在排队论中（运筹学的一支），**杰克逊排队网络**（英語：，亦作）是一类排队网络模型，其均衡分布计算形式简单且网络具有积形式解。该模型已被推广，其定理的思想也被运用于寻找其他网络中类似的积形式解。互联网发展中的一些思想亦源于该排队网络。这一网络模型首先由詹姆斯·R·杰克逊（英语：）提出。2004年，杰克逊的文章重载于《管理科学（英语：）》，该刊将其誉为"管理科学头50年中最具影响力的十篇论文"之一。

杰克逊受到了柏克（英语：）和赖克（）工作的启发。但吉恩·华尔兰德（）指出"积形式解的结果……从柏克定理推过去不是很直接，并没有杰克逊本人在他那篇奠基性文章中所认为的那么直接"。

在串联排队（有限数量的队列，顾客按先后顺序去每个队列等候）和环形排队网络（串联成环的若干队列，顾客按先后顺序去每个队列等候）中，更早就发现了一个积形式解。

杰克逊网络包括一定数量的节点，每个节点表示一个队列，队列的服务率既可以是状态无关的（不同的节点有不同的服务率），也可以是状态相关的（服务率的变化与队长相关）。任务（）按照一个固定的路由矩阵（）在节点间转移。每个节点处的任务都属于单一的"类"（），任务都服从相同都服务时间分布和路由机制。因此，并没有引入任务服务的优先级：每个节点处的所有工作都以先到先得（）方式进行。

有限任务、闭合网络的杰克逊网络也有积形式解，该结论由Gordon–Newell定理阐明。

杰克逊排队网络的必要条件
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m个相连队列组成的网络被称作杰克逊网络，若它满足下述条件：

1. 若网络是开放的，任意往节点i的外部到达都是一个泊松过程，
2. 服务时间呈指数分布，排队规则为先到先得（），
3. 队列i处的顾客服务结束后，以概率P\_{{ij}}转移到新的队列j或以概率{\displaystyle 1-\sum \_{j=1}^{m}P\_{ij}}离开队列；对于开放网络来说，离开概率对所有队列的某个子集是非零的，
4. 所有队列的利用率都小于1。

定理
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m为M/M/1模型的开放杰克逊网络，其中利用率（）\rho \_{i}对每个队列都小于1，平衡状态概率分布存在，且对状态{\displaystyle \scriptstyle {(k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m})}}，平衡状态（）概率分布由每个队列的平衡分布之积给出：

{\displaystyle \pi (k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m})=\prod \_{i=1}^{m}\pi \_{i}(k\_{i})=\prod \_{i=1}^{m}[\rho \_{i}^{k\_{i}}(1-\rho \_{i})].}
结果{\displaystyle \pi (k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m})=\prod \_{i=1}^{m}\pi \_{i}(k\_{i})}对M/M/c服务站（）也成立，其中第i个节点的服务台（）数为c\_i，利用率满足{\displaystyle \rho \_{i}<c\_{i}}。

定义
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在一个开放网络中，顾客自系统外部以泊松流方式到达，到达率为\alpha >0。每个往节点*j*的到达是相互独立的，有概率 {\displaystyle p\_{0j}\geq 0}且满足{\displaystyle \sum \_{j=1}^{J}p\_{0j}=1}。当节点i处的服务完成时，顾客会以概率p\_{{ij}}进入另一节点或者以{\displaystyle p\_{i0}=1-\sum \_{j=1}^{J}p\_{ij}}的概率离开网络。

因此，节点i的总到达率\lambda\_i是外部到达和内部转移的总和：{\displaystyle }{\displaystyle }



λ

i

=
α

p

0
i

+

∑

j
=
1

J

λ

j

p

j
i

,
i
=
1
,
…
,
J
.

