**球對稱位勢**乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為

 - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + V(r)\psi=E\psi；
其中，\hbar 是普朗克常數，\mu 是粒子的質量，\psi 是粒子的波函數，V是位勢，r是徑向距離，E是能量。

由於球對稱位勢V(r)只與徑向距離有關，與天頂角\theta 、方位角\phi 無關，為了便利分析，可以採用球坐標(r,\ \theta ,\ \phi )來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程式
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採用球坐標(r,\ \theta ,\ \phi )，將拉普拉斯算子\nabla^2展開：

-\frac{\hbar^2}{2\mu r^2}\left \{ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\left[\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right \}\psi +V(r)\psi= E\psi。
滿足薛丁格方程式的本徵函數\psi 的形式為：

\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )，
其中，R(r)，\Theta(\theta)，\Phi(\phi)，都是函數。\Theta(\theta)與\Phi(\phi)時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，Y\_{{lm}}(\theta ,\ \phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )。這樣，本徵函數\psi 的形式變為：

\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)Y\_{{lm}}(\theta ,\ \phi )。

角部分解答
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參數為天頂角\theta 、方位角\phi 的球諧函數Y\_{lm}，滿足角部分方程式 

-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y\_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y\_{lm}(\theta ,\phi )；
其中，非負整數l是角動量的**角量子數**。m（滿足-l\leq m\leq l）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的l與m給予不同的球諧函數解答Y\_{lm}：

{\displaystyle Y\_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P\_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}；
其中，i是虛數單位，P\_{lm}(\cos {\theta })是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

P\_{{lm}}(x)=(1-x^{2})^{{|m|/2}}\ {\frac {d^{{|m|}}}{dx^{{|m|}}}}P\_{l}(x)；
而P\_{l}(x)是l階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

P\_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}。

徑向部分解答
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將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

\left \{ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}+V(r) \right \} R(r)=ER(r)。(1)
設定函數u(r)=r R(r)。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

 - {\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r)\over dr^2} +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}u(r)+V(r) u(r)=Eu(r)。(2)
徑向方程式變為

-{\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r) \over dr^2} + V\_{\mathrm{eff}}(r) u(r) = E u(r)；(3)
其中，有效位勢V\_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2\mu r^2}。

這正是函數為u(r)，有效位勢為V\_{\mathrm{eff}}的薛丁格方程式。徑向距離r的定義域是從{\displaystyle 0}到\infty。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例
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在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

1. V(r)=0：原方程變為亥姆霍兹方程{\displaystyle (\nabla ^{2}+{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}})A=0}，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
2. 當r<r\_{0}時，V(r)=0；否則，V(r)=\infty ：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
3. V(r)\propto r^{2}：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
4. V(r)\propto 1/r：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

### 真空狀況實例

思考V(r)=0的狀況，設定k\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\sqrt {2\mu E \over \hbar ^{2}}}，在設定無因次的變數 

\rho \ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ kr。
代入方程式(2)，定義J(\rho )\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式： 

\rho ^{2}{d^{2}J \over d\rho ^{2}}+\rho {dJ \over d\rho }+\left[\rho ^{2}-\left(l+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0。
貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數J\_{{l+1/2}}(\rho )；而R(r)是第一類球貝塞爾函數  
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：

R(r)=j\_{l}(kr)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J\_{{l+1/2}}(kr)。(4)
在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=A\_{{kl}}j\_{l}(kr)Y\_{{lm}}(\theta ,\phi )；
其中，歸一常數A\_{{kl}}={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}}}\,k，l是非負整數，m是整數，-l\leq m\leq l，k是實數，k\geq 0。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

#### 波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

1=A\_{{kl}}^{2}\int \_{0}^{{\infty }}\ r^{2}j\_{l}^{2}(kr)\ dr。
根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

\int \_{0}^{{\infty }}\ x^{2}j\_{{\alpha }}(k\_{1}x)j\_{{\alpha }}(k\_{2}x)\ dx={\frac {\pi }{2k\_{1}^{2}}}\delta (k\_{1}-k\_{2})；
其中，\alpha >0，\delta \_{{k}}为克罗内克δ。

所以，1=A\_{{kl}}^{2}{\frac {\pi }{2k^{2}}}。取平方根，歸一常數A\_{{kl}}={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}}}\,k。

