举例来说，上述未归一化和归一化的sinc函数的{\displaystyle \operatorname {argmax} }都是{0}，因为两者都在{\displaystyle x=0}时取得全局最大值1.  
  
未归一化sinc函数（红）的*arg min* 约为{-4.49, 4.49}，因为在{\displaystyle x=\pm 4.49}处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的*arg min*约为{−1.43, 1.43}，因为它们的全局最小值在{\displaystyle x=\pm 1.43}处，尽管最小值相同。
数学中，**极值点**（**arguments of the maxima/minima**，分别缩写为**arg max/arg min**或**argmax/argmin**）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

定义
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给定任意集合*X*、全序集*Y*与函数{\displaystyle f\colon X\to Y}，则某子集{\displaystyle S\subseteq X}上的{\displaystyle \operatorname {argmax} }定义为

{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}
若{\displaystyle S=X}或*S*在语境中明确，则通常省略*S*，如{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.}也就是说，{\displaystyle \operatorname {argmax} }是点*x*的集合，使{\displaystyle f(x)}到达函数最大值（若存在）。{\displaystyle \operatorname {Argmax} }可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中，{\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}（是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若*f*等同于*S*上的{\displaystyle \infty }，则{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:=\varnothing }（即{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}\infty :=\varnothing }），否则{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f}定义如上，这时{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f}也可以写成

{\displaystyle \operatorname {argmax} \_{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}\_{S}f\right\}}
这里要强调的是，这个涉及{\displaystyle \sup {}\_{S}f}的等式只有当*f*在*S*上不等同于{\displaystyle \infty }时才成立。

### Arg min

{\displaystyle \operatorname {argmin} }（或{\displaystyle \operatorname {arg\,min} }）表示**极小值点**，定义与之类似。例如

{\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}
是使函数值{\displaystyle f(x)}取得极小值的点*x*。它是{\displaystyle \operatorname {arg\,max} }的补算子。

在{\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}（是广义实数）的情形时，若*f*在*S*上等同于{\displaystyle -\infty }，则{\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f:=\varnothing }（即{\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}-\infty :=\varnothing }），否则{\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f}定义如上，这时它也满足

{\displaystyle \operatorname {argmin} \_{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}\_{S}f\right\}.}

例子与性质
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例如，若{\displaystyle f(x)=1-|x|}，则*f*只有在{\displaystyle x=0}这一点上取最大值1。因此

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}
{\displaystyle \operatorname {argmax} }算子与{\displaystyle \max }不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

{\displaystyle \max \_{x}f(x)} is the element in {\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}
max可以是空集（这时极大值未定义），这与{\displaystyle \operatorname {argmax} }相同；不同的是{\displaystyle \operatorname {max} }可能不含多个元素。例如，取{\displaystyle f(x)=4x^{2}-x^{4},}则{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}但{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}因为函数在{\displaystyle \operatorname {argmax} }的每个元素上都取相同的值。

等价地，若*M*是*f*的极大值，则{\displaystyle \operatorname {argmax} }是极大值的水平集：

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}
可以将其重排，得到简单的等式

{\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max \_{x}f(x).}
若极大值点只有一个，那么{\displaystyle \operatorname {argmax} }应被视为一个点，而非点集。例如

{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}
（而非单元集{\displaystyle \{5\}}），因为{\displaystyle x(10-x)}的极大值25仅在{\displaystyle x=5}时取到。而若在多个点上都取得极大值，{\displaystyle \operatorname {argmax} }就应被视为点集。例如

{\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}
因为maximum value of {\displaystyle \cos x}的极大值1在{\displaystyle x=0,2\pi ,\ 4\pi }时取到。在整条实数线上

{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}因此是无限集。
函数不必达到极大值，因此{\displaystyle \operatorname {argmax} }有时是空集。例如{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing }，因为{\displaystyle x^{3}}在实数线上无界。再举个例子，{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing }，虽然{\displaystyle \arctan }有界（{\displaystyle \pm \pi /2}），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的{\displaystyle \operatorname {argmax} }。

另见
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* 函数的自变量
* 极值
* 众数 (数学)
* 最优化
* 核 (线性算子)

参考文献
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1. ↑  "The Unnormalized Sinc Function 的存檔，存档日期2017-02-15.", University of Sydney
2. 1 2 3  Rockafellar & Wets 2009，第1-37頁.

* Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B.. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften **317**. Berlin New York: Springer Science & Business Media. 26 June 2009. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

外部链接
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* *arg min and arg max* at PlanetMath.