**提示**：此条目的主题不是**歐拉公式**。 

cis函數示意圖

一個可以代表cis函數的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部

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| **cis函數** |
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| *性質* |
| 奇偶性 |  N/A  |
| 定義域 |  (-∞,∞)  |
| 到達域 |  \left|\operatorname{cis}x\right| = 1 \, ,\operatorname{cis}x \in \mathbb{C} |
| 周期 |  2π  |
| *特定值* |
| 當x=0 |  1  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  |  複數無法比大小  |
|  最小值  |  複數無法比大小  |
| *其他性質* |
| 渐近线 |  N/A  |
| 根 |  N/A  |
| 臨界點 |  N/A  |
| 拐點 |  kπ  |
| 不動點 |  0  |
| k是一個整數. |

在微积分学中，**cis函數**又稱**純虛數指數函數**，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數{\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}來定義，是一種實變數複數值函數（英语：），其中i為虛數單位，而cis則為**c**os + **i** **s**in的縮寫。

概觀
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cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
其中*i*表示虛數單位i^{2}=-1。因此

{\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}
cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》

以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號

，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

性質
--

cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为2\pi 。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

\operatorname{cis} \theta = \frac{z}{\left| z\right|}，其中z是辐角為\theta 的複數
因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。

**{\displaystyle \operatorname {cis} }函數**可視為求單位複數的函數。

**{\displaystyle \operatorname {cis} }**函數的實數部分和餘弦函數相同。

cis函數 定義在複數。圖中，顏色代表辐角，高代表模
### 微分

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}
### 積分

{\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}
### 其他性質

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}
{\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}
上述性質是當x與y都是複數時成立。在x與y都是實數時，有以下不等式：

{\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}

命名
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由於{\displaystyle \operatorname {cis} }函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以{\displaystyle \operatorname {cis} }來表示該函數。

歐拉公式
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条目：歐拉公式
在數學上，為了簡化歐拉公式e^{ix} = \cos x + i\sin x \ ，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了**cis函數**的定義：

\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i\;\sin \theta
並且一般定義域為\theta \in \mathbb{R}\,，值域為\theta \in \mathbb{C}\,。

當\theta 值為複數時，{\displaystyle \operatorname {cis} }函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

棣莫弗公式
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条目：棣莫弗公式
在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

{\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}

指數定義
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跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:
\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}

反函數
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{\displaystyle \operatorname {cis} }的反函數：{\displaystyle \operatorname {arccis} x}，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，{\displaystyle \operatorname {cis} }的反函數也可以用自然對數來表示

\operatorname{arccis} \, x =-{\mathrm{i}} \ln x \,
當一複數經過符號函數後代入{\displaystyle \operatorname {arccis} x}可得輻角。

恆等式
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{\displaystyle \operatorname {cis} }函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

### 半形公式

\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \frac{(1+i) + (1-i)\cos \theta}{\sin \theta}
\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \sqrt{\operatorname{cis} \theta}
### 倍角公式

\operatorname{cis} 2\theta = \operatorname{cis}^2 \theta
\operatorname{cis} n\theta = \operatorname{cis}^n \theta
### 冪簡約公式

\operatorname{cis}^n \theta = \operatorname{cis} n\theta

相關函數
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### 餘cis函數

cocis函數，正好跟cis上下顛倒，周期相同，但是位移了\frac{\pi}{2}
就如同三角函數，我們可以令：\operatorname {cocis}\theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta ，其可用於誘導公式來化簡某些特定的{\displaystyle \operatorname {cis} }函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

\operatorname{cocis} \theta = \frac{(1-i)e^{i \theta }+(1+i)e^{-i \theta }}{2}
有恆等式:

\operatorname{cis} (-\theta) = -i\operatorname{cocis} \theta
\operatorname {cis}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis}\theta 
\operatorname {cis}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis}\theta 
\operatorname{cis} (\pi+\theta) = -\operatorname{cis} \theta
\operatorname{cocis} (-\theta) = i\operatorname{cis} \theta
\operatorname {cocis}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis}\theta 
\operatorname {cocis}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis}\theta 
\operatorname{cocis} (\pi+\theta ) = -\operatorname{cocis} \theta

### 雙曲cis函數

cish函數（{\displaystyle \cosh +i\sinh }）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

{\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}
然而當中的i若定義為負一的平方根，則其會變為：

{\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}
雙曲複數
条目：雙曲複數
在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數z=x+jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j^2是實數。選取j^2=-1，得到一般複數。取+1的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)

\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)
其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

### cas函數

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利（英语：）於1942提出，其定義為{\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換（英语：）：

{\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}
cas函數存在一些恆等式：

{\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}
角和公式：

{\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}
微分：

{\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}

參見
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* 正弦
* 餘弦
* 複數 (數學)
* 三角函数
* 三角函数恆等式
* 歐拉公式

參考文獻
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1. 1 2 3 4  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2016-01-09]. （原始内容存档于2016-01-27） （英语）.
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5. 1 2  Stringham, Irving.  **1**. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891]  [2016-01-18]. As an abbreviation for cos *θ* + *i* sin *θ* it is convenient to use cis *θ*, which may be read: *sector of θ*.
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