莱昂哈德·欧拉
**歐拉運動定律**（）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體內任意部分的平移運動與旋轉運動。

剛體
--

### 歐拉第一運動定律

歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。歐拉第一定律以方程式表達為

{\mathbf {F}}^{{(ext)}}=m{\mathbf {a}}\_{{cm}} ；
其中，{\mathbf {F}}^{{(ext)}} 是剛體感受到的淨外力，m 、{\mathbf {a}}\_{{cm}} 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

#### 導引

思考由 n 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 {\mathbf {r}}\_{{cm}} 為

{\mathbf {r}}\_{{cm}}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum \_{{i=1}}^{n}m\_{i}{\mathbf {r}}\_{i}}{m}} ;
其中，m\_{i} 、{\mathbf {r}}\_{i} 分別為第 i 個粒子的質量、位置，m=\sum \_{{i=1}}^{n}m\_{i} 是系統的質量。

質心速度 {\mathbf {v}}\_{{cm}} 為

{\mathbf {v}}\_{{cm}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {r}}\_{{cm}}}{{\mathrm {d}}t}}={\cfrac {\sum \_{{i=1}}^{n}m\_{i}{\mathbf {v}}\_{i}}{m}} ；
其中，{\mathbf {v}}\_{i}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {r}}\_{{i}}}{{\mathrm {d}}t}} 是第 i 個粒子的速度。

質心加速度 {\mathbf {a}}\_{{cm}} 為

{\mathbf {a}}\_{{cm}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {v}}\_{{cm}}}{{\mathrm {d}}t}}={\cfrac {\sum \_{{i=1}}^{n}m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i}}{m}} ；
其中，{\mathbf {a}}\_{i}={\frac {{\mathrm {d^{2}}}{\mathbf {r}}\_{{i}}}{{\mathrm {d}}t^{2}}} 是第 i 個粒子的加速度。

第 i 個粒子感受到的力 \mathbf{F}\_{i} 為

{\mathbf {F}}\_{{i}}={\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}+\sum \_{{j=1,j\neq i}}^{n}{\mathbf {F}}\_{{ji}} ；
其中，{\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}} 是這粒子感受到的外力，{\mathbf {F}}\_{{ji}} 是第 j 個粒子施加於第 i 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 \mathbf {F}  是所有粒子感受到的力的向量和：

{\mathbf {F}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {F}}\_{{i}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}+\sum \_{{i=1}}^{n}\sum \_{{j=1,j\neq i}}^{n}{\mathbf {F}}\_{{ji}} 。
根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為

{\mathbf {F}}\_{{ji}}=-{\mathbf {F}}\_{{ji}} 。
所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力 {\mathbf {F}}^{{(ext)}} ）：

{\mathbf {F}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}={\mathbf {F}}^{{(ext)}} 。
根據牛頓第二定律，第 i 個粒子感受到的力 \mathbf{F}\_{i} 與這粒子的加速度之間的關係為

{\mathbf {F}}\_{{i}}=m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i} 。
總和所有粒子所感受到的力，

{\mathbf {F}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {F}}\_{{i}}=\sum \_{{i=1}}m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i}=m{\mathbf {a}}\_{{cm}} 。
所以，淨外力 {\mathbf {F}}^{{(ext)}} 與質心加速度的關係為

{\mathbf {F}}^{{(ext)}}=m{\mathbf {a}}\_{{cm}} 。
#### 動量守恆定律

多粒子系統的動量 \mathbf{p} 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：

{\mathbf {p}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {p}}\_{i}=\sum \_{{i=1}}^{n}m\_{i}{\mathbf {v}}\_{i}=m{\mathbf {v}}\_{{cm}} ；
其中，{\mathbf {p}}\_{i} 是第 i 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為

{\mathbf {F}}^{{(ext)}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}}{{\mathrm {d}}t}} 。
假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

