直角邊的平方和等於斜邊的平方

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（英語： / ）是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（较短直角边古称勾长、较长直角边古称股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

此定理又稱、**商高定理**、**畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理**或**百牛定理**。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。日本除了翻譯西方的「畢達哥拉斯之定理」外亦有「三平方之定理」的稱呼。

早在有明文描述此定理前，古埃及在公元前1600年的纸莎草記載有{\displaystyle (3,4,5)}这一组勾股数，而古巴比伦泥板紀錄的最大的一个勾股数组是{\displaystyle (12709,13500,18541)}。由於古代沒有如此高的精確測量工具，因此一般相信得到如此巨大的勾股數必須知道畢氏定理。

現在畢氏地理可考的嚴謹數學證明，起源於略晚於畢德格拉斯的歐幾里得幾何原本中，卷一命題47。但奇怪的是，這個定理從未被叫做「歐幾里得定理」。

《周髀算經》中，用商高與周公對談的方式，提出{\displaystyle (3,4,5)}這組勾股數为例，解释了勾股定理要素，论证「弦长平方必定是两直角边的平方和」，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则，周髀算經沒有給出證明。且周髀算經成書年份不明，可能是公元前一千多年(比畢達哥拉斯早五百年)，但也可能是西漢年代(比畢達格拉斯晚500年)。另外，除了周髀算經以外再無其他典籍紀載商高，無法得知是否真有商高其人，或者周髀算經作者虛構人物。

有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。

勾股定理有四百多個證明，如微分證明，面積證明等。

定理
--

在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是{\displaystyle a}和{\displaystyle b}，斜边长度是{\displaystyle c}，那么可以用数学语言表达：

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}  

或

{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}  

餘弦定理是勾股定理的一個推广。勾股定理現約有400種证明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

其他形式
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如果{\displaystyle c}是斜邊的長度而{\displaystyle a}和{\displaystyle b}是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}

如果{\displaystyle a}和{\displaystyle b}知道，{\displaystyle c}可以這樣寫：

{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,}

如果斜邊的長度{\displaystyle c}和其中一條邊（{\displaystyle a}或{\displaystyle b}）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：

{\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.\,}
或

{\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.\,}
簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長。

勾股数组
----

条目：勾股数
**勾股数组**是滿足勾股定理{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}的正整數組{\displaystyle (a,b,c)}，其中的{\displaystyle a,b,c}称为**勾股数**。例如{\displaystyle (3,4,5)}就是一組勾股数組。

任意一组勾股数{\displaystyle (a,b,c)}可以表示为如下形式：{\displaystyle a=k(m^{2}-n^{2}),b=2kmn,c=k(m^{2}+n^{2})}，其中{\displaystyle k,m,n\in \mathbb {N\*} ,m>n}。

歷史
--

公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板
這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股数、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

### 勾股数

勾股数的發現時間较早，例如埃及的纸草书里面就有{\displaystyle (3,4,5)}这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是{\displaystyle (13500,12709,18541)}。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载。在中国，《周髀算经》中也记述了{\displaystyle (3,4,5)}这一组勾股数；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

### 普遍定理的发现

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | 如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一百头公牛来庆祝。对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。 |  |

普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》"荣方问于陈子"一节中：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | 若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。 |  |
| ——《周髀算经》卷上之二 |

因此此定理也被称之为陈子定理。

东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | 勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦。 |  |

赵爽《勾股圆方图》
在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用"割补术"做"青朱出入图"完成勾股定理的几何图形证明。

直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

### 证明

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉（英语：）在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

證明
--

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的*Pythagorean Proposition*一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。

### 趙爽勾股圆方图证明法

中国三国时期趙爽为证明勾股定理作"勾股圆方图"即"弦图"，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画
### 刘徽"割补术"证明法

中国魏晋时期数学家刘徽依据其"割补术"为证勾股定理另辟蹊径而作"青朱出入图"。刘徽描述此图，"勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。"其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则"各从其类"，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

刘徽 青朱出入图
### 利用相似三角形的證法

相似三角形的證明
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設{\displaystyle ABC}為一直角三角形，直角於{\displaystyle \angle C}（看右圖）。從點*{\displaystyle C}*畫上三角形的高，並將此高與{\displaystyle {\overline {AB}}}的交叉點稱之為{\displaystyle H}。此新{\displaystyle \bigtriangleup ACH}和原本的*{\displaystyle \bigtriangleup ABC}*相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有{\displaystyle A}這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，{\displaystyle \bigtriangleup CBH}和{\displaystyle \bigtriangleup ABC}也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

