二項式係數可排列成帕斯卡三角形
在數學上，**二項式係數**是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數n和k為參數決定，寫作 \tbinom nk ，定義為 {\displaystyle (1+x)^{n}}的多項式展開式中，x^{k}項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 {\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}}寫成一行，再依照 {\displaystyle n=0,1,2,\dots }順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，\tbinom nk可以被理解為從n個相異元素中取出k個元素的方法數，所以 \tbinom nk大多讀作「n取k」。二項式係數 \tbinom nk的定義可以推廣至n是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

歷史及記號
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雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 \tbinom nk卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha（英语：）寫的印度教典籍《宾伽罗的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：{\displaystyle C(n,k)}、{\displaystyle \_{n}C\_{k}}、{\displaystyle ^{n}C\_{k}}、{\displaystyle C\_{n}^{k}}、{\displaystyle C\_{k}^{n}}，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 {\displaystyle P\_{k}^{n}}，例如寫作 P(*n*, *k*)。

定義及概念
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對於非負整数n和k，二項式係數\tbinom nk定義為{\displaystyle (1+x)^{n}}的多項式展開式中，x^{k}項的係數，即

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}}
事實上，若x、y為交換環上的元素，則

(x+y)^n=\sum\_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k
此數的另一出處在組合數學，表達了從*n*物中，不計較次序取*k*物有多少方式，亦即從一*n*元素集合中所能組成*k*元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪{\displaystyle (1+X)^{n}}的*n*個因數逐一標記為i（從1至*n*），則任一*k*元素子集則建構成展式中的一個{\displaystyle X^{k}}項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數*n*和*k*而言，\tbinom nk亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由*n*個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為*k*的數目為\tbinom nk，又如算式k=a\_1+a\_2+\cdots+a\_n，其中每一a\_{i}均為非負整數，則有\tbinom{n+k-1}k種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算*k*個元素的組合的數量。

計算二項式係數
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除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算\tbinom nk的值。

### 遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式係數：

 \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k \quad \forall n,k\in\N
其中特別指定：

\binom n0 = 1 \quad \forall n\in\N\cup\{0\},
\binom 0k = 0 \quad \forall k\in\N.
此公式可由計算{\displaystyle (1+x)^{n-1}(1+x)}中的*x^{k}*項，或點算集合{\displaystyle \left\{1,2,\cdots ,n\right\}}的*k*個元素組合中包含*n*與不包含*n*的數量得出。

顯然，如果{\displaystyle k>n}，則\tbinom nk=0。而且對所有*n*，\tbinom nn=1，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

### 乘數公式

個別二項式係數可用以下公式計算：

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod \_{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},}
上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從*n*個元素中取出*k*個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的*k*個元素可有多少種排序方式。

### 階乘公式

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

 \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n.
其中「n!」是*n*的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以{\displaystyle (n-k)!}取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：


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|  \binom nk = \binom n{n-k} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n. | 

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 | **(**1**)** |

### 一般化形式及其與二項式級數的關係

若將*n*換成任意數值（負數、實數或複數）\alpha ，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展：

\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
 \quad\mbox{for } k\in\N \mbox{ and arbitrary } \alpha.

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故\tbinom\alpha k仍能相稱地稱作二項式係數：


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|  (1+X)^\alpha = \sum\_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} X^k. | 

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 | **(**2**)** |

此公式對任何複數*\alpha* 及X，{\displaystyle \left\vert X\right\vert <1}時成立，故此亦可視作X的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

(1+X)^\alpha(1+X)^\beta=(1+X)^{\alpha+\beta} \quad\mbox{and}\quad ((1+X)^\alpha)^\beta=(1+X)^{\alpha\beta}.
若*\alpha* 是一非負整數*n*，則所有{\displaystyle k>n}的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於*\alpha* 的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)
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帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示係數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式係數的對數，圖中可見數族形成一對數凹數列
条目：帕斯卡法則
条目：帕斯卡三角形
帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：


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| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}, | 

