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從白熾燈（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為  
{\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}} 。  
通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為  
{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}} 。
在量子力學裏，**密度算符**（英語：）與其對應的**密度矩陣**（英語：）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 |\psi \rangle  來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 |\psi \_{1}\rangle  、|\psi \_{2}\rangle  、|\psi \_{3}\rangle  、……的機率分別為 w\_{1} 、w\_{2} 、w\_{3} 、……，則這混合態量子系統的密度算符 \rho  為

{\rho }=\sum \_{i}w\_{i}|\psi \_{i}\rangle \langle \psi \_{i}| 。
注意到所有機率的總和為1：

\sum \_{i}w\_{i}=1 。
假設 \{|b\_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\} 是一組規範正交基，則對應於密度算符的密度矩陣 \varrho  ，其每一個元素 \varrho \_{{ij}} 為

\varrho \_{{ij}}=\langle b\_{i}|\rho |b\_{j}\rangle =\sum \_{k}w\_{k}\langle b\_{i}|\psi \_{k}\rangle \langle \psi \_{k}|b\_{j}\rangle  。
對於這量子系統，可觀察量 A 的期望值為

{\displaystyle \langle A\rangle =\sum \_{i}w\_{i}\langle \psi \_{i}|{A}|\psi \_{i}\rangle =\sum \_{i}\langle b\_{i}|{\rho }{A}|b\_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})} ，
是可觀察量 A 對於每一個純態的期望值 \langle \psi \_{i}|{A}|\psi \_{i}\rangle  乘以其權值 w\_{i} 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡或化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論裏，密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符，是自伴算符、非負算符（英語：）、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼與列夫·郎道各自獨立於1927年給出。

純態與混合態
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假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 |\psi \rangle  。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 |\psi \_{1}\rangle  、|\psi \_{2}\rangle  的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。

混合態與疊加態的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，(|\psi \_{1}\rangle +|\psi \_{2}\rangle )/{\sqrt {2}} 是個純態。

### 光子偏振案例

平面偏振平面偏振圓偏振圓偏振橢圓偏振橢圓偏振平面偏振（紫色）光波的電場（藍色）可以分解為兩個相互垂直的分量（紅色與綠色）。
光子的兩種圓偏振態，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 |R\rangle  、|L\rangle  標記。光子也可能處於疊加態，例如，垂直偏振態與水平偏振態分別為 (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}} 、(|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}} 。更一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle  ；其中，\alpha  、\beta  是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}} 的光子通過左旋圓偏振器，則出射的光子處於左旋圓偏振態 |L\rangle  ；假若通過右旋圓偏振器，則出射的光子處於右旋圓偏振態 |R\rangle  。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}} 的一半光子處於量子態 |R\rangle  ，另一半處於量子態 |L\rangle  ，但這種解釋並不正確，處於量子態 |R\rangle  與 |L\rangle  的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是處於量子態 (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}} 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

從白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子，不能用疊加態 \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle  來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用波片（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 |R\rangle  的機率是50%，處於 |L\rangle  的機率是50%。它也可以描述為，處於垂直偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為 (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}} ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。

一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。

### 數學表述

#### 純態

参见：量子態
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 |\psi \rangle  ，對應的密度算符定義為

\rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi | 。
從密度算符的形式，可以推論密度算符是自伴算符：

\rho ^{{\dagger }}=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{{\dagger }}=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho  。
假設，物理量 A 是這量子系統的可觀察量，其本徵值為 a\_{i} 的本徵態 |a\_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n 形成一個規範正交基 \{|a\_{i}\rangle \} ，則對可觀察量 A 做測量得到 a\_{i} 的機率 {\mathcal {P}}(a\_{i})為

