关于並行運算中的類似概念，请见「**線性一致性**」。
数学上的**線性化**（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。

函數的線性化
------

函数的線性化為線性函數。針對函數y = f(x)，若要用在任意點{\displaystyle x=a}下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設f(x)在[a, b]（或{\displaystyle [b,a]}）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在{\displaystyle x=a}點附近，以直線來近似函數的值。例如{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}，那麼針對{\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。 

針對任意函數y = f(x)，f(x)在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是{\displaystyle L\_{a}(a)=f(a)}，其中{\displaystyle L\_{a}(x)}是f(x)在{\displaystyle x=a}的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點
{\displaystyle (H,K)}，斜率為M為直線。方程式的一般形為{\displaystyle y-K=M(x-H)}。

若是配合點(a, f(a))，{\displaystyle L\_{a}(x)}即變成{\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用f(x)在點{\displaystyle x=a}切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點{\displaystyle x=a}，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率M最準確的值會是在{\displaystyle x=a}點的切線斜率。

f(x)=x^2在(*x*, *f*(*x*))的近似值
旁邊的圖可以說明f(x)在點x的切線。在{\displaystyle f(x+h)}位置，其中h是小的正值或是負值，{\displaystyle f(x+h)}非常接近{\displaystyle (x+h,L(x+h))}點的切線。

函數在點{\displaystyle x=a}線性化的最終方程為：

{\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}

針對{\displaystyle x=a}，{\displaystyle f(a)=f(x)}。函數f(x)的導數為f'(x)，而函數f(x)在點a的斜率為{\displaystyle f'(a)}。

例子
--

若要找{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}，可以用{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}的資訊。函數{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}在點{\displaystyle x=a}的線性化為{\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}，因為函數{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}定義了函數{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}在點x的斜率。

代入{\displaystyle a=4}，其線性化結果為{\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}。

針對{\displaystyle x=4.001}的例子，可得{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}近似{\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化
---------

函數f(x,y)在點{\displaystyle p(a,b)}線性化的方程式為：

{\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|\_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|\_{a,b}(y-b)}

多變數函數f({\mathbf {x}})在點\mathbf{p}線性化的通式為

{\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|\_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}

其中\mathbf {x} 是變數向量，而\mathbf{p}是要線性化的點。

線性化的應用
------

配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)},
其線性化系統為

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x\_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x\_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x\_{0}} )}
其中{\displaystyle \mathbf {x\_{0}} }是要觀測的特定點，而{\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x\_{0}} )}是{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}在點{\displaystyle \mathbf {x\_{0}} }所計算的雅可比矩阵。

### 穩定性分析

在自治系统的穩定性分析中，可以用在雙曲平衡點（英语：）計算雅可比矩阵的特征值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論（英语：）的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。

### 微观经济学

在微观经济学中，決策規則（英语：）可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。

### 最佳化

在最优化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域极值。

### 多物理場

在多物理场系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛顿法）。這類的例子包括MRI scanner（英语：）系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統

相關條目
----

* 線性穩定性（英语：）
* 切線剛性矩陣（英语：）
* 穩定性導數（英语：）
* 泰勒公式
* 泛函方程 (L函數)（英语：）

參考資料
----

1. ↑ .  [2020-04-10]. （原始内容存档于2018-07-04）.
2. ↑  Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 的存檔，存档日期2010-06-07.
3. ↑  Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V.. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, **17** (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732.
4. 1 2 3  Moffatt, Mike. (2008) Dotdash *State-Space Approach （页面存档备份，存于）* Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
5. ↑  Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M.. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, **112** (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559.

外部連結
----

* Linearization for Model Analysis and Control Design （页面存档备份，存于）