数学中，**庞加莱度量**（），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（）的关系，这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要
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复平面上的度量可写成一般形式

{\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}
这里 λ 是 *z* 与 \overline {z} 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

{\displaystyle l(\gamma )=\int \_{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}
复平面上子集 *M* 之面积是

{\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int \_{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}
这里 \wedge  是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 {\displaystyle \lambda ^{4}}，故而行列式的平方根是 {\displaystyle \lambda ^{2}}。复平面上的欧几里得体积形式为 {\displaystyle dx\wedge dy}，从而我们有 

{\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}
函数 {\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})} 称为**度量的势能**（），如果 

{\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}
拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

{\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}
度量的高斯曲率由

{\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}
给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 *S* 是一个黎曼曲面带有度量 {\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}} 而 *T* 是带有度量 {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}} 的黎曼曲面，则映射

{\displaystyle f:S\to T\,}
以及 {\displaystyle f=w(z)} 是等距当且仅当它是共形的以及

{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}
在这里，映射为共形的也就是条件

{\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}
即

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}

庞加莱平面上的度量与体积元
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庞加莱半平面模型中上半平面 *H* 的**庞加莱度量张量**为

{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}
这里我们记 {\displaystyle dz=dx+i\,dy}。这个度量张量在 SL(2,**R**) 的作用下不变。这就是，如果我们记

{\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}
对 ad-bc=1，则我们可算得

{\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}
与

{\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}
无穷小变换为

{\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}
从而

{\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}
这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,**R**) 的作用下不变。

不变体积元素为

{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}
对 {\displaystyle z\_{1},z\_{2}\in \mathbb {H} } 度量为

{\displaystyle \rho (z\_{1},z\_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z\_{1}-z\_{2}|}{|z\_{1}-{\overline {z\_{2}}}|}},}
{\displaystyle \rho (z\_{1},z\_{2})=\log {\frac {|z\_{1}-{\overline {z\_{2}}}|+|z\_{1}-z\_{2}|}{|z\_{1}-{\overline {z\_{2}}}|-|z\_{1}-z\_{2}|}}.}

  

度量的另一个有用的形式是用**交比**给出。给定紧化复平面 {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty } 上任意四点 {\displaystyle z\_{1},z\_{2},z\_{3}} 与{\displaystyle z\_{4}}，交比定义为

{\displaystyle (z\_{1},z\_{2};z\_{3},z\_{4})={\frac {(z\_{1}-z\_{2})(z\_{3}-z\_{4})}{(z\_{2}-z\_{3})(z\_{4}-z\_{1})}}.}
那么度量用交比表示为

{\displaystyle \rho (z\_{1},z\_{2})=\ln(z\_{1},z\_{2}^{\times };z\_{2},z\_{1}^{\times }).}
这里 {\displaystyle z\_{1}^{\times }} 与 {\displaystyle z\_{2}^{\times }} 是端点，位于实数轴上，测地线连接 z\_{1} 与 {\displaystyle z\_{2}}。这些点是有顺序的故 z\_{1} 位于 {\displaystyle z\_{1}^{\times }} 与 {\displaystyle z\_{2}} 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射
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上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

{\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z\_{0}}{z-{\overline {z\_{0}}}}},}
这里单位圆盘上的点 *w* 对应于上半平面上的点 *z*。在这个映射中，常数 *z*0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 {\displaystyle \Im z=0} 映为单位圆盘的边界 {\displaystyle |w|=1}。实常数 \phi  将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

{\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}
将 *i* 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素
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庞加莱圆盘模型里的**庞加莱度量张量**在单位圆盘 {\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}} 上为

{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}
体积形式为

{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}
对 {\displaystyle z\_{1},z\_{2}\in U} 的庞加莱度量为

{\displaystyle \rho (z\_{1},z\_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z\_{1}-z\_{2}}{1-z\_{1}{\overline {z\_{2}}}}}\right|.}
这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型
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穿孔圆盘坐标上的 J-不变量（）；这是 nome 的一个函数。
庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量；注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。
第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

{\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}
这里 *q* 是 nome（），\tau  是半周期比例（）。在上一节的记号中，\tau  是上半平面 {\displaystyle \Im \tau >0} 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 *q*=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

{\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}
度量的势能是

{\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}

施瓦茨引理
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庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（）。

另见
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* 富克斯群（）
* 富克斯模型（）
* 克莱因群
* 克莱因模型
* 庞加莱圆盘模型
* 庞加莱半平面模型
* 本原测地线（）
* 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

引用
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* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, *Compact Riemann Surfaces* (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X *(See Section 2.3)*.
* Svetlana Katok, *Fuchsian Groups* (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 *(Provides a simple, easily readable introduction.)*