在幾何學中，**四角反棱柱**是底面為四邊形的反棱柱，是反棱柱系列中的第二個成員。
其有8個三角形側面，再由2個四邊形底面封閉。
四角反棱柱有時也被稱為**反立方體**（anticube）。

若底面為正方形、側面為正三角形則稱為**正四角反棱柱**，是一種半正多面體或均勻多面體，但不是阿基米德立體。

性質
--

四角反棱柱共由10個面、16條邊和8個頂點所組成，在其10個面中，有2個正方形底面和8個三角形側面。其8個頂點皆為1個正方形和3個三角形的公共頂點，因此所有頂解階等價，是一種等角圖形，在頂點圖中可以用3.3.3.4來表示。由於四角反棱柱具有點可遞的特性，因此是一種均勻多面體。其對偶多面體是四方偏方面體。

### 體積與表面積

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時，則這種立體是半正多面體也是均勻多面體，它只有一種邊長，若令其為a，則其高為：

{\displaystyle h=2^{-{\frac {1}{4}}}a}
體積V與表面積A為：

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{3}{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}
{\displaystyle A=2a^{2}(1+{\sqrt {3}})}
### 二面角

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時，則這種立體的二面角能夠被唯一確定。正四角反棱柱共有兩種二面角，分別為正方形和三角形的二面角，以及三角形和三角形的二面角。

其中，正方形和三角形的二面角為：

\angle 正方形,三角形{\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\right)}{\displaystyle \approx 1.81228288\approx 103.836160479^{\circ }}
而三角形和三角形的二面角為：

\angle 三角形,三角形{\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}-1}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-2{\sqrt {2}}}{3}}\right)}{\displaystyle \approx 2.22619544\approx 127.551602906^{\circ }}

在化學中
----

根據化學分子幾何的价层电子对互斥理论，分子的構型會儘可能令電子對或原子之間的距離最大化，當八對電子環繞一個中心原子時，四角反棱柱的構型較為常見。具有這種分子構型的一個例子是在八氟合氙(VI)酸亚硝酰中的八氟合氙(VI)離子（XeF2−  
8）；然而該分子的構型非理想的四角反棱柱，其有一定程度的扭曲。八個頂點的分子構型還有一種可能就是立方體，但很少有離子的構型是立方體的，因為這種形狀會導致配體之間產生很大的排斥力，PaF3−  
8離子是為數不多的例子之一。

另一種分子的原子排列方式與四角反棱柱頂點排列方式相同的分子是环八硫S8。环八硫是硫元素最穩定的同素異形體，這個分子具有四角反棱柱的結構，其中八個原子的位置對應到四角反棱柱的八個頂點，四角反棱柱的八個三角形側面的三角形-三角形邊對應於硫原子之間的共價鍵，因此四角反棱柱可以用於描述环八硫的分子結構。

* 八氟合氙(VI)離子（XeF2−8）八氟合氙(VI)離子（XeF2−  
8）
* 环八硫分子环八硫分子

在建築學中
-----

世界貿易中心一號大樓的主體建築（位於2001年9月11日倒塌的舊世貿中心舊址原址重建的大樓）是一個非常高的錐形四角反棱柱形狀的建築物。然而其不是真正的四角反棱柱，而是四角反錐台，因為他有一個錐度：其頂面正方形面積是底面正方形面積的一半。

* 高度較高、具錐度的四角反棱柱（四角反錐台）高度較高、具錐度的四角反棱柱  
（四角反錐台）
* 世界貿易中心一號大樓世界貿易中心一號大樓

拓樸相同的多面體
--------

### 四角反錐台

四角反錐台是指存在錐度的四角反棱柱，也就是底面積與頂面積大小不同的四角反棱柱。世界貿易中心一號大樓實際上是這種形狀。

|  |  |
| --- | --- |
| 四角反棱柱（頂面和底面全等） | 四角反錐台（頂面和底面面積不相等） |

### 扭曲四角柱

扭曲四角柱可以利用與四角反棱柱相同的頂點布局來構造（可以是順時針或逆時針）。其可以視為從四角反棱柱的四條稜上各移除一個四面體所構成的立體。然而，在此之後，如果不添加新頂點，就不能將其三角剖分（英语：）成若干四面體。扭曲四角柱具有均勻解的一半對稱性：D4群，階數為4。

