圖1：三維應力下的莫爾圓
**莫爾圓**（Mohr's circle）得名自德國土木工程師克里斯汀·奧圖·莫爾（英语：），是一種用二維方式表示柯西应力张量轉換關係的圖。

先針對假設為連續的物體進行應力分析（英语：），之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圓上每一個點的橫坐標{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及縱坐標{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。

卡爾·卡爾曼（英语：）是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。

其他表示應力狀態的方式有拉梅應力橢球（英语：）及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。

莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。

應力及莫爾圓
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圖2：在有受力可變形物體（假設為連續體）中的應力F
考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是物體力（英语：）），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。

在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過應力分析（英语：）來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階(2,0)型（英语：）的張量中的九個應力元素 \sigma\_{ij}完全決定，此二階張量稱為柯西应力张量, {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}:

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}&\sigma \_{13}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}&\sigma \_{23}\\\sigma \_{31}&\sigma \_{32}&\sigma \_{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma \_{xx}&\sigma \_{xy}&\sigma \_{xz}\\\sigma \_{yx}&\sigma \_{yy}&\sigma \_{yz}\\\sigma \_{zx}&\sigma \_{zy}&\sigma \_{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}&\tau \_{xz}\\\tau \_{yx}&\sigma \_{y}&\tau \_{yz}\\\tau \_{zx}&\tau \_{zy}&\sigma \_{z}\\\end{matrix}}\right]}
圖3：連續體中的一點在平面應力條件下的應力轉換
若確定了一物體在特定坐標系統(x,y)下的應力分佈，有可能需要知道特定一點P相對另一個有旋轉的坐標系統(x',y')下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統(x',y')和原有的坐標系統(x,y)之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。

二維張量下的莫爾圓
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圖4：連續體中的一點在平面應力條件下的應力分量
在二維下，一點P相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統(x,y)下，其應力分量為：法向應力\sigma \_{x}及\sigma \_{y}，以及剪應力{\displaystyle \tau \_{xy}}。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是{\displaystyle \tau \_{xy}=\tau \_{yx}}，因此柯西應力張量可以寫成：

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}&0\\\tau \_{xy}&\sigma \_{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}\\\tau \_{xy}&\sigma \_{y}\\\end{matrix}}\right]}
其目的是在另一個通過P點，但存在角度差的坐標系統(x',y')下，找到應力分量{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}（圖4）。坐標系統(x',y')和原坐標系統(x,y)的角度差即為\theta 。

### 莫爾圓的方程

要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置P的二維的無限小方形元素（圖4），和y-z平面平行。

利用無限小元素上的力平衡，正向應力{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及剪應力{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}的大小為：

{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\cos 2\theta +\tau \_{xy}\sin 2\theta }
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\sin 2\theta +\tau \_{xy}\cos 2\theta }

| 莫爾圓參數式的推導－利用力平衡 |
| --- |
| 利用{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}方向（x'軸）的力平衡（圖4），而且假設{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }} 作用的面積為{\displaystyle dA}，可得：

{\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F\_{x'}&=\sigma \_{\mathrm {n} }dA-\sigma \_{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma \_{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau \_{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau \_{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma \_{\mathrm {n} }&=\sigma \_{x}\cos ^{2}\theta +\sigma \_{y}\sin ^{2}\theta +2\tau \_{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{aligned}}}
再考慮以下的關係
{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad } 及 {\displaystyle \qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
可以得到
{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\cos 2\theta +\tau \_{xy}\sin 2\theta }
再考慮{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}方向（y'軸）的力平衡（圖4），再假設 {\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}作用的面積是{\displaystyle dA}，可得：
{\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F\_{y'}&=\tau \_{\mathrm {n} }dA+\sigma \_{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma \_{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau \_{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau \_{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau \_{\mathrm {n} }&=-(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\sin \theta \cos \theta +\tau \_{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}
再考慮以下的關係
{\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad } 及 {\displaystyle \qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
可以得到
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\sin 2\theta +\tau \_{xy}\cos 2\theta } |

