在形式本体论（英语：）领域（形而上学的一个分支）以及在计算机与信息科学本体领域，**分体拓扑学**（英语：）是一种关于整体、部分、部分之部分以及部分间边界之间关系的，用于具体表达分体论及拓扑学概念的一阶理论（英语：）。

歷史與研究動機
-------

分體拓撲學開始於阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德的理論，在1916年至1929年間闡述於他出版的一些著作及文章。懷特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)與西門(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有討論到。懷特黑德的理論在1929年出版的書*歷程與實在(Process and Reality)*中擴大討論到整體與部分的關係，這是夾雜著以諸如切点及连通空间的拓撲觀念一起來討論。儘管懷特黑德有如數學家版的洞察力，他的理論仍是不夠充分且不是很正式的立論，甚至頗有瑕疵。經由證明懷特黑德理論能夠被充分地正式化、且作一些訂正，就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)確立了現代化的分體拓撲學。 克拉克與懷特黑德的理論在賽門(Simons)(1987年: 2.10.2)及盧卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的書上都有討論到。懷特黑德無點幾何學（英语：）入門觀點包含兩項現代懷特黑德理論的論述，因於基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的論說，理論上每項不同的論點將在下一章節中陳述說明。

雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於邏輯學家與理論計算機科學家。盧卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力(1999年: chpts. 4,5)論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過一阶逻辑的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯(Roeper)(1997年)的著作。關於懷特黑德無點幾何學的數學論述，參見葛拉(Gerla)(1995年)的著述。 

巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安東尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再則瓦力(Varzi)單獨個人與其他人，他們所有人都證明分體拓撲學能夠用在形式本體論與本體論，藉此達到正式化關連的作用，諸如在切点、连通空间、邊界、内部、孔洞(hole)等等上的應用。

卡塞迪與瓦力較優法
---------

卡塞迪與瓦力(1999年: chpt.4)闡述種種的分體論理論於一致的標記法上。這一章節闡述了一些巢狀理論，而這些巢狀理論在**GEMTC**的較優理論裡也已發展到頂點了，接著咱們緊跟著他們的解說來走。在**GEMTC**的分體拓撲闡述中，有部分為**GEM**的傳統理論。卡塞迪與瓦力也沒有說到是否**GEMTC**的模型论包含到任何傳統的拓扑空间。

我們以一些论域觀點作為起始論述，它們的元素稱為个体(即一個分体论同义词表示"個體的計算")。卡塞迪與瓦力較偏好限制本體論至實體物件，不過其他人就任意地應用分體拓撲理論來合理化幾何圖形與事件，並藉由提出人工智能的研究工作來解決問題。

使用一個大寫的拉丁字母來定義一個二元关系及谓词变量()，而谓词变量的字母關係到一阶逻辑的關係。從拉丁字母群(A-Z)的後段取用小寫字母來定義變量範圍，且及於整個定義域；而從字母群的初始段取用的小寫字母就用來作為任意個體的名稱。假如以一公式以原子公式表示再接著邏輯雙如言（英语：），因此邏輯雙如言右邊的次公式表為原子公式的定義，他們的變量就為非約束形式。否則，變數不是外顯性的量化而是內隱性的全称量化。底下所提的公理**Cn**系列對應到卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理**C.n**系列。

咱們從拓撲的基本理論談起，如二元关系的*連接*特性；基本原子公式*Cxy*表示"*x*是連接到*y*"。連結是被控制著，至少，是經由這些公理來達成：

**C1**. \ Cxx. (自反关系)

**C2**. Cxy\rightarrow Cyx. (對稱)

現在假定二元關係為*E*，定義為：

Exy\leftrightarrow [Czx\rightarrow Czy].

