此条目页的主題是代数概念。几何定理，請見「**圆幂定理**」。



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| 算术运算* 
* 论
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* 论
* 编
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在数学中，重复连乘的运算叫做**乘方**，乘方的结果称为 **幂**（英語：，power）；由此，若 {\displaystyle n} 為正整數，{\displaystyle n} 个相同的数 {\displaystyle b} 连续相乘（即 {\displaystyle b} 自乘 {\displaystyle n} 次），就可将 {\displaystyle b^{n}} 看作乘方的结果 ——"幂"。

> 
> {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} \_{n}}
> 

**幂運算**（）又稱**指數運算**、**取冪**，是數學運算，表達式為 {\displaystyle b^{n}}，讀作「{\displaystyle b} 的 {\displaystyle n} 次方」或「{\displaystyle b} 的 {\displaystyle n} 次幂」。其中，{\displaystyle b} 稱為底數，而 {\displaystyle n} 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中，{\displaystyle b^{n}} 通常寫成 **b^n** 或 **b\*\*n**；也可視為超運算，記為 **b[3]n**；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 **b↑n**。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作"{\displaystyle b} 的平方"；指數為 3 時，可以讀作"{\displaystyle b} 的立方"。

由於在十进制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂則在計算機科學中相當重要。

起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（{\displaystyle b}）自乘指數（{\displaystyle n}）這麼多次[需要解释]。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

> 
> {\displaystyle b^{0}=1\qquad (b\neq 0)}
> {\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} \_{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}。
> 

若以分數為指數的冪，則定義：

> 
> {\displaystyle b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}，
> 
> 
> 

即 {\displaystyle b} 的 {\displaystyle n} 次方再开 {\displaystyle m} 次方根。

0的0次方（{\displaystyle 0^{0}}）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。

此外，當 {\displaystyle n} 是複數，且 {\displaystyle b} 是正實數時，

> 
> {\displaystyle b^{n}=\exp(n\ln(b))}
> 
> 
> 

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

重要的恆等式
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### 运算法则

* 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

{\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}
* 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

{\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}
* 同指数幂相除，指数不变，底数相除({\displaystyle b}不為0)：

{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}
### 其他等式

* {\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}
* {\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}
* {\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}
* {\displaystyle x^{1}=x\,\!}
* {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}

运算律
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加法和乘法存在交换律，比如：{\displaystyle 2+3=5=3+2}，{\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}，但是幂的运算不存在交换律，{\displaystyle 2^{3}=8}，但是{\displaystyle 3^{2}=9}。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：{\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}，{\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}。不過，冪運算沒有結合律：{\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}，而{\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}，所以{\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為**指數律**：

* {\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}
* {\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}
* {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
* {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}
* {\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}
* {\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}

整数指数幂
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整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

### 正整数指数幂

表达式{\displaystyle a^{2}=a\cdot a}被称作{\displaystyle a}的平方，因为边长为*{\displaystyle a}*的正方形面积是{\displaystyle a^{2}}。

表达式{\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}被称作*{\displaystyle a}*的立方，因为邊长为*{\displaystyle a}*的正方体体积是{\displaystyle a^{3}}。

所以{\displaystyle 3^{2}}读作「3的平方」，{\displaystyle 2^{3}}读作「2的立方」。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如{\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

{\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}
### 指数是1或者0

注意{\displaystyle 3^{1}}表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意{\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}，{\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}，{\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}，{\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}，

继续，得到{\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}，所以{\displaystyle 3^{0}=1}

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则{\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}

当{\displaystyle m=n}时，{\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}

* 任何数的**1**次方是它本身。

### 零的零次方

条目：零的零次方
{\displaystyle 0^{0}} 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是{\displaystyle 0^{0}=1} ，在程式语言中（python） {\displaystyle 0\*\*0=1}

在这里给出这一种极限的看法

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}
于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

### 负数指数

我们定义任何不为 **0** 的数 **a** 的 **-1** 次方等于它的倒数。

{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}
对于非零**{\displaystyle a}**定义

{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},
而{\displaystyle a=0}时分母為 **0** 没有意义。

证法一：

根据定义{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}，当{\displaystyle m=-n}时

{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}
得{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}, 所以{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}。

证法二：

通过运算法则{\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}

当{\displaystyle m=0}时，可得{\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}

负数指数{\displaystyle a^{-n}}还可以表示成**1**连续除以{\displaystyle n}个{\displaystyle a}。比如：

{\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}.
### 特殊数的幂

#### 10的幂

条目：科学计数法
在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：{\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 {\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}，近似值 {\displaystyle 2.998\times 10^{8}} 或 {\displaystyle 3\times 10^{8}}

