**双蛋问题**（）是一个经典的算法问题，它经常被描述为"给你两个相同的异常坚硬的鸡蛋，通过在一栋100层的楼的不同层扔下鸡蛋进行实验，试验出可以摔碎该鸡蛋的最高楼层（临界楼层）。已知未碎的鸡蛋可以重复使用。求最少的实验次数n,使得在n次实验后，一定能判断出该临界楼层。"

该问题可以扩展为这样一类问题： 在N个鸡蛋，k层楼的条件下，找到一个最小的m，使得存在一种方案，在m次实验以后，一定能找到鸡蛋的临界楼层。

问题假设
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为了更加精确地思考问题，该问题中必须满足以下的条件：

1. 如果鸡蛋在某一层没有碎,它不会在任何更低层的破碎。
2. 如果鸡蛋在某一层碎了，它在更高层上一定会碎。
3. 鸡蛋可能在一楼摔破，也可能在最高层还不摔破。

解决方案
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此时，你有2个鸡蛋，楼高100层。我们可以先思考有1个鸡蛋和有无数个鸡蛋的情况。

### 1个鸡蛋

此时，由于只有一个鸡蛋，所以一旦破碎，那么就无法继续进行试验，我们只能从第1层开始，一层一层地实验。在这种情况下最多需要99次实验。

### 无数个鸡蛋

容易的解决方案是二分法，{\displaystyle \log \_{2}{100}\approx 6.644<7} ,所以如果我们有无数个鸡蛋，我们最多只需要7次就可以试验出。比如，先在64楼扔一次鸡蛋，如果碎了，那就到32层扔第二次，如果第二次扔鸡蛋又碎了，再到16层去扔第三次，如果这次没有碎，那你可以再到第24层去扔第四次，又没碎，那就去28层扔第五次，还是没有碎，再到30层扔第六次，这次又碎了，再到29层扔第七次，第七次碎了，那么临界楼层就是第28层，第七次没碎，临界楼层就是第29层。所以无数个鸡蛋最多只需要7次就可以实验。

### 两个鸡蛋

借助于二分法提供的分组思想，我们可以尝试将100平均分成10组，用第一个鸡蛋在每组最后一层进行实验，这样可以实验出临界楼层在哪一组。然后再用第二个鸡蛋从该组第一层依次实验。这种方案的最坏情况是19次。

我们发现，如果19层是临界楼层，只需要实验11次，而如果临界层是99层，就需要实验19次。因此我们是否可以将19次平均到11次一部分？为此，有以下方案，第一组x人，第二组{\displaystyle (x-1)}人,第三组{\displaystyle (x-2)}人,……第x组1人，考虑到{\displaystyle x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>100}，解得{\displaystyle x>13.65}，所以{\displaystyle x=14}时，最多需要14次便可以找出临界楼层。

推广问题
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下面是双蛋问题的几个推广问题。

### 2个鸡蛋，k层楼

类似于之前的方法，只需要{\displaystyle x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>k}即可，可以求出{\displaystyle k=\left\lceil {\frac {-1+{\sqrt {1+8k}}}{2}}\right\rceil }（参见取整函数、高斯符号）

### n个鸡蛋，k层楼

让我们定义一个函数{\displaystyle f(d,n)},表示有n个鸡蛋，通过d次实验就一定能够判断出临界楼层的最大楼层。 如果鸡蛋打破,我们将能够将临界楼层范围缩小到f(d−1,n−1)层；否则我们将能够把范围缩小到 f(d-1,n)层。 

因此，{\displaystyle f(d,n)=1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)}。这只是一个递归关系，而我们必须找到一个函数 f(d,n)。 

因此,我们将定义一个辅助函数{\displaystyle g(d,n):g(d,n)=f(d,n+1)-f(d,n)}

根据我们的第一个方程

{\displaystyle {\begin{aligned}g(d,n)&=f(d,n+1)-f(d,n)\\&=f(d-1,n+1)+f(d-1,n)+1-f(d-1,n)-f(d-1,n-1)-1\\&=[f(d-1,n+1)-f(d-1,n)]+[f(d-1,n)-f(d-1,n-1)]\\&=g(d-1,n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}}
函数{\displaystyle g(d,n)}可以写成{\displaystyle g(d,n)={\binom {d}{n}}}（参见二项式系数）

但是我们有一个问题：根据之前的关系f和g，对于任何n，{\displaystyle f(0,n)}以及{\displaystyle g(0,n)}都是{\displaystyle 0}。然而,在n=0时会发生矛盾，因为{\displaystyle g(0,0)={\binom {0}{0}}=1}，但对于每一个n，{\displaystyle g(0,n)}应该是{\displaystyle 0}! 

