微分几何中，**埃雷斯曼联络**（）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。

特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 

它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。

埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。

简介
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微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用來闡述在
在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面*s*沿着向量*V*平行，如果∇V*s* = 0。所以一个协变导数提供了两个觀念：微分算子以及各个方向上的平行。**埃雷斯曼联络**完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络將纤维丛中的切丛的某些子空间指定为「水平空间」。如果 *ds*(*V* )处于水平空间中，則截面 *s* 是在 *V* 方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把 *s* 視为从底空间 *M* 映射到向量丛 *E* 的函数 *s* : *M* → *E* ，且 *ds* : *TM* → *s\*TE* 是向量的前推。水平空间组成 *TE* 的一个子向量丛。

如此一來直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，曲率和和樂。

然而此定義除了线性之外還失去了*协变性*。在经典协变导数中，协变性乃是導數的*后验*特性。在构造過程中，要先指定「非协变」克氏记号的变换法则，才能給出符合协变的*导数*。對埃雷斯曼联络而言，可藉由引入作用在纤维丛裡纤维上的李群，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变。

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表達为一个微分形式，和联络形式的情況類似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允許用曲率形式來定義曲率。

纤维丛上的埃雷斯曼联络
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令π : *E* → *M*为纤维丛。*E*上的**埃雷斯曼联络**由如下数据组成：

1. 对于每一点*x* ∈ *E*，给定*E*在*x*点的切空间向量子空间 *H*x ⊂ *T*x*E*。*H*x称为*x*点的*水平空间*。
2. 随着*x*的变化，*H*x必须定义出一个*E*的切丛的光滑子丛。（特别是，*H*必须有常数维度。）
3. 令*V* = ker(*d*π : *TE* → *TM*)为由所有沿着*E*的纤维方向的切向量组成的*铅直丛*。则*H*x ∩ *V*x = {0} 对于*x* ∈ *E*成立。
4. 任何*E*的切向量必须可以分解为水平和铅直分量: *TE* = *H* + *V*。（特别是，根据上面第3条，这是一个直和分解。）

用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个射丛 *JE* → *E*的光滑截面。

等价的有，令Φ为到铅直丛*V*的投影。这可以由上述*TE*到水平和铅直分量的*直和*分解得到。则Φ满足：

1. Φ2 = Φ
2. Φ : *TE* → *V*是一个丛的满射。

反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H = *ker* Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。

### 曲率

令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为

R={\frac {1}{2}}[\Phi ,\Phi ]
其中[-,-]表示Φ ∈ Ω1(*E*,*TE*)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括号。这样*R* ∈ Ω2(*E*,*TE*)就是一个*E*上取值在*TE*中的2－形式，定义为

R(X,Y)=\Phi \left([(Id-\Phi )X,(Id-\Phi )Y]\right),
或者说

R(X,Y)=[X\_{H},Y\_{H}]\_{V},
其中*X* = *X*H + *X*V代表到*H*和*V*分量的分解。从上式可以看出，曲率为0当且仅当水平子丛是弗罗贝尼乌斯可积的。这样，曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛*E* → *M*的横截面的可积性条件。

一个埃雷斯曼的曲率也满足比安基恒等式（Bianchi identity）的一个扩展版本：

[\Phi ,R]=0
其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω1(*E*,*TE*)和*R* ∈ Ω2(*E*,*TE*)的Frölicher-Nijenhuis括号。

### 水平提升

埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形 *M* 提升到纤维丛 *E* 的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些**水平提升**是其它版本的联络表述中的平行移动的直接对应。

精确来讲，设 γ(*t*) 为 *M* 中穿过点 *P* = γ(0) 的光滑曲线。令 *e* ∈ *E*P 为 *P* 上的纤维中的一点。γ 穿过 *e* 的一个**提升**就是一条曲线 {\tilde {\gamma }}(t)，它位于 *E* 中，并满足

{\tilde {\gamma }}(0)=e，与 \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).
提升是**水平的**，当曲线的每个切向量位于 *TE* 的水平子丛中：

{\tilde {\gamma }}'(t)\in H\_{{\gamma (t)}}.
对π和Φ利用秩-零化度定理可以证明每个向量*v* ∈ TP*M*有唯一的水平提升{\tilde {v}}\in T\_{e}E。特别是，γ的切向量场在拉回丛 γ-1E的总空间上产生一个水平向量场。利用皮卡定理，这个向量场是可积的。这样，对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点*e*，对于足够小的时间*t*总是*存在唯一的穿过e*的γ的水平提升*。*

### 完备性

埃雷斯曼联络允许曲线有局部水平提升。对于一个**完备**埃雷斯曼联络，曲线可以在整个定义域上水平提升。

### 和乐群

联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端，非零曲率表示了联络的和乐群的存在。

主丛
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对于主*G*-丛 E\to B，每个x\in E，令T\_{x}(E)代表在*x*的切空间，用 
V\_{x}代表和纤维相切的**铅直子空间**。则联络是对T\_{x}(E)的**水平子空间** H\_{x}的指定，并要满足

1. T\_{x}(E)是V\_{x}和H\_{x}的直和，
2. H\_{x}的分布在*G*在*E*上的作用下不变，也即H\_{{ax}}=D\_{x}(R\_{a})H\_{{x}}对于任何x\in E

和a\in G成立，这里D\_{x}(R\_{a})代表*a*在*x*的群作用的微分。

1. 分布H\_{x}光滑地依赖于*x*。

使用射丛 JE\rightarrow E可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。

*G*的单参数子群铅直作用于*E*上。该作用的微分允许我们可以讲子空间V\_{x}和*G*群的李代数*g*等同起来，譬如通过映射\iota :V\_{x}\to g。
然后，联络形式就是E上的在*g*中取值的微分形式\omega ，其定义为\omega (X)=\iota \circ v(X) 其中v代表在x\in E的从X\in T\_{x}到V\_{x}的投影，且其核空间为H\_{x}。

联络形式满足如下两个属性：

* 联络在*G*作用下等变：R\_{h}^{\*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{{-1}})\omega  对于所有*h*∈*G*成立。
* 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素：\omega (X)=\iota (X)对于所有*X*∈*V*成立。

反过来，可以证明这样一个*g*-值1－形式在一个主丛上产生一个水平分布，满足前面所说的属性。

给定一个局部平凡化，可以将\omega （在该平凡化中）简化为水平向量场。它通过拉回在*B*上定义了一个形式\omega '。该形式\omega '完全确定了\omega ，但是它依赖于平凡化的选择。（这个形式经常也称为**联络形式**并也记为\omega 。）

备注
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1. ↑  Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", *Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55.*
2. ↑  这在更一般的情况也成立，这种情况下π:*E*→*M*是一个满 浸入: 也即，*E*是一个*M*上的纤维化流形。
3. ↑  埃雷斯曼联络的和乐群有时称为**埃雷斯曼－瑞布和乐群（Ehresmann-Reeb holonomy）**或者**叶和乐群**，参看瑞布首次使用埃雷斯曼联络研究叶状结构的文章：Reeb, G. *Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees*, Herman, Paris, 1952.

进阶阅读
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* Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", *Proc. Symp. Pure Math.*, **16** Amer. Math. Soc. Providence, RI.

参见条目
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* 嘉当联络
* 仿射联络
* 曲率形式