**算术-几何平均值不等式**，簡稱**算几不等式**，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设x\_1,x\_2, \ldots, x\_n为 n 个正实数，它们的**算术平均数**是\mathbf{A}\_n = \frac{x\_1 + x\_2 + \cdots + x\_n}{n}，它们的**几何平均数**是 \mathbf{G}\_n = \sqrt[n]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_n}。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数x\_1, \ldots, x\_n：

\mathbf{A}\_n \ge \mathbf{G}\_n 
等号成立当且仅当 x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n} 。

通常用于两个数之间，设这两个数为a和b，也就是{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为**平均值不等式**（或**均值不等式**），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子
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在 n=4 的情况，设：x\_1 = 3.5,\ x\_2 =6.2 ,\ x\_3 = 8.4, \ x\_4 = 5，那么 

{\displaystyle \mathbf {A} \_{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} \_{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}
可见\mathbf{A}\_4 \ge \mathbf{G}\_4 。

历史上的证明
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历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

### 柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用**逆向归纳法**的证明：

命题P\_{n}：对任意的 n 个正实数x\_1, \ldots, x\_n，\mathbf{A}\_n \ge \mathbf{G}\_n 

当 n=2 时，P\_2显然成立。假设 P\_{n} 成立，那么 P\_{2n} 成立。证明：对于2n 个正实数x\_1, \cdots, x\_n, y\_1, \cdots, y\_n ， 

 
\frac{x\_1 + x\_2 + \cdots + x\_n + y\_1 + \cdots y\_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x\_1 + \cdots + x\_n}{n} + \frac{y\_1 + \cdots + y\_n}{n} \right) 
 \ge \ \frac{1}{2} \left( \sqrt[n]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_n} + \sqrt[n]{y\_1 \cdot y\_2 \cdots y\_n} \right) 
 \ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_n} \cdot \sqrt[n]{y\_1 \cdot y\_2 \cdots y\_n} } 
 = \ \sqrt[2n]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_n y\_1 \cdot y\_2 \cdots y\_n}
假设P\_{n}成立，那么P\_{n-1}成立。证明：对于n-1 个正实数x\_1, \cdots, x\_{n-1} ，设\mathbf{A}\_{n-1}= \frac{x\_1 + \cdots + x\_{n-1} }{n-1}， \mathbf{G}\_{n-1} = \sqrt[n-1]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_{n-1} }，那么由于P\_{n}成立， \frac{x\_1 + \cdots + x\_{n-1} + \mathbf{A}\_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_{n-1} \mathbf{A}\_{n-1} }。

但是 x\_1 + \cdots + x\_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}\_{n-1}， x\_1 \cdot x\_2 \cdots x\_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}\_{n-1}，因此上式正好变成

\mathbf{A}\_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}\_{n-1} \mathbf{A}\_{n-1} 
也就是说\mathbf{A}\_{n-1} \ge \mathbf{G}\_{n-1}

综上可以得到结论：对任意的自然数 n\geq 2，命题 P\_{n} 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题 P\_{2^k} 都成立。因此对任意的 n\geq 2，可以先找 k 使得 2^k \ge n，再结合第三条就可以得到命题 P\_{n} 成立了。

### 归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（英语：）（George Chrystal）在其著作《代数论》（*Algebra*）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设 x\_{n+1} 是 x\_1, x\_2 \cdots x\_{n+1} 中最大的，由于 \mathbf{A}\_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}\_n + x\_{n+1}}{n+1} ，设 x\_{n+1} = \mathbf{A}\_n + b，则 b \ge 0，并且有 \mathbf{A}\_{n+1} = \mathbf{A}\_n +\frac{b}{n+1} 。

根据二项式定理，

 \mathbf{A}^{n+1}\_{n+1} = (\mathbf{A}\_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}\_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}\_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}\_{n}(\mathbf{A}\_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}\_{n}x\_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}\_{n}x\_{n+1} 
 = x\_1 x\_2 \cdots x\_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}\_{n+1}

于是完成了从 n 到 n+1 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在 n 的情况下有不等式 \mathbf{A}\_n \ge \mathbf{G}\_n 和 x\_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}\_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x\_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}\_{n+1} } 成立，于是：

 \frac{ x\_1 + x\_2 \cdots +x\_n + x\_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}\_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}\_n + \sqrt[n]{ x\_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}\_{n+1}} \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}\_{n} x\_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}\_{n+1}}= 2\mathbf{G}\_{n+1} 
所以 (n+1)\mathbf{A}\_{n+1} = x\_1 + x\_2 \cdots +x\_n + x\_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}\_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}\_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}\_{n+1}，从而有\mathbf{A}\_{n+1} \ge \mathbf{G}\_{n+1}。

