数学中，域{\displaystyle \mathbb {K} }上的**对偶系统**或**对偶对**是指三元组{\displaystyle (X,Y,b)}，包含{\displaystyle \mathbb {K} }上的2个向量空间*X*、*Y*，以及非退化双线性映射{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }。

**对偶理论**是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例
--------

### 配对

域{\displaystyle \mathbb {K} }上的**配对**（pairing或pair）是一个三元组{\displaystyle (X,Y,b)}，也可以用{\displaystyle b(X,Y)}表示， 包含{\displaystyle \mathbb {K} }上的两个向量空间*X*、*Y*及双线性映射{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及{\displaystyle \mathbb {K} }是实数{\displaystyle \mathbb {R} }或复数{\displaystyle \mathbb {C} }的例子。

{\displaystyle \forall x\subseteq X}，定义




b
(
x
,

⋅

)
:

Y

→


K



y

↦

b
(
x
,
y
)



{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
{\displaystyle \forall y\subseteq Y}，定义




b
(

⋅

,
y
)
:

X

→


K



x

↦

b
(
x
,
y
)
.



{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}
{\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)}是*Y*上的线性泛函，{\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)}是*X*上的线性泛函。令



b
(
X
,

⋅

)
:=
{
b
(
x
,

⋅

)
:
x
∈
X
}

 and 

b
(

⋅

,
Y
)
:=
{
b
(

⋅

,
y
)
:
y
∈
Y
}

{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}

{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记{\displaystyle \langle x,y\rangle }而非{\displaystyle b(x,y)}，这样配对不必写成{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}，而可以写成{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }。不过，本文将用{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

### 对偶对

若双线性形式*b*是非退化的，则称配对{\displaystyle (X,Y,b)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上的**对偶系统**或**对偶对** ，满足下面两条分离公理：

1. *Y*分离（区分）*X*的点：若{\displaystyle x\in X}使得{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}，则{\displaystyle x=0}；等价地，对所有非零的{\displaystyle x\in X}，映射{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }不等同于{\displaystyle 0}（即{\displaystyle \exists y\in Y}使得{\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0}）；
2. *X*分离（区分）*Y*的点：若{\displaystyle y\in Y}使得{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}，则{\displaystyle y=0}；等价地，对所有非零的{\displaystyle y\in Y}，映射{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }不等同于{\displaystyle 0}（即{\displaystyle \exists x\in X}使得{\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0}）。

这样*b*是非退化的，可以说*b*将*X*、*Y*置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），*b*是三元组{\displaystyle (X,Y,b)}的对偶配对（duality pairing）。

### 全子集

若{\displaystyle \forall x\in X}, 


b
(
x
,
s
)
=
0

∀
s
∈
S

{\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}

{\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}能推出{\displaystyle x=0}，则称{\displaystyle S\in Y}为全集。

*X*的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当*X*是*X*的全子集，*X*分离*Y*中所有点，对*Y*亦然。

### 正交性

若{\displaystyle b(x,y)=0}，称向量*x*、*y*正交，记作{\displaystyle x\perp y}。若{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}，称两子集{\displaystyle R\subseteq X}、{\displaystyle S\subseteq Y}正交，记作{\displaystyle R\perp S}；即{\displaystyle \forall r\in R}、{\displaystyle s\in S}，{\displaystyle b(r,s)=0}。子集正交于向量的定义与之类似。

子集{\displaystyle R\subseteq X}的**正交补**或**零化子**是


R

⊥

:=
{
y
∈
Y
:
R
⊥
y
}
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
R
,
y
)
=
{
0
}
}

{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}

{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}.

于是，当且仅当{\displaystyle R^{\perp }=\{0\}}，*R*是*X*的全子集。

### 极集

条目：极集
给定在{\displaystyle \mathbb {K} }上定义了对偶对的三元组{\displaystyle (X,Y,b)}，子集{\displaystyle A\subseteq X}的**绝对极集**或**极集**是集合



A

∘

:=

{

y
∈
Y
:

sup

x
∈
A

|

b
(
x
,
y
)

|

≤
1

}

.

{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup \_{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}

{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}对称地，子集{\displaystyle B\subseteq Y}的绝对极集或极集记作{\displaystyle B^{\circ }}，定义为


B

∘

:=

{

x
∈
X
:

sup

y
∈
B

|

b
(
x
,
y
)

|

≤
1

}

.

{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup \_{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}

{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}

  

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集{\displaystyle B\subseteq B}的绝对极也可以称为*B*的**绝对预极**（absolute prepolar）或**预极**（prepolar），可表为{\displaystyle {}^{\circ }B}。

极{\displaystyle B^{\circ }}必然是凸集，包含{\displaystyle 0\in Y}，若*B*平衡，则{\displaystyle B^{\circ }}也平衡；若*B*是*X*的向量子空间，则{\displaystyle B^{\circ }}是*Y*的向量子空间。

若*A*是*X*的向量子空间，则{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}，还等于*A*的实极。若{\displaystyle A\subseteq X}，则*A*的**双极**（bipolar，记作{\displaystyle A^{\circ \circ }}）是*A*正交补的极，即集{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}。相似地，若{\displaystyle B\subseteq Y}，则*B*的双极是{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}。

### 对偶的定义与结果

给定对{\displaystyle (X,Y,b)}，定义新对{\displaystyle (Y,X,d)}，其中{\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)}。
对偶理论有个一贯的主题：任何对{\displaystyle (X,Y,b)}都有相应的对偶对{\displaystyle (Y,X,d)}。

