**错排问题**是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个**错排**。 n个元素的错排数记为D\_{n}或{\displaystyle !n}。 研究一个排列错排个数的问题，叫做**错排问题**或称为**更列问题**。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

定義
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記D\_{n}為{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}上沒有不動點的排列(即{\displaystyle \phi :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\},\ \phi (i)\neq i,\ \forall 1\leq i\leq n})的個數，D\_{n}的值如下：（由n=1起）

0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... 
不難發現，這個數列有一個規律，

{\displaystyle D\_{n}=nD\_{n-1}+(-1)^{n}}。

例如有n封收件人不同的信，隨機放入n個寫了收件人地址的信封中寄出，求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。當n=4，設四封信為ABCD，則在{\displaystyle 4!=24}個排列之中，只有9個是錯排，即{\displaystyle !4=9}：

BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA
所以其機率為

{\displaystyle {\frac {9}{24}}=37.5\%}。

历史
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18世纪的法国数学家尼古拉·伯努利（1687-1759年）是最早考虑这个问题的人。之后欧拉也开始对这个问题感兴趣，并称之为"组合数学中的一个奇妙问题"（拉丁文：），并独立解决了这个问题。

研究错排问题的方法
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### 枚举法

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

* 当n=1时，全排列只有一种，不是错排，D1 = 0。
* 当n=2时，全排列有两种，即1、2和2、1，后者是错排，D2 = 1。
* 当n=3时，全排列有六种，即1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1，其中只有有3、1、2和2、3、1是错排，D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。
* 最小的几个错排数是：D1 = 0，D2 = 1，D3=2，D4 = 9，D5 = 44，D6 = 265，D7 = 1854。

### 递推数列法

对于排列数较多的情况，难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的遞迴關係式。

显然D1=0，D2=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑k的情况。

* 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn-2。
* 当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的"第k位"，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为Dn-1。

所以当n排在第k位时共有Dn-2+Dn-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2) 
在上面我们得到

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)

从这个公式中我们可以推出Dn的通项公式，方法如下：

为书写方便，记Dn = n!Mn，则M1 = 0, M2 = {\frac {1}{2}}

当n大于等于3时，由

Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)，

即

n!M\_{n}=(n-1)(n-1)!M\_{{n-1}}+(n-1)(n-2)!M\_{{n-2}}=n!M\_{{n-1}}-(n-1)!M\_{{n-1}}+(n-1)!M\_{{n-2}}。

所以，nM\_{n}-nM\_{{n-1}}=-M\_{{n-1}}+M\_{{n-2}}。

于是有 M\_{n}-M\_{{n-1}}=-{\frac {1}{n}}(M\_{{n-1}}-M\_{{n-2}})=...=(-{\frac {1}{n}})(-{\frac {1}{n-1}})...(-{\frac {1}{3}})(M\_{2}-M\_{1})=(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}.

所以

{\begin{aligned}M\_{{n}}-M\_{{n-1}}&=(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}\\M\_{{n-1}}-M\_{{n-2}}&=(-1)^{{(n-1)}}{\frac {1}{(n-1)!}}\\\vdots \quad &=\quad \vdots \\M\_{2}-M\_{1}&=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}\\\end{aligned}}
将上面式子分边累加，得

M\_{n}=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}+(-1)^{3}{\frac {1}{3!}}...+(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}.

因此，我们得到错排公式

D\_{n}=n!M\_{n}=n!({\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}).

多项式模拟
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x\_{1},x\_{2},...x\_{n}错排，x\_1需排在x\_{2},x\_{3},...x\_{n}、x\_2需排在x\_{1},x\_{3},...x\_{n}如此类推。

记s=\sum \_{{r=1}}^{n}x\_{r}，错排结果为\displaystyle \prod \_{{r=1}}^{n}(s-x\_{r})中\displaystyle \prod \_{{r=1}}^{n}x\_{r}的系数

记a\_{r}=(-1)^{r}\sum x\_{1}x\_{2}...x\_{r}为基本对称多项式，

\displaystyle \prod \_{{r=1}}^{n}(s-x\_{r})=\sum \_{{r=0}}^{n}a\_{r}s^{{n-r}}=\sum \_{{r=2}}^{n}a\_{r}s^{{n-r}}

从a\_{r}选出x\_{1},x\_{2},...x\_{r}，然后从s^{{n-r}}选出x\_{{r+1}},x\_{{r+2}},...x\_{n}，组成\displaystyle \prod \_{{r=1}}^{n}x\_{r}

从a\_{r}选出r个x有C\_{r}^{n}种可能，从s选出其余的n-r个x有

{\frac {(n-r)!}{1!1!...1!}}=(n-r)!

种可能

{\displaystyle \displaystyle \sum \_{r=2}^{n}(-1)^{r}C\_{r}^{n}(n-r)!=n!\sum \_{r=2}^{n}{\frac {(-1)^{r}}{r!}}}

简化公式
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错位排列数的公式可以简化为：D\_{n}=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+0.5\right\rfloor ,

其中的 \lfloor n\rfloor  为高斯取整函数（小于等于 *n* 的最大整数）。

这个简化公式可以由之前的错排公式推导出来。事实上，考虑指数函数在 0 处的泰勒展开：

{\begin{aligned}e^{{-1}}&=1+{\frac {\left(-1\right)^{1}}{1!}}+{\frac {\left(-1\right)^{2}}{2!}}+\cdots +\left(-1\right)^{n}{\frac {1}{n!}}+{\frac {e^{{-c}}}{(n+1)!}}\left(c-1\right)^{n}\\&={\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +\left(-1\right)^{n}{\frac {1}{n!}}+R\_{n}\\&={\frac {D\_{n}}{n!}}+R\_{n}\\\end{aligned}}
所以，{\frac {n!}{e}}-D\_{n}=n!\,R\_{n}。其中 *Rn* 是泰勒展开的餘项，*c* 是介于 0 和 1 之间的某个实数。*Rn* 的绝对值上限为

|R\_{n}|\leqslant {\frac {e^{0}}{(n+1)!}}={\frac {1}{(n+1)!}}
{\Big |}{\frac {n!}{e}}-D\_{n}{\Big |}\leqslant {\frac {n!}{(n+1)!}}={\frac {1}{(n+1)}}
当 n≥2 时，{\frac {1}{(n+1)}} 严格小于 0.5，所以 D\_{n}=n!\left({\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right) 是最接近 {\frac {n!}{e}} 的整数，可以写成

D\_{n}=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+0.5\right\rfloor .

参考资料
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1. ↑  Sloane, N.J.A. (编).. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. 1 2  Heinrich Dörrie.. Courier Dover Publications. 1965 （英语）. 第19-21页
3. ↑  卢开澄、卢华明.. 清华大学出版社. ISBN 730213961X （中文（简体））.
4. ↑  Miodrag Petković.. American Mathematical Soc. 2009. ISBN 9780821848142 （英语）. 第184-186页
5. ↑  Branislav Kisačanin.. Springer. 1998. ISBN 9780306459672 （英语）. 第43-44页