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数学中，複數的**辐角**是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向角。复数的辐角值可以是一切实数，但由于相差{\displaystyle 360^{\circ }}（即弧度2\pi ）的辐角在实际应用中没有差别，所以定义复数的**辐角主值**为辐角模{\displaystyle 360^{\circ }}（2\pi ）后的余数，定义取值范围在0^\circ到{\displaystyle 360^{\circ }}（2\pi ）之间。复数的辐角是复数的重要性质，在不少理论中都有重要作用。

定义
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复数辐角的直观示意图
设有非零复数{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}，记作{\displaystyle z=x+yi}，其中的x和y为实数，那么复数z的辐角\varphi 指的是使下列等式：

{\displaystyle z=x+yi={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
成立的任何实数\varphi 。直观上来说，假设非零复数z在复平面{\displaystyle O\_{xy}}中对应的向量是{\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}（右图蓝色向量），那么它的辐角是所有能够描述正实数轴到{\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出，相差2\pi 的倍数的角都可以是辐角。这个性质也可以从三角函数\cos和\sin是以2\pi 为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有辐角，复数{\displaystyle 0}的辐角是没有定义的。

辐角主值
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同一个复数的辐角有无穷多个，以集合表示为{\displaystyle \{\varphi +2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}}，而对于所有{\displaystyle \varphi \_{k}=\varphi +2k\pi }，{\displaystyle \cos \varphi \_{k}+i\sin \varphi \_{k}}都相同，所以实际只需要以其中一个辐角为代表，此辐角称为**辐角主值**或**主辐角**，记作{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}。一般约定使用区间(-\pi, \pi]中的值作为辐角主值（也有另一种常见的约定是以区间{\displaystyle [0,2\pi )}中的值作为辐角主值）。如果复数的辐角主值是{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}，那么它的所有辐角值就是：

{\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}}

辐角的计算
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给定一个形如{\displaystyle z=x+yi}的非零复数，辐角主值{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}是将它映射到区间(-\pi, \pi]中的函数。辐角主值函数可以用反三角函数来描述：

{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y>0\\-\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y<0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}}
或者配合半角公式：

{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}2\arctan {\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}&y\neq 0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}}

性质
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复数z的一个辐角{\displaystyle \varphi \in \arg(z)}和绝对值|z|可以用来组成复数的极坐标形式：

{\displaystyle z=|z|e^{i\varphi }}。
在极坐标形式下计算，可以得到复数乘积和商的辐角的规律：

{\displaystyle \operatorname {Arg} (z\_{1}z\_{2})=\operatorname {Arg} (z\_{1})+\operatorname {Arg} (z\_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}
{\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {z\_{1}}{z\_{2}}}\right)=\operatorname {Arg} (z\_{1})-\operatorname {Arg} (z\_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}
于是对复数幂次的辐角也有：

{\displaystyle \operatorname {Arg} (z^{n})=n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}
复数的共轭的辐角则满足：

{\displaystyle \operatorname {Arg} ({\overline {z}})=-\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}

参考来源
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* Ahlfors, Lars.  3rd. New York, London: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1.
* Beardon, Alan.. Chichester: Wiley. 1979. ISBN 0-471-99671-8.
* Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan.. Collins Dictionary 2nd. Glasgow: HarperCollins. 2002 [1st ed. 1989 as *Dictionary of Mathematics*]. ISBN 0-00-710295-X.


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