地球磁場可以近似為一個磁偶極子的磁場。但是，圖內的 N 和 S 符號分別標示地球的地理北極和地理南極。這標示法很容易引起困惑。實際而言，地球的磁偶極矩的方向，是從地球位於地理北極附近的地磁北極，指向位於地理南極附近的地磁南極；而磁偶極子的方向則是從指南極指向指北極。
電極偶子的等值線圖。等值曲面清楚地區分於圖內。
在電磁學裏，有兩種**偶極子**（英语：Dipole）：

* **電偶極子**是兩個分隔一段距離，電量相等，正負相反的電荷。
* **磁偶極子**是一圈封閉循環的電流。例如一個有常定電流運行的線圈。

偶極子的性質可以用它的**偶極矩**描述。

電偶極矩（\mathbf{p}）由負電荷指向正電荷，大小等於正電荷量乘以正負電荷之間的距離。磁偶極矩（\mathbf{m}）的方向，根據右手法則，是大拇指從載流迴路的平面指出的方向，而其它手指則指向電流運行方向，磁偶極矩的大小等於電流乘以線圈面積。

除了載流迴路以外，電子和許多基本粒子都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場，與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是，現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質，而非由載流迴路生成。

永久磁鐵的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩。長條形的永久磁鐵稱為條形磁鐵，其兩端稱為**指北極**和**指南極**，其磁偶極矩的方向是由指南極朝向指北極。這常規與地球的磁偶極矩恰巧相反：地球的磁偶極矩的方向是從地球的地磁北極指向地磁南極。地磁北極位於北極附近，實際上是指南極，會吸引磁鐵的指北極；而地磁南極位於南極附近，實際上是指北極，會吸引磁鐵的指南極。羅盤磁針的指北極會指向地磁北極；條形磁鐵可以當作羅盤使用，條形磁鐵的指北極會指向地磁北極。

根據當前的觀察結果，磁偶極子產生的機制只有兩種，載流迴路和量子力學自旋。科學家從未在實驗裏找到任何磁單極子存在的證據。

物理偶極子、點偶極子、近似偶極子
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分開有限距離的兩個異性電荷的電場線。
有限直徑的載流迴圈的磁場線。
任意點偶極子（電偶極子、磁偶極子、聲偶極子等等）的場線。
一個**物理電偶極子**是由兩個等電量的異性點電荷構成的。**在距離遠超於兩個點電荷相隔距離之處，物理電偶極子所產生的電場，可以近似為其電偶極矩所產生的電場。**令物理電偶極子的兩個點電荷相隔距離趨向於 0 ，同時保持其電偶極矩不變，則極限就是**點電偶極子**，又稱為**純電偶極子**。物理電偶極子產生的電場的多極展開式中，一次項目就是點電偶極子產生的電場。物理電偶極子的電偶極矩 \mathbf{p} 是

{\mathbf {p}}=q{\mathbf {d}} ；
其中，q 是每個電荷的帶電量絕對值，\mathbf{d} 是從負電荷到正電荷的位移向量。

到現今為止，雖然還沒有找到任何磁單極子存在的證據，科學家可以在電子和許多基本粒子的物理行為中，找到以量子力學的自旋形式存在的磁偶極子。**點磁偶極子**所產生的磁場的形態與點電偶極子所產生的電場的形態完全相同。非常小的載流迴路可以近似為點磁偶極子。物理磁偶極子 \mathbf{m} 的磁偶極矩是

{\mathbf {m}}=I{\mathbf {a}} ；
其中，I 是運行於載流迴路的電流，\mathbf {a}  是載流迴路的面積向量。

任何電荷或電流組態都具有偶極矩，其對應的偶極子所產生的向量場，是那個組態在遠距離的最好近似。偶極子項只是多極展開式中的一項。當單極矩等於 0 時（對磁案例而言，此情况永遠成立，因為磁單極子不存在），在遠距離 r 时，偶極子項（第二項）是最主要的項；其向量場值衰减率為 1/r^{3} ，作为比較，單極矩項的遞減率為 1/r^2 ，第三項的衰减率為 1/r^{4} ，第 n 項的遞減率為 1/r^{{(n+1)}} 。

