向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合
**向量空間**是一群可**縮放**和**相加的**數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後**仍屬於這個集合**。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。

正式定義
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給定域 {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 和某集合 V ，它們具有了以下兩種运算（函数）：

* **向量加法** {\displaystyle \oplus :V\times V\to V} （其中 {\displaystyle \oplus (u,\,v)} 慣例上簡記為 {\displaystyle u\oplus v} ）
* **标量乘法** {\displaystyle \cdot :K\times V\to V} （其中 {\displaystyle \cdot \,(a,\,v)} 慣例上簡記為 {\displaystyle a\cdot v} 甚至是 {\displaystyle av} ）

且這兩種運算滿足：（**特別注意** + 和 \times 是域 K 是本身具有的加法和乘法）

| 名稱 | 前提條件 | 內容 |
| --- | --- | --- |
| 向量加法 | 的单位元與逆元素 | 存在 V 的元素 {\displaystyle e\in V} 對所有 {\displaystyle u\in V} | 有 {\displaystyle e\oplus u=u\oplus e=u} |
| 且存在 {\displaystyle w\in V} 使得 {\displaystyle w\oplus u=u\oplus w=e} |
| 的结合律 | 對所有 {\displaystyle u,\,v,\,w\in V} | {\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w} |
| 的交换律 | 對所有 {\displaystyle u,\,v\in V} | {\displaystyle u\oplus v=v\oplus u} |
| 标量乘法 | 的单位元 | 對所有 {\displaystyle u\in V} | 若 {\displaystyle 1\_{K}\in K} 是 K 的乘法单位元，則 {\displaystyle 1\_{K}\cdot u=u} |
| 对向量加法的分配律 | 對所有 {\displaystyle u,\,v\in V} 和所有 {\displaystyle a\in K} | {\displaystyle a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v} |
| 对域加法的分配律 | 對所有 {\displaystyle u\in V} 和所有 {\displaystyle a,\,b\in K} | {\displaystyle (a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u} |
| 与域乘法 | {\displaystyle a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v} |

這樣稱 「 V 為定義在域 K 上的**向量空間**」，而 V 裡的元素 {\displaystyle u\in V} 被稱為**向量**；域 K 裡的元素 {\displaystyle a\in K} 被稱為**标量**。這樣域 K 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 K 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 \oplus  也可以簡寫成 + 。

前四個條件規定 {\displaystyle \left(V,\,\oplus \right)} 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 是個域，且 V 是一個 {\displaystyle K-}模」。

基本性质
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以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

**定理** (1) — 向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 {\displaystyle 0\_{V}} 代表「向量加法 \oplus  的唯一單位元」，並稱之為 V 的零向量。

在不跟标量域的加法單位元 {\displaystyle 0\_{K}\in K} 混淆的情況下，零向量 **{\displaystyle 0\_{V}\in V}** 也可以簡寫成 **{\displaystyle 0}** 。

**定理** (2) — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 {\displaystyle u^{-1}} 代表「向量 u 在向量加法 \oplus  下的唯一逆元素」，甚至可以把 {\displaystyle v\oplus u^{-1}} 簡記為 {\displaystyle v\ominus u} ，並暱稱為**向量減法**。在不跟标量的加法混淆的情況下， {\displaystyle u^{-1}} 也可記為 {\displaystyle -u} ； {\displaystyle v\ominus u} 也可記為 {\displaystyle v-u} 。

**定理** (3) — 對所有的純量 {\displaystyle a\in K} 都有 {\displaystyle a\cdot 0\_{V}=0\_{V}} 。（零向量的伸縮還是零向量）

**證明**
考慮到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性質會有

{\displaystyle a\cdot 0\_{V}=a\cdot (0\_{V}+0\_{V})=a\cdot 0\_{V}+a\cdot 0\_{V}}
那取向量 {\displaystyle u\in V} 為 {\displaystyle a\cdot 0\_{V}} 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有

{\displaystyle {\begin{aligned}0\_{V}&=u+a\cdot 0\_{V}\\&=u+(a\cdot 0\_{V}+a\cdot 0\_{V})\\&=(u+a\cdot 0\_{V})+a\cdot 0\_{V}\\&=0\_{V}+a\cdot 0\_{V}\\&=a\cdot 0\_{V}\\\end{aligned}}}

故得証。{\displaystyle \Box }

**定理** (4) — 對所有的向量 {\displaystyle u\in V} ，若純量 {\displaystyle 0\_{K}\in K} 是域加法的单位元，則 {\displaystyle 0\_{K}\cdot u=0\_{V}} 。

