在數學中，**齐次函数**是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定义
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假设 f: V \rarr W 是域 F 内的两个向量空间之间的函数。 

我们说 f 是" k 次齐次函数"，如果对于所有非零的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有：

 f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) 
即是，在歐幾里得空間， f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v}) ，
其中f(k)為指數函數。

例子
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* 线性函数 f: V \rarr W 是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有：

f
(
α

v

)
=
α
f
(

v

)

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
* 多线性函数 f: V\_1 \times \ldots \times V\_n \rarr W 是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v}\_1 \isin V\_1,\ldots,\mathbf{v}\_n \isin V\_n 都有：

f
(
α

v

1

,
…
,
α

v

n

)
=

α

n

f
(

v

1

,
…
,

v

n

)

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} \_{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} \_{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} \_{1},\ldots ,\mathbf {v} \_{n})}

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
* 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间X和Y之间的函数f: X \rightarrow Y的n阶弗雷歇导数是n次齐次函数。
* n元单项式定义了齐次函数 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}。

例如：

f(x,y,z)=x^5y^2z^3
是10次齐次函数，因为：

(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3。
* 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理
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* 欧拉定理：假设函数 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}是可导的，且是 k 次齐次函数。那么：

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad }。
这个结果证明如下。记{\displaystyle f=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=f(\mathbf {x} )}，并把以下等式两端对\alpha 求导：

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
利用复合函数求导法则，可得：

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x\_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x\_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x\_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}，
因此：

{\displaystyle x\_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x\_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}。
以上的方程可以用劈形算符写为：

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x\_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}})}，
当\alpha=1，定理即得证。

* 假设 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}是可导的，且是 k 阶齐次函数。则它的一阶偏导数\partial f/\partial x\_i是{\displaystyle k-1}阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记{\displaystyle f=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=f(\mathbf {x} )}，并把以下等式两端对x\_{i}求导：

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
利用复合函数求导法则，可得：

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x\_{i}}}(\alpha x\_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x\_{i}}}(x\_{i})}，
因此：

{\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}f(\mathbf {x} )}
所以

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x\_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}f(\mathbf {x} )}.

用于解微分方程
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对于以下的微分方程

I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,
其中I和J是同次数的齐次函数，利用变量代换v=y/x，可以把它化为可分离变量的微分方程：

x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v。

参考文献
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* Blatter, Christian.. . Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
*. PlanetMath.