里布叶状结构的2维截面
里布叶状结构的3维模型
微分几何中，**叶状结构**（）是*n*-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度*p*，以实坐标空间\mathbb {R} ^{n}的分解为标准嵌入子空间\mathbb {R} ^{p}的陪集{\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}}为模型。等价类称作叶状结构的**叶**（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（C^{r}类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的C^{r}类微分叶状结构中，通常*r* ≥ 1（否则C^{0}就是拓扑叶状结构）。*p*（叶的维度）称作叶状结构的维度，{\displaystyle q=n-p}称作其余维数。

在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，"叶状结构"用于描述：相关的洛伦兹流形（(*p*+1)维时空）分解为*p*维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为**时间函数**，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶**局部**上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。

叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。

叶状图与图册
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为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。

3维叶状图（foliated chart），*n* = 3、*q* = 1。斑（plaque）是2维的，横截（transversal）是1维的。
\mathbb {R} ^{n}中的*矩邻域*是形式为{\displaystyle B=J\_{1}\times \cdots \times J\_{n}}的开子集，其中J\_{i}是第*i*个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若J\_{1}具有形式{\displaystyle (a,\ 0]}，则称*B*具有边界

{\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}
在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}，允许流形具有边界和（凸）角的可能。

*n*-流形*M*上余维为*q*的叶状图（foliated chart）是{\displaystyle (U,\ \varphi )}，其中{\displaystyle U\subset M}是开集，{\displaystyle \varphi :U\to B\_{\tau }\times B\_{\pitchfork }}是微分同胚，{\displaystyle B\_{\pitchfork }}是{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}中的矩邻域，{\displaystyle B\_{\tau }}是\mathbb {R} ^{p}中的矩邻域。集合{\displaystyle P\_{y}=\varphi ^{-1}(B\_{\tau }\times \{y\})}，其中{\displaystyle y\in B\_{\pitchfork }}称作这叶状图的斑（plaque）。{\displaystyle \forall x\in B\_{\tau }}，集合{\displaystyle S\_{x}=\varphi \_{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B\_{\pitchfork })}称作叶状图的横截（transversal）。集合{\displaystyle \partial \_{\tau }U=\varphi ^{-1}(B\_{\tau }\times (\partial B\_{\pitchfork }))}称作*U*的切边界（tangential boundary），{\displaystyle \partial \_{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B\_{\tau })\times B\_{\pitchfork })}称作*U*的横截边界（transverse boundary）。

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。{\displaystyle B\_{\tau }}表示"*B*-切"，{\displaystyle B\_{\pitchfork }}表示"*B*-截"。还有多种可能。若{\displaystyle B\_{\pitchfork },\ B\_{\tau }}都有空边界，则叶状图就建模了无界*n*-流形的余维-*q*叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角*n*-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若{\displaystyle \partial B\_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B\_{\tau }}，则{\displaystyle \partial U=\partial \_{\tau }U}是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若{\displaystyle \partial B\_{\tau }\neq \varnothing =\partial B\_{\pitchfork }}，则{\displaystyle \partial U=\partial \_{\pitchfork }U}是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若{\displaystyle \partial B\_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B\_{\tau }}，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。

(*a*) 与边界相切的叶状结构{\displaystyle \partial B\_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B\_{\tau }}； (*b*) 与边界相截的叶状结构{\displaystyle \partial B\_{\tau }\neq \varnothing =\partial B\_{\pitchfork }}； (*c*) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构{\displaystyle \partial B\_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B\_{\tau }}。
*n*-流形*M*上余维为*q*的{\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}类*叶状图册*（foliated atlas）是余维为*q*的叶状图的C^{r}-图册{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U\_{\alpha },\varphi \_{\alpha })\mid \alpha \in A\}}，只要*P*、*Q*在{\mathcal {U}}的不同图中都是斑，*P* ∩ *Q*在*P*、*Q*中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。

重新表述相干叶状图的有效方法是将{\displaystyle w\in U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }}写作：

{\displaystyle \varphi \_{\alpha }(w)=\left(x\_{\alpha }(w),y\_{\alpha }(w)\right)\in B\_{\tau }^{\alpha }\times B\_{\pitchfork }^{\alpha },}
{\displaystyle \varphi \_{\beta }(w)=\left(x\_{\beta }(w),y\_{\beta }(w)\right)\in B\_{\tau }^{\beta }\times B\_{\pitchfork }^{\beta }.}
{\displaystyle (U\_{\alpha },\ \varphi \_{\alpha })}常写作{\displaystyle (U\_{\alpha },\ x\_{\alpha },\ y\_{\alpha })}，其中

{\displaystyle x\_{\alpha }=\left(x\_{\alpha }^{1},\dots ,x\_{\alpha }^{p}\right),}
{\displaystyle y\_{\alpha }=\left(y\_{\alpha }^{1},\dots ,y\_{\alpha }^{q}\right).}
在{\displaystyle \varphi \_{\beta }(U\_{\alpha }\cap U\_{\beta })}上，坐标公式可改写为

{\displaystyle g\_{\alpha \beta }\left(x\_{\beta },y\_{\beta }\right)=\varphi \_{\alpha }\circ \varphi \_{\beta }^{-1}\left(x\_{\beta },y\_{\beta }\right)=\left(x\_{\alpha }\left(x\_{\beta },y\_{\beta }\right),y\_{\alpha }\left(x\_{\beta },y\_{\beta }\right)\right).}
{\displaystyle U\_{\alpha }}的每个斑都会遇到{\displaystyle U\_{\beta }}的2个斑。
{\displaystyle (U\_{\alpha },\ x\_{\alpha },\ y\_{\alpha }),\ (U\_{\beta },\ x\_{\beta },\ y\_{\beta })}是相干叶状结构这一条件意味着，若{\displaystyle P\subset U\_{\alpha }}是斑，则{\displaystyle P\cap U\_{\beta }}的连通分量位于{\displaystyle U\_{\beta }}的（可能不同的）斑中。等价地，由于{\displaystyle U\_{\alpha },\ U\_{\beta }}的斑分别是横坐标{\displaystyle y\_{\alpha },\ y\_{\beta }}的水平集，{\displaystyle \forall z\in U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }}都有邻域，其中公式

