約瑟夫·拉格朗日
**拉格朗日方程式**（），數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

定義
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假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {q}}}}={\mathbf {0}}\,\!；
其中，\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!是拉格朗日量，\mathbf{q} = \left( q\_{1}, q\_{2}, \ldots, q\_{N} \right)\,\!是廣義座標，是時間t\,\!的函數，\dot{\mathbf{q}} = \left( \dot{q}\_{1}, \dot{q}\_{2}, \ldots, \dot{q}\_{N} \right)\,\!是廣義速度。

導引
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在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數\mathbf{y}(x)\,\!和f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!： 

\mathbf{y}(x)=(y\_1(x),\ y\_2 (x),\ \ldots, y\_N (x))\,\!、
\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}\_1(x),\ \dot{y}\_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}\_N (x))\,\!、
f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y\_1(x),\ y\_2 (x),\ \ldots,\ y\_N (x),\ \dot{y}\_1 (x),\ \dot{y}\_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}\_N (x),\ x)\,\!；
其中，x\,\!是自變數（）。

若\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\!使泛函 J(\mathbf{y})=\int\_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\!取得局部平穩值，則在區間(a,\ b)\,\!內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

 \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}\_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\right) - \frac{\partial}{\partial y\_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\!。
現在，執行下述轉換：

* 設定獨立變數x\,\!為時間t\,\!、
* 設定函數y\_i\,\!為廣義坐標q\_i\,\!、
* 設定泛函f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!為拉格朗日量\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!，

則可得到拉格朗日方程式

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {q}}}}={\mathbf {0}}\,\!。
* 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
* 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

半完整系統
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主項目：參閱半完整系統
一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

g\_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}})=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!；
則稱此系統為**半完整系統**。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子\lambda\_i\,\!：

\sum\_{i=1}^n\ \lambda\_i g\_i=0\,\!；
其中，\lambda\_i=\lambda\_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!是未知函數。

由於這N\,\!個廣義坐標中，有n\,\!個相依的廣義坐標，泛函f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!不能直接被轉換為拉格朗日量\mathcal{L}\,\!；必須加入拉格朗日乘子，將泛函f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!轉換為\mathcal{L}+\sum\_{i=1}^n\ \lambda\_i g\_i\,\!。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {q}}}}={\boldsymbol {{\mathcal {F}}}}\,\!；
其中，\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!是廣義力，\boldsymbol{\mathcal{F}}=\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left(\sum\_{i=1}^n\ \lambda\_i g\_i\right) - \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\left(\sum\_{i=1}^n\ \lambda\_i g\_i\right)\right]\,\!。

這N\,\!個廣義力運動方程式加上n\,\!個約束方程式，給出N+n\,\!個方程式來解N\,\!個未知廣義坐標與n\,\!個拉格朗日乘子。

實例
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這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

### 自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力F=mg\,\!作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

\ddot x = g\,\!；
其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能T\,\!是

T = \frac{1}{2} m v^2\,\!，
位勢V\,\!是

V = - m g x\,\!；
所以，拉格朗日量\mathcal{L}\,\!是

\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x\,\! 。
將\mathcal{L}\,\!代入拉格朗日方程式，

0 = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= m\frac{d \dot x}{dt} - mg\,\!。
運動方程式是

\ddot x = g\,\!；
與牛頓方法的運動方程式相同。

### 具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是m\,\!，位置是(x,\ y)\,\!。擺繩的長度是l\,\!。擺的支撐點Q的質量是M\,\!。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是(X,\ 0)\,\!。擺繩與y-軸的夾角是\theta\,\!。那麼，動能是

T = \frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)\,\!，
位勢為

V= - mgy\,\!。
所以，拉格朗日量是

\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{X}^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+mgy\,\!。
兩個約束方程式為

x=X+l\sin\theta\,\!、
y=l\cos\theta\,\!。
將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot{X} + l \dot\theta\cos\theta\right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right]+ mgl\cos\theta\,\!。
特別注意，在這裏，廣義坐標是X\,\!與\theta\,\!。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於X\,\!坐標，可以得到

\frac{d}{dt}\left[(M+m) \dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta\right]=0\,\!。
運動方程式為

(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = 0 \,\!。
由於拉格朗日量不顯含廣義坐標X\,\!，稱X\,\!為**可略坐標**，而其相對應的廣義動量p\_X\,\!是常數K\_1\,\!：

p\_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta=K\_1\,\!。
對於\theta\,\!坐標，可以得到

\frac{d}{dt}\left[m(l^2 \dot{\theta}+\dot{X}l\cos\theta)\right]+m(\dot{X}l\dot{\theta}+gl) \sin\theta=0\,\!；
所以，運動方程式為

\ddot{\theta}+\frac{\ddot{X}}{l}\cos\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0\,\!。
假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目
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* icon物理学主题

* 拉格朗日量
* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學
* 牛頓力學
* 變分法

參考文獻
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1. ↑  Goldstein, Herbert.  3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)