### 球對稱的三維無限深方形位勢阱

球貝塞爾函數j\_{l}(x)。
思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

V(r)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r\leq r\_{0}\\\infty ,&{\mbox{if }}r>r\_{0}\end{cases}}。
其中，r\_{0}是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數R(r)=j\_{l}(kr)。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標r=r\_{0}之處必須等於0：

j\_{l}(kr\_{0})=0。
設定\xi \_{{nl}}為l階球貝塞爾函數j\_{l}的第n個0點，則k\_{{nl}}r\_{0}=\xi \_{{nl}}。

那麼，離散的能級E\_{{nl}}為

E\_{{nl}}={\frac {\hbar ^{2}k\_{{nl}}^{2}}{2\mu }}={\frac {\hbar ^{2}\xi \_{{nl}}^{2}}{2\mu r\_{0}^{2}}}。
薛丁格方程式的整個解答是

\psi \_{{nlm}}(r,\ \theta ,\ \phi )=A\_{{nl}}j\_{l}(\xi \_{{nl}}\,r/r\_{0})\,Y\_{{lm}}(\theta ,\ \phi )；
其中，歸一常數A\_{{nl}}=\left({\frac {2}{r\_{0}^{3}}}\right)^{{1/2}}{\frac {1}{j\_{{l+1}}(\xi \_{{nl}})}}。

#### 波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

1=A\_{{nl}}^{2}\int \_{0}^{{r\_{0}}}\ r^{2}j\_{l}^{2}(k\_{{nl}}r)\ dr；
將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：

1=A\_{{nl}}^{2}\int \_{0}^{{r\_{0}}}\ r^{2}\ {\frac {\pi }{2k\_{{nl}}r}}\ J\_{{l+1/2}}^{2}(k\_{{nl}}r)\ dr=A\_{{nl}}^{2}{\frac {\pi }{2k\_{{nl}}}}\int \_{0}^{{r\_{0}}}\ rJ\_{{l+1/2}}^{2}(k\_{{nl}}r)\ dr。
設定變數x=r/r\_{0}，代入積分：

1=A\_{{nl}}^{2}{\frac {\pi r\_{0}^{2}}{2k\_{{nl}}}}\int \_{0}^{{1}}\ xJ\_{{l+1/2}}^{2}(k\_{{nl}}r\_{0}x)\ dx=A\_{{nl}}^{2}{\frac {\pi r\_{0}^{3}}{2\xi \_{{nl}}}}\int \_{0}^{{1}}\ xJ\_{{l+1/2}}^{2}(\xi \_{{nl}}x)\ dx。
根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

\int \_{0}^{1}xJ\_{\alpha }(x\xi \_{{m\alpha }})J\_{\alpha }(x\xi \_{{n\alpha }})dx={\frac {\delta \_{{mn}}}{2}}J\_{{\alpha +1}}(\xi \_{{n\alpha }})^{2}；
其中，\alpha >-1，\delta \_{{mn}}为克罗内克δ，\xi \_{{n\alpha }}表示J\_{\alpha }(x)的第n個0點。

注意到j\_{l}(x)的第n個0點\xi \_{{nl}}也是J\_{{l+1/2}}(x)的第n個0點。所以，

1=A\_{{nl}}^{2}\ {\frac {\pi r\_{0}^{3}}{4\xi \_{{nl}}}}\ J\_{{l+3/2}}^{2}(\xi \_{{nl}})=A\_{{nl}}^{2}\ {\frac {r\_{0}^{3}}{2}}\ j\_{{l+1}}^{2}(\xi \_{{nl}})。
取平方根，歸一常數A\_{{nl}}=\left({\frac {2}{r\_{0}^{3}}}\right)^{{1/2}}{\frac {1}{j\_{{l+1}}(\xi \_{{nl}})}}。

### 三維均向諧振子

条目：量子諧振子
三維均向諧振子的位勢為

V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}；
其中，\omega 是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是

E\_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {N}{2}})\quad {\hbox{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,。
所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega (n+{\frac {3}{2}})\right]u(r)=0。(5)
設定常數\gamma ，

\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}。
回想u(r)=rR(r)，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：

R\_{{nl}}(r)=N\_{{nl}}\,r^{{l}}\,e^{{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}}\;L\_{{{\frac {1}{2}}(n-l)}}^{{(l+{\frac {1}{2}})}}(\gamma r^{2})；
其中，函數L\_{k}^{{(\alpha )}}(\gamma r^{2})是广义拉盖尔多项式，N\_{{nl}}是歸一化常數：

