| 李群 |
| --- |
|  |
| 典型群
* 一般线性群 GL(*n*)
* 特殊线性群 SL(*n*)
* 正交群 O(*n*)
* 特殊正交群 SO(*n*)
* 酉群 U(*n*)
* 特殊酉群 SU(*n*)
* 辛群 Sp(*n*)

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| 单李群

| 
无限单李群 |
| --- |
| * An,
* Bn,
* Cn,
* Dn
 |
| 
特殊单李群 |
| * G2（英语：）
* F4
* E6
* E7
* E8（英语：）
 |

 |
| 其他李群（英语：）
* 圓群
* 勞侖茲群
* 庞加莱群
* 共形群（英语：）
* 微分同胚群
* 圈群（英语：）
* 欧几里得群

 |
| 李代數
* 指数映射
* 李群的伴随表示
* 基灵型
* 李点对称

 |
| 半單李代數
* 丹金图（英语：）
* 嘉当子代数
* + 根系
	+ 外尔群
* 分裂李代数
* 紧李代数

 |
| 群表示论
* 李群表示
* 李代数表示（英语：）

 |
| 物理中的李群
* 粒子物理学与群表示论（英语：）
* 洛仑兹群的群表示论（英语：）
* 庞加莱群的群表示论（英语：）
* 伽利略群的群表示论（英语：）

 |
| 科学家
* 索菲斯·李
* 庞加莱
* 威廉·基灵
* 埃利·嘉当
* 赫尔曼·外尔
* 克勞德·謝瓦萊
* 哈里希-钱德拉

 |
| * 
* 论
* 编
 |

在數學中，**根系**是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──**鄧肯圖**，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。

定義
--

設 V 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 (,)。V 中的**根系**是有限個向量（稱為**根**）構成的集合 \Phi ，滿足下述條件：

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件，在每條線上，其間交角只有兩種可能。
1. \Phi  的元素張出 V。
2. 對任一 \alpha \in \Phi ，其屬於 \Phi  的純量倍數只有 \pm \alpha 。
3. 對任意 \alpha \in \Phi ，集合 \Phi  在對 \alpha  的反射之下不變。在此的反射是指
\sigma \_{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .
4. （整性）若 \alpha ,\beta \in \Phi ，則 \beta  在 \alpha  方向的投影乘以2是 \alpha  的整數倍，即： 
\langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in {\mathbb {Z}},

根據性質三，整性等價於：對任意 \alpha ,\beta \in \Phi ，\sigma \_{\alpha }(\beta ) 與 \beta  僅差 \alpha  的整數倍。此外，注意到性質四定義的**尖積**

\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to {\mathbb {Z}}
並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系 \Phi  的**秩**定義為 V 的維度。

給定兩個根系 (V,\Phi ),(W,\Psi )，可考慮其正交直和 V\oplus W，則 \Phi \sqcup \Psi  自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 V,W\neq \{0\}），則稱之為**不可約**的。

對兩個根系 (E\_{1},\Phi \_{1}),(E\_{2},\Phi \_{2})，若存在其間的線性同構，使得 \Phi \_{1} 映至 \Phi \_{2}，則稱它們為同構的根系。

對於根系 (V,\Phi )，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 \Phi  上忠實地作用，因此必為有限群。

秩一與秩二的例子
--------

### 秩为1的例子

在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 {\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}} 組成。此根系記作 A\_{1}。

### 秩为2的例子

秩二的根系有四種可能，对应于{\displaystyle \sigma \_{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }，其中{\displaystyle n=0,1,2,3}的情况。注意根系并不由它生成的格所决定：{\displaystyle A\_{1}\times A\_{1}} 和B\_{2}均生成正方形格，而 A\_{2}和G\_{2} 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。
圖解如下：


|  |  |
| --- | --- |
| 根系 A1×A1 | 根系 A2 |
| 根系 A1×A1node_n1 2 node_n2  | 根系 A2node_n1 3 node_n2  |
| 根系 B2 | 根系 G2 |
| 根系 B2node_n1 4a node_n2  | 根系 G2node_n1 6a node_n2  |
**秩二之根系**

當 \Phi  是 V 中的根系，而 W 是 \Psi =\Phi \cap W 在 W 中生成的子空間，則 \Psi 是 W 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 0,30,45,60,90,120,135,150 或 180 度。

正根與單根
-----

對於根系 \Phi ，可以取定滿足下述條件的**正根**子集 \Phi ^{+}：

* 對每個根 \alpha \in \Phi ，\alpha ,-\alpha  中恰有一者屬於 \Phi ^{+}。
* 對任意 \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}，若 \alpha +\beta \in \Phi ，則 \alpha +\beta \in \Phi ^{+}。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後，-\Phi ^{+} 的元素被稱為**負根**。

