傅科擺
鐘擺原理
**擺**是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型
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### 小角度簡單擺

若最高處（ v=0 ）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的角度為 \theta ，符合：  

* {\displaystyle \theta \leq 5^{\circ }}

則可使用下列公式算出它的振動週期。

#### 週期公式

* {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}（ L 為擺長； g 為當地重力加速度）

一擺長為 1 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 {\displaystyle T\approx 2.0s}，這種單擺稱之為秒擺。

#### 公式證明

一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 v=0 )，繩和鉛直線有夾角 \theta ，繩長為 L，相對於平衡點的位移為 x

此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 {\displaystyle -g\sin \theta } ）

* 繩子之拉力大小 F
* 重力大小 F\_{{g}}=mg

繩子的拉力 F 有分力

* F\cos \theta =mg
* F\sin \theta =kx

\because {\underset {\theta \to 0}{{\mathop {\lim }}}}\,\cos \theta =1  

\therefore F\approx m\_{G}g  

F\sin {\theta }=m\_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx  

解得 k={\frac {m\_{G}g}{L}}

代入 T=2\pi {\sqrt {{\frac {m\_{I}}{k}}}}

得到 T=2\pi {\sqrt {{\frac {m\_{I}L}{m\_{G}g}}}}

根據廣義相對論可知，m\_{I}=m\_{G}\,

故 T=2\pi {\sqrt {{\frac {L}{g}}}}

### 單擺

sin θ 取為θ的誤差。
  「**单摆**」至此。
取 L 為繩的長度， \theta  為繩和垂直平面的線的交角，\theta \_{0} 為 \theta  的最大值，m 為錘的質量，{\ddot {\theta }} 表示角度加速度 \alpha ={\frac {{{\rm {{d}}}}^{2}\theta }{{{\rm {{d}}}}t^{2}}} 。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

* 錘速率最高是在 \theta =0 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。
* 運動方程為：

{\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta }
注意到不論*θ*的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當 \theta  相當小的時候，\sin \theta \approx \theta ，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 T=2\pi {\sqrt {{\frac {L}{g}}}}。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程： 

{{{\rm {{d}}}}t \over {{\rm {{d}}}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {{\rm {{g}}}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta \_{0}}}}
T=\theta \_{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta \_{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta \_{0}=4\left(\theta \_{0}\rightarrow 0\right)
T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {{\rm {{g}}}}}}\int \_{0}^{{\theta \_{0}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta \_{0}}}}\,{{\rm {{d}}}}\theta 
將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

T=4{\sqrt {L \over {{\rm {{g}}}}}}F\left({\sin {\theta \_{0} \over 2}},{\pi \over 2}\right)
其中F(k,\phi )=\int \_{0}^{{\phi }}{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{{\rm {{d}}}}\theta .

週期可以用級數表示成：

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta \_{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta \_{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta \_{0}}{2}}+\cdots \right]}
{\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta \_{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta \_{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta \_{0}}{2}}\right)\right]}
### 衝擊擺

衝擊擺是來用計算子弹速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恒，擺運動時能量守恒。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子弹產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將子弹射向停止的錘，使錘和子弹合在一起擺動。設錘質量為m\_{p}\,，子弹質量和初速度分別為m\_{b}\,和*v*，錘和子弹碰撞後的速度為*u*。

以下是子弹速度的計算方法：

由動量守恒定律，

m\_{b}\times v+m\_{p}\times 0=(m\_{b}+m\_{p})\times u
由能量守恒定律，

{\frac {1}{2}}(m\_{b}+m\_{p})u^{2}=(m\_{b}+m\_{p})gh
解得 v={\frac {(m\_{b}+m\_{p}){\sqrt {2gh}}}{m\_{b}}}。

### 倒單擺

条目：倒單擺
和台車和倒單擺組成的系統和台車和倒單擺組成的系統
倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。

最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。

另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。

倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。

### 圆錐擺

参见：圆锥摆

  

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

### 複擺（物理擺/compound pendulum)

  「**复摆**」至此。
當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}

### 雙擺(complex pendulum/double pendulum)

参见：双摆
雙擺系統的一例
雙擺系統是混沌的。

### 磁性擺

和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

應用
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### 傅科擺

条目：傅科擺
傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

### 鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

* 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變 （页面存档备份，存于）
* Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
* 以木製擺 （页面存档备份，存于）
* Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

參考
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|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**擺** |

* Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
* The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005

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