在一个旋转系统裏，作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}、位置向量{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}、力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}、动量{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}、角动量{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}，這些物理量之間的关系。
**力矩**（，moment）在物理学中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向；也就是作用力使物体产生"转"、"扭"或"弯"效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称**转矩**（turning moment，moment of rotation）即**转动力矩**；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为**扭矩**（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为**弯矩**（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}等於径向向量{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}与作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}的叉積。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿{\displaystyle \cdot }米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺{\displaystyle \cdot }磅。力矩的表示符号是希腊字母{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}，或{\displaystyle \mathbf {M} \,\!}。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}、從轉軸到施力點的位移向量{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}、兩個向量之間的夾角{\displaystyle \theta \,\!}。力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}以向量方程式表示為

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}。
力矩的大小為

{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}。

定义
--

用右手定則决定力矩方向
**力矩**等同於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。

假設作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}施加於位置為{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量{\displaystyle F\_{\perp }\,\!}會產生力矩。這力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}的大小為{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} \_{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}，方向為垂直於屏幕向外。
更一般地，如圖右，假設作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}施加於位置為{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的粒子。選擇原點為參考點，力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}以方程式定義為

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}。
力矩大小為

{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}；
其中，{\displaystyle \theta \,\!}是兩個向量{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}與{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

{\displaystyle \tau =rF\_{\perp }\,\!}；
其中，{\displaystyle F\_{\perp }\,\!}是作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}對於{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}和作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係
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地心引力{\displaystyle \mathbf {F\_{g}} \,\!}的力矩造成角动量{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}的改变。因此，陀螺呈现进动現象。
假設一個粒子的位置為{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}，動量為{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}。選擇原點為參考點，此粒子的角動量{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}為

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}。
粒子的角動量對於時間的導數為

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!} ；
其中，{\displaystyle m\,\!}是質量，{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}是速度，{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}是加速度。

應用牛頓第二定律，{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}，可以得到

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}。
按照力矩的定義，{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}，所以，

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}。
作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}對於時間{\displaystyle t\,\!}的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{\mathrm {net} }\,\!}共同決定角動量的對於時間的變化：

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}\_{n}={\boldsymbol {\tau }}\_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}。
關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}；
其中，{\displaystyle I\,\!}是物體對於固定軸的轉動慣量，{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}；
其中，{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}是物體的角加速度。

单位
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力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿{\displaystyle \cdot }米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（）规定这次序应是牛顿{\displaystyle \cdot }米，而不是米{\displaystyle \cdot }牛顿。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿{\displaystyle \cdot }米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿{\displaystyle \cdot }米的力矩，作用1 全转，需要恰巧{\displaystyle 2\pi \,\!}焦耳的能量：

{\displaystyle E=\tau \theta \,\!}。
其中，{\displaystyle E\,\!}是能量，{\displaystyle \theta \,\!}是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺{\displaystyle \cdot }磅。

矩臂方程式
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矩臂图
在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}。
右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}、作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念
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当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

{\displaystyle \sum F\_{x}=0\,\!}，
{\displaystyle \sum F\_{y}=0\,\!}，
{\displaystyle \sum \tau =0\,\!}。
这里，{\displaystyle F\_{x},\ F\_{y}\,\!}是作用力{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係
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假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

{\displaystyle W=\int \_{\theta \_{1}}^{\theta \_{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}；
其中，{\displaystyle W\,\!}是機械功，{\displaystyle \theta \_{1}\,\!}、{\displaystyle \theta \_{2}\,\!}分別是初始角和終結角，{\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}是無窮小角位移元素。

根據功能定理，{\displaystyle W\,\!}也代表物體的旋轉動能{\displaystyle K\_{\mathrm {rot} }\,\!}的改變，以方程式表達，

{\displaystyle K\_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}。
功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率{\displaystyle P\,\!}以方程式表達為

{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}。
請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理
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**力矩原理**闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名**伐里農定理**()（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，

{\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} \_{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} \_{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} \_{1}+\mathbf {F} \_{2}+\cdots )\,\!}。

