在數學裡，任何向量空間*V*都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由*V*的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

**对偶空間**是 row vector （{\displaystyle 1\times n}）與 column vector （n\times 1）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。**对偶空間**的應用是泛函分析理論的特徵。傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

代數对偶空间
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設V為 在域F上的向量空間，定義其**对偶空間**V^\*為由*V*到*F*的所有線性函數的集合。
即是*V*的標量線性變換。V^\*本身是F的向量空間，並且對所有V^\*中的\phi 及\varphi 、所有*F*中的a、所有*V*中的x滿足以下加法及標量乘法：

{\displaystyle (\phi +\varphi )(x)=\phi (x)+\varphi (x)\,}
(a\phi )(x)=a\phi (x)\,
在張量的語言中，*V*的元素被稱為反變或逆變（contravariant）向量，而V^\*的元素被稱為共變或協變（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「线性型」或「1-形式」（one-form）。

### 例子

如果*V*是有限維的，V^\*的維度和V的維度便相等；
如果{\displaystyle \left\{e\_{1},...e\_{n}\right\}}是*V*的基，V^\*便應該有相對基{\displaystyle \left\{e^{1},...e^{n}\right\}}，記作：

e^{i}(e\_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.
如果*V*是平面幾何向量的空間，V^\*便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果*V*是無限維度，{\displaystyle e^{i}}不能產生V^\*的基；而V^\*的維度比*V*的大。

例如空間{\displaystyle R^{(\omega )}}的元素是實數列，其擁有很多非零數字。{\displaystyle R^{\omega }}的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(a\_{n})被用於元素(x\_n)而產生{\displaystyle \sum \_{n}a\_{n}x\_{n}}。

### 線性映射的轉置

設f:V\rightarrow W是線性映射。
f的*轉置*{\displaystyle {}^{t}\!f:W^{\*}\rightarrow V^{\*}}定義為

{\displaystyle {}^{t}\!f(\varphi )=\varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{\*}}
對任何向量空間V,W，定義L(V,W)為所有從V到W的線性映射組成的向量空間。{\displaystyle f|\rightarrow {}^{t}\!f}產生從L(V,W)至L(W^{\*},V^{\*})的單射；這是個同構若且唯若W是有限維的。

若 線性映射*f*表示作其對V,W的基之矩陣A ,則{\displaystyle {}^{t}\!f}表示作其對V^{\*},W^{\*}的對偶基之轉置矩陣。
若{\displaystyle g:W\rightarrow X}是另一線性映射，則{\displaystyle {}^{t}\!\left(g\circ f\right)={}^{t}\!f\circ {}^{t}\!g}。

在范畴論的語言裡，*為任何向量空間取對偶*及*為任何線性映射取轉置*都是向量空間范畴的逆變函子。

### 雙線性乘積及对偶空間

正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V^\*是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上，任意同構{\displaystyle \phi =\left(V\rightarrow V^{\*}\right)}在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

\langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,
相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V^\*的同構。

### 到雙对偶空間内的單射

存在一個由V到其雙对偶{\displaystyle V^{\*\*}}的自然映射\psi ，定義為

{\displaystyle \left(\psi (v)\right)(\varphi )=\varphi (v)\forall v\in V,\varphi \in V^{\*}}

\psi 常是單射；当且仅当V的維數有限時，\psi 是個同構。

連續對偶空間
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處理拓撲向量空間時，我们一般僅對該空間射到其基域的連續線性泛函感興趣。由此導致**連續對偶空間**之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間*V*之連續對偶記作*V*′。此脈絡下可逕稱連續對偶為*對偶*。

線性賦範向量空間*V*（如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶*V*產生一線性賦範向量空間。對一*V*上之連續線性泛函，其範數{\displaystyle \left\Vert \varphi \right\Vert }定義為

\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}
此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

### 例子

對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令{\displaystyle 1<p<\infty }為實數，並考慮所有序列{\displaystyle a=(a\_{n})}構成之巴拿赫空間*l**p*，使其範數

\|{\mathbf {a}}\|\_{p}=\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }|a\_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}
有限。以{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1定義q，{\displaystyle I^{p}}其連續對偶遂自然等同於{\displaystyle I^{q}}：給定一元素{\displaystyle \varphi \in (I^{p})}，{\displaystyle I^{q}}中相應元素為序列 {\displaystyle \left(\varphi (e\_{n})\right)}，其中{\displaystyle e\_{n}}謂第n項為1且餘項皆0之序列。反之，給定一元素{\displaystyle a=(a\_{n})\in I^{q}}，{\displaystyle I^{p}}上相應之連續線性泛函\varphi 定為{\displaystyle \varphi (a)=\sum \_{n}a\_{n}x\_{n}}（對一切{\displaystyle a=(a\_{n})\in I^{p}}，見Hölder不等式）。

準此，{\displaystyle I^{1}}之連續對偶亦自然同構於{\displaystyle I^{\infty }}。再者，巴拿赫空間c（賦以上確界範數之全體收斂序列）及c\_{0}（*c*中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於{\displaystyle I^{1}}。

### 進一步的性質

若*V*為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於*V*；此即是里斯表示定理的陳述，同時也啟發了量子力學之數學描述時所用的狄拉克符號。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射{\displaystyle \psi :V\rightarrow V''}，此映射實為等距同構，即 {\displaystyle \left\Vert \psi (x)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert }對一切*V*中x皆真。使\psi 為雙射之空間稱自反空间。

連續對偶賦*V*以一新拓撲，稱之為弱拓撲。

若*V*之對偶可分，則*V*亦可分。反之則不然：考慮空間I\_{1}，則其對偶{\displaystyle I\infty }不可分。

引用
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* Bourbaki, Nicolas.. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9.
* Paul Halmos.. Springer. 1974. ISBN 0387900934.
* Walter Rudin.. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.

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