关于多变量的雅可比多项式，请见「**黑科曼-欧普达姆多项式**」。
在数学中，**雅可比多项式** （英語：，有时也被称为**超几何多项式**）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。

定义
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雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)\_{n}}{n!}}\,\_{2}F\_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}
其中的{\displaystyle (\alpha +1)\_{n}}是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 （页面存档备份，存于））因此实际上的表达式是：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum \_{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
当*z*等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
这里对于每一个整数n\,

{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
而 {\displaystyle \Gamma (z)\,}是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数*n*为小于零的时候：

{\displaystyle {z \choose n}=0}
这个多项式列满足正交性条件：

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P\_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta \_{nm}}
其中{\displaystyle \alpha >-1}而且{\displaystyle \beta >-1}。

这个多项式列还满足对称性的关系：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P\_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}
因此在*z*等于-1的时候也可以直接算出多项式值：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
对于实数 x，雅可比多项式也可以写成另一种形式：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum \_{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}
其中 {\displaystyle s\geq 0\,} 并且 {\displaystyle n-s\geq 0\,}。

有一个特殊的情形，是当以下四个量：
n、{\displaystyle n+\alpha }、{\displaystyle n+\beta } 以及
{\displaystyle n+\alpha +\beta } 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum \_{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
其中s\,的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数s\,求和。

在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵{\displaystyle d\_{m'm}^{j}(\phi )\;}（{\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }）可以写成用雅可比多项式表达的形式：

{\displaystyle d\_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P\_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}

导数
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身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第*k*次导函数为：

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P\_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}

微分方程
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雅可比多项式{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}}是以下的二阶齐次线性常微分方程的解：

{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}

参见
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* 比贝尔巴赫猜想
* 勒让德多项式
* 切比雪夫多项式
* 盖根鲍尔多项式
* 雅可比过程

1. ↑  L. C. Biedenharn and J. D. Louck,
*Angular Momentum in Quantum Physics*, Addison-Wesley, Reading, (1981)

参考来源
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* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1965), "Chapter 22 （页面存档备份，存于）", *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642,  （页面存档备份，存于） .
* Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Encyclopedia of Mathematics and its Applications **71**, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-62321-6, MR1688958
* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials （页面存档备份，存于）", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al. *NIST Handbook of Mathematical Functions*, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255