在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵A 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的**秩**（）。通常表示为 {\displaystyle \mathrm {r} (A)} ，{\displaystyle \mathrm {rank} (A)} 或{\displaystyle \mathrm {rk} (A)}。

可替代定义
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### 用定义

设 A 为 m\times n 矩阵。若 A 至少有一个 r 阶非零子式，而其所有 {\displaystyle r+1} 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为r。则称 r 为 A 的秩。

### 用向量组的秩定义

对于 m 维线性空间 V 中的一个向量组 {\displaystyle F=\{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{s}\}}，若 
{\displaystyle F\supseteq S=\{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{r}\}} 中的 r 个向量线性无关，且若 {\displaystyle r<s}，{\displaystyle \forall \alpha \_{r+1}\in F-S}，{\displaystyle S\cup \{\alpha \_{r+1}\}} 中 {\displaystyle r+1} 个向量都线性相关，则称 {\displaystyle \{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{r}\}} 为 {\displaystyle \{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{s}\}} 的**极大线性无关组**，r 为 {\displaystyle \{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{s}\}} 的**秩**。可以证明 F 的秩等于向量组 F 生成的子空间的维数。
矩阵 A 的**列秩**定义为 A 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的**行秩**定义为 A 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

### 用线性映射定义

考虑线性映射：

 f\_A : F^n \to F^m 
 x \mapsto A \cdot x
对于每个矩阵 A，f\_A 都是一个线性映射，同时，对每个 F^n \to F^m  的
线性映射 f，都存在矩阵 A使得 f=f\_A。也就是说，映射

 \Phi : \mathcal{M}\_n (\mathbb{K}) \to \mathcal{L}(F^n,F^m)
 A \mapsto f\_A
是一个同构映射。所以一个矩阵 A 的秩还可定义为 f\_A 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 A 称为 f\_A 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 {\displaystyle n-f} 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f 的像的维度。

行秩列秩相等性
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矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形. 

### 证明一

令 A 是一个 m\times n 的矩阵，其列秩为 r. 因此矩阵 A 的列空间的维度是 r. 令 c\_1,c\_2,\ldots,c\_r 是 A 的列空间的一组基，构成 m \times r 矩阵 C的列向量 C = [c\_1,c\_2,\ldots,c\_r]，并使得 A 的每个列向量是 C的r 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个 r \times n 矩阵 R, 使得 A = CR. (A 的 (i,j) 元素是 c\_i 与 R 的第 j 个行向量的点积.)

现在，由于 A = CR, A 的每个行向量是 R 的行向量的线性组合，这意味着 A 的行向量空间被包含于 R 的行向量空间之中. 因此 A 的行秩 ≤ R的行秩. 但R仅有r行, 所以R的行秩 ≤ r = A的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤ A的列秩. 

把上述证明过程中的"行"与"列"交换，利用对偶性质同样可证A的列秩 ≤ A的行秩。更简单的方法是考虑A的转置矩阵A^\mathrm{T}，则A的列秩 = A^\mathrm{T}的行秩 ≤ A^\mathrm{T}的列秩 = A的行秩. 这证明了A的列秩等于A的行秩. 证毕.

### 证明二

令A是m\times n矩阵，其行秩是r. 因此A的行向量空间的维度是r，设x\_1, x\_2,\ldots, x\_r是A的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集Ax\_1, Ax\_2,\ldots, Ax\_r是线性独立的。 这是因为对一组标量系数c\_1,c\_2,\ldots,c\_r，如果:

c\_1 Ax\_1 + c\_2 Ax\_2 + \cdots c\_r Ax\_r = A(c\_1x\_1 + c\_2x\_2 + \cdots + c\_rx\_r) = Av = 0, 
其中v = c\_1x\_1 + c\_2x\_2 + \ldots,c\_r x\_r. 则可以推出有两个事实: (a) v是A行向量空间的线性组合, 即v属于A的行向量空间；(b) 由于Av = 0, v正交于A的所有行向量，从而正交于A的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则v正交于自身，这意味着v = 0. 由v的定义:

c\_1x\_1 + c\_2x\_2 + \ldots,c\_r x\_r = 0.
再由x\_{i}是A的行向量空间的一组线性独立的基，可知c\_1 = c\_2 = \cdots = c\_r = 0. Ax\_1, Ax\_2,\ldots, Ax\_r因而是线性独立的.