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 | **(**3**)** |

此式可以用於數學歸納法，以証明 \tbinom n k對於所有*n*和*k*均為自然數（等同於証明{\displaystyle k!}為所有*k*個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

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| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0: |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1: |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |
| 2: |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 2 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 3: |  |  |  |  |  | 1 |  | 3 |  | 3 |  | 1 |  |  |  |  |  |
| 4: |  |  |  |  | 1 |  | 4 |  | 6 |  | 4 |  | 1 |  |  |  |  |
| 5: |  |  |  | 1 |  | 5 |  | 10 |  | 10 |  | 5 |  | 1 |  |  |  |
| 6: |  |  | 1 |  | 6 |  | 15 |  | 20 |  | 15 |  | 6 |  | 1 |  |  |
| 7: |  | 1  |  | 7  |  | 21 |  | 35 |  | 35 |  | 21 |  | 7  |  | 1  |  |
| 8: | 1  |  | 8  |  | 28 |  | 56 |  | 70 |  | 56 |  | 28 |  | 8  |  | 1  |

第*n*橫行列出 \tbinom n k的{\displaystyle k=0,\ldots ,n}項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

{\displaystyle (x+y)^{5}={\boldsymbol {1}}x^{5}+{\boldsymbol {5}}x^{4}y+{\boldsymbol {10}}x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10}}x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5}}xy^{4}+{\boldsymbol {1}}y^{5}}
在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(**3**)的延伸意義。

組合數學和統計學
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二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

* 共有\tbinom n k種方式從*n*元素中選取*k*項。見組合。
* 共有\tbinom {n+k-1}k種方式從一個*n*元素集合中選取（容許重覆選取）*k*元素建立多重集。
* 共有 \tbinom {n+k} k個字符串包含*k*個1和*n*個零。
* 共有 \tbinom {n+1} k個字符串包含*k*個1和*n*個零，且沒有兩個1相鄰。
* 卡塔蘭數是\frac {\tbinom{2n}n}{n+1}
* 統計學中的二項式分佈是\tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} \!
* 貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數
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就任就非負整數*k*，\scriptstyle{\binom{t}{k}}可表達為一多項式除以{\displaystyle k!}：

\binom{t}{k} =\frac{(t)\_k}{k!}=\frac{(t)\_k}{(k)\_k}= \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(2)(1)};\,\!
此為帶有理數係數，變量是t的多項式，可對任意實數或複數*t*運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意*k*，多項式\tbinom{t}{k}可看成是惟一的*k*次多項式p(t)滿足{\displaystyle p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0}及{\displaystyle p(k)=1}.

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：

\binom{t}{k} = \sum\_{i=0}^k \frac{s\_{k,i}}{k!} t^i
\tbinom{t}{k}之導數可以對數微分計算：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \binom{t}{k} = \binom{t}{k} \sum\_{i=0}^{k-1} \frac{1}{t-i}\,.
### 以二項式係數為多項式空間之基底

在任何包含**Q**的域中，最多d階的多項式有惟一的線性組合\sum\_{k=0}^d a\_k \binom{t}{k}。係數a\_{k}是數列{\displaystyle p(0),p(1),\ldots ,p(k)}的第*k*差分，亦即：



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| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| a\_k = \sum\_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} p(i). | 

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 | **(**3.5**)** |

### 整數值多項式

每一多項式\tbinom{t}{k}在整數參數時均是整數值（可在*k*上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(**3.5**)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域*k*的任何子環R，在{\displaystyle K[t]}內的多項式在整數參數時之值均在*R*內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的*R*-線性組合。

整數值多項式{\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}}可表達作：

9\tbinom{t}{2} + 6 \tbinom{t}{1} + 0\tbinom{t}{0}
从{\displaystyle t=1,2,3}时{\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45}用帕斯卡矩阵的逆可算出：

\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0\\1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 21 \\ 45 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 9 \end{pmatrix}
=6\tbinom{t-1}{0} + 15\tbinom{t-1}{1} + 9\tbinom{t-1}{2}=6\tbinom{t}{1} + 9\tbinom{t}{2}
这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有關二項式係數的恆等式
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### 关系式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在*k*是正整數時，對任意*n*有：

* {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}
* \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}
* \binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.

