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在量子力學裏，**量子諧振子**（英語：）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

一維諧振子
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### 哈密頓算符與能量本徵態

能量最低的八個束縛本徵態的波函數表徵（*n* = 0到7）。橫軸表示位置*x*。此圖未經歸一化。
在一維諧振子問題中，一個質量為*m*的粒子，受到一位勢V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2。此粒子的哈密頓算符為

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
其中*x*為位置算符，而*p*為動量算符\left(p = -i \hbar {d \over dx} \right)。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：

 H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle .
在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

 \left\langle x | \psi\_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H\_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) 
 n = 0, 1, 2, \ldots
前8个解（*n* = 0到7）如右圖。函數H\_{n}為埃爾米特多項式：

H\_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}
注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作*H*。相應的能階為

 E\_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)。
束縛本徵態之機率密度*|ψn(x)|²*，從最底部的基態（*n* = 0）開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置*x*，而較亮的色彩代表較高的機率密度。
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即\hbar\omega乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當*n* = 0）不為零，而是\hbar\omega/2，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

### 階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符*a*與其伴隨算符（adjoint）*a*†：

\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}
算符*a*並非厄米算符（Hermitian），因其與伴隨算符*a*†並不相同。

算符*a*與*a*†有如下性質：

\begin{matrix}
a \left| \phi \_n \right\rangle &=& \sqrt{n} \left| \phi \_{n-1} \right\rangle \\
a^{\dagger} \left| \phi \_n \right\rangle &=& \sqrt{n+1} \left| \phi \_{n+1} \right\rangle
\end{matrix}
在推導*a*†形式的過程中，已用到算符*x*與*p*（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

\begin{matrix}
x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\
p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right)
\end{matrix}
*x*與*p*算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：

 \left[x , p \right] = i\hbar .
方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、**交換算符**或**對易算符**，其定義為

\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ AB - BA.
利用上面關係，可以證明如下等式：

 H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right) 
\left[a , a^{\dagger} \right] = 1.
現在，讓\left|\psi\_E\right\rangle代表帶有能量*E*的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此

{\displaystyle \left(a\left|\psi \_{E}\right\rangle ,a\left|\psi \_{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi \_{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi \_{E}\right\rangle \geq 0}。
將*a*†*a*以哈密頓算符表示：

\left\langle\psi\_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi\_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0，
因此E \ge \hbar \omega / 2。注意到當（a \left| \psi\_E \right \rangle）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而E = \hbar \omega / 2。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（*n* = 0）。

利用上面等式，可以指出*a*及*a*†與*H*的對易關係：

\begin{matrix}
\left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\
\left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger
\end{matrix}.
因此要是（a \left| \psi\_E \right \rangle）並非零右括向量，

{\displaystyle {\begin{matrix}H(a\left|\psi \_{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi \_{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi \_{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi \_{E}\right\rangle )\end{matrix}}}.
類似地，也可以指出

H (a^\dagger \left| \psi\_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi\_E \right\rangle).
換句話說，*a*作用在能量為*E*的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 
E - \hbar \omega的本徵態，而*a*†作用在能量為*E*的本徵態，產生出另一個能量為E + \hbar \omega的本徵態。因為這樣，*a*稱作降算符而*a*†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，*a*與*a*†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符*a*作用在其上，產生了另一個能量少了\hbar \omega的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到*E* = −∞。不過這樣就就與早先的要求E \ge \hbar \omega / 2相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作\left| 0 \right \rangle（勿與零右括向量混淆），使得

a \left| 0 \right\rangle = 0（即*a*對\left| 0 \right\rangle作用後產生零右括向量（zero ket））。
在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了

{\displaystyle H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle }。
最後，透過將升算符作用在\left| 0 \right \rangle上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}使得

 H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle ，這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，a \left| 0 \right\rangle = 0 變為

 x\psi\_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi\_0 (x)}{dx} = 0 。
所以，

 \frac{d\ln \psi\_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant} 。
這個方程式的解為，經過歸一化，

\psi\_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar}。
### 自然長度與能量尺度

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以\hbar \omega為單位來測量能量，以及\left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2}為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：

 H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2，
且能量本徵態與本徵值變成

\left\langle x | \psi\_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H\_n(u)
E\_n = n + {1\over 2}.
為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

### 案例：雙原子分子

条目：雙原子分子
在雙原子分子中，自然頻率可以發現為 （页面存档备份，存于）：

\omega = \sqrt{\frac{k}{m\_r}} 
其中

\omega = 2 \pi f 為角頻率，
*k*是**共價鍵勁度係數**
m\_r是約化質量。

N維諧振子
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一維諧振子很容易地推廣到N維。在一維中，粒子的位置是由單一座標*x*來指定的。在N維中，這由N個位置座標所取代，以x\_1,\,x\_2,\,\dots,\,x\_N標示。對應每個位置座標有個動量，標示為*p*1, ... *p**N*。這些算符之間的正則對易關係為

\begin{matrix}
\left[x\_i , p\_j \right] &=& i\hbar\delta\_{i,j} \\
\left[x\_i , x\_j \right] &=& 0 \\
\left[p\_i , p\_j \right] &=& 0
\end{matrix}.
系統的哈密頓算符為

