数学上，**序拓撲**是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。 此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為**序空間**。

如果 *X* 為全序集，則 *X* 的**序拓扑**由無界開區間

{\displaystyle (a,\infty )=\{x\mid a<x\}}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}
組成的準基生成，其中 *a,b* 取遍 *X* 的所有元素。這等價於，開區间

{\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}
連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， *X* 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）並。

若可對一个拓扑空间 *X* 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 *X* 自身的拓撲，則称 *X* 为**可序化的** 。 *X* 上的序拓撲使 *X* 成為一個完全正規的豪斯多夫空间。

 **R**, **Q**, **Z**, **N** 上的標準拓撲均為为序拓扑。

誘導拓扑
----

若 *Y* 為 *X* 的子集，則 *Y* 继承了 *X* 的全序。*Y* 因此具有序拓扑结构， 稱為**导出拓扑**。作为 *X* 的子集，*Y* 还有一个子空间拓扑。子空间拓撲至少比誘導拓撲更精細，但一般情況下它们不相同。

例如，考虑有理數集的子集 *Y* ={-1} ∪ {1/*n*}*n*∈**N** 。 在子空间拓扑中，單元集 {-1} 在 *Y* 中是開集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的開集都必须包含 *Y* （除有限個以外）的所有元素。

全序空間的子空间拓撲不一定可序化
----------------

虽然上述 *Y* ={-1} ∪ {1/*n*}*n*∈**N** 的子空間拓撲不是由 *Y* 的誘導排序產生，它仍是 *Y* 上的序拓撲；事实上，在子空间拓撲中，每一点都是孤立的（即，單元集 {*y*} 是 *Y* 的開集），故子空间拓扑是 *Y* 上的離散拓撲（使得每一个子集都是 *Y* 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 *Y* 的全序使得其产生的序拓扑是 *Y* 上的離散拓撲，只需修改 *Y* 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（称為 *<**1* ）中，有 1/*n* *<**1* -1 對任意 *n*∈**N** 均成立。這樣，*<**1* 在 *Y* 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 *X* 及其子集 *Z* ，使得不存在 *Z* 上的全序給出一個序拓撲與 *Z* 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 {\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)} 為實數軸的子集。同上可知，*Z* 上的子空间拓扑不等于 *Z* 上诱导的序拓扑。且可證，*Z* 上的子空间拓扑不等于 *Z* 上的任何序拓扑。

用反證法。假设 *Z* 有一個严格全序 < ，使得 < 給出的序拓撲等于 *Z* 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 *Z* 上的誘導排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。 此外，如果 *A* 和 *B* 是集合，則 {\displaystyle A<B} 表示：對任意 *A* 的元素 *a* 和 *B* 的元素 *b* ，都有 {\displaystyle a<b} 。

設 *M*=*Z* \{-1} 為單位開區間，則 *M* 連通。若 *m,n* ∈ *M* 且 *m*<-1<*n ，*則 {\displaystyle (-\infty ,-1)} 和 {\displaystyle (-1,\infty )} 是 *M* 的分隔，矛盾。因此，*M*<{-1} 或者 {-1}<*M* 。不妨設 {-1}<*M 。*因 {-1} 是 *Z* 的開集，存在 *M* 中的一點 *p* 使得 (-1, *p* ) 為空。又因 {-1}<*M ，*-1 是唯一小于 *p* 的元素，因此 *p* 是 *M* 中最小的。但這樣，*M* \ {*p*}=*A* ∪ *B*，其中 *A* 和 *B* 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一点，剩下的是兩個開區間）。由連通性，没有 *Z* \*B* 中的點在排序後介於 *B* 的兩點之間，也没有 *Z* \*A* 中的點在排序後介於 *A* 的兩點之間。因此，任何一个 *A*<*B* 或 *B*<*A*. 又不妨設 *A*<*B*. 如果 *a* 為 *A* 中任何一点，則 *p*<*a* ，且 (*p*, *a*)\subseteq*A*. 又 (-1, *a*) = [*p*, *a*)，因此 [*p*, *a*) 是开集。而 {*p*}∪*A* = [*p*, *a*)∪*A*，因此 {*p* }∪*A* 是 *M* 的開子集，因此 *M* = ({*p* }∪*A*) ∪ *B* 把 *M* 分割成兩個不相交的開集，這與 *M* 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為**序空間**，而序空间的子空間称为**廣義序空间**。因此，以上例子 *Z* 是一个廣義序空间，但不是一個序空間。

左、右序拓扑
------

類似的拓扑结构有：

* *X* 上的**右序拓扑**，其具有 (*a*, ∞) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。
* X 上的**左序拓扑**，其具有 (−∞, *b*) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓撲和右序拓扑可作為點集拓扑學上的一些反例。例如，有界集上的左序拓撲或右序拓扑是紧空间，但不是豪斯多夫的。

集合論裏，左序拓扑給出一個布尔代數上的標準拓撲。

序數空间
----

对于任何序数 λ ，序數集

{\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}
{\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}
具有自然的序拓撲結構。这種拓撲空間空间称为**序數空间**。（注意，按照集合論通常構造序數的方法，有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] ）显然，當 λ 為無窮序數時，情況較複雜；否则，對於有限的序數，其序拓扑是简单的离散拓扑。

当 λ = ω （最小的无窮序數）時，空间 [0,ω) 只是 **N** 及其往常的離散拓扑，而 [0,ω] 則是單點緊化的 **N** 。

条目：首個不可數序數
當 λ = ω1 （即所有可数序數組成的集合）時，情況有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的极限点，但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 为極限。確切地說，[0,ω1]不是第一可数的。然而，子空间 [0,ω1) 是第一可数的，因為唯一無可数邻域系的點是 ω1. 其他性質包括

* [0,ω1) 和 [0,ω1] 皆不可分，也不第二可数。
* [0,ω1] 是紧的，同时 [0,ω1) 序列緊且可数紧，但不是緊的，也不是仿緊的。

参見
--

* 長直線

參考資料
----

1. ↑  Steen, p. 74 （页面存档备份，存于）.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
| --- |
|  |
| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
|  |
| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
|  |
| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
|  |
| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

 |

 |