y=7x^{4}+9x^{3}-24x^{2}-28x+48的圖形
**四次方程**，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为：

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\, 其中 a\neq 0\,
本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。

四次方程的解法
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数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程的求根公式那样， 能解所有的一元二次方程）意义重大。经过诸多研究后，数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，求根公式止步于四次方程，更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程，需要一种更为有效的方式来求解。

由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根，可以使用试错法，该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出，前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程，通过牛顿法等數值方法，可以轻易得到任意次方程的實數（數值）解。

特殊情况
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### 名义上的四次方程

如果e=0\,，那么其中一个根为 x=0 \,，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,
### 双二次方程

四次方程式中若b\  和 d\  均為 0\ 者有下列形态：

ax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!
因此它是一個**雙二次方程式**。解雙二次方程式非常容易，只要設 z=x^{2}\, ，我們的方程式便成為：

az^{2}+cz+e=0\,\!
這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：

z={{-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}} \over {2a}}\,\!
當我們求得 *z* 的值以後，便可以從中得到x \, 的值：

x\_{1}=+{\sqrt {z\_{1}}}\,\!
x\_{2}=-{\sqrt {z\_{1}}}\,\!
x\_{3}=+{\sqrt {z\_{2}}}\,\!
x\_{4}=-{\sqrt {z\_{2}}}\,\!
若任何一個 z \, 的值為負數或複數，那麼一些 x \, 的值便是複數。

费拉里的方法
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开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

### 转变成减少次数的四次方程

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以a \,

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad \qquad (1')
x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0.
第一步：消除 x^{3}\,列。为了做到这一步，先把变量x\,变成u\,，其中

x=u-{b \over 4a}.
将变量替换：\left(u-{b \over 4a}\right)^{4}+{b \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{3}+{c \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{2}+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.

展开后变成：{\displaystyle \left(u^{4}-{b \over a}u^{3}+{6u^{2}b^{2} \over 16a^{2}}-{4ub^{3} \over 64a^{3}}+{b^{4} \over 256a^{4}}\right)+{b \over a}\left(u^{3}-{3u^{2}b \over 4a}+{3ub^{2} \over 16a^{2}}-{b^{3} \over 64a^{3}}\right)+{c \over a}\left(u^{2}-{ub \over 2a}+{b^{2} \over 16a^{2}}\right)+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}

整理后变成以u为变量的表达式

u^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)u^{2}+\left({b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a}\right)u+\left({-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0.
现在改变表达式的系数，为

\alpha ={-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},
\beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},
\gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}.
结果就是我们期望的低级四次方程式，为

u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\qquad \qquad (1)
如果 \beta =0\, 那么等式就变成了雙二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 x\,的值.

### 费拉里的解法

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恆等式

(u^{2}+\alpha )^{2}-u^{4}-2\alpha u^{2}=\alpha ^{2}\,
从方程 (1)和上式，得出：

(u^{2}+\alpha )^{2}+\beta u+\gamma =\alpha u^{2}+\alpha ^{2}.\qquad \qquad (2)
结果把 u^{4}\,配成了完全平方式：(u^{2}+\alpha )^{2}\,。左式中，\alpha u^{2}\, 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程\left(2\right)\, 左边的完全平方中插入变量 y\,，相应地在右边插入一项2y\,。根据恒等式

{\begin{matrix}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha )+y^{2}\ \ \\&=&2yu^{2}+2y\alpha +y^{2},\end{matrix}}
及

0=(\alpha +2y)u^{2}-2yu^{2}-\alpha u^{2}\,两式相加，可得
(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\alpha u^{2}+2y\alpha +y^{2}\qquad \qquad （y\,的插入）
与等式(2)相加，得

(u^{2}+\alpha +y)^{2}+\beta u+\gamma =(\alpha +2y)u^{2}+(2y\alpha +y^{2}+\alpha ^{2})\,
也就是

(u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ).\qquad \qquad (3)
现在我们需要寻找一个y\,值，使得方程\left(3\right)\,的右边为完全平方。而这要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：

(su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,
右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：

(2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,
因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：

