哈恩多项式
**哈恩多项式**（Hahn polynomials）是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式，由下列广义超几何函数定义：

  

{\displaystyle Q\_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}\_{3}F\_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ }
前几个哈恩多项式为

{\displaystyle h[5]:=1+27\*x/(-4\*\alpha -4)+3\*x\*\alpha /(-4\*\alpha -4)+270\*x^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))+57\*x^{2}\*\alpha /((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))-270\*x/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))-57\*x\*\alpha /((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))+3\*x^{2}\*\alpha ^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))-3\*x\*\alpha ^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6))+990\*x^{3}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+299\*x^{3}\*\alpha /((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))-2970\*x^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))-897\*x^{2}\*\alpha /((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+30\*x^{3}\*\alpha ^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))-90\*x^{2}\*\alpha ^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+1980\*x/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+598\*x\*\alpha /((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+60\*x\*\alpha ^{2}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+x^{3}\*\alpha ^{3}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))-3\*x^{2}\*\alpha ^{3}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))+2\*x\*\alpha ^{3}/((-4\*\alpha -4)\*(-3\*\alpha -6)\*(-2\*\alpha -6))}{\displaystyle h[6]:=1+27\*x/(-5\*\alpha -5)+3\*x\*\alpha /(-5\*\alpha -5)+270\*x^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))+57\*x^{2}\*\alpha /((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))-270\*x/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))-57\*x\*\alpha /((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))+3\*x^{2}\*\alpha ^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))-3\*x\*\alpha ^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8))+990\*x^{3}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+299\*x^{3}\*\alpha /((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))-2970\*x^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))-897\*x^{2}\*\alpha /((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+30\*x^{3}\*\alpha ^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))-90\*x^{2}\*\alpha ^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+1980\*x/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+598\*x\*\alpha /((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+60\*x\*\alpha ^{2}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+x^{3}\*\alpha ^{3}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))-3\*x^{2}\*\alpha ^{3}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9))+2\*x\*\alpha ^{3}/((-5\*\alpha -5)\*(-4\*\alpha -8)\*(-3\*\alpha -9)).}

正交性
---

对于 \alpha  > -1 和 \beta  > -1 以及 {\displaystyle \alpha } < -N 
{\displaystyle \beta } < -N,下列正交关系成立

{\displaystyle \sum \_{x=0}^{N}{\alpha +x \choose x}}{\displaystyle {\beta +N-x \choose N-x})\*Q\_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q\_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)\_{N+1}(\beta +1)\_{n}\*n!}{2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)\_{n}\*(-N)\_{n}\*N!}}\*\delta \_{mn}}

归递关系
----

哈恩多项式满足下列归递关系
{\displaystyle -x\*Q\_{n}(x)}={\displaystyle A\_{n}\*Q\_{n+1}(x)}-{\displaystyle (A\_{n}+C\_{n})\*Q\_{n}(x)}\*{\displaystyle C\_{n}\*Q\_{n-1}(x)}

其中{\displaystyle Q\_{n}(x)=Q\_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)}

极限关系
----

拉卡多项式→**哈恩多项式**
{\displaystyle \lim \_{\delta \to \infty }R\_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,-N-1,\delta )=Q\_{n}(x;\alpha ,\beta ,N),\,}
**哈恩多项式**→雅可比多项式
{\displaystyle \lim \_{N\to \infty }Q\_{n}(Nx;\alpha ,\beta ,N)={\frac {P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}{P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)}}}

参考文献
----

1. ↑  Roelof Koekoek, Peter A. Lesky, and René F. Swarttouw （2010, 14）
2. ↑  Roelof Koekoek, p204
3. ↑  Roelof KoeKoek p204
4. ↑  Roelof,p206-207

* Roelof Koekoek, Peter A.Lesky,ReneF.Swarttouw,Hypergeometric Orthogonal Polynomials ad Their q=Aalogues, Springer,2008.