**證明**
考慮到域 K 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律的話有

{\displaystyle 0\_{K}\cdot u=(0\_{K}+0\_{K})\cdot u=0\_{K}\cdot u+0\_{K}\cdot u}
那取向量 {\displaystyle w\in V} 為 {\displaystyle 0\_{K}\cdot u} 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有

{\displaystyle 0\_{V}=w+0\_{K}\cdot u=w+(0\_{K}\cdot u+0\_{K}\cdot u)=(w+0\_{K}\cdot u)+0\_{K}\cdot u=0\_{V}+0\_{K}\cdot u=0\_{K}\cdot u}
故得証。{\displaystyle \Box }

**定理** (5) — 對所有的向量 {\displaystyle u\in V} 和标量 {\displaystyle a\in K} ，如果 {\displaystyle a\cdot u=0\_{V}} ，则 {\displaystyle u=0\_{V}} 或 {\displaystyle a=0\_{K}} ( 其中 {\displaystyle 0\_{K}\in K} 是域加法的单位元)。

**證明**
若 {\displaystyle K=\{0\_{K}\}} ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 {\displaystyle K\neq \{0\_{K}\}} 的狀況。

假設存在向量 {\displaystyle u\in V} 和标量 {\displaystyle a\in K} 滿足 {\displaystyle u\neq 0\_{V}} 且 {\displaystyle a\neq 0\_{K}} ，但 {\displaystyle a\cdot u=0\_{V}} 。若以 {\displaystyle 1\_{K}\in K} 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有

{\displaystyle {\begin{aligned}u&=1\_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}}

那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有

{\displaystyle {\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}}

那再套用定理(3)和前提假設會有

{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0\_{V}\\&=0\_{V}\end{aligned}}}

這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 {\displaystyle u\in V} 和所有标量 {\displaystyle a\in K} ，只有可能「 {\displaystyle u=0\_{V}} 或 {\displaystyle a=0\_{K}} 」或「{\displaystyle a\cdot u\neq 0\_{V}}」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。\Box 

**定理** (6) — 如果 {\displaystyle -a\in K} 是 {\displaystyle a\in K} 的域加法逆元素，那對所有的向量 {\displaystyle u\in V} ，{\displaystyle a\cdot u} 的向量加法逆元素必為 {\displaystyle -a\cdot u} 。

**證明**
以下設純量 {\displaystyle 0\_{K}\in K} 是域加法的单位元。

考慮到域 K 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律會有

{\displaystyle 0\_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u}
{\displaystyle 0\_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u}
然後考慮到前面的定理(4)，就有

{\displaystyle 0\_{V}=0\_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u}
{\displaystyle 0\_{V}=0\_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u}
然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 {\displaystyle a\cdot u} 的加法逆元素必為 {\displaystyle -a\cdot u} 。{\displaystyle \Box }

**系理** — 如果 {\displaystyle {-1}\_{K}\in K} 是域加法單位元 {\displaystyle 1\_{K}\in K} 的域加法逆元素，那對所有的向量 {\displaystyle u\in V} ，其向量加法逆元素必為 {\displaystyle {-1}\_{K}\cdot u} 。

額外結構
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研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

* 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為**賦範向量空間**。
* 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為**內積空間**。
* 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為**拓撲向量空間**。
* 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為**域代數**。

例子
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對一般域*F*，*V*记為*F*-**向量空間**。若*F*是實數域ℝ，则*V*稱為**實數向量空間**；若*F*是複數域ℂ，则*V*稱為**複數向量空間**；若*F*是有限域，则*V*稱為**有限域向量空間**。

最简单的*F*-向量空間是*F*自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当*F*是实数域ℝ时，可以验证对任意实数*a*、*b*以及任意实数**u**、**v**、**w**，都有：

1. **u +** (**v + w**) = (**u + v**) **+ w**，
2. **v + w** = **w + v**，
3. 零元素存在：零元素**0**满足：对任何的向量元素**v**，**v** + **0** = **v**，
4. 逆元素存在：对任何的向量元素**v**，它的相反数**w** = **−v**就满足**v** + **w** = **0**。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：*a*(**v + w**) = *a* **v** **+** *a***w**.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(*a* + *b*)**v** = *a* **v** **+** *b* **v**.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：*a*(*b***v**) =(*ab*)**v**。
8. 标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数"1"满足：对任意实数**v**，1**v** = **v**。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点P都有一个坐标P(x,y)，并对应着一个向量(x, y)。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x, y)。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为v=(a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n})，其中的a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n}都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

