在機率論與統計學中，**共變異數**（英語：）用於衡量随机变量間的相關程度。

兩變數X與Y在3種不同的共變異數情況下的關係

定義
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**定義** —   

設 \Omega  為样本空间， P 是定義在 \Omega  的事件族 \Sigma  上的機率。（換句話說， {\displaystyle (\Omega ,\,\Sigma ,\,P)} 是個機率空間）

若 X 与 Y 是定義在 \Omega  上的兩個实数随机变量， 期望值分别为：

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \_{\Omega }X\,dP=\mu }
{\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\int \_{\Omega }Y\,dP=\nu }
則兩者間的**协方差**定义为：

{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu )(Y-\nu )]}

根據測度積分的線性性質，上面的原始定義可以進一步簡化為：

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\int \_{\Omega }(X-\mu )(Y-\nu )\,dP\\&=\int \_{\Omega }X\cdot Y\,dP-\mu \int \_{\Omega }Y\,dP-\nu \int \_{\Omega }X\,dP+\mu \nu \\&=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu \nu \end{aligned}}}

协方差矩阵
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协方差的定義可以推廣到兩列隨機變數之間

**定義** —   

設 {\displaystyle (\Omega ,\,\Sigma ,\,P)} 是機率空間， {\displaystyle X=\{x\_{i}\}\_{i=1}^{m}} 与 {\displaystyle Y=\{y\_{i}\}\_{j=1}^{n}} 是定義在 \Omega  上的兩列实数随机变量序列（也可視為有序对或行向量）

若二者对应的期望值分别为：

{\displaystyle E(x\_{i})=\int \_{\Omega }x\_{i}\,dP=\mu \_{i}}
{\displaystyle E(y\_{j})=\int \_{\Omega }y\_{j}\,dP=\nu \_{j}}
則这两列隨機变量间的**协方差**定义成一個 m\times n 矩阵

{\displaystyle \operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y):={\left[\,\operatorname {cov} (x\_{i},y\_{j})\,\right]}\_{m\times n}}

以上的定義，以矩形來表示就是：

{\displaystyle \operatorname {\mathbf {cov} } (X,Y):={\begin{bmatrix}\operatorname {cov} (x\_{1},y\_{1})&\dots &\operatorname {cov} (x\_{1},y\_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {cov} (x\_{m},y\_{1})&\dots &\operatorname {cov} (x\_{m},y\_{n})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {E} (x\_{1}y\_{1})-\mu \_{1}\nu \_{1}&\dots &\operatorname {E} (x\_{1}y\_{n})-\mu \_{1}\nu \_{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (x\_{m}y\_{1})-\mu \_{m}\nu \_{1}&\dots &\operatorname {E} (x\_{m}y\_{n})-\mu \_{m}\nu \_{n}\end{bmatrix}}}

性質
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### 統計獨立

**定理** — 若隨機變數 X 和 Y 是相互独立的，則

{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=0}

### 計算性質

如果X与Y是实数随机变量，a与b是常数，那么根据协方差的定义可以得到：

\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)，
\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)，
\operatorname{cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{cov}(X, Y)，
对于随机变量序列X\_{1},\ldots ,X\_{n}与{\displaystyle Y\_{1},\ldots ,Y\_{m}}，有

\operatorname{cov}\left(\sum\_{i=1}^n {X\_i}, \sum\_{j=1}^m{Y\_j}\right) = \sum\_{i=1}^n{\sum\_{j=1}^m{\operatorname{cov}\left(X\_i, Y\_j\right)}}，
对于随机变量序列X\_{1},\ldots ,X\_{n}，有

\operatorname{var}\left(\sum\_{i=1}^n X\_i \right) = \sum\_{i=1}^n \operatorname{var}(X\_i) + 2\sum\_{i,j\,:\,i<j} \operatorname{cov}(X\_i,X\_j)。

相關係數
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条目：皮尔逊积矩相关系数取决于协方差的相关性\eta 

{\displaystyle \eta ={\dfrac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {var} (X)\cdot \operatorname {var} (Y)}}}\ ,}
更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在[-1,1]之间。相关性{\displaystyle \eta =1}时称为"完全线性相关"（相关性{\displaystyle \eta =-1}时称为"完全线性负相关"），此时将Y\_{i}对X\_{i}作Y-X 散点图，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于－1到1之间时，其绝对值越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

相关性为0（因而协方差也为0）的两个随机变量又被称为是不相关的，或者更准确地说叫作"线性无关"、"线性不相关"，这仅仅表明X与Y两随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间一定没有任何内在的（非线性）函数关系，和前面所说的"X、Y二者并不一定是统计独立的"说法一致。

参见
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* 變異數
* 自协方差
* 协方差矩阵
* 协方差函数
* 误差传播

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| * 
* 论
* 编
统计学 |
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| 描述统计学 | 

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| 集中趋势 | 
* 平均数
	+ 平方
	+ 算術
	+ 幾何
	+ 調和
	+ 算术-几何
	+ 几何-调和
	+ 希羅／平均数不等式
* 中位數
* 眾數

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| 离散程度 | 
* 全距
* 变异系数
* 百分位數
* 四分位距
* 四分位数
* 標準差
* 
* 平均差
* 標準分數
* 
* 

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| 分布形态（英语：） | 
* 中心极限定理
* + 偏態
	+ 峰態

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* 次數（英语：）
* · 列聯表（英语：）

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| 推論統計學和假說檢定 | 

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| 推論統計學 | 
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* 區間估計（英语：）
* 显著性差异
* 元分析
* 

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| 实验设计 | 
* 
* 抽樣
* 重抽样
	+ 刀切法
	+ 自助法
	+ 交叉驗證
* 重复（英语：）
* 阻碍
* 靈敏度和特異度
* 區集（英语：）
* 缺失数据

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| 样本量（英语：） | 
* 標準誤
* 
* 
* 
* 
* 效应值

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| 常规估计 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 
* 最小距離估計（英语：）
* 估计
* 最大间距

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* Z檢驗
* 
* F檢定
* 卡方检验
* Wald檢定（英语：）
* 曼-惠特尼檢定（英语：）
* 秩和检验

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| 生存分析 | 
* 生存函数
* 乘積極限估計量
* 對數秩和檢定
* 失效率
* 危險比例模式

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| 相關及迴歸分析 | 

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| 相关性 | 
* 干擾因素
* 積相關係數
* 等級相關（英语：） (斯皮尔曼等级相关系数
* 肯德等級相關係數（英语：）)
* 自由度
* 误差和残差

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| 線性回歸 | 
* 線性模型（英语：）
* 一般线性模型
* 廣義線性模型
* 简单线性回归
* 普通最小二乘法
* 贝叶斯回归（英语：）
* 分析
* 分析（英语：）

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| 非线性回归 | 
* 非参数回归模型（英语：）
* 半参数回归模型（英语：）
* 邏輯斯諦迴歸

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| 统计图形 | 
* 
* 
* 双标图
* 箱形圖
* 管制圖
* 森林圖（英语：）
* 
* 分位圖
* 趋势图
* 
* 莖葉圖
* 雷达图（英语：）
* 示意地圖

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| 其他 | 
* 统计类型（維基數據所列：）
* 回應過程效度
* 統計誤用

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* 分类**分类**
* 主题**主题**
* 共享资源页面**共享资源**
* 专题 **专题**

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