**伽利略變換**是中用以在兩個只以匀速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略变换在物體以接近光速運動时不成立，在電磁系統中也不会成立。

伽利略·伽利莱在解釋匀速運動時制定了這一套概念。他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被庞加莱变换所取代；相反，庞加莱变换的经典极限*c* →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

平移
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伽利略變換示意圖
伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中(x,y,z,t)和(x',y',z',t')分別為同一個事件在兩個坐標系S和S'中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為v），運行方向為x和x'，原點在時間t=t'=0時重合。



x'=x-vt\,
y'=y\,
z'=z\,
t'=t\,
最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

(x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.
雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

三種伽利略變換
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沿著一個加速中觀測者的世界線所看到的時空。  
  
縱軸為時間，橫軸為距離，虛線為觀測者在時空中的軌跡。圖的下半部是已經發生了的事件，上半部則是未來的事件。圖中小點為時空中的事件。  
  
世界線的斜率為觀測者的相對速率。注意觀測者在加速時所看到的時空會進行錯切。
伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。設**x**為三維空間中的一點，*t*為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(**x**,*t*)。速度為**v**的匀速運動表達為{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}，其中**v**在**R**3內。平移表達為{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}，其中**a**在**R**3內，*b*在**R**內。旋轉表達為{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}，其中*G* : **R**3 → **R**3為某正交變換。作為一個李群，伽利略變換的維度為10。

伽利略群的中心擴張
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這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、Pi、Ci和Lij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

[H,P\_{i}]=0\,\!
[P\_{i},P\_{j}]=0\,\!
[L\_{{ij}},H]=0\,\!
[C\_{i},C\_{j}]=0\,\!
[L\_{{ij}},L\_{{kl}}]=i[\delta \_{{ik}}L\_{{jl}}-\delta \_{{il}}L\_{{jk}}-\delta \_{{jk}}L\_{{il}}+\delta \_{{jl}}L\_{{ik}}]\,\!
[L\_{{ij}},P\_{k}]=i[\delta \_{{ik}}P\_{j}-\delta \_{{jk}}P\_{i}]\,\!
[L\_{{ij}},C\_{k}]=i[\delta \_{{ik}}C\_{j}-\delta \_{{jk}}C\_{i}]\,\!
[C\_{i},H]=iP\_{i}\,\!
[C\_{i},P\_{j}]=0\,\!.
H為時間平移的生成元（哈密顿算符），Pi為平移的生成元（動量算符），Ci為伽利略變換的生成元，而Lij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'i、C'i、L'ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：

[H',P'\_{i}]=0\,\!
[P'\_{i},P'\_{j}]=0\,\!
[L'\_{{ij}},H']=0\,\!
[C'\_{i},C'\_{j}]=0\,\!
[L'\_{{ij}},L'\_{{kl}}]=i[\delta \_{{ik}}L'\_{{jl}}-\delta \_{{il}}L'\_{{jk}}-\delta \_{{jk}}L'\_{{il}}+\delta \_{{jl}}L'\_{{ik}}]\,\!
[L'\_{{ij}},P'\_{k}]=i[\delta \_{{ik}}P'\_{j}-\delta \_{{jk}}P'\_{i}]\,\!
[L'\_{{ij}},C'\_{k}]=i[\delta \_{{ik}}C'\_{j}-\delta \_{{jk}}C'\_{i}]\,\!
[C'\_{i},H']=iP'\_{i}\,\!
[C'\_{i},P'\_{j}]=iM\delta \_{{ij}}\,\!

參見
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* 洛伦兹群
* 龐加萊群

備註
--

1. ↑ .  [2021-06-26]. （原始内容存档于2021-06-28）.
2. ↑  Arthur Beiser; Kok Wai Cheah.. McGraw-Hill. 2015: 第6頁. ISBN 9789814595261.
3. ↑  Galileo 1638 *Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze* **191** - **196**, published by Lowys Elzevir (Louis Elsevier), Leiden, or *Two New Sciences*, English translation by Henry Crew and Alfonso de Salvio 1914, reprinted on pages 515-520 of *On the Shoulders of Giants*: The Great Works of Physics and Astronomy. Stephen Hawking, ed. 2002 ISBN 978-0-7624-1348-5
4. ↑  Mould, Richard A. Springer-Verla, 2002, ISBN 0-387-95210-1 , Chapter 2 §2.6, p. 42 （页面存档备份，存于）
5. ↑  Lerner, Lawrence S. Jones and Bertlett Publishers, Inc, 1996, ISBN 0-7637-0460-1 , Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047 （页面存档备份，存于）
6. ↑  Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Brooks/Cole - Thomson Learning, 2006, ISBN 0-534-49143-X , Chapter 9 §9.1, p. 261 （页面存档备份，存于）
7. ↑  Hoffmann, Banesh, Scientific American Books, 1983, ISBN 0-486-40676-8 , Chapter 5, p. 83 （页面存档备份，存于）
8. 1 2 3  Arnold, V. I.  2. Springer-Verlag. 1989: 6  [2013-01-30]. ISBN 0-387-96890-3. （原始内容存档于2013-03-12）.

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