**Q格式**是二進制的定點數格式，其中會標示小數位元（也可能包括整數位元）的長度。例如Q15數表示分數部份有15個位元，而Q1.14數表示1個整數位元以及14個小數位元。

針對有號的定點數，有二種Q格式的表示方式。其中一種是將符號位元算在整數位元裡，但另外一種就不是。例如，16位元的有號整數（無小數位元）可以表示為Q16.0或Q15.0。因此，在用說明Q格式的有號定點數字時，可能也需要一併標示總位元數（在此處為16）。

Q格式是幾種廣為使用的定點数中的一種。定點数常用在不支援浮點運算器的硬體,或是用在需要固定解析度的應用。

特點
--

Q格式用來標示定點數，儲存以及運算都是以一般的二進位整數為基礎來處理，因此允許標準的整數硬體／算術邏輯單元來進行有理数運算。程式設計者可以依應用需求，選定其整數位元數、小數位元數（以及資料總位元數），而之後定點數的範圍以及解析度就會依整數位元數、小數位元數而不同。

有些DSP架構原生支持一些常用的Q格式（例如Q1.15），這種情形下，可以在一個指令下就進行四則運算，若是加減法，可以支援饱和运算，若是乘除法，可以有正規化的機能。不過大部份的DSP無此功能，若DSP架構不支持選定的Q格式，程式設計者就要自行再針對加減法進行饱和运算，針對乘除法進行正規化。

有號號Q格式的表示方式有兩種，都寫成Q*m*.*n*：

* Q表示這個數字是以Q格式表示，在德州仪器則用Q表示是有號的Q格式（Q是數學裡表示有理數的字母）
* m.（可省略，若省略的話，假設是0或1）是數字在用二補數表示下的整數位元數，可能包括符位元，也可能不包括（這也是若m省略的話，假設是0或1的原因）。
* n是數字中小數的位元數，也就是二進位表示時，在小數點右邊的二進位個數（若n = 0，表示Q格式數字是整數）。

一種表示方式將符號位元放在整數位元 *m*中一起計算，另一種則不是。確認方式可以將*m*和*n*相加，看是否等於數字位元數，若相等，表示其符號位元放在整數位元 *m*，若比數字位元數少1，表示其其符號位元獨立計算。

此外，字母U可以放在Q前面，說明是無號數，例如UQ1.15，數值範圍是0.0 to +1.999969482421875 （也就是{\displaystyle 1+{\frac {2^{15}-1}{2^{15}}}}）。

有號的Q格式數值會用二補數儲存，正如大部份處理器處理整數的情形一樣。在二補數中，會用符號位元填滿沒有用到數字位元。

針對給定的Q*m*.*n*格式（假設符號位元也算在m個位元內），用*m*+*n*位元的有號整數來處理，再考慮其中有*n*位元是表示小數：

* 其範圍為{\displaystyle [-(2^{m-1}),2^{m-1}-2^{-n}]}
* 其解析度為2^{{-n}}

針對給定的UQ*m*.*n*格式，用*m*+*n*位元的有號整數來處理，再考慮其中有*n*位元是表示小數：

* 其範圍為{\displaystyle [0,2^{m}-2^{-n}]}
* 其解析度為2^{{-n}}

例如Q15.1格式的數字：

* 需要位元數為15+1 = 16位元
* 其範圍為[-214, 214 - 2−1] = [-16384.0, +16383.5] = [0x8000, 0x8001 … 0xFFFF, 0x0000, 0x0001 … 0x7FFE, 0x7FFF]
* 其解析度為2−1 = 0.5

Q格式和浮点数不同，Q格式數字的解析度不隨數字大小而不冋。

轉換
--

### 浮點數到Q格式

若要將浮點數（例如IEEE 754）轉換為Q*m*.*n*的格式：

1. 將浮點數乘以2*n*
2. 四捨五入到最接近的整數

### Q格式到浮點數

若要將Q*m*.*n*Q格式的數數轉換為浮點數：

1. 將整數轉換為浮點數
2. 乘以2−*n*

數學運算
----

Q格式的數字是二個整數的比例：會儲存分子，而分母固定是2*n*。

考慮以下的例子；

* Q8格式的分母是28 = 256
* 1.5等於384/256
* 會儲存384，256不儲存（因為是Q8格式，分母固定是256）

若Q格式的基底固定（*n*都相同），則Q格式的數學運算需維持分母不變。以下是二個相同Q格式數字N\_{1}和N\_{2}的運算。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {N\_{1}}{d}}+{\frac {N\_{2}}{d}}&={\frac {N\_{1}+N\_{2}}{d}}\\{\frac {N\_{1}}{d}}-{\frac {N\_{2}}{d}}&={\frac {N\_{1}-N\_{2}}{d}}\\\left({\frac {N\_{1}}{d}}\times {\frac {N\_{2}}{d}}\right)\times d&={\frac {N\_{1}\times N\_{2}}{d}}\\\left({\frac {N\_{1}}{d}}/{\frac {N\_{2}}{d}}\right)/d&={\frac {N\_{1}/N\_{2}}{d}}\end{aligned}}}

