**廣義多項式韋格納頻譜圖**（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於時頻分析的方法，屬於信號處理的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解析度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的瞬時頻率，但這兩點之間常須進行取捨。韋格納分佈雖然解析度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時多項式韋格納分佈（英语：）除了能保有高解析度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；加伯轉換沒有相交項，但解析度較低，廣義頻譜圖雖然強化了加伯轉換的解析度，但仍比韋格納分佈來得模糊。

廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合廣義頻譜圖與多項式韋格納分佈（英语：）的優點，來達到同時高解析度與沒有相交項的目標。

原理
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### 韋格納分佈

{\displaystyle W\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{\*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }{\displaystyle =\int \_{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{\*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta }
### 多項式韋格納分佈

在{\displaystyle x(t)=\exp(j2\pi \sum \_{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n})}時，
{\displaystyle PWVD\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum \_{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau )\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int \_{-\infty }^{\infty }[\prod \_{\ell =1}^{q/2}x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau }
透過設定{\displaystyle d\_{\ell }}使下式成立，
{\displaystyle \exp(j2\pi \sum \_{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau )=\prod \_{\ell =1}^{q/2}x(t+d\_{\ell }\tau )x^{\*}(t-d\_{-\ell }\tau )}
即可得到，
{\displaystyle PWVD\_{x}(t,f)=\int \_{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum \_{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum \_{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na\_{n}t^{n-1}\tau )}
亦即x(t)的瞬時頻率。
### 加伯轉換

{\displaystyle {G\_{x,{w}}}\left({t,f}\right)=\int \_{-\infty }^{\infty }{w\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}
亦即使用高斯函數做為短時距傅立葉轉換的窗函數。
### 廣義頻譜圖

{\displaystyle S{P\_{x,{w\_{1}},{w\_{2}}}}(t,f)=G\_{x,{w\_{1}}}(t,f)G\_{x,{w\_{2}}}^{\*}(t,f)}
其中{\displaystyle w\_{1}(t),\ w\_{2}(t)}為兩個不同的窗函數，
{\displaystyle {G\_{x,{w\_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int \_{-\infty }^{\infty }{{w\_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}
{\displaystyle {G\_{x,{w\_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int \_{-\infty }^{\infty }{{w\_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}
若{\displaystyle w\_{1}(t)=w\_{2}(t)}，則為一般頻譜圖。
不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。
因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解析度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解析度在時頻兩域均好的頻譜圖。
### 廣義多項式韋格納頻譜圖

{\displaystyle C\_{x}(t,f)=p\left(SP\_{x}(t,f),\ |PWVD\_{x}(t,f)|\right)}，其中{\displaystyle p(x,y)}可以是任何輸入兩個變數的函數。
如果在{\displaystyle \min(x,y)=0}時{\displaystyle p(x,y)=0}，即可達到去除相交項的同時保有高解析度的特性。
例如：
* {\displaystyle p(x,y)=xy}，{\displaystyle C\_{x}(t,f)=SP\_{x}(t,f)|PWVD\_{x}(t,f)|} 由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項{\displaystyle PWVD\_{x}(t,f)\neq 0}會因為{\displaystyle SP\_{x}(t,f)=0}而消掉； 因為廣義頻譜圖解析度較低，在瞬時頻率附近的頻率{\displaystyle SP\_{x}(t,f)\neq 0}，但對於解析度較高的多項式韋格納分佈來說{\displaystyle PWVD\_{x}(t,f)\simeq 0}，因此相乘後{\displaystyle C\_{x}(t,f)\simeq 0}提高解析度。 其他類似變型有：
	+ {\displaystyle p(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }}，{\displaystyle C\_{x}(t,f)=SP\_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD\_{x}^{\beta }(t,f)|}
	+ 也可以加個閾，{\displaystyle C\_{x}(t,f)=thr[SP\_{x}^{\alpha }(t,f)]|PWVD\_{x}^{\beta }(t,f)|}， 其中{\displaystyle thr(x)={\begin{cases}x-\Delta &,x>\Delta \\0&,x\leq \Delta \end{cases}}}，閾值\Delta 可自行設定任意值
* {\displaystyle C\_{x}(t,f)=\min\{A\_{1}SP\_{x}(t,f),\ A\_{2}|PWVD\_{x}(t,f)|\}}
* {\displaystyle C\_{x}(t,f)=SP\_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD\_{x}^{\beta }(t,f)|\cdot \{[SP\_{x}(t,f)>\Delta \_{1}]\&[|PWVD\_{x}(t,f)|>\Delta \_{2}]\}}

優缺點比較
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比較各種時頻分析方法的優缺點| 時頻分析方法 | 時域高解析度 | 頻域高解析度 | 在瞬時頻率為高階指數函數時
避免交叉項 | 多組件時
避免交叉項 |
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| 短時距傅立葉轉換（窄窗函數） | Δ | Χ | Ο | Ο |
| 短時距傅立葉轉換（寬窗函數） | Χ | Δ | Ο | Ο |
| 廣義頻譜圖 | Δ | Δ | Ο | Ο |
| 韋格納分佈 | Ο | Ο | Χ | Χ |
| 科恩系列分佈 | Ο | Ο | Δ | Δ |
| 多項式韋格納分佈（英语：） | Ο | Ο | Ο | Χ |
| 廣義多項式韋格納頻譜圖 | Ο | Ο | Ο | Ο |

参考资料
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1. ↑  Ding, Jian-Jiun; Pei, Soo Chang; Chang, Yi-Fan.. 2013 Asia-Pacific Signal and Information Processing Association Annual Summit and Conference (IEEE). 2013-10. ISBN 9789869000604. doi:10.1109/apsipa.2013.6694292.

* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.