从点A到点B的最速降线是一条摆线。
**最速降線問題**，又稱**最短時間問題**、**最速落徑問題**。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？在部分歐洲語言中，這個問題稱為**Brachistochrone**，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法证明。

歷史
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1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明
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### 约翰·伯努利的证明

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。  

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

v={\sqrt {2gy}},
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。  

通过假设光在光速v在满足:v={\sqrt {2gy}}的傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。  

约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

{\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v\_{m}}},
式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。  

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

1. 在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离*D*后达到了最大速度，则

v\_{m}={\sqrt {2gD}}.
整理折射定律式中的各项并平方得到

v\_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})
可以解得*dx*对*dy*有

dx={\frac {vdy}{{\sqrt {v\_{m}^{2}-v^{2}}}}}.
代入v和vm的表达式得到

dx={\sqrt {{\frac {y}{D-y}}}}dy
这是一个由直径为*D*的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

### 雅各布·伯努利的证明

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。  

如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}.
*dy*不变求微分，得到

2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x
最后整理得到

{\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为*d2x*。对新旧两条路径，改变量为

d^{2}t\_{1}={\frac {1}{v\_{1}}}{\frac {dx\_{1}}{ds\_{1}}}d^{2}x
d^{2}t\_{2}={\frac {1}{v\_{2}}}{\frac {dx\_{2}}{ds\_{2}}}d^{2}x
对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

d^{2}t\_{2}-d^{2}t\_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v\_{2}}}{\frac {dx\_{2}}{ds\_{2}}}-{\frac {1}{v\_{1}}}{\frac {dx\_{1}}{ds\_{1}}}{\bigg )}d^{2}x
因此最短时间的情况为

{\frac {1}{v\_{2}}}{\frac {dx\_{2}}{ds\_{2}}}={\frac {1}{v\_{1}}}{\frac {dx\_{1}}{ds\_{1}}}

最速降線的數學形式與最短時間
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在垂直平面上，自原點\left(\,0,\,0\right)至目的地\left(\,x\_{1},\,y\_{1}\right)的最速降線具有以下數學形式：

x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).
這裡的y座標軸方向向下，且y\_{1}\geq 0；\theta 為此擺線參數表達式的參數，原點處\theta =0。

物體自原點沿最速降線滑至\theta =\theta \_{1}處所需的時間可由以下積分式給出：

t=\int \_{{\theta =0}}^{{\theta =\theta \_{1}}}{\mathrm d}t=\int \_{{\theta =0}}^{{\theta =\theta \_{1}}}{\frac {{\mathrm d}s}{v}}。
利用ds={\sqrt {{\mathrm d}x^{2}+{\mathrm d}y^{2}}}以及v={\sqrt {2gy}}，並以\theta 作為參數，整理後得

{\frac {ds}{v}}={\frac {k}{{\sqrt {2g}}}}{\mathrm d}\theta 
t={\frac {k}{{\sqrt {2g}}}}\theta \_{1}。
自此擺線的參數式中易知y的最大值為k^{2}，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑2r，因此

k={\sqrt {2r}}
t=\theta \_{1}{\sqrt {{\frac {r}{g}}}}。
現假設終點與原點直線距離\ l\ ，且終點對原點的仰角為\phi 。利用此擺線的參數式，可知

l={\sqrt {x\_{1}^{2}+y\_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}
最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺，下滑時間隨俯角增大而縮短。
\tan \phi ={\frac {y\_{1}}{x\_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}
利用l的關係式求出r，並代回下滑時間中，得

t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {{\frac {l}{g}}}}{\frac {\theta }{{\sqrt[ {4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}
綜合上述，討論在\ l\ 已知的情況下，下滑時間t與俯角\phi 的關係為

\left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {{\frac {l}{g}}}}{\frac {\theta }{{\sqrt[ {4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}\right)。

外部連結
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* Brachistochrone Construction：計算兩點之間，質點使用不同路徑所需的時間（Java Applet，（英文））
* 重力下的最快下降曲線[永久]：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
* Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （页面存档备份，存于）：有詳細的公式證明。（英文）

參考資料
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1. ↑ .  [2014-08-10]. （原始内容存档于2020-11-12）.