在數學裡，**庫默爾定理**能計算给出的二项式的系數的p-adic賦值（英语：），即{\displaystyle {\binom {n}{m}}}含p的幂次。 本定理以恩斯特·庫默爾命名。

定理
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庫默爾定理指出，給定整数 {\displaystyle n\geq m\geq 0}和一个質數 p, *p-adic賦值* {\displaystyle \nu \_{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)} 等於以 *p*為基底時m加 n-m的進位次數。

例子
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要计算 {\displaystyle \nu \_{2}\left({\tbinom {10}{3}}\right)}，写出 {\displaystyle m=3} 和 {\displaystyle n-m=7} 的二进制表示 {\displaystyle 3=11\_{2}} 和 {\displaystyle 7=111\_{2}}。进行二进制加法 {\displaystyle 11\_{2}+111\_{2}=1010\_{2}} 需要进位三次。 故 {\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15} 中 2 的次数是 3。

  

求具有下述性质的所有整数k：存在无穷多个正整数n，使得n+k不整除 {\displaystyle {\binom {2n}{n}}}。

解 ∵ {\displaystyle {\binom {2n}{n-1}}={\frac {2n(2n-1)\cdots (n+2)}{(n-1)!}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}},

∴ {\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}} 是整数，

∴ {\displaystyle n+1\left|{\binom {2n}{n}}\right.} 对任意正整数n成立，从而 1 不满足要求.

当{\displaystyle k\leq 0}时，取{\displaystyle n=p-k}（p为奇素数，{\displaystyle p>-2k}），满足要求.

当k\geq 2时，取k的一个素因子p，选取正整数m使得 {\displaystyle p^{m}>k}，令 {\displaystyle n=p^{m}-k}，我们证明：
n+k 不整除 {\displaystyle {\binom {2n}{n}}}.

{\displaystyle 2n=n+n} 最多进位m-1次. 由库默尔定理，{\displaystyle \nu \_{p}\left({\binom {2n}{n}}\right)\leq m-1}，

∵ {\displaystyle n+k=p^{m}}，∴ n+k不整除{\displaystyle {\binom {2n}{n}}}.

从而存在无穷多个n满足要求.

综上，k是任意不为1的整数.

證明
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將组合数{\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}寫成{\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}={\tfrac {(m+n)!}{m!n!}}}
根据勒让德定理，它所含p的幂次数为


∑

i
=
1

∞

[

m
+
n

p

i

]

−

∑

i
=
1

∞

[

n

p

i

]

−

∑

i
=
1

∞

[

m

p

i

]

=

∑

i
=
1

∞

{

[

m
+
n

p

i

]

−

[

n

p

i

]

−

[

m

p

i

]

}

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\sum \_{i=1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\sum \_{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]=\sum \_{i=1}^{\infty }\left\{\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]\right\}}

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]=\sum _{i=1}^{\infty }\left\{\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]\right\}}
{\displaystyle \left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]}等于n在p进制表示下，截去末i位得到的数，因此


[

m
+
n

p

i

]

−

[

n

p

i

]

−

[

m

p

i

]

=

{

1

若 第 

i
+
1

 位 有 进 位


0

若 第 

i
+
1

 位 不 进 位



{\displaystyle \left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]={\begin{cases}1&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 有 进 位}}\\0&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 不 进 位}}\end{cases}}}

{\displaystyle \left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]={\begin{cases}1&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 有 进 位}}\\0&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 不 进 位}}\end{cases}}}
最后对i求和，就是m+n在p进制下的进位次数。

多项系数的一般化
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庫默爾定理，可以推广到 多项系数 {\displaystyle {\tbinom {n}{m\_{1},\ldots ,m\_{k}}}:={\tfrac {n!}{m\_{1}!\cdots m\_{k}!}}} ：

將 n 以 p為基底寫做 {\displaystyle n=n\_{0}+n\_{1}p+n\_{2}p^{2}+\cdots +n\_{r}p^{r}}和定义 {\displaystyle S\_{p}(n)=n\_{0}+n\_{1}+\cdots +n\_{r}} 是 p 基底的数位和。 則

{\displaystyle \nu \_{p}\left({\dbinom {n}{m\_{1},\ldots ,m\_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum \_{i=1}^{k}S\_{p}(m\_{i})-S\_{p}(n)\right)}.

參見
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* 卢卡斯定理

参考文献
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* Kummer, Ernst.. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, **44**: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.

1. ↑  刘培杰; 张佳.. d.wanfangdata.com.cn.  [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. （原始内容存档于2022-06-12）.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)
2. ↑ .  [2020-07-31]. （原始内容存档于2021-04-18）.