2个相互独立的标准布朗桥
**标准布朗桥**（英語：**Brownian bridge**）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 **布朗桥** 只是在条件 {\displaystyle \scriptstyle [B\_{t\_{1}}=a,B\_{t\_{2}}=b]}下一般化的布朗桥。

定义
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```
**标准的布朗桥** {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},t\geq 0)}为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件{\displaystyle \scriptstyle B\_{0}=B\_{1}=0}下的维纳过程 （Wiener Process）。
```

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t\_{1}},...B\_{t\_{n}})}在条件 {\displaystyle \scriptstyle B\_{1}=0}下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：

{\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B\_{t}|B\_{1}=0]=0,}
{\displaystyle \forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B\_{s},B\_{t}|B\_{1}=0)=s(1-t).}
**定义的备注**

事件{\displaystyle \scriptstyle [B\_{1}=0]} 的概率为0。 考虑满足

{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B\_{1}|<\varepsilon ]>0.}
的事件 {\displaystyle \scriptstyle [|B\_{1}|<\varepsilon ]}，
我们可以考察条件分布 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B\_{1}|<\varepsilon ]}。 由依分布收敛 可得：

{\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B\_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B\_{1}|=0]}
这给出了布朗桥的一个严格定义。

和其他随机过程的关系
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### 和布朗运动的关系

**性质1**

设{\displaystyle \scriptstyle (W\_{t},t\geq 0)} 为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},0\leq t\leq 1)} :

{\displaystyle \displaystyle B\_{t}=W\_{t}-tW\_{1}}
为一个标准的布朗桥。

**相互定义**

设 {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},0\leq t\leq 1)} 为一个标准的布朗桥， *Z* 是一个正态随机变量，则过程 {\displaystyle \scriptstyle (W\_{t}^{1},t\geq 0)} et {\displaystyle \scriptstyle (W\_{t}^{2},t\geq 0)} :

{\displaystyle W\_{t}^{1}=B\_{t}+tZ}    et    {\displaystyle W\_{t}^{2}=B\_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z}
为 {\displaystyle \scriptstyle t\in [0,1]} 和 {\displaystyle \scriptstyle t\in [0,T]} 上的维纳过程。

**性质 2**

设 {\displaystyle \scriptstyle (W\_{t},t\geq 0)} 为一个 维纳过程, 则过程 {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},0\leq t\leq 1)} ：

{\displaystyle B\_{t}=(1-t)W\_{\frac {t}{1-t}}}
为一个标准布朗桥。

**相互定义**

设 {\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},0\leq t\leq 1)} 为一个标准的布朗桥, 那么过程 {\displaystyle \scriptstyle (W\_{t},t\geq 0)}：

{\displaystyle W\_{t}=(1+t)B\_{\frac {t}{1+t}}}
为一个维纳过程。

  

### 扩散形式下的表达

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 {\displaystyle W} 是一种标准的布朗桥，随机方程

{\displaystyle dX\_{t}=dW\_{t}-{\frac {X\_{t}}{1-t}}dt}
初始条件{\displaystyle X\_{0}=0}的解和布朗桥同分布。

事实上, {\displaystyle X}是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

性质
--

设{\displaystyle \scriptstyle (B\_{t},0\leq t\leq 1)} 为标准的布朗桥。

**性质3**

设 *b* 为一个实数，

{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B\_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}
**性质4**

设 *b* 为一个正实数

{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup \_{t\in [0,1]}|B\_{t}|\geq b\right]=2\sum \_{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}
**性质 5**

设*a* et *b* 为2个正实数.

{\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B\_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum \_{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}
**性质6**

设 *x* 为一个正实数

{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup \_{t\in [0,1]}B\_{t}-\inf \_{t\in [0,1]}B\_{t}\geq x\right]=2\sum \_{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}

相关條目
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* 布朗运动
* 维纳过程

参考文献
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* Glasserman, Paul.. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3.
* Revuz, Daniel; Yor, Marc.  2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3.

  


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