假設 (G,\*) 是一個 **群**（group），若 H 是 G 的一個非空子集（subset）且同時 H 與相同的二元運算 \* 亦構成一個群，則 (H,\*) 稱為 (G,\*) 的一個 **子群**（subgroup）。參閱群論。

更精確地來說，若運算 \* 在 H 的限制也是個在 H 上的群運算，则称 H 為 G的**子群**。

一個群 G 的 **純子群** 是指一個子群 H，其為 G的純子集（即 H ≠ G）。任一個群總會有兩個子群 **當然群**（為只包含單位元素的子群，{*e*}）以及 *群本身*。若 H 為 G的子群，則 G 有時會被稱為 H 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 *G* 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群*G* 有時會被標記成有序對(*G*,\*)，通常用以強調其運算 \* 當 *G* 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉 \* 的常規，並將乘積*a*\**b*寫成 *ab*。

子群的檢驗
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給定一個群{\displaystyle (G,\*)}，H為G的子集，則有H為G的子群若且唯若{\displaystyle \forall h,h'\in H,h\*(h')^{-1}\in H}。

若H為G的子群可表示為{\displaystyle H\leq G}，則以上表述可表示為:

{\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h\*(h')^{-1}\in H}

證明：

{\displaystyle (\Longrightarrow )}：

因為{\displaystyle H\leq G}，對於任意{\displaystyle h'\in H}，{\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}，另有{\displaystyle h\in H}，由於H為一個群，所以{\displaystyle h\*h'^{-1}\in H}。

{\displaystyle (\Longleftarrow )}：

假設{\displaystyle \exists x\in H}，令{\displaystyle h=h'=x}，可得{\displaystyle h\*h^{-1}=x\*x^{-1}=e\_{G}\in H}，即H存在單位元。

對於{\displaystyle x\in H}，令{\displaystyle h=e\_{G}}，{\displaystyle h'=x}，可得{\displaystyle h\*h^{-1}=e\_{G}\*x^{-1}=x^{-1}\in H}，即對於任意{\displaystyle x\in H}，存在{\displaystyle x^{-1}\in H}。

對於{\displaystyle x,y\in H}，令{\displaystyle h=x}，{\displaystyle h=y^{-1}}，可得{\displaystyle h\*h^{-1}=x\*(y^{-1})^{-1}=x\*y\in H}，即對於任意{\displaystyle x,y\in H}，{\displaystyle x\*y\in H}。

因此{\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h\*(h')^{-1}\in H}成立。

子群的基本性質
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* {\displaystyle H\leq G} {\displaystyle \Longleftrightarrow }{\displaystyle H\subseteq G}且存在一個映射{\displaystyle \phi :H\to G},且對每個 {\displaystyle a\in H} 有{\displaystyle \phi (a)=a}。
* {\displaystyle H\leq G} {\displaystyle \Longleftrightarrow }{\displaystyle e\_{H}=e\_{G}},其中{\displaystyle e\_{H},e\_{G}}為{\displaystyle H,G} 的單位元素。
* 若{\displaystyle H\leq G}，則a,b為會使得{\displaystyle ab=ba=e\_{H}} 之 H 中的元素，有{\displaystyle ab=ba=e\_{G}}。
* 若{\displaystyle H\_{1}\leq G,H\_{2}\leq G\Rightarrow H\_{1}\cap H\_{2}\leq G} .但{\displaystyle H\_{1}\cup H\_{2}}則不一定，例如2和3是在{\displaystyle 2\mathbb {Z} }與{\displaystyle 3\mathbb {Z} }的聯集中，但其總和5則不是。
* 若*S*是*G*的子集，則存在一個包括*S*的最小子群，其可以由取得所有包括*S*的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<*S*>且稱為由*S*產生的子群。*G*內的一個元素在<*S*>內若且唯若其為*S*內之元素的有限乘積且其逆元。
* 群*G*內的每一個元素*a*都會產生一個循環子群<*a*>。若<*a*>同構於某一正整數*n*之**Z**/*n***Z**，則*n*會是最小個會使得*a**n* = *e*的正整數，且*n*被稱為是*a*的「階」。若<*a*>同構於**Z**，則*a*會被稱有「無限階」。
* 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若*e*為*G*的單位元素，則其當然群{*e*}會是群*G*的最小子群，而其最大子群則會是群*G*本身。

例子
--

### 1. 有限群

G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為

| + | 0  | 4  | 2 | 6 | 1  | 3  | 5  | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0  | 4  | 2  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7 |
| 4 | 4  | 0  | 6  | 2  | 5  | 7  | 1  | 3 |
| 2 | 2  | 6  | 4  | 0  | 3  | 5  | 7  | 1 |
| 6 | 6  | 2  | 0  | 4  | 7  | 1  | 3  | 5 |
| 1 | 1  | 5  | 3  | 7  | 2  | 4  | 6  | 0 |
| 3 | 3  | 7  | 5  | 1  | 4  | 6  | 0  | 2 |
| 5 | 5  | 1  | 7  | 3  | 6  | 0  | 2  | 4 |
| 7 | 7  | 3  | 1  | 5  | 0  | 2  | 4  | 6 |

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群：J=\{0,4\} 和 H=\{0,2,4,6\}，其中 J 亦是 H 的子群。H 的凱萊表是 G 的凱萊表之左上半部。 G 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

### 2. 二面體群

如果{\displaystyle G=D\_{n}}，則 {\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...r^{n-1}\}}是一個子群

### 3.群的中心，中心化子，正規化子

我們設{\displaystyle Z(G)}一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

{\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}}，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作{\displaystyle Z(G)}。

設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合{\displaystyle C\_{G}(A)}，此集合的定義為:

{\displaystyle C\_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}}，此集合也是群G的子群。

至於A在G中的正規化子則為集合{\displaystyle N\_{G}(A)}，此集合定義為:

{\displaystyle N\_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}}，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理
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給定一子群*H*和*G*內的某一元素*a*，則可定義出一個**左陪集** *aH*={*ah*;*h*∈*H*}。因為*a*為可逆的，由φ(*h*) = *ah*給出之映射φ : *H* → *aH*為一個雙射。更甚地，每一個*G*內的元素都包含在恰好一個*H*的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係*a*1 ~ *a*2若且唯若*a*1−1*a*2會在*H*內。*H*的左陪集之數目稱之為*H*在*G*內的「指數」，並標記為[*G*:*H*]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群*G*和一個子群*H*而言，

[G:H]={o(G) \over o(H)}
其中o(*G*)和o(*H*)分別為*G*和*H*的階。特別地是，每一個*G*的子群的階(和每一個*G*內元素的階)都必須為o(*G*)的因數。
**右陪集**為相類比之定義：*Ha* = {*ha* : *h*∈*H*}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[*G*:*H*]。

若對於每個在*G*內的*a*，*aH*=*Ha*，則*H*稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見
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* 嘉當子群
* 費汀子群
* 穩定子群

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| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
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| 群论 | 

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