| 环论 |
| --- |
|  |
| 基礎概念**環**

* 子環
* 理想
	+ 分式理想

* 商环
	+ 完全商環（英语：）
* 積環（英语：）

**环同态**

* 核
* 內自同構
* 弗罗贝尼乌斯自同态

**代数结构**

* 模
* 代數
* 結合代數
* 階化環（英语：）
* \*-代數（英语：）
* 環的範疇（英语：）

**相關結構**

* 非結合環（英语：）
	+ 李環
	+ 約爾旦環（英语：）
* 半环
* 半體（英语：）

 |
| 交換代數**交换环**

* 整环
	+ 整數封閉環（英语：）
	+ GCD環
	+ 唯一分解整環
	+ 主理想整環（英语：）
	+ 歐幾里得整環

* 複合環（英语：）
	+ 多项式环
	+ 形式冪級數環

**代數數論**

* 代数数域
* 整數環（英语：）
* 代數獨立

* 超越數論
* 超越次數

**P進數**

* P整數
* P有理數

**代数几何**

* 仿射簇（英语：）

 |
| 非交換代數（英语：）**非交換環（英语：）**

* 除环
* 半本原環（英语：）
* 單純環（英语：）
* 交換子

**非交換代數幾何（英语：）**
**自由代數（英语：）**
**克利福德代数**

* 幾何代數（英语：）

**運算元代數（英语：）** |
| * 
* 论
* 编
 |

在抽象代數中，**多項式環**推廣了初等數學中的多項式。一個環 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象。

定義
--

### 多項式函數與多項式

在初等數學與微積分中，*多項式*視同*多項式函數*，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 上的多項式

{\displaystyle P(X)=X^{2}+X}
此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 P(X) 給出 {\displaystyle \mathbb {F} \_{2}} 上的零函數，但視為 {\displaystyle \mathbb {F} \_{4}} 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。

### 形式定義

於是我們採取下述定義：令 R 為環。一個單變元 X 的多項式 P(X) 定義為下述形式化的表法：

{\displaystyle P(X)=a\_{m}X^{m}+a\_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a\_{1}X+a\_{0}}
其中 a\_{i} 屬於 R，稱作 X^{i} 的**係數**，而 X 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 X^{i} 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的**領導係數**，或者**首項係數**。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 {\displaystyle a=(a\_{n})\_{n\geq 0}}，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X 及其冪次表達。

多項式的運算
------

以下固定環 R，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

### 環結構

多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：

* 分配律：對所有 R 上的多項式 {\displaystyle P(X),Q(X),R(X)}，恆有

{\displaystyle (P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)}
{\displaystyle R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)}
* 對所有 a\in R，有 {\displaystyle X\,a=a\,X}
* 對所有非負整數 {\displaystyle k,l}，有 {\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}

運算的具體表法如下：

* {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{i}X^{i}+\sum \_{i=0}^{n}b\_{i}X^{i}=\sum \_{i=0}^{n}(a\_{i}+b\_{i})X^{i}}
* {\displaystyle \left(\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}X^{i}\right)\left(\sum \_{j=0}^{m}b\_{j}X^{j}\right)=\sum \_{k=0}^{m+n}\left(\sum \_{\mu +\nu =k}a\_{\mu }b\_{\nu }\right)X^{k}}

當 R 是交換環時，R[X] 是個 R 上的代數。

### 多項式的合成

設 {\displaystyle P(X)=\sum a\_{i}X^{i}} 而 {\displaystyle Q(X)} 為另一多項式，則可定義兩者的**合成**為

{\displaystyle (P\circ Q)(X):=\sum \_{i}a\_{i}Q(X)^{i}}
### 求值

對於任一多項式 {\displaystyle P(X)=\sum a\_{i}X^{i}} 及 r\in R，我們可考慮 P(X) 對 r 的**求值**：

{\displaystyle s\_{r}(P):=\sum \_{i}a\_{i}r^{i}}
固定 r\in R，則得到一個環同態 {\displaystyle s\_{r}:R[X]\rightarrow R}，稱作求值同態；此外它還滿足

{\displaystyle s\_{r}(P\circ Q)=s\_{s\_{r}(Q)}(P)}
### 導數

在微積分中，多項式的微分由微分法則 {\displaystyle (x^{k})'=kx^{k-1}} 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：

{\displaystyle P(X)=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}X^{i}}
{\displaystyle \Rightarrow P(X)':=\sum \_{i=0}^{n}ia\_{i}X^{i-1}}
這種導數依然滿足 {\displaystyle (PQ)'=P'Q+PQ'} 與 {\displaystyle (P+Q)'=P'+Q'} 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形
------

上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 R[X\_{1},\ldots ,X\_{n}]，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 X, Y 的例子，我們可以先構造多項式環 R[X]，其次構造 {\displaystyle (R[X])[Y]}。可以證明有自然同構 {\displaystyle (R[X])[Y]\cong R[X,Y]}，例如多項式 

{\displaystyle P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]}
也可以視作

{\displaystyle (X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]}
對 {\displaystyle (R[Y])[X]}亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質
--

* 若 *R* 是域，則 R[X] 是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。
* 若 *R* 是唯一分解環，則 R[X] 亦然。
* 若 *R* 是整環，則 R[X] 亦然。
* 若 *R* 是諾特環，則 R[X] 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
* 任一個交換環 R 上的有限生成代數皆可表成某個 R[X\_{1},\ldots ,X\_{n}] 的商環。

在數學中的角色
-------

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 {\mathbb {Z}}/p{\mathbb {Z}}構造有限域，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
| --- |
|  |
| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

 |
|  |
| 環論 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

 |
|  |
| 論 | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

 |

 |