解析式：f(x)=x^{2}-x-2\,\!
在数学中，**二次函数**（英語：quadratic function）表示形为 f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!（a\neq 0\,\!，且a、b、c是常数）的多项式函数，其中，x为自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

二次函数表达式ax^{2}+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史
--

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作*Liber embadorum*，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

根
-

更多：二次方程和韦达定理

二次方程 ax^{2}+bx+c=0\,\! 的两个根为：


x
=

−
b
±

b

2

−
4
a
c

2
a


{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}解方程后，我们会得到两个根：x\_1和x\_2。则点{\displaystyle (x\_{1},0)}和{\displaystyle (x\_{2},0)}就是二次函数与x轴的交点。根的类型如下：

* 设\Delta =b^{2}-4ac\,為一元二次方程式的判別式，又記作D。
* 當\Delta >0\,\!，则方程有两个不相等的根，也即与x轴有两个不重疊的交点，因为{\sqrt {\Delta }}是正数。
* 當\Delta =0\,\!，则方程有两个相等的根，也即与x轴有一个切点，因为{\sqrt {\Delta }}是零。
* 當\Delta <0\,\!，则方程没有實數根，也即与 x 轴没有交点，因为{\sqrt {\Delta }}是共軛複數。

设r\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}和r\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}，我们可以把ax^{2}+bx+c\,\!因式分解为a(x-r\_{1})(x-r\_{2})\,\!。

二次函数的形式
-------

二次函数可以表示成以下三种形式：

* f(x)=ax^{2}+bx+c\,\! 称为**一般形式**或**多项式形式**。
* f(x)=a(x-r\_{1})(x-r\_{2})\,\! 称为**因子形式**或**交点式**，其中r\_{1}和r\_{2}是二次方程的两个根，(r\_1,0),(r\_2,0) 是抛物线与x轴的两个交点。
* f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\! 称为**标准形式**或**顶点形式**，(h,k)即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根r\_{1}和r\_{2}，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為h

* k展開後比較後可得 {\displaystyle k=-a\left({\frac {|r\_{1}-r\_{2}|}{2}}\right)^{2}}

不通過r\_{1}和r\_{2}求k及h公式：

* h=-{\frac {b}{2a}}
* {\displaystyle k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} (也作k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}})

而在三種形式中皆出現的a為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像
--

f(x)=ax^{2},\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x)=x^{2}+bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x)=x^{2}+bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!
* 系数a控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。|a|越大，开口越小，函数就增长得越快。
* 系数b和a控制了抛物线的对称轴（以及顶点的x坐标）。
* 系数b控制了抛物线穿过y轴时的倾斜度（导数）。
* 系数c控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与y轴的交点。

| 函数 | 图像 | 函数变化 | 对称轴 | 开口方向 | 最大（小）值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y=ax^2 | a>0 |  | 当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x 的减小而增大 | y轴或x=0 | 向上 | {\displaystyle 0} |
| y=ax^2 | a<0 |  | 当x>0时，y随x 的增大而减小；当x<0时，y随x 的减小而减小 | y轴或x=0 | 向下 | {\displaystyle 0} |
| y=ax^2+c | a>0 |  | 当x>0时，y随x 的增大而增大；当x<0时，y随x 的减小而增大 | y轴或x=0 | 向上 | c |
| y=ax^2+c | a<0 |  | 当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x 的减小而减小 | y 轴或 x=0 | 向下 | c |
| y=ax^{2}+bx+c | a>0 |  | 当x>-\frac{b}{2a}时，y 随x的增大而增大；当x<-\frac{b}{2a}时，y随x的减小而增大 | x=-{\frac {b}{2a}} | 向上 | {\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} |
| y=ax^{2}+bx+c | a<0 |  | 当x>-\frac{b}{2a}时，y 随x的增大而减小；当x<-\frac{b}{2a}时，y随x的减小而减小 | x=-{\frac {b}{2a}} | 向下 | {\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} |

### *x* 截距

当函数与x轴有两个交点时，设这两个交点分别为 {\displaystyle A(x\_{1},0),\,B(x\_{2},0)}，由根与系数的关系得出：{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}}}和x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x\_{2}-x\_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x\_{2}-x\_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x\_{1}+x\_{2})^{2}-4x\_{1}x\_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}
### 顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为(h,k)\,\!。用配方法，可以把一般形式f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!化为：


f
(
x
)
=
a

(

x
+

b

2
a

)

