在數值分析上，**梯形法則**和**辛卜生法則**均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於**牛頓-寇次公式**。它們以函數於等距n+1點的值，取得一個n次的多項式來近似原來的函數，再行求積。

梯形法則
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原函數（藍色）近似為紅色的線性函數
多重梯形法則条目：梯形公式**梯形法則**是：

\int \_{{a}}^{{b}}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.
這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。

要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即：

\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right).
可改寫成

\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x\_{0})+2f(x\_{1})+2f(x\_{2})+\cdots +2f(x\_{{n-1}})+f(x\_{n})\right)
其中

對k=0,1,\dots ,n，x\_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},。

辛卜生法則
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**辛卜生法則**（Simpson's rule，又稱**森遜法則**、**辛普森法則**）是：

\int \_{{a}}^{{b}}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].
同樣地，辛卜生法則也有多重的版本：

\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac h3}\cdot \left[f(x\_{0})+2\sum \_{{k=1}}^{{n-1}}f(x\_{k})+4\sum \_{{k=1}}^{{n}}f\left({\frac {x\_{{k-1}}+x\_{k}}2}\right)+f(x\_{n})\right]
h={\frac {b-a}{n}},\ x\_{k}=a+k\cdot h.
或寫成

\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x\_{0})+4f(x\_{1})+2f(x\_{2})+4f(x\_{3})+2f(x\_{4})+\cdots +4f(x\_{{n-1}})+f(x\_{n}){\bigg ]}

牛頓-寇次公式
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牛頓-寇次公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是：

\int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum \_{{i=0}}^{n}w\_{i}\,f(x\_{i})

其中對k=0,1,\dots ,n，w\_{i}是常數（由n的值決定），x\_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}}。

梯形法則和辛卜生法則便是n=1,2的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取 x\_{k}=a+k{\frac {b-a}{n+1}} 。

### 原理

* 假設已知f(x\_{0}),f(x\_{1}),\dots ,f(x\_{n})的值。
* 以n+1點進行插值，求得對應f(x)的拉格朗日多項式。
* 對該n次的多項式求積。

該積分便可以作為\int \_{a}^{b}f(x)\,dx的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由n決定其值），所以積函數的係數（即w\_{i}）都是常數。

### 缺點

對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。

### 例子

下表中f\_{i}=f(x\_{i})，\xi \in [a,b]，{\displaystyle h=b-a}

| 精度 | 名稱 | 公式 | 誤差 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 梯形法則 | {\frac {h}{2}}(f\_{0}+f\_{1}) | {\displaystyle -{\frac {2h^{3}}{3}}\,f^{(2)}(\xi )} |
| 2 | 辛卜生法則 | {\frac {h}{6}}(f\_{0}+4f\_{1}+f\_{2}) | -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{{(4)}}(\xi ) |
| 3 | 辛卜生3/8法則辛卜生第二法則 | {\frac {h}{8}}(f\_{0}+3f\_{1}+3f\_{2}+f\_{3}) | -{\frac {3h^{5}}{80}}\,f^{{(4)}}(\xi ) |
| 4 | 保爾法則（Boole's rule／ Bode's rule） | {\displaystyle {\frac {2h}{45}}(7f\_{0}+32f\_{1}+12f\_{2}+32f\_{3}+7f\_{4})} | -{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{{(6)}}(\xi ) |
| 不用界點的 |
| 0 | 中點法 | 2hf\_{1}\, | {\frac {h^{3}}{24}}\,f^{{(2)}}(\xi ) |
| 1 |  | {\frac {3h}{2}}(f\_{1}+f\_{2}) | {\frac {h^{3}}{4}}\,f^{{(2)}}(\xi ) |
| 2 |  | {\frac {4h}{3}}(2f\_{1}-f\_{2}+2f\_{3}) | {\frac {28h^{5}}{90}}f^{{(4)}}(\xi ) |
| 3 |  | {\frac {5h}{24}}(11f\_{1}+f\_{2}+f\_{3}+11f\_{4}) | {\frac {95h^{5}}{144}}f^{{(4)}}(\xi ) |

參考
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* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*. New York: Dover, 1972. *(See Section 25.4.)*
* George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. *Computer Methods for Mathematical Computations*. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. *(See Section 5.1.)*
* William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 4.1.)*
* Josef Stoer and Roland Bulirsch. *Introduction to Numerical Analysis*. New York: Springer-Verlag, 1980. *(See Section 3.1.)*

外部連結
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* 黃 Sir 的計算機網頁: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule （页面存档备份，存于）