在数学中，**泰勒级数**（英語：）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒（）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做**麦克劳林级数**，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

定义
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在数学上，对于一个在实数或复数a邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数f(x)，它的**泰勒级数**是以下这种形式的幂级数：

\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}
这里，n!表示n的阶乘，而f^{(n)}(a)\,\!表示函数f在点a处的n阶导数。如果a=0，也可以把这个级数称为**麦克劳林级数**。

解析函數
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柯西在1823年指出函數{\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}在x=0无法被解析。
如果泰勒级数对于区间{\displaystyle (a-r,a+r)}中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为**解析形的函数**（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，"只有在且只要在"）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用**泰勒定理**来估计级数的餘项，这样就能够确定级数是否收敛于f(x)。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：

1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。
2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
3. 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数f(x)，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)，如果x \ne 0并且f(0)=0，则x=0时所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数f(x)仅在x=0处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当z沿虚轴趋于零，\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在x=0的时候，f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method（英语：）。用皮卡反覆運算便可以推导出这个方法。

常用的函数:麦克劳林級數
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在复平面上餘弦函數的實數部分。
在复平面上餘弦函數的第八度逼近
兩個以上的曲線放在一起
下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量x是复数时，这些等式依然成立。

### 几何级数

条目：幾何級數
由无穷递缩等比数列求和式:{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}

### 二项式级数

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum \_{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots }
{\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} }
二项式系数{\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \_{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}。
### 指数函数和自然对数

以e为底数的指数函数的麦克劳林序列是

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x} （对所有X都成立）
以e为底数的自然对数的麦克劳林序列是

{\displaystyle \ln(1-x)=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)} （对于在区间[-1,1)内所有的X都成立）
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]} （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）
### 三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}
在{\displaystyle \tan(x)}展开式中的Bk是伯努利数。在{\displaystyle \sec(x)}展开式中的*E**k*是欧拉数。
### 双曲函数

条目：双曲函数
\sinh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x
\cosh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x
\tanh x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}
\sinh ^{-1}x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1
\tanh ^{-1}x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1
{\displaystyle \tanh(x)}展开式中的*B**k*是伯努利数。
### 朗伯W函数

条目：朗伯W函数
W\_{0}(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}

多元函数的展开
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泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：
\sum \_{n\_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum \_{n\_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n\_{1}+\cdots +n\_{d}}}{\partial x\_{1}^{n\_{1}}\cdots \partial x\_{d}^{n\_{d}}}}{\frac {f(a\_{1},\cdots ,a\_{d})}{n\_{1}!\cdots n\_{d}!}}(x\_{1}-a\_{1})^{n\_{1}}\cdots (x\_{d}-a\_{d})^{n\_{d}}

历史
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希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪，马德哈瓦（英语：）最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派（英语：）在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒  提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。
麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源
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《自然哲學的數學原理》的第三編"宇宙體系"的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
**牛頓插值公式**也叫做**牛頓級數**，由"牛頓前向差分方程"的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編"宇宙體系"的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續"泰勒展開"的離散對應。

### 差分

条目：差分
對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對*x*值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

{\begin{aligned}\Delta \_{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta \_{h}^{n}[f](x)&=\Delta \_{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta \_{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}
### 插值公式

参见：均差和牛頓多項式
牛頓前向差分插值公式為：

{\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta \_{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta \_{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\Delta \_{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod \_{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}
這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

### 無窮級數

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了{\displaystyle \ln(1+x)}的無窮級數，在1666年得出了{\displaystyle \arcsin(x)}和{\displaystyle \arctan(x)}的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了\sin(x)、\cos(x)、{\displaystyle \arcsin(x)}和e^{x}的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了\sin(x)、\cos(x)和{\displaystyle \arctan(x)}的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa （页面存档备份，存于）》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於{\displaystyle 0}的極限，得出：

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim \_{h\to 0}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta \_{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod \_{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}

参考文献
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1. ↑  James S. Sochacki.. James Madison University.  [2008-05-02]. （原始内容存档于2008-05-01） （英语）.
2. ↑  Kline, M. (1990) *Mathematical Thought from Ancient to Modern Times*. Oxford University Press. pp. 35-37
3. ↑  吴文俊 《中国数学史大系》第三卷 367页
4. ↑ . MAT 314. Canisius College.  [2006-07-09]. （原始内容存档于2006-08-06）.
5. ↑  Taylor, Brook, *Methodus Incrementorum Directa et Inversa* [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, *A Source Book in Mathematics 1200-1800* (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
6. ↑  Newton, Isaac, (1687). *Principia*, Book III, Lemma V, Case 1

參見
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* 無窮級數
* 牛頓多項式
* 冪級數
* 光滑函數
* 帕德近似
* 泰勒公式

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