在数学中，**埃尔米特多项式**（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义
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前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。
埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是**概率论**中较为常用的形式（记作：{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}）：

{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
另一种是**物理学**中较为常用的形式（记作：{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}）：

{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}
物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：

{\displaystyle H\_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H\_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}
概率论中常用第一种定义，因为{\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式| 序号 | 概率学 | 物理学 |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle H\_{0}(x)} | {\displaystyle 1\,} | {\displaystyle 1\,} |
| {\displaystyle H\_{1}(x)} | {\displaystyle x\,} | {\displaystyle 2x\,} |
| {\displaystyle H\_{2}(x)} | {\displaystyle x^{2}-1\,} | {\displaystyle 4x^{2}-2\,} |
| {\displaystyle H\_{3}(x)} | {\displaystyle x^{3}-3x\,} | {\displaystyle 8x^{3}-12x\,} |
| {\displaystyle H\_{4}(x)} | {\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,} | {\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,} |
| {\displaystyle H\_{5}(x)} | {\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,} | {\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,} |

性质
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多项式*Hn* 是一个*n*次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2*n*。

### 正交性

多项式*Hn* 的次数与序号*n* 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的**权函数** *w*，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}   （概率论）
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}   （物理学）
也就是说，当*m* ≠ *n* 时：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}(x)H\_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}
除此之外，还有：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H\_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta \_{mn}}   （概率论）
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }H\_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H\_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta \_{mn}}   （物理学）
其中{\displaystyle \delta \_{mn}}是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

### 完备性

在所有满足

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }
的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}
### 埃尔米特微分方程

**概率论**中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}
方程的边界条件为：{\displaystyle u}应在无穷远处有界。

其中{\displaystyle \lambda }是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取{\displaystyle \lambda }∈{\displaystyle \mathbb {N} }。对于一个特定的本征值{\displaystyle \lambda }，对应着一个特定的本征函数解，即{\displaystyle H\_{\lambda }^{prob}(x)}。

而**物理学**中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

{\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}
其本征值同样为{\displaystyle \lambda }∈{\displaystyle \mathbb {N} }，对应的本征函数解为{\displaystyle H\_{\lambda }^{phys}(x)}。

以上两个微分方程都称为**埃尔米特方程**。

參考文獻
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* Arfken, *Mathematical Methods for Physicists*
* B Spain, M G Smith, *Functions of mathematical physics*, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
* Bayin, S.S. (2006) *Mathematical Methods in Science and Engineering*, Wiley, Chapter 4.
* Courant, Richard; Hilbert, David, Wiley-Interscience, 1953 .
* Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. McGraw-Hill, 1955
* Fedoryuk, M.V. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Szegő, Gábor, American Mathematical Society, 1939, 1955  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
* Wiener, Norbert, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9
* Whittaker, E. T.; Watson, G. N.  4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Temme, Nico, *Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics*, Wiley, New York, 1996

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.