雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 \sigma -等值曲線，藍色圓圈則是 \tau -等值曲線。
**雙極圓柱坐標系**（英語：）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F\_{{1}} 與 F\_{{2}} ，其直角坐標 (x,\ y) 分別設定為 (-a,\ 0) 與 (a,\ 0) 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，{\displaystyle L\_{1}} 與 {\displaystyle L\_{2}} ，稱為**焦線**。

基本定義
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雙極圓柱坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ z) 通常定義為

{\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、
{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、
{\displaystyle z=z} ；
其中，點 P 的 \sigma  坐標等於 \angle F\_{{1}}PF\_{{2}} 的弧度，\tau  坐標等於 {\displaystyle d\_{1}=F\_{1}P} 與 {\displaystyle d\_{2}=F\_{2}P} 的比例的自然對數

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}}。
注意到焦線 F\_{1} 與 F\_{2} 的坐標分別為 {\displaystyle x=-a} 與 x=a 。

坐標曲面
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雙極坐標的幾何詮釋。 \overline {F\_{1}P} 與 \overline {F\_{2}P} 的夾角 \angle F\_{{1}}PF\_{{2}} 的弧度是 \sigma  。F\_{1}P 與 F\_{2}P 的比例的自然對數是 \tau  。\sigma  與 \tau  的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。
不同 \sigma  的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 L\_{1} 與 L\_2 的圓柱面：

{\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 \sigma  的圓柱面的圓心線都在 y>0 半空間；而負值 \sigma  的圓柱面的圓心線則在 y<0 半空間。當絕對值 \left|\sigma \right| 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，\left|\sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。

不同 \tau  的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

{\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 \tau  的圓柱面在 x>0 半空間；而負值 \tau  的圓柱面在 x<0 半空間。 \tau =0 平面則與 yz-平面同平面。當 \tau  值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

### 逆變換

雙極圓柱坐標 (\sigma ,\ \tau ,\ z) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

{\displaystyle d\_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}} 、
{\displaystyle d\_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}} 。
\tau  是 d\_{{1}} 與 d\_{{2}} 的比例的自然對數：

\tau =\ln {\frac {d\_{{1}}}{d\_{{2}}}} 。
\angle F\_{1}PF\_{2} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline {F\_{1}P} 與 \overline {F\_{2}P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma  。用餘弦定理來計算：

\cos \sigma ={\frac {d\_{1}^{2}+d\_{2}^{2}-4a^{2}}{2d\_{1}d\_{2}}} 。
z-坐標的公式不變：

z=z 。

標度因子
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雙極圓柱坐標 \sigma  與 \tau  的標度因子相等；而 z 的標度因子是 1 ：

h\_{{\sigma }}=h\_{{\tau }}={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }} 、
{\displaystyle h\_{z}=1} 。
所以，無窮小體積元素等於

{\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz} 。
拉普拉斯算子是

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}} 。
其它微分算子，例如 \nabla \cdot {\mathbf {F}} 與 \nabla \times {\mathbf {F}} ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用
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雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱
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* 论
* 编
正交坐标系 |
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| 二维正交坐标系 | 
* 笛卡儿坐标系
* 极坐标系
* 拋物线坐标系
* 雙極坐標系
* 椭圆坐标系

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* 直角坐标系
* 圆柱坐标系
* 球坐标系
* 旋转拋物线坐标系
* 抛物柱面坐标系
* 抛物面坐标系
* 扁球面坐标系
* 長球面坐標系
* 椭球坐标系
* 椭圆柱坐标系
* 圆环坐标系
* 雙球坐標系
* 雙極圓柱坐標系
* 圆锥坐标系

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參考文獻
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* Margenau H, Murphy GM.. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Korn GA, Korn TM.. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
* Moon P, Spencer DE..  corrected 2nd ed. 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)