机器学习中，**扩散模型**或**扩散概率模型**是一类潜变量模型，是用变分估计训练的马尔可夫链。扩散模型的目标是通过对数据点在潜空间中的扩散方式进行建模，来学习数据集的潜结构。计算机视觉中，这意味着通过学习逆扩散过程训练神经网络，使其能对叠加了高斯噪声的图像进行去噪。计算机视觉中使用通用扩散模型框架的3个例子是去噪扩散概率模型、噪声条件得分网络和随机微分方程。

扩散模型是在2015年提出的，其动机来自非平衡态热力学。

扩散模型可以应用于各种任务，如图像去噪、图像修复、超分辨率成像、图像生成等等。例如，一个图像生成模型，经过对自然图像的扩散过程的反转训练之后，可从一张完全随机的噪声图像开始逐步生成新的自然图像。比较近的例子有2022年4月13日OpenAI公布的文生图模型DALL-E 2。它将扩散模型用于模型的先验解释器和产生最终图像的解码器。

数学原理
----

### 于所有图像的空间中生成一张图像

考虑图像生成问题。令x代表一张图，令p(x)为在所有可能图像上的機率分布。若有p(x)本身，便可以肯定地说给定的一张图的機率有多大。但这在一般情况下是难以解决的。

大多数时候，我们并不想知道某个图像的绝对機率，相反，我们通常只想知道某个图像与它的周围相比，機率有多大：一张猫的图像与它的小变体相比，機率哪个大？如果图像里有一根、两根或三根胡须，或者加入了一些高斯噪声，機率会更大吗？

因此，我们实际上对p(x)本身不感兴趣，而对{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(x)}感兴趣。这有两个效果：

* 其一，我们不再需要标准化p(x)，而是可以用任何{\displaystyle {\tilde {p}}(x)=Cp(x)}，其中{\displaystyle C=\int {\tilde {p}}(x)dx>0}是任意常数，我们不需要去关心它。
* 其二，我们正在比较p(x)的邻居{\displaystyle p(x+dx)}，通过{\displaystyle {\frac {p(x)}{p(x+dx)}}=e^{-\langle \nabla \_{x}\ln p,dx\rangle }}

令分数函数为{\displaystyle s(x):=\nabla \_{x}\ln p(x)}，然后考虑我们能对s(x)做什么。

实际上，s(x)允许我们用随机梯度朗之万动力学从p(x)中取样，这本质上是马尔可夫链蒙特卡洛的无限小版本。

### 学习分数函数

分数函数可通过加噪-去噪学习。

主要变体
----

### 分类指导器

假设我们希望不是从整个图像的分布中取样，而是以图像描述为条件取样。我们不想从一般的图像中取样，而是从符合描述"红眼睛的黑猫"的图片中取样。一般来说，我们想从分布{\displaystyle p(x|y)}中取样，其中x的范围是图像，y的范围是图像的类别（对y而言，"红眼黑猫"的描述过于精细，"猫"又过于模糊）。

从噪声信道模型的角度来看，我们可以将这一过程理解如下：为生成可描述为y的图像x，我们设想请求者脑海中真有一张图像x，但它经过多次加噪，出来的是毫无意义可言的乱码，也就是y。这样一来图像生成只不过是推断出请求者心中的x是什么。

换句话说，有条件的图像生成只是"从文本语言翻译成图像语言"。之后，像在噪声信道模型中一样，我们可以用贝叶斯定理得到


p
(
x

|

y
)
∝
p
(
y

|

x
)
p
(
x
)

{\displaystyle p(x|y)\propto p(y|x)p(x)}

{\displaystyle p(x|y)\propto p(y|x)p(x)}也就是说，如果我们有一个包含所有图像空间的好模型，以及一个图像到类别的好翻译器，我们就能"免费"得到一个类别到图像的翻译器，也就是文本到图像生成模型。

SGLD使用



∇

x

ln
⁡
p
(
x

|

y
)
=

∇

x

ln
⁡
p
(
y

|

x
)
+

∇

x

ln
⁡
p
(
x
)

{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(x|y)=\nabla \_{x}\ln p(y|x)+\nabla \_{x}\ln p(x)}

{\displaystyle \nabla _{x}\ln p(x|y)=\nabla _{x}\ln p(y|x)+\nabla _{x}\ln p(x)}其中{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(x)}是分数函数，如上所述进行训练，用可微图像分类器便可以找到{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(y|x)}。

### 温度

分类器引导的扩散模型会从{\displaystyle p(x|y)}中取样，它集中在最大后验概率{\displaystyle \arg \max \_{x}p(x|y)}周围。如果我们想迫使模型向最大似然估计 {\displaystyle \arg \max \_{x}p(y|x)}的方向移动，可以用



p

β

(
x

|

y
)
∝
p
(
y

|

x

)

β

p
(
x
)

