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| * 
* 论
* 编
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**线性微分方程**（英語：）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

{\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(\*)
其中方程左侧的微分算子{\mathcal {L}}是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程(\*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为**解空间**。这样的方程称为**齐次线性微分方程**。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为**非齐次线性微分方程**。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

简介
--

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

{\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(\*)
其中的{\mathcal {L}}是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数y\_{1}和y\_{2}以及两个常数\lambda\_1和\lambda\_2，那么：

{\mathcal {L}}(\lambda \_{1}y\_{1}+\lambda \_{2}y\_{2})=\lambda \_{1}{\mathcal {L}}(y\_{1})+\lambda \_{2}{\mathcal {L}}(y\_{2}).
如果f是零函数，那么给定若干个方程(\*)的解函数：y\_{1},y\_{2},\cdots ,y\_{m}以及同样多的常数系数：\lambda \_{1},\lambda \_{2},\cdots ,\lambda \_{m}，线性组合\lambda \_{1}y\_{1}+\lambda \_{2}y\_{2}+\cdots +\lambda \_{m}y\_{m}仍然是方程(\*)的解函数。这说明所有方程(\*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

{\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(\*\*)
设y^{s}是方程(\*)的一个解函数。y方程(\*\*)的任意一个解函数。则它们的和y^{s}+y仍然是(\*)的解函数。另一方面，给定方程(\*)的两个解函数：y\_{1}^{s}和y\_{2}^{s}。则它们的差y\_{1}^{s}-y\_{2}^{s}会是方程(\*\*)的解函数。这说明方程(\*)的所有解函数都可以写成y^{s}+y,\;y\in V的形式。其中V是方程(\*\*)的解空间。所以方程(\*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且V'=y^{s}+V。

常系数齐次线性微分方程
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一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有e^{{zx}}的形式，其中z是某个复数。因此，对于以下方程：

{\frac {d^{{n}}y}{dx^{{n}}}}+A\_{{1}}{\frac {d^{{n-1}}y}{dx^{{n-1}}}}+\cdots +A\_{{n}}y=0
我们设y=e^{{zx}}，可得：

z^{n}e^{{zx}}+A\_{1}z^{{n-1}}e^{{zx}}+\cdots +A\_{n}e^{{zx}}=0.
两边除以*e**zx*，便得到了一个*n*次方程：

F(z)=z^{{n}}+A\_{{1}}z^{{n-1}}+\cdots +A\_{n}=0.\,
这个方程*F*(*z*) = 0称为**特征方程**。

一般地，把微分方程中以下的项

{\frac {d^{{k}}y}{dx^{{k}}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).
换成*z**k*，便可得到特征方程。这个方程有*n*个解：*z*1, ... *z**n*。把任何一个解代入*e**zx*，便可以得到微分方程的一个解：*e**z**i**x*。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的*n*个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是*y* = *C*1*e**z**1**x* + *C*2*e**z**2**x* + …… + *C*n*e**z**n**x*，其中*C*1、*C*2、……、*C*n是常数。

以上讨论了*n*个根全不相同的情形。如果这*n*个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出*n*个线性独立的解。但是，可以验证，如果*z*是特征方程的 *m**z* 重根，那么，对于 k\in \{0,1,\dots ,m\_{{z}}-1\}\,，y=x^{k}e^{{zx}}\, 就是微分方程的一个解。对每个特征根 *z*，都能得到 *m**z* 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数*Ai*都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果*a* + *bi*是特征方程的根，那么*a* - *bi*也是一个根。于是，*y* = *e*(*a* + *bi*)*x*和*y* = *e*(*a* - *bi*)*x*都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：*y* = *e**ax*cos*bx*。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：*y* = *e**ax*sin*bx*。于是，*y* = *C*1*e**ax*cos*bx* + *C*2*e**ax*sin*bx*就是微分方程的通解。

### 例子

求微分方程y''-4y'+5y=0\,的通解。特征方程是z^{2}-4z+5=0\,，它的根是2+*i*和2−*i*。于是，y=C\_{1}e^{{2x}}\cos {x}+C\_{2}e^{{2x}}\sin {x}就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程
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欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法（日语：）求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

### 待定系数法

考虑以下的微分方程：

{\frac {dy}{dx}}=y+e^{{2x}}.\!
对应的齐次方程是：

{\frac {dy}{dx}}=y.
它的通解是：

y=ce^{x}.\!
由于非齐次的部分是(e^{{2x}})，我们猜测特解的形式是：

y\_{p}=Ae^{{2x}}.\!
把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出*A*：

{\frac {d}{dx}}\left(Ae^{{2x}}\right)=Ae^{{2x}}+e^{{2x}}\!
2Ae^{{2x}}=Ae^{{2x}}+e^{{2x}}\!
2A=A+1\,\!
A=1.\,\!
因此，原微分方程的解是：

