此條目介紹的是沒有非平凡正規子群的群。关于比群更廣義的結構，请见「**幺半群**」。

数学上的**单群**（英語：）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。

定義
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設 (G,\*) 為群，如果其內的正規子群只有 G 本身與單位元e组成的群（平凡群）\{e\}，則稱之為**单群**。

例子
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### 有限单群

循环群G = **Z**/3**Z**，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若H是这个群的一个子群，则它的阶一定是群G的阶3的约数，因为3是素数，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=**Z**/12**Z**就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集 **Z** 与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2**Z**和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群。

按照上面的方法可以证明，阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是交错群 A\_{5} ，它的阶是60，而且可以证明每一个阶为60的单群都与 A\_{5} 同构。第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群{\mathrm {PSL}}(2,7) ，它的阶是168。可以证明，阶为168的单群都与 {\mathrm {PSL}}(2,7) 同构。

{\mathrm {PSL}}(2,7)是有限域上的典型群的一个例子，它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群（包括典型群和例外或缠绕李群）之外的有限单群统称为散在群，详见有限单群分类。

### 无限阶单群

无限阶交错群，即由整数的所有偶置换组成的群A\_{\infty }是单群。另一个无限阶单群的例子是域F上的射影特殊线性群{\mathrm {PSL}}\_{n}(F)，其中 n\geq 3。

相比之下，要构造**有限生成**的无限阶单群就困难得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼（英语：）提出，它是希格曼群（英语：）的子群。 其它的例子包括湯普森群 *T* 和 *V*。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。

分类
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到目前为止，未有对一般单群进行分类的方法。

### 有限单群

条目：有限单群分类
有限单群是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有有限群的"基本组成部分"，有点类似于质数是整数的基本组成部分。

有限单群的结构
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法伊特-湯普森定理声称，所有的奇数阶群都是可解群。 因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。

群的非单性判据
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西羅测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。 若在n的所有约数中只有 1 模p同余于 1，则不存在阶为n的单群。

证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西羅第三定理可知， 阶数为n的群的西罗p-子群的个数模p同余于1且为n的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p-子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。

另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射，因為對於一個群G而言，其子群H是正規子群，當且僅當H是某個關於G的同態映射的核。

重要性
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「单群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 H 可以對將 G 的一部分研究化約為對商群 G/H 與 H 的研究，而對单群無法行此化約。

有限单群之於有限群論，一如素數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。

参阅
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* 特征单群（英语：）
* 准单群（英语：）
* 有限单群列表（英语：）

参考文献
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1. ↑  Knapp (2006), p. 170
2. ↑  Rotman (1995), p. 226
3. ↑  Rotman (1995), p. 281
4. ↑  Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
5. ↑  Higman, Graham, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, **26** (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59
6. ↑  M. Burger and S. Mozes. "Lattices in product of trees." *Publ. Math. IHES* **92** (2000), pp.151–194.
7. ↑  例如，参见P-群里的证明

教科书
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* Knapp, Anthony W. Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9
* Rotman, Joseph J. Graduate texts in mathematics **148**, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8
* Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8

外部链接
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*. PlanetMath.

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