**左圖**：由向量的有序集所定義出的定向**右圖**：反定向，對應到加上負號的外積實外代數中，*n* 階元素的幾何詮釋：*n* = 0（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。*n*個向量的外積可以圖像化為*n*維幾何物體（例如*n*維平行六面體, *n*維橢球）；其大小為超體積（hypervolume），其定向的定義由(*n* − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。
**外代数**（英語：）也稱為**格拉斯曼代数**（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间V的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了*V*为其中一个子空间。它记为{\displaystyle \land (V)}或{\displaystyle \land \cdot (V)}. 而它的乘法，称为**楔积**或**外积**，记为\land. 楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在*V*上是交錯的，也就是：

v\wedge v=0，對於所有向量v\in V
这表示

u\wedge v=-v\wedge u，對於所有向量u,v\in V，以及
v\_{1}\wedge v\_{2}\wedge \cdots \wedge v\_{k}=0，當v\_{1},\ldots ,v\_{k}\in V 线性相关时。
值得注意的是，以上三性质只对V中向量成立，不是对代数{\displaystyle \land (V)}中所有向量成立。

外代数事实上是"最一般的"满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。{\displaystyle \land (V)}的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为{\displaystyle v\_{1}\land v\_{2}\land \ldots \land v\_{k}}的元素，其中{\displaystyle v\_{1},\ldots ,v\_{k}}在*V*中，称为k**-向量**。所有*k*-向量生成的{\displaystyle \land (V)}的子空间称为*V*的***k*-阶外幂**，记为{\displaystyle \land ^{k}(V)}。外代数可以写作每个***k***阶幂的直和：

\Lambda(V) = \bigoplus\_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V
该外积有一个重要性质，就是***k***-向量和I-向量的积是一个{\displaystyle k+I}-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由***k***给出。这些***k***-向量有几何上的解释：2-向量{\displaystyle u\land v}代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量{\displaystyle u\land v\land w}代表带方向的平行六面体，其边为*u*, *v*, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律
------

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

**定义:** 设 V是域 K上的一个向量空间，讓T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}} 則定義

{\displaystyle T(V)=\bigoplus \_{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }
令 I为 V的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如v \otimes v的张量**生成**的（其中v \in V任意），则将V上的外代数\Lambda (V)定义为商代数T(V)/I，即

 \Lambda(V) := T(V)/I,

并且把v\_1 \otimes \ldots \otimes v\_k \in T^k V的等价类 [v\_1 \otimes \ldots \otimes v\_k] \in T(V)/I记为v\_1 \wedge \ldots \wedge v\_k，其中 v\_1, \ldots, v\_k \in V。设k = 0, 1, 2, \ldots \, 称 

\Lambda^k(V) := (T^k V)/I
为V的**k-阶外幂**（kth exterior power of V），称{\displaystyle \land ^{k}(V)}中的元素为**k-向量**（k-multivector）。

**注：**

1. \forall \lambda \in K，当且仅当\lambda = 0时才有\lambda \in I，因此，可以把\Lambda^0 (V) = K/I等同于K，并且把[\lambda] \in \Lambda^0 (V)记为\lambda ；基于类似的原因，可以把\Lambda^1 (V) = V/I等同于V，而且把[v] \in \Lambda^0 (V)记为v。这一点是前面所讲的能够把[v\_1 \otimes \ldots \otimes v\_k] \in \Lambda^k (V)记为 v\_1 \wedge \ldots \wedge v\_k的特例和前提。
2. 当k > 1时，k-向量并不仅限于形如v\_1 \wedge \ldots \wedge v\_k的元素，例如，v\_1 \wedge v\_2 + w\_1 \wedge w\_2也是2-向量，其中v\_1, v\_2, w\_1, w\_2 \in V.
3. 理想I中的元素并不仅限于形如v \otimes v的张量，例如，
	1. \forall v \in V, \forall t \in T(V), 必定有 v \otimes v \otimes t \in I和t \otimes v \otimes v \in I.
	2. \forall v, w \in V, 由于(v + w) \otimes (v + w) \in I和v \otimes v \in I以及w \otimes w \in I，显然有v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I，这就有一个推论：**所有的二阶对称张量都在理想I中。**
	3. 由于上面的两个结论，\forall v, w \in V，我们有v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I，这是因为等式右边的每一项都在I中。对张量t \in T(V)的阶数作数学归纳法，则可以证明：\forall v \in V, \forall t \in T(V)，总有v \otimes t \otimes v \in I。
4. 设k = 2, 3, \ldots，则\forall \alpha \in \Lambda^k (V)，\alpha 作为等价类含有唯一的一个**完全反对称的**代表元t \in T^k (V)，可以把这个k-阶的完全反对称张量等同于\alpha , 详见后面的"反对称算子和外幂"一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。

**运算律** 将上面的注中的内容用\wedge 写出，则分别给出

(1) \forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V), \lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.

