**负数**（英文：Negative number），在数学上指小于0的实数，如−2、−3.2和−807.5，与正数相对。负數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體**R−**或\mathbb{R}^-来表示。负数与0统称非正数。

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| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

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| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
複數 \mathbb {C} 
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
  | 负数 \mathbb{R}^-
整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
  |

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| **其他** |
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| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
  |

圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
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负数的历史
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负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式{\displaystyle x-y=z}对任意x和y都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自从漢代，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。 公元1世纪的《九章算術》说"正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。"（這段話的大意是"减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。"）。以上文字里的"無入"通常被数学历史家认为是零的概念。

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。

西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆罗摩历算书（英语：）》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪[來源請求]才接受负数的概念。

符号函数
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在实数上可以定义这样一个函数{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

\operatorname{sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.
当x不为 0 时，则有：

\operatorname{sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.
这里，{\displaystyle \left\vert x\right\vert }为x的绝对值，H(x)为单位阶跃函数。请参见导数。

负数的四則運算
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負數四則運算口訣| 口訣 | 釋義 |
| 加法 | 減法 | 乘法 | 除法 |
| 被乘數 | 乘數 | 積 | 被除數 | 除數 | 商 |
| **正****正**得**正** | *a* **+** (**+***b*) = *a* **+** *b* | － | 正 | 正 | 正 | 正 | 正 | 正 |
| **正****負**得**負** | *a* **+** (**−***b*) = *a* **−** *b* | － | 正 | 負 | 負 | 正 | 負 | 負 |
| **負****正**得**負** | － | *a* **−** (**+***b*) = *a* **−** *b* | 負 | 正 | 負 | 負 | 正 | 負 |
| **負****負**得**正** | － | *a* **−** (**−***b*) = *a* **+** *b* | 負 | 負 | 正 | 負 | 負 | 正 |

負數四則運算口訣簡單版| 兩個符號一樣 | 兩個符號不同 |
| 得正 | 得負 |

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### 加法

加上一个负数相当于减去其相反數：

{\displaystyle 6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,}
{\displaystyle -2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,}
### 减法

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

{\displaystyle 6-3=3\,}
{\displaystyle 4-6=-2\,}
{\displaystyle 0-5=-5\,}
任意负数减去一个正数总得到一个负数：

{\displaystyle -6-3=-(6+3)=-9\,}
减去一个负数相当于加上相应的正数：

{\displaystyle 5-(-2)=5+2=7\,}
{\displaystyle (-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,}
### 乘法

一个负数和一个正数相乘得到一个负数：{\displaystyle (-2)\times 3=-6}。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：{\displaystyle (-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6}。

两个负数相乘得到一个正数：{\displaystyle (-3)\times (-4)=12}。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律： 

{\displaystyle {\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,}
等式的左边为{\displaystyle 0\times (-4)=0}。等式的右边为{\displaystyle -12+(-3)\times (-4)}。为了使两边相等，必须要{\displaystyle (-3)\times (-4)=12}。

### 除法

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

{\displaystyle \;8\;\div \;(-2)=(-4)\,}
{\displaystyle (-10)\;\div \;2=(-5)\,}
若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：

{\displaystyle (-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,}

参见
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* 实数
* 超实数（Hyperreal number）
* 超現實數（Surreal Numbers）
* 負整數
* 科学计数法

參考資料及註釋
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1. ↑  Wáng, Qīngxiáng, Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
2. ↑  链接至维基文库 . 维基文库. 中国 （中文）.
3. ↑ .  [2018-04-19]. （原始内容存档于2020-01-29）.