此條目介紹的是布朗运动。关于随机的过程，请见「**维纳过程**」。关于热力学的角度的定义，请见「**热力学温度**」。关于内部能量，请见「**能量均分定理**」。关于数学模型，请见「**随机游走**」。
模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的**布朗運動**。
粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。
**布朗运动**（英語：）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在西元1827年英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。

定義
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自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：

1. 粒子的運動由**平移**及**轉移**所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
5. 粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解[來源請求]
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值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。[來源請求]

一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。[來源請求]

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。
在日本，以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辞典』、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論（上）』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。[來源請求]

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。[來源請求]

愛因斯坦的理論
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在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[來源請求] 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动[來源請求]。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（\Delta  或者 *x，*并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 {\displaystyle \varphi (\Delta )}。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int \_{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int \_{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int \_{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}
第一行中的第二个等式是被 \varphi  这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}}
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 \Delta ，让 D 为质量扩散系数：

{\displaystyle D=\int \_{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta }
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}
假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

\rho (x,t)={\frac {\rho \_{0}}{{\sqrt {4\pi Dt}}}}e^{{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}}.

数学模型
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### 定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。
2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

(M\_{t})是一个布朗运动当且仅当(M\_{t})为鞅，且(M\_{t}^{2}-t)也为鞅.

### 其他定义

3000步的2维布朗运动的模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。
**一维的定义**

一维布朗运动\scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}是关于时间*t*的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间*t*和*s*满足*t* > *s*,增量\scriptstyle B\_{t}-B\_{s}独立于时间*s*前的过程\scriptstyle (B\_{u})\_{{0\leq u\leq s}}。
2. （稳定增量和正态性）设时间*t*和*s*满足*t* > *s*,增量\scriptstyle B\_{t}-B\_{s}服从均值为0方差为*t*−*s*的正态分布。
3. \scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数\scriptstyle t\mapsto B\_{t}(\omega )是连续的.
4. 通常假设\scriptstyle B\_{0}=0。这种布朗运动我们称它为标准的。

**等价定义**

一维布朗运动\scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}是关于时间*t*的一个随机过程，他满足 ：

1. \scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：\scriptstyle t\_{1}\leq t\_{2}\leq ...\leq t\_{n},随机向量：\scriptstyle (B\_{{t\_{1}}},B\_{{t\_{2}}},...B\_{{t\_{n}}})服从高维高斯分布（正态分布）。
2. \scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}几乎处处连续。
3. 对于所有*s*和*t*,均值\scriptstyle {\mathbb E}[B\_{t}]=0，协方差\scriptstyle E[B\_{s}B\_{t}]=min(s,t).

**高维定义**

\scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}:=\left(B\_{t}^{1},B\_{t}^{2},...B\_{t}^{d}\right)\_{{t\geq 0}}是*d*维布朗运动，只需满足\scriptstyle B^{1},B^{2},...B^{d}为独立的布朗运动。

换句话说，*d*维布朗运动 取值于\scriptstyle {\mathbb R}^{d}，而它在\scriptstyle {\mathbb R},{\mathbb R}^{2},...{\mathbb R}^{{d-1}}空间上的投影均为布朗运动。

**Wiener测度的定义**

设\scriptstyle {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})为从\scriptstyle {\mathbb R}^{+}到\scriptstyle {\mathbb R}的连续函数空间，\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal T},{\mathbb P})为概率空间。布朗运动为映射

B:\Omega \longrightarrow C({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})
          \omega \mapsto \left(t\mapsto B\_{t}(\omega )\right).
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为\scriptstyle W(d\omega ),是映射*B*关于\scriptstyle {\mathbb P}(d\omega )的图测度。

换句话说， *W*是\scriptstyle {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})上的一个概率测度，满足对于任何\scriptstyle A\subset {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})，有

W(A)={\mathbb P}((B\_{t})\_{{t\geq 0}}\in A)。
**备忘**

* 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
* 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
* 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为t的随机过程为布朗运动。

### 性质

* 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何\scriptstyle \omega \in \Omega ,轨道\scriptstyle t\mapsto B\_{t}(\omega )为一个连续但是零可微的函数。
* 协方差\scriptstyle {\mathbb E}[B\_{s}B\_{t}]=min(s,t)。
* 布朗运动具有强马氏性： 对于停时*T*,取条件\scriptstyle [T<\infty ],过程\scriptstyle (B\_{t}^{T})\_{{t\geq 0}}:=(B\_{{T+t}}-B\_{T})\_{{t\geq 0}}为一个独立于\scriptstyle (B\_{{s}})\_{{0\leq s<T}}的布朗运动。
* 它的Fourier变换或特征函数为\scriptstyle {\mathbb E}\left[e^{{iuB\_{t}}}\right]=e^{{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
* 布朗运动关于时间是齐次的： 对于*s* > 0, \scriptstyle (B\_{{t+s}}-B\_{s})\_{{t\geq 0}}是一个独立于\scriptstyle (B\_{u})\_{{0\leq u\leq s}}的布朗运动。
* -*B*是一个布朗运动。
* （稳定性） 对于*c* > 0， \scriptstyle \left(cB\_{{{\frac {t}{c^{2}}}}}\right)\_{{t\geq 0}}是布朗运动。
* （时间可逆性）\scriptstyle \left(tB\_{{{\frac {1}{t}}}}\right)\_{{t>0}}在*t*=0之外是布朗运动。
* （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果\scriptstyle d\in \{1,2\},集合\scriptstyle \{t\geq 0,B\_{t}=x\}不是有界的，对于任何\scriptstyle x\in {\mathbb R}^{d}，
      如果\scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim \_{{t\rightarrow \infty }}||B\_{t}||=+\infty （几乎处处）。
* （反射原理）