证明如下： 作为等价类，我们从\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I中任意挑选一个代表元t，则t \in T(V)而且{\displaystyle \alpha =[t]}。根据商代数的定义，

\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.
类似地，可以证明\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .

(2) 根据注3.1中的内容，显然有v \wedge v = 0, \, \forall v \in V.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意v, w \in V成立着

v \wedge w = - w \wedge v.
注：即使K的特徵为2，这个公式也是对的，只不过此时有-1 = 1而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)满足**结合律**和**分配律**：

(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,
\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,
其中\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量a, b, t \in T(V)分别是\alpha, \beta, \theta中的代表元，即\alpha = [a], \beta = [b], \theta = [t], 则

(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t]
 = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t]
 = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.
(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,

\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.
证明从略。

基底和维数
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若V的维数是n而{\displaystyle \left\{e\_{1},\ldots ,e\_{n}\right\}}是*V*的基，则集合

\{e\_{i\_1}\wedge e\_{i\_2}\wedge\cdots\wedge e\_{i\_k} \mid 1\le i\_1 < i\_2 < \cdots < i\_k \le n\}
是k阶外幂{\displaystyle \land ^{k}(V)}的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

v\_1\wedge\cdots\wedge v\_k
则每个向量v\_{j}可以记为基向量e\_i的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积*e\_i*来描述*v\_{j}*的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到{\displaystyle \land ^{k}(V)}的维数是*n* 取 *k*。特别的有，
{\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\}}对于{\displaystyle k>n}.

外代数是一个分级代数，是如下直和

\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)
其维数等于二项式系数之和，也就是2^{n}.

例子: 欧氏三维空间的外代数
--------------

考虑空间\mathbb {R} ^{3}，其基为{\displaystyle \left\{i,j,k\right\}}。一对向量

 \mathbf{u} = u\_1 \mathbf{i} + u\_2 \mathbf{j} + u\_3 \mathbf{k} 
 \mathbf{v} = v\_1 \mathbf{i} + v\_2 \mathbf{j} + v\_3 \mathbf{k} 
的楔积为

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u\_1 v\_2 - u\_2 v\_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u\_1 v\_3 - u\_3 v\_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u\_2 v\_3 - u\_3 v\_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) 
其中{\displaystyle \left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}}是三维空间{\displaystyle \land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}的基底。

再加一个向量

 \mathbf{w} = w\_1 \mathbf{i} + w\_2 \mathbf{j} + w\_3 \mathbf{k} ,
这三个向量的楔积是

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u\_1 v\_2 w\_3 + u\_2 v\_3 w\_1 + u\_3 v\_1 w\_2 - u\_1 v\_3 w\_2 - u\_2 v\_1 w\_3 - u\_3 v\_2 w\_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) 
其中{\displaystyle i\land j\land k}是一维空间{\displaystyle \land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}的基底。

空间{\displaystyle \land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}是\mathbb {R} ^{3}, 而空间{\displaystyle \land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}是**\mathbb {R}** 。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间{\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}，这是八维向量空间

 \mathbf{a} = (a\_1, a\_2, a\_3, a\_4, a\_5, a\_6, a\_7, a\_8) := (a\_1, a\_2 \mathbf{i} + a\_3 \mathbf{j} + a\_4 \mathbf{k}, a\_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a\_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a\_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a\_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) .
那么，给定一对8维向量a和b, 其中**a**如上给出，而

 \mathbf{b} = (b\_1, b\_2, b\_3, b\_4, b\_5, b\_6, b\_7, b\_8) ,
**a**和**b**的楔积如下(用列向量表达),

 \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a\_1 b\_1 \\ a\_1 b\_2 + a\_2 b\_1 \\ a\_1 b\_3 + a\_3 b\_1 \\ a\_1 b\_4 + a\_4 b\_1 \\ 
a\_1 b\_5 + a\_5 b\_1 + a\_2 b\_3 - a\_3 b\_2 \\ a\_1 b\_6 + a\_6 b\_1 + a\_2 b\_4 - a\_4 b\_2 \\ a\_1 b\_7 + a\_7 b\_1 + a\_3 b\_4 - a\_4 b\_3 \\
a\_1 b\_8 + a\_8 b\_1 + a\_2 b\_7 + a\_7 b\_2 - a\_3 b\_6 - a\_6 b\_3 + a\_4 b\_5 + a\_5 b\_4 \end{pmatrix} .
容易验证8维楔积以向量{\displaystyle \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)}为乘法幺元。也可以验证该{\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}代数的楔积是结合的(也是双线性的):

 (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),
所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量
-------------

对三维欧几里得空间E^3可以建立一个线性同构\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3如下：任取E^3的**右手的**标准正交基{\boldsymbol {i}}，{\boldsymbol {j}}，{\boldsymbol {k}}，规定\phi 把{\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} ，{\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}，{\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}分别映射为{\boldsymbol {k}}，{\boldsymbol {i}}，{\boldsymbol {j}}，则\phi 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量{\boldsymbol {u}}和{\boldsymbol {v}}，这个线性同构把{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}映射为{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，E^3中平行四边形ABCD的面积向量可以表示为\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}. 经过推广之后，高维黎曼流形(M, \mathbf{g})中的紧的二维曲面\Sigma 的面积则可以用

