|  |
| --- |
| **外餘割** |
|  |
| *性質* |
| 奇偶性 |  非奇非偶  |
| 定義域 | {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}} |
| 到達域 | {\displaystyle -2\geq \operatorname {excsc} x\geq 0} |
| 周期 | 2\pi （360°）  |
| *特定值* |
| 當x=0 |  ∞  |
|  當x=+∞  |  N/A  |
|  當x=-∞  |  N/A  |
|  最大值  |  +∞  |
|  最小值  |  -∞  |
| *其他性質* |
| 渐近线 | {\displaystyle x=k\pi }（x=180°*k*）  |
| 根 | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2k\pi }（{\displaystyle 90^{\circ }+360^{\circ }k}）  |
| 臨界點 | {\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}（180°*k*-90°）  |
| k是一個整數。 |

**外餘割**（）又稱**餘外割**（）是一種可以根據餘割定義的三角函數，现很少使用。
其符号通常表示为{\displaystyle \operatorname {excosec} x}或{\displaystyle \operatorname {exc} x}。
其函數值比餘割函數少1，換句話說，其與餘割的關係可以用下列等式表達：

{\displaystyle \operatorname {excosec} x=\csc(x)-1}。
在單位圓上，外餘割位於餘割線上單位圓的外側，因此稱為外餘割。此外，外餘割也有、external cosecant、outward cosecant和outer cosecant等稱呼。在數學表達式中，外餘割除了表示為{\displaystyle \operatorname {excosec} x}或{\displaystyle \operatorname {exc} x}之外，在不同文獻中，外餘割也有{\displaystyle \operatorname {coexsec} x}、{\displaystyle \operatorname {excsc} x}、{\displaystyle \operatorname {xcs} x}等表示方式。

外餘割曾被用來描述費米子的动能。

定義
--

在单位圆上表示的三角函数
在單位圓上，角\theta 的外餘割可以定義為，在*y*軸上，從單位圓圓周沿y軸到「角\theta 的終邊與單位圓交點的切線」的長度。由於從角的頂點沿y軸到「角\theta 的終邊與單位圓交點的切線」的長度為餘割，因此餘割與外餘割相差1，即外餘割為餘割扣掉單位圓半徑。

外餘割也可以定義為：

{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}{\displaystyle =\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}

歷史
--

直到20世紀80年代，外餘割函數與外正割函數都在數個有高精度計算需求的領域中有著重要的作用。由於在角度接近{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}（90度）時，餘割函數的值會接近於1，引此使用上述公式來計算外餘割的話，會在這些角度的函數值上出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此這時對餘割函數表的精確度要求將非常高，而若定義了外餘割函數，則使用外餘割函數的函數表則能一定程度上的避免上述問題。但後來隨著和的發展與廣泛使用，因此外餘割函數的需求已經逐漸變的不明顯，因此現在只有非常少數的情況會使用到外餘割函數。

外餘割的術語coexsecant和coexsec早在1880年就已經有文獻使用了，而自1909年開始，外餘割在文獻中則是使用excosecant。該函數也被阿尔伯特·爱因斯坦用來描述費米子的动能。

計算
--

在早期不普遍的時候，外餘割函數的計算若使用公式{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\csc(\theta )-1}來計算的話，會在角度接近{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2\pi }（90度）及其同界角時出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此若要更精確地計算外餘割函數的話，需要使用以下等式：



excsc
⁡
(
θ
)
=

1
−
sin
⁡
(
θ
)

sin
⁡
(
θ
)

=

coversin
⁡
(
θ
)

sin
⁡
(
θ
)

=
coversin
⁡
(
θ
)
csc
⁡
(
θ
)
.

{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).}

{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).}
但在不普遍的的時代，要做這些乘法運算非常耗時，因此專用於外餘割函數的函數表就會變得很有用。

恒等式
---

### 导数

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}}
### 積分

{\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}
### 与其他三角函数的关系

{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\ }
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}

反外餘割
----

外餘割的反函數
反外餘割（arcexcosecant）是外餘割的反函數。符號通常會表示為**arcexcosec**、 **arcexcsc**、 **aexcsc**、 **aexc**、 **arccoexsecant**、 **arccoexsec**或**excsc−1**。其定義為：

