**提示**：此条目的主题不是**拉馬努金和**。 
**拉馬努金求和**（英語：）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。

求和法
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拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得：

{\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum \_{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int \_{0}^{n}f(x)\,dx+\sum \_{k=1}^{p}{\frac {B\_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R\_{p}\end{aligned}}
拉馬努金寫道：當*p*趨近於無限大，

\sum \_{k=1}^{x}f(k)=C+\int \_{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)，
其中*C*是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設*R*趨近於0，而*x*趨近於無限大；當一函數 *f*(*x*) 在*x* = 0不發散：

C(a)=\int \_{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)
其中拉馬努金假設\scriptstyle a\,=\,0。若設\scriptstyle a\,=\,\infty ，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 *f*(*x*) 在*x* = 1不發散，可得：

C(a)=\int \_{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)
*C*(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。

發散級數的和
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下文中，\scriptstyle (\Re )表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。

舉例來說，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的\scriptstyle (\Re )為:

1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )。
拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到\scriptstyle (\Re )這個值。

又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和\scriptstyle (\Re )：

1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )
延伸至正偶數冪，可得：

1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )
而奇數冪的結果則與伯努利數有關：

1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B\_{2k}}{2k}}\ (\Re )
目前有提議採用*C*(1)取代*C*(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數\scriptstyle \sum \_{k=1}^{\infty }f(k)允許唯一的拉馬努金求和結果。

如此拉馬努金求和的定義（標作\scriptstyle \sum \_{n\geq 1}^{\Re }f(n)）與早期拉馬努金求和*C*(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若*R*(*x*)趨近於一個有限值極限，當*x* → +1，則此級數\scriptstyle \sum \_{n\geq 1}^{\Re }f(n)是收斂的，而可得

\sum \_{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim \_{N\to \infty }\left[\sum \_{n=1}^{N}f(n)-\int \_{1}^{N}f(t)\,dt\right]。
特別是如下例子：

\sum \_{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma 
其中*γ*是歐拉-馬斯刻若尼常數。

拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出

{\begin{array}{l}\int \nolimits \_{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits \_{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits \_{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits \_{r=1}^{\infty }{\frac {B\_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits \_{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}，
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。

迭代方程式為有限的，因為當m-2r<-1，

\qquad \int \_{a}^{\infty }dxx^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}；
其中

I(n,\,\Lambda )\,=\,\int \_{0}^{\Lambda }dxx^{n}（參見：黎曼ζ函數正規化（英语：）。）
要是\Lambda \rightarrow \infty ，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。

相關條目
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* 發散級數
* 切薩羅求和
* 博雷爾求和
* 拉馬努金和
* 1 - 1 + 1 - ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + …

參考文獻
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1. ↑   Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 的存檔，存档日期2006-10-12. *Ramanujan's Theory of Divergent Series*, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
2. ↑ .  [20 January 2014]. （原始内容存档于2017-06-06）.
3. ↑ .  [20 January 2014]. （原始内容存档于2020-11-08）.
4. ↑  Éric Delabaere, Ramanujan's Summation （页面存档备份，存于）, *Algorithms Seminar 2001–2002*, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.