关于拓撲空間的龐加萊群，请见「**基本群**」。

| 李群 |
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| 典型群
* 一般线性群 GL(*n*)
* 特殊线性群 SL(*n*)
* 正交群 O(*n*)
* 特殊正交群 SO(*n*)
* 酉群 U(*n*)
* 特殊酉群 SU(*n*)
* 辛群 Sp(*n*)

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| 单李群

| 
无限单李群 |
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| * An,
* Bn,
* Cn,
* Dn
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| 
特殊单李群 |
| * G2（英语：）
* F4
* E6
* E7
* E8（英语：）
 |

 |
| 其他李群（英语：）
* 圓群
* 勞侖茲群
* 庞加莱群
* 共形群（英语：）
* 微分同胚群
* 圈群（英语：）
* 欧几里得群

 |
| 李代數
* 指数映射
* 李群的伴随表示
* 基灵型
* 李点对称

 |
| 半單李代數
* 丹金图（英语：）
* 嘉当子代数
* + 根系
	+ 外尔群
* 分裂李代数
* 紧李代数

 |
| 群表示论
* 李群表示
* 李代数表示（英语：）

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| 物理中的李群
* 粒子物理学与群表示论（英语：）
* 洛仑兹群的群表示论（英语：）
* 庞加莱群的群表示论（英语：）
* 伽利略群的群表示论（英语：）

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| 科学家
* 索菲斯·李
* 庞加莱
* 威廉·基灵
* 埃利·嘉当
* 赫尔曼·外尔
* 克勞德·謝瓦萊
* 哈里希-钱德拉

 |
| * 
* 论
* 编
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在物理學與數學上，**龐加萊群**（英語：）是狹義相對論中閔可夫斯基時空的等距同構群，由赫爾曼·閔可夫斯基引進，龐加萊群是以法國數學家亨利·龐加萊命名。它是一種有10個生成元的非阿貝爾群，在物理學上有着基礎級別的重要性。

基本解釋
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等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那麼你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。

如果我們無視重力效應的話，那麼一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那麼所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個群。也就是說，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定群的名字叫做"**龐加萊群**"。

在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用於絕對時空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。

專門解釋
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龐加萊群是閔可夫斯基時空的等距同構群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個正規子群，而洛倫茲群也是一個子群，原點的穩定子群。龐加萊群本身是仿射群（英语：）的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準確一點來說，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積

{\mathbf {R}}^{{1,3}}\rtimes {\mathrm {SO}}(1,3)\,.
另一種解釋方式是，把龐加萊群視為洛倫茲群的群擴張，而擴張的部份則是它的向量群表示；因此龐加萊群有一個不正式的稱呼，叫"非均勻洛倫茲群"（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當德西特半徑趨向無限大時，德西特群（de Sitter group）{\text{SO}}(4,1)\sim {\text{Sp}}(2,2)的群收縮（英语：）就是龐加萊群。

它的正能量么正不可約表示是由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記的，並與量子力學的粒子有關。

與愛爾蘭根綱領一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊群的齊性空間。

**龐加萊代數**是龐加萊群的李代數。更具體的來說，正式的({\text{det}}(\Lambda )=1)，也就是洛倫茲子群（它的單位連通區（英语：））{\text{SO}}^{+}(1,3)的正確時間（\Lambda \_{0}^{0}\geq 1）部份，是與單位元有關係的，因此可用矩陣指數\exp(ia\_{\mu }P^{\mu })與\exp(i\omega \_{{\mu \nu }}M^{{\mu \nu }}/2)表示。在分量形式中，龐加萊群可用以下的交換關係表示：

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| ~[P\_{\mu },P\_{\nu }]=0\,
~{\frac {1}{i}}~[M\_{{\mu \nu }},P\_{\rho }]=\eta \_{{\mu \rho }}P\_{\nu }-\eta \_{{\nu \rho }}P\_{\mu }\,
~{\frac {1}{i}}~[M\_{{\mu \nu }},M\_{{\rho \sigma }}]=\eta \_{{\mu \rho }}M\_{{\nu \sigma }}-\eta \_{{\mu \sigma }}M\_{{\nu \rho }}-\eta \_{{\nu \rho }}M\_{{\mu \sigma }}+\eta \_{{\nu \sigma }}M\_{{\mu \rho }}\,, |

