单价电解质溶液中两带电胶体粒子之间的作用力，胶体粒子半径为1 μm 表面电荷密度为。带电胶体粒子之间的相互作用被电解质离子所屏蔽。
**双电层力**（英語：）是表征**双电层相互作用**的物理量，是液体（特别是极性溶剂中，比如水）中，两带电体之间的渗透压，力程与德拜长度大约同量级，即纳米或比纳米小一个量级，大小随带电体表面电荷密度或表面电势的增大而增大。两个带相同电荷的带电体之间的双电层力为排斥力，远离带电体的地方，随二者间距呈指数衰减，如右图所示。两带电体所带电荷不等且间距较小时，双电层力有可能是吸引力。DLVO理论把双电层力和范德瓦耳斯力都考虑进来，可以估计两胶体粒子之间的相互作用势。

水溶液中带电面附近会形成双电层，第一层是带电面，第二层是扩散层，包括在带电面积聚的反离子（counterion, 即电荷与带电面相反的离子）和排空的共离子（coion, 即电荷与带电面相图的离子）。两带电体的电势会造成离子在带电体之间有个分布，这种分布会造成渗透压，这就是带电体之间相互作用的来源。

日常生活中可以体验到双电层力。当你用肥皂洗手，吸附在皮肤上的肥皂分子会使皮肤带负电，光滑的感觉就是双电层斥力引起的。双电层力在许多胶体体系和生物体系中有着重要作用，比如直接影响着体系的稳定性和流变性质，以及胶体晶体（英语：）的形成。

泊松-玻尔兹曼模型
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电解质溶液中两带电平面示意图。两平面的间距为 h。
描述双电层最常用的模型是泊松-玻尔兹曼模型（PB model），由此模型可以定量讨论双电层力。以两带电平面为例，介绍PB模型给出的双电层力。这一体系单位面积的自由能为：

{\displaystyle {\mathcal {F}}=\int f\mathrm {d} z}
{\displaystyle f={\frac {\epsilon }{8\pi }}(\psi '')^{2}+k\_{B}T\left[n\_{+}(z)\ln {\frac {n\_{+}(z)}{n\_{0}}}+n\_{-}(z)\ln {\frac {n\_{-}(z)}{n\_{0}}}+n\_{+}(z)+n\_{-}(z)-2n\_{0}\right]}
其中 \epsilon 为溶液的介电常数，{\displaystyle \psi (z)}为溶液中的电势，{\displaystyle n\_{+}(z)}和{\displaystyle n\_{+}(z)}分别是正负离子的密度分布，n\_0为本体溶液中离子的密度，{\displaystyle k\_{B}T}为无规热能。于是渗透压为

{\displaystyle \Pi =-{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta h}}}
考虑到体系的对称性，则有

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}=n\_{+}(h/2)+n\_{-}(h/2)-2n\_{0}}
渗透压不一定非得在两平面的对称中心计算，实际上可以在两平面之间任意一点来计算，尽管表达式会有所不同，但所得的结果是一样的。

电势满足泊松方程

{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )=-{\frac {4\pi e}{\epsilon }}[z\_{+}n\_{+}(\mathbf {r} )+z\_{-}n\_{-}(\mathbf {r} )]}
其中{\displaystyle z\_{+}}和{\displaystyle z\_{-}}分别是正负离子的离子价，e为单位电荷的电量。

在热力学平衡态，离子的分布为玻尔兹曼分布：

{\displaystyle n\_{\pm }(\mathbf {r} )=n\_{\pm }^{0}e^{-z\_{\pm }e\psi (\mathbf {r} )/k\_{B}T}}
渗透压也可以通过吉布斯-杜亥姆方程求得，

{\displaystyle -Vd\Pi +N\_{+}d\mu \_{+}+N\_{-}d\mu \_{-}=0}
其中，离子的化学势为：

{\displaystyle \mu \_{\pm }=\mu \_{p}m^{(0)}+kT\ln n\_{\pm }+z\_{\pm }\psi }
于是，有

{\displaystyle d\Pi =k\_{B}T(dn\_{+}+dn\_{-})+(z\_{+}n\_{+}+z\_{-}n\_{-})d\psi }
对上式积分，得渗透压

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}=n\_{+}(z)+n\_{-}(z)-2n\_{0}-{\frac {\epsilon }{2}}\left({\frac {d\psi }{dz}}\right)^{2}}
### 无外加盐

当没有外加盐时，由以上泊松-玻尔兹曼模型，可得两平面的渗透压为

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}={\frac {\epsilon k\_{B}T}{2\pi e^{2}}}K^{2}={\frac {K^{2}}{2\pi l\_{B}}}}
其中{\displaystyle l\_{B}={\frac {e^{2}}{\epsilon k\_{B}T}}}为比耶鲁姆长度。K满足如下关系：

{\displaystyle Kh\tanh(Kh)=-{\frac {2\pi e\sigma }{\epsilon k\_{B}T}}h=h/b}
其中 {\displaystyle b={\frac {\epsilon ek\_{B}T}{2\pi e|\sigma |}}} 为古依-恰普曼长度

#### 极限情况

当{\displaystyle h/b\ll 1}，带电表面为**弱带电表面**，渗透压可近似为：

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}\approx {\frac {1}{\pi l\_{B}bh}}}
形式为反离子组成的理想气体的压强。

当{\displaystyle h/b\gg 1}，且{\displaystyle Kh\rightarrow \pi }，带电表面为**强带电表面**，渗透压可近似为：

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}\approx {\frac {\pi }{2l\_{B}h^{2}}}}
渗透压与表面电荷密度无关，形式类似朗缪尔方程。

### 有外加盐

当体系处于1:1的电解质溶液中，两带电平面之间的渗透压为

{\displaystyle {\frac {\Pi }{k\_{B}T}}=2n\_{0}(\cosh \psi \_{m}-1)}
其中{\displaystyle \psi \_{m}} 为两平面中心处的电势，它与表面上的电势{\displaystyle \psi \_{s}} 满足如下两个关系：

{\displaystyle \psi \_{s}=\psi \_{m}+{\frac {2\lambda \_{D}^{2}}{b^{2}}}}
和

{\displaystyle {\frac {h}{2\lambda \_{D}}}=\int \_{\psi \_{s}}^{\psi \_{m}}{\frac {d\psi }{{\sqrt {(}}2\cosh \psi -2\cosh \psi \_{m})}}}
其中 {\displaystyle \lambda \_{D}=(8\pi l\_{B}n\_{0})^{-1/2}} 为德拜长度。

参考文献
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1. ↑  W. B. Russel, D. A. Saville, W. R. Schowalter, Colloidal Dispersions. Cambridge University Press: Cambridge, 1989.
2. 1 2  W C K Poon, D Andelman.. Taylor & Francis Group. 2006: 107. ISBN 0-7503-1023-5.
3. 1 2  J. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces. Academic Press: London, 1992.
4. ↑  D. ANDELMAN.. Elsevier Science. 1995: 617.