分子的電偶極矩
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很多分子都擁有電偶極矩。這是因為正負電荷的不均勻分佈。例如，

（正價） H-Cl （負價）
擁有永久電偶極矩的分子稱為**極化分子**。假若一個分子帶有感應電偶極子，則稱此分子**被極化**。彼得·德拜是最先研究分子的電偶極子的物理化學家。為了紀念他的貢獻，電偶極矩的測量單位被命名為德拜。

分子的電偶極子又分為以下三種（參閱分子間作用力）：

* **永久電偶極子**：假若一個分子內的幾個原子的電荷分布不均，電負性差異很大，则電負性較大的原子會吸引電子更接近自己，因而使得所佔據區域變得更具負性；另外電負性較小的原子的區域會變得更具正性。這樣，正、負電荷中心始終不重合，就形成了永久電偶極子。
* **瞬時電偶極子**：有時候，電子會洽巧地比較集中於分子內的某一個區域，這偶發狀況會產生暫時的電偶極子。
* **感應電偶極子**：當施加外電場於一個分子時，感應這外電場的作用，分子內部正常的電子雲形狀會被改變，因而產生電偶極子。其伴隨的電偶極矩等於外電場和極化性的乘積。

常見的化學化合物在氣態的電偶極矩，採用德拜單位：

* 二氧化碳：0
* 一氧化碳：0.112
* 臭氧：0.53
* 光氣：1.17
* 水蒸氣：1.85
* 氰化氫：2.98
* 氨基氰：4.27
* 溴化鉀：10.41

這些數值可從相對電容率的測量值計算求得。當分子因為對稱性而使得浄電偶極矩被抵消，則設定電偶極矩為 0 。電偶極矩最大值在 10 到 11 這值域內。知道電偶極矩值，科學家可以推論分子的分子結構。例如，數據顯示出，二氧化碳是一個線性分子；而臭氧則不是。

電偶極子的電場
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球坐標 (r,\ \theta ,\ \phi ) 與直角坐標 (x,\ y,\ z) 之間的關係。
假設電偶極子 \mathbf{p} 的位置是原點 \mathbf{O} ，則在任意位置 \mathbf {r}  ，此電偶極子產生的電勢 \Phi ({\mathbf {r}}) 是

\Phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\,{\frac {{\mathbf {p}}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}}{r^{2}}} ；
其中，\epsilon \_{0} 是真空電容率。

這公式的右手邊項目是任意靜電勢多極展開式的第二個項目。假若這任意靜電勢是由純電偶極子產生，則這項目是多極展開式的唯一不消失項目。

電偶極子 \mathbf{p} 所產生的電場  \mathbf{E} 為

{\begin{aligned}{\mathbf {E}}=-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}\left(3({\mathbf {p}}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {p}}\right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {{\mathbf {r}}}}+\sin \theta {\hat {{\boldsymbol {\theta }}}})\end{aligned}} ；
其中，\theta  是 \mathbf {r}  和 \mathbf{p} 之間的夾角。

注意到這個方程式並不完全正確，這是因為電偶極子的電勢有一個奇點在它所處的位置（原點 \mathbf{O} ）。更仔細地推導，可以得到電場為

{\begin{aligned}{\mathbf {E}}=-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}\left(3({\mathbf {p}}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {p}}\right)-{\frac {{\mathbf {p}}}{3\epsilon \_{0}}}\delta ^{3}({\mathbf {r}})\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {{\mathbf {r}}}}+\sin \theta {\hat {{\boldsymbol {\theta }}}})-{\frac {{\mathbf {p}}}{3\epsilon \_{0}}}\delta ^{3}({\mathbf {r}})\end{aligned}} ；
其中，\delta ^{3}({\mathbf {r}}) 是三維狄拉克δ函數

### 導引

從計算電偶極子所產生的電場的平均值，可以得到正確答案。設定以原點 \mathbf{O} 為圓心，半徑為 b 的球體 \mathbb{V} 。電偶極子所產生於這球體的電場，其平均值為：

