| 粒子物理學标准模型 |
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| **粒子物理學中的味** |
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味量子數： |
| * 同位旋：**I**或*I*3
* 魅數：*C*
* 奇异数：*S*
* 頂數：*T*
* 底數：*B'*
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相關量子數： |
| * 重子数：*B*
* 輕子數：*L*
* 弱同位旋：**T**或*T*3
* 電荷：*Q*
* X荷：*X*
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組合： |
| * 超荷：*Y*
	+ *Y*=(*B*+*S*+*C*+*B'*+*T*)
	+ *Y*=2(*Q*−*I*3)
* 弱超荷：*Y*W
	+ *Y*W=2(*Q*−*T*3)
	+ *X*+2*Y*W=5(*B*−*L*)
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味混合 |
| * CKM矩陣
* PMNS矩陣
* 味互补性
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* 论
* 编
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**卡比博-小林-益川矩阵**（，CKM或KM ）是粒子物理标准模型的一个重要组成成份，它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形，它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚和益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位，可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺（CP破坏），也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵（或MNS）。

内容
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### 历史

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克、下夸克和奇异夸克。在研究强子的弱衰变中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的量子数）之间的混合角*θ*c。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦（cos*θ*c）和正弦（sin*θ*c）。实验上sin*θ*c约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为"弱相互作用可重整化理论中的CP破坏"的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同時猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

### 参数化表示

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。
小林诚和益川敏英当初给的表示是:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \_{1}&-\sin \theta \_{1}\cos \theta \_{3}&-\sin \theta \_{1}\sin \theta \_{3}\\\sin \theta \_{1}\cos \theta \_{2}&\cos \theta \_{1}\cos \theta \_{2}\cos \theta \_{3}-\sin \theta \_{2}\sin \theta \_{3}e^{i\delta }&\cos \theta \_{1}\cos \theta \_{2}\sin \theta \_{3}+\sin \theta \_{2}\cos \theta \_{3}e^{i\delta }\\\sin \theta \_{1}\sin \theta \_{2}&\cos \theta \_{1}\sin \theta \_{2}\cos \theta \_{3}+\cos \theta \_{2}\sin \theta \_{3}e^{i\delta }&\cos \theta \_{1}\sin \theta \_{2}\sin \theta \_{3}-\cos \theta \_{2}\cos \theta \_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}}
在标准参数化下，它可以由三个混合角（*θ*12，*θ*13，*θ*23）和一个相位（*δ*）表示为

{\begin{bmatrix}V\_{{ud}}&V\_{{us}}&V\_{{ub}}\\V\_{{cd}}&V\_{{cs}}&V\_{{cb}}\\V\_{{td}}&V\_{{ts}}&V\_{{tb}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\_{{12}}c\_{{13}}&s\_{{12}}c\_{{13}}&s\_{{13}}e^{{-i\delta \_{{13}}}}\\-s\_{{12}}c\_{{23}}-c\_{{12}}s\_{{23}}s\_{{13}}e^{{i\delta \_{{13}}}}&c\_{{12}}c\_{{23}}-s\_{{12}}s\_{{23}}s\_{{13}}e^{{i\delta \_{{13}}}}&s\_{{23}}c\_{{13}}\\s\_{{12}}s\_{{23}}-c\_{{12}}c\_{{23}}s\_{{13}}e^{{i\delta \_{{13}}}}&-c\_{{12}}s\_{{23}}-s\_{{12}}c\_{{23}}s\_{{13}}e^{{i\delta \_{{13}}}}&c\_{{23}}c\_{{13}}\end{bmatrix}}.
其中（*u*，*c*，*t*）和（*d*，*s*，*b*）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，*c*12，*s*12等是cos*θ*12，sin*θ*12等的简写。
目前实验给出的数据：

θ12 = 7001130399999999999♠13.04±0.05°
θ13 = 6999201000000000000♠0.201±0.011°
θ23 = 7000238000000000000♠2.38±0.06°
δ13 = 7000120000000000000♠1.20±0.08
实验上CKM矩阵参数满足*s*13<<*s*23<<*s*12<<1。
描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家林肯·沃芬斯坦给出的。记

s\_{{12}}=\lambda ={\frac {|V\_{{us}}|}{{\sqrt {|V\_{{ud}}|^{2}+|V\_{{us}}|^{2}}}}},\quad s\_{{23}}=A\lambda ^{2}=\lambda \left|{\frac {V\_{{cb}}}{V\_{{us}}}}\right|,\,\,
s\_{{13}}e^{{i\delta }}=V\_{{ub}}^{\*}=A\lambda ^{3}(\rho +i\eta )={{\frac {A\lambda ^{3}({\bar \rho }+i{\bar \eta })(1-A^{2}\lambda ^{4})^{{1/2}}}{(1-\lambda ^{2})^{{1/2}}[1-A^{2}\lambda ^{4}({\bar \rho }+i{\bar \eta })]}}},
截止到*λ*3，CKM矩阵为

{\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}.
### 么正三角形

幺正三角形幺正三角形
CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

V\_{{ud}}V\_{{ub}}^{\*}+V\_{{cd}}V\_{{cb}}^{\*}+V\_{{td}}V\_{{tb}}^{\*}=0
用测量最精确的项（*V*cd*V*\*cb）来归一，此关系可以表示为复平面上的三角形，其三顶点坐标分别为（0，0），（1，0）
和（{\bar \rho }，{\bar \eta }），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（）不变量。

