此條目介紹的是**古典伴隨矩陣**。关于現今一般所指的**伴隨算子**，请见「**埃爾米特伴隨**」。

在线性代数中，一个方形矩阵的**伴随矩阵**（英語：）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

**\mathbf{A}**的伴随矩阵记作\mathrm{adj}(\mathbf{A})，或\mathbf{A}^\*。

定义
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参见：子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵
设*R*是一个交换环，**A**是一个以*R*中元素为系数的*n*×*n*的矩阵。*A*的伴随矩阵可按如下步骤定义：

* 定义：**A**关于第*i*行第*j*列的**余子式**（记作**M***ij*）是去掉**A**的第*i*行第*j*列之后得到的(*n* − 1)×(*n* − 1)矩阵的行列式。
* 定义：**A**关于第*i*行第*j*列的**代数余子式**是：

\mathbf{C}\_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}\_{ij}。
* 定义：**A**的**余子矩阵**是一个*n*×*n*的矩阵**C**，使得其第*i*行第*j*列的元素是**A**关于第*i* 行第*j* 列的**代数余子式**。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵**A**的**伴随矩阵**是**A**的余子矩阵的**转置矩阵**：

\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T ，
也就是说，**A**的**伴随矩阵**是一个*n*×*n*的矩阵（记作adj(**A**)），使得其第*i* 行第*j* 列的元素是**A**关于第*j*行第*i*列的**代数余子式**。
简言之，伴随矩阵就是把原来**余子矩阵C**每一列的代数余子式横着写：

\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]\_{ij} = \mathbf{C}\_{ji} 。

例子
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### 2x2矩阵

一个2\times 2矩阵{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}}的伴随矩阵是

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-c}\\{-b}&{a}\end{bmatrix}}}
### 3x3矩阵

对于3\times 3的矩阵，情况稍微复杂一点：

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{bmatrix}}}
其伴随矩阵是：

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}
其中

{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a\_{im}&a\_{in}\\\,\,a\_{jm}&a\_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a\_{im}&a\_{in}\\\,\,a\_{jm}&a\_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a\_{im}&a\_{in}\\\,\,a\_{jm}&a\_{jn}\end{matrix}}\right|}
要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第*3*行第*2*列的系数是**A**关于第*2*行第*3*列的代数余子式。

### 具体情况

对于数值矩阵，
例如求矩阵 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}} 的伴随矩阵{\displaystyle \operatorname {adj} (A)}，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：{\displaystyle \operatorname {adj} (A)\_{ji}=C\_{ij}=(-1)^{i+j}(M\_{ij})}。

其中，M\_{{ij}}為刪掉矩陣 A 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，{\displaystyle C\_{ji}}為矩陣 A 的餘因子。

  

例如：{\displaystyle \operatorname {adj} (A)}中**第3行第2列**的元素为

{\displaystyle \operatorname {adj} (A)\_{32}=C\_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6}
依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：

{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}}

应用
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作为拉普拉斯公式的推论，关于*n*×*n*矩阵**A**的行列式，有：

\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(\*)
其中**I**是*n*阶的单位矩阵。事实上，**A** adj(**A**)的第*i*行第*i*列的系数是

\sum\_{j=1}^{n} a\_{i;j} C\_{i,j}。根据拉普拉斯公式，等于**A**的行列式。
如果*i* ≠ *j*，那么**A** adj(**A**)的第*i*行第*j*列的系数是

\sum\_{k=1}^{n} a\_{i;k} C\_{j,k}。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把**A**的第*j*行元素换成第*i*行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环*R*上的矩阵**A**可逆当且仅当其行列式在环*R*中可逆。

这是因为如果**A**可逆，那么

1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})，
如果det(**A**)是环中的可逆元那么公式（\*）表明

\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})

性质
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对n\times n的矩阵**A**和**B**，有：

1. \mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}，
2. \mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})，
3. \mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T，
4. \det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}，
5. \mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})
6. 当n>=2时， \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}
7. 如果**A**可逆，那么\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}
8. 如果**A**是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果**A**是反对称矩阵，那么当*n*为偶数时，**A**的伴随矩阵也是反对称矩阵，*n*为奇数时则是对称矩阵。
9. 如果**A**是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10. 如果矩阵**A**和**B**相似，那么\mathrm{adj}(\mathbf{A})和\mathrm{adj}(\mathbf{B})也相似。
11. 如果n>2，那么非零矩阵**A**是正交矩阵当且仅当\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T

