向下的重力（*Fg*）相等於向上的阻力（*Fd*）。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。
在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是**終端速度**。

當向下的重力（*Fg*）相等於向上的阻力（*Fd*）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（mg）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

例子
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舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為195km/h（55m/s）。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢拉起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至320km/h（90m/s），幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告 。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下，速度為988km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小 。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6km/h，是目前的世界紀錄保持人。

一向着地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有着大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有着更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：

V\_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C\_d }}
其中

V\_{t}為終端速度，
m為物體重量，
g為地球所引起的加速度，
C\_d為阻力係數，
\rho 為物體落下時所處的流體密度，
A為物體的投影面積。
數學上，一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量m必須減去所排開的流體質量\rho\mathcal{V}，其中{\mathcal {V}}為物體的體積。所以不使用m，在各方程中改用約化質量m\_r=m-\rho\mathcal{V}。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨着海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

終端速度的推導
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數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力*F*net為（根據牛頓第二運動定律）：

F\_{net} = m a = m g - F\_D。
其中：
*a*為加速度，
*F*D為阻力。

根據阻力公式：

F\_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C\_d\, A。
將上兩式結合可得

F\_{net} = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C\_\mathrm{d}。
在平衡時，淨力為零（*F*=0）：

m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C\_\mathrm{d} = 0 \ 。
解*v*可得，

\sqrt\frac{2mg}{\rho A C\_\mathrm{d}} \ 。

| 速度*v*作為時間*t*函數解的推導 |
| --- |
| 阻力方程為
 m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C\_\mathrm{d} 。
取'k *= 1⁄2*ρAC*d，此時方程的形式較為實用。*
兩邊一起除以*m*得
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g-\frac{kv^2}{m} 。
整理方程得
 dt=\frac{\mathrm{d}v}{g-\frac{kv^2}{m}}。
取兩邊積分得
\int\_0^t {\mathrm{d}t^\prime} = \int\_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{g-\frac{kv^{\prime 2}}{m}} = {1 \over g}\int\_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{1-\alpha^2 v^{\prime 2}} ，
其中*α* = ( *k*⁄*mg* )1⁄2.
積分後，得
t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^\prime) \over 2\alpha}-\frac{\ln(1-\alpha v^\prime)}{2\alpha}+C \right]\_{v^\prime=0}^{v^\prime=v}={1 \over g} \left[{\ln \frac{1+\alpha v^\prime}{1-\alpha v^\prime} \over 2\alpha}+C \right]\_{v^\prime=0}^{v^\prime=v},
或簡化形式
t={1 \over 2\alpha g} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v} \ .
反雙曲正切函數（arctanh）的定義為:
\frac{1}{2} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v}=\mathrm{arctanh}(\alpha v).
故方程解的積分為
t=\frac{\mathrm{arctanh}(\alpha v)}{\alpha g} ，
上式可簡化成
\frac{1}{\alpha}\tanh(\alpha g t)=v ，
其中tanh為雙曲正切函數。設*g*為正數（它的定義確實是正數），然後把*α*的值代入，得
 v=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left( \sqrt{\frac{k}{mg}} g t\right)，
代入*k* = 1⁄2*ρAC*d，得*v*所需的形式
v=\sqrt\frac{2mg}{\rho A C\_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C\_d }{2m}}\right)，
當時間趨向無限（*t* → ∞），雙曲正切趨向1，得終端速度
\sqrt\frac{2mg}{\rho A C\_d}。 |

| 由能量守恒推導 |
| --- |
| 能量守恒方程为
{\displaystyle mgh=kv^{2}h+{\frac {1}{2}}mv^{2}}。
分离v得到
{\displaystyle v={\sqrt {\frac {mgh}{kh+{1 \over 2}m}}}\ }。
当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), *h* → ∞ ， 故以上式子取极限得
{\displaystyle v={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\ }。 |

有浮力情況下的終端速度
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當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

 \quad (1) \qquad W = F\_b + D 
其中

W為物體的重量，
F\_{b}為作用於物體上的浮力，及
D 為作用於物體上的阻力。
若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

\quad (2) \qquad W = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho\_s g

  

\quad (3) \qquad F\_b = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho g {\displaystyle }

  

\quad (4) \qquad D = C\_d \tfrac{1}{2} \rho V^2 A
其中

d為球體的直徑，
g為重力加速度，
\rho 為流體的密度，
\rho\_s為球體的密度，
A = \pi d^2/4 為球體投影面積，
C\_d阻力係數，及
V為特徵速度（即終端速度，V\_t ）。
將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解V\_t 的值，得下式：

 \quad (5) \qquad V\_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C\_d} \left( \frac{\rho\_s - \rho}{\rho} \right)} 。
### 蠕流下的終端速度

蠕流流過球體示意圖：流線、阻力*F*d及重力*F*g
對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數Re \ll 1的條件。蠕流的運動方程（簡化後的納維-斯托克斯方程）如下：

\nabla p = \mu \nabla^2 {\mathbf v} 
其中：

{{\mathbf v}}為速度向量場，
p為壓力場，及
\mu  為流體黏度。
流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

\quad (6) \qquad D = 3\pi \mu d V \qquad \qquad 或 \qquad \qquad C\_d = \frac{24}{Re} 
其中雷諾數Re = \tfrac{\rho d V}{\mu} 。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。

把C\_d的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

 V\_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho\_s - \rho \right)。
### 應用

蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。

另見
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* 斯托克斯定律
* 自由落體

参考文献
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1. ↑ . 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center.  [2009-03-04]. （原始内容存档于2009-02-23）. （英文）
2. 1 2 3  Huang, Jian.. The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999  [2017-02-24]. （原始内容存档于2020-11-24）. （英文）
3. ↑  The Ballistician.. W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. （原始内容存档于2008-03-31）.
4. ↑ . BBC中文網. 2012-10-14  [2012-10-14]. （原始内容存档于2012-10-19）.

外部連結
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* 終端速度——美國太空總署頁面（英文）
* 終端速度與物體的大小尺度 （页面存档备份，存于）物理動畫