|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| 傅里叶变换 |
| --- |
|  |
| 傅里叶变换 |
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| 傅里叶级数 |
|  |
| 离散傅里叶级数 |
|  |
| 离散时间傅里叶变换 |
|  |
| 离散傅里叶变换 |
|  |
| 快速傅里叶变换 |
|  |
| 分数傅里叶变换 |
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| 短时距傅立叶变换 |
|  |
| Z轉換 |
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| 小波变换 |
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| 離散小波變換 |
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| 连续小波变换 |

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  关于统计学中的标准Z-分数，请见「**標準分數**」。关于统计学中的Fisher Z-转换，请见「**费雪转换**」。
在數學和信号处理中，**Z轉換**（英語：）把離散的實數或複數时间訊號從時域轉為复頻域（z域或z平面）表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

历史
--

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz（英语：）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的約翰·拉加齊尼（英语：）和查德称其为"Z变换"。

約翰·拉加齊尼（英语：）后来发展并推广了改进或高级Z变换。

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

定義
--

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

### 双边Z变换

*双边*Z轉換把离散時域信号{\displaystyle x[n]}轉為形式幂级数{\displaystyle X(z)}。

{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}
當中 {\displaystyle n} 是整數，{\displaystyle z} 是複數变量，其表示方式為

{\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,}
其中 *A* 为 *z* 的模，*j* 为虚数单位，而 ɸ 为*辐角*（也叫*相位角*），用弧度表示。

### 单边Z变换

另外，只对 *n* ≥ 0 定义的 *x[n]*，*单边*Z变换定义为

{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum \_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}
在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 *x[n]* 部分是离散随机变量取 *n* 值时的概率，而函数 *X(z)* 通常写作 *X(s)*，用 *s* = *z*−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

### 地球物理学定义

地球物理中的Z变换，通常的定义是 *z* 的幂级数而非 *z*−1 的。例如，Enders Anthony Robinson（維基數據所列：）和Ernest R. Kanasewich（維基數據所列：）都使用这个惯例。地球物理定义为：

{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum \_{n}x[n]z^{n}.}
这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。
因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换
----

*逆*Z变换为

{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \_{C}X(z)z^{n-1}dz}
其中 *C* 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 *C* 必须包围 *X(z)* 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 *C* 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 *X(z)* 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}
有限范围 *n* 和有限数量的均匀间隔的 *z* 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 *z* 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域
---

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

{\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}
### 例1（收敛域不存在）

令 {\displaystyle x[n]=(.5)^{n}}。在区间 {\displaystyle (-\infty ,\infty )}上展开 *{\displaystyle x[n]}* 成为

{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}
观察上面的和

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}
因此，没有一个 *{\displaystyle z}* 值可以满足这个条件。

### 例2（因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |*z*| = 0.5 这个圆用虚线圆表示（內圈者）
令 {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }（其中 *u* 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 *x[n]* 得到

{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}
观察这个和

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum \_{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5*z*−1| < 1 时成立，可以以 *z* 为变量写成 |*z*| > 0.5。因此，收敛域为 |*z*| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面"挖掉"原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

### 例3（非因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |*z*| = 0.5 这个圆用虚线圆表示
令 {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }（其中 *u* 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 *x[n]* 得到

{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}
观察这个和

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum \_{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum \_{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}
再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1*z*| < 1 时成立，可以用 *z* 为变量写成 |*z*| < 0.5。因此，收敛域为 |*z*| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

### 实例结论

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，{\displaystyle x[n]} 的Z变换 *X(z)* 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图（英语：）表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域*永远不会*包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |*z*| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 {\displaystyle |z|=0} 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |*z*| < 0.75
在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |*z*| = ∞ 也不包含 |*z*| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}
的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |*z*| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)*n**u*[*n*] 和一个非因果项 −(0.75)*n**u*[−*n*−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |*z*| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |*z*| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 {\displaystyle x[n]}），则可以确定一个唯一的 {\displaystyle x[n]} 满足下列：

* 稳定性
* 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 *{\displaystyle x[n]}*。

