在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的**施图姆-刘维尔方程**是指二阶线性实微分方程：

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| 


d

d
x



[

p
(
x
)

d
y

d
x

]

+
q
(
x
)
y
=
−
λ

w
(
x
)
y
,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,} | 

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 | **(**1**)** |

其中给定系数函数*p*(*x*), *q*(*x*), 和*w*(*x*)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解；\lambda 是一个未定常数。*w*(*x*)又记为*r*(*x*)，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的**施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题**中，在有界闭区间[*a*,*b*]上，三个系数函数p(x),w(x),q(x)应满足以下性质：

* p(x)>0,w(x)>0；
* p(x),p'(x),w(x),q(x) 均连续；
* y(x) 满足边界条件 \alpha \_{1}y(a)+\alpha \_{2}y'(a)=0 及 \beta \_{1}y(b)+\beta \_{2}y'(b)=0（\alpha \_{1}^{2}+\alpha \_{2}^{2}>0,\beta \_{1}^{2}+\beta \_{2}^{2}>0）。

只有一些恰当的\lambda 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些\lambda 称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了**施图姆-刘维尔理论**。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

* 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

\lambda \_{1}<\lambda \_{2}<\lambda \_{3}<\cdots <\lambda \_{n}<\cdots ,\lim \_{{n\rightarrow \infty }}\lambda \_{n}=\infty ；
* 对于每一个特徵值\lambda \_{n}都有唯一的（已被归一化的）特徵函数y\_{n}(x)，且y\_{n}(x)在开区间(*a*,*b*)上有且仅有n-1个零点。其中y\_{n}(x)称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
* 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间L^{2}([a,b],w(x){\mathrm {d}}x)上有正交性和完备性，形成一组正交基：

\int \_{a}^{b}y\_{n}(x)y\_{m}(x)w(x)\,{\mathrm {d}}x=\delta \_{{mn}}
其中\delta \_{{mn}}是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式
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只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

### 贝塞尔方程

x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,
等价于：
(xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,
### 勒让德方程

(1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!
注意到 *D*(1 − *x*2) = −2*x*，因此等价于：
[(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!
### 二体系统施图姆-刘维尔方程

二体问题常用的换元的技巧是通过 {\displaystyle u=1/r\!} 和 {\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!} 将原方程中对时间的求导转化为对角度 \theta\! 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

{\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}

  

### 使用积分因子的例子

x^{3}y''-xy'+2y=0.\,
两边同时除以*x*3:
y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0
再乘以积分因子：
\mu (x)=e^{{\int -{x/x^{3}}\,{\mathrm {d}}x}}=e^{{\int -{1/x^{2}}\,{\mathrm {d}}x}}=e^{{1/x}},
得到：
e^{{1/x}}y''-{e^{{1/x}} \over x^{2}}y'+{2e^{{1/x}} \over x^{3}}y=0
又注意到：
De^{{1/x}}=-{e^{{1/x}} \over x^{2}}
因此原方程等价于：
(e^{{1/x}}y')'+{2e^{{1/x}} \over x^{3}}y=0.
### 一般形式二阶常微分方程的积分因子

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,
两边同时乘以积分因子：
\mu (x)={1 \over P(x)}e^{{\int {Q(x)/P(x)}\,{\mathrm {d}}x}},
整理后得到：
{d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0
或者把积分因子写出来：
{d \over dx}(e^{{\int {Q(x)/P(x)}\,{\mathrm {d}}x}}y')+{R(x) \over P(x)}e^{{\int {Q(x)/P(x)}\,{\mathrm {d}}x}}y=0

参阅
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* 简正模

参考文献
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1. ↑  Luo, Siwei.. Journal of Physics Communications. 22 June 2020, **4** (6): 061001. Bibcode:2020JPhCo...4f1001L. doi:10.1088/2399-6528/ab9c30 可免费查阅.

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* 编
泛函分析 |
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