此條目介紹的是圖論中的基本研究對象。关于數學函數的圖，请见「**函数图形**」。关于抽象数据类型，请见「**图 (数据结构)**」。关于其他主題，请见「**图**」。
一個有6個頂點，7条邊的圖
在离散数学中，**图**（）是用于表示物体与物体之间存在某种关系的结构。数学抽象后的"物体"称作**节点**或**顶点**（英語：），节点间的相关关系则称作**边**。在描绘一张图的时候，通常用一组点或小圆圈表示节点，其间的边则使用直线或曲线。

图中的边可以是有方向或没有方向的。例如在一张图中，如果节点表示聚会上的人，而边表示两人曾经握手，则该图就是没有方向的，因为甲和乙握过手也意味着乙一定和甲握过手。相反，如果一条从甲到乙的边表示甲欠乙的钱，则该图就是有方向的，因为"曾经欠钱"这个关系不一定是双向的。前一种图称为**无向图**，后一种称为**有向图**。

图是图论中的基本概念。1878年，詹姆斯·西尔维斯特首次使用"图"这一名词：他用图来表示数学和化学分子结构之间的关系（他称为"化学图"，英語：）。

定义
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在图论中，图的定义有很多。下面是一些比较基本的定义方式以及与它们相关的数学结构。

###  图

一张有3个节点和3条边的图
一张图（为了和**有向图**区分，也称**无向图**；为了和多重图区分，也称**简单图**）是一个二元组*G* = (*V*, *E*)，其中集合V中的元素称为**节点**，集合E中的元素是两个节点组成的无序对，称为**边**。集合V称为**点集**，E称为**边集**。

一条边{\displaystyle \{x,y\}}上的两个节点*x*和*y*称作这条边的**顶点**或**端点**；也说这条边**连接**了节点*x*和*y*，或这条边与*x*和*y***关联**（英語：）。一个节点可以不属于任何边，即它不与任何节点相连。由于{\displaystyle \{x,y\}}是无序对，{\displaystyle \{x,y\}}和{\displaystyle \{y,x\}}表示的是同一个元素。

更一般地，多重图的定义中允许同一对节点之间存在多条不同的边。在特定语境中，多重图也可以直接称作图。此时，在上面的定义中，集合*E*应该为多重集。

有时，图的定义中允许**自环**（简称**环**，英語：），即一条连接一个节点和其自身的边。允许自环的图也称为**自环图**。

点集*V*一般是有限集；这意味着边集*E*也是有限集（不考虑多重图）。相对地，无限图（英语：）中的点集可以是无限的。然而，由于有限图中的结论大多不能延伸到无穷图，无穷图通常更被视为一种特殊的二元关系。

一个点集为空集的图称为空图（因此边集也是空集）。图的**阶**（英語：）是指其中节点的数量，即|*V*|。图的**边数**是指其边的数量，即|*E*|。图的**大小**（）一般也指图的边数。但在一些语境中，例如描述算法复杂度的时候，图的大小是指|*V*|+|*E*|（否则非空图的大小也有可能是0）。节点的**度**（英語：）是指连接到该节点的边的数量；对于允许自环的图，环要算做两条边（因为两端都连接到这个节点）。

如果一个图的阶是*n*，则其节点的度最大可能取*n*-1（对于允许自环的图则是*n*），而边最多可能有*n*(*n* − 1)/2条(对于允许自环的图则是*n*(*n* + 1)/2）。

在图的定义中，边的概念定义了节点上的一个对称关系，即"邻接"关系（英語：）。具体地说，对于两个节点*x*和*y*，如果{\displaystyle \{x,y\}}是一条边，则称它们是邻接的。一张图因此可以用其邻接矩阵*A*来表示，即一个n\times n的矩阵，其中每个元素*Aij*表示节点*i*和*j*之间的边的数量。对于一个简单图，总有{\displaystyle A\_{ij}\in \{0,1\}}，分别表示"不相连"和"相连"，而{\displaystyle A\_{ii}=0}（即一条边的两个顶点不能相同）。允许自环的图上{\displaystyle A\_{ii}}的取值可以是非负整数，而多重图则允许任何{\displaystyle A\_{ij}}的取值都是非负整数。无向图的邻接矩阵是对称阵（{\displaystyle A\_{ij}=A\_{ji}}）。

### 有向图

条目：有向图
一张3个节点和4条边组成的有向图（双向箭头表示两个方向上各有一条边）
边为有方向的图称作**有向图**（英語：）。

有向图的一种比较严格的定义是这样的：一个二元组G=(V,E)，其中

* V是**节点**的集合；
* {\displaystyle E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}是**边**（也称为*有向边*，英語：；或**弧**，英語：）的集合，其中的元素是节点的有序对。