性质
--

**Z变换性质**|  | 时域
  | Z域
  | 证明
  | 收敛域
  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 记法
  | {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}} | {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}} |  | {\displaystyle r\_{2}<|z|<r\_{1}} |
| 線性 | {\displaystyle a\_{1}x\_{1}[n]+a\_{2}x\_{2}[n]} | {\displaystyle a\_{1}X\_{1}(z)+a\_{2}X\_{2}(z)} | {\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(a\_{1}x\_{1}(n)+a\_{2}x\_{2}(n))z^{-n}\\&=a\_{1}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{1}(n)z^{-n}+a\_{2}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{2}(n)z^{-n}\\&=a\_{1}X\_{1}(z)+a\_{2}X\_{2}(z)\end{aligned}}} | 包含 ROC1 ∩ ROC2 |
| 时间膨胀 | {\displaystyle x\_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}}
*r*: 整数 | {\displaystyle X(z^{K})} | {\displaystyle {\begin{aligned}X\_{K}(z)&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum \_{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum \_{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}} | {\displaystyle R^{\frac {1}{K}}} |
| 降采样 | {\displaystyle x[nK]} | {\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum \_{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)} | ohio-state.edu （页面存档备份，存于）  或  ee.ic.ac.uk （页面存档备份，存于） |  |
| 时移
  | {\displaystyle x[n-k]} | {\displaystyle z^{-k}X(z)} | {\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum \_{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum \_{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum \_{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum \_{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum \_{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}} | ROC，除了 *k* > 0 时 *z* = 0 和 *k* < 0 时 *z* = ∞ |
| Z域的

尺度性质 | {\displaystyle a^{n}x[n]} | {\displaystyle X(a^{-1}z)} | {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}} | {\displaystyle |a|r\_{2}<|z|<|a|r\_{1}} |
| 时间反转
  | {\displaystyle x[-n]} | {\displaystyle X(z^{-1})} | {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum \_{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum \_{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}} | {\displaystyle {\tfrac {1}{r\_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r\_{2}}}} |
| 共轭复数 | {\displaystyle x^{\*}[n]} | {\displaystyle X^{\*}(z^{\*})} | {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{\*}(n)\}&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x^{\*}(n)z^{-n}\\&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{\*})^{-n}\right]^{\*}\\&=\left[\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{\*})^{-n}\right]^{\*}\\&=X^{\*}(z^{\*})\end{aligned}}} |  |
| 实部 | {\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}} | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{\*}(z^{\*})\right]} |  |  |
| 虚部 | {\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}} | {\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{\*}(z^{\*})\right]} |  |  |
| 微分
  | {\displaystyle nx[n]} | {\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum \_{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}} |  |
| 卷积 | {\displaystyle x\_{1}[n]\*x\_{2}[n]} | {\displaystyle X\_{1}(z)X\_{2}(z)} | {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x\_{1}(n)\*x\_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum \_{l=-\infty }^{\infty }x\_{1}(l)x\_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum \_{l=-\infty }^{\infty }x\_{1}(l)x\_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum \_{l=-\infty }^{\infty }x\_{1}(l)\left[\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum \_{l=-\infty }^{\infty }x\_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X\_{1}(z)X\_{2}(z)\end{aligned}}} | 包含 ROC1 ∩ ROC2 |
| 互相关 | {\displaystyle r\_{x\_{1},x\_{2}}=x\_{1}^{\*}[-n]\*x\_{2}[n]} | {\displaystyle R\_{x\_{1},x\_{2}}(z)=X\_{1}^{\*}({\tfrac {1}{z^{\*}}})X\_{2}(z)} |  | 包含 {\displaystyle X\_{1}({\tfrac {1}{z^{\*}}})} 与 {\displaystyle X\_{2}(z)} 的ROC的交集
  |
| 一阶差分
  | {\displaystyle x[n]-x[n-1]} | {\displaystyle (1-z^{-1})X(z)} |  | 包含 *X1(z)* 与 *z* ≠ 0 的ROC的交集
  |
| 累积
  | {\displaystyle \sum \_{k=-\infty }^{n}x[k]} | {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)} | {\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\sum \_{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum \_{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}} |  |
| 乘法 | {\displaystyle x\_{1}[n]x\_{2}[n]} | {\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint \_{C}X\_{1}(v)X\_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v} |  | - |

