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| * 
* 论
* 编
光学像差 |
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|  散焦（英语：） |
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|  倾斜像差（英语：） |
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|  球面像差 |
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|  像散 |
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|  彗形像差 |
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|  畸變 |
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|  佩兹瓦尔像场弯曲 |
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|  色差 |

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在光學中，**球面像差**是發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀，否则不能聚焦在一個點上造成的。
球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低焦比的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如恆星）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中，可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差，就如同使用非球面透鏡一樣。

* 球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)
* 一個 點光源 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像一個 點光源 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像
* 平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側
* 來自球面鏡的球面像差來自球面鏡的球面像差

球面像差公式
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单球面
一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为

球面像差={\displaystyle {\frac {-2\*PA\*sin(-(1/2)\*J'+(1/2)\*J)\*sin((1/2)\*J'-(1/2)\*U)\*n\*i}{(n'\*u'\*sin(U))}}}

在四种情况下，球面像差为零：

1. PA=0：物体和像与球面顶点重合；
2. I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
3. i=0；
4. I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面
根据球面折射的基本方程可以导出：

{\displaystyle L={\frac {r\*(n+n')}{n}}}

{\displaystyle L'={\frac {r\*(n+n')}{n'}}}

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

{\displaystyle BC=L-r=r\*{\frac {n}{n'}}}

{\displaystyle BC=L'-r=r\*{\frac {n'}{n}}}

例如，n=1，n'=1.5。

{\displaystyle L=2.5\*r}

{\displaystyle L'=1.6667\*r}

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度。

同轴球面系
对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出：

  

LA'=trans+newsp

其中 
trans={\displaystyle {\frac {LA\*n[1]\*n'[1]\*sin(U[1])}{(n'[k]\*u'[k]\*sin(U'[k]))}}}

newsp= {\displaystyle \sum \_{k=1}^{k}({\frac {-2\*PA\*sin(-(1/2)\*J'+(1/2)\*J)\*sin((1/2)\*J'-(1/2)\*U)\*n\*i}{(n'[k]\*u'[k]\*sin(U[k]))}}}

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|  | 維基教科書中的相關電子：**球面像差** |

球面像差展开式
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球面像差可表示为

LA'={\displaystyle a\*Y^{2}+b\*Y^{4}+c\*Y^{6}+}………………。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差  
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差
---------

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下:

SC={\displaystyle {\frac {y^{4}}{n\_{0}'\*u\_{0}^{2}}}\*\sum (G\_{1}\*c^{3}-G\_{2}\*c^{2}\*c\_{1}+G\_{3}\*c^{2}\*v\_{1}+G\_{4}\*c\*c\_{1}\*v\_{1}+G\_{6}\*c\*v\_{1}^{2})}。

其中"0"代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

{\displaystyle c={\frac {1}{f\*(n-1)}}}

{\displaystyle c={\frac {1}{r\_{1}}}}

{\displaystyle G\_{1}={\frac {n^{2}\*(n-1)}{2}}}

{\displaystyle G\_{2}={\frac {1}{2}}\*(2\*n+1)(n-1)}

{\displaystyle G\_{3}={\frac {1}{2}}\*(3n+1)(n-1)}

{\displaystyle G\_{4}={\frac {1}{2\*n}}\*(n+2)(n-1)}

{\displaystyle G\_{5}{\frac {1}{2\*n}}\*(n^{2}-1)}

{\displaystyle G\_{6}={\frac {1}{2\*n}}\*(3\*n+2)}

薄透镜的球面像差
--------

对于单薄镜片，上式可简化为。

单镜片的球面像差=LA'={\displaystyle -y^{2}\*l'^{2}\*(\sum (G\_{1}\*c^{3}-G\_{2}\*c^{2}\*c\_{1}+G\_{3}\*c^{2}\*v\_{1}+G\_{4}\*c\*c\_{1}\*v\_{1}+G\_{6}\*c\*v\_{1}^{2})}

令上式对c\_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件:

{\displaystyle {\frac {dLA'}{dc\_{1}}}}={\displaystyle -y^{2}\*l'^{2}\*(-G\_{2}\*c^{2}+2\*G\_{4}\*c\*c\_{1}-G\_{5}\*c\*v\_{1})=0}

即 {\displaystyle c\_{1}={\frac {G\_{2}c+G\_{5}v\_{1}}{2G\_{4}}}}={\displaystyle {\frac {0.5\*n\*(2\*n+1)\*c+2\*(n+1)\*v\_{1}}{n+2}}}.

当物距为无穷远时，v\_1=0;

于是

{\displaystyle {\frac {c\_{2}}{c\_{1}}}={\frac {r\_{1}}{r\_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n\*(2n+1)}}}。

|  |
| --- |
| n | r\_1/r\_2 |
| 1.5 | -6 |
| 1.518 | -6.7374 |
| 1.6 | -14 |
| 1.7 | 93.5 |
| 1.8 | 12.1765 |
| 2 | 5 |
| 3 | 1.9 |
| 4 | 1.5 |
|

参考文献
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1. ↑  Kingslake p104
2. ↑  Rudolf Kingslake p104-105
3. 1 2  Rudolf Kingslake p105
4. ↑  Moritz von Rohr p244
5. ↑  Rudolf Kingslake p106
6. ↑  Rudolf Kingslake p104
7. ↑  A.E.Conrady p101
8. ↑  Kingslake p114
9. ↑  Alexander Eugen Conrady, p95
10. ↑  Kingslake p117
11. ↑  Kingslake p118
12. ↑  Kingslake, p118
13. ↑  Kingslake p119

* von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz.. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

* Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen.. DOVER PUBLICATION. 1957.

* Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf.. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

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应用光学 |
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