**提示**：此条目的主题不是**楓樹**。 

MAPLE是一個符號運算和數值計算軟體平臺

總覽
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### 核心功能

用戶能够直接使用傳統數學符號进行輸入，也可以定制个性化的界面。对于数值计算有额外的支持，能够扩展到任意精度，同时亦支持符號演算及可视化。符號演算的例子参见下文。Maple内建有一种动态的命令行风格的编程语言，该语言支持具有作用域的变量。同时亦有其他語言的接口（C、FORTRAN、Java、Matlab和Visual Basic）。还具有与Excel进行交互的接口。

### 架构

Maple由一个很小的由C语言编写的内核提供Maple语言。许多功能由各种来源的函数库提供。许多数值计算由NAG数值计算库, ATLAS库, GNU多精度库提供。大部分库由Maple语言编写，并且可查看源代码。

Maple中不同的功能需要不同格式的数值数据。符号表达式在内存中以有向无环图的形式存储。标准界面和计算界面由Java语言编写。经典界面由C语言编写。

版本
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| 版本 | 年份 |
| --- | --- |
| Maple 1.0 | 1982年1月 |
| Maple 1.1 | 1982年 |
| Maple 2.0 | 1982年5月 |
| Maple 2.1 | 1982年6月 |
| Maple 2.15 | 1982年8月 |
| Maple 2.2 | 1982年12月 |
| Maple 3.0 | 1983年5月 |
| Maple 3.1 | 1983年10月 |
| Maple 3.2 | 1984年4月 |
| Maple 3.3 | 1985年3月（第一個公開版本） |
| Maple 4.0 | 1986年4月 |
| Maple 4.1 | 1987年5月 |
| Maple 4.2 | 1987年12月 |
| Maple 4.3 | 1989年3月 |
| Maple V | 1990年8月 |
| Maple V R2 | 1992年11月 |
| Maple V R3 | 1994年3月15日 |
| Maple V R4 | 1996年1月 |
| Maple V R5 | 1997年11月1日 |
| Maple 6 | 2000年1月31日 |
| Maple 6.01 | ？年？月 |
| Maple 6.02 | ？年？月 |
| Maple 7.00 | 2001年5月28日 |
| Maple 7.01 | ？年？月 |
| Maple 8.00 | 2002年4月22日 |
| Maple 9.00 | 2003年6月30日 |
| Maple 9.01 | 2003年7月10日 |
| Maple 9.02 | 2003年？月 |
| Maple 9.03 | 2003年11月5日 |
| Maple 9.50 | 2004年4月7日 |
| Maple 9.51 | 2004年8月17日 |
| Maple 9.52 | 2005年1月21日 |
| Maple 10 | 2005年5月13日 |
| Maple 10.01 | 2005年？月 |
| Maple 10.02 | 2005年11月8日 |
| Maple 10.03 | ？年？月 |
| Maple 10.04 | 2006年5月30日 |
| Maple 10.05 | 2006年6月9日 |
| Maple 10.06 | 2006年10月2日 |
| Maple 11.0 | 2007年2月17日 |
| Maple 11.01 | 2007年7月10日 |
| Maple 11.02 | 2007年11月10日 |
| Maple 12.0 | 2008年4月10日 |
| Maple 12.01 | 2008年10月 |
| Maple 12.02 | 2008年12月 |
| Maple 13.0 | 2009年4月13日 |
| Maple 13.01 | 2009年7月8日 |
| Maple 13.02 | 2009年7月8日 |
| Maple 14.00 | 2010年4月5日 |
| Maple 14.01 | 2010年10月28日 |
| Maple 15 | 2011年4月13日 |
| Maple 15.01 | 2011年6月2日 |
| Maple 16 | 2012年3月28日 |
| Maple 16.01 | 2012年5月16日/8月27日 |
| Maple 16.02 | 2012年11月18日 |
| Maple 17.00 | 2013年2月21日/3月13日/4月10日 |
| Maple 18.00 | 2014年3月6日 |
| Maple 18.01 | 2014年5月 |
| Maple 18.01a | 2014年7月 |
| Maple 18.02 | 2014年11月 |
| Maple 2015 | 2015年3月 |
| Maple 2015.1 | 2015年11月 |
| Maple 2016 | 2016年3月2日 |
| Maple 2016.1 | 2016年4月20日 |
| Maple 2016.1.a | 2016年4月27日 |
| Maple 2017 | 2017年5月25日 |
| Maple 2017.1 | 2017年6月28日 |
| Maple 2017.2 | 2017年8月2日 |
| Maple 2017.3 | 2017年10月3日 |
| Maple 2018.0 | 2018年3月21日 |
| Maple 2019.0 | 2019年3月14日 |

