**西爾維斯特方程**（英語：）是控制理论中的矩阵方程，形式如下：

{\displaystyle AX+XB=C.}
其中*A*、*B*及*C*是已知的矩陣，問題是要找出符合條件的*X*。其中所有矩陣的係數都是复数。為了要使方程成立，矩陣的和需要滿足一定條件，*A*和*B*都要是方陣，大小分別是*n*和*m*，而*X*和*C*要是*n**m*的矩陣，*n*和*m*也可以相等，四個矩陣都是大小相同的方陣。

西爾維斯特方程有唯一解*X*的充份必要條件是*A*和*-B*沒有共同的特徵值。

*AX*+*XB*=*C*也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解*X*的充份必要條件幾乎相同：唯一解*X*的充份必要條件是*A*和*-B*的谱不互交。

解的存在及唯一
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利用克罗内克积以及向量化量子（英语：）{\displaystyle \operatorname {vec} }，可以改寫西爾維斯特方程為

{\displaystyle (I\_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I\_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}
其中I\_{k}為{\displaystyle k\times k}單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為{\displaystyle mn\times mn}維的線性系統。

命题
假定複數的{\displaystyle n\times n}矩陣A和B，西爾維斯特方程針對任意C有唯一解X，若且唯
若A和{\displaystyle -B}沒有共同的特徵值。

證明
考慮線性轉換{\displaystyle S:M\_{n}\rightarrow M\_{n}}，{\displaystyle X\mapsto AX+XB}.

(i)假設A和{\displaystyle -B}沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 f(z)和g(z)的最大公因式為1，因此存在複數多項式{\displaystyle p(z)}和{\displaystyle q(z)}，使得{\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}。依照Cayley–Hamilton定理，{\displaystyle f(A)=0=g(-B)}；因此{\displaystyle g(A)q(A)=I}。令X為{\displaystyle S(X)=0}的解，則{\displaystyle AX=-XB}，重複上述作法，可得{\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}。因此依照秩－零化度定理，S是可逆的，因此針對所有的C都存在唯一的解X。

(ii) 相對的，若假設s是A和{\displaystyle -B}的共同特徵值，則{\bar {s}}也是{\displaystyle A^{H}}的特徵值。存在非零向量 v和w使得{\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w}以及{\displaystyle Bv=-sv}。選擇C使得{\displaystyle Cv=w}，則{\displaystyle AX+XB=C}沒有解X，考虑 {\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle }，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 {\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0}。

Roth消去法則
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假設二個大小分別為*n*和*m*的方陣*A*和*B*，以及大小為*n*乘*m*的矩陣*C*，則可以確認以下二個大小為*n+m*的方陣{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}和{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣*X*使得*AX*-*XB*=*C*，換句話說，*X*為西爾維斯特方程的解，這稱為**Roth消去法則**（Roth's removal rule）。

可以用以下方式檢查，若*AX*-*XB*=*C*，則 

{\displaystyle {\begin{bmatrix}I\_{n}&X\\0&I\_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\_{n}&-X\\0&I\_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}
Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。

數值解
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西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法（英语：）將矩陣A和矩陣B轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的`lyap`函數計算，計算複雜度是{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}個數學運算[來源請求]。也可以參考其中的`sylvester`函數。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。

相關條目
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* 李亞普諾夫方程
* 代數Riccati方程

腳註
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1. ↑  不過也常寫成等效的*AX-XB=C*.
2. ↑  Bhatia and Rosenthal, 1997
3. ↑  不過若是要算其數值解，不建議寫成此形式，因為求解的計算量很高，而且可能會是病態方程
4. ↑  Gerrish, F; Ward, A.G.B.. The Mathematical Gazette. Nov 1998, **82** (495): 423–430. doi:10.2307/3619888.
5. ↑  Bhatia and Rosenthal, p.3
6. ↑ .  [2017-12-27]. （原始内容存档于2018-11-14）.
7. ↑ .  [2017-12-27]. （原始内容存档于2018-02-12）.
8. ↑  The `syl` command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
9. ↑  Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y.. IEEE. 2015, **24** (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.

參考資料
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* Sylvester, J.. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, **99** (2): 67–71, 115–116.
* Bartels, R. H.; Stewart, G. W.. Comm. ACM. 1972, **15** (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
* Bhatia, R.; Rosenthal, P.. Bull. London Math. Soc. 1997, **29** (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
* Lee, S.-G.; Vu, Q.-P.. Linear Algebra Appl. 2011, **435** (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
* Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y.. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, **24** (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
* Birkhoff and MacLane.. Macmillan. 1965: 213, 299.