**大q-勒让德多项式**是一个以基本超几何函数定义的正交多项式：

BIG Q-LEGENDER 2D PLOT
{\displaystyle \displaystyle P\_{n}(x;c;q)={}\_{3}\phi \_{2}(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)}

正交性
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大q-勒让德多项式满足下列正交关系

{\displaystyle \int \_{cq}^{q}P\_{m}(x;c;q)P\_{n}(x;c;q)d\_{q}x=q(1-c){\frac {1-q}{1-q^{2n+1}}}{\frac {(c^{-1}q;q)\_{n}}{(cq;q)\_{n}}}(-cq^{2})^{n}q^{n \choose 2}\delta \_{mn}}

极限关系
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大Q勒让德多项式→勒让德多项式
{\displaystyle \displaystyle \lim \_{q\to 1}P\_{n}(x;0;q)=P\_{n}(2x-1)}

  

令大q勒让德项式中的c=0,并且q→1 即得勒让德多项式

验证
将c=0代人7阶(n=7)大q勒让德多项式得：

{\displaystyle qL=P\_{n}(x;0;q)=1+{\frac {q}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {qx}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right){q}^{2}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right){q}^{3}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right){q}^{4}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right){q}^{5}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right){q}^{6}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{-1}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-{q}^{14}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right)\left(1-x{q}^{6}\right){q}^{7}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}\left(1-{q}^{7}\right)^{-2}}

* {\displaystyle qL2=\lim \_{q\to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}}

另7阶勒让德多项式：

* {\displaystyle P\_{7}(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}}

显然qL2=P\_7(2x-1) QED.

图集
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下列复数域三阶大q勒让德多项式:{\displaystyle \displaystyle P\_{n}3(x+iy;-1.5;q)}的

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数三维动画图，以q为可变参数

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数密度动画图

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| BIG Q-LEGENDER ABS COMPLEX 3D MAPLE PLOT | BIG Q-LEGENDER IM COMPLEX 3D MAPLE PLOT | BIG Q-LEGENDER RE COMPLEX 3D MAPLE PLOT |

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| BIG Q-LEGENDER ABS DENSITY MAPLE PLOT | BIG Q-LEGENDER IM DENSITY MAPLE PLOT | BIG Q-LEGENDER RE DENSITY MAPLE PLOT |

参考文献
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* Andrews, George E.; Askey, Richard, Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (编), Lecture Notes in Math. **1171**, Berlin, New York: Springer-Verlag: 36–62, 1985, ISBN 978-3-540-16059-5, MR 0838970, doi:10.1007/BFb0076530
* Gasper, George; Rahman, Mizan, Encyclopedia of Mathematics and its Applications **96** 2nd, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, doi:10.2277/0521833574
* Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096, doi:10.1007/978-3-642-05014-5
* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F.  `|contribution-url=`缺少标题 (帮助), Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248

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| * 
* 论
* 编
q超几何函数与q超几何正交多项式 |
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| q超几何函数 | 
* 基本超几何函数 Q阶乘幂 Q导数 Q指数 Q正弦函数 QΓ函数 QBeta函数 Q余弦函数 Q阿佩尔函数

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|  |
| q超几何正交多项式 | 
* 正交多项式的阿斯基方案 Q-拉盖尔多项式Q拉卡多项式 Q梅西纳多项式  Q克拉夫楚克多项式 Q查理耶多项式 Q哈恩多项式 Q梅西纳-帕拉泽克多项式 杰克逊q贝塞尔函数 Q贝塞尔多项式

* 双q哈恩多项式 双Q克拉夫楚克多项式 双重哈恩多项式

* 连续q-哈恩多项式 连续双q哈恩多项式 连续双哈恩多项式 连续q雅可比多项式  连续哈恩多项式 连续q拉盖尔多项式 连续q勒让德多项式 连续大Q埃尔米特多项式
* 大q-雅可比多项式 小q-雅可比多项式 大q-拉盖尔多项式 大Q勒让德多项式 小q拉盖尔多项式
* 阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式 阿拉-萨拉姆-卡里兹I多项式 阿拉-萨拉姆-卡里兹II多项式

* 量子Q克拉夫楚克多项式 仿射q克拉夫楚克多项式 离散q-埃尔米特I多项式 离散q-埃尔米特II多项式
* 斯蒂尔吉斯-维格特多项式

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1. ↑  Roelof p443