虛數單位i在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

|  |
| --- |
| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

|  |  |
| --- | --- |
| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
複數 \mathbb {C} 
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
  | 负数 \mathbb{R}^-
整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
  |

 |
| **延伸** |
| 
 

|  |  |
| --- | --- |
| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
  |

 |
| **其他** |
| 
 

|  |  |
| --- | --- |
| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
  |

圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
 |

在數學、物理及工程學裏，**虛數單位**是指二次方程{\displaystyle x^{2}+1=0}的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統\mathbb {R} 延伸至复数系統\mathbb {C} 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式{\displaystyle x^{2}+1=0}就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為i，在电机工程和相关领域中则标记为j，这是为了避免与电流（记为i(t)或i）混淆。

定義
--


|  |
| --- |
| \ldots  |
| {\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i} |
| {\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1} |
| {\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i} |
| {\displaystyle {{i}^{0}}=1} |
| {\displaystyle {{i}^{1}}=i} |
| {\displaystyle {{i}^{2}}=-1} |
| {\displaystyle {{i}^{3}}=-i} |
| {\displaystyle {{i}^{4}}=1} |
| {\displaystyle {{i}^{5}}=i} |
| {\displaystyle {{i}^{6}}=-1} |
| \ldots  |
|

虛數單位i定義為二次方程式{\displaystyle x^{2}+1=0}的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

{\displaystyle {{x}^{2}}=-1}。
由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號i。很重要的一點是，i是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
然而{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為{\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}，但是-1不等於1。
但請注意：{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}成立的條件有a,b不能為負數。
實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設i是一個未知數，然後依照i的定義，替代任何{\displaystyle i^{2}}的出現為-1。i的更高整數冪數也可以替代為-i，1，或i，根據下述方程式：

{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}，
{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}，
{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}。
一般地，有以下的公式：

{\displaystyle i^{4n}=1}
{\displaystyle i^{4n+1}=i}
{\displaystyle i^{4n+2}=-1}
{\displaystyle i^{4n+3}=-i}
{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}
其中{\displaystyle {\bmod {4}}}表示被4除的余数。

*i*和-*i*
--------

方程x^2 = -1有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i，那么-i（不等于i）也是一个解，由于这个方程是i的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然-i和i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i和-i之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

{\displaystyle -i^{2}=1}
{\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}

正当的使用
-----

虚数单位有时记为\sqrt{-1}。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}仅对于非负的实数a和b才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1（不正确）
-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1（不正确）
{\frac {1}{i}}={\frac {{\sqrt {1}}}{{\sqrt {-1}}}}={\sqrt {{\frac {1}{-1}}}}={\sqrt {-1}}=i（不正确）

*i*的运算
------

虛數單位i的平方根在複平面的位置
许多实数的运算都可以推广到i，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与i有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

* i的平方根为：

{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
这是因为：
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}
使用算术平方根符号表示：
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
其解法為先假設兩實數x及y，使得{\displaystyle (x+iy)^{2}=i}，求解x,y
* 一个数的ni次幂为：

{\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}
一个数的ni次方根为：
{\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}
利用歐拉公式
{\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}，k\in {\mathbb {Z}}
代入不同的k值，可計算出無限多的解。当k=0最小的解是{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }0.20787957635076...
* 以i为底的对数为：

{\displaystyle \log \_{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}
* i的余弦是一个实数：

{\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }1.5430806348152...
* i的正弦是纯虚数：

{\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }1.1752011936438...i

在程式語言
-----

* 大部分的程式語言都不提供**虛數單位**，且平方根函數(大多為**sqrt()**或**Math.Sqrt()**)的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
* 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
* 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
* 在Matlab，**虛數單位**的表示方法為**i**或**j**，但**i**和**j**在for迴圈可以有其他用途。
* 在Mathematica，**虛數單位**的表示方法為**I**、**𝕚**或**𝕛**。
* 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用**i**還是**j**表示**虛數單位**。
* Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 `complex64`和`complex128`。

註解
--

1. ↑  University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于） URL retrieved March 26, 2007.
2. ↑  "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
3. ↑  Rob Pike.. The Go Blog. 2014-08-25  [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见
--

* 代數基本定理
* 虚数
* 复平面
* 单位根
* i

参考文献
----

* Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接
----

* 欧拉对多项式的复数根的研究
* i作為-1的平方根（英文視頻）[永久]
* {\displaystyle i^{7321}}的計算方法舉例（英文視頻）