**總變差去噪**（英語：Total Variation Denoising）是訊號處理中一種常見的降噪方法，於1992年由L. I. Rudin、S. Osher（英语：）和E. Fatemi提出，因此亦稱為ROF模型。一個含有雜訊的訊號相較於其未受雜訊影響的訊號，會有較大的總變差值，即其梯度絕對值的總和較大。因此若能找到一個與原始訊號相似且總變差較小的訊號，即可作為原始訊號的降噪結果。此算法可以在去除雜訊的同時保留邊緣，即使在低訊號雜訊比的情況下，依然能有效的去噪和保留邊緣。

總變差
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参见：總變差
總變差為一函數其數值變化的總和。可表示為其微分後取絕對值再積分的結果。

### 一維連續函數

若一函數y=f(x)為一維連續可微函數，其在區間{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }之總變差定義為

{\displaystyle TV\_{a}^{b}(y)=\int \_{a}^{b}|f'(x)|dx},
其中f'(x)為f(x)的一次微分。

當f(x)不可微分時，其總變差由一般性的定義給出:

{\displaystyle TV\_{a}^{b}(y)=\sup \_{\mathcal {P}}\sum \_{i=0}^{n\_{P}-1}|f(x\_{i+1})-f(x\_{i})|},
其中\mathcal{P}為區間[a,b]中所有可能的分割，即{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x\_{0},\dots ,x\_{n\_{P}}\}|P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}。

### 一維離散函數

若一函數y=f(x)為一維離散函數，則其總變差定義為

{\displaystyle TV(y)=\sum \_{n}|f(x\_{n+1})-f(x\_{n})|}.
即差分後取絕對值再加總的結果。

一維訊號去噪
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設輸入的觀察訊號為x，對x去噪得到的訊號為y。我們可以透過解最佳化問題來從x得到y。當以總變差去噪法對訊號進行去噪時，最佳化問題應滿足以下兩個條件:

* x與y相似，以保留訊號整體的結構性
* y的總變差不大，以降低雜訊

在數學上，兩個訊號的相似度可以以兩者差的L\_2-範數表示，即

{\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|\_{2}^{2}={\frac {1}{2}}\sum \_{n}(x\_{n}-y\_{n})^{2}},
其中{\displaystyle \left\|\cdot \right\|\_{2}}即為L\_2-範數，而{\displaystyle x\_{n},y\_{n}}為訊號的取樣點。

藉由上述數學表達式，總變差去噪法的最佳化問題可以寫成

{\displaystyle \min \_{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}.
即利用最小平方法，並以總方差作為正規化的正規項，以求得去噪結果。其中\lambda 為正規化參數，用於調整正規項的重要程度。

由於{\displaystyle E(x,y)}和{\displaystyle TV(y)}皆為凸函數，因此一維總變差去噪的最佳化為一凸優化問題，有許多凸優化演算法可以求解，且其解必為全局最佳值。

影像去噪
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影像為二維離散訊號，在ROF模型中定義的總變差為

{\displaystyle TV(y)=\sum \_{m,n}\left\|\nabla y\_{m,n}\right\|\_{2}=\sum \_{m,n}{\sqrt {|y\_{m+1,n}-y\_{m,n}|^{2}+|y\_{m,n+1}-y\_{m,n}|^{2}}}},
其中\nabla 為梯度運算子。

然而該定義不可微分，做為最佳化問題的正規項時不易求解。因此也有L\_{1}-範數形式的二維總變差

{\displaystyle TV(y)=\sum \_{m,n}\left\|\nabla y\_{m,n}\right\|\_{1}=\sum \_{m,n}(|y\_{m+1,n}-y\_{m,n}|+|y\_{m,n+1}-y\_{m,n}|)}.
最佳化問題的形式與解一維訊號形式相同

{\displaystyle \min \_{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}.
然而二維訊號的最佳化問題不一定為凸優化問題，因此無法以常見凸優化演算法求解。目前發展能求解的演算法有原始-對偶演算法（英语：）、交替方向乘子法(ADMM)、布雷格曼方法（英语：）等等。

其他變形
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### 高階微分

總變差的概念為先微分取絕對值後再積分。因此在一些文獻中有使用到二階微分以上的例子。
當處理訊號為離散訊號時，二階差分的形式如下

{\displaystyle f''(x\_{n})=f(x\_{n-1})-2f(x\_{n})+f(x\_{n+1})}
因此使用二階差分的總變差可定義為

{\displaystyle TV^{(2)}(y)=\sum \_{n}|f''(x\_{n})|}
而最佳化問題的形式為

{\displaystyle \min \_{y}E(x,y)+\lambda \_{1}TV(y)+\lambda \_{2}TV^{(2)}(y)}
### 雙邊總變差去噪

雙邊總變差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正規項。該正規項基於總變差，結合雙邊濾波器的概念而成。主要應用於影像復原。

雙邊總變差的形式如下

{\displaystyle BTV(\mathbf {Y} )=\sum \_{l=-P}^{P}\sum \_{m=\max(0,-l)}^{P}\lambda ^{|l|+|m|}\left\|\mathbf {Y} -\mathbf {S} \_{x}^{l}\mathbf {S} \_{y}^{m}\mathbf {Y} \right\|\_{1}},
其中\mathbf{Y}為處理圖片，{\displaystyle \mathbf {S} \_{x}^{l}}與{\displaystyle \mathbf {S} \_{y}^{m}}為兩個運算子，分別代表將圖片水平移動l個像素與垂直移動k個像素。\lambda 為權重，隨著平移距離遞減。

當{\displaystyle l=1,m=0}和{\displaystyle l=0,m=1}時，圖片的每一個像素與相鄰之下一個像素相減，此時的雙邊總變差與總變差相同。當{\displaystyle l,m}為其它值時，可以當成是計算斜線方向以及將圖片降採樣後的總變差值。如此達到更好的正規化效果。

根據S.Farisu的實驗結果，雙邊總變差相對於總變差，邊界模糊的情況較少，能夠更好的保留原圖片邊界。

參見
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* 數位訊號處理
* 最佳化
* 影像降噪
* 高斯模糊
* 中值濾波器
* 雙邊濾波器
* 非等向性擴散
* 非局部平均
* 三維塊匹配算法

參考文獻
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1. ↑  Rudin, L. I.; Osher, S.; Fatemi, E.. Physica D. 1992, **60** (1–4): 259–268. Bibcode:1992PhyD...60..259R. CiteSeerX 10.1.1.117.1675 可免费查阅. doi:10.1016/0167-2789(92)90242-f.
2. ↑  Little, M. A.; Jones, Nick S.  (PDF).. 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 2010  [2020-06-13]. （原始内容 (PDF)存档于2018-07-28）.
3. ↑  Chambolle, A.. Journal of Mathematical Imaging and Vision. 2004, **20**: 89–97. CiteSeerX 10.1.1.160.5226 可免费查阅. doi:10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e.
4. ↑  Wahlberg, B.; Boyd, S.; Annergren, M.; Wang, Y.. 2012. arXiv:1203.1828 可免费查阅 [stat.ML].
5. ↑  Bregman L. "A Relaxation Method of Finding a Common Point of Convex Sets and its Application to Problems of Optimization". Dokl. Akad. Nauk SSSR, v. 171, No. 5, 1966, p.p. 1019-1022. (English translation: Soviet Math. Dokl. v. 7, 1966, p.p. 1578-1581)
6. ↑  Heide, F.. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2013, **32**: 1––14. doi:10.1145/2516971.2516974.
7. 1 2  Farisu, S.. IEEE transactions on image processing. 2004, **13**: 1327––1344. doi:10.1109/TIP.2004.834669.