**模糊数学**，亦称**弗晰数学**或**模糊性数学**。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

模糊集
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### 定义和表示

给定一个论域 *U* ，那么从 *U* 到单位区间 [0,1] 的一个映射
\mu \_{{A}}:U\mapsto [0,1]
称为 *U* 上的一个**模糊集** 或 *U* 的一个**模糊子集**
，
记为 *A* 。
映射（函数） *μA*(·) 或简记为 *A*(·) 叫做模糊集 *A* 的**隶属函数**。
对于每个 *x* ∈ *U* ， *μA*(*x*) 叫做元素 *x* 对模糊集 *A* 的**隶属度**。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh 记法，例如A={1 \over x\_{1}}+{0.5 \over x\_{2}}+{0.72 \over x\_{3}}+{0 \over x\_{4}}。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如A=\{(x\_{1},1),(x\_{2},0.5),(x\_{3},0.72),(x\_{4},0)\}，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 *A* = (1,0.5,0.72,0) 。

### 一些相关概念

* 模糊集 *A* 的**承集**或**支集**记为 {\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}。
* 模糊集 *A* 的**核**记为 {\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}。
* 模糊集 *A* 的**高度**记为 {\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}。
* 模糊集 *A* 的**深度**记为 {\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}。

### 模糊度

一个模糊集 *A* 的模糊度衡量、反映了 *A* 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 *D* : **F**(*U*) → [0,1] 满足下述5条性质：

1. 清晰性：*D*(*A*) = 0 当且仅当 *A* ∈ **P**(*U*)。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性：*D*(*A*) = 1 当且仅当 ∀ *u* ∈ *U* 有 *A*(*u*) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性：∀ *u* ∈ *U*，若 *A*(*u*) ≤ *B*(*u*) ≤ 0.5，或者 *A*(*u*) ≥ *B*(*u*) ≥ 0.5，则 *D*(*A*) ≤ *D*(*B*)。
4. 对称性：∀ *A* ∈ **F**(*U*)，有 *D*(*Ac*) = *D*(*A*)。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性：*D*(*A*∪*B*) + *D*(*A*∩*B*)=*D*(*A*) + *D*(*B*)。

则称 *D* 是定义在 **F**(*U*) 上的**模糊度函数**，而 *D*(*A*) 为模糊集 *A* 的**模糊度**。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是  

{\begin{aligned}D\_{p}(A)&={\frac {2}{n^{{1/p}}}}\left(\sum \limits \_{{i=1}}^{n}\left|A(u\_{i})-A\_{{0.5}}(u\_{i})\right|^{p}\right)^{{1/p}}\\D(A)&=\int \_{{-\infty }}^{{+\infty }}|A(u)-A\_{{0.5}}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}  

其中 *p* > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 *p* = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 *p* = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊集的运算
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### 各种算子

* Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

{\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}

* 代数算子（概率和、代数积）

{\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}

* 有界算子

{\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}

* Einstein 算子

{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}

* Hamacher 算子，其中*ν* ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}

* Yager 算子，其中 *p* 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

{\begin{aligned}a\;Y\_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{{1/p}}\}\\a\;y\_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{{1/p}}\}\end{aligned}}

* *λ*-*γ* 算子，其中 *λ*,*γ* ∈ [0,1] 是参数

{\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{{1-\gamma }}(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}

* Dobois-Prade 算子，其中 *λ* ∈ [0,1] 是参数

{\begin{aligned}a\vee \_{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge \_{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}

### 算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（`.`表示不满足，`-`表示未验证）：

| 算子 | 结合律 | 交换律 | 分配律 | 互补律 | 同一律 | 幂等律 | 支配律 | 吸收律 | 双重否定律 | 德·摩根律 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zedah | √ | √ | √ |. | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
| 代数 | √ | √ |. |. | √ |. | √ |. | - | √ |
| 有界 | √ | √ |. | √ | √ |. | √ | √ | - | √ |

线性补偿是指：
(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))

| 算子的并运算 | 幂等律 | 排中律 | 分配律 | 结合律 | 线性补偿 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zadeh | √ |. | √ | √ |. |
| 代数 |. |. |. | √ |. |
| 有界 |. | √ |. |. | √ |
| Hamacher *r* = 0 |. |. |. | √ |. |
| Yager |. |. |. | √ |. |
| Hamacher |. |. |. | √ |. |
| Dobois-Prade |. |. |. | √ |. |

模糊集与经典集的关系
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### 截集与截积

设 A\in {\mathcal {F}}(U)，任取 \lambda \in [0,1]，则  

A\_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}，  

称 *Aλ* 为 *A* 的 *λ* **截集**，而 *λ* 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 *ASλ*，称为**强截集**。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 *A*1 为 *A* 的**核**，即 ker*A*；如果 ker*A* ≠ ø，则称 *A* 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：  

设 *λ* ∈ [0,1]，*A* ∈ **F**(*U*)，则 ∀ *u*∈*U*，*λ* 与 *A* 的**截积**（或称为 *λ* 截集的**数乘**，记为 *λA*）定义为：  

(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}  

根据定义，截积仍是 *U* 上的模糊集合。

### 分解定理与表现定理

**分解定理**：  

设 *A*∈**F**(*U*)，则  

A=\bigcup \limits \_{{\lambda \in [0,1]}}\lambda A\_{\lambda }  

即任一模糊集 *A* 都可以表达为一族简单模糊集 {*λAλ*} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而"拼成"。

