橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯，縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線，其與縱軸相交的截距值為−1⁄12
無窮級數中**1 + 2 + 3 + 4 + …**為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }n}

此級數前 *n* 项的部分和即是三角形數：

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}
尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過黎曼ζ函數正規化（英语：）與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}}，表示為：

{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}
此結果在复分析、量子力学及弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明
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条目：三角形數

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| 前六個三角形數 | 海什木（Alhazen）的正整數和公式推導 |

自然数從 *1* 加到 *n* 的和是 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} 能用许多方法证明。首先令

{\displaystyle S\_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,}
我们将这些项重排反着写：

{\displaystyle S\_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,}
将两者相加，对应项相加，我们得到 

{\displaystyle 2S\_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} \_{n},}
{\displaystyle 2S\_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} \_{n},}
{\displaystyle 2S\_{n}=n\cdot (n+1),}
{\displaystyle S\_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}

ζ函数的求和与解析连续性
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当 *s* 的实部大于 1，*s* 次方的黎曼ζ函数等于求和 {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}。当 *s* 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 *s* = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}}。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外給其定義，其拉马努金求和的结果為 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}}。

物理
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在玻色弦理論中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组 {\displaystyle D} 无关量子谐振子，这里 {\displaystyle D} 是时空的维数。如果基本振子频率是 {\displaystyle \omega } 则一个振子对 {\displaystyle n} 级谐波的贡献是 {\displaystyle {\frac {n\hbar \omega }{2}}}。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 {\displaystyle -{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}}。最后这确实是正确的，与Goddard–Thorn theorem（英语：）一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

历史
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在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：

"亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布羅米奇（英语：）的"无穷级数"而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。」

引用
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* Berndt, Bruce C. Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin.. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
* Hardy, G.H.. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.

延伸阅读
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* Lepowsky, James.. Contemporary Mathematics. 1999, **248**: 327–340  [2008-12-13]. （原始内容存档于2018-12-01）.
* Zee, A.. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6.  See pp. 65–6 on the Casimir effect.
* Zwiebach, Barton.. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1.  See p. 293.

外部链接
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* 数学物理每周发现（124周）（页面存档备份，存于），（126周）（页面存档备份，存于），（147周）（页面存档备份，存于）
* 欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12 的证明
* 所有自然数的和等于负十二分之一视频（页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
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| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
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| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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