**黎曼级数定理**（亦称**黎曼重排定理**），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。

许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相关定义
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给定无穷级数\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}，其部分和为：{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}}。如果部分和的数列

{\displaystyle \left\{S\_{1},\ S\_{2},\ S\_{3},\dots \right\}}
收敛于某个数值：\ell ，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的\epsilon >0，总存在一个整数*N*，使得如果{\displaystyle n\geq N}，则

{\displaystyle \left|S\_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }.
那么级数\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}收敛。如果级数\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}收敛，但级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\left|a\_{n}\right\vert }发散，则称此级数是条件收敛的。

定理的陈述
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假设\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数C，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)，使得

\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{{\sigma (n)}}=C.
此外，也存在另一种排列\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)，使得

\sum \_{{n=1}}^{\infty }a\_{{\sigma '(n)}}=\infty .
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于-\infty ，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

例子
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交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

{\displaystyle A\_{h}=\sum \_{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
收敛，而

{\displaystyle S\_{h}=\sum \_{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum \_{n}{\frac {1}{n}}}
是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
那么这时的和等于{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
可以看出，它的和是原来的和的一半。

### 趋近任一个实数

将交错调和级数重排趋向1.5的步骤：从1开始，将正项按顺序相加，直到超过1.5（红点处），然后加入负项，直到低于1.5（绿点），再开始累加正项……
用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数{\displaystyle \sum \_{n}{\frac {1}{n}}}是发散的，它的部分和可以近似估计为：

{\displaystyle S\_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}
其中{\displaystyle o(1)}表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，\gamma 指欧拉常数。如果将调和级数{\displaystyle A\_{h}}中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

{\displaystyle A\_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}
它的部分和是：

{\displaystyle A\_{N}^{-}=-\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}
因此所有正项相加的级数{\displaystyle A\_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }的部分和是：

{\displaystyle A\_{N}^{+}=A\_{N}-A\_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}
这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数C，可以使用以下的算法来构造出趋向C的重排级数{\displaystyle A^{\sigma }}的每一项：

1. 从第一项起，将{\displaystyle A\_{h}}中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过C为止：必定存在一个自然数N\_{1}，使得{\displaystyle A\_{N\_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A\_{N\_{1}}^{+}}（假设{\displaystyle A\_{0}=0}）。将第1至第N\_{1}项定义为：
{\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N\_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}
2. 从第{\displaystyle N\_{1}+1}项开始，将{\displaystyle A\_{h}}中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于C为止：必定存在一个自然数{\displaystyle N\_{2}>N\_{1}}，使得{\displaystyle A\_{N\_{1}}^{+}+A\_{N\_{2}-N\_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A\_{N\_{1}}^{+}+A\_{N\_{2}-N\_{1}}^{-}}。将第{\displaystyle N\_{1}+1}至第N\_{2}项定义为：
{\displaystyle \forall k=N\_{1}+1,N\_{1}+2,\cdots ,N\_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N\_{1}}

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和{\displaystyle A\_{N\_{k}}^{\sigma }}保持在C上下，而因为{\displaystyle A\_{N\_{k}}^{\sigma }}是重复第k步时首次"跨过"C时候的值，因而它与C的差距必定不超过"跨越"时的"步长"，也就是{\displaystyle {\frac {1}{N\_{k}}}}。随着N\_{k}越来越大，{\displaystyle A\_{N\_{k}}^{\sigma }}与C的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数{\displaystyle A^{\sigma }}最终会收敛于C。

证明
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对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值C以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值C；其次，调和级数是由{\displaystyle {\frac {1}{n}}}相加而成，而随着n趋向无穷，{\displaystyle {\frac {1}{n}}}趋向于0，也就是说"步长"趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：

