**纖維束**（**fiber bundle** 或 **fibre bundle）**又稱**纖維叢**，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射

\pi :E\rightarrow B

*E* 和乘積空間 *B* × *F*　的局部類似性可以用映射 \pi  來說明。也就是說：在每個　*E*　的局部空間 U，都存在一個相同的*F*（*F*　稱作纖維空間），使得 \pi  限制在 U 上時　與直积空间　*B* × *F*　的投影　{\displaystyle P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b}　相似。（通常會用此滿射：π : *E* → *B*　來表示一個纖維叢，而忽略*F* ） 

如果　{\displaystyle E=B\times F}，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做***平凡丛***（trivial bundle）。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

正式定義
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一个纤维丛由四元组（*E*, *B*, π, *F*）组成，其中*E*, *B*, *F*　是拓扑空间而π : *E* → *B*　是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。*B* 称为丛的**基空间**（base space），*E* 称为**总空间**（total space）,而*F* 称为**纤维**（fiber）。映射π 称为**投影映射**.下面我们假定基空间*B* 是连通的。

我们要求对于*B* 中的每个點 *x*,存在一个在 *B* 中 包含 *x* 的开邻域*U*，並有一個同胚映射 φ:π−1（*U*）→ *U* × *F* (顯然　*U* × *F*　是一個乘積空間) ，φ 並且要滿足 {\displaystyle \textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} \_{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)}，也就是下圖是可交换的：

Local triviality condition

其中 proj1 : *U* × *F* → *U* 是自然投影而 φ : π−1(*U*) → *U* × *F* 是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 {\displaystyle \textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F}）。所有{(*U**i*, φ*i*)} 的集合称为丛的**局部平凡化**。

对于 *B* 中每點 *p*，原象（preimage）π−1(*p*) 和 *F* 同胚并称为點 ***p* 上的纤维**.一个纤维丛（*E*, *B*, π, *F*）经常记为

F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B
以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纖維叢 π : *E* → *B* 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以 *B* 有由映射π决定的商拓扑(quotient topology).

一个**光滑纤维丛**是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，*E*, *B*, *F*都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。

例子
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令*E* = *B* × *F*并令π : *E* → *B*为对第一个因子的投影，则*E*是*B*上的丛.这里*E*不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为**平凡丛**.

莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。
最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）.莫比乌斯带是一个以圆为基空间*B*并以线段为纤维*F*的丛。对于一点x\in B的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象\pi ^{{-1}}(U)在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把*U*的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转. 

相应的平凡丛*B* × *F*看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，*S*1 × *S*1。

一个**覆盖空间**是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做**向量丛**,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做**主丛**。更多的例子参看该条目。

一个**球丛**是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的*单位球丛*,其在一点*x*的纤维是所有*E**x*的单位向量的集合.

截面
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条目：截面 (纤维丛)
纤维丛的**截面**（section或者**cross section**）是一个连续映射*f* : *B* → *E*使得π(*f*(*x*))=*x*对于所有*B*中的*x*成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的**局部截面**是一个连续映射*f* : *U* → *E*其中*U*是一个*B*中的开集而π(*f*(*x*))=*x*对所有*U*中的*x*成立。若（*U*, φ）是一个局部平凡化图，则局部截面在
*U*上总是存在的。这种截面和连续映射*U* → *F*有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。

结构群和转移函数
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纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令*G*为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间*F*上。不失一般性的，我们可以要求*G*有效的作用在*F*上，以便把它看成是*F*的同胚群。纖維叢的一个***G*-图册**（*E*, *B*, π, *F*）是之前定義過的*局部平凡化*並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图（*U**i*, φ*i*）和（*U**j*, φ*j*）且 {\displaystyle U\_{i}\cap U\_{j}\neq \emptyset }，則函数

{\displaystyle \varphi \_{i}\varphi \_{j}^{-1}:(U\_{i}\cap U\_{j})\times F\to (U\_{i}\cap U\_{j})\times F}
是由以下方式给出：

{\displaystyle \varphi \_{i}\varphi \_{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t\_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U\_{i}\cap U\_{j},\xi \in F}
其中 t\_{{ij}}:U\_{i}\cap U\_{j}\to G 是一个称为**转移函数（transition function）**的连续映射。两个*G*-圖冊是等價的如果他们的聯集也是*G*-圖冊。一个***G*-丛**是有*G*-圖冊等价类的纤维丛。群*G*稱为该丛的**结构群（structure group）。**

在光滑范畴中，一个*G*-丛是一个光滑纤维丛，其中*G*是一个李群而相应的在*F*上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数*t**ij*满足以下条件

1. t\_{{ii}}(x)=1
2. t\_{{ij}}(x)=t\_{{ji}}(x)^{{-1}}
3. t\_{{ik}}(x)=t\_{{ij}}(x)t\_{{jk}}(x)

第三个条件用到三個相交的 U\_{i}\cap U\_{j}\cap U\_{k}上叫做**上链条件（cocycle condition，**见Čech上同调）。

一个主丛是一个*G*-丛，其纤维可以认为是*G*本身，并且有一个在全空间上的*G*的右作用保持纤维不变。

参见
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* 向量丛
* 主丛
* 拉回丛（pullback bundle）
* 纤维化
* 覆盖映射
* 规范场论

外部链接
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* PlanetMath: Fiber Bundle
* MathWorld: Fiber Bundle （页面存档备份，存于）