**冪數**（英語：）也稱為**幂次数**，是指一正整数n，其所有質因數的平方亦是n的因數，換言之，若存在一質因數p，則p^2也是n的因數。

冪數可表示為一個平方數及立方數的乘積，若a及*b*為正整數（包括1在內），{\displaystyle a^{2}b^{3}}即為冪數。而平方數及立方數本身（及整數的更高次方）也是冪數。

保羅·艾狄胥及喬治·塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究，而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」，「powerful」應該是指數字由許多冪所組成，但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表：

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS數列A001694）。

數學性質
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冪數的質因數分解中，各質因數指數均大於1。

冪數的倒數和收斂，其值為：

{\displaystyle \prod \_{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)=\prod \_{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)}
其中

*p*為所有的質數
\zeta (s)為黎曼ζ函數
\zeta(3)為阿培里常數。
若用*k*(*x*)來表示當1≤*n*≤*x*時，冪數*n*的個數，則*k*滿足以下的不等式

cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots
。

佩爾方程*x*2-8*y*2=1有無限多個正整數解，因此存在無限多組連續的冪數（若*x*、*y*為正整數解，則*x*2及8*y*2即為二個連續的冪數），其中最小的是8和9。而8和9恰好也是唯一一組連續的次方數（卡塔蘭猜想，後來已被數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明）。

### 冪數的和與差

每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差：(*k* + 1)2 = *k*2 + 2k +12，因此 (*k* + 1)2 - *k*2 = 2*k* + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數，其平方的差：(*k* + 2)2 - *k*2 = 4*k* + 4。以上數字均可表示為二平方數的差，因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的偶數（即奇偶數（英语：））無法表示為二個平方數的差，但不確定是否可表示為二個冪數的差，然而Golomb發現以下的等式

2=33-52
10=133-37
18=192-73=32(33-52)
以上的等式未包括6，Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差，不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差：

6=5473-4632
而且可以找到無限多組的冪數，二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法。

保羅·艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和，後來由Roger Heath-Brown證實了保羅·艾狄胥的猜想。

一般化
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冪數的質因數分解中，所有的指數均不小於2。以此概念再延伸，若一整數的質因數分解中，所有的指數均不小於*k*，可稱為*k*-冪數。

(2*k*+1}-1)*k*, 2*k*(2*k*+1-1)*k*, (2*k*+1-1)*k*+1
是由k-冪數所組成的等差數列，若*a*1, *a*2, ... *a**s*是由*k*-冪數所形成的等差数列，公差為d，則

*a*1(*a**s*+*d*)*k*, *a*2(*a**s*+*d*)*k*, ... *a**s*(*a**s*+*d*)*k*, (*a**s*+d)*k*+1
則是由*s*+1個項*k*-冪數所組成的等差数列。

以下是一個有關*k*-冪數的恆等式：

*a**k*(*a**n*+...+1)*k*+*a**k*+1(*a**n*+...+1)*k*+...+*a**k*+*n*(*a**n*+...+1)*k*=*a**k*(*a**n*+...+1)*k*+1
因此可以找到無窮多組的*k*-冪數，其個數為*n*+1個，而這些*k*-冪數的和也是*k*-冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數*x*、*y*、*z*，滿足*x*+*y*=*z*的形式。Cohn找到一個可產生無窮多組互質，且非立方數的3-冪數*x*、*y*、*z*，可滿足*x*+*y*=*z*的方法：以下的數組

*X*=9712247684771506604963490444281, *Y*=32295800804958334401937923416351, *Z*=27474621855216870941749052236511
是方程式32*X*3 + 49*Y*3 = 81*Z*3的解（因此32*X*3、49*Y*3及81*Z*3即為上述的3-冪數數組）。令*X*′=*X*(49*Y*3 + 81*Z*3), *Y*′ = −*Y*(32*X*3 + 81*Z*3), *Z*′ = *Z*(32*X*3 − 49*Y*3)，再除以其最大公因數即為一組新的解。

関連項目
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* 阿喀琉斯數
* 次方數

註解
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1. ↑ .  [2012-02-05]. （原始内容存档于2019-05-19）.
2. 1 2 3  S. W. Golomb, Powerful numbes, *Amer. Math. Monthly* **77**(1970), 848--852.
3. ↑  Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, *Fibonacci Quart.* **20**(1982), 85--87.
4. ↑  D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), *Colloq. Math. Soc. János Bolyai* **51**(1990), 163--171.
Brown, 1987)
5. ↑  
	* A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, *Bull. London Math. Soc.* **27** (1995), 317--318.

延伸閱讀
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* J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, *Math. Comp.* **67** (1998), 439--440.  （页面存档备份，存于）
* P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, *Acta Litt. Sci. Szeged* **7**(1934), 95--102.
* Richard Guy, Section B16 in *Unsolved Problems in Number Theory*, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
* D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, *Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7*, Birkhäuser, Boston, 1988.

外部連結
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* Powerful number in mathworld （页面存档备份，存于）

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