以斐波那契數為邊的正方形拼成的近似的黃金矩形(1:1.618)
（意大利语：Successione di Fibonacci），又譯為**菲波拿契數**、**菲波那西數**、**斐氏數**、**黃金分割數**。所形成的數列稱為（意大利语：Successione di Fibonacci），又譯為**菲波拿契數列**、**菲波那西數列**、**斐氏數列**、**黃金分割數列**。這個數列是由意大利數學家斐波那契在他的《算盤書》中提出。

在數學上，**斐波那契數**是以遞歸的方法來定義：

* {\displaystyle F\_{0}=0}
* {\displaystyle F\_{1}=1}
* {\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2}}（{\displaystyle n\geqq 2}）

用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個斐波那契數是：

1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987……（OEIS數列A000045）
**特別指出**：0不是第一項，而是第零項。

起源
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公元1150年印度數學家Gopala和金月在研究箱子包裝物件長宽剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（義大利人斐波那契Leonardo Fibonacci, 1175－1250），他描述兔子生長的數目時用上了這數列：

兔子对的数量就是斐波那契数列
* 第一個月初有一對剛誕生的兔子
* 第二個月之後（第三個月初）牠們可以生育
* 每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
* 兔子永不死去

假設在{\displaystyle n}月有兔子總共{\displaystyle a}對，{\displaystyle n+1}月總共有{\displaystyle b}對。在{\displaystyle n+2}月必定總共有{\displaystyle a+b}對：因為在{\displaystyle n+2}月的時候，前一月（{\displaystyle n+1}月）的{\displaystyle b}對兔子可以存留至第{\displaystyle n+2}月（在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子對數等於所有在{\displaystyle n}月就已存在的{\displaystyle a}對

斐波纳契数是杨辉三角的每一条红色对角线上数字的和。
斐波纳契数也是杨辉三角形（即帕斯卡三角形）的每一条红色对角线上数字的和。

表達式
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為求得斐波那契數列的一般表達式，可以藉助線性代數的方法。高中的初等數學知識也能求出。

### 初等代數解法

已知

* {\displaystyle a\_{1}=1}
* {\displaystyle a\_{2}=1}
* {\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+a\_{n-2}}（n≥3）

#### 首先構建等比數列

設{\displaystyle a\_{n}+\alpha a\_{n-1}=\beta (a\_{n-1}+\alpha a\_{n-2})}  
化簡得  
{\displaystyle a\_{n}=(\beta -\alpha )a\_{n-1}+\alpha \beta a\_{n-2}}  

比較係數可得：  

{\displaystyle {\begin{cases}\beta -\alpha =1\\\alpha \beta =1\end{cases}}}
  
不妨設{\displaystyle \beta >0,\alpha >0}  

解得：  

{\displaystyle {\begin{cases}\alpha ={\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\\beta ={\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{cases}}}
  

又因为有{\displaystyle a\_{n}+\alpha a\_{n-1}=\beta (a\_{n-1}+\alpha a\_{n-2})}，
即{\displaystyle \left\{a\_{n}+\alpha a\_{n-1}\right\}}為等比數列。

#### 求出數列{\displaystyle \left\{a\_{n}+\alpha a\_{n-1}\right\}}

由以上可得：  

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n+1}+\alpha a\_{n}&=(a\_{2}+\alpha a\_{1})\beta ^{n-1}\\&=(1+\alpha )\beta ^{n-1}\\&=\beta ^{n}\\\end{aligned}}}  

變形得：
{\displaystyle {\frac {a\_{n+1}}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\alpha }{\beta }}\cdot {\frac {a\_{n}}{\beta ^{n}}}={\frac {1}{\beta }}}。
令{\displaystyle b\_{n}={\frac {a\_{n}}{\beta ^{n}}}}

#### 求數列{\displaystyle \left\{{b\_{n}}\right\}}進而得到{\displaystyle \left\{a\_{n}\right\}}

{\displaystyle b\_{n+1}+{\frac {\alpha }{\beta }}b\_{n}={\frac {1}{\beta }}}  

設{\displaystyle b\_{n+1}+\lambda =-{\frac {\alpha }{\beta }}(b\_{n}+\lambda )}，解得{\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{\alpha +\beta }}}。
故數列{\displaystyle \left\{b\_{n}+\lambda \right\}}為等比數列  

