博雷尔, 在他還是一個默默無名的年輕人時，就發現了他的求和方法，而且還可以對許多經興的發散級數給出「正確」的答案。於是，他決心到斯德哥爾摩拜會當時走在複分析領域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒禮貌地接見了他，聽完博雷爾的說話，然後按手在他老師魏尔斯特拉斯完整的文稿上，用拉丁語說：「大師禁止了它。」馬克·卡茨（英语：）, 引用自Reed & Simon (1978, p. 38)
在數學上，**博雷爾求和**（英語：）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由埃米尔 博雷尔 （1899）提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。

定義
--

博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設*A(z)*是*z*的一個形式冪級數

{\displaystyle A(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}z^{k}}，
則定義*A*的**博雷爾變換**為其等價冪級數

{\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {a\_{k}}{k!}}t^{k}}。
### 博雷爾指數求和

設*An(z)*為下列部分和：

{\displaystyle A\_{n}(z)=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}z^{k}}。
博雷爾和的一種較弱的形式定義*A*的博雷爾和為

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A\_{n}(z)}。
若此極限在某個*z* ∈ **C**時收斂至*a(z)*，則稱*A*的**弱博雷爾和**收斂於*z*，並記為{\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}.

### 博雷爾積分求和

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則*A*的**博雷爾和**定義為

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}
若積分在某個*z* ∈ **C**時收斂於*a(z)*，則稱*A*的博雷爾和在*z*收斂，並記為 {\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有*t*都收斂，只需在0附近收斂為*t*的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

基本性質
----

### 正定性

(**B**)和(**wB**)兩者都是正定的求和法，意味着若*A(z)*收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})}。
(**B**)的正定性容易由下式看出，若*A(z)*在*z*收斂，則

{\displaystyle A(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}z^{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int \_{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt}，
其中最右式正是原級數在*z*處的博雷爾和。

(**B**)和(**wB**)的正定性代表了此方法可以提供*A(z)*的解析延拓。

### 博雷爾和與弱博雷爾和的等價性

對任意的級數*A(z)*，若它在*z* ∈ *C*處是**弱博雷爾可求和的**，則必定是**博雷爾可求和的**。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

**定理** （Hardy 1992，8.5）
設*A(z)* 是一個形式冪級數，並限定*z* ∈ *C*，則：
1. 若{\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}，則{\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})}。
2. 若{\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}，且{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}，則{\displaystyle {\textstyle \sum }a\_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}。

### 與其他求和法的關聯

* (**B**) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
* (**wB**) 可視為廣義歐拉求和法(**E**,q) 一個有限制的形式，其中{\displaystyle q\rightarrow \infty }。

例子
--

### 幾何級數

考慮幾何級數

{\displaystyle y(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }z^{k}}
當 |*z*| < 1時，收斂到 1/(1 − *z*)。它的博雷爾變換為 

{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}
因此，上述級數的博雷爾和為 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}
然而，這個積分能在更大的範圍 Re(*z*) <  1 內收斂到 1/(1 − *z*)，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為*AN(z) = (1-zN+1)/(1-z)*，因此其弱博雷爾和為

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim \_{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}}，
同樣在Re(*z*) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(*z*) < 1，

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0}。
### 一個交替級數

級數

{\displaystyle y(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}}
對任意非零的 *z* 都發散。它的博雷爾變換為 

{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum \_{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}
對任意的|*t*| < 1 都成立，且於  *t* ≥ 0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int \_{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}
（其中Γ是指不完全Γ函數）

這個廣義積分對任意的 *z* ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 *z* **博雷爾可求和**的. 這個函數實際上是當 *z* 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出"正確"的發散漸近展開式。

### 不滿足等價性的例子

以下是（Hardy 1992，8.5）所給出的例子的一個擴展。考慮

{\displaystyle A(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }\left(\sum \_{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.}
交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum \_{l=0}^{\infty }\left(\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum \_{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum \_{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}}
在 *z* = 2 處，可求得博雷爾和為

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int \_{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,}
其中 *S(x)* 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意*z* ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 *z* > 2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0}
僅對 *z* < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

相關條目
----

* 發散級數
* 切薩羅求和
* 拉馬努金求和

參考文獻
----

1. ↑  Hardy, G. H. (1992). *Divergent Series*. AMS Chelsea, Rhode Island.

* Borel, E. Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, **16**: 9–131  [2013-05-25], （原始内容存档于2018-10-04）
* Glimm, James; Jaffe, Arthur,  2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
* Hardy, Godfrey Harold, New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
* Reed, Michael; Simon, Barry, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
* Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988
* Weinberg, Steven, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467