此條目介紹的是规范场论的数学领域。关于规范场论的物理领域，请见「**规范场论**」。
数学中，特别是在微分几何与数学物理中，**规范理论**（gauge theory）是对向量丛、主丛、纤维丛上的联络的一般研究。数学中的规范理论不应与物理学中的规范场论相混淆，后者是一种允许规范对称性的场论。数学中，理论指的是数学理论，包括对一系列概念或现象的一般研究，而物理学中，理论是某种自然现象的数学模型。

数学中的规范理论通常涉及规范理论方程的研究，即涉及向量丛或主丛上联络或向量丛截面的微分方程，因此规范理论同几何分析有密切联系。这些方程通常有物理意义，与量子场论或弦论中的重要概念相对应，同时也有重要的数学意义。例如，杨-米尔斯方程是主丛上联络的偏微分方程组，其解在物理中对应经典场论运动方程的真空解，即叫做瞬子的粒子。

规范理论用于构造光滑流形的新不变量、奇特的几何结构（如超卡勒流形），以及对代数几何中的重要结构（如向量丛的模空间与凝聚层）进行代替描述。

历史
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{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}的{\displaystyle (x^{1},\ x^{2})}-片上BPST瞬子的{\displaystyle {\rm {d}}x^{1}\otimes \sigma \_{3}}系数，其中{\displaystyle \sigma \_{3}}是第三泡利矩阵（左上）。{\displaystyle {\rm {d}}x^{2}\otimes \sigma \_{3}}系数（右上）。这些系数决定了{\displaystyle g=2,\ \rho =1,\ z=0}的BPST瞬子*A*对此片的限制。以{\displaystyle z=0}为中心的响应场强（左下）。以*z*为中心的BPST瞬子在{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}的紧化{\displaystyle S^{4}}上的场强直观图（右下）。BPST瞬子是{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}上杨-米尔斯方程的经典瞬子解。
规范理论的起源可追溯到描述经典电磁学的麦克斯韦方程组，它可表述为以圆群为结构群的规范理论。保罗·狄拉克在磁单极子和相对论量子力学方面的研究孤立了这样一种观点：丛和联络是表述量子力学中许多问题的正确方法。随着罗伯特·米尔斯和杨振宁关于杨-米尔斯规范理论（标准模型的前身）的开创性工作，数学物理中的规范理论成为重要的研究领域。

规范理论的数学理论源于迈克尔·阿蒂亚、艾沙道尔·辛格和奈杰尔·希钦关于4维黎曼流形上自对偶方程的工作。这项工作研究了欧氏空间上自对偶联络（瞬子）的模空间，并证明其维度为{\displaystyle 8k-3}，其中*k*是正整参数。这与物理学家发现的BPST瞬子有关，即{\displaystyle k=1}的4维杨-米尔斯方程的真空解。这种瞬子由5个参数定义，中心{\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{4}}，标度{\displaystyle \rho \in \mathbb {R} \_{>0}}，对应{\displaystyle 8-3=5}-维模空间。

大约在同一时间，阿蒂亚和理查德·沃德发现了自对偶方程的解与复射影空间{\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}上代数丛之间的联系。另一个重要的早期发现是阿蒂亚、弗拉基米尔·德林费尔德、希钦和尤里·马宁发展出的ADHM构造。这一构造使得欧氏空间{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}上的反自对偶方程可从纯粹的线性代数数据中求解。

1980年代初，数学规范理论的发展取得了重大突破。此时，阿蒂亚和拉乌尔·博特关于黎曼曲面上杨-米尔斯方程的重要工作表明，规范理论问题可以产生有趣的几何结构，从而推动了无穷维动量映射、等变莫尔斯理论及规范理论同代数几何间关系的发展。凯伦·乌伦贝克在这一时期开发了几何分析的重要工具，研究了联络和曲率的分析性质，证明了重要的紧性结果。西蒙·唐纳森和爱德华·威滕的研究是该领域最重要的进展。