上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}方向用力平衡計算是等效的。

| 莫爾圓參數式的推導－利用張量變換 |
| --- |
| 應力張量變換定律可以表示為

{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}'&=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T}\\\left[{\begin{matrix}\sigma \_{x'}&\tau \_{x'y'}\\\tau \_{y'x'}&\sigma \_{y'}\\\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}a\_{x}&a\_{xy}\\a\_{yx}&a\_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}\\\tau \_{yx}&\sigma \_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a\_{x}&a\_{yx}\\a\_{xy}&a\_{y}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}\\\tau \_{yx}&\sigma \_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\end{aligned}}}
將等號右側展開，再配合{\displaystyle \sigma \_{x'}=\sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{x'y'}=\tau \_{\mathrm {n} }}，可得：
{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }=\sigma \_{x}\cos ^{2}\theta +\sigma \_{y}\sin ^{2}\theta +2\tau \_{xy}\sin \theta \cos \theta }
再加上以下的條件
{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad } 及{\displaystyle \qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
可得
{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\cos 2\theta +\tau \_{xy}\sin 2\theta }
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }=-(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\sin \theta \cos \theta +\tau \_{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)}
再加上以下的條件
{\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad } 及{\displaystyle \qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
可得
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\sin 2\theta +\tau \_{xy}\cos 2\theta }
此時不需要計算{\displaystyle \sigma \_{x'}}垂直的應力成份{\displaystyle \sigma \_{y'}}，因為在推導莫爾圓時還不需要此成份 |

這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中，{\displaystyle 2\theta }為參數，而{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}和{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}為橫軸，{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}縱軸，給定參數\theta ，會給定在莫爾圓上的一點。

若從參數式中消去參數{\displaystyle 2\theta }，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得

{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma \_{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})\right]^{2}+\tau \_{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\right]^{2}+\tau \_{xy}^{2}\\(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{\mathrm {avg} })^{2}+\tau \_{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}}
其中

{\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\right]^{2}+\tau \_{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma \_{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})}
這就是圓（莫爾圓）的方程

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}
在{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}坐標系統中，其半徑r=R，圓心在坐標{\displaystyle (a,b)=(\sigma \_{\mathrm {avg} },0)}處。

### 符號體系

在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和地質力學（英语：）用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。

上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

#### 實體空間符號體系

為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此{\displaystyle \tau \_{xy}}是作用在以x軸正向為其法向量的平面上，而方向是往y軸的正方向。

在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。

在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力{\displaystyle \tau \_{xy}}和{\displaystyle \tau \_{yx}}為正，因為這二個剪應力的作用方向往y軸及x軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力{\displaystyle \tau \_{xy}}和{\displaystyle \tau \_{yx}}，其作用方向往y軸及x軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。

#### 莫爾圓空間符號體系

圖5 繪制莫爾圓時，工程力學符號體系下的應力。此條目會依照圖中的符號體系 # 3
在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）

不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量{\displaystyle \tau \_{xy}}為正，而{\displaystyle \tau \_{yx}}為負。這和實體空間符號體系中{\displaystyle \tau \_{xy}}和{\displaystyle \tau \_{yx}}符號相同的情形不同。

在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：

1. 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1）
2. 將正的剪應力畫在下方，也就是{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}軸倒置（圖5，符號體系#2）

將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的{\displaystyle 2\theta }角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的{\displaystyle 2\theta }角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。

為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上{\displaystyle 2\theta }為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。

此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。

### 繪製莫爾圓

圖6：在平面應力及平面應變的條件下繪製莫爾圓（二倍角的作法）  
在應力分析後，可以找到材料中一點P上的應力分量\sigma \_{x}、\sigma \_{y}及{\displaystyle \tau \_{xy}}。應力分量作用在二個互相垂直的A平面及B平面，兩者都通過P點。莫爾圓上A點和 B點的坐標是在A平面及B平面上的應力分量。因此可以用莫爾圓找到應力分量{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}，也就是在同一點上，但作用在其他平面{\displaystyle D}上的應力分量。{\displaystyle {\overline {OB}}}線和{\displaystyle {\overline {OD}}}線之間的夾角是通過P點的平面B和平面D的法向量的夾角
假設已知待研究物體上的點P的應力分量\sigma \_{x}、\sigma \_{y}及{\displaystyle \tau \_{xy}}，如圖4所示。以下方法可以繪製點P的莫爾圓，以表示其應力狀態。

