数学中，赋环空间{\displaystyle (X,\ O)}上***O*-模的层**或***O*-模**是层*F*，使得对开的{\displaystyle U\subseteq X}，{\displaystyle F(U)}是{\displaystyle O(U)}-模，{\displaystyle F(U)\to F(V)}的限制映射与{\displaystyle O(U)\to O(V)}的限制映射相容：{\displaystyle \forall f\in O(U),\ s\in F(U)}，*fs*的限制是*f*的限制乘以*s*的限制。

标准情况是当*X*是概形，*O*是其结构层。若*O*是常层{\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}，则*O*-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若*X*是环*R*的主谱，则*R*-模会自然地确定一个{\displaystyle O\_{X}}-模，称作相关层。相似地，若*R*是分次环，*X*是*R*的射影构造，则分次模会自然地确定一个{\displaystyle O\_{X}}-模。这样产生的{\displaystyle O\_{X}}-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}，为全局截面函子{\displaystyle \Gamma (X,-)}的第*i*右导出函子。

例子
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* 给定赋环空间{\displaystyle (X,\ O)}，若*F*是*O*的*O*-子模，则称之为*O*的理想层，因为对开的{\displaystyle U\subseteq X}，{\displaystyle F(U)}是环{\displaystyle O(U)}的理想。
* 设*X*为*n*维光滑簇，则*X*的切层是余切层{\displaystyle \Omega \_{X}}的对偶，规范层{\displaystyle \omega \_{X}}是{\displaystyle \Omega \_{X}}的*n*次外幂。
* 代数层是模层，也是环层。

运算
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设{\displaystyle (X,\ O)}为赋环空间。若*F*和*G*都是*O*-模，则它们的张量积

{\displaystyle F\otimes \_{O}G} or {\displaystyle F\otimes G},
也是*O*-模，与预层{\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes \_{O(U)}G(U)}相关联（计算{\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}的全局截面，其中{\displaystyle O(1)}是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若*F*、*G*都是*O*-模，则

{\displaystyle {\mathcal {H}}om\_{O}(F,G)}
表示作为层{\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} \_{O|\_{U}}(F|\_{U},G|\_{U})}的*O*-模。特别地，*O*-模

{\displaystyle {\mathcal {H}}om\_{O}(F,O)}
称作*F*的**对偶模**，记作{\displaystyle {\check {F}}}。注意：对任意*O*-模*E*、*F*，都有规范同态

{\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om\_{O}(E,F)},
若*E*是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若*L*局部自由且秩为1（称这样的*L*是可逆层或线丛 ），则有

{\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}
这意味着可逆层的同构类构成群，称作*X*的皮卡第群，规范等同于第一上同调群{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{\*})}（由标准的切赫上同调论证）。

若*E*是秩有限的局部自由层，则有配对给出的*O*-线性映射{\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} \_{O}(E)\to O}，称作*E*的迹映射。

对任意*O*-模*F*，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，*k*次外幂

{\displaystyle \bigwedge ^{k}F}
是与预层{\textstyle U\mapsto \bigwedge \_{O(U)}^{k}F(U)}相关联的层。若*F*是秩为*n*的局部自由层，则{\textstyle \bigwedge ^{n}F}称作*F*的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作{\displaystyle {\rm {det}}(F)}。有自然的完美配对：

{\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}
设{\displaystyle f(X,\ O)\to (X',\ O')}是赋环空间之间的态射。若*F*是*O*-模，则直像层{\displaystyle f\_{\*}F}通过自然映射{\displaystyle O'\to f\_{\*}O}是*O'*-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若*G*是*O'*-模，则*G*的模逆像{\displaystyle f^{\*}G}是作为模的张量积的*O*-模：

{\displaystyle f^{-1}G\otimes \_{f^{-1}O'}O}
其中{\displaystyle f^{-1}G}是*G*的逆像层，{\displaystyle f^{-1}O'\to O}由伴随从{\displaystyle O'\to f\_{\*}O}得到。

