圖片描畫了沙普利－福克曼引理：圖片分為左右兩版塊，左邊畫了四個集合，排成二乘二的方陣，每個集合恰有兩個點（紅）。每個集合的兩點之間，有一條線段（粉紅）相連，表示原集合的凸包。每個集合（或凸包）中，恰有一點用加號（+）標出。在二乘二的方陣居上的橫行，兩個加號各位於線段內；居下的橫行，兩個加號分別與某紅點重合。左版塊的描述完畢。右版塊則畫出四個集合的閔可夫斯基和，即從各集合各取一點求和，所產生的可能值的集合。本例中，有十六個不同的和，為平面上相異的點（紅）。右邊每個紅點是左邊某四個紅點的和。十六個紅點的凸包塗滿粉紅。右邊和集的粉紅色內部，恰有一個加號，該點即為左邊四個加號之和。回想左邊四點中，恰有兩點來自兩個非凸的原集合，另兩點則來自另兩個原集合的凸包，此四點之和為右邊標加號的點。此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利－福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。
**沙普利－福克曼引理**是凸幾何（英语：）的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的**閔可夫斯基和**，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數{\displaystyle 0}和1組成的集合，與自身相加，得到由{\displaystyle 0,\ 1,\ 2}組成的集合，以符號可寫成：

{\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2\}.}
「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利－福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為**凸**，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 \bullet  為凸集，但圓 \circ 則不然，因為連接相異兩點的線段 {\displaystyle \oslash } 並不是圓的子集。沙普利－福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。

沙普利－福克曼引理引入時，是作為證明**沙普利－福克曼定理**的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合{\displaystyle Q}的**凸包**，是包含{\displaystyle Q}的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數{\displaystyle D}及求和項的形狀，但不取決於求和的項數{\displaystyle N}，而只需{\displaystyle N>D}。只要其中D個求和項的形狀，就足以確定{\displaystyle N}個集合的閔可夫斯基平均集

{\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(Q\_{1}+Q\_{2}+\cdots +Q\_{N}\right)}
與其凸包的距離的上界。當{\displaystyle N}趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论將沙普利－福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為**沙普利－福克曼－斯塔定理**。

劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：）的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔（英语：）發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究**凸化**（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利－福克曼－斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里（英语：）評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利－福克曼引理在優化論和概率论皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函数之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明隨機集（英语：）的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。

簡單例子
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考慮凸的實數區間{\displaystyle [0,1]}，其包含整數子集{\displaystyle \{0,1\}}，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合{\displaystyle \{0,1\}}，複製成三份，並按元素求和，得到

{\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2,3\}.}
（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為**閔氏和**。）和集的凸包則為區間{\displaystyle [0,3]}。

區間{\displaystyle [0,3]}中，每個數x都可以寫成區間[0,1]中某三個實數（允許重複）之和，例如將x等分成三份即可。但使用沙普利－福克曼引理，則有更強的結論：{\displaystyle [0,3]}的每個數，都可以寫成{\displaystyle \{0,1\}}中某兩個整數（允許重複），與{\displaystyle [0,1]}中某一個實數之和。

凸包{\displaystyle [0,1]}中的點，到{\displaystyle \{0,1\}}的距離，至多為1/2：

{\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|{\frac {1}{2}}-0\right|=\left|{\frac {1}{2}}-1\right|,}
然而，考慮三個區間[0,1]的閔氏平均

{\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\left\{0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},\ 1\right\},}
與其凸包{\displaystyle [0,1]}的距離，僅為{\displaystyle 1/6}，即未平均前{\displaystyle \{0,1\}}與{\displaystyle [0,1]}距離（{\displaystyle 1/2}）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利－福克曼定理的結論。

前置概念
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沙普利－福克曼引理需要用到凸幾何（英语：）的若干定義和定理，本節將作簡介。

### 實向量空間

二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為{\displaystyle x,\ y}。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：

{\displaystyle (x\_{1},y\_{1})+(x\_{2},y\_{2})=(x\_{1}+x\_{2},y\_{1}+y\_{2}).}
此外，點也可以逐個坐標與實數\lambda 相乘：

{\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y).}
更一般而言，任何{\displaystyle D}維（有限維）實向量空間，均可視為{\displaystyle D}個實數組成的*D*元組的集合{\displaystyle \{(v\_{1},v\_{2},\ldots ,v\_{D})\}}，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。

