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| 物理算符 |
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| 位置算符 |
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| 动量算符 |
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| 角動量算符 |
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| 哈密顿算符 |
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| 阶梯算符 |
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| 創生及消滅算符 |
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| 自旋算符 |

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在物理學领域裡，**算符**（operator）有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學
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在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量{\mathcal {L}}({\mathbf {q}},\ {\dot {{\mathbf {q}}}},\ t)或哈密頓量{\mathcal {H}}({\mathbf {q}},\ {\mathbf {p}})決定；其中，{\mathbf {q}}=(q\_{1},q\_{2},q\_{3},\dots ,q\_{n})、{\dot {{\mathbf {q}}}}=({\dot {q\_{1}}},{\dot {q\_{2}}},{\dot {q\_{3}}},\dots ,{\dot {q}}\_{n})分別是廣義坐標、廣義速度，{\mathbf {p}}=(p\_{1},p\_{2},p\_{3},\dots ,p\_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}}是共軛動量，t是時間。

假設拉格朗日量{\mathcal {L}}或哈密頓量{\mathcal {H}}與某廣義坐標q\_i無關，則當q\_i有所改變時，{\mathcal {L}}或{\mathcal {H}}仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於q\_i的共軛動量p\_{i}守恆。對於廣義坐標q\_i的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群G的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設S\in G，

S{\mathcal {H}}({\mathbf {q}},\ {\mathbf {p}})={\mathcal {H}}({\mathbf {q}}',\ {\mathbf {p}}')={\mathcal {H}}({\mathbf {q}},\ {\mathbf {p}})。
在這案例裏，所有G的元素S都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管S作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」T\_{a}能夠將粒子從坐標為q\_i移動至坐標為q\_{i}+a，以方程式表示：

T\_{a}f(q\_{i})=f(q\_{i}-a)；
其中，f(q\_{i})是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管T\_{a}的作用，這物理系統的哈密頓量{\mathcal {H}}是個不變量，對應於坐標q\_i的動量p\_{i}守恆。

### 經典力學算符表格

| 算符 | 標記 | 位置 | 動量 |
| --- | --- | --- | --- |
| 平移算符 | {\displaystyle T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} } |
| 時間演化算符 | U(\Delta t) | {\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)} | {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)} |
| 旋轉算符 | {\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} } |
| 伽利略變換算符 | {\displaystyle G(\mathbf {v} )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t} | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} } |
| 宇稱算符 | P | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} } |
| 時間反演算符 | \Theta | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)} | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)} |
|

* R({\hat {{\mathbf {n}}}},\theta )是旋轉矩陣，{\hat {{\mathbf {n}}}}是旋轉軸向量，\theta 是旋轉角弧。

### 生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為 

T\_{{\epsilon }}\approx I+\epsilon A；
其中，I是「單位算符」──變換群的單位元，\epsilon 是微小參數，A是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符T\_{\epsilon }作用於函數f(x)：

T\_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )。
由於\epsilon 很微小，可以泰勒近似f(x-\epsilon )為

T\_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)。
重寫平移算符的方程式為

T\_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon {\mathrm {D}})f(x)；
其中，導數算符{\mathrm {D}}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

### 指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做N次微小平移變換T\_{{a/N}}，來代替一個有限值為a的平移變換T\_{a} ：

T\_{a}f(x)=T\_{{a/N}}\cdots T\_{{a/N}}\ f(x)。
現在，讓N變得無窮大，則因子a/N趨於無窮小：

T\_{a}f(x)=\lim \_{{N\to \infty }}T\_{{a/N}}\cdots T\_{{a/N}}f(x)=\lim \_{{N\to \infty }}(I-(a/N){\mathrm {D}})^{N}f(x)。
這表達式的極限為指數函數：

T\_{a}f(x)=e^{{-a{\mathrm {D}}}}f(x)。
核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

T\_{a}f(x)=\left(I-a{\mathrm {D}}+{a^{2}{\mathrm {D}}^{2} \over 2!}-{a^{3}{\mathrm {D}}^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)。
這方程式的右手邊可以重寫為

f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots 。
這正是f(x-a)的泰勒級數，也是T\_{a}f(x)的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C\*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學
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在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符[來源請求]。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。

### 量子算符

假設，物理量O是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符\hat{O}可能有很多不同的本徵值O\_i與對應的本徵態|e\_i\rang，這些本徵態|e\_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots，形成了具有正交歸一性的基底：

\lang e\_i |e\_j\rang=\delta\_{ij}；
其中，\delta \_{ij}是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}|e\_{i}\rangle ；
其中，c\_i=\lang e\_i |\psi \rang是複係數，是在|e\_i\rang裏找到|\psi \rangle 的機率幅。

測量這動作將量子態|\psi \rangle 改變為本徵態|e\_i\rang的機率為p\_{i}=|c\_{i}|^{2}，測量結果是本徵值O\_i的機率也為p\_{i}。

### 期望值

条目：期望值
在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態|\psi \rangle ，可觀察量O的期望值\langle O\rangle 定義為

