**折纸公理**，又称**藤田－羽鳥公理**或**藤田－贾斯汀公理**，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早於1989年由雅克·贾斯汀（Jacques Justin）发现。截至目前為止，共推衍了7個公理，其中，公理1－6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。定理7也于2001年由羽鳥公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。

七个公理
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前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

1. 给定两点 p\_{1} 和 p\_{2}，有且仅有一条折痕同时过这两点。
2. 给定两点 p\_{1} 和 p\_{2}，有且仅有一种方法把 p\_{1} 折到 p\_{2} 上。
3. 给定两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以把 l\_{1} 折到 {\displaystyle l\_2} 上。
4. 给定一点 p\_{1} 和一条直线 l\_{1}，有且仅有一种方法过 p\_{1} 折出 l\_{1} 的垂线。
5. 给定两点 p\_{1} 和 p\_{2} 和一条直线 l\_{1}，可以沿过 p\_{2} 的直线将 p\_{1} 折到 l\_{1} 上。
6. 给定两点 p\_{1} 和 p\_{2} 和两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以一次将 p\_{1} 、p\_{2} 分别折到 l\_{1} 、{\displaystyle l\_2} 上。
7. 给定一点 p 和两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以沿着 {\displaystyle l\_2} 的垂线将 p\_{1} 折到 l\_{1} 上。

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸"滑动"，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

### 公理 1

给定两点 p\_{1} 和 p\_{2}，有且仅有一条折痕同时过这两点。

过平面上两点对折

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

{\displaystyle F(s)=p\_{1}+s(p\_{2}-p\_{1}).}
### 公理 2

给定两点 p\_{1} 和 p\_{2}，有且仅有一种方法把 p\_{1} 折到 p\_{2} 上。

将一点折往另一点

这条公理相当于是作线段 {\displaystyle {\overline {p\_{1}p\_{2}}}}的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

* 使用**公理1**作出连结 p\_{1} 和 p\_{2} 的直线 {\displaystyle P(s)=p\_{1}+s(p\_{2}-p\_{1})}
* 找到直线 {\displaystyle P(s)} 的中点 {\displaystyle p\_{mid}}
* 找到垂直于 {\displaystyle P(s)} 的向量 {\displaystyle \mathbf {v\_{perp}} }
* 折痕的参数方程表示为：

{\displaystyle F(s)=p\_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} \_{\mathrm {perp} }.}
### 公理 3

给定两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以把 l\_{1} 折到 {\displaystyle l\_2} 上。

将一条线折到另一条上

这条公理相当于是找出 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2} 组成的角的平分线。假设 p\_{1} 和 p\_{2} 是 l\_{1} 上任意两点，q\_{1} 和 q\_{2} 是 {\displaystyle l\_2} 上任意两点，\mathbf{u} 和 \mathbf {v}  分别是 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2} 方向的单位向量：

{\displaystyle \mathbf {u} =(p\_{2}-p\_{1})/\left|(p\_{2}-p\_{1})\right|}
{\displaystyle \mathbf {v} =(q\_{2}-q\_{1})/\left|(q\_{2}-q\_{1})\right|.}
如果两直线不平行，它们的交点为：

{\displaystyle p\_{\mathrm {int} }=p\_{1}+s\_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }
其中

{\displaystyle s\_{int}=-{\frac {\mathbf {v} \_{\perp }\cdot (p\_{1}-q\_{1})}{\mathbf {v} \_{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}
两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

{\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}
折痕的参数方程是：

{\displaystyle F(s)=p\_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}
这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 {\displaystyle p\_{int}}。而沿着任意一条角平分线折都能将 l\_{1} 折到 {\displaystyle l\_2} 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 l\_{1} 折到 {\displaystyle l\_2} 上

### 公理 4

给定一点 p\_{1} 和一条直线 l\_{1}，有且仅有一种方法过 p\_{1} 折出 l\_{1} 的垂线。

过一点折一条直线的垂线

向量 \mathbf {v}  是垂直于 l\_{1} 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

