假設z'-軸平行於質心軸，則剛體對於z'-軸的轉動慣量可以從鋼體對於質心軸的轉動慣量計算出來。
面積慣性矩的平行軸定理
**平行軸定理**（英語：**parallel axis theorem**）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 {\displaystyle I\_{C}\,\!} 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、{\displaystyle M\,\!} 代表剛體的質量、{\displaystyle d\,\!} 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是

{\displaystyle I\_{z'}=I\_{C}+Md^{2}\,\!} 。
平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於截面二次軸矩（面積慣性矩）：

{\displaystyle I\_{z}=I\_{x}+Ad^{2}\,\!} ；
這裏，{\displaystyle I\_{z}\,\!} 是對於 z-軸的面積慣性矩、{\displaystyle I\_{x}\,\!} 是對於平面質心軸的面積慣性矩、{\displaystyle A\,\!} 是面積、{\displaystyle d\,\!} 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納 () 而命名，**史丹納定理**所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論
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平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} 是

{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I\_{xx}&I\_{xy}&I\_{xz}\\I\_{yx}&I\_{yy}&I\_{yz}\\I\_{zx}&I\_{zy}&I\_{zz}\end{bmatrix}}\,\!} 。
這裏，對角元素 {\displaystyle I\_{xx}\,\!} 、{\displaystyle I\_{yy}\,\!} 、{\displaystyle I\_{zz}\,\!} 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的**慣性矩**。設定 {\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!} 為微小質量 {\displaystyle dm\,\!} 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為

{\displaystyle I\_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+z^{2}\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+y^{2}\ dm\,\!} 。
而非對角元素，稱為**慣性積**, 可以定義為

{\displaystyle I\_{xy}=I\_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{xz}=I\_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{yz}=I\_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!} 。
假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 {\displaystyle \mathbf {I} \_{G}\,\!} ，質心 G 的位置是 {\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!} ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} ，依照平行軸定理，可以表述為

{\displaystyle I\_{xx}=I\_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!} ，
{\displaystyle I\_{yy}=I\_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!} ，
{\displaystyle I\_{zz}=I\_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!} ，
{\displaystyle I\_{xy}=I\_{yx}=I\_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!} ，
{\displaystyle I\_{xz}=I\_{zx}=I\_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!} ，
{\displaystyle I\_{yz}=I\_{zy}=I\_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!} 。
證明：

慣性張量的平行軸定理
a) 參考右圖 ，讓 {\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!} 、{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!} 分別為微小質量 {\displaystyle dm\,\!} 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!} ，{\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!} 。
依照慣性張量的慣性矩定義方程式，

{\displaystyle I\_{G,xx}=\int \ y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2}\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{xx}=\int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!} 。
所以，

{\displaystyle {\begin{aligned}I\_{xx}&=\int \ (y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}\ dm\\&=I\_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得 {\displaystyle I\_{yy}\,\!} 、{\displaystyle I\_{zz}\,\!} 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，

{\displaystyle I\_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!} ，
{\displaystyle I\_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!} 。
因為 {\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!} ，{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!} ，所以

{\displaystyle {\begin{aligned}I\_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I\_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例
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實心長方體：a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。
思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

{\displaystyle I\_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!}
如圖右，質心 G 的位置是 {\displaystyle \left({\frac {d}{2}},\ {\frac {w}{2}},\ {\frac {h}{2}}\right)\,\!} 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

{\displaystyle I\_{xx}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、
{\displaystyle I\_{yy}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、
{\displaystyle I\_{zz}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、
{\displaystyle I\_{xy}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mwd}{4}}\,\!} 、
{\displaystyle I\_{xz}=-m\left({\frac {h}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mhd}{4}}\,\!} 、
{\displaystyle I\_{yz}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {h}{2}}\right)=-{\frac {mwh}{4}}\,\!} 。
因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

{\displaystyle I\_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}m(w^{2}+h^{2})&-{\frac {1}{4}}mwd&-{\frac {1}{4}}mhd\\-{\frac {1}{4}}mwd&{\frac {1}{3}}m(h^{2}+d^{2})&-{\frac {1}{4}}mwh\\-{\frac {1}{4}}mhd&-{\frac {1}{4}}mwh&{\frac {1}{3}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!}

參閱
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* 轉動慣量列表
* 垂直轴定理

參考文獻
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* Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr. William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結
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* 南台科技大學高職教師進修網站