在数学中，**格朗沃尔引理**或**格朗沃尔不等式**说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明。而积分形式则是由理查德·贝尔曼（）在1943年证明。

微分形式
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设 *I* 是一个实数区间，记为：[*a*, ∞) 或 [*a*, *b*] 或 [*a*, *b*)，其中 *a* < *b*。又设*β* 和 *u* 为定义在 *I* 上的实数值的连续函数。假设 *u* 是一个在 *I* 的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：

{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}
那么对于所有的{\displaystyle t\in I^{\circ }}，函数 *u* 都小于等于以下微分方程{\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}的解：

{\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int \_{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}

  

注意：不等式对函数 *β* 和 *u* 的符号没有任何要求。 

### 证明

如果设

{\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int \_{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
是以下微分方程 

{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}
其中 *v*(*a*) = 1 的解，那么对所有的 *t* 都有 *v*(*t*) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}
对所有的 *t* > *a* 成立，因此 

{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}
于是格朗沃尔不等式得证。

积分形式
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设 *I* 是一个实数区间，记为：[*a*, ∞) 或 [*a*, *b*] 或 [*a*, *b*)，其中 *a* < *b*。又设 *α*、*β* 和 *u* 为定义在 *I* 上的实数值的函数。假设 *β* 和 *u* 是连续的，则有：

* (a) 如果 *β* 是非负函数并且 *u* 满足如下的积分不等式：

{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int \_{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}，
那么
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int \_{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int \_{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}。
* (b) 如果在之前的条件下， *α* 还是一个常数，那么

{\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int \_{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
注意：

* 不等式的成立条件里并没有限制 *α* 和 *u* 的符号；
* 相比于微分形式，积分形式中对函数 *u* 的可微性没有做要求；

  

### 证明

(a) 定义

{\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int \_{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int \_{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}
则运用复合函数求导法则中的乘積法則、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

{\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int \_{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} \_{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int \_{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}，
由于注意到括号中的部分小于 *α*，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 *β* 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 *v*(*a*) = 0，因此积分式等价于：

{\displaystyle v(t)\leq \int \_{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int \_{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}
再运用第一步里 *v*(*t*) 的定义，就得到：

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int \_{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int \_{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int \_{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int \_{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} \_{=\,\int \_{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}。
最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 *α* 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

{\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int \_{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}\_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int \_{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}。

参见
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* 全局解

参考来源
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1. ↑  T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math 20 (1919), 292–296.
2. ↑  Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.

* 楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
* 李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
* Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, *Averaging methods in nonlinear dynamical systems*, Springer,2007.