Γ函數在实数定义域上的函數圖形

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* 论
* 编
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在數學中，\Gamma \,**函数**（**伽瑪函數**；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果n為正整數，則：

 \Gamma(n) = (n-1)!
根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t,}}} {\displaystyle \Re (z)>0.}
数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。

定義
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\Gamma \,函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t}}}
对复数z\,，我们要求\mathrm{Re}(z) > 0。

\Gamma 函數还可以通过对\mathrm{e}^{-t}\,做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
\Gamma(z)=\int\_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum\_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}

这样定义的\Gamma 函數在全平面除了z=0,-1,-2,\ldots以外的地方解析。

\Gamma 函數也可以用无穷乘积的方式表示：

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod \_{{n=1}}^{{\infty }}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{{-1}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{{z}}
这说明\Gamma (z)是亚纯函数，而{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}是全纯函数。

历史動機
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Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 {\displaystyle y=(x-1)!} 所給定的點(x, y)，並要求x要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於x值的大小。而最簡單的階乘公式 {\displaystyle x!=1\times 2\times \cdots \times x} 不能直接應用在x值為分数的時候，因為它被限定在x值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 {\displaystyle x!}，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 {\displaystyle k\sin(m\pi x)}，會給出其他函數有著階乘性質。

無窮乘積
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\Gamma\,函數可以用無窮乘積表示：

\Gamma(z) = \lim\_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod\_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}
\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod\_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}
其中\gamma\,是欧拉-马歇罗尼常数。

Γ積分
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1=\int \_{{0}}^{{\infty }}{\frac {x^{{\alpha -1}}\lambda ^{\alpha }{\mathrm {e}}^{{-\lambda x}}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{{\rm {{d}}}}x
{\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int \_{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}

递推公式
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 \Gamma \,函数的递推公式为：
 \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)，

对于正整数n\,，有

 \Gamma(n+1)=n!，
可以说 \Gamma \,函数是階乘的推廣。

### 递推公式的推导

\Gamma(n + 1) = \int\_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int\_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x

我们用分部积分法来计算这个积分：

\int\_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]\_0^\infty + n \int\_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x

当x=0 \,时，{\tfrac {-0^{n}}{{\mathrm {e}}^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0。当x \,趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

\lim\_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim\_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0.

因此第一项\left[{\tfrac {-x^{n}}{{\mathrm {e}}^{x}}}\right]\_{0}^{\infty }变成了零，所以：

\Gamma(n + 1) = n \int\_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x

等式的右面正好是n \Gamma(n)\,, 因此，递推公式为：

{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,.

重要性质
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* 當z\to 0^+時，\Gamma(z)\to+\infty
* 歐拉反射公式（余元公式）：

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1).
由此可知当{\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}}时，\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.
* 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换: {\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).}

* 乘法定理：

{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}。
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)}.
* 此外：

{\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}.
* 使用乘法定理推導的關係：

{\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}\*2^{2/3}\*\sin({\pi /3}).}
{\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}\*{\sqrt {\pi }}^{3}\*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.}
{\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)\*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}\*2^{4/5}\*\sin({2\*\pi /5}).}
{\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)\*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3\*\pi /10}).}
{\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)\*{\sqrt {\pi }}\*2^{3/5}.}
{\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)\*\Gamma (2/5))\*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)\*\sin({2\*\pi /5})).}

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

* 極限性質

對任何實數α

\lim\_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}
### 斯特靈公式

Γ函數與斯特靈公式

{\displaystyle \Gamma (z+1)}（藍色）、{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}（橘色），數字越大{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}會越趨近{\displaystyle \Gamma (z+1)}。但{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}會在負值則會因為出現虛數而無法使用。
条目：斯特靈公式
斯特靈公式能用以估計\Gamma (z)函数的增長速度。公式為：

{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
其中e約等於2.718281828459。

### 特殊值

{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}
**连分数表示**

伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和：

{\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}

导数
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Γ函數的微分

Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。
對任何複數*z*，滿足 *Re(z) > 0*，有

\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int\_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt 
於是，對任何正整數 *m*

\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum\_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\, 
其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

复数值
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{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int \_{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int \_{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}

解析延拓
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Γ函數的絕對值函數圖形
注意到在\Gamma 函數的積分定義中若取z \,為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) 
並注意到函數\sin (\pi z) \,在整個複平面上有解析延拓，我們可以在\mathrm{Re}(z)<1時設

 \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}
從而將\Gamma \,函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在z=0,-1,-2,-3\cdots有單極點，留數為

{\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.}

程式實現
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許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用`EXP[GAMMALN(X)]`，即可求得任意實数的伽玛函数的值。

* 例如在EXCEL中：`EXP[GAMMALN(4/3)]`=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位：

{\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}

参见
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* 双伽玛函数
* 多伽玛函数
* 倒數伽瑪函數
* 反伽瑪函數
* 伽玛分布

參考文獻
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1. ↑  P. J. Davis.. American Mathematical Monthly. 1959  [2023-01-01]. doi:10.2307/2309786. （原始内容存档于2023-01-01）.
2. ↑  Mada, L.. R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24  [2020-04-24]. （原始内容存档于2021-04-02）. Relations of the Gamma function
3. ↑ .  [2023-01-01]. （原始内容存档于2022-11-09）.
4. ↑  Viktor T. Toth.. 2006  [2018-11-18]. （原始内容存档于2007-02-23）.

外部链接
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* 神奇的Gamma函数(上)
* 神奇的Gamma函数(下)

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