**黎曼–罗赫定理**（）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 *g* 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。

此定理最初是**黎曼不等式**，对黎曼曲面的确定形式由黎曼早逝的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。

一些数据
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我们从一个亏格 *g* 的连通紧黎曼曲面开始，在上面取定一点 *P*。我们想知道极点只在 *P* 的函数。这是向量空间的一个递增序列：没有极点的函数（即常值函数），在 *P* 有单极点，在 *P* 点最多有两个极点，三个极点……这些空间都是有限维的。在 *g*=0 我们可知维数的序列前几项为

1, 2, 3, ...:
这可由部分分式理论得出。反之，如果此序列开始为

1, 2, ...
则 *g* 必然是零（所谓黎曼球面）。

由椭圆函数理论知，*g*=1 时此序列是

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...
且这也刻画了 *g*=1 情形。当 *g* > 2 时，序列前端不是固定的；但我们可以确定此序列的后端。我们也可以看到为什么 *g*=2 的情形是特殊的，由超椭圆曲线理论，其序列开始几项为

1, 1, 2, ...
这些结论为何具有这种形式可以追溯到此定理的表述（罗赫的部分）：两个维数之差。当其中一个可以为零，我们得到一个确定的公式，对亏格与度数（即自由度的个数）是线性的。这些例子已经可重构出如下形式

维数 − 修正项 = 度数 − *g* + 1。
对 *g* = 1，修正项当度数为 0 时是 1；其它情形是 0。整个定理说明修正项是函数空间的一个"补空间"的维数。

定理的陈述
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用现代记法，亏格为 *g* 的紧黎曼曲面与一个典范除子 *K* 的黎曼–罗赫定理表述为：

*l*(*D*) − *l*(*K* − *D*) = *deg*(*D*) − *g* + 1.
这对所有除子 *D* 均成立。除子是曲面上点的自由阿贝尔群中一个元素。等价地，一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。

我们定义一个亚纯函数 *f* 的除子为

(f):=\sum \_{{z\_{\nu }\in R(f)}}s\_{\nu }z\_{\nu }
这里 *R*(*f*) 是所有零点与极点的集合，而 *sν* 定义为

|  |  |
| --- | --- |
| s\_{\nu }:={\begin{cases}\;\;\,a\\-a\end{cases}} | ，如果 z\_{\nu } 是一个 a 重零点； |
| ，如果 z\_{\nu } 是一个 a 阶极点。 |

我们类似地定义一个亚纯 1-形式的除子。一个整体亚纯函数的除子叫做主除子。相差一个主除子的两个除子称为线性等价。一个整体亚纯 1-形式的除子叫做典范除子（通常记作 *K*）。任何两个亚纯 1-形式都是线性等价的，所以典范除子在线性等价的意义下是惟一的。

符号 *deg*(*D*) 表示除子 *D* 的度数，即在 *D* 中出现的系数之和。可以证明一个整体亚纯函数的除子的度数总是 0，所以除子的度数只取决于线性等价类。

数 *l*(D) 是首先感兴趣的量：使得 (*h*) + *D* 的所有系数都是非负的曲面上亚纯函数 *h* 组成的向量空间的维数（在 **C** 上）。直觉上，我们可以将其想象为在每一点处的极点不比 *D* 中对应系数更坏的所有亚纯函数；如果在 *z* 处 *D* 的系数是负数，则我们要求 *h* 在 *z* 处至少有那个重数的零点；如果 *D* 的系数是正数，*h* 最多有那个阶数的极点。线性等价的除子相应的向量空间通过乘以那个整体亚纯函数（这在差一个常数下是良定义的）是自然同构的。

即便我们对 *K* 一无所知，我们知道**特殊性指标**（**index of speciality**）（上文所说的修正项）

*l*(*K* − *D*) ≥ 0,
所以

*l*(D) ≥ *deg*(*D*) − *g* + 1
这就是早先提到的**黎曼不等式**。

上面定理对所有紧连通黎曼曲面都成立。这个公式对一个代数闭域 *k* 上所有非奇异射影代数曲线也成立。这里 *l*(*D*) 表示在每一点的极点不坏于 *D* 中对应系数的曲线上有理函数空间的维数（在 *k* 上）。

为了将其与我们上面的例子联系起来，我们需要 *K* 的一些信息：对 *g*=1 我们可取 *K*=0，而对 *g*=0 可取 *K* = −2*P* （任何 *P*）。一般地 *K* 的度数是 2*g* − 2。只要 *D* 的度数至少是 2*g* − 1 我们可确保修正项是 0。

回到 *g*= 2 的情形我们可知上面提到的序列是

1, 1, ?, 2, 3, ... .
由此知度数为 2 的不确定项是 1 或 2，当然与点的选择有关。可以证明任何亏格为 2 的曲线恰有六个点的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般点的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特别地，一个亏格 2 曲线是超椭圆曲线。对 *g*>2 几乎所有点的序列以 *g+1* 个 1 开始，只有有限个点为其它序列（参见魏尔斯特拉斯点）。

推广
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**曲线的黎曼–罗赫定理**对黎曼曲面由黎曼与罗赫于1850年代证明，对代数曲线由施密特（英语：）于1929年证明。它是基本的，曲线后续理论试图加细它的结论（比如布里尔–诺特理论（英语：））。

在更高维（适当的定义除子或线丛）此定理有多个版本。它们的一般表述取决于将定理分成两部分。其一，现在称为塞尔对偶性，将 *l*(*K* − *D*) 项解释为第一层同调群的维数，*l*(*D*) 为零次上同调群（或截面的空间）的维数，定理左边成为一个欧拉示性数，而右边给出它的计算，正好只与黎曼曲面的拓扑有关的一个度数。

在二维代数几何中这样一个公式由意大利几何学派找到；代数曲面的黎曼-罗赫定理证明了（有各种版本，最早可能属于马克斯·诺特。这样的问题大约在1950年前解决了。

*n*-维推广，希策布鲁赫–黎曼–罗赫定理，由弗里德里希·希策布鲁赫找到并证明，利用了代数拓扑学中的示性类；他深受小平邦彦的工作影响。大约在同一时间让-皮埃尔·塞尔给出了塞尔对偶性的一般形式，故我们冠以他的姓氏。

亚历山大·格罗滕迪克于1957年证明了一个深远的推广，现在叫做格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理。他的工作将黎曼–罗赫重新解释为不仅是关于一个簇的定理，而是关于两个簇之间的一个态射的。证明的细节由博雷尔–塞尔于1958年发表。

最后在代数拓扑中也找到了一个一般版本。这些发展本质上在1950年至1960年完成。阿蒂亚–辛格指标定理开启了这一条推广的道路。

它导致的结论是一个凝聚层相当好计算。如果只对交错和中一项感兴趣，这是通常的情形，必需更进一步的讨论比如消灭定理（英语：）。

参考文献
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### 引用

1. ↑  Stichtenoth p.22
2. ↑  Mukai pp.295-297

### 来源

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* Grothendieck, Alexander, et al. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
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* Jost, Jürgen, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-33065-3 , see pages 208–219 for the proof in the complex situation. Note that Jost uses slightly different notation.
* Hartshorne, Robin, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052, MR0463157 , contains the statement for curves over an algebraically closed field. See section IV.1.
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* Shigeru Mukai; William Oxbury (translator).. Cambridge studies in advanced mathematics **81**. New York: Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-80906-1.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
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* J. Gray, The *Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914*.（页面存档备份，存于）