**模糊集**是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

定义
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给定一个论域U ，那么从U到单位区间[0,1]的一个映射\mu \_{{A}}:U\mapsto [0,1]称为U上的一个**模糊集**，或U的一个**模糊子集**。

表示
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模糊集可以记为A。映射（函数）{\displaystyle \mu \_{A}(\cdot )}或简记为A(\cdot )叫做模糊集A的隶属函数。对于每个x\in U， {\displaystyle \mu \_{A}(x)}叫做元素x对模糊集A的**隶属度**。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh记法，例如A={1 \over x\_{1}}+{0.5 \over x\_{2}}+{0.72 \over x\_{3}}+{0 \over x\_{4}}。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如A=\{(x\_{1},1),(x\_{2},0.5),(x\_{3},0.72),(x\_{4},0)\}，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如{\displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)}。

和传统集合的关系
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和傳統的集合一樣，**模糊集**也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的**程度**，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能**屬於**或**不屬於**某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的**歸屬性**（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間[0,1]（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集A的歸屬函數為M ，而a、b、c為三個元素；如果{\displaystyle M(a)=1}，{\displaystyle M(b)=0}，{\displaystyle M(c)={\frac {1}{2}}}，則可以說 「a完全屬於A」，「b完全不屬於A」，「c對A的歸屬度為{\frac {1}{2}}」（注意没有說「*c*有一半屬於*A*」，因為尚未規定{\frac {1}{2}}的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

### 截集与截积

设 A为 U上的模糊集（记作 A\in {\mathcal {F}}(U)），任取 \lambda \in [0,1]，则

A\_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}，
称{\displaystyle A\_{\lambda }}为A的\lambda **截集**，而\lambda 称为阈值或置信水平。将上式中的\geq替换为>，记为{\displaystyle A\_{S\lambda }}，称为**强截集**。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然A\_{1}为A的**核**，即{\displaystyle \ker A}；如果{\displaystyle \ker A\neq \varnothing }，则称A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设{\displaystyle \lambda \in [0,1]}，{\displaystyle A\in F(U)}，则{\displaystyle \forall u\in U}，\lambda 与A的**截积**（或称为\lambda 截集的**数乘**，记为{\displaystyle \lambda A}）定义为：

(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}
根据定义，截积仍是U上的模糊集合。

### 分解定理与表现定理

**分解定理**：

设{\displaystyle A\in F(U)}，则  

A=\bigcup \limits \_{{\lambda \in [0,1]}}\lambda A\_{\lambda }  

即任一模糊集A都可以表达为一族简单模糊集{\displaystyle \left\{\lambda a\_{\lambda }\right\}}的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而"拼成"。

**表现定理**：

设H为U上的任何一个集合套，则  

A=\bigcup \limits \_{{\lambda \in [0,1]}}\lambda H(\lambda )  

是U上的一个模糊集，且{\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]}，有

（1）{\displaystyle A\_{S\lambda }=\cup \_{\alpha >\lambda }H(\alpha )}

（2）{\displaystyle A\_{\lambda }=\cap \_{\alpha <\lambda }H(\alpha )}

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度
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一个模糊集A的模糊度衡量、反映了 *A* 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射{\displaystyle D:F(U)\rightarrow [0,1]}满足下述5条性质：

1. 清晰性：{\displaystyle D(A)=0}当且仅当{\displaystyle A\in P(U)}。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性：{\displaystyle D(A)=1}当且仅当{\displaystyle \forall u\in U}有{\displaystyle A(u)=0.5}。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性：{\displaystyle \forall u\in U}，若{\displaystyle A(u)\leq B(u)\leq 0.5}，或者{\displaystyle A(u)\geq B(u)\geq 0.5}，则{\displaystyle D(A)\leq D(B)}。
4. 对称性：{\displaystyle \forall A\in F(U)}，有{\displaystyle D(A^{c})=D(A)}。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性：{\displaystyle D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)}。

则称D是定义在{\displaystyle F(U)}上的**模糊度函数**，而D(A)为模糊集A的**模糊度**。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是  
{\begin{aligned}D\_{p}(A)&={\frac {2}{n^{{1/p}}}}\left(\sum \limits \_{{i=1}}^{n}\left|A(u\_{i})-A\_{{0.5}}(u\_{i})\right|^{p}\right)^{{1/p}}\\D(A)&=\int \_{{-\infty }}^{{+\infty }}|A(u)-A\_{{0.5}}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}  
其中p>0是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当p=1的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当p=2的时候称为 Euclid 模糊度。

### 模糊測度(Fuzzy measures)

{\mathfrak {B}}是輿集{\mathrm {X}}的一種。

用g函數定義{\mathfrak {B}}，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①g(0)=0,g({\mathrm {X}})=1

---g函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。g函數代X表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若{\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}和{\displaystyle A\subseteq B}, 則{\displaystyle g(A)\leq g(B)}.

---A,B是屬於{\mathfrak {B}}的一部分，A在B裡面也可能跟B一樣大，則{\displaystyle g(A)\leq g(B)}

③If A\_{{n}}∈{\mathfrak {B}}, A\_{1}⊆A\_{2}⊆…,then \lim \_{{n\to \infty }}g(A\_{n})=g(\lim \_{{n\to \infty }}A\_{n})

---當A\_{{n}}屬於{\mathfrak {B}}同時A\_{1}包含於{\displaystyle A\_{2}\subseteq \ldots }，則將A\_{n}代入g函數趨小所得的值等同於先趨小A\_{n}再代入g函數所求得的值。

### 模糊量測(measures of fuzziness)

模糊集的运算
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### 各种算子

* Zadeh 算子，{\displaystyle \max }即为并，\min 即为交

{\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}

* 代数算子（概率和、代数积）

{\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}

* 有界算子

{\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}

* Einstein 算子

{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}

* Hamacher 算子，其中{\displaystyle \nu \in [0,+\infty )}是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}

* Yager 算子，其中p是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

{\begin{aligned}a\;Y\_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{{1/p}}\}\\a\;y\_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{{1/p}}\}\end{aligned}}

* {\displaystyle \lambda -\gamma }算子，其中{\displaystyle \lambda ,\gamma \in [0,1]}是参数

{\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{{1-\gamma }}(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}

* Dobois-Prade 算子，其中\lambda \in [0,1]是参数

{\begin{aligned}a\vee \_{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge \_{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}

### 算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（`.`表示不满足，`-`表示未验证）：

| 算子 | 结合律 | 交换律 | 分配律 | 互补律 | 同一律 | 幂等律 | 支配律 | 吸收律 | 双重否定律 | 德·摩根律 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zedah | √ | √ | √ |. | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
| 代数 | √ | √ |. |. | √ |. | √ |. | - | √ |
| 有界 | √ | √ |. | √ | √ |. | √ | √ | - | √ |

线性补偿是指：(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))

| 算子的并运算 | 幂等律 | 排中律 | 分配律 | 结合律 | 线性补偿 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zadeh | √ |. | √ | √ |. |
| 代数 |. |. |. | √ |. |
| 有界 |. | √ |. |. | √ |
| Hamacher *r* = 0 |. |. |. | √ |. |
| Yager |. |. |. | √ |. |
| Hamacher |. |. |. | √ |. |
| Dobois-Prade |. |. |. | √ |. |

模糊集之间的距离
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### 使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集{\displaystyle F(U)}上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到[0,1]区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：  

{\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits \_{{i=1}}^{n}\left|x\_{i}-y\_{i}\right|^{p}\right)^{{1 \over p}}
### 贴近度

条目：贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - *距离*（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到"度"的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越"高"，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

* 最大最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\vee B(u\_{i}))}}
* 算术平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{{1 \over 2}\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})+B(u\_{i}))}}
* 几何平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum \_{{i=1}}^{{n}}(A(u\_{i})\wedge B(u\_{i}))}{\sum \_{{i=1}}^{{n}}{\sqrt {A(u\_{i})\cdot B(u\_{i})}}}}
* 指数贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{{\|A-B\|}}}}

參見
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* 粗集合
* 解模糊

參考文獻
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1. ↑  要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的**序对集**，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
2. ↑  L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 的存檔，存档日期2007-11-27.. *Information and Control* 8 (3) 338–353.
3. ↑  D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
4. ↑  陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。
5. ↑  Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。


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