**威諾格拉德快速傅立葉演算法**（英語：）是由美國電腦科學家Shmuel Winograd（英语：）在1978年提出。此演算法可以找出最少的乘法運算量。

當把DFT的公式：y\_{j}=\sum \_{k=0}^{n-1}x\_{k}e^{-j{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{n}}\end{matrix}}ik}\qquad j=0,1,\cdots ,n-1.

用矩陣方式來表示：{\begin{bmatrix}y\_{0}\\y\_{1}\\\vdots \\y\_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1&1\\1&w&w^{2}&\cdots &w^{n-2}&w^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\1&w^{n-1}&w^{2(n-1)}&\cdots &w^{(n-2)(n-1)}&w^{(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{0}\\x\_{1}\\\vdots \\x\_{n-1}\end{bmatrix}},\quad w=e^{-j{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{n}}\end{matrix}}}

如果n是質數，則可以無視第一行與第一列，把n點的DFT用n-1點的迴旋摺積來取代。

使用方法
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使用此演算法，可分為以下幾個步驟，此處以n=5的DFT為例：

{\begin{bmatrix}y\_{0}\\y\_{1}\\y\_{2}\\y\_{3}\\y\_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\1&w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\1&w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\1&w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{0}\\x\_{1}\\x\_{2}\\x\_{3}\\x\_{4}\end{bmatrix}},\qquad w=e^{-j\angle 72^{\circ }}

  

Step 1：消去第一行與第一列，式子可以改寫如下：

{\begin{bmatrix}y\_{1}-x\_{0}\\y\_{2}-x\_{0}\\y\_{3}-x\_{0}\\y\_{4}-x\_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\x\_{3}\\x\_{4}\end{bmatrix}},\qquad w=e^{-j\angle 72^{\circ }}

Step 2：找出列與行的順序：

a)找出一個原根 a，使得a^{k}{\bmod {N}}\neq 1\quad when\quad k=1,2,\cdots ,N-2,\quad a^{N-1}{\bmod {N}}=1.

b)用p[n]表示列與行的順序：p[n]=a^{n}{\bmod {N}},\quad n=0,1,\cdots ,N-2

在這例子中，N=5有兩個原根：2與3。取2作為其原根，可得其順序為：1,2,4,3。

  

故要將此矩陣{\begin{bmatrix}y\_{1}-x\_{0}\\y\_{2}-x\_{0}\\y\_{3}-x\_{0}\\y\_{4}-x\_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\x\_{3}\\x\_{4}\end{bmatrix}}\quad  的第三列與第四列交換，第三行與第四行交換，把矩陣變成如下：

  

{\begin{bmatrix}y\_{1}-x\_{0}\\y\_{2}-x\_{0}\\y\_{4}-x\_{0}\\y\_{3}-x\_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{4}&w^{3}\\w^{2}&w^{4}&w^{3}&w\\w^{4}&w^{3}&w&w^{2}\\w^{3}&w&w^{2}&w^{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\x\_{4}\\x\_{3}\end{bmatrix}}\quad 

如此第一行與第一列都跟所求得的順序：1,2,4,3一樣，此為circular correlation的形式。

Step 3：為了要符合迴旋摺積的定義(矩陣的對角線的項數相同)，故必須再將第二列與第四列交換，第二行與第四行交換，矩陣如下：

{\begin{bmatrix}y\_{1}-x\_{0}\\y\_{3}-x\_{0}\\y\_{4}-x\_{0}\\y\_{2}-x\_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{3}&w^{4}&w^{2}\\w^{2}&w&w^{3}&w^{4}\\w^{4}&w^{2}&w&w^{3}\\w^{3}&w^{4}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{3}\\x\_{4}\\x\_{2}\end{bmatrix}}\quad 

如此就可把N點DFT用N-1點的DFT來簡化，表示如下：

  

{\begin{bmatrix}y\_{1}-x\_{0}\\y\_{3}-x\_{0}\\y\_{4}-x\_{0}\\y\_{2}-x\_{0}\end{bmatrix}}=IFFT\left[FFT\_{4}\left\{{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{3}\\x\_{4}\\x\_{2}\end{bmatrix}}\right\}.FFT\_{4}\left\{{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{3}\\w^{4}\\w^{2}\end{bmatrix}}\right\}\right]

缺點
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雖然此演算法有著可以大幅減少乘法量的優點，但相對於此，也有一些缺點：

* N不同，那硬體的架構也會跟著改變。
* Time Cycle較多（因為要做兩次N-1點的DFT）。
* 加法量會增加很多。

其他運用
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任意長度的DFT都可以用長度為2^{k}點的DFT來簡化，舉例來說：

7點的DFT：先將7點DFT用Winograd簡化成6點DFT，再利用6=2x3，故6點DFT可用2點DFT與3點的DFT來表示，再把3點的DFT用Winograd簡化成2點的DFT，即可把7點的DFT用2^{k}點的DFT來簡化。

參考資料
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* Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
* S.Winograd, "On computing the discrete Fourier transform," Mathematics of Computation, vol.32,no.141,pp.179-199,Jan.1978.