在微分几何中，**第一基本形式**（）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由 **R**3 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示：

{\displaystyle \mathrm {I} (v,w)=\langle v,w\rangle .\,}
设{\displaystyle X(u,v)}是一个参数曲面，则两个切向量的内积为

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX\_{u}+bX\_{v},cX\_{u}+dX\_{v})\\&=ac\langle X\_{u},X\_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X\_{u},X\_{v}\rangle +bd\langle X\_{v},X\_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}
这里 *E*, *F*,与 *G* 是**第一基本形式的系数**。

第一基本形式可以表示为一个对称矩阵

{\displaystyle \mathrm {I} (v,w)=v^{T}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}w.}

进一步的记号
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当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，

{\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}.\,}
第一基本形式写成现代记法的度量张量。系数则可以写做 {\displaystyle g\_{ij}}：

{\displaystyle \left(g\_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g\_{11}&g\_{12}\\g\_{21}&g\_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}
这个张量的分量是切向量 *X*1 与 *X*2 的数量积：

{\displaystyle g\_{ij}=X\_{i}\cdot X\_{j}}
对 *i*, *j* = 1, 2。具体例子可见下一节。

變數變換
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如果有一個曲面具有兩個表示參數{\displaystyle X(u,v)}以及{\displaystyle {\tilde {X}}({\tilde {u}},{\tilde {v}})}，則二者的第一基本形式的係數{\displaystyle E,F,G}與{\displaystyle {\tilde {E}},{\tilde {F}},{\tilde {G}}}存在一個關係:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}\_{u}&{\tilde {v}}\_{u}\\{\tilde {u}}\_{v}&{\tilde {v}}\_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {E}}&{\tilde {F}}\\{\tilde {F}}&{\tilde {G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}\_{u}&{\tilde {u}}\_{v}\\{\tilde {v}}\_{u}&{\tilde {v}}\_{v}\end{pmatrix}}}，其中{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tilde {u}}\_{u}&{\tilde {u}}\_{v}\\{\tilde {v}}\_{u}&{\tilde {v}}\_{v}\end{pmatrix}}={\frac {\partial ({\tilde {u}},{\tilde {v}})}{\partial (u,v)}}}，所以說可以有

{\displaystyle EG-F^{2}=({\tilde {E}}{\tilde {G}}-{\tilde {F}}^{2})|{\frac {\partial (u,v)}{\partial (u,v)}}|^{2}}

计算长度与面积
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第一基本形式完全描述了曲面的度量性质。从而，它使我们可以计算曲面上曲线的长度与区域的面积。线元素（英语：）可以用第一基本形式的系数表示为：

{\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}.
由 {\displaystyle dA=|X\_{u}\times X\_{v}|\ du\,dv} 给出的经典面积元素可以用第一基本形式的系数利用拉格朗日恒等式写出，

{\displaystyle dA=|X\_{u}\times X\_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X\_{u},X\_{u}\rangle \langle X\_{v},X\_{v}\rangle -\langle X\_{u},X\_{v}\rangle ^{2}}}\ du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}
### 例子

**R**3 中单位球面可如下参数化

{\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ).}
{\displaystyle X(u,v)} 分别对 *u* 和 *v* 微分得出

{\displaystyle X\_{u}={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\ X\_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.}
第一基本形式的系数可由取偏导数的点积得到：

{\displaystyle E=X\_{u}\cdot X\_{u}=\sin ^{2}v}
{\displaystyle F=X\_{u}\cdot X\_{v}=0}
{\displaystyle G=X\_{v}\cdot X\_{v}=1}
#### 球面上曲线的长度

球面的赤道可由 {\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\frac {\pi }{2}})} 参数化，这里 *t* 取值于 0 到 {\displaystyle 2\pi }。线元素可用来计算这个曲线的长度。

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int \_{0}^{2\pi }\sin v\,dt=2\pi \sin v=2\pi .}
#### 球面上区域的面积

面积元素可用来计算球面的面积：

{\displaystyle \int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]\_{0}^{\pi }=4\pi .}

高斯曲率
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条目：高斯曲率
一个曲面的高斯曲率由

{\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}
给出，这里 *L*, *M*, 与 *N* 是第二基本形式的系数。

高斯的绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一基本形式及其导数表示，从而 *K* 事实上是曲面的一个内蕴不变量。高斯曲率用第一基本形式明确的表达式由 Brioschi 公式给出。

另见
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* 度量张量
* 第二基本形式

外部链接
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* First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld （页面存档备份，存于）
* PlanetMath: first fundamental form （页面存档备份，存于）

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* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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