在数学中，**克罗内克函数**（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）\delta \_{{ij}}\,\! 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

\delta \_{{ij}}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\! 。
克罗内克函数的值一般简写为 \delta \_{{ij}}\,\! 。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法
----

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

\delta \_{{ij}}=[i=j]\,\! 。
同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 \delta \_{i}\,\! ：

\delta \_{{i}}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=0\\0,&{\mbox{if }}i\neq 0\end{matrix}}\right.\,\! 。
在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 \delta \_{j}^{i}\,\! 。

数字信号处理
------

冲激函数
类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 {\mathbb {Z}}\,\! (整数)的函数：

\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}\,\! 。

这个函数代表着一个*冲激*或*单位冲激*。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质
--

克罗内克函数有筛选性：对任意 j\in {\mathbb Z}\,\! ： 

\sum \_{{i=-\infty }}^{\infty }\delta \_{{ij}}a\_{i}=a\_{j}\,\! 。
如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

\int \_{{-\infty }}^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\! 。
实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 \delta (t)\,\,\! 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用*i*, *j*, *k*, *l*, *m*, and *n* 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

### 线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 (\delta \_{{ij}})\_{{i,j=1}}^{n}\,\! 。 

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 \delta \_{j}^{i}\,\! 。

这个(1,1)向量表示:

* 作为线性映射的单位矩阵。
* 迹数。
* 内积 V^{\*}\otimes V\to K\,\! 。
* 映射 K\to V^{\*}\otimes V\,\! ，将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數
--------

定義**廣義克羅內克函數**為 n\times n\,\! 矩陣的行列式，以方程式表達為

\delta \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}^{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}={\begin{bmatrix}\delta \_{{i\_{1}}}^{{j\_{1}}}\delta \_{{i\_{2}}}^{{j\_{1}}}&\cdots &\delta \_{{i\_{n}}}^{{j\_{1}}}\\\delta \_{{i\_{1}}}^{{j\_{2}}}\delta \_{{i\_{2}}}^{{j\_{2}}}&\cdots &\delta \_{{i\_{n}}}^{{j\_{2}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta \_{{i\_{1}}}^{{j\_{n}}}\delta \_{{i\_{2}}}^{{j\_{n}}}&\cdots &\delta \_{{i\_{n}}}^{{j\_{n}}}\\\end{bmatrix}}\,\! ；
其中，\delta \_{{j}}^{{i}}\,\! 是個張量函數，定義為 \delta \_{{j}}^{{i}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \delta \_{{ij}}\,\! 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

* \delta \_{{imn}}^{{ijk}}=\delta \_{{mn}}^{{jk}}=\delta \_{{m}}^{{j}}\delta \_{{n}}^{{k}}-\delta \_{{n}}^{{j}}\delta \_{{m}}^{{k}}\,\! 。
* \delta \_{{ijm}}^{{ijk}}=2\delta \_{{m}}^{{k}}\,\! 。
* \delta \_{{ijk}}^{{ijk}}=6\,\! 。
* \delta \_{{lmn}}^{{ijk}}=\epsilon ^{{ijk}}\epsilon \_{{lmn}}\,\! ；

其中，\epsilon ^{{ijk}}\,\! 和 \epsilon \_{{lmn}}\,\! 是列維-奇維塔符號。
* \delta \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}^{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}=\epsilon ^{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}\epsilon \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}\,\! 。
* \delta \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}^{{12\dots n}}=\epsilon \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}\,\! 。
* \delta \_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}^{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}T\_{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}=n!\ T\_{{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}}\,\! ；

其中，T\_{{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}}\,\! 是 n\,\! 階張量。

积分表示
----

对任意的整数 n\,\! ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

\delta \_{{x,n}}={\frac 1{2\pi i}}\oint z^{{x-n-1}}dz\,\! ；
其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：

\delta \_{{x,n}}={\frac 1{2\pi }}\int \_{0}^{{2\pi }}e^{{i(x-n)\varphi }}d\varphi \,\! 。

参见
--

* 列維-奇維塔符號
* 狄拉克测度（英语：）
* 同或门

參考文獻
----

1. ↑  Heinbockel, J. H. Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001  [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, （原始内容存档于2020-01-06）  引文格式1维护：冗余文本 (link)