**磁矩**是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。

概述
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一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

{\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}}\,\!；
其中，{\boldsymbol {\mu }}\,\!為磁偶極矩，I\,\!為電流，{\mathbf {a}}\,\!為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

{\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {B}}\,\!、
U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}}\,\!；
其中，{\boldsymbol {\tau }}\,\!為力矩，\mathbf {B} \,\!為磁場，U\,\!為勢能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：

{\boldsymbol {\mu }}\_{s}=-g\_{s}\mu \_{B}{\mathbf {S}}/\hbar \,\!；
其中，{\boldsymbol {\mu }}\_{s}\,\!為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子g\_{s}\,\!是一項比例常數，\mu \_{B}\,\!為波耳磁子，{\mathbf {S}}\,\!為電子的自旋，\hbar\,\!是約化普朗克常數。

單位
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採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉。
CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（），電磁單位制（）、高斯單位制。

磁偶極矩單位轉換表
  
光速　*c* = 29,979,245,800 ≈ 3·1010| 語言 | 國際單位制 | 靜電單位制 | 電磁單位制 | 高斯單位制 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 中文 | 1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉 | = (103 *c*) 靜安培·公分2 | = (103) 絕對安培·公分2 | = (103) 爾格／高斯 |
| 英文 | 1 A·m2 =1 J/T | = (103 *c*) statA·cm2 | = (103) abA·cm2 | = (103) erg／Gauss |

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

兩種磁源
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在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：

* 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
* 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

* 電子的自旋。
* 電子環繞著質子的軌域運動。
* 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

計算磁矩的方程式
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### 平面迴圈

假設一個平面載流迴圈的面積向量為{\mathbf {a}}\,\!、所載電流為I\,\!，則其磁偶極矩為{\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}}\,\!。
對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩{\boldsymbol {\mu }}\,\!是

{\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}}\,\!；
其中，I\,\!是迴圈所載有的恆定電流，{\mathbf {a}}\,\!是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持{\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}}\,\!不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

### 任意迴路

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流I\,\!，則其磁偶極矩為

{\boldsymbol {\mu }}=I\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}\,\!；
其中，{\mathbb {S}}\,\!是積分曲面，{\mathbb {C}}\,\!是{\mathbb {S}}\,\!邊緣的閉合迴路，{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}\,\!是微小面積元素，{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,\!是微小線元素，\mathbf{r}\,\!是{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,\!的位置。

引用向量恆等式

\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}={\frac {1}{2}}\oint \_{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,\!，
即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

{\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint \_{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,\!。
### 任意電流分佈

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

{\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int \_{{{\mathbb {V}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathbf {J}}\ {\mathrm {d}}V\,\!；
其中，{\mathbb {V}}\,\!是積分體積，\mathbf{r}\,\!是源電流位置，\mathbf {J} \,\!是電流密度，{\mathrm {d}}V\,\!是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

### 基本粒子

在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為\mu \,\!，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

一些基本粒子的內稟磁矩和自旋| 粒子 | 內稟磁矩（10−27 焦耳／特斯拉） | 自旋量子數 |
| --- | --- | --- |
| 電子 | -9284.764 | 1/2 |
| 質子 | +14.106067 | 1/2 |
| 中子 | -9.66236 | 1/2 |
| 緲子 | -44.904478 | 1/2 |
| 重氫 | +4.3307346 | 1 |
| 氫-3 | +15.046094 | 1/2 |
|

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

載流迴路產生的磁場
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磁偶極子的磁場線。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。
載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流I\,\!的任意局域迴路{\mathbb {C}}\,\!，其磁矢勢{\mathbf {A}}\,\!為

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}I}{4\pi }}\oint \_{{{\mathbb {C}}'}}\ {\frac {{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,\!；
其中，\mathbf{r}\,\!是檢驗位置，{\mathbf {r}}'\,\!是源頭位置，是微小線元素{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!的位置，\mu \_{0}\,\!是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠，r>r'\,\!，則表達式{\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,\!可以泰勒展開為

{\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}={\frac {1}{r}}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P\_{n}(\cos \theta ')\,\!；
其中，P\_{n}(\cos \theta ')\,\!是勒讓德多項式，\theta '\,\!是\mathbf{r}\,\!與{\mathbf {r}}'\,\!之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}I}{4\pi }}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\ {\frac {1}{r^{{n+1}}}}\oint \_{{{\mathbb {C}}'}}\ (r')^{n}P\_{n}(\cos \theta '){\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!。
思考n=0\,\!項目，也就是磁單極子項目：

{\mathbf {A}}\_{0}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}I}{4\pi r}}\oint \_{{{\mathbb {C}}'}}\ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!。
由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考n=1\,\!項目，也就是磁偶極子項目：

