在幾何學中，**五邊形**是指有五條邊和五個頂點的多邊形，其內角和為540度。

五邊形可以分為凸五邊形和非凸五邊形，其中非凸五邊形包含了凹五邊形和另一種邊自我相交的五角星。最簡單的五角星可藉由將正五邊形的對角線連起來構成。

正五邊形
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**正五邊形**是指五個邊等長且五個角等角的五邊形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用{\displaystyle \left\{5\right\}}來表示。

正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

高{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot }邊長{\displaystyle \approx 1.539\cdot }邊長
寬{\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot }邊長{\displaystyle \approx 1.618\cdot }邊長
對角線長{\displaystyle =R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}
其中R為外接圓半徑。

邊長為t的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：

{\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.}
正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。截至2015年 (2015-Missing required parameter 1=*month*!)[update]，2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况。。

### 面積公式推導

正多邊形的面積公式為：

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}
其中，P是周長、r是邊心距。正五邊形的*P*和*r*可由三角函數計算：

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}
其中，*t*是正五邊形的邊長。

### 內切圓半徑

正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。

{\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t}
其中，r為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

### 構造

里士滿提出了一個構造正五邊形的方法，並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。。

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。C為單位圓圓心，M是圓C半徑的中點。D是位於垂直於{\displaystyle MC}的另外一條半徑的圓周上。作{\displaystyle \angle CMD}的角平分線，令Q為{\displaystyle \angle CMD}的角平分線與CD的交點。作過Q平行於{\displaystyle MC}的直線，令之與圓C相交的交點為P，則{\displaystyle DP}為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形{\displaystyle DCM}和{\displaystyle QCM}。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle }。小三角形其中一股*h*可由半角公式求得：

{\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}
其中，角\phi 可由大三角形求得，其值為：

{\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}
由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長a可藉由再帶一次勾股定理得：

{\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}
欲求出五邊形邊長s可透過左側的三角形，由勾股定理得：

{\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }
{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}
使用圓規與直尺建構出正五邊形。
五邊形邊長s為：

{\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}
得到了正確的結果因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

### 物理方法

打一個反手結的長條紙張
正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。

等邊五邊形
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主条目：等邊五邊形（英语：）
有兩個直角的等邊五邊形
等邊五邊形是指五條邊等長的五邊形。等邊五邊形不一定是正五邊形。由於其內角可以取自一個範圍內的集合，而形成一個等邊五邊形的群，相比之下，正五邊形由於其內角也固定了，因此是唯一的。

有兩個直角的等邊五邊形由於外形與有屋頂的房屋形狀非常相似，因此通常用作房子的符號。

五邊形鑲嵌
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条目：五邊形鑲嵌
**五邊形鑲嵌**是指用全等的五邊形沒有空隙地填滿整個平面的鑲嵌圖形。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况。

扭歪五邊形
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塗上黃色的邊是一個扭歪五邊形，位於四維正五胞體的施萊格爾圖的透視投影。
扭歪五邊形，又稱不共面五邊形，是指頂點並非完全共面的五邊形。

### 皮特里多邊形

一些高維度多胞體的皮特里多邊形是扭歪五邊形，例如四維正五胞體。

類五邊形形
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条目：類五邊形形
類五邊形形是五邊形在其他維度的類比，只存在於四維或以下的空間。這些形狀都具有H*n*的考克斯特群，其中正五邊形為H*2*，階數為10。

| 維度 | 二維 | 三維 | 四維 |
| --- | --- | --- | --- |
| 類五邊形形 |  |  |  |
| 對偶 |  |  |  |

由五邊形組成的多面體
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有一些多面體由五邊形構成，最常見的就是正十二面體，是一個由正五邊形組成的正多面體。

| Ih | Th | Td | O | I | D5d |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |
| 正十二面體 | 黃鐵礦形五角十二面體 | 五角三四面體 | 五角化二十四面體 | 五角化六十面體 | 截對角五方偏方面體 |

参考文献
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1. 1 2   (PDF).  [2019-07-29]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-12）.
2. ↑  Herbert W Richmond.. 1893  [2016-08-28]. （原始内容存档于2020-11-27）.
3. ↑  Peter R. Cromwell. . : 63  [2016-08-28]. ISBN 0-521-66405-5. （原始内容存档于2020-10-03）.
4. ↑  This result agrees with Herbert Edwin Hawkes; William Arthur Luby; Frank Charles Touton.. . Ginn & Co. 1920: 302  [2016-08-28]. （原始内容存档于2014-01-01）.
5. ↑  H.S.M. Coxeter Regular Polytopes（英语：）, 3rd edition, 1973
6. ↑  **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6  （页面存档备份，存于）
7. ↑  (Paper 10) H.S.M. Coxeter, *Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)* [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
8. ↑  Coxeter, *Regular Polytopes*, 3rd. ed. Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q, r} in four dimensions, pp. 292–293)

参见
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* icon数学主题

* 五邊形鑲嵌


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| * 
* 论
* 编
多边形 |
| --- |
|  |
| 1–10邊 | 
* 一角形
* 二角形
* 三角形
	+ 正三角形
	+ 直角三角形
	+ 等腰三角形
	+ 不等邊三角形
* 四邊形
	+ 正方形
	+ 矩形
	+ 菱形
	+ 鷂形
	+ 梯形
	+ 平行四边形
* 五边形
* 六边形
* 七边形
* 八边形
* 九邊形
* 十边形

