|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| 傅里叶变换 |
| --- |
|  |
| Z轉換 |
|  |
| 傅里叶级数 |
|  |
| 傅里叶变换 |
|  |
| 离散傅里叶级数 |
|  |
| 离散时间傅里叶变换 |
|  |
| 离散傅里叶变换 |
|  |
| 快速傅里叶变换 |
|  |
| 分数傅里叶变换 |
|  |
| 短时距傅立叶变换 |
|  |
| 小波变换 |
|  |
| 離散小波變換 |
|  |
| 连续小波变换 |

 |

在数学领域的谐波分析中，连续傅里叶变换（continuous Fourier transform, CFT）与傅里叶级数 （Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT）和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 \delta(t) ，CFT可以应用到时间离散 （time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）实现。

家族中各个变换的定义
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下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

傅里叶变换家族中各种变换的定义| × | 连续时间 | 离散时间 |
| --- | --- | --- |
| 时间非周期 | x(t)=\int\_{-\infty}^{\infty}X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df | {\displaystyle x[n]=T\_{s}\int \_{1/T\_{s}}{\bar {X}}(f)\ e^{i2\pi fnT\_{s}}\ df} |
| - | X(f)=\int\_{-\infty}^{\infty}x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt | {\displaystyle {\bar {X}}(f)=\sum \_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]\ e^{-i2\pi fnT\_{s}}} |
| 时间周期 | \bar{x}(t)=\sum\_{k=-\infty}^{+\infty}\! X[k]\; e^{i\frac{2\pi k}{T\_0}t} | x\_n=\frac{1}{N}\sum\_{k=0}^{N-1}X\_k \; e^{i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,\dots,N-1. |
| - | X[k]=\frac{1}{T\_0}\int\_{T\_0}\bar{x}(t)\; e^{-i\frac{2\pi k}{T\_0}t}\,dt | X\_k=\sum\_{n=0}^{N-1}x\_n\; e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,\dots,N-1. |

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：

* x[n] 和 X[k] 都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为 T\_s 和 {\displaystyle f\_{0}=1/T\_{0}} ；
* \bar{x}(t) 和 \bar{X}(f) 都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为 T\_0 和 {\displaystyle f\_{s}=1/T\_{s}} ；
* x\_n 和 X\_k 都为有限序列，且序列长度都为 N ；

关系推导所需的公式
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前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数 \delta(t) 的扩展形式 ，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

**1. Dirac comb函数的傅里叶变换**

Dirac comb函数的定义为

\Delta\_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数 （sampling function）。其重要的傅里叶变换为：

\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi k}{T}t}
\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad
\frac{1}{T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum\_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi nTf}
这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

**2. 傅里叶变换的卷积定理（convolution theorem）**

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：

\begin{align}
x\_1(t)\ast x\_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X\_1(f)\cdot X\_2(f) \\
x\_1(t)\cdot x\_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X\_1(f)\ast X\_2(f) 
\end{align}

**3. 泊松求和公式（Poisson summation formula）**

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：

\begin{align}
1. \qquad &\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT\_0)=\frac{1}{T\_0}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T\_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T\_0}t} \\
2. \qquad &\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right)
\end{align}

若第1和第2公式中分别取 t=0 和 f=0 ，得到相同等式：

\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)=\frac{1}{T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T}\right)

这表明，傅里叶变换时时域函数 x(t) 和频域函数 X(f) 分别以 T 和 1/T 为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 1/T 的总和相等。

各种变换之间的关系
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**图 1.** 此"立方体"图形表示了连续傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、傅里叶级数和离散傅里叶变换之间的关系。

  

图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：

* \tilde{X}\_k 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域 X\_k 有关系： X\_k=T\_0\tilde{X}\_k ；
* 图中粗的双箭头（\leftrightarrow ）表示每个函数和其变换之间的联系；

总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：

* 如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展；
* 一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系；
* 频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数；

这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

### 由DTFT推导DFT

设DTFT，及对应的CFT为：

\begin{align}
x[n] &\quad\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) \\
\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)
 &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f)
\end{align}

在时域作周期为 T\_0 的扩展，有:

\begin{align}
&\left(\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)\right)
 \ast\left(\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT\_0)\right) \\
&=\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT)\cdot\delta(t-nT-iNT) \\
&=\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)\right)\delta(t-nT)
\end{align}