Ax\_i是A的列空间中的向量. 因此Ax\_1, Ax\_2,\ldots, Ax\_r是A的列空间中r个线性独立的向量. 所以A的列向量空间的维数(A的列秩)必然不小于r. 这证明了A的行秩r ≤ A的列秩. 把这一结果应用于A的转置矩阵可以得到: A的列秩 = A^\mathrm{T}的行秩 ≤ A^\mathrm{T}列秩 = A的行秩. 这证明了A的列秩等于A的行秩，证毕.

最后, 还可以证明rk(*A*) = rk(*A*\*), 其中*A*\*是*A*的共轭转置或称施密特转置. 当*A*的元素都是实数, 这一结果变为rk(*A*) = rk(*A*T). 然而对于复系数矩阵，rk(*A*) = rk(*A*\*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明. 

### 证明三

令*A*是一个*m*×*n*矩阵. 定义rk(A)为*A*的列秩，*A*\*为*A*的共轭转置或称施密特转置. 首先可知*A*\**Ax* = 0当且仅当*Ax* = 0. 

*A*\**Ax* = 0 ⇒ *x*\**A*\**Ax* = 0 ⇒ *(Ax)*\**(Ax)* = 0 ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,
其中‖·‖是欧氏范数. 这说明*A*的零空间与*A*\**A*的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(*A*) = rk(*A*\**A*). *A*\**A*的每一个列向量是*A*\*的列向量的线性组合. 所以*A*\**A*的列空间是*A*\*的列空间的子空间. 从而rk(*A*\**A*) ≤ rk(*A*\*). 即: rk(*A*) = rk(*A*\**A*) ≤ rk(*A*\*). 应用这一结果于*A*\*可获得不等式: 由于(*A*\*)\* = *A*, 可写作rk(*A*\*) ≤ rk((*A*\*)\*) = rk(*A*). 这证明了rk(*A*) = rk(*A*\*). 证毕.

性质
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我们假定*A*是在域*F*上的*m* × *n*矩阵并描述了上述线性映射。

* *m* × *n*矩阵的秩不大于*m*且不大于*n*的一个非负整数，表示為 rk(*A*) ≤ min(*m*, *n*)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有**满秩**；类似的，否则矩阵是**秩不足**（或称为"**欠秩**"）的。
* 只有零矩阵有秩0
* *A*的秩最大为min(*m*,*n*)
* *f*是单射，当且仅当*A*有秩*n*（在这种情况下，我们称*A*有"列满秩"）。
* *f*是满射，当且仅当*A*有秩*m*（在这种情况下，我们称*A*有"行满秩"）。
* 在方块矩阵*A* (就是*m* = *n*)的情况下，则*A*是可逆的，当且仅当*A*有秩*n*（也就是*A*有满秩）。
* 如果*B*是任何*n* × *k*矩阵，则*AB*的秩最大为*A*的秩和*B*的秩的小者。即：
\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}\ A, \operatorname{rank}\ B).
推广到若干个矩阵的情况，就是：
{\displaystyle \operatorname {rank} (A\_{1}A\_{2}\cdots A\_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A\_{1},\operatorname {rank} \ A\_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A\_{n}).}
证明：
考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为*f*和*g*，则AB表示复合映射*f·g*，它的象*Im f·g*是*g*的像*Im g*在映射*f*作用下的象。然而*Im g*是整个空间的一部分，因此它在映射*f*作用下的象也是整个空间在映射*f*作用下的象的一部分。也就是说映射*Im f·g*是*Im f*的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。
对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑*Im g*的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空间*Im f·g*，于是*Im f·g*的维度小于等于*Im g*的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。
因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。
作为"<"情况的一个例子，考虑积
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 1 & 0 \\
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 0 & 1 \\
 \end{bmatrix}
两个因子都有秩1，而这个积有秩0。
可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说*A*）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时*A*是满秩的。于是有以下性质：

