圖 1 ）雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 {\displaystyle \sigma =45^{\circ }} 。藍色圓球面的 \tau =0.5 。黃色半平面的 \phi =60^{{\circ }} 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 {\displaystyle (0.841,\ -1.456,\ 1.239)} 。
圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面（ \sigma -坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ \tau -坐標曲面）。
**雙球坐標系**（英語：）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 F\_{{1}} 與 F\_{{2}} 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 \sigma  的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為**環心圓**。稱環心圓至環面的距離為**環小半徑**。

基本定義
----

在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 最常見的定義是

{\displaystyle x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi } 、
{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi } 、
{\displaystyle z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} ；
其中，(x,\ y,\ z) 是直角坐標，\sigma  坐標是 \angle F\_{{1}}PF\_{{2}} 的弧度，\tau  坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數：

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}} 。
### 坐標曲面

每一個紅色的 \sigma -坐標曲面都是包含了兩個焦點 F\_{1} 與 F\_{2} 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

{\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。
當絕對值 \left|\sigma \right| 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，\left|\sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。

每一個藍色的 \tau -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 \tau  的圓球面在 {\displaystyle z>0} 半空間；而負值 \tau  的圓球面在 {\displaystyle z<0} 半空間。\tau =0 曲線則與 xy-平面同平面。當 \tau  值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

### 逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 \sigma  與 \tau  的幾何意義。在一個方位角 \phi  為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。\sigma  是角 \angle F\_{1}PF\_{2} 的弧度。\tau  是點 P 離兩個焦點的距離 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數。\sigma  與 \tau  的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。
雙球坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。方位角 \phi  的公式為

\tan \phi ={\frac {y}{x}} 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是

{\displaystyle d\_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}} 、
{\displaystyle d\_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}} 。
\tau  是 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數：

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}} 。
如圖 3 ，\angle F\_{1}PF\_{2} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 \sigma  。用餘弦定理來計算：

\cos \sigma ={\frac {d\_{1}^{2}+d\_{2}^{2}-4a^{2}}{2d\_{1}d\_{2}}} 。
### 標度因子

雙球坐標 \sigma  與 **解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): \tau** 
 的標度因子相等：

h\_{{\sigma }}=h\_{{\tau }}={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }} 。
方位角的標度因子為

{\displaystyle h\_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 。
無窮小體積元素是

{\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi } 。
拉普拉斯算子是

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]} 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} ， \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\sigma ,\ \tau ,\ z) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
--

雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。

參閱
--


|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
正交坐标系 |
| --- |
|  |
| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

 |
|  |
| 三维正交坐标系 | 
* 直角坐标系
* 圆柱坐标系
* 球坐标系
* 旋转拋物线坐标系
* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

 |

 |

參考目錄
----

* Morse PM, Feshbach H.. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Zwillinger D.. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon PH, Spencer DE..  2nd ed. 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)