在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

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在量子力學裏，量子系統的量子態可以用**波函數**（英語：）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。

波函數 \Psi (\mathbf{r},t) 是一種複值函數，表示粒子在位置 \mathbf {r}  、時間 t 的機率幅，它的絕對值平方 |\Psi(\mathbf{r},t)|^2 是在位置 \mathbf {r}  、時間 t 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數\Psi (\mathbf{r},t)是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。

歷史
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路易·德布羅意
埃爾溫·薛丁格
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。

1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。

1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。

概述
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在一維無限深方形阱內，粒子的能級與對應的波函數。
在一維無限深方形阱內，找到能級為 n 的粒子的機率。
### 位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 \Psi (x,t) ；其中，x 是位置，t 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 x 在區間 [a,b] （即 a\le x\le b ）的機率P\_{a\le x\le b}為

{\displaystyle P\_{a\leq x\leq b}=\int \_{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x} ；
其中，t 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說，|\Psi(x,t)|^2 是粒子在位置 x 、時間 t 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1} 。
### 動量空間波函數

在動量空間，粒子的波函數表示為 \Phi(p,t) ；其中，p 是一維動量，值域從 -\infty  至 +\infty  。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 p 在區間 [a,b] （即 a\le p\le b ）的機率為

{\displaystyle P\_{a\leq p\leq b}=\int \_{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p} 。
動量空間波函數的歸一化條件也類似：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1} 。
### 兩種波函數之間的關係

本圖展示一維零自旋自由粒子的波函數範例，左邊是位置空間波函數 \Psi(x) 的實部（紫色）和機率密度 |\Psi(x)|^2 （紅色），右邊是動量空間波函數 \Phi(p) 的實部（金色）和機率密度 |\Phi(p)|^2 （藍色）。在x-軸的某位置 x 或px-軸的某動量 p 顯示出的粒子顏色的不透明度，分別表示在那位置 x 或動量 p 找到粒子的機率密度（不是波函數的機率幅）。
位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為

{\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \_{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x} 、
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \_{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p} 。

薛丁格方程式
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在一維空間裏，運動於位勢 V(x) 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) ；
其中，m 是質量，\hbar  是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 \Psi(x,\,t) 的函數形式為

\Psi(x,\,t)= \psi\_E(x) e^{ - iEt/\hbar} ；
其中，E 是分離常數，稍加推導可以論定 E 就是能量，\psi\_E(x) 是對應於 E 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi\_E(x)+V(x)\psi\_E(x)=E\psi\_E(x)  。

波函数的概率诠释
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波函数 \Psi (\mathbf{r},t) 是概率波。其模的平方 \vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\, 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1 。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态
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在量子力学中，可观察量 A 以算符 {\hat {A}} 的形式出现。{\hat {A}} 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 \hat{\mathbf{p}} 的形式為

\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla 。
可观察量 A 的本徵方程式為

\hat{A}\psi=a\psi 。
对应的 a 称为算符 {\hat {A}} 的本徵值，\psi  称为算符 {\hat {A}} 的本徵態。假設對於 {\hat {A}} 的本徵態 \psi  再測量可观察量 A ，則得到的結果是本徵值 a 。

态叠加原理
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假設對於某量子系統測量可觀察量 A ，而可觀察量 A 的本徵態 |a\_1\rang 、|a\_2\rang 分別擁有本徵值 a\_{1} 、a\_2 ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 |\psi \rangle  也可以是這量子系統的量子態：

|\psi\rang=c\_{1}|a\_1\rang+c\_{2}|a\_2\rang ；
其中， c\_1 、c\_{2} 分別為疊加態處於本徵態 |a\_1\rang 、|a\_2\rang 的機率幅。

假設对這疊加態系統测量可观察量 A ，則測量獲得數值是 a\_{1} 或 a\_{2} 的機率分別為 |c\_{1}|^2 、|c\_{2}|^2 ，期望值為

\langle\psi |A|\psi\rang=|c\_{1}|^2 a\_1 +|c\_{2}|^2 a\_2 。

定态
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描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 \psi\_N =(\psi\_0+\psi\_1)/\sqrt{2} 。
在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 {\hat {H}} 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 \Psi (\mathbf{r},t) 分離成一个只与位置有关的函数 \psi (\mathbf{r}) 和一个只与时间有关的函数 f(t) ：

\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t) 。
將這公式代入薛定谔方程，就会得到

f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )} 。
而 \psi(\mathbf{r}) 则满足本徵能量薛丁格方程式：

\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r}) 。

例子
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### 自由粒子

条目：自由粒子
3D空间中的自由粒子，其波矢 为**k** ， 角频率 为*ω*，其波函数为：

\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.
### 無限深方形阱

条目：無限深方形阱
粒子被限制在*x* = 0和*x* = *L*之间的1D空间中，其波函数为:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega \_{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}
其中，{\displaystyle \hbar \omega \_{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}是能量本徵值，n是正整數，m是質量。

### 有限位势垒

条目：有限位势垒和量子穿隧效應
对于一个垒高为 V0 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示
在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

V(x)=\begin{cases}V\_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}
其波函数的定态解为(k, \kappa为常数)

\psi (x) = \begin{cases}
A\_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A\_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ 
B\_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B\_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ 
C\_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C\_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a.
\end{cases}

### 量子点

量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道和p轨道。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。
**量子点**是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

参閱
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* 波包

参考文獻
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1. ↑  Hobson, Art.. American Journal of Physics. 2013, **81** (211)  [2014-09-25]. doi:10.1119/1.4789885. （原始内容存档于2015-02-10）.
2. ↑  
Hanle, P.A. Isis, December 1977, **68** (4), doi:10.1086/351880
3. 1 2 3 4  Moore, Walter John, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 （英语）
4. ↑  薛定諤, 埃尔温,  (PDF) **79**, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926  [2013-06-10], （原始内容 (PDF)存档于2008-12-17） 
[德文原稿]
5. 1 2  Kragh, Helge.  illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523.
6. ↑  Atkins, Peter; de Paula, Julio.  8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594.
7. 1 2  McMahon, David.. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528.
8. 1 2  Griffiths, David J. Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7