**正切半角公式**又称**万能公式**，这一组公式有四个功能：

1. 将角统一为\frac{\alpha }{2}；
2. 将函数名称统一为\tan；
3. 任意实数都可以\tan \frac{\alpha }{2}的形式表達，可用正切函数换元。
4. 在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。

因此，这组公式被称为**以切表弦公式**，简称**以切表弦**。它们是由二倍角公式求得的。

\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}}
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}}
而被称为**萬能公式**的原因是利用\tan \frac{\alpha }{2}的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。

{\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta }{2}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan {\frac {\theta }{2}}}{1+\tan {\frac {\theta }{2}}}}&={\sqrt {{\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}}.\end{aligned}}

万能公式的证明
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由二倍角公式，有：

\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}
\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

再由同角三角函数间的关系，得出

\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

### 几何证明

正切半角公式的**几何证明** 
在单位圆内，{\displaystyle t=\tan {\frac {\phi }{2}}}。根据相似关係，{\frac {t}{\sin \phi }}={\frac {1}{1+\cos \phi }}，可得出

t={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}={\frac {\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}}={\frac {1-\cos \phi }{\sin \phi }}
。

  

显然\tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}。

双曲函数
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此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点{\displaystyle (\cosh \theta ,\sinh \theta )}给出。从(-1,0)到*y*轴给出了如下等式：

{\displaystyle t=\tanh {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}}
可以得到

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| \cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}, |   | \sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}}, |
| \tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}, |   | \coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}}, |
| {\mathrm {sech}}\,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}, |   | {\mathrm {csch}}\,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}}, |

和

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| e^{{\theta }}={\frac {1+t}{1-t}}, |   | e^{{-\theta }}={\frac {1-t}{1+t}}. |

卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

\theta 在T而得出下面的双曲反正切函數和自然对数之间的关系：

\operatorname {artanh}t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.

參見
--

* 三角恒等式

參考文獻
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1. ↑  唐小謙.. 清文華泉. 2020: 234. ISBN 9789865552176.

外部連結
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* Planetmath上的正切半角公式

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