数学中，**牛頓恆等式**（英語：）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。

牛顿在不知道阿爾伯特‧吉拉德（英语：）先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量理論、群论、组合學，也被进一步应用於数学之外，如广义相对论。

数学陳述
----

### 對稱多項式

令 *x*1, ... *x**n* 為變量, 定義 *k* ≥ 1 且 *p**k*(*x*1, ... *x**n*) 為*k*階 **冪和**:

{\displaystyle p\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=\sum \nolimits \_{i=1}^{n}x\_{i}^{k}=x\_{1}^{k}+\cdots +x\_{n}^{k},}
對於*k* ≥ 0 定義 *e**k*(*x*1, ... *x**n*) 為 初等對稱多項式,所以

{\displaystyle {\begin{aligned}e\_{0}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=1,\\e\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n},\\e\_{2}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=\textstyle \sum \_{1\leq i<j\leq n}x\_{i}x\_{j},\\e\_{n}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n},\\e\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}
那麼牛頓恆等式可以表示為 

{\displaystyle ke\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=\sum \_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e\_{k-i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),}
對於所有的*n*  ≥ 1 以及 *n* ≥*k* ≥ 1.

另外對於所有*k* > *n* ≥ 1.

{\displaystyle 0=\sum \_{i=k-n}^{k}(-1)^{i-1}e\_{k-i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),}
我們可以帶入前幾個*k*得到前幾個式子

{\displaystyle {\begin{aligned}e\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=p\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),\\2e\_{2}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=e\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})-p\_{2}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),\\3e\_{3}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})&=e\_{2}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})-e\_{1}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{2}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})+p\_{3}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}).\\\end{aligned}}}
這些方程的形式和正確與否並不取決於變數的數量*n*,這使得可以在對稱函數環中將它們稱為恆等式。在這個環之中我們有

{\displaystyle {\begin{aligned}e\_{1}&=p\_{1},\\2e\_{2}&=e\_{1}p\_{1}-p\_{2}=p\_{1}^{2}-p\_{2},\\3e\_{3}&=e\_{2}p\_{1}-e\_{1}p\_{2}+p\_{3}={\tfrac {1}{2}}p\_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p\_{1}p\_{2}+p\_{3},\\4e\_{4}&=e\_{3}p\_{1}-e\_{2}p\_{2}+e\_{1}p\_{3}-p\_{4}={\tfrac {1}{6}}p\_{1}^{4}-p\_{1}^{2}p\_{2}+{\tfrac {4}{3}}p\_{1}p\_{3}+{\tfrac {1}{2}}p\_{2}^{2}-p\_{4},\\\end{aligned}}}

  

在這裡，*LHS*永遠不會為零。這些等式允許以*p**k*遞歸地表示*e**i*

{\displaystyle {\begin{aligned}p\_{1}&=e\_{1},\\p\_{2}&=e\_{1}p\_{1}-2e\_{2}=e\_{1}^{2}-2e\_{2},\\p\_{3}&=e\_{1}p\_{2}-e\_{2}p\_{1}+3e\_{3}=e\_{1}^{3}-3e\_{1}e\_{2}+3e\_{3},\\p\_{4}&=e\_{1}p\_{3}-e\_{2}p\_{2}+e\_{3}p\_{1}-4e\_{4}=e\_{1}^{4}-4e\_{1}^{2}e\_{2}+4e\_{1}e\_{3}+2e\_{2}^{2}-4e\_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
一般的,我們有

{\displaystyle p\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=(-1)^{k-1}ke\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})+\sum \_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e\_{k-i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),}
對於所有的 *n* ≥ 1 以及 *n* ≥*k* ≥ 1。
另外對於所有*k* > *n* ≥ 1。
我們有

{\displaystyle p\_{k}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})=\sum \_{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e\_{k-i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n})p\_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{n}),}

證明
--

設{\displaystyle f(x)=(x-x\_{1})(x-x\_{2})\cdots (x-x\_{n})=x^{n}-\sigma \_{1}x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}}.

當{\displaystyle k>n}時,我們要證明的式子是{\displaystyle s\_{k}-\sigma \_{1}s\_{k-1}+\sigma \_{2}s\_{k-2}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}s\_{k-n}=0;}

由{\displaystyle f(x)=x^{n}-\sigma \_{1}x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}},得{\displaystyle x^{k-n}f(x)=x^{k}-\sigma \_{1}x^{k-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}x^{k-n}.}

由于{\displaystyle f(x\_{i})=0(1\leq i\leq n),}求和得到{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}[x\_{i}^{k}-\sigma \_{1}x\_{i}^{k-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}x\_{i}^{k-n}]=0,}故{\displaystyle s\_{k}-\sigma \_{1}s\_{k-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n}s\_{k-n}=0.}

當{\displaystyle 1\leq k\leq n}時,我們要證明的式子是{\displaystyle s\_{k}-\sigma \_{1}s\_{k-1}+\cdots +(-1)^{k-1}\sigma \_{k-1}s\_{1}+(-1)^{k}k\sigma \_{k}=0.}

註意到{\displaystyle f'(x)=f(x)\sum \_{i=1}^{n}{\frac {1}{x-x\_{i}}}=nx^{n-1}+\cdots +(-1)^{k}(n-k)\sigma \_{k}x^{n-k-1}+\cdots }

展開為形式冪級數,得{\displaystyle f(x)\sum \_{i=1}^{n}(x^{-1}+x\_{i}x^{-2}+x\_{i}^{2}x^{-3}+\cdots )=nx^{n-1}+\cdots +(-1)^{k}(n-k)\sigma \_{k}x^{n-k-1}+\cdots }

