「」至此。關於均方誤差（MSE），詳見「**均方誤差**」；關於均方根誤差（RMSE），詳見「**均方根誤差**」。
  **提示**：此条目的主题不是**標準誤差**。 
图中红蓝两组数据平均值相同，但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。
**標準差**，又稱**標準偏差**、（英語：，縮寫，符號），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為平方後再做平方根）；
2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

闡述及應用
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簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述"相差k个标准差"，即在 {\displaystyle {\overline {X}}\pm kS} 的样本（sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差
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### 基本定義

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}
{\overline {x}}为平均值。

### 简化计算公式

上述公式可以如下代換而簡化：

\begin{align}
\sum\_{i=1}^N (X\_i - \mu)^2 & = {} \sum\_{i=1}^N (X\_i^2 - 2 X\_i\mu + \mu^2) \\
& {} = \left(\sum\_{i=1}^N X\_i^2\right) - \left(2 \mu \sum\_{i=1}^N X\_i\right) + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum\_{i=1}^N X\_i^2\right) - 2 \mu (N\mu) + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum\_{i=1}^N X\_i^2\right) - 2N\mu^2 + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum\_{i=1}^N X\_i^2\right) - N\mu^2
\end{align}
所以：

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(X\_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}}
根號裡面，亦即變異數（\sigma^2）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

### 母體為随机变量

一隨機變量X的標準差定義為：

\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}
須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。
如果隨機變量X為x\_1, \cdots, x\_n具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

#### 離散随机变量的标准差

若X是由實數x\_{1}, x\_{2}, ... x\_{n}構成的離散隨機變數（英語：），且每個值的**機率相等**，則X的標準差定義為：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x\_1-\mu)^2 + (x\_2-\mu)^2 + \cdots + (x\_N - \mu)^2\right]}　，其中　 \mu = \frac{1}{N} (x\_1 + \cdots + x\_N)
換成用\sum來寫，就成為：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum\_{i=1}^N (x\_i - \mu)^2}　，其中　 \mu = \frac{1}{N} (x\_1 + \cdots + x\_N)
目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個x\_{i}可以有**不同機率**p\_{i}，則X的标准差定義為：

\sigma = \sqrt{\sum\_{i=1}^N p\_i(x\_i - \mu)^2}　，其中　\mu = \sum\_{i=1}^N p\_i x\_i.
这里，\mu 为X的数学期望。

#### 连续随机变量的标准差

若X為概率密度p(X)的连续随机变量（英語：），則X的标准差定義為：

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}}
其中\mu 为X的数学期望：

{\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx}
### 标准差的特殊性质

对于常数c和随机变量X和Y：

\sigma(X+c)=\sigma(X)
\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)
\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}
其中：
* \mbox{cov}(X,Y)表示随机变量X和Y的协方差。
* {\displaystyle \sigma ^{2}(X)}表示{\displaystyle [\sigma (X)]^{2}}，即{\displaystyle Var(X)}（X的變異數），對Y亦同。

样本的标准差
------

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值X\_1, \cdots, X\_N當中取出一樣本數值組合x\_1, \cdots, x\_n : n < N，常定義其**樣本標準差**：

s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum\_{i=1}^n (x\_i - \bar{x})^2}

样本方差s^2是对总体方差\sigma^2的无偏估计。之所以s中的分母要用n-1而不是像总体样本差那样用n，是因为\left( x\_i - \bar{x} \right)的自由度为n-1，这是由于存在约束条件\sum\_{i=1}^{n}\left(x\_i - \bar{x}\right) = 0。

範例
--

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }：

* 第一步，計算平均值{\overline {x}}︰

\overline{x}=\frac{1}{N}\sum\_{i=1}^N x\_i
當\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}（因為集合裏有4個數），分別設為：
{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{1}&=5,\\x\_{2}&=6,\\x\_{3}&=8,\\x\_{4}&=9,\end{aligned}}}
則平均值為

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum \_{i=1}^{4}x\_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+x\_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}}
* 第二步，計算標準差\sigma\,︰

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum \_{i=1}^{4}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum \_{i=1}^{4}(x\_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x\_{1}-7)^{2}+(x\_{2}-7)^{2}+(x\_{3}-7)^{2}+(x\_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}}

