在***R**2*中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。

在线性代数中，**基**（英文：basis，又称**基底**) 是向量空间裡某一群特殊的向量（称为**基向量**），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。

通过基底可以直接地描述向量空间 {\displaystyle \mathrm {V} } 上定义的线性映射 {\displaystyle f} ，詳請參見线性映射#矩阵一節。

定义
--

為了記號表示方便，這裡仿造數列级数定義一個"向量序列的級數"：

**定義** — 對於向量序列 {\displaystyle {\{v\_{i}\in V\}}\_{i\in \mathbb {N} }} ，根據集合论和数学归纳法，存在一個向量序列 {\displaystyle {\{s\_{i}\in V\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 滿足

* {\displaystyle s\_{0}=v\_{0}}
* 對所有的 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 有 {\displaystyle s\_{i+1}=s\_{i}+v\_{i}}

{\displaystyle {\left\{s\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 稱為 {\displaystyle {\left\{v\_{i}\right\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 的**級數**

通常會仿造數列級數而把上面定義的 {\displaystyle s\_{i}} 寫為

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{i}v\_{k}}
或更直觀的

{\displaystyle v\_{0}+v\_{1}+\cdots +v\_{i}}
### Hamel基

**Hamel基的定義** — {\displaystyle \mathrm {V} } 是定义在域 {\displaystyle K}（也就是标量的母空間，如实数系 {\displaystyle \mathbb {R} } 或复数系 {\displaystyle \mathbb {C} }）上的向量空间，如果 {\displaystyle \mathrm {V} } 的子集 {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 满足：

1. {\displaystyle 0\_{V}\notin {\mathfrak {B}}} （也就是零向量不會在 {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 裡）
2. 若 {\displaystyle v\in \mathrm {V} } 且 {\displaystyle v\neq 0\_{V}}，則存在唯一的一組相異向量 {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\,\ldots ,\,e\_{n}\in {\mathfrak {B}}} 和唯一的一組**非零**标量 {\displaystyle \lambda \_{1},\,\lambda \_{2},\,\ldots ,\,\lambda \_{n}\in K} 使得 {\displaystyle \lambda \_{1}\cdot e\_{1}+\lambda \_{2}\cdot e\_{2}+\cdots +\lambda \_{n}\cdot e\_{n}=v} 。

则稱 {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空间 {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组**Hamel基**。{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 裡的元素被稱為**基向量** ，若基向量的總數是有限個，{\displaystyle {\mathfrak {B}}} 則會被稱為**有限基**或直接簡稱為**基**。

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

|  |  |
| --- | --- |
| 线性无关(linear independence) | 對任意相異的{\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\,\ldots ,\,e\_{n}\in {\mathfrak {B}}} 和任意的 {\displaystyle \lambda \_{1},\,\lambda \_{2},\,\ldots ,\,\lambda \_{n}\in K}，若 {\displaystyle \lambda \_{1}\cdot e\_{1}+\lambda \_{2}\cdot e\_{2}+\cdots +\lambda \_{n}\cdot e\_{n}=0\_{V}}，则{\displaystyle \lambda \_{1}=\lambda \_{2}=\ldots =\lambda \_{n}=0\_{K}} |
| 生成律(spanning property) | 对任意{\displaystyle v\in \mathrm {V} }，存在相異向量 {\displaystyle e\_{1},\,e\_{2},\,\ldots ,\,e\_{n}\in {\mathfrak {B}}}和标量 {\displaystyle \lambda \_{1},\,\lambda \_{2},\,\ldots ,\,\lambda \_{n}\in K} 使得 {\displaystyle \lambda \_{1}e\_{1}+\lambda \_{2}e\_{2}+\cdots +\lambda \_{n}e\_{n}=v} |

