本文只考虑欧几里得空间中的曲线。大部分概念对黎曼与伪黎曼流形中曲线有类似结论。对任意空间中曲线的讨论，参见主条目曲线。
**曲线的微分几何**是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 **Frenet 标架**，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出"最合适"的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（"自然参数"）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的"曲率"和"挠率"来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义
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条目：曲线
设 n 是一个正整数，r 是正整数或 \infty，I 是实数非空区间，t 属于 I。一个C^{r} 类（即 \gamma  为 r 次连续可微）向量值函数

{\displaystyle \mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}}
称为一条 **C^{r} 类参数曲线**或曲线 \gamma  的一个 C^{r} 参数化，t 称为曲线 \gamma  的参数，{\displaystyle \gamma (I)} 称为曲线的**像**。将参数曲线 \gamma  和它的像 {\displaystyle \gamma (I)} 区别开来是非常重要的，因为一个给定的{\mathbb R}^n的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数 t 代表时间，而曲线 \gamma (t) 作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果 *I* 是闭区间 [*a*, *b*]，我们称 γ(*a*) 为曲线 γ 的**起点**而 γ(*b*) 为**终点**。

如果 {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}，我们说 γ 是**闭的**或是一个**环路**。进一步，我们称 γ 是一条**闭 Cr-曲线**，如果 γ(*k*)(a) = γ(*k*)(*b*) 对所有 *k* ≤ *r*。

如果 {\displaystyle \gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}} 为单射，我们称为**简单**曲线。

如果参数曲线 \gamma  局部可写成幂级数，我们称曲线**解析**或是 C^\omega 类。

记号 -\gamma  表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 C^{k}-曲线

{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
称为 **m 阶正则**当且仅当对任何 t 属于I

{\displaystyle \lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k}
在 \mathbb {R} ^{n} 中线性无关。

特别地，一条 C^1-曲线 \gamma  是**正则**的如果 

{\displaystyle \gamma '(t)\neq 0} 对任何 {\displaystyle t\in I\,.}

重新参数化与等价关系
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参见：位置向量和向量值函数
给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 **Cr 曲线**，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 *C**r* 参数曲线

{\displaystyle \mathbf {\gamma \_{1}} :I\_{1}\to R^{n}}
与

{\displaystyle \mathbf {\gamma \_{2}} :I\_{2}\to R^{n}}
要称为**等价**，就要存在一个 *C**r* 双射

{\displaystyle \phi :I\_{1}\to I\_{2}}
使得

{\displaystyle \phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I\_{1})}
和

{\displaystyle \mathbf {\gamma \_{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma \_{1}} (t)\qquad (t\in I\_{1})\,.}
γ2 称为 γ1 的**重新参数化**。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 *C**r* 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 **Cr 曲线**。

对**定向 Cr 曲线**，我们可以定义一种"加细"的等价关系，要求 φ 满足 φ'(*t*) > 0。

等价的 *C**r* 曲线有相同的像；等价的定向 *C**r* 曲线有相同的运动方向。

长度与自然参数化
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条目：弧长
参见：曲线 § 曲线的长度
*C*1 曲线 γ : [*a*, *b*] → **R***n* 的长度 *l* 可以定义为

{\displaystyle l=\int \_{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.}
曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 *C**r* （*r* 至少为 1）曲线 γ: [*a*, *b*] → **R***n* 我们可以定义一个函数

{\displaystyle s(t)=\int \_{t\_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.}
写成

{\displaystyle {\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))}
这里 *t*(*s*) 是 *s*(*t*) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 {\displaystyle {\bar {\gamma }}}，称为**自然**、**弧长**或**单位速度**参数化；参数 *s*(*t*) 称为 γ 的**自然参数**。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 *s*(*t*) 以单位速度转动 γ 的像，所以

{\displaystyle \vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).}
在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(*t*) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

{\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int \_{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt}
经常称为曲线的**能量**或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

Frenet 标架
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参见：弗勒内-塞雷公式
空间曲线一点的 Frenet 标架示意图。 *T* 是单位切向量，*P* 为单位法向量，*B* 是次法向量。
一个 **Frenet 标架**是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(*t*) 局部性质的*n* 个正交向量 *e**i*(*t*) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 **R***n* 中一条 *n* 阶正则 *C**n*+1-曲线 γ，曲线的 **Frenet 标架**是一组正交向量

