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| **的数** |
| **基本** |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

 

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| 正數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 {\displaystyle \mathbb {N} }
正整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 {\displaystyle \mathbb {Q} }
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 {\displaystyle \mathbb {R} }
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  | 负数 {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\displaystyle \mathbb {I} }
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
  |

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| **延伸** |
| 
 

|  |  |
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| 二元数
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} }
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
  |

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| **其他** |
| 
 

|  |  |
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| 質數 {\displaystyle \mathbb {P} }
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
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圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無限大 {\displaystyle \infty } |
| * 
* 论
* 编
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實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）
数学上，可以表达为两个整数比的数（{\displaystyle {\frac {a}{b}}}, {\displaystyle b\neq 0}）被定义为**有理数**，例如{\displaystyle {\frac {3}{8}}}，0.75(可被表达为{\displaystyle {\frac {3}{4}}})；整数和整数分数统称为有理数。

与有理数相對的是无理数，如{\displaystyle {\sqrt {2}}}无法用整数比表示。  

有理数与分數形式的区别，分數形式是一种表示比值的记法，如 分數形式{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}是无理数。  

所有有理数的集合表示为**Q**，Q+,或{\displaystyle \mathbb {Q} }。定义如下：

{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}
有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。

词源
--

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表"比例"的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

运算
--

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
两个有理数{\displaystyle {\frac {a}{b}}}和{\displaystyle {\frac {c}{d}}}相等当且仅当{\displaystyle ad=bc}

有理数中存在加法和乘法的逆：

{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}时，{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}

古埃及分数
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条目：古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

{\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}
对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建
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数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上{\displaystyle \left(a,b\right)}的等价类，这里{\displaystyle b,d}不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

{\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}
{\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}
为了使{\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}，定义等价关系{\displaystyle \sim }如下：

{\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将**Q**定义为整数有序对关于等价关系~的商集：{\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }。例如：两个对{\displaystyle (a,b)}和{\displaystyle (c,d)}是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

### 定義大小

**Q**上的大小可以定义为：

{\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}当且仅当
1. {\displaystyle bd>0}并且{\displaystyle ad\leq bc}
2. {\displaystyle bd<0}并且{\displaystyle ad\geq bc}

然後{\displaystyle x<y}是指{\displaystyle x\leq y}但{\displaystyle y\nleq x}。亦可在"小于"概念之上引入"大于"的概念，即：{\displaystyle a<b}当且仅当{\displaystyle b>a}。此排序中，每一对有理数{\displaystyle a,b}之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：

{\displaystyle a=b}，{\displaystyle a>b}，{\displaystyle a<b}。
又滿足传递性：若{\displaystyle a<b}，且{\displaystyle b<c}，则{\displaystyle a<c}。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足稠密性（英语：）：若{\displaystyle a<b}，则必存在有理数{\displaystyle c}，满足{\displaystyle a<c}，且{\displaystyle c<b}。

性质
--

有理数集是可数的
集合{\displaystyle \mathbb {Q} }，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数{\displaystyle \mathbb {Z} }的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含{\displaystyle \mathbb {Q} }的一个拷贝（即存在一个从{\displaystyle \mathbb {Q} }到其中的同构映射）。

{\displaystyle \mathbb {Q} }的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說{\displaystyle \mathbb {Q} }的基數（或勢）與自然數集合{\displaystyle \mathbb {N} }相同，都是阿列夫數{\displaystyle \aleph \_{0}}，這是因為可以定義一個從有理數集{\displaystyle \mathbb {Q} }映至自然數集合的笛卡爾積 {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }的單射函數，而{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序（英语：）：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（）。康托爾同構定理（英语：）說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

实数
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有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量{\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}，有理数构成一个度量空间，这是{\displaystyle \mathbb {Q} }上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是{\displaystyle \mathbb {Q} }的完备集。

*p*进数
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除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将{\displaystyle \mathbb {Q} }转化到拓扑域：

设{\displaystyle p}是素数，对任何非零整数{\displaystyle a}设{\displaystyle |a|\_{p}=p^{-n}}，这里{\displaystyle p^{n}}是整除{\displaystyle a}的{\displaystyle p}的最高次幂；

另外{\displaystyle |0|\_{p}=0}。对任何有理数{\displaystyle {\frac {a}{b}}}，设{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|\_{p}={\frac {|a|\_{p}}{|b|\_{p}}}}。

则{\displaystyle d\_{p}\left(x,y\right)=|x-y|\_{p}}在{\displaystyle \mathbb {Q} }上定义了一个度量。

度量空间{\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d\_{p}\right)}不完备，它的完备集是*p*进数域{\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}。

参见
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* 浮点数
* 尼云定理

参考文献
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1. ↑ . asait.world.coocan.jp.  [2020-10-09]. （原始内容存档于2016-01-12）.
2. ↑   2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry **ratio**, *n.*, sense 2.a.
3. ↑   2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry **rational**, *a. (adv.)* and *n.*1, sense 5.a.
4. ↑  菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校.  第8版. 高等教育出版社. : 2. ISBN 5-9221-0436-5.

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* 论
* 编
有理数 |
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* 整数
* 戴德金分割
* 二进分数
* 半整數
* Superparticular數

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| * 
* 论
* 编
实数 |
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* 0.999…
* 絕對差量（英语：）
* 康托尔集
* 康托爾–戴德金公理（英语：）
* 实数完备性
* 實數的構造
* 實數的一階理論可決定性（英语：）
* 擴展實數線
* 格雷果里數（英语：）
* 無理數
* 正规数
* 有理数
* 有理ζ级数（英语：）
* 實坐標空間（英语：）
* 實數線
* 塔尔斯基的实数公理化（英语：）
* 维塔利集合

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| * 
* 论
* 编
数的系統 |
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| 可數集 | 
* 自然数 ({\displaystyle \mathbb {N} })
* 整数 ({\displaystyle \mathbb {Z} })
* 有理数 ({\displaystyle \mathbb {Q} })
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 ({\displaystyle \mathbb {Z} [i]})
* 艾森斯坦整数

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|  |
| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })

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| 凯莱－迪克森结构 | 
* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\displaystyle \mathbb {H} })
* 八元数 ({\displaystyle \mathbb {O} })
* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

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| 分裂形式 | 
* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

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| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
* 十六元數  ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
* 多重複數
* 幾何代數（英语：）
	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
* 三元數
	+ 無法良好構建
* 六元數

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| 其他系統 | 
* 基數
* 擴展自然數（英语：）
* 無理數
* 模糊數（英语：）
* 超實數
* 列維-奇維塔域（英语：）
* 超現實數
* 超越數
* 序数
* *p*進數
* 超自然數（英语：）
* 上超實數（英语：）

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* 分類
* 列表级条目 列表（英语：）

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