在数学中，**有限域**（英語：）或**伽罗瓦域**（英語：，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 *p* 为素数时，整数对 *p* 取模。

有限域的元素个数称为它的**阶**。

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。

定理
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* 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
* 对于每个素数*p*和每个正整数*n*在同构的意义下存在惟一的p^{n}阶的有限域，并且所有元素都是方程 x^{{p^{n}}}-x=0 的根，该域的特征为*p*。
* 有限域的乘法群是循环群。即若*F*是有限體，则存在\alpha \in F使得F^{\*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle 。
* 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
* 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

存在性與唯一性
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設 *q* = *pn* 為質數冪， *F* 為多項式

{\displaystyle P=X^{q}-X}
於質數域 GF(*p*) 上的分裂域。換言之， *F* 是最低階的有限域，使得 *P* 在 *F* 內有 *q* 個互異的根（注意 *P* 的形式導數（英语：）為 {\displaystyle -1\neq 0} ，因此 *P* 無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式

{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}
在特徵為 *p* 的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 *P* 任兩根之和或積仍為 *P* 的根。同時， *P* 的根的乘法逆元仍是根，因此 *P* 的根構成一個 *q* 階的域。由 *F* 的最小性，可知此域即為 *F*。

由於分裂域在同構意義下唯一， *q* 階域也在同構意義下唯一（已證其為 {\displaystyle P=X^{q}-X} 的分裂域）。而且，若域 F 有一個階為 {\displaystyle q=p^{k}} 的子域，則其元素恰為 {\displaystyle X^{q}-X} 的 q 個根，所以 F 不能包含另一個階為 q 的子域。

E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：

*有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪* *q,* *都存在* *q* *階的域，並且任意兩個*  *q*  *階的域都同構。該些域中，任意的元素* *x* *都滿足*
{\displaystyle x^{q}=x,}
*且多項式* *Xq* − *X* *可分解成*
{\displaystyle X^{q}-X=\prod \_{a\in F}(X-a).}
由此可知，GF(*pn*) 有同構於 GF(*pm*) 的子域當且僅當 *m* 整除 *n*；該情況下，僅有唯一的子域與 GF(*pm*) 同構。多項式 *Xpm* − *X* 整除 *Xpn* − *X* 也是當且僅當 *m* 整除 *n.*

弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論
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設 *p* 為質數， *q* = *p**n* 為質數冪。

在 GF(*q*) 中，恆等式 (*x* + *y*)*p* = *xp* + *yp* 說明映射

{\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}
是 GF(*q*) 上 GF(*p*)-線性的域自同構，其保持子域 GF(*p*) 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構，得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

記 *φk* 為 *φ* 的 *k* 次疊代，則

{\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}
此前已證明 *φn* 為恆同映射。若 0 < *k* < *n*, 則自同構 *φk* 並非恆同映射，否則多項式

{\displaystyle X^{p^{k}}-X}
就有多於 *pk* 個根，矛盾。

此外 GF(*q*) 並無其他 GF(*p*)-自同構。換言之，GF(*pn*) 恰有 *n* 個 GF(*p*)-自同構，其為 

{\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}
以伽羅瓦理論觀之， GF(*pn*) 是 GF(*p*) 的伽羅瓦擴展，且其伽羅瓦群為循環群。

弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是完美域（英语：）。

一些小型的有限域
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**F**2:

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| + | 0 | 1 |
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| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 | 

| · | 0 | 1 |
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| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

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**F**3:

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| + | 0 | 1 | 2 |
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| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

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| · | 0 | 1 | 2 |
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| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |

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**F**4: 考虑{\displaystyle x^{2}+x+1=0,} 方程的根不在**F**2中。記其中一根為*A*, 則{\displaystyle A^{2}+A+1=0,}且另一根為
{\displaystyle B=A^{2}.}

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| + | 0 | 1 | *A* | *B* |
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| 0 | 0 | 1 | *A* | *B* |
| 1 | 1 | 0 | *B* | *A* |
| *A* | *A* | *B* | 0 | 1 |
| *B* | *B* | *A* | 1 | 0 |

 | 

| · | 0 | 1 | *A* | *B* |
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| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | *A* | *B* |
| *A* | 0 | *A* | *B* | 1 |
| *B* | 0 | *B* | 1 | *A* |

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参考文献
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1. ↑  Moore, E. H. E. H. Moore; et al (编), Macmillan & Co.: 208–242, 1896

* 《近世代数》

参见
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* 域论

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| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
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| 群论 | 

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