在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 {\displaystyle r\,\!} 來表示。
兩個質量相等的粒子，依循各自橢圓軌道，繞著質心公轉。
兩個質量稍微不同的粒子的運動，依循各自橢圓軌道，繞著質心公轉。這種軌道的尺寸與形狀類似冥王星-冥衛一系統。
在經典力學裏，**二體問題**（英語：）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的**單體問題**，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。

約化為兩個獨立的單體問題
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在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為{\displaystyle m\_{1}\,\!}、{\displaystyle m\_{2}\,\!}，在時間{\displaystyle t=0\,\!}的初始位置分別為{\displaystyle \mathbf {x} \_{10}\,\!}、{\displaystyle \mathbf {x} \_{20}\,\!}，初始速度分別為{\displaystyle \mathbf {v} \_{10}\,\!}、{\displaystyle \mathbf {v} \_{20}\,\!}，計算這兩個粒子的軌跡函數{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)\,\!}及{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)\,\!}的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：

{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=m\_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}\,\!}、(1)
{\displaystyle \mathbf {F} \_{21}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=m\_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}\,\!}；(2)
其中，{\displaystyle \mathbf {F} \_{AB}\,\!}表示粒子B施加於粒子A的作用力。

二體問題的雅可比坐標()為質心坐標{\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m\_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}\_{1}+{\frac {m\_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}\_{2}}和相對坐標{\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}\_{1}-{\boldsymbol {x}}\_{2}}；其中，{\displaystyle M=m\_{1}+m\_{2}\ } 。
將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} \_{1}-\mathbf {x} \_{2}\,\!}與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)\,\!}和{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)\,\!}。

### 質心運動（第一個單體問題）

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：

{\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m\_{1}\mathbf {x} \_{1}+m\_{2}\mathbf {x} \_{2})/M\,\!}；
其中，{\displaystyle M=m\_{1}+m\_{2}\,\!}是系統的總質量。

質心的加速度為：

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}\_{cm}=(m\_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}+m\_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2})/M\,\!}。
由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到

{\displaystyle M{\ddot {\mathbf {x} }}\_{cm}=\mathbf {F} \_{12}+\mathbf {F} \_{21}=0\,\!}。
因此，質心的加速度等於零，質心的速度{\displaystyle \mathbf {v} \_{cm}\,\!}為常數：

{\displaystyle \mathbf {v} \_{cm}={\dot {\mathbf {x} }}\_{cm}=(m\_{1}\mathbf {v} \_{10}+m\_{2}\mathbf {v} \_{20})/M\,\!}。
這物理系統的動量守恆：

{\displaystyle m\_{1}\mathbf {v} \_{1}+m\_{2}\mathbf {v} \_{2}=M\mathbf {v} \_{cm}=m\_{1}\mathbf {v} \_{10}+m\_{2}\mathbf {v} \_{20}\,\!}。
從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：

{\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}=\mathbf {v} \_{cm}t+(m\_{1}\mathbf {x} \_{10}+m\_{2}\mathbf {x} \_{20})/M\,\!}。
### 位移向量運動（第二個單體問題）

將方程式(1)、(2)分別除以{\displaystyle m\_{1}\,\!}、{\displaystyle m\_{2}\,\!}，然後相減，可以得到

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} \_{12}}{m\_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} \_{21}}{m\_{2}}}\right)\,\!}。
其中，{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律，{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}=-\mathbf {F} \_{21}\,\!}。所以，

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}\right)\mathbf {F} \_{12}\,\!}。
兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的函數，而不是絕對位置{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}\,\!}、{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}\,\!}的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的函數。這樣，相減得到的方程式寫為

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} \_{12}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!}；
其中，{\displaystyle \mu =m\_{1}m\_{2}/M\,\!}是約化質量。

一旦求得函數{\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}(t)\,\!}與{\displaystyle \mathbf {r} (t)\,\!}，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)\,\!}與{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)\,\!}：

{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)=\mathbf {x} \_{cm}(t)+m\_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!}、
{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)=\mathbf {x} \_{cm}(t)-m\_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!}。

角動量
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兩個粒子的總角動量{\displaystyle \mathbf {L} \_{tot}\,\!}為

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} \_{tot}&=\mathbf {x} \_{1}\times (m\_{1}{\dot {\mathbf {x} }}\_{1})+\mathbf {x} \_{2}\times (m\_{2}{\dot {\mathbf {x} }}\_{2})=\mathbf {x} \_{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}\_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} \_{cm}+\mathbf {L} \_{rel}\\\end{aligned}}\,\!}
其中，{\displaystyle \mathbf {L} \_{cm}=\mathbf {x} \_{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}\_{cm}\,\!}是質心對於原點的角動量，{\displaystyle \mathbf {L} \_{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!}是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，

{\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}=\mathbf {v} \_{cm}t+(m\_{1}\mathbf {x} \_{10}+m\_{2}\mathbf {x} \_{20})/M\,\!}。
為了簡化分析，設定質心的初始位置為{\displaystyle 0\,\!}。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，

{\displaystyle \mathbf {L} \_{cm}=\mathbf {v} \_{cm}t\times M\mathbf {v} \_{cm}=0\,\!}、
{\displaystyle \mathbf {L} \_{tot}=\mathbf {L} \_{rel}\,\!}。
二体问题常用的换元的技巧是通过 {\displaystyle u=1/r\!} 和 {\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!} 将原方程中对时间的求导转化为对角度 {\displaystyle \theta \!} 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

{\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}
### 角動量守恆與連心力

二體問題的總力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{tot}\,\!}是

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{tot}=\mathbf {x} \_{1}\times \mathbf {F} \_{12}+\mathbf {x} \_{2}\times \mathbf {F} \_{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \_{12}\,\!}。
在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}\,\!}是連心力，則{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}\,\!}與{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}同直線，總力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{tot}\,\!}等於0。根據角動量守恆定律，

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{tot}={\frac {d\mathbf {L} \_{tot}}{dt}}\,\!}。
因此，總角動量{\displaystyle \mathbf {L} \_{tot}\,\!}是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\_{tot}\,\!}不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。

在很多物理系統裏，作用力{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!}是一種連心力，以方程式表示為

{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}；
其中，{\displaystyle r\,\!}是徑向距離，{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!}是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!}。
更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（）。

### 平面運動與角動量守恆

總角動量與{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}的點積為

{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} \_{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!}。
這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於{\displaystyle \mathbf {L} \_{tot}\,\!}的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量{\displaystyle \mathbf {L} \_{tot}\,\!}垂直於這平面。

參閱
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* 多體問題
* 克卜勒定律
* 克卜勒問題
* 拉普拉斯-龍格-冷次向量
* 伯特蘭定理
* 牛頓旋轉軌道定理

參考文獻
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### 引用

1. ↑  David Betounes.. Springer. 2001: 58; Figure 2.15.
2. ↑  Luo, Siwei.. Journal of Physics Communications. 22 June 2020, **4** (6): 061001. Bibcode:2020JPhCo...4f1001L. doi:10.1088/2399-6528/ab9c30 可免费查阅.
3. ↑  Goldstein, Herbert.  3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7–8. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

### 来源

书籍
* Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) *Mechanics*, 3rd. ed. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).