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a\_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a\_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a\_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a\_{i}\rangle \\&=\sum \_{k}\langle a\_{k}|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a\_{k}\rangle \\&=\sum \_{k}\langle a\_{k}|\Lambda (a\_{i})\rho |a\_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a\_{i})\rho )\\\end{aligned}}} ；
其中，\Lambda (a\_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a\_{i}\rangle \langle a\_{i}| 是對應於本徵態 |a\_{i}\rangle  的投影算符，{\displaystyle {\hbox{tr}}()} 是跡數。

做實驗測量可觀察量 A 獲得的期望值為

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum \_{i}a\_{i}{\mathcal {P}}(a\_{i})=\sum \_{i}a\_{i}\langle a\_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a\_{i}\rangle \\&=\sum \_{i}a\_{i}\langle a\_{i}|\rho |a\_{i}\rangle =\sum \_{i}\langle a\_{i}|A\rho |a\_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}} 。
這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則（trace rule）。對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。另外，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 |\psi \rangle  被歸一化， 密度算符的跡數為1：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum \_{i}\langle a\_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a\_{i}\rangle \\&=\sum \_{i}\langle \psi |a\_{i}\rangle \langle a\_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}} 。
對於任意歸一化量子態 \phi  ，

0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1 ，
所以，密度算符是非負算符（nonnegative operator）。

#### 混合態

將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態 |\psi \_{1}\rangle  、|\psi \_{2}\rangle  、|\psi \_{3}\rangle  、……的機率分別為 w\_{1} 、w\_{2} 、w\_{3} 、……，則這混合態量子系統的密度算符 \rho  為

{\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum \_{i}w\_{i}|\psi \_{i}\rangle \langle \psi \_{i}| 。
每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1：

0\leq w\_{i}\leq 1 ，
\sum \_{i}w\_{i}=1 。
按照「無知詮釋」，這種量子系統確定是處於某個純態\psi \_{i}，但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」（proper mixture），否則，稱為「瑕混合物」（improper mixture）。

回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質：

* 密度算符是自伴算符：\rho =\rho ^{{\dagger }} 。
* 密度算符的跡數為1：{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1} 。
* 對可觀察量 A 做測量得到 a\_{i} 的機率為 {\displaystyle {\mathcal {P}}(a\_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a\_{i})\rho )} 。
* 做實驗測量可觀察量 A 獲得的期望值為 {\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )} 。
* 密度算符是非負算符：0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1 。

由於密度算符 \rho  是自伴算符，它具有譜表示

\rho =\sum \_{i}a\_{i}|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}| ；
其中，|a\_{i}\rangle  是本徵值為 a\_{i} 的本徵態，所有 |a\_{i}\rangle  形成一個規範正交基。

按照自伴算符的定義，每一個本徵值 a\_{i} 是它自己的共軛：

a\_{i}=a\_{i}^{\*} 。
由於密度算符 \rho  是非負算符，每一個本徵值 a\_{i} 都是非負值。

由於密度算符 \rho  的跡數為1，

\sum \_{i}a\_{i}=1 。
給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 \rho \_{i},\quad i=1,2,3,...n 屬於這凸集，則 \rho =\sum \_{i}c\_{i}\rho \_{i} 也屬於這凸集；其中，0\leq c\_{i}\leq 1 是係數，\sum \_{i}c\_{i}=1 。

### 用密度算符辨認純態與混合態

由於純態的密度算符定義式為

\rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi | ，
所以純態的密度算符具有特徵

* \rho ^{2}=\rho  。
* {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1} 。

否則，非純態的密度算符遵守關係式

{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1} 。
另外，將純態的密度矩陣 \varrho  對角化後，只能有一個對角元素等於1，其它對角元素都等於0，例如，一種形式為

\varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}} 。
量子態的純度（英语：）\gamma  定義為

{\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})} 。
純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態，其對角元素的數值為{\displaystyle 1/N} 、非對角元素的數值為0，其純度為{\displaystyle 1/N} 。

