**直言三段论**是所有前提都是直言命题的演绎推理。

例子：

> 
> 
> 所有動物都會死。
> 所有人都是動物。
> 所以，所有人都會死。
> 

前兩個命題被分别称为**大前提**和**小前提**。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題，它叫做**結論**。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須**周延**（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。即使直言三段論是有效的，但如果有前提為假的話結論仍可能是假，例如以下的三段論：

> 
> 
> 所有的魚都在水裡游。
> 烏鴉是魚。
> 所以，所有的烏鴉都在水裡游。
> 

此為第一格AAA三段論，為有效，但是因為前提是錯的（烏鴉事實上不是魚），因而導致結論為假。

语气和格式
-----

對立四邊形圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係（紅色表示非空，黑色表示空）
三段論形式如下：

大前提：所有M是P
小前提：所有S是M
結論：所有S是P
其中S代表結論的主詞（**S**ubject），P代表結論的謂詞（**P**redicate），M代表中詞（**M**iddle）。

三段論的命題可分為全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類**語氣**（Mood）：

| 類型 | 代號 | 形式 | 範例 |
| --- | --- | --- | --- |
| 全稱肯定型 | A（SaP） | 所有S是P | 所有人是會死的 |
| 全稱否定型 | E（SeP） | 沒有S是P | 沒有人是完美的 |
| 特稱肯定型 | I（SiP） | 有些S是P | 有些人是健康的 |
| 特稱否定型 | O（SoP） | 有些S不是P | 有些人不是健康的 |

三段論中，結論中的謂詞稱作**大詞**（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作**大前提**；結論中的主詞稱作**小詞**（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作**小前提**；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作**中詞**（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種**格**（Figure）：

|  | 第1格 | 第2格 | 第3格 | 第4格 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 大前提 | M-P | P-M | M-P | P-M |
| 小前提 | S-M | S-M | M-S | M-S |
| 結論 | S-P | S-P | S-P | S-P |
|

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如**AAA-1**（也可以寫成**1-AAA**）代表「大前提為**A**型，小前提為**A**型，結論為**A**型，第**1**格」的三段論。

此外，三段論的四種格之间可相互转换：

* 第1格：对换大前提的前后两项的位置就变成第2格，对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
* 第2格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1格，对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
* 第3格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4格，对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
* 第4格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3格，对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题（E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的O命题）。O命题不能对换前后两项的位置。

有效性
---

考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提"所有M是P"中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是"没有M是P"，它的小前提是"有些S是M"，它的结论是"有些S不是P"。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用**x**符号来表示"有些S是M"。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论"存在一些S不是P"是正确的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。

基本規則：

1. 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）（若不能確定所有提及的集合非空，則一個項在結論中周延，若且唯若該項在前提中周延）
2. 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）（若不能確定所有提及的集合非空，則中詞必須剛好周延一次）
3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
	1. 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）
	2. 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）
	3. 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）
4. 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
	1. 二前提皆全稱，則結論必須為全稱（此條件適用於不能確定所有提及的集合非空的情況）
	2. 一前提是特稱，則結論必須為特稱
	3. 二前提皆特稱，則三段論必無效

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

其他檢查：

* 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）
* 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）

### 有效三段論式

有加括號者必須假設所有提及的集合非空才有效。

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。

```
1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO
```

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

### 常犯的無效三段論式

```
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
```

三段论式列表
------

总共有19个有效的论式（算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式），為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的元音即是對應的語氣，例如B**a**rb**a**r**a**代表**AAA**。

| 第1格 | 第2格 | 第3格 | 第4格 |
| --- | --- | --- | --- |
| B**a**rb**a**r**a** | C**a**m**e**str**e**s | D**a**r**a**pt**i** | Br**a**m**a**nt**i**p |
| C**e**l**a**r**e**nt | C**e**s**a**r**e** | F**e**l**a**pt**o**n | F**e**s**a**p**o** |
| D**a**r**ii** | B**a**r**o**c**o** | D**a**t**i**s**i** | C**a**m**e**n**e**s |
| F**e**r**io** | F**e**st**i**n**o** | F**e**r**i**s**o**n | Fr**e**s**i**s**o**n |
|  |  | D**i**s**a**m**i**s   | D**i**m**a**r**i**s |
|  |  | B**o**c**a**rd**o** |  |

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一格 | 第二格 | 第三格 | 第四格 |
| AAA | AEE | AAI | AAI |
| EAE | EAE | EAO | EAO |
| AII | AOO | AII | AEE |
| EIO | EIO | EIO | EIO |
| （AAI） | （AEO） | IAI | IAI |
| （EAO） | （EAO） | OAO | （AEO） |

### 经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

#### 第1格

* **AAA**（Barbara）

所有M是P.   

