三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的
**三等分角**是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是："能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？"

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔（英语：）首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。

背景简介
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### 尺规作图法

条目：尺规作图
在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的"直尺和圆规画图可能性"问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，确定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
* 若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是："给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？"比如："给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？"等等。

### 问题叙述

三等分角问题的完整叙述是：

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|  | 任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？ |  |

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。"角"可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AO和OB构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如*α*表示。两个角AOB和A'O'B'相等，指的是以下条件：如果将线段OA沿点A延长为射线，在上面作一点C使得OC = O'A'，同时将线段OB沿点B延长为射线，在上面作一点D使得OD = O'B'，则CD = A'B'。

一个角*α*等于另一个角*β*的三分之一，指的是角*β*等于角*α*的三倍。而一个角AOB等于角AOC的*k*倍（*k* > 1为自然数），指的是可以找到点B1, B2, ... , B*k*等，使得*k*个角AOB1, B1OB2, ... , B*k*-1OB*k*都等于AOC，并且点B*k*就是点B。

### 二等分角问题

尺规二等分任意角度的过程
与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的證明
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条目：規矩數
1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

### 尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于\mathbb {R} ^{2}。

设E是\mathbb {R} ^{2}的一个非空子集。如果某直线{\mathcal {l}}经过E中不同的两点，就说{\mathcal {l}}是E-尺规可作的，简称E-可作。同样地，如果某个圆\mathcal{C}的圆心和圆上的某个点是E中的元素，就说\mathcal{C}是E-可作的。进一步地说，如果\mathbb {R} ^{2}里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E)，那么当E中包含超过两个点的时候，E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E0开始，经过一步能作出的点构成集合E1 = s(E)，经过两步能作出的点就是E2 = s(E1)，……以此类推，经过n步能作出的点集就是En = s(En-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是：

{\displaystyle C(\mathrm {E} \_{0})=\bigcup \_{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} \_{n}}。
另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0 = {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：H = *C*(E0)，那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数a和b是规矩数当且仅当(a, b)是H中的一个点。
可以证明，有理数集\mathbb{Q}是所有规矩数构成的集合K的子集，而K又是实数集\mathbb {R} 的子集。另外，为了在复数集\mathbb {C} 内讨论问题，也会将平面\mathbb {R} ^{2}看作复平面\mathbb {C} ，同时定义一个复数a+bi是（复）规矩数当且仅当点(a, b)是H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含\mathbb{Q}作为子集，并且是复数集\mathbb {C} 的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。

### 域的扩张与最小多项式

条目：域扩张和最小多项式
以集合的观念来说，L与\mathbb{Q}、\mathbb {C} 之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明L是有理数域\mathbb{Q}的扩域，是实数域\mathbb {C} 的子域。记作{\mathbb {Q}}\subseteq {\mathrm {L}}\subseteq {\mathbb {C}}。域是抽象代数中的概念，是能够进行"加减乘除"运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如：

{\frac {P\_{1}(z)}{P\_{2}(z)}}
的点（其中P1和P2是两个多项式）。有理数域\mathbb{Q}和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为\mathbb{Q}关于z的扩张，记作{\mathbb {Q}}(z)。然而，{\mathbb {Q}}(z)中的元素并没有表面上那么"多"。一般来说，如果有一个多项式P使得P(z)=0，那么{\mathbb {Q}}(z)中的元素都可以写成λ1+λ2z+...+λdzd-1的形式，其中d是P的阶数。这样的情况称为域\mathbb{Q}的有限扩张，因为{\mathbb {Q}}(z)可以看成关于\mathbb{Q}的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得m(z) = 0的多项式中阶数最小的，并称m是z最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定1, z, ... , zdm-1是{\mathbb {Q}}(z)的一个基底，{\mathbb {Q}}(z)是一个dm维的\mathbb{Q}-线性空间（dm是m的阶数）。这时候也称dm是域扩张{\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {Q}}(z)的阶数，记作：

[{\mathbb {Q}}(z):{\mathbb {Q}}]={\mathrm {d}}\_{m}
### 规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是：ax+by+c=0,\quad a,b,c\in {\mathrm {L}},\qquad \qquad \cdots \;\;(1)
圆的方程是：(x-c\_{1})^{2}+(y-c\_{2})^{2}=r^{2},\quad c\_{1},c\_{2},r\in {\mathrm {L}}.\qquad \qquad \cdots \;\;(2)
无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的x和y值都会是形同

{\begin{cases}x=p\_{1}+q\_{1}{\sqrt {t}}&p\_{1},\;q\_{1},\;t\;\in {\mathrm {L}}\\y=p\_{2}+q\_{2}{\sqrt {t}}&p\_{2},\;q\_{2}\;\in {\mathrm {L}}\end{cases}}
的数值。所以复规矩数*z* = *x*+*yi*满足一个二次方程：

(z-(p\_{1}+p\_{2}i))^{2}=t(q\_{1}+q\_{2}i)^{2}
其中的*p*1+*p*2*i*、*q*1+*q*2*i*以及*t*都是L中的元素。这意味着，域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从L开始，经过一系列（*n*次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了*n*次域扩张：

