曲率半径与曲率中心
在微分几何中，**曲率半径**R是曲率的倒数。 对于曲线上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。

定义
--

对于空间曲线，曲率半径是曲率矢量的长度。

对于平面曲线，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比的绝对值

{\displaystyle R=\left\vert {ds \over d\varphi }\right\vert ={1 \over \kappa }}

而κ是曲率。

公式
--

### 二维

更多：Curvature § Plane curves
若曲线在笛卡尔坐标中为*y*(*x*) 作为函数图，则其曲率半径为（假设曲线可进行二阶微分）



R
=

|

(

1
+

y

′

2

)

3
2

y
″

|

,

{\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}

{\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}
其中{\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}{\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}|*z*|为*z*的绝对值。

如果曲线是关于函数*x*(*t*)和*y*(*t*)的参数方程，则其曲率半径为



R
=

|

d
s

d
φ

|

=

|

(


x
˙

2

+

y
˙

2

)

3
2


x
˙



y
¨

−

y
˙



x
¨



|

{\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}

{\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}
其中{\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}{\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}{\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}{\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}

由此启发，该结果可以表示为



R
=

|

v

|

3

|

v

×

v
˙

|

,

{\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}

{\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}
其中


|

v

|

=

|

(

x
˙

,

y
˙

)

|

=
R

d
φ

d
t

.

{\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}

{\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}
### n维

若**γ** : ℝ → ℝ*n*是ℝ*n*中的参数方程曲线，则曲线上每个点的曲率半径*ρ* : ℝ → ℝ ，由此可知



ρ
=

|

γ

′

|

3


|

γ

′

|

2


|

γ

″

|

2

−

(

γ

′

⋅

γ

″

)

2



.

{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}

{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}
特殊情况下，若*f*(*t*)是从ℝ映射到ℝ的函数，则其图象的曲率半径**γ**(*t*) = (*t*, *f* (*t*))为



ρ
(
t
)
=

|

1
+

f

′

2

(
t
)

|

3
2

|

f
″

(
t
)

|

.

{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}

{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}

  

### 推导过程

令**γ**如上，并固定*t* 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径*ρ* 。显然，半径与位置**γ**(*t*) 无关，而与速度**γ**′(*t*)和加速度**γ**″(*t*) 有关。 由向量**v**和**w**只能获得三个独立标量，即**v** · **v** 、 **v** · **w**和**w** · **w** 。因此，曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |**γ**′(*t*)|2, |**γ**″(*t*)|2，**γ**′(*t*) · **γ**″(*t*) 。 

ℝ*n*中圆的一般参数方程为


g

(
u
)
=

a

cos
⁡
(
h
(
u
)
)
+

b

sin
⁡
(
h
(
u
)
)
+

c

{\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }

{\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }
其中**c** ∈ ℝ*n*是圆心（无关，因为它在求导过程中消失）， **a**,**b** ∈ ℝ*n*是长度为*ρ*的相互垂直的向量（即， **a** · **a** = **b** · **b** = *ρ*2，**a** · **b** = 0 ), *h* : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。

**g**的相关导数为



|

g

′

|

2


=

ρ

2

(

h
′

)

2



g

′

⋅

g

″

=

ρ

2

h
′

h
″



|

g

″

|

2


=

ρ

2

(

(

h
′

)

4

+
(

h
″

)

2

)


{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}
若现在将**g**的导数等同于*t*处**γ**的相应导数，可得



|

γ

′

(
t
)

|

2


=

ρ

2

h

′

2

(
t
)



γ

′

(
t
)
⋅

γ

″

(
t
)

=

ρ

2

h
′

(
t
)

h
″

(
t
)


|

γ

″

(
t
)

|

2


=

ρ

2

(

h

′

4

(
t
)
+

h

″

2

(
t
)

)


{\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}
关于三个未知数（ *ρ* 、 *h*′(*t*)和*h*″(*t*) ）的三个方程可以求解其中的*ρ* ，可得曲率半径的公式为：



ρ
(
t
)
=

|

γ

′

(
t
)

|

3


|

γ

′

(
t
)

|

2


|

γ

″

(
t
)

|

2

−

(

γ

′

(
t
)
⋅

γ

″

(
t
)

)

2



,

{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}

{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}
提高可读性省略参数*t* ，可得



ρ
=

|

γ

′

|

3


|

γ

′

|

2


|

γ

″

|

2

−

(

γ

′

⋅

γ

″

)

2



.

{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}

{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}

參考
--

1. ↑  Weisstien, Eric.. Wolfram Mathworld.  [15 August 2016].
2. ↑  Kishan, Hari.. Atlantic Publishers & Dist. 2007. ISBN 9788126908202 （英语）.
3. 1 2  Love, Clyde E.; Rainville, Earl D.  Sixth. New York: MacMillan. 1962 （英语）.
4. ↑  Kishan, Hari.. Atlantic Publishers & Dist. 2007. ISBN 9788126908202 （英语）.
5. ↑  Love, Clyde E.; Rainville, Earl D.  Sixth. New York: MacMillan. 1962 （英语）.
6. ↑  Love, Clyde E.; Rainville, Earl D.  Sixth. New York: MacMillan. 1962 （英语）.