关于將整數寫成其他整數的乘積，请见「**整数分解**」。

一個正整數可以寫成一些正整數的和。在數論上，跟這些和式有關的問題稱為**整數拆分**、**整數剖分**、**整數分割**、**分割數**或**切割數**（英語：）。其中最常見的問題就是給定正整數n，求不同數組{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},...a\_{k})}的數目，符合下面的條件：

1. {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{k}=n} （k的大小不定）
2. {\displaystyle a\_{1}\geq a\_{2}\geq ...\geq a\_{k}>0}
3. 其他附加條件（例如限定「k是偶數」，或「a\_{i}不是1就是2」等）

**分割函數**p(*n*)是求符合以上第一、二個條件的數組數目。

拆分數量數列
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4可以用5種方法寫成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 {\displaystyle p(4)=5}。

定義 {\displaystyle p(0)=1}，若n為負數則 {\displaystyle p(n)=0}。

此函數應用於對稱多項式及對稱群的表示理論等。

分割函數p(n)，n從0開始：

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)
### 程式實現

```
#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;

int main() {
 const int len = MAXLENTH;
 long num[len + 1] = { 1 };

 for (int i = 1; i <= len; ++i)
 for (int j = i; j <= len; ++j)
 num[j] += num[j - i];

 for (int i = 0; i <= len; i++)
 cout << i << "" << num[i] << endl;
 return 0;
}

```

Ferrers圖示與恆等式
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每種分割方法都可用**Ferrers圖示**表示。

Ferrers圖示是將第1行放a\_{1}個方格，第2行放a\_2個方格……第k行放a\_{k}個方格，來表示整數分割的其中一個方法。

借助Ferrers圖示，可以推導出許多恆等式：

* 給定正整數k和n，n表達成不多於k個正整數之和的方法數目，等於將n分割成任意個不大於k的正整數之和的方法數目。

證明：將表示前者其中一個數組的Ferrers圖示沿對角線反射，便得到後者的一個數組。即兩者一一對應，因此其數目相同。

例如 k=3，n=6：

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| ****** | ↔ | ****** |
| 6 | = | 1+1+4 | = | 1+1+1+3 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| ****** | ↔ | ****** |
| 6 | = | 1+2+3 | = | 1+2+3 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| ****** | ↔ | ****** |
| 6 | = | 2+2+2 | = | 3+3 |

此外，

{\displaystyle 6=1+5=1+1+1+1+2}
{\displaystyle 6=2+4=2+2+1+1}
{\displaystyle 6=3+3=2+2+2}
{\displaystyle 6=6=1+1+1+1+1+1}
* 上述恆等式的值亦等於將n+k表達成剛好k個正整數之和的方法的數目。

* 給定正整數n。將n表達成兩兩相異正整數之和的方法的數目，等於將n表達成奇數之和的方法的數目。

例如n=8：

1. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 7 + 1
3. 3 + 3 + 1 + 1
4. 5 + 3
5. 5 + 1 + 1 + 1
6. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 5 + 3
5. 5 + 2 + 1
6. 4 + 3 + 1

* 將n表達成p個1和q個2之和，這些方法的數目是第n個斐波那契數。

* 將n表達成多於1的正整數之和的方法數目是p(*n*) - p(*n*-1)。

生成函數
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{\displaystyle p(n)}的生成函數是

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)}
當|x|<1，右邊可寫成：

{\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3}+...)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+...)(1+x^{3}+x^{6}+...)...}
{\displaystyle p(n)}生成函數的倒數為歐拉函數，利用五邊形數定理可得到以下的展開式：

{\displaystyle \prod \_{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=\sum \_{i=-\infty }^{\infty }(-1)^{i}x^{i(3i-1)/2}.}
將{\displaystyle p(n)}生成函數配合五邊形數定理，可以得到以下的遞歸關係式

{\displaystyle p(n)=\sum \_{i}(-1)^{i-1}p(n-q\_{i})}
其中q\_i是第i個廣義五邊形數。

与杨图的关系
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一个 (5, 4, 1)分拆表示的杨表
一个杨图唯一地对应于一个整数分拆，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨图的个数。如图所示的杨图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨图来表示的分拆更直观性且易操作。

