，又称，在数学领域中，表示一种能够僅产生质数的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的质数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是质数。由于质数的个数是可数的，因此一般假设输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集）。迄今为止，人们尚未找到**易于计算**且符合上述條件的质数公式，但对于质数公式应该具备的性质已经有了大量的研究。

多项式形式的素数公式
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可以证明，一个整系數多项式*P*(*n*)，如果不是常數函數的话，不会是一个素数公式。证明很简单：假设这样的一个多项式*P*(*n*)存在。那么*P*(1)将是一个素数*p*。接下来考虑P(1+kp)的值。由于P(1)\equiv 0{\pmod p}，對于任意整數*k*，我们有P(1+kp)\equiv 0{\pmod p}，從而P(1+kp)是*p*的倍数，但已然假设P是素数公式，所以{\displaystyle P(1+kn)}必须是素数，于是它就只能等于p。也就是說，对于任意的*k*，{\displaystyle 1+kp}都是多项式*P*(*n*) - *p*的一個根。但根據代數基本定理，一個非零的整系數多項式不可能有無窮多個根。故此，*P*(*n*)只能是常数函數。

应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式*P*(*n*)。

欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式

f(n)=n^{2}+n+41
的值都是素数。对于前几个自然数*n* = 0, 1, 2, 3...，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。当*n*等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。实际上，当*n*能被41整除的时候，*P*(*n*)也能被41整除，因而是合数。这个公式和所谓的质数螺旋有关，也和黑格納數163=4\cdot 41-1有關。若p=2,3,5,11,17時，其對應的多項式也有類似的性質，而4\cdot p-1也是黑格納數。

狄利克雷定理证明了，对于互素的*a*和*b*， 線性函數L(n)=an+b能产生无穷多个质数（尽管不是对于所有的自然数n）。至于是否存在次数大于等于2的多项式，满足对无穷多个整数，都能取到素数值，目前还没有结论。

此外，格林-陶定理证明了另一结论：对于每个正整数*k*，都存在着整数对*a*, *b*，使得对于每个0与*k*−1之间的*n*，L(n)=an+b都是素数。然而，对于比较大的*k*，找出*a*和*b*是很困难的。目前最好的结果是对于*k* = 26，

*P*(*n*) = 5283234035979900*n* + 43142746595714191（OEIS A204189 ）

丢番图方程形式的素数公式
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一个很著名的素数公式是以下的有26个未知数的由14个方程组成的丢番图方程组Jones et al.（1976）：

0=wz+h+j-q
0=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z
0=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}
0=2n+p+q+z-e
0=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}
0=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}
0=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}
0=n+l+v-y
0=(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}
0=ai+k+1-l-i
0=((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}
0=p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m
0=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x
0=z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm.
对于这个方程组的所有正整数解：(a,b,...z)，*k* + 2都是素数。可以把这个公式改写成多项式的形式：将14个等式记作p1，p2，……，p14，那么可以说，多项式(k+2)(1-p\_{1}^{2}-p\_{2}^{2}-\cdots -p\_{{14}}^{2})的输入值(a,b,...z)是正整数时，其值域的正值部分就是所有素数。

根据尤里·马季亚谢维奇的一个定理，如果一个集合能够被定义成一个丢番图方程的解集，那么就可以被定义为一个只有9个未知数的丢番图方程的解集。于是，素数集合可以被定义为一个只含10个变元的多项式的正值解集。然而，这个多项式的次数极大（在1045数量级），另一方面，也存在次数不超过4的多项式，未知数个数是58个。

带高斯符號的素数公式
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利用高斯符號{\displaystyle [x]}，可以建立一些第*n*个素数的表达式：

### Mills公式

第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。他证明了存在实数*A*使得数列

{\displaystyle [A^{3^{n}}\;]}
中的每个数都是素数。最小的*A*称为米爾斯常數，如果黎曼猜想成立，它的值大約為：A\approx 1.30637788386308069046\ldots （OEIS A051021）。
这个素数公式并没有什么实际价值，因为人们对*A*的性质所知甚少，甚至不知道*A*是否為有理数。而且，除了用素数值逼近外，没有其他计算*A*的方法。

### 威尔逊定理的利用

使用威尔逊定理，可以建立一些其他的素数公式。以下的公式也没有什么实际价值，大多数的素性测试都比它远为有效。

我们定义

\pi (m)=\sum \_{{j=2}}^{m}{\frac {\sin ^{2}({\pi \over j}(j-1)!^{2})}{\sin ^{2}({\pi \over j})}}
或者

{\displaystyle \pi (m)=\sum \_{j=2}^{m}\left[{(j-1)!+1 \over j}-\left[{(j-1)! \over j}\right]\right].}
这两种定义是等价的。π（*m*）就是小于*m*的素数个数。于是，我们可以定义第*n*个素数如下：

{\displaystyle p\_{n}=1+\sum \_{m=1}^{2^{n}}\left\lbrack \left\lbrack {n \over 1+\pi (m)}\right\rbrack ^{1 \over n}\right\rbrack .}
### 另一个用高斯函数的例子

这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理，但也大量应用了高斯函数（S. M. Ruiz 2000）。首先定义：

{\displaystyle \pi (k)=k-1+\sum \_{j=2}^{k}\left\lbrack {2 \over j}\left(1+\sum \_{s=1}^{\left\lbrack {\sqrt {j}}\right\rbrack }\left(\left\lbrack {j-1 \over s}\right\rbrack -\left\lbrack {j \over s}\right\rbrack \right)\right)\right\rbrack }
然后就有第*n*个素数的表达式：

{\displaystyle p\_{n}=1+\sum \_{k=1}^{2(\lbrack n\ln(n)\rbrack +1)}\left(1-\left\lbrack {\pi (k) \over n}\right\rbrack \right).}

递推关系
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另外一个素数公式由以下递推关系組成的數列，其前後項的差來定义：

a\_{n}=a\_{{n-1}}+\operatorname {gcd}(n,a\_{{n-1}}),\quad a\_{1}=7,
其中gcd(*x*, *y*)表示*x*和*y*的最大公因數。这个数列的开始几项an+1 - an是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 （OEIS數列A132199）。Rowlands (2008)证明了这个数列只含有一和素数。

其他公式
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### 威尔逊定理衍生公式

f(n)=2+(2n!\;{\pmod {n+1}})
其中，素数2出现无限多次，其余的素数恰好出现一次。实际上，当*n+1*是素数*p*的时候，由威尔逊定理，2n!\;{\pmod {n+1}}等于*p-2*，于是f(n)=p，当*n+1*是合数的时候，2n!{\pmod {n+1}}等于0，于是得到2。

參考資料
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1. ↑   (PDF).  [2015-03-07]. （原始内容存档 (PDF)于2020-09-21）.

参见
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* 素数
* 質數定理
* 哥德巴赫猜想
* 双生质数
* 埃拉托斯特尼筛法
* 费马数F\_{n} = 2^{2^n} + 1
* X²+1素数