在数学中，**柯西-利普希茨定理**（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称**皮卡-林德勒夫定理**（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是**皮卡-林德勒夫定理**，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理
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设E为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

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| {\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}} |

其中U为E中的一个开集，I是{\displaystyle \mathbb {R} }中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

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| {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)} |

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

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| {\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|} |

那么对于任一给定的初始条件： {\displaystyle x(t\_{0})=x\_{0}}，其中 {\displaystyle t\_{0}\in I}、{\displaystyle x\_{0}\in U}，微分方程（1）存在一个解 {\displaystyle (J,x(t))}，其中 {\displaystyle J\subset I} 是一个包含 t\_{0} 的区间，x(t) 是一个从 J  射到 {\displaystyle U} 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点t\_{0}的足够小的J区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（{\displaystyle x(t\_{0})=x\_{0}}）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明
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一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列{\displaystyle y\_{n+1}=\Phi (y\_{n})}，使得{\displaystyle \Phi ^{\prime }(y\_{n})=f(y\_{n},t)}，这样，如果这个序列有一个收敛点 y ，那么y为函数\Phi 的不动点，这时就有{\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}，于是我们构造出了一个解y。为此，我们从常数函数

{\displaystyle y\_{0}(t)=x\_{0}\ }开始。令
{\displaystyle \Phi (y\_{i})(t)=x\_{0}+\int \_{t\_{0}}^{t}f(y\_{i}(s),s)\,ds.}
这样构造出来的函数列{\displaystyle (y\_{i})\_{i\geq 0}}中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f 在 {\displaystyle U} 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，\Phi 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于\Phi 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理
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局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解{\displaystyle \ (J,x(t))}、{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}，定义一个序关系：{\displaystyle \ (J,x(t))}小于{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}当且仅当 {\displaystyle J\subset J^{\prime }}，并且{\displaystyle x^{\prime }(t)}在{\displaystyle \ J}上的值与{\displaystyle \ x(t)}一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，**微分方程的最大解是唯一存在的**。

### 证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更"大"的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程
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对于一元的高阶常微分方程

{\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}，
只需构造向量{\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}和相应的映射{\displaystyle \ \Phi }，就可以使得（2）变为{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}。这时的初始条件为{\displaystyle Y(t\_{0})=Y\_{0}}，即

{\displaystyle {\begin{matrix}y(t\_{0})=y\_{0}\\y^{\prime }(t\_{0})=y\_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t\_{0})=y\_{n-1}\end{matrix}}}

扩展至偏微分方程
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对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见
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* 常微分方程
* 柯西-克瓦列夫斯基定理
* 动力系统
* 初值問題
* 利普希茨条件
* 弗罗贝尼乌斯定理
* 皮亚诺存在性定理

参考资料
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* 常微分方程（组）基本理论[永久]
* M. E. Lindelöf, *Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre*; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在  （页面存档备份，存于） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

相关链接
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* 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于）
* 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文[永久]