在數學和數學物理中，**包立矩陣**是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σ*z*表像）可以寫成：

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{1}=\sigma \_{x}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\sigma \_{2}=\sigma \_{y}&={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\\\sigma \_{3}=\sigma \_{z}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中，它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣I（有時候又被稱為為第零號包立矩陣*σ*0），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。

從量子力學的角度來看，埃爾米特矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σ*k*, *k*= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看，σ*k* , *k*=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間ℝ3中第*k*個座標軸的投影分量。

數學性質
----

三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達：

{\displaystyle \sigma \_{a}={\begin{bmatrix}\delta \_{a3}&\delta \_{a1}-i\delta \_{a2}\\\delta \_{a1}+i\delta \_{a2}&-\delta \_{a3}\end{bmatrix}}}
其中*δab*是克羅內克*δ*函數。當*a*=*b*時，其值為1；當*a*≠*b*時，其值為0。

### 本徵值和本徵向量

這些矩陣是對合的：

{\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}=\sigma \_{3}^{2}=-i\sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I}
其中*I*是單位矩陣。

此外，包立矩陣的行列式和它們的跡分別為：

{\displaystyle {\begin{aligned}\det(\sigma \_{i})&=-1\\\operatorname {tr} (\sigma \_{i})&=0\end{aligned}}}
故從上述關係可以推得每個包立矩陣*σ**i*的本徵值分別為±1。

每個包立矩陣有兩個本徵值，+1和−1，其對應的歸一化本徵向量為：

{\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi \_{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}}&\psi \_{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix}}\\\psi \_{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{-i}\\{1}\end{bmatrix}}&\psi \_{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-i}\end{bmatrix}}\\\psi \_{z+}=&{\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}}&\psi \_{z-}=&{\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}}\end{array}}}
### 包立向量

包立向量定義為：

{\vec {\sigma }}=\sigma \_{1}{\hat {x}}+\sigma \_{2}{\hat {y}}+\sigma \_{3}{\hat {z}}\,
這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制

{\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a\_{i}{\hat {x}}\_{i})\cdot (\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{j})\\&=a\_{i}\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{i}\cdot {\hat {x}}\_{j}\\&=a\_{i}\sigma \_{j}\delta \_{{ij}}\\&=a\_{i}\sigma \_{i}\end{aligned}}
相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外：

\det \vec{a} \cdot \vec{\sigma} = - \vec{a} \cdot \vec{a}= -|\vec{a}|^2。
### 對易關係

包立矩陣有以下的對易關係：

[\sigma \_{a},\sigma \_{b}]=2i\varepsilon \_{{abc}}\,\sigma \_{c}\,,
以及以下的反對易關係。

\{\sigma\_a, \sigma\_b\} = 2 \delta\_{a b}\,I。
其中*εabc*是列維-奇維塔符號，*δab*是克羅內克函數，是*I*是2 ×2的單位矩陣。而一樣的，上面使用了愛因斯坦求和約定。

### 和內積、外積的關係

將包立矩陣的對易和反對易相加得：

 \begin{align} 
 \left[\sigma\_a, \sigma\_b\right] + \{\sigma\_a, \sigma\_b\} &=(\sigma\_a \sigma\_b - \sigma\_b \sigma\_a) +(\sigma\_a \sigma\_b + \sigma\_b \sigma\_a) \\
 2i\sum\_c\varepsilon\_{a b c}\,\sigma\_c + 2 \delta\_{a b}I &= 2\sigma\_a \sigma\_b 
\end{align}
因此可得：

\sigma \_{a}\sigma \_{b}=i\sum \_{c}\varepsilon \_{{abc}}\,\sigma \_{c}+\delta \_{{ab}}I
為了避免符號重複，將*a*, *b*, *c*改成*p*, *q*, *r*，然後把上式和三維向量*ap*和*bq*內積，可得：

{\begin{aligned}a\_{p}b\_{q}\sigma \_{p}\sigma \_{q}&=a\_{p}b\_{q}\left(i\sum \_{r}\varepsilon \_{{pqr}}\,\sigma \_{r}+\delta \_{{pq}}I\right)\\a\_{p}\sigma \_{p}b\_{q}\sigma \_{q}&=i\sum \_{r}\varepsilon \_{{pqr}}\,a\_{p}b\_{q}\sigma \_{r}+a\_{p}b\_{q}\delta \_{{pq}}I\end{aligned}}
將它轉換成向量積的表達式：

({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}
### 包立向量的指數

令{\vec {a}}=a{\hat {n}}，而且|{\hat {n}}|=1對於偶數*n*可得：

({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{{2n}}=I\,
另外加上之前求得在*n* = 1的情況可在*n*為奇數的情況：

({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{{2n+1}}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,
利用矩陣指數的概念，加上正弦和餘弦的泰勒級數展開式，可得：