\langle {\mathbf {E}}\rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int \_{{{\mathbb {V}}}}{\mathbf {E}}{\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int \_{0}^{b}\int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}{\frac {p}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {{\mathbf {r}}}}+\sin \theta {\hat {{\boldsymbol {\theta }}}})r^{2}\sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi {\mathrm {d}}r 。
注意到球坐標單位向量與直角坐標單位向量之間的關係：

{\hat {{\mathbf {r}}}}={\hat {{\mathbf {x}}}}\sin \theta \cos \phi +{\hat {{\mathbf {y}}}}\sin \theta \sin \phi +{\hat {{\mathbf {z}}}}\cos \theta  、
{\hat {{\boldsymbol {\theta }}}}={\hat {{\mathbf {x}}}}\cos \theta \cos \phi +{\hat {{\mathbf {y}}}}\cos \theta \sin \phi -{\hat {{\mathbf {z}}}}\sin \theta  。
將這兩個關係式代入前面積分式，可以得到

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| \langle {\mathbf {E}}\rangle  | ={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon \_{0}b^{3}}}\int \_{0}^{b}\int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}{\frac {1}{r^{3}}} | [3\sin \theta \cos \theta \cos \phi {\hat {{\mathbf {x}}}} |  |
|  |  | +3\sin \theta \cos \theta \sin \phi {\hat {{\mathbf {y}}}} |  |
|  |  | +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {{\mathbf {z}}}}] | r^{2}\sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi {\mathrm {d}}r。 |

注意到這積分式的x-分量與y-分量都等於零，只剩下z-分量：

{\begin{aligned}\langle {\mathbf {E}}\rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon \_{0}b^{3}}}\int \_{0}^{b}\int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {{\mathbf {z}}}}\sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi {\mathrm {d}}r\\&={\frac {3p{\hat {{\mathbf {z}}}}}{8\pi \epsilon \_{0}b^{3}}}\int \_{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ {\mathrm {d}}r\int \_{0}^{{\pi }}(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ {\mathrm {d}}\theta \end{aligned}} 。
對於徑向坐標 r 積分會得到

\int \_{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ {\mathrm {d}}r=-\infty  ！
但對於天頂角 \theta  積分則會得到

\int \_{0}^{{\pi }}(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ {\mathrm {d}}\theta =\int \_{0}^{{\pi }}(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ {\mathrm {d}}\theta =0 ！
由此可知，從這運算無法得到 \langle {\mathbf {E}}\rangle  的正確值。這是因為電偶極子的電勢有一個奇點在它所處的位置（原點 \mathbf{O} ），電場的方程式並不完全正確。必須特別小心地計算，才能得到正確答案。應用向量恆等式 \oint \_{{{\mathbb {S}}}}\psi \ {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=\int \_{{{\mathbb {V}}}}\nabla \psi \ {\mathrm {d}}V ，則作用於這球體 \mathbb{V} 的電場，其平均值為：

\langle {\mathbf {E}}\rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int \_{{{\mathbb {V}}}}{\mathbf {E}}\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int \_{{{\mathbb {V}}}}\nabla \phi \ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint \_{{{\mathbb {S}}}}\phi \ {\mathrm {d}}{\mathbf {S}} ；
其中，\mathbb {S}  是球體 \mathbb{V} 的表面。

將電勢 \phi  的方程式代入，注意到 {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}={\hat {{\mathbf {r}}}}\ b^{2}\sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi  ，則可得到

\langle {\mathbf {E}}\rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon \_{0}}}\oint \_{{{\mathbb {S}}}}\left[\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}')}{|b{\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {r}}'|}}\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}'\right]{\hat {{\mathbf {r}}}}\ \sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi  ；
其中，\rho(\mathbf{r}') 是在源位置 \mathbf{r}' 的電荷密度， \mathbb{V}' 是源積分體積，設定與 \mathbb{V} 相同，{\hat {\mathbf {r} }} 是場位置的單位向量，從表面 \mathbb {S}  垂直往外指出。

