電荷泵鎖相迴路
**電荷泵鎖相迴路**（Charge-pump phase-locked loop）簡稱**CP-PLL**，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差。

鉴相器（PFD）
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鉴相器動態
鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD i(t)的輸出信號只有三個狀態：0, {\displaystyle +I\_{p}},和{\displaystyle -I\_{p}}。
參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在{\displaystyle +I\_{p}}就不會變動。
VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在{\displaystyle -I\_{p}}就不會變動。
若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。

CP-PLL的數學模型
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第一個二階CP-PLL的數學模型是由佛洛依德·加德納（英语：）在1980年提出的。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型。

CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）。

### 二階CP-PLL的連續時間線性模型以及加德納的猜想

加德納的分析是以以下的近似為基礎：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為

{\displaystyle t\_{p}=|\theta \_{e}|/\omega \_{\rm {ref}},\ \theta \_{e}=\theta \_{\rm {ref}}-\theta \_{\rm {vco}}.}
CP-PLL的PDF平均輸出為 

{\displaystyle i\_{d}=I\_{p}\theta \_{e}/2\pi }
對應的傳遞函數為

{\displaystyle I\_{d}(s)=I\_{p}\theta \_{e}(s)/2\pi }
若用濾波器傳遞函數{\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}以及VCO傳遞函數{\displaystyle \theta \_{\rm {vco}}(s)=K\_{\rm {vco}}I\_{d}(s)F(s)/s}，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

{\displaystyle {\frac {\theta \_{e}(s)}{\theta \_{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K\_{\rm {vco}}I\_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}

佛洛依德·加德納（英语：）在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」（加德納對CP-PLL的猜想）。
依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。

### 二階CP-PLL的連續時間非線性模型

為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。
令參考信號第一個下降緣的時間為t = 0。 
PFD狀態{\displaystyle i(0)}會依PFD的初始狀態{\displaystyle i(0-)}，VCO的初始相位移{\displaystyle \theta \_{vco}(0)}，以及參考信號{\displaystyle \theta \_{ref}(0)}的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流i(t)和輸出電壓{\displaystyle v\_{F}(t)}的關係為

{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{F}(t)=v\_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits \_{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}
其中{\displaystyle R>0}是電阻，{\displaystyle C>0}是電感。
{\displaystyle v\_{c}(t)}是電容器的電壓。
控制信號{\displaystyle v\_{F}(t)}會調整VCO頻率：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}\_{vco}(t)=\omega \_{vco}(t)=\omega \_{vco}^{\text{free}}+K\_{vco}v\_{F}(t),\end{aligned}}}
其中{\displaystyle \omega \_{vco}^{\text{free}}}是VCO的自由運行頻率
（也就是{\displaystyle v\_{F}(t)\equiv 0})，{\displaystyle K\_{vco}}是VCO增益（靈敏度）、{\displaystyle \theta \_{vco}(t)}是VCO相位。
最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}\_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}\_{vco}(t)=\omega \_{vco}^{\text{free}}+K\_{vco}(Ri(t)+v\_{c}(t))\end{aligned}}}
其中有以下的不連續分段常數非線性

{\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta \_{ref}(t),\theta \_{vco}(t){\big )}}
初始條件為{\displaystyle {\big (}v\_{c}(0),\theta \_{vco}(0){\big )}}.
此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。

### 二階CP-PLL的離散時間非線性模型

在時間區間內的PFD動態
假設參考信號頻率為常數:
{\displaystyle \theta \_{ref}(t)=\omega \_{ref}t={\frac {t}{T\_{ref}}},}
其中{\displaystyle T\_{ref}}、{\displaystyle \omega \_{ref}}和{\displaystyle \theta \_{ref}(t)}是參考資料的週期、頻率和相位。

令{\displaystyle t\_{0}=0}，
這表示{\displaystyle t\_{0}^{\rm {middle}}}是第一個PFD輸出為0的時間
（若{\displaystyle i(0)=0}，則{\displaystyle t\_{0}^{\rm {middle}}=0}）
且t\_{1}是VCO或參考信號的第一個下降緣。
其且，可以定義對應的遞減數列{\displaystyle \{t\_{k}\}}、{\displaystyle \{t\_{k}^{\rm {middle}}\}}，其中{\displaystyle k=0,1,2...}。

令{\displaystyle t\_{k}<t\_{k}^{\rm {middle}}}.
則在{\displaystyle t\in [t\_{k},t\_{k}^{\rm {middle}})}時，{\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}是非零的常數（{\displaystyle \pm 1}）。
令{\displaystyle \tau \_{k}}為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號： 

