在同余理论中，模 *n* 的互质同余类组成一个乘法群，称为**整数模 n 乘法群**，也称为**模 n 既约剩余类**。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。

这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的"大小"），我们可以确定如果 *n* 是质数当且仅当阶数为 *n*-1。

群公理
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容易验证模 *n* 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

互质同余类的乘法是良好定义：*a* 与 *n* 互质，当且仅当 gcd(*a*, *n*) = 1. 同余类中的整数*a* ≡ *b* (mod *n*) 满足gcd(*a*, *n*) = gcd(*b*, *n*), 因此一个整数与 *n* 互质当且仅当另一个整数也与 *n* 互质.
恒同: 1 是恒同； 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类
闭：如果 *a* 和 *b* 都与 *n* 互质，那么 *ab* 也是；因为gcd(*a*, *n*) = 1 与 gcd(*b*, *n*) = 1 意味着 gcd(*ab*, *n*) = 1, 与 *n* 互质的同余类在乘法下是封闭的。
逆：找 *x* 满足 *ax* ≡ 1 (mod *n*) 等价于解 *ax* + *ny* = 1，可用欧几里得算法求出x，并且x在模n的同余类里。当 *a* 与 *n* 互质, 由于 gcd(*a*, *n*) = 1 ,根据 裴蜀定理 存在整数 *x* 与 *y* 满足 *ax* + *ny* = 1. 注意到由等式 *ax* + *ny* = 1 可推出 *x* 与 *n* 互质, 所以乘法逆元属于群.
结合性和交换性：由整数的相应事实以及模 *n* 运算是一个环同态推出。由于同余类*a* ≡ *a'*  与 *b* ≡ *b'*  (mod *n*) 的整数乘法意味着 *ab* ≡ *a'b'*  (mod *n*). 这可推出乘法满足结合律、交换律。

记法
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整数模 *n* 环记作 {\mathbb {Z}}/n{\mathbb {Z}} 或 {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}（即整数环模去理想 *n***Z** = (*n*) ，由 *n* 的倍数组成）或 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}.} 因作者所喜，它的单位群可能记为 {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\*},} {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },} {\displaystyle U(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),} 或类似的记号，本文采用 {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}

结构
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### 2 的幂次

模 2 只有一个互质同余类 1，所以
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \{1\}} 平凡。

模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C\_{2},} 两元循环群。

模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C\_{2}\times C\_{2},} Klein 四元群。

模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。{\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong C\_{2}\times C\_{2},} 为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }} 不是循环群。3的幂次：{\displaystyle \{1,3,9,11\}} 是一个 4 阶子群，5 的幂次也是，{\displaystyle \{1,5,9,13\}}。所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C\_{2}\times C\_{4}}。 

以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2*k*, *k* > 2 也成立：
{\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C\_{2}\times C\_{2},} 是 2-扭子群（所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }} 不是循环）而 3 的幂次是一个2*k*- 2 子群，所以 {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C\_{2}\times C\_{2^{k-2}}}。

### 奇质数的幂

对奇质数的幂 *p**k*，此群是循环群： {\displaystyle \;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C\_{p^{k-1}(p-1)}\cong C\_{\varphi (p^{k})}.}

### 一般合数

中国剩余定理 说明如果{\displaystyle \;\;n=p\_{1}^{k\_{1}}p\_{2}^{k\_{2}}p\_{3}^{k\_{3}}\dots ,\;} 那么环 {\mathbb {Z}}/n{\mathbb {Z}} 每个质数幂因子相应的环的直积：

{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p\_{1}^{k\_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p\_{2}^{k\_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p\_{3}^{k\_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}
类似地，{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 的单位群是每个质数幂因子相应群的直积：

{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p\_{1}^{k\_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p\_{2}^{k\_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p\_{3}^{k\_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}

阶数
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群的阶数由欧拉函数给出：{\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).} （OEIS數列A000010）
这是直积中各循环阶数的乘积。

