本文考虑微分几何中的拉回操作，特别是光滑流形上微分形式与张量场。关于"拉回"在数学中其他含义，参见拉回。
在微分几何中，**拉回**是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 *φ*:*M*→ *N* 是从光滑流形 *M* 到 *N* 的光滑映射；那么伴随有一个从 *N* 上 1- 形式（余切丛的截面）到 *M* 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 *φ* **拉回**，经常记作 *φ*\*。更一般地，任何 *N* 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 *φ* 拉回到 *M* 上。

当映射 *φ* 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 *N* 上的张量场变换到 *M*，或者相反。特别地，如果 *φ*是 **R**n 的开集与 **R**n 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 *M* 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射
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设 φ:*M*→ *N* 是光滑流形 *M* 与 *N* 之间的光滑映射，假设 *f*:*N*→**R** 是 *N* 上一个光滑函数。则 *f* 通过 φ 的拉回是 *M* 上的光滑函数 φ\**f*，定义为
(φ\**f*)(*x*) = *f*(φ(*x*))。类似地，如果 *f* 是 *N* 中开集 *U* 上的光滑函数，则相同的公式定义了 *M* 中开集 *φ*-1(*U*) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 *N* 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 *M* 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 *f*:*N*→*A* 是从 *N* 到任意其他流形 *A* 的光滑映射，则φ\**f*(*x*)=*f*(φ(*x*)) 是从 *M* 到 *A* 的一个光滑映射。

丛与截面
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如果 *E* 是 *N* 上一个向量丛（或任意纤维丛），*φ*:*M*→*N* 是光滑映射，那么**拉回丛** *φ*\**E* 是 *M* 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 *M* 中的点 *x* 处的纤维由 (*φ*\**E*)*x* = *E**φ*(*x*) 给出。

在此情形，前复合定义了 *E* 上截面的一个变换：如果 *s* 是 *N* 上 *E* 的一个截面，那么**拉回截面** \varphi^\*s=s\circ\varphi 是 *M* 上拉回丛 *φ*\**E* 的一个截面。

多重线性形式
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设 Φ:*V*→ *W* 是向量空间 *V* 与 *W* 之间的一个线性映射（即，Φ 是 *L*(*V*,*W*) 中的元素，也记成 Hom(*V*,*W*)），设

F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}
是 *W* 上一个多重线性形式（也称为 (0,*s*) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 *s* 是乘积中 *W* 的因子的个数）。则 *F* 由 Φ 的拉回 Φ\**F* 是一个 *V* 上的多重线性形式，定义为 *F* 与 Φ 的前复合。准确地，给定 *V* 中向量 *v*1,*v*2,...*v**s*， Φ\**F* 由公式定义

(\Phi^\*F)(v\_1,v\_2,\ldots,v\_s) = F(\Phi(v\_1), \Phi(v\_2), \ldots ,\Phi(v\_s)),
这是 *V* 上一个多重线性形式。从而 Φ\* 是一个从 *W* 上的多重线性形式到 *V* 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 *F* 是 *W* 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 *F* 是 *W* 的对偶空间 *W*\* 中一个元素，则 Φ\**F* 是 *V*\* 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反：

\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^\*\colon W^\*\rightarrow V^\*.
从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 *W* 上取值于 *r* 个 *W* 的张量积  W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从
 V\otimes V\otimes\cdots\otimes V 到  W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的前推算子，定义为

\Phi\_\*(v\_1\otimes v\_2\otimes\cdots\otimes v\_r)=\Phi(v\_1)\otimes \Phi(v\_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v\_r).
然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函数 Φ-1 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 (*r*,*s*) 阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式
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设 *φ* : *M* → *N* 是光滑流形间的光滑映射。那么 *φ* 的前推：*φ*\* = d*φ* （或 *Dφ*），是从 *M* 的切丛 *TM* 到拉回丛 *φ*\**TN* 的（在 *M* 上）向量丛同态。从而 *φ*\* 的转置是从 *φ*\**T*\**N* 到 *M* 的余切丛 *T*\**M* 的丛映射。

