在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足**歸一條件**（**歸一化，或規範化**，英語：），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 1 。這性質稱為**歸一性**。用數學公式表達，

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi ^{\*}(x)\psi (x)\ dx=1 ;
其中，x 是粒子的位置，\psi (x) 是波函數。

歸一化導引
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一般而言，波函數 \psi  是一個複函數。可是，\psi ^{\*}\psi =\mid \psi \mid ^{2} 是一個實函數，大於或等於 {\displaystyle 0} ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 [x,\ x+\Delta x] 內，找到粒子的機率 \Delta P 是

\Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x ；(1) 。
既然粒子存在於空間，機率是 1 。所以，積分於整個一維空間：

P=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\mid \psi \mid ^{2}dx=1 。(2)
假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 \psi  ，其機率 P 是有限的，但不等於 1 ，則可以將波函數 \psi  乘以一個常數，使機率 P 等於 1 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 P 等於 1。

實例
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在一維空間內，束縛於區域 [0,\ \ell ] 內的一個粒子，其波函數是

\psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{{i(kx-\omega t)}},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}} ；
其中，k 是波數，\omega  是角頻率，A 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 A 。將波函數代入：

\mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{{i(kx-\omega t)}}e^{{-i(kx-\omega t)}}=A^{2} 。
積分於整個粒子存在的區域：

\int \_{{0}}^{{\ell }}A^{2}dx=1 。
稍加運算，

A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{{\sqrt {\ell }}}}\right) 。
歸一化的波函數是：

\psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{{\sqrt {\ell }}}}\right)e^{{i(kx-\omega t)}},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}} 。

薛丁格方程的形式不變
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薛丁格方程為 

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x) ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，V(x) 是位勢，E 是能量。

將波函數 \psi  歸一化為 \psi \,'=A\psi  。則薛丁格方程成為

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)
\Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)
\Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x) 。
薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 \psi  和 \psi \,' 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性
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給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 A 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 \psi (x,\ t) 滿足薛丁格方程與歸一條件：

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}} ，
P=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi ^{\*}\psi \ dx=1 ；
假若，歸一性是恆定的，則機率 P 不含時間。為了顯示這一點，先計算 {\frac {dP}{dt}} ：

{\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi ^{\*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{\*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx 。
展開被積函數

{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{\*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{\*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}} 。
編排薛丁格方程，可以得到波函數 \psi  對於時間的偏導數：

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi  。
共軛波函數 \psi ^{\*} 對於時間的偏導數為

{\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{\*} 。
將 \psi  與 \psi ^{\*} 代入被積函數

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{\*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{\*}\right)\psi +\psi ^{\*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{\*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{\*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}。
代入 {\frac {dP}{dt}} 的方程式:

{\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{\*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial x}}\psi \right)\right|\_{{\infty }}-\left.\left(\psi ^{\*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial x}}\psi \right)\right|\_{{-\infty }}\right] 。
可是，在 x=\pm \infty  ，\psi  與 \psi ^{\*} 都等於 0 ．所以，

{\frac {dP}{dt}}=0 。
機率 P=1 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻
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* Griffiths, David J.. Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

參閱
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* 正則變換
* 么正性

外部連結
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* Middlebury 大學講義：歸一化