参考文献
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1. ↑
2. ↑ .  [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
3. ↑  Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). *Physics for Scientists and Engineers*. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
4. ↑ .  [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
5. ↑ .  [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
6. ↑ .  [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
7. ↑ .  [2023-05-19]. （原始内容存档于2023-05-19）.
8. ↑  
	* 喬治亞州州立大學（）線上物理網頁：,  [2007-09-08], （原始内容存档于2007-08-19）
9. ↑  , Bureau International des Poids et Mesures, 2006  [2007-04-01], （原始内容存档于2007-05-19）
10. ↑  , Bureau International des Poids et Mesures, 2006  [2007-04-01], （原始内容存档于2005-03-16）
11. ↑  *Engineering Mechanics: Equilibrium*, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64

延伸阅读
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* Tipler, Paul.. W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

參閱
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* 馬力
* 扭力轉換器
* 刚体动力学
* 機械平衡（）
* 扭矩扳手（）

外部链接
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* 模擬力矩平衡的Java小程式（页面存档备份，存于）
* *Torque and Angular Momentum in Circular Motion* （页面存档备份，存于） on Project PHYSNET（页面存档备份，存于）.
* Torque Unit Converter（页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
经典力学 |
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| 表述形式 | 
* 矢量力学
* 分析力学（拉格朗日力学
* 哈密頓力學）

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| 基础概念 | 
* 空间
* 时间
* 速度
* 加速度
* 质量
* 引力
* 力矩
* 參考系
* 力
* 力偶
* 冲量
* 动量
* 刚体
* 角动量
* 慣性
* 轉動慣量
* 能量
* 动能
* 位能
* 虛功
* 作用量
* 拉格朗日量
* 哈密頓量
* 功

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| 重要理论 | 
* 牛顿运动定律
* 胡克定律
* 牛顿万有引力定律
* 簡諧運動
* 達朗貝爾原理
* 歐拉方程式
* 哈密頓原理
* 拉格朗日方程式
* 最小作用量原理

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| 应用 | 
* 简单机械
* 斜面
* 杠杆
* 滑轮
* 螺旋
* 楔子
* 輪軸

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| 科学史 | 
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* 牛頓
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| 分支 | 
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* 工程力學
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* 連續介質力學
* 統計力學

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| * 
* 论
* 编
经典力学国际单位 |
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| 线性（平动）的量 |  | 角度（转动）的量 |
| 量纲 | — | L | L2 | 量纲 | — | — | — |
| T | 时间: ts | 位移积分: **A**m s（英语：） |  | T | 时间: ts |  |  |
| — |  | 距离: d, 位矢: **r**, **s**, **x**, 位移m | 面积: *A*m2 | — |  | 角度: θ, 角移: **θ**rad | 立體角: Ωrad2, sr |
| T−1 | 頻率: fs−1（英语：）, Hz | 速率: v, 速度: **v**m s−1 | 面積速率: ν,比角动量（英语：）: **h**m2 s−1 | T−1 | 頻率: fs−1（英语：）, Hz | 角速率: ω, 角速度: **ω**rad s−1 |  |
| T−2 |  | 加速度: **a**m s−2 |  | T−2 |  | 角加速度: **α**rad s−2 |  |
| T−3 |  | 加加速度: **j**m s−3 |  | T−3 |  | 角加加速度: **ζ**rad s−3 |  |
|  |  |
| M | 质量: mkg |  |  | ML2 | 轉動慣量: Ikg m2 |  |  |
| MT−1 |  | 动量: **p**, 冲量: **J**kg m s−1, N s（英语：） | 作用量: 𝒮, actergy（英语：）: ℵkg m2 s−1, J s（英语：） | ML2T−1 |  | 角动量: **L**, 角衝量: **ι**kg m2 s−1 | 作用量: 𝒮, actergy（英语：）: ℵkg m2 s−1, J s（英语：） |
| MT−2 |  | 力: **F**, 重量: **F**gkg  m s−2, N | 能量: E, 功: Wkg m2 s−2, J | ML2T−2 |  | 力矩: **τ**, moment（英语：）: **M**kg m2 s−2, N m | 能量: E, 功: Wkg m2 s−2, J |
| MT−3 |  | yank（英语：）: **Y**kg m s−3, N s−1 | 功率: Pkg m2 s−3, W | ML2T−3 |  | rotatum（英语：）: **P**kg m2 s−3, N m s−1 | 功率: Pkg m2 s−3, W |

 |

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