**LQG控制**（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是**線性二次高斯控制**，是控制理论中的基礎最优控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪声的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律，可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪声的影響，其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下，可以用completion-of-squares論述進行推導。此控制律即為**LQG控制器**，就是卡尔曼滤波（線性二次狀態估測器，LQE）和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在线性时不变系统及线性時變系統，產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統，兩者有相同的維度。

根據分離原理，在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中，LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理（英语：）（separation principle of stochastic control）提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅，只要其系統動態是線性的，其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器（不再是卡尔曼滤波器）及LQR控制器。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統。

問題和解的數學描述
---------

### 連續時間

考慮連續時間的線性動態系統

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),}
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),}
其中{\displaystyle {\mathbf {x} }}是系統狀態變數的向量，{\displaystyle {\mathbf {u} }}是控制輸入向量，{\displaystyle {\mathbf {y} }}是輸出量測值的向量，可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊{\displaystyle \mathbf {v} (t)}及加成性的高斯量測雜訊{\displaystyle \mathbf {w} (t)}所影響。給定一系統，其目標是找到一控制輸入{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)}，此控制輸入在每個時間{\displaystyle {\mathbf {} }t}下，和以往的量測量{\displaystyle {\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t}有線性關係，而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值：

{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int \_{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],}
{\displaystyle F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,}
其中\mathbb{E}為期望值。最終時間（horizon）{\displaystyle {\mathbf {} }T}可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限，則費用函數的第一項{\displaystyle {\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)}可以忽略，和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值，會定義費用函數為{\displaystyle {\mathbf {} }J/T}。

求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示：

{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],}
{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).}
矩陣{\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}稱為卡尔曼增益（Kalman gain），和第一個方程卡尔曼滤波有關。在時間{\displaystyle {\mathbf {} }t}，濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態{\displaystyle {\mathbf {x} }(t)}的估測值{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t)}。卡尔曼增益{\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}是根據{\displaystyle {\mathbf {} }A(t),C(t)}、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣{\displaystyle \mathbf {v} (t)}、{\displaystyle \mathbf {w} (t)}及最後的{\displaystyle \mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]}來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡尔曼增益：

{\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),}
{\displaystyle P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].}
假設其解{\displaystyle P(t),0\leq t\leq T}，則卡尔曼增益等於

{\displaystyle {\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).}
矩陣{\displaystyle {\mathbf {} }K(t)}稱為回授增益（feedback gain）矩陣，是由{\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)}及{\displaystyle {\mathbf {} }F}矩陣，透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定

{\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),}
{\displaystyle {\mathbf {} }S(T)=F.}
假設其解{\displaystyle {\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T}，回授增益等於

{\displaystyle {\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).}
觀察上述二個矩陣Riccati微分方程，第一個沿時間從前往後算，而第二個是沿時間從後往前算，這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題（LQE），第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的，合起來就解了線性平方高斯控制問題（LQG)，因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題，且可以獨立求解，因此LQG問題是「可分離的」。

當{\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)}和雜訊密度矩陣{\displaystyle \mathbf {} V(t)}, {\displaystyle \mathbf {} W(t)}不隨時間變化{\displaystyle {\mathbf {} }t}，且{\displaystyle {\mathbf {} }T}趨於無限大時，LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。

### 離散時間

離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近，因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

{\displaystyle {\mathbf {x} }\_{i+1}=A\_{i}\mathbf {x} \_{i}+B\_{i}\mathbf {u} \_{i}+\mathbf {v} \_{i},}
{\displaystyle \mathbf {y} \_{i}=C\_{i}\mathbf {x} \_{i}+\mathbf {w} \_{i}.}
其中{\displaystyle \mathbf {} i}是離散時間，{\displaystyle \mathbf {v} \_{i},\mathbf {w} \_{i}}是離散時間高斯白雜訊過程，其共變異數矩陣為{\displaystyle \mathbf {} V\_{i},W\_{i}}。

要最小化的二次費用函數為

{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }\_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }\_{N}+\sum \_{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} \_{i}^{\mathrm {T} }Q\_{i}\mathbf {x} \_{i}+\mathbf {u} \_{i}^{\mathrm {T} }R\_{i}\mathbf {u} \_{i})\right],}
{\displaystyle F\geq 0,Q\_{i}\geq 0,R\_{i}>0.\,}
離散時間的LQG控制器為

