科林·麦克劳林是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一
莱昂哈德·欧拉是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一
**欧拉-麦克劳林求和公式**在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。

公式
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设{\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}为一至少{\begin{smallmatrix}k+1\end{smallmatrix}}阶可微的函数，{\begin{smallmatrix}a,b\in {\mathbb {Z}}\end{smallmatrix}}，则  

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{a<n\leq b}f(n)&=\int \_{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\\&\quad +\sum \_{r=0}^{k}{\frac {(-1)^{r+1}B\_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))\\&\quad +{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}\int \_{a}^{b}{\bar {B}}\_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt\\\end{aligned}}}
  

其中

* {\begin{smallmatrix}n!:=1\times 2\times ...\times n\end{smallmatrix}}表示{\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}的阶乘
* {\begin{smallmatrix}f^{{(n)}}(x)\end{smallmatrix}}表示{\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}的{\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}阶导函数
* {\begin{smallmatrix}{\bar {B}}\_{{n}}(x)=B\_{{n}}(\left\langle x\right\rangle )\end{smallmatrix}}，其中
	+ {\begin{smallmatrix}B\_{{n}}(x)\end{smallmatrix}}表示第{\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}个伯努利多项式
		- 伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列：
		- {\begin{cases}B\_{0}(x)\equiv 1\\B'\_{r}(x)\equiv rB\_{{r-1}}(x)\quad (r\geq 1)\\\int \_{{0}}^{{1}}B\_{r}(x)\,{\mathrm {d}}x=0\quad (r\geq 1)\end{cases}}
	+ {\begin{smallmatrix}\left\langle x\right\rangle \end{smallmatrix}}表示{\begin{smallmatrix}x\end{smallmatrix}}的小数部分
* {\begin{smallmatrix}B\_{{n}}:=B\_{{n}}(0)={\bar {B}}\_{{n}}(0)\end{smallmatrix}}为第{\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}个伯努利数

证明
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证明使用数学归纳法以及黎曼－斯蒂尔杰斯积分，下文中假设{\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}的可微次数足够大，{\begin{smallmatrix}a,b\in {\mathbb {Z}}\end{smallmatrix}}。  

为了方便，将原式的各项用不同颜色表示：  

{\displaystyle \sum \_{a<n\leq b}f(n)={\color {red}\int \_{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum \_{r=0}^{k}{\frac {(-1)^{r+1}B\_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}\int \_{a}^{b}{\bar {B}}\_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt}}
  

### k=0的情形

容易算出  

{\bar {B}}\_{1}(t)={\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}}  

{\begin{aligned}\sum \_{{a<n\leq b}}f(n)&=\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}\left\lfloor t\right\rfloor \\&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}-\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}\left\langle t\right\rangle \\&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}-\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}({\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}})\\&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}-{\color {BurntOrange}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}{\bar {B\_{1}}}(t)}\\\end{aligned}}
  

其中橙色的项通过分部积分可化为  

{\begin{aligned}{\color {BurntOrange}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}{\bar {B\_{1}}}(t)}&=(f(t){\bar {B\_{1}}}(t))|\_{{t=a}}^{{t=b}}-\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B\_{1}}}(t)\,{\mathrm {d}}f(t)\\&=f(b)B\_{1}(\left\langle b\right\rangle )-f(a)B\_{1}(\left\langle a\right\rangle )-{\color {blue}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B\_{1}}}(t)f'(t)\,{\mathrm {d}}t}\\&={\color {OliveGreen}B\_{1}\cdot (f(b)-f(a))}-{\color {blue}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B\_{1}}}(t)f'(t)\,{\mathrm {d}}t}\\\end{aligned}}

### 假设k=n-1时原式成立

\sum \_{{a<n\leq b}}f(n)={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}+{\color {OliveGreen}\sum \_{{r=0}}^{{n-1}}{\frac {(-1)^{{r+1}}B\_{{r+1}}}{(r+1)!}}\cdot (f^{{(r)}}(b)-f^{{(r)}}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n}}(t)f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}t}

### 处理积分（蓝色项）

{\begin{aligned}{\color {blue}{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n}}(t)f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}t}&={\frac {(-1)^{{n-1}}}{n!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\frac {{\bar {B'}}\_{{n+1}}(t)}{n+1}}f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}t\\&={\frac {(-1)^{{n-1}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B'}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}t\\&={\frac {(-1)^{{n-1}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)\\&={\frac {(-1)^{{n-1}}}{(n+1)!}}((f^{{(n)}}(t){\bar {B\_{{n+1}}}}(t))|\_{{t=a}}^{{t=b}}-\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)\,{\mathrm {d}}f^{{(n)}}(t))\\&={\frac {(-1)^{{n-1}}}{(n+1)!}}(f^{{(n)}}(b)B\_{{n+1}}(\left\langle b\right\rangle )-f^{{(n)}}(a)B\_{{n+1}}(\left\langle a\right\rangle )-\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n+1)}}(t)\,{\mathrm {d}}t)\\&={\frac {(-1)^{{n-1}}B\_{{n+1}}}{(n+1)!}}\cdot (f^{{(n)}}(b)-f^{{(n)}}(a))-{\frac {(-1)^{{n-1}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n+1)}}(t)\,{\mathrm {d}}t)\\&={\color {OliveGreen}{\frac {(-1)^{{n+1}}B\_{{n+1}}}{(n+1)!}}\cdot (f^{{(n)}}(b)-f^{{(n)}}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{{n}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n+1)}}(t)\,{\mathrm {d}}t)}\\\end{aligned}}

