方波的傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具
**實分析**，也称为**實數分析**、**实变函数论**（英語：、英語：），是處理實數及实函数的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

內容
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### 實數的構造

条目：實數的構造
有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合论的公理下，可以證明這些公理都是明確的，也就是說有一個公理的模型，任兩個模型都是同构的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

### 實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序关系，而且實數有最小上界性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的数学对象。特別是許多泛函分析及算子理論（英语：）中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括里斯空間（英语：）及正算子（英语：）的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如算子數列的逐點評估（英语：）。

### 序列

条目：序列和数列
序列是一個定義域為可數全序集合的函数，多半會讓定義域是自然數或是所有整數。例如，一個實數的序列為以下定義的映射{\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a\_{n}}，常會表示為{\displaystyle (a\_{n})=(a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }=(a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots )}。若一序列會慢慢的接近一個极限（也就是存在{\textstyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}} ），稱此序列為**收斂**，否則則稱此序列為**發散**。

### 極限

条目：极限 (数学)
極限是指函数或序列在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值。極限是微积分学及廣義数学分析的基礎，連續函數、导数及积分也是利用極限來定義。

### 連續函數

条目：連續函數 (拓撲學)
若函数的輸入及輸出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略來說，若函数图形是一條連續未分割的曲线，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等价的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中

{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbf {R} .}
是一個定義在實數{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}以內子集的函數，子集I稱為函數f的定義域。子集I的一些可能選擇包括{\displaystyle I={\boldsymbol {R}}}（所有實數）、以下的開區間

{\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a<x<b\},}
或閉區間

{\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.}
因此a及b是實數。

一致连续是連續函數中，比連續函數更強的性質。若*X*和*Y*是實數子集，函數f:X\rightarrow Y為一致连续的條件是針對所有大於0的實數\varepsilon ，存在一實數\delta >0，使得針對所有的{\displaystyle x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta }即表示{\displaystyle \implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon }。

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時，\delta 值只和\varepsilon 值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

### 級數

条目：級數
給定一無窮序列 (a\_{n})，即可定義相關的級數為{\textstyle a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}+\cdots =\sum \_{n\in \mathbb {N} }a\_{n}}，有時會簡稱為{\textstyle \sum a\_{n}}。級數的部份和{\textstyle \sum a\_{n}}為{\textstyle s\_{n}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{j}}。級數{\textstyle \sum a\_{n}}收斂的條件是部份和的數列{\displaystyle (s\_{n})}收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和{\textstyle s=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}}定義為{\textstyle s=\lim \_{n\to \infty }s\_{n}}. 

等比数列的和就是一個收斂級數，也是芝诺悖论的基礎：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}.
以下的調和級數即為發散級數：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }.
（此處"{\displaystyle =\infty }"不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

### 微分

条目：微分
函數f在a位置的導數為以下的函數極限

{\displaystyle f'(a)=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類C^{0}包括所有連續函數，分類C^1包括所有導數連續的可微函数，這類函數稱為「連續可微」。分類C^1是指其導數在分類C^1中的函數。一般來說，分類C^{k}可以用递归方式定義，定義方式是宣告分類C^{0}是所有的連續函數，而分類*C^{k}*（k為正整數）是所有可微，而且其導數為{\displaystyle C^{k-1}}的函數。而分類*C^{k}*包括在分類{\displaystyle C^{k-1}}中，對所有的正整數*k*都成立。分類C^{\infty }是所有*C^{k}*的交集，其中*k*為所有的非負整數。C^\omega包括所有的解析函数，是分類C^{\infty }的嚴格子集。

### 積分

#### 黎曼積分

条目：黎曼積分
黎曼積分定義函數的黎曼和，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令[a,b]為實數下的封閉區間，則在區間[a,b]內的標記分區為有限數列

{\displaystyle a=x\_{0}\leq t\_{1}\leq x\_{1}\leq t\_{2}\leq x\_{2}\leq \cdots \leq x\_{n-1}\leq t\_{n}\leq x\_{n}=b.\,\!}
將區間[a,b]分隔為n個下標為i子區間{\displaystyle [x\_{i-1},x\_{i}]}，每一個用不同的點{\displaystyle t\_{i}\in [x\_{i-1},x\_{i}]}來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}f(t\_{i})\Delta \_{i};}
則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令{\displaystyle \Delta \_{i}=x\_{i}-x\_{i-1}}為子區間*i*的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度{\displaystyle \mathrm {max} \_{i=1\ldots n}\Delta \_{i}}。函數f在區間[a,b]內的黎曼積分等於S若：

對所有\varepsilon >0，存在\delta >0使得，對於任何有標示，且網格小於\delta 的區間[a,b]，以下的式子成立
{\displaystyle \left|S-\sum \_{i=1}^{n}f(t\_{i})\Delta \_{i}\right|<\varepsilon .}
若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）达布和，因此黎曼積分和达布积分有緊密的關係。

#### 勒貝格積分

条目：勒貝格積分
勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的定义域。

### 分布

条目：分布 (数学分析)
分布或是广义函数是一種將函数擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定會有广义函数下的導數。

### 和複變分析的關係

实变函数论是数学分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的导数及积分。實變分析專注在实数，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義导数，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且滿足柯西積分公式。

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或调和函数，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留数定理來計算實變函數的定積分。

重要結果
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實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

相關條目
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* 實分析主題列表（英语：）
* 时标微积分
* 多實變數函數（英语：）
* 實坐標空間（英语：）
* 複分析

参考资料
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1. ↑  Gaughan, Edward.. . AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2.
2. ↑  Stewart, James.  6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.

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