在群論中，**字**是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 *x*, *y* 和 *z* 是群 *G* 的元素，則 *xy*, *z*-1*xzz* 和 *y*-1*zxx*-1*yz*-1 都是集合 {*x*, *y*, *z*} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，并是組合群論的中心研究對象。

定義
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設 *G* 是群，并設 *S* 是 *G* 的子集。***S* 形成的字**是如下形式的表達式

{\displaystyle s\_{1}^{\epsilon \_{1}}s\_{2}^{\epsilon \_{2}}\cdots s\_{n}^{\epsilon \_{n}}}
這里的 *s*1,...*sn* 是 *S* 的元素并且每個 *εi* 都是 ±1。數 *n* 叫做字的**長度**。

用 *S* 形成的每個字表示 *G* 的一個元素，也就是這個表達式的乘積。按慣例，單位元可以被表示為**空字**，它是長度為零的唯一的字。

符號
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在書寫字的時候，經常使用指數符號來簡寫。例如，字

{\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}
可以寫為

{\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}\,}。
后者表達式自身不是個字，它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候，使用上劃線來指示 *S* 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號，上述字可以寫為如下:

{\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}\,}。

字和展示
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条目：群的展示
群 *G* 的子集 *S* 叫做生成集，如果所有 *G* 的元素可以用 *S* 形成的字來表示。如果 *S* 是生成集，**關係**是表示在 *G* 中相同的元素的一對 *S* 形成的字。它們通常寫為等式:

{\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}\,}
關係的集合 {\mathcal {R}} **定義 *G***，如果所有 *G* 中的關係可以從 {\mathcal {R}} 的關係使用群公理在邏輯上推出。*G* 的**展示**是有序對 {\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }，這里的 *S* 是 *G* 的生成集而 {\mathcal {R}} 是關係的定義集合。

例如，克萊因四元群可以通過如下展示來定義

{\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle }
這里的 1 指示表示單位元的空字。

在 *S* 不是 *G* 的生成集的時候，用 *S* 形成的字表示的元素的集合是 *G* 的子群。這叫做 ***G* 生成自 *S* 的子群**，并通常指示為 {\displaystyle \langle S\rangle }。它是包含 *S* 的元素的 *G* 的最小子群。

簡約字
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参见：自由群
其中生成元接著它自己的逆元出現(*xx*-1 或 *x*-1*x*)的任何字可以通過省略冗余對來簡化:

{\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy}
這個運算叫做**簡約**，并且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關係。)

**簡約字**是不包含冗余對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:

{\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz}
結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 *S* 是任何集合， *S* 上的自由群是帶有展示 {\displaystyle \langle S\mid \;\rangle } 的群。就是說，在 *S* 上的自由群是 *S* 的元素在沒有額外的關係下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 *S* 形成的簡約字。

一個字是**循環簡約**的，當且僅當字的所有循環置換是簡約的。

規範形式
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帶有生成集合 *S* 的群 *G* 的**規範形式**是對給每個 *G* 的元素的 *S* 形成的一個簡約字的選擇。例如:

* 字 1, *i*, *j*, *ij* 是克萊因四元群的規範形式。
* 字 1, *r*, *r*2, ... *rn-1*, *s*, *sr*, *srn-1* 是二面體群 Dih*n* 的規範形式。
* *S* 形成的簡約字的集合是 *S* 上的自由群的規範形式。
* 形如 *xmyn* 對于 *m,n* ∈ **Z** 的字的集合是循環群〈*x*〉和〈*y*〉的直積的規範形式。

在字上的運算
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兩個字的**乘積**可以通過串接獲得:

{\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y}
是兩個字都是簡約的，乘積也可能不是簡約的。

字的**逆**可以通過反轉每個生成元，并對換元素的次序來獲得:

{\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}}
字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:

{\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}\;\longrightarrow \;\;1}
可以通過共軛把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:

{\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx}

字問題
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条目：群的字問題
給定一個群 *G* 的展示 {\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }，**字問題**是一個算法問題，給定 *S* 中的兩個字作為輸入，確定它們是否表示 *G* 的相同元素。字問題是 Max Dehn 在 1911 年提出的三個算法問題之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年證明了存在有限展現的群 *G* 使得 *G* 的字問題是不可決定性的（Novikov 1955）。

引用
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* Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
* Novikov, P. S. Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, **44**: 1–143 （俄语）
* Robinson, Derek John Scott.. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3.
* Rotman, Joseph J.. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.
* Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C.. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5.
* Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9
* Stillwell, John.. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.