射線出原點交單位雙曲線{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}於點{\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}，這裡的a是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值

雙曲函數示意圖

幾個雙曲函數的圖形。
在数学中，**双曲函数**是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是**雙曲正弦**函数\sinh 和**雙曲餘弦**函数\cosh ，从它们可以导出**双曲正切**函数\tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。

基本定义
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sinh、cosh和tanh
csch、sech和coth
最簡單的幾種雙曲函數為：

* 雙曲正弦：
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
* 雙曲餘弦：
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
* 雙曲正切：
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}
* 雙曲餘切：當{\displaystyle x\neq 0}
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}
* 雙曲正割：
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}
* 雙曲餘割：當{\displaystyle x\neq 0}
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}

函数{\displaystyle \cosh x}是关于y轴对称的偶函数。函数{\displaystyle \sinh x}是奇函数。

如同当t遍历实数集\mathbb {R} 时，点（{\displaystyle \cos t}, \sin t）的轨迹是一个圆x^{2}+y^{2}=1一样，当t遍历实数集\mathbb {R} 时，点（{\displaystyle \cosh t}, {\displaystyle \sinh t}）的轨迹是單位雙曲線（英语：）x^{2}-y^{2}=1的右半边。这是因为有以下的恒等式：

{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}
参数*t*不是圆角而是双曲角，它表示在*x*轴和连接原点和双曲线上的点（{\displaystyle \cosh t}, {\displaystyle \sinh t}）的直线之间的面积的两倍。

歷史
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在直角雙曲線（方程{\displaystyle y={1 \over x}}）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角*u*的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中\cosh 和\sinh 的{\sqrt {2}}倍。
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線{\displaystyle xy=1}下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y=x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}，垂線是\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

* \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}
* \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線{\displaystyle xy=1}下雙曲角的{1 \over 2}。

虛數圓角定義
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雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果x是實數而{\displaystyle i^{2}=-1}，則

\cos(ix)=\cosh(x),\quad  {\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}
所以雙曲函數\cosh 和\sinh 可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成\cosh 函數，後者形成了\sinh 函數。\cos函數的無窮級數可從\cosh 得出，通過把它變為交錯級數，而\sin函數可來自將\sinh 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(-1)^{n}，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

e^{x}=\cosh x+\sinh x\!
{\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}
雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

* 雙曲正弦：
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}
* 雙曲餘弦：
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}
* 雙曲正切：
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}
* 雙曲餘切：
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}
* 雙曲正割：
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}
* 雙曲餘割：
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

與三角函數的類比
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奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

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| 雙曲函數 | 三角函數 |

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角\alpha 得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:

* 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
* 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
* 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
* 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
* 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
* 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
* 角的量值可以從0到無限大，但\alpha 實際上只會介於{\displaystyle 0}到2\pi （360度）之間，其餘是\alpha 的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從{\displaystyle 0}到無限大，但\alpha 實際上不會超過{\frac {\pi }{4}}（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

恆等式
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条目：雙曲函數恆等式
与双曲函数有关的恆等式如下:

{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
* 加法公式：

{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}}
* 二倍角公式：

{\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x}
{\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1}
* 半角公式：

\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}
\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}
由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個\sinh 的積的项（包括\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

* 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：
\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x
{\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}
而对应的双曲函数三倍角公式则是：
\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x
{\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}
* 差角公式：

三角函数的差角公式为：\cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y
而对应的双曲函数的差角公式则是：\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y

双曲函数的導數
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{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,
{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,
{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,

双曲函数的泰勒展開式
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雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}
\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}
\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi （罗朗级数）
\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}
\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi （罗朗级数）
其中

B\_{n}是第n項伯努利數
E\_n是第n項欧拉數

双曲函数的积分
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{\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}
{\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}
{\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}
{\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}
{\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}
{\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}

與指數函數的關係
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從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

e^{x}=\cosh x+\sinh x
和

e^{-x}=\cosh x-\sinh x

複數的雙曲函數
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因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數{\displaystyle \sinh z}和{\displaystyle \cosh z}是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}
所以:

{\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}
{\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}
{\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}
因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為2\pi i（對雙曲正切和餘切是\pi i）。

反双曲函数
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条目：反双曲函数
**反双曲函数**是双曲函数的反函数。它们的定义为：

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}

参考文献
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1. 1 2 3  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2020-08-29]. （原始内容存档于2022-05-21） （英语）.
2. ↑  Eves, Howard, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
3. ↑  Ratcliffe, John, Graduate Texts in Mathematics **149**, Springer: 99, 2006  [2014-03-27], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph *Theorie der Parallellinien*, which was published posthumously in 1786.
4. ↑  Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra （页面存档备份，存于）, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
5. ↑  G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae[], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

参见
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* 反双曲函数
* 双曲函数符号
* 三角函数
* 古德曼函数


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| * 
* 论
* 编
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* LCCN: sh85052338
* NDL: 00571407
* NKC: ph1124553

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