**隨機控制**（stochastic control）或**隨機最优控制**（stochastic optimal control）是控制理论中的一個領域，是針對有不確定性的系統進行控制，不確定性可能是在量測上，也有可能是因為雜訊的影響。系統設計者會假設影響狀態變數的隨機雜訊，（以贝叶斯概率的觀點來看）其機率分布是已知的。隨機控制的目的是在雜訊存在的情形下，設計受控變數的時間軌跡，在最小成本的情形下（其成本可能會適有適當的定義）使系統完成預期的控制任務。隨機控制可能是配合離散時間系統，也可能是連續時間系統。

確定性等效
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隨機控制中最常被探討的控制器是線性平方高斯控制（LQG控制），其模型為線性的，目標函數的期望值為二次性，而擾動是純疊加性的。若是離散時間集中式系統，其不確定性是純疊加性，有一個基本的特性為「確定性等效性質」（certainty equivalence property）：其最佳控制的解和沒有疊加性擾動下的解一樣。所有線性系統方程、二次目標函數、雜訊為純疊加性的集中式系統中，確定性等效性質都會成立，二次目標函數的假設是讓（配合確定性等效性質）的最佳控制律是控制器觀測值的線性函數。

若有任何和上述假設不同的地方：非線性狀態方程、非二次目標函數、乘數不確定性（英语：）或是系統為分散式控制系統都會讓確定性等效性質不成立。例如在分散式系統中的Witsenhausen反例就是說明確定性等效性質在分散式系統中不成立。

離散時間系統
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在離散時間系統中，控制器會在每個時間週期觀測狀態變數（也可能包括估測雜訊）。其目標可以針對所有時間內的非線性（可能是二次的）目標函數計算不同時間期望值的加權和，也可以只針對最後時間的目標函數進行最佳化。每個時間區間內會產生新的估測值，依最佳化的方式調整控制變數。找目前時間最佳解的作法是後向迭代計算線性平方高斯控制（矩陣Riccati方程），從最後的時間一直倒退迭代到目前時間。

考慮離散時間系統，其傳遞矩陣或控制響應矩陣中的參數有不確定性（因此狀態變數的目前值會有變化），但仍然是線性狀態函數以及二次性目標函數，仍然可以用每一個時間週期的解，用後向迭代的方式求解Riccati方程，不過可能沒有確定性等效的特性ch.13。若離散時間系統的目標函數不是二次性的，但是只要處理加性不確定性，也可以進行隨機控制，不過會比較複雜。

### 例子

以下是一個典型的離散時間隨機線性二次控制問題，要最小化

{\displaystyle {\text{E}}\_{1}\sum \_{t=1}^{S}[y\_{t}^{T}Qy\_{t}+u\_{t}^{T}Ru\_{t}]}
其中E1為在*y*0條件下的期望值運算子，上標*T*表示是转置矩阵，*S*為時間區間，其狀態方程如下

{\displaystyle y\_{t}=A\_{t}y\_{t-1}+B\_{t}u\_{t},}
其中*y*是*n* × 1的可觀察狀態變數向量，*u*是*k* × 1的控制變數向量，*A**t*是時間*t*時的隨機*n* × *n*狀態轉移矩陣的實現，*B**t*是時間t時的隨機*n* × *k*控制乘數矩陣的實現，*Q* (*n* × *n*)和*R* (*k* × *k*)是已知的正定費用矩陣。假設*A*和*B*的每個元素都是在時間上聯合的独立同分布，因此期望值運算不用考慮時間的條件。

可以用貝爾曼方程得到每個時間的最佳控制解

{\displaystyle u\_{t}^{\*}=-[{\text{E}}(B^{T}X\_{t}B+R)]^{-1}{\text{E}}(B^{T}X\_{t}A)y\_{t-1},}
配合對稱正定cost-to-go矩陣*X*，從{\displaystyle X\_{S}=Q}開始，以倒退時間方式迭代，方程式為

{\displaystyle X\_{t-1}=Q+{\text{E}}[A^{T}X\_{t}A]-{\text{E}}[A^{T}X\_{t}B][{\text{E}}(B^{T}X\_{t}B+R)]^{-1}{\text{E}}(B^{T}X\_{t}A),\,}
這個就是此問題離散時間下的動態Riccati方程。有關矩陣*A*和*B*中未知參數所需要知道的資訊只有每個矩中每個元素的期望值、方差，同個矩陣不同元素的共變異數，以及不同矩陣中元素的共變異數。

