定义
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矩阵的行空间和列空间均为特殊的子空间，均属矩阵的**四大基本子空间**之一。

### 行空间定义

设一*m* 行 *n*列实元素 矩阵为**A**（*m* × *n* 矩阵），则其**行空间**（英文：**Row Space**）是由矩阵**A**的所有**行向量**所生成的**R***n*上的子空间，记作C(**A**T)或R(**A**)。其中，矩阵**A**T（*n* × *m* 矩阵 ）被称为矩阵**A**的转置。

行空间C(**A**T)中的所有向量均为矩阵**A**的**行向量**的某种**线性组合**，都为**R***n*上的向量（即*n*维向量）。

C(**A**T)的维度等于矩阵**A**的行秩，最大为min(*m*,*n*)。即：

dim C(**A**T) = dim R(**A**) = rank(**A**T) ≤ min(*m*,*n*)
行空间C(**A**T)的一组自然基底是矩阵**A**的行向量的最大线性无关组。

### 列空间定义

列空间的定义非常类似于行空间。

设一*m* 行 *n*列实元素 矩阵为**A**（*m* × *n* 矩阵），则其**列空间**（英文：**Column Space**）是由矩阵**A**的所有**列向量**生成的**R***m*上的子空间，记作C(**A**)。

矩阵**A**的列空间C(**A**)中的所有向量均为矩阵**A**中**列向量**的某种**线性组合**，都为**R***m*上的向量（即*m*维向量）。

C(**A**)的维度等于矩阵**A**的列秩，最大为min(*m*,*n*)。即：

dim C(**A**) = rank(**A**) ≤ min(*m*,*n*)
列空间C(**A**)的一组自然基底是矩阵**A**的列向量的最大线性无关组。

### 推广

**行空间**与**列空间**的概念均可推广到在任何域上，特别是复数域**C**。

行空间、列空间的解释
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### 线性变换解释

如果把矩阵**A**当作从**R***n*到**R***m*的线性变换，则矩阵的列空间等于这个线性变换的像，一种对向量**x**（原像）的运算、坐标变换。行空间则是从**R***m*到**R***n*的线性变换。

以行空间为例，设**A**为一*n*阶可逆方阵，给定一个线性方程组**Ax**=**b**，则该方程可理解为一种坐标变换：

某个n维向量在某个坐标系下（实际是以**A**的列向量的最大线性无关组为基底的坐标系，称为**原坐标系**)被称为（描述为）**x**，则**x**的各个分量值即该*n*维向量在原坐标系下的**坐标值**。矩阵**A**作用于**x**是指对该向量在由**A**的行向量所确定的一组基下作**投影**。矩阵**A**可逆，则行向量线性无关，每个行向量实际是一个基向量，需要对**x**作*n*次投影。

**x**在每个基向量上投影都会得到一个投影值，则一共得到*n*个投影值。将各个投影值按相应的顺序从上到下排列写成向量形式后即得到结果向量**b**——在**新坐标系**下的描述，其各个分量即该向量在以**A**的行向量为基的坐标系下的坐标值。换言之，**x**和**b**只是同一个向量在不同坐标系下的坐标（描述），矩阵**A**则是进行描述转换的（坐标变换）的媒介。

由于已假设**A**可逆，若在上述基础上对方程**Ax**=**b**两边同时右乘**A**的逆矩阵**A**-1，则是进行了一次**逆变换**，相当于将**b**投影在以**A**的列向量为基底的坐标系（即原坐标系），返回到原坐标系下的坐标表示**x**，即：将向量在新坐标系下的坐标表示**b**还原为在原坐标系下的坐标表示**x**。

上述的两次变化可形式化表示为：

**AxA**-1=**x**
且上式以矩阵乘法的角度看是显然的。两次变换简言之：

1. 首先投影**x**到A的**行空间**，得到在新坐标下的坐标描述**b**；
2. 进行可逆的变换；
3. 把结果向量**b**放置到**A**的**列空间**中。所以结果的 **Ax**=**b**必定居留在A的列空间中。

### 几何解释

#### 列空间

矩阵**A**的列空间C(**A**)是所有**A**的纵列的所有线性组合。设**A**为*m* × *n* 矩阵，其第*i*个列向量为**a**i,则C(**A**)的形式化表述为：

如果**A** = [**a**1, .... **a**n]，则C(**A**) = Span {**a**1, .... **a**n}。
#### 行空间

矩阵**A**的行空间R(**A**)或C(**A**T)是所有**A**的横行的所有线性组合。

由于矩阵**A**的行向量经转置后成为列向量，则矩阵**A**T的列空间即矩阵**A**的行空间。同理，**A**的列空间也是**A**T的行空间。相应地，设矩阵**A**为*m* × *n* 矩阵，则其转置**A**T为*n* × *m* 矩阵，其第*i*个列向量为**a**Ti，则C(**A**T)的形式化表述为：

如果**A**T = [**a**T1, .... **a**Tn]，则C(**A**T)=R(**A**) = Span {**a**T1, .... **a**Tn}。

例子
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给定矩阵J:

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}
横行是
**r**1 = (2,4,1,3,2),
**r**2 = (−1,−2,1,0,5),
**r**3 = (1,6,2,2,2),
**r**4 = (3,6,2,5,1)。
结果的J的行空间是{ **r**1, **r**2, **r**3, **r**4 } 张成的**R**5的子空间。因为这4个行向量是线性无关的，行空间是4维的。此外，在这种情况下，可以被看出它们都正交于向量**n** = (6,−1,4,−4,0)，所以可以推出行空间由正交于**n**的所有**R**5中的向量组成。

参见
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* 零空间

外部链接
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* MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace （页面存档备份，存于）, from MIT OpenCourseWare

参考文献
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* Strang,G.(2009)*Introduction to Linear Algebra*. 4th Edition.Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, pp.120-189.
* 3Blue1Brown.(2016)*Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3*. Available from:  （页面存档备份，存于） [Assessed 17th April 2018].

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