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| * 
* 论
* 编
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  **提示**：此条目页的主题不是**微分学**。 
**函数的微分**（英語：）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由{\displaystyle y}是{\displaystyle x}的函數({\displaystyle y=f(x)})。從簡單的{\displaystyle x-y}座標系來看，自變數x有微小的變化量時({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}})，應變數{\displaystyle y}也會跟著變動，但{\displaystyle x}跟{\displaystyle y}的變化量都是極小的。當{\displaystyle x}有極小的變化量時，我們稱對{\displaystyle x}微分。微分主要用於線性函數的改變量，這是微积分的基本概念之一。

当某些函数{\displaystyle \textstyle f}的自变量{\displaystyle \textstyle x}有一个微小的改变{\displaystyle \textstyle h}时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量{\displaystyle \textstyle h}，可以表示成{\displaystyle \textstyle h}和一个与{\displaystyle \textstyle h}无关，只与函数{\displaystyle \textstyle f}及{\displaystyle \textstyle x}有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在{\displaystyle \textstyle h}上的值。

另一部分是比{\displaystyle \textstyle h}更高阶的无穷小，也就是说除以{\displaystyle \textstyle h}后仍然会趋于零。当改变量{\displaystyle \textstyle h}很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在{\displaystyle \textstyle x}处的**微分**，记作{\displaystyle \displaystyle f'(x)h}或{\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}(h)}。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量{\displaystyle \textstyle h}映射到变化量的线性部分的线性映射{\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}。这个映射也被称为**切映射**。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分
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### 定义

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量{\displaystyle {\textrm {d}}y}，而{\displaystyle {\textrm {d}}y}加上灰线部分后是实际的改变量{\displaystyle \Delta y}
设函数{\displaystyle y=f(x)}在某区间{\displaystyle {\mathcal {I}}}内有定义。对于{\displaystyle {\mathcal {I}}}内一点{\displaystyle x\_{0}}，当{\displaystyle x\_{0}}变动到附近的{\displaystyle x\_{0}+\Delta x}（也在此区间内）时，如果函数的**增量**{\displaystyle \Delta y=f(x\_{0}+\Delta x)-f(x\_{0})}可表示为
{\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}（其中{\displaystyle A}是不依赖于{\displaystyle \Delta x}的常数），而{\displaystyle o(\Delta x)}是比{\displaystyle \Delta x}高阶的无穷小，那么称函数{\displaystyle f(x)}在点{\displaystyle x\_{0}}是可微的，且{\displaystyle A\Delta x}称作函数在点{\displaystyle x\_{0}}相应于自变量增量{\displaystyle \Delta x}的微分，记作{\displaystyle {\textrm {d}}y}，即{\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}，{\displaystyle {\textrm {d}}y}是{\displaystyle \Delta y}的**线性主部**。

通常把自变量{\displaystyle x}的增量{\displaystyle \Delta x}称为自变量的微分，记作{\displaystyle {\textrm {d}}x}，即{\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}。

### 和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分{\displaystyle {\textrm {d}}x}，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做**微商**。于是函数{\displaystyle y=f(x)}的微分又可记作{\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}。

### 几何意义

设{\displaystyle \Delta x}是曲线{\displaystyle y=f(x)}上的点{\displaystyle P}在横坐标上的增量，{\displaystyle \Delta y}是曲线在点{\displaystyle P}对应{\displaystyle \Delta x}在纵坐标上的增量，{\displaystyle {\textrm {d}}y}是曲线在点{\displaystyle P}的切线对应{\displaystyle \Delta x}在纵坐标上的增量。当{\displaystyle \left|\Delta x\right|}很小时，{\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}比{\displaystyle \left|\Delta x\right|}要小得多(高阶无穷小)，因此在点{\displaystyle P}附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

### 例子

设有函数{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}，考虑它从某一点{\displaystyle x}变到{\displaystyle x+{\textrm {d}}x}。这时，函数的改变量{\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}等于：

{\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}
{\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}
其中的线性主部：{\displaystyle Adx=2xdx}，高阶无穷小是{\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}。
因此函数{\displaystyle \textstyle f}在点{\displaystyle \textstyle x}处的微分是{\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}。函数的微分与自变量的微分之商{\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}，等于函数的导数。

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}，尤其{\displaystyle y=ax^{n}}
{\displaystyle =nax^{(n-1)}}
以下有一例子：
當方程式為{\displaystyle y=2x^{2}}時，就會有以下的微分過程。

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}
{\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}
{\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}
{\displaystyle =4x}
### 微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数{\displaystyle u}、{\displaystyle v}可微，那么：

* {\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}
* {\displaystyle d(uv)=udv+vdu}
* {\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}
* 若函数{\displaystyle y(u)}可导，那么{\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}

### 极值

条目：极值

多元函数微分
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条目：全微分
当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

