情況1：直線*LNM*穿過三角形*ABC*
情況2：直線*LNM*在三角形*ABC*外面(M與N位置可能有錯）

  

**梅涅劳斯定理**（**Menelaus' theorem**），以古希腊数学家梅涅勞斯（英语：）為名。它指出：如果一直线与{\displaystyle \triangle ABC}的边*BC*、*CA*、*AB*或其延長線分别交于*L*、*M*、*N*，则有：

{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1}。
它的逆定理也成立：若有三点*L*、*M*、*N*分别在{\displaystyle \triangle ABC}的边*BC*、*CA*、*AB*或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1}
则*L*、*M*、*N*三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1。

该定理与塞瓦定理的等式仅在条件上有所不同，二者互为对偶定理。

证明
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#### 面积法证明

如情况一，连接{\displaystyle AL}、{\displaystyle CN}，有

{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}={\frac {\mathrm {S} \_{\triangle LNA}}{\mathrm {S} \_{\triangle LNB}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} \_{\triangle LNB}}{\mathrm {S} \_{\triangle LNC}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} \_{\triangle LNC}}{\mathrm {S} \_{\triangle ANL}}}=1}

#### 正弦定理证明

如情況一，设{\displaystyle \angle ANM=\alpha }，{\displaystyle \angle AMN=\beta }，{\displaystyle \angle MLC=\gamma }，則在{\displaystyle \triangle AMN}中由正弦定理，有

{\displaystyle {\frac {AN}{AM}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},}
同理，因對頂角相等在{\displaystyle \triangle NBL}和{\displaystyle \triangle CLM}中有

{\displaystyle {\frac {BL}{BN}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},}
及

{\displaystyle {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}.}
三式相乘即得

{\displaystyle {\frac {AN}{AM}}\cdot {\frac {BL}{BN}}\cdot {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}\cdot {\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}=1,}
即 

{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1.}

历史
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目前不确定是谁首先发现了梅涅劳斯定理。现存最早的关于定理的内容出现在梅涅劳斯的著作《球面三角学》中。在本书中，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。

在《天文学大成》中，托勒密将该定理应用于球形天文学中的许多问题。 
在伊斯兰黄金时代，穆斯林学者投入了大量从事梅涅劳斯定理研究的著作，他们称之为"关于割线的命题"（shakl al-qatta'）。完全四边形在他们的术语中被称为"割线图"。比鲁尼的作品"天文学的钥匙"列出了其中的一些作品；这些作品都可被归类为托勒密的《天文学大成》内容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每个作品都展示了梅涅劳斯定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作为独立论文组成的作品，例如：

塔比·伊本·库拉撰写的"关于割线图的论述"（Risala fi shakl al-qatta'）。
Husam al-DIn al-Salar的《揭开割线图的奥秘》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被称为《割线图之书》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或在欧洲被称为"完全四边形的论文"。 Al-Tusi和Nasir al-Din al-Tusi提到了其中丢失的内容。
阿尔·锡杰齐的工作。 
Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。
Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻译和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（来自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及历史和数学评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4

延伸阅读
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* Russell, John Wellesley.. . Clarendon Press. 1905.

参见
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* 塞瓦定理

参考文献
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1. ↑  Smith, D.E.  **II**. Courier Dover Publications. 1958: 607. ISBN 0-486-20430-8.
2. 1 2 3  Rashed, Roshdi.  **2**. London: Routledge. 1996: 483. ISBN 0-415-02063-8.
3. 1 2  Moussa, Ali.. Arabic Sciences and Philosophy (Cambridge University Press). 2011, **21** (1). doi:10.1017/S095742391000007X.

外部链接
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|  | 維基教科書中的相關電子：**梅涅劳斯定理** |

* Alternate proof （页面存档备份，存于） of Menelaus's theorem, from PlanetMath
* Menelaus From Ceva （页面存档备份，存于）
* Ceva and Menelaus Meet on the Roads （页面存档备份，存于）
* Menelaus and Ceva at MathPages
* Demo of Menelaus's theorem （页面存档备份，存于） by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.