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|  | 本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的{\displaystyle \log {x}}都應視為自然對數，也就是一般常記為{\displaystyle \ln {x}}或{\displaystyle \log \_{e}{x}}的對數。 |

The Chebyshev function \psi (x), with *x* < 50

在數學上，**切比雪夫函數**可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

**切比雪夫第一函數**在文獻中一般記做{\displaystyle \vartheta (x)}或{\displaystyle \theta (x)}，其形式如下：

{\displaystyle \vartheta (x)=\sum \_{p\leq x}\log p}
其中\log 是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和。

**切比雪夫第二函數**在文獻中一般記做\psi (x)，其定義類似，為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

{\displaystyle \psi (x)=\sum \_{k\in \mathbb {N} }\sum \_{p^{k}\leq x}\log p=\sum \_{n\leq x}\Lambda (n)=\sum \_{p\leq x}\left\lfloor \log \_{p}x\right\rfloor \log p,}
其中\Lambda 是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數\psi (x)，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數\pi(x)還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與x呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的**切比雪夫加權標量化函數**（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或**切比雪夫效用函數**（Chebyshev utility function），其形式如下：

{\displaystyle f\_{Tchb}(x,w)=\max \_{i}w\_{i}f\_{i}(x).}
藉由最小化這方程式不同w的數值，我們可得到帕累托前沿（英语：）的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是f\_{i}，而是在給定標量{\displaystyle z\_{i}^{\*}}的狀況下{\displaystyle |f\_{i}-z\_{i}^{\*}|}的數值，而在這種狀況下有{\displaystyle f\_{Tchb}(x,w)=\max \_{i}w\_{i}|f\_{i}(x)-z\_{i}^{\*}|.}。

這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係
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切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

{\displaystyle \psi (x)=\sum \_{p\leq x}k\log p}
其中k是使得{\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}}的唯一整數，而k的值可參見A206722。一個更直接的關係如下：

{\displaystyle \psi (x)=\sum \_{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log \_{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}
切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數：

{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
對於n而言，lcm(1, 2, ... *n*)的值可參見A003418。

以下pp定理]]將{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}及{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}這兩個分數給聯繫起來。

**定理：**若x>0則有

{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}
注意：從此不等式可推出

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}
換句話說，若{\displaystyle \psi (x)/x}或{\displaystyle \vartheta (x)/x}其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

**證明：**由於{\displaystyle \psi (x)=\sum \_{n\leq \log \_{2}x}\vartheta (x^{1/n})}，因此有

{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum \_{2\leq n\leq \log \_{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}
而由{\displaystyle \vartheta (x)}的定義，可得以下明顯的不等式：

{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum \_{p\leq x}\log x\leq x\log x}
因此有

{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum \_{2\leq n\leq \log \_{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log \_{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}
最後，將此不等式兩邊除以x，即可得定理的不等式。

非病態關係及上下界
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對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中*p**k*是第k個質數，也就是*p*1 = 2、*p*2 = 3等等：

{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p\_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p\_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}
此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的\varepsilon >0而言，有以下關係式：

{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}
對任意的x>0而言，切比雪夫第一函數{\displaystyle \vartheta (x)}及第二函數\psi (x)有以下的上界： 

{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}
對於1.03883這常數的解釋，可見A206431的說明。

等式
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1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了\psi (x)有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的解析解（英语：）：

{\displaystyle \psi \_{0}(x)=x-\sum \_{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
其中*ζ′*(0)/*ζ* (0)的數值為log(2π)、ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而*ψ*0是一個與ψ類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

{\displaystyle \psi \_{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum \_{n\leq x}\Lambda (n)+\sum \_{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為*xω*/*ω*對黎曼ζ函數平凡零點*ω* = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說，

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
類似地，此公式第一項*x* = *x*1/1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

性質
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一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數K，存在有無限多個正整數x使得

{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
同時有無限多個正整數x使得

{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
使用小o符號，可將上式重述為

{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}
哈代與李特爾伍德證明了一個更強的結果，表述如下：

{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
也就是說有無限多的正整數x，使得\psi (x)與x之間的差的絕對值超過{\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x}。

與質數階乘的關係
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切比雪夫第一函數也是x的質數階乘*x* #的對數：

{\displaystyle \vartheta (x)=\sum \_{p\leq x}\log p=\log \prod \_{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
這說明了質數階乘*x* #非病態地等於*e*(1  + *o*(1))*x*，其中o是小o符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了*p**n* #的非病態行為。

與質數計數函數間的關係
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切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

{\displaystyle \Pi (x)=\sum \_{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
那麼有

{\displaystyle \Pi (x)=\sum \_{n\leq x}\Lambda (n)\int \_{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum \_{n\leq x}\Lambda (n)=\int \_{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
從Π到質數計數函數π間的轉換可由下式表示：

{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }
由於很明顯地，有*π* (*x*) ≤ *x*之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}

黎曼猜想
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黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1/2。在這種狀況下，有|*x**ρ*| = √*x*，且可證明說

{\displaystyle \sum \_{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}
由上式可推得

{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}

平滑化函數
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**平滑化切比雪夫函數**定義如下：

{\displaystyle \psi \_{1}(x)=\int \_{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
顯然我們有{\displaystyle \psi \_{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}

參考資料
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1. 1 2  Joshua Knowles.  (PDF). The University of Manchester: 34. 2 May 2014.
2. ↑  Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R.  (PDF). Expert Systems with Applications (Delft University of Technology). 2018. Page 6 equation (2). doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051.
3. ↑  Apostol, Tom M.. Springer. 2010: 75–76.
4. ↑  Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell.. Illinois J. Math. 1962, **6**: 64–94.

* **^**  Pierre Dusart（英语：）, "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv:1002.0442
* **^**  Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, *p**k*", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The *k*th prime is greater than *k*(log *k* + log log *k* − 1) for *k* ≥ 2", *Mathematics of Computation*, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
* **^** Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", *Mathematische Annalen*, **57** (1903), pp. 195–204.
* **^** G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", *Acta Mathematica*, **41** (1916) pp. 119–196.
* **^** Davenport, Harold（英语：） (2000). 可見於《*Multiplicative Number Theory*》一書。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

額外補充
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* Apostol, Tom M. Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
*. PlanetMath.
*. PlanetMath.
* Riemann's Explicit Formula, with images and movies