(
1
)

{\displaystyle \lambda \_{i}=\alpha p\_{0i}+\sum \_{j=1}^{J}\lambda \_{j}p\_{ji},i=1,\ldots ,J.\qquad (1)}

{\displaystyle \lambda _{i}=\alpha p_{0i}+\sum _{j=1}^{J}\lambda _{j}p_{ji},i=1,\ldots ,J.\qquad (1)}（因为每个节点的利用率均小于1，且我们观察的是均衡分布，即长时间运行的平均行为，任务从j转移到i速率的界不超过j到达率的一部分，我们由此忽略上式中的服务率{\displaystyle \mu \_{j}}。）{\displaystyle }

定义 {\displaystyle a=(\alpha p\_{0i})\_{i=1}^{J}}，我们就可以解出{\displaystyle \lambda =(I-P^{T})^{-1}a}。

所有任务在后续泊松过程中会离开其节点，节点i处有x\_{i}个任务，定义其服务率为{\displaystyle \mu \_{i}(x\_{i})}。

令{\displaystyle X\_{i}(t)}表示节点i在时间t的任务数，{\displaystyle \mathbf {X} =(X\_{i})\_{i=1}^{J}}。\mathbf{X}的均衡分布，{\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=P(\mathbf {X} =\mathbf {x} )}由如下系统平衡方程给出：

{\displaystyle {\begin{aligned}&\pi (\mathbf {x} )\sum \_{i=1}^{J}[\alpha p\_{0i}+\mu \_{i}(x\_{i})(1-p\_{ii})]\\={}&\sum \_{i=1}^{J}[\pi (\mathbf {x} -\mathbf {e} \_{i})\alpha p\_{0i}+\pi (\mathbf {x} +\mathbf {e} \_{i})\mu \_{i}(x\_{i}+1)p\_{i0}]+\sum \_{i=1}^{J}\sum \_{j\neq i}\pi (\mathbf {x} +\mathbf {e} \_{i}-\mathbf {e} \_{j})\mu \_{i}(x\_{i}+1)p\_{ij}.\qquad (2)\end{aligned}}}
其中\mathbf{e}\_i表示第i个单位向量.。

### 定理

设独立随机向量{\displaystyle (Y\_{1},\ldots ,Y\_{J})}，每个{\displaystyle Y\_{i}}都有概率质量函数：

{\displaystyle P(Y\_{i}=n)=p(Y\_{i}=0)\cdot {\frac {\lambda \_{i}^{n}}{M\_{i}(n)}},\quad (3)}
其中{\displaystyle M\_{i}(n)=\prod \_{j=1}^{n}\mu \_{i}(j)}。当{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda \_{i}^{n}}{M\_{i}(n)}}<\infty }即{\displaystyle P(Y\_{i}=0)=\left(1+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda \_{i}^{n}}{M\_{i}(n)}}\right)^{-1}}是良定义的，开放杰克逊网络的平衡分布有如下的积形式：

{\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=\prod \_{i=1}^{J}P(Y\_{i}=x\_{i}).}
对所有的{\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {Z}}\_{+}^{J}}。

### 例

三节点的开放杰克逊网络
设图中有一三节点的杰克逊网络，系数分别是：

{\displaystyle \alpha =5,\quad p\_{01}=p\_{02}=0.5,\quad p\_{03}=0,\quad }
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0.5&0.5\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\quad \mu ={\begin{bmatrix}\mu \_{1}(x\_{1})\\\mu \_{2}(x\_{2})\\\mu \_{3}(x\_{3})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}15\\12\\10\end{bmatrix}}{\text{ for all }}x\_{i}>0}
通过定理，可以计算：

{\displaystyle \lambda =(I-P^{T})^{-1}a={\begin{bmatrix}1&0&0\\-0.5&1&0\\-0.5&0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0.5\times 5\\0.5\times 5\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0.5&1&0\\0.5&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2.5\\2.5\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2.5\\3.75\\1.25\end{bmatrix}}}
根据\mathbf{Y}的定义，有：

{\displaystyle P(Y\_{1}=0)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {2.5}{15}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {5}{6}}}
{\displaystyle P(Y\_{2}=0)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {3.75}{12}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {11}{16}}}
{\displaystyle P(Y\_{3}=0)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1.25}{10}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {7}{8}}}
因此，每个节点处有一个服务的概率是：

