**反距离加权**（英語：，**IDW**）是一种在有已知的离散数据点的情形下进行多元插值（英语：）的确定性算法。赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的。该算法也可在空间自相关分析（例如莫兰指数）中用于构建空间权重矩阵。

该方法的名称来自其加权的方式：未知点到每个已知点的距离的倒数。

问题的定义
-----

对于给定的离散数据点，我们希望以一个函数u对研究区域进行插值：

{\displaystyle u(x):x\to \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbf {D} \subset \mathbb {R} ^{n},}
其中\mathbf {D} 是研究区域。

N个已知数据点可以视为元组列表：

{\displaystyle [(x\_{1},u\_{1}),(x\_{2},u\_{2}),...(x\_{N},u\_{N})].}
该函数应当是"平滑的"（连续且一次可微），确定的（{\displaystyle u(x\_{i})=u\_{i}}），并满足用户对研究的现象的直观预期。此外，该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现（如今，基本实现方法中可能会用到并行计算）。

谢泼德法（Shepard's method）
----------------------

### 历史参考

自1965年起，在哈佛计算机图形和空间分析实验室，各专业的科学家汇聚一堂，重新思考现在称作"地理信息系统"的各种问题。

实验室工作的推动者霍华德·费舍尔（Howard Fisher）构思了一种改良的计算机绘图程序：SYMAP，其设计伊始，费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展，而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德（Donald Shepard）决定对SYMAP中的插值法进行大改，随后发表了他1968年的著名论文。

谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验，决定更接近重力模型（-2的指数）。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权，还允许障碍（包括可渗透的和绝对的）插值。

其他研究机构此时也在研究插值，特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的，尽管是由本科生编写的。

### 基本形式

来自表面上的散点在不同幂参数*p*下的谢泼德插值{\displaystyle z=\exp(-x^{2}-y^{2})}
给定一组样本点{\displaystyle \{\mathbf {x} \_{i},u\_{i}|{\text{for }}\mathbf {x} \_{i}\in \mathbb {R} ^{n},u\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i=1}^{N}}，反距离加权插值函数{\displaystyle u(\mathbf {x} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }定义为：

{\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\dfrac {\sum \_{i=1}^{N}{w\_{i}(\mathbf {x} )u\_{i}}}{\sum \_{i=1}^{N}{w\_{i}(\mathbf {x} )}}},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{i})\neq 0{\text{ for all }}i,\\u\_{i},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{i})=0{\text{ for some }}i,\end{cases}}}
其中

{\displaystyle w\_{i}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{i})^{p}}}}
这是一个简单的反距离加权函数，其定义由谢泼德提出，**x**表示一个被插值点（未知点），**x***i*表示一个节点（已知点），d是从已知点**x***i*到未知点**x**的给定距离（度规算符），*N*是插值中使用的已知点的总数，并且p是一个正实数，称为幂参数。

其中，权重随着与已知点的距离的增加而减小。p值越大，则最邻近已知点的对插值的影响越大，当p足够大时，插值结果形似马赛克多边形（沃罗诺伊图），每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面，幂参数{\displaystyle p\leq 2}时，插值由距离较远的点主导，因为密度为\rho 、邻近节点距离为r\_{0}至R之间的数据点集，权重的加和约为

{\displaystyle \sum \_{j}w\_{j}\approx \int \_{r\_{0}}^{R}{\frac {2\pi r\rho \,dr}{r^{p}}}=2\pi \rho \int \_{r\_{0}}^{R}r^{1-p}\,dr,}
其在{\displaystyle R\rightarrow \infty }且{\displaystyle p\leq 2}时发散。对于*M*维，同样的结论适用于{\displaystyle p\leq M}。对于p值的选择，可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布，以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。

谢泼德法是最小化与插值点{**x**, *u*}的元组和插值点{**x***i*, *ui*}的*i*元组之间的偏差度量相关的函数的结果，定义为：

{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum \_{i=0}^{N}{\frac {(u-u\_{i})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{i})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},}
从最小化条件导出：

{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}
该方法容易扩展到其他维数的空间，它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms库中的算法661提供该算法。

### 一维下的示例

 Shepard法在一个维度下的插值，基于4个样本数据点，*p* = 2
### 调整谢泼德法

谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径*R*范围内的最近邻（而不是完整样本）来计算插值。在这种情况下，权重略有修改：

{\displaystyle w\_{k}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\max(0,R-d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{k}))}{Rd(\mathbf {x} ,\mathbf {x} \_{k})}}\right)^{2}.}
当与快速空间搜索结构（如k-d树）结合使用时，它即为适用于大尺度问题的高效*N* log *N*插值方法。

参见
--

* 距离衰减
* 核密度估计

参考文献
----

1. ↑ . ArcGIS Pro Documentation. ESRI.  [13 September 2022]. （原始内容存档于2022-10-31）.
2. ↑  Chrisman, Nicholas.  (PDF).
3. 1 2  Shepard, Donald.. : 517–524. 1968. doi:10.1145/800186.810616.