場位置與源位置之間距離的倒數以球諧函數 Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi ) 作多極展開為

{\frac {1}{|b{\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {r}}'|}}=\sum \_{{\ell =0}}^{{\infty }}\sum \_{{m=-\ell }}^{{\ell }}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{{\prime \ell }}}{b^{{\ell +1}}}}Y\_{{\ell m}}^{\*}(\theta ',\phi ')Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b ；
其中，b{\hat {{\mathbf {r}}}} 與 \mathbf{r}' 的球坐標分別為 (b,\theta ,\phi ) 與 (r',\theta ',\phi ') 。

單位向量 {\hat {\mathbf {r} }} 以球諧函數表示為

{\begin{aligned}{\hat {{\mathbf {r}}}}&={\hat {{\mathbf {x}}}}\sin \theta \cos \phi +{\hat {{\mathbf {y}}}}\sin \theta \sin \phi +{\hat {{\mathbf {z}}}}\cos \theta \\&={\hat {{\mathbf {x}}}}\left[-{\sqrt {{\frac {2\pi }{3}}}}(-Y\_{{1,-1}}^{\*}+Y\_{{11}}^{\*})\right]+{\hat {{\mathbf {y}}}}\left[-{\sqrt {{\frac {2\pi }{3}}}}(-Y\_{{1,-1}}^{\*}-Y\_{{11}}^{\*})\right]+{\hat {{\mathbf {z}}}}{\sqrt {{\frac {4\pi }{3}}}}Y\_{{10}}^{\*}\\\end{aligned}} 。
應用球諧函數的正交歸一性

\int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}Y\_{{\ell 'm'}}^{\*}(\theta ,\phi )Y\_{{\ell m}}(\theta ,\phi )\sin \theta \ {\mathrm {d}}\theta {\mathrm {d}}\phi =\delta \_{{\ell \ell '}}\delta \_{{mm'}} ，
可以得到 \langle {\mathbf {E}}\rangle  與這球體的電偶極子 \mathbf{p} 之間的關係式：

\langle {\mathbf {E}}\rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\mathbf {r}}'\rho ({\mathbf {r}}')\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}'=-\ {\frac {{\mathbf {p}}}{4\pi b^{3}\epsilon \_{0}}} 。
也就是說，

\int \_{{{\mathbb {V}}}}{\mathbf {E}}\ {\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=-\ {\frac {{\mathbf {p}}}{3\epsilon \_{0}}} 。
為了滿足這性質，必需對於電偶極子 \mathbf{p} 所產生的電場 \mathbf {E}  ，在其方程式內再添加一個項目：

{\begin{aligned}{\mathbf {E}}&={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}\left(3({\mathbf {p}}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {p}}\right)-{\frac {{\mathbf {p}}}{3\epsilon \_{0}}}\delta ^{3}({\mathbf {r}})\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon \_{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {{\mathbf {r}}}}+\sin \theta {\hat {{\boldsymbol {\theta }}}})-{\frac {{\mathbf {p}}}{3\epsilon \_{0}}}\delta ^{3}({\mathbf {r}})\end{aligned}} 。
這樣，在計算 \langle {\mathbf {E}}\rangle  時，就能夠得到明確無誤的答案。

磁偶極子的磁場
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参见：載流迴路產生的磁場
假設磁偶極矩為 \mathbf{m} 的磁偶極子，其位置是在原點，則在任意位置 \mathbf {r}  ，磁偶極子的向量勢 \mathbf{A} 是

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}}{4\pi r^{2}}}({\mathbf {m}}\times {\hat {{\mathbf {r}}}}) ；
其中，\mu \_{0} 是磁常數。

這磁偶極子所產生的磁場 \mathbf {B}  為

\mathbf{B}= \nabla\times\mathbf{A} 。
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點 \mathbf{O} ），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

{\mathbf {B}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3({\mathbf {m}}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\mathbf {m}}\right)+{\frac {2\mu \_{0}{\mathbf {m}}}{3}}\delta ^{3}({\mathbf {r}}) 。
任意磁場的多極展開式中，帶頭項目就是這公式右手邊的第一個項目，偶極子項目。磁場沒有單極子項目。在遠距離，這公式近似任何類似磁偶極子的組態所產生的磁場。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（）至再電離紀元（）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