(-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0\,
把二项式与多项式相乘，

\beta ^{2}-4[2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+(\alpha ^{3}-\alpha \gamma )]=0\,两边除以4\,，再把-{\frac {\beta ^{2}}{4}}\,移动到右边，
2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+\left(\alpha ^{3}-\alpha \gamma -{\beta ^{2} \over 4}\right)=0\qquad \qquad 
这是关于y\,的三次方程。两边除以2\,，

y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)
#### 转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程

方程\left(4\right)\,是嵌套的三次方程。为了解方程\left(4\right)\,，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：

y=v-{5 \over 6}\alpha .
方程\left(4\right)\,变为

\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{3}+{5 \over 2}\alpha \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.
展开，得

\left(v^{3}-{5 \over 2}\alpha v^{2}+{25 \over 12}\alpha ^{2}v-{125 \over 216}\alpha ^{3}\right)+{5 \over 2}\alpha \left(v^{2}-{5 \over 3}\alpha v+{25 \over 36}\alpha ^{2}\right)+(2\alpha ^{2}-\gamma )v-{5 \over 6}\alpha (2\alpha ^{2}-\gamma )+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.
合并同类项，得

v^{3}+\left(-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma \right)v+\left(-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.
这是嵌套的三次方程。

记

P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,
Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}.
则此三次方程变为

v^{3}+Pv+Q=0.\qquad \qquad (5)
#### 解嵌套的降低次数的三次方程

方程\left(5\right)\,的解(三个解中任何一个都可以)为

令 {\displaystyle U={\sqrt[{3}]{{-Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}
（由三次方程）
{\displaystyle v=U-{P \over 3U}}
则原来的嵌套三次方程的解为

{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha -{P \over 3U}+U\qquad \qquad (6)}
注意 \left(1\right)\,： P=0\Longrightarrow {Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}}=0
注意 \left(2\right)\,： \lim \_{{P\to 0}}{P \over {\sqrt[ {3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}}}}}=0
#### 配成完全平方项

y\,的值已由\left(6\right)\,式给定，现在知道等式\left(3\right)\,的右边是完全平方的形式

s^{2}u^{2}+2stu+t^{2}=\left({\sqrt {s^{2}}}u+{2st \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}
这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。A\,的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个\pm a\,消去。
从而它可分解因式为：

(\alpha +2y)u^{2}+(-\beta )u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=\left[{\sqrt {\alpha +2y}}u+{(-\beta ) \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right]^{2}.
注：若 \beta \neq 0\, 则 \alpha +2y\neq 0\,。如果 \beta =0\,则方程为双二次方程，前面已讨论过。
因此方程\left(3\right)\,化为

(u^{2}+\alpha +y)^{2}=\left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)^{2}\qquad \qquad (7).
等式\left(7\right)\,两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：

(u^{2}+\alpha +y)=\pm \left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)\qquad \qquad (7').
对 u\,合并同类项，得

u^{2}+\left(\mp \_{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\right)u+\left(\alpha +y\pm \_{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)=0\qquad \qquad (8).
注：\pm \_{s} 及 \mp \_{s} 中的下标s\, 用来标记它们是相关的。
方程\left(8\right)\,是关于u\,的二次方程。其解为

u={\pm \_{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{t}{\sqrt {(\alpha +2y)-4(\alpha +y\pm \_{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}})}} \over 2}.
化简，得

u={\pm \_{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm \_{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.
这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为

x=-{b \over 4a}+{\pm \_{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm \_{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.\qquad \qquad (8')
注意：两个 \pm \_{s} 来自等式\left(7^{'}\right)\,的同一处，并且它们应有相同的符号，而 \pm \_{t} 的符号是无关的。
#### 费拉里方法的概要

