在数学中，特别是线性代数和泛函分析裡，一个矩阵或线性算子的**极分解**是一种类似于复数之极坐标分解的分解方法。一个复数 *z* 可以用它的模长和辐角表示为：

z=re^{{i\theta }}\,
其中 *r* 是 *z* 的模长（因此是一个正实数），而 \theta  则为 *z* 的辐角。

矩阵的极分解
------

一个复系数矩阵 *A* 的**极分解**将其分解成两个矩阵的乘积，可以表示为：

A=UP\,
其中 *U* 是一个酉矩阵，*P* 是一个半正定的埃尔米特矩阵。这样的分解对任意的矩阵 *A* 都存在。当 *A* 是可逆矩阵时，分解是唯一的，并且 *P* 必然为正定矩阵。注意到：

\det A=\det P\,\det U=re^{{i\theta }}
可以看出极分解与复数的极坐标分解的相似之处：*P* 对应着模长（|\det A|=\det P），而 *U* 则对应着辐角部分 \theta （\det U=e^{{i\theta }}）。
  

矩阵 *P* 可以由

P={\sqrt {A^{\*}A}}
得到，其中 *A*\* 表示矩阵 *A* 的共轭转置。由于 A^\*A 为半正定的埃尔米特矩阵，它的平方根唯一存在，所以这个式子是有意义的。而矩阵 *U* 可以通过表达式

U=AP^{{-1}} 得到。
当对矩阵 *A* 进行奇异值分解得到 *A = W Σ V\**后，可以因而导出其极分解：

P=V\Sigma V^{\*}\,
{\displaystyle U=WV^{\*}\,}
可以看到导出的矩阵 *P* 是正定矩阵，而 *U* 是酉矩阵。

对称地，矩阵 *A* 也可以被分解为：

{\displaystyle A=P'U\,}
这里的 *U* 仍然是原来的酉矩阵，而 *P*′ 则等于：

P'=UPU^{{-1}}={\sqrt {AA^{\*}}}=W\Sigma W^{\*}
这个分解一般被称为**左极分解**，而文章开头介绍的分解被称为**右极分解**。左极分解有时也被称为**逆极分解**。
  
  

矩阵 *A* 是正规的当且仅当 *P*′ = *P*。这时候 *UΣ = ΣU*，并且 *U* 可以用与 *Σ* 交换的酉对称矩阵 *S* 进行酉对角化，这样就有 *S U S\** = *Φ-1*，其中 *Φ* 是一个表示辐角的酉对角矩阵*eiφ*。如果设 *Q = V S\**，那么极分解就可以被改写为：

A=(Q\Phi Q^{\*})(Q\Sigma Q^{\*}),\,
因此矩阵 *A* 有谱分解：

{\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\*}\,}
其中的特征值为复数，*ΛΛ\* = Σ2*。

将 *A* 射到其极分解裡的酉部分 *U* 是一个从一般线性群 GL(*n*,**C**) 射到酉群 U(*n*) 的映射。这是一个同伦等价，因为所有正定矩阵构成的空间是一个可缩空间。实际上，U(*n*) 是 GL(*n*,**C**) 的极大紧子群。

希尔伯特空间上的有界算子
------------

从复希尔伯特空间到复希尔伯特空间的有界线性算子 *A* 的**极分解**，是将其正则分解为一个准等距变换和一个半正定算子的乘积。

矩阵的极分解被推广为：如果 *A* 是一个有界线性算子，那么可以将其唯一地分解为乘积 *A* = *UP*，其中 *U* 是一个准等距变换，而 *P* 是一个半正定的自伴算子，并且 *U* 的定义空间覆盖 *P* 的像集。

无界算子
----

如果 *A* 是复希尔伯特空间之间的闭稠定无界算子，那么仍然有惟一的**极分解**

A=U|A|\,
这里 |*A*| 是一个（可能无界）非负自伴算子，与 *A* 有相同的定义域，*U* 是一个在值域 *Ran*(|*A*|) 的正交补上为 0 的部分等距。

用上面同样的引理，在无界算子同样一般地成立。如果 *Dom*(*A\*A*) = 
*Dom*(*B\*B*) 和 *A\*Ah* = *B\*Bh* 对所有 *h* ∈ *Dom*(*A\*A*) 成立，那么存在一个部分等距 *U* 使得 *A* = *UB*。如果 *Ran*(*B*)⊥⊂ *Ker*(*U*)，则 *U* 是惟一的。算子 *A* 是闭稠定的保证了算子 *A\*A* 是自伴的（有同样的定义域），从而我们可以定义(*A\*A*)½。 利用引理便给出了极分解。

如果一个无界算子 *A* 是对冯·诺依曼代数 **M**的affiliated operator，且 *A* = *UP*是其极分解，那么 *U* 在 *M*中从而是 *P*, 1*B*(*P*) 对任何 [0, ∞) 中 Borel 集 *B* 的谱投影。

应用
--

连续介质力学中使用极分解来将形变分解成拉伸和旋转的部分，其中 *P* 表示拉伸的部分，*U* 表示旋转的部分。

参见
--

* 奇异值分解
* 矩阵分解
* Cartan分解
* 岩泽分解

参考来源
----

* Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990

* Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. **17**, 413-415 (1966)

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
泛函分析 |
| --- |
|  |
| 集合 / 子集 | 
* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥（英语：）

 |
|  |
| 拓撲向量空間 | 
* 巴拿赫空间
* 欧几里得空间
* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
* 賦範向量空間 (范数)
* 拟赋范空间
* 自反空间
* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

 |
|  |
| 映射拓扑 | 
* 对偶空间
* 算子拓扑（英语：）
* 弱拓扑（英语：）
* 强拓扑（英语：）
* 拓扑的一致收敛（英语：）

 |
|  |
| 线性算子 | 
* 伴随
* 双线性
	+ 形式
* 有界 / 无界
* 连续线性
* 紧
* Fredholm（英语：）
* 希尔伯特-施密特
* 泛函
* 正规
* 核型（英语：）
* 自伴
* 严格奇异算子（英语：）
* 迹类
* 有限秩
* 转置（英语：）
* 酉 / 幺正

 |
|  |
| 集合运算 | 
* 代数内部
* 内部
* 閔可夫斯基和
* 极性集

 |
|  |
| 算子理论（英语：） | 
* 巴拿赫代数（英语：）
* C\*-代数
* 谱 (泛函分析) (谱半径)
* 谱理论（英语：）(谱定理)
* 极分解
* 奇异值分解

 |
|  |
| 定理 | 
* 阿尔泽拉-阿斯科利定理
* 巴拿赫-阿勞格魯定理
* 巴拿赫-马祖尔定理（英语：）
* 贝尔纲定理
* 贝塞尔不等式
* 柯西-施瓦茨不等式
* 闭值域定理
* 閉圖像定理
* 哈恩-巴拿赫定理
* 角谷不动点定理
* 不变子空间问题
* Riesz延拓定理（英语：）
* 开映射定理
* 拉克斯-米尔格拉姆定理
* 帕塞瓦尔恒等式
* 肖德尔不动点定理（英语：）

 |
|  |
| 分析 | 
* 导数 (加托导数
* 泛函导数)
* 积分 (博赫纳积分
* 佩蒂斯积分（英语：）)
* 泛函演算（英语：） (波莱尔泛函演算（英语：）
* 连续泛函演算（英语：）)
* 反函数定理
* 向量测度
* 弱可测函数

 |

 |