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 {\displaystyle E\_{1},\,E\_{2},\,\ldots ,\,E\_{m}\in {\mathfrak {B}}} 基向量和第二組标量 {\displaystyle c\_{1},\,c\_{2},\,\ldots ,\,c\_{m}\in K} 也滿足 {\displaystyle c\_{1}\cdot E\_{1}+c\_{2}\cdot E\_{2}+\cdots +c\_{m}\cdot E\_{m}=v} 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 {\displaystyle w\_{1},\,w\_{2},\,\ldots ,\,w\_{l}\in {\mathfrak {B}}} ，其他不重複的部分，第一組的記為 {\displaystyle v\_{1},\,v\_{2},\,\ldots ,\,v\_{n-l}\in {\mathfrak {B}}} ；而第二組的記為 {\displaystyle u\_{1},\,u\_{2},\,\ldots ,\,u\_{m-l}\in {\mathfrak {B}}} ；然後設 {\displaystyle w\_{1},\,w\_{2},\,\ldots ,\,w\_{l}\in {\mathfrak {B}}} 於原來第一組對應的标量係數是 {\displaystyle \alpha \_{1},\,\alpha \_{2},\,\ldots ,\,\alpha \_{l}\in K} ；原第二組則是對應 {\displaystyle a\_{1},\,a\_{2},\,\ldots ,\,a\_{l}\in K} 。另外 {\displaystyle v\_{1},\,v\_{2},\,\ldots ,\,v\_{n-l}\in {\mathfrak {B}}} 對應的标量係數則為 {\displaystyle \beta \_{1},\,\beta \_{2},\,\ldots ,\,\beta \_{n-l}\in K} ；{\displaystyle u\_{1},\,u\_{2},\,\ldots ,\,u\_{m-l}\in {\mathfrak {B}}} 對應的标量係數則為 {\displaystyle b\_{1},\,b\_{2},\,\ldots ,\,b\_{m-l}\in K} ； 這樣把 {\displaystyle v\in \mathrm {V} } 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{l}(\alpha \_{i}-a\_{i})\cdot w\_{i}+\sum \_{j=1}^{n-l}\beta \_{j}\cdot v\_{j}+\sum \_{k=1}^{m-l}(-b\_{k})\cdot u\_{k}=0\_{V}}
這樣依據線性無關，就有

{\displaystyle \alpha \_{1}-a\_{1}=\alpha \_{2}-a\_{2}=\cdots =\alpha \_{l}-a\_{l}=0\_{K}}
{\displaystyle \beta \_{1}=\beta \_{2}=\cdots =\beta \_{n-l}=0\_{K}}
{\displaystyle b\_{1}=b\_{2}=\cdots =b\_{m-l}=0\_{K}}
這就確保任意 {\displaystyle v\in \mathrm {V} } 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

### Schauder基

除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

**Schauder基的定義** — {\displaystyle \mathrm {V} } 是定义在域 {\displaystyle K} 上的巴拿赫空间（范数記為{\displaystyle \|v\|}），若向量序列 {\displaystyle {\{e\_{i}\in V\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 滿足：

* 對所有自然数 {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，{\displaystyle e\_{i}\neq 0\_{V}} （也就是零向量不會在 {\displaystyle {\{e\_{i}\in V\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 裡）
* 對每個 {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，都存在唯一組标量{\displaystyle {\{\lambda \_{i}\in K\}}\_{i\in \mathbb {N} }}，使得對所有的 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}} 使得 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 且 {\displaystyle n>m} 則 {\displaystyle \left\|\sum \_{i=0}^{n}\lambda \_{i}\cdot e\_{i}-v\right\|<\epsilon } （仿造數列極限而定義）

那向量序列 {\displaystyle {\{e\_{i}\in V\}}\_{i\in \mathbb {N} }} 則被稱為是向量空间 {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组**Schauder基**。

第二項條件通常會簡寫為

對每個 {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，都存在唯一組标量{\displaystyle {\{\lambda \_{i}\in K\}}\_{i\in \mathbb {N} }}，使 {\displaystyle v=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{i=0}^{n}\lambda \_{i}\cdot e\_{i}}
甚至寫為

{\displaystyle v=\sum \_{i=0}^{\infty }\lambda \_{i}\cdot e\_{i}}
### 例子

在傅立叶级数的研究中，函数{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的"正交基"，这种函数{\displaystyle f(x)}满足

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}
函数族{\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的"无限线性组合"，在如下意义上

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\int \_{0}^{2\pi }{\biggl |}a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}{\bigl (}a\_{k}\cos(kx)+b\_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}
对于适合的（实数或复数）系数*a**k*, *b**k*。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度
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如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的**维度**。如果原本的基底為：

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e\_{1},\,e\_{2},\ldots ,\,e\_{N}\right\}}
那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 {\displaystyle {\{e\_{i}\in V\}}\_{i=1}^{N}} 來間接代表{\displaystyle {\mathfrak {B}}}。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质
--

设{\displaystyle {\mathfrak {B}}}是向量空间{\displaystyle \mathrm {V} }的子集。则{\displaystyle {\mathfrak {B}}}是基，当且仅当满足了下列任一条件：

* {\displaystyle \mathrm {V} }是{\displaystyle {\mathfrak {B}}}的极小生成集，就是说只有{\displaystyle {\mathfrak {B}}}能生成{\displaystyle \mathrm {V} }，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
* {\displaystyle {\mathfrak {B}}}是{\displaystyle \mathrm {V} }中线性无关向量的极大集合，就是说{\displaystyle {\mathfrak {B}}}在{\displaystyle \mathrm {V} }中是线性无关(線性獨立)集合，而且{\displaystyle \mathrm {V} }中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
* {\displaystyle \mathrm {V} }中所有的向量都可以按唯一的方式表达为{\displaystyle {\mathfrak {B}}}中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