{\mathbb P}[\sup \_{{0\leq s\leq t}}B\_{s}\geq a]=2{\mathbb P}[B\_{t}\geq a]={\mathbb P}[|B\_{t}|\geq a].
### 布朗运动的数学构造

#### 利用Kolmogorov一致性定理

设(f\_{t})\_{{t\in {{\mathbb {R}}}\_{+}}}为L^{2}({{\mathbb {R}}}\_{+})空间中一列实值函数。设：

\forall (u,v)\in {{\mathbb {R}}}\_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f\_{u},f\_{v}\rangle }\_{{L^{2}({{\mathbb {R}}}\_{+})}}=\int \_{{{\mathbb {R}}\_{+}}}f\_{u}(x)f\_{v}(x)dx
这列函数满足：  

\forall k\in {\mathbb {N}}^{\*}，任意的t\_{1},...t\_{k}\in {\mathbb {R}}\_{+},矩阵\left(s(t\_{i},t\_{j})\right)\_{{1\leq i,j\leq k}}为对称半正定的。  

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程\{Y\_{t}\}\_{{t\in {\mathbb {R}}\_{+}}}，它的均值m任意， 协方差为上面定义的s。 

当(f\_{t})\_{{t\in {{\mathbb {R}}}\_{+}}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1\_{{[0,t]}}\right)\_{{t\in {\mathbb {R}}\_{+}}}，c>0为不依赖于t的常数，1\!\!1\_{{[0,t]}}为[0,t]上的示性函数。则：

s(u,v)=c\int \limits \_{{{\mathbb {R}}}}1\!\!1\_{{[0,u]}}(s)1\!\!1\_{{[0,v]}}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)
在这个情况下，矩阵\left(s(t\_{i},t\_{j})\right)\_{{1\leq i,j\leq k}}是对称且正定的。 

我们称一个高斯过程为 **布朗运动**当且仅当均值为0，协方差为s。c=Var(B\_{1})，当c=1时， 称之为 **标准的布朗运动**.

#### 利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

\left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum \_{{k=1}}^{{[nt]}}U\_{k}+(nt-[nt])U\_{{[nt]+1}}\right)\right)\_{{0\leq t\leq 1}}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B\_{t})\_{{0\leq t\leq 1}}
其中（*U**n*, *n* ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为*σ*的随机变量序列。 

#### 利用傅立叶级数

设2列独立的正态\scriptstyle {\mathcal N}(0,1)随机变量序列\scriptstyle (N\_{k},k\in {\mathbb N})和\scriptstyle (N'\_{k},k\in {\mathbb N})。定义\scriptstyle (B\_{t})\_{{t\geq 0}}：

B\_{t}:=tN\_{0}+\sum \_{{k=1}}^{{+\infty }}{\frac {{\sqrt {2}}}{2\pi k}}\left(N\_{k}\cos(2\pi kt-1)+N\_{k}'\sin(2\pi kt)\right)
为布朗运动。

参见
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* 维纳过程

腳註
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1. ↑  部分紀錄為1828年。
2. ↑  李育嘉..  [2012-12-14]. （原始内容存档于2019-07-18）.
3. ↑  該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。
4. ↑  . : 5.
5. ↑  Feynman, R.. . 1964: 41-1  [2018-02-05]. （原始内容存档于2021-02-14）.

外部連結
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* 漫談布朗運動 （页面存档备份，存于）
* Brownian motion - an overview

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* 论
* 编
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| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
	+ 拓撲維數
* 递归
* 自相似

 | An image of a fern which exhibits affine self-similarity.Barnsley fern（英语：） |
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| 迭代函数系统 | 
* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
* 科赫雪花
* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
* 
* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

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| 奇異吸子 | 
* 多重分形系統（英语：）

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* 分形灌木（英语：）
* H树
* 空間填充曲線（英语：）

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	+ 朱利亚填充集合（英语：）
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* 擴散限制凝聚（英语：）
* 萊維飛行（英语：）
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* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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| 其他相關 | 
* 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》
	+ 海岸線悖論（英语：）
* 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：）
* 《分形之美（英语：）》 (1986)
* 分形艺术（英语：）
* 《混沌学传奇（英语：）》 (1987)
* 《大自然的分形几何学》 (1982)
* 分形压缩
* 仿射变换

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* 论
* 编
阿尔伯特·爱因斯坦 |
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* 廣義相對論
* 質能轉換公式（E=mc2）
* 布朗运动
* 光电效应
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* 爱因斯坦模型
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* 遠距平行性（英语：）
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* 愛因斯坦的失敗研究（英语：）
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* 爱因斯坦求和约定
* 愛因斯坦同步法
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| 著作 | 
* 《奇蹟年論文》（1905）
* 《論動體的電動力學》（1905）
* 《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮粒子的運動（英语：）》（1905）
* 《相對論入門:狹義和廣義相對論（英语：）》（1916）
* 《相对论的意义》（1922）
* 《我的世界觀（英语：）》（1934）
* 《》（1938）
* 《为什么要社会主义？》（1949）
* 《罗素—爱因斯坦宣言》（1955）

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* 阿爾伯特·愛因斯坦獎章
* 卡林加獎（英语：）
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* 阿尔伯特·爱因斯坦世界科学奖
* 爱因斯坦奖（英语：）
* 爱因斯坦奖 (美国物理学会)

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* 艾弗琳·爱因斯坦（養孫女）
* ·愛因斯坦（英语：）（表弟）
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| 相關 | 
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* 政治觀
* 宗教观
* 以阿爾伯特·愛因斯坦命名的事物（英语：）
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