在數學中，**魏爾斯特拉斯橢圓函數**（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 \wp  符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

Symbol for Weierstrass P function
魏爾斯特拉斯p函數的符號

定義
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固定 \mathbb {C}  中的格 {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \omega \_{1}\oplus \mathbb {Z} \omega \_{2}}（ {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2}\in \mathbb {C} } 在 \mathbb{Q} 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

{\displaystyle \wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \_{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega \_{1}-n\omega \_{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega \_{1}+n\omega \_{2}\right)^{2}}}\right\}}。
顯然右式只與格 \Lambda\, 相關，無關於基 {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2}\,} 之選取。\Lambda\, 的元素也稱作週期。

另一方面，格 \Lambda\, 在取適當的全純同態 {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 後可表成 {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau }，其中 \tau \, 屬於上半平面。對於這種形式的格，

{\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \_{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}}。
反之，由此亦可導出對一般的格之公式

{\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega \_{1}\oplus \mathbb {Z} \omega \_{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega \_{1}}};{\frac {\omega \_{2}}{\omega \_{1}}})}{\omega \_{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega \_{1}}{\omega \_{2}}})>0)}
在數值計算方面，\wp  可以由Θ函數快速地計算，方程是

{\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta \_{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta \_{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta \_{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta \_{10}^{4}(0;\tau )\right]}
* 在週期格中的每個點，\wp  有二階极点。
* \wp  是偶函數。
* 複導函數 {\displaystyle \wp '} 是奇函數。

加法定理
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{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0}
假設 {\displaystyle u+v+w=0}，上式有一個較對稱的版本

{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0}
此外

{\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}
魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 {\displaystyle 2z} 不是週期，則

{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}

微分方程與積分方程
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定義 {\displaystyle g\_{2},g\_{3}}（依賴於 \Lambda ）為

{\displaystyle g\_{2}:=60\sum \_{w\in \Lambda }'w^{-4}}
{\displaystyle g\_{3}:=120\sum \_{w\in \Lambda }'w^{-6}}
求和符號 {\displaystyle \sum '\_{w}} 意謂取遍所有非零的 w。當 {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau } 時，它們可由艾森斯坦級數 {\displaystyle G\_{4},G\_{6}} 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

{\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g\_{2}\wp (z)-g\_{3}}。
故 {\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))} 給出了從複環面 {\mathbb {C}}/\Lambda  映至三次複射影曲線 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g\_{2}x-g\_{3}} 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 {\displaystyle \wp '}，積分後可得

{\displaystyle z\_{1}-z\_{2}=\int \_{\wp (z\_{1})}^{\wp (z\_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g\_{2}s-g\_{3}}}}}。
右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 {\displaystyle \wp (z\_{1})\to \wp (z\_{2})}，其積分值僅差一個 \Lambda  的元素；所以左式應在複環面 {\mathbb {C}}/\Lambda  中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式
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續用上節符號，**模判別式** \Delta  定義為下述函數

{\displaystyle \Delta =g\_{2}^{3}-27g\_{3}^{2}.}
視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻
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* Stein. Complex Analysis.
* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition* (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 *(See chapter 1.)*
* K. Chandrasekharan, *Elliptic functions* (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
* Serge Lang, *Elliptic Functions* (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, *A course of modern analysis* (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結
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* Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （页面存档备份，存于）.
* Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.