此条目页的主題是数学当中的一种函数或运算。电子系统设计与信号传输中的差分传输，請見「**差分信号**」。
**差分**，又名**差分函數**或**差分運算**，一般是指**有限差分**（英語：），是数学中的一个概念，将原函数 {\displaystyle f(x)} 映射到 {\displaystyle f(x+a)-f(x+b)}。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。

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| 系列條目 |
| 微积分学 |
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* 函数
* 极限论
* 微分学
* 积分

* 微积分基本定理
* 微积分发现权之争（英语：）

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實數性質 |
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| 一元积分

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定义 |
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从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
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| 分支学科

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| 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析 |

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| * 
* 论
* 编
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定义
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差分分为**前向差分**和**逆向差分**。

### 前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数{\displaystyle \ f(x)}，如果在等距节点：

{\displaystyle x\_{k}=x\_{0}+kh,(k=0,1,...n)}
{\displaystyle \ \Delta f(x\_{k})=f(x\_{k+1})-f(x\_{k})}
则称{\displaystyle \ \Delta f(x)}，函数在每个小区间上的增量{\displaystyle y\_{k+1}-y\_{k}}为{\displaystyle \ f(x)}一阶差分。

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当{\displaystyle \ f(x)}是多项式时，前向差分为Delta算子（称{\displaystyle \Delta }为差分算子），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

### 逆向差分

对于函数{\displaystyle \ f(x\_{k})}，如果：

{\displaystyle \ \nabla f(x\_{k})=f(x\_{k})-f(x\_{k-1}).\,}
则称{\displaystyle \ \nabla f(x\_{k})}为{\displaystyle \ f(x)}的一阶逆向差分。

差分的阶
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**一阶差分**的差分为**二阶差分**，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

{\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}为{\displaystyle \ f(x)}的{\displaystyle \ n}阶差分。

如果

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| {\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)} | {\displaystyle \ =\Delta \{\Delta ^{n-1}[f](x)\}} |
|  | {\displaystyle \ =\Delta ^{n-1}[f](x+1)-\Delta ^{n-1}[f](x)} |

根据数学归纳法，有

{\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum \_{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}
其中，{\displaystyle \ {n \choose i}}为二项式系数。

特别的，有

{\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}
前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质
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对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

* 如果C为常数，则有

{\displaystyle \Delta C=0}
* 线性：如果 {\displaystyle \ a} 和 {\displaystyle \ b} 为常数，则有

{\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}
* 乘法定则(此处步长{\displaystyle h\equiv 1})：

{\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g}
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g}
* 除法定则：

{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}
{\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}}
或
{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}
{\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}
* 级数：

{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}
{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}

牛頓級數
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参见：均差
《自然哲學的數學原理》的第三編"宇宙體系"的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
**牛頓插值公式**也叫做**牛頓級數**，由"牛頓前向差分方程"的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編"宇宙體系"的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

### 單位步長情況

當{\displaystyle x}值間隔為單位步長{\displaystyle 1}時，有：

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum \_{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod \_{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum \_{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}}
這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

{\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)\_{k}}{k!}}\quad \quad (x)\_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}
是二項式係數，其中的{\displaystyle (x)\_{k}}是"下降階乘冪"(另一種常見的標記法為{\displaystyle x^{\underline {k}}})，空積{\displaystyle (x)\_{0}}被定義為{\displaystyle 1}。這裡的{\displaystyle \Delta \_{k}\left[f\right](x)}是"前向差分"的特定情況，即間距{\displaystyle h=1}。

### 實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x0（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x\_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x\_{0})(x-x\_{0}-1)}{2!}}\quad (x\_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}
### 一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta \_{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta \_{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\Delta \_{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod \_{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\Delta \_{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod \_{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}
在最終公式中hk被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参见
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* 递归
* 招差术
* 遞迴關係式
* 拉格朗日多项式
* 吉尔布雷斯猜想
* 牛顿多项式
* 牛顿级数表
* 泰勒级数
* 时标微积分
* 分部求和法

参考文献
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* Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Theoretical Computer Science, 1995, **144** (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M [永久].