拉東變換將函數 f(x, y) 映射到{\displaystyle f(\alpha ,s)}。
 本圖是將下圖做拉東變換後得到的影像，越亮的區域代表值越大，黑色的區域為0。
 原始函數是白色區域為1，黑色區域為0。
數學上，**拉東變換**（又稱**雷登變換**）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數f變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數{\displaystyle {\cal {R}}f}({\displaystyle {\cal {R}}f}的意思是對f做拉東變換)，而{\displaystyle {\cal {R}}f}的值為函數f對該條線{\displaystyle {\cal {R}}f}做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是f，A線則是代表{\displaystyle {\cal {R}}f}。

拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。
三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是X射线变换（英语：）)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要参见Integral geometry（英语：）。
在複數上有和拉東變換相似的Penrose变换（英语：），拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

簡介
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若函數f表示一個未知的密度，對f做拉東變換，相當於得到f投影後的訊號，舉例來說：f相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的f。
因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作**正弦圖**（），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子装配（英语：）（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震学，而且也是雙曲線偏微分方程的解。

定義
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令密度函數{\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}是一個的定義域為 {\displaystyle {\bf {R}}^{2}} 的緊支撐。令{\displaystyle {\cal {R}}}為拉東變換的運算子(operator)，則{\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)}是一個定義在
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}空間中的直線L，它的定義如下

{\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int \_{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}
可以把直線 L改寫成一個弧長z的參數式

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}
s是直線L和原點的距離，而\alpha 是垂直於L的法線和x軸的夾角，
接下來，我們可以令{\displaystyle (\alpha ,s)}當作{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

{\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int \_{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int \_{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}
更進一步，我們可以把{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}推廣到{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數f做拉東變換後的函數{\displaystyle {\cal {R}}f}是定義在
{\displaystyle \Sigma \_{n}}的超平面上，

{\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int \_{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma \_{n}}
積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而{\displaystyle d\Delta }是原本的{\displaystyle |d{\bf {x}}|}的高維推廣。可以觀察到對{\displaystyle \Sigma \_{n}}裡的任意元素，
都是某個軌跡方程式的解

{\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}
而\alpha 是一個單位向量且屬於{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}，{\displaystyle s\in \mathbb {R} }，n維的拉東變換可以改寫成定義在 {\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}上的函數

{\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int \_{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}
也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。
而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

與傅立葉變換的關係
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条目：投影切片定理（Projection-slice Theorem）（英语：）
拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}
而雙變數{\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}的傅立葉變換是

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\int \limits \_{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}
把拉東變換的運算子的表記從{\displaystyle {\cal {R}}[f](s)} 改成 {\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}。根據投影切片定理學說，

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}\_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
因此一個初始函數沿著一條線傾角\alpha 的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int \_{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}

對偶變換
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對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間{\displaystyle \Sigma \_{n}}上的函數g，而對偶拉東變換的運算子定義為{\displaystyle {\cal {R}}^{\*}}。作用在g上

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{\*}g(x)=\int \_{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}
積分的範圍是所有和{\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}相交的超平面集合，而測度(measure){\displaystyle d\mu }是集合{\displaystyle \xi |x\in \xi }特殊的機率測度(Probability measure)，
當對著x旋轉時，{\displaystyle d\mu }的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{\*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \_{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }
在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向傳播算法(back propagation) ，
因為

**交結性質**

根據拉普拉斯算子\Delta 在 {\displaystyle {\bf {R}}^{n}}的定義是

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\_{n}^{2}}}}
這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間{\displaystyle \Sigma \_{n}}，半徑的二階導數

{\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}
也是旋轉不變性。
而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為

{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{\*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{\*}g)}

重建方法
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**重建處理**是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數f。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

**拉東反變換公式**

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)f，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int \_{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )\*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} \_{\theta }\right\rangle )d\theta } 
函數h滿足{\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}，卷積核 (convolution kernel) h在一些文章中稱作Ramp filter。

**不適定問題 (ill-posedness)**

直覺上，反變換公式應該和微分類似，{\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{\*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}
{\displaystyle {\cal {R}}^{\*}}即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此{\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}\_{0},{\bf {x}}\rangle }}，上式變成

{\displaystyle {\cal {R}}^{\*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}\_{0},{\bf {x}}\rangle }}
複數指數函數{\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}\_{0},{\bf {x}}\rangle }}，是{\displaystyle {\cal {R}}^{\*}{\cal {R}}}的固有函數 (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue)為{\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}。{\displaystyle {\cal {R}}}的奇異值 (singular values) 是{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}，
因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以{\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}是無界的(unbounded) 。

反變換公式
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外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由

{\displaystyle c\_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{\*}\{{\cal {R}}f\}}
其中

{\displaystyle c\_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}
而\Delta 是拉普拉斯算子(Laplacian)，{\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}是偽微分算子(pseudodifferential operator)

{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}
\mathcal{F}是傅立葉變換的運算子(operator)。

參見
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* 反摺積
* X-ray變換（英语：）
* Funk變換（英语：）
* 霍夫變換
* 疊代稀疏漸近最小方差算法

注釋
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1. ↑ .  [2017-06-29]. （原始内容存档于2017-07-19）.
2. ↑ .  [2017-06-29]. （原始内容存档于2017-07-19）.
3. ↑   (PDF).  [2017-06-29]. （原始内容 (PDF)存档于2018-11-25）.
4. 1 2   (PDF).  [2017-06-29]. （原始内容 (PDF)存档于2018-11-25）.
5. ↑  Helgason 1984，Theorem I.2.13

參考
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* Deans, Stanley R. New York: John Wiley & Sons, 1983 .
* Helgason, Sigurdur, Mathematical Surveys and Monographs **39** 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
* Helgason, Sigurdur, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
* Herman, Gabor T.  2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
* Minlos, R.A. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Natterer, Frank, Classics in Applied Mathematics **32**, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
* Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
* Radon, Johann, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; *Translation:* Radon, J.; Parks, P.C. (translator), IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, **5** (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
* Roerdink, J.B.T.M. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld. .