y=ce^{x}+e^{{2x}}.\! (c\in R)
### 常数变易法

假设有以下的微分方程：

y^{{\prime \prime }}+py^{{\prime }}+qy=f(x)
我们首先求出对应的齐次方程的通解\ y=C\_{1}y\_{1}+C\_{2}y\_{2}，其中*C*1、*C*2是常数，*y*1、*y*2是*x*的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数*C*1、*C*2换成*x*的未知函数*u*1、*u*2，也就是：

y = u\_1 y\_1 +u\_2 y\_2. ~~\mathrm{(1)} 
两边求導數，可得：

 y'= u\_1'y\_1 + u\_2' y\_2 + u\_1y\_1' + u\_2 y\_2'.
我们把函数*u*1、*u*2加上一条限制：

 u\_1'y\_1 + u\_2'y\_2 = 0. ~~\mathrm{(2)}
于是：

 y' = u\_1y\_1'+u\_2y\_2'.~~\mathrm{(3)} 
两边再求導數，可得：

 y''= u\_1'y\_1'+u\_2'y\_2'+u\_1y\_1''+u\_2y\_2''.~~\mathrm{(4)}
把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

u\_1'y\_1'+u\_2'y\_2'+u\_1y\_1''+u\_2y\_2''+pu\_1y\_1'+pu\_2y\_2'+qu\_1y\_1+qu\_2y\_2 =f(x).
整理，得：

u\_1'y\_1'+u\_2'y\_2'+(u\_1y\_1''+pu\_1y\_1'+qu\_1y\_1)+(u\_2y\_2''+pu\_2y\_2'+qu\_2y\_2)= f(x). 
由于*y*1和*y*2都是齐次方程的通解，因此u\_1y\_1''+pu\_1y\_1'+qu\_1y\_1和u\_2y\_2''+pu\_2y\_2'+qu\_2y\_2都变为零，故方程化为：

u\_1'y\_1'+u\_2'y\_2'=f(x).~~\mathrm{(5)}
(2)和(5)联立起来，便得到了一个u\_1'和u\_2'的方程组，便可得到u\_1'和u\_2'的表达式；再积分，便可得到u\_1和u\_2的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

u'\_{j}=(-1)^{{n+j}}{\frac {W(y\_{1},\ldots ,y\_{{j-1}},y\_{{j+1}}\ldots ,y\_{n})\_{{0 \choose f}}}{W(y\_{1},y\_{2},\ldots ,y\_{n})}}.
其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程
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*n*阶的变系数微分方程具有以下形式：

p\_{{n}}(x)y^{{(n)}}(x)+p\_{{n-1}}(x)y^{{(n-1)}}(x)+\cdots +p\_{0}(x)y(x)=r(x).
一个例子是柯西-欧拉方程：

x^{n}y^{{(n)}}(x)+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}y^{{(n-1)}}(x)+\cdots +a\_{0}y(x)=0.
变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

\ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).
这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以e^{{\int f(x)\,dx}}：

Dy(x)e^{{\int f(x)\,dx}}+f(x)y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=g(x)e^{{\int f(x)\,dx}},
用乘法定则，可以简化为：

D(y(x)e^{{\int f(x)\,dx}})=g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}
两边积分，得：

y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+c~,
y(x)={\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+c \over e^{{\int f(x)\,dx}}}~.
也就是说，一阶线性微分方程y'(x)+p(x)y(x)=r(x)的解是：

y=e^{{-a(x)}}\left(\int r(x)e^{{a(x)}}\,dx+\kappa \right)
其中\kappa是积分常数，且

a(x)=\int {p(x)\,dx}.
### 例子

考虑以下一阶线性微分方程：

{\frac {dy}{dx}}+by=1.
*p*(*x*) = b，*r*(*x*) = 1，因此微分方程的解为：

{\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.}

拉普拉斯变换解微分方程
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应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

\mathcal{L}\{f'\}
 = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}
 = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
{\mathcal {L}}\{f^{{(n)}}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma \_{{i=1}}^{{n}}s^{{n-i}}f^{{(i-1)}}(0).
有如下微分方程：

\sum \_{{i=0}}^{n}a\_{i}f^{{(i)}}(t)=\phi (t).
该方程可变换为：

\sum \_{{i=0}}^{n}a\_{i}{\mathcal {L}}\{f^{{(i)}}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}
则：

{\mathcal {L}}\{f(t)\}={{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{i}\sum \_{{j=1}}^{i}s^{{i-j}}f^{{(j-1)}}(0) \over \sum \_{{i=0}}^{n}a\_{i}s^{i}}.

其中 f^{{(k)}}(0) 是初始条件。

*f*(*t*) 通过拉普拉斯反变换 {\mathcal {L}}\{f(t)\} 求得。

参见
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* 拉普拉斯变换
* 傅里叶变换
* 里卡蒂方程
* 伯努利微分方程
* 柯西-欧拉方程
* 克莱罗方程
* 全微分方程

参考文献
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* Stanley J. Farlow(1994). *An introduction to differential equations and their applications*. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.