{\displaystyle f\_{\*}}和{\displaystyle f^{\*}}之间有伴随关系：对任意*O*-模*F*、*O'*-模*G*，

{\displaystyle \operatorname {Hom} \_{O}(f^{\*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} \_{O'}(G,f\_{\*}F)}
是阿贝尔群。还有射影公式：对*O*-模*F*、秩有限的局部自由*O'*-模*E*，

{\displaystyle f\_{\*}(F\otimes f^{\*}E)\simeq f\_{\*}F\otimes E.}

性质
--

令{\displaystyle (X,\ O)}是赋环空间。*O*-模*F*，若有*O*-模的满射：

{\displaystyle \bigoplus \_{i\in I}O\to F\to 0.}
则称*F*是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在*F*的全局截面{\displaystyle s\_{i}}使得{\displaystyle s\_{i}}在每个茎{\displaystyle F\_{x}}中的像生成了作为{\displaystyle O\_{X}}-模的{\displaystyle F\_{x}}。

代数几何中，*R*-模*M*（*R*是任意交换环）与环的谱{\displaystyle {\rm {Spec}}(R)}相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若*L*是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射*O*-模是弛的（flasque，即所有限制映射{\displaystyle F(U)\to F(V)}都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以*O*-模范畴中的全局截面函子{\displaystyle \Gamma (X,-)}的第*i*右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第*i*层上同调相重合。

与模相关联的层
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令*M*是环*A*上的模。置{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)} and write {\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}。对每对{\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}，根据局部化的泛性质，有自然映射

{\displaystyle \rho \_{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}
有性质{\displaystyle \rho \_{g,f}=\rho \_{g,h}\circ \rho \_{h,f}}。则

{\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}
是对象为集合{\displaystyle D(f)}、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了*X*上的层{\displaystyle {\widetilde {M}}}，称作与*M*相关联的层。

最基本的例子是*X*上的结构层，即{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}={\widetilde {A}}}。此外，{\displaystyle {\widetilde {M}}}具有{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}={\widetilde {A}}}-模的结构，因此可得到*A*上模范畴{\displaystyle {\rm {Mod}}A}到{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}}上模范畴的正合函子{\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}。其定义了{\displaystyle {\rm {Mod}}A}到*X*上准凝聚层范畴的等价，其逆{\displaystyle \Gamma (X,-)}是全局截面函子。*X*是诺特概形时，函子是从有限生成*A*-模到*X*上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意*A*-模*M*、*N*与任意态射{\displaystyle \varphi :M\to N}，

* {\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|\_{D(f)}}.
* 对*A*的任意素理想，{\displaystyle {\widetilde {M}}\_{p}\simeq M\_{p}}作为{\displaystyle O\_{p}=A\_{p}}-模。
* {\displaystyle (M\otimes \_{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes \_{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}.
* 若*M*是有限表示模，{\displaystyle \operatorname {Hom} \_{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om\_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}.
* 由于{\displaystyle {\rm {Mod}}\_{A}}与*X*上准凝聚层范畴间的等价关系，{\displaystyle \operatorname {Hom} \_{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om\_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}。
* {\displaystyle (\varinjlim M\_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M\_{i}}}};特别是，取直和与~交换。
* 当且仅当{\displaystyle \sim }的诱导序列正合，称*A*-模序列正合。特别地，{\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}.

与分次模相关联的层
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上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令*R*是由{\displaystyle R\_{0}}-代数（{\displaystyle R\_{0}}表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，*M*是分次*R*-模。令*X*是*R*的射影构造（于是若*R*不是诺特环，则*X*是射影概形），则有*O*-模{\displaystyle {\widetilde {M}}}，使得对*R*的度数为正的任意齐次元*f*，有自然同构

{\displaystyle {\widetilde {M}}|\_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]\_{0})^{\sim }}
作为仿射概形{\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]\_{0})}上的模层；实际上，这通过胶合定义了{\displaystyle {\widetilde {M}}}。