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头"千"就是 {\displaystyle 10^{3}}，词头"毫"就是 {\displaystyle 10^{-3}}

#### 2的幂

条目：2的幂
#### 1的幂

1的任何次幂都为1。

#### 0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。

#### 负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

### 指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当{\displaystyle a>1}，{\displaystyle n\to \infty }，{\displaystyle a^{n}\to \infty }
当{\displaystyle a<-1}，{\displaystyle n\to \infty }，{\displaystyle a^{n}\to -\infty } 或 {\displaystyle \infty } , (視乎n 是奇數或偶數)
一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当{\displaystyle |a|<1}，{\displaystyle n\to \infty }，{\displaystyle a^{n}\to 0}
1的幂永远都是1

当{\displaystyle a=1}，{\displaystyle n\to \infty }，{\displaystyle a^{n}\to 1}
如果数*a*趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当{\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}
参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂
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一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

* 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
* 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

### N次方根

从上到下：{\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}
条目：方根
一个数{\displaystyle a}的{\displaystyle n}次方根是{\displaystyle x}，*{\displaystyle x}*使{\displaystyle x^{n}=a}。

如果*{\displaystyle a}*是一个正实数，*{\displaystyle n}*是正整数，那么方程{\displaystyle x^{n}=a}只有一个正实数根。
这个根被称为*{\displaystyle a}*的*{\displaystyle n}*次方根，记作：{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}，其中{\displaystyle {\sqrt {\ }}}叫做根号。或者，*{\displaystyle a}*的*{\displaystyle n}*次方根也可以写成{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}.
例如{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}

当指数是{\displaystyle {\frac {1}{2}}}时根号上的2可以省略，如：{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}

### 有理数幂

有理数指数幂定义为

{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
### e的幂

条目：指数函数
这个重要的数学常数*e*，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。
它是从以下极限定义的：

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
**指数函数**的定义是： 

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
可以很简单地证明*e*的正整数*k*次方{\displaystyle e^{k}}是：

{\displaystyle e^{k}=\left[\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}
{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}
{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}
{\displaystyle =\lim \_{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}
{\displaystyle =\lim \_{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}
### 实数指数幂

y = bx對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。
因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数*x*可以定义成：

{\displaystyle b^{x}=\lim \_{r\to x}b^{r},}
例如：

{\displaystyle x\approx 1.732}
于是

{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}
实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数{\displaystyle \ln {x}}是指数函数{\displaystyle e^{x}}的反函数。
它的定义是：对于任意{\displaystyle b>0}，满足

{\displaystyle b=e^{\ln b}}
根据对数和指数运算的规则：

{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}
这就是实数指数幂的定义：

{\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}
实数指数幂{\displaystyle b^{x}}的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂
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如果{\displaystyle a}是负数且{\displaystyle n}是偶数，那么{\displaystyle x=a^{n}}是正數。如果*{\displaystyle a}*是负数且*{\displaystyle n}*是奇数，那么{\displaystyle x=a^{n}}是负数。

使用对数和有理数指数都不能将{\displaystyle a^{k}}（其中*{\displaystyle a}*是负实数，{\displaystyle k}实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}（{\displaystyle n}是奇数）可以使用*{\displaystyle n}*次方根来计算，但是因为没有实数{\displaystyle x}使{\displaystyle x^{2}=-1}，对于{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}（*{\displaystyle n}*是偶数）时必须使用虚数单位{\displaystyle i}。

使用对数的方法不能定义{\displaystyle a\leq 0}时的{\displaystyle a^{k}}为实数。实际上，{\displaystyle e^{x}}对于任何实数*{\displaystyle x}*都是正的，所以{\displaystyle \ln(a)}对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数{\displaystyle a}因为它依赖于连续性。函数{\displaystyle f(r)=a^{r}}对于任何正的有理数{\displaystyle a}是连续的，但是对于负数*{\displaystyle a}*，函数{\displaystyle f}在有些有理数{\displaystyle r}上甚至不是连续的。 

例如：当{\displaystyle a=-1}，它的奇数次根等于-1。所以如果*{\displaystyle n}*是正奇数整数，{\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}当{\displaystyle m}是奇数，{\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}当*{\displaystyle m}*是偶数。虽然有理数{\displaystyle q}使{\displaystyle -1^{q}=1}的集合是稠密集，但是有理数{\displaystyle q}使{\displaystyle -1^{q}=-1}的集合也是。所以函数{\displaystyle -1^{q}}在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂
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### e的虚数次幂

