**域上的代数**（algebra over a field）或**域代数**，一般可简称为**代数**，是在向量空间的基础上定义了一个双线性的乘法运算而构成的代数结构。

定义
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介绍域上的代数的一般定义之前，先看几个例子。

### 例1：复数

复数即形如 a+bi 的数，其中 a，b 为实数而 i 为虚数单位。a+bi 可表示为实向量 (a,b)，且在向量表示下的加法与标量乘法分别与两个复数的加法和一个实数与一个复数的乘法相同，因此复数集是实数域上的二维向量空间。而两个复数的乘法定义为 {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i}，结果仍为复数，且此运算对加法和标量乘法满足双线性性：设 \mathbf {x} ，\mathbf {y}  和 {\displaystyle \mathbf {z} } 为任意复数而 a，b 为任意实数，可验证：

* {\displaystyle (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\mathbf {z} =\mathbf {x} \mathbf {z} +\mathbf {y} \mathbf {z} }
* {\displaystyle (a\mathbf {x} )(b\mathbf {y} )=(ab)(\mathbf {x} \mathbf {y} )}

复数的乘法满足交换律，故左右分配律等价，只需考虑其中之一。

### 例2：四元数

四元数即形如 {\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} } 的数，其中 a，b，c 和 d 为实数而 {\mathbf {i}}，\mathbf{j} 和 \mathbf{k} 为满足 {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1} 的三个四元数单位。与复数类似，四元数集是实数域上的四维向量空间。根据四元数单位的乘法表可得两个四元数的乘积如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )(w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\\=&(aw-bx-cy-dz)+(ax+bw+cz-dy)\mathbf {i} +(ay-bz+cw+dx)\mathbf {j} +(az+by-cx+dw)\mathbf {k} \end{aligned}}}

设 \mathbf{p}，\mathbf{q} 和 \mathbf {r}  为任意四元数而 a，b 为任意实数，可验证：

* {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {q} +\mathbf {r} )=\mathbf {p} \mathbf {q} +\mathbf {p} \mathbf {r} }
* {\displaystyle (\mathbf {p} +\mathbf {q} )\mathbf {r} =\mathbf {p} \mathbf {r} +\mathbf {q} \mathbf {r} }
* {\displaystyle (a\mathbf {p} )(b\mathbf {q} )=(ab)(\mathbf {p} \mathbf {q} )}

四元数的乘法不满足交换律，左右分配律需分别考虑。

### 例3：三维向量的叉积

两个右手系标准正交基下的三维向量 {\displaystyle \mathbf {u} =(u\_{1},u\_{2},u\_{3})} 和 {\displaystyle \mathbf {v} =(v\_{1},v\_{2},v\_{3})}，其叉积为 {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u\_{2}v\_{3}-u\_{3}v\_{2},u\_{3}v\_{1}-u\_{1}v\_{3},u\_{1}v\_{2}-u\_{2}v\_{1})}。设 \mathbf{u}，\mathbf {v}  和 \mathbf {w}  为任意三维向量而 a，b 为任意实数，可验证：

* {\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w} }
* {\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} }
* {\displaystyle (a\mathbf {p} )\times (b\mathbf {q} )=(ab)(\mathbf {p} \times \mathbf {q} )}

与前述两例不同的是，三维向量的叉积不满足结合律，即一般来说 {\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )} 不成立，亦不存在单位元，即不存在向量 \mathbf{u} 使得对任意向量 \mathbf {v}  皆有 {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {v} \times \mathbf {u} =\mathbf {v} }。带叉积的三维向量空间是一个李代数。

### 定义

以上三例中，乘法运算皆满足双线性性而不一定满足交换律或结合律或存在单位元。以上三例的共同点，概括为**域上的代数**，定义如下：设 K 为域，A 为 K 上的向量空间，其加法运算为 +，标量乘法为 \cdot  。定义 A 上的二元运算 {\displaystyle \times :A\times A\to A}，若 \times 满足双线性性，即对于任意 {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in A} 和 {\displaystyle a,b\in K} 满足以下条件：

* 对加法的左分配律：{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} +\mathbf {z} )=\mathbf {x} \times \mathbf {y} +\mathbf {x} \times \mathbf {z} }
* 对加法的右分配律：{\displaystyle (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\times \mathbf {z} =\mathbf {x} \times \mathbf {z} +\mathbf {y} \times \mathbf {z} }
* 与标量乘法相容：{\displaystyle (a\cdot \mathbf {x} )\times (b\cdot \mathbf {y} )=(ab)\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}

则称 A 为 K 上的代数。K 称为 A 的基域。运算 \times 常称作乘法，且运算符一般可以省略，即 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} } 记作 {\displaystyle \mathbf {x} \mathbf {y} }。标量乘法 \cdot  的运算符通常亦省略，但此处并不会导致混淆，因为 \cdot  是标量与向量之间的运算而 \times 是两个向量之间的运算。另须注意域上的代数与带双线性形式的向量空间区别：在代数中，A 中两个元素的乘积仍是 A 中的元素，而 A 中两个元素由双线性形式得到的"乘积"是标量即 K 中的元素。