**逆散射变换**是求解某些非线性偏微分方程的一种方法，在某种意义上是傅里叶变换的非线性推广。这种方法的核心思想是，从散射数据的演变中恢复势的演变：逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。

逆散射变换可用于许多所谓"完全可解模型"，即完全可积的无限维系统。

概述
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逆散射变换首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. （1967, 1974）提出，用于求解KdV方程，并很快扩展到非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程及户田晶格方程。后来也用于求解KP方程、石森方程、迪姆方程等等。博格莫尼方程（对于给定的规范群与定向黎曼3流形）提供了一族例子，其{\displaystyle L^{2}}解是磁单极子。
用逆散射法得到的解有一个特点，就是存在孤波，是类似于粒子又类似于波的解，线性偏微分方程中没有这种解。"孤波"是非线性光学的概念。
逆散射问题可以写作黎曼–希尔伯特分解问题，至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。
在更高的空间维度中，会遇到"非局部"黎曼–希尔伯特分解问题（用卷积代替乘法）或Dbar问题。

例子：KdV方程
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KdV方程是非线性分散演化偏微分方程，涉及有两个实变量（空间变量*x*与时间变量*t*）的函数*u*：

{\displaystyle u\_{t}-6uu\_{x}+u\_{xxx}=0}
其中{\displaystyle u\_{t}}、{\displaystyle u\_{x}}分别表示关于*t*和*x*的偏导数。

{\displaystyle u(x,0)}是*x*的已知函数，要解初值问题，可将薛定谔特征方程

{\displaystyle \psi \_{xx}-u\psi =\lambda \psi .}
与这个方程联系起来，其中{\displaystyle \psi }是*t*与*x*的未知函数，*u*是KdV方程的解，除了在{\displaystyle t=0}时未知。常数{\displaystyle \lambda }是一个特征值。

根据薛定谔方程，可得

{\displaystyle u={\frac {1}{\psi }}\psi \_{xx}-\lambda .}
将其代入KdV方程并积分，得到

{\displaystyle \psi \_{t}+\psi \_{xxx}-3(u-\lambda )\psi \_{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx}
其中*C*、*D*为常数。

解法
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**Step 1.** 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的物理实现的。

**Step 2.** 应用*正向散射*。关键是找到Lax 对，Lax 对由两个线性算子{\displaystyle L}、{\displaystyle M}组成，即{\displaystyle Lv=\lambda v}、{\displaystyle v\_{t}=Mv}。极为重要的是，特征值{\displaystyle \lambda }与时间无关，即{\displaystyle \lambda \_{t}=0.}实现这一点的必要条件与充分条件如下：取{\displaystyle Lv=\lambda v}的时间导数，得到

{\displaystyle L\_{t}v+Lv\_{t}=\lambda \_{t}v+\lambda v\_{t}.}
将{\displaystyle Mv}插入{\displaystyle v\_{t}}，得到

{\displaystyle L\_{t}v+LMv=\lambda \_{t}v+\lambda Mv.}
重排最右侧的项，得到

{\displaystyle L\_{t}v+LMv=\lambda \_{t}v+MLv.}
因此，

{\displaystyle L\_{t}v+LMv-MLv=\lambda \_{t}v.}
由于{\displaystyle v\not =0}，这意味着{\displaystyle \lambda \_{t}=0}当且仅当

{\displaystyle L\_{t}+LM-ML=0.\,}
这是Lax方程，当中{\displaystyle L\_{t}}是{\displaystyle L}的时间导数，明确地依赖于{\displaystyle t}。之所以这样定义微分，是因为{\displaystyle L}的最简单实例，即薛定谔算子（参薛定谔方程）：

{\displaystyle L=\partial \_{xx}+u,}
其中u是"势"。比较表达式{\displaystyle L\_{t}v+Lv\_{t}}与{\displaystyle \partial \_{t}\left(v\_{xx}+uv\right)}，可以发现{\displaystyle L\_{t}=u\_{t},}因此可以忽略第一项。

拟合出适当的Lax对后，Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。

**Step 3.** 确定与每个特征值{\displaystyle \lambda }相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化，它们构成所谓散射数据。演化由线性常微分方程给出，可以求解。

**Step 4.** 通过求解马琴科方程这一线性积分方程，进行逆散射，从而获得原非线性PDE的最终解。为此，需要所有散射数据。若反射系数为零，过程会简单很多。若{\displaystyle L}是一阶微分或二阶差分，这步就会起作用，但对高阶算子则不一定。不过，在所有情况下，逆散射问题都可以简化为黎曼–希尔伯特问分解问题。（两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。）

可积方程的例子
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* KdV方程
* 非线性薛定谔方程
* 卡马萨-霍尔姆方程
* 正弦-戈尔登方程
* 户田晶格
* 石森方程
* 迪姆方程

另见
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* 量子逆散射法

参考文献
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1. ↑  Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M. "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.
2. ↑  V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.

阅读更多
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* M. Ablowitz, H. Segur, *Solitons and the Inverse Scattering Transform*, SIAM, Philadelphia, 1981.
* N. Asano, Y. Kato, *Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations*, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
* M. Ablowitz, P. Clarkson, *Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering*, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
* Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. Physical Review Letters, 1967, **19** (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095
* Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. Comm. Pure Appl. Math. 1974, **27**: 97–133, MR 0336122, doi:10.1002/cpa.3160270108
* V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.
* J. Shaw, *Mathematical Principles of Optical Fiber Communications*, SIAM, Philadelphia, 2004.
* Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

外部链接
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* (PDF).  [2023-11-14]. （原始内容存档 (PDF)于2011-09-26）.  (300 KiB)
* Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons （页面存档备份，存于）