在物理學裏，**作用量**（英语：**action**）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。

歷史
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皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是\int \_{{path}}\ v^{2}\ dt\,\!。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

概念
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微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

作用量形式
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在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

### 作用量（泛函）

最常見的作用量是一個泛函\mathcal{S}\,\!，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點t\_{{1}}\,\!，t\_{{2}}\,\!之間廣義座標{\mathbf {q}}(t)\,\!的演變。

作用量\mathcal{S}\,\!定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量L\,\!對於時間的積分：

{\mathcal {S}}[{\mathbf {q}}(t)]=\int \_{{t\_{1}}}^{{t\_{2}}}L[{\mathbf {q}},\ {\dot {{\mathbf {q}}}},\ t]\,{\mathrm {d}}t\,\!。
根據哈密頓原理，正確的演化{\mathbf {q}}\_{{{\mathrm {true}}}}(t)\,\!要求平穩的作用量\mathcal{S}\,\!（最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。

### 簡略作用量（泛函）

**簡略作用量**也是一個泛函，通常標記為{\mathcal {S}}\_{{0}}\,\!。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量{\mathcal {S}}\_{{0}}\,\!定義為廣義動量{\mathbf {p}}\,\!沿著路徑的積分：

{\mathcal {S}}\_{{0}}=\int {\mathbf {p}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {q}}\,\!；
其中，\mathbf{q}\,\!是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量{\mathcal {S}}\_{{0}}\,\!是平穩的。

### 哈密頓主函數

主條目：哈密頓主函數。
**哈密頓主函數**是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數S\,\!與泛涵\mathcal{S}\,\!有密切的關係。固定住初始時間t\_{{1}}\,\!和其對應的座標點{\mathbf {q}}\_{{1}}\,\!；而准許時間上限t\_{{2}}\,\!和其對應的座標點{\mathbf {q}}\_{{2}}\,\!的改變。取t\_{{2}}\,\!和{\mathbf {q}}\_{{2}}\,\!為函數S\,\!的參數。換句話說，作用量函數S\,\!是拉格朗日量對於時間的不定積分：

S({\mathbf {q}},\ {\mathbf {P}},\ t)=\int L[{\mathbf {q}},\ {\dot {{\mathbf {q}}}},\ t]\,{\mathrm {d}}t\,\!。
更加地，可以證明{\mathbf {P}}\,\!是某常數向量{\mathbf {a}}\,\!。所以，

S({\mathbf {q}},\ {\mathbf {P}},\ t)=S({\mathbf {q}},\ {\mathbf {a}},\ t)\,\!。
### 哈密頓特徵函數

主條目：哈密頓特徵函數。
假若，哈密頓量H\,\!是守恆的；

H=\alpha \,\!；
其中，\alpha \,\!是常數。

設定**哈密頓特徵函數**W\,\!為

W({\mathbf {q}},\ {\mathbf {a}})=S({\mathbf {q}},\ {\mathbf {a}},\ t)-\alpha t\,\!。
則哈密頓特徵函數W\,\!是一個作用量。

更加地，

{\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial {\mathbf {q}}}}{\dot {{\mathbf {q}}}}={\mathbf {p}}{\dot {{\mathbf {q}}}}\,\!。
對於時間積分：

W({\mathbf {q}},\ {\mathbf {a}})=\int {\mathbf {p}}{\dot {{\mathbf {q}}}}dt=\int {\mathbf {p}}\,d{\mathbf {q}}\,\!。
這正是簡略作用量的方程式。

### 哈密頓-雅可比方程的其他解

主條目：哈密頓-雅可比方程式。
哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數S({\mathbf {q}},\ {\mathbf {P}},\ t)\,\!分出的每一個項目S\_{{k}}(q\_{{k}},\ {\mathbf {P}},\ t)\,\!也稱為"作用量"。

### 作用量-角度座標

主條目：作用量-角度座標。思考一個作用量-角度座標的廣義動量變數J\_{{k}}\,\!，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：
J\_{{k}}=\oint p\_{{k}}{\mathrm {d}}q\_{{k}}\,\!。
這變數J\_{{k}}\,\!稱為廣義座標q\_{{k}}\,\!的作用量；相應的正則座標是**角度**w\_{{k}}\,\!。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數q\_{{k}}\,\!被用來積分。作用量J\_{{k}}\,\!等於，隨著q\_{{k}}\,\!沿著閉路徑，S\_{{k}}(q\_{{k}})\,\!的改變。應用於幾個有趣的物理系統，J\_{{k}}\,\!或者是常數，或者改變非常地慢。因此，J\_{{k}}\,\!時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。

### 哈密頓流作用量

參閱重言1形式。

數學導引
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哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點t\_{{1}}\,\!、t\_{{2}}\,\!的運動是正確運動，則作用量泛函\mathcal{S}\,\!的一次變分\delta {\mathcal {S}}\,\!為零。用數學方程式表示，定義作用量為 