### 凸集

看似圖盤的凸集。凸集（綠）包含連接兩點x、y的線段（黑），整條線段仍在凸集中。凸集Q中，連接任意兩點的線段仍是Q的子集。回力標或腰果形的非凸集（綠），另有連接兩點x、y的線段（黑）。線段有一部分超出了非凸集的範圍。非凸集Q中，連接某兩點的線段上，有一點不再是Q的元素。用線段可以檢驗某集合是否凸集。
實向量空間中，非空子集{\displaystyle Q}稱為**凸集**，意思是，對於{\displaystyle Q}的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在{\displaystyle Q}中。例如，實心圓盤 \bullet  為凸，但圓 \circ 則不然，因為連接相異兩點的線段 {\displaystyle \oslash } 並不是圓的子集。三個整數的集合{\displaystyle \{0,1,2\}}非凸，但其為區間{\displaystyle [0,2]}的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形（英语：），則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是空真命題（英语：）。

更嚴謹而言，集合{\displaystyle Q}稱為**凸**，意思是，對{\displaystyle Q}中任意兩點{\displaystyle v\_{0},v\_{1}}，和單位區間{\displaystyle [0,1]}中的任意實數{\displaystyle \lambda }，點

{\displaystyle (1-\lambda )v\_{0}+\lambda v\_{1}}
仍是{\displaystyle Q}的元素。

由數學歸納法，集合{\displaystyle Q}為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在{\displaystyle Q}中。所謂向量空間子集{\displaystyle \{v\_{0},v\_{1},\ldots ,v\_{D}\}}的**凸組合**，是其元素的任意加權平均{\displaystyle \lambda \_{0}v\_{0}+\lambda \_{1}v\_{1}+\cdots +\lambda \_{D}v\_{D}}，而各{\displaystyle \lambda \_{i}}可以是總和為{\displaystyle 1}的任意非負實數，即只需{\displaystyle \lambda \_{0}+\lambda \_{1}+\cdots +\lambda \_{D}=1}。

凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。

### 凸包

圓角的三角形，與三角形的（墨西哥）玉米餅或三角形路牌類似。三個圓角的曲線邊界畫成紅色，位於內部的區域則塗滿藍色。紅色集的凸包中，每個藍點都是若干個紅點的凸組合。
對於實向量空間的每個子集{\displaystyle Q}，其凸包{\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}是包含{\displaystyle Q}的最小凸集。所以，{\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}是所有覆蓋{\displaystyle Q}的凸集的交。等價地，可以將{\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}定義成{\displaystyle Q}的點的所有凸组合的集合。作為例子，整數集合{\displaystyle \{0,1\}}的凸包，是實數閉區間{\displaystyle [0,1]}，其兩端為原有的整數{\displaystyle 0,1}。单位圆的凸包則是閉单位圆盘，其包含單位圓。

### 閔可夫斯基和

笛卡兒平面的第一象限（兩坐標皆非負）上，畫有三個正方形，各邊與坐標軸平行。集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形{\displaystyle Q\_{1}=[0,1]^{2}}和{\displaystyle Q\_{2}=[1,2]^{2}}的和，是大正方形{\displaystyle Q\_{1}+Q\_{2}=[1,3]^{2}}。
在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）X中，兩個非空子集{\displaystyle A,B\subseteq X}的**閔可夫斯基和**，定義為其元素之和的集合，即 {\displaystyle A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}}（參見)。例如：

{\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.}
此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}Q\_{n}=Q\_{1}+Q\_{2}+\cdots +Q\_{N}}。由數學歸納法，可見

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}Q\_{n}=\left\{\left.\sum \_{n=1}^{N}q\_{n}\right|q\_{n}\in Q\_{n},~1\leq n\leq N\right\}.}
### 閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間X的任意子集{\displaystyle A,B\subseteq X}，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之，

{\displaystyle \mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).}
故由數學歸納法得

{\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum \_{n=1}^{N}Q\_{n})=\sum \_{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q\_{n})}
對任意N\in {\mathbb {N}}和非空子集{\displaystyle Q\_{n}\subseteq X}（{\displaystyle 1\leq n\leq N}）成立。

