群論中，**乒乓引理**（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。

歷史
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使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。

定理敍述
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設*G*為群，作用在集合*X*上，*H*1和*H*2是*G*的非平凡子群，*H*是*H*1和*H*2生成的群。若*X*有兩個不交非空子集*X*1和*X*2，使得

* 對所有{\displaystyle 1\neq a\in H\_{1}}，都有{\displaystyle a(X\_{2})\subset X\_{1}}
* 對所有{\displaystyle 1\neq b\in H\_{2}}，都有{\displaystyle b(X\_{1})\subset X\_{2}}

則*H*是*H*1和*H*2的自由積，即{\displaystyle H=H\_{1}\*H\_{2}}，或者{\displaystyle \left|H\_{1}\right|=\left|H\_{2}\right|=2}，而*H*是二面體群。

### 證明

設*w*是用*H*1和*H*2的元素寫出的非空簡約字。若{\displaystyle w=a\_{1}b\_{1}a\_{2}b\_{2}\cdots a\_{k}}，其中{\displaystyle a\_{i}\in H\_{1}\setminus \{1\}}，{\displaystyle b\_{i}\in H\_{2}\setminus \{1\}}，則

{\displaystyle {\begin{aligned}w(X\_{2})&=a\_{1}b\_{1}\cdots a\_{k-1}b\_{k-1}a\_{k}(X\_{2})\\&\subset a\_{1}b\_{1}\cdots a\_{k-1}b\_{k-1}(X\_{1})\\&\subset a\_{1}b\_{1}\cdots a\_{k-1}(X\_{2})\\&\subset \cdots \subset X\_{1}\end{aligned}}}
故{\displaystyle w\neq 1}。同上得{\displaystyle w=b\_{1}a\_{2}b\_{2}a\_{3}\cdots b\_{k}\neq 1}。

若*H*1和*H*2的階不都等於2，不失一般性，假設{\displaystyle \left|H\_{1}\right|>2}。若{\displaystyle w=a\_{1}b\_{1}a\_{2}b\_{2}\cdots b\_{k}}，取{\displaystyle a\in H\_{1}\setminus \{1,a\_{1}\}}，則{\displaystyle 1\neq aa\_{1}\in H\_{1}}，故由上可知

{\displaystyle awa^{-1}=aa\_{1}b\_{1}a\_{2}b\_{2}\cdots b\_{k}a^{-1}\neq 1}，
得{\displaystyle w\neq 1}。若{\displaystyle w=b\_{1}a\_{2}b\_{2}\cdots a\_{k}}，取{\displaystyle a\in H\_{1}\setminus \{1,a\_{k}\}}，則{\displaystyle 1\neq a\_{k}a^{-1}\in H\_{1}}，同上可得{\displaystyle awa^{-1}\neq 1}，故{\displaystyle w\neq 1}。因此得出{\displaystyle H=H\_{1}\*H\_{2}}。

若{\displaystyle \left|H\_{1}\right|=\left|H\_{2}\right|=2}，令{\displaystyle H\_{1}=\{1,a\}}，{\displaystyle H\_{2}=\{1,b\}}。從上可知若有以*a*, *b*寫出的非空簡約字*w*等於1，則*w*只可能是{\displaystyle ab\cdots ab}或{\displaystyle ba\cdots ba}，故對某些數*n* > 0有{\displaystyle (ab)^{n}=1}。取其最小者的值為*n*，則*H*為二面體群{\displaystyle D\_{2n}}。若無如此簡約字*w*，則{\displaystyle H=H\_{1}\*H\_{2}}。

### 推廣

乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設*G*為群，作用在集合*X*上。又設*H*1, *H*2, ... , *H**k*是*G*的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若*X*有兩兩不交的非空子集*X*1, *X*2, ... , *X**k*，使得當i\neq j時，對所有{\displaystyle 1\neq a\in H\_{i}}，都有{\displaystyle a(X\_{j})\subset X\_{i}}。則*H*1, *H*2, ... , *H*k所生成的群是其自由積，即

{\displaystyle \langle H\_{1},\cdots ,H\_{k}\rangle =H\_{1}\*H\_{2}\*\cdots \*H\_{k}}。
這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

應用例子
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### 特殊線性群

矩陣{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}和{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}在特殊線性群{\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}中生成的子群是秩2的自由群。

### 證明

群{\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}以線性變換作用在平面{\mathbb R}^{2}上。
設這兩個矩陣各自生成子群

{\displaystyle H\_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}
{\displaystyle H\_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}
又設平面的兩個不交子集為

{\displaystyle X\_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}
{\displaystyle X\_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}
*H*1, *H*2都同構於無限循環群。因為*H*1, *H*2, *X*1, *X*2適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出*H*1, *H*2生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。

參考
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* Lyndon, Roger; Schupp, Paul.. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.  引文使用过时参数`coauthors` (帮助)

1. ↑  La Harpe, Pierre de.. Chicago: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.
2. ↑  J. Tits. *Free subgroups in linear groups.*[永久] Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270