在代數幾何中，一條**代數曲線**是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面{\mathbb {P}}^{2}上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。

仿射曲線
----

定義在域F上的仿射代數曲線可以看作是F^{n}中由若干個n-元多項式g\_{i}\in F[x\_{1},\ldots ,x\_{n}]定義的公共零點，使得其维数為一。

利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線f(x,y)=0，其中f\in F[x,y]，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

射影曲線
----

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程g\_{i}=0（i=1,\ldots ,n-1）中，我們作代換：

g\_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})\longrightarrow (X\_{0})^{{\deg g\_{i}}}g\_{i}\left({\frac {X\_{1}}{X\_{0}}},\ldots ,{\frac {X\_{n}}{X\_{0}}}\right)
遂得到n-1個齊次多項式，它們在射影空間{\mathbb {P}}\_{F}^{n}中定義一條曲線，此射影曲線與開集U\_{0}:=\{(X\_{0}:\cdots :X\_{n})|X\_{0}\neq 0\}的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括{\mathbb {P}}\_{{{\mathbb {Q}}}}^{3}中的費馬曲線X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0，其上的有理點對應到費馬方程X^{n}+Y^{n}=Z^{n}的互素整數解。

代數函數域
-----

更多：函數域
代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域F上的函數域K是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素x\in K使得x在F上超越，而且K/F(x)是有限擴張。

以複數域\mathbb {C} 為例，我們可以定義複係數有理函數域{\mathbb {C}}(x)。變元x, y對代數關係y^{2}=x^{3}-x-1生成的域{\mathbb {C}}(x,y)是一個橢圓函數域，代數曲線\{(x,y)\in {\mathbb {C}}^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\} 給出它的一個幾何模型。

若基域F非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域F:={\mathbb {R}}並考慮其上的代數曲線x^{2}+y^{2}+1=0，此方程定義了一個{\mathbb {R}}[x]的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而

\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset 
代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。

複代數曲線與黎曼曲面
----------

更多：黎曼曲面
複射影曲線可以嵌入n維複射影空間{\mathbb {C}}P^{n}。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的**虧格**。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與\mathbb {C} 上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

奇點
--

### 判斷方式

曲線在一點P的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於{\mathbb {P}}^{n}中的曲線：設該曲線由n-1個n+1個變元的齊次多項式g\_{1},\ldots ,g\_{{n-1}}定義，若其雅可比矩陣\left({\frac {\partial g\_{i}}{\partial x\_{j}}}\right)\_{{i,j}}在區線上一點P滿秩，則稱它P點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式g\_{1},\ldots ,g\_{{n-1}}的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線C由齊次方程式f(x,y,z)=0定義，則C的奇點恰為C上使得\nabla f為零的點，即：

{\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)
在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即**平滑曲線**。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

### 奇點分類

*x*3 = *y*2
曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線x^{3}=y^{2}之於原點(0,0)，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線f(x,y)=0在一點P的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設P=(0,0)。將多項式f(x,y)寫成

f(x,y)=\sum \_{{n\geq 1}}f\_{n}(x,y)
其中f\_{n}(x,y)是n次齊次多項式。直觀地想像，f(x,y)=0在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為f\_{m}(x,y)。根據齊次性可以將之分解成

f\_{m}(x,y)=\prod \_{{i=1}}^{m}(a\_{i}x-b\_{i}y)
換言之，曲線在原點附近將近似於m條（含重複）直線a\_{i}x-b\_{i}y=0的聯集。上式中相異的直線數r稱作**分支數**，正整數m稱作平面曲線在該點的**重數**，此外還有一個內在的不變量\delta \_{P}:=\dim {\mathcal {O}}\_{{{\tilde {C}},P}}/{\mathcal {O}}\_{{C,P}}，其中{\tilde {C}}\rightarrow C是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如*一般尖點*對應到[2,1,1]，*一般雙重點*對應到[2,1,2]，而*一般n重點*則對應到[n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]。

各奇點的不變量δP決定平面曲線f(x,y)=0的虧格：設\deg f=d，則有

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum \_{P}\delta \_{P},
對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為**Milnor數**：同樣假設P=(0,0)，在原點附近夠小的四維球B\_{\epsilon }:=\{(x,y)\in {\mathbb {C}}^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}內有(x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0，此時有連續映射

\nabla f(x,y):B\_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B\_{\epsilon }-\{(0,0)\}
由於B\_{\epsilon }-\{(0,0)\} 同倫等價於三維球面{\mathbb {S}}^{3}，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：

\mu =2\delta -r+1
事實上，\{(x,y)\in {\mathbb {C}}^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in {\mathbb {C}}^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}在ε夠小時是\{(x,y)\in {\mathbb {C}}^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong {\mathbb {S}}^{3}中的一個環圈，稱作**奇點環圈**，它具有複雜的拓撲性質。例如：x^{3}=y^{2}在尖點附近的奇點環圈是三葉結。

曲線的例子
-----

### 有理曲線

域F上的**有理曲線**是雙有理等價於射影直線{\mathbb {P}}\_{F}^{1}的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域F(t)。當F代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由x^{2}+y^{2}+1=0給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。

任何F上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點P而斜率為t的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於F的根已知，即P的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於F，而且能表作t在F上的有理函數。y坐標的作法相同。

*x*2 + *xy* + *y*2 = 1
**例**。考慮斜橢圓E:x^{2}+xy+y^{2}=1，其中(-1,0)是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線y=t(x+1)，並帶入E的等式，於是得到：

x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}。
y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}
這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線

X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!
以上參數化遂表為

X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!
若取t為整數，對應的X,Y,Z是不定方程X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}的整數解；若將X代以-X，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取t=2，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

### 橢圓曲線

更多：橢圓曲線
橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：

y^{2}z+a\_{1}xyz+a\_{3}yz^{2}=x^{3}+a\_{2}x^{2}z+a\_{4}xz^{2}+a\_{6}z^{3}.\,\!
橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於{\mathbb {C}}/\Lambda ，其中的\Lambda 由相應的橢圓函數給出。

### 虧格大於一的曲線

對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據Faltings定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線（英语：）、克萊因四次曲線（英语：）與一開始提到的費馬曲線（英语：）在n\geq 4的情形。

文獻
--

* Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, *Plane Algebraic Curves*, John Stillwell, trans. Birkhäuser, 1986
* Claude Chevalley, *Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable*, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces*, Springer, 1980
* Phillip A. Griffiths, *Introduction to Algebraic Curves*, Kuniko Weltin, trans. American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
* Robin Hartshorne, *Algebraic Geometry*, Springer, 1977
* Shigeru Iitaka, *Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties*, Springer, 1982
* John Milnor, *Singular Points of Complex Hypersurfaces*, Princeton University Press, 1968
* George Salmon, *Higher Plane Curves*, Third Edition, G. E. Stechert & Co. 1934
* Jean-Pierre Serre, *Algebraic Groups and Class Fields*, Springer, 1988