在信號處理中，**匹配濾波器**可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道

1.傳送的訊號

2.訊號的同步

才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試（similarity measure）。

最高SNR證明
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假設
g(t)：傳送訊號 

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

{\displaystyle 1.x(t)=g(t)+w(t)}

{\displaystyle 2.y(t)=[g(t)+w(t)]\ast h(t)}　

{\displaystyle =g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)}

{\displaystyle =G(t)+N(t)}

  

{\displaystyle 3.SNR=|G(T)|^{2}/E[N^{2}(T)]|}

SNR = 信號瞬間功率 / Noise平均功率

信號瞬間功率

{\displaystyle |G(T)|^{2}=\int \_{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}

雜訊平均功率

{\displaystyle E[N^{2}(T)]={\frac {N\_{0}}{2}}\int \_{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}

{\displaystyle SNR={\frac {\int \_{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N\_{0}}{2}}\int \_{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

{\displaystyle \leq {\frac {\int \_{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int \_{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N\_{0}}{2}}\int \_{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

{\displaystyle ={\frac {2}{N\_{0}}}\int \_{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

4. 當

{\displaystyle H\_{opt}(f)=k[G(f)e^{j2\pi fT}]^{\*}} , {\displaystyle SNR\_{max}={\frac {2}{N\_{0}}}\int \_{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

所以

{\displaystyle h\_{opt}(t)=k\int \_{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df}

{\displaystyle =k\int \_{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz}

{\displaystyle =kg(T-t)}

(備註) 柯西-施瓦茨不等式

若

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty } 且 {\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty }

則

{\displaystyle |\int \_{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int \_{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int \_{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx}

當 {\displaystyle A=kB^{\*}}時，等號成立。

匹配濾波器頻率響應
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{\displaystyle \ x=s+v,\,}

{\displaystyle \ R\_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}

  

{\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y\_{s}|^{2}}{E\{|y\_{v}|^{2}\}}}.}

  

{\displaystyle \ |y\_{s}|^{2}={y\_{s}}^{\mathrm {H} }y\_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}

  

{\displaystyle \ E\{|y\_{v}|^{2}\}=E\{{y\_{v}}^{\mathrm {H} }y\_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R\_{v}h.\,}

{\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R\_{v}h}}.}

如果我們限制分母為1, 最大化 {\displaystyle \mathrm {SNR} } 的問題可以被簡化為最大化分子. 

於是可以使用 拉格朗乘數

{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R\_{v}h=1}
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R\_{v}h)}
{\displaystyle \ \nabla \_{h^{\*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R\_{v}h=0}
{\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R\_{v}h}
{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R\_{v}h.}
因為 {\displaystyle ss^{\mathrm {H} }} 是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=

{\displaystyle \ \lambda \_{\max }=s^{\mathrm {H} }R\_{v}^{-1}s,}
{\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R\_{v}^{-1}s}}}R\_{v}^{-1}s.}

匹配濾波器模式辨識
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若欲偵測一特定信號 h[n]，我們可以將h[n]時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維信號

{\displaystyle y[n]=x[n]\*h^{\*}[-n]=\sum \_{\tau =\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}x[n-\tau ]h^{\*}[-\tau ]=\sum \_{\tau =\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}x[n+\tau ]h^{\*}[\tau ]}

  

x[n] :數入信號 ，h[n]：欲偵測的特定信號，且假設當{\displaystyle \tau \_{1}\leq n\leq \tau \_{2}} 時， h[n]≠0
二維信號

{\displaystyle y[m,n]=x[m,n]\*h^{\*}[-m,-n]=\sum \_{\tau =\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}\sum \_{\rho =\rho \_{1}}^{\rho \_{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{\*}[\tau ,\rho ]}
假設當{\displaystyle \tau \_{1}\leq m\leq \tau \_{2},\rho \_{1}\leq m\leq \rho \_{2}}時， h[m,n]≠0

  

模擬結果：

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| 未標準化而造成的計算誤差 y[n] = x[n]\*h\*[-n] |

但由於卷積是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

  

**標準化公式**

  

一維信號

當 {\displaystyle \sum \_{s=n+\tau \_{1}}^{n+\tau \_{2}}|x[s]|^{2}} ≠0

{\displaystyle y[n]=}{\displaystyle {\sum \_{\tau =\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}x[n+\tau ]h^{\*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum \_{s=n+\tau \_{1}}^{n+\tau \_{2}}|x[s]|^{2}\sum \_{s=\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}|h[s]|^{2}}}}
當 {\displaystyle \sum \_{s=n+\tau \_{1}}^{n+\tau \_{2}}|x[s]|^{2}} =0

{\displaystyle y[n]=0}

  

二維信號

當 {\displaystyle \sum \_{s=m+\tau \_{1}}^{m+\tau \_{2}}\sum \_{v=n+\rho \_{1}}^{n+\rho \_{2}}|x[s,v]|^{2}} ≠0

{\displaystyle y[m,n]=}{\displaystyle {\sum \_{\tau =\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}\sum \_{\rho =\rho \_{1}}^{\rho \_{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{\*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum \_{s=m+\tau \_{1}}^{m+\tau \_{2}}\sum \_{v=n+\rho \_{1}}^{n+\rho \_{2}}|x[s,v]|^{2}\sum \_{s=\tau \_{1}}^{\tau \_{2}}\sum \_{v=\rho \_{1}}^{\rho \_{2}}|h[s,v]|^{2}}}}
當 {\displaystyle \sum \_{s=m+\tau \_{1}}^{m+\tau \_{2}}\sum \_{v=n+\rho \_{1}}^{n+\rho \_{2}}|x[s,v]|^{2}} = 0

{\displaystyle y[m,n]=0}

  

標準化後的模擬結果：

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| 標準化後可減少計算誤差 |

參考文獻
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1. Haykin,S. / Moher,M.  （中文）.
2. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

參見
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* 霍夫變換
* 拉東變換
* 週期圖法
* 疊代稀疏漸近最小方差算法