{\displaystyle \pi (1,1,1)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {2.5}{15}}\cdot {\frac {11}{16}}\cdot {\frac {3.75}{12}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {1.25}{10}}\approx 0.00326}
由于这里的服务率是状态无关的，{\displaystyle Y\_{i}}各项服从简单的几何分布。

杰克逊网络的推广
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**推广的杰克逊网络**允许更新到达过程（英语：）不一定是一个泊松过程，也允许服务时间是独立且同种的非指数分布。一般地，网络不一定要有积形式稳定解（英语：），因此需要找近似解

### 布朗近似

在一些平和的条件下，开放的推广杰克逊网络的队长过程{\displaystyle }Q(t){\displaystyle }可以用反射布朗运动（英语：）近似，定义为{\displaystyle RBM\_{Q(0)}(\theta ,\Gamma ;R)}，其中\theta 是过程的漂移（），\Gamma 是协方差矩阵，R是反射矩阵。这一二阶近似是从均质流体（）的推广杰克逊网络和反射布朗运动间的关系得到的。

反射布朗过程的参数如下所述：

{\displaystyle \theta =\alpha -(I-P^{T})\mu }
{\displaystyle \Gamma =(\Gamma \_{kl})}有{\displaystyle \Gamma \_{kl}=\sum \_{j=1}^{J}(\lambda \_{j}\wedge \mu \_{j})[p\_{jk}(\delta \_{kl}-p\_{jl})+c\_{j}^{2}(p\_{jk}-\delta \_{jk})(p\_{jl}-\delta \_{jl})]+\alpha \_{k}c\_{0,k}^{2}\delta \_{kl}}
{\displaystyle R=I-P^{T}}
其中符号的定义：

近似公式中符号的定义| 符号 | 含义 |
| --- | --- |
| {\displaystyle \alpha =(\alpha \_{j})\_{j=1}^{J}} | J维向量，每个节点的到达率 |
| {\displaystyle \mu =(\mu )\_{j=1}^{J}} | J维向量，每个节点的服务率 |
| P | 转移矩阵 |
| {\displaystyle \lambda \_{j}} | 第j个节点的有效到达 |
| {\displaystyle c\_{j}} | 第j个节点服务时间的变异系数 |
| {\displaystyle c\_{0,j}} | 第j个节点服务台间转移到达时间的变异系数 |
| {\displaystyle \delta \_{ij}} | 反映节点间关系的系数
它们是这样定义的：令A(t)为系统的到达过程，则在分布中有{\displaystyle A(t)-\alpha t{}\approx {\hat {A}}(t)}，其中{\displaystyle {\hat {A}}(t)}是一个无漂移（）的布朗过程，其协方差矩阵为{\displaystyle \Gamma ^{0}=(\Gamma \_{ij}^{0})}，满足对所有的{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,J\}}都有{\displaystyle \Gamma \_{ij}^{0}=\alpha \_{i}c\_{0,i}^{2}\delta \_{ij}}。
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参见
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* Gordon–Newell网络
* BCMP网络
* G-网络
* Little法则

参考文献
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4. ↑  Jackson, James R.. Management Science. Oct 1963, **10** (1): 131–142. JSTOR 2627213. doi:10.1287/mnsc.1040.0268.  A version from January 1963 is available at  （页面存档备份，存于）
5. ↑  Jackson, J. R.. Operations Research. 1957, **5** (4): 518–521. JSTOR 167249. doi:10.1287/opre.5.4.518.
6. ↑  Jackson, James R.. Management Science. December 2004, **50** (12): 1796–1802. JSTOR 30046149. doi:10.1287/mnsc.1040.0268.
7. ↑  Reich, Edgar.. Annals of Mathematical Statistics. September 1957, **28** (3): 768. JSTOR 2237237. doi:10.1214/aoms/1177706889.
8. ↑  Walrand, Jean.. IEEE Transactions on Information Theory. November 1983, **29** (6): 825. doi:10.1109/TIT.1983.1056762.
9. ↑  Jackson, R. R. P.. IMA Journal of Management Mathematics. 1995, **6** (4): 382–384. doi:10.1093/imaman/6.4.382.
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13. ↑  Chen, Hong; Yao, David D.. Springer. 2001. ISBN 0-387-95166-0.