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| * 
* 论
* 编
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在实分析中，由黎曼创立的**黎曼积分**（英語：）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

概念
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作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分
讓函數 f 為定義在區間 [a,b] 的非負函數，我们想要計算 f(x)所代表的曲线与 x坐标轴跟兩條垂直線 {\displaystyle x=a} 跟 {\displaystyle x=b} 所夹图形的面积（既右圖區域 S 的面積），可將區域 S 的面積以下面符號表示：

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx.}
黎曼積分的基本概念就是對 *x*-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 S 的面積（參考右方第二張圖）。同时請注意，如函數為負函數， {\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} \_{<0}}，则其面积亦為负值。

分割越來越「細」的黎曼和。右上角的数字表示所有矩形面积（既黎曼和）。这黎曼和數列會趋于此函数的積分。

定义
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### 区间的分割

一个闭区间[a,b]的一个**分割**P是指在此区间中取一个有限的点列a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\ldots <x\_{n}=b。(由a至b內的所有x)

  

每个闭区间[x\_{i},x\_{i+1}]叫做一个**子区间**。定义\lambda 为这些子区间长度的最大值：\lambda =\max(x\_{i+1}-x\_{i})，其中0\leq i\leq n-1。

再定义**取样分割**。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\ldots <x\_{n}=b后，于每一个子区间中[x\_{i},x\_{i+1}]取出一点x\_{i}\leq t\_{i}\leq x\_{i+1}。\lambda 的定义同上。

**精细化分割**：设x\_{0},\ldots ,x\_{n}以及t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y\_{0},\ldots ,y\_{m}和s\_{0},\ldots ,s\_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0\leq i\leq n，都存在r(i)使得x\_{i}=y\_{r(i)}，并存在{\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}使得t\_{i}=s\_{j}，那么就把分割：y\_{0},\ldots ,y\_{m}、s\_{0},\ldots ,s\_{m-1}称作分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}、t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}的一个**精细化分割**。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作"精细"。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更"精细"。

### 黎曼和

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}、t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}的**黎曼和**（**积分和**）定义为以下和式：

\sum \_{i=0}^{n-1}f(t\_{i})(x\_{i+1}-x\_{i})
和式中的每一项是子区间长度x\_{i+1}-x\_{i}与在t\_{i}处的函数值f(t\_{i})的乘积。直观地说，就是以标记点t\_{i}到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

### 黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越"精细"的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对"越来越‘精细’"作出严格的定义。

要使得"越来越‘精细’"有效，需要把\lambda 趋于0。如此[x\_{i},x\_{i+1}]中的函数值才会与f(t\_{i})接近，矩形面积的和与"曲线下方"的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

**严格定义如下**：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的\epsilon >0，都存在\delta >0，使得对于任意的取样分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}、t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}，只要它的子区间长度最大值\lambda \leq \delta ，就有：

\left|\sum \_{i=0}^{n-1}f(t\_{i})(x\_{i+1}-x\_{i})-S\right|<\epsilon .\,
也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为**黎曼可积**的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有\lambda \leq \delta 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

**另一个定义**: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的\epsilon >0，都存在一个取样分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}、t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}，使得对于任何比其"精细"的分割y\_{0},\ldots ,y\_{m} and s\_{0},\ldots ,s\_{m-1}，都有：

\left|\sum \_{i=0}^{m-1}f(s\_{i})(y\_{i+1}-y\_{i})-S\right|<\epsilon .\,
这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值\lambda \leq \delta 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于\delta ，于是满足 

\left|\sum \_{i=0}^{m-1}f(s\_{i})(y\_{i+1}-y\_{i})-S\right|<\epsilon .\,
其次证明满足第二个定义的S也满足第一个定义。首先引进**达布积分**的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}使得它的**上达布和**与**下达布和**都与S相差不超过{\frac {\epsilon }{2}}。令r等于\max \_{0\leq i\leq n-1}(M\_{i}-m\_{i})，其中M\_{i}和m\_{i}是f在[x\_{i},x\_{i+1}]上的上确界和下确界。再令\delta 是{\frac {\epsilon }{2rn}}和\min \_{0\leq i\leq n-1}(x\_{i+1}-x\_{i})中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于\delta 时，f关于它的黎曼和与**上达布和**或**下达布和**至多相差{\frac {\epsilon }{2}}，所以和S至多相差\epsilon 。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质
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* 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果f和g在区间[a,b]上黎曼可积，\alpha 和\beta 是常数，则：

\int \_{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int \_{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \_{a}^{b}g(x)\,dx.
由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b]后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I:f\longrightarrow \int \_{a}^{b}fdx是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

* 正定性：如果函数f在区间[a,b]上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b]上的积分也大于等于零。如果f在区间[a,b]上几乎处处大于等于0，并且它在[a,b]上的积分等于0，那么f几乎处处为0。

* 可加性：如果函数f在区间[a,c]和[c,b]上都可积，那么f在区间[a,b]上也可积，并且有

\int \_{a}^{b}fdx=\int \_{a}^{c}f(x)\,dx+\int \_{c}^{b}f(x)\,dx
无论*a*、*b*、*c*之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

* [a,b]上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

* 如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

* 如果{f\_{n}}是[a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为f，那么：

\int \_{a}^{b}f\,dx=\int \_{a}^{b}{\lim \_{n\to \infty }{f\_{n}}\,dx}=\lim \_{n\to \infty }\int \_{a}^{b}f\_{n}\,dx.
* 如果一个实函数在区间[a,b],上是单调的，则它是黎曼可积的。

黎曼积分的推广
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黎曼积分可推广到值属于n维空间\mathbb {R} ^{n}的函数。积分是线性定义的，即如果\mathbf {f} =(f\_{1},\dots ,f\_{n})，则\int \mathbf {f} =(\int f\_{1},\,\dots ,\int f\_{n})。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

\int \_{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim \_{x\to \infty }\int \_{-x}^{x}f(t)\,dt.
不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x)=1若x>0，f(0)=0，f(x)=-1若x<0。则对所有x

\int \_{-x}^{x}f(t)\,dt=\int \_{-x}^{0}f(t)\,dt+\int \_{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0.
但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x-1)，则对所有x>1，我们得到

\int \_{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int \_{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int \_{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2.
由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

\int \_{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim \_{a\to -\infty }\lim \_{b\to \infty }\int \_{a}^{b}f(t)\,dt.
此时，如果尝试对上面的f积分，我们得到+\infty ，因为我们先使用了极限b\to \infty 。如果使用相反的极限顺序，我们得到-\infty 。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令f\_{n}(x)=1/n在[0,n]上，其它域上等于0。对所有n，\int f\_{n}\,dx=1。但f\_{n}一致收敛于0，因此\lim f\_{n}的积分是0。因此\int f\,dx\not =\lim \int f\_{n}\,dx。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子x\_{i}-x\_{i+1}，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目
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* 不定积分
* 积分
* 勒贝格积分
* 黎曼－斯蒂尔杰斯积分
* 數值積分
* 达布积分
* 梯形公式
* 中點法（英语：）

参考文献
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* Shilov, G. E. and Gurevich, B. L. 1978. *Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach*, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.