偏度不為零的實驗數據樣本（小麥胚芽鞘的向地反應：1,790）
**偏度**（英語：），亦稱**歪度**，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。

負偏態（左）和正偏態（右）

介紹
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偏度分為兩種：

* **負偏態**或**左偏態**：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。。
* **正偏態**或**右偏態**：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義
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隨機變量X的偏度\gamma \_{1}為三階標準矩，可被定義為：

\gamma \_{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu \_{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa \_{3}}{\kappa \_{2}^{3/2}}}\ ,
其中{\displaystyle \mu \_{3}}是三階主動差，\sigma 是標準差。E是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用{\displaystyle \mathrm {Skew} [X]}來表示。老教科書過去常常用{\displaystyle {\sqrt {\beta \_{1}}}}來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[*X*3]來表示偏度的公式：

\gamma \_{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .

樣本偏度
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具有n個值的樣本的**樣本偏度**為：

g\_{1}={\frac {m\_{3}}{{m\_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,
其中{\overline {x}}是樣本平均值，{\displaystyle m\_{3}}是三階樣本中心矩，m\_{2}是二階樣本中心距，即樣本方差。

### 性質

當：
\Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0 時，偏度可以是無窮大的。

或者當：
{\displaystyle \Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}}（x為負）及

{\displaystyle \Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}}（x為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。
其他分布形式比如：

\Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0
二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定Y為n個獨立變量之和並且這些變量和X具有相同的分布，那麽*Y*的三階累積量是*X*的*n*倍，*Y*的二階累積量也是*X*的*n*倍，所以：
{\displaystyle {\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}}。根據中心极限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見
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* 峰度
* 主動差

註釋
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1. 1 2 .  [2018-12-14]. （原始内容存档于2020-11-12）.
2. 1 2 .  [2010-10-30]. （原始内容存档于2011-08-11）.

參考資料
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* Groeneveld, RA; Meeden, G.. The Statistician. 1984, **33** (4): 391–399  [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始内容存档于2020-08-20）.
* Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) *Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition* Wiley ISBN 0-471-58495-9
* MacGillivray, HL.. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, **21**: 1244–1250.

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