| 各種函數 |
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| *x* ↦ *f* (*x*) |
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不同定義域和陪域 |
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* X → {\displaystyle \mathbb {B} }, {\displaystyle \mathbb {B} } → X, {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}} → {\displaystyle \mathbb {B} }
* X →（英语：） \mathbb {Z} , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}→ X
* X →（英语：） \R, \R → X, \R^n →（英语：） X
* X →（英语：） {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {C} } → X, {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} →（英语：） X

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| 函數類/性質 |
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* 常值
* 恆等
* 線性
* 多項式
* 有理
* 代數
* 解析
* 光滑
* 連續
* 可測
* 單射
* 满射
* 双射

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構造 |
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* 限制
* 複合
* λ
* 逆

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推廣 |
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* 偏（英语：）
* 多值
* 隱

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| * 
* 论
* 编
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**满射**或**蓋射**（英語：），或稱**满射函数**或**映成函數**，一个函数f:X\rightarrow Y为满射，則对于任意的陪域 Y 中的元素 y，在函数的定义域 X 中存在一點 x 使得 f(x)=y。换句话说，f是满射時，它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 {\displaystyle y\in Y} 其原像 {\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq X} 不等於空集合。

例子和反例
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函数g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}，定义为g(x)=x^{2}，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足x^{2}=-1。

但是，如果把g的陪域限制到只有非负实数，则函数g为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数y，我们能对y=x^2求解，得到x=\pm {\sqrt {y}}。

  


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雙射（單射與滿射） | 
單射(one to one)但非滿射 |
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滿射(onto)但非单射 | 
非滿射非單射 |

性质
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根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在X上的函數f，視為其圖像，即{\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}}（集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是f的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

### 右可逆函數

函數{\displaystyle g:Y\to X}稱為函數f:X\to Y的**右逆**，意思是{\displaystyle f(g(y))=y}對Y的所有元素y成立。簡而言之，g的效果，可以f復原。用文字表示，g是f的右逆，意思是先做g後做f的複合f \circ g，等於Y上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求g是f的真正反函數，因為另一次序的複合g\circ f，不必是X的恆等函數。換言之，f可以「復原」或「抵消」g，但不必被g復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若f:X\to Y為滿射，B為Y的子集，則{\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B}，即從預象{\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)}，可以找回B。

### 右可消去

函數f:X\to Y是滿射，當且僅當其為右可消去（英语：）：給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數{\displaystyle g,h:Y\to Z}，若{\displaystyle g\circ f=h\circ f}，則有{\displaystyle g=h}。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射（英语：）或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射f的右逆g也稱為f的**截面（英语：）**。而有右逆的態射稱為分裂滿態射（英语：），是一類特殊的滿態射。

### 作為二元關係

以X為定義域，Y為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全（英语：）右唯一（英语：）的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由X到Y的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

### 定義域不小於陪域

滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若f:X \to Y為滿射，則X的元素個數必定至少等於Y的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明f有右逆，即存在函數{\displaystyle g:Y\to X}使得{\displaystyle f(g(y))=y}對Y的任意元素y成立。滿足此性質的g必為單射，故由基數大小比較的定義，有{\displaystyle |Y|\leq |X|}。

特別地，若X和Y皆是有限，且兩者的元素個數相同，則f:X\to Y是滿射當且僅當f為單射。

給定兩個集合X和Y，以{\displaystyle X\leq ^{\*}Y}表示「或者X為空，或者存在由Y至X的滿射」。利用選擇公理，可以證明，{\displaystyle X\leq ^{\*}Y}和{\displaystyle Y\leq ^{\*}X}兩者一起，足以推出{\displaystyle |Y|=|X|}。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

### 複合與分解

兩個滿射的複合仍是滿射：若f和g皆為滿射，且g的陪域是f的定義域，則f \circ g也是滿射。反之，若f \circ g為滿，則f是滿射，但g不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意{\displaystyle h:X\to Z}，都存在滿射f:X\to Y和單射{\displaystyle g:Y\to Z}使得{\displaystyle h=g\circ f}，取法如下：定義Y為所有原像{\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}的集合，其中z歷遍h的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分X。於是，f將每個x映到包含x的原像（此為Y的元素），然後g再將Y的每個元素（形如{\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}）映到相應的z。則f為滿射（因為Y中的元素，是原像{\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}，且非空，故有某個{\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)}，所以由f的定義有{\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)}），而根據g的定義，其為單射。

### 導出滿射和導出雙射

任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其**導出滿射**。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射f:A\to B可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：x \sim y當且僅當{\displaystyle f(x)=f(y)}。以{\displaystyle A/{\sim }}表示此等價關係下，A的等價類的集合。換言之，{\displaystyle A/{\sim }}是f所有原像的集合。以{\displaystyle P:A\to A/{\sim }}表示將x映到等價類{\displaystyle [x]\_{\sim }}的商映射，又設{\displaystyle f\_{P}:A/{\sim }\to B}，定義為{\displaystyle f\_{P}([x]\_{\sim })=f(x)}，則{\displaystyle f=f\_{P}\circ P}。由定義知，P是滿射，而f\_{P}是雙射。

相关条目
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* 单射
* 双射

參考文獻
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* Bourbaki, Nicolas.. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.


1. ↑  T. M. Apostol.. Addison-Wesley. 1981: 35.
2. ↑  Goldblatt, Robert.  [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984]  [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21） （英语）.