n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 時的莱恩－埃姆登方程解。
**莱恩－埃姆登方程**（**Lane–Emden equation**）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑  r  時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 \xi 和重構溫度變數 \theta ：

{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
當

{\displaystyle \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho \_{c}^{2}}{(n+1)P\_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}}
以及

{\displaystyle \rho =\rho \_{c}\theta ^{n}\,}
下標 *c* 代表核心的壓力與密度。n是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}
P 是代表壓力，\rho  則是密度，而 K 則是比例常數。標準的邊界條件則是 {\displaystyle \theta (0)=1} 和 {\displaystyle \theta '(0)=0}。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 n 也是多方球的多方指數 n。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；泊松方程與位能、密度有關。

應用
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在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了莱恩－埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

推導
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### 以流體靜力平衡推導

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

{\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }
這裡 \rho  是 r 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}
m 也是 r 的公式。再一次求導數可得：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}
這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 r^{2}，並將帶有 P 的導數的項置於左側，方程式成為：

{\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }
方程式兩側除以 r^{2}，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程 {\displaystyle P=K\rho \_{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}} 和 {\displaystyle \rho =\rho \_{c}\theta ^{n}} 代入，可得到：

{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho \_{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho \_{c}\theta ^{n}}
將常數聚集並以 {\displaystyle r=\alpha \xi } 取代： 

{\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho \_{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G},
最後得到莱恩－埃姆登方程：

{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
### 以泊松方程推導

同樣地，也可以使用泊松方程進行推導：

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho }
我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}
最後也可以得到莱恩－埃姆登方程。

方程式解
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### 解析解

n 只在3個值時有解析解

#### n=0

如果 n=0，方程式成為：

{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0}
重新整理並進行一次積分後的公式成為：

{\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C\_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}
公式兩側都除以 {\displaystyle \xi ^{2}}，並且再積分一次後得到：

{\displaystyle \theta (\xi )=C\_{0}-{\frac {C\_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}
邊界條件 {\displaystyle \theta (0)=1} 和 {\displaystyle \theta '(0)=0} 暗示積分常數是 {\displaystyle C\_{0}=1} 和 {\displaystyle C\_{1}=0}。

#### n=1

當 n=1，方程式可展開如下：

{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}
兩端都乘以 {\displaystyle \xi ^{2}} 可得到 k=1 和 n=0 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}
#### n=5

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}
當 n=5，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

### 數值解

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示，例如：

{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}}
在這裡 {\displaystyle \phi (\xi )} 被視為無因次質量，而質量可使用 {\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho \_{c}\phi (\xi )} 表示。相關的邊界條件是 {\displaystyle \phi (0)=0} 和 {\displaystyle \theta (0)=1}。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

同調變數
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### 同調不變方程

已知如果 \theta (\xi ) 是莱恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 {\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將莱恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

{\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}}
和

{\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}}
我們可以將相對於 \xi 的變數的對數微分，得到：

{\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}
和

{\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}.
最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 \xi，留下：

{\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)}
以上即為單一一階方程式。

### 拓撲結構不變的同調方程

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

{\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}
和

{\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)}
這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 {\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}）和雅可比矩阵的特徵值、特徵向量如下表所示：

| 臨界點 | 特徵值 | 特徵向量 |
| --- | --- | --- |
| (0,0) | 3 | -1 | (1,0) | (0,1) |
| {\displaystyle (3,0)} | {\displaystyle -3} | 2 | (1,0) | {\displaystyle (-3n,5+5n)} |
| {\displaystyle (0,n+1)} | 1 | {\displaystyle 3-n} | (0,1) | {\displaystyle (2-n,1+n)} |
| {\displaystyle \left({\frac {n-3}{n-1}},2{\frac {n+1}{n-1}}\right)} | {\displaystyle {\frac {n-5\pm \Delta \_{n}}{2-2n}}} | {\displaystyle \left(1-n\mp \Delta \_{n},4+4n\right)} |
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相關條目
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* 恆星結構
* 埃姆登－錢德拉塞卡方程（英语：）
* 錢德拉塞卡白矮星方程（英语：）

延伸閱讀
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* Lane, Jonathan Homer, The American Journal of Science and Arts, 2nd series, 1870, **50**: 57–74 .

參考資料
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1. ↑  Chandrasekhar, Subrahmanyan.. Chicago, Ill.: University of Chicago Press. 1939.
2. ↑  Horedt, Georg P.. A&A. 1987, **117** (1-2): 117–130  [2012-06-27]. （原始内容存档于2017-03-06）.  引文格式1维护：日期与年 (link)

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Horedt, George Paul ( 1986 ) 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions' PDF ( 5.9MB ), *Astrophysics and Space Science* vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.