两个组合数相乘可作变换：

\binom ni \binom im=\binom nm \binom {n-m}{i-m}
### 一阶求和公式

* \sum\_{r=0}^n \binom nr = 2^{n}
* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}}
* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}
* \sum\_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum\_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}

* \sum\_{i=m}^n \binom {a+i}{i} = \binom {a+n+1}{n} - \binom {a+m}{m-1}

 \binom {a+m}{m-1} + \binom {a+m}{m} + \binom {a+m+1}{m+1} + ... + \binom {a+n}{n} = \binom {a+n+1}{n} 
* F\_n=\sum\_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}

 F\_{n-1}+F\_n=\sum\_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum\_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum\_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum\_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum\_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum\_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F\_{n+1}
条目：朱世杰恒等式
* \sum\_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}

 \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} 
### 二阶求和公式

* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}

* \sum\_{i=0}^n \binom {r\_1+n-1-i}{r\_1-1} \binom {r\_2+i-1}{r\_2-1}=\binom {r\_1+r\_2+n-1}{r\_1+r\_2-1}

(1-x)^{-r\_1} (1-x)^{-r\_2}=(1-x)^{-r\_1-r\_2}
(1-x)^{-r\_1} (1-x)^{-r\_2}=(\sum\_{n=0}^{\infty} \binom {r\_1+n-1}{r\_1-1} x^n)(\sum\_{n=0}^{\infty} \binom {r\_2+n-1}{r\_2-1} x^n)=\sum\_{n=0}^{\infty} (\sum\_{i=0}^n \binom {r\_1+n-1-i}{r\_1-1} \binom {r\_2+i-1}{r\_2-1}) x^n 
(1-x)^{-r\_1-r\_2}=\sum\_{n=0}^{\infty} \binom {r\_1+r\_2+n-1}{r\_1+r\_2-1} x^n
条目：范德蒙恒等式
* \sum\_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k

### 三阶求和公式

条目：李善兰恒等式
* {\binom {n+k}k}^2=\sum\_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}

備註
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1. ↑  Higham (1998)
2. ↑  Lilavati 第6節，第4章（見Knuth (1997)）。
3. ↑  Shilov (1977)
4. ↑  見（Graham，Knuth & Patashnik 1994），其中就k<0定義了\tbinom n k = 0，其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數時以伽瑪函數為k<0時定義\tbinom n k，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, *Mathematical reflections: in a room with many mirrors*, Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。
5. ↑  此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。

參考文獻
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1. ↑  Muir, Thomas.. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1902.
2. ↑ .  [2014-01-05]. （原始内容存档于2019-05-02）.
3. ↑  赵丽棉 黄基廷.. 高等数学研究. 2010, (4)  [2014-01-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
4. ↑  徐更生 何廷模.. 中学教研. 1991, (10)  [2014-01-04]. （原始内容存档于2019-05-02）.
5. ↑  伍启期.. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4)  [2014-05-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.

* Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof （页面存档备份，存于）, Mathematical Association of America.
* Bryant, Victor.. Cambridge University Press. 1993. ISBN 0521419743.
* Flum, Jörg; Grohe, Martin.. Springer. 2006  [2011-07-28]. ISBN 978-3-540-29952-3. （原始内容存档于2007-11-18）.
* Fowler, David.. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). January 1996, **103** (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209.
* Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren.  Second. Addison-Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5.
* Higham, Nicholas J.. SIAM. 1998: 25. ISBN 0898714206.
* Knuth, Donald E.  Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
* Singmaster, David.. J. London Math. Soc. (2). 1974, **8** (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
* Shilov, G. E.. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187.

参见
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* 组合

外部連結
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* Calculation of Binomial Coefficient
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