各命題的敍述
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圖片描畫了沙普利－福克曼引理：圖片分為左右兩版塊，左邊畫了四個集合，排成二乘二的方陣，每個集合恰有兩個點（紅）。每個集合的兩點之間，有一條線段（粉紅）相連，表示原集合的凸包。每個集合（或凸包）中，恰有一點用加號（+）標出。在二乘二的方陣居上的橫行，兩個加號各位於線段內；居下的橫行，兩個加號分別與某紅點重合。左版塊的描述完畢。右版塊則畫出四個集合的閔可夫斯基和，即從各集合各取一點求和，所產生的可能值的集合。本例中，有十六個不同的和，為平面上相異的點（紅）。右邊每個紅點是左邊某四個紅點的和。十六個紅點的凸包塗滿粉紅。右邊和集的粉紅色內部，恰有一個加號，該點即為左邊四個加號之和。回想左邊四點中，恰有兩點來自兩個非凸的原集合，另兩點則來自另兩個原集合的凸包，此四點之和為右邊標加號的點。閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點，組成左圖四個非凸集的閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。
由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點{\displaystyle x\in \mathrm {Conv} \left(\sum \_{n=1}^{N}Q\_{n}\right)}，都存在各凸包的{\displaystyle q\_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q\_{n})}（{\displaystyle n}取遍1至{\displaystyle N}），使得{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}q\_{n}(x)=x}。各點{\displaystyle q\_{n}(x)}的位置取決於x。

### 引理

劳埃德·沙普利的相片劳埃德·沙普利，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與強·福克曼（英语：）一同證明沙普利－福克曼引理。
有了以上背景，**沙普利－福克曼引理**斷言，x的表示法

{\displaystyle x=\sum \_{n=1}^{N}q\_{n}(x)}
中*，*僅需要不多於{\displaystyle D}個被加項{\displaystyle q\_{n}(x)}取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合{\displaystyle Q\_{n}}。以符號復述，即有以上方法表示x，且滿足{\displaystyle |\{l\leq n\leq N\mid q\_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q\_{n})\setminus Q\_{n}\}|\leq D}。不妨將下標重新排序，然後就有

{\displaystyle x=\sum \_{n=1}^{D}q\_{n}(x)+\sum \_{n=D+1}^{N}q\_{n}(x)}
其中對{\displaystyle 1\leq n\leq D}，有{\displaystyle q\_{n}\in \mathrm {Conv} (Q\_{n})}，而對{\displaystyle D+1\leq n\leq N}，則有{\displaystyle q\_{n}\in Q\_{n}}。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點x。再精簡，沙普利－福克曼引理可以寫成

{\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum \_{n=1}^{N}Q\_{n})\subseteq \bigcup \_{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum \_{n\in I}\mathrm {Conv} (Q\_{n})+\sum \_{n\notin I}Q\_{n}.}
舉例，集合{\displaystyle [0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})}中的每個點，根據引理，必定可以寫成\{0,1\}的某個元素，與[0,1]的某個元素之和。

#### 實向量空間的維數

反之，沙普利－福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數{\displaystyle D}滿足引理的結論，但對小於{\displaystyle D}的數不滿足，則其維數恰好為{\displaystyle D}。引理僅對**有限維**向量空間成立。

### 沙普利－福克曼定理及斯塔的推論

一個藍色圓盤，其內散佈有多個紅色點。有另一個較小的綠色圓盤，佔據了最大的無紅色點的空腔。某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。
沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利－福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為**凸化**（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：

> 凸化和{\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q\_{n}\right)}的任一點，到（未凸化）和集{\displaystyle \sum Q\_{n}}的歐氏距離平方，不超過各集合{\displaystyle Q\_{n}}的外接半徑中，最大{\displaystyle D}個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數{\displaystyle N}無關（但要求{\displaystyle N>D}，且集合不能越來越大）。
> 
> 

上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數{\displaystyle D}及各被加項的形狀，但只要{\displaystyle N>D}，就不取決於項數{\displaystyle N}。

通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合{\displaystyle Q\_{n}}的**內半徑**定義為：

> 最小的正實數{\displaystyle r}，滿足：若q 在{\displaystyle Q\_{n}}凸包中，則q 在{\displaystyle Q\_{n}}若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為{\displaystyle r}的球內。
> 
> 

斯塔將沙普利－福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利－福克曼定理的上界：

> **沙普利－福克曼定理的斯塔推論**：
> 
> 
> 凸化和{\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q\_{n}\right)}的任一點，到（未凸化）和集{\displaystyle \sum Q\_{n}}的歐氏距離平方，不超過各集合{\displaystyle Q\_{n}}的內半徑中，最大{\displaystyle D}個的平方和。
> 
> 
> 

斯塔的推論確定，{\displaystyle N}個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為**非凸度**。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於{\displaystyle D}個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數{\displaystyle N}（假設{\displaystyle N>D}）。

