数学和理论物理中，'*超代数*指的是**Z**2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为"奇偶"两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。

"超"来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。

形式定义
----

令*K*为交换环。在大多数应用中，*K*是特征为0的域，如**R**、**C**等。

*K*上的**超代数**是具有直和分解的*K*-模*A*：

{\displaystyle A=A\_{0}\oplus A\_{1}}
以及双射乘法{\displaystyle A\times A\to A}，使

{\displaystyle A\_{i}A\_{j}\subseteq A\_{i+j}}
其中下标读作模2，即将其看做{\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}}的元素。

**超环**或{\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}}分次环是整数环{\displaystyle \mathbb {Z} }上的超代数。
每个{\displaystyle A\_{i}}中的元素称作**齐次**的。齐次元*x*的**奇偶性**记作|*x*|，根据是在{\displaystyle A\_{0}}还是在{\displaystyle A\_{1}}中取0或1的值。称奇偶性为0的元素是**偶**的，奇偶性为1的元素是**奇**的。若*x*、*y*都齐次，则积*xy*也齐次，且{\displaystyle |xy|=|x|+|y|}。

**结合超代数**指乘法符合结合律的超代数，**含幺超代数**是指有乘法单位元的超代数。含幺超代数中的单位元必须是偶的。除非另有说明，本文中所有超代数都假定是结合含幺的。

**交换超代数**（或超交换代数）是一种满足交换律的分次版本的超代数。具体来说，若对*A*中所有齐次元*x*、*y*

{\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}
则称*A*交换。有些超代数在普通意义上是交换的，而在超代数意义上不是，因此为避免混淆，交换超代数常称作"宠爱交换"。

例子
--

* 交换环*K*上任意代数都可视作*K*上的纯偶超代数，即将{\displaystyle A\_{1}}视作平凡的。
* 任何**Z**-或**N**-分次代数都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括张量代数和*K*上的多项式环等例子。
* 特别地，*K*上任何外代数都是超代数，外代数是超交换代数的标准例子。
* 对称多项式与交替多项式分别构成同一超代数的偶部分和奇部分，注意这是与分次不同的分级。
* 克利福德代数是超代数，通常是非交换的。
* 超向量空间所有自同态的集合（记作{\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}，其中粗体的{\displaystyle \mathrm {Hom} }被称作内部（interval）{\displaystyle \mathrm {Hom} }，由所有线性映射组成）形成了组合运算下的超代数。
* 元素属于*K*的所有超方阵的集合形成了超代数，记作{\displaystyle M\_{p|q}(K)}。此代数可以视作等同于秩为{\displaystyle p|q}的*K*上自由超模的自同态代数，是这空间的内部Hom。
* 李超代数是李代数的分次类似物。李超代数是无幺、非结合的，但可以构造类似于李超代数的泛包络代数，它是含幺结合超代数。

进一步的定义与构造
---------

### 偶子代数

令*A*为交换环*K*上的超代数。子模{\displaystyle A\_{0}}包含所有偶元，对乘法封闭，包含*A*的单位元，因此形成了*A*的子代数，自然地称作**偶子代数**，构成了*K*上的普通代数。

所有奇元素{\displaystyle A\_{1}}的集合是{\displaystyle A\_{0}}-双模，其标量乘法就是*A*中的乘法。*A*中的积使{\displaystyle A\_{1}}具有双线性形式

{\displaystyle \mu :A\_{1}\otimes \_{A\_{0}}A\_{1}\to A\_{0}}
使得{\displaystyle \forall x,\ y,\ z\in A\_{1},}

{\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}
这源于*A*中积的结合性。

### 次对合

任何超代数上都有规范的对合自同构，称作**次对合**（grade involution），在齐次元上表为

{\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}
在任意元上表为

{\displaystyle {\hat {x}}=x\_{0}-x\_{1}}
其中{\displaystyle x\_{i}}是*x*的齐次部分。若*A*无2-扭子（特别是若2可逆），则次对合可区分*A*的奇偶部分：

{\displaystyle A\_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}
### 超交换

*A*上的**超交换子**（supercommutator）是齐次元的二元运算

{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}
并可以线性推广到*A*的所有元素。若{\displaystyle \exists x,\ y\in A,\ [x,\ y]=0}，称*x*、*y***超交换**。

*A*的**超中心**（supercenter）是*A*中与所有元素超交换的元素集合：

{\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}
一般来说*A*的超中心与作为未分次代数的特征的中心不同。交换超代数的超中心是*A*的全部元素。

### 超张量积

两超代数*A*、*B*的分次张量积可视作超代数{\displaystyle A\otimes B}，乘法规则为

{\displaystyle (a\_{1}\otimes b\_{1})(a\_{2}\otimes b\_{2})=(-1)^{|b\_{1}||a\_{2}|}(a\_{1}a\_{2}\otimes b\_{1}b\_{2}).}
若*A*或*B*是纯偶的，则这等同于普通的未分次张量积（不过结果是分次的）。但总之，超张量积一般不同于将*A*、*B*视作普通未分次代数的张量积。