{\displaystyle y\_{\alpha }=y\_{\alpha }(x\_{\beta },y\_{\beta })=y\_{\alpha }(y\_{\beta })}
与{\displaystyle x\_{\beta }}无关。

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，{\displaystyle (U\_{\alpha },\ \varphi \_{\alpha })}的斑可以与多个{\displaystyle (U\_{\beta },\ \varphi \_{\beta })}的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。

若{\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}是叶状C^{r}图册，则*M*上两具有相同余维和光滑度的C^{r}类叶状图册{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}是相干的：{\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}。叶状图册的相干是等价关系。

| 证明  |
| --- |
| 自反关系和对称关系是直接的。要证传递关系，令{\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}} and {\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}。令{\displaystyle (U\_{\alpha },\ x\_{\alpha },\ y\_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W\_{\lambda },\ x\_{\lambda },\ y\_{\lambda })\in {\mathcal {W}}}，并假设有点{\displaystyle w\in U\_{\alpha }\cap W\_{\lambda }}。择{\displaystyle (V\_{\delta },\ x\_{\delta },\ y\_{\delta })\in {\mathcal {V}}}，使得{\displaystyle w\in V\_{\delta }}。根据上述说明，*w*有属于{\displaystyle U\_{\alpha }\cap V\_{\delta }\cap W\_{\lambda }}的邻域，使得
{\displaystyle y\_{\delta }=y\_{\delta }(y\_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi \_{\lambda }(N),}
{\displaystyle y\_{\alpha }=y\_{\alpha }(y\_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi \_{\delta }(N),}
由此
{\displaystyle y\_{\alpha }=y\_{\alpha }\left(y\_{\delta }(y\_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi \_{\delta }(N).}
由于{\displaystyle w\in U\_{\alpha }\cap W\_{\lambda }}是任意的，可以总结{\displaystyle y\_{\alpha }(x\_{\lambda },\ y\_{\lambda })}局部依赖于{\displaystyle x\_{\lambda }}。于是可以证明{\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}，因为相干是可传递的。 |

规则叶状图册中的图。
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若{\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )}都是叶状图，使得{\displaystyle {\overline {U}}}（*U*的闭包）是*W*的子集，{\displaystyle \varphi =\psi |U}；则，若{\displaystyle \varphi (U)=B\_{\tau }\times B\_{\pitchfork },}可知{\displaystyle \psi |{\overline {U}}}，写作{\displaystyle {\overline {\varphi }}}，将{\displaystyle {\overline {U}}}微分同胚地带到{\displaystyle {\overline {B}}\_{\tau }\times {\overline {B}}\_{\pitchfork }.}

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

1. {\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}\_{\alpha }}是叶状图{\displaystyle (W\_{\alpha },\ \psi \_{\alpha })}的紧子集，且{\displaystyle \varphi \_{\alpha }=\psi \_{\alpha }|U\_{\alpha }}；
2. 覆盖{\displaystyle \{U\_{\alpha }|\alpha \in A\}}是局部有限的；
3. 若{\displaystyle (U\_{\alpha },\ \varphi \_{\alpha }),\ (U\_{\beta },\ \varphi \_{\beta })}都是叶状图册的元素，则每个闭斑{\displaystyle P\subset {\overline {U}}\_{\alpha }}的内部与最多与{\displaystyle {\overline {U}}\_{\beta }}中的1个斑相遇。

根据性质 (1)，坐标{\displaystyle x\_{\alpha },\ y\_{\alpha }}延伸到{\displaystyle {\overline {U}}\_{\alpha }}上的坐标{\displaystyle {\overline {x}}\_{\alpha },\ {\overline {y}}\_{\alpha }}，可以写成{\displaystyle {\overline {\varphi }}\_{\alpha }=\left({\overline {x}}\_{\alpha },{\overline {y}}\_{\alpha }\right).}性质 (3)等价于要求：若{\displaystyle U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\neq \varnothing }，横坐标变化{\displaystyle {\overline {y}}\_{\alpha }={\overline {y}}\_{\alpha }\left({\overline {x}}\_{\beta },{\overline {y}}\_{\beta }\right)}独立于{\displaystyle {\overline {x}}\_{\beta }.}即

{\displaystyle {\overline {g}}\_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}\_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}\_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}\_{\beta }\left({\overline {U}}\_{\alpha }\cap {\overline {U}}\_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}\_{\alpha }\left({\overline {U}}\_{\alpha }\cap {\overline {U}}\_{\beta }\right)}
有公式

{\displaystyle {\overline {g}}\_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}\_{\beta },{\overline {y}}\_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}\_{\alpha }\left({\overline {x}}\_{\beta },{\overline {y}}\_{\beta }\right),{\overline {y}}\_{\alpha }\left({\overline {y}}\_{\beta }\right)\right).}
类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射{\displaystyle y\_{\alpha }}可视作浸没

{\displaystyle y\_{\alpha }:U\_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}
公式{\displaystyle y\_{\alpha }=y\_{\alpha }(y\_{\beta })}可视作微分同胚

{\displaystyle \gamma \_{\alpha \beta }:y\_{\beta }\left(U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\right)\rightarrow y\_{\alpha }\left(U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\right).}
它们满足上循环条件，即，在{\displaystyle y\_{\delta }(U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }\cap U\_{\delta })}上，

{\displaystyle \gamma \_{\alpha \delta }=\gamma \_{\alpha \beta }\circ \gamma \_{\beta \delta }}
尤其是，