条目：指数函数
指数函数*e**z*可以通过(1 + *z*/*N*)*N*当*N*趋于无穷大时的极限来定义，那么*e**iπ*就是(1 + *iπ*/*N*)*N*的极限。在这个动画中*n*从1取到100。(1 + *iπ*/*N*)*N*的值通过*N*重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + *iπ*/*N*)*N*的准确值。可以看出，随着*N*的增大，(1 + *iπ*/*N*)*N*逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。
複數运算的几何意义和*e*的幂可以帮助我们理解{\displaystyle e^{ix}}（*{\displaystyle x}*是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形{\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的{\displaystyle n}，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于{\displaystyle {\frac {x}{n}}}弧度。对于所有{\displaystyle k}，三角形{\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}互为相似三角形。所以当*{\displaystyle n}*足够大时{\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}的极限是复数平面上的单位圆上{\displaystyle x}弧度的点。这个点的极坐标是{\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}，直角坐标是{\displaystyle (\cos x,\sin x)}。所以{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式{\displaystyle e^{z}=1}的解是一个整数乘以{\displaystyle 2i\pi }：

{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
更一般地，如果{\displaystyle e^{b}=a}，那么{\displaystyle e^{z}=a}的每一个解都可以通过将{\displaystyle 2i\pi }的整数倍加上{\displaystyle b}得到：

{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
这个复指数函数是一个有周期{\displaystyle 2i\pi }的周期函数。

更简单的：{\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}。

### 三角函数

条目：欧拉公式
根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是： 

{\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}
历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 

{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}
使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

### e的复数指数幂

{\displaystyle e^{x+iy}}可以分解成{\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}。其中{\displaystyle e^{x}}是{\displaystyle e^{x+iy}}的模，{\displaystyle e^{iy}}决定了{\displaystyle e^{x+iy}}的方向

### 正实数的复数幂

如果{\displaystyle a}是一个正实数，{\displaystyle z}是任何复数，{\displaystyle a^{z}}定义成{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}，其中{\displaystyle x=\ln(a)}是方程{\displaystyle e^{x}=a}的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

{\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}
{\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}
{\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}
{\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}

复数的复数幂
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### 複數的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始：计算{\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}。

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}

其中{\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}的得法参见上文正实数的复数幂

### 复数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算{\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}：

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}

### **一般情况**

复数的复数幂必须首先化为底数为{\displaystyle e}的形式：

{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}

又，由复数的极坐标表示法：

{\displaystyle w=re^{i\theta }}

故

{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角{\displaystyle \theta }的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

在函數中
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當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如{\displaystyle f^{3}(x)}即{\displaystyle f(f(f(x)))}。特別地，{\displaystyle f^{-1}(x)}指{\displaystyle f(x)}的反函數。

但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如：{\displaystyle (\sin x)^{-1}}表示{\displaystyle \csc x}。因此在三角函數時，使用{\displaystyle \sin ^{-1}x}來表示{\displaystyle \sin x}的反函數{\displaystyle \arcsin x}。

计算自然数（正整数）*{\displaystyle n}*的{\displaystyle a^{n}}的算法
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最快的方式计算{\displaystyle a^{n}}，当{\displaystyle n}是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

```
double power(double a, unsigned int n)
{
 double y = 1;
 double f = a;
 while (n > 0) {
 if (n % 2 == 1) y \*= f;
 n >>= 1;
 f \*= f;
 }
 return y;
}

```

此算法的時間複雜度為{\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為{\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}），在{\displaystyle n}較大的時候更為顯著。

例如計算{\displaystyle a^{100}}，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算{\displaystyle a^{n}(n<0)}可先以上述算法計算{\displaystyle a^{|n|}}，再作倒數。

另見
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* 迭代冪次

註釋
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1. ↑  李迪.. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘为幂
2. ↑ .  [2022-10-21]. （原始内容存档于2022-10-22）.
3. ↑  Augustin-Louis Cauchy, *Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique* (1821). In his *Oeuvres Complètes*, series 2, volume 3.
4. ↑  康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義)
5. ↑  Denlinger, Charles G.. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
6. ↑  This definition of a principal root of unity can be found in:

	* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.  second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource （页面存档备份，存于）
	* Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson.  Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books.
	* "Principal root of unity （页面存档备份，存于）", MathWorld.

外部連結
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* 指數的歷史