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在量子力學裏，**角動量算符**（英語：）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

簡介
--

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性()行為。

數學定義
----

在經典力學裏，角動量 {\mathbf {L}}=(L\_{x},\ L\_{y},\ L\_{z})\,\! 定義為位置 \mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\! 與動量 {\mathbf {p}}=(p\_{x},\ p\_{y},\ p\_{z})\,\! 的叉積：

{\mathbf {L}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}\,\! 。
在量子力學裏，對應的角動量算符 {\hat {{\mathbf {L}}}}\,\! 定義為位置算符 {\hat {{\mathbf {r}}}}\,\! 與動量算符 {\hat {{\mathbf {p}}}}\,\! 的叉積：

{\hat {{\mathbf {L}}}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {{\mathbf {r}}}}\times {\hat {{\mathbf {p}}}}\,\! 。
由於動量算符的形式為

{\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla \,\! 。
角動量算符的形式為

{\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar ({\hat {{\mathbf {r}}}}\times \nabla )\,\! 。
其中，\nabla \,\! 是梯度算符。

角動量是厄米算符
--------

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 {\hat {L}}\_{x}\,\! ：

{\hat {L}}\_{x}={\hat {y}}{\hat {p}}\_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y}\,\! 。
其伴隨算符 L\_{x}^{{\dagger }}\,\! 為

{\hat {L}}\_{x}^{{\dagger }}=({\hat {y}}{\hat {p}}\_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y})^{{\dagger }}={\hat {p}}\_{z}^{\dagger }{\hat {y}}^{{\dagger }}-{\hat {p}}\_{y}^{+}{\hat {z}}^{{\dagger }}\,\! 。
由於 {\hat {y}}\,\! 、{\hat {z}}\,\! 、{\hat {p}}\_{y}\,\! 、{\hat {p}}\_{z}\,\! ，都是厄米算符，

{\hat {L}}\_{x}^{{\dagger }}={\hat {p}}\_{z}{\hat {y}}-{\hat {p}}\_{y}{\hat {z}}\,\! 。
由於 {\hat {p}}\_{z}\,\! 與 {\hat {y}}\,\! 之間、{\hat {p}}\_{y}\,\! 與 {\hat {z}}\,\! 之間分別相互對易，所以，

{\hat {L}}\_{x}^{{\dagger }}={\hat {y}}{\hat {p}}\_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y}={\hat {L}}\_{x}\,\! 。
因此，{\hat {L}}\_{x}\,\! 是一個厄米算符。類似地，{\hat {L}}\_{y}\,\! 與 {\hat {L}}\_{z}\,\! 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 {\hat {L}}^{2}\,\! 算符，

{\hat {L}}^{2}={\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2}\,\! 。
其伴隨算符 ({\hat {L}}^{2})^{{\dagger }}\,\! 為

({\hat {L}}^{2})^{{\dagger }}=({\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2})^{{\dagger }}=({\hat {L}}\_{x}^{2})^{{\dagger }}+({\hat {L}}\_{y}^{2})^{{\dagger }}+({\hat {L}}\_{z}^{2})^{{\dagger }}\,\! 。
由於 {\hat {L}}\_{x}^{2}\,\! 算符、{\hat {L}}\_{y}^{2}\,\! 算符、{\hat {L}}\_{z}^{2}\,\! 算符，都是厄米算符，

({\hat {L}}^{2})^{{\dagger }}={\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2}={\hat {L}}^{2}\,\! 。
所以，{\hat {L}}^{2}\,\! 算符是厄米算符。

對易關係
----

条目：角动量算符对易关系
兩個算符 {\hat {A}}\,\! 與 {\hat {B}}\,\! 的交換算符 [{\hat {A}},\ {\hat {B}}]\,\! ，表示出它們之間的對易關係。