因為分母是二的次幂，因此和二的次幂相乘可以表示為二進制下的左移，和二的次幂相除可以表示為二進制下的右移，很多處理器的左移和右移會比乘除法要快。

為了要維持乘法和除法的精度，中間值需要用雙精度來儲存，在轉換回需要的Q格式數字之間，也需要先注意数值修约的處理。

兩個不同Q格式基底的數字也可以相乘除，相乘除的數字也可以用另一個基底表示。以下是二個Q格式數字N\_{1}（分母d\_1）和N\_{2}（分母d\_2）的運算，運算結果的分母是d\_{3}。

{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {N\_{1}}{d\_{1}}}\times {\frac {N\_{2}}{d\_{2}}}\right)\times {\frac {d\_{1}d\_{2}}{d\_{3}}}&={\frac {N\_{1}\times N\_{2}}{d\_{3}}}\\\left({\frac {N\_{1}}{d\_{1}}}/{\frac {N\_{2}}{d\_{2}}}\right)\times {\frac {d\_{1}}{d\_{2}d\_{3}}}&={\frac {N\_{1}/N\_{2}}{d\_{3}}}\end{aligned}}}

  

若用C语言，相同Q格式基底數字四則運算對應的程式如下（以下的Q是表示小數部份的位元數）

### 加法

```
int16\_t q\_add(int16\_t a, int16\_t b)
{
 return a + b;
}

```

有飽和

```
int16\_t q\_add\_sat(int16\_t a, int16\_t b)
{
 int16\_t result;
 int32\_t tmp;

 tmp = (int32\_t)a + (int32\_t)b;
 if (tmp > 0x7FFF)
 tmp = 0x7FFF;
 if (tmp < -1 \* 0x8000)
 tmp = -1 \* 0x8000;
 result = (int16\_t)tmp;

 return result;
}

```

浮點數有±Inf，但Q格式沒有，若不進行飽和處理，二個很大的正數相加，可能會變成一個很大的負數。若是用組合語言，可以用Signed Overflow旗標來避免C語言實現時需要的型態轉換。

### 減法

```
int16\_t q\_sub(int16\_t a, int16\_t b)
{
 return a - b;
}

```

### 乘法

```
// precomputed value:
#define K (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16\_t
int16\_t sat16(int32\_t x)
{
 if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
 else if (x < -0x8000) return -0x8000;
 else return (int16\_t)x;
}

int16\_t q\_mul(int16\_t a, int16\_t b)
{
 int16\_t result;
 int32\_t temp;

 temp = (int32\_t)a \* (int32\_t)b; // result type is operand's type
 // Rounding; mid values are rounded up
 temp += K;
 // Correct by dividing by base and saturate result
 result = sat16(temp >> Q);

 return result;
}

```

### 除法

```
int16\_t q\_div(int16\_t a, int16\_t b)
{
 /\* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) \*/
 int32\_t temp = (int32\_t)a << Q;
 /\* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). \*/
 /\* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) \*/
 if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) { 
 temp += b / 2; /\* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); \*/
 } else {
 temp -= b / 2; /\* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); \*/
 }
 return (int16\_t)(temp / b);
}

```

相關條目
----

* 二進位標度（英语：）
* 定點數運算
* 浮點數運算（英语：）

參考資料
----

1. ↑ . 1.2. 安謀控股. Chapter 4.7.9. AXD > AXD Facilities > Data formatting > Q-format. 2001 [1999]. ARM DUI 0066D. （原始内容存档于2017-11-04）.
2. ↑ .  (PDF). 安謀控股. 2006: 4–24 [1999]. ARM DUI 0066G. （原始内容存档 (PDF)于2017-11-04）.

延伸閱讀
----

* Oberstar, Erick L.  (PDF). 1.2. Oberstar Consulting. 2007-08-30 [2004]  [2017-11-04]. （原始内容存档 (PDF)于2017-11-04）.  (Note: the accuracy of the article is in dispute; see discussion.)

外部連結
----

*.  [2017-11-04]. （原始内容存档于2017-11-04）.