在抽象代数中，**體**（德語：，英語：）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，**體**正是**数域**以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由ÉvaristeGalois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定义
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給定集合 K ，它具有了以下兩種二元运算：

* {\displaystyle +:K\times K\to K} （其中 {\displaystyle +(a,\,b)} 慣例上簡記為 a + b ）
* {\displaystyle \times :K\times K\to K} （其中 {\displaystyle \times (a,\,b)} 慣例上簡記為 a \times b 或 {\displaystyle a\cdot b} 甚至是 ab ）

滿足：

1. {\displaystyle \left(K,\,+\right)} 為交换群，且其單位元為 {\displaystyle 0\_{K}} 。
2. {\displaystyle \left(K-\{0\_{K}\},\,\times \right)} 為交换群。
3. 分配律：對所有 {\displaystyle a,\,b,\,c\in K}，{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c} 且 {\displaystyle (b+c)\times a=b\times a+c\times a}。

那稱「 {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體」，當二元运算的符號不重要時，亦可將 {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 簡記為 K 。

### 慣用符號與稱呼

(1)體的代號：

有時會基於德语  ，以字母 K 代稱體，但也會基於英语  以 F 代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上，\times 被稱為**乘法**， {\displaystyle \left(K-\{0\_{K}\},\,\times \right)} 的單位元會記為 {\displaystyle 1\_{K}} ，並稱為 {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 的**乘法單位元**。

類似地， + 被稱為**加法**， {\displaystyle 0\_{K}} 被稱為體的**加法單位元**。所以在省略括弧後，仍依照**先乘後加**的方式閱讀。

(3)減法與除法：

對於任意 {\displaystyle a,\,b\in K} ，會依據群的習慣，將 a 的加法逆元素記做 -a ，並將 {\displaystyle b+(-a)} 簡記為 b-a ，並可暱稱為**減法**。

類似地，若 {\displaystyle a\neq 0\_{K}} ， a 的乘法逆元素記做 \frac{1}{a} ，並將 {\displaystyle b\times {\frac {1}{a}}} 簡記為 {\displaystyle {\frac {b}{a}}} ，並可暱稱為**除法**。

基本性質
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**定理** (1) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，那對任意 {\displaystyle a\in K} 有

{\displaystyle 0\_{k}\times a=a\times 0\_{K}=0\_{K}}

**證明**
根據分配律和加法單位元的性質會有

{\displaystyle a\times 0\_{k}=a\times (0\_{K}+0\_{k})=a\times 0\_{K}+a\times 0\_{K}}
{\displaystyle 0\_{k}\times a=(0\_{K}+0\_{k})\times a=0\_{k}\times a+0\_{k}\times a}
這樣的話，根據加法結合律還有加法單位元的性質有

{\displaystyle {\begin{aligned}0\_{K}&=-(a\times 0\_{K})+a\times 0\_{K}\\&=-(a\times 0\_{K})+(a\times 0\_{K}+a\times 0\_{K})\\&=[-(a\times 0\_{K})+a\times 0\_{K}]+a\times 0\_{K}\\&=0\_{K}+a\times 0\_{K}\\&=a\times 0\_{K}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}0\_{K}&=-(0\_{k}\times a)+0\_{k}\times a\\&=-(0\_{k}\times a)+(0\_{k}\times a+0\_{k}\times a)\\&=[-(0\_{k}\times a)+0\_{k}\times a]+0\_{k}\times a\\&=0\_{K}+0\_{k}\times a\\&=0\_{k}\times a\end{aligned}}}

故得証。\Box 

以上的定理也證明了，只要{\displaystyle \left(K,\,+\right)} 為交换群且有分配律，就足以決定 {\displaystyle 0\_{K}} 相關乘法的值。所以正式定義中把 {\displaystyle 0\_{K}} 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

**系理** (**乘法交換律**) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，那對任意 {\displaystyle a,\,b\in K} 有

a \times b = b \times a

**系理** (**乘法結合律**) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，那對任意 {\displaystyle a,\,b,\,c\in K} 有

a \times (b \times c) = (a \times b) \times c

**定理** (2) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，那對任意 {\displaystyle a,\,b\in K} 有

{\displaystyle -(a\times b)=(-a)\times b=a\times (-b)}

**證明**
根據乘法交換律跟分配律有

{\displaystyle {\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0\_{K}\end{aligned}}}

這樣根據定理(1)和加法交換律就有

{\displaystyle (a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0\_{K}}
所以

{\displaystyle -(a\times b)=[(-a)\times b]}
再考慮到乘法的交換律有

{\displaystyle -(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)}
故得証。\Box 

**定理** (3) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，若 {\displaystyle a,\,b\in K} 且 {\displaystyle a\neq 0\_{K}} 和 {\displaystyle b\neq 0\_{K}} ，則

{\displaystyle {\frac {1}{a\times b}}={\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}}

**證明**
根據乘法的結合律和交換律，還有乘法單位元的性質會有

{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b}}\times {\frac {1}{a}}\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times \left[{\frac {1}{a}}\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b}}\times \left[\left({\frac {1}{a}}\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b}}\times (1\_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times b\\&=1\_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\end{aligned}}}

故得証。\Box 

**定理** (4) — {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 為體，那對任意 {\displaystyle a,\,b\in K} ，若 {\displaystyle a\times b=0\_{K}} ， 則 {\displaystyle a=0\_{K}} 或 {\displaystyle b=0\_{K}}。

**證明**
如果 {\displaystyle K-\{0\_{K}\}=\varnothing } ，那對任意 {\displaystyle a\in K} 都有 {\displaystyle a=0\_{K}} ，所以以下只考慮 {\displaystyle K-\{0\_{K}\}\neq \varnothing } 狀況。