1. 繪制笛卡爾坐標系統{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}，橫軸為{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}，縱軸為{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}。
2. 在{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}空間中，畫出二點{\displaystyle A(\sigma \_{y},\tau \_{xy})}及{\displaystyle B(\sigma \_{x},-\tau \_{xy})}，分別是作用在二垂直平面A平面和 B平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。
3. 用線段\overline {AB}連接A點和B點，此即為圓的直徑。
4. 繪製莫爾圓，其圓心O是線段\overline {AB}的中點，也就是此線和{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}軸的交點。

### 找主要正向應力

主要應力的大小是點C和點E（圖6中圓和 {\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力\sigma \_{1}的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而\sigma \_{2}最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為

{\displaystyle \sigma \_{1}=\sigma \_{\max }=\sigma \_{\text{avg}}+R}
{\displaystyle \sigma \_{2}=\sigma \_{\min }=\sigma \_{\text{avg}}-R}
其中平均正向應力{\displaystyle \sigma \_{\text{avg}}}的大小是圓心O的橫坐標，為

{\displaystyle \sigma \_{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}+\sigma \_{y})}
其半徑的長度R為

{\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{x}-\sigma \_{y})\right]^{2}+\tau \_{xy}^{2}}}}
### 找最大和最小剪應力

最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心O的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑R

{\displaystyle \tau \_{\max ,\min }=\pm R}
### 找任意平面的應力分量

如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點P上的應力分量\sigma \_{x}、\sigma \_{y}及 {\displaystyle \tau \_{xy}}。這些應力分量作用在通過P點的二垂直平面  A 及 B，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上D的應力分量{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}及{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}，事實是作用在D平面上，此平面也通過P點，和B平面有夾角\theta ，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes）

#### 倍角法

如圖6所示，若平面D是平面B再逆時針旋轉角度\theta 後的平面，要找到在平面D上的應力分量{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}，可以在莫爾圓上從已知應力點 {\displaystyle B(\sigma \_{x},-\tau \_{xy})}同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 {\displaystyle 2\theta }，旋轉到點{\displaystyle D(\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}，也就是讓{\displaystyle {\overline {OB}}}線和{\displaystyle {\overline {OD}}}線之間的夾角是{\displaystyle 2\theta }。

倍角法的作法源自於通過P點的二實際平面之間的夾角\theta （圖4），是其對應應力點 {\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。

倍角關係是因為莫爾圓的參數式是{\displaystyle 2\theta }的函數。也可以從在材料點 P上的平面A和B夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。

#### 極點法（或平面原點法）

圖7：平面應力及應變的莫爾圓（極點法）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度平面上的應力狀態
第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量\sigma 及\tau ，可以畫一條線通過莫爾圓上的 {\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }}和{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是{\displaystyle \sigma \_{x},\!}, {\displaystyle \sigma \_{y},\!}及{\displaystyle \tau \_{xy},\!}。首先先從B點畫一條線，平行\sigma \_{x}的作用平面，或是從A點畫一條線，平行\sigma \_{y}的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有\theta 夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。

### 找主要平面的方向

最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中
的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此{\displaystyle {\overline {OB}}}和{\displaystyle {\overline {OC}}}之間的夾角是角∠BOC，是{\displaystyle \theta \_{p}}（主要平面和平面B夾角）角度的二倍。

而{\displaystyle \theta \_{p1}}和{\displaystyle \theta \_{p2}}也可以用以下的方程取得

{\displaystyle \tan 2\theta \_{\mathrm {p} }={\frac {2\tau \_{xy}}{\sigma \_{x}-\sigma \_{y}}}}
此方程的解會是二個角度，彼此相差90^\circ。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }}等於零（主要平面上的剪應力為0）。

一般三維應力下的莫爾圓
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圖10 三維應力下的莫爾圖
若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小{\displaystyle \left(\sigma \_{1},\sigma \_{2},\sigma \_{3}\right)}以及方向{\displaystyle \left(n\_{1},n\_{2},n\_{3}\right)}。

考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用x\_1, x\_2, x\_{3}坐標系統，並且假設{\displaystyle \sigma \_{1}>\sigma \_{2}>\sigma \_{3}}，則在一法向量為 {\displaystyle \mathbf {n} }的平面，其應力向量{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}的應力分量及剪力分量會滿足下式