 H = \sum\_{i=1}^N \left( {p\_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x\_i^2 \right)。
從這個哈密頓量的形式，可以發覺，N維諧振子明確地可比擬為N個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數x\_1,\,x\_2,\,\dots,\,x\_N是N個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為N個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數\{n\}，一個N維諧振子的能量本徵函數\langle \mathbf{x}|\psi\_{\{n\}}\rangle等於N個一維本徵函數\langle x\_i|\psi\_{n\_i} \rangle的乘積：

\langle \mathbf{x}|\psi\_{\{n\}}\rangle=\prod\_{i=1}^N\langle x\_i|\psi\_{n\_i} \rangle。
採用階梯算符方法，定義N組階梯算符，

a\_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x\_i + {i \over m \omega} p\_i \right) ，
a^{\dagger}\_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x\_i - {i \over m \omega} p\_i \right)。
類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個a\_{i}與a^{\dagger}\_i算符將能量分別降低或升高\hbar\omega。哈密頓量是

H = \hbar \omega \, \sum\_{i=1}^N \left(a\_i^\dagger \,a\_i + \frac{1}{2}\right)。
這量子系統的能階E是

 E = \hbar \omega \left[(n\_1 + \cdots + n\_N) + {N\over 2}\right]；
其中，正整數n\_i是|\psi\_{n\_i} \rangle的量子數。

如同一維案例，能量是量子化的。N維基態能階是一維基態能階的N倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在N維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定n=n\_1+n\_2+n\_3。每一個n相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予n，首先選擇一個n\_{1}。那麼，n\_2+n\_3=n - n\_1，有n - n\_1+1個值，從{\displaystyle 0}到n - n\_1，可以選擇為n\_{2}的值。n\_{3}的值自動的設定為n - n\_1 - n\_2。因此，簡併度是

d\_n = \sum\_{n\_1=0}^n n - n\_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}。
對於N維案例，

d\_n = \binom{N+n-1}{n}。
### 案例：三維均向諧振子

參閱三維均向諧振子
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：

V(r) = {1\over 2} \mu \omega^2 r^2；
其中，\mu 是這問題的質量。由於m會被用來標記磁量子數，所以，用\mu 來標記質量。

這問題的薛丁格方程式為

 - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + {1\over 2} \mu \omega^2 r^2\psi=E\psi。
薛丁格方程式的全部解答寫為

\psi \_{{klm}}(r,\theta ,\phi )=N\_{{kl}}r^{{l}}e^{{-\nu r^{2}}}{L\_{k}}^{{(l+{1 \over 2})}}(2\nu r^{2})Y\_{{lm}}(\theta ,\phi )；
其中，

N\_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2\nu ^{3}}{\pi }}\frac{2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{
(2k+2l+1)!!}}是歸一常數，
\nu \equiv {\mu \omega \over 2 \hbar}
{L\_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2)是k階广义拉盖尔多项式 ()，k是個正整數，
Y\_{lm}(\theta,\phi)\,是球諧函數，
\hbar 是約化普朗克常數。
能量本徵值是

E=\hbar \omega (2k+l+{3\over 2})。
能量通常可以用一個量子數n來描述：

n\equiv 2k+l。
由於k是個正整數，假若n是偶數，那麼，角量子數也是偶數：

l=0,\,2,\,\dots,\,n - 2,\,n；
假若n是奇數，那麼，角量子數也是奇數：

l=1,\,3,\,\dots,\,n - 2,\,n。
磁量子數m滿足不等式

-l \le m \le l。
對於每一個n與l，存在2l+1個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數m。因此，n的兼併度是

{\displaystyle \sum \_{l=i,\,i+2,\,\ldots ,\,n-2,\,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}}；
其中，總和的指數l的初始值是i=n\ mod\ 2。

這結果與先前的方程式相同。

耦合諧振子
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兩個質點的耦合諧振子
設想N個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為x\_1,\,x\_2,\,\dots,\,x\_N（也就是說，假若一個質點k位於其平衡點，則x\_k=0）。整個系統的哈密頓量是

 H = \sum\_{i=1}^N {p\_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2\sum\_{1\le i\le N} (x\_i - x\_{i-1})^2；
其中，x\_0=0。

這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

參閱
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* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta位勢壘
* 真空災變
* 盎魯效應

參考文獻
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* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
* Liboff, Richard L.. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.

外部連結
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* 國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子[永久]
* 喬治亞州州立大學（）線上物理網頁：量子諧振子 （页面存档备份，存于）