在数学的很多分支，经常用"在给定某些条件下存在唯一态射"这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为**泛性质**（英語：），有时也称为**万有性**。范畴论研究泛性质。

了解泛性质最好先研究一些例子。如：群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。

定义
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设*U* : *D* → *C*为一函子，*X*为*C*的对象。从*X*到*U*的**泛态射**为偶(*A*, φ)，其中*A*为*D*的对象，φ : *X* → *U*(*A*)为*C*中满足如下**泛性质**的态射：

* 对任意*D*的对象*Y*和任意*C*的态射*f* : *X* → *U*(*Y*)，存在唯一的态射*g* : *A* → *Y*使得下图可交换：

从X到U的泛态射从X到U的泛态射
态射*g*的存在保证*A*具有足够的性质，其唯一性又限制*A*不再有额外的性质。

使用对偶原则可得上述的对偶概念：从*U*到*X*的**泛态射**为偶(*A*, φ)，其中*A*为*D*的对象，φ : *U*(*A*) → *X*为*C*的态射，满足如下**泛性质**：

* 对任意*D*的对象*Y*和任意*C*的态射*f* : *U*(*Y*) → *X*，存在唯一的态射*g* : *Y* → *A*使得下图可交换：

从U到X的泛态射从U到X的泛态射
注：有时后者也称为**上泛态射**。

性质
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### 存在性和唯一性

具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子*U*和对象*X*，从*X*到*U*（或从*U*到*X*）的泛态射不一定存在。然而，若其存在，则该构造在同构下唯一。也就是说，若(*A*′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射，则存在唯一的同构态射*g* : *A* → *A*′满足φ′ = *U*(*g*)φ。用(*A*′, φ′)代替定义中的(*Y*, *f*)易知该结论成立。

### 其它等价定义

泛态射可通过其它途径定义。设*U*为从*D*到*C*的函子，*X*为*C*的对象，则下列语句等价：

* (*A*, φ)为从*X*到*U*的泛态射
* (*A*, φ)为逗号范畴(*X* ↓ *U*)的始对象
* (*A*, φ)为Hom*C*(*X*, *U*—)的表示。

其对偶语句也同样等价：

* (*A*, φ)为从*U*到*X*的泛态射
* (*A*, φ)为逗号范畴(*U* ↓ *X*)的终对象
* (*A*, φ)为Hom*C*(*U*—, *X*)的表示。

### 与伴随函子的关系

设(*A*1, φ1)为从*X*1到*U*的泛态射，(*A*2, φ2)为从*X*2到*U*的泛态射。根据泛性质，对任意态射*h* : *X*1 → *X*2，存在唯一态射*g* : *A*1 → *A*2使得下图可交换：

若对任意*C*的对象*Xi*存在到*U*的泛态射，则映射*Xi* \mapsto *Ai*和*h* \mapsto *g*确定一个函子 *V* : *C* → *D*。此时，φ*i*确定从1*C*（*C*上的恒等函子）到*U V*的一个自然变换。因此(*V*, *U*)构成一对伴随函子，*V*左伴随*U*，*U*右伴随*V*。

利用对偶原则同样可得*U*的右伴随函子*V* : *C* → *D*。

事实上，所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设*F*和*G*为一对伴随函子，单位元为&eta，上单位元为&epsilon（定义见伴随函子）。任意*C*和*D*的对象存在泛态射。

* 对任意*C*的对象*X*，(*F*(*X*), η*X*)为从*X*到*G*的泛态射。即，对任意*f* : *X* → *G*(*Y*)，存在唯一*g* : *F*(*X*) → *Y*使得下图可交换。
* 对任意*D*的对象*Y*，(*G*(*Y*), ε*Y*)为从*F*到*Y*的泛态射。即，对任意*g* : *F*(*X*) → *Y*，存在唯一*f* : *X* → *G*(*Y*)使得下图可交换。

伴随函子对的泛性质伴随函子对的泛性质
泛构造的概念广于伴随函子：泛构造类似优化问题，伴随函子存在当且仅当该优化问题对任何*C*的对象（或对任何*D*的对象）均存在解。

举例
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### 张量代数

设*C*为域*K*上的向量空间范畴 ***K*-Vect**，*D*为*K*上的代数范畴（假定满足unitall和结合律），*U*为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子。

给定任何基于*K*的向量空间*V*，构造*V*的张量代数*T*(*V*)。此张量代数的泛性质体现为偶(*T*(*V*), *i*)（其中*i* : *V* → *T*(*V*)为一inclusion map）是从*V*到*U*的泛态射。

