「」至此。关于古代人物，请见「**衛開方**」。

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| 算术运算* 
* 论
* 编
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在数学中，一數b為数a的**n次方根**，則{\displaystyle b^{n}=a}。在提及实数a的n次方根的时候，若指的是此数的**主n次方根**，則可以用**根号**（{\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}}）表示成\sqrt[n]{a}。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作{\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}。當n=2時，則n可以省略。定义实数a的主n次方根为a的n次方根，且具有与a相同的正负号的唯一实数b。在n是偶数時，负数没有主n次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數b為数a的{\displaystyle {\frac {1}{n}}}次方：

{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}

符号史
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条目：根号
最早的根号"√"源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示"边长"），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号{\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算
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带有根号的运算可由如下公式推導而得:

{\sqrt[ {n}]{ab}}={\sqrt[ {n}]{a}}{\sqrt[ {n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0
{\sqrt[ {n}]{{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt[ {n}]{a}}}{{\sqrt[ {n}]{b}}}}\qquad a\geq 0,b>0
{\sqrt[ {n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{{{\frac {1}{n}}}}\right)^{m}=a^{{{\frac {m}{n}}}},
这裡的*a*和*b*是正数。 

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得{\displaystyle b^{n}=a}，所以符号\sqrt[n]{a}就會出現歧义（通常這樣寫是取n個值當中主幅角最小的）。*n*次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}
\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}
{\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}
例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}
若要做加法或减法，需考慮下列的概念。

{\sqrt[ {3}]{a^{5}}}={\sqrt[ {3}]{aaaaa}}={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}
若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的"同类项"问题。

例如

{\sqrt[ {3}]{a^{5}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{8}}}
={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{6}a^{2}}}
=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}
=({a+a^{2}}){\sqrt[ {3}]{a^{2}}}

不尽根数
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未經化簡的根數，一般叫做"不尽根数"（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

* {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}

* {\sqrt[ {n}]{a^{m}b}}=a^{{{\frac {m}{n}}}}{\sqrt[ {n}]{b}}

* {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}

* \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

无穷级数
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方根可以表示为无穷级数:

{\begin{aligned}&(1+x)^{{\frac {s}{t}}}=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod \_{{k=0}}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}

找到所有的方根
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任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式{\displaystyle ae^{i\varphi }}(参见欧拉公式)。接着所有的*n*次方根给出为:

{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于k=0,1,2,\ldots ,n-1，这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

### 正实数

所有x^n=a或a的n次方根，这裡的*a*是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于k=0,1,2,\ldots ,n-1，这裡的\sqrt[n]{a}表示*a*的主*n*次方根。

解多项式
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曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

\ x^{5}=x+1
的解不能用根号表达。

要解任何*n*次方程，参见求根算法。

算法
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對於正數A，可以通過以下算法求得{\sqrt[ {n}]{A}}的值：

1. 猜一個{\sqrt[ {n}]{A}}的近似值，將其作為初始值x\_{0}
2. 設 x\_{{k+1}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x\_{k}+{\frac {A}{x\_{k}^{{n-1}}}}}\right]。記誤差為\Delta x\_{k}={\frac {1}{n}}\left[{{\frac {A}{x\_{k}^{{n-1}}}}}-x\_{k}\right]，即{\displaystyle x\_{k+1}=x\_{k}+\Delta x\_{k}}。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：{\displaystyle |\Delta x\_{k}|<\epsilon }。

### 從牛頓法導出

求{\sqrt[ {n}]{A}}之值，亦即求方程x^{n}-A=0的根。

設f(x)=x^{n}-A，其導函數即f'(x)=nx^{{n-1}}。

以牛頓法作迭代，便得

x\_{{k+1}}=x\_{k}-{\frac {f(x\_{k})}{f'(x\_{k})}}
{\displaystyle =x\_{k}-{\frac {x\_{k}^{n}-A}{nx\_{k}^{n-1}}}}
{\displaystyle =x\_{k}-{\frac {x\_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx\_{k}^{n-1}}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x\_{k}+{\frac {A}{x\_{k}^{n-1}}}}\right]}
### 從牛頓二項式定理導出

設x\_k為迭代值，y為誤差值。

令A=(x\_{k}-y)^{n}（\*），作牛頓二項式展開，取首兩項：A\approx x\_{k}^{n}-nx\_{k}^{{n-1}}y

調項得y\approx {\frac {x\_{k}^{n}-A}{nx\_{k}^{{n-1}}}}={\frac 1n}\left(x\_{k}-{\frac {A}{x\_{k}^{{n-1}}}}\right)

將以上結果代回（\*），得遞歸公式x\_{{k+1}}=x\_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x\_{k}+{\frac {A}{x\_{k}^{{n-1}}}}}\right]

参见
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* 增乘开平方法
* 幂
* 无理数
* 分母有理化
* 双重根号
* 2的12次方根

外部链接
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* icon数学主题

* 高階根號求解 （页面存档备份，存于）。此法亦可求任意正實數指數值
* 立方根與高次方根[永久]
* 指數-高中數學教案
* 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) （页面存档备份，存于）