*约定与定义*：给定配对{\displaystyle (X,Y,b)}的任何定义，将其应用于配对{\displaystyle (Y,X,d)}，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。
例如，若*X*分离*Y*的点（或者说*S*是*Y*的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：*Y*分离*X*的点（或者说*S*是*X*的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为*d*指定符号。

*约定与记号*：若配对{\displaystyle (X,Y,b)}的定义及其记号取决于*X*和*Y*的顺序（例如，*X*上的麦奇拓扑{\displaystyle \tau (X,Y,b)}），那么交换*X*、*Y*顺序就意味着定义适用于{\displaystyle (Y,X,d)}（接上例，拓扑{\displaystyle \tau (Y,X,b)}实际上是拓扑{\displaystyle \tau (Y,X,d)}）。
再比如，一旦定义了*X*上的弱拓扑{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}，则此对偶定义就会自动应用到配对{\displaystyle (Y,X,d)}，从而得到*Y*上弱拓扑的定义——{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}而非{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}。

#### {\displaystyle (X,Y)}及{\displaystyle (Y,X)}的识别

虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对{\displaystyle (X,Y,b)}与{\displaystyle (Y,X,d)}互换处理，并用{\displaystyle (Y,X,b)}表示{\displaystyle (Y,X,d)}。

例子
--

### 配对的限制

设{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，*M*是*X*的向量子空间，*N*是*Y*的向量子空间。则，{\displaystyle (X,Y,b)}对{\displaystyle M\times N}的限制就是配对{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }\_{M\times N}\right)}。若{\displaystyle (X,Y,b)}是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若{\displaystyle Y\neq \{0\}}、{\displaystyle N=\{0\}}）。

本文将使用通常做法，用{\displaystyle (M,N,b)}表示限制{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }\_{M\times N}\right)}。

### 向量空间上的规范对偶

设*X*是向量空间，令{\displaystyle X^{\#}}表示*X*的代数对偶空间（即，*X*上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}，其中{\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}，称之为{\displaystyle X\times X^{\#}}上的**求值映射**或**自然/规范**双线性泛函。

注意{\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}}，{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}只是表示{\displaystyle x^{\prime }}的另一种方式，即{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}

若*N*是{\displaystyle X^{\#}}的一个向量子空间，则{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}对{\displaystyle X\times N}的限制称作**规范配对**。若此配对是对偶，则称为**规范对偶**。显然*X*总是分离*N*的点，因此当且仅当*N*分离*X*中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}（而非*c*），将{\displaystyle (X,N,c)}改为{\displaystyle \langle X,N\rangle }。

**假设**：按惯例，若*X*是向量空间，*N*是*X*上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对{\displaystyle \langle X,N\rangle }相关联。
若*N*是{\displaystyle X^{\#}}的向量子空间，则当且仅当*N*分离*X*的点（或等价地，*N*是全的，{\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0}能推出{\displaystyle x=0}），*X*分离*N*的点（或等价地，{\displaystyle (X,N,c)}是对偶），

### 拓扑向量空间上的规范对偶

设*X*是拓扑向量空间，有连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }}。
则，规范对偶{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}对{\displaystyle X\times X^{\prime }}的限制确定了配对{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }\_{X\times X^{\prime }}\right)}，其中*X*分离{\displaystyle X^{\prime }}的点。
若{\displaystyle X^{\prime }}分离*X*的点（例如，若*X*是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。

**假设**：正如通常所作，只要*X*是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }相关联，无需注释。
### 拓扑向量空间的极与对偶

下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

**定理** — 令*X*是拓扑向量空间，有代数对偶
{\displaystyle X^{\#}}，并令{\displaystyle {\mathcal {N}}}为*X*在原点邻域的基。
在规范对偶{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }下，*X*是连续对偶空间是所有{\displaystyle N^{\circ }}的并，因为*N*的范围是{\displaystyle {\mathcal {N}}}（其中极位于{\displaystyle X^{\#}}）。

### 内积空间与复共轭空间

预希尔伯特空间{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}，当且仅当*H*是{\displaystyle \mathbb {R} }上的向量空间，或*H*是0维，{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}是对偶对。这里假定半双线性形式{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。

1. 若{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}是实希尔伯特空间，则{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}形成对偶系统。
2. 若{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}是复希尔伯特空间，则当且仅当{\displaystyle \operatorname {dim} H=0}，{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}形成对偶系统。若*H*非平凡，则{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。

设{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或{\displaystyle \cdot }表示。
定义映射


⋅

⊥

⋅

:

C

×
H
→
H

 by 

c
⊥
x
:=

c
¯

x
,

{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}

{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
其中右式使用了*H*的标量乘法。令{\displaystyle {\overline {H}}}表示*H*的复共轭向量空间，其中{\displaystyle {\overline {H}}}表示加群{\displaystyle (H,+)}（所以{\displaystyle {\overline {H}}}中的向量加法与*H*中的相同），但{\displaystyle {\overline {H}}}中的标量乘法是映射{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}（而非*H*被赋予的标量乘法）。

映射{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }定义为{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }，在两个坐标中都是线性的，因此{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}形成对偶对。

### 其他例子

1. 设{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x\_{1},y\_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x\_{2},y\_{2},z\_{2}\right)\in Y,}令

b

(

(

x

1

,

y

1

)

,

(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

)

:=

x

1

x

2

+

y

1

y

2

.