{\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}

參見
--

* 外正割

參考文獻
----

1. 1 2 3 4  Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich.. 写于Ann Arbor, Michigan, USA.. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company（英语：） / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co. Norwood, Massachusetts, USA. January 1909: 125  [2017-08-12].
2. 1 2 3  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. 1 2 3  Bohannan, Rosser Daniel.. . Ohio State University: Allyn and Bacon, Boston, USA / J. S. Cushing & Co. — Berwick & Smith Co. Norwood, MA. 1904: 235–236 [1903]  [2017-07-09].
4. 1 2  Frye, Albert I.  2 (corrected). New York, USA; London, UK: D. Van Nostrand Company（英语：）; Constable and Company, Ltd.（英语：）. 1918 [1913]  [2015-11-16].
5. 1 2  van Vlijmen, Oscar.. Eenheden, constanten en conversies. 2005-12-28 [2003]  [2015-11-28]. （原始内容存档于2009-10-28）.
6. ↑  Shaneyfelt, Ted V.. Hilo, Hawaii: University of Hawaii.  [2015-11-08]. （原始内容存档于2015-09-19）.
7. ↑  Eng, M and Schwarz, René.  (PDF). Image. 2017, **3** (2): 4  [2023-10-31]. （原始内容存档 (PDF)于2023-10-31）.
8. 1 2  Gottschalk, Walter Helbig.  (PDF). Gottschalk's Gestalts - A Series Illustrating Innovative Forms of the Organization & Exposition of Mathematics **80** (Providence, Rhode Island, USA: Infinite Vistas Press). 2002  [2015-11-17]. PVD RI, GG80. （原始内容存档 (PDF)于2013-09-25）.
9. ↑  Searles, William Henry.  (PDF). New York, USA: John Wiley & Sons. 1880-03-01  [2017-08-13]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-13）.  8th revised edition, 1887 16th edition, 1910
10. ↑ .  [2023-10-31]. （原始内容存档于2023-10-31）.
11. 1 2  Hawking, Stephen William (编). 需要免费注册. Philadelphia, USA: Running Press（英语：）. 2002  [2017-07-31]. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
12. 1 2 3  Stávek, Jiří.. Applied Physics Research (Prague, CZ: Canadian Center of Science and Education). 2017-03-10, **9** (2): 57–64 [2017-02-26]. ISSN 1916-9639. doi:10.5539/apr.v9n2p57 可免费查阅. ISSN 1916-9647.
13. 1 2  Calvert, James B.. 2007-09-14 [2004-01-10]  [2015-11-08]. （原始内容存档于2007-10-02）.
14. ↑  Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome.. 有限度免费查阅，超限则需付费订阅 2. Springer Science+Business Media, LLC. 2009: 336 [1987]. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN 2008937525. doi:10.1007/978-0-387-48807-3.
15. 1 2  Allen, Calvin Frank.. New York, USA; London, UK: Spon & Chamberlain; E. & F. Spon, Ltd. 1894 [1889]  [2015-11-16].

外部連結
----

* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
三角函数 |
| --- |
|  |
| 基本函數 | 
* 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 正割
* 餘割

 |  |
|  |
| 反函數 | 
* 反正弦
* 反餘弦
* 反正切
* 反餘切
* 反正割‎
* 反餘割

 |
|  |
| 少見函數 | 
* 正矢
* 餘矢
* 正弧
* 餘弧
* 半正矢
* 半餘矢
* 外正割
* 外餘割

 |
|  |
| 函數分類 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 正函數 | 
* 正角
* 正弦
* 正切
* 正割
* 正矢
* 正弧
* 半正矢
* 外正割

 |
|  |
| 餘函數 | 
* 餘角
* 餘弦
* 餘切
* 餘割
* 餘矢
* 餘弧
* 半餘矢
* 外餘割

 |

 |
|  |
| 其他函數 | 
* 極正弦
* 弦函數
* arc函數
* cis函數
* 餘cis函數
* cas函數
* arg函數
* atan2
* 古德曼函數

 |
|  |
| 符號 | 
* sin
* cos
* tan
* cot
* sec
* csc
* exs
* exc
* ver
* cvs
* vcs
* cvc
* hav
* hcv
* hvc
* hcc
* arc
* crd
* sag
* apo（英语：）
* cis
* cas
* arg

 |
|  |
| 双曲函数 | 
* 雙曲正弦
* 雙曲餘弦

 |
|  |
| 相關概念 | 
* 割圓八線
* 同界角
* 辐角
* 單位圓
* 圓心角
* 週期性

 |
|  |
| 定理 | 
* 正弦定理
* 餘弦定理
* 正切定理
* 餘切定理
* 半正矢定理
* 勾股定理

 |
|  |
| 恒等式 | 
* 三角函數恆等式
* 雙曲三角函數恆等式
* 正切半角公式
* 三分之一角公式
* 餘函數恆等式
* 诱导公式
* 半正矢公式

 |
|  |
| 其他 | 
* 三角函數精確值
* 三角函数积分表
* 三角函数表
* 三角多項式
* 三角函数线
* 正弦曲線
* 雙曲三角函數

 |

 |