在抽象代數中，**局部化**是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的**局部化**過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

幾何詮釋
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「局部化」一詞源出代數幾何。設 R 是一個仿射代數簇 X 的座標環（也就是 X 上的多項式函數），則 R 對其元素 f 的局部化的意義是將 V(f):=\{x\in X:f(x)=0\} 從 X 中挖掉，得到的環 R\_{f} 正是 X-V(f) 的座標環；若對極大理想 {\mathfrak {m}}\_{x}:=\{f\in R:f(x)=0\} 作局部化，則可以設想為挖去所有的 V(f)\quad (f(x)\neq 0)；得到的環 R\_{{{\mathfrak {m}}\_{x}}} 體現 X 上的多項式函數在 x 點的*局部*性質。

藉著將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

環的局部化
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在此僅考慮含單位元的環。設 R 為環，S 為 R的**積性子集**（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討 R 對 S 之局部化。

### 泛性質

R 對 S 的局部化如果存在，是一個環 S^{{-1}}R（或記作 R[S^{{-1}}]）配上環同態 R\rightarrow S^{{-1}}R，使之滿足以下的泛性質：

對任何環 T 及環同態 \phi :R\rightarrow T，若 S 的元素在 \phi  下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 \psi :S^{{-1}}R\rightarrow T，使得 \phi  是 R\rightarrow S^{{-1}}R 與 \psi  的合成。
此性質可保證局部化 (S^{{-1}}R,R\rightarrow S^{{-1}}R) 的唯一性。

### 交換環的情形

當交換環 R 為整環時，局部化的構造相當容易。若 0\in S，則 S^{{-1}}R 必然是零環；若不然，我們可以在 R 的分式環 K 中構造局部化：取 S^{{-1}}R\subset K 為形如 {\frac {r}{s}}\quad (r\in R,s\in S) 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 S 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 R\times S 上定義下述等價關係 \sim：

(r,s)\sim (r',s')\iff  存在 t\in S 使得 t(rs'-r's)=0
等價類 [r,s] 可以想成「分式」 r/s，藉此類比，在商集 (R\times S)/\sim  上定義加法與乘法為：

[r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']
[r,s][r',s']=[rr',ss']
可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 R\rightarrow (R\times S)/\sim ，定義為 r\mapsto [r,1]。於是可定義 S^{{-1}}R:=(R\times S)/\sim ，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 S^{{-1}}R 裡的元素寫作分式 r/s。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：

* 固定 f\in R，取 S:=\{f^{n}:n\geq 0\}。在交換環譜中，對這類 S 的局部化構成 {\mathrm {Spec}}(R) 的*基本開集*（{\mathrm {Spec}}(R) 表 R 的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 R\_{f}。
* 固定素理想 {\mathfrak {p}}\subset R，取 S:=R-{\mathfrak {p}}，此時也稱作對素理想 {\mathfrak {p}} 的局部化。這種局部化常記作 R\_{\mathfrak {p}}。

以下是 S^{{-1}}R 的一些環論性質。

* S^{{-1}}R=(0) 若且唯若 0\in S。
* 環同態 R\rightarrow S^{{-1}}R 是單射，若且唯若 S 中不含零因子。
* 同態 R\rightarrow S^{{-1}}R 下的逆像給出下列一一對應：

{\mathrm {Spec}}(S^{{-1}}R)=\{{\mathfrak {p}}\in {\mathrm {Spec}}(R):{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset \}
一個重要的特例是取 S=R-{\mathfrak {p}}，可知 R\_{\mathfrak {p}} 中的素理想一一對應至 R 中包含於 {\mathfrak {p}} 的素理想，因此 R\_{\mathfrak {p}} 是局部環。
### 非交換環的情形

非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 S 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 D 抽象地添加逆算子 D^{{-1}}；微局部分析中運用了這類構造。

模的局部化
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設 R 為含單位元的交換環，S 是積性子集，而 M 是個 R-模。模的局部化與交換環類似，寫作 S^{{-1}}M 或 M[S^{{-1}}]。我們依然要求存在模同態 M\rightarrow S^{{-1}}M 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

對任何 S^{{-1}}R-模 N 及 R-模同態 \phi :M\rightarrow N，存在唯一的 S^{{-1}}R-模同態 \psi :S^{{-1}}M\rightarrow N，使得 \phi  是 M\rightarrow S^{{-1}}M 與 \psi  的合成。
事實上，可以用張量積構造模的局部化：

S^{{-1}}M:=M\otimes \_{R}S^{{-1}}R
這是一個*正合函子*，它將單射映為單射。亦即：S^{{-1}}R 是平坦的 R-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 \{m/s:m\in M,s\in S\} 直接構造 S^{{-1}}M，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

範疇的局部化
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**範疇的局部化**的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作**分式運算**，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

### 一些例子

1. 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 \mathcal{C} 的同倫範疇裡操作，這意謂若群 A,B 滿足 A/B\in {\mathcal {C}}，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
2. 設 R 的克鲁尔维数至少是 2，此時若兩個 R-模 M\supset N 滿足 M/N 的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為*偽同構*的。岩澤理論大大利用了這個想法。
3. 在同調代數中，我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇。
4. 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 {\mathrm {Hom}}(X,Y) 代以 {\mathrm {Hom}}(X,Y)\otimes \_{{{\mathbb {Z}}}}{\mathbb {Q}}。

### 集合論的問題

一般而言，給定一個範疇 \mathcal{C} 及一族態射 w，在探討是否能構造局部化 w^{{-1}}{\mathcal {C}} 時會遇到以下問題：當 \mathcal{C} 是小範疇或 w 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

文獻
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* P. Gabriel and M. Zisman. *Calculus of fractions and homotopy theory*. Springer-Verlag New York, Inc. New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
* Serge Lang, *Algebra* (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
* Charles A. Weibel, *An Introduction to Homological Algebra* (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1

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| * 
* 论
* 编
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| 群论 | 

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