此條目介紹的是有關直角三角形的幾何定理。关于存在無限多個質數的數論定理，请见「**歐幾里得定理**」。

**射影定理（台灣稱「母子相似定理」)**（英語：），又稱**歐幾里得定理**（英語：），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊，乘以該邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。

定理內容
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在 Δ*ABC* 中，∠*C* = 90°，以及 *CD* ⊥ *AB*。*AD* 及 *BD* 分別是 *AC* 及 *BC* 在底邊 *AB* 的正投影。
在 Δ*ABC* 中，∠*C* = 90°。設 *CD* 在 *AB* 的上的高，則有：

{\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}
{\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}
{\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}
在這裡，*AD* 及 *BD* 分別是 *AC* 及 *BC* 在底邊 *AB* 的正投影，故定理以此為名。

證明
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注意到 Δ*ABC* 與 Δ*ACD* 是相似三角形。因此可得

{\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {AC}{AD}}}
整理可得

{\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}
同理，考慮相似三角形 Δ*ABC* 與 Δ*CBD*，可得

{\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BC}{BD}}}
整理可得

{\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}
證明完畢。

相關定理
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### 直角三角形面積

在上面的 Δ*ABC* 中，我們有：

{\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC}
考慮三角形的面積，即可容易地證明。

### 勾股定理

勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。這個定理指出：

{\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}
勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：

{\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}
{\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}
將兩條等式相加，則可得：

{\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB}
由於 *AD* + *BD* = *AB*，因此可得：

{\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}
證明完畢。

### 幾何平均定理

幾何平均定理（英语：），是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。這個定理指出：

{\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}
也就是說，*CD* 是 *AD* 和 *BD* 的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況
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邊長 *a* 及 *b* 在底邊 *c* 的正投影，分別是 *a* cos *β* 及 *b* cos *α*。
對於 ∠*C* ≠ 90° 的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得：

{\displaystyle AD=AC\cos \angle A}
{\displaystyle BD=BC\cos \angle B}
以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

{\displaystyle AB=AC\cos \angle A+BC\cos \angle B}
以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。

三維空間上的推廣
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### 三直角四面體

一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。
射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設三直角四面體（英语：） *ABCD* 中，∠*ADB* = ∠*ADC* = ∠*BDC* = 90°。又設 *D* 在斜面 Δ*ABC* 的正投影為 *E*。我們則有：

{\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]}
{\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]}
{\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]}
其中 [Δ*ABC*] 表示 Δ*ABC* 的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

{\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}}
德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。

### 一般四面體

在四面體 *ABCD* 中，設 Δ*ABC* 為底面。又設 *D* 在 Δ*ABC* 的正投影為 *E*。我們則有：

{\displaystyle AE=AD\cos \alpha }
{\displaystyle BE=BD\cos \beta }
{\displaystyle CE=CD\cos \gamma }
其中 *α* 、*β* 及 *γ* 分別是 *AD* 、*BD* 及 *CD* 與底面 Δ*ABC* 的夾角。

另外亦有：

{\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta }
{\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi }
{\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi }
其中 *θ* 、*ϕ* 及 *ψ* 分別是 Δ*ABD* 、Δ*ACD* 及 Δ*BCD* 與底面 Δ*ABC* 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

{\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi }
是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

### 任意圖形的投影

更進一步地說，面積為 *S* 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 *S*proj，都可用餘弦求得：

{\displaystyle S\_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta }
其中 *θ* 是該平面圖形與底面的夾角。

參考資料
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1. ↑  曹才翰 主編; 沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編.. 瀋陽出版社. 1991. ISBN 9787805564241.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
2. 1 2  Euclid.. c 300 BC  [2020-02-15]. （原始内容存档于2021-02-24）.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
3. ↑  Euclid.. c 300 BC  [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-03）.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
4. ↑  中原晴彦.  (PDF). 順天サイエンスライブラリー. 2003  [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-15）.
5. ↑  Sergio A. Alvarez.  (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University.  [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2012-10-02）.

參見
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* 正投影
* 直角三角形
* 三直角四面體（英语：）
* 畢氏定理
* 幾何平均定理（英语：）
* 德古阿定理