我们可以通过重定义{\displaystyle g(d,n)}修复这个问题如下：

{\displaystyle g(d,n)={\binom {d}{n+1}}}

递归是仍然有效。

现在，展开f(d,n),我们可以把它写成

{\displaystyle {\begin{aligned}f(d,n)=&[f(d,n)-f(d,n-1)]\\+&[f(d,n-1)-f(d,n-2)]\\+&\cdots \\+&[f(d,1)-f(d,0)]\\+&f(d,0).\end{aligned}}}

我们知道{\displaystyle f(d,0)=0},因此

{\displaystyle f(d,n)=g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)}

我们也知道

{\displaystyle g(d,n)={\binom {d}{n+1}}}

  

因此，

{\displaystyle g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)={\binom {d}{n}}+{\binom {d}{n-1}}+\cdots +{\binom {d}{1}}}

最后，

{\displaystyle f(d,n)=\sum \_{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}}

我们知道{\displaystyle f(d,n)}是所有最少实验次数为d的总楼层数中最大的一个，我们只要找到一个k满足以下条件即可：

{\displaystyle f(d,n)\geqslant k}

使用我们最后的公式,

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}\geqslant k}

让我们来试验一下:

{\displaystyle f(t,3)=\sum \_{i=1}^{3}{\binom {t}{i}}={\frac {t(t^{2}+5)}{6}}}

因此有{\displaystyle f(8,3)=92,f(9,3)=129}

所以我们如果有三个鸡蛋，可以保证在9次实验之内找到临界楼层。

### 其他方法

除了解析法之外，最常见的方法是递归法。

想象以下情况：n个鸡蛋，k层楼，然后你把鸡蛋在连续的h层中的第i层进行试验。

如果鸡蛋打破：这个问题会减少为n-1鸡蛋和 i-1个剩余楼层的问题；如果不打破：这个问题会减少为n鸡蛋和h-i个剩余楼层的问题。
现在我们可以定义一个函数{\displaystyle W(n,h)}计算所需的最小实验次数：

我们可以编写上述结果为确定找到下面的递归{\displaystyle W(n,h)}:

以下代码由C++编写

{\displaystyle W(n,h)=1+min(max(W(n-1,i-1),W(n,h-i)))}

```
#include <iostream>
#include <iostream>
#include <limits.h>

using namespace std;

//Compares 2 values and returns the bigger one
int max(int a,int b) {
 int ans=(a>b)?a:b;
 return ans;
}

//Compares 2 values and returns the smaller one
int min(int a,int b){
 int ans=(a<b)?a:b;
 return ans;
}

int egg(int n,int h){

 //Basis case
 if(n==1) return h;
 if(h==0) return 0;
 if(h==1) return 1;

 int minimum=INT\_MAX;

 //Recursion to find egg(n,k). The loop iterates i: 1,2,3,...h
 for(int x=1;x<=h;x++) minimum=min(minimum,(1+max(egg(n,h-x),egg(n-1,x-1))));

 return minimum;
}

int main()
{
 int e;//Number of eggs
 int f;//Number of floors

 cout<<"Egg dropping puzzle\n\nNumber of eggs:";

 cin>>e;

 cout<<"\nNumber of floors:";

 cin>>f;

 cout<<"\nNumber of drops in the worst case:"<<egg(e,f);

 return 0;
}
}

```

参见
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* 递归
* 二项式系数
* 取整函数、高斯符号

參考資料
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1. ↑ .  [2020-06-20]. （原始内容存档于2020-08-19）.
2. ↑ .  [2020-06-20]. （原始内容存档于2020-06-23）.
3. ↑ .  [2020-06-20]. （原始内容存档于2020-03-12）.

外部連結
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1. 双蛋问题的另一个递归程序（页面存档备份，存于）
2. 李永乐老师（页面存档备份，存于）
3. 相关动态规划问题（页面存档备份，存于）