**分段聚合近似法**（英文：，）是一种时间序列数据的降维方法，最早由埃蒙·基奥（英语：）（）等人提出，用于建立时间序列索引。相比于离散傅里叶变换、离散小波变换、奇异值分解等降维方法，分段聚合近似法操作比较简便，适用于更多距离度量，例如加权欧氏距离。并且分段聚合近似法还适用于索引长度和查询长度不同的情况。如今分段聚合近似法已经成为一种广泛应用的时间序列处理方法。

定义
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设时间序列{\displaystyle X=x\_{1},...x\_{n}}的长度为n。将其用一条长度为N的向量\overline{X}表示，\overline{X}第i个元素的定义为：
{\displaystyle {\overline {X}}\_{i}={\frac {N}{n}}\sum \_{j={\frac {n}{N}}(i-1)+1}^{{\frac {n}{N}}i}x\_{j}}

简言之，为了将原始时间序列从n维降低到N维，需要将原始数据分割成N个等长的分段，在每个分段内计算均值就可以得到降维后的数据表示。

当{\displaystyle N=n}时，分段聚合近似法得到的向量就是原始时间序列本身，当{\displaystyle N=1}时，分段聚合近似法得到的得到值就是原始时间序列的均值。

索引建立方法
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用分段聚合近似法建立用于子序列匹配的索引的时间复杂度为{\displaystyle O(nm)}。因为对于大约m个"窗口"，每个分段都要用上述公式计算N次，并且上述公式要对长度为{\displaystyle {\frac {n}{N}}}的部分求和。埃蒙·基奥（Eamonn Keogh）提出了一种快速计算的方法，可以将时间复杂度降低到{\displaystyle O(Nm)}： 每次计算时只要从上次的结果减去上一段离开"窗口"的数据点的部分，加上新进入"窗口"的数据点的部分即可。在第j个"窗口"内的第i个值可以通过以下公式更新：
{\displaystyle {\overline {x}}\_{ji}={\overline {x}}\_{j-1i}-{\frac {N}{n}}x\_{{\frac {n}{N}}(i-1)+1}+{\frac {N}{n}}x\_{{\frac {n}{N}}i+1}}

应用领域
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作为一种时间序列降维方法，分段聚合近似法得到了广泛的应用，是一些时间序列的低维表示方法的前期处理步骤之一。
在使用分段聚合近似法建立索引后，为了进行各种查询，要使用某种距离{\displaystyle D\_{PAA}}进行相似度（英语：）度量。为了避免假阴性情况的出现，所使用的距离需要满足以下特征：
{\displaystyle D\_{PAA}({\overline {X}},{\overline {Y}})\leq D(X,Y)}
如果{\displaystyle D\_{PAA}}的定义为：
{\displaystyle D\_{PAA}({\overline {X}},{\overline {Y}}):={\sqrt {\frac {n}{N}}}{\sqrt {\sum \_{i=1}^{N}({\overline {x}}\_{i}-{\overline {y}}\_{i})^{2}}}}，则满足上述条件。一些时间序列的检索方法，例如K-NN的算法中，会使用具有以上特征的距离，根据索引进行初步筛选。

參考資料
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2. ↑  原继东; 王志海.. 计算机科学. 2015, **42** (3)  [2019-06-05]. （原始内容存档于2019-06-05）.
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外部連結
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* Dimensionality reduction for fast similarity search in large time series databases（提出分段聚合近似法的原始论文） （页面存档备份，存于）
* Piecewise Aggregate Approximation of time series （页面存档备份，存于）
* Eammon Keogh的个人主页 （页面存档备份，存于）