| 部分的二面體 |
| --- |
| 一角形二面體 | 環形二面體{4,4}*1*,*1* |
| 一角錐 | 二面形 |

在幾何學中，**二面體**是指由2個面組成的多面體，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：**一角形二面體**，它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體（英语：）或正則地區圖的形式存在。

二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。

常見的二面體
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### 平面圖形

条目：多邊形二面體
任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群。

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體，如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群，是透鏡空間（英语：）的基本域。

### 球面鑲嵌

二面體可以以球面鑲嵌的方式存在，最簡單的例子是二面形。

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 名稱 | 二面形 | 一角形二面體 | 多邊形二面體 |
| 圖像 |  |  |  |
| 施萊夫利符號 | {2,2} | {1,2}h{2,2} | {n,2} |
| 考克斯特記號 | node_1 2 node 2 node  | node_h 2x node 2x node  | node_1 n node 2x node  |

#### 二面形

条目：多面形
一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

#### 一角形二面體

球面上的一角形二面體
**一角形二面體**，又稱為**雙一角形**（dimonogon）是一種退化的多邊形二面體，由2個一角形組成，這個幾何結構只有1個頂點，該頂點為2個一角形的公共頂點，在施萊夫利符號中用{1,2}表示，其具有2個面、1條邊和1個頂點，對偶多面體是一個一面體：一面形。

在球面幾何學中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形面，共用一個360°的邊和一個頂點。它的對偶是一面形，施萊夫利符號中利用{2,1}來表示，具有一個二角形面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊緣，和兩個頂點，因此屬於一面體。

一角形二面體可以截角為三面形。

|  |  |
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| 作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示 | 截角的一角形二面體，紅色為截角的截面，所形成的立體為三面形 |

### 一角錐

作為球面鑲嵌的一角錐
一角錐是指底面為一角形的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。

### 雙一角錐

雙一角錐是以一角形為底的雙錐體，為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱。

### 環形多面體

{4,4}*1*,*1*是一種在環面由兩個兩兩共用頂點的四邊形組成
部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}*1*,*1*是一種環形二面體，為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊；以及{3,6}*1*,*0*也是一種環面二面體，為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

### 正則地區圖

部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊，並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次，也就是頂點周圍圍繞著4個八邊形，且對應的皮特里多邊形為八邊形，因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示；S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊，並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次，也就是其頂點周圍圍繞著六個六邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示；S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊，並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次，也就是其頂點周圍圍繞著10個五邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示。

| 虧格 | 名稱 | 施萊夫利符號 | 頂點 | 邊 | 面 | 組成面 | 頂點圖 | 皮特里多邊形 | 對偶 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | S2:{8,4} | {8,4}8 | 4 | 8 | 2 | 八邊形 | 四邊形（4個八邊形的公共頂點） | 八邊形 | S2:{4,8}（4個面） |
| S2:{6,6} | {6,6}2 | 2 | 6 | 2 | 六邊形 | 六邊形（6個六邊形的公共頂點） | 二角形 | 自身對偶 |
| S2:{5,10} | {5,10}2 | 1 | 5 | 2 | 五邊形 | 十邊形（10個五邊形的公共頂點） | 二角形 | S2:{10,5}（1個面） |
| 3 | S3:{12,4} | {12,4}6 | 6 | 12 | 2 | 十二邊形 | 四邊形（4個十二邊形的公共頂點） | 六邊形 | S3:{4,12}（6個面） |
| S3:{8,8}4 | {8,8}4 | 2 | 8 | 2 | 八邊形 | 八邊形（8個八邊形的公共頂點） | 四邊形 | 自身對偶 |
| S3:{8,8}2 | {8,8}2 | 二角形 |
| S3:{7,14} | {7,14}2 | 1 | 7 | 2 | 七邊形 | 十四邊形（14個七邊形的公共頂點） | 二角形 | S3:{14,7}（1個面） |
| 4 | S4:{16,4} | {16,4}16 | 8 | 16 | 2 | 十六邊形 | 四邊形（4個十六邊形的公共頂點） | 十六角形 | S4:{4,16}（8個面） |
| S4:{12,6} | {12,6}4 | 4 | 12 | 2 | 十二邊形 | 六邊形（6個十二邊形的公共頂點） | 四邊形 | S4:{6,12}（4個面） |
| S4:{10,10} | {10,10}2 | 2 | 10 | 2 | 十邊形 | 十邊形（10個十邊形的公共頂點） | 二角形 | 自身對偶 |
| S4:{9,18} | {9,18}2 | 1 | 9 | 2 | 九邊形 | 十八邊形（18個九邊形的公共頂點） | 二角形 | S4:{18,9}（1個面） |

