**二次方程**是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。

一元二次方程
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### 方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：ax^{2}+bx+c=0\,，其中 {\displaystyle a\neq 0}。{\displaystyle ax^{2}\,}为方程的二次项，a\,为方程的二次项系数；{\displaystyle bx\,}为一次项，b\,为一次项系数；c\,为常数项。若a=0\,，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

### 求根公式

■{\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}  

■{\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}  

■{\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}  

一元二次方程根的判别式為\Delta =b^{2}-4ac\,。

若\Delta>0\,，則該方程有两個不相等的實数根：
{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}；

若\Delta=0\,，則該方程有两個相等的實数根：
{\displaystyle x\_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,}；

若\Delta<0\,，則該方程有一對共軛複數根：
{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,}。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當{\displaystyle \Delta \geq 0\,}時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當\Delta<0\,時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

### 根与系数的关系

更多：韦达定理
设x\_{1}\,，x\_{2}\,是一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0\, （a\neq 0\, ）的两根，则

两根之和：x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}}

两根之积：x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}

* 一元二次方程
* 二元二次方程
* 高元二次方程

### 求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文*radix*。 

我们通常把 x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}} 称之为 ax^{2}+bx+c=0\, 的求根公式：  

  



a

x

2

+
b
x
+
c

=
0


x

2

+

b
a

x
+

c
a


=
0


x

2

+

b
a

x
+

(

b

2
a

)

2

−

(

b

2
a

)

2

+

c
a


=
0



(

x
+

b

2
a

)

2

−

b

2

4

a

2


+

c
a


=
0



(

x
+

b

2
a

)

2


=

b

2

4

a

2


−

c
a



(

x
+

b

2
a

)

2


=

b

2

−
4
a
c

4

a

2



x
+

b

2
a



=

±

b

2

−
4
a
c

2
a


x

=

−
b
±

b

2

−
4
a
c

2
a



{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}

或不將x^{2}係數化為1：



a

x

2

+
b
x
+
c

=
0

a

x

2

+
b
x
+

(

b

2

a


)

2


=

(

b

2

a


)

2

−
c



(

x

a

+

b

2

a



)

2


=

(

b

2

a


)

2

−
c

x

a

+

b

2

a



=
±

(

b

2

a


)

2

−
c



x

a

+

b

2

a



=
±


b

2

4
a

−
c



x
+

b

2
a



=
±


b

2

4

a

2


−

c
a



x
+

b

2
a



=
±


b

2

4

a

2


−

4
a
c

4

a

2



x

=
−

b

2
a

±


b

2

−
4
a
c

4

a

2




x

=

−
b
±

b

2

−
4
a
c

2
a



{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}
### 对应函数的极值

设 y=ax^{2}+bx+c\,（{\displaystyle a\neq 0\,}），  

对x\,求导，得
  

{\frac {{\mathop {{\mbox{d}}}}y}{{\mathop {{\mbox{d}}}}x}}=2ax+b  

令 {\frac {{\mathop {{\mbox{d}}}}y}{{\mathop {{\mbox{d}}}}x}}=0，得  

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}  

即为 y\,的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。
将 x=-{\frac {b}{2a}} 代入 y\,，可得
  

{\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}  

即为 y\, 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：  

{\displaystyle f''(x)<0\,}，x\,是f(x)\, 的极大值点，  

{\displaystyle f''(x)>0\,}，x\,是f(x)\, 的极小值点；  

由{\frac {{\mathop {{\mbox{d}}}}^{2}y}{{\mathop {{\mbox{d}}}}x^{2}}}=2a，可知：  

当a<0\,时（抛物线开口向下），x=-{\frac {b}{2a}}为y\,的极大值点；  

当a>0\,时（抛物线开口向上），x=-{\frac {b}{2a}}为y\,的极小值点。

參見
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* 一次方程
* 抛物綫
* 配方法
* 圆锥曲线