本篇的目的在於討論群的基本性質，群的定義可見參見群#正式定義。

基本定理
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### 拉丁方陣性質

参见：拉丁方陣性質
**定理 1.3**: 對於所有 *G* 中元素 *a*,*b*，存在唯一的 *G* 中的 *x* 使得 *a*\**x* = *b*。

*證明*。的確存在至少一個這種 *x*，因為如果我們設 *x* = *a*-1\**b*，則 *x* 在 *G* 中(通過 A1，閉包)并且:

* *a*\**x* = *a*\*(*a*-1\**b*) (代換 *x*)
* *a*\*(*a*-1\**b*) = (*a*\**a*-1)\**b* (結合律 A2)。
* (*a*\**a*-1)\**b* = *e*\**b* = *b*. (單位元 A3)。
* 因此總是存在一個 *x* 滿足 *a*\**x* = *b*。

為了證明這是唯一性的，如果 *a*\**x* = *b*，則

* *x* = *e*\**x*
* *e*\**x* = (*a*-1\**a*)\*x
* (*a*-1\**a*)\*x = *a*-1\*(*a*\**x*)
* *a*-1\*(*a*\**x*) = *a*-1\**b*
* 因此，*x* = *a*-1\**b*

類似的，對於所有 *G* 中的 *a*,*b*，存在唯一的一個 *G* 中的 *y* 使得 *y*\**a* = *b*。

### 兩次逆換回到起點

**定理 1.6**: 對於所有群 *G* 中的元素 *a*，(*a*-1)-1 = *a*。

*證明*。*a*-1\**a* = *a*-1\*(*a*-1)-1=*e*。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

### *ab*的逆元

**定理 1.7**: 對於所有群 *G* 中元素 *a*,*b*，(*a*\**b*)-1 = *b*-1\**a*-1。

*證明*。(*a*\**b*)\*(*b*-1\**a*-1) = *a*\*(*b*\**b*-1)\**a*-1 = *a*\*e\**a*-1 = *a*\**a*-1 = *e*。結論得出自定理 1.4。

### 消除

**定理 1.8**: 對于所有群 *G* 中的元素 *a*,*x* 和 *y*，如果 *a*\**x* = *a*\**y*，則 *x* = *y*；并且如果 *x*\**a* = *y*\**a*，則 *x* = *y*。

*證明*。如果 *a*\**x* = *a*\**y* 則:

* *a*-1\*(*a*\**x*) = *a*-1\*(*a*\**y*)
* (*a*-1\**a*)\**x* = (*a*-1\**a*)\**y*
* *e*\**x* = *e*\**y*
* *x* = *y*

如果 *x*\**a* = *y*\**a* 則

* (*x*\**a*)\**a*-1 = (*y*\**a*)\**a*-1
* *x*\*(*a*\**a*-1) = *y*\*(*a*\**a*-1)
* *x*\**e* = *y*\**e*
* *x* = *y*

### 冪

對於 n \in \mathbb{Z} 和 a \in G 我們定義:

a ^ n :=
\begin{cases}
\underbrace{a\*a\*\cdots\*a}\_{n \mbox{times}}, & \mbox{if }n > 0 \\
1, & \mbox{if }n = 0 \\
\underbrace{a^{-1}\*a^{-1}\*\cdots\*a^{-1}}\_{-n \mbox{times}}, & \mbox{if }n < 0
\end{cases}

**定理 1.9**: 對于所有群 <*G*,\*> 中的 *a*，n, m \in \mathbb{Z}:

\begin{matrix}
a^m\*a^n &=& a^{m+n}\\
(a^m)^n &=& a^{m\*n}
\end{matrix}

類似的如果 *G* 使用了加法符號，我們有:

n \* a :=
\begin{cases}
\underbrace{a+a+\cdots+a}\_{n \mbox{times}}, & \mbox{if }n > 0 \\
0, & \mbox{if }n = 0 \\
\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots+(-a)}\_{-n \mbox{times}}, & \mbox{if }n < 0
\end{cases}

并且:

\begin{matrix}
(m\*a) +(n\*a) &=& (m+n)\*a\\
m\*(n\*a) &=& (m\*n)\*a
\end{matrix}