{\displaystyle \gamma \_{\alpha \alpha }\equiv y\_{\alpha }\left(U\_{\alpha }\right),}
{\displaystyle \gamma \_{\alpha \beta }=\gamma \_{\beta \alpha }^{-1}.}
用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。

| 证明  |
| --- |
| 固定*M*上的一个度量核一个叶状图册{\displaystyle {\mathcal {W}}.}传递到子覆盖，如有必要，可假设{\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W\_{j},\psi \_{j}\right\}\_{j=1}^{l}}有限。令ε > 0是{\mathcal {W}}的勒贝格数，即直径< ε的{\displaystyle \forall \subset X\subseteq M}都完全位于某个{\displaystyle W\_{j}}中。{\displaystyle \forall x\in M}，择*j*使得{\displaystyle x\in W\_{j}}、择叶状图{\displaystyle (U\_{x},\ \varphi \_{x})}使得
{\displaystyle x\in U\_{x}\subseteq {\overline {U}}\_{x}\subset W\_{j},}
{\displaystyle \varphi \_{x}=\psi \_{j}|U\_{x},}
{\displaystyle {\rm {diam}}(U\_{x})<\varepsilon /2.}
设{\displaystyle U\_{x}\subset W\_{k}\ (k\neq j)}，并照常记{\displaystyle \psi \_{k}=(x\_{k},\ y\_{k})\ (y\_{k}:\ W\_{k}\to \mathbb {R} ^{q})}是横坐标映射。这是浸没，以W\_{k}中的斑为水平集。因此，y\_{k}限制到浸没{\displaystyle y\_{k}:\ U\_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.}
这在x\_{j}中是局部为常的；因此，若有必要可以选择较小的U\_x，假定{\displaystyle y\_{k}|{\overline {U}}\_{x}}以{\displaystyle {\overline {U}}\_{x}}的斑为水平集。即，W\_{k}的斑最多与{\displaystyle {\overline {U}}\_{x}}的一个（紧）斑相遇（因此包含）。由于1 < *k* < *l* < *∞*，可以择U\_x，使得只要{\displaystyle U\_{x}\subset W\_{k}}，{\displaystyle {\overline {U}}\_{x}}的不同斑就位于W\_{k}的不同斑中。传递到{\displaystyle \{(U\_{x},\ \varphi \_{x})|x\in M\}}的有限子图册{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U\_{i},\varphi \_{i}\right\}\_{i=1}^{N}}。若{\displaystyle U\_{i}\cap U\_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U\_{i}\cup U\_{j})<\varepsilon }，于是存在索引*k*使得{\displaystyle {\overline {U}}\_{i}\cup {\overline {U}}\_{j}\subseteq W\_{k}}。{\displaystyle {\overline {U}}\_{i}}的不同斑（分别是{\displaystyle {\overline {U}}\_{j}}的不同斑）位于W\_{k}的不同斑中。因此{\displaystyle {\overline {U}}\_{i}}的每个斑内部最多与{\displaystyle {\overline {U}}\_{j}}的一个斑相交，反之亦然。根据构造，{\mathcal {U}}是{\mathcal {W}}的相干细化，是规则叶状图册。
若*M*非紧，局部紧性和第二可数性允许我们选择紧子集序列{\displaystyle \left\{K\_{i}\right\}\_{i=0}^{\infty }}，使得{\displaystyle \forall i\geq 0,\ M=\bigcup \_{i=1}^{\infty }K\_{i},\ K\_{i}\subset {\rm {int}}K\_{i+1}}。传递到子图集，假定{\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W\_{j},\psi \_{j}\right\}\_{j=0}^{\infty }}可数，且可找到严格递增正整数列{\displaystyle \left\{n\_{l}\right\}\_{l=0}^{\infty }}使{\displaystyle {\mathcal {W}}\_{l}=\left\{W\_{j},\psi \_{j}\right\}\_{j=0}^{n\_{l}}}是{\displaystyle K\_{l}}的覆盖。令{\displaystyle \delta \_{l}}表示{\displaystyle K\_{l}}到{\displaystyle \partial K\_{l+1}}的距离，并择{\displaystyle \varepsilon \_{l}>0}，小到对于{\displaystyle l\geq 1,\ \varepsilon \_{0}<\delta \_{0}/2}，都有{\displaystyle \varepsilon \_{l}<{\rm {min}}\{\delta \_{l}/2,\ \varepsilon \_{l-1}\}}（{\displaystyle \varepsilon \_{l}}是{\displaystyle {\mathcal {W}}\_{l}}（作为{\displaystyle K\_{l}}的开覆盖）与{\displaystyle {\mathcal {W}}\_{l+1}}（作为{\displaystyle K\_{l+1}}的开覆盖）的勒贝格数）。更确切地说，若{\displaystyle X\subset M}与L\_{l}相遇（或{\displaystyle K\_{l+1}}），且{\displaystyle {\rm {diam}}X<\varepsilon \_{l}}，则*X*位于{\displaystyle {\mathcal {W}}\_{l}}的某个元素中（或{\displaystyle {\mathcal {W}}\_{l+1}}）。{\displaystyle \forall x\in K\_{l}\diagdown {\rm {int}}K\_{l-1}}，与紧情形一样构造{\displaystyle (U\_{x},\ \varphi \_{x})}，要求{\displaystyle {\overline {U}}\_{x}}是{\displaystyle W\_{j}}的紧子集，且{\displaystyle \forall j\leq n\_{l},\ \varphi \_{x}=\psi \_{j}|U\_{x}}。同时，要求{\displaystyle {\rm {diam}}{\overline {U}}\_{x}<\varepsilon \_{l}/2}。和之前一样，传递到{\displaystyle K\_{l}\diagdown {\rm {int}}K\_{l-1}}的有限子覆盖{\displaystyle \left\{U\_{i},\varphi \_{i}\right\}\_{i=n\_{l-1}+1}^{n\_{l}}}（此处取{\displaystyle n\_{-1}=0}。）这样就创造了规则叶状图册{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U\_{i},\varphi \_{i}\right\}\_{i=1}^{\infty }}，细化了{\mathcal {W}}并与{\mathcal {W}}相干。 |

叶状结构的定义
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根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到

通过坐标函数{\displaystyle x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}}分解
**定义** *n*维流形*M*的*p*-维C^{r}类叶状结构是将*M*分解为不交连通子流形{\displaystyle \{L\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}}的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：*M*的点都有邻域*U*和局部C^{r}类坐标系{\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}}，使得对每片叶{\displaystyle L\_{\alpha }}，{\displaystyle U\cap L\_{\alpha }}的组分都由方程组{\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}}描述。则，叶状结构记作{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}.}

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，*n*维流形*M*的*p*维叶状结构\mathcal{F}也许可简单视作*M*的逐对不交、连通浸没的*p*维子流形（叶状结构的叶）的集合{\displaystyle \{M\_{a}\}}，使得对点{\displaystyle \forall x\in M}，都有图(U,\varphi )，其中*U*同胚于\mathbb {R} ^{n}，包含的*x*使得对每片叶{\displaystyle M\_{a}}，与*U*相遇或为空集或为子空间的可数集，其在{\displaystyle \varphi (M\_{a}\cap U)}中\varphi 的像下是前n-p个坐标为常数的*p*维仿射子空间。

叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义

**定义** 令*M*、*Q*是*n*维流形，*q*≤*n*，并令{\displaystyle f:\ M\to Q}是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为*q*，则据隐函数定理，*ƒ*在*M*上诱导了余维为*q*的叶状结构，其中的叶定义为{\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).}

这定义描述了*n*维流形*M*的*p*维叶状结构\mathcal{F}，是由图（chart）U\_{i}与下列映射覆盖的：

{\displaystyle \varphi \_{i}:U\_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}
这样，对重叠对{\displaystyle U\_{i},\ U\_{j}}，转移函数{\displaystyle \varphi \_{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}定义为

{\displaystyle \varphi \_{ij}=\varphi \_{j}\varphi \_{i}^{-1}}
形式为

\varphi \_{{ij}}(x,y)=(\varphi \_{{ij}}^{1}(x),\varphi \_{{ij}}^{2}(x,y))
其中*x*表示前{\displaystyle q=n-p}个坐标，*y*表示后*p*个坐标（co-ordinates），即

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \_{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi \_{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}
将转移函数\varphi \_{{ij}}拆分为{\displaystyle \varphi \_{ij}^{1}(x),\ \varphi \_{ij}^{2}(x,y)}，作为浸没的一部分完全类似于将{\displaystyle {\overline {g}}\_{\alpha \beta }}拆分为{\displaystyle {\overline {y}}\_{\alpha }\left({\overline {y}}\_{\beta }\right),\ {\overline {x}}\_{\alpha }\left({\overline {x}}\_{\beta },{\overline {y}}\_{\beta }\right)}，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为*q*的规则叶状图册都与唯一的余维度为*q*的叶状结构\mathcal{F}相关联。

| 证明 |
| --- |
| 令{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U\_{a},\varphi \_{\alpha }\right\}\_{\alpha \in A}}是余维为*q*的规则叶状图册。在*M*上定义等价关系：*x* ~ *y*，当且仅当{\displaystyle \exists {\mathcal {U}}}-斑P\_0使得{\displaystyle x,\ y\in P\_{0}}，或有{\mathcal {U}}-斑的序列{\displaystyle L=\{P\_{0},\ P\_{1},\ \dots ,\ P\_{p}\}}使得**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): {\displaystyle x\in P\_0,\ y\in P\_p,\ P\_i\capP\_{i-1}\neq\varnothing\ (1\le i\le p)}**
成立。称序列*L*为连接*x*、*y*的长*p*的斑链。{\displaystyle x,\ y\in P\_{0}}时，可以说{\displaystyle \{P\_{0}\}}是连接*x*、*y*的长度为0的斑链。~是等价关系，这很清楚；同样明显的是，等价类*L*都是斑的并。由于{\mathcal {U}}-斑只能在彼此的开子集中相互重叠，所以*L*在局部是维度为n-q的拓扑浸入（immerse）子流形。斑{\displaystyle P\subset L}的开子集在*L*上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基，*L*在这拓扑中显然是连通的。要检验*L*是否为豪斯多夫空间也是平凡的，主要问题是要证明*L*第二可数。由于斑都是第二可数的，所以对*L*只需证*L*中{\mathcal {U}}-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑P\_0，根据规则叶状图册的定义，其只与有限多个其他斑相遇。即，只有有限多长1的斑链{\displaystyle \{P\_{0},\ P\_{i}\}}。归纳始于P\_0的*p*长斑链，同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义，*L*中所有{\mathcal {U}}-斑都可通过始于P\_0的有限斑链抵达，因此可得上述论断。 |

正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ *p*的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫*p*维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}是*M*上的叶状图册、且若{\mathcal {U}}与叶状结构\mathcal{F}相关联，则当且仅当{\mathcal {V}}也与\mathcal{F}相关联时，{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}相干。

| 证明 |
| --- |
| 若{\mathcal {V}}也与\mathcal{F}相关联，则每片叶*L*都是{\mathcal {V}}-斑与{\mathcal {U}}-斑的并。这些斑在*L*的流形拓扑中是开子集，因此交于彼此的开子集。由于斑是连通的，所以不在同一片叶的{\mathcal {U}}-斑不能交{\mathcal {V}}-斑；因此叶状图册是相干的。反之，若只知道{\mathcal {U}}与\mathcal{F}相关联、{\displaystyle {\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}}，令*Q*是{\mathcal {V}}-斑。若*L*是\mathcal{F}的叶，且{\displaystyle w\in L\cap Q\ (w\in P)}，令{\displaystyle P\in L}是{\mathcal {U}}-斑，则{\displaystyle P\cap Q}是*w*在*Q*中的开邻域，且{\displaystyle P\cap Q\subset L\cap Q}。由于{\displaystyle w\in L\cap Q}是任意的，可知{\displaystyle L\cap Q}是开的；由于*L*也是任意的叶，所以*Q*可分解为不交的开子集，每个都是*Q*与\mathcal{F}中某叶的交。又由于*Q*连通，{\displaystyle L\cap Q=Q.}最后，*Q*也是任意的{\mathcal {V}}-斑，所以{\mathcal {V}}与\mathcal{F}相关联。 |

现在很明显，*M*上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了*M*的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，*M*上余维为*q*的C^{r}类叶状结构\mathcal{F}是余维为*q*的C^{r}类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，

**定义** *M*上余维为*q*的C^{r}类叶状结构是*M*上余维为*q*的最大叶状C^{r}-图册。

实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。

在图U\_{i}中，条纹{\displaystyle x={\text{常数}}}与别的图U\_{j}上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的**叶**（leaf）。
若缩小图U\_{i}，可以写成{\displaystyle U\_{ix}\times U\_{iy}}，其中{\displaystyle U\_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U\_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U\_{}iy}与斑同构，{\displaystyle U\_{ix}}的点参数化了U\_{i}中的斑。若择{\displaystyle y\_{0}\in U\_{iy}}，则{\displaystyle U\_{ix}\times \{y\_{0}\}}是U\_{i}的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。

*r* = 0的情形比较特殊。实践中出现的C^{0}叶状结构通常是"光滑叶"。更确切地说，是以下意义的{\displaystyle C^{r,\ 0}}类：

**定义** 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册{\displaystyle \{U\_{\alpha },\ x\_{\alpha },\ y\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}}，使得坐标变换式

