黎曼球面可以视为复数平面（通过某种下文有详细介绍的立体投影）包在一个球外面。
数学上，**黎曼球面**是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义

1/0=\infty .
它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为

* **複射影直线**，记为 {\mathbb {CP}}^{1}，和
* **扩充复平面**，记为 {\mathbb {{\hat {C}}}}或者{\mathbb {C}}\cup \{\infty \}.

从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为**扩充复数**。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。

作为复流形
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作为一维复流形，黎曼曲面可以由两个图卡描述，每个的定义域都是复数平面\mathbb {C} .令\zeta和\xi为\mathbb {C} 上的複座标。将非零复数\zeta和非零复数\xi用如下转移映射等同起来：

\zeta =1/\xi ,
\xi =1/\zeta .
因为这些变换映射为全纯函数，他们定义了一个复流形，称为**黎曼球面**。

直观地来看，这些变换映射表示了如何将两个平面粘合成一个黎曼球面。两个面用一种"从裏翻出来"的方式粘合，所以他们几乎处处重合，每个平面（用自己的原点）贡献对方平面上缺少的一点。换言之，（几乎）所有黎曼球面上的点既有\zeta值也有\xi值，而两个值由\zeta =1/\xi 关联。\xi =0处的点应该具有\zeta值 "1/0"；从这个意义上讲，\xi-图的原点是\zeta-图上的"\infty"。对称地，\zeta-图的原点对应于\xi-图上的\infty.

拓扑上，最后的结果是从平面到球面的单点紧致化。但是，黎曼球面不单单是一个拓扑球面。它是具有复结构的拓扑球面，所以球面上的每个点都有一个领域可以通过双全纯函数和\mathbb {C} 同胚。

另一方面，黎曼曲面分类的中心结果单值化定理，断言唯一的单连通一维复流形为复平面、双曲平面、和黎曼球面。在这三者中，黎曼球面是唯一的闭曲面（无边界的紧致曲面）。因此二维球面只有唯一的复结构将它变为一维复流形。

作为複射影线
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黎曼球面也可以定义为**複射影线**。这也就是\mathbb{C}^2的子集，由所有非零复数对(\alpha ,\beta )构成，模如下等价关系:

(\alpha ,\beta )=(\lambda \alpha ,\lambda \beta )
对于所有非零复数\lambda 成立。复平面\mathbb {C} 用座标\zeta，可以映射到複射影线：

(\alpha ,\beta )=(\zeta ,1).
另一个\mathbb {C} 用座标\xi也映射到複射影线

(\alpha ,\beta )=(1,\xi ).
这两个复图覆盖整个射影线。对于非零\xi，等同关系：

(1,\xi )=(1/\xi ,1)=(\zeta ,1)
给出了变换映射\zeta =1/\xi 和\xi =1/\zeta ，同上文一致。

这个黎曼球面的定义和射影几何直接相关。例如任何複射影平面上的直线(或者光滑圆锥曲线)双全纯等价于复射影线。这个表达对于研究下文所述的球面的自同构也很方便。

作为球面
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从复数A到黎曼球面上的一点\alpha 的球极投影。
黎曼球面可以显示为三维实空间\mathbb {R} ^{3}中的单位球面x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.为此，考虑从单位球减去一点(0,0,1)到（赤道）平面z=0的球极投影，可以将该平面等同于复平面\zeta =x+iy.在笛卡尔坐标系(x,y,z)和球面坐标系(\phi ,\theta )中（其中\phi 为天顶角而\theta 为方位角)，该投影为

\zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}=\cot(\varphi /2)\;e^{{i\theta }}.
类似的，从(0,0,-1)到z = 0平面的球极投影将另一份复平面\xi =x-iy等同于赤道平面，记为

\xi ={\frac {x-iy}{1+z}}=\tan(\varphi /2)\;e^{{-i\theta }}.
(两份复平面和平面z = 0的对应方式不同。必须使用定向翻转来保证球面上定向的一致性，实际上复共轭使得变换映射成为全纯函数。）\zeta-座标和\xi-座标之间的变换函数可以通过将其中一个映射和另一个的逆的复合得到。它们就是如上所述的\zeta =1/\xi 和\xi =1/\zeta 。因此单位球面和黎曼球面微分同胚。

在这个微分同胚下，\zeta-图中的单位圆，\xi-图中的单位圆，以及单位球面的赤道可以等同起来。单位圆盘|\zeta |<1和南半球面z<0，单位圆盘|\xi |<1和北半球面z>0分别等同。

度量
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黎曼曲面没有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的复结构的确在共形等价下确定了唯一的度量。（两个度量称为共形等价，如果他们的区别只是一个正光滑函数的因子。）反过来，可定向曲面上的任意度量唯一的决定一个复结构，该结构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。

给定共形类，可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲，每个共形类总是有一个常曲率完备度量。

在黎曼球面的情况，高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率*K*。因而该度量必须通过球极投影等度于\mathbb {R} ^{3}中半径为1/{\sqrt K}的球面。对于黎曼球面上的\zeta-图，K=1度量可以给出如下：

ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\bar \zeta }\right)^{2}}}\,d\zeta d{\bar \zeta }.
在实座标\zeta =u+iv中，该公式为：

ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).
除了一个常数因子，该度量和复射影空间（黎曼球面就是一个特例）中的富比尼-施图迪度量一样。

反过来，令*S*代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的*S*上的复结构。由此可见，*S*上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量，因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。

自同构
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作用于球面上以及作用于球极投影的平面上的莫比乌斯变换。
条目：莫比乌斯变换
理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究，自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面，自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式：

f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},
其中a、b、c、和d为复数，满足ad-bc\neq 0.莫比乌斯变换的例子包括膨胀，旋转，平移，和复倒数。事实上，所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。

将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下，变换f可以写作

f(\alpha ,\beta )=(a\alpha +b\beta ,c\alpha +d\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}.
这样，莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的2\times 2复矩阵；两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯变换恰好对应于射影线性变换{\mathrm {PGL}}\_{2}({\mathbb {C}}).

如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量，则不是所有的莫比乌斯变换是等度的；例如膨胀和平移就不是。等度变换构成{\mathrm {PGL}}\_{2}({\mathbb {C}})的一个子群，也即{\mathrm {PSU}}\_{2}.该子群同构于旋转群{\mathrm {SO}}(3)，它是单位球在\mathbb {R} ^{3}中的等度群。

应用
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复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的亚纯函数是两个全纯函数f和g的比值f/g.作为到复数的映射，任何g为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射(f,g)到复射影线，甚至在g=0处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。

黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

参看
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* 共形几何
* 交比
* 霍普夫纤维化
* 儿童画

外部链接
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* Twistor Theory[永久], R. Penrose和F. Hadrovich
* Moebius Transformations Revealed（页面存档备份，存于）, Douglas N. Arnold和Jonathan Rogness (两位明尼苏达大学教授所作视频，用球面上的球极投影解释莫比乌斯变换)