与「**函數極限**」標題相近或相同的条目，請見「**极限**」。

| x | \frac{\sin x}{x} |
| --- | --- |
| 1 | 0.841471... |
| 0.1 | 0.998334... |
| 0.01 | 0.999983... |

上表所示函數的圖形，請注意在x=0處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。
儘管函數\frac{\sin x}{x}的定義域中不包括"0"，但當x無限接近於零時，\frac{\sin x}{x}就無限接近於 1，換句話說，x接近於零時，\frac{\sin x}{x}的極限是 1。


在數學中，**函數極限**（英語：）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 f 於 a 的極限為 L ，直觀上意為當 x 無限接近 a 時，f(x) 便無限接近 L 。

正式定義
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### 動機

如果取 \delta  為＂ x 與 a 差距的上限＂；類似地，取 \epsilon  為＂ f(x) 與 L 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 \delta >0 ，存在 {\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }，使得對所有的 {\displaystyle x\in D\_{f}} ，只要 {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有 \left|f(x)-L\right|<\epsilon 
其中 {\displaystyle \epsilon \leq \delta } 是要確保 \delta  越來越小時， \epsilon  也會越來越小； {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 是為了凸顯 x 是逼近而非等於 a ，但對應的 f(x) 是可以等於 L 的。

但對於实函数 f(x) = x^2 逼近 a=0 時，考慮到 {\displaystyle \delta \geq 1} 的部分；在 {\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}} 下是沒有這樣的 \epsilon  使得 {\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta } 且 {\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon } 的，但數值上 f(x) = x^2 的確在 a=0 時很靠近 {\displaystyle 0} ，也就是 {\displaystyle \epsilon \leq \delta } 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 x 的變化去限制 f(x) 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 \epsilon  出發，去找怎樣的 x 會讓 f(x) 與 L 的差距小於 \epsilon  ，也就是從＂若對所有的 \epsilon >0 存在 \delta >0 ＂出發的話，顯然上面 f(x) = x^2的例子只要取 {\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}} 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 \epsilon  和 \delta  的最小值為 x 與 a 差距的上限，還是會有 \left|f(x)-L\right|<\epsilon  ，這樣就可以用 \epsilon  控制 x 的變化，而滿足＂ x 趨近於 a 時 f(x) 趨近於 L ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 \delta >0，都有 {\displaystyle x\in D\_{f}} 使得 {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } ，所以定義函數極限之前必須要求 a 為 {\displaystyle D\_{f}} 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 {\displaystyle r>0} 使得 f(x) 在 {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r} 都有定義，也就是存在 a 的**去心鄰域**使 f(x) 都有定義，這樣的話 a 會自動成為 {\displaystyle D\_{f}} 的極限點。

### 自變量趨於有限值時函數的極限

f 為实函数， {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 為 {\displaystyle D\_{f}} 的極限點且 {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，若＂**對所有的\epsilon >0，存在\delta >0，使得對所有的 {\displaystyle x\in D\_{f}} 只要 {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有** \left|f(x)-L\right|<\epsilon  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D\_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則以 {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=L} 表示，稱 L 為實函數 f 於 a 的極限。 

### 自變量趨於無窮大時函數的極限

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 {\displaystyle D\_{f}} 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 \delta >0 存在 {\displaystyle x\in D\_{f}} 使得 {\displaystyle x>\delta } ＂。也就是直觀上可以用定義域 {\displaystyle D\_{f}} 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，{\displaystyle L\in \mathbb {R} }，且若＂**對所有 \epsilon >0，存在 \delta >0，使得對所有的 {\displaystyle x\in D\_{f}} 只要 {\displaystyle x>\delta } 時，有\left|f(x)-L\right|<\epsilon**  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D\_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則稱 L 為實函數 f 於**正無窮大**（ \infty ）的極限，記作 {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L}

類似的，若假設＂對所有的 {\displaystyle \delta <0} 存在 {\displaystyle x\in D\_{f}} 使得 {\displaystyle x<\delta } ＂，那在這種條件下，{\displaystyle L\in \mathbb {R} }，且若＂**對所有 \epsilon >0，存在 {\displaystyle \delta <0}，使得對所有的 {\displaystyle x\in D\_{f}} 只要 {\displaystyle x<\delta } 時，有\left|f(x)-L\right|<\epsilon**  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D\_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}

則稱 L 為實函數 f 於**負無窮大（ -\infty  ）**的極限，記作{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=L}

制限極限
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直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

**定理**

若 **{\displaystyle A\cup B=D\_{f}} 且** a  同時為 **A** 和 **B** 的极限点，則

\lim \_{{x\to a}}f(x)=L
等價於

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f|\_{A}(x)=L} 且 {\displaystyle \lim \_{x\to a}f|\_{B}(x)=L}上述定理的證明只須注意到 a  也必為 {\displaystyle D\_{f}} 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 **{\displaystyle A\cup B=D\_{f}}** ，還有對 x\in A 取 {\displaystyle \delta \_{A}} 的和 x\in B 取的 {\displaystyle \delta \_{B}} ，那只要取 \delta  為 {\displaystyle \delta \_{A}} 和 {\displaystyle \delta \_{B}} 的最小值，對所有 {\displaystyle x\in D\_{f}} 就有 {\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)} ；反過來由原函數 f 推出 {\displaystyle f|\_{A}} 和 {\displaystyle f|\_{B}} 的狀況是非常顯然的。

### 左右極限

若取

{\displaystyle A={\big \{}x\in D\_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}
{\displaystyle B={\big \{}x\in D\_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}
如果假設 a  同時為 **A** 和 **B** 的极限点，那 **A** 和 **B** 顯然符合上面定理的要求的，而這時

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f|\_{A}(x)=L}
這個表達式會被別稱為＂ L 是實函數 f 於 a 的**右極限**＂，也可以用 {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)=L} 表示。

類似的

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f|\_{B}(x)=L}
這個表達式會被別稱為＂ L 是實函數 f 於 a 的**左極限**＂，也可以用 {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)=L} 表示。

常用公式
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### 有理函數

以下公式中，{\displaystyle n>0,a>1}。

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}
* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}

### 無理函數

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}

### 三角函數

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}

### 指數函數

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim \_{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{x}=1}

### 對數函數

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\ln x=+\infty }

參考
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