階
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### 群元素的階

群 *G* 中的元素 *a* 的階是最小正整數 *n* 使得 *an = e*。有些它寫為"o(*a*)=*n*"。*n* 可以是無限的。

**定理 1.10**: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說，如果所有群 *G* 中的元素 *g* 都有 *g*\**g*=*e* 成立，則對於所有 *G* 中的 *a*,*b*，*a*\**b* = *b*\**a*。

  

*證明 1*。設 *a*, *b* 是群 *G* 中任何 2 個元素。
由 **公理 A1** 可知 (*a*\**b*) 是群 *G* 的元素，所以 (*a*\**b*) 是群 *G* 的 2 階元素

* *a*\**b*\**a*\**b* = (*a*\**b*)\*(*a*\**b*) = *e* ...**(1)** by **公理 A2**
* *a*\**b*\**b*\**a* = *a*\**e*\**a* = *a*\**a*= *e* ...**(2)** by *a*,*b*都是群 *G* 的 2 階元素
* *a*\**b*\**b*\**a* = *a*\**b*\**a*\**b* ...**(3)** by 式**(1)**,式**(2)**兩式皆等於*e*
* *b*\**b*\**a* = *b*\**a*\**b* ...**(4)** by **定理 1.8**
* *b*\**a* = *a*\**b* ...**(5)** by **定理 1.8**

因為群運算 \* 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

  

*證明 2*。設 *a*, *h* 是群 *G* 中任何 2 個元素。通過 A1，*a*\**h* 也是 *G* 的成員。使用給定條件，我們知道 (*a*\**h*)\*(*a*\**h*) = *e*。因此:

* *a*\*(*a*\**b*)\*(*a*\**b*) = *a*\**e*
* *a*\*(*a*\**b*)\*(*a*\**b*)\**b* = *a*\**e*\**b*
* (*a*\**a*)\*(*b*\**a*)\*(*b*\**b*) = (*a*\**e*)\**b*
* *e*\*(*b*\**a*)\**e* = *a*\**b*
* *b*\**a* = *a*\**b*。

因為群運算 \* 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

### 群的階

群 *G* 的階，通常指示為 |*G*| 或偶爾指示為 o(*G*)，在 <*G*,\*> 是有限群的情況下是集合 *G* 中元素的數目。如果 *G* 是無限集合，則群 <*G*,\*> 有等于 *G* 的勢的階，而且是無限群。

子群
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*G* 的子集 *H* 被稱為群 <*G*,\*> 的子群，如果使用相同的算子 "\*"，并限制於子集 *H* 內，*H* 滿足群公理。因此如果 *H* 是 <*G*,\*> 的子群，則 <*H*,\*> 也是群，并在限制於 *H* 內，滿足上述定理。子群 *H* 的階是 *H* 中元素的數目。

群 *G* 的真子群是不同於 *G* 的子群。*G* 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 *e* 的元素的 *G* 的真子集。

**定理 2.1**: 如果 *H* 是 <*G*,\*> 的子群，則 在 *H* 中的單位元 *e**H* 同一於 (*G*,\*) 中的單位元 *e*。

*證明*。如果 *h* 在 *H* 中，則 *h*\**e**H* = *h*；因為 *h* 必定也在 *G* 中，*h*\**e* = *h*；所以通過定理 1.4，*e**H* = *e*。

**定理 2.2**: 如果 *H* 是 *G* 的子群，并且 *h* 是 *H* 的元素，則 *h* 在 *H* 中的逆元同一於 *h* 在 *G* 中的逆元。

*證明*。設 *h* 和 *k* 是 *H* 的元素，使得 *h*\**k* = *e*；因為 *h* 必定也在 *G* 中，*h*\**h*-1 = *e*；所以通過定理 1.5，*k* = *h*-1。

給定 *G* 的子集 *S*，我們經常想要確定 *S* 是否也是 *G* 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:

**定理 2.3**: 如果 *S* 是 *G* 的非空子集，則 *S* 是 *G* 的子群，當且僅當對於所有 *S* 中的 *a*,*b*，*a*\**b*-1 在 *S* 中。

*證明*。如果對於所有 *S* 中的 *a*, *b*，*a*\**b*-1 在 *S* 中，則

* *e* 在 *S* 中，因為 *a*\**a*-1 = *e* 在 *S* 中。
* 對於所有 *S* 中的 *a*，*e*\**a*-1 = *a*-1 在 *S* 中。
* 對於所有 *S* 中的 *a*, *b*，*a*\**b* = *a*\*(*b*-1)-1 在 *S* 中。

