在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」；源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。

在電磁學裏，**推遲勢**指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念
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給予在源位置\mathbf{r}'的含時電荷分佈或含時電流分佈，計算在場位置\mathbf {r} 產生的推遲勢。
對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢\Phi ({\mathbf {r}})和磁向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})分別定義為

\Phi ({\mathbf {r}})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'、
{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'；
其中，\mathbf {r} 是場位置，\mathbf{r}'是源位置，\epsilon \_{0}是真空電容率，\mu \_{0}是真空磁導率，\rho 是電荷密度，\mathbf {J} 是電流密度，\mathbb{V}'是體積分的空間，d^{3}{\mathbf {r}}'是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間t\_{r}為檢驗時間t減去電磁波傳播的時間：

t\_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}}；
其中，c是光速。

假設，從源位置\mathbf{r}'往場位置\mathbf {r} 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間t抵達觀測者的場位置\mathbf {r} ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間t\_{r}。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間t，會不同於這電磁波發射的推遲時間t\_{r}。

**推遲純量勢**\Phi ({\mathbf {r}},\,t)與**推遲向量勢**{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)分別用方程式定義為

\Phi ({\mathbf {r}},\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'、
{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'。
請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間t\_{r}有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間t的推遲勢必定是由在推遲時間t\_{r}的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式
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含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守达朗贝尔方程，表達為

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon \_{0}}}、
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu \_{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)}。
假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)和推遲向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}為從源位置到場位置的分離向量：

{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}={\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'。
場位置\mathbf {r} 、源位置\mathbf{r}'和時間t都是自變數（）。分離向量{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}和其大小{\mathfrak {R}}都是應變數（），跟場位置\mathbf {r} 、源位置\mathbf{r}'有關。推遲時間t\_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c也是應變數，跟時間t、分離距離{\mathfrak {R}}有關。

推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)的梯度是

\nabla \Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\nabla \left({\frac {\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{{\mathfrak {R}}}}\right)\,d^{3}{\mathbf {r}}'={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{{\mathfrak {R}}}}+\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\nabla \left({\frac {1}{{\mathfrak {R}}}}\right)\right]\,d^{3}{\mathbf {r}}'。
源電荷密度\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})的全微分是

{\begin{aligned}d\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t\_{r}}}dt\_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t\_{r}}}\left({\frac {\partial t\_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t\_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t\_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t\_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d{\mathbf {r}})+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d{\mathbf {r}}')\right]\\\end{aligned}} 。
注意到

{\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t\_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{\partial t\_{r}}}={\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{\partial t\_{r}}}、
\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}。
所以，源電荷密度\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})的梯度是

\nabla \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{\partial t\_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{\partial t}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}；
其中，{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})定義為{\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',\,t)}{\partial t\_{r}}}。

將這公式代入，推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)的梯度是

\nabla \Phi ({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c}}{\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}-\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}{\mathbf {r}}'。
推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)的拉普拉斯算符是

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c}}\cdot {\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}\right)-[\nabla \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})]\cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}{\mathbf {r}}\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}})\right]\,d^{3}{\mathbf {r}}'\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{{\mathfrak {R}}}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'\right]-{\frac {\rho ({\mathbf {r}},\,t)}{\epsilon \_{0}}}\\\end{aligned}} ；
其中，\delta ^{3}({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}})是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

\nabla ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho ({\mathbf {r}},\,t)}{\epsilon \_{0}}}。
類似地，可以證明推遲向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件
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給予磁場\mathbf {B} ，並不是只有一個向量場\mathbf{A}滿足條件{\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}}。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，\nabla \times (\nabla \lambda )=0，給予任意函數\lambda ，那麼，{\mathbb {A}}={\mathbf {A}}+\nabla \lambda 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

\nabla \cdot {\mathbf {A}}+{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0。
按照前述方法，可以證明推遲純量勢\Phi ({\mathbf {r}},\,t)和推遲向量勢{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},\,t)滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場
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条目：傑斐緬柯方程式
推遲勢與電場\mathbf {E} 、磁場\mathbf {B} 的關係分別為

{\mathbf {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}、
{\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}}。
按照前述方法，可以得到電場\mathbf {E} 和磁場\mathbf {B} 的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式：

{\mathbf {E}}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{r}){\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c}}{\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}}}-{\frac {{\dot {{\mathbf {J}}}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c^{2}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\right]d^{3}{\mathbf {r}}'、
{\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}\left[{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {{\dot {{\mathbf {J}}}}({\mathbf {r}}',\,t\_{r})}{c|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}}}\right]\times ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}')\ d^{3}{\mathbf {r}}'。

超前勢
---

定義**超前時間**t\_{a}為現在時間t加上光波傳播的時間：

t\_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}}。
**超前純量勢**\Phi \_{a}({\mathbf {r}},\,t)與**超前向量勢**  {\mathbf {A}}\_{a}({\mathbf {r}},\,t)分別用方程式表達為

\Phi \_{a}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \_{0}}}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',\,t\_{a})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'、
{\mathbf {A}}\_{a}({\mathbf {r}},\,t)={\frac {\mu \_{0}}{4\pi }}\int \_{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',\,t\_{a})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,d^{3}{\mathbf {r}}'。
這兩個方程式表明，在時間t的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間t\_{a}的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢\Phi \_{a}({\mathbf {r}},\,t)與超前向量勢{\mathbf {A}}\_{a}({\mathbf {r}},\,t)也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

參閱
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* 非齊次的電磁波方程式
* 傑斐緬柯方程式
* 黎納-維謝勢
* 拉莫方程式
* 阿布拉罕-勞侖茲力
* 狹義相對論

參考文獻
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1. 1 2  Griffiths, David J.. Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Alexander Komech; Andrew Komech.. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

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