立方和的簡單圖解
**立方和**是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：

{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}
立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。

驗證
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### 主驗證

驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：

a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!
然後代入：

{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}
透過因式分解，可得：

{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
這樣便可驗證：a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

### 和立方驗證

透過和立方可驗證立方和的原理：

(x+y)^{3}\,\!
=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!
那即是只要減去3x^{2}y及3xy^{2}便可得到立方和，可設：

x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!
右邊的方程 =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!
運用因式分解的方法：

=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!
=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!
=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!
=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!
這樣便可驗證出：x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!

### 幾何驗證

圖象化a^{3}+b^{3}
透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。
根據右圖，設兩個立方，總和為：

x^{3}+y^{3}\,\!
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

(x+y)^{3}\,\!
要得到x^{3}+y^{3}，可使用(x+y)^{3}的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

* x\times y\times (x+y)
* x\times (x+y)\times y
* (x+y)\times y\times x

把三個部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!
=3xy(x+y)\,\!
之後，把(x+y)^{3}減去它，便得：
=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!
上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!
(x+y)^{2}可透過和平方公式，得到：

=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!
=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!
這樣便可證明x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!

### 反驗證

透過(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})也可反驗證立方和。

(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!
=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!
=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!
=a^{3}+b^{3}\,\!
以上計算方法亦可簡化為一個表格：

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})| x) | +a^{2} | -ab | +b^{2} |
| --- | --- | --- | --- |
| +a | +a^{3} | -a^{2}b | +ab^{2} |
| +b | +a^{2}b | -ab^{2} | +b^{3} |
|

這樣便可證明a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

立方差
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立方差也可以使用立方和來驗證，例如：

125u^{3}-343v^{3}\,\!
把兩個數項都轉為立方數：

=(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!
運用負正得負，可得：

=(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!
然後運用立方和，可得：

=\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]
=(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!
這個方法更可驗證到立方差的公式是a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!

兩組立方和的數
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有些整數可以有兩個立方和組合，
而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：

1729=1^{3}+12^{3}\,\!
1729=9^{3}+10^{3}\,\!
下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

4104=9^{3}+15^{3}\,\!
4104=2^{3}+16^{3}\,\!
首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见
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* 幾何學
* 工程學

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|  | 維基教科書中的相關電子：**算术/立方和** |

參考文獻
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1. ↑ . Queen's College On The Web.  [2018-10-16]. （原始内容存档于2021-02-06） （英语）.
2. ↑ .  [1994-11-12]. 原始内容存档于2007-08-08 （英语）.  请检查`|access-date=`中的日期值 (帮助)
3. ↑ . Jimloy.com.  [2018-01-16]. （原始内容存档于2013-05-28） （英语）.

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| * 
* 论
* 编
基本乘法公式及恆等式 （因式分解） |
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|  |
| 分配律 | (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd\,\! |
|  |
| 二項式定理 | 

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| 和差平方 | {\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}} |
|  |
| 和差立方 | {\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}} |

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|  |
| 多項式定理 | 

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| 三數和平方 |  (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \,\! |

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|  |
| 等冪和差 | 

|  |  |
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| 平方和 | a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) |
|  |
| 平方差 | {\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)} |
|  |
| 立方和差 | a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})\,\! |

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|  |
| 等冪和差逆定理 | a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\! |
|  |
| 對稱多項式 | a^3+b^3+c^3= (a+b+c)^3+3(a+b+c)(-ab-bc-ca)+3abc\,\! |

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