處於盒子裏的粒子可以自由移動於無法穿越的阱壁內。當阱壁之間距離很微小的時候，可以觀察到量子效應。例如，粒子在某位置的機率比在另外位置的機率大，粒子的能級是離散的。
在物理學裏，**無限深方形阱**（infinite square potential），又稱為**無限深位勢阱**（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為**無限深方形阱問題**，又稱為**無限深位勢阱問題**，**盒中粒子問題**（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為**單粒子無限深方形阱問題**。假若，阱內有兩個粒子，則稱為**雙粒子無限深方形阱問題**。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為**雙全同粒子無限深方形阱問題**。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。

在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛丁格方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為零點能量！這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。

更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0 ，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。

簡介
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一個一維無限深方形阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。

這問題的薛丁格方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：

1. 能量量子化：　表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是離散能級譜中的一個能級。
2. 零點能量：　粒子最小的允許能級，稱為零點能量，不是 0 。
3. 波節點： 恰恰與經典力學相反，薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方，找到粒子的概率是零。

不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為[來源請求]。更詳細內容，請參閱條目奈米線。

一維阱
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在一維無限深方形阱內，粒子的能級與伴隨的波函數。
在一維無限深方形阱內，找到能級為 n 的粒子的機率。
一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 L 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ x 方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數 \psi\_n 與本徵值 E\_n 分別為

\psi\_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} ，
E\_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} ；
其中，n 是正值的整數，h 是普朗克常數，m 是粒子質量。

### 導引

一維不含時薛丁格方程可以表達為

 - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x) ；\quad(1)
其中，\psi (x) 是複值的、不含時間的波函數，V(x) 是跟位置有關的位勢，E 是正值的能量。

在阱內，位勢 V(x)= 0 。一維不含時薛丁格方程約化為

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2} = E \psi(x)  。\quad(2)
這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 \psi (x) 與本徵值 E 是

\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) ，\quad(3a)
E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} ；\quad(3b)
其中，A 與 B 是常數，可以是複值，k 是實值的波數（因為 E 是正值的，所以，k 必須是實數。）。

為了求得一般解 \psi (x) 的常數 A ， B ，與波數 k 的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率 \left| \psi(x)\right|^2 越小。在 x=0 ， x=L 兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微：\left| \psi(x)\right|^2=0 。所以，邊界條件是

\psi(0)=\psi(L)=0 。(4)
代入方程 (3a) 。在 x=0 ，可以得到

\psi(0)=B=0 。(5)
在 x=L ，可以得到

\psi(L) = A \sin(kL) = 0 。(6)
方程 (6) 的一個簡易解是 A=0 。可是，這樣，波函數是 \psi = 0 。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定 A\neq 0 ，則 \sin(kL) = 0 。那麼，必須要求

k = \frac{n \pi}{L} ;(7)
其中，整數 n>0 。

注意到 n = 0 狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是 \psi = 0 的物理答案：粒子不在阱內！

為了求得 A 值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：

1 = \int\_{ - \infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int\_0^L \sin^2 (kx) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2} 。
常數 A 的值為

\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}} 。(8)
常數 A 可以是任何複數，只要絕對值等於\sqrt{\frac{2}{L}} ；可是，這些不同值的 A 都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇 A=\sqrt{\frac{2}{L}} 。

盒中粒子（黑色粗點）和自由粒子（灰色曲線）的能量都同樣地跟波數有關。但是，盒中粒子只能帶有離散的能量。
最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是

\psi\_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) ，
E\_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} 。
* 如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於 n\neq 0 ，最低的能級，稱為零點能量，大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置變異數有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0 ，粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。

* 很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

### 啟發導引

能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：

n\frac{\lambda}{2} = L ；
其中，\lambda  是波長，n 是正值的整數。

應用德布羅意假說，粒子的動量 p 是

p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L}n 。
代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。

E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} 。

二維阱
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二維無限深方形阱的波函數.，n\_x=n\_y=4 。
一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在 x 與 y 方向，分別為 L\_{x} ，L\_{y} 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ x 與 y 方向）。二維無限深方形阱的本徵函數 \psi\_{n\_x,n\_y} 與本徵值 E\_{n\_x,n\_y} 分別為

\psi\_{n\_x,n\_y} = \sqrt{\frac{4}{L\_x L\_y}} \sin \left( \frac{n\_x \pi x}{L\_x} \right) \sin \left( \frac{n\_y \pi y}{L\_y} \right) 
E\_{n\_x,n\_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n\_x}{L\_x} \right)^2 + \left( \frac{n\_y}{L\_y} \right)^2 \right] 
其中，n\_x 與 n\_y 是正值的整數。

### 導引

在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個二階偏微分方程：

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi。
應用分離變數法 。首先，假設 \psi(x,\ y) 是兩個不相關的函數 X(x) 與 Y(y) 的乘積，X(x) 只含有變數 x ，Y(y) 只含有變數 y ：

 \psi(x,y) = X(x) Y(y) 。
將 \psi(x,\ y) 的假設方程代入二維方程，則可得到

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y 。
將這方程兩邊都除以 XY ，則可得到

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y} \right) =E 。
由於方程左邊圓括號內的兩個項目 \frac{X''}{X} 、\frac{Y''}{Y} 分別只跟 x 、y 有關，兩個項目分別都必須等於常數：

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X} = E\_x  ，
 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{Y''}{Y} = E\_y ；
其中，E\_x 與 E\_y 都是常數，E\_x+E\_y=E 。

這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{d x^2} = E\_x X ，
 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{d y^2} = E\_y Y 。
前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2) ）。將那裡的答案移接到這裡，

X\_{n\_x}=\sqrt{\frac{2}{L\_x}} \sin \left( \frac{n\_x \pi x}{L\_x} \right) ，
Y\_{n\_y}=\sqrt{\frac{2}{L\_y}} \sin \left( \frac{n\_y \pi y}{L\_y} \right) ；
其中，整數 n\_x=1,\ 2,\ 3,\ \dots ，n\_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots 。

將兩個方程合併，可以得到解答：

\psi\_{n\_x,n\_y} = \sqrt{\frac{4}{L\_x L\_y}} \sin \left( \frac{n\_x \pi x}{L\_x} \right) \sin \left( \frac{n\_y \pi y}{L\_y} \right) ，
E\_{n\_x,n\_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n\_x}{L\_x} \right)^2 + \left( \frac{n\_y}{L\_y} \right)^2 \right] 。

三維阱
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同樣地，應用分離變數法於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：

\psi\_{n\_x,n\_y,n\_z} = \sqrt{\frac{8}{L\_x L\_y L\_z}} \sin \left( \frac{n\_x \pi x}{L\_x} \right) \sin \left( \frac{n\_y \pi y}{L\_y} \right) \sin \left( \frac{n\_z \pi z}{L\_z} \right) ，
E\_{n\_x,n\_y,n\_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n\_x}{L\_x} \right)^2 + \left( \frac{n\_y}{L\_y} \right)^2 + \left( \frac{n\_z}{L\_z} \right)^2 \right] ；
其中，n\_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots 。

當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併，是由物理系統的對稱性造成的。例如，假設 一個三維阱的 L\_x=L\_y ，則 n\_x=2 ，n\_y=1 ，n\_z=1 的波函數與 n\_x=1 ，n\_y=2 ，n\_z=1 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的 90^{\circ} 旋轉。

參考文獻
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* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.

參閱
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* 態疊加原理
* 自由粒子
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta 位勢阱
* Delta 位勢壘
* 量子穿隧效應
* 盒中氣體
* 隨機電動力學