数学中，**浸没**（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

定义
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令*M*、*N*是微分流形，{\displaystyle f\colon M\to N}是它们间的可微映射。映射*f*是**点{\displaystyle p\in M}处的浸没**，若其微分

{\displaystyle Df\_{p}\colon T\_{p}M\to T\_{f(p)}N}
是线性满射。这种情况下，*p*被称作映射*f*的**正则点**（regular point）；否则，*p*就是临界点。若原像{\displaystyle f^{-1}(q)}中所有的点*p*都是正则点，则点{\displaystyle q\in N}是*f*的**正则值**。在每点{\displaystyle p\in M}上都是浸没的可微映射*f*也称作浸没，等价地，若*f*的微分{\displaystyle Df\_{p}}的秩等于*N*的维度，则*f*是浸没。

需要注意：有人用"临界点"描述*f*的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。这在奇异理论中是更有用的概念。若*M*的维度不小于*N*的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若*M*的维度小于*N*的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于*M*的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。

浸没定理
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给定*m*维、*n*维光滑流形之间的浸没{\displaystyle f\colon M\to N}，{\displaystyle \forall x\in M}，有围绕*x*的*M*的满射图（chart）{\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}、围绕{\displaystyle f(x)}的*N*的{\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}，使得*f*限制到浸没{\displaystyle f\colon U\to V}，用坐标表示为{\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}，就变为普通的正交投影。应用中，{\displaystyle \forall p\in N}，*f*对应的纤维表示为{\displaystyle M\_{p}=f^{-1}(\{p\})}，可配备*M*的光滑子流形结构，其维度等于*N*与*M*维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }由{\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}}给出。雅各比矩阵是

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}
除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

{\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}
在{\displaystyle t<0}时是空集，{\displaystyle t=0}时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} \_{>0},}与子集{\displaystyle M\_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}是{\displaystyle t>0}时的2维光滑流形。

示例
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* 任何投影{\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}
* 局部微分同胚
* 黎曼浸没
* 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

### 球面之间的映射

浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如

{\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}
其纤维维度为*n*，这是因为纤维（元素{\displaystyle p\in S^{k}}的反像）是*n*维光滑流形。那么，若取路径

{\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}
并取拉回

{\displaystyle {\begin{matrix}M\_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}
就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群{\displaystyle \Omega \_{n}^{fr}}与稳定同伦群密切相关。

### 代数簇族

另一大类浸没由代数簇{\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族{\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自

> {\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}
> 
> 

其中{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}是仿射线，{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面{\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}。注意我们实际上应该去掉{\displaystyle t=0,1}，因为那里有奇点（有双根）。

局部正规形式
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若{\displaystyle f:\ M\to N}是*p*处的浸没，{\displaystyle f(p)=q\in N}，则在*M*中存在*p*的开邻域*U*、在*N*中存在*q*的开邻域*V*，在*p*处有局部坐标{\displaystyle (x\_{1},\ \ldots ,\ x\_{m})}，在*q*处有局部坐标{\displaystyle (x\_{1},\ \ldots ,\ x\_{n})}，使得{\displaystyle f(U)=V}，且在这些局部坐标中的映射*f*是标准投影

{\displaystyle f(x\_{1},\ldots ,x\_{n},x\_{n+1},\ldots ,x\_{m})=(x\_{1},\ldots ,x\_{n}).}
可知，在可微映射{\displaystyle f:\ M\to N}的作用下，*N*中的正则值*q*在*M*中的全原像{\displaystyle f^{-1}(q)}要么是空的，要么是{\displaystyle {\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N}维微分流形，但可能不连通。这是**正则值定理**的内容（也叫**浸没定理**）。尤其是，若*f*是浸没，则{\displaystyle \forall q\in N}，结论都成立。

拓扑流形的浸没
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一般拓扑流形的浸没也是良定义的。拓扑流形浸没是连续满射{\displaystyle f:\ M\to N}，使得{\displaystyle \forall p\in M}，对*p*上的某连续图ψ、*f(p)*处的φ，映射{\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \varphi }等于射影映射{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}（{\displaystyle m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)}）。

另见
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* 埃雷斯曼纤维化定理

参考文献
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* Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N.. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9.
* Bruce, James W.; Giblin, Peter J.. Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.
* Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward. 需要免费注册. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-23190-9.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* do Carmo, Manfredo Perdigao.. 1994. ISBN 978-0-8176-3490-2.
* Frankel, Theodore.. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.
* Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques.  3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-20493-0.
* Kosinski, Antoni Albert.. Mineola, New York: Dover Publications. 2007 [1993]. ISBN 978-0-486-46244-8.
* Lang, Serge.. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.
* Sternberg, Shlomo Zvi.. Mineola, New York: Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47855-5.

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