### 圓錐

条目：圓錐
在不嚴謹的情況下，圓錐也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。

### 二面體列表

| 名稱 | 種類 | 圖像 | 符號 | 頂點 | 邊 | 面 | χ | 面的種類 | 對稱性 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 一角形二面體 | 多邊形二面體 |  | {1,2}node_1 2 node  | 1 | 1 | 2 | 2 | 2個一角形 | C1v（\*22） |
| 二面形 | 多面形多邊形二面體 |  | {2,2}node_1 2 node 2 node  | 2 | 2 | 2 | 2 | 2個二角形 | D2h（\*222） |
| 一角錐 | 角錐退化多面體球面多面體 |  | ( )∨{1} | 2 | 2 | 2 | 2 | 1個一角形1個三角形 | C1v, [1] |
| 雙一角錐 | 雙錐體退化多面體球面多面體 |  | { }+{1} | 3 | 3 | 2 | 2 | 2個三角形 | *D**1h*, [1,2], (\*221) order 4 |
| 四面形半形（hemi-4-hosohedron） | 多面形多面體半形 |  | {2,4}4/2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2個二角形 |  |
| 三維多邊形 | 多邊形二面體 |  | {n,2}node_1 n node 2 node  | n | n | 2 | 2 | 2個全等的多邊形 | D*n*h（\**n*22） |
| 二階無限邊形鑲嵌 | 鑲嵌圖 |  | {∞,2}node_1 infin node 2 node node_1 infin node_1 2 node  | ∞ | ∞ | 2 | 2 | 2個無限邊形 | [∞,2], (\*∞22) |
| {4,4}*1*,*1* | 環形多面體 |  | {4,4}*1*,*1* | 2 | 4 | 2 | 0 | 2個正方形 |  |
| {3,6}*1*,*0* | 環形多面體 |  | {3,6}*1*,*0* | 1 | 3 | 2 | 0 | 2個正三角形 |  |
| S2:{8,4} | 正則地區圖 |  | {8,4}8 | 4 | 8 | 2 | -2 | 2個八邊形 |  |
| S2:{6,6} | 正則地區圖 |  | {6,6}2 | 2 | 6 | 2 | -2 | 2個六邊形 |  |
| S2:{5,10} | 正則地區圖 |  | {5,10}2 | 1 | 5 | 2 | -2 | 2個五邊形 |  |
| 圓錐體 | 非嚴格多面體曲面柱體 |  |  | 1 | 1 | 2 | 2 | 1個曲面1個圓形 |  |

參見
--

* 二角形
* 多面形
* 多邊形

參考文獻
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1. ↑  Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks.. Classical and Quantum Gravity. 2001, **18**: 5155–5186. arXiv:gr-qc/0106033 可免费查阅. doi:10.1088/0264-9381/18/23/311.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
2. 1 2 3 . weddslist.com.  [2022-12-15]. （原始内容存档于2021-07-31）.
3. ↑ . weddslist.com.  [2022-12-15]. （原始内容存档于2022-12-15）.
4. ↑  Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete **14** 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6
5. ↑  Coxeter 1980 , 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
6. 1 2 . weddslist.com.  [2022-12-15].
7. 1 2 3 4 5 6 7 . weddslist.com.  [2022-12-15]. （原始内容存档于2022-11-29）.
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9. 1 2 . weddslist.com.  [2022-12-15].
10. ↑ . weddslist.com.  [2022-12-15]. （原始内容存档于2021-10-19）.
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15. ↑  *The Symmetries of Things* 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
16. ↑  Conway (2008), p. 263

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| 

| * 
* 论
* 编
多面体 |
| --- |
|  |
| 1 - 10 | 
* 一面體
* 二面體
* 三面體
* 四面體
	+ 正四面體
	+ 鍥形體
* 五面體
	+ 三角柱
	+ 四角錐
* 六面體
	+ 立方體
	+ 長方體
	+ 四角柱
	+ 五角錐
	+ 平行六面体
	+ 雙三角錐
* 七面體
* 八面體
* 九面體
* 十面體

 |
|  |
| 11 - 20 | 
* 十一面體
* 十二面體
* 十三面體
* 十四面體
* 十五面體
* 十六面體
* 十七面體
* 十八面體
* 十九面體
* 二十面體

 |
|  |
| 其他 | 
* 空多胞形
	+ 零面體
* 多面形
	+ 三面形
* 二十四面體
* 二十七面體
* 三十面體
* 六十面體
* 無限面體

 |
|  |
| 正多面體 | 
* 正四面體
* 正六面體
* 正八面體
* 正十二面體
* 正二十面體
* 正無限面體

 |

 |