**艾里函数**（Ai(*x*)），英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(*x*)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(*x*)与相关函数Bi(*x*)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

y''-xy=0,\,\!
这个方程称为**艾里方程**或**斯托克斯方程**。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

定义
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Ai(*x*)（红色）和Bi(*x*)（蓝色）的图像
对于实数*x*，艾里函数由以下的积分定义：

{\mathrm {Ai}}(x)={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.
虽然这个函数不是绝对可积的（当*t*趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:y=Ai(x)求导，我们可以发现它满足以下的微分方程： 

y''-xy=0.\,\!
这个方程有两个线性独立的解。除了:Ai(x)以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为Bi(x)。它定义为当*x*趋于−∞时，振幅与Ai(x)相等，但相位与Ai(x)相差{\frac {\pi }{2}}
的函数：

{\mathrm {Bi}}(x)={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{\infty }\ e^{{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.

性质
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x=0时，{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}和 {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}以及它们的导数的值为：
{\begin{aligned}{\mathrm {Ai}}(0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[ {3}]{9}}\Gamma ({\frac 23})}},&\quad {\mathrm {Ai}}'(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[ {3}]{3}}\Gamma ({\frac 13})}},\\{\mathrm {Bi}}(0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[ {6}]{3}}\Gamma ({\frac 23})}},&\quad {\mathrm {Bi}}'(0)&{}={\frac {{\sqrt[ {6}]{3}}}{\Gamma ({\frac 13})}}.\end{aligned}}
在这里，{\Gamma }表示伽玛函数。可以推出Ai(*x*)和Bi(*x*)的朗斯基行列式是{\frac {1}{\pi }}
。

当*x*是正数时，Ai(*x*)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(*x*)也是正的凸函数，但呈指数增长。当*x*是负数时，Ai(*x*)和Bi(*x*)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

渐近公式
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当*x*趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

{\begin{aligned}{\mathrm {Ai}}(x)&{}\sim {\frac {e^{{-{\frac 23}x^{{3/2}}}}}{2{\sqrt \pi }\,x^{{1/4}}}}\\{\mathrm {Bi}}(x)&{}\sim {\frac {e^{{{\frac 23}x^{{3/2}}}}}{{\sqrt \pi }\,x^{{1/4}}}}.\end{aligned}}
而对于负数方向的极限，则有：

{\begin{aligned}{\mathrm {Ai}}(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac 23}x^{{3/2}}+{\frac 14}\pi )}{{\sqrt \pi }\,x^{{1/4}}}}\\{\mathrm {Bi}}(-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac 23}x^{{3/2}}+{\frac 14}\pi )}{{\sqrt \pi }\,x^{{1/4}}}}.\end{aligned}}
这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

自变量是复数时的情形
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我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

{\mathrm {Ai}}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{{C}}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,
其中积分路径C从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程y''-xy=0来把Ai(*x*)和Bi(*x*)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(*x*)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为*x*2/3，且*x*不在负的实数轴上。Bi(*x*)的公式也是正确的，只要*x*位于扇形{*x*∈**C** : |arg *x*| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−*x*)和Bi(−*x*)是正确的，如果*x*位于扇形{*x*∈**C** : |arg *x*| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(*x*)和Bi(*x*)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(*x*)在复平面内没有其它零点，而Bi(*x*)在扇形{*z*∈**C** : (1/3)π < |arg *z*| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

### 图像

| \Re \left[{\mathrm {Ai}}(x+iy)\right] | \Im \left[{\mathrm {Ai}}(x+iy)\right] | |{\mathrm {Ai}}(x+iy)|\, | {\mathrm {arg}}\left[{\mathrm {Ai}}(x+iy)\right]\, |
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| \Re \left[{\mathrm {Bi}}(x+iy)\right] | \Im \left[{\mathrm {Bi}}(x+iy)\right] | |{\mathrm {Bi}}(x+iy)|\, | {\mathrm {arg}}\left[{\mathrm {Bi}}(x+iy)\right]\, |
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与其它特殊函数的关系
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当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

{\begin{aligned}{\mathrm {Ai}}(x)&{}={\frac 1\pi }{\sqrt {{\frac 13}x}}\,K\_{{1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right),\\{\mathrm {Bi}}(x)&{}={\sqrt {{\frac 13}x}}\left(I\_{{1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)+I\_{{-1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)\right).\end{aligned}}
在这里，*I*±1/3和*K*1/3是方程x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0的解。

当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

{\begin{aligned}{\mathrm {Ai}}(-x)&{}={\frac 13}{\sqrt {x}}\left(J\_{{1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)+J\_{{-1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)\right),\\{\mathrm {Bi}}(-x)&{}={\sqrt {{\frac 13}x}}\left(J\_{{-1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)-J\_{{1/3}}\left({\frac 23}x^{{3/2}}\right)\right).\end{aligned}}
在这里，*J*±1/3是方程x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0的解。

Scorer函数是y''-xy=1/\pi 的解，它也可以用艾里函数来表示：

{\begin{aligned}{\mathrm {Gi}}(x)&{}={\mathrm {Bi}}(x)\int \_{x}^{\infty }{\mathrm {Ai}}(t)\,dt+{\mathrm {Ai}}(x)\int \_{0}^{x}{\mathrm {Bi}}(t)\,dt,\\{\mathrm {Hi}}(x)&{}={\mathrm {Bi}}(x)\int \_{{-\infty }}^{x}{\mathrm {Ai}}(t)\,dt-{\mathrm {Ai}}(x)\int \_{{-\infty }}^{x}{\mathrm {Bi}}(t)\,dt.\end{aligned}}
或是利用超几何函数，

{\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{\_{1}F\_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}
{\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{\_{1}F\_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}

参考文献
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1. ↑  参看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, (See §10.4) （页面存档备份，存于）. National Bureau of Standards.
* Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. *Transactions of the Cambridge Philosophical Society,* **6**, 379–402.
* Olver (1974). *Asymptotics and Special Functions,* Chapter 11. Academic Press, New York.
* Harold Richard Suiter.. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6. （含有许多图像 （页面存档备份，存于））

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.