在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
**四维速度**（英語：）是指物理学中，特别是狭义相对论和广义相对论中，一个物体的**四维速度**是取代经典意义上的速度（三维矢量）的四维矢量（四维时空中的矢量）。选取四维速度的原因是四维速度在洛伦兹变换下是协变的，而三维速度不是；换句话说，这么选取可以使光速在任意惯性系下保持不变。

相对论理论中一个事件是在四维时空内的坐标描述的，一个物体在时空中运动产生的轨迹曲线是通过固有时这个参数实现参数化的，而这条曲线称作世界线。四维速度是一维时间与三维空间坐标对固有时的改变率所构成的矢量，同时也是世界线的切向矢量。

作为比较，在经典力学中事件是通过它们在每一时刻上在三维空间中的坐标描述的，它们在三维空间中的轨迹是通过时间这个参数实现参数化的。经典速度是三维空间坐标对时间的改变率所构成的矢量，同时也是轨迹的切向矢量。

在狭义相对论的框架中，四维速度的大小（模）总是和光速的大小相等。

经典力学的情形
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在经典力学中一个物体在三维空间中的运动路径由其在三维空间中的坐标函数x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}决定，这些坐标函数都是绝对时间t\,的函数：

{\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
其中x^{i}(t)表示的是在t\,时刻的三个空间位置。

在任意一点p\,，经典速度{\displaystyle {\mathbf {u} }}（沿此点的切线方向）的定義为

{\displaystyle {\mathbf {u} }\equiv {\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}}
因此其分量為

{\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}
这里的导数都是在p\,点处定义的，因而它们实际是两个毗邻位置间的距离{\mathrm {d}}x^{a}对对应时间间隔{\mathrm {d}}t的比值。

相对论的情形
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在爱因斯坦的相对论中，一个物体对某个特定参考系的运动轨迹是由四维坐标函数x^{{\mu }}(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}（其中x^{{0}}表示时间坐标乘以光速c）决定的，每个函数都依赖于固有时\tau 。

{\displaystyle \mathbf {X} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
### 时间膨胀

从时间膨胀中我们得知

t=\gamma \tau \,
其中\gamma 是洛伦兹因子，定义为

\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}
而u\,是经典速度矢量的欧几里德模：

{\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}.
### 四维速度的定义

一个四维速度是对应世界线的四维切向矢量，四维速度的世界线{\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}定义为

{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}
其中\tau \,是原時。

由於光速在任意慣性系下保持不變，無法找到光子靜止的慣性系，因此，對於光子而言，{\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}，四維速度不具良好定義。

### 四维速度的分量

时间t\,和坐标x^{0}间的关系为

x^{0}=ct=c\gamma \tau \,
x^{0}对固有时\tau \,求导数，可得四维速度U^{\mu }\,在\mu =0\,的分量：

U^{0}={\frac {{\mathrm {d}}x^{0}}{{\mathrm {d}}\tau \;}}=c\gamma 
至於空間分量方面，即\mu =i=1, 2, 3，根据链式法则求導數，可得固有速度*w* = *U*i：

U^{i}={\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}\tau }}={\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}x^{0}}}{\frac {{\mathrm {d}}x^{0}}{{\mathrm {d}}\tau }}={\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}x^{0}}}c\gamma ={\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}t}}c\gamma =\gamma {\frac {{\mathrm {d}}x^{i}}{{\mathrm {d}}t}}=\gamma u^{i}
這裡我們使用到古典力學中的速度定義：

{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}
因此四维速度U與光速*c*及古典速度**u**的關係為

{\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}
### 四维速度和加速度

四维加速度定义为四维速度對原時的微分：

{\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因为U^{{\mu }}U\_{{\mu }}=-c^{2}\,为常數，所以它微分为0：

{\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U\_{\mu })=2U\_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因此得到以下四维速度和加速度的关系：

{\displaystyle U\_{\mu }A^{\mu }=0\,}

相關條目
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* 四维矢量
* 四维加速度
* 固有速度
* 四维动量
* 狭义相对论

参考文献
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| * 
* 论
* 编
狭义相对论 |
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| 入門 · 原理 · 理論 · 驗證 |
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| 基礎概念 | 相對運動 · 慣性參考系 · 光速 · 馬克士威方程組 · 勞侖茲變換 |
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| 现象 | 時間膨脹 · 長度收縮 · E=mc2 · 相對同時 · 相對論性多普勒效應 · 湯瑪斯進動 · 相對論盤（英语：） ·  · 貝爾太空船悖論 · 埃倫費斯特悖論（英语：） |
|  |
| 時空 | 閔可夫斯基時空 · 世界線 · 時空圖 · 光锥 · 四維矢量 |
|  |
| 運動學 | 原時 · 四維速度 · 四維加速度 · 速度加成式 · 狹義相對論中的加速度 |
|  |
| 動力學 | 不變質量 · 狹義相對論中的質量 · 四維動量 · 四維力 |
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| 歷史背景 | 伽利略变换 · 光以太學說 · 狹義相對論發現史 |
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| 科學家 | 愛因斯坦 · 索莫菲 · 邁克生 · 莫立 · 費茲傑羅 · 勞侖茲 · 龐加萊 · 閔可夫斯基 · 菲佐 · 普朗克 · 埃倫費斯特 · 勞厄 · 狄拉克 |
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| 相關理論方法 | 狹義相對論的其他推導方法（英语：） · 古典電磁理論的協變形式 · 雙重狹義相對論 |

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1. ↑  Bernard Schutz.. Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2.