**大反屈扭稜截半二十面體**（great retrosnub icosidodecahedron）又稱**大逆反屈扭稜截半二十面體**（great inverted retrosnub icosidodecahedron）是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成，索引為U74，對偶多面體為大五角星六十面體（英语：），具有二十面體群對稱性（英语：）。，並且與扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體和反扭稜大星形十二面體拓樸同構。

性質
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大反屈扭稜截半二十面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成，在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面，在其80個正三角形面中又可以分為60個一般的正三角形面（施萊夫利符號：{3}）和20個反向相接的正三角形面（施萊夫利符號：{3/2}），當中的60個正三角形面是在扭稜的過程產生的。

### 頂角的組成

在大反屈扭稜截半二十面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/2.3.3.3.3)/2來表示，並以「/2」來表示整個頂角的周邊面繞了頂點兩圈。
另一種表示方式則是將反向相接的正三角形也考慮進來，此時三角形在頂點周圍的分布方式則為正三角形與反向相接的正三角形交錯出現，即面在頂點周圍排列的順序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、正三角形、正五角星和正三角形來排列，這種頂角的結構在頂點圖中可以用(3.3/2.3.5/3.3)來表示。

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| 將大反屈扭稜截半二十面體的頂角視覺化的圖形 |

### 表示法

大反屈扭稜截半二十面體在考克斯特—迪肯符号（英语：）中可以表示為node_h 3x rat d2 node_h 5 rat d3 node_h ，在施萊夫利符號中可以表示為sr{3⁄2,5⁄3}，在威佐夫記號中可以表示為| 2 3/2 5/3或| 3/2 5/3 2

### 尺寸

若大反屈扭稜截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：

{\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.580002\dots }
其中x是{\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}的實根。
以{\displaystyle R^{2}}為變數的六次方程

{\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}
共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和**大反屈扭稜截半二十面體**的外接球半徑。

邊長為單位長的二十面化截半大十二面體，中分球半徑為方程式

{\displaystyle 4096x^{6}-21504x^{5}+16384x^{4}-4672x^{3}+624x^{2}-40x+1=0}
的較小正實跟（約為0.086401745）的平方根，約為0.293941738。

### 二面角

大反屈扭稜截半二十面體有兩種二面角，分別為三角形面和三角形面的二面角、以及五角星面和三角形面的二面角。

其中三角形面和三角形面的二面角約21.724655212度，實際上是為方程式

{\displaystyle 729x^{6}-486x^{5}-729x^{4}+756x^{3}+63x^{2}-270x+1=0}
的較小非零正實根（約為0.928973378）的反餘弦值。

而五角星面和三角形面的二面角約67.31029488度，實際上是為方程式

{\displaystyle 91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681=0}
的較小正實根（約為0.14879556）之平方根的反餘弦值。

{\displaystyle \arccos \left({\sqrt {\operatorname {root} \left(91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681\right)}}\right)}{\displaystyle \approx 1.174786266\approx 67.310294880^{\circ }}
### 頂點座標

大反屈扭稜截半二十面體的頂點座標為下列座標的偶置換：

{\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}、
{\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}、
{\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}、
{\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}和
{\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}，
帶有偶數個正號，其中

{\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}
且

{\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}
其中{\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}為黃金比例、
\xi是方程式{\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}的較小正實根，其值為：

{\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0.3264046}
若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到大反屈扭稜截半二十面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體，將兩種手性對映體組合起來可以得到一種均勻複合體——二複合大反屈扭稜截半二十面體（英语：）。

相關多面體
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兩個大反屈扭稜截半二十面體的手性鏡像可以複合成均勻複合體，稱為二複合大反屈扭稜截半二十面體（英语：）。

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| 二複合大反屈扭稜截半二十面體（英语：） |

參見
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* 均勻多面體列表（英语：）
* 扭稜大星形十二面體
* 反扭稜大星形十二面體

參考文獻
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1. 1 2 3 4 5 6 7  David I. McCooey..  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-02-14）.
2. 1 2  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. 1 2 3  Maeder, Roman.. MathConsult.  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
4. ↑  Paul Bourke.. Math Consult AG. October 2004  [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. ↑  Richard Klitzing.. bendwavy.org.  [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-09-24）.
6. 1 2 3  Zvi Har'El.. harel.org.il. 2006-11-14  [2022-08-14]. （原始内容存档于2021-10-31）.
7. ↑  Jonathan Bowers.. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
8. ↑  Kovič, J.  (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, **5** (4)  [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
9. ↑  Jim McNeill.. orchidpalms.com.  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
10. ↑  Klitzing, Richard.  (PDF). tic. 2002, **2** (4): 3  [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. ↑  Richard Klitzing.. bendwavy.org.  [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
12. ↑  Wenninger, M.J.. Cambridge University Press. 1974  [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
13. ↑  V.Bulatov..  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
14. ↑  Adrian Rossiter.. antiprism.com.  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
15. 1 2  Skilling, John, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, **79** (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440
16. ↑  George W. Hart.. 1996  [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-01-11）.

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| * 
* 论
* 编
均勻多面體 |
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| 四面體群對稱 | 
* 正四面體
* 截角四面體
* 四面半六面體

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|  |
| 八面體群對稱 | 
* 立方體
* 正八面體
* 截角立方体
* 截角八面體
* 截半立方體
* 小斜方截半立方体
* 大斜方截半立方体
* 扭棱立方体
* 八面半八面體
* 立方半八面體
* 小斜方立方體
* 小立方立方八面體
* 非凸大斜方截半立方體
* 星形截角立方体
* 大斜方立方體
* 大立方截半立方體
* 立方截角立方八面體
* 星形截角截半立方體

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| 二十面體群對稱 | 
* 正十二面體
* 正二十面體
* 小星形十二面體
* 大十二面體
* 大星形十二面體
* 大二十面體
* 截角十二面体
* 截半二十面体
* 截角二十面體
* 小斜方截半二十面体
* 大斜方截半二十面体
* 扭棱十二面体
* 大雙三斜三十二面體
* 小十二面半十二面體
* 大十二面半十二面體
* 小十二面半二十面體
* 大十二面半二十面體
* 小二十面半十二面體
* 大二十面半十二面體
* 小十二面二十面體
* 大十二面二十面體
* 斜方二十面體
* 小斜方十二面體
* 大斜方十二面體
* 小十二面截半二十面體
* 大十二面截半二十面體
* 小雙三角十二面截半二十面體
* 大雙三角十二面截半二十面體
* 小二十面化截半二十面體
* 大二十面化截半二十面體
* 雙三斜十二面體
* 小雙三斜三十二面體
* 大截半二十面体
* 截角大十二面體
* 截半大十二面體
* 小星形截角十二面體
* 大星形截角十二面体
* 截角大二十面體
* 斜方截半大十二面體
* 非凸大斜方截半二十面體
* 二十面截角十二面十二面體
* 二十面化截半大十二面體
* 截角截半大十二面體
* 大截角截半二十面體
* 大二重斜方截半二十面體
* 大二重扭稜二重斜方十二面體
* 完全扭稜二十面體
* 小反屈扭稜二十面截半二十面體
* 大反屈扭稜截半二十面體
* 扭稜小星形十二面體
* 反扭稜小星形十二面體
* 扭稜大星形十二面體
* 反扭稜大星形十二面體
* 大扭稜十二面截半二十面體
* 扭稜二十面化截半大十二面體

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| 其他 | 
* 柱狀均勻多面體
* 星形均勻多面體

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