威廉·哈密顿
在物理學裏，**哈密頓原理**（英語：）是愛爾蘭物理學家威廉·哈密頓於1833年發表的關於平穩作用量原理的表述。哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數，所構成的泛函的變分問題解答，可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為拉格朗日量，包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為作用量。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於牛頓運動定律的微分方程式方法，這方法以積分方程式來設定系統的作用量，在作用量平穩的要求下，使用變分法來計算整個系統的運動方程式。

雖然哈密頓原理本來是用來表述經典力學，這原理也可以應用於經典場，像電磁場或重力場，甚至可以延伸至量子場論等等。

概念
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微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，又加上已知這變數在某一點的數值或導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

哈密頓原理用積分方程式來表述物理系統的運動。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，叫做最初狀態與最終狀態。然後，經過求解系統作用量的平穩值，我們可以得到系統在，兩個點之間，其他點的狀態。不但是關於經典力學中的一個單獨粒子，而且也關於經典場像電磁場與萬有引力場，這表述都是正確的。更值得一提的是，現今，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來表述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演變（就是說，系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演變對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演變的微分方程式。

定義
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哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數L\,所構成的作用量泛函{\mathcal {S}}\,，其平穩值是這物理系統的真實演化。

以數學方程式表示，定義作用量為 

{\mathcal {S}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}L({\mathbf {q}},{\dot {{\mathbf {q}}}},t)\,dt\,；
其中，L({\mathbf {q}},{\dot {{\mathbf {q}}}},t)\,是系統的拉格朗日函數，廣義坐標{\mathbf {q}}=\left(q\_{{1}},q\_{{2}},\ldots ,q\_{{N}}\right)\,是時間t\,的函數，t\_{{1}}\,和t\_{{2}}\,分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分\delta {\mathcal {S}}=0\,，作用量{\mathcal {S}}\,為平穩值，則{\mathbf {q}}(t)\,正確地描述這系統的真實演化。

拉格朗日方程式導引
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從哈密頓原理可以推導出拉格朗日方程式。假設{\mathbf {q}}(t)\,是系統的正確運動，微擾函數{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,為一個虛位移\delta {\mathbf {q}}\,，虛位移在軌道的兩個端點的值是零：

{\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{1}})={\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{2}})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0\,。
取至{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left[L({\mathbf {q}}+{\boldsymbol \varepsilon },{\dot {\mathbf {q}}}+{\dot {\boldsymbol \varepsilon }},t)-L({\mathbf {q}},{\dot {\mathbf {q}}},t)\right]dt=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}+{\dot {\boldsymbol \varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt\,。
這裏，我們將拉格朗日量L\,展開至{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目：

\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right]\_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}+\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt。
邊界條件{\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{1}})={\boldsymbol \varepsilon }(t\_{{2}})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0\,使第一個項目歸零：

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt\,。
作用量泛函{\mathcal {S}}\,平穩的要求意味著，對於正確運動的任意微擾{\boldsymbol \varepsilon }(t)\,，一次變分\delta {\mathcal {S}}\,必須等於零：

\delta {\mathcal {S}}=\int \_{{t\_{{1}}}}^{{t\_{{2}}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}\right)\,dt=0\,。
特別注意，我們沒有對廣義坐標{\mathbf {q}}\,做任何要求。在這裏，我們要求所有的廣義坐標都互不相依；也就是說，這系統是完整系統。這樣，我們可以應用變分法基本引理而得到拉格朗日方程式：

{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}}={\mathbf {0}}\,。
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

參閱
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* icon物理学主题

* 變分法
* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學
* 諾特定理
* 作用量

參考文獻
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1. 1 2  列夫, 朗道.. 北京: 高等教育出版社. 2007. ISBN 9787040208498.

* W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", *Philosophical Transaction of the Royal Society* Part I (1834) p.247-308（页面存档备份，存于）; Part II (1835) p. 95-144（页面存档备份，存于）.（*From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papers（页面存档备份，存于） edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed as On a General Method in Dynamics（页面存档备份，存于）*)

* Herbert Goldstein (1980) *Classical Mechanics*, 2nd ed. Addison Wesley, pp. 35-69.
* 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed. Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.
* Arnold VI.（1989）*Mathematical Methods of Classical Mechanics*, 2nd ed. Springer Verlag, pp. 59-61.

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