**Β函数**，又称为**贝塔函数**或**第一类欧拉积分**，是一个特殊函数，由下式定义：

{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!}
其中{\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,。

性质
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Β函数具有以下對稱性質：

\mathrm{B} (x,y)=\mathrm{B} (y,x).\!
当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：

\mathrm{B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!
它有许多其它的形式，包括：

\mathrm{B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \_{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
\mathrm{B} (x,y)=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\dfrac {{n-y \choose n}}{x+n}},\!
\mathrm{B} (x,y)=\prod \_{{n=0}}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{{-1}},\!
\mathrm{B} (x,y)\cdot \mathrm{B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!
\mathrm{B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum \_{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{{n+1}}}{n!(x+n)}}\!
其中\Gamma\,是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

{n \choose k}={\frac 1{(n+1)\mathrm{B} (n-k+1,k+1)}}

伽玛函数与贝塔函数之间的关系
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为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为： 

{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int \_{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int \_{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!}
现在，设{\displaystyle u=a^{2}}, {\displaystyle v=b^{2}}，因此：

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int \_{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int \_{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int \_{-\infty }^{\infty }\ \int \_{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!}
利用变量代换a=r\cos \theta 和b=r\sin \theta ，可得：

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int \_{0}^{2\pi }\ \int \_{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int \_{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int \_{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int \_{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
因此，有：

\mathrm{B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.

导数
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贝塔函数的导数是：

{\partial \over \partial x}{\mathrm {B}}(x,y)={\mathrm {B}}(x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)={\mathrm {B}}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))
其中\psi (x)是双伽玛函数。

估计
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斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.}

不完全贝塔函数
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**不完全贝塔函数**是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

\mathrm{B} (x;\,a,b)=\int \_{0}^{x}t^{{a-1}}\,(1-t)^{{b-1}}\,dt.\!
当*x* = 1，上式即化为贝塔函数。

**正则不完全贝塔函数**（或简称**正则贝塔函数**）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

I\_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm{B} (x;\,a,b)}{\mathrm{B} (a,b)}}.\!
当*a*和*b*是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

I\_{x}(a,b)=\sum \_{{j=a}}^{{a+b-1}}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{{a+b-1-j}}.
正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I\_{{1-p}}(n-k,k+1)=1-I\_{p}(k+1,n-k)

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

### 性质

I\_{0}(a,b)=0\,
I\_{1}(a,b)=1\,
I\_{x}(a,b)=1-I\_{{1-x}}(b,a)\,

参见
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* Β分布
* 二项分布
* 伽玛函数

参考文献
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* M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *（See §6.2, 6.6, and 26.5） （页面存档备份，存于）*
* W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. *(See section 6.4)*
*. PlanetMath.

外部链接
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* 贝塔函数计算器
* 不完全贝塔函数计算器
* 正则不完全贝塔函数计算器

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