**有限體運算**是數學領域抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體（如有理數）中的運算。

不同的有限體有無限多種，它們的勢（英語：）皆以 p^{n} 的形式表示，其中 \ p 是一個質數， n 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。p 同時代表此有限體的特徵數，而\ n 則是此有限體的維度。

有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼（例如BCH碼和里德-所羅門碼）以及在密碼學中的演算法（例如進階加密標準）等不同领域的应用

有效多項式表示
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### 伽羅瓦體

有{\displaystyle \ p^{n}}個元素的有限體可以表示成{\displaystyle \ \mathrm {GF} (p^{n})}，其中 GF 為**伽羅瓦體（英語：）**的縮寫。伽羅瓦體即為有限體的別稱，以紀念現代群論的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽羅瓦。

一個簡單的例子是{\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}（也能可表示成{\displaystyle \ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} } 或 {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}}），其中{\displaystyle \ p\ }是一個質數。{\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}是將正整數作以{\displaystyle \ p\ }為模的模運算後所得的結構。換言之，我們可以對整數進行加法、減法、乘法的運算，接著再以模運算將結果簡化。因此{\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}其實也是一種環。

### 以{\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}為例

在{\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}中，{\displaystyle 4+3=2} 而不會等於{\displaystyle \ 7}，這是因為{\displaystyle \ 7\_{(}mod\ 5)=2}。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法, 並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。

### 以{\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}為例

{\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}的加法为XOR,而乘法是AND. 由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恆等函數。

GF(*pn*)的元素可表示为，在GF(*p*)之上严格小于*n*次数的多项式。运算则实行在先模除*R*，而*R*是一则在GF(*p*)之上，拥有*n*次数的不可约多项式, 例如运用多项式长除法。两则多项式*P*和*Q*则按常规运算；乘法则按如下进行: 先按常规计算*W* = *P*⋅*Q*, 然后计算模除*R*之后的余项(存在有更方便方法）。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(*pn*)的元素表示为二进制数, 按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。举例说明, 下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式:  *x*6 + *x*4 + *x* + 1
二进制: {01010011}
十六进制: {53}

加法和减法
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加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR. 因此，

多项式:  (*x*6 + *x*4 + *x* + 1) + (*x*7 + *x*6 + *x*3 + *x*) = *x*7 + *x*4 + *x*3 + 1
二进制:  {01010011} + {11001010} = {10011001}
十六进制:  {53} + {CA} = {99}
在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2*x*6. 但在有限域的加法下， 0*x*6则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

| *p*1 | *p*2 | *p*1 + *p*2 (normal algebra)
  | *p*1 + *p*2 in GF(2*n*)
  |
| --- | --- | --- | --- |
| *x*3 + *x* + 1
  | *x*3 + *x*2 | 2*x*3 + *x*2 + *x* + 1
  | *x*2 + *x* + 1
  |
| *x*4 + *x*2 | *x*6 + *x*2 | *x*6 + *x*4 + 2*x*2 | *x*6 + *x*4 |
| *x* + 1
  | *x*2 + 1
  | *x*2 + *x* + 2
  | *x*2 + *x* |
| *x*3 + *x* | *x*2 + 1
  | *x*3 + *x*2 + *x* + 1
  | *x*3 + *x*2 + *x* + 1
  |
| *x*2 + *x* | *x*2 + *x* | 2*x*2 + 2*x* | 0
  |

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2*n*) 伽罗瓦域, 使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法
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乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说, 乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

### Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的發音近於"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域， 同时可被称之为伽罗瓦域**GF**(28). 在乘法上它依赖下列简约多项式。

*x*8 + *x*4 + *x*3 + *x* + 1.
例如, {53} • {CA} = {01} 因为在Rijndael域中

   (*x*6 + *x*4 + *x* + 1)(*x*7 + *x*6 + *x*3 + *x*)
= (*x*13 + *x*12 + *x*9 + **x7**) + (*x*11 + *x*10 + **x7** + *x*5) + (*x*8 + **x7** + *x*4 + *x*2) + (**x7** + *x*6 + *x*3 + *x*)
= *x*13 + *x*12 + *x*9 + *x*11 + *x*10 + *x*5 + *x*8 + *x*4 + *x*2 + *x*6 + *x*3 + *x*
= *x*13 + *x*12 + *x*11 + *x*10 + *x*9 + *x*8 + *x*6 + *x*5 + *x*4 + *x*3 + *x*2 + *x*
与

*x*13 + *x*12 + *x*11 + *x*10 + *x*9 + *x*8 + *x*6 + *x*5 + *x*4 + *x*3 + *x*2 + *x* 模除 *x*8 + *x*4 + *x*3 + *x*1 + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制), 同时可被长除法所表示, (使用二进制注释. 注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。):

```
          
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011 
           1110000011110
          ^100011011 
            110110101110
           ^100011011 
             10101110110
            ^100011011 
              0100011010
             ^00000000 
               100011010
              ^100011011 
                00000001
```

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)


1. ↑  C. Bruno, Leonard. 需要免费注册. Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.  含有內容需登入查看的頁面 (link)