此条目的主題是小於等於*n*的正整數中與*n*互質的數的數目。形式為{\displaystyle \phi (q)=\prod \_{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}的函數，請見「**歐拉函數 (複變函數)**」。
当*n*为1至1000的整数时{\displaystyle \varphi (n)}的值
在數論中，對正整數*n*，**歐拉函數**{\displaystyle \varphi (n)}是小於等於*n*的正整數中與*n*互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為**φ函數**（由高斯所命名）或是**歐拉總計函數**（totient function，由西爾維斯特所命名）。

例如{\displaystyle \varphi \left(8\right)=4}，因為1、3、5和7均與8互質。

欧拉函数实际上是模*n*的同余类所构成的乘法群（即环{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

歷史：欧拉函數與費馬小定理
-------------

1736年，欧拉證明了费马小定理：

假若 {\displaystyle p} 為質數，{\displaystyle a} 為任意正整數，那麼 {\displaystyle a^{p}-a} 可被 {\displaystyle p} 整除。
然後欧拉予以一般化：

假若 {\displaystyle a} 與 {\displaystyle n} 互質，那麼 {\displaystyle a^{\varphi (n)}-1} 可被 {\displaystyle n} 整除。亦即，{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}。
其中 {\displaystyle \varphi (n)} 即為歐拉總計函數。如果 {\displaystyle n} 為質數，那麼 {\displaystyle \varphi (n)=n-1}，因此，有高斯的版本：

假若 {\displaystyle p} 為質數，{\displaystyle a} 與 {\displaystyle p} 互質（{\displaystyle a} 不是 {\displaystyle p} 的倍數），那麼 {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}。

欧拉函數的值
------

以下為{\displaystyle n} 為{\displaystyle 1}至{\displaystyle 100}時，對應{\displaystyle \varphi (n)} 的值

*φ*(*n*) for 1 ≤ *n* ≤ 100| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 |
| 10 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 | 8 |
| 20 | 12 | 10 | 22 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 | 8 |
| 30 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 | 16 |
| 40 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 | 20 |
| 50 | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 | 16 |
| 60 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 | 24 |
| 70 | 70 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 | 32 |
| 80 | 54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 | 24 |
| 90 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 | 40 |

若{\displaystyle n}有標準分解{\displaystyle p\_{1}^{k\_{1}}p\_{2}^{k\_{2}}\cdots p\_{r}^{k\_{r}}}（其中各{\displaystyle p\_{i}}為互異的質因子，各{\displaystyle k\_{i}\geq 1}為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為

{\displaystyle \varphi (n)=p\_{1}^{k\_{1}-1}p\_{2}^{k\_{2}-1}\cdots p\_{r}^{k\_{r}-1}(p\_{1}-1)(p\_{2}-1)\cdots (p\_{r}-1),}
亦可等價地寫成

{\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p\_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right).}
此結果可由{\displaystyle \varphi }在質數冪處的取值，以及其**積性**得到。

### 質數冪處取值

最簡單的情況有{\displaystyle \varphi (1)=1}（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。

一般地，若*n*是質數*p*的*k*次冪，則{\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}}，因為除了*p*的倍數外，其他數都跟*n*互質。

### 積性

歐拉函數是積性函數，即是说若*m*,*n*互質，則{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設*A*, *B*, *C*是跟*m*, *n*, *mn*互質的數的集，據中國剩餘定理，{\displaystyle A\times B}和{\displaystyle C}可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。

較詳細的證明如下：

設{\displaystyle N<mn}，且{\displaystyle N=k\_{1}m+p=k\_{2}n+q}。若{\displaystyle N}與{\displaystyle mn}互質，則{\displaystyle N}與{\displaystyle m}、{\displaystyle n}均互質。又因為{\displaystyle (k\_{1}m+p,m)=(p,m),(k\_{2}n+q,n)=(q,n)}，若{\displaystyle p,q}分別與{\displaystyle m,n}互質，則{\displaystyle N}一定和{\displaystyle mn}互質。反之亦然，即若{\displaystyle N}與{\displaystyle mn}互質，則亦有{\displaystyle p,q}分別與{\displaystyle m,n}互質。

由中國剩餘定理，方程組

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.}
的通解可以寫成{\displaystyle N=kmn+pt\_{1}m+qt\_{2}n\ (k\in \mathbb {Z} ),} 其中{\displaystyle t\_{1},t\_{2}}為固定的整數，故二元組{\displaystyle (p,q)}（要滿足{\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1}）與小於{\displaystyle mn}且與{\displaystyle mn}互質的正整數{\displaystyle N}一一對應。

由{\displaystyle \varphi }的定義（和乘法原理），前一種數對{\displaystyle (p,q)}的個數為{\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)}。而後一種數{\displaystyle N}的個數為{\displaystyle \varphi (mn)}。

