在**數學**上，一個域F被稱作**代數閉域**，若且唯若任何係數属于F且次數大於零的單變數多項式在F裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。

例子
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舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

x^{2}+1=0
同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若a\_{1},\ldots ,a\_{n}列出F的所有元素，則下列多項式在F中沒有根：

(x-a\_{1})(x-a\_{2})\cdots (x-a\_{n})+1\,
反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

等價的刻劃
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給定一個域F，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

### 不可约多项式若且唯若一次多项式

域*F*是代数闭域，当且仅当环*F*[*x*]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

"一次多项式是不可约的"的断言对于任何域都是正确的。如果*F*是代数闭域，*p*(*x*)是*F*[*x*]的一个不可约多项式，那么它有某个根*a*，因此*p*(*x*)是*x* − *a*的一个倍数。由于*p*(*x*)是不可约的，这意味着对于某个*k* ∈ *F* \ {0}，有*p*(*x*) = *k*(*x* − *a*)。另一方面，如果*F*不是代数闭域，那么存在*F*[*x*]内的某个非常数多项式*p*(*x*)在*F*内没有根。设*q*(*x*)为*p*(*x*)的某个不可约因子。由于*p*(*x*)在*F*内没有根，因此*q*(*x*)在*F*内也没有根。所以，*q*(*x*)的次数大于一，因为每一个一次多项式在*F*内都有一个根。

### 每一个多项式都是一次多项式的乘积

域*F*是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数*F*内的*n* ≥ 1的多项式*p*(*x*)都可以分解成线性因子。也就是说，存在域*F*的元素*k*， *x*1， *x*2， ……， *xn*，使得*p*(*x*) = *k*(*x* − *x*1)(*x* − *x*2) ··· (*x* − *xn*)。

如果*F*具有这个性质，那么显然*F*[*x*]内的每一个非常数多项式在*F*内都有根；也就是说，*F*是代数闭域。另一方面，如果*F*是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域*K*，任何*K*[*x*]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对*F*成立。

### *Fn*的每一个自同态都有特征向量

域*F*是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数*n*，任何从*Fn*到它本身的线性映射都有某个特征向量。

*Fn*的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果*F*是代数闭域，每一个*Fn*的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个*Fn*的自同态都有特征向量，设*p*(*x*)为*F*[*x*]的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式*q*(*x*)，它有根当且仅当*p*(*x*)有根。但如果*q*(*x*) = *xn* + *a**n* − 1*x**n* − 1+ ··· + *a*0，那么*q*(*x*)是以下友矩阵的特征多项式：

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a\_{0}\\1&0&\cdots &0&-a\_{1}\\0&1&\cdots &0&-a\_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a\_{{n-1}}\end{pmatrix}}.
### 有理表达式的分解

域*F*是代数闭域，当且仅当每一个系数位于*F*内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为*a*/(*x* − *b*)n的有理函数之和，其中*n*是自然数，*a*和*b*是*F*的元素。

如果*F*是代数闭域，那么由于*F*[*x*]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域*F*成立。设*p*(*x*)为*F*[*x*]内的一个不可约元素。那么有理函数1/*p*可以写成多项式函数*q*与若干个形为*a*/(*x* − *b*)n的有理函数之和。因此，有理表达式

{\frac 1{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}
可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于*p*(*x*)是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

代數閉包
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設E\supset F為代數擴張，且E是代數閉域，則稱E是F的一個**代數閉包**。可以視之為包含F的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設E,E'為任兩個F的代數閉包，則存在環同構\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'使得\sigma |\_{F}={\mathrm {id}}\_{F}；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 F^{{\mathrm {alg}}} 或\bar{F}。

文獻
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* S. Lang, *Algebra*, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, *Algebra I*, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

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| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
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| 群论 | 

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