**十二律**是中国傳統音樂使用的音律，後來逐漸傳入到朝鮮、日本、越南等東南亞國家。律，本指用來定音的竹管，古人用十二個不同長度的律管，吹出十二個高度不同的標準音高，以定出音階的高低，故這十二個標準音高也叫十二律。

中國古代以「三分損益法」定律，將十二個音逐個導出；而前五個音與主音的數學關係較為簡單，同時也是常用音階，故又與十二個音並稱**五音十二律**。

音調
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* 夾鐘 - Jiá Zhōng - 小三度 - 39 : 214 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 姑洗 - Gū Xiǎn - 大三度 - 34 : 26 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 仲呂 - Zhòng Lǚ - 完全四度 - 311 : 217 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 蕤賓 - Ruí Bīn - 增四度 - 36 : 29 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 林鐘 - Lín Zhōng - 純五度 - 3 : 2 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 夷則 - Yí Zé - 小六度 - 38 : 212 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 南呂 - Nán Lǚ - 大六度 - 33 : 24 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 無射 - Wú Yì - 小七度 - 310 : 215 - 关于这个音频文件 播放 ·
* 應鐘 - Yìng Zhōng - 大七度 - 35 : 27 - 关于这个音频文件 播放 ·

十二律分為陰陽兩類，奇數六律為**陽律**，叫做**六律**；偶數六律為**陰呂**，稱為**六呂**，合稱**律呂**。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

三分損益法
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相傳三分損益法為管仲所發明。

司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

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|  | 维基文库中相关的原始文献：**史記 卷二十五 律書 第三** |

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」。然後將81乘上2/3，就得到54單位，定為「音」。將音的竹管長度54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。將商音72乘2/3，得48單位，為「羽音」。羽音48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這**宮**、**商**、**角**、、**羽**五個音高，被稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂，「琴瑟尚宮，鍾尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宮，細不過羽」，要舍卻彈奏中的「煩手」（複雜多變）。《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、速度變化的「淫聲」、以能使人保持平和「中聲」為美的思想。 「畢氏學派」中的「**五度相生律**」與三分損益法相似，但是五度相生律与三分益损法上下生成次序有不同，产生的音階相对应为中国音階中的燕调式，与中国流行的宫调式不同。

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|  | 维基文库中相关的原始文献：**春秋左氏傳 昭公 昭公元年** |

### 三分損益與十二律的相關物理

在聲學中，聲高指物體振動的頻率。取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲絃），則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。將這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為「八度音」。由此，便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度，所得到的十二律（宫调）：

**黃鐘**（C）：{\displaystyle 81} (*n* = 0)

**林鐘**（G，由黃鐘三分損而來）： {81 \times \frac{2}{3}} = 54  (*n* = 0 + 7 = 7)

**太簇**（D，由林鐘三分益而來）： {54 \times \frac{4}{3}} = 72  (*n* = 7 - 5 = 2)

**南呂**（A，由太簇三分損而來）： {72 \times \frac{2}{3}} = 48  (*n* = 2 + 7 = 9)

**姑冼**（E，由南呂三分益而來）： {48 \times \frac{4}{3}} = 64  (*n* = 9 - 5 = 4)

**應鐘**（B，由姑冼三分損而來）： {64 \times \frac{2}{3}} = 42\frac{2}{3}\approx 42.66666666667  (*n* = 4 + 7 = 11)

**蕤賓**（F#，由應鐘三分益而來）： {42\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}} = 56\frac{8}{9}\approx 56.88888888889  (*n* = 11 - 5 = 6)

**大呂**（C#，由蕤賓三分益而來）： {56\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}} = 75\frac{23}{27}\approx 75.85185185185  (*n* = 6 - 5 = 1)

**夷則**（G#/Ab，由大呂三分損而來）： {75\frac{23}{27} \times \frac{2}{3}} = 50\frac{46}{81}\approx 50.56790123457  (*n* = 1 + 7 = 8)

**夾鐘**（D#/Eb，由夷則三分益而來）： {50\frac{46}{81} \times \frac{4}{3}} = 67\frac{103}{243}\approx 67.42386831276  (*n* = 8 - 5 = 3)

**無射**（A#/Bb，由夾鐘三分損而來）： {67\frac{103}{243} \times \frac{2}{3}} = 44\frac{692}{729}\approx 44.9492455418381344307  (*n* = 3 + 7 = 10)

**仲呂**（F，由無射三分益而來）： {44\frac{692}{729} \times \frac{4}{3}} = 59\frac{2039}{2187}\approx 59.93232738911751257430269776  (*n* = 10 - 5 = 5)

