左偏树（英语：），也可称为左偏堆、左倾堆，是计算机科学中的一种树，是一种优先队列实现方式，属于可并堆，在信息学中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，左偏树都有着广泛的应用。斜堆是比左偏树更为一般的数据结构。

不同于斜堆合并的平均情況複雜度（英语：）,左偏堆的合并操作的最壞情況複雜度（英语：）为O(log n)，而完全二叉堆为O(n)，所以左偏堆适合基于合并操作的情形。

由于左偏堆已经不是完全二叉树，因此不能用数组存储表示，需要用链接结构。

定义
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左偏树的节点的距离值
左偏树是一种可并堆的实现。左偏树是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针（left, right）外，还有两个属性：
键值和距离（英文文献中称为s-value）。键值用于比较节点的大小。距离的定义如下：

当且仅当节点 i 的左子树或右子树为空时，节点被称作**外节点**（实际上保存在二叉树中的节点都是内节点，外节点是逻辑上存在而无需保存。把一颗二叉树补上全部的外节点，则称为extended binary tree）。节点i的**距离**是节点 i 到它的后代中的最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点 i 本身是外节点，则它的距离为0;而空节点的距离规定为 -1。

性质
--

1. 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
2. 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。
3. 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。
4. 一棵N个节点的左偏树root节点的距离最多为log(N+1)-1。

操作
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### 初始化一个左偏树

初始化左偏树有两种方式。

第一种是每次选择一个节点与树合并，直到所有节点都合并为一个树。这种方法不太有效，时间复杂度为O(nlogn)。

第二种方法是使用队列，将队列中前两个节点合并，将合并后的新节点放到队列的末尾，直到队列中只有一个节点。这种方法的时间复杂度为O(n)。

### 合并两颗左偏树

假设堆是小根堆，合并时选择关键字较小的节点作为根节点，然后将关键字大的节点与根节点的右子堆合并。

在合并之后，比较子堆的s值。通过交换左右子堆来保证左节点的s值始终大于等于右节点。然后更新节点的s值。

Java代码实现合并两棵左偏的最小树：

1. root键值最小的树的右子树与其它树合并；
2. 上步合并结果作为与root键值最小树的右子树。
3. 比较root的左右子树的距离值（s-value），如果右子树大于左子树则交换两棵子树

```
public Node merge(Node x, Node y) {
 if(x == null)
 return y;
 if(y == null) 
 return x;

 // if this was a max height biased leftist tree, then the 
 // next line would be: if(x.element < y.element)
 if(x.element.compareTo(y.element) > 0) { 
 // x.element > y.element
 Node temp = x;
 x = y;
 y = temp;
 }

 x.rightChild = merge(x.rightChild, y);

 if(x.leftChild == null) {
 // left child doesn't exist, so move right child to the left side
 x.leftChild = x.rightChild;
 x.rightChild = null;

 } else {
 // left child does exist, so compare s-values
 if(x.leftChild.s < x.rightChild.s) {
 Node temp = x.leftChild;
 x.leftChild = x.rightChild;
 x.rightChild = temp;
 }
 // since we know the right child has the lower s-value, we can just
 // add one to its s-value
 x.s = x.rightChild.s + 1;
 }
 return x;
}

```

### 其他操作

增加一个节点、删除根节点、初始化一批数据，都是基于合并操作。

参考文献
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1. ↑  《左偏树的特点及其应用》黄源河2005全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营国家集训队论文

延伸阅读
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* Leftist Trees （页面存档备份，存于）, Sartaj Sahni
* 傅清祥,王晓东 算法与数据结构(第二版) 电子工业出版社
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein Introduction to Algorithms (Second Edition) The MIT Press
* Mark Allen Weiss Data Structures and Algorithm Analysis in C (Second Edition) Pearson Education

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* 论
* 编
数据结构 |
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| 类型 | 
* 集合
* 容器

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| 抽象类型 | 
* 关联数组
	+ 多重关连数组（英语：）
* 列表
* 堆栈
* 队列
	+ 双端队列
* 优先队列
	+ 双端优先队列
* 集合
	+ 多重集
	+ 併查集
* 可持久化数据结构
	+ 线段树

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|  |
| 数组 | 
* 字串
* 位数组
* 环形缓冲器
* 动态数组
* 哈希表
* 哈希数组树（英语：）
* 稀疏矩阵

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| 链（英语：） | 
* 关联表（英语：）
* 链表
* 跳跃列表
* 松散链表（英语：）
* 异或链表

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	+ 二叉查找树
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	+ 二叉堆
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	+ 斐波那契堆
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	+ R\*树
	+ R+树
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* 有向无环图
* 二元决策图
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* 确定性非循环有限自动机（英语：）

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| * 
* 论
* 编
计算机科学中的树 |
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