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**求和符号**（英語：；符號：{\textstyle \sum }，讀作：sigma），是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文（增加）的字头，Σ正是σ的大写。

求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為**加總**。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。

假設有{\displaystyle n}個數值{\displaystyle x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n}}，則這{\displaystyle n}個數值的總和{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}可表示為{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}x\_{k}}。

用等式來呈現的話就是{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}x\_{k}=x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}。

  

舉例來說，若有4個數值：{\displaystyle x\_{1}=1,x\_{2}=3,x\_{3}=5,x\_{4}=7}，則這4個數值的總和為：

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{4}x\_{k}=x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+x\_{4}=1+3+5+7=16}

在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為"+"的運算的任何類型的數學物件的元素。

無窮序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。

求和方法
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1. 裂項法：利用{\displaystyle a\_{k}=b\_{k+1}-b\_{k}}求出{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}a\_{k}}。
2. 錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
3. 倒序求和：對於有對稱中心的函數{\displaystyle f(x)+f(2a-x)=2b}首尾求和
4. 逐項求導：可從{\displaystyle \displaystyle \sum \_{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}推導出{\displaystyle \displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}}
5. 阿貝爾變換：

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}a\_{i}b\_{i}=a\_{1}(b\_{1}-b\_{2})+(a\_{1}+a\_{2})(b\_{2}-b\_{3})+\dots +(a\_{1}+a\_{2}+\dots +a\_{n-1})(b\_{n-1}-b\_{n})+(a\_{1}+a\_{2}+\dots +a\_{n})b\_{n}}

含多項式求和公式
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以下設p為多項式，{\displaystyle \deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)}

### {\displaystyle \sum p(k)}

{\displaystyle \sum p(k)}是對一個多項式求和，自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。

* 帕斯卡矩陣形式
{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}p(k)={\begin{pmatrix}C\_{n}^{1}&C\_{n}^{2}&\cdots &C\_{n}^{m+1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C\_{0}^{0}&0&\cdots &0\\-C\_{1}^{0}&C\_{1}^{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{m}C\_{m}^{0}&(-1)^{m-1}C\_{m}^{1}&\cdots &C\_{m}^{m}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots \\p(m+1)\end{pmatrix}}}

* 差分變換形式
{\displaystyle p(k)=\sum \_{j=1}^{m+1}C\_{k-1}^{j-1}\Delta ^{j-1}p(1)}
{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}p(k)=\sum \_{j=1}^{m+1}C\_{n}^{j}\Delta ^{j-1}p(1)}

{\displaystyle \sum p(k)}的例子
* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{0}=\sum \_{k=1}^{n}1=n}
* 三角形數：{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
* 等差級數：{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}(a\_{1}+id)={\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}={\frac {n[2a\_{1}+(n-1)d]}{2}}=a\_{1}C\_{n}^{1}+dC\_{n}^{2}}
* 連續正整數平方和：{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
* 連續正整數立方和：{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}}
* 正方形數：{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}

### {\displaystyle \sum u\_{k}v\_{k}x^{k}}

當{\displaystyle u\_{k}=p(k)}為多項式，{\displaystyle \sum \_{l=0}^{\infty }v\_{l}x^{l}}易求高階導數時，{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }u\_{k}v\_{k}x^{k}}有封閉型和式

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }u\_{k}v\_{k}x^{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}u\_{0}x^{k}}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\sum \_{l=0}^{\infty }v\_{l}x^{l})}
#### {\displaystyle \sum p(k)q^{k}}

* {\displaystyle u\_{k}=p(k),v\_{k}=1,x=q,\sum u\_{k}v\_{k}x^{k}=\sum p(k)q^{k}}
有限和{\displaystyle \displaystyle \sum \_{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}}有封閉型和式
當p為常數時，是對等比數列求和，當p為一次多項式時，是對差比數列求和。
{\displaystyle \displaystyle \sum \_{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0)}
{\displaystyle f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum \_{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum \_{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)}

{\displaystyle \sum p(k)q^{k}}的例子
* 等比級數：{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}a\_{1}x^{i}={\frac {a\_{1}(x^{n}-1)}{x-1}}}，若{\displaystyle 0<|x|<1}，則{\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }a\_{1}x^{i}={\frac {a\_{1}}{1-x}}}
* 差比級數：{\displaystyle \displaystyle \sum \_{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=\left[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}\right]r^{n}-\left[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}\right]}

#### {\displaystyle \sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}}

* {\displaystyle u\_{k}=p(k),v\_{k}={\frac {1}{k!}},\sum u\_{k}v\_{k}x^{k}=\sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{n!}}x^{n}=e^{x}\sum \_{k=0}^{m}{\frac {\Delta ^{k}p(0)}{k!}}x^{k}}

