此条目的主題是**高斯超几何函数** 2F1。超几何函数 pFq，請見「**广义超几何函数**」。
在数学中，**高斯超几何函数**或**普通超几何函数**2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数
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当c不是非正整数时，对于|*z*| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

\,\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{a^{{(n)}}b^{{(n)}} \over c^{{(n)}}}\,{z^{n} \over n!}

其中 \ x^{{(n)}} 是遞進階乘，定义为:

{\displaystyle q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.}
当*a*或*b*是*0*或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。 

对于满足|*z*| ≥ 1 的复数*z*，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点*0*和*1*的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为

{\displaystyle {\begin{aligned}&\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(a)\_{k}(a-c+1)\_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)\_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(b)\_{k}(b-c+1)\_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)\_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}}

特殊情形
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很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

\ln(1+z)=z\,\_{2}F\_{1}(1,1;2;-z).
(1-z)^{{-a}}=\,\_{2}F\_{1}(a,1;1;z)
\arcsin z=z\,\_{2}F\_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)
合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

M(a,c,z)=\lim \_{{b\rightarrow \infty }}{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;b^{{-1}}z)
因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

{}\_{2}F\_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{{{\tfrac {1-c}{2}}}}(1-z)^{{{\tfrac {c-1}{2}}}}P\_{{-a}}^{{1-c}}(1-2z)

很多多项式，例如贾可比多项式 *P*(α,β)  
*n*及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

{}\_{2}F\_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)\_{n}}}P\_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(1-2x)
其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。

椭圆模函数（英语：）有时能表示成参数*a*, *b*, *c*是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

\tau ={{\rm {{i}}}}{\frac {{}\_{2}F\_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}\_{2}F\_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}
则

z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta \_{2}(\tau )^{4}}{\theta \_{3}(\tau )^{4}}}
是*τ*的椭圆模函数.

不完整的beta函数 *B**x*(*p*,*q*) 表示成

B\_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}\_{2}F\_{1}(p,1-q;p+1;x)
完整的椭圆积分 *K* 和 *E* 如下给出

K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,\_{2}F\_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)
E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,\_{2}F\_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)

超几何方程
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超几何函数满足的微分方程称为**超几何方程**，其形式为（参见广义超几何函数)

z\left(z{\frac {{{\rm {{d}}}}}{{{\rm {{d}}}}z}}+a\right)\left(z{\frac {{{\rm {{d}}}}}{{{\rm {{d}}}}z}}+b\right)w=z{\frac {{{\rm {{d}}}}}{{{\rm {{d}}}}z}}\left(z{\frac {{{\rm {{d}}}}}{{{\rm {{d}}}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z).
展开后，得

z(1-z){\frac {{\mathrm d}^{2}w}{{\mathrm d}z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {{\mathrm d}w}{{\mathrm d}z}}-abw=0.
它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

### 正则奇点 0 附近的解

超几何方程的指标方程（英语：）为

\rho (\rho -1)+c\rho =0
它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。

当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

\,\_{2}F\_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{{1-c}}\,\_{2}F\_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)
当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：

\,\_{2}F\_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G\_{{2,2}}^{{2,0}}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in {\mathbb Z}^{+}
\,z^{{1-c}}\,\_{2}F\_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G\_{{2,2}}^{{2,0}}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in {\mathbb Z}\_{0}^{-}
### 正则奇点 1 附近的解

只需作代换 t=1-z，方程变为：

t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.
当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

\,\_{2}F\_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{{c-a-b}}\,\_{2}F\_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)
### 正则奇点 ∞ 附近的解

当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

z^{{-a}}\,\_{2}F\_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{{-1}}\right){\text{ and }}z^{{-b}}\,\_{2}F\_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{{-1}}\right).
### 李代数参数与连接关系

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

F\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)={}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)
\alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a
a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }2},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }2},c=1+\alpha 
参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

{\text{At }}0:F\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z){\text{ and }}z^{{-\alpha }}F\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z)
{\text{At }}1:F\_{{\beta ,\alpha ,\mu }}(1-z){\text{ and }}(1-z)^{{-\beta }}F\_{{-\beta ,\alpha ,-\mu }}(1-z)
{\text{At }}\infty :(-z)^{{{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }2}}}F\_{{-\mu ,\beta ,-\alpha }}(z^{{-1}}){\text{ and }}(-z)^{{{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }2}}}F\_{{\mu ,\beta ,\alpha }}(z^{{-1}})
从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)
{\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)={\frac 1{\Gamma (1+\alpha )}}F\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)
则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

{\mathbf F}\_{{\beta ,\alpha ,\mu }}(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha ){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;a,b)z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z),
{\begin{array}{rcl}(1-z)^{{-\beta }}{\mathbf F}\_{{-\beta ,\alpha ,-\mu }}(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z);\end{array}}
(-z)^{{-a}}{\mathbf F}\_{{-\mu ,\beta ,-\alpha }}(z^{{-1}})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha ){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z),
{\begin{array}{rcl}(-z)^{{-b}}{\mathbf F}\_{{\mu ,\beta ,\alpha }}(z^{{-1}})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha ){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta )){\mathbf F}\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{{-\alpha }}{\mathbf F}\_{{-\alpha ,\beta ,-\mu }}(z).\end{array}}
分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示
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\mathrm{B} (a,c-a){}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)=\int \_{1}^{\infty }t^{{b-c}}(t-1)^{{c-a-1}}(t-z)^{{-b}}{\mathrm d}t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi 
式中的 Β 是beta函数。

