在三角形中，两条边的长度之和总是大于第三边。
证明所用的三角形
**三角不等式**是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

几何
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### 标量

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}}。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长\overline {AB}至点D，并使{\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}，联结{\displaystyle {\overline {DC}}}。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以{\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}。记它们均为\alpha 。

根据欧几里得第五公设，角\beta 也就是{\displaystyle \angle ACD}大于角\alpha （{\displaystyle \angle BCD}，也就是{\displaystyle \angle BDC}）；

由于角\beta 对应边{\displaystyle {\overline {AD}}}，角\alpha 对应边\overline {AC}，因此{\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}（大角对大边，命题19）。

又由于{\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}，所以{\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}，即证。

如果我们将该式左右各减去\overline {BC}，便能得到{\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}}，这便是三角不等式的另一种表达方法：**三角形的两边之差小于第三边**。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时{\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}，而a, b, c为三角形三边的长。

### 向量

用向量的写法，这个不等式可以写成：

{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}
上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}，该式也可以写成：{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}的方向向量为(x\_{1},y\_{1})，向量\overrightarrow {BC}的方向向量为(x\_{2},y\_{2})，

那么因为{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}，得向量{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}的方向向量为{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2},y\_{1}+y\_{2})}。

因此，{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x\_{1}^{2}+y\_{1}^{2}}}+{\sqrt {x\_{2}^{2}+y\_{2}^{2}}}}，{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x\_{1}+x\_{2})^{2}+(y\_{1}+y\_{2})^{2}}}}。

所以，{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x\_{1}^{2}x\_{2}^{2}+x\_{1}^{2}y\_{2}^{2}+x\_{2}^{2}y\_{1}^{2}+y\_{1}^{2}y\_{2}^{2}}}-2x\_{1}x\_{2}-2y\_{1}y\_{2}}。

而{\displaystyle (2{\sqrt {x\_{1}^{2}x\_{2}^{2}+x\_{1}^{2}y\_{2}^{2}+x\_{2}^{2}y\_{1}^{2}+y\_{1}^{2}y\_{2}^{2}}})^{2}=4x\_{1}^{2}x\_{2}^{2}+4x\_{1}^{2}y\_{2}^{2}+4x\_{2}^{2}y\_{1}^{2}+4y\_{1}^{2}y\_{2}^{2}}，{\displaystyle (2x\_{1}x\_{2}+2y\_{1}y\_{2})^{2}=4x\_{1}^{2}x\_{2}^{2}+8x\_{1}x\_{2}y\_{1}y\_{2}+4y\_{1}^{2}y\_{2}^{2}}，

两者相减再配方，得到{\displaystyle (2x\_{1}y\_{2}-2x\_{2}y\_{1})^{2}}，该式实际上是{\displaystyle (\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}}的值。

当且仅当{\displaystyle x\_{1}y\_{2}=x\_{2}y\_{1}}时，该式的值为0，而此时我们可以推出{\displaystyle x\_{1}=kx\_{2},y\_{1}=ky\_{2},k\in \Re }，这说明x\_1和x\_2、y\_{1}和y\_{2}都是平行的。而由于x\_1，也就是向量{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}的终点和x\_2，也就是向量\overrightarrow {BC}的起点是相同的，显然{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}和\overrightarrow {BC}共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用y\_{1}和y\_{2}平行也一样能够推出{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}和\overrightarrow {BC}共线。

其他任何情况，也就是{\displaystyle x\_{1}y\_{2}\neq x\_{2}y\_{1}}时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

實數
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在实数中，此式依然成立：\left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|。

證明如下：

考慮到實數的平方必然是非负数，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}
2ab\leq \left|2ab\right|
對於{\displaystyle (a<0,b>0)\lor (b<0,a>0)}（即a, b彼此異號），2ab<\left|2ab\right|；

對於{\displaystyle (a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)}（即a, b彼此同號），2ab=\left|2ab\right|。

像几何中的情况一样，该式的推论为：{\displaystyle \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}。

反方向
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在閔考斯基時空，三角不等式是反方向的：

||*x* + *y*|| ≥ ||*x*|| + ||*y*||     对所有 *x*, *y* \in *V*，使得||*x*|| ≥ 0, ||*y*|| ≥ 0 和 *tx* *ty* ≥ 0
這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見
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* 次可加性

参考文献
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1. ↑ . mathcs.clarku.edu.  [2018-07-09]. （原始内容存档于2017-08-15）.
2. ↑ . mathcs.clarku.edu.  [2018-07-09]. （原始内容存档于2021-12-08）.