{\displaystyle b\left(\left(x\_{1},y\_{1}\right),\left(x\_{2},y\_{2},z\_{2}\right)\right):=x\_{1}x\_{2}+y\_{1}y\_{2}.}

{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}则{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，使*X*区分*Y*的点，但*Y*不区分*X*的点。此外，{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}

1. 令{\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )}（其中*q*满足{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}），{\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}则{\displaystyle (X,Y,b)}是对偶系统。
2. 令*X*、*Y*是同一域{\displaystyle \mathbb {K} }上的向量空间，则双线性形式{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{\*}\otimes y^{\*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }使{\displaystyle X\times Y}与{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}对偶。
3. 序列空间*X*及其Beta-对偶空间{\displaystyle Y:=X^{\beta }}，双线性映射定义为{\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}y\_{i}}形成对偶系统。

弱拓扑
---

条目：弱拓扑和弱-\*拓扑
设{\displaystyle (X,Y,b)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上一对向量空间。若{\displaystyle S\subseteq Y}，则***X*上由*S*（和*b*）诱导的弱拓扑**是*X*上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作{\displaystyle \sigma (X,S,b)}或{\displaystyle \sigma (X,S)}，使*y*在*S*上取值时所有映射{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }连续。若*S*在语境中不明确，则应假定是*Y*的全部，这时称之为*X*上（由*Y*诱导的）的弱拓扑。
{\displaystyle X\_{\sigma (X,S,b)},\ X\_{\sigma (X,S)},}或（若无混淆）{\displaystyle X\_{\sigma }}用于表示赋有弱拓扑{\displaystyle \sigma (X,S,b)}的*X*。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数*b*、{\displaystyle \mathbb {C} }上的通常拓扑与*X*上的向量空间结构，而与*Y*的代数结构无关。
同样，若{\displaystyle R\subseteq X}，则***Y*上由*R*（和*b*）诱导的弱拓扑**的对偶定义记作{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}或{\displaystyle \sigma (Y,R)}（细节见脚注）。

*定义与符号*：若{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}附在一个拓扑定义上（如{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-收敛、{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界、{\displaystyle \operatorname {cl} \_{\sigma (X,Y,b)}(S)}等等），则就意味着当定义的第一个空间（即*X*）携带{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}拓扑。若无混淆，可以不提及*b*甚至*X*、*Y*。例如，若*Y*中序列{\displaystyle \left(a\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }}"{\displaystyle \sigma }-收敛"或"弱收敛"，这意味着它收敛于{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}，而若它是*X*中的序列，则意味着它收敛于{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}）。
拓扑{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}是局部凸的，因为它由{\displaystyle p\_{y}(x):=|b(x,y)|}定义的半范数族{\displaystyle p\_{y}:X\to \mathbb {R} }确定，其中*y*在*Y*上取值。
若{\displaystyle x\in X,\ \left(x\_{i}\right)\_{i\in I}}是*X*中的网，则若{\displaystyle \left(x\_{i}\right)\_{i\in I}}在{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}中收敛到*x*，{\displaystyle \left(x\_{i}\right)\_{i\in I}}**{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-收敛**于*x*。网{\displaystyle \left(x\_{i}\right)\_{i\in I}}，当且仅当{\displaystyle \forall y\in Y,\ b\left(x\_{i},y\right)}收敛到{\displaystyle b(x,y)}，{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-收敛到*x*。

若{\displaystyle \left(x\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }}是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则{\displaystyle \left(x\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }}弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，*N*是*Y*的一个适当的向量子空间，使得{\displaystyle (X,N,b)}是对偶对，则{\displaystyle \sigma (X,N,b)}比{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}严格粗。

### 有界子集

子集{\displaystyle S\subseteq X}，当且仅当



sup

|

b
(
S
,
y
)

|

<
∞

 for all 

y
∈
Y
,

{\displaystyle \sup \_{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}

{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}，其中{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}，称*S*{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界。

### 豪斯多夫性

若{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，则下列条件等价：

1. *X*分离*Y*的点；
2. 映射{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}定义了*Y*到*X*的代数对偶空间的单射；
3. {\displaystyle \sigma (Y,X,b)}是豪斯多夫空间。

### 弱表示定理

下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}的连续对偶空间。

**弱表示定理** — 令{\displaystyle (X,Y,b)}是域{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，则{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}的连续对偶空间是

b
(

⋅

,
Y
)
:=
{
b
(

⋅

,
y
)
:
y
∈
Y
}
.

{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}

{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}另外，
1. 若*f*是{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}上的连续线性泛函，则{\displaystyle \exists y\in Y}使{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}；若这样的*y*存在，则当且仅当*X*分离*Y*的点时，这样的*y*是唯一的。

* 注意，*X*是否分离*Y*中的点并不取决于*y*的特定选择。

1. {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}的连续对偶空间可以视作商空间{\displaystyle Y/X^{\perp }}，其中{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}}。

* 无论*X*是否分离*Y*的点，或*Y*是否分离*X*中的点，这都是正确的。

因此，{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}的连续对偶空间是



(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)

)

′

=
b
(

⋅

,
Y
)
:=

{

b
(

⋅

,
y
)
:
y
∈
Y

}

.

{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}

{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
关于规范配对，若*X*是拓扑向量空间，其连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }}分离*X*的点（即使{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}豪斯多夫，这可推出*X*也必豪斯多夫），则{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}的连续对偶空间等于*x*在*X*中取值时所有"点*x*处得值"的映射集合（即将{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}送到{\displaystyle x^{\prime }(x)}的映射）。
通常写成



(

X

′

,
σ

(

X

′

,
X

)

)

′

=
X

 or 

(

X

σ

′

)

′

=
X
.

