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从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
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| * 
* 论
* 编
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**夾擠定理**（英語：），又稱**夹逼定理**、**夹极限定理**、**三明治定理**、**逼近定理**、**迫敛定理**，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。

定义
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設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有：

* g(x)\leq f(x)\leq h(x)
* {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)=\lim \_{x\to a}h(x)=L}

則\lim \_{{x\to a}}f(x)=L。

g(x)和h(x)分別稱為f(x)的下界和上界。

a若在I的端點，上面的極限是左極限或右極限。
對於x\to \infty ，這個定理還是可用的。

例子
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### 有关正弦函数的极限

对于 \lim \_{{x\to 0}}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}，

在任何包含0的區間上，除了x=0，f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此f(x)的絕對值也不大於x^{2}。設g(x)=-x^{2}, h(x)=x^{2}：

-1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1
-x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}
g(x)\leq f(x)\leq h(x)
\lim \_{{x\to 0}}\ g(x)=\lim \_{{x\to 0}}\ h(x)=0，根據夾擠定理

\lim \_{{x\to 0}}f(x)=0。
对于 \lim \_{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}，

首先用幾何方法證明：若0<x<{\frac {\pi }{2}}，\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。C在OD上，使得AC垂直OD。過A作單位圓的切線，與OD的延長線交於E。

由定義可得{\displaystyle x=\angle AOD=arcAD}，\tan x=AE。

AC<AD<arcAD
\sin x<x
{\frac {\sin x}{x}}<1
arcAD<AE
x<\tan x
\cos x<{\frac {\sin x}{x}}
因為\lim \_{{x\to 0^{{+}}}}\cos x=1，根據夾擠定理

\lim \_{{x\to 0^{{+}}}}{\frac {\sin x}{x}}=1。
另一邊的極限可用這個結果求出。

### 高斯函數

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。
一般高斯函數的積分是I(a)=\int \_{{0}}^{a}e^{{-x^{2}}}\,dx，現在要求的是I(\infty )=\int \_{{0}}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx。

被積函數對於y軸是對稱的，因此I(\infty )是被積函數對於所有實數的積分的一半。

(2I)^{2}=\left[2\int \_{{0}}^{a}e^{{-x^{2}}}dx\right]^{2}=\left[\int \_{{-a}}^{a}e^{{-x^{2}}}dx\right]^{2}=\int \_{{-a}}^{a}\int \_{{-a}}^{a}e^{{-(x^{2}+y^{2})}}dxdy

這個二重積分在一個(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

\int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{a}re^{{-r^{2}}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int \_{0}^{{2\pi }}\int \_{0}^{{a{\sqrt {2}}}}re^{{-r^{2}}}\,dr\,d\theta 
\pi (1-e^{{-a^{2}}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{{-2a^{2}}})
\lim \_{{a\to \infty }}\pi \left(1-e^{{-a^{2}}}\right)=\lim \_{{a\to \infty }}\pi \left(1-e^{{-2a^{2}}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi 
\lim \_{{a\to \infty }}(2I)^{2}=\pi 
I(\infty )={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}

證明
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### 極限為0的情況

若{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }，g(x)=0，而且\lim \_{{x\to a}}h(x)=0。

設\varepsilon >0，根據函數的極限的定義，存在\delta >0使得：若0<|x-a|<\delta ，則|h(x)|<\varepsilon 。

由於
0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)，故|f(x)|\leq |h(x)|。

若 0<|x-a|<\delta ，則{\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }。於是，\lim \_{{x\to a}}f(x)=0。

### 一般情況

g(x)\leq f(x)\leq h(x)

0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)

當x\to a：

h(x)-g(x)\to L-L=0
根據上面已證的特殊情況，可知f(x)-g(x)\to 0。
f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L。