在數學的範疇論分支，若干個函數的**等化子**（英語：）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數f,g的等化子，是方程{\displaystyle f(x)=g(x)}的解集（英语：）。僅得兩個函數時，也稱為其**差核**，因為等於兩個函數之差的核（英语：）。

定義
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設X與Y為集合。又設f,g為從X至Y的函數。則f與g的**等化子**為X中所有滿足{\displaystyle f(x)=g(x)}的元素x的集合，以符號表示為：

{\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}
等化子可以表示成{\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)}或類似的符號，如改成小楷{\displaystyle \mathrm {eq} }。有時非正式地寫成{\displaystyle \{f=g\}}。

上述定義用到兩個函數{\displaystyle f,g}，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若{\mathcal {F}}是一族函數，從X映向Y，則{\mathcal {F}}的元素的等化子，是使f(x)對所有{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}皆相等的元素x \in X的集合。以符號表示：

{\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.}
若{\mathcal {F}}可以寫成{\displaystyle \{f,g,h,\ldots \}}，則等化子亦記為{\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )}。此情況下，亦可非正式地寫成{\displaystyle \{f=g=h=\cdots \}}。

作為一般定義的退化，考慮{\mathcal {F}}為單元集{\displaystyle \{f\}}。由於f(x)必然等於自己，等化子等於整個定義域X。更退化的情況下，設{\mathcal {F}}為空集。則等化子仍為全個定義域X，因為條件的全稱量化命題為空真命題（英语：）。

差核
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二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱**差核**（英語：）。f,g的差核可以記為{\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)}、{\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}、{\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)}。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數f的核，可以作為差核{\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})}找到，其中{\displaystyle {\boldsymbol {0}}}表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，{\displaystyle 0}的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

範疇論
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等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設X, Y為物件，而f,g為自X往Y的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而f,g的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件E與態射{\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X}的整體，滿足{\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}，且對任意物件O與態射{\displaystyle m:O\to X}，若有{\displaystyle f\circ m=g\circ m}，則存在唯一的態射{\displaystyle u:O\to E}，使得{\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m}。

其中態射{\displaystyle m:O\rightarrow X}滿足的條件，即{\displaystyle f\circ m=g\circ m}，又稱為**等化**（英語：）f與 g。

在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇\mathbf{Set}，物件E總可以按原始定義（即{\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\}}）選取，而相應的態射{\displaystyle \mathrm {eq} }則是E作為X子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而{\displaystyle \mathrm {eq} }可以取為任何由E至X的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件X和Y，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是X和Y的範疇論積，而非所求的等化子（應為X）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域X密切相關（例如在集合範疇的情況下，X出現在定義式中），但與Y的關聯則僅在於Y是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則Y不必出現，故圖僅有X。此圖的極限，是任何E與X間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為**正則**（英語：）。更一般地，任意範疇中，**正則單態射**是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備（英语：），則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇（英语：）上濃縮（英语：）的範疇，粗略而言，即每個態射集{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即{\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)}，其中{\mathrm {Ker}}表示範疇論核（英语：）。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

參見
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* 餘等化子（英语：），等化子的對偶（英语：）概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
* 重合理論（英语：），不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
* 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

參考文獻
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1. ↑  Barr, Michael; Wells, Charles.  [電腦科學用的範疇論] (PDF). 1998: 266  [2013-07-20]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04） （英语）.

外部鏈結
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* *nLab*的Equalizer條目

* 一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由Jocelyn Paine編寫。

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* 论
* 编
范畴论 |
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|  基本概念 |
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| 基本概念 | 
* 範疇
* 伴隨函子
* 交换图表
* 具體範疇
* 函子
* 态射
* 自然變換
* 泛性质

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| 泛構造 | 

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| 極限 | 
* 終對象
* 積
* 等化子
	+ 核（英语：）
* 拉回
* 逆極限（英语：）

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| 餘極限 | 
* 始對象
* 餘積（英语：）
* 餘等化子（英语：）
	+ 餘核
* 推出
* 正極限（英语：）

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| 代數範疇（英语：） | 
* 集合
* 關係
* 原群
* 群
* 阿貝爾群
* 環（英语：）
	+ 域
* 模（英语：）
	+ 向量空間

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| 範疇上的構造 | 
* 自由範疇（英语：）
* 函子範疇
* 商範疇（英语：）
* 積範疇
* 子範疇

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 | A simple triangular commutative diagram |
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|  高階範疇論（英语：） |
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| 基本概念 | 
* 範疇化
* 濃縮範疇（英语：）
* 高維代數（英语：）
* 同倫假設（英语：）
* 模型范畴
* 单纯范畴

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* 四範疇（英语：）
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* ∞-拓撲斯（英语：）

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* 2-群（英语：）
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* (對稱（英语：）) 么半範疇
* *n*-群（英语：）
* *n*-么半群（英语：）

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