**赫爾德不等式**是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L*p*空間的相互關係的基本不等式：

設{\displaystyle S}為測度空間，{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }，及{\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}，設{\displaystyle f}在{\displaystyle L^{p}(S)}內，{\displaystyle g}在{\displaystyle L^{q}(S)}內。則{\displaystyle f{\mbox{ }}g}在{\displaystyle L^{1}(S)}內，且有

{\displaystyle \|fg\|\_{1}\leq \|f\|\_{p}\|g\|\_{q},}
等号当且仅当{\displaystyle |f|^{p}}与{\displaystyle |g|^{q}}（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數{\displaystyle \alpha ,\beta }使得{\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}對幾乎所有{\displaystyle x\in S}成立。

若{\displaystyle S}取作{\displaystyle \{1,...n\}}附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）{\displaystyle x\_{1},{\mbox{ }}...{\mbox{ }}x\_{n};{\mbox{ }}y\_{1},{\mbox{ }}...{\mbox{ }}y\_{n}}，有

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}|x\_{k}y\_{k}|\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}|x\_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum \_{k=1}^{n}|y\_{k}|^{q}\right)^{1/q}}。
我们称*p*和*q*互为**赫尔德共轭**。

若取{\displaystyle S}為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當{\displaystyle p=q=2}，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明{\displaystyle L^{p}}空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明{\displaystyle L^{p}}空間是{\displaystyle L^{q}}空間的對偶。

备注
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* 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

* 如果1 ≤ *p*，*q* < ∞，那么||*f* ||*p*和||*g*||*q*表示（可能无穷的）表达式：

{\displaystyle {\biggl (}\int \_{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}   以及   {\displaystyle {\biggl (}\int \_{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
* 如果*p* = ∞，那么||*f* ||∞表示|*f* |的本性上确界，||*g*||∞也类似。

* 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把*a* > 0乘以∞，则得出 ∞。

证明
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赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||*f* ||*p* = 0，那么*f* *μ*-几乎处处为零，且乘积*fg* *μ*-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||*g*||*q* = 0也是这样。因此，我们可以假设||*f* ||*p* > 0且||*g*||*q* > 0。

如果||*f* ||*p* = ∞或||*g*||*q* = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||*f* ||*p*和||*g*||*q*位于(0,∞)内。

如果*p* = ∞且*q* = 1，那么几乎处处有|*fg*| ≤ ||*f* ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于*p* = 1和*q* = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设*p*, *q* ∈ (1,∞)。

分别用*f*和*g*除||*f* ||*p*||*g*||*q*，我们可以假设：

{\displaystyle \|f\|\_{p}=\|g\|\_{q}=1.}
我们现在使用杨氏不等式：

{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}
对于所有非负的*a*和*b*，当且仅当*ap* = *bq*时等式成立。因此：

{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
两边积分，得：

{\displaystyle \|fg\|\_{1}\leq 1,}
这便证明了赫尔德不等式。

在*p* ∈ (1,∞)和||*f* ||*p* = ||*g*||*q* = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|*f* |p = |*g*|q。更一般地，如果||*f* ||*p*和||*g*||*q*位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在*α*, *β* > 0（即*α* = ||*g*||*q*且*β* = ||*f* ||*p*），使得：

{\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}   *μ*-几乎处处   (\*)
||*f* ||*p* = 0的情况对应于(\*)中的*β* = 0。||*g*||*q* =0 的情况对应于(\*)中的*α* = 0。

反向赫尔德不等式
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当{\displaystyle 0<p<1}时，{\displaystyle \|\cdot \|\_{p}}不再满足三角不等式，此时成立**反向赫尔德不等式**(Reverse Hölder inequality):

{\displaystyle \|fg\|\_{1}\geq \|f\|\_{p}\|g\|\_{q}}

参考文献
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* Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
* Hölder, O. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
* Kuptsov, L.P. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Rogers, L J. Messenger of math, 1888, **17**: 145–150
* Kuttler, Kenneth,  (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007  [2009-02-02], （原始内容存档 (PDF)于2008-08-07）
* 邢家省.. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, **第20卷**. ISSN 1672-6634.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助); 使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
* 张愿章.. 河南科学. 2004年 第01期, **第22卷**. ISSN 1004-3918.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助); 使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)