**环索线**（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線*C*、點*A*（固定點）及點*O*（極點），依以下方式產生：令*L*是通過*O*，和曲線*C*的交點為*K*的變動直線。令*P*1和*P*2是直線*L*上的兩點，這兩點和*K*的距離和*A*到*K*的距離相同（因此*A*、*P*1、*P*2在圓心為*O*為圓上）。P1、P2的轨迹即為曲線*C*的环索线，相對於極點*O*及固定點*A*。
其中*AP*1和*AP*2會呈直角。

若*C*是直線，*A*在*C*上，而*O*不在*C*上，此曲線稱為**斜環索線**（oblique strophoid）。若*OA*和*C*垂直，此曲線則稱為**正環索線**（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或**葉狀線**（foliate）。

方程式
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### 極坐標

令曲線*C*的極坐標方程為{\displaystyle r=f(\theta )}，其中原點為*O*，令*A*的直角坐標為(*a*, *b*)，若{\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}是曲線上的一點，*K*到*A*的距離為

{\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}.
在*OK*線上的點，其極座標角度為\theta ，線上和點*K*距離為*d*的點，和原點的距離為{\displaystyle f(\theta )\pm d}。因此，環索線的方程如下

{\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}
### 另一種極座標公式

若*C*是極點為*O*和*A*的麥克勞林分角線（英语：）時，可以用以下的極座標公式。

令*O*為原點，*A*為點(*a*, 0)，令*K*為曲線上一點，線*OK*和X軸的夾角為\theta ，而 \vartheta 是線*AK*和和X軸的夾角。假設\vartheta 可以表示為\theta 的函數，假設{\displaystyle \vartheta =l(\theta )}。令\psi 是*K*的角度，則{\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }。可以用正弦定律，將*r*用*l*來表示。因為

{\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}。
令*P*1和*P*2是*OK*線上和*K*點的距離等於*AK*的點，調整編號使{\displaystyle \psi =\angle P\_{1}KA}，且{\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP\_{2}}。{\displaystyle \triangle P\_{1}KA}是頂角為\psi 的等腰三角形，剩下的兩角{\displaystyle \angle AP\_{1}K}和{\displaystyle \angle KAP\_{1}}角度為{\displaystyle (\pi -\psi )/2}。*AP*1線和x軸角度為 

{\displaystyle l\_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP\_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}。
同理可得*AP*2和x軸的角度為 

{\displaystyle l\_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}.
環索線的極座標式可以表示以下有*l*1及*l*2的式子：

{\displaystyle r\_{1}=a{\frac {\sin l\_{1}(\theta )}{\sin(l\_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}
{\displaystyle r\_{2}=a{\frac {\sin l\_{2}(\theta )}{\sin(l\_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}
若*l*是{\displaystyle q\theta +\theta \_{0}}，曲線*C*是極點為*O*和*A*的麥克勞林分角線，此時，*l*1和*l*2會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

特例
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### 斜環索線

令*C*是通過*A*點的直線。依照上式的表示法，{\displaystyle l(\theta )=\alpha }，其中\alpha 為常數，則{\displaystyle l\_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}且{\displaystyle l\_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}。相對原點*O*點環索線的極座標（斜環索線）方程為

{\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}
以及

{\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}.
可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到*A*點，用−*a*代替*a*，可得

{\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}},
旋轉角度\alpha 後可得

{\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}.
在直角坐標系，調整常數的參數，可得

{\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}.
是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線*y*=*b*。

### 正環索線

正環索線
將{\displaystyle \alpha =\pi /2}代入下式

{\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}
可得

{\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}.
此即為正環索線，對應直線*C*為*y*軸，*A*點為原點，*O*點為點(*a*,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程為 

{\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}.
此曲線為笛卡儿叶形线，直線*x* = −*a*是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

{\displaystyle x\pm iy=-a}。
### 圓

令圓*C*是通過*O*和*A*的圓，其中*O*為原點，*A*的座標為(*a*, 0)。依以上的表示法，{\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }，其中\alpha 是常數。則{\displaystyle l\_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}以及{\displaystyle l\_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}，所得相對於圓*O*環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

{\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}
及

{\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}.
這是二個通過*O*和*A*，在C點形成角度{\displaystyle \pi /4}的圓。

相關條目
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參考資料
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1. ↑   Chisholm, Hugh (编)..  **16** (11th ed.). 劍橋大學出版社: 919. 1911.

* J. Dennis Lawrence. 需要免费注册. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* E. H. Lockwood.. . Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
* R. C. Yates.. . Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Sokolov, D.D. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：）,  （英语）

外部連結
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