给定一个四次方程

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,
其解可用如下方法求出：

\alpha =-{3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},
\beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},
\gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a},
若 \beta =0\,，求解 u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0\, 并代入 x=u-{b \over 4a}，求得根
x=-{b \over 4a}\pm \_{s}{\sqrt {-\alpha \pm \_{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0.
P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,
Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},
R={Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}},（平方根任一正负号均可）
U={\sqrt[ {3}]{R}},（有三个复根，任一个均可）
{\displaystyle y={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },}
x=-{b \over 4a}+{\pm \_{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm \_{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm \_{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.
两个\pm \_{s}\, 必须有相同的符号,\pm \_{t}\, 的符号无关。为得到全部的根，对\pm \_{s}\,，\pm \_{t}\, ,=,+\,,+\,及 +-\, 及 -+\, 及 --\, 来求x\,。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有\beta =0\,，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根U\, 的选取。（见对\left(8\right)\,相对\left(8^{'}\right)\,的注）
此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

x^{4}+6x^{2}-60x+36=0\, ，
它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

### 笛卡兒方法

(x-x\_{1})(x-x\_{2})(x-x\_{3})(x-x\_{4})=0\,
此四次方程是下列两个二次方程之积：

(x-x\_{1})(x-x\_{2})=0\qquad \qquad (9)
以及

(x-x\_{3})(x-x\_{4})=0.\qquad \qquad (10)
由于

x\_{2}=x\_{1}^{\star }
因此

{\begin{matrix}(x-x\_{1})(x-x\_{2})&=&x^{2}-(x\_{1}+x\_{1}^{\star })x+x\_{1}x\_{1}^{\star }\qquad \qquad \qquad \quad \\&=&x^{2}-2\,{\mathrm {Re}}(x\_{1})x+[{\mathrm {Re}}(x\_{1})]^{2}+[{\mathrm {Im}}(x\_{1})]^{2}.\end{matrix}}
设

a=-2\,{\mathrm {Re}}(x\_{1}),
b=[{\mathrm {Re}}(x\_{1})]^{2}+[{\mathrm {Im}}(x\_{1})]^{2}\,
则方程\left(9\right)\,
变为

x^{2}+ax+b=0.\qquad \qquad (11)
同时有(未知的)变量w\,和v\,使方程\left(10\right)\,
变为

x^{2}+wx+v=0.\qquad \qquad (12)
方程\left(11\right)\,与\left(12\right)\,
相乘，得

x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad \qquad (13)
把方程\left(13\right)\,
与原来的二次方程比较，可知

a+w={B \over A},
b+wa+v={C \over A},
wb+va={D \over A},
及

vb={E \over A}.
因此

w={B \over A}-a={B \over A}+2{\mathrm {Re}}(x\_{1}),
v={E \over Ab}={E \over A\left([{\mathrm {Re}}(x\_{1})]^{2}+[{\mathrm {Im}}(x\_{1})]^{2}\right)}.
方程\left(12\right)\,的解为

x\_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},
x\_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.
这两个解中的一个应是所求的实解。

歐拉的方法
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寫出式子 {\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}，令 {\displaystyle y=x+a/4},
把上式改寫為 {\displaystyle y^{4}+ey^{2}+fy+g=0},
再利用係數 {\displaystyle e,f,g} 造出另一式子: {\displaystyle z^{3}+(e/2)z^{2}+((e^{2}-4g)/16)z-f^{2}/64=0}, 求出 {\displaystyle z} 的三根，並用 {\displaystyle p,q,r} 代表它們。
那麼  y  的四個根就是
{\displaystyle +{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}}
{\displaystyle +{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}}
{\displaystyle -{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}}
{\displaystyle -{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}}

合併來看
二次方程根的樣式為 {\displaystyle j{\sqrt {A}}} ,其中 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1}\},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h^{2}=1}
三次方程根的樣式為 {\displaystyle j\_{1}{\sqrt[{3}]{A}}+j\_{2}{\sqrt[{3}]{B}}} ,其中 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2}\},\ \ \ \ \ h^{3}=1}
四次方程根的樣式為 {\displaystyle j\_{1}{\sqrt[{4}]{A}}+j\_{2}{\sqrt[{4}]{B}}+j\_{3}{\sqrt[{4}]{C}}} ,其中 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2},h^{3}\},h^{4}=1}
延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法
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### 化为双二次方程

