**矩阵差分方程**是一种差分方程，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。方程的**阶**是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如

{\displaystyle \mathbf {x} \_{t}=\mathbf {Ax} \_{t-1}+\mathbf {Bx} \_{t-2}}
是二阶矩阵差分方程，其中**x**是*n* × 1变量向量，**A**、**B**是*n* × *n*矩阵。该方程齐次，因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成

{\displaystyle \mathbf {x} \_{t+2}=\mathbf {Ax} \_{t+1}+\mathbf {Bx} \_{t}}
或

{\displaystyle \mathbf {x} \_{n}=\mathbf {Ax} \_{n-1}+\mathbf {Bx} \_{n-2}}
最常见的矩阵差分方程都是一阶的。

非齐次一阶情形及稳态
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非齐次一阶矩阵差分方程如：

{\displaystyle \mathbf {x} \_{t}=\mathbf {Ax} \_{t-1}+\mathbf {b} }
与一个加性常向量 **b**。该系统的稳态是**x**向量的值**x**\*，一旦达到就不会偏离。**x**\*可通过置**x***t* = **x***t*−1 = **x**\*、解**x**\*以得

{\displaystyle \mathbf {x} ^{\*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }
其中**I**是*n* × *n*单位矩阵，假定[**I** − **A**]可逆。非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写：

{\displaystyle \left[\mathbf {x} \_{t}-\mathbf {x} ^{\*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} \_{t-1}-\mathbf {x} ^{\*}\right]}

一阶情形的稳定性
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一阶矩阵差分方程[**x***t* − **x**\*] = **A**[**x***t*−1 − **x**\*]是稳定的，即当且仅当转移矩阵**A**的所有特征值（无论实复）绝对值都小于1时，**x***t*才逐渐收敛到稳态**x**\*。

解一阶情形
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假定方程齐次形式为**y**t = **Ay***t*−1，然后可从初始条件**y**0开始迭代。**y**0是**y**的初值，必须得知才能求解：

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} \_{1}&=\mathbf {Ay} \_{0}\\\mathbf {y} \_{2}&=\mathbf {Ay} \_{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} \_{0}\\\mathbf {y} \_{3}&=\mathbf {Ay} \_{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} \_{0}\end{aligned}}}
以此类推，由数学归纳法，用t表示的解为

{\displaystyle \mathbf {y} \_{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} \_{0}}
此外，若**A**可对角化，就可用它的特征值和特征向量重写**A**，得到解

{\displaystyle \mathbf {y} \_{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} \_{0},}
其中**P**是*n* × *n*矩阵，列是**A**的特征向量（假设特征值互异）；**D**是*n* × *n*对角矩阵，对角元是**A**的特征值。这个解就是上述稳定性结果的依据：当且仅当A的特征值绝对值都小于1，**A***t*才会随时间收缩到零矩阵。

从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性
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从*n*维系统**y***t* = **Ay***t*−1开始，可以提取其中一个状态变量（如*y*1）的动态变化。上述yt的求解方程表明，*y*1,*t*的解是根据**A**的n个特征值求得的。因此，描述*y*1变化的方程本身必须有涉及特征值的解。这种描述直观地产生了*y*1的演化方程，即

{\displaystyle y\_{1,t}=a\_{1}y\_{1,t-1}+a\_{2}y\_{1,t-2}+\dots +a\_{n}y\_{1,t-n}}
其中参数ai来自**A**的特征方程式：

{\displaystyle \lambda ^{n}-a\_{1}\lambda ^{n-1}-a\_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a\_{n}\lambda ^{0}=0.}
因此，n维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元n阶差分方程演化，与矩阵差分防尘具有相同的稳定性。

高阶情形的解与稳定性
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可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶，可以求解时滞超过一个周期的高阶方程，并分析其稳定性。例如，假设有二阶方程

{\displaystyle \mathbf {x} \_{t}=\mathbf {Ax} \_{t-1}+\mathbf {Bx} \_{t-2}}
变量向量**x**尺寸为*n* × 1，**A**、**B**尺寸为*n* × *n*。则可以叠加为下列形式