现在假设 *α* 是 *T*\**N* 的一个截面（*N* 上一个 1-形式），将 *α* 与 *φ* 前复合得到 *φ*\**T*\**N* 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 *α* 由 *φ* 的**拉回**，是 *M* 上一个 1-形式，定义为：

 (\varphi^\*\alpha)\_x(X) = \alpha\_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi\_x(X))
对 *x* 属于 *M* 与 *X* 属于 *T**x**M*。

（共变）张量场
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对任何自然数 *s*，上述构造马上可推广到 (0,*s*) 阶张量丛上。流形 *N* 上 (0,*s*) 张量场 是 *N* 上张量丛的一个截面，在 *N* 中 *y* 点的截面是多重线性 *s*-形式空间

 F\colon T\_y N\times\cdots \times T\_y N\to \R.
取 Φ 等于从 *M* 到 *N* 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 *M* 上 (0,*s*) 张量场的拉回。更确切地，如果 *S* 是 *N* 上一个 (0,*s*)-张量场，那么 *S* 由 *φ* 的**拉回** 是 *M* 上 (0,*s*)-张量场 *φ*\**S*，定义为

 (\varphi^\*S)\_x(X\_1,\ldots, X\_s) = S\_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi\_x(X\_1),\ldots \mathrm d\varphi\_x(X\_s))\ ,
对 *x* 属于 *M* 与 *X**j* 属于 *T**x**M*。

微分形式
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共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 *k*-形式，即 *TN*（逐点）反交换 *k*-形式组成的外丛 Λ*k**T*\**N* 的一个截面，则 α 的拉回是 *M* 上一个微分 *k*-形式，定义与上一节相同：

 (\varphi^\*\alpha)\_x(X\_1,\ldots, X\_k) = \alpha\_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi\_x(X\_1),\ldots \mathrm d\varphi\_x(X\_k))\ ,
对 *x* 属于 *M* 与 *X**j* 属于 *T**x**M*。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对 *N* 上的微分形式 α 与 β，

\varphi^\*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^\*\alpha \wedge \varphi^\*\beta\ .
2. 和外导数 d 相容：如果 α 是 *N* 上一个微分形式，则

\varphi^\*(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^\*\alpha)\ .

由微分同胚拉回
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当流形之间的映射 *φ* 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

\Phi=\mathrm d\varphi\_x\in GL(T\_xM,T\_{\varphi(x)}N)
可逆，给出

\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi\_x}^{-1} \in GL(T\_{\varphi(x)}N, T\_xM).
一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 *TN* 与 *T\*N* 两部分，分别用 Φ 与 Φ-1 变换。当 *M* = *N* 时，则拉回和前推刻画了流形 *M* 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回
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上一节的构造有一个代表性特例，若 *φ* 是流形 *M* 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 d*φ* 是 *GL*(*TM*,*φ*\**TM*) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 *GL*(*m*) (*m* = dim *M*) 相配于 *M* 的标架丛 *GL*(*M*) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数
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更多：李导数
将上述想法应用到由向量场 *M* 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

联络（共变导数）
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如果 \nabla  是 *N* 上向量丛 *E* 的联络（或共变导数），*φ* 是从 *M* 到 *N* 的光滑映射，那么在 *M* 上的向量丛 *φ*\**E* 上有**拉回联络** \varphi^\*\nabla，由等式

(\varphi^\*\nabla)\_X(\varphi^\*s) = \varphi^\*(\nabla\_{\mathrm d\varphi(X)} s)
惟一确定。

另见
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* 前推 (微分)
* 拉回丛
* 拉回 (范畴论)

参考文献
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* Jurgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 *See sections 1.5 and 1.6*.
* Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, *Foundations of Mechanics*, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X *See section 1.7 and 2.3*.
* B. A. Dubrovin, et al. *Modern Geometry Methods and Applications*(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp. ISBN 7-5062-0123-2 *See section 22*.