唐纳森结合代数几何与几何分析技术，构造了4维流形的新不变量，即唐纳森不变量。这些不变量可以证明一些新颖的结果，如存在不允许光滑结构的拓扑流形，或欧氏空间{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}上存在许多不同的光滑结构。唐纳森因这项工作获得了1986年的菲尔兹奖。

威滕同样观察到了规范理论描述拓扑不变量的能力，他将3维陈-西蒙斯理论中产生的量与纽结理论中的琼斯多项式联系起来。这项工作以及唐纳森不变量的发现，以及安德烈斯·弗洛尔关于弗洛尔同调的新研究启发了拓扑量子场论。

在发现了规范理论定义流形不变量的能力后，数学规范理论越发知名。人们发现了更多不变量，如塞伯格-威滕不变量和瓦法-威滕不变量等。唐纳森、乌伦贝克和丘成桐关于杨-米尔斯联络与稳定向量丛的小林-希钦对应研究实现了与代数几何的紧密联系。奈杰尔·希钦与卡洛斯·辛普森在希格斯丛方面的研究表明，规范理论产生的模空间可能具有奇特的几何结构，如超卡勒流形，以及通过希钦系统和可积系统的联系，实现了与弦论和镜像对称猜想的联系，其中规范理论对表述同调镜像对称和AdS/CFT对偶至关重要。

基本对象
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规范理论的基本关注对象是向量丛和主丛上的联络。本节中，我们将简要回顾这些构造，详见各自的条目。这里描述的结构是微分几何文献中的标准结构，从规范理论角度对这主题的介绍可见唐纳森与Peter Kronheimer的著作。

### 主丛

条目：主丛
圆上的非平凡**Z**/2**Z**主丛。没有明显的方法确定每个纤维中的*+1*或*-1*对应哪个点。此丛是非平凡的，因为射影*π*没有全局定义的截面。
莫比乌斯带*E*的标架丛{\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}是圆上的非平凡主{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }-丛。
规范理论的核心研究对象是主丛和向量丛。选择对象本质上是任意的，但从物理角度看，主丛是描述规范场的自然对象，而且在数学上，它们更优雅地编码了与之相关的向量丛的联络与曲率的相应理论。

**结构群为*G*的主丛**，或**主*G*-丛**是5元组{\displaystyle (P,X,\pi ,G,\rho )}，其中{\displaystyle \pi :P\to X}是光滑纤维丛，其纤维空间同构于李群*G*，而{\displaystyle \rho }表示*G*对*P*的自由、传递的右群作用，且保纤维（即{\displaystyle \forall p\in P,\ \forall g\in G,\ \pi (pg)=\pi (p)}）。其中*P*是全空间，*X*是基空间。{\displaystyle \forall x\in X}以及{\displaystyle p\in P\_{x}}的任何选择使用右群作用，映射{\displaystyle g\mapsto pg}定义了*x*上的纤维与作为光滑流形的李群*G*之间的微分同胚{\displaystyle P\_{x}\cong G}。然而要注意的是，并没有自然的方法让*P*的纤维具有李群的结构，因为对每个{\displaystyle \forall x\in X}而言，并没有元素{\displaystyle p\in P\_{x}}的自然选择。

{\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}是圆群时，就给出了主丛的最简单例子。这时，主丛维度为{\displaystyle \dim P=n+1}，其中{\displaystyle \dim X=n}。另一个自然例子是{\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}是流形*X*的切丛的标架丛，更一般地说是*X*上向量丛的标架丛。这种情形下，*P*的纤维由一般线性群{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}给出。

