波茲曼分布是一種指數分布。
波茲曼因子 p\_{i} / p\_{j}(縱軸) 作為幾個不同能量差 {\displaystyle \epsilon \_{i}-\epsilon \_{j}} 的溫度 T 的函數
在統計力學和數學中，**波茲曼分布**（英語：），或稱**吉布斯分布**（英語：），是一種機率分布或機率測度，它給出一個系統處於某種狀態的機率，是該狀態的能量及溫度的函數。該分布以下列形式表示：

{\displaystyle p\_{i}\propto e^{-{\varepsilon \_{i}}/{(kT)}}}
其中pi是系統處於狀態i的機率，εi是該狀態的能量，kT為波茲曼常数k和熱力學溫度T的乘积。符號{\textstyle \propto }表示比例（比例常數見§ 分布形式）

  

這裡的「系統」一詞具有非常廣泛的涵義；它適用的範圍可以從「足夠數量」的原子集合（但不是單個原子）到一個宏觀系統，例如天然气储罐。因此，波茲曼分布可以解決非常廣泛且多樣的問題。該分布表明，能量較低的狀態總是有較高的機率被佔用。

兩種狀態的機率比稱為**波茲曼因子**，其特徵在於其僅取決於兩狀態之能量差：

{\displaystyle {\frac {p\_{i}}{p\_{j}}}=e^{{(\varepsilon \_{j}-\varepsilon \_{i})}/{(kT)}}}
波茲曼分布以路德維希·波茲曼的名字命名，他於1868年研究熱平衡中氣體的統計力學時首次提出了這一分布。波茲曼的統計力學成果證明於他的論文"論熱力學第二定律與熱平衡狀態的機率之間的關係"該分布後來被喬賽亞·威拉德·吉布斯（）以現代通用的形式進行了廣泛的研究。

廣義波茲曼分布是熵的統計力學定義（吉布斯熵公式{\textstyle S=-k\_{\mathrm {B} }\sum \_{i}p\_{i}\log p\_{i}}）和熵的熱力學定義（{\textstyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q\_{\text{rev}}}{T}}}，以及熱力學基本關係）等價的充分必要條件。

不應將波茲曼分布与馬克士威-波茲曼分布或馬克士威-波茲曼統計混淆。波茲曼分布給出了系統處於某一狀態的機率，作為該狀態的能量的函數，而馬克士威-波茲曼分布給出了理想氣體中的粒子速度或能量的機率。

分布形式
----

波茲曼分布是狀態能量與系統溫度的機率分布函數，給出了粒子處於特定狀態下的機率。其具有以下形式：

{\displaystyle p\_{i}={\frac {1}{Q}}}{e^{-{\varepsilon }\_{i}/(kT)}={\frac {e^{-{\varepsilon }\_{i}/(kT)}}{\sum \_{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }\_{j}/(kT)}}}}}
其中p\_{i}為狀態i的機率，{\displaystyle \epsilon \_{i}}為狀態i之能量， k為波茲曼常數，T為系統的絕對溫度，而M是系統中我們有興趣且可知的狀態數量。分母的歸一化常數Q（一些作者用Z表示）對系統所有狀態進行總和，是規範的配分函數：

{\displaystyle Q={\sum \_{i=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }\_{i}/(kT)}}}}
這個結果源自於所有可能狀態的機率之和必須為1的約束條件。

波茲曼分布是使熵最大化的分布。

{\displaystyle H(p\_{1},p\_{2},\cdots ,p\_{M})=-\sum \_{i=1}^{M}p\_{i}\log \_{2}p\_{i}}
受制於約束條件時，{\textstyle \sum {p\_{i}{\varepsilon }\_{i}}}等於特定的平均能量值（可以使用拉格朗日乘數證明）。

對於一個我們感興趣的系統，若是知道系統中各狀態的能量，可以直接計算此系統的配分函數。各種原子的配分函數可以在NIST Atomic Spectra Database找到。