**表现定理**：  

设 *H* 为 *U* 上的任何一个集合套，则  

A=\bigcup \limits \_{{\lambda \in [0,1]}}\lambda H(\lambda )  

是 *U* 上的一个模糊集，且 ∀ *λ* ∈ [0,1]，有  

（1） *ASλ* = ∪*α*>*λ* *H*(*α*)  

（2） *Aλ* = ∩*α*<*λ* *H*(*α*)  

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊集之间的距离
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### 使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 **F**(*U*) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：  

{\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits \_{{i=1}}^{n}\left|x\_{i}-y\_{i}\right|^{p}\right)^{{1 \over p}}
### 贴近度

条目：贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - *距离*（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到"度"的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越"高"，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

* 最大最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\vee B(u\_{i}))}}
* 算术平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{{1 \over 2}\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})+B(u\_{i}))}}
* 几何平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{\sum \_{{i=1}}^{{n}}{\sqrt {A(u\_{i})\cdot B(u\_{i})}}}}
* 指数贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{{\|A-B\|}}}}

模糊关系
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条目：模糊聚类分析
模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。

### 定义

设 *U* 和 *V* 是论域，*U* × *V* = {(*x* , *y*) | *x* ∈ *U*, *y* ∈ *V* } 是 *U* 和 *V* 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 *R* ∈ *U* × *V* 都称为从 *U* 到 *V* 的一个**模糊关系**。若 *U* = *V*，则称 *R* 是 *U* 中的模糊关系。如果 *R*(*x*,*y*) = α，则称 *x* 与 *y* **具有关系 *R* 的程度**为 α。特别地：  

* 若 ∀ (*x*,*y*) ∈ *U* × *U*，当 *x* = *y* 时 *R* = 1，当 *x* ≠ *y* 时 *R* = 0，则称 *R* 为 *U* 上的恒等关系，记为 *I*
* 若 ∀ (*x*,*y*) ∈ *U* × *V*，有 *R*(*x*,*y*) = 0，则称 *R* 为从 *U* 到 *V* 的零关系，记为 0
* 若 ∀ (*x*,*y*) ∈ *U* × *V*，有 *R*(*x*,*y*) = 1，则称 *R* 为从 *U* 到 *V* 的全称关系，记为 *E*

  

模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算**转置**，定义为  

*R**T*(*x*,*y*) = *R*(*y*,*x*)  

易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。

### 关系以及关系的合成的矩阵表达

**关系的合成**：  

对于从 *U x-m* 到 *V y-p* 的关系 *R*，以及从 *V y-p* 到 *W z-n* 的关系 *S*，那么从 *U* 到 *W* 的**模糊复合关系** *R* · *S* 为  

\displaystyle (R\circ S)(x\_{i},z\_{j})=\bigvee \_{{k\leq p}}[R(x\_{i},y\_{k})\wedge S(y\_{k},z\_{j})]  

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。

**例子**：设 *U* = {1,2,3,4}, *V* = {a,b,c}, *W* = {α,β}：

|  |  |
| --- | --- |
| 从 *U* 到 *V* 的模糊关系 *R*

```
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3

```
 | 从 *V* 到 *W* 的模糊关系 *S*

```
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0   (b,β)=1
(c,α)=0   (c,β)=0.9

```
 |

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| *R* | a | b | c |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0.7 | 0.5 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0.4 | 0.3 |

 | 

| *S* | α | β |
| --- | --- | --- |
| a | 0.6 | 0.8 |
| b | 0 | 1 |
| c | 0 | 0.9 |

 | 

| *R* · *S* | α | β |
| --- | --- | --- |
| 1 | 0.6 | 0.7 |
| 2 | 0.6 | 0.8 |
| 3 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 0.4 |

 |

### 模糊关系与分类

**模糊等价关系**定义：  

设 *U* 中的模糊关系 *R* 满足  

1. 自反性∀ *x* ∈ *U*, *R*(*x* , *x*) = 1
2. 对称性∀ *x*, *y* ∈ *U*, *R*(*x* , *y*) = *R*(*y* , *x*)
3. 传递性∀ *x*, *y*, *z* ∈ *U*, ∀ *λ* ∈ [0,1], 当 *R*(*x* , *y*) ≥ *λ* 且 *R*(*y* , *z*) ≥ *λ* 时，*R*(*x* , *z*) ≥ *λ*
则称 *R* 为 *U* 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 *λ* ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 *R* 具有 *λ* 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：*U* 中的模糊关系 *R* 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 *λ* ∈ [0,1]，*R* 的 *λ* 截关系 *R**λ* 是 *U* 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为**模糊相似关系**。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：*U* 中的模糊关系 *R* 是模糊传递关系的充要条件是 *R*2 ⊆ *R*。

**分类**：

1. 如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 *λ* 截集，即可得到这个水平上的分类。
2. 如果模糊关系是相似关系，计算 *R*\* ≡ *R*2^*k* = *R*2^(*k*+1)，则 *R*\* 可被证明是等价关系。

模糊推理
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參考文獻
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1. ↑  陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。
2. ↑  Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。
3. ↑  陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。