数学上，**共变导数**或称是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。

事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。

在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列維-奇維塔聯絡。

这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为**张量导数**)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。

本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。

一般概念
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向量**u**的沿着向量**v**的**共变导数** \nabla  (也写作**D**)是一个定义第三个称为\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}} (也作 **Dvu**)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。

在欧几里得空间的情形，如果有一个标准正交坐标系，一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。

在这样的系统中，平移其中一个向量到另一个的原点，保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。

但是在一般情况，我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），平移没有严谨的定义，而和它相似的概念，平行移动，依赖于向量被平移的路径。例如，在二维欧几里得平面极坐标中，导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何"转动"。在其他的情况下，还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转，交织，等等。

这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数 *t* 的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系({{\mathbf e}}\_{r},{{\mathbf e}}\_{{\theta }})中，其中{{\mathbf e}}\_{r} 和 {{\mathbf e}}\_{{\theta }}是极坐标中的单位切向量，用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后，极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。基向量的共变导数（克里斯托费尔符号可以表达这个变化）。

(可能最好不要把t看作时间参数，至少在广义相对论的应用中不要这样。它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。）


另一个例子:向量**e**在球上位于赤道上的一点Q，方向朝北。假设我们首先沿着赤道平行移动该向量直到P（然后保持它和自己平行））着子午线把它拖到北极N然后（保持方向）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生，它发生的原因是球的曲面上的*曲率*。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。

### 备注

定义中的向量 **u** 和 **v**  是定义在同一点 *p* 的。而且共变导数\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}也是 *p* 的一个向量。 

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。

导数的性质暗示者\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}依赖于*p*周围的情况，就像标量函数在一点*p*沿着曲线的导数依赖于*p*点周围一样。

在共变导数中关于点 *p* 围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率，挠率和测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语"共变导数"指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看"联络形式"中的"向量丛"的有关章节。

形式化定义
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### 函数

给定流形M上一点p和其上一个实函数f， f在p点沿\mathbf {v} 的共边导数是一个定义在p处的标量，记为{\displaystyle (\nabla \_{\mathbf {v} }f)\_{p}}，{\displaystyle (\nabla \_{\mathbf {v} }f)\_{p}}等于实函数f在p处沿向量**v**方向的通常导数，\nabla \_{{{\mathbf v}}}f也可以记为{{\mathbf v}}f 或者df({{\mathbf v}})。

### 向量场

向量场{{\mathbf u}} 在向量{{\mathbf v}}方向的**共变导数** \nabla 记为\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}} 对任意向量场 **u, v, w** 和标量函数*f*和*g*由下列性质定义:

1. \nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}} 对于{{\mathbf v}} 代数式线性所以\nabla \_{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+g\nabla \_{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}
2. \nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}} 对于{{\mathbf u}}可加，所以\nabla \_{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}
3. \nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}} 遵守乘积法则， 也就是说 \nabla \_{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\nabla \_{{{\mathbf v}}}f 其中\nabla \_{{{\mathbf v}}}f 如前所定义。

注意\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}在点*p*依赖于**v**在*p*点的值以及**u**在*p*的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

### 餘向量場

给定餘向量场(或者说1-形式) \alpha ，其共变导数 \nabla \_{{{\mathbf v}}}\alpha  可以用下边的对于所有向量场**u**都满足的恒等式来定义

\nabla \_{{{\mathbf v}}}(\alpha ({{\mathbf u}}))=(\nabla \_{{{\mathbf v}}}\alpha )({{\mathbf u}})+\alpha (\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).
餘向量场沿着一个向量场**v**的共变导数还是一个餘向量场。

### 张量场

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一张量场上，这要用如下的恒等式，其中\varphi 和\psi 是任意两个张量:

\nabla \_{{{\mathbf v}}}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla \_{{{\mathbf v}}}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla \_{{{\mathbf v}}}\psi ),
并且，若\varphi 和\psi 是同一个张量丛的张量场，则

\nabla \_{{{\mathbf v}}}(\varphi +\psi )=\nabla \_{{{\mathbf v}}}\varphi +\nabla \_{{{\mathbf v}}}\psi .
沿着向量场**v**的共变导数也还是同类型的张量场。

坐标表示
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给定坐标函数x^{i},\ i=0,1,2,...，任何切向量都可以用它的在基e\_{i}={\partial \over \partial x^{i}}中的分量表示。 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γk**e***k*，其中Γk 是分量（参看爱因斯坦记号)。 
要给定共变导数，给定每个基向量场**e***j* 沿着**e***i*的共变导数就可以了

\nabla \_{{{{\mathbf e}}\_{i}}}{{\mathbf e}}\_{j}=\Gamma ^{k}{}\_{{ij}}{{\mathbf e}}\_{k},
系数{\displaystyle \Gamma \_{ij}^{k}}称为**克里斯托费尔符号**。
然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场 {{\mathbf v}}=v^{i}e\_{i} and {{\mathbf u}}=u^{i}e\_{i} 可以得到

\nabla \_{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}=(v^{i}u^{j}\Gamma ^{k}{}\_{{ij}}+v^{i}{\partial u^{k} \over \partial x^{i}}){{\mathbf e}}\_{k},
这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场*u*的分量的变化。特别的有

\nabla \_{{{{\mathbf e}}\_{j}}}{{\mathbf u}}=\nabla \_{j}{{\mathbf u}}=\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}\Gamma ^{i}{}\_{{jk}}\right){{\mathbf e}}\_{i}
用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::

\nabla \_{j}{{\mathbf v}}\equiv v^{i}{}\_{{;j}}\;\;\;\;\;\;v^{i}{}\_{{;j}}=v^{i}{}\_{{,j}}+v^{k}\Gamma ^{i}{}\_{{kj}}
这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 v^{i}{}\_{{,j}}，而且是通过v^{k}\Gamma ^{i}{}\_{{kj}}依赖于向量**v**本身的。

相關條目
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* 联络
* 联络形式
* 列維-奇維塔聯絡
* 克里斯托費爾符號