匈牙利语人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。
**塞邁雷迪－特羅特定理**為組合幾何的定理，其斷言給定歐氏平面上任意n個點和m條直線，至多發生

{\displaystyle O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right)}
次重合（incidence，即二元組{\displaystyle (p,\ell )}，其中p為一點，\ell 為直線，且p在\ell 上）。

此上界已經是最優的上界了，唯一的改進只可能出現在大O符號中隱藏的常數倍數。

考慮隱藏常數的話，保奇·亞諾什（英语：）、拉多什·拉多伊契奇（Radoš Radoičić）、陶爾多什·加博爾（英语：）、托特·蓋薩（英语：）四人給出上界{\displaystyle 2.5n^{2/3}m^{2/3}+n+m}。此後，由於交叉數不等式的常數得到改進，塞邁雷迪－特羅特定理的常數也相應得到改進。截至2019年末，最優的常數是{\displaystyle 2.44}。 另一方面，保奇和托特證明，若將上式的常數{\displaystyle 2.5}換成{\displaystyle 0.42}，則不再為重合數的上界。

定理也有以下等價形式：若給定n個點和整數{\displaystyle k\geq 2}，則經過至少k個點的直線數至多為

{\displaystyle O\left({\frac {n^{2}}{k^{3}}}+{\frac {n}{k}}\right).}
定理得名自塞邁雷迪·安德烈和威廉·特羅特（英语：），其最先的證明較複雜，用到稱為「胞分解」（cell decomposition）的組合技巧。其後，塞凱利·拉茲洛（Székely László）利用圖的交叉數不等式，給出更簡單的證明， 詳見下文。

塞邁雷迪－特羅特定理可推導出若干其他定理，例如重合幾何的貝克定理（英语：）和算術組合學（英语：）的艾狄胥－塞邁雷迪和積定理（英语：）。

第一形式的證明
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先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為2m。於是現在僅需考慮餘下的直線，而該些直線每條經過至少三點。

若一條直線上恰有k個點，則該些點將直線截斷成k-1條線段（不計首尾僅得一端點的射線）。由於假設k\ge 3（已無須考慮僅經過至多兩點的直線），有{\displaystyle k-1\geq k/2}，即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和，可知該些線段的總數e亦至少為總重合數之半，從而只需證明

{\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}
以該n點為頂點，並以該e條線段為邊建圖。每條線段皆為m條直線中某一條的部分，且每兩條直線交於至多一點，故圖的交叉數至多為{\displaystyle m(m-1)/2}。再由交叉數不等式知，或者有{\displaystyle e\leq 7.5n}，或者有{\displaystyle m(m-1)/2\geq e^{3}/33.75n^{2}}。兩者皆推出{\displaystyle e\leq 3.24(nm)^{2/3}+7.5n}，從而得到上界

{\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).}

第二形式的證明
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因為過兩點至多只有一條直線，且{\displaystyle k\geq 2}，所以經過至少k個點的直線至多只有n(n-1)/2條。若k很小（k小於某個絕對常數C），則此上界n(n-1)/2已足以證明定理的第二形式。於是，以下僅需考慮k較大的情況（{\displaystyle k\geq C}）。

設經過至少k個點的直線恰有m條直線，則其上至少有mk次重合，故由定理的第一形式，得

{\displaystyle mk=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),}
所以{\displaystyle mk=O(n^{2/3}m^{2/3})}、{\displaystyle mk=O(n)}、{\displaystyle mk=O(m)}三式至少有一式成立。第三式不可能，因為已設k為大，所以必有前兩者之一。但經初等運算可知，前兩者皆推出{\displaystyle m=O(n^{2}/k^{3}+n/k)}。

取到上界的例子
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若不考慮上界隱含的常數，則塞邁雷迪－特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下：對任意正整數{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，考慮整數格點集

{\displaystyle P=\left\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\ :\ 1\leq a\leq N;1\leq b\leq 2N^{2}\right\},}
和一族直線

{\displaystyle L=\left\{(x,mx+b)\ :\ m,b\in \mathbb {Z} ;1\leq m\leq N;1\leq b\leq N^{2}\right\}.}
於是，有{\displaystyle |P|=2N^{3}}個點和{\displaystyle |L|=N^{3}}條直線。由於每條直線都通過N點（每個{\displaystyle x\in \{1,\cdots ,N\}})對應一點），總重合數為{\displaystyle N^{4}}，已達上界{\displaystyle O(N^{4}+N^{3}+N^{3})=O(N^{4})}。

