以古氏積木演示完全數6
**完全数**（），又稱**完美數**或**完備數**，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，{\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，{\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現
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古希腊数学家欧几里得是通过2^{{n-1}}\times (2^{n}-1)
的表达式发现前四个完全数的。 

当{\displaystyle n=2:}{\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}
当{\displaystyle n=3:}{\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}
当{\displaystyle n=5:}{\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}
当{\displaystyle n=7:}{\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}
一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2^{{n-1}}(2^{n}-1)，其中2^{n}-1是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^{n}-1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素数。 

首十個完全數是（OEIS A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史
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古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 {\displaystyle n=11} 的时候，可是 2^{{11}}-1=23\times 89 并不是素数。因此 {\displaystyle n=11} 不是完全数。另外两个**错误假设**是：

* 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
* 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 33550336=2^{{12}}(2^{{13}}-1) 是 8 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 6 结尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数 {\displaystyle 8589869056}，仍是以 6 结尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 和 8 结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為 {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 共有 {\displaystyle 49724095} 位數。

性质
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以下是目前已發現的完全數共有的性質。

* 偶完全数都是以6或28结尾。
* 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。[原創研究？][查证请求][來源請求]而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
* 在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。[原創研究？][查证请求][來源請求]而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。
* 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1：

```
{\displaystyle 28} → {\displaystyle 2+8=10} → {\displaystyle 1+0=1}
{\displaystyle 496} → {\displaystyle 4+9+6=19} → {\displaystyle 1+9=10} → {\displaystyle 1+0=1}
```

* 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从2^{{p-1}}到2^{{2p-2}}：

```
6=2^{1}+2^{2}
28=2^{2}+2^{3}+2^{4}
496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}
8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{{12}}
```

* 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

```
{\displaystyle 6=1+2+3}
{\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}
{\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}
{\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}
```

* 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有{\sqrt {2^{{p-1}}}})：

```
28=1^{3}+3^{3}
496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}
8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}
{\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}
```

* 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

```
{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}
{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}
```

* 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如2^{{n-1}}(2^{n}-1)）

```
(6)\_{{10}}=(110)\_{2}
(28)\_{{10}}=(11100)\_{2}
(496)\_{{10}}=(111110000)\_{2}
(8128)\_{{10}}=(1111111000000)\_{2}
(33550336)\_{{10}}=(1111111111111000000000000)\_{2}
(8589869056)\_{{10}}=(111111111111111110000000000000000)\_{2}
{\displaystyle (137438691328)\_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)\_{2}}
```

奇完全數
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|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | **未解決的數學問題：**奇完全數存在嗎？ |  |

用计算机已经证实：在101500以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

### 奇完全数的部分条件

* *N* > 101500
* *N*是以下形式：

N=q^{{\alpha }}p\_{1}^{{2e\_{1}}}\ldots p\_{k}^{{2e\_{k}}},
其中：
* *q*，*p*1，…，*p**k*是不同的素数（Euler）。
* *q* ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
* *N*的最小素因子必须小于{\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}。
* e\_{1}≡e\_{2}...≡e\_{k} ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
* 要么*q*α > 1062，要么对于某个*j*有p\_{j}^{{2e\_{j}}} > 1062。
* {\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}

* *N*必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。
* *N*不能被105整除。
* *N*的最大素因子必须大于108，并低于 {\displaystyle (3N)^{1/3}}。。
* *N*的第二大素因子必须大于104，并低于{\displaystyle (2N)^{1/5}}。 。
* *N*的第三大素因子必须大于100。
* *N*至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。

* 如果对于所有的*i*，都有e\_i ≤ 2，那么：
	+ *N*的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
	+ α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

### 圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如12m+1或36q+9。最初的證明在1953年由雅克·圖查德（英语：）首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

* 歐拉證明了奇完全數的形式必如4j+1。
* \sigma (n)表示n的正因數之和。完全數的定義即為2n=\sigma (n)。  
\sigma (n)為積性函數
* 引理（甲）：若n=6k-1（k是正整數），則n非完全數。
* 引理（乙）：若{\displaystyle n=4k-1}（k是正整數），則n非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設n為完全數，且n\equiv -1{\pmod {6}}。

n\equiv -1{\pmod {3}}。因為3的二次剩餘只有0,1，故n非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n有正因數d，則可得：

d\equiv 1{\pmod {3}}且n/d\equiv -1{\pmod {3}}；或
d\equiv -1{\pmod {3}}且n/d\equiv 1{\pmod {3}}。
因此，(n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}。故\sigma (n)=\sum \_{{d<{\sqrt {n}}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}。

但2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}，矛盾。

故n的形式只可能為6k+1或6k+3。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設n為完全數，且{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}。

{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}。因為4的二次剩餘只有0,1，故n非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n有正因數d，則可得：

{\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}且{\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}}；或
{\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}}且{\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}}。
因此，{\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}}。故{\displaystyle \sigma (n)=\sum \_{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}。

但{\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}，矛盾。

故n的形式只可能為4k+1。

  

若n=6k+1，根據歐拉的結果，n=4j+1，綜合兩者，得n=12m+1。

若n=6k+3，n=4j+1，得n=12m+9=3(4m+3)。若m非3的倍數，3和4m+3互質。

因為\sigma (n)為積性函數，可得\sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}。

但2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}，出現了矛盾。故知m是3的倍數。代入m=3q，可得n=36q+9。

參考
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* Odd Perfect Numbers（页面存档备份，存于）, Gagan Tara Nanda

註釋
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1. ↑  亦即，除了6以外的偶完全数，被9除都餘1。
2. ↑  亦即，每個偶完全數都是三角形數。
3. ↑  這是因為{\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)}。

參考資料
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5. 1 2  Dickson, L. E.. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25.
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20. ↑  [永久]

參見
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* 高合成數
* 婚約數
* 親和數
* 盈數
* 虧數
* 梅森素数
* 半完全數
* 佩服數
* 超完全數
* 梅森素数与完全数集合
* 笛卡爾數

外部链接
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（页面存档备份，存于）
* Perfect numbers – History and Theory（页面存档备份，存于）
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Sloane, N.J.A. (编).. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
* OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
* Great Internet Mersenne Prime Search[永久]
* Perfect Numbers（页面存档备份，存于）, math forum at Drexel.
* Grimes, James.. Numberphile. Brady Haran.  [2015-01-10]. （原始内容存档于2013-05-31）.

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