此条目的主題是数学分析中关于傅里叶级数的定理。数论中的**狄利克雷定理**，請見「**狄利克雷定理**」。
在数学分析中，**狄利克雷定理**（或**若尔当—狄利克雷定理**,**狄利克雷条件**）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。

定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。

定理的叙述
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设 f 为一个在\mathbb {R} 上的周期性的局部可积函数，其周期为2\pi 。给定 x\_{0}\in {\mathbb {R}}，假设有以下条件成立：

1. 函数 f 在 x\_{0} 处有左极限和右极限，分别记为 f(x\_{0}^{+}) 和 f(x\_{0}^{-})。
2. 存在正实数：\alpha >0，使得以下的两个积分收敛：

\int \_{0}^{\alpha }{\frac {|f(x\_{0}+t)-f(x\_{0}^{+})|}{t}}{{\mathrm d}}t,\qquad \int \_{0}^{\alpha }{\frac {|f(x\_{0}-t)-f(x\_{0}^{-})|}{t}}{{\mathrm d}}t
那么，函数 f 的傅里叶级数在x\_{0} 处收敛，并且有：

\lim \limits \_{n}(S\_{n}f(x\_{0}))={\frac 12}(f(x\_{0}^{+})+f(x\_{0}^{-}))
定理成立的一个特例是当函数 f 在x\_{0} 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段{\mathcal {C}}^{{1}}函数（见光滑函数）的时候。

证明
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定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。

D\_{n}(x)=\sum \_{{k=-n}}^{n}e^{{ikx}}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},
S\_{n}(f)(x)={\frac 1{2\pi }}\int \_{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)D\_{n}(x-t)dt={\frac 1{2\pi }}\int \_{{-\pi }}^{{\pi }}D\_{n}(t)f(x-t)dt
这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：

S\_{n}(f)(x)={\frac 1{2\pi }}\int \_{{-\pi }}^{{\pi }}\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac t2}}}dt
这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}} 在**0**附近并不一定可积。但是由于：

{\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}
存在，可以考虑将区间[-\pi ,0)上的积分用u=-t换元，这样 S\_{n}(f)(x) 就变成：

S\_{n}(f)(x)=\int \_{0}^{{\pi }}\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac t2}}}dt
因此：

S\_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac 1{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac t2}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)
而由于狄利克雷核在区间[-\pi ,\pi ]上的积分平均值是1，也就是说：

1={\frac 1{2\pi }}\int \_{{-\pi }}^{{\pi }}D\_{n}(t)dt={\frac 1{2\pi }}\int \_{{-\pi }}^{{\pi }}{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac 1{2\pi }}\int \_{{0}}^{{\pi }}{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt
{\frac 12}={\frac 1{2\pi }}\int \_{{0}}^{{\pi }}{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt
因此：

{\begin{aligned}S\_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac 1{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac t2}}}dt\\&-{\frac 1{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac t2}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac 1{2\pi }}\int \_{0}^{{\pi }}\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac t2}}}dt\end{aligned}}
由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：

\lim \_{{n\to \infty }}S\_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)

参见
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* 傅里叶级数
* 狄利克雷核
* 费耶核

注释与参考
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1. ↑  狄利克雷, *Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données*, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
2. ↑  若尔当, *Sur la série de Fourier*, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230

参考书籍
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* （英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany.. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52.
* （法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset.. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.