e^{\pi }\,又稱**格爾豐德常數**（英語：）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：

e^{\pi }\;=\;(e^{{i\pi }})^{{-i}}\;=\;(-1)^{{-i}}
其中*i*是虚数单位。由于−*i*是代数数，但肯定不是有理数，因此*e*π是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是2^{{{\sqrt {2}}}}，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值\pi +e^{\pi }\,也是无理数。

数值
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在十进制中，*e*π大约为

{\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.}
它的值可以用以下迭代来求出。定义

k\_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k\_{{n-1}}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k\_{{n-1}}^{2}}}}}
其中\scriptstyle k\_{0}\,=\,{\tfrac {1}{{\sqrt {2}}}}.

则 

{\displaystyle \left({\frac {4}{k\_{N}}}\right)^{2^{1-N}}}
迅速收敛于e^{\pi }。

几何中的独特之处
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n维球体的体积由以下公式给出：

V\_{n}={\pi ^{{\frac {n}{2}}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.
所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

{\displaystyle V\_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.}
把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：

\sum \_{{n=0}}^{\infty }V\_{{2n}}=e^{\pi }.\,

相似或相關的常數
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### 拉馬努金常數

{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}}
即所謂的**拉馬努金常數**，是黑格纳数的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。

同 *e**π* - *π* 一樣，*e**π*√163 非常接近整數：

{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=} 7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... {\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}
雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。

這種非常近似於 6403203 + 744 的巧合，可以用 j-invariant（英语：）的複數乘法（英语：）及q展開來表示。

{\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}
且

{\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}
而 *O*(*e*-*π*√163) 是誤差項。

{\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}
這解釋了為何 *e**π*√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格纳数）。

### 數 *e**π* - *π*

由 A018938 所給出 *e**π* - *π* 的十進位表示為

{\displaystyle e^{\pi }-\pi =} 7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...
儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種数学巧合。

### 數 *π**e*

由 A059850 給出的 *π**e* 十進位表示為：

{\displaystyle \pi ^{e}=} 7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...
目前還不知此數是否是超越數。

  

須注意的是，根據 格尔丰德-施奈德定理，只有在 a 是代數數，而 b 是非有理數（a，b 都是复数，且 *a* ≠ 0, *a* ≠ 1）的情況下，*a**b* 才為超越數。

之所以可以證明 *e**π* 是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為 π 可以被視為複數 *e**π* 的模，而根據 (-1)-*i* 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

*π**e* 則沒有如此的等式，所以，儘管 π 和 e 都是超越數，但我們不能由此說 *π**e* 是超越數。

### 數 *e**π* - *π**e*

如同 *π**e*，我們仍不知 *e**π* - *π**e* 是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數：

由 A059850 給出的 *e**π* - *π**e* 十進位表示為：

{\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=} 6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...
### 數 *i**i*

{\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}
由OEIS A059850給出的 ii 十進位表示為：

{\displaystyle i^{i}=} 6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...
因為上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的：

i 是代數數，但同時不是有理數，由此*i**i* 是超越數。

参见
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* 格爾豐德-施奈德常數
* 格尔丰德-施奈德定理
* 希尔伯特第七问题

参考文献
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1. ↑  Nesterenko, Y.. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, **322** (10): 909–914.
2. ↑  Connolly, Francis. University of Notre Dame

外部链接
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* MathWorld（页面存档备份，存于）

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* 论
* 编
無理數 |
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* 柴廷常數 (Ω)
* 刘维尔数
* 質常數（英语：） (ρ)
* 2的自然对数
* 高斯常數 (G)
* 2的12次方根
* 阿培里常数 (*ζ*(3))
* 塑膠數 (ρ)
* 2的算術平方根

* 超黃金比例 (ψ)
* 埃尔德什-波温常数 (E)
* 黄金分割率 (φ)
* 3的算術平方根
* 5的算術平方根
* 白銀比例 (*δ**S*)
* 6的算術平方根（英语：）
* 7的算術平方根（英语：）
* 自然常數/尤拉數 (e)
* 圓周率 (π)
* 青銅比例

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* 分裂數（英语：）
* 超越數
* 三角函數數

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