在量子力学中，**克莱布希－高登系数**（**Clebsch–Gordan coefficients**，简称 **CG 系数**，又称**向量耦合系数**等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。

从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。

克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。

记号
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在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），用非粗体表示标量（算符）。

角动量耦合的一般理论
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本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。
给定了 j 之后，本征函数组

{\displaystyle |jm\rangle ,\quad m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j}
张开成一个 2j+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 j1 和 j2，则其本征函数组张开的空间分别有 2j1+1 维
与 2j2+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积

{\displaystyle V=V\_{1}\otimes V\_{2}=\operatorname {span} (\{|j\_{1}m\_{1}\rangle |m\_{1}=-j\_{1},-j\_{1}+1,\dots ,j\_{1}-1,j\_{1}\})\otimes \operatorname {span} (\{|j\_{2}m\_{2}\rangle |m\_{2}=-j\_{2},-j\_{2}+1,\dots ,j\_{2}-1,j\_{2}\})}
显然有

{\displaystyle V=\operatorname {span} (\{|j\_{1}m\_{1}\rangle |\otimes |j\_{2}m\_{2}\rangle |m\_{1}=-j\_{1},-j\_{1}+1,\dots ,j\_{1}-1,j\_{1};m\_{2}=-j\_{2},-j\_{2}+1,\dots ,j\_{2}-1,j\_{2}\})}
下面为简便起见，定义新的记号

{\displaystyle |j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}\rangle =|j\_{1}m\_{1}\rangle \otimes |j\_{2}m\_{2}\rangle }
一般地，若 f, g 分别是这两个空间里的算符，则在积空间上可以定义下列算符：

{\displaystyle f\otimes g:V\_{1}\otimes V\_{2}\rightarrow V\_{1}\otimes V\_{2},u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes (gv)}
另一方面，定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中，只需取

{\displaystyle f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g}
其中 1 表示恒等操作（算符）。

在这样的定义下，两个角动量算符的的耦合表达为：

{\displaystyle j\_{\alpha }=j\_{1,\alpha }+j\_{2,\alpha }=j\_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j\_{2,\alpha },\quad \alpha \in \{x,y,z\}}
{\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} \_{1}+\mathbf {j} \_{2}=\mathbf {j} \_{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} \_{2},\quad \alpha \in \{x,y,z\}}
容易验证这样定义的 **j** 满足角动量的基本对易关系，因此是一个角动量算符，称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论，总角动量算符也有自己的本征函数组，它可以用积空间里的基来表示

{\displaystyle |jm\rangle =\sum \_{m\_{1},m\_{2}}\langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|jm\rangle |j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}\rangle }
这里的线性组合系数

{\displaystyle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|jm\rangle }
就被称为克莱布希－高登系数。在正交归一性的要求下，克莱布希－高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例，使所有克莱布希－高登系数为实数。

耦合表象中量子数的取值
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{\displaystyle j\_{z}=j\_{1,z}+j\_{2,z}}
上式两边取矩阵元，就得到：

{\displaystyle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|jm\rangle =\delta \_{m\_{1}+m\_{2},m}\langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|jm\_{1}+m\_{2}\rangle }
故在克莱布希－高登系数的表达式中可以省略 m 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 j 的取值，根据上式，有

{\displaystyle j\_{\max }=m\_{\max }=m\_{1,\max }+m\_{2,\max }=j\_{1}+j\_{2}}
故 j 最大的可能取值是 j1 与 j2 的和，且它只出现一次。此时

{\displaystyle m=-j\_{\max },-j\_{\max }+1,\dots ,j\_{\max }-1,j\_{\max }}
考虑下一个可能的 j，显然第二大的 m=mmax-1，它可以通过两种方式组合而来，

{\displaystyle m\_{1}=j\_{1}-1,m\_{2}=j\_{2}{\text{ or }}m\_{1}=j\_{1},m\_{2}=j\_{2}-1}
它们张开成一个二维的空间，但 j=jmax 的本征函数组里面已经出现过 m=jmax-1，这里占用了一维，因此下一个可能的 j 只能是 jmax-1，它同样只出现一次。

这样分析下去，就会知道 j 的所有可能取值只能是

{\displaystyle j\_{\min },j\_{\min }+1,\dots ,j\_{\max }-1,j\_{\max }}
其中每个 j 恰好出现一次，且