{\mathcal {S}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}L({\mathbf {q}},\ {\dot {{\mathbf {q}}}},\ t)\,dt\,\!。
其中，L({\mathbf {q}},\ {\dot {{\mathbf {q}}}},\ t)\,\!是系統的拉格朗日函數，廣義座標{\mathbf {q}}=\left(q\_{{1}},\ q\_{{2}},\ \ldots ,\ q\_{{N}}\right)\,\!是時間的函數。

假若，{\mathbf {q}}(t)\,\!是系統的正確運動，則\delta {\mathcal {S}}=0\,\!。

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設{\mathbf {q}}(t)\,\!是系統的正確運動，讓{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,\!成為一個微擾\delta {\mathbf {q}}\,\!；微擾在軌道兩個端點的值是零：

{\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{1}})={\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{2}})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0\,\!。
取至{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,\!的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left[L({\mathbf {q}}+{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q}}}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L({\mathbf {q}},\ {\dot {\mathbf {q}}})\right]dt=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}+{\dot {\boldsymbol \varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt\,\!。
這裏，將拉格朗日量L\,\!展開至{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,\!的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目，

\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right]\_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}+\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt\,\!。
邊界條件{\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{1}})={\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{2}})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0\,\!使第一個項目歸零。所以，

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt\,\!。
要求作用量泛函\mathcal{S}\,\!平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,\!，一次變分\delta {\mathcal {S}}\,\!必須等於零：

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt=0\,\!。
請注意，還沒有對廣義座標{\mathbf {q}}(t)\,\!做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：

{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}={\mathbf {0}}\,\!。
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於廣義座標q\_{{k}}\,\!的廣義動量p\_{{k}}\,\!，又稱為**共軛動量**，定義為

p\_{{k}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot q}\_{{k}}}}\,\!。
假設L\,\!不顯性地跟廣義座標q\_{{k}}\,\!有關，

{\frac {\partial L}{\partial q\_{{k}}}}=0\,\!，
則廣義動量p\_{{k}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot q}\_{{k}}}}\,\!是常數。在此種狀況，座標q\_{{k}}\,\!稱為**循環座標**。舉例而言，如果用極座標系(r,\ \theta ,\ h)\,\!來描述一個粒子的平面運動，而L\,\!與\theta\,\!無關，則廣義動量是守恆的角動量。

參閱
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* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學
* 諾特定理
* 愛因斯坦-希爾伯特作用量
* 最小作用量原理

外部連結
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* （页面存档备份，存于），Edwin F. Taylor加了註釋的參考書目。
* 最小作用量原理 （页面存档备份，存于）非常好地互動解釋。

參考文獻
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* Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.這領域最常引用的參考書。
* 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed. Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.這本書一開始就講解最小作用量原理。
* Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
* Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
* Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
* Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。

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* 论
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经典力学 |
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* 论
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经典力学国际单位 |
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| 线性（平动）的量 |  | 角度（转动）的量 |
| 量纲 | — | L | L2 | 量纲 | — | — | — |
| T | 时间: ts | 位移积分: **A**m s（英语：） |  | T | 时间: ts |  |  |
| — |  | 距离: d, 位矢: **r**, **s**, **x**, 位移m | 面积: *A*m2 | — |  | 角度: θ, 角移: **θ**rad | 立體角: Ωrad2, sr |
| T−1 | 頻率: fs−1（英语：）, Hz | 速率: v, 速度: **v**m s−1 | 面積速率: ν,比角动量（英语：）: **h**m2 s−1 | T−1 | 頻率: fs−1（英语：）, Hz | 角速率: ω, 角速度: **ω**rad s−1 |  |
| T−2 |  | 加速度: **a**m s−2 |  | T−2 |  | 角加速度: **α**rad s−2 |  |
| T−3 |  | 加加速度: **j**m s−3 |  | T−3 |  | 角加加速度: **ζ**rad s−3 |  |
|  |  |
| M | 质量: mkg |  |  | ML2 | 轉動慣量: Ikg m2 |  |  |
| MT−1 |  | 动量: **p**, 冲量: **J**kg m s−1, N s（英语：） | 作用量: 𝒮, actergy（英语：）: ℵkg m2 s−1, J s（英语：） | ML2T−1 |  | 角动量: **L**, 角冲量: Δ**L**kg m2 s−1 | 作用量: 𝒮, actergy（英语：）: ℵkg m2 s−1, J s（英语：） |
| MT−2 |  | 力: **F**, 重量: **F**gkg  m s−2, N | 能量: E, 功: Wkg m2 s−2, J | ML2T−2 |  | 力矩: **τ**, moment（英语：）: **M**kg m2 s−2, N m | 能量: E, 功: Wkg m2 s−2, J |
| MT−3 |  | yank（英语：）: **Y**kg m s−3, N s−1 | 功率: Pkg m2 s−3, W | ML2T−3 |  | rotatum（英语：）: **P**kg m2 s−3, N m s−1 | 功率: Pkg m2 s−3, W |

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