常態分佈的規則
-------

条目：常態分佈
深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為99.7%。
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}
{\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}
{\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}.
Percentage within(*z*)
*z*(Percentage within)

| 數字比率標準差值 | 機率 | 包含之外比例 |
| --- | --- | --- |
| 百分比 | 百分比 | 比例 |
| 0.318 639*σ* | 25% | 75% | 3 / 4 |
| 6999674490000000000♠0.674490*σ* | 7001500000000000000♠50% | 7001500000000000000♠50% | 1 / 7000200000000000000♠2 |
| 6999994458000000000♠0.994458*σ* | 68% | 32% | 1 / 3.125 |
| 1*σ* | 7001682689492000000♠68.2689492% | 7001317310508000000♠31.7310508% | 1 / 7000315148720000000♠3.1514872 |
| 7000128155200000000♠1.281552*σ* | 80% | 20% | 1 / 5 |
| 7000164485400000000♠1.644854*σ* | 90% | 10% | 1 / 10 |
| 7000195996400000000♠1.959964*σ* | 95% | 5% | 1 / 20 |
| 2*σ* | 7001954499736000000♠95.4499736% | 7000455002640000000♠4.5500264% | 1 / 7001219778950000000♠21.977895 |
| 7000257582900000000♠2.575829*σ* | 99% | 1% | 1 / 100 |
| 3*σ* | 7001997300204000000♠99.7300204% | 6999269979600000000♠0.2699796% | 1 / 370.398 |
| 7000329052700000000♠3.290527*σ* | 99.9% | 0.1% | 1 / 7003100000000000000♠1000 |
| 7000389059200000000♠3.890592*σ* | 99.99% | 0.01% | 1 / 7004100000000000000♠10000 |
| 4*σ* | 7001999936660000000♠99.993666% | 6997633400000000000♠0.006334% | 1 / 7004157870000000000♠15787 |
| 7000441717300000000♠4.417173*σ* | 99.999% | 0.001% | 1 / 7005100000000000000♠100000 |
| 7000450000000000000♠4.5*σ* | 99.9993204653751% | 0.0006795346249% | 1 / 7005147159535800000♠147159.53583.4 / 7006100000000000000♠1000000 (*每一邊*) |
| 7000489163800000000♠4.891638*σ* | 7001999999000000000♠99.9999% | 6996100000000000000♠0.0001% | 1 / 7006100000000000000♠1000000 |
| 5*σ* | 7001999999426697000♠99.9999426697% | 6995573303000000000♠0.0000573303% | 1 / 7006174427800000000♠1744278 |
| 7000532672399999999♠5.326724*σ* | 7001999999900000000♠99.99999% | 6995100000000000000♠0.00001% | 1 / 7007100000000000000♠10000000 |
| 7000573072900000000♠5.730729*σ* | 7001999999990000000♠99.999999% | 6994100000000000000♠0.000001% | 1 / 7008100000000000000♠100000000 |
| 7000600000000000000♠6*σ* | 7001999999998027000♠99.9999998027% | 6993197300000000000♠0.0000001973% | 1 / 7008506797346000000♠506797346 |
| 7000610941000000000♠6.109410*σ* | 7001999999999000000♠99.9999999% | 6993100000000000000♠0.0000001% | 1 / 7009100000000000000♠1000000000 |
| 7000646695100000000♠6.466951*σ* | 7001999999999900000♠99.99999999% | 6992100000000000000♠0.00000001% | 1 / 7010100000000000000♠10000000000 |
| 7000680650200000000♠6.806502*σ* | 7001999999999990000♠99.999999999% | 6991100000000000000♠0.000000001% | 1 / 7011100000000000000♠100000000000 |
| 7*σ* | 99.9999999997440% | 6990256000000000000♠0.000000000256% | 1 / 7011390682215445000♠390682215445 |

標準差與平均值之間的關係
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一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个"自然"的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設X\_1, \cdots, X\_N為實數，定義函数：

\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum\_{i=1}^N (x\_i - \mu)^2}
使用微積分或者通过配方法，不難算出\sigma(\mu)在下面情況下具有唯一最小值：

\mu = \overline{x}

几何学解释
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从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X\_1, X\_2, X\_3。它们可以在3维空间中确定一个点P = (X\_1, X\_2, X\_3)。想像一条通过原点的直线L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}。如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L上的一个点，P到L的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点R，则R的坐标为这3个值的平均数：

R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})
运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离（也就是点P到直线L的距离）是\sigma \sqrt{3}。在n维空间中，这个规律同样适用，把3换成n就可以了。

参考文献
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1. ↑  Eric W. Weisstein.. MathWorld—A Wolfram Web Resource.  [2014-09-30]. （原始内容存档于2021-04-02）.

