**克喇末-克勒尼希關係式**（英語：）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。

公式定義
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給定一複數變數\omega 的複值函數{\chi (\omega )}=\chi \_{1}(\omega )+i\chi \_{2}(\omega )，其中{\displaystyle \chi \_{1}}和{\displaystyle \chi \_{2}}是實值函數。假設此函數\chi (\omega )在複數平面上半部可析，且當|\omega |趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比1/|\omega |快或與之相等，那么\chi (\omega )满足以下關係：

\chi \_{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi \_{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '
和

\chi \_{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi \_{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',
其中\mathcal{P}表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導
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推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數\chi (\omega ^{\prime })和實數\omega 函數{\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。
\oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0
選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和|\omega |成正比，因此只要\chi (\omega ^{\prime })消失比{1}/{\omega ^{\prime }}快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits \_{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.
以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits \_{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.
分母裡的虚數i意味者這是連系實部和虚部的公式。把\chi (\omega )分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解
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可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数\chi (t-t^{\prime })概括系統對在時間t^{\prime }的作用力F(t^{\prime })在另一時間t的反應P(t)：

P(t)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }
因為系統不能在施力前有任何反應因此當t^{\prime }>t，\chi (t-t^{\prime })=0。
可以證明這因果關係意味着\chi (\tau )的傅立葉變換\chi (\omega )在\omega 複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此\omega 很大時，\chi (\omega )會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數\chi (\omega )通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數\chi (\omega )的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函数的积分路径是从-\infty 到\infty，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为\chi (\omega )是实数变量\chi (t-t')的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，\chi (-\omega )=\chi ^{\*}(\omega )，\chi \_{1}(\omega )是频率\omega 的偶函数，而\chi \_{2}(\omega )是\omega 的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为[0,\infty )的区间上。考虑实部\chi \_{1}(\omega )的第一个关系，积分函数上下同乘\omega '+\omega 可得：

{\displaystyle \chi \_{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi \_{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}\_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi \_{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}
由于\chi \_{2}(\omega )为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

\chi \_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int \_{{0}}^{{\infty }}{\frac {\omega '\chi \_{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.
类似的推导亦可用于虚部：

\chi \_{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int \_{0}^{{\infty }}{\frac {\omega \chi \_{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\chi \_{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.
该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

參考文献
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1. ↑  G. Arfken.. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.