*Exy*讀為"*y*包圍*x*"且也全然為拓撲關係。而**C1-2**的表達結果即*E*是自反关系及传递关系，因此亦是预序关系。假如*E*也假定為外延公理，以致於：

(Exa\leftrightarrow Exb)\leftrightarrow (a=b),

接著*E*被證明為反对称关系且因此變成為一偏序关系。在區域內，標記為*xKy*，為懷特黑德理論(1919年,1925年)上的單一最初關係，且為分體拓撲學的起始點。

令*子集*(parthood)為主要分体论定義上最初的二元关系，且令原子公式*Pxy*定義作"*x*是*y*的一部分"。咱們假設*P*為一偏序关系。稱其為結果的最簡化分體論**M**。

假如*x*為*y*的一部分，我們假定*y*包圍*x*：

**C3**. \ Pxy\rightarrow Exy.

**C3**精巧的連接分体论這個部分到拓扑学的範圍內。

令*O*表示為這個分體論*重覆*的二元關係，定義為：

{\displaystyle Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land \ Pzy].}

令*Oxy*表示為"*x*與*y*重覆"，再著手進行*O*的處理，**C3**的結果為：

Oxy\rightarrow Cxy.

要注意到逆命題(converse)是不需要一直堅持著。儘管情況顯示重覆是需要連結的，然而連結的情況是反而是不需要重覆的。假如不是這種情況，拓扑学不會僅是一個分体论模式(這兒"重覆"總是表示為原來的或是定義好的兩種情況之一)。

基礎分體拓撲學(**MT**)即表示這個理論含有最初的*C*與*P*，定義的*E*與*O*，及公理**C1-3**，而這些公理可以用來確定*P*即是偏序关系。在**MT**中以標準的外延公理分體論**GEM**來替代**M**產生**GEMT**理論.

令*IPxy*表示為"*x*是*y*內之一部分"，*IP*定義為：

{\displaystyle IPxy\leftrightarrow (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy)).}

令σ*x* φ(*x*)定義為所有在定義域滿足φ(*x*)之分體邏輯和(合并)。σ為一约束变量前綴()算子。**GEM**的公理假設φ(*x*)是一個一阶逻辑則這個和就存在著。根據現成的σ及*IP*關係的條件，咱們能定義*x*内部結構，{\mathbf {i}}x, 而這是*x*所有的內部部分*z*分體之和，或則：

{\mathbf {i}}x\leftrightarrow \sigma z[IPzx].

這個定義出兩個簡單結果為：

{\mathbf {i}}W\leftrightarrow W,

這兒*W*表全體的個體部分，且

**C5**. \ P({\mathbf {i}}x)x. (子集)

算子 **i** 含有超過兩個公理屬性：

**C6**. {\mathbf {i}}({\mathbf {i}}x)\leftrightarrow {\mathbf {i}}x. (等冪)

**C7**. {\mathbf {i}}(x\times y)\leftrightarrow {\mathbf {i}}x\times {\mathbf {i}}y,

而*a*×*b*為*a*與*b*的分體乘積，在*Oab*不成立時並不定義。**i**分散在乘積里。

現在看得出來，對於拓扑学的内部算子而言**i**為同构。也因此**i**的對偶性()、拓撲闭包算子**c**，以**i**的觀點可以被定義出來，且卡齐米日·库拉托夫斯基公理對**c**而言是一些定理。同樣地，已知**c**的公理是類比於**C5-7**，**i**依**c**可以被定義，且**C5-7**可以成為定理。將**C5-7**加進**GEMT**而產生卡塞迪與瓦力較優分體拓撲理論，**GEMTC**。

*x*為*自我連接*，假如它滿足下列謂語變量邏輯：

{\displaystyle SCx\leftrightarrow ((Owx\leftrightarrow (Owy\lor Owz))\rightarrow Cyz).}

要注意到在定義上**MT**不但是單獨、且為充分之最原始的及有定義的謂語變數。謂語變數*SC*可以正式成立需要的條件、是基於所給予的懷特黑德'的*歷程與實在*書中所述：兩個個體之分體邏輯和是能夠存在：他們也必須是連結的。正式定義為：

**C8**. {\displaystyle Cxy\rightarrow \exists z[SCz\land Ozx\land (Pwz\rightarrow (Owx\lor Owy)).}

給予一些分體拓撲**X**，加**C8**到**X**結果產生出卡塞迪與瓦力所稱的**X**的*懷特黑德衍伸式*，表記為**WX**。因此這個定理為**WGEMTC**，它的公理為**C1-8**。

