代数拓扑中，**上积**或**杯积**（cup product）是将两个度为*p*和*q*的上循环联接起来，形成度为*p*+*q*的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间*X*的上同调转变为分次环{\displaystyle H^{\*}(X)}，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。

定义
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奇异上同调中，**上积**构造给出了拓扑空间*X*的分次上同调环{\displaystyle H^{\*}(X)}上的积。

构造始于上链之积：若{\displaystyle \alpha ^{p}}是*p*上链，且{\displaystyle \beta ^{q}}是*q*上链，则

{\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota \_{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota \_{p,p+1,...p+q})}
其中σ是奇异(*p* + *q*) 单纯形，{\displaystyle \iota \_{S},S\subset \{0,1,...p+q\}} 
是S张成的单纯形规范嵌入{\displaystyle (p+q)}单纯形，后者的顶点索引为{\displaystyle \{0,...p+q\}}。

非正式地，{\displaystyle \sigma \circ \iota \_{0,1,...p}}是σ的第*p*个**正面**（front face），{\displaystyle \sigma \circ \iota \_{p,p+1,...p+q}}是σ的第*q*个**背面**（back face）。

上链{\displaystyle \alpha ^{p}}与{\displaystyle \beta ^{q}}的上积的上边缘（coboundary）为

{\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}
两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算

{\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}

性质
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上同调中的上积满足以下特性

{\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}
因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面：若

f\colon X\to Y
是连续函数，

{\displaystyle f^{\*}\colon H^{\*}(Y)\to H^{\*}(X)}
是上同调中的诱导同态，则

{\displaystyle f^{\*}(\alpha \smile \beta )=f^{\*}(\alpha )\smile f^{\*}(\beta ),}
对{\displaystyle H^{\*}(Y)}中所有类α、β。也就是说，*f* \*是（分次）环同态。

解释
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可将上积{\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}视作由下面的组合诱导而来：

> {\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{\*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}
> 
> 

以X与X\times X的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角{\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：{\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}诱导了映射{\displaystyle \Delta ^{\*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}，但还会诱导映射{\displaystyle \Delta \_{\*}\colon H\_{\bullet }(X)\to H\_{\bullet }(X\times X)}，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即{\displaystyle (u\_{1}+u\_{2})\smile v=u\_{1}\smile v+u\_{2}\smile v}；{\displaystyle u\smile (v\_{1}+v\_{2})=u\smile v\_{1}+u\smile v\_{2}.}

例子
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上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间{\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}与环面*T*具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在*X*的情况下，与 S^{1}相关的上链的乘法是退化的；而在*T*中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于**Z**（更一般地说是*M*，此处是基模）。

其他定义
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### 上积与微分形式

在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

### 上积与几何相交

环绕数可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 \mathbb {R} ^{3}变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。
对于定向流形，有几何启发式，即"上积与相交是对偶的"。

令M为n维定向光滑流形。若两个余维分别是*i*、*j*的子流形A,B横截着交，那么它们的交{\displaystyle A\cap B}又是余维是*i* + *j*的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对{\displaystyle [A]^{\*},[B]^{\*}\in H^{i},H^{j}}则有以下等式：

{\displaystyle [A]^{\*}\smile [B]^{\*}=[A\cap B]^{\*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}.

同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。

梅西积
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梅西积推广了上积，允许定义"高阶环绕数"，即米尔诺不变量。
条目：梅西积
上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

另见
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* 奇异同调
* 同调
* 下积
* 梅西积

参考文献
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1. 1 2  Hutchings, Michael.  (PDF).
2. ↑  Ciencias TV, 2016-12-10  [2018-04-26], （原始内容存档于2021-12-21）

* James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
* Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
* Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0