作用於偶極極子的力矩
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將一磁偶極子放在均勻磁場，或將電偶極子放在均勻電場，偶極子的兩端會分別各產生一個力，兩個大小相等而方向相反的力產生力矩 \boldsymbol{\tau} ：

{\boldsymbol {\tau }}={\mathbf {p}}\times {\mathbf {E}} 、
{\boldsymbol {\tau }}={\mathbf {m}}\times {\mathbf {B}} 。
力矩傾向將偶極子的方向與向量場的方向排向同一方向，偶極子的位能是

U=-{\mathbf {p}}\cdot {\mathbf {E}} 、
U=-{\mathbf {m}}\cdot {\mathbf {B}} 。
在計算時，我們常假設偶極子兩端之間的距離是無窮小，即**點偶極子**。

偶極輻射
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一個震盪電偶極子的電場的即時演化。
参见：偶極子天線
在靜電學和靜磁學之外，很重要的物理領域是含時偶極子。

當一個電偶極子在做諧振蕩時，其電偶極矩可以表示為 {\mathbf {p}}={\mathbf {p'({\mathbf r})}}e^{{-i\omega t}} ；其中，\omega  是角頻率。在真空裏，它產生的電場和磁場分別為

{\mathbf {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \_{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {{\mathbf {r}}}}\times {\mathbf {p}}\times {\hat {{\mathbf {r}}}}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {{\mathbf {r}}}}({\hat {{\mathbf {r}}}}\cdot {\mathbf {p}})-{\mathbf {p}}\right]\right\}e^{{i\omega r/c}} 、
{\mathbf {B}}={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon \_{0}c^{3}}}{\hat {{\mathbf {r}}}}\times {\mathbf {p}}\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{{i\omega r/c}}}{r}} 。
在離開偶極子很遠的位置（r\omega /c\gg 1），向量場的形式近似一個輻射的球面波：

{\mathbf {B}}={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon \_{0}c^{3}}}({\hat {{\mathbf {r}}}}\times {\mathbf {p}}){\frac {e^{{i\omega r/c}}}{r}} 、
{\mathbf {E}}=c{\mathbf {B}}\times {\hat {{\mathbf {r}}}} 。
經過時間平均，產生的總輻射功率 P 為

P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon \_{0}c^{3}}}|{\mathbf {p}}|^{2} 。
功率的分佈並不具有均向性，而是集中於垂直於電偶極矩的方向。

量子力學的電偶極子算符
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試想一群粒子，數量為 N ，電荷量和位置分別為 q\_i 和 {\mathbf {r}}\_{i} ，i=1,\,2,\,\dots ,\,N 。例如，這個群集可能是一個分子，由電荷量為 -e 的電子，和電荷量為 eZ\_{j} 的原子核所構成；其中，Z\_{j} 是第 j 個原子核的原子序。這個群集的電偶極子的量子算符 {\mathfrak {p}} 是

{\mathfrak {p}}=\sum \_{{i=1}}^{N}\,q\_{i}\,{\mathbf {r}}\_{i} 。

參閱
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* 電介質
* 永電體
* 印度洋電偶極子（）
* 自旋磁矩（）
* 軸多極矩（）
* 圓柱多極矩（）
* 球多極矩
* 拉普拉斯展開式（位勢論）（）
* 勒讓德多項式

參考文獻
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1. ↑  Weast, Robert C.  65rd ed. CRC Press. 1984. ISBN 0-8493-0465-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 1 2   Jackson, John David,  3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111145–150, 184–188, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑  Griffiths, David J.  (PDF), American Journal of Physics, August 1982, **50** (8): pp. 698  [2010-10-23], （原始内容存档 (PDF)于2020-05-12）  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結
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* 波士頓大學物理模擬示範網頁： 電偶極子的電場線圖和電場向量圖 （页面存档备份，存于）