**提示**：此条目的主题不是**协变与逆变**。 
在數學裏，**反變**（contravariant，也稱**逆變**）和**共變**（covariant，也稱**協變**）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。

轉換方式
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### 向量：反變轉換

* 標記法說明：向量 \mathbf{v}\,\! 是向量空間 V\,\! 的元素。向量基底 {\mathbf {e}}\_{1},{\mathbf {e}}\_{2},...{\mathbf {e}}\_{n}\,\! 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為{\displaystyle x^{1},x^{2},...x^{n}\,\!}。對應這個基底，向量\mathbf{v}\,\!的分量為v^{1},v^{2},...v^{n}\,\!，即{\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum \_{i}v^{i}\mathbf {e} \_{i}}。

（註：v^{2}\,\! 這符號中的上標2不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 {\displaystyle v\_{2}\,\!} ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間V有另一個基底{\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}\_{1},...{\bar {\mathbf {e} }}\_{n}\,\!}，其座標系統為{\displaystyle {\bar {x}}^{1},...{\bar {x}}^{n}\,\!}。對應這個基底，\mathbf{v}\,\! 有分量 {\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...{\bar {v}}^{n}\,\!，即{\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum \_{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}\_{i}}。

對於1...n之間任意整數 \mu \,\! ，我們知道 {\bar {v}}^{{\mu }}\,\! 和 v^{1},v^{2},...v^{n}\,\! 的關係：

{\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!}。
使用愛因斯坦求和約定可寫成：

{\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!} 。
### 餘向量：共變轉換

假設對偶空間V^\*有兩個基底 {\displaystyle {\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...\mathbf {dx} ^{n}}\,\!}跟{\displaystyle \mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!} 。

假設{\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{\*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum \_{i}\mathbf {\eta } \_{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum \_{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}\_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}}。
則對於1...n之間其中一個特定的整數 \mu \,\! ，我們知道 {\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}\_{\mu }\,\!} 和 {\displaystyle \mathbf {\eta } \_{1},\mathbf {\eta } \_{2},...\mathbf {\eta } \_{n}\,\!} 的關係：

{\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}\_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } \_{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } \_{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } \_{n}\,\!} 。
或使用愛因斯坦求和約定寫成：

{\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}\_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } \_{i}\,\!} 。

向量的共變分量和反變分量
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在歐幾里得空間 V\,\! 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 {\mathbf {w}}\,\! ，通過下述方程式，向量 \mathbf{v}\,\! 和線性泛函 \alpha ({\mathbf {w}})\,\! ，唯一地確定了餘向量 {\mathbf {w}}\,\! ：

\alpha ({\mathbf {w}})={\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}\,\! 。
逆過來，通過上述方程式，線性泛函 \alpha ({\mathbf {w}})\,\! 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 \mathbf{v}\,\! 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 V\,\! 的一個基底 {\mathfrak {f}}=(X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{n})\,\! ，則必存在一個唯一的對偶基底 {\mathfrak {f}}^{{\sharp }}=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\! ，滿足

Y^{i}\cdot X\_{j}=\delta \_{j}^{i}\,\! ；
其中，\delta \_{j}^{i}\,\! 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 \mathbf{v}\,\! 可以寫為兩種形式

{\begin{aligned}v&=\sum \_{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X\_{i}={\mathfrak {f}}\,{\mathbf {v}}[{\mathfrak {f}}]\\&=\sum \_{i}v\_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,{\mathbf {v}}[{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\! ；
其中，v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 {\mathfrak {f}}\,\! 的反變分量，v\_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 {\mathfrak {f}}\,\! 的共變分量，

### 歐幾里得空間

將向量 {\mathbf {a}}\,\! 投影於坐標軸 {\mathbf {e}}^{i}\,\! ，可以求得其反變分量 a^{i}\,\! ；將向量 {\mathbf {a}}\,\! 投影於坐標曲面的法線 {\mathbf {e}}\_{i}\,\! ，可以求得其共變分量 a\_{i}\,\! 。
在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 {\mathbf {e}}\_{1}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{2}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{3}\,\! ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

