在随机分析中，**伊藤引理**（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本
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### 第一引理

对于布朗运动W\_{t}和二次可导函数f(x)，以下等式成立：

df(W\_{t})=f'(W\_{t})dW\_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W\_{t})dt
其中過程：

{\displaystyle dtdt=0,dtdW\_{t}=dW\_{t}dt=0,dW\_{t}dW\_{t}=dt}
其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

de^{{W\_{t}^{2}}}=2W\_{t}e^{{W\_{t}^{2}}}dW\_{t}+(e^{{W\_{t}^{2}}}+2W\_{t}^{2}e^{{W\_{t}^{2}}})dt
### 第二引理

对于伊藤过程{\displaystyle X\_{t}}和二次可导函数{\displaystyle f(t,x)}，以下等式成立

{\displaystyle df(t,X\_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX\_{t}}
### 第三引理

定义伊藤过程{\displaystyle X\_{t}}为满足下列随机微分方程的随机过程

{\displaystyle dX\_{t}=\mu \_{t}\,dt+\sigma \_{t}\,dW\_{t}}
对于伊藤过程{\displaystyle X\_{t}}和二次可导函数{\displaystyle f(t,x)}，以下等式成立：

{\displaystyle df(t,X\_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu \_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma \_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma \_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW\_{t}.}
类似地，定义多维伊藤过程{\displaystyle \mathbf {X} \_{t}=(X\_{t}^{1},X\_{t}^{2},\ldots ,X\_{t}^{n})^{T}}使得

{\displaystyle d\mathbf {X} \_{t}={\boldsymbol {\mu }}\_{t}\,dt+\mathbf {G} \_{t}\,d\mathbf {B} \_{t}}
其中{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\_{t}}为n维向量，{\displaystyle \mathbf {G} \_{t}}为n阶方块矩阵；有如下等式：

{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} \_{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla \_{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} \_{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} \_{t}\right)^{T}\left(H\_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} \_{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla \_{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}\_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} \_{t}^{T}\left(H\_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} \_{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla \_{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} \_{t}\,d\mathbf {B} \_{t}\end{aligned}}}
其中，{\displaystyle \nabla \_{\mathbf {X} }f}是*f*关于*X*的梯度，*H***X** *f* 是*f*关于*X*的黑塞矩陣，Tr是跡的符号。

到半鞅的拓展
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### 连续半鞅

df(X\_{t})=\sum \_{{i=1}}^{d}f\_{{i}}(X\_{t})\,dX\_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum \_{{i,j=1}}^{d}f\_{{i,j}}(X\_{t})\,d[X^{i},X^{j}]\_{t}.
### 不连续半鞅

{\begin{aligned}f(X\_{t})=&f(X\_{0})+\sum \_{{i=1}}^{d}\int \_{0}^{t}f\_{{i}}(X\_{{s-}})\,dX\_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum \_{{i,j=1}}^{d}\int \_{0}^{t}f\_{{i,j}}(X\_{{s-}})\,d[X^{i},X^{j}]\_{s}\\&{}+\sum \_{{s\leq t}}\left(\Delta f(X\_{s})-\sum \_{{i=1}}^{d}f\_{{i}}(X\_{{s-}})\,\Delta X\_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum \_{{i,j=1}}^{d}f\_{{i,j}}(X\_{{s-}})\,\Delta X\_{s}^{i}\,\Delta X\_{s}^{j}\right).\end{aligned}}
### 泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度*h*，根据跳跃的泊松过程模型，在区间[t,\ t+\Delta t]上出现一次跳跃的概率是h\Delta t 加上\Delta t的高阶无穷小量。*h*可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间[0,t]上没有跳跃的概率称为生存概率p\_{s}(t)，其变化是：

dp\_{s}(t)=-p\_{s}(t)h(t)\,dt.
因此生存概率为：

p\_{s}(t)=\exp \left(-\int \_{0}^{t}h(u)\,du\right).
定义非连续随机过程S(t)，并把S(t^{-})记为从左侧到达*t*时*S*的值，记d\_{j}S(t)是一次跳跃导致S(t)的非无穷小变化。有：

d\_{j}S(t)=\lim \_{{\Delta t\to 0}}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))
\eta (S(t^{-}),z)是跳跃幅度*z*的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

E[d\_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int \_{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.
定义补偿过程和鞅dJ\_{S}(t)： 

dJ\_{S}(t)=d\_{j}S(t)-E[d\_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int \_{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.
因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

d\_{j}S(t)=E[d\_{j}S(t)]+dJ\_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int \_{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ\_{S}(t).
因此如果随机过程S同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d\_{j}S(t).
考虑其函数g(S(t),t)。S(t)跳跃\Delta s的幅度，会导致g(t)跳跃\Delta g幅度。\Delta g取决于g的跳跃分布\eta \_{g}()，有可能依赖于跳跃前的函数值g(t^{-})，函数微分*dg*以及跳跃前的自变量值S(t^{-})。g的跳跃部分是：

{\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int \_{{\Delta g}}\,\Delta g\eta \_{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ\_{g}(t).\end{aligned}}
函数g(S(t),t)的伊藤引理是：

{\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int \_{{\Delta g}}(\Delta g\eta \_{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ\_{g}(t).\end{aligned}}
可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子
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### 布莱克-舒尔兹模型

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动{\displaystyle dS=\mu Sdt+\sigma SdW}，且其期权的价格是股票价格和时间的函数{\displaystyle V=f(t,S)}。根据伊藤引理，有

{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW}
整理可得

{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}
式中{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}项表明期权价格的波动等于持有{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}}单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率r增长，即

{\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}
比较两式dt项的系数，可得

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0}

参看
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* 费曼－卡茨公式

參考資料
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* Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
* PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
* Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy