**均勻收斂**，或稱，（英語：），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 *fn* 一致收斂至函數 *f*，代表對所有定義域中的點 *x*，*fn*(*x*) 收斂至 *f*(*x*) 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。

定義
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當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb {C}  時，此時均勻收歛的定義為：

讓 {\displaystyle (f\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} 是定義在 S 上，對應域為 \R 或 
\mathbb {C} 的一組函數序列，若序列 {\displaystyle (f\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} 均勻收歛至函數 
f 在集合 S 上，即表示對所有 \epsilon >0，存在 
N\in \mathbb{N} ，使得當所有 n\geq N 且 x\in S 時有

{\displaystyle |f\_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}
可將這定義推廣到一般的度量空間：

設 S 為一集合，(M,d) 為度量空間。若對一組函數序列 f\_{n}:S\to M，存在函數 f:S\to M 滿足
對所有 \epsilon >0，存在 N\in \mathbb{N} ，使得當所有 n\geq N 且
{\displaystyle x\in S} 時有

{\displaystyle d(f\_{n}(x),f(x))<\epsilon ,}
則稱序列 f\_{n} 一致收斂到 f。

  

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 N的選取仅与 \epsilon  相关，而在逐点收敛中 N 还多了与點 x 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子
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在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列
例子一：對任何[0,1]上的連續函數f，考慮多項式序列

{\displaystyle P\_{n}(x):=\sum \_{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}
可證明P\_{n}在區間[0,1]上一致收斂到函數f。其中的{\displaystyle b\_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}稱為**伯恩斯坦多項式**。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子
例子二：考慮區間[0,\pi ]上的函數序列{\displaystyle f\_{n}(x):=\sin ^{n}(x)}，它逐點收斂到函數

f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}
然而這並非一致收斂。直觀地想像：當x愈靠近\pi/2，使f\_{n}(x)接近{\displaystyle 0}所需的n便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中f\_{n}(x)皆連續，而f(x)不連續。

性質
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讓 (f\_{n}) 為一組函數序列，對應域為 \R 或 \mathbb {C} ，此時有下述性質：

* **連續性**：若函數序列 (f\_{n}) 均勻收歛至函數 f，則有：

1. 假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 I，且 a 是 I 的中的一點。若每個 f\_{n} 都在 a 點連續，則 f 也在 a 點連續。
2. 若对集合 I 的每個緊緻子集 J，每個 f\_{n} 都在 J 上連續，則 f 在 I 上連續。

* 與**積分的交換**：令 (f\_{n}) 為定義在緊緻區間 I 的函數序列，且序列 (f\_{n}) 均勻收歛至函數 f。若每個 f\_{n} 都是黎曼可積，則 f 也是黎曼可積，而且

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\int \_{S}f\_{n}\mathrm {d} x=\int \_{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad }
* **與微分的交換**：可微函數序列 (f\_{n}) 均勻收歛至函數 f，並不能保證 f 是可微的，還需要對該函數序列的微分，{\displaystyle (f'\_{n})}，做些限制，請參看以下定理：

讓 (f\_{n}) 為定義在閉區間 [a,b] 的可微函數序列，且存在一點 {\displaystyle x\_{0}\in [a,b]} 使得極限 {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f\_{n}(x\_{0})} 存在（且有限）。若序列的微分 {\displaystyle (f'\_{n})} 在區間 [a,b] 一致收斂到函數 g，則序列 (f\_{n}) 均勻收歛至函數 f 且 f 亦是可微函數，且有：
{\displaystyle f'=g=\lim \_{n\to \infty }f'\_{n}}。

文獻
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* Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
* G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, **19**, pp. 148-156（1918）
* Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X

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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
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| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
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| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
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| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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