**同配性**（**Assortativity**）, 用作考察度值相近的顶点是否倾向于互相连接。

如果总体上度大的顶点倾向于连接度大的顶点，那么就称网络的度正相关的，或者成网络是**同配**的；如果总体上度大的顶点倾向于连接度小的顶点，那么就称网络的度负相关的，或者成网络是**异配**的。

同配性计算
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### 联合度分布

网络的度分布{\displaystyle P(k)={\frac {n(k)}{N}}}为一阶度分布，**联合度分布**可理解为二阶度分布，或网络度的联合概率分布。

联合度分布{\displaystyle e\_{jk}=P(j,k)={\frac {m(j,k)\mu (j,k)}{2M}}}为两个端点的度分别为j和k的概率，{\displaystyle m(j,k)}为对应连边数，如果j=k，{\displaystyle \mu (j,k)=2}，否则{\displaystyle \mu (j,k)=1}

余度分布{\displaystyle q\_{k}=P\_{n}(k)=\sum \_{j=k\_{min}}^{k\_{max}}P(j,k)}，即网络度的边缘分布，表示随机顶点的邻居顶点为k的概率。

如果二阶度分布是完全随机的，即恒有{\displaystyle e\_{jk}=q\_{j}q\_{k}}，则网络**不具有度相关性**。

### 余平均度

**余平均度**是顶点i的邻居顶点的平均度，记为{\displaystyle <k\_{nn}>\_{i}={\frac {1}{k\_{i}}}\sum \_{j=1}^{k\_{i}}k\_{i\_{j}}}，度为k的顶点的余平均度记为{\displaystyle <k\_{nn}>(k)={\frac {1}{i\_{k}}}\sum \_{v\_{i}=1}^{i\_{k}}<k\_{nn}>\_{v\_{i}}}。

{\displaystyle <k\_{nn}>(k)=\sum \_{k'=k\_{min}}^{k\_{max}}k'P\_{c}(k'|k)={\frac {1}{q\_{k}}}\sum \_{k'=k\_{min}}^{k\_{max}}k'e\_{kk'}}
如果{\displaystyle <k\_{nn}>(k)}是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度大的顶点连接，从而表明网络是**同配**的；反之，如果{\displaystyle <k\_{nn}>(k)}是k的减函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度小的顶点连接，从而表明网络是**异配**的；如果网络不具有度相关性，那么{\displaystyle <k\_{nn}>(k)}是一个与k无关的常数：

{\displaystyle <k\_{nn}>(k)={\frac {\sum \_{j}je\_{jk}}{\sum \_{j}e\_{jk}}}={\frac {\sum \_{j}jq\_{j}q\_{k}}{q\_{k}}}=\sum \_{j}jq\_{j}=\sum \_{j}j{\frac {jp\_{j}}{<k>}}={\frac {<k^{2}>}{<k>}}}
### 同配系数

网络是度相关的就意味着{\displaystyle e\_{jk}}与{\displaystyle q\_{j}q\_{k}}之间不恒等。可以考虑用两者之间的差的大小刻画网络的同配或者异配程度，即如下定义的度相关函数：

{\displaystyle <jk>-<j><k>=\sum \_{j,k}jk(e\_{jk}-q\_{j}q\_{k})}
当网络为完全同配时，{\displaystyle e\_{jk}=q\_{k}\delta \_{jk}}，{\displaystyle <jk>-<j><k>}达到最大值，即为余度分布q\_k的方差：

{\displaystyle \sigma \_{q}^{2}=\sum \_{k}k^{2}q\_{k}-(\sum \_{k}kq\_{k})^{2}}
于是得到归一化的相关系数，即**同配系数**，记为**r**：

{\displaystyle r={\frac {\sum \_{j,k}jk(e\_{jk}-q\_{j}q\_{k})}{\sigma \_{q}^{2}}}}
其中r>0代表网络**同配**，r<0代表网络**异配**，|r|的大小反映了网络同配或异配的强弱程度。

