代数几何中，**格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理**是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

公式
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令*X*为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群{\displaystyle K\_{0}(X)}规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

{\displaystyle \mathrm {ch} \colon K\_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}
其中{\displaystyle A\_{d}(X,\mathbb {Q} )}是*d*维的*X*上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若*X*定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

{\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}
现在考虑光滑拟射影概形与X上的层{\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}的有界复形之间的真射{\displaystyle f\colon X\to Y}。

**格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理**涉及前推映射

{\displaystyle f\_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f\_{\*}\colon K\_{0}(X)\to K\_{0}(Y)}
（高阶直像的交替和）与前推

{\displaystyle f\_{\*}\colon A(X)\to A(Y),}
由公式

{\displaystyle \mathrm {ch} (f\_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f\_{\*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}
其中{\displaystyle \mathrm {td} (X)}是*X*（的切丛）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于*X*、 *Y*。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

{\displaystyle \mathrm {ch} (f\_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f\_{\*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T\_{f})),}
其中T\_f是*f*的相对切层，定义为元素{\displaystyle TX-f^{\*}(TY)\in K\_{0}(X)}。例如，当*f*是光滑态射时，T\_f就只是向量丛，即沿*f*的纤维的切丛。

Navarro & Navarro (2017)运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到*f*是两光滑概形间的真映射。

泛化与特化
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考虑组合{\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是*Y*为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

例子
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### 曲线上的向量丛

域k的光滑射影曲线上秩为n、度为d（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛{\displaystyle E\to C}有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点{\displaystyle X=C}、{\displaystyle Y=\{\*\}}，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f\_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f\_{\*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f\_{\*}((n+c\_{1}(E))(1+(1/2)c\_{1}(T\_{C})))\\&=f\_{\*}(n+c\_{1}(E)+(n/2)c\_{1}(T\_{C}))\\&=f\_{\*}(c\_{1}(E)+(n/2)c\_{1}(T\_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}
于是

{\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}
此式也适于秩为n、度为d的相干层。

### 光滑真射

格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射{\displaystyle f\colon X\to Y}的纤维都是等维的（在基变为{\displaystyle \mathbb {C} }时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间{\mathcal {M}}对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

#### 曲线的模

对g属曲线（且无标记点）的模叠{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}，有通用曲线{\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}\_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}，其中{\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}\_{g}={\overline {\mathcal {M}}}\_{g,1}}是属g曲线和一个标记点的模叠。然后定义**重言类**

{\displaystyle {\begin{aligned}K\_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}&=c\_{1}(\omega \_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}})\\\kappa \_{l}&=\pi \_{\*}(K\_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi \_{\*}(\omega \_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}})\\\lambda \_{l}&=c\_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}
其中{\displaystyle 1\leq l\leq g}与{\displaystyle \omega \_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}}是相关的对偶化层。注意{\displaystyle \omega \_{{\overline {\mathcal {C}}}\_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}}在点{\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}上的纤维，这就是对偶化层{\displaystyle \omega \_{C}}。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环{\displaystyle A^{\*}({\mathcal {M}}\_{g})}上的{\displaystyle \kappa \_{i}}之和 (corollary 6.2)，从而找到描述\lambda\_i的\lambda\_i、{\displaystyle \kappa \_{i}}间的关系。由于{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}}的覆盖，对某个有限群G可给出{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}\_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}\_{g}/G]}。对{\displaystyle \omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}\_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}\_{g}}}应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

{\displaystyle \mathrm {ch} (\pi \_{!}(\omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi \_{\*}(\mathrm {ch} (\omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}
因为

{\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi \_{!}({\omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}\_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}\_{g}}})\cong {\mathcal {O}}\_{\tilde {M}},}
由上式可知

{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi \_{\*}({\text{ch}}(\omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega \_{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}
这样，{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}的计算可以进一步减少。在偶数维2k，

{\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )\_{2k}=0.}
另外在1维，

{\displaystyle \lambda \_{1}=c\_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa \_{1}+\delta ),}
其中\delta 是边界上的一个类。g=2时，在光滑轨迹{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{g}}上有如下关系

{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \_{1}&={\frac {1}{12}}\kappa \_{1}\\\lambda \_{2}&={\frac {\lambda \_{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa \_{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}
可通过分析\mathbb{E}的陈示性推得。

### 闭嵌入

闭嵌入{\displaystyle f\colon Y\to X}也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对n维光滑簇X及余维为k的子簇Y，有

{\displaystyle c\_{k}({\mathcal {O}}\_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}
由短正合序列

{\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}\_{Y}\to {\mathcal {O}}\_{X}\to {\mathcal {O}}\_{Y}\to 0},
有下式

{\displaystyle c\_{k}({\mathcal {I}}\_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}
for the ideal sheaf since {\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}\_{X})=c({\mathcal {O}}\_{Y})c({\mathcal {I}}\_{Y})}.

应用
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### 模空间的准射影性

过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间M（如有尖代数曲线的模空间{\displaystyle M\_{g,n}}）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察M上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，{\displaystyle M\_{g,n}}有曲线族

{\displaystyle \pi \colon C\_{g,n}\to M\_{g,n}}
有截面

{\displaystyle s\_{i}\colon M\_{g,n}\to C\_{g,n}}
对应标记点。由于每根纤维都有规范丛{\displaystyle \omega \_{C}}，有相伴线丛


Λ

g
,
n

(
π
)
=
det
(

R

π

∗

(

ω

C

g
,
n

/

M

g
,
n

)
)

{\displaystyle \Lambda \_{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi \_{\*}(\omega \_{C\_{g,n}/M\_{g,n}}))}

{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}
及


χ

g
,
n

(
i
)

=

s

i

∗

(

ω

C

g
,
n

/

M

g
,
n

)
.

{\displaystyle \chi \_{g,n}^{(i)}=s\_{i}^{\*}(\omega \_{C\_{g,n}/M\_{g,n}}).}

{\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}
于是

{\displaystyle \Lambda \_{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes \_{i=1}^{n}\chi \_{g,n}^{(i)}\right)}
是丰沛线丛，因此粗糙模空间{\displaystyle M\_{g,n}}是准射影的。

历史
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亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于代数簇的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

另见
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* 川崎黎曼–罗赫公式

参考文献
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* Berthelot, Pierre. Alexandre Grothendieck; Luc Illusie , 编.. Lecture Notes in Mathematics **225**. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. xii+700. ISBN 978-3-540-05647-8. doi:10.1007/BFb0066283 （法语）.
* Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, **86**: 97–136, ISSN 0037-9484, MR 0116022, doi:10.24033/bsmf.1500 可免费查阅 （法语）
* Fulton, William, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. **2** 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002
* Navarro, Alberto; Navarro, José, 2017, Bibcode:2017arXiv170510769N, arXiv:1705.10769 可免费查阅
* Panin, Ivan; Smirnov, Alexander.. 2000.
*. . 2016: 481–510. ISBN 9781107017085. doi:10.1017/CBO9781139062046.016.

外部链接
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* The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem
* The thread "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
* The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
* The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.