反伽瑪函數{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}的函數圖形反伽瑪函數{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}在複數域的色相環複變函數圖形
**反伽瑪函數**{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。
換句話說，如果反Γ函數以{\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}的形式表示，則其滿足{\textstyle \Gamma (y)=x}。
例如24的反伽瑪函數值為5，{\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}，因為5代到伽瑪函數為24。
一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間{\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}上且圖形在實數區間{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}上的主分支，其中{\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }是伽瑪函數在正實軸上的最小值、{\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }是能使\Gamma(x)最小的x值。
反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。

限制在{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}。
在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為{\displaystyle \Gamma \_{n}^{-1}(z)}。

直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數

定義
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由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

{\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}
更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：

{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int \_{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}
其中{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }、a和b為滿足{\displaystyle b\geqq 0}的實數、{\displaystyle \mu (t)}為博雷尔测度。

近似值
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不同分支的反伽瑪函數
反伽瑪函數的分支可以透過先計算{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}在分支點\alpha 附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。
例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似；

{\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：

{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W\_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}
其中{\displaystyle W\_{0}(x)}是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。

### 級數展開

要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令{\displaystyle z={\frac {1}{x}}}可以得到第n個分支的反伽瑪函數{\displaystyle \Gamma \_{n}^{-1}(z)}，其中{\displaystyle n\geq 0}。

{\displaystyle \Gamma \_{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}
其中，{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}是多伽玛函数。

反階乘
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反階乘的複變函數圖形
反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial-1或ArcFactorial，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到。
例如120的反階乘為5，因為{\displaystyle 5!=120}。
目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。

部分的反階乘| n | n的反階乘 |
| --- | --- |
| -1 | 2.39393017729 
+ 2.66169895945i |
| 0 | 不存在 |
| {\displaystyle {\frac {1}{2}}} | 0.28307261544 
+ 1.09787390370i |
| {\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}} |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2.4058699863 |
| 4 | 2.6640327972 |
| 5 | 2.8523554580 |
| 6 | 3 |
| 24 | 4 |

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

{\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}
這是由於：

{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}
反階乘可以定義為：

{\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}
條件是{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到-\infty 。

在分支點{\displaystyle z=\mu \_{0}}附近的反階乘可以展開為；

{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu \_{0}+\sum \_{n=1}^{N-1}d\_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu \_{0}){\Big )}^{n/2}}
由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：

{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式：

{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W\_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
其中{\displaystyle W\_{0}(x)}是朗伯W函数。

參見
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* 倒數伽瑪函數

註釋
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1. ↑  數篇相關論文用了不同的表達方式，尚未找到一個統一的表達方式。
另有網友在reddit上討論反階乘應該用甚麼符號表達. reddit.  [2023-08-21]. （原始内容存档于2023-08-21）.

參考文獻
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