即{\displaystyle b\_{n}+\lambda =\left(-{\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{n-1}\left(b\_{1}+\lambda \right)}。而{\displaystyle b\_{1}={\frac {a\_{1}}{\beta }}={\frac {1}{\beta }}}，
故有{\displaystyle b\_{n}+\lambda =\left(-{\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{n-1}\left({\frac {1}{\beta }}+\lambda \right)}  

又有{\displaystyle {\begin{cases}\alpha ={\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\\beta ={\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{cases}}}
和{\displaystyle b\_{n}={\frac {a\_{n}}{\beta ^{n}}}}  

可得{\displaystyle a\_{n}={\frac {\sqrt {5}}{5}}\cdot \left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}

得出{\displaystyle {a\_{n}}}表達式  

{\displaystyle a\_{n}={\frac {\sqrt {5}}{5}}\cdot \left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}

#### 用數學歸納法證明表達式

證明{\displaystyle F\_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}]}，其中{\displaystyle \varphi }為黃金比例{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}，{\displaystyle n}為任意整數
* 若{\displaystyle n}為非負整數

當{\displaystyle n=0}時，{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{0}-(1-\varphi )^{0}]={\frac {1}{\sqrt {5}}}[1-1]=0=F\_{0}}，成立
當{\displaystyle n=1}時，{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{1}-(1-\varphi )^{1}]={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi -1+\varphi ]={\frac {1}{\sqrt {5}}}[2\varphi -1]={\frac {1}{\sqrt {5}}}\times {\sqrt {5}}=1=F\_{1}}，成立
設當{\displaystyle n=k}及{\displaystyle n=k+1}時皆成立，即{\displaystyle F\_{k}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{k}-(1-\varphi )^{k}]}且{\displaystyle F\_{k+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{k+1}-(1-\varphi )^{k+1}]}
當{\displaystyle n=k+2}時
{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{k+2}&=F\_{k+1}+F\_{k}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{k+1}-(1-\varphi )^{k+1}]+{\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{k}-(1-\varphi )^{k}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{k+1}+\varphi ^{k}-(1-\varphi )^{k+1}-(1-\varphi )^{k}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{k}({\color {brown}\varphi +1})-(1-\varphi )^{k}[{\color {green}(1-\varphi )+1}]\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{k}({\color {brown}\varphi ^{2}})-(1-\varphi )^{k}[{\color {green}(1-\varphi )^{2}}]\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{k+2}-(1-\varphi )^{k+2}\right\}\\\end{aligned}}}
亦成立
* 若{\displaystyle n}為非正整數

當{\displaystyle n=0}時，成立
當{\displaystyle n=-1}時，{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}[{\color {brown}\varphi ^{-1}}-{\color {green}(1-\varphi )^{-1}}]={\frac {1}{\sqrt {5}}}[({\color {brown}\varphi -1})-({\color {green}-\varphi })]={\frac {1}{\sqrt {5}}}[2\varphi -1]={\frac {1}{\sqrt {5}}}\times {\sqrt {5}}=1=F\_{-1}}，成立
設當{\displaystyle n=-k}及{\displaystyle n=-k-1}時皆成立，即{\displaystyle F\_{-k}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-k}-(1-\varphi )^{-k}]}且{\displaystyle F\_{-k-1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-k-1}-(1-\varphi )^{-k-1}]}
當{\displaystyle n=-k-2}時
{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{-k-2}&=F\_{-k}-F\_{-k-1}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-k}-(1-\varphi )^{-k}]-{\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-k-1}-(1-\varphi )^{-k-1}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-k}-\varphi ^{-k-1}-(1-\varphi )^{-k}+(1-\varphi )^{-k-1}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{-k-1}({\color {brown}\varphi -1})-(1-\varphi )^{-k-1}[{\color {green}(1-\varphi )-1}]\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{-k-1}({\color {brown}\varphi ^{-1}})-(1-\varphi )^{-k-1}[{\color {green}(1-\varphi )^{-1}}]\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\varphi ^{-k-2}-(1-\varphi )^{-k-2}\right\}\\\end{aligned}}}
亦成立
因此，根據數學歸納法原理，此表達式對於任意整數{\displaystyle n}皆成立