{\displaystyle \tau \_{k}=(t\_{k}^{\rm {middle}}-t\_{k}){\text{sign}}(i(t))} for {\displaystyle t\in [t\_{k},t\_{k}^{\rm {middle}})}
{\displaystyle \tau \_{k}=0} for {\displaystyle t\_{k}=t\_{k}^{\rm {middle}}}
若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則{\displaystyle \tau \_{k}<0}，反之，可得{\displaystyle \tau \_{k}>0}。{\displaystyle \tau \_{k}}可以看出二個信號下降緣的先後順序。在{\displaystyle (t\_{k}^{\rm {middle}},t\_{k+1})}區間內，PFD輸出為零，PFD {\displaystyle i(t)\equiv 0}：

{\displaystyle v\_{F}(t)\equiv v\_{k}} for {\displaystyle t\in [t\_{k}^{\rm {middle}},t\_{k+1})}.
將{\displaystyle (\tau \_{k},v\_{k})}變成下式的變數變換
{\displaystyle p\_{k}={\frac {\tau \_{k}}{T\_{\rm {ref}}}},u\_{k}=T\_{\rm {ref}}(\omega \_{\rm {vco}}^{\text{free}}+K\_{\rm {vco}}v\_{k})-1,}
可以讓參數減至二個：
{\displaystyle \alpha =K\_{\rm {vco}}I\_{p}T\_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K\_{\rm {vco}}I\_{p}T\_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}

此處p\_k是正規化的相位偏移，{\displaystyle u\_{k}+1}是VCO頻率 {\displaystyle \omega \_{\rm {vco}}^{\text{free}}+K\_{\rm {vco}}v\_{k}}相對於參考頻率{\displaystyle {\frac {1}{T\_{\rm {ref}}}}}的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下

{\displaystyle {\begin{aligned}&u\_{k+1}=u\_{k}+2\beta p\_{k+1},\\&p\_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u\_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u\_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c\_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p\_{k}\geq 0,\quad c\_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u\_{k}+1}}-1+(p\_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p\_{k}\geq 0,\quad c\_{k}>0,\\l\_{k}-1,\quad {\text{ for }}p\_{k}<0,\quad l\_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u\_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u\_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d\_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p\_{k}<0,\quad l\_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}
其中

{\displaystyle {\begin{aligned}c\_{k}=(1-(p\_{k}{\text{ mod }}1))(u\_{k}+1)-1,S\_{l\_{k}}=-(u\_{k}-\alpha +1)p\_{k}+\beta p\_{k}^{2},l\_{k}={\frac {1-(S\_{l\_{k}}{\text{ mod }}1)}{u\_{k}+1}},d\_{k}=(S\_{l\_{k}}{\text{ mod }}1)+u\_{k}.\end{aligned}}}
此離散時間模型只在{\displaystyle (u\_{k}=0,p\_{k}=0)}有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍。

若VCO過載，也就是{\displaystyle {\dot {\theta }}\_{\rm {vco}}(t)}為零， 
或者是以下的式子 
{\displaystyle (p\_{k}>0,u\_{k}<2\beta p\_{k}-1)}或
{\displaystyle (p\_{k}<0,u\_{k}<\alpha -1)}, 
則需要考慮額外的CP-PLL動態特性。
針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。
在實務上，需避免VCO的過載。

### 高階CP-PLL的非線性模型

高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算

參考資料
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1. ↑  USA US3714463A,Jon M. Laune,「Digital frequency and/or phase detector charge pump」,发表于1973-01-30
2. 1 2 3 4  F. Gardner.. IEEE Transactions on Communications. 1980, **28** (11): 1849–1858. Bibcode:1980ITCom..28.1849G. doi:10.1109/TCOM.1980.1094619.
3. ↑  M. van Paemel.. IEEE Transactions on Communications. 1994, **42** (7): 2490–2498. doi:10.1109/26.297861.
4. 1 2  N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, and T. Mokaev.  (PDF). Differential Equations and Control Processes. 2019, **1**: 109–120  [2021-06-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-20）.
5. 1 2  N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev.  **1901** (1468). 2020. arXiv:1901.01468 可免费查阅.
6. 1 2 3  N.V. Kuznetsov, A.S. Matveev, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev.. IFAC World Congress. 2020. arXiv:2005.00864 可免费查阅.
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8. ↑  P. Curran, C. Bi, and O. Feely.. International Journal of Circuit Theory and Applications. 2013, **41** (11): 1109–1135. doi:10.1002/cta.1814.
9. ↑  C. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, and G. Benbassat.. Analog Integrated Circuits and Signal Processing. 1999, **19** (1): 25–45. S2CID 58204942. doi:10.1023/A:1008326315191.