**斯坦豪斯-莫澤表示法**，又稱**斯坦豪斯-莫澤記號**、**斯坦豪斯-莫澤多邊形記號**、**多邊形記號**，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯（英语：）發明，後來李奧·莫澤擴展了該表示法。

斯坦豪斯的多邊形記號
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**斯坦豪斯多邊形記號**的定義如下：

* = nn
* = 「*n*放進*n*個三角形中」
* = 「*n*放進*n*個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：

* 被稱為**Mega數**。
* 被稱為**Megiston數**。

莫澤的多邊形記號
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**莫澤多邊形記號**是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。

* 、與斯坦豪斯的記號相同。
* = 「*n*放進*n*個正方形中」（= ）
* 一般來說，「*n*放進*m*邊形中」=「*n*放進*n*個*m* - 1邊形中」

而「2放進邊形中」則被稱為**莫澤數**。

中括號表示法
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紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：

* 「*n*放進*p*邊形中」使用n[p]\,來表示。（請注意：在本條目中，{\displaystyle [n]}都是表示某個數字放進正n邊形中，並不是第n級的超運算，為了避免搞混，第n級的超運算在本條目中是使用n-2個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法）
* [\ldots]可以重複使用。例如，「『*n*放進*q*邊形中』放進*p*邊形中」可以表示為{\displaystyle (n[q])[p]\,}。
* 「*n*放進*k*個*p*邊形中」表示為n[p]\_k\,。換句話說，n[p]\_k可以定義為n \underbrace{ [p][p]...[p] }\_k 。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：

* = n[3] = n^n=n\uparrow\uparrow 2 \,
* = n[4] = n[3]\_n \,
* =\,   = n[5] = n[4]\_n \,
* 一般來說，n[m] = n[m-1]\_n = n \underbrace{[m-1][m-1]...[m-1]}\_n \,。

上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子：

* = n[3]\_4

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：

* （Mega數） = 2[5]
* （Megiston數） = 10[5]
* 莫澤數 = 2[2[5]]

一些例子的計算
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### 簡單的例子

* 2[3] = 22 = 4
* 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256

### Mega數

 = 2[5]

= 2[4]2
= 2[4][4]
= 256[4]
= 256[3]256
256[3]*n*所代表的值如下（*n*從1開始）：

256[3]=256^{256}
256[3]\_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256} \uparrow\uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257,
256[3]\_3=256[3]\_2[3]= 256[3]\_2\uparrow\uparrow 2 = \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{(257 + 256^{257})}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right) 
這個數字可以「近似」如下：

256[3]\_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257
這個近似值跟256[3]\_3實際上差了非常多倍：

 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg 256^{256^{256^{257}}} 
通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地，

256[3]\_4 \risingdotseq \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256^{256^{256^{257}}}} = 256^{ \left( 256^{256^{257}} \times 256^{256^{256^{257}}} \right) } = 256^{256^{(256^{257} + 256^{256^{257}})}} \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257
256[3]\_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257
這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數：

  = 256[3]\_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257
如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：

  \risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257 
實際上，

  \gg (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257 
如果以10為底，則可表示成：

 \approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right) \approx(10\uparrow)^{256} \left( 6.19\times 10^{2} \right) \approx(10\uparrow)^{257} \left(2.79 \right)
因此Mega數的範圍為：

10\uparrow\uparrow 257 <    < 10\uparrow\uparrow 258
### Megiston數

 = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]

通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得：

a[4]=a[3]\_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)
a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1 (\*)
將a換成10，可得：

10[4]=10[3]\_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11 
10[4]\_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) 
下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的10 \uparrow\uparrow 11換成n之後的計算（其中a↑b = ab）：

\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = (a\uparrow (a\uparrow\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = a\uparrow ((a\uparrow\uparrow (b-1)) \times (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
\end{align}

當a, b皆足夠大時：

a\uparrow\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)
所以

(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) 
這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到n = 1為止：

\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}\_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}\_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\
&\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b)
\end{align}

因此，當n\gg b時

(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n (\*\*)
這是一個近似值。

使用(\*\*)式，可得10[4]\_2的近似值：

10[4]\_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) 
以下的近似值使用(\*)和(\*\*)式：

10[4]\_3 = 10[4]\_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11
10[4]\_4 = 10[4]\_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11
10[4]\_5 = 10[4]\_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11
因此，

10[4]\_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11
所以Megiston數大致等於：

  \risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11
然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數：

  \gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11
### 莫澤數

莫澤數代表{\displaystyle 2[}{\displaystyle ]=2[2[5]]}。由於是相當巨大的數字，邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管是非常巨大的，跟相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式 （页面存档备份，存于），可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

 M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3}（-2個箭號）。

參見
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* 高德納箭號表示法
* 康威鏈式箭號表示法

外部連結
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* Susan Stepney's Big Numbers （页面存档备份，存于）
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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