**輻射轉移**（英語：）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為**輻射轉移方程式**（，），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

輻射場
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輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（），而輻射場通常表達成譜輻射率（英语：）（）關於位置 {\displaystyle \mathbf {r} }、方向 {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 和時間 {\displaystyle t} 的的函數，寫成 {\displaystyle I\_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)}。

譜輻射率 {\displaystyle I\_{\nu }} 的定義如下。考慮一個位於 {\displaystyle \mathbf {r} } 的單位面積 {\displaystyle \operatorname {d} \!a}，如果在單位時間 {\displaystyle \operatorname {d} \!t} 內，有輻射能量 {\displaystyle \operatorname {d} \!E\_{\nu }} 從單位立體角 {\displaystyle \operatorname {d} \!\Omega } 流經單位面積 {\displaystyle \operatorname {d} \!a}，且頻率介於 {\displaystyle \nu } 和 {\displaystyle \nu +{\operatorname {d} \!\nu }} 這個區間之內（輻射的極化在這裡被忽略），則

{\displaystyle \operatorname {d} \!E\_{\nu }=I\_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos {\theta }\,{\operatorname {d} \!a}\,{\operatorname {d} \!\Omega }\,{\operatorname {d} \!t}\,{\operatorname {d} \!\nu }}，
其中 {\displaystyle \theta } 是輻射的單位向量 {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS单位制中，就是W·m-2·sr-1·Hz-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 {\displaystyle I\_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)} 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為**比強度**（）。

輻射轉移方程式
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輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 {\displaystyle s} 是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有

{\displaystyle {\operatorname {d} \!{I\_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=0}。
現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

* 因為吸收（）而失去能量
* 因為發射（）而獲得能量
* 因為散射（）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

{\displaystyle {\operatorname {d} \!{I\_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=j\_{\nu }-\alpha \_{\nu }I\_{\nu }}。
此處 {\displaystyle j\_{\nu }} 是物質的譜發射係數，{\displaystyle \alpha \_{\nu }} 是物質的譜衰減係數，而且可寫成 {\displaystyle \alpha \_{\nu }=\alpha \_{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha \_{\nu ,{\rm {s}}}}，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 {\displaystyle \tau } 的概念；對上式使用 {\displaystyle \operatorname {d} \!\tau =\alpha \operatorname {d} \!s} 進行變數變換，可得到

{\displaystyle {\operatorname {d} \!{I\_{\nu }} \over \operatorname {d} \!\tau \_{\nu }}=S\_{\nu }-I\_{\nu }}，
其中 {\displaystyle S\_{\nu }\equiv j\_{\nu }/\alpha \_{\nu }} 是源函數（英语：）。當所有頻率 {\displaystyle \nu } 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 {\displaystyle {\operatorname {d} \!I}/{\operatorname {d} \!s}=0}，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是**輻射平衡**（）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為

{\displaystyle \left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla \right)\right]I\_{\nu }=j\_{\nu }-(\alpha \_{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha \_{\nu ,{\rm {s}}})I\_{\nu }+{\frac {\alpha \_{\nu ,{\rm {s}}}}{4\pi }}\int \_{\Omega }I\_{\nu }{\operatorname {d} \!\Omega }}，
其中 {\displaystyle c}是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 {\displaystyle s} 的導數，還納入了 {\displaystyle I\_{\nu }} 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 {\displaystyle I\_{\nu }} 的角度平均。

輻射轉移方程式的解
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求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：

{\displaystyle I\_{\nu }(s)=I\_{\nu }(s\_{0})\,e^{-\tau (s\_{0},s)}+\int \_{s\_{0}}^{s}j\_{\nu }(s')\,e^{-\tau (s',s)}{\operatorname {d} \!s'}}，
這裡的 {\displaystyle \tau (s\_{1},s\_{2})} 是兩個位置 {\displaystyle s\_{1}} 和 {\displaystyle s\_{2}} 中間介質的光深度：

{\displaystyle \tau (s\_{1},s\_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \_{s\_{1}}^{s\_{2}}\alpha \_{\nu }(s)\,ds}。
### 局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是**局部熱力平衡**（，）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為

{\displaystyle {\frac {j\_{\nu }}{\alpha \_{\nu }}}=B\_{\nu }(T)}，
其中 {\displaystyle B\_{\nu }(T)} 是溫度 *{\displaystyle T}* 時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為

{\displaystyle I\_{\nu }(s)=I\_{\nu }(s\_{0})e^{-\tau (s\_{0},s)}+\int \_{s\_{0}}^{s}B\_{\nu }(T(s'))\alpha \_{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,{\operatorname {d} \!s'}}。
了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

### 愛丁頓近似

愛丁頓近似（）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（）模型及天文學中的灰色大氣（英语：）模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 {\displaystyle z} 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 {\displaystyle s} 上的變化量與 {\displaystyle z} 軸上的變化量的關係為

{\displaystyle {\operatorname {d} \!s}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\cos {\theta }}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\mu }}} 。
我們稍後會解說定義 {\displaystyle \mu =\cos \theta } 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 {\displaystyle z} 和 {\displaystyle \mu } 的線性函數。使用變數變換 {\displaystyle {\operatorname {d} \!s}={\operatorname {d} \!z}/\mu } ，代入一維輻射轉移方程式，則有

{\displaystyle \mu {\frac {\partial {I\_{\nu }}}{\partial z}}=j\_{\nu }-\alpha \_{\nu }I\_{\nu }}
另一方面，我們定義譜輻射率 {\displaystyle I\_{\nu }} 關於 {\displaystyle \mu } 的第 {\displaystyle j} 階動差：

