在数学中，一个向量空间{\displaystyle V}的**张量代数**（），记作{\displaystyle T(V)}，是*{\displaystyle V}*上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是*{\displaystyle V}*上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含*{\displaystyle V}*的"最一般的代数"（见下）。 

张量代数也具有余代数结构。

**注**：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。

构造
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设*{\displaystyle V}*是域{\displaystyle K}上一个向量空间。对任何非负整数{\displaystyle k}，我们定以*{\displaystyle V}*的***{\displaystyle k}*次张量积**为*{\displaystyle V}*与自己的***{\displaystyle k}***次张量积：

{\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}={\underset {k}{\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} }}}。
这便是讲，{\displaystyle T^{k}V}由*{\displaystyle V}*上所有秩*{\displaystyle k}*张量组成。习惯上{\displaystyle T^{0}V}是基域*{\displaystyle K}*（作为自己的一维向量空间）。

令{\displaystyle T(V)}为所有*{\displaystyle T^{k}V}*（{\displaystyle k=0,1,2,\ldots }）的直和：

{\displaystyle T(V)=\bigoplus \_{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots }。
{\displaystyle T(V)}中的乘法由典范同构确定：

{\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}
由张量积给出，然后线性扩张到所有{\displaystyle T(V)}。此乘法表明张量代数{\displaystyle T(V)}自然是一个分次代数，*{\displaystyle T^{k}V}*作为*{\displaystyle k}*次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的模{\displaystyle M}上。如果{\displaystyle R}是一个非交换环，我们仍然可以对任意{\displaystyle R}-{\displaystyle R} 双模执行这样的构造。（对通常的{\displaystyle R}-模不行，因为没有迭代张量积。）

伴随与泛性质
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张量代数{\displaystyle T(V)}也成为向量空间*{\displaystyle V}*上的**自由代数**，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子{\displaystyle T}左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个*{\displaystyle K}*-代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含*{\displaystyle V}*的最一般的代数：

任何从*{\displaystyle V}*到*{\displaystyle K}*上的一个代数*{\displaystyle A}*的线性变换{\displaystyle f:V\rightarrow A}可以惟一地扩张为从{\displaystyle T(V)}到{\displaystyle A}的一个代数同态，如下交换图表所示：
张量代数的泛性质张量代数的泛性质
这里{\displaystyle i}是*{\displaystyle V}*到{\displaystyle T(V)}的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数{\displaystyle T(V)}为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，{\displaystyle T}是从***{\displaystyle K}*-Vect**，*{\displaystyle K}*上向量空间范畴，到***{\displaystyle K}*-Alg**，*{\displaystyle K}*-代数范畴，的一个函子。*{\displaystyle T}*的函子性意味着任何从*V*到*W*的线性映射惟一地扩张为从{\displaystyle T(V)}到{\displaystyle T(W)}的代数同态。

非交换多项式
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如果*{\displaystyle V}*为有限维{\displaystyle n}，张量代数的另一个看法是" *{\displaystyle K}*上*{\displaystyle n}*个非交换变量的多项式代数"。如果我们取*{\displaystyle V}*的基向量，它们成为{\displaystyle T(V)}中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及*K*-线性）。

注意*{\displaystyle V}*上的多项式代数不是{\displaystyle T(V)}，而是{\displaystyle T(V^{\*})}：*{\displaystyle V}*上一个（齐次）线性函数是{\displaystyle V^{\*}}中的一个元素。

商
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因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造{\displaystyle T(V)}一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。

余代数结构
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张量代数上的余代数结构如下。余积{\displaystyle \Delta }定义为

{\displaystyle \Delta (v\_{1}\otimes \dots \otimes v\_{m}):=\sum \_{i=0}^{m}(v\_{1}\otimes \dots \otimes v\_{i})\otimes (v\_{i+1}\otimes \dots \otimes v\_{m})}
线性扩张到整个{\displaystyle TV}。余单位由{\displaystyle \varepsilon (v)=v}的0-次分量。注意到{\displaystyle \Delta :TV\rightarrow TV\otimes TV}保持分次：

{\displaystyle T^{m}V\to \bigoplus \_{i+j=m}T^{i}V\otimes T^{j}V}
而{\displaystyle \varepsilon }也与分次相容。

张量代数在这个余积下**不**是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：

{\displaystyle \Delta (x\_{1}\otimes \dots \otimes x\_{m})=\sum \_{p=0}^{m}\sum \_{\sigma \in \mathrm {Sh} \_{p,m-p}}\left(v\_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v\_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v\_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v\_{\sigma (m)}\right)}
这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后，对极映射为：

{\displaystyle S(x\_{1}\otimes \dots \otimes x\_{m})=(-1)^{m}x\_{m}\otimes \dots \otimes x\_{1}}
线性扩张到整个*{\displaystyle TV}*，这样张量代数成为一个霍普夫代数。

参见
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* 对称代数（英语：）
* 幺半范畴
* Stanisław Lem's *Love and Tensor Algebra*

参考文献
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* 陈维桓.  第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月.
* Mac Lane, Saunders. *Categories for the Working Mathematician*(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998