**正规扩张**是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张L/K是**正规扩张**当且仅当扩域L是多项式环*K*[*X*]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为"**准伽罗瓦扩张**"。正规扩张是代数扩张的一种。

定义
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正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

1. L是多项式环*K*[*X*]中的某一族多项式的分裂域。
2. 设*K*alg是一个包含了L的K的代数闭包。对于*L*在*K*alg上的每一个嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即为恒等映射：σ(x) = *x*），那么就有σ(*L*) = *L*。换句话说，L在*K*alg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构。
3. 任意一个*K*[*X*]上的不可约多项式，只要它在L中有一个根，那么就可以在*L*[*X*]分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在L中）。

例子
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{\mathbb {Q}}({\sqrt {2}})是\mathbb{Q}的一个正规扩张，因为它是\mathbb{Q}上的多项式{\displaystyle x^{2}-2}的分裂域。然而，{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}并不是\mathbb{Q}的一个正规扩张，因为\mathbb{Q}上的不可约多项式{\displaystyle x^{3}-2}有一个根：{\sqrt[ {3}]{2}}在{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}里面，但它的另外两个根：{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}和{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}都是複數，不在{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}里面。只有在加入了三次单位根：{\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}后的扩域{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}不是\mathbb{Q}的正规扩张。设域\mathbb{A}是由所有复代数数生成的扩域，则\mathbb{A}是\mathbb{Q}的一个代数闭包，并且{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}在\mathbb{A}里面。另一方面，

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}
并且，如果记{\displaystyle \zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}是{\displaystyle x^{3}-2}的复根之一，那么映射：

{\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}}
是{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}在\mathbb{A}上的一个嵌入，并且它限制在\mathbb{Q}上的部分是平凡的（将\mathbb{Q}中元素映射到自己）。但是σ并不是{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}上的自同构。

更一般地，对每一个素数p，域扩张{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta \_{p})}都是\mathbb{Q}的一个正规扩张，扩张的次数是p(*p* - 1)。{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta \_{p})}是\mathbb{Q}上的多项式{\displaystyle x^{p}-2}的分裂域。其中的{\displaystyle \zeta \_{p}}是任意一个复数p次单位根。

性质
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设有域扩张L/K，那么：

* 如果L是K的正规扩张，并且F是一个子扩张（也就是说有扩张K⊂F⊂L）那么L也是F的正规扩张。
* 如果L的子域E和F都是K的正规扩张，那么两者的复合扩张EF（指L的子域中同时包含E和F的最小者）以及两者的交E∩F也都是K的正规扩张。

正规闭包
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设有域扩张L/K，那么总存在域扩张M/L，使得M/K是正规扩张。在同构意义上，"最小"的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张，那么总存在N/L的子扩张M'/L，使得M'同构于M。这个唯一的"最小"正规扩张M/L称为域扩张L/K的**正规闭包**。

如果L/K是有限扩张，那么它的正规闭包M/L也是有限扩张（因此M/K也是有限扩张）。

参见
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* 伽罗瓦扩张

参考来源
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* Lang, Serge.. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
* Jacobson, Nathan,  2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9

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* 编
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