在量子力學裏，**Delta位勢壘**是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。**Delta位勢壘問題**專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義
--

對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。
一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!；
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，E\,\!是能量，\psi(x)\,\!是波函數，V(x)\,\!是位勢，表達為

{\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)\,\!}；
其中，\delta (x)\,\!是狄拉克Delta函數，\lambda \,\!是狄拉克Delta函數的強度。

導引
--

這位勢壘將一維空間分為兩個區域：x<0\,\!與x>0\,\!。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

\psi \_{L}(x)=A\_{r}e^{{ikx}}+A\_{l}e^{{-ikx}}\quad x<0\,\!，
\psi \_{R}(x)=B\_{r}e^{{ikx}}+B\_{l}e^{{-ikx}}\quad x>0\,\!；
其中，A\_r\,\!、A\_l\,\!、B\_r\,\!、B\_l\,\!都是必須由邊界條件決定的常數，下標r\,\!與l\,\!分別標記波函數往右或往左的方向。k={\sqrt {2mE/\hbar ^{{2}}}}\,\!是波數。 

由於E>0\,\!，\psi \_{L}\,\!與\psi \_{R}\,\!都是行進波。這兩個波必須滿足在x=0\,\!的邊界條件：

\psi \_{L}=\psi \_{R}\,\!，
{\frac {d}{dx}}\psi \_{L}={\frac {d}{dx}}\psi \_{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!。
特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在x=0\,\!並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有{\displaystyle -{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!}這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於x=0\,\!的一個非常小的鄰域：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}V(x)\psi \,dx=E\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\psi \,dx\,\!；(1)
其中，\epsilon \,\!是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

E\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!。(2)
在\epsilon \to 0\,\!的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{{\epsilon }}-{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{{-\epsilon }}\right)+\lambda \int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\delta (x)\psi \,dx=0\,\!(3)
根據狄拉克Delta函數的定義，

\int \_{{-\epsilon }}^{{\epsilon }}\delta (x)\psi \,dx=\psi \_{R}(0)\,\!。(4)
而在\epsilon \to 0\,\!的極限，

\lim \_{{\epsilon \to 0}}{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{{-\epsilon }}={\frac {d\psi \_{L}}{dx}}{\bigg |}\_{0}\,\!，(5)
\lim \_{{\epsilon \to 0}}{\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{{\epsilon }}={\frac {d\psi \_{R}}{dx}}{\bigg |}\_{0}\,\!。(6)
將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在x=0\,\!，

{\displaystyle {\frac {d\psi \_{L}}{dx}}={\frac {d\psi \_{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi \_{R}\,\!}。
從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

A\_{r}+A\_{l}=B\_{r}+B\_{l}\,\!，
{\displaystyle ik(A\_{r}-A\_{l}-B\_{r}+B\_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B\_{r}+B\_{l})\,\!}。
### 反射與透射

一個Delta位勢壘的反射係數R\,\!（用紅線表示）與透射係數T\,\!（用綠線表示）隨著能量E\,\!的變化。在這裏，能量E>0\,\!。能量的單位是{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。
由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，x<0\,\!或x>0\,\!。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定A\_{r}=1\,\!，A\_{l}=r\,\!，B\_{l}=0\,\!，B\_{r}=t\,\!。求算反射的機率幅r\,\!與透射的機率幅t\,\!：

{\displaystyle r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!}，
{\displaystyle t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!}。
反射係數是

R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!。
透射係數是

T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!。
這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

* 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
* 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱
--

* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta位勢阱
* 量子穿隧效應