在信號處理及控制理論中，**有界輸入有界輸出穩定性**簡稱**BIBO穩定性**，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值B>0使得信號的振幅不會超過B，則此信號為有界的，也就是說

\ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in {\mathbb {Z}} 針對離散訊號，或
\ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in {\mathbb {R}} 針對連續訊號

線性非時變系統時域分析下的條件
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### 連續系統的充份及必要條件

針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d}}}t}=\|h\|\_{{1}}<\infty 

### 離散系統的充份條件

針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數

\ \sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n]\right|}=\|h\|\_{{1}}<\infty 
### 充份條件的證明

假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應\ h[n]和輸入\ x[n]和輸出\ y[n]之間會有以下的關係：

\ y[n]=h[n]\*x[n]
其中\*為卷積
則依卷積的定義：

\ y[n]=\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{h[k]x[n-k]}
令\|x\|\_{{\infty }}為\ |x[n]|的最大值

\left|y[n]\right|=\left|\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{h[n-k]x[k]}\right|
\leq \sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}（根據三角不等式）
\leq \sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n-k]\right|\|x\|\_{{\infty }}}
=\|x\|\_{{\infty }}\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n-k]\right|}
=\|x\|\_{{\infty }}\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[k]\right|}
若h[n]是絕對可求和，則\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[k]\right|}=\|h\|\_{1}<\infty 且

\|x\|\_{{\infty }}\sum \_{{k=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[k]\right|}=\|x\|\_{{\infty }}\|h\|\_{1}
因此若h[n]是絕對可求和，且\left|x[n]\right|有界，則因為\|x\|\_{{\infty }}\|h\|\_{1}<\infty ，\left|y[n]\right|也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性非時變系統頻域分析下的條件
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### 連續時間訊號

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標（英语：）。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d}t}
=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)\right|\left|e^{{-j\omega t}}\right|dt}
=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)(1\cdot e)^{{-j\omega t}}\right|dt}
=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)(e^{{\sigma +j\omega }})^{{-t}}\right|dt}
=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}{\left|h(t)e^{{-st}}\right|dt}
其中s=\sigma +j\omega ，且{\mbox{Re}}(s)=\sigma =0.

因此收斂區域必須包括虛軸。

### 離散時間訊號

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

\sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n]\right|}=\sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n]\right|\left|e^{{-j\omega n}}\right|}
=\sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n](1\cdot e)^{{-j\omega n}}\right|}
=\sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n](re^{{j\omega }})^{{-n}}\right|}
=\sum \_{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\left|h[n]z^{{-n}}\right|}
其中z=re^{{j\omega }}，且r=|z|=1

因此收斂區域必須包括單位圓。

相關條目
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* 线性时不变系统理论
* 有限脉冲响应（FIR）濾波器
* 無限脈衝響應（IIR）濾波器
* 奈奎斯特图
* 羅斯-霍維茨穩定性準則
* 波德圖
* 相位裕度
* 根軌跡法
* 超穩定性

延伸閱讀
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* Gordon E. Carlson *Signal and Linear Systems Analysis with Matlab* second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
* John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis *Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications* third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
* D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer *Signals & Systems Continuous and Discrete* fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
* Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （页面存档备份，存于）
* Christophe Basso *Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide* first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577


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