在拓扑学中，拓扑空间*X*內的两点若有完全相同的鄰域，便稱這兩個點為「**拓扑不可区分的**」。亦即，設*x*及*y*為*X*內的兩點，*A*為由所有包含*x*的鄰域所組成的集合，且*B*為由所有包含*y*的鄰域所組成的集合，則*x*及*y*為「拓撲不可區分的」若且唯若*A* = *B*。

直觀上來說，若*X*的拓撲無法分辨之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

若*X*內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「**拓撲可區分的**」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集（或等价地说，存在只包含两点之中的其中一點的闭集），而这个开集則可以用来使两个点可以區分。T0空间是一個拓撲空間，其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是分离公理中最弱的一個限制條件。

拓扑不可区分性會在拓扑空间*X*上定义出一個等价关系。設*x*和*y*為*X*內的兩個点，若*x*和*y*為拓撲不可區分的，便標記成*x* ≡ *y*；*x*的等價類則標記為[*x*]。

例子
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对T0空间（特别是豪斯多夫空间）而言，拓扑不可区分的概念是沒有意義的，因此若要尋找有趣的例子，必须要在非T0空间中才行。另一方面，由於正则性和正规性並不蕴涵T0，所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上，下面给出的例子就几乎都是完全正则的。

* 在不可分空間中，任意两个点都是拓扑不可区分的。
* 在伪度量空间中，两点是拓扑不可区分的，当且仅当在兩點之间的距离為零。
* 在半赋範向量空间中，*x* ≡ *y*当且仅当‖*x* − *y*‖ = 0。
	+ 舉例來說，设*L*2（R）是一個拓撲空間，由所有从R映射至R的平方可积的可測函數所組成（詳见*L**p*空间）。则在*L*2（R）內，函数*f*及*g*為拓扑不可区分的，当且仅当兩個函數几乎处处相等。
* 在拓扑群中，*x* ≡ *y*，当且仅当*x*−1*y* ∈ cl{*e*}，这里的cl{*e*}為当然子群的闭包；而其等价类則為cl{*e*}的陪集（cl{*e*}总會是個正规子群）。
* 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群。在一致空间中，*x* ≡ *y*当且仅当有序对 (*x*, *y*)属于所有周围（）。所有周围的交集正是用*X*上拓扑不可区分性來定義的等价关系。
* 设*X*有关于函数族{\displaystyle \{f\_{\alpha }:X\to Y\_{\alpha }\}}的初拓撲。*X*中两个点*x*和*y*是拓扑不可区分的，如果{\displaystyle f\_{\alpha }}族不区分它们（就是说对所有\alpha ，{\displaystyle f\_{\alpha }(x)=f\_{\alpha }(y)}）。
* 给定集合*X*上的任何等价关系，存在*X*上的拓扑，它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的基。这叫做*X*上的划分拓扑。

特殊化预序
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在空间*X*上的拓扑不可区分性可以从在*X*上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于*X*中的点*x*和*y*这个预序定义为

*x* ≤ *y* 当且仅当*x* ∈ cl{*y*}
这里的cl{*y*}指示{*y*}的闭包。等价的说，*x* ≤ *y*如果*x*的邻域系统，指示为*N**x*，被包含在*y*的邻域系统内：

*x* ≤ *y*当且仅当*N**x* ⊂ *N**y*。容易看出在*X*上的这个关系是自反的和传递的，所以定义了预序。但是一般的说，这个预序不是反对称的。实际上，确定自≤的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系：
*x* ≡ *y*当且仅当*x* ≤ *y*并且*y* ≤ *x*。
拓扑空间被称为对称（或R0）的，如果特殊化预序是对称的（就是说*x* ≤ *y*蕴涵*y* ≤ *x*）。在这种情况下，关系≤和≡是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间和完全正则空间。

性质
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### 等价条件

有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设*X*是拓扑空间并设*x*和*y*是*X*的点。把*x*和*y*的闭包分别指示为cl{*x*}和cl{*y*}，并把它们的邻域系统分别指示为*N**x*和*N**y*。则下列陈述是等价的：

* *x* ≡ *y*
* 对于每个*X*中的开集*U*，要么*U*包含*x*和*y*二者要么都不包含
* *N**x* = *N**y*
* *x* ∈ cl{*y*}并且*y* ∈ cl{*x*}
* cl{*x*} = cl{*y*}
* *x* ∈ ∩*N**y*并且*y* ∈ ∩*N**x*
* ∩*N**x* = ∩*N**y*
* *x* ∈ cl{*y*}并且*x* ∈ ∩*N**y*
* *x*属于包含*y*的所有开集和所有闭集
* 网或滤子会聚于*x*当且仅当它会聚于*y*

这些条件可以在*X*是对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间)，下列陈述是等价的：

* *x* ≡ *y*
* 对于每个开集*U*，如果*x* ∈ *U*则*y* ∈ *U*
* *N**x* ⊂ *N**y*
* *x* ∈ cl{*y*}
* *x* ∈ ∩*N**y*
* *x*属于包含*y*的所有闭集
* *x*属于包含*y*的所有开集
* 所有会聚于*x*的网或滤子会聚于*y*

### 等价类

要讨论*x*的等价类，為了方便，首先定义*x*的上闭集合和下闭集合。它们都是关于上述特殊化预序而定义的。

*x*的下部集合就是{*x*}的闭包：

{\displaystyle \mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}}，而*x*上部集合是在*x*的邻域系统的交集：
{\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}\_{x}}。
*x*的等价类接着给出为交集

{\displaystyle [x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}}。
因为↓*x*是包含*x*的所有闭集的交集而↑*x*是包含*x*的所有开集的交集，等价类[*x*]是包含*x*的所有开集和闭集的交集。

cl{*x*}和∩*N**x*二者都包含等价类[*x*]。一般的说，两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中)，这三个集合是一致的：

{\displaystyle [x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}\_{x}}。一般的说，等价类[*x*]会是闭集，当且仅当这个空间是对称的。
### 连续函数

设*f* : *X* → *Y*是连续函数。则对于任何*X*中的*x*和*y*有

*x* ≡ *y*蕴涵*f*(*x*) ≡ *f*(*y*)。逆命题一般为假(T0空间有是平凡的商)。逆命题在*X*有引发自*f*的初拓扑的条件下为真。更一般的说，如果*X*有引发自映射族{\displaystyle f\_{\alpha }:X\to Y\_{\alpha }}的初拓扑则
*x* ≡ *y*当且仅当*f*α(*x*) ≡ *f*α(*y*)对于所有α。可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的，当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

柯尔莫果洛夫商空间
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因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间*X*上的等价关系，我们可以形成商空间*KX* = *X*/≡。空间*KX*被叫做柯爾莫哥洛夫商空間或*X*的T0同一。事实上，空间*KX*是T0（就是说所有点都是拓扑可区分的）。此外，通过商映射的特征性质，任何从*X*到T0空间的连续映射*f* : *X* → *Y*通过商映射*q* : *X* → *KX*而因子化。

尽管商映射*q*一般不是同胚（因为它一般不是单射），它确实引发在*X*的拓扑和*KX*的拓扑之间的双射。直觉上说，柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只將点集精簡化，直到点都成为拓扑可区分的。

参见
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* icon数学主题

* T0空间
* 特殊化预序
* 不可区分者的同一性