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保罗·埃伦费斯特。
在量子力學裏，**埃倫費斯特定理**（）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ；
其中，A 是某個量子算符，\langle A\rangle  是它的期望值，H 是哈密頓算符，t 是時間，\hbar  是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 i\hbar  ，再取 i\hbar  趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

導引
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假設，一個物理系統的量子態為 \Phi (x,\ t) ，則算符 A 的期望值對於時間的導數為

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{\*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{\*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{\*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}
薛丁格方程表明哈密頓算符 H 與時間 t 的關係為

H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}} 。
其共軛複數為

(H\Phi )^{\*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{\*}}{\partial t}} 。
因為哈密頓算符是厄米算符，H^{\*}=H 。所以，

(H\Phi )^{\*}=\Phi ^{\*}H^{\*}=\Phi ^{\*}H 。
將這三個方程式代入 {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle  的方程式，則可得到

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{\*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle  。
所以，埃倫費斯特定理成立：

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle  。

實例
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使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

### 守恆的哈密頓量

考慮哈密頓算符 H ：

{\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle  。
假若，哈密頓量顯性地不含時間，{\frac {\partial H}{\partial t}}=0 ，則

\langle H\rangle =H\_{0} ，
哈密頓量是個常數H\_0 。

### 位置的期望值對於時間的導數

試想一個質量為 m 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t) ;
其中，x 為位置，p 是動量，V 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle 。
由於 xpp-ppx=i2\hbar p ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle 。
這樣，可以得到動量 p 的期望值。

### 動量的期望值對於時間的導數

應用埃倫費斯特定理，

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle  。
由於 p 與自己互相交換，所以，[p,\ p^{2}]=0 。又在坐標空間裏，動量算符 p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}} 不含時間：{\frac {\partial p}{\partial t}}=0 。所以，

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle  。
將泊松括號展開，

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{\*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{\*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx 。
使用乘法定則，

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle  。
在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 F 的期望值。

經典極限
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取經典極限，\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }} ，則可得到一組完全的量子運動方程式：

{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle  ，
{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }} 。
這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

{\frac {dx}{dt}}=v ，
{\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}} 。
取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為**埃倫費斯特定理**。這經典極限是什麼呢？標記 V\,'(x) 為 {\frac {\partial V(x)}{\partial x}} 。設定 \langle x\rangle =x\_{0} 。泰勒展開 V\,'(x) 於 x\_{0} ：

V\,'(x)=V\,'(x\_{0})+(x-x\_{0})V\,''(x\_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x\_{0})^{2}V\,'''(x\_{0})+\ \dots  。
由於 \langle x-x\_{0}\rangle =0 ，{\displaystyle \langle (x-x\_{0})^{2}\rangle =\sigma \_{x}^{2}} ，

\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x\_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma \_{x}^{2}\ V\,''(x\_{0}) 。
這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參閱
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* 維里定理

參考文獻
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1. ↑  Smith, Henrik.. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Tannor, David J.. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

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