在幾何學中，**無限階四面體堆砌**是一種位於雙曲三維非緊空間的雙曲正堆砌，由正四面體組成，每個稜都是無限多個正四面體的公共稜，也因此使這個圖形無法存於一般的三維空間中。這個圖形每一個面都可以做為整個圖形的鏡射面。

性質
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無限階四面體堆砌每個頂點都是無限多個正四面體的公共頂點，因此在施萊夫利符號中可以用{3,3,∞}來表示，其中{3,3}表示正四面體，在考克斯特-迪肯符號（英语：）中也能用node_1 3 node 3 node infin node 來表示，其中node_1 3 node 3 node 表示正四面體。

**無限階四面體堆砌**可以視為一系列由正四面體組成的多面體數量之算術極限，非僅空間的四面體堆砌是從七階四面體堆砌開始，因為六階四面體堆砌是仿緊空間，非僅空間的四面體堆砌除了無限階之外也可以達到更高階數，利用虛階數表示其階數比無窮大更多，即超無限階四面體堆砌，在考克斯特-迪肯符號（英语：）中以node_1 3 node 3 node ultra node 表示。

由於無限階四面體堆砌全部都是由正四面體組成，每個頂點相同、邊也等長，因此也是一種正幾何圖形，但其位於雙曲三維非緊空間，因此有這種性質的正堆砌有無限多個。

無限階四面體堆砌存在另外一種對稱性比較低的半正結構，就是將四面體的胞進行交錯的表面塗色，換句話說，就是將該圖形中的四面體交替地塗上不同顏色。這種結構在施萊夫利符號中表示為{3,(3,∞,3)}、考克斯特-迪肯符號（英语：）可表示為node_1 3 node 3 node infin node_h0 或node_1 3 node split1 branch labelinfin 。在考克斯特群中，他們具有[3,3,∞,1+]的半對稱性，也可以計為[3,((3,∞,3))]。

其他階數的非緊四面體堆砌
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無限階四面體堆砌是非緊四面體堆砌系列的極限，第一個非緊四面體堆砌是七階四面體堆砌。

### 七階四面體堆砌

条目：七階四面體堆砌
七階四面體堆砌是非緊四面體堆砌系列的第一個正圖形，每個頂點都是七個正四面體的公共頂點。

### 八階四面體堆砌

在幾何學中，**八階四面體堆砌**是一種位於雙曲三維非緊空間的雙曲正堆砌，由正四面體組成，在施萊夫利符號中用{3,3,8}來表示，考克斯特-迪肯符號（英语：）中以node_1 3 node 3 node 8 node 表示 。每個稜都是八個正四面體的公共稜。

#### 對稱性

對稱性比較低的形式就是在該圖形表面交替地塗上不同顏色，可以利用循環表式的施萊夫利符號{3,(3,4,3)}或考克斯特符號（英语：）node_1 3 node split1 branch label4 來表示，其對稱性為[3,3,8,1+]，也寫作[3,((3,4,3))]。

### 九階四面體堆砌

在幾何學中，**九階四面體堆砌**是一種位於雙曲三維非緊空間的雙曲正堆砌，由正四面體組成，在施萊夫利符號中用{3,3,9}來表示，考克斯特-迪肯符號（英语：）中以node_1 3 node 3 node 9 node 表示 。每個稜都是九個正四面體的公共稜。

### 十階四面體堆砌

十階四面體堆砌是每個頂點為十個正四面體的公共頂點的雙曲堆砌，其具有另一種較低對稱性的表面塗色結構，可以利用循環表式的施萊夫利符號{3,(3,5,3)}或考克斯特符號（英语：）node_1 3 node split1 branch label5 來表示，其對稱性為[3,3,10,1+]，也寫作[3,((3,5,3))]。

相關多胞體與堆砌
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七階四面體堆砌是一種由正四面體組成的堆砌，其他胞也由正四面體組成多胞體與堆砌或蜂巢體包含：

| {3,3,p}多胞體 |
| --- |
| 空間 | S3 | H3 |
| 構造 | 有限 | 仿緊 | 非緊 |
| 施萊夫利符號考克斯特符號（英语：） | {3,3,3}node_1 3 node 3 node 3 node  | {3,3,4}node_1 3 node 3 node 4 node node_1 3 node split1 nodes  | {3,3,5}node_1 3 node 3 node 5 node  | {3,3,6}node_1 3 node 3 node 6 node node_1 3 node split1 branch  | {3,3,7}node_1 3 node 3 node 7 node  | {3,3,8}node_1 3 node 3 node 8 node node_1 3 node split1 branch label4 
 | ... {3,3,∞}node_1 3 node 3 node infin node node_1 3 node split1 branch labelinfin  |
| 圖像 |  |  |  |  |  | 
 |  |
| 頂點圖 | {3,3}node_1 3 node 3 node  | {3,4}node_1 3 node 4 node node_1 split1 nodes  | {3,5}node_1 3 node 5 node  | {3,6}node_1 3 node 6 node node_1 split1 branch  | {3,7}node_1 3 node 7 node  | {3,8}node_1 3 node 8 node node_1 split1 branch label4 
 | {3,∞}node_1 3 node infin node node_1 split1 branch labelinfin  |

參見
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* 無限階三角形鑲嵌
* 正圖形列表

注釋
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1. 1 2  與多面體的頂點之概念作類比
2. ↑  指與上色之後對稱性較上色之前差

參考文獻
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1.. . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

1. ↑  George, Maxwell.. JOURNAL OF ALGEBRA. 1982, **79**: 78–97  [2016-07-28]. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0. （原始内容存档于2013-06-30）.
2. ↑  *The Beauty of Geometry: Twelve Essays* (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space （页面存档备份，存于）)
3. ↑  Norman Johnson, *Geometries and symmetries*, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141
4. ↑  Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, *Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings*, (2013) （页面存档备份，存于）
5. 1 2  Humphreys, 1990, page 141, 6.9 List of hyperbolic Coxeter groups, figure 2  （页面存档备份，存于）