### 分拆的共轭

(5, 4, 1)分拆的转置(3, 2, 2,2,1)
将整数分拆（10=5+4+1）对应的杨图进行行列反转得到新的杨图（共轭杨图）。它对应的分拆为10=3+2+2+2+1。

Rademacher級數
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漸近式：

{\displaystyle p(n)\sim {\frac {\exp \left(\pi {\sqrt {2n/3}}\right)}{4n{\sqrt {3}}}}{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty .}
這式子是1918年哈代和拉馬努金，以及1920年J. V. Uspensky獨立發現的。

1937年，Hans Rademacher得出一個更佳的結果：

{\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum \_{k=1}^{\infty }A\_{k}(n)\;{\sqrt {k}}\;{\frac {d}{dn}}\left({\frac {\sinh \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right)}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right)}
其中

{\displaystyle A\_{k}(n)=\sum \_{0\leq m<k\;;\;(m,k)=1}\exp \left(\pi is(m,k)-2\pi inm/k\right).}。
{\displaystyle (m,n)=1}表示m,n互質時才計算那項。{\displaystyle s(m,k)}表示戴德金和。這條公式的證明用上了和戴德金η函數、福特圓（英语：）、法里數列、模群（英语：）。

Elder定理
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在將n表示成正整數之和的所有和式之中，任意正整數r作為和項出現在這些式子內的次數，跟每條和式中出現r次或以上的正整數數目，相同。

當r=1時，此定理又稱為Stanley定理。

以n=5為例：

* 5
* 4+1
* 3+2
* 3+1+1
* 2+2+1
* 2+1+1+1
* 1+1+1+1+1

1. 1的總出現次數：0+1+0+2+1+3+5=12；在每條和式出現1次或以上的數的數目：1+2+2+2+2+2+1=12
2. 2的總出現次數：0+0+1+0+2+1+0=4；在每條和式出現2次或以上的數的數目：0+0+0+1+1+1+1=4。

附加要求的分拆
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以下敘述带有附加条件的分拆。

### 差分拆

考虑满足分拆

1. {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{k}=n} （k的大小不定）
2. {\displaystyle a\_{1}>a\_{2}>\cdots >a\_{k}} 即分拆的每个数都不相等。

生成函數是

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod \_{k=1}^{\infty }\left(1+x^{k}\right)}
### 奇分拆

考虑满足分拆

1. {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{k}=n} （k的大小不定）
2. {\displaystyle a\_{1}\geq a\_{2}\geq \cdots \geq a\_{k}}
3. 要求 {\displaystyle a\_{i}(i=1,2,\ldots ,k)}为奇数

生成函數是

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{2k-1}}}\right)}.
#### 引理

差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

### 部分個數上限的分拆

當限定將n表示成剛好k個正整數之和時，可以表示為{\displaystyle p\_{k}(n)}。顯然，{\displaystyle p(n)=\sum \_{k=1}^{n}p\_{k}(n)}。

* 對於n>1，{\displaystyle p\_{n}(n)=p\_{1}(n)=1}
* {\displaystyle p\_{2}(n)=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor } (OEIS:A004526)
* {\displaystyle p\_{3}(n)} = 最接近{\displaystyle {\frac {n^{2}}{12}}}的正整數。(OEIS:A069905)
* {\displaystyle p\_{n-1}(n)=1}
* {\displaystyle p\_{k}(n)=p\_{k-1}(n-1)+p\_{k}(n-k)}

其他常見的問題
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不少數學家亦有研究按以下方式分拆的方法數目：

* 將正整數寫成模p同餘r的正整數之和
* 將模p同餘r正整數寫成的正整數之和

參考資料
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1. ↑   (PDF).  [2015-11-07]. （原始内容存档 (PDF)于2016-02-22）.
2. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2015-11-07]. （原始内容存档于2020-03-18） （英语）.
3. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2006-08-20]. 原始内容存档于2021-02-26 （英语）.

外部連結
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* Lectures on Integer Partitions （页面存档备份，存于） by Herbert S. Wilf