此條目介紹的是数论中的贝祖等式。关于代数几何中的贝祖定理，请见「**贝祖定理**」。
在数论中，**裴蜀等式**（英語：）或**貝祖定理**（）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數 a、b 和 m，关于未知数 x 和 y 的線性丟番圖方程（称为**裴蜀等式**）：

ax+by=m
有整数解时当且仅当 *m* 是 a 及 b 的最大公约数 d 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 x、y 都稱為**裴蜀數**，可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如，12 和 42 的最大公因數是 6，则方程 12x+42y=6 有解。事实上有 {\displaystyle (-3)\times 12+1\times 42=6}、{\displaystyle 4\times 12+(-1)\times 42=6}等。

特别来说，方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数 *a* 和 *b* 互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d 其實就是最小的可以寫成 ax+by 形式的正整數。这个定义的本质是整环中"理想"的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史
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历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（法语：）。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（*Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres*）第二版中给出了问题的描述和证明。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。

整数中的裴蜀定理
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对任意两个整數a、b，设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的線性丟番圖方程（称为**裴蜀等式**）：

\displaystyle ax+by=m
有整数解(x,y) 当且仅当*m*是d的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

**证明**：

如果 a 和 b 中有一个是0，比如a=0，那么它们两个的最大公约数是b。这时裴蜀等式变成\displaystyle by=m，它有整数解(x,y)当且仅当*m*是b的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为x可以是任何整数。定理成立。

以下设a和 b都不为0。

设A=\{xa+yb;(x;y)\in \mathbb{Z } ^{2}\}，下面证明A中的最小正元素是a与b的最大公约数。

首先，A\cap \mathbb{N} ^{\*} 不是空集（至少包含|a|和|b|），因此由于自然数集合是良序的，A中存在最小正元素d\_{0}=x\_{0}a+y\_{0}b。考虑*A*中任意一个正元素p（=x\_{1}a+y\_{1}b）对d\_{0}的带余除法：设p=qd\_{0}+r，其中q为正整数，0\leq r<d\_{0}。但是

{\displaystyle r=p-qd\_{0}=x\_{1}a+y\_{1}b-q(x\_{0}a+y\_{0}b)=(x\_{1}-qx\_{0})a+(y\_{1}-qy\_{0})b\in A}
因此 r=0，d\_{0}\ |\ p。也就是说，*A*中任意一个正元素*p*都是 d\_{0} 的倍数，特别地：d\_{0}\ |\ a、d\_{0}\ |\ b。因此 d\_{0} 是a和b的公约数。

另一方面，对a和b的任意正公约数d，设a=kd、 b=ld，那么

d\_{0}=x\_{0}a+y\_{0}b=(x\_{0}k+y\_{0}l)d
因此d\ |\ d\_{0}。所以d\_{0}是a和b的最大公约数。

在方程ax+by=m中，如果 m=m\_{0}d\_{0}，那么方程显然有无穷多个解：

{\displaystyle \left\{\left(m\_{0}x\_{0}+{\frac {kb}{d}},\ m\_{0}y\_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}。
相反的，如果ax+by=m有整数解，那么|m|\in A，于是由前可知 d\_{0}\ |\ |m|（即 d\_{0}\ |\ m）。

m=1时，方程有解当且仅当a、b互质。方程有解时，解的集合是

{\displaystyle \left\{\left({\frac {m}{d}}x\_{0}+{\frac {kb}{d}},\ {\frac {m}{d}}y\_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}。其中(x\_{0},y\_{0})是方程ax+by=d的一个解，可由辗转相除法得到。
所有解中，恰有二解(x,y)满足{\displaystyle |x|\leq |b/d|}及{\displaystyle |y|\leq |a/d|}，等號只會在a及b其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

例子
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丟番圖方程504x+651y=14 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程504x+651y=21是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

24x+31y=1。
通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解{\displaystyle (x,y)=(-9,7)}：24\cdot (-9)+31\cdot 7=-216+217=1。

特解{\displaystyle (x,y)=(-9,7)}的求法
{\displaystyle {\color {Blue}24x+31y=1\rightarrow 1-31y=24x}}
{\displaystyle {\color {Blue}\rightarrow 1-31y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-(31-24)y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-7y\equiv 0{\pmod {24}}}}
令{\displaystyle {\color {Red}1-7y=24a\rightarrow 1-24a=7y}}
{\displaystyle {\color {Red}\rightarrow 1-24a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-(24-7\times 3)a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-3a\equiv 0{\pmod {7}}}}
令{\displaystyle {\color {Green}1-3a=7b\rightarrow 1-7b=3a}}
{\displaystyle {\color {Green}\rightarrow 1-7b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-(7-3\times 2)b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-b\equiv 0{\pmod {3}}}}
取{\displaystyle b=1}為滿足{\displaystyle 1-b\equiv 0{\pmod {3}}}的解

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將{\displaystyle b=1}代回{\displaystyle 1-3a=7b}，解一元一次方程式得{\displaystyle a=-2}
將{\displaystyle a=-2}代回{\displaystyle 1-7y=24a}，得{\displaystyle y=7}
將{\displaystyle y=7}代回24x+31y=1，得{\displaystyle x=-9}
故{\displaystyle (x,y)=(-9,7)}為一組特解

于是通解为：{\displaystyle \left\{\left(1\cdot -9+31k,1\cdot 7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}，即

{\displaystyle \left\{\left(-9+31k,7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}。

多个整数间的裴蜀定理
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设a\_{1},\cdots a\_{n}为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x\_{1},\cdots x\_{n} 使得 x\_{1}\cdot a\_{1}+\cdots x\_{n}\cdot a\_{n}=d。特别来说，如果a\_{1},\cdots a\_{n}互质（不是两两互质），那么存在整数x\_{1},\cdots x\_{n} 使得 x\_{1}\cdot a\_{1}+\cdots x\_{n}\cdot a\_{n}=1。

多项式环{\displaystyle K[X]}裡的貝祖定理
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K为域时，对于多项式环{\displaystyle K[X]}裡的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族{\mathbb {K}}[X]裡的多项式\left(P\_{i}\right)\_{{i\in I}}。设\Delta 为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式\left(A\_{i}\right)\_{{i\in I}}使得\textstyle \Delta =\sum \_{{i\in I}}A\_{i}P\_{i}。特别来说，如果\left(P\_{i}\right)\_{{i\in I}}互质（不是两两互质），那么存在多项式\left(A\_{i}\right)\_{{i\in I}}使得\textstyle \sum \_{{i\in I}}A\_{i}P\_{=}1。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

任意主理想环上的情况
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裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

ax+by=d
这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA+bA的生成元。

参见
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* 理想 (环论)
* 欧几里德整环
* 欧几里德引理
* 主理想环
* 整除

参考来源
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1. ↑ .  [2008-08-26]. （原始内容存档于2014-09-08）.
2. ↑ .  [2008-08-26]. （原始内容存档于2019-12-01）.

* 闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
* 唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

外部連結
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* 線上計算器 （页面存档备份，存于）