所有S是M.   

∴所有S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}

* **EAE**（Celarent）

没有M是P.   

所有S是M.   

∴没有S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}

* **AII**（Darii）

所有M是P.   

有些S是M.   

∴有些S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}

* **EIO**（Ferio）

没有M是P.   

有些S是M.   

∴有些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

#### 第2格

* **AEE**（Camestres）

所有P是M.   

没有S是M.   

∴没有S是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}

* **EAE**（Cesare）

没有P是M.   

所有S是M.   

∴没有S是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}

* **AOO**（Baroco）

所有P是M.   

某些S不是M.   

∴某些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land \lnot M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

* **EIO**（Festino）

没有P是M.   

有些S是M.   

∴某些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

#### 第3格

* **AAI**（Darapti）

所有M是P.   

所有M是S.   

∴有些S是P.   

（这种形式需要假定某些M确实存在。）

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}

* **EAO**（Felapton）

没有M是P.   

所有M是S.   

∴有些S不是P.   

（这种形式需要假定某些M确实存在。）

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

* **AII**（Datisi）

所有M是P.   

有些M是S.   

∴有些S是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}

* **EIO**（Ferison）

没有M是P.   

有些M是S.   

∴某些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

* **IAI**（Disamis）

有些M是P.   

所有M是S.   

∴有些S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))\qquad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\forall (M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}

* **OAO**（Bocardo）

某些M不是P.   

所有M是S.   

∴某些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\quad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\forall (M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x(\lnot P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(\lnot P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}

### 增补的论式

第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

#### 第4格

* **AAI**（Bramantip）

所有P是M.   

所有M是S.   

∴有些S是P.  

（这种形式需要假定某些P确实存在）

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}

* **EAO**（Fesapo）

没有P是M.   

所有M是S.   

∴有些S不是P.  

（这种形式需要假定某些M确实存在）

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

* **AEE**（Camenes）

所有P是M.   

没有M是S.   

∴没有S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}

  

* **EIO**（Fresison）

没有P是M.   

有些M是S.   

∴有些S不是P.

{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}

* **IAI**（Dimaris）

有些P是M.   

所有M是S.   

∴有些S是P.

{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}

#### 结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是：
**AAI-1**（弱化的AAA-1），**EAO-1**（弱化的EAE-1），**EAO-2**（弱化的EAE-2），**AEO-2**（弱化的AEE-2），**AEO-4**（弱化的AEE-4）。

对附加的谓词演算公式的注解
-------------

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

* A（全称肯定）命题：所有X是Y，确定了X"包含于"Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y並且所有Y是Z則所有X是Z，所有X是Y並且所有Y是X則X同於Y。
* E（全称否定）命题：所有X不是Y，确定了X和Y是"无交集"的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。
* I（特称肯定）命题：有些X是Y，确定了X和Y是"有交集"的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。
* O（特称否定）命题：有些X不是Y，确定了X"不包含于"Y的关系。（从X不包含于Y不能推出X包含Y）。

将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：

* A命题：所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。
* E命题：所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。
* I命题：有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
* O命题：有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一（此为互斥前提謬誤），IE的組合都得出P不包含於S結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含於P的关系；第4格AA組合推论出P包含於S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置，EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。

AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論，不屬於四種命題之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2沒有等價者，這裡對A命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論O命題不成立，它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果，所以結論成立。

歷史上，對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的p所指示的，通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。

