| n | *B*±*n* |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | ±1/2 |
| 2 | 1/6 |
| 3 | 0 |
| 4 | −1/30 |
| 5 | 0 |
| 6 | 1/42 |
| 7 | 0 |
| 8 | −1/30 |
| 9 | 0 |
| 10 | 5/66 |
| 11 | 0 |
| 12 | −691/2730 |
| 13 | 0 |
| 14 | 7/6 |
| 15 | 0 |
| 16 | −3617/510 |
| 17 | 0 |
| 18 | 43867/798 |
| 19 | 0 |
| 20 | −174611/330 |

數學上，白努利數 *B**n* 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：

*B*0 = 1, *B*±  
1 = ± 1/2, *B*2 = 1/6, *B*3 = 0, *B*4 = − 1/30, *B*5 = 0, *B*6 = 1/42, *B*7 = 0, *B*8 = − 1/30.
上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在*n* = 1 時有所不同：

* *B*−  
*n* 表示**第一白努利數** (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 *B*−  
1 = − 1/2.
* *B*+  
*n* 表示**第二白努利數** (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」 ，在這標準下 *B*+  
1 = + 1/2.

由於對於所有大於1的奇數 *n*白努利數 *B**n* = 0 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"*B**n*"來代表 *B*2*n*，不過在本文中不會使用如此的簡寫。

等冪求和
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条目：等幂求和
**伯努利數***B**n*是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中*m*, *n* ≥ 0：

{\displaystyle S\_{m}(n)=\sum \_{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}}
這數列和的公式必定是變數為*n*，次數為*m* +1次的多項式，稱為**伯努利多項式**。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：

{\displaystyle S\_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum \_{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B\_{k}^{+}n^{m+1-k},}
其中(*m* + 1  
*k*) 為二項式係數。

舉例說，把*m*取為1，我們有{\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B\_{0}n^{2}+2B\_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數可以由下列遞歸公式計算：

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B\_{j}=m+1}，
初值條件為*B*0 = 1。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是*x*/（*ex* − 1），使得對所有絕對值小於2π的*x*（冪級數的收斂半徑），有

{\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}。
有時會寫成小寫*bn*，以便與貝爾數分別開。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。

可以證明對所有不是1的奇數*n*有*B**n* = 0。

數列中乍看起來突兀的*B*12 = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。

一些等式
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歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

B\_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}。
在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的*n*階累積量是*B**n*/*n*。

伯努利數的算術性質
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伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為*B**n* = − *n*ζ（1 − *n*），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若*c**n*是*B**n*/2*n*的分子，那樣{\displaystyle K\_{4n-2}(\mathbb {Z} )}的階是−*c*2*n*若*n*為偶數；2*c*2*n*若*n*為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合*p* − 1整除*n*的質數*p*，把1/*p*加到*B**n*上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數*B**n*的分母的特徵：這些分母是適合*p* − 1整除*n*的所有質數*p*的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測*p*是質數當且僅當*pB**p*−1模*p*同餘於−1。

### *p*進連續性

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為*p*進連續性。若*b*，*m*和*n*是正整數，使得*m*和*n*不能被*p* − 1整除，及m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)，那麼

(1-p^{m-1}){B\_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B\_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}。
因為B\_{n}=-n\zeta (1-n)，這也可以寫成

(1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,，
其中*u* = 1 − *m*和*v* = 1 − *n*，使得*u*和*v*非正，及不是模*p* − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉1-p^{z}後，對適合模*p* − 1同餘於某個a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1的負奇數上的*p*進數連續，因此可以延伸到所有*p*進整數{\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}\,}，得出***p*進ζ函數**。

伯努利數的幾何性質
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在n\geq 2時給出可平行流形邊界的怪（4*n*−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若*B*是*B*4*n*/*n*的分子，那麼這種怪球的數目是2^{{2n-2}}(1-2^{{2n-1}})B。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

參見
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* 等幂求和
* 黎曼ζ函數

外部連結
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* 伯努利數網頁 （页面存档备份，存于）
* 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄
* *首498個伯努利數 （页面存档备份，存于）*取自古登堡計劃


1. ↑  A164555.