### 線性代數解法

{\displaystyle {\begin{pmatrix}F\_{n+2}\\F\_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F\_{n+1}\\F\_{n}\end{pmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}F\_{n+2}&F\_{n+1}\\F\_{n+1}&F\_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n+1}}

#### 構建一個矩陣方程

設{\displaystyle J\_{n}}為第{\displaystyle n}個月有生育能力的兔子數量，{\displaystyle A\_{n}}為這一月份的兔子數量。

{\displaystyle {J\_{n+1} \choose A\_{n+1}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {J\_{n} \choose A\_{n}},}
上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，{\displaystyle A\_{n+1}}的表達式。

#### 求矩陣的特徵值：{\displaystyle \lambda }

根据特征值的计算公式，我们需要算出来 {\displaystyle {\begin{vmatrix}-\lambda &1\\1&1-\lambda \\\end{vmatrix}}=0} 所对应的解。

展开行列式有：{\displaystyle -\lambda (1-\lambda )-1\times 1=\lambda ^{2}-\lambda -1}。

故當行列式的值為 0，解得 {\displaystyle \lambda \_{1}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})} 或 {\displaystyle \lambda \_{2}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})}。

#### 特徵向量

將兩個特徵值代入

{\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}-\lambda \cdot E\right)\cdot {\vec {x}}=0}

  

求特徵向量{\displaystyle {\vec {x}}}得

{\displaystyle {\vec {x}}\_{1}}={\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}}

{\displaystyle {\vec {x}}\_{2}}={\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}}

#### 分解首向量

第一個月的情況是兔子一對，新生0對。

{\displaystyle {J\_{1} \choose A\_{1}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
將它分解為用特徵向量表示。

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}} （4）
#### 用數學歸納法證明

從

{\displaystyle {J\_{n+1} \choose A\_{n+1}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {J\_{n} \choose A\_{n}}}={\displaystyle \lambda \cdot {J\_{n} \choose A\_{n}}}
可得到

{\displaystyle {J\_{n+1} \choose A\_{n+1}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}\cdot {J\_{1} \choose A\_{1}}=\lambda ^{n}\cdot {J\_{1} \choose A\_{1}}} （5）
#### 化簡矩陣方程

將（4） 代入 （5）

{\displaystyle {J\_{n+1} \choose A\_{n+1}}=\lambda ^{n}\cdot \left[{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}\right]}
根據3

{\displaystyle {J\_{n+1} \choose A\_{n+1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \lambda \_{1}^{n}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \lambda \_{2}^{n}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}}
#### 求A的表達式

現在在6的基礎上，可以很快求出{\displaystyle A\_{n+1}}的表達式，將兩個特徵值代入6中

{\displaystyle A\_{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \lambda \_{1}^{n+1}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \lambda \_{2}^{n+1}}
{\displaystyle A\_{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot (\lambda \_{1}^{n+1}-\lambda \_{2}^{n+1})}
{\displaystyle A\_{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left\{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{n+1}-\left[{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\right]^{n+1}\right\}}（7）
（7）即為{\displaystyle A\_{n+1}}的表達式

### 數論解法

實際上，如果將斐波那契數列的通項公式寫成{\displaystyle a\_{n}-a\_{n-1}-a\_{n-2}=0}，即可利用解二階線性齊次遞迴關係式的方法，寫出其特徵多項式{\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda -1=0}（該式和表達斐波那契數列的矩陣的特徵多項式一致），然後解出{\displaystyle \lambda \_{1}}={\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}，{\displaystyle \lambda \_{2}}={\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})}，即有{\displaystyle a\_{n}=c\_{1}\lambda \_{1}^{n}+c\_{2}\lambda \_{2}^{n}}，其中{\displaystyle c\_{1},c\_{2}}为常数。我们知道{\displaystyle a\_{0}=0,a\_{1}=1}，因此{\displaystyle {\begin{cases}c\_{1}+c\_{2}=0\\{\frac {c\_{1}(1+{\sqrt {5}})}{2}}+{\frac {c\_{2}(1-{\sqrt {5}})}{2}}=1\end{cases}}}，解得{\displaystyle c\_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}},c\_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}。

