此條目介紹的是多元微分算子。关于圖論中，該算子離散化的結果，请见「**拉普拉斯矩陣**」。

|  |
| --- |
| 系列條目 |
| 微积分学 |
|  |
| 
* 函数
* 极限论
* 微分学
* 积分

* 微积分基本定理
* 微积分发现权之争（英语：）

 |
| 基础概念（含极限论和级数论）

| 
實數性質 |
| --- |
| 函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（銜尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷（英语：） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 ·  · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：） · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：） · 一致收斂 · 迪尼定理 |
| 
數列與級數 |
| 
連續 |
| 
函數 |

 |
| 一元微分

|  |
| --- |
| 差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：） · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数 |

 |
| 一元积分

|  |
| --- |
| * 积分表
 |
| 
定义 |
| * 不定积分
* 定积分
* 黎曼积分
* 达布积分
* 勒贝格积分
* 积分的线性
 |
| 
求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · **微积分基本定理** · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 數值積分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理 |

 |
| 多元微积分

|  |
| --- |
| 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序（英语：）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · **格林公式** · **高斯散度定理** · **斯托克斯定理**及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：）（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分（英语：）） · 弱微分 |

 |
| 微分方程

|  |
| --- |
| 常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特徵方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程 |

 |
| 相关数学家
牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 約翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：） · 婆什迦羅第二 · 阿涅西 · 阿基米德
 |
| 历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：） · 分析学教程（英语：） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：） · 流形上的微积分（英语：） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：） · 机械原理方法论（英语：）
 |
| 分支学科

|  |
| --- |
| 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析 |

 |
| * 
* 论
* 编
 |

在數學以及物理中，**拉普拉斯算子**或是**拉普拉斯算符**（英語：）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 {\displaystyle \Delta }、{\displaystyle \nabla ^{2}} 或 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla }。

這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 {\displaystyle \Delta f=0} 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测（英语：）和边缘检测等的各种任务。

定义
--

拉普拉斯算子是 **n** 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 {\displaystyle f} 先作梯度運算（{\displaystyle \nabla f}）後，再作散度運算（{\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}）的結果。因此如果 {\displaystyle f} 是二阶可微的实函数，则 {\displaystyle f} 的拉普拉斯算子定义为：

{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f} ── (1)
{\displaystyle f} 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 {\displaystyle x\_{i}} 中的所有非混合二阶偏导数：

{\displaystyle \Delta f=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}^{2}}}} ── (2)
作为一个二阶微分算子，对于*k* ≥ 2，拉普拉斯算子把*C*k函数映射到*C*k-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：*C*k(**R**n)→ *C*k-2(**R**n)，或更一般地，定义了一个算子Δ：*C*k(Ω)→ *C*k-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

{\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}

坐標表示式
-----

### 二維空間

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
其中**x**與**y**代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為：
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}
### 三維空間

**笛卡兒坐標系**下的表示法
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
**圓柱坐標系**下的表示法
{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
**球坐標系**下的表示法
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}
### *N*维空间

在参数方程为{\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}（其中{\displaystyle r\in [0,+\infty )}以及{\displaystyle \theta \in S^{N-1}}）的**{\displaystyle N}维球坐标系**中，拉普拉斯算子为：

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta \_{S^{N-1}}f}
其中{\displaystyle \Delta \_{S^{N-1}}}是{\displaystyle N-1}维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把{\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}的项写成{\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}}。

恒等式
---

* 如果*f*和*g*是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

{\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)}。
*f*是径向函数{\displaystyle f(r)}且*g*是球谐函数{\displaystyle Y\_{lm}(\theta ,\phi )}，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。{\displaystyle f(r)}的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

{\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y\_{lm}(\theta ,\phi ))=0}。
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

{\displaystyle \Delta Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )}。
因此：

{\displaystyle \Delta (f(r)Y\_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )}。

谱理论
---

拉普拉斯算子的谱由特征值{\displaystyle \lambda }和对应的特征函数{\displaystyle f}组成，满足：

{\displaystyle -\Delta f=\lambda f}

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果{\displaystyle \Omega }在{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间{\displaystyle L^{2}(\Omega )}下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

推广
--

### 复杂空间上的实值函数

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（英語：）：

{\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子*c*是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果*x*方向用寸来衡量，*y*方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

### 值域爲复杂空间

#### 向量值函數的拉普拉斯算子

更多：en:Vector Laplacian
拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽

{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A\_{x},\nabla ^{2}A\_{y},\nabla ^{2}A\_{z})}．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：

{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )}，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明"旋度的旋度"向量恒等式．
#### 拉普拉斯－贝尔特拉米算子

条目：拉普拉斯－贝尔特拉米算子和拉普拉斯－德拉姆算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为**拉普拉斯-贝尔特拉米算子**。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过**拉普拉斯–德拉姆算子**，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参见
--

* 在圆柱和球坐标系中的del

参考文献
----

* Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M.. . Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
* Gilbarg, D and Trudinger, N.. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
* Schey, H. M.. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.

外部連結
----

* MathWorld: Laplacian （页面存档备份，存于）
* Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates （页面存档备份，存于） by Swapnil Sunil Jain

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| 规范控制 編輯維基數據鏈接 | 
* GND: 4166772-4
* J9U: 987007555497805171
* LCCN: sh85074667
* NDL: 01181008

 |

 |