此條目介紹的是范畴论中的广群。关于具有单一二元运算的代数结构，请见「**原群**」。
在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，**广群**（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：

* 以偏函数取代二元运算的**群**；
* 所有态射都可逆的**范畴**。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的{\displaystyle g:A\rightarrow B}、{\displaystyle h:B\rightarrow C}。于是组合是全函数：{\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}，于是{\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}。

广群的特例包括：

* **集合体（Setoid）**，即带有等价关系的集合；
* **G-集合**，即带有*G* 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

定义
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广群指的是代数结构{\displaystyle (G,\ast )}，包含非空集*G*与定义在*G*上的二元偏函数'{\displaystyle \ast }'。

### 代数定义

广群是具备一元运算{\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}与偏函数{\displaystyle \*:G\times G\rightharpoonup G}的集合*G*，当中的\*不是二元运算，因为其不一定定义在*G*中所有的元素对上。这里不阐述定义\*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算\*、−1有以下公理性质：{\displaystyle \forall a,\ b,\ c\in G}：

1. *结合律*：若定义了{\displaystyle a\*b,\ b\*c}，则{\displaystyle (a\*b)\*c=a\*(b\*c)}。
2. *逆元*：{\displaystyle a^{-1}\*a}、{\displaystyle a\*{a^{-1}}}总有定义。
3. *单位元*：若定义了{\displaystyle a\*b}，则{\displaystyle a\*b\*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}\*a\*b=b}。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：

* {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}；
* 若定义了{\displaystyle a\*b}，则{\displaystyle (a\*b)^{-1}=b^{-1}\*a^{-1}}。

### 范畴论定义

广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群*G*是对象集合{\displaystyle G\_{0}}，其中

* 每对对象*x*、*y*，都有从*x*到*y*的态射（或箭头）的（可能是空）集合{\displaystyle G(x,\ y)}，其中的元素写作{\displaystyle f:\ x\to y;}
* 每个对象*x*，{\displaystyle G(x,\ x)}的指定元素{\displaystyle \mathrm {id} \_{x};}
* 对任意三个元素*x*、*y*、*z*都有函数{\displaystyle \mathrm {comp} \_{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;}
* 对任意两个元素*x*、*y*都有函数{\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;}
	+ {\displaystyle f\ \mathrm {id} \_{x}=f}、{\displaystyle \mathrm {id} \_{y}\ f=f;}
	+ {\displaystyle (hg)f=h(gf);}
	+ {\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} \_{y}}、{\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} \_{x}.}

若{\displaystyle f\in G(x,\ y)}则称*x*为*f*的**源**，记作{\displaystyle s(f)}；*y*称作*f*的**目标**，记作{\displaystyle t(f)}。广群*G*有时记作{\displaystyle G\_{1}\rightrightarrows G\_{0}}，当中{\displaystyle G\_{1}}是所有态射的集合，两个箭头{\displaystyle G\_{1}\to G\_{0}}代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

### 定义比较

代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令*G*为所有集合{\displaystyle G(x,\ y)}的不交并（即*x*到*y*的态射的集合）；则{\displaystyle \mathrm {comp} }、{\displaystyle \mathrm {inv} }就成了*G*上的偏运算，而{\displaystyle \mathrm {inv} }事实上在任意地方都可被定义。我们定义\*为{\displaystyle \mathrm {comp} }、−1为{\displaystyle \mathrm {inv} }，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及{\displaystyle G\_{0}}（及{\displaystyle \mathrm {id} }）。

反过来，给定代数定义的广群*G*，用{\displaystyle \sim }定义其元素上的等价关系：
{\displaystyle a\sim b}，若{\displaystyle a\*a^{-1}=b\*b^{-1}.}令*G*0为{\displaystyle \sim }的等价类集合，即{\displaystyle G\_{0}:=G/\!\!\sim }。若{\displaystyle a\in G}且{\displaystyle x\in G\_{0}}，用{\displaystyle 1\_{x}}记*a* ∗ *a*−1。

现在定义{\displaystyle G(x,y)}为所有使{\displaystyle 1\_{x}\*f\*1\_{y}}存在的*f*的集合。给定{\displaystyle f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),}其组合定义为{\displaystyle gf:=f\*g\in G(x,z).}这是良定义的，因为可观察到{\displaystyle (1\_{x}\*f)\*1\_{y}}、{\displaystyle 1\_{y}\*(g\*1\_{z})}都存在，{\displaystyle (1\_{x}\*f\*1\_{y})\*(g\*1\_{z})=f\*g}也存在。这样，*x*的恒等态射就是{\displaystyle 1\_{x}}，*f*的范畴论逆是*f*−1。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