### 交叉四角反棱柱

交叉四角反棱柱是一種星形多面體，其拓樸結構等價於四角反棱柱，並且與四角反棱柱有著相同的頂點排佈，但其不能成為均勻多面體，因為其側面僅能以等腰三角形的形式存在。交叉四角反稜柱的頂點布局為3.3/2.3.4，表示其中有一個反向相接的三角形，以至於其頂點圖呈現交叉四邊形。其具有d4d的二面體群對稱性，階數為8。

相關多面體及鑲嵌
--------

扭稜多面體與鑲嵌家族：*3.3.4.3.n*| 對稱性4n2[n,4]+ | 球面鑲嵌 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊型鑲嵌 | 非緊型鑲嵌 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 242[2,4]+ | 342[3,4]+ | 442[4,4]+ | 542[5,4]+ | 642[6,4]+ | 742[7,4]+ | 842[8,4]+... | ∞42[∞,4]+ |  [iπ/λ,4]+ |
| 扭稜頂點布局 | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ | 3.3.4.3.∞ |
| 考克斯特符號（英语：）施萊夫利符號 | node_h 2x node_h 4 node_h sr{2,4} | node_h 3 node_h 4 node_h sr{3,4} | node_h 4 node_h 4 node_h sr{4,4} | node_h 5 node_h 4 node_h sr{5,4} | node_h 6 node_h 4 node_h sr{6,4} | node_h 7 node_h 4 node_h sr{7,4} | node_h 8 node_h 4 node_h sr{8,4} | node_h infin node_h 4 node_h sr{∞,4} | node_h ultra node_h 4 node_h rr{iπ/λ,4} |
| 扭稜對偶頂點布局 | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ | V3.3.4.3.∞ |
| 考克斯特符號（英语：） | node_fh 2x node_fh 4 node_fh  | node_fh 3 node_fh 4 node_fh  | node_fh 4 node_fh 4 node_fh  | node_fh 5 node_fh 4 node_fh  | node_fh 6 node_fh 4 node_fh  | node_fh 7 node_fh 4 node_fh  | node_fh 8 node_fh 4 node_fh  | node_fh infin node_fh 4 node_fh  | node_fh ultra node_fh 4 node_fh  |

半正反棱柱系列| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | *n* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| s{2,4}sr{2,2} | s{2,6}sr{2,3} | s{2,8}sr{2,4} | s{2,10}sr{2,5} | s{2,12}sr{2,6} | s{2,14}sr{2,7} | s{2,16}sr{2,8} | s{2,18}sr{2,9} | s{2,20}sr{2,10} | s{2,22}sr{2,11} | s{2,24}sr{2,12} | s{2,2*n*}sr{2,n} |
| node_h 2x node_h 4 node node_h 2x node_h 2x node_h  | node_h 2x node_h 6 node node_h 2x node_h 3 node_h  | node_h 2x node_h 8 node node_h 2x node_h 4 node_h  | node_h 2x node_h 1x 0x node node_h 2x node_h 5 node_h  | node_h 2x node_h 1x 2x node node_h 2x node_h 6 node_h  | node_h 2x node_h 1x 4 node node_h 2x node_h 7 node_h  | node_h 2x node_h 1x 6 node node_h 2x node_h 8 node_h  | node_h 2x node_h 1x 8 node node_h 2x node_h 9 node_h  | node_h 2x node_h 2x 0x node node_h 2x node_h 10 node_h  | node_h 2x node_h 2x 2x node node_h 2x node_h 11 node_h  | node_h 2x node_h 2x 4 node node_h 2x node_h 12 node_h  | node_h 2x node_h 2x n node node_h 2x node_h n node_h  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 作為球面鑲嵌 |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

