**等諧数列**，又名**調和数列**（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为**公諧差**（common harmonic difference）。

例如数列：

1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...
就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 1/2。

性質
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如果一个等諧数列的首项記作 *a*，公諧差記作 *h*，那么该等諧数列第 *n* 项 *an* 的一般項为：

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}}
換句話說，任意一個等諧数列 {*an*} 都可以寫成

{\displaystyle \{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}}

  

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 *a**n*+1 和 *an* ，可知公諧差

{\displaystyle h={\frac {1}{{\frac {1}{a\_{n+1}}}-{\frac {1}{a\_{n}}}}}}
給定任意兩項 *am* 和 *an* ，則有公諧差

{\displaystyle h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a\_{m}}}-{\frac {1}{a\_{n}}}}}}

  

此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，{\displaystyle {\frac {1}{a\_{1}}}+{\frac {1}{a\_{3}}}={\frac {2}{a\_{2}}}}。

更一般地說，有：

{\displaystyle {\frac {1}{a\_{n-1}}}+{\frac {1}{a\_{n+1}}}={\frac {2}{a\_{n}}}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a\_{n-1}}}+{\frac {1}{a\_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a\_{n}}}\\\end{aligned}}}
證畢。

  

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

{\displaystyle a\_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a\_{n-1}}}+{\frac {1}{a\_{n+1}}}}}}
此結果從上面直接可得。

  

如果有正整數 *m*, *n*, *p*, *q*，使得 m+n=p+q，那么则有：

{\displaystyle {\frac {1}{a\_{m}}}+{\frac {1}{a\_{n}}}={\frac {1}{a\_{p}}}+{\frac {1}{a\_{q}}}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a\_{m}}}+{\frac {1}{a\_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a\_{p}}}+{\frac {1}{a\_{q}}}\\\end{aligned}}}

  

由此可將上面的性質一般化成：

{\displaystyle {\frac {1}{a\_{n-k}}}+{\frac {1}{a\_{n+k}}}={\frac {2}{a\_{n}}}}
{\displaystyle a\_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a\_{n-k}}}+{\frac {1}{a\_{n+k}}}}}}
其中 *k* 是一個小於 *n* 的正整數。

  

給定一個等諧數列 \{a\_{n}\}，則有：

* {\displaystyle \{b\cdot a\_{n}\}} 是一個等諧數列。
* {\displaystyle \{{\frac {b}{a\_{n}}}\}} 是一個等差數列。

等諧数列和
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一個等諧數列的首 *n* 項之和，稱為**等諧数列和**（sum of harmonic sequence）或**調和級數**（harmonic series），記作 *Sn*。

舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。

  

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

{\displaystyle S\_{n}=a\int \_{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x}
公式證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]\_{x=0}^{x=1}\\&=a\int \_{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int \_{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}}
最後一步，使用了等比數列的求和公式。

  

使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{4}&={\frac {1}{3}}\int \_{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int \_{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}}
結果相等。

  

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

等諧数列积
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一個等諧數列的首 *n* 項之積，稱為**等諧数列積**（product of harmonic sequence），記作 *Pn*。

舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。

  

等諧数列積的公式可以Γ函數表示：

{\displaystyle P\_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}}
這裡使用了等差數列的求積公式。

  

使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ：

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}}
結果相等。

参见
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* 序列
* 數列
* 級數
* 調和級數
* 調和平均
* 等差數列
* 等比數列

参考文献
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* Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.  （页面存档备份，存于）.
* Yadav, A. Pi, H, G. Mukhopadhyay, S. et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant.  （页面存档备份，存于）.


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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
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| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
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| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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