在抽象代數中，**群同構**是在兩個群之間的函數，它以關照到了群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個同構，則這兩個群叫做**同構**的。從群論的立場看，同構的群有相同的性質而不需要區分。

定義和符號
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給定兩個群 (G, \*) 和 (H, {\displaystyle \odot })，從 (G, \*) 到 (H, {\displaystyle \odot }) 的**群同構**是從 G 到 H 的**雙射**群同態。這意味著群同構是雙射函數 {\displaystyle f:G\rightarrow H} 使得對於所有 G 中的 u 和 v 有著

{\displaystyle f(u\*v)=f(u)\odot f(v)}。
兩個群 (G, \*) 和 (H, {\displaystyle \odot }) 是同構的如果存在一個群同構。這寫為:

{\displaystyle (G,\*)\cong (H,\odot )}
經常使用簡寫符號。在關於群運算沒有歧義的情況下，可以省略它:

{\displaystyle G\cong H}
有時甚至簡寫為 G = H。這種表示是否引起歧義或混淆依賴於上下文。例如，在這兩個群是同一個群的子群的時候就不適合。參見后面的例子。

反過來說，給定群 (G, \*)、集合 H 和雙射 {\displaystyle f:G\rightarrow H}，我們可以通過定義 {\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u\*v)} 制造一個群 (H, {\displaystyle \odot })。

如果 H = G 并且 {\displaystyle \odot } = \* 則雙射是**自同構**。

例子
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* 實數集帶有加法的群 (\mathbb {R} ,+) 同構於正實數集帶有乘法的群 (\mathbb {R} +,×):

{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}
通過同構

{\displaystyle f(x)=e^{x}\,}
(參見指數函數)。

* 整數集帶有加法的群 \mathbb {Z}  是 \mathbb {R}  的子群，而因子群 \mathbb {R} /\mathbb {Z}  同構於絕對值為 1 的複數組成的乘法群 S^{1}:

{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}
同構給出為

{\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}}
對于所有{\displaystyle x\in \mathbb {R} }。

* 克萊因四元群同構於 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 的兩個復本的直積(參見模算術)，并因此寫為 {\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}\times \mathbb {Z} \_{2}}。另一個符號是 Dih2，因為它是二面體群。

* 如果 (*G*, \*) 是無限循環群，則 (*G*, \*) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。

某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如:

* 群 (\mathbb {R} , +) 同構於所有複數組成的加法群 (\mathbb {C} , +)。
* 非零複數集帶有乘法的群 (\mathbb {C} \*, ·) 同構於上面提及的群 *S*1。

性質
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* 從 (*G*, \*) 到 (*H*, {\displaystyle \odot }) 的同構的核總是 {eG} 這里的 eG 是群 (*G*, \*) 的單位元。

* 如果 (*G*, \*) 同構於 (*H*,{\displaystyle \odot })，并且如果 *G* 是阿貝爾群則 *H* 也是。

* 如果 (*G*, \*) 是同構於 (*H*, {\displaystyle \odot }) 的有限群，這里 *f* 是同構，則如果 *a* 屬于 *G* 并有階 *n*，則 *f(a)* 也是。

* 如果 (*G*, \*) 是同構於 (*H*, {\displaystyle \odot }) 的局部有限群，則 (*H*, {\displaystyle \odot }) 也是局部有限群。

* 前面的例子展示了同構總是保持"群性質"。

推論
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從定義可以得出任何同構 {\displaystyle f:G\rightarrow H} 將映射 G 的單位元到 H 的單位元， 

{\displaystyle f(e\_{G})=e\_{H}}
并且映射逆元到逆元，

{\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}}
和更一般的，*n* 次冪到 *n* 次冪

{\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}}
對於所有 u ∈ G，并且逆映射 {\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G} 也是群同構。

"同構"關係滿足等價關係的所有公理。如果 f 是在兩個群 G 和 H 之間的同構，則關於 G 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 f 轉換成關於 H 的同樣為真的陳述，反之亦然。

自同構
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從群 (G,\*) 到自身的同構叫做這個群的自同構。就是說這是雙射 {\displaystyle f:G\rightarrow G} 使得

{\displaystyle f(u)\*f(v)=f(u\*v)}。
自同構總是映射單位元到自身。共軛類在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。

兩個自同構的復合也是自同構，并且群 G 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群，即 G 的**自同構群**，指示為 Aut(G)。

對于所有阿貝爾群，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是，在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構，比如在克萊因四元群中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構，所以這個自同構群同構於 S3 和 Dih3。

在對於素數 p 的 Zp 中，一個非單位元元素可以被替換為另一個，帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Zp − 1。例如，對于 n = 7，Z7 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個自同構群中的一個 6 階自同構，因為 36 = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z6。這里還有一個自同構有這個性質: Z7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z6 的元素 1 和 5，以這個次序或反過來。

Z6 的自同構群同構於 Z2，因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z6，所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 的自同構群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 23 - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 23 - 22 = 4 個選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個自同構。它們對應於Fano平面的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。

對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構。

非阿貝爾群有非平凡的內自同構群，并可能也有外自同構。

參見
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* 同構基本定理

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