| 李群 |
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|  |
| 典型群
* 一般线性群 GL(*n*)
* 特殊线性群 SL(*n*)
* 正交群 O(*n*)
* 特殊正交群 SO(*n*)
* 酉群 U(*n*)
* 特殊酉群 SU(*n*)
* 辛群 Sp(*n*)

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| 单李群

| 
无限单李群 |
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| * An,
* Bn,
* Cn,
* Dn
 |
| 
特殊单李群 |
| * G2（英语：）
* F4
* E6
* E7
* E8（英语：）
 |

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| 其他李群（英语：）
* 圓群
* 勞侖茲群
* 庞加莱群
* 共形群（英语：）
* 微分同胚群
* 圈群（英语：）
* 欧几里得群

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| 李代數
* 指数映射
* 李群的伴随表示
* 基灵型
* 李点对称

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| 半單李代數
* 丹金图（英语：）
* 嘉当子代数
* + 根系
	+ 外尔群
* 分裂李代数
* 紧李代数

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| 群表示论
* 李群表示
* 李代数表示（英语：）

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| 物理中的李群
* 粒子物理学与群表示论（英语：）
* 洛仑兹群的群表示论（英语：）
* 庞加莱群的群表示论（英语：）
* 伽利略群的群表示论（英语：）

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| 科学家
* 索菲斯·李
* 庞加莱
* 威廉·基灵
* 埃利·嘉当
* 赫尔曼·外尔
* 克勞德·謝瓦萊
* 哈里希-钱德拉

 |
| * 
* 论
* 编
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数学上，数域*F*上的*n*阶**正交群**，记作O(*n*,*F*)，是*F*上的*n*×*n* 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(*n*,*F*)的子群，由

\mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;给出。
这里*QT*是*Q*的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(*n*)。

更一般地，*F*上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的*n*×*n*正交矩阵组成一个O(*n*,*F*)的正规子群，称为**特殊正交群**SO(*n*,*F*)。如果*F*的特徵为2，那么1 = −1，从而O(*n*,*F*)和SO(*n*,*F*)相等；其他情形SO(*n*,*F*)在O(*n*,*F*)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(*n*,*F*)为迪克森不变量的核，这样它在O(*n*,*F*)中总有指数2。

O(*n*,*F*)和SO(*n*,*F*)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域上的正交群
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实数域**R**上的正交群O(*n*,**R**)和特殊正交群SO(*n*,**R**)在不会引起误会时经常记为O(*n*)和SO(*n*)。他们是*n*(*n*-1)/2 维实紧李群。O(*n*,**R**)有两个连通分支，SO(*n*,**R**)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(*n*,**R**)是欧几里得群*E*(*n*)的子群，*E*(*n*)是**R***n*的等距群；O(*n*,**R**)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (*n* = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。

SO(*n*,**R**)是*E*+(*n*)的子群，*E*+(*n*)是"直接"等距，即保持定向的等距；SO(*n*,**R**)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ *I*, −*I* }是O(*n*,**R**)的正规子群并是特征子群；如果*n*是偶数，对SO(*n*,**R**)也对。如果*n*是奇数，O(*n*,**R**)是SO(*n*,**R**)和{ *I*, −*I* }的直积。*k*重旋转循环群*Ck*对任何正整数*k*都是O(2,**R**)和SO(2,**R**)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R\_{1}&&\\&\ddots &\\&&R\_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}
的形式。这里矩阵*R*1,...*R**k*是2×2旋转矩阵。

圆的對稱群是O(2,**R**)，也称为Dih(S1)，这里S1是模长1複数的乘法群。

SO(2,**R**) (作为李群)同构于圆S1（圆群）。这个同构将複数exp(φ*i*) = cos(φ) + *i* sin(φ)映到正交矩阵

{\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}。
群SO(3,**R**)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对*n* > 2，SO(*n*,**R**)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(*n*)是其万有覆叠。对*n* = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠）