为了和多重图区分，这样的有向图也称为**有向简单图**。

在从x到y的边(x,y) 上，节点x和y称作这条边的**顶点**，其中x是**起点**或**尾**（英語：），y是**终点**或**头**。也说这条边**连接**了节点x和y、这条边与节点x和y**关联**。一张有向图中的节点可以不属于任何一条边。边{\displaystyle (y,x)}称为边(x,y)的**反向边**。

节点的**出度**（英語：）是指起点为该节点的边的数量；节点的**入度**（英語：）是指终点为该节点的边的数量。

更一般地，如果一张有向图允许多条头尾都分别相同的边，则称这样的图为**有向多重图**，这样的边称为**多重边**。一种允许多重边的有向图定义方法如下：一个**有向图**是这样的三元组{\displaystyle G=(V,E,\phi )}：

* V是节点的集合；
* E是边的集合；
* {\displaystyle \phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}是一个**关联函数**，将每条边映射到一个由顶点组成的有序对上（即一条边被按顺序关联到两个顶点）。

自环是指一条起点和终点相同的边。前面的两个定义都不允许自环，因为若节点x上有一个自环，则边(x,x)存在；但这样的边不在{\displaystyle \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}中。因此，如果要允许自环，则上面的定义要做修改：对于有向简单图，E的定义应该修改为{\displaystyle E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}}；对于有向多重图，\phi 的定义应该修改为{\displaystyle \phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}}。为了避免定义不清，这样的图分别称作**允许自环的有向简单图**或**允许自环的有向多重图**（英語：）。

在允许自环的有向简单图G中，边是V上的一个齐次关系（英语：）\sim，称作G上的**邻接关系**。 
对于顶点是x和y的边(x,y)，我们说x和y是彼此**邻接**的，记作{\displaystyle x\sim y}。

### 混合图

条目：混合图
边既可以有向、也可以无向的图称作**混合图**。**混合简单图**是一个多元组*G* = (*V*, *E*, *A*)，而**混合多重图**则是多元组*G* = (*V*, *E*, *A*, *ϕ**E*, *ϕ**A*)，其中*V*、*E*（无向边集）、*A*（有向边集）、*ϕ**E*、*ϕ**A*的定义可以参考前面的无向图和有向图定义。在此定义下，有向图和无向图是混合图的特殊情况。

### 赋权图

一张有10个节点和12条边的赋权图
**赋权图**（英語：，也称**加权图**、**网络**（英語：））是指每条边都对应有一个数字（即"权重"，）的图。根据具体问题，权重可以表示诸如费用、长度或容量等意义。这样的图会出现在最短路径问题和旅行商问题等问题中。

基本术语
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条目：图论术语
* **子图**（）：对于圖G和图G'，若V(G')\subseteq V(G)且E(G')\subseteq E(G)，则称G'是G的子图。
* **生成子图**（）：指满足条件V(G')=V(G)的G的子图G'。
* **链**()、**轨迹**()、**路径**()：链是顶点v\_i和边e\_i交替出现的序列{\displaystyle W=v\_{i\_{0}}e\_{i\_{0}}v\_{i\_{1}}...e\_{i\_{k}}v\_{i\_{k}}}称作一个长度为*k*的链，其中{\displaystyle v\_{i\_{0}}}和{\displaystyle v\_{i\_{k}}}为其端点，其余顶点为内部点。所有边都不相同的链称为轨迹（简称迹）。所有顶点都不相同的轨迹称为路径（简称路）。在有向图中，若链（迹、路）的方向和其中每条边的方向一致，则称其为有向链（迹、路）。
* 两端点相同的链和迹分别称为闭链（或环，）、闭迹（或回路，）。
* **距離**（Distance）： 从頂點u出發到頂點v的最短路徑若存在，則此路徑的長度稱作從u到v的距離。

特殊的图
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### 正则图

条目：正则图
**正则图**是指每个节点的**邻居**（英語：）数量都相同的图，即每个节点的度都相同的图。节点的度为*k*的正则图也称作*k*-正则图。

### 完全图

条目：完全图
一张有5个节点和10条边的完全图，其中每个节点都和所有其它节点相连。
**完全图**（英語：）是指每对节点之间都有一条边相连的图。一张完全图包含简单图所有可能出现的边。