{\begin{aligned}e^{{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}}&=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{{\frac {i^{n}\left[a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]^{n}}{n!}}}\\&=\sum \_{{n=0}}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{{2n}}}{(2n)!}}}+i\sum \_{{n=0}}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}}\\&=I\sum \_{{n=0}}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}a^{{2n}}}{(2n)!}}}+i{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\left(\sum \_{{n=0}}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}a^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}}\right)\\\end{aligned}}
第一項的總和為\cos {a}，第二項括號裡的總和是\sin {a}，於是：


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 
e^{{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,
 | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**2**)** |

這可以看做是歐拉公式的類比。

### 完備性關係

另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標i，用不同的i來代表不同的包立矩陣，而下標則代表不同的矩陣元素。因此第i個包立矩陣的第α行第β列的元素可表示為*σ* *i**αβ*

利用這種表示方法，包立矩陣的完備性關係可寫作：

{\displaystyle {\vec {\sigma }}\_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}\_{\gamma \delta }\equiv \sum \_{i=1}^{3}\sigma \_{\alpha \beta }^{i}\sigma \_{\gamma \delta }^{i}=2\delta \_{\alpha \delta }\delta \_{\beta \gamma }-\delta \_{\alpha \beta }\delta \_{\gamma \delta }\ }

證明

因為所有的包立矩陣，和2×2的單位矩陣可做為所有2×2矩陣在希爾伯特空間中的正交基底，表示任何一個複係數矩陣*M*皆可表示為：

M=c{\mathbf {I}}+\sum \_{i}a\_{i}\sigma ^{i}
其中*c*是一複數，*a**i*是一複向量中的三個係數。

利用之前給的關係式，容易證明：

{\mathrm {tr}}\,\sigma ^{i}\sigma ^{j}=2\delta \_{{ij}}
"tr"表示對該矩陣取其跡，因此，c={\frac {1}{2}}{\mathrm {tr}}\,M和a\_{i}={\frac {1}{2}}{\mathrm {tr}}\,\sigma ^{i}M成立。

故，

2M=I{\mathrm {tr}}\,M+\sum \_{i}\sigma ^{i}{\mathrm {tr}}\,\sigma ^{i}M
用矩陣的標號表示的話就成為：

2M\_{{\alpha \beta }}=\delta \_{{\alpha \beta }}M\_{{\gamma \gamma }}+\sum \_{i}\sigma \_{{\alpha \beta }}^{i}\sigma \_{{\gamma \delta }}^{i}M\_{{\delta \gamma }}
在等號右邊，針對了兩個重複出現的標號*γ*和*δ*，使用了愛因斯坦求和約定。而因為這關係對所有矩陣*M*都成立，因此要證的完備性關係必然成立。

有時習慣上將2×2單位舉寫成*σ*0，也就是，*σ*0*αβ* = *δ**αβ*。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成： 

\sum \_{{i=0}}^{3}\sigma \_{{\alpha \beta }}^{i}\sigma \_{{\gamma \delta }}^{i}=2\delta \_{{\alpha \delta }}\delta \_{{\beta \gamma }}\,
### 和換位算符的關係

令算符*Pij*為換位算符（或稱為置換算符）。對於兩個在張量積空間ℂ2 ⊗ ℂ2中的自旋*σ**i*和*σ**j*該算符有：

P\_{{ij}}|\sigma \_{i}\sigma \_{j}\rangle =|\sigma \_{j}\sigma \_{i}\rangle \,
的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示：

P\_{{ij}}={\tfrac {1}{2}}({\vec {\sigma }}\_{i}\cdot {\vec {\sigma }}\_{j}+1)\,
該算符有兩個本徵值，分別1和-1，這個算符可以用於代表某些哈密頓量的交互作用項，產生對稱和反對稱的本徵態分裂的效果。

SU (2)
------

### 四元數與包立矩陣

{*I*, *iσ*1, *iσ*2, *iσ*3}的實數張成與四元數ℍ的實代數同構，可透過下列映射得到對應關係（注意到包立矩陣的負號）：

{\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma \_{2}\sigma \_{3}=-i\sigma \_{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma \_{3}\sigma \_{1}=-i\sigma \_{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma \_{1}\sigma \_{2}=-i\sigma \_{3}.}
另外一種方式的映射為將包立矩陣的次序反轉

{\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\sigma \_{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i\sigma \_{2},\quad \mathbf {k} \mapsto i\sigma \_{1}.}
既然單位四元數與SU(2)為群同構，此亦代表包立矩陣也可用來描述SU(2)。從SU(2)到SO(3)的2對1同態性，也可以用包立矩陣來表述。

四元數構成可除代數——所有非零元素皆有反元素，然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版，參見複四元數，其共有8個實維度。

相關條目
----

* 四元數
* 包立方程式
* 龐加萊群
* 蓋爾曼矩陣
* 代數幾何

參考文獻
----

1. ↑ . Planetmath website. 28 March 2008  [28 May 2013]. （原始内容存档于2017-09-26）.
2. ↑  Nakahara, Mikio.  2nd. CRC Press. 2003. ISBN 978-0-7503-0606-5. , pp. xxii （页面存档备份，存于）.

