曲线*x*=2+cos *z*的一部分绕着*z*轴旋转。
**旋转曲面**是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。

例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

面积
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如果曲线由参数方程x(t)、y(t)给出，其中{\displaystyle a<t<b}，且旋转轴是y轴，则旋转曲面A的面积由以下的积分给出：

{\displaystyle A=2\pi \int \_{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}
条件是x(t)非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。

{\displaystyle \left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}
来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。{\displaystyle 2\pi x(t)}是这一小段的（重心的）路径。

如果曲线的方程是*y* = *f*(*x*)，*a* ≤ *x* ≤ *b*，则积分变为：

{\displaystyle A=2\pi \int \_{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}（绕着*x*轴旋转），
{\displaystyle A=2\pi \int \_{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy}（绕着*y*轴旋转）。
这可以由以上的公式推出。

例如，单位半径的球面由曲线*x*(*t*) = sin(*t*)，*y*(*t*) = cos(*t*)旋转而得，其中{\displaystyle 0<t<\pi }。所以，它的面积为：

{\displaystyle A=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi .}
对于半径为*r*的圆{\displaystyle y(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}绕着*x*轴旋转所得的曲面，

{\displaystyle A=2\pi \int \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx}
{\displaystyle =2\pi \int \_{-r}^{r}r\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx}
{\displaystyle =2\pi \int \_{-r}^{r}r\,dx}
{\displaystyle =4\pi r^{2}\,}

参见
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* 旋转体

参考文献
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* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
* Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.
* Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.
* Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.
* Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.

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