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| * 
* 论
* 编
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數學上，**分離變數法**是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程
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条目：可分离变量的微分方程
假若，一個常微分方程可以寫為

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]} 。
設定變數 y = f(x) 。那麼，

{\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y) ．(1)
只要是 h(y)\neq 0 ，就可以將方程式兩邊都除以 h(y) ，再都乘以 dx ：

{dy \over h(y)}={g(x)dx} 。
這樣，可以將兩個變數 x ，y 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

{\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k} 。
### 第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記（英语：）的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

{\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x) 。
這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 x 積分公式的兩邊，可以得到

\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx 。(2)
應用换元积分法，

\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx 。
假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 \frac{dy}{dx} 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

### 實例 (I)

常微分方程式 {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x)) 可以寫為

{\frac {dy}{dx}}=y(1-y) ；(3)
其中，y=f(x) 。

設定 g(x)=1 ，h(y)=y(1-y) 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

{\frac {dy}{y(1-y)}}=dx 。
變數 x ，y 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx 。
積分的結果是

\ln |y|-\ln |1-y|=x+C ；
其中，C 是個積分常數。稍加運算，則可得

y={\frac {1}{1+Be^{{-x}}}} 。
在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 \frac{dy}{dx} 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 B 的正值與負值。而當 y=1 時，B=0 ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 y 跟 (1-y) ，必須檢查兩個函數 y(x)=0 與 y(x)=1 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解（英语：） 。

### 實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right) ；
其中，P 是人口數值函數，t 是時間參數， k 是成長的速率，K 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以P\left(1-{\frac {P}{K}}\right) ．再隨著時間 t 積分，

\int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt 。
應用换元积分法，

\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt 。
稍微運算，則可得

P(t)={\frac {K}{1+Ae^{{-kt}}}} ；
其中，A 是常數。

偏微分方程
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条目：可分離變數的偏微分方程
給予一個 n 元函數 F(x\_{1},\ x\_{2},\ \dots ,\ x\_{n}) 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

F=F\_{1}(x\_{1})F\_{2}(x\_{2})\cdots F\_{n}(x\_{n}) ，
或者

F=f\_{1}(x\_{1})+f\_{2}(x\_{2})+\cdots +f\_{n}(x\_{n}) 。
時常，對於每一個自變量 x\_{i} ，都會伴隨著一個**分離常數**。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 ()。

### 實例 (III)

假若，函數 F(x,\ y,\ z) 的偏微分方程為

{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0 。
猜想解答為

F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z) 。
那麼，

{\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0 。
因為 X(x) 只含有 x 、Y(y) 只含有 y 、Z(z) 只含有 z ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

{\frac {dX}{dx}}=c\_{1} 、
{\frac {dY}{dy}}=c\_{2} 、
{\frac {dZ}{dz}}=c\_{3} ；
其中，c\_{1},\ c\_{2},\ c\_{3} 都是常數，c\_{1}+c\_{2}+c\_{3}=0 。

偏微分方程的答案為

F(x,y,z)=c\_{1}x+c\_{2}y+c\_{3}z+c\_{4} ；
其中，c\_{4} 是常數。

### 實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程，

\nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0 。
首先，猜想答案的形式為

v=X(x)Y(y) 。
代入偏微分方程，

{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0 。
或者，用單撇號標記，

X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0 。
將方程式的兩邊除以 X(x)Y(y) ，則可得

{X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)} 。
由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k ：

{X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)} 。
因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

X''(x)-kX(x)=0 、
Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0 。
這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，k<0<\lambda +k ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

X(x)=A\_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B\_{x}) ，
Y(y)=A\_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B\_{y}) ；
其中，A\_{x},\ A\_{y} 是振幅常數，B\_{x},\ B\_{y} 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱
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* 拉普拉斯-龍格-冷次向量
* 哈密頓-雅可比方程
* 亥姆霍茲方程

參考文獻
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* A. D. Polyanin, *Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。