3维单纯形，也叫四面体。
几何学上，**单纯形**或者***n*-单纯形**是和三角形类似的*n*维几何体。精确的讲，单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的（*n*+1）个仿射无关（也就是没有*m-1*维平面包含*m*+1个点；这样的点集被称为处于一般位置）的点的集合的凸包。

例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，而4-单纯形是一个五胞体（每种情况都包含内部）。

**正单纯形**是同时也是正多胞形的单纯形。正*n*-单纯形可以从正(*n* − 1)-单纯形通过将一个新顶点用同样的边长连接到所有旧顶点构造。

基础
--

任何*n+1*点集的非空子集的凸包定义了一个n-单纯形，称为该n-单纯形的**面**。面本身也是单纯形。（*n+1*点）的*m+1*子集的凸包是一个m-单纯形，称为n-单纯形的***m*-面**。 0-面（也即，一个点构成的面）称为**顶点**，而1-面称为**边**，(*n* − 1)-面称为**面片**，而*n*-面就是*n*-单纯形本身。一般来讲，*m*-面的个数等于二项式系数 *C*(*n* + 1, *m* + 1)。因此，*n*-单纯形的*m*-面的个数可以在杨辉三角形的第(*n*+1)行和第(*m*+1)列找到。*面*和*面片*在描述单纯复形中的单纯形的类型时可能有不同的含义。参看单纯复形#定义。

**正单纯形**族是三族正多胞体的第一组，Coxeter将之记为*αn*，其它两类为正轴体，记为*βn*，和超立方体，记为*γn*。第四组，超立方体的无穷分割被记为*δn*。


單純形的元素|  | m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | Δn | αn | 正投影圖 | n-單體 | 名称施莱夫利符号考克斯特符号（英语：） | 顶点 | 棱 | 面 | 胞(3維面) | *4*維面 | **5**維面 | **6**維面 | **7**維面 | **8**維面 | **9**維面 | **10**維面 | **總和**= 2*n*+1 − 1 |
| -1 | Δ-1 | α-1 |  | -1-單體 | 空多胞形
}{​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ | ​ |  | 0 |
| 0 | Δ0 | α0 |  | 0-單體 | 顶点
()​ | 1 | 1 |
| 1 | Δ1 | α1 |  | 1-單體 | 线段
{}node_1 ​ | 2​ | 1 | 3 |
| 2 | Δ2 | α2 |  | 2-單體 | 三角形
node_1 3 node 3 node {3,3}​ | 3​ | 3​ | 1 | 7 |
| 3 | Δ3 | α3 |  | 3-單體 | 四面體
node_1 3 node 3 node 3 node {3,3,3}​ | 4​ | 6​ | 4​ | 1 | 15 |
| 4 | Δ4 | α4 |  | 4-單體 | 五胞体（英语：）
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3}​ | 5​ | 10​ | 10​ | 5​ | 1 | 31 |
| 5 | Δ5 | α5 |  | 5-單體 | 五維正六胞體
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3}​ | 6​ | 15​ | 20​ | 15​ | 6​ | 1 | 63 |
| 6 | Δ6 | α6 |  | 6-單體 | 六維正七胞體
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3,3}​ | 7​ | 21​ | 35​ | 35​ | 21​ | 7​ | 1 | 127 |
| 7 | Δ7 | α7 |  | 7-單體 | 七維正八胞體
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3,3,3}​ | 8​ | 28​ | 56​ | 70​ | 56​ | 28​ | 8​ | 1 | 255 |
| 8 | Δ8 | α8 |  | 8-單體 | 八維正九胞體（英语：）
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3,3,3,3}​ | 9​ | 36​ | 84​ | 126​ | 126​ | 84​ | 36​ | 9​ | 1 | 511 |
| 9 | Δ9 | α9 |  | 9-單體 | 九維正十胞體（英语：）
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3,3,3,3,3}​ | 10​ | 45​ | 120​ | 210​ | 252​ | 210​ | 120​ | 45​ | 10​ | 1 | 1023 |
| 10 | Δ10 | α10 |  | 10-單體 | 十維正十一胞體
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}​ | 11​ | 55​ | 165​ | 330​ | 462​ | 462​ | 330​ | 165​ | 55​ | 11​ | 1 | 2047 |

列表所用MAPLE公式
-----------

* 使用（combstruct）:for n from 0 to 11 do seq(count(Combination(n), size=m) , m = 1 .. n) od;
* OEIS A135278

标准单纯形
-----

**R**3中的标准2-单纯形
**标准*n*-单纯形**(或称**单位*n*-单纯形**)是**R***n*+1的子集：

{\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t\_{0},\cdots ,t\_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum \_{i=0}^{n}{t\_{i}}=1{\mbox{ and }}\forall i,\ t\_{i}\geq 0\right\}}
单纯形Δ*n*位于仿射超平面（英语：）（该超平面可以通过将上面*t**i* ≥ 0的条件去掉而得到）。标准单纯形显然是正单纯形。

