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维尔纳·海森堡
**海森堡繪景**（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

概述
--

為了便利分析，位於下標的符號{\displaystyle {}\_{\mathcal {H}}}、{\displaystyle {}\_{\mathcal {S}}}分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量{\displaystyle |\psi \rangle \_{\mathcal {H}}}不含時，而可觀察量的算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}}則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A\_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A\_{\mathcal {H}},\,H]}；
其中，\hbar 是約化普朗克常數，H是哈密頓量，{\displaystyle [A\_{\mathcal {H}},\,H]}是{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}}與H的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]\_{Poisson}}；
其中，[\ ,\,\ ]\_{Poisson}是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件（英语：），可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

[\ ,\,\ ]\_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}。
史東-馮諾伊曼理論（英语：）證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引
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在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從{\displaystyle 0}流易到t，而經過這段時間間隔，態向量{\displaystyle |\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}}演化為{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}}，這時間演化過程以方程式表示為

{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}}；
其中，U(t,0)是時間從{\displaystyle 0}流易到t的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：

{\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)}。
假設系統的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為

U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }，
而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

HU(t,0)=U(t,0)H。
注意到指數函數e^{-iHt/\hbar }必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {H}}}、算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}分別定義為

{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}}、
{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A\_{\mathcal {S}}U(t,0)}。
由於U(t,0)、U^{\dagger }(t,0)對於時間的偏導數分別為

{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)、
{\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H。
所以，算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}對於時間的導數是

{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A\_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A\_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A\_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA\_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A\_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A\_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A\_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A\_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}}。
由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：

{\displaystyle H\_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H\_{\mathcal {S}}U=H\_{\mathcal {S}}=H}。
將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

{\displaystyle {d \over dt}A\_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A\_{\mathcal {H}}(t),H]}。

期望值
---

在薛丁格繪景裏，可觀察量A的期望值為

{\displaystyle \langle A\rangle \_{\mathcal {S}}={}\_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A\_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}={}\_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A\_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}}。
在海森堡繪景裏，可觀察量A的期望值為

{\displaystyle \langle A\rangle \_{\mathcal {H}}={}\_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A\_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle \_{\mathcal {H}}={}\_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A\_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {H}}}。
注意到態向量{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {H}}}、算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}的定義式：

{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}}、
{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A\_{\mathcal {S}}U(t,0)}。
所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理
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算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}的定義式涉及到指數函數e^{-iHt/\hbar }，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理（英语：）來計算

{e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots 。
對於算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}，可以得到

{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)=A\_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A\_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A\_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A\_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots }。
由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例
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本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標{\displaystyle {\mathcal {H}}}。設想自由粒子系統，其哈密頓量為

H={\frac {p^{2}}{2m}}。
動量p的海森堡運動方程式為

{d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0。
這是因為p與H對易。所以，動量p是個常數：

{\displaystyle p(t)=p(0)}。
位置x的海森堡運動方程式為

{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}。
所以，位置與時間的關係式為

x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t。
換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }。
利用貝克-豪斯多夫引理（英语：），

x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots 。
注意到以下兩個對易關係式：

[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}、
{\displaystyle [H,p(0)]=0}。
將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t。
注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

[x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}。

諧振子範例
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本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標{\displaystyle {\mathcal {H}}}。設想諧振子系統，其哈密頓量為

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}；
其中，\omega 為諧振子頻率。

動量算符p、位置算符x的海森堡運動方程式分別為

{d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)、
{d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}。
再求這兩個方程式對於時間的導數，

{d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)、
{d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)。
設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

p(0)=p\_{0}、
x(0)=x\_{0}。
則在初始時間，

{\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x\_{0}、
{\dot {x}}(0)={\frac {p\_{0}}{m}}。
所以，二次微分方程式的解答分別是

p(t)=p\_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x\_{0}\sin(\omega t)、
x(t)=x\_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p\_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)。
稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

[p(t\_{1}),p(t\_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t\_{2}-\omega t\_{1})、
[x(t\_{1}),x(t\_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t\_{2}-\omega t\_{1})、
[x(t\_{1}),p(t\_{2})]=i\hbar \cos(\omega t\_{2}-\omega t\_{1})。
假若t\_{{1}}=t\_{{2}}，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }。
利用貝克-豪斯多夫引理（英语：），

x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots 。
注意到以下兩個對易關係式：

[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}、
[H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)。
將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

{\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}。
類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要
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各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：


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| 演化 | 海森堡繪景 | 交互作用繪景 | 薛丁格繪景 |
| 右矢 | 常定 | {\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {I}}=e^{iH\_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}} | {\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \_{\mathcal {S}}} |
| 可觀察量 | {\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A\_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }} | {\displaystyle A\_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH\_{0}t/\hbar }A\_{\mathcal {S}}e^{-iH\_{0}t/\hbar }} | 常定 |
| 密度算符 | 常定 | {\displaystyle \rho \_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH\_{0}t/\hbar }\rho \_{S}(t)e^{-iH\_{0}/\hbar }} | {\displaystyle \rho \_{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho \_{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }} |
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註釋
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1. ↑  在薛丁格繪景裏，假若勢能與時間有關，{\displaystyle V=V(t)}，則哈密頓算符H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(t)也與時間有關。
2. ↑  当U(t,0)是无穷维矩阵时，
{\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)}与{\displaystyle U^{\dagger }(t,0)U(t,0)}未必相等；甚至U(t,0)
的行列指标可以分别是可数无穷维与连续不可数无穷维。
3. ↑  在薛丁格繪景裏，假若哈密頓算符含時，{\displaystyle H\_{\mathcal {S}}=H\_{\mathcal {S}}(t)}，則時間演化算符會比較複雜。更詳盡內容，請查閱條目時間演化算符
4. ↑  處於不同時間t\_{1}、t\_{2}的哈密頓算符H(t\_{1})、H(t\_{2})可能會不相互對易：
[H(t\_{1}),H(t\_{2})]\neq [H(t\_{2}),H(t\_{1})]。

對於這案例，時間演化算符必須用戴森級數（英语：）來表示，時間演化算符與哈密頓算符也會不相互對易。
5. ↑  假若算符{\displaystyle A\_{\mathcal {S}}}含時：
{\displaystyle A\_{\mathcal {S}}=A\_{\mathcal {S}}(t)}，

則算符{\displaystyle A\_{\mathcal {H}}(t)}對於時間的導數是
{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A\_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A\_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A\_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A\_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A\_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A\_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\\end{aligned}}}。
6. ↑  假若處於不同時間t\_{1}、t\_{2}的哈密頓算符H(t\_{1})、H(t\_{2})不相互對易：
[H(t\_{1}),H(t\_{2})]\neq [H(t\_{2}),H(t\_{1})]。

則哈密頓量在兩種繪景裏的形式可能不相同。

參考文獻
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1. ↑  Robert D. Klauber.  (PDF). Sandtrove Press. 2013  [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-22）.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim,  2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
3. ↑  Parker, C.B.  2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
4. ↑  Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht.. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.
5. ↑  Goldstein, Herbert,  3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）

延伸阅读
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* Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe.. Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)

參閱
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* 狄拉克標記

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