*|在*D*内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设*p*(*z*)没有根。选择一个足够大的正数*R*，使得对于|*z*| = *R*，*p*(*z*)的第一项*zn*大于所有其它的项的和；也就是说，|*z*|*n* > |*a**n* − 1*z**n* −1 + ··· + *a*0|。当*z*依逆时针方向绕过方程为|*z*| = *R*的圆一次时，*p*(*z*)，像*zn*那样，依逆时针方向绕过零*n*次。在另外一个极端，|*z*| = 0时，"曲线" *p*(*z*)仅仅是一个（非零的）点*p*(0)，它的卷绕数显然是0。如果*z*所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么*p*(*z*)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为H(Re^{{i\theta }},t)=p((1-t)Re^{{i\theta }})，其中*t*大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量*t*视为时间，那么在时间为零时，曲线为*p(z)*，时间为1时，曲线为*p(0)*。显然在每一个点*t*，根据原先的假设*p(z)*都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是*n*，结束时是0，因此得出矛盾。所以，*p*(*z*)至少有一个根。

### 代数证明

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在\mathbb {R} 上有实平方根，以及任何奇次多项式在\mathbb {R} 上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先{\mathbb {C}}={\mathbb {R}}[x]/(x^{2}+1)={\mathbb {R}}(i)。经过简单的计算可以证明\mathbb {C} 在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合char{\mathbb {C}}=0\neq 2。得出\mathbb {C} 不存在二阶扩张。

由于char\mathbb{R}=0，于是任何\mathbb {R} 的扩张都是可分的，从而任何\mathbb {R} 的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设K/\mathbb{R}、K/{\mathbb {C}}都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群G=Gal(K/\mathbb{R})的西罗2-子群*H*。那么[K^H:\mathbb{R}]是奇数。由本原元定理得出，*KH*存在本原元\alpha ，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是H=G,K^H=\mathbb{R},[K:\mathbb{R}]是2的幂次。

假设[K:{\mathbb {C}}]=2^{r}并且*r>0*，再次利用西罗定理，*G*存在一个阶为*2r-1*的子群*N*。这时[K^{N}:{\mathbb {C}}]=2。这和先前\mathbb {C} 不存在二阶扩张矛盾。因此\mathbb {C} 的任何代数扩张都是\mathbb {C} 本身，代数基本定理得证。

推论
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由于代数基本定理可以视为複数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在複数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与複数域之间的关系的：

* 複数域是实数域的代数闭包。

* 每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、*x* + *a*形式的多项式（*a*为实数），以及*x*2 + *ax* + *b*形式的多项式（*a*和*b*为实数，*a*2 − 4*b* < 0）的乘积。

* 每一个一元实系数有理函数都可以写成*a*/(*x* − *b*)*n*形式的有理函数（其中*n*是自然数，*a*和*b*是实数），与(*ax* + *b*)/(*x*2 + *cx* + *d*)*n*形式的有理函数（其中*n*是自然数，*a*、*b*、*c*和*d*是实数，*c*2 − 4*d* < 0）的和。由此可以推出，任何一个一元实系数有理函数都有一个初等的原函数。

* 实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构，要么与複数域同构。

韦达公式
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韦达公式把多项式的系数\lbrace a\_{k}\rbrace 与它的根\lbrace x\_{k}\rbrace 的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出：
a\_{n}X^{n}+a\_{{n-1}}X^{{n-1}}+\cdots +a\_{1}X+a\_{0}=a\_{n}(X-x\_{1})(X-x\_{2})\cdots (X-x\_{n})

参考文献
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### 历史上的文献

* Cauchy, Augustin Louis（奧古斯丁·路易·柯西）, Paris: Éditions Jacques Gabay, 18211992  [2008-09-22], ISBN 2-87647-053-5, （原始内容存档于2019-06-10）

* Euler, Leonhard（萊昂哈德·歐拉）, Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin **5** (Berlin), 1751, **5**: 222–288  [2020-05-31], （原始内容存档于2008-12-24） . English translation: Euler, Leonhard,  (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin **5** (Berlin), 1751, **5**: 222–288  [2016-07-18], （原始内容存档 (PDF)于2018-04-03）

* Gauss, Carl Friedrich（卡爾·弗里德里希·高斯）, 黑尔姆斯特: C. G. Fleckeisen, 1799

* 卡爾·弗里德里希·高斯, "Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree（页面存档备份，存于）", 1815

* Kneser, Hellmuth（赫尔穆特·克内泽尔）, Mathematische Zeitschrift **46**, 1940, **46**: 287–302  [2008-09-22], ISSN 0025-5874, （原始内容存档于2020-04-09）

* Kneser, Martin, Mathematische Zeitschrift **177**, 1981, **177**: 285–287  [2008-09-22], ISSN 0025-5874, （原始内容存档于2020-04-09）

* Weierstraß, Karl（卡尔·魏尔斯特拉斯）.. : 1085–1101. 1891.

### 现代作品

* Fine, Benjamin; Rosenber, Gerhard, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94657-3

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* Remmert, Reinhold, Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (编), Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97497-2

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* Smithies, Frank, Notes & Records of the Royal Society **54** (3), 2000, **54** (3): 333–341, ISSN 0035-9149

* van der Waerden, Bartel Leendert,  **I** 7th, Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-40624-7

外部链接
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* 代数基本定理（页面存档备份，存于）；含有许多证明
* John H. Mathews所作的代数基本定理教程
* 代数基本定理的文献目录

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