指数
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指数为卡邁克爾函數\lambda(n)，（OEIS數列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 *a* 和 *n* 互质，{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.}

生成元
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{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 是循环群当且仅当 {\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n).} 这在 *n* 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为**模 n 的原根**。

因为所有 {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },} *n* = 1, 2, ... 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 *n* < 8 那么 {\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 有原根；如果 *n* ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除，{\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 有原根。(OEIS A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )

一般情形每个直积因子循环有一个生成元。

列表
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这个表列出了较小 *n* {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 的结构和生成元。生成元不是惟一（mod *n*）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。

以 *n*=20 为例。{\displaystyle \varphi (20)=8} 意味着 {\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }} 的阶数是 8（即有 8 个小于 20 的正整数与其互质）；{\displaystyle \lambda (20)=4} 说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20)；至于生成元，19 的指数为2，3 的指数为 4，而任何{\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }} 中元素都是 19*a* × 3*b* 的形式，这里 *a* 为 0 或 1，*b* 为 0, 1, 2, 或 3。

> 19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{20}^{\times }} 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。
> 
> 

**(Z/*n*Z)×** 的群结构| n | {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} | \varphi (n) | \lambda(n) | 生成元 |   | n | {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} | \varphi (n) | \lambda(n) | 生成元 |   | n | {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} | \varphi (n) | \lambda(n) | 生成元 |
| 1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 32 | C2×C8 | 16 | 8 | 31, 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 |
| 2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 10, 2 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 |
| 3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 34 | C16 | 16 | 16 | 3 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 |
| 4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 6, 2 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 |
| 5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 19, 5 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 |
| 6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 37 | C36 | 36 | 36 | 2 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 |
| 7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 38 | C18 | 18 | 18 | 3 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 |
| 8 | C2×C2 | 4 | 2 | 7, 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 38, 2 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 11 |
| 9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 39, 11, 3 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 |
| 10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 12 | 5, 7, 11 |
| 11 | C10 | 10 | 10 | 2 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 13, 5 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 |
| 12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 74 | C36 | 36 | 36 | 5 |
| 13 | C12 | 12 | 12 | 2 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 43, 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 |
| 14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 44, 2 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 75 |
| 15 | C2×C4 | 8 | 4 | 14, 2 | 46 | C22 | 22 | 22 | 5 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 |
| 16 | C2×C4 | 8 | 4 | 15, 3 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 |
| 17 | C16 | 16 | 16 | 3 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 47, 7, 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 |
| 18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 11 |
| 19 | C18 | 18 | 18 | 2 | 50 | C20 | 20 | 20 | 3 | 81 | C54 | 54 | 54 | 2 |
| 20 | C2×C4 | 8 | 4 | 19, 3 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 50, 5 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 |
| 21 | C2×C6 | 12 | 6 | 20, 2 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 51, 7 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 |
| 22 | C10 | 10 | 10 | 7 | 53 | C52 | 52 | 52 | 2 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 12 | 5, 11, 13 |
| 23 | C22 | 22 | 22 | 5 | 54 | C18 | 18 | 18 | 5 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 |
| 24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 21, 2 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 |
| 25 | C20 | 20 | 20 | 2 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 13, 29, 3 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 |
| 26 | C12 | 12 | 12 | 7 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 20, 2 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 |
| 27 | C18 | 18 | 18 | 2 | 58 | C28 | 28 | 28 | 3 | 89 | C88 | 88 | 88 | 3 |
| 28 | C2×C6 | 12 | 6 | 13, 3 | 59 | C58 | 58 | 58 | 2 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 |
| 29 | C28 | 28 | 28 | 2 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 11, 19, 7 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 |
| 30 | C2×C4 | 8 | 4 | 11, 7 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 |
| 31 | C30 | 30 | 30 | 3 | 62 | C30 | 30 | 30 | 3 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 5, 11 |

参见
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Lenstra 椭圆曲线分解（英语：），Lenstra（英语：） 给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法）

参考文献
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高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。

* Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549

* Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8

* Riesel, Hans, Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.