紹爾-謝拉赫引理，經帕约尔推廣的版本：對於每個有限族（綠色），都存在同樣多個集合組成的另一族（藍色），使得藍色族中每個集合，都被綠色族「打碎（英语：）」。
组合数学和極值集合論（英语：）中，**紹爾-謝拉赫引理**（英語：）斷言，若集合族的VC维低，則該族不能有太多個集合。引理得名於諾貝特·紹爾和薩哈龍·謝拉赫（英语：），兩人分別獨立於1972年發表此結果。較之略早，在1971年，弗拉基米尔·瓦普尼克和亞歷克塞·澤范蘭傑斯合著的論文已有此結果（「VC維」即以兩人為名）。謝拉赫發表引理時，亦歸功於米哈·佩爾萊斯（英语：），故引理又稱為**佩爾萊斯-紹爾-謝拉赫引理**。

布萨格洛等人稱其為「關於VC維的最根本結論之一」。引理在若干方面有應用，就各發現者的研究動機而言，紹爾是研究集族的組合學，謝拉赫研究模型论，VC二氏則研究统计学。後來，引理亦用於离散几何和图论。

定義及敍述
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設{\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}=\{S\_{1},S\_{2},\dots \}}為一族集合，T為另一集，此時所謂T為\mathcal{F}的碎裂集（英语：），意思是T的每個子集（包括空集和T本身），皆可表示成T與該族某集之交{\displaystyle T\cap S\_{i}}。\mathcal{F}的VC維是其打碎的最大集的大小。

利用以上術語，紹爾-謝拉赫引理可以寫成：

> 
> 若\mathcal{F}是一族集合，且各集合中，合共衹有n個不同元素，但
> {\displaystyle \textstyle |{\mathcal {F}}|>\sum \_{i=0}^{k-1}{\binom {n}{i}}}，則\mathcal{F}打碎某個k元集合。
> 
> 
> 

所以，若\mathcal{F}的VC維為k（故不打碎任何k+1元集），則\mathcal{F}中至多衹有{\displaystyle \textstyle \sum \_{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}=O(n^{k})}個集合。

引理所給的界已是最優：考慮n元集{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}中，所有小於k個元素的子集，所成的族\mathcal{F}。該族的大小恰為{\displaystyle \textstyle \sum \_{i=0}^{k-1}{\binom {n}{i}}}，但是不打碎任何k元集。

打碎多少集合
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帕约尔將紹爾-謝拉赫引理加強為：

> 
> 有限族\mathcal{F}必打碎至少{\displaystyle |{\mathcal {F}}|}個集合。
> 
> 
> 

紹爾-謝拉赫引理為其直接推論，因為n元全集的子集中，衹有{\displaystyle \textstyle \sum \_{i=0}^{k-1}{\binom {n}{i}}}個的元素個數小於k。故{\displaystyle \textstyle |{\mathcal {F}}|>\sum \_{i=0}^{k-1}{\binom {n}{i}}}時，即使全部小集皆已打碎，仍不足{\displaystyle |{\mathcal {F}}|}個，故必有打碎某個不少於k元的集合。

亦可將「碎裂」的概念加以限縮，變成「順序碎裂」（）。此時，任意集族順序打碎的集合數，必恰好等於該族的大小。

證
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紹爾-謝拉赫引理的帕約爾變式可使用数学归纳法證明，此證法一說出自諾加·阿隆，一說出自朗·阿哈羅尼（英语：）及朗·霍爾茲曼（）。

作為歸納法的起始步驟，單一個集合組成的族{\mathcal {F}}，能打碎空集，已足{\displaystyle |{\mathcal {F}}|}個。

至於遞推步驟，可假設引理對任意少於{\displaystyle |{\mathcal {F}}|}個集合組成的族皆成立，且族\mathcal{F}有至少兩個集合，故可選取元素x為其一的元素，但不屬於另一集。如此便可將\mathcal{F}的集合分成兩類：包含x的集合歸入子族{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{1}}，不含x的則歸入{\displaystyle {\mathcal {F}}\_{0}}。

由歸納假設，兩子族各自打碎的集合數，其和至少為{\displaystyle |{\mathcal {F}}\_{0}|+|{\mathcal {F}}\_{1}|=|{\mathcal {F}}|}。 