### 顶点群与轨道

给定广群*G*，其中的**顶点群**或**迷向群**或**轨道群**是{\displaystyle G(x,\ x)(x\in G)}的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群*G*在点{\displaystyle x\in X}处的**轨道**由集合{\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}给出，当中包含了可用*G*中的态射连接到x的每个点。若*x*、*y*两点在相同的轨道上，则它们的顶点群*G(x)*、*G(y)*群同构：若{\displaystyle f:\ x\to y}，则同构由{\displaystyle g\to fgf^{-1}}给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为**传递**的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

### 子广群与态射

{\displaystyle G\rightrightarrows X}的**子广群**是子范畴{\displaystyle H\rightrightarrows Y}，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即{\displaystyle \forall x,y\in Y}都有{\displaystyle X=Y}或{\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}，则也称其为**宽**或**满**。

**广群映射**简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若{\displaystyle \forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,}都有{\displaystyle e\in E:\ x\to }，使得{\displaystyle p(e)=b}，则广群的态射{\displaystyle p:E\to B}称作纤维化。若这样的*e*是唯一的，则纤维化称作**覆盖态射**或**广群的覆盖**。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。
同样，给点广群*B*的覆盖态射范畴，等同于广群*B*对对集合的作用范畴。

例子
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### 拓扑

条目：基本广群
给定拓扑空间*X*，令{\displaystyle G\_{0}}为集合*X*。从点*p*到点*q*的态射是*p*到*q*的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作*X*的基本广群，记作{\displaystyle \pi \_{1}(X)}（有时是{\displaystyle \Pi \_{1}(X)}）。通常的基本群{\displaystyle \pi \_{1}(X,x)}于是就是点x的顶点群。

基本广群{\displaystyle \pi \_{1}(X)}的轨道是*X*的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群{\displaystyle \pi \_{1}(X,A)}，其中{\displaystyle A\subset X}是选定的基点集合。当中{\displaystyle \pi \_{1}(X,A)}是{\displaystyle \pi \_{1}(X)}的（宽）子广群，这里只考虑端点属于*A*的路径。集合*A*可据当前情况的几何形状来选择。

### 等价关系

若*X*是集合体，即具有等价关系{\displaystyle \sim }的集合，则"表示"这等价关系的广群可由如下构成：

* 广群对象是*X*的元素；
* {\displaystyle \forall x,\ y\in X,}有单态射{\displaystyle (y,x):\ x\to y}，当且仅当{\displaystyle x\sim y}；
* {\displaystyle (z,y)}与{\displaystyle (y,x)}的组合是{\displaystyle (z,x)}。

这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

* *X*每个元素若都与*X*的其他元素有联系，则就得到了*X*的**对广群**，其以整个{\displaystyle X\times X}作为箭头集，且是传递的。
* *X*每个元素若只与自身有关系，就得到了**单位广群**，其以*X*为箭头集，{\displaystyle s=t=id\_{X}}，是完全不传递的（每个单子{\displaystyle \{x\}}都是轨道）。

#### 例子

* 若{\displaystyle f:X\_{0}\to Y}是光滑流形的光滑满射浸没，则{\displaystyle X\_{0}\times \_{Y}X\_{0}\subset X\_{0}\times X\_{0}}是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，*Y*与{\displaystyle X\_{0}}的商拓扑拓扑同构。若记{\displaystyle X\_{1}=X\_{0}\times \_{Y}X\_{0}}则可得广群
> {\displaystyle X\_{1}\rightrightarrows X\_{0}}
> 
> 

有时称为光滑流形的满射浸没的**平庸广群**。
* 若放宽自反性要求、考虑*偏等价关系*，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作**PER模型**。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

### 切赫广群

参见：单纯流形和神经复形
切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形*X*的开覆盖{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U\_{i}\}\_{i\in I}}所给出的等价关系相关联。其对象由不交并

> {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{0}=\coprod U\_{i}}
> 
> 

给出，其箭头是相交

> {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1}=\coprod U\_{ij}}.
> 
> 

源映射与目标映射由诱导映射给出

> {\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi \_{j}:U\_{ij}\to U\_{j}\\t=\phi \_{i}:U\_{ij}\to U\_{i}\end{aligned}}}
> 
> 

包含映射

> {\displaystyle \varepsilon :U\_{i}\to U\_{ii}}
> 
> 

则给出了广群的结构。实际上，还可设置

> {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{n}={\mathcal {G}}\_{1}\times \_{{\mathcal {G}}\_{0}}\cdots \times \_{{\mathcal {G}}\_{0}}{\mathcal {G}}\_{1}}
> 
> 

为*n*次迭代的纤维积来进一步扩展，其中{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{n}}表示*n*个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为

> {\displaystyle {\begin{matrix}U\_{ijk}&\to &U\_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U\_{ik}&\to &U\_{i}\end{matrix}}}
> 
> 

是笛卡儿图，其中到{\displaystyle U\_{i}}的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环

