在数学中，**二次变差**（英語：）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。

定义
--

设X\_{t}是定义在概率空间{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做{\displaystyle [X]\_{t}}，定义为

{\displaystyle [X]\_{t}=\lim \_{\|P\|\to 0}{\sum \_{k=1}^{n}{(X\_{t\_{k}}-X\_{t\_{k-1}})^{2}}}}

其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数{\displaystyle \|P\|}等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。

更一般地，两个过程X和Y的**协变差**（或称**互变差**）为

{\displaystyle [X,Y]\_{t}=\lim \_{\|P\|\to 0}{\sum \_{k=1}^{n}{(X\_{t\_{k}}-X\_{t\_{k-1}})(Y\_{t\_{k}}-Y\_{t\_{k-1}})}}}

用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来

{\displaystyle [X,Y]\_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]\_{t}-[X]\_{t}-[Y]\_{t})}

有限变差过程
------

随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是**有限变差**的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。

这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为{\displaystyle X\_{t^{-}}}，X在t处的跳跃记为{\displaystyle \Delta X\_{t}=X\_{t}-X\_{t^{-}}}。则二次变差为

{\displaystyle [X]\_{t}=\sum \_{0<s\leq t}{(\Delta X\_{s})^{2}}}

要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，{\displaystyle V\_{t}(X)}是X在[0,t]上的变差。

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{n}{(X\_{t\_{k}}-X\_{t\_{k-1}})^{2}}&\leq \max \_{k\leq n}{|X\_{t\_{k}}-X\_{t\_{k-1}}|}\sum \_{k=1}^{n}{|X\_{t\_{k}}-X\_{t\_{k-1}}|}\\&\leq \max \_{|u-v|\leq \|P\|}{|X\_{u}-X\_{v}|}V\_{t}(X)\\\end{aligned}}}

由X的连续性，这在{\displaystyle \|P\|}趋于0时的极限也趋于0。

伊藤过程
----

标准布朗运动的二次变差存在，为{\displaystyle [B]\_{t}=t}。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为

{\displaystyle {\begin{aligned}X\_{t}&=X\_{0}+\int \_{0}^{t}{\sigma \_{s}dB\_{s}}+\int \_{0}^{t}{\mu \_{s}d[B]\_{s}}\\&=X\_{0}+\int \_{0}^{t}{\sigma \_{s}dB\_{s}}+\int \_{0}^{t}{\mu \_{s}ds}\\\end{aligned}}}

其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为

{\displaystyle [X]\_{t}=\int \_{0}^{t}{\sigma \_{s}^{2}ds}}

半鞅
--

可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中

{\displaystyle X\_{t}Y\_{t}=X\_{0}Y\_{0}+\int \_{0}^{t}{X\_{s^{-}}dY\_{s}}+\int \_{0}^{t}{Y\_{s^{-}}dX\_{s}}+[X,Y]\_{t}}

这可用来计算[X,Y]。

上式也可写成随机微分方程的形式：

{\displaystyle dX\_{t}Y\_{t}=X\_{t^{-}}dY\_{t}+Y\_{t^{-}}dX\_{t}+dX\_{t}dY\_{t}}

其中{\displaystyle dX\_{t}dY\_{t}=d[X,Y]\_{t}}

鞅
-

右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值{\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}，使得{\displaystyle M^{2}-[M]}是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。

平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差

{\displaystyle \mathbb {E} \left(\int \_{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int \_{0}^{t}{H^{2}d[M]}}

只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。

还有一个重要结论是**Burkholder-Davis-Gundy不等式**，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为{\displaystyle M\_{t}^{\*}\equiv \sup \_{s\leq t}{|M\_{s}|}}，对任意实数{\displaystyle p\geq 1}

{\displaystyle c\_{p}\mathbb {E} [M]\_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M\_{t}^{\*})^{p}\leq C\_{p}\mathbb {E} [M]\_{t}^{p/2}}

式中{\displaystyle c\_{p}\leq C\_{p}}是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。

另一种变差，**可预测二次变差**有时用于局部平方可积鞅，记做{\displaystyle \langle M\rangle \_{t}}，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得{\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。

另见
--

* 总变差
* 有界变差

参考资料
----

* Protter, Philip E. (2004), *Stochastic Integration and Differential Equations* (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
* Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". *Proceedings - Mathematical Sciences*. **124** (3): 457–469.