該些碎裂集不能有元素x，因為若要打碎某個有x的集合A，則族中需要有含x的集合，也需要有不含x的集合，纔能使該族各集與A的交集出齊A的全體子集。

若集S衹被一個子族打碎，則數算兩子族打碎的集合時，S計為一個，數\mathcal{F}打碎的集合時亦計為一個。但S也可能同時被兩子族打碎，如此，數算兩子族打碎的集合時，會將S計兩次；不過{\mathcal {F}}既打碎S，也打碎{\displaystyle S\cup \{x\}}，所以S（和{\displaystyle S\cup \{x\}}）在數\mathcal{F}打碎的集合時，也計為兩次。由此，{\mathcal {F}}打碎的集合數，不小於兩子族各自打碎集合數之和，從而不小於{\displaystyle |{\mathcal {F}}|}。

紹爾-謝拉赫引理的原始形式還有另一種證明，利用线性代数及容斥原理，該證法由弗龍克爾·彼得（英语：）和保奇·亞諾什（英语：）給出。

應用
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VC二氏原先將引理應用於證明，若考慮一族VC維固定的事件，則衹需有限多個取樣點，即可近似任意的概率分佈（使取樣所得的事件概率近似該分佈下的事件概率），且取樣點的個數衹取決於VC維數。具體而言，有兩種意義下的近似，各由參數\varepsilon 定義：

1. 取樣集S上的概率分佈定義為原分佈的「\varepsilon 近似」（英語：），意思是每個事件被S以該分佈取樣的概率，與原概率所差不過\varepsilon 。
2. 取樣集S（不設權重）定義為「*ε*網（英语：）」，意思是概率不小於\varepsilon 的任一事件中，必含S中至少一點。

由定義，\varepsilon 近似必為\varepsilon 網，反之則不一定。

VC二氏以此引理證明，若某集族的VC維為d，則必有大小不過{\displaystyle O({\tfrac {d}{\varepsilon ^{2}}}\log {\tfrac {d}{\varepsilon }})}的\varepsilon 近似。其後，Haussler & Welzl (1987)和Komlós，Pach & Woeginger (1992)等發表了類似的結果，證明必存在大小為{\displaystyle O({\tfrac {d}{\varepsilon }}\log {\tfrac {1}{\varepsilon }})}的\varepsilon 網，具體上界為{\displaystyle {\tfrac {d}{\varepsilon }}\ln {\tfrac {1}{\varepsilon }}+{\tfrac {2d}{\varepsilon }}\ln \ln {\tfrac {1}{\varepsilon }}+{\tfrac {6d}{\varepsilon }}}。證明存在小\varepsilon 網的主要方法是，先揀選{\displaystyle O({\tfrac {d}{\varepsilon }}\log {\tfrac {1}{\varepsilon }})}個點的隨機樣本x，再獨立揀選另{\displaystyle O({\tfrac {d}{\varepsilon }}\log ^{2}{\tfrac {1}{\varepsilon }})}個點的隨機樣本y，然後證明以下的不等式：存在某個較大事件E與x不交的概率p\_{1}，與存在同樣的事件，且該事件與y相交點數大於中位值的概率p\_{2}，兩概率之比至多為2。若固定E和{\displaystyle x\cup y}，則x不交E而y與E相交點數多於中位值的概率很小。由紹爾-謝拉赫引理，E與{\displaystyle x\cup y}的交集的可能情況並不太多，計算「存在E滿足條件」的概率時，衹需對每種交集的可能性考慮一個E，因此由併集上界，可得{\displaystyle p\_{1}\leq 2p\_{2}<1}，故x有非零概率為\varepsilon 網。

以上論證說明隨機取樣足夠多個點就可能是\varepsilon 網。此性質以及\varepsilon 網、\varepsilon 近似兩概念本身，皆在机器学习和概率近似正確學習（英语：）方面有應用。计算几何方面的應用則有範圍搜索（英语：）、去随机化（英语：）、近似算法。

Kozma & Moran (2013)利用紹爾-謝拉赫引理的推廣，證明若干圖論結果，例如：圖的強定向（英语：）方案數介於其連通子圖數與邊雙連通（英语：）子圖數之間。

註
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1. ↑  多個來源斷言此處（以及與下文VC二氏的發現）的獨立性，如。
2. ↑  為每條邊選定一方向，使全幅圖強連通。

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