在數學中，**1 − 2 + 4 − 8 + …**是一個无穷级数，它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。

\sum \_{{k=0}}^{{n}}(-2)^{k}
作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一個廣義的和為⅓。

歷史上的爭論
------

戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以兩個答案都是錯的，而整個級數必為有限：

"如果两个结论里没有一个是可被接受的，或者说因为无法判断哪个结论可被接受，自然一般会选择处在两个结论中间的结论，所以这个级数和是一个有限数。"
莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有*和*，但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。在十八世纪，"一个数项级数的和可能等于一个并不是其逐项叠加的结果的有限数"是一个十分普通的观点，尽管现代数学观点同当时的观点并没有任何分别。

当克里斯提安·沃尔夫在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数的解法后， 他对此解法非常满意，并设法通过这种方法去寻求更多解决发散级数问题的数学方法（如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …）。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话，他得到的结果会是{\tfrac {4m+1}{3}}或者{\tfrac {-4n+1}{3}} 。 这些值的平均值是{\tfrac {2m-2n+1}{3}}，然后假设*m* = *n* ，讨论到无限后就得到了级数和是 ⅓ 。莱布尼兹的直觉在这时让他避免了在沃尔夫的解法上费力气。他给沃尔夫回信，说他的解法有点意思，但是因几个原因而无效。 相邻的两个部分和并不收敛到任何一个特定值上，同时在任何有限条件下都有*n* = 2*m*，而不是*n* = *m*。总之，可求和级数的项最终都应收敛到零；即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下，认为他说不定"可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。"

现代方法
----

### 等比数列

任何具有规律性、线性和稳定性的求和方法都能对等比数列（几何级数）求和

\sum \_{{k=0}}^{{n}}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.
在这种情况下 *a* = 1 且 *r* = −2，所以级数和是 ⅓。

### 欧拉求和

在他1755年的《Institutiones》上，莱昂哈德·欧拉采用了现在被称为欧拉变换的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + …，得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + …。因为後者的和为⅓，欧拉得出结论，认为1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓。他对於无穷级数的看法不太遵循现代方法。如今，我们称1 − 2 + 4 − 8 + …是欧拉可求和，其欧拉和是⅓。

《*Institutiones*》节选
欧拉变换以正项序列开始：

*a*0 = 1,
*a*1 = 2,
*a*2 = 4,
*a*3 = 8, ….
而前向差分序列是

Δ*a*0 = *a*1 − *a*0 = 2 − 1 = 1,
Δ*a*1 = *a*2 − *a*1 = 4 − 2 = 2,
Δ*a*2 = *a*3 − *a*2 = 8 − 4 = 4,
Δ*a*3 = *a*4 − *a*3 = 16 − 8 = 8, …,
这一序列与上一序列正好相同。因此对於每一*n*，迭代前向差分序列均以Δ*n**a*0 = 1开始。级数的欧拉变换如下：

{\frac {a\_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a\_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a\_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a\_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .
上述级数是一收敛等比级数，按常规求和公式得出其和为⅓。

### 博雷尔和

1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷尔和也是 ⅓；博雷尔于1896年介绍了博雷尔和极限的公式，这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + …后的首个实例之一。

注釋
--

1. ↑  Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《*De progressionibus intervallorum tangentium a vertice*》，拉丁语原文："Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito."
2. ↑  Ferraro and Panza，第21页
3. ↑  沃尔夫第一次对信件的引用是发表在《*Acta Eruditorum*》的来自德国哈雷的一封信中，日期为1712年6月12日；Gerhardt，第143－146页。
4. ↑  引言是Moore的解释（第2－3页）；出自Gerhardt pp.147-148莱布尼兹的信，日期为1712年7月13日，来自汉诺威。
5. ↑  Euler p.234
6. ↑  参见Korevaar p.325
7. ↑  Smail p. 7.

參考資料
----

* Euler, Leonhard.. 1755  [2010-02-26]. （原始内容存档于2008-02-25）.
* Ferraro, Giovanni; Panza, Marco.. Historia Mathematica. 2003-02-01, **30** (1)  [2022-10-12]. ISSN 0315-0860. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4. （原始内容存档于2022-10-17） （英语）.
* Leibnitz, Gottfried Wilhelm freiherr von.. 1860  [2022-10-12]. （原始内容存档于2022-10-12） （拉丁语）.
* Knobloch, Eberhard.. Historia Mathematica. The Origins of Algebra: From al-Khwarizmi to Descartes. 2006-02-01, **33** (1)  [2022-10-12]. ISSN 0315-0860. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001. （原始内容存档于2022-10-17） （英语）.
* Korevaar, Jacob.. Springer. 2004. ISBN 3-540-21058-X.
* Leibniz, Gottfried. S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke , 编.. Akademie Verlag. 2003  [2010-02-26]. ISBN 3-05-004003-3. （原始内容存档于2013-10-17）.
* Moore, Charles.. AMS. 1938. LCC QA1 .A5225 V.22.
* Smail, Lloyd.. University of Oregon Press. 1925. LCC QA295 .S64.


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
| --- |
|  |
| 算術序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
|  |
| 幾何序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
|  |
| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

 |
|  |
| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
|  |
| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
|  |
| 其他序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

 |

 |