皮埃爾·德·費馬
**費馬原理**（Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为**平稳**的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述
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光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。光線從點Q傳播至點O時，會被混合形狀鏡子反射，最終抵達點P。光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。
費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。

* 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
* 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
* 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
* 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光的反射
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### 平面反射

光在平面上的反射
平面反射的光程
光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 {\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}

Q 点 到 x 点的距离 {\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}

從點P到點Q的光程 D 為

{\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}} 。
根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 {\displaystyle D} 對 {\displaystyle x} 的導數，令其為零：

{\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}{\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0} 。
但其中

{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta \_{1}}

  

{\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta \_{2}} 。

即

{\displaystyle \sin \theta \_{1}-\sin \theta \_{2}=0}
{\displaystyle \theta \_{1}=\theta \_{2}}
这就是反射定律

### 半球面反射


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| 光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。 |
| R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R |

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程{\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}

因{\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}};

所以

{\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}

根据费马原理， D'=0

{\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}

解之， 得 {\displaystyle x=0}，代入D得到：

光程{\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R}，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

光的折射
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光線從介質１的點Q，在點Ｏ傳播進入介質２，發生折射，最後抵達介質２的點P。
如右圖所示，設定介質１、介質２的折射率分別為 {\displaystyle n\_{1}} 、{\displaystyle n\_{2}} ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為

{\displaystyle n\_{1}\sin \theta \_{1}=n\_{2}\sin \theta \_{2}} ；
其中，{\displaystyle \theta \_{1}} 為入射角，{\displaystyle \theta \_{2}} 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質１與介質２的速度 {\displaystyle v\_{1}} 和 {\displaystyle v\_{2}} 分別為

{\displaystyle v\_{1}=c/n\_{1}} 、
{\displaystyle v\_{2}=c/n\_{2}} ；
其中，{\displaystyle c} 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 {\displaystyle n\_{1}} 和 {\displaystyle n\_{2}} 都大於 {\displaystyle 1} 。

從點Q到點P的傳播時間 {\displaystyle T} 為

{\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v\_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v\_{2}}}} 。
根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 {\displaystyle T} 對 {\displaystyle x} 的導數，設定其為零：

{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v\_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v\_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0} 。
其中
{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta \_{1}}

{\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta \_{2}}

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta \_{1}}{v\_{1}}}-{\frac {\sin \theta \_{2}}{v\_{2}}}=0} 。
將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

{\displaystyle n\_{1}\sin \theta \_{1}=n\_{2}\sin \theta \_{2}} 。

运动学
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条目：最速降线问题
伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

參閱
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* 费马
* 哈密顿原理
* 最小作用量原理
* 路径积分表述
* 惠更斯－菲涅耳原理

參考文獻
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1. 1 2  Hecht, Eugene,  4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Dugas, R. New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑   （页面存档备份，存于） 复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛，果壳网。

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* 论
* 编
皮埃爾·德·費馬 |
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| 成就 | 
* 费马大定理
* 費馬數
* 費馬原理
* 费马小定理
* 费马多边形数定理
* 费马伪
* 費馬點
* 费马引理
* 费马平方和定理
* 费马螺线
* 費馬直角三角形定理（英语：）

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| 相關 | 
* 以皮埃爾·德·費馬命名的事物列表（英语：）
* 懷爾斯對費馬大定理的證明（英语：）
* 流行作品中的費馬大定理（英语：）
* 費馬獎
* 《費馬的最後探戈（英语：）》（2000年音樂劇）
* 《費馬大定理（英语：）》（科普書籍）

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