上极限和下极限的示意图。數列 *x**n* 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 *x**n* 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛
在微积分学中，**上極限和下極限**（英語：）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 {\displaystyle \{(-1)^{n}\}\_{n=1}^{\infty }} 的上極限為 1，下極限為 -1。
函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

定义
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序列(x\_n)的上极限定义是

\limsup\_{n\rightarrow\infty}x\_n=\inf\_{n\geq 0}\,\sup\_{k\geq n}x\_k=\inf\{\,\sup\{\,x\_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}；
或者 

\limsup\_{n\rightarrow\infty}x\_n=\lim\_{n\rightarrow\infty}\left(\sup\_{m\geq n}x\_m\right)。
同样的，序列x\_n的下极限定义是

\liminf\_{n\rightarrow\infty}x\_n=\sup\_{n\geq 0}\,\inf\_{k\geq n}x\_k=\sup\{\,\inf\{\,x\_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}；
或者

\liminf\_{n\rightarrow\infty}x\_n=\lim\_{n\rightarrow\infty}\left(\inf\_{m\geq n}x\_m\right)。
这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。
在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当\liminf x\_n和\limsup x\_n都存在，那么

\liminf\_{n\rightarrow\infty}x\_n\leq\limsup\_{n\rightarrow\infty}x\_n。
上极限和下极限也记为\varlimsup\_{n\rightarrow\infty} x\_n和\varliminf\_{n\rightarrow\infty} x\_n。

实数数列
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实数集 **R** 的数列对微积分很重要。**R** 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 [-\infty,+\infty]，形成完備格。那么在 [-\infty,+\infty] 中数列 (x\_n)
收敛当且仅当 \liminf x\_n = \limsup x\_n，而这时 \lim x\_n 等于上面的共同值。

若實數數列 (x\_n) 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 *a*，使得對任意小的正實數 \epsilon ，都存在足夠大的正整數 *N*，使得對所有 n\ge N，都有 x\_n < a + \epsilon。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 *N* 使得這實數是數列 (x\_n)\_{n\ge N} 的上界。

若實數數列 (x\_n) 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 *b*，使得對任意小的正實數 \epsilon ，都存在足夠大的正整數 *N*，使得對所有 n\ge N，都有 x\_n > b - \epsilon。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 *N* 使得這實數是數列 (x\_n)\_{n\ge N}的下界。

設 (x\_n) 是整數數列。若其上極限為實數 *a*，由於 \lfloor a\rfloor  也符合上述條件，故此 *a* 必是整數。在條件中取 \epsilon < 1，得出 *a* 是最小的實數，使得存在正整數 *N*，對所有 n\ge N，都有 x\_n \le a 。因此 *a* 是最大的整數，使得有無限個 x\_n = a 。同樣地，若其下極限為實數 *b*，則 *b* 是最小的整數，使得有無限個 x\_n = b 。

若 I=\liminf x\_n 和 S=\limsup x\_n
，那么区间 [I,S] 不一定包含任何的 x\_n，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 *x**n*。区间 [*I*, *S*] 是适合这个性质的最小闭区间。

### 例子

* 設{\displaystyle x\_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}，則\liminf x\_n=-1，\limsup x\_n=1。閉區間[-1, 1]中不包含任何x\_n。
* 考虑数列x\_n=\sin \!n。应用π的无理数性质，可以证明\liminf x\_n = -1和\limsup x\_n = +1。

* 一个数论例子是

\liminf\_{n\to\infty}(p\_{n+1}-p\_n)
其中{\displaystyle {p\_{n}}}是第n个素数。

集的序列
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集合*X*的冪集*P*(*X*)是完備格。对于*P*(*X*)中的序列，也就是*X*的子集的序列，其上下极限也有用处。

若X\_{n}是这样的序列，那么*X*的元素*a*属于\liminf X\_n，当且仅当存在自然数n\_0使得对于所有n>n\_0，*a*在X\_{n}裡。元素*a*属于\limsup X\_n，当且仅当对所有自然数n\_0，都存在一个指数n>n\_0使得*a*在X\_{n}裡。换句话说，\limsup X\_n包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个*n*，使得它在集合X\_{n}裡；而\liminf X\_n包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有*n*，使得它在X\_{n}裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

\inf\left\{\,X\_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap\_{m=1}^\infty}X\_m。
令I\_n为自X\_{n}起的集合的下确界。那么序列I\_n非递减，因为I\_n \sub I\_{n+1}。所以，第1至*n*个下确界的并集就是第*n*个下确界。下极限就是这序列的极限：

\liminf\_{n\rightarrow\infty}X\_n={\bigcup\_{n=1}^\infty}\left({\bigcap\_{m=n}^\infty}X\_m\right)。
上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

\sup\left\{\,X\_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup\_{m=1}^\infty}X\_m。
上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

\limsup\_{n\rightarrow\infty}X\_n={\bigcap\_{n=1}^\infty}\left({\bigcup\_{m=n}^\infty}X\_m\right)。
例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

引用
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* Amann, H.; Escher, Joachim.. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)

* González, Mario O.. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.

1. ↑  Zhang, Yitang.. Annals of Mathematics. 2013-05-21  [2014-07-10]. （原始内容存档于2014-03-11） （英语）.
2. ↑ . Polymath wiki.  [2014-09-24]. （原始内容存档于2013-06-20）.