在物理學裏，**連續性方程式**（英語：）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。

概論
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### 微分形式

一般的連續性方程式的微分形式為

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f}}=s ；
其中，\varphi  是某物理量 q 的密度（每單位體積的物理量），\mathbf{f} 是 q 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（），s 是 q 在每單位體積每單位時間的生成量。

假若 s>0 則稱 s 為「源點」；假若 s<0 則稱 s 為「匯點」。假設 \varphi  是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 s=0 ，連續性方程式變為

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f}}=0 。
從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 \mathbf{f} 並不代表真實物理量的流動。

### 積分形式

在連續性方程式的積分形式裏，\mathbb {S}  是包住體積 \mathbb{V} 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面（以藍色顯示），\mathbb {S}  沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。
根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

{\frac {{\mathrm {d}}Q}{{\mathrm {d}}t}}+\oint \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathbf {f}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}=S ；
其中，\mathbb {S}  是包住體積 \mathbb{V} 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，Q 是在體積 \mathbb{V} 內的 q 總量，S=\int \_{{{\mathbb {V}}}}s\ {\mathrm {d}}^{3}r 是在積分體積 \mathbb{V} 內源點與匯點的總生成量每單位時間，\mathrm {d} \mathbf {a}  是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 \mathbb{V} 是台北101大樓，Q 是在大樓內某時間的總人數，\mathbb {S}  是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 s>0 ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論
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条目：電荷守恆
在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 \rho  的變率與電流密度 \mathbf {J}  的散度，兩者的代數和等於零：

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0 。
### 馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式

馬克士威-安培方程式為

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu \_{0}{\mathbf {J}}+\mu \_{0}\ \epsilon \_{0}{\frac {\partial E}{\partial t}} ；
其中，\mathbf {B}  是磁場，\mathbf {E}  是電場，\mu \_{0} 是磁常數，\epsilon \_{0} 是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零，

0=\mu \_{0}\nabla \cdot {\mathbf {J}}+\mu \_{0}\epsilon \_{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot {\mathbf {E}})}{\partial t}} 。
高斯定律的方程式為

\nabla \cdot {\mathbf {E}}=\rho /\epsilon \_{0} 。
將這方程式代入，可以得到

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0。
電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

### 四維電流

四維電流密度定義為

J^{{\alpha }}\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,{\mathbf {J}})=(c\rho ,J\_{x},J\_{y},J\_{z}) ；
其中，\alpha  標記時空坐標，c 是光速。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式

\partial \_{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0 ；
其中，{\displaystyle \partial \_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)} 。

流體力學
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在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。。此时連續性方程式与電路學的克希荷夫電流定律类似。「質量連續性方程式」的微分形式為

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u}})=0；
其中， \rho  是流體質量密度，{\mathbf {u}} 是流速向量場，兩者相乘後為质量通量。

假設流體是不可壓縮流，則密度  \rho  是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：

\nabla \cdot ({\mathbf {u}})=0 。
這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。

能量
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根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（）外，能量守恆的另一种數學表述，即，

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {q}}=0 ；
其中，u 是能量密度（單位體積的能量），q 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。

根據傅立葉定律（），對於均勻傳導介質，

{\mathbf {q}}=-k\nabla T ；
其中，k 是熱導率，T 是溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為热传导方程，

{\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0 。

量子力學
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条目：機率流
在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為 \Psi (x,t) ，機率流 \mathbf {J} 的定義為

{\mathbf {J}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi ) ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，m 是質量，\Psi ^{\*} 是 \Psi  是共軛複數，{\mbox{Im}}() 是取括弧內項目的虚部。

### 連續方程式與機率守恒定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}=0 ；
其中，\rho =|\Psi |^{2} 是機率密度。

應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示，

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}{\mathrm {d}}^{3}{r}+\oint \_{{\mathbb {S}}}{\mathbf {J}}\cdot {{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}}=0 ；(1)
其中，\mathbb{V} 是任意三維區域，\mathbb {S}  是 \mathbb{V} 的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 \mathbb{V} 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 \mathbb{V} 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 \mathbb{V} 的通量，兩者之和等於零。

### 連續方程式推导

測得粒子在三維區域 \mathbb{V} 內的機率 P 是

P=\int \_{{\mathbb {V}}}\rho \,{\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}\,{\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}} 。
機率對於時間的導數是

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int \_{{\mathbb {V}}}|\Psi |^{2}\,{\mathrm {d}}^{3}{r}=\int \_{{\mathbb {V}}}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{\*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} ；(2)
注意到 \Psi 的含時薛丁格方程式為

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi  ；
其中，U({\mathbf {r}}) 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}=-\int \_{{\mathbb {V}}}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{\*}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
應用一則向量恆等式，可以得到

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{\*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{\*} 。
這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

{\frac {{\mathrm {d}}P}{{\mathrm {d}}t}}=-\int \_{{\mathbb {V}}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{\*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{\*}\right)\right]\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
將機率密度方程式與機率流定義式代入，

\int \_{{\mathbb {V}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,{\mathrm {d}}^{3}{r}=-\int \_{{\mathbb {V}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}\right)\,{\mathrm {d}}^{3}{r} 。
该等式對於任意三維區域 \mathbb{V} 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {J}}=0 。

參閱
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* 歐拉方程式
* 諾特定理

參考文獻
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1. 1 2 3  Pedlosky, Joseph.. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877.
2. ↑  Clancy, L.J.(1975), *Aerodynamics*, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London