橢圓的半長軸
**半長軸**是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。

橢圓
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一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，會通過中心和兩個焦點，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。

半長軸的長度{\displaystyle a\!}與半短軸{\displaystyle b\,\!}的關係可以經由離心率{\displaystyle e\,\!}和半正焦弦{\displaystyle \ell \,\!}推導如下：

{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}
{\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}.
{\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}.
抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但{\displaystyle \ell \,\!}仍保持不變。因此{\displaystyle a\,\!}和{\displaystyle b\,\!}趨於無限大，{\displaystyle a\,\!}仍比{\displaystyle b\,\!}長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在*x*軸上，

{\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}.
均值由{\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!}和{\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}，是 {\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!}.

雙曲線（又称半实轴）
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雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果*a*是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：

{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：

{\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致。

天文學
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### 軌道週期

在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期{\displaystyle T}，是：

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}
此處：

{\displaystyle a}，是軌道的半長軸
{\displaystyle \mu }是標準重力參數
無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。

在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：

{\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}，
此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}，
此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

### 平均距離

經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。

* 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
* 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}。

* 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：{\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}。

橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為{\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}。

時間的平均值與半徑成反比，{\displaystyle r^{-1}\,\!}，是{\displaystyle a^{-1}\,\!}。

### 能量：由狀態向量的半長軸計算

在太空動力學半長軸{\displaystyle a}，可以從軌道狀態向量得到：

{\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}}（橢圓軌道）

{\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}}（雙曲線彈道）

{\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}（特殊軌道能量）

{\displaystyle \mu =GM}（標準重力參數）

此處：

* {\displaystyle v}，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，
* {\displaystyle \mathbf {r} }，是在笛卡尔坐标系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準），
* {\displaystyle G}，是重力常數，
* {\displaystyle M}，是中心天體的質量。

對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。

例子
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國際太空站的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。

外部連結
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* Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于） With interactive animation

參考資料
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1. ↑ .  [2008-01-19]. （原始内容存档于2018-10-24）.

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| * 
* 论
* 编
引力的轨道 |
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|  |
| 类型 | 

|  |  |
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| 一般 | 
* 盒軌道
* 捕獲軌道
* 圆轨道（英语：）
* 橢圓軌道 / 高橢圓軌道
* 逃逸轨道
* 馬蹄形軌道
* 双曲线轨道（英语：）
* 倾斜轨道（英语：） / 无倾斜轨道（英语：）
* 拉格朗日点
* 吻切軌道
* 拋物線軌道
* 停泊轨道（英语：）
* 顺行/逆行
* 同步轨道
	+ 半同步
	+ 亚同步（英语：）
* 转移轨道

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|  |
| 地心 | 
* 地球同步轨道
	+ 地球靜止軌道
	+ 地球同步轉移軌道
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* 高地球軌道
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* 近赤道轨道（英语：）
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* 凍原軌道

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| 其他 | 
* 火星
	+ 火星轨道
	+ 火星同步轨道（英语：）
	+ 火星静止轨道（英语：）
* 拉格朗日点
	+ 远距离逆行轨道（英语：）
	+ 晕轮轨道
	+ 利薩如軌道
* 绕月轨道
* 太阳
	+ 日心軌道
		- 地球轨道
	+ 太阳同步轨道

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| 参数 | 

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| * 形状
* 大小
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* e  离心率
* a  半長軸
* b  半短軸
* Q, q  拱點

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| 方向 | 
* i  倾角
* Ω  升交点经度
* ω  近心點幅角
* ϖ  近心點經度

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|  |
| 位置 | 
* M  平近點角
* ν, θ, f  真近點角
* E  偏近點角
* L  平黃經
* l  真黃經

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| 变化 | 
* T  轨道周期
* n  平均运动
* v  轨道速度
* *t*0  曆元

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| 机动（英语：） | 
* 双椭圆转移
* 碰撞规避（英语：）
* ΔV
* ΔV预算（英语：）
* 重力助推
* 重力转向（英语：）
* 霍曼轉移軌道
* 轨道倾角更改（英语：）
* 低能量转移
* 奥伯特效应
* 定相（英语：）
* 火箭方程
* 交会
* 转位、对接和提取（英语：）

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| 航天动力学 | 
* 天球坐标系统
* 特征能量（英语：）
* 宇宙速度
* 星曆表
* 赤道坐標系統
* 星下点轨迹（英语：）
* 希爾球
* 行星际运输网络（英语：）
* 开普勒定律
* 拉格朗日点
* N体问题
* 轨道方程（英语：）
* 轨道状态向量（英语：）
* 攝動
* 順行和逆行
* 比轨道能量（英语：）
* 比角动量（英语：）
* 两行轨道要素形式

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* 列表级条目 轨道列表（英语：）

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