**谱相关密度** (spectral correlation density , SCD)，有时也称为**循环谱密度**(cyclic spectral density)或**频谱相关函数**(spectral correlation function)，是描述时间序列的所有频移版本对的交叉频谱密度的函数。谱相关密度仅适用于周期平稳过程，或称为循环平稳过程，普通平稳过程不具备谱相关性。 谱相关被广泛用于信号检测和信号分类。  谱相关密度与每个双线性时频分布密切相关，但不被认为是 Cohen 类分布。

定义
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时间序列的循环自相关函数{\textstyle x(t)}计算如下：



R

x

α

(
τ
)
=

∫

−
∞

∞

x

(

t
−

τ
2

)

x

∗

(

t
+

τ
2

)

e

−
i
2
π
α
t

d
t

{\displaystyle R\_{x}^{\alpha }(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)x^{\*}\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \alpha t}\,dt}

{\displaystyle R_{x}^{\alpha }(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \alpha t}\,dt}其中 (\*) 表示复数的共轭。根据Wiener-Khinchin 定理[有疑问，需讨论]，谱相关密度为：



S

x

α

(
f
)
=

∫

−
∞

∞

R

x

α

(
τ
)

e

−
i
2
π
f
τ

d
τ

{\displaystyle S\_{x}^{\alpha }(f)=\int \_{-\infty }^{\infty }R\_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau }

{\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau }

估计方法
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对数字信号而言，SCD 可按任意频率和时间分辨率进行估计。由于直接计算SCD具有较高的计算复杂性，为满足信号实时分析的需求，有几类较为有效的信号谱相关估计方法被提出。

目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和带状谱相关法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm)， 近日，又有一种新的快速频谱相关 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法被提出 。

### FFT累加法（FAM）

在本节中，我们将介绍实际在计算机上估计SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy库，以下步骤的实现将相当简单。

FFT累加法 (FAM) 是一种计算 SCD 的数字方法。它的输入是一组 IQ 样本矩阵，输出是复值图像（或者说是一复值矩阵），即目标 SCD。FAM输入的信号、或说是 IQ 样本矩阵 x，应为复值张量的形式，或者是尺寸为{\displaystyle (N,)}的多维数组的形式 ，其中数组中的每个元素都是一个 IQ 样本点。

FAM的第一步，是将所输入信号x分为多个相互重叠且长度为N'的数据帧，并将其组合成矩阵形式，记为X。

{\displaystyle X={\begin{bmatrix}x[0:N']\\x[L:L+N']\\x[2L:2L+N']\\x[3L:3L+N']\\.\\.\\.\end{bmatrix}},}

其中，L两数据帧间起始位置相距的长度。为实现重叠，应有{\displaystyle L<N'} 。X是形状为{\displaystyle (P,N')} 的张量， P取决于x能够容纳多少帧 。

随后，将一形状为{\displaystyle (N',)}的窗函数{\displaystyle a(N')} ，应用于X的每一行 （如汉明窗等），得到X'。

{\displaystyle X'={\begin{bmatrix}a(N')\\a(N')\\a(N')\\.\\.\\.\\\end{bmatrix}}\otimes X,}

其中\otimes是逐元素乘法，也就是将矩阵中的每个元素分别与对应位置的窗函数相乘。接下来，要对中的每一行进行 FFT ，得到{\displaystyle W}。

{\displaystyle W={\begin{bmatrix}FFT(X[0,:])\\FFT(X[1,:])\\FFT(X[2,:])\\.\\.\\.\\\end{bmatrix}}.}

{\displaystyle W}就是通常称为瀑布图或频谱图的矩阵。 FAM 的下一步是校正FFT后数据帧的相位延迟。

{\displaystyle W'={\begin{bmatrix}W[0,:]\\e^{j\omega L}\otimes W[1,:]\\e^{j\omega 2L}\otimes W[2,:]\\e^{j\omega 3L}\otimes W[3,:]\\.\\.\\.\\\end{bmatrix}},}

