|  |
| --- |
| 系列條目 |
| 微积分学 |
|  |
| 
* 函数
* 极限论
* 微分学
* 积分

* 微积分基本定理
* 微积分发现权之争（英语：）

 |
| 基础概念（含极限论和级数论）

| 
實數性質 |
| --- |
| 函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（銜尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷（英语：） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 ·  · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：） · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：） · 一致收斂 · 迪尼定理 |
| 
數列與級數 |
| 
連續 |
| 
函數 |

 |
| 一元微分

|  |
| --- |
| 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：） · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数 |

 |
| 一元积分

|  |
| --- |
| * 积分表
 |
| 
定义 |
| * 不定积分
* 定积分
* 黎曼积分
* 达布积分
* 勒贝格积分
* 积分的线性
 |
| 
求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · **微积分基本定理** · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 數值積分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理 |

 |
| 多元微积分

|  |
| --- |
| 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分（英语：） · 积分顺序（英语：）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · **格林公式** · **高斯散度定理** · **斯托克斯定理**及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：）（加托导数 · 弗雷歇导数（英语：） · 矩阵的微积分（英语：）） · 弱微分 |

 |
| 微分方程

|  |
| --- |
| 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特徵方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程 |

 |
| 相关数学家
牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 約翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：） · 婆什迦羅第二 · 阿涅西 · 阿基米德
 |
| 历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
 |
| 分支学科

|  |
| --- |
| 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析 |

 |
| * 
* 论
* 编
 |

在微积分学中，**多元微积分**，也称为**多变量微积分**（英語：，）是涉及多元函數的微積分學的統稱。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函數時，就引申出偏微分、全微分，對多元函數進行積分計算時，又會涉及多重積分。

历史
--

多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在 *Vera circuli et hyperbolae quadratura* 一文中给出了多元函数最早的定义之一："（多元）函数是由几个量经过一系列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。"十八世纪，人们发展了基于无穷小量的微积分，，并研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起偏导数（包括二阶偏导数）的计算法则。

多元函数
----

多元函数是指定义域为\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}或其一部分，值域为\scriptstyle \mathbb{R} 或\scriptstyle \mathbb{R} ^{m}的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成m个定义在\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}上，值域是\scriptstyle \mathbb{R} 的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即*n*元组x=(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})）对应唯一一个值域中的元素，记为f(x)或f(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})，如下所示：

f\colon {\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow &F\\(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&\longmapsto &f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\end{array}}
如果线性空间\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}和\scriptstyle \mathbb{R} ^{m}上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是\scriptstyle \mathbb{R} ^{m}的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是\scriptstyle \mathbb{R} 的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。

多元函数的分析
-------

数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。

### 极限与连续性

条目：函數極限和連續函數
设E是\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}中的一个开集，f是定义在E上的函数。给\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对E中的每个点a，f在a处连续当且仅当

\forall \varepsilon >0\,\exists \alpha >0,(||x-a||<\alpha \wedge x\in E)\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon 
在多元微积分领域，对函數極限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当x，y沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。例如，函数

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}
沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 y=x^2 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:
例如, 含有两个变量的实数函数 f(x,y)，对于每一个固定的 y ， f 关于 x 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 x ， f 关于 y 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

举一个例子，考虑函数
f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}
很容易验证，在实数域中，定义函数：
f\_{y}(x):=f(x,y)，则对于每一个固定的 y ，f\_{y}(x) 在 \mathbb {R}  上连续。同理，函数f\_x 
也是关于 y 的连续函数。然而，函数 f 在原点是不连续的。 
考虑序列 f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right) ( n 为自然数)，若在原点连续其结果应为 f(0,0)=0 。然而，通过计算知其在原点的极限为
\lim \_{{n\to \infty }}f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.。 因此， f 在原点不连续。

### 偏导数

条目：偏导数
偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子(\nabla )依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或「PDE」。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。

### 重积分

条目：重积分
重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。

可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。

### 多元微积分基本定理

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：

* 梯度定理
* 斯托克斯定理
* 高斯散度定理
* 格林公式

在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。

### 向量分析

条目：向量分析
向量分析研究欧式空间中足够光滑的标量和矢量场，即欧式空间E中的一个开集到
\scriptstyle \mathbb{R} 和E的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。

不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的E常限制为\scriptstyle \mathbb{R} ^{3}，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和地球物理学的基本工具。

应用
--

| 对象 | 图示 | 定义域和值域 | 适用运算 |
| --- | --- | --- | --- |
| 曲线 |  | f:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}^{n}for n>1 | 曲线长度、曲线积分、曲线曲率 |
| 曲面 |  | {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}for n>2 | 表面积、曲面积分、通量、曲面曲率 |
| 标量场 |  | f:{\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}} | 极大值和极小值、拉格朗日乘数、方向导数 |
| 向量場 |  | f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}^{n} | 有关向量分析的运算、包括梯度、散度、旋度 |

参见
--

* 多重变量统计

參考文獻
----

1. 1 2 3 4 5 6 7  Richard Courant; Fritz John.. Springer Science & Business Media. 14 December 1999. ISBN 978-3-540-66570-0.
2. 1 2  Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer.. 1986. ISBN 978-2-02-009138-1.
3. ↑  Laplace.. Académie des sciences. 1773  [2015-07-31]. （原始内容存档于2016-03-08）.
4. ↑ .  [2015-07-31]. （原始内容存档于2010-06-10）.
5. ↑ .  [2015-07-31]. （原始内容存档于2012-03-05）.

外部链接
----

* UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel（页面存档备份，存于）
* MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007（页面存档备份，存于）
* *Multivariable Calculus*（页面存档备份，存于）: A free online textbook by George Cain and James Herod
* *Multivariable Calculus Online*（页面存档备份，存于）: A free online textbook by Jeff Knisley
* *Multivariable Calculus – A Very Quick Review*（页面存档备份，存于）, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst