*图 1：钢的临界应力与細长比，E = 200 GPa，降伏强度 = 240*MPa。
**尤拉临界負载**是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下： 

{\displaystyle P\_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}
其中

{\displaystyle P\_{cr}}, 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载），
E ，柱體材料的杨氏模數，
I ，柱體横截面的最小面积惯性矩，
L, 柱體的无支撑长度，
K ,柱體有效长度係數
这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。*临界負载*是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。

模型假设
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*图 2：尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時，建议增加為如上图所示的係数。*
在推导尤拉公式時所做的假设如下： 

1. 柱體材料均质且具等向性。
2. 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
3. 柱子没有初始应力。
4. 柱子的重量被忽略。
5. 柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。
6. 销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。
7. 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
8. 與弯曲應力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
9. 細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。
10. 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度\sigma \_{y} （见图1）：
{\displaystyle \sigma ={\frac {P\_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L\_{e}/r)^{2}}}<\sigma \_{y}}

其中：

{\textstyle {\frac {L\_{e}}{r}}}, 细长比,
{\displaystyle L\_{e}=KL} ，有效长度，
{\textstyle r={\sqrt {\operatorname {I} \over \operatorname {A} }}} ,迴转半径,
I, 面积惯性矩,
A, 横截面面積。
对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。

数学推导
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### 銷接端點的柱體

以下模型适用于两端為简支承的柱子（ K=1 ）。

首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由体图，并將点 x 的力矩加總：

{\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}
其中 w 是横向變形。

根据尤拉-伯努利樑理论，樑的挠度与其弯矩的關係式为：

{\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} ,
*图 3：挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體*
让{\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} ， 所以：

{\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}
{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}
我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

该方程的通解为： {\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)} ， 這裡的 A 和 {\displaystyle B} 常数由边界条件所定義，它们是：

* 左端點固定{\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}
* 右端點固定{\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}

*图 4：前三种挫曲負载模態*
如果{\displaystyle B=0} ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解{\displaystyle w(x)=0} 。

但是，从其他解 {\displaystyle \sin(\lambda l)=0} 我们得到 {\displaystyle \lambda \_{n}l=n\pi } ， 其中{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

再加上前述的 {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} ，各种临界負载是：

{\displaystyle P\_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}} ， 为了{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
并取决于 n 的值 ，产生不同的挫曲模態 ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，銷端柱的**尤拉临界負载**為：

{\displaystyle P\_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}
得到柱的第一模态挫曲形状为：

{\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)} .
### 通常的做法

*图 5：作用在柱上的力與力矩。*
樑軸向的微分方程：

{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}
对于仅具有轴向負载的柱，横向負载 q(x) 消失，再代入 {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} 可得到：

{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}
这是一个齐次四阶微分方程，其通解为

{\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}
四个常数 {\displaystyle A,B,C,D} 由兩端边界条件所决定的 {\displaystyle w(x)} 來得到。有以下三种情况：

1. 銷接端 (Pinned end)：
{\displaystyle w=0}和{\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}
2. 固定端 (Fixed end)：
{\displaystyle w=0}和{\displaystyle {dw \over dx}=0}
3. 自由端 (Free end)：
{\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}和{\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

參見
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* 挫曲
* 弯矩
* 弯曲 (力學)
* 尤拉-伯努利樑理论

参考資料
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1. ↑ . mechanicalc.com.  [2020-12-27]. （原始内容存档于2022-05-12）.
2. ↑ . Engineering Tutorials. 2015-03-28  [2020-12-27]. （原始内容存档于2021-10-08） （英语）.
3. ↑   (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2015-05-28）.
4. ↑  Timoshenko, S. P.; Gere, J. M.. 1961.

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* 论
* 编
莱昂哈德·欧拉 |
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* 歐拉-泊松-達布方程（英语：）
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* 欧拉-特里科米方程
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* 欧拉临界负载
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