### 证明

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

p(a,b,c;t,z)=t^{{b-c}}(t-1)^{{c-a-1}}(t-z)^{{-b-2}},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);
则

{\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)
{\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}
上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。

变换公式
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### 分式线性变换

#### Pfaff 变换

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{{-b}}\,{}\_{2}F\_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi 
由 a,b 的对称性自然有：

{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{{-a}}\,{}\_{2}F\_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi 
##### 证明

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

u={\tfrac z{z-1}}=1+{\tfrac 1{z-1}}
则

z={\tfrac u{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{{-a}},\quad {\tfrac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2}}}=-(1-u)^{3}
{\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}[(1-z)^{{-b}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}[(1-z)^{{-b}}w]-ab(1-z)^{{-b}}w\\=&(1-z)^{{-b-1}}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{{-b-1}}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{{b+1}}\left\{-u(1-u){\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}u^{2}}}+2u{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{{-1}}u]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{{b+1}}\left\{u(1-u){\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}
取

w={}\_{2}F\_{1}(c-a,b;c;u)
由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

#### Euler 变换

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

{\begin{array}{rcl}{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{{-b}}\,{}\_{2}F\_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{{-b}}\left(1-{\frac z{z-1}}\right)^{{a-c}}\,{}\_{2}F\_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {{\frac z{z-1}}}{{\frac z{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{{c-a-b}}\,{}\_{2}F\_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}
Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

F\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}{\xrightarrow {{\text{Pfaff}}}}F\_{{\alpha ,\mu ,\beta }}\equiv F\_{{\alpha ,\mu ,-\beta }}{\xrightarrow {{\text{Pfaff}}}}F\_{{\alpha ,-\beta ,\mu }}
### 二次变换

下面是一个二次变换的例子：

{}\_{2}F\_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{{-{\tfrac b2}}}\,\_{2}F\_{1}(a-{\tfrac b2},{\tfrac b2};a+{\tfrac 12};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi 
二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

#### 证明

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

{\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}[(1-z)^{{-{\tfrac b2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}[(1-z)^{{-{\tfrac b2}}}w]-ab(1-z)^{{-{\tfrac b2}}}w\\=&(1-z)^{{-{\tfrac b2}-1}}\left\{z[{\tfrac b2}({\tfrac b2}+1)+b(1-z){\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac b2}+(1-z){\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{{-{\tfrac b2}-1}}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+{\tfrac b4}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}
令

c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac 14}(z+1-{\tfrac 1{1-z}})
则

1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}
{\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+{\tfrac b4}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}z}}+{\tfrac b2}(a-{\tfrac b2})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}u^{2}}}-{\tfrac z{2(1-z)}}{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}+{\tfrac b2}(a-{\tfrac b2})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}u^{2}}}+[a+{\tfrac 12}-(a+1)u]{\tfrac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}u}}-{\tfrac b2}(a-{\tfrac b2})\right\}\end{array}}
取

w=\,{}\_{2}F\_{1}(a-{\tfrac b2},{\tfrac b2};a+{\tfrac 12};u)
仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

#### 其它例子

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

F\_{{\alpha ,\beta ,\mu }}(z)=f(z)F\_{{\alpha ',\beta ',\mu '}}(g(z)),\quad P(z)
其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

| 李代数参数（左） | 李代数参数（右） | f(z) | g(z) | P(z) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| \alpha ,\mu ,\mu  | {\tfrac \alpha 2},\mu ,{\tfrac 12} | (1-{\tfrac 12}z)^{{-b}} | \left({\tfrac {z}{2-z}}\right)^{2} | |\arg(1-z)|<\pi  |
| \mu ,\beta ,\mu  | \mu ,{\tfrac \beta 2},{\tfrac 12} | (1+z)^{{-b}} | {\tfrac {4z}{(1+z)^{2}}} | |z|<1 |
| \alpha ,\alpha ,\mu  | \alpha ,{\tfrac \mu 2},{\tfrac 12} | (1-2z)^{{-b}} | {\tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}} | \Re z<{\tfrac 12} |

另外还有：

{\tfrac {2\Gamma ({\tfrac 12})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}2})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}2})\Gamma ({\tfrac {b+1}2})}}F\_{{-{\tfrac 12},\beta ,{\tfrac \mu 2}}}(z)=F\_{{\beta ,\beta ,\mu }}\left({\tfrac 12}-{\tfrac 12}{\sqrt z}\right)+F\_{{\beta ,\beta ,\mu }}\left({\tfrac 12}+{\tfrac 12}{\sqrt z}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi 
将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

### 三次及高次变换

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。

特殊值
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### z=0

{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;0)=1
### z=1

{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm{B} (a,c-a-b)}{\mathrm{B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)
这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

### z=-1

{}\_{2}F\_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac 12}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac 12}a-b)}}
这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

### z=1/2

\_{2}F\_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+b\right))}}.
\_{2}F\_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+c-a\right))}}.
上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （页面存档备份，存于） (University of Oxford, MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Olde Daalhuis, A. B. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
* Goursat, Édouard.. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1881, **10**: 3–142  [2008-10-16]. （原始内容存档于2021-03-08） （法语）.


1. ↑  Dereziński, Jan.. arXiv:1305.3113 可免费查阅.