在数学中，特别是抽象代数裡，**拟群**是一种类似于群的代数结构。拟群与群的相像之处是也能够进行除法运算，但拟群中并没有群所拥有的结合律。有单位元的拟群称作**幺拟群**或者**圈**（loop）。

定义
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拟群的正规定义有两种，分别带有一种和三种二元运算。

### 代數

一个**拟群** (*Q*, \*) 是一个集合 *Q* 与一个二元运算 \* 的结合（即一个原群），满足对 *Q* 中的任意元素 *a* 和 *b*，都存在唯一的 *Q* 中元素 *x* 和 *y*，使得：

* *a*\**x* = *b* ；
* *y*\**a* = *b* 。

这两个唯一的元素被记作：*x* = *a* \ *b* 和 *y* = *b* / *a*。其中"\" 和 "/"分别表示被二元运算所定义的"左除法"和"右除法"。拟群的公理化需要用到存在量词，因此也就需要建立在一阶逻辑之上。

### 泛代數

拟群的第二个定义是建立在泛代数的背景中。泛代数希望代数结构为簇，也就是说其公理化过程应该只需要到等式的概念。在这样的要求下，拟群被定义为：

一个**拟群** (*Q*, \*, \, /) 是一种 (2,2,2) 代数，其满足等式:

* *y = x \* (x* \ *y)* ；
* *y = x* \ *(x \* y)* ；
* *y = (y* / *x) \* x* ；
* *y = (y \* x)* / *x* 。

因此如果 (*Q*, \*) 是依据第一种定义的拟群，那么 (*Q*, \*, \, /) 则是其在泛代数范畴内对应的概念。

圈
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一个有单位元的拟群称为一个**幺拟群**或一个**圈**。这里的单位元是指 *Q* 中元素 *e* 使得：

* *x*\**e* = *x* = *e*\**x* 。

可以证明单位元 *e* 是唯一的，并且这时每一个 *Q* 中元素都有唯一的一个左逆元和右逆元。

例子
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* 每个群都是圈，因为 *a* \* *x* = *b* 当且仅当 *x* = *a*−1 \* *b*，以及*y* \* *a* = *b* 当且仅当 *y* = *b* \* *a*−1。
* 整数集合 **Z** 以及其上的减法 (−) 构成拟群（但不构成半群）。
* 所有非零的有理数的集合 **Q**\* （或者所有非零实数构成的 **R**\*）以及其上的除法 (÷) 构成一个拟群。
* 所有特征不为2的域上的向量空间以及其上的二元运算 *x* \* *y* = (*x* + *y*) / 2 构成了一个幂等的交换的拟群。
* 每个斯坦纳三元系统都定义了一个幂等交换的拟群：其运算为将 *a* \* *b* 对应到包含 *a* 和 *b* 的三元数组的第三个元。
* 集合{±1, ±i, ±j, ±k}，其中ii = jj = kk = 1 并且其他运算同于四元群，构成了非结合的8元圈。
* 非零八元数以及其上的乘法构成了一个圈，称为Moufang圈.
* 一般来说，一个可除代数上的所有非零元构成一个拟群。

性质
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拟群具有可消去性：如果 *ab* = *ac*，那么 *b* = *c*。同样地，如果 *ba* = *ca*，那么 *b* = *c*。

### 左乘与右乘

拟群 *Q* 的定义说明拟群中的左乘变换和右乘变换：

L(x)y=xy\,
R(x)y=yx\,
都是 *Q* 到自身的双射。原群 *Q* 是拟群当且仅当这两个变换是双射变换，而且它们的逆变换给出了右除和左除变换：

L(x)^{{-1}}y=x\backslash y\,
R(x)^{{-1}}y=y/x\,
在这种标记下，拟群写作：

{\begin{aligned}L(x)L(x)^{{-1}}&=1\qquad &x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{{-1}}L(x)&=1\qquad &x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{{-1}}&=1\qquad &(y/x)x&=y\\R(x)^{{-1}}R(x)&=1\qquad &(yx)/x&=y\end{aligned}}
### 拉丁方

