在物理学中，**拉比周期**是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为拉比频率（英语：）。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为{\displaystyle |c\_{b}(t)|^{2}=\sin(\omega t/2)^{2}\,} ，其中\omega \,为拉比频率（英语：）。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率（英语：）。

数学处理
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拉比效應的數學細節請參見拉比問題（英语：）。 例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出： 

{\displaystyle |c\_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)}

 \omega 是拉比频率。 

更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ，这意味着每个状态向量 {\displaystyle \vert \psi \rangle }是以標准的复数坐标表示。 

{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c\_{1}\\c\_{2}\end{pmatrix}}=c\_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c\_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}c\_1和c\_{2}是坐标。

如果向量归一化， c\_1和c\_{2}的关联為{\displaystyle {|c\_{1}|}^{2}+{|c\_{2}|}^{2}=1} 。 基向量表示为{\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}和{\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 \times 2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验
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可以透過以下步骤建構振荡实验：

1. 准备系统，使之處於固定狀态；例如 |1\rangle
2. 在哈密顿量H下*，*讓态隨时间t自由演化
3. 求出狀态为|1\rangle 的機率 P(t)

如果|1\rangle 是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態|0\rangle 和|1\rangle 皆為簡併態，那麼包括|1\rangle 在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。 

另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

> {\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a\_{0}+a\_{3}&a\_{1}-ia\_{2}\\a\_{1}+ia\_{2}&a\_{0}-a\_{3}\end{pmatrix}}}
> 
> 

{\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2}}和{\displaystyle a\_{3}}是实数。 这个矩阵可以分解为 

> {\displaystyle \mathbf {H} =a\_{0}\cdot \sigma \_{0}+a\_{1}\cdot \sigma \_{1}+a\_{2}\cdot \sigma \_{2}+a\_{3}\cdot \sigma \_{3};}
> 
> 

\sigma\_0是2 \times 2單位矩陣，{\displaystyle \sigma \_{k}\;(k=1,2,3)}是泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中{\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2}}和{\displaystyle a\_{3}}是常数。考虑置於磁场{\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} } 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为

> {\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S\_{z}} ， {\displaystyle S\_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma \_{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
> 
> 

\mu 是粒子磁矩的大小， \gamma 是旋磁比 ，{\boldsymbol {\sigma }}是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是\sigma \_{3}，而|1\rangle 和{\displaystyle |2\rangle }具有对应的本徵值{\displaystyle E\_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E\_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B} 。 我們可以在系统处于状态{\displaystyle |\psi \rangle }下，給出找到任意状态{\displaystyle |\phi \rangle }之機率{\displaystyle {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}}。在{\displaystyle t=0}的時刻，让系统处于准备状态{\displaystyle \left|+X\right\rangle } 。 注意到{\displaystyle \left|+X\right\rangle }是{\displaystyle \sigma \_{1}}的本征态 ： 

> {\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
> 
> 

此處的哈密顿量与时间无关。 因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE\_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE\_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle } ，帶有系统总能量E 。

因此經過时间t之后，状态成为： 

> {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE\_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE\_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }
> 
> 

现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率：

> {\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE\_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE\_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}
> 
> 

\omega 是特徵角频率，假设{\displaystyle E\_{-}\geq E\_{+}}的情形，給定{\displaystyle \omega ={\frac {E\_{-}-E\_{+}}{\hbar }}=\gamma B} 。  在这种情况下，当系统最初自旋是在{\displaystyle \left|+X\right\rangle }方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间t而振盪。 同样，如果我们测量{\displaystyle \left|+Z\right\rangle }方向，那麼所测量到的系统自旋为{\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}}之機率為{\tfrac {1}{2}} 。在{\displaystyle E\_{+}=E\_{-}}簡併情形下 ，特征频率為0，無振盪發生。 