李群O(*n*,**R**)和SO(*n*,**R**的李代数由斜对称实*n*×*n*矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(*n*,**R**)或so(*n*,**R**)。

### 保持原点的3维同构

保持**R***3*原点不动的同构，组成群O(*3*,**R**)，能分成如下几类：

* SO(*3*,**R**):
	+ 恒同
	+ 绕一个过原点的轴转动不等于180°
	+ 绕一个过原点的轴转动180°
* 以上与关于原点的点反演（**x**映到−**x**）复合，分别为：
	+ 关于原点的点反演
	+ 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
	+ 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

### 共形群

条目：共形群
作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。**R***n*的线性共形映射构成的群记作CO(*n*)，由正交群和收缩的乘积给出。如果*n*是奇数，两个子群不相交，他们是直积：\operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} ；如果*n*是偶数，两个子群的交是\pm 1，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：\operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;。

我们可以类似地定义CSO(*n*)，这时总有\operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} \_{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;。

複数域上正交群
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複数域**C**上，O(*n*,**C**)和SO(*n*,**C**)是**C**上*n*(*n*-1)/2维的李群，这意味着实维数是*n*(*n*-1)。O(*n*,**C**)有两个连通分支，SO(*n*,**C**)是包含恒同矩阵的分支。当*n* ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(*n*,**C**)不是单连通的，对*n* > 2 SO(*n*,**C**)的基本群是2阶循环群，而SO(2,**C**)的基本群是无穷循环群。

O(*n*,**C**)和SO(*n*,**C**)的複李代数由斜对称複*n*×*n*矩阵组成，李括号由交换子给出。

拓扑
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### 低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

{\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=\*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}
由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

### 同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup \_{k=0}^{\infty }O(k)
的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

S^{n}是O(n+1)的齐性空间，从而有如下纤维丛：

O(n)\to O(n+1)\to S^{n},
可以理解为：正交群O(n+1) 传递地作用于单位球面S^{n}上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射O(n)\to O(n+1)是自然包含。

从而包含O(n)\to O(n+1)是*(n-1)* -连通的，故同伦群稳定，对n>k+1有\pi \_{k}(O)=\pi \_{k}(O(n))，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，\Omega ^{8}O\simeq O，从而*O*的同伦群以8为周期，即 \pi \_{k+8}O=\pi \_{k}O，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

{\begin{aligned}\pi \_{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi \_{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi \_{2}O&=0\\\pi \_{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi \_{4}O&=0\\\pi \_{5}O&=0\\\pi \_{6}O&=0\\\pi \_{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}
#### 和KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间*O*的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：\pi \_{k}O=\pi \_{k+1}BO。

设KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} （使得\pi \_{0}满足周期性），我们得到：

{\begin{aligned}\pi \_{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi \_{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi \_{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi \_{3}KO&=0\\\pi \_{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi \_{5}KO&=0\\\pi \_{6}KO&=0\\\pi \_{7}KO&=0\\\end{aligned}}
#### 同伦群的计算和解释

##### 低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

* \pi \_{0}(O)=\pi \_{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2保持/反定向（这个类存留到O(2)从而稳定）

SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)得出：

* \pi \_{1}(O)=\pi \_{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2即自旋群
* \pi \_{2}(O)=\pi \_{2}(SO(3))=0，有到\pi \_{2}(SO(4))的满射，从而后一个群消失。

##### 李群

由李群一般性事实，\pi \_{2}G总消失，\pi \_{3}G是自由阿贝尔群。

##### 向量丛

从向量丛的观点来看，\pi \_{0}(KO)是S^{0}上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

\pi \_{0}(KO)=\mathbf {Z} 是维数。
##### 环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用\pi \_{0}、*O*，以及*O/U*有两个分支，KO=BO\times \mathbf {Z} 和KSp=BSp\times \mathbf {Z} 有\mathbf {Z} 个分支，其实是连通的。

