**古德斯坦定理**是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在 1944 年由魯本·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（{\displaystyle {\mathsf {Cons(PA)}}}）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε0-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是柏麗斯–哈靈頓定理。

勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的**九頭蛇遊戲**，其行為類似古德斯坦序列：「九頭蛇」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管赫拉克勒斯使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的。

以*n*為基底的瓜瓞式基底表示法
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古德斯坦序列是由一種「以*n*為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 *n* 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 *n* 進位表示法，*n* 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 *m* 則被改寫為一些由 *n* 的冪次的乘積的相加之和：

{\displaystyle m=a\_{k}n^{k}+a\_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a\_{0},}
其中，每個係數 *ai* 滿足0 ≤ *ai* < *n*，且*ak* ≠ 0。如在 2 進位中，

{\displaystyle 35=32+2+1=2^{5}+2^{1}+2^{0}.}
所以， 35 的二進位是 100011（25 + 2 + 1）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:

{\displaystyle 100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.}
然而需注意的是，這些指數仍非是基於 *n* 的表述法。如上述表示式中的 25 和 34 。

將一個 *n* 進位表示轉換為瓜瓞式*n*基底表示法，首先要將每個指數改為 *n* 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 *n* 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 *n* 為基底的瓜瓞式表示法為：

{\displaystyle 35=2^{2^{2}+1}+2+1,}
(5 = 22 + 1.) 。類似的，以*3*為基底的瓜瓞式表示法的 100 為

{\displaystyle 100=3^{3+1}+2\cdot 3^{2}+1.}

古德斯坦序列
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古德斯坦序列 *G*(*m*) 是一個自然數的序列。第一項為 *m* 本身。第二項則是先將 *m* 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 (*n* + 1) 項的 *G*(*m*)(*n* + 1) 為：

* 將 *G*(*m*)(*n*) 轉為以 *n* + 1 為基底的瓜瓞式表示法。
* 將所有的 *n* + 1 改為 *n* + 2 。
* 減 1。
* 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 *G*(3) 結束於第 6 步：

| 基底 | 瓜瓞式表示法 | 值 | 註記 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | {\displaystyle 2^{1}+1} | 3 | 以 2 為基底改寫 3。 |
| 3 | {\displaystyle 3^{1}+1-1=3^{1}} | 3 | 將 2 改為 3，再減 1。 |
| 4 | {\displaystyle 4^{1}-1=3} | 3 | 將 3 改為 4，再減 1。此時已無任何 4 了。 |
| 5 | {\displaystyle 3-1=2} | 2 | 沒有 4 需要改為 5。單純減 1。 |
| 6 | {\displaystyle 2-1=1} | 1 | 沒有 5 需要改為 6。單純減 1。 |
| 7 | {\displaystyle 1-1=0} | 0 | 沒有 6 需要改為 7。單純減 1。 |

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 *G*(4) A056193 開始如下：

| 瓜瓞式表示法 | 值 |
| --- | --- |
| {\displaystyle 2^{2}} | 4 |
| {\displaystyle 3^{3}-1=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2} | 26 |
| {\displaystyle 2\cdot 4^{2}+2\cdot 4+1} | 41 |
| {\displaystyle 2\cdot 5^{2}+2\cdot 5} | 60 |
| {\displaystyle 2\cdot 6^{2}+2\cdot 6-1=2\cdot 6^{2}+6+5} | 83 |
| {\displaystyle 2\cdot 7^{2}+7+4} | 109 |
| \vdots  | \vdots  |
| {\displaystyle 2\cdot 11^{2}+11} | 253 |
| {\displaystyle 2\cdot 12^{2}+12-1=2\cdot 12^{2}+11} | 299 |
| \vdots  | \vdots  |
| {\displaystyle 2\cdot 24^{2}-1=24^{2}+24\cdot 23+23} | 1151 |

*G*(4) 會一直遞增，直到基底為 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}} 時，會達到最大值 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1} ，並在這裡停留 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}} 步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1}。（有趣的是，這是個胡道爾數：{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1=402\,653\,184\cdot 2^{402\,653\,184}-1}。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。[來源請求]）

不過，*G*(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。*G*(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

| 瓜瓞式表示法 | 值 |
| --- | --- |
| {\displaystyle 2^{2^{2}}+2+1} | 19 |
| {\displaystyle 3^{3^{3}}+3} | 7012762559748499000♠7625597484990 |
| {\displaystyle 4^{4^{4}}+3} | {\displaystyle \approx 1.3\times 10^{154}} |
| {\displaystyle 5^{5^{5}}+2} | {\displaystyle \approx 1.8\times 10^{2184}} |
| {\displaystyle 6^{6^{6}}+1} | {\displaystyle \approx 2.6\times 10^{36\,305}} |
| {\displaystyle 7^{7^{7}}} | {\displaystyle \approx 3.8\times 10^{695\,974}} |
| {\displaystyle 8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7)}}
{\displaystyle +7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+6)}+\cdots }
{\displaystyle +7\cdot 8^{(8+2)}+7\cdot 8^{(8+1)}+7\cdot 8^{8}}
{\displaystyle +7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}}
{\displaystyle +7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7} | {\displaystyle \approx 6\times 10^{15\,151\,335}} |
| {\displaystyle 7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+7)}}
{\displaystyle +7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6)}+\cdots }
{\displaystyle +7\cdot 9^{(9+2)}+7\cdot 9^{(9+1)}+7\cdot 9^{9}}
{\displaystyle +7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}}
{\displaystyle +7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6} | {\displaystyle \approx 4.3\times 10^{369\,693\,099}} |
| \vdots  | \vdots  |

儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，**每個古德斯坦最終會終止於 0**。

證明
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古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下：
對於每個給定的古德斯坦序列 *G*(*m*) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 *P*(*m*) ，而且是嚴格遞減和終止。所以*G*(*m*) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 *G*(*m*) 達到 0 是「因為」它被 *P*(*m*) 所支配。事實是，*P*(*m*) 對支配 *G*(*m*) 毫無作用。其重點在於： *G*(*m*)(*k*) 存在當且僅當 *P*(*m*)(*k*) 存在。於是，如果 *P*(*m*) 終止，則 *G*(*m*) 也如此。而 *G*(*m*) 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 *f*(*x*)，將 *x* 改為以*k*為基底的表示法，並將每個 *k* 換成第一個無窮序数 ω。
而序列 *P*(*m*) 中的每一項 *P*(*m*)(*n*) 則定義為 *f*(*G*(*m*)(*n*),*n+1*)。譬如，*G*(3)(1) = 3 = 21 + 20 和 *P*(3)(1) = *f*(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明 {\displaystyle f(G(m)(n),n+1)>f(G(m)(n+1),n+2)} 。在古德斯坦序列中，將 *G*(*m*)(*n*) 改換基底後，將其記為 {\displaystyle G'(m)(n)} 。明顯的，{\displaystyle f(G(m)(n),n+1)=f(G'(m)(n),n+2)} ，現在我們套用 *-1* 運算後，因為 {\displaystyle G'(m)(n)=G(m)(n+1)+1}，所以 {\displaystyle f(G'(m)(n),n+2)>f(G(m)(n+1),n+2)}。

譬如， {\displaystyle G(4)(1)=2^{2}} 乃 {\displaystyle G(4,2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}，所以 {\displaystyle f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }} 和 {\displaystyle f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=2\omega ^{2}+2\omega +2} 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 *f(G(m)(n),n+1)* ，我們要先將 *G*(*m*)(*n*) 改為以 *n*+1 為基底的表示法。所以如 {\displaystyle \omega ^{\omega }-1} 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 \omega ^{\omega } 。

*P*(*m*) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基关系，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但*P*(*m*)(*n*) 是由 *G*(*m*)(*n*) 計算出來的。 *G*(*m*)(*n*) 也必然停止，這意味著它會達到 0 。

雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理 （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的可數非標準模型（英语：）。

擴展的古德斯坦定理
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假設古德斯坦定理的定義中的「將*b*改為*b*+1」的這個動作，將它改為 *b*+2，那麼這個序列會終止嗎？
更一般地，讓 *b*1, *b*2, *b*3, … 為任意整數列，然後讓第 *n*+1 項的 *G*(*m*)(*n*+1) 變成：
將 *G*(*m*)(*n*) 改為 *bn* 的表示法，將 *bn* 改為 *b**n*+1 再減 1 。
我們仍可斷言這個序列仍會終止。
擴展的證明則將 *P*(*m*)(*n*) = *f*(*G*(*m*)(*n*), *n*) 定義為如下：
將 *G*(*m*)(*n*) 改為 *bn* 表示法，再將所有的 *bn* 改為第一個無限序数 ω。
古德斯坦序列中，從*G*(*m*)(*n*)到*G*(*m*)(*n*+1)的換底運算並不會改變 *f* 的值。
譬如，如果 *bn* = 4 且 *b**n*+1 = 9，
則
{\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)=3\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega =f(3\cdot 9^{9^{9}}+9,9)}。因此，序數 {\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)} 是
嚴格大於序數 {\displaystyle f((3\cdot 9^{9^{9}}+9)-1,9)}。

起始點為變量的序列長度函數
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**古德斯坦函數** {\displaystyle {\mathcal {G}}(n)} 定義為由 *n* 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定 {\displaystyle {\mathcal {G}}} 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如Hardy hierarchy（英语：） 中的 {\displaystyle H\_{\alpha }} 函數，和 Löb and Wainer 的 高成長體系（英语：） {\displaystyle f\_{\alpha }} 函數。

