**等差数列**，又名**算术数列**（英語：），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为**公差**（）。

例如数列：

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。

性质
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如果一个等差数列的首项記作 *a1*，公差記作 *d*，那么该等差数列第 *n* 项 *an* 的一般項为：

{\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d}
換句話說，任意一個等差数列 {*an*} 都可以寫成

{\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}}

  

在一個等差數列中，給定任意兩相連項 *a**n*+1 和 *an* ，可知公差

{\displaystyle d=a\_{n+1}-a\_{n}}
給定任意兩項 *am* 和 *an* ，則有公差

{\displaystyle d={\frac {a\_{m}-a\_{n}}{m-n}}}

  

此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，*a*1 + *a*3 = 2*a*2。

更一般地說，有：

{\displaystyle a\_{n-1}+a\_{n+1}=2a\_{n}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n-1}+a\_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a\_{n}\\\end{aligned}}}
證畢。

  

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

{\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{n-1}+a\_{n+1}}{2}}}
此結果從上面直接可得。

  

如果有正整數 *m*, *n*, *p*, *q*，使得 {\displaystyle m+n=p+q}，那么则有：

{\displaystyle a\_{m}+a\_{n}=a\_{p}+a\_{q}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{m}+a\_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a\_{p}+a\_{q}\\\end{aligned}}}

  

由此可將上面的性質一般化成：

{\displaystyle a\_{n-k}+a\_{n+k}=2a\_{n}}
{\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{n-k}+a\_{n+k}}{2}}}
其中 *k* 是一個小於 *n* 的整數。

  

給定一個等差數列 {\displaystyle \{a\_{n}\}}，則有：

* {\displaystyle \{b+a\_{n}\}} 是一個等差數列。
* {\displaystyle \{b\cdot a\_{n}\}} 是一個等差數列。
* {\displaystyle \{b^{a\_{n}}\}} 是一個等比數列。
* {\displaystyle \{{\frac {b}{a\_{n}}}\}} 是一個等諧數列。

  

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

{\displaystyle a\_{n}=p+qn}
形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 *d* = *q*，首項 *a* = *p* + *q*。

等差數列和
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一個等差數列的首 *n* 項之和，稱為**等差数列和**（）或**算術級數**（），記作 *Sn*。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

  

等差數列求和的公式如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a\_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}}
等差数列和在中文教科書中常表达为:

**一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。**
公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

{\displaystyle S\_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]}
{\displaystyle S\_{n}=[a\_{n}-(n-1)d]+[a\_{n}-(n-2)d]+\dots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}}
将两公式相加来消掉公差 *d*，可得

{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a+a\_{n})}
整理可得第一種形式。

代入 {\displaystyle a\_{n}=a+(n-1)d}，可得第二種及第三種形式。

  

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

{\displaystyle S\_{n}=pn+qn^{2}}
形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 *d* = 2*q*，首項 *a* = *p* + *q*。

等差数列积
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一個等差數列的首 *n* 項之積，稱為**等差数列積**（），記作 *Pn*。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

  

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示：

{\displaystyle P\_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}}
證明如下：

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}}
這裡的 {\displaystyle x^{\overline {n}}} 为 *x* 的 *n* 次上升阶乘幂，例子如 {\displaystyle 1.1^{\overline {3}}=1.1\times 2.1\times 3.1} 。

  

使用上面的例子，對於數列 {1, 3, 5, 7} ：

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}}
結果相等。

参见
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* 序列
* 數列
* 級數
* 算術平均
* 等比數列
* 等諧數列

参考文献
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* Bhardwaj, S. Abiy, T. Kulkarni, O. et al. "Geometric Progressions." From Brilliant.  （页面存档备份，存于）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.  （页面存档备份，存于）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.  （页面存档备份，存于）.


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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
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| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
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| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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