**K·p微扰论**又名**K·p微扰法**，是固体物理中用来计算固体能带结构和光学性质的一种微扰方法，因微扰哈密顿算符中出现了正比于简约波矢（k）与动量算符（p）内积的项而得名。该方法可以近似估计半导体中的电子在导带底的有效质量。

背景
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在晶体中，势场具有周期性，如果给其中电子的波函数加以周期性边界条件，则波函数将具有布洛赫波的形式：

{\displaystyle \psi \_{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u\_{n,\mathbf {k} }}
其中\mathbf{k}是简约波矢，{\displaystyle u\_{n,\mathbf {k} }}是周期函数，且周期与晶格的周期完全相同。

将该表达式代入定态薛定谔方程，可得{\displaystyle u\_{n,\mathbf {k} }}满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程：

{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }u\_{n,\mathbf {k} }=E\_{n,\mathbf {k} }u\_{n,\mathbf {k} }}
其"哈密顿算符"为：{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}

微扰方法
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K·p微扰论适用于简约波矢\mathbf{k}较小的情形下。此时可将"哈密顿算符"中不含有简约波矢\mathbf{k}的项视为无微扰的"哈密顿算符"，把含有简约波矢\mathbf{k}的项视为"微扰哈密顿算符"，即：

{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }=H\_{0}+H\_{\mathbf {k} }',\;\;H\_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H\_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}
利用微扰方法可以用所有{\displaystyle u\_{n,\mathbf {0} }}的线性组合表达某个能带的{\displaystyle u\_{n,\mathbf {k} }}，进而给出能量{\displaystyle E\_{n,\mathbf {k} }}与简约波矢\mathbf{k}的近似关系。如果{\displaystyle u\_{n,\mathbf {0} }}是不简并的，考虑到一级修正后{\displaystyle u\_{n,\mathbf {k} }}的表达式为：

{\displaystyle u\_{n,\mathbf {k} }=u\_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum \_{n'\neq n}{\frac {\langle u\_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u\_{n',0}\rangle }{E\_{n,0}-E\_{n',0}}}u\_{n',0}}
考虑二级修正以后能量的表达式为：

{\displaystyle E\_{n,\mathbf {k} }=E\_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum \_{n'\neq n}{\frac {|\langle u\_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u\_{n',0}\rangle |^{2}}{E\_{n,0}-E\_{n',0}}}=E\_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum \_{n'\neq n}\sum \_{i,j}{\frac {|\langle u\_{n,0}|p\_{i}|u\_{n',0}\rangle ||\langle u\_{n,0}|p\_{j}|u\_{n',0}\rangle |}{E\_{n,0}-E\_{n',0}}}k\_{i}k\_{j}}
电子的倒有效质量张量近似为：

{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})\_{ij}={\frac {1}{m}}\delta \_{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum \_{n'\neq n}{\frac {|\langle u\_{n,0}|p\_{i}|u\_{n',0}\rangle ||\langle u\_{n,0}|p\_{j}|u\_{n',0}\rangle |}{E\_{n,0}-E\_{n',0}}}}

应用
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在直接带隙半导体中，导带底部的电子对应的简约波矢为零，它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态，仅考虑彼此的微扰贡献，K·p微扰论的结果可进一步简化为：

{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})\_{ij}={\frac {1}{m}}\delta \_{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}{\frac {|\langle u\_{v,0}|p\_{i}|u\_{c,0}\rangle ||\langle u\_{c,0}|p\_{j}|u\_{v,0}\rangle |}{E\_{g}}}}
式中E\_{{g}}为导带底与价带顶的能量差，即带隙；脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的，倒有效质量张量可以用一个标量代替：

{\displaystyle {\frac {1}{m^{\star }}}={\frac {1}{m}}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum \_{i}{\frac {|\langle u\_{v,0}|p\_{i}|u\_{c,0}\rangle |^{2}}{E\_{g}}}}
表明半导体的带隙越小，导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说，导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量，且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故：

{\displaystyle {m^{\star }}/m=E\_{g}/20ev}
该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。

推广
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如果考虑自旋-轨道作用，仍然可以用类似方法处理。此时"哈密顿算符"应写为：

{\displaystyle H\_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}
如果{\displaystyle u\_{n,\mathbf {0} }}有简并，需要使用简并微扰理论。Luttinger–Kohn模型（英语：）可以处理这类问题。

参见
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* 布洛赫定理

参考文献
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  黄昆、韩汝琦.. 高等教育出版社. 1988: p328.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 1 2  
C. Kittel.  Second Revised Printing. New York: Wiley. 1987: 186–190. ISBN 0-471-62412-8.
3. ↑  参见Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties （页面存档备份，存于）一书中表2.22
4. ↑  P. Yu, M. Cardona.  3rd. Springer. 2005. Section 2.6, pp. 68 *ff'  [2016-06-19]. ISBN 3-540-25470-6. （原始内容存档于2017-04-21）.*
5. ↑  
J. M. Luttinger, W. Kohn.. Physical Review. 1955, **97**: 869. Bibcode:1955PhRv...97..869L. doi:10.1103/PhysRev.97.869.

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