其中{\displaystyle \omega }对应于 FFT 结果中的每个数字频率，是形状为{\displaystyle (N',)}张量。

{\displaystyle \omega ={\bigg [}-\pi ,...\pi -{\frac {2\pi }{N'}}{\bigg ]}.}

随后，通过求经 FFT 后结果的自相关，得到形状为{\displaystyle (P,N',N')}张量{\displaystyle S} 。

{\displaystyle S[i,j,k]=W'[i,j]W'[i,k]^{\*},}

其中{\displaystyle ^{\*}}表示复共轭。换言之，若记{\displaystyle W\_{i}=W'[i,:]}是{\displaystyle (1,N')} 的矩阵，S可改写为

{\displaystyle S[i,:,:]=W\_{i}^{H}W\_{i},}

其中 H 表示矩阵的Hermitian （共轭转置）矩阵。接下来的一步，是将 S 沿着第一维分别进行 FFT。

{\displaystyle S'[:,i,j]=FFT(S[:,i,j]).}

S'是一个包含完整 SCD 信息的三维张量，但我们的目标是构建形状为{\displaystyle (PN',N')}的二维张量，即矩阵或着图像的形式，张量的两个维度分别对应特定频率f和循环频率\alpha 。S'中所有\alpha 的值可以通过张量A的到，而所有的频率值f则记录在张量F中。这里的 {\displaystyle f\in [-.5,+.5)}和{\displaystyle \alpha \in [-1,+1)}是归一化频率。

{\displaystyle F[i,j,k]={\frac {j+k}{2N'}}-.5.}

{\displaystyle A[i,j,k]={\frac {j-k}{N'}}+{\bigg (}i-{\frac {P}{2}}{\bigg )}\Delta \alpha .}

上式中，{\displaystyle \Delta \alpha =1/N} 。至此，SCD 可以退化为一个二位的图像或矩阵s，S'中的{\displaystyle (f,\alpha )}对都可以赋为0，有效值可以通过A和F获取 。

### 跳过第二次 FFT 直接估计 SCD

完整计算一次 SCD 具有相当大的复杂度，复杂度的主要来源是第二轮 FFT。幸运的是，从S'估计s' SCD 的计算公式为

{\displaystyle s'={\frac {1}{P}}\sum \_{i=0}^{P-1}S'[i,:,:].}

为了更小的计算复杂度，我们可以通过下式，直接从S计算{\displaystyle s'}，因为在 FFT 前或后计算FFT中所有数值的均值是等效的。

{\displaystyle s'={\frac {1}{P}}\sum \_{i=0}^{P-1}S[i,:,:],}

需要注意的是，{\displaystyle s'}将看起来像真正 SCD 的 {\displaystyle s} 旋转45 度的版本 。

参考文献
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1. ↑  Gardner, W.A.. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1986-10-01, **34** (5): 1111–1123. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1986.1164951.
2. ↑  Yoo, Do-Sik; Lim, Jongtae; Kang, Min-Hong.. Journal of Communications and Networks. 2014-12-01, **16** (6): 600–612. ISSN 1229-2370. S2CID 757095. doi:10.1109/JCN.2014.000106.
3. ↑  Hong, S.; Like, E.; Wu, Zhiqiang; Tekin, C.. 2010 7th IEEE Consumer Communications and Networking Conference (CCNC). 2010-01-01: 1–5. ISBN 978-1-4244-5175-3. S2CID 17126519. doi:10.1109/CCNC.2010.5421830.
4. ↑  Borghesani, P.; Antoni, J.. Mechanical Systems and Signal Processing. October 2018, **111**: 113–118. Bibcode:2018MSSP..111..113B. ISSN 0888-3270. S2CID 125098069. doi:10.1016/j.ymssp.2018.03.059.
5. ↑  Roberts, R.S.; Brown, W.A.; Loomis, H.H.. IEEE Signal Processing Magazine. 1991-04-01, **8** (2): 38–49. Bibcode:1991ISPM....8...38R. ISSN 1053-5888. S2CID 1763992. doi:10.1109/79.81008.

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