在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，**替代公理模式**（英語：）是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的一个公理模式，它本质上断言一个集合在一个映射（泛函谓词）下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。

陈述
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假定 *P* 是一个雙变量谓词，对于任何集合 *x* 有一个唯一的集合 *y* 使 *P*(*x*,*y*) 成立。接着我们可以形成一个單变量的泛函谓词 *F*，使得 *F*(*x*) = *y* 当且仅当 *P*(*x*,*y*)。

替代公理声称，给定一个集合 *A*，我们可以找到一个集合 *B*，它的成员完全是 *F* 在 *A* 的成员上的值。注意对于每个这樣的谓词 *P* 都有一个相對應的公理；所以，这是一个公理模式。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理模式读做：

(\forall x,\exists !\,y:P(x,y))\rightarrow \forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x\in A:P(x,y)
换句话说，

如果给定任何集合 *x*，有一个唯一的集合 *y* 使得 *P* 对 *x* 和 *y* 成立，那么给定任何集合 *A*，有着一个集合 *B* 使得，给定任何集合 *y*，*y* 是 *B* 的一个成员，当且仅当有是 *A* 的成员的一个集合 *x* 使得 *P* 对于 *x* 和 *y* 成立。
如果允许在公理模式中使用导出的泛函谓词，则这个公理模式可以写为：

\forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x\in A:y=F(x)
对于每个导出的單变量的泛函谓词 *F*；
换句话说：

给定任何集合 *A*，有一个集合 *B* 使得，给定任何集合 *y*，*y* 是 *B* 的成员，当且仅当有是 *A* 的成员的一个集合 *x* 使得 *y* 等于 *F* 在 *x* 上的值。
通過外延公理可知这个集合 *B* 是唯一的。我们称这个集合 *B* 为 *A* 在 *F* 下的像，并指示它为 *F*(*A*) 或（使用集合建構式符号形式）{*F*(*x*):*x*∈*A*}。

有时引用这个公理不带唯一性要求：

\forall A(\forall x\in A,\exists y:P(x,y))\rightarrow \exists B,\forall x\in A,\exists y\in B:P(x,y)
就是说，谓词 *P* 不被限制为泛函的：要应用它于一个集合 *A*，只需存在至少一个元素 *y* 对应于 *A* 的每个元素 *x* 就可以了；*y* 对每个 *x* 是唯一的不是必需的。在这种情况下，被断言存在的像集合 *B* 将为 *A* 的每个 *x* 包含至少一个这样的 *y*，不保证只包含唯一的一个。

有时陈述这个公理不对谓词加任何限制：

\forall A,\exists B,\forall x\in A:((\exists y:P(x,y))\rightarrow \exists y\in B:P(x,y))
就是说，根本不要求 *P* 把集合 *A* 的一个元素映射到任何對象。但是如果对于 *A* 的一个元素 *x* 有至少一个 *y* 对应于它，则像集合 *B* 将包含至少一个这样的 *y*。 

這個不對謂詞作限制的公理，也叫做**有界公理**或**搜集公理**，看似比原先的替代公理更強，但是这两个版本都可以从替代公理推导出来。另一方面，任何泛函谓词都是谓词，所以有界公理也蕴涵替代公理，因此两个公理是等价的（在給定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情況下）。

应用例子
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序数 ω·2 = ω + ω（使用冯·诺伊曼的现代定义）是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1 ,2 ,...} 的存在，也只断言了这个序列。我們希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2,...}，但是一般的序数的类不一定是集合（例如，所有序数的类不是集合）。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 *n* 替代为对应的 ω + *n*，并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同構于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的两个复件的不交并，然后設第二个复件大于第一个便可。但這樣所得的集合並不是一个序数，因为它在屬於關係下不是一個全序。

顯然，若要確保可以指派一個序數給任意的良序集合，也要用到替代公理。类似地，若要確保可以指派一個基數給任意集合（冯·诺伊曼基数指派），我們也需要替代公理，以及选择公理。

所有的可数的极限序数的構造也要求替代公理，就像 ω·2 的构造那樣。較大的序数則不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω1 是第一个不可数序数，可以构造如下：由全體可数良序組成的集合，會是 ℘(**N**×**N**) 的一個子集，這點通过分离公理和幂集公理可知（在 *A* 上的关系是 *A*×*A* 的一个子集，因此是幂集 ℘(*A*×*A*) 的一个元素。关系的集合因此是 ℘(*A*×*A*) 的子集）。把每个良序集合替代为它的序数。这是可数序数 ω1 的集合，它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次；第一次确保对每个良序集合的一个序数指派，第二次把良序集合替代为其對應的序数。这是哈特格斯引理的特殊情况，而一般情况可以类似证明。

不带替代公理但帶选择公理的ZC集合论不足以证明博雷爾集是确定的；为此你需要替代公理。

历史和哲学
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多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如，假设 *f* 是从集合 *S* 到集合 *T* 的函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 *F* 使得在 *x* 是 *S* 的成员的时候有 *F*(*x*) = *f*(*x*)，在其他时候隨意设 *F*(*x*) 為某個對象（這裡的指派方式不要緊）。然後，给定 *S* 的一个子集 *A*，应用替代公理模式于 *F*，构造子集 *A* 在函数 *f* 下的像 *f*(*A*) 为 \{F(x):x\in A\}（或表示为 *F*(*A*)）。但是这里实际上不需要替代公理，因为 *f*(*A*) 是 *T* 的子集，所以我们可以使用分类公理模式来构造这个像为集合 \{y\in T:\exists x\in A,y=f(x)\}。一般的说，當 *F* 在 *A* 的成员上的值都属于某个预先构造的集合 *T* 时，使用分类公理就足够了；只在不能获得这样的 *T* 的时候，才需要替代公理，比如定义在真类的子集上的運算。

按某些哲学家的說法，在上述例子中最好应用分类公理于集合 *T*，因为分类公理在逻辑上弱于替代公理。实际上，在普通数学中不需要替代公理，只是需要它作為特定公理化集合论的特征。例如，你需要替代公理来从 ω·2 向上构造冯·诺伊曼序数，而冯·诺伊曼序数对特定集合论的结果是必需的。在良序集合的理论就足够应用的情況下，你不需要用替代公理构造这些序数。對於某些鑽研数学基础的数学家，特别是那些專注於类型论而非集合論的人，他們或認為这个公理在各種意義上都是不需要的，因此在其工作中不包括这个公理（以及其相對應的类型论版本）。通常在基于 拓撲斯 理论建造的基础理論上，都難以表达出替代公理，所以一般不包括它。然而，替代公理的争论不在于有人認為它的推论必然是假的（如选择公理的争论）；只是有部分人認為它是没有必要的。

替代公理模式不是 恩斯特·策梅洛 在 1908年所公理化的集合论（**Z**）的一部分；它由 亞伯拉罕·弗蘭克爾（英语：） 在 1922 年引入，從而得到了现代的 Zermelo-Fraenkel 集合论 (**ZF**)。陶拉爾夫·斯科倫（英语：） 在同一年晚些时候独立的发现了这个公理，实际上我们今天使用的公理列表是Skolem的最终版本 -- 通常不提及他的贡献是因为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看，增加替代公理形成了很大的差异；把这个公理模式加進Zermelo 公理使系统在逻辑上更强，允许你证明更多的陈述。特别是，在**ZF** 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集 Vω2 为模型，证明 **Z** 的相容性。（当然，哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性，如果它自身是相容的。）

参考资料
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* Paul Halmos, *Naive set theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
* Jech, Thomas, 2003. *Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded*. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
* Kunen, Kenneth, 1980. *Set Theory: An Introduction to Independence Proofs*. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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集合论 |
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* 集合论
* 朴素集合论
* 康托尔定理

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* 《数学原理》
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* 策梅洛-弗兰克
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		- Morse–Kelley（英语：）
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	+ 塔斯基–格罗滕迪克（英语：）

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