用歐拉圖表示三角形中一些特殊的三角形
**特殊直角三角形**是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

各角有特殊關係
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45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形，角度分別是30度及45度的倍數
直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

| 角度 | 弧度 | sin | cos | tan |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | {\tfrac {{\sqrt {0}}}{2}}=0 | {\tfrac {{\sqrt {4}}}{2}}=1 | {\displaystyle 0} |
| 30 | \tfrac{\pi}{6} | {\tfrac {{\sqrt {1}}}{2}}={\tfrac {1}{2}} | {\tfrac {{\sqrt {3}}}{2}} | {\tfrac {1}{{\sqrt {3}}}} |
| 45 | \tfrac{\pi}{4} | {\tfrac {{\sqrt {2}}}{2}}={\tfrac {1}{{\sqrt {2}}}} | {\tfrac {{\sqrt {2}}}{2}}={\tfrac {1}{{\sqrt {2}}}} | 1 |
| 60 | \tfrac{\pi}{3} | {\tfrac {{\sqrt {3}}}{2}} | {\tfrac {{\sqrt {1}}}{2}}={\tfrac {1}{2}} | \sqrt{3} |
| 90 | \tfrac{\pi}{2} | {\tfrac {{\sqrt {4}}}{2}}=1 | {\tfrac {{\sqrt {0}}}{2}}=0 | \infty |

45–45–9030–60–90
45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照三角形群（英语：）。

### 45–45–90度三角形

45–45–90度三角形的邊長
在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形，而內角和為180度（或是π弧度），因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的1/√2。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

### 30–60–90度三角形

30–60–90度三角形的邊長
若三角形各角的比例是1 : 2 : 3，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

繪製邊長為2的正三角形*ABC*，並令*D*點為線段*BC*的中點。連接線段*AD*，則三角形*ABD*為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股*BD*長度為1。
另一股*AD*的長度為√3，可以由畢氏定理求得。
30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為α, α+δ, α+2δ，因為內角和為180°，可得3α+3δ = 180°，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

### 角度呈等比數列的直角三角形

在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為π/(2*φ*2)、π/(2*φ*)、π/2，其中公比為黃金比例*φ*。三個內角的比例為1:\varphi :\varphi ^{2}.\,。

根據正弦定律，各邊的比例會是{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1}。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1}。

另外，存在以下的恆等式[來源請求]：

{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}+\cos {\frac {\pi }{\varphi }}=0}
有趣的是，若將餘弦函數以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例*φ*，和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0（不過歐拉恆等式比較簡潔）：

e^{{{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}}+e^{{-{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}}+e^{{{\frac {i\pi }{\varphi }}}}+e^{{-{\frac {i\pi }{\varphi }}}}=0.\,

各邊有特殊關係
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条目：勾股数
若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,
其中*m*和*n*均為正整數，而且*m*>*n*。

### 常見的勾股数

以下是前五個勾股数：

| 3: | 4 | :5 |
| --- | --- | --- |
| 5: | 12 | :13 |
| 8: | 15 | :17 |
| 7: | 24 | :25 |
| 9: | 40 | :41 |

其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組：

| 3: | 4 | :5 |
| --- | --- | --- |
| 5: | 12 | :13 |
| 8: | 15 | :17 |
| 7: | 24 | :25 |
| 9: | 40 | :41 |
| 11: | 60 | :61 |
| 12: | 35 | :37 |
| 13: | 84 | :85 |
| 15: | 112 | :113 |
| 16: | 63 | :65 |
| 17: | 144 | :145 |
| 19: | 180 | :181 |
| 20: | 21 | :29 |
| 20: | 99 | :101 |
| 21: | 220 | :221 |

| 24: | 143 | :145 |      |
| --- | --- | --- | --- |
| 28: | 45 | :53 |
| 28: | 195 | :197 |
| 32: | 255 | :257 |
| 33: | 56 | :65 |
| 36: | 77 | :85 |
| 39: | 80 | :89 |
| 44: | 117 | :125 |
| 48: | 55 | :73 |
| 51: | 140 | :149 |

| 52: | 165 | :173 |      |
| --- | --- | --- | --- |
| 57: | 176 | :185 |
| 60: | 91 | :109 |
| 60: | 221 | :229 |
| 65: | 72 | :97 |
| 84: | 187 | :205 |
| 85: | 132 | :157 |
| 88: | 105 | :137 |
| 95: | 168 | :193 |
| 96: | 247 | :265 |

| 104: | 153 | :185 |
| --- | --- | --- |
| 105: | 208 | :233 |
| 115: | 252 | :277 |
| 119: | 120 | :169 |
| 120: | 209 | :241 |
| 133: | 156 | :205 |
| 140: | 171 | :221 |
| 160: | 231 | :281 |
| 161: | 240 | :289 |
| 204: | 253 | :325 |
| 207: | 224 | :305 |

### 斐波那契三角形

從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, **5**, 8, **13**, 21, **34**, 55, **89**, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

1:2:{\sqrt {5}}.
Andrew Clarke建議將長度比例為:1:2:{\sqrt {5}}的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及查爾斯·雷丁（英语：）提出的非週期性（英语：）風車貼磚（英语：）的基礎。

### 幾乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得：

*a*0 = 1, *b*0 = 2
*a**n* = 2*b**n*–1 + *a**n*–1
*b**n* = 2*a**n* + *b**n*–1
*a**n*為斜邊的長度，*n* = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下

| 3 : | 4 |  : 5 |
| --- | --- | --- |
| 20 : | 21 |  : 29 |
| 119  : | 120 |  : 169 |
| 696  : | 697 |  : 985 |
| 4059  : | 4060 |  : 5741 |
| 23660  : | 23661 |  : 33461 |

### 各邊呈等比數列的三角形

开普勒三角的三邊分別組成的正方形，面積呈等比數列，其公比為黃金比例
条目：开普勒三角
开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于1:{\sqrt \phi }:\phi ，為等比數列，其中\phi 是黄金比，\phi ={\frac {{\sqrt 5}+1}{2}}.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

相關條目
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* 整數三角形（英语：）
* 螺旋特奧多魯斯（英语：）
* 直角三角形

註釋
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1. ↑  根據黃金比例的定義，{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}，由於{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}}，因此原式成立。
2. ↑  根據黃金比例的定義，{\displaystyle 1+\varphi =\varphi ^{2}}，因此{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}}；  
或者，{\displaystyle {\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1}，故{\displaystyle {\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi }，此兩角度互補，其cos值為相反數。

參考資料
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1. ↑  OEIS:A180014
2. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14） （英语）.
3. ↑  A. Aleksei Petrovich Stakhov.. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
4. ↑  C.C. Chen and T.A. Peng.  (PDF). University of Queensland.  [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.

外部連結
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* 3 : 4 : 5 triangle （页面存档备份，存于）
* 30-60-90 triangle （页面存档备份，存于）
* 45-45-90 triangle （页面存档备份，存于）