Permutations of 4 elements  
  
Odd permutations have a green or orange background. The numbers in the right column are the inversion numbers （OEIS數列A034968）, which have the same parity as the permutation.
在数学中，当*X*是一个至少有两个元素的有限集合时，*X*的置换（即从*X*到*X*的双射）可分为大小相同的两类：**奇置换**与**偶置换**。如果*X*固定了任何一个全序，*X*的一个**置换\sigma 的奇偶性**可以定义为\sigma 中反向对个数的奇偶性。所谓反向对即*X*中二元组x,y使得x<y且\sigma(x)>\sigma(y)。这里\sigma(x)为置换\sigma 中第x位的元素。

一个置换\sigma 的**符号**（）记作**sgn(σ)**：如果\sigma 是偶数则定义为 +1，如果\sigma 是奇数则定义为 -1。符号定义了对称群*S**n*的**交错特征**。置换的符号另一个更一般的符号为列维-奇维塔符号（\epsilon\_\sigma），定义在*X*到*X*的所有映射上，而在非双射映射上取值为0。

置换的符号可以清晰地表达为

\sgn(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}
这里N(\sigma)是\sigma 中反向对的个数。或者，置换\sigma 的符号也可通过对换分解定义为

\sgn(\sigma)=(-1)^m
这里*m*是分解中对换的个数。尽管这样一个分解不是惟一的，所有分解中对换个数的奇偶性是相同的，蕴含着置换的符号是良定义的。

例子
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考虑集合{1,2,3,4,5}的置换σ，它将初始排列12345变为34521。可以通过三个对换得到：首先交换1和3的位置，然后交换2和4，最后交换1和5。这证明了给定的置换σ是奇的。利用置换一文中的记号，我们可写成
{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}}。

有无穷种方式将σ写成换位的复合，例如

\sigma=(2 3) (1 2) (2 4) (3 5) (4 5),\;
但是不可能将其写为偶数个换位的复合。

性质
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恒同置换是偶置换。一个偶置换可以由恒同置换通过偶数次两个元素互换（称为对换）得到，而一个奇置换可由奇数次对换得到。

由整数加法相应的法则马上得到下列性质：

* 两个偶置换的复合是偶的
* 两个奇置换的复合是偶的
* 一个奇置换与偶置换的复合是奇的

由此得到

* 任何偶置换的逆是偶的
* 任何奇置换的逆是奇的

考虑集合{1,...*n*}的所有置换之对称群*Sn*，我们可总结为映射

\operatorname{sgn} : S\_n \to \{-1,1\}
将每个置换映为其符号是一个群同态。

进一步，我们见到偶置换组成*Sn*的一个子群。这就是*n*个字母上的交错群，记作*An*。它是符号同态的核。奇置换不能组成一个子群，因为两个奇置换的复合是偶置换，但它们是*An*（在*Sn*中）的一个陪集。

如果*n*>1，则*Sn*中偶置换与奇置换一样多；从而*An*包含*n*!/2个置换。（原因：如果σ是偶的，则 (12)σ是奇的；如果σ是奇的，则 (12)σ是偶的；这两个映射互逆。）

一个轮换是偶的当且仅当它的长度是奇的。这得自如下类似公式

(*a* *b* *c* *d* *e*) = (*a* *e*) (*b* *e*) (*c* *e*) (*d* *e*)
特别地，为了确定给定的置换是偶的还是奇的，将它写成不交轮换的乘积。这个置换是奇的当且仅当这个分解包含奇数个偶长度的轮换。

每个奇数阶置换必须是偶的；反之一般不成立。

两个定义的等价性
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### 证明一

任意置换可以由一列对换产生：对第一个对换我们将置换的第一个元素放到它恰当的位置，第二个对换放第二个元素，等等。给定一个置换σ，我们可用无数种方式将其写成对换之积。我们要证明所有这样一个分解，要么都有偶数个对换，要么有奇数个对换。

