在数学分支泛函分析中，对于给定的C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} ， **Gelfand–Naimark–Segal 构造**（简称**GNS构造**）在一个C\*-代数的循环\*-表示与该C\*-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造\*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 马克·奈马克（英语：）和欧文·西格尔（英语：）。

C\*-代数的态与表示
-----------

C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在希尔伯特空间 {\displaystyle H} 上的\*-表示是 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 到 {\displaystyle B(H)} 的 \*-同态 {\displaystyle \pi } ，其中 {\displaystyle B(H)} 是 {\displaystyle H} 上有界算子构成的代数。换句话说，{\displaystyle \pi } 是将 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的对合映为 {\displaystyle B(H)} 上的对合的代數同態。

下文提及 \*-表示时，将默认讨论的是非退化的\*-表示。也就是说线性生成空间 {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})H} 是 {\displaystyle H} 的稠密子集。注意，若 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 有单位元，则非退化性蕴含了 {\displaystyle \pi } 的保单位元性质，即 {\displaystyle \pi } 将 *{\displaystyle {\mathcal {A}}}* 的单位元映射到 *{\displaystyle H}* 上的恒等算子 *{\displaystyle I}* 。

C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态是范数为 1 的正线性泛函 {\displaystyle f} 。若 *{\displaystyle {\mathcal {A}}}* 具有乘法单位元，则此条件等价于 {\displaystyle f(1\_{\mathcal {A}})=I} 。

对于希尔伯特空间 {\displaystyle H} 上的C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的表示 {\displaystyle \pi } 以及 {\displaystyle \xi \in H} ，如果向量集

{\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}
在 {\displaystyle H} 中范数稠密，则 {\displaystyle \xi ,\pi } 分别被称为是**循环向量**和**循环表示**。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

### GNS 构造

令 {\displaystyle \pi } 为C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在希尔伯特空间 {\displaystyle H} 上的\*-表示，单位向量 {\displaystyle \xi } 对于 {\displaystyle \pi } 而言是循环向量。那么


a
↦
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩

{\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }

{\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }是 *{\displaystyle {\mathcal {A}}}* 上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示， {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的每个态都可以被视为如上所述的向量态。

**定理** — 给定C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态 {\displaystyle \rho } ，必有 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在某个希尔伯特空间 {\displaystyle H} 上的一个\*-表示 {\displaystyle \pi } 以及一个相对 {\displaystyle \pi } 而言循环的单位向量 {\displaystyle \xi } ，使得 

∀
a
∈

A

,

ρ
(
a
)
=
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩
.

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle .}

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle .}
 

**證明**
1. **构造希尔伯特空间 {\displaystyle H}** 

定义 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个正半定半线性形式如下

⟨
a
,
b
⟩
=
ρ
(

b

∗

a
)
,

a
,
b
∈
A
.

{\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\*}a),\;a,b\in A.}

{\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}
根据柯西-施瓦茨不等式， {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的退化元（也就是说即满足 {\displaystyle \rho (a^{\*}a)=0} 的 {\displaystyle a} ）构成了 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的一个子空间 {\displaystyle {\mathcal {I}}} 。通过C\*-代数式的论证，可以证明 {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的一个左理想（即 {\displaystyle \rho } 的**左核**)。实际上，它是 {\displaystyle \rho } 的核所含的最大的左理想。商空间 {\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {I}}} 可配备内积 {\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{\*}a),\;a,b\in A} 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化便得到被记作 {\displaystyle H} 的希尔伯特空间.
2. **构造表示 {\displaystyle \pi }** 

为定义 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 到 {\displaystyle B(H)} 上的映射 {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，先定义 {\displaystyle \pi } 到 {\displaystyle B({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})} 上的映射。为此对于 {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} ，定义算子 {\displaystyle \pi (a)} 的行为如下： {\displaystyle \pi (a)(b+{\mathcal {I}})=ab+{\mathcal {I}}} ，其中 {\displaystyle x+{\mathcal {I}}} 表示商空间中的 {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} 所属的等价类。类似前面对 {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是左理想的证明，可以证明前述的算子 {\displaystyle \pi (a)} 是有界的，故可以唯一地扩张为 {\displaystyle H} 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随的定义， {\displaystyle \pi } 显然是保对合的，至此便证明了它是一个\*-同态。
3. **找出循环单位向量 {\displaystyle \xi }** 

若 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 有乘法单位元 {\displaystyle 1} ，则显然 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中单位元所在的等价类就是 {\displaystyle H} 中相对于 {\displaystyle \pi } 而言的循环向量 {\displaystyle \xi } 。若 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 没有乘法单位元，可考虑 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的渐进单位元（英语：） {\displaystyle \{e\_{\lambda }\}} 。由于正线性泛函有界， {\displaystyle \{e\_{\lambda }\}} 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 {\displaystyle \xi \in H} ，即所要寻找的循环向量。

根据 {\displaystyle H} 上内积的定义，态 {\displaystyle \rho } 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来，于是此定理证毕。

在上述定理的证明中，根据 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态产生\*-表示的方法称为**GNS构造**。

对于C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 {\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle } 唯一确定了。下面的定理说明了这一点：

**定理** — 设 {\displaystyle \pi ,\pi '} 是 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 分别在希尔伯特空间 {\displaystyle H,H'} 上的\*-表示，相应的循环单位向量分别是 {\displaystyle \xi ,\xi '} 。对于 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上给定的态 {\displaystyle \rho } ，若其满足 

∀
a
∈

A

,

ρ
(
a
)
=
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩
=
⟨

π
′

(
a
)

ξ
′

,

ξ
′

⟩

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle } ，则 {\displaystyle \pi ,\pi '} 是幺正等价的\*-表示，也就是说存在一幺正算子 {\displaystyle U:H\to H'} 使得 

∀
a
∈

A

,

π
′

(
a
)
=
U
π
(
a
)

U

∗

.

