在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
在哈密頓力學裏，**正則變換**（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義
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**點變換**（）將廣義坐標\mathbf{q}=(q\_1,\ q\_2,\ \dots,\ q\_N)變換成廣義坐標\mathbf{Q}=(Q\_1,\ Q\_2,\ \dots,\ Q\_N)，點變換方程式的形式為

q\_i=q\_i(Q\_1,\ Q\_2,\ \dots,\ Q\_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N；
其中，t是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量\mathbf{p}=(p\_1,\ p\_2,\ \dots,\ p\_N)同樣地都是自變量（），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

q\_i=q\_i(Q\_1,\ Q\_2,\ \dots,\ Q\_N,\ P\_1,\ P\_2,\ \dots,\ P\_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N，
p\_i=p\_i(Q\_1,\ Q\_2,\ \dots,\ Q\_N,\ P\_1,\ P\_2,\ \dots,\ P\_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N；
其中，\mathbf{P}=(P\_1,\ P\_2,\ \dots,\ P\_N)是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為**位形空間點變換**，而後一種為**相空間點變換**。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標({\mathbf {q}},\ {\mathbf {p}})變換為一組新的正則坐標({\mathbf {Q}},\ {\mathbf {P}})，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為**形式不變性**）。原本的哈密頓方程式為

{\dot {{\mathbf {q}}}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\mathbf {p}}}}，
{\dot {{\mathbf {p}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\mathbf {q}}}}；
新的哈密頓方程式為

{\dot {{\mathbf {Q}}}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\mathbf {P}}}}，
{\dot {{\mathbf {P}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\mathbf {Q}}}}；
其中，{\mathcal {H}}({\mathbf {q}},\ {\mathbf {p}},\ t)、{\mathcal {K}}({\mathbf {Q}},\ {\mathbf {P}},\ t)分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處
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思考一個物理系統的哈密頓量

\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。
假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標q\_i無關，則稱q\_i為**可略坐標**（），或**循環坐標**（）：

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q\_i}=0。
在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

\dot{p}\_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q\_i}=0。
所以，廣義動量p\_{i}是常數k\_i。

假設一個系統裏有n個廣義坐標是可略坐標。找出這n個可略坐標，則可以使這系統減少2n個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法
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主項目：正則變換生成函數
採取一種間接的方法，稱為**生成函數方法**，從(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H}) 變換到(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

\delta\int\_{t\_{1}}^{t\_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0、
\delta\int\_{t\_{1}}^{t\_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0。
那麼，必須令

\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}；
其中，\sigma 是**標度因子**，G是**生成函數**。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為**標度變換**（）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為**延伸正則變換**（）；假若標度因子等於1，則稱為**正則變換**。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個\sigma \ne 1的延伸正則變換表示為

\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}。
則可以設定另外一組變數與哈密頓量：
\mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'、
\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'、
\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'、
G=\alpha\beta G\,'；其中，\alpha,\ \beta是用來刪除\sigma 的常數，\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}。經過一番運算，可以得到

\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}、
\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}、
\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}。（1）
顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為**設限正則變換**（）。

生成函數G的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})保證是正則變換。

### 第一型生成函數

第一型生成函數G\_{1}只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

G=G\_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。
代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G\_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}。
新廣義坐標{\mathbf {Q}}和舊廣義坐標\mathbf{q}都是自變量，其對於時間的全導數\dot{\mathbf{Q}}和\dot{\mathbf{q}}互相無關，所以，以下2N+1個方程式都必須成立：

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{q}}，（2）
\mathbf{P} = -\frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{Q}}，（3）
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G\_{1}}{\partial t}。（4）
這2N+1個方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，步驟如下：

第一組的N個方程式（2），設定了\mathbf{p}的N個函數方程式

\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出{\mathbf {Q}}的N個函數方程式

\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。（5）
第二組的N個方程式（3），設定了\mathbf {P} 的N個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。
代入函數方程式（5），可以算出\mathbf {P} 的N個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。（6）
從2N個函數方程式（5）、（6），可以逆算出2N個函數方程式

\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)，
\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)。
代入新哈密頓量{\mathcal {K}}的方程式（4），可以得到

\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)。
### 第二型生成函數

第二型生成函數G\_{2}的參數是舊廣義坐標\mathbf{q}、新廣義動量\mathbf {P}  與時間：

G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G\_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)
；
以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：