### 組合數解法

{\displaystyle F\_{n}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}}

{\displaystyle F\_{n-1}+F\_{n}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F\_{n+1}}
### 黃金比例恆等式解法

設{\displaystyle \varphi }為黃金比例{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}，則有恆等式{\displaystyle \varphi ^{n}=F\_{n-1}+\varphi F\_{n}}與{\displaystyle (1-\varphi )^{n}=F\_{n+1}-\varphi F\_{n}}，其中{\displaystyle n}為任意整數，則

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}&=(F\_{n-1}+\varphi F\_{n})-(F\_{n+1}-\varphi F\_{n})\\&=(F\_{n-1}-F\_{n+1})+2\varphi F\_{n}\\&=-F\_{n}+2\varphi F\_{n}\\&=F\_{n}(2\varphi -1)\\&=F\_{n}\times {\sqrt {5}}\\\end{aligned}}}

因此得到{\displaystyle F\_{n}}的一般式：

{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right]\\\end{aligned}}}

此一般式對任意整數{\displaystyle n}成立

### 近似值

當{\displaystyle n}為足夠大的正整數時，则

{\displaystyle F\_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{n}\approx 0.4472135955\cdot 1.61803398875^{n}}
{\displaystyle F\_{-n}\approx -{\frac {1}{\sqrt {5}}}(1-\varphi )^{-n}=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)\right]^{-n}\approx -0.4472135955\cdot (-0.61803398875)^{-n}}
### 用計算機求解

可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。

可通過遞歸遞推的算法解決此兩個問題。
事實上當{\displaystyle n}相當巨大的時候，O（n）的遞推/遞歸非常慢……這時候要用到矩陣快速幂這一技巧，可以使遞迴加速到O(logn)。

和黃金分割的關係
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開普勒發現數列前、後兩項之比{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {8}{13}},{\frac {13}{21}},{\frac {21}{34}},\cdots }，也組成了一個數列，會趨近黃金分割：

{\displaystyle {\frac {f\_{n+1}}{f\_{n}}}\approx a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\varphi \approx 1{.}618{...}}
斐波那契數亦可以用連分數來表示：

{\displaystyle {\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}\qquad {\frac {8}{5}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}}

{\displaystyle F\_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}}

而黃金分割數亦可以用無限連分數表示：

{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}}
而黃金分割數也可以用無限多重根號表示：

{\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}}

和自然的關係
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更多：自然界的圖案（英语：）
参见：Golden ratio#Nature（英语：）
春黄菊的頭狀花序上，小花呈螺旋狀排列，從不同方向可以數出21（深藍）和13（淺藍）條旋臂，為相鄰的斐氏數。類似的螺旋狀排列見於多種植物。
斐氏數列見於不同的生物學現象，如樹的分枝、葉在枝條上的排列（英语：）、菠蘿聚花果上小單果的排列、雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨葉、松毬的鱗的排列、蜜蜂的家族樹。开普勒曾指出斐氏數列存在於自然界，並以此解釋某些花的五邊形形態（與黄金分割率相關）。法國菊的「瓣」（舌狀花）數通常為斐氏數。1830年，K. F. Schimper和A. Braun發現植物的旋生葉序中，連續兩塊葉之間轉過的角度與周角之比，約成整數比時，常出現斐氏數，如{\displaystyle 2/5}或{\displaystyle 5/13}。

恆等式
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資料來源：

證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。

* {\displaystyle F\_{n}}可以表示用多個1和多個2相加令其和等於{\displaystyle n}的方法的數目。

不失一般性，我們假設{\displaystyle n\geq 1}，{\displaystyle F\_{n+1}}是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1，有{\displaystyle F\_{n}}種方法來完成對{\displaystyle n-1}的計算；若第一個被加數是2，有{\displaystyle F\_{n-1}}來完成對{\displaystyle n-2}的計算。因此，共有{\displaystyle F\_{n}+F\_{n-1}}種方法來計算n的值。

