**字元集**在不同領域中有不同意義。在邏輯學（特別是數理邏輯中）代表的是列舉出形式語言中非邏輯符號（英语：）的一組集合；在泛代數中則是列舉出代數結構具代表性的運算。另外，在模型論中兩種用法皆有使用。

對邏輯學更哲學性的討論中，字元集的概念較少被提及。

定義
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一個（單域）**字元集**在形式上定義為四元組{\displaystyle \sigma =\left(S\_{\operatorname {func} },S\_{\operatorname {rel} },S\_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)}，當中{\displaystyle S\_{\operatorname {func} }}與{\displaystyle S\_{\operatorname {rel} }}是不包含其他基本邏輯符號的不相交集合，分別稱作

* 函數符號（例如: {\displaystyle +,\times ,0,1}）
* 關係符號或謂詞（例如: {\displaystyle \,\leq ,\,\in }）
* 常數符號（英语：）（例如: {\displaystyle 0,1}）

以及一個函數{\displaystyle \operatorname {ar} :S\_{\operatorname {func} }\cup S\_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N} }用來為各個關係符號和邏輯符號指定一個自然數，稱為該符號的**元數**。元數為n的符號稱為n-元的。有些作者會將常數符號定為0-元的函數符號，其它則將常數符號分開定義。

不含函數符號的字元集稱為**關係字元集**，而不含關係符號的字元集稱作**代數字元集**。
如果{\displaystyle S\_{\operatorname {func} }}與{\displaystyle S\_{\operatorname {rel} }}皆為有限集合，則稱為**有限字元集**。更廣泛的說，字元集{\displaystyle \sigma =\left(S\_{\operatorname {func} },S\_{\operatorname {rel} },S\_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)}的**勢**定義為{\displaystyle |\sigma |=\left|S\_{\operatorname {func} }\right|+\left|S\_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S\_{\operatorname {const} }\right|}。

字元集的**語言**是字元集和邏輯系統中的所有符號形成的合式公式的集合

其他記號
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由於其形式定義對日常使用來說過於繁瑣，一些字元集的定義經常以一種非正式的方式縮寫，例如：

「阿貝爾群的標準字元集是 {\displaystyle \sigma =(+,-,0)}，當中{\displaystyle -}是一個一元算符。」
有時一個代數字元集會被視為元數的列表，例如：

「阿貝爾群的相似類型（原文：similarity type）是{\displaystyle \sigma =(2,1,0)}。」
這在形式上將函數符號定義為類似於{\displaystyle f\_{0}}（2-元）、{\displaystyle f\_{1}}（1-元）和{\displaystyle f\_{2}}（0-元）的樣子，但也有機會看到以這種方式命名的關係符號。

在數理邏輯中通常不會允許0-元的符號，[來源請求]因此常數符號就必須得被分開處理。{\displaystyle S\_{\operatorname {const} }}形成一個集合，並與{\displaystyle S\_{\operatorname {func} }}沒有交集，且元數函數{\displaystyle \operatorname {ar} }在這集合上沒有定義。然而這只會讓事情變得複雜，尤其在用歸納法證明一個公式的結構時會需要考慮到額外的情況。雖然在此定義下0-元關係符號也是不被允許的，但我們依舊能用一個1-元關係符號，額外加上一個說明此關係的值對所有元素都相同的表達句來模擬。這種模擬方式只會在空結構中失效（但空結構照慣例通常會被排除在外）。如果允許0-元符號，則命題邏輯的公式也都會是一階邏輯的公式。

無限字元集的一個例子是使用{\displaystyle S\_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f\_{a}:a\in F\right\}}與{\displaystyle S\_{\operatorname {rel} }=\{=\}}來形式化無限純量體 F上向量空間的表達式和方程，當中{\displaystyle f\_{a}}代表乘以純量 a的1-元算符。如此便能維持單域的字元集和邏輯，論域只包含向量。

字元集在邏輯學和代數中的應用
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在一階邏輯的語境下，字元集中的符號又被稱作非邏輯符號（英语：），因為字元集配上邏輯符號便構成了基礎的字母表，可以用於歸納的定義出兩種形式語言：字元集上**項**的集合與（合式）**公式**的集合。

在討論結構時，**詮釋**將函數符號和關係符號聯繫到與它們名字相襯的數學物件：一個n-元函數符號 f在以 A為論域的結構\mathbf {A} 中的詮釋是一個函數{\displaystyle f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A}，而一個n-元關係符號的詮釋是一個關係 {\displaystyle R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}}。當中{\displaystyle A^{n}=A\times A\times \cdots \times A}代表論域 A和自己的n次笛卡兒積，如此 f便成為了一個n-元函數，而{\displaystyle R}則是一個n-元關係。

多域字元集
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多域邏輯和多域結構（英语：）的字元集必須包含論域的訊息。最直接的做法便是透過**符號類型**。

### 符號類型

令{\displaystyle S}為一個不包含符號{\displaystyle \times } 和{\displaystyle \to }的（論域的）集合。

{\displaystyle S}上的符號類型是字母表{\displaystyle S\cup \{\times ,\to \}}上的特定詞彙：關係符號類型{\displaystyle s\_{1}\times \cdots \times s\_{n}}，和函數符號類型{\displaystyle s\_{1}\times \cdots \times s\_{n}\to s^{\prime }}，其中n為非負整數且{\displaystyle s\_{1},s\_{2},\ldots ,s\_{n},s^{\prime }\in S} （如果{\displaystyle n=0}，則表達式{\displaystyle s\_{1}\times \cdots \times s\_{n}}表示空詞彙)

### 字元集

（多域）字元集是一個三元組{\displaystyle (S,P,\operatorname {type} )}包含

* 論域的集合{\displaystyle S}
* 符號的集合P
* 一個將P中的每個符號送到{\displaystyle S}上的符號類型的映射{\displaystyle \operatorname {type} }。

參見
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* 項代數（英语：）

附錄
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1. ↑  Mokadem, Riad; Litwin, Witold; Rigaux, Philippe; Schwarz, Thomas.  (PDF). 33rd International Conference on Very Large Data Bases (VLDB). September 2007  [27 February 2019]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-09）.
2. ↑  George Grätzer.. James C. Abbot (编).. Princeton/NJ: Van Nostrand. 1967: 173–210.  Here: p.173.
3. ↑  Many-Sorted Logic, the first chapter in Lecture notes on Decision Procedures, written by Calogero G. Zarba （页面存档备份，存于）.

參考文獻
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* Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P.. Springer. 1981. ISBN 3-540-90578-2.  Free online edition （页面存档备份，存于）.
* Hodges, Wilfrid.. Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-58713-1.

外部連結
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* Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存档备份，存于）: "Model theory （页面存档备份，存于）"—by Wilfred Hodges.
* PlanetMath: （页面存档备份，存于）的頁面"Signature （页面存档备份，存于）"介紹了此概念，但沒有提到論域的事情。
* Baillie, Jean （页面存档备份，存于）, "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types. （页面存档备份，存于）"

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