**柯西-施瓦茨不等式**，又稱**施瓦茨不等式**或**柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式**，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（英语：）（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述
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V 是個複内积空间，則對所有的 {\displaystyle v,\,w\in V} 有：

(a) {\displaystyle \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |}
(b) {\displaystyle \|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |} \Leftrightarrow  存在 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 使 {\displaystyle v=\lambda \cdot w}
證明請見内积空间#范数。

特例
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* 對歐幾里得空間**R***n*，有

\left(\sum\_{i=1}^n x\_i y\_i\right)^2 \leq \left(\sum\_{i=1}^n x\_i^2\right) \left(\sum\_{i=1}^n y\_i^2\right)。
等式成立時：

\frac {x\_1}{y\_1} = \frac {x\_2}{y\_2} = \cdots = \frac {x\_n}{y\_n}.
也可以表示成

(x\_1^2 +x\_2^2 + \cdots + x\_n^2)(y\_1^2 +y\_2^2 + \cdots + y\_n^2) \ge (x\_1 y\_1 + x\_2 y\_2 + \cdots + x\_n y\_n)^2

證明則須考慮一個關於t的一個一元二次方程式
(x\_1 t + y\_1)^2 + \cdots + (x\_n t + y\_n)^2 = 0 

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式D \leq 0

注意到

(x\_1 t + y\_1)^2 + \cdots + (x\_n t + y\_n)^2 \geq 0 

⇒(x\_1^2 +x\_2^2 + \cdots + x\_n^2) t^2 + 2 (x\_1 y\_1 + x\_2 y\_2 + \cdots + x\_n y\_n) t + (y\_1^2 +y\_2^2 + \cdots + y\_n^2) \geq 0

則

 D = 4 (x\_1 y\_1 + x\_2 y\_2 + \cdots + x\_n y\_n)^2 - 4 (x\_1^2 +x\_2^2 + \cdots + x\_n^2) (y\_1^2 +y\_2^2 + \cdots + y\_n^2) \leq 0

即

(x\_1^2 +x\_2^2 + \cdots + x\_n^2)(y\_1^2 +y\_2^2 + \cdots + y\_n^2) \ge (x\_1 y\_1 + x\_2 y\_2 + \cdots + x\_n y\_n)^2

(x\_1 t + y\_1)^2 + \cdots + (x\_n t + y\_n)^2 = 0 

(x\_1^2 +x\_2^2 + \cdots + x\_n^2)(y\_1^2 +y\_2^2 + \cdots + y\_n^2) \ge (x\_1 y\_1 + x\_2 y\_2 + \cdots + x\_n y\_n)^2

而等號成立於判別式D=0時

也就是此時方程式有重根，故

\frac {x\_1}{y\_1} = \frac {x\_2}{y\_2} = \cdots = \frac {x\_n}{y\_n}.

* 對平方可積的複值函數，有

{\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

* 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式

\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2。
这是
\left(\sum\_{i=1}^n x\_i y\_i\right)^2 = \left(\sum\_{i=1}^n x\_i^2\right) \left(\sum\_{i=1}^n y\_i^2\right)-\left(\sum\_{1\le i < j\le n}(x\_i y\_j - x\_j y\_i)^2\right)
在*n*=3 时的特殊情况。

矩阵不等式
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设x,y为列向量，则|x^{\*}y|^{2}\leq x^{\*}x\cdot y^{\*}y

x=0 時不等式成立，设x非零，{\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{\*}x}{\|x\|^{2}}}x}，则x^{\*}z=0
0\leq \|z\|^{2}=z^{\*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{\*}y}{\|x\|^{2}}}x^{\*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{\*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}
|x^{\*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}
等号成立\Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y与x线性相关
设A为n\times nHermite阵，且A\geq 0，则|x^{\*}Ay|^{2}\leq x^{\*}Ax\cdot y^{\*}Ay

存在A^{{1/2}}，设u=A^{{1/2}}x,v=A^{{1/2}}y
|u^{\*}v|^{2}\leq u^{\*}u\cdot v^{\*}v
|x^{\*}A^{{1/2}}A^{{1/2}}y|^{2}\leq x^{\*}A^{{1/2}}A^{{1/2}}x\cdot y^{\*}A^{{1/2}}A^{{1/2}}y
|x^{\*}Ay|^{2}\leq x^{\*}Ax\cdot y^{\*}Ay
等号成立\Leftrightarrow y与x线性相关
设A为n\times nHermite阵，且A>0，则|x^{\*}y|^{2}\leq x^{\*}Ax\cdot y^{\*}A^{{-1}}y

存在A^{{1/2}},A^{{-1/2}}，设u=A^{{1/2}}x,v=A^{{-1/2}}y
|u^{\*}v|^{2}\leq u^{\*}u\cdot v^{\*}v
|x^{\*}A^{{1/2}}A^{{-1/2}}y|^{2}\leq x^{\*}A^{{1/2}}A^{{1/2}}x\cdot y^{\*}A^{{-1/2}}A^{{-1/2}}y
|x^{\*}y|^{2}\leq x^{\*}Ax\cdot y^{\*}A^{{-1}}y
等号成立\Leftrightarrow x与A^{{-1}}y线性相关
若\displaystyle q\_{i}\geq 0,\sum \_{i}q\_{i}=1，则\displaystyle (x^{\*}A^{{\sum \_{i}a\_{i}q\_{i}}}x)\leq \prod \_{i}(x^{\*}A^{{a\_{i}}}x)^{{q\_{i}}}

复变函数中的柯西不等式
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设 f(z)在区域D及其边界上解析，a 为D内一点，以a为圆心做圆周 C\_{R}:|z-a|=R，只要C\_{R}及其内部G均被D包含，则有：

\left|f^{{(n)}}(z\_{{0}})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)

其中，M是|f(z)|的最大值，M=\max \limits \_{{|x-a|\in R}}|f(x)|
。

其它推广
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{\sqrt {\sum \_{{i=1}}^{n}(\sum \_{{j=1}}^{m}a\_{{ij}})^{2}}}\leq \sum \_{{j=1}}^{m}{\sqrt {\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{{ij}}^{2}}}

m\geq \alpha >0,(\sum \_{{i=1}}^{n}\prod \_{{j=1}}^{m}a\_{{ij}})^{{\alpha }}\leq \prod \_{{j=1}}^{m}\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{{ij}}^{{\alpha }}

參見
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* 三角不等式
* 內積空間

参考资料
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1. ↑  王松桂. .
2. ↑  程伟丽 齐静.. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4)  [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-08）.
3. ↑  赵明方.. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2)  [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-03）.
4. ↑  洪勇.. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1)  [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-03）.

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