在最优化理論中的**對偶**（duality）或**對偶性原則**（duality principle）是指最佳化問題可以用兩種觀點來看待的理論，兩種觀點分別是「原始問題」（primal problem）及「對偶問題」（dual problem）。對偶問題的解提供了原始問題（假設是最小化問題）的下限，不過一般而言，原始問題和對偶問題的最佳解不相同。兩個最佳解的差距為對偶間隙。若是凸優化問題，對偶間隙也稱為是卡鲁什-库恩-塔克条件。

對偶問題
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一般而言「對偶問題」是指「拉格朗日對偶問題」（Lagrangian dual problem），不過也有其他的對偶問題，例如Wolfe對偶問題（英语：）和Fenchel對偶問題（英语：）。拉格朗日對偶問題是指在最小化問題上加上拉格朗日乘数，也就是在目標函數上加上對應限制條件的非負拉格朗日乘数，再求解可將原目標函數最小的原始變數值。此解會得到以拉格朗日乘数的函數表示的原始變數，稱為是「對偶變數」（dual variables），因此，新的問題就是要衍生對偶變數的限制下（包括非負的限制條件），找到可以使目標函數最大化的對偶變數。

一般而言，給定二個對偶對（英语：）的分隔局部凸空間（英语：） {\displaystyle \left(X,X^{\*}\right)}及{\displaystyle \left(Y,Y^{\*}\right)}，以及函數{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}，可以定義原始問題為找到{\displaystyle {\hat {x}}}使得{\displaystyle f({\hat {x}})=\inf \_{x\in X}f(x).\,}
換句話說，若{\displaystyle {\hat {x}}}存在，{\displaystyle f({\hat {x}})}是函數{\displaystyle f}的最小极值（minimum），也可以得到函數的最大下界（infimum）。

若有限制條件，可以整合到函數{\displaystyle f}中，方式是令{\displaystyle f=f+I\_{\text{constraints}}}，其中{\displaystyle I\_{\mathrm {constraints} }}是在{\displaystyle X}上的適當函數，在限制條件上有最小值0，可以證明{\displaystyle \inf \_{x\in X}{\tilde {f}}(x)=\inf \_{x\ \mathrm {constrained} }f(x)}。後者的條件很明顯，但不一定很方便可以符合示性函数（也就是說，滿足限制條件的{\displaystyle x}，{\displaystyle I\_{\mathrm {constraints} }(x)=0}，在其他情形，{\displaystyle I\_{\mathrm {constraints} }(x)=\infty }）。因此可以將{\displaystyle {\tilde {f}}}延伸為擾動函數（英语：）{\displaystyle F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}使得{\displaystyle F(x,0)={\tilde {f}}(x)}。

對偶間隙就是不等式

{\displaystyle \sup \_{y^{\*}\in Y^{\*}}-F^{\*}(0,y^{\*})\leq \inf \_{x\in X}F(x,0),\,}
左側和右側的差。

其中{\displaystyle F^{\*}}是二個變數的凸共轭，而{\displaystyle \sup }是上确界

線性規劃
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条目：對偶線性規劃
线性规划問題是指损失函数和約束都是線性關係的最优化問題。原始問題中，目標函數是*n*個變數的線性組合，問題有*m*個約束，每一個都有上限，上限由*n*個變數的線性組合表示。其目的是要在滿足限制條件的情形下，最大化目標函數的值。其解是由*n*個值表示的向量，可以讓目標函數有最大值。

在對偶問題中，目標函數是*m*個值的線性組合，這些是原始問題中*m*個限制條件的上下限。有*n*個對偶限制條件，每一個的下限都是由*m*個對偶變數的線性組合所表示。

### 原始問題和對偶問題的關係

針對線性的最佳化問題，在原始問題中每一個符合限制條件的次佳點，都有一個方向（或方向的子空间），可以往目標函數增加的方向移動。若往這類的方向移動，稱為除去候選解（英语：）和一個或多個限制之間的鬆弛量（slack）。候選解中不可行的值即為超過一個或多個限制的值。

在對偶問題中，會將對偶向量和限制條件相乘，這些限制條件會決定原始問題中限制條件的位置。在對偶問題中變動對偶向量類似在原始問題中調整上限。要找到最小的上限。也就是說，要將對偶向量最小化，以移除限制的候選位置和實際最佳解之間的鬆弛量（slack）。對偶向量中的不可行值是指哪些太低的值。這會讓候選解的一個或多個限制條件落在排除實際最佳解的位置。

在线性规划中探討對偶性的方程式中，會對上述直覺有型式化的敘述。

非線性規劃
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非线性规划中的限制條件不一定是線性的，不過許多线性规划的原則還是適用。

