数学上，**二元关系**（英語：，或简称**关系**）用於讨论两种物件的连系。诸如算术中的「大於」及「等於」、几何学中的「相似」或集合论中的「为……之元素」、「为……之子集」。

定义
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實際上是以列舉二元有序对的方式去定義二元關係 R ，也就是一個集合滿足

* 對所有的 r\in R 存在 x 且存在 y 使 {\displaystyle r=(x,\,y)}

或是以正式的邏輯符號表述為

{\displaystyle (\forall r\in R)(\exists x)(\exists y)[\,r=(x,\,y)\,]}
例一：有四件物件 {*球*，*糖*，*车*，*枪*} 及四个人 {*甲*，*乙*，*丙，丁*} 。若甲擁有球、乙擁有糖、丙一無所有但丁擁有车，则「擁有」的二元关系可以寫為

R = {(*球*，*甲*), (*糖*，*乙*), (*车*，*丁*)}
其中二元有序对的第一项是被擁有的物件，第二项是擁有者。

例二：實數系 \mathbb {R}  上的「大於關係」可定義為

{\displaystyle >\,:=\{\,(a,\,b)\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists r\in \mathbb {R} )[\,(a=b+r)\wedge (r\neq 0)\,]\}}
由於習慣上 {\displaystyle (a,\,b)\in \,>} 通常都是寫為 a > b ，更一般來說，不引起混淆的話會把 {\displaystyle (x,\,y)\in R} 簡寫成 xRy 。

集合的關係
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集合X与集合Y上的二元关系則定義為 R=(X,Y,G(R)) ，当中 {\displaystyle G(R)\subseteq X\times Y} ( 請參見笛卡儿积 ) ，称为 R 的**图**。若 (x,y)\in G(R) 则称 x 与 y 有关系 R ，并记作 xRy 或 R(x,y) 。

但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 {\displaystyle R\subseteq X\times Y} 则 R 是一个关系。

话虽如此，我们很多時候索性把集合間的關係 R 定义为 G(R) 而 "有序对 {\displaystyle (x,y)\in G(R)} "即是 "(x,y)\in R "。

特殊的二元关系
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设A是一个集合，则

1. 空集\varnothing 称作A上的**空关系**
2. E\_{{A}}=A\times A称作A上的**全域关系**（**完全關係**）
3. I\_{{A}}=\{(x,x)|x\in A\}称作A上的**恒等关系**

关系矩阵
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设X=\{x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}\}及Y=\{y\_{1},y\_{2},\ldots ,y\_{m}\}，R是X 和Y上的关系，令

r\_{{ij}}={\begin{cases}1&(x\_{i},y\_{j})\in R\\0&(x\_{i},y\_{j})\notin R\end{cases}}
则0,1矩阵

(r\_{{ij}})={\begin{bmatrix}r\_{{11}}&r\_{{12}}&\cdots &r\_{{1m}}\\r\_{{21}}&r\_{{22}}&\cdots &r\_{{2m}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\r\_{{n1}}&r\_{{n2}}&\cdots &r\_{{nm}}\end{bmatrix}}
称为R的**关系矩阵**，记作M\_{{R}}。

关系图
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设A=\{x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}\}，R是A上的关系，令图G=(V,E)，其中顶点集合V=A，边集合为E，且对于任意的x\_{i},x\_{j}\in V，满足(x\_{i},x\_{j})\in E当且仅当(x\_{i},x\_{j})\in R。则称图G是关系R的**关系图**，记作G\_{R}。

运算
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关系的基本运算有以下几种：

* 设R为二元关系，R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的**定义域**，记作{\mbox{dom}}(R)。形式化表示为

{\displaystyle {\mbox{dom}}(R)=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,(x,y)\in R\,]\,\}}
* 设R为二元关系，R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的**值域**，记作{\mbox{ran}}(R)。形式化表示为

{\displaystyle {\mbox{ran}}(R)=\{\,y\,|\,(\exists x)[\,(x,y)\in R\,]\,\}}
* 设R为二元关系，R的定义域和值域的并集称作R的**域**，记作{\mbox{fld}}(R)，形式化表示为

{\mbox{fld}}(R)={\mbox{dom}}(R)\cup {\mbox{ran}}(R)
* 设R为二元关系，R的**逆关系**，简称R的**逆**，记作R^{{-1}}，其中

{\displaystyle R^{-1}=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,(x,y)\in R\wedge p=(y,x)\,]\,\}}
* 设F, G为二元关系，G與F的**合成關係**记作F\circ G，其中

F\circ G=\{(x,y)|\exists t,~(x,t)\in F\wedge (t,y)\in G\}
* 设R为二元关系，A是一个集合。R在A上的**限制**记作R\upharpoonright A，其中

R\upharpoonright A=\{(x,y)|(x,y)\in R\wedge x\in A\}
* 设R为二元关系，A是一个集合。A在R下的**像**记作R[A]，其中

R[A]={\mbox{ran}}(R\upharpoonright A)
* 设R为A上的二元关系，在右复合的基础上可以定义关系的**幂运算**：

R^{0}=I\_{A}\    
R^{{n+1}}=R^{n}\circ R\

性质
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关系的性质主要有以下五种：

* 自反性：\forall x\in A,~(x,x)\in R

在集合X上的关系R，如对任意x\in X，有(x,x)\in R，则称R是自反的。
* 非自反性（自反性的否定的強型式）：\forall x\in A,~~(x,x)\notin R

在集合X上的关系R，如对任意x \in X，有(x,x)\notin R，则称R是非自反的。
* 对称性：\forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\in R

在集合X上的关系R，如果有(x,y)\in R且x\neq y必有(y,x)\in R，则称R是对称的。
* 反对称性（不是對稱性的否定）：\forall x,y\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\implies x=y
* 非對稱性（對稱性的否定的強型式）：{\displaystyle \forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\notin R}

非對稱性是 滿足非自反性的反對稱性。
* 传递性：\forall x,y,z\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)\implies (x,z)\in R

设R为集合A上的关系，下面给出R的五种性质成立的充要条件：

1. R在A上自反，当且仅当I\_{A}\subseteq R
2. R在A上非自反，当且仅当R\cap I\_{{A}}=\emptyset
3. R在A上对称，当且仅当R=R^{{-1}}\
4. R在A上反对称，当且仅当R\cap R^{{-1}}\subseteq I\_{{A}}
5. R在A上非對稱，当且仅当R\cap R^{{-1}}=\emptyset
6. R在A上传递，当且仅当R\circ R\subseteq R

闭包
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设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）**闭包**是A上的关系R'，满足

1. R'是自反的（对称的或传递的）
2. R\subseteq R'
3. 对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R''有R'\subseteq R''

一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包记作s(R)，传递闭包记作t(R)。

下列三个定理给出了构造闭包的方法：

1. r(R)=R\cup R^{0}
2. s(R)=R\cup R^{{-1}}
3. t(R)=R\cup R^{2}\cup R^{3}\cup \cdots

对于有限集合A上的关系R，存在一个正整数r，使得

t(R)=R\cup R^{2}\cup \cdots \cup R^{r}
求传递闭包是图论中一个非常重要的问题，例如给定了一个城市的交通地图，可利用求传递闭包的方法获知任意两个地点之间是否有路相连通。可以直接利用关系矩阵相乘来求传递闭包，但那样做复杂度比较高；好一点的办法是在计算矩阵相乘的时候用分治法降低时间复杂度；但最好的方法是利用基于动态规划的Floyd-Warshall算法来求传递闭包。

参见
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* 有序对
* 二元集合
* 笛卡儿积
* 偏序关系
* 等价关系
* 相容关系