**比例性质**是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

合比性质
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### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

### 数学表示

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}}。

### 证明

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

{\displaystyle \therefore {\frac {a}{b}}+1={\frac {c}{d}}+1}

{\displaystyle \therefore {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}}

证毕

分比性质
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### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

### 数学表示

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}}。

### 证明

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

{\displaystyle \therefore {\frac {a}{b}}-1={\frac {c}{d}}-1}

{\displaystyle \therefore {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}}

证毕

合分比性质
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### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

### 数学表示

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}}。

### 证明

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

令{\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则{\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k}

{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {bk+b}{bk-b}}={\frac {k+1}{k-1}}}

{\displaystyle {\frac {c+d}{c-d}}={\frac {dk+d}{dk-d}}={\frac {k+1}{k-1}}}

{\displaystyle \therefore {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}}

证毕

等比性质
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### 表述

在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

### 数学表示

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}。

### 证法一

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

令{\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则{\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k}

{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {bk+dk}{b+d}}=k}

{\displaystyle \therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

证毕

### 证法二

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

{\displaystyle \therefore {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}

由合比性质{\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}

{\displaystyle \therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}}

即{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

证毕

### 推论

已知{\displaystyle a\_{i},b\_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n}，且有{\displaystyle b\_{i}\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{b\_{1}}}={\frac {a\_{2}}{b\_{2}}}=\ldots ={\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}}，则有{\displaystyle {\frac {\sum \_{i}^{n}{a\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{b\_{i}}}}={\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}}。

比例的线性组合
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由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。

### 合分比性质的线性组合推论

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}}。

**证明：**

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

令{\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则{\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k}

{\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}}

{\displaystyle {\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}={\frac {\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}}

{\displaystyle \therefore {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}}

证毕

### 等比性质的线性组合推论一

已知{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }，且有{\displaystyle b\neq 0,d\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则有{\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}。

**证明：**

{\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

令{\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}，则{\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k}

{\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}}=k}

{\displaystyle \therefore {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}

证毕

### 等比性质的线性组合推论二

已知{\displaystyle a\_{i},b\_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n}，且有{\displaystyle b\_{i}\neq 0}，如果{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{b\_{1}}}={\frac {a\_{2}}{b\_{2}}}=\ldots ={\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}}，则有{\displaystyle {\frac {\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}a\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}}={\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}}。

**证明：**

令{\displaystyle k={\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}}，则{\displaystyle a\_{i}=b\_{i}\cdot k}

{\displaystyle {\frac {\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}a\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}}={\frac {\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}kb\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}}={\frac {k\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}}=k}

{\displaystyle \therefore {\frac {\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}a\_{i}}}{\sum \_{i}^{n}{\lambda \_{i}b\_{i}}}}={\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}}

证毕