反三角函數示意圖

幾個反三角函數的圖形，其中，反餘切以複變分析定義，因此在原點處出現不連續斷點

| 三角学 |
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参考 |
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* 精确值
* 三角表（英语：）
* 单位圆
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定理 |
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* 餘切
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| 微积分 |
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* 积分 (反三角函数)
* 微分
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* 论
* 编
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在数学中，**反三角函数**是三角函数的反函数。

數學符號
----

符号\sin ^{{-1}},\cos ^{{-1}}等常用于\arcsin ,\arccos 等。但是这种符号有时在\sin^{-1} x和{\frac {1}{\sin x}}之间易造成混淆。

在编程中，函数{\displaystyle \arcsin }, {\displaystyle \arccos }, {\displaystyle \arctan }通常叫做{\displaystyle \mathrm {asin} }, {\displaystyle \mathrm {acos} }, {\displaystyle \mathrm {atan} }。很多编程语言提供两自变量atan2函数，它计算给定y和x的\frac{y}{x}的反正切，但是值域为[-\pi ,\pi ]。

* 在笛卡尔平面上
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arcsin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\arcsin x}
  
(紅)和
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arccos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\arccos x}
  
(綠)函数的常用主值的图像。在笛卡尔平面上{\displaystyle f(x)=\arcsin x}(紅)和{\displaystyle f(x)=\arccos x}(綠)函数的常用主值的图像。
* 在笛卡尔平面上
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arctan
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\arctan x}
  
(紅)和
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arccot
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\operatorname {arccot} x}
  
(綠)函数的常用主值的图像。在笛卡尔平面上{\displaystyle f(x)=\arctan x}(紅)和{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccot} x}(綠)函数的常用主值的图像。
* 在笛卡尔平面上
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arcsec
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\operatorname {arcsec} x}
  
(紅)和
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        arccsc
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=\operatorname {arccsc} x}
  
(綠)函数的常用主值的图像。在笛卡尔平面上{\displaystyle f(x)=\operatorname {arcsec} x}(紅)和{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccsc} x}(綠)函数的常用主值的图像。

主值
--

下表列出基本的反三角函数。

| 名称 | 常用符号 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 反正弦 | y=\arcsin x | x=\sin y | [-1,1] | [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}] |
| 反余弦 | y=\arccos x | x=\cos y | [-1,1] | [0,\pi ] |
| 反正切 | y=\arctan x | x=\tan y | \mathbb {R}  | (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}) |
| 反余切 | y=\operatorname{arccot} x | x=\cot y | \mathbb {R}  | (0,\pi ) |
| 反正割 | y=\operatorname{arcsec} x | x=\sec y | (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty ) | [0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ] |
| 反余割 | y=\operatorname{arccsc} x | x=\csc y | (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty ) | [-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}] |

（注意：某些數學教科書的作者將{\displaystyle \operatorname {arcsec} }的值域定為[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})因為當\tan的定義域落在此區間時，\tan的值域{\displaystyle \geq 0}，如果{\displaystyle \operatorname {arcsec} }的值域仍定為[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]，將會造成{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}，如果希望{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}，那就必須將{\displaystyle \operatorname {arcsec} }的值域定為[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})，基於類似的理由{\displaystyle \operatorname {arccsc} }的值域定為(-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]）

如果x允许是复数，则y的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系
----------

余角：

\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x
\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x
\operatorname{arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname{arcsec} x
负数参数：

\arcsin(-x)=-\arcsin x\!
\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!
\arctan(-x)=-\arctan x\!
\operatorname{arccot}(-x)=\pi -\operatorname{arccot} x\!
\operatorname{arcsec}(-x)=\pi -\operatorname{arcsec} x\!
\operatorname{arccsc}(-x)=-\operatorname{arccsc} x\!
倒数参数：

\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname{arcsec} x
\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname{arccsc} x
\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname{arccot} x,\  \ x>0
\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname{arccot} x,\  \ x<0
\operatorname{arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname{arccot} x=\arctan x,\  \ x>0
\operatorname{arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname{arccot} x=\pi +\arctan x,\  \ x<0
\operatorname{arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x
\operatorname{arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x
如果有一段正弦表：

