说谎者的扑克牌使用美钞上的八位流水号进行游戏
**说谎者的扑克牌**是一个结合统计判断与虚张声势的酒吧游戏，它使用美钞上的八位流水号进行游戏。玩家只需要任意找出数张纸币。游戏的目标是猜出某个数字个数，并且不超过所有玩家手中钞票流水号中该数字个数的总和。数字通常依以下顺序排列：2，3，4，5，6，7，8，9，0（10）与1（最大牌）。若第一位玩家叫三个6，那么他预计包括他本人所有玩家手里至少有三个6。下一位玩家需要增加牌序（三个7）或增加数字个数（四个5），或提出异议。当所有玩家都对某人的叫牌表示异议时游戏结束。如果这个叫牌是正确的，他将从其他玩家手里赢钱，但如果是错误的，则他输给每人一定数量的钱。

说谎者的扑克牌的概率
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遇到异议时达到过关所需数字的数目的概率服从以下两个规则：

**规则1**，**P（至少出现X个C的概率）= 1 - binomcdf (Y , 0.1 , X-1)**  

其中：  

X = 所需数字的数目  

C = 所需数字，其出现概率为1/10 = 0.1  

Y = 未知数字的个数，等于其他玩家人数乘以8  

binomcdf为离散二项分布

例一：两人游戏，你想测定对方有至少两个6的概率。  

P（至少有两个6的概率）= 1 - binomcdf (8 , 0.1 , 1) = 0.18670...  

所以有18.69%的概率对方有至少两个6。

例二：五人游戏，你想测定其他玩家是否有至少四个7。  

P（至少有四个7的概率）= 1 - binomcdf (32 , 0.1 , 3) = 0.3997...  

所以你有39.97%的概率其他四个玩家有至少四个7。

**规则2**，为计算至少出现X个C的概率，你要减去从X=1到X=X-1的概率。

**P(X个C的概率) = Y nCr X x 0.1X x 0.9Y-X**  

其中:  

X = 所需数字的个数  

C = 所需数字，其出现概率为1/10 = 0.1  

Y = 未知数字的个数，等于其他玩家人数乘以8

例：两人游戏，你要测定对方是否有至少两个6。  

P（至少两个6） = 1 - P（没有6） - P（只有一个6）  

P（没有6） = 8nCr0 x 0.10 x 0.98 = 0.4305  

P（只有一个6） = 8nCr1 x 0.11 x 0.97 = 0.3826

P(至少两个6) = 1 - 0.4305 - 0.3826 = 0.18670...  

因此有18.69%的概率对方有至少两个6。

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两人至六人游戏中某一数字至少需要个数的全概率分布。

| 至少需要个数 / 其他玩家数 | -- 1 玩家 -- | -- 2玩家-- | -- 3玩家-- | -- 4玩家-- | -- 5玩家-- |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0.56 | 0.81 | 0.92 | 0.97 | 0.99 |
| 2 | 0.19 | 0.49 | 0.71 | 0.84 | 0.92 |
| 3 | 0.04 | 0.21 | 0.44 | 0.63 | 0.78 |
| 4 | 0.01 | 0.07 | 0.21 | 0.40 | 0.58 |
| 5 | 0.00 | 0.05 | 0.09 | 0.21 | 0.37 |
| 6 | 0.00 | 0.00 | 0.03 | 0.09 | 0.21 |
| 7 | 0.00 | 0.00 | 0.01 | 0.04 | 0.10 |
| 8 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 0.01 | 0.04 |

例如，如果你还需要三个特定数字，在两人游戏中你得到它的概率是4%，三人游戏为21%，四人游戏为44%，依此类推。

游戏策略
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像一般的扑克游戏一样，说谎者的扑克牌游戏中到处都是欺骗。如果玩家想玩转这个游戏，需要充分掌握其中一些基于数学原理的策略。

游戏中玩家可能会遇到进退两难（damned if I do, damned if I don't）的选择。如果你提出异议则必定会输，但要是继续叫牌则必定被人提出异议。此时如果是两人游戏你永远都应继续叫牌，三人游戏中若你叫牌成功的概率高于25%则继续，四人游戏中高于33.33%则继续，换句话说，在n人游戏中当你继续叫牌成功概率大于**(n-2)/(2n-2)**时，你都应继续叫牌。

例：五人游戏，你的流水号为53653158。上家叫牌为七个3，你认为这很有可能，因为你自己就有两个3。你可以继续往上叫牌七个5。你此时还需四个5，这一概率为40%。此时的策略应是如果你的概率（40%）高于(n-2)/(2n-2)，n为所有玩家数，你要继续向高处叫牌。此时(5-2) / (2x5 -2) = 0.375x100% = 37.5%<40%，所以在统计学上你应继续叫牌。

|  | 2人游戏 | 3人游戏 | 4人游戏 | 5人游戏 | 6人游戏 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (n-2)/(2n-2) | 总是继续 | 0.25 | 0.33 | 0.38 | 0.40 |
| 允许的最大所需数目 | 总是继续 | 2或更少 | 3或更少 | 4或更少 | 4或更少 |

如上所述，说谎者的扑克牌处处都是欺骗，因此你不应该严格的遵守以上统计策略。

游戏示例
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如果玩家都严格遵循以上数学模型，游戏将有可能如下进行。记住游戏中数字的大小从低到高按2-3-4-5-6-7-8-9-0-1顺序排列。

玩家1: 21068274  

玩家2: 44789800  

玩家3: 27706500  

玩家4: 63523655

玩家1 开始

玩家1: 三个2（自己有两个2 - 92%的概率其他人至少有一个2）  

玩家2: 四个4（自己有两个4 - 71%的概率其他人至少有两个4）  

玩家3: 四个0（自己有三个0 - 92%的概率其他人至少有一个0）  

玩家4: 五个5（自己有三个5 - 71%的概率其他人至少有两个5）  

玩家1: 异议（其他人有至少四个2、6、7或8的概率为21%，而21%<33%）  

玩家2: 五个0（自己有两个0 - 44%的概率其他人至少有三个0）  

玩家3: 六个0（自己有三个0 - 44%的概率其他人至少有三个0）  

玩家4: 异议（其他人至少有四个5的概率为21%，而21%<33%）  

玩家1: 异议（其他人至少有五个2的概率为9%，而9%<33%）  

玩家2: 异议（其他人至少有七个4、8或0的概率为1%，而1%<33%）

玩家3被所以人异议，每个人都说出自己0的个数。他们总共有正好有六个0，因此玩家3胜，其他玩家要向其支付赌金。

示例中四位玩家完全理解并遵守数学模型，但这个游戏充满了虚张声势的欺骗，玩家为了各自的利益，都会试图影响其他人的判断，而统计知识只是这一切的基础。

同名书籍
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迈克尔·刘易斯于1989年所著同名书籍《说谎者的扑克牌》，讲述其在当时华尔街最大投资银行所罗门兄弟公司的四年工作经历，书中详细描述了交易员们如何玩这个游戏。该书曾被评为《商业周刊》年度最佳商业图书。

參考資料
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* 《说谎者的扑克牌》迈克尔‧刘易斯著，孙忠译，中信出版社2007年1月初版。ISBN 9787508607559
* （英文）Probabilities in Liar's Poker（页面存档备份，存于）