**光線轉換矩陣分析**(又稱**ABCD矩陣分析**)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見电子光学。

以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。

定義
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光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1，從距離光軸 *x*1 的入射面進入系統，並在距光軸的*x*2的輸出面呈θ2射出，而*n*1, *n*2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{2}\\\theta \_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}}
當

{\displaystyle A={x\_{2} \over x\_{1}}{\bigg |}\_{\theta \_{1}=0}\qquad B={x\_{2} \over \theta \_{1}}{\bigg |}\_{x\_{1}=0}}
且

{\displaystyle C={\theta \_{2} \over x\_{1}}{\bigg |}\_{\theta \_{1}=0}\qquad D={\theta \_{2} \over \theta \_{1}}{\bigg |}\_{x\_{1}=0}}
這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n\_{1} \over n\_{2}}}
因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路。

範例
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若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{2}\\\theta \_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}}
兩光線各別的參數可表示如下:

{\displaystyle {\begin{matrix}x\_{2}&=&x\_{1}+d\theta \_{1}\\\theta \_{2}&=&\theta \_{1}\end{matrix}}}
另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}
注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

{\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。

光線轉化矩陣表格
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**簡易的光學元素**

| 成分元素 | 矩陣 | 註解 |
| --- | --- | --- |
| 傳輸在具有常數折射率的空間 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}} | *d*為傳輸距離 |
| 折射在平坦的表面 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&{\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\end{bmatrix}}} | *n*1 為入射時的環境折射率
*n*2 為折射後的環境折射率 |
| 折射在曲面 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n\_{1}-n\_{2}}{R\cdot n\_{2}}}&{\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\end{bmatrix}}} | *R* 為曲率半徑，當 *R* > 0 為凸面 
*n*1 為入射時的環境折射率
*n*2 為折射後的環境折射率 |
| 從平坦面鏡反射 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} |  |
| 從曲面鏡反射 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{bmatrix}}} | *R* 為曲率半徑，當 R > 0 為凹面，可用於近軸近似法 |
| 薄透鏡 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}} | *f* 為透鏡的焦距， 當 *f* > 0 為凸透鏡
唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立 |
| 厚透鏡 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n\_{2}-n\_{1}}{R\_{2}n\_{1}}}&{\frac {n\_{2}}{n\_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n\_{1}-n\_{2}}{R\_{1}n\_{2}}}&{\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\end{bmatrix}}} | *n*1 為透鏡外的折射率
*n*2 為透鏡內的折射率 
*R*1 為第一表面的曲率半徑 
*R*2 為第二表面的曲率半徑
*t* 為透鏡的中心厚度 |
| 單直角稜鏡 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{bmatrix}}} | *k* = (cos\psi /cos\phi ) 是beam expansion的因素, 當\phi  為入射角, \psi  為折射角, *d* 為稜鏡的路徑長, *n* 為稜鏡的折射率。 這個舉證應用在orthogonal beam exit。 |

共振穩定性
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RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}
光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的"eigenrays"，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：

{\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\_{2}\\\theta \_{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}}
此為一本徵方程式：

{\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}=0}
其中I為一2x2單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

{\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}
可導出以下特徵方程式：

{\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}
其中

{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}}
是RTM的軌跡，且

{\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}
是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

{\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}
其中

{\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}}
是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

{\displaystyle \lambda \_{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,}
現在，考慮一個光線通過系統N次:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{N}\\\theta \_{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\\theta \_{1}\end{bmatrix}}}
如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ+λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

{\displaystyle \lambda \_{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }}
以g=cos(φ)表示。

假設 {\displaystyle g^{2}<1} 且 {\displaystyle r\_{+}}, {\displaystyle r\_{-}}是{\displaystyle \lambda \_{+}}, {\displaystyle \lambda \_{-}}的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:

{\displaystyle c\_{+}r\_{+}+c\_{-}r\_{-}},
{\displaystyle c\_{+}} and {\displaystyle c\_{-}}為某常數

再通過N個波導後，輸出則為:

{\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c\_{+}r\_{+}+c\_{-}r\_{-})=\lambda \_{+}^{N}c\_{+}r\_{+}+\lambda \_{-}^{N}c\_{-}r\_{-}=e^{iN\phi }c\_{+}r\_{+}+e^{-iN\phi }c\_{-}r\_{-}}
這代表一個週期函數。

高斯光束的光線轉化矩陣
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光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda \_{0}}{\pi nw^{2}}}}
此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}q\_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q\_{1}\\1\end{bmatrix}}}
其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:

{\displaystyle q\_{2}=k(Aq\_{1}+B)\,}
且

{\displaystyle 1=k(Cq\_{1}+D)\ }
由上式除以下式可得:

{\displaystyle q\_{2}={\frac {Aq\_{1}+B}{Cq\_{1}+D}}}
此方程式常以倒數形式表示:

{\displaystyle {1 \over q\_{2}}={C+D/q\_{1} \over A+B/q\_{1}}}
### 範例：Free space

假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為:
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}} 
因此

{\displaystyle q\_{2}={\frac {Aq\_{1}+B}{Cq\_{1}+D}}={\frac {q\_{1}+d}{1}}=q\_{1}+d}
這表示，通過一空間會增加半徑d。

### 範例：薄透鏡

假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}}
因此

{\displaystyle q\_{2}={\frac {Aq\_{1}+B}{Cq\_{1}+D}}={\frac {q\_{1}}{-{\frac {q\_{1}}{f}}+1}}}
{\displaystyle {\frac {1}{q\_{2}}}={\frac {-{\frac {q\_{1}}{f}}+1}{q\_{1}}}={\frac {1}{q\_{1}}}-{\frac {1}{f}}}
再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。

另見
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* 传递矩阵法
* 幾何光學

參考文獻
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1. ↑  An exact method for tracing meridional rays is available here （页面存档备份，存于）.

* Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich.. New York: John Wiley & Sons. 1991.  Section 1.4, pp. 26 – 36.

* Gerrard, Anthony; Burch, James M.. Courier Dover. 1994  [2015-01-22]. ISBN 9780486680446. （原始内容存档于2015-01-22）.

* F. J. Duarte.. New York: Elsevier-Academic. 2003.  Chapter 6.

外部連結
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* Thick lenses (Matrix methods)（页面存档备份，存于）
* ABCD Matrices Tutorial（页面存档备份，存于） Provides an example for a system matrix of an entire system.
* ABCD Calculator（页面存档备份，存于） An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
* Simple Optical Designer (Android App)（页面存档备份，存于） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.