雙曲扇形a的很多雙曲函数可以在几何上依据以*O*为中心的雙曲線来构造。
在数学中，**雙曲函數恆等式**是对出现的变量的所有值都为實的涉及到雙曲函數的等式。这些恒等式在表达式中有些雙曲函數需要简化的时候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函數，他有一个重要应用是非雙曲函數的积分：一个常用技巧是首先使用换元积分法，規則與使用三角函数的代换规则類似，则通过雙曲函數恆等式可简化结果的积分。

符号
--

|  | 函数 | 倒數函数 |
| --- | --- | --- |
|  | 全寫 | 簡寫 | 全寫 | 簡寫 |
| 函数 | hyperbolic sine | sinh | hyperbolic cosecant | csch |
| 反函数 | inverse hyperbolic sine | arcsinh | inverse hyperbolic cosecant | arccsch |
| 函数 | hyperbolic cosine | cosh | hyperbolic secant | sech |
| 反函数 | inverse hyperbolic cosine | arccosh | inverse hyperbolic secant | arcsech |
| 函数 | hyperbolic tangent | tanh | hyperbolic cotangent | coth |
| 反函数 | inverse hyperbolic tangent | arctanh | inverse hyperbolic cotangent | arccoth |

基本關係
----

sinh, cosh 和 tanh
csch, sech 和 coth
雙曲函數基本恒等式如下：

|  |
| --- |
| \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\, |
| \tanh x\cdot \coth x\,=1 |
| 1\,-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x |
| \coth ^{2}x-1\,=\operatorname {csch} ^{2}x |

* \sinh x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}
* \cosh x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}
* \tanh x={{\sinh x} \over {\cosh x}}
* \coth x={1 \over {\tanh x}}
* {\mathop {\rm {sech}}}x={1 \over {\cosh x}}
* {\mathop {\rm {csch}}}x={1 \over {\sinh x}}

就如同三角函數，由上面的平方關係加上雙曲函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個雙曲函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）

| 函數 | sinh | cosh | tanh | coth | sech | csch |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \sinh x | \sinh x\  | \operatorname {sgn} x{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}} | {\frac {\tanh x}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}} | {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\coth ^{2}x-1}}} | \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}} | {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}} |
| \cosh x | {\sqrt {1+\sinh ^{2}x}} | \cosh x\  | {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}} | \,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}} | \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}} | \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}} |
| \tanh x | {\frac {\sinh x}{\sqrt {1+\sinh ^{2}x}}} | {\frac {\operatorname {sgn} x{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}{\cosh x}} | \tanh x\  | {\frac {1}{\coth x}} | \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}} | \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}} |
| \coth x | {{\sqrt {1+\sinh ^{2}x}} \over \sinh x} | {\cosh x \over \operatorname {sgn} x{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}} | {1 \over \tanh x} | \coth x\  | \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}} | \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}} |
| \operatorname {sech} x | {1 \over {\sqrt {1+\sinh ^{2}x}}} | {1 \over \cosh \theta } | {\sqrt {1-\tanh ^{2}x}} | \,{\frac {\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}{\left|\coth(x)\right|}} | \operatorname {sech} x\  | \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}} |
| \operatorname {csch} x | {1 \over \sinh x} | {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}} | {\frac {\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}{\tanh x}} | \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}} | \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}} | \operatorname {csch} x\  |

### 其他函數的基本關係

三角函數還有正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割、外餘割等函數，利用他們的定義也可以導出雙曲函數。

| 名稱 | 函數 | 值 |
| --- | --- | --- |
| 雙曲正矢, hyperbolic versine | \operatorname {versinh} (x)\operatorname {vsnh} (x) | \cosh x-1 |
| 雙曲餘矢, hyperbolic coversine | \operatorname {coversinh} (x)\operatorname {cvsh} (x) | {\displaystyle \sinh x-1} |
| 雙曲半正矢 , hyperbolic haversine | {\displaystyle \operatorname {haversinh} (x)} | {\frac {\operatorname {versinh} (x)}{2}} |
| 雙曲半餘矢 , hyperbolic hacoversine | \operatorname {hacoversinh} (x) | {\frac {\operatorname {cvsh} (x)}{2}} |
| 雙曲外正割 , hyperbolic exsecant | \operatorname {exsech} (x) | {\displaystyle 1-\operatorname {sech} (x)} |
| 雙曲外餘割 , hyperbolic excosecant | {\displaystyle \operatorname {excsch} (x)} | {\displaystyle 1-\operatorname {csch} (x)} |

