几何学中關於向量的旋轉的演算法（Rodrigues' rotation formula），請見「**罗德里格旋转公式**」。
**罗德里格公式**（英語：），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被
欧林 罗德里格 （1816），詹姆斯 艾沃里 （1824）及卡爾 雅可比 （1827）所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述
--

令{\displaystyle \{P\_{n}(x)\}\_{n=0}^{\infty }}為一正交多項式序列，並滿足以下條件：


∫

a

b

P

m

(
x
)

P

n

(
x
)
w
(
x
)

d
x
=

K

n

δ

m
,
n

,

{\displaystyle \int \_{a}^{b}P\_{m}(x)P\_{n}(x)w(x)\,dx=K\_{n}\delta \_{m,n},}

{\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}
其中w(x) 為權函數，K\_n為與n有關之常數，{\displaystyle \delta \_{m,n}}則是克羅內克δ函數。如果權函數w(x)滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：




w
′

(
x
)

w
(
x
)

=

A
(
x
)

B
(
x
)

,

{\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}

{\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}
其中A(x) 為次數最高為一的多項式，B(x)為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：


lim

x
→
a

w
(
x
)
B
(
x
)
=
0
,

lim

x
→
b

w
(
x
)
B
(
x
)
=
0
,

{\displaystyle \lim \_{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim \_{x\to b}w(x)B(x)=0,}

{\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,}
那麼我們可以證明P\_{n}(x)滿足以下遞迴關係式


P

n

(
x
)
=

c

n

w
(
x
)



d

n

d

x

n



[

B
(
x

)

n

w
(
x
)

]

,

{\displaystyle P\_{n}(x)={\frac {c\_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}

{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}
其中c\_n為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式P\_{n}，罗德里格描述他的公式如下：


P

n

(
x
)
=

1

2

n

n
!



d

n

d

x

n



[

(

x

2

−
1

)

n

]

.

{\displaystyle P\_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}

{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}
拉蓋爾多項式通常被記為*L*0, *L*1, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為：


L

n

(
x
)
=

e

x

n
!



d

n

d

x

n



(

e

−
x

x

n

)

=

1

n
!


(

d

d
x

−
1

)

n

x

n

,

{\displaystyle L\_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}

{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}
埃爾米特多項式的罗德里格公式則為：


H

n

(
x
)
=
(
−
1

)

n

e

x

2


d

n

d

x

n



e

−

x

2

=

(

2
x
−

d

d
x

)

n

⋅
1.

{\displaystyle H\_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}

{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}
其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。

參考資料
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1. ↑ . www.encyclopediaofmath.org.  [2018-04-18]. （原始内容存档于2018-04-18） （英语）.

* Askey, Richard, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), History of mathematics **28**, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0
* 艾沃里, 詹姆斯, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, **114**: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008 可免费查阅
* 雅可比, C. G. J. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, **2**: 223–226  [2022-12-29], ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223, （原始内容存档于2022-12-29） （German）  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
* 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：）,  （英语）
* 罗德里格, 欧林, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, **3** (3): 361–385