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{\*}.}

{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}.} 该算子具有性质
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad U\pi (a)\xi =\pi '(a)\xi '.}

### GNS构造的重要性

GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心，该定理将C\*-代数刻画为算子代数。一个C\*-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。

全体态对应的GNS表示的直和称为 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的**万有表示**，其包含有每个循环表示。由于每个\*-表示都是循环表示的直和，因此 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的每个 \*-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

若 {\displaystyle \Phi } 是 C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的万有表示，则 {\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}})} 在弱算子拓扑中的闭包称为 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的**包络冯诺依曼代数**。它可以视为是双对偶 {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\*\*}} [需要解释]。

不可约性
----

不可约\*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。 {\displaystyle H} 上的表示 {\displaystyle \pi } 是不可约的，当且仅当 {\displaystyle H} 没有非平凡的在任一 {\displaystyle \pi (x)} 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 {\displaystyle H,\{0\}} 。

**定理** — 有单位元的C\*代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的态构成一个弱\*-拓扑意义下的紧致凸集。更普遍的是，（无论C\*代数是否有单位元）范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。

这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的 {\displaystyle X} 上的连续函数所构成的C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作 {\displaystyle X} 上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理（英语：），极点态则对应于狄拉克测度。

另一方面， {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 {\displaystyle {\mathcal {C}}(X)} 对应于测度 {\displaystyle \mu } 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 {\displaystyle \mu } 是一极点态。事实上，这对于一般的C\*-代数也成立。

**定理** — 设 {\displaystyle \pi } 是C\*-代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 在希尔伯特空间 {\displaystyle H} 上的\*-表示，相应的循环单位向量是 {\displaystyle \xi } ，相应的态是 {\displaystyle f} 。当且仅当 {\displaystyle f} 是范数不大于一的正线性泛函所构成之凸集的极点时，表示 {\displaystyle \pi } 是不可约的。

为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})} 的中心化子（记作 {\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})'} ）由单位元的标量倍数构成。

{\displaystyle {\mathcal {A}}} 上任一被 {\displaystyle f} 控制的正线性泛函 {\displaystyle g} 具有形式


g
(

x

∗

x
)
=
⟨
π
(
x
)
ξ
,
π
(
x
)

T

g

ξ
⟩
,

{\displaystyle g(x^{\*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T\_{g}\,\xi \rangle ,}

{\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle ,}其中 {\displaystyle T\_{g}\in \pi ({\mathcal {A}})'} 是某个正算子，其在算子序下满足 {\displaystyle 0\leq T\leq 1}。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的 {\displaystyle g} ，可以将 {\displaystyle f} 写为如下正线性泛函的和： {\displaystyle f=g+g'} 。因此 {\displaystyle \pi } 幺正等价于 {\displaystyle \pi \_{g}\oplus \pi \_{g'}} 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 {\displaystyle \pi \_{g}} 都幺正等价于 {\displaystyle \pi } ，即 {\displaystyle g} 是 {\displaystyle f} 的标量倍数， {\displaystyle \pi } 才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C\*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B\*-代数。

推广
--

刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

历史
--

盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。 

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C\*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C\*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。

参见
--

* 斯坦斯普林扩张定理

参考资料
----

 

* William Arveson, *An Invitation to C\*-Algebra*, Springer-Verlag, 1981
* Kadison, Richard, *Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory*, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
* Jacques Dixmier, *Les C\*-algèbres et leurs Représentations*, Gauthier-Villars, 1969.  
English translation: Dixmier, Jacques.. North-Holland. 1982. ISBN 0-444-86391-5.
* Thomas Timmermann, *An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond*, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
* Stefan Waldmann: *On the representation theory of deformation quantization*, In: *Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar)* , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
* G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily.. World Scientific. 2005. ISBN 981-256-129-3.

### 内联引用

1. ↑  Kadison, R. V. Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
2. ↑  Takesaki, Masamichi.  1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 37. ISBN 978-1-4612-6188-9.
3. ↑  Takesaki, Masamichi.  1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 40. ISBN 978-1-4612-6188-9.
4. ↑  Kadison, R. V. Proposition 4.5.3, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
5. ↑  I. M. Gelfand, M. A. Naimark.. Matematicheskii Sbornik. 1943, **12** (2): 197–217.  (also Google Books, see pp. 3–20)
6. ↑  I. E. Segal.  (PDF). Bull. Am. Math. Soc. 1947, **53** (2): 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 可免费查阅.