**Meijer G-函数**是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广，绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer G-函数表示出来。

定义
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广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：

{\displaystyle \left(\prod \_{k=1}^{p}\Gamma (a\_{k})\right/\left.\prod \_{k=1}^{q}\Gamma (b\_{k})\right)\,{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{C}\left(\prod \_{k=1}^{p}\Gamma (a\_{k}+s)\right/\left.\prod \_{k=1}^{q}\Gamma (b\_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}
其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。

Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：

{\displaystyle G\_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{C}z^{s}\left.\left(\prod \_{k=1}^{n}\Gamma (1-a\_{k}+s)\right/\left.\prod \_{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b\_{k}+s)\right)\right/\left(\prod \_{k=n+1}^{p}\Gamma (a\_{k}-s)\right/\left.\prod \_{k=1}^{m}\Gamma (b\_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}
其中积分路径 C 视参数的相对大小而定。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求

{\displaystyle a\_{k}-b\_{l}\notin \mathbb {Z} ^{+},\quad \forall k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m}
在书写 Meijer-G 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 bk，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 ak。

对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系：

{\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod \_{k=1}^{p}\Gamma (a\_{k})}{\prod \_{k=1}^{q}\Gamma (b\_{k})}}\,{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G\_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a\_{1}&1-a\_{2}&\ldots &1-a\_{p}\\0&1-b\_{1}&\ldots &1-b\_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G\_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b\_{1}&\ldots &b\_{q}\\a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}

基本性质
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和广义超几何函数一样，如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素，则 Meijer-G 函数可以降阶，此处不再赘述。

### 一般关系式

Meijer-G 函数的导函数具有下列性质：

{\displaystyle z^{h}{\frac {\mathrm {d} ^{h}}{\mathrm {d} z^{h}}}\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G\_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} ,0\\h,\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}
注意 h 可以取任意整数值，取负数时表示不定积分。

另一方面，

{\displaystyle z^{\rho }\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} +\rho \\\mathbf {b\_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}
{\displaystyle G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b\_{q}} \\1-\mathbf {a\_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}
{\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-a\_{1}+1\right)\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{1}-1,a\_{2},\dots ,a\_{p}\\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\geq 1.}
{\displaystyle \left(a\_{p}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-1\right)\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{p}-1\\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\leq p-1.}
{\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-b\_{q}\right)\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\b\_{1},b\_{2},\dots ,b\_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\leq q-1.}
{\displaystyle \left(b\_{1}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)\;G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G\_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\b\_{1}+1,b\_{2},\dots ,b\_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\geq 1.}
上面的式子都可以直接由定义得到。

### 向量组中两个元素相差整数时的关系式

由

{\displaystyle {\frac {\Gamma (1-u+s)}{\Gamma (1-v+s)}}=(-1)^{u-v}{\frac {\Gamma (v-s)}{\Gamma (u-s)}},\quad u-v\in \mathbb {Z} }
又有

{\displaystyle G\_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a\_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G\_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a\_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}
{\displaystyle G\_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\beta ,\mathbf {b\_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G\_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} \\\beta ',\mathbf {b\_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}
{\displaystyle G\_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a\_{p}} \\\mathbf {b\_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G\_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a\_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b\_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}

微分方程
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由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。

{\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod \_{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a\_{k}+1\right)-\prod \_{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b\_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G\_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]}.
这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程，在 z=0 附近的基本解组可以选取为

{\displaystyle {\begin{cases}G\_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{h},b\_{1},\dots ,b\_{h-1},b\_{h+1},\dots ,b\_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,&{\text{ if }}p\leqslant q\\G\_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{h},a\_{1},\dots ,a\_{h-1},a\_{h+1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p,&{\text{ if }}p\geqslant q\end{cases}}}
当 p=q 时两种取法都可以。

从 m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，

{\displaystyle G\_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{h},b\_{1},\dots ,b\_{h-1},b\_{h+1},\dots ,b\_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)=z^{b\_{h}}G\_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a\_{1}-b\_{h},\dots ,a\_{p}-b\_{h}\\0,b\_{1}-b\_{h},\dots ,b\_{h-1}-b\_{h},b\_{h+1}-b\_{h},\dots ,b\_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)}
等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。

特殊情形
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因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer-G 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数0F1表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为：

{\displaystyle Y\_{\nu }(z)=G\_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg z\leq {\frac {\pi }{2}}}
另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer-G 函数表出：

{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,z)}{\partial a}}=\Gamma (a,z)\ln z+\,G\_{2,\,3}^{\,3,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\a,0,0\end{matrix}}\;\right|\,z\right)}
事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出，详见不完全Γ函数一文。

推广
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如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况：
{\displaystyle G\_{p,q,u\_{1},v\_{1},u\_{2},v\_{2}}^{m,n,s\_{1},t\_{1},s\_{2},t\_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a\_{1},\dots ,a\_{p};c\_{1,1},\dots ,c\_{1,u\_{1}};c\_{2,1},\dots ,c\_{2,u\_{2}};\\b\_{1},\dots ,b\_{q};d\_{1,1},\dots ,d\_{1,v\_{1}};d\_{2,1},\dots ,d\_{2,v\_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int \_{\mathcal {L}}\int \_{\mathcal {L'}}{\frac {\prod \_{k=1}^{m}\Gamma (b\_{k}+\sigma +\tau )\prod \_{k=1}^{n}\Gamma (1-a\_{k}-\sigma -\tau )}{\prod \_{k=n+1}^{p}\Gamma (a\_{k}+\sigma +\tau )\prod \_{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a\_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod \_{k=1}^{s\_{1}}\Gamma (d\_{1,k}+\sigma )\prod \_{k=1}^{t\_{1}}\Gamma (1-c\_{1,k}-\sigma )}{\prod \_{k=t\_{1}+1}^{u\_{1}}\Gamma (c\_{1,k}+\sigma )\prod \_{k=s\_{1}+1}^{v\_{1}}\Gamma (1-d\_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod \_{k=1}^{s\_{2}}\Gamma (d\_{2,k}+\tau )\prod \_{k=1}^{t\_{2}}\Gamma (1-c\_{2,k}-\tau )}{\prod \_{k=t\_{2}+1}^{u\_{2}}\Gamma (c\_{2,k}+\tau )\prod \_{k=s\_{2}+1}^{v\_{2}}\Gamma (1-d\_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s\_{1},t\_{1},s\_{2},t\_{2},p,q,u\_{1},v\_{1},u\_{2},v\_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s\_{1}\leq v\_{1},t\_{1}\leq u\_{1},s\_{2}\leq v\_{2},t\_{2}\leq u\_{2}}

注
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1. ↑  具体可参见DLMF上的图 （页面存档备份，存于）

参考文献
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* Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
* Beals, Richard; Szmigielski, Jacek.  (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2013, **60** (7)  [2014-09-06]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-26）.
* Luke, Yudell L.. New York: Academic Press. 1969. ISBN 0-12-459901-X.  (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
*.  [2014-09-06]. （原始内容存档于2007-10-10）.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.