**提示**：此条目的主题不是**差平方**。 
**平方差公式**是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}
(a+b)及(a-b)的排列不是非常的重要，可隨意排放。

驗證
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### 主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}}
### 方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

(a+b)(a-b)=a^2-b^2| x)已知 | a | +b |
| --- | --- | --- |
| a | a^2 | +ab |
| -b | -ab | -b^2 |
|

這樣可驗證出(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

### 幾何驗證

两个正方形和两个立方体之间差异的视觉证明
平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形a^2減去正方形b^2，那即是a^2 - b^2。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是(a+b)(a-b)。

#### 方法一

根据右图，可先將阴影部分分割成三部分，分別为：

* b(a-b)\,\!
* (a-b)^2\,\!是灰正方
* b(a-b)\,\!

然后，將三部分加起：

b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!
=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!
{\displaystyle =ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!}
=a^2-b^2\,\!
* 註：(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 运用了差平方。

#### 方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

* a(a-b)\,\!大長方
* b(a-b)\,\!小長方

然後，將兩部分加起：

a(a-b)+b(a-b)\,\!
=a^2-ab+ab-b^2\,\!
=a^2-b^2\,\!

例子
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### 例子一

x^2-16\,\!
  
計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

=x^2-4^2\,\!
=(x-4)(x+4)\,\!
### 例子二

16m^2-81n^2\,\!
  
計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

=(4m)^2-(9n)^2\,\!
=(4m-9n)(4m+9n)\,\!
### 例子三

4y^2-36z^2\,\!
  
計算此公式，雖4y^2及36z^2的開方分別是2y及6z，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

=4(y^2-9z^2)\,\!
  
同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!
{\displaystyle =4(y-3z)(y+3z)\,\!}
### 例子四

\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36
首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!
=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!
運用因式分解的方法得出：

=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4
=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!
  
然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]
運用**平方差**並得出：

=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!
或

= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!

運用
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### 用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省复雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是10^n的+x及-x：

* 10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100
* 7\times13 = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91
* 95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975
* 99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是10^n：

* 14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!
* 125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!
* 1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!
* 14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!

例子三：運用分配律、**平方差**來計出以下很大而覆雜的數項：

* 3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)

下一步先運用分配律：
=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}
並把所有相同數項約簡，並得：
=3264^2 - 3263 \times 3265
運用**平方差**，並得：
=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!
=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!
=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!
=1 \,\!
### 錯誤運用

很多人混淆了**平方差**、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

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| {\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}  | ✓ |
| a^2-b^2 = (a-b)^2\,\! | ☒N |

* 註：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ，詳見差平方

內部連結
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* 乘法公式
* 因式分解
* 恆等式
* 乘法
* 平方
* 平方數

外部連結
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* Factoring the Difference of Two Squares
* Difference between 2 squares

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| * 
* 论
* 编
基本乘法公式及恆等式 （因式分解） |
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| 分配律 | (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd\,\! |
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| 二項式定理 | 

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| 和差平方 | {\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}} |
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| 和差立方 | {\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}} |

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|  |
| 多項式定理 | 

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| 三數和平方 |  (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \,\! |

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|  |
| 等冪和差 | 

|  |  |
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| 平方和 | a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) |
|  |
| 平方差 | {\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)} |
|  |
| 立方和差 | a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})\,\! |

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|  |
| 等冪和差逆定理 | a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\! |
|  |
| 對稱多項式 | a^3+b^3+c^3= (a+b+c)^3+3(a+b+c)(-ab-bc-ca)+3abc\,\! |

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