1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

**性质一**：

设有给定的条件收敛级数{\displaystyle A=\sum \_{n}a\_{n}}，级数和为S。为了简便起见，假设A中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。A中的正项和负项必定都有无穷多个。将A中所有大于0的项按照它们原来在A中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数{\displaystyle A^{+}=\sum \_{n}a\_{n}^{+}}。同样可以建立由所有负项排列而成的级数{\displaystyle A^{-}=\sum \_{n}a\_{n}^{-}}。

{\displaystyle A^{+}}是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设{\displaystyle A^{+}}收敛到某个定值{\displaystyle S^{+}}，那么可以证明{\displaystyle A^{-}}也是收敛级数，级数和为{\displaystyle S-S^{+}}。因而可以证明，级数{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|a\_{n}|=A^{+}-A^{-}}也是收敛级数，这与A是条件收敛级数的设定矛盾。所以，{\displaystyle A^{+}}发散到正无穷大。同理可证，{\displaystyle A^{-}}发散到负无穷大。


**性质二**：

设{\displaystyle A=\sum \_{n}a\_{n}}是一个条件收敛的级数，级数和为S。这说明，级数A的部分和{\displaystyle S\_{N}=\sum \_{n=1}^{N}a\_{n}}趋向极限S。所以对任意\epsilon >0，存在自然数{\displaystyle M>0}使得对任意{\displaystyle N>M}，都有：

{\displaystyle |S\_{N}-S|<\epsilon .}
所以对任意{\displaystyle N>M+1}，

{\displaystyle |a\_{N}|=|S\_{N}-S\_{N-1}|\leqslant |S\_{N}-S|+|S\_{N-1}-S|<2\epsilon .}
这说明当N趋于无穷大时，a\_{N}趋于0.

证明了性质一与性质二後，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数C，不妨假设{\displaystyle C\geqslant 0}. 首先将{\displaystyle A^{+}}的项按顺序累加，直到部分和超过C为止，然后再将{\displaystyle A^{-}}的项按顺序累加在其後，直到部分和小于C为止，接着再将{\displaystyle A^{+}}剩余的项按顺序累加在其後，直到部分和超过C为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，{\displaystyle A^{+}}和{\displaystyle A^{-}}都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与C会越来越接近。因为无论是在部分和低于C，逐项增加到超过C的过程中，还是在部分和超过了C，逐项减少到低于C的过程中，部分和与C的差距（绝对值）都不超过前一次"跨越"C值的那一刻，部分和与C的差距。而这个差距又小于等于部分和"跨越"C值时的"步长"。假设第k次"跨越"的是在累加第N\_{k}项的时候发生的，那么直到第k+1次"跨越"时，部分和与C的差距都小于等于{\displaystyle a\_{N\_{k}}}。随着k趋于无穷大，N\_{k}也趋于无穷大，因而根据性质二，{\displaystyle a\_{N\_{k}}}趋于0，也就是说部分和与C的差距趋于0。这等价于说重排後的级数{\displaystyle A^{\sigma }}收敛于C。

如果{\displaystyle C<0}，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第k次累加正项要超越的值从C改为{\displaystyle C+k}，然后累加负项直到低于{\displaystyle C+k}，再开始第k+1次累加正项直到超越{\displaystyle C+k+1}，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。

推廣
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此定理可推廣至斯坦尼兹定理（英语：）。給定一個複數收斂級數∑ *a**n*，則重排後的級數∑ *a**σ* (*n*)之和有以下幾種可能：

* 級數∑ *a**n*為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
* 級數∑ *a**n*為條件收斂。令*S*為所有重排級數之和的集合，則*S*要不為整個複數平面**C**，要不為複數平面上**C**上的一條線*L*

{\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}
更一般的說，給定一個有限維度實向量空間*E*，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為*E*的仿射子空間。

参考来源
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1. 1 2 3 4  J. A. Fridy.. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
2. 1 2 3  S. Ponnusamy.. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.
3. 1 2  D. A. Brannan.. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.

* Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（页面存档备份，存于）. 于2005年5月16日访问。