\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}, \ 0\leq x\leq 1
\arctan x=\arcsin {\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}}}
注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}，可得到：

\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}
\arccos x=2\arctan {\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+x}}, -1<x\leq +1
\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}

三角函數與反三角函數的關係
-------------

通過定義可知：

| \theta  | \sin \theta  | \cos \theta  | \tan \theta  | 圖示 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| \arcsin x | \sin(\arcsin x)=x | \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}} | \tan(\arcsin x)={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}} |  |
| \arccos x | \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}} | \cos(\arccos x)=x | \tan(\arccos x)={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}} |  |
| \arctan x | \sin(\arctan x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} | \cos(\arctan x)={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} | \tan(\arctan x)=x |  |
| \operatorname{arccot} x | \sin(\operatorname{arccot} x)={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} | \cos(\operatorname{arccot} x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} | \tan(\operatorname{arccot} x)={\frac {1}{x}} |  |
| \operatorname{arcsec} x | \sin(\operatorname{arcsec} x)={\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}}{x}} | \cos(\operatorname{arcsec} x)={\frac {1}{x}} | \tan(\operatorname{arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}} |  |
| \operatorname{arccsc} x | \sin(\operatorname{arccsc} x)={\frac {1}{x}} | \cos(\operatorname{arccsc} x)={\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}}{x}} | \tan(\operatorname{arccsc} x)={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}}} |  |

一般解
---

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个2\pi 区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于{\displaystyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}结束于{\displaystyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}（这里的k是一个整数），在{\displaystyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}到{\displaystyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}}上倒过来。余弦和正割的周期开始于{\displaystyle 2\pi k}结束于{\displaystyle 2\pi k+\pi }，在{\displaystyle 2\pi k+\pi }到{\displaystyle 2\pi k+2\pi }上倒过来。正切的周期开始于{\displaystyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}结束于{\displaystyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}，接着(向前)在{\displaystyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}到{\displaystyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}}上重复。余切的周期开始于{\displaystyle 2\pi k}结束于{\displaystyle 2\pi k+\pi }，接着（向前）在{\displaystyle 2\pi k+\pi }到{\displaystyle 2\pi k+2\pi }上重复。

这个周期性反应在一般反函数上：

\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ )
\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ )
\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}
\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname{arccot} x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}
\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname{arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ \lor \ y=2\pi -\operatorname{arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ )
\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname{arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ \lor \ y=\pi -\operatorname{arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in {\mathbb {Z}}\ )

反三角函数的导数
--------

对于实数x的反三角函數的导函数如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}}
舉例說明，设\theta =\arcsin x\!，得到：

{\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上|x|<1，其他導數公式同理可證。

表达为定积分
------

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：

{\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int \_{x}^{1}{\frac {1}{{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int \_{0}^{x}{\frac 1{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname{arccot} x&{}=\int \_{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname{arcsec} x&{}=\int \_{1}^{x}{\frac 1{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname{arccsc} x&{}=\int \_{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}
当x等于1时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数
----

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下：

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{{2n+1}}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}
{\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{{2n+1}}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}
{\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{{2n+1}}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}
{\begin{aligned}\operatorname{arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{{2n+1}}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq -4\end{aligned}}}
{\begin{aligned}\operatorname{arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)\\&{}=z^{{-1}}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{{-3}}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{{-5}}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{{-7}}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{{-(2n+1)}}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}
欧拉发现了反正切的更有效的级数：

{\displaystyle \arctan x=\infty {x}{1+x^{2}}\sum \_{n=0}^{\infty }\prod \_{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}}。
（注意对x=0在和中的项是空积1。）

反三角函数的不定积分
----------

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\end{aligned}}}
使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

### 舉例

使用\int u\,{\mathrm {d}}v=uv-\int v\,{\mathrm {d}}u，設

{\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad {\mathrm {d}}v={\mathrm {d}}x\\{\mathrm {d}}u&{}=&{\frac {{\mathrm {d}}x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}
則

