明安图《割圜密率捷法》卷三 "卡塔兰数"书影
卡塔兰数
**卡塔兰数**（英語：）是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列，以比利時數學家欧仁·查理·卡特兰命名。历史上，清朝数学家明安图在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为"**明安图数**"或"**明安图-卡塔兰数**"。

卡塔兰数的一般項公式為

C\_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}

第0項到第19項的卡塔兰数為：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, ...（OEIS數列A000108）

性质
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*C**n*的另一个表达形式为

C\_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad\mbox{ for }n\ge 1，

所以，*C**n*是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

递推关系：

C\_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C\_{n+1}=\sum\_{i=0}^{n}C\_i\,C\_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.
它也满足

C\_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C\_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C\_n,
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

C\_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}
它的含义是当*n* → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用*n*!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数*C**n*都满足n=2^k-1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

而且

{\displaystyle C\_{n}=\int \_{0}^{4}x^{n}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4/x-1}}\mathrm {d} x}

母函数
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条目：母函数
若**卡塔兰数**的母函数是

{\displaystyle M(z)=\sum C\_{n}z^{n}}

则

{\displaystyle M(z)=1+zM(z)^{2}}

解是

{\displaystyle M(z)={\frac {2}{1-{\sqrt {1-4z}}}}}

应用
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组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用n=3和n=4举若干例：

* *C**n*表示长度*2n*的dyck word（英语：）的个数。Dyck词是一个有*n*个X和*n*个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
* 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，*C**n*表示所有包含*n*组括号的合法运算式的个数：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())
* *C**n*表示有*n*个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，*n*等于*3*，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

* *C**n*表示有*2n+1*个节点组成不同构满二叉树的方案数。下图中，*n*等于*3*，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

**证明***：*令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个*2n*位、含*n*个1、*n*个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含*n*个1、*n*个0的*2n*位二进制数共有{2n \choose n}个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含*n*个1、*n*个0的2n位二进制数，扫描到第*2m+1*位上时有*m+1*个0和*m*个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有*n-m*个1和*n-m-1*个0。将*2m+2*及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个*n+1*个0和*n-1*个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而C\_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}。证毕。

* *C**n*表示所有在*n* × *n*格点中不越过对角线的**单调路径**的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表"向右"，Y代表"向上"。下图为*n* = 4的情况：

* *C**n*表示通过连结顶点而将*n* + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为*n* = 4的情况：

* *C**n*表示对{1, ... *n*}依序进出栈的置换个数。一个置换*w*是依序进出栈的当*S*(*w*) = (1, ... *n*),其中*S*（*w*）递归定义如下：令*w* = *unv*，其中*n*为*w*的最大元素，*u*和*v*为更短的数列；再令*S*(*w*) = *S*(*u*)*S*(*v*)*n*，其中*S*为所有含一个元素的数列的单位元。

* *C**n*表示集合{1, ... *n*}的不交叉划分（英语：）的个数。那么, *C**n*永远不大于第*n*项贝尔数. *C**n*也表示集合{1, ... 2*n*}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明：在 魏格纳半圆分布定律 中度数大于2的情形下，所有 *自由的* 累积量s 为零。 该定律在自由概率论（英语：）和随机矩阵理论中非常重要。

* *C**n*表示用*n*个长方形填充一个高度为*n*的阶梯状图形的方法个数。下图为*n* = 4的情况：

* *C**n*表示表为2×*n*的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说，它是数字 1, 2, ... 2*n* 被放置在一个2×*n*的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的，该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。

* *C**n*表示*n*个无标号物品的半序的个数。

汉克尔矩阵
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无论*n*的取值为多少，*n*×*n*的汉克尔矩阵:A\_{i,j} = C\_{i + j - 2}.\ 的行列式为1。例如，*n* = 4 时我们有

\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132\end{bmatrix} = 1。
进一步，无论*n*的取值为多少，如果矩阵被移动成A\_{i,j} = C\_{i + j - 1}.\ ，它的行列式仍然为1。例如，*n* = 4 时我们有

\det\begin{bmatrix}1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132 \\ 14 & 42 & 132 & 429 \end{bmatrix} = 1。
同时，这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

参考文献
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1. ↑  吴文俊主编 《中国数学史大系》第7卷 474-475页
2. ↑ .  [2014-06-24]. （原始内容存档于2020-01-31）.
3. ↑   (PDF).  [2014-06-24]. （原始内容存档 (PDF)于2021-02-24）.
4. ↑  吴文俊主编 《中国数学史大系》 第七卷 476页
5. ↑  Bowman, Douglas; Regev, Alon.. Advances in Applied Mathematics. 2014-05, **56**: 35–55  [2020-02-23]. doi:10.1016/j.aam.2014.01.004. （原始内容存档于2020-02-23） （英语）.
6. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2020-02-23]. （原始内容存档于2019-06-18） （英语）.
7. ↑ . www.findstat.org.  [2020-02-23]. （原始内容存档于2020-12-03）.