最後，有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。

24論式圖示
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下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **格** | **A** ∧ **A** |  | **A** ∧ **E** |  |  |  | **A** ∧ **I** |  | **A** ∧ **O** |  | **E** ∧ **I** |
| AAA | *AAI* | AEE | *AEO* | EAE | *EAO* | AII | IAI | AOO | OAO | EIO |
| **1** | Barbara | *Barbari* |  |  | Celarent | *Celaront* | Darii |  |  |  | Ferio |
| **2** |  |  | Camestres | *Camestros* | Cesare | *Cesaro* |  |  | Baroco |  | Festino |
| **3** |  | *Darapti* |  |  |  | *Felapton* | Datisi | Disamis |  | Bocardo | Ferison |
| **4** |  | *Bamalip* | Calemes | *Calemos* |  | *Fesapo* |  | Dimatis |  |  | Fresison |

参见
--

* 直接推理
* 传统逻辑
* 谓词演算

註解
--

1. ↑  中国社会科学院语言研究所词典编辑室.  2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121-1122  [2020-07-05]. ISBN 978-7-100-12450-8 （中文（大陆简体））. .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如"凡金属都能导电"（大前提），"铜是金属"（小前提），"所以铜能导电"（结论）。.......  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
2. ↑  直接結論是：所有M是P且S.
3. 1 2  直接結論是：所有M是S且非P.
4. ↑  在亞里士多德《前分析篇》裡關於AEE-2的論證中，對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後，得出第4格的AEE-4，亞里士多德稱之為再次得到了第1格，沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式，因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
5. ↑  直接結論是：所有P是S.

引用
--

* Aristotle, *Prior Analytics*. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
* Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the *Oxford Dictionary of Philosophy*. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
* Broadie, Alexander, 1993. *Introduction to Medieval Logic*. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
* Irving Copi, 1969. *Introduction to Logic*, 3rd ed. Macmillan Company.
* Hamblin, Charles L. 1970. *Fallacies*, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution."
* Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). *Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic*. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

外部連結
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* Robin Smith.. 扎尔塔, 爱德华·N (编). .
* Terence Parsons.. 扎尔塔, 爱德华·N (编). .
* Henrik Lagerlund.. 扎尔塔, 爱德华·N (编). .
* Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism （页面存档备份，存于） an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
* Abbreviatio Montana （页面存档备份，存于） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
* The Figures of the Syllogism （页面存档备份，存于） is a brief table listing the forms of the syllogism.
* www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
* Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet

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| 传统逻辑：**三段論** |
| **形式**：**直言三段论** | 选言三段论 | 假言三段论 | 复合三段论 | 準三段論 | 统计三段论 |
| **其他**：对立四边形 | 三段论 | 三段论谬论 |


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| * 
* 论
* 编
数理逻辑 |
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| 基本概念 | 
* 公理
	+ 列表
* 势
* 一阶逻辑
* 形式证法（英语：）
* 邏輯語義學
* 数学基础
* 信息论
* 蕴涵
* 结构
* 集合
* 定理
* 形式理论
* 类型论

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| 定理（列表（英语：）及悖论（英语：）） | 
* 哥德尔完备性定理及哥德尔不完备定理
* 塔斯基不可定義定理
* 巴拿赫-塔斯基定理
* 康托尔 定理、悖论和對角論證法
* 紧致性定理
* 停机问题
* 林德斯特伦定理（英语：）
* 勒文海姆–斯科伦定理
* 罗素悖论

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| 逻辑 | 

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| 传统逻辑 | 
* 邏輯真理
* 恆真式
* 命题
* 推理
* 逻辑等价
* 一致性
	+ 相同一致性（英语：）
* 逻辑论证
* 可靠性定理
* 有效性
* 直言三段论
* 对立四边形
* 文氏图

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|  |
| 命题逻辑 | 
* 逻辑代数
* 布尔函数
* 逻辑运算符
* 命题逻辑
* 命题公式
* 真值表
* 多值逻辑
	+ 三值
	+ 有限值（英语：）
	+ 无限值（英语：）

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|  |
| 经典逻辑 | 
* 经典逻辑
* 一阶逻辑
* 二階邏輯
	+ 一元（英语：）
* 高阶逻辑
* 自由逻辑
* 量化
* 谓词（英语：）
* 一元谓词演算

