**表达式**（expression）此处是**数学表达式**（mathematical expression）的简称，在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。

表达式随语境或不同领域学科也称：表示式、数学式、运算式（operation expression）、表式、陳式、算式；数学术语若是复合词，表达式也常简作"式"；例如：代数式（algebraic expression）、渐近式（asymptotic expression）。

范例
--

表达式有简单的，例如：

{\displaystyle 0+0}
{\displaystyle 8x-5}   （线性多项式）
{\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}   （二次多项式）
{\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}   （有理分式）
也有复杂的：

{\displaystyle f(a)+\sum \_{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{k}}{\operatorname {d} \!t^{k}}}\right|\_{t=0}f(u(t))+\int \_{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{n+1}}{\operatorname {d} \!t^{n+1}}}f(u(t))\,\operatorname {d} \!t.}

各種表達式的分類列表
----------

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。


| * 
* 论
* 编
 | 算式 | 多項式 | 代數式 | 閉合形式 | 解析式 | 數學表達式 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 常量 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 變數 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 四则运算 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 階乘 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 整數指數冪 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| N次方根 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 |
|  有理數冪 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 實數指數冪 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 對數 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 三角函數 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 反三角函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 双曲函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 反双曲函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| Γ函数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
| Bessel函数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
| 特殊函數 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
| 连分数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
| 級數 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
| 形式幂级数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
| 微分 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
| 極限 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
| 積分 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
|

語法與語義
-----

### 語法

表達式是一個句法結構，它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數，組成這些輸入的字符必須是有效的，具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符，不會構成有效的數學表達式。例如，在一般算術符號中，表達式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表達式则不是：

{\displaystyle \times 4)x+,/y}.
### 語義

表達式的語義是對語句意義的研究，邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中，可用表達式指定一個值；而這個結果值取決於對式中變量所賦予的值，經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式 1 + 2 × 3 可能會有不同結果（依算數慣例的結果為7，也可能是9），這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值（例如，當它們除以0時）；對這表達式稱為未定義，但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說，表達式的意義並不侷限於指定值；例如，表達式可用於指定條件，表示要被求解的方程，或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提，例如與运算符{\displaystyle \oplus }有關的假設前提，會指定一個內部的直接和（direct sum）。

### 形式語言和lambda演算

**表達式**和其賦值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和在其{\displaystyle \lambda }演算中被公式化。{\displaystyle \lambda }演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

{\displaystyle \lambda }演算有著一個更有趣的推論，在某些情況之下，兩個表達式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和{\displaystyle \lambda }演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

變量
--

許多數學表達式中包括變量，變量又區分為自由變量或約束變量兩種。對於自由變量賦值的一給定組合，進行對表達式的評估，然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果，可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數，其輸入是賦予自由變量的值，其輸出是表達式的結果值。

舉例來說，表達式 {\displaystyle {\frac {x}{y}}}，分別使自由變數 {\displaystyle x} 和 {\displaystyle y} 定值為 {\displaystyle 10} 和 {\displaystyle 5}，其輸出為數字 {\displaystyle 2}；  

但注意在 {\displaystyle y} 值為 {\displaystyle 0} 時，則這表達式*沒有定義*。

數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義，賦值的定义域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變量，對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出，則這兩個表達式被認定為相等，即它們實為相同的函數。

例如，表達式 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{3}2nx} 有自由變數 {\displaystyle x}、約束變數 {\displaystyle n}、常數 {\displaystyle 1,2,3}、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。  

此一表達式和另一較簡單的表達式 {\displaystyle 12x} 相等。{\displaystyle x=3} 時的值為 {\displaystyle 36}。

參見
--

* 表达式 (程式)
* 代数闭包
* 組合子邏輯
* 函數式編程
* 方程
* 不等

外部連結
----

* Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
* Plot mathematical expressions （页面存档备份，存于） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.