數學上，**1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...**是一無窮級數，在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子，由阿基米德於公元前250-200年發現，其總和為1/3。一般來說，對於任何一個 a，若等比數列的第一項是 a，而公比為1/4，其收斂總和如下：

{\displaystyle a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.}

圖像示範
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3*s* = 1
通常以正方形和三角形來展示「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...」這一無窮級數；將一個正方形或一個三角形分成四等分，每一分的面積為原先的四分一，並不斷重複（如圖左）。

假設圖左的正方形面積為1，則最大的黑色正方形面積為（1/2）x（1/2）= 1/4。同樣地，第二大黑色正方形的面積為1/16，第三大黑色正方形面積為1/64。如此類推，黑色正方形占的所有面積為1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，這也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面積。由於這三種顏色的正方涵蓋正個原先的正方形，數學上寫成：

{\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.}
3*s* = 1
同樣的幾何方法也適用於三角形，如圖右。如果大三角形的面積為1，則最大的黑色三角形的面積為 1/4，依此類推。另外，整個圖案與其中的上部分次小三角形中的圖案，具有自相似的性質。若圖案不斷重複，將形成一個謝爾賓斯基三角形。

阿基米德
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拋物線的求積
阿基米德在其《拋物線的求積》中，以穷竭法求拋物線內的面積，在過程中牽涉到一系列的三角形。左圖有一拋物線，其中**AE**為割線，被分成相等線段，阿基米德證明三角形**CDE**和三角形**ABC**的和是三角形**ACE**面積的 1/4。然後，他分別在三角形**CDE**和三角形**ABC**上相似地各畫上兩個三角，這四個三角的面積總和為三角形**CDE**和三角形**ABC**的 1/4。如此類推，他證明拋物線與割線之間的面積是三角形**ACE**的4/3。

命題23：設一系列的面積 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每個面積為下一個面積的4倍，則：

{\displaystyle A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.}
為證明以上命題，阿基米德先計算：

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}}
別一方面：

{\displaystyle {\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).}
將這方程式減去之前的方程式：

{\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A}
再在方程式兩面各加上**A**，以得到最終結果

現今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的標準寫法如下：

{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.}

參考
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1. ↑  Shawyer and Watson p. 3.
2. 1 2  Nelsen and Alsina p. 74.
3. ↑  Ajose and Nelson.
4. ↑  Stein p. 46.
5. ↑  Mabry.
6. ↑  This presentation is a shortened version of Heath p.250.

參考書目
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* Ajose, Sunday and Roger Nelsen.. Mathematics Magazine. June 1994, **67** (3): 230. JSTOR 2690617. doi:10.2307/2690617.
* Heath, T. L.. Cambridge UP. 1953 [1897].  Page images at Casselman, Bill..  [2007-03-22]. （原始内容存档于2006-12-17）.  HTML with figures and commentary at Otero, Daniel E.. 2002  [2007-03-22]. （原始内容存档于2007-03-07）.
* Mabry, Rick.. Mathematics Magazine. February 1999, **72** (1): 63. JSTOR 2691318.
* Nelsen, Roger B.; Alsina, Claudi.. MAA. 2006. ISBN 0-88385-746-4.
* Shawyer, Bruce; Watson, Bruce.. Oxford UP. 1994. ISBN 0-19-853585-6.
* Stein, Sherman K.. MAA. 1999. ISBN 0-88385-718-9.
* Swain, Gordon; Dence, Thomas.. Mathematics Magazine. April 1998, **71** (2): 123–30. JSTOR 2691014. doi:10.2307/2691014.

  


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| * 
* 论
* 编
序列與級數 |
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| 算術序列 | 

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| 发散级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
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| 幾何序列 | 

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| 收斂級數 | 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … |
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| 发散几何级数 | 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 |

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| 超幾何級數 | 广义超几何函数 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：） · 黎曼微分方程（英语：） |
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| 整數序列 | 整數數列列表 · 階乘 · 斐波那契數列 · 等諧數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方数 · 多邊形數 · 五邊形數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 八邊形數 · 卢卡斯数 |
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| 其他序列 | 

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| 发散级数 | 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ |

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