由于主丛是纤维丛，所以局部具有积的结构。也就是说，存在*X*的开覆盖{\displaystyle \{U\_{\alpha }\}}与微分同胚{\displaystyle \varphi \_{\alpha }:P\_{U\_{\alpha }}\to U\_{\alpha }\times G}，其与射影{\displaystyle \pi }、{\displaystyle \operatorname {pr} \_{1}}交换，使得过渡函数{\displaystyle g\_{\alpha \beta }:U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\to G}定义为{\displaystyle \varphi \_{\alpha }\circ \varphi \_{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g\_{\alpha \beta }(x)g)}，在任何三重叠{\displaystyle U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\cap U\_{\gamma }}上满足上循环条件

{\displaystyle g\_{\alpha \beta }(x)g\_{\beta \gamma }(x)=g\_{\alpha \gamma }(x)}
要定义主丛，只需指定这样一个过渡函数的选择，然后用过渡函数沿交{\displaystyle U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }}粘合平凡丛{\displaystyle U\_{\alpha }\times G}，便定义了主丛。上循环条件精确地确保这定义的等价关系在不交并{\displaystyle \bigsqcup \_{\alpha }U\_{\alpha }\times G}上，因此商空间{\displaystyle P=\bigsqcup \_{\alpha }U\_{\alpha }\times G/{\sim }}是良定义的。这就是纤维丛构造定理，同样过程适用于过渡函数描述的任何纤维丛，而不仅仅是主丛或向量丛。

注意选择满足{\displaystyle \pi \circ s\_{\alpha }=\operatorname {Id} }的局部截面{\displaystyle s\_{\alpha }:U\_{\alpha }\to P\_{U\_{\alpha }}}是指定局部平凡化映射的等效方法。也就是说，可以定义{\displaystyle \varphi \_{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}\_{\alpha }(p))}，其中{\displaystyle {\tilde {s}}\_{\alpha }(p)\in G}是唯一的群元素，使得{\displaystyle p{\tilde {s}}\_{\alpha }(p)^{-1}=s\_{\alpha }(\pi (p))}。

### 向量丛

条目：向量丛
基*M*上向量丛*E*，有截面*s*。
**向量丛**是三元组{\displaystyle (E,X,\pi )}，其中{\displaystyle \pi :E\to X}是纤维丛，其纤维由向量空间{\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}给出，当中{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }是域。*r*是向量丛的秩。同样，可用平凡化开覆盖来局部描述向量丛。若{\displaystyle \{U\_{\alpha }\}}是这样的覆盖，则在同构

{\displaystyle \varphi \_{\alpha }:E\_{U\_{\alpha }}\to U\_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}}
下，可得到与{\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}的*r*坐标基向量{\displaystyle e\_{1},\dots ,e\_{r}}相对应的*r*区分的*E*的局部截面，记作{\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}\_{r}}。定义方程为

{\displaystyle \varphi \_{\alpha }({\boldsymbol {e}}\_{i}(x))=(x,e\_{i}).}
因此要制定一个平凡化，就等同于给出处处线性独立的*r*局部截面集，并用该表达式定义相应的同构。这样的局部截面集叫做标架（frame）。

与主丛类似，可得到向量丛的过渡函数{\displaystyle g\_{\alpha \beta }:U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}，定义为

{\displaystyle \varphi \_{\alpha }\circ \varphi \_{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g\_{\alpha \beta }(x)v).}
若利用这些过渡函数构造主丛（其纤维等于结构群{\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}）的局部平凡化，则得到的正是*E*的标架丛，即主{\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}-丛。

### 配丛

条目：配丛
给定主*G*-丛*P*与*G*在向量空间*V*上的表示{\displaystyle \rho }，可以构造**配向量丛**{\displaystyle E=P\times \_{\rho }V}，其纤维是向量空间*V*。要定义此向量丛，可以考虑对积{\displaystyle P\times V}的右作用，定义为{\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}，并定义{\displaystyle P\times \_{\rho }V=(P\times V)/G}为对此作用的商空间。