{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\_{i+1}=A\_{i}{\hat {\mathbf {x} }}\_{i}+B\_{i}{\mathbf {u} }\_{i}+L\_{i+1}\left({\mathbf {y} }\_{i+1}-C\_{i+1}\left\{A\_{i}{\hat {\mathbf {x} }}\_{i}+B\_{i}u\_{i}\right\}\right),{\hat {\mathbf {x} }}\_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }\_{0}]},
{\displaystyle \mathbf {u} \_{i}=-K\_{i}{\hat {\mathbf {x} }}\_{i}.\,}
卡尔曼增益等於

{\displaystyle {\mathbf {} }L\_{i}=P\_{i}C\_{i}^{\mathrm {T} }(C\_{i}P\_{i}C\_{i}^{\mathrm {T} }+W\_{i})^{-1},}
其中{\displaystyle {\mathbf {} }P\_{i}}是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定：

{\displaystyle P\_{i+1}=A\_{i}\left(P\_{i}-P\_{i}C\_{i}^{\mathrm {T} }\left(C\_{i}P\_{i}C\_{i}^{\mathrm {T} }+W\_{i}\right)^{-1}C\_{i}P\_{i}\right)A\_{i}^{\mathrm {T} }+V\_{i},P\_{0}=\mathbb {E} \left({\mathbf {x} }\_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}\_{0}\right)\left({\mathbf {x} }\_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}\_{0}\right)^{\mathrm {T} }.}
回授增益矩陣為

{\displaystyle {\mathbf {} }K\_{i}=(B\_{i}^{\mathrm {T} }S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i})^{-1}B\_{i}^{\mathrm {T} }S\_{i+1}A\_{i}}
\
其中{\displaystyle {\mathbf {} }S\_{i}}是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定：

{\displaystyle S\_{i}=A\_{i}^{\mathrm {T} }\left(S\_{i+1}-S\_{i+1}B\_{i}\left(B\_{i}^{\mathrm {T} }S\_{i+1}B\_{i}+R\_{i}\right)^{-1}B\_{i}^{\mathrm {T} }S\_{i+1}\right)A\_{i}+Q\_{i},\quad S\_{N}=F.}
若問題中所有的矩陣都是非時變的，且時間長度{\displaystyle {\mathbf {} }N}趨近無窮大，則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器，以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值，會用{\displaystyle {\mathbf {} }J/N}來代替{\displaystyle {\mathbf {} }J}。

降階LQG問題
-------

在傳統LQG設定中，當系統維度很大時，實現LQG控制器會有困難。**降階LQG問題**（reduced-order LQG problem）也稱為**固定階數LQG問題**（fixed-order LQG problem）先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用，此問題會更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降階LQG問題已有不少的數值演算法可以求解相關的最佳投影方程（optimal projection equations），其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件。

LQG控制的強健性
---------

LQG最佳化本身不確保有良好的強健性，需要在設計好LQG控制後，另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性，可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜，會得到一個類似的最佳控制器，只有控制器參數不同。

相關條目
----

* 隨機控制
* Witsenhausen反例

參考資料
----

1. ↑  Karl Johan Astrom.  **58**. Academic Press. 1970. ISBN 0-486-44531-3. .
2. ↑  Anders Lindquist.. SIAM Journal on Control. 1973, **11**: 323––343. .
3. ↑  Tryphon T. Georgiou and Anders Lindquist.. IEEE Transactions on Automatic Control. 2013, **58** (10): 2481––2494. doi:10.1109/TAC.2013.2259207. .
4. ↑  Athans M.. IEEE Transaction on Automatic Control. 1971, **AC–16** (6): 529–552. doi:10.1109/TAC.1971.1099818.
5. 1 2  Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L.. European Journal of Control. 2000, **6** (1): 93–100. doi:10.1016/s0947-3580(00)70917-4.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于）.
6. 1 2  Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L.. Automatica. 1999, **35**: 129–138. doi:10.1016/S0005-1098(98)00138-1.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于）.
7. ↑  Zigic D.; Watson L.T.; Collins E.G.; Haddad W.M.; Ying S.. International Journal of Control. 1996, **56** (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308.
8. ↑  Collins Jr. E.G; Haddad W.M.; Ying S.. Journal of Guidance Control & Dynamics. 1996, **19** (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633.
9. ↑  Hyland D.C; Bernstein D.S.. IEEE Transaction on Automatic Control. 1984, **AC–29** (11): 1034–1037. doi:10.1109/TAC.1984.1103418.
10. ↑  Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C.. Journal of Guidance Control and Dynamics. 1986, **9** (3): 288–293. doi:10.2514/3.20105.
11. ↑  Green, Michael; Limebeer, David J. N.. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1995: 27. ISBN 0-13-102278-4.

延伸閱讀
----

* Stengel, Robert F.. New York: Dover. 1994. ISBN 0-486-68200-5.