若在狀態方程中有平均值為0、獨立且相同分佈（i.i.d.）的加性擾動出現，只要和矩陣*A*和*B*的元素沒有關係，此擾動不會影響最佳方程。假如擾動和矩陣有關，每個時間的最佳控制解會包括額外的加性常數向量。若加性常數向量出現在狀態方程中，則每個時間的最佳控制解會再包括額外的加性常數向量。

*X*的穩態特徵若存在，會和*S*延伸到無限大的的無限時間問題相關。可以用重覆迭代動態方程中的*X*，一直到收斂為止來計算，此時的動態方程中的*X*就不用有關時間的下標了。

連續時間
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若模型是連續時間下的系統，控制器知道系統在每一個時間下的狀態。其目標可能是最大化狀態變數凹函數（Concave Function）的在時間區間0到最後時間T之間的積分。隨著時間的演進，會持續的觀測到新的值，也會依最佳化的方式來調整控制變數。

隨機模型預測控制
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在文獻中，有二種隨機系統的模型預測控制：強健模型預測控制（Robust model predictive control）及隨機模型預測控制（Stochastic Model Predictive Control，SMPC）。強健模型預測控制是較保守的方式，在最佳化過程中會考慮最差的情形，不過此方式和其他強健控制類似，會讓整個控制器的性能變差，只適用不確定性有明確範圍在系統。而隨機模型預測控制是用軟性的限制。是用機率的不等式來讓違反限制的機率不會超過一定範圍。

### 金融的應用

在金融領域連續系統的研究中，隨機微分方程的狀態變數多半是財富或是淨值，控制變數是不同時間下各資產的配置情形。給定任一時間下的資產配置，財富變化的決定因素是資產的隨機收益以及無風險資產的利率。隨機控制的領域在1970年代開始大幅發展，有不少人應用在金融上。Robert Merton用隨機控制來研究安全資產以及風險資產的最佳投資組合（英语：）。Merton投資組合問題（英语：）以及布莱克-舒尔兹模型改變了金融文獻的特質。有影響力的相關數學教科書包括Wendell FlemingFleming（英语：）及Rishel合著的教科書、以及Fleming和Soner（英语：）合著的教科書。Jerome Stein將這些技巧應用在2007年–2008年環球金融危機。

在最後日期*T*的淨值期望值對數的最大值，和財富成份的隨機過程有關。在連續系統中，伊藤引理是主要分析工具。若是要探討在時間(0,*T*)內凹函數積分的最大值，會使用動態規劃。這裡沒有類似較舊的文獻的確定等效關係，因為控制變數的係數（所選資產份額所獲得的回報）也是隨機性的。

相關條目
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* 隨機規劃（英语：）
* 随机过程
* 控制理论
* 乘数不确定性（英语：）
* 隨機排程（英语：）

参考文献
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1. ↑ .  [2018-09-05]. （原始内容存档于2019-03-31）.
2. 1 2 3 4  Chow, Gregory P.. New York: Wiley. 1976. ISBN 0-471-15616-7.
3. 1 2  Turnovsky, Stephen.. Review of Economic Studies. 1976, **43** (1): 191–94. doi:10.2307/2296614.
4. ↑  Mitchell, Douglas W.. Economic Modelling. 1990, **7** (2): 161–164. doi:10.1016/0264-9993(90)90018-Y.
5. ↑  Turnovsky, Stephen.. American Economic Review. 1974, **64** (1): 136–148. JSTOR 1814888.
6. ↑  Hashemian; Armaou.. IEEE Proceedings. 2017: 4386–4391. Bibcode:2017arXiv170404710H. arXiv:1704.04710 可免费查阅.
7. ↑  Merton, Robert.. Blackwell. 1990.
8. ↑  Fleming, W.; Rishel, R.. 1975  [2018-10-01]. ISBN 0-387-90155-8. （原始内容存档于2021-04-28）.
9. ↑  Fleming, W.; Soner, M.. Springer. 2006.
10. ↑  Stein, J. L.. Springer-Science. 2012.