### 将处理后的积分代入

{\begin{aligned}\sum \_{{a<n\leq b}}f(n)&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}+{\color {OliveGreen}\sum \_{{r=0}}^{{n-1}}{\frac {(-1)^{{r+1}}B\_{{r+1}}}{(r+1)!}}\cdot (f^{{(r)}}(b)-f^{{(r)}}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n}}(t)f^{{(n)}}(t)\,{\mathrm {d}}t}\\&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}+{\color {OliveGreen}\sum \_{{r=0}}^{{n-1}}{\frac {(-1)^{{r+1}}B\_{{r+1}}}{(r+1)!}}\cdot (f^{{(r)}}(b)-f^{{(r)}}(a))}+{\color {OliveGreen}{\frac {(-1)^{{n+1}}B\_{{n+1}}}{(n+1)!}}\cdot (f^{{(n)}}(b)-f^{{(n)}}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{{n}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n+1)}}(t)\,{\mathrm {d}}t)}\\&={\color {red}\int \_{{a}}^{{b}}f(t)\,{\mathrm {d}}t}+{\color {OliveGreen}\sum \_{{r=0}}^{{n}}{\frac {(-1)^{{r+1}}B\_{{r+1}}}{(r+1)!}}\cdot (f^{{(r)}}(b)-f^{{(r)}}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{{(n)}}}{(n+1)!}}\int \_{{a}}^{{b}}{\bar {B}}\_{{n+1}}(t)f^{{(n+1)}}(t)\,{\mathrm {d}}t}\\\end{aligned}}
  

得到想要的结果。

余项（积分项）估计
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欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着{\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}的增加而增加，相反地，如果{\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}相当大，则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的{\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}对应的积分项的绝对值：

计算调和级数时的误差项

应用
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通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式：  

{\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum \_{{n=1}}^{{N-1}}n^{{-s}}+{\frac {N^{{1-s}}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{{-s}}\\&\quad +{\frac {B\_{2}}{2}}sN^{{-s-1}}+...+{\frac {B\_{{2\nu }}}{(2\nu )!}}s(s+1)...(s+2\nu -2)N^{{(-s-2\nu +1)}}+R\_{{2\nu }}\end{aligned}}  

其中  

R\_{{2\nu }}=-{\frac {s(s+1)...(s+2\nu -1)}{(2\nu )!}}\int \_{{N}}^{{\infty }}{\bar {B}}\_{{2\nu }}(x)x^{{-s-2\nu }}\,{\mathrm {d}}x

其他形式
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欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式：  

\sum \_{{y<n\leq x}}f(n)=\int \_{{y}}^{{x}}f(t)\,{\mathrm {d}}t+\int \_{{y}}^{{x}}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,{\mathrm {d}}t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)  

这是欧拉给出的原始形式。

参考文献
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1. ↑   Gérald Tenenbaum.. 高等教育出版社. 2011年1月: 5  [2015-05-03]. ISBN 978-7-04-029467-5 （中文）.
2. ↑   H.M.Edwards.. Dover Publications. 2001: 114. ISBN 978-0-486-41740-0 （英语）.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
3. ↑   Tom M.Apostol.. 世界图书出版社. 2012: 54. ISBN 978-7-5100-4062-7 （英语）.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)

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* 论
* 编
莱昂哈德·欧拉 |
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* 歐拉-拉格朗日方程
* 歐拉-洛特卡方程（英语：）
* 欧拉-麦克劳林求和公式
* 欧拉-丸山法
* 歐拉-馬斯刻若尼常數
* 歐拉-泊松-達布方程（英语：）
* 歐拉-羅德里格斯公式（英语：）
* 欧拉-特里科米方程
* 歐拉連分數公式（英语：）
* 欧拉临界负载
* 欧拉公式
* 欧拉四平方和恒等式
* 欧拉恒等式
* 歐拉泵和渦輪方程（英语：）
* 欧拉旋转定理
* 欧拉猜想
* 欧拉定理 (数论)
* 欧拉方程 (流体动力学)
* 歐拉函數 (複變函數)
* 欧拉方法
* 欧拉数
* 欧拉数 (物理学)
* 欧拉-伯努力栋梁方程
* 以他命名的事物（英语：）

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