在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，**正合序列**（或釋作**正合列**或**恰當序列**）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是**短正合序列**。

定義
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在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列

{\displaystyle G\_{0}\;{\xrightarrow {f\_{1}}}\;G\_{1}\;{\xrightarrow {f\_{2}}}\;G\_{2}\;{\xrightarrow {f\_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f\_{n}}}\;G\_{n}}
稱之為**正合序列**，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核：

{\displaystyle \operatorname {im} (f\_{k})=\ker(f\_{k+1})}
上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。

### 簡單例子

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

* 序列0 → *A* → *B* 為正合序列，若且唯若從*A* 至*B* 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。
* 在對偶時，序列*B* → *C* → 0 為正合序列，若且唯若從*B* 至*C* 的映射，其像為整個*C*，亦即若且唯若該映射為滿射。
* 因此，序列0 → *X* → *Y* → 0 為正合序列，若且唯若從*X* 至*Y* 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從*X* 至*Y* 的同構。

### 短正合序列

**短正合序列**為具有下列形式的正合序列

{\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0}
如上所述，對任何一個短正合序列，*f* 一定為單射，且*g* 一定為滿射，且*f* 的像會等於*g* 的核。因此，可導出一同構

{\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}
若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0 **分裂**：

* g有**截面**（即存在s:A''\rightarrow A使得g\circ s={\mathrm {id}}\_{{A''}}）
* f有**縮回**（即存在r:A\rightarrow A'使得r\circ f={\mathrm {id}}\_{{A'}}）
* 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0
其中的箭頭是直和的典範映射。
對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證A可以表為A'與A''的半直積；例如我們可考慮群同態

1\longrightarrow {\mathbb {Z}}/3{\mathbb {Z}}\longrightarrow S\_{3}\longrightarrow {\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}\longrightarrow 0
其中S\_{3}是3次對稱群。{\mathbb {Z}}/3{\mathbb {Z}}\rightarrow S\_{3}由n\;{\mathrm {mod}}\;3\longmapsto (123)^{n}給出，它的像是交代群A\_{3}，商為{\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}；但S\_{3}無法分解成{\mathbb {Z}}/3{\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}。

### 將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

\cdots \longrightarrow A\_{{n-1}}\longrightarrow A\_{n}\longrightarrow A\_{{n+1}}\longrightarrow \cdots 
設

Z\_{n}:={\mathrm {Ker}}(A\_{n}\to A\_{{n+1}})={\mathrm {Im}}(A\_{{n-1}}\to A\_{n})={\mathrm {Coker}}(A\_{{n-2}}\to A\_{{n-1}})
其中2\leq n\leq 4，這就給出了一個短正合序列

0\longrightarrow Z\_{n}\longrightarrow A\_{n}\longrightarrow Z\_{{n+1}}\longrightarrow 0
一般而言，設A\_{\bullet }為鏈複形，我們同樣定義Z\_{n}:={\mathrm {Ker}}(A\_{n}\to A\_{{n+1}})；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈0\rightarrow Z\_{n}\rightarrow A\_{n}\rightarrow Z\_{{n+1}}\rightarrow 0的正合性。

### 推廣

給定一個短正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0
有時也稱A為A''經由A'的**擴張**。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

長正合序列
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更多：同調
若有鏈複形的短正合序列：

0\longrightarrow C'\_{\bullet }\longrightarrow C\_{\bullet }\longrightarrow C''\_{\bullet }\longrightarrow 0
反覆運用蛇引理，可以導出正合序列

{\displaystyle \cdots \longrightarrow H\_{n+1}(C''\_{\bullet })\longrightarrow H\_{n}(C'\_{\bullet })\longrightarrow H\_{n}(C\_{\bullet })\longrightarrow H\_{n}(C''\_{\bullet })\longrightarrow H\_{n-1}(C'\_{\bullet })\longrightarrow \cdots }
對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是H^{n}(C''^{\bullet })\to H^{{n+1}}(C'^{\bullet })。這類序列稱作**長正合序列**，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見
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* 正合函子
* 鏈複形