在抽象代數中，一個環 R 上的**平坦模**是一個 R-模 M，使得函子 -\otimes \_{R}M 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為**忠實平坦模**

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。

交換環的情形
------

當 R 為交換環，一個 R-模的平坦性等價於 N\mapsto N\otimes \_{R}M 是個從 R-模到R-模之正合函子。

將環 R 對一個積性子集 S 的局部化 S^{{-1}}R 視作 R-模，則它是平坦的。

當 R 是諾特環而 M 是有限生成 R-模時，平坦性在下述意義等價於**局部自由模**：M 是平坦 R-模若且唯若對任何素理想 {\mathfrak {p}}，局部化 M\_{\mathfrak {p}} 是自由 R\_{\mathfrak {p}}-模。事實上，對條件中的 {\mathfrak {p}} 僅須考慮極大理想即可。

一般的環
----

當 R 非交換時的定義須作如下修改：假設 M 是左 R-模，則稱之左平坦模，若且唯若對 M 的張量積將右 R-模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 R-模 M 是平坦模的充要條件是：對任何右 R-模的單射 K\rightarrow L，取張量積後的同態 K\otimes \_{R}M\rightarrow L\otimes \_{R}M 仍為單射。

極限
--

一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 -\otimes \_{R}M 與 \mathrm {Hom} \_{R}(M,-) 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在1969年證明了：模 M 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 \mathbb {Z} -模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數
----

### 與Tor函子的關係

平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 R-模 M 的平坦性等價於 n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} \_{n}^{R}(-,M)=0；類此，一個右 R-模 N 的平坦性等價於 n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} \_{n}^{R}(N,-)=0。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列

0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0
* 若 A,C 平坦，則 B 亦然。
* 若 B,C 平坦，則 A 亦然。
* 若 A,B 平坦，C 不一定平坦；若假設 A 是 B 的純子模而 B 平坦，則可推出 A 與 C 皆平坦。

### 局部判準

設 R 為交換環，I\subset R 為一理想，則我們有下述平坦性的**局部判準**。

**定理**（Bourbaki）. 以下諸條件等價：

1. M 是平坦 R-模。
2. R/I\otimes \_{R}M 是平坦 R/I-模，且 \mathrm {Tor} \_{1}^{R}(M,R/I)=0。
3. R/I\otimes \_{R}M 是平坦 R/I-模，且典範同態 I\otimes \_{R}M\rightarrow IM 為同構。
4. 對所有 R-模 N，有 IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} \_{1}^{R}(M,N)=0。
5. 對所有 R-模 N，有 \exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} \_{1}^{R}(M,N)=0。
6. 對所有 s\in \mathbb {N} ，R/I^{s}\otimes \_{R}M 是平坦 R/I^{s}-模。
7. R/I\otimes \_{R}M 是平坦 R/I-模，且典範態射 \gamma :\mathrm {gr} \_{I}^{0}(M)\otimes \_{R/I}\mathrm {gr} \_{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} \_{I}^{\bullet }(M) 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解
----

一個模 M 的**平坦分解**是如下形式的正合序列：

\cdots \rightarrow F\_{i}\rightarrow F\_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F\_{0}\rightarrow M\rightarrow 0
使得其中每個 F\_{i} 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模
-----

一個 R-模 M 被稱作**忠實平坦**的，若且唯若 -\otimes \_{R}M 是個忠實的正合函子。這也就是說：

1. M 是個平坦 R-模。
2. 典範映射 \mathrm {Hom} \_{R}(N\_{1},N\_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N\_{1}\otimes \_{R}M,N\_{2}\otimes \_{R}M) 是單射。

當 R 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：

* M 是忠實平坦的。
* M 是平坦的，且 N\otimes \_{R}M=0\Rightarrow N=0。
* M 是平坦的，且對所有極大理想 {\mathfrak {m}}\subset R 都有 R/{\mathfrak {m}}\otimes \_{R}M\neq 0。
* 一個序列 N\_{\bullet } 正合，若且唯若 N\_{\bullet }\otimes \_{R}M 正合。

文獻
--

* Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
* Eisenbud, David.. Graduate Texts in Mathematics **150**. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
| --- |
|  |
| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

 |
|  |
| 環論 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

 |
|  |
| 論 | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

 |

 |