当绿点遍历整个函数时，绿点在*y*-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.
在数学中，**总变差**（英語：）就是一函数其数值变化的差的总和。

定义
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### 矢量空间

实值函数f定义在区间{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }的总变差是一维参数曲线{\displaystyle x\mapsto f(x),x\in [a,b]}的弧长。
连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出

{\displaystyle V\_{b}^{a}(f)=\int \_{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}
任意实值或虚值函数f定义在区间[a,b]上的总变差，由

V\_{b}^{a}(f)=\sup \_{P}\sum \_{{i=0}}^{{n\_{P}-1}}|f(x\_{{i+1}})-f(x\_{i})|,\,
定义。其中P为区间[a,b]中的所有分划.

定义在有界区域\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}上的实值可积函数f的**总变差**,定义为

V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int \_{\Omega }f{\mathrm {div}}\varphi \colon \varphi \in C\_{c}^{1}(\Omega ,{\mathbb {R}}^{n}),\ \Vert \varphi \Vert \_{{L^{\infty }(\Omega )}}\leq 1\right\},
其中 {\displaystyle C\_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, {\displaystyle \Vert \;\Vert \_{L^{\infty }(\Omega )}}是本质上确界范数。

若f可微，上式可简化为

V(f,\Omega )=\int \limits \_{\Omega }\left|\nabla f\right|.
### 度量空间

在一个度量空间(\Omega ,\Sigma )上，集函数\mu :\Sigma \rightarrow \mathbb{R} ，其总变差为：

|\mu |(E)=\sup \_{\pi }\sum \_{{A\in \pi }}|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma 
其中*\pi* 为*E*的划分。
如果\mu 是符号测度，通过汉分解定理可知：

|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}\,

可微定义的证明
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首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

### 引理

在假设条件下，下面的等式成立：

\int \limits \_{\Omega }f\,{\mathrm {div}}\varphi =-\int \_{\Omega }\nabla f\cdot \varphi 
#### 引理证明

由高斯散度定理\int \limits \_{\Omega }{\text{div}}{\mathbf R}=\int \limits \_{{\partial \Omega }}{\mathbf R}\cdot {\mathbf n}.
将{\mathbf R}:=f{\mathbf \varphi }代入，可得

\int \limits \_{\Omega }{\text{div}}\left(f{\mathbf \varphi }\right)=\int \limits \_{{\partial \Omega }}\left(f{\mathbf \varphi }\right)\cdot {\mathbf n}
由于在\Omega 的边界上{\mathbf \varphi }=0,从而

\int \limits \_{\Omega }{\text{div}}\left(f{\mathbf \varphi }\right)=\int \limits \_{{\partial \Omega }}\left(f{\mathbf \varphi }\right)\cdot {\mathbf n}=0
注意到{\text{div}}\left(f{\mathbf \varphi }\right)=f{\text{div}}{\mathbf \varphi }+\nabla f\cdot \varphi 代入上式，移项即得

\int \limits \_{\Omega }f\,{\mathrm {div}}\varphi =-\int \_{\Omega }\nabla f\cdot \varphi .
如果函数*f*的总变差有限，则称函数*f*为有界变差函数.

参阅
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* 有界变差
* 总变差递减（英语：）
* 总变差规则化
* 二次变差

外部链接
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### 理论

**单变量**

* Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "*Variation of a function （页面存档备份，存于）*", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
* "Total variation" on Planetmath.

**多变量**

* Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "*Variation of a function （页面存档备份，存于）*", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
* Boris I. Golubov "Arzelà variation （页面存档备份，存于）", "Fréchet variation （页面存档备份，存于）", "Hardy variation （页面存档备份，存于）", "Pierpont variation （页面存档备份，存于）", "Tonelli plane variation （页面存档备份，存于）", "Vitali variation （页面存档备份，存于）", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

**测度论**

* Rowland, Todd. "Total Variation （页面存档备份，存于）". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
* "Jordan decomposition （页面存档备份，存于）" on Planetmath.

**概率论**

* M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

### 应用

* Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007  外部链接存在于`|title=` (帮助) (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

* Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), *Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods*, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).