假设我们有两个这样的分解：

σ = T'1 T'2 ... T'k'
σ = Q'1 Q'2 ... Q'm'
我们要证明k'与m'要么都是偶的，要么都是奇的。

每个对换可以写成奇数个相邻元素的对换之乘积，例如

(2 5) = (2 3)(3 4)(4 5)(4 3)(3 2)
如果我们将上面的T'1...T'k'与Q'1...Q'm'中每个对换作这样的分解，我们得到一个新的分解：

σ = T1 T2 ... Tk
σ = Q1 Q2 ... Qm
这里所有*T*1...*Tk* *Q*1...*Qk*是相邻对换，*k* − *k*'是偶数，*m* − *m*'是偶数。

现在将T1的逆与σ复合。*T*1是两个相邻数 (*i*, *i* + 1)的对换，所以与σ相比，新置换σ(*i*, *i* + 1)恰好少一个（若 (*i*,*i* + 1)是σ的反向对）或多一个反向对（若 (*i*,*i* + 1)不是σ的反向对）。然后以相同的方法应用到*T*2, *T*3, ... *Tk*的逆，"消解"了置换σ。最后我们得到了恒同置换，它的*N*是零，这意味着首先的*N*(σ)减去*k*是偶数。

对另一个置换*Q*1...*Qm*我们对同样的事情，从而首先的*N*(σ)减去m是偶数 

这样*m* − *k*是偶数，这就是我们要证明的。

现在我们可以定义置换σ是偶的，如果*N*(σ)是偶数；是奇的，如果*N*(σ)是奇数。这与首先给出的定义相同，但现在清晰地看到每个置换不是偶的就是奇的。

### 证明二

另一个证明利用多项式

P(x\_1,\ldots,x\_n)=\prod\_{i<j} (x\_i - x\_j).\;
例如在*n* = 3的情形，我们有

P(x\_1, x\_2, x\_3) = (x\_1 - x\_2)(x\_2 - x\_3)(x\_1 - x\_3).\;
现在对{1,...*n*}的一个给定置换σ，我们定义

\operatorname{sgn}(\sigma)=\frac{P(x\_{\sigma(1)},\ldots,x\_{\sigma(n)})}{P(x\_1,\ldots,x\_n)}。
因为多项式P(x\_{\sigma(1)},\dots,x\_{\sigma(n)})与P(x\_1,\dots,x\_n)除了符号之外它们的因子相同，从而sgn(σ)不是 +1就是−1。从而如果σ与τ是两个置换，我们有

\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \frac{P(x\_{\sigma(\tau(1))},\ldots,x\_{\sigma(\tau(n))})}{P(x\_1,\ldots,x\_n)}
 = \frac{P(x\_{\sigma(1)},\ldots,x\_{\sigma(n)})}{P(x\_1,\ldots,x\_n)} \cdot \frac{P(x\_{\sigma(\tau(1))},\ldots, x\_{\sigma(\tau(n))})}{P(x\_{\sigma(1)},\ldots,x\_{\sigma(n)})}
 = \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\operatorname{sgn}(\tau)
有此定义之后，显然任何两个相邻元素的对换有符号−1，这样我们事实上重新得到了早先定义的符号。

### 证明三

第三个证明利用群*Sn*一个呈示，使用生成元为\tau\_1,\dots,\tau\_{n-1}，关系为 

* \tau\_i^2 = 1 对所有*i*，
* \tau\_i\tau\_{i+1}\tau\_i = \tau\_{i+1}\tau\_i\tau\_{i+1}  对所有*i* < *n* − 1，
* \tau\_i\tau\_j = \tau\_j\tau\_i  如果 |*i* − *j*| ≥ 2。

这里生成元\tau\_i表示对换 (*i*, *i* + 1)。所有的关系将一个词的长度保持或改变2。从一个偶数长词开始使用这些关系后总得到偶数长词，对奇数长词也类似。从而可以毫无歧义地称*Sn*中由偶数长词表示的元素是偶的，由奇数长词表示的元素是奇的。

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