**調變**的功用在於將訊號移動至未使用的頻帶做傳輸使用，然而當訊號在傳遞時通常不會在每一個時間點都把頻寬完全佔據，造成某些時間點頻寬使用上的浪費。運用**時頻分析**可以了解任一時間點的訊號對於頻寬使用的情形，故可以在一些未使用的時間頻帶加入新的傳輸訊號，使得頻寬資源的運用更加完整。

時頻分析
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一般的傅立葉轉換只能分析出訊號擁有的頻率，沒有辦法得知頻率成分隨著時間的變化，而時頻分析則是解決傅立葉轉換的不足，可以分析出訊號的頻譜隨著時間的變化情形，常用的方法有短時距傅立葉變換（STFT）、韋格納分布（WDF）、加伯轉換等。例如有一訊號x(t)在0~10秒等於cos(2\*pi\*t)，在10~20秒等於cos(6\*pi\*t)，在20~30秒等於cos(4\*pi\*t)，則時頻分析的結果如圖。（此為方波短時距傅立葉轉換（rec-STFT）的結果）

調變的種類與結果
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對原始信號進行一些調整(例如:乘上一個chirp function、將t進行變數變換為at)，會使得訊號在時頻平面(t-f平面)的圖形產生移動、縮放、變形。

時頻平面(t-f平面)上訊號的各種變形，皆有其對應的物理意義。常見的時頻分布的變形有下列幾種：水平平移、鉛直平移、擴張、斜推、旋轉。 時頻分布的變形在分離信號、濾波器設計、取樣定理、調變及多工…等領域上都有相當的幫助，也有助於提升信噪比(SNR)。

### 移動（shifting）

即將頻譜圖進行平移，又分為沿著時間軸和沿著頻率軸的移動

#### 水平移動

沿著時間軸移動時，時頻圖的值會多一個相位，但並不影響大小。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle x(t-t\_{0})\longrightarrow S\_{x}(t-t\_{0},f)e^{-j2\pi ft\_{0}}}
韋格納分布：

{\displaystyle x(t-t\_{0})\longrightarrow W\_{x}(t-t\_{0},f)}
#### 垂直移動

沿著頻率軸移動時，訊號會多一個相位。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle e^{j2\pi f\_{0}t}x(t)\longrightarrow S\_{x}(t,f-f\_{0})}
韋格納分布：

{\displaystyle e^{j2\pi f\_{0}t}x(t)\longrightarrow W\_{x}(t,f-f\_{0})}
### 擴張（dilation）

將時頻圖沿著時間軸和頻率軸分別放大(a>1)或縮小(a<1)、縮小或放大。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow S\_{x}({\frac {t}{a}},af)}
韋格納分布：

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow W\_{x}({\frac {t}{a}},af)}
### 修剪（shearing）

將時頻圖沿著時間軸或頻率軸做線性位移。

#### 垂直修剪

乘以線性調頻會產生頻率的線性軸位移。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow S\_{x}(t,f)\approx S\_{y}(t,f-at)}
韋格納分布：

{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow W\_{x}(t,f)=W\_{y}(t,f-at)}
#### 水平修剪

和線性調頻做卷積會產生時間軸的線性位移。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}\*y(t)\longrightarrow S\_{x}(t,f)\approx S\_{y}(t-af,f)}
韋格納分布：

{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}\*y(t)\longrightarrow W\_{x}(t,f)=W\_{y}(t-af,f)}
### 旋轉（rotation）

將時頻圖對著原點旋轉。

就是分數傅立葉轉換

{\displaystyle X\_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt}
若{\displaystyle \phi =0.5\pi }則此分數傅立葉轉換會與傅立葉轉換相等，即一信號做傅立葉轉換可順時鐘旋轉{\displaystyle 0.5\pi }，且會有以下特性：  

若{\displaystyle X(f)=FT(x(t))}，則：
短時距傅立葉變換：

{\displaystyle |S\_{X}(t,f)|\approx |S\_{x}(-f,t)|}
加伯轉換：

{\displaystyle G\_{X}(t,f)=G\_{x}(-f,t)e^{-j2\pi ft}}
韋格納分布：

{\displaystyle W\_{X}(t,f)=W\_{x}(-f,t)}

廣義修剪
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若有一已知的頻率為線性變化的信號

{\displaystyle x(t)=e^{j\phi (t)}y(t)}
{\displaystyle \phi (t)=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}t^{k}}
要將其攤平成一個水平且整齊的信號，則可做以下修剪。  

短時距傅立葉變換、加伯轉換：

{\displaystyle S\_{x}(t,f)\cong S\_{y}(t,f-\sum \_{k=1}^{n}{\dfrac {ka\_{k}t^{k-1}}{2\pi }})}
韋格納分布：

{\displaystyle W\_{x}(t,f)\cong W\_{y}(t,f-\sum \_{k=1}^{n}{\dfrac {ka\_{k}t^{k-1}}{2\pi }})}

參見
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* 調變
* 時頻分析
* 線性調頻
* 加伯轉換
* 韋格納分布
* 分數傅立葉轉換
* 短時距傅立葉變換

參考文獻
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* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
* SG Mallat, Z Zhang, Matching pursuits with time-frequency dictionaries, Signal Processing, IEEE Transactions on, 1993 - ieeexplore.ieee.org
* Karlheinz Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis,