**平均数不等式**，或称**平均值不等式**、**均值不等式**，是数学上的一组不等式，也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说：

{\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}\in \mathbb {R\_{+}} \Rightarrow {\dfrac {n}{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{\dfrac {1}{x\_{i}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}}}\leq {\dfrac {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}{n}}\leq {\sqrt {\dfrac {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}}{n}}}}

  

即H\_n \le G\_n \le A\_n \le Q\_n

其中：
H\_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum\_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x\_i}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x\_1}+\dfrac{1}{x\_2}+\cdots+\dfrac{1}{x\_n}}

G\_n=\sqrt[n]{\prod\_{i=1}^nx\_i}=\sqrt[n]{x\_1x\_2\cdots x\_n}

A\_n = \dfrac{\displaystyle \sum\_{i=1}^{n} x\_i }{n} = \dfrac{x\_1+x\_2+\cdots+x\_n}{n}

Q\_n = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum\_{i=1}^{n} x\_i^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{x^2\_1+x^2\_2+\cdots+x^2\_n}{n}}

当且仅当 x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n} ，等号成立。

即对这些正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）

简记为："**调几算方**"

n=2时的情形
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* 第一个不等号

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| \left( x\_1 - x\_2 \right) ^2 = x\_1^2 - 2 x\_1 x\_2 + x\_2^2\,\; | \ge 0\,\; |
| \left( x\_1 + x\_2 \right) ^2 = x\_1^2 + 2 x\_1 x\_2 + x\_2^2\,\; | \ge 4 x\_1 x\_2\,\; |
| 1\,\; | \ge \frac{4 x\_1 x\_2}{\left( x\_1 + x\_2 \right) ^2}\,\; |
| 1\,\; | \ge \frac{2 \sqrt{x\_1 x\_2}}{ x\_1 + x\_2 }\,\; |
| \sqrt{x\_1 x\_2}\,\; | \ge \frac{2 x\_1 x\_2}{ x\_1 + x\_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x\_1} + \frac{1}{x\_2} }\,\; |

* 第二个不等号

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| \left( x\_1 - x\_2 \right) ^2 = x\_1^2 - 2 x\_1 x\_2 + x\_2^2\,\; | \ge 0\,\; |
| \left( x\_1 + x\_2 \right) ^2 = x\_1^2 + 2 x\_1 x\_2 + x\_2^2\,\; | \ge 4 x\_1 x\_2\,\; |
| \left( \frac{x\_1 + x\_2}{2} \right)^2\,\; | \ge x\_1 x\_2\,\; |
| \frac{x\_1 + x\_2}{2}\,\; | \ge \sqrt{x\_1 x\_2}\,\; |

* 第三个不等号

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| (\frac{ x\_1 - x\_2 }{2}) ^2 = \frac{x\_1^2 - 2 x\_1 x\_2 + x\_2^2}{4}\,\; | \ge 0\,\; |
| \frac{x\_1^2 + x\_2^2}{2} = \frac{x\_1^2 + x\_2^2 + x\_1^2 + x\_2^2}{4}\,\; | \ge \frac{2 x\_1 x\_2 + x\_1^2 + x\_2^2}{4} = \frac{(x\_1 + x\_2)^2}{4}\,\; |
| \sqrt{\frac{x\_1^2 + x\_2^2}{2}}\,\; | \ge \frac{x\_1 + x\_2}{2}\,\; |

证明方法
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关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A\geq 0，{\displaystyle B\geq 0}，则\left(A+B\right)^n\ge A^n+nA^{n-1}B，且仅当B=0时取等号。

引理的正确性较明显，条件{\displaystyle A\geq 0}，{\displaystyle B\geq 0}可以弱化为{\displaystyle A\geq 0}，{\displaystyle A+B\geq 0}，可以用数学归纳法证明。

原题等价于：\left ( {\frac{a\_{1}+a\_{2}+\cdots+a\_{n}}{n}} \right )^{n} \ge a\_{1}a\_{2} \cdots a\_{n}，当且仅当a\_1=a\_2=\cdots=a\_n时取等号。

当n=2时易证；

假设当{\displaystyle n=k}时命题成立，即\left ( {\frac{a\_{1}+a\_{2}+\cdots+a\_{k}}{k}} \right )^{k} \ge a\_{1}a\_{2} \cdots a\_{k}，当且仅当a\_1=a\_2=\cdots=a\_k时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设a\_{{k+1}}是a\_{1}、a\_2 \cdots a\_{k+1}中最大者，则ka\_{k+1} \ge a\_1+a\_2+\cdots+a\_{k}

设S = a\_1 + a\_2 + \cdots + a\_{k}，
\left(\frac{a\_1+a\_2+\cdots+a\_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1} = \left[\frac{S}{k}+\frac{ka\_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1}，根据引理

\left[\frac{S}{k}+\frac{ka\_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1} \ge \left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k+1}+(k+1)\left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k}\frac{ka\_{k+1}-S}{k(k+1)} = \left(\frac{S}{k}\right)^{k}a\_{k+1} \ge a\_1a\_2 \cdots a\_ka\_{k+1}，当且仅当ka\_{k+1}-S=0且a\_1=a\_2=\cdots=a\_k时，即a\_1=a\_2=\cdots=a\_k=a\_{k+1}时取等号。