{\displaystyle M\_{j}\equiv {\frac {1}{2}}\int \_{-1}^{+1}\mu ^{j}I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}，
之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 {\displaystyle \mu =\cos \theta } 的函數，只要使用變數變換 {\displaystyle {\operatorname {d} \!\mu }=-\sin {\theta }\;{\operatorname {d} \!\theta }} ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 {\displaystyle A(\cos {\theta })} 是任意 {\displaystyle \mu =\cos \theta } 的函數，則 {\displaystyle A(\cos {\theta })} 對於所有方向的立體角積分為

{\displaystyle \int A(\cos {\theta }){\operatorname {d} \!\Omega }=\int \_{\phi =0}^{2\pi }\int \_{\pi =0}^{\pi }{A(\cos {\theta })\sin {\theta }\,{\operatorname {d} \!\theta }\,{\operatorname {d} \!\phi }}=2\pi \int \_{-1}^{+1}{A(\mu )\,{\operatorname {d} \!\mu }}}。
{\displaystyle I} 關於 {\displaystyle \mu } 的前幾階動差是

{\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int \_{-1}^{1}{I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}，
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \_{-1}^{1}{\mu I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}，
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}\int \_{-1}^{1}{\mu ^{2}I\_{\nu }(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}。
此處 {\displaystyle J} 是輻射強度的角度平均（），它恰好與能量密度 {\displaystyle U} 成正比；{\displaystyle H} 是愛丁頓通量（），與輻射通量（英语：） {\displaystyle F} 成正比；{\displaystyle K} 也與輻射壓 {\displaystyle P} 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」、但是有關於 {\displaystyle \mu =\cos {\theta }} 的一階異向性，簡單來說，就是假定 {\displaystyle I} 關於 {\displaystyle \mu } 的泰勒級數只保留到一次項，於是 {\displaystyle I} 成為 {\displaystyle \mu } 線性函數：

{\displaystyle I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu }。
將這個函數代入上述動差的公式，可以得到 

{\displaystyle J=a(z),\quad \,H={\frac {b(z)}{3}},\quad K={\frac {a(z)}{3}}}。
於是得到愛丁頓近似的重要結果：

{\displaystyle K={\frac {J}{3}}}。
這等價於各項同性輻射場的重要條件 {\displaystyle P=U/3}，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出。

愛丁頓近似與雙流近似（英语：）不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

參見
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* 吸收 (光學)
* 原子谱线
* 比尔－朗伯定律
* 發射光譜
* 大氣輻射轉移模型
* 譜輻射率（英语：）（輻射比強度（英语：））
* 辐射率
* 希沃特积分

註腳
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1. ↑  對於輻射相關的物理量而言，「譜」字（spectral）通常意味著該物理量是關於波長或頻率的導數；如果是對頻率微分，記號通常會加一個下標 {\displaystyle \nu }；如果是對波長微分，記號通常會加一個下標 {\displaystyle \lambda }。
2. ↑  MKS制單位為W·m−2·sr−1·Hz−1。
3. ↑  MKS制單位為m−1，又常被稱為不透明度（）。
4. ↑  為了方便起見，以下輻射相關物理量中的下標 {\displaystyle \nu } 被省略了。

延伸閱讀
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* Chandrasekhar, Subrahmanyan.. New York: Dover. 1960. ISBN 978-0-486-60590-6.
* Lenoble, Jacqueline.. A. Deepak. 1986. ISBN 978-0937194058.
* Grant William, Petty.  2nd edition, illustrated. Madison: Sundog. 2006 [2004]. ISBN 9780972903318.
* Mihalas, Dimitri; Weibel-Mihalas, Barbara.. Oxford University Press. 1984. ISBN 0-486-40925-2.
* Thomas, Gary. E.; Stamnes, Knut.. Cambridge: Cambridge University Press. 1999  [2024-01-09]. ISBN 0-521-40124-0. （原始内容存档于2024-01-09） （英语）.
* McLinden, Chris.. 1999-07-22. （原始内容存档于2022-01-13） （英语）.

參考資料
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1. ↑  Choudhuri, Arnab Rai.  (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24  [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7. （原始内容存档 (PDF)于2024-01-09） （英语）.
2. ↑  Dullemond, C.P.  (PDF). Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course). 2012-07-28  [2024-01-09]. （原始内容存档 (PDF)于2023-06-01）.
3. ↑ . .. （原始内容存档于2019-06-01） （日语）.
4. ↑  McLinden, Chris.. 1999-07-22. （原始内容存档于2008-03-15） （英语）.
5. ↑  Choudhuri 2010，第36頁.
6. 1 2  Huang, S.-S.. Astrophysical Journal: 841. Bibcode:1968ApJ...152..841H 可免费查阅 （英语）.
7. ↑  Owocki, Stan.  (PDF). The Bartol Research Institute. 2010-10-31  [2024-01-09]. （原始内容存档 (PDF)于2024-01-09）.
8. ↑  Choudhuri 2010，第38頁.
9. ↑ . .. （原始内容存档于2019-03-13） （日语）.
10. ↑  Rybicki, George B.; Lightman, Alan P.  (PDF). Wiley-VCH. 2004: 42 [1979]  [2024-01-09]. ISBN 978-0-471-82759-7. （原始内容存档 (PDF)于2023-11-07） （英语）.
11. ↑  Eddington, A.S.. Nature. 1920, **106**: 14–20. doi:10.1038/106014a0 （英语）.

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