* {\displaystyle F\_{0}+F\_{1}+F\_{2}+F\_{3}+...+F\_{n}=F\_{n+2}-1}

計算用多個1和多個2相加令其和等於{\displaystyle n+1}的方法的數目，同時至少一個加數是2的情況。

如前所述，當{\displaystyle n>0}，有{\displaystyle F\_{n+2}}種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2，就即{\displaystyle 1+1+...+1}　（{\displaystyle n+1}項），於是我們從{\displaystyle F\_{n+2}}減去1。

1. 若第1個被加數是2，有{\displaystyle F\_{n}}種方法來計算加至{\displaystyle n-1}的方法的數目；
2. 若第2個被加數是2、第1個被加數是1，有{\displaystyle F\_{n-1}}種方法來計算加至{\displaystyle n-2}的方法的數目。
3. 重複以上動作。
4. 若第{\displaystyle n+1}個被加數為2，它之前的被加數均為1，就有{\displaystyle F\_{0}}種方法來計算加至0的數目。

若該數式包含2為被加數，2的首次出現位置必然在第1和{\displaystyle n+1}的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後，得出{\displaystyle F\_{n}+F\_{n-1}+...+F\_{0}}為要求的數目。

* {\displaystyle F\_{1}+2F\_{2}+3F\_{3}+...+nF\_{n}=nF\_{n+2}-F\_{n+3}+2}

* {\displaystyle F\_{1}+F\_{3}+F\_{5}+...+F\_{2n-1}=F\_{2n}}
* {\displaystyle F\_{2}+F\_{4}+F\_{6}+...+F\_{2n}=F\_{2n+1}-1}
* {\displaystyle {F\_{1}}^{2}+{F\_{2}}^{2}+{F\_{3}}^{2}+...+{F\_{n}}^{2}=F\_{n}F\_{n+1}}
* {\displaystyle F\_{n}F\_{m-k}-F\_{m}F\_{n-k}=(-1)^{n-k}F\_{m-n}F\_{k}}，其中{\displaystyle m,n,k}與{\displaystyle F}的序數皆不限於正整數。
	+ 特別地，當{\displaystyle n=m-k}時，{\displaystyle {F\_{n}}^{2}-F\_{n+k}F\_{n-k}=(-1)^{n-k}{F\_{k}}^{2}}
		- 更特別地，當{\displaystyle k=1}或{\displaystyle k=-1}時，對於數列連續三項，有{\displaystyle {F\_{n}}^{2}-F\_{n-1}F\_{n+1}=(-1)^{n-1}}
	+ 另一方面，當{\displaystyle (m,n,k)=(n+1,n,-2)}時，對於數列連續四項，有{\displaystyle F\_{n}F\_{n+3}-F\_{n+1}F\_{n+2}=(-1)^{n+1}}
* {\displaystyle \varphi ^{n}=F\_{n-1}+\varphi F\_{n}}且{\displaystyle (1-\varphi )^{n}=F\_{n+1}-\varphi F\_{n}}，其中{\displaystyle \varphi }為黃金比例{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}，{\displaystyle n}為任意整數

藉由上述公式，又可推得以下恆等式：
* + {\displaystyle {F\_{m}}{F\_{n}}+{F\_{m-1}}{F\_{n-1}}=F\_{m+n-1}}
	+ {\displaystyle F\_{m}F\_{n+1}+F\_{m-1}F\_{n}=F\_{m+n}}特別地，當{\displaystyle m=n}時，{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{2n-1}&=F\_{n}^{2}+F\_{n-1}^{2}\\F\_{2n}&=(F\_{n-1}+F\_{n+1})F\_{n}\\&=(2F\_{n-1}+F\_{n})F\_{n}\end{aligned}}}

數論性質
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### 公因數和整除關係

* {\displaystyle F\_{n}}整除{\displaystyle F\_{m}}，若且唯若{\displaystyle n}整除{\displaystyle m}，其中{\displaystyle n\geqq 3}。
* {\displaystyle \gcd(F\_{m},F\_{n})=F\_{\gcd(m,n)}}
* 任意連續三個菲波那契數兩兩互質，亦即，對於每一個{\displaystyle n}，

