在數論中，**素数定理**（英語：）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數*x*，定義π(*x*)為素数计数函数，亦即不大於*x*的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(*x*)的增長。以下是第一個這樣的估計。

\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}
其中 ln *x* 為 *x* 的自然對數。上式的意思是當 *x* 趨近無限，π(*x*)與*x*/ln *x*的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 *x* 增大而接近。

下面是對π(*x*)更好的估計：

\pi (x)={{\rm {Li}}}(x)+O\left(xe^{{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}}\right)，當*x* 趨近∞。
其中{{\rm {Li}}}(x)=\int \_{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

敘述
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定義 π(*x*) 為素数计数函数，也就是小於等於*x* 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 *x* 趨近無限，π(*x*) 和 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} 的比值趨近 1。其數學式寫做

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}。
淺白的說，當 *x* 很大的時候，π(*x*) 差不多等於 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}。該定理被認為是**質數的漸進分布定律**，以漸進符號可簡化為

{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}。
注意到，上式並不是說指隨著 *x* 趨近無限，\pi(x) 與 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}的差趨近於 0。而是隨著 *x* 趨近無限，\pi(x) 與 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}的相對誤差趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是{\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}。

質數定理有一個等價數是關於第 n 個素数 {\displaystyle p\_{n}}的漸近估計式

{\displaystyle p\_{n}\sim n\ln \,n}

關於 *π*(*x*)、*x* / ln *x* 和 li(*x*) 的數值
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下表比較了π(*x*)，*x*/ln *x*和Li(*x*)：

| x | {\boldsymbol {\pi }}(x) | {\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}} | {\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{{\frac {x}{\ln x}}}} | {{\rm {Li}}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x) | {\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 10 | 4 | −0.3 | 0.921 | 2.2 | 2.500 |
| 102 | 25 | 3.3 | 1.151 | 5.1 | 4.000 |
| 103 | 168 | 23 | 1.161 | 10 | 5.952 |
| 104 | 1,229 | 143 | 1.132 | 17 | 8.137 |
| 105 | 9,592 | 906 | 1.104 | 38 | 10.425 |
| 106 | 78,498 | 6,116 | 1.084 | 130 | 12.740 |
| 107 | 664,579 | 44,158 | 1.071 | 339 | 15.047 |
| 108 | 5,761,455 | 332,774 | 1.061 | 754 | 17.357 |
| 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1.054 | 1,701 | 19.667 |
| 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 1.048 | 3,104 | 21.975 |
| 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 1.043 | 11,588 | 24.283 |
| 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 1.039 | 38,263 | 26.590 |
| 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 1.034 | 108,971 | 28.896 |
| 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 1.033 | 314,890 | 31.202 |
| 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1.031 | 1,052,619 | 33.507 |
| 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 1.029 | 3,214,632 | 35.812 |
| 1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,281 | 1.027 | 7,956,589 | 38.116 |
| 1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 1.025 | 21,949,555 | 40.420 |
| 1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,960 | 1.024 | 99,877,775 | 42.725 |
| 1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,701 | 1.023 | 222,744,644 | 45.028 |
| 1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 1.022 | 597,394,254 | 47.332 |
| 1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1.021 | 1,932,355,208 | 49.636 |
| 1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 1.020 | 7,250,186,216 | 51.939 |
| 1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 1.019 | 17,146,907,278 | 54.243 |
| 1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 1.018 | 55,160,980,939 | 56.546 |
| OEIS | A006880 | A057835 |  | A057752 |  |

歷史
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1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，\pi(x)大約等於 {\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}}，其中A、B是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：{\displaystyle A=1}，{\displaystyle B=-1.08366}。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 {\displaystyle li(x)}，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 \pi(x) 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}存在且有限，則它一定是1。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，{\displaystyle {\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 \pi(x) 已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於1的正整數n，存在一個質數介於n和2n之間。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《論小於給定數值的質數個數（英语：）》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將\zeta函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與\zeta函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 \pi(x)。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數s可以寫成 {\displaystyle 1+it} 的形式，且 t>0，則 {\displaystyle \zeta (s)\neq 0}。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了陶伯定理（英语：）讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家唐納德·J·紐曼（英语：）發現了一個簡潔的證明，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與\pi(x)關係密切，關於黎曼\zeta函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

\pi (x)={{\rm {Li}}}(x)+O\left({\sqrt x}\ln \,x\right)
至於大O項的常數則還未知道。[來源請求]

初等證明
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素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

相關條目
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* 抽象解析数论
* 切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數
* 質數計數函數

參考資料
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1. ↑  A006880
2. ↑  A057835
3. ↑  A057752
4. ↑  C. F. Gauss. *Werke*, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.
5. ↑  Costa Pereira, N.. American Mathematical Monthly. August–September 1985, **92** (7): 494–495. JSTOR 2322510. doi:10.2307/2322510.
6. ↑  Nair, M.. American Mathematical Monthly. February 1982, **89** (2): 126–129. JSTOR 2320934. doi:10.2307/2320934.
7. ↑  Ingham, A. E.. Cambridge University Press. 1990: 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
8. ↑  Newman, Donald J.. American Mathematical Monthly. 1980, **87** (9): 693–696. JSTOR 2321853. MR 0602825. doi:10.2307/2321853.
9. ↑  Zagier, Don.. American Mathematical Monthly. 1997, **104** (8): 705–708  [2019-05-03]. JSTOR 2975232. MR 1476753. doi:10.2307/2975232. （原始内容存档于2021-04-20）.

外部链接
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