即{\displaystyle (x^{n}-\sigma \_{1}x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\sigma \_{n})(nx^{-1}+s\_{1}x^{-2}+s\_{2}x^{-3}+\cdots )=nx^{n-1}+\cdots +(-1)^{k}(n-k)\sigma \_{k}x^{n-k-1}+\cdots }

對比兩邊的{\displaystyle x^{n-k-1}}項系數,有{\displaystyle (-1)^{k}\sigma \_{k}\cdot n+(-1)^{k-1}\sigma \_{k-1}s\_{1}+(-1)^{k-2}\sigma \_{k-2}s\_{2}-\cdots -\sigma \_{1}s\_{k-1}+s\_{k}=(-1)^{k}(n-k)\sigma \_{k},}即得.

參見
--

* 冪和對稱多項式
* 初等對稱多項式
* 对称多项式

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
艾萨克·牛顿爵士 |
| --- |
|  |
| 科學著作 | 
* 《流数法》（1671）
* 《物體在軌道中之運動（英语：）》（1684）
* 《自然哲学的数学原理》（1687）
* 《光学（英语：）》（1704）
* 《The Queries（英语：）》（1704）
* 《廣義算術（英语：）》（1707）
* 《用無窮級數做數學分析（英语：）》（1711）

 |  |
|  |
| 其它著作 | 
* 《若干哲學問題（英语：）》（1661–1665）
* 《站在巨人的肩膀上（英语：）》（1675）
* 《Notes on the Jewish Temple（英语：）》（約1680）
* 《總釋（英语：）》（1713；《不作假设（英语：）》）
* 《古王國年表，修訂（英语：）》（1728）
* 《两处著名圣经讹误的历史变迁（英语：）》（1754）

 |
|  |
| 貢獻 | 
* 微积分学
	+ 流數
* 冲击深度
* 慣性
* 牛頓色環（英语：）
* 牛頓多邊形（英语：）
	+ 牛頓–奧昆科夫體（英语：）
* 牛頓反射望遠鏡（英语：）
* 牛顿望远镜
* 牛頓溫標
* 牛頓合金（英语：）
* 光學頻譜
* 结构色

 |
|  |
| 牛頓主義（英语：） | 
* 水桶實驗（英语：）
* 牛頓不等式
* 冷却定律
* 万有引力定律
	+ 后牛顿力学近似方法
	+ 後牛頓形式論
	+ 万有引力常数
* 牛頓–嘉當理論（英语：）
* 薛定谔-牛顿方程
* 牛顿运动定律
	+ 第一定律
	+ 第二定律
	+ 第三定律
	+ 开普勒定律
* 牛頓動力學（英语：）
* 應用於最優化的牛頓法
	+ 问题
	+ 截斷牛頓法（英语：）
* 高斯牛頓算法（英语：）
* 牛頓環
* 牛頓橢圓定理（英语：）
* 牛顿-问题
* 牛頓位（英语：）
* 牛顿流体
* 
* 光的微粒理论
* 牛顿与莱布尼茨的微积分学论战（英语：）
* 牛頓記法（英语：）
* 旋轉球體（英语：）
* 牛顿大炮
* 
* 牛顿法
	+ 廣義高斯-牛顿法（英语：）
* 
* 牛頓恆等式
* 牛顿多项式
* 牛頓旋轉軌道定理
* 牛顿-歐拉方程式（英语：）
* 牛頓數
	+ 吻球數問題（英语：）
* 牛頓商（英语：）
* 力的平行四边形（英语：）
* 牛顿-皮瑟理論（英语：）
* 絕對時空
* 以太
* 牛頓級數
	+ 列表（英语：）

 |
|  |
| 個人 | 
* 伍尔索普庄园（出生地）
* Cranbury Park（英语：）（成長地）
* 早年生活（英语：）
* 晚年生活（英语：）
* 蘋果樹（英语：）
* 宗教思想（英语：）
* 神秘學研究（英语：）
* 科学革命
* 哥白尼革命

 |
|  |
| 人際關係 | 
* 凱瑟琳·巴頓（英语：）（侄女）
* 約翰·孔杜伊特（英语：）（姪女婿）
* 艾萨克·巴罗（指導教授）
* 威廉·克拉克（英语：）（指導者）
* Benjamin Pulleyn（英语：）（導師）
* 约翰·基尔（英语：）（徒弟）
* 威廉・斯圖凱利（英语：）（好友）
* 威廉·琼斯（好友）
* （好友）
* （仇敵）

 |
|  |
| 描繪（英语：） | 
* 《牛顿》（單版畫）
* 《牛顿（英语：）》（雕塑）
* 《艾薩克·牛頓雨漏（英语：）》
* 《天文學家紀念碑（英语：）》

 |
|  |
| 相關（英语：） | 
* 牛頓 (單位)
* 牛顿摆
* 艾萨克·牛顿研究所（英语：）
* 艾萨克·牛顿奖章
* 艾萨克·牛顿望远镜
* 艾萨克·牛顿望远镜组（英语：）
* XMM-牛顿卫星
* 施密特-牛頓望遠鏡
* 艾薩克·牛頓爵士大學預科學校（英语：）
* 艾薩克·牛頓斯塔塔爾高等教育學院（英语：）
* 牛頓國際獎學金（英语：）

 |
|  |
| 分類 | 
  艾萨克·牛顿
 |

 |