### 角動量算符與自己的對易關係

思考 {\hat {L}}\_{x}\,\! 與 {\hat {L}}\_{y}\,\! 的交換算符， 

{\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}\_{x},\ {\hat {L}}\_{y}]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}\_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}\_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}\_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}\_{z},\ {\hat {z}}{\hat {p}}\_{x}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}\_{x}]-[{\hat {y}}{\hat {p}}\_{z},\ {\hat {x}}{\hat {p}}\_{z}]+[{\hat {z}}{\hat {p}}\_{y},\ {\hat {x}}{\hat {p}}\_{z}]\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}\_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}\_{x})\\&=i\hbar {\hat {L}}\_{z}\\\end{aligned}}\,\! 。
由於兩者的對易關係不等於 0 ， L\_{x}\,\! 與 L\_{y}\,\! 彼此是不相容可觀察量。{\hat {L}}\_{x}\,\! 與 {\hat {L}}\_{y}\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，{\hat {L}}\_{x}\,\! 的本徵態與 {\hat {L}}\_{y}\,\! 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 |\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 {\hat {L}}\_{x}\,\! ，所有本徵值為 \ell \_{{xi}}\,\! 的本徵態 |f\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\! ，形成了一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi \rangle =\sum \_{i}\ |f\_{i}\rangle \langle f\_{i}|\psi \rangle \,\! 。對於可觀察量算符 {\hat {L}}\_{y}\,\! ，所有本徵值為 \ell \_{{yi}}\,\! 的本徵態 |g\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\! ，形成了另外一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi \rangle =\sum \_{i}\ |g\_{i}\rangle \langle g\_{i}|\psi \rangle \,\! 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 L\_{x}\,\! ，得到的測量值為其本徵值 \ell \_{{xi}}\,\! ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |f\_{i}\rangle \,\! 。假若，我們立刻再測量可觀察量 L\_{x}\,\! ，得到的答案必定是 \ell \_{{xi}}\,\! ，量子態仍舊處於 |f\_{i}\rangle \,\! 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 L\_{y}\,\! ，則量子態不會停留於本徵態 |f\_{i}\rangle \,\! ，而會塌縮為 {\hat {L}}\_{y}\,\! 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 \ell \_{{yj}}\,\! ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |g\_{j}\rangle \,\! 。

根據不確定性原理，

\Delta L\_{x}\ \Delta L\_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}\_{x},\ {\hat {L}}\_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}\_{z}\rangle |}{2}}\,\! 。
L\_{x}\,\! 的不確定性與 L\_{y}\,\! 的不確定性的乘積 \Delta L\_{x}\ \Delta L\_{y}\,\! ，必定大於或等於 {\frac {\hbar |\langle L\_{z}\rangle |}{2}}\,\! 。

L\_{x}\,\! 與 L\_{z}\,\! 之間，L\_{y}\,\! 與 L\_{z}\,\! 之間，也有類似的特性。

### 角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考 {\hat {L}}^{2}\,\! 與 {\hat {L}}\_{z}\,\! 的交換算符，

{\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}\_{z}]&=[{\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2},\ {\hat {L}}\_{z}]\\&={\hat {L}}\_{x}{\hat {L}}\_{x}{\hat {L}}\_{z}-{\hat {L}}\_{z}{\hat {L}}\_{x}{\hat {L}}\_{x}+{\hat {L}}\_{y}{\hat {L}}\_{y}{\hat {L}}\_{z}-{\hat {L}}\_{z}{\hat {L}}\_{y}{\hat {L}}\_{y}\\&={\hat {L}}\_{x}({\hat {L}}\_{z}{\hat {L}}\_{x}-i\hbar {\hat {L}}\_{y})-({\hat {L}}\_{x}{\hat {L}}\_{z}+i\hbar {\hat {L}}\_{y}){\hat {L}}\_{x}+{\hat {L}}\_{y}({\hat {L}}\_{z}{\hat {L}}\_{y}+i\hbar {\hat {L}}\_{x})-({\hat {L}}\_{y}{\hat {L}}\_{z}-i\hbar {\hat {L}}\_{x}){\hat {L}}\_{y}\\&=0\\\end{aligned}}\,\!。
{\hat {L}}^{2}\,\! 與 {\hat {L}}\_{z}\,\! 是對易的，L^{2}\,\! 與 L\_{z}\,\! 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 L^{2}\,\! 與 L\_{z}\,\! 的本徵值。

類似地，

[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}\_{x}]=0\,\! 、
[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}\_{y}]=0\,\! 。
{\hat {L}}^{2}\,\! 與 {\hat {L}}\_{x}\,\! 之間、{\hat {L}}^{2}\,\! 與 {\hat {L}}\_{y}\,\! 之間，都分別擁有類似的物理特性。

### 哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係

思考哈密頓算符 \hat{H}\,\! 與 {\hat {L}}\_{z}\,\! 的交換算符，

[{\hat {H}},\ {\hat {L}}\_{z}]=\left[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},\ {\hat {x}}{\hat {p}}\_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}\_{x}\right]=0\,\! ，
\hat{H}\,\! 與 {\hat {L}}\_{z}\,\! 是對易的，H\,\! 與 L\_{z}\,\! 彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 H\,\! 與 L\_{z}\,\! 的同樣的本徵值。

類似地，

[{\hat {H}},\ {\hat {L}}\_{x}]=0\,\! ，
[{\hat {H}},\ {\hat {L}}\_{y}]=0\,\! 。
\hat{H}\,\! 與 {\hat {L}}\_{x}\,\! 之間，\hat{H}\,\! 與 {\hat {L}}\_{y}\,\! 之間，都分別擁有類似的物理特性。

