在數學上，**半指數函數**（Half-exponential function）是指數函數的函數平方根（英语：）；換句話說，若f是一個半指數函數，則f與自己的複合函數會是一個指數函數：



f

(

f
(
x
)

)

=
a

b

x

,

{\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}

{\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}
其中a與b.是常數。

解析解的不存在性
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假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數f，那麼{\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}要不就是次指數的，要不就是超指數的，因此哈代L-函數（英语：）不可能是半指數函數。

建構
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有無限多的函數，其半複合函數是與彼此相同的指數函數；特別地，對於任意位於開區間(0,1)當中的數A及任意從{\displaystyle [0,A]}映至{\displaystyle [A,1]}的嚴格遞增满射連續函数g而言，都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數f，使得{\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}.，而這f是以下函數方程的唯一解：



f
(
x
)
=

{

g
(
x
)

if 

x
∈
[
0
,
A
]
,

exp
⁡

g

−
1

(
x
)

if 

x
∈
(
A
,
1
]
,

exp
⁡
f
(
ln
⁡
x
)

if 

x
∈
(
1
,
∞
)
,

ln
⁡
f
(
exp
⁡
x
)

if 

x
∈
(
−
∞
,
0
)
.



{\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}
半指數函數的例子
一個簡單的、使得f處處有連續一階導數例子，是設{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}且{\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}，而這會得到下式： 



f
(
x
)
=

{

log

e

⁡

(

e

x

+

1
2

)


if 

x
≤
−

log

e

⁡
2
,


e

x

−

1
2


if 

−

log

e

⁡
2
≤
x
≤
0
,

x
+

1
2


if 

0
≤
x
≤

1
2

,


e

x
−
1

/

2



if 


1
2

≤
x
≤
1
,

x

e



if 

1
≤
x
≤

e

,


e

x

/

e



if 

e

≤
x
≤
e
,


x

e


if 

e
≤
x
≤

e

e

,


e

x

1

/

e




if 

e

e

≤
x
≤

e

e

,
…



{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log \_{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log \_{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log \_{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}

應用
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半指數函數出現於計算複雜性理論當中，在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。若一個函數f的成長率至少與半指數函數一樣快（也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數），就表示說這函數是非遞減的，且對於任意{\displaystyle C>0}而言，有{\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}。

參見
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* 迭代函數
* 施羅德方程式（英语：）
* 阿貝爾方程式（英语：）

參考資料
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1. ↑  Kneser, H.. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, **187**: 56–67  [2022-06-22]. MR 0035385. （原始内容存档于2022-05-18）.
2. 1 2  Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编.. Lecture Notes in Computer Science **1627**. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0\_21.  `|contribution=`被忽略 (帮助)
3. ↑  van der Hoeven, J.. Lecture Notes in Mathematics **1888**. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
4. ↑  Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C.. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, **132** (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7 可免费查阅.
5. ↑  Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven.. Journal of Computer and System Sciences. 1997, **55** (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494 可免费查阅.

外部連結
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* Does the exponential function have a (compositional) square root?
* "Closed-form" functions with half-exponential growth