**列維-奇維塔符號**（Levi-Civita symbol），又稱**列維-奇維塔ε**，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 *n* ，它以1, 2, ... *n* 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括**排列符號**、**反對稱符號**與**交替符號**。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ ，較不常見的也有以拉丁文小寫 *e* 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

{\displaystyle \varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}}
其中每個下標指標 *a*1, *a*2, ... *a**n* 取值介乎 1 到 *n* 。在 *ε**a*1*a*2...*a**n* 中，共有 *nn* 個指標排列，可以排成為一個 *n* 維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 0 ：

{\displaystyle \varepsilon \_{\cdots a\_{p}\cdots a\_{p}\cdots }=0}；
當全部指標都不相等時，我們定義：

{\displaystyle \varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon \_{12\cdots n}}，
其中 *p* 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 *a*1, *a*2, ... *a**n* 變換成自然次序 1, 2, ... *n* ，所需的對換次數。而因子 (−1)*p* 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， *ε*12...*n* 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值：

{\displaystyle \varepsilon \_{12\cdots n}=+1}。
在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：

{\displaystyle \varepsilon \_{\cdots a\_{p}\cdots a\_{q}\cdots }=-\varepsilon \_{\cdots a\_{q}\cdots a\_{p}\cdots }}。
這稱為「完全反對稱性」。

"*n* 維列維-奇維塔符號"一詞是指符號上的指標數 *n* ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 **R**3 的 *n* = 3 或閔可夫斯基空間的 *n* = 4 。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

定義
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列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

### 二維

在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：

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| --- | --- |
| {\displaystyle \varepsilon \_{ij}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} | 當 {\displaystyle \left(i,j\right)=\left(1,2\right)} |
| 當 {\displaystyle \left(i,j\right)=\left(2,1\right)} |
| 當 {\displaystyle i=j} |

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon \_{11}&\varepsilon \_{12}\\\varepsilon \_{21}&\varepsilon \_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。

### 三維

對於 *ε**ijk* 的指標 (*i*, *j*, *k*) ，數字 1, 2, 3 在   循環排列的次序，對應 *ε* = +1。在   反循環排列的次序，則對應 *ε* = −1。其餘情況下， *ε* = 0。
三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：

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| {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} | 當 {\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(1,2,3\right)} 、 {\displaystyle \left(2,3,1\right)} 或 {\displaystyle \left(3,1,2\right)} |
| 當 {\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(3,2,1\right)} 、 {\displaystyle \left(2,1,3\right)} 或 {\displaystyle \left(1,3,2\right)} |
| 當 {\displaystyle i=j} 、 {\displaystyle j=k} 或 {\displaystyle i=k} |

也就是說，如果 (*i*, *j*, *k*) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，則符號值為 +1 。如果是奇排列，則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 0 。

僅在三維中， (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 (*i*, *j*, *k*) 是 (1, 2, 3) 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列：

其中 *i* 是深度 (藍色: *i* = 1; 紅色: *i* = 2; 綠色: *i* = 3) ， *j* 是橫行，*k* 是直列。

以下是一些例子：

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}
### 四維

在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

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| {\displaystyle \varepsilon \_{ijkl}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,} | 當 {\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)} 的偶排列 |
| 當 {\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)} 的奇排列 |
| 其餘情況，即任意兩個指標相等 |

這些值可以排成 4×4×4×4 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}}
### 推廣到高維

更一般地推廣到 *n* 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

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| --- | --- |
| {\displaystyle \varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}a\_{3}\ldots a\_{n}}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}} | 當 {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})} 是 {\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)} 的偶排列 |
| 當 {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})} 是 {\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)} 的奇排列 |
| 其餘情況，即任意兩個指標相等 |

又可使用求積符號 ∏ 表達為：

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}a\_{3}\ldots a\_{n}}&=\prod \_{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a\_{j}-a\_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a\_{2}-a\_{1})\operatorname {sgn}(a\_{3}-a\_{1})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{1})\operatorname {sgn}(a\_{3}-a\_{2})\operatorname {sgn}(a\_{4}-a\_{2})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{2})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{n-1})\end{aligned}}}
其中的 sgn(*x*) 是符號函數，根據 *x* 的正負給出 +1 、 0 或 −1。該公式對對於任何 *n* 及任何指標排列都有效（當 *n* = 0 或 1 時，定義為空積 1）。

然而，計算以上公式的時間複雜度為 O(*n*2) ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 O(*n* log(*n*)) 。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk\dots }\varepsilon \_{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta \_{im}&\delta \_{in}&\delta \_{il}&\dots \\\delta \_{jm}&\delta \_{jn}&\delta \_{jl}&\dots \\\delta \_{km}&\delta \_{kn}&\delta \_{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}

應用和範例
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### 行列式

在线性代数中， 3×3 的方陣 *A* = (*aij*) ：

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{pmatrix}}}，
其行列式可以寫為：

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\,a\_{1i}\,a\_{2j}\,a\_{3k}}，
類似地， *n*×*n* 矩陣 *A* = (*aij*) 的行列式可以寫為：

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n}=1}^{n}\varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}\,a\_{1a\_{1}}\,a\_{2a\_{2}}\,\cdots \,a\_{na\_{n}},}
### 向量的叉積