  

例如，非凸集{\displaystyle \{0,1,2\}}的非凸度為{\displaystyle 1/2}，因為與其凸包（區間{\displaystyle [0,2]}）的距離為

> {\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.}
> 
> 

所以，既然{\displaystyle \sum Q\_{n}}的非凸度有不取決於項數{\displaystyle N}的上界，就知平均集

{\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum Q\_{n}\right)}
非凸度上界，會隨{\displaystyle N}增加而遞減。例如，平均集

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\{0,\ 1/2,\ 1\}}
和其凸包[0,1]的距離僅為1/4，等於被加項{\displaystyle \{0,1\}}與其凸包{\displaystyle [0,1]}的距離（{\displaystyle 1/2}）之半。僅要最大{\displaystyle D}個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以{\displaystyle N}後，平均集與凸包的距離，在{\displaystyle N}趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。

### 證明和計算

沙普利－福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、蓋士利（英语：）、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德（英语：）的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博赛卡斯的書有講述有限維空間沙普利－福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。

應用
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有沙普利－福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最优化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

### 經濟學

圖示笛卡兒平面的第一象限，即兩坐標皆非負。藍色的直線向下斜，經過兩點，分別在兩條坐標軸上。藍色線與一條紅色的曲線相切，該曲線像圓角的L形，相切點的坐標為Qx、Qy。該紅色曲線的上方和下方，各有一條形狀相似的紅色曲線，總共有三條不相交的紅色曲線。消費者偏好位於無差異曲線I\_{3}上的任意籃子，勝過位於I\_{2}上的籃子。籃子{\displaystyle (Q\_{x},Q\_{y})}，是預算線（藍色）支撐（英语：）I\_{2}的位置，所以是最優而又可行（英语：）。相反，雖然消費者更偏好I\_{3}上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。
参见：經濟學中的凸集（英语：）
經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族无差异曲线，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的**偏好集**，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為**凸**，意思是其所有偏好集皆為凸。

如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐（英语：）某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。

#### 非凸偏好

笛卡兒平面的第一象限上，有一個非凸的偏好集，其邊界像是豎－橫－豎－橫的樓梯形，但是平滑曲形（圓角）。動圖中，預算線在移動，保持與偏好集的曲線相切，但是，無法接觸到凹陷的地方相切。若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。
参见：非凸集 (經濟學)（英语：）
然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（狮鹫）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。

若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：

> 
> 若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。
> 
> 
> 

瓦爾特·迪韋爾特（英语：）書中，稱赫爾曼·沃爾德（英语：）有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」。

儘管有上述困難，《政治經濟期刊（英语：）》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴托爾（英语：）、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利－舒比克論文又啟發了罗伯特·奥曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。

#### 斯塔1969年的論文與當代經濟學

肯尼斯·阿罗的相片肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔獎得主）幫助羅斯·斯塔（英语：）研究非凸經濟體（英语：）。
肯尼斯·阿罗收集前人研究經濟學中的非凸集（英语：）的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔（英语：）。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：）參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。

斯塔1969年的論文中，應用沙普利－福克曼－斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為{\displaystyle p\_{\mathrm {opt} }}的準均衡，滿足下列條件：

* 對每個準均衡{\displaystyle p\_{\mathrm {opt} }}，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
* 在該價格{\displaystyle p\_{\mathrm {opt} }}，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
* 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清（英语：）」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利－福克曼定理的斯塔推論得到。

斯塔確立以下結論：

> 
> 「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」
> 
> 
> 

斯塔1969年論文發表後，沙普利－福克曼－斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里（英语：）如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利－福克曼－斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微观经济学、一般均衡理論、公共經濟學（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、經濟學中的应用数学。沙普利－福克曼－斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和积分理論。

### 最優化理論

凸函數的圖像，是一條黑色的U形曲線。其蓋圖，即曲線上方的區域，塗滿綠色。函數稱為凸，意思是圖像上方的區域為凸集。
沙普利－福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利－福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。

#### 最優化理論的前置概念

非线性规划依賴下列有關函數的若干定義：

* 函數f（定義在集合{\displaystyle D}上）的**圖像**，是所有參數x與相應取值{\displaystyle f(x)}組成的二元組的集合：

{\displaystyle \mathrm {Graph} (f)=\{(x,f(x)):x\in D\}.}
* 實值函數（英语：）f的**蓋圖（英语：）**是圖像上方的點的集合：

