**極點分離**（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上电容器，希望將最低頻率的极点（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢。

舉例
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圖1：在輸入和輸出之間有補償電容器*CC*的運算放大器。運算放大器有輸入阻抗*Ri*和輸出阻抗*Ro*
圖2：用密勒定理轉換後的電路，將輔償電容轉換為輸入側的密勒電容，以及輸出側隨頻率變化的電流源
這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器CC，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗*Ri*以及電容*Ci*，其時間常數是*Ci* ( *RA || Ri* )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻*RL*和電容*CL*，其時間常數是*CL* ( *Ro || RL* )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器*CC*影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效应條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓{\displaystyle \ v\_{a}}的函數

{\displaystyle {\frac {v\_{i}}{v\_{a}}}={\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})}}\ ,}
其滾降（英语：）從頻率*f1*開始

{\displaystyle {\begin{aligned}f\_{1}&={\frac {1}{2\pi (C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau \_{1}}}\ ,\\\end{aligned}}}
其中的\tau \_{1}是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應*CC* = 0 F時，是{\displaystyle {\frac {1}{2\pi C\_{i}(R\_{A}\|R\_{i})}}}。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓{\displaystyle \ v\_{o}}是由理想放大器的增益決定的

{\displaystyle \ v\_{o}=A\_{v}v\_{i}\ .}
利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓{\displaystyle v\_{\ell }}相對於運算放大器輸入電壓{\displaystyle \ v\_{i}}的函數：

{\displaystyle {\frac {v\_{\ell }}{v\_{i}}}=A\_{v}{\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\,\!}{\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C\_{C}R\_{o}/A\_{v}}{1+j\omega (C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})}}\ .}
這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

{\displaystyle {\frac {v\_{\ell }}{v\_{a}}}={\frac {v\_{\ell }}{v\_{i}}}{\frac {v\_{i}}{v\_{a}}}}
{\displaystyle =A\_{v}{\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}\cdot {\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\,\!}{\displaystyle \cdot {\frac {1}{1+j\omega (C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})}}\,\!}{\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C\_{C}R\_{o}/A\_{v}}{1+j\omega (C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})}}\ .}
增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益*Av*很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出*R-C*乘積*CL* ( *Ro || RL* )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為

{\displaystyle {\begin{aligned}C\_{M}&=C\_{C}\left(1-{\frac {v\_{\ell }}{v\_{i}}}\right)\\&=C\_{C}\left(1-A\_{v}{\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}{\frac {1+j\omega C\_{C}R\_{o}/A\_{v}}{1+j\omega (C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}}
（針對一個正的密勒電容，*Av*為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

{\displaystyle {\frac {v\_{\ell }}{v\_{a}}}=A\_{v}{\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}{\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}{\frac {1+j\omega C\_{C}R\_{o}/A\_{v}}{D\_{\omega }}}\ ,}
其中*Dω*是ω的二次式：

{\displaystyle D\_{\omega }\,\!} {\displaystyle =[1+j\omega (C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})]\,\!} {\displaystyle \cdot \ [1+j\omega C\_{i}(R\_{A}\|R\_{i})]\,\!} {\displaystyle \ +j\omega C\_{C}(R\_{A}\|R\_{i})\,\!} {\displaystyle \cdot \left(1-A\_{v}{\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{O}}}\right)\,\!} {\displaystyle \ +(j\omega )^{2}C\_{C}C\_{L}(R\_{A}\|R\_{i})(R\_{O}\|R\_{L})\ .}
上述的二次式可以改寫如下：

{\displaystyle \ D\_{\omega }=(1+j\omega {\tau }\_{1})(1+j\omega {\tau }\_{2})}
{\displaystyle =1+j\omega ({\tau }\_{1}+{\tau }\_{2}))+(j\omega )^{2}\tau \_{1}\tau \_{2}\ ,\ }
其中\tau \_{1} and \tau \_{2}是*Dω*公式中結合了電阻和電容的值。。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設\tau \_{1}是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設\tau \_{1} >> \tau \_{2}（若要有良好的階躍響應，會需要\tau \_{1} >> \tau \_{2}，可以看以下的如何選擇CC章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此*Dω*的低頻特性為：

{\displaystyle {\begin{aligned}\ D\_{\omega }&=1+j\omega [(C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})+(C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})]\\&=1+j\omega (\tau \_{1}+\tau \_{2})\approx 1+j\omega \tau \_{1}\ ,\ \\\end{aligned}}}
其中的*CM*會用密勒效应重新定義為

{\displaystyle C\_{M}=C\_{C}\left(1-A\_{v}{\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\right)\ ,}
就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設\tau \_{1} >> \tau \_{2}，可以確定\tau \_{1}。因為*CM*很大，時間常數{\displaystyle {\tau }\_{1}}遠大於其原始值*Ci* ( *RA || Ri* ).