\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ；
其中，\hat{O}是對應於可觀察量O的算符。

將算符\hat{O}作用於量子態|\psi \rangle ，會形成新量子態|\phi \rangle ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}{\hat {O}}|e\_{i}\rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}O\_{i}|e\_{i}\rangle 。
從左邊乘以量子態\langle \psi |，經過一番運算，可以得到

\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{i}\ c\_{i}O\_{i}\langle \psi |e\_{i}\rangle =\sum \_{i}\ |c\_{i}|^{2}O\_{i}=\sum \_{i}\ p\_{i}O\_{i}。
所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量O的期望值：

\langle O\rangle =\sum \_{i}\ p\_{i}O\_{i}。
將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數F(O)的期望值：

\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle 。
例如，F({\hat {O}})可以是{\hat {O}}^{2}，即重複施加算符{\hat {O}}兩次：

\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle 。
### 對易算符

条目：對易算符
假設兩種可觀察量A、B的算符分別為{\hat {A}}、{\hat {B}}，它們的對易算符定義為

[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}。
對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態|\psi \rangle 時，會給出

[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle 。
假設[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

### 厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量O的期望值是實值： 

\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{\*}。
對於任意量子態|\psi \rangle ，這關係都成立：

\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{\*}。
根據伴隨算符的定義，假設{\hat {O}}^{{\dagger }}是\hat{O}的伴隨算符，則\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{{\dagger }}|\psi \rangle 。因此，

{\hat {O}}={\hat {O}}^{{\dagger }}。
這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

### 矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符{\hat {I}}=\sum \_{{i}}|e\_{i}\rangle \langle e\_{i}|於算符\hat{O}的兩旁，可以得到

{\hat {O}}=\sum \_{{i,j}}|e\_{i}\rangle \langle e\_{i}|{\hat {O}}|e\_{j}\rangle \langle e\_{j}|=\sum \_{{ij}}O\_{{i,j}}|e\_{i}\rangle \langle e\_{j}|；
其中，O\_{{ij}}=\langle e\_{i}|{\hat {O}}|e\_{j}\rangle 是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

{\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O\_{{11}}&O\_{{12}}&\cdots &O\_{{1n}}\\O\_{{21}}&O\_{{22}}&\cdots &O\_{{2n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O\_{{n1}}&O\_{{n2}}&\cdots &O\_{{nn}}\\\end{pmatrix}} 。
算符\hat{O}與它的伴隨算符{\hat {O}}^{{\dagger }}彼此之間的關係為

\langle e\_{i}|{\hat {O}}|e\_{j}\rangle =\langle e\_{j}|{\hat {O}}^{{\dagger }}|e\_{i}\rangle ^{\*}。
所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符\hat{O}怎樣作用於量子態|\psi \rangle ，假設系統因此變換為量子態|\phi \rangle ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle 。
從左邊乘以本徵態\langle e\_{i}|，應用基底的完備性，添加單位算符{\hat {I}}於算符的右邊，可以得到

\langle e\_{i}|\phi \rangle =\langle e\_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum \_{j}\langle e\_{i}|{\hat {O}}|e\_{j}\rangle \langle e\_{j}|\psi \rangle =\sum \_{{ij}}O\_{{ij}}\langle e\_{j}|\psi \rangle 。
右矢|\phi \rangle 、|\psi \rangle 分別用豎矩陣來代表

|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e\_{1}|\phi \rangle \\\langle e\_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e\_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}} 、　　　　|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e\_{1}|\psi \rangle \\\langle e\_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e\_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}} 。
兩個豎矩陣彼此之間的關係為

{\begin{pmatrix}\langle e\_{1}|\phi \rangle \\\langle e\_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e\_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O\_{{11}}&O\_{{12}}&\cdots &O\_{{1n}}\\O\_{{21}}&O\_{{22}}&\cdots &O\_{{2n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O\_{{n1}}&O\_{{n2}}&\cdots &O\_{{nn}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e\_{1}|\psi \rangle \\\langle e\_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e\_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}} 。
假設算符\hat{O}是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值\lambda ：

\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0。
### 量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

| 算符名稱 | 直角坐標系分量表示 | 向量表示 |
| --- | --- | --- |
| 位置算符 | {\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}} | {\mathbf {{\hat {r}}}}={\mathbf {r}} |
| 動量算符 | 一般狀況

{\begin{aligned}{\hat {p}}\_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}\_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}\_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}} | 一般狀況

{\mathbf {{\hat {p}}}}=-i\hbar \nabla  |
| 電磁場

{\begin{aligned}{\hat {p}}\_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA\_{x}\\{\hat {p}}\_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA\_{y}\\{\hat {p}}\_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA\_{z}\end{aligned}} | 電磁場（\mathbf{A}是磁向量勢）

{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} } |
| 動能算符 | 平移運動

{\begin{aligned}{\hat {T}}\_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}\_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}\_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}} | 平移運動

{\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}\_{x}+{\hat {T}}\_{y}+{\hat {T}}\_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}} |
| 電磁場

