| 各種函數 |
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| *x* ↦ *f* (*x*) |
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不同定義域和陪域 |
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* X → {\displaystyle \mathbb {B} }, {\displaystyle \mathbb {B} } → X, {\displaystyle \mathbb {B} ^{n}} → {\displaystyle \mathbb {B} }
* X →（英语：） \mathbb {Z} , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}→ X
* X →（英语：） \R, \R → X, \R^n →（英语：） X
* X →（英语：） {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {C} } → X, {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} →（英语：） X

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| 函數類/性質 |
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* 常值
* 恆等
* 線性
* 多項式
* 有理
* 代數
* 解析
* 光滑
* 連續
* 可測
* 單射
* 满射
* 双射

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構造 |
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* 限制
* 複合
* λ
* 逆

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推廣 |
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* 偏（英语：）
* 多值
* 隱

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| * 
* 论
* 编
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**有理函數**（英語：）是可以表示為以下形式的函數：

f(x)={\frac {a\_{m}x^{m}+a\_{{m-1}}x^{{m-1}}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}}{b\_{n}x^{n}+b\_{{n-1}}x^{{n-1}}+\cdots +b\_{1}x+b\_{0}}}={\frac {P\_{m}(x)}{Q\_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in {\mathbb {N}}\_{0}，b\_{i}不全為0。
**有理數式**是多項式除法的商，有時稱為**代數分數**。

漸近線
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条目：渐近线
* 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在r>0，使得(px+q)^{r}是分母Q(x)的因子，則有理函數存在垂直漸近線x=-q/p。
* 若m<n，有水平漸近線y=0。
* 若m=n，有水平漸近線y={\frac {a\_{m}}{b\_{m}}}。
* 若m=n+1，有斜漸近線y={\frac {a\_{m}}{b\_{n}}}x+{\frac {b\_{n}\*a\_{{m-1}}-b\_{{n-1}}\*a\_{m}}{{b\_{n}}^{2}}}。

只有一条水平渐近线

泰勒級數
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有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

部分分式
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**部分分式**，又稱**部分分數**、**分項分式**，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式{\frac {P(x)}{Q(x)}}的分母Q(x)可分解為數個多項式的積，其部分分數便是\sum {\frac {A\_{n}}{Q(x)/h\_{n}(x)}}，其中h\_{n}(x)是Q(x)的因子，A\_{n}是次數不大於Q(x)/h\_n(x)的多項式。

### 例子

1. 分拆{\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}

因為x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)，所以

{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}

其中A和B是常数。两边乘以x^{2}+3x-28，得

\ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)

即

\ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)

比較係數，得

\ A+B=32

\ 7B-4A=4

解得A=20,B=12。

故：
{\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

\ 128+4=11B

\ B=12

当x=-7时，我们有

\ -224+4=-11A

\ A=20

### 應用

* 伸縮和
* 複分析
* 拉普拉斯變換

積分
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### 部分分數

条目：部分分式積分法
在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

* 分母為1次多項式：求\int {\frac {1}{ax+b}}dx。

設u=ax+b：

{\frac {du}{dx}}=a
{\frac {du}{a}}=dx
原式變為

\int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C
* 分母次數為2：求\int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx。

若多項式ax^{2}+bx+c可分解為兩個一次多項式的積（即b^{2}-4ac\geq 0），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.
因為

x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,
考慮

u=x^{2}-8x+25\,
du=(2x-8)\,dx
du/2=(x-4)\,dx
將分子分解，以便應用上面的替換：

\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx
左邊：

\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C
另一邊：

\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx
代入

w=(x-4)/3\,
dw=dx/3\,
{10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.
另一種可行的代入方法是：

\tan \theta ={x-4 \over 3},\,
\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,
d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,
\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C

### 奧斯特洛格拉德斯基方法

奧斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 {\frac {P}{Q}}，其中P,Q是多項式，\deg(P)<\deg(Q)（P的次數少於Q）。設Q\_{1}為Q的導數Q'和Q的最大公因數，Q\_{2}={\frac {Q}{Q\_{1}}}。則有：

\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P\_{1}}{Q\_{1}}}+\int {\frac {P\_{2}}{Q\_{2}}}dx
其中P\_{1},P\_{2}為多項式，\deg(P\_{i})<\deg(Q\_{i})。

#### 應用例子

* 求 \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}} 。

1. Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}
2. Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)
3. Q\_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}
4. Q\_{2}=Q/Q\_{1}=(x-1)(x+1)

設 P\_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P\_{2}=Dx+E

\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx
兩邊取導數：

{\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}
通分母，右邊的分子為：

Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B
比較分子的多項式的係數，得A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0。於是有

\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}
後者可用部分分數的方法求得。

#### 證明

\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P\_{1}}{Q\_{1}}}+\int {\frac {P\_{2}}{Q\_{2}}}dx
{\frac {P}{Q}}={\frac {P'\_{1}-{\frac {Q'\_{1}P\_{1}}{Q\_{1}}}}{Q\_{1}}}+{\frac {P\_{2}}{Q\_{2}}}
兩邊乘以Q

P=P'\_{1}Q\_{2}-{\frac {Q'\_{1}Q\_{2}P\_{1}}{Q\_{1}}}+P\_{2}Q\_{1}
由於 Q'\_{1}Q\_{2}=Q'-Q\_{1}Q'\_{2}，而Q'和Q\_{1}Q'\_{2}都是Q\_{1}的倍數，所以{\frac {Q'\_{1}Q\_{2}P\_{1}}{Q\_{1}}}是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

* \deg(P)\leq \deg(Q)-1
* \deg(P'\_{1}Q\_{2}\leq (\deg(Q\_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q\_{1}))=\deg(Q)-1
* {\displaystyle \deg({\frac {Q'\_{1}Q\_{2}P\_{1}}{Q\_{1}}})\leq (\deg(Q\_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q\_{1}))+(\deg(Q\_{1})-1)-\deg(Q\_{1})=\deg(Q)-2}
* \deg(P\_{2}Q\_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q\_{1})-1)+\deg(Q\_{1})=\deg(Q)-1

因此P\_{1},P\_{2}有解。

### Hermite方法

應用
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* 帕德近似
* 插值

參考
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* Ostrogradsky's method （页面存档备份，存于）
* （页面存档备份，存于）