|  |  |
| --- | --- |
|  | 本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的{\displaystyle \log {x}}都應視為自然對數，也就是一般常記為{\displaystyle \ln {x}}或{\displaystyle \log \_{e}{x}}的對數。 |

數學上的**克拉梅爾猜想**是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。這猜想是說：

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }{\frac {p\_{n+1}-p\_{n}}{(\ln p\_{n})^{2}}}=1}，
這裡{\displaystyle p\_{n}}代表第{\displaystyle n}個素数。這猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果
-----------

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

{\displaystyle p\_{n+1}-p\_{n}=O({\sqrt {p\_{n}}}\,\ln p\_{n})}。
目前這方面最好的無條件結果是

{\displaystyle p\_{n+1}-p\_{n}=O(p\_{n}^{0.525})}
而這點由Baker、Harman（英语：）和Pintz（英语：）三人證出。

另一方面E. Westzynthius於1931年證明說質數間隙成長速度快過對數，也就是說，

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }{\frac {p\_{n+1}-p\_{n}}{\log p\_{n}}}=\infty .}
R. A. Rankin（英语：）改進了他的結果，並證明說

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }{\frac {p\_{n+1}-p\_{n}}{\log p\_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p\_{n}\right)^{2}}{\log \log p\_{n}\log \log \log \log p\_{n}}}>0}
艾狄胥·帕爾猜想說上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由Kevin Ford（英语：）、Ben Green（英语：）、Sergei Konyagin（英语：）和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將這結果以{\displaystyle \log \log \log p\_{n}}這因子進行改進。

探索性論證
-----

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型（英语：）之上的，在其中一個大小為x的數是質數的機率是{\displaystyle 1/\log {x}}。而這結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一：

{\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {p\_{n+1}-p\_{n}}{\log ^{2}p\_{n}}}=1}
然而，Andrew Granville（英语：）指出，根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向{\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }（A125313），其中{\displaystyle \gamma }是歐拉-馬斯刻若尼常數。János Pintz則認為這比值的上極限可能發散至無限；

類似地，Leonard Adleman（英语：）和Kevin McCurley寫道說：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數{\displaystyle c>2}而言，總存在一個常數，使得{\displaystyle x}和{\displaystyle x+d(\log x)^{c}}有一個質數。」
類似地，Robin Visser寫道說：

「事實上，由於Granville的工作之故，現在學界普遍相信說克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」

相關猜想和探索
-------

質數間隙函數
Daniel Shanks（英语：）猜想說對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立：
{\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x}

J.H. Cadwell則提出下列何質數間隙有關的公式：
{\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x}
這公式和Shanks猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

Marek Wolf則猜想說在以素數計數函數{\displaystyle \pi (x)}表示的狀況下，最大質數間隙{\displaystyle G(x)}如下：

{\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}
其中{\displaystyle c=\log(C\_{2})=0.2778769...}和{\displaystyle C\_{2}=1.3203236...}是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，這公式和Shanks猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

{\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}
Thomas Nicely（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

{\displaystyle R={\frac {\log p\_{n}}{\sqrt {p\_{n+1}-p\_{n}}}}}
他寫道說「即使對於已知最大的質數間隙，{\displaystyle R}的值都維持在1.13左右。」

參見
--

* 質數定理
* 勒讓德猜想和Andrica猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
* Firoozbakht猜想
* 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料
----

1. 1 2 3  Cramér, Harald,  (PDF), Acta Arithmetica, 1936, **2**: 23–46  [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, （原始内容 (PDF)存档于2018-07-23）
2. ↑  R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
3. ↑  Westzynthius, E. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors, 1931, **5**: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 （德语） .
4. ↑  R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
5. ↑  Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence.. Annals of Mathematics. Second series. 2016, **183** (3): 935–974. arXiv:1408.4505 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2016.183.3.4 可免费查阅.
6. ↑  Maynard, James.. Annals of Mathematics. Second series. 2016, **183** (3): 915–933. arXiv:1408.5110 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2016.183.3.3 可免费查阅.
7. ↑  Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence.. Journal of the American Mathematical Society. 2018, **31**: 65–105. arXiv:1412.5029 可免费查阅. doi:10.1090/jams/876.
8. ↑  Terry Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional), section on The Cramér random model, January 2015.
9. ↑  Granville, A.  (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1995, **1**: 12–28  [2007-06-05], doi:10.1080/03461238.1995.10413946, （原始内容 (PDF)存档于2015-09-23） .
10. ↑  János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, *Journal of Number Theory* **63**:2 (April 1997), pp. 286–301.
11. ↑  Leonard Adleman（英语：） and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci. 877, Springer, Berlin, 1994.
12. ↑  Robin Visser, Large Gaps Between Primes, University of Cambridge (2020).
13. ↑  Shanks, Daniel, Mathematics of Computation (American Mathematical Society), 1964, **18** (88): 646–651, JSTOR 2002951, Zbl 0128.04203, doi:10.2307/2002951 可免费查阅 .
14. ↑  Cadwell, J. H. Mathematics of Computation, 1971, **25** (116): 909–913, JSTOR 2004355, doi:10.2307/2004355 可免费查阅
15. ↑  Wolf, Marek, Phys. Rev. E, 2014, **89** (2): 022922, Bibcode:2014PhRvE..89b2922W, PMID 25353560, S2CID 25003349, arXiv:1212.3841 可免费查阅, doi:10.1103/physreve.89.022922
16. ↑  Nicely, Thomas R. Mathematics of Computation, 1999, **68** (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, MR 1627813, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0 可免费查阅 .

* Guy, Richard K.  3rd. Springer-Verlag. 2004. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
* Pintz, János.. Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2007, **37** (2): 361–376. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096. doi:10.7169/facm/1229619660 可免费查阅.
* Soundararajan, K.. Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (编).. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry **237**. Dordrecht: Springer-Verlag. 2007: 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043.

外部連結
----

* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.