一个例子可见双二次方程。

### 埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解

### 求根公式

四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。对于{\displaystyle {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}}，有：



x

1

=
−

b

4
a

+

1
2



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+


2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3



+

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a


−

1
2


b

2

2

a

2


−

4
c

3
a

−


2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3



−

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a

+

−

b

3

+
4
a
b
c
−
8

a

2

d

4

a

3



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+



2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3


+


2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a





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{\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}



x

2

=
−

b

4
a

+

1
2



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b

2
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)

2

−

2
c

3
a

+


2

3

(

c

2

−
3
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d
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12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

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2

−
4
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c

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12
a
e

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3



3



+

2

c

3

−
9
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c
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27
a

d

2

+
27

b

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e
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a
c
e
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(
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c

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a

d

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+
27

b

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e
−
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c
e

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2

−
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c

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a
e

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3



3

3

2

3

a


+

1
2


b

2

2

a

2


−

4
c

3
a

−


2

3

(

c

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a
e
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3
a

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c

3

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a

d

2

+
27

b

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e
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a
c
e
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(
2

c

3

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a

d

2

+
27

b

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e
−
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a
c
e

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2

−
4
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c

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e

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3



3



−

2

c

3

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9
b
c
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27
a

d

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27

b

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e
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a
c
e
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(
2

c

3

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a

d

2

+
27

b

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e
−
72
a
c
e

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2

−
4
(

c

2

−
3
b
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12
a
e

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3



3

3

2

3

a

−

b

3

−
4
a
b
c
+
8

a

2

d

4

a

3



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+



2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
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+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

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2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
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12
a
e

)

3



3


+


2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
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+
27
a

d

2

+
27

b

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e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

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−
3
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a
e

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3



3

3

2

3

a





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{\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}



x

3

=
−

b

4
a

−

1
2



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+


2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
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12
a
e

)

3



3



+

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
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27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
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12
a
e

)

3



3

3

2

3

a


−

1
2


b

2

2

a

2


−

4
c

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a

−


2

3

(

c

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−
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b
d
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12
a
e
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3
a

2

c

3

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b
c
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27
a

d

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+
27

b

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e
−
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a
c
e
+

(
2

c

3

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9
b
c
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a

d

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+
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b

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e
−
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a
c
e

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2

−
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c

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e

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3



3



−

2

c

3

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a

d

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e
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c

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a

d

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e

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2

−
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3



3

3

2

3

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+

b

3

−
4
a
b
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+
8

a

2

d

4

a

3



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b

2
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2

−

2
c

3
a

+



2

3

(

c

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e
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3
a

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c

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a

d

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e
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c
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c

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d

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b

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e
−
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c
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2

−
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c

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e

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3



3


+


2

c

3

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a

d

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b

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e
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c
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c

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d

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e
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a
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2

−
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3



3

3

2

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x

4

=
−

b

4
a

−

1
2



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+


2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3



+

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a


+

1
2


b

2

2

a

2


−

4
c

3
a

−


2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3



−

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a

+

b

3

−
4
a
b
c
+
8

a

2

d

4

a

3



(

b

2
a

)

2

−

2
c

3
a

+



2

3

(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e
)

3
a

2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3


+


2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e
+

(
2

c

3

−
9
b
c
d
+
27
a

d

2

+
27

b

2

e
−
72
a
c
e

)

2

−
4
(

c

2

−
3
b
d
+
12
a
e

)

3



3

3

2

3

a





{\displaystyle {x\_{4}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}

{\displaystyle {x_{4}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}
{\displaystyle {\Delta =256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}}[來源請求]

PlanetMath指出，这四个形式直接使用，即使是在计算机上也过于复杂。这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。

參見
--

* 费拉里
* 卡尔达诺

文獻
--

1. 1 2 .  [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-07-14）.   
. planetmath.org.  [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-01-18）.
2. 1 2 . planetmath.org.  [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-04-11）.

* Ferrari's achievement（页面存档备份，存于）
* 四次方程的求根公式（页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
多項式 |
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| 函數 | 
* 零次函數(常數函數)
* 一次函數
* 二次函数
* 三次函數
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* 因式
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* 秦九韶算法
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