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四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图
**切比雪夫滤波器**（又译**柴比雪夫滤波器，英語：**），也被稱為**等漣波濾波器**（**equal ripple filter**），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为"I型切比雪夫滤波器"，在阻带波动的为"II型切比雪夫滤波器"。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性
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### I型切比雪夫滤波器

I型切比雪夫滤波器最为常见。

**n**阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示：

  

G\_n(\omega) = \left | H\_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T\_n^2\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right)}}
其中：

* |\epsilon| < 1
* 而|H(\omega\_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}} 是滤波器在截止频率\omega\_0的放大率 (*注意*: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)[來源請求]
* T\_n\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right) 是 n阶切比雪夫多项式：

#### 切比雪夫多项式

切比雪夫多项式
T\_n (\Omega ) = \cos(n\cdot\arccos\ \Omega) ; 0 \le \Omega \le 1
T\_n (\Omega ) = \cosh(n\cdot \operatorname(arccosh \Omega ) ; \Omega > 1
其中 \Omega =\frac{\omega}{\omega\_0}

  

或:

T\_n\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right) = a\_0 + a\_1\frac{\omega}{\omega\_0} + a\_2\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a\_n\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega\_0
T\_n\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right) = \frac{
\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right)^2 - 1}\right)^n +
\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega\_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n}
}{2} ; \omega > \omega\_0

| n | 切比雪夫多项式 |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | \Omega  |
| 2 | -1 +2\*\Omega^2  |
| 3 |  4\Omega^3-3\Omega  |
| 4 |  1+8\Omega^4-8\Omega^2  |
| 5 | 16\Omega^5-20\Omega^3+5\Omega  |
| 6 |  -1+32\Omega^6-48\Omega^4+18\*\Omega^2  |
| 7 | 64\Omega^7-112\Omega^5+56\Omega^3-7\Omega  |
| 8 |  1+128\Omega^8-256\Omega^6+160\Omega^4-32\Omega^2  |
| 9 |  256\Omega^9-576\Omega^7+432\Omega^5-120\Omega^3+9\Omega  |
| 10 | -1+512\Omega^{10}-1280\Omega^8+1120\Omega^6-400\Omega^4+50\Omega^2 |
|

  

  

**切比雪夫滤波器**的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。

  

切比雪夫滤波器的幅度波动 = 20 \log\_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}分贝

当 \epsilon = 1,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 j\omega轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

### II型切比雪夫滤波器

也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

\left | H(\omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T\_n ^2 \left ( \omega\_0 / \omega \right )}}
参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系：

\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}} 分贝。
5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

*截止频率* *fC = ωC/2 π*。

**-3分贝频率**fH 和*截止频率* fC 有如下关系：

f\_H = f\_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)

使用范围
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* 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较
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下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。

两类**切比雪夫滤波器**比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。

参考文献
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1. ↑  Rolf Schaumann et al, p295
2. ↑  Rolf Schaumann p295-298

* Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
* Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978