**可均群**是數學上一個特別的局部緊拓撲群*G*，具備了一種為在*G*上的有界函數取平均的操作，而且*G*在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。

緣起
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巴拿赫－塔斯基悖論
在{\mathbb R}^{n}上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在{\mathbb R}^{n}上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於3的{\mathbb R}^{n}中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此3維以上{\mathbb R}^{n}不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在{\mathbb R}^{n}的結構，而是在{\mathbb R}^{n}的旋轉群上。3維以上的{\mathbb R}^{n}，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群*G*上，是否存在有限可加的概率測度\mu ，是*G*-不變的，即是在*G*對其中的子集的群作用下不變：對任何E\subset G和任何g \in G，\mu (gE)=\mu (E)。這樣的概率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。

外文名稱
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可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，法文名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為amenable的英式讀音，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

定義
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設*G*為局部緊群。*G*上存在左哈爾測度\mu 。考慮在測度空間(G,\mu )上的複值本質有界函數空間L^{\infty }(G)。

線性泛函\Lambda :L^{\infty }(G)\to {\mathbb C}稱為**平均**，如果\Lambda 的範數是1，並且是非負的：若實值函數f\in L^{\infty }(G)適合f\geq 0，則\Lambda (f)\geq 0。

如果\Lambda 是一個平均，則有\Lambda (1\_{G})=1，其中1\_{G}是*G*的特徵函數。而且對任何實值函數f\in L^{\infty }(G)，

\operatorname \*{ess\ inf}\_{{x\in G}}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname \*{ess\ sup}\_{{x\in G}}f
其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。

一個平均是**左不變**的，如果對任何s\in G，f\in L^{\infty }(G)，在左作用s\cdot f(x)=f(s^{{-1}}x)下，都有\Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)。

局部緊群*G*如果有一個左不變平均，就稱為**可均群**。

可均群有很多等價定義。其中一個是Følner條件：

對任何\epsilon >0，任何緊子集C\subset G，都存在一個緊子集K\subset G，0<\mu (K)<\infty ，使得對所有x\in C都符合不等式

\mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon 
此處\triangle 是對稱差。

如果*G*是可數無限的離散群，Følner條件等價於：
*G*中存在有限子集S\_{n}，使得對任何g\in G，

\lim \_{{n\to \infty }}{\frac {\left|gS\_{n}\triangle S\_{n}\right|}{\left|S\_{n}\right|}}=0
這樣的(S\_{n})稱為Følner序列。

性質
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可均群的閉子群都是可均的。

若*H*是可均群*G*的閉正規子群，那麼G/H是可均群。

若*H*是局部緊群*G*的閉正規子群，而且*H*和G/H都是可均群，那麼*G*也是可均群。

設*G*是局部緊群，*I*是有向集合，(H\_{i})\_{{i\in I}}是*G*的閉可均子群組成的網，對任何i\leq j，有H\_{i}\subset H\_{j}。那麼H=\overline {\cup \_{{i\in I}}H\_{i}}是*G*的可均子群。

例子
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有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。

整數群({\mathbb Z},+)和實數群({\mathbb R},+)是可均群，一個在\mathbb Z或\mathbb {R} 中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若*G*是局部緊的可解群，則有導出列

G=G^{{(0)}}\triangleright G^{{(1)}}\triangleright \cdots \triangleright G^{{(k)}}=\{1\}
其中G^{{(i+1)}}=[G^{{(i)}},G^{{(i)}}]。每個G^{{(i)}}/G^{{(i+1)}}都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出*G*是可均群。

一個有限生成群*G*是次指數增長的，如果*G*中存在一個有限生成集合*S*，有對稱性S=S^{{-1}}，使得

\liminf \_{{n\to \infty }}{\frac {\left|S^{{n+1}}\right|}{\left|S^{{n}}\right|}}=1
次指數增長的有限生成群是可均群。

證明
從定義知對每個i\in {\mathbb N}，都存在n\_i使得

{\frac {\left|S^{{n\_{i}+1}}\right|}{\left|S^{{n\_{i}}}\right|}}<1+{\frac 1i}
對每個a\in S，有S^{{n\_{i}}},aS^{{n\_{i}}}\subset S^{{n\_{i}+1}}。對任何g\in G都有\left|gS^{{n\_{i}}}\right|=\left|S^{{n\_{i}}}\right|。於是

