數學上，**譜圖論**（英語：）是圖論的分支，研究图的性質與其邻接矩阵、调和矩阵等的特徵多項式、特征值和特征向量有何關聯。{\displaystyle n}個頂點的圖，其鄰接矩陣是{\displaystyle n\times n}矩陣，各分量分別以{\displaystyle 0}或{\displaystyle 1}表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可正交對角化（英语：），其特徵值皆是實代數整數。

雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩阵的谱是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。）

譜圖論亦關注藉圖的矩陣特徵值重數定義的參數，如科蘭·德韋迪耶爾數（英语：）。

共譜圖
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兩幅圖稱為「共譜」（）或「等譜」（），意思是兩者的鄰接矩陣等譜（英语：），特徵值不僅數值相等，連重數也一樣，即組成的多重集相等。

兩個共譜九面體，最小的一對共譜多面体图 
共譜圖不必同構，但同構圖必然共譜。

### 獨有的譜

圖{\displaystyle G}由譜決定（），意思是具有該譜的圖必與{\displaystyle G}同構。簡單例子包括：

* 完全圖
* 有限星狀樹（英语：），即恰有一個頂點度數大於{\displaystyle 2}的樹。

### 共譜配偶

若一對圖具有相同的譜，但是不同構，則稱為「共譜配偶」（）。最小一對共譜配偶是{\displaystyle \{K\_{1,4},C\_{4}\sqcup K\_{1}\}}，前者是五個頂點的星，而後者是四個頂點的環，與獨一個頂點的不交並，如考拉茲和西诺戈维茨於1957年所述。最小一對多面體共譜配偶是兩個八頂點的九面體。

### 尋找共譜圖

幾乎所有树皆會與另一樹共譜。換言之，隨頂點數增加，有共譜樹的樹所佔比率趨於{\displaystyle 1}。一對正則圖共譜當且僅當其補圖亦共譜。一對距離正則圖（英语：）共譜，當且僅當其相交陣列相等。

共譜圖亦可藉砂田方法（英语：）構造。尚有另一類共譜圖，來自各種點線幾何。此種幾何中，以各點為頂點，有直線過兩點則連邊，可得「點共線圖」（）。反之，以直線為頂點，兩直線相交則連邊，可得「線相交圖」（）。兩幅圖必共譜，但經常不同構。

奇格不等式
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黎曼几何中，對於緊黎曼流形{\displaystyle M}，有等周定理的推廣，稱為奇格不等式（英语：）。其斷言，{\displaystyle n}維區域{\displaystyle A\subseteq M}的體積一定時，邊界{\displaystyle \partial A}的面積不能太小，相比{\displaystyle A}的體積，比例常數有某個下界，與拉普拉斯－貝爾特拉米算子的特徵值有關。此不等式在圖論的離散情況下有類比，拉－貝二氏算子對應的概念是拉氏矩陣。譜圖論的奇格不等式在算法方面有應用，因為藉由拉氏算子的第二特徵值，可以估算圖的最小割之值。

### 奇格常數

条目：奇格常數 (圖論)（英语：）
图的奇格常數（），或作奇格數（）、等周數（），直觀理解是用作衡量該圖是否有「瓶頸」。多個學科需要衡量瓶頸程度，所以其用途包括：建造非常連通的计算机网络、洗牌、低維拓撲（尤其研究雙曲3流形時）。

對於一幅{\displaystyle n}個頂點的圖{\displaystyle G}，奇格常數{\displaystyle h(G)}的定義，可用符號寫成：

{\displaystyle h(G)=\min \_{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.}
式中的最小值取遍一切大小不過半的非空頂點集合{\displaystyle S}，而{\displaystyle \partial (S)}表示{\displaystyle S}的邊邊界（），即恰有一端屬{\displaystyle S}的邊所組成的集。

### 不等式敍述

當{\displaystyle G}為{\displaystyle d}正則時，{\displaystyle h(G)}與度數及第二特徵值之差{\displaystyle d-\lambda \_{2}}（又稱「譜隙」）有關。多久克及阿隆、米爾曼（英语：）二人分別獨立證出以下不等式：

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda \_{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda \_{2})}}.}
此不等式與马尔可夫链的奇格界（英语：）密切相關，亦是黎曼几何中，奇格不等式（英语：）的離散變式。

更一般情況，可考慮連通圖{\displaystyle G}，不必正則，此時金芳蓉的書中有另一條不等式：

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},}
式中{\displaystyle \lambda }是（未歸一的）拉氏算子最小非平凡特徵值，{\displaystyle \Delta }是最大度，而{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)}是經歸一化的奇格常數：

{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)=\min \_{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},}
其中{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}表示{\displaystyle Y}中各頂點的度數和。

霍夫曼-德爾薩特不等式
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對正則圖的獨立集大小，可用特徵值計算出一個上界，最先由艾倫·霍夫曼（英语：）和菲利浦·德爾薩特（）證明。不等式的敍述如下：

> 
> 設{\displaystyle G}是{\displaystyle n}個頂點的{\displaystyle k}正則圖，且最小一個特徵值為{\displaystyle \lambda \_{\mathrm {min} }}，則{\displaystyle G}的獨立數
> 
> 
> {\displaystyle \alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda \_{\mathrm {min} }}}}}.}
> 

此上界應用在合適的圖上，就能以代數方式證明艾狄胥-柯-雷多定理（英语：），以及有關有限域上子空間相交族的類似定理。

對於一般不必正則的圖，考慮歸一化拉氏矩陣的最大特徵值{\displaystyle \lambda '\_{\mathrm {max} }}，也能推導出類似的結論：

{\displaystyle \alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '\_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},}
式中{\displaystyle \Delta (G)}和{\displaystyle \delta (G)}分別表示{\displaystyle G}的最大度和最小度。此為另一不等式的特例：對於任意獨立集{\displaystyle X}，有

{\displaystyle {\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '\_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),}
其中{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}代表集合{\displaystyle Y}中所有頂點的度數之和。

沿革
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譜圖論在1950年代至1960年代逐漸出現。图论有研究圖的結構與譜性質之間有何聯繫，除此之外，量子化学研究亦是另一源頭，但兩個方向的研究互不流通，要到很後期才合而為一。1980年茨維特科維奇、杜布、薩克斯的專著《圖之譜》概括了當時本領域的多數研究，其後由1988年《圖譜論之近期成果》和《圖之譜》1995年第三版再次更新。2000年代，砂田利一（英语：）開創離散幾何分析，並加以發展。此領域處理譜圖論的方式，是利用加權圖的離散拉氏算子，在形狀分析（英语：）等領域有應用。近來，譜圖論應用廣泛，用於分析一些現實（如信號處理時）可能會遇到的圖。

參見
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* 強正則圖（英语：）
* 代数连通度
* 代数图论
* 譜聚類（粵语：）
* 譜形分析（英语：）
* 埃斯特拉達指標（英语：）
* 洛瓦茲數ϑ（英语：）
* 扩展图

參考文獻
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