**提示**：此条目的主题不是**刘维尔定理 (哈密顿力学)**或**刘维尔定理 (微分代数)**。 
**刘维尔定理**是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域\mathbb {C} 上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都**不属于**一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介
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整函数是指从复数域\mathbb {C} 射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]f:\;\;{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}在某点z\_0全纯，指在点**解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器"http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/"返回无效的响应（"Math extension cannot connect to Restbase."）：): z\_0**
以及其邻域上有定义，并且以下极限：

\lim \_{{z\to z\_{0}}}{\frac {f(z)-f(z\_{0})}{z-z\_{0}}}
存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数f:\;\;{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}，如果存在一个正数M，使得对于所有的复数z，f(z)的模长都小于等于M：

z\in {\mathbb {C}},\;\;|f(z)|\leqslant M,
则该函数必定是常数函数。

证明
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证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数f:\;\;{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}，考虑它关于z\_{0}=0的解析展开：

f(z)=\sum \_{{k=0}}^{\infty }a\_{k}z^{k}
其中的系数a\_{k}可以根据柯西积分公式求得：

a\_{k}={\frac {f^{{(k)}}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint \_{{C\_{r}}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{{k+1}}}\,d\zeta 
其中{\displaystyle C\_{r}=\{z:\;|z|=r\}}是以0为圆心，半径为r > 0的圆。依照函数f有界的条件，可以估计系数a\_{k}模长的上界：

|a\_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{{k+1}}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {M}{r^{{k+1}}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},
在以上的估计中，曲线积分为C\_{r}，其中半径r的选择是任意的。当r趋于无穷大时，{\frac {M}{r^{k}}}趋于0. 因此，让r趋于无穷大，便可以推出：对所有的*k* ≥ 1，都有*a**k* = 0。这说明，

f(z)=\sum \_{{k=0}}^{\infty }a\_{k}z^{k}=a\_{0}
即是说f是常数函数。定理得证。

应用与推论
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### 代数基本定理

条目：代数基本定理 § 证明二
### 整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数f总比另一个整函数g小：|f|\leqslant |g|，那么这两个整函数成比例关系：\forall z\in {\mathbb {C}},\;f(z)=\kappa \cdot g(z)，其中\kappa是比例常数。

考虑函数h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}

|f|\leqslant |g|说明，函数h的模长总小于等于1。另一方面，由于|f|\leqslant |g|，所以{\frac {f(z)}{g(z)}}的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数h。所以h作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明f和g成比例关系。

### 次线性整函数

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数f满足：

\forall z\in {\mathbb {C}},\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.
其中M是一个常数系数。考虑f的导函数。根据柯西积分公式，

|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}{\mathrm {d}}\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|{\mathrm {d}}\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|{\mathrm {d}}\zeta \right|={\frac {MI\_{r}^{z}}{2\pi }}
其中C\_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{{it}};\;t\in [0,2\pi ]\}是以z为圆心，半径为r的圆；

I\_{r}^{z}=\oint \_{{C\_{r}}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|{\mathrm {d}}\zeta \right|=\int \_{0}^{{2\pi }}{\frac {\left|z+r\cdot e^{{it}}\right|}{r}}{\mathrm {d}}t
取r=|z|，则\left|z+r\cdot e^{{it}}\right|\leqslant |z|+r=2r. 所以{\displaystyle I\_{r}^{z}\leqslant \int \_{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi }，因此

|f'(z)|\leqslant 2M.
因此依据刘维尔定理，f'是常数函数。另一方面，|f(0)|\leqslant M|0|，所以f(0)=0. 综上可知，次线性整函数f是线性函数。

### 皮卡小定理

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献
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* Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
* Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 刘维尔定理的教程