{\displaystyle g\_{\alpha \beta }(x\_{\beta },y\_{\beta })=(x\_{\alpha }(x\_{\beta },y\_{\beta }),y\_{\alpha }(y\_{\beta })).}
属于C^{k}类，但x\_{\alpha}在坐标{\displaystyle x\_{\beta }}中是C^{r}类，其阶数≤ *r*、与{\displaystyle x\_{\beta }}的混合偏导数在坐标{\displaystyle (x\_{\beta },\ y\_{\beta }}中是C^{k}类，则称叶状结构\mathcal{F}属于{\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)}类。

上述定义是所谓"叶状空间"的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}的相对紧开子集，允许横坐标{\displaystyle y\_{\alpha }}在更一般的拓扑空间*Z*中取值。斑仍是{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}的相对紧开子集，横坐标公式{\displaystyle y\_{\alpha }(y\_{\beta })}的变化是连续的，{\displaystyle x\_{\alpha }(x\_{\beta },\ y\_{\beta })}在坐标{\displaystyle x\_{\beta }}中属于C^{r}类，其阶数 ≤ *r* 、与{\displaystyle x\_{\beta }}的混合偏导数在坐标{\displaystyle (x\_{\beta },\ y\_{\beta })}中连续。一般要求*M*、*Z*为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。

完整性
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令{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}是叶状流形（foliated manifold）。设*L*是\mathcal{F}的叶，*s*是*L*中的路径，我们感兴趣的是*M*中*s*的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径*s*行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作*s*(*t*)）行走时，一些叶可能会"掉落"、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近*L*；还有些可能会以接近平行的方式跟随*L*，或垂直地打转之类。若*s*是环路，则随着*t*增大，*s*(*t*)会反复回到同一个点*s*(*t*0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

### 叶状丛

最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。

横截面（cross section）*N*与第一回归映射（first return map）*f*，其中{\displaystyle M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.}
"第一回归映射"来自动力系统理论。令{\displaystyle \Phi \_{t}}是紧*n*-流形上的非奇异{\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)}流。应用中，可以想象*M*是个回旋加速器或流体的闭合回路。若*M*有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构\mathcal{F}。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）\mathcal{F}有向。假设流有全局横截面*N*，即*N*是*M*的n-1维紧正合嵌入的C^{r}子流形，叶状结构\mathcal{F}垂直于*N*，每条流线都与*N*相遇。由于*N*的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

{\displaystyle T\_{y}(M)=T\_{y}({\mathcal {F}})\oplus T\_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}
令{\displaystyle y\in N}，考虑*M*中所有序列{\displaystyle \left\{\Phi \_{t\_{k}}(y)\right\}\_{k=1}^{\infty }}的所有堆积点的*ω*-极限集合ω(y)，其中{\displaystyle t\_{k}}为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若{\displaystyle z=\lim \_{k\rightarrow \infty }\Phi \_{t\_{k}}\in \omega (y),}则有值{\displaystyle t^{\*}\in \mathbb {R} }使得{\displaystyle \Phi \_{t^{\*}}(z)\in N}，由此可得

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\Phi \_{t\_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi \_{t^{\ast }}(z)\in N.}
由于*N*是紧的，\mathcal{F}横截于*N*，因此集合{\displaystyle \{t>0|\Phi \_{t}(y)\in N\}}是单调递增序列{\displaystyle \{\tau \_{k}(y)\}\_{k=1}^{\infty }}，并发散。

当{\displaystyle y\in N}变化，令{\displaystyle \tau (y)=\tau \_{1}(y)}，这样定义一个正函数{\displaystyle \tau \in C^{r}(N)}（第一回归时间），使得{\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi \_{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi \_{\tau (y)}(y)\in N.}

定义{\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi \_{\tau (y)}(y).}这是C^{r}映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的f^{{-1}}；所以{\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但*f*显然只取决于有向叶状结构\mathcal{F}。可以将流{\displaystyle \Phi \_{t}}重参数化，使其保持非奇异、是C^{r}类，且方向不翻转，从而使{\displaystyle \tau \equiv 1.}

流有横截面N的假设是很受限的，意味着*M*是S^{1}上纤维丛的总空间。事实上在{\displaystyle \mathbb {R} \times N}上，可将{\displaystyle \sim \_{f}}定义为以下条件生成的等价关系：

{\displaystyle (t,y)\sim \_{f}(t-1,f(y)).}
等价地，这是加法群**Z**在{\displaystyle \mathbb {R} \times N}上的作用的轨等价，定义如下

{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).}
*f*的映射圆柱定义为C^{r}流形

{\displaystyle M\_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim \_{f}}.}
由第一回归映射*f*的定义与第一回归时间{\displaystyle \tau \equiv 1}的假设，可立即得出映射

{\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}
流的定义可诱导一个规范C^{r}微分同胚

{\displaystyle \varphi :M\_{f}\rightarrow M.}
若记{\displaystyle M\_{f}=M}，则{\displaystyle \mathbb {R} \times N}到**R**的投影诱导了C^{r}映射

{\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}
使*M*变为圆上纤维丛的总空间。这只是{\displaystyle S^{1}\times D^{2}}到S^{1}的投影。叶状结构\mathcal{F}横截于这丛的纤维，限制到每片叶*L*的丛投影π是覆盖映射{\displaystyle \pi :\ L\to S^{1}}，这就是叶状丛（foliated bundle）。

以{\displaystyle x\_{0}\in S^{1}}的等价类{\displaystyle 0+\mathbb {Z} }为基点，{\displaystyle \pi ^{-1}(x\_{0})}就是原横截面*N*。对S^{1}上以x\_{0}为基点的每个环路*s*，同伦类{\displaystyle [s]\in \pi \_{1}(S^{1},\ x\_{0})}的唯一特征是{\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} }。环路*s*提升到每条流线中的一条路径，很明显提升s\_{y}始于{\displaystyle y\in N}、终于{\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)}。微分同胚{\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}也用{\displaystyle h\_{s}}表示，称作环路*s*的总整体性。由于只取决于[*s*]，因此定义了同胚

