微磁学是磁学的一个分支。其研究对象为介观尺度下铁磁体的磁化过程。该尺度足够大，大到到原子的大小可忽略不计，因此在该尺度下材料的磁学特性是连续的；然而该尺度又足够小，小到可以看清磁畴的结构。微磁学主要解决两类问题：

1. 静微磁学：通过最小化磁学能量，得到系统的稳定解；
2. 动微磁学：通过解朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)，得到系统的动力学解。

连续性假设
-----

假定在铁磁体内某区域dV中存在N个磁矩

\mu \_{j},j=1,2,\cdots ,N。
那么区域内的平均磁矩可以表示为

M(r)={\frac {\sum \_{{j=1}}^{N}\mu \_{j}}{dV}}。
连续性假设认为在铁磁体内任意一点，

|M(r)|=M\_{s}。
式中M\_{s}**为饱和磁化强度**。其意义在于小区域V内可以近似地认为所有磁矩都是指向同一方向的。这是交换作用在小区域内的结果（交换作用倾向于使得磁矩指向同一方向）。连续性假设是微磁学的基础。

静微磁学
----

静微磁学的目标是求得平衡态下磁体内磁矩的空间分布情况。当温度低于居里温度时，由连续性假设，磁化强度的大小|M|总是等于M\_{s}。所以问题简化为求磁矩的方向，或称约化磁化强度m=M/M\_{s}。
铁磁体内的总能量密度可表示为

E=E\_{{\text{exch}}}+E\_{{\text{anis}}}+E\_{{\text{Z}}}+E\_{{\text{demag}}}
其中E为总能量密度，E\_{{\text{exch}}}为交换能，E\_{{\text{anis}}}为各向异性能，E\_{{\text{Z}}}为赛曼能，E\_{{\text{demag}}}为退磁场能。

### 交换能

交换能是与磁矩之间的交换作用相关的能量。
交换能可表示为:E\_{{\text{exch}}}=A\int \_{V}\left((\nabla m\_{x})^{2}+(\nabla m\_{y})^{2}+(\nabla m\_{z})^{2}\right){\mathrm {d}}V

式中A为交换作用常数，m\_{x},m\_{y},m\_{z}是磁矩m在三个方向上的分量。如前所述，交换作用倾向于使磁矩统一指向一个方向，因为在这时交换作用能最低。

### 各向异性能

各向异性能来自于材料的微观各向异性，与晶体结构的对称性有关。
各项异性能可表示为

E\_{{\text{anis}}}=\int \_{V}F\_{{\text{anis}}}({\mathbf {m}}){\mathrm {d}}V
式中F\_{{anis}}是各向异性能密度，与磁矩的指向方向有关。磁矩的指向方向为*易轴*时，各向异性能最低。

### 赛曼能

赛曼能来源于磁矩和外加磁场的作用。当磁矩与外场方向一致时，该能量最低。
赛曼能可表示为

E\_{{\text{Z}}}=-\mu \_{0}\int \_{V}{\mathbf {M}}\cdot {\mathbf {H}}\_{{\text{a}}}{\mathrm {d}}V
其中H\_{a}是外加磁场，\mu \_{0}是真空磁导率。

### 退磁场能

退磁场是磁距在铁磁体内部给自己施加的场。
退磁场能可表示为

E\_{{\text{demag}}}=-{\frac {\mu \_{0}}{2}}\int \_{V}{\mathbf {M}}\cdot {\mathbf {H}}\_{{\text{d}}}{\mathrm {d}}V
式中H\_{d}是退磁场。这个场的大小与方向是磁矩的分布决定的：

\nabla \cdot {\mathbf {H}}\_{{\text{d}}}=-\nabla \cdot {\mathbf {M}}
\nabla \times {\mathbf {H}}\_{{\text{d}}}=0
式中−∇·**M**又被称为磁荷密度。从式中可以看出，退磁场来源于磁矩**M**分布的不均匀性(若分布均匀则\nabla \cdot {\mathbf {M}}=0)。这些方程的解是：

{\mathbf {H}}\_{{\text{d}}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int \_{V}\nabla \cdot {\mathbf {M}}{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{3}}}{\mathrm {d}}V
式中**r**是从积分点指向观察点的矢量。

值得注意的是，在平衡态下，总能量最低，但并不代表每项能量都处于最低状态。实际上磁矩经常不均匀分布，以增加交换能的代价降低了退磁场能，而使得总能量最低。

动微磁学
----

动微磁学的研究对象是磁矩在**等效场下**随时间的演化过程。该过程可以由解**朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)**得出。

### 等效场

等效场是磁矩感受到的所有场的总和。它可以由以下公式描述：

{\mathbf {H}}\_{{\mathrm {eff}}}=-{\frac {1}{\mu \_{0}M\_{s}}}{\frac {{\mathrm {d}}^{2}E}{{\mathrm {d}}{\mathbf {m}}{\mathrm {d}}V}}
式中d*E*/d*V*是能量密度。

由能量密度的表达式，可以计算出：

{\mathbf {H}}\_{{\mathrm {eff}}}={\frac {2A}{\mu \_{0}M\_{s}}}\nabla ^{2}{\mathbf {m}}-{\frac {1}{\mu \_{0}M\_{s}}}{\frac {\partial F\_{{\text{anis}}}}{\partial {\mathbf {m}}}}+{\mathbf {H}}\_{{\text{a}}}+{\mathbf {H}}\_{{\text{d}}}
### LLG方程

LLG方程是磁矩的动力学方程。它描述了磁矩在**等效场**下的拉莫爾進動，以及一个阻尼项。
LLG方程可表示为

{\frac {\partial {\mathbf m}}{\partial t}}=-|\gamma |{\mathbf {m}}\times {\mathbf {H}}\_{{\mathrm {eff}}}+\alpha {\mathbf {m}}\times {\frac {\partial {\mathbf {m}}}{\partial t}}
在数学上可以推出LLG方程等价于下面的方程（又称为LL方程）：

{\frac {\partial {\mathbf m}}{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}{\mathbf {m}}\times {\mathbf {H}}\_{{\mathrm {eff}}}-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}{\mathbf {m}}\times ({\mathbf {m}}\times {\mathbf {H}}\_{{\text{eff}}})
式中\gamma 为旋磁比，\alpha 为Gilbert阻尼常数。

应用
--

微磁学可用于计算机硬盘的磁头和磁介质、永磁体的研发。

研究手段
----

早期由于计算机运算能力不足，对微磁学的研究以理论推导为主。80年代后随着计算机技术的进展，计算机模拟成为重要手段。常用的模拟软件有oommf、magpar等。最近几年随着GPU通用计算的发展，出现了一批GPU加速的模拟软件如mumax、GPMagnet和TetraMag等。

历史
--

1963年William Fuller Brown Jr.发表了一篇关于反平行磁畴结构的文章，代表了这一领域的开端。

资料来源
----

<references>

1. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2022-01-28）.
2. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2022-02-21）.
3. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2022-01-22）.
4. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2020-02-06）.
5. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2019-11-30）.
6. ↑ .  [2014-04-23]. （原始内容存档于2016-12-02）.