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。 

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以{\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S\_{z}B\sin(\omega t)} 為例；如果系统的初始自旋状态为{\displaystyle \left|+Y\right\rangle } ，那麼在t時刻，自旋在y方向测量结果為{\displaystyle +{\tfrac {\hbar }{2}}}之機率為{\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)} 。

| 電離氫分子兩態間的拉比振盪。 |
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| 電離氫分子是由兩個質子{\displaystyle P\_{1}}、P\_{2}和一個電子所組成。由於質子質量較大，因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離，而 |1\rangle 和{\displaystyle |2\rangle }兩個態的電子所處之位置，約坐落在{\displaystyle P\_{1}}或P\_{2}附近。假設在某一時刻，電子位於質子{\displaystyle P\_{1}}附近。根據前一節的結果，我們知道它將在兩個質子之間振盪，而振盪頻率等於與兩個分子定態{\displaystyle |E\_{+}\rangle }和{\displaystyle |E\_{-}\rangle }有關的玻爾頻率。這種在兩個態之間的電子振盪，對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此，當分子不處於定態時，就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此，這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。 |

以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式
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考虑以下形式的哈密顿量

> {\displaystyle {\hat {H}}=E\_{0}\cdot \sigma \_{0}+W\_{1}\cdot \sigma \_{1}+W\_{2}\cdot \sigma \_{2}+\Delta \cdot \sigma \_{3}={\begin{pmatrix}E\_{0}+\Delta &W\_{1}-iW\_{2}\\W\_{1}+iW\_{2}&E\_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}
> 
> 

該矩陣的特徵值為

> {\displaystyle \lambda \_{+}=E\_{+}=E\_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W\_{1}}^{2}+{W\_{2}}^{2}}}=E\_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}} ，{\displaystyle \lambda \_{-}=E\_{-}=E\_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W\_{1}}^{2}+{W\_{2}}^{2}}}=E\_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}。
> 
> 

此處{\displaystyle \mathbf {W} =W\_{1}+\imath W\_{2}}， {\displaystyle {\left\vert W\right\vert }^{2}={W\_{1}}^{2}+{W\_{2}}^{2}=WW^{\*}}。因此我們可以取 {\displaystyle \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }}。

現在，由方程式 :{\displaystyle {\begin{pmatrix}E\_{0}+\Delta &W\_{1}-iW\_{2}\\W\_{1}+iW\_{2}&E\_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E\_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}}，我們可以得到{\displaystyle E\_{+}}的特徵向量。

因此， {\displaystyle b=-{\frac {a\left(E\_{0}+\Delta -E\_{+}\right)}{W\_{1}-iW\_{2}}}}。

對特徵向量採用歸一化條件{\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1}。

因此 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1}。

令 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}，{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}。所以{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}}。

我們得到 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}，即 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}。取任意相角\phi ，我們可以寫下 {\displaystyle a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}. 同理可證，{\displaystyle b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}。

所以特徵值{\displaystyle E\_{+}}之特徵向量為{\displaystyle \left|E\_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}}。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 {\displaystyle \left|E\_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle }。

類似地, 特徵能量{\displaystyle E\_{-}}之特徵向量為 {\displaystyle \left|E\_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle }。

從這兩個方程，我們可以寫出

{\displaystyle \left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{-}\right\rangle }

{\displaystyle \left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{-}\right\rangle }。

假設系統開始時在時刻 {\textstyle t=0}的狀態是{\displaystyle |0\rangle }，也就是說，{\displaystyle \left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E\_{-}\right\rangle }。經過時間t之後，狀態演變為

{\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE\_{+}t}{\hbar }}\left|E\_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE\_{-}t}{\hbar }}\left|E\_{-}\right\rangle }。

如果系統處於{\displaystyle |E\_{+}\rangle } 或 {\displaystyle |E\_{-}\rangle }之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態{\displaystyle |1\rangle }的機率幅為 {\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E\_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E\_{-}t}{\hbar }}\right)}。