馮諾伊曼熵是另一種描述量子態混合程度的量度。

### 連續性本徵態基底

位置是一種連續性可觀察量，具有連續性本徵值譜，用這種可觀察量的連續性本徵態為基底，密度矩陣 \varrho  含有兩個位置參數 x' 、x'' ：

\varrho (x',x'')=\sum \_{i}w\_{i}\psi \_{i}(x')\psi \_{i}^{\*}(x'') 。
可觀察量 A 的期望值為

{\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )=\int \mathrm {d} x'\int \mathrm {d} x''\langle x'|A|x''\rangle \langle x''|\rho |x'\rangle } 。
### 複合系統

假設密度算符為 \rho  的複合系統是由兩個子系統 A 、B 組成，這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符（reduced density operator） \rho \_{A} 、\rho \_{B} 描述：

{\displaystyle \rho \_{A}={\hbox{tr}}\_{B}(\rho )} 、
{\displaystyle \rho \_{B}={\hbox{tr}}\_{A}(\rho )} ；
其中，{\displaystyle {\hbox{tr}}\_{B}} 、{\displaystyle {\hbox{tr}}\_{A}} 分別是對於子系統B 、A 的偏跡數（partial trace）。

這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯（沒有任何量子關聯或經典關聯），若且唯若 \rho  是 \rho \_{{A}} 與 \rho \_{{B}} 的張量積：

\rho =\rho \_{{A}}\otimes \rho \_{{B}} 。
#### 約化密度算符

約化密度算符最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設兩個希爾伯特空間H\_{A}、H\_{B}的規範正交基分別為\{|a\_{i}\rangle \_{A}\}、\{|b\_{j}\rangle \_{B}\}，分別在這兩個希爾伯特空間H\_{A}、H\_{B}的兩個子系統A、B所組成的複合系統，其量子態為純態|\psi \rangle ，其密度算符\rho 為

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |。
取密度算符\rho 對於子系統B的偏跡數，可以得到子系統A的約化密度算符\rho \_{A}：

{\displaystyle \rho \_{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum \_{j}\langle b\_{j}|\_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b\_{j}\rangle \_{B}={\hbox{tr}}\_{B}(\rho )}。
例如，糾纏態|\psi \rangle \_{AB}=(|0\rangle \_{A}\otimes |1\rangle \_{B}-|1\rangle \_{A}\otimes |0\rangle \_{B})/{\sqrt {2}}，其子系統A的約化密度算符\rho \_{A}為

\rho \_{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle \_{A}\langle 0|\_{A}+|1\rangle \_{A}\langle 1|\_{A}{\bigg )}。
如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符\rho \_{A}為混合態。

範例
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設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋|\uparrow\rangle或下旋|\downarrow\rangle。
如右圖所示，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量 S\_z 分裂成兩道，一道的 S\_z 為上旋，標記為 |z+\rangle ，另一道的 S\_z 為下旋，標記為 |z-\rangle 。

### z-軸方向

* 態向量：{\displaystyle |z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}} 。
* 態向量：{\displaystyle |z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}} 。
### x-軸方向

* 態向量：{\displaystyle |x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。
* 態向量：{\displaystyle |x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。
### y-軸方向

* 態向量：{\displaystyle |y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。
* 態向量：{\displaystyle |y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。

密度矩陣：{\displaystyle \varrho \_{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。
### 完全隨機粒子束

完全隨機粒子束的量子態不是純態，它可以由50% |z+\rangle  純態與50% |z-\rangle  純態組成：

{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho \_{z+}+{\frac {1}{2}}\varrho \_{z-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}} 。
它也可以由50% |x+\rangle  純態與50% |x-\rangle  純態組成：

{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho \_{x+}+{\frac {1}{2}}\varrho \_{x-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}0.5&0.5\\0.5&0.5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}} 。
另外，它還可以由50% |y+\rangle  純態與50% |y-\rangle  純態組成，因此可見，不同的組合仍可得到同樣的混合態。