{\displaystyle \mathrm {gcd} (F\_{n},F\_{n+1})=\mathrm {gcd} (F\_{n},F\_{n+2})=\mathrm {gcd} (F\_{n+1},F\_{n+2})=1}
### 斐波那契质数

条目：斐波那契质数
在斐波那契數列中，有質數：
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……

截至2015年，已知最大的斐波那契質數是第104911個斐波那契數，一共有21925個十進制位。不过，人们仍不知道是不是有无限个斐波那契质数。

如§ 公因數和整除關係所述，{\displaystyle F\_{kn}}總能被{\displaystyle F\_{n}}整除，故除{\displaystyle F\_{4}=3}之外，任何斐氏質數的下標必同為質數。由於存在任意長（英语：）的一列連續合数，斐氏數列中亦能找到連續任意多項全為合數。

大於{\displaystyle F\_{6}=8}的斐氏數，必不等於質數加一或減一。

### 與其他數列的交集

斐波那契数列中，只有3個平方數：0、1、144。2001年，派特·奧蒂洛（匈牙利语：）證明衹有有限多個斐氏數是完全冪。2006年，Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksek三人證明此種冪僅得0、1、8、144。

1、3、21、55為僅有的斐氏三角形數。Vern Hoggatt（英语：）曾猜想此結論，後來由罗明證明。

斐波那契數不能為完全数。推而廣之，除1之外，其他斐氏數皆非多重完全數，任兩個斐氏數之比亦不能是完全數。

### 模*n*的週期性

条目：皮萨诺周期
斐波那契數列各項模{\displaystyle n}的餘數構成週期數列（英语：），其最小正週期稱為皮萨诺周期，至多為{\displaystyle 6n}。皮薩諾週期對不同{\displaystyle n}值的通項公式仍是未解問題，其中一步需要求出某個整數（同餘意義下）或二次有限域元素的乘法階數（英语：）。不過，對固定的{\displaystyle n}，求解模{\displaystyle n}的皮薩諾週期是週期檢測（英语：）問題的特例。

推廣
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斐波那西數列是斐波那西n步數列步數為2的特殊情況，也和盧卡斯數列有關。

### 和盧卡斯數列的關係

{\displaystyle F\_{n}L\_{n}=F\_{2n}}
### 反費波那西數列

反費波那西數列的遞歸公式如下：

{\displaystyle G\_{n+2}=G\_{n}-G\_{n+1}}
如果它以1,-1開始，之後的數是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是{\displaystyle F\_{2n+1}=G\_{2n+1}=F\_{-(2n+1)},F\_{2n}=-G\_{2n}=-F\_{-2n}}，

亦可寫成{\displaystyle F\_{m}=(-1)^{m+1}G\_{m}=(-1)^{m+1}F\_{-m}}，其中{\displaystyle m}是非負整數。

反費波那西數列兩項之間的比會趨近{\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}\approx -0.618}。

#### 證明關係式

證明{\displaystyle F\_{m}=(-1)^{m+1}F\_{-m}}，其中{\displaystyle m}是非負整數

以{\displaystyle \varphi }表示黃金分割數{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}，則有{\displaystyle \varphi (1-\varphi )=-1}
故{\displaystyle (-1)^{m}=[\varphi (1-\varphi )]^{m}=\varphi ^{m}(1-\varphi )^{m}}，因此
{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{m+1}F\_{-m}&=(-1)^{m+1}\times {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-m}-(1-\varphi )^{-m}]\\&=(-1)\times {\color {brown}(-1)^{m}}\times {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-m}-(1-\varphi )^{-m}]\\&=(-1)\times {\color {brown}\varphi ^{m}(1-\varphi )^{m}}\times {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-m}-(1-\varphi )^{-m}]\\&=(-1)\times {\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{-m+m}(1-\varphi )^{m}-(1-\varphi )^{-m+m}\varphi ^{m}]\\&=(-1)\times {\frac {1}{\sqrt {5}}}[(1-\varphi )^{m}-\varphi ^{m}]\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}[\varphi ^{m}-(1-\varphi )^{m}]\\&=F\_{m}\\\end{aligned}}}
### 巴都萬數列

費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現，巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現，它有{\displaystyle P\_{n}=P\_{n-2}+P\_{n-3}}的關係。

### 佩爾數列

佩爾數列的遞歸公式為{\displaystyle P\_{n}=2P\_{n-1}+P\_{n-2}}，前幾項為0,1,2,5,12,29,70,169,408,...