{\displaystyle h:\pi \_{1}(S^{1},x\_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}
称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛，令{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}是余维为*q*的叶状*n*-流形，令{\displaystyle \pi :\ M\to B}是纤维丛，具有*q*维纤维*F*与连通基空间*B*。假设所有这些结构都属于{\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}类，若*r* = 0，*B*支持一个C^1结构。由于*B*上的最大C^1图册都包含C^{{\infty }}子图册，因此假设*B*如所期望那般光滑并不失一般性。最后，{\displaystyle \forall x\in B}，假设*x*有连通开邻域{\displaystyle U\subseteq B}，和局部平凡化

{\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}
其中*φ*是C^{r}微分同胚（若*r* = 0则是同胚），将{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}带到积叶状结构{\displaystyle \{U\times \{y\}\}\_{y\in F}}。其中，{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}是叶为{\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)}的连通组分的叶状结构，*L*是\mathcal{F}的叶。这是C^{r}类"叶状丛"（foliated bundle）{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )}的一般定义。

\mathcal{F}垂直于π的纤维（可以说\mathcal{F}是垂直于纤维的），π到\mathcal{F}的每片叶*L*的限制是覆盖映射{\displaystyle \pi :\ L\to B}。特别是，每条纤维{\displaystyle F\_{x}=\pi ^{-1}(x)}都与\mathcal{F}的每片叶相遇。纤维是\mathcal{F}的横截，与流的横截完全类似。

叶状结构\mathcal{F}横截于纤维不能保证叶是*B*的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是\mathbb {R} ^{2}的一个叶状结构横截于纤维

{\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}
{\displaystyle \pi (x,y)=x,}
但有无限多叶缺失了*y*轴。在相应的图像中，"有箭头的"叶以及它们上面所有的叶都渐进于*x* = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数{\displaystyle x\in B}接近某个{\displaystyle x\_{0}\in B}，一些叶"奔向无穷大"。更确切地说，可能有叶*L*，和一条连续路径{\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L}使得{\displaystyle \lim \_{t\to a-}\pi (s(t))=x\_{0}\in B}，但{\displaystyle \lim \_{t\to a-}s(t)}在*L*的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶*L*可能在别处与{\displaystyle \pi ^{-1}(x\_{0})}相遇，但不能均匀覆盖x\_{0}的邻域，因此不可能是*B*在π下的的覆盖空间。*F*是紧的时，\mathcal{F}对纤维的横截性确实保证了完备性，于是{\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}是叶状丛。

*B*上有图册{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U\_{\alpha },\ x\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}}，包含开连通坐标图，以及平凡化{\displaystyle \varphi \_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U\_{\alpha })\to U\_{\alpha }\times F}，将{\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U\_{\alpha })}带到积叶状结构。置{\displaystyle W\_{\alpha }=\pi ^{-1}(U\_{\alpha })}，并记{\displaystyle \varphi \_{\alpha }=(x\_{\alpha },\ y\_{\alpha })}，其中（滥用符号）x\_{\alpha}表示{\displaystyle x\_{\alpha }\circ \pi ,\ y\_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U\_{\alpha })\to F}是将\varphi\_{\alpha}与规范投影{\displaystyle U\_{\alpha }\times F\to F}组合而得的浸没。

图册{\displaystyle {\mathcal {W}}=\{W\_{\alpha },\ x\_{\alpha },\ y\_{\alpha }\}\_{\alpha \in A}}的作用类似叶状图册。{\displaystyle W\_{\alpha }}的斑是{\displaystyle y\_{\alpha }}的水平集，这一族斑通过{\displaystyle y\_{\alpha }}，与*F*相同。由于预设了*B*支持某个C^{{\infty }}结构，据怀特黑德定理，可在*B*上固定一个黎曼度量，择图册{\mathcal {U}}为测地凸的。于是，{\displaystyle U\_{\alpha }\cap U\_{\beta }}总是连通的。若这个交非空，则{\displaystyle W\_{\alpha }}的每个斑都正好与{\displaystyle W\_{\beta }}的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）{\displaystyle \gamma =\left\{\gamma \_{\alpha \beta }\right\}\_{\alpha ,\beta \in A}} by setting

{\displaystyle \gamma \_{\alpha \beta }=y\_{\alpha }\circ y\_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}

例子
--

### 平坦空间

考虑*n*维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}}，叶或斑\mathbb {R} ^{p}由{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-p}}枚举。置*n* = 3、*p* = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。

### 丛

较平凡的叶状结构例子是积{\displaystyle M=B\times F}，叶{\displaystyle F\_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B}（*M*的另一个叶状结构由{\displaystyle B\_{f}=B\times \{f\},\ f\in F}给出）。

对流形*F*而言，{\displaystyle G={\rm {Homeo}}(F)}的平坦*G*-丛是更一般的一类。给定表示{\displaystyle \rho :\ \pi \_{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}，具有单值ρ的平坦{\displaystyle {\rm {Homeo}}(F)}-丛由{\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi \_{1}B}给出，其中{\displaystyle \pi \_{1}(B)}通过甲板变换作用于万有覆盖{\displaystyle {\widetilde {B}}}，通过表示ρ作用于*F*。

平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形*F*使得{\displaystyle \forall b\in B}，都有开邻域*U*使得有同胚{\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p\_{1}\varphi ,\ p\_{1}:\ U\times F\to U)}（其中*p*1是到第一个因子的投影），则流形之间的映射{\displaystyle \pi :\ M\to B}是纤维丛。纤维丛产生了由纤维{\displaystyle F\_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}组成的叶状结构，其叶空间*L*与*B*同构，前者是豪斯多夫流形。

### 覆盖

若{\displaystyle M\to N}是流形间的覆盖映射，*F*是*N*上的叶状结构，则其拉回到*M*上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

### 浸没

若{\displaystyle M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)}是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了*M*的余维为*q*的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。

不是纤维丛的浸没的一个例子是

{\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}
这种浸没产生了{\displaystyle [-1,\ 1]\times \mathbb {R} }的叶状结构，在下列\mathbb {Z} 作用下是不变的：

{\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}
其中{\displaystyle (x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z} }。{\displaystyle \mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )}的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

### 里布叶状结构

定义一个潜没

{\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}
其中{\displaystyle (r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}}是*n*维圆盘D^{n}上的圆柱坐标。这浸没产生了{\displaystyle D^{n}\times \mathbb {R} }的叶状结构，在如下**Z**作用下是不变的：

