數學中 ，**填充维度**是一種可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某種程度上，填充維度和郝斯多夫維度是對偶的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「覆蓋」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定義
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设(X,d)是度量空間且{\displaystyle S\subseteq X}，那麼對{\displaystyle s\geq 0}，定義S的s維的**填充前測度**（**packing pre-measure**）為

{\displaystyle {\displaystyle P\_{0}^{s}(S)=\limsup \_{\delta \downarrow 0}\left\{\sum \_{i\in I}\mathrm {diam} (B\_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B\_{i}\cap B\_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B\_{i})\leq \delta ,B\_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}}
上式只是一个前測度，而非真正的测度，S的s維**填充測度**的定義是

{\displaystyle {\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum \_{j\in J}P\_{0}^{s}(S\_{j})\right|S\subseteq \bigcup \_{j\in J}S\_{j},|J|\leq |N|\right\},}}
即填充測度是其可數個覆蓋的填充前測度和的最大下界。 

如此一來，S的填充維度定義為 

{\displaystyle {\begin{aligned}\dim \_{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}}
### 示例

以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最简单的情况。 

(a\_{n})考慮序列(a\_{n})(a\_{n}){\displaystyle (a\_{n})}使得a\_{0}且{\textstyle 0<a\_{n+1}<a\_{n}/2}。定義一系列的緊緻集{\textstyle E\_{0}\supset E\_{1}\supset E\_{2}\supset \cdots }如下： 

* 設{\textstyle E\_{0}=[0,1]}。
* 對每個{\textstyle E\_{n}}（n\in \mathbb {N} ）的線段，去除中間長為{\textstyle a\_{n}-2a\_{n+1}}的開區間，以得到兩個長為長為{\textstyle a\_{n+1}}的閉區間。

現在定義{\textstyle K=\bigcap \_{n\in \mathbb {N} }E\_{n}}。可以證明 

{\displaystyle {\begin{aligned}\dim \_{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf \_{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a\_{n}}}\,,\\\dim \_{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup \_{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a\_{n}}}\,.\end{aligned}}}
容易知道對給定的數{\displaystyle 0\leq d\_{1}\leq d\_{2}\leq 1}，我們可以取序列{\displaystyle (a\_{n})}使得上面兩個維度分別是{\textstyle d\_{1},d\_{2}}。

參見
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* 郝斯多夫维度
* 計盒维度

参考資料
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* Tricot, Jr. Claude.. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, **91** (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.

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* 论
* 编
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| 特性 | 
* 分形维数
	+ Assouad 维数（英语：）
	+ 关联维数（英语：）
	+ 豪斯多夫维数
	+ 计盒维数
	+ 填充维数（英语：）
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* 递归
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* 巴恩斯利蕨葉（英语：）
* 康托尔集
* 龍形曲線
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* 门格海绵
* 谢尔宾斯基地毯
* 謝爾賓斯基三角形
* 空間填充曲線（英语：）
* T型方間（英语：）
* 魏尔斯特拉斯函数
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* 萊維C形曲線
* 希爾伯特曲線

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* 空間填充曲線（英语：）

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	+ 朱利亚填充集合（英语：）
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* 萊維飛行（英语：）
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| 學者 | 
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* 费利克斯·豪斯多夫
* 加斯東·朱利亞（英语：）
* 海里格·馮·科赫
* 保羅·皮埃爾·萊維
* 亞歷山大·李亞普諾夫
* 本華·曼德博
* 劉易斯·弗雷·理查森（英语：）
* 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

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* 仿射变换

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