**分佈式參數系統**（）不同於集總參數系統，是状态空间為無限維度的系統。這類系統也稱為是**無限維系統**。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

抽象发展方程
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### 離散時間

假設*U*、*X*和*Y*是希尔伯特空间，而*A\,* ∈ *L*(*X*), *B\,* ∈ *L*(*U*, *X*), *C\,* ∈ *L*(*X*, *Y*) 和*D\,* ∈ *L*(*U*, *Y*)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

{\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}
{\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}
其中*x\,*（狀態）是序列，其值在*X*內，*u\,*（輸入或是控制）是序列，其值在*U*內，*y\,*（輸出）為序列，其值在*Y*內。

### 連續時間

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,},
{\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}
接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用无界算子。一般會假定*A*狀態空間*X*裡的C0半群（英语：）。假定*B*、*C*和*D*是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定*B*和*C*是無界的。

例子：偏微分方程
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t>0及{\displaystyle \xi \in [0,1]}的偏微分方程如下

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}
{\displaystyle w(0,\xi )=w\_{0}(\xi ),}
{\displaystyle w(t,0)=0,}
{\displaystyle y(t)=\int \_{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間*U*及輸出空間*Y*都選定是複數的集合，狀態空間*X*選定是*L*2(0, 1)，*A*算子定義為:{\displaystyle Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}
可以證明*A*可以產生*X*空間內的強連續半羣。有界算子*B*, *C*和*D*定義為

{\displaystyle Bu=u,Cx=\int \_{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0}

例子：时滞微分方程
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时滞微分方程

{\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}
{\displaystyle y(t)=w(t),}
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間*U*及輸出空間*Y*都選定是複數的集合，狀態空間*X*選定是*L*2(−*τ*, 0)複數的乘積，*A*算子定義為

{\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}
可以證明*A*可以產生*X*空間內的強連續半羣。有界算子*B*, *C*和*D*定義為

{\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.}

傳遞函數
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分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

### 離散時間

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式{\displaystyle D+\sum \_{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若1/*z*在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為{\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

### 連續時間

若*A*可產生強連續半群，且*B*、*C*及*D*為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為{\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}，其中*s*的實部比*A*產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

#### 偏微分方程的傳遞函數

令初始條件w\_{0}為0，將對*t*進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

{\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}
{\displaystyle W(s,0)=0,}
{\displaystyle Y(s)=\int \_{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}
這是非齊次線性微分方程，變數為\xi，*s*為參數，且初始條件為零。其解為{\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}。用此式來代入有*Y* 的方式中並且積分，可以得到{\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}，因此傳遞函數為{\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}。

#### 時滯微分方程的傳遞函數

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 {\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}。

可控制性
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在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：

* 精確可控制性（Exact controllability）
* 近似可控制性（Approximate controllability）
* 零可控制性（Null controllability)

### 離散時間下的可控制性

在離散時間系統中，將所有*U*值序列的集合映射到X的映射{\displaystyle \Phi \_{n}}相當的重要，其表示式為{\displaystyle \Phi \_{n}u=\sum \_{k=0}^{n}A^{k}Bu\_{k}}。{\displaystyle \Phi \_{n}u}是初始條件為零時，給定輸入序列*u*下達到的狀態。The system is called 

* 系統在時間*n*內為精確可控制（exactly controllable）若{\displaystyle \Phi \_{n}}的值域為*X*。
* 系統在時間*n*內為近似可控制（approximately controllable）若{\displaystyle \Phi \_{n}}的值域是*X*內的稠密集。
* 系統在時間*n*內為零可控制（null controllable）若{\displaystyle \Phi \_{n}}的值包括*An*的值域。

### 連續時間下的可控制性

在連續時間系統中，{\displaystyle \Phi \_{t}}（表示為{\displaystyle \int \_{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}）有和離散時間系統的{\displaystyle \Phi \_{n}}一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是*L*2(0, ∞;*U*)，是在(0, ∞)區間內*U*值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如*L*1(0, ∞;*U*)。當{\displaystyle \Phi \_{t}}的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。

* 系統在時間*t*內為精確可控制（exactly controllable）若{\displaystyle \Phi \_{t}}的值域為*X*。
* 系統在時間*t*內為近似可控制（approximately controllable）若{\displaystyle \Phi \_{t}}的值域為*X*內的稠密集。
* 系統在時間*t*內為零可控制（null controllable）若{\displaystyle \Phi \_{t}}的值包括{\displaystyle {\rm {e}}^{At}}的值域。

### 可觀察性

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

* 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
* 近似可觀察性（approximately observable）
* 最終狀態可觀察性（final state observable）

#### 離散時間下的可觀察性

在離散時間系統的可觀察性中，\Psi \_{n}（將*X*映射到所有*Y*值序列空間的映射，若*k* ≤ *n*，表示為{\displaystyle (\Psi \_{n}x)\_{k}=CA^{k}x}，在*k* > *n*時，數值為0)。意思是{\displaystyle \Psi \_{n}x}是初始條件*x*，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

* 在時間*n*有精確可觀察性（exactly observable），若存在 *k**n* > 0 ，使得　{\displaystyle \|\Psi \_{n}x\|\geq k\_{n}\|x\|}，在所有 *x* ∈ *X* 時都成立
* 在時間*n*有近似可觀察性（approximately observable），若\Psi \_{n}為单射
* 在時間*n*有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 *k**n* > 0 使得{\displaystyle \|\Psi \_{n}x\|\geq k\_{n}\|A^{n}x\|}，在所有 *x* ∈ *X* 時都成立

#### 連續時間下的可觀察性

在連續時間系統的可觀察性中，{\displaystyle \Psi \_{t}}（表示為{\displaystyle (\Psi \_{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}，其中*s∈[0,t]*，若*s>t*時為零）的角色和\Psi \_{n}在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是*L*2(0, ∞, *Y*)，是（等效於）在定義域*(0,∞)*內的*Y*-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如*L*1(0, ∞, *Y*)。只要選擇了{\displaystyle \Psi \_{t}}的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：

* 在時間*t*有精確可觀察性（exactly observable），若存在*k**t* > 0，使得{\displaystyle \|\Psi \_{t}x\|\geq k\_{t}\|x\|}，在所有 *x* ∈ *X* 時都成立
* 在時間*t*有近似可觀察性（approximately observable），若{\displaystyle \Psi \_{t}}為单射
* 在時間*t*有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 *k**t* > 0 使得{\displaystyle \|\Psi \_{t}x\|\geq k\_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|} ，在所有*x* ∈ *X* 時都成立

可控制性和可觀察性的對偶
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和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若\Phi 域以及輔域\Psi都選用一般的函數空間*L*2時），這些不同概念的對偶如下：

* 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
* 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
* 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

相關條目
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* 控制理论
* 状态空间

腳註
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1. ↑  Curtain and Zwart
2. ↑  Curtain and Zwart Example 2.2.4
3. ↑  Curtain and Zwart Theorem 2.4.6
4. ↑  This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing *z* by 1/*z*
5. ↑  Curtain and Zwart Lemma 4.3.6
6. ↑  Staffans Theorem 4.6.7
7. ↑  Curtain and Zwart Example 4.3.13
8. ↑  Tucsnak Definition 11.1.1
9. ↑  Tucsnak Definition 6.1.1
10. ↑  Tucsnak Theorem 11.2.1

參考資料
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* Curtain, Ruth; Zwart, Hans, Springer, 1995
* Tucsnak, Marius; Weiss, George, Birkhauser, 2009
* Staffans, Olof, Cambridge University Press, 2005
* Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Springer, 1999
* Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Cambridge University Press, 2000
* Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy,  second, Birkhauser, 2007