**雷米茲演算法**，或稱**雷米茲交換演算法**，由葉夫根尼·列維奇·雷米茲於1934年所發表。
雷米茲演算法為一尋找函式簡易近似之迭代演算法，特別是定義於切比雪夫空間的函式效果最佳。

一個在切比雪夫空間的典型例子是 *n* 次項切比雪夫多项式的子空間，屬於實數連續函式之向量空間，定義於 *C*[*a*, *b*] 區間。

給定一子空間，其最佳近似多項式的定義為：可將此近似多項式與原始函式之最大絕對差異最小化者。
在這個情況下，可由equioscillation theorem使其解更精確

程序
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算法的主要目的是从一个集合X得到一个可以逼近函数f的多项式。集合X由近似的区间上的n+2个取样点{\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n+2}}组成，通常由Chebyshev多项式线性映射至该区间得到。算法步骤如下：

1. 解线性方程组

{\displaystyle b\_{0}+b\_{1}x\_{i}+...+b\_{n}x\_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x\_{i})} (其中 {\displaystyle i=1,2,...n+2}),
未知数为 {\displaystyle b\_{0},b\_{1},...b\_{n}} 和 E。
1. 使用 {\displaystyle b\_{i}} 作為多項式 P\_{n} 的係數。
2. 找出{\displaystyle |P\_{n}(x)-f(x)|}的局部极大误差点，组成集合M。
3. 若所有 {\displaystyle m\in M} 都是相同大小，仅正负号不同的话，则 P\_{n} 为极小化极大逼近多项式。否则的话，使用M取代X并重复上述步骤。

此结果称为极小化极大逼近算法的最佳逼近多项式。

### 初始化選擇

由於切比雪夫節點在多項式插值理論中所扮演的角色，故通常選擇其為初始近似的方法。由拉格朗日插值法 *L*n(*f*) 初始化一函式 *f* 之最佳化問題，可以證明此初始近似之邊界限制為:

{\displaystyle \lVert f-L\_{n}(f)\rVert \_{\infty }\leq (1+\lVert L\_{n}\rVert \_{\infty })\inf \_{p\in P\_{n}}\lVert f-p\rVert }
其中節點 (*t*1, ... *t**n* + 1) 之拉格朗日插值法算子的常數為

{\displaystyle \lVert L\_{n}\rVert \_{\infty }={\overline {\Lambda }}\_{n}(T)=\max \_{-1\leq x\leq 1}\lambda \_{n}(T;x),}
*T* 為切比雪夫多項式的零點，而

{\displaystyle \lambda \_{n}(T;x)=\sum \_{j=1}^{n+1}\left|l\_{j}(x)\right|,\quad l\_{j}(x)=\prod \_{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t\_{i})}{(t\_{j}-t\_{i})}}.}
對提供次最佳之切比雪夫節點來說，其漸近線為

{\displaystyle {\overline {\Lambda }}\_{n}(T)={\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\log {\frac {8}{\pi }}\right)+\alpha \_{n+1}}
(*γ* 為 欧拉-马歇罗尼常数)，

{\displaystyle 0<\alpha \_{n}<{\frac {\pi }{72n^{2}}}} for {\displaystyle n\geq 1,}
而上界為

{\displaystyle {\overline {\Lambda }}\_{n}(T)\leq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+1}
Lev Brutman 計算出對 n\geq 3 的邊界，而 {\displaystyle {\hat {T}}} 為切比雪夫多項式之零點

{\displaystyle {\overline {\Lambda }}\_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}\_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}\_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1}{\sin ^{2}(3\pi /16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\approx 0.201.}
Rüdiger Günttner由對 {\displaystyle n\geq 40} 之較粗略的估算計算出

{\displaystyle {\overline {\Lambda }}\_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}\_{n}({\hat {T}})<0.0196.}

細節討論
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在此將提供先前簡述步驟的詳細內容，在這個章節令指數 *i* 從 0 跑到 *n*+1.