> {\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}
> 
> 

对某个阿贝尔群之常数层可表为函数

> {\displaystyle \sigma :\coprod U\_{i\_{1}\cdots i\_{k}}\to A}
> 
> 

给出了上同调类的明确表示。

### 群作用

若群*G*作用于集合*X*，则可由如下方式组成代表群作用的**作用广群**或**变换广群**：

* 对象是*X*的元素；
* {\displaystyle \forall x,\ y\in X}，态射{\displaystyle x\to y}对应{\displaystyle g\in G}，使得{\displaystyle gx=y}；
* 态射的复合解释了*G*的二元运算。

更明确地说，*作用广群*是小范畴{\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}、{\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}，源映射和目标映射分别为{\displaystyle s(g,x)=x}、{\displaystyle t(g,x)=gx}。通常表示为{\displaystyle G\ltimes X}（对于右作用记为{\displaystyle X\rtimes G}）。广群中的乘法（或组合）就是{\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}，定义条件是{\displaystyle y=gx}。

{\displaystyle \forall x\in X}，顶点群由{\displaystyle gx=x}的{\displaystyle (g,x)}组成，这只是给定作用在*x*处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述*G*集合的方法是函子范畴{\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}，当中{\displaystyle \mathrm {Gr} }是1个元素的广群（范畴），同构于群*G*。事实上，这个范畴的每个函子*F*都定义了集合{\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G}（即对{\displaystyle \mathrm {Gr} }中的每个态射）诱导了双射{\displaystyle F\_{g}}：{\displaystyle X\to X}。函子*F*的范畴结构保证了*F*定义了集合*G*上的*G*作用。（唯一）可表函子*F*：{\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }是*G*的凯莱表示。事实上，这个函子与{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}同构，因此将{\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}送到集合{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}，后者的定义就是"集合"*G*和{\displaystyle \mathrm {Gr} }的态射*g*（即*G*的元素*g*）到集合*G*的置换{\displaystyle F\_{g}}。由米田嵌入推导出：群*G*同构于*G*的置换群的子群{\displaystyle \{F\_{g}\mid g\in G\}}。

#### 有限集

考虑{\displaystyle \mathbb {Z} /2}在有限集{\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}上的群作用，其将每个数取负，于是{\displaystyle -2\mapsto 2}、{\displaystyle 1\mapsto -1}。商广群{\displaystyle [X/G]}是这个群作用的等价类集合{\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}，{\displaystyle [0]}在其上有群作用{\displaystyle \mathbb {Z} /2}。

#### 商簇

任何映射到{\displaystyle GL(n)}的有限群*G*都会在仿射空间{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是{\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}，有一点的稳定子*G*位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间{\displaystyle \mathbb {P} (n\_{1},\ldots ,n\_{k})}及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

### 广群的纤维积

给定具有广群态射的广群图

{\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}
其中{\displaystyle f:X\to Z}、{\displaystyle g:Y\to Z}，可组成广群{\displaystyle X\times \_{Z}Y}，其对象为三元组{\displaystyle (x,\phi ,y)}，其中{\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z}。态射可定义为一对态射{\displaystyle (\alpha ,\beta )}，其中{\displaystyle \alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'}，使得对三元组{\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z}中有{\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '}的交换图。

### 同调代数

具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

{\displaystyle C\_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C\_{0}}
可形成广群。其对象是集合{\displaystyle C\_{0}}，箭头是集合{\displaystyle C\_{1}\oplus C\_{0}}；源映射只是到{\displaystyle C\_{0}}的映射，目标映射是对{\displaystyle C\_{1}}与*d*的组合跟到{\displaystyle C\_{0}}的映射的加法。也就是说，给定{\displaystyle c\_{1}+c\_{0}\in C\_{1}\oplus C\_{0}}，有

{\displaystyle t(c\_{1}+c\_{0})=d(c\_{1})+c\_{0}.}
当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

### 游戏

魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。

### 马蒂厄广群

马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

与群的关系
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若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）{\displaystyle (G,X)}同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象{\displaystyle x\_{0}}、群同构{\displaystyle h:\ G(x\_{0})\to G}、{\displaystyle \forall x\neq x\_{0},\ }态射{\displaystyle \in G:\ x\_{0}\to x}。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其**连通成分**（每个连通成分可能具有不同的群*G*与集合*X*）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合*X*，而只需指定群*G*。例如，

* *X*的基本广群等价于*X*的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集；
* 具有等价关系{\displaystyle \sim }的集合*X*等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
* 具备群*G*的作用的集合*X*等价（作为广群）于作用的每个轨道的*G*的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个{\displaystyle G(x)}，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个*p*点到每个*q*点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群*G*的子群*H*会产生‘’G*对*G*中*H*的陪集集的作用，从而产生*K*到*G*的覆盖态射*p*，其中*K*是顶点群与*H*同构的广群。这样，群*G*的表示就可以"提升"到广群*K*的表示，这是获取子群*H*的表现信息的有用方法。*

