已知平面上4个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：*L*（*x*）（黑色）穿过所有点。而每个基本多项式：y0*ℓ*0(*x*), y1*ℓ*1(*x*), y2*ℓ*2(*x*)以及y3*ℓ*3(*x*)各穿过对应的一点，并在其它的三个点的*x*值上取零。
在数值分析中，**拉格朗日插值法**是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示各結果之間某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过繁複实验和多次观测来了解。而，如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为**拉格朗日（插值）多项式**（Lagrange polynomial）。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。

对于给定的若**n+1**个点(x\_{0},y\_{0}),(x\_{1},y\_{1}),\ldots ,(x\_{n},y\_{n})，对应于它们的次数不超过**n**的拉格朗日多项式\scriptstyle L只有一个。如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与\scriptstyle L相差\lambda (x-x\_{0})(x-x\_{1})\ldots (x-x\_{n})的多项式都满足条件。

定义
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对某个多项式函数，已知有给定的*k* + 1个取值点：

(x\_{0},y\_{0}),\ldots ,(x\_{k},y\_{k})
其中x\_{j}对应着自变量的位置，而y\_{j}对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的*x**j*都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的**拉格朗日插值多项式**为：

L(x):=\sum \_{{j=0}}^{{k}}y\_{j}\ell \_{j}(x)
其中每个\ell \_{j}(x)为**拉格朗日基本多项式**（或称**插值基函数**），其表达式为：

\ell \_{j}(x):=\prod \_{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x\_{i}}{x\_{j}-x\_{i}}}={\frac {(x-x\_{0})}{(x\_{j}-x\_{0})}}\cdots {\frac {(x-x\_{{j-1}})}{(x\_{j}-x\_{{j-1}})}}{\frac {(x-x\_{{j+1}})}{(x\_{j}-x\_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x\_{{k}})}{(x\_{j}-x\_{{k}})}}.
拉格朗日基本多项式\ell \_{j}(x)的特点是在x\_{j}上取值为**1**，在其它的点x\_{i},\,i\neq j上取值为**0**。

範例
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假设有某个二次多项式函数f，已知它在三个点上的取值为：

* f(4)=10
* f(5)=5.25
* f(6)=1

要求f(18)的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

{\displaystyle \ell \_{0}(x)={\frac {(x-5)}{(4-5)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(4-6)}}}
{\displaystyle \ell \_{1}(x)={\frac {(x-4)}{(5-4)}}\cdot {\frac {(x-6)}{(5-6)}}}
{\displaystyle \ell \_{2}(x)={\frac {(x-4)}{(6-4)}}\cdot {\frac {(x-5)}{(6-5)}}}
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p的表达式（p为函数f的插值函数）：

p(x)=f(4)\ell \_{0}(x)+f(5)\ell \_{1}(x)+f(6)\ell \_{2}(x)
.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}  
.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)  

此時代入数值\ 18就可以求出所需之值：\ f(18)=p(18)=-11。

证明
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### 存在性

对于给定的*k*+1个点：(x\_{0},y\_{0}),\ldots ,(x\_{k},y\_{k})，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点x\_{j}取值为**1**，而在其他点取值都是**0**的多项式\ell \_{j}(x)。这样，多项式y\_{j}\ell \_{j}(x)在点x\_{j}取值为y\_{j}，而在其他点取值都是**0**。而多项式L(x):=\sum \_{{j=0}}^{{k}}y\_{j}\ell \_{j}(x)就可以满足

L(x\_{j})=\sum \_{{i=0}}^{{k}}y\_{i}\ell \_{i}(x\_{j})=0+0+\cdots +y\_{j}+\cdots +0=y\_{j}
在其它点取值为**0**的多项式容易找到，例如：

(x-x\_{0})\cdots (x-x\_{{j-1}})(x-x\_{{j+1}})\cdots (x-x\_{{k}})
它在点x\_{j}取值为：(x\_{j}-x\_{0})\cdots (x\_{j}-x\_{{j-1}})(x\_{j}-x\_{{j+1}})\cdots (x\_{j}-x\_{{k}})。由于已经假定x\_{i}两两互不相同，因此上面的取值不等于**0**。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足"在x\_{j}取值为**1**，而在其他点取值都是**0**的多项式"：

\ell \_{j}(x):=\prod \_{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x\_{i}}{x\_{j}-x\_{i}}}={\frac {(x-x\_{0})}{(x\_{j}-x\_{0})}}\cdots {\frac {(x-x\_{{j-1}})}{(x\_{j}-x\_{{j-1}})}}{\frac {(x-x\_{{j+1}})}{(x\_{j}-x\_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x\_{{k}})}{(x\_{j}-x\_{{k}})}}
这就是拉格朗日基本多项式。

