**测地曲率**：设P是曲線（C）上一点，\alpha 是（C）在P点的单位切向量，\beta 是主法向量，\gamma 是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命\varepsilon =n\times \alpha 。

曲线（C）在P点的曲率向量{\ddot {r}}=k\beta 在\varepsilon 上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）

k\_{{g}}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon 

称为曲线（C）在P点的测地曲率。

---

相关命题
----

* 曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

* k^{{2}}=k\_{{g}}^{{2}}+k\_{{n}}^{{2}}

式中，k为曲线在P点的曲率，k\_{{n}}为曲线在P点的法曲率。

二維曲面常用的測地曲率公式
-------------

今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為：{\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}，則其度量張量可表成下列關係式：

{\displaystyle (g\_{ij})={\begin{pmatrix}g\_{11}&g\_{12}\\g\_{21}&g\_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}}

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

### 二維曲面測地曲率之**Beltrami**公式

令C為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長s為參數，則曲線C的參數方程式為{\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}，則它在P點的測地曲率k\_{g}可表為下列**克氏符號**（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式

：

{\displaystyle k\_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma \_{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma \_{12}^{2}-\Gamma \_{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma \_{22}^{2}-2\Gamma \_{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma \_{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]}

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的**Beltrami**公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的**克氏符號** Γ*k*  
*ij* 在有些書籍還會沿用舊式的 {*k*  
*ij*}符號注記。由於**克式符號**屬曲面的內蘊性質，而上述**測地曲率**一般公式只和**克式符號**與曲面第一基本形式有關，因此，**測地曲率**必然是屬曲面的**內蘊幾何**量。

今若曲線C是沿著{\displaystyle u=(s)}座標線的話，此時{\displaystyle v=}常數，使得{\displaystyle dv/ds=0}以及{\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {g\_{11}}}}，那麼其測地曲率可算得為：

{\displaystyle (k\_{g})\_{u-line}=\Gamma \_{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma \_{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g\_{11}^{3/2}}}\right)}

同理，假如曲線C是沿著{\displaystyle v=(s)}座標線的話，使得{\displaystyle u=}常數，因此{\displaystyle du/ds=0}以及{\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {g\_{22}}}}，那麼其測地曲率可化簡為：

{\displaystyle (k\_{g})\_{v-line}=-\Gamma \_{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma \_{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g\_{22}^{3/2}}}\right)}

### 二維曲面測地曲率之**Liouville**公式

令C為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長s為參數，則曲線C的參數方程式為{\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數{\displaystyle F=0}，又令曲線C在P點與u座標線的夾角為\theta ，則它在P點的測地曲率k\_{g}可表為下列與{\displaystyle \theta (s)}夾角相關的**Liouville**公式

：

{\displaystyle {\begin{aligned}k\_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k\_{g})\_{u-line}\cos \theta +(k\_{g})\_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k\_{g})\_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k\_{g})\_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}}

  

上述公式中的{\displaystyle (k\_{g})\_{u-line}}與{\displaystyle (k\_{g})\_{v-line}}乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線C是沿著{\displaystyle u=(s)}座標線的話，此時{\displaystyle v=}常數，則有{\displaystyle dv/ds=0}以及{\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {E}}}，那麼該測地曲率可算得為：

{\displaystyle (k\_{g})\_{u-line}=-{\dfrac {E\_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}}

同理，假如曲線C是沿著{\displaystyle v=(s)}座標線的話，此時{\displaystyle u=}常數，導致{\displaystyle du/ds=0}以及{\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {G}}}，那麼此測地曲率可算得為：

{\displaystyle (k\_{g})\_{v-line}={\dfrac {G\_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}}

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

  


---

參考文獻
----

1. ↑  Kreyszig, Erwin.. Dover Publications, New York. 1991: 154-156. ISBN 978-0-486-66721-8.
2. ↑  Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi.. Springer, New York. 2002: 266-268. ISBN 978-3-642-04073-3. 【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】 （页面存档备份，存于）
3. ↑  Blaga, Paul A.. Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania. 2005: 177-179. ISBN 9736568962.
4. ↑  Nayak, Prasun Kumar.. PHI Learning Pvt. Ltd. New Delhi. 2011: 364,369.
5. ↑  Slobodyan, Yu.S. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 1989, ISBN 978-1-55608-010-4
6. ↑  do Carmo, Manfredo P.. Prentice-Hall. 1976: 253-254. ISBN 0-13-212589-7.
7. ↑  Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon.. Chapman & Hall/CRC. 2006: 904-905. ISBN 978-1584884484.
8. ↑  Dube, K.K.. I. K. International Pvt Ltd. 2009: 200-201. ISBN 978-9380026589.
9. ↑  Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula. （页面存档备份，存于） 這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。