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| 物理算符 |
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| 位置算符 |
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| 动量算符 |
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| 角動量算符 |
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| 哈密顿算符 |
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| 阶梯算符 |
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| 創生及消滅算符 |
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| 自旋算符 |

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在量子力學裏，**動量算符**（英語：）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 \psi(x)\,\! 的動量算符可以寫為

{\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\! ；
其中，{\hat {p}}\,\! 是動量算符，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，i\,\! 是虛數單位，x\,\! 是位置。

給予一個粒子的波函數 \psi(x)\,\! ，這粒子的動量期望值為

\langle p\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi ^{\*}(x){\hat {p}}\psi (x)\ dx=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi ^{\*}(x){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\ dx\,\! ；
其中，p\,\! 是動量。

導引 1
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對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 V(x)=0\,\! ，不含時薛丁格方程式表達為

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\! 。
其中，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，m\,\! 是粒子的質量，\psi(x)\,\! 是粒子的波函數，x\,\! 是粒子的位置，E\,\! 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 \psi \_{k}(x)\,\! 是一個平面波：

\psi \_{k}(x)=e^{{ikx}}\,\! ；
其中，k\,\! 是波數，k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\! 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

p=\hbar k\,\! 。
自由粒子具有明確的動量 p\,\! ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 {\hat {p}}\,\! 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 p\,\! ，那麼，不確定性 \sigma \_{{p}}=0\,\! ，這自由粒子的量子態是確定態，是 {\hat {p}}\,\! 的本徵態，在位置空間()裏，本徵函數為 \psi \_{k}\,\! ，本徵值為 p\,\! ：

{\hat {p}}\psi \_{k}(x)=p\psi \_{k}(x)\,\! 。
換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 \psi \_{k}(x)\,\! 。

為了要達到此目標，勢必要令

{\hat {p}}\psi \_{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \_{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{{ikx}}=\hbar ke^{{ikx}}=p\psi \_{k}(x)\,\! 。
所以，可以認定動量算符的形式為

{\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\! 。

導引 2
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在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\! 。
在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：

\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\! 。
那麼，用積分方程式來表達，

\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \Psi ^{\*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\! ；
其中，\Psi (x,\,t)\,\! 是波函數。

取微分於積分號下，

\langle p\rangle =m\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{\*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{\*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\! 。
由於 x\,\! 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

\langle p\rangle =m\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{\*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\! 。(1)
含時薛丁格方程式為

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\! ；
其中， V\,\! 是位勢。

其共軛複數為

i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{\*}\,\! 。
將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

{\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{\*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{\*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{\*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{\*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\! 。
使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi \,\!趋于零的特性，有

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{\*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\! ，(2)
\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \Psi ^{\*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \Psi ^{\*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\! 。(3)
方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi \,\!趋于零的特性）

(2)-(3)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{\*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \Psi ^{\*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\! 。
所以，

\langle p\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \Psi ^{\*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\! 。
對於任意波函數 \Psi \,\! ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 {\hat {p}}\,\! 為 {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\! 。

厄米算符
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由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O\,\! 的期望值是實值的： 

\langle O\rangle=\langle O\rangle^\*\,\! 。
對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，這關係都成立：

\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^\*\,\! 。
根據伴隨算符的定義，假設 \hat{O}^{\dagger}\,\! 是 \hat{O}\,\! 的伴隨算符，則 \langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^\*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\! 。因此，

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\! 。
這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 \hat{O}\,\! ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 |\psi\rangle\,\! 的波函數為 \psi(x)\,\! ，

{\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi ^{\*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{\*}\psi \right|\_{{-\infty }}^{{\infty }}-\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{\*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{{\dagger }}|\psi \rangle \\\end{aligned}} 。
對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\! 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數
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假設，動量算符 {\hat {p}}\,\! 的本徵值為 p\,\! 的本徵函數是 f\_{p}(x)\,\! ：

{\hat {p}}f\_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f\_{p}(x)}{\partial x}}=pf\_{p}(x)\,\! 。
這方程式的一般解為，

f\_{p}(x)=f\_{0}e^{{ipx/\hbar }}\,\! ；
其中，f\_{0}\,\! 是常數。

假設 f\_{p}(x)\,\! 的定義域是一個有限空間，從 x=-L\,\! 到 x=L\,\! ，那麼，可以將 f\_{p}(x)\,\! 歸一化：

\int \_{{-L}}^{{L}}\ f\_{p}^{\*}(x)f\_{p}(x)\ dx=|f\_{0}|^{2}\int \_{{-L}}^{{L}}\ dx=|f\_{0}|^{2}2L=1\,\! 。
f\_{0}\,\! 的值是 1/{\sqrt {2L}}\,\! 。動量算符的本徵函數歸一化為 f\_{p}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2L}}}}e^{{ipx/\hbar }}\,\! 。

假設 f\_{p}(x)\,\! 的定義域是無窮大空間，則 f\_{p}(x)\,\! 不是一個平方可積函數：

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ f\_{p}^{\*}(x)f\_{p}(x)\ dx=|f\_{0}|^{2}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ dx=\infty \,\! 。
動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 |f\_{p}(x)|^{2}\,\! 於無窮大空間，來使 f\_{p}(x)\,\! 歸一化。

換另一種方法，設定 f\_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\! 。那麼，

\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\ f\_{{p1}}^{\*}(x)f\_{{p2}}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-i(p1-p2)x/\hbar }}\ dx=\delta (p1-p2)\,\! ；
其中，\delta (p1-p2)\,\! 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為**狄拉克正交歸一性**。因為這性質，動量算符的本徵函數是**完備**的。也就是說，任意波函數 \psi(x)\,\! 都可以表達為本徵函數的線性組合：

\psi (x)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}c(p)f\_{p}(x)\ dp={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}c(p)e^{{ipx/\hbar }}\ dp\,\! ；
其中，係數 c(p)\,\! 是

c(p)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}f\_{p}^{\*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}}}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\psi (x)e^{{-ipx/\hbar }}\ dx\,\! 。

正則對易關係
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位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\! 。
所以，[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\! 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。{\hat {x}}\,\! 與 {\hat {p}}\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，{\hat {x}}\,\! 的本徵態與 {\hat {p}}\,\! 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\! 。
由於 x\,\! 與 p\,\! 是兩個不相容可觀察量，\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\! 。所以，x\,\! 的不確定性與 p\,\! 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p\,\! ，必定大於或等於 \hbar /2\,\! 。

參考文獻
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1. ↑  A. P. French, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. ↑  Griffiths, David J. Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7  引文格式1维护：冗余文本 (link)