在数学，尤其在辛几何中，**动量映射**是一个与辛流形上的李群的哈密顿作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的**symplectic** (**Marsden–Weinstein**) **quotients**，以及symplectic cuts和sums。

正式定义
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令 *M* 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 *G* 通过辛同胚作用在 *M* 上（也就是每个 *G* 中的 *g* 保持 ω ）。令 \mathfrak{g} 是 *G* 上的李代数，\mathfrak{g}^\* 是它的对偶，且令

{\displaystyle \langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{\*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} }
是两者间的pairing。任一\mathfrak{g}中的ξ诱导了 *M* 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场 {\displaystyle \rho (\xi )\_{x}} 在*M*上一点*x*是

{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|\_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}
其中 {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G} 是指数映射并且 \cdot  表示 *M* 上的 *G*-作用。令 {\displaystyle \iota \_{\rho (\xi )}\omega \,} 表示 向量场与 ω 的缩并。由于 *G* 通过辛同胚作用，它意味着对于 \mathfrak{g} 中所有的ξ，{\displaystyle \iota \_{\rho (\xi )}\omega \,} 是闭形式。

一个在(*M*，ω)上的 *G*-作用的**动量映射**是一个映射 {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{\*}}，对于 \mathfrak{g} 中所有的ξ满足

{\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota \_{\rho (\xi )}\omega }
。这里 {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle } 是通过 {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle } 定义的从 *M* 到 **R** 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 *G*-等价的，这里 *G* 通过余伴随作用作用在 \mathfrak{g}^\* 上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in \mathfrak{g}^\*，as first described by Souriau (1970).

哈密顿群作用
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动量映射的定义要求 {\displaystyle \iota \_{\rho (\xi )}\omega }是闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。*G*-作用被称作是**哈密顿**的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于 \mathfrak{g} 中的每一个ξ，1-形式 {\displaystyle \iota \_{\rho (\xi )}\omega } 是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

{\displaystyle H\_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}
等于 {\displaystyle dH\_{\xi }} 。
如果这成立，那么我们可以选择 {\displaystyle H\_{\xi }} 使映射 {\displaystyle \xi \mapsto H\_{\xi }} 为线性。第二个使*G*-作用是哈密顿的要求是映射 {\displaystyle \xi \mapsto H\_{\xi }} 是一个从 \mathfrak{g} 到 *M* 在泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 *G* 在(*M*，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射 {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{\*}} ，这样 {\displaystyle H\_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle } 定义了一个李代数同态 {\displaystyle \xi \mapsto H\_{\xi }} 满足 {\displaystyle \rho (\xi )=X\_{H\_{\xi }}}. 这里 {\displaystyle X\_{H\_{\xi }}} 是一个由哈密顿函数 {\displaystyle H\_{\xi }} 通过

{\displaystyle \iota \_{X\_{H\_{\xi }}}\omega =dH\_{\xi }.}
定义的向量场。

例子
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In the case of a Hamiltonian action of the circle *G* = U(1)，the Lie algebra dual \mathfrak{g}^\* is naturally identified with **R**，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when *M* is the cotangent bundle of **R**3 and *G* is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，*G* is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and **R**3. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

Symplectic quotients
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Suppose that the action of a compact Lie group *G* on the symplectic manifold (*M*，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{\*}}. From the Hamiltonian condition it follows that {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} is invariant under *G*.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that *G* acts freely and properly on {\displaystyle \mu ^{-1}(0)}. Thus {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} and its quotient {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G} are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from *M*; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} equals the restriction of ω to {\displaystyle \mu ^{-1}(0)}. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the **Marsden–Weinstein quotient**，**symplectic quotient** or **symplectic reduction** of *M* by *G* and is denoted {\displaystyle M/\!\!/G}. Its dimension equals the dimension of *M* minus twice the dimension of *G*.

参见
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* Poisson-Lie group
* Toric manifold
* Geometric Mechanics
* Kirwan map

参考资料
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* J.-M. Souriau, *Structure des systèmes dynamiques*, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
* S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, *The Geometry of Four-Manifolds*, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
* Dusa McDuff and Dietmar Salamon, *Introduction to Symplectic Topology*, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
* Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4
* Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S.. Progress in Mathematics **222**. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.