{\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )}
{\displaystyle \mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )}的诱导叶状结构被称作*n*维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。

对于*n* = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球{\displaystyle S^{2n+1}}的叶状结构也是明确已知的。

### 李群

若*G*是李群、*H*是李子群，则*G*就会被*H*的陪集叶化。若*H*在*G*中闭合，则商空间G/H是光滑（豪斯多夫）流形，将*G*转化为纤维丛，纤维*H*、基为G/H。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群*H*。

### 李群作用

令*G*是光滑作用于流形*M*的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则*G*的轨道定义了*M*的一个叶状结构。

### 线性叶状结构与克罗内克叶状结构

若{\tilde {X}}是非奇异（即无处为零）的向量场，则{\tilde {X}}定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点x\in M，由于{\tilde {X}}是非奇异的，所以可找到一个关于*x*的坐标邻域{\displaystyle (U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})}，使得

{\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}
从几何角度来看，{\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}的流线就是水平集

{\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}
其中所有的{\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}由惯例，流形是第二可数的，因此类似"长线"这样的叶异常现象会被*M*本身的第二可数性排除。要求{\tilde {X}}是完全域（例如*M*是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。

\mathbb {R} ^{2}上的线性叶状结构{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}传递到{\displaystyle T^{2}}上的叶状结构\mathcal{F}。 a) 斜率是有理的（线性叶状结构）； b) 斜率是无理的（克罗内克叶状结构）。
2-环面上的无理旋转
环面{\displaystyle T^{2}}上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。\mathbb {R} ^{2}上的恒向量场

{\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}
对\mathbb {R} ^{2}中所有平移都不变，因此当投影到环面{\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}时传递到良定义向量场*X*。假定*a* ≠ 0。{\tilde {X}}产生的\mathbb {R} ^{2}上的叶状结构{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}的叶具有斜率为{\displaystyle \theta =b/a}的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到*X*产生的{\displaystyle T^{2}}上的叶状结构\mathcal{F}。

{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}每片叶的形式是

{\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x\_{0}+ta,y\_{0}+tb)\}\_{t\in \mathbb {R} }.}
若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取{\displaystyle a,\ b\in \mathbb {Z} }。对固定的{\displaystyle t\in \mathbb {R} }，{\displaystyle {\tilde {L}}}中与{\displaystyle t\in t\_{0}+\mathbb {Z} }的值对应的点都投影到{\displaystyle T^{2}}的同一点，于是\mathcal{F}对应的叶*L*是{\displaystyle T^{2}}中的嵌入圆。由于*L*是任意的，所以\mathcal{F}是{\displaystyle T^{2}}对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛{\displaystyle \pi :\ T^{2}\to S^{1}}，这就是所谓线性叶状结构。

若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点(x\_{0},\ y\_{0})的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生"处处稠密"的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与

**克罗内克稠密性定理** 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合{\displaystyle \{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}}在单位圆内稠密。

| 证明 |
| --- |
| 首先注意，若{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}的叶{\displaystyle {\tilde {L}}}不是一一投影到{\displaystyle T^{2}}，则一定有实数{\displaystyle t\neq 0}使得*ta*、*tb*都是整数。但这意味着{\displaystyle b/a\in \mathbb {Q} }。要证\mathcal{F}的叶*L*在{\displaystyle T^{2}}中都稠密，只需证明{\displaystyle \forall v\in \mathbb {R} ^{2}}，{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}的每片叶{\displaystyle {\tilde {L}}}与陪集{\displaystyle v+\mathbb {Z} ^{2}}中的适当点间距都是任意小的正距离。\mathbb {R} ^{2}中的适当平移使我们可以假设*v* = 0，这样任务就简化为证明{\displaystyle {\tilde {L}}}任意地经过合适的点{\displaystyle (n,\ m)\in \mathbb {Z} ^{2}}。线{\displaystyle {\tilde {L}}}具有斜截式
{\displaystyle y=\theta x+c.}
因此，对于任意{\displaystyle \eta >0}，只要找到整数*n*、*m*使得
{\displaystyle |\theta n+c-m|<\eta .}
等价地，{\displaystyle c\in \mathbb {R} }是任意的，就可以证明集合{\displaystyle \{\theta n-m\}\_{m,\ n\in \mathbb {Z} }}在**R**中稠密。这实质上就是欧多克索斯关于θ与1不可通约（即θ无理）的标准。 |

用平行线对\mathbb {R} ^{n}进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的*n*-环面{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}的1维叶状结构。

### 纬悬叶状结构

平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为

{\displaystyle L\_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}
其中{\displaystyle p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M}是规范投影。这个叶状结构称作表示{\displaystyle \rho :\ \pi \_{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}的纬悬。

具体地说，若{\displaystyle B=S^{1}}，{\displaystyle \varphi :F\to F}是*F*的同胚，则\varphi 的纬悬叶状结构定义为表示{\displaystyle \rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)}的纬悬叶状结构，由{\displaystyle \rho (z)=\Phi ^{z}}给出。其叶空间是{\displaystyle L={\mathcal {F}}/\sim }，其中只要对某个{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y}。

纬悬叶状结构最简单的例子是*q*维流形*X*。令{\displaystyle f:\ X\to X}是双射。将纬悬{\displaystyle M=S^{1}\times \_{f}X}定义为{\displaystyle [0,\ 1]\times X}对等价关系{\displaystyle (1,\ x)\sim (0,\ f(x))}的商。

{\displaystyle M=S^{1}\times \_{f}X=[0,\ 1]\times X}
则，*M*自动携带两个叶状结构：{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{2}}包含{\displaystyle F\_{2,\ t}=\{(t,\ x)\_{\sim }:\ x\in X\}}形式的集合；{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{1}}包含{\displaystyle F\_{2,\ x\_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O\_{x\_{0}}\}}形式的集合，其中轨道{\displaystyle O\_{x\_{0}}}定义为

{\displaystyle O\_{x\_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x\_{0}),\ f^{-1}(x\_{0}),\ x\_{0},\ f(x\_{0}),\ f^{2}(x\_{0}),\ \ldots \}}
其中指数指的是函数*f*与自身复合的次数。注意{\displaystyle O\_{x\_{0}}=O\_{f(x\_{0})}=O\_{f^{-2}(x\_{0})},\ {\rm {etc.}}}，对{\displaystyle F\_{1,\ x\_{0}}}也同样。理解叶状结构{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{1}}等效于理解映射*f*的动力学。若流形*X*已经叶化，则只要*f*是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转{\displaystyle R\_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}}（角度为{\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi )}）的纬悬叶状结构。

