这样 (2,4)-环面链环的两条曲线的环绕数是 4。
在数学中，**环绕数**（）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

环绕数由高斯以**环绕积分**的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。

定义
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空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \cdots  |  |  |  |  |  |
|  | 环绕数 -2 | 环绕数 -1 | 环绕数 0 |  |  |
|  |  |  |  |  | \cdots  |
|  |  | 环绕数 1 | 环绕数 2 | 环绕数 3 |  |

每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数
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六个正交叉与两个负交叉，这两条曲线的环绕数为 2。
存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为"正"或"负"
：

正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即

环绕数{\displaystyle ={\frac {n\_{1}+n\_{2}-n\_{3}-n\_{4}}{2}},\,}
这里 *n*1, *n*2, *n*3, *n*4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 {\displaystyle n\_{1}+n\_{3}\,\!} 与 {\displaystyle n\_{2}+n\_{4}\,\!} 总相等。这样得到了如下另外的公式

环绕数{\displaystyle =\,n\_{1}-n\_{4}\,=\,n\_{2}-n\_{3}.\,}
注意到 {\displaystyle n\_{1}-n\_{4}} 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 {\displaystyle n\_{2}-n\_{3}} 只涉及到上交叉。

性质与例子
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怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。
* 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的怀特黑德链环（英语：））。
* 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
* 环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。
* *x*-*y* 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 *z*-轴（将 *z*-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。
* 更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 **Z**。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
* 在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。

高斯的积分定义
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给定两条不交可微曲线 {\displaystyle \gamma \_{1},\gamma \_{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}，定义从环面到单位球面**高斯映射** \Gamma  为

{\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma \_{1}(s)-\gamma \_{2}(t)}{|\gamma \_{1}(s)-\gamma \_{2}(t)|}}.\,}
取单位球面上一点 *v*，从而链环的正交投影到垂直于 *v* 的平面给出一个链环图表。观察到点 (*s*, *t*) 在高斯映射下映为 *v* 对应于链环图表中一个交叉，这里 \gamma \_{1} 在 \gamma\_2 上。并且 (*s*, *t*) 的一个邻域在高斯映射下映为 *v* 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 *v* 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 *v* 的带符号次数。由于 *v* 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 *γ*1 与 *γ*2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即**高斯环绕积分**：

环绕数{\displaystyle {}\,=\,\phi (\gamma \_{1},\gamma \_{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint \_{\gamma \_{1}}\oint \_{\gamma \_{2}}{\frac {\mathbf {r} \_{1}-\mathbf {r} \_{2}}{|\mathbf {r} \_{1}-\mathbf {r} \_{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} \_{1}\times d\mathbf {r} \_{2}).}
这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。

推广
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* 就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为 *m* 与 *n* 的闭流形，可能在 {\displaystyle m+n+1} 维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。
* 任何标架纽结（英语：）有一个自环绕数，得自计算纽结 *C* 与将曲线 *C* 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为**考夫曼自环绕数**（）。

量子场论
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U(1) 陳-西蒙斯理論是：

{\displaystyle CS={\frac {k}{4\pi }}\int \_{M}AdA}

若{\displaystyle M=R^{3}}，路徑積分是

{\displaystyle Z(C\_{1},C\_{2})=\int dA\exp {(iCS+i\int \_{C\_{1}}A+i\int \_{C\_{2}}A)}=\int dA\exp {(iCS+i\int JA)}}，

包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2，而且

{\displaystyle J\_{i}^{a}=\int \_{C\_{i}}dx^{a}\delta ^{3}(x-x\_{i}(t))}

因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化或正規化。再說這個積分是拓撲不變。

若J是经典方程就是

{\displaystyle dA=(2\pi /k)\*J}

或

{\displaystyle \nabla \times A=2\pi J/k}

若我们选洛伦茨规范{\displaystyle d\*A=0}

{\displaystyle \nabla ^{2}A=-2\pi \nabla \times J/k}

从电磁学，解是

{\displaystyle A(x)={\frac {1}{2k}}\int d^{3}y{\frac {\nabla \times J(y)}{|x-y|}}}

则

{\displaystyle Z[C\_{1},C\_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C\_{1},C\_{2})/k)}

这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。

另见
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* 陳-西蒙斯理論
* 卷绕数
* 绞拧数
* 扭转数
* 曲线的微分几何
* 链环 (纽结理论)（英语：）
* 霍普夫不变量
* 吻接数（英语：）

参考文献
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* A.V. Chernavskii, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* -, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4