{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}

{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如{\displaystyle X^{\prime }}上的强对偶拓扑{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}）能应用到原拓扑向量空间*X*的。例如，将*X*视作{\displaystyle \left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}意味着{\displaystyle \left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}上的拓扑{\displaystyle \beta \left(\left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X\_{\sigma }^{\prime }\right)}可被视作*X*上的拓扑。
此外，若{\displaystyle X^{\prime }}被赋予比{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}更细的拓扑，那么{\displaystyle X^{\prime }}的连续对偶空间必然包含{\displaystyle \left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}（作为子集）。
例如，{\displaystyle X^{\prime }}被赋予强对偶拓扑（于是记作{\displaystyle X\_{\beta }^{\prime }}），则



(

X

β

′

)

′

 
⊇
 

(

X

σ

′

)

′

 
=
 
X

{\displaystyle \left(X\_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X\_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}

{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
这允许*X*被赋予由强对偶拓扑{\displaystyle \beta \left(\left(X\_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X\_{\beta }^{\prime }\right)}在*X*上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间*X*，若{\displaystyle \left(X\_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}则称其是半自反空间，若在此之外，其在*X*上的强双对偶拓扑{\displaystyle \beta \left(\left(X\_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X\_{\beta }^{\prime }\right)}还等于*X*的原/初拓扑，则称其是自反空间。

### 正交、商与子空间

若{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，则对*X*的任意子集*S*：

1. {\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} \_{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}，且此集合是{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}-闭的；
2. {\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} \_{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}；

* 因此，若*S*是*X*的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭向量子空间，则{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}

1. 若{\displaystyle \left(S\_{i}\right)\_{i\in I}}是*X*的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭向量子空间族，则



(

⋂

i
∈
I

S

i

)

⊥

=

cl

σ
(
Y
,
X
,
b
)

⁡

(

span
⁡

(

⋃

i
∈
I

S

i

⊥

)

)

.

{\displaystyle \left(\bigcap \_{i\in I}S\_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} \_{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup \_{i\in I}S\_{i}^{\perp }\right)\right).}

{\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}
1. 若{\displaystyle \left(S\_{i}\right)\_{i\in I}}是*X*的子集族，则

{\displaystyle \left(\bigcup \_{i\in I}S\_{i}\right)^{\perp }=\bigcap \_{i\in I}S\_{i}^{\perp }.}

若*X*是赋范空间，则根据规范对偶性，{\displaystyle S^{\perp }}在{\displaystyle X^{\prime }}中对范是封闭的，{\displaystyle S^{\perp \perp }}在*X*中对范是封闭的。

### 子空间

设*M*是*X*的向量子空间，并令{\displaystyle (M,Y,b)}表示{\displaystyle (X,Y,b)}对{\displaystyle M\times Y}的限制。
*M*上的弱拓扑{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}与*M*从{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}继承的子空间拓扑相同。

另外，{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }\_{M}\right)}是配对空间（paired space）（其中{\displaystyle Y/M^{\perp }}是{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}），其中{\displaystyle b{\big \vert }\_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }定义为


(

m
,
y
+

M

⊥

)

↦
b
(
m
,
y
)
.

{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}

{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
拓扑{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }\_{M}\right)}等于*M*继承自{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}的子空间拓扑。 
此外，若{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}是对偶系统，则{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }\_{M}\right)}也是。

### 商

设*M*是*X*的向量子空间，则{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}是配对空间，其中{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }定义为



(
x
+
M
,
y
)
↦
b
(
x
,
y
)
.

{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}

{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
拓扑{\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}等同于{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}在{\displaystyle X/M}上诱导的一般的商拓扑。

### 极与弱拓扑

弱*X*是局部凸空间，且若*H*是连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }}的子集，则当且仅当对*X*中某桶*B*，有{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}时，*H*是{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}-有界的。

下列结果对定义极拓扑非常重要。
若{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，{\displaystyle A\subseteq X,}则

1. *A*的极{\displaystyle A^{\circ }}是{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}的闭子集。

1. 下列集合的极相同：(a) *A*；(b) *A*的凸壳；(c) *A*的平衡壳；(d) *A*的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭合；(e) *A*的凸平衡壳的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭合。

1. 双极定理：*A*的双极{\displaystyle A^{\circ \circ }}等于*A*的凸平衡壳的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭合。

* 双极定理"是处理对偶性时不可或缺的工具"。

1. 当且仅当{\displaystyle A^{\circ }}吸收于*Y*时，*A*是{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界的。
2. 若*Y*还分离*X*的点，则当且仅当*A*是{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-全有界时，*A*是{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界的。

若{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，{\displaystyle \tau }是*X*上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当*B*是*Y*的某{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}-有界子集的极时，{\displaystyle B\subseteq X}是{\displaystyle (X,\tau )}中的桶。

转置
--

### 线性映射关于配对的转置

参见：线性映射的转置和转置
令{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，并令{\displaystyle F:X\to W}是线性映射。

{\displaystyle \forall z\in Z,}令{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }是由{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)}定义的映射。
若满足以下条件，就可以说*F*的转置或伴随是良定的（well-defined）：

1. *X*分离*Y*中的点（或等价地，从*Y*抵达代数对偶{\displaystyle X^{\#}}的映射{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}是单射），且
2. {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}其中{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}

这样，{\displaystyle \forall z\in Z}存在（由条件2）唯一的（由条件1）{\displaystyle y\in Y}，使{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}，其中*Y*的这个元素将表为{\displaystyle {}^{t}F(z)}。这定义了线性映射




t

F
:
Z
→
Y

{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}

{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
称作*F*的转置或关于{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即"转置良定义"）也是{\displaystyle {}^{t}F}良定的必要条件。
{\displaystyle \forall z\in Z}，{\displaystyle {}^{t}F(z)}的定义条件是



c
(
F
(

⋅

)
,
z
)
=
b

(

⋅

,

t

F
(
z
)

)

,

{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}

{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
即，



∀
x
∈
X
,
 
c
(
F
(
x
)
,
z
)
=
b

(

x
,

t

F
(
z
)

)

.

