**收敛半径**是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的**收敛半径**是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义
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定义幂级数*f* 为：f(z) = \sum\_{n=0}^\infty c\_n (z-a)^n,。其中常数*a*是收敛圆盘的中心，*c**n*为第*n*个複系数，*z*为变量。

**收敛半径***r*是一个非负的实数或无穷大（\scriptstyle \infty），使得在|z-a| < r时幂级数收敛，在|z-a| > r时幂级数发散。

具体来说，当*z*和*a*足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |*z* - *a*| = *r*的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些*z*可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数*z*都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算
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根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数{\displaystyle \sum c\_{n}z^{n}}满足{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left\vert {c\_{n+1} \over c\_{n}}\right\vert =\rho }，则：

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| {\displaystyle \rho \neq 0}时，R={1 \over \rho }。 |
| \rho =0时，{\displaystyle R=+\infty }。 |
| {\displaystyle \rho =+\infty }时，R=0。 |

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

{\displaystyle R=\liminf \_{n\to \infty }\left|c\_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
或者{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup \_{n\to \infty }\left|c\_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}。

复分析中的收敛半径
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将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为*a*的幂级数*f* 的收敛半径*R* 等于*a*与离*a* 最近的幂级数无定义点的距离。到*a* 的距离严格小于*R* 的所有点组成的集合称为**收敛圆盘**。
最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

f(z)=\frac{1}{1+z^2}
没有复根。它在零处的泰勒展开为：

\sum\_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数f(z)在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

### 简单的例子

  

三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数： 

\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .
运用审敛法可以知道收敛半径为1。

### 一个更复杂的例子

考虑如下幂级数展开：

\frac{z}{e^z-1}=\sum\_{n=0}^\infty \frac{B\_n}{n!} z^n
其中有理数*B**n*是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当*z*=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得

e^z-1=0
的复数*z*。设*z* = *x* + *iy*，那么

e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)),\,
要使之等于1，则虚部必须为零。于是有y = k\pi，其中k \in Z \ , \ k \neq 0 。同时得到x=0。回代后发现k只能为偶数，于是使得分母为零的*z*为2k\pi i的形式，其中k \in Z \ , \ k \neq 0 。

离原点最近距离为2\pi ，于是收敛半径为2\pi 。

收敛圆上的敛散性
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如果幂级数在*a*附近可展，并且收敛半径为*r*，那么所有满足 |*z* − *a*| = *r*的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为**收敛圆**。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

  

例1:函数ƒ(*z*) = (1 − *z*)−1在*z* = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数*g*(*z*) = ln(1 − *z*)在*z* = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在*z* = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(*z*)是 -*g*(*z*)的复导数。

例3:幂级数

 \sum\_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n 
的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设*h*(*z*)是这个级数对应的函数，那么*h*(*z*)是例2中的*g*(*z*)除以*z*後的导数。*h*(*z*)是双对数函数。

例4:幂级数

P(z) = \sum\_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\cdot n}(z^{2^{n-1}} + \cdots + z^{2^n-1})
的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

收敛速率
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条目：收敛速率
将下列函数在*x* = 0处展开：

{\displaystyle f(x)=\sin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x}
可以看到收敛半径为\scriptstyle\infty，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在*x* = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于ƒ(10)，需要18项，对于ƒ(100)则需要141项。

文中提及的曲线的图例：红、蓝线为逼近线，白圈为收敛圆。
可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。

图例
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考虑亚纯函数f(z)=\frac{1}{1+z^2}，对应的模长二元函数图像见右。函数在{\displaystyle z=\pm i}处有极点。

由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在*z* = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 |z|<1。

狄利克雷级数的收敛度规
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与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的**收敛度规**，也就是使得级数\sum\_{n=1}^\infty {a\_n \over n^s}收敛的最小的*s*，其只依赖于数列*a**n*。

参见
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* 无穷级数
* 幂级数
* 阿贝尔定理
* 阿贝尔型定理和陶伯型定理
* 哈代-李特爾伍德圓法
* 收敛度规

参考来源
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1. ↑  Sierpiński, Wacław, Prace matematyka-fizyka **29**, 1918, **29**: 263–266

* Brown, James; Churchill, Ruel, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6
* Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8
*.  [2008-09-10]. （原始内容存档于2008-11-21）.
*.  [2008-09-10]. [永久]

外部链接
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* （英文）.  [2008-09-10]. （原始内容存档于2008-06-18）.