**勒让德符号**，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。

定义
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勒让德符号({\tfrac {a}{p}})（有时为了印刷上的方便，写成(*a*|*p*))有下列定义：

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| \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\quad 0\\+1\\-1\end{cases}} | \quad | 如果a\equiv 0{\pmod {p}} |
| 如果a\not \equiv 0{\pmod {p}}，且对于某个整数x,x^{2}\equiv \;a{\pmod {p}} |
| 如果不存在整数x，使得x^{2}\equiv \;a{\pmod {p}}。 |

如果(*a*|*p*) = 1，*a* 便称为二次剩余(mod *p*)；如果(*a*|*p*) = −1，则 *a* 称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。

*a* 等于0、1、2、……时的周期数列(*a*|*p*)，又称为**勒让德数列**，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。

勒让德符号的公式
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勒让德原先把他的符号定义为：

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}
欧拉在之前证明了这个表达式是≡ 1 (mod *p*)，如果*a*是二次剩余(mod *p*)，是≡ −1如果*a*是二次非剩余；这个结论现在称为欧拉准则。

除了这个基本公式以外，还有许多其它(*a*|*p*)的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。

高斯证明了如果\zeta =e^{{\frac {2\pi i}{p}}}，那么：

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\frac {1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a}}{1+\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}}}}={\frac {2(1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a})}{{\sqrt {p}}(1+i)[1+(-i)^{p}]}}.}
这是他对二次互反律的第四个、第六个，以及许多后续的证明的基础。参见高斯和。

克罗内克的证明是建立了

\left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname{sgn} \prod \_{{i=1}}^{{{\frac {q-1}{2}}}}\prod \_{{k=1}}^{{{\frac {p-1}{2}}}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)
然后把*p*和*q*互换。

艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始：

\left({\frac {q}{p}}\right)=\prod \_{{n=1}}^{{{\frac {p-1}{2}}}}{\frac {\sin({\frac {2\pi }{p}}qn)}{\sin({\frac {2\pi }{p}}n)}}.
把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。

### 其它含有勒让德符号的公式

斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1 = F2 = 1，Fn+1 = Fn + Fn-1定义。

如果*p*是素数，则：

F\_{{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}\equiv 0{\pmod p},\;\;\;F\_{{p}}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod p}.

> 
> 例如： 
> 
> 
> ({\tfrac {2}{5}})=-1,\,\,F\_{3}=2,F\_{2}=1,
> ({\tfrac {3}{5}})=-1,\,\,F\_{4}=3,F\_{3}=2,
> ({\tfrac {5}{5}})=\;\;\,0,\,\,F\_{5}=5,
> ({\tfrac {7}{5}})=-1,\,\,F\_{8}=21,\;\;F\_{7}=13,
> ({\tfrac {11}{5}})=+1,F\_{{10}}=55,F\_{{11}}=89.
> 

这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。参见沃尔-孙-孙素数。

性质
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勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：

* \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）

* 如果*a* ≡ *b* (mod *p*)，则\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)

* \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1

* {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}

这个性质称为二次互反律的第一补充。

* {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}}

这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：

* 如果*p*和*q*是奇素数，则\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}.

参见二次互反律和二次互反律的证明。

以下是一些较小的*p*的值的公式：

* 对于奇素数*p*，\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lceil {\frac {p+1}{6}}\right\rceil }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}\end{cases}}

* 对于奇素数*p*，\left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p-2}{5}}\right\rfloor }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod 5}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod 5}\end{cases}},

但一般直接把剩余和非剩余列出更简便：

* 对于奇素数*p*，\left({\frac {7}{p}}\right)={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1,3,9,19,25,{\mbox{ or }}27{\pmod {28}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5,11,13,15,17,{\mbox{ or }}23{\pmod {28}}\end{cases}}

勒让德符号(*a*|*p*)是一个狄利克雷特征(mod *p*)。

计算例子
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以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：

\left({\frac {12345}{331}}\right)
=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {823}{331}}\right)
=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {161}{331}}\right)
=\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {7}{331}}\right)\left({\frac {23}{331}}\right)
=(-1)\left({\frac {331}{3}}\right)\left({\frac {331}{5}}\right)(-1)\left({\frac {331}{7}}\right)(-1)\left({\frac {331}{23}}\right)
=-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {9}{23}}\right)
=-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3}{23}}\right)^{2}
=-\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)=-1.

相关函数
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* 雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
* 一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。

参考文献
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* Gauss, Carl Friedrich; Maser, H.（德文翻译者）, New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8

* Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A.（英文翻译者）, New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549

* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02405-5

* Lemmermeyer, Franz, Berlin: Springer, 2000, ISBN 3-540-66957-4

* Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X

* Ribenboim, Paulo, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5

外部链接
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* 雅可比符号计算器