### 例子

* 考虑所有坐标 (*a*, *b*)的向量空间**R**2，这里的*a*和*b*都是实数。则非常自然和简单的基就是向量**e**1 = (1,0)和**e**2 = (0,1):假设*v* = (*a*, *b*)是**R**2中的向量，则*v* = *a* (1,0) + *b*(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成**R**2的一个基。

* 更一般的说，给定自然数*n*。*n*个线性无关的向量**e**1, **e**2, ... **e***n*可以在实数域上生成**R***n*。因此，它们也是的一个基而**R***n*的维度是*n*。这个基叫做**R***n*的标准基。

* 设*V*是由函数*e**t*和*e*2*t*生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了*V*的基。

* 设**R**[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, ...)是**R**[x]的基。**R**[x]的维度的势因此等于{\displaystyle \aleph \_{0}}.

标准基
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在**行向量空间**{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中有**单位行向量**

{\displaystyle E\_{(1)}=(1,0,...0),E\_{(2)}=(0,1,...0),...E\_{(n)}=(0,0,...1)}

那么在该空间中，任意向量{\displaystyle X=(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})},都可以**唯一**表示成{\displaystyle X=x\_{1}E\_{(1)}+x\_{2}E\_{(2)}+...+x\_{n}E\_{(n)}}.然后我们可以看出，{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}可以由它的向量子空间构成

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}{\displaystyle =<E\_{(1)},E\_{(2)},...E\_{(n)}>}.

同样的，**单位列向量**就可以表达为{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}{\displaystyle =[E\_{(1)},E\_{(2)},...E\_{(n)}]}.

线性无关的单位行向量{\displaystyle E\_{(1)},E\_{(2)},...E\_{(n)}}生成{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. 那么{\displaystyle {E\_{(1)},E\_{(2)},...E\_{(n)}}}是{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}的基，称这个基为**标准基**.

基的扩张
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如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果{\displaystyle {\mathfrak {L}}}是在向量空间{\displaystyle \mathrm {V} }中的一个线性无关集合而集合{\displaystyle {\mathfrak {G}}}是一个包含{\displaystyle {\mathfrak {L}}}而且能够生成{\displaystyle \mathrm {V} }的集合，则存在{\displaystyle \mathrm {V} }的一组基{\displaystyle {\mathfrak {B}}}，它包含了{\displaystyle {\mathfrak {L}}}而且是{\displaystyle {\mathfrak {G}}}的子集：{\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}}。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标
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基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e\_{1},e\_{2},\cdots ,e\_{n}\}}写成有序向量组：{\displaystyle (e\_{1},e\_{2},\cdots ,e\_{n})}。这样的有序向量组称为**有序基**。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论"第一个"或"第二个"坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设{\displaystyle \mathrm {V} }是在域{\displaystyle \mathbb {F} }上的*n*维向量空间。在{\displaystyle \mathrm {V} }上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}到{\displaystyle \mathrm {V} }的一个选定线性同构{\displaystyle \phi }。

*证明*：这个证明利用了{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}的标准基是有序基的事实。

首先假设

{\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }是线性同构。可以定义{\displaystyle \mathrm {V} }的一组有序基{\displaystyle \{v\_{i}\}\_{1\leqslant i\leqslant n}}如下：
{\displaystyle v\_{i}=\phi (e\_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}
其中的{\displaystyle \{e\_{i}\}\_{1\leqslant i\leqslant n}}是{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

*φ*(*x*) = *x*1*v*1 + *x*2*v*2 + ... + *x**n**v**n*,
这里的*x* = *x*1**e**1 + *x*2**e**2 + ... + *x**n***e***n*是**F***n*的一个元素。不难检查出*φ*是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以*V*的有序基一一对应于线性同构**F***n* → *V*。

确定自有序基{*v**i*}线性映射*φ*的逆映射为*V*装备了坐标：如果对于向量*v* ∈ *V*, *φ*-1(*v*) = (*a*1, *a*2,...*a**n*) ∈ **F***n*，则*a**j* = *a**j*(*v*)的分量是*v*的坐标，在*v* = *a*1(*v*) *v*1 + *a*2(*v*) *v*2 + ... + *a**n*(*v*) *v**n*的意义上。

从向量*v*到分量*a**j*(*v*)的映射是从*V*到**F**的线性映射，因为*φ*-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成*V*的**对偶空间**的基，叫做**对偶基**。

参考文献
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1. ↑  柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53
2. ↑  Lang, Serge.. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.

参见
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* 线性代数
* 线性组合

外部链接
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* MIT Linear Algebra Lecture on Bases （页面存档备份，存于） at Google Video, from MIT OpenCourseWare

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