一般而言，完全隨機粒子束的 N\times N 密度矩陣 \varrho  ，經過對角化之後，可以寫為

\varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}} 。

热平衡态
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对于一组能量本征态{\displaystyle |\psi \_{n}\rangle }，热平衡下的混态：

{\displaystyle \rho =\sum \_{n}\omega \_{n}|\psi \_{n}\rangle \langle \psi \_{n}|}
其中{\displaystyle p\_{n}=\exp(-E\_{n}/kT)/Z}，以及{\displaystyle Z=\displaystyle {\textstyle \sum \_{n}}\exp(-E\_{n}/kT)}是配分函数。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。

馮諾伊曼方程式
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参见：刘维尔定理
薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化，馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言，這兩種方程式等價，因為它們彼此都可以推導出對方。假設，在時間 t\_{0} ，量子系統的密度算符為

\rho (t\_{0})=\sum \_{i}w\_{i}|\psi \_{i}(t\_{0})\rangle \langle \psi \_{i}(t\_{0})| ；
其中，量子系統在時間 t\_{0} 處於純態 |\psi \_{i}(t\_{0})\rangle  的機率是 w\_{i}

假若不攪擾這量子系統，則機率 w\_{i} 跟時間無關。在時間 t ，純態 |\psi \_{i}(t)\rangle  遵守含時薛丁格方程式

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \_{i}(t)\rangle =H|\psi \_{i}(t)\rangle  ，
其中，\hbar  是約化普朗克常數，H 是哈密頓算符。

所以，馮諾伊曼方程式表示為

{\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t)&=\sum \_{i}w\_{i}(H|\psi \_{i}(t)\rangle \langle \psi \_{i}(t)|-|\psi \_{i}(t)\rangle \langle \psi \_{i}(t)|H)\\&=-[\rho ,H]\\\end{aligned}} ；
其中，方括弧代表對易算符。

注意到只有當採用薛丁格繪景時（必須採用薛丁格繪景來計算密度算符）這方程式才成立，雖然這方程式看起來很像海森堡繪景的海森堡方程式，唯一差別是關鍵的正負號：

{\frac {dA^{{(H)}}}{dt}}=-\ {\frac {i}{\hbar }}[A^{{(H)}},H] ；
其中，A^{{(H)}} 是某種採用海森堡繪景的算符。

在海森堡繪景裏，密度算符與時間無關，正負號差別確使期望值 \langle A\rangle  對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。

假若哈密頓算符不含時，則可從馮諾伊曼方程式推導出

\rho (t)=e^{{-iHt/\hbar }}\rho (0)e^{{iHt/\hbar }} 。

馮諾伊曼熵
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對於兩體純態系統，馮諾伊曼熵 \sigma  （豎軸）與本徵值 a\_{i} （橫軸）之間的關係曲線。
在量子統計力學（quantum statistical mechanics）裏，馮諾伊曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於密度矩陣為 \varrho  的混合態，馮諾伊曼熵定義為

\sigma \ \stackrel{def}{=}\ - \mathrm{tr}(\varrho \ln \varrho) 。
這公式涉及到矩陣對數（logarithm of a matrix），似乎很難計算，但密度算符 \rho  是自伴算符，具有譜表示

\rho =\sum \_{i}a\_{i}|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}| ；
其中，|a\_{i}\rangle  是本徵值為 a\_{i} 的本徵態，所有 |a\_{i}\rangle  形成一個規範正交基。

因此，可以將密度矩陣 \varrho  對角化，將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 \varrho  定義為

\sigma =-\sum \_{i}\varrho \_{{ii}}\ln \varrho \_{{ii}} 。
馮諾伊曼熵 \sigma  又可以寫為

\sigma =-\sum \_{i}a\_{i}\ln a\_{i} 。
從這形式，可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論裏的夏農熵（Shannon entropy）相關。

在這裏，可以視每一個本徵值 a\_{i} 為處於本徵態 |a\_{i}\rangle  的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：

