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|  | 本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的{\displaystyle \log {x}}都應視為自然對數，也就是一般常記為{\displaystyle \ln {x}}或{\displaystyle \log \_{e}{x}}的對數。 |

在解析數論中，**梅滕斯定理**指的是三個弗朗茨·梅滕斯在1874年證明的定理，這些定理與質數密度相關。

以下假定{\displaystyle p\leq n}指的是所有不超過n的質數。

梅滕斯第一定理
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**梅滕斯第一定理**指的對於任何的{\displaystyle n\geq 2}而言，以下式的絕對值不會超過2（A083343）：

{\displaystyle \sum \_{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}

梅滕斯第二定理
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**梅滕斯第二定理**如下：

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(\sum \_{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M\right)=0,}
其中M是Meissel–Mertens常數（A077761）；更精確地說，梅滕斯證明了對於任意的{\displaystyle n\geq 2}，以上的公式在極限意義下，其絕對值不會超過下式：

{\displaystyle {\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}}
### 證明

證明梅滕斯第二定理的主要步驟如下：

{\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum \_{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum \_{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum \_{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}
其中最後的等式要求{\displaystyle \sum \_{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}，而這可由{\displaystyle \sum \_{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}得出。

因此我們證明了下式：

{\displaystyle \sum \_{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}
由於在{\displaystyle k\geq 2}時，質數的次方的倒數和收斂之故，這表示說

{\displaystyle \sum \_{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}
故由分部求和法可推得下式：

{\displaystyle \sum \_{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}
### 變號

在一篇於1983年出版的關於除數函數增長率的文章中，Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次：

{\displaystyle \sum \_{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}
此外，以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次：

{\displaystyle \log n\prod \_{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}
Robin的結果類似於李特爾伍德證明的「{\displaystyle \pi (x)-{\rm {Li}}(x)}這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚沒有類似於斯奎斯數這樣，最小的導致變號的自然數的上界。

### 與質數定理間的關係

梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》（two curious formula of Legendre）這篇論文中論及了這個非病態的公式，在這篇文章中出現的第一個公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出現的第二個公式是梅滕斯第三定理的原型，詳情可見該篇文的前面數行。他回憶說這公式出現在勒讓德的《數論》（Théorie des nombres）的第三版（出版於1830年，而實際上該公式出現於1808年出版的第二版中），且更加詳細的版本為切比雪夫在1851年所證明。應當注意的是，歐拉在1737年就已知該公式的非病態行為。

梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明，在現代標準下都是不可接受的：歐拉的計算牽涉到無限（以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數）；勒讓德的論證是啟發性的；而切比雪夫證明，盡管邏輯上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為質數定理的勒讓德─高斯猜想。

梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想，且只用到基本的實分析，而這證明出現在質數定理得證的22年之前；而與之相對地，質數定理仰賴對做為複數域上的函數的黎曼ζ函數的行為的詳細分析。

由此來看，梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的，事實上，以當今慣用的大O符號表記，其論述如下：

{\displaystyle \sum \_{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}
而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理，可證明下式成立：

{\displaystyle \sum \_{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}
在1909年，愛德蒙·蘭道（Edmund Landau）用他當時可得的最好的質數定理的版本，證明了下式成立：

{\displaystyle \sum \_{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}
特別地，對任何固定數k而言，這誤差項小於{\displaystyle 1/(\log x)^{k}}

對已知的最強版本使用簡單的分部求和技巧，可將之改進為：

對於一些c > 0而言，有{\displaystyle \sum \_{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}
類似地，使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了{\displaystyle \sum \_{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}。

梅滕斯第三定理
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**梅滕斯第三定理**如下：

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\log n\prod \_{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,}
其中\gamma 是歐拉-馬斯刻若尼常數。（A001620）

### 與篩法的關係

對於「X（{\displaystyle X\gg n}）沒有小於n的因子的機率」的估計，可由下式給出：

{\displaystyle \prod \_{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
這與梅滕斯第三定理密切相關，因為梅滕斯第三定理給出了下式的非病態估計：

{\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}

參考資料
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1. 1 2 3  F. Mertens. J. reine angew. Math. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
2. ↑  Robin, G.. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics. 1983, **38**: 233–244.
3. ↑  P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
4. ↑   I.3 of: G. Tenenbaum. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Translated from the second French edition (1995) by C. B. Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge,1995.
5. ↑  Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.

延伸閱讀
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* Akiva Moiseevich Yaglom（英语：）及Isaak Moiseevich Yaglom（英语：）所著的《以初等技巧解決挑戰性數學問題》（*Challenging mathematical problems with elementary solutions*）第二版中的問題第171、173跟174。

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Sondow, Jonathan.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Varun Rajkumar, π(x) and the Sieve of Eratosthenes