在量子力学中，**量子马尔可夫半群**刻画了具备马尔可夫性质的开放量子系统的动力学演化。量子马尔可夫半群原型的公理定义最早由 Andrzej Kossakowski（英语：） 于1972年提出，随后由V. Gorini、 Andrzej Kossakowski 、E. C. George Sudarshan（英语：） 和 Göran Lindblad（英语：） 于1976年进一步发展。

动机
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理想的量子系统是完全孤立的，因而并不现实。在实践中，系统会受到与环境耦合的影响，而环境通常具有大量的自由度（例如原子与周围辐射场相互作用）。对环境自由度的完整微观描述通常过于复杂。因此，人们寻求对开放系统的演化的更简单描述。原则上，人们应该研究整个系统（即系统和环境）的幺正演化，通过对环境自由度上的适当可觀察量取平均来获得感兴趣的约化系统的信息。为了模拟与环境相互作用而产生的耗散效应，薛定谔方程被一个合适的主方程所取代，例如林德布拉德方程或随机薛定谔方程，其中环境的无限自由度被"合成"为一些量子噪声。从数学上讲，马尔可夫开放量子系统的时间演化不再由幺正映射的单参数群来描述，而是需要引入**量子马尔可夫半群**。

定义
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### 量子动力学半群

一般而言，量子动力学半群可以定义在冯诺依曼代数上，这使得所考察的系统的维数可以是无限的。设 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个作用于希尔伯特空间 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上的冯诺依曼代数 ， {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的量子动力学半群是 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上有界算子的这样一种集合 {\displaystyle {\mathcal {T}}} ，其可用一非负实数 {\displaystyle t\geq 0} 参数化从而其成员记作 {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}} ，且具有以下性质：

1. {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}, {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{0}\left(a\right)=a}
2. {\displaystyle \forall s,t\geq 0}, {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}} , {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}\_{t}\left({\mathcal {T}}\_{s}\left(a\right)\right)}
3. {\displaystyle \forall t\geq 0} ， {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}} 都是一个完全正映射（英语：）
4. {\displaystyle \forall t\geq 0} ，{\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}} 都是 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的超弱拓扑（英语：）意义上的连续算子
5. {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}} ，映射 {\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}\_{t}\left(a\right)} 在 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的超弱拓扑（英语：）意义上连续。

值得一提的是，在完全正性质的条件下，算子 {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}} 的超弱连续性等价于其正规性（normal）。注意这里所说的正规性不同于正规算子，而是定义如下：设 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{+}} 表示 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中正元素所构成的凸锥， {\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}} 是一个正算子，若对于每个 {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{+}} 中递增且有最小上界 {\displaystyle x} 的网 {\displaystyle \left(x\_{\alpha }\right)\_{\alpha }} ，性质

{\displaystyle \lim \_{\alpha }\langle u,(Tx\_{\alpha })u\rangle =\sup \_{\alpha }\langle u,(Tx\_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle }
对 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的一个范数稠密的线性子流形中的任意 {\displaystyle u} 都成立，则称算子 {\displaystyle T} 是正规的。

### 量子马尔可夫半群

若量子动力学半群 {\displaystyle {\mathcal {T}}} 保单位元（或称是守恒的、马尔可夫的），也就是说对于单位元 {\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}} 有

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}\left({\boldsymbol {1}}\right)={\boldsymbol {1}},\quad \forall t\geq 0,} |  | **(**1**)** |

则称 {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是一个量子马尔可夫半群。注意 {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{t}} 的保单位元性和正性（英语：）蕴含了 {\displaystyle \forall t\geq 0,\left\|{\mathcal {T}}\_{t}\right\|=1} ，从而 {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是一个收缩半群。

条件 (1) 不仅在证明Hudson – Parthasarathy量子随机微分方程解的唯一性和幺正性方面起着重要作用，而且在从算子理论的角度推导经典马尔可夫过程路径的正则性条件方面也起着重要作用 。

### 量子动力学半群的无穷小生成元

量子动力学半群 {\displaystyle {\mathcal {T}}} 的无穷小生成元 是这样一个算子 {\displaystyle {\mathcal {L}}} ，其定义在 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的使下列极限收敛的子集上，满足：