### {\displaystyle \sum H\_{k}p(k)}

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}H\_{k}p(k)=(\sum \_{j=0}^{m}C\_{n+1}^{j+1}\Delta ^{j}p(0))H\_{n}-\sum \_{j=0}^{m}{\frac {C\_{n}^{j+1}}{j+1}}\Delta ^{j}p(0)}，其中{\displaystyle H\_{n}}為調和數或調和級數

組合數求和公式
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条目：二項式係數
### 一阶求和公式

* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}}
* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}
* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum \_{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}}

* {\displaystyle F\_{n}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}}

{\displaystyle F\_{n-1}+F\_{n}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum \_{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum \_{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F\_{n+1}}
条目：朱世杰恒等式
* {\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}

{\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}}
{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}{\binom {k\_{1}+i}{k\_{2}}}={\binom {k\_{1}+n+1}{k\_{2}+1}}-{\binom {k\_{1}+m}{k\_{2}+1}}}
{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}{\binom {k\_{1}+i}{k\_{2}+i}}={\binom {k\_{1}+n+1}{k\_{2}+n}}-{\binom {k\_{1}+m}{k\_{2}+m-1}}}
### 二阶求和公式

* {\displaystyle \sum \_{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}
* {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\binom {r\_{1}+n-1-i}{r\_{1}-1}}{\binom {r\_{2}+i-1}{r\_{2}-1}}={\binom {r\_{1}+r\_{2}+n-1}{r\_{1}+r\_{2}-1}}}

{\displaystyle (1-x)^{-r\_{1}}(1-x)^{-r\_{2}}=(1-x)^{-r\_{1}-r\_{2}}}
{\displaystyle (1-x)^{-r\_{1}}(1-x)^{-r\_{2}}=(\sum \_{n=0}^{\infty }{\binom {r\_{1}+n-1}{r\_{1}-1}}x^{n})(\sum \_{n=0}^{\infty }{\binom {r\_{2}+n-1}{r\_{2}-1}}x^{n})=\sum \_{n=0}^{\infty }(\sum \_{i=0}^{n}{\binom {r\_{1}+n-1-i}{r\_{1}-1}}{\binom {r\_{2}+i-1}{r\_{2}-1}})x^{n}}
{\displaystyle (1-x)^{-r\_{1}-r\_{2}}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\binom {r\_{1}+r\_{2}+n-1}{r\_{1}+r\_{2}-1}}x^{n}}
条目：范德蒙恒等式
* {\displaystyle \sum \_{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}}

范德蒙恒等式與超幾何函數有關係：

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}\_{2}F\_{1}(-n,-k;m-k+1;1)={\binom {n+m}{k}}}
### 三阶求和公式

条目：李善兰恒等式
* {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum \_{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}

范德蒙恒等式與廣義超幾何函數有關係：

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}\_{3}F\_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}{k}}^{2}}

定積分判斷總和界限
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當{\displaystyle f(x)}在[a,b]單調遞增時：

{\displaystyle f(a)+\int \_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum \_{x=a}^{b}f(x)\leq f(b)+\int \_{a}^{b}f(x)dx}
當{\displaystyle f(x)}在[a,b]單調遞減時：

{\displaystyle f(b)+\int \_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum \_{x=a}^{b}f(x)\leq f(a)+\int \_{a}^{b}f(x)dx}

求和函数
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以{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{9}}为例：

* Matlab

```
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)

```

* Mathematica

```
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= {\displaystyle {\frac {1}{20}}n^{2}(n+1)^{2}\left(n^{2}+n-1\right)\left(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+1\right)}
```

参考资料
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1. ↑  赵丽棉 黄基廷.. 高等数学研究. 2010, (4)  [2018-06-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
2. ↑  徐更生 何廷模.. 中学教研. 1991, (10)  [2018-06-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
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1. ↑  马志钢.. 中学生数学. 2006, (5)  [2014-07-16]. （原始内容存档于2019-05-09）.
2. ↑  郭子伟.. 数学空间. 2011, (1): 第11页  [2014-07-16]. （原始内容存档于2016-03-04）.
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4. 1 2  黄嘉威.. 数学学习与研究. 2016, (7)  [2016-05-18]. （原始内容存档于2020-01-15）.
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6. ↑  Murray Spiegel. .
7. ↑  刘治国.. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页  [2017-07-23]. （原始内容存档于2019-05-08）.
8. ↑  吴炜超.. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页  [2014-04-10]. （原始内容存档于2015-09-24）.

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