**提示**：此条目的主题不是**圓形**。 

直線的無限邊形可透過將頂點看作逆時針方向的，自右向左的來定義出其內部的區域，下圖中的正無限邊形以箭頭的方向決定了其內部為上方的半平面，以水藍色（■）表示  
也因為如此，兩個正無限邊形就可以填滿整個平面。當兩個正無限邊形密鋪了平面之後所形成的圖形稱為二階無限邊形鑲嵌，意為每個頂點都是兩個正無限邊形的公共頂點，其頂點圖可以計為 ∞.∞.
在幾何學中，**無限邊形**（英語：）是指有無限多條邊的多邊形，是多邊形的一種，每個無限邊形皆具有無限條邊和無限個頂點。

在歐幾里得幾何中，無限邊形是一個退化多邊形，其邊數是可數集的數量。無限邊形跟多邊形一樣，有邊、頂點、和角，只是他們呈一直線。換句話說，無限邊形的所有頂點都共線，即他們都會落在一條直線上。但是，一個多邊形不能存在端點，實際上無限邊形也沒有端點，因為要達到無限的數量永遠無法在任何一個方向找到端點。無限邊形並不是圓形，因為在多邊形的定義中，邊不能為曲線。

無限邊形可以視為平面正鑲嵌（無限面體）在二維空間的類比。無限邊形可以圍出一個半平面，因此2個無限邊形即可密鋪一個平面，稱為正無限邊形鑲嵌。

正無限邊形
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**正無限邊形**是正多邊形的一種，是指每條邊都等長、每個角都等角的無限邊形，就如同一般的正多邊形。在施萊夫利符號中可用{∞}來表示。正無限邊形的內角為180度，為一平角，因此整個正無限邊形似乎是一條直線。

正無限邊形可以有外接圓和內切圓，但他們的半徑必須是無限大。

平面鑲嵌| 正 | 半正 |
| --- | --- |
| ∞.∞ | 2∞ | 4.4.∞ | 3.3.3.∞ |
|  |  |  |  |
| {∞, 2}node_1 infin node 2 node  | {2, ∞}node_1 2 node infin node  | t{2, ∞}node_1 2 node_1 infin node  | sr{2, ∞}（英语：）node_h infin node_h 2x node_h  |

正無限邊形也可以看作是四種平面的正與半正鑲嵌圖和五種均勻對偶鑲嵌圖內的線性集。

| 3種方向 | 1種方向 | 2種方向 |
| --- | --- | --- |
| 截半六邊形鑲嵌 | 正三角形鑲嵌 | 異扭稜正方形鑲嵌 | 正方形鑲嵌 |

| 3種方向 | 6種方向 | 1種方向 | 4種方向 |
| --- | --- | --- | --- |
| 鳶形鑲嵌 | 三角化三角形鑲嵌 | 六角化三角形鑲嵌 | 柱形五邊形鑲嵌 | 四角化正方形鑲嵌 |

其他無限邊形
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如同一般的多邊形，無限邊形一樣可以分為正多邊形、等邊、等角等種類。

**等角無限邊形**是指每個角都相等的無限邊形。

**等邊無限邊形**是指每個邊都等長的無限邊形，由於等角未必等邊，因此等角無限邊形或等邊無限邊形不一定是正無限邊形，但正無限邊形必等邊且等角。

**不等邊無限邊形**（英語：）不等邊的無限邊形（類似三角形中的不等邊三角形）。

**不規則無限邊形**（英語：）不等邊也不等角的無限邊形。

**點可遞無限邊形**（英語：）是指等角但有兩種不同的邊長交錯出現（類似四邊形中的矩形）。

**半正無限邊形**（英語：）是指等邊的點可遞無限邊形。

**邊可遞無限邊形**（英語：）是點可遞無限邊形的對偶多邊形，具有相同的邊長但有兩種不同的角（類似四邊形中的菱形），幾何上等同於正無限邊形，可在頂點上交替上色以便看出其差異。

|  |  |
| --- | --- |
| 正 | ...  ... |
| 半正 | ...  ... |
| 點可遞（英语：） | ...  ... |
| 邊可遞（英语：） | ...  ... |

### 扭歪無限邊形

条目：扭歪無限邊形
**扭歪無限邊形**（英語：）是一種頂點不共線的無限邊形。正的扭歪無限邊形可由正鑲嵌圖的皮特里多邊形構造。

二維的正扭歪無限邊形|  |

雙曲面上的無限邊形
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 無限邊形和其外接极限圆（英语：） 
在雙曲面上的無限邊形最著名的是正無限邊形， {∞}，其位於雙曲面上時能夠像有限邊數的正多邊形一樣擁有曲率，但其外接圓並非圓形而是雙曲極限圓或雙曲超圓形。由於多邊形的定義是平面上由一系列線段首尾連接起來的封閉圖形，在雙曲面無限邊形的邊在無窮遠處首尾相接並在雙曲面上形成一個封閉的區域。有時外接圓為超圓形的無限邊形因具有發散鏡射形式無法像一般的無限邊形在無窮遠處首尾相接，因此又稱偽多邊形。

正無限邊形的邊會合於雙曲面面上的無窮遠處（龐加萊模型的圓周上）在施萊夫利符號中用{∞}表示，並存在外接圓：雙曲極限圓。

施萊夫利符號為{∞,3}的雙曲正鑲嵌圖具有無限邊形的面。雙曲的無限邊形也存在僅等邊的無限邊形或半正無限邊形，像是截角無限邊形t{∞}，例如施萊夫利符號為tr{∞,3}的鑲嵌圖，存在兩組不同的邊長，交錯的與三角形或其他無限邊形相鄰。

有無限邊形的正鑲嵌圖| 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- |
| {∞,3}node_1 infin node 3 node  | {∞,4}node_1 infin node 4 node  | {∞,5}node_1 infin node 5 node  |

| 6 | 7 | 8 | ... | ∞ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {∞,6}（英语：）node_1 infin node 6 node  | {∞,7}（英语：）node_1 infin node 7 node  | {∞,8}（英语：）node_1 infin node 8 node  | {∞,∞}node_1 infin node infin node  |

有無限邊形的半正鑲嵌圖| {∞, 3} | tr{∞, 3}（英语：） | tr{12i, 3} |
| --- | --- | --- |
| 正: {∞} | 半正: t{∞} | 偽半正: t{12i} |

### 偽多邊形

正偽多邊形, {iπ/λ}, 龐加萊圓盤模型上, 每條垂直鏡射線相隔距離為λ單位長
条目：偽多邊形
諾曼·約翰遜（英语：）將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形，其外接圓為超圓形（英语：），正偽多邊形在施萊夫利符號中用{iπ/λ}表示，其中λ表示發散垂直鏡射的週期距離，用以代表其具有比無限邊形更多的邊與頂點，又稱為超無限邊形。

超無限邊形又稱偽多邊形，其外接圓為超圓形（英语：）
### 無限角星

**無限角星**（英語：）又稱為**無限芒星**，是指有無限多個頂點的星星圖形，幾何學中是邊自我交叉的無限邊形，由於平面上的正無限邊形頂點皆共線，因此平面上無法構造出無限角星，但雙曲面上的無限邊形因存在外接圓極限圓因此可以構造出無限角星。

在幾何上，正無限角星能夠有有無限多種，在施萊夫利符號中用{∞|n}表示，其中所述第二數字差別在繪製無限角星時頂點間隔數，若施萊夫利符號計為{∞|1}則為正無限邊形，一般會省略後半計{∞}。

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {∞/2}node_1 infin rat d2 node  | {∞/3}node_1 infin rat d3 node  | {∞/4}node_1 infin rat d4 node  |
| {∞/5}node_1 infin rat d5 node  | {∞/6} | {∞/(∞/2)} |

