自然對數\ln(x)的函數圖像
自然对数\ln(x)的積分定義

**自然对数**（英語：）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作\ln x或{\displaystyle \log \_{e}x}，其反函数為指數函數e^{x}。

自然对数积分定義為對任何正實數x，由 1 到 x 所圍成， xy=1 曲線下的面積 。如果x小於1，則計算面積為負數。

{\displaystyle \ln x=\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,}
e 則定義為唯一的實數 x 使得 {\displaystyle \ln x=1}。

自然对数一般表示為 \ln x\! ，數學中亦有以 \log x\! 表示自然對數。

歷史
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### 十七世纪

雙曲線扇形是笛卡爾平面{\displaystyle \{(x,y)\}}上的一個區域，由從原點到{\displaystyle (a,{\frac {1}{a}})}和{\displaystyle (b,{\frac {1}{b}})}的射線，以及雙曲線xy=1圍成。在標準位置的雙曲線扇形有a=1且{\displaystyle b>1}，它的面積為{\displaystyle \ln(b)}，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。
當直角雙曲線下的兩段面積相等時，x的值呈等比數列，{\displaystyle {\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}=k}，y的值也呈等比數列，{\displaystyle {\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}={\frac {1}{k}}}。
約翰·納皮爾在1614年以及约斯特·比尔吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近{\textstyle {\frac {1}{e}}}，而约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯（英语：）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如{\displaystyle f(x)=x^{p}}的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況{\displaystyle p=-1}對應於雙曲線的弓形面積（英语：），即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式（英语：）給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年圣文森特的格列高利（英语：）將對數聯繫於雙曲線xy=1的弓形面積，他發現x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同{\displaystyle [c,d]}對應的扇形，在{\textstyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}時面積相同，這指出了雙曲線從x=1到{\displaystyle x=t}的積分f(t)滿足：

f(tu) = f(t) + f(u).\,
1649年，萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（英语：）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將{\textstyle {\frac {1}{1+x}}}展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。"自然對數"最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

### 十八世纪

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}
{\displaystyle \ln(x)=\lim \_{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)}
1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念。

形式定義
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歐拉定義自然對數為序列的極限：

{\displaystyle \ln(x)=\lim \_{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}
{\displaystyle \ln(a)}正式定義為積分，

\ln(a)=\int\_1^a \frac{1}{x}\,dx.
這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!
這可以通過將定義了{\displaystyle \ln(ab)}的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元{\displaystyle x=ta}來證實:

\ln (ab)
= \int\_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int\_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int\_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
=\int\_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int\_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)

=\int\_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int\_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b).

冪公式{\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)}可如下推出:

\ln(t^r) = \int\_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int\_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int\_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int\_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).

第二個等式使用了換元{\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}}。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

 \ln(x) = -\lim\_{\epsilon \to 0} \int\_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).

性質
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* {\displaystyle \ln(1)=\int \_{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,}
* {\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,}

(參見複數對數)
* \ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,
* \lim\_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,
* \ln(x^y) = y \, \ln(x) \,
* \frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,
* \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,

| 證明 |
| --- |
| {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}\_{x=1}=1} |

導數
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自然對數的圖像和它在{\displaystyle x=1.5}處的切線。
{\displaystyle \ln(1+x)}的泰勒多項式只在{\displaystyle -1<x\leq 1}範圍內有逐步精確的近似。
自然對數的導數為

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,
證明一 （微積分第一基本定理）:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}}

證明二: 按此影片 （页面存档备份，存于）

{\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim \_{{h\to 0}}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}
=\lim \_{{h\to 0}}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}
=\lim \_{{h\to 0}}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad 
=\lim \_{{h\to 0}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{{\frac {1}{h}}}
设 {\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}

{\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}
{\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim \_{{u\to 0}}\ln(1+u)^{{\frac {1}{ux}}}
=\lim \_{{u\to 0}}\ln \left[(1+u)^{{\frac {1}{u}}}\right]^{{\frac {1}{x}}}
={\frac {1}{x}}\lim \_{{u\to 0}}\ln(1+u)^{{\frac {1}{u}}}
设 {\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim \_{{n\to \infty }}\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}
={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim \_{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]
={\frac {1}{x}}\ln e
={\frac {1}{x}}
用自然對數定義的更一般的對數函數，{\displaystyle \log \_{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

\frac{d}{dx} \log\_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. 
根據鏈式法則，以f(x)為參數的自然對數的導數為

{\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.
右手端的商叫做f的對數導數（英语：），通過{\displaystyle \ln(f(x))}的導數的方法計算f'(x)叫做對數微分。

冪級數
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自然對數的導數性質導致了{\displaystyle \ln(1+x)}在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

\ln(1+x)=\sum\_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots 
對於所有\left|x\right| \leq 1, 但不包括x = -1.
把{\displaystyle x-1}代入x中，可得到\ln(x)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何x有效的如下級數:

\ln{x \over {x-1}} = \sum\_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.
這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到 x \over {x-1} 是自身的逆函數，所以要生成特定數y的自然對數，簡單把 x \over {x-1} 代入*x*中。

\ln{x} = \sum\_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,
對於{\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.}
自然數的倒數的總和

1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum\_{k=1}^n \frac{1}{k},
叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當n趨於無窮的時候，差

\sum\_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),
收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

積分
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自然對數通過分部積分法積分:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.
假設:

u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}
dv=dx\Rightarrow v=x\,
所以:

{\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}
自然對數可以簡化形如{\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}的函數的積分：g(x)的一個原函數給出為{\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )}。這是基於鏈式法則和如下事實:

\ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.
換句話說，

\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C
且

\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.
### 例子

下面是{\displaystyle g(x)=\tan x}的例子：

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}}
設f(x)=\cos x且{\displaystyle f'(x)=-\sin x}：

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}}

與雙曲函數的關係
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在直角雙曲線(方程y=\frac{1}{x})下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角*u*的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中\cosh 和\sinh 的{\sqrt {2}}倍。
射線出原點交單位雙曲線\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1於點\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)，這裡的\scriptstyle a是射線、雙曲線和\scriptstyle x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線xy=1下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y=x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}，垂線是\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

* \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
* \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy=1下雙曲角的{\frac {1}{2}}。

連分數
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儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

\begin{align}
\ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\
 &= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\
\end{align}

\begin{align}
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\
 &= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\
\end{align}

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為{\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024}，2的自然對數可以計算為:

\begin{align}
\ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}

進而，因為{\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}}，10的自然對數可以計算為:

\begin{align}
\ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
 &= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}

複數對數
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条目：複數對數
指數函數可以擴展為對任何複數x得出複數值為e^{x}的函數，只需要簡單使用*x*為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在*x*使得{\displaystyle e^{x}=0}；並且有著{\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^{0}}。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，{\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\pi i}}，對於所有複數z和整數n。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加{\displaystyle 2\pi i}的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，{\displaystyle \log i={\frac {1}{2}}\pi i}或{\displaystyle {\frac {5}{2}}\pi i}或{\displaystyle -{\frac {3}{2}}\pi i}等等；儘管{\displaystyle i^{4}=1}，{\displaystyle 4\log =i}不能定義為{\displaystyle 2\pi i}或{\displaystyle 10\pi i}或{\displaystyle -6\pi i}，以此類推。

* 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
* z = Re(ln(x+iy)) *z* = Re(ln(x+iy))
* 
* 
* 前三圖的疊加 前三圖的疊加

### 主值定義

對於每個非0複數z=x+yi，主值{\displaystyle \log z}是虛部位於區間(-\pi, \pi]內的對數。表達式{\displaystyle \log 0}不做定義，因為沒有複數w滿足{\displaystyle e^{w}=0}。 

要對{\displaystyle \log z}給出一個公式，可以先將z表達為極坐標形式，{\displaystyle z=re^{i\theta }}。給定z，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向\theta 增加2\pi 的整數倍，所以為了保證唯一性而要求*\theta* 位於區間(-\pi, \pi]內；這個*\theta* 叫做幅角的主值，有時寫為{\displaystyle \operatorname {arg} z}或{\displaystyle \operatorname {atan} 2(y,x)}。則對數的主值可以定義為 ：

\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).
例如，{\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}}。

科学應用
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自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程N随时间变化率{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}，常数p为原子衰变概率，积分得{\displaystyle N(t)=N(0)\exp(-pt)}。

註釋
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1. ↑  根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因e^{x}的值域為{\displaystyle (0,\infty )}，且其為\ln x之反函數，故可知\ln x之定義域為{\displaystyle (0,\infty )}，即\ln x在非正實數系無法定義。
2. ↑  若要避免與底為10的常用對數 \log x\! 混淆，可用「全寫」 \log\_{\boldsymbol{e}} x\! 。

参考资料
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1. ↑  例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）
2. ↑  證明：從1到*b*積分1/*x*，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (*b*, 0), (*b*, 1/*b*)}。
3. ↑  Ernest William Hobson, Cambridge: The University Press, 1914
4. ↑  Boyer, Carl B. , New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
5. ↑  選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。
6. ↑  以10^{\frac{1}{2^{54}}}這個接近1的數為基礎。
7. ↑  
博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：
\int\_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,
其不定積分形式為：
\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.
獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、罗贝瓦尔的吉尔（英语：）和埃萬傑利斯塔·托里拆利。
8. ↑  設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。
9. ↑  J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001  [2009-02-02], （原始内容存档于2012-02-19）
10. ↑  
卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的*n*(*x*的負數冪)，由於在*x* = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：
\int\_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.
歐拉的自然對數定義：
\begin{align}
\ln(x) &=\lim\_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\
&=\lim\_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1). \\
\end{align}
11. ↑  Maor, Eli, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.  
Eves, Howard Whitley, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3  
Boyer, Carl B. New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
12. ↑  \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}  
在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。
13. ↑  Lang 1997, section IV.2
14. ↑  Wolfram, Stephen.. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. （原始内容存档于2011-07-18） （英语）.
15. ↑  Kline, Morris, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
16. ↑  Havil, Julian, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
17. ↑  Eves, Howard, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
18. ↑  Ratcliffe, John, Graduate Texts in Mathematics **149**, Springer: 99, 2006  [2014-03-28], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph *Theorie der Parallellinien*, which was published posthumously in 1786.
19. ↑  Sarason, Section IV.9.

延伸阅读
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* John B. Conway, *Functions of one complex variable*, 2nd edition, Springer, 1978.
* Serge Lang, *Complex analysis*, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
* Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc. 1964.
* Donald Sarason, *Complex function theory （页面存档备份，存于）*, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
* E. T. Whittaker（英语：） and G. N. Watson, *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.