**曲波变换**（英語：）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 n 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 n 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 {\displaystyle O(1/{\sqrt {n}})}。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 {\displaystyle O(1/n)}。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 {\displaystyle O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})}。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为n\times n的图片，二者的计算复杂度均为{\displaystyle O(n^{2}\log n)}，约是快速傅里叶变换的6-10倍。

曲波的构建
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为了构建曲波的基函数 \phi ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

1. 考虑频域的极坐标
2. 构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑

在尺度{\displaystyle 2^{-j}}下，楔形元素的数量为{\displaystyle N\_{j}=4\cdot 2^{\lceil {\frac {j}{2}}\rceil }}，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=(\xi \_{1},\xi \_{2})^{T}}，所以频域的极坐标为{\displaystyle r={\sqrt {\xi \_{1}^{2}+\xi \_{2}^{2}}}}，{\displaystyle \omega =\arctan {\frac {\xi \_{1}}{\xi \_{2}}}}。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

{\displaystyle {\hat {\phi }}\_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}\_{N\_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N\_{0}}

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个窗函数W和{\displaystyle {\tilde {V}}\_{N\_{j}}}需要是紧支撑的。我们可以简单的使{\displaystyle W(r)}覆盖{\displaystyle (0,\infty )}，膨胀的曲波和{\displaystyle {\tilde {V}}\_{N\_{j}}}使得每一个圆环被{\displaystyle {\tilde {V}}\_{N\_{j}}}的平移覆盖。

由容许性条件可以得出：

{\displaystyle \sum \_{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).}

为了利用N个楔形平铺一个圆环（N为正整数）我们需要以2\pi 为周期的非负窗{\displaystyle {\tilde {V}}\_{N}}在区间{\displaystyle \left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]}内支撑，使得：

{\displaystyle \sum \_{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}\_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1,\omega \in \left[0,2\pi \right)}

{\displaystyle {\tilde {V}}\_{N}}可以简单的由一个标量窗通过2\pi 周期化构建为{\displaystyle V({\frac {N\omega }{2\pi }})}。

所以：

{\displaystyle \sum \_{l=0}^{N\_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}\_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N\_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum \_{l=0}^{N\_{j}-1}{\tilde {V}}\_{N\_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}}

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分{\displaystyle {\hat {\phi }}\_{-1}:=W\_{0}(|\xi |)}满足：

{\displaystyle W\_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum \_{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}}

该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见。

应用
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* 图像处理
* 地震勘探
* 流体力学
* 求解偏微分方程
* 压缩感知

外部链接
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* Curvelet.org 主页 （页面存档备份，存于）

参考文献
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1. 1 2  Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L.. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, **19** (2)  [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.
2. ↑  Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing.. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, **5** (3)  [2023-02-23]. ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.
3. ↑  Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L.. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, **19** (2)  [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.
4. ↑  Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind.. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, **27** (2)  [2023-02-23]. ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453. （原始内容存档于2022-12-21）.