**清黃鐘**（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）： {59\frac{2039}{2187} \times \frac{2}{3}} = 39\frac{6265}{6561} \approx 39.954884926078341716201798506254  (*n* = 5 + 7 = 12)

* 注意，最後一個「清黃鐘」的長度39.9548849，與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是「**黃鐘不能還原**」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。\frac{2^{6} \times 4^{6}}{3^{12}}\approx 0.49327018427257211995310862353488
* 另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。

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|  | 维基文库中相关的原始文献：**夢溪筆談 卷八 象數二** |

從上面所計算出來的結果，對照《史記·律書》中的文字，便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》，便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，並附上與西方「*參考音名*」與「*十二平均律*的誤差」計算。


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| 中國音名  | 三分損益（由原文更正後）  | 西方音名 | 十二平均律  | 三分損益與十二平均律之偏差（%） |
| 黃鐘 | 81 | C | 81 | - |
| 林鐘 | 54 | G | 54.0610 | 0.11 |
| 太簇 | 72 | D | 72.1628 | 0.23 |
| 南呂 | 48 | A | 48.1629 | 0.34 |
| 姑洗 | 64 | E | 64.2898 | 0.45 |
| 應鐘 | 42.6667 | B | 42.9083 | 0.56 |
| 蕤賓 | 56.8889 | F♯ | 57.2757 | 0.68 |
| 大呂 | 75.8519 | C♯ | 76.4538 | 0.79 |
| 夷則 | 50.5679 | G♯ | 51.0268 | 0.90 |
| 夾鐘 | 67.4239 | D♯ | 68.1126 | 1.01 |
| 無射 | 44.9492 | A♯ | 45.4597 | 1.12 |
| 仲呂 | 59.9323 | F | 60.6814 | 1.23 |

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若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

音律與曆法的配合
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由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個，於是在中國上古時代，人們便把十二律和十二月聯繫起來，又名**十二月律**。例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月。依照《禮記·月令》上的記載，它們之間的對應為：

孟春之月，律中太簇；  

仲春之月，律中夾鐘；  

季春之月，律中姑洗；  

孟夏之月，律中仲呂；  

仲夏之月，律中蕤賓；  

季夏之月，律中林鐘；  

孟秋之月，律中夷則；  

仲秋之月，律中南呂；  

季秋之月，律中無射；  

孟冬之月，律中應鐘；  

仲冬之月，律中黃鐘；  

季冬之月，律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」，其徵驗的方法則是憑「吹灰」。據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰，只要到了某個月分，相對應的那一隻律管中的灰就會自動地飛揚出來，這便是「**吹灰候氣**」、「**夷則為七月之律**」等詞彙的典故。當然以今日的觀點，吹灰候氣並沒有現實的根據。

值得注意的一點，十二律中最基本的是黃鐘，而中國曆法最基本的則是含有冬至的月分。《月令》中所列出的，正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支，以六十年甲子為一個週期，而60又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公約數，所以不同時期規律出現的天象，會在60年內集中重複，這些看似奇異的現象實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。

參考
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1. ↑  《管子‧地員篇》：凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九；以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，爲百有八，爲徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分而復於其所，以是成羽。有三分去其乘，適足，以是成角。
2. ↑  《國語‧周語下》
3. ↑  《春秋左氏傳‧昭公‧昭公元年》：公曰．女不可近乎對曰．節之．先王之樂．所以節百事也．故有五節遲速本末以相及．中聲以降．五降之後．不容彈矣．於是有煩手淫聲．慆堙心耳．乃忘平和．君子弗聽也．物亦如之．至於煩．乃舍也已．無以生疾．君子之近琴瑟．以儀節也．非以慆心也．天有六氣．降生五味．發為五色．徵為五聲．淫生六疾．六氣曰陰．陽．風．雨．晦明也．分為四時．序為五節．過則為菑．陰淫寒疾．陽淫熱疾．風淫末疾．雨淫腹疾．晦淫惑疾．明淫心疾．女陽物而晦時．淫則生內熱惑蠱之疾．今君不節不時能無及此乎．出告趙孟．趙孟曰．誰當良臣．

延伸阅读
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[在维基数据编辑]

维基文库中的相关文本： 《欽定古今圖書集成·經濟彙編·樂律典·律呂部》，出自陈梦雷《古今圖書集成》

外部連結
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* 戴振铎：〈广义三分损益律与朱载堉十二平均律及纯律的关系〉。
* 《史記》中記載的「律數」