{\begin{aligned}{\hat {T}}\_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA\_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}\_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA\_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}\_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA\_{z}\right)^{2}\end{aligned}} | 電磁場（\mathbf{A}是磁向量勢）

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}} |
| 旋轉運動（I是轉動慣量）

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}\_{xx}&={\frac {{\hat {J}}\_{x}^{2}}{2I\_{xx}}}\\{\hat {T}}\_{yy}&={\frac {{\hat {J}}\_{y}^{2}}{2I\_{yy}}}\\{\hat {T}}\_{zz}&={\frac {{\hat {J}}\_{z}^{2}}{2I\_{zz}}}\\\end{aligned}}} | 旋轉運動 

{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}} |
| 勢能算符 | N/A | {\hat {V}}=V\left({\mathbf {r}},t\right) |
| 總能量算符 | N/A | 含時位勢：
{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}
不含時位勢：
{\hat {E}}=E |
| 哈密頓算符 | N/A | {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}} |
| 角動量算符 | {\begin{aligned}{\hat {L}}\_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}\_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}\_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}} | {\mathbf {{\hat {L}}}}=-i\hbar {\mathbf {r}}\times \nabla  |
| 自旋算符 | {\begin{aligned}{\hat {S}}\_{x}={\hbar \over 2}\sigma \_{x}\\{\hat {S}}\_{y}={\hbar \over 2}\sigma \_{y}\\{\hat {S}}\_{z}={\hbar \over 2}\sigma \_{z}\end{aligned}}
其中，
\sigma \_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}
\sigma \_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}
\sigma \_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}
是自旋1/2粒子的包立矩陣。 | {\mathbf {{\hat {S}}}}={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}
其中，向量{\boldsymbol {\sigma }}的分量是包立矩陣。 |
| 總角動量算符 | {\begin{aligned}{\hat {J}}\_{x}&={\hat {L}}\_{x}+{\hat {S}}\_{x}\\{\hat {J}}\_{y}&={\hat {L}}\_{y}+{\hat {S}}\_{y}\\{\hat {J}}\_{z}&={\hat {L}}\_{z}+{\hat {S}}\_{z}\end{aligned}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}} |
| 躍遷矩（電）（transition moment） | {\begin{aligned}{\hat {d}}\_{x}&=qx\\{\hat {d}}\_{y}&=qy\\{\hat {d}}\_{z}&=qz\end{aligned}} | {\mathbf {{\hat {d}}}}=q{\mathbf {r}} |
|

### 範例

#### 位置算符

条目：位置算符
只思考一維問題，將位置算符\hat{x}施加於位置本徵態|x\rang，可以得到本徵值x，即粒子的位置：

{\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle 。
由於位置基底具有完整性，{\hat {I}}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ |x\rangle \langle x|{\mathrm {d}}x，任意量子態|\psi \rangle 可以按著位置本徵態形成的基底展開：

|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x。
將位置算符\hat{x}施加於量子態|\psi \rangle ，由於算符\hat{x}只作用於右矢|x\rangle ，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

{\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x。
左矢\langle \psi |與這方程式的內積為

\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x。
設定量子態|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle 。由於位置基底具有完整性，{\hat {I}}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ |x\rangle \langle x|{\mathrm {d}}x，量子態\langle \psi |與|\alpha \rangle 的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

\langle \psi |\alpha \rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle {\mathrm {d}}x=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle {\mathrm {d}}x。
將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle 。
設定量子態|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle 。量子態|\Psi \rangle 、|\psi \rangle 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle 、
\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang。
兩個波函數\Psi(x)、\psi (x)之間的關係為

\Psi (x)=x\psi (x)。
總結，位置算符\hat{x}作用於量子態|\psi \rangle 的結果|\Psi \rangle ，表現於位置空間，等價於波函數\psi (x)與x的乘積\Psi(x)。

#### 動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}。
將動量算符{\hat {p}}施加於量子態|\psi \rangle ，可以得到類似前一節得到的結果：

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle 。
應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態|\phi \rangle ，可以得到更廣義的結果：

{\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle {\mathrm {d}}x\\&=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle {\mathrm {d}}x\\&=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \phi ^{\*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x){\mathrm {d}}x\\\end{aligned}} ；
其中，\phi (x)=\langle x|\phi \rangle 、\psi (x)=\langle x|\psi \rangle 分別是量子態|\phi \rangle 、|\psi \rangle 表現於位置空間的波函數。

假設|\psi \rangle 是{\hat {p}}的本徵態，本徵值為p，則可得到

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle 。
將|\psi \rangle 改寫為本徵值為p的本徵態|p\rangle ，方程式改寫為

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle 。
這微分方程式的解析解為

\langle x|p\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{ipx/\hbar }}。
所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。

參閱
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* 有界算符
* 表示論
* 算子

參考文獻
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1. 1 2 3 4 5  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim,  2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
2. 1 2 3  Griffiths, David J. Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
3. ↑  Ballentine, L. E. Reviews of Modern Physics, 1970, **42**: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
4. ↑  Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
5. ↑  費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2  引文格式1维护：冗余文本 (link)