**提示**：此条目的主题不是**空間對稱群**。 
對稱群*S*4的凯莱图
数学上，集合*X*上的**对称群**记作S*X*或Sym(*X*)。它的元素是所有*X*到*X*自身的双射。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是**置换群**Sym(*X*)。两个函数的复合一般记作*f* o *g*，在置换群的表示里简记作*fg*。

对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。

有限置换群
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各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。 

令*X* = {1,...*n*}，
称*X*上的对称群是S*n*。
*X*上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，S*n*有*n*!个元素。对*n* > 2，S*n*不是阿贝尔群。当且仅当*n* ≤ 4时，S*n*是可解群。对称群的子群称为置换群。

置换的乘积
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对称群中，两个置换的乘积就是指双射函數的复合，由符号"∘"（U+2218 ∘ ）來表示，也可以省略。例如：

{\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)(2)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}}
g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}
*f*与*g*的复合应先适用*g*，其后适用*f*。那么在*g*中的次序1将先被映射為元素2，然后再由 *f*的次序2变换成元素2，*g*的次序2先映射為5，然后由 *f*的次序5变换成4；3被 *f∘g*变换成5，如此类推。所以 *f*乘以*g*是：

 fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix}
容易证明长度为L =*k·m*的轮换(或稱循環，如下節敘述)，它的*k*次方会分解为*k*个长度为*m*的轮换。比如(*k* = 2, *m* = 3)：

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6)~。

对换
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**对换**指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的*g* = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于*g*能被写成奇数个对换的乘积，*g*是一个**奇置换**。与此相反的，*f*是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的**正負號**（sign）：

\operatorname {sgn}(f)=\left\{{\begin{matrix}+1,&{\mbox{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}f{\mbox{ is odd}}\end{matrix}}\right.
在这个定义下，

sgn: S*n* → {+1,-1}
是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群)，这个同态的同态核是所有的偶置换，称作n次交错群，记作A*n*。它是S*n*的正规子群，有*n*! / 2个元素。

置换的正負號也可以定义为：

\operatorname {sgn}(f)=(-1)^{{n-O(n)}}
其中n-O(n)表示置换*f*的**轮换指数**，O(n)表示置换*f*的**轨道**（orbit）数。群S*n*是A*n*和由一個單一對換生成的任何子群的半直積。

轮换
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**轮换**指一种置换*f*，使得对集合{1,...*n*}中的某个*x*，*x*, *f*(*x*), *f*2(*x*), ... *f**k*(*x*) = *x*是*f*作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换*h*

h={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{bmatrix}}
就是一个轮换。因为*h*(1) = 4, *h*(3) = 1，*h*(4) = 3。2，5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3)，它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同，则称它们**不交**。不交的轮换是可交换的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个S*n*中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序，这种表示是唯一的。

共轭类
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S*n*的共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭，当且仅当在它们的轮换表达中，轮换的数量以及长度都相等。比如说，在S5中， (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭，但不与(1 2)(4 5)共轭。

凱萊定理
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条目：凱萊定理
凱萊定理：任意群G都与某个变换群同构。
推论：任意有限群都与某个置换群同构。

參見
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* 楊對稱化子

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