**似氫原子模型**（Hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。

稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為**單電子波函數**，或**類氫原子波函數**。類氫原子波函數是單電子角動量算符 L 與其 z-軸分量算符 L\_{z} 的本徵函數。由於能量本徵值 E\_n 跟量子數 l ，m 無關，而只跟主量子數 n 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 n 、角量子數 l 、磁量子數 m ，獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 {\displaystyle m\_{s}=\pm 1/2} 。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數 n ．這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數 l 、磁量子數 m 、自旋量子數 m\_{s} 的值域。

除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量 {\displaystyle e(Z-1)} ；其中，e 是單位電荷量，Z 是原子序數。離子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是類氫原子。

在元素周期表中，第 IA 族的鹼金屬元素，其原子的最外電子層都有一個電子，而第二外層電子層的亞層，不論是 s 亞層或 p 亞層，凡是內中有電子的亞層．都已被填滿。例如，鈉元素有11個電子。電子排佈為 {\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{1}} 。最外層只有一個電子。第二外層的 {\displaystyle 2s} 與 2p 亞層都已填滿。鉀元素有19個電子。電子排佈為 {\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}} 。第二外層的 {\displaystyle 3s} 與 {\displaystyle 3p} 亞層都已填滿。由於 {\displaystyle 3p} 亞層的軌域的能量較高，最外層唯一的一個電子的軌域是 {\displaystyle 4s} 。受到內層電子的緊密屏蔽，這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以，這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數，來近似地表達這電子的量子態。

因為電子與電子之間的庫侖相互作用，擁有多個電子的原子或離子沒有解析解，必須用數值法來做量子力學計算，才能求得近似的波函數以及其它有關性質。由於哈密頓量的球對稱性，一個原子的角動量 L 守恆。許多數值程序，開始於單電子算符 L^{2} 與 L\_{z} 的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或斯萊特軌域 () 。應用角動量偶合方法 () ，可以設定 L （或許也可以設定 S ）的多電子本徵函數。

薛丁格方程式解答
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類氫原子問題的薛丁格方程式為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi  ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，\mu  是電子與原子核的約化質量，\psi  是量子態的波函數，E 是能量，V(r) 是庫侖位勢：

{\displaystyle V(r)=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon \_{0}r}}} ；
其中，\epsilon \_{0} 是真空電容率，Z 是原子序，e 是單位電荷量，r 是電子離原子核的距離。

採用球坐標 (r,\ \theta ,\ \phi )，將拉普拉斯算子展開：

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi -{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon \_{0}r}}\psi =E\psi } 。
猜想這薛丁格方程式的波函數解 \psi (r,\ \theta ,\ \phi ) 是徑向函數 R\_{{nl}}(r) 與球諧函數 Y\_{lm}(\theta ,\ \phi ) 的乘積：

\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R\_{nl}(r)Y\_{lm}(\theta ,\ \phi ) 。
### 角部分解答

參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 

-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y\_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y\_{lm}(\theta ,\phi ) ；
其中，非負整數 l 是軌角動量的**角量子數**。**磁量子數** m （滿足 -l\leq m\leq l ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 l 與 m 給予不同的軌角動量函數解答 Y\_{lm} ：

Y\_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P\_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi } ；
其中，i 是虛數單位，P\_{lm}(\cos {\theta }) 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

P\_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P\_{l}(x)\, ；
而 P\_{l}(x) 是 l 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

P\_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} 。
### 徑向部分解答

徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式：

{\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon \_{0}r}}\right]R\_{nl}(r)=ER\_{nl}(r)} 。
方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數 \ell  與 m 以外，還有一個**主量子數** n 。為了滿足 R\_{{nl}}(r) 的邊界條件，n 必須是正值整數，能量也離散為能級 E\_{{n}}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon \_{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV) 。隨著量子數的不同，函數 R\_{{nl}}(r) 與 Y\_{lm} 都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為

R\_{{nl}}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na\_{{\mu }}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{{-Zr/{na\_{{\mu }}}}}\left({\frac {2Zr}{na\_{{\mu }}}}\right)^{{l}}L\_{{n-l-1}}^{{2l+1}}\left({\frac {2Zr}{na\_{{\mu }}}}\right) ；
其中，a\_{\mu }={{4\pi \varepsilon \_{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}} 。 a\_{\mu } 近似於波耳半徑 a\_{0} 。假若，原子核的質量是無限大的，則 a\_{\mu }=a\_{0} ，並且，約化質量等於電子的質量，\mu =m\_{e} 。 L\_{{n-l-1}}^{{2l+1}} 是廣義拉格耳多項式，定義為

L\_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L\_{i+j}(x) ；
其中，L\_{{i+j}}(x) 是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為

L\_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x}) 。
為了要結束廣義拉格耳多項式的遞迴關係，必須要求 l<n 。

知道徑向函數 R\_{{nl}}(r) 與球諧函數 Y\_{lm} 的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

\psi \_{nlm}=R\_{nl}(r)\,Y\_{lm}(\theta ,\phi ) 。
### 量子數

量子數 n ，l ，m 都是整數，容許下述值：

n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots  ，
l=0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n-1 ，
m=-l,\ -l+1,\ \ldots ,\ 0,\ \ldots ,\ l-1,\ l 。
為什麼 l<n ？為什麼 {\displaystyle -l\leq m\leq l} ？若想進一步知道關於這些量子數的群理論，敬請參閱氫原子量子力學。

