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| * 
* 论
* 编
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  与「**極限 (數列)**」標題相近或相同的条目，請見「**极限**」。
**極限**（英語：）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義
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**極限的定義** — 取一复数數列 {\displaystyle {\{z\_{i}\in \mathbb {C} \}}\_{i\in \mathbb {N} }}，若有一複數 {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，使得

「对于任意的正实数 {\displaystyle \epsilon >0}，存在自然数 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的自然数 {\displaystyle i\in \mathbb {N} }，只要 {\displaystyle i>n}，則 {\displaystyle |z\_{i}-z|<\epsilon } 」
用正式的邏輯語言来表示即

{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z\_{i}-z|<\epsilon )\,]}
则称数列{\displaystyle {\{z\_{i}\in \mathbb {C} \}}\_{i\in \mathbb {N} }}**收敛**于 {\displaystyle z}（convergent to {\displaystyle z} ），並记作

{\displaystyle \lim \_{i\to \infty }z\_{i}=z}
如果不存在這樣的複數 {\displaystyle z\in \mathbb {C} }，則稱 {\displaystyle {\{z\_{i}\in \mathbb {C} \}}\_{i\in \mathbb {N} }} 是**發散**的（divergent）。

### 實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 {\displaystyle \{z\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }} 來說，若

{\displaystyle \lim \_{i\to \infty }z\_{i}=z}
則其極限 {\displaystyle z} 一定為实数 ，因為假設 {\displaystyle z} 的虛部 {\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0} 的話，則對極限定義取 {\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0} 的話，會存在 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的 {\displaystyle i\in \mathbb {N} }，只要 {\displaystyle i>n}有

{\displaystyle |z-z\_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z\_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}
這是矛盾的，所以根據反證法，{\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0} ，即 {\displaystyle z\in \mathbb {R} } 。

基本性質
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### 唯一性

**定理** — 若數列 {\displaystyle {\{z\_{i}\in \mathbb {C} \}}\_{i\in \mathbb {N} }} 的極限存在，則極限是唯一的。

**證明**
設數列 {\displaystyle {\{z\_{i}\in \mathbb {C} \}}\_{i\in \mathbb {N} }} 有兩個不相等的極限值{\displaystyle z\_{1},\,z\_{2}\in \mathbb {C} }，則根據假設，對任意的 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 {\displaystyle n\_{1},\,n\_{2}\in \mathbb {N} }，使任意 {\displaystyle i\in \mathbb {N} }，只要 {\displaystyle i>\max\{n\_{1},\,n\_{2}\}} 就有

{\displaystyle |z\_{i}-z\_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}}
{\displaystyle |z\_{i}-z\_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}}
這樣根據三角不等式，對任意的 {\displaystyle \epsilon >0} ， 只要自然數 {\displaystyle i>n} 就有則

{\displaystyle |z\_{1}-z\_{2}|=|(z\_{1}-z\_{i})-(z\_{2}-z\_{i})|\leq |z\_{1}-z\_{i}|+|z\_{2}-z\_{i}|<\epsilon }
這樣的話，假設 {\displaystyle |z\_{1}-z\_{2}|>0} 會得到

{\displaystyle |z\_{1}-z\_{2}|<|z\_{1}-z\_{2}|}
這樣是矛盾的，故根據反證法， {\displaystyle |z\_{1}-z\_{2}|=0} ，也就是 {\displaystyle z\_{1}=z\_{2}}，故極限唯一。{\displaystyle \Box }

### 有界性

**定理** — 若數列{\displaystyle \{x\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }}有極限，則存在正实数 {\displaystyle M>0} ，使得對所有的自然数 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 都有 {\displaystyle |x\_{i}|\leq M}。

（即 {\displaystyle \{x\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }} 有極限則必為**有界**數列）

**證明**
因為{\displaystyle \{x\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }}有極限，假設有实数 {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 滿足

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=L}
這樣的話，對於 {\displaystyle \epsilon =1} ，存在自然数 {\displaystyle n\in \mathbb {N} }，使得任意的自然数 {\displaystyle i\in \mathbb {N} }，只要 {\displaystyle i>n}，則

{\displaystyle |x\_{i}-L|<\epsilon =1}
從而

{\displaystyle |x\_{n}|=|(x\_{n}-L)+L|\leq |x\_{n}-L|+|L|<1+|L|}
這樣的話，令

{\displaystyle M=\max \left(|x\_{1}|,\ |x\_{2}|,\cdots ,\ |x\_{n}|,\ 1+|L|\right)}
就會有

{\displaystyle |x\_{i}|\leq M}
故得証。{\displaystyle \Box }

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 {\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots } 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

### 保序性

**定理** — 有實數數列 {\displaystyle \{x\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }} 和 {\displaystyle \{y\_{i}\in \mathbb {R} \}\_{i\in \mathbb {N} }} ，若

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=a}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }y\_{n}=b}
則「{\displaystyle a>b} 」等價於「存在{\displaystyle n\in \mathbb {N} } 使任何 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 {\displaystyle i>n} 就有 {\displaystyle x\_{i}>y\_{i}}」。

**證明**
**左至右**：

取{\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}，則由前提假設，存在 {\displaystyle n\_{1},\,n\_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 {\displaystyle i>\max\{n\_{1},\,n\_{2}\}} 就有

{\displaystyle |x\_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}
{\displaystyle |y\_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}
从而

{\displaystyle y\_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}
故

{\displaystyle y\_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x\_{n}}
這樣取 {\displaystyle n=\max\{n\_{1},\,n\_{2}\}} ，左至右就得證。{\displaystyle \Box }

**右至左**：

由前提假設，對任意的 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 {\displaystyle n\_{1},\,n\_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 {\displaystyle i>\max\{n\_{1},\,n\_{2},\,n\}} 就有

{\displaystyle \epsilon -a<x\_{i}<\epsilon +a}
{\displaystyle \epsilon -b<y\_{i}<\epsilon +b}
{\displaystyle x\_{i}>y\_{i}}
从而

{\displaystyle 0<x\_{i}-y\_{i}<a-b}
故得證。{\displaystyle \Box }

四則運算定理
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設{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=a}，{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }y\_{n}=b}，則

1. {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left({{x\_{n}}\pm {y\_{n}}}\right)=a\pm b}；
2. {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{x\_{n}}\cdot {y\_{n}}=a\cdot b}；
3. 若{\displaystyle b\neq 0,{y\_{n}}\neq 0},則{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {x\_{n}}{y\_{n}}}={\frac {a}{b}}}.

審斂法
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其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列
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条目：柯西序列

参考文献列表
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1. 1 2 3 4  华东师范大学数学系.. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)

參看
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* 级数
* 函数极限