在數學中，**雅可比橢圓函數**是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

介紹
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雅可比矩形
雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s\, c\, d\, n\,。

視此矩形為複數平面的一部分，s\, 是原點，c\, 是實軸上的一點 K,d\, 是 K+{{\rm {{i}}}}K'\,，n\, 是 {{\rm {{i}}}}K'\,。K\, 與 {{\rm {{i}}}}K'\, 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 {{\rm {{sc}}}},{{\rm {{sd}}}},{{\rm {{sn}}}},{{\rm {{cs}}}},{{\rm {{cd}}}},{{\rm {{cn}}}},{{\rm {{ds}}}},{{\rm {{dc}}}},{{\rm {{dn}}}},{{\rm {{ns}}}},{{\rm {{nc}}}},{{\rm {{nd}}}}\,。為方便起見，取變數 p,q\,意指矩形上的任一對頂點，則函數 pq\, 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

* p\, 是單零點，q\, 是單極點。
* pq\, 在 {\vec {pq}} 方向的週期等於 p,q\, 距離的兩倍。對另兩個從 p \,出發的方向，pq\,亦滿足同樣性質。
* pq\, 在頂點 p \, q\, 的展式首項係數均為一。

表列如次：

| 函數 | 週期 | 零點 | 極點 | 留數 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {\mathrm {sn}}\,(z;k) | 4\,K,\ 2\,{\mathrm {i}}K' | 2mK+2\,n\,{\mathrm {i}}\,K' | 2\,mK+(2n+1)\,{\mathrm {i}}\,K' | (-1)^{m}{\frac {1}{k}} |
| {\mathrm {cn}}\,(z;k) | 4\,K,\ 2\,(K+{\mathrm {i}}K') | (2m+1)\,K+2\,n\,{\mathrm {i}}\,K' | 2\,mK+(2n+1)\,{\mathrm {i}}\,K' | (-1)^{{m+n}}{\frac {1}{{{\rm {{i}}}}k}} |
| {\mathrm {dn}}\,(z;k) | 2\,K,\ 4\,{\mathrm {i}}K' | (2\,m+1)\,K+2\,(n+1)\,{\mathrm {i}}\,K' | 2\,mK+(2n+1)\,{\mathrm {i}}\,K' | (-1)^{{n-1}}{{\rm {{i}}}}\, |
| n\, 與 m\, 是整數 |

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆
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以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

u=\int \_{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}.
橢圓正弦函數 sn *u* 定義為

\operatorname {sn}\;u=\sin \phi \,
而橢圓余弦函數 cn *u* 定義為

\operatorname {cn}\;u=\cos \phi 
同理，椭圆德尔塔函数有

\operatorname {dn}\;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,
這裡的 m\in {\mathbb {R}} 是自由變元，通常取 0\leq m\leq 1。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數
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雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达：

* {\displaystyle \mathrm {arcsn} \,(z,k)=\int \_{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}
* {\displaystyle \mathrm {arccn} \,(z,k)=\int \_{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}}
* {\displaystyle \mathrm {arcdn} \,(z,k)=\int \_{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+k^{2}-1)}}}}

* {\displaystyle \mathrm {arcns} \,(z,k)=\int \_{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(t^{2}-k^{2})}}}}
* {\displaystyle \mathrm {arcnc} \,(z,k)=\int \_{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-k^{2})(k^{2}+t^{2})}}}}
* {\displaystyle \mathrm {arcnd} \,(z,k)=\int \_{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-(1-k^{2})t^{2})}}}}

用Θ函數来定义
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雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把\vartheta (0;\tau )简写为\vartheta ，把\vartheta \_{{01}}(0;\tau ),\vartheta \_{{10}}(0;\tau ),\vartheta \_{{11}}(0;\tau )分别简写为\vartheta \_{{01}},\vartheta \_{{10}},\vartheta \_{{11}}（Theta常数），那么椭圆模*k*是k=({\vartheta \_{{10}} \over \vartheta })^{2}。如果我们设u=\pi \vartheta ^{2}z，我们便有：

{\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta \_{{11}}(z;\tau ) \over \vartheta \_{{10}}\vartheta \_{{01}}(z;\tau )}
{\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta \_{{01}}\vartheta \_{{10}}(z;\tau ) \over \vartheta \_{{10}}\vartheta \_{{01}}(z;\tau )}
{\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta \_{{01}}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta \_{{01}}(z;\tau )}

加法定理
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\operatorname {cn}^{2}+\operatorname {sn}^{2}=1,\,
\operatorname {dn}^{2}+k^{2}\operatorname {sn}^{2}=1.\,
由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 {\mathbb {P}}^{3}({\mathbb {C}}) 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

\operatorname {cn}(x+y)={\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {cn}(y)-\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {dn}(x)\;\operatorname {dn}(y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}},
\operatorname {sn}(x+y)={\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {cn}(y)\;\operatorname {dn}(y)+\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {dn}(x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}},
\operatorname {dn}(x+y)={\operatorname {dn}(x)\;\operatorname {dn}(y)-k^{2}\;\operatorname {sn}(x)\;\operatorname {sn}(y)\;\operatorname {cn}(x)\;\operatorname {cn}(y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(x)\;\operatorname {sn}^{2}(y)}}.

函数的平方之间的关系
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-\operatorname {dn}^{2}(u)+(1-k^{2})=-k^{2}\;\operatorname {cn}^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {sn}^{2}(u)-k^{2}
(k^{2}-1)\;\operatorname {nd}^{2}(u)+(1-k^{2})=k^{2}(k^{2}-1)\;\operatorname {sd}^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {cd}^{2}(u)-k^{2}
(1-k^{2})\;\operatorname {sc}^{2}(u)+(1-k^{2})=(1-k^{2})\;\operatorname {nc}^{2}(u)=\operatorname {dc}^{2}(u)-k^{2}
\operatorname {cs}^{2}(u)+(1-k^{2})=\operatorname {ds}^{2}(u)=\operatorname {ns}^{2}(u)-k^{2}

常微分方程的解
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三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,{\mathrm {sn}}\,(z;k)={\mathrm {cn}}\,(z;k)\,{\mathrm {dn}}\,(z;k),
{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,{\mathrm {cn}}\,(z;k)=-{\mathrm {sn}}\,(z;k)\,{\mathrm {dn}}\,(z;k),
{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}z}}\,{\mathrm {dn}}\,(z;k)=-k^{2}{\mathrm {sn}}\,(z;k)\,{\mathrm {cn}}\,(z;k).
根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

* {\mathrm {sn}}\,(x;k)是微分方程{\frac {{\mathrm {d}}^{2}y}{{\mathrm {d}}x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0,和\left({\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})的解；

* {\mathrm {cn}}\,(x;k)是微分方程{\frac {{\mathrm {d}}^{2}y}{{\mathrm {d}}x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0,和\left({\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})的解；

* {\mathrm {dn}}\,(x;k)是微分方程{\frac {{\mathrm {d}}^{2}y}{{\mathrm {d}}x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0,和\left({\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})的解。

图像
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文獻
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* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds.. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助); 使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助) 見 第16章 （页面存档备份，存于）

* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* E. T. Whittaker and G. N. Watson *A Course of Modern Analysis*, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

* Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
* H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
* A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)