\int \arcsin(x)\,{\mathrm {d}}x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\,{\mathrm {d}}x
換元

k=1-x^{2}.\,
則

{\mathrm {d}}k=-2x\,{\mathrm {d}}x
且

\int {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\,{\mathrm {d}}x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\mathrm {d}}k}{{\sqrt {k}}}}=-{\sqrt {k}}
換元回*x*得到

\int \arcsin(x)\,{\mathrm {d}}x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

加法公式和減法公式
---------

### arcsin *x* + arcsin *y*

{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\leq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1}
\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1
\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1
### arcsin *x* - arcsin *y*

{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\geq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1}
\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1
\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1
### arccos *x* + arccos *y*

\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0
\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0
### arccos *x* - arccos *y*

\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y
\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y
### arctan *x* + arctan *y*

\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{{\frac {x+y}{1-xy}}},xy<1
\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{{\frac {x+y}{1-xy}}},x>0,xy>1
\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{{\frac {x+y}{1-xy}}},x<0,xy>1
### arctan *x* - arctan *y*

\arctan x-\arctan y=\arctan {{\frac {x-y}{1+xy}}},xy>-1
\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {{\frac {x-y}{1+xy}}},x>0,xy<-1
\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {{\frac {x-y}{1+xy}}},x<0,xy<-1
### arccot *x* + arccot *y*

\operatorname{arccot} x+\operatorname{arccot} y=\operatorname{arccot} {{\frac {xy-1}{x+y}}},x>-y
\operatorname{arccot} x+\operatorname{arccot} y=\operatorname{arccot} {{\frac {xy-1}{x+y}}}+\pi ,x<-y
### arcsin *x* + arccos *y*

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1
### arctan *x* + arccot *y*

\arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}

註釋
--

1. ↑  

设\theta =\arccos x，得到：
{\frac {d\arccos x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {1}{{\sqrt {1-\cos ^{{2}}\theta }}}}={\frac {-1}{{\sqrt {1-x^{{2}}}}}}
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上|x|<1。  

设\theta =\arctan x，得到：
{\frac {d\arctan x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {1}{\sec ^{{2}}\theta }}={\frac {1}{1+\tan ^{{2}}\theta }}={\frac {1}{1+x^{{2}}}}  

设\theta =\operatorname{arccot} x，得到：
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arccot} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cot \theta }}={\frac {-1}{\csc ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+\cot ^{2}\theta }}={\frac {-1}{1+x^{2}}}}  

设\theta =\operatorname{arcsec} x，得到：
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arcsec} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sec \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \tan \theta }}={\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上|x|>1，比較容易被忽略是\sec \theta 產生的絕對值\sec ^{{-1}}\theta 的定義域是{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\theta \neq {\frac {\pi }{2}}}，所以{\displaystyle \tan \theta =\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}，所以x要加绝对值。  

设\theta =\operatorname{arccsc} x，得到：
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arccsc} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\csc \theta }}={\frac {-1}{\csc \theta \cot \theta }}={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上|x|>1，比較容易被忽略是\csc \theta 產生的絕對值\csc ^{{-1}}\theta 的定義域是-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}},\theta \neq 0。

参见
--

* icon数学主题

* 正切半角公式
* 平方根


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| 

| * 
* 论
* 编
三角函数 |
| --- |
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| 基本函數 | 

正弦 ·  餘弦 ·  正切 ·  餘切 ·  正割 ·  餘割
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| 反函數 | 

反正弦 ·  反餘弦 ·  反正切 ·  反餘切 ·  反正割‎ ·  反餘割
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正矢 ·  餘矢 ·  cis函數 ·  餘cis函數 · 半正矢 · 半餘矢 · 外正割 · 外餘割 · atan2 · 古德曼函數
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| 双曲函数 | 

雙曲正弦 ·  雙曲餘弦
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正弦定理 ·  餘弦定理 ·  正切定理 ·  餘切定理 · 勾股定理
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外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
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