在组合数学中，**扩展图**（英語：）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或图谱扩展性三种方式来量化。扩展图的构造问题引导了多个数学分支上的研究，并且在计算复杂性理论、计算机网络设计和编码理论上有诸多应用。

定义
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对于有限、无向、连通的多重图，*扩展性*是一种能够衡量其连通强弱的指标。直观而言，扩展性较强意味着图中*任何*「不太大」的顶点集均有较大的边界，也就是说集合内外的交互很强。

连通图的扩展性有的弱，有的强。例如道路的扩展性很弱，而完全图的扩展性最强。可以看出，稠密图比稀疏图更"容易"具备强扩展性。但人们希望构造一类鱼与熊掌兼得的图：既能保持稀疏性，又具备很强的扩展性。具备这样"矛盾"属性的图就是一张扩展图；矛盾对立越深，扩展图越优良。

用数学语言表达如下：若一张图图有 n 个顶点、最大度为 d、扩展性为 h，那么就称它为{\displaystyle (n,d,h)}-扩展图。d 越小（即图越稀疏）且 h 越大（即扩展性越强），则扩展图的性质越优异。

作为扩展图定义中的关键参数之一，"扩展性"的精确概念可用不同方式来量化。下文将讨论边扩展性、顶点扩展性和谱扩展性三种量化方式。

### 边扩展性

包含 n 个顶点的图 G = (V,E) 的边扩展性 {\displaystyle h(G)} 定义为

{\displaystyle h(G)=\min \_{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial S|}{|S|}}}
其中 {\displaystyle \partial S:=\{\{u,v\}\in E\mid u\in S,v\in V\setminus S\}} 为子集 S 的边界。注意在此定义中，最小值取于所有非空且大小不超过 {\displaystyle n/2} 的顶点集。

### 顶点扩展性

图 G 的顶点扩展性 {\displaystyle h\_{\text{out}}(G)} 定义为

{\displaystyle h\_{\text{out}}(G)=\min \_{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial \_{\text{out}}(S)|}{|S|}}}
此处 {\displaystyle \partial \_{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists u\in S:\{u,v\}\in E\}} 是集合 S 的外边缘。顶点扩展性有一种变体，称作「唯一邻点扩展性」（），在这里 {\displaystyle \partial \_{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists !u\in S:\{u,v\}\in E\}}。

### 谱扩展性

当 G 是*d*-正则图时，可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性，称作谱扩展性。具体而言，设 A 是图 G 的邻接矩阵，其中 {\displaystyle A(i,j)} 记录了顶点 i,j 之间的边数。因为 A 是实对称矩阵，根据谱定理知道它有 n 个实特征值 {\displaystyle \lambda \_{1}\geq \lambda \_{2}\geq \cdots \geq \lambda \_{n}}。可以证明它们都落在区间 {\displaystyle [-d,d]}内。

由于 G 是正则图，所以 \mathbb {R} ^{n} 上的均匀分布 {\displaystyle \mathbf {u} :=(1/n,1/n,\dots ,1/n)} 是矩阵 A 的特征向量，对应特征值 {\displaystyle d=\lambda \_{1}}，即 {\displaystyle A\mathbf {u} =d\mathbf {u} }。图 G 的谱间距（spectral gap）定义为 {\displaystyle d-\lambda \_{2}}，它可以用作扩展性的量度。

三种扩展性度量之间的关系
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上面定义的三种量化方式虽然形式上有差别，但在本质上相互联系。对于*d*-正则图，我们有

{\displaystyle h\_{\text{out}}(G)\leq h(G)\leq d\cdot h\_{\text{out}}(G).}
因此，当度是常数时，前两种量化方式并无实质区别。

### Cheeger不等式

对于*d*-正则图，Dodziuk和Alon、Milman 证明了

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-\lambda \_{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda \_{2})}}}
这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。

注解
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1. ↑  Hoory，Linial & Widgerson (2006)
2. ↑  Definition 2.1 in Hoory，Linial & Widgerson (2006)
3. ↑  Bobkov，Houdré & Tetali (2000)
4. ↑  Alon & Capalbo (2002)
5. ↑  cf. Section 2.3 in Hoory，Linial & Wigderson (2006)
6. ↑  Dodziuk 1984. sfn error: no target: CITEREFDodziuk1984 (help)
7. ↑  Alon & Spencer 2011.

参考来源
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 **教科书和文献综述** 

* Alon, N.; Spencer, Joel H..  3rd. John Wiley & Sons. 2011.
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* Davidoff, Guiliana; Sarnak, Peter; Valette, Alain, LMS student texts **55**, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53143-8
* Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Widgerson, Avi,  (PDF), Bulletin (New series) of the American Mathematical Society, 2006, **43** (4): 439–561  [2017-08-16], doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8, （原始内容存档 (PDF)于2021-01-26）
* Krebs, Mike; Shaheen, Anthony, Oxford University Press, 2011, ISBN 0-19-976711-4

 **研究论文**

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* Alon, N.; Capalbo, M.. . 2002: 73. ISBN 0-7695-1822-2. doi:10.1109/SFCS.2002.1181884.
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外部链接
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* Brief introduction in Notices of the American Mathematical Society （页面存档备份，存于）
* Introductory paper by Michael Nielsen （页面存档备份，存于）
* Lecture notes from a course on expanders (by Nati Linial and Avi Wigderson)
* Lecture notes from a course on expanders (by Prahladh Harsha) （页面存档备份，存于）
* Definition and application of spectral gap

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