正弦函數的圖像，是波浪形的曲線，在-1與+1之間上下振動，以2π為周期。正弦函數並非凸函数。
{\displaystyle \mathrm {Epi} (f)=\{(x,u):f(x)\leq u\}.}
* 實值函數稱為**凸函数**，意思是其蓋圖為凸集。

舉例，二次函数{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}為凸，而绝对值函數{\displaystyle g:x\mapsto |x|}亦然，但正弦函數{\displaystyle \sin }（如圖）則不然，因為在區間{\displaystyle (0,\pi )}的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

#### 加性優化問題

許多優化問題中，目標函數{\displaystyle f}**可分離變數**（可分），即{\displaystyle f}是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：

{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})=\sum \_{n}f\_{n}(x\_{n}).}
又例如，线性规划問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解

{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\_{\mathrm {min} }=(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\_{\mathrm {min} },}
在該點取到最小值{\displaystyle f({\boldsymbol {x}}\_{\mathrm {min} })}。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項f\_{n}的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列{\displaystyle ({\boldsymbol {x}}\_{j},f({\boldsymbol {x}}\_{j}))\_{j=1}^{\infty }}的極限，其中

{\displaystyle ({\boldsymbol {x}}\_{j},f({\boldsymbol {x}}\_{j}))\in \sum \_{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (\mathrm {Graph} (f\_{n})).}
當然，因為此點是{\displaystyle N}個圖像凸包的點之和，由沙普利－福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析，1974年由埃科蘭德（英语：）發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定条件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾（英语：）詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利－福克曼引理為關鍵一步。沙普利－福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。

### 概率與測度論

凸集常與概率论一同研究。卡拉西奧多里定理（英语：）說明，{\displaystyle d}維空間的（非空）子集{\displaystyle Q}凸包中的點，是取值於{\displaystyle Q}的簡單隨機向量（英语：）的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於{\displaystyle d+1}個點處有非零概率。所以，對非空集{\displaystyle Q}，取值自{\displaystyle Q}的簡單隨機向量組成的集合，等於{\displaystyle Q}的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利－福克曼－斯塔的結果。反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利－福克曼－斯塔的結果。沙普利－福克曼－斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論（英语：），例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差原理（英语：）。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利－福克曼－斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。

概率测度是有限的测度，而沙普利－福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如体积或向量测度的理論。沙普利－福克曼引理可以加強布倫－閔可夫斯基不等式（英语：）。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒贝格测度。

  

高等測度論中，沙普利－福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量测度的值域為凸。**值域**（或**像集**）是函數所有可能取值的集合，而**向量測度**則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某测度空間有兩種概率测度{\displaystyle p\_{1}}和{\displaystyle p\_{2}}，則可定義一個向量測度{\displaystyle (p\_{1},p\_{2})}，是對每個事件{\displaystyle \omega }，將其兩個概率結合為一個二元組，即

{\displaystyle (p\_{1},p\_{2})(\omega )=(p\_{1}(\omega ),p\_{2}(\omega )).}
李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論（英语：）皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利－福克曼引理的連續版，而沙普利－福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。

註
-

1. 1 2 3 4 5  Starr (1969)
2. 1 2  Howe (1979, p. 1)
3. 1 2 3 4 5 6  Starr (2008)
4. 1 2  Guesnerie (1989, p. 138)
5. 1 2 3 4 5  （Ekeland 1999，pp.357–359）: 1976年首部英文版中，埃科蘭德在附錄證明沙普利－福克曼引理，並在p. 373提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。
6. 1 2  Bertsekas (1996, pp. 364–381)於p. 374引用Ekeland (1999)，並在p. 381引用Aubin & Ekeland (1976)：

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Bertsekas (1996, pp. 364–381)將拉格朗日對偶法用到發電排程（英语：）上（即機組排程問題（英语：）），此種問題有變量限制為整數（英语：），所以非凸：

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8. 1 2 3 4  Carter (2001, pp. 93–94)，取*n* = 3。
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> 會注意到，競爭市場中，不能觀測到無差異曲線凸處（而不是凹）的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽，除非我等令該消費者壟斷買方，且從非常凸的「預算曲線」上，選取所買的商品。（其沿此曲線，影響所買商品的價格。）在买方垄断的情況，仍可從均衡點觀測到的限制的斜算，推斷該人無差異曲線的斜率。［譯按：此處凸與凹的約定，與本條目相反。］

Samuelson, Paul A.  [效用論的可積性問題]. Economica. New Series. November 1950, **17** (68): 355–385. JSTOR 2549499. MR 0043436. doi:10.2307/2549499 （英语）. 「永恆的黑暗」描述彌爾頓所著《失樂園》中的地獄，其卷二第592至594行將地獄的凹陷與塞波尼斯大沼澤（英语：）相比：

> A gulf profound as that Serbonian Bog  
> Betwixt Damiata and Mount Casius old,  
> Where Armies whole have sunk.

