在第三个平面（粉红色）中的两个平面（α，β，绿色）之间的角度以直角切割相交线
**二面角**（英語：）是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中，它被定义为一条直线和两个半平面的并集，这条直线是两个半平面的公共边。在高维中，二面角表示两个超平面之间的夹角。

在化学中，二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角，一共涉及四个原子，公共边是一个化学键（两个原子），平面则由另两个原子分别与该化学键构成。

立体几何
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一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做**二面角**，这条直线叫做**二面角的棱**，这两个半平面叫做**二面角的面**。

由直线 l 、半平面 \alpha  和半平面 \beta  组成的二面角，记作："二面角{\displaystyle \alpha -l-\beta } "，也可记作"{\displaystyle ^{2}\angle l}"。

也可在直线 l 外、半平面 \alpha  和半平面 \beta  内，分别取点P和点Q，将这个二面角记作"二面角{\displaystyle P-l-Q}"。

在 二面角{\displaystyle \alpha -l-\beta } 的棱 l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 \alpha  和 \beta  内分别作射线 {\displaystyle OA} 和射线 {\displaystyle OB} 垂直于棱 l ，那么射线{\displaystyle OA} 和射线{\displaystyle OB} 所构成的 \angle AOB 叫做**二面角的平面角**。

建立二面角的平面角
在非解析几何方法中，常通过建立二面角的平面角，通过求出平面角的大小，来求出二面角的大小：

{\displaystyle \because AB\perp OB}

{\displaystyle \therefore OB} 为{\displaystyle OA}在平面 \beta  中的射影。

{\displaystyle \because OA\perp l,OB\perp l}

{\displaystyle \therefore \angle AOB} 是二面角{\displaystyle \alpha -l-\beta } 的平面角。

解析几何
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若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为

{\displaystyle a\_{1}x+b\_{1}y+c\_{1}z+d\_{1}=0}
{\displaystyle a\_{2}x+b\_{2}y+c\_{2}z+d\_{2}=0\,\,,}
则它们之间的二面角 \varphi  为：

{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a\_{1}a\_{2}+b\_{1}b\_{2}+c\_{1}c\_{2}\right\vert }{{\sqrt {a\_{1}^{2}+b\_{1}^{2}+c\_{1}^{2}}}{\sqrt {a\_{2}^{2}+b\_{2}^{2}+c\_{2}^{2}}}}}\,\,.}
另一种方法是计算两个平面的法向量**n**A和**n**B之间的夹角：

{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} \_{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} \_{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} \_{\mathrm {A} }||\mathbf {n} \_{\mathrm {B} }|}}\,\,,}
其中**n**A • **n**B是两个向量的点积，|**n**A| |**n**B|是两个向量的模的乘积。

任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述；他们的叉积是平面的法向量。因此，二面角可以由三个向量**b**1、**b**2和**b**3定义，形成两对非共线向量：

{\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} \_{1}\times \mathbf {b} \_{2}]\times [\mathbf {b} \_{2}\times \mathbf {b} \_{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} \_{2}}{|\mathbf {b} \_{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} \_{1}\times \mathbf {b} \_{2}]\cdot [\mathbf {b} \_{2}\times \mathbf {b} \_{3}]\right)\,\,,}
其中atan2是二個參數的反正切函數變體，一般而言，atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

立体化学
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参见：烷烃立体化学和构象异构

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| 构象名称 | *syn*-正丁烷纽曼投影 | *syn*-正丁烷锯木架投影 |

正丁烷的自由能图作为二面角的函数
在化学中，**扭转角**（英語：）被定义为二面角的特定例子，描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。

在立体化学中，分子中的每三个（非共线）原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时，它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为*syn*（s，顺）；在±90°和180°之间的为*anti*（a，反）。类似地，角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为*clinal*（c，错），而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为*periplanar*（p，叠）。