标准*n*-单纯形的顶点为

*e*0 = (1, 0, 0, …, 0),
*e*1 = (0, 1, 0, …, 0),
\vdots 
*e**n* = (0, 0, 0, …, 1).
存在从标准*n*-单纯形到顶点为(*v*0, …, *v**n*)的任意*n*-单纯形的标准映射

(t\_{0},\cdots ,t\_{n})\mapsto \Sigma \_{i}t\_{i}v\_{i}
系数*t**i*称为点在*n*-单纯形中的重心坐标。这样的一般单纯形常常被称为**仿射*n*-单纯形**，以强调该标准映射是仿射变换。它有时也称为**定向放射*n*-单纯形**以强调标准映射可以是保定向或者是反定向的。

几何属性
----

在*n*维空间中的顶点为(*v*0, ... *v**n*)的*n*-单纯形的定向体积是

{1 \over n!}\det {\begin{pmatrix}v\_{1}-v\_{0}&v\_{2}-v\_{0}&\dots &v\_{{n-1}}-v\_{0}&v\_{n}-v\_{0}\end{pmatrix}}
其中*n* × *n*行列式的每列是代表两个顶点的向量之差。去掉1/*n*!的公式是*n*-平行多面体的体积。理解1/*n*!因子的一个方法如下:在单位*n*维盒子的取任意一点，将其坐标分量和0一起排序，然后将相邻数取差值，得到的数组构成原点和与其最近的*n*个顶点构成的*n*-单纯形中的一点的坐标；取差值的变换是一个保体积的变换，而排序则将点的个数减少到1/*n*!。

标准*n*-单纯形下的体积（也即，**R**n+1中的原点和单纯形之间的体积）是

{1 \over (n+1)!}
单位边长的正*n*-单纯形的体积是

{{\frac {{\sqrt {n+1}}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}
这个结果可以导出如下：将上一个公式乘以*x**n+1*，得到作为顶点离原点距离（所有顶点和原点等距）的函数的*n*-单纯形下的体积；对*x*微分，取导数在x=1/{\sqrt {2}}  的值（因为这个位置*n*-单纯形边长为1），这个导数需要除以{\sqrt {n+1}}，因为增量(dx,\dots ,dx)（垂直于*n*-单纯形的法向）的长度为{\sqrt {n+1}}。

### "直角"的单纯形

这里的直角表示存在一个顶点，其所有相邻超平面两两垂直。这样的单纯形是直角三角形的一个推广，对于它们存在着一个n维的毕达哥拉斯定理:

所有和直角相邻的n维超面的体积平方之和等于对面的n维体积的平方。

\sum \_{{k=1}}^{{n}}|A\_{{k}}|^{2}=|A\_{{0}}|^{2}
其中 A\_{{1}}\ldots A\_{{n}}是两两垂直但不垂直于A\_{{0}}的超面，而A\_{0}是直角的对面。

对于2-单纯形，这个定理就是毕达哥拉斯定理，而对于3-单纯形这个是适用于带立方角四面体的德古阿定理。

拓扑
--

拓扑上，*n*-单纯形是拓扑等价于*n*-球體的。每个*n*-单纯形是*n*维带边界流形。

代数拓扑上，单纯形是用于构建一类称为单纯复形的常用拓扑空间的基本元素。这些空间可以通过将单纯形用组合方式粘合在一起来构造。单纯复形用于定义特定的一类同调，称为单纯同调。

嵌入到**R**n的开子集中的*k*-单纯形的有限集称为**仿射*k*-链**。在链中的单纯形不必唯一；它们可以重复出现。通常不采用集合的记法来标识仿射链，而是采用加号将它们连起来。若有些单纯形有相反的定向，它们可以用减号。如果有些单纯形出现多次，可以放一个整数在前面表示出现次数。这样，仿射链可以用整系数的线性组合表示。

注意*n*-单纯形的每个面是一个仿射*n-1*-单纯形，因此*n*-单纯形的边界可以用一个仿射*n-1*-链来表示。如果定义一个正定向的单纯形

\sigma =[v\_{0},v\_{1},v\_{2},...v\_{n}]
其中 v\_{j} 代表顶点，则其边界 \partial \sigma  是如下链

\partial \sigma =\sum \_{{j=0}}^{n}(-1)^{j}[v\_{0},...v\_{{j-1}},v\_{{j+1}},...v\_{n}].
更一般的，单纯形（以及链）可以通过光滑可微映射嵌入到流形中：f\colon {\mathbb {R}}^{n}\rightarrow M。这个情况下，加法表示和边界算子都和嵌入可交换。也即

f(\sum \nolimits \_{i}a\_{i}\sigma \_{i})=\sum \nolimits \_{i}a\_{i}f(\sigma \_{i})
其中 a\_{i} 是标识定向和重次的整数。对于边界算子 \partial，有

