當超導體的溫度降至其超導臨界溫度以下時，超導體內的磁場會經由邁斯納效應被排斥出去。倫敦方程為這樣的效應提供了量化的解釋。
**倫敦方程**把超導體的電流與其裏面及周圍的電磁場聯繫起來，這兩條方程是由弗里茨與海因茨·倫敦兩兄弟於1935年提出的。它們可被視為超導現象最簡單的有效描述，所以幾乎所有介紹超導的現代教科書，都會把倫敦方程視為入門必修課。這套方程組最大的成就，就在於它們成功地解釋了邁斯納效應；該效應指的是，當超導體溫度低於超導的門檻後，它會愈來愈快地排斥掉其內部所有的磁場。

數學表述
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以可量度的場表示時，倫敦方程共有兩條：

\frac{\partial \mathbf{j}\_s}{\partial t} = \frac{n\_s e^2}{m}\mathbf{E}, \qquad \mathbf{\nabla}\times\mathbf{j}\_s =-\frac{n\_s e^2}{mc}\mathbf{B} \,。
其中{\mathbf{j}}\_s為超導電流，**E**和**B**分別為超導體內部的電場與磁場，e\,為基本電荷，m\,為電子質量，而n\_s\,為一現象常數，大致上與超導電子的數密度有關。本條目全篇都使用高斯cgs單位制。

另一方面，可以利用較抽象的概念——磁向量勢**A**，來把上面兩條式子寫成較簡便的形式，也就獨立一條的"倫敦方程"：

\mathbf{j}\_s =-\frac{n\_se^2}{mc}\mathbf{A}\, 。
上述這條方程只有一個缺點，就是它一般不具有規範不變性，但只有在符合倫敦規範時，即向量場**A**的散度為零，才具有規範不變性
。

倫敦穿透深度
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若使用安培定律來處理第二條倫敦方程的話：

\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c}，
這樣最後會得出一條微分方程

\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{B}, \qquad \lambda \equiv \sqrt{\frac{m c^2}{4 \pi n\_s e^2}}\,。
因此從量綱可見，倫敦方程內含一特有的長度大小，\lambda ，而在這個長度中，外來的磁場會被愈來愈快地被排斥。這個數值被稱為倫敦穿透深度。

舉例說，一超導體與自由空間之間的邊界是平的，而超導體外面的磁場大小是固定的，且方向跟*z*軸一致，與邊界平面平行。若*x*從邊界指向超導體內部，則內部的磁場解為

B\_z(x) = B\_0 e^{-x / \lambda}\,，
從上式可以較容易地理解到倫敦穿透深度的物理意義。

倫敦方程的基本原理
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### 最初的論述

需要注意的是，上述各方程並不能用文字推導出來
，儘管如此，倫敦兄弟在表述這套理論時，還是有跟着一套憑直覺所得的邏輯。歐姆定律指出，電流與電場成正比；即使各種物質的構造不同，但是大致遵守歐姆定律的物質種類還是出奇地多。然而，超導體是不可能有這樣的線性關係，因為超導時電流都沒有電阻，而這點就是超導的定義。為了這一點，倫敦兄弟把超導電子想像成，受均勻外在電場影響的真空電子。根據洛倫茲力方程式：

\mathbf{F}=e\mathbf{E}+ \frac{e}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}
這些電子應感受到一股均勻的力，並因此均勻地加速。第一條倫敦方程所描述的正是如此。

要得出第二條方程，先取第一條倫敦方程的旋度，然後使用法拉第定律：

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}，
最後可得

 \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{j}\_s + \frac{n\_s e^2}{m c} \mathbf{B} \right) = 0\,。
就現時所得的方程而言，方程同時允許不變解及指數衰變解。倫敦兄弟從邁斯納效應中察覺到，非零的不變解是不具有物理意義的，因此他們假定不單是上式的時間導數為零，還有括號內的式子也必須是零。由此得出第二條倫敦方程。

### 正則動量論述

要解釋倫敦方程，還有其他方法。電流密度的表示式如下：

\mathbf{j}\_s = n\_s e \mathbf{v}。
要把上式由古典描述轉為量子力學的描述，就必須把**j**及**v**的數值，改為對應算符的期望值。速度算符的表示式如下

\mathbf{v} = \frac{1}{m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) 。
把具有規範不變性的動態動量算符，除以粒子質量*m*，就能得到速度算符。然後可以將速度算符代入電流密度的表示式。然而，超導的微觀理論中有一個重要的假設，就是一系統的超導態是這個系統的基態，而根據布洛赫的一條定理，這樣一個態的正則動量**p**為零。因此得

\mathbf{j}\_s =-\frac{n\_se\_s^2}{mc}\mathbf{A}，
也就是上面用向量場**A**所表示的倫敦方程。

註釋及參考資料
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1. ↑  London, F.; H. London.. Proc. Roy. Soc. (London). March 1935, **A149** (866): 71. ISSN 0080-4630.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
2. ↑  
Michael Tinkham.. McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-064878-6.
3. ↑  Neil W. Ashcroft; N. David Mermin.. Saunders College. 1976: 738. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
4. ↑  Charles Kittel.. 1999. ISBN 0-47-141526-X.
5. ↑  Meissner, W.; R. Ochsenfeld.. Naturwissenschaften. 1933, **21** (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
6. 1 2  James F. Annett.. Oxford. 2004: 58. ISBN 0-19-850756-9.
7. ↑  John David Jackson.. John Wiley & Sons. 1999: 604. ISBN 0-19-850756-9.
8. ↑  
Michael Tinkham.. McGraw-Hill. 1996: 6. ISBN 0-07-064878-6.
9. ↑  （因為假設了電場只會隨着時間緩慢地變動，而且位移電流項已經受到*1/c*這個因子的壓抑，因此可以視位移為零。）
10. 1 2  Michael Tinkham.. McGraw-Hill. 1996: 5. ISBN 0-07-064878-6.
11. ↑  John David Jackson.. John Wiley & Sons. 1999: 603–604. ISBN 0-19-850756-9.
12. ↑  Michael Tinkham.. McGraw-Hill. 1996: 5–6. ISBN 0-07-064878-6.
13. ↑  L. D. Landau and E. M. Lifshitz.. Butterworth-Heinemann. 1977: 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.