在拓扑学和相关的数学领域中，**吉洪诺夫空间**或**完全正则空间**是特定优良种类的拓扑空间。这些条件是分离公理的个例。

吉洪诺夫空间得名于安德列·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。

定义
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假定 *X* 是拓扑空间。

*X* 是**完全正则空间**，当且仅当给定任何闭集 *F* 和任何不属于 *F* 的点 *x*，存在从 *X* 到实直线 **R** 的连续函数 *f* 使得 *f*(*x*) 为 0 和 *f*(*y*) 为 1 对于所有 *F* 中的 *y*。用"空想家"术语来说，这个条件声称 *x* 和 *F* 可以由函数分离。

*X* 是**吉洪诺夫空间**或 **T3½ 空间**或 **Tπ空间**或**完全 T3 空间**，当且仅当它是完全正则空间和豪斯多夫空间二者。

注意某些数学文献对术语"完全正则"和涉及"T"的术语使用了不同的定义。我们这里给出的定义是今天最常用；但是某些作者切换了两类术语的意义，或者把它们用做同一个条件的同义词。在这里，我们直率的使用术语"完全正则"和"吉洪诺夫"，但避免不太明晰的术语"T"。在其他文献中，你应该仔细找出作者使用的是什么术语。(短语"完全正则豪斯多夫"总是无歧义的意味着吉洪诺夫空间。)更多详情可参见分离公理的历史。

完全正则空间和吉洪诺夫空间通过柯尔莫果洛夫商关联起来的。拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它是完全正则空间和T0 空间二者。在另一方面，一个空间是完全正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商是吉洪诺夫空间。

例子和反例
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在数学分析中研究的几乎所有拓扑空间都是吉洪诺夫空间，或至少是完全正则空间。例如，实直线是在标准欧几里德拓扑下的吉洪诺夫空间。其他例子包括:

* 所有度量空间是吉洪诺夫空间；所有伪度量空间是完全正则空间。
* 所有局部紧致正则空间是完全正则的，因此所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间。
* 特别是，所有拓扑流形是吉洪诺夫空间。
* 所有全序集合带有序拓扑是吉洪诺夫空间。
* 所有拓扑群是完全正则空间。
* 推广了度量空间和拓扑群二者，所有一致空间都是完全正则的。反过来也是真的: 所有完全正则空间是可一致化的。
* 所有CW复形是吉洪诺夫空间。
* 所有正规正则空间是完全正则的，而所有正规豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间。
* Niemytzki平面是吉洪诺夫空间但非正规空间的一个例子。

性质
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### 保持

完全正则性和吉洪诺夫性质关于始拓扑是表现良好的。特别是，选取任意始拓扑保持完全正则性，选取点分离始拓扑保持吉洪诺夫性质。可得出:

* 所有完全正则空间或吉洪诺夫空间的子空间都有相同的性质。
* 非空乘积空间是完全正则(或吉洪诺夫的)，当且仅当每个函子空间是完全正则(或吉洪诺夫的)。

类似所有分离公理，选取终拓扑不保持完全正则性。特别是，完全正则空间的商空间不必须是正则空间。吉洪诺夫空间的商空间甚至不必须是豪斯多夫空间。有 Moore平面的闭合商作为反例。

### 实数值连续函数

对于任何拓扑空间 *X*，设 *C*(*X*) 指示在 *X* 上的实数值连续函数族，并设 *C*\*(*X*) 是有界实数值函数的子集。

完全正则空间可以特征化为它们的拓扑完全确定自 *C*(*X*) 或 *C*\*(*X*) 的性质。特别是:

* 空间 *X* 是完全正则的，当且仅当它有引发自 *C*(*X*) 或 *C*\*(*X*) 的始拓扑。
* 空间 *X* 是完全正则的，当且仅当所有闭集可以被写为 *X* 中零集合族的交集(就是说零集合形成给 *X* 的闭集的基)。
* 空间 *X* 是完全正则的，当且仅当 *X* 的余零集合形成 *X* 的拓扑的基。

给定任意拓扑空间 (*X*, τ) 有一种普遍方式对 (*X*, τ) 关联上一个完全正则空间。设 ρ 是在引发自 *C*τ(*X*) 的 *X* 上的始拓扑，或等价的说，从 (*X*, τ) 中的余零集合的基生成的拓扑。则 ρ 将是比 τ 粗的 *X* 上的最细完全正则拓扑。这种构造是普遍性的，在任何到完全正则空间 *Y* 的连续函数

{\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}
都将在 (*X*, ρ) 上连续的意义上。用范畴论的语言，从 (*X*, τ) 到 (*X*, ρ) 的函子左伴随于包含函子 **CReg** → **Top**。因此完全正则空间的范畴 **CReg** 是拓扑空间范畴 **Top** 的反射子范畴。通过选取柯尔莫果洛夫商，可以看出吉洪诺夫空间的子范畴也是反射的。

可以证明在上述构造中 *C*τ(*X*) = *C*ρ(*X*)，所以环 *C*(*X*) 和 *C*\*(*X*) 典型的只在完全正则空间 *X* 中研究。

### 嵌入

吉洪诺夫空间完全就是那些可以嵌入到紧致豪斯多夫空间内的空间。更精确地说，对于所有吉洪诺夫空间 *X*，存在紧致豪斯多夫空间 *K* 使得 *X* 同胚于 *K* 的一个子空间。

事实上，你总是可以选择 *K* 为立方体 (就是说，单位区间的可能无限乘积)。所有立方体都是紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫定理的一个结论。因为所有紧致豪斯多夫空间的子空间都是吉洪诺夫空间，所以:

拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它可以被嵌入一个立方体中。
### 紧致化

特别有趣的嵌入是*X* 的像是 *K* 中的稠密集；这叫做 *X* 的豪斯多夫紧致化。给定任何吉洪诺夫空间 *X* 到紧致豪斯多夫空间 *K* 的嵌入， *X* 在 *K* 中的像的闭包是 *X* 的紧致化。

在豪斯多夫紧致化中，有一个唯一"最一般"的，斯通–切赫紧致化 β*X*。它由如下泛性质刻画，给定从 *X* 到任何其他紧致豪斯多夫空间 *Y* 的连续映射 *f*，有一个唯一的从 β*X* 到 *Y* 连续映射 *g* 扩张 *f*，在 *f* 是 *g* 和 *j* 的复合意义上。

### 一致结构

完全正则性正好是在拓扑空间上存在一致结构的必需条件。换句话说，所有一致空间都有完全正则拓扑，而所有完全正则空间 *X* 是可一致化空间。拓扑空间允许分离的一致结构当且仅当它是吉洪诺夫空间。

给定完全正则空间 *X* 通常存在多于一个 *X* 上的一致结构相容于 *X* 的拓扑。但是，总是有最细一致结构，叫做 *X* 的精细一致结构。如果 *X* 是吉洪诺夫空间，则可以选择一致结构使得 β*X* 成为一致空间 *X* 的完全。

參考文獻
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* Stephen Willard, *General Topology*, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
* Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings of continuous functions. Reprint of the 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp


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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
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| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
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| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
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| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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