在數學領域，**德林費爾德模**或**橢圓模**是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 **штука**（英語拼音：*shtuka* 或 *chtouca*，源於德文的 *Stück*，意指物件或東西），又稱**F-層**，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 {\mathrm {GL}}(2) 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 *n*秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出 \mathrm{GL}(n) 的情形。

德林費爾德模
------

### 加性多項式環

設 L 為特徵 p>0 的域。定義其上的非交換多項式環 L\{\tau \}

*a*0 + *a*1τ + *a*2τ2 + ...
乘法由下述條件確定

\tau a=a^{p}\tau 
元素 \tau  可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上，L 是左 L\{\tau \}-模，其中 L 以乘法作用而 \tau  以 a\mapsto a^{p} 映射。環 L\{\tau \} 也可以看作是如下多項式的集合

a\_{0}X^{1}+a\_{1}X^{p}+a\_{2}X^{{p^{2}}}+\cdots =a\_{0}\tau ^{0}+a\_{1}\tau +a\_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]
這類多項式滿足 f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

### 形式定義

今設 A 為交換環，*L* 上的 **德林費爾德 *A*-模**定義為環同態 \psi :A\to L\{\tau \}，使得 \psi (A) 不包含於 L；此條件意在排除一些平凡例子。環 A 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

L\{\tau \} 可視為加法群 (L,+) 的自同態，而德林費爾德 *A*-模可視為 A 在 (L,+) 上的作用。

### 例子

* 置 A:={\mathbb {F}}\_{p}[T]，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 \psi :A\to L\{\tau \} 僅依賴於像 \psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L。此時德林費爾德模可等同於 L\{\tau \}\setminus L。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
* 承上，**Carlitz 模**是由 \psi (T)=T+\tau ，L 為含 \mathbb{F}\_p 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見Goss 的著作第三章 （页面存档备份，存于） 。

штука
-----

設 X 是有限域 \mathbb{F}\_p 上的代數曲線。對概形或疊 U，其上的秩 *r* （右）**штука** 由下列資料定義：

* U\times X 上的秩 *r* 局部自由層 E,E' 及單射

E\rightarrow E'\leftarrow ({\mathrm {Fr}}^{\*}\times 1)^{\*}E
其餘核的支撐集包括於某態射 U\to X 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 {\displaystyle 0} 與 \infty），且在支撐集上是秩 1 局部自由層。在此 {\mathrm {Fr}} 表 U 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 U，可得代數疊 {\mathrm {Sht}}^{r} 及 {\mathrm {Sht}}^{r}\times X 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 (\infty ,0):{\mathrm {Sht}}^{r}\to X\times X。注意到當 r>1 時，疊 {\mathrm {Sht}}^{r} 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. *Commutative subrings of certain noncommutative rings.* Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應用
--

簡言之，函數域上的**郎蘭茲猜想**是關於 \mathrm{GL}(n) 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明n=2的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 2 штука 的模空間的 \ell -進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 n\geq 2 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

文獻
--

### 德林費爾德模

* V. Drinfel'd, *Elliptic modules* (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
* D. Goss, *Basic structures of function field arithmetic*, ISBN 3-540-63541-6
* Drinfel'd module （页面存档备份，存于） in the Springer encyclopaedia of mathematics
* G. Laumon, *Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II*, Cambridge university press 1996

### штука

* Drinfel'd, V. G. *Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821*
* Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
* D. Goss, What is a shtuka? （页面存档备份，存于） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

### 拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作

* Lafforgue, L. *Chtoucas de Drinfeld et applications.* （页面存档备份，存于） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
* Lafforgue, Laurent *Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.* (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
* Gérard Laumon, *The work of Laurent Lafforgue* Archive.is的存檔，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
* G. Laumon *La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue)* (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873