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \_{t}\\\mathbf {x} \_{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \_{t-1}\\\mathbf {x} \_{t-2}\end{bmatrix}}}
其中**I**是*n* × *n*单位矩阵，**0**是*n* × *n*零矩阵。然后将当前变量和一度滞后变量的2*n* × 1叠加向量表示为**z***t*，将2*n* × 2*n*分块矩阵表示为**L**，就得到了之前的解

{\displaystyle \mathbf {z} \_{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} \_{0}}
与之前一样，当且仅当矩阵**L** 的所有特征值的绝对值都小于1时，叠加方程与原二阶方程才稳定。

非线性矩阵差分方程：黎卡提方程
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在LQG控制中，会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程，下面用**H**表示。这个方程也被称为离散动力黎卡提方程，当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制，以优化二次损失函数时，就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下：

{\displaystyle \mathbf {H} \_{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} \_{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} \_{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} \_{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} \_{t}\mathbf {A} }
其中**H**、**K**、**A**尺寸为*n* × *n*；**C**尺寸为*n* × *k*；**R**尺寸为*k* × *k*，*n*是受控向量元素数，*k*是控制向量元素数。参数矩阵**A**、**C**来自线性方程，参数矩阵**K**、**R**来自二次损失函数。详见此处。

一般来说，该方程无法根据t分析求解**H***t*，而是通过迭代黎卡提方程，求出**H***t*的值序列。不过，已经证明，若**R** = **0**、*n* = *k* + 1，则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解；对任意k、n，若转移矩阵**A**可逆，则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解，尽管特征值可能要用数值计算才能找到。

在大多数情况下，**H**随时间的演化是稳定的，也就是说**H**会收敛到特定的常矩阵**H**\*，其他矩阵都有理时也可能是无理的。参见隨機控制#離散時間系統。

相关的黎卡提方程是

{\displaystyle \mathbf {X} \_{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} \_{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} \_{t}\right]^{-1}}
其中**X**, **A**, **B**, **C**, **E**全都是*n* × *n*方阵。这个方程可以显式求解。假设{\displaystyle \mathbf {X} \_{t}=\mathbf {N} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}}，在*t* = 0时**N**0 = **X**0、**D**0 = **I**显然成立。然后将其用于差分方程，得出

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} \_{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}\right]\mathbf {D} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} \_{t}+\mathbf {BN} \_{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}\right]\mathbf {D} \_{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} \_{t}+\mathbf {BN} \_{t}\right]\left[\mathbf {CD} \_{t}+\mathbf {AN} \_{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} \_{t+1}\mathbf {D} \_{t+1}^{-1}\end{aligned}}}
因此通过归纳法，形式{\displaystyle \mathbf {X} \_{t}=\mathbf {N} \_{t}\mathbf {D} \_{t}^{-1}}对所有t都成立。那么**N**、**D**的演化可写为

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} \_{t+1}\\\mathbf {D} \_{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} \_{t}\\\mathbf {D} \_{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} \_{t}\\\mathbf {D} \_{t}\end{bmatrix}}}
因此可归纳

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} \_{t}\\\mathbf {D} \_{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} \_{0}\\\mathbf {D} \_{0}\end{bmatrix}}}

另见
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* 矩阵微分方程
* 差分方程
* 线性差分方程
* 动力系统
* 代数Riccati方程

参考文献
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1. ↑  Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie.. Springer. 2005. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
2. ↑  Chiang, Alpha C. 需要免费注册 3rd. McGraw-Hill. 1984: 608–612. ISBN 9780070107809.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
3. ↑  Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W.  (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 2007, **31** (1): 141–159. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013.
4. ↑  Vaughan, D. R.. IEEE Transactions on Automatic Control. 1970, **15** (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.
5. ↑  Martin, C. F.; Ammar, G.. Bittani; Laub; Willems (编).. Springer-Verlag. 1991. ISBN 978-3-642-63508-3. doi:10.1007/978-3-642-58223-3\_5.