2

+

4
a
c
−

b

2

4
a


{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：



(

−

b

2
a

,
−

Δ

4
a

)

{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}

{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}如果二次函数是因子形式f(x)=a(x-r\_{1})(x-r\_{2})\,\!，则两个根的平均数



r

1

+

r

2

2



{\displaystyle {\frac {r\_{1}+r\_{2}}{2}}\,\!}

{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}就是顶点的x坐标，因此顶点位于



(


r

1

+

r

2

2

,
f
(

r

1

+

r

2

2

)

)

{\displaystyle \left({\frac {r\_{1}+r\_{2}}{2}},f({\frac {r\_{1}+r\_{2}}{2}})\right)\!}

{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}a<0\,\!时，顶点也是最大值；a>0\,\!时，则是最小值。

经过顶点的竖直线


x
=
h
=
−

b

2
a


{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}

{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}又称为抛物线的对称轴。

### 最大值和最小值

#### 導數法

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：


f
(
x
)
=
a

x

2

+
b
x
+
c
⇔

f
′

(
x
)
=
2
a
x
+
b

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}然后，求出f'(x)\,\!的根：


2
a
x
+
b
=
0
⇒

2
a
x
=
−
b
⇒

x
=
−

b

2
a


{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}

{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}因此，-{\frac {b}{2a}}是f(x)\,\!的x\,\!值。现在，为了求出y\,\!，我们把x=-{\frac {b}{2a}}代入 f(x)\,\!：


y
=
a

(

−

b

2
a

)

2

+
b

(

−

b

2
a

)

+
c
⇒
y
=

a

b

2

4

a

2


−

b

2

2
a

+
c
⇒
y
=

b

2

4
a

−

b

2

2
a

+
c
⇒
y
=

b

2

−
2

b

2

+
4
a
c

4
a

⇒
y
=

−

b

2

+
4
a
c

4
a

⇒
y
=
−

(

b

2

−
4
a
c
)

4
a

⇒
y
=
−

Δ

4
a


{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}

{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}所以，最大值或最小值的坐标为：



(

−

b

2
a

,
−

Δ

4
a

)

{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}

{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}
#### 配方法

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當x=-{\frac {b}{2a}}時，f(x)有最大或最小值{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}。

二次函数的平方根
--------

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果a>0\,\!，则方程y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线y\_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果a<0\,\!，则方程y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线y\_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数
------

二元二次函数是以下形式的二次多项式：


f
(
x
,
y
)
=
A

x

2

+
B

y

2

+
C
x
+
D
y
+
E
x
y
+
F

{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}

{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}这个函数描述了一个二次曲面。把f(x,y)\,\!设为零，则描述了曲面与平面z=0\,\!的交线，它是一条圆锥曲线。

### 最小值/最大值

如果4AB-E^{2}<0\,，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 4AB-E^{2}>0\,，则当{\displaystyle A>0}时函数具有最小值，当{\displaystyle A<0}具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 (x\_{m},y\_{m})\, 取得，其中：



x

m

=
−

2
B
C
−
D
E

4
A
B
−

E

2


{\displaystyle x\_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}

{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}

y

m

=
−

2
A
D
−
C
E

4
A
B
−

E

2


{\displaystyle y\_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}

{\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}如果4AB-E^{2}=0\,且DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果4AB-E^{2}=0\,且DE-2CB=2AD-CE=0\,，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当{\displaystyle A>0}时取得最大值，{\displaystyle A<0}时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

註釋
--

1. ↑  注：自变量x的取值范围为任何实数
2. ↑  参见婆羅摩笈多#代數
3. ↑  参见花拉子米#代數
4. ↑  参见韦达定理

参考资料
----

1. ↑ . 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
2. ↑  贾士代.. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.
3. ↑ .  [2015-08-06]. （原始内容存档于2015-07-29）.  （页面存档备份，存于）

### 参考书目

* 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
* 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

參見
--

* 抛物线

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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| * 
* 论
* 编
多項式 |
| --- |
|  |
| 函數 | 
* 零次函數(常數函數)
* 一次函數
* 二次函数
* 三次函數
* 四次函數
* 五次函數

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|  |
| 方程 | 
* 一次方程
* 二次方程
* 三次方程
* 四次方程
* 五次方程
* 六次方程
* 七次方程
* 八次方程

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|  |
| 算法 | 
* 多项式除法
* 因式
* 不可约多项式
* 最大公因式（英语：）
* 秦九韶算法
* 結式
* 判别式

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