在数学中，**张量积**，记为 \otimes，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

**例子:**

\mathbf{b} \otimes \mathbf{a}
\rightarrow
\begin{bmatrix}b\_1 \\ b\_2 \\ b\_3 \\ b\_4\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}a\_1 & a\_2 & a\_3\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a\_1b\_1 & a\_2b\_1 & a\_3b\_1 \\ a\_1b\_2 & a\_2b\_2 & a\_3b\_2 \\ a\_1b\_3 & a\_2b\_3 & a\_3b\_3 \\ a\_1b\_4 & a\_2b\_4 & a\_3b\_4\end{bmatrix}
结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。

这里的秩指的是"张量秩"（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。

两个张量的张量积
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有两个（或更多）**张量积**的分量的一般公式。例如，如果 *U* 和 *V* 是秩分别为 *n* 和 *m* 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

(V\otimes U)\_{i\_1i\_2\dots i\_{m+n}} = V\_{i\_1i\_2i\_3\dots i\_n}U\_{i\_{n+1}i\_{n+2}\dots i\_{n+m}}。
所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 *V* 消耗前 rank(*V*) 個指标，而因子 *U* 再消耗 rank(*U*) 個指标，所以

{\displaystyle \mathrm {rank} (V\otimes U)=\mathrm {rank} (V)+\mathrm {rank} (U)}
### 例子

设 **U** 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 *Uαβ*；并设 **V** 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 *Vγ*。则

 U^\alpha {}\_\beta V^\gamma = (U \otimes V)^\alpha {}\_\beta {}^\gamma 
而

 V^\mu U^\nu {}\_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}\_\sigma 。
张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积
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条目：克罗内克积
对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 U 和 V:

U \otimes V
 = \begin{bmatrix} u\_{11}V & u\_{12}V & \cdots \\
 u\_{21}V & u\_{22}V \\
 \vdots & & \ddots
 \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
 u\_{11}v\_{11} & u\_{11}v\_{12} & \cdots & u\_{12}v\_{11} & u\_{12}v\_{12} & \cdots \\
 u\_{11}v\_{21} & u\_{11}v\_{22} & & u\_{12}v\_{21} & u\_{12}v\_{22} \\
 \vdots & & \ddots \\
 u\_{21}v\_{11} & u\_{21}v\_{12} \\
 u\_{21}v\_{21} & u\_{21}v\_{22} \\
 \vdots
 \end{bmatrix}。

多重线性映射的张量积
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给定多重线性映射 f(x\_1,\dots,x\_k) 和 g(x\_1,\dots,x\_m)
它们的张量积是多重线性函数

 (f \otimes g) (x\_1,\dots,x\_{k+m})=f(x\_1,\dots,x\_k)g(x\_{k+1},\dots,x\_{k+m})

向量空间的张量积
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在域 K 上的两个向量空间 *V* 和 *W* 的张量积 V \otimes W 有通过"生成元和关系"的方法的形式定义。在这些 (v,w) 的关系下的等价类被叫做"张量"并指示为 v \otimes w。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 V \otimes W，采用在 K 之上带有基 V \times W 的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

* (v\_1+v\_2)\otimes w=v\_1\otimes w+v\_2\otimes w
* v\otimes (w\_1+w\_2)=v\otimes w\_1+v\otimes w\_2
* cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)

这里的 v,v\_i,w,w\_i 是来自适当空间的向量，而 c 来自底层域 K。

我们可以推出恒等式

0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0，
零在 V \otimes W 中。

结果的张量积 V \otimes W 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 *V* 和 *W* 基 \{v\_i\} 和 \{w\_i\}，形如 v\_i \otimes w\_j
的张量形成 V \otimes W 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 \mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n 有维数 mn。

张量积的泛性质
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张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 *φ* 把笛卡尔积 *V* × *W* 嵌入到向量空间 *X* 的问题。张量积构造 *V* ⊗ *W* 与给出自

\phi (u,w)= u \otimes w 
的自然嵌入映射 *φ* : *V* × *W* → *V* ⊗ *W* 一起是这个问题在如下意义上的"泛"解。对于任何其他这种对(*X*, *ψ*)，这里的 *X* 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 *V* × *W* → *X*，则存在一个唯一的线性映射

T : V \otimes W \rightarrow X
使得

\psi = T \circ \phi。
假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 *V* × *W* 到 *X* 的双线性映射 

B(V \times W, X)
和线性映射

L(V \otimes W, X)
的同一性。它是 *ψ* 到 *T* 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积
----------

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

### 定义

设 H\_1 和 H\_2 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 \langle \cdot,\cdot\rangle\_1 和 \langle \cdot,\cdot\rangle\_2。构造 *H*1 和*H*2 的张量积H\_1\hat\otimes H\_2如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积H=H\_1\otimes H\_2。H\_1 和 H\_2上的内积自然地扩展到H上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

\langle\phi\_1\otimes\phi\_2,\psi\_1\otimes\psi\_2\rangle = \langle\phi\_1,\psi\_1\rangle\_1 \cdot \langle\phi\_2,\psi\_2\rangle\_2 
其中  \phi\_1,\psi\_1 \in H\_1  和  \phi\_2,\psi\_2 \in H\_2 
即可。

现在H是一未必完备的内积空间。将H完备化，得到希尔伯特空间H\_1\hat\otimes H\_2，这就是 *H*1 和 *H*2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，H\_1\hat\otimes H\_2具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

### 性质

如果 *H*1 和 *H*2 分别有正交基 {φ*k*} 和 {ψ*l*}，则 {φ*k* ⊗ ψ*l*} 是 *H*1 ⊗ *H*2 的正交基。

与对偶空间的关系
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在泛性质的讨论中，替代 *X* 为 *V* 和 *W* 的底层标量域生成空间  (V \otimes W)^\star（V \otimes W 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 V \times W 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 V 和 W 是有限维的，在  V^\star \otimes W^\star  和 (V \otimes W)^\star 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 V^\star \otimes W^\star\subset (V \otimes W)^\star。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

注解
--

1. ↑  
类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个内积，这种区分是无关的。

参见
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* 外积
* 并矢积
* 張量積模型變換

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* 论
* 编
張量 |
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