在量子力學及量子場論等領域，**外尔方程式**（英語：）為一相對論量子力學的波動方程式，用以描述無質量的自旋½粒子。其以德國數學家赫尔曼·外尔為名。

方程式
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外尔方程式的廣義形式可寫為：

\sigma ^{\mu }\partial \_{\mu }\psi =0
在SI單位中可寫為：

I\_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma \_{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma \_{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma \_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0
其中

\sigma \_{\mu }=(\sigma \_{0},\sigma \_{1},\sigma \_{2},\sigma \_{3})=(I\_{2},\sigma \_{x},\sigma \_{y},\sigma \_{z})
為一向量。μ = 0分量為2 × 2 單位矩陣；μ = 1,2,3分量為包立矩陣。ψ則是波函數，為外尔旋量一例。

### 外尔旋量

其組成有ψ*L*與ψ*R*，分別為左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：

\psi ={\begin{pmatrix}\psi \_{1}\\\psi \_{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{{-i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}=\chi e^{{-i({\mathbf {p}}\cdot {\mathbf {r}}-Et)/\hbar }}
其中

\chi ={\begin{pmatrix}\chi \_{1}\\\chi \_{2}\\\end{pmatrix}}
為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具質量的，亦即*m* = 0，動量**p**的範數為波向量**k**的簡單乘積，由德布羅伊關係所描述：

|{\mathbf {p}}|=\hbar |{\mathbf {k}}|=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|{\mathbf {k}}|=\omega /c
方程式可以左手及右手旋量來表示：

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial \_{\mu }\psi \_{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial \_{\mu }\psi \_{L}=0\end{aligned}}

推演
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透過拉格朗日密度可得方程式：

{\mathcal L}=i\psi \_{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial \_{\mu }\psi \_{R}
{\mathcal L}=i\psi \_{L}^{\dagger }{\bar \sigma }^{\mu }\partial \_{\mu }\psi \_{L}
將旋量及旋量的埃爾米特伴隨（以\dagger 標記）當作獨立變數處理，則可得外尔方程式。

相關條目
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* 狄拉克方程式（描述帶質量的自旋½粒子）
* 角動量算符
* 動量算符
* 自旋

參考資料
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1. ↑  Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed. Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
2. ↑  The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.

延伸閱讀
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* Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
* Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
* Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
* The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

外部連結
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* （英文）The Primacy of The Weyl Equation
* （英文）Dirac-Weyl equation，石墨烯例子。
* （英文）WEYL SPINORS AND DIRACíS ELECTRON EQUATION

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