應用
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1970年，尤裏·馬季亞謝維奇指出了偶角標的斐波那契函數

{\displaystyle y=F\_{2x}}
正是滿足Julia Robison假設的丟番圖函數，因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。

### 電腦科學

高為6的斐波那契樹。平衡因子以綠色標記，節點的高度則為紅色。最左一條路徑上的鍵值全為斐氏數。

* 考慮以輾轉相除法求兩個正整數的最大公因數，分析此算法的運行時間。同等輸入規模下，最壞情況（用時最長）發生於輸入為兩個相鄰斐氏數時。
* 归并排序算法有一多相（）版本用到斐氏數列，是將未排序的數組分為兩份，長度為相鄰的斐氏數（因此比值接近黃金比）。《计算机程序设计艺术》[页码请求]描述了此種多相合併排序（英语：）的實作方法，適用於以磁带机為外存的情況。
* 斐波那契樹是一棵二叉树，其每個節點的左右子树高皆恰好差1。由此，斐氏樹為AVL树，且對固定高度而言，是最少節點的AVL樹。此類樹的節點數可寫成斐氏數減1。
* 某些伪随机数生成器用到斐氏數列。[具体情况如何？]
* 斐波那契堆是一種數據結構，分析其時間複雜度時會用到斐波那契數。
* 斐波那契编码是以01字串表示正整數的一種方法，負斐波那契編碼（英语：）與之類似，還可以表示負數。

電腦程式
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### Python:

延伸閱讀
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* 克裏福德A皮科夫.數學之戀.湖南科技出版社.

參考文獻
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* Livio, Mario.  First trade paperback. New York City: Broadway Books. 2003 [2002]  [2022-10-30]. ISBN 0-7679-0816-3. （原始内容存档于2023-03-13）.

註釋
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1. 1 2  這可以透過{\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }與{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}與{\displaystyle {\frac {1}{1-\varphi }}=-\varphi }此三個等式，以及費氏數列的遞歸定義，以數學歸納法證明。
2. ↑  例如當{\displaystyle (m,n,k)=(4,-8,6)}時，{\displaystyle F\_{-8}F\_{-2}-F\_{4}F\_{-14}=(-21)\times (-1)-3\times (-377)=(-1)^{-14}F\_{12}F\_{6}=1\times 144\times 8=1152}
3. ↑  亦即「頭尾兩項乘積」與「中間兩項乘積」恆相差1
4. ↑  利用指數律{\displaystyle \varphi ^{m+n}=\varphi ^{m}\times \varphi ^{n}}、性質{\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }，以及「若{\displaystyle a,b,c,d}是有理數，{\displaystyle x}是無理數，且滿足{\displaystyle a+bx=c+dx}，則{\displaystyle a=c,b=d}」證明。

參見
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* 齊肯多夫定理

外部連結
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* 費波那契數，孫智宏（pdf）
* Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
* Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature （页面存档备份，存于）
* 

* Fibonacci Sequence，In Our Time (BBC Radio 4)（英语：）的《In Our Time》節目。(現在聆聽)
* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
|  |
| 幾何序列 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
|  |
| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

 |
|  |
| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
|  |
| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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* 论
* 编
貴金屬比例 |
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* 皮索數
* + 角
	+ 进制
	+ 矩形
	+ 菱形
	+ 螺線（英语：）
	+ 三角形
	+ 黄金分割搜索
	+ 数
	+ 开普勒三角

* 白銀比例
	+ 佩尔数
* 青銅比例

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* AAT: 300065107
* NDL: 00923391

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