在泛函分析和量子信息科学中，**正算子值测度**（**POVM**）是一种推广的测度，这种测度的值为希尔伯特空间上半正定算子。POVM是投影值测度（PVM） 的推广，相应地，POVM描述的量子测量是PVM描述的量子测量 (称为投影测量) 的推广。

粗略地比喻一下，POVM之于PVM，就如同混合态之于纯态一样。 混合态对于刻画一个较大系统的子系统的状态而言是必须的（见量子态的纯化）；类似地，POVM则对于刻画在较大系统上进行的投影测量对子系统的影响是必须的。

POVM是量子力学中最普遍的测量类型，也用于量子场论。它们在量子信息领域有着广泛的应用。

定义
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设 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 是一希尔伯特空间，而 {\displaystyle (X,M)} 是一可测空间，其中 {\displaystyle M} 是 {\displaystyle X} 上的博雷尔σ-代数。若 {\displaystyle M} 上的一个函数 {\displaystyle F} ，其值为 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上的正有界自伴算子，且对于任意 {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} 和 {\displaystyle E\in M} 满足

{\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi |\psi \rangle ,}
则 {\displaystyle F} 是σ-代数 {\displaystyle M} 上的非负可数可加测度，且总质量为恆等算子 {\displaystyle F(X)=\operatorname {I} \_{\mathcal {H}}} ，那么称 {\displaystyle F} 是一个POVM。 

在最简单的情况下，POVM是有限维希尔伯特空间 {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上的一组半正定埃尔米特矩阵 {\displaystyle \{F\_{i}\}} ，其和为单位矩阵 

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}F\_{i}=\operatorname {I} .}
POVM与投影值测度的不同之处在于，对于投影值测量， {\displaystyle F}必须是正交投影。

在量子力学中，POVM的关键性质是它确定了结果空间上的一个概率测度，因此 {\displaystyle \langle F(E)\psi |\psi \rangle } 可以解释为测量量子态 {\displaystyle |\psi \rangle } 时得到结果 {\displaystyle E} 的概率（密度）。也就是说，POVM元素 {\displaystyle F\_{i}} 是关联于测量结果 {\displaystyle i} 的，从而对量子态 {\displaystyle \rho } 进行量子测量时得到它的概率

{\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F\_{i})} ，
其中 {\displaystyle \operatorname {tr} } 是迹运算。若被测量的量子态是纯态 {\displaystyle |\psi \rangle } ，则此公式简化为

{\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F\_{i})=\langle \psi |F\_{i}|\psi \rangle } 。
POVM的最简单情况推广了PVM的最简单情况，即PVM是一组和为恒等矩阵的正交投影 {\displaystyle \{\Pi \_{i}\}} 的情况：

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}\Pi \_{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi \_{i}\Pi \_{j}=\delta \_{ij}\Pi \_{i}.}
PVM的概率公式与POVM的概率公式相同。一个重要的区别是POVM的元素不一定正交。因此，POVM元素的数量 {\displaystyle n} 可以大于其所作用的希尔伯特空间的维数，而PVM元素的数量 {\displaystyle N} 不会超过希尔伯特空间的维数。

奈马克扩张定理
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条目：奈马克扩张定理
奈马克扩张定理展示了如何从作用于更大空间的PVM中得到POVM。这一结果在量子力学中至关重要，因为它提供了一种物理实现正算子值测量的方法。 

最简单的情况是，POVM元素作用于一个有限维希尔伯特空间且数目有限。奈马克扩张定理指出，若 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=1}^{n}} 是 {\displaystyle d\_{A}} 维希尔伯特空间 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{A}} 上的POVM，则存在一个 {\displaystyle d\_{A'}} 维希尔伯特空间 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{A'}} 上的PVM {\displaystyle \{\Pi \_{i}\}\_{i=1}^{n}} 以及等距同构 {\displaystyle V:{\mathcal {H}}\_{A}\to {\mathcal {H}}\_{A'}} ，使得对于任意 {\displaystyle i} 有

{\displaystyle F\_{i}=V^{\dagger }\Pi \_{i}V.}
对于秩为一的POVM的特殊情况，即存在某（未归一化的）向量 {\displaystyle |f\_{i}\rangle } 使得 {\displaystyle F\_{i}=|f\_{i}\rangle \langle f\_{i}|} ，该等距映射可以构造为 

{\displaystyle V=\sum \_{i=1}^{n}|i\rangle \_{A'}\langle f\_{i}|\_{A}}
而PVM则由 {\displaystyle \Pi \_{i}=|i\rangle \langle i|\_{A'}} 给出。注意这里 {\displaystyle d\_{A'}=n} 。

一般情况下，等距同构和PVM可以通过定义 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{A'}={\mathcal {H}}\_{A}\otimes {\mathcal {H}}\_{B}} 、 {\displaystyle \Pi \_{i}=\operatorname {I} \_{A}\otimes |i\rangle \langle i|\_{B}} 和