{\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}

{\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}
根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为{\displaystyle Z\to Y,}
{\displaystyle X\to Z,}
{\displaystyle W\to Y,}
{\displaystyle Y\to W,}等的线性映射的转置（见脚注）。

### 转置的性质

{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，{\displaystyle F:X\to W}是线性映射，其转置{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}是良定义的。

* 当且仅当*F*的范围在{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}中稠密时，{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}是单射（即{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}）。
* 若除了{\displaystyle {}^{t}F}良定义外，{\displaystyle {}^{t}F}的转置也良定义，则{\displaystyle {}^{tt}F=F}。
* 设{\displaystyle (U,V,a)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，{\displaystyle E:U\to X}是线性映射，其转置{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}是良定义的，则{\displaystyle F\circ E:U\to W}的转置{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}也是良定义的，且{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
* 若{\displaystyle F:X\to W}是向量空间同构，则{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}是双射，{\displaystyle F^{-1}:W\to X}的转置{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}是良定义的，且{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
* 令{\displaystyle S\subseteq X}，{\displaystyle S^{\circ }}表示*A*的绝对极，则
	1. {\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}；
	2. 若{\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T}，则{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}；
	3. 若{\displaystyle T\subseteq W}使得{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}，则{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}；
	4. 若{\displaystyle T\subseteq W}，{\displaystyle S\subseteq X}是弱闭圆盘，则当且仅当{\displaystyle F(S)\subseteq T}时，{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}；
	5. {\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}

将绝对极换成实极，这些结果不变。
若*X*、*Y*是规范对偶下的赋范空间、{\displaystyle F:X\to Y}是连续线性映射，则{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}。

#### 弱连续性

线性映射{\displaystyle F:X\to W}，若{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}连续，则称其（关于{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}）**弱连续**。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

**命题** — 设*X*分离*Y*的点，{\displaystyle F:X\to W}是线性映射。
则下列条件等价：

1. *F*是弱连续的（即{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}连续）；
2. {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}；
3. *F*的转置是良定义的。

若*F*是弱连续的，则

* {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}是弱连续的，即{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}连续；
* 当且仅当*Z*分离*W*的点，转置{\displaystyle {}^{t}F}良定义，这时{\displaystyle {}^{tt}F=F}。

### 弱拓扑与规范对偶

设*X*是向量空间，{\displaystyle X^{\#}}是其代数对偶。则*X*的所有{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}-有界子集包含于有限维向量子空间，*X*的所有向量子空间是{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}-闭的。

#### 弱完备性

若{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}是完备拓扑向量空间，例如*X*是{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。

若*X*是向量空间，则在规范对偶下，{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}是完备的。 
相反，若*Z*是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间{\displaystyle Z^{\prime }}，则当且仅当{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}时，{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}是完备的；即，当且仅当将{\displaystyle z\in Z}发送到*z*处求值映射（即{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}）的映射{\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}是双射。

特别地，就规范对偶而言，若*Y*是{\displaystyle X^{\#}}的向量子空间，使*Y*分离*X*中的点，则当且仅当{\displaystyle Y=X^{\#}}，{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}是完备的。
换句话说，{\displaystyle X^{\#}}不存在紧合向量子空间{\displaystyle Y\neq X^{\#}}使得{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}是豪斯多夫空间，且*Y*在弱-\*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间*X*的连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }} 被赋以弱\*-拓扑，当且仅当{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}（即*X*上所有线性泛函都连续）时，{\displaystyle X\_{\sigma }^{\prime }}是完备的。

#### *Y*与代数对偶的子空间的等同

若*X*分离*Y*的点、*Z*表示单射{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}的范围，则*Z*是*X*的代数对偶空间的向量子空间，且配对{\displaystyle (X,Y,b)}与规范配对{\displaystyle \langle X,Z\rangle }（其中{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设*Y*是*X*代数对偶的向量子空间，而*b*是求值映射。

*约定*：通常，只要{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}是单射（尤其当{\displaystyle (X,Y,b)}形成对偶对），通常不失一般性地假设*Y*是*X*的代数对偶空间的向量子空间，且*b*是自然求值映射，*Y*还可记作{\displaystyle X^{\prime }}。
完全类似的是，若*Y*分离*X*中的点，则*X*就有可能等同于*Y*的代数对偶空间的向量子空间。

#### 代数伴随

在对偶是规范对偶{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }和{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle }的特例下，线性映射{\displaystyle F:X\to W}的转置总是良定义的。
此转置称作*F*的**代数伴随**，记作{\displaystyle F^{\#}}；
即{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.} 
这样，{\displaystyle \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}其中{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}的定义条件是


⟨

x
,

F

#

(

w

′

)

⟩

=

⟨

F
(
x
)
,

w

′

⟩

∀
>
x
∈
X
,

{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,}

{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,}
或等价地{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.}

若对整数*n*，{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}，{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e\_{1},\ldots ,e\_{n}\right\}}是*X*的基，其对偶基{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e\_{1}^{\prime },\ldots ,e\_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}是线性算子，*F*关于{\displaystyle {\mathcal {E}}}的矩阵表示是{\displaystyle M:=\left(f\_{i,j}\right)}，则*M*的转置是{\displaystyle F^{\#}}关于{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}的矩阵表示。

