圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 \mu =1 。藍色半個雙葉雙曲面的 \nu =45^{{\circ }} 。黃色半平面的 \phi =-60^{{\circ }} （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi \right| ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.831,\ -1.439,\ 2.182) 。
圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ \mu -等值線）變成上圖的紅色長球面（ \mu  坐標曲面），而 x>0 青藍色雙曲線（ \nu -等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ \nu  坐標曲面）。

**長球面坐標系**（英語：）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F\_{{1}} 與 F\_{{2}} 的直角坐標分別為 (0,\ 0,\ -a) 與 (0,\ 0,\ a) 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

基本定義
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在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 (\mu ,\ \nu ,\ \phi ) 常見的定義是

x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi  、
y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi  、
z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu  ；
其中，\mu \geq 0 是個實數，弧度 0\leq \nu \leq \pi  ，弧度 0\leq \phi \leq 2\pi  。

### 坐標曲面

\mu  坐標曲面是長球面：

{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\cosh ^{{2}}\mu }}+{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\sinh ^{{2}}\mu }}=\cos ^{{2}}\nu +\sin ^{{2}}\nu =1 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a\sinh \mu  ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\cosh \mu  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a 。

\nu  坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\cos ^{{2}}\nu }}-{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\sin ^{{2}}\nu }}=\cosh ^{{2}}\mu -\sinh ^{{2}}\mu =1 。
當 \nu <\pi /2 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \nu >\pi /2 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi  坐標曲面是個半平面 ：

x\sin \phi -y\cos \phi =0 。
### 標度因子

長球面坐標 \mu  與 \nu  的標度因子相等：

h\_{{\mu }}=h\_{{\nu }}=a{\sqrt {\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu }} 。
方位角 \phi  的標度因子為

h\_{{\phi }}=a\sinh \mu \ \sin \nu  。
無窮小體積元素是

dV=a^{{3}}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)d\mu d\nu d\phi  。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \mu ^{{2}}}}+{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \nu ^{{2}}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{{2}}\sinh ^{{2}}\mu \sin ^{{2}}\nu }}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}} 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} ， \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\mu ,\ \nu ,\ \phi ) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 H\_{2}^{+} 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (\mu=0) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (\nu =0) 產生的電場。

第二種表述
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圖 3 ）第二種長球面坐標系 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 的三個坐標曲面。紅色長球面的 \sigma =1.54 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 \tau =0.71 坐標曲面 。黃色半平面的 \phi =-60^{{\circ }} 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi \right| ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 (0.831,\ -1.439,\ 2.182) 。
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) ：

\sigma =\cosh \mu  、
\tau =\cos \nu  、
\phi =\phi  。
其中，\sigma \geq 1 是個實數，1\geq \tau \geq -1 是個實數，弧度 0\leq \phi \leq 2\pi  。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}\cos \phi  、
y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}\sin \phi  、
z=a\ \sigma \ \tau  。
### 坐標曲面

\sigma  坐標曲面是長球面：

{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\sigma ^{{2}}}}+{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}(\sigma ^{{2}}-1)}}=1 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}} ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\sigma  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a 。

\tau  坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

{\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}(1-\tau ^{2})}}=1 。
當 \tau >0 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \tau <0 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

\phi  坐標曲面是個半平面 ：

x\sin \phi -y\cos \phi =0 。
任何一點 P 與焦點 F\_{{1}} ，F\_{{2}} 的距離 d\_1 ，d\_2 ，可以一個很簡單的公式表示：

d\_{{1}}+d\_{{2}}=2a\sigma  、
d\_{{1}}-d\_{{2}}=2a\tau  。
所以，點 P 與焦點 F\_{{1}} 的距離 d\_1 是 a(\sigma +\tau ) ，點 P 與焦點 F\_{{2}} 的距離 d\_2 是 a(\sigma -\tau ) 。（回想 F\_{{1}} ，F\_{{2}} 都是在 z-軸，分別位於 z=-a ，z=+a 。）

### 標度因子

第二種長球面坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 的標度因子分別為:

h\_{{\sigma }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}}{\sigma ^{{2}}-1}}}} 、
h\_{{\tau }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}}{1-\tau ^{{2}}}}}} 、
h\_{{\phi }}=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}} 。
無窮小體積元素是

dV=a^{{3}}\left(\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}\right)d\sigma d\tau d\phi  。
拉普拉斯算子是

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{{2}}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{{2}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}} 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot {\mathbf {F}} ， \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用 (\mu ,\ \nu ,\ \phi ) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為**長扁球諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱
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* 论
* 编
正交坐标系 |
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| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

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* 圆柱坐标系
* 球坐标系
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* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

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參考目錄
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### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H.. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 \xi \_{1}=a\cosh \mu  、\xi \_{2}=\sin \nu  、\xi \_{3}=\cos \phi  。

* Zwillinger D.. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 u\_{k} 來替代 \xi \_{k} 。

* Smythe, WR.  3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Sauer R, Szabó I.. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 \xi =\cosh \mu  、\eta =\sin \nu  、\phi =\phi  。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 (\mu ,\ \nu ,\ \phi ) ，又加介紹了簡併的第三種表述 (\sigma ,\ \tau ,\ \phi ) 。

* Margenau H, Murphy GM.. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用**餘緯度** \theta =90^{{\circ }}-\nu  來替代緯度 \nu  。

* Moon PH, Spencer DE..  corrected 2nd ed. 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 \theta =90^{{\circ }}-\nu  ，又改名 \phi  為 \psi  。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP.  2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。