**米迪定理**說明如果将{\frac {a}{p}}化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数，则有以下性质：

* 若將這個分數用循環小數寫成0.\overline {a\_{1}a\_{2}a\_{3}...a\_{n}a\_{{n+1}}...a\_{{2n}}}，则
* a\_{i}+a\_{{i+n}}=b-1
* a\_{1}\dots a\_{n}+a\_{{n+1}}\dots a\_{{2n}}=b^{n}-1.

這個定理還可再推廣为**广义米迪定理**：若把长度2n的循环节划分为长度为k的{\frac {2n}{k}}个组，即0.\overline {a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{k}a\_{{k+1}}\cdots a\_{{2k}}\cdots a\_{{2n-k+1}}a\_{{2n-k+2}}\cdots a\_{{2n}}}，则a\_{1}a\_{2}...a\_{k}+a\_{{k+1}}a\_{{k+2}}...a\_{{2k}}+...+a\_{{2n-k+1}}a\_{{l-k+2}}...a\_{{2n}}是b^{k}-1的倍數。

例
-

{\frac {1}{17}}=0.\overline {0588235294117647}（10进制）
循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。

* 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……
* 05882352+94117647=10^{8}-1

{\frac {1}{19}}=0.\overline {052631578947368421}（10进制）
循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。

* 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……
* 052631578+947368421=10^{9}-1
* 052631+578947+368421=10^{6}-1（广义米迪定理，k=6）
* 052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^{3}-1)（广义米迪定理，k=3）

{\frac {1}{19}}=0.\overline {032745}\_{8}
* 032\_{8}+745\_{8}=777\_{8}
* 03\_{8}+27\_{8}+45\_{8}=77\_{8}.

定理的证明
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米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而，也可以用算术和同余来证明米迪定理：

设*p*为素数，*a*/*p*是0与1之间的分数。假设在*b*进制中，*a*/*p*的展开式的周期为*l*，所以：

{\frac {a}{p}}=[0.\overline {a\_{1}a\_{2}\dots a\_{l}}]\_{b}
\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=[a\_{1}a\_{2}\dots a\_{l}.\overline {a\_{1}a\_{2}\dots a\_{l}}]\_{b}
\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=N+[0.\overline {a\_{1}a\_{2}\dots a\_{l}}]\_{b}=N+{\frac {a}{p}}
\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{l}-1}}
其中*N*是在*b*进制中的展开式为*a*1*a*2...*a**l*的整数。

因为{\frac {a}{p}}(b^{l}-1)=N且N为整数，所以b^{l}-1必为p的倍数。另外，对于任何小于*l*的*n*，*b**n*−1都不是*p*的倍数，否则在*b*进制中*a*/*p*的周期将小于*l*，这是不可能的。

现在，假设*l*=*hk*。那么*b**l*−1是*b**k* − 1的倍数。设*b**l* − 1 = *m*(*b**k* − 1)，因此：

{\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.
但*b**l*−1是*p*的倍数；*b**k*−1不是*p*的倍数（因为*k*小于*l*）；且*p*是素数；因此*m*一定是*p*的倍数，且

{\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}
是整数。也就是说：

N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.
现在，把*a*1*a*2...*a*l分成*h*个长度为*k*的部分，并设它们在*b*进制中表示*N*0...*N**h* − 1，所以：

N\_{{h-1}}=[a\_{1}\dots a\_{k}]\_{b}
N\_{{h-2}}=[a\_{{k+1}}\dots a\_{{2k}}]\_{b}
.
.
N\_{0}=[a\_{{l-k+1}}\dots a\_{l}]\_{b}
为了证明*b*进制中广义的米迪定理，我们必须证明*h*个整数*N*i的和是*b**k* − 1的倍数。

由于*b**k*被*b**k*−1除余1，任何*b**k*的幂被*b**k* − 1除也余1。因此：

N=\sum \_{{i=0}}^{{h-1}}N\_{i}b^{{ik}}=\sum \_{{i=0}}^{{h-1}}N\_{i}(b^{{k}})^{i}
\Rightarrow N\equiv \sum \_{{i=0}}^{{h-1}}N\_{i}{\pmod {b^{k}-1}}
\Rightarrow \sum \_{{i=0}}^{{h-1}}N\_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}
这就证明了*b*进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理，取*h* = 2的特殊情况。注意*N*0和*N*1在*b*进制中都由*k*个数字表示，所以都满足

0\leq N\_{i}\leq b^{k}-1.
*N*0和*N*1不能都等于0（否则*a*/*p* = 0），也不能都等于*b**k* − 1（否则*a*/*p* = 1），因此：

0<N\_{0}+N\_{1}<2(b^{k}-1)
由于*N*0 + *N*1是*b**k* − 1的倍数，所以有：

N\_{0}+N\_{1}=b^{k}-1.

参考资料
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1. ↑  有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。

William G. Leavitt.. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, **74** (6): 669–673  [2014-12-29]. （原始内容存档于2018-07-23）.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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