N\_{{nl}}=\left[{\frac {2^{{n+l+2}}\,\gamma ^{{l+{\frac {3}{2}}}}}{\pi ^{{{\frac {1}{2}}}}}}\right]^{{{\frac {1}{2}}}}\left[{\frac {[{\frac {1}{2}}(n-l)]!\;[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}{(n+l+1)!}}\right]^{{{\frac {1}{2}}}}。
本徵能級E\_n的本徵函數R\_{{nl}}，乘以球諧函數Y\_{{lm}}(\theta ,\phi )，就是薛丁格方程式的整個解答：

\psi \_{{nlm}}=R\_{{nl}}(r)\,Y\_{{lm}}(\theta ,\ \phi )；
其中l=n,\ n-2,\ \ldots ,\ l\_{{\mathrm {min}}}。假若n是偶數，設定l\_{{\mathrm {min}}}=0；否則，設定l\_{{\mathrm {min}}}=1。

#### 導引

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數y={\sqrt {\gamma }}r；其中，\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}。則方程式(5)變為

\left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}-y^{2}+2n-3\right]v(y)=0；(6)
其中，v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)是新的函數。

當y接近0時，方程式(6)最顯著的項目是

{\displaystyle \left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}\right]v(y)=0}。
所以，v(y)與y^{{l+1}}成正比。

又當y無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是

\left[{d^{2} \over dy^{2}}-y^{2}\right]v(y)=0。
因此，v(y)與e^{{-y^{2}/2}}成正比。

為了除去v(y)在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用v(y)的替換方程式：

v(y)=y^{{l+1}}e^{{-y^{2}/2}}f(y)。
經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為

\left[{d^{2} \over dy^{2}}+2\left({\frac {l+1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2l\right]f(y)=0。(7)
##### 轉換為广义拉盖尔方程式

設定變數x=y^{2}，則微分算子為

{\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}}，
{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}。
代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：

{\displaystyle x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\Big (}(l+{\tfrac {1}{2}})+1-x{\Big )}{\frac {dg}{dx}}+{\tfrac {1}{2}}(n-l)g(x)=0}；
其中，函數{\displaystyle g(x)\equiv f({\sqrt {x}})}。

假若，k\equiv (n-l)/2是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：

g(x)=L\_{k}^{{(l+{\frac {1}{2}})}}(x)。
因為k是非負整數，要求

1. n\geq l。
2. n與l同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述l必須遵守的條件。

##### 波函數歸一化

回憶到u(r)=rR(r)，徑向函數可以表達為

R\_{{nl}}(r)=N\_{{nl}}\,r^{{l}}\,e^{{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}}\;L\_{{{\frac {1}{2}}(n-l)}}^{{(l+{\frac {1}{2}})}}(\gamma r^{2})；
其中，N\_{{nl}}是歸一常數。

R\_{{nl}}(r)的歸一條件是

\int \_{0}^{\infty }r^{2}|R\_{{nl}}(r)|^{2}\,dr=1。
設定q=\gamma r^{2}。將R\_{{nl}}與q代入積分方程式：

{\frac {N\_{{nl}}^{2}}{2\gamma ^{{l+{3 \over 2}}}}}\int \_{0}^{\infty }q^{{l+{1 \over 2}}}e^{{-q}}\left[L\_{{{\frac {1}{2}}(n-l)}}^{{(l+{\frac {1}{2}})}}(q)\right]^{2}\,dq=1。
應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為

{\frac {N\_{{nl}}^{2}}{2\gamma ^{{l+{3 \over 2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma [{\frac {1}{2}}(n+l+1)+1]}{[{\frac {1}{2}}(n-l)]!}}=1。
因此，歸一常數可以表達為

N\_{{nl}}={\sqrt {{\frac {2\,\gamma ^{{l+{3 \over 2}}}\,({\frac {n-l}{2}})!}{\Gamma ({\frac {n+l}{2}}+{\frac {3}{2}})}}}}。
應用伽瑪函數的數學特性，同時注意n與l的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

\Gamma \left[{1 \over 2}+\left({\frac {n+l}{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!!}{2^{{{\frac {n+l}{2}}+1}}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!}{2^{{n+l+1}}[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}}。
在這裏用到了雙階乘 ()的定義。

