在量子场论中，**背景场方法**是通过将场系统中一些量子场写成经典场（称为背景场）和量子场的叠加，从而计算原来的量子场的有效作用量（英语：）的方法。由于该方法能给出保持规范对称性的结果，它常被用于规范场的量子化。

原理
--

量子场的格林函数（英语：）可以由其生成泛函{\displaystyle Z[J]}对外源J的泛函微商给出：

{\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J^{a}(x)\phi ^{a}(x))\right)}
连通格林函数（英语：）的生成泛函{\displaystyle W[J]}为：

{\displaystyle W[J]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J])}
有效作用量{\displaystyle \Gamma [\phi ]}为{\displaystyle W[J]}的勒让德变换：

{\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\phi ^{a}(x)}，其中J由方程{\displaystyle \phi ={\frac {\delta W[J]}{\delta J}}}决定。{\displaystyle \Gamma [\phi ]}也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。
如果将\phi 写成经典场B（称为背景场）和量子场\eta 的叠加：

{\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)}.
则同样可以定义背景场存在下量子场\eta 的生成泛函{\displaystyle Z[J,B]}，{\displaystyle W[J,B]}和有效作用量{\displaystyle \Gamma [\eta ,B]}：

{\displaystyle Z[J,B]=\int {\mathcal {D}}\eta \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\eta (x)+B(x)]+J^{a}(x)\eta ^{a}(x))\right)}
{\displaystyle W[J,B]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J,B])}
{\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=W[J,B]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\eta ^{a}(x)}，{\displaystyle \eta ^{a}={\frac {\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}}}
对{\displaystyle Z[J,B]}的路径积分表达式作{\displaystyle \eta \to \phi -B}的变量代换，可以证明：

{\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=\Gamma [\phi ]\_{\phi =\eta +B}}，特别地，{\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]\_{\phi =B}}
因此，为计算量子场\phi 的有效作用量{\displaystyle \Gamma [\phi ]}，只需计算{\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]\_{B=\phi }}，此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用微扰方法：将作用量{\displaystyle S[\eta +B]}中\eta 的二次项当作无扰的作用量，用以构建\eta 场的传播子，包含\eta 更高阶次的项则视为相互作用项，并以微扰展开的方法处理。在这种处理下，{\displaystyle \Gamma [0,B]}是背景场存在时，所有单粒子不可约的真空图（英语：）的贡献之和。量子场只出现在这些图的内线中，而背景场只出现在这些图的外线中。进行重整化时，背景场的场强需要重整化，但量子场的场强不需要重整化。

应用
--

背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时，通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场，需要向作用量中引入规范固定项（对于非阿贝尔规范场还需引入鬼场），如下所示：

{\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J\_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)}
其中{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\mu }^{a}}是规范场，{\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})}是引入的规范固定项，\theta 是规范群的参数。

规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对可观测量的计算带来影响，这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量，如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项，通常不再具有规范对称性。

如果使用背景场方法，在规范场上叠加一个经典场{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\mu }^{a}}，并选取如下的规范固定项（这种规范也被称为背景场规范）：

{\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {B}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J\_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)}
{\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})=\partial \_{\mu }{\mathcal {A}}^{a\mu }+gf^{abc}{\mathcal {A}}\_{b}^{\mu }{\mathcal {B}}\_{c\mu }}
那么生成泛函{\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]}在如下的无穷小规范变换下保持不变：

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{\mu }^{a}\to {\mathcal {A}}\_{\mu }^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {A}}\_{\mu }^{c}}；{\displaystyle {\mathcal {B}}\_{\mu }^{a}\to {\mathcal {B}}\_{\mu }^{a}+{\frac {1}{g}}\partial \_{\mu }\theta ^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {B}}\_{\mu }^{c}}；{\displaystyle J\_{\mu }^{a}\to J\_{\mu }^{a}+f^{abc}\theta ^{b}J\_{\mu }^{c}}
因此，有效作用量{\displaystyle \Gamma [0,{\mathcal {B}}]}具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的，并且满足瓦德恒等式（英语：）（在一般的规范下，格林函数只满足更为复杂的斯拉夫诺夫－泰勒恒等式（英语：））。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解，同时也大大简化了计算。