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|  |
| 11–20邊 | 
* 十一边形
* 十二边形
* 十三边形
* 十四边形
* 十五边形
* 十六边形
* 十七边形
* 十八边形
* 十九邊形
* 二十邊形

 |
|  |
| 21–100邊（部分的） | 
* 二十一邊形（日语：）
* 二十二邊形（日语：）
* 二十三邊形（英语：）
* 二十四邊形
* 三十邊形（英语：）
* 四十邊形（西班牙语：）
* 五十邊形（西班牙语：）
* 六十邊形（日语：）
* 七十邊形（日语：）
* 八十邊形（日语：）
* 九十邊形（日语：）
* 一百邊形（西班牙语：）

 |
|  |
| >100邊 | 
* 二百五十七邊形
* 一千邊形
* 一萬邊形（英语：）
* 六萬五千五百三十七邊形
* 十萬邊形（匈牙利语：）
* 一百萬邊形
* 無限邊形
* 超無限邊形

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|  |
| 複多邊形 | 
* 複八邊形
	+ 莫比烏斯-坎特八邊形

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|  |
| 其他 | 
* 空多胞形
	+ 零角形
* 扭歪無限邊形

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|  |
| 星形多邊形 | 
* 五角星
* 六角星
* 七角星
* 八角星
* 九角星
* 十角星
* 十一角星
* 十二角星
* 無限角星

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|  |
| 分類 | 
* 凸多邊形
* 凹多邊形
* 星形多邊形
* 正多边形
* 退化多邊形
* 基本多边形
* 簡單多邊形
* 複雜多邊形
* 扭歪多邊形
* 複多邊形
* 星狀多邊形
* 等边多边形
* 等角多邊形
* 平行多邊形
* 圓外切多邊形
* 圓內接多邊形
* 可作图多边形
* 雙心多邊形

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| * 
* 论
* 编
几何学术语 |
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| 点 | 
* 頂點
* 交點
* 中點
* 角
	+ 同界角
* 極值點
* 最值點
* 臨界點
* 驻点
* 鞍點

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|  |
| 直线和曲线 | 
* 线段
* 射线
* 直线
* 切线
* （主）法线
* 副法線
* 曲线
* 圆锥曲线
* 双曲线
* 抛物线
* 正弦曲線
* 蚌线
* 蜗线
* 螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）
* 摆线（最速降線問題）
* 悬链线
* 曳物线
* 漸開線
* 渐屈线
* 渐近线
* 测地线
* 邊
* 周界
* 弦
* 弧
* 垂直平分線
* 代數曲線
* 椭圆曲线
* 超橢圓
* 星形线
* 三尖瓣线
* 方圓形
* 勒洛三角形

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| 平面圖形 | 
* 圆（广义圆）
* 椭圆
* 扇形
* 弓形
* 环形
* 多边形
* 三角形
* 四邊形
* 五边形
* 六边形
* 多边形
* 正多边形
* 梯形
* 平行四边形
* 菱形
* 矩形
* 正方形
* 鷂形
* 卵形线
* 梭形
* 星形
* 五角星
* 六角星

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| 立體圖形 | 
* 多面体
* 正多面體
* 四面體
* 長方體
* 立方體
* 平行六面体
* 棱柱
* 反棱柱
* 棱锥
* 棱台
* 圆柱体
* 圆锥
* 圆台
* 椭球（長球體、扁球體）
* 球體
* 球缺
* 球冠
* 球台
* 準線
* 母線

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| 曲面 | 
* 二次曲面
* 旋轉曲面
* 抛物面
* 雙曲面
* 马鞍面
* 球面
* 橢球面
* 類球面
* 环面
* 莫比乌斯带
* 流形
* 黎曼曲面

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|  |
| 高維空間 | 
* 超平面
* 超面
* 超曲面
* 胞
* 多胞形
* 超球體
* 超方形
* 超立方體
* 克莱因瓶
* 四維柱體柱

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|  |
| 圖形關係 | 
* 相似
* 全等
* 對稱
* 平行
* 垂直
* 相交
* 相切
* 相離
* 镜像
* 旋转
* 反演
* 截面
* 缩放

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|  |
| 三角形關係 | 
* 相似三角形
* 全等三角形

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| 量 | 
* 距离
* 长度
* 周长
* 弧长
* 高度
* 面积
* 表面積
* 体积
* 容積
* 角度
* 曲率
* 撓率
* 離心率
* 凹凸性
* 有向曲面
* 可展曲面
* 直紋曲面

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| 作圖 | 
* 尺
	+ 直尺
	+ 三角尺
* 圆规
* 尺规作图
* 二刻尺作圖

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| 分支 | 
* 平面幾何
* 立体几何
* 三角学
* 解析几何
* 微分几何
* 拓扑学
* 图论
* 摺紙數學
* 欧几里得几何
* 非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……）
* 分形

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| 理論 | 
* 定理
* 公理
* 定义
* 數學證明

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* 分类**分类**
* 主题**主题**
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* 专题**专题**

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