推广与范畴论定义
--------

可以很容易地将超代数的定义推广到包括交换超环上的超代数。上述定义是基环为纯偶的特例。

令*R*为交换超环。*R*上的**超代数**（superalgebra）是*R*-超模*A*，具有遵从分次的*R*-双线性乘法{\displaystyle A\times A\to A}。此处双线性意味着对所有齐次元{\displaystyle r\in R,\ x,\ y\in A,}

{\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}
等价地，可以把*R*上的超代数定义为超环*A*与超环同态{\displaystyle R\to A}，其像位于*A*的超中心。

超代数还有范畴论定义。所有*R*-超模组成的范畴在超张量积下形成幺半范畴（monoidal category）（*R*为单位对象）。接着，*R*上的结合含幺超代数可定义为*R*-超模范畴中的幺半对象（monoid）；即，超代数是具有两个（偶）态射

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}
的*R*-超模*A*，其通常图是交换的。

参考文献
----

* Deligne, P.; Morgan, J. W..  **1**. American Mathematical Society: 41–97. 1999. ISBN 0-8218-2012-5.
* Kac, V. G.; Martinez, C.; Zelmanov, E.. Memoirs of the AMS Series **711**. AMS Bookstore. 2001  [2024-03-21]. ISBN 978-0-8218-2645-4. （原始内容存档于2024-03-27）.
* Manin, Y. I.  (2nd ed.). Berlin: Springer. 1997. ISBN 3-540-61378-1.
* Varadarajan, V. S.. Courant Lecture Notes in Mathematics **11**. American Mathematical Society. 2004  [2024-03-21]. ISBN 978-0-8218-3574-6. （原始内容存档于2023-11-19）.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
应用数学 |
| --- |
|  |
| 运算数学 | 
* 算法
	+ 算法设计
	+ 算法分析
* 自動機理論
* 自动化定理证明
* 编码理论
* 计算几何
* 约束满足
	+ 约束编程
* 计算机逻辑
* 密码学
* 信息论
* 计算统计学

 |
|  |
| 离散数学 | 
* 计算机代数
* 计算数论
* 组合数学
* 图论
* 离散几何学

 |
|  |
| 数学分析 | 
* 逼近理论
* 克利福德分析（英语：）
	+ 克利福德代数
* 微分方程
	+ 常微分方程
	+ 偏微分方程
	+ 随机微分方程
* 微分几何
	+ 微分形式
	+ 规范理论

* + 几何分析（英语：）
* 动力系统
	+ 混沌理论
	+ 控制理论
* 泛函分析
	+ 算子代数
	+ 算子理论
* 调和分析
	+ 傅里叶分析
* 多重线性代数
	+ 外代数
	+ 几何代数
	+ 张量
	+ 向量代数

* 多元微积分
	+ 外微积分
	+ 几何微积分（英语：）
	+ 张量微积分（英语：）
	+ 向量微积分
* 数值分析
	+ 数值线性代数
	+ 常微分方程数值方法
	+ 偏微分方程数值方法
* 变分法

 |
|  |
| 概率论 | 
* 概率分布（随机变量）
* 随机过程 / 随机分析
* 泛函积分
* 马利阿温微积分（英语：）

 |
|  |
| 数学物理 | 
* 分析力学
	+ 拉格朗日力学
	+ 哈密顿力学
* 场论
	+ 经典场论
	+ 共形场论
	+ 有效场论
	+ 规范场论
	+ 量子场论
	+ 统计场论
	+ 拓扑量子场论
* 摄动理论
	+ 微扰理论 (量子力学)
* 位势论
* 弦理论
	+ 玻色弦理论
	+ 拓扑弦论
* 超对称
	+ 超对称量子力学（英语：）
	+ 随机力学超对称理论（英语：）

|  |  |
| --- | --- |
| 代数结构 | 
* 物理空间代数
* 路径积分表述
* 泊松代数
* 量子群
* 重整化群
* 粒子物理与表示论（英语：）
* 时空代数
* 超代数
* 超对称代数（英语：）

 |

 |
|  |
| 决策论 | 
* 博弈论
* 运筹学
* 最优化
* 社会选择理论
* 统计学
* 数理经济学
* 数理金融学

 |
|  |
| 其他应用 | 
* 数理生物学
* 数学化学（英语：）
* 数学心理学
* 数理社会学

 |
|  |
| 相关领域 | 
* 数学
* 数学软件

 |
|  |
| 社会组织 | 
* 工业与应用数学学会
	+ 日本应用数理学会（英语：）
* 法国应用与工业数学学会（英语：）
* 国际工业与应用数学理事会（英语：）

 |
|  |
| 
* **分类**
* 话题

 |

 |