此条目的主題是无穷限或无界的积分。"廣義黎曼積分"（也簡稱"廣義積分"），請見「**Henstock–Kurzweil积分**」。

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| * 
* 论
* 编
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**廣義積分**，又称为**反常积分**、**异常积分**（英語： ），是对普通定积分的推广。

广义积分可以分成兩類，第一類又稱為**無窮積分**，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為**瑕積分**，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

第一類反常積分
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第一類反常積分：上限或下限為無限的積分。
### 定義

第一類反常積分是**無窮積分**，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下：

设函数 f(x) 在 {\displaystyle [a,+\infty )} 上連續且可積。定義無窮積分：

{\displaystyle \int \_{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim \_{u\to +\infty }\int \_{a}^{u}f(x)\,dx}。
类似的，设函数 f(x) 在 {\displaystyle (-\infty ,a]} 上連續且可積。定義無窮積分：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\lim \_{u\to -\infty }\int \_{u}^{a}f(x)\,dx}。
当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim \_{u\to +\infty }\int \_{1}^{u}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1}；
{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim \_{u\to +\infty }\int \_{1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty }，即發散；
{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }x\sin x\,dx=\lim \_{u\to +\infty }\int \_{1}^{u}x\sin x\,dx} ，振動發散。
### 推廣定義

第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

设函数 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上連續且可積。定義無窮積分：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim \_{u\to -\infty }\lim \_{v\to +\infty }\int \_{u}^{v}f(x)\,dx}。
或者取區間上任意一點 c ，分拆寫成：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim \_{u\to -\infty }\int \_{u}^{c}f(x)\,dx+\lim \_{v\to +\infty }\int \_{c}^{v}f(x)\,dx}。
當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx=\lim \_{u\to -\infty }\int \_{u}^{0}xe^{-x^{2}}\,dx+\lim \_{v\to +\infty }\int \_{0}^{v}xe^{-x^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=0}；
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim \_{u\to -\infty }\int \_{u}^{0}x\,dx+\lim \_{v\to +\infty }\int \_{0}^{v}x\,dx=-\infty +\infty }，即發散。
### 與柯西主值的聯繫

在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

设函数 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值：

{\displaystyle \mathrm {PV} \int \_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim \_{R\to +\infty }\int \_{-R}^{R}f(x)\,dx}。
若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

{\displaystyle \mathrm {PV} \int \_{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim \_{R\to +\infty }\int \_{-R}^{R}x\,dx=0}。
根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

第二類反常積分
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第二類反常積分：被積函數的區間中含有不連續點。
### 定義

第二類反常積分是**瑕積分**，指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下：

設函數 f(x) 在 {\displaystyle (a,b]} 上連續且可積，但在點 a 不連續。定義瑕積分：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{u\to a^{+}}\int \_{u}^{b}f(x)\,dx}。
類似的，設函數 f(x) 在 {\displaystyle [a,b)} 上連續且可積，但在點 b 不連續。定義瑕積分：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{u\to b^{-}}\int \_{a}^{u}f(x)\,dx}。
當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

{\displaystyle \int \_{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\lim \_{u\to 3^{-}}\int \_{0}^{u}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=2{\sqrt {3}}}；
{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim \_{u\to 0^{+}}\int \_{u}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=+\infty }，即發散。
### 推廣定義

第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數 f(x) 在 (a,b) 上連續且可積，但在點 a 及 b 不連續。定義瑕積分：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{u\to a^{+}}\lim \_{v\to b^{-}}\int \_{u}^{v}f(x)\,dx}。
或者取區間上任意一點 c ，分拆寫成：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{u\to a^{+}}\int \_{u}^{c}f(x)\,dx+\lim \_{v\to b^{-}}\int \_{c}^{v}f(x)\,dx}。
設函數 f(x) 在 {\displaystyle [a,c)} 及 {\displaystyle (c,b]}上連續且可積，但在點 c 不連續。定義瑕積分：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{u\to c^{-}}\int \_{a}^{u}f(x)\,dx+\lim \_{v\to c^{+}}\int \_{v}^{b}f(x)\,dx}。
當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=\lim \_{u\to 0^{-}}\int \_{-1}^{u}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx+\lim \_{v\to 0^{+}}\int \_{v}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=6}；
{\displaystyle \int \_{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim \_{u\to 0^{-}}\int \_{-1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx+\lim \_{v\to 0^{+}}\int \_{v}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=-\infty +\infty }，即發散。
### 與柯西主值的聯繫

在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 f(x) 在 (a,b) 上連續且可積，但在點 a 及 b 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

{\displaystyle \mathrm {PV} \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{\varepsilon \to 0^{+}}\int \_{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx}；
設函數 f(x) 在 {\displaystyle [a,c)} 及 {\displaystyle (c,b]}上連續且可積，但在點 c 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

{\displaystyle \mathrm {PV} \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \_{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int \_{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int \_{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]}
若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

{\displaystyle \mathrm {PV} \int \_{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim \_{\varepsilon \to 0^{+}}\int \_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,dx=0}。
根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

参考文献
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* 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
* Weisstein, Eric W. *Improper Integral.* From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
* Weisstein, Eric W. *Cauchy Principal Value.* From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

参见
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* 积分
* 極限
* 柯西主值