**柯西函數方程**是以下的函數方程：

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ }
此方程的解被稱為加性函數。

方程的解
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在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為{\displaystyle f(x)=cx\ }，其中c任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 *f* 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

* 若 *f* 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 *f* 只需要在一點連續。
* 若 *f* 在任一個區間上是單調的
* 若 *f* 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 *f* 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾（英语：）使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數c \ 使得{\displaystyle f(cx)\neq cf(x)\ }的解稱為柯西─哈默方程（英語：）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：），其中就用到柯西-哈默方程。

在有理數集下的證明
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先設{\displaystyle y=0\ }，得到：

{\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ }
{\displaystyle f(0)=0\ }
再設{\displaystyle y=-x\ }：

{\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ }
{\displaystyle f(-x)=-f(x)\ }
反覆設{\displaystyle y=x\ }、{\displaystyle y=2x\ }、...、{\displaystyle y=x+x+\cdots +x}，可以得到

{\displaystyle f(mx)=mf(x)\ }...(1)
設{\displaystyle x={\frac {y}{n}}}並代入(1)式得到：

{\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ }
或者{\displaystyle f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\ }...(2)
對於任意有理數\frac{m}{n}，設{\displaystyle y={\frac {m}{n}}x}，根據(1)、(2)兩式可知：

{\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ }
上式又可改寫為

{\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ }
令{\displaystyle \alpha =1\ }就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質
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以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數*f*所對應的圖形{\displaystyle y=f(x)\ }在\mathbb {R} ^{2}中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解*f*滿足{\displaystyle f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q} }，且能找到實數{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }滿足{\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }，同時設{\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點(x,y)為圓心，其中滿足{\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y}。令實數r > 0為半徑的{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}}倍，即半徑為{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}}。

令{\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}，存在一個有理數{\displaystyle b\neq 0}滿足：

{\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}
類似地，存在一個有理數a使得：

{\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}
設實數X,Y滿足：

{\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }
{\displaystyle Y=f(X)\ }
從原方程和以上的關係式可以得知：

{\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }
{\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ }
{\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }
{\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ }
{\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }
由以上關係式可知{\displaystyle \left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r}

∴{\displaystyle (X,Y)\ }在指定的小圓內，

於是{\displaystyle (X,Y)\ }在原本較大的圓內；

即在\mathbb {R} ^{2}中任意給定的圓內皆包含{\displaystyle y=f(x)\ }圖形的一點；

即{\displaystyle y=f(x)\ }的圖形在\mathbb {R} ^{2}中稠密，得證。

另一方法：如*f* 不是线性函数，存在{\displaystyle U=(u,f(u)),V=(v,f(v))}在\mathbb {R} ^{2}独立。任取{\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{2}}, {\displaystyle X=\alpha U+\beta V}, \alpha 和\beta 是有理数序列的极限, X是*f* 的图形的聚点。

其他解的形式與證明
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與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合{\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }上也成立，其中{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }（表示所有有理數乘上\alpha \ 的積的集合，以下亦同）  

我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在\mathbb{Q}上存在一個\mathbb {R} 的基底，也就是這樣的集合：
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }，使得對於任何實數{\displaystyle x\ }，存在唯一的有限集合
{\displaystyle \left\{a\_{1},\dots ,a\_{n}\right\}\subset A}
以及唯一對應的 n 個有理數{\displaystyle \left\{\lambda \_{1},\dots ,\lambda \_{n}\right\}}，滿足：

{\displaystyle x=\sum \_{i=1}^{n}{\lambda \_{i}a\_{i}}}
設想函數方程在實數集的子集{\displaystyle x\mathbb {Q} ,x\in A}上成立，即滿足{\displaystyle f(y)=g(x)\,y}，其中 y 是 x 的有理數倍。
運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：

{\displaystyle f(x)=\sum \_{i=1}^{n}{g(a\_{i})\lambda \_{i}a\_{i}}}
對於所有{\displaystyle g:A\rightarrow \mathbb {R} }，以上{\displaystyle f(x)} 是函數方程的解。其中f 為線性的充要條件是 g是常數函數。

參考資料
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1. ↑  V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

外部連結
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* 羅格斯大學 （页面存档备份，存于）網站上的解法（英文）
* The Hunt for Addi(c)tive Monster （页面存档备份，存于）（英文）