#### 同伦群的解释

一小部分结论：

* \pi \_{0}(KO)=\mathbf {Z} 是维数
* \pi \_{1}(KO)=\mathbf {Z} /2是定向
* \pi \_{2}(KO)=\mathbf {Z} /2是自旋
* \pi \_{4}(KO)=\mathbf {Z} 是拓扑量子场理论

令F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} ，以及L\_{F}为射影线\mathbf {FP} ^{1}上的重複线丛，[L\_{F}]是其K-理论。注意到\mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

* \pi \_{1}(KO)由[L\_{\mathbf {R} }]生成
* \pi \_{2}(KO)由[L\_{\mathbf {C} }]生成
* \pi \_{4}(KO)由[L\_{\mathbf {H} }]生成
* \pi \_{8}(KO)由[L\_{\mathbf {O} }]生成

有限群上的正交群
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正交群也能定義在有限域\mathbf {F} \_{q}上，這里q是一個質數p的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：O^{+}(2n,q)和O^{-}(2n,q)；奇數維有一類：O(2n+1,q)。

如果V是正交群G作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

V=L\_{1}\oplus L\_{2}\oplus \cdots \oplus L\_{m}\oplus W，
這里L\_{i}是雙曲線而W不包含奇異向量。如果W=0，那么G是正類型；若W=<w>那么G有偶維數；若W有維數2，則G是負類型。

在*n* = 1的特例，O^{\epsilon }(2,q)是階為2(q-\epsilon )的二面體群。

當特征大于2時，記O(*n*,*q*) = { *A* ∈ GL(*n*,*q*) : *A*·*A*t=I }。關于這些群的階數我們有以下公式

|O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod \_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})。
如果-1是\mathbf {F} \_{q}中的平方元素

|O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod \_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})。
如果-1不是\mathbf {F} \_{q}中的平方元素
|O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod \_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})。

迪克森不变量
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对偶数维正交群，**迪克森不变量**是从正交群到*Z*/2*Z*的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上正交群
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特征2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

* 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為2的4維向量空間（Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16）。注意特征2域上的反射定義稍不同。特征2域，垂直于一個向量*u*的反射將*v*映為*v*+B(*v*,*u*)/Q(*u*)·*u*，這里*B*是一個雙線性形式，*Q*是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是將*v*映到*v*-2·B(*v*,*u*)/Q(*u*)·*u*，當奇特征和零特征時與比較兩者不同。

* 特征2時正交群的中心總是1階，而不是2階。

* 在特征2的奇維數2*n*+1時，完全域上的正交群和2*n*維辛群相同。事實上特征2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2*n*維辛空間，正交群作用在它上面。

* 在特征2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

旋量模
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旋量模是一個從域*F*上正交群到域*F*的乘法群模去平方元素

*F*\*/*F*\*2
的同態，将关于模长为*n*向量的反射映到*F*\*/*F*\*2中的*n*。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群
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代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；
但就目前所发现的现象而言，大部分都是"马后炮"。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦*H*1等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的"spin"名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

1\rightarrow \mu \_{2}\rightarrow Pin\_{V}\rightarrow O\_{V}\rightarrow 1
这里μ2是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从*H*0（就是取值于*F*中点的群*O*V(*F*)）到*H*1(μ2)的连接同态本质上是spinor模，因为 *H*1(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的*H*1到自旋群覆叠的核的*H*2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

重要子群
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物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

O(n)\supset O(n-1)
O(2n)\supset SU(n)
O(2n)\supset USp(n)
O(7)\supset G\_{2}
正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

SU(n)\supset O(n)
USp(2n)\supset O(n)
G\_{2}\supset O(3)
F\_{4}\supset O(9)
E\_{6}\supset O(10)
E\_{7}\supset O(12)
E\_{8}\supset O(16)
群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

另见
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* 旋转群, SO(3,**R**)
* SO(8)
* 广义正交群
* 酉群
* 辛群
* 有限单群列表
* 单李群列表

参考文献
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* Grove, Larry C. Graduate Studies in Mathematics **39**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189

外部链接
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* John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （页面存档备份，存于）
* John Baez on Octonions （页面存档备份，存于）