亦有非正的無限角星，例如反截角無限邊形，是反截角多邊形系列的算數極限。

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  | ... |  |
| 反截角三角形六角星 | 反截角正方形八角星 | 反截角五邊形十角星 | 反截角六邊形十二角星 |  | 反截角無限邊形無限角星 |

此外，無限角星也可以是複合多邊形，如同六角星的大衛之星，由兩個邊數一半的多邊形旋轉後重疊而成。這種無限角星在施萊夫利符號中用{∞|2}、2{∞}、{{∞}}或{*∞*/*2*}表示，其由兩個正無限邊形旋轉疊在一起，因此又稱為**二複合正無限邊形**，其交點是一個正無限邊形。

|  |
| --- |
| {∞|2}2{∞}={{∞}} |

參見
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* 無限邊形鑲嵌
* 無限角柱
* 無限面體
* 圓形
* 空多胞形

參考文獻
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1. Coxeter, H. S. M.  3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link) p.296, Table II: Regular honeycombs
2. Grünbaum, B. Regular polyhedra - old and new, *Aequationes Math. **16** (1977) p. 1-20*
3. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)

1. ↑  Coxeter, H. S. M.  3rd. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.
2. ↑  Coxeter, Regular polytopes, p.45
3. ↑  Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J.. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9.  (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
4. ↑  Norman Johnson, *Geometries and symmetries*, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141

外部連結
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* Russell, Robert.. MathWorld.
* Olshevsky, George, *Apeirogon* at *Glossary for Hyperspace*.


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| * 
* 论
* 编
多边形 |
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|  |
| 1–10邊 | 
* 一角形
* 二角形
* 三角形
	+ 正三角形
	+ 直角三角形
	+ 等腰三角形
	+ 不等邊三角形
* 四邊形
	+ 正方形
	+ 矩形
	+ 菱形
	+ 鷂形
	+ 梯形
	+ 平行四边形
* 五边形
* 六边形
* 七边形
* 八边形
* 九邊形
* 十边形

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|  |
| 11–20邊 | 
* 十一边形
* 十二边形
* 十三边形
* 十四边形
* 十五边形
* 十六边形
* 十七边形
* 十八边形
* 十九邊形
* 二十邊形

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| 21–100邊（部分的） | 
* 二十一邊形（日语：）
* 二十二邊形（日语：）
* 二十三邊形（英语：）
* 二十四邊形
* 三十邊形（英语：）
* 四十邊形（西班牙语：）
* 五十邊形（西班牙语：）
* 六十邊形（日语：）
* 七十邊形（日语：）
* 八十邊形（日语：）
* 九十邊形（日语：）
* 一百邊形（西班牙语：）

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| >100邊 | 
* 二百五十七邊形
* 一千邊形
* 一萬邊形（英语：）
* 六萬五千五百三十七邊形
* 十萬邊形（匈牙利语：）
* 一百萬邊形
* 無限邊形
* 超無限邊形

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| 複多邊形 | 
* 複八邊形
	+ 莫比烏斯-坎特八邊形

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| 其他 | 
* 空多胞形
	+ 零角形
* 扭歪無限邊形

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| 星形多邊形 | 
* 五角星
* 六角星
* 七角星
* 八角星
* 九角星
* 十角星
* 十一角星
* 十二角星
* **無限角星**（章節）

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| 分類 | 
* 凸多邊形
* 凹多邊形
* 星形多邊形
* 正多边形
* 退化多邊形
* 基本多边形
* 簡單多邊形
* 複雜多邊形
* 扭歪多邊形
* 複多邊形
* 星狀多邊形
* 等边多边形
* 等角多邊形
* 平行多邊形
* 圓外切多邊形
* 圓內接多邊形
* 可作图多边形
* 雙心多邊形

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