在數學中，**格林函數**（**點源函數**、**影響函數**）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数（英语：），有时并不符合数学上的定义。 

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

定義以及用法
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给定流形M\,上的微分算子 L\,，其格林函數G(x,s)\,s,x\in M，为以下方程的解 

LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)
其中 \delta\, 為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)
若L的 零空间非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个广义函数。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機
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若可找到線性算符 L\, 的格林函數 G\,，則可將 (1) 式兩側同乘f(s)\,，再對變數 s\, 積分，可得：

\int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).
由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 Lu(x)\,，因此：

Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.
由於算符 L\, 為線式，且只對變數 x\, 作用，不對被積分的變數 s\, 作用），所以可以將等號右邊的算符 L\, 移到積分符號以外，可得：

Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).
而以下的式子也會成立：

u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)
因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 *f(x)*，由於 *L* 為線性算符，可以用上述的方式得到 *u(x)*。換句話說， (2) 式的解 *u(x)* 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 *G* ，就可以求出 *u(x)*。

並非所有的算符 *L* 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 *L* 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 *G* 是算符 *L* 的格林函數，則方程式 *Lu* = *f* 的解 *u* 為

u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.
可以視為 *f* 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程（英语：）。

非齊次邊界值問題的求解
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格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的关联函数（英语：）。

### 研究框架

令 L 為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)
而 *D* 是邊界條件算子

Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha \_{1}u'(0)+\beta \_{1}u(0)\\\alpha \_{2}u'(l)+\beta \_{2}u(l)\end{matrix}}\right.
令 f(x) 為在 [0,l] 區間的連續函數，並假設以下問題

{\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}
有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

### 定理

則存在唯一解 u(x)\, 滿足以下方程式

{\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}
而其解的計算方式如下

u(x)=\int \_{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds
而中 g(x,s)\, 即為**格林函數**，有以下的特性：

1. g(x,s)\, 對 x\, 及 s\, 連續。
2. 對所有 x\neq s, Lg(x,s)=0\,.
3. 對所有 s\neq 0,l, Dg(x,s)=0\,.
4. 微分跳躍：g'(s\_{{+0}},s)-g'(s\_{{-0}},s)=1/p(s)\,.
5. 對稱：g(x,s)=g(s,x)\,.

尋找格林函數
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### 特徵向量展開

若一微分算子 *L* 有一組完备的特徵向量 \Psi \_{n}(x)（也就是一組函數 \Psi \_{n}(x) 及純量 \lambda \_{n} 使得 L\Psi \_{n}=\lambda \_{n}\Psi \_{n} 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數 \Psi \_{n}(x) 滿足以下的完備性：

\delta (x-x')=\sum \_{{n=0}}^{\infty }\Psi \_{n}(x)\Psi \_{n}(x').
經由證明可得下式：

G(x,x')=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {\Psi \_{n}(x)\Psi \_{n}(x')}{\lambda \_{n}}}.
若在等號兩側加上微分算子 *L*，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為弗雷德霍姆理論（英语：）所要探討的內容。

拉普拉斯算子的格林函數
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先由格林定理開始：

\int \_{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int \_{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat \sigma }
假設線性算符 *L* 為拉普拉斯算子 \nabla^2，而 *G* 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')
令格林定理中的 \,\!\psi =G，可得：

\int \_{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int \_{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int \_{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat \sigma }'\ \ \ \ \ (4)
根據上式，可以解拉普拉斯方程 \nabla ^{2}\phi (x)=0 或 泊松方程 \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 \,\!\phi (x)：

1. 已知 \,\!\phi (x) 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
2. 已知 \,\!\phi (x) 在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 \,\!\phi (x)，由於狄拉克δ函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項 

\int \limits \_{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}
可化簡為 \,\!\phi (x) ，再將 (4) 式等號左邊第二項 \nabla ^{2}\phi (x') 用 \,\!\rho '(x') 表示，（若為泊松方程，\,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)，若為拉普拉斯方程，\,\!\rho '(x)=0），可得：

\phi (x)=\int \_{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int \_{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat \sigma }'\ \ \ \ \ (5)
上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中，\,\!\phi (x) 為電位，\,\!\rho (x) 為電荷密度，而法向導數 \nabla \phi (x')\cdot d{\hat \sigma }' 則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為：\lim \_{{{\hat x}\to \infty }}\phi (x)=0），拉普拉斯算子的格林函數為：

G({\hat x},{\hat x}')={\frac {1}{|{\hat x}-{\hat x}'|}}
若 \,\!\rho ({\hat x}) 為電荷密度，則可得到電荷密度和電位 \,\!\phi ({\hat x}) 的公式：

\phi ({\hat x})=\int \_{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat x}-{\hat x}'|}}\ d^{3}x'

範例
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針對以下微分方程

{\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)
Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0
找出格林函數。

**第 1 步**

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

g(x,s)=c\_{1}(s)\cdot \cos x+c\_{2}(s)\cdot \sin x
在 *x < s* 時因特性 3 可知 

g(0,s)=c\_{1}(s)\cdot 1+c\_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c\_{1}(s)=0
（此時不需考慮 g({\frac {\pi }{2}},s)=0 的式子，因 x\neq {\frac {\pi }{2}}）在 *x > s* 時因特性 3 可知 

g({\frac {\pi }{2}},s)=c\_{1}(s)\cdot 0+c\_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c\_{2}(s)=0
（此時不需考慮 \quad g(0,s)=0 的式子，因 x\neq 0）整理上述的結果，可得以下的式子。

g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.
**第 2 步**

依格林函數的特性，找出 *a*(*s*)和*b*(*s*).

根據特性 1，可得

a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad .
根據特性 4，可得

b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.
解上述二式，可以求出 *a*(*s*)和*b*(*s*)

a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s.
因此格林函數為

g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.
對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例
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* 若流形為 **R**，而線性算符 L 為 *d*/*dx*，則单位阶跃函数 *H*(*x* − *x*0) 為 L 在 *x*0 處的格林函數。
* 若流形為第一象限平面 { (*x*, *y*) : *x*, *y* ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在*x* = 0 處有狄利克雷邊界條件，而在*y* = 0 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

G(x,y,x\_{0},y\_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x\_{0})^{2}+(y-y\_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x\_{0})^{2}+(y-y\_{0})^{2}}}\right]
+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x\_{0})^{2}+(y+y\_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x\_{0})^{2}+(y+y\_{0})^{2}}}\right].

參見
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* 離散格林函數（英语：），可定義於圖以及網上。
* 脈衝響應
* 格林恆等式
* 基爾霍夫積分定理

參考
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* Eyges, Leonard, *The Classical Electromagnetic Field*, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, *Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
* A. D. Polyanin, *Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* *Green's function for differential operator* at PlanetMath.
*. PlanetMath.
* 格林函數簡介（英文）

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