**波爾查諾-魏爾施特拉斯定理**（英語：）是数学中，尤其是拓扑学与實分析中，用以刻畫 \mathbb {R} ^{n}中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间\mathbb {R} ^{n}中的一個子集E是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当E是有界閉集。

历史
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这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念
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* 子列：也称为子序列。一个序列{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}的一个子列是指在{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从\mathbb{N}到\mathbb{N}的严格单调递增的映射\phi ，使得{\displaystyle a\_{\phi (n)}=b\_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} }，就称{\displaystyle (b\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}是{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}的一个子列。
* 有界闭集：\mathbb {R} ^{n}中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将\mathbb {R} ^{n}视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。\mathbb {R} ^{n}的子集E有界，当且仅当所有E中元素x的范数小于一个给定常数K。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
* 序列紧致：称一个集合S是序列紧致的，是指每个由集合S中元素所组成的数列都包含收敛的子列，并且该子列收敛到集合S中的某个元素。

定理
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波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间\mathbb {R} ^{n}中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：

**定理 1**：

任一\mathbb {R} ^{n}中的有界序列{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}都至少包含一个收敛的子列。

从这个定理出发，在给定的有界闭集F中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从F的封闭性可知，这个子列作为F的一部分，其收敛的极限必然也在F中。所以可以推知：

**推论**：

任一\mathbb {R} ^{n}中的有界闭集必然序列紧致。

这个推论给出了\mathbb {R} ^{n}中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：

**定理 2**：

\mathbb {R} ^{n}中的一个子集E是序列紧致的，当且仅当E是有界闭集。

由于有限维向量空间都与装备了欧几里德范数的\mathbb {R} ^{n}同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维向量空间。

证明
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证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一\mathbb {R} ^{n}中的有界序列{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}都至少包含一个收敛的子列。

**引理**：

任何实数列必然包含单调的子列。


**引理的证明**：

设有实数列(a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }，定义集合：{\displaystyle X=\{a\_{k};\ \forall n\geq k,\ a\_{k}\geq a\_{n}\}}。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

* 如果X中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是{\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 0}}的子列，并且单调递减，构造完毕。
* 如果X中元素个数有限，那么设N为X中元素的下标中最大的一个。对任意n > N，考虑a\_{n}，a\_{n}不在集合X中，所以a\_{n}之后至少会有一个元素大于a\_{n}。换句话说，序列(a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }里面排在a\_{N}後面的任一元素，它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取{\displaystyle k\_{0}=N+1}，{\displaystyle \scriptstyle k\_{1}>k\_{0}}为第一个大于{\displaystyle a\_{k\_{0}}}的元素的下标，{\displaystyle \scriptstyle k\_{2}>k\_{1}}为第一个大于{\displaystyle a\_{k\_{1}}}的元素的下标，依此类推，就可以得到(a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。


**定理的证明**：

先考虑一维（也就是n=1）的情况。给定有界的实数列{\displaystyle (a\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（{\displaystyle n\geqslant 2}）的情况，证明的思路是取多次子列。

设{\displaystyle (a\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }=(a\_{1k},a\_{2k},\cdots ,a\_{nk})\_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}}为一个有界序列，则n个实数列{\displaystyle (a\_{ik})\_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n}都是有界数列。于是存在{\displaystyle (a\_{k})\_{k\in \mathbb {N} }}的子列{\displaystyle (a\_{\phi \_{1}(k)})\_{k\in \mathbb {N} }}使得{\displaystyle (a\_{1\phi \_{1}(k)})\_{k\in \mathbb {N} }}收敛。但是{\displaystyle (a\_{\phi \_{1}(k)})\_{k\in \mathbb {N} }}仍是有界数列，因而存在子列{\displaystyle (a\_{\phi \_{2}(\phi \_{1}(k))})\_{k\in \mathbb {N} }}使得{\displaystyle (a\_{2\phi \_{2}(\phi \_{1}(k))})\_{\in \mathbb {N} }}也收敛（注意这里{\displaystyle (a\_{1\phi \_{2}(\phi \_{1}(k))})\_{k\in \mathbb {N} }}必然是收敛的）。在进行类似的n次操作后，我们就可以得到一个子列，使得{\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a\_{i\phi \_{n}(\cdots \phi \_{2}(\phi \_{1}(k))\cdots )})\_{k\in \mathbb {N} }}都收敛，也就是说存在子列{\displaystyle \ (a\_{\phi \_{n}(\cdots \phi \_{2}(\phi \_{1}(k))\cdots )})\_{k\in \mathbb {N} }}收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质
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在有限维度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

**定义**：

设K为度量空间{\displaystyle (E;\;d)}的子集。若K中任一序列{\displaystyle (a\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }}都包含一个收敛的子列，其极限也是K中元素，就称K具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质：所有K的开覆盖都有限子覆盖。

参考来源
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner.. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 （英语）.
2. ↑  Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha.. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594.

* Fitzpatrick, Patrick M. (2006) *Advanced Calculus* (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （页面存档备份，存于）
* PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （页面存档备份，存于）
* Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap （页面存档备份，存于）
* Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem  （页面存档备份，存于）


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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
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| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
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| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
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| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
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| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
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| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
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| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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