**格蘭迪級數**（英語：），即{\textstyle 1-1+1-1+\cdots }，是由意大利數學家格蘭迪（英语：）在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：

\sum \_{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{n}
它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為{\displaystyle \,{\frac {1}{2}}}。

格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + …的特例（其中n為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。

簡介
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針對以下的格蘭迪級數

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一種求和方式是求它的裂項和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為发散几何级数，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即
2S = 1，
可得到S = {\tfrac {1}{2}}。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：

* 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。
* 格蘭迪級數的和為{\tfrac {1}{2}}。

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。

求和性
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### 穩定性及線性

對於格蘭迪級數{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots }，看似可以用以下的方式處理，得到數值{\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}}：

* 級數內的數兩兩相加或相減。
* 每一項乘以一個係數。
* 調整括弧順序。
* 在級數前面增加新的項。

不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}不是收斂級數，因此上述處理都不適用。

由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設{\textstyle \,s=1-1+1-1+\cdots \,}這樣的寫法有意義——其中的{\displaystyle \;s\;}為常數，那麼以下的計算將說明{\textstyle \;s={\frac {1}{2}}}：

{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} \_{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} \_{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}
因此，{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}。

再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

### 切薩羅和

条目：切薩羅求和
恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個{\displaystyle \;n\;}，計算前{\displaystyle \;n\;}項的和{\textstyle \;\sigma \_{n}\;}的平均，當{\displaystyle \;n\;}趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言，而數列 {\textstyle {\tfrac {s\_{1}+\cdots +s\_{n}}{n}}}的各項分別為

{\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,
而

\lim \_{{n\to \infty }}{\frac {s\_{1}+\cdots +s\_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}
因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 {\tfrac {1}{2}}。

也可以用廣義的切薩羅和{\displaystyle \;\left(C,a\right)\;}來計算。

發散性
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這個級數的部分和如下：

{\displaystyle {\begin{cases}S\_{1}=1\\S\_{2}=1-1=0\\S\_{3}=1-1+1=1\\S\_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}
由此得出另一個無窮序列：

{\displaystyle S\_{1},S\_{2},S\_{3},S\_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots }，
根據無窮級數的定義，

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim \_{n\to \infty }S\_{n}}
但是{\displaystyle \;S\_{n}\;}的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），所以{\displaystyle \;\lim \_{n\to \infty }S\_{n}\;}發散。

因此{\displaystyle \;\sum \_{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;}這個級數也發散。

格蘭迪級數的應用
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### 幂級數

以下的幂級數和格蘭迪級數有關，也是其母函数：

{\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}
### 狄拉克梳

格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：

\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum \_{{k=1}}^{\infty }\cos(kx).
若*x* = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos *kx* = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。

歐拉的聲明推測 

1+2\sum \_{{k=1}}^{\infty }\cos(kx)=0?
針對所有的*x*，此級數都發散，不過對於幾乎所有的*x*，切萨罗和均為0。不過在*x* = 2π*n*時，其級數發散，而且是狄拉克梳（英语：）的傅立葉級數。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、费耶核及泊松核（英语：）的極限有關。

### 狄利克雷级数

条目：狄利克雷η函数
將格蘭迪級數各項乘以1/*n**z*可以得到以下的狄利克雷级数

\eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum \_{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{z}}},
上述級數只有在實部大於0的複數*z*才會收斂，若令*z* = 0，即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的\eta (z)也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，\eta (z)的極值。

另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的\eta (z)可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，而且此函數為解析函数。若*z*的實部> −1，就可以用切薩羅和進行求和，因此η(0) = 1⁄2。

狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關：

{\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}
其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(*z*)和(1 − 21−*z*)相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函数，而後者的零点是在*z* = 1的簡單零點，因此可得ζ(*z*)為亚纯函数，只在*z* = 1有一個極點。

### 物理學

格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的费米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。

在光谱非对称性（英语：）領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如ζ函數正規化（英语：）就是其中的一種。

相關條目
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* icon数学主题

* 交錯級數

參考資料
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1. 1 2  Devlin, Keith.. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3.
2. 1 2  Davis, Harry F.. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑  Kline, Morris.. Mathematics Magazine. November 1983, **56** (5): 307. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371.
4. ↑  Knopp, Konrad.. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
5. ↑  Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}的計算提出了此推導過程。
6. ↑  Davis pp.152, 153, 157
7. ↑  Smail, Lloyd.. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
8. ↑  Ferraro, Giovanni.. Historia Mathematica. 2005, **34**: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004.
9. ↑  Davis pp. 153–159
10. ↑  Knopp pp. 491–492

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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
|  |
| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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|  |
| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
|  |
| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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