* Kirby and Paris (1982) 證明

{\displaystyle {\mathcal {G}}} 有著和 {\displaystyle H\_{\epsilon \_{0}}} 近似的成長速度（等同於 {\displaystyle f\_{\epsilon \_{0}}}）; 更精確地說，對每個 {\displaystyle \alpha <\epsilon \_{0}}，{\displaystyle {\mathcal {G}}} 控制 {\displaystyle H\_{\alpha }}，且 {\displaystyle H\_{\epsilon \_{0}}} 控制 {\displaystyle {\mathcal {G}}\,\!}。
(對兩個函數 {\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }，我們說 f **控制** g 是指，如果對於所有足夠大的 n ，都有 {\displaystyle f(n)>g(n)}。）
* Cichon (1983) 證明

{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=H\_{R\_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,}
其中 {\displaystyle R\_{2}^{\omega }(n)} 是將 *n* 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。
* Caicedo (2007) 證明如果 {\displaystyle n=2^{m\_{1}}+2^{m\_{2}}+\cdots +2^{m\_{k}}} 且有 {\displaystyle m\_{1}>m\_{2}>\cdots >m\_{k},} then

{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=f\_{R\_{2}^{\omega }(m\_{1})}(f\_{R\_{2}^{\omega }(m\_{2})}(\cdots (f\_{R\_{2}^{\omega }(m\_{k})}(3))\cdots ))-2}.
一些例子如下：

| n | {\displaystyle {\mathcal {G}}(n)} |
| --- | --- |
| 1 | 2^{0} | {\displaystyle 2-1} | {\displaystyle H\_{\omega }(1)-1} | {\displaystyle f\_{0}(3)-2} | 2 |
| 2 | 2^{1} | {\displaystyle 2^{1}+1-1} | {\displaystyle H\_{\omega +1}(1)-1} | {\displaystyle f\_{1}(3)-2} | 4 |
| 3 | {\displaystyle 2^{1}+2^{0}} | {\displaystyle 2^{2}-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega }}(1)-1} | {\displaystyle f\_{1}(f\_{0}(3))-2} | 6 |
| 4 | 2^{2} | {\displaystyle 2^{2}+1-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega }+1}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega }(3)-2} | 3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694 |
| 5 | {\displaystyle 2^{2}+2^{0}} | {\displaystyle 2^{2}+2-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega }+\omega }(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega }(f\_{0}(3))-2} | > A(4,4)>{\displaystyle {10^{10^{10^{19728}}}}} |
| 6 | {\displaystyle 2^{2}+2^{1}} | {\displaystyle 2^{2}+2+1-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega }+\omega +1}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega }(f\_{1}(3))-2} | > *A*(6,6) |
| 7 | {\displaystyle 2^{2}+2^{1}+2^{0}} | {\displaystyle 2^{2+1}-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega +1}}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega }(f\_{1}(f\_{0}(3)))-2} | > *A*(8,8) |
| 8 | {\displaystyle 2^{2+1}} | {\displaystyle 2^{2+1}+1-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega +1}+1}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega +1}(3)-2} | > *A*3(3,3) = *A*(*A*(61, 61), *A*(61, 61)) |
| \vdots  |
| 12 | {\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}} | {\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}+1-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }+1}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega +1}(f\_{\omega }(3))-2} | > *f*ω+1(64) > 葛立恆數 |
| \vdots  |
| 19 | {\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{1}+2^{0}} | {\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{2}-1} | {\displaystyle H\_{\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }}(1)-1} | {\displaystyle f\_{\omega ^{\omega }}(f\_{1}(f\_{0}(3)))-2} |  |
|

（對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考高成長體系（英语：）。）

可計算函數的應用
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古德斯坦定理可用於構造一個全可计算函数，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。图灵机可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 *n* 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

另見
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* Non-standard model of arithmetic（英语：）
* 高成長體系（英语：）
* Paris–Harrington theorem（英语：）
* Kanamori–McAloon theorem（英语：）
* Kruskal's tree theorem

参考资料
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1. 1 2 3  Kirby, L.; Paris, J.  (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 1982, **14** (4): 285  [2019-02-20]. CiteSeerX 10.1.1.107.3303 可免费查阅. doi:10.1112/blms/14.4.285. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-16）.

Bibliography
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* Goodstein, R. Journal of Symbolic Logic, 1944, **9** (2): 33–41, JSTOR 2268019, doi:10.2307/2268019 .
* Cichon, E. Proceedings of the American Mathematical Society, 1983, **87** (4): 704–706, JSTOR 2043364, doi:10.2307/2043364 .
* Caicedo, A.  (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 2007, **41** (2): 381–391  [2019-02-20], （原始内容存档 (PDF)于2011-10-09） .

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller（页面存档备份，存于）
* A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
* Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot （页面存档备份，存于）
* The Hydra game implemented as a Java applet （页面存档备份，存于）
* Javascript implementation of a variant of the Hydra game （页面存档备份，存于）
* Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity（页面存档备份，存于） - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。