在域 *F* 中,向量空間 *V* 的**雙線性形式**指的是一个*V* × *V* → *F* 上的线性函数 *B*, 满足：

 \forall v \in V，映射：
w \mapsto B(v, w)
w \mapsto B(w, v)
都是线性的。這個定義也適用於*交換環*的模，这时线性函数要改为**模同态**。

注意一個雙線性形式是特別的**双线性映射**。

坐標表示法
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如果*V*是n維向量空間，设C=\{e\_{1},\ldots,e\_{n}\}是*V*的一组基。定义n\times n 阶的矩阵*A*使得{\displaystyle (A\_{ij})=B(e\_{i},e\_{j})}。当n\times 1
的矩阵*x*和*y*表示向量*u*及*v*时，双线性形式*B*可表示为:

{\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }
考虑另一组基 {\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'\_{1}&\cdots &e'\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e\_{1}&\cdots &e\_{n}\end{bmatrix}}S} ，其中*S*是一个可逆的n\times n 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在C'下的矩阵A'的形式为：

{\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}

对偶空间映射
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**V**的每一個雙線性形式*B*都定義了一對由*V*射到它的对偶空间*V*\*的線性函数。
定义{\displaystyle B\_{1},B\_{2}\colon V\to V^{\*}} ：

{\displaystyle B\_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}
{\displaystyle B\_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}
常常記作：

{\displaystyle B\_{1}(v)=B(v,{-})\,}
{\displaystyle B\_{2}(v)=B({-},v)\,}
這裡的(–)是放变量的位置。

如果 *V*是有限维空间的话，*V*和它的**雙对偶空間***V*\*\*是同构的，这时*B*2是*B*1 的轉置映射（如果*V*是无限维空间，*B*2限制在*V*在*V*\*\*的像下的部分是*B*1 的轉置映射）。 定義*B*的轉置映射為雙線性形式：

{\displaystyle B^{\*}(v,w)=B(w,v).\,}
如果 *V*是有限维空间，*B*1 及*B*2 的秩相等。如果他们的秩等于*V*的維数的话，*B*1 和 *B*2 就是由*V*到*V*\*的同构映射（显然*B*1是同构当且仅当*B*2 是同构），此时，*B*是**非退化**的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：*B*是**非退化**的当且仅当

{\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}

镜像對稱性和正交性
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雙線性形式 *B* : *V* × *V* → *F* 是**镜像對稱**的当且仅当:

{\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}
有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
{\displaystyle B(v,w)=0\,} 。
一个双线性形式的**根**是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的**根**当且仅当{\displaystyle Ax=0\,}（等价于{\displaystyle x^{T}A=0\,}），根一般是*V*的子空间，
当A是非奇异矩阵，即当*B*是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义{\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}。

当*B*是非退化时，映射{\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}是双射，所以W^{\perp}的维数等于dim(*V*)-dim(*W*)。

可以证明，雙線性形式*B*是**镜像對稱**的当且仅当它是以下两者之一：

* **對稱**的: {\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,} {\displaystyle \forall v,w\in V\,}
* **交替(alternating)**的: {\displaystyle B(v,v)=0\,} {\displaystyle \forall v\in V\,}

每个交替形式都是**斜对称**(skew-symmetric)（或称**反对称**(antisymmetric)）的，只要展开

*B*(*v*+*w*,*v*+*w*)就可看出。
当*F*的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(*F*)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在*F*的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当{\displaystyle B\_{1},B\_{2}\colon V\to V^{\*}} 相等，是旋钮对称的当且仅当{\displaystyle B\_{1}=-B\_{2}}。char(*F*) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

{\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{\*})}
其中*B*\* 是*B* 的转置映射。

不同空間的推廣
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這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

*B*: *V* × *W* → *F*.
此時仍有從 *V* 到 *W* 的對偶、及從 *W* 到 *V* 的對偶的映射。當 *V*, *W* 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下 *B* 稱作**完美配對**。

張量積關係
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由張量積的泛性質，V 上的雙線性形式一一對映至線性映射 {\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}：若 B 是 V 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

{\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}
所有從 {\displaystyle V\otimes V} 到 F 的線性映射構成 {\displaystyle V\otimes V} 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

{\displaystyle (V\otimes V)^{\*}\cong V^{\*}\otimes V^{\*}.}
同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 *S*2*V*\* 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2*V*\* 的元素。

參见
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* 双线性映射
* 多线性映射
* 二次方程式
* 半双线性形式

外部链接
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*. PlanetMath.

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