在数学分析中，**隐函数定理**是一個用來回答下面的問題的工具：以隐函数表示的多變量函數，這函數的變量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系 *f*(*x*, *y*)=0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 *y* 可以表示成关于 *x* 的函数：

{\displaystyle y=h(x)}
这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變量 *x*, *y* 滿足隱函數 *x*2 + *y*2 − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 *y*=*h*(*x*) 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 *y*=*h*(*x*) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子
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讓函数{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}，則单位圆就可以写成满足方程式{\displaystyle f(x,y)-1=0}的点的集合。在圆上的点A附近，*y* 可以表示成 *x* 的函数： {\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}，但點B就不行（因為在點B附近，一個 *x* 會對應到兩個 *y* 的值）。
有函數 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}，那么方程式 {\displaystyle f(x,y)-1=0} 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 {\displaystyle y=h(x)} 的形式的，因为每个{\displaystyle x\in (-1,1),}都有两个{\displaystyle y}的值与之对应，即{\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}。

然而在某些點附近，局部地用 {\displaystyle x} 來表示 {\displaystyle y} 是可能的。比如给定圆上一点 {\displaystyle (x,y)}，如果 {\displaystyle y>0}，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 {\displaystyle y} 可以写成关于 {\displaystyle x} 的函数：{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}。如果 {\displaystyle y<0}，在圓的下半部分 {\displaystyle y} 也可以写成关于 {\displaystyle x} 的函数：{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}。

但是，在点 {\displaystyle (\pm 1,0)} 的附近，{\displaystyle y} 无法写成关于 {\displaystyle x} 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 {\displaystyle x}，都有两个 {\displaystyle y} 的值与之对应，這種情況下 {\displaystyle y} 無法寫成 {\displaystyle x} 的函數。

定理的叙述：欧几里得空间的情况
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设 *f* : **R***n+m* → **R***m* 为一个连续可微函数。这里**R***n+m* 被看作是两个空间的直积： **R***n*×**R***m*，于是 **R***n+m* 中的一个元素写成 (**x**,**y**) = (*x1*, ... *xn*, *y1*, ... *ym*) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 *h*: **R***n* → **R***m* ，讓這函數的圖形(graph of a function), (**x**, *h*(**x**)), 局部上恰好等於集合{ (**x**, **y**) | *f*(**x**,**y**) = **0**}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 *h* 的局部存在。

固定一点(**a**,**b**) = (*a1*, ... *an*, *b1*, ... *bm*) 使得 *f*(**a**, **b**) = **0**，我們希望在點 (**a**,**b**) 的附近找到一個 **y** 关于 **x** 的函数 *h*，严格来说，就是说存在 **a** 的鄰域 *U* ⊆ **R**n 和 **b** 的邻域 *V* ⊆ **R**m 以及函數：*h* : *U* → *V*，使得 *h* 的函數的圖形 (**x**, *h*(**x**)) 剛好等於 *U* × *V* 中  *f*(**x**,**y**) = **0** 的集合，也就是說：

{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}。
要保證这样的函数 *h* 存在，函数 *f* 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (**a**,**b**)，*f* 的雅可比矩阵写作：

{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f\_{1}}{\partial y\_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f\_{m}}{\partial y\_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f\_{m}}{\partial y\_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}
其中的矩阵 {\displaystyle X} 是函數 *f* 关于變數 **x** 的偏微分，而矩陣 {\displaystyle Y} 是 *f* 关于變數 **y** 的偏微分。隐函数定理说明了：如果{\displaystyle Y}是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 *U*、*V* 和函数 *h*(*x*) 就会存在。正式的敘述就是：

设 *f* : **R**n+m → **R**m 为连续可微函数，讓 **R**n+m 中的坐标记为 (**x**, **y**), (**x**, **y**) = (*x1*, ... *xn*, *y1*, ... *ym*)。给定一点  (*a1*, ... *an*, *b1*, ... *bm*) = (**a**,**b**) 使得   *f*(**a**,**b**)=**0**（**0** ∈ **R***m*，是個零向量）。如果 *m*×*m* 矩陣 [(∂*fi* / ∂*yj*)(**a**, **b**) 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 {\displaystyle Y}），那么存在 **a** 的邻域 *U* ⊆ **R**n、**b** 的邻域 *V* ⊆ **R**m 以及唯一的连续可微函数 *h*:*U* → *V*，使得 
{\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }
且

{\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,} 對所有的 {\displaystyle \mathbf {x} \in U}。

一般情形
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设{\displaystyle E\_{1}}、{\displaystyle E\_{2}}和{\displaystyle F}是三个巴拿赫空间，而{\displaystyle U}、{\displaystyle V}分别是{\displaystyle E\_{1}}、{\displaystyle E\_{2}}上的两个开集。设函数：

{\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}
是一個{\displaystyle k~(k\geq 1)}階可微函數（見Fréchet導數（英语：）），并且对于{\displaystyle E\_{1}\times E\_{2}}中的一点{\displaystyle (x\_{0},y\_{0})}，满足：

* {\displaystyle f(x\_{0},y\_{0})=0}
* 映射 {\displaystyle y\mapsto (Df(x\_{0},y\_{0}))(0,y)} 是一個從{\displaystyle E\_{2}}到{\displaystyle F}的同構

那么有如下结论：

存在{\displaystyle x\_{0}}的邻域 {\displaystyle U\_{0}\subset U} 、 {\displaystyle y\_{0}}的邻域 {\displaystyle V\_{0}\subset V} ，以及 {\displaystyle k} 階Fréchet可微函數{\displaystyle \varphi :U\_{0}\rightarrow V\_{0}}，使得：
对任意{\displaystyle (x,y)\in U\_{0}\times V\_{0}}，只要{\displaystyle f(x,y)=0}，就有{\displaystyle y=\varphi (x)}。

参见
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* 反函数定理
* 不动点定理
* 压缩映射定理
* 微分

参考来源
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* （英文）Arne Hallam.  (PDF). Iowa State University.  [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）.
* Chiang, Alpha C.  3rd. McGraw-Hill. 1984.

* Danilov, V.I. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

* Edwards, Charles Henry.. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.

* Fritzsche, K.; Grauert, H.. Springer. 2002.

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* Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

* Kumagai, S.. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, **31** (2). doi:10.1007/BF00934117.

* Lang, Serge.. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.