#### 弱连续性与开性

设{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }，{\displaystyle \langle W,Z\rangle }是对偶系统的规范配对（所以{\displaystyle Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}}），并令{\displaystyle F:X\to W}是线性映射。则当且仅当{\displaystyle F:X\to W}满足下列等价条件之一，*F*是弱连续的：

1. {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}连续；
2. {\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
3. *F*的转置{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}相对于{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }和{\displaystyle \langle W,Z\rangle }是良定义的。

若*F*是弱连续的，则{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}是连续的，于是{\displaystyle {}^{tt}F=F}

拓扑空间之间的映射{\displaystyle g:A\to B}，若{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}是开映射（{\displaystyle \operatorname {Im} g}是*g*的范围），则称之是**相对开**的。

设{\displaystyle \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle }是对偶系统，{\displaystyle F:X\to W}是弱连续线性映射。则下列条件等价：

1. {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}是相对开的；
2. {\displaystyle {}^{t}F}的范围在*Y*中{\displaystyle \sigma (Y,X)}-闭；
3. {\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}

此外

* 当且仅当{\displaystyle {}^{t}F}是满射（或双射），{\displaystyle F:X\to W}是单射（或双射）；
* 当且仅当{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}是相对开单射，{\displaystyle F:X\to W}是满射。

##### 拓扑向量空间之间映射的转置

当且仅当*F*是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设{\displaystyle F:X\to Y}是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则

* 若*F*连续，则其是弱连续的，且{\displaystyle {}^{t}F}是麦基连续的，也是强连续的；
* 若*F*是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
* 若*F*是弱连续的，则当且仅当{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}将{\displaystyle Y^{\prime }}的等度连续子集映射到{\displaystyle X^{\prime }}的等度连续子集时，*F*才是连续的。
* 若*X*和*Y*是赋范空间，则当且仅当*F*是弱连续的（这时{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}），*F*连续。
* 若*F*连续，则当且仅当{\displaystyle F:X\to Y}是弱相对开的（即{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}是相对开的）、且{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}的等度连续子集都是{\displaystyle Y^{\prime }}的某等度连续子集的像时，*F*是相对开的。
* 若*F*是连续单射，则当且仅当{\displaystyle X^{\prime }}的等度连续子集都是{\displaystyle Y^{\prime }}的某等度连续子集的像，{\displaystyle F:X\to Y}是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

#### 可度量化性与可分性

令*X*是局部凸空间，有连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }}，并令{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }}。

1. 若*K*是等度连续或{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}-紧的，且{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}使得{\displaystyle \operatorname {span} D}在*X*中稠密，则*K*从{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}继承的子空间拓扑等同于*K*从{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}继承的子空间拓扑。
2. 若*X*是可分的、*K*是等度连续的，则*K*被赋予由{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
3. 若*X*是可分、可度量化的，则{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}是可分的。
4. 若*X*是赋范空间，则当且仅当给定由{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}诱导的子空间拓扑，*X*的连续对偶空间的封闭单元（*X*的连续对偶空间）可度量时，*X*是可分的。
5. 若*X*是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，*X*可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑
------------

条目：极拓扑
从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。

{\displaystyle (X,Y,b)}将是{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，{\displaystyle {\mathcal {G}}}将是*X*的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界子集的非空集合。

### 极拓扑

条目：极拓扑
给定*X*子集的集合{\displaystyle {\mathcal {G}}}，*Y*上由{\displaystyle {\mathcal {G}}}（与*b*）定义的极拓扑（或*Y*上的{\displaystyle {\mathcal {G}}}-拓扑）是*Y*上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中


{

r

G

∘

:
G
∈

G

,
r
>
0

}

{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}

{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
形成了原点邻域的子基。
*Y*被赋予这{\displaystyle {\mathcal {G}}}-拓扑时，就表示为{\displaystyle Y\_{\mathcal {G}}}。极拓扑都需要是局部凸的。
{\displaystyle {\mathcal {G}}}是关于子集包含的有向集合时（即若{\displaystyle \forall G,K\in {\mathcal {G}}}，{\displaystyle \exists K\in {\mathcal {G}}}使得{\displaystyle G\cup H\subseteq K}），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。

下面列出了一些较重要的极拓扑。

*符号*：若{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}表示*Y*上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的*Y*将记作{\displaystyle Y\_{\Delta (Y,X,b)},\ Y\_{\Delta (Y,X)}}或{\displaystyle Y\_{\Delta }}（如对{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}我们有{\displaystyle \Delta =\sigma }，这样{\displaystyle Y\_{\sigma (Y,X,b)},\ Y\_{\sigma (Y,X)}}和{\displaystyle Y\_{\sigma }}都表示赋予了{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}的*Y*）。

| {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X} （"…上一致收敛的拓扑"） | 记作 | 名称（"…的拓扑"） | 又称 |
| --- | --- | --- | --- |
| *X*的有限子集（或*X*有限子集的{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-闭圆盘化壳） | {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}{\displaystyle s(X,Y,b)} | 逐点/简单收敛 | 弱/弱-\*拓扑 |
| {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-紧圆盘 | {\displaystyle \tau (X,Y,b)} |  | 麦基拓扑 |
| {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-紧凸子集 | {\displaystyle \gamma (X,Y,b)} | 紧凸收敛 |  |
| {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-紧子集（或平衡{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-紧子集） | {\displaystyle c(X,Y,b)} | 紧收敛 |  |
| {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-有界子集 | {\displaystyle b(X,Y,b)}{\displaystyle \beta (X,Y,b)} | 有界收敛 | 强拓扑最强的极拓扑 |

