在热力学中，等容热容 {\displaystyle C\_{V}} 以及等压热容 {\displaystyle C\_{P}} 是单位为能量除以温度的广度性质，它们可通过膨胀系数和压缩系数联系在一起。

关系
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可根据热力学定律导出以下关系：

{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta \_{T}}}\,}
{\displaystyle {\frac {C\_{P}}{C\_{V}}}={\frac {\beta \_{T}}{\beta \_{S}}}\,}
其中 \alpha  是膨胀系数：

**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): {\displaystyle \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)\_{P}\,}**

{\displaystyle \beta \_{T}} 是等温压缩系数（体积模量的倒数）：

{\displaystyle \beta \_{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{T}\,}
{\displaystyle \beta \_{S}} 是等熵压缩系数：

{\displaystyle \beta \_{S}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{S}\,}
定容和定压下比热容（强度特性）关系的对应表达式为：

{\displaystyle c\_{p}-c\_{v}={\frac {T\alpha ^{2}}{\rho \beta \_{T}}}}
其中 \rho  是物质的密度。

比热容比的相应表达式保持不变，因为与热力学系统尺寸相关的量，无论是基于质量还是摩尔，在相除的时候都会被消掉，因为比热容是强度性质。因此：

{\displaystyle {\frac {c\_{p}}{c\_{v}}}={\frac {\beta \_{T}}{\beta \_{S}}}\,}
热容间差的关系可被用于计算难以直接测定的固体恒容热容。我们也可通过热容比来表达等熵压缩系数。

推导
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在等容下：

{\displaystyle C\_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)\_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)\_{V}\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{V}}
同理可得 {\displaystyle C\_{P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{P}}，作差：

{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{P}-T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{V}}
由于熵 S 是温度、体积的函数，即 {\displaystyle S=S(T,V)}，体积 V 是温度、压强的函数，即 {\displaystyle V=V(T,P)}，根据复合函数偏微分的链式法则：

{\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{P}=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{V}+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}}
带入：

{\displaystyle {\begin{aligned}C\_{P}-C\_{V}&=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{P}\\&=VT\alpha \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\_{T}\end{aligned}}}
由麦克斯韦关系式和三乘积法则：

{\displaystyle {\begin{aligned}C\_{P}-C\_{V}&=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{V}TV\alpha \\&={\frac {\alpha ^{2}TV}{\beta \_{T}}}\end{aligned}}}
若把 C\_P 和 C\_{V} 相除：

{\displaystyle {\frac {C\_{P}}{C\_{V}}}={\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{P}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\_{V}}}}
对分子分母分别使用三乘积法则，并重新组合：

{\displaystyle {\frac {C\_{P}}{C\_{V}}}={\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)\_{S}\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\_{T}}{\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)\_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{S}}}={\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\_{T}\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)\_{T}}{\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\_{S}\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\_{S}}}={\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{T}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{S}}}}
根据定义：

{\displaystyle {\frac {C\_{P}}{C\_{V}}}={\frac {\beta \_{T}}{\beta \_{S}}}}

理想气体
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理想气体满足理想气体状态方程：

PV=nRT
可由此求出理想气体的膨胀系数：

{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)={\frac {nR}{PV}}={\frac {1}{T}}}
由此求出理想气体的膨胀系数：

{\displaystyle \beta \_{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)\_{T}=-{\frac {1}{V}}\left(-{\frac {V}{P}}\right)={\frac {1}{P}}}
带入关系式：

{\displaystyle C\_{P}-C\_{V}={\frac {VP}{T}}=nR}

参考文献
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1. ↑  Gaskell, David R.  5th ed. New York: Taylor & Francis. 2008. ISBN 978-1-59169-043-6. OCLC 191024055.  引文格式1维护：冗余文本 (link)