**中線定理**，又稱**阿波羅尼奧斯定理**，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

中線定理
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對任意三角形\triangle ABC，設I是線段\overline {BC}的中點，{\displaystyle {\overline {AI}}}為中線，則有如下關係：

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}

### 證明

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入I：

{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}}
得出

{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}}
I是BC的中點，因此\overrightarrow {IB}和\overrightarrow {IC}相反，可知式中兩個標積抵消。又因{\displaystyle {\overline {IC}}={\overline {IB}}}，得出

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,}
### 另一個證法

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設H是從A到BC的垂足，則\triangle BHA和\triangle AHC是直角三角形。用勾股定理可得

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}
{\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}
{\displaystyle {\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}
所以

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}
把BH和HC用BI和IH表達出來（記得I是BC的中點，因此BI=IC）。注意到雖然現在的情形假設H在線段BI上，但其
他情形也可以用這個方法。

{\displaystyle {\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,}
{\displaystyle {\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,}
代入前式：

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,}
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,}
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,}
\triangle IHA是直角三角形(H為{\displaystyle \triangle ABC}於{\displaystyle {\overline {BC}}}之垂足)
，因此

{\displaystyle {\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,}
代入前式得出

{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}

中線的向量表達式
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設I是線段BC的中點，則有{\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}}

中線的另一條定理
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用標積表示AB^{2}-AC^{2}=2\overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {IH}，其中H是A到線BC的垂足。

從上得到中線的另一條定理\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH。

實際上

AB^{2}-AC^{2}=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})\cdot (\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC})=2\overrightarrow {AI}\cdot (\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CA})=2\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow {CB}
\overrightarrow {AI}投影在\overrightarrow {BC} 上是\overrightarrow {HI}，因而有\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow {CB}=\overrightarrow {HI}\cdot \overrightarrow {CB}=\overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {IH}.

這兩個共線向量的標積可等於BC\times IH\,或其負數，因此取絕對值。

參見
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* 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
* 平行四邊形恆等式