#### 与极拓扑有关的定义

**连续性**
若{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}连续，则线性映射{\displaystyle F:X\to W}是（关于{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}）**麦基连续**的。

若{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}是连续的，则线性映射{\displaystyle F:X\to W}是（关于{\displaystyle (X,Y,b)}和{\displaystyle (W,Z,c)}）强连续的。

### 有界子集

*X*的子集，若在{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}（或{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b))}、{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}）中有界，则称*X*是**弱有界**（或**麦基有界**、**强有界**）。

### 同配对相容的拓扑

弱{\displaystyle (X,Y,b)}是{\displaystyle \mathbb {K} }上的配对，{\displaystyle {\mathcal {T}}}是*X*上的向量拓扑，则{\displaystyle {\mathcal {T}}}是配对的拓扑，且若其局部凸、{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}的连续对偶空间{\displaystyle =b(\,\cdot \,,Y)}，则称之与配对{\displaystyle (X,Y,b)}相容或一致。 
若*X*分离*Y*的点，则*Y*可视作*X*的代数对偶的向量子空间，定义条件变为{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若*Y*分离*X*的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}同配对{\displaystyle (X,Y,b)}相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若*N*是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right)}不相容。

#### 麦基–阿伦定理

条目：麦基–阿伦定理、麦基拓扑和麦基空间
下面是对偶理论中最重要的定理之一。

**麦基–阿伦定理 I** — 令{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，使*X*分离*Y*的点，并令{\displaystyle {\mathcal {T}}}是*X*上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。
则，当且仅当{\displaystyle {\mathcal {T}}}是由某覆盖了*Y*的{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}-紧圆盘集合{\displaystyle {\mathcal {G}}}确定的极拓扑时，称{\displaystyle {\mathcal {T}}}与配对{\displaystyle (X,Y,b)}相容。

由此可见，麦基拓扑{\displaystyle \tau (X,Y,b)}是由*Y*中所有{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}-紧圆盘生成的极拓扑，是*X*上与配对 {\displaystyle (X,Y,b)}相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

**麦基–阿伦定理 II** — 令{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，使得*X*分离*Y*的点，并且{\displaystyle {\mathcal {T}}}是*X*上的局部凸拓扑。则，当且仅当{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)}，{\displaystyle {\mathcal {T}}}与配对相容。

### 麦基定理、桶与闭凸集

若*X*是（{\displaystyle \mathbb {R} }或{\displaystyle \mathbb {C} }上的）拓扑向量空间，则**半空间**（half-space）是形式为{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}的集合。（*r*是实数，*f*是*X*上的连续实值线性泛函）

**定理** — 若*X*是（{\displaystyle \mathbb {R} }或{\displaystyle \mathbb {C} }上的）局部凸空间、*C*是*X*的非空闭凸子集，则{\displaystyle C}等于包含它的所有闭半空间的交。

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若{\displaystyle {\mathcal {T}}}、{\displaystyle {\mathcal {L}}}是*X*上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当*X*的凸子集在{\displaystyle {\mathcal {L}}}拓扑中封闭，，此子集也在{\displaystyle {\mathcal {T}}}拓扑中封闭。
这说明，*X*任意凸子集的{\displaystyle {\mathcal {T}}}-闭等同于其{\displaystyle {\mathcal {L}}}-闭，对*X*中任意{\displaystyle {\mathcal {T}}}-闭圆盘*A*，{\displaystyle A=A^{\circ \circ }}。 
特别地，若*B*是*X*的一个子集，则当且仅当*B*是{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}中的桶时，*B*也是{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}中的桶。

下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。

**定理** — 令{\displaystyle (X,Y,b)}是配对，使得*X*分离*Y*的点，并令{\displaystyle {\mathcal {T}}}为配对的某拓扑。
则当且仅当*X*的子集等于*Y*的某{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}-有界子集的极时，此子集是*X*中的桶。

若*X*是拓扑向量空间，则

1. *X*的闭吸收平衡子集*B*吸收*X*的所有凸紧子集（即存在正实数*r*使得{\displaystyle rB}包含此集）。
2. 若*X*是豪斯多夫局部凸的，则*X*中每个桶都吸收*X*的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

**麦基定理** — 设{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间{\displaystyle X^{\prime }}，并考虑规范对偶{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }。
若{\displaystyle {\mathcal {L}}}是*X*上任意与对偶{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }相容的拓扑，则{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}的有界子集与{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}的有界子集相同。

### 有限序列空间

令*X*表示标量{\displaystyle r\_{\bullet }=\left(r\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }}的所有序列的空间，且对所有足够大的*i*都有{\displaystyle r\_{i}=0}。
令{\displaystyle Y=X}，定义双线性映射{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }为



b

(

r

∙

,

s

∙

)

:=

∑

i
=
1

∞

r

i

s

i

.