為了確保可以簡單的識別非线性规划中的全域最大值，問題一般會要求函數要是凸函數，而且有緊緻的lower level sets。

由此可以看出卡鲁什-库恩-塔克条件的重要性。卡鲁什-库恩-塔克条件可以提供非線性規劃問題中識別局部最佳值的必要條件。也有一些額外的必要條件（約束規範，constraint qualifications）可以用來判斷可能有「最佳解」（是局部最佳解，但不一定是全域最佳解）的方式。

### 強拉格朗日原則：拉格朗日對偶

考慮以下形式的非線性規劃：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{minimize }}&f\_{0}(x)\\{\text{subject to }}&f\_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\ldots ,m\right\}\\&h\_{i}(x)=0,\ i\in \left\{1,\ldots ,p\right\}\end{aligned}}}
其定義域{\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}有非空的內部。其拉格朗日函數{\displaystyle \Lambda :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }定義為

{\displaystyle \Lambda (x,\lambda ,\nu )=f\_{0}(x)+\sum \_{i=1}^{m}\lambda \_{i}f\_{i}(x)+\sum \_{i=1}^{p}\nu \_{i}h\_{i}(x).}
向量{\displaystyle \lambda }和{\displaystyle \nu }是有關此問題的「對偶變數」（dual variables）或拉格朗日乘數向量（Lagrange multiplier vectors）。拉格朗日對偶函數（Lagrange dual function）{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }定義如下

{\displaystyle g(\lambda ,\nu )=\inf \_{x\in {\mathcal {D}}}\Lambda (x,\lambda ,\nu )=\inf \_{x\in {\mathcal {D}}}\left(f\_{0}(x)+\sum \_{i=1}^{m}\lambda \_{i}f\_{i}(x)+\sum \_{i=1}^{p}\nu \_{i}h\_{i}(x)\right).}
對偶函數*g*是凹函數，就算初始問題不是凸也會如此，因為是仿射函數的點狀最大下界。對偶函數提供初始問題最佳值{\displaystyle p^{\*}}的下界：針對任意{\displaystyle \lambda \geq 0}及任意{\displaystyle \nu }，可以得到{\displaystyle g(\lambda ,\nu )\leq p^{\*}}。

若滿足約束規範（例如斯萊特條件（英语：）），且原問題是凸，則可以得到強對偶（英语：）{\displaystyle d^{\*}=\max \_{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=\inf f\_{0}=p^{\*}}。

### 凸問題

針對有不等式限制的凸最小化問題

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g\_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}
拉格朗日對偶問題為

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximize} }}&&\inf \_{x}\left(f(x)+\sum \_{j=1}^{m}u\_{j}g\_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u\_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}
其中目標函數是拉格朗日對偶函數。假設函數{\displaystyle f} and {\displaystyle g\_{1},\ldots ,g\_{m}} 連續可微，最大下界出現在梯度等於零的位置。問題 

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum \_{j=1}^{m}u\_{j}g\_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum \_{j=1}^{m}u\_{j}\,\nabla g\_{j}(x)=0\\&&&u\_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}
稱為Wolfe對偶問題。此問題用計算的方式處理可能會很困難，因為目標函數在聯合變數{\displaystyle (u,x)}上不是凹。而且，一般而言，等式的限制條件{\displaystyle \nabla f(x)+\sum \_{j=1}^{m}u\_{j}\,\nabla g\_{j}(x)}也是非線性的，因此Wolfe對偶問題一般而言會不會是凸最佳化問題。不論如何，弱對偶（英语：）會成立。

歷史
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依照喬治·伯納德·丹齊格所述，在丹齊格提出了線性規劃問題後，约翰·冯·诺伊曼就提出了線性規劃的對偶性定理的猜想。冯·诺伊曼注意到他使用了來自其博弈论中的資訊，並且猜想兩人零和的矩陣博弈和線性規劃等效。嚴謹的證明最早是由阿尔伯特·塔克和其團隊發表（丹齊格在Nering和塔克1993年著作中的前言）

相關條目
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* 凸共轭
* 对偶 (数学)
* Relaxation (近似)（英语：）

腳註
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3. ↑  Csetnek, Ernö Robert.. Logos Verlag Berlin GmbH. 2010. ISBN 978-3-8325-2503-3.
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5. ↑  Geoffrion, Arthur M.. SIAM Review. 1971, **13** (1): 1–37. JSTOR 2028848. doi:10.1137/1013001.

參考資料
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### 書籍

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* Duality in Linear Programming （页面存档备份，存于） Gary D. Knott