在特殊函数中，**合流超几何函数**（**confluent hypergeometric function**）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

* **Kummer 函数**（**第一类合流超几何函数**）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；
* **Tricomi 函数**（**第二类合流超几何函数**）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)；
* **惠泰克函数** 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关；

Kummer 方程
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根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为：

{\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w}.
展开后就得到 Kummer 方程，

{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0},
它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

{\displaystyle M(a,b,z)=\,{}\_{1}F\_{1}(a;b;z)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(a;c;z)=\lim \_{b\rightarrow \infty }\,{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}
高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

{\displaystyle z^{1-c}\,\_{2}F\_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

{\displaystyle z^{1-b}\,\_{1}F\_{1}(1+a-b;2-b;z)}
但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}
它与另一个广义超几何函数有下列关系：

{\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}\_{2}F\_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}
但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。

{\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}\_{2}F\_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}
Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

### 可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

{\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}
它的解为，

{\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k\_{1}M(a,C,z)+k\_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k\_{1},k\_{2}\in \mathbb {C} }
### 李代数参数与惠泰克方程

Kummer 方程的李代数参数定义为

{\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}
其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

{\displaystyle F\_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F\_{-\alpha ,\theta }(z)}
惠泰克方程的形式为：

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}
它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系：

{\displaystyle M\_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
{\displaystyle W\_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
注意到

{\displaystyle M\_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F\_{2\mu ,-2\kappa }(z)}
故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

积分表示
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合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int \_{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int \_{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示：

{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}\_{1}F\_{1}(a;c;z)=\int \_{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}
第二类合流超几何函数的积分表示为：

{\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int \_{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}

变换公式
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高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

{\displaystyle {}\_{2}F\_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}\_{2}F\_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式：

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}\_{1}F\_{1}(c-a;c;-z)}
第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为：

{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}.

特殊情形
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很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

### 柱函数

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为：

{\displaystyle I\_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
{\displaystyle K\_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
### Γ, 误差函数

不完全伽玛函数可以表示为：

{\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} \_{0}^{-}}
{\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}
误差函数可以表示为：

{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}
### 正交多项式及相关函数

拉盖尔函数可以表示为：

{\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}
其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为：

{\displaystyle H\_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} \_{0}^{+},\Re (z)>0}

注
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1. 1 2  关于李代数参数，详见超几何函数

参考文献
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8  吴崇试.. . 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.
2. 1 2 3  Daalhuis, Adri B. Olde, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
3. 1 2 3 4  Dereziński, Jan.. arXiv:1305.3113 可免费查阅.

* Chistova, E.A. Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G.. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756.
* Kummer, Ernst Eduard.. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1837, **17**: 228–242  [2014-09-05]. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1837.17.228. （原始内容存档于2014-08-19） （拉丁语）.
* Slater, Lucy Joan.. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026.
* Tricomi, Francesco G.. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, **26**: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 （意大利语）.
* Tricomi, Francesco G.. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche **1**. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 （意大利语）.

外部链接
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* Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数（页面存档备份，存于）
* Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数（页面存档备份，存于）