數學上，**塞邁雷迪正則性引理**（Szemerédi regularity lemma）斷言，給定任意一個足夠大的圖，都可以將其頂點集劃分成若干個差不多一樣大的子集，使得幾乎每兩個不同的子集之間的邊，都具有隨機二部圖的性質。塞邁雷迪於 1975 年引入了該引理較弱的版本，其只適用於二部圖，用作證明塞邁雷迪定理，後來再於 1978 年證明了完整的版本。 
Vojtěch Rödl（英语：） 及其合作者和高爾斯將正則性方法推廣到超圖上。

定義和引理敍述
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塞邁雷迪正則性引理的嚴格敍述須用到下列定義。設 *G* 為一幅圖，而 *V* 為其頂點集。

### 密度

設 *X*, *Y* 為 *V* 的兩個互斥子集。定義 (*X*, *Y*) 的**密度**為

{\displaystyle d(X,Y):={\frac {\left|E(X,Y)\right|}{|X||Y|}},}
其中 *E*(*X*, *Y*) 為一個頂點在 *X* 中，而另一個頂點在 *Y* 中的邊的集合。

### *ε*-正則

對於 *ε* > 0, 稱兩個由頂點組成的集合 *X* 和 *Y* 為 ***ε*-正則**，若對任意滿足|*A*| ≥ *ε*|*X*| 和 |*B*| ≥ *ε*|*Y*| 的子集 *A* ⊆ *X* 和 *B* ⊆ *Y*, 都有

{\displaystyle \left|d(X,Y)-d(A,B)\right|\leq \varepsilon .}
### *ε*-正則劃分

設 *V*1, ...  *Vk* 為將 *V* 分成 *k* 份的劃分。其稱為 ***ε*-正則劃分**，若： 

* 對每個 *i*, *j* 都有 *Vi* 與 *Vj* 的大小至多相差 1.
* 除了至多 *εk*2 對滿足 *i* < *j* 的 *Vi*, *Vj* 以外，其他的每一對都 *ε*-正則。

利用上述定義，可以寫出引理的嚴格敍述。

### 正則性引理

對任意的 *ε* > 0 和正整數 *m*, 存在整數 *M*, 其滿足：若 *G* 為至少有 *M* 個頂點的圖，則存在整數 *k* 滿足 *m* ≤ *k* ≤ *M*, 和一個 *ε*-正則劃分將 *G* 的頂點集分成 *k* 份。

引理的證明所給出的 *M* 的上界極大，比如 *m* 的 O(*ε*−5) 次迭代冪次。若實際的上界並非如此大，而是 exp(*ε* -*β*) 的形式的話，則其可應用在其他地方。然而，高爾斯於 1997 年找到了一些圖作為例子，證明 *M* 確實可以增長得極快，比如至少為 *m* 的 *ε*−1/16 次疊代冪次。由此可見，最佳的上界必定位於 Grzegorczyk 分層（英语：）中的第 4 層，因此不屬初等遞歸函數。

推廣
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János Komlós（英语：）、Gábor Sárközy（英语：）和塞迈雷迪·安德烈其後（於 1997 年）證明了blow-up 引理 ，其斷言塞邁雷迪正則性引理中的正則對，在特定意義下與完全二部圖具有同樣的性質。若考慮將大而疏的圖，嵌入到一個稠密的圖中，則適用 blow-up 引理來深入研究該嵌入的性質。

陶哲軒以概率方法證明了一條不等式，其推廣了塞邁雷迪正則性引理。

注意，不可能在塞邁雷迪正則性引理中，證明「所有」對都正則。原因是，一些圖（比如半圖（英语：））確實需要劃分中有若干對頂點集非正則，儘管按照正則性引理，這樣的對只佔很小一部分。

參考文獻
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參見
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* Komlós, J.; Simonovits, M. , Bolyai Soc. Math. Stud. **2**, János Bolyai Math. Soc. Budapest: 295–352, 1996, MR 1395865 .
* Komlós, J.; Shokoufandeh, Ali; Simonovits, Miklós; Szemerédi, Endre, , Lecture Notes in Computer Science **2292**, Springer, Berlin: 84–112, 2002, MR 1966181, doi:10.1007/3-540-45878-6\_3 .