因此，滿足了閉包、單位元和逆元公理，而結合律是繼承來的，所以 *S* 是子群。

反過來說，如果 *S* 是 *G* 的子群，則它滿足群公理。

* 如上所述，*S* 中單位元同一於 *G* 中的單位元 *e*。
* 通過 A4，對於所有 *S* 中的 *b*，*b*-1 在 *S* 中。
* 通過 A1，*a*\**b*-1 在 *S* 中。

兩個或更多個子群的交集也是子群。

**定理 2.4**: 群 *G* 的子群的任何非空集合的交集是子群。

*證明*。設 {*H**i*} 是 *G* 的子群的集合，并設 K = ∩{*H**i*}。通過定理 2.1，*e* 是所有 *H**i* 的成員；因此 *K* 非空。如果 *h* 和 *k* 是 *K* 的兩個元素，則對於所有 *i*， 

* *h* 和 *k* 在 *H**i* 中。
* 通過前面的定理，*h*\**k*-1 在 *H**i*。
* 所以，*h*\**k*-1 在 ∩{*H**i*} 中。

因此對于 *K* 中的所有 *h*, *k*，*h*\**k*-1 在 *K* 中。接著通過前面的定理，*K*=∩{*H**i*} 是 *G* 的子群；并且事實上 *K* 是每個 *H**i* 的子群。

給定一個群 <*G*,\*>，定義 *x*\**x* 為 *x*², *x*\**x*\**x*\*...\**x* (*n* 次)為 *x**n*，并定義 *x*0 = *e*。類似的，定義 *x*-*n* 為 (*x*-1)*n*。則我們有:

**定理 2.5**: 設 *a* 是群 (*G*,\*) 的元素。則集合 { *a**n*: *n* 是整數 } 是 *G* 的子群。

*證明*。這種類型的子群叫做循環子群；*a* 的冪的子群經常寫為 <*a*>，并稱為 *a* 生成 <*a*>。

陪集
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如果 *S* 和 *T* 是 *G* 的子集，并且 *a* 是 *G* 的元素，我們寫"*a*\**S*"來提及形如 *a*\**s* 的所有元素構成的 *G* 的子集，這里的 *s* 是 *S* 的元素；類似的，我們寫"*S*\**a*"來指示形如 *s*\**a* 的元素的集合。我們寫 *S*\**T* 表示形如 *s*\**t* 的元素構成的 *G* 的子集，這里的 *s* 是 *S* 的元素而 *t* 是 *T* 的元素。

如果 *H* 是 *G* 的子群，則 *H* 對于某個 *G* 中的 *a* 的左陪集是集合 *a*\**H*。右陪集是集合 *H*\**a*。

如果 *H* 是 *G* 的子群，則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:

* 如果 *x* 和 *y* 是 *G* 的元素，則要么 *x*\**H* = *y*\**H*，要么 *x*\**H* 和 *y*\**H* 有空交集。

* 所有 *H* 在 *G* 中的左(右)陪集都包含相同數目的元素。

* *G* 是 *H* 的左(右)陪集們的不交并集。

* 那么 *H* 的不相同的左陪集的數目等于 *H* 的不相同的右陪集的數目。

定義群 *G* 的子群 *H* 的指標(寫為"[*G*:*H*]")為 *H* 在 *G* 中不同的左陪集的數目。

從這些定理，我們可以推導出重要的拉格朗日定理，它有關於群的子群的階:

* **拉格朗日定理**: 如果 *H* 是 *G* 的子群，則 |*G*| = |*H*|\*[*G*:*H*]。

對于有限群，它可以重申為:

* **拉格朗日定理**: 如果 *H* 是有限群 *G* 的子群，則 *H* 的階整除 *G* 的階。

* 如果群 *G* 的階是素數，*G* 是循環群。

參見
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* 群論
* 阿貝爾群
* 群論術語

引用
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* Jordan, C. R and D.A. *Groups*. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
* Scott, W R. *Group Theory*. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3