在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數f，以觀察對某些x和y，會有{\displaystyle f(x)=f(y)}，來（錯誤地）做出x=y的結論。零除數是此類錯誤的一特例；f為將x映射至{\displaystyle x\times 0}的函數，而其錯誤的一步是起於將{\displaystyle x\times 0=y\times 0}的等式做成x=y的結論。相似地，下面證明了{\displaystyle 5=4}的句子也是以函數{\displaystyle f(x)=x^{2}}的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個x和y會使得{\displaystyle x^{2}=y^{2}}的一正確申論，然後做出了x=y的一錯誤結論。

算术例子
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### 證明1是最大的正整數

* 假設最大的正整數不是1，而是a，有a > 1；

* {\displaystyle a>1>0}，a為正的，所以由a > 1得到{\displaystyle a\times a>a}；

* 但是{\displaystyle a\times a}還是正整數，可是沒有任何正整數比a大，矛盾；

* 所以最大的正整數是1。

*Q.E.D.*

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

### 證明-1等於1

* 由一等式開始
-1=-1\,
* 將兩邊轉成假分數
{\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}}
* 將兩邊開方
{\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}}
* 其會等於
{\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}}
* 兩邊同乘\sqrt{-1}以來消去分數
{\displaystyle {\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}}
* 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故
{\displaystyle -1=1\,}

*Q.E.D.*

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，{\sqrt {{\frac {1}{-1}}}}={\sqrt {{\frac {-1}{1}}}}推出{\frac {{\sqrt {1}}}{{\sqrt {-1}}}}={\frac {{\sqrt {-1}}}{{\sqrt {1}}}}是错误的（事實上，{\frac {{\sqrt {1}}}{{\sqrt {-1}}}}=-i，{\frac {{\sqrt {-1}}}{{\sqrt {1}}}}=i）。

### 證明1等於2

1.令a=b\,，且a \ne 0

2.將兩邊乘以a

a^{{2}}=ab\,
3.將兩邊減掉b^{{2}}\,

a^{{2}}-b^{{2}}=ab-b^{{2}}\,
4.將兩邊因式分解

(a+b)(a-b)=b(a-b)\,
5.將兩邊除以a - b \,

a+b=b\,
6.因為a=b\,因此

b+b=b\,
7.簡化

2b=b\,
8.將兩邊除以b

2=1\,
*Q.E.D.*

這個證明的錯誤點在於第五步， \,正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

### 證明4等於5

* 由一等式開始
-20=-20\,
* 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
25-45=16-36\,
* 將兩邊做因式分解
5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9
* 將兩邊加上相同的數
5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}
* 將兩邊再做一次因式分解
\left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}
* 將兩邊開方
5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}
* 消去相同的項
5=4\,

*Q.E.D.*

那一證明內的錯誤在於x^{2}=y^{2}不表示x=y的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，-\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}。需注意的是，若將4減去{\tfrac {9}{2}}，會得到-{\tfrac {1}{2}}。若再平方的話，則會得到正的\tfrac{1}{4}。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見{\tfrac {1}{2}}會等於{\tfrac {1}{2}}。原始的-20=-20式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

  

### 證明1+1=0

* 求1+1︰

{\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}
*Q.E.D.*

此證明的錯誤在於{\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}只有在a與b不皆為負數才成立，{\sqrt {(-1)(-1)}}並不等於{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}。

### 證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

0=0+0+0+\cdots 
因為0=1-1，因此：

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots 
拆括號之後在於不同的地方加上括號：

0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots 
-1+1=0，因此：

0=1+0+0+0+\cdots 
0=1\,
*Q.E.D.*

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 s=1-1+1-1+1-1+\cdots 。

### 證明任何數字等於1/任何數字

{\displaystyle -{\frac {1}{b}}}
{\displaystyle =-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}}

{\displaystyle =-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}}

{\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}}

{\displaystyle -{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}}

{\displaystyle a={\frac {1}{a}}}

*Q.E.D.*

### 證明0/0等於0

首先，我們知道：

0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,
0^{2}=0\times 0=0\,
由於a^{{m-n}}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}

因此{\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{{4-2}}=0^{2}=0

因此{\frac {0}{0}}=0

*Q.E.D.*

這個證明的錯誤在於，a^{{m-n}}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}成立的前提有a \ne 0。

### 證明任意兩數都是相等的

設u=a\ ,\ v=b-c\,  

設a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,

由和立方與差立方公式可知：

(u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}
(u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}
由於u=a\ ,\ v=b-c\,

(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}
(a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}
將a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,代入3a^{2}+b-c\,，可得：

3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,
因此：

{\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}
代入b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,，可得：

{\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}
*Q.E.D.*

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}，所以u和v并不是独立的；

2、在复数域中，由x^{3}=y^{3}得不出x=y。在此证明中，由(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}得出a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}是错误的。

几何例子
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### 第一题：证明任何三角形都是正三角形

第一题错误的证图
第一题正确的证图
第二题错误的证图
第二题正确的证图
给定三角形△ABC，证明AB = AC:

1. 作∠A的角平分线。
2. 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
3. 设这两条直线的交点为P。
4. 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
5. 作直线PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

*证毕。*

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

### 第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 联结AE。
3. 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
6. 利用*S.S.S*得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
7. 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
8. 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

*Q.E.D.*

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子
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### 证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

\int {\frac {1}{x}}dx
利用分部积分法，可得： 

u={\frac {1}{x}}，dv=dx
因此： 

du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx，v=x
所以，有：

\int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx
\int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx
0=1\,
*证毕。*

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到{\displaystyle 1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'}。

參見
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* 悖論