在数学中，有许多**对数恒等式**。

代数恒等式
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### 简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

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| \,\log \_{\theta }xy=\log \_{{\theta }}x+\log \_{{\theta }}y | 對應到 | \,\theta ^{x}\theta ^{y}=\theta ^{{x+y}} |
| \log \_{\theta }{\frac {x}{y}}=\log \_{{\theta }}x-\log \_{{\theta }}y | {\frac {\theta ^{x}}{\theta ^{y}}}=\theta ^{{x-y}} |
| \,\log \_{\theta }x^{y}=y\log \_{\theta }x | \,({\theta ^{x}})^{y}=\theta ^{{xy}} |
| \log \_{\theta }{\sqrt[ {y}]{x}}={\frac {\log \_{{\theta }}x}{y}} | {\sqrt[ {y}]{x}}=x^{{\frac {1}{y}}} |
| \,\log \_{\theta }-x=\log \_{\theta }x+\pi i\log \_{\theta }e | 歐拉恆等式：\,e^{{\pi i}}+1=0 |

### 消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

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| b^{{\log \_{b}(x)}}=x | 因为 | {\mathrm {antilog}}\_{b}(\log \_{b}(x))=x\!\, |
| \log \_{b}(b^{x})=x\!\, | 因为 | \log \_{b}({\mathrm {antilog}}\_{b}(x))=x\!\, |

### 换底公式

\log \_{\theta }x={\frac {\log \_{\phi }x}{\log \_{\phi }\theta }}
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有`ln`和`log10`的按钮，但却没有{\displaystyle \log \_{2}}的。要计算{\displaystyle \log \_{2}(3)}，只有计算{\displaystyle {\frac {\log \_{10}(3)}{\log \_{10}(2)}}}。

这个公式有许多推论：

\log \_{a}b={\frac {1}{\log \_{b}a}}
\log \_{{a^{n}}}b={{\log \_{a}b} \over n}
a^{{\log \_{b}c}}=c^{{\log \_{b}a}}

  

\log \_{{a\_{1}}}b\_{1}\,\cdots \,\log \_{{a\_{n}}}b\_{n}=\log \_{{a\_{{\pi (1)}}}}b\_{1}\,\cdots \,\log \_{{a\_{{\pi (n)}}}}b\_{n},\,
{\displaystyle {\pi (n)}}是下标{\displaystyle 1,\ldots ,n}的任意的排列。例如

\log \_{a}w\cdot \log \_{b}x\cdot \log \_{c}y\cdot \log \_{d}z=\log \_{d}w\cdot \log \_{a}x\cdot \log \_{b}y\cdot \log \_{c}z.\,
### 和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

{\displaystyle \log \_{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log \_{\theta }\mathrm {X} +\log \_{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)}
### 普通恒等式

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| \log \_{b}(1)=0\!\, | 因为 | b^{0}=1\!\, |
| \log \_{b}(b)=1\!\, | 因为 | b^{1}=b\!\, |

注意\log \_{b}(0)\!\,无定义，因为没有一个数x\!\,使b^{x}=0\!\,成立。

微积分恒等式
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### 极限

\lim \_{{x\to 0^{+}}}\log \_{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1
\lim \_{{x\to 0^{+}}}\log \_{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1
\lim \_{{x\to \infty }}\log \_{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1
\lim \_{{x\to \infty }}\log \_{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1
\lim \_{{x\to 0^{+}}}x^{b}\log \_{a}x=0
\lim \_{{x\to \infty }}{1 \over x^{b}}\log \_{a}x=0
最后一个极限经常被总结为"x的对数增长得比x的任何次方或方根都慢"。

### 对数函数的导数

{d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}
### 积分定义

\ln x=\int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt
### 对数函数的积分

\int \log \_{a}x\,dx=x(\log \_{a}x-\log \_{a}e)+C
为了记忆积分，可以方便的定义：

x^{{\left[n\right]}}=x^{{n}}(\log(x)-H\_{n})
x^{{\left[0\right]}}=\log x
x^{{\left[1\right]}}=x\log(x)-x
x^{{\left[2\right]}}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}
x^{{\left[3\right]}}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}
于是，

{\frac {d}{dx}}\,x^{{\left[n\right]}}=n\,x^{{\left[n-1\right]}}
\int x^{{\left[n\right]}}\,dx={\frac {x^{{\left[n+1\right]}}}{n+1}}+C

求大数的近似数
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对数恒等式可以用来求大数的近似数。
假设我们要得到第44个梅森质数{\displaystyle 2^{32582657}-1}的近似值。先取对数（-1被忽略），{\displaystyle 2^{32582657}}以10为底的对数等于 32,582,657 与{\displaystyle \log \_{10}(2)}的乘积，计算得到{\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543}。再取指数消去对数，得到最后结果为 {\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}}.

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。