在數學中，一個李群 *G* 的**伴隨表示**（）或**伴隨作用**（）是 *G* 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 *G* 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义
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設 *G* 是一個李群，{\mathfrak g} 是它的李代數（我們將其等價於 *G* 中恒同元素的切空間 *T**e**G*）。利用方程 {\displaystyle \Psi (g)=\Psi \_{g}} 對 *g* 屬於 *G*，定義一個映射

{\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}
這里 {\displaystyle \mathrm {Aut} (G)} 是 *G* 的自同構群而自同構 {\displaystyle \Psi \_{g}} 定義為

{\displaystyle \Psi \_{g}(h)=ghg^{-1}\,} 對所有 *h* 屬於 *G*。
從而 Ψ*g* 在恒同處的微分是李代數 {\mathfrak g} 的一個自同構。我們記這個映射為 Ad*g*：

{\displaystyle \mathrm {Ad} \_{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}
所謂 Ad*g* 是一個李代數自同構是說 Ad*g* 是 {\mathfrak g} 的一個保持李括號的線性變換。映射

{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
將 *g* 映為 Ad*g* 稱為 **G** 的**伴隨表示**（）。這确实是 *G* 的一個表示因為 {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} 是 {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})} 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 *G* 的維數相同。

### 李代数的伴随表示

我們可以由李群 *G* 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}
給出李代數 {\mathfrak g} 的**伴隨表示**：

{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}
這里 {\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})} 是 {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} 的李代數，可以與 {\mathfrak g} 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

{\displaystyle \mathrm {ad} \_{x}(y)=[x,y]\,}
對所有 {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} 成立。詳情請見李代数的伴随表示。

例子
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* 如果 *G* 是一個 *n* 維阿貝爾群，*G* 的伴隨表示是*n* 維平凡表示。
* 如果 *G* 是一個矩陣李群（即 GL(*n*,**C**) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 *n*×*n* 矩陣代數（即 {\displaystyle {\mathfrak {gl}}\_{n}(\mathbb {C} )} 的子代數）。此時，伴隨映射由 Ad*g*(*x*) = *gxg*−1 給出。
* 如果 *G* 是 SL2(**R**)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），*G* 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 *G* 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质
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下表總結了定義中提到的不同映射的性質

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| {\displaystyle \Psi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)\,} | {\displaystyle \Psi \_{g}\colon G\to G\,} |
| 李群同態:
* {\displaystyle \Psi \_{gh}=\Psi \_{g}\Psi \_{h}}
 | 李群自同態:
* **解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): {\displaystyle \Psi\_g(ab) = \Psi\_g(a)\Psi\_g(b)}**
* {\displaystyle (\Psi \_{g})^{-1}=\Psi \_{g^{-1}}}
 |
| {\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} | {\displaystyle \mathrm {Ad} \_{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} |
| 李群同態:
* {\displaystyle \mathrm {Ad} \_{gh}=\mathrm {Ad} \_{g}\mathrm {Ad} \_{h}}
 | 李代數自同態:
* {\displaystyle \mathrm {Ad} \_{g}} 線性
* {\displaystyle (\mathrm {Ad} \_{g})^{-1}=\mathrm {Ad} \_{g^{-1}}}
* {\displaystyle \mathrm {Ad} \_{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} \_{g}(x),\mathrm {Ad} \_{g}(y)]}
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| {\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})} | {\displaystyle \mathrm {ad} \_{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} |
| 李代數同態:
* {\displaystyle \mathrm {ad} } 线性
* {\displaystyle \mathrm {ad} \_{[x,y]}=[\mathrm {ad} \_{x},\mathrm {ad} \_{y}]}
 | 李代數導子:
* {\displaystyle \mathrm {ad} \_{x}} 線性
* {\displaystyle \mathrm {ad} \_{x}[y,z]=[\mathrm {ad} \_{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} \_{x}(z)]}
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*G* 在伴隨映射下的像記為 Ad*G*。如果 *G* 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 *G* 的中心。從而，如果 *G* 中心平凡，則連通李群 *G* 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 *G* 不連通，伴隨映射的核是 *G* 的單位分支 *G*0 的中心化子。由第一同構定理我們有

{\displaystyle \mathrm {Ad} \_{G}\cong G/C\_{G}(G\_{0}).\,}

半单李群的根
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如果 *G* 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 *G*=SL*n*(**R**)。

我们可取对角矩阵 diag(*t*1,...*t**n*) 的群是 *G* 的极大环面 *T*。用 *T* 中元素的共轭作用为

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\cdots &a\_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\_{11}&t\_{1}t\_{2}^{-1}a\_{12}&\cdots &t\_{1}t\_{n}^{-1}a\_{1n}\\t\_{2}t\_{1}^{-1}a\_{21}&a\_{22}&\cdots &t\_{2}t\_{n}^{-1}a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t\_{n}t\_{1}^{-1}a\_{n1}&t\_{n}t\_{2}^{-1}a\_{n2}&\cdots &a\_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
从而 *T* 在 *G* 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 *t**i**t**j*-1。*G* 的根是权 
diag(*t*1,...*t**n*)→*t**i**t**j*-1。这是 *G*=SL*n*(**R**) 的根系作为*e**i*−*e**j* 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比
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伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

**餘伴随表示**（）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为**轨道方法**的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（）），一个李群 *G* 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。