\lim \_{a\to 0}a\log a=0 。
因此，可以採用約定

0\log 0=0 。
純態的馮諾伊曼熵為零，因為其密度矩陣對角化之後，只有一個元素為1，其它均為0。即所有對角元素 a\_{i} 必定滿足 a\_{i}=0 或 \ln a\_{i}=0 。

完全隨機混合態的 N\times N 密度矩陣，其馮諾伊曼熵 \sigma  為

\sigma =-\sum \_{i}{\frac {1}{N}}\ln {\frac {1}{N}}=\ln N 。
假若，將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度，則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 {\displaystyle 0} ，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 \ln N 。

每一次做投影測量，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於廣義測量（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同波函數塌縮。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。

一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目熱力學第二定律。

參閱
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* 玻恩法則（Born rule）
* 格里森定理（Gleason's theorem）
* 密度泛函理論

註釋
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1. ↑  對於本徵態 |a\_{i}\rangle  的投影算符 \Lambda (a\_{i}) ，假若作用於量子態 |\psi \rangle  ，則會得到 |a\_{i}\rangle  與對應機率幅的乘積：
\Lambda (a\_{i})|\psi \rangle =|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}|\psi \rangle =c\_{i}|a\_{i}\rangle  ；

其中，c\_i 是在本徵態 |a\_{i}\rangle  裏找到 |\psi \rangle  的機率幅。
2. ↑  給定兩個規範正交基 \{|a\_{i}\rangle \},\{|b\_{i}\rangle \} ，對於任意算符 W ，
\operatorname {tr}(W)=\sum \_{i}\langle a\_{i}|W|a\_{i}\rangle =\sum \_{{i,j}}\langle a\_{i}|b\_{j}\rangle \langle b\_{j}|W|a\_{i}\rangle =\sum \_{{i,j}}\langle b\_{j}|W|a\_{i}\rangle \langle a\_{i}|b\_{j}\rangle =\sum \_{{j}}\langle b\_{j}|W|b\_{j}\rangle  。

因此，對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。
3. 1 2  在量子退相干裏，約化密度算符代表的是反常混合物，它不能被視為處於某個未知的純態；它是依賴環境與系統之間的相互作用使得所有的非對角元素趨於零，實際而言，這些非對角元素所表現的量子相干性已被遷移至環境，只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。
4. ↑  在薛丁格繪景裏，純態隨著時間而演化的形式為
|\psi \_{i}(t)\rangle =e^{{-iH(t-t\_{0})}}|\psi \_{i}(t\_{0})\rangle  。

因此，密度算符與時間無關：
{\begin{aligned}\rho (t)&=\sum \_{i}w\_{i}|\psi \_{i}(t)\rangle \langle \psi \_{i}(t)|\\&=\sum \_{i}w\_{i}\left(|\psi \_{i}(t\_{0})\rangle e^{{iH(t-t\_{0})}}e^{{-iH(t-t\_{0})}}\langle \psi \_{i}(t\_{0})|\right)\\&=\sum \_{i}w\_{i}\left(|\psi \_{i}(t\_{0})\rangle \langle \psi \_{i}(t\_{0})|\right)\\\end{aligned}} 。

採用薛丁格繪景來計算密度算符這動作很合理，因為密度算符是由薛丁格左矢與薛丁格右矢共同組成，而這兩個向量都是隨著時間流逝而演進。
5. ↑  矩陣對數（logarithm of a matrix）也是矩陣；後者的矩陣指數等於前者。這是純對數的推廣。這運算是矩陣指數的反函數。並不是所有矩陣都有對數，有些矩陣有很多個對數。

參考资料
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6. 1 2 3  Maximilian A. Schlosshauer.. Springer Science & Business Media. 1 January 2007. ISBN 978-3-540-35773-5.
7. ↑  Bernard d' Espagnat.. Advanced Book Program, Perseus Books. 1999. ISBN 978-0-7382-0104-7.
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