庞加莱模型的星状正则七边形镶嵌（）。

在非欧几里得几何中，**庞加莱半平面模型**（）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 

它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何与欧几里得几何的相容性等价（）。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。

对称群
---

射影线性群 PGL(2,**C**) 由莫比乌斯变换作用在黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,**R**)，这些变化的系数是实数，它们传递、等距作用在上半平面上，将它变成一个齐性空间。 

有四个非常相关的李群通过分式线性变换作用在上半平面上，且保持双曲距离。

* 由行列式为 +1 的 2×2 实矩阵组成的特殊线性群SL(2,**R**)。注意许多书籍经常说 SL(2,**R**)，其实际是指 PSL(2,**R**)。
* 由行列式为 +1 或 -1 组成的 2×2 实矩阵 S\*L(2,**R**) 。注意 SL(2,**R**) 是这个群的一个子群。
* 射影线性群 PSL(2,**R**) = SL(2,**R**)/{±*I*}，由 SL(2,**R**) 中矩阵模去正负恒同矩阵。
* 群 PS\*L(2,**R**) = S\*L(2,**R**)/{±*I*} 同样是射影群，同样是模去正负恒同矩阵。

这些群与庞加莱模型的关系如下：

* **H** 的所有等距的群，通常记做 Isom(**H**)，同构于 PS\*L(2,**R**)。这包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（镜映射）是 {\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}。
* **H** 保持定向的等距，通常记做 Isom+(**H**)，同构于 PSL(2,**R**)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一个经常见到的是模群 SL(2,**Z**)。这个群在两个方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格点的对称群。从而在一个方形网格中周期函数，比如模形式以及椭圆函数，将从这个网格继承一个 SL(2,**Z**) 对称。另一方面，SL(2,**Z**) 当然也是 SL(2,**R**) 的一个子群，从而嵌入其中有双曲表现。特别地，SL(2,**Z**) 可用来将双曲平面镶嵌为等（庞加莱）面积的单元。

等距对称
----

特殊线性群 PSL(2,**R**) 在 **H** 上的作用定义为

{\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.\,}
注意到这个作用是传递的，从而任何对 {\displaystyle z\_{1},z\_{2}\in \mathbb {H} }，存在一个 {\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )} 使得 {\displaystyle gz\_{1}=z\_{2}}。这个作用也是忠实的：如果对 *z* 属于 **H** 有 {\displaystyle gz=z}，那么 *g*=*e*。

**H** 中一个元素 *z* 稳定子或迷向子群是所有 {\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )} 使 *z* 不变 *gz*=*z* 的集合。i 的稳定子是旋转群

{\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.\,}
由传递性，*H'* 中任何元素 *z* 可由 PSL(2,**R**) 中一个元素映为 i，这意味着任何 *z* 的迷向子群同构于 SO(2)。从而 **H** = PSL(2,**R**)/SO(2)。或者，上半平面上的切向量丛，称为单位切丛，同构于 PSL(2,**R**)。

利用模群 SL(2,**Z**)，上半平面镶嵌成自由正则集合（）。

测地线
---

这个度量张量的测地线是垂直于实数轴的圆弧（即圆心位于实轴上的半圆周）以及终于实轴的竖直直线。

经过 i 的单位速度竖直测地线为：

{\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i=ie^{t}.\,}
因为 PSL(2,**R**) 作为等距传递作用在上半平面，这条测地线通过 PSL(2,**R**) 的作用映到其它测地线。从而，一般的单位速度测地线由

{\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}}
给出。这给出了上半平面上单位长切丛（复线丛）测地流的完整描述。

另见
--

* 平行角（）
* 阿诺索夫流（）
* 富克斯群（）
* 富克斯模型（）
* 克莱因群（）
* 克莱因模型
* 庞加莱度量
* 庞加莱圆盘模型（）
* 伪球面（）
* 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（）
* 超平行定理（）

参考文献
----

* Eugenio Beltrami, *Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta*, Annali. di Mat. ser II 2 (1868), 232-255
* Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", *Acta Mathematica* v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, *Compact Riemann Surfaces* (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X *(See Section 2.3)*.
* Saul Stahl, *The Poincaré Half-Plane*, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
* John Stillwell (1998) *Numbers and Geometry*,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.