**步驟 1:** 給定 {\displaystyle x\_{0},x\_{1},...x\_{n+1}}, 求 *n*+2 條等式之線性系統之解

{\displaystyle b\_{0}+b\_{1}x\_{i}+...+b\_{n}x\_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x\_{i})} (其中 {\displaystyle i=0,1,...n+1}),
對於未知的 {\displaystyle b\_{0},b\_{1},...b\_{n}} 和 *E*.
可以很清楚地觀察到，在這個式子裡 {\displaystyle (-1)^{i}E} 若要成立，只有在節點 {\displaystyle x\_{0},...x\_{n+1}} 為 *排序* 的情況下才能達到，無論是嚴格遞增或遞減。這樣一來這個線性系統便有唯一解。(廣為人知的，並非每個線性系統都可以求解)。
此外，求解之複雜度最少為 O(n^{2}) ，而一個從函式庫求解的標準計算器需要 O(n^{3}) 的複雜度，在此有一簡單證明:

計算前*n*+1個節點之 f(x) 標準 *n* 階插值 {\displaystyle p\_{1}(x)}，
以及對於 {\displaystyle (-1)^{i}} 之標準 *n* 階插值 {\displaystyle p\_{2}(x)}

{\displaystyle p\_{1}(x\_{i})=f(x\_{i}),p\_{2}(x\_{i})=(-1)^{i},i=0,...n.}
至此，需要 O(n^{2}) 次數值運算。

在 {\displaystyle x\_{i-1}} 與 {\displaystyle x\_{i},\ i=1,...n} 之間，多項式 {\displaystyle p\_{2}(x)} 有其 *i*-階 零點zero between {\displaystyle x\_{i-1}} and {\displaystyle x\_{i},\ i=1,...n}，因此在 x\_n 與 x\_{n+1}之間無任何零點，意即 {\displaystyle p\_{2}(x\_{n})} 與 {\displaystyle p\_{2}(x\_{n+1})} 正負號 (-1)^{n} 相同。

線性組合 {\displaystyle p(x):=p\_{1}(x)-p\_{2}(x)\!\cdot \!E} 亦為一 *n* 次多項式

{\displaystyle p(x\_{i})=p\_{1}(x\_{i})-p\_{2}(x\_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x\_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}
選擇任何 *E* ，對 {\displaystyle i=0,...n} ，下列式子與上述等式相同:

{\displaystyle p(x\_{n+1})\ =\ p\_{1}(x\_{n+1})-p\_{2}(x\_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x\_{n+1})-(-1)^{n+1}E}
解 *E* 得:

{\displaystyle E\ :=\ {\frac {p\_{1}(x\_{n+1})-f(x\_{n+1})}{p\_{2}(x\_{n+1})+(-1)^{n}}}.}
如前述所提及，上式分母之兩項有相同正負號，因此

{\displaystyle p(x)\equiv b\_{0}+b\_{1}x+\ldots +b\_{n}x^{n}}
是完整定義的。

給定 *n*+2 階節點，其誤差為正負輪流:

{\displaystyle p(x\_{i})-f(x\_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...n\!+\!1.}
*de La Vallée Poussin* 理論說明在這種形況下，沒有誤差少於 *E* 之 *n* 次多項式存在。

**步驟 2** 把多項式表示由{\displaystyle b\_{0}+b\_{1}x+...+b\_{n}x^{n}} 轉為 p(x).

**步驟 3** 依照以下所述改善輸入節點 {\displaystyle x\_{0},...x\_{n+1}} 的誤差 {\displaystyle \pm E}。

在每個 P-領域，現在的節點 x\_{i} 將被區域最大 {\displaystyle {\bar {x}}\_{i}} 取代，同樣在每個 N-領域， x\_{i} 將被區域最小取代，
在這部分並不要求高精確律。

令 {\displaystyle z\_{i}:=p({\bar {x}}\_{i})-f({\bar {x}}\_{i})}， 其大小 {\displaystyle |z\_{i}|} 皆大於或等於 *E*。*de La Vallée Poussin* 理論及其證明也可以應用至 {\displaystyle z\_{0},...z\_{n+1}}，
而使此 *n* 次多項式有最小可能誤差的新下界為 {\displaystyle \min\{|z\_{i}|\}\geq E}。

  

**步驟 4:** 分別以 {\displaystyle \min \,\{|z\_{i}|\}} 與 {\displaystyle \max \,\{|z\_{i}|\}} 為新的上下界，此迭代演算法的終止條件為:
重複上述步驟直到 {\displaystyle \max\{|z\_{i}|\}-\min\{|z\_{i}|\}} 足夠小且不再遞減。

變異
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有時候在最大絕對差異點的附近，會有複數個點同時被取代。

有時候相對誤差會被用來衡量函式與其近似的差異，特別是在電腦上用浮點數做運算的函式。

外部連結
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* Intro to DSP
* Aarts, Ronald M.; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil; and Weisstein, Eric W.. MathWorld.