\forall \lambda \in {\mathbb {R}},\,v=(a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n})\in {\mathbb {R}}^{n},\,w=(b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}，
v+w=(a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n})+(b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n})=(a\_{1}+b\_{1},a\_{2}+b\_{2},\cdots ,a\_{n}+b\_{n})
\lambda v=\lambda (a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n})=(\lambda a\_{1},\lambda a\_{2},\cdots ,\lambda a\_{n})
可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合{\mathbb {R}}[X]。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，{\mathbb {R}}[X]也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合{\mathcal {C}}({\mathbb {R}},{\mathbb {R}})也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

### 方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是**0**的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

3x+2y-z=0
x+5y+2z=0
如果(x\_{1},y\_{1},z\_{1})和(x\_{2},y\_{2},z\_{2})都是解，那么可以验证它们的"和"(x\_{1}+x\_{2},y\_{1}+y\_{2},z\_{1}+z\_{2})也是一组解，因为：

3(x\_{1}+x\_{2})+2(y\_{1}+y\_{2})-(z\_{1}+z\_{2})=(3x\_{1}+2y\_{1}-z\_{1})+(3x\_{2}+2y\_{2}-z\_{2})=0
(x\_{1}+x\_{2})+5(y\_{1}+y\_{2})+2(z\_{1}+z\_{2})=(x\_{1}+5y\_{1}+2z\_{1})+(x\_{2}+5y\_{2}+2z\_{2})=0
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的"向量加法"和"标量乘法"满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

f''+4xf'+\cos(x)f=0
出于和上面类似的理由，方程的两个解f\_{1}和f\_{2}的和函数f\_{1}+f\_{2}也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底
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如果一個向量空間**V**的一個非空子集合**W**对于**V**的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意**W**中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在**W**之中），那么将**W**称为**V**的**線性子空間**（简称子空间）。**V**的子空间中，最平凡的就是空間**V**自己，以及只包含**0**的子空间{0}。

給出一個向量集合**B**，那么包含它的最小子空間就稱為它的**生成子空間**，也称**線性包络**，记作span(**B**)。

給出一個向量集合**B**，若它的生成子空间就是向量空間**V**，则稱**B**為**V**的一个**生成集**。如果一个向量空間**V**拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱**V**是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間**V**的線性獨立子集，稱為這個空間的**基**。若**V**={**0**}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間**V**，基是**V**"最小"的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基**B**之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：{\mathbf {B}}=\left\{e\_{1},e\_{2},\cdots ,e\_{n},\cdots \right\}，那么空间中的每一个向量**v**便可以通过座標系統來呈現：

v=\lambda \_{1}e\_{1}+\lambda \_{2}e\_{2}+\cdots +\lambda \_{n}e\_{n}+\cdots 
这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的**維度**。当**V**是一个有限维空间时，**任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度**。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的維度就是*n*。在一个有限维的向量空间（维度是**n**）中，**确定一组基{\mathbf {B}}=\left\{e\_{1},e\_{2},\cdots ,e\_{n}\right\}，那么所有的向量都可以用**n**个标量来表示**。比如说，如果某个向量**v**表示为：

v=\lambda \_{1}e\_{1}+\lambda \_{2}e\_{2}+\cdots +\lambda \_{n}e\_{n}
那么v可以用数组v=(\lambda \_{1},\lambda \_{2},\cdots ,\lambda \_{n})来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

e\_{1}=(1,0,\cdots ,0)
e\_{2}=(0,1,\cdots ,0)
e\_{n}=(0,0,\cdots ,1)
可以证明，存在从任意一个**n**维的\mathbf {F} -向量空间到空间{\mathbf {F}}^{n}的双射。这种关系称为同构。

線性映射
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給定兩個系数域都是**F**的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数**f**：

f:\,V\rightarrow W
\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)
所有线性变换的集合记为{\mathcal {L}}(V,W)，这也是一个系数域为**F**的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，{\mathcal {L}}(V,W)中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）**同构**，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為**同構的**。如果向量空間V和W之间存在同构f:\,V\rightarrow W，那么其逆映射g:\,W\rightarrow V也存在，并且对所有的x\in V,\,y\in W，都有：

g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y

參考文獻
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* 《中国大百科全书》
* Howard Anton and Chris Rorres. *Elementary Linear Algebra*, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. *Linear Algebra*, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. *Schaum's Outline of Linear Algebra*, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, *Historia Mathematica* **22** (1995), no. 3, 262-303.
* Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

參考資料
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1. ↑  Roman 2005, ch. 1, p. 27

外部連結
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* 论
* 编
线性代数的相关概念 |
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