在数学中，函数{\displaystyle F(s)}的**拉普拉斯逆变换**是一个分段连续的实函数{\displaystyle f(t)}，满足如下性质：

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}
其中，{\displaystyle {\mathcal {L}}}表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数{\displaystyle F(s)}具有拉普拉斯逆变换{\displaystyle f(t)}，则{\displaystyle f(t)}唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。

因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

梅林反演公式
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拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（英語：）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim \_{T\to \infty }\int \_{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}
积分路径是复平面中的垂线{\displaystyle Re(s)=\gamma }，其中{\displaystyle \gamma }大于{\displaystyle F(s)}所有奇点的实部，且{\displaystyle F(s)}在积分路径上有界（例如积分路径位于{\displaystyle F(s)}收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或{\displaystyle F(s)}是整函数时，可以将{\displaystyle \gamma }置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

珀斯特反演公式
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拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（英語：），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名， 是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设{\displaystyle f(t)}为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数*b* ，使{\displaystyle f(t)}满足：

{\displaystyle \sup \_{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }
则对于任意{\displaystyle s>b}，{\displaystyle f(t)}的拉普拉斯变换均存在且对于*s*无限可微。设{\displaystyle F(s)}是{\displaystyle f(t)}的拉普拉斯变换，则{\displaystyle f(t)}可由下式定义：

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim \_{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}
其中{\displaystyle t>0}，{\displaystyle F^{(x)}}是{\displaystyle F}对{\displaystyle s}的*k*阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数{\displaystyle F(s)}的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要{\displaystyle F(s)}的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。

软件工具
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* InverseLaplaceTransform （页面存档备份，存于）：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
* 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 （页面存档备份，存于）
* ilaplace （页面存档备份，存于）：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
* Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
* Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 （页面存档备份，存于）

相关条目
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* 傅里叶变换
* 泊松求和公式

参考链接
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1. ↑  Cohen, A. M.. Numerical Methods and Algorithms **5**. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8\_2.
2. ↑  Lerch, M.. Acta Mathematica. 1903, **27**: 339–351. doi:10.1007/BF02421315 可免费查阅.
3. ↑  Post, Emil L.. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, **32** (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X 可免费查阅.
4. ↑  Abate, J.; Valkó, P. P.. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, **60** (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995.

相关书目
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* Davies, B. J.  3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4
* Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D. London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3
* Boas, Mary, 需要免费注册, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1  含有內容需登入查看的頁面 (link) (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
* Widder, D. V. Princeton University Press, 1946
* Elementary inversion of the Laplace transform （页面存档备份，存于）. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

外部链接
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* EqWorld 的积分变换表 （页面存档备份，存于）

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