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| 集合论 | 

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| 
* 集合
	+ 遗传集（英语：）
* 类
* （基本）元素
* 有序对
* 序数
* 子集
* 相等
* 外延性
* 力迫
* 关系
	+ 等价关系
	+ 集合划分
* 集合运算
	+ 交集
	+ 并集
	+ 补集
	+ 笛卡儿积
	+ 冪集
	+ 同一性（英语：）

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|  |
| 集合种类 | 
* 可數集
* 不可數集
* 空集
* 居集（英语：）
* 单元素集合
* 有限集合
* 无限集合
* 传递集合
* 超滤子（英语：）
* 递归集合
* 模糊集
* 全集
	+ 可构造全集（英语：）
	+ 格伦迪克全集（英语：）
	+ 冯·诺伊曼全集

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|  |
| 映射与势 | 
* 函数、映射
	+ 定义域
	+ 到达域
	+ 像
* 单射、满射、双射
* 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
* 同构
* 哥德尔数
* 列举法
* 大基数
	+ 不可達基數
* 阿列夫數
* 运算
	+ 二元运算

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|  |
| 集合理论 | 
* 策梅洛-弗兰克尔 (ZFC)
	+ 选择公理
	+ 连续统假设
* 广义集合论 (GST)（英语：）
* 克里普克-普拉克 (KP)（英语：）
* 莫尔斯-凯利集合论 (MK)（英语：）
* 朴素集合论
* 新基础集合论
* 塔斯基-格罗滕迪克 (TG)（英语：）
* 冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔 (NBG)
* 建构式集合论（英语：）

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| 句法（英语：）及语言 | 

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* 字母表
* 元数
* 自動機理論
* 公理模式
* 表達式
	+ 基础表达式（英语：）
* 扩展（英语：）
* 关系
* 形式
	+ 文法
	+ 语言
	+ 证明
	+ 系统
	+ 理论
* 形成规则（英语：）
* 合式公式
	+ 原子公式
	+ 封闭式
	+ 基本式（英语：）
	+ 开放式
* 自由变量和约束变量
* 元語言
* 逻辑运算符
	+ ¬
	+ ∨
	+ ∧
	+ →
	+ ↔
	+ 逻辑相等（英语：）
* 谓词（英语：）
	+ 泛函谓词
	+ 谓词变量
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	+ ∃
	+ !
	+ ∀
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* 句子
	+ 原子句子
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* 字符串
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* 逻辑符号
	+ 函数符号
	+ 逻辑常量（英语：）
	+ 非逻辑符号（英语：）
	+ 變數
* 逻辑术语（英语：）

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| 公理系统示例（列表（英语：）） | 
* 实算术（英语：）
	+ 皮亚诺公理
	+ 二阶（英语：）
	+ 初等函数（英语：）
	+ 原始递归（英语：）
	+ 罗宾逊算术（英语：）
	+ 斯科勒姆算术（英语：）
* 實數的構造
	+ 塔尔斯基公理化（英语：）
* 布尔代数
	+ 正则定义（英语：）
	+ 最小公理（英语：）
* 几何（英语：）
	+ 欧几里得几何
	+ 《原本》
	+ 希尔伯特公理
	+ 非欧几里得几何
	+ 塔尔斯基公理（英语：）
* 《数学原理》

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| 证明论 | 
* 形式证明
* 自然演绎
* 蕴涵
* 推理规则
* 相继式演算
* 定理
* 系统
	+ 形式
	+ 公理
	+ 演绎
	+ 希尔伯特演绎系统
		- 列表（英语：）
* 完备理论（英语：）
* ZFC系统的独立性（英语：）
	+ 列表
* 不可能证明（英语：）
* 序数分析（英语：）
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* 自恰理论（英语：）

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| 模型论 | 
* 解释
* 结构
	+ 初等等价
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	+ 子结构
* 非标准模型
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* 结构图（英语：）
	+ 基本图（英语：）
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* 完备模型论（英语：）
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* 强度（英语：）
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	+ 克里普克
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* 真理谓词（英语：）
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* 抽象逻辑（英语：）
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