在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，{x}^{{\mu }}\,\!或{x}\_{{\mu }}\,\!。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，(x)^{2}\,\!表示x\,\!平方；而{x}^{2}\,\!是{x}^{{\mu }}\,\!的第二個分量。
在電磁學裏，平面電磁波的**四維頻率** f^{{\mu }} 以公式定義為

f^{{\mu }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f{\mathbf {n}}\right) ；
其中，f 是電磁波的頻率，\mathbf{n} 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

{f}^{\mu }{f}\_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0 。
類似地，**四維角頻率** \omega ^{{\mu }} 以公式定義為

\omega ^{{\mu }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega {\mathbf {n}}\right) ；
其中，\omega  是電磁波的角頻率。

顯然地，

\omega ^{{\mu }}=2\pi f^{{\mu }} 。
**四維波向量** {k}^{{\mu }} 與四維角頻率有密切的關係，定義為

{k}^{{\mu }}=\left(k,\,{\mathbf {k}}\right) ；
其中，\mathbf{k} 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1,-1,-1,-1) ，這是参考了約翰·傑克森（）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換
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給予兩個慣性參考系 {\mathcal {S}} 、\overline {{\mathcal {S}}} ；相對於參考系 {\mathcal {S}} ，參考系 \overline {{\mathcal {S}}} 以速度 \mathbf {v}  移動。對於這兩個參考系，相關的**勞侖茲變換矩陣** \Lambda \_{{\nu }}^{{\mu }} 是

\Lambda \_{{\nu }}^{{\mu }}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \_{x}\,\gamma &-\beta \_{y}\,\gamma &-\beta \_{z}\,\gamma \\-\beta \_{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta \_{{x}}^{{2}}}{\beta ^{{2}}}}&(\gamma -1){\frac {\beta \_{{x}}\beta \_{{y}}}{\beta ^{{2}}}}&(\gamma -1){\frac {\beta \_{{x}}\beta \_{{z}}}{\beta ^{{2}}}}\\-\beta \_{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta \_{{y}}\beta \_{{x}}}{\beta ^{{2}}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta \_{{y}}^{{2}}}{\beta ^{{2}}}}&(\gamma -1){\frac {\beta \_{{y}}\beta \_{{z}}}{\beta ^{{2}}}}\\-\beta \_{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta \_{{z}}\beta \_{{x}}}{\beta ^{{2}}}}&(\gamma -1){\frac {\beta \_{{z}}\beta \_{{y}}}{\beta ^{{2}}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta \_{{z}}^{{2}}}{\beta ^{{2}}}}\\\end{bmatrix}} ；
其中，\gamma ={\cfrac {1}{{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}} 是勞侖茲因子，\beta ={\frac {v}{c}} 是**貝他因子**，\beta \_{x} 、\beta \_{y} 、\beta \_{z} 分別是參考系 \overline {{\mathcal {S}}} 對於參考系 {\mathcal {S}} 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 v\_{x} 、v\_{y} 、v\_{z} 的貝他因子。 

設定一個朝著 \hat{\mathbf{k}} 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 {\mathcal {S}} ，這平面電磁波以公式表達為

{\mathbf {E}}=E\_{0}e^{{-i(k^{{\mu }}x\_{{\mu }})}}{\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{1} 、
{\mathbf {B}}=B\_{0}e^{{-i(k^{{\mu }}x\_{{\mu }})}}{\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{2} ；
其中，\mathbf {E}  、\mathbf {B}  分別是電磁波的電場、磁場，E\_{0} 、B\_0 分別是其波幅，k^{{\mu }} 是四維波向量，x\_{{\mu }}=(ct,-{\mathbf {x}}) 是四維位置，\mathbf {x}  是位置，{\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{1} 、{\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{2} 分別垂直於 \hat{\mathbf{k}} ，而且 {\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{2}={\hat {{\mathbf {k}}}}\times {\hat {{\boldsymbol {\eta }}}}\_{1} 。

那麼，對於參考系 \overline {{\mathcal {S}}} ，這平面電磁波以公式表達為

\overline{\mathbf{E}}=\overline{E}\_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}\_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}\_1 、
\overline{\mathbf{B}}=\overline{B}\_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}\_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}\_2 。
四維波向量 \overline{k}^{\mu} 與 {k}^{{\mu }} 之間的關係為

\overline{k}^{\mu}=\Lambda^{\mu}\_{\nu}{k}^{\nu} 。
經過一番運算，可以求得

\overline{k}=\overline{k}^0=\gamma(k - \beta\_x k\_x - \beta\_y k\_y - \beta\_z k\_z)=k^{\mu}v\_{\mu}/c ；
其中，v\_{{\mu }}=(\gamma c,\,-\gamma {\mathbf {v}}) 是參考系 \overline {{\mathcal {S}}} 相對於參考系 {\mathcal {S}} 的四維速度，\mathbf {v}  是參考系 \overline {{\mathcal {S}}} 相對於參考系 {\mathcal {S}} 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

f^{{\mu }}=ck^{{\mu }}/2\pi  。
所以，

\overline{f}=\overline{f}^0=f^{\mu}v\_{\mu}/c 。
這也是參考系 \overline {{\mathcal {S}}} 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱
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* 四維向量
* 電磁張量

參考文獻
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1. ↑  Jackson, John David,  3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Woodhouse, N.M.J.. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266.
* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)