該分布表明，低能量的狀態比起高能量的狀態具有較高的分布機率。同時，它也能夠定量地比較兩能階分布機率的關係。狀態i與狀態j的分布機率比為：

{\displaystyle {\frac {p\_{i}}{p\_{j}}}=e^{({\varepsilon }\_{j}-{\varepsilon }\_{i})/(kT)}}
其中，p\_{{i}}為狀態i的機率，p\_{j}為狀態j的機率，而{\displaystyle \epsilon \_{i}}和{\displaystyle \epsilon \_{j}}分別為狀態i和狀態j的能量。兩能量對應的機率比，必須考慮它們的簡併能階。

波茲曼分布通常用於描述粒子的分布，例如原子與分子在各種束縛態的分布情形。實際上，粒子處於狀態i的機率會等於處於狀態i的粒子數除以系統中所有粒子的總數，即：

{\displaystyle p\_{i}={\frac {N\_{i}}{N}}}
其中N\_{{i}}為處於狀態i的粒子數，N為系統中所有粒子的總數。我們可以使用波茲曼分布找出該機率。正如上式，機率等於位於狀態i的粒子數與總數之比例。因此，我們可以位於狀態i的粒子數比例表示成一以能量作為變數的函數：

{\displaystyle {\frac {N\_{i}}{N}}={\frac {e^{-{\varepsilon }\_{i}/(kT)}}{\sum \_{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }\_{j}/(kT)}}}}}
這個等式對於光譜學來說非常重要。在光譜學中，我們觀察到一個原子或分子從一狀態躍遷至另一狀態的譜線。一般來說，越大比例的分子在第一能態，意味著發生越多的從第一至第二能態的躍遷。此現象可從越強的譜線觀察到。然而，除了分子數比例外，也有其他因素會影響譜線的強弱，例如禁制機制。

機器學習中常用的softmax函數與波茲曼函數有關。

統計力學上的應用
--------

条目：正则系综和麦克斯韦-玻尔兹曼统计
在統計力學中，波茲曼分布會出現在熱平衡（能量交換平衡）的孤立（或近似孤立）系統中。最一般的情況是正則系綜的機率分布。而在某些特殊情況下（衍生自正則系綜）也有相關的應用。

正則系綜（一般情况）
正則系綜給出了各種可能狀態的機率分布在一固定體積、封閉且有熱庫的熱平衡系統。此時，正則系綜具有波茲曼形式的機率分布。

數學上的應用
------

条目：吉布斯測度和對數-線性模型
在數學上，波茲曼函數更廣義的形式為吉布斯測度（英语：）。在統計學與機器學習中又被稱為對數-線性模型（英语：）。在深度学习中，玻尔兹曼分布被用于随机神经网络的采样分布，例如玻尔兹曼机，受限玻尔兹曼机和深度玻尔兹曼机。

參見
--

* 玻色–愛因斯坦統計
* 費米-狄拉克統計
* 負溫度
* Softmax函数

參考文獻
----

1. ↑  Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich.. Course of Theoretical Physics **5** 3. Oxford: Pergamon Press. 1980 [1976]. ISBN 0-7506-3372-7.  Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28
2. ↑  Boltzmann, Ludwig.  [Studies on the balance of living force between moving material points]. Wiener Berichte. 1868, **58**: 517–560.
3. ↑   (PDF).  [2017-05-11]. （原始内容 (PDF)存档于2021-03-05）.
4. ↑  Gibbs, Josiah Willard.. New York: Charles Scribner's Sons. 1902.
5. ↑  Gao, Xiang; Gallicchio, Emilio; Roitberg, Adrian.. The Journal of Chemical Physics. 2019, **151** (3): 034113. PMID 31325924. arXiv:1903.02121 可免费查阅. doi:10.1063/1.5111333.
6. 1 2 3 4  Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York
7. 1 2  McQuarrie, A.. Sausalito, CA: University Science Books. 2000. ISBN 1-891389-15-7.
8. ↑  NIST Atomic Spectra Database Levels Form （页面存档备份，存于） at nist.gov
9. ↑  Atkins, P. W.; de Paula, J.  9th. Oxford: Oxford University Press. 2009. ISBN 978-0-19-954337-3.