**LOCC** 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 **LOCC** 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 |\psi \_{1}\rangle  還是 |\psi \_{2}\rangle ，其中 |\psi \_{1}\rangle  和 |\psi \_{2}\rangle  是

局域操作和經典通訊示意圖
{\displaystyle |\psi \_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B}+|1\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}\right)}
{\displaystyle |\psi \_{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}+|1\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B}\right)}
A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由*愛麗絲*對量子位元A進行操作，由*鲍勃*對量子位元B進行操作。首先*愛麗絲*測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 |\psi \_{1}\rangle  還是 |\psi \_{2}\rangle 。這時候*愛麗絲*藉由打電話把結果告訴*鲍勃*，接著*鲍勃*對量子位元B進行測量並得到結果0，現在*鲍勃*得知波函數塌縮成 {\displaystyle |0\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B}}，所以推得實驗室製備的貝爾態是 |\psi \_{1}\rangle 。

糾纏轉換
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將一個量子系統分成兩部分，利用 **LOCC** 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明：*愛麗絲*和*鲍勃*分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )}。*愛麗絲*和*鲍勃*都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當*愛麗絲*進行Sz的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 {\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle }，然後*愛麗絲*透過電話告訴*鲍勃*結果，這就是Classical Communications，*鲍勃*知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在*鲍勃*做σx操作，於是波函數變為 {\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }。如果剛才*愛麗絲*測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 {\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle }，則*愛麗絲*立即進行σx操作，然後經由電話告訴*鲍勃*，要求*鲍勃*不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 {\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }。

顯然利用 LOCC 把某個態 |\psi \rangle  轉換成 |\phi\rangle，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 |\phi\rangle 的糾纏熵比 |\psi \rangle  的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 |\psi \rangle  和 |\phi\rangle 分別做施密特分解（英语：）：

{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \_{i=1}^{D}{\sqrt {\omega \_{i}}}|a\_{i}\rangle |b\_{i}\rangle }
{\displaystyle |\phi \rangle =\sum \_{i=1}^{D}{\sqrt {\omega \_{i}'}}|a\_{i}'\rangle |b\_{i}'\rangle }
將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理:

若Majorization
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{k}\omega \_{i}\leq \sum \_{i=1}^{k}\omega \_{i}'},
對於所有 k 都成立，則 |\psi \rangle  可利用LOCC轉換成 |\phi\rangle。
然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入**催化態**，LOCC 轉換仍有可能的。

### 催化轉換

Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮

{\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }
{\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }
{\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }
以上三個態已經過施密特分解（英语：）且係數皆由大至小排列，以下進行 |\psi \rangle  和 |\phi\rangle 驗算係數的前 k 項之和：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| k | |\psi \rangle  | |\phi\rangle |
| 0 | 0.4 | 0.5 |
| 1 | 0.8 | 0.65 |
| 2 | 0.9 | 1.0 |
| 3 | 1.0 | 1.0 |

以上表格中，若「|\psi \rangle  的前 k 項之和」比「|\phi\rangle 的前 k 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，**觀察 k 方向的顏色**便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 |\psi \rangle  可經由LOCC轉換成 |\phi\rangle；如果所有顏色皆為紅色，則表示 |\phi\rangle 可經由LOCC轉換成 |\psi \rangle ；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 {\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle } 和 {\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }：

{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 k 項之和：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| k | {\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle } | {\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle } |
| 0 | 0.24 | 0.30 |
| 1 | 0.48 | 0.50 |
| 2 | 0.64 | 0.65 |
| 3 | 0.80 | 0.80 |
| 4 | 0.86 | 0.90 |
| 5 | 0.92 | 1.00 |
| 6 | 0.96 | 1.00 |
| 7 | 1.00 | 1.00 |

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle } 透過LOCC轉換成 {\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle } 是可以的。由於 {\displaystyle |c\rangle } 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 {\displaystyle |c\rangle } 是催化態。

### 塔庫定理

2007年塔庫（Turgut）證明了定理

### 糾纏轉換和量子多體系統

參考文獻
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1. ↑  M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. **83**, 436 - 439 (1999)
2. ↑  D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. **83**, 3566 (1999)
3. ↑  S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. **40**, 12185 (2007)
4. ↑  J. Cui, M. Gu, *et al.* Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. **3**, 812 (2012) （页面存档备份，存于）.
5. ↑  F. Franchini, J. Cui,. Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X **4**, 041028 (2014)
6. ↑  Y.-C. Tzeng, L. Dai, *et al.* Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. **6**, 26453 (2016) （页面存档备份，存于）.