**Verma模**（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為\lambda 的最高權表示的維數有限，若且僅若\lambda 是支配整權（）。

Verma模的定義
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設：

* F為一域；
* \mathfrak{g}，為F上一半單李代數；
	+ {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}為其泛包絡代數
	+ {\displaystyle {\mathfrak {b}}}為其一Borel子代數
		- {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}為其泛包絡代數
	+ \mathfrak{h}為其一嘉當子代數
* {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\*}}為一固定之權。
* {\displaystyle F\_{\lambda }}為F上的一維向量空間， 賦與{\displaystyle {\mathfrak {b}}}-模結構：\mathfrak{h}的作用為「乘以\lambda 」，正根的作用為零。由於{\displaystyle F\_{\lambda }}是一左{\displaystyle {\mathfrak {b}}}－模，他同時亦是一左{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}－模。
* 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}有一自然右{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}－模結構。由於{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}亦是一左\mathfrak{g}－模， 所以是{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))}-雙模。
* 定義（最高權為\lambda 之）**Verma模** 為

{\displaystyle M\_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes \_{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F\_{\lambda }}
此自然地是一左\mathfrak{g}－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：{\displaystyle M\_{\lambda }}，作為一向量空間，同構於

{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}\_{-})\otimes \_{F}F\_{\lambda }}
其中{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{-}}為\mathfrak{g}之負根生成之子李代數。

基本性質
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作為\mathfrak{g}－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是{\displaystyle 1\otimes 1}的像（其中前1為{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}之單位，後1為域F之單位元）；其權為\lambda 。

Verma模是weight modules，即{\displaystyle M\_{\lambda }}是其權子空間之直和。每一權子空間{\displaystyle M\_{\mu }}是有限維的，其維度是{\displaystyle M\_{\mu }}權{\displaystyle \lambda -\mu }寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若V為任一最高權模，其最高權為\lambda ，則存在一\mathfrak{g} 滿射：{\displaystyle M\_{\lambda }\to V}。換言之，任何最高權模都是{\displaystyle M\_{\lambda }}的商模。

{\displaystyle M\_{\lambda }}內存在唯一極大子模，而{\displaystyle M\_{\lambda }}與此子模之商是不可約的。

Verma模{\displaystyle M\_{\lambda }}本身不可約 若且僅若 當其最高權\lambda 分解成基本權（fundamental weight（英语：））之和時，每一系數都不是{\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}。

稱Verma模{\displaystyle M\_{\lambda }}為**regular**，若其最高權λ位於一支配權{\displaystyle {\tilde {\lambda }}}之仿射Weyl軌迹上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使

{\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}，
其中\cdot 是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模{\displaystyle M\_{\lambda }}為**singular**，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權{\displaystyle {\tilde {\lambda }}}使{\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

Verma模之間的態射
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設{\displaystyle \lambda ,\mu }為兩權。若存在態射

{\displaystyle M\_{\mu }\rightarrow M\_{\lambda }}，
則\mathfrak{g}的Weyl羣W的
仿射作用W必然能把\mu 帶到\lambda 。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

{\displaystyle dim(Hom(M\_{\mu },M\_{\lambda }))\leq 1}
其中{\displaystyle \mu ,\lambda }為任何兩權。因此，存在一非零態射{\displaystyle M\_{\mu }\rightarrow M\_{\lambda }}若且僅若{\displaystyle M\_{\mu }} 同構於{\displaystyle M\_{\lambda }}的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之，

> 存在非零態射
> 
> 
> {\displaystyle M\_{\mu }\rightarrow M\_{\lambda }}若且僅若 存在一串權
> 
> 
> {\displaystyle \mu =\nu \_{0}\leq \nu \_{1}\leq \ldots \leq \nu \_{k}=\lambda }
> 
> 使得存在正根\gamma\_i使{\displaystyle \nu \_{i-1}+\delta =s\_{\gamma \_{i}}(\nu \_{i}+\delta )}（其中{\displaystyle s\_{\gamma \_{i}}}是根反映（根系），而\delta 是所有基本權之和）且對每一{\displaystyle 1\leq i\leq k}，{\displaystyle (\nu \_{i}+\delta )(H\_{\gamma \_{i}})}為一自然數（其中{\displaystyle H\_{\gamma \_{i}}}是根\gamma\_i之對偶根（coroot（英语：）））。
> 
> 

若Verma模{\displaystyle M\_{\mu }}與{\displaystyle M\_{\lambda }}俱為regular，則僅存支配權{\displaystyle {\tilde {\lambda }}}與Weyl羣元*w*, *w*′使

P{\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}
而且

{\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}
其中\cdot 為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight（英语：））。存在非零態射

{\displaystyle M\_{\mu }\to M\_{\lambda }}
若且僅若，在Weyl羣*W* 的Bruhat次序中，

{\displaystyle w\leq w'}。

Jordan-Holder序列
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設

{\displaystyle 0\subset A\subset B\subset M\_{\lambda }}
為一\mathfrak{g}－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射{\displaystyle M\_{\mu }\to M\_{\lambda }}。

推論：
設{\displaystyle V\_{\mu },V\_{\lambda }}為二最高權表示。若

{\displaystyle V\_{\mu }\subset V\_{\lambda }}
則存在非零態射{\displaystyle M\_{\mu }\to M\_{\lambda }}。

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解
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設{\displaystyle V\_{\lambda }}為李代數\mathfrak{g}的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我们已知：存在非零態射

{\displaystyle M\_{w'\cdot \lambda }\to M\_{w\cdot \lambda }}
若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

{\displaystyle w\leq w'}。
以下定理描述如何分解{\displaystyle V\_{\lambda }}成Verma模的正合序列。
（此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）:

> 
> 存在由\mathfrak{g}－態射組成的正合序列
> 
> 
> {\displaystyle 0\to \oplus \_{w\in W,\,\,l(w)=n}M\_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus \_{w\in W,\,\,l(w)=2}M\_{w\cdot \lambda }\to \oplus \_{w\in W,\,\,l(w)=1}M\_{w\cdot \lambda }\to M\_{\lambda }\to V\_{\lambda }\to 0}
> 其中*n*為Weyl羣最長元之長度。
> 
> 
> 

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。
廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries（英语：），嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣*G*與其拋物子羣*P*。參閲、與。

參攷
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* Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
* Dixmier, J. Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
* Humphreys J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
* Roggenkamp K. Stefanescu M. Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

### 註解

1. ↑  Bernstein I.N. Gelfand I.M. Gelfand S.I. Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
2. ↑  Verma N. Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
3. ↑  Bernstein I.N. Gelfand I.M. Gelfand S.I. Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed. Adam Hilger, London, 1975.}
4. ↑  Eastwood M. Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
5. ↑  Calderbank D.M. Diemer T. Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
6. ↑  Cap A. Slovak J. Soucek V. Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

參見
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* 李代數表示論
* 泛包絡代數
* 廣義Verma模
* 最高權表示

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