在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的**阿诺索夫映射**（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

**阿诺索夫微分同胚**（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

概述
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有三个相互联系但又有区别的定义：

* 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个**阿诺索夫映射**。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。
* 若这个映射还是一个微分同胚，则称为**阿诺索夫微分同胚**。
* 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为**阿诺索夫流**。

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的**线性阿诺索夫微分同胚**，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}换成{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}的条件下是成立的。

黎曼曲面（的切丛）上的阿诺索夫流
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负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设{\mathbb {H}}为上半平面，\Gamma 为福克斯群，{\displaystyle M=\mathbb {H} /\Gamma }为负曲率黎曼曲面，{\displaystyle T^{1}M}为流形M上的单位向量的切丛，{\displaystyle T^{1}\mathbb {H} }是{\mathbb {H}}的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

### 李向量场

注意{\displaystyle T^{1}\mathbb {H} }同构于李群{\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。{\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}的李代数是{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}，由以下矩阵表示

{\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}

{\displaystyle [J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J}

指数映射

{\displaystyle g\_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h\_{t}^{\*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h\_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}}

定义了流形{\displaystyle T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}上的右不变流，而{\displaystyle T^{1}M}与此类似。定义{\displaystyle P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M}，这些流定义了P和Q上的向量场。

### 阿诺索夫流

{\displaystyle g\_{t}}是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在{\displaystyle g\_{t}}下是左不变的。换句话说，空间{\displaystyle TP}和{\displaystyle TQ}分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛{\displaystyle TQ}可以写成直和

{\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素{\displaystyle g=g\_{t}}的作用下不变。

要比较不同点q处{\displaystyle T\_{q}Q}的向量的长度，需要有度量。{\displaystyle T\_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量{\displaystyle v\in E\_{q}^{+}}的长度在{\displaystyle g\_{t}}的作用下指数增大。向量{\displaystyle v\in E\_{q}^{-}}的长度在{\displaystyle g\_{t}}的作用下指数衰减。{\displaystyle E\_{q}^{0}}中的向量不变。测地流是不变的

{\displaystyle g\_{s}g\_{t}=g\_{t}g\_{s}=g\_{s+t}}

但另外两个分别是衰减和增大的：

{\displaystyle g\_{s}h\_{t}^{\*}=h\_{t\exp {(-s)}}^{\*}g\_{s}}

{\displaystyle g\_{t}h\_{t}=h\_{t\exp {s}}g\_{s}}

其中{\displaystyle E\_{q}^{+}}中的切向量由曲线{\displaystyle h\_{t}}在t=0处的导数给出。

### 阿诺索夫流的几何解释

当作用在上半平面的点{\displaystyle z=i}时，{\displaystyle g\_{t}}对应了上半平面的一条过点{\displaystyle z=i}的测地线。这个作用就是{\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

{\displaystyle g\_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}}

一般的测地线

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}}

式中{\displaystyle a,b,c,d}是实数，且ad-bc=1。曲线{\displaystyle h\_{t}^{\*}}与{\displaystyle h\_{t}}称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

另见
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* 莫尔斯-斯梅尔系统
* 伪阿诺索夫映射

参考资料
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* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system （页面存档备份，存于）", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Anthony Manning, *Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature*, (1991), appearing as Chapter 3 in *Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces*, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X *(Provides an expository introduction to the Anosov flow on* SL(2,**R**).)
* *This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.*
* Toshikazu Sunada(砂田 利一), *Magnetic flows on a Riemann surface*, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.