停时的一个范例: 布朗运动的首中时
在概率论中，尤其在随机过程的研究中，**停时**是一种特殊的"随机时刻"。

停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——"驯服时间这一连续统"
。

定义
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**定義** —   

{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}是機率空間，\leq 是集合 T 上的全序关系，若有個单射 {\displaystyle {\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]} 滿足：

* 對所有 t\in T ， {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} 是 X 上的Σ-代数，且 {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma } 。
* 對所有 {\displaystyle s,\,t\in T} ， 若 {\displaystyle t\leq s} 則 {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)}

那 \mathcal{F} 被稱為 {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)} 上的一個**滤子**/**域流**（filtration），也可以稱{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)}為一個**濾波**（機率）**空間**。

要強調是用哪個集合 T 去定義濾子的時候，可以仿造序列的表記，把濾子記為 {\displaystyle {\{{\mathcal {F}}\_{t}\}}\_{t\in T}} ，然後把 {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} 也簡記為 {\mathcal {F}}\_{t} 。

**定義** —   

{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}\_{t}\}}\_{t\in T},\,P)}為一個濾波空間，若函数 {\displaystyle \tau :X\to T} 滿足。

{\displaystyle (\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}\_{t}{\bigg \}}}
那稱 \tau  為濾子 {\displaystyle {\{{\mathcal {F}}\_{t}\}}\_{t\in T}} 的一個**停時**（stopping time）

例子
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为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

* 赌且只赌一次，对应于停时*\tau*  = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
* 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
* 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
* 当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系（加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
* 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化
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停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 X 是一个（随机）过程，\tau  是它的一个停时，那么 X^{\tau } 就用来表示过程 X 在 \tau  时刻停止。

X\_{t}^{\tau }=X\_{{\min(t,\tau )}}
那么，X 被认为局部满足 P 特性，若存在一列停时 \tau \_{n}，n\to \infty ，1\_{{\{\tau \_{n}>0\}}}X^{{\tau \_{n}}} 满足特性 P。常见的例子如下面两个，其中 I=[0,\infty )：.

* （**局部鞅**）过程 X 是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时 \tau \_{n}，n\to \infty ，使得 1\_{{\{\tau \_{n}>0\}}}X^{{\tau \_{n}}}对 \forall n\in N 是一个鞅。

* （**局部可积**）非负连续的过程 X 是局部可积的，若存在一列停时 \tau \_{n}，n\to \infty ，使得\forall n\in N，{\mathbb {E}}(1\_{{\{\tau \_{n}>0\}}}X^{{\tau \_{n}}})<\infty 。

停时的类型
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停时（表示时间的下标取自 I=[0,\infty ]）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 \exists {\tau \_{n}}，n\in N，\forall n ，满足 0<\tau \_{n}<\tau \_{n}+1<\tau ，有lim\_{{n\to \infty }}x\_{n}，则停时 \tau  是**可预测的**。{\tau \_{n}} 被称为 \tau  的预告，可预测的停时有时则被称作"可预告的"。例子有连续的适应过程的到达时间。取 a\in R，设 X 是实值连续过程，若\tau  是第一个使得 X=a 的时刻，则 \tau  是可被 \tau \_{n} 逼近的，即 \tau \_{n}是第一个使得 |X-a|<1/n 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为**可接近的**。即，\tau  是可接近的，若：对于部分 n，P(\tau =\tau \_{n})=1，其中 \tau \_{n} 是可预测的时刻。

若停时 \tau 不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为**完全不可接近的**。等价地，P(\tau =\sigma <\infty )=0，其中\sigma  是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 \tau  都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 \sigma  和惟一的完全不可接近的 \upsilon ，使得凡有 \sigma <\infty  则 \tau =\sigma ，凡有 \upsilon <\infty 则 \tau =\upsilon ，若 \sigma =\tau =\infty ，则 \tau =\infty 。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 \infty。

参见
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* 最优停止问题
* 秘书问题
* 首中时
* 停止过程
* 停车问题

参考文献
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1. ↑  Chung, Kai Lai.. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5.

* Revuz, Daniel and Yor, Marc.. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis.  First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Protter, Philip E.. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4.

### 延伸阅读

* Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
* An introduction to stopping times.
* F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

* Shiryaev, Albert N.. Springer. 2007. ISBN 3540740104.