**南部-后藤作用量**是玻色弦理论中最简单的作用量之一。这个作用量以南部阳一朗和後藤鉄男（日语：／*Gotō Tetsuo*）这两个日本物理家的名字命名。

南后作用量等于世界面的面积：

{\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}A=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}

狭义相对论的作用量
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若

{\displaystyle -ds^{2}=-(c\,dt)^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\ }
相对论的作用量是下面的泛函：

{\displaystyle S=-mc\int ds.}
最小作用量原理说经典方程说泛函导数等于0：

> {\displaystyle \delta S=0.}
> 
> 

量子相对论用泛函积分

> {\displaystyle Z=\int \exp(iS)}
> 
>

世界面
---

设时空是d+1维的：

{\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).}
(\tau , \sigma )是世界面的参数。

{\displaystyle X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).}
设 {\displaystyle \eta \_{\mu \nu }} 是 {\displaystyle (d+1)}维时空的距离函数，则

{\displaystyle g\_{ab}=\eta \_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial y^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial y^{b}}}\ }
是世界面的距离函数。{\displaystyle a,b=0,1} 而 {\displaystyle y^{0}=\tau ,y^{1}=\sigma }。世界面的面积 {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是

{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}
其中{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau } ， {\displaystyle g=\mathrm {det} \left(g\_{ab}\right)\ }。若

{\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}}
{\displaystyle X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},}
则距离函数 {\displaystyle g\_{ab}}是

{\displaystyle g\_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\ }
{\displaystyle g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}}

南后作用
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南后作用是

{\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}A=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}
使用上文的距离函数

{\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},}
或

{\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).}
这是上文相对论作用量的二维推广。

参考文献
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1. ↑  Nambu, Yoichiro, *Lectures on the Copenhagen Summer Symposium* (1970), unpublished.
2. ↑  Zwiebach, Barton.. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0521880329.
3. ↑  See Chapter 19 of
Kleinert's standard textbook on *Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets*, 5th edition, World Scientific (Singapore, 2009) （页面存档备份，存于） (also available online （页面存档备份，存于）)

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弦理論 |
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