**光滑數**（），或译**脆数**，是一個可以因數分解為小質數乘積的正整數。光滑數一詞是是伦纳德·阿德曼所提出。光滑數在以因數分解為基礎的密码学中扮演重要角色。

定義
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若一正整數的質因數均不大於B，此整數即為B-光滑數。例如1620的因數分解為22 × 34 × 5，質因數均不大於5，因此1620是5-光滑數。

10和12的因數分解分別為2 × 5和22 × 3，二者質因數也都不大於5，因此二者均是是5-光滑數，雖然其質因數未包括不大於5的所有質數，但仍然可以是5-光滑數。

5-光滑數常稱為正規數或漢明數（Hamming numbers）。7-光滑數有時會稱為「謙虛數」或「高合成數」，不過後者會和以因數個數來定義的高合成數混淆。

B-光滑數的B不一定要是質數，例如上述舉例的10和12不但是5-光滑數，也是6-光滑數（質因數都不大於6）。一般而言會選擇B為質數的B-光滑數，但B也可以是合數。一正整數為B-光滑數若且唯若正整數為p-光滑數，且p是小於等於B的最大質數。

應用
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有些快速傅里叶变换演算法中會用到光滑數，例如库利－图基快速傅里叶变换算法會將問題一直分解為較小的問題，其大小為原問題大小的因數，若原問題大小是*B*原問題大小，原問題可以分解為許多很小的問題，此情形有有快速的演算法，若大小是較大的質數，就要應用像是Chirp-Z 轉換之類效率較差的演算法。

5-光滑數〈或稱為正規數〉在巴比倫數學中有重要的角色，在音樂理論中也很重要。有一個函數程式語言的問題就是要產生正規數。

密码学中也有應用光滑數。雖然大部份的密码学都會用到密码分析（已知最快的因數分解演算法），但VSH（英语：）雜湊函數利用光滑數來取得可证安全加密散列函数（英语：）。

分佈
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令\scriptstyle \Psi (x,y)表示小於等於*x*的*y*-光滑數的個數（de Bruijn函數）。

若*B*為定值且數值很小，可以用下式估計\scriptstyle \Psi (x,B):

\Psi (x,B)\sim {\frac {1}{\pi (B)!}}\prod \_{{p\leq B}}{\frac {\log x}{\log p}}.
其中\scriptstyle {\pi (B)}為小於等於\scriptstyle B的質數個數。

否則，定義參數*u*= log *x* / log *y*：因此，*x* = *y**u*，則：

\Psi (x,y)=x\cdot \rho (u)+O\left({\frac {x}{\log y}}\right)
其中\scriptstyle \rho (u)為Dickman函數（英语：）。

幂次光滑數
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若所有可以整除*m*的質數幂次 \scriptstyle p\_{i}^{{n\_{i}}}滿足以下方程，則*m*為*B*-幂次光滑數：

p\_{i}^{{n\_{i}}}\leq B.\,
例如，243251為5-光滑數，但不是5-幂次光滑數。因為其最大的質數幂次為24，該數為16-幂次光滑數，也是17-幂次光滑數，18-幂次光滑數……。

數論中有用到*B*-光滑數及*B*-幂次光滑數。例如波拉德p-1演算法（英语：），這類演算法一般會應用在光滑數中，但不會特別標示光滑數的*B*是多少。此時的*B*需是一個較小的整數，若*B*增加，演算法的效率就會迅速的變差。例如計算離散對數的Pohlig–Hellman演算法（英语：）的時間複雜度是O(*B*1/2)。

相關條目
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* 粗糙數
* Størmer定理（英语：）
* 高合成數

參考資料
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1. ↑  Gérald Tenenbaum.. 高等教育出版社. 2011年1月. ISBN 9787040294675.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
2. ↑  M. E. Hellman, J. M. Reyneri, "Fast computation of discrete logarithms in GF (q)", in *Advances in Cryptology: Proceedings of CRYPTO '82* (eds. D. Chaum, R. Rivest, A. Sherman), New York: Plenum Press, 1983, p. 3–13, online quote （页面存档备份，存于） at Google Scholar: "Adleman refers to integers which factor completely into small primes as "smooth" numbers."
3. ↑  OEIS Search
4. ↑  Aaboe, Asger, Journal of Cuneiform Studies, 1965, **19** (3): 79–86, doi:10.2307/1359089, MR0191779 .
5. ↑  Longuet-Higgins, H. C. Music Review, 1962, (August): 244–248 .
6. ↑  Dijkstra, Edsger W.  (PDF), 1981  [2013-01-15], Report EWD792. Originally a privately-circulated handwitten note, （原始内容存档 (PDF)于2019-04-04） .
7. ↑  David Naccache, Igor Shparlinski, Divisibility, Smoothness and Cryptographic Applications （页面存档备份，存于）

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

整數數列線上大全（OEIS）中有包括以下B較小的B-光滑數：

* 2-光滑數：A000079 (2*i*)
* 3-光滑數：A003586 (2*i*3*j*)
* 5-光滑數：A051037 (2*i*3*j*5*k*)
* 7-光滑數：A002473 (2*i*3*j*5*k*7*l*)
* 11-光滑數：A051038
* 13-光滑數：A080197
* 17-光滑數：A080681
* 19-光滑數：A080682
* 23-光滑數：A080683


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* 编
和因數有關的整數分類 |
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