**提示**：此条目的主题不是**介值定理**。 

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* 论
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在數學分析中，**均值定理**（英語：）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

更仔細點講，假設函數 f 在閉區間 [a,b] 連續且在開區間 (a,b) 可微，則存在一點{\displaystyle c,\,a<c<b}，使得

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}.
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理
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微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到**均值定理**時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

### 罗尔中值定理

罗尔定理的几何意义
条目：罗尔定理
如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续；
2. 在开区间(a,b)内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点\xi (a<\xi<b)，使得f^\prime(\xi)=0。这个定理称为**罗尔定理**。

### 拉格朗日中值定理（均值定理）

拉格朗日中值定理的几何意义
条目：拉格朗日中值定理
令f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为闭区间[a,b]上的一个连续函数，且在开区间(a,b)内可导，其中a<b。那么在(a,b)上存在某个c使得

f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
此定理称为**拉格朗日中值定理**，也簡稱**均值定理**，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 在 [a,b] 连续，且在開區間 (a,b) 内对任意一點 x，极限

\lim\_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于f'(x)。這版本定理应用的一个例子是函數 {\displaystyle x\to x^{1/3}}，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 x 定义f(x)=e^{ix}。那么

{\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}
因{\displaystyle |f'(x)|=1\neq 0} 时，c 為開區間 {\displaystyle (0,2\pi )} 中任意一點。

### 柯西中值定理

**柯西中值定理**，也叫**拓展中值定理**，是中值定理的一般形式。它叙述为：如果函数 *f* 和 *g* 都在闭区间[*a*,*b*] 上连续，且在开区间 (*a*,*b*) 上可微，那么存在某个 *c* ∈ (*a*,*b*)，使得

柯西定理的几何意义
{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}
当然，如果*g*(*a*) ≠ *g*(*b*) 且 *g′*(*c*) ≠ 0，則可表示成：

{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
在几何上，这表示曲线

{\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}
上存在一點其切線平行于由兩點 (*f*(*a*),*g*(*a*)) 和 (*f*(*b*),*g*(*b*)) 所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些*c*值使 *f′*(*c*) = *g′*(*c*) = 0，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}
在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0)，却并无一个水平切线，然而它在 *t* = 0处有一个驻点(实际上是一个尖点)。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当*g*(*t*) = *t*时的特殊情况。

积分中值定理
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积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

### 积分第一中值定理

设f:[a,b]\rightarrow \mathbb R为一连续函数，g:[a,b]\rightarrow \mathbb R要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点\xi\in (a,b)使得

\int\_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int\_a^b g(x)\,dx。
#### 证明

在不失去一般性的条件下，设对所有x，有{\displaystyle g(x)\geq 0}；
因为f是闭区间上的连续函数，f取得最大值M和最小值m。于是

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)。
对不等式求积分，我们有

m\int\_a^b g(x)\,dx\leq \int\_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int\_a^b g(x)\,dx。
若\int\_a^b g(x)\,dx=0，则\int\_a^b f(x)g(x)\,dx=0。\xi可取[a,b]上任一点。

若不等于零那么\int\_a^b g(x)\,dx>0，

m\leq \frac{\int\_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int\_a^b g(x)\,dx}\leq M 。
因为m\leq f(x)\leq M是连续函数，根據介值定理，则必存在一点\xi\in [a,b]，使得

f(\xi)= \frac{\int\_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int\_a^b g(x)\,dx}。
{\displaystyle g(x)<0}的情况按同样方法证明。

积分第一中值定理推论的几何意义
#### 推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令g(x)=1，则可得出：

设f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为一连续函数，则∃\xi \in [a,b]，使

f(\xi)= \frac{\int\_a^b f(x)\,dx}{b-a}
它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设F(x)在[a,b]上可导，f(x)=F^\prime(x)，则∃\xi \in [a,b]，使

f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int\_a^b f(x)\,dx}{b-a}
### 积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的**积分中值定理**。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

#### 内容

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

{\displaystyle \int \_{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int \_{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int \_{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}；
#### 退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义
令g(x)=1，则原公式可化为：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}；
进而导出：

{\displaystyle \int \_{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int \_{\xi }^{b}{f(x)dx}}；
此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

### 应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

参见
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* 罗尔定理
* 柯西中值定理
* 介值定理
* 极值定理