{\displaystyle V=\sum \_{i=1}^{n}{\sqrt {F\_{i}}}\_{A}\otimes {|i\rangle }\_{B}}
来构造。注意这里 {\displaystyle d\_{A'}=nd\_{A}} ，因此这是一个更加"浪费"的构造。

无论哪种情况，对经过等距映射后的态进行该投影测量得到结果 {\displaystyle i} 的概率与进行原始正算子值测量得到该结果的概率相同：

{\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho \_{A}V^{\dagger }\Pi \_{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho \_{A}V^{\dagger }\Pi \_{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho \_{A}F\_{i})}
通过将该等距同构 {\displaystyle V} 扩张为一个幺正算子 {\displaystyle U} ，可以将这种构造转化为POVM的一个物理实现方案。也就是说寻找 {\displaystyle U} 使得

{\displaystyle \forall 1\leq i\leq d\_{A},\quad V|i\rangle \_{A}=U|i\rangle \_{A'}.}
这总是可以做到。

实现对量子态 {\displaystyle \rho } 进行的正算子值测量 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=1}^{n}} 的方法是[需要解释]，将 {\displaystyle \rho } 嵌入希尔伯特空间 {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{A'}} ，然后进行其幺正演化 {\displaystyle U} ，再进行对应于PVM {\displaystyle \{\Pi \_{i}\}\_{i=1}^{n}} 的投影测量。

### 测量后的状态

测量后的状态不是由POVM本身决定的，而是由物理上实现它的PVM来决定。由于相同的POVM有无穷个不同的PVM实现，因此 {\displaystyle \{F\_{i}\}\_{i=1}^{n}} 这些算子本身并不能确定测量后的状态。为看出这一点，注意对于任何幺正算子 {\displaystyle W} ，算子

{\displaystyle M\_{i}=W{\sqrt {F\_{i}}}}
也满足性质 {\displaystyle M\_{i}^{\dagger }M\_{i}=F\_{i}} ，那么结合第二种构造的等距同构

{\displaystyle V\_{W}=\sum \_{i=1}^{n}{M\_{i}}\_{A}\otimes {|i\rangle }\_{B}}
也将实现相同的 POVM。在被测状态为纯态 {\displaystyle |\psi \rangle \_{A}} 的情况下，由此得到的幺正 {\displaystyle U\_{W}} 在该态（连同辅助态）上的作用结果是

{\displaystyle U\_{W}(|\psi \rangle \_{A}|0\rangle \_{B})=\sum \_{i=1}^{n}M\_{i}|\psi \rangle \_{A}|i\rangle \_{B},}
当得到的测量结果为 {\displaystyle i\_{0}} 时，辅助态上的投影测量将会使 {\displaystyle |\psi \rangle \_{A}} 坍缩到态 

{\displaystyle |\psi '\rangle \_{A}={\frac {M\_{i\_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M\_{i\_{0}}^{\dagger }M\_{i\_{0}}|\psi \rangle }}}.}
若被测态的密度矩阵为 {\displaystyle \rho \_{A}} ，其被测量后的状态是

{\displaystyle \rho '\_{A}={M\_{i\_{0}}\rho M\_{i\_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M\_{i\_{0}}\rho M\_{i\_{0}}^{\dagger })}.}
因此可见，测量后状态明确依赖于幺正算子 {\displaystyle W} 。注意虽然 {\displaystyle M\_{i}^{\dagger }M\_{i}=F\_{i}} 总是埃尔米特的， {\displaystyle M\_{i}} 一般未必是埃尔米特的。

正算子值测量与投影测量的另一个区别在于它通常是不可重复的。若第一次测量得到结果 {\displaystyle i\_{0}} ，第二次测量得到不同结果 {\displaystyle i\_{1}} 的概率为

{\displaystyle {\text{Prob}}(i\_{1}|i\_{0})={\operatorname {tr} (M\_{i\_{1}}M\_{i\_{0}}\rho M\_{i\_{0}}^{\dagger }M\_{i\_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M\_{i\_{0}}\rho M\_{i\_{0}}^{\dagger })}} ，
它在 {\displaystyle M\_{i\_{0}}} 和 {\displaystyle M\_{i\_{1}}} 不正交时可以是不为零的。在投影测量中，这些算子必然是正交的，因此测量始终是可重复的。

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1. ↑  Peres, Asher; Terno, Daniel R.. Reviews of Modern Physics. 2004, **76** (1): 93–123. Bibcode:2004RvMP...76...93P. S2CID 7481797. arXiv:quant-ph/0212023 可免费查阅. doi:10.1103/RevModPhys.76.93.
2. ↑  Davies, Edward Brian.. London: Acad. Press. 1976: 35. ISBN 978-0-12-206150-9.
3. 1 2  M. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, (2000)
4. ↑  I. M. Gelfand and M. A. Neumark, On the embedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 12(54) (1943), 197–213.
5. 1 2  A. Peres. Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer Academic Publishers, 1993.
6. ↑  J. Preskill, Lecture Notes for Physics: Quantum Information and Computation, Chapter 3,
7. ↑  J. Watrous. The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press, 2018. Chapter 2.3,