正根的選取等價於**單根**的選取。單根集是 \Phi  中滿足下述條件的子集 \Delta ：

任意 \Phi  中的元素皆可唯一地表成 \Delta  中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。
選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系
--------

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 \alpha ,\beta  若不垂直，則有 \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle  個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 (\alpha ,\alpha ) 長者（稱為**長根**）指向短者（稱為**短根**）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

連通鄧肯圖一覽

不可約根系的性質
--------

| \Phi  | |\Phi | | |\Phi ^{{<}}| | *I* | |W| |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A*n* (*n*≥1) | *n*(*n*+1) |   | *n*+1 | (*n*+1)! |
| B*n* (*n*≥2) | 2*n*2 | 2*n* | 2 | 2*n* *n*! |
| C*n* (*n*≥3) | 2*n*2 | 2*n*(*n*−1) | 2 | 2*n* *n*! |
| D*n* (*n*≥4) | 2*n*(*n*−1) |   | 4 | 2*n*−1 *n*! |
| E6 | 72 |   | 3 | 51840 |
| E7 | 126 |   | 2 | 2903040 |
| E8 | 240 |   | 1 | 696729600 |
| F4 | 48 | 24 | 1 | 1152 |
| G2 | 12 | 6 | 1 | 12 |

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：A\_{n},B\_{n},C\_{n},D\_{n}，其下標分別取遍 n\geq 1,2,3,4 的正整數，稱為**典型根系**；剩下五種情形稱為**例外根系**。下標表示根系之秩。在上表中， |\Phi ^{{<}}| 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），I 表示其嘉當矩陣的行列式，而 |W| 表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述
-------------

### A*n*

取 V 為 {\mathbb {R}}^{{n+1}} 中滿足 \sum \_{{i=1}}^{n}x\_{i}=0 的點 (x\_{1},\ldots ,x\_{n}) 所成之子空間。令 \Phi  為 V 中長度為 {\sqrt {2}} 的格子點。取 {\mathbb {R}}^{{n+1}} 的標準基 e\_{1},\ldots ,e\_{{n+1}}，則根具有 e\_{i}-e\_{j}\;(i\neq j) 的形式，共有 n(n+1) 個根。通常取單根為 \alpha \_{i}:=e\_{i}-e\_{{i+1}}。

對垂直於 \alpha \_{i} 的超平面的鏡射在 \Phi  上的作用是交換第 i,i+1 個座標。因此 A\_{n} 的外爾群不外就是對稱群 S\_{{n+1}}。

A\_{n} 是李代數 {\mathfrak {sl}}(n+1,{\mathbb {C}}) 的根系。

### B*n*

**B****4**|  1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 |   1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 |   1 | -1 |
| 0 | 0 | 0 |   1 |

取 V={\mathbb {R}}^{n}，並令 \Phi  為 V 中長度為 1,{\sqrt {2}} 的格子點。共有 2n^2 個根。通常取單根為 \alpha \_{i}=e\_{i}-e\_{{i+1}}\;(1\leq i<n) 及 \alpha \_{n}:=e\_{n}（短根）。

對短根 \alpha \_{n} 的反射即 (x\_{1},\ldots ,x\_{n})\mapsto (x\_{1},\ldots ,-x\_{n})。

B\_{1} 跟 A\_{1} 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 n\geq 2 的情形。B\_{n} 是李代數 {\mathfrak {so}}(2n+1,{\mathbb {C}}) 的根系。

### C*n*

**C****4**|  1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 |   1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 |   1 | -1 |
| 0 | 0 | 0 |   2 |

取 V={\mathbb {R}}^{n}，\Phi  為 V 中所有長度 {\sqrt {2}} 的格子點與形如 2\lambda 的點，其中 \lambda  是長度為一的格子點。共有 2n^2 個根。通常取單根為 \alpha \_{i}:=e\_{i}-e\_{{i+1}}\;(1\leq i<n)及 \alpha \_{n}:=2e\_{n}（長根）。

C\_{2} 與 B\_{2} 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 n\geq 3 的情形。C\_{n} 是李代數 {\mathfrak {sp}}(2n,{\mathbb {C}}) 的根系。

### D*n*

**D****4**|  1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 |   1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 |   1 | -1 |
| 0 | 0 | 1 |   1 |

取 V:={\mathbb {R}}^{n}，\Phi  為 V 中長度 {\sqrt {2}} 的格子點。共有 2n(n-1) 個根。通常取單根為 \alpha \_{i}=e\_{i}-e\_{{i+1}},\;(1\leq i<n) 及 \alpha \_{n}=e\_{n}+e\_{{n-1}}。