{\mathbf {A}}\_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}I}{4\pi r^{{2}}}}\ \oint \_{{{\mathbb {C}}'}}\ r'\cos \theta '{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu \_{0}I}{4\pi r^{{2}}}}\ (-{\hat {{\mathbf {r}}}}\times \oint \_{{{\mathbb {S}}'}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}')\,\!。
注意到磁偶極矩為{\boldsymbol {\mu }}=I\oint \_{{{\mathbb {S}}'}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}'\,\!，偶極磁矢勢可以寫為

{\mathbf {A}}\_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {{\mathbf {r}}}}}{r^{{2}}}}\,\!。
偶極磁場{\mathbf {B}}\_{1}\,\!為

{\mathbf {B}}\_{1}({\mathbf {r}})=\nabla \times {\mathbf {A}}\_{1}({\mathbf {r}})\,\!。
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點\mathbf{O}），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

{\mathbf {B}}\_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu \_{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu \_{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}({\mathbf {r}})\,\!；
其中，\delta ^{3}({\mathbf {r}})\,\!是狄拉克δ函數。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（）至再電離紀元（）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

處於外磁場的磁偶極子
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### 磁偶極子感受到的磁力矩

處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。
如圖右，假設載有電流I\,\!的一個方形迴圈處於外磁場{\mathbf {B}}=B\_{0}{\hat {{\mathbf {z}}}}\,\!。方形迴圈四個邊的邊長為w\,\!，其中兩個與{\hat {{\mathbf {y}}}}\,\!平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為-\theta +\pi /2\,\!。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

{\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB\_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB\_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {{\mathbf {y}}}}=Iw^{2}B\_{0}\sin {\theta }{\hat {{\mathbf {y}}}}\,\!。
另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {{\boldsymbol {\mu }}}}\,\!。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

{\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {B}}\,\!。
令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持{\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}}\,\!不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值\mu B\_{0}\,\!；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

### 磁偶極子的勢能

將載流迴圈從角弧\theta \_{1}\,\!扭轉到角弧\theta \_{2}\,\!，磁場所做的機械功W\,\!為

W=-\int \_{{\theta \_{1}}}^{{\theta \_{2}}}\tau \ d\theta =-\int \_{{\theta \_{1}}}^{{\theta \_{2}}}\mu B\_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B\_{0}(\cos {\theta \_{2}}-\cos {\theta \_{1}})\,\!。
注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而\theta\,\!是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定\theta \_{1}=\pi /2\,\!，則 

W=\mu B\_{0}\cos {\theta \_{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}}\,\!。
對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧\pi /2\,\!扭轉到角弧\theta \_{2}\,\!，所做的機械功W\_{a}\,\!為

W\_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}}\,\!。
定義載流迴圈的勢能U\,\!等於這機械功W\_{a}\,\!，以方程式表示為

U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}}\,\!。
與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值-\mu B\_{0}\,\!；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值\mu B\_{0}\,\!。

### 非均勻磁場

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路{\mathbb {C}}'\,\!的磁場力等於零：

{\mathbf {F}}=I\oint \_{{{\mathbb {C}}'}}{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'\times {\mathbf {B}}=0\,\!。
假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

{\mathbf {F}}\_{{\ell }}=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}})\,\!。
另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

{\mathbf {F}}\_{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\,\!。
兩者之間的差別為

{\mathbf {F}}\_{l}={\mathbf {F}}\_{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times {\mathbf {B}}\right)\,\!。
假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式，

\nabla \times {\mathbf {B}}=0\,\!，
兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。

範例
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### 圓形載流迴圈的磁偶極矩

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑r'\,\!為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

\mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[{\mathrm {A}}\cdot {\mathrm {m}}^{2}]=0.008\;[{\mathrm {J/T}}]\,\!。
磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

* 假設場位置的距離r\,\!超遠於迴圈半徑r'=0.05\ {\mathrm {m}}\,\!，則磁場會呈反立方減弱：

沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置\mathbf{r}\,\!平行：
B={\frac {\mu \_{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{{-7}}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{{-9}}}{r^{3}}}\;[{\mathrm {T}}\cdot {\mathrm {m}}^{3}]\,\!。
在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：
B=-{\frac {\mu \_{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{{-7}}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{{-9}}}{r^{3}}}\;[{\mathrm {T}}\cdot {\mathrm {m}}^{3}]\,\!。
負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。
* 假設在地球的某地方，地磁場{\mathbf {B}}\_{E}\,\!的數值大約為0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場{\mathbf {B}}\_{E}\,\!，則此迴圈所感受到的力矩為

\tau \approx 0.008\times 5\times 10^{{-5}}=4\times 10^{{-7}}\ [{\mathrm {N}}\cdot {\mathrm {m}}]\,\!。
* 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場{\mathbf {B}}\_{E}\,\!，旋轉至磁針的磁矩與地磁場{\mathbf {B}}\_{E}\,\!呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量U\,\!為

