Δ形电路和Y形电路
**Y-Δ变换**或稱為**星角變換**，是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路，或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利（英语：）於1899年发表。

基本的Y-Δ变换
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设R1、R2、和R3分别是Y形电路中从N1、N2、N3到中点的阻抗，Ra、Rb、Rc分别是Δ形电路中N1与N3、N1与N2、N2与N3之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路，或把Δ形电路换成Y形电路后，任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

### 把Δ形电路变换成Y形电路

变换的基本思路是用R'和R''计算Y形电路端点的阻抗R\_{y}，其中R'和R''是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗：

R\_{y}={\frac {R'R''}{\sum R\_{\Delta }}}
其中R\_{\Delta }是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下：

R\_{1}={\frac {R\_{a}R\_{b}}{R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}}}
R\_{2}={\frac {R\_{b}R\_{c}}{R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}}}ʕ•ᴥ•ʔ
R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{c}}{R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}}}
口訣为 Y形阻抗 = Δ形同側相邻阻抗乘积 / Δ形阻抗之和

### 把Y形电路变换成Δ形电路

变换的基本思路是计算Δ形电路的R\_{\Delta }：

R\_{\Delta }={\frac {R\_{P}}{R\_{{\mathrm {opposite}}}}}
其中R\_{P}=R\_{1}R\_{2}+R\_{2}R\_{3}+R\_{3}R\_{1}是Y形电路中的阻抗两两相乘之和，R\_{{\mathrm {opposite}}}是R\_{\Delta }所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为：

R\_{a}={\frac {R\_{1}R\_{2}+R\_{2}R\_{3}+R\_{3}R\_{1}}{R\_{2}}}
R\_{b}={\frac {R\_{1}R\_{2}+R\_{2}R\_{3}+R\_{3}R\_{1}}{R\_{3}}}
R\_{c}={\frac {R\_{1}R\_{2}+R\_{2}R\_{3}+R\_{3}R\_{1}}{R\_{1}}}
口訣为 Δ形阻抗 = Y形阻抗两两相乘之和 / Y形对側端点阻抗

图论
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在图论中，Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变，但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到，那么就可以成这两个图**Y-Δ等价**。例如，佩特森圖就是一个Y-Δ等价类。

推导
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### Δ形负载到Y形负载的变换方程

要将Δ形负载{R\_{a},R\_{b},R\_{c}}变换成Y形负载{R\_{1},R\_{2},R\_{3}}，需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗，需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中*N*3断开後，*N*1与*N*2间的阻抗为

{\begin{aligned}R\_{\Delta }(N\_{1},N\_{2})&=R\_{b}\parallel (R\_{a}+R\_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R\_{b}}}+{\frac {1}{R\_{a}+R\_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R\_{b}(R\_{a}+R\_{c})}{R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}}}.\end{aligned}}
将{R\_{a},R\_{b},R\_{c}}之和用R\_{T}表示以简化方程：

R\_{T}=R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}
得到

R\_{\Delta }(N\_{1},N\_{2})={\frac {R\_{b}(R\_{a}+R\_{c})}{R\_{T}}}
Y形电路中N1与2的对应阻抗为

R\_{Y}(N\_{1},N\_{2})=R\_{1}+R\_{2}
由以上两式得到：

R\_{1}+R\_{2}={\frac {R\_{b}(R\_{a}+R\_{c})}{R\_{T}}}   (1)
同理，对於R(N\_{2},N\_{3})与R(N\_{1},N\_{3})，也分别有

R\_{2}+R\_{3}={\frac {R\_{c}(R\_{a}+R\_{b})}{R\_{T}}}   (2)

  

R\_{1}+R\_{3}={\frac {R\_{a}(R\_{b}+R\_{c})}{R\_{T}}}.   (3)
由此，{R\_{1},R\_{2},R\_{3}}的值可以由以上式子的线性组合（相加或相减）求出。

例如，将式(1)和式(3)相加，然後减去式(2)会得到

R\_{1}+R\_{2}+R\_{1}+R\_{3}-R\_{2}-R\_{3}={\frac {R\_{b}(R\_{a}+R\_{c})}{R\_{T}}}+{\frac {R\_{a}(R\_{b}+R\_{c})}{R\_{T}}}-{\frac {R\_{c}(R\_{a}+R\_{b})}{R\_{T}}}
2R\_{1}={\frac {2R\_{b}R\_{a}}{R\_{T}}}
於是

R\_{1}={\frac {R\_{b}R\_{a}}{R\_{T}}}.
其中
R\_{T}=R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}

求出所有的阻抗值如下：

R\_{1}={\frac {R\_{b}R\_{a}}{R\_{T}}} (4)

  

R\_{2}={\frac {R\_{b}R\_{c}}{R\_{T}}} (5)

  

R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{c}}{R\_{T}}} (6)
### Y形负载到Δ形负载的变换方程

令

R\_{T}=R\_{a}+R\_{b}+R\_{c}.
则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

R\_{1}={\frac {R\_{a}R\_{b}}{R\_{T}}}   (1)

  

R\_{2}={\frac {R\_{b}R\_{c}}{R\_{T}}}   (2)

  

R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{c}}{R\_{T}}}.   (3)
将以上式子两两相乘得到

R\_{1}R\_{2}={\frac {R\_{a}R\_{b}^{2}R\_{c}}{R\_{T}^{2}}}   (4)

  

R\_{1}R\_{3}={\frac {R\_{a}^{2}R\_{b}R\_{c}}{R\_{T}^{2}}}   (5)

  

R\_{2}R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{b}R\_{c}^{2}}{R\_{T}^{2}}}   (6)
上式之和为

R\_{1}R\_{2}+R\_{1}R\_{3}+R\_{2}R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{b}^{2}R\_{c}+R\_{a}^{2}R\_{b}R\_{c}+R\_{a}R\_{b}R\_{c}^{2}}{R\_{T}^{2}}}   (7)
将右侧式子中的公因式R\_{a}R\_{b}R\_{c}提出，约去分子中的R\_{T}和分母中的一个R\_{T}後得到

R\_{1}R\_{2}+R\_{1}R\_{3}+R\_{2}R\_{3}={\frac {(R\_{a}R\_{b}R\_{c})(R\_{a}+R\_{b}+R\_{c})}{R\_{T}^{2}}}
R\_{1}R\_{2}+R\_{1}R\_{3}+R\_{2}R\_{3}={\frac {R\_{a}R\_{b}R\_{c}}{R\_{T}}} (8)
注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

将式(8)除以式(1)得到

{\frac {R\_{1}R\_{2}+R\_{1}R\_{3}+R\_{2}R\_{3}}{R\_{1}}}={\frac {R\_{a}R\_{b}R\_{c}}{R\_{T}}}{\frac {R\_{T}}{R\_{a}R\_{b}}},
{\frac {R\_{1}R\_{2}+R\_{1}R\_{3}+R\_{2}R\_{3}}{R\_{1}}}=R\_{c},
得到R\_{c}的表达式。同理，将式(8)除以R\_{2}或R\_{3}也能得到相应的表达式。

参考文献
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* William Stevenson，"Elements of Power System Analysis 3rd ed."，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4

1. ↑   A.E. Kennelly, *Equivalence of triangles and stars in conducting networks*, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.

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