### 基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数 \mathbf{G}\_n 实际上等于 \exp \left( \frac{\ln {x\_1} + \ln {x\_2} + \cdots + \ln {x\_n}}{n} \right)，因此算术-几何平均不等式等价于：

\ln { \frac{ x\_1 + x\_2 + \cdots + x\_n }{n} } \ge \frac{\ln {x\_1} + \ln {x\_2} + \cdots + \ln {x\_n}}{n}。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

### 基于排序不等式的证明

令 b\_i = \frac{{a\_i }} {{{\mathbf{G}}\_n }}(i=1,2,3,...n)，于是有 b\_1 b\_2 \cdots b\_n=1，再作代换 b\_1 = \frac{{c\_1 }}{{c\_2 }},b\_2 = \frac{{c\_2 }}{{c\_3 }},\cdots,b\_n = \frac{{c\_n }}{{c\_1 }}，运用排序不等式得到：

\frac{{c\_1 }}{{c\_2 }} + \frac{{c\_2 }}{{c\_3 }} + \cdots + \frac{{c\_n }}{{c\_1 }} \geqslant \frac{{c\_1 }}{{c\_1 }} + \frac{{c\_2 }}{{c\_2 }} + ... + \frac{{c\_n }}{{c\_n }} = n，
于是得到 a\_1 + a\_2 + \cdots + a\_n \geqslant n{\mathbf{G}}\_n ，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广
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算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

### 加权算术-几何平均不等式

不仅"均匀"的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 x\_1, \cdots, x\_n  和 p\_1, \cdots, p\_n  为正实数，并且 p\_1 + p\_2 \cdots + p\_n =1 ，那么：

p\_1 x\_1 +p\_2 x\_2 \cdots + p\_n x\_n \ge x^{p\_1}\_1 x^{p\_2}\_2 \cdots x^{p\_n}\_n 。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

### 矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵

\begin{bmatrix}
 a\_{11} & \cdots & a\_{1k} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 a\_{n1} & \cdots & a\_{nk}
\end{bmatrix}
设 A\_{j} = \frac{1}{n} \sum\_{i=1}^n a\_{ij}， G\_{i}=\sqrt[k]{\prod\_{j=1}^k a\_{ij} }，那么有：

\sqrt[k]{A\_1 A\_2 \cdots A\_k} \leqslant \frac{G\_1 + G\_2 + \cdots + G\_n}{n}
也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。

### 极限形式

也称为**积分形式**：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有 

 \int\_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int\_{0}^{1} \ln f(x) dx ) 
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 \frac{ x\_1 + x\_2 + \cdots + x\_n }{n} \ge \exp ( \frac{\ln {x\_1} + \ln {x\_2} + \cdots + \ln {x\_n}}{n} ) 后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。

### 算數-幾何-調和平均值不等式

若再規定x\_1,x\_2, \ldots, x\_n的调和平均数 H={\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+{\frac {1}{x\_{2}}}+...+{\frac {1}{x\_{n}}}}}.

則有

\mathbf{A}\_n \ge \mathbf{G}\_n \ge \mathbf{H}\_n 
且等号依舊成立当且仅当 x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n} 。

證明由算數-幾何平均值不等式知

\frac{\frac{1}{x\_1} + \frac{1}{x\_2} + ... + \frac{1}{x\_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x\_1} \frac{1}{x\_2} \cdots \frac{1}{x\_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x\_1 x\_2 \cdots x\_n}}

故

\sqrt[n]{x\_1 x\_2 \cdots x\_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x\_1} + \frac{1}{x\_2} + ... + \frac{1}{x\_n}}

即

 \mathbf{G}\_n \ge \mathbf{H}\_n 
且等號成立於

\frac{1}{x\_1}= \frac{1}{x\_2}= \cdots= \frac{1}{x\_n}

即

 x\_1=x\_2=\cdots =x\_n

参见
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* 平均数不等式
* 算术平均数
* 几何平均数
* 幂平均不等式
* 杨氏不等式

参考来源
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1. ↑  Augustin-Louis Cauchy, *Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique,* （页面存档备份，存于） Paris, 1821. p457.
2. ↑  George Chrystal, *Algebra:An Elementary Text-Book, Part II* （页面存档备份，存于）, Chapter XXIV.p46.
3. ↑  P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec. 1960), pp. 1007

* 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
* 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
* 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
* 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。