**波尔文积分**（英語：）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文（英语：）和乔纳森·波尔文（英语：）共同发表了这个涉及sinc函数的积分。

常见的例子为：

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
这种规律一直到 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}
都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}

公式
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对于给定的一系列非零实数，即{\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2}\cdots }，可以给出{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\prod \_{k=0}^{n}{\frac {\sin(a\_{k}x)}{a\_{k}x}}\mathrm {d} x}的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有a\_{k}相关的量之和。特别的，设{\displaystyle \gamma =(\gamma \_{1},\gamma \_{2},\cdots ,\gamma \_{n})\in \{\pm 1\}^{n}}即由{\displaystyle \pm 1}构成的n元组，于是可以写成{\displaystyle b\_{\gamma }=a\_{0}+\gamma \_{1}a\_{1}+\gamma \_{2}a\_{2}+\cdots +\gamma \_{n}a\_{n}}即有关a\_{k}的各种加减形式的总和，并且令{\displaystyle \varepsilon \_{\gamma }=\gamma \_{1}\gamma \_{2}\cdots \gamma \_{n}}（其结果为{\displaystyle \pm 1}）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\prod \_{k=0}^{n}{\frac {\sin(a\_{k}x)}{a\_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a\_{0}}}\cdot C\_{n}}
其中：

{\displaystyle C\_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod \_{k=1}^{n}a\_{k}}}\cdot \sum \_{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon \_{\gamma }b\_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b\_{n})}
在这里如果{\displaystyle a\_{0}>|a\_{1}|+|a\_{2}|+\cdots +|a\_{n}|}，那么有{\displaystyle C\_{n}=1}。

进一步地，如果存在一个n对于每个{\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}总有{\displaystyle 0<a\_{n}<2a\_{k}}成立，并且有{\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{n-1}<a\_{0}<a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{n-1}+a\_{n}}，即n为首次超过a\_{0}的前几项之和时的元素数量，即当{\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}时有{\displaystyle C\_{k}=1}，但在其他情况时：

{\displaystyle C\_{n}=1-{\frac {(a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{n}-a\_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod \_{k=1}^{n}a\_{k}}}}
在这里令{\displaystyle a\_{k}={\frac {1}{2k+1}}}，即当n=7时{\displaystyle a\_{7}={\frac {1}{15}}}，此时{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}但是{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}，又由于a\_{0}=1，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}
但在另一方面，则有：

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]}
即与前面给出的公式的结果相同。

参考资料
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1. ↑  Borwein, David; Borwein, Jonathan M.  [sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质], *The Ramanujan Journal*, 2001, **5** (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 （英语）