在量子力學裏，**WKB近似**是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

簡略歷史
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WKB近似以三位物理學家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈罗德·杰弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為**KWB近似**，在法國稱為**BWK近似**，只有在英國稱為**JWKB近似**。

數學概念
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一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數\epsilon \,\!。給予一個微分方程式，形式為

\epsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{{n-1}}y}{dx^{{n-1}}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0\,\!。
假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：

y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\delta ^{n}S\_{n}(x)\right]\,\!。
將這擬設代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取\delta \rightarrow 0\,\!的極限。這樣，就可以從S\_{0}(x)\,\!開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目S\_{n}(x)\,\!。

通常y(x)\,\!的漸近級數會發散。當n\,\!大於某值後，一般項目\delta ^{n}S\_{n}(x)\,\!會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

數學例子
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設想一個二階齊次線性微分方程式

\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!；
其中，Q(x)\neq 0\,\!。

猜想解答的形式為

y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\delta ^{n}S\_{n}(x)\right]\,\!。
將猜想代入微分方程式，可以得到

\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\delta ^{n}S\_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}\delta ^{n}S\_{n}''\right]=Q(x)\,\!。
取\delta \rightarrow 0\,\!的極限，最重要的項目是

{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S\_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!。
我們可以察覺，\delta \,\!必須與\epsilon \,\!成比例。設定\delta =\epsilon \,\!，則\epsilon \,\!的零次冪項目給出

\epsilon ^{0}:\qquad S\_{0}'^{2}=Q(x)\,\!。
我們立刻認出這是程函方程。解答為

S\_{0}(x)=\pm \int \_{{x\_{0}}}^{{x}}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!。
檢查\epsilon \,\!的一次冪項目給出

\epsilon ^{1}:\qquad 2S\_{0}'S\_{1}'+S\_{0}''=0\,\!。
這是一個一維傳輸方程式。解答為

S\_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k\_{1}\,\!；
其中，k\_{1}\,\!是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為S\_{0}\,\!可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：

{\displaystyle y(x)\approx c\_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int \_{x\_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c\_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int \_{x\_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!}。
檢查\epsilon \,\!的更高冪項目（n>2\,\!）可以給出：

2S\_{0}'S\_{n}'+S''\_{{n-1}}+\sum \_{{j=1}}^{{n-1}}S'\_{j}S'\_{{n-j}}=0\,\!。

薛丁格方程式的近似解
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解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：

1. 將波函數重寫為一個指數函數，
2. 將這指數函數代入薛丁格方程式，
3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，
4. 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
5. 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\mathrm {d}}^{2}}{{\mathrm {d}}x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!；
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是質量，x\,\!是坐標，V(x)\,\!是位勢，E\,\!是能量，\psi\,\!是波函數。

稍加編排，重寫為

\hbar ^{2}{\frac {{\mathrm {d}}^{2}}{{\mathrm {d}}x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!。(1)
假設波函數的形式為另外一個函數\phi\,\!的指數（函數\phi\,\!與作用量有很密切的關係）：

\psi (x)=e^{{\phi (x)/\hbar }}\,\!。
代入方程式(1)，

\hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!；(2)
其中，\phi '\,\!表示\phi\,\!隨著x\,\!的導數。

\phi '\,\!可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數A(x)\,\!與B(x)\,\!：

\phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!。
注意到波函數的波幅是{\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!}，相位是\int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!。將\phi '\,\!的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：

\hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!，(3)
\hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!。(4)
### 半經典近似

將A(x)\,\!與B(x)\,\!展開為\hbar\,\!的冪級數：

A(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\hbar ^{n}A\_{n}(x)\,\!，
B(x)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\hbar ^{n}B\_{n}(x)\,\!。
將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。\hbar\,\!的零次冪項目給出：

A\_{0}(x)^{2}-B\_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!，
A\_{0}(x)B\_{0}(x)=0\,\!。
假若波幅變化地足夠慢於相位（A\_{0}(x)\ll B\_{0}(x)\,\!），那麼，我們可以設定

A\_{0}(x)=0\,\!，
B\_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!。
只有當E\geq V(x)\,\!的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，\hbar\,\!的一次冪項目給出：

A\_{0}'+2A\_{0}A\_{1}-2B\_{0}B\_{1}=-2B\_{0}B\_{1}=0\,\!，
B\_{0}'+2A\_{0}B\_{1}+2B\_{0}A\_{1}=B\_{0}'+2B\_{0}A\_{1}=0\,\!。
所以，

B\_{1}=0\,\!，
A\_{1}=-{\frac {B\_{0}'}{2B\_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB\_{0}^{{-1/2}}\,\!。
波函數的波幅是
{\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B\_{0}}}}\,\!}。