切割重粘后，2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面； b) 切割后带有4个面的几何图形。
更具体地说，若{\displaystyle \Sigma =\Sigma \_{2}}是2洞环面，{\displaystyle C^{1},\ C^{2}\in \Sigma }是两个嵌入圆，则\mathcal{F}是叶{\displaystyle \Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}}的3-流形的积叶状结构{\displaystyle M=\Sigma \times S^{1}}。注意{\displaystyle N\_{i}=C\_{i}\times S^{1}}是嵌入环，\mathcal{F}横截于{\displaystyle N\_{i},\ i=1,\ 2}。令{\displaystyle {\rm {Diff}}\_{+}(S^{1})}表示S^{1}的保向微分同胚群，并择{\displaystyle f\_{1},\ f\_{2}\in {\rm {Diff}}\_{+}(S^{1})}。将*M*沿{\displaystyle N\_{1},\ N\_{2}}切开，{\displaystyle N\_{i}^{+},\ N\_{i}^{-}}表示它们的副本。这时，流形{\displaystyle M'=\Sigma '\times S\_{1}}有4个边界分量{\displaystyle \left\{N\_{i}^{\pm }\right\}\_{i=1,2}.}叶状结构\mathcal{F}横截边界{\displaystyle \partial M'}的叶状结构{\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}，叶的形式为{\displaystyle \Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}}。

这片叶在4个圆{\displaystyle C\_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N\_{i}^{\pm }}中与{\displaystyle \partial M'}相遇。若{\displaystyle z\in C\_{i}}，则{\displaystyle C\_{i}^{\pm }}中的对应点记作{\displaystyle z^{\pm }}，{\displaystyle N\_{i}^{-}}通过下列标识，"回到"{\displaystyle N\_{i}^{+}}：

{\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f\_{i}(y)),\quad i=1,2.}
由于{\displaystyle f\_{1},\ f\_{2}}是S^{1}的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于*M*。{\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}的叶则重新组合，产生*M*新的叶状结构{\displaystyle {\mathcal {F}}(f\_{1},\ f\_{2})}。若{\displaystyle {\mathcal {F}}(f\_{1},\ f\_{2})}的叶*L* 包含一片{\displaystyle \Sigma '\times \{y\_{0}\}}，则

{\displaystyle L=\bigcup \_{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y\_{0})\},}
其中{\displaystyle G\subset {\rm {Diff}}\_{+}(S^{1})}是由{\displaystyle \{f\_{1},\ f\_{2}\}}生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：

{\displaystyle \forall z\in C\_{1},\ (z^{-},\ g(y\_{0}))\equiv (z^{+},\ f\_{1}(g(y\_{0})))}
{\displaystyle \forall z\in C\_{2},\ (z^{-},\ g(y\_{0}))\equiv (z^{+},\ f\_{2}(g(y\_{0})))}
其中*g*在*G*上取值。叶完全由{\displaystyle y\_{0}\in S^{1}}的*G*-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的*G*-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若*G*是平凡的{\displaystyle (f\_{1}=f\_{2}={\rm {id}}\_{S^{1}})}，则{\displaystyle {\mathcal {F}}(f\_{1},\ f\_{2})={\mathcal {F}}}。若轨道在S^{1}中是稠密的，则对应的叶在*M*中也稠密。例如，若{\displaystyle f\_{1},\ f\_{2}}是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶*L*的闭包{\bar {L}}与每个因子{\displaystyle \{w\}\times S^{1}}在康托尔集中相遇。在{\displaystyle \Sigma \times I}上也可做类似构造，其中*I*是紧非退化区间。这里，取{\displaystyle f\_{1},\ f\_{2}\in {\rm {Diff}}\_{+}(I)}，由于{\displaystyle \partial I}通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以\partial M的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成*M'* ，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

叶状结构与可积性
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假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定*M*上不为零的向量场*X*，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为*n*-1的叶状结构）。

这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的*n* − *p*维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从{\displaystyle {\rm {GL}}(n)}约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}}（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为{\displaystyle {\rm {ker}}(\alpha )}。若处处都有{\displaystyle \alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0}，则给定的α可积。

由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。

叶状结构的存在
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Haefliger (1970)给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston （1974, 1976）证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

参看
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* 弗罗贝尼乌斯定理
* G结构
* 用叶状结构分类空间
* 里布叶状结构
* 紧叶状结构(Taut foliation)

参考文献
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* Anosov, D.V. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Candel, Alberto; Conlon, Lawrence.. Graduate Studies in Mathematics **23**. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2000. ISBN 0-8218-0809-5.
* Candel, Alberto; Conlon, Lawrence.. Graduate Studies in Mathematics **60**. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-0809-5.
* Gourgoulhon, Éric.. Lecture Notes in Physics **846**. Heidelberg, New York, Dordrecht, London: Springer. 2012. ISBN 978-3-642-24524-4. doi:10.1007/978-3-642-24525-1.
* Haefliger, André, Topology, 1970, **9** (2): 183–194, ISSN 0040-9383, MR 0263104, doi:10.1016/0040-9383(70)90040-6
* Lawson, H. Blaine, Bulletin of the American Mathematical Society, 1974, **80** (3): 369–418, ISSN 0002-9904, MR 0343289, doi:10.1090/S0002-9904-1974-13432-4 可免费查阅
* Moerdijk, Ieke; Mrčun, J. Cambridge Studies in Advanced Mathematics **91**, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-83197-0, MR 2012261
* Reeb, Georges, Actualités Sci. Ind. no. 1183, Hermann & Cie. Paris, 1952, MR 0055692
* Thurston, William, Commentarii Mathematici Helvetici, 1974, **49**: 214–231, ISSN 0010-2571, MR 0370619, S2CID 120603728, doi:10.1007/BF02566730
* Thurston, William P. Annals of Mathematics, Second Series, 1976, **104** (2): 249–268, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971047, MR 0425985, doi:10.2307/1971047

外部链接
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* Foliations at the Manifold Atlas