在線性代數中，**凱萊–哈密頓定理**（英語：）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設A為給定的n\times n矩陣，並設I\_n為n\times n單位矩陣，則A的特徵多項式定義為：

{\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I\_{n}-A)}
其中{\displaystyle \det }表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：

{\displaystyle p(A)=O}
凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子
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舉例明之，考慮下述方陣：

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
其特徵多項式為

{\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2}
此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

{\displaystyle A^{2}-5A-2I\_{2}=O}
此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

{\displaystyle A^{2}-5A-2I\_{2}=O}
{\displaystyle A^{2}=5A+2I\_{2}}
例如，為了計算{\displaystyle A^{4}}，可以反覆利用上述關係式：

{\displaystyle A^{3}=(5A+2I\_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I\_{2})+2A=27A+10I\_{2}}
{\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I\_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I\_{2})+10A}
{\displaystyle A^{4}=145A+54I\_{2}}
或是，如果要計算A^{n}，也可以假設：

{\displaystyle A^{n}=aA+bI}
然後，依照前面的特徵多項式{\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2}之兩解{\displaystyle \lambda \_{1},\lambda \_{2}}，代入後可以得到

{\displaystyle \lambda \_{1}^{n}=a\lambda \_{1}+b}
{\displaystyle \lambda \_{2}^{n}=a\lambda \_{2}+b}
然後解方程後求出a,b，便可得A^{n}。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

**註**：一般而言，若n\times n矩陣A可逆（即：{\displaystyle \det(A)\neq 0}），則A^{-1}可以寫成A的冪次和：特徵多項式有如下形式

{\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)}
將方程式{\displaystyle p(A)=0}同乘以A^{-1}，便得到

{\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )}

定理證明
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以下考慮佈於域{\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若S是n\times n矩陣，而{\displaystyle \operatorname {adj} (S)}表其伴隨矩陣，則

{\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I\_{n}}
取{\displaystyle S=tI\_{n}-A}，便得到{\displaystyle (tI\_{n}-A)\operatorname {adj} (tI\_{n}-A)=p\_{A}(t)I\_{n}}。此式對所有t皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環{\displaystyle k[t]}內成立。

設{\displaystyle M:=k^{n}}，矩陣A賦予M一個{\displaystyle k[t]}-模結構：{\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m}。考慮{\displaystyle k[t]}-模{\displaystyle M[t]:=M\otimes \_{k}k[t]}，我們有{\displaystyle k[t]}-模之間的「求值態射」：

{\displaystyle e\_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m}
固定m\in M，對{\displaystyle M[t]}中的等式

{\displaystyle (tI\_{n}-A)\operatorname {adj} (tI\_{n}-A)\,m=p\_{A}(t)m}
右側取{\displaystyle e\_{A}}後得到{\displaystyle p\_{A}(A)m}，左側取{\displaystyle e\_{A}}後得到{\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0}。明所欲證。

**另外一个简单的证明**：  

令：

{\displaystyle B={\mbox{adj}}(tI\_{n}-A)}
由:

{\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I\_{n}}
得：

{\displaystyle (tI\_{n}-A)B=\det(tI\_{n}-A)I\_{n}=p(t)I\_{n}}
{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I\_{n}&=(tI\_{n}-A)B\\&=(tI\_{n}-A)\sum \_{i=0}^{n-1}t^{i}B\_{i}\\&=\sum \_{i=0}^{n-1}tI\_{n}\cdot t^{i}B\_{i}-\sum \_{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B\_{i}\\&=\sum \_{i=0}^{n-1}t^{i+1}B\_{i}-\sum \_{i=0}^{n-1}t^{i}AB\_{i}\\&=t^{n}B\_{n-1}+\sum \_{i=1}^{n-1}t^{i}(B\_{i-1}-AB\_{i})-AB\_{0}\end{aligned}}}
{\displaystyle p(t)I\_{n}=\det(tI\_{n}-A)I\_{n}=t^{n}I\_{n}+t^{n-1}c\_{n-1}I\_{n}+\cdots +tc\_{1}I\_{n}+c\_{0}I\_{n}}
因两多项式，他们的对应项系数相等得：

{\displaystyle B\_{n-1}=I\_{n},\qquad B\_{i-1}-AB\_{i}=c\_{i}I\_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB\_{0}=c\_{0}I\_{n}~}
在等式两边t的i次项系数分别乘以*A**i*, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

{\displaystyle O=A^{n}+c\_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c\_{1}A+c\_{0}I\_{n}=p(A)}
得证。

抽象化與推廣
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前述證明用到係數在{\displaystyle k[t]}的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環R上的任何有限生成自由模M（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結
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* PlanetMath 上的證明（页面存档备份，存于）