三角形的中心
*n* 维空间中一个对象***X***的**几何中心**或**形心**是将***X***分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是***X***中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是**重心**。

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性質
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一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

三角形的中心
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**形心**是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線）交點。

### 三條中線共點證明

三條中線共點證明
用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1
因此三線共點。

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于(x\_a, y\_a)，(x\_b, y\_b)，和(x\_c, y\_c)，那么几何中心位于：

\Big(
 \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x\_a+x\_b+x\_c),\;
 \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y\_a+y\_b+y\_c)\Big) 
= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x\_a, y\_a)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x\_b, y\_b)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x\_c, y\_c)
三角形的中心一般用字母*G*表示。在任何一个三角形中，外心*O*、中心*M*、九点圆圆心*F*和垂心*H*四点共线，且\overline{OG}:\overline{OF}:\overline{OH} = 1: 2: 3。这个定理最早由欧拉证明，故称为歐拉線定理，这条线称为欧拉线。类似的有，内心*I*、中心*G*和奈格尔点*N*三点共线，且\overline{IG}: \overline{IN} = 1: 3。

三角形中心的等角共轭点称为类似重心。

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### 中心分中线为2:1的证明

设三角形*ABC*的中线*AD*，*BE*和*CF*交于三角形的中心*G*，延长*AD*至点*O*使得

 AG = GO. \,
那么三角形*AGE*和*AOC* 相似（公共角*A*，*AO* = 2 *AG*，*AC* = 2 *AE*），所以*OC*平行于*GE*。但是*GE*是*BG*的延长，所以*OC*平行于*BG*。同样的，*OB*平行于*CG*。

从而图形*GBOC*是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线*GO*和*BC*的交点使得*GD* = *DO*，这样 

 GO = GD + DO = 2GD. \,
所以， AG = GO = 2GD\,，或 AG:GD = 2: 1\,，这对任何中线都成立。

### 性質

* 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
* 頂點到重心的距離是中線的\tfrac{2}{3}。
* 重心、外心、垂心、九點圓圓心四點共線。
* 重心、內心、奈格爾點、類似重心四點共線。
* 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
* 在直角座標系中，若頂點的座標分別為(x\_{1},y\_{1})、(x\_{2},y\_{2})、(x\_{3},y\_{3})，則重心的座標為：

\left(\frac{x\_1+x\_2+x\_3}{3},\frac{y\_1+y\_2+y\_3}{3}\right)
* 三線坐標中、重心的座標為：

bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C

四面体的中心
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类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何n-维单形。如果单形的顶点集是{v\_0,...v\_n}，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

\frac{1}{n+1}\sum\_{i=0}^n v\_i \; .

多边形的中心
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一个由N个顶点*（xi , yi）*确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：

记号*（ xN , yN）*与顶点*（ x0 , y0）*相同。多边形的面积为：

A = \frac{1}{2}\sum\_{i=0}^{N-1}(x\_i\ y\_{i+1} - x\_{i+1}\ y\_i)
多边形的中心由下式给出：

C\_x = \frac{1}{6A}\sum\_{i=0}^{N-1}(x\_i+x\_{i+1})(x\_i\ y\_{i+1} - x\_{i+1}\ y\_i)
C\_y = \frac{1}{6A}\sum\_{i=0}^{N-1}(y\_i+y\_{i+1})(x\_i\ y\_{i+1} - x\_{i+1}\ y\_i)

有限点集的中心
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给定有限点集 x\_1,x\_2,\ldots,x\_k属于\mathbb {R} ^{n}，它们的中心定义C为

C = \frac{x\_1+x\_2+\cdots+x\_k}{k}。

面积中心
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面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

 \overline{y} = \dfrac{\overline{y\_1}A\_1 + \overline{y\_2}A\_2}{A\_1 + A\_2}
\overline{y}是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。A是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

 \overline{x} = \frac{\sum \overline{x\_i}A\_i}{\sum A\_i}
 \overline{y} = \frac{\sum \overline{y\_i}A\_i}{\sum A\_i}
这里从*y*-轴到中心的距离是{\overline {x}}，从*x*-轴到中心的距离是\overline{y}，中心的坐标是(\overline{x} , \overline{y})。

积分公式
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一个平面图形的中心的横坐标（*x*轴）由积分

C\_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}给出。
这里*f*（*x*）是对象位于在横坐标*x*点*y*轴上的长度，是在*x*图形的测度。这个公式能由区域关于*y*-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设*y*-轴表示频率，*x*-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着*x*-轴的中心即 \bar{x}。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数*n*，由相同的公式得出\R^n中一个对象的中心第一个坐标，假设*f (x)*是对象在坐标*x*的截面（也就是说，对象中第一个坐标为*x*的所有点的集合）的（*n*-1）-维测度。

注意到分母恰是对象的*n*- 维测度。特别的，在*f*为正规时，即分母为1，中心也称为*f*的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心
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圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

对称中心
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如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心
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地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

参见
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* 重心列表
* 帕普斯中心定理
* K-平均算法
* 中點
* 外心
* 內心
* 垂心
* 奈格爾點
* 类似中线
* 歐拉線
* 西瓦定理

参考文献
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1. ↑  幾何原本ISBN 957-603-016-1
2. ↑  幾何明珠ISBN 957-603-197-4
3. ↑ .  [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-16）.
4. ↑ .  [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-20）.

外部链接
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* *Encyclopedia of Triangle Centers* by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
* Triangle centers（页面存档备份，存于） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* Characteristic Property of Centroid（页面存档备份，存于） at cut-the-knot
* Barycentric Coordinates（页面存档备份，存于） at cut-the-knot
* Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （页面存档备份，存于）
* Interactive animations showing Centroid of a triangle（页面存档备份，存于） and Centroid construction with compass and straightedge（页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
三角形的特殊点 |
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| X(1)-X(10) | 
* 内心
* 重心
* 外心
* 垂心
* 九点中心
* 莱莫恩点
* Gergonne点
* 奈格尔点
* Mittenpunkt
* Spieker点

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| X(11)-X(20) | 
* 費馬點

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| X(21)- | 
* 布罗卡点

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