	+ 如果*B*是秩*n*的*n* × *k*矩阵，则
	\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A).
	+ 如果*C*是秩*m*的*l* × *m*矩阵，则
	\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank}(A).
* *A*的秩等于*r*，当且仅当存在一个可逆*m* × *m*矩阵*X*和一个可逆的*n* × *n*矩阵*Y*使得
 XAY =
 \begin{bmatrix}
 I\_r & 0 \\
 0 & 0 \\
 \end{bmatrix}
这裡的I*r*指示*r* × *r* 单位矩阵。
证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
* 西尔维斯特不等式: 如果 *A* 是一个 *m* × *n* 的矩阵且 *B* 是 *n* × *k* 的, 则
\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B).
这是下一个不等式的特例.
* 这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 *AB*, *ABC* 和 *BC* 有定义, 则
\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC).
* 子加性：当矩阵A和B的形状相同时，有{\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)}. 因此，一个秩为*k*的矩阵能够表示成k个秩为1的矩阵的加和，但不能是k-1个或更少。
* 矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
* 如果 *A* 是实数上的矩阵，那么 *A* 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A A^T) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T).
该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足 A^T A x = 0的向量x组成。如果上式成立, 那么下式也成立： 0 = x^T A^T A x = |A x|^2，于是，{\displaystyle Ax=0}，即{\displaystyle A^{T}A}与A的零空间相同.
* 如果 *A* 是复数上的矩阵且 *A*\* 表示 *A* 的共轭转置(i.e. *A* 的伴随), 则
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A^\*) = \operatorname{rank}(A^\*A).

### 向量组的线性相关性

将m个n维列向量排列成n\times m的矩阵*A*，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

r(A) < m
如果

r(A) = m
则向量组线性无关。另外，不存在

r(A) > m
特殊的，若向量的个数m大于向量的维数n，则根据：

r(A) \le n < m
这个向量组必然线性相关。

计算
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计算矩阵*A*的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此*A*的行阶梯形矩阵有同*A*一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

 A =
 \begin{bmatrix}
 2 & 4 & 1 & 3 \\
 -1 & -2 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 2 & 2 \\
 3 & 6 & 2 & 5 \\
 \end{bmatrix}
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以*A*的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列*A*的行阶梯形矩阵:

 A =
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 \end{bmatrix}
它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用
--

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

註解
--

1. ↑  证明: 对不等式{\displaystyle \dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B)}使用秩－零化度定理
2. ↑  证明：商空间之间的映射C: ker(*ABC*) / ker(*BC*) → ker(*AB*) / ker(*B*)有定义且为单射。因此我们得到了关于核维数关系的不等式dim ker(*ABC*)-dim ker(*BC*) ≤ dim ker(*AB*) - dim ker(*B*), 利用秩-零化度定理即可得到结论（即dim ker(*ABC*)-dim ker(*BC*)=rank(*BC*)-rank(*ABC*), 右边同理）。或者也可以这么证明：假如*M*是一个子线性空间，*A*是线性映射，那么dim(*A(M)*) ≤ dim(*M*) **(\*)**; 记映射BC（注意先进行C映射后进行B映射）的像为im(BC), 映射B的像为im(B), 则im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交补（不一定要正交，构成直和关系即可，这里取正交补只是为了方便）记为*D*, 则dim(*D*) = rk(*B*) – rk(*BC*); 而由线性映射的规律知im(*AB*) = *AD* + im(*ABC*), 但不一定再是直和，即dim(*AD*) + rk(*ABC*) ≥ rk(*AB*), 利用不等式**(\*)**可得dim(*D*)[=rk(*B*) – rk(*BC*)] + rk(*ABC*) ≥ rk(*AB*), 从而得证。

参考文献
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1. ↑  Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. *Mathematics Magazine*, Vol. **68**, No. 4
2. ↑  Mirsky, Leonid.. Dover Publications. 1955. ISBN 978-0-486-66434-7.

* Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors  and System of Equations

参见
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* 向量组的秩

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* 论
* 编
线性代数的相关概念 |
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