### 伴随矩阵的秩

当矩阵**A**可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是*n*。当矩阵**A**不可逆时，**A**的伴随矩阵的秩通常并不与**A**相同。当**A**的秩为*n*-1时，其伴随矩阵的秩为1，当**A**的秩小于*n*-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

### 伴随矩阵的特征值

设矩阵**A**在复域中的特征值为\lambda\_1, \lambda\_2 \cdots \lambda\_n(即为特征多项式的*n*个根），则**A**的伴随矩阵的特征值为

 \lambda\_2 \lambda\_3 \cdots \lambda\_{n}, \ \lambda\_1 \lambda\_3 \cdots \lambda\_{n}, \cdots , \lambda\_1 \lambda\_2 \cdots \lambda\_{n-1} 。
证明
这里要用到一个结论作为**引理**：一个*n*阶矩阵的*n*个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。

分3种情况讨论：

* 如果**A**的秩为*n*，即是说**A**可逆，那么由引理有： \det A = \lambda\_1\lambda\_2 \cdots \lambda\_n。只需证明**A**的伴随矩阵的特征值为 \frac{ \det A}{\lambda\_1} , \frac{ \det A}{\lambda\_2}, \cdots , \frac{ \det A}{\lambda\_n} 。考察矩阵 X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) ：

 \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )

\ \ = \det( X \mathbf{I} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} ) 

\ \ = \det \mathbf{A}^{-1} \cdot \det( X \mathbf{A} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{I}) 
\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )
 
由于 \det( \mathbf{A} - X \mathbf{I}) = \prod\_{i=1}^n(\lambda\_i - X)，因此

\det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} ) 
\ \ = \prod\_{i=1}^n(\lambda\_i - \frac{\det \mathbf{A} }{X}) 
\ \ = \frac{1}{X^n} \prod\_{i=1}^n(\lambda\_i X - \det \mathbf{A}) 
因此

 \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )
\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \frac{1}{X^n} \prod\_{i=1}^n(\lambda\_i X - \det \mathbf{A}) 
\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot \lambda\_1\lambda\_2 \cdots \lambda\_n \prod\_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda\_i}) 
\ \ = \prod\_{i=1}^n( X - \frac{\det A}{\lambda\_i})
可以看到\mathrm{adj}(\mathbf{A})的特征多项式为 \prod\_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda\_i}) ，因此命题成立。 

* 如果**A**的秩严格小于*n*-1，即是说**A**至少有两个特征值为0，于是

 \lambda\_2 \lambda\_3 \cdots \lambda\_{n}, \ \lambda\_1 \lambda\_3 \cdots \lambda\_{n}, \cdots , \lambda\_1 \lambda\_2 \cdots \lambda\_{n-1} 
全部都是0。这时**A**的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。 

* 如果**A**的秩等于*n*-1，即是说**A**至少有一个特征值为0，不妨设其为 \lambda\_1。由于这时**A**的伴随矩阵秩为1，它至少有*n*-1个特征值为0。设剩余的一个为\alpha ，则其迹数为\alpha 。另一方面，**A**的伴随矩阵的迹数为

C\_{11} +C\_{22} + \cdots + C\_{nn}
这个和恰好等于\sum\_{i=1}^n \prod\_{k \neq i} \lambda\_k，即等于\lambda\_2 \lambda\_3 \cdots \lambda\_{n}（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵**A**，命题都成立。

### 伴随矩阵和特征多项式

设 {\displaystyle p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )} 为 \mathbf{A} 的特征多项式，定义q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}，那么： 

 \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p\_1 \mathbf{I} + p\_2 \mathbf{A} + p\_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p\_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,
其中{\displaystyle p\_{i}}是p(t)的各项系数：

 p (t) = p\_0 + p\_1 t + p\_2 t^2 + \cdots p\_{n} t^{n}。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。

参见
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* 逆矩阵
* 可逆元
* 余子矩阵
* 行列式

参考来源
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* Strang, Gilbert..  3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英语）. [页码请求]
* 居余马.  2. 清华大学出版社. 2002 （中文（中国大陆））. [页码请求]

外部链接
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* 矩阵论参考手册 (英文)（页面存档备份，存于）