\mathbf{p} = \frac{\partial G\_{2}}{\partial \mathbf{q}}，　
\mathbf{Q} = \frac{\partial G\_{2}}{\partial \mathbf{P}}，
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G\_{2}}{\partial t}。
### 第三型生成函數

第三型生成函數G\_{3} 的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義坐標{\mathbf {Q}}與時間： 

G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G\_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)
。
以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：

\mathbf{q} = -\frac{\partial G\_{3}}{\partial \mathbf{p}}，
\mathbf{P} = -\frac{\partial G\_{3}}{\partial \mathbf{Q}}，
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G\_{3}}{\partial t}。
### 第四型生成函數

第四型生成函數G\_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義動量\mathbf {P} 與時間：

G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G\_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)。
以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：

\mathbf{q} = -\frac{\partial G\_{4}}{\partial \mathbf{p}}，
\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G\_{4}}{\partial \mathbf{P}}，
\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G\_{4}}{\partial t}。
### 實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

G\_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}。
生成函數的導數分別為

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}，
\mathbf{P} = -\frac{\partial G\_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
。
舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。
### 實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

G\_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}；
這裏，\mathbf{g}是一組N個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

\mathbf{Q}=\frac{\partial G\_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)。

不變量
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正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

### 辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個2N\times 1的豎矩陣\boldsymbol{\xi} :

\boldsymbol{\xi}^T=[q\_1,\ q\_2,\ q\_3,\ \dots,\ q\_N,\ p\_1,\ p\_2,\ p\_3,\ \dots,\ p\_N]。
變數向量\boldsymbol{\xi}將\mathbf{q}與\mathbf{p}包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}；
這裏，{\boldsymbol {\Omega }}是辛連結矩陣、{\mathcal {H}}是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標\boldsymbol{\xi}改變成新正則坐標\boldsymbol{\Xi}，\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}；哈密頓量也從舊的哈密頓量{\mathcal {H}}改變成新的哈密頓量{\mathcal {K}}，\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}；
這裏，\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}。

用第一型生成函數G=G\_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)，則\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G\_1}{\partial t}。

取\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)關於時間t的導數，

\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}；
這裏，\mathbf {M} 是亞可比矩陣，M\_{ij}=\frac{\partial \Xi\_i}{\partial \xi\_j}。

代入哈密頓方程式，

\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G\_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t} ;
假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}。
而\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi})，所以，

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}。
代回前一個方程式，取\dot{\boldsymbol{\xi}}的係數，則可以得到

\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}。
經過一番運算，

\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}；
\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}；
可以求出辛條件：

\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}。
在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

### 基本帕松括號不變量

在相空间裏，兩個函數f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )關於正則坐標\mathbf{q},\ \mathbf{p}的**帕松括號**定義為

\big[f,\ g\big]\_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum\_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q\_{i}} \frac{\partial g}{\partial p\_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p\_{i}} \frac{\partial g}{\partial q\_{i}}
\right)。
用辛標記，

\big[f,\ g\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}。
立刻，可以得到下述關係：

\big[q\_i,\ q\_j\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p\_i,\ p\_j\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=0，
\big[q\_i,\ p\_j\big]\_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p\_i,\ q\_j\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\delta\_{ij}。
定義**基本帕松括號**\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]為一個方矩陣，其中，元素ij的值是\big[\xi\_i,\ \xi\_j\big]。那麼，

\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}。
思考一個變換\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}。新坐標的基本帕松括號為

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}。
這兩個正則坐標的亞可比矩陣M是

M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}。
代入前一個方程式，則

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}。
假若這變換是正則變換，辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立，

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}。
相反地，假若\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

### 帕松括號不變量

思考兩個函数f,\ g對於正則坐標\boldsymbol{\xi}的泊松括號

\begin{align}\big[f,\ g\big]\_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}} \\
& = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\ 
& = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ \_\circ \\ \end{align} 
假若這變換是正則變換，辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立，

\big[f,\ g\big]\_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]\_{\boldsymbol{\Xi}}。
所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為\big[f,\ g\big]，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱
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* 正則變換列表
* 正則座標
* 帕松括號
* 辛矩陣
* 辛拓撲
* 辛群

參考文獻
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1. ↑  Goldstein, Herbert.  3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Landau LD and Lifshitz EM (1976) *Mechanics*, 3rd. ed. Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).