{\displaystyle {\mathcal {L}}(a)=\lim \_{t\to 0}{\frac {{\mathcal {T}}\_{t}(a)-a}{t}},}
上式的极限在超弱拓扑意义上理解。

一致连续量子马尔可夫半群的生成元的典范形式
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若量子马尔可夫半群 {\displaystyle {\mathcal {T}}} 还具有一致连续性质（使得 {\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}\_{t}-{\mathcal {T}}\_{0}\right\|=0} ）， 于是有

* 无穷小生成元 {\displaystyle {\mathcal {L}}} 将是冯诺依曼代数 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的一个有界算子，且其定义域为整个 {\displaystyle {\mathcal {A}}}
* 对于任意 {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} ，映射 {\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}\_{t}a} 将自动成为连续的
* 无穷小生成元 {\displaystyle {\mathcal {L}}} 也将是超弱连续的。

在这样的假设下，无穷小生成元 {\displaystyle {\mathcal {L}}} 具有下列典范形式

{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum \_{j}\left(V\_{j}^{\dagger }aV\_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V\_{j}^{\dagger }V\_{j},a\right\}\right),}
其中： {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}, {\displaystyle V\_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}, {\displaystyle \sum \_{j}V\_{j}^{\dagger }V\_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} ； {\displaystyle H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} 是自伴的； {\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]} 表示对易子，而 {\displaystyle \left\{\cdot ,\cdot \right\}} 是反对易子。

近期发布作品精选
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* Chebotarev, A.M; Fagnola, F.. Journal of Functional Analysis. March 1998, **153** (2): 382–404. S2CID 18823390. arXiv:funct-an/9711006 可免费查阅. doi:10.1006/jfan.1997.3189.
* Fagnola, Franco; Rebolledo, Rolando.. Probability Theory and Related Fields. 2003-06-01, **126** (2): 289–306. S2CID 123052568. doi:10.1007/s00440-003-0268-0 可免费查阅.
* Rebolledo, R.. Annales de l'Institut Henri Poincaré B. May 2005, **41** (3): 349–373  [2024-04-06]. doi:10.1016/j.anihpb.2004.12.003. （原始内容存档于2024-04-06）.
* Umanità, Veronica.. Probability Theory and Related Fields. April 2006, **134** (4): 603–623. S2CID 119409078. doi:10.1007/s00440-005-0450-7 可免费查阅.
* Fagnola, Franco; Umanità, Veronica.. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2007-09-01, **10** (3): 335–363. S2CID 16690012. arXiv:0707.2147 可免费查阅. doi:10.1142/S0219025707002762.
* Carlen, Eric A.; Maas, Jan.. Journal of Functional Analysis. September 2017, **273** (5): 1810–1869. S2CID 119734534. arXiv:1609.01254 可免费查阅. doi:10.1016/j.jfa.2017.05.003.

参见
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* 算子拓扑
* 冯诺依曼代数
* C0半群
* 收缩半群
* 林德布拉德方程
* 马尔可夫链——状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程
* 量子力学——物理學分支處理普朗克常數量級的現象
* 开放量子系统

参考资料
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1. 1 2  Fagnola, Franco.. Proyecciones. 1999, **18** (3): 1–144. doi:10.22199/S07160917.1999.0003.00002 可免费查阅.
2. ↑  Bratteli, Ola; Robinson, Derek William.  2nd. New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 3-540-17093-6.
3. ↑  Chebotarev, A.M; Fagnola, F.. Journal of Functional Analysis. March 1998, **153** (2): 382–404. S2CID 18823390. arXiv:funct-an/9711006 可免费查阅. doi:10.1006/jfan.1997.3189.
4. 1 2  Rudin, Walter.  Second. New York: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1991. ISBN 978-0070542365.
5. ↑  Dixmier, Jacques.. Mathematical Reviews (MathSciNet). 1957.
6. ↑  Lindblad, Goran.. Communications in Mathematical Physics. 1976, **48** (2): 119–130  [2024-04-06]. S2CID 55220796. doi:10.1007/BF01608499. （原始内容存档于2020-08-20）.