数学上，**卡迪森-辛格問題**（英語：）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C\*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C\*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，理查德·卡迪森（英语：）與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，亞當·馬庫斯（英语：）、丹尼爾·斯皮爾曼（英语：）、尼基·斯里瓦斯塔瓦（英语：）合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲SIAM（英语：）頒發波利亞獎（英语：）。

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C\*-代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C\*-代数的语言来描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（）將其重寫成不牽涉C\*-代數理論的等價形式。安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（英語：）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：）獲解決。

原問題敍述
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先引入若干定義：

{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}}平方可和的複序列空間（英语：），即{\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(x\_{1},x\_{2},\ldots ):x\_{i}\in \mathbb {C} ,\sum \_{i}\left|x\_{i}\right|^{2}<\infty \right\}}。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \_{i}x\_{i}{\overline {y\_{i}}}}給出。
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}從\ell^2到\ell^2的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C\*-代数。
{\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}從\ell^2到\ell^2的對角連續線性算子集合。換言之，{\displaystyle D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a\_{1}x\_{1},a\_{2}x\_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a\_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a\_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}}。{\displaystyle D(\ell ^{2})}包含於{\displaystyle B(\ell ^{2})}，故為其子C\*-代数。
態C\*-代數A上的態（英语：），是連續線性泛函{\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }，將單位元I映到1，且對任意半正定的{\displaystyle T\geq 0}，有{\displaystyle \varphi (T)\geq 0}（即此時{\displaystyle \varphi (T)}要取實值，且該實值為非負）。
純態接續上項，\varphi 稱為純態，意思是在A上所有態組成的集合中，\varphi 是極端點（英语：），即不能寫成其他態的凸組合。
由哈恩-巴拿赫定理，{\displaystyle D(\ell ^{2})}上的任意泛函，必能延拓到{\displaystyle B(\ell ^{2})}上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：

> 對{\displaystyle D(\ell ^{2})}上的任意純態\varphi ，{\displaystyle B(\ell ^{2})}上都存在唯一的態\psi ，使\psi 延拓\varphi ，即兩者限制到D時等同。
> 
> 
> 

此命題已證為真。

鋪砌猜想敍述
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卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下**鋪砌猜想**為真：

>  對任意的\varepsilon>0，存在正整數k使得：對每個n，以及對n維希爾伯特空間\mathbb{C}^n上的每個線性算子T（可視為n\times n方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}分劃為k份{\displaystyle A\_{1},\dots ,A\_{k}}，使得
> 
> 
> {\displaystyle \|P\_{A\_{j}}TP\_{A\_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|} 對於每個 {\displaystyle j=1,\ldots ,k} 都成立。
> 此處{\displaystyle P\_{A\_{j}}}是正交投影，將{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}（坐標以{\displaystyle 1,2,\ldots ,n}為下標）映到坐標僅以A\_{j}元素為下標的子空間。換言之，{\displaystyle P\_{A\_{j}}TP\_{A\_{j}}}是下標為A\_{j}元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數\|\cdot \|取為譜範數，即來自\mathbb{C}^n上歐氏範數的算子范数。
> 
> 
> 

注意命題中，k只能與\varepsilon 有關，但不取決於n。

偏差敍述
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尼克·威佛（）證明，以下「偏差理論（英语：）」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：

> 設有向量{\displaystyle u\_{1},\ldots ,u\_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}，滿足{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}u\_{i}u\_{i}^{\*}=I}（{\displaystyle d\times d}單位方陣），且對每個i，{\displaystyle \|u\_{i}\|\_{2}^{2}\leq \delta }。則存在一種方法將{\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}分劃成兩個子集S\_{1}和S\_{2}，使得對於{\displaystyle j=1,2}都有
> 
> 
> {\displaystyle \left\|\sum \_{i\in S\_{j}}u\_{i}u\_{i}^{\*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.}
> 

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

> 
> 設向量{\displaystyle v\_{1},\ldots ,v\_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}滿足{\displaystyle \|v\_{i}\|\_{2}^{2}\leq \alpha }（對所有i），還有
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}\langle v\_{i},x\rangle ^{2}=1} 對滿足{\displaystyle \|x\|=1}的所有向量{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}成立。
> 則可以將{\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}分劃成兩個子集S\_{1}、S\_{2}，使得對{\displaystyle j=1,2}，以及滿足{\displaystyle \|x\|=1}的任意向量{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}，皆有：
> 
> 
> {\displaystyle \left|\sum \_{i\in S\_{j}}\langle v\_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.}
> 

「偏差」一詞的含義，在\alpha 較小時顯明：在單位球面上取值恆為1的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離1/2的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

參考文獻
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1. 1 2 3 4 5  Erica Klarreich（英语：）; 赵京（译）.. 数学文化 (香港: 全球科学出版社). 2017, **8** (3): 82–86  [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. （原始内容存档于2021-10-19）.
2. ↑  Kadison, R.; Singer, I.  [純態的延拓]. American Journal of Mathematics（英语：）. 1959, **81** (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 （英语）.
3. 1 2  Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E.  [數學與工程學的卡迪森-辛格問題：詳解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (编).  [算子理論、算子代數、應用]. Contemporary Mathematics **414**. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024 可免费查阅. doi:10.1090/conm/414/07820 （英语）.
4. 1 2  Casazza, Peter G.  [卡迪森-辛格問題的馬庫斯/斯皮爾曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推論]. 2015. arXiv:1407.4768 可免费查阅 [math.FA] （英语）.
5. 1 2  Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil.  [相交族之二：混合特徵多項式與卡迪森-辛格問題]. 2013. arXiv:1306.3969 可免费查阅 [math.CO] （英语）.
6. ↑  Rob Knies.  [因證明猜想獲波利亞獎] (網誌). Microsoft Research Blog. 2014-07-09  [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-20） （英语）.
7. 1 2  Srivastava, Nikhil.  [偏差、圖、卡迪森-辛格問題] (網誌). Windows on Theory. July 11, 2013  [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-04-13） （英语）.
8. ↑  Anderson, Joel.  [C\*-代數上，態的限制與表示]. Transactions of the American Mathematical Society. 1979, **249** (2): 303–329  [2021-10-16]. JSTOR 1998793. MR 0525675. doi:10.2307/1998793. （原始内容存档于2021-10-16） （英语）.
9. ↑  Weaver, Nik.  [偏差理論中的卡迪森-辛格問題]. Discrete Mathematics. 2004, **278** (1–3): 227–239. arXiv:math/0209078 可免费查阅. doi:10.1016/S0012-365X(03)00253-X （英语）.

外部鏈結
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* Nicholas J. A. Harvey.  [卡迪森-辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11  [2021-10-16]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-21） （英语）.
* 陶哲軒.  [實穩定多項式與卡迪森-辛格問題] (網誌). 2013-11-04  [2021-10-16]. （原始内容存档于2022-01-19） （英语）.