在抽象代數子領域群論中，群的**環圖**展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。 

環是給定群元素 *a* 的冪的集合；這里的 an 是元素 *a* 的 n 次冪，被定義為 *a* 乘以自身 *n* 次的乘積。稱元素 *a* 生成了這個環。在有限群中，某個 *a* 的冪必定是單位元 *e*；最小的這種冪是環的**階**，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這個多邊形中所有元素都是同一個環的成員。

環
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環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 *a* 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a6 = *e*。那么 a² 的冪的集合 {a², a4, *e*} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a5 生成的環和 *a* 自身生成的環一樣。 

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 *a*。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 *e* 到 *a*, *a* 到 a², ... a*n-1* 到 a*n*, ... 直到回到 *e*。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果 a² = *e*，*a* 是 2 階的(對合)，它與 *e* 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

性質
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作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih4。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 *e* 指示單位元。

二面體群 Dih4 的環圖。

| o | *e* | *b* | *a* | *a*2 | *a*3 | *ab* | *a*2*b* | *a*3*b* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *e* | *e* | *b* | *a* | *a*2 | *a*3 | *ab* | *a*2*b* | *a*3*b* |
| *b* | *b* | *e* | *a*3*b* | *a*2*b* | *ab* | *a*3 | *a*2 | *a* |
| *a* | *a* | *ab* | *a*2 | *a*3 | *e* | *a*2*b* | *a*3*b* | *b* |
| *a*2 | *a*2 | *a*2*b* | *a*3 | *e* | *a* | *a*3*b* | *b* | *ab* |
| *a*3 | *a*3 | *a*3*b* | *e* | *a* | *a*2 | *b* | *ab* | *a*2*b* |
| *ab* | *ab* | *a* | *b* | *a*3*b* | *a*2*b* | *e* | *a*3 | *a*2 |
| *a*2*b* | *a*2*b* | *a*2 | *ab* | *b* | *a*3*b* | *a* | *e* | *a*3 |
| *a*3*b* | *a*3*b* | *a*3 | *a*2*b* | *ab* | *b* | *a*2 | *a* | *e* |

注意環 *e, a, a², a³*。它可以從乘法表中 *a* 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: *(a³)²=a²*, *(a³)³=a* 而 *(a³)4=e* 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。

四元群 Q8 的環圖。
包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih4，我們可能想要在 a² 和 *e* 之間連線；因為 *(a²)²=e*；但是因為 a² 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z2 x Z8 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)

16 階群 Z2 x Z8 的環圖。
16 階模群的環圖。

Z2 x Z8 的乘法表如下:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 |
| 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 11 | 10 | 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 13 | 12 | 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 |
| 14 | 15 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 15 | 14 | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 6 | 9 | 8 | 11 | 10 | 13 | 12 |

從環圖中可得出的其他信息
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* 元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。

特定群家族的圖特征
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特定類型的群有典型的圖:

* 循環群 Zn 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |
| Z1 | Z2 | Z3 | Z4 | Z5 | Z6 | Z7 | Z8 |

* 在 n 是素數的時候，形如 (Zn)m 的群將有 (nm-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |
| Z2² | Z2³ | Z24 | Z3² |

* 二面體群 Dihn 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |
| Dih1 | Dih2 | Dih3 | Dih4 | Dih5 | Dih6 | Dih7 |

* n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 Sn 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 Sn 的環圖的子圖。

參見
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* 小群列表
* 凱萊圖

外部連結
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* （页面存档备份，存于） Cycle graph article on MathWorld

引用
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* Shanks, D. *Solved and Unsolved Problems in Number Theory*, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.