微分几何中，**第二基本形式**（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

R3 中曲面
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### 引论

**R**3 中一个参数曲面 *S* 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，*z* = *f*(*x*,*y*)，且平面 *z* = 0 与曲面在原点相切。则 *f* 以及关于 *x* 和 *y* 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 *f* 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始：

{\displaystyle z=f\_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f\_{xy}xy+f\_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)}，
记 {\displaystyle L=f\_{xx},M=f\_{xy},N=f\_{yy}}, 则在 (*x*, *y*) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

{\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}
对 参数曲面*S* 上一个光滑点 *p*，总可以选取坐标系使得坐标的 *z*-平面与 *S* 切于 *p*，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

### 经典记号

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 **r**=**r**(*u*,*v*) 是 **R**3 中一个正则参数曲面，这里 **r** 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 **r** 关于 *u* 和 *v* 的偏导数为 **r**u 与 **r**v。参数化的正则性意味着 **r**u 与 **r**v 对 **r** 的定义域中任何 (*u*,*v*) 是线性无关的。等价地，叉积 **r**u × **r**v 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 **n**(*u,v*)：

{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} \_{u}\times \mathbf {r} \_{v}}{|\mathbf {r} \_{u}\times \mathbf {r} \_{v}|}}.}
第二基本形式通常写成

{\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}
在基 {**r**u, **r**v} 下的矩阵是

{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}
在参数化 *uv*-平面上一个给定点处系数 *L*, *M*, *N* 由 **r** 在那个点的二次偏导数到 *S* 的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

{\displaystyle L=\mathbf {r} \_{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} \_{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} \_{vv}\cdot \mathbf {n} .}
### 现代记法

一个通常曲面 *S* 的第二基本形式定义如下：设 **r**=**r**(*u*1,*u*2) 是 **R**3 中一个正则参数曲面，这里 **r** 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 **r** 关于 *u*α 的偏导数为 **r**α，α = 1，2。参数化的正则性意味着 **r**1 与 **r**2 在 **r** 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 **S** 的切空间。等价地，叉积 **r**1 × **r**2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 **n**： 

{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} \_{1}\times \mathbf {r} \_{2}}{|\mathbf {r} \_{1}\times \mathbf {r} \_{2}|}}}
第二基本形式通常写作

{\displaystyle \mathrm {II} =b\_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}
上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数 (*u*1, *u*2)-曲面给定点处系数 *b*αβ 由 **r** 的二次偏导数到 *S* 的法线的投影给出，利用点积可写成：

{\displaystyle b\_{\alpha \beta }=\mathbf {r} \_{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }

黎曼流形中的超曲面
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在欧几里得空间中，第二基本形式由

{\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }
给出，这里 \nu  是高斯映射，而 {\displaystyle d\nu } 是 \nu  的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作 *S*）的等价方法，

{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla \_{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla \_{v}w\rangle ,}
这里 {\displaystyle \nabla \_{v}w} 表示周围空间的共变导数，*n* 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于 *n* 的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

### 推广为任意餘维数

第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla \_{v}w)^{\bot },}
这里 {\displaystyle (\nabla \_{v}w)^{\bot }} 表示共变导数 {\displaystyle \nabla \_{v}w} 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
这叫做**高斯方程**，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的**主曲率**。一组正交规范本征向量称为**主方向**。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果 *N* 是嵌入黎曼流形 (*M*,*g*) 中一个流形，则 *N* 在诱导度量下的曲率张量 {\displaystyle R\_{N}} 可以用第二基本形式与 *M* 的曲率张量 {\displaystyle R\_{M}} 表示出来：

{\displaystyle \langle R\_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R\_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}

相关条目
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* 第一基本形式
* 高斯曲率
* 高斯-科达齐方程

参考文献
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* Guggenheimer, Heinrich.. . Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.
* Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi.. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助)
* Spivak, Michael.. Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.

外部链接
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* 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort:  （页面存档备份，存于）

  


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* 论
* 编
微分几何中定义的曲率的不同概念 |
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| 曲线的微分几何 | 
* 曲率
* 挠率
* 弗莱纳公式
* 曲率半径
* 仿射曲率（英语：）
* 总曲率

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| 曲面的微分几何（英语：） | 
* 主曲率
* 高斯曲率
* 平均曲率
* 达布标架（英语：）
* 高斯-科达齐方程（英语：）
* 第一基本形式
* 第二基本形式
* 第三基本形式（英语：）

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| 黎曼几何 | 
* 黎曼流形的曲率（英语：）
* 黎曼曲率張量
* 里奇曲率張量
* 数量曲率
* 截面曲率

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| 联络的曲率 | 
* 曲率形式
* 挠率张量
* 余曲率（英语：）
* 和樂

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