{\displaystyle {\overline {BC}}=a,{\overline {AC}}=b,{\text{ and }}{\overline {AB}}=c,\!}
所以

{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\overline {HB}}{a}}{\text{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {\overline {AH}}{b}}.\,}
可以寫成

{\displaystyle a^{2}=c\times {\overline {HB}}{\text{ and }}b^{2}=c\times {\overline {AH}}.\,}
綜合這兩個方程式，我們得到

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times {\overline {HB}}+c\times {\overline {AH}}=c\times ({\overline {HB}}+{\overline {AH}})=c^{2}.\,\!}
換句話說:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}
### 歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設{\displaystyle \bigtriangleup ABC}為一直角三角形，其中*A*為直角。從*{\displaystyle A}*點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

* 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
* 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
* 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
* 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

证明辅助图2
其證明如下：

1. 設{\displaystyle \triangle ABC}為一直角三角形，其直角為{\displaystyle \angle CAB}。
2. 其邊為{\displaystyle {\overline {BC}}}、{\displaystyle {\overline {AB}}}、和{\displaystyle {\overline {CA}}}，依序繪成四方形{\displaystyle CBDE}、{\displaystyle BAGF}和{\displaystyle ACIH}。
3. 畫出過點{\displaystyle A}之{\displaystyle {\overline {BD}}}、{\displaystyle {\overline {CE}}}的平行線。此線將分別與{\displaystyle {\overline {BC}}}和{\displaystyle {\overline {DE}}}直角相交於{\displaystyle K}、{\displaystyle L}。
4. 分別連接{\displaystyle {\overline {CF}}}、{\displaystyle {\overline {AD}}}，形成兩個三角形{\displaystyle BCF}、{\displaystyle BDA}。
5. {\displaystyle \angle CAB}和{\displaystyle \angle BAG}都是直角，因此{\displaystyle C}、{\displaystyle A}和{\displaystyle G}都是共线的，同理可证{\displaystyle B}、{\displaystyle A}和{\displaystyle H}共线。
6. {\displaystyle \angle CBD}和{\displaystyle \angle FBA}皆為直角，所以{\displaystyle \angle ABD}相等於{\displaystyle \angle FBC}。
7. 因為{\displaystyle {\overline {AB}}}和{\displaystyle {\overline {BD}}}分別等於{\displaystyle {\overline {FB}}}和{\displaystyle {\overline {BC}}}，所以{\displaystyle \triangle ABD}必須全等於{\displaystyle \triangle FBC}。
8. 因為{\displaystyle A}與{\displaystyle K}和{\displaystyle L}在同一直线上，所以四方形{\displaystyle BDLK}必須二倍面積於{\displaystyle \triangle ABD}。
9. 因為{\displaystyle C}、{\displaystyle A}和{\displaystyle G}在同一直线上，所以正方形{\displaystyle BAGF}必須二倍面積於{\displaystyle \triangle FBC}。
10. 因此四邊形{\displaystyle BDLK}必須和{\displaystyle BAGF}有相同的面積={\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}。
11. 同理可證，四邊形{\displaystyle CKLE}必須有相同的面積{\displaystyle ACIH={\overline {AC}}^{2}}。
12. 把這兩個結果相加，{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}}
13. 由於{\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {KL}}}，{\displaystyle {\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}={\overline {BD}}\left({\overline {BK}}+{\overline {KC}}\right)={\overline {BD}}\times {\overline {BC}}}
14. 由於{\displaystyle CBDE}是個正方形，因此{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}}。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

### 圖形重新排列證法

以面積減算法證明
此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為{\displaystyle (a+b)^{2}}。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為{\displaystyle a^{2}+b^{2}}，右方餘下面積為{\displaystyle c^{2}}，兩者相等。證畢。

以重新排列法證明

  

以動畫方式來論證畢氏定理

勾股定理的逆定理
--------

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中{\displaystyle {\overline {AB}}=c}為最長邊:

* 如果{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}，則{\displaystyle \triangle ABC}是直角三角形。其中{\displaystyle \angle C}是直角。
* 如果{\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}\,}，則{\displaystyle \triangle ABC}是銳角三角形（若無先前條件{\displaystyle {\overline {AB}}=c}為最長邊，則該式的成立僅滿足{\displaystyle \angle C}是銳角）。
* 如果{\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2}\,}, 則{\displaystyle \triangle ABC}是鈍角三角形。其中{\displaystyle \angle C}是鈍角。

