在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的**柯西乘积**，是指两组数列a\_{n},b\_{n}的离散卷积。

c\_{n}=\sum \_{{k=0}}^{n}a\_{k}b\_{{n-k}}.
该数列乘积被认为是自然数R[\mathbb{N} ]的半群环的元素。

级数
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一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）a\_{n},b\_{n}：

\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n},\qquad \sum \_{{n=0}}^{\infty }b\_{n},
一般地，对于实数和复数，**柯西乘积**定义为如下的离散卷积形式：

\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}\right)\cdot \left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }b\_{n}\right)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }c\_{n},
这里 c\_{n}=\sum \_{{k=0}}^{n}a\_{k}b\_{{n-k}},\,n=0,1,2,\ldots 
"形式"是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

\sum \_{{n=0}}^{\infty }c\_{n}
等于如下乘积：

\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }a\_{n}\right)\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }b\_{n}\right)
就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例
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### 有穷级数

对于i>n、i>m，有x\_{i}=0，y\_{i}=0 即为有穷级数，则\sum x和 \sum y 柯西乘积可以展开为(x\_{0}+\cdots +x\_{n})(y\_{0}+\cdots +y\_{m})，因此可以直接计算乘积。

### 无穷级数

* 对某些a,b\in {\mathbb {R}}，构造x\_{n}=a^{n}/n!\,和y\_{n}=b^{n}/n!\,，由定义和二项式展开可知：

C(x,y)(n)=\sum \_{{i=0}}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{{n-i}}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}
形式上， \exp(a)=\sum x，\exp(b)=\sum y，我们已表明\exp(a+b)=\sum C(x,y)。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 a,b\in {\mathbb {R}}有\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)

* 另外一个例子，令x(n)=1（n\in \mathbb {N} ），则 C(x,x)(n)=n+1对所有n\in \mathbb {N} 成立，则柯西乘积 \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots ) ，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理
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令*x*, *y*为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数\sum y收敛到*Y*，且级数\sum x绝对收敛到*X*，则他们的柯西乘积 \sum C(x,y)收敛到*XY*。

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：

### 例子

考虑下述两交错级数：

{\displaystyle a\_{n}=b\_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}
它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

{\displaystyle c\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum \_{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}
其中整数 *n* ≥ 0。因为对于所有 *k* ∈ {0, 1, ... *n*} 我们都有不等式 *k* + 1 ≤ *n* + 1 及 *n* – *k* + 1 ≤ *n* + 1，故对分母中的根式有 √(*k* + 1)(*n* − *k* + 1) ≤ *n* +1。因此，由于共有 *n* + 1 个被加项，故对于所有的整数 *n* ≥ 0有

{\displaystyle |c\_{n}|\geq \sum \_{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}
因此，*cn* 在 *n* → ∞ 时并不趋于 0，级数 ∑ *cn* 发散（项测试）。

### 梅尔滕斯定理的证明

令X\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{n}x\_{i}，Y\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{n}y\_{i} ，C\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{n}C(x,y)(i)，C\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{n}\sum \_{{k=0}}^{i}x\_{k}y\_{{i-k}}=\sum \_{{i=0}}^{n}Y\_{i}x\_{{n-i}} (重排后)。

则C\_{n}=\sum \_{{i=0}}^{n}(Y\_{i}-Y)x\_{{n-i}}+YX\_{n}，对任意给定的 ε > 0，因为\sum x绝对收敛，\sum y收敛，因此存在一个整数*N*，对于任意*n* ≥ *N* |Y\_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum \_{{n=0}}^{\infty }|x\_{n}|+1}} ，和存在一个正整数*M*，对于所有 n\geq M ，有{\displaystyle |x\_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y\_{n}-Y|+1}}}（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数*L* ，如果有 n\geq L，则 |X\_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}。

因此，对于所有*n*大于*N*, *M*, *L*，有：

|C\_{n}-XY|=|\sum \_{{i=0}}^{n}(Y\_{i}-Y)x\_{{n-i}}+Y(X\_{n}-X)|\leq \sum \_{{i=0}}^{{N-1}}|Y\_{i}-Y||x\_{{n-i}}|+\sum \_{{i=N}}^{n}|Y\_{i}-Y||x\_{{n-i}}|+|Y||X\_{n}-X|<\varepsilon 
根据收敛的定义，即：\sum C(x,y)\to XY.

切萨罗定理
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如果*x*，*y*是实数数列，且\sum x\to A，\sum y\to B，则有：

{\frac {1}{n}}\left(\sum \_{{i=0}}^{n}C(x,y)\_{n}\right)\to AB.

推广
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所有上述证明也可推广到\mathbb {C} 复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间\mathbb {R} ^{n}上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积
。

与卷积函数的关系
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我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为\mathbb {Z} 上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，(\dots ,1,\dots )。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，\ell ^{1}\times \ell ^{\infty }的乘积，这与Lp空间有关。