### 延伸閱讀

* Liboff, Richard L.. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.
* Schiff, Leonard I.. McGraw-Hill. 1968. ISBN 978-0070552876.
* Leonhardt, Ulf.. Cambridge University Press. 2010. ISBN 0-521-14505-8.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
量子力学 |
| --- |
|  |
| 
* 入門
* 數學表述
* 歷史

 |
|  |
| 背景 | 
* 入門
* 歷史
	+ 量子力學時間軸（英语：）
* 经典力学
* 舊量子論
* 基本量子力學詞彙表（英语：）

 |
|  |
| 基礎 | 
* 狄拉克符号
* 互补原理
* 密度矩陣
* 能级
	+ 基态
	+ 激发态
	+ 简并能级
	+ 零點能量
* 量子纏結
* 哈密顿算符
* 干涉
* 量子退相干
* 量子測量
* 量子非局部性（英语：）
* 量子態
* 态叠加原理
* 量子穿隧效應
* 散射理論（英语：）
* 量子力學對稱性（英语：）
* 不确定性原理
* 波函数
	+ 波函数坍缩
	+ 波粒二象性
* 量子跳躍（英语：）
* 量子位元
* 量子三位元

 |
|  |
| 表述 | 
* 量子力學的數學表述
* 海森堡繪景
* 相互作用繪景
* 矩陣力學
* 薛丁格繪景
* 路徑積分表述
* 相空间表述

 |
|  |
| 方程 | 
* 狄拉克方程式
* 克莱因-戈尔登方程
* 包立方程式
* 薛定谔方程

 |
|  |
| 空間幾何 | 
* 布洛赫球面
* 旋矢空間（英语：）

 |
|  |
| 詮釋 | 
* 量子力學詮釋
* 量子貝葉斯詮釋（英语：）
* 一致性历史
* 哥本哈根詮釋
* 德布罗意-玻姆理论
* 系綜詮釋
* 隱變量理論
* 多世界诠释
* 客觀坍縮理論
* 量子邏輯（英语：）
* 關係性量子力學
* 隨機量子力學（英语：）
* 交易詮釋
* 宇宙学诠释

 |
|  |
| 實驗 | 
* 阿弗沙爾實驗
* 貝爾測試實驗（英语：）
* 冷原子實驗室（英语：）
* 戴維森-革末實驗
* 延遲選擇量子擦除實驗
* 雙縫實驗
* 法蘭克-赫茲實驗
* 萊格特 - 加爾格不等式（英语：）
* 馬赫-曾德爾干涉儀
* 伊利澤-威德曼炸彈測試問題
* 波普尔实验
* 量子擦除實驗
* 薛定谔猫
* 施特恩-格拉赫实验
* 惠勒延迟选择实验

 |
|  |
| 量子奈米科學（英语：） | 
* 量子貝葉斯詮釋（英语：）
* 量子生物学
* 量子微積分（英语：）
* 量子化学
* 量子混沌（英语：）
* 量子認知（英语：）
* 量子宇宙學
* 量子微分（英语：）
* 量子動力學（英语：）
* 量子演化（英语：）
* 量子幾何（英语：）
* 量子群
* 測量問題（英语：）
* 量子概率（英语：）
* 量子隨機演算（英语：）
* 量子時空（英语：）

 |
|  |
| 量子技術 | 
* 量子演算法
* 量子放大器（英语：）
* 量子總線（英语：）
* 量子点
	+ 量子細胞自動機（英语：）
	+ 量子有限自動機（英语：）
* 量子通道（英语：）
* 量子線路
* 量子复杂性理论
* 量子计算机
	+ 量子計算時間軸（英语：）
* 量子密碼學
* 量子電子學
* 量子誤差校正（英语：）
* 量子成像
* 量子圖像處理（英语：）
* 量子信息
* 量子密鑰分發
* 量子邏輯（英语：）
* 量子閘
* 量子機（英语：）
* 量子機器學習
* 量子超材料（英语：）
* 量子計量學（英语：）
* 量子网络（英语：）
* 量子神經網絡（英语：）
* 量子光学
* 量子編程
* 量子傳感器（英语：）
* 量子模擬器（英语：）
* 量子隱形傳態

 |
|  |
| 進階研究 | 
* 量子統計力學（英语：）
* 相對論之量子力學（英语：）
* 量子场论
	+ 量子場理論史（英语：）
* 量子引力
* 分數量子力學（英语：）

 |
|  |
| 物理學者 | 
* 普朗克
* 玻尔
* 埃倫費斯特
* 海森堡
* 薛丁格
* 德布羅意
* 玻恩
* 愛因斯坦
* 艾弗雷特
* 索末菲
* 馮诺伊曼
* 費曼
* 狄拉克
* 泡利
* 維恩
* 玻姆
* 貝爾
* 蔡林格

 |
|  |
| 
* 分类 **分类**
* 主题 **物理学主题**
* 共享资源页面 **维基共享**

 |

 |