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在量子力學裏，**機率流**，又稱為**機率通量**，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

定義
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在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 \Psi (x,t) 。定義機率流 \mathbf {J}  為

{\mathbf {J}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi ) ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，m 是質量，\Psi ^{\*} 是 \Psi  是共軛複數，{\mbox{Im}}() 是取括弧內項目的虛部。

### 連續方程式與機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}=0 ；
其中，\rho =|\Psi |^{2} 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}{\mathrm {d}}^{3}{r}+\oint \_{{\mathbb {S}}}{\mathbf {J}}\cdot {{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}}=0 ；(1)
其中，\mathbb{V} 是任意三維區域，\mathbb {S}  是 \mathbb{V} 的邊界曲面。

這就是量子力學**機率守恆定律**的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 \mathbb{V} 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 \mathbb{V} 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 \mathbb{V} 的通量，兩者的總和等於零。

### 連續方程式導引

測量粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率 P 是

P=\int \_{{\mathbb {V}}}\rho \,{\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}\,{\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}} 。
機率對於時間的導數是

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}\,{\mathrm {d}}^{3}{r}=\int \_{{\mathbb {V}}}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{\*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} ；(2)
假設 \Psi 的含時薛丁格方程式為

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi  ；
其中，U({\mathbf {r}}) 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}=-\int \_{{\mathbb {V}}}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{\*}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
應用一則向量恆等式，可以得到

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{\*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{\*} 。
這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}=-\int \_{{\mathbb {V}}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)\right]\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
將機率密度方程式與機率流定義式代入，

\int \_{{\mathbb {V}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,{\mathrm {d}}^{3}{r}=-\int \_{{\mathbb {V}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
這相等式對於任意三維區域 \mathbb{V} 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}=0 。

範例
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### 平面波

設定一個粒子的波函數 \Psi  為三維空間的平面波，

\Psi ({\mathbf {r}},\,t)=Ae^{{i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}}e^{{i\omega t}} ；
其中，A 是振幅常數，\mathbf{k} 是波數，\mathbf {r}  是位置，\omega  是角頻率，t 是時間。

\Psi  的機率流是

{\mathbf {J}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}}{\boldsymbol {\nabla }}e^{{i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}}-e^{{i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}}{\boldsymbol {\nabla }}e^{{-i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\mathbf {k}}}{m}} 。
這只是振幅的平方乘以粒子的速度 {\mathbf {v}}={\frac {{\mathbf {p}}}{m}}={\frac {\hbar {\mathbf {k}}}{m}} 。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，{\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0 ，但是機率流仍舊不等於 {\displaystyle 0} 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

### 盒中粒子

一維盒子位勢，即一個無限深方形阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。
思考一維盒中粒子問題，能級為 E\_n 的本徵波函數 \Psi \_{n} 是

\Psi \_{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L ；
其中，L 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 x=0 與 x=L 。

由於 \Psi \_{n}=\Psi \_{n}^{\*} ，其機率流為

J\_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi \_{n}^{\*}{\frac {\partial \Psi \_{n}}{\partial x}}-\Psi \_{n}{\frac {\partial \Psi \_{n}^{\*}}{\partial x}}\right)=0 。

參閱
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* 階梯位勢
* 透射係數