（這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）

逆定理的證明
------

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

### 同一法

構造{\displaystyle \triangle A'B'C'}，使{\displaystyle a'=a,b'=b,\angle C'=90^{\circ }}。

根據勾股定理，{\displaystyle c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}，從而{\displaystyle \triangle A'B'C'\cong \triangle ABC(SSS)}。

因此，{\displaystyle \angle C=90^{\circ }}。

### 餘弦定理

根據餘弦定理，{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}。由於{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}，故{\displaystyle \cos C=0\,}，從而{\displaystyle \angle C=90^{\circ }}。

### 相似三角形

在{\displaystyle {\overline {AB}}}边上截取点{\displaystyle D}使{\displaystyle \angle DCB=\angle A}。

在{\displaystyle \triangle CDB\,}与{\displaystyle \triangle ACB\,}中，

|  |
| --- |
| {\displaystyle \angle B=\angle B,\angle DCB=\angle A\Rightarrow \triangle CDB\sim \triangle ACB} |

。

從而，{\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {BA}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}\Rightarrow {\overline {BD}}={\frac {a^{2}}{c}}}，以及{\displaystyle {\frac {\overline {CD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}\Rightarrow {\overline {CD}}={\frac {\overline {ab}}{c}}}。

另一方面，{\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}-{\overline {BD}}=c-{\frac {a^{2}}{c}}={\frac {b^{2}}{c}}}，故由{\displaystyle {\frac {\overline {DC}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {a}{b}}}知，{\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle CBD}。

因而，{\displaystyle \angle BDC=\angle CDA=90^{\circ }}，所以{\displaystyle \angle ACB=\angle CDB=90^{\circ }}。

### 非欧几何

条目：非欧几里得几何
勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中不成立的，因勾股定理之成立涉平行公设。

参考文献
----

1. ↑  , 文物出版社, 1980-03, 其一，"以为勾的广三，股修四，径隅五"。其二，"既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。"
2. ↑  曲安京.  (PDF).  [2020-11-08]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-08）.
3. ↑  蔡聰明..  [2013-08-21]. （原始内容存档于2013-11-10）.
4. ↑ . 中国人民大学书报資料社. 1984: 49  [2013-08-21]. （原始内容存档于2021-01-08）.
5. ↑  李信明.. 台北: 台灣書店. 1998: 106  [2013-08-20]. ISBN 9575671511. （原始内容存档于2021-01-08）.
6. ↑  《数学辞海》第六卷，山西敎育出版社, 2002年出版，第618页。
7. ↑ . 商高答周公问曰："勾广三，股备四，径隅五"
8. ↑  刘徽《九章算术注》
9. ↑  《幾何原本》第1.47節 （页面存档备份，存于）（英文），歐幾里德著，2006年12月19日存取
10. ↑  Stephen W. Hawking.. 2005: 4  [2013-10-11]. ISBN 0-7624-1922-9. （原始内容存档于2020-09-02）.
11. ↑  Eric W. Weisstein.  2nd. 2003: 2147  [2013-10-11]. ISBN 1-58488-347-2. （原始内容存档于2020-08-18）. The parallel postulate is equivalent to the *Equidistance postulate*, *Playfair axiom*, *Proclus axiom*, the *Triangle postulate* and the *Pythagorean theorem*.
12. ↑  Alexander R. Pruss.. Cambridge University Press. 2006: 11  [2013-10-11]. ISBN 0-521-85959-X. （原始内容存档于2020-09-25）. We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.