系統當前處於|\psi (t)\rangle ，而之後處於任意態 {\displaystyle |1\rangle }的機率為

> {\displaystyle {\begin{aligned}P\_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E\_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E\_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E\_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E\_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E\_{+}-E\_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}
> 
> 

這可以簡化為

> {\displaystyle P\_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E\_{+}-E\_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E\_{+}-E\_{-})t}{2\hbar }}\right)}.........(1)
> 
> 

這表明， 當系統最初處於狀態{\displaystyle |0\rangle }時，該系統最終處於狀態{\displaystyle |1\rangle }的機率是有限的。機率是以角頻率 {\displaystyle \omega ={\frac {E\_{+}-E\_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}}振盪，而{\displaystyle \omega }是系統唯一的玻爾頻率，又稱為拉比频率（英语：）。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態{\displaystyle |0\rangle }的機率為{\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E\_{+}-E\_{-})t}{2\hbar }}\right)}，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、電離氫分子（英语：）、量子计算、氨邁射等等。

量子计算中的拉比振盪
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任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}系统，將磁矩{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}置于经典磁场{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=B\_{0}\ {\hat {z}}+B\_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)}之中。令系统旋磁比\gamma ，因此磁矩{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}}，可以給出该系统的哈密顿量{\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega \_{0}\sigma \_{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega \_{1}(\sigma \_{x}\cos \omega t-\sigma \_{y}\sin \omega t)}，此處{\displaystyle \omega \_{0}=\gamma B\_{0}}，{\displaystyle \omega \_{1}=\gamma B\_{1}}。

透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在{\displaystyle t=0}時刻處於量子態{\displaystyle |0\rangle }，那么，在t时刻，量子位元处于量子態{\displaystyle |1\rangle }的機率為{\displaystyle P\_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega \_{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}{\displaystyle \Omega ={\sqrt {(\omega -\omega \_{0})^{2}+\omega \_{1}^{2}}}}，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態{\displaystyle |0\rangle }和{\displaystyle |1\rangle }之间振荡。振盪的振幅會在{\displaystyle \omega =\omega \_{0}}達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為{\displaystyle P\_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega \_{1}t}{2}}\right)}，要从一個量子態{\displaystyle |0\rangle }跃迁到另一個量子態{\displaystyle |1\rangle }，只需调整旋转场作用的时间t滿足{\displaystyle {\frac {\omega \_{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}}或是{\displaystyle t={\frac {\pi }{\omega \_{1}}}}就充分了，这叫做「\pi 脈衝」。如果选择的时间介于0和{\displaystyle {\frac {\pi }{\omega \_{1}}}}之间，我们會得到{\displaystyle |0\rangle }和{\displaystyle |1\rangle }的疊加態。尤其是當{\displaystyle t={\frac {\pi }{2\omega \_{1}}}}的時候，我们會得到一個「\frac{\pi}{2}脈衝」，它的作用是造成{\displaystyle |0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}}量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差{\displaystyle \hbar \omega \_{0}}(\omega 是激光波的频率)及拉比频率\omega\_1，与原子的跃迁电偶极矩{\displaystyle {\vec {d}}}与激光波电场{\displaystyle {\vec {E}}}的乘积成正比，也就是{\displaystyle \omega \_{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。

相关条目
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* 原子相干性（英语：）
* 布洛赫球面
* 雷射激升（英语：）
* 光激升
* 拉比頻率（英语：）
* 拉比問題（英语：）
* 真空拉比振盪（英语：）

外部链接
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* 

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven). 

* 

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

1. ↑ .  [2020-04-28]. （原始内容存档于2020-05-08）.
2. ↑  Griffiths, David.  2nd. 2005: 341.
3. ↑  Sourendu Gupta.  (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013  [2020-04-28]. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-16）.
4. ↑  Griffiths, David (2012). *Introduction to Quantum Mechanics* (2nd ed.) p. 191.
5. ↑  Griffiths, David (2012). *Introduction to Quantum Mechanics* (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
6. ↑  *A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation* by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567