{\begin{aligned}&\left|aS^{{n\_{i}}}\triangle S^{{n\_{i}}}\right|\\\leq &\left|aS^{{n\_{i}}}\setminus S^{{n\_{i}}}\right|+\left|S^{{n\_{i}}}\setminus aS^{{n\_{i}}}\right|\\\leq &\left|S^{{n\_{i}+1}}\setminus S^{{n\_{i}}}\right|+\left|S^{{n\_{i}+1}}\setminus aS^{{n\_{i}}}\right|\\=&(\left|S^{{n\_{i}+1}}\right|-\left|S^{{n\_{i}}}\right|)+(\left|S^{{n\_{i}+1}}\right|-\left|aS^{{n\_{i}}}\right|)\\=&2(\left|S^{{n\_{i}+1}}\right|-\left|S^{{n\_{i}}}\right|)\end{aligned}}
每個g\in G都可寫成g=a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{m}。設g\_{0}=e, g\_{j}=g\_{{j-1}}a\_{j}。用集合關係式A\triangle B\subset (A\triangle C)\cup (C\triangle B)，得出

{\begin{aligned}&\left|gS^{{n\_{i}}}\triangle S^{{n\_{i}}}\right|\\\leq &\left|\bigcup \_{{j=1}}^{m}\left(g\_{{j-1}}S^{{n\_{i}}}\triangle g\_{j}S^{{n\_{i}}}\right)\right|\\\leq &\sum \_{{j=1}}^{m}\left|\left(g\_{{j-1}}S^{{n\_{i}}}\triangle g\_{j}S^{{n\_{i}}}\right)\right|\\=&\sum \_{{j=1}}^{m}\left|g\_{{j-1}}\left(S^{{n\_{i}}}\triangle a\_{j}S^{{n\_{i}}}\right)\right|\\\leq &2m(\left|S^{{n\_{i}+1}}\right|-\left|S^{{n\_{i}}}\right|)\end{aligned}}
因此

{\frac {\left|gS^{{n\_{i}}}\triangle S^{{n\_{i}}}\right|}{\left|S^{{n\_{i}}}\right|}}<{\frac {2m}{i}}
所以(S^{{n\_{i}}})是一個Følner序列，故*G*是可均群。

設G\_1和G\_{2}是有限生成群，而G\_{2}是可均的。若G\_1擬等距同構於G\_{2}，那麼G\_1也是可均群。

秩2的自由群F\_{2}不是可均群。

證明
設*a*,*b*是F\_{2}的生成元。F\_{2}的元素都可以用*a*,*b*寫成字。假設F\_{2}有不變平均*M*。考慮F\_{2}的一個子集*A*，*A*包含所有簡約字以a^n開首的元素。（*n*是某個不等於0的整數。）那麼*A*, *bA*, b^{2}A是F\_{2}的不相交子集，所以

{\begin{aligned}3M(1\_{A})&=M(1\_{A})+M(1\_{{bA}})+M(1\_{{b^{2}A}})\\&\leq M(1\_{{F\_{2}}})=1\end{aligned}}
另一方面，A\cup aA=F\_{2}，所以

{\begin{aligned}2M(1\_{A})&=M(1\_{A})+M(1\_{{aA}})\\&\geq M(1\_{{F\_{2}}})\end{aligned}}
這兩條不等式互相矛盾，故F\_{2}上不存在不變平均，即F\_{2}是非可均的。

所以一個群若包含F\_{2}為離散子群，則不是可均群。

如把*n*維空間{\mathbb R}^{n}的旋轉群SO(*n*)看成離散群，則*n*不小於3時SO(*n*)包含F\_{2}為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在*n*不小於3時可行，在*n*等於2時不可行的原因。不過若用SO(*n*)原來的拓撲，則對所有*n*，SO(*n*)都是緊群，所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群*G*是可均群，當且僅當*G*不包含F\_{2}為離散子群。（設G\_{e}是*G*的單位連通區。若G/G\_{e}緊緻，則*G*稱為**殆連通群**。）

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。*G*是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數*p*，*G*中所有真子群除了平凡子群外，都是*p*階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。

腳註
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1. ↑  Pier，Ch. 1 §1.
2. ↑  Paterson，Ch. 0.
3. ↑  Pier，Ch. 2.
4. ↑  Paterson，4.10.
5. ↑  Pier，Prop. 12.1.
6. ↑  Paterson，6.41.
7. ↑  Ghys, de la Harp (éd.)，Ch. 1 Exercice 24.
8. ↑  Paterson，3.8.

參考
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* Pier, Jean-Paul.. Wiley. 1984.
* Paterson, Alan.. American Mathematical Society. 1988.
* É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编).. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.