### 歐拉第二運動定律

歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}^{{(ext)}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{O}}{{\mathrm {d}}t}} ；
其中，{\boldsymbol {\tau }}\_{O}^{{(ext)}} 是對於點O淨外力矩，{\mathbf {L}}\_{O} 是對於點O的角動量。

#### 導引

思考由 n 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 i 個粒子的角動量 {\mathbf {L}}\_{i} 為

{\mathbf {L}}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {p}}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {v}}\_{i} 。
{\mathbf {L}}\_{i} 對於時間的導數為

{\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{i}}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}({\mathbf {r}}\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {v}}\_{i})}{{\mathrm {d}}t}}={\mathbf {v}}\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {v}}\_{i}+{\mathbf {r}}\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i} 。
根據牛頓第二定律，施加於第 i 個粒子的力 \mathbf{F}\_{i} 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以，{\mathbf {L}}\_{i} 對於時間的導數為

{\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{i}}{{\mathrm {d}}t}}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i} 。
第 i 個粒子所感受到的淨力矩 {\boldsymbol {\tau }}\_{i} 為 {\boldsymbol {\tau }}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i} 。所以，{\boldsymbol {\tau }}\_{i} 與 {\mathbf {L}}\_{i} 的關係為

{\boldsymbol {\tau }}\_{i}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{i}}{{\mathrm {d}}t}} 。
總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 {\boldsymbol {\tau }}\_{O} 與其角動量 {\mathbf {L}}\_{O} 的關係為

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\boldsymbol {\tau }}\_{i}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {L}}\_{i}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{O}}{{\mathrm {d}}t}} 。
第 i 個粒子所感受到的淨力 {\mathbf {F}}\_{i} 為

{\mathbf {F}}\_{i}={\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}+\sum \_{{j=1,j\neq i}}^{n}{\mathbf {F}}\_{{ji}} 。
第 i 個粒子所感受到的淨力矩 {\boldsymbol {\tau }}\_{i} 為

{\boldsymbol {\tau }}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}+\sum \_{{j=1,j\neq i}}^{n}{\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}} 。
物體感受到的淨力矩 {\boldsymbol {\tau }}\_{O} 為：

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\boldsymbol {\tau }}\_{i}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}+\sum \_{{i=1}}^{n}\sum \_{{j=1,j\neq i}}^{n}{\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}} 。
應用牛頓第三定律，

{\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}}+{\mathbf {r}}\_{j}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}}={\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}}-{\mathbf {r}}\_{j}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}}=({\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j})\times {\mathbf {F}}\_{{ji}}={\mathbf {r}}\_{{ij}}\times {\mathbf {F}}\_{{ji}} ；
其中，{\mathbf {r}}\_{{ij}}={\mathbf {r}}\_{i}-{\mathbf {r}}\_{j} 是從粒子 {\mathbf {r}}\_{j} 到粒子 {\mathbf {r}}\_{i} 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速，則{\mathbf {r}}\_{{ij}} 與 {\mathbf {F}}\_{{ji}} 同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 {\boldsymbol {\tau }}\_{O}^{{(ext)}} ：

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}\_{i}\times {\mathbf {F}}\_{i}^{{(ext)}}={\boldsymbol {\tau }}\_{O}^{{(ext)}} 。
這樣，可以得到歐拉第二定律方程式

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}^{{(ext)}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{O}}{{\mathrm {d}}t}} 。
假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

#### 相對於質心的歐拉第二運動定律

所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\boldsymbol {\tau }}\_{i}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}\_{i}\times (m\_{i}{\mathbf {a}}\_{i})=\sum \_{{i=1}}^{n}({\mathbf {r}}\_{{cm}}+{\mathbf {r}}'\_{i})\times (m\_{i}({\mathbf {a}}\_{{cm}}+{\mathbf {a}}'\_{i})) ；
其中，{\mathbf {r}}'\_{{i}}={\mathbf {r}}\_{{i}}-{\mathbf {r}}\_{{cm}} 、{\mathbf {a}}'\_{{i}}={\mathbf {a}}\_{{i}}-{\mathbf {a}}\_{{cm}} 分別是第 i 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以，