由于此方法适用于任何*V*，因此*T*为从***K*-Vect**到***K*-Alg**的函子，且为*U*的左伴随。

### 核

设*D*为一存在零态射的范畴（如群范畴），*f* : *X* → *Y*为*D*的一态射。*f*的核为满足下列条件的任意态射*k* : *K* → *X*：

* *f* *k*为从*K*到*Y*的零态射；
* 对任意态射*k*′ : *K*′ → *X*，若*f* *k*′为零态射，则存在唯一态射*u* : *K*′ → *K*满足*k* *u* = *k*′。

为理解上述同泛态射的关系，定义*D*中态射的范畴*C*，对象为*D*的所有态射*f* : *X* → *Y*，从*f* : *X* → *Y*到*g* : *S* → *T*的态射为一对态射α : *X* → *S*和β : *Y* → *T*构成的偶(α, β)，满足β*f* = fα。

定义函子*F* : *D* → *C*，映射对象*K*到零态射0*KK* : *K* → *K*，映射态射*r* : *K* → *L*到偶(*r*, *r*)。

给定*D*的态射*f* : *X* → *Y*（看作*C*的对象）及*D*的对象*K*。从*F*(*K*)到*f*的态射为偶(*k*, *l*)满足*f* *k* = *l* 0*KK* = 0*KY*（此即为上述核的泛性质）。可以看出，"从*F*到*f*的泛态射"即为核的泛性质。

### 极限与上极限

极限与上极限为范畴论中重要的泛构造。设*J*为小范畴、*C*为范畴，*J*看作为*C*的索引范畴。记*C**J*为相应的函子范畴。*对角函子* Δ : *C* → *C**J* 将*C*中每个对象*N*映射到常函子Δ(*N*) : *J* → *C* to *N* (i.e. 对任意*X*属于*J*有Δ(*N*)(*X*) = *N*).

给定函子*F* : *J* → *C*（看作*CJ*的对象），*F*的极限，若存在，即为从Δ到*F*的泛态射。由对偶性质，*F*的上极限为*F*到Δ的泛态射。

用途
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使用泛性质定义构造有如下优点：

* 泛性质定义的对象在同构下唯一，因此证明两个对象同构的一个方法是找出其同时满足的泛性质。
* 定义某构造的具体细节一般较为繁琐，利用泛性质可不考虑这些细节，证明往往变得简洁明了。
* 如果泛构造对任何对象都存在时可确定一个函子。
* 更进一步，该函子为*U*的伴随函子。此时可以利用右伴随和极限可交换（左伴随和上极限可交换）的性质。

历史
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Pierre Samuel在1948年给出了多种拓扑结构的泛性质。布尔巴基大量使用了其结论。丹尼尔·阚与1958年独立发现了与其密切相关的伴随函子概念。

参考文献
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* Cohen, Paul M. *Universal Algebra* (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
* Mac Lane, Saunders, *Categories for the Working Mathematician* 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.

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* 论
* 编
范畴论 |
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|  基本概念 |
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| 基本概念 | 
* 範疇
* 伴隨函子
* 交换图表
* 具體範疇
* 函子
* 态射
* 自然變換
* 泛性质

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| 泛構造 | 

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| 極限 | 
* 終對象
* 積
* 等化子
	+ 核（英语：）
* 拉回
* 逆極限（英语：）

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|  |
| 餘極限 | 
* 始對象
* 餘積（英语：）
* 餘等化子（英语：）
	+ 餘核
* 推出
* 正極限（英语：）

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| 代數範疇（英语：） | 
* 集合
* 關係
* 原群
* 群
* 阿貝爾群
* 環（英语：）
	+ 域
* 模（英语：）
	+ 向量空間

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| 範疇上的構造 | 
* 自由範疇（英语：）
* 函子範疇
* 商範疇（英语：）
* 積範疇
* 子範疇

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 | A simple triangular commutative diagram |
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|  高階範疇論（英语：） |
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| 基本概念 | 
* 範疇化
* 濃縮範疇（英语：）
* 高維代數（英语：）
* 同倫假設（英语：）
* 模型范畴
* 单纯范畴

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| n-範疇 | 

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| 弱 n-範疇（英语：） | 
* 雙範疇（英语：）
	+ 偽函子（英语：）
* 三範疇（英语：）
* 四範疇（英语：）
* 闞複形（英语：）
* ∞-廣群（英语：）
* ∞-拓撲斯（英语：）

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| 強 n-範疇 | 
* 2-範疇
	+ 2-函子（英语：）
* 3-範疇（英语：）

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| 範疇化概念 | 
* 2-群（英语：）
* 2-環（英语：）
* *En*-環（英语：）
* (對稱（英语：）) 么半範疇
* *n*-群（英语：）
* *n*-么半群（英语：）

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