二维拋物線坐標系，其中綠色坐标曲线与紅色坐标曲线正交。
在數學裏，一個**正交坐標系**定義為一組正交坐標{\mathbf {q}}=(q\_{1},\ q\_{2},\ q\_{3},\ \dots \ q\_{n})，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標q\_i的等值曲面，即q\_i為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標(x,\ y,\ z)是一種正交坐標系，它的x為常數，y為常數，z為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

动机
--

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子H\_{2}\,^{-}的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的n維問題變為n個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离。

概述
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共形映射作用于矩形网格。注意，弯曲的网格的正交性被保留。
正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方ds^{2}，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

ds^{{2}}=\sum \_{{i=1}}^{{n}}\left(h\_{{i}}dq\_{{i}}\right)^{{2}}；
其中，n是維數，標度因子h\_{i}是度規張量的對角元素g\_{{ii}}的平方根：

h\_{{i}}({\mathbf {q}})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\sqrt {g\_{{ii}}({\mathbf {q}})}}。
這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系(x,\ y)的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數z=x+iy的任何全純函數w=f(z)，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為w=u+iv，則u與v的等值曲線以直角相交，就如同原本的x與y的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线（英语：）而得到。

向量代数
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在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}=\sum \_{{i=1}}^{{n}}A\_{{i}}B\_{{i}}。

向量微積分
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從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標q\_{{i}}的無窮小改變dq\_{{i}}，其相伴的長度是ds\_{{i}}=h\_{{i}}dq\_{{i}}。因此，一個位移向量的全微分d{\mathbf {r}}等於

d{\mathbf {r}}=\sum \_{{i=1}}^{{n}}h\_{{i}}dq\_{{i}}{\mathbf {e}}\_{{i}}；
其中，{\mathbf {e}}\_{{i}}是垂直於q\_{{i}}等值曲面的單位向量，指向著q\_{{i}}增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量\mathbf {F} 沿著周線\mathbb {C} 的線積分等於

\int \_{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {r}}=\sum \_{{i=1}}^{{n}}\int \_{{{\mathbb {C}}}}F\_{{i}}h\_{{i}}dq\_{{i}}；
其中，F\_{{i}}是向量\mathbf {F} 在單位向量{\mathbf {e}}\_{{i}}方向的分量：

F\_{{i}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\mathbf {e}}\_{{i}}\cdot {\mathbf {F}}。
類似地，一個無窮小面積元素是

dA=ds\_{{i}}ds\_{{j}}=h\_{{i}}h\_{{j}}dq\_{{i}}dq\_{{j}},\qquad i\neq j，
一個無窮小體積元素是

dV=ds\_{{i}}ds\_{{j}}ds\_{{k}}=h\_{{i}}h\_{{j}}h\_{{k}}dq\_{{i}}dq\_{{j}}dq\_{{k}},\qquad i\neq j\neq k。
例如，向量\mathbf {F} 對於一個曲面\mathbb {S} 的曲面積分是

\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {A}}=\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{{1}}h\_{{2}}h\_{{3}}dq\_{{2}}dq\_{{3}}+\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{{2}}h\_{{3}}h\_{{1}}dq\_{{3}}dq\_{{1}}+\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{{3}}h\_{{1}}h\_{{2}}dq\_{{1}}dq\_{{2}}。
### 球坐標系實例

直角坐標(x,\ y,\ z)與球坐標(r,\ \theta ,\phi )的變換方程式為

x=r\sin \theta \cos \phi 、
y=r\sin \theta \sin \phi 、
z=r\cos \theta 。
直角坐標的全微分是

dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi 、
dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi 、
dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta 。
所以，無窮小距離的平方是

{\begin{aligned}ds^{{2}}&=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}}\\&=dr^{{2}}+(rd\theta )^{{2}}+(r\sin \theta d\phi )^{{2}}\\\end{aligned}} 。
標度因子是

h\_{r}=1、
h\_{{\theta }}=r、
h\_{{\phi }}=r\sin \theta 。
向量\mathbf {F} 沿著周線\mathbb {C} 的線積分等於

\int \_{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {r}}=\int \_{{{\mathbb {C}}}}F\_{{r}}\ dr+F\_{{\theta }}\ rd\theta +F\_{{\phi }}\ r\sin \theta d\phi 。
向量\mathbf {F} 對於一個曲面\mathbb {S} 的曲面積分是

\int \_{{{\mathbb {S}}}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {A}}=\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{{\theta }}\ r\sin \theta drd\phi +\int \_{{{\mathbb {S}}}}F\_{{\phi }}\ rdrd\theta 。

