在代數幾何學中，**奇點解消**問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。

定義
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對於一個域 k 上的代數簇 X，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱 X 有**弱奇點解消**。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 X' 及真雙有理態射 X'\to X，使之在 X 的奇點集 {\displaystyle \mathrm {Sing} (X)} 之外為同構，則稱 X 有**奇點解消**。真態射的條件意在排除平凡解，例如 {\displaystyle X'=X\setminus \mathrm {Sing} (X)\hookrightarrow X}。

一般而言，設 {\displaystyle X\hookrightarrow W}，其中 W 是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是 X 在 W 中的**強奇點解消**：這是一個真雙有理態射 {\displaystyle f:W'\to W}，滿足下述條件：

1. {\displaystyle W'\to W} 由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
2. X 的嚴格變換 X' 是非奇異的，並與橫截拉開的例外除數；於是限制態射 X'\to X 是 X 的奇點解消。
3. {\displaystyle W'} 的構造對平滑態射具函子性。
4. 態射 X'\to X 與 X 在 W 中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了：當域 k 的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。

簡史
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代數曲線的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼拉開奇點，或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。

複代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵域均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維優概形（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並拉開奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。

對於三維情形，零特徵域上首先由扎裡斯基證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇 X，存在滿的真態射 X'\to X，使得 {\displaystyle \dim X'=\dim X} 且 X' 非奇異。這不一定是雙有理等價，X' 的函數域可能是有限擴張，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將 X 表為一個較小空間 Y 上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 X），然後藉著對維度作數學歸納法消去 Y 的奇點，最後消去纖維上的奇點。

概形的情形
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奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：格羅滕迪克（1965, **EGA IV 7.9**）證明了如果在一個局部諾特概形 X 上有限的所有整概形都有奇點解消，則 X 必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形 X 是擬優且既約的，則可以消解奇點。當 X 定義於一個零特徵的域上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。

外部連結
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* 一些奇點及其解消之圖片（页面存档备份，存于）
* SINGULAR（页面存档备份，存于）: 一套能處理奇點解消的軟件
* 2006年6月的暑期學校 *Resolution of Singularities* (Trieste, Italy) 的講義
* desing（页面存档备份，存于） 另一套處理奇點解消的軟件

文獻
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* Abhyankar, Shreeram *Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic* p*≠0* Ann. of Math. (2) 63 (1956), 491--526.
* S.S. Abhyankar, *Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces* , Acad. Press (1966), second edition (1998) ISBN 3540637192
* Abramovich, D. de Jong, A. J. *Smoothness, semistability, and toroidal geometry.*（页面存档备份，存于） J. Algebraic Geom. 6 (1997), no. 4, 789-801.
* G. Albanese, *Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple*, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924).
* Bierstone, Edward, Milman, Pierre D. *Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant.* Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302.
* Bogomolov, Fedor A. Pantev, Tony G. *Weak Hironaka theorem.*（页面存档备份，存于） Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307.
* O. Chisini, *La risoluzione delle singolarita di una superficie*, Mem. Acad. Bologna, 8 (1921).
* Steven Dale Cutkosky *Resolution of Singularities* (2004) ISBN 0821835556
* V.I. Danilov, Hazewinkel, Michiel (编), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* de Jong, A. J. *Smoothness, semi-stability and alterations.*（页面存档备份，存于） Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93.
* Encinas, S. Hauser, Herwig *Strong resolution of singularities in characteristic zero.*（页面存档备份，存于） Comment. Math. Helv. 77 (2002), no. 4, 821--845.
* Encinas, S. Villamayor, O. *Good points and constructive resolution of singularities.* Acta Math. 181 (1998), no. 1, 109--158.
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* Hauser, Herwig (2003) *The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand).*（页面存档备份，存于） Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323-403
* Hironaka, Heisuke *Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero.* I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
* Janos Kollar *Lectures on Resolution of Singularities* (2007) ISBN 0691129231 (similar to his Resolution of Singularities -- Seattle Lecture（页面存档备份，存于）.
* B. Levi, *Risoluzione delle singolarita puntualli delle superficie algebriche*, Atti. Acad. Torino, 34 (1899).
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* Wlodarczyk, Jaroslaw *Simple Hironaka resolution in characteristic zero.*（页面存档备份，存于） J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779-822
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* Zariski, Oscar *Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties.* Ann. of Math. (2) 45, (1944). 472-542.