|  |
| --- |
| **的数** |
| **基本** |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

 

|  |  |
| --- | --- |
| 正數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 {\displaystyle \mathbb {N} }
正整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 {\displaystyle \mathbb {Q} }
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 {\displaystyle \mathbb {R} }
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  | 负数 {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\displaystyle \mathbb {I} }
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
  |

 |
| **延伸** |
| 
 

|  |  |
| --- | --- |
| 二元数
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} }
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
  |

 |
| **其他** |
| 
 

|  |  |
| --- | --- |
| 質數 {\displaystyle \mathbb {P} }
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
  |

圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無限大 {\displaystyle \infty } |
| * 
* 论
* 编
 |

**無理數**（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明{\displaystyle {\sqrt {2}}}無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于"渎神"。另見第一次數學危機。

無理數可以通過有理數的分划的概念來定義。

举例
--

1. {\displaystyle {\sqrt {3}}}＝1.73205080…
2. {\displaystyle \log \_{10}}3＝0.47712125…
3. e＝2.71828182845904523536…
4. sin 45°＝{\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}＝0.70710678…
5. π＝3.141592653589793238462…

性质
--

* 无理数加或减无理数不一定得无理数，如{\displaystyle \log \_{10}2+\log \_{10}5=\log \_{10}10=1}。
* 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
* 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。

不知是否是無理數的數
----------

π＋e、π－e等，事实上，對于任何非零整數{\displaystyle m\,}及{\displaystyle n\,}，不知道{\displaystyle m\pi +ne\,}是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π－π＝0、{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}等除外。

我們亦不知道{\displaystyle 2^{e}\,}、{\displaystyle \pi ^{e}\,}、{\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}、欧拉－马歇罗尼常数{\displaystyle \gamma \,}、卡塔兰常数{\displaystyle G}和费根鲍姆常数是否無理數。

無理數集的特性
-------

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式
-----------

{\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)}，
選取正實數{\displaystyle \rho \,}使

{\displaystyle \rho ^{2}<c\!}。
經由遞迴處理

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}}

無理數之證
-----

### 證明{\displaystyle {\sqrt {2}}}是无理数

假设{\displaystyle {\sqrt {2}}}是有理数，且{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}，{\displaystyle {\frac {p}{q}}}是最简分数。

两边平方，得{\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}。将此式改写为{\displaystyle 2q^{2}=p^{2}}，可见{\displaystyle p^{2}}为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以{\displaystyle p}只能为偶数。设{\displaystyle p=2p\_{1}}，其中{\displaystyle p\_{1}}为整数。

代入可得{\displaystyle q^{2}=2p\_{1}^{2}}。同理可得{\displaystyle q}亦为偶数。

这与{\displaystyle {\frac {p}{q}}}为最简分数的假设矛盾，所以{\displaystyle {\sqrt {2}}}是有理数的假设不成立。

### 證明{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是无理数

假設{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p}是有理數，兩邊平方得

{\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}={\frac {p^{2}-5}{2}}}

其中因為{\displaystyle p}是有理數，所以{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}也是有理數。

透過證明{\displaystyle {\sqrt {a}}}為無理數的方法，其中{\displaystyle {a}}為一非完全平方数

可以證明{\displaystyle {\sqrt {6}}}是無理數

同樣也推出{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是無理數

但這又和{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是有理數互相矛盾

所以{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是一無理數

### 證明{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}是无理数

**證一**

同樣，假設{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理數，兩邊平方得

{\displaystyle 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}-10}{2}}}，

於是{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理數。兩邊再次平方，得：

{\displaystyle 31+10{\sqrt {6}}+6{\sqrt {10}}+4{\sqrt {15}}={\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}}，

於是{\displaystyle 5{\sqrt {6}}+3{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}

由於{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理數，所以

{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}}

{\displaystyle \Rightarrow 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}

透過證明形如{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}的數是無理數的方法，得出{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}}也是一無理數

但這結果明顯和{\displaystyle {\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}與{\displaystyle 2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}皆為有理數出現矛盾，故{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}為無理數

**證二**

同樣假設{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理數，

{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}

{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p-{\sqrt {5}}}，兩邊平方：

{\displaystyle \Rightarrow ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}=(p-{\sqrt {5}})^{2}}

