有关张量在广义范围内的性质和重要性的介绍，请参阅张量。
在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free（英语：））方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。

在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义
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给定域F上一个有限向量空间集合{\displaystyle \left\{V\_{1},...V\_{n}\right\}}，我们可以考虑他们的张量积 V\_1 \otimes \cdots \otimes V\_n。这个张量积中的一个元素称为一个张量（但这不是本文讨论的张量概念）。

向量空间V上的张量定义成具有形式

V \otimes\cdots\otimes V \otimes V^\* \otimes \cdots \otimes V^\*
的向量空间中的一个元素（即向量），这里 *V*\* 是 *V* 的对偶空间。

如果在我们的积中有m个V与n个V^\*，张量称为{\displaystyle \left(m,n\right)}**型**，具有反变（contravariant）阶数m与共变（covariant，也稱協變）阶数n，总阶数为m+n。零阶张量就是数量（域F中的元素），1 阶反边张量是V中的向量，1 阶共变张量是V^\*中的1-形式（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。

{\displaystyle \left(1,1\right)}型张量

V \otimes V^\*
自然同构于从V到V的线性变换空间。一个实向量空间V的内积自然对应于{\displaystyle \left(0,2\right)}张量 

V^\* \otimes V^\*
称为相应的度量，一般记作g。

其它记法
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文献中通常不写出完整的张量积以表示{\displaystyle \left(m,n\right)}型张量的空间，而使用缩写：

 \begin{matrix} T^m\_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^\*\otimes \dots \otimes V^\*} \\ & & m & & n \end{matrix} .

这个空间的另外一种记法是用从向量空间V到向量空间W的线性映射来表示。讓

L(V,W)\ 
表示所有从V到W的线性映射的集合，這會形成一個向量空間。因此，例如对偶空间（线性泛函的空间）可以写成

V^\* \cong L(V,\mathbb{R});
由 universal property 可知，(m,n)-张量有如下自然的同構(isomorphism)關係

{\displaystyle T\_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{\*}\otimes \dots \otimes V^{\*}} \_{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} \_{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{\*},\dots ,V^{\*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).}
在上面的公式中，V和V^\*的角色互换了。特别地，我们有

T^1\_0(V) \cong L(V^\*,\mathbb{R}) \cong V ,
与

T^0\_1(V) \cong L(V,\mathbb{R}) \cong V^\* ,
以及

T^1\_1(V) \cong L(V,V).
以下记法

GL(V,W)\ 
通常用来表示从 *V* 到 *W* 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

张量场
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条目：张量场
微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语"张量'"实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

張量在不同座標間的變換公式
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对任何给定向量空間V 我們有V的一组基底{\displaystyle \{\mathbf {e} \_{i}\}}，以及對應的對偶空間 V^\*以及和向量基底{\displaystyle \{\mathbf {e} \_{i}\}} 對應的对偶基底{\displaystyle \{\omega ^{j}\}} （也可用{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{\*j}\}}來表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。

例如，取空间

V \otimes V \otimes V^\*
中的张量 \mathbf{T}，在我们的坐标系下分量可写成

{\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}{}\_{k}\,\mathbf {e} \_{i}\otimes \mathbf {e} \_{j}\otimes \omega ^{k},}
这里我们使用愛因斯坦求和約定，这是处理張量份量的一种常見約定：即当張量分量同時出現了一組上指标与下指标时，我们对這上下指標所有可能值求和，比如說：{\displaystyle a\_{i}dx^{i}}這符號，在這約定下即代表{\displaystyle \textstyle \sum \_{i}a\_{i}dx^{i}}。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有{\displaystyle \textstyle T^{ij}{}\_{k}\,\mathbf {e} \_{i}\otimes \mathbf {e} \_{j}\otimes \omega ^{k}=\sum \_{ijk}T^{ij}{}\_{k}\,\mathbf {e} \_{i}\otimes \mathbf {e} \_{j}\otimes \omega ^{k}}。在物理中我们经常使用表达式

{\displaystyle T^{ij}{}\_{k}\ }
來表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个{\displaystyle n\times n\times n}数组。假設在另一坐标系中，有另一组基底{\displaystyle \{\mathbf {\hat {e}} \_{i}\}}，則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果{\displaystyle (R\_{i}^{j})} 是兩基底間的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是

{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} \_{i}=\sum \_{j}R\_{i}^{j}\mathbf {e} \_{j}}
，设 {\displaystyle (R^{-1})\_{k}^{l}} 是{\displaystyle (R\_{i}^{j})}的逆矩陣，對同一張量在新基底的張量分量設為{\displaystyle \textstyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}\_{k'}}，則兩者之間的變換公式為：

{\displaystyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}\_{k'}=\sum \_{p,q,r}(R^{-1})\_{p}^{i'}\,(R^{-1})\_{q}^{j'}\,R\_{k'}^{r}\,T^{pq}{}\_{r}=(R^{-1})\_{p}^{i'}\,(R^{-1})\_{q}^{j'}\,R\_{k'}^{r}\,T^{pq}{}\_{r},}
注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。
在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。

参考文献
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* Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E.  2, Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1985, ISBN 0-201-40840-6

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| * 
* 论
* 编
張量 |
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| 張量理論中的字彙（英语：） |
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| 範疇 | 

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| 数学 | 
* 坐標系
* 多重线性代数
* 欧几里得几何
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* 多重指标
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* 张量 (内蕴定义)
* 张量场
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* 反對稱張量（英语：）
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* 張量算符（英语：）
* 张量场

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* 向量（英语：）、向量空间
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* 微分形式
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* 度量张量
* nonmetricity tensor（英语：）
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* 膠子場強度張量（英语：）
* 爱因斯坦张量
* 度量張量 (廣相)（英语：）

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* 卡爾·弗里德里希·高斯
* 奧古斯丁-路易·柯西
* 赫爾曼·格拉斯曼
* 格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗
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* 波恩哈德·黎曼
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* 沃爾德馬爾·佛依格特（英语：）
* 埃利·嘉当
* 赫尔曼·外尔
* 阿尔伯特·爱因斯坦

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