假設存在 {\displaystyle a,\,b\in K} 滿足 {\displaystyle a\neq 0\_{K}} 和 {\displaystyle b\neq 0\_{K}} ，但同時 {\displaystyle a\times b=0\_{K}} ，這樣根據定理(1)和(3)有

{\displaystyle {\begin{aligned}1\_{K}&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times 0\_{K}\\&=0\_{K}\end{aligned}}}

這顯然是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有的 {\displaystyle a,\,b\in K} ，只能「 {\displaystyle a,\,b} 其中一者為 {\displaystyle 0\_{K}} 」或「 {\displaystyle a\times b\neq 0\_{K}} 」，也就等價於：

「對所有 {\displaystyle a,\,b\in K} ，若 {\displaystyle a\times b=0\_{K}} 則 {\displaystyle a,\,b} 其中一者為 {\displaystyle 0\_{K}} 。」
故得証。\Box 

* 域*F*中的所有非零元素的集合（一般记作*F*×）是一个關於乘法的阿贝尔群。*F*×的每个有限子群都是循环群。
* 若存在正整数*n*使得0 = 1 + 1 + ... + 1（*n*个1），那么这样的*n*中最小的一个称为这个域的**特征**，特征要么是一个素数*p*，要么是0（表示这样的*n*不存在）。此时F中最小的子域分别是\mathbb{Q}或有限域\mathbb{F}\_p，称之为F的**素域**。
* 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
* 在选择公理成立的假设下，对每个域*F*都存在着唯一的一个域*G*（在同构意义上），*G*包含*F*，*G*是*F*的代数扩张，并且*G*代数封闭。*G*称作由*F*确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说*G*是*F*的一个代数闭包。

例子
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* 許多常见的数域都是域。比如说，全体複數的集合\mathbb{C} 與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合\mathbb{Q} 與其加法和乘法也是一个域，它是\mathbb{C} 的**子域**，并且不包含更小的子域了。
* 代数数域：代数数域是有理数域\mathbb{Q}的有限扩域，也就是说代数数域是\mathbb{Q}上的有限维向量空间。代数数域都同构于\mathbb{C} 的子域，并且这个同构保持\mathbb{Q}不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
* 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作\overline{\mathbb{Q}}。\overline{\mathbb{Q}}是有理数域\mathbb{Q}的代数闭包（见下）。\overline{\mathbb{Q}}是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
* 全体实数的集合\mathbb{R} 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域\mathbb{C} 的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
* 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是\mathbb{R} 的一个子域
* 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作**F**q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于**Z**/*p***Z** = {0, 1, ... *p* − 1}。令*p* = 2,就得到最小的域：**F**2。**F**2只含有两个元素0和1，运算法则如下：

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| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   | 

| \oplus  | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 | 

| \land  | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

 |

* 设*E*和*F*是两个域，*E*是*F*的子域，则*F*是*E*的 **扩域**。设*x*是*F*中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含*E*和*x*的*F*的子域，记作*E (x)*，*E (x)*称作*E*在*F*中关于 *x*的**单扩张**。比如说，复数域\mathbb{C} 就是实数域\mathbb{R} 在\mathbb{C} 中关于虚数单位*i*的单扩张
* 每一个有乘法么元的环*R*都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作*K*(*R*)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环"嵌入"其中（详见分式域）。可以证明，*K*(*R*)是包含*R*的"最小"的域。
* 设*F*是一个域，定义*F (X)*是所有以*F*中元素为系数的分式的集合，则*F (X)*是*F*的一个扩域。*F (X)*是*F*上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
* 设*F*是一个域，*p*(*X*)是多项式环*F*[*X*]上的一个不可约多项式，则商环*F*[*X*]/<*p*(*X*)>是一个域。其中的<*p*(*X*)>表示由*p*(*X*)生成的理想。举例来说，**R**[*X*]/<*X*2 + 1>是一个域（同构于复数域\mathbb{C} ）。可以证明，*F*的所有单扩张都同构于此类形式的域。
* 若*V*是域*F*上的一个代數簇，则所有*V → F* 的有理函数构成一个域，称为*V*的**函数域**。
* 若*S*是一个黎曼曲面，则全体*S → C* 的亚纯函数构成一个域。
* 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于2^{2^n}的所有自然数构成的子集）都是域。

有限體
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有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道{\displaystyle \mathbb {F} \_{2}}為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素{\displaystyle 1\neq 0}。

通常來說，最簡單的質數階體，就是{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}}，此處p為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數{\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }上的運算，然後除以p，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作{\displaystyle \mathbb {F} \_{p}}。要注意的是{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}}，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 {\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} } 中 {\displaystyle 2\times 2=0} ，因此 {\displaystyle (\{1,2,3\},\times )} 不能形成群。

如果我們將向量空間{\displaystyle {\mathit {V}}=\mathbb {F} \_{p}/m^{n}}，則我們將V稱作有限體向量空間，其中{\displaystyle n=\dim {\mathit {V}}}，可知這個向量空間中，有p^{n}個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是{\displaystyle GL\_{n}(\mathbb {F} \_{p})}，則此矩陣的元素有{\displaystyle (p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})}

歷史
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歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根*x*1, *x*2, *x*3的置換，在以下的表達

(*x*1 + ω*x*2 + ω2*x*3)3

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 *x* 到一個 *x*3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

建構體
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伽羅瓦理論
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請參見伽羅瓦理論

體的不變量
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應用
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參見
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* 特徵 (代数)
* 環論
* 域論
* 有序域

參考文獻
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1. 張幼賢等.. 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149  [2019-02-09]. ISBN 9789860440454. （原始内容存档于2020-12-06） （中文（臺灣））.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

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| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
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| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

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| 環論 | 

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| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

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|  |
| 論 | 

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|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

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