### 唯一性

次数不超过*k*的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过*k*的拉格朗日多项式：P\_{1}和P\_{2}，它们的差P\_{1}-P\_{2}在所有*k*+1个点上取值都是**0**，因此必然是多项式(x-x\_{0})(x-x\_{{1}})\cdots (x-x\_{{k}})的倍数。因此，如果这个差P\_{1}-P\_{2}不等于**0**，次数就一定不小于*k*+1。但是P\_{1}-P\_{2}是两个次数不超过*k*的多项式之差，它的次数也不超过*k*。所以P\_{1}-P\_{2}=0，也就是说P\_{1}=P\_{2}。这样就证明了唯一性。

几何性质
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拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式\ell \_{0},\ell \_{1},\cdots ,\ell \_{n}（由某一组x\_{0}<x\_{1}<\cdots <x\_{n}确定）可以看做是由次数不超过**n**的多项式所组成的线性空间：{\mathbb {K}}\_{n}[X]的一组基底。首先，如果存在一组系数：\lambda \_{0},\lambda \_{1},\cdots ,\lambda \_{n}使得，

P=\lambda \_{0}\ell \_{0}+\lambda \_{1}\ell \_{1}+\cdots +\lambda \_{n}\ell \_{n}=0，
那么，一方面多项式**P**是满足P(x\_{0})=\lambda \_{0},P(x\_{1})=\lambda \_{1},\cdots ,P(x\_{n})=\lambda \_{n}的拉格朗日插值多项式，另一方面**P**是零多项式，所以取值永远是**0**。所以

\lambda \_{0}=\lambda \_{1}=\cdots =\lambda \_{n}=0。
这证明了\ell \_{0},\ell \_{1},\cdots ,\ell \_{n}是线性无关的。同时它一共包含**n+1**个多项式，恰好等于{\mathbb {K}}\_{n}[X]的维数。所以\ell \_{0},\ell \_{1},\cdots ,\ell \_{n}构成了{\mathbb {K}}\_{n}[X]的一组基底。

拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是**n**次多项式）。

优点与缺点
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拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和"实际上"的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

重心拉格朗日插值法
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重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用多项式

\ell (x)=(x-x\_{0})(x-x\_{1})\cdots (x-x\_{k})
拉格朗日插值法的数值稳定性：如图，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）
可以将拉格朗日基本多项式重新写为：

\ell \_{j}(x)={\frac {\ell (x)}{x-x\_{j}}}{\frac {1}{\prod \_{{i=0,i\neq j}}^{k}(x\_{j}-x\_{i})}}
定义**重心权**

w\_{j}={\frac {1}{\prod \_{{i=0,i\neq j}}^{k}(x\_{j}-x\_{i})}}
上面的表达式可以简化为：

\ell \_{j}(x)=\ell (x){\frac {w\_{j}}{x-x\_{j}}}
于是拉格朗日插值多项式变为：

L(x)=\ell (x)\sum \_{{j=0}}^{k}{\frac {w\_{j}}{x-x\_{j}}}y\_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个w\_{j}都除以(x\_{j}-x\_{{k+1}})，就可以得到新的重心权w\_{{k+1}}，计算复杂度为{\mathcal O}(n)，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度{\mathcal O}(n^{2})降了一个量级。

将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数g(x)\equiv 1插值，可以得到：

\forall x,\,g(x)=\ell (x)\sum \_{{j=0}}^{k}{\frac {w\_{j}}{x-x\_{j}}}
因为g(x)\equiv 1是一个多项式。

因此，将L(x)除以g(x)后可得到：

L(x)={\frac {\sum \_{{j=0}}^{k}{\frac {w\_{j}}{x-x\_{j}}}y\_{j}}{\sum \_{{j=0}}^{k}{\frac {w\_{j}}{x-x\_{j}}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入*x*值计算L(x)的时候不必计算多项式\ell (x)。它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零。同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小。

参考文献
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### 引用

1. ↑  E. Waring.. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1779, **69**: 59–67.
2. ↑  （英文）E. Meijering.. Proceedings of the IEEE: 323.
3. ↑  （英文）Julius Orion Smith III.. Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), *Stanford University*.  [2009-12-22]. （原始内容存档于2009-06-28）.
4. ↑  冯有前，《数值分析》，第63页
5. ↑  李庆扬，《数值分析》第4版，第31页
6. ↑  冯有前，《数值分析》，第64页
7. 1 2 3 4  Jean-Paul Berrut, Lloyd N. Trefethen.  (PDF). SIAM Review. 2004, **46** (3): 501–517. doi:10.1137/S0036144502417715. [永久]
8. ↑  王兆清，李淑萍，唐炳涛.. 山东建筑大学学报. 2007, **22** (5): 447–453.
9. ↑  NICHOLAS J. HIGHAM.  (PDF). IMA Journal of Numerical Analysis. 2004, **24** (4): 547–556.

### 来源

书籍
* 李庆扬、王能超、易大义.  第4版. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-302-04561-5 （中文（简体））.
* 冯有前.. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-810-82495-3 （中文（简体））.
*. 太原理工大学. （原始内容存档于2008-06-09） （中文（简体））.

参见
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* icon数学主题

* 约瑟夫·拉格朗日
* 多项式插值
* 样条插值
* 伯恩斯坦多项式
* 牛顿多项式
* 龙格现象