所以，{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).}

### 公式的證明

結合以上兩小節的結果可得：若{\displaystyle n}有質因數分解式{\displaystyle n=p\_{1}^{k\_{1}}p\_{2}^{k\_{2}}\cdots p\_{r}^{k\_{r}}}，則

-{zh-hant:
{\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{k\_{i}}\right)\\&=\prod \_{i=1}^{r}\varphi \left(p\_{i}^{k\_{i}}\right)&{\text{（ 積 性 ）}}\\&=\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{k\_{i}-1}(p\_{i}-1)&{\text{（ 質 數 冪 處 取 值 ）}}\\&=n\prod \_{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p\_{i}}}\right).\end{aligned}}};
zh-hans:
{\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{k\_{i}}\right)\\&=\prod \_{i=1}^{r}\varphi \left(p\_{i}^{k\_{i}}\right)&{\text{（ 积 性 ）}}\\&=\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{k\_{i}-1}(p\_{i}-1)&{\text{（ 质 数 幂 处 取 值 ）}}\\&=n\prod \_{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p\_{i}}}\right).\end{aligned}}};
}-

### 例子

計算{\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}}的歐拉函數值：

{\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.}

性质
--

*n*的欧拉函数{\displaystyle \varphi (n)} 也是循环群 *C**n* 的生成元的个数（也是*n*阶分圆多项式的次数）。*C**n* 中每个元素都能生成 *C**n* 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， *C**n* 的所有子群都具有 *C**d* 的形式，其中*d*整除*n*（记作*d* | *n*）。因此只要考察*n*的所有因数*d*，将 *C**d* 的生成元个数相加，就将得到 *C**n* 的元素总个数：*n*。也就是说：

{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\varphi (d)=n}
其中的*d*为*n*的正约数。

运用默比乌斯反转公式来"翻转"这个和，就可以得到另一个关于{\displaystyle \varphi (n)}的公式：

{\displaystyle \varphi (n)=\sum \_{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}
其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數*a*, *m*（即 gcd(*a*,*m*) = 1），{\displaystyle m\geq 2}，有

{\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}
即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与*m*互质的*a*都属于环 {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的单位元组成的乘法群{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}

當*m*是質數*p*時，此式則為：

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
即費馬小定理。

歐拉商數
----

**歐拉商數**（totient number）指的是歐拉函數的值，也就是說，若m是一個歐拉商數，那至少存在一個n，使得*φ*(*n*) = *m*。而歐拉商數m的「重複度」（valency或multiplicity），指的是這等式的解數。相對地，一個**非歐拉商數**指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數，此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數，且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。

不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

{\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}
其中*C* = 0.8178146...。

考慮重複度，那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

{\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}
其中對任意正數k而言，誤差項R至多與*x*/(log *x*)*k*成比例。

目前已知對於任意的*δ* < 0.55655而言，有無限多個m，其重複度超過*m**δ*。

### Ford定理

Ford (1999)正明說對於任意整數*k* ≥ 2而言，總存在一個歐拉商數m，其重複度為k，也就是說總有數字使得這等式*φ*(*n*) = *m*有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測，且是Schinzel猜想H（英语：）的一個結果。事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。

然而，沒有任何數字m的重複度為*k* = 1。卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想（英语：）講的是沒有m的重複度為*k* = 1。

### 完全歐拉商數

条目：完全歐拉商數
完全歐拉商數（perfect totient number）是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數，也就是說，如果將歐拉函數套用在一個正整數{\displaystyle n}之後，並將歐拉函數套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到1為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為{\displaystyle n}，那麼{\displaystyle n}就是一個完全歐拉商數。

生成函数
----

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：{\displaystyle \sum \_{d|n}\varphi (d)=n}。

由{\displaystyle \varphi }(*n*)生成的狄利克雷级数是：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}
其中ζ(*s*)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

{\displaystyle \zeta (s)\sum \_{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum \_{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum \_{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}
{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
使用开始时的等式，就得到：{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum \_{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}
于是{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}
欧拉函数生成的朗贝级数如下：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
其对于满足 |*q*|<1 的*q*收敛。

推导如下：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum \_{r\geq 1}q^{rn}}
后者等价于：

{\displaystyle \sum \_{k\geq 1}q^{k}\sum \_{n|k}\varphi (n)=\sum \_{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}

欧拉函数的走势
-------

随着*n*变大，估计{\displaystyle \varphi (n)} 的值是一件很难的事。当*n*为质数时，{\displaystyle \varphi (n)=n-1}，但有时{\displaystyle \varphi (n)}又与*n*差得很远。

在*n*足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有*n* > *N*(ε)使得 {\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}
如果考虑比值：