D\_{3} 同構於 A\_{3}，故通常僅考慮 n\geq 4 的情形。D\_{n} 是李代數 {\mathfrak {so}}(2n,{\mathbb {C}}) 的根系。

### E8, E7, E6

E\_{8} 是較為特殊的根系。首先定義 \mathbb{R}^8 中滿足下述條件的點集 \Gamma \_{8}：

* 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
* 八個座標的和為偶數。

定義 E\_{8} 為 \Gamma \_{8} 中長度為 {\sqrt {2}} 的向量，即：

{\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha \_{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}}
定義 E\_{7} 為 E\_{8} 與超平面 \{x:(x,\alpha )=0\} 之交， 其中 \alpha \in E\_{8} 是任取的根。同樣步驟施於 E\_{7}，得到更小的根系 E\_6。根系 E\_{6},E\_{7},E\_{8} 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 D\_{5},A\_{4}。

**E****8**：偶坐標| 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  ½ |  ½ |  ½ |  ½ |  ½ |  ½ |  ½ |  ½ |

另一種等價的描述是取 \Gamma '\_{8} 為：

* 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
* 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

\Gamma \_{8} 與 \Gamma '\_{8} 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。\Gamma \_{8} 稱為 E\_{8} 的偶坐標系，\Gamma '\_{8} 稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為

\alpha \_{i}:=e\_{i}-e\_{{i+1}}\quad (1\leq i\leq 6)
\alpha \_{7}:=e\_{7}+e\_{6}
\alpha \_{8}=\beta \_{0}={\frac {\sum \_{{i=1}}^{8}e\_{i}}{2}}

**E****8**：奇坐標| 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 |
| -½ | -½ | -½ | -½ | -½ |  ½ |  ½ |  ½ |

在奇坐標下，通常取單根為

\alpha \_{i}:=e\_{i}-e\_{{i+1}}\quad (1\leq i\leq 7)
\alpha \_{8}:=\beta \_{5}，其中
\beta \_{j}:={\frac {-\sum \_{{i=1}}^{j}e\_{i}+\sum \_{{i=j+1}}^{8}e\_{i}}{2}}
（在上述定義中，若改取 \beta \_{3}，將得到同構的結果。若改取 \beta \_{1},\beta \_{7},\beta \_{2},\beta \_{6}，將得到 A\_{8} 或 D\_{8}。至於 \beta \_{4}，其坐標和為零，而 \alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{7} 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 \alpha \_{1} 可得到 E\_{7} 的一組單根；再刪去 \alpha \_{2}，可得 E\_6 的單根。

由於對 \alpha \_{1} 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 \alpha \_{1},\alpha \_{2} 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 E\_{7},E\_{6} 的明確定義：

E*7* = (**α** ∈ **Z**7 ∪ (**Z**+½)7**:** ∑**α**i2 + **α**12 = 2，∑**α**i + **α**1 ∈ 2**Z**),

E*6* = (**α** ∈ **Z**6 ∪ (**Z**+½)6**:** ∑**α**i2 + 2**α**12 = 2，∑**α**i + 2**α**1 ∈ 2**Z**)

### F4

**F****4**| 1 | -1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| -½ | -½ | -½ | -½ |

對於 F\_{4}，取 V={\mathbb {R}}^{4}，並令 \Phi  為滿足下述條件的向量：

* |\alpha |=1,{\sqrt {2}}
* 2\alpha  各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 48 個根。通常取單根為 B\_{3} 的單根再加上 {\displaystyle \alpha \_{4}=-\left(\sum \_{i=1}^{4}e\_{i}\right)/2}。

### G2

**G****2**| 1 |  -1 |   0 |
| -1 | 2 | -1 |

G\_{2} 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

* \alpha \_{1}
* \beta :=\alpha \_{2}-\alpha \_{1}

在此沿用了之前的符號： \alpha \_{i}:=e\_{i}-e\_{{i+1}},\;(i=1,2)。

根系與李群、李代數
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不可約根系的分類可用於研究下述對象：

* 單複李代數
* 單複李群
* 模掉中心後為單李群的單連通複李群
* 緊單李群

参考文献
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### 引用

1. ↑  Hall 2015 Proposition 8.8

### 来源

* Serre, J.-P. Jones, G. A. *Complex Semisimple Lie Algebras* (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
* Serre, J.-P. *Lie Algebras and Lie Groups* (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
* Dynkin, E. B. *The structure of semi-simple algebras.* (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
* Hall, Brian C. Graduate Texts in Mathematics **222** 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666

參見
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* ADE分類
* 外爾群
* 考克斯特群
* 考克斯特矩陣
* 根資料
* 考克斯特-鄧肯圖