在同調代數中，**Ext 函子**是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義
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設 \mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R 上的左模範疇 R-{\mathbf {Mod}}。固定一對象 A，定義函子 {\displaystyle T\_{A}(-):=\mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,-)}，此為左正合函子，故存在右導函子 {\displaystyle R^{\bullet }T\_{A}(-)}，記為 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)}。當 {\displaystyle {\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod} } 時，常記之為 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{R}^{\bullet }(A,-)}。

根據定義，取 B 的內射分解

{\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0}
並取 {\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,-)}，得到

{\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0}
去掉首項 {\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,B)}，最後取上同調群，便得到 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}。

另一方面，若 \mathcal{C} 中也有充足射影元（例如 R-{\mathbf {Mod}}），則可考慮右正合函子 {\displaystyle G\_{B}(-):=\mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(-,B)} 及其左導函子 {\displaystyle L\_{\bullet }G\_{B}(-)}，可證明存在自然同構 {\displaystyle L\_{\bullet }G\_{B}(A)=\mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}。換言之，對 A 取射影分解：

{\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0}
並取 {\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(-,B)}，得到

{\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0}
去掉尾項 {\displaystyle \mathrm {Hom} \_{\mathcal {C}}(A,B)}，其同調群同構於 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}。

基本性質
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* 若 A 是射影對象或 B 是內射對象，則對所有 i>0 有 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0}。
* 反之，若 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0}，則 A 是射影對象。若 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0}，則 B 是內射對象。
* {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus \_{i}A\_{i},B)=\coprod \_{i}\mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A\_{i},B)}
* {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod \_{j}B\_{j})=\prod \_{j}\mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B\_{j})}
* 根據導函子性質，對每個短正合序列 {\displaystyle 0\to B'\to B\to B''\to 0}，有長正合序列：

{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots }
* 承上，若 \mathcal{C} 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 {\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}，有長正合序列

{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots }

譜序列
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今設 A,B 為含單位元的環，並固定一環同態 A\to B。則由雙函子的自然同構

{\displaystyle \mathrm {Hom} \_{B}(-,\mathrm {Hom} \_{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} \_{A}(-,-)}
導出格羅滕迪克譜序列：對每個 B-模 M 及 A-模 N，有譜序列

{\displaystyle E\_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} \_{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} \_{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} \_{A}^{p+q}(M,N)}
這個關係稱為**換底**。

Ext函子與擴張
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Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}，在擴張

{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}
的等價類與 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{1}(A,B)} 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0} 與
{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0}
可以構造其 **Baer 和** 為 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\times \_{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0}，其中 {\displaystyle \Delta :=(1,-1)(C\sqcup \_{B}C')}（*反對角線*）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{1}(A,B)}。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X\_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X\_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} 與
{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'\_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'\_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
此時的 Baer 和定為

{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y\_{n}\rightarrow X\_{n-1}\oplus X'\_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X\_{2}\oplus X'\_{2}\rightarrow X''\_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
其中 {\displaystyle A:=X\_{1}\times \_{A}X\_{1}'/\Delta \_{1}}（反對角線 {\displaystyle \Delta \_{1}} 之定義同上），{\displaystyle Y\_{n}:=X\_{n}\sqcup \_{B}X\_{n}'}。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 {\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{n}(A,B)}。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子
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* 設 G 為群，取環 {\displaystyle R:=\mathbb {Z} G}，可以得到群上同調：{\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)}。
* 設 \mathcal{C} 為局部賦環空間 X 上的 {\mathcal {O}}\_{X}-模範疇，可以得到層上同調：{\displaystyle \mathrm {Ext} \_{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}\_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})}。
* 設 \mathfrak{g} 為李代數，取環 {\displaystyle R:=U({\mathfrak {g}})} 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：{\displaystyle \mathrm {Ext} \_{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)}。
* 設 k 為域，A 為 k-代數，取環 {\displaystyle R:=A\times A^{\mathrm {op} }}，A 帶有自然的 R-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：{\displaystyle \mathrm {Ext} \_{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)}。

文獻
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* Charles A. Weibel, *An introduction to homological algebra*, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1