Lame function Maple animation plot
**拉梅函数**(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]

雅可比形式
{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0}+
此拉梅方程的正则奇点在复数平面的{\displaystyle 2pK+(2q+1)\*iK'}
其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为{\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 {\displaystyle 0<k<1},

代数形式
作雅可比橢圓函數变数替换{\displaystyle s=sn^{2}(z,k)}得拉梅方程的代数形式：

{\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}\*({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{s-h}})\*{\frac {d\Lambda }{ds}}-{\frac {n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}}\*\Lambda =0}

{\displaystyle h=k^{-2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}},

{\displaystyle H=hA}

{\displaystyle h>1}
此傅克型方程有四个正则奇点{\displaystyle 0,1,h,\infty }

魏尔斯特拉斯形式[3]
{\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{dz^{2}}}+[H-n(n+1)\wp (z)]\Lambda =0}

其中\wp 是魏尔斯特拉斯函数

三角函数形式
在雅可比形式的拉梅方程中做代换[4]
{\displaystyle snz=cos\zeta }

{\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2}}\pi -amz}

可得

{\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}}{\displaystyle +k^{2}cos\zeta \sin \zeta {\frac {d\Lambda }{d\zeta }}+[h-n(n+1)(kcos\zeta )^{2}]\Lambda =0}

在上列方程组 {\displaystyle h,k,n}等是实数或复数常数，而各变量为复数。

拉梅方程的本征值
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对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期[5]。

| 本征值 h | 奇偶 | 周期 |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle a\_{v}^{2m}(k^{2})} | 偶 | 2K |
| {\displaystyle a\_{v}^{2m+1}(k^{2})} | 奇 | 4K |
| {\displaystyle b\_{v}^{2m}(k^{2})} | 偶 | 4K |
| {\displaystyle b\_{v}^{2m+1}(k^{2})} | 奇 | 2K |

拉梅函数
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与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：[6]

| 本征值 h | 奇偶 | 周期 | 本征函数(拉梅函数) |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle a\_{v}^{2m}(k^{2})} | 偶 | 2K | {\displaystyle Ec\_{v}^{2m}(z,k^{2})} |
| {\displaystyle a\_{v}^{2m+1}(k^{2})} | 奇 | 4K | {\displaystyle Ec\_{v}^{2m+1}(z,k^{2})} |
| {\displaystyle b\_{v}^{2m}(k^{2})} | 偶 | 4K | {\displaystyle Es\_{v}^{2m+1}(z,k^{2})} |
| {\displaystyle b\_{v}^{2m+1}(k^{2})} | 奇 | 2K | {\displaystyle Es\_{v}^{2m+2}(z,k^{2})} |

其中{\displaystyle 2m,2m+1,2m+2}代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例
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Heun方程
{\displaystyle gh:={\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+({\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}})\*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(\alpha \*\beta \*z-q)\*y(z)/(z\*(z-1)\*(z-a))=0}

  

令={\displaystyle \gamma =1/2,\delta =1/2,\epsilon =1/2,q=-(1/4)\*a\*h,\alpha =1/4,\beta =-v(v+1)}

则化为拉梅方程

{\displaystyle {\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+(1/2\*(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))\*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(1/4)\*(a\*h-\nu \*(\nu +1)\*z)\*y(z)/(z\*(z-1)\*(z-a))=0}

拉梅方程的Heun函数解
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由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示[7]
{\displaystyle y(z)=\_{C}1\*HeunG(a,-(1/4)\*a\*h,-(1/2)\*\nu ,(1/2)\*\nu +1/2,1/2,1/2,z)}

{\displaystyle +\_{C}2\*{\sqrt {(}}z)\*HeunG(a,1/4+(1/4\*(-h+1))\*a,1+(1/2)\*\nu ,1/2-(1/2)\*\nu ,3/2,1/2,z)}
其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开
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拉梅函数可以展开成幂级数形式[8]

  

{\displaystyle y(z)=\sum \_{v=0}^{\infty }a\_{v}\*z^{\rho +v}}

其中\rho 只能取{\displaystyle 0,1/2}

例子
{\displaystyle y(z)={1.2+2.3\*{\sqrt {(}}z)-.600\*h\*z-(.383\*(a\*h-1.\*a-1.))\*z^{(}3/2)/a+(0.500e-1\*(-4.\*a\*h-4.\*h+a\*h^{2}+2.\*\nu ^{2}+2.\*\nu ))\*z^{2}/a+(0.192e-1\*(-10.\*a^{2}\*h+9.\*a^{2}+6.\*a-10.\*a\*h+9.+a^{2}\*h^{2}+6.\*\nu \*a+6.\*\nu ^{2}\*a))\*z^{(}5/2)/a^{2}+O(z^{3})}}

参考文献
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1. ↑  王竹溪 第572页
2. ↑  Whittaker p554
3. 1 2  Erdelyi p55
4. ↑  Erdelyi p 56
5. ↑  Frank Oliver p685
6. ↑  Frank, p684
7. ↑  Frank Oliver,p713
8. ↑  王竹溪 第573页

* 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
* Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press
* Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III