在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的**特徵標**（）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。

定義
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設*V*為一個域*F*上的有限維向量空間且設{\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)}為一個群*G*於*V*上的表示。則ρ的**特徵標**即為如下給定之函數

{\displaystyle \chi \_{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,}
其中{\displaystyle \mathrm {Tr} }為矩陣的跡數。

一個特徵標χρ若被稱為是**不可約**的，即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是**線性**的，則表示ρ的維度等於1。χρ的**核**為集合

{\displaystyle \ker \chi \_{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi \_{\rho }(g)=\chi \_{\rho }(1)\right\rbrace }
其中{\displaystyle \chi \_{\rho }(1)}是χρ在群單位元上的值。當ρ是*G*的*k*維表示且1為*G*的單位元時，

{\displaystyle \chi \_{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum \_{i=1}^{k}1=k=\dim \rho }
和特徵標群的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

拓撲群的情形
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在調和分析中，通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 G 的特徵標為連續群同態 {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {S} ^{1}}；在此，\mathbb{S}^1 表示單位圓構成的群，等價地說就是 \mathbb{R}/\mathbb{Z}。

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}，而將取值在 \mathbb{S}^1 者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為**擬特徵標**。

G 的全體特徵標構成一個群 {\hat {G}}，群二元運算的定義是 {\displaystyle (\chi \cdot \eta )(g)=\chi (g)\to \eta (g)}，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

性質
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* 特徵標是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ會是個常數。

* 两个同構的表示會有相同的特徵標。若系数域的特征char(*F*)=0，则两个表示為同構的，若且唯若它们有著完全相同的特徵標。

* 若一個表示可以是多個子表示的直和：{\displaystyle V=W\_{1}\oplus W\_{2}\oplus \cdot \oplus W\_{r}}，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和：{\displaystyle \forall g\in G,\ \chi \_{V}(g)=\chi \_{W\_{1}}(g)+\chi \_{W\_{2}}(g)+\cdot +\chi \_{W\_{r}}(g)}。

* 在有限群的情况下，每個特徵標{\displaystyle \chi \ (g)}都是n個m次單位根之和，其中n為表示內域的維度，m則是g的阶。

* 若*F*是代數封閉的且char(*F*)不可以整除*G*的阶|，則*G*的不可約特徵標之數量等於*G*的共軛類數： {\displaystyle |Irr(G)|=|Conj(G)|}。

### 算術性質

令\rho 和\sigma 為*G*的兩個表示，則有下列的等式成立：

{\displaystyle \chi \_{\rho \oplus \sigma }=\chi \_{\rho }+\chi \_{\sigma }}
{\displaystyle \chi \_{\rho \otimes \sigma }=\chi \_{\rho }\cdot \chi \_{\sigma }}
{\displaystyle \chi \_{\rho ^{\*}}={\overline {\chi \_{\rho }}}}
{\displaystyle \chi \_{{\textrm {Alt}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi \_{\rho }(g)\right)^{2}-\chi \_{\rho }(g^{2})\right]}
{\displaystyle \chi \_{{\textrm {Sym}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi \_{\rho }(g)\right)^{2}+\chi \_{\rho }(g^{2})\right]}
其中{\displaystyle \rho \oplus \sigma }為兩者的直和、{\displaystyle \rho \otimes \sigma }為兩者的張量積、{\displaystyle \rho ^{\*}}為\rho 的共軛轉置、以及**Alt**称为交替積{\displaystyle {\textrm {Alt}}^{2}\rho =\rho \wedge \rho }而**Sym**則称为對稱方，其值由下式決定

{\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho }.

特徵標的誘導與限制
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設 G 為有限群，{\displaystyle H\leq G} 為其子群，而 \rho  為 G 的表示，其特徵標記為 \chi。令 {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\chi )} 為誘導表示 {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\rho )} 的特徵標；根據弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有 G 的特徵標 \eta ，恆有下述等式

{\displaystyle \langle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\chi ),\eta \rangle \_{G}=\langle \chi ,\eta |\_{H}\rangle \_{H}}
此等式可用來刻劃類函數 {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\chi )}。事實上，若選定陪集分解

{\displaystyle G=\bigcup \_{t}Ht}
還可以明確地寫下 {\displaystyle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\chi )} 的取值：

{\displaystyle \mathrm {Ind} \_{H}^{G}(\chi )(g)={\begin{cases}\sum \_{tht^{-1}\in H}\chi (tht^{-1}),{\mbox{ if g is conjugate to some h}}\in H\\0,{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}

特徵標表
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一個有限群的不可約特徵標可以形成一個**特徵標表**，其蘊含著許多有關群*G*在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個*G*的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群*C*3的特徵標表：

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|   | (1) | (*u*) | (*u*2) |
| **1** | 1 | 1 | 1 |
| χ1 | 1 | u | u2 |
| χ2 | 1 | u2 | u |
|

其中的*u*為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1，其對應至群的**當然表示**上。

### 正交關係

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。

對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出：

{\displaystyle \left\langle \chi \_{i},\chi \_{j}\right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum \_{g\in G}\chi \_{i}(g){\overline {\chi \_{j}(g)}}} 其中 {\displaystyle {\overline {\chi \_{j}(g)}}} 表示 {\displaystyle \chi \_{j}}在*g*上的值的複數共軛。
對於此一內積而言，不可約特徵標两两正規正交：
{\displaystyle \left\langle \chi \_{i},\chi \_{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{如 果 }}\,i\neq j\\1&{\text{如 果 }}\,i=j\end{cases}}}

對表中的列的正交關係則由下列給出：

對{\displaystyle g,h\in G}，其和為{\displaystyle {\frac {1}{\left|G\right|}}\sum \_{\chi \_{i}}\chi \_{i}(g){\overline {\chi \_{i}(h)}}={\begin{cases}1/\left|C\_{G}(g)\right|&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 共 軛 }}\\0&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 不 共 軛 }}\end{cases}}}
其中相加的範圍為所有*G*的不可約特徵標{\displaystyle \chi \_{i}}，而符號{\displaystyle \left|C\_{G}(g)\right|}則表示為*g*的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：

* 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
* 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。
* 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
* 求出群的階。

### 特徵標表性質

一個群*G*的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

* *G*的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方：(χ(1))2的總和（伯恩赛德公式）。
* *G*是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標，χ(1) = 1。
* *G*有一個非當然正規子群(即*G*不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於*G*內的非單位元素*g*，會有χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構：例如，四元群*Q*和有8個元素的二面體群*D*4會有同樣的特徵標表。

對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群，其和數論中有著很重要的關連。

參考文獻
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* Fulton, William; and Harris, Joe.. Springer, New York. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8.  見第2章
* Isaacs, I.M.. Dover. 1994. ISBN 978-0-486-68014-9.  1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版
* James, Gordon; and Liebeck, Martin.. Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-00392-6.
* （页面存档备份，存于）
* 化學中重要的點群的特徵標表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表。