**提示**：此条目的主题不是**流数**。 
在复分析中，**留数**是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{*a**k*}之外全纯的函数 f: \mathbb{C} \setminus \{a\_k\} \rightarrow \mathbb{C}都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。

定义
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亚纯函数f在孤立奇点a的留数，通常记为\operatorname{Res}(f,a)或\operatorname{Res}\_a(f)，是使{\displaystyle f(z)-R/(z-a)}在穿孔圆盘0<|z-a|<\delta内具有解析原函数的唯一值R。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数*a*-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子
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作为例子，考虑以下的路径积分：

\oint\_C {e^z \over z^5}\,dz
其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，*e**z*的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

\oint\_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.
我们把1/*z*5的项代进级数中，便得到：

\oint\_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz 
=\oint\_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.
现在，积分便化为更简单的形式。由于：

\oint\_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\quad a \ne 1.
因此任何不是*cz*−1形式的项都变成了零，那么积分变为：

\oint\_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint\_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.
1/4!就是*e**z*/*z*5在*z* = 0的留数，记为：

\mathrm{Res}\_0 {e^z \over z^5}, 或\mathrm{Res}\_{z=0} {e^z \over z^5}, 或\mathrm{Res}(f,0).

留数的计算
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设复平面内有一穿孔圆盘*D* = {*z* : 0 < |*z* − *c*| < *R*}，*f*是定义在*D*内的一个全纯函数。*f*在*c*的留数Res(*f*, *c*)是罗朗级数展开式的(*z* − *c*)−1项的系数*a*−1。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

\operatorname{Res}(f,c) = 
{1 \over 2\pi i} \oint\_\gamma f(z)\,dz
其中γ是逆时针绕着*c*的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着*c*的一个圆，它的半径可以任意地小。

### 可去奇点

如果函数*f*在整个圆盘{ |*z* − *c*| < *R* }内可以延拓为全纯函数，则Res(*f*, *c*) = 0。反过来不总成立。

#### 一阶极点

在一阶极点，留数由以下公式给出：

\operatorname{Res}(f,c)=\lim\_{z\to c}(z-c)f(z).
设*g*和*h*在*c*的一个邻域内是全纯函数，*h(c)* = 0而*g(c)* ≠ 0，那么函数*f*(*z*)=*g*(*z*)/*h*(*z*)在极点*c*的留数为：

\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}.
#### 较高阶极点的极限公式

更一般地，*f*在*z* = *c*的留数，其中*c*是*n*阶极点，由以下公式给出：

 \mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim\_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right). 
以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。

### 无穷远点的留数

一般地，**无穷远点的留数**是指：

 \mathrm{Res}(f(z), \infty) = -\mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right).
如果满足下面的条件：

 \lim\_{|z| \to \infty} f(z) = 0,
则可以用下面的公式计算**无穷远点的留数**：

 \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim\_{|z| \to \infty} z \cdot f(z).
如果不满足，即

 \lim\_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0,
则**无穷远点的留数**为：

 \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim\_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z).
### 级数方法

如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

**1**. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

f(z)={\sin{z} \over z^2-z}
它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在*z* = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成： 

f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}
则显然*z* = 0是可去奇点，因此*z* = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是*z* = 1。函数*g*(*z*)在*z* = *a*的泰勒级数为：

 g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g''(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g'''(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots
因此，对于*g*(*z*) = sin *z*和*a* = 1，我们有：

 \sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.
对于*g*(*z*) = 1/*z*和*a* = 1，我们有：

 \frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.
把两个级数相乘，并除以(*z* − 1)，便得：

 \frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.
因此*f*(*z*)在*z* = 1的留数为sin 1。

**2**. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令

 u(z):=\sum\_{k\geq 1}u\_k z^k
为一个整函数，并令 

v(z):=\sum\_{k\geq 1}v\_k z^k

参见
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* 柯西积分公式
* 柯西积分定理
* 莫雷拉定理

参考文献
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* Ahlfors, Lars.. McGraw Hill. 1979.
* Marsden & Hoffman, *Basic complex analysis* (Freeman, 1999).

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 留数的教程