除以0時計算器的錯誤
在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數**除以零**，可表達為\frac{a}{0}，a是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設a\neq 0），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0!
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基本算術
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基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若等份。例如，10個蘋果平分給5人，每人可得\frac{10}{5} = 2個蘋果。同理，10個蘋果只分給1人，則其可獨得\frac{10}{1} = 10個蘋果。

若除以{\displaystyle 0}又如何？若有10顆蘋果，無人（{\displaystyle 0}解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，\frac{10}{0}，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「13除以5」，換一種說法，13減去兩個5，餘下3，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為\frac{13}{5} = 2餘數3。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

### 早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668年）的著作《婆羅摩曆算書（英语：）》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

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|  | **一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。** |  |

830年，另一位數學家摩訶吠羅（英语：）在其著作《*Ganita Sara Samgraha*》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

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|  | **一數字除以零會維持不變。** |  |

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓\frac{n}{0}=\infty。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：{\displaystyle 0\times \infty }的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。

在微積分和数学分析中，像{\displaystyle 0\times \infty }或{\frac {0}{0}}這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

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代數處理
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若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即{\frac {a}{b}}值是方程bx=a中x的解（若有的話）。若設b=0，方程式bx=a可寫成0 \times x = a或直接0 = a。因此，方程式bx=a沒有解（当a \neq 0时），但x是任何數值也可解此方程（当a=0时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以{\frac {a}{b}}未能下定義。

### 除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1

式：

{\displaystyle 0a=0}
試：

a = 1：正確
a = 2：正確
得出：

0\times 1=0\times 2
除以零得出

 \frac{0}{0}\times 1 = 2
簡化，得出：

1=2\,
以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且{\frac {0}{0}}=1。

另一个简洁的证明

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| 設a=b，則

a

2

=
a
b

{\displaystyle a^{2}=ab}

{\displaystyle a^{2}=ab}兩邊同時减去b^2，由平差公式得

(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
(
a
−
b
)

{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}

{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}兩邊除以(a-b)，

a
+
b
=
b

{\displaystyle a+b=b}

{\displaystyle a+b=b}故a=0。 |

通过上面的過程，证明了一切数字等于{\displaystyle 0}。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為(a-b)是零，所以不能夠把左右兩邊的(a-b)刪去。

### 虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設\frac{a}{b}=a b^+，當中b^+代表b的虛構倒數。這樣，若b^-存在，則b^+ = b^-。若b=0，則0^+ = 0；參見广义逆。

數學分析
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函數{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}的圖像。當x趨向0，左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。
### 扩展的实数轴

表面看來，可以藉着考慮隨着b趨向{\displaystyle 0}的{\frac {a}{b}}來定義「除以零」。

對於任何正數a，右極限是

\lim \_{{b\to 0^{{+}}}}{a \over b}={+}\infty 
另一方面，左極限是

{\displaystyle \lim \_{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }
由於左極限及右極限不相同，因此函數在x=0的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若a是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

### 不定型極限

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四则运算或洛必達法則計算。

考慮函數{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}

如果直接代入x=3，會得到零除以零，這是沒有意義的。

{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}
但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

{\displaystyle \lim \_{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim \_{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim \_{x\to 3}x+3=6}
此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。

{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
若隨着x趨向{\displaystyle 0}，f(x)與g(x)均趨向{\displaystyle 0}，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎f及g是何函數。

### 形式推算

運用形式推算（英语：），正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits \_{x\to 0}{1}}{\lim \limits \_{x\to 0}{x}}}}=\infty .}
### 黎曼球

集合{\mathbb {C}}\cup \{\infty \}為黎曼球（），在複分析中相當重要。

计算机科学
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不同程式語言下除以零的结果| 程式語言 | 整数 | 浮点数 |
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| C语言 | 未定义行为，早期计算机可能崩潰；如果0是常量，可能导致编译警告。 | 无穷大或NaN |
| Java | 抛出ArithmeticException异常 | 无穷大或NaN |
| JavaScript | 不适用，JavaScript无整数类型 | 无穷大或NaN |
| Python | 抛出ZeroDivisionError异常 | 抛出ZeroDivisionError异常；但是部分Python包提供的运算函数除外 |

在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

* 零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
* 零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
* 零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

注釋
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1. ↑  Zero 的存檔，存档日期2008-12-04.

參考
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* Patrick Suppes（英语：） 1957 (1999 Dover edition), *Introduction to Logic*, Dover Publications, Inc. Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

* Charles Seife 2000, *Zero: The Biography of a Dangerous Idea*, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

* Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), *Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences*, Dover Publications, Inc. Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀
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* Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", *Chaos, Solitons and Fractals*, volume 21, number 2, pages 261–271.

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|  | 维基新闻中的相关報導：**British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians** |

* Ben Goldacre.. 2006-12-07  [2008-04-23]. （原始内容存档于2008-05-27）.

參見
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* 漸近線
* 0/0
* 引力奇點