{\displaystyle j\_{\max }-j\_{\min }\in \mathbb {Z} }
但积空间的维数应该等于两个空间维数之积，即

{\displaystyle \sum \_{n=j\_{\min }}^{j\_{\max }}(2n+1)=(2j\_{1}+1)(2j\_{2}+1)}
故有

{\displaystyle j\_{\min }=|j\_{1}-j\_{2}|}

一个例子
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以 {\displaystyle j\_{1}=j\_{2}={\frac {1}{2}}} 为例。

对任意一个算符 f，本节中的矩阵元表示

{\displaystyle \langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|f|j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}\rangle }
的值。

{\displaystyle j\_{z}={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}
{\displaystyle j\_{+}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}=j\_{-}^{\dagger }}
{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}={\frac {1}{2}}[j\_{+},j\_{-}]\_{+}+j\_{z}^{2}={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}}
计算最后一个矩阵的本征值和本征向量，得到

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\operatorname {diag} \{0,2,2,2\}}
于是可知克莱布希－高登系数为：

|  |  |
| --- | --- |
| m=1 | j= |
| {\displaystyle m\_{1},m\_{2}=} | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | **1** |
| **1/2, 1/2** | {\displaystyle 1\!\,} |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| m=0 | j= |
| m1, m2= | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | **1** | **0** |
| **1/2, -1/2** | {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,} | {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,} |
| **-1/2, 1/2** | {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,} | {\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,} |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| m=-1 | j= |
| m1, m2= | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | **1** |
| **-1/2, -1/2** | {\displaystyle 1\!\,} |

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从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。

Racah 表达式
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Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式。

{\displaystyle {\begin{array}{cl}&\langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|j\_{3}m\_{3}\rangle \\=&\delta \_{m\_{3},m\_{1}+m\_{2}}\left[(2j\_{3}+1){\frac {(j\_{1}+j\_{2}-j\_{3})!(j\_{2}+j\_{3}-j\_{1})!(j\_{3}+j\_{1}-j\_{2})!}{(j\_{1}+j\_{2}+j\_{3}+1)!}}\times \prod \_{i=1,2,3}(j\_{i}+m\_{i})!(j\_{i}-m\_{i})!\right]^{1/2}\\\times &\sum \_{\nu }[(-1)^{\nu }\nu !(j\_{1}+j\_{2}-j\_{3}-\nu )!(j\_{1}-m\_{1}-\nu )!(j\_{2}+m\_{2}-\nu )!(j\_{3}-j\_{1}-m\_{2}+\nu )!(j\_{3}-j\_{2}+m\_{1}+\nu )!]^{-1}\end{array}}}
其中， ν 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

对称性
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克莱布希－高登系数有下列的对称性

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j\_{1}m\_{1}j\_{2}m\_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j\_{1}+j\_{2}-J}\langle j\_{1}\,{-m\_{1}}j\_{2}\,{-m\_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j\_{1}+j\_{2}-J}\langle j\_{2}m\_{2}j\_{1}m\_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j\_{1}-m\_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j\_{2}+1}}}\langle j\_{1}m\_{1}J\,{-M}|j\_{2}\,{-m\_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j\_{2}+m\_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j\_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j\_{2}m\_{2}|j\_{1}\,{-m\_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j\_{1}-m\_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j\_{2}+1}}}\langle JMj\_{1}\,{-m\_{1}}|j\_{2}m\_{2}\rangle \\&=(-1)^{j\_{2}+m\_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j\_{1}+1}}}\langle j\_{2}\,{-m\_{2}}JM|j\_{1}m\_{1}\rangle \end{aligned}}}

与维格纳 3-j 符号的关系
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克莱布希－高登系数与维格纳 3-j 符号有下列关系：

\begin{pmatrix}
 j\_1 & j\_2 & j\_3\\
 m\_1 & m\_2 & m\_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j\_1-j\_2-m\_3}}{\sqrt{2j\_3+1}} \langle j\_1 m\_1 j\_2 m\_2 | j\_3 \, {-m\_3} \rangle.

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分：

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y\_{l\_{1}m\_{1}}(\theta ,\varphi )Y\_{l\_{2}m\_{2}}(\theta ,\varphi )Y\_{l\_{3}m\_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l\_{1}+1)(2l\_{2}+1)(2l\_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l\_{1}&l\_{2}&l\_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l\_{1}&l\_{2}&l\_{3}\\m\_{1}&m\_{2}&m\_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。

参见
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* 角动量算符及其一般理论

外部链接
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* 克莱布希－高登系数表 （页面存档备份，存于）