### 定义

设{\displaystyle f}是从欧几里得空间**R**n（或者任意一个内积空间）中的一个开集{\displaystyle \Omega }射到**R**m的一个函数。对于{\displaystyle \Omega }中的一点{\displaystyle x}及其在{\displaystyle \Omega }中的邻域{\displaystyle \Lambda }中的点{\displaystyle x+h}。如果存在线性映射{\displaystyle A}使得对任意这样的{\displaystyle x+h},

{\displaystyle \lim \_{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}
那么称函数{\displaystyle f}在点{\displaystyle x}处可微。线性映射{\displaystyle A}叫做{\displaystyle f}在点{\displaystyle x}处的微分，记作{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}。

如果{\displaystyle f}在点{\displaystyle x}处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做**全微分**或**全导数**。

当函数在某个区域的每一点{\displaystyle x}都有微分{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}时，可以考虑将{\displaystyle x}映射到{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}的函数：

{\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f\_{x}}
这个函数一般称为**微分函数**。

### 性质

* 如果{\displaystyle f}是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
* 在**R**n（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设{\displaystyle f}是从**R**n射到**R**m的函数，{\displaystyle f=(f\_{1},f\_{2},\cdots ,f\_{m})}，那么：
{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}=J\_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{n}}}\end{bmatrix}}}。
具体来说，对于一个改变量：{\displaystyle h=(h\_{1},h\_{2},\ldots ,h\_{n})=\sum \_{i=1}^{n}h\_{i}e\_{i}}，微分值：

{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f\_{1}}{\partial x\_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f\_{m}}{\partial x\_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h\_{1}\\\vdots \\h\_{n}\end{pmatrix}}=\sum \_{i=1}^{m}\left(\sum \_{j=1}^{n}{\frac {\partial f\_{i}}{\partial x\_{j}}}h\_{j}\right)e\_{i}}
* 可微的必要条件：如果函数{\displaystyle f}在一点{\displaystyle x\_{0}}处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素{\displaystyle {\frac {\partial f\_{i}}{\partial x\_{j}}}(x\_{0})}都存在，但反之不真。
* 可微的充分条件：如果函数{\displaystyle f}在一点{\displaystyle x\_{0}}的雅克比矩阵的每一个元素{\displaystyle {\frac {\partial f\_{i}}{\partial x\_{j}}}(x\_{0})}都在{\displaystyle x\_{0}}连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

### 例子

函数{\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}是一个从{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}射到{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}的函数。它在某一点{\displaystyle (x,y)}的雅可比矩阵为：

{\displaystyle J\_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}
微分为：{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{(x,y)}:h\mapsto J\_{f}(x,y)(h)}，也就是：

{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h\_{1}\\h\_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h\_{1}\\h\_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh\_{1}+2yh\_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h\_{1}-(2xy+1)h\_{2}\\(1+2xy)h\_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h\_{2}\end{pmatrix}}}

微分与微分形式
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条目：微分形式
如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点{\displaystyle x}给出一个近似描述函数性质的线性映射{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}，而微分形式对区域{\displaystyle \mathbf {D} }内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：{\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} \_{x}\longrightarrow \mathbb {R} }。在坐标记法下，可以写成：

{\displaystyle \omega (x)=\sum \_{1\leq i\_{1}\leq \cdots \leq i\_{k}\leq n}a\_{i\_{1}\cdots i\_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i\_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i\_{k}}}
其中的{\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}}是{\displaystyle i}-射影算子，也就是说将一个向量{\displaystyle v}射到它的第{\displaystyle i}个分量{\displaystyle v^{i}}的映射。而{\displaystyle {\textrm {d}}x^{i\_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i\_{k}}}是满足：

{\displaystyle {\textrm {d}}x^{i\_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i\_{k}}(v\_{1},\cdots v\_{k})={\begin{vmatrix}v\_{1}^{i\_{1}}&\cdots &v\_{1}^{i\_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v\_{k}^{i\_{1}}&\cdots &v\_{k}^{i\_{k}}\end{vmatrix}}}
的*k*-形式。

特别地，当{\displaystyle f}是一个从**R**n射到**R** 的函数时，可以将{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}}写作：

{\displaystyle {\textrm {d}}f\_{x}=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}}
正是上面公式的一个特例。

参见
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* 微分学
* 微积分
* 导数
* 积分
* 偏导数
* 外微分
* 泰勒公式

参考来源
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1. 1 2 3  欧阳光中 姚允龙 周渊 编.. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7309035704.
2. ↑  梁子杰.  (PDF). 數學教育. [永久]
3. ↑ . 逢甲大学网路教学实验室.  [2009-12-24]. （原始内容存档于2010-05-07）.
4. 1 2  徐森林,薛春华.. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0.
5. ↑  B.A.卓里奇 著，蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译.. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页.

* 齐民友.. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.
* Walter Rudin.. Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.

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