{\displaystyle \Rightarrow 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{\sqrt {5}}}

{\displaystyle \Rightarrow 2({\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}})=p^{2}}

證明{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}形式的數是無理數的方法，得出{\displaystyle {\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}}}是無理數

也是矛盾的。

### 證明{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}是无理数

{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}=p}

{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p-{\sqrt {7}}}，兩邊平方得

{\displaystyle \Rightarrow 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{\sqrt {7}}}

{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}}，得到{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}為一有理數

{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}}，兩邊繼續平方：

{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}\right)^{2}}

{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}}

{\displaystyle \Rightarrow 31+2{\sqrt {60}}+2{\sqrt {90}}+2{\sqrt {150}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+(-p{\sqrt {7}})^{2}-2\times {p}{\sqrt {7}}\times \left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow 31+4{\sqrt {15}}+6{\sqrt {10}}+10{\sqrt {6}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}

{\displaystyle \Rightarrow 2{\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}

由於{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}，{\displaystyle p}皆為有理數

設{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=q=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}，{\displaystyle q}亦為有理數

證明{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}形式的數是無理數的方法可知{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}為無理數

這和{\displaystyle q}是有理數衝突

所以得證{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}為無理數

参见
--

* 分划
* 丢番图逼近
* 3的算术平方根
* 5的算术平方根
* 超越数
* 第一次數學危機
* 正規數

外部連結
----

* 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 （页面存档备份，存于），有畢氏弄石法的證明
* {\displaystyle {\sqrt {2}}}是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （页面存档备份，存于）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
* 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華[永久]（數學傳播 第30卷 第4期）

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
無理數 |
| --- |
|  |
| 
* 柴廷常數 (Ω)
* 刘维尔数
* 質常數（英语：） (ρ)
* 欧米加常数
* 卡漢常數
* 2的自然对数
* 高斯常數 (G)
* 2的12次方根
* 阿培里常数 (*ζ*(3))
* 塑膠數 (ρ)
* 2的算術平方根

* 超黃金比例 (ψ)
* 埃尔德什-波温常数 (E)
* 黄金分割率 (φ)
* 3的算術平方根
* 5的算術平方根
* 白銀比例 (*δ**S*)
* 6的算術平方根（英语：）
* 7的算術平方根（英语：）
* 自然常數/尤拉數 (e)
* 圓周率 (π)
* 青銅比例

 |  |
|  |
| 
* 分裂數（英语：）
* 超越數
* 三角函數數

 |

 |

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
实数 |
| --- |
|  |
| 
* 0.999…
* 絕對差量（英语：）
* 康托尔集
* 康托爾–戴德金公理（英语：）
* 实数完备性
* 實數的構造
* 實數的一階理論可決定性（英语：）
* 擴展實數線
* 格雷果里數（英语：）
* 無理數
* 正规数
* 有理数
* 有理ζ级数（英语：）
* 實坐標空間（英语：）
* 實數線
* 塔尔斯基的实数公理化（英语：）
* 维塔利集合

 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
数的系統 |
| --- |
|  |
| 可數集 | 
* 自然数 ({\displaystyle \mathbb {N} })
* 整数 ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* 有理数 ({\displaystyle \mathbb {Q} })
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 ({\displaystyle \mathbb {Z} [i]})
* 艾森斯坦整数

 |
|  |
| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })

 |
|  |
| 凯莱－迪克森结构 | 
* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })
* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

 |
|  |
| 分裂形式 | 
* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

 |
|  |
| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
* 十六元數  ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
* 多重複數
* 幾何代數（英语：）
	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
* 三元數
	+ 無法良好構建
* 六元數

 |
|  |
| 其他系統 | 
* 基數
* 擴展自然數（英语：）
* 無理數
* 模糊數（英语：）
* 超實數
* 列維-奇維塔域（英语：）
* 超現實數
* 超越數
* 序数
* *p*進數
* 超自然數（英语：）
* 上超實數（英语：）

 |
|  |
| 
* 分類
* 列表级条目 列表（英语：）

 |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| 规范控制 編輯維基數據鏈接 | 
* GND: 4162426-9
* J9U: 987007538749205171
* LCCN: sh85093213
* NKC: ph812800

 |

 |