**例子**：令{\displaystyle R(1)}为分次*R*-模：{\displaystyle R(1)\_{n}=R\_{n+1}}，则{\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}称作塞尔扭曲层，若*R*次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若*F*是*X*上的*O*-模，则{\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}就有规范同态：

{\displaystyle \left(\bigoplus \_{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}
当且仅当*F*是准凝聚层时，它是同构。

计算层上同调
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条目：层上同调
层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：

**定理** — 令*X*是拓扑空间，*F*是其上的阿贝尔层，{\displaystyle {\mathfrak {U}}}是*X*的开覆盖，使得{\displaystyle \forall i,\ p,\ U\_{i\_{j}}\in {\mathfrak {U}},\ \operatorname {H} ^{i}(U\_{i\_{0}}\cap \cdots \cap U\_{i\_{p}},F)=0}。则对任意*i*，

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}
其中右式是第*i*切赫上同调。

塞尔消失定理指出，若*X*是射影簇、*F*是其上的凝聚层，则对足够大的*n*，塞尔扭曲{\displaystyle F(n)}由有限多全局截面生成。此外，

* {\displaystyle \forall i,\ H^{i}(X,\ F)}是在{\displaystyle R\_{0}}上有限生成的；
* 有取决于*F*的整数{\displaystyle n\_{0}}使得


H

i

⁡
(
X
,
F
(
n
)
)
=
0
,

i
≥
1
,
n
≥

n

0

.

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n\_{0}.}

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}

层扩张
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令{\displaystyle (X,\ O)}是赋环空间，*F*、*H*是*X*上*O*-模的层。*H*对*F*的**扩张**是*O*-模的短正合列

{\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}
与群扩张一样，若固定*F*、*H*，则*H*对*F*扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{O}^{1}(H,F)}同构，当中{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{O}^{1}(H,F)}中的幺元对应平凡扩张。

*H*是*O*的情形下，有：{\displaystyle \forall i\geq 0,}

{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} \_{O}^{i}(O,F),}
因为两侧是同一个函子{\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} \_{O}(O,-)}的右导出函子。

**注**: Hartshorne等学者不写下标*O*。

设*X*是诺特环上的射影概形。令*F*、*G*是*X*上的凝聚层，*i*是整数，则存在{\displaystyle n\_{0}}使得

{\displaystyle \operatorname {Ext} \_{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt\_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n\_{0}}.
### 局部自由消解

{\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}对任何凝聚层{\displaystyle {\mathcal {F}}}都可用局部自由消解轻松计算：给定复形

{\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}\_{2}\to {\mathcal {L}}\_{1}\to {\mathcal {L}}\_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}
则

{\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}\_{\bullet },{\mathcal {G}})}
于是

{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}\_{\bullet },{\mathcal {G}}))}
### 例子

#### 超曲面

考虑度数为*d*的光滑超曲面*X*，则可计算消解

{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}
并发现

{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}\_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}
#### 光滑完全交的并

考虑概形

{\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x\_{0},\ldots ,x\_{n}]}{(f)(g\_{1},g\_{2},g\_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}
其中{\displaystyle (f,g\_{1},g\_{2},g\_{3})}是光滑完全交，{\displaystyle \deg(f)=d,\ \deg(g\_{i})=e\_{i}}。则有复形

{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e\_{1}-e\_{2}-e\_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g\_{3}\\-g\_{2}\\-g\_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e\_{1}-e\_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e\_{1}-e\_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e\_{2}-e\_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g\_{2}&g\_{3}&0\\-g\_{1}&0&-g\_{3}\\0&-g\_{1}&g\_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e\_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e\_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e\_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg\_{1}&fg\_{2}&fg\_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}
消解了{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{X}}，可用于计算{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}\_{X},{\mathcal {F}})}。

另见
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* D-模
* 分式理想
* 全纯向量丛

参考文献
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* Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean.. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, **4**. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778.
* Hartshorne, Robin, Graduate Texts in Mathematics **52**, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
* Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan.. 2021. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686.
*. . 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023.
* Serre, Jean-Pierre,  (PDF), Annals of Mathematics, 1955, **61** (2): 197–278, JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915