一多項式 *x*2 + *cx* + *d*
可因式分解成(*x + a*)(*x + b*)。其中：*ab = d*，*a + b = c*
**因式分解**，在这里是指**多項式因式分解**（英語：），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式{\displaystyle x^{2}-1^{2}}可被因式分解為{\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-1\right)}。又如二元多項式{\displaystyle x^{2}-y^{2}}因式分解為{\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)}。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數，那么{\displaystyle x^{2}+1^{2}}可被因式分解為{\displaystyle \left(x+i\right)\left(x-i\right)}。通常分解获得的每个因式要是**不可约多项式**（）。也就是不能再分解了。

因式分解定理
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数域F上每个次数\geq 1的多项式f(x)都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式  

{\displaystyle f(x)=p\_{1}(x)p\_{2}(x)p\_{3}(x)\cdots p\_{s}(x)=q\_{1}(x)q\_{2}(x)\cdots q\_{t}(x)}  

其中p\_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)和q\_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)都是数域F上的不可约多项式，那么必有s=t，而且可以适当排列因式的次序，使得  

{\displaystyle p\_{i}(x)=c\_{i}q\_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)},其中c\_{i}(i=1,2,\cdots ,s)是一些非零常数

分解方法
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### 公因式分解(抽)

原则：

1、分解**必須**要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）

2、結果最後只留下小括號

3、結果的多項式首項為正。
在一個公式內把其公因子抽出，例子：

* 7a+98ab
	+ 其中，7a是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：7a(1+14b)
* 51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}
	+ 其中，3a^{3}b^{2}是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：{\displaystyle 3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}

### 公式重組(拼)

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

* 3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby

=(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)
=3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)
=(1+4ab)(3a^{2}b-5y)
* 15n^{2}+2m-3n-10mn

=(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)
=3n(5n-1)+2m(1-5n)
=3n(5n-1)-2m(5n-1)
=(5n-1)(3n-2m)

### 添項法(增)

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

* {\displaystyle x^{4}+x^{2}+1}

{\displaystyle =x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1}
{\displaystyle =x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1}
{\displaystyle =x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}}
{\displaystyle =(x^{2})^{2}+(2)(x^{2})(1)+(1)^{2}-x^{2}}
{\displaystyle =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}
{\displaystyle =(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)}
{\displaystyle =(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}

### 分項法(拆)

透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

{\displaystyle x^{3}-7x+6}

* 其中，{\displaystyle -7x}可以被拆成-x和{\displaystyle -6x}。所以，{\displaystyle x^{3}-7x+6}可以被寫成{\displaystyle x^{3}-x-6x+6}。因此，

{\displaystyle x^{3}-7x+6}
{\displaystyle =x^{3}-x-6x+6}
{\displaystyle =(x^{3}-x)-(6x-6)}
{\displaystyle =x(x^{2}-1)-6(x-1)}
{\displaystyle =x(x+1)(x-1)-6(x-1)}
{\displaystyle =(x(x+1)-6)(x-1)}
{\displaystyle =(x^{2}+x-6)(x-1)}
其中，+x可以被拆成{\displaystyle +3x}和{\displaystyle -2x}。所以，{\displaystyle x^{2}+x-6}可以被寫成{\displaystyle x^{2}+3x-2x-6}。因此，
{\displaystyle (x^{2}+x-6)(x-1)}
{\displaystyle =(x^{2}+3x-2x-6)(x-1)}
{\displaystyle =((x^{2}+3x)-(2x+6))(x-1)}
{\displaystyle =(x(x+3)-2(x+3))(x-1)}
{\displaystyle =(x-2)(x+3)(x-1)}
{\displaystyle =(x-1)(x-2)(x+3)}

### 十字交乘法

条目：十字交乘法
十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

### 兩個n次方數之和與差

**兩個立方數之和**

a^{3}+b^{3}\,\!可分解為(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!
**兩個立方數之差**

a^{3}-b^{3}\,\!可分解為(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!
**兩個n次方數之差**

a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{{n-1}}+a^{{n-2}}b+......+b^{{n-1}})
**兩個奇數次方數之和**

a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{{n-1}}-a^{{n-2}}b+......+b^{{n-1}})

一次因式檢驗法
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一個整係數的一元多項式a\_{n}x^{n}+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}+......a\_{1}x+a\_{0}，假如它有整係數因式px+q，*且p,q互質*，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

* p|a\_{n}
* q|a\_{0}

不過反過來說，即使當p|a\_{n}和q|a\_{0}都成立時，整係數多項式px+q也不一定是整係數多項式a\_{n}x^{n}+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}+......a\_{1}x+a\_{0}的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式a\_{n}x^{n}+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}+......a\_{1}x+a\_{0}，若px-q是f(x)之因式，*且p,q互質*，則：（逆敘述並不真）

* p-q|f(1)
* p+q|f(-1)

参见
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* 因数分解
* 多項式
* 根
* 十字相乘
* 乘法公式

延伸閱讀
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* Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
* Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
* Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
* Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
* Selby, Samuel M. CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co