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma \_{ij}\sigma \_{ik}n\_{j}n\_{k}\\\sigma \_{\mathrm {n} }^{2}+\tau \_{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma \_{1}^{2}n\_{1}^{2}+\sigma \_{2}^{2}n\_{2}^{2}+\sigma \_{3}^{2}n\_{3}^{2}\end{aligned}}}
{\displaystyle \sigma \_{\mathrm {n} }=\sigma \_{1}n\_{1}^{2}+\sigma \_{2}n\_{2}^{2}+\sigma \_{3}n\_{3}^{2}.}
由於{\displaystyle n\_{i}n\_{i}=n\_{1}^{2}+n\_{2}^{2}+n\_{3}^{2}=1}，可以用高斯消去法求解{\displaystyle n\_{1}^{2}}, {\displaystyle n\_{2}^{2}}, {\displaystyle n\_{3}^{2}}：

{\displaystyle {\begin{aligned}n\_{1}^{2}&={\frac {\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{2})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{3})}{(\sigma \_{1}-\sigma \_{2})(\sigma \_{1}-\sigma \_{3})}}\geq 0\\n\_{2}^{2}&={\frac {\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{3})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{1})}{(\sigma \_{2}-\sigma \_{3})(\sigma \_{2}-\sigma \_{1})}}\geq 0\\n\_{3}^{2}&={\frac {\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{1})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{2})}{(\sigma \_{3}-\sigma \_{1})(\sigma \_{3}-\sigma \_{2})}}\geq 0.\end{aligned}}}
因為{\displaystyle \sigma \_{1}>\sigma \_{2}>\sigma \_{3}}及{\displaystyle (n\_{i})^{2}}都不是負值，因此其分子滿足

{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{2})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{3})\geq 0} 因為其分母{\displaystyle \sigma \_{1}-\sigma \_{2}>0}而且{\displaystyle \sigma \_{1}-\sigma \_{3}>0}
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{3})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{1})\leq 0} 因為其分母{\displaystyle \sigma \_{2}-\sigma \_{3}>0}而且{\displaystyle \sigma \_{2}-\sigma \_{1}<0}
{\displaystyle \tau \_{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{1})(\sigma \_{\mathrm {n} }-\sigma \_{2})\geq 0} 因為其分母{\displaystyle \sigma \_{3}-\sigma \_{1}<0}而且{\displaystyle \sigma \_{3}-\sigma \_{2}<0.}
方程式可以寫成

{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma \_{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{2}+\sigma \_{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{2}-\sigma \_{3})\right)^{2}\\\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma \_{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}+\sigma \_{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}-\sigma \_{3})\right)^{2}\\\tau \_{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma \_{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}+\sigma \_{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}-\sigma \_{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}}
是三個應力莫爾圓C\_{1}, C\_{2}和C\_{3}的方程，其半徑分別是{\displaystyle R\_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{2}-\sigma \_{3})}, {\displaystyle R\_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}-\sigma \_{3})}及{\displaystyle R\_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}-\sigma \_{2})}，而其圓心分別在{\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{2}+\sigma \_{3}),0\right]}, {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}+\sigma \_{3}),0\right]}, {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma \_{1}+\sigma \_{2}),0\right]}。

有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })}都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點{\displaystyle (\sigma \_{\mathrm {n} },\tau \_{\mathrm {n} })} 可能滿足圓C\_{1}的方程，或是在圓C\_{1}的外面，可能滿足圓C\_{2}的方程，或是在圓C\_{2}的裡面，可能滿足圓C\_{3}的方程，或是在圓C\_{3}的外面。

相關條目
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* 臨界面分析（英语：）

腳註
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1. ↑  Parry, Richard Hawley Grey.  2. Taylor & Francis. 2004: 1–30  [2018-02-05]. ISBN 0-415-27297-1. （原始内容存档于2020-08-07）.
2. ↑   Russell C. Hibbeler.. 2010: 461–462. ISBN 978-0136022305 （英语）.

參考資料
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* Timoshenko, Stephen P.. Dover Books on Physics. Dover Publications. 1983. ISBN 0-486-61187-6.

外部連結
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|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**莫爾圓** |

* *Mohr's Circle and more circles* by Rebecca Brannon （页面存档备份，存于）
* DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle" （页面存档备份，存于）