**帕塞瓦尔定理**

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x\_{1}[n]x\_{2}^{\*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint \_{C}X\_{1}(v)X\_{2}^{\*}({\tfrac {1}{v^{\*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}
**初值定理**：如果 *x*[*n*] 为因果的，那么

{\displaystyle x[0]=\lim \_{z\to \infty }X(z).}
**终值定理**：如果 (*z*−1)*X*(*z*) 的极点在单位圆内，则

{\displaystyle x[\infty ]=\lim \_{z\to 1}(z-1)X(z).}

常见的Z变换对表
--------

这里：

{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}
是单位阶跃函数而

{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}
是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 *n* = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 *n* = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个"函数"，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 *n* = 0 处为 1。

|  | 信号，{\displaystyle x[n]} | Z变换，{\displaystyle X(z)} | ROC |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle \delta [n]} | 1 | 所有 *z* |
| 2 | {\displaystyle \delta [n-n\_{0}]} | {\displaystyle z^{-n\_{0}}} | {\displaystyle z\neq 0} |
| 3 | {\displaystyle u[n]\,} | {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | {\displaystyle |z|>1} |
| 4 | {\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]} | {\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}} | {\displaystyle |z|>e^{-\alpha }\,} |
| 5 | {\displaystyle -u[-n-1]} | {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | {\displaystyle |z|<1} |
| 6 | {\displaystyle nu[n]} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | {\displaystyle |z|>1} |
| 7 | {\displaystyle -nu[-n-1]\,} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | {\displaystyle |z|<1} |
| 8 | {\displaystyle n^{2}u[n]} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | {\displaystyle |z|>1\,} |
| 9 | {\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | {\displaystyle |z|<1\,} |
| 10 | {\displaystyle n^{3}u[n]} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | {\displaystyle |z|>1\,} |
| 11 | {\displaystyle -n^{3}u[-n-1]} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | {\displaystyle |z|<1\,} |
| 12 | {\displaystyle a^{n}u[n]} | {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | {\displaystyle |z|>|a|} |
| 13 | {\displaystyle -a^{n}u[-n-1]} | {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | {\displaystyle |z|<|a|} |
| 14 | {\displaystyle na^{n}u[n]} | {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | {\displaystyle |z|>|a|} |
| 15 | {\displaystyle -na^{n}u[-n-1]} | {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | {\displaystyle |z|<|a|} |
| 16 | {\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]} | {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | {\displaystyle |z|>|a|} |
| 17 | {\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]} | {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | {\displaystyle |z|<|a|} |
| 18 | {\displaystyle \cos(\omega \_{0}n)u[n]} | {\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega \_{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega \_{0})+z^{-2}}}} | {\displaystyle |z|>1} |
| 19 | {\displaystyle \sin(\omega \_{0}n)u[n]} | {\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega \_{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega \_{0})+z^{-2}}}} | {\displaystyle |z|>1} |
| 20 | {\displaystyle a^{n}\cos(\omega \_{0}n)u[n]} | {\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega \_{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega \_{0})+a^{2}z^{-2}}}} | {\displaystyle |z|>|a|} |
| 21 | {\displaystyle a^{n}\sin(\omega \_{0}n)u[n]} | {\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega \_{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega \_{0})+a^{2}z^{-2}}}} | {\displaystyle |z|>|a|} |

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系
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对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**Eq.1**)** |

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和（英语：），这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

{\displaystyle \underbrace {\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} \_{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum \_{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}
若T的單位是秒，{\displaystyle \textstyle f}的單位即為赫兹。比較兩個數列可得 {\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT} 為标准化频率（英语：），單位是radians per sample。數值ω=2π對應{\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}} Hz. ，而且在替換 {\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}後，  **Eq.1**可以表示為傅里叶变换X(•)**:**

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum \_{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} \_{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}
若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）

和拉氏变換的關係
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### 双线性变换

双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

{\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}
將一個拉氏域的函數{\displaystyle H(s)}轉換為Z域下的{\displaystyle H(z)}，或是

{\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}}
從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個*j*Ω軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在*j*Ω axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括*j*Ω軸。

线性常系数差分方程
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线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

{\displaystyle \sum \_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha \_{p}=\sum \_{q=0}^{M}x[n-q]\beta \_{q}}
上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成

