在统计学中，样本的第k**顺序统计量**（英語：）即它从小到大排列时的第k个值，常用于非参数估计与推断中。常见的顺序统计量包括样本的最大值、最小值、中位数等。

记号
--

任给样本{\displaystyle x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n}}，将其从小到大排成一列，记为：



x

(
1
)

,

x

(
2
)

,
⋯
,

x

(
n
)

.

{\displaystyle x\_{(1)},x\_{(2)},\cdots ,x\_{(n)}.}

{\displaystyle x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.}则其第一顺序统计量（即最小值）为{\displaystyle x\_{(1)}}，第n顺序统计量（即最大值）为{\displaystyle x\_{(n)}}。

概率
--

随机变量{\displaystyle X\_{(k)}}的累积分布函数{\displaystyle F\_{k}(x)}由下式给出



F

k

(
x
)
=

∑

j
=
k

n


(

n
j

)

(
F
(
x
)

)

j

(
1
−
F
(
x
)

)

n
−
j

,

x
∈

R

,

{\displaystyle F\_{k}(x)=\sum \_{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,}

{\displaystyle F_{k}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,}
将累积分布函数求导可得其概率密度函数{\displaystyle f\_{k}(x)}为


f

k

(
x
)
=

n
!

(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!

(
F
(
x
)

)

k
−
1

(
1
−
F
(
x
)

)

n
−
k

f
(
x
)
,

x
∈

R

.

{\displaystyle f\_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .}

{\displaystyle f_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .}
### 連續均勻樣本

從单位区间上的連續型均勻分布取得的樣本，其各順序統計量的边缘分布屬於Β分布族。此外，任意幾個順序統計量的联合分布也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴累积分布函数（cdf），該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中，{\displaystyle X\_{1},X\_{2},\ldots ,X\_{n}}表示以{\displaystyle F\_{X}}為cdf的一組隨機樣本。記{\displaystyle U\_{i}=F\_{X}(X\_{i})}，則{\displaystyle U\_{1},\ldots ,U\_{n}}是從標準連續均勻分布抽取的對應樣本。由{\displaystyle F\_{X}}的單調性，後者的順序統計量為{\displaystyle U\_{(i)}=F\_{X}(X\_{(i)})}。

順序統計量{\displaystyle U\_{(k)}}的概率密度函數（pdf）等於

{\displaystyle f\_{U\_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.}
換言之，均勻分佈的第k順序統計量遵循Β分布

{\displaystyle U\_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}
證明如下：欲使{\displaystyle U\_{(k)}}介乎u與{\displaystyle u+\mathrm {d} u}之間，樣本須恰有k - 1個元素小於u，並至少有一個介乎u與{\displaystyle u+\mathrm {d} u}之間。該區間包含多於一個元素的概率已是{\displaystyle O(\mathrm {d} u^{2})}（使用了大O符號），故衹需計算{\displaystyle (0,u)}、{\displaystyle (u,u+du)}、{\displaystyle (u+du,1)}三區間分別恰有k - 1、1、n-k個元素的概率。此即三項分佈（英语：）概率

{\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},}
故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為{\displaystyle k/(n+1)}。

参考文献
----

1. ↑ . www.math.uah.edu.  [2016-07-28]. （原始内容存档于2017-08-13）.
2. 1 2  Gentle, James E.. Springer. 2009: 63. ISBN 9780387981444 （英语）.
3. ↑  Jones, M. C.. Statistical Methodology. 2009, **6** (1): 70–81. doi:10.1016/j.stamet.2008.04.001. As is well known, the beta distribution is the distribution of the *m*’th order statistic from a random sample of size *n* from the uniform distribution (on (0,1)).

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