\partial f(\phi )=f(\partial \phi )
其中 φ 为链。边界算子和映射可交换，是因为，链基本就是一个集合，而集合操作和映射是可交换的（按照映射的定义）。

到拓扑空间*X*中的连续映射 f:\sigma \rightarrow X 常常被称为**奇异*n*-单纯形**。因为f可以有奇点。

随机采样
----

(也称**单纯形采点**) 有两种在单位*K-1*-单纯形中产生有效产生均匀分布的采样方法。

第一种方法基于从*K-1*维单位单纯形采样等价于从参数*α* = (*α*1, ... *α**K*)都等于1的狄利克雷分布中采样的事实。确切的流程为：

* 产生*K*个服从单位指数分布的随机数*x*1, ... *x**K*.
	+ 这可以通过产生*K*个在开区间(0,1)中均匀分布的随机数*y**i*然后取 *x**i*=-ln(*y**i*).
* 令*S*为*x**i*之和。
* 单位单纯形中的点的*K*个坐标*t*1, ... *t**K*由*t**i*=*x**i*/*S*给出。

第二个方法是基于单位区间上的均匀分布的顺序统计量（参看Devroye, p.568）。算法如下：

* 令 *p*0 = 0 而 *p**K*=1.
* 产生*K*-1个开区间(0,1)上均匀分布的随机数*p**i*。
* 将*K*+1点*p*0, ... *p**K*排序。
* 单位单纯形中的点的*K*个坐标*t*1, ... *t**K*由*t**i*=*p**i*-*p**i*-1给出。

### 随机漫游

有时需要在单纯形中进行均匀随机漫游而不是取一点。这样的随机漫游在蒙特卡罗法中经常用到，譬如单纯形域中的马尔可夫链蒙特卡罗。

可以从单位化*K*个指数分布随机向量来得到单纯形中的均匀分布来衍生出漫游的有效算法。首先定义一个单变量函数在正实直线上"漫游"，其采样点的静态分布为单位指数分布。该函数利用Metropolis-Hastings算法从旧点得到新点。这个函数伪代码如下，其中*h*是相对步长：

````
next_point <- function(x_old)
{
    repeat {
        x_new <- x_old * exp( Random_Normal(0,h) )
        metropolis_ratio <- exp(-x_new) / exp(-x_old)
        hastings_ratio <- ( x_new / x_old )
        acceptance_probability <- min( 1 , metropolis_ratio * hastings_ratio )
        if ( acceptance_probability > Random_Uniform(0,1) ) break
    }
    return(x_new)
}

````

然后在单纯形中随机漫游:

* 取服从单位指数分布的随机变量*x**i*, *i*= 1, 2, ... *K*.
* 对于每个 *i*= 1, 2, ... *K*
	+ *x**i* ← next\_point(*x**i*)
* 令*S*为*x**i*之和
* 令*t**i* = *x**i*/*S*（对于所有 *i*= 1, 2, ... *K*）

*t**i*限制在单纯形中，并会以均匀的静态分布密度来反复遍历整个区域。注意不要每一步都单位化*x**i*；那样会得到非均匀的静态分布。实际上，应该把*x**i* 视为"隐"参数，而*t**i*才给出单纯形中的坐标。

参看
--

* 因果动态三角化（英语：）
* 距离几何
* Delaunay三角化
* 其它正n-多胞体
	+ 超立方体
	+ 正轴体
* 三维球面
* 6-多胞體數
* 四维超正方体
* 四维多胞体
* 多胞体
* 正多胞体列表
* 单纯形法 - 求解带不等式条件的优化问题的方法
* 单纯复形
* 单纯同调
* 单纯集

參考文獻
----

1. ↑  Elte, E. L. Groningen: University of Groningen, 1912  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope
2. ↑  Sloane, N.J.A. (编).. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部链接
----

* Olshevsky, George，《超空间术语表》中的单纯形（英语）
* OEIS A135278 给出数字T(n,m) = 二项式系数(n+1,m+1)的三角形；或者说，除去左边的杨辉三角形A007318。

延伸閱讀
----

* Walter Rudin, *Principles of Mathematical Analysis (Third Edition)*, (1976) McGraw-Hill, New York, ISBN 0-07-054235-X *(参看第10章中对拓扑性质的简单回顾。)*.
* Andrew S. Tanenbaum, *Computer Networks (4th Ed)*, (2003) Prentice Hall, ISBN 0-13-066102-3 *(See 2.5.3)*.
* Luc Devroye, *Non-Uniform Random Variate Generation.* (1986) ISBN 0-387-96305-7.
* H.S.M. Coxeter, *Regular Polytopes*, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
	+ p120-121
	+ p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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* 论
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维度为2-10的基本凸正多胞形和均勻多胞形（英语：） |
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