在数学中，**札克变换**  （英文：**Zak Transform**，也称**盖尔范德****映射**）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。  

札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为"k-q表示"。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。

连续时间札克变换：定义
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在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设f(t) 为实变量*t*的函数, f(t)的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是*t* ，另一个变量用*w*表示，可由如下多种方式定义：

### 定义1

设*a*为大于0的常数，f(t)的连续时间札克变换可定义如下：

{\displaystyle Z\_{a}[f](t,w)={\sqrt {a}}\sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}
### 定义2

在定义1中，有时取*a = 1。* 在这种情况下，f(t)的连续时间札克变换可以简化为：

{\displaystyle Z[f](t,w)=\sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}
### 定义3

有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， f(t)的连续时间札克变换为：

{\displaystyle Z[f](t,\nu )=\sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}
### 定义4

设*T*为为大于0的常数。 f(t)的连续时间札克变换也可由下式定义：

{\displaystyle Z\_{T}[f](t,w)={\sqrt {T}}\sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}
此时，*t*与*w*满足：{\displaystyle 0\leqslant t\leqslant T}, {\displaystyle 0\leqslant w\leqslant {\frac {1}{T}}}

示例
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试求如下函数的札克变换：

{\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
解：

{\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}
其中{\displaystyle \lceil -t\rceil }表示不小于{\displaystyle -t}的最小整数（ceil函数）。

札克变换的性质
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以下讨论中的札克变换均采用定义二：

**1.线性**

设*a*和*b*为任意复数，则：

{\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}
**2.周期性**

{\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)}
**3.准周期性**

{\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}
**4.共轭性**

{\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,w)={\overline {Z[f]}}(t,-w)}
**5.对偶性**

若f(t)是偶函数，则：{\displaystyle Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)}
若f(t)是奇函数，则：{\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)}
**6.卷积性**

令{\displaystyle \star }表示对变量*t*的卷积：

{\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}

逆变换公式
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给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：

{\displaystyle f(t)=\int \_{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.}

离散札克变换：定义
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设f(n)是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足{\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 。与连续时间札克变换相同，f(n)的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是n ，另一个变量是一个实数，表示为w ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：

### 定义

函数的离散札克变换f(n)，记为{\displaystyle Z[f]}，由下式定义，其中n是一个整数：

{\displaystyle Z[f](n,w)=\sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}
### 逆变换公式

给定函数的离散札克变换f(n) ，原函数可用下式计算：

{\displaystyle f(n)=\int \_{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.}

应用
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札克变换在物理学中的量子场论、 电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。

参考文献
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1. 1 2 3 4 . Encyclopedia of Mathematics.  [15 December 2014].
2. 1 2 3 4 5  Alexander D. Poularikas (编).  3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4.
3. ↑  J. Klauder, B.S. Skagerstam.. World Scientific. 1985.

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