从过渡函数的角度可以更好理解配丛。若配丛*P*有相对于局部平凡化{\displaystyle \{U\_{\alpha }\}}的过渡函数{\displaystyle g\_{\alpha \beta }}，则可用过渡函数{\displaystyle \rho \circ g\_{\alpha \beta }:U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)}构造配向量丛。

只要{\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (F)}是群同态，就可以对任意纤维空间*F*构造配丛，而不仅局限于向量空间。例如具有纤维*G*的所谓*A伴随丛'*（Capital A adjoint bundle, Adjoint bundle）{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}，是用群同态{\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}构造的，定义为共轭{\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}。注意尽管有纤维*G*，但A伴随丛既非主丛也不作为纤维丛同构于*P*本身。例如，若*G*是阿贝尔的，则共轭作用平凡，{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}将是*X*上平凡的*G*-纤维丛，而不管*P*作为纤维丛是否平凡。另一个关键例子是*伴随丛*（lowercase a adjoint bundle）{\displaystyle \operatorname {ad} (P)}，是用伴随表示{\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}构造的，其中{\displaystyle {\mathfrak {g}}}是*G*的李代数。

### 规范变换

向量丛或主丛的**规范变换**是这个对象的自同构。对主丛，规范变换由微分同胚{\displaystyle \varphi :P\to P}及与之交换的射影算子{\displaystyle \pi }和右作用{\displaystyle \rho }组成。对向量丛，规范变换同样由微分同胚{\displaystyle \varphi :E\to E}及与之交换的射影算子{\displaystyle \pi }定义，后者是每条纤维上向量空间的线性同构。

（*P*或*E'的）规范变换形成一个组合下的群，称作**规范群**，一般记作{\displaystyle {\mathcal {G}}}，可表为伴随丛的全局截面空间{\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))}或（对向量丛）{\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}，其中{\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}表示标架丛。*

也可以定义**局部规范变换**为平凡化开子集{\displaystyle U\_{\alpha }}上的局部丛同构。这可以唯一地指定为一个映射{\displaystyle g\_{\alpha }:U\_{\alpha }\to G}（向量丛则取{\displaystyle G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}），其中诱导丛同构定义为

{\displaystyle \varphi \_{\alpha }(p)=pg\_{\alpha }(\pi (p))}
对向量丛类似。

注意给定同一开子集{\displaystyle U\_{\alpha }}上主丛的两局部平凡化，过渡函数恰是局部规范变换{\displaystyle g\_{\alpha \alpha }:U\_{\alpha }\to G}。即，局部规范变换是主丛或向量丛局部平凡化的变化。

### 主丛上的联络

条目：联络 (主丛)
主丛联络需要与*G*在*P*上的右群作用相容，可以形象化理解为将水平子空间相互转化的右乘法{\displaystyle R\_{g}}。用联络形式{\displaystyle \omega }解释水平子空间{\displaystyle H\subset TP}的这一等变，可得到特有的等变性质。
主丛联络形式{\displaystyle \omega }可以看做主丛*P*的切丛{\displaystyle TP}上的投影算子。联络形式的核由埃雷斯曼联络相关联的水平子空间给出。
主丛上的联络是一种联络邻近纤维的方法，以捕捉截面{\displaystyle s:X\to P}恒定或水平。由于抽象主丛的纤维不能自然地相互等同，事实上也不能与纤维空间*G*本身等同，因此没有规范的方法指定哪些部分为常。局部平凡化的选择可以使得：若*P*在集合{\displaystyle U\_{\alpha }}上是平凡的，则若某局部截面对这平凡化是常的，就可以说这个局部截面是常的，即{\displaystyle \forall x\in U\_{\alpha },\ \exists g\in G,\ \varphi \_{\alpha }(s(x))=(x,g)}。尤其是平凡主丛{\displaystyle P=X\times G}配备了**平凡联络**时。

另见
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* 规范场论
* 规范场论#概述
* 规范群 (数学)
* 规范对称 (数学)
* 杨-米尔斯理论
* 杨-米尔斯方程

参考文献
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