令属性值x\_{i}为度值k\_i，可从皮尔逊积矩相关系数计算同配系数：

{\displaystyle \displaystyle r={\frac {cov(x\_{i},x\_{j})}{\sigma \_{x}^{2}}}={\frac {\displaystyle \sum \_{i,j}(a\_{ij}-{\frac {k\_{i}k\_{j}}{2M}})x\_{i}x\_{j}}{\displaystyle \sum \_{i,j}(k\_{i}\delta \_{ij}-{\frac {k\_{i}k\_{j}}{2M}})x\_{i}x\_{j}}}={\frac {\displaystyle \sum \_{i,j}(a\_{ij}-{\frac {k\_{i}k\_{j}}{2M}})k\_{i}k\_{j}}{\displaystyle \sum \_{i,j}(k\_{i}\delta \_{ij}-{\frac {k\_{i}k\_{j}}{2M}})k\_{i}k\_{j}}}}
{\displaystyle \displaystyle ={\frac {S\_{1}S\_{e}-S\_{2}^{2}}{S\_{1}S\_{3}-S\_{2}^{2}}}={\frac {\displaystyle (\sum \_{i}k\_{i})(2\sum \_{(i,j)\in E}k\_{i}k\_{j})-(\sum \_{i}k\_{i}^{2})^{2}}{\displaystyle (\sum \_{i}k\_{i})(\sum \_{i}k\_{i}^{3})-(\sum \_{i}k\_{i}^{2})^{2}}}}
对于有向图，也可以利用皮尔逊积矩相关系数{\displaystyle r={\frac {\sum \_{xy}xy(e\_{xy}-a\_{x}b\_{y})}{\sigma \_{a}\sigma \_{b}}}}计算，即{\displaystyle r={\frac {\sum \_{j,k}jk(e\_{jk}-q\_{j}^{in}q\_{k}^{out})}{\sigma \_{in}\sigma \_{out}}}}

### 例子

N点星型网络，其中包括度为N-1的1个点，度为1的N-1个点

{\displaystyle P(N-1,1)=P(1,N-1)={\dfrac {1}{2}}}

{\displaystyle q\_{1}={\dfrac {1}{2}},q\_{N-1}={\dfrac {1}{2}}}

{\displaystyle \displaystyle \sum \_{j,k}jk(e\_{jk}-q\_{j}q\_{k})=(1)^{2}(-{\frac {1}{4}})+2(1)(N-1)({\frac {1}{4}})+(N-1)^{2}(-{\frac {1}{4}})={\frac {-(N-2)^{2}}{4}}}

{\displaystyle \displaystyle \sigma \_{q}^{2}=\sum \_{k}k^{2}q\_{k}-(\sum \_{k}kq\_{k})^{2}=(1)^{2}({\frac {1}{2}})+(N-1)^{2}({\frac {1}{2}})-({\frac {N}{2}})^{2}={\frac {(N-2)^{2}}{4}}}

{\displaystyle r={\frac {\sum \_{j,k}jk(e\_{jk}-q\_{j}q\_{k})}{\sigma \_{q}^{2}}}=-1}

所以星型网络是异配的。

用另外一个公式会得到一样的值。

{\displaystyle S\_{1}=2(N-1),S\_{2}=N(N-1),S\_{3}=(N-1)[(N-1)^{2}+1],S\_{e}=2(N-1)^{2}}

{\displaystyle r={\dfrac {S\_{1}S\_{e}-S\_{2}^{2}}{S\_{1}S\_{3}-S\_{2}^{2}}}={\dfrac {4(N-1)^{3}-N^{2}(N-1)^{2}}{2(N-1)^{2}[(N-1)^{2}+1]-N^{2}(N-1)^{2}}}}

{\displaystyle ={\dfrac {4(N-1)-N^{2}}{2[(N-1)^{2}+1]-N^{2}}}={\dfrac {-(N-2)^{2}}{(N-2)^{2}}}=-1}

算法
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* 同配系数的算法：get\_assortative\_coefficient （页面存档备份，存于）

参考资料
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1. 1 2 3 4  汪小帆 陈关荣. .
2. ↑  M. E. J. Newman.  (PDF).  [2014-05-02]. （原始内容 (PDF)存档于2019-12-07）.
3. ↑  M. E. J. Newman. .