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| 数学分析 → **複分析** |
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在複分析中，**留数定理**，又叫**残数定理**（英語：），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。

定理
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假设U是复平面上的一个单连通开子集，a\_1, \cdots, a\_n是复平面上有限个点，f是定义在U\setminus{a\_1, \cdots, a\_n}的全纯函数。如果\gamma 是一条把a\_1, \cdots, a\_n包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个a\_{k}，并且其起点与终点重合，那么：

\oint\_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum\_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a\_k) 
\operatorname{Res}( f, a\_k ). 
如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, *a**k*) = 1，因此：

\oint\_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum\_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a\_k ). 
在这里，Res(*f*, *a**k*)表示*f*在点*a**k*的留数，I(γ, *a**k*)表示γ关于点*a**k*的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点*a**k*的次数。如果γ依逆时针方向绕着*a**k*移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过*a**k*，卷绕数就是零。

例子
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### 实轴上的积分

以下的积分

\int\_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx
积分路径
在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−*a*到*a*，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从*a*到−*a*。取*a*为大于1，使得虚数单位*i*包围在曲线里面。路径积分为：

\int\_C {f(z)}\,dz =\int\_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.
由于*e**itz*是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母*z*2 + 1为零时才具有奇点。由于*z*2 + 1 = (*z* + *i*)(*z* − *i*)，因此这个函数在*z* = *i*或*z* = −*i*时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于*f*(*z*)是 

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| \frac{e^{itz}}{z^2+1} \,\! | {}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\,\! |
|  | {}=\frac{e^{itz}}{2i}\frac{1}{z-i} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \,\! |

*f*(*z*)在*z* = *i*的留数是：

\operatorname{Res}\_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.
根据留数定理，我们有：

\int\_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}\_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.
路径*C*可以分为一个"直"的部分和一个曲线弧，使得：

\int\_{\mbox{straight}}+\int\_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,
因此

\int\_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int\_{\mbox{arc}}.
如果*t* > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

\int\_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \leq \int\_{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^2+1}\right|\,|dz|=\int\_{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^2+1|}\,|dz|=\int\_{\mbox{arc}}{1 \over |z^2+1|}\,|dz|\leq \int\_{\mbox{arc}}{1 \over a^2-1}\,|dz|=\frac{\pi a}{a^2-1}
\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.
上述结果也可以直接由Jordan引理（英语：）得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要t>0才能成立，所以如果{\displaystyle t<0}就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果*t* > 0，那么：

\int\_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.
类似地，如果曲线是绕过−*i*而不是*i*，那么可以证明如果*t* < 0，则

\int\_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,
因此我们有：

\int\_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.
（如果*t* = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

### 无穷级数

由于{\displaystyle \pi \cot(\pi z)}在z为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为1，因此可以用来计算如下所示级数：

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }f(n)}
在此处令{\displaystyle f(z)=z^{-2}}，并且令{\displaystyle \Gamma \_{N}}为{\displaystyle \left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}}的正方形正向（逆时针）围道（其中N为整数），于是依留数定理：

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \_{\Gamma \_{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \_{\Gamma \_{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} \_{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum \_{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}
当{\displaystyle N\to \infty }时，等式左侧由于{\displaystyle O(n^{-2})}而趋于零；另一方面：

{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B\_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }
其中有伯努利数{\displaystyle B\_{2}={\frac {1}{6}}}。

（实际上有{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}}）因此，{\displaystyle \operatorname {Res} \_{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}}，可以得出：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
即为巴塞尔问题的证明之一。

参见
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* 留数
* 路径积分
* 莫雷拉定理
* 傅里叶变换
* 拉普拉斯变换

参考文献
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1. ↑  史济怀; 刘太顺.. 合肥: 中国科学技术大学出版社. 1998-12-01. ISBN 9787312009990.

* Ahlfors, Lars, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
* Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
* Lindelöf, Ernst, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8

外部链接
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* Mathworld （页面存档备份，存于）
* John H. Mathews所作的留数定理教程