{\displaystyle p\_{\beta }(x|y)\propto p(y|x)^{\beta }p(x)}

{\displaystyle p_{\beta }(x|y)\propto p(y|x)^{\beta }p(x)}其中{\displaystyle \beta >0}可解释为*逆温度*，在扩散模型研究中常称其为**制导尺度（guidance scale）**。较高的\beta 会迫使模型在更靠近{\displaystyle \arg \max \_{x}p(y|x)}的分布中采样。这通常会提高生成图像的品質。

这可以简单地通过SGLD实现，即



∇

x

ln
⁡

p

β

(
x

|

y
)
=
β

∇

x

ln
⁡
p
(
y

|

x
)
+

∇

x

ln
⁡
p
(
x
)

{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p\_{\beta }(x|y)=\beta \nabla \_{x}\ln p(y|x)+\nabla \_{x}\ln p(x)}

{\displaystyle \nabla _{x}\ln p_{\beta }(x|y)=\beta \nabla _{x}\ln p(y|x)+\nabla _{x}\ln p(x)}
### 无分类指导器

如果我们没有分类器p(y|x)，我们仍可以从图像模型本身提取一个：



∇

x

ln
⁡

p

β

(
x

|

y
)
=
(
1
−
β
)

∇

x

ln
⁡
p
(
x
)
+
β

∇

x

ln
⁡
p
(
x

|

y
)

{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p\_{\beta }(x|y)=(1-\beta )\nabla \_{x}\ln p(x)+\beta \nabla \_{x}\ln p(x|y)}

{\displaystyle \nabla _{x}\ln p_{\beta }(x|y)=(1-\beta )\nabla _{x}\ln p(x)+\beta \nabla _{x}\ln p(x|y)}这样的模型通常要在训练时提供{\displaystyle (x,y)}和{\displaystyle (x,None)}，这样才能让它同时为{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(x|y)}和{\displaystyle \nabla \_{x}\ln p(x)}建模。

这是GLIDE、DALL-E和Google Imagen等系统的重要组成部分。

另见
--

* 扩散过程
* 马尔可夫链
* 变分贝叶斯方法
* 变分自编码器

阅读更多
----

* Guidance: a cheat code for diffusion models （页面存档备份，存于）. Good overview up to 2022.

参考文献
----

1. 1 2  Ho, Jonathan; Jain, Ajay; Abbeel, Pieter.. 2020-06-19. arXiv:2006.11239 可免费查阅.
2. 1 2  Song, Yang; Sohl-Dickstein, Jascha; Kingma, Diederik P.; Kumar, Abhishek; Ermon, Stefano; Poole, Ben.. 2021-02-10. arXiv:2011.13456 可免费查阅 [cs.LG].
3. ↑  Gu, Shuyang; Chen, Dong; Bao, Jianmin; Wen, Fang; Zhang, Bo; Chen, Dongdong; Yuan, Lu; Guo, Baining.. 2021. arXiv:2111.14822 可免费查阅 [cs.CV].
4. ↑  Croitoru, Florinel-Alin; Hondru, Vlad; Ionescu, Radu Tudor; Shah, Mubarak.. 2022. arXiv:2209.04747 可免费查阅 [cs.CV].
5. ↑  Sohl-Dickstein, Jascha; Weiss, Eric; Maheswaranathan, Niru; Ganguli, Surya.  (PDF). Proceedings of the 32nd International Conference on Machine Learning (PMLR). 2015-06-01, **37**: 2256–2265  [2023-02-24]. （原始内容存档 (PDF)于2023-04-05） （英语）.
6. ↑  Ramesh, Aditya; Dhariwal, Prafulla; Nichol, Alex; Chu, Casey; Chen, Mark.. 2022. arXiv:2204.06125 可免费查阅 [cs.CV].
7. ↑  Dhariwal, Prafulla; Nichol, Alex.. 2021-06-01. arXiv:2105.05233 可免费查阅 [cs.LG].
8. ↑  Ho, Jonathan; Salimans, Tim.. 2022-07-25. arXiv:2207.12598 可免费查阅 [cs.LG].
9. ↑  Nichol, Alex; Dhariwal, Prafulla; Ramesh, Aditya; Shyam, Pranav; Mishkin, Pamela; McGrew, Bob; Sutskever, Ilya; Chen, Mark.. 2022-03-08. arXiv:2112.10741 可免费查阅 [cs.CV].
10. ↑  Ramesh, Aditya; Dhariwal, Prafulla; Nichol, Alex; Chu, Casey; Chen, Mark.. 2022-04-12. arXiv:2204.06125 可免费查阅 [cs.CV].
11. ↑  Saharia, Chitwan; Chan, William; Saxena, Saurabh; Li, Lala; Whang, Jay; Denton, Emily; Ghasemipour, Seyed Kamyar Seyed; Ayan, Burcu Karagol; Mahdavi, S. Sara; Lopes, Rapha Gontijo; Salimans, Tim; Ho, Jonathan; Fleet, David J.; Norouzi, Mohammad.. 2022-05-23. arXiv:2205.11487 可免费查阅 [cs.CV].