外部連結
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* 勾股定理（MathWorld） （页面存档备份，存于）（英文）

參見
--

* icon数学主题
* 中国数学史主题

* 直角三角形
* 勾股数
* 余弦定理
* 激光测距仪
* 青朱出入图
* 《史记·夏本纪》记载大禹治水："陆行乘车，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。"其中的规和矩就是运用勾股定理的实用工具之一。


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* 论
* 编
中國數學史 |
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| 上古至西汉 | 
* 幻方
* 十进位制
* 九九表
* 算筹
* 筹算
* 算表
* 算数书
* 《周髀算經》
* 《九章算术》
* 张苍
* 耿寿昌
* 《许昌算术》
* 《杜忠算术》
* 勾股定理
* 开方术
* 盈不足术

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| 东汉三国 | 
* 张衡
* 赵爽
* 刘洪
* 徐岳
* 《数术记遗》
* 王蕃
* 刘徽
	+ 割圆术
* 《海岛算经》
* 勾股容方
* 出入相补

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| 晋隋唐五代 | 
* 张邱建
	+ 《张邱建算经》
* 夏侯阳
	+ 《夏侯阳算经》
* 何承天
	+ 调日法
* 甄鸾
* 祖冲之
* 开差幂
* 牟合方盖
* 王孝通
	+ 《缉古算经》
* 李淳风
* 僧一行
* 大衍历
* 明算科
* 重差术
* 《孙子算经》
* 《五经算术》
* 《五曹算经》
* 《算经十书》

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| 两宋 | 
* 沈括
* 李籍
* 刘益
	+ 《议古根源》
* 贾宪
	+ 贾宪三角形
	+ 增乘开平方法
	+ 增乘开立方法
	+ 《黄帝九章算术细草》
* 秦九韶
	+ 秦九韶算法
	+ 《数书九章》
	+ 大衍求一术
* 杨辉
	+ 杨辉纵横图
	+ 幻圆
	+ 《杨辉算法》
		- 《乘除通變算寶》
		- 《田畝比類乘除捷法》
		- 《續古摘奇算法》
	+ 《詳解九章算法》
	+ 《日用算法》
* 《九章算法纂類》
* 递增三乘开四次方术

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| 辽金元 | 
* 张行简
* 天元术
* 李冶
	+ 《测圆海镜》
	+ 《益古演段》
* 《授时历》
	+ 郭守敬
	+ 王恂
* 朱世
	+ 《算学启蒙》
	+ 《四元玉鉴》
	+ 垛积术
* 招差术
* 赵友钦
	+ 《革象新书》
	+ 割圆术
* 金历法
* 耶律楚材历法
* 阿拉伯幻方
* 马拉加天文台

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| 明 | 
* 《丁巨算法》
* 《算法全能集》
* 《透帘细草》
* 吴敬
	+ 《九章详注比类算法大全》
* 王文素
	+ 《新集通證古今算學寶鑑》
* 朱載堉
	+ 十二平均律
	+ 《算学新说》
	+ 《嘉量算經》
* 珠算
	+ 算盘
	+ 《盘珠算法》
* 柯尚迁
	+ 《数学通轨》
* 程大位
	+ 《算法統宗》
		- 格子乘法
* 徐光启
	+ 译《几何原本》前6卷
	+ 《崇祯历书》
* 《算法全能集》
* 《详明算法》
* 《通源算法》

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| 清 | 
* 薛凤祚
* 李子金
	+ 《算法通义》
* 梅文鼎
* 年希尧
	+ 《视学》
* 戴震
* 李湟
* 沈钦裴
* 《畴人传》
* 《数理精蕴》
* 明安图
	+ 《割圜密率捷法》
	+ 割圆连比例
	+ 明安图变换
	+ 卡塔兰数
* 吴烺
* 焦循
	+ 《加减乘除释》
* 李锐
	+ 《开方说》
* 汪莱
	+ 《衡斋算学》
* 孔广森
* 董祐誠
	+ 《割圆比例术图解》
	+ 项名达
* 《象数一原》
* 張敦仁
	+ 《求一算术》
* 戴煦
	+ 《求表捷术》
* 王韬
* 李善兰
	+ 李善兰恒等式
	+ 《则古昔斋算学》
	+ 译《几何原本》后9卷
* 华蘅芳
	+ 《决疑数学》
* 丁取忠
	+ 《白芙堂算学从书》
* 时曰醇
	+ 《百鸡术衍》
* 同文馆
	+ 《同文馆算学课艺》

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| 现代 | 
* 胡明复
* 熊庆来
* 何鲁
* 段子燮
* 李俨
* 姜立夫
* 陈苏学派
	+ 陈建功
	+ 苏步青
* 陈省身
* 钱宝琮
* 江泽涵
* 华罗庚
	+ 《數論導引》
	+ 《堆叠素数论》
* 王元
* 潘承洞
* 许宝騄
* 陈景润
* 丘成桐
* 吴文俊
	+ 吴消元法
* 廖山涛
* 张益唐

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