{\displaystyle \mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} \_{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} \_{n}}。
而每次域扩张的阶数：[Lk : Lk-1]都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：



|  |
| --- |
| 任何复规矩数*z*对应的域扩张{\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {Q}}(z)的阶数[{\mathbb {Q}}(z):{\mathbb {Q}}]都是2的某个幂次：
[{\mathbb {Q}}(z):{\mathbb {Q}}]=2^{s} |

其中的*s*是某个小于*n*的自然数（*n*是已知所有有理数坐标点时，作出*z*对应的点要经过的基本步骤数目）。

### 三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的最小多項式次數為2^{{s}}。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是\theta 的角，均可以由尺規作圖得到 角度为{\frac {\theta }{3}}的角。这等价于说在已知单位长度和\cos {\theta }的时候能做出\cos {{\frac {\theta }{3}}}的长度。设L是包含了\cos {\theta }和单位长度1的域。用尺规作图可以得到z=\cos {{\frac {\theta }{3}}}，说明域扩张的阶数是2的幂次：

[{\mathrm {L}}(z):{\mathrm {L}}]=2^{s}
然而根據三倍角公式：

{\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}。
运用多项式的知识可以证明，z在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度\theta =60^{\circ }时，L就是\mathbb{Q}（\cos {\theta }={\frac 12}\in {\mathbb {Q}}）三倍角公式变成：

4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}，即是：
8z^{3}-6z-1=0
这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集\mathbb{Q}，所以可以证明{\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分。\Box

能够尺规三等分的角度
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以上的证明通过一个反例：\theta =60^{\circ }说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角\theta 等价于说[{\mathrm {L}}(\cos {{\frac {\theta }{3}}}):{\mathrm {L}}]=1。要注意的是，这个条件与\cos {\theta }本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度\theta 即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角\theta 作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度3\pi /7就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个3\pi /7的角，它的五倍角就是15\pi /7，等于将圆周绕过一圈後的\pi /7，这正是3\pi /7的三分之一。可以证明，角度2\pi/N可以用尺规三等分，当且仅当自然数N本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数k只含有2以外的质因子，根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明\cos {{\frac {\theta }{k}}}的最小多项式阶数整除k，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（2\pi/N可以五等分，當且僅當N不是5的倍數；而不管N是多少，2\pi/N都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法
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用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

### 无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

{\frac 13}={\frac 14}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots 
这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为\theta 的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角\theta ，得到{\frac {\theta }{4}}。同样地，可以作出{\frac {\theta }{4^{2}}}、{\frac {\theta }{4^{3}}}等所有形同{\frac {\theta }{4^{n}}}的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作後用尺规作图得到

{\displaystyle {\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}}。
### 二刻尺

把角a三等分把角*a*三等分
如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角*a*三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有两个刻度，相距*AB*。把角上的直线延长，并作一个半径为*AB*的圆。 

把直尺的一点固定在*A*，并将直尺绕着点*A*移动，直到其中一个刻度位于点*C*，另一个刻度位于点*D*，也就是说，*CD* = *AB*。这时，角*b*就是角*a*的三分之一。

要證明a=3b，我們需要利用**直線上的鄰角**(adjacent angles on straight line)，**三角形的內角和**(angle sum of triangle)及**等腰三角形底角**(base angle, isosceles triangle)。

证明：

1. e + c = 180^\circ。
2. e + 2b = 180^\circ。
3. 两式相减，得c=2b。
4. d + 2c = 180^\circ，因此 d = 180^\circ - 2c ，把上式代入，得 d = 180^\circ - 4b。
5. a + d + b = 180^\circ，因此 a + (180^\circ - 4b) + b = 180^\circ。

所以，a-3b=0，或a=3b。证毕。

或者，可以利用**三角形的外角**(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

b + b = c

b + c = a

\Rightarrow{ b} + 2b = a

\Rightarrow {a} = 3b

同樣也可證明。

### 借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分线OC。以直线OC为准线，点A为焦点，作一双曲线；同时以O为圆心，OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D，那么角AOD等于角AOB的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

\rho =c\theta 
其中的\rho 是极径（离原点的距离），\theta 是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度\rho \_{0}，然后对比找出{\frac {\rho \_{0}}{3}}对应的角度即可。

相關條目
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* 莫雷角三分線定理
* 規矩數
* 三等分角線

参考来源
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1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  曹亮吉.. 原載於科學月刊第九卷第四期..  [2013-05-28]. （原始内容存档于2014-06-23）.  外部链接存在于`|publisher=` (帮助)
2. ↑  康明昌.. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出..  [2013-05-29]. （原始内容存档于2004-04-06）.  外部链接存在于`|publisher=` (帮助)
3. 1 2 3 4  Underwood Dudley.. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780883855140 （英语）.
4. 1 2 3 4 5 6 7 8  Warner.. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 （英语）.
5. 1 2 3  Stewart, Ian.. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 （英语）.

外部链接
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* HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題（页面存档备份，存于） 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
* 三等分任意角可能嗎？（页面存档备份，存于）


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* 论
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古希臘數學 |
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