**四維力**（英語：）是古典力學中的力物理量在相對論中對應的四維版本。

狹義相對論的定義
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設有一不變質量為*m*的粒子（*m* > 0），其四維動量\mathbf {P} 為

{\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }。
其中四維速度{\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}；*c*為光速，\mathbf{u}乃是尋常概念中的三維空間速度。

而四維力\mathbf {F} 的定義則為四維動量對粒子原時的微分：

{\displaystyle \mathbf {F} \equiv {d\mathbf {P} \over d\tau }}。
將牛頓第二定律擴充，我們可以將四維力與四維加速度\mathbf{A}作關聯：

{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right)}.
在這裡可得如下關係式：

{\displaystyle {\mathbf {f} }={d \over dt}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={d\mathbf {p} \over dt}}
以及

{\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={d \over dt}\left(\gamma mc^{2}\right)={dE \over dt}}。
上述\mathbf{u}、\mathbf{p}與\mathbf{f}為三維向量，分別描述粒子的速度、動量與作用力。

廣義相對論的調整
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在廣義相對論中，四維力與四維加速度的關係式不變，然而四維力與四維動量的關係則需從對原時的一般導數改成協變導數：

{\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}\_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}
此外，我們亦可透過座標轉換的觀念來推導不同座標系之間的力。設有一座標系而粒子在此座標系中暫時靜止，假設我們知道的力的正確表示式，則我們可以透過座標轉換得到另一個座標系中的力的表示式。在狹義相對論中，這個座標變換是勞侖茲變換；在廣義相對論中，則是廣義座標變換。

考慮四維力{\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},{\textbf {F}})}作用在一質量為m的粒子，此粒子在一座標系統中暫時靜止。

相對論中的力{\displaystyle f^{\mu }}在另個以固定相對速度v的座標系中遵守勞侖茲變換：
{\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathbf {F} }+(\gamma -1){\mathbf {v} }{{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {F} } \over v^{2}}}，

而

{\displaystyle f^{0}=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} }，
其中{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}為速度除以光速。

廣義相對論中，四維力表示式變成：

{\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}
其中{\displaystyle D/d\tau }為協變導數。運動方程式變成：
{\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma \_{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau }}，

其中{\displaystyle \Gamma \_{\nu \lambda }^{\mu }}為克里斯多福符號。若無外加力，則變成彎曲時空中的測地線方程式。上式中的第二項所扮演的角色是重力場所造成的「力」。

若{\displaystyle f\_{f}^{\alpha }}是自由落體參考系{\displaystyle \xi ^{\alpha }}之中力的正確表示式，我們可以使用等效原理來描寫任意座標系{\displaystyle x^{\mu }}之中的四維力：

{\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f\_{f}^{\alpha }.}

案例
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狹義相對論中，四維勞侖茲力（電磁場對帶電粒子作用的四維力）可以表示為：

{\displaystyle F\_{\mu }=qF\_{\mu \nu }U^{\nu }}，
其中

* {\displaystyle F\_{\mu \nu }}為電磁張量，
* q為電荷。
* {\displaystyle U^{\nu }}為四維速度，

相關條目
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* 四維向量
* 四維速度
* 四維加速度
* 四維動量

參考文獻
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1. ↑  Steven, Weinberg.. John Wiley & Sons, Inc. 1972. ISBN 0-471-92567-5.

### 延伸閱讀

* Rindler, Wolfgang.  2nd. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853953-3.

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* 论
* 编
狭义相对论 |
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| 入門 · 原理 · 理論 · 驗證 |
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| 基礎概念 | 相對運動 · 慣性參考系 · 光速 · 馬克士威方程組 · 勞侖茲變換 |
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| 现象 | 時間膨脹 · 長度收縮 · E=mc2 · 相對同時 · 相對論性多普勒效應 · 湯瑪斯進動 · 相對論盤（英语：） ·  · 貝爾太空船悖論 · 埃倫費斯特悖論（英语：） |
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| 時空 | 閔可夫斯基時空 · 世界線 · 時空圖 · 光锥 · 四維矢量 |
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| 運動學 | 原時 · 四維速度 · 四維加速度 · 速度加成式 · 狹義相對論中的加速度 |
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| 動力學 | 不變質量 · 狹義相對論中的質量 · 四維動量 · 四維力 |
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| 歷史背景 | 伽利略变换 · 光以太學說 · 狹義相對論發現史 |
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| 科學家 | 愛因斯坦 · 索莫菲 · 邁克生 · 莫立 · 費茲傑羅 · 勞侖茲 · 龐加萊 · 閔可夫斯基 · 菲佐 · 普朗克 · 埃倫費斯特 · 勞厄 · 狄拉克 |
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| 相關理論方法 | 狹義相對論的其他推導方法（英语：） · 古典電磁理論的協變形式 · 雙重狹義相對論 |

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