其中代入了 T\_0=NT ，而由于 n 和 i 的求和区间都为 -\infty  到 \infty ，可以用 n-iN 代替 n 得到最后一步推导。取：

\begin{align}
x\_n &=\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)=\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x[n-iN] \\
 &=\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT\_0)
\end{align}

在频域作带系数 1/T\_0 且间隔也为 1/T\_0 的采样，有：

\begin{align}
&\bar{X}(f)\cdot\frac{1}{T\_0}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right) \\
&=\frac{1}{T\_0T}\left(\sum\_{k=-\infty}^{\infty}
 X\left(f - \frac{k}{T}\right)\right)
 \cdot\left(\sum\_{k=-\infty}^{\infty}
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(f - \frac{i}{T}\right)\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(\frac{k}{T\_0} - \frac{i}{T}\right)\right)
 \cdot\delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)
\end{align}

取：

\tilde{X}\_k=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
X\left( \frac{k}{T\_0} - \frac{i}{T} \right) 
=\frac{1}{T\_0}\bar{X}\left(\frac{k}{T\_0}\right)

  

### 由FS推导DFT

设FS，及对应的CFT为：

\begin{align}
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\quad X[k] \\
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
 \sum\_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot\delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right).
\end{align}

在时域作间隔为 T 采样，有：

\begin{align}
&\bar{x}(t)\cdot\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \\
&=\left(\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT\_0)\right)\cdot
 \left(\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\left(
 \sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(t-iT\_0)\cdot\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum\_{n=-\infty}^{\infty}\left(
 \sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT\_0)\right)\cdot\delta(t-nT)
\end{align}

取：

x\_n=\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT\_0)=\bar{x}(nT)

在频域作带系数 1/T 且周期也为 1/T 扩展，有：

\begin{align}
&\left(\sum\_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)\right)
 \ast\left(\frac{1}{T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}
 \delta\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \\
&=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(\frac{k}{T\_0}\right)\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0} - \frac{iN}{T\_0}\right) \\
&=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(\frac{k-iN}{T\_0}\right)\right)\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)
\end{align}

其中也代入了 T\_0=NT ，而由于 k 和 i 的求和区间都为 -\infty  到 \infty ，可用 k-iN 替代 k 得到最后一步推导。 取：

\begin{align}
\tilde{X}\_k &=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(\frac{k-iN}{T\_0}\right)
 =\frac{1}{T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}X[k-iN] \\
 &=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}
 X\left(\frac{k}{T\_0} - \frac{i}{T}\right)
\end{align}

  

### CFT与DFT的关系

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 x\_n 和 \tilde{X}\_k 。这里的 x\_n 和 \tilde{X}\_k 可看作一种DFT变换对，有关系：

\begin{align}
\tilde{X}\_k &
 =\frac{1}{T\_0}\sum\limits\_{n=0}^{N-1}\ x\_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn} \\
x\_n &=T\sum\limits\_{k=0}^{N-1}\ \tilde{X}\_k e^{\frac{2\pi i}{N}kn}
\end{align}

记为：

x\_n \quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad \tilde{X}\_k

对比传统DFT变换对的 x\_n 和 X\_k ，显然有：

X\_k=T\_0\tilde{X}\_k.

这一对变换的等式右边系数的乘积为 T/T\_0=1/N ，符合我们在DFT中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式 。

而由前面转换的推导过程可得到：

\sum\_{n=-\infty}^{\infty}x\_n\cdot\delta(t-nT)
 \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
\begin{matrix}
\displaystyle{\sum\_{k=-\infty}^{\infty}
 \tilde{X}\_k\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)}\\
\displaystyle{=\frac{1}{T\_0}
 \sum\_{k=-\infty}^{\infty}X\_k\cdot
 \delta\left(f - \frac{k}{T\_0}\right)}
\end{matrix}

为一对CFT，其中要求 T\_0=NT 。加之如果 x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f)，则有：

x\_n=\sum\_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT\_0)
\begin{matrix}
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad
 \tilde{X}\_k=\frac{1}{T\_0T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T\_0} - \frac{i}{T}\right)} \\
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT}}{\longleftrightarrow}\quad
 X\_k=\frac{1}{T}\sum\_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T\_0} - \frac{i}{T}\right)}
\end{matrix}

其中可以任选 T\_0 和 T 。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即 n,k\in\mathbb{Z} 。

参看
--

* 傅里叶变换
* 傅里叶级数
* 离散时间傅里叶变换
* 离散傅里叶变换

参考文献
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1. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R. (1999). *Discrete-time signal processing*, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
2. Sklar, B. (2001). *Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition*, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887