广群范畴
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对象是广群、态射是广群态射的范畴称作**广群范畴**，记作**Grpd**。

**Grpd**与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群{\displaystyle H,K}，我们都可以构造广群{\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}，其对象是态射{\displaystyle H\to K}、箭头是态射的自然等价。于是，若{\displaystyle H,K}只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群{\displaystyle G,H,K}都有自然双射

{\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}

即使所有广群{\displaystyle G,H,K}都只是群，这个结果也有意义。

**Grpd**既是完全范畴，又是余完全范畴。

### 与Cat的关系

包含态射{\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }有左右伴随函子：

{\displaystyle \hom \_{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom \_{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}
{\displaystyle \hom \_{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom \_{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}
当中，{\displaystyle C[C^{-1}]}表示反转每个态射的范畴局部化，{\displaystyle \mathrm {Core} (C)}表示所有同构的子范畴。

### 与sSet的关系

神经函子{\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }将**Grpd**嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随

{\displaystyle \hom \_{\mathbf {Grpd} }(\pi \_{1}(X),G)\cong \hom \_{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}
当中{\displaystyle \pi \_{1}(X)}表示单纯集*X*的基本广群。

### Grpd中的广群

条目：双重广群
广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即**双重广群**。因为**Grpd**是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子

> {\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}\_{1}\to {\mathcal {G}}\_{0}}
> 
> 

的广群{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1},{\mathcal {G}}\_{0}}，以及由恒等函子

> {\displaystyle i:{\mathcal {G}}\_{0}\to {\mathcal {G}}\_{1}}
> 
> 

给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块

> {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}与{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
> 
> 

其中{\displaystyle a}是同一个态射，则可以垂直相连，得到图

> {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
> 
> 

可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

具有几何结构的广群
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研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。

另见
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* ∞-广群
* 2-群
* 同伦类型论

参考文献
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* Brandt, H, Mathematische Annalen, 1927, **96** (1): 360–366, S2CID 119597988, doi:10.1007/BF01209171
* Brown, Ronald, 1987, "From groups to groupoids: a brief survey （页面存档备份，存于）," *Bull. London Math. Soc.* **19**: 113–34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.
* —, 2006. *Topology and groupoids.* Booksurge. Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. Groupoids are introduced in the context of their topological application.
* —, Higher dimensional group theory. （页面存档备份，存于） Explains how the groupoid concept has led to higher-dimensional homotopy groupoids, having applications in homotopy theory and in group cohomology. Many references.
* Dicks, Warren; Ventura, Enric, Mathematical Surveys and Monographs **195**, AMS Bookstore, 1996, ISBN 978-0-8218-0564-0
* Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P.. Journal of Algebra (Elsevier). 2000, **226**: 505–532. ISSN 0021-8693. S2CID 14622598. arXiv:math/9903129 可免费查阅. doi:10.1006/jabr.1999.8204.
* F. Borceux, G. Janelidze, 2001, *Galois theories.* Cambridge Univ. Press. Shows how generalisations of Galois theory lead to Galois groupoids.
* Cannas da Silva, A. and A. Weinstein, *Geometric Models for Noncommutative Algebras. （页面存档备份，存于）* Especially Part VI.
* Golubitsky, M. Ian Stewart, 2006, "Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism （页面存档备份，存于）", *Bull. Amer. Math. Soc.* **43**: 305-64
* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Higgins, P. J. "The fundamental groupoid of a graph of groups", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
* Higgins, P. J. and Taylor, J. "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space", in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math. Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.
* Higgins, P. J. 1971. *Categories and groupoids.* Van Nostrand Notes in Mathematics. Republished in *Reprints in Theory and Applications of Categories*, No. 7 (2005) pp. 1–195; freely downloadable （页面存档备份，存于）. Substantial introduction to category theory with special emphasis on groupoids. Presents applications of groupoids in group theory, for example to a generalisation of Grushko's theorem, and in topology, e.g. fundamental groupoid.
* Mackenzie, K. C. H. 2005. *General theory of Lie groupoids and Lie algebroids.* Cambridge Univ. Press.
* Weinstein, Alan, "Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour through some examples. （页面存档备份，存于）" Also available in Postscript. （页面存档备份，存于）, Notices of the AMS, July 1996, pp. 744–752.
* Weinstein, Alan, "The Geometry of Momentum （页面存档备份，存于）" (2002)
* R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In *Algebraic and geometric combinatorics*, volume 423 of *Contemp. Math*. 305–324. Amer. Math. Soc. Providence, RI (2006)
* *nLab*的fundamental groupoid條目
* *nLab*的core條目