有限深方形阱。阱寬為L\,\!。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為V\_{0}\,\!。阱外位勢保持為V\_{0}\,\!。
在量子力學裏，**有限深方形阱**，又稱為**有限深位勢阱**，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為**有限深位勢阱問題**。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

一維阱定義
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一維有限深方形阱的阱寬為L\,\!，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為x=-L/2\,\!與x=L/2\,\!。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為V\_{0}\,\!。阱外位勢保持為V\_{0}\,\!。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數\psi\,\!也不同，標記為：

\psi =\psi \_{1}\,\!：阱左邊，x<-L/2\,\!（阱外區域），
\psi =\psi \_{2}\,\!：阱內，-L/2<x<L/2\,\!（阱內區域），
\psi =\psi \_{3}\,\!：阱右邊，x>L/2\,\!（阱外區域）。
這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!；(1)
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，V(x)\,\!是位勢，E\,\!是能量。

### 阱內區域

在阱內，位勢V(x)=0\,\!，方程簡化為：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi \_{2}}{dx^{2}}}=E\psi \_{2}\,\!。(2)
設定波數k\,\!為

k={\frac {{\sqrt {2mE}}}{\hbar }}\,\!。(3)
代入方程(2)：

{\frac {d^{2}\psi \_{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi \_{2}\,\!。
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數\psi \_{2}(x)\,\!是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

\psi \_{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!；
其中，A\,\!與B\,\!都是複值常數，由邊界條件而決定。

### 阱外區域

在阱外，位勢V(x)=V\_{0}>0\,\!，薛丁格方程為：

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi \_{1}}{dx^{2}}}=(E-V\_{0})\psi \_{1}\,\!}。
視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

束縛態
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假若，粒子的能量小於位勢：E<V\_{0}\,\!，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（）。設定

\alpha ={\frac {{\sqrt {2m(V\_{0}-E)}}}{\hbar }}\,\!。(4)
代入方程(1)：

{\frac {d^{2}\psi \_{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi \_{1}\,\!。
一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

\psi \_{1}=Fe^{{-\alpha x}}+Ge^{{\alpha x}}\,\!，
\psi \_{3}=He^{{-\alpha x}}+Ie^{{\alpha x}}\,\!；
其中，F\,\!，G\,\!，H\,\!，I\,\!都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數A\,\!，B\,\!，F\,\!，G\,\!，H\,\!，I\,\!的值。

### 束縛態的波函數

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數\psi\,\!的形式為：

\psi \_{1}=Fe^{{-\alpha x}}+Ge^{{\alpha x}}\,\!：阱左邊，x<-L/2\,\!（阱外區域），
\psi \_{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!：阱內，-L/2<x<L/2\,\!（阱內區域），
\psi \_{3}=He^{{-\alpha x}}+Ie^{{\alpha x}}\,\!：阱右邊，x>L/2\,\!（阱外區域）。
當x\,\!趨向負無窮，包含F\,\!的項目趨向無窮。類似地，當x\,\!趨向無窮，包含I\,\!的項目趨向無窮。可是，波函數在任何x\,\!都必須是有限值。因此，必須設定F=I=0\,\!。阱外區域的波函數變為

\psi \_{1}(x)=Ge^{{\alpha x}}\,\!，
\psi \_{3}(x)=He^{{-\alpha x}}\,\!。
在阱左邊，隨著x\,\!越小，波函數\psi \_{1}(x)\,\!呈指數遞減。而在阱右邊，隨著x\,\!越大，波函數\psi \_{3}(x)\,\!呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於x=0\,\!，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

### 奇的波函數

假若，波函數\psi\,\!是奇函數，則 

\psi \_{2}=A\sin(kx)\,\!，
G=-H\,\!，
\psi \_{1}(-x)=-\psi \_{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!，
由於整個波函數\psi \,\!必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

\psi \_{1}(-L/2)=\psi \_{2}(-L/2)\,\!
\left.{\frac {d\psi \_{1}}{dx}}\right|\_{{x=-L/2}}=\left.{\frac {d\psi \_{2}}{dx}}\right|\_{{x=-L/2}}\,\!
將波函數的公式代入：

{\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!}，(5)
{\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!}。(6)
方程(6)除以方程(5)，可以得到：

{\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!}。
從方程(3)與(4)，可以求得常數\alpha \,\!與波數k\,\!的關係：

\alpha ^{2}={\frac {2mV\_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

{\displaystyle k^{2}={\frac {2mV\_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!}。
這也造成了離散的能量。

### 偶的波函數

假若，波函數\psi\,\!是偶函數，則 

\psi \_{2}=A\cos(kx)\,\!，
G=H\,\!，
\psi \_{1}(-x)=\psi \_{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!，
由於整個波函數\psi \,\!必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

\psi \_{1}(-L/2)=\psi \_{2}(-L/2)\,\!
\left.{\frac {d\psi \_{1}}{dx}}\right|\_{{x=-L/2}}=\left.{\frac {d\psi \_{2}}{dx}}\right|\_{{x=-L/2}}\,\!
將波函數的公式代入：

{\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!}，(7)
{\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!}。(8)
方程(8)除以方程(7)，可以得到：

{\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!}。
從方程(3)與(4)，可以求得常數\alpha \,\!與波數k\,\!的關係：

\alpha ^{2}={\frac {2mV\_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

{\displaystyle k^{2}={\frac {2mV\_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!}。
這也造成了離散的能量。

散射態
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假若，一個粒子的能量大於位勢，E>V\_{0}\,\!，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（）行為。稱這粒子的量子態為**散射態**。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為**半自由粒子**。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，E>V\_{0}\,\!，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於V\_{0}\,\!的任意值。波數\kappa \,\!，用方程式表達為\kappa ={\frac {{\sqrt {2m(E-V\_{0})}}}{\hbar }}\,\!，也不是離散量。代入方程(1)：

{\frac {d^{2}\psi \_{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi \_{1}\,\!，
{\frac {d^{2}\psi \_{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi \_{3}\,\!。
解答形式與阱內區域的解答形式相同：

\psi \_{1}=C\_{1}\sin(\kappa x)+D\_{1}\cos(\kappa x)\,\!，
\psi \_{3}=C\_{3}\sin(\kappa x)+D\_{3}\cos(\kappa x)\,\!。
其中，C\_{1}\,\!、D\_{1}\,\!、C\_{3}\,\!、D\_{3}\,\!，都是常數。

參閱
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* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta位勢阱
* Delta位勢壘
* 量子穿隧效應
* 盒中氣體

參考文獻
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1. ↑  Griffiths, David J.  2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)