數學上，**貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理**是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

定理敘述
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若{\mathcal {F}}是{\mathbb R}^{n}中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

{\displaystyle \sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty }
而*A*為當中的球的中心組成的集合。那麼{\mathcal {F}}中存在子集{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}\_{N\_{n}}}，每個{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}}是可數多個互不相交的球的集合，而且

{\displaystyle A=\bigcup \_{i=1}^{N\_{n}}\bigcup \_{B\in {\mathcal {G}}\_{i}}B}
其中{\displaystyle N\_{n}}是一個僅依賴於*n*的常數。

證明大概
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先假設*A*是有界集合。依次選取球B\_{i}

1. 選擇{\displaystyle B(a\_{1},r\_{1})\in {\mathcal {F}}}為B\_{1}，適合條件{\displaystyle r\_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}}
2. 若已選取{\displaystyle B\_{1},\cdots ,B\_{j-1}}，{\displaystyle j\geq 2}。令{\displaystyle A\_{j}:=A\setminus \cup \_{i=1}^{j-1}B\_{i}}。若{\displaystyle A\_{j}=\varnothing }，就停止；若否，選擇{\displaystyle B(a\_{j},r\_{j})}為B\_{j}，適合條件{\displaystyle r\_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A\_{j}\}}

球B\_{i}有以下性質

1. 以B\_{i}的選取方法可知，若*j* > *i*，則{\displaystyle r\_{j}\leq {\frac {4}{3}}r\_{i}}，{\displaystyle \left|a\_{i}-a\_{j}\right|>r\_{i}}。
2. 將全部球B\_{i}的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球{\displaystyle B(a\_{i},r\_{i}/3)}互不相交。
3. 若有可數無限多球B\_{i}，因*A*有界，及縮小的球不交的性質，所以球B\_{i}的半徑趨向0。
4. {\displaystyle A\subset \cup \_{i}B\_{i}}。若B\_{i}數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有{\displaystyle a\in A\setminus \cup \_{i}B\_{i}}，那麼{\mathcal {F}}中有球{\displaystyle B(a,r)}，而從上一性質知，對足夠大的*j*，有{\displaystyle r\_{j}<(3/4)r}，與B\_{j}的選取條件矛盾。

對*k* > 1，估算B\_{k}和多少個之前選擇的球B\_{i}相交。先將這樣的B\_{i}按半徑r\_{i}分成兩組：{\displaystyle r\_{i}\leq 3r\_{k}}為第一組，{\displaystyle r\_{i}>3r\_{k}}為第二組。

對第一組的球{\displaystyle B\_{i}=B(a\_{i},r\_{i})}，將其縮小成{\displaystyle B(a\_{i},r\_{i}/3)}後包含在{\displaystyle B(a\_{k},5r\_{k})}中。{\displaystyle B(a\_{i},r\_{i}/3)}之間互不相交，故總體積不超過{\displaystyle B(a\_{k},5r\_{k})}的體積。又因{\displaystyle r\_{i}\geq (3/4)r\_{k}}，因此{\displaystyle B(a\_{i},r\_{i}/3)}相對{\displaystyle B(a\_{k},5r\_{k})}的比例有一個下限，而這下限僅由維數*n*決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於*n*的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球B\_{i},B\_{j}。考慮以a\_{i},a\_{j},a\_{k}作頂點的三角形。因B\_{i},B\_{j}都和B\_{k}相交，又a\_{k}不在B\_{i},B\_{j}之內，故有不等式

{\displaystyle r\_{i}<\left|a\_{i}-a\_{k}\right|<r\_{i}+r\_{k}}
{\displaystyle r\_{j}<\left|a\_{j}-a\_{k}\right|<r\_{j}+r\_{k}}
欲證出此三角形以a\_{k}為頂點的角\theta ，不小於一常數。可以假設{\displaystyle a\_{i}a\_{k}}邊長不大於{\displaystyle a\_{j}a\_{k}}邊長。如果a\_{i}不在B\_{j}內，則{\displaystyle a\_{i}a\_{j}}邊長大於{\displaystyle r\_{j}}。若{\displaystyle a\_{i}a\_{j}}邊長不小於{\displaystyle a\_{j}a\_{k}}邊長，則{\displaystyle a\_{i}a\_{j}}為三角形中最長的邊，所以\theta 不小於{\displaystyle \pi /3}。若{\displaystyle a\_{i}a\_{j}}邊長小於{\displaystyle a\_{j}a\_{k}}邊長，以平面幾何可證得這情形時\theta 不小於arccos(5/6)。如果a\_{i}在B\_{j}內，必有*i* < *j*，故{\displaystyle r\_{j}\leq (4/3)r\_{i}}，且a\_{j}不在B\_{i}內，因此{\displaystyle a\_{i}a\_{j}}邊長大於r\_{i}。可證得這情形時\theta 不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出\theta 的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和a\_{k}之間連成直線，則任意兩條直線之間在a\_{k}的夾角不小於arccos(61/64)。a\_{k}為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數*n*的上限，這也就是第二組球的數目上限。

B\_{k}和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數*n*。這個上限加1設為M\_{n}。現在從B\_{1}開始依次把球放到子集{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}}內。輪到B\_{k}時，因為之前的球中最多有{\displaystyle M\_{n}-1}個和B\_{k}相交，因此在M\_{n}個子集{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}}中，必定有至少一個所包含的球都不和B\_{k}相交，於是可以把B\_{k}加進這個子集。這樣就得出了子集{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}}，滿足條件

{\displaystyle A\subset \bigcup \_{i}B\_{i}=\bigcup \_{i=1}^{M\_{n}}\bigcup \_{B\in {\mathcal {G}}\_{i}}B}
對一般的*A*，設

{\displaystyle R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}}
對每個正整數*l*，設

{\displaystyle A\_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}}
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A\_{l}\}}
將以上結果用到{\displaystyle A\_{l}}和{\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}}上，得到子集{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}\_{M\_{n}}^{l}}，滿足條件

{\displaystyle A\_{l}\subset \bigcup \_{i=1}^{M\_{n}}\bigcup \_{B\in {\mathcal {G}}\_{i}^{l}}B}
對{\displaystyle 1\leq j\leq M\_{n}}，設{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}:=\cup \_{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}\_{i}^{2l-1}}，{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i+M\_{n}}:=\cup \_{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}\_{i}^{2l}}，並設{\displaystyle N\_{n}=2M\_{n}}。那麼{\displaystyle {\mathcal {G}}\_{i}}的球互不相交，且有

{\displaystyle A=\bigcup \_{l=1}^{\infty }A\_{l}\subset \bigcup \_{i=1}^{N\_{n}}\bigcup \_{B\in {\mathcal {G}}\_{i}}B}
因此定理得證。

參見
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* 維塔利覆蓋引理

參考
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* Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). *Measure Theory and Fine Properties of Functions*. CRC Press.