消歧義  此条目介紹的是指示重力方向的方向线。
* 關於作为测量工具的重物，請見「**铅垂**」。
* 關於三角形中过顶点与底边垂直的直线，請見「**高线**」。

橘红色的横向虚线为各重力等位面，其中加粗的为大地水准面（Geoid）；阳橙色的纵向虚线为铅垂线（true vertical），其与重力等位面正交。
**铅垂线**（英語：），又称**垂线**或**力线**，在大地测量学中指重力作用的方向线。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切，该方向又被称为**铅垂方向**，有时也直接以铅垂线代称。在重力场中，铅垂线通常是曲线而非直线，彼此互不平行，与其经过的重力等位面正交。铅垂线与参考椭球面的法线之间的方向偏差被称为**垂线偏差**。

在测量学中，铅垂线是测量外业的基准线。

曲率
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由于在重力场中，除轴线外，同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有曲率的曲线。通过计算铅垂线的曲率，可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。铅垂线在某点处的曲率 \kappa 可以通过该点处的重力矢量的大小 g 及其一阶微分 g\_x、{\displaystyle g\_{y}} 得到：

{\displaystyle \kappa ={1 \over g}{\sqrt {g\_{x}^{2}+g\_{y}^{2}}}}
### 推导过程

设铅垂线的线元矢量为 {\displaystyle \operatorname {d} \!\mathbf {x} =(\operatorname {d} \!x,\operatorname {d} \!y,\operatorname {d} \!z)}，重力矢量为 {\displaystyle \mathbf {g} =(W\_{x},W\_{y},W\_{z})}，两者间仅相差一个比例因子：

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!x}{W\_{x}}}={\frac {\operatorname {d} \!y}{W\_{y}}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{W\_{z}}}}
根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在 {\displaystyle xz} 平面上的曲率 {\displaystyle \kappa \_{1}} 为

{\displaystyle \kappa \_{1}={\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}}
上式的二阶微分可由重力位 W 的偏微分得到：

{\displaystyle {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}={W\_{x} \over W\_{z}}\longrightarrow {\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}={1 \over W\_{z}^{2}}\left[W\_{z}(W\_{xz}+W\_{xx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})-W\_{x}(W\_{zz}+W\_{zx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})\right]}
取沿向上的铅垂方向为 z 轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位 W 在 xy 平面的微分为零，即

{\displaystyle W\_{x}=W\_{y}=0\longrightarrow {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}=0}
将上式代入曲率 {\displaystyle \kappa \_{1}} 的计算公式，得：

{\displaystyle \kappa \_{1}={W\_{zx} \over W\_{z}}}
其中，重力位沿 z 轴方向的微分 {\displaystyle W\_{z}=-g}. 其中 g 为重力矢量的大小，即 {\displaystyle g=\lVert \mathbf {g} \rVert }. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：

{\displaystyle \kappa \_{1}={g\_{x} \over g}}
同理可证，铅垂线投影在 {\displaystyle yz} 平面上的曲率 {\displaystyle \kappa \_{2}} 为

{\displaystyle \kappa \_{2}={g\_{y} \over g}}
由于铅垂线与 z 轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在 xy 平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：

{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\kappa \_{1}^{2}+\kappa \_{2}^{2}}}={1 \over g}{\sqrt {g\_{x}^{2}+g\_{y}^{2}}}}

参考文献
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1. ↑  孔祥元; 郭际明; 刘宗泉.. 武汉大学出版社. 2001. ISBN 978-7-30-707562-7.
2. ↑  Lu, Zhiping; Qu, Yunying; Qiao, Shubo.. Springer. 2014-05-23  [2020-04-05]. ISBN 978-3-642-41245-5. （原始内容存档于2020-06-12） （英语）.
3. 1 2 . 清华大学出版社有限公司. 2001: 8  [2020-04-05]. ISBN 978-7-302-04717-9. （原始内容存档于2020-06-12） （中文）.
4. 1 2 3 4 5 6 7 8  San Francisco W. H. Freeman and Company.. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1967.  引文格式1维护：日期与年 (link)
5. ↑  潘正风; 程效军; 成枢; 王腾军; 翟翊.. 武汉大学出版社. 2015-07-01. ISBN 978-7-307-15677-7.

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