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| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

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| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
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高斯整數 \mathbb{Z}[i]
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整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
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雙複數
複四元數
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超數
超現實數
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| **其他** |
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| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
  |

圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
 |

在数系理论中，**凯莱-迪克森构造**以定义在实数集的代数结构为基础构造出新的代数系统序列。序列中每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍。所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。它扩展了复数的概念，属于超复数的范畴。

**凯莱-迪克森构造**的代数系统中，都有范数和共轭的概念。从广义的概念上讲，集合中的一个元素和它的共轭的乘积等于它的范数的平方。

一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了有一个更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。

写为有序对的复数
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复数可以被写成实数*a*和*b*的有序对(*a*, *b*)。同时加法运算为对应分量相加，乘法则定义为

(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c).\,
一个第二分量为零的复数伴随着一个实数：复数(*a*, 0)就是实数 *a*。

另一个重要的复数运算是共轭。(*a*, *b*)的共轭(*a*, *b*)\*如下给出

(a, b)^\* = (a, -b).\,
共轭具有性质

(a, b)^\* (a, b)
 = (a a + b b, a b - b a) = (a^2 + b^2, 0),\,
这是一个非负实数。这样，共轭定义了一个"范数"，使复数成为了实数域上的赋范线性空间：复数 *z*的范数为

|z| = (z^\* z)^{1/2}.\,
此外，对于任何非零复数 *z*，共轭给出一个乘法逆元

z^{-1} = {z^\* / |z|^2}.\,
既然复数由两个独立的实数组成，则全体复数构成实数域上的线性空间。

此外，作为较高维的数，复数可以说比实数缺少了一个代数性质：一个实数的共轭是其自身。

四元数
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条目：四元數
构造的下一步是推广乘法和共轭。

复数a和b的有序对(a, b)的乘法定义为

(a, b) (c, d)
 = (a c - d^\* b, d a + b c^\*).\,
公式中的细微变化是合理的；构造的结果是产生在忽略基的记号下是同一的结构。

因子的次序似乎很奇怪，但对于下一步意义重大。
定义(a, b)的共轭(a, b)^\*\,

(a, b)^\* = (a^\*, -b).\,
这些符号是它们在复数情况下的直接推广：如果a和b是从复数集的实数子集中选取，则共轭在公式中的表现没有影响，所以这些运算和在复数下一样。

一个元素和它的共轭之积为非负实数：

(a, b)^\* (a, b)
 = (a^\*, -b) (a, b)
 = (a^\* a + b^\* b, b a^\* - b a^\*)
 = (|a|^2 + |b|^2, 0 ).\,
同之前一样，共轭运算产生了一个范数和任一有序对的逆。所以在前述情况下，这些有序对组成了一个有些像实数的代数。它们被称为四元数，由威廉·哈密顿于1843年命名。

由于四元数由独立的两个复数组成，它们构成实数域上的4维线性空间。

四元数的乘法并不完全和实数相同。它是非交换的，也就是说如果p和q是四元数，并不总能得到p q = q p。

八元数
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条目：八元数
从这里开始，所有步骤看起来是一样的。

这次，四元数p和q的有序对(p, q)的乘法和共轭定义如同四元数一样：

(p, q) (r, s)
 = (p r - s^\* q, s p + q r^\*).\,
然而，注意到四元数是非交换的，因子在乘法公式中的次序变得很重要——如果最后一个因子是r^\*q而不是qr^\*，从一个元素与其共轭的积的公式得不到一个实数。

由与之前完全一样的原因，共轭运算产生了一个范数和任一非零元的逆。

这个由约翰·格雷夫斯在1843年描述的代数被称为八元数或者"凯莱数"。

由于八元数由独立的两个四元数组成，它们构成实数域上的8维线性空间。

八元数的乘法比四元数还要奇怪。除了非交换，它还是非结合的：如果p, q和r都是八元数，则并不总能得到

(p q) r = p (q r).\

进一步的代数
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紧接着八元数的代数是十六元數。它保留了一个叫幂结合性的代数性质：如果s是一个十六元数，则s^n s^m = s^{n + m}。但失去了作为交错代数的性质，从而不再是合成代数。

凯莱-迪克森构造能继续进行下去，產生如三十二元數、六十四元數等代數結構，每一步产生一个幂结合代数，其维数为前一步产生的代数的两倍。

一般凯莱-迪克森构造
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Albert (1942, p. 171)给出一个略为一般化的结论。*A*是一个带对合的代数，定义*B*=*A*⊕*A*上的积和对合为

(p, q) (r, s)
 = (p r - \gamma s^\* q, s p + q r^\*)\,
(p, q)^\* = (p^\*, -q)\ 
这里γ为一个和\*以及左乘右乘可交换的加性映射。（在实数上γ的所有选择等价于−1,0或1）
在这种构造中，*A*是一个带对合的代数，意味着：

* *A*对于+是阿贝尔群。
* *A*有一个适合对+的左右分配律的乘法。
* *A*有一个对合\*，这里*x*\*\* = *x*, (*x*+*y*)\* = *x*\*+*y*\*, (*xy*)\* =*y*\**x*\*。

由凯莱-迪克森构造生成的代数*B*=*A*⊕*A*仍然是带对合的代数。

*B*继承自*A*而未改变的性质有

* 若*A*有单位元1*A*，则*B*有单位元(1*A*, 0)。
* 若*A*有性质*x*+*x*\*、 *xx*\*与所有元素结合且交换，则*B*也有此性质。这一性质意味着任何元素引起一个交换、结合的\*-代数，特别的，该代数满足幂结合性。

*A*的其他性质仅诱导出*B*的较弱性质：

* 若*A*是交换的并具有平凡对合，则*B*是交换的。
* 若*A*是交换的和结合的，则*B*是结合的。
* 若*A*是结合的，*x*+*x*\*、 *xx*\*与所有元素结合且交换，则*B*是交错的。

参考资料
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* Albert, A. A. Annals of Mathematics. Second Series, 1942, **43** (1): 161–177  [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1968887, MR0006140, （原始内容存档于2016-03-24）  (see p. 171)
* Baez, John, Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, **39**: 145–205  [2011-01-04], ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, （原始内容存档于2009-04-21） . *(See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction（页面存档备份，存于）")*
* Dickson, L. E. Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1919, **20** (3): 155–171  [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1967865, （原始内容存档于2016-10-06）
* Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S. Leipzig: B.G. Teubner, 1978
* Hamilton, William Rowan, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, **3**: 1–16  [2011-01-04], ISSN 1393-7197, （原始内容存档于2010-12-18）

外部链接
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* Hyperjeff, *Sketching the History of Hypercomplex Numbers* (1996-2006).