三維微分算子
------

条目：向量分析和Nabla算子

| 算子 | 正交坐標公式 |
| --- | --- |
| 标量场的梯度 | \nabla \Phi ={\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}{\frac {1}{h\_{{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{1}}}}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}{\frac {1}{h\_{{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{2}}}}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}{\frac {1}{h\_{{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{3}}}} |
| 向量场的散度 | \nabla \cdot {\mathbf {F}}={\frac {1}{h\_{{1}}h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}(F\_{1}h\_{2}h\_{3})+{\frac {\partial }{\partial q\_{2}}}(F\_{2}h\_{3}h\_{1})+{\frac {\partial }{\partial q\_{3}}}(F\_{3}h\_{1}h\_{2})\right] |
| 向量场的旋度 | {\begin{aligned}\nabla \times {\mathbf {F}}&={\frac {{\mathbf {e}}\_{{1}}}{h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left(h\_{{3}}F\_{{3}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left(h\_{{2}}F\_{{2}}\right)\right]+{\frac {{\mathbf {e}}\_{{2}}}{h\_{{3}}h\_{{1}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left(h\_{{1}}F\_{{1}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left(h\_{{3}}F\_{{3}}\right)\right]\\&+{\frac {{\mathbf {e}}\_{{3}}}{h\_{{1}}h\_{{2}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left(h\_{{2}}F\_{{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left(h\_{{1}}F\_{{1}}\right)\right]\\\end{aligned}} |
| 标量场的拉普拉斯算子 | \nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{h\_{{1}}h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left({\frac {h\_{{2}}h\_{{3}}}{h\_{{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{1}}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left({\frac {h\_{{3}}h\_{{1}}}{h\_{{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{2}}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left({\frac {h\_{{1}}h\_{{2}}}{h\_{{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{3}}}}\right)\right] |

上面表达式可以使用列維-奇維塔符號\epsilon 的更简洁形式书写，定义{\displaystyle H=h\_{1}h\_{2}h\_{3}}，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:

| 算子 | 表达式 |
| --- | --- |
| 标量场的梯度 | {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}\_{k}}{h\_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}} |
| 向量场的散度 | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h\_{k}}}F\_{k}\right)} |
| 向量场（只3D）的旋度 | {\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\_{k}={\frac {h\_{k}{\hat {\mathbf {e} }}\_{k}}{H}}\epsilon \_{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h\_{j}F\_{j}\right)} |
| 标量场的拉普拉斯算子 | {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h\_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)} |

正交坐标系表格
-------

除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。

| 曲线坐标 (q1, q2, q3) | 从直角坐标(x, y, z)转换 | 缩放因子 |
| --- | --- | --- |
| 球极坐标系
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=1\\h\_{2}&=r\\h\_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}} |
| 圆柱坐标系
{\displaystyle (\rho ,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \phi \\y&=\rho \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{3}=1\\h\_{2}&=\rho \end{aligned}}} |
| 抛物柱面坐标系
{\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| 抛物线坐标系
{\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h\_{3}&=uv\end{aligned}}} |
| 椭圆柱坐标系
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| 长球面坐标系
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h\_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} |
| 扁球面坐标系
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h\_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} |
| 双极圆柱坐标系
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&=1\end{aligned}}} |
| 圆环坐标系
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} |
| 双球坐标系
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=h\_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h\_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} |
| 圆锥坐标系
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}h\_{1}&=1\\h\_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h\_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}} |
| 抛物面坐标系
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}} | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{q\_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q\_{i}-b^{2}}}=2z+q\_{i}}
其中 
{\displaystyle (q\_{1},q\_{2},q\_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )} | {\displaystyle h\_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q\_{j}-q\_{i})(q\_{k}-q\_{i})}{(a^{2}-q\_{i})(b^{2}-q\_{i})}}}} |
| 椭球坐标系
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}} | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q\_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q\_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q\_{i}}}=1}
其中 
{\displaystyle (q\_{1},q\_{2},q\_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )} | {\displaystyle h\_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q\_{j}-q\_{i})(q\_{k}-q\_{i})}{(a^{2}-q\_{i})(b^{2}-q\_{i})(c^{2}-q\_{i})}}}} |
|

微分算子导引
------

### 梯度導引

一個函數\phi 的梯度朝某個方向{\hat {{\mathbf {n}}}}的分量，等於方向導數 {\frac {d\phi }{ds}}朝{\hat {{\mathbf {n}}}}方向的值：

\nabla \Phi \cdot {\hat {{\mathbf {n}}}}={\frac {d\phi }{ds}}；
其中，ds是朝{\hat {{\mathbf {n}}}}方向的無窮小位移。

假若，這{\hat {{\mathbf {n}}}}與正交坐標軸\hat{\mathbf{e}}\_i同方向。那麼，ds=h\_{i}dq\_{i}。所以，函數\phi 的梯度朝\hat{\mathbf{e}}\_i的分量是{\frac {\partial \phi }{h\_{i}\partial q\_{i}}}；也就是說，

\nabla \Phi ={\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}{\frac {1}{h\_{{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{1}}}}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}{\frac {1}{h\_{{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{2}}}}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}{\frac {1}{h\_{{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{3}}}}。
### 散度導引

