**分布滯後**（英語：，又稱**落差分配**）的模型在統計學與計量經濟學裡是一種時間序列模型，模型的迴歸式依據當期與前期解釋變數的值預估因變數的值。

分布滯後模型源自於下列形式的假設結構

{\displaystyle y\_{t}=a+w\_{0}x\_{t}+w\_{1}x\_{t-1}+w\_{2}x\_{t-2}+...+{\text{error term}}}
或

{\displaystyle y\_{t}=a+w\_{0}x\_{t}+w\_{1}x\_{t-1}+w\_{2}x\_{t-2}+...+w\_{n}x\_{t-n}+{\text{error term}},}
其中 *y**t* 是因變數 *y* 在第 *t* 期的值，*a* 是需估計的截距項，而 *w**i* 稱為落差權重（亦需估計），置於前 *i* 期解釋變數 *x* 的前面。第一條方程式假設因變數的值會受到過去無數期自變數的值所影響，因此有無數個落差權重（），故稱為無窮落差分配模型（）。相對的，第二條方程式的落差權重個數有限，假設一定期數前的自變數就不會影響因變數的值；基於這種假設的模型就稱為有限落差分配模型（）。

無窮落差分配模型需要估計無數個落差項的權重；顯然只有假設各落差權重之間的關係存在某種結構，才能以有限的假設參數表達無數個落差權重。有限落差分配模型的參數可以直接使用一般最小平方法（）估計（假設有足夠的資料）；然而估計結果可能會因為各期自變數間的多重共線性而失真，或許還是一樣需要假設各落差權重之間的關係存在某種結構。

落差分配模型的右手側很容易擴充為一個以上的解釋變數。

非結構化估計
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一般最小平方法（英语：）是估計落差分配之參數最簡單的方法，假設最多回顧 P 期落差項，假設誤差項為獨立同分配（英语：），且各期落差項的係數之間沒有結構關係。然而各期落差項間經常出現多重共線性，導致估計出來的係數失真。

結構化估計
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落差項的係數之間有結構關係的落差分配模型分為兩類：無窮跟有限。**無窮落差分配**之自變數的值會永無止境地影響未來所有的因變數，換句話說，因變數的值會受到之前所有自變數的值無遠弗屆的影響；但時間（落差）超過一定長度後影響逐漸趨近於零。**有限時間落差分配**之自變數的值只會影響未來幾期的因變數。

### 有限落差分配

最重要的有限落差分配模型是 **Almon（英语：）落差模型**。這個模型由資料本身決定落差結構的型態，但研究人員必須指定最長的時間（落差）；長度不正確會扭曲落差結構的型態與自變數的累積效應。Almon 假設第 *k*+1 個落差權重與下列式子當中 *n*+1 個線性的可估計參數(*n<k*) *a**j* 有關

{\displaystyle w\_{i}=\sum \_{j=0}^{n}a\_{j}i^{j}}
其中 {\displaystyle i=0,\dots ,k.}

### 無窮落差分配

最常見的無窮落差模型結構為**幾何落差（）**，也稱為 **Koyck lag**。這種落差結構之自變數的權重(影響程度)隨著時間(落差)長度增加呈指數下降；雖然這種落差結構的型態固定，但下降率與整體影響程度都由資料本身決定。其迴歸式非常直覺：以前期的因變數與當期的自變數作為解釋變數（迴歸式的右手側）

{\displaystyle y\_{t}=a+\lambda y\_{t-1}+bx\_{t}+{\text{error term}}.}
如果模型設定正確，係數 \lambda  的值會介於 0 與 1 之間或等於 0。此模型自變數的短期(當期)影響為 b，長期(累積)影響可以寫成 {\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).}

為了能夠由資料本身決定落差結構的型態，因而提出其它無窮落差分配模型。**Polynomial inverse lag** 假設落差權重與下列式子當中線性的可估計參數 *aj* 有關

{\displaystyle w\_{i}=\sum \_{j=2}^{n}{\frac {a\_{j}}{(i+1)^{j}}},}
其中 {\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}

**Geometric combination lag**假設落差項的權重與下列式子當中線性的可估計參數 *aj* 有關

{\displaystyle w\_{i}=\sum \_{j=2}^{n}a\_{j}(1/j)^{i},}
其中 {\displaystyle i=0,\dots ,\infty } 或

{\displaystyle w\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{j}[j/(n+1)]^{i},}
其中 {\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}

其它無窮落差分配結構還有 **gamma lag** 與 **rational lag**。

參閱
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* ARMA模型
* Mixed-data sampling

參考文獻
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1. ↑  Jeff B. Cromwell, et al. 1994. *Multivariate Tests For Time Series Models*. SAGE Publications, Inc. ISBN 0-8039-5440-9
2. ↑  Judge, George, et al. 1980. *The Theory and Practice of Econometrics*. Wiley Publ.
3. ↑  Almon, Shirley, "The distributed lag between capital appropriations and net expenditures," *Econometrica* 33, 1965, 178-196.
4. ↑  Mitchell, Douglas W. and Speaker, Paul J. "A simple, flexible distributed lag technique: the polynomial inverse lag," *Journal of Econometrics* 31, 1986, 329-340.
5. ↑  Gelles, Gregory M. and Mitchell, Douglas W. "An approximation theorem for the polynomial inverse lag," *Economics Letters* 30, 1989, 129-132.
6. ↑  Speaker, Paul J. Mitchell, Douglas W. and Gelles, Gregory M. "Geometric combination lags as flexible infinite distributed lag estimators," *Journal of Economic Dynamics and Control* 13, 1989, 171-185.
7. ↑  Schmidt, Peter, "A modification of the Almon distributed lag," *Journal of the American Statistical Association* 69, 1974, 679-681.
8. ↑  Jorgenson, Dale W. "Rational distributed lag functions," *Econometrica* 34, 1966, 135-149.