此條目介紹的是複分析中的歐拉公式。关于代数拓扑或者多面體的歐拉公式，请见「**歐拉示性数**」。  **提示**：此条目页的主题不是**歐拉定理**。 

| 数学常数 e |
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性质 |
| * 自然對數
* 指数函数
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应用 |
| * 复利
* 歐拉恆等式
* 欧拉公式
* 半衰期
	+ 指数增長和衰减
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| e 的定义 |
| * e是无理数的證明（英语：）
* e 的各种表示（英语：）
* 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
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相关人物 |
| * 約翰·納皮爾
* 萊昂哈德·歐拉
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有关主题 |
| * 沙努尔猜想（英语：）
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| * 
* 论
* 编
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**欧拉公式**（英語：，又稱**公式**）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 {\displaystyle x}，都存在

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
其中 {\displaystyle e} 是自然对数的底数，{\displaystyle i} 是虚数單位，而 {\displaystyle \cos } 和 {\displaystyle \sin } 則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数 {\displaystyle x} 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 cis *x* （英語：，余弦加*i* 乘以正弦）。由於該公式在 {\displaystyle x} 為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式。

歐拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将歐拉公式称为："我们的珍宝"和"数学中最非凡的公式"。

当 {\displaystyle x=\pi } 时，歐拉公式变为{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}，即歐拉恒等式。

在複分析的應用
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這公式可以說明當 {\displaystyle x} 為實數時，函數 {\displaystyle e^{ix}} 可在複數平面描述一單位圓。且 {\displaystyle x} 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡尔坐标系描述，歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 {\displaystyle z=x+yi} 皆可記為

{\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}
在此

{\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,}為實部
{\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,}為虛部
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}為 {\displaystyle z} 的模
{\displaystyle \phi =\mathrm {atan2} {(y,x)}}，其中 {\displaystyle \mathrm {atan2} {(y,x)}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y\geq 0,x<0\\-\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y<0,x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}

历史
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約翰·伯努利注意到有

{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}
并且由于

{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}
上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于複對數的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，罗杰·柯特斯（英语：）于 1714 年发现

{\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}
由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2*i*π 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数視做复平面中的点。

形式
--

参见：欧拉恒等式

对于任意实数{\displaystyle x\,}，以下等式恆成立：

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
由此也可以推导出

{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}及{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}。
当{\displaystyle x=\pi \,}时，欧拉公式的特殊形式为

{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}。

证明
--

首先，在复数域上对{\displaystyle e^{x}\,}进行定义：

对于{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,c=a+ib\in \mathbb {C} }，规定{\displaystyle e^{c}=\lim \_{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {c}{n}})^{n}}。

对复数的极坐标表示{\displaystyle w=u+iv=r(\cos \theta +i\sin \theta )}，有：

{\displaystyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\in \mathbb {R} ,\theta =\arctan({\frac {v}{u}})\in \mathbb {R} }

且根据棣莫弗公式，{\displaystyle w^{n}=(u+iv)^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}

从而有：

{\displaystyle (1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=[(1+{\frac {a}{n}})+i{\frac {b}{n}}]^{n}=r\_{n}(\cos \theta \_{n}+i\sin \theta \_{n})}

假设{\displaystyle n>|a|}，则：

{\displaystyle r\_{n}=[(1+{\frac {a}{n}})^{2}+({\frac {b}{n}})^{2}]^{\frac {n}{2}},\theta \_{n}=n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}}}

（由於包含n在冪，所以要ln）从而有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{n\rightarrow \infty }\ln r\_{n}&=\lim \_{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}\ln(1+{\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=\lim \_{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}({\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=a\\\end{aligned}}}

這一步驟用到 {\displaystyle \ln(1+x)\approx x}（墨卡托級數）

  

即：

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }r\_{n}=\lim \_{n\rightarrow \infty }e^{\ln r\_{n}}=e^{a}}

又有(arctan x 約等於x 於0附近）：

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{n\rightarrow \infty }\theta \_{n}&=\lim \_{n\rightarrow \infty }(n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=\lim \_{n\rightarrow \infty }(n{\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=b\\\end{aligned}}}

