在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」；源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。

在電動力學裏，**黎納-維謝勢**指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

阿弗雷-瑪麗·黎納（英语：）於1898年，於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢。

歷史重要性
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經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論
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帶電粒子的移動軌道。
假設，從源頭位置{\mathbf {r}}'\,\!往檢驗位置\mathbf{r}\,\!發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間t\,\!抵達觀測者的檢驗位置\mathbf{r}\,\!，則這束電磁波發射的時間是推遲時間t\_{r}\,\!。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間t\,\!，會不同於這電磁波發射的推遲時間t\_{r}\,\!。推遲時間 t\_{r}\,\!定義為檢驗時間t\,\!減去電磁波傳播的時間：

t\_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}}\,\!；
其中，c\,\!是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為**時間延遲**。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

### 表達方程式

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為q\,\!，隨著時間t\,\!而改變的運動軌道為{\mathbf {w}}(t)\,\!。設定向量{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\,\!為從帶電粒子位置{\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t)\,\!到檢驗位置\mathbf{r}\,\!的分離向量：

{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}={\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t)\,\!。
則黎納-維謝純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!和黎納-維謝向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)\,\!分別以方程式表達為

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {v}}}}\,\!、
{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {{\mathbf {v}}}{c^{2}}}\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!；
其中，\epsilon \_{0}\,\!是真空電容率，\mathbf{v}\,\!是帶電粒子的移動速度，{\mathbf {v}}(t)={\frac {d{\mathbf {w}}}{dt}}\,\!。

雖然黎納-維謝純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!和黎納-維謝向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)\,\!的時間參數是t\,\!，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置{\mathbf {r}}'\,\!和速度\mathbf{v}\,\!都是採推遲時間t\_{r}\,\!時的數值：

{\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t\_{r})\,\!、
{\mathbf {v}}={\mathbf {v}}(t\_{r})\,\!。
### 推導

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!與推遲向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)\,\!分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{{\mathfrak {R}}}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'\,\!、
{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{{\mathfrak {R}}}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'\,\!；
其中，\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\,\!和{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\,\!分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，{\mathcal {V}}'\,\!是積分的體空間，d^{3}{\mathbf {r}}'\,\!是微小體元素，{\mathfrak {R}}\,\!向量還是採推遲時間t\_{r}\,\!時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

\rho ({\mathbf {r}},\,t)=q\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t))\,\!；
其中，\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t))\,\!是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!的方程式，

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t\_{r}))}{{\mathfrak {R}}}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'\,\!。
由於狄拉克δ函數\delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t\_{r}))\,\!的積分會從{\mathbf {r}}'\,\!的可能值中，挑選出當{\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t\_{r})\,\!時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間{\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t\_{r})\,\!時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}\delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t\_{r}))\,d^{3}{\mathbf {r}}'\,\!。
由於推遲時間t\_{r}\,\!跟三個變數t\,\!、\mathbf{r}\,\!、{\mathbf {r}}'\,\!有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數{\boldsymbol {\eta }}={\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t\_{r})\,\!。那麼，其雅可比行列式{\mathfrak {J}}\,\!為

{\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial {\mathbf {r}}'}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta \_{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta \_{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta \_{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta \_{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!。
行列式內分量很容易計算，例如：

{\cfrac {\partial \eta \_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w\_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w\_{x}}{\partial t\_{r}}}\ {\cfrac {\partial t\_{r}}{\partial x'}}=1-v\_{x}{\cfrac {\partial t\_{r}}{\partial x'}}\,\!、
{\cfrac {\partial \eta \_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w\_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w\_{y}}{\partial t\_{r}}}\ {\cfrac {\partial t\_{r}}{\partial x'}}=v\_{y}{\cfrac {\partial t\_{r}}{\partial x'}}\,\!。
按照上述方法，經過一番計算，可以得到

{\mathfrak {J}}=1-{\mathbf {v}}\cdot \nabla 't\_{r}=1-{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\cdot {\mathbf {v}}/c\,\!。
所以，推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\,\!的方程式變為

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial {\mathbf {r}}'}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{{\mathfrak {J}}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}}}\int \_{{{\mathcal {V}}'}}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\cdot {\mathbf {v}}/c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!。
這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {v}}}}\,\!。
類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

### 相對論性導引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作{\displaystyle S^{\prime }}。在{\displaystyle S^{\prime }}系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。

{\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}'}}}、
{\displaystyle A'=0}。
标势和矢势从{\displaystyle S^{\prime }}系到S系的变换满足洛仑兹变换：

{\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}、
{\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}；
其中，\gamma 是洛仑兹因子，{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}。

代入后可以得到：

{\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}'}}}、
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon \_{0}{\mathfrak {R}}'c}}}。
{\displaystyle {\mathfrak {R}}'}和{\mathfrak {R}}的变换关系也由洛仑兹变换给出：

{\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}
将{\displaystyle {\mathfrak {R}}'}的表达式代入即得到黎納-维谢势。

### 物理意義

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {q}{{\mathfrak {R}}}}\,\!。
這是黎納-維謝純量勢乘以**雅可比行列式因子**{\mathfrak {J}}\,\!。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。

### 移動中的帶電粒子的電磁場

從黎納-維謝勢，可以計算電場\mathbf {E} \,\!和磁場\mathbf {B} \,\!：

{\mathbf {E}}=-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}\,\!、
{\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}}\,\!。
求得的電場\mathbf {E} \,\!和磁場\mathbf {B} \,\!分別為

{\mathbf {E}}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\cfrac {{\mathfrak {R}}}{({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {u}})^{3}}}[(c^{2}-v^{2}){\mathbf {u}}+{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\times ({\mathbf {u}}\times {\mathbf {a}})]\,\!、
{\mathbf {B}}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\times {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},\,t)\,\! ;
其中，向量{\mathbf {u}}\,\!設定為c{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}-{\mathbf {v}}\,\!，帶電粒子的加速度是{\mathbf {a}}={\frac {d{\mathbf {v}}}{dt}}\,\!。

檢查電場\mathbf {E} \,\!的方程式，右邊第一項稱為**廣義庫侖場**，又稱為**速度場**，因為這項目與加速度無關。當v\ll c\,\!，粒子速度超小於光速時，{\mathbf {u}}\to c{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\,\!，這項目會趨向庫侖方程式：

{\mathbf {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon \_{0}}}\ {\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!。
右邊第二項稱為**輻射場**，又稱為**加速度場**，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱
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* 電磁波方程式
* 非齊次的電磁波方程式
* 傑斐緬柯方程式
* 拉莫方程式
* 阿布拉罕-勞侖茲力
* 電磁場的數學表述

參考文獻
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1. ↑  Marc Jouguet, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958  [2009-10-17], （原始内容存档于2009-07-06）
2. ↑  
Mulligan, Joseph F. American Journal of Physics, March, **69** (3): pp. 277–287  请检查`|date=`中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
3. ↑  Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, **55** (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972  请检查`|date=`中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
4. ↑  Griffiths, David; Heald, Mark, American Journal of Physics, Feb. **59** (2): pp. 111–117  请检查`|date=`中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
5. 1 2  俞允强.. 北京大学出版社. 1999: p298.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. ↑  Bo Thide.. Dover Publications, Incorporated. 2011-03-17  [2016-06-26]. ISBN 978-0-486-47773-2. （原始内容存档于2016-06-10）.
7. ↑  Griffiths, David J.. Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

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