《**電磁場的動力學理論**》（英語：）是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。

馬克士威原本的方程式
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在這篇論文的標題為**電磁場一般方程式**的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為

(A) 總電流定律
\mathbf{J}\_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} 、
(B) 磁場方程式
\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A} 、
(C) 安培環路定理
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}\_{tot} 、
(D) 勞侖茲力方程式
\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi  、
(E) 電彈性方程式
\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D} 、
(F) 歐姆定律
\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J} 、
(G) 高斯定律
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho 、
(H) 連續方程式
\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} 。
標記符號：
\mathbf{H} 是磁場強度，
\mathbf {J}  是傳導電流密度，
{\displaystyle \mathbf {J} \_{tot}} 是總電流密度（包括位移電流密度），
\mathbf {D}  是電位移，
\rho  是自由電荷密度，
\mathbf{A} 是磁向量勢，
\mathbf {E}  是電場，
\phi  是電勢，
\mu  是磁導率，
\epsilon  是電容率，
\sigma  是電導率 。
關於介質的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 {\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 \mathbf {v}  移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

光波是電磁波
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馬克士威，電磁學之父
在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說：

> 這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。  
>  — 詹姆斯·馬克士威

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 {\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

馬克士威的推導
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假設電磁波是一個平面波，以波速 V 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 {\displaystyle w=z-Vt} 。根據磁向量定義式(B)，

{\displaystyle \mathbf {B} =-{\hat {x}}{\frac {\partial A\_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial A\_{x}}{\partial z}}} ；
其中，{\displaystyle B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} } 是磁感應強度的定義式。

注意到 {\displaystyle B\_{z}=0} ， 還有，\mathbf {B}  垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理(C)，

{\displaystyle \mathbf {J} \_{tot}=-{\hat {x}}{\frac {\partial H\_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial H\_{x}}{\partial z}}=-{\frac {1}{\mu }}\left({\hat {x}}{\frac {\partial ^{2}A\_{x}}{\partial z^{2}}}+{\hat {y}}{\frac {\partial ^{2}A\_{y}}{\partial z^{2}}}\right)} ；
假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 \mathbf {J}  等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，

{\displaystyle \mathbf {J} \_{tot}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} ；
假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A\_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A\_{x}}{\partial t^{2}}}=0} 、
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A\_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A\_{y}}{\partial t^{2}}}=0} 。
再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B\_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B\_{x}}{\partial t^{2}}}=0} 、
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B\_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B\_{y}}{\partial t^{2}}}=0} 。
鏈式法則要求

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}} 、
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial t}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}=-V{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}} 。
所以，

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B\_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B\_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0} 、
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B\_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B\_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0} 。
傳播的速度為

{\displaystyle V=1/{\sqrt {\mu \epsilon }}} 。
設定磁導率為磁常數 \mu \_{0} ，電容率為電常數 \epsilon \_{0} ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E\_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E\_{x}}{\partial t^{2}}}=0} 、
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E\_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E\_{y}}{\partial t^{2}}}=0} 、
{\displaystyle E\_{z}=-{\frac {\partial A\_{z}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}} 。
注意到，{\displaystyle E\_{z}} 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

現代推導
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在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 、(1)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} 、(2)
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 、(3)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} ；(4)
其中，\mu \_{0} 是磁常數，\varepsilon \_{0} 是電常數。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}} 、
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu \_{o}\varepsilon \_{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}} 。
應用一則向量恆等式

{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {Z} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Z} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {Z} }；
其中，{\displaystyle \mathbf {Z} } 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：

{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0} 、(5)
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0} ；(6)
其中，{\displaystyle c=c\_{0}={1 \over {\sqrt {\mu \_{0}\varepsilon \_{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}} ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

參閱
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* 《論法拉第力線》
* 電磁波方程式
* 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
* 非齊次的電磁波方程
* 馬克士威應力張量
* 麦克斯韦方程组的历史
* 電磁學與經點光學時間表()

參考文獻
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1. ↑  馬克士威, 詹姆斯,  (pdf), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, **155**: 459–512  [2010-07-15], （原始内容存档 (PDF)于2011-07-28）
2. ↑  馬克士威, 詹姆斯,  (PDF), Philosophical Magazine, 1861  [2010-07-15], （原始内容 (pdf)存档于2009-06-12）
3. ↑  Yang, ChenNing.. Physics Today. 2014, **67** (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585.
4. ↑  馬克士威, 詹姆斯, : pp. 499, 1864  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F. Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5
* Niven, W. D.  **Vol. 1**, New York: Dover, 1952