背景场方法也可用来处理电弱标准模型，这种情况下，除了要为规范场引入背景场，也要为希格斯场引入背景场，并将对称性破缺带来的希场真空期望值放入背景场中，以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合（参见Rξ规范（英语：））。此外，背景场方法亦被用于处理引力和超引力相关的理论。

参考文献
----

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Abbott, L. F.  (PDF). Acta Phys. Pol. B. 1982, **13**: 33  [2018-04-03]. （原始内容 (PDF)存档于2017-05-10）.
2. 1 2 3  Kleinert, Hagen.  5. World Scientific. 2009.
3. 1 2 3 4  Peskin, Michael; Schroeder, Daniel.. Perseus Publishing. 1994. ISBN 0-201-50397-2.
4. 1 2 3 4  L.F. Abbott.. Nuclear Physics B: 189–203.  [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(81)90371-0. （原始内容存档于2022-03-10）.
5. 1 2 3  A. Denner, G. Weiglein, S. Dittmaier.. Physics Letters B: 420–426.  [2018-04-05]. doi:10.1016/0370-2693(94)90162-7. （原始内容存档于2020-02-13）.
6. ↑ . . SpringerLink. : 47-71  [2018-04-05]. doi:10.1007/3-540-16064-7 （英国英语）.
7. ↑  刘川, 1.0, 2003
8. ↑  Ansgar Denner, Georg Weiglein, Stefan Dittmaier.. Nuclear Physics B: 95–128.  [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(95)00037-s. （原始内容存档于2018-06-28）.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
量子场论 |
| --- |
|  |
| 量子场论的历史（英语：） |
|  |
| 背景理論 | 
* 场
* 经典场论
* 费曼图
* 路径积分表述
* 规范场论
* 陈-西蒙斯理论
* O(N)模型
* 非线性σ模型
* 共形場論
* 有效場論

 |  |
|  |
| 对称性 | 
* 自发对称破缺
* 庞加莱对称
* 电荷共轭
* 交叉（英语：）
* 宇称
* 時間反演對稱
* 量子力学的对称性（英语：）
* 自旋統計定理
* 任意子
* 法捷耶夫-波波夫鬼粒子

 |
|  |
| 工具 | 
* 創生及湮滅算符
* 反常
* 共形反常
* 真空期望值
* 正則量子化
* 瞬子
* 法捷耶夫-波波夫鬼粒子
* 费曼图
* LSZ约化公式（英语：）
* 格林函數
* 配分函数
* 传播子
* 摄动理论
* 量子化
* 重整化
* 重整化群
* 正規化
* 真空态
* 维克定理
* 威克轉動
* 怀特曼公理体系（英语：）

 |
|  |
| 方程式 | 
* 克莱因-戈尔登方程
* 狄拉克方程式
* 外尔方程式
* 普洛卡方程式（英语：）
* 惠勒-德威特方程式
* 巴格曼－维格纳方程式（英语：）
* 馬約拉納方程式

 |
|  |
| 标准模型 | 
* 楊-米爾斯理论
* 電弱交互作用
* 希格斯机制
* 量子色動力學
* 量子電動力學
* 楊-米爾斯存在性與質量間隙

 |
|  |
| 未完成理论 | 
* 量子引力
* 弦理論
* 超对称
* 人工色（英语：）
* 万有理论
* 電弱交互作用

 |
|  |
| 物理學者 | 
* 陈省身
* 阿德勒
* 贝特
* 博戈柳博夫
* 卡伦
* 科尔曼
* 德维特
* 狄拉克
* 戴森
* 法捷耶夫
* 费米
* 费曼
* 菲尔茨（英语：）
* 福克
* 弗勒利希
* 盖尔曼
* 戈德斯通
* 格娄斯
* 特胡夫特
* 贾基夫
* 克莱因
* 约当
* 肯德尔
* 基博爾
* 兰姆
* 朗道
* 李政道
* 雷曼
* 马约拉纳
* 南部阳一郎
* 帕里西
* 佩斯金
* 泊里雅科夫
* 萨拉姆
* 施温格
* 斯卡姆（英语：）
* 斯塔克伯格
* 西蒙泽克
* 朝永振一郎
* 韦尔特曼
* 温伯格
* 魏斯科普夫
* 威爾森
* 威滕
* 杨振宁
* 汤川秀树
* 齐默尔曼
* 金恩-贾斯廷

 |
|  |
| 参见：模板 模板:量子力学 |

 |