所以，歸一常數等於

N\_{{nl}}=\left[{\frac {2^{{n+l+2}}\,\gamma ^{{l+{3 \over 2}}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi ^{{1 \over 2}}(n+l+1)!}}\right]^{{1 \over 2}}。
### 類氫原子

条目：類氫原子
類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}；
其中，\epsilon \_{0}是真空電容率，Z是原子序，e是單位電荷量，r是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，

\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\right\}R(r)=ER(r)。
這方程式的解答是

R\_{{nl}}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na\_{{\mu }}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{{-Zr/{na\_{{\mu }}}}}\left({\frac {2Zr}{na\_{{\mu }}}}\right)^{{l}}L\_{{n-l-1}}^{{2l+1}}\left({\frac {2Zr}{na\_{{\mu }}}}\right)；
其中，a\_{\mu }={{4\pi \varepsilon \_{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}。a\_{\mu }近似於波耳半徑a\_{0}。假若，原子核的質量是無限大的，則a\_{\mu }=a\_{0}，並且，約化質量等於電子的質量，\mu =m\_{e}。L\_{{n-l-1}}^{{2l+1}}是广义拉盖尔多项式，定義為

L\_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L\_{i+j}(x)；
其中，L\_{{i+j}}(x)是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

L\_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})。
為了滿足R\_{{nl}}(r)的邊界條件，n必須是正值整數，能量也離散為能級E\_{{n}}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon \_{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)。隨著量子數的不同，函數R\_{{nl}}(r)與Y\_{lm}都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求l<n。

知道徑向函數R\_{{nl}}(r)與球諧函數Y\_{lm}的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

\psi \_{nlm}=R\_{nl}(r)\,Y\_{lm}(\theta ,\phi )。
#### 導引

為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 ()

E\_{{\textrm {h}}}=m\_{{\textrm {e}}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon \_{0}\hbar }}\right)^{2}，
a\_{{0}}={{4\pi \varepsilon \_{0}\hbar ^{2}} \over {m\_{{\textrm {e}}}e^{2}}}。
將變數y=Zr/a\_{0}與W=E/(Z^{2}E\_{{\textrm {h}}})代入徑向薛丁格方程式(2)：

\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {l(l+1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u\_{l}=Wu\_{l}。(8)
這方程式有兩類解答：

1. W<0：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的W造成了離散的能量譜。
2. W\geq 0：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}與x\equiv \alpha y。代入方程式(8)：

\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u\_{l}=0。(9)
當x接近0時，方程式(9)最顯著的項目是

\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}\right]u\_{l}=0。
所以，u\_{l}(x)與x^{{l+1}}成正比。

又當x無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是

\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{4}}\right]u\_{l}=0。
因此，u\_{l}(x)與e^{{-x/2}}成正比。

為了除去u\_{l}(x)在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用u\_{l}(x)的替換方程式：

u\_{l}(x)=x^{{l+1}}e^{{-x/2}}f\_{l}(x)。
經過一番運算，得到f\_{l}(x)的方程式：

\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2l+2-x){\frac {d}{dx}}+(\nu -l-1)\right]f\_{l}(x)=0；
其中，\nu =(-2W)^{{-{\frac {1}{2}}}}。

假若，\nu -l-1是個非負整數k ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式

L\_{{k}}^{{(2l+1)}}(x),\qquad k=0,1,\ldots 。
採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是

W=-{\frac {1}{2n^{2}}}；
其中，主量子數n\equiv k+l+1滿足n\geq l+1，或l\leq n-1。

由於\alpha =2/n，徑向波函數是

R\_{{nl}}(r)={\sqrt {\left({\frac {2Z}{na\_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}\;e^{{-{\textstyle {\frac {Zr}{na\_{0}}}}}}\left({\frac {2Zr}{na\_{0}}}\right)^{{l}}\;L\_{{n-l-1}}^{{2l+1}}\left({\frac {2Zr}{na\_{0}}}\right)。
能量是 

E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E\_{{\textrm {h}}}=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}m\_{{\textrm {e}}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon \_{0}\hbar }}\right)^{2},\qquad n=1,2,\ldots 。

參閱
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* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* Delta位勢阱
* Delta位勢壘
* 連心力
* 量子穿隧效應
* 盒中氣體

參考文獻
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1. 1 2  Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), , New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4

* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.