{\displaystyle b\left(r\_{\bullet },s\_{\bullet }\right):=\sum \_{i=1}^{\infty }r\_{i}s\_{i}.}

{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
则{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)}。 
此外，当且仅当存在正实数序列{\displaystyle m\_{\bullet }=\left(m\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }}，使得{\displaystyle \left|t\_{i}\right|\leq m\_{i},\ \forall t\_{\bullet }=\left(t\_{i}\right)\_{i=1}^{\infty }\in T}、及所有指标*i*（或还有{\displaystyle m\_{\bullet }\in X}）时，子集{\displaystyle T\subseteq X}是{\displaystyle \sigma (X,X,b)}-有界（或{\displaystyle \beta (X,X,b)}-有界）的。

由此可见，*X*的子集中有弱有界（即{\displaystyle \sigma (X,X,b)}-有界）的，但没有强有界（即无{\displaystyle \beta (X,X,b)}-有界）的。

另见
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* Beta对偶空间
* 双正交系统
* 对偶空间
* 对偶拓扑
* 对偶 (数学)
* 内积
* L半内积
* 配对 (数学)
* 极集
* 极拓扑
* 约化对偶对
* 强对偶空间
* 线性映射空间泛函
* 弱拓扑

参考文献
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51  Narici & Beckenstein 2011，第225-273頁.
2. 1 2 3 4 5 6  Schaefer & Wolff 1999，第122–128頁.
3. ↑  Trèves 2006，第195頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help)
4. 1 2  Schaefer & Wolff 1999，第123–128頁.
5. 1 2 3  Narici & Beckenstein 2011，第260-264頁.
6. ↑  Narici & Beckenstein 2011，第251-253頁.
7. 1 2  Schaefer & Wolff 1999，第128–130頁.
8. ↑  Trèves 2006，第368–377頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help)
9. ↑  Narici & Beckenstein 2011，第200頁.
10. 1 2  Trèves 2006，第371–372頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help)

书目
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* Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward.. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
* Michael Reed and Barry Simon, *Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,* Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
* Rudin, Walter.. International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
* Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P.. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
* Schmitt, Lothar M.. Houston J. Of Math. 1992, **18**: 429–447.
* Trèves, François.. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

外部链接
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* Duality Theory

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| * 
* 论
* 编
泛函分析 |
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|  |
| 集合 / 子集 | 
* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥

 |
|  |
| 拓撲向量空間 | 
* 巴拿赫空间
* 欧几里得空间
* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
* 賦範向量空間 （范数）
* 拟赋范空间
* 自反空间
* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

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|  |
| 映射拓扑 | 
* 对偶空间
* 算子拓扑
* 弱拓扑（英语：）
* 强拓扑（英语：）
* 拓扑的一致收敛（英语：）

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| 线性算子 | 
* 伴随
* 双线性
	+ 形式
* 有界 / 无界
* 连续线性
* 紧
* Fredholm（英语：）
* 希尔伯特-施密特
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* 正规
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* 自伴
* 严格奇异算子（英语：）
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* 有限秩
* 转置（英语：）
* 酉 / 幺正

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| 集合运算 | 
* 代数内部
* 内部
* 閔可夫斯基和
* 极性集

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| 算子理论 | 
* 巴拿赫代数
* C\*-代数
* 谱 (泛函分析) （谱半径）
* 谱理论（谱定理）
* 极分解
* 奇异值分解

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| 定理 | 
* 阿尔泽拉-阿斯科利定理
* 巴拿赫-阿勞格魯定理
* 巴拿赫-马祖尔定理（英语：）
* 贝尔纲定理
* 贝塞尔不等式
* 柯西-施瓦茨不等式
* 闭值域定理
* 閉圖像定理
* 哈恩-巴拿赫定理
* 角谷不动点定理
* 不变子空间问题
* Riesz延拓定理（英语：）
* 开映射定理
* 拉克斯-米尔格拉姆定理
* 帕塞瓦尔恒等式
* 肖德尔不动点定理（英语：）

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| 分析 | 
* 导数 (弗雷歇导数
* 加托导数
* 泛函导数)
* 积分 (博赫纳积分
* 佩蒂斯积分（英语：）)
* 函数演算 (全纯函数演算
* 连续函数演算（英语：）
* 博雷尔函数演算)
* 反函数定理
* 向量测度
* 弱可测函数

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* 论
* 编
凸分析与变分分析 |
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| 基础概念 | 
* 凸组合
* 凸函数
* 凸集

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| 研究主题 | 
* 肖凯理论（英语：）
* 凸几何（英语：）
* 凸度量空间（英语：）
* 凸優化
* 对偶性
* 拉格朗日乘数
* 勒壤得轉換
* 局部凸拓扑向量空间（英语：）
* 单纯形

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| 映射 | 
* 凸共轭
* 凹函数
	+ 闭（英语：）
	+ K-（英语：）
	+ 对数
	+ 真
	+ 伪（英语：）
	+ 拟
* 凸函数
* 不变凸函数（英语：）
* 勒壤得轉換
* 半連續性
* 次导数

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| 集合 | 
* 凸包
	+ 矩形（英语：）
	+ 伪（英语：）
* 凸集
* 有效域
* 上图（英语：）
* 超图
* 约翰椭圆（英语：）
* 透镜 (几何)（英语：）
* 径向集/代数内部
* 環帶多面體

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| 主要成果 | 
* 卡拉西奥多里定理（英语：）
* 艾克兰德变分原理（英语：）
* 芬格尔-莫罗定理（英语：）
* 芬格尔-杨不等式
* 簡森不等式
* 厄米-阿达马不等式（英语：）
* 克林-米尔曼定理（英语：）
* 马祖尔引理（英语：）
* 沙普利-福克曼引理
* 乌尔塞斯库定理（英语：）

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| 级数 | 
* 凸级数（英语：）

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| 对偶性 | 
* 对偶系统
* 對偶間隙
* 强对偶（英语：）
* 弱对偶（英语：）

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| 应用与相关 | 
* 经济学中的凸性（英语：）

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