高維推廣
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潘卡傑·阿加爾瓦爾（英语：）及鮑里斯·阿洛諾夫（英语：）發現定理的高維推廣：給定d維空間{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}的n點（記其集合為S）和m個（{\displaystyle d-1}維）超平面（記其集合為H），則S和H之間的重合數有上界

{\displaystyle O\left(m^{\frac {2}{3}}n^{\frac {d}{3}}+n^{d-1}\right).}
也可以等價寫成：H中通過至少k個點的超平面數目至多為

{\displaystyle O\left({\frac {n^{d}}{k^{3}}}+{\frac {n^{d-1}}{k}}\right).}
赫伯特·埃德斯布倫內（英语：）給出了漸近最優的構造，從而上述上界亦不能再改進。

紹利莫希·約瑟夫（英语：）和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況，並在其滿足「某些擬直線（pseudo-line）類公設」的情況下，得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到多項式火腿三文治定理（英语：）。

複二維平面
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實域\mathbb {R} 上的塞邁雷迪－特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲，所以不能直接推廣到其他域上，塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類，其不能適用於複域上的平面\mathbb{C}^2。

托特·喬鮑（Tóth Csaba）將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到\mathbb{C}^2。喬書亞·扎爾（Joshua Zahl）利用另一個方法，也獨立地證明此結論。然而，其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異：托特證明了該常數可取為{\displaystyle 10^{60}}，而扎爾的證明並無給出具體的常數。

若限定點集為笛卡兒積，則紹利莫希·約瑟夫（英语：）和陶爾多什·加博爾（英语：）更簡單地證明了塞邁雷迪－特羅特上界仍成立。

有限域上
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在一般域\mathbb{F}上，塞邁雷迪－特羅特上界不一定成立。例如：取有限域\mathbb{F}\_p的二維平面上全部p^2個點的集合{\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbb {F} \_{p}\times \mathbb {F} \_{p}}，又取全部p^2條直線的集合{\mathcal {L}}，則每條直線經過p個點，故有{\displaystyle p^{3}}次重合。另一方面，塞邁雷迪－特羅特上界僅為{\displaystyle O\left((p^{2})^{2/3}(p^{2})^{2/3}+p^{2}\right)=O(p^{8/3})}。此例子說明平凡上界mn已為最優。

讓·布爾甘、內茨·卡茨（英语：）、陶哲軒三人證明，除此例子外，平凡上界可以改進。

有限域上的重合數大致分為兩類：

1. 點數與直線數有一者「遠大於」域的特徵；
2. 兩者與域的特徵相比皆「不太大」。

### 點集或直線集大的情況

設q為奇質數冪。黎英榮（Lê Anh Vinh）證明，{\displaystyle \mathbb {F} \_{q}^{2}}上n點與m條直線的重合數至多為

{\displaystyle {\frac {nm}{q}}+{\sqrt {qnm}}.}

且上式並無隱含常數。

### 點集及直線集皆不大的情況

設\mathbb{F}為域，且其特徵為p\neq 2。蘇菲·史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗蘭克·德齊烏（Frank de Zeeuw）證明，若{\displaystyle m^{-2}n^{13}\leq p^{15}}（p=0時無需此條件），則{\displaystyle \mathbb {F} ^{2}}上n點和m條直線的重合數至多為

{\displaystyle O\left(m^{\frac {11}{15}}n^{\frac {11}{15}}\right).}

{\displaystyle m^{7/8}<n<m^{8/7}}時，此上界比塞邁雷迪－特羅特上界更優。

若限定點集為笛卡兒積，則其證明以下更佳的上界：證{\displaystyle {\mathcal {P}}=A\times B\subseteq \mathbb {F} ^{2}}為有限點集，其中{\displaystyle |A|\leq |B|}，又設{\displaystyle {\mathcal {L}}}為平面上有限條直線的集合。假設{\displaystyle |A||B|^{2}\leq |{\mathcal {L}}|^{3}}，而若特徵為正就再加上條件{\displaystyle |A||{\mathcal {L}}|\leq p^{2}}，則\mathcal{P}和{\displaystyle {\mathcal {L}}}組成的重合數至多為

{\displaystyle O\left(|A|^{\frac {3}{4}}|B|^{\frac {1}{2}}|{\mathcal {L}}|^{\frac {3}{4}}+|{\mathcal {L}}|\right).}

此上界為最優。由於平面有點線對偶（英语：），也可以將上述定理中，點和線的角色互換，得到對偶版本，適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。

米沙·魯德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亞·什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況（不論在實域或任意域），給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。

參考資料
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