彌爾頓對凹陷的描寫，是Arrow & Hahn (1980, p. 169)第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好與生產的市場］的題辭（英语：）。該章講解Starr (1969)的成果。
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Koopmans (1961, p. 478)、Farrell (1959, pp. 390–391)、Farrell (1961a, p. 484)、Bator (1961a, pp. 482–483)、Rothenberg (1960, p. 438)、Starr (1969, p. 26)評論了Koopmans (1957, pp. 1–126, 尤其 9–16 [1.3 Summation of opportunity sets]、 23–35 [1.6 Convex sets and the price implications of optimality]、 35–37 [1.7 The role of convexity assumptions in the analysis]三節)：

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63. ↑  Rockafellar (1997, p. 23)
64. ↑  某集合內的序列的極限，必在該集合的閉包中，即最小而包含原集合的閉集。兩個閉集的閔氏和不必閉，故若以{\displaystyle \mathrm {Cl} }表示閉包，則雖然有包含關係
{\displaystyle \mathrm {Cl} (P)+\mathrm {Cl} (Q)\subseteq \mathrm {Cl} (P+Q),}
但可能為嚴格包含（左右不必相等）。據Rockafellar (1997, pp. 49及75)，即使兩個被加項各已是閉凸集，仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉，則要取其閉包，即要添加所有收斂序列的極限。
65. ↑  Lemaréchal (1973, p. 38): Lemaréchal, Claude.  [在非凸問題使用對偶] (Report). Domaine de Voluceau, Rocquencourt, Le Chesnay, France: IRIA（現INRIA）, Laboratoire de recherche en informatique et automatique: 41. April 1973 （法语）.  `|issue=`被忽略 (帮助) 
勒馬雷沙爾的實驗，日後有下列論文討論：
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Hiriart-Urruty & Lemaréchal (1993, pp. 143–145, 151, 153, and 156): Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude.  [第十二章：實踐用的抽象對偶性].  [凸分析和最小化算法，第二卷：進階理論及束法]. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [數理科學的基本原理] **306**. Berlin: Springer-Verlag. 1993: 136–193 （及pp. 334–335所列的文獻附註）. ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240 （英语）.
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Aubin & Ekeland (1976)及Ekeland (1999, pp. 362–364)也考慮非凸最小值問題的**閉凸包**，即對原問題的蓋圖（英语：）取閉凸包所得的新問題。Di Guglielmo推廣到研究非凸多目標優化（英语：）問題的擬凸閉包，即對目標函數的下水平集取凸閉包所得的問題：

Di Guglielmo (1977, pp. 287–288): Di Guglielmo, F.  [多目標優化的非凸對偶]. Mathematics of Operations Research. 1977, **2** (3): 285–291. JSTOR 3689518. MR 0484418. doi:10.1287/moor.2.3.285 （英语）.
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76. ↑  Vind (1964, pp. 168 and 175): Vind, Karl.  [多交易者交易經濟體中的埃奇沃思分配]. International Economic Review. May 1964, **5** (2): 165–77. JSTOR 2525560. doi:10.2307/2525560 （英语）.  1983年諾貝爾獎得主傑拉德·德布魯有注意維恩（Vind）的論文。Debreu (1991, p. 4)寫道：

> 
> 凸集的概念（即該集合包含連接其任意兩點的線段），已經多次成為1964年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後，得以新眼光看待此事：若經濟體的每個參與者，對應商品空間的某個任意集合，而又對一族不重要的參與者取平均，則所得的集合必然為凸。[德布魯附註：「此為A. A. 李亞普諾夫的定理的直接推論，參見Vind (1964)。」] 但⋯⋯諸價格函數⋯⋯可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中，對一族不重要參與者加總可以得到凸性，是經濟理論⋯⋯從積分理論得來的觀察。 [刪節後譯文]
> 

Debreu, Gérard.  [經濟理論的數學化]. The American Economic Review. March 1991, **81** (Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC): 1–7. JSTOR 2006785 （英语）.
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參考文獻
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外部鏈結
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