在群論中，**凱萊定理**，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群*G* 同構於在*G*上的對稱群的子群。這可以被理解為*G*在*G*的元素上的群作用的一個例子。

集合*G*的置換是任何從*G*到*G*的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個群，叫做"*G*上的對稱群"并寫為Sym(*G*)。 

凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(***R***,+)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史
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Burnside
將其歸功於Jordan，但是 
Eric Nummela爭論說這個定理的名字"凱萊定理"事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明
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從初等群論中，知道了對于任何*G*中元素*g*必然有*g*\**G* = *G*；并通過消除規則知道了*g*\**x* = *g*\**y*當且僅當*x* = *y*。所以左乘*g*充當了雙射函數*f**g* : *G* → *G*，通過定義*f**g*(*x*) = *g*\**x*。所以，*f**g*是*G*的置換，并因此是Sym(*G*)的成員。

Sym(*G*)的子集*K*定義為

*K* = {*f**g* : *g* ∈ *G*并且*f**g*(*x*) = *g*\**x*對於所有*x* ∈ *G*}
是同構於*G*的Sym(*G*)的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數*T* : *G* → Sym(*G*)對於所有*G*中的*g*有著*T*(*g*) = *f**g*。(對Sym(*G*)中的複合使用"·")，*T*是群同態因為：

(*f**g* · *f**h*)(*x*) = *f**g*(*f**h*(*x*)) = *f**g*(*h*\**x*) = *g*\*(*h*\**x*) = (*g*\**h*)\**x* = *f*(*g*\**h*)(*x*)，對於所有*G*中的*x*，因此：
*T*(*g*) · *T*(*h*) = *f**g* · *f**h* = *f*(*g*\**h*) = *T*(*g*\**h*)。
同態*T*也是單射因為：*T*(*g*) = id*G*（Sym(*G*)的單位元）蘊含了對于所有*G*中的*x*有*g\*x* = *x*，選取*x*為*G*的單位元*e*產生*g* = *g*\**e* = *e*。可替代的，*T*(*g*)也是單射因為：*g*\**x*=*g*\**x'* 蘊含*x*=*x'* （通過左乘上*g*的逆元，因為*G*是群所以一定存在）。

因此*G*同構於*T*的像，它是子群*K*。

*T*有時叫做*G*的正規表示。

### 另一个的證明

另一个證明使用了群作用的語言。考慮群G為G-集合，可以證明它有置換表示\phi 。 

首先假設{\displaystyle G=G/H}帶有{\displaystyle H=\{e\}}。則根據G-軌道分類這個群作用是{\displaystyle g.e}（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠实的，如果\phi 是單射，就是說，如果\phi 的核是平凡的。假設g ∈ ker \phi ，則{\displaystyle g=g.e=\phi (g).e}，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為g ∈ ker \phi , {\displaystyle \phi (g)=e}并因此ker \phi 是平凡的。則im {\displaystyle \phi <G}并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記
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單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子
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Z2 = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z3 = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S3（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

| \* | *e* | *a* | *b* | *c* | *d* | *f* | 置換 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *e* | *e* | *a* | *b* | *c* | *d* | *f* | *e* |
| *a* | *a* | *e* | *d* | *f* | *b* | *c* | (12)(35)(46) |
| *b* | *b* | *f* | *e* | *d* | *c* | *a* | (13)(26)(45) |
| *c* | *c* | *d* | *f* | *e* | *a* | *b* | (14)(25)(36) |
| *d* | *d* | *c* | *a* | *b* | *f* | *e* | (156)(243) |
| *f* | *f* | *b* | *c* | *a* | *e* | *d* | (165)(234) |

引用
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1. ↑  Burnside, William,  2, Cambridge, 1911
2. ↑  Jordan, Camille, Paris: Gauther-Villars, 1870
3. ↑  Nummela, Eric, American Mathematical Monthly, 1980, **87** (3): 202–203
4. ↑  Cayley, Arthur, Phil. Mag. 1854, **7** (4): 40–47

參見
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* 米田引理

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