{\displaystyle F(s)=p\_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}
### 公理 5

给定两点 p\_{1} 和 p\_{2} 和一条直线 l\_{1}，可以沿过 p\_{2} 的直线将 p\_{1} 折到 l\_{1} 上。

将一点沿着过另一点的直线折到一条直线上

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 l\_{1} 和以p\_{2} 为圆心，p\_{2} 到 p\_{1} 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 (x\_{1},y\_{1}) 和 (x\_{2},y\_{2})，那么直线可以表示为：

{\displaystyle x=x\_{1}+s(x\_{2}-x\_{1})\,}
{\displaystyle y=y\_{1}+s(y\_{2}-y\_{1}).\,}
如果圆心 {\displaystyle p\_{2}=(x\_{c},y\_{c})}，半径 {\displaystyle r=\left|p\_{1}-p\_{2}\right|}。那么这个圆可以表示为：

{\displaystyle (x-x\_{c})^{2}+(y-y\_{c})^{2}=r^{2}.\,}
为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

{\displaystyle (x\_{1}+s(x\_{2}-x\_{1})-x\_{c})^{2}+(y\_{1}+s(y\_{2}-y\_{1})-y\_{c})^{2}=r^{2}.\,}
或者可以简化为：

{\displaystyle as^{2}+bs+c=0\,}
其中：

{\displaystyle a=(x\_{2}-x\_{1})^{2}+(y\_{2}-y\_{1})^{2}\,}
{\displaystyle b=2(x\_{2}-x\_{1})(x\_{1}-x\_{c})+2(y\_{2}-y\_{1})(y\_{1}-y\_{c})\,}
{\displaystyle c=x\_{c}^{2}+y\_{c}^{2}+x\_{1}^{2}+y\_{1}^{2}-2(x\_{c}x\_{1}+y\_{c}y\_{1})-r^{2}.\,}
然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
如果判别式 {\displaystyle b^{2}-4ac<0}，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令d\_1 和 d\_2 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

{\displaystyle m\_{1}={\overline {p\_{1}d\_{1}}}\,}
{\displaystyle m\_{2}={\overline {p\_{1}d\_{2}}}.\,}
折痕 {\displaystyle F\_{1}(s)} 垂直平分 m\_{1}，可以将 p\_{1} 折到 d\_1。同样，折痕 {\displaystyle F\_{2}(s)} 垂直平分 m\_{2}，可以将 p\_{1} 折到 d\_2。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{1}(s)&=p\_{1}+{\frac {1}{2}}(d\_{1}-p\_{1})+s(d\_{1}-p\_{1})\_{\perp }\\[8pt]F\_{2}(s)&=p\_{1}+{\frac {1}{2}}(d\_{2}-p\_{1})+s(d\_{2}-p\_{1})\_{\perp }.\end{aligned}}}
### 公理 6

给定两点 p\_{1} 和 p\_{2} 和两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以一次将 p\_{1} 、p\_{2} 分别折到 l\_{1} 、{\displaystyle l\_2} 上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 p\_{1} 和 p\_{2}，准线分别是 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}。

### 公理 7

给定一点 p 和两直线 l\_{1} 和 {\displaystyle l\_2}，可以沿着 {\displaystyle l\_2} 的垂线将 p\_{1} 折到 l\_{1} 上。

过 p 点作 {\displaystyle l\_2} 的平行线，交 l\_{1} 于 q，这个公理就是要找出线段 {\displaystyle {\overline {pq}}} 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 p 折到 q 上。

参考资料
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1. ↑  Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reprinted in *Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology*, H. Huzita ed. (1989), pp. 251–261.
2. ↑  Humiaki Huzita, "Understanding Geometry through Origami Axioms", The
First International Conference on Origami in Education and Therapy (COET91) (1991)

外部链接
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* Origami Geometric Constructions[永久] by Thomas Hull
* A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （页面存档备份，存于） by Roger C. Alperin
* Lang, Robert J.  (PDF). Robert J. Lang. 2003  [2007-04-12]. （原始内容存档于2012-03-10）.


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