测度具有单调性，如果集合A是集合B的子集，那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外空集的测度为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。
在数学中，**测度**是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）廣義化後產生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 {\displaystyle n} 维欧式空间 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

研究測度的學問被統稱為**测度论**，因為指定的數值通常是非負实数，所以测度论通常會被視為实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

正式定义
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**定義** — {\displaystyle (X,\,\Sigma )} 為可测空间，函数 {\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )} 若满足：

* {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} (空集合的测度为零)

* **可数可加性**( {\displaystyle \sigma }-可加性)： 若集合序列 {\displaystyle \{E\_{n}\in \Sigma \}\_{n\in \mathbb {N} }} 對所有不相等正整數 {\displaystyle i\neq j} 都有 {\displaystyle E\_{i}\cap E\_{j}=\varnothing }，則

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{n\in \mathbb {N} }E\_{n}\right)=\sum \_{n=1}^{\infty }\mu (E\_{n})}。
那 {\displaystyle \mu } 被稱為定義在 {\displaystyle \Sigma } 上的一個**非負測度**，或簡稱為**測度**。為了敘述簡便起見，也可稱 {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 为一测度空间。

直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。

如果將 {\displaystyle \mu } 的值域擴展到複數，也就是說 {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} } ，那 {\displaystyle \mu } 會被進一步稱為**複數測度**。

### 定義的分歧

若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成无穷大（如對 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 本身取勒贝格测度），所以實際上不存在。但某些書籍會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限实数值的測度稱為（非負）**有限測度**。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒贝格测度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環（英语：），然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度（英语：）。

更進一步的，如果對測度空間 {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，母集合 {\displaystyle X} 可表示為 {\displaystyle \Sigma } 內的某可測集合序列 {\displaystyle \{E\_{n}\in \Sigma \}\_{n\in \mathbb {N} }} 的并集：

{\displaystyle X=\bigcup \_{n\in \mathbb {N} }E\_{n}}
且 {\displaystyle \mu } 只容許取有限值，則 {\displaystyle \mu } 會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。

性质
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### 单调性

测度{\displaystyle \mu \ }的单调性：
若{\displaystyle E\_{1}\ }和{\displaystyle E\_{2}\ }为可测集，而且{\displaystyle E\_{1}\subseteq E\_{2}}，则{\displaystyle \mu (E\_{1})\leq \mu (E\_{2})}。

### 可数个可测集的并集的测度

若{\displaystyle E\_{1},E\_{2},E\_{3}\cdots }为可测集（不必是两两不交的），则集合{\displaystyle E\_{n}\ }的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

{\displaystyle \mu (\bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i})\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu (E\_{i})}
如果还满足并且对于所有的{\displaystyle n\ }，{\displaystyle E\_{n}\ }⊆{\displaystyle E\_{n+1}\ }，则如下极限式成立：

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\right)=\lim \_{i\to \infty }\mu (E\_{i}).}
### 可数个可测集的交集的测度

若{\displaystyle E\_{1},E\_{2},\cdots }为可测集，并且对于所有的{\displaystyle n\ }，{\displaystyle E\_{n+1}\ }⊆{\displaystyle E\_{n}\ }，则{\displaystyle E\_{n}\ }的交集是可测的。进一步说，如果至少一个{\displaystyle E\_{n}\ }的测度有限，则有极限：

{\displaystyle \mu (\bigcap \_{i=1}^{\infty }E\_{i})=\lim \_{i\to \infty }\mu (E\_{i})}
如若不假设至少一个{\displaystyle E\_{n}\ }的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，令

{\displaystyle E\_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性
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**定義** —   

{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 是测度空间，若{\displaystyle N\in \Sigma } 且 {\displaystyle \mu (N)=0\ }，则 {\displaystyle N} 被称为**零测集**（null set ）。

若所有**零测集**的子集都可测，则 {\displaystyle \mu } 称为**完备的**（complete）。

直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度：

**定理** —   

{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 是测度空间，若取：

{\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}}
那 {\displaystyle \Sigma ^{\star }} 是一個Σ-代数，此時若定義：

{\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}}
那 {\displaystyle \mu ^{\star }} 是定義在 {\displaystyle \Sigma ^{\star }} 上的完備測度，且有：

{\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]}

| **證明** |
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|  |

例子
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下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

* **计数测度**　定义为{\displaystyle \mu (S)=S\ }的「元素个数」。
* **一维勒贝格测度**是定义在{\displaystyle \mathbb {R} }的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足{\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }的唯一测度。
* **Circular angle测度**是旋转不变的。
* 局部紧拓扑群上的**哈尔测度**是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
* **恆零测度**定义为{\displaystyle \mu (S)=0\ }，对任意的{\displaystyle S\ }。
* 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓**概率测度**。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目
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* 外测度（Outer measure）
* 幾乎處處（Almost everywhere）
* 勒贝格测度（Lebesgue measure）
* 勒貝格積分
* 法圖引理(Fatou's lemma)
* 富比尼定理(Fubini's theorem)
* 可測基數

参考文献
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1. ↑  Rudin, Walter.. McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
2. ↑  Rudin, Walter.. McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
3. ↑  Rudin, Walter.. McGRAW-HILL. 1974: 29–29. ISBN 0070542333.

* R. M. Dudley, 2002. *Real Analysis and Probability*. Cambridge University Press.
* D. H. Fremlin, 2000. *Measure Theory*. Torres Fremlin.
* Paul Halmos, 1950. *Measure theory*. Van Nostrand and Co.
* M. E. Munroe, 1953. *Introduction to Measure and Integration*. Addison Wesley.
* Shilov, G. E. and Gurevich, B. L. 1978. *Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach*, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学） （页面存档备份，存于）