定義動量p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!，則波函數的近似為

\psi (x)\approx {\cfrac {C\_{{\pm }}}{{\sqrt {p(x)}}}}e^{{\pm i\int \_{{x\_{0}}}^{x}p(x'){\mathrm {d}}x'/\hbar }}\,\!；(5)
其中，C\_{+}\,\!和C\_{{-}}\,\!是常數，x\_{0}\,\!是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（B\_{0}(x)\ll A\_{0}(x)\,\!），那麼，我們可以設定

A\_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!，
B\_{0}(x)=0\,\!。
只有當V(x)\geq E\,\!的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為

\psi (x)\approx {\frac {C\_{{\pm }}}{{\sqrt {p(x)}}}}e^{{\pm \int \_{{x\_{0}}}^{x}p(x'){\mathrm {d}}x'/\hbar }}\,\!；(6)
其中，p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!。

### 連接公式

顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點E=V(x)\,\!，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定x\_{1}<x<x\_{2}\,\!是經典運動允許區域。在這區域內，E>V(x)\,\!，波函數呈振動形式。其它區域x<x\_{1}\,\!和x\_{2}<x\,\!是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點x\_{2}\,\!附近，將 {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!展開為一個冪級數：

{\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U\_{1}(x-x\_{2})+U\_{2}(x-x\_{2})^{2}+\cdots \,\!}；
其中，U\_{1},\,U\_{2},\,\cdots \,\!是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U\_{1}(x-x\_{2})\psi (x)\,\!}。
這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

{\displaystyle \psi (x)=C\_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U\_{1}}}(x-x\_{2})\right)+C\_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U\_{1}}}(x-x\_{2})\right)\,\!}。
匹配艾里函數和在x<x\_{2}\,\!的波函數，在x\_{2}<x\,\!的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在x\_{2}\,\!附近的**連接公式**（）：

{\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C\_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int \_{x}^{x\_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x\_{2}\\{\cfrac {C\_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int \_{x\_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x\_{2}<x\end{cases}}\,\!} 。
類似地，也可以得到在x\_{1}\,\!附近的連接公式：

{\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C\_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int \_{x}^{x\_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x\_{1}\\{\cfrac {2C\_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int \_{x\_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x\_{1}<x\end{cases}}\,\!} 。
### 量子化規則

在經典運動允許區域x\_{1}<x<x\_{2}\,\!內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

\theta \_{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int \_{{x\_{1}}}^{{x}}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!，
\theta \_{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int \_{x}^{{x\_{2}}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!，
\alpha =\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}p(x)dx/\hbar \,\!。
那麼，

\alpha =\theta \_{2}-\theta \_{1}-\pi /2\,\!，
-C\_{1}\sin \theta \_{1}=C\_{2}\sin \theta \_{2}=C\_{2}\sin(\theta \_{1}+\alpha +\pi /2)\,\!。
立刻，我們可以認定|C\_{1}|=|C\_{2}|\,\!。匹配相位，假若C\_{1}=C\_{2}\,\!，那麼，

\alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!。
所以，

\alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!。
假若C\_{1}=-C\_{2}\,\!，那麼，

\alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!。
所以，

\alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!。
總結，量子系統必須滿足量子化守則：

{\displaystyle \int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!}。
### 範例

考慮一個量子諧振子系統，一個質量為m\,\!的粒子，運動於諧振位勢V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!；其中，\omega \,\!是角頻率。求算其本徵能級E\_{n}\,\!？

能量為E\,\!的粒子，其運動的古典轉向點x\_{t}\,\!為

E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x\_{t}^{2}\,\!。
所以，

x\_{t}=\pm {\sqrt {{\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}}\,\!。
粒子的動量為

{\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!}。
將這些變量代入量子化守則：

{\displaystyle \int \_{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!}。
經過一番運算，可以得到本徵能量

{\displaystyle E\_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!}。
藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

參閱
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* 微擾理論 (量子力學)
* 量子穿隧效應
* 舊量子論

參考文獻
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### 現代文獻

1. 1 2  Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.

* Liboff, Richard L.. Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5.
* Sakurai, J. J.. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2.
* Bender, Carl; Orszag, Steven.. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X.

### 歷史文獻

* Jeffreys, Harold.. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, **23**: 428–436  [2008-11-19]. （原始内容存档于2013-05-03）.
* Brillouin, Léon.. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 1926, **183**: 24–26.
* Kramers, Hendrik A.. Zeitschrift der Physik. 1926, **39**: 828–840. [永久]
* Wentzel, Gregor.. Zeitschrift der Physik. 1926, **38**: 518–529. [永久]