在電磁學裏，**電磁波方程式**（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式（英语：）。這方程式的形式，以電場\mathbf {E} \,\!和磁場\mathbf {B} \,\!來表達為

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\mathbf {E}}\ =\ 0\,\!、
\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\mathbf {B}}\ =\ 0\,\!；
其中，\nabla ^{2}\,\!是拉普拉斯算符，c\,\!是電磁波在真空或介質中傳播的速度，t\,\!是時間。

由於光波就是電磁波，c\,\!也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，c=c\_{0}=299,792,458\,\! ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史
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参见：麦克斯韦方程组的历史
在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說
：

> 這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，並且，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。  
>  — 詹姆斯·麦克斯韦

理論推導
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在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為

\nabla \cdot {\mathbf {E}}=0\,\!、(1)
\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}\,\!、(2)
\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0\,\!、(3)
\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\,\!；(4)
其中，\mu \_{0}\,\!是真空磁導率，\varepsilon \_{0}\,\!是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，

\nabla \times (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\mathbf {B}})=-\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial t^{2}}}\,\!、
\nabla \times (\nabla \times {\mathbf {B}})=\mu \_{0}\varepsilon \_{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\mathbf {E}})=-\mu \_{o}\varepsilon \_{o}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial t^{2}}}\,\!。
應用一則向量恆等式（這裏，\nabla ^{2}{\mathbf {V}}應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

\nabla \times \left(\nabla \times {\mathbf {V}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\mathbf {V}}\right)-\nabla ^{2}{\mathbf {V}}\,\!；
其中，{\mathbf {V}}\,\!是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\mathbf {E}}\ =\ 0\,\!、(5)
\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\mathbf {B}}\ =\ 0\,\!；(6)
其中，c=c\_{0}={1 \over {\sqrt {\mu \_{0}\varepsilon \_{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\! ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式
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電磁四維勢A^{{\mu }}\,\!是由電勢\phi \,\!與矢量勢{\mathbf {A}}\,\!共同形成的，定義為

A^{{\mu }}\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,{\mathbf {A}})\,\!。
採用勞侖次規範：

{\frac {\partial A^{{\mu }}}{\partial x^{{\mu }}}}=0\,\!。
前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

\ \Box A^{{\mu }}=0\,\!；
其中，\Box =\partial ^{\nu }\partial \_{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\_{{\nu }}\partial x^{{\nu }}}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!是達朗貝爾算子，又稱為**四維拉普拉斯算子**。

彎曲時空中的齊次的波動方程式
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条目：彎曲時空中的麥克斯韋方程組
齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

{A^{{\mu }}}\_{{;\mu }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{{\mu }}}{\partial x^{{\mu }}}}=0\,\!。
那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

-{A^{{\alpha ;\beta }}}\_{{\beta }}+{R^{{\alpha }}}\_{{\beta }}A^{{\beta }}=0\,\!；
其中，{R^{{\alpha }}}\_{{\beta }}\,\!是里奇曲率张量。

非齊次的電磁波方程式
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条目：非齊次的電磁波方程
追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解
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条目：波動方程式
在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

{\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!；(7)
其中，f\,\!是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為

{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}；
其中，g({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)\,\!是任意良態函數，\mathbf{r}\,\!是位置向量，t\,\!是時間，{\mathbf {k}}\,\!是波向量，\omega \,\!是角頻率。

函數g({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)\,\!描述一個波動，隨著時間的演化，朝著{\mathbf {k}}\,\!的方向傳播於空間。將函數g({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)\,\!代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

\omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!，
或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

\omega =c|k|\,\!。
### 正弦波

正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。
假設，函數g\,\!的波形為正弦波：

f=f\_{0}\cos({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t+\phi \_{0})\,\!；
其中，{f}\_{0}\,\!是實值波幅，\phi \_{0}\,\!是**初相位**。

根據歐拉公式，

e^{{i\theta }}=\cos \theta +i\sin \theta \,\!，
函數f\,\!也可以表達為一個複數的實值部分

f=\operatorname {Re}\{f\_{0}e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t+\phi \_{0})}}\}\,\!。
以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數{\tilde {f}}\,\!為

{\tilde {f}}=f\_{0}e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t+\phi \_{0})}}={\tilde {f}}\_{0}e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}\,\!；
其中，{\tilde {f}}\_{0}=f\_{0}e^{{i\phi \_{0}}}\,\!是複值波幅。

那麼，

f=\operatorname {Re}\{{\tilde {f}}\}\,\!；
純量波動方程式的正弦波解的形式為{\tilde {f}}\,\!的實值部分。任意涉及實函數f\,\!的線性方程式，都可以用複函數{\tilde {f}}\,\!來代替f\,\!。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