### 数学推导

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式*V*=*V*2*V*1*V*3，其中对角块矩阵*V*1，*V*2，*V*3有以下形式（*X*代表非零元）

V\_{1}={\begin{bmatrix}X&X&0\\X&X&0\\0&0&X\end{bmatrix}},\quad V\_{{2,3}}={\begin{bmatrix}X&0&0\\0&X&X\\0&X&X\end{bmatrix}}
其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（*ε*，*η*，*ρ*为幺模复数，*c*=cos*θ*，*s*=sin*θ*）

U={\begin{bmatrix}\epsilon c&\epsilon \eta s\\-\rho s&\rho \eta c\end{bmatrix}}
由此

{\begin{bmatrix}\epsilon ^{\*}&0\\0&\rho ^{\*}\end{bmatrix}}U{\begin{bmatrix}1&0\\0&\eta ^{\*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}
因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

V\rightarrow DVD'=DV\_{2}D''D''^{\*}V\_{1}D'''^{\*}D'''V\_{3}D'=V\_{2}'V\_{1}'V\_{3}'
使得

V\_{2}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c\_{2}&-s\_{2}\\0&s\_{2}&c\_{2}\end{bmatrix}},\quad V\_{3}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c\_{3}&s\_{3}\\0&-s\_{3}&c\_{3}\end{bmatrix}}
在上式中*V*2'仍是与*V*2同形的一般幺正矩阵，
但可以继续在*V*上左、右相乘与*V*2'和*V*3'对易的对角矩阵，即
diag（*α*，*β*，*β*）型矩阵（*α*，*β*幺模），使得

V\_{1}'={\begin{bmatrix}c\_{1}&s\_{1}&0\\-s\_{1}&c\_{1}&0\\0&0&e^{{i\delta }}\end{bmatrix}}
最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，*V*2'，*V*1'，*V*3'相乘即得CKM矩阵。

参数测量
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CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅粒子数据组的网页和出版物

V\_{{CKM}}={\begin{bmatrix}0.97427\pm 0.00015&0.22534\pm 0.00065&0.00351\_{{-0.00014}}^{{+0.00015}}\\0.22520\pm 0.00065&0.97344\pm 0.00016&0.0412\_{{-0.0005}}^{{+0.0011}}\\0.00867\_{{-0.00031}}^{{+0.00029}}&0.0404\_{{-0.0005}}^{{+0.0011}}&0.999146\_{{-0.000046}}^{{+0.000021}}\end{bmatrix}}.
沃尔芬斯坦参数：\lambda =0.22535\pm 0.00065,A=0.817\pm 0.015,{\bar {\rho }}=0.136\pm 0.018,{\bar {\eta }}=0.348\pm 0.014

和雅尔斯廓格不变量：J=(2.96\_{{-0.16}}^{{+0.20}})\times 10^{{-5}}

獨立變量的計算
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考慮有 *N* 代夸克 (2*N* 種風味)，那麼

* 一個 *N* × *N* 的么正矩陣需要 *N*2 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 *VV*† = *I*，其中 *V*† 是 *V* 的共軛轉置，而 *I* 是單位矩陣) 。
* 其中 2*N* − 1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 *N*2 − (2*N* − 1) = (*N* − 1)2 個。
	+ 這其中有 *N*(*N* − 1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
	+ 而剩下的 (*N* − 1)(*N* − 2)/2 個就是造成 CP破壞的複數相位。

當 *N* = 2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為**卡比博角度**，由尼古拉·卡比博發明。

在標準模型中，*N* = 3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

与重子生成的关系
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CP破坏是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

参考资料
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### 书籍

* 郑大培，李靈峰.  [基本粒子物理的规范理论]. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7.
* H. Georgi.  [弱相互作用和现代粒子物理学]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8.

### 论文

1. ↑  N. Cabibbo.. Physical Review Letters. 1963, **10**: 531–533.
2. 1 2  M. Kobayashi and T. Maskawa.. Progress in Theoretical Physics. 1973, **49**: 652–657.
3. ↑ . Nobel Foundation.  [2008-10-09]. （原始内容存档于2008-10-08）.
4. ↑  闫同民.. 物理双月刊: 354–357. 2013  [2013-10-02]. （原始内容存档于2013-10-04）.  参数`|journal=`与模板`{{cite web}}`不匹配（建议改用`{{cite journal}}`或`|website=`） (帮助); `|volume=`被忽略 (帮助)
5. ↑  
L.L. Chau and W.-Y. Keung.. Physical Review Letters. 1984, **53**: 1802.
6. ↑  L. Wolfenstein.. Physical Review Letters. 1983, **51**: 1945–1947.
7. ↑  K. Nakamura; et al.  (PDF). Journal of Physics G. 2010, **37** (75021): 150  [2012-11-05]. （原始内容存档 (PDF)于2018-07-14）.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)

外部链接
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* 粒子物理数据组（页面存档备份，存于）首頁
* 康奈尔大学的CLEO（页面存档备份，存于）实验
* 高能加速器研究機構 (KEK（页面存档备份，存于）) 的 BELLE（页面存档备份，存于） 實驗
* SLAC国家加速器实验室 (SLAC（页面存档备份，存于）) 的 BaBar（页面存档备份，存于） 實驗
* 费米国家加速器实验室（FNAL（页面存档备份，存于））的D0（页面存档备份，存于）和CDF（页面存档备份，存于）实验
* 欧洲核子研究中心（CERN（页面存档备份，存于））的LHCb（页面存档备份，存于） 实验