三角形的内、外角平分线
在平面几何中，**角平分線長公式**是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 \triangle {ABC} 中，\angle A 的内角平分線交对边 BC 于点 D ，外角平分線交直线 BC 于点 E ，则三角形的内、外角平分線的长度为：

{\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}}
{\displaystyle AE={\sqrt {EB\cdot EC-AB\cdot AC}}}
若记 BC 边长为 a ，AC 边长为 b ，AB 边长为 c ，记内角平分線 AD 长为 t\_{a} ，外角平分線 AE 长为 {\displaystyle t\_{a}'} ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为：

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle t\_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}}
{\displaystyle ={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}}
{\displaystyle ={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}} | {\displaystyle t\_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}}
{\displaystyle ={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}}
{\displaystyle ={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}} |

证明
--

三角形ABC以及關於角A的平分線
### 内角平分线长

作 \angle A 的内角平分線交对边 BC 于点 D 。延长 {\displaystyle {\overline {AD}}} 至点 E ，使 {\displaystyle \angle AEB=\angle ACD} 。

{\displaystyle \triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC}
{\displaystyle \triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC}
{\displaystyle AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC}
得内角平分线长公式（i）：

{\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}}
### 外角平分线长

作 \angle A 的外角平分線交直线 BC 于点 D' 。延长 {\displaystyle {\overline {D'A}}} 至点 {\displaystyle E'} ，使 {\displaystyle \angle AE'B=\angle ACD'} 。

{\displaystyle \triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC}
{\displaystyle \triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C}
{\displaystyle AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}
得外角平分线长公式（i）：

{\displaystyle AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}}}
### 推导

根据角平分线定理，有：


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle DB={ac \over b+c},\ DC={ab \over b+c}} | {\displaystyle D'B={ac \over |b-c|},\ D'C={ab \over |b-c|}} |

代入式（i），得到角平分线长公式（ii）：


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle t\_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}} | {\displaystyle t\_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}} |

将余弦公式代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）：


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle t\_{a}={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}} | {\displaystyle t\_{a}'={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}} |

将半角公式代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）：


|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle t\_{a}={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}} | {\displaystyle t\_{a}'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}} |

与其他定理的关系
--------

### 斯图尔特定理

角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 \triangle {ABC} 的任意一边 BC 上的任意一点 D ，有：

{\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {DC \over BC}+AC^{2}\cdot {DB \over BC}-DB\cdot DC}
当点 D 是内角平分线足时，根据角平分线定理，有：

{\displaystyle {AB \over DB}={AC \over DC}={AB+AC \over BC}}
联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。

### 施泰纳-莱穆斯定理

利用角平分線長公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。

{\displaystyle t\_{a}=t\_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}
化简后得到： {\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0}

连乘的其他各项都为正数，从而推出： a-b=0

名称
--

在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。在中国大陆，内角平分線長公式（i）被称为"斯库顿定理"，归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕（英语：）。而在欧美，范斯霍滕定理（英语：）指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。

參見
--

* 中線長公式
* 角平分線定理

参考文献
----

1. 1 2  孙建斌.. 数学教学研究. 1986, (1): 3-6.
2. 1 2 3 4  别列标尔金（俄语：）.. 马忠林 (译). 北京: 高等教育出版社. 1955: 202-204.
3. 1 2  Amarasinghe, G. W. I. S.  (PDF). *Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries*. 2012, **1** (1): 15-27  [2023-06-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-18） （英语）.
4. ↑  Heath, Thomas L.  (PDF) **II**. Cambridge: Cambridge University Press. 1908: 197  [2023-06-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-02-02） （英语）.
5. 1 2 3  Hadamard, Jacques.. Paris: Armand Colin et Cie. 1898: 122-125 （法语）.
6. ↑ . mathvox.com.  [2023-06-24]. （原始内容存档于2023-06-17） （英语）.
7. 1 2  Trigg, Charles W.. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 （英语）.
8. ↑  刘运谊.. 数学教学通讯. 1994, (6): 12+39.
9. ↑  黄家礼.. 北京: 科学普及出版社. 1997: 78. ISBN 7-110-03511-5.
10. ↑  Raymond, Viglione.. *Mathematics Magazine*. 2016, **89** (2): 132 （英语）.