Maple代码示例
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简单指令式程序的构造：

```
myfac := proc(n::nonnegint)
 local out, i;
 out := 1;
 for i from 2 to n do
 out := out \* i
 end do;
 out
end proc;

```

一些简单的函数也可以使用直观的箭头表示法表示

```
myfac := n -> product( i, i=1..n );
```

### 开方

evalf[100](2^1/12)

1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569

### 求根

f:=x^2-63\*x+99=0;

solve(f,x);

{\frac {63}{2}}+{\frac {3}{2}}\*{\sqrt (}397), {\frac {63}{2}}-{\frac {3}{2}}\*{\sqrt (}397)

f := x^7+3\*x = 7;

solve(f,x); 

RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 1),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 2),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 3),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 4),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 5),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index = 5),
RootOf(Z^{7}+3Z-7, index =7),
evalf(%);

* (1.1922047171828134),
* (0.8658388666792263) + (0.9230818802764879) I,
* (0.2099602786426775) + (1.3442579297631496) I,
* (1.2519809466279554) + (0.6424819505558892) I,
* (1.2519809466279554) - (0.6424819505558892) I,
* (0.2099602786426775) - (1.3442579297631496) I,
* (0.8658388666792263) - (0.9230818802764879) I

  

f := sin(x)^3+5\*cosh(x) = 0;

  

sin^{3}(x)+5cosh(x)=0

> solve(f, x);

  

RootOf(sin^{3}(Z)-arccosh({\frac {-1}{5}}sin(Z)))

> evalf(%);

0.2873691672 - 1.111497506 I
### 求解方程和不等式

根据x-y>6，寻找(x+y)^{5}=9的所有整数解。  

```
solve({x-y > 6, (x+y)^5 = 9}, [x, y])[];
```

答案：
[x=3^{{2/5}}-y,\quad y<{\frac {1}{2}}3^{{2/5}}-3]

### 方程组

代数方程组
> p1 := x\*y\*z-x\*y^2-z-x-y; p2 := x\*z-x^2-z-y+x; p3 := z^2-x^2-y^2;
> sys := {p1, p2, p3};
> var := {x, y, z};

> solve(sys, var);
{x = 0, y = y, z = -y}, {x = 3, y = 4, z = 5}, {x = 1, y = 0, z = -1}
三角方程组
> f1 := cos(x)+sin(3\*y)+tan(5\*z) = 0;

> f2 := cos(3\*z)+tan(3\*y^2)-sin(2\*z^3) = 33;
> f3 := tan(4\*x+y)-sin(5\*y-4\*z) = 2\*x;

> sys1 := {f1, f2, f3};
> var1 := {x, y, z};
{x, y, z}
> fsolve(sys1, var1);
{x = -10.77771790, y = -2.397849343, z = -7.382158103}
### 超幾何函數

### 矩阵与行列式

计算矩阵的行列式。  

```
M:= Matrix([[1,2,3]], [a,b,c], [[x,y,z]]);  # 矩阵样例
```

{\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}

```
with(LinearAlgebra)
```

```
m:=Determinant(M);
```

答案：bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb

朗斯基行列式
with(VectorCalculus);

w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = x, (1, 3) = x^3+x-1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 3\*x^2+1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 6\*x})

d:=Determinant(w);

