**等周定理**，又稱**等周不等式**（英語：），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的"等周"指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若P為封闭曲線的周界长，A為曲線所包圍的區域面積，4\pi A\leq P^{2}。

虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的"表面"或区域的最大"边界长度"问题等。

在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。

歷史
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不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周长不变
一个狭长的图形可以通过"压扁"来变得"更圆"，从而使得面积更大而周长不变。
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式，它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时，怎样的曲线周长最小？

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納（英语：）以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之后他的证明被其他数学家完善。

其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的*嚴格*證明。

1901年，阿道夫·赫維茲憑傅里叶级数和格林定理給出一個純解析的證明。

證明
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### 初等证明

以下給出一個較初等的證明，分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A，亦以A、P來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、A是一個凸區域。

* 假使不然，A是一個凹區域。那麼根據定義，可以在P內找到兩個點M和N，使其連線MN有一部份M'N'不包含于A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長，面積比A大的區域。矛盾。

2、凡平分周長P的弦必平分面積A。

* 如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份A\_{1}>A\_{2}，那麼去掉A\_{2}而將A\_{1}對MN做對稱，則可得到一個周長仍然等於P而面積等於2A\_{1}>A\_{1}+A\_{2}=A的區域，矛盾。

3、凡平分A的弦，無論方向，長度相等。

* 如果不然，不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫（半個P，不妨記為P\_{1}），以及M'N'及其任一側的區域（另行劃分的半個P，記為P'\_{1}），并粘合在一起使得M'N'落在MN上，M與M'重合。
	+ 此時，新的圖形仍然滿足周長為P，面積為A的性質，且由於MN>M'N'，N'應落於MN之間。
* 以M為中心，分別對P\_{1}和P'\_{1}做\lambda 和\mu 倍的放縮，使兩曲綫的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合，記為N''），得到兩個分別與原區域相似的區域Q\_{1}和Q'\_{1}。適當調整\lambda 和\mu 的值，使曲綫MQ\_{1}N''Q'\_{1}M的周長仍為P。
	+ 此時Q\_{1}和Q'\_{1}的長度分別等於P\lambda /2和P\mu /2，所圍的面積分別等於A\lambda ^{2}/2和A\mu ^{2}/2；並且由於MN和MN'經過放縮后重合，有\lambda MN=\mu MN'。
* 由於曲綫MQ\_{1}N''Q'\_{1}M的周長仍為P，故P\lambda /2+P\mu /2=P，從而\lambda +\mu =2；而由\lambda MN=\mu MN',MN>MN'知0<\lambda <1。
* 所以，MQ\_{1}N''Q'\_{1}M的面積為A(\lambda ^{2}+\mu ^{2})/2=A(\lambda ^{2}+(2-\lambda )^{2})/2=A(\lambda ^{2}-2\lambda +2)>A，與A最大矛盾。

4、若MN平分A，O為MN中點，那麼對P上任意一點R，都有OM=ON=OR。

* 以O為中心，做MRN的中心對稱圖形，R對稱到R'；那麼圖形MR'NRM的周長為P，面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等，而O也是RR'的中點，故得結論。

5、由於O到P上任意一點的距離都相等，所以P是圓。

### 傅里叶级数证明

不妨将封闭图形周长定为2π，选取弧长参数*t*其取值为从0到2π，有参数方程(*x*,*y*)=[*x*(*t*),*y*(*t*)]，并且根据封闭图形有[*x*(0),*y*(0)]=[*x*(2π),*y*(2π)]。现展开为傅里叶级数：

{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{k=1}^{\infty }[a\_{k}\cos(kt)+b\_{k}\sin(kt)]\\y(t)&={\frac {c\_{0}}{2}}+\sum \_{k=1}^{\infty }[c\_{k}\cos(kt)+d\_{k}\sin(kt)]\end{aligned}}}
以及相应导数：

{\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)&=\sum \_{k=1}^{\infty }[-ka\_{k}\sin(kt)+kb\_{k}\cos(kt)]\\y'(t)&=\sum \_{k=1}^{\infty }[-kc\_{k}\sin(kt)+kd\_{k}\cos(kt)]\end{aligned}}}
考虑帕塞瓦尔恒等式（注意这里是实数情形），可以得到：

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }k^{2}(a\_{k}^{2}+b\_{k}^{2}+c\_{k}^{2}+d\_{k}^{2})=\int \_{0}^{2\pi }{\frac {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}{\pi }}\mathrm {d} t=2\qquad (1)}
其中第二个等号是因为弧长参数表示的微分满足{\displaystyle [x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}=1}的关系。

根据格林公式，得到封闭图形面积为{\displaystyle S=\int \_{0}^{2\pi }x(t)y'(t)\mathrm {d} t}，因此：

{\displaystyle {\frac {S}{\pi }}=\int \_{0}^{2\pi }{\frac {x(t)y'(t)}{\pi }}\mathrm {d} t=\sum \_{k=1}^{\infty }k(a\_{k}d\_{k}-b\_{k}c\_{k})\qquad (2)}
整理与联系上述等式(1)与(2)，得：

{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi ^{2}-4\pi S&=2\pi ^{2}\sum \_{k=1}^{\infty }[k^{2}(a\_{k}^{2}+b\_{k}^{2}+c\_{k}^{2}+d\_{k}^{2})-2k(a\_{k}d\_{k}-b\_{k}c\_{k})]\\&=2\pi ^{2}\sum \_{k=1}^{\infty }[(ka\_{k}-d\_{k})^{2}+(kb\_{k}+c\_{k})^{2}+(k^{2}-1)(c\_{k}^{2}+d\_{k}^{2})]\\&\geqslant 0\end{aligned}}}
此时可以证明*S*存在最大值（初等证明里没有证明解的存在性），即该不等式取等号时的情况，当且仅当满足以下条件：

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{1}-d\_{1}=0\\b\_{1}+c\_{1}=0\\a\_{k}=b\_{k}=c\_{k}=d\_{k}=0&k\geqslant 2\end{cases}}}
最终可以得到参数方程即为圆：

{\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {a\_{0}}{2}}+a\_{1}\cos t+b\_{1}\sin t\\y={\dfrac {c\_{0}}{2}}-b\_{1}\cos t+a\_{1}\sin t\end{cases}}}
证毕。

参见
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* 变分法
* 普拉托问题
* 挂谷集合
* 移动沙发问题

参考来源
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1. ↑  J. Steiner, *Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze*, J. reine angew Math.
**18**, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
2. ↑  福原満洲雄、山中健，変分学入門，朝倉書店，1978.3.