数学中，**实射影空间**（），记作 **RP***n*，是 **R***n*+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 *n* 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。

构造
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与所有射影空间一样，**RP***n* 是通过取 **R***n*+1 − {0} 在等价关系 *x* ∼ λ*x* 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 *x* 属于 **R***n*+1 − {0}，总可找到一个 λ 使得t λ*x* 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。

故 **RP***n* 也可通过将 **R***n*+1 中单位 *n*-维球面 *S**n* 的对径点等同起来得到。

进一步我们限制在 *S**n* 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 **RP***n* 闭 *n*-维圆盘 *D**n* 将边界 ∂*D**n* = *S**n*−1 上的对径点等同。

低维例子
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{\mathbf {RP}}^{1} 也成为实射影直线，拓扑等价于圆周。

{\mathbf {RP}}^{2} 称为实射影平面。

{\mathbf {RP}}^{3} （微分同胚）是 *SO(3)*，从而有一个群结构；覆叠映射 S^{3}\to {\mathbf {RP}}^{3} 是一个群映射 \operatorname {Spin}(3)\to SO(3)，这里 *Spin*(3)是 *SO*(3) 的万有覆叠李群。

拓扑
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*n*-维球面的对径映射（将 *x* 送到 -*x*）生成 *S**n* 上一个 **Z**2 群作用。上已提到，这个作用的轨道空间是 **RP***n*。这个作用恰是一个覆叠空间作用，使 *S**n* 成为 **RP***n* 的二重覆叠。因为对 *n* ≥ 2，*S**n* 是单连通的，它们在此情形也是万有覆叠。从而当 *n* > 1 时，**RP***n* 的基本群是 **Z**2（当 *n*=1 基本群是 **Z** 因为同胚于 *S**1*）。基本的一个生成元是连接 *S**n* 中一组对径点的曲线投影到 **RP***n* 上的闭曲线。

### 点集拓扑

*n*-维射影空间的一些性质： 

* 1-维射影空间同胚与圆周。

* 2-维射影空间不能嵌入 **R**3。但可以嵌入 **R**4 以及浸入 **R**3。

* *n*-维射影空间事实上同胚于 **R**(n+1)2 中所有迹为 1 的对称 *(n+1)×(n+1)* 幂等线性变换组成的子流形。

* *n*-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从 *n*-维球面到 *n*-维射影空间的商映射是 *n*-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重覆叠）。

### 同伦群

{\mathbf {RP}}^{n} 的高次同伦群恰好是 S^{n} 的高阶同伦群，有纤维化的同伦长正合序列得出。

确切地，这个纤维丛是

{\mathbf {Z}}/2\to S^{n}\to {\mathbf {RP}}^{n}.
你也可以类似于复射影空间将其写成

S^{0}\to S^{n}\to {\mathbf {RP}}^{n}
或

O(1)\to S^{n}\to {\mathbf {RP}}^{n}.
低次同调群是

\pi \_{i}{\mathbf {RP}}^{n}={\begin{cases}0&i=0\\{\mathbf {Z}}/2&i=1\\0&1<i<n\\{\mathbf {Z}}&i=n.\end{cases}}
### 光滑结构

实射影空间是光滑流形。在 *Sn* 的齐次坐标 (*x*1...*x**n*+1) 中，考虑子集 *Ui* 使得 *xi* ≠ 0。每个 *Ui* 同胚于 **R***n* 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 **RP***n* 一个光滑结构。

### CW 结构

实射影空间 **RP***n* 有一个 CW结构，在每一维有 1 个胞腔。

在 *Sn* 上的齐次坐标 (*x*1 ... *x**n*+1) 中，坐标邻域 *U1* = {(*x*1 ... *x**n*+1)|*x*1 ≠ 0} 可与 *n*-维圆盘 *Dn* 的内部等价。当 *xi* = 0，我们有 **RP***n* - 1。从而 **RP***n* 的 *n* - 1 骨架是 **RP***n* - 1，而且黏贴映射 *f*: *S**n*-1 → **RP***n* - 1 是一个二对一映射。我们可令

{\mathbf {RP}}^{n}={\mathbf {RP}}^{{n-1}}\cup \_{f}D^{n}.
归纳证明 **RP***n* 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。

这些胞腔与旗流形（英语：）上一样是舒伯特胞腔（英语：）。这便是，取一个完全旗（称为标准旗）0 = *V*0 < *V*1 <...< *Vn*；则闭 *k*-胞腔是属于 *Vk* 中的直线。而开 *k*-胞腔（*k*-胞腔的内部）是 *Vk*\*Vk-1* 中的直线（属于 *Vk* 但不属于 *V**k* - 1 的直线）。 

在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是

[\*:0:0:\dots :0]
[\*:\*:0:\dots :0]
\vdots 
[\*:\*:\*:\dots :\*].
这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。

在光滑结构的帮助下，莫尔斯函数的存在性可证明 **RP***n* 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为：

g(x\_{1},\cdots ,x\_{{n+1}})=\sum \_{1}^{{n+1}}i\cdot |x\_{i}|^{2}.
在每个邻域 *Ui*，*g* 有非退化奇点 (0...1,...0)，这里 1 出现于第 *i* 个位置，具有莫尔斯指标 *i*。这说明了 **RP***n* 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。

### 同调

与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...*n* 恰有一个胞腔。对每个维数 *k*，边界映射 *dk* : *δDk* → **RP***k*-1/**RP***k*-2，坍塌到 *S**k* - 1 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，度数为 0（2）：

{\mathrm {deg}}(d\_{k})=1+(-1)^{k}.\,
从而整同调是

H\_{i}({\mathbf {RP}}^{n})={\begin{cases}{\mathbf {Z}}&i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\{\mathbf {Z/2Z}}&0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}
### 可定向性

{\mathbf {RP}}^{n} 可定向当且仅当 *n* 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地，{\mathbf {R}}^{p} 上的对径映射有符号 (-1)^{p}，所以它是保定向的当且仅当 *p* 是偶数。从而定向特征标（英语：）是：\pi \_{1}({\mathbf {RP}}^{n}) 中的非平凡回路作为 (-1)^{{n+1}} 作用在定向上，所以 {\mathbf {RP}}^{n} 可定向当且仅当 *n+1* 为偶数，即 *n* 为奇数。

### 重言丛

在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 *n*-维丛称为重言商丛。

几何
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实射影空间有一个常正数量曲率度量，由二重覆叠的标准圆球面（对极映射是一个等距）得来。

对标准圆度量，其截面曲率恒等于 1。

### 测度

在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。

无穷实射影空间
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无穷实射影空间构造为有限射影空间的正向极限或并集：

{\mathbb {RP}}^{\infty }:=\lim \_{n}{\mathbb {RP}}^{n}.
拓扑上说，这是艾伦伯格-麦克兰恩空间（英语：）K({\mathbb {Z}}/2,1)（它被可缩的无穷球面 S^{\infty } 二重覆叠）并且是 BO(1)，线丛的分类空间（更一般地，无穷格拉斯曼流形是向量丛的分类空间）。

系数取 **Z**/2 的上同调环是

H^{\*}({\mathbb {RP}}^{\infty };{\mathbb {Z}}/2)={\mathbb {Z}}/2[w\_{1}],
这里 w\_{1} 是第一斯蒂弗尔-惠特尼类：
它是 w\_{1}（其度数为 1）上的自由 {\mathbb {Z}}/2-代数。

相关条目
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* 复射影空间
* 四元数射影空间
* 透镜空间（英语：）