在統計學裡，**「Phi相關係數」**（英語：）（符號表示為：\phi  或 {\displaystyle r\_{\phi }}）是測量**兩個二元變數**（英語：）之間相關性的工具，由卡爾·皮爾森所發明 。他也發明了與Phi相關係數有密切關聯的皮爾森卡方檢定（英語：。一般所稱的卡方檢定，若未明指種類，即指此），以及發明了測量兩個連續變數之間相關程度的皮爾森積差相關係數（英語：。一般所稱的相關係數，若未明指種類，即指此）。

**Phi 相關係數**在機器學習的領域又稱為Matthews相關係數（英语：）。

定義
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首先將兩個變數排成2×2列聯表（英语：），注意 1 和 0 的位置必須如同下表，若只變動 X 或只變動 Y 的 0/1 位置，計算出來的Phi相關係數會正負號相反。Phi相關係數的基本概念是：兩個二元變數的觀察值若大多落在2×2列聯表的「主對角線」（英語：：左上－右下線）欄位，亦即若觀察值大多為 {\displaystyle (X,Y)=(1,1),(0,0)} 這兩種組合，則這兩個變數呈正相關。反之，若兩個二元變數的觀察值大多落在「非對角線」（英語：：主對角線以外的位置）欄位，對應於2×2列聯表，亦即若觀察值大多為 {\displaystyle (X,Y)=(0,1),(1,0)} 這兩種組合，則這兩個變數呈負相關。例如我們從兩個隨機二元變數（X, Y）抽樣得出這樣的2×2列聯表：


|  | y = 1 | y = 0 | 總計 |
| --- | --- | --- | --- |
| x = 1 | n\_{{11}} | n\_{{10}} | {\displaystyle n\_{1\bullet }} |
| x = 0 | {\displaystyle n\_{01}} | {\displaystyle n\_{00}} | {\displaystyle n\_{0\bullet }} |
| 總計 | {\displaystyle n\_{\bullet 1}} | {\displaystyle n\_{\bullet 0}} | n |

其中 *n*11, *n*10, *n*01, *n*00都是非負數的欄位計次值，它們加總為 n ，亦即觀察值的個數。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相關係數如下：

{\displaystyle \phi ={\frac {n\_{11}n\_{00}-n\_{10}n\_{01}}{\sqrt {n\_{1\bullet }n\_{0\bullet }n\_{\bullet 0}n\_{\bullet 1}}}}}

實例
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研究者欲觀察性別與慣用手的相關性。**虛無假設是：性別與慣用手無相關性**。觀察對象是隨機抽樣出來的個人，身上有兩個二元變數（性別 X ，慣用手 Y），X 有兩種結果值（男=1／女=0），Y也有兩種結果值（右撇子=1／左撇子=0）。

**觀察兩個二元變數的相關性可以使用Phi相關係數**。假設簡單隨機抽樣100人，得出如下的2×2列聯表：


|  | 男=1 | 女=0 | 總計 |
| --- | --- | --- | --- |
| 右=1 | 43 | 44 | 87 |
| 左=0 | 9 | 4 | 13 |
| 總計 | 52 | 48 | 100 |

本例的Phi相關係數：

{\displaystyle \phi ={(43\times 4-44\times 9) \over {\sqrt {87\times 13\times 48\times 52}}}=-0.133}
本處暫不介紹Phi相關係數的顯著性檢定，僅簡介其詮釋：假設−0.133的相關係數檢定為顯著，在本例對變數 1/0 的指定下，代表身為男性與身為右撇子有輕微的負相關，也就是男性右撇子的比例略低於女性右撇子的比例；或者反過來說，男性左撇子的比例略高於女性左撇子的比例。

與Pearson相關係數的異同
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「Phi相關係數」與「Pearson相關係數」在詮釋上非常類似；事實上，**使用Pearson相關係數來計算兩個二元變數（各輸入成1/0）之間的相關性時，就會得出Phi相關係數** 。

儘管Phi相關係數只是把Pearson相關係數簡化為兩個二元變數的情況，但詮釋這兩種相關係數時仍必須注意其差別。**Pearson相關係數**的值從−1 到 +1，±1 是其兩個端點，指出完全正相關與完全負相關，0則是無相關。**Phi相關係數**的極值則受到兩個變數各別的二元結果比例所影響，當兩個變數的二元結果都是50:50時，Phi值才會從−1 到 +1。

與Pearson卡方統計值的關係
----------------

一個2×2列聯表（英语：）的卡方統計值（\chi ^{2}），與Phi相關係數呈下述關係：

{\displaystyle \phi ^{2}={\frac {\chi ^{2}}{n}}}
其中 n 是觀察值的個數。

亦參見
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* Phi相關係數的網頁版計算器（页面存档备份，存于）（還有許多的基礎統計教材和計算器）。
* 列聯表（英语：）
* Matthews相關係數（英语：）
* Cramér's V（英语：）：類別變數間相關性的另一個測量法。
* Polychoric相關（英语：）：當兩個連續變項被人為地改成二分變項時，求其相關性。其中一種是「四分相關（英语：）」。

註腳
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1. ↑  Cramer, H. 1946. *Mathematical Methods of Statistics*. Princeton: Princeton University Press, p282 (second paragraph). ISBN 0-691-08004-6
2. ↑  Guilford, J. (1936). Psychometric Methods. New York: McGraw–Hill Book Company, Inc.
3. ↑  詳見：Davenport, E. & El-Sanhury, N. (1991). Phi/Phimax: Review and Synthesis. Educational and Psychological Measurement, 51, 821–828.
4. ↑  Everitt B.S. (2002) *The Cambridge Dictionary of Statistics*, CUP. ISBN 0-521-81099-X

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