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關\tau \_{1} 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由*Dω*的二次項求得，為

{\displaystyle \tau \_{2}={\frac {\tau \_{1}\tau \_{2}}{\tau \_{1}}}\approx {\frac {\tau \_{1}\tau \_{2}}{\tau \_{1}+\tau \_{2}}}\ .}
將平方項係數的公式代到{\displaystyle \tau \_{1}\tau \_{2}}，再加上 \tau \_{1}的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \_{2}&={\frac {(C\_{C}C\_{L}+C\_{L}C\_{i}+C\_{i}C\_{C})(R\_{A}\|R\_{i})(R\_{O}\|R\_{L})}{(C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})+(C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})}}\\&\approx {\frac {C\_{C}C\_{L}+C\_{L}C\_{i}+C\_{i}C\_{C}}{C\_{M}}}(R\_{O}\|R\_{L})\ ,\\\end{aligned}}}
因為*CM*很大，\tau \_{2}會比原來的值*CL* ( *Ro* || *RL* )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為*CC*而提高.。

簡單來說，導入*CC*降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

### 如何選擇CC

圖3：二極點放大器設計的理想波德圖。第一個極點在*f1*，增益以20 dB / decade的斜率下降，第二點極點在*f2'，增益以40 dB / decade的斜率下降*
在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低
。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法。

在設計中選擇*f*2的方式如圖3所示。在最低極點*f*1處，波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log10 *Av*增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上），( log10 *f*2  − log10 *f*1 ) = log10 ( *f*2 / *f*1 ），就是這段的斜率

斜率 {\displaystyle =20{\frac {\mathrm {log\_{10}} (A\_{v})}{\mathrm {log\_{10}} (f\_{2}/f\_{1})}}\ ,}
若*f2 = Av f1*，上述的值會是是20 dB/decade。若*f2*沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的*Av*倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的*Av*，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得：

{\displaystyle {\frac {\tau \_{1}}{\tau \_{2}}}\approx A\_{v}{\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}\cdot {\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\ ,}
圖4：用Microsoft Excel繪出低頻率*CM*的密勒電容*CM*（上方）以及補償電容*CC*（下方） 和增益的函數關係，電容的單位是pF
利用上述時間常數的近似，可以得到

{\displaystyle {\frac {\tau \_{1}}{\tau \_{2}}}\approx {\frac {(\tau \_{1}+\tau \_{2})^{2}}{\tau \_{1}\tau \_{2}}}\approx A\_{v}{\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}\cdot {\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\ ,}
或

{\displaystyle {\frac {[(C\_{M}+C\_{i})(R\_{A}\|R\_{i})+(C\_{L}+C\_{C})(R\_{o}\|R\_{L})]^{2}}{(C\_{C}C\_{L}+C\_{L}C\_{i}+C\_{i}C\_{C})(R\_{A}\|R\_{i})(R\_{O}\|R\_{L})}}\,\!} {\displaystyle {\color {White}\cdot }=A\_{v}{\frac {R\_{i}}{R\_{i}+R\_{A}}}\cdot {\frac {R\_{L}}{R\_{L}+R\_{o}}}\ ,}
這是一個可以求得*CC*近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器*CC*很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為*CC*的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的*CC*會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，*Av*會設計成等式右邊*Av*值的兩倍或三倍。可以參考Sansen或Huijsing的參考資料

### 迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率（英语：）有不良的影響。而且因為需要為*CC*充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。

相關條目
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* 頻率補償
* 密勒效应
* 共源极
* 波德圖
* 步階響應
* CMOS放大器（英语：）

參考資料和腳註
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1. ↑  其上昇時間會在低过冲以及低振鈴的條件下，儘可能的調快
2. ↑  
C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors).. New York/Berlin/Dordrecht: Springer. 2007: 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2.
3. ↑  
Marc T. Thompson.. Amsterdam: Elsevier Newnes. 2006: 200. ISBN 0-7506-7786-4.
4. 1 2  Willy M. C. Sansen.. New York; Berlin: Springer. 2006: §097, p. 266 *et seq*  [2021-07-08]. ISBN 0-387-25746-2. （原始内容存档于2009-05-30）.
5. ↑  雖然這個例子看起來很特別，相關的數學分析常用在電路設計中
6. ↑  時間常數的和是jω線性項的係數，時間常數的積是(jω)2平方項的係數
7. ↑  \tau \_{1}的公式和一開始*f1*所得的( *CM+Ci* ) ( *RA* || *Ri*有些不同，但假設負載電容沒有大到會控制低頻響應，其差異不大
8. ↑  順帶提一下，高頻極點的頻率越高，在實際放大器中其他極點影響的可能性就越大
9. ↑  A.S. Sedra and K.C. Smith.  Fifth. New York: Oxford University Press. 2004: 849 and Example 8.6, p. 853  [2021-08-20]. ISBN 0-19-514251-9. （原始内容存档于2009-02-04）.
10. 1 2  
Huijsing, Johan H.. Boston, MA: Kluwer Academic. 2001: §6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0.
11. ↑  Feucht, Dennis: *Two-pole compensation* （页面存档备份，存于）
12. ↑  
Self, Douglas.. Oxford: Newnes. 2006: 191–193. ISBN 0-7506-8072-5.
13. ↑  也就是說，frequency以是十的幂次為單位繪圖，例如1, 10, 102等etc
14. ↑  二極點放大器設計中，係數2會得到最大平坦（maximally flat）或是巴特沃斯滤波器設計。不過實際的放大器不止二個極點，有必要讓係數大於2