歐氏幾何中，**雞爪定理**（或**內心/旁心引理**，英語：）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點B所對的旁心{\displaystyle I\_{B}}、另兩個頂點A、C、內心I四點共圓，且其圓心（{\displaystyle II\_{B}}中點）位於三角形的外接圓{\displaystyle \odot ABC}上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。

敍述
--

雞爪定理：三條紅色線段等長
設\triangle ABC為任意三角形，I為其內心，\angle ABC的角平分線BI交外接圓{\displaystyle \odot ABC}於D。定理斷言，D到{\displaystyle A,C,I}三點等遠（英语：），即{\displaystyle DA=DC=DI}。

等價的說法有：

* 過{\displaystyle A,C,I}三點的圓，圓心位於D。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。
* 諸三角形{\displaystyle AID,CID,ACD}皆為等腰，D為其頂角。

還有第四點{\displaystyle I\_{B}}也到D等遠，就是B所對的旁心。在以D為圓心的圓上，{\displaystyle I\_{B}}與I互為對徑點，即D為{\displaystyle II\_{B}}的中點。

證明
--

由於同弧所對的圆周角相等，有

{\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.}
又BI為角B的平分線，有

{\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,}
故{\displaystyle DA=DC}得證（等圓周角對等弦）。

最後計角有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}}
所以三角形{\displaystyle DIA}有兩底角相等，證畢{\displaystyle DA=DI}。

應用於求作三角形
--------

定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點B、內心I和外心O，求作該三角形。作法如下：

1. 以O為圓心，{\displaystyle OB}為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。
2. 作直線BI，與外接圓交於（B以外的另一點）D。
3. 以D為圓心，{\displaystyle DI}為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點A,C。
4. 所以，該圓與外接圓的交點A,C即為所求。

然而，並非在平面上任意取三點作為{\displaystyle B,I,O}皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在{\displaystyle IB}與{\displaystyle \odot O}相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若{\displaystyle B,I,O}三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形，I亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以B為頂點，I為內心、O為外心。（對於固定的{\displaystyle B,O}兩點，若要存在此種三角形，則I必須位於以B為尖點關於{\displaystyle \odot O}作成的心臟線圍成的區域中。）

其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。

命名
--

本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自{\displaystyle DA,DI,DC}諸線段組成的幾何圖形。同樣，俄文稱為，謂三叉引理，或，謂三葉草定理。英文又稱「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。

定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（）。

參考文獻
----

1. ↑  金磊.. 《數學中的小問題大定理》叢書（第六輯）. 哈尔滨工业大学出版社. 2020. ISBN 9787560384245.
2. 1 2  Evan Chen.  [奧數歐氏幾何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10  [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. （原始内容存档于2021-12-15） （英语）. This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears!
3. ↑  Morris, Richard,  [過三角形特殊點的圓], The Mathematics Teacher（英语：）, 1928, **21** (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 （英语） . 尤其見p. 65處關於諸圓{\displaystyle BIC,CIA,AIB}及圓心的討論。
4. ↑  Bogomolny, Alexander（英语：）,  [過內心的圓之某性質], Cut-the-Knot,  [2016-01-26], （原始内容存档于2021-12-12） （英语） .
5. 1 2   [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29  [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12） （俄语）.
6. ↑  Bogomolny, Alexander,  [內心與諸旁心所連線段之中點], Cut-the-Knot,  [2016-01-26], （原始内容存档于2021-12-12） （英语） .
7. ↑  Aref, M. N.; Wernick, William,  [歐氏幾何問題及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc. 3.3(i), p. 68, 1968  [2021-12-12], ISBN 9780486477206, （原始内容存档于2021-12-12） （英语） .
8. 1 2  Yiu, Paul,  [給定內心、九點圓心、一頂點，以圓錐曲線構作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, **16** (2): 171–183  [2021-12-12], MR 3088369, （原始内容存档 (PDF)于2020-11-28） （英语）
9. ↑  Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян.  [數學興趣小組題目] (PDF). Problem 1.2. : 4  [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12） （俄语）.
10. ↑  И. А. Кушнир.  [這個發現——萊昂哈德·歐拉的金鑰] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34；證明見p.36.  [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12）.