{\displaystyle \,\varphi (n)/n,}
由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似{\displaystyle 1-p^{-1}}的项的乘积。因此，使比值小的*n*将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

{\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}
{\displaystyle \varphi }就平均值的意义上来说是与*n*很相近的，因为：

{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
其中的*O*表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ... *n*} 中随机选取两个数，则当*n*趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 {\displaystyle 6/\pi ^{2}} 。一个相关的结果是比值{\displaystyle \varphi (n)/n}的平均值：

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).}

其他与欧拉函数有关的等式
------------

1. {\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
2. {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N} 使得 {\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]}
3. {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N} 使得 {\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]}
4. {\displaystyle \sum \_{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
5. {\displaystyle \sum \_{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}
6. {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum \_{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
7. {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
8. {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
9. {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}

与欧拉函数有关的不等式
-----------

1. {\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}，其中*n* > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} ，其中*n* > 0。
3. 对整数n > 6，{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}。
4. 当*n*为质数时，显然有{\displaystyle \varphi (n)=n-1}。对于合数的*n*，则有：

{\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}

未解決問題
-----

### 萊默的歐拉函數問題

条目：萊默的歐拉函數問題
若p是質數，則有*φ*(*p*) = *p* − 1。1932年，德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得*φ*(*n*) 整除*n* − 1。目前未知是否有這樣的數存在。

1933年萊默症明說若有這樣的n,{\displaystyle n}，那麼{\displaystyle n}必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（{\displaystyle \omega (n)\geq 7}）。1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的{\displaystyle n}存在，則{\displaystyle n>10^{20}}且{\displaystyle n}有至少14個不同的質因數（{\displaystyle \omega (n)\geq 14}）；此外，Hagis證明了說若這樣的{\displaystyle n}存在且可被3除盡，那麼{\displaystyle n>10^{1937042}}且{\displaystyle n}有至少298848個不同的質因數（{\displaystyle \omega (n)\geq 298848}）。

### 卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想

条目：卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想
此猜想認為說不存在正整數n，使得對於所有其他的m而言，在*m* ≠ *n*的狀況下必有*φ*(*m*) ≠ *φ*(*n*)。可見上述Ford定理一節的說明。

若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。

### 黎曼猜想

黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的*n* ≥ *p*120569#成立。此處的*p*120569#是最初的120569個質數的乘積：

{\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}
此處的γ是歐拉常數。

程式代码
----

### C++

```
template <typename T>
inline T phi(T n) {
 T ans = n;
 for (T i = 2; i \* i <= n; ++i)
 if (n % i == 0) {
 ans = ans / i \* (i - 1);
 while (n % i == 0) n /= i;
 }
 if (n > 1) ans = ans / n \* (n - 1);
 return ans;
}

```

参考来源
----

* Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， *Handbook of Mathematical Functions*， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

* Eric Bach、Jeffrey Shallit， *Algorithmic Number Theory*, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

* Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. （页面存档备份，存于）

* 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001

文獻来源
----

參考資料
----

1. ↑ .  [2014-10-16]. （原始内容存档于2014-10-12）.
2. ↑  Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 2 卷，p.608
3. ↑  Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 3 卷，p.814
4. 1 2  Guy (2004) p.144
5. ↑  Sándor & Crstici (2004) p.230
6. ↑  Zhang, Mingzhi.. Journal of Number Theory. 1993, **43** (2): 168–172. ISSN 0022-314X. Zbl 0772.11001. doi:10.1006/jnth.1993.1014 可免费查阅.
7. 1 2 3  Ford, Kevin.. Ramanujan J. Developments in Mathematics. 1998, **2** (1–2): 67–151. ISBN 978-1-4419-5058-1. ISSN 1382-4090. Zbl 0914.11053. arXiv:1104.3264 可免费查阅. doi:10.1007/978-1-4757-4507-8\_8.
8. ↑  Sándor et al (2006) p.22
9. ↑  Sándor et al (2006) p.21
10. 1 2  Guy (2004) p.145
11. ↑  Sándor & Crstici (2004) p.229
12. ↑  Sándor & Crstici (2004) p.228
13. ↑  Ribenboim, pp. 36–37.
14. ↑  Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter Jr.. Nieuw Arch. Wiskd. III Series. 1980, **28**: 177–185. ISSN 0028-9825. Zbl 0436.10002.
15. ↑  Hagis, Peter Jr.. Nieuw Arch. Wiskd. IV Series. 1988, **6** (3): 255–261. ISSN 0028-9825. Zbl 0668.10006.
16. ↑  Guy (2004) p.142
17. ↑  Broughan, Kevin.  First. Cambridge University Press. 2017. ISBN 978-1-107-19704-6.  Corollary 5.35