{\boldsymbol {\tau }}\_{O}={\mathbf {r}}\_{{cm}}\times m{\mathbf {a}}\_{{cm}}+\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}'\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {a}}'\_{i} 。
現在，假設將質心設定為參考點，則 {\mathbf {r}}\_{{cm}}=0 ，方程式變為

{\boldsymbol {\tau }}\_{{cm}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}'\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {a}}'\_{i} 。
以質心為參考點，角動量 {\mathbf {L}}\_{{cm}} 為

{\mathbf {L}}\_{{cm}}=\sum \_{{i=1}}^{n}{\mathbf {r}}'\_{i}\times m\_{i}{\mathbf {v}}'\_{i} 。
所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：

{\boldsymbol {\tau }}\_{{cm}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}\_{{cm}}}{{\mathrm {d}}t}} 。

可變形體
----

在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。

在塑性力学（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力（），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力（）。這樣，施加於連續物體的淨力 {\mathbf {F}} 分為淨徹體力 {\mathbf {F}}\_{b} 、淨接觸力 {\mathbf {F}}\_{t} ：

{\mathbf {F}}\_{b}=\int \_{{\mathbb {V}}}{\mathbf {b}}\,{\mathrm {d}}m=\int \_{{\mathbb {V}}}\rho {\mathbf {b}}\,{\mathrm {d}}V 、
{\mathbf {F}}\_{t}=\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathbf {t}}\,{\mathrm {d}}S ；
其中，\mathbf {b}  是徹體力場（量綱為力每單位質量），{\mathrm {d}}m 是微小質量元素，\rho  是質量密度，\mathrm{d}V 是微小體元素，\mathbb{V} 是積分體區域，{\mathbf {t}} 是表面曳力（）密度，{\mathrm {d}}S 是微小面元素，\mathbb {S}  是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩 \mathbf {L}  分為淨徹體力矩 {\mathbf {L}}\_{b} 、淨接觸力矩 {\mathbf {L}}\_{t} ：

{\mathbf {L}}\_{b}=\int \_{{\mathbb {V}}}{\mathbf {r}}\times \rho {\mathbf {b}}\,{\mathrm {d}}V 、
{\mathbf {L}}\_{t}=\int \_{{\mathbb {S}}}{\mathbf {r}}\times {\mathbf {t}}\,{\mathrm {d}}S ；
其中，\mathbf {r}  是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：

{\mathbf {F}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}}{{\mathrm {d}}t}} 。
也就是說，

\int \_{{\mathbb {V}}}\rho {\mathbf {b}}\,{\mathrm {d}}V+\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathbf {t}}\,{\mathrm {d}}S={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}\rho {\mathbf {v}}\,{\mathrm {d}}V ；
其中，\mathbf {v}  是微小體元素的速度。

歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}}{{\mathrm {d}}t}} 。
也就是說，

\int \_{{\mathbb {V}}}{\mathbf {r}}\times \rho {\mathbf {b}}\,{\mathrm {d}}V+\int \_{{\mathbb {S}}}{\mathbf {r}}\times {\mathbf {t}}\,{\mathrm {d}}S={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}{\mathbf {r}}\times \rho {\mathbf {v}}\,{\mathrm {d}}V 。

參閱
--

* 歐拉方程 (剛體運動)
* 歐拉旋轉定理

參考文獻
----

1. ↑  Beatty, Millard F.. Springer. 2006: pp. 405. ISBN 0387237046.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Bradley, Robert E. Sandifer, Charles.. Elsevier. 2007: pp. 196. ISBN 9780444527288.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ↑  Rao, Anil Vithala.. Cambridge University Press. 2006: 355. ISBN 978-0-521-85811-3.
4. ↑  Lubliner, Jacob.  (PDF). Dover Publications. 2008: pp. 27–28. ISBN 0486462900. （原始内容 (PDF)存档于2010-03-31）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)