{\mathbf {e}}^{1}={\frac {{\mathbf {e}}\_{2}\times {\mathbf {e}}\_{3}}{\tau }};\qquad {\mathbf {e}}^{2}={\frac {{\mathbf {e}}\_{3}\times {\mathbf {e}}\_{1}}{\tau }};\qquad {\mathbf {e}}^{3}={\frac {{\mathbf {e}}\_{1}\times {\mathbf {e}}\_{2}}{\tau }}\,\! ；
其中，\tau ={\mathbf {e}}\_{1}\cdot ({\mathbf {e}}\_{2}\times {\mathbf {e}}\_{3})\,\! 是三個基底向量 {\mathbf {e}}\_{1}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{2}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{3}\,\! 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

{\mathbf {e}}\_{1}={\frac {{\mathbf {e}}^{2}\times {\mathbf {e}}^{3}}{\tau '}};\qquad {\mathbf {e}}\_{2}={\frac {{\mathbf {e}}^{3}\times {\mathbf {e}}^{1}}{\tau '}};\qquad {\mathbf {e}}\_{3}={\frac {{\mathbf {e}}^{1}\times {\mathbf {e}}^{2}}{\tau '}}\,\! ；
其中，\tau '={\mathbf {e}}^{1}\cdot ({\mathbf {e}}^{2}\times {\mathbf {e}}^{3})=1/\tau \,\! 是三個基底向量 {\mathbf {e}}^{1}\,\! 、{\mathbf {e}}^{2}\,\! 、{\mathbf {e}}^{3}\,\! 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 {\mathbf {e}}\_{i}\,\! 與 {\mathbf {e}}^{j}\,\! 並不相互標準正交，它們相互對偶：

{\mathbf {e}}\_{i}\cdot {\mathbf {e}}^{j}=\delta \_{i}^{j}\,\! 。
這樣，任意向量 {\mathbf {a}}\,\! 的反變坐標為

a^{1}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{1};\qquad a^{2}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{2};\qquad a^{3}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{3}\,\! 。
類似地，共變坐標為

a\_{1}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{1};\qquad a\_{2}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{2};\qquad a\_{3}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{3}\,\! 。
這樣， {\mathbf {a}}\,\! 可以表達為

{\mathbf {a}}=a\_{i}{\mathbf {e}}^{i}=a\_{1}{\mathbf {e}}^{1}+a\_{2}{\mathbf {e}}^{2}+a\_{3}{\mathbf {e}}^{3}\,\! ，
或者，

{\mathbf {a}}=a^{i}{\mathbf {e}}\_{i}=a^{1}{\mathbf {e}}\_{1}+a^{2}{\mathbf {e}}\_{2}+a^{3}{\mathbf {e}}\_{3}\,\! 。
綜合上述關係式，

{\mathbf {a}}=({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}){\mathbf {e}}^{i}=({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{i}){\mathbf {e}}\_{i}\,\! 。
向量 {\mathbf {a}}\,\! 的共變坐標為

a\_{i}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}=(a^{j}{\mathbf {e}}\_{j})\cdot {\mathbf {e}}\_{i}=({\mathbf {e}}\_{j}\cdot {\mathbf {e}}\_{i})a^{j}=g\_{{ji}}a^{j}\,\! ；
其中，g\_{{ji}}={\mathbf {e}}\_{j}\cdot {\mathbf {e}}\_{i}\,\! 是度規張量。

向量 {\mathbf {a}}\,\! 的反變坐標為

a^{i}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {e}}^{i}=(a\_{j}{\mathbf {e}}^{j})\cdot {\mathbf {e}}^{i}=({\mathbf {e}}^{j}\cdot {\mathbf {e}}^{i})a\_{j}=g^{{ji}}a\_{j}\,\! ;
其中，g^{{ji}}={\mathbf {e}}^{j}\cdot {\mathbf {e}}^{i}\,\! 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用
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根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。

参考来源
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1. ↑  Goldstein, Herbert,  3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）