### 有限图

**有限图**（英語：）是指点集和边集是有限集的图。否则，则称为**无限图**。在不加说明的情况下，图论中讨论的图大多是有限图。

### 连通图

条目：连通图和连通度（英语：）
在无向图中，如果存在*x*和*y*之间的路径，则称此两节点的无序对{\displaystyle \{x,y\}}是**连通**的；否则，则称此两点是**非联通**的。

**连通图**是指每对节点都连通的无向图。否则，则称图是**非连通图**。

在有向图中，如果存在*x*和*y*之间的有向路径，则称此两节点的有序对{\displaystyle \{x,y\}}是**强连通**的。此外，若将图中的所有边都换为无向边，得到的无向图中存在*x*和*y*之间的路径，则称此两节点是**弱连通**的。否则，则称此两点是**非联通**的。

**强连通图**是指每对节点都强连通的有向图。此外，**弱连通图**是指每对节点都弱联通的有向图。否则，则称图是**非连通图**。

对于一张图，若不存在大小为*k* − 1的点集或边集，使得从图中移除该集合后，图就变为非连通图，则称该图是***k*-点连通图（英语：）**或***k*-边连通图（英语：）**。*k*-点连通图通常也简称*k*-连通图。

### 二分图

条目：二分图
**二分图**（英語：）是指这样的简单图：其点集可以被划分称两个集合*W*和*X*，其中*W*中的任意两个节点之间没有边相连，*X*中的任意两个节点之间也没有边相连。二分图是点着色色数为2的图。

若一张图的点集是两个集合*W*和*X*的无交并，使得*W*中的任意节点都和*X*中的所有节点邻接，且*W*或*X*之内没有边，则称此图是**完全二分图**。

### 平面图

条目：平面图 (图论)
**平面图**是指可以将其节点和边画在平面上，而没有两边相交的图。

### 循环图

条目：循环图
阶为*n*≥3的**循环图**（英語：）或**环形图**（英語：）是指其节点可以列为*v*1, *v*2, …, *v**n*，使得图中的边为{\displaystyle \{v\_{i},v\_{i+1}\}}，其中*i*=1, 2, …, *n* − 1，以及{\displaystyle \{v\_{n},v\_{1}\}}。循环图的另一种定义是所有点的度都为2的连通图。如果循环图是另一个图的子图，则它是那个图中的一个环。

### 树和森林

条目：树 (图论)
**树**是指任意两点之间都有且仅有一条路径的无向图。等价地，**树**是一个连通无环无向图。

**森林**是指任意两点之间**至多**仅有一条路径的无向图。等价地，**森林**是一个无环无向图，或一组树的无交并。

### 其它特殊的图

一些进阶的特殊图包括：

* 佩特森圖；
* 完美图（英语：）；
* 弦图；
* 强正则图（英语：）。

例子
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一张6个节点和7条边的图
* 右边的图示是一个点集为{\displaystyle V=\{1,2,3,4,5,6\}}、边集为{\displaystyle E=\{\{1,2\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\},\{4,6\}\}}的图。
* 在计算机科学中，有向图可以用于表示概念图、有限状态自动机，以及其它许多数据结构。
* 任意集合*X*上的二元关系*R*都可定义一个有向图。*X*中的元素*x*到*y*有一条边，当且仅当*xRy*。
* 有向图可以用于表示信息网络。例如，在推特上，用户之间的关注关系可以用有向图表示。

图运算
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条目：图运算
图上可以进行一些运算或变换，使一个图变为另一个图：

* **一元运算**，将一个图变换为另一个图，例如：
	+ 边收缩，
	+ 线图，
	+ 对偶图，
	+ 补图；
* **二元运算**，结合两个图为一个新图，例如：
	+ 图的无交并（英语：），
	+ 图乘积，包括图的笛卡尔乘积（英语：）、图的张量积（英语：）、图的强乘积（英语：）、图的字典积等，
	+ 图的串并联（英语：）等。

图的推广
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在超图中，允许一条边连接多于两个节点。

无向图可以看作是由1-单纯形（边）和0-单纯形（节点）组成的单纯复形。由此，复形成为图的推广，其中允许维度更高的单纯形。

图可以看作是一种拟阵。

在模型论中，图是一个结构。这样一来，边的数量可以是任意基数。参见图极限。

在计算生物学中，幂图（英语：）推广了无向图的定义。

在地理信息系统中，为了进行道路网络或电网的时空分析而提出的几何网络（英语：）的定义参考了图，并借用了许多图论的概念。

参见
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* 概念图
* 图 (数据结构)
* 图论
* 图数据库
* 网络理论

参考资料
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### 脚注

1. ↑  Trudeau, Richard J.  Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 19  [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始内容存档于2019-05-05）. A graph is an object consisting of two sets called its *vertex set* and its *edge set*.
2. ↑  See:

	* J. J. Sylvester (February 7, 1878) "Chemistry and algebra," （页面存档备份，存于） *Nature*, *17* : 284. doi:10.1038/017284a0. From page 284: "Every invariant and covariant thus becomes expressible by a *graph* precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph."
	* J. J. Sylvester (1878) "On an application of the new atomic theory to the graphical representation of the invariants and covariants of binary quantics, – with three appendices," （页面存档备份，存于） *American Journal of Mathematics, Pure and Applied*, *1* (1) : 64–90. doi:10.2307/2369436. JSTOR 2369436. The term "graph" first appears in this paper on page 65.
3. ↑  Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay.. CRC Press. 2004: 35  [2021-08-14]. ISBN 978-1-58488-090-5. （原始内容存档于2021-08-14）.
4. ↑  Bender & Williamson 2010，第148頁.
5. ↑  参见 Iyanaga and Kawada, *69 J*, p. 234 or Biggs, p. 4.
6. ↑  Bender & Williamson 2010，第149頁.
7. ↑  Graham et al. p. 5.
8. 1 2  Bender & Williamson 2010，第161頁.
9. ↑  徐 2004，第1頁.
10. ↑  Strang, Gilbert,  4th, Brooks Cole, 2005  [2021-08-14], ISBN 978-0-03-010567-8, （原始内容存档于2020-09-20）
11. ↑  Lewis, John,  4th, Pearson: 405, 2013, ISBN 978-0133250121
12. ↑  Fletcher, Peter; Hoyle, Hughes; Patty, C. Wayne.  International student. Boston: PWS-KENT Pub. Co. 1991: 463. ISBN 978-0-53492-373-0. A *weighted graph* is a graph in which a number *w(e)*, called its *weight*, is assigned to each edge *e*.
13. ↑  徐 2004，第20-21頁.
14. ↑  Grandjean, Martin.. Cogent Arts & Humanities. 2016, **3** (1): 1171458  [2021-08-14]. doi:10.1080/23311983.2016.1171458 可免费查阅. （原始内容存档于2021-03-02）.
15. ↑  Pankaj Gupta, Ashish Goel, Jimmy Lin, Aneesh Sharma, Dong Wang, and Reza Bosagh Zadeh WTF: The who-to-follow system at Twitter （页面存档备份，存于）, *Proceedings of the 22nd international conference on World Wide Web*. doi:10.1145/2488388.2488433.

### 文献

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* 徐, 俊明.  第二版. 合肥: 中国科学技术大学出版社. 2004. ISBN 7-312-00979-4.
* Balakrishnan, V. K.  1st. McGraw-Hill. 1997. ISBN 978-0-07-005489-9.
* Bang-Jensen, J.; Gutin, G.. Springer. 2000  [2021-08-14]. （原始内容存档于2011-08-26）.
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* Berge, Claude.. Paris: Dunod. 1958 （法语）.
* Biggs, Norman.  2nd. Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-45897-9.
* Bollobás, Béla.  1st. Springer. 2002. ISBN 978-0-387-98488-9.
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* Graham, R.L.; Grötschel, M.; Lovász, L.. MIT Press. 1995. ISBN 978-0-262-07169-7.
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* Harary, Frank.. Addison Wesley Publishing Company. 1995. ISBN 978-0-201-41033-4.
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外部链接
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* Springer-Verlag, Heidelberg.. 2016  [2019-07-22]. （原始内容存档于2012-02-08）.
* 维基共享资源上的相關多媒體資源：图
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

* icon数学主题

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* 论
* 编
图论 |
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| 图 | 

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| 種類 | 
* 有向图
* 无向图
* 有向无环图
* 二分图
* 多分圖
* 连通图
* 完全图
* 圖標號
* 超图
* 多重图
* 平面图
* 伪图
* 正则图
* 树
* 赋权图
* 轮图
* 線圖

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|  |
| 結構 | 
* 节点
* 边
* 回路
* 自環
* 弦
* 環
* 桥
* 子图
* 團
* 補圖

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| 属性 | 
* 边连通
* 围长
* 重数
* 階
* 尺寸
* 顶点连通
* 圖不變量

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| 二元運算 | 
* 圖乘積
* 圖運算

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| 映射、關係 | 
* 圖同態
* 圖同構
* 圖同胚
* 圖子式

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| 定理 | 

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| 染色 | 
* 四色
* 布鲁克斯

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| 平面性 | 
* 库拉托夫斯基
* 交叉數不等式

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| 極值（英语：） | 
* 圖蘭
* 艾狄胥-斯通
* 霍爾

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