这两种术语可以组合起来，以定义四个角度范围：0°至±30°为顺叠（sp）；30°至90°和-30°至-90°为顺错（sc）；90°至150°和-90°至-150°为反错（ac）；±150°至180°为反叠（ap）。顺叠构象也被称为顺式（*syn*-或*cis*-）构象；反叠构象也被称为反式（*anti*-或*trans*-）构象；顺错构象也被称为邻位交叉、間扭（*gauche*或*skew*）构象。

例如，对于正丁烷，可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头（上图）所示的*syn*-构象具有60°的二面角，比180°二面角的*anti*-构象更不稳定。

对于大分子使用，建议使用符号T，C，G+，G-，A+和A-分别表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。

### 蛋白质

描述蛋白质，显示骨架二面角
拉氏图（也称为Ramachandran图或[*φ*,*ψ*]图），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发，是一种形象化蛋白质结构中能量（位阻）允许的氨基酸残基的二面角*ψ*与*φ*的关系的方式。右图展示了骨架二面角*φ*和*ψ*的定义（Ramachandran称为*φ*和*φ'*）。

在蛋白质链中，三个二面角被定义为*φ*（phi），*ψ*（psi）和*ω*（omega），如图所示。肽键的平面性通常使得*ω*被限制为180°（典型*trans*情况）或0°（罕见*cis*情况）。*trans*和*cis*异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。*cis*异构体主要在Xaa-Pro肽键（其中Xaa是任何氨基酸）中观察到。

侧链二面角倾向于聚集在180°，60°和-60°附近，称为*trans*，*gauche+*和*gauche-*构象。某些侧链二面角的稳定性受到*φ*和*ψ*值的影响。例如，当*ψ*接近-60°时，*gauche+*旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用。

#### 从二面角转换为链中的笛卡尔坐标

在聚合物特别是蛋白质中，常常用内部坐标来描述主链，也即把二面角和键长按照顺序列表。但是，某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中，一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换，这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程，它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果，但它们的运算速度和数字精度不同。[需要非第一手來源]

几何
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每个多面体在每条边上都有一个二面角，用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为**面角**，其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的，而且两个面相互重叠，这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的，如在镶嵌中。在多面体的凹部，可以存在大于180°的面角，在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0，180]。

边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体，4个星型正多面体，两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。

给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面，包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为：

{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.}

参见
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* 阻转异构
* 顺反异构

参考资料
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1. ↑  Olshevsky, George, *Dihedral angle* at *Glossary for Hyperspace*.
2. ↑ . 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4.
3. ↑ . TutorVista.com.  [2018-07-06]. （原始内容存档于2020-10-28）.  （页面存档备份，存于）
4. ↑  Blondel, Arnaud; Karplus, Martin.. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, **17** (9): 1132–1141  [2018-07-08]. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. （原始内容存档于2018-02-03）.  （页面存档备份，存于）
5. 1 2  國際純化學和應用化學聯合會，*化學術語概略*，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Torsion angle"。doi:10.1351/goldbook.T06406
6. ↑  國際純化學和應用化學聯合會，*化學術語概略*，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Dihedral angle"。doi:10.1351/goldbook.D01730
7. ↑  Anslyn, Eric; Dennis Dougherty.. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313.
8. ↑  Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V.. Journal of Molecular Biology. 1963, **7**: 95–9. PMID 13990617. doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6.
9. ↑  Richardson, J. S.. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, **34**: 167–339. ISBN 9780120342341. PMID 7020376. doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3.
10. ↑  Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, **230** (2): 543–74. PMID 8464064. doi:10.1006/jmbi.1993.1170.
11. ↑  Dunbrack, RL Jr; Karplus, M.. Nature Structural Biology. May 1994, **1** (5): 334–40. PMID 7664040. doi:10.1038/nsb0594-334.
12. ↑  Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E. Journal of Computational Chemistry, 2005, **26**: 1063–1068, PMID 15898109, doi:10.1002/jcc.20237
13. ↑ . www.had2know.com.  [2015-10-25]. （原始内容存档于2015-11-25）.  （页面存档备份，存于）

外部链接
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* 木工中的二面角 - Tips.FM
* 5个正多面体的分析（页面存档备份，存于），给出了这些精确值的逐步推导