對於向量 **a** 與 **b** ，它們的叉積：

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}\_{1}&{\boldsymbol {e}}\_{2}&{\boldsymbol {e}}\_{3}\\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum \_{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon \_{ijk}\,a\_{i}b\_{j}\,{\boldsymbol {e}}\_{k}}
對於向量 **a** 、 **b** 與 **c** ，它們的三重積：

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum \_{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon \_{ijk}\,a\_{i}b\_{j}c\_{k}}

性質
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由列維-奇維塔符號給出（共變等級為n）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為"置換張量"。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它"應該"有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

{\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon \_{ij\dots k}.}
在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum \_{i=1,2,3}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{imn}}.
以下的例子使用愛因斯坦標記法。

### 二維

在二維上，當所有{\displaystyle i}，{\displaystyle j}，{\displaystyle m}，{\displaystyle n}各取值1和2時，


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| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {\displaystyle \varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta \_{i}}^{m}{\delta \_{j}}^{n}-{\delta \_{i}}^{n}{\delta \_{j}}^{m}}  | 

|  |  |  |
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|   |   |   |
|   |

 | **(**1**)** |


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|  {\displaystyle \varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{in}={\delta \_{j}}^{n}}  | 

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|   |   |   |
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 | **(**2**)** |


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|  {\displaystyle \varepsilon \_{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}  | 

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| --- | --- | --- |
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|   |

 | **(**3**)** |

### 三維

#### 指標和符號值

在三維中，當所有{\displaystyle i}，{\displaystyle j}，{\displaystyle k}，{\displaystyle m}，{\displaystyle n}各取值1,2和3時：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta \_{j}{}^{m}\delta \_{k}{}^{n}-\delta \_{j}{}^{n}\delta \_{k}{}^{m}}  | 

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|   |   |   |
|   |

 | **(**4**)** |


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|  {\displaystyle \varepsilon \_{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta \_{j}}^{i}}  | 

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|   |   |   |
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 | **(**5**)** |


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|  {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}  | 

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| --- | --- | --- |
|   |   |   |
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 | **(**6**)** |

#### 乘積

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta \_{il}&\delta \_{im}&\delta \_{in}\\\delta \_{jl}&\delta \_{jm}&\delta \_{jn}\\\delta \_{kl}&\delta \_{km}&\delta \_{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta \_{il}\left(\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}\right)-\delta \_{im}\left(\delta \_{jl}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{kl}\right)+\delta \_{in}\left(\delta \_{jl}\delta \_{km}-\delta \_{jm}\delta \_{kl}\right).\end{aligned}}}
這個結果的一個特例是(**4**):

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{imn}=\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}}
有時候其被稱為"contracted epsilon identity"。

在愛因斯坦標記法中，{\displaystyle i}指標的重複表示對於{\displaystyle i}的求和。由此，上述結論可表記為：

{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{imn}=\delta \_{jm}\delta \_{kn}-\delta \_{jn}\delta \_{km}}
進一步可以知道：

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{3}\sum \_{j=1}^{3}\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{ijn}=2\delta \_{kn}}
### *n*維

#### 指標和符號值

在n維中，當所有{\displaystyle i\_{1},\ldots ,i\_{n},j\_{1},\ldots ,j\_{n}}take values{\displaystyle 1,2,\ldots ,n}：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{j\_{1}\dots j\_{n}}=n!\delta \_{[i\_{1}}^{j\_{1}}\dots \delta \_{i\_{n}]}^{j\_{n}}=\delta \_{i\_{1}\dots i\_{n}}^{j\_{1}\dots j\_{n}}}  | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**7**)** |


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{k}~i\_{k+1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{i\_{1}\dots i\_{k}~j\_{k+1}\dots j\_{n}}=k!(n-k)!~\delta \_{[i\_{k+1}}^{j\_{k+1}}\dots \delta \_{i\_{n}]}^{j\_{n}}=k!~\delta \_{i\_{k+1}\dots i\_{n}}^{j\_{k+1}\dots j\_{n}}}  | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**8**)** |


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}\dots i\_{n}}\varepsilon ^{i\_{1}\dots i\_{n}}=n!}  | 

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 | **(**9**)** |

驚嘆號({\displaystyle !})代表階乘，而{\displaystyle \delta \_{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }}是廣義克罗内克函数，對於任意n有屬性：

{\displaystyle \sum \_{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon \_{ijk\dots }\varepsilon \_{ijk\dots }=n!}
從以下事實可得出：

* 每個排列是偶排列或奇排列，
* {\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1}，與
* 任何n-元素集合的排列數正好是{\displaystyle n!}。

#### 乘積

一般來說，對於n維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

{\displaystyle \varepsilon \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}\varepsilon \_{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}={\begin{vmatrix}\delta \_{i\_{1}j\_{1}}&\delta \_{i\_{1}j\_{2}}&\dots &\delta \_{i\_{1}j\_{n}}\\\delta \_{i\_{2}j\_{1}}&\delta \_{i\_{2}j\_{2}}&\dots &\delta \_{i\_{2}j\_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta \_{i\_{n}j\_{1}}&\delta \_{i\_{n}j\_{2}}&\dots &\delta \_{i\_{n}j\_{n}}\\\end{vmatrix}}}
### 證明