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} \_{n}(t)}
称为 **Frenet 向量**。它们是通过对 γ(*t*) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}
{\displaystyle \mathbf {e} \_{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} \_{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} \_{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} \_{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum \_{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} \_{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} \_{i}(t)}
实值函数 χ*i*(*t*) 称为 **广义曲率**，定义为

{\displaystyle \chi \_{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} \_{i}'(t),\mathbf {e} \_{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}
Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

特殊 Frenet 向量和广义曲率
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最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

### 切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 *P* 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 *P* 的**切向量**。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(*t*)，對參數 *t* 的任何值： *t* = *t0*，
向量：

{\displaystyle \gamma '(t\_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t\_{0}}}
是點 *P* = γ(*t0*) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

{\displaystyle \|\mathbf {\gamma } '(t\_{0})\|}
是在時間 *t*0 的速率。

  

第一個 Frenet 向量 *e1*(*t*) 是在同一方向的**單位切向量**，在 γ 的每個正則點有定義：

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.}
如果 *t* = *s* 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).}
單位切向量確定了曲線的**定向**，或隨著參數增長的前進方向。

### 法向量

**法向量**，有时也称为**曲率向量**，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} \_{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} \_{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} \_{1}(t).}
其正规形式**单位法向量**，是 Frenet 向量 *e*2(*t*)，定义为

{\displaystyle \mathbf {e} \_{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} \_{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} \_{2}}}(t)\|}}.}
*t* 点的切向量和法向量张成 *t* 点的**密切平面**。

### 曲率

条目：曲率
第一个广义曲率 χ1(*t*) 称为**曲率**，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

{\displaystyle \kappa (t)=\chi \_{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} \_{1}'(t),\mathbf {e} \_{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}
称为 γ 在点 *t* 的曲率。

曲率的倒数

{\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}
称为**曲率半径**。

半径为 *r* 的圆周有常曲率

{\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,}
但一条直线的曲率是 0 。

### 次法向量

**次法向量**是第三个 Frenet 向量 *e*3(*t*) ，
总是正交于 *t* 点的**单位**切向量和单位法向量。其定义为

{\displaystyle \mathbf {e} \_{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} \_{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} \_{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} \_{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} \_{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} \_{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} \_{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} \_{2}(t)}
在 3 维空间中等式简化为

{\displaystyle \mathbf {e} \_{3}(t)=\mathbf {e} \_{2}(t)\times \mathbf {e} \_{1}(t)\,.}
### 挠率

条目：曲线的挠率
第二广义曲率 χ2(*t*) 称为**挠率**，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 *t* 都在这一个平面内）。

{\displaystyle \tau (t)=\chi \_{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} \_{2}'(t),\mathbf {e} \_{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}
称为 γ 在点 *t* 的挠率。

曲线论主要定理
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条目：曲线基本定理
给定 *n* 个函数

{\displaystyle \chi \_{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n}
满足

{\displaystyle \chi \_{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}
那么存在**惟一的**（在差一个欧几里得群作用的意义下） *n* 阶正则 *C**n*+1-曲线 γ，具有如下性质

{\displaystyle \|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])}
{\displaystyle \chi \_{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} \_{i}'(t),\mathbf {e} \_{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,}
这里集合

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} \_{n}(t)}
是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 *t*0 ∈ *I*，起始点 *p*0 ∈ **R***n* 以及一个初始正交标架 {*e*1, ... *e**n*-1} 满足

{\displaystyle \mathbf {\gamma } (t\_{0})=\mathbf {p} \_{0}}
{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}(t\_{0})=\mathbf {e} \_{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}
那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式
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条目：Frenet-Serret 公式
Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ*i* 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

### 2-维

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}'(t)\\\mathbf {e} \_{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}(t)\\\mathbf {e} \_{2}(t)\\\end{bmatrix}}}
### 3-维

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}'(t)\\\mathbf {e} \_{2}'(t)\\\mathbf {e} \_{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}(t)\\\mathbf {e} \_{2}(t)\\\mathbf {e} \_{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
### *n* 维一般公式

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} \_{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi \_{1}(t)&&0\\-\chi \_{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi \_{n-1}(t)\\0&&-\chi \_{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} \_{n}(t)\\\end{bmatrix}}}

参考文献
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* Erwin Kreyszig, *Differential Geometry*, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of *Theory of Curves* in 3-dimensions.
* 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

另见
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* 曲线论题列表（英语：）
* 曲线的仿射几何
* 弧
* 切线、切点、次切距
* 密切圆
* 包络线、转迹线
* 四顶点定理
* 测地线
* 等周问题
* 环绕数

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| * 
* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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|  |
| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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|  |
| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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|  |
| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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