从而可以证明：

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}

即：

{\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}

令{\displaystyle a=0}，可得欧拉公式。

证毕。

验证方法
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方法一：泰勒级数
把函数{\displaystyle e^{x}\,}、{\displaystyle \cos x\,}和{\displaystyle \sin x\,}写成泰勒级数形式：
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
将{\displaystyle x=iz\,}代入{\displaystyle e^{x}\,}可得：
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}
方法二：求導法
对于所有{\displaystyle x\in I}，定義函數{\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}}
由於{\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1}
可知{\displaystyle e^{ix}\,}不可能為0，因此以上定義成立。
{\displaystyle f(x)\,}之导数為：
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}
设{\displaystyle [a,b]\in I}和{\displaystyle c\in (a,b)}
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}（拉格朗日中值定理）
{\displaystyle \because f'(x)=0}
{\displaystyle \therefore f'(c)=0}
{\displaystyle f(a)=f(b)}
因此{\displaystyle f(x)\,}必是常數函數。
{\displaystyle f(x)=f(0)}
{\displaystyle }
{\displaystyle {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1}
重新整理，即可得到：
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
方法三：微積分
找出一个原函數{\displaystyle y(x)}，使得{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=iy}及{\displaystyle y(0)=1}。
假设 {\displaystyle y(x)=e^{ix}}，有：
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{ix}=ie^{ix}=iy}
假设 {\displaystyle y(x)=i\sin x+\cos x}，有：
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)&=-\sin x+i\cos x\\&=i(i\sin x+\cos x)\\&=iy\end{aligned}}}
使用積分法，可得{\displaystyle iy}的原函數是以上兩個函數分别与任意实数的和，分别记为：
{\displaystyle y\_{1}(x)=e^{ix}+C\_{1}}
{\displaystyle y\_{2}(x)=\cos x+i\sin x+C\_{2}}
其中，{\displaystyle \mathbb {C} \_{1}}和:{\displaystyle \mathbb {C} \_{2}}是任意实数。
又{\displaystyle x=0}時，{\displaystyle y(0)=1}，观察到：
{\displaystyle y\_{1}(0)=e^{i0}+C\_{1}=e^{0}+C\_{1}=1+C\_{1}}
{\displaystyle y\_{2}(0)=\cos 0+i\sin 0+C\_{2}=1+i(0)+C\_{2}=1+C\_{2}}
所以{\displaystyle C\_{1}=C\_{2}=0}，可以得出：
{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}

cis函數
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条目：cis函數
在複分析領域，歐拉公式亦可以以函數的形式表示

{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta }
{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}
並且一般定義域為{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}，值域為{\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}（复平面上的所有单位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

當{\displaystyle \theta }值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

檢定和角公式
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由於{\displaystyle e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }且{\displaystyle e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta }，則有

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{i(\alpha +\beta )}&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=e^{i\alpha +i\beta }\\&=e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \times \cos \beta +i\sin \alpha \times i\sin \beta )+(i\sin \alpha \times \cos \beta +\cos \alpha \times i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\\\end{aligned}}}
實部等於實部，虛部等於虛部，因此

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }

參見
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* cis函數
* 歐拉恆等式

参考资料
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1. ↑ . 密蘇里科技大學.  [2021-06-13]. （原始内容存档于2020-02-21）.
2. 1 2  Moskowitz, Martin A.. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.
3. ↑  Feynman, Richard P.. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
4. ↑  Bernoulli, Johann.  [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, **1702**: 197–289.
5. 1 2  John Stillwell.. Springer. 2002  [2018-07-17]. （原始内容存档于2019-06-04）.
6. ↑  Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle （页面存档备份，存于） of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
7. ↑  张, 筑生.. 北京大学出版社. 1990.

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* 论
* 编
莱昂哈德·欧拉 |
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* 歐拉-拉格朗日方程
* 歐拉-洛特卡方程（英语：）
* 欧拉-麦克劳林求和公式
* 欧拉-丸山法
* 歐拉-馬斯刻若尼常數
* 歐拉-泊松-達布方程（英语：）
* 歐拉-羅德里格斯公式（英语：）
* 欧拉-特里科米方程
* 歐拉連分數公式（英语：）
* 欧拉临界负载
* 欧拉公式
* 欧拉四平方和恒等式
* 欧拉恒等式
* 歐拉泵和渦輪方程（英语：）
* 欧拉旋转定理
* 欧拉猜想
* 欧拉定理 (数论)
* 欧拉方程 (流体动力学)
* 歐拉函數 (複變函數)
* 欧拉方法
* 欧拉数
* 欧拉数 (物理学)
* 欧拉-伯努力栋梁方程
* 以他命名的事物（英语：）

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* 分类 **分類**

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