如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色
**曼德博集合**（英語：，或译為**曼德布洛特复数集合**）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义
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曼德博集合可以用複二次多项式来定义：

f\_c(z) = z^2 + c \,
其中 c 是一个复数參数。

从 z = 0 开始对 f\_c(z) 进行迭代：

z\_{n+1} = z\_n^2 + c, n=0,1,2,...
z\_0 = 0 \,
z\_1 = z\_0^2 + c = c \,
z\_2 = z\_1^2 + c = c^2 + c \,
每次迭代的值依序如以下序列所示： 

(0, f\_c(0), f\_c(f\_c(0)), f\_c(f\_c(f\_c(0))), \ldots)

不同的参数 c 可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 M 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 c 的集合。

特性
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* 自相似
* 面积为1.5065918561

相關的定理
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### 定理一

若 |c|\leq\frac{1}{4}，則 c\in{M}

#### 證明：

假設 |c|\leq\frac{1}{4} 為真

則|z\_1|= |c|\leq \frac{1}{4}< \frac{1}{2}

##### 第一步：

當 n=2 \, 時

|z\_2|=|z\_1^2+c|=|c^2+c| \leq |c^2|+|c|= |c|^2+|c|
因為 |c|\leq\frac{1}{4}

|c|^2+|c|\leq \frac{1}{16}+\frac{1}{4}< \frac{1}{2}
由以上可得知 |z\_2|< \frac{1}{2}

##### 第二步：

假設 |z\_{n}|< \frac{1}{2} \, 成立

|z\_{n+1}|=|z\_{n}^2+c|\leq |z\_{n}|^2+|c|< \left(\frac{1}{2}\right)^2 +\frac{1}{4}= \frac{1}{2}
由上式可得知 |z\_{n+1}|< \frac{1}{2}

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，|z\_n| \, 皆比 \frac{1}{2} \, 小。

當n趨近無限大時 |z\_n| \, 依然沒有發散，所以 c\in{M}，故得證。

  

### 定理二

若 c\in{M}，則 |c|\leq{2}

#### 證明：

假設 |c|>2 \,

則 |z\_1|=|c|, |z\_1|>2 \,

##### 第一步：

當 n=2 \, 時

|z\_2|=|z\_1^2+c|=|c^2+c| \ge |c^2|-|c|= |c|^2-|c|
由 |c|>2 \,，左右同乘 |c| \, 再減去 |c| \, 可得到下式

|c|^2-|c|> 2|c|-|c|= |c| \,
由以上可得知 |z\_2|>|c| \,

##### 第二步：

假設 |z\_{n}|>|c| \, 成立，則 |z\_{n}|>2 \,

|z\_{n+1}|=|z\_{n}^2+c|\ge |z\_{n}^2|-|c|= |z\_{n}|^2-|c|
因為 |z\_{n}|>|c| \,

|z\_{n}|^2-|c|> |z\_{n}|^2-|z\_{n}| \,
由 |z\_{n}|>2 \,，左右同乘 |z\_{n}| \, 再減去 |z\_{n}| \, 可得到下式

|z\_{n}|^2-|z\_{n}|> 2|z\_{n}|-|z\_{n}|= |z\_{n}| \,
由以上可得知 |z\_{n+1}|>|z\_{n}| \,

由數學歸納法可得知 2<|{z\_1}|<|{z\_2}|<...<|{z\_n}|<|z\_{n+1}|<|z\_{n+2}| \,，可看出隨著迭代次數增加 |z\_n| \, 逐漸遞增並發散。

假如|z\_n| \,不发散，则收敛于某个常数 a>|c|>2 ,

由|z\_{n+1}|\ge |z\_{n}|^2-|c| 再取极限得 a\ge a^2-|c| 即 a^2-a\leq |c|。

又 a^2-a=a(a-1)\ge a> |c|，矛盾，故|z\_n| \,发散。

  

所以若 |c|>2 \,，則 c\notin{M}，故得證。

### 定理三

若 c\in{M}，則 |z\_n|\leq{2}, (n=1,2,...)