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=\nabla \cdot ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}F\_{1}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}F\_{2}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}F\_{3})。
取右手邊第一個項目，

\nabla \cdot ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}F\_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\right)\left(h\_{2}h\_{3}F\_{1}\right)\right]。
應用向量恆等式\nabla \cdot ({\mathbf {A}}\phi )=\phi \nabla \cdot {\mathbf {A}}+{\mathbf {A}}\cdot (\nabla \phi )與\nabla \cdot (\nabla \phi \_{1}\times \nabla \phi \_{2})=0，可以得到

{\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}F\_{1})&=(h\_{2}h\_{3}F\_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\right)\cdot \nabla (h\_{2}h\_{3}F\_{1})\\&=(h\_{2}h\_{3}F\_{1})\nabla \cdot [(\nabla q\_{2})\times \nabla (q\_{3})]+\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\right)\cdot \nabla (h\_{2}h\_{3}F\_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{2}h\_{3}}}\right)\cdot \nabla (h\_{2}h\_{3}F\_{1})\\&={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}(F\_{1}h\_{2}h\_{3})\\\end{aligned}} 。
總合所有項目，

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\frac {1}{h\_{{1}}h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{1}}}(F\_{1}h\_{2}h\_{3})+{\frac {\partial }{\partial q\_{2}}}(F\_{2}h\_{3}h\_{1})+{\frac {\partial }{\partial q\_{3}}}(F\_{3}h\_{1}h\_{2})\right]。

  

### 旋度導引

\nabla \times {\mathbf {F}}=\nabla \times ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}F\_{1}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}F\_{2}+{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}F\_{3})。
取右手邊第一個項目，

\nabla \times ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}F\_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{1}}}\right)\left(h\_{1}F\_{1}\right)\right]。
應用向量恆等式\nabla \times ({\mathbf {A}}\phi )=\phi \nabla \times {\mathbf {A}}-{\mathbf {A}}\times (\nabla \phi )，

{\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}F\_{1})&=(h\_{1}F\_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{1}}}\right)\times \nabla (h\_{1}F\_{1})\\&=(h\_{1}F\_{1})\nabla \times (\nabla q\_{1})-\left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{1}}{h\_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}}{h\_{{2}}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}(h\_{1}F\_{1})+{\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}}{h\_{{3}}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}(h\_{1}F\_{1})\right)\\\end{aligned}}。
應用向量恆等式\nabla \times (\nabla \phi )=0，

\nabla \times ({\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{1}}F\_{1})={\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{2}}}{h\_{1}h\_{{3}}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}(h\_{1}F\_{1})-{\frac {{\hat {{\mathbf {e}}}}\_{{3}}}{h\_{1}h\_{{2}}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}(h\_{1}F\_{1})。
總合所有項目，

{\begin{aligned}\nabla \times {\mathbf {F}}&={\frac {{\mathbf {e}}\_{{1}}}{h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left(h\_{{3}}F\_{{3}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left(h\_{{2}}F\_{{2}}\right)\right]+{\frac {{\mathbf {e}}\_{{2}}}{h\_{{3}}h\_{{1}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left(h\_{{1}}F\_{{1}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left(h\_{{3}}F\_{{3}}\right)\right]\\&+{\frac {{\mathbf {e}}\_{{3}}}{h\_{{1}}h\_{{2}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left(h\_{{2}}F\_{{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left(h\_{{1}}F\_{{1}}\right)\right]\\\end{aligned}} 。
### 拉普拉斯算子

\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{h\_{{1}}h\_{{2}}h\_{{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q\_{{1}}}}\left({\frac {h\_{{2}}h\_{{3}}}{h\_{{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{1}}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{{2}}}}\left({\frac {h\_{{3}}h\_{{1}}}{h\_{{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{2}}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q\_{{3}}}}\left({\frac {h\_{{1}}h\_{{2}}}{h\_{{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q\_{{3}}}}\right)\right]。

引用
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1. ↑  Eric W. Weisstein.. MathWorld.  [10 July 2008]. （原始内容存档于2014-11-12）.
2. ↑  Morse and Feshbach 1953，Volume 1, pp. 494-523, 655-666. harvnb error: no target: CITEREFMorse\_and\_Feshbach1953 (help)
3. ↑  Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

参见
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* 坐标系
* 曲线坐标系
* 斜交坐标系（度規張量有非對角項目）
* 在圆柱和球坐标系中的del

參考文獻
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* Korn GA and Korn TM. (1961) *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*, McGraw-Hill, pp. 164-182。

* Morse PM and Feshbach H. (1953) *Methods of Theoretical Physics*, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

* Margenau H. and Murphy GM. (1956) *The Mathematics of Physics and Chemistry*, 2nd. ed. Van Nostrand, pp. 172-192。

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| * 
* 论
* 编
正交坐标系 |
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| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

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|  |
| 三维正交坐标系 | 
* 直角坐标系
* 圆柱坐标系
* 球坐标系
* 旋转拋物线坐标系
* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

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