**核主成分分析**（英語：，简称）是多变量统计领域中的一种分析方法，是使用核方法对主成分分析的非线性扩展，即将原数据通过核映射到再生核希尔伯特空间（英语：）后再使用原本线性的主成分分析。

背景：线性主成分分析
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线性PCA对于中心化后的数据进行分析，即

{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}\mathbf {x} \_{i}=\mathbf {0} },
其中{\displaystyle \mathbf {x} \_{i}}是N个多变量样本之一。之后将协方差矩阵

{\displaystyle C={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}\mathbf {x} \_{i}\mathbf {x} \_{i}^{\top }}
对角化。换言之，即是对协方差矩阵进行特征分解

{\displaystyle \lambda \mathbf {v} =C\mathbf {v} }
或写作

{\displaystyle \lambda \mathbf {x} \_{i}^{\top }\mathbf {v} =\mathbf {x} \_{i}^{\top }C\mathbf {v} \quad \forall i\in [1,N]}.

引入核方法
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一般而言，*N*个数据点在{\displaystyle d<N}维空间中是线性不可分的，但它们在{\displaystyle d\geq N}维空间中则是几乎必然线性可分的。这也意味着，如果我们能将*N*个数据点{\displaystyle \mathbf {x} \_{i}}映射到一个*N*维空间

{\displaystyle \Phi (\mathbf {x} \_{i})} 其中 {\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{N}}
中，就能很容易地构建一个超平面将数据点作任意聚类。不过由于经\Phi 映射后的向量是线性无关的，我们无法再像在线性PCA中那样显式地对协方差进行特征分解。

而在核PCA中，我们能够使用任意非平凡的函数\Phi ，但无需显式地计算在高维空间中的值，使我们得以使用非常高维的\Phi 。为了避免直接在\Phi -空间（即特征空间）中操作，我们可以定义一个N\times N的核

{\displaystyle K=k(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\Phi (\mathbf {x} ),\Phi (\mathbf {y} ))=\Phi (\mathbf {x} )^{T}\Phi (\mathbf {y} )}
来代表特征空间的内积空间（见格拉姆矩阵）。这一对偶形式使我们能够进行主成分分析，同时又不用直接在\Phi -空间中解协方差矩阵的特征值与特征向量。*K*中每一列的*N*个元素代表了转换后的一个数据点与所有*N*个数据点的点积。

由于我们并不在特征空间中进行计算，核PCA方法不直接计算主成分，而是计算数据点在这些主成分上的投影。特征空间中的一点在第k个主成分{\displaystyle V^{k}}上的投影为

{\displaystyle {\mathbf {V} ^{k}}^{T}\Phi (\mathbf {x} )=\left(\sum \_{i=1}^{N}\mathbf {a\_{i}} ^{k}\Phi (\mathbf {x\_{i}} )\right)^{T}\Phi (\mathbf {x} )}
其中{\displaystyle \Phi (\mathbf {x\_{i}} )^{T}\Phi (\mathbf {x} )}代表点积，即核K中的元素。上式中剩下的部分{\displaystyle \mathbf {a\_{i}} ^{k}}可以通过解特征方程

{\displaystyle N\lambda \mathbf {a} =K\mathbf {a} }
得到，其中*N*为数据点的数量，\lambda 与\mathbf {a} 则分别为K的特征值与特征向量。为了归一化{\displaystyle \mathbf {a} ^{k}}，我们要求

{\displaystyle 1=(\mathbf {V} ^{k})^{T}\mathbf {V} ^{k}}
值得注意的是，无论是否在原空间中对x中心化，我们无法保证数据在特征空间中是中心化的。由于PCA要求对数据中心化，我们可以对K"中心化"：

{\displaystyle K'=K-\mathbf {1\_{N}} K-K\mathbf {1\_{N}} +\mathbf {1\_{N}} K\mathbf {1\_{N}} }
其中{\displaystyle \mathbf {1\_{N}} }代表一个每个元素值皆为{\displaystyle 1/N}的N\times N矩阵。于是我们可以使用{\displaystyle K'}进行前述的核PCA计算。

在使用核PCA时，还有一点值得注意。在线性PCA中，我们可以通过特征值的大小对特征向量进行排序，以度量每个主成分所能够解释的数据方差。这对于数据降维十分有用，而这一技巧也可以用在核PCA中。不过，在实践中有时会发现得到所有方差皆相同，这通常是源于错误选择了核的尺度。

大数据集
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在实践中，大数据集会使K变得很大，从而导致存储问题。一种解决方式是先对数据集聚类，然后再对每一类的均值进行核PCA计算。有时即便使用此种方法仍会导致相对很大的K，此时我们可以只计算K中最大的P个特征值及相对应的特征向量。

示例
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应用核PCA前的数据点
使用核{\displaystyle k({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=({\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}+1)^{2}}进行核PCA分析后的数据点
使用高斯核进行核PCA分析后的数据点
考虑图中所示的三组同心点云，我们试图使用核PCA识别这三组。图中各点的颜色并不是算法的一部分，仅用于展示各组数据点在变换前后的位置。

首先，我们使用核

{\displaystyle k({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=({\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}+1)^{2}}
进行核PCA处理，得到的结果如第二张图所示。

其次，我们再使用高斯核

{\displaystyle k({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=e^{\frac {-||{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}||^{2}}{2\sigma ^{2}}},}
该核是数据接近程度的一种度量，当数据点重合时为1，而当数据点相距无限远时则为0。结果为第三张图所示。

此时我们注意到，仅通过第一主成分就可以区别这三组数据点。而这对于线性PCA而言是不可实现的，因而线性PCA只能在给定维（此处为二维）空间中操作，而此时同心点云是线性不可分的。

应用
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核PCA方法还可用于新奇检测（novelty detection）与数据降噪等。

参考文献
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1. ↑  Schölkopf, Bernhard.. Neural Computation. 1998, **10**: 1299–1319. doi:10.1162/089976698300017467.
2. 1 2   (PDF).  [2018-09-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-09-19）.
3. ↑ . Pattern Recognition. 2007, **40**: 863–874  [2018-09-15]. doi:10.1016/j.patcog.2006.07.009. （原始内容存档于2020-02-06）.
4. ↑ .  [2018-09-15]. （原始内容存档于2010-07-02）.