其中P為平移生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規。

以下的是與（均勻）洛倫茲群的交換關係，洛倫茲群由旋轉（J\_{i}=-\varepsilon \_{{imn}}M^{{mn}}/2）及直線性洛倫茲變換（K\_{i}=M\_{{i0}}）所組成。在這樣的標記下，可以用非協變形式（但較實用）來表示整個龐加萊代數

[J\_{m},P\_{n}]=i\epsilon \_{{mnk}}P\_{k}~,
[J\_{i},P\_{0}]=0~,
[K\_{i},P\_{k}]=i\eta \_{{ik}}P\_{0}~,
[K\_{i},P\_{0}]=-iP\_{i}~,
[J\_{m},J\_{n}]=i\epsilon \_{{mnk}}J\_{k}~,
[J\_{m},K\_{n}]=i\epsilon \_{{mnk}}K\_{k}~,
[K\_{m},K\_{n}]=-i\epsilon \_{{mnk}}J\_{k}~,
其中最下面的是兩個直線性洛倫茲變換的交換關係，很多時候會被稱作"維格納旋轉"。注意根據上述關係，[J\_{m}+iK\_{m},J\_{n}-iK\_{n}]=0，這是一項重要的簡化，能使洛倫茲子代數約化至**su(2)**⊕**su(2)**，並且使應付洛倫茲群的表示論的方法有效得多。

這種代數的卡西米爾不變量為P\_{\mu }P^{\mu }與W\_{\mu }W^{\mu }，其中W\_{\mu }為包立-魯班斯基假向量（英语：）；它們的作用是標記群表示。

龐加萊群是任何相對論性量子場的完全對稱群。因此，所有基本粒子都能成為這個群表示的一部份。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的四維動量平方（即質量平方），和內稟量子數J^{{PC}}，其中J為自旋量子數，P為宇稱，C為電荷共軛量子數。實際上許多量子場會破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會棄用被破壞的P和C。由於每一套量子場論均需擁有CPT不變性，因此要從P和C構建時間反轉量子數T是件很容易的事。

作為拓撲空間，這個群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。

龐加萊對稱
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**龐加萊對稱**是狹義相對論的完全對稱，當中包括：

* 在時間與空間中的**平移**（即位移），**P**。它們形成了描述時空中的平移的阿貝爾李群。
* 空間中的**旋轉**（它們形成了描述三維旋轉的非阿貝爾李群，其生成元為**J**）
* **直線性洛倫茲變換**，即聯繫兩個均勻移動物體的變換，其生成元為**K**。

上述最後兩種對稱，**J**及**K**，組合起來就成了洛倫茲群（見洛倫茲不變性）。

它們都是一種叫**龐加萊群**的李群的生成元，而龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積。在這個群下不變的物件，可被稱為擁有**龐加萊不變性**或**相對論性不變性**。

參考資料
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1. ↑  Minkowski, Hermann, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1907/8: 53–111  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)

	* Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.
2. ↑  Minkowski, Hermann, Physikalische Zeitschrift, 1908/9, **10**: 75–88  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
3. ↑  
	* Poincaré, Henri, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1905/6, **21**: 129–176  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
	* Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
4. ↑  N.N. Bogolubov.  2nd. Springer. 1989: 272  [2014-08-05]. ISBN 0-7923-0540-X. （原始内容存档于2013-10-21）.
5. ↑  T. Ohlsson.. Cambridge University Press. 2011: 10  [2014-08-05]. ISBN 1-13950-4320. （原始内容存档于2013-10-21）.

參考文獻
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* Wu-Ki Tung.. World Scientific Publishing. 1985. ISBN 9971-966-57-3.
* Weinberg, Steven.  **1**. Cambridge: Cambridge University press. 1995. ISBN 978-0-521-55001-7.
* L.H. Ryder.  2nd. Cambridge University Press. 1996: 62  [2014-08-05]. ISBN 0-52147-8146. （原始内容存档于2013-10-21）.