6x
雅可比矩阵
J := Jacobian([r\*sin(t)), r^2\*cosh(t)], [r, t]);

m:=Matrix(2, 2, {(1, 1) = cos(t), (1, 2) = -r\*sin(t), (2, 1) = sinh(t), (2, 2) = r\*cosh(t)})

d:=Determinant(m);

sin(t)\*r^2\*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t)

海森矩阵
f := x^3+y\*cos(x)+t\*tan(y))

with(VectorCalculus);

h:=hessian(f,[x,y,t]);

{\begin{bmatrix}6\*x-y\*cos(x)&-sin(x)&0\\-sin(x)&2\*t\*tan(y)\*(1+tan(y)^{2})&1+tan(y)^{2}\\0&1+tan(y)^{2}&0\end{bmatrix}}

### 积分

求\int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)dx.  

```
int(cos(x/a), x);
```

答案：a\sin \left({\frac {x}{a}}\right)

求\int \sin \left({\frac {x}{a}}\right)dx.  

```
int(sin(x/a), x);
```

答案：-a\cos \left({\frac {x}{a}}\right)

注意：Maple在积分时不提供常数项C，必须自行补上。

定积分
> int(cos(x/a), x = 1 .. 5);

  

16 a sin（1/a)\* cos^4(1/a) - 12 a sin^2(1/a)
### 求解线性微分方程

计算以下线性常微分方程的一个精确解{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)-3y(x)=x初始条件为y(0)=0,\quad \left.{\frac {dy}{dx}}\right|\_{{x=0}}=2  

```
dsolve( {diff(y(x),x,x) - 3*y(x) = x, y(0)=0, D(y)(0)=2}, y(x) );
```

答案：y(x)={\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{{{\sqrt {3}}x}}-{\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{{-{\sqrt {3}}x}}-{\frac {1}{3}}x

### 非线性常微分方程

```
dsolve(diff(y(x), x, x) = x^2*y(x))
```

解：

{\displaystyle y(x)=C\_{1}{\sqrt {(}}x)}BesselI({1 \over 4},{1 \over 2}x^{2})
+C\_{{2}}{\sqrt (}x)BesselK({1 \over 4},{1 \over 2}x^{2})

### 级数展开

```
series(tanh(x),x=0,15)
```

{\displaystyle x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}-{\frac {17}{315}}\,x^{7}}
{\displaystyle +{\frac {62}{2835}}\,x^{9}-{\frac {1382}{155925}}\,x^{11}+{\frac {21844}{6081075}}\,x^{13}+{\mathcal {O}}(x^{15})}

```
f:=int(exp^cosh(x),x)
series(f,x=0,15);
```

{\displaystyle ex+{\frac {1}{6}}ex^{3}+{\frac {1}{30}}ex^{5}+{\frac {31}{5040}}ex^{7}+{\frac {379}{362880}}ex^{9}}
{\displaystyle +{\frac {149}{907200}}ex^{11}+{\frac {150349}{6227020800}}ex^{13}+{\frac {4373461}{1307674368000}}ex^{15}+{\mathcal {O}}(x^{17})}
### 拉普拉斯变换

with(inttrans);

拉普拉斯变换
> f := (1+A\*t+B\*t^2)\*exp(c\*t);

(1+A\*t+B\*t^{2})\*e^{{c\*t}}

> laplace(f, t, s);

{\frac {1}{s-c}}+{\frac {A}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2B}{(s-c)^{3}}}

反拉普拉斯变换
invlaplace(1/(s-a),s,x)

e^{{ax}}

z := y(t);

y(t)
f := diff(z, t, t)+a\*(diff(z, t)) = b\*z;
{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)

with(inttrans);

  

g := laplace(f, t, s);

s^2\*laplace(y(t), t, s) - D(y)(0) - s y(0)

+ a s^2 laplace(y(t), t, s) - a y(0) = b laplace(y(t), t, s)
invlaplace(g, s, t);
{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)

### 傅里叶变换

with(inttrans);

fourier(sin(x),x,w)

\Pi \*(Dirac(w-1)+Dirac(w+1))

### 绘制单变量函数图形

绘制函数y=x\cdot \sin x，x\in (-10,10)

```
plot(x*sin(x),x=-10..10);
```

### 绘制双变量函数

绘制函数x^{2}+y^{2}，x和y的范围为 -1到1  

```
plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1);
```

### 绘制函数动画

|  |  |
| --- | --- |
|  | 維基教科書中的相關電子：**绘制函数动画图** |

二维动画
f:=2\*k^{2}/cosh(k\*(x-4\*k^{2}\*t))^{2}

with(plots);

animate(subs(k = .5, f), x = -30 .. 30, t = -10 .. 10, numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);

|  |  |
| --- | --- |
| 钟形孤立子 | 三维函数动画 |

三维动画
with(plots)

animate3d(cos(t\*x)\*sin(3\*t\*y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi, t = 1 .. 2)

### 求解偏微分方程组

求解偏微分方程组

{{\frac {\partial }{\partial x}}}v\left(x,t\right)=-u\left(x,t\right)v\left(x,t\right)
{{\frac {\partial }{\partial t}}}v\left(x,t\right)=-v\left(x,t\right){{\frac {\partial }{\partial x}}}u\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\left(u\left(x,t\right)\right)^{{2}}
{{\frac {\partial }{\partial t}}}u\left(x,t\right)+2\,u\left(x,t\right){{\frac {\partial }{\partial x}}}u\left(x,t\right)-{{\frac {\partial ^{{2}}}{\partial {x}^{{2}}}}}u\left(x,t\right)=0
条件为v(x,t)\neq 0.

```
eqn1:= diff(v(x, t), x) = -u(x,t)*v(x,t):
eqn2:= diff(v(x, t), t) = -v(x,t)*(diff(u(x,t), x))+v(x,t)*u(x,t)^2:
eqn3:= diff(u(x,t), t)+2*u(x,t)*(diff(u(x,t), x))-(diff(diff(u(x,t), x), x)) = 0:
pdsolve({eqn1,eqn2,eqn3,v(x,t)<>0},[u,v]): op(%);
```

答案： v\left(x,t\right)={e^{{{\sqrt {{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}}}x}}}{{\it {\\_C3}}}\,{e^{{{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}t}}}{{\it {\\_C1}}}+{{\frac {{{\it {\\_C3}}}\,{e^{{{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}t}}}{{\it {\\_C2}}}}{{e^{{{\sqrt {{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}}}x}}}}}},\ \ u\left(x,t\right)=-{{\frac {{\sqrt {{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}}}\left({{\it {\\_C1}}}\,\left({e^{{{\sqrt {{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}}}x}}}\right)^{{2}}-{{\it {\\_C2}}}\right)}{{{\it {\\_C1}}}\,\left({e^{{{\sqrt {{{\it {\\_c}}}\_{{{1}}}}}x}}}\right)^{{2}}+{{\it {\\_C2}}}}}}

### 积分方程

寻找函数f满足积分方程
f(x)-3\int \_{{-1}}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x).  

```
eqn:= f(x)-3*Integrate((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):
intsolve(eqn,f(x));
```

答案：f\left(x\right)=\int \_{{-1}}^{{1}}\!\left(-15\,{x}^{{2}}{y}^{{2}}-3\,xy\right)h\left(y\right){dy}+h\left(x\right)

参考文献
----

* 何青 王丽芬编著《Maple教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
* David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
* George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

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|  | 維基教科書中的相關電子：**Maple** |

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|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**Maple** |

1. ↑ . 2023年3月9日  [2023年7月19日].

外部链接
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* Maple主页 （页面存档备份，存于）

参见
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* Maxima
* MATLAB
* GNU Octave
* Scilab
* Mathematica

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