**C8**的逆向為**GEMTC**定理。因此，已知一**GEMTC**的公理，假如*O*及*SC*視為起初的謂語變量，則*C*為一已定義的謂語變量。

假如主要的分體論是沒有原子公式且比**GEM**來的弱，這公理確定是缺少原子公式(**P9**出於"卡塞迪與瓦力1999"的論述)那就可以被**C9**替代，如此則可以設想沒有一個個體有拓撲邊界：

**C9**. {\displaystyle \forall x\exists y[Pyx\land (Czy\rightarrow Ozx)\land \lnot (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy))].}

當定義域包含有幾何圖形時，則邊界值可以是點、曲線，或面。考慮到其它的本體論時、邊界值能夠代表什么意思，討論起來不是一件簡單的事情，在卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 5)的著作裡有討論到這些問題。

参见
--

* 分体论
* 无点拓扑学（英语：）
* 点集拓扑学
* 拓扑学
* 拓扑空间

註釋
--

1. ↑  Casati & Varzi (1999年: chpt. 4) and Biacino & Gerla (1991年) have reservations about some aspects of Clarke's formulation.
2. ↑  The axiom **C4** of Casati and Varzi (1999) is irrelevant to this entry.

参考资料及延伸阅读
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* （英文）Biacino L. and Gerla G. 1991, "Connection Structures, （页面存档备份，存于）" *Notre Dame Journal of Formal Logic* 32: 242-47.
* （英文）Casati, R. and Varzi, A. C. 1999. *Parts and places: the structures of spatial representation*. MIT Press.
* （英文）Clarke, Bowman, 1981, "A calculus of individuals based on 'connection', （页面存档备份，存于）" *Notre Dame Journal of Formal Logic 22*: 204-18.
* （英文）------, 1985, "Individuals and Points, （页面存档备份，存于）" *Notre Dame Journal of Formal Logic 26*: 61-75.
* （英文）Cohn, A. G. and Varzi, A. C. 2003, "Mereotopological Connection, （页面存档备份，存于）" *Journal of Philosophical Logic 32*: 357-90.
* （英文）Forrest, Peter, 1996, "From Ontology to Topology in the Theory of Regions," *The Monist 79*: 34-50.
* （英文）Gerla, G. 1995, "Pointless Geometries," in Buekenhout, F. Kantor, W. (eds), *Handbook of incidence geometry: buildings and foundations*. North-Holland: 1015-31.
* （英文）Kneebone, Geoffrey, 1963. *Mathematical Logic and the Foundation of Mathematics*. Dover reprint, 2001.
* （英文）Lucas, J. R. 2000. *Conceptual Roots of Mathematics*. Routledge. The "prototopology" of chpt. 10 is mereotopology. Strongly informed by the unpublished writings of David Bostock.
* （英文）Roeper, Peter, 1997, "Region-Based Topology," *Journal of Philosophical Logic 26*: 251-309.
* （英文）Smith, Barry, 1996, "Mereotopology: A Theory of Parts and Boundaries （页面存档备份，存于）," *Data and Knowledge Engineering 20* : 287-303.
* （英文）------, 1997, "Boundaries: An Essay in Mereotopology （页面存档备份，存于）" in Hahn, L. ed. *The Philosophy of Roderick Chisholm*. Open Court: 534-61.
* （英文）Varzi, A. C. 1996, "Parts, wholes, and part-whole relations: the prospects of mereotopology, （页面存档备份，存于）" *Data and Knowledge Engineering, 20*: 259-286.
* （英文）------, 1998, "Basic Problems of Mereotopology, （页面存档备份，存于）" in Guarino, N. ed. *Formal Ontology in Information Systems*. Amsterdam: IOS Press, 29-38.
* （英文）------, 2007, "Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations （页面存档备份，存于）" in Aiello, M. et al, eds. *Handbook of Spatial Logics*. Springer-Verlag: 945-1038.

外部链接
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* （英文）史丹佛哲學百科全書(Stanford Encyclopedia of Philosophy): Boundary （页面存档备份，存于） -- by Achille Varzi. With many references.


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