在数理逻辑中，经典 **Löwenheim–Skolem 定理**声称对于标识(signature)为 <{\mathbf {C}},{\mathbf {F}},{\mathbf {R}},\sigma > 的任何可数一阶逻辑语言 *L* 和 *L*-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 *N* \subseteq *M*。
这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 *L*-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 \mathbf{C}、函数集合 \mathbf {F} 、关系符号集合 \mathbf{R}、和表示函数和关系符号的元数的函数 \sigma :{\mathbf {F}}\cup {\mathbf {R}}\rightarrow {\mathbb {N}} 组成。在这个上下文中 *L*-结构，由底层集合(经常指示为"*M*")和 *L* 的函数和关系符号的释义组成。*L* 的常量在 *M* 中的释义就是 *M* 的成員。类似的，\sigma (f)\ -元函数 f\in {\mathbf {F}} 被指派为 *M* 中的 \sigma (f)\ -元函数 M^{{\sigma (f)}}\rightarrow M 的图，而\sigma (R)\ -元关系 R\in {\mathbf {R}} 的释义被指派为 *M* 中的 \sigma (R)\ -元关系。语言 *L* 是可数的，如果在 *L* 中的常量、函数和关系符号是可数的。

例子
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一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的**所有**一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。Löwenheim–Skolem 定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

证明梗概
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对于在模型 *M* 中为真的如下形式的一阶句子

\forall x\ \exists y\ R(x,y)
或

\forall x\_{1}\ \cdots \ \forall x\_{n}\ \exists y\_{1}\ \cdots \ \exists y\_{m}R(x\_{1},\dots ,x\_{n},y\_{1},\dots ,y\_{m})
有一个**Skolem 函数** *f*，就是说映射 *x* 到断言了其存在的 *y* 的函数，使得

\forall x\ R(x,f(x))
在 *M* 中为真。因为有很多这样的 *y* 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言

\exists y\_{1}\ \cdots \ \exists y\_{m}R(y\_{1},\dots ,y\_{m})
并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

更一般的 "Löwenheim–Skolem 定理"
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上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的 Löwenheim-Skolem 定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在("向下" Löwenheim-Skolem 定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在("向上" Löwenheim-Skolem 定理)。

勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明
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勒文海姆-斯科伦**定理**: 如果 \Delta  是一个含有**有限可数个数的**命题组成的集合，并且集合 \Delta  是**可以满足的**(\Delta  SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释(Interpretation)) 用符号记作 **I**, I\models \Delta  ,且这个模型 I 指派解释也是可数的

**证明:**

前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 \Delta ，且\phi \in \Delta ,\phi 是\Delta 中的命题公式
如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且 S=\bigcup \_{{\phi \in \Delta }}CL(\phi )，其中集合 CL(\phi )是由命题公式\phi 转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果\psi 是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause(\psi )也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的
如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作E\_{=}(该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是\phi 在转化成Clause(\phi )过程中，去除有限量词\exists 的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
那么很显然 S\bigcup E\_{=} 也是可满式的集合，那么 IF(S\bigcup E\_{=}) 同样是可满足的
由于语言集合L中的元素是可数的 所以IF(S\bigcup E\_{=}) 是也是有限可数的集合
如果我们有一个模型，记作 I 且 I\models IF(S\bigcup E\_{=}),赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且M\models S\bigcup E\_{=}，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的
那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 D/M\_{=}(我们通过等价关系来指派解释等价性)且M'\models S,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理，M'\models S ,那么我们就可以说 M'\models \Delta 
所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理

参见
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* Skolem悖论
* 模型论

引用
--

* Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
* María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
* Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC

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