**庞特里亚金最大化原理**（Pontryagin's maximum principle）也根据使用条件稱為**庞特里亚金最小化原理**或**最大值原理**及**最小值原理**，是最优控制中的理論，是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下，可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫·庞特里亚金及他的學生在1956年提出的。這是变分法中歐拉-拉格朗日方程的特例。

簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法，也就是哈密頓量中所使用的符號，會取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會讓極值取到最小值。

若{\mathcal {U}}是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優控制{\displaystyle u^{\*}}必須滿足以下條件：

{\displaystyle H(x^{\*}(t),u^{\*}(t),\lambda ^{\*}(t),t)\leq H(x^{\*}(t),u,\lambda ^{\*}(t),t),\quad \forall u\in {\mathcal {U}},\quad t\in [t\_{0},t\_{f}]}
其中{\displaystyle x^{\*}\in C^{1}[t\_{0},t\_{f}]}是最佳狀態軌跡，而{\displaystyle \lambda ^{\*}\in BV[t\_{0},t\_{f}]}是最佳 協態軌跡

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中，不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間t\_f固定，且控制哈密頓量不是時間的顯函數{\displaystyle \left({\tfrac {\partial H}{\partial t}}\equiv 0\right)}，則：

{\displaystyle H(x^{\*}(t),u^{\*}(t),\lambda ^{\*}(t))\equiv \mathrm {constant} \,}
若最終時間沒有限制，則：

{\displaystyle H(x^{\*}(t),u^{\*}(t),\lambda ^{\*}(t))\equiv 0.\,}

若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理，此原理是最佳解的必要条件。哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要條件，但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

最大化和最小化
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此定理一開始的名稱是庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化，因此常稱為庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的書解出了要讓性能指標最小化的問題

符號
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以下的內容會使用這些表示方式

{\displaystyle \Psi \_{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|\_{x=x(T)}\,}
{\displaystyle \Psi \_{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x\_{1}}}|\_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x\_{n}}}|\_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle H\_{x}(x^{\*},u^{\*},\lambda ^{\*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x\_{1}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*},\lambda =\lambda ^{\*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x\_{n}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*},\lambda =\lambda ^{\*}}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle L\_{x}(x^{\*},u^{\*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x\_{1}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x\_{n}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle f\_{x}(x^{\*},u^{\*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{1}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}&\cdots &{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{n}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f\_{n}}{\partial x\_{1}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}&\ldots &{\frac {\partial f\_{n}}{\partial x\_{n}}}|\_{x=x^{\*},u=u^{\*}}\end{bmatrix}}}

最小化問題必要條件的正式敘述
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以下是讓泛函最小化的必要條件。令x為在輸入為u時，動態系統的狀態，且滿足以下條件

{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x\_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}
其中

{\mathcal {U}}為可行控制的集合
T為系統的結束時間。
控制{\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}需在所有{\displaystyle t\in [0,T]}內使目標泛函J最小化，目標泛函J隨應用而定，可以寫成

{\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int \_{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt}
系統動態的限制可以用導入時變拉格朗日乘数向量\lambda 的方式和L相加，而拉格朗日乘数向量\lambda 的元素稱為系統的協態（costate）。因此可以建構在所有 {\displaystyle t\in [0,T]}的哈密頓量為：

{\displaystyle H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,}
其中{\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}是\lambda 的轉置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳狀態軌跡x^{\*}，最佳控制{\displaystyle u^{\*}}及對應的拉格朗日乘数向量{\displaystyle \lambda ^{\*}}必需最小化哈密頓量H，因此

{\displaystyle (1)\qquad H(x^{\*}(t),u^{\*}(t),\lambda ^{\*}(t),t)\leq H(x^{\*}(t),u,\lambda ^{\*}(t),t)\,}
針對所有{\displaystyle t\in [0,T]}時間，也針對所有可能的控制輸入{\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}。以下的式子也必須成立

{\displaystyle (2)\qquad \Psi \_{T}(x(T))+H(T)=0\,}
而且也要滿足以下的協態方程

{\displaystyle (3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H\_{x}(x^{\*}(t),u^{\*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f\_{x}(x^{\*}(t),u^{\*}(t))+L\_{x}(x^{\*}(t),u^{\*}(t))}
若最終狀態{\displaystyle x(T)}沒有固定（其微分變異不為0），最終協態也要滿足以下條件

{\displaystyle (4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi \_{x}(x(T))\,}
上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在{\displaystyle x(T)}沒有固定時才需要成立。若{\displaystyle x(T)}是固定值，公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 。

相關條目
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* 巴拿赫空间下的拉格朗日乘数（英语：），變分法下中的拉格朗日法
* 奇異控制：無法利用龐特里亞金最小化原理求出完整解的最優控制問題。

腳註
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1. ↑  參考資料中有最早發表的論文
2. ↑  在C1及BV空間條目中有更多的資訊
3. ↑  參照 Pontryagin 1962年的書，第13頁
4. ↑  Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M... Gravitation and Cosmology (Pleiades Publishing). 2017, **23** (3): 236–239. ISSN 1995-0721. doi:10.1134/S0202289317030069.

參考資料
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* Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S.  [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, **110** (1): 7–10. MR 0084444 （俄语）.
* Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F.. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1.
* Fuller, A. T.. J. Electronics & Control. 1963, **15** (5): 513–517.
* Kirk, D. E.. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2.
* Sethi, S. P.; Thompson, G. L.  2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at  （页面存档备份，存于）
* Geering, H. P.. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3.
* Ross, I. M.. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
* Cassel, Kevin W.. Cambridge University Press. 2013.

外部連結
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4