### 線性疊加

任意波動f({\mathbf {r}},t)\,\!可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int \_{0}^{\infty }{\tilde {f}}\_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}。
所以，只要能得知單獨頻率的波動{\tilde {f}}\_{0}({\mathbf {r}},\omega )\,\!（單色波）的表達式，就可以求算整個波動f({\mathbf {r}},t)\,\!的表達式。

齊次的電磁波方程式的解
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### 單色正弦平面波的解

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。
条目：電磁波方程式的單色正弦平面波解
從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

{\tilde {{\mathbf {E}}}}({\mathbf {r}},t)={\tilde {{\mathbf {E}}}}\_{0}e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}\,\!、
{\tilde {{\mathbf {B}}}}({\mathbf {r}},t)={\tilde {{\mathbf {B}}}}\_{0}e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}\,\!；
其中，{\tilde {{\mathbf {E}}}}\_{0}\,\!、{\tilde {{\mathbf {B}}}}\_{0}\,\!分別為複值電場{\tilde {{\mathbf {E}}}}和複值磁場{\tilde {{\mathbf {B}}}}的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是{\mathbf {k}}\,\!的方向。由於方程式(1)和(3)，

{\mathbf {k}}\cdot {\tilde {{\mathbf {E}}}}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {k}}\cdot {\tilde {{\mathbf {E}}}}\_{0}=0\,\!、
{\mathbf {k}}\cdot {\tilde {{\mathbf {E}}}}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {k}}\cdot {\tilde {{\mathbf {B}}}}\_{0}=0\,\!，
電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

\nabla \times {\tilde {{\mathbf {E}}}}=\left(\nabla e^{{i({\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-\omega t)}}\right)\times {\tilde {{\mathbf {E}}}}\_{0}=i{\mathbf {k}}\times {\tilde {{\mathbf {E}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {{\mathbf {B}}}}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {{\mathbf {B}}}}\,\!。
將角頻率與波數的色散關係式\omega =ck\,\!帶入：

{\tilde {{\mathbf {B}}}}={\frac {{\mathbf {k}}}{\omega }}\times {\tilde {{\mathbf {E}}}}={\frac {1}{c}}{\hat {{\mathbf {k}}}}\times {\tilde {{\mathbf {E}}}}\,\!。
所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

### 電磁波譜分解

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。
由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

{\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {E}}\_{0}\cos(\omega t-{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}+\phi \_{0})\,\!、
{\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {B}}\_{0}\cos(\omega t-{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}+\phi \_{0})\,\!。
波向量與角頻率的關係為

k=|{\mathbf {k}}|={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!；
其中，\lambda \,\!是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

### 圓柱對稱性解

原柱對稱形共軸傳輸線
如圖右，思考一條由半徑為a\,\!的無窮長的直導線，和半徑為b\,\!的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸E\_{z}=0\,\!和B\_{z}=0\,\!的電磁橫波，採用圓柱坐標(s,\phi ,z)\,\!，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為

{{\mathbf {E}}}({\mathbf {r}},t)={\frac {{{\mathbf {E}}}\_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!、
{{\mathbf {B}}}({\mathbf {r}},t)={\frac {{\mathbf {E}}\_{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!。
這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

### 球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩m=m\_{0}\cos(\omega t)\,\!。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標(r,\theta ,\phi )\,\!，則在離原點很遠的位置\mathbf{r}\,\!，電場和磁場分別為

{{\mathbf {E}}}({\mathbf {r}},t)={\frac {{\mathbf {E}}\_{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!、
{{\mathbf {B}}}({\mathbf {r}},t)=-{\frac {{\mathbf {E}}\_{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!。
這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱
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### 理論與實驗


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| * 電磁模型（英语：）
* 電磁輻射
* 電磁場的數學表述
* 偏導
* 光學

  | * 推遲勢
* 傑斐緬柯方程式
* 相對論
* 量子電動力學
* 雙縫實驗中光子的動力學
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### 應用領域


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| * 彩虹
* 宇宙微波背景輻射
* 雷射
* 核融合
* X-射線
* 雷達

  | * 天線
* 光子學
* 微波爐
* 全像攝影
* 顯微鏡
* 望遠鏡
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參考文獻
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1. ↑  馬克士威, 詹姆斯,  (PDF): pp. 499, 1864  [2009-12-15], （原始内容存档 (PDF)于2011-07-28）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 1 2  Griffiths, David J.. Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Tipler, Paul.. W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8.
* Jackson, John D.. Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X.
* Landau, L. D. *The Classical Theory of Fields* (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
* Maxwell, James C.. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.