**費馬平方和定理**是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。

内容
--

費馬平方和定理的表述是：奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该質數被4除余1。
（如{\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}} 那麼 {\displaystyle 5\equiv 1{\pmod {4}}}，反之亦然)

该命题的必要条件是显然的，因为对于{\displaystyle a\equiv 0{\pmod {2}}}总有{\displaystyle a^{2}\equiv 0{\pmod {4}}}（偶数的平方能被4整除）以及对于{\displaystyle a\equiv 1{\pmod {2}}}总有{\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {4}}}（奇数的平方被4除余1），即若两个平方数之和为奇数，则该奇数必然模4余1而不可能出现模4余3的情况（事实上不管这个奇数是素数还是合数都如此）。而该命题的充分条件为本定理证明的重点。

歐拉的证明
-----

歐拉在1747年证明了费马平方和定理，当年他四十岁。他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信，讲述这个定理的证明。该证明分五步，且用到了无穷递降法；由于信中没有把第五步讲清楚，因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信，详细讲述第五步的证明。

第一步、"如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。"

即婆罗摩笈多－斐波那契恒等式 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}。
第二步、"如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。" 

假设{\displaystyle a^{2}+b^{2}}能被{\displaystyle p^{2}+q^{2}}整除，且后者为素数。则{\displaystyle p^{2}+q^{2}}能整除
{\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}
由于{\displaystyle p^{2}+q^{2}}是素数，因此它能整除两个因子之一。假设它能整除{\displaystyle pb-aq}。由于
{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}\,}
可推出{\displaystyle p^{2}+q^{2}}能整除{\displaystyle (ap+bq)^{2}}。于是等式能被{\displaystyle p^{2}+q^{2}}的平方整除。两边除以{\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}得：
{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}
因此其商能表示为两个平方数之和。
如果{\displaystyle p^{2}+q^{2}}能整除{\displaystyle pb+aq}，则利用等式
{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}\,}
同样可证。
第三步、"如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。"

假设x能整除a^2+b^2，且其商的分解式为{\displaystyle p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}}。则{\displaystyle a^{2}+b^{2}=xp\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}}。如果所有的因子p\_{i}都能表示为两个平方数之和，则我们可以用p\_{1}、p\_{2}、等等去除a^2+b^2，并使用第二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。除到只剩x的时候，可得x也能表示为两个平方数之和，矛盾。因此，如果x不能表示为两个平方数之和，则至少有一个素数p\_{i} 也不能表示为两个平方数之和。
第四步、"如果a和b互素，则{\displaystyle a^{2}+b^{2}}的所有因子都能表示为两个平方数之和。" 

这一步用到了无穷递降法。设x是a^2+b^2的一个因子。可记 
{\displaystyle a=mx\pm c,\qquad b=nx\pm d}
其中c和d的绝对值最多不超过x的一半。可得：
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}x^{2}\pm 2mxc+c^{2}+n^{2}x^{2}\pm 2nxd+d^{2}=Ax+(c^{2}+d^{2}).}
因此，c^2+d^2一定能被x整除，设{\displaystyle c^{2}+d^{2}=yx}。如果c和d不互素，则它们的最大公约数与x互质（否则它与x的最大公约数就能整除a和b，与我们假设它们互素矛盾）。因此它们的最大公约数的平方能整除y（因为它能整除c^2+d^2），于是我们得到{\displaystyle e^{2}+f^{2}=zx}，其中e和f互素，且z不超过x的一半，这是因为
{\displaystyle zx=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}\leq \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}x^{2}.}
如果c和d互素，则我们可直接使用c和d，不必转换成e和f。
如果x不能表示为两个平方数之和，则根据第三步的结论，可知必有一个z的因子不能表示为两个平方数之和；设它为w。于是我们从x推出了一个更小的整数w，都不能表示为两个平方数之和，但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数整除。由于这个无穷递降是不可能的，因此x一定能表示为两个平方数之和。
第五步、"任何形为4n+1的素数都能表示为两个平方数之和。"

如果{\displaystyle p=4n+1}，则根据费马小定理可得{\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}被p除都余1。因此它们的差{\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}都能被p整除。这些差可分解为
{\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}
由于p是素数，它一定能整除这两个因子之一〔以下称它们为"和因子"和"差因子"〕。如果它能整除任何一个"和因子"，则根据第四步的结论可得p能表示为两个平方数之和〔由于a和b仅相差1，它们必然互素〕。而如果它能整除所有的{\displaystyle 4n-1}个"差因子"{\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}，则它也能整除{\displaystyle 4n-2}个一阶差、{\displaystyle 4n-3}个二阶差，依此类推。由于数列{\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }的第k阶差都等于{\displaystyle k!}，于是第2n阶差都等于{\displaystyle (2n)!}，显然它不能被p整除。因此，p不能整除所有的"差因子"，得证p能表示为两个平方数之和。

扎吉尔"一句话"证明
----------

唐·扎吉爾（英语：）的证明基于羅傑·希斯-布朗（英语：）早期证明的简化。令素数p满足{\displaystyle p=4k+1}以及{\mathbb N}为自然数集，考虑三元数组有限集{\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}，于是S存在两种对合映射的方式：一种是{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}，其中不动点{\displaystyle (x,y,y)}即为p的两平方和的表示形式；另一种则是较为复杂的形式：

{\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,\,z,\,y-x-z)&x<y-z\\(2y-x,\,y,\,x-y+z)&y-z<x<2y\\(x-2y,\,x-y+z,\,y)&x>2y\end{cases}}}
必然有且只有一个不动点{\displaystyle (1,1,k)}，因此集合S的元素个数必为奇数，于是不动点{\displaystyle (x,y,y)}必然存在。

参考文献
----

* Richard Dedekind，"費馬的理论"。
* C. F. Gauss，"Disquisitiones Arithmeticae"（費馬版）。由Apple翻译。俊洪，1365年。
* Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144

外部連結
----

* Two more proofs at PlanetMath.org
*. 原始内容存档于5 February 2012.
* Fermat's two squares theorem, D. R. Heath-Brown, 1984.

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
皮埃爾·德·費馬 |
| --- |
|  |
| 成就 | 
* 费马大定理
* 費馬數
* 費馬原理
* 费马小定理
* 费马多边形数定理
* 费马伪
* 費馬點
* 费马引理
* 费马平方和定理
* 费马螺线
* 費馬直角三角形定理（英语：）

 |
|  |
| 相關 | 
* 以皮埃爾·德·費馬命名的事物列表（英语：）
* 懷爾斯對費馬大定理的證明（英语：）
* 流行作品中的費馬大定理（英语：）
* 費馬獎
* 《費馬的最後探戈（英语：）》（2000年音樂劇）
* 《費馬大定理（英语：）》（科普書籍）

 |

 |