此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法。

先运用数学归纳法证明一个引理：若n（n是正整数）个正数{\displaystyle a\_{1},a\_{2},...a\_{n}}的乘积{\displaystyle a\_{1}a\_{2}...a\_{n}=1}，则它们的和{\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n}\geqslant n}，当且仅当{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=...=a\_{n}=1}时等号成立。

此引理证明如下：

当n=1时命题为：若a=1，则{\displaystyle a\geqslant 1}，当且仅当a=1时等号成立。命题显然成立。

假设当{\displaystyle n=k}时命题成立，则现在证明当n=k+1时命题也成立。

若这k+1个数全部是1，即{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=...=a\_{k+1}=1}，则命题显然成立。

若这k+1个数不全是1，则易证明必存在i\neq j使{\displaystyle a\_{i}>1,a\_{j}<1}。不妨设{\displaystyle a\_{1}>1,a\_{2}<1}。由归纳假设，因为{\displaystyle (a\_{1}a\_{2})a\_{3}...a\_{k+1}=1}，所以{\displaystyle a\_{1}a\_{2}+a\_{3}+...+a\_{k+1}\geqslant k}，记此式为①式。由{\displaystyle a\_{1}>1,a\_{2}<1}，知{\displaystyle a\_{1}-1>0,1-a\_{2}>0}，则{\displaystyle (a\_{1}-1)(1-a\_{2})=a\_{1}+a\_{2}-a\_{1}a\_{2}-1>0}，整理得{\displaystyle a\_{1}+a\_{2}>1+a\_{1}a\_{2}}，记此式为②式。①+②得{\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+a\_{1}a\_{2}+a\_{3}+...+a\_{k+1}>k+1+a\_{1}a\_{2}}，整理得{\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{k+1}>k+1}（此时等号不成立），命题成立。

综上，由数学归纳法，引理成立。

现在为了证明平均值不等式，考虑n个正数{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}},{\frac {a\_{2}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}},...{\frac {a\_{n}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}}，它们的积为1，由引理，它们的和{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}+{\frac {a\_{2}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}+...+{\frac {a\_{n}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}={\frac {a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}\geqslant n}，当且仅当{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}={\frac {a\_{2}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}=...={\frac {a\_{n}}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}}即a\_1=a\_2=\cdots=a\_n时等号成立。

整理即得：{\displaystyle {\frac {a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}，当且仅当a\_1=a\_2=\cdots=a\_n时等号成立。于是{\displaystyle G\_{n}\leq A\_{n}}得证。

利用{\displaystyle G\_{n}\leq A\_{n}}，易证{\displaystyle H\_{n}\leq G\_{n}}。考虑n个正数{\displaystyle {\frac {1}{a\_{1}}},{\frac {1}{a\_{2}}},...{\frac {1}{a\_{n}}}}，有{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{a\_{1}}}+{\frac {1}{a\_{2}}}+...+{\frac {1}{a\_{n}}}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a\_{1}}}\cdot {\frac {1}{a\_{2}}}\cdot ...\cdot {\frac {1}{a\_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}}，当且仅当{\displaystyle {\frac {1}{a\_{1}}}={\frac {1}{a\_{2}}}=...={\frac {1}{a\_{n}}}}即a\_1=a\_2=\cdots=a\_n时等号成立。两边取倒数整理得{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{a\_{1}}}+{\frac {1}{a\_{2}}}+...+{\frac {1}{a\_{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}...a\_{n}}}}，当且仅当a\_1=a\_2=\cdots=a\_n时等号成立，即{\displaystyle H\_{n}\leq G\_{n}}。

{\displaystyle A\_{n}\leq Q\_{n}}等价于{\displaystyle Q\_{n}^{2}-A\_{n}^{2}\geq 0}。事实上，{\displaystyle Q\_{n}^{2}-A\_{n}^{2}}等于{\displaystyle a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}}的方差，通过这个转化可以证出{\displaystyle Q\_{n}^{2}-A\_{n}^{2}\geq 0}，证明如下。

{\displaystyle Q\_{n}^{2}-A\_{n}^{2}=Q\_{n}^{2}-2A\_{n}^{2}+A\_{n}^{2}={\frac {a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+\ldots +a\_{n}^{2}}{n}}-{\frac {2a\_{1}A\_{n}+2a\_{2}A\_{n}+\ldots +2a\_{n}A\_{n}}{n}}+{\frac {nA\_{n}^{2}}{n}}}

{\displaystyle ={\frac {(a\_{1}^{2}-2a\_{1}A\_{n}+A\_{n}^{2})+(a\_{2}^{2}-2a\_{2}A\_{n}+A\_{n}^{2})+\ldots +(a\_{n}^{2}-2a\_{n}A\_{n}+A\_{n}^{2})}{n}}}

{\displaystyle ={\frac {(a\_{1}-A\_{n})^{2}+(a\_{2}-A\_{n})^{2}+\ldots +(a\_{n}-A\_{n})^{2}}{n}}}

{\displaystyle \geqslant 0}，

当且仅当{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=\cdots =a\_{n}=A\_{n}}时等号成立。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。

参见
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* 算术-几何平均值不等式
* 幂平均不等式


1. ↑ . 人民教育出版社. 2007: 52. ISBN 978-7-107-18675-2.