一个有限拟群的乘法构成的乘法表是一个拉丁方：一个 *n* × *n* 的表格，每行每列都是 n 个不同的元素的排列，并且每个元素恰好出现在每一行和每一列各一次。

反之，每个拉丁方都可以以多种方式成为一个拟群的乘法表。

### 逆的性质

对于每个圈，圈中的每个元素都有左逆和右逆：

x^{{\lambda }}=e/x\qquad x^{{\lambda }}x=e
x^{{\rho }}=x\backslash e\qquad xx^{{\rho }}=e
称一个圈是**双边可逆**的，如果对圈所有的 *x*，x^{{\lambda }}=x^{{\rho }}。 这时的拟元素一般简记为 x^{{-1}}。

* 一个圈有 **左可逆性质**，如果对所有的 x 和 y 都有 x^{{\lambda }}(xy)=y。同样地，L(x)^{{-1}}=L(x^{{\lambda }}) 或者 x\backslash y=x^{{\lambda }}y。
* 一个圈有 **右可逆性质**，如果对所有的 x 和 y 都有 (yx)x^{{\rho }}=y。 同样地，R(x)^{{-1}}=R(x^{{\rho }}) 或者 y/x=yx^{{\rho }}。
* 一个圈有 **反自同构逆性质** ，如果 (xy)^{{\lambda }}=y^{{\lambda }}x^{{\lambda }} 或者 (xy)^{{\rho }}=y^{{\rho }}x^{{\rho }}。
* 一个圈有 **弱可逆性质**，如果 (xy)z=e 当且仅当 x(yz)=e。一个等价的叙述是对所有的 x 和 y 都有 (xy)^{{\lambda }}x=y^{{\lambda }} 或者 x(yx)^{{\rho }}=y^{{\rho }}。

如果一个圈同时具有左可逆和右可逆性质，则称其有 **可逆性质**。可逆的圈同时也拥有反自同构逆性质和弱可逆性质。实际上，满足以上四个性质中任意两个的圈都是可逆的，而满足前三个性质之一的圈都是双边可逆的。

态射
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一个拟群或圈同态是两个拟群（圈）之间的映射：*f* : *Q* → *P* 满足 *f*(*xy*) = *f*(*x*)*f*(*y*)。 拟群同态保持了左右除法以及单位元（如果有的话）。

### 同伦与同痕

设 *Q* 和 *P* 为拟群，一个从 *Q* 到 *P* 的 **拟群同伦** 是一个从 *Q* 到 *P* 的映射三元组(α, β, γ) 使得对 *Q* 中所有的 *x*, *y*，有

\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,
三个映射都相同时，就是一个拟群同态。

一个**同痕**是使得 (α, β, γ) 中所有的三个映射都是双射的拟群同伦。两个拟群是**同痕**的当且仅当它们之间存在同痕映射。
在拉丁方中，三元组 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一个置换以及其余集合上的一个置换 γ 给出。

一个**自同痕**是从 *Q* 射到自身的同痕。一个拟群的所有自同痕构成一个群。

每个拟群都与某个圈同痕。如果一个圈与某个群同痕，那么它与此群同构，因此也为一个群。但是，如果一个拟群与某个群同痕，由于缺乏单位元，拟群本身不一定是群。比如说，实数集合 **R** 与其上的运算(*x*+*y*)/2 构成的拟群同痕于 **R** 上的加法群，但它本身不是群。

参见
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* 半群
* 幺半群
* 同伦
* 同痕

参考来源
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* Akivis, M. A. and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," *Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21*: 93–103.
* Bruck, R.H. (1958) *A Survey of Binary Systems*. Springer-Verlag.
* Chein, O. H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) *Quasigroups and Loops: Theory and Applications*. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
* Pflugfelder, H.O. (1990) *Quasigroups and Loops: Introduction*. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
* Smith, J.D.H. (2007) *An Introduction to Quasigroups and their Representations*. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
* -------- and Anna B. Romanowska (1999) *Post-Modern Algebra*. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

外部链接
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* 拟群
* 拟群理论和圈理论中的问题