如果一个实数x满足，对任意正整数n，存在整数p, q，其中q > 1有

 0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} 
就把x叫做**刘维尔数**。

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。

基本性质
----

容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)。
取足够大的n使{2^{n-1}} > d，在 \frac{c}{d} \ne \frac{p}{q} 时有

 \left| x - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n} 
与定义矛盾。

刘维尔常数
-----

即

c = \sum\_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots

这是一个刘维尔数。取

 p\_n = \sum\_{j=1}^n 10^{n! - j!}, \quad q\_n = 10^{n!}
那么对于所有正整数n

\left|c - \frac{p\_n}{q\_n}\right| = \sum\_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q\_n}^n}.

超越性
---

所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和\pi 就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

### 证明

**刘维尔定理**：若无理数 \alpha 是代数数，即整系数n次多项式f的根，那么存在实数A > 0，对于所有 p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 有

 \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n} 
**证明**：令 M = \max \left\{ \left|f'(x)\right| | x \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \right\} ，记f的其它的不重复的根为
\alpha\_1, \alpha\_2, ... \alpha\_m，取这样的A

 0 < A < \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha\_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha\_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha\_m \right\vert \right) 
如果存在使定理不成立的p, q，就有

 \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha\_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha\_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha\_m \right\vert \right) 
那么，{\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{m}\right\}}

据拉格朗日中值定理，存在\alpha 和{\frac {p}{q}}之间的x\_{0}使得

f(\alpha)-f(p/q) = (\alpha - p/q) \cdot f'(x\_0)
有

\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert = \left\vert f(\alpha)- f(p/q)\right\vert / \left\vert f'(x\_0) \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x\_0) \right\vert \,
f是多项式，所以

\left\vert f(p/q) \right\vert = \left\vert \sum\_{i=0}^n c\_i p^i q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum\_{i=0}^n c\_i p^i q^{n-i} \right\vert}{q^n} \ge \frac {1}{q^n} 
由于 \left| f'(x\_0) \right| \le M 和 1/M > A 

\left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x\_0) \right\vert \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert 
矛盾。

**证明刘维尔数是超越数**：有刘维尔数x，它是无理数，如果它是代数数则

 \exists n \in \mathbb Z, A > 0 \forall p, q \left( \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right) 
取满足 \frac{1}{2^r} \le A 的正整数r，并令 m = r + n ，存在整数 a, b 其中 b > 1 有

\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} 
与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参考文献
----

1. ↑  Liouville, Joseph.. Comptes rendus de l'Académie des Sciences.  [2023-01-02]. （原始内容存档于2023-02-21）.

参见
--

* 丢番图逼近

外部链接
----

* The Beginning of Transcendental Numbers （页面存档备份，存于）

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
無理數 |
| --- |
|  |
| 
* 柴廷常數 (Ω)
* 刘维尔数
* 質常數（英语：） (ρ)
* 2的自然对数
* 高斯常數 (G)
* 2的12次方根
* 阿培里常数 (*ζ*(3))
* 塑膠數 (ρ)
* 2的算術平方根

* 超黃金比例 (ψ)
* 埃尔德什-波温常数 (E)
* 黄金分割率 (φ)
* 3的算術平方根
* 5的算術平方根
* 白銀比例 (*δ**S*)
* 6的算術平方根（英语：）
* 7的算術平方根（英语：）
* 自然常數/尤拉數 (e)
* 圓周率 (π)
* 青銅比例

 |  |
|  |
| 
* 分裂數（英语：）
* 超越數
* 三角函數數

 |

 |