#### 證明：

要證明若 |z\_n|>2, (n=1,2,...) \,，則 c\notin{M}

首先分別探討 |c|>2 \, 與 |c|\leq2 兩種情形

由定理二可知道 |z\_n|>2, (n=1,2,...) \, 且 |c|>2 \, 時， c\notin{M}。

接著要證明 |c|\leq2 時的情況：

假設 |z\_{n}|>2 \,，因為 |c|\leq2 ，所以 |z\_{n}|>|c| \, ，而

|z\_{n+1}|=|z\_{n}^2+c|\ge |z\_{n}^2|-|c|= |z\_{n}|^2-|c|
因為 |z\_{n}|>|c| \,

|z\_{n}|^2-|c|> |z\_{n}|^2-|z\_{n}| \,
由 |z\_{n}|>2 \,，左右同乘 |z\_{n}| \, 再減去 |z\_{n}| \, 可得到下式

|z\_{n}|^2-|z\_{n}|> 2|z\_{n}|-|z\_{n}|= |z\_{n}| \,
由以上可得知 |z\_{n+1}|>|z\_{n}| \,

由數學歸納法可得知 2<|{z\_n}|<|z\_{n+1}|<|z\_{n+2}|<... \,，可看出隨著迭代次數增加 |z\_n| \, 逐漸遞增並發散。

所以在 |z\_n|>2, (n=1,2,...) \, 且 |c|\leq2 的情況下也是 c\notin{M}。

綜合上述可得知不論 |c| \,為多少

若 |z\_n|>2, (n=1,2,...) \,，則 c\notin{M}，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 |z\_n| \,是否會發散。

计算的方法
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曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

```
For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next
```

### 決定顏色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

  

### Mathematica代码

```
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]
```

各種圖示
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動畫
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參考資料
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1. ↑ .  [2012-01-01]. （原始内容存档于2019-08-10）.
2. ↑ .  [2012-04-29]. （原始内容存档于2020-09-22）.

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| * 
* 论
* 编
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|  |
| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
	+ 拓撲維數
* 递归
* 自相似

 | An image of a fern which exhibits affine self-similarity.Barnsley fern（英语：） |
|  |
| 迭代函数系统 | 
* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
* 科赫雪花
* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
* 
* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

 |
|  |
| 奇異吸子 | 
* 多重分形系統（英语：）

 |
|  |
| L系統 | 
* 分形灌木（英语：）
* H树
* 空間填充曲線（英语：）

 |
|  |
| 逃逸時間分形 | 
* 曼德博集合
* 朱利亚集合
	+ 朱利亚填充集合（英语：）
* 李亞普諾夫分形（英语：）
* 牛頓分形（英语：）
* 燃燒巨輪分形（英语：）
* 三角帽分形（英语：）

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|  |
| 渲染技术 | 
* 佛像分形
* 轨迹陷阱（英语：）
* Pickover 杆（英语：）

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|  |
| 隨機分形 | 
* 布朗运动
	+ 布朗樹（英语：）
	+ 布朗馬達
* 分形地形（英语：）
* 擴散限制凝聚（英语：）
* 萊維飛行（英语：）
* 曼德尔盒（英语：）
* 曼德尔球
* 渗流理论
* 自避行走

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| 學者 | 
* 格奥尔格·康托尔
* 费利克斯·豪斯多夫
* 加斯東·朱利亞（英语：）
* 海里格·馮·科赫
* 保羅·皮埃爾·萊維
* 亞歷山大·李亞普諾夫
* 本華·曼德博
* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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| 其他相關 | 
* 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》
	+ 海岸線悖論（英语：）
* 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：）
* 《分形之美（英语：）》 (1986)
* 分形艺术（英语：）
* 《混沌学传奇（英语：）》 (1987)
* 《大自然的分形几何学》 (1982)
* 分形压缩
* 仿射变换

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