傑恩斯-卡明斯模型。圓圈內展示了光子的發射與吸收
**傑恩斯-卡明斯模型**（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理论模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在电磁辐射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

公式
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系统哈密頓量

{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}\_{\text{field}}+{\hat {H}}\_{\text{atom}}+{\hat {H}}\_{\text{int}}}
由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}\_{\text{field}}&=&\hbar \omega \_{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}\_{\text{atom}}&=&\hbar \omega \_{a}{\frac {{\hat {\sigma }}\_{z}}{2}}\\{\hat {H}}\_{\text{int}}&=&{\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{array}}}
為方便起見，设真空場能量為 {\displaystyle 0}.

其中：

* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}場運算符，目的是把量化輻射場转化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
	+ {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}是玻色子的創生算符
	+ {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}\end{smallmatrix}}} 是玻色子的湮滅算符

* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {S}}={\hat {\sigma }}\_{+}+{\hat {\sigma }}\_{-}\end{smallmatrix}}}是原子耦合區的偏振運算符
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}\_{+}=|e\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}}與{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}\_{-}=|g\rangle \langle e|\end{smallmatrix}}} 是原子的階梯算符
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}\_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}} 是原子反轉運算符
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega \_{a}\end{smallmatrix}}}是原子的躍遷頻率
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega \_{c}\end{smallmatrix}}} 是模型的角頻率

### JCM哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame)) ，使得{\displaystyle {\begin{smallmatrix}H\_{0}={\hat {H}}\_{\text{field}}+{\hat {H}}\_{\text{atom}}\end{smallmatrix}}}，可以得到：

{\displaystyle {\hat {H}}\_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}\_{-}e^{-i(\omega \_{c}+\omega \_{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}\_{+}e^{i(\omega \_{c}+\omega \_{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}\_{+}e^{i(-\omega \_{c}+\omega \_{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}\_{-}e^{-i(-\omega \_{c}+\omega \_{a})t}\right).}
這個哈密頓量同時包含了兩個部分：

* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega \_{c}+\omega \_{a})\end{smallmatrix}}} 是快速震蕩，
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega \_{c}-\omega \_{a})\end{smallmatrix}}} 是慢速震蕩。

為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\omega \_{c}-\omega \_{a}|\ll \omega \_{c}+\omega \_{a}\end{smallmatrix}}}
的時候，快速振盪的 "反向旋轉"項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

{\displaystyle {\hat {H}}\_{\text{JC}}=\hbar \omega \_{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega \_{a}{\frac {{\hat {\sigma }}\_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}\_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}\_{-}\right).}
其中，

* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\hbar \Omega /2=d(\omega \_{a}/\hbar V\epsilon \_{0})^{1/2}\end{smallmatrix}}}是原子場的耦合常數，
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}}}是原子躍遷時刻，
* {\displaystyle {\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}}}是腔模的體積。

### 本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

{\displaystyle {\hat {H}}\_{\text{JC}}={\hat {H}}\_{I}+{\hat {H}}\_{II},}

其中，

> {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}\_{I}&=&\hbar \omega \_{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}\_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}\_{II}&=&\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}\_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}\_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}\_{-}\right)\end{array}}}
> 
> 

> {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\delta =\omega \_{a}-\omega \_{c}\end{smallmatrix}}} 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。
> 
> 

為了更好地求解哈密頓量，把{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\begin{smallmatrix}{\hat {H}}\_{I}\end{smallmatrix}}\end{smallmatrix}}}的本徵態轉換成張量積 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,g\rangle ,|n,e\rangle \end{smallmatrix}}}（{\displaystyle {\begin{smallmatrix}n\in \mathbb {N} \end{smallmatrix}}}，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態{\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi \_{1n}\rangle :=|n,e\rangle \end{smallmatrix}}} 與狀態{\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi \_{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle \end{smallmatrix}}}
會退化為{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}\_{I}\end{smallmatrix}}} ，{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}\_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}} 足以在子空間{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\text{span}}\{|\psi \_{1n}\rangle ,|\psi \_{2n}\rangle \}\end{smallmatrix}}}對角化。 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}\_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}}的元素屬於{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{H}\_{ij}^{(n)}:=\langle \psi \_{in}|{\hat {H}}\_{\text{JC}}|\psi \_{jn}\rangle \end{smallmatrix}}}的子空間，表示為：

{\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega \_{c}+{\frac {\omega \_{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega \_{c}-{\frac {\omega \_{a}}{2}}\end{pmatrix}}}
對於任意正整數n，能量本徵態{\textstyle {\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}}}為：

{\displaystyle E\_{\pm }(n)=\hbar \omega \_{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega \_{n}(\delta ),}
其中，{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\Omega \_{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}\end{smallmatrix}}} 是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}}的特徵值是：

{\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|\psi \_{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|\psi \_{2n}\rangle }
{\displaystyle |n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|\psi \_{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|\psi \_{2n}\rangle }
其中，{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\angle \alpha \_{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)\end{smallmatrix}}}

### 薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|\psi \_{\text{field}}(0)\rangle =\sum \_{n}{C\_{n}|n\rangle }~\end{smallmatrix}}}，若置一激發態原子于場內，則系統初態為：

{\displaystyle |\psi \_{\text{tot}}(0)\rangle =\sum \_{n}C\_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|n,+\rangle -\sin \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}
其中 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}} 是該系統的定態, 含時狀態向量是：

{\displaystyle |\psi \_{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}\_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi \_{\text{tot}}(0)\rangle =\sum \_{n}C\_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE\_{+}(n)t/\hbar }-\sin \left({\frac {\alpha \_{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE\_{-}(n)t/\hbar }\right],t>0}

### 相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :

{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}\_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega \_{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega \_{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega \_{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega \_{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}
其中，定義算符{\displaystyle ~{\hat {\varphi }}~}為

{\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}
{\displaystyle ~{\hat {U}}~}的么正(unitary )被恆等定義：

{\displaystyle {\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},}
{\displaystyle \cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},}
么正算符可以計算被密度矩陣{\displaystyle ~{\hat {\rho }}(t)~}所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態{\displaystyle ~{\hat {\rho }}(0)~}，則有：

{\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}，
{\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle \_{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]} ，
其中，{\displaystyle ~{\hat {\Theta }}~} 是表示可觀測量的算符。

量子震盪的崩塌和復興
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ColRev3a40

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}a=(\delta /(2g))^{2}=40\end{smallmatrix}}}， 其中{\displaystyle \delta }是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

參考資料
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1. ↑  S. Stenholm, "Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules", *Physics Reports*, **6**(1), 1-121 (1973).
2. ↑  A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba.. J. Phys. A: Math. Theor. 2009, (42): 195304, 16. Bibcode:2009JPhA...42s5304K. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304.

參考文獻
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* Serge Haroche, Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0198509141

延伸閱讀
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* C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). *Introductory Quantum Optics*, Cambridge: Cambridge University Press.
* M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), *Quantum Optics*, Cambridge: Cambridge University Press.
* D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), *Quantum Optics*, Springer-Verlag.