### 在經典力學裏的對易關係

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

\{L\_{i},\ L\_{j}\}=\epsilon \_{{ijk}}L\_{k}\,\! ；
其中，\{\ ,\ \}\,\! 是帕松括號，\epsilon \_{{ijk}}\,\! 是列維-奇維塔符號，i\,\! 、j\,\! 、k\,\! ，代表直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\! 。

本徵值與本徵函數
--------

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

{\begin{aligned}{\hat {{\mathbf {L}}}}&={\frac {\hbar }{i}}{\hat {{\mathbf {r}}}}\times \nabla \\&={\frac {\hbar }{i}}r{\mathbf {e}}\_{r}\times \left({\mathbf {e}}\_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\mathbf {e}}\_{{\theta }}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\mathbf {e}}\_{{\phi }}{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&={\frac {\hbar }{i}}\left(-{\mathbf {e}}\_{{\theta }}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+{\mathbf {e}}\_{{\phi }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\\end{aligned}}\,\! ；
其中，{\mathbf {e}}\_{r}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{\theta }\,\! 、{\mathbf {e}}\_{\phi }\,\! ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，

{\hat {{\mathbf {L}}}}={\frac {\hbar }{i}}\left[{\mathbf {e}}\_{x}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\mathbf {e}}\_{y}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\mathbf {e}}\_{z}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right]\,\! 。
其中，{\mathbf {e}}\_{x}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{y}\,\! 、{\mathbf {e}}\_{z}\,\! ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，{\hat {L}}\_{x}\,\! 、{\hat {L}}\_{y}\,\! 、{\hat {L}}\_{z}\,\! 分別是

{\hat {L}}\_{x}={\frac {\hbar }{i}}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\! 、
{\hat {L}}\_{y}={\frac {\hbar }{i}}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\! 、
{\hat {L}}\_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\,\! 。
角動量平方算符是

{\hat {L}}^{2}={\hat {L}}\_{x}^{2}+{\hat {L}}\_{y}^{2}+{\hat {L}}\_{z}^{2}\,\! ；
其中，

{\begin{aligned}{\hat {L}}\_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!
\left.+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!、
{\begin{aligned}{\hat {L}}\_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!
\left.-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\! 、
{\hat {L}}\_{z}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\,\! 。
經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式

{\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+(1+\cot ^{2}\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\! 。
滿足算符 {\hat {L}}^{2}\,\! 的本徵函數是球諧函數 Y\_{{\ell m}}\,\! ：

{\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y\_{\ell m}=\ell (\ell +1)\hbar ^{2}Y\_{\ell m}\,\!} ；
其中，本徵值 \ell\,\! 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 {\hat {L}}\_{z}\,\! 微分方程式的本徵函數：

{\hat {L}}\_{z}Y\_{{\ell m}}=m\hbar Y\_{{\ell m}}\,\! ；
其中，本徵值 m\,\! 是整數，-\ell \leq m\leq 0\,\! 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 Y\_{{\ell m}}\,\! 表達為

Y\_{{\ell m}}(\theta ,\ \phi )=(i)^{{m+|m|}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P\_{{\ell m}}(\cos {\theta })\,e^{{im\phi }}\,\! ；
其中，i\,\! 是虛數單位，P\_{{\ell m}}(\cos {\theta })\,\! 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

P\_{{\ell m}}(x)=(1-x^{2})^{{|m|/2}}\ {\frac {d^{{|m|}}}{dx^{{|m|}}}}P\_{\ell }(x)\, ；
而 P\_{\ell }(x)\,\! 是 \ell  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

P\_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{\ell } 。
球諧函數滿足正交歸一性：

\int \_{{0}}^{{2\pi }}\int \_{{0}}^{{\pi }}\ Y\_{{\ell \_{1}m\_{1}}}Y\_{{\ell \_{2}m\_{2}}}\sin(\theta )d\theta d\phi =\delta \_{{\ell \_{1}\ell \_{2}}}\delta \_{{m\_{1}m\_{2}}}\,\! 。
這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 \psi (\theta ,\,\phi )\,\! 都可以表達為這單範正交基的線性組合：

\psi (\theta ,\,\phi )=\sum \_{{\ell ,m}}\ A\_{{\ell m}}Y\_{{\ell m}}(\theta ,\,\phi )\,\! ；
其中，A\_{{\ell m}}=\int \_{{0}}^{{2\pi }}\int \_{{0}}^{{\pi }}\ Y\_{{\ell m}}^{\*}(\theta ,\,\phi )\psi (\theta ,\,\phi )\sin(\theta )d\theta d\phi \,\! 。

參閱
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* 氫原子
* 球對稱位勢
* 拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻
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1. ↑  Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
2. ↑  Griffiths, David J. Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7

外部連結
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* 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：角動量加法