 \int\_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, \qquad 
 h = \left|\begin{array}{cc}
 h\_{11} & h\_{12} \\
 h\_{21} & h\_{22}
 \end{array}\right| \, ,

来计算（其中h\_{ab}是度规张量场\mathbf{g}在\Sigma 上的诱导度规

 \mathbf{h} = h\_{ab} \, du^a \otimes du^b

的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，**向量**（极向量）与**赝向量**（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是E^3中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是\Lambda^2 (E^3)中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于**右手的**标准正交基，可以把\Lambda^3 (E^3)中的元素a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}映射为"标量"a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为**赝标量**。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}映射为向量{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}以及把 3-向量a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}映射为一个实数a的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造
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令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。{\displaystyle \land (V)}是"最一般"的包含V的并有一个交替乘法在*V*上由单位的结合*K*-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 *K*-代数A和一个*K*-线性映射{\displaystyle j:V\rightarrow A}使得{\displaystyle j(v)j(v)=0}对于每个v属于*V*成立，则存在*恰好一个*由单位的代数同态{\displaystyle f:\land (V)\rightarrow A}使得{\displaystyle f(v)=j(v)}所有v属于*V*成立。

外代数的泛性质外代数的泛性质
要构造最一般的包含*V*的代数，而且其乘法是在*V*上交替的，很自然可以从包含*V*的最一般的代数开始，也就是张量代数T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V)中由所有形为{\displaystyle v\otimes v}的元素生成的双边理想I，其中v属于*V*，并定义{\displaystyle \land (V)}为商

{\displaystyle \land (V)=T(V)/I}
（并且使用\land 为{\displaystyle \land (V)}中的乘法的代号）。然后可以直接证明{\displaystyle \land (V)}包含*V*并且满足上述泛性质。

如果不是先定义{\displaystyle \land (V)}然后把外幂{\displaystyle \land ^{k}(V)}等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间{\displaystyle \land ^{k}(V)}然后把它们合并成为一个代数{\displaystyle \land (V)}。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂
--------

给定两个向量空间*V*和X，一个从{\displaystyle V^{k}}到*X*的*反对称算子*是一个多线性映射

{\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}
使得只要{\displaystyle v\_{1},\ldots ,v\_{k}}是*V*中线性相关的向量，则 

{\displaystyle f\left(v\_{1},\ldots ,v\_{k}\right)=0}.
最著名的例子是行列式值，从{\displaystyle (K^{n})^{n}}到K的反对称线形算子。

映射

{\displaystyle w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)}
它关联*V*中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的*k*-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在*{\displaystyle V^{k}}*上的"最一般"的反对称算子：给定任何其它反对称算子{\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}，存在一个唯一的线性映射{\displaystyle \varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w}。这个泛性质表述了空间{\displaystyle \land ^{k}(V)}并且可以作为它的定义。

所有从*{\displaystyle V^{k}}*到基域*K*的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若*V*是有限维的，维数n，则该空间可以认同为{\displaystyle \land ^{k}(V^{\*})}，其中V^\*表示*V*的对偶空间。特别的有，从*{\displaystyle V^{k}}*到*K*的反对称映射的空间是n取*k*维的。

在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设{\displaystyle \omega :V^{k}\rightarrow K}和{\displaystyle \eta :V^{m}\rightarrow K}为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)
其中多线性映射的交替{\displaystyle \mathrm {Alt} }定义为其变量的所有排列的带符号平均：

{\rm Alt}(\omega)(x\_1,\ldots,x\_k)=\frac{1}{k!}\sum\_{\sigma\in S\_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x\_{\sigma(1)},\ldots,x\_{\sigma(k)})
**注意：** 有一些书中楔积定义为

\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)

指标记法
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在主要由物理学家使用的指标记法中有：

(\omega\wedge\eta)\_{a\_1 \cdots a\_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon\_{a\_1 \cdots a\_{k+m}}^{b\_1 \cdots b\_k c\_1 \cdots c\_m} \omega\_{b\_1 \cdots b\_k} \eta\_{c\_1 \cdots c\_m}

微分形式
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令M为一个微分流形。一个微分*k*-形式\omega 是{\displaystyle \land ^{k}T^{\*}M}（M的余切丛的k阶外幂）的一个截面。等价的有：\omega 是M的光滑函数，对于M的每个点x给定一个{\displaystyle \land ^{k}\left(T\_{x}M\right)^{\*}}的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广
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给定一个交换环R和一个*R*-模*M*，我们可以定义和上文一样的外代数{\displaystyle \land (M)}，它是张量代数{\displaystyle T(M)}适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用
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格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

*参看*：超空间，超代数，超群

相关课题
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* 多线性代数
* 张量代数
* 对称代数
* 克利福德代数

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* 论
* 编
張量 |
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* 埃利·嘉当
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