复空间赫尔维茨ζ函数
**赫尔维茨ζ函数**(Hurwitz zeta function)定义如下

{\displaystyle \zeta (s,q)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}
其中q、s都是复数，并且有{\displaystyle Re(q)>0},{\displaystyle Re(s)>0}

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 *s*≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数={\displaystyle \zeta (s,1)}

级数展开
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赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:

  

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}
此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。

积分式
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赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}
其中 {\displaystyle \Re s>1} 及{\displaystyle \Re q>0.}

赫尔维茨公式
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{\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}
其中

{\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}\_{s}(e^{2\pi ix})}
对于 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} and s > 1成立，其中 {\displaystyle {\text{Li}}\_{s}(z)}代表 多重对数.

泰勒展开
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赫尔维茨ζ函数的导数是平移：

  

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}
因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

{\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}
或

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum \_{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}
其中 {\displaystyle |q|<1}.

与Θ函數的关系
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```
令{\displaystyle \vartheta (z,\tau )} 代表 雅可比 Θ函數, 则
```

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}
对于 {\displaystyle \Re s>0} and 复数*z* 成立，但对于 *z*=*n* 整数，则有

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}
其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广
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正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}
For negative integer −*n* the values are related to the Bernoulli polynomials:

{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B\_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}
The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

{\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}
即：

{\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}
赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：

{\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}\_{s+1}F\_{s}(1,a\_{1},a\_{2},\ldots a\_{s};a\_{1}+1,a\_{2}+1,\ldots a\_{s}+1;1)}其中 {\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=\ldots =a\_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}
Meijer G函数

{\displaystyle \zeta (s,a)=G\,\_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}

参考文献
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1. ↑  Hasse, Helmut, Mathematische Zeitschrift, 1930, **32** (1): 458–464  [2015-02-04], JFM 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645, （原始内容存档于2017-08-05）
2. ↑  Vepsta卄s, Linas.. 2007. arXiv:math.CA/0702243 可免费查阅.  cite arXiv模板填写了不支持的参数 (帮助)
3. ↑  Apostol (1976) p.264

延伸阅读
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* Davenport, Harold.. Lectures in advanced mathematics **1**. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303.
* Miller, Jeff; Adamchik, Victor S.. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, **100**: 201–206  [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. （原始内容存档于2010-03-16）.
* Vepstas, Linas.  (PDF).  [2015-02-04]. （原始内容存档 (PDF)于2021-03-10）.
* Mező, István; Dil, Ayhan.. Journal of Number Theory. 2010, **130** (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.