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在牛顿引力场中，粒子运动的拉格朗日量为：

* L={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})

其中 \vec{v}—粒子速度， \varphi ({\vec {x}})—牛顿引力势
粒子运动方程由最小作用量原理\delta S=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\delta L}dt=0决定：

0=\delta S=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\delta L}dt
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\delta \left({\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})\right)}dt
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\left(m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {v}}-m\delta \varphi ({\vec {x}})\right)}dt
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\left(m{\vec {v}}\cdot {\frac {d\delta {\vec {x}}}{dt}}-m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt
=m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}|\_{{t1}}^{{t2}}-\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot \delta {\vec {x}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt
=-\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\right)}\cdot \delta {\vec {x}}dt
因此有：m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0即：{\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。
考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动，则拉格朗日量变为：

* L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})\right)dV}

其中： \rho —流体质量密度， dV—体积元。
牛顿引力场本身的拉格朗日量为：

* {{L}\_{{g}}}=\int {\left(-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}

同时考虑引力场和无压理想流体，其总拉格朗日量为：

* L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}

为了得到引力场的运动方程，只对\varphi ({\vec {x}})取变分我们有：

0=\delta S=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\delta Ldt}
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\delta \int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi )\right)dV}dt}
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi )\right)dV}dt}
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{{2}}}\varphi )\right)dV}dt}
=\int \limits \_{{t1}}^{{t2}}{\int \limits \_{{\Sigma }}{\left(-{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\right)}+\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi {{\nabla }^{{2}}}\varphi \right)dV}dt}，其中\Sigma -包围体积V的边界
=\int {\left(-\rho +{\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{{2}}}\varphi \right)\delta \varphi ({\vec {x}})dV}dt
因此有引力场运动方程{{\nabla }^{{2}}}\varphi =4\pi G\rho  。
这样，我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为：

* \not {L}={\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi

按照分析力学原理，我们有守恒量---哈密顿量（其中：{\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}）为：

{\begin{aligned}&H=\int {\left(\sum \limits \_{{i=1}}^{{3}}{{{v}\_{{i}}}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {{v}\_{{i}}}}}}+{\dot {\varphi }}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {\dot {\varphi }}}}-\not {L}\right)}dV\\&=\int {\sum \limits \_{{i=1}}^{{3}}{{{v}\_{{i}}}{\frac {\partial }{\partial {{v}\_{{i}}}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV}\\&{\mathop {{}}}^{{{}}}+\int {{\dot {\varphi }}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\varphi }}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&{\mathop {{}}}^{{{}}}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left(\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\right)dV}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+\rho \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}
其中\rho \varphi ({\vec {x}})代表理想流体与引力场的相互作用能，可以将它归为理想流体的能量，也可以把它归为引力场的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出：\rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{{2}}}\varphi ，代入上式得：

{\begin{aligned}&H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\varphi {{\nabla }^{{2}}}\varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}
=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+{\frac {1}{4\pi G}}\int \limits \_{{\Sigma }}{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}
其中： \Sigma 为包围体积V边界。体积V是全空间。
一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 \varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{{r}^{{3}}}}})，d{\vec {S}}\to O({{r}^{{2}}}) ，其积\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}}) ，因此\int \limits \_{{\Sigma }}{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0 .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：

* H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}

在分析力学中我们称哈密顿量为能量，因此又可写为：

* E=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}

哈密顿量是守恒量即{\frac {dH}{dt}}=0 也即{\frac {dE}{dt}}=0 。
从上面的结果我们看到： {\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}代表理想流体的动能密度{{T}\_{{m}}} ， {\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi 代表引力能密度{{T}\_{{g}}} ，这时我们看到总能量密度是 \varepsilon ={{T}\_{{m}}}-{{T}\_{{g}}}，引力能贡献的是负能。当然，如果将相互作用能归为理想流体的能量，则引力能贡献的是正能，数值仍然是{{T}\_{{g}}} 。
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