一元二次多项式的判别式 \Delta 与其函数图像之间的关系
**判別式**是代数学中的概念。一个实系数或复系数多项式的**判别式**是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有**重根**。

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

a\_{n}^{{2n-2}}\prod \_{{i<j}}{(r\_{i}-r\_{j})^{2}}
其中的a\_{n}是多项式的最高次项系数，r\_{1},...r\_{n}是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的"分歧"的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义
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### 二次方程的判别式

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程ax^{2}+bx+c\,，其中系数a,b,c为实数，则它的判别式定义为：

\Delta =b^{2}-4ac\,
判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为r\_{1}和r\_{2}，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

r\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.
方程的根与判别式的关系为：

\Delta =a^{2}(r\_{1}-r\_{2})^{2}.
两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。

### 三次方程的判别式

* 三次多项式ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,的判别式是

\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,
* 二次項系數為零的首一三次多項式x^{3}+px+q\,的判别式是：

\Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,
### 四次方程的判别式

* 四次多項式ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,的判别式是：

{\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}

二次判别式
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二次多项式P(x)=ax^{2}+bx+c\,的判别式是D=b^{2}-4ac\,。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。 

* 如果D>0\,，那么P(x)\,有两个相异实根x\_{{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}，即P(x)\,的图像穿过x\,轴两次。
* 如果D=0\,，那么P(x)\,有两个相等实根x\_{1}=x\_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,，P(x)\,的图像与x\,轴相切。
* 如果D<0\,，那么P(x)\,没有实根，即P(x)\,的图像与x\,轴没有交点。

一般多项式的判别式
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对于一般的一个多项式

p(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}+a\_{{n-2}}x^{{n-2}}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0}，
其判别式等于（差一个系数）以下的(2n-1)\times (2n-1)\,的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

\left[{\begin{matrix}&a\_{n}&a\_{{n-1}}&a\_{{n-2}}&\ldots &a\_{1}&a\_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a\_{n}&a\_{{n-1}}&a\_{{n-2}}&\ldots &a\_{1}&a\_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a\_{n}&a\_{{n-1}}&a\_{{n-2}}&\ldots &a\_{1}&a\_{0}\\&na\_{n}&(n-1)a\_{{n-1}}&(n-2)a\_{{n-2}}&\ldots \ &a\_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na\_{n}&(n-1)a\_{{n-1}}&(n-2)a\_{{n-2}}&\ldots \ &a\_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na\_{n}&(n-1)a\_{{n-1}}&(n-2)a\_{{n-2}}&\ldots \ &a\_{1}\\\end{matrix}}\right].
这个矩阵的行列式称为p(x)\,和p'(x)\,的结式，记为R(p,p')\,。p(x)\,的判别式D(p)\,由以下公式给出：

D(p)=(-1)^{{{\frac {1}{2}}n(n-1)}}{\frac {1}{a\_{n}}}R(p,p')\,.
例如，在n=4\,的情况下，以上的行列式是： 

{\begin{vmatrix}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0&0\\&0&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0\\&0&0&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0&0&0\\&0&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0&0\\&0&0&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0\\&0&0&0&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}\\\end{vmatrix}}
这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以a\_{4}\,。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

a\_{n}^{{2n-2}}\prod \_{{i<j}}{(r\_{i}-r\_{j})^{2}}
其中r\_{1},\cdots ,r\_{n}\,是多项式p(x)\,的複根（重根按重数计算）：

{\begin{matrix}p(x)&=&a\_{n}x^{n}+a\_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0}\\&=&a\_{n}(x-r\_{1})(x-r\_{2})\ldots (x-r\_{n})\end{matrix}}
在这个表达式中可以清楚地看到p\,有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根r\_{i}\,的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式
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对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0
它的判别式为：

b^{2}-4ac
它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

二次型的判别式
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判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域*K*上的二次型*Q*上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和： 

Q=\sum \_{{i=1}}^{k}a\_{{i}}L\_{{i}}^{2}
其中*L**i*是*n*个变量的线性组合。这时可以定义*Q*的判别式为所有*a**i*的乘积。另外一个定义是*Q*所对应的矩阵的行列式。

代数数域的判别式
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条目：代数数域的判别式

参见
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* 二次函数
* 一元二次方程
* 多项式
* 圆锥曲线
* 二次型

参考资料与外部链接
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* 结式与判别式的关系[永久]
* Mathworld中的文献（页面存档备份，存于）
* Planetmath中的文献

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* 因式
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* 秦九韶算法
* 結式
* 判别式

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