參見
--

* 反棱柱
* 偏方面體

參考文獻
----

1. ↑  Holleman-Wiberg. *Inorganic Chemistry*, Academic Press, Italy, p. 299. ISBN 0-12-352651-5.
2. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. ↑  David I. McCooey..  [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
4. 1 2  Richard Klitzing.. bendwavy.org.  [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
5. ↑  Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M.. Science. Sep 1971, **173** (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. ISSN 0036-8075. PMID 17775218. S2CID 22384146. doi:10.1126/science.173.4003.1238.
6. ↑  Greenwood, Norman Neill; Earnshaw, Alan.. 2016. ISBN 978-0-7506-3365-9. OCLC 1040112384 （英语）.
7. ↑  Steudel, R. "Homocyclic Sulfur Molecules", Topics Curr. Chem. 1982, 102, 149.
8. ↑  Constantin, Adrian and Germain, Pierre.. 2021-09  [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
9. ↑ . math4teaching.com.  [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
10. ↑ . sculpture, contemporary art.  [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
11. ↑  The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p.172
12. ↑ .  [2023-01-10]. （原始内容存档于2016-12-12）.

外部連結
----

* （页面存档备份，存于）

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
反棱柱 |
| --- |
|  |
| 正反棱柱 | 正三角反棱柱 · 正四角反棱柱 · 正五角反棱柱 · 正六角反棱柱· 正七角反棱柱 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
錐體與柱體 |
| --- |
|  |
| 錐體 | 
* 三角錐
	+ 正三角錐
* 四角錐
* 五角錐
* 六角錐
* 七角錐
* 八角錐
* 九角錐
* 十角錐
* 十一角錐
* 十二角錐
* ...
* 無限角錐

 |
|  |
| 雙錐體 | 
* 雙三角錐
* 雙四角錐
* 雙五角錐
* 雙六角錐
* 雙七角錐
* 雙八角錐
* 雙九角錐
* 雙十角錐
* ...
* 雙無限角錐

 |
|  |
| 柱體 | 
* 三角柱
* 四角柱
* 五角柱
* 六角柱
* 七角柱
* 八角柱
* 九角柱
* 十角柱
* 十一角柱
* 十二角柱
* ...
* 無限角柱（雙曲）

 |
|  |
| 反柱體 | 
* 三角反柱
* 四角反柱
* 五角反柱
* 六角反柱
* 七角反柱
* 八角反柱
* ...
* 無限角反柱

 |
|  |
| 錐台 | 
* 三角錐台
* 四角錐台
* 五角錐台
* 六角錐台
* ...

 |
|  |
| 雙錐台 | 
* 雙三角錐台
* 雙四角錐台
* 雙五角錐台
* 雙六角錐台
* ...

 |
|  |
| 錐柱體 | 
* 三角錐柱
* 四角錐柱
* 五角錐柱
* 六角錐柱
* 七角錐柱
* 八角錐柱
* ...
* 無限角錐柱

 |
|  |
| 雙錐柱體 | 
* 雙三角錐柱
* 雙四角錐柱
* 雙五角錐柱
* 雙六角錐柱
* 雙七角錐柱
* 雙八角錐柱
* ...
* 雙無限角錐柱

 |
|  |
| 角錐反柱 | 
* 三角錐反柱
* 四角錐反柱
* 五角錐反柱
* 六角錐反柱
* ...

 |
|  |
| 雙錐反柱 | 
* 雙三角錐反柱
* 雙四角錐反柱
* 雙五角錐反柱
* 雙六角錐反柱
* ...

 |
|  |
| 其他 | 
* 圓錐
* 圓柱
* 雙圓錐
* 圓錐柱

 |

 |