{\displaystyle y[n]=\sum \_{q=0}^{M}x[n-q]\beta \_{q}-\sum \_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha \_{p}.}
LCCD方程的这种形式有利于更加明确"当前"输出 *y[n]* 是过去输出 *y[n−p]*、当前输入 *x[n]* 与之前输入 *x[n−q]* 的一个函数。

### 传递函数

对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

{\displaystyle Y(z)\sum \_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha \_{p}=X(z)\sum \_{q=0}^{M}z^{-q}\beta \_{q}}
整理结果

{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum \_{q=0}^{M}z^{-q}\beta \_{q}}{\sum \_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha \_{p}}}={\frac {\beta \_{0}+z^{-1}\beta \_{1}+z^{-2}\beta \_{2}+\cdots +z^{-M}\beta \_{M}}{\alpha \_{0}+z^{-1}\alpha \_{1}+z^{-2}\alpha \_{2}+\cdots +z^{-N}\alpha \_{N}}}.}
### 零点和极点

由代数基本定理得知分子有 *M* 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

{\displaystyle H(z)={\frac {(1-q\_{1}z^{-1})(1-q\_{2}z^{-1})\cdots (1-q\_{M}z^{-1})}{(1-p\_{1}z^{-1})(1-p\_{2}z^{-1})\cdots (1-p\_{N}z^{-1})}}}
其中 *qk* 为 *k* 阶零点，*pk* 为 *k* 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图（英语：）。

此外，在 *z* = 0 和 *z* = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

### 输出响应

如果一个系统 *H(z)* 由信号 *X(z)* 驱动，那么输出为 *Y(z)* = *H(z)X(z)*。通过对 *Y(z)* 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 *y[n]*。在实际运用中，在分式分解 {\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}} 之后再乘 *z* 产生 *Y(z)* 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

参见
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* 高级Z变换
* 双线性变换
* 差分方程（遞迴關係式）
* 离散卷积
* 离散时间傅里叶变换
* 有限脉冲响应
* 形式幂级数
* 拉普拉斯变换
* 洛朗级数
* 概率母函数
* 星标变换
* Zak变换（英语：）
* ζ函数正规化（英语：）

参考文献
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1. ↑  E. R. Kanasewich.  3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1.
2. ↑  J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh.. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, **71** (II): 225–234.
3. ↑  Cornelius T. Leondes.. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
4. ↑  
Eliahu Ibrahim Jury.. John Wiley & Sons. 1958.
5. ↑  
Eliahu Ibrahim Jury.. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0.
6. ↑  
Eliahu Ibrahim Jury.. John Wiley & Sons. 1964: 1.
7. 1 2  
Enders A. Robinson, Sven Treitel.. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481.
8. 1 2  
E. R. Kanasewich.. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741.

延伸阅读
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* Refaat El Attar, *Lecture notes on Z-Transform*, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
* Ogata, Katsuhiko, *Discrete Time Control Systems 2nd Ed*, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
* Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Z-Transform table of some common Laplace transforms （页面存档备份，存于）
* Mathworld's entry on the Z-transform （页面存档备份，存于）
* Z-Transform threads in Comp.DSP （页面存档备份，存于）
* Z-Transform Module by John H. Mathews
* A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform （页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
數位訊號處理 |
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| 理論 | 
* 检测理论
* 離散訊號
* 估計理論
* 取樣定理

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| 子領域 | 
* 音频处理
* 影像處理
* 語音處理
* 統計訊號處理（英语：）

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| 技術 | 
* Z轉換
	+ 高级Z变换
	+ 匹配Z变换
* 雙線性轉換
* 常數Q轉換
* 傅里叶变换
	+ 離散傅立葉轉換（DFT）
	+ 離散分數傅立葉轉換（DFFT）
	+ 离散時間傅立葉轉換（DTFT）
* 冲激不變法
* 積分變換
* 拉普拉斯變換
* 拉普拉斯逆變換
* 星標變換
* 札克变换

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* 混疊
	+ 抗混叠濾波器
* 奈奎斯特率（英语：） / 頻率
* 升取樣
* 降取樣（英语：）
* 過取樣
* 欠取樣（英语：）
* 取樣率
* 量化

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* 论
* 编
控制理论 |
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* 自适应控制
* 控制理论
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