圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的\mu =1。藍色半雙曲面的\nu =45^{{\circ }}。黃色半平面的\phi =-60^{{\circ }}（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是-60^{{\circ }}）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為(1.09,\ -1.89,\ 1.66)。
圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（\mu -等值線）變成上圖的紅色扁球面（\mu 坐標曲面），而x>0青藍色雙曲線（\nu -等值線）則變成藍色半雙曲面（\nu 坐標曲面）。
**扁球面坐標系**（英語：）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點F\_{{1}}與F\_{{2}}的直角坐標分別為(-a,\ 0,\ 0)與(a,\ 0,\ 0)。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為a的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為**焦圓**，又稱為**參考圓**。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述
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在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標(\mu ,\ \nu ,\ \phi )常見的定義是

x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi 、
y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi 、
z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu 。
其中，\mu \geq 0是個實數，角度-90^{{\circ }}\leq \nu \leq 90^{{\circ }}，角度-180^{{\circ }}\leq \phi \leq 180^{{\circ }}。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

### 坐標曲面

\mu 坐標曲面是扁球面 ：

{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\cosh ^{{2}}\mu }}+{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\sinh ^{{2}}\mu }}=\cos ^{{2}}\nu +\sin ^{{2}}\nu =1。
它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為a\cosh \mu ，沿著z-軸，短半軸長度為a\sinh \mu 。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為\pm a。

\nu 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\cos ^{{2}}\nu }}-{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\sin ^{{2}}\nu }}=\cosh ^{{2}}\mu -\sinh ^{{2}}\mu =1。
假若\nu 是正值，z也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。\nu 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為\pm a。

\phi 坐標曲面是個半平面 ：

x\sin \phi -y\cos \phi =0。
### 逆變換

用直角坐標(x,\ y,\ z)來計算扁球面坐標(\mu ,\ \nu ,\ \phi )，方位角\phi 的公式為

\tan \phi ={\frac {y}{x}}。
設定d\_1與d\_2分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

d\_{{1}}^{{2}}=({\sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}+a)^{{2}}+z^{{2}}、
d\_{{2}}^{{2}}=({\sqrt {x^{{2}}+y^{{2}}}}-a)^{{2}}+z^{{2}}。
坐標\mu 和\nu 的方程式分別為

\cosh \mu ={\frac {d\_{{1}}+d\_{{2}}}{2a}}、
\cos \nu ={\frac {d\_{{1}}-d\_{{2}}}{2a}}。
### 標度因子

扁球面坐標\mu 與\nu 的標度因子相等：

h\_{{\mu }}=h\_{{\nu }}=a{\sqrt {\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu }}。
方位角\phi 的標度因子為

h\_{{\phi }}=a\cosh \mu \ \cos \nu 。
無窮小體積元素是

dV=a^{{3}}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)d\mu d\nu d\phi 。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{{2}}\left(\cosh ^{{2}}\mu \cos ^{{2}}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}}。
其它微分算子，像\nabla \cdot {\mathbf {F}}、\nabla \times {\mathbf {F}}，都可以用(\mu ,\ \nu ,\ \phi )坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述
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另外有一組有時會用到的扁球面坐標(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )；其中，\zeta =\sinh \mu ，\xi =\sin \nu 。\zeta坐標曲面是個扁球面，\xi坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi 、
y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi 、
z=a\zeta \xi 。
其中，實數0\leq \zeta <\infty ，實數-1\leq \xi <1，角度-180^{{\circ }}\leq \phi \leq 180^{{\circ }}。

### 標度因子

扁球面坐標(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )的標度因子分別為：

h\_{{\zeta }}=a{\sqrt {{\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}、
h\_{{\xi }}=a{\sqrt {{\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}、
h\_{{\phi }}=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}。
無窮小體積元素是

dV=a^{{3}}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi 。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{{2}}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{{2}}}}。

第三種表述
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圖3）第三種扁球面坐標系(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )的三個坐標曲面。紅色扁球面是\sigma 坐標曲面。藍色單葉雙曲面是\tau 坐標曲面。黃色半平面是\phi 坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是\phi ）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1，P2 （以黑色的圓球表示）觀察到。
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )：

\sigma =\cosh \mu 、
\tau =\cos \nu 、
\phi =\phi 。
坐標\sigma 必須大於或等於1。坐標\tau 必須在正負1之間。\sigma 坐標曲面是扁球面。\tau 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負\nu 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標(x,\ y,\ \pm z)映射至一組扁球面坐標系(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

x=a\sigma \tau \cos \phi 、
y=a\sigma \tau \sin \phi 、
z^{{2}}=a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)。
坐標\sigma 與\tau 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d\_1，最近距離d\_2：

d\_{{1}}+d\_{{2}}=2a\sigma 、
d\_{{1}}-d\_{{2}}=2a\tau 。
所以，點P與焦圓的最遠距離是a(\sigma +\tau )，點P與焦圓的最近距離是a(\sigma -\tau )。

### 坐標曲面

\sigma 坐標曲面是扁球面 ：

{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\sigma ^{{2}}}}+{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-1\right)}}=1。
\tau 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\tau ^{{2}}}}-{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}=1。
\phi 坐標曲面是半個平面 ：

x\sin \phi -y\cos \phi =0。
### 標度因子

扁球面坐標(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )的標度因子分別為：

h\_{{\sigma }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}{\sigma ^{{2}}+1}}}}、
h\_{{\tau }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}{1-\tau ^{{2}}}}}}、
h\_{{\phi }}=a\sigma \tau 。
無窮小體積元素是

dV=a^{{3}}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}{{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}+1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}}}d\sigma d\tau d\phi 。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{{2}}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{{2}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}+1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}}。
其它微分算子，像\nabla \cdot {\mathbf {F}}、\nabla \times {\mathbf {F}}，都可以用(\sigma ,\ \tau ,\ z)坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球**諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱
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* 论
* 编
正交坐标系 |
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| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

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* 直角坐标系
* 圆柱坐标系
* 球坐标系
* 旋转拋物线坐标系
* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

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參考文獻
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1. ↑  Smythe, 1968。
2. ↑  Abramowitz and Stegun, p. 752。

參考目錄
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### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H.. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用\xi \_{1}=a\sinh \mu 、\xi \_{2}=\sin \nu 、\xi \_{3}=\cos \phi 。

* Zwillinger D.. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用u\_{k}來替代\xi \_{k}。

* Smythe, WR.  3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Sauer R, Szabó I.. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標\xi =a\sinh \mu 、\eta =\sin \nu 、\phi =\phi 。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述(\mu ,\ \nu ,\ \phi )，又加介紹了簡併的第三種表述(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )。

* Margenau H, Murphy GM.. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用**餘緯度**\theta =90^{{\circ }}-\nu 來替代緯度\nu 。

* Moon PH, Spencer DE..  corrected 2nd ed. 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規\theta =90^{{\circ }}-\nu ，又改名\phi 為\psi 。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP.  2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。