U\approx 0.008\times 5\times 10^{{-5}}=4\times 10^{{-7}}\ [{\mathrm {J}}]\,\! 。
由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。
### 螺線管的磁矩

螺線管三維電腦繪圖。
一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為N\,\!，每一匝線圈面積為a\,\!，通過電流為I\,\!，則其磁矩為

\mu =NIa\,\!。
### 載電粒子圓周運動的磁矩

假設，一個點電荷q\,\!以等速v\,\!繞著z-軸，移動於半徑為r\,\!的平面圓形路徑，則其電流為

I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!。
其磁矩為

{\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {{\mathbf {z}}}}\,\!。
其角動量\mathbf {J} \,\!為

{\mathbf {J}}=mvr{\hat {{\mathbf {z}}}}\,\!。
其中，m\,\!是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為

{\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}{\mathbf {J}}\,\!。
對於電子，這經典關係為

{\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m\_{e}}}{\mathbf {J}}\,\!；
其中，m\_e\,\!是電子的質量，e\,\!是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

{\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m\_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!；
其中，\epsilon \_{0}\,\!是電常數。

現在施加外磁場{\mathbf {B}}=B{\hat {{\mathbf {z}}}}\,\!於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為v\_{B}\,\!，則

{\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev\_{B}B=m\_{e}{\frac {v\_{B}^{2}}{r}}\,\!。
所以，

v\_{B}^{2}-v^{2}=(v\_{B}+v)(v\_{B}-v)={\frac {ev\_{B}Br}{m\_{e}}}\,\!。
假設，兩個速度的差別\Delta v=v\_{B}-v\,\!超小，則

\Delta v\approx {\frac {eBr}{2m\_{e}}}\,\!。
所以，由於施加外磁場\mathbf {B} \,\!，磁矩的變化為

\Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {{\mathbf {z}}}}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m\_{e}}}B{\hat {{\mathbf {z}}}}\,\!。
注意到\Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!與\mathbf {B} \,\!呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為

{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m\_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}；
其中，\langle r^{2}\rangle \,\!是半徑平方的期望值。

### 電子的磁矩

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

{\boldsymbol {\mu }}=-g\_{e}\mu \_{B}{\mathbf {S}}/\hbar \,\!；
其中，g\_{e}\,\!是電子的朗德g因子，\mu \_{B}=e\hbar /2m\_{e}\,\!是波耳磁子，{\mathbf {S}}\,\!是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，g\_{e}=1\,\!；但是，在狄拉克力學裏，g\_{e}=2\,\!；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，g\_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

### 原子的磁矩

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩\mu \,\!與總角動量\mathbf {J} \,\!的關係為

{\boldsymbol {\mu }}=-g\_{J}\mu \_{B}{\mathbf {J}}/\hbar \,\!；
其中，g\_{J}\,\!是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量\mu \_{z}\,\!是

\mu \_{z}=-g\_{J}\mu \_{B}J\_{z}/\hbar \,\!；
其中，J\_{z}=J\_{m}\hbar \,\!是總角動量對於磁場方向的分量，J\_{m}\,\!是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以\mu \_{z}\,\!是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {H}}\,\!；
其中，\gamma \,\!是迴轉磁比率（） ，{\mathbf {H}}\,\!是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

{\mathbf {H}}={\mathbf {H}}\_{{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!；
其中，{\mathbf {H}}\_{{eff}}\,\!是有效磁場（外磁場加上任何自身場），\lambda \,\!是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（）：

{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {H}}\_{{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!。
方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

### 原子核的磁矩

参见：核磁矩
核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

### 分子的磁矩

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

* 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
* 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
* 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

#### 分子磁性範例

* 氧分子，O2，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
* 二氧化碳分子，CO2，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像13C或17O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
* 氫分子，H2，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。

參閱
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* 電偶極矩
* 磁化強度
* 磁化率
* 球多極矩
* 絕熱不變數
* 磁偶極間交互作用（）

參考文獻
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1. ↑  Jackson, John David,  3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Cardarelli, F.  2nd, Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑  美國國家標準與技術研究院（NIST）的實驗値：電子磁矩 （页面存档备份，存于）
4. ↑ .  [2010-04-10]. （原始内容存档于2009-08-22）.
5. ↑  Griffiths, David J.  (PDF), American Journal of Physics, August 1982, **50** (8): pp. 698  [2010-04-11], （原始内容存档 (PDF)于2020-05-12）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. 1 2  Boyer, Timothy H.  (PDF), American Journal of Physics, 1988, **56** (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501  引文格式1维护：冗余文本 (link)[永久]
7. ↑  Griffiths, David J. Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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