**阿多米安分解法**（Adomian decomposition method，简称：ADM法），是1989年美国籍阿马尼亚数学家George Adomian创建的近似分解法，用以求解非线性偏微分方程

将非线性偏微分方程写成如下形式：

{\displaystyle L(u)+R(u)+NL(u)=g(x,t)}

其中 L、R为线性偏微分算子，NL为非线性项。 将反算子{\displaystyle L^{-1}=\int \_{0}^{t}()}. 用于上式

{\displaystyle L^{-1}L(u)=-L^{-1}R(u)-L^{-1}NL(u)+L^{-1}g(x,t)=}.

得

{\displaystyle u(x,t)=u(x,0)-L^{-1}NL(u)+L^{-1}g(x,t)}.

令方程的解u（x,t) 为：

{\displaystyle u=u\_{0}+u\_{1}+u\_{2}+u\_{3}+\cdots }
非线性项

NL（u）={\displaystyle A\_{0}+A\_{1}+A\_{2}+\cdots }

其中

{\displaystyle A\_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid \_{\lambda =0},}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid \_{\lambda =0}=n!u\_{n}}

由此得

{\displaystyle u(x,t)=u(x,0)+L\_{-1}g(x,t)}
{\displaystyle u\_{1}(x,t)=-L^{-1}Ru\_{0}-L^{-1}A\_{0}}
{\displaystyle u\_{n}(x,t)=-L^{-1}Ru\_{n-1}-L^{-1}A\_{n-1}}

  

近似解={\displaystyle u\_{0}(x,t)+u\_{1}(x,t)+u\_{2}(x,t)+u\_{3}(x,t)+\cdots }

Burgers-Fisher 方程 ADM解
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Burgers-Fisher方程：

{\frac {\partial u}{\partial t}}+u^{2}\*{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial u^{2}}}=u\*(1-u^{2})
{\displaystyle u[0]=tanh(x)}
{\displaystyle u[1]=-tanh(x)\*(1-tanh(x)^{2})\*t}
{\displaystyle u[2]=-(1/2)\*t^{2}\*tanh(x)\*(-1+tanh(x)^{2})\*(2-4\*tanh(x)^{2})}
{\displaystyle u[3]=-(1/3)\*t^{3}\*tanh(x)\*(3-16\*tanh(x)^{2}+26\*tanh(x)^{4}-13\*tanh(x)^{6}-3\*tanh(x)^{2}\*(1-tanh(x)^{2})+(2\*(1-tanh(x)^{2}))\*tanh(x)^{4})}
近似解：

pa := (-1.\*tanh(x)-82360.\*tanh(x)^13+73.\*tanh(x)^3-1195.\*tanh(x)^5+8233.\*tanh(x)^7-29990.\*tanh(x)^9+63510.\*tanh(x)^15-26980.\*tanh(x)^17+4862.\*tanh(x)^19+63850.\*tanh(x)^11)\*t^9+(14650.\*tanh(x)^13-16170.\*tanh(x)^11+tanh(x)+1430.\*tanh(x)^17+688.8\*tanh(x)^5+10230.\*tanh(x)^9-7102.\*tanh(x)^15-54.67\*tanh(x)^3-3672.\*tanh(x)^7)\*t^8+(-373.8\*tanh(x)^5+1491.\*tanh(x)^7-1.\*tanh(x)+39.67\*tanh(x)^3+3333.\*tanh(x)^11+429.\*tanh(x)^15-3036.\*tanh(x)^9-1881.\*tanh(x)^13)\*t^7+(132.\*tanh(x)^13+187.8\*tanh(x)^5-502.\*tanh(x)^11+743.5\*tanh(x)^9-27.67\*tanh(x)^3+tanh(x)-534.6\*tanh(x)^7)\*t^6+(-135.3\*tanh(x)^9+161.1\*tanh(x)^7-1.\*tanh(x)+42.\*tanh(x)^11-85.13\*tanh(x)^5+18.33\*tanh(x)^3)\*t^5+(-37.\*tanh(x)^7+33.33\*tanh(x)^5+14.\*tanh(x)^9-11.33\*tanh(x)^3+tanh(x))\*t^4+(5.\*tanh(x)^7-10.33\*tanh(x)^5+6.333\*tanh(x)^3-1.\*tanh(x))\*t^3+(-3.\*tanh(x)^3+tanh(x)+2.\*tanh(x)^5)\*t^2+(-1.\*tanh(x)+tanh(x)^3)\*t+tanh(x)

迪姆方程ADM解
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迪姆方程：

u\_{t}=u^{3}u\_{{xxx}}.\,
{\displaystyle u[0]=cosh(x)}
{\displaystyle u[1]=-cosh(x)\*sinh(x)\*t}
{\displaystyle u[5]=-t^{5}\*cosh(x)\*sinh(x)^{5}-(20/3)\*t^{5}\*cosh(x)^{3}\*sinh(x)^{3}-(47/15)\*t^{5}\*cosh(x)^{5}\*sinh(x)}
{\displaystyle }
ADM近似：

u（x,t)~pa := (-.5382\*sinh(10.\*x)-.7224\*sinh(8.\*x)-.2441\*sinh(6.\*x)-0.5787e-4\*sinh(2.\*x)-0.1693e-1\*sinh(4.\*x))\*t^9+(.4634\*cosh(9.\*x)+0.5933e-2\*cosh(3.\*x)+.5585\*cosh(7.\*x)+.1514\*cosh(5.\*x)+0.1356e-5\*cosh(x))\*t^8+(-.4063\*sinh(8.\*x)-0.8889e-1\*sinh(4.\*x)-.4339\*sinh(6.\*x)-0.1389e-2\*sinh(2.\*x))\*t^7+(0.1085e-3\*cosh(x)+0.4746e-1\*cosh(3.\*x)+.3647\*cosh(7.\*x)+.3391\*cosh(5.\*x))\*t^6+(-0.2083e-1\*sinh(2.\*x)-.2667\*sinh(4.\*x)-.3375\*sinh(6.\*x))\*t^5+(.3255\*cosh(5.\*x)+0.5208e-2\*cosh(x)+.2109\*cosh(3.\*x))\*t^4+(-.3333\*sinh(4.\*x)-.1667\*sinh(2.\*x))\*t^3+(.3750\*cosh(3.\*x)+.1250\*cosh(x))\*t^2-.5000\*t\*sinh(2.\*x)+cosh(x)

参考文献
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1. ↑  George Adomian, Nonlinear Stochastic Systems and Application to Physics,Kluwer Academic Publisher
2. ↑  George Adomian,Solving Frontier Problems of Physics,The Decomposition Method,Boston, Kluwer Academic Publisher 1994

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* 论
* 编
非线性偏微分方程理论与解法 |
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