在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按**正规序**排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

记号
--

令\hat{O}為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將\hat{O}按照正规序重新排列之后得到的算符用{\mathcal {N}}({\hat {O}}) 或 {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

玻色子
---

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

### 单个玻色子

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

* {\hat {b}}^{\dagger }：玻色子的产生算符
* {\hat {b}}：玻色子的湮灭算符

则有：

\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]\_{-}=0
\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]\_{-}=0
\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]\_{-}=1
其中 \left[A,B\right]\_{-}\equiv AB-BA 表示两个算符的对易子。

#### 例子

1. 最简单的例子是 {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}} 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}的正规序就是它自身：

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.
2. 第二个例子是 {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger } 的正规序，

{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.
这里，按照正规序的要求，产生算符 {\hat {b}}^{\dagger } 放到了湮灭算符 {\hat {b}}的左边。由玻色子算符的对易关系有：

{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.
在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.
### 多个玻色子

对于 N 个不同的玻色子来说，有 2N 个算符：

* {\hat {b}}\_{i}^{\dagger }：第 i 个玻色子的产生算符
* {\hat {b}}\_{i}：第 i 个玻色子的湮灭算符

其中 i=1,\ldots ,N.

它们满足下列对易关系：

\left[{\hat {b}}\_{i}^{\dagger },{\hat {b}}\_{j}^{\dagger }\right]\_{-}=0
\left[{\hat {b}}\_{i},{\hat {b}}\_{j}\right]\_{-}=0
\left[{\hat {b}}\_{i},{\hat {b}}\_{j}^{\dagger }\right]\_{-}=\delta \_{{ij}}
其中 i,j=1,\ldots ,N，\delta \_{ij} 是克罗内克函数。

#### 例子

1.对于两个玻色子 (N=2) ，有：

:{\hat {b}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}\_{2}:\,={\hat {b}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}\_{2}
:{\hat {b}}\_{2}\,{\hat {b}}\_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}\_{2}
2. 对三个玻色子 (N=3) ，有：

:{\hat {b}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}\_{2}\,{\hat {b}}\_{3}:\,={\hat {b}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}\_{2}\,{\hat {b}}\_{3}
由于 {\hat {b}}\_{2}\,{\hat {b}}\_{3}={\hat {b}}\_{3}\,{\hat {b}}\_{2} （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

费米子
---

费米子服从费米-狄拉克统计。

### 单个费米子

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

* {\hat {f}}^{\dagger }：费米子的产生算符
* \hat{f}：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]\_{+}=0
\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]\_{+}=0
\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]\_{+}=1
其中 \left[A,B\right]\_{+}\equiv AB+BA 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

#### 例子

1. 最简单的例子是：

:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}
由费米子算符的反对易关系有：

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.
与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0
### 多个费米子

N 个费米子有 2N 个产生湮灭算符，设：

* {\hat {f}}\_{i}^{\dagger }为第 i 个费米子的产生算符
* {\hat {f}}\_{i}为第 i个费米子的湮灭算符

其中 i=1,\ldots ,N.

它们满足下列反对易关系：

\left[{\hat {f}}\_{i}^{\dagger },{\hat {f}}\_{j}^{\dagger }\right]\_{+}=0
\left[{\hat {f}}\_{i},{\hat {f}}\_{j}\right]\_{+}=0
\left[{\hat {f}}\_{i},{\hat {f}}\_{j}^{\dagger }\right]\_{+}=\delta \_{{ij}}
其中 i,j=1,\ldots ,N， \delta \_{ij} 是克罗内克函数。

#### 例子

1. 对两个费米子 (N=2) ，有：

:{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}:\,={\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

:{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}
由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

:{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}=-{\hat {f}}\_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}
与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 (N=3) ，有：

:{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{3}:\,={\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{3}=-{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{3}\,{\hat {f}}\_{2}
类似地有：

:{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{3}:\,=-{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{3}={\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{3}\,{\hat {f}}\_{2}
:{\hat {f}}\_{3}{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{3}\,{\hat {f}}\_{2}=-{\hat {f}}\_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}\_{2}\,{\hat {f}}\_{3}

量子场论中的应用
--------

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，{\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }}以及{\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle }都是0。

这里 {\hat {a}}^{\dagger } 和 {\hat {a}} 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

参考文献
----

1. ↑  尹道乐，尹澜.. . ISBN 9787301161609.

* F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
* S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
* T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268