和角公式
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\sinh(x+y)\ =\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,
\sinh(x-y)\ =\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\,
\cosh(x+y)\ =\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,
\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\,
\tanh(x+y)\ ={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,
\tanh(x-y)\ ={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\,

和差化積公式
------

\sinh x+\sinh y\ =2\sinh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\,
{\displaystyle \sinh x-\sinh y\ =2\cosh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\,}
\cosh x+\cosh y\ =2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\,
\cosh x-\cosh y\ =2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\,
\tanh x+\tanh y\ ={\frac {\sinh(x+y)}{\cosh x\cosh y}}\,
\tanh x-\tanh y\ ={\frac {\sinh(x-y)}{\cosh x\cosh y}}\,

積化和差公式
------

\sinh x\sinh y\ ={\frac {\cosh(x+y)-\cosh(x-y)}{2}}\,
\cosh x\cosh y\ ={\frac {\cosh(x+y)+\cosh(x-y)}{2}}\,
\sinh x\cosh y\ ={\frac {\sinh(x+y)+\sinh(x-y)}{2}}\,

倍角公式
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* 二倍角公式：

\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,
\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,
\tanh 2x\ ={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\,
* 三倍角公式：

\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x
\cosh 3x\ =4\cosh ^{3}x-3\cosh x

半形公式
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\sinh {\frac {x}{2}}\ =\operatorname {sgn} x{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}
\cosh {\frac {x}{2}}\ ={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}
\tanh {\frac {x}{2}}\ ={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}\ ={\frac {\sinh x}{1+\cosh x}}\,

幂简约公式
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\sinh ^{2}x={\frac {\cosh 2x-1}{2}}\,
\cosh ^{2}x={\frac {\cosh 2x+1}{2}}\,
\tanh ^{2}x={\frac {\cosh 2x-1}{\cosh 2x+1}}\,

雙曲正切半形公式
--------

\sinh x={\frac {2\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {x}{2}}}}
\cosh x={\frac {1+\tanh ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {x}{2}}}}
\tanh x={\frac {2\tanh {\frac {x}{2}}}{1+\tanh ^{2}{\frac {x}{2}}}}

泰勒展開式
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\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}
\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}
\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi  (罗朗级数)
\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}
\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi  (罗朗级数)
其中

B\_{n}\, 是第n項 伯努利數
E\_{n}\, 是第n項 欧拉數

三角函數與雙曲函數的恆等式
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利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義（英语：）即可求出下列恆等式:

e^{ix}=\cos x+i\;\sin x\qquad ,\;e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x

e^{x}=\cosh x+\sinh x\!\qquad ,\;e^{-x}=\cosh x-\sinh x\!

所以

\cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x

\sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x

下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式:

| 三角函數 | 雙曲函數 |
| --- | --- |
| \sin \theta =-i\sinh {i\theta }\, | \sinh {\theta }=i\sin {(-i\theta )}\, |
| \cos {\theta }=\cosh {i\theta }\, | \cosh {\theta }=\cos {(-i\theta )}\, |
| \tan \theta ={\frac {\tanh {i\theta }}{i}}\, | \tanh {\theta }=i\tan {(-i\theta )}\, |
| \cot {\theta }=i\coth {i\theta }\, | \coth \theta ={\frac {\cot {(-i\theta )}}{i}}\, |
| \sec {\theta }=\operatorname {sech} {\,i\theta }\, | \operatorname {sech} {\theta }=\sec {(-i\theta )}\, |
| \csc {\theta }=i\;\operatorname {csch} {\,i\theta }\, | \operatorname {csch} \theta ={\frac {\csc {(-i\theta )}}{i}}\, |

* 其他恆等式:

\cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x
\sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x
\cosh(x+iy)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\,
\sinh(x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\,
\tanh ix=i\tan x\,
\cosh x=\cos ix\,
\sinh x=-i\sin ix\,
\tanh x=-i\tan ix\,

參見
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* 三角函數恆等式
* 雙曲函數
* 雙曲線
* 三角函數
* 三角形

參考文獻
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* 數學基本公式手冊 九章出版社 ISBN 957-603-010-2

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* 编
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