### 角動量

每一個原子軌域都有特定的角動量向量 \mathbf {L}  。它對應的算符是一個向量算符 {\hat {\mathbf {L} }} 。角動量算符的平方 {\hat {L}}^{2}\equiv {\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2} 的本徵值是

{\hat {L}}^{2}Y\_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y\_{lm} 。
角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為

{\hat {L}}\_{z}Y\_{lm}=\hbar mY\_{lm} 。
因為 [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}\_{z}]=0 ，{\hat {L}}^{2} 與 {\hat {L}}\_{z} 是對易的，L^{2} 與 L\_{z} 彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，以同時地測量到 L^{2} 與 L\_{z} 的同樣的本徵值。

由於 [{\hat {L}}\_{x},\ {\hat {L}}\_{y}]=i\hbar {\hat {L}}\_{z} ，{\hat {L}}\_{x} 與 {\hat {L}}\_{y} 互相不對易，L\_{x} 與 L\_{y} 彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，{\hat {L}}\_{x} 的本徵態與 {\hat {L}}\_{y} 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 |\psi \rangle  。對於可觀察量算符 {\hat {L}}\_{x} ，所有本徵值為 l\_{{xi}} 的本徵態 |f\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots  ，形成了一組基底量子態。量子態 |\psi \rangle  可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi \rangle =\sum \_{i}\ |f\_{i}\rangle \langle f\_{i}|\psi \rangle  。對於可觀察量算符 {\hat {L}}\_{y} ，所有本徵值為 l\_{{yi}} 的本徵態 |g\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots  ，形成了另外一組基底量子態。量子態 |\psi \rangle  可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi \rangle =\sum \_{i}\ |g\_{i}\rangle \langle g\_{i}|\psi \rangle  。

假若，測量可觀察量 L\_{x} ，得到的測量值為其本徵值 l\_{{xi}} ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |f\_{i}\rangle  。假若，立刻再測量可觀察量 L\_{x} ，得到的答案必定是 l\_{{xi}} ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 |f\_{i}\rangle  。可是，假若改為立刻測量可觀察量 L\_{y} ，則量子態不會停留於本徵態 |f\_{i}\rangle  ，而會機率地塌縮為 {\hat {L}}\_{y} 本徵值是 l\_{{yj}} 的本徵態 |g\_{j}\rangle  。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。

根據不確定性原理，

\Delta L\_{x}\ \Delta L\_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}\_{x},\ {\hat {L}}\_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}\_{z}\rangle |}{2}} 。
L\_{x} 的不確定性與 L\_{y} 的不確定性的乘積 \Delta L\_{x}\ \Delta L\_{y} ，必定大於或等於 {\frac {\hbar |\langle L\_{z}\rangle |}{2}} 。

類似地，L\_{x} 與 L\_{z} 之間，L\_{y} 與 L\_{z} 之間，也有同樣的特性。

### 自旋-軌道作用

条目：自旋-軌道作用
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 l 、m 與自旋的投影 m\_{s} ，而以量子數 j，m\_{j} 來計算總角動量。

### 精細結構

条目：精細結構
在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為**精細結構**。

非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為**粗略結構**。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 n 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 {\displaystyle (Z\alpha )^{2}} 效應；其中，Z 是原子序數，\alpha  是精細結構常數。

在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數 n 、總量子數 j 有關，容許的能量為

{\displaystyle E\_{nj}=E\_{n}\left[1+\left({\frac {Z\alpha }{n}}\right)^{2}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right]} 。

穩定性
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思考類氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼類氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出類氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即類氫原子的基態能量 E\_{0} 大於某有限值：

E\_{0}>-\infty  。
量子力學的海森堡不確定性原理 \Delta x\Delta p\geq \hbar /2 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 \Delta x 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 -\infty  ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 Z ，原子的能量 E 為

E=T+V=\int \_{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} x\left({\frac {1}{2}}|\nabla \psi (x)|^{2}-Z{\frac {|\psi (x)|^{2}}{|x|}}\right) ；
其中，T 為動能，V 為勢能，\psi (x) 為描述類氫原子系統的波函數，x 為位置坐標，\mathbb {R} ^{3} 為積分體積。

應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。

E\_{0}=-4Z^{2}/3\ [Ry] ；
其中，Ry 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

參閱
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* 氫原子
* 芮得柏原子
* 正子電子偶
* 拉普拉斯-龍格-冷次向量
* 精細結構

註釋
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1. ↑  為了方便運算，採用 \hbar ^{2}/2=1 、質量 m=1 、基本電荷 |e|=1 的單位制。

參考文獻
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1. ↑  French, A.P.. W.W. Norton & Company. 1978: pp. 542.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  狄拉克方程式關於氫原子的解答 的存檔，存档日期2008-02-18.
3. ↑  Lieb, Elliot.  (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1990, **22** (1)  [2014-09-30]. （原始内容存档 (PDF)于2013-12-19）.
4. ↑  Lieb, Elliot.  (PDF). Review of Modern Physics. 1976, **48**: 553–569  [2014-09-30]. （原始内容存档 (PDF)于2015-02-20）.

* Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). *Modern Physics* (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0
* Griffiths, David J.. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131-200. ISBN 0-13-111892-7.