外部链接
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* Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）


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* 论
* 编
概率分布的理论 |
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* 概率质量函数(pmf)
* 概率密度函数(pdf)
* 累积分布函数(cdf)
* 分位函数

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* 
* 
* 期望值
* 
* 標準差
* 偏度
* 峰度

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* 生成函數(mgf)
* 特征函数
* 概率生成函数(pgf)
* 累积量

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* 论
* 编
统计学 |
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| 描述统计学 | 

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| 集中趋势 | 
* 平均数
	+ 平方
	+ 算術
	+ 幾何
	+ 調和
	+ 算术-几何
	+ 几何-调和
	+ 希羅／平均数不等式
* 中位數
* 眾數

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| 离散程度 | 
* 全距
* 变异系数
* 百分位數
* 四分位距
* 四分位数
* 標準差
* 
* 平均差
* 標準分數
* 
* 

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| 分布形态（英语：） | 
* 中心极限定理
* + 偏態
	+ 峰態

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* 次數（英语：）
* · 列聯表（英语：）

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| 推論統計學和假說檢定 | 

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| 推論統計學 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 显著性差异
* 元分析
* 

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| 实验设计 | 
* 
* 抽樣
* 重抽样
	+ 刀切法
	+ 自助法
	+ 交叉驗證
* 重复（英语：）
* 阻碍
* 靈敏度和特異度
* 區集（英语：）
* 缺失数据

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* 標準誤
* 
* 
* 
* 
* 效应值

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| 常规估计 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 
* 最小距離估計（英语：）
* 估计
* 最大间距

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* Z檢驗
* 
* F檢定
* 卡方检验
* Wald檢定（英语：）
* 曼-惠特尼檢定（英语：）
* 秩和检验

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| 生存分析 | 
* 生存函数
* 乘積極限估計量
* 對數秩和檢定
* 失效率
* 危險比例模式

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| 相關及迴歸分析 | 

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| 相关性 | 
* 干擾因素
* 積相關係數
* 等級相關（英语：） (斯皮尔曼等级相关系数
* 肯德等級相關係數（英语：）)
* 自由度
* 误差和残差

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| 線性回歸 | 
* 線性模型（英语：）
* 一般线性模型
* 廣義線性模型
* 简单线性回归
* 普通最小二乘法
* 贝叶斯回归（英语：）
* 分析
* 分析（英语：）

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| 非线性回归 | 
* 非参数回归模型（英语：）
* 半参数回归模型（英语：）
* 邏輯斯諦迴歸

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* 
* 双标图
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* 森林圖（英语：）
* 
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* 
* 莖葉圖
* 雷达图（英语：）
* 示意地圖

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| 其他 | 
* 统计类型（維基數據所列：）
* 回應過程效度
* 統計誤用

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* 分类**分类**
* 主题**主题**
* 共享资源页面**共享资源**
* 专题 **专题**

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* 论
* 编
技术分析 |
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* 道氏理论
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* 锤子线（英语：）
* 上吊线（英语：）
* 倒锤线
* 光头光脚（英语：）
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| 进阶（英语：） | 
* Hikkake形態（英语：）
* 启明星（英语：）
* 三只乌鸦（英语：）
* 白色三兵（英语：）

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| 技术指标（英语：） | 

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| 支撑和阻挡（英语：） | 
* 底部（英语：）
* 斐波那契回调
* 转折点（英语：） (PP)
* 顶部（英语：）

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| 市場趨勢 | 
* 平均趨向指數 (A.D.X.)
* 顺势指标（英语：） (CCI)
* 非趨勢價格指标（英语：） (DPO)
* 应用确定指标（英语：） (KST)
* 一目均衡表
* 指数平滑移动平均线 (MACD)
* 质量指数（英语：）
* 移動平均 (MA)
* 拋物線指標 (SAR)
* 聪明钱指数（英语：） (SMI)
* 趋势线（英语：）
* 三重指数平滑移动平均线（英语：）
* Vortex指标（英语：） (VI)

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| 動量（英语：） | 
* 现金流指数（英语：） (MFI)
* 相對強弱指數 (RSI)
* 随机指标 (KD)
* 真实强弱指数（英语：） (TSI)
* 终极指标（英语：）
* 威廉指標 (%R)

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| 交易量（英语：） | 
* 累积/派发线（英语：）
* 简易波动指标（英语：） (EMV)
* 强力指数（英语：） (FI)
* 负交易量指数（英语：） (NVI)
* 能量潮（英语：） (OBV)
* 卖权-买权比率（英语：） (PCR)
* 量价曲线（英语：） (VPT)

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| 波动性 | 
* 真實波動幅度均值 (ATR)
* (BBands)
* 唐奇安通道（英语：）
* 肯特纳通道（英语：）
* 股市不稳定指数 (VIX)
* 標準差 (σ)

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| 市场广度（英语：） | 
* 涨跌指数（英语：） (ADL)
* 阿姆氏指标（英语：） (TRIN)
* 麦克连指标（英语：）

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| 其它 | 
* 估波曲线（英语：）
* UI指数（英语：）

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