在微分几何中，对一个给定的结构群 *G*，*n* 维流形 *M* 上一个 ***G*-结构**是 *M* 的切标架丛 *FM*（或 *GL*(*M*)）的一个 *G*-子丛。

*G*-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 *O*(*n*)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(*n*,**R**)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个 {*e*}-结构由流形的一个绝对平行化组成。

一些流形上的结构，比如複结构，辛结构，或 凯勒结构，都是 *G*-结构带上附加的可积性条件。

物理学中的术语是**规范群**。

主丛和 *G*-结构
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尽管主丛理论在 *G*-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个 *G*-结构是一个切标架丛的主子丛，但是 *G*-结构丛"由切标架组成"的事实被视为数据的一部分。例如，考虑 **R***n* 上两个黎曼度量。伴随的 SO(*n*)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为 **R***n* 是可缩的，故下面的 SO(*n*)-丛作为主丛总是同构。

两个理论的这个基本差别能够被在*G*-结构下面的 *G*-丛上添加一个额外的数据：**焊接形式**（）记录。焊接形式是用一个从 *M* 的切丛到配向量丛的典范同构将 *G*-结构下面的 *G* 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式，经常可以视为一个联络形式的前身。

详细说来，假设 *Q* 是 *G*-结构的主丛。如果 *Q* 是实现为 *M* 的切丛的压缩，那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地，如果将 *Q* 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由 *G* 在 **R**n 上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ : *TM* → *Q* ×ρ **R**n 组成。

可积性条件
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流形上不少结构，比如複结构，辛结构，或 凯勒结构，均是 *G*-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个"殆（几乎）"结构，比如殆複结构，殆辛结构，或殆凯勒流形。

特别地，一个辛流形结构是比一个辛群的 *G*-结构更强的概念。流形上一个辛结构是 *M* 上一个非退化2形式 *ω*（这是一个 Sp-结构，或殆辛结构），以及额外条件 d*ω* = 0；后者称为可积性条件。

类似地，叶状结构对应于 *G*-结构为分块矩阵以及可积性条件，这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理。

*G*-结构的同构
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*M* 的保持 *G*-结构的微分同胚集合称为这个结构的"自同构群"。对一个 *O*(*n*)-结构它们就是黎曼度量的等距群，而一个 SL(*n*,**R**)-结构为保持体积的映射。

设 *P* 是流形 *M* 上一个 *G*-结构，*Q* 是流形 *N* 上一个 *G*-结构。那么 *G*-结构的**同构**是一个微分同胚 *f* : *M* → *N*，使得线性标架的前推 *f*\* : *FM* → *FN* 的限制给出了 *P* 到 *Q* 的一个映射（注意只要 *Q* 在 *f*\* 的像中）。*G*-结构 *P* 与 *Q* 是**局部同构**如果 *M* 有一个开集覆盖 *U* 和一族微分同胚 *f*U : *U* → *f*(*U*) ⊂ *N* 使得 *f*U 诱导了一个同构 *P*|U → *Q*|*f*(*U*) 。

一个 *G*-结构的**自同构**是 *G*-结构 *P* 和自己的同构。自同构经常在研究几何结构的变换群中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为 *G*-结构。

如果 *G*-结构 *P* 有一个由可交换向量场(*V*1,...*V*n) 组成的整体截面，则称其为**平坦** *G*-结构。若一个 *G*-结构局部同构于平坦 *G*-结构，则称为**可积的**（或"局部平坦"）。

一类广泛的等价问题可以用 *G*-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当
它们的正交标架丛是（局部）同构的 *G*-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立 *G*-结构的一个不变量系统使得足以确定一对 *G*-结构是否为局部等价。

*G*-结构的联络
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设 *Q* 是 *M* 上一个 *G*-结构。主丛 *Q* 上的一个主联络诱导了任何配向量丛的一个联络：特别是切丛。*TM* 以这种方式产生的线性联络 ∇ 称为与 *Q* **相容**。与 *Q* 相容的联络也称为**容许的联络**。

具体说来，容许联络可用活动标架来理解。*TM*一个局部截面（即 *M* 的一个标架）定义了 *Q* 的一个截面，假设 *V*i 是这个它的一组基。任何联络 ∇ 决定了一个取决于基的 1-形式 ω：

∇X Vi = ωij(X)Vj
这里，作为作为 1-形式矩阵 ω ∈ Ω1(M)⊗**gl**(*n*)。一个容许联络是 ω 在 *G* 的李代数 **g** 上的一个取值。

### *G*-结构的挠率

任何 *G*-结构伴随有挠率，和联络的挠率有关。注意到一个给定的 *G*-结构可能有许多不同的容许联络，这些联络可能有不同的挠率。尽管如此，我们还是能够独立地定义 *G*-结构的挠率如下。

连个容许联络的区别是一个 *M* 上一个取值于伴随丛 *Ad**Q* 的 1-形式。这便是说，容许联络的空间 *A**Q* 是对 Ω1(Ad*Q*) 的一个仿射空间。

容许联络的挠率定义了映射

A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,
映到系数为 *TM* 中的 2-形式。这个映射是现行的；其线性化

\tau :\Omega ^{1}({\mathrm {Ad}}\_{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,
称为**代数挠率映射**。给定两个容许联络 ∇ 与 ∇′，它们的挠率张量 *T*∇，*T*∇′ 差一个 τ(∇−∇′)。从而*T*∇ 在 coker(τ) 中的像与 ∇ 的选取无关。

对任何一个联络，*T*∇ 在 coker(τ) 中的像称为 *G*-结构的**挠率**。如果一个 *G*-结构的挠率为 0，称为**无挠的**。这恰好在 *Q* 有一个无挠容许联络时发生。

### 例：殆複结构的挠率

*G*-结构的一个例子是殆複结构，这是将一个偶数维流形的结构群约化为 *GL*(*n*,**C**)。这样的约化由一个 *C*∞-线性自同态 *J* ∈ End(*TM*) 使得 *J*2 = −1 惟一确定。在此情形，挠率可明确地算出来：

一个简单的维数计算说明

\Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{{2,0}}(TM)\oplus {\mathrm {im}}(\tau ),
这里 Ω2,0(*TM*) 是满足

B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,
的形式 *B* ∈ Ω2(*TM*) 的空间。

从而，一个殆复结构的挠率可以视为 Ω2,0(*TM*) 中一个元素。容易验证一个殆复结构的张量等于它的尼延黑斯张量。

高阶 *G*-结构
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一个特定的 *G*-结构（例如，辛形式）上的壮观的可积性条件可通过扩张程序处理。在这种情形，扩张后的 *G*-结构不能构和线性标架从的一个 *G*-子丛等价。许多情况下，扩张后它自身也是一个主丛，而其结构群可以等价于高阶射流群的一个子群。此时，它也称为一个高阶 *G*-结构（Kobayashi）。一般地，嘉当等价方法运用到这种情形。

参见
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* 结构群的约化

参考资料
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* Chern, S.S.. Bull. Amer. Math. Soc. 1966, **72**: 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8.
* Gauduchon, P.. . Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman: 123–136. 1997.
* Kobayashi, S.. Classics in Mathematics. Springer. 1972. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
* Sternberg, S.  (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4. OCLC 43032711.