**佩尔数**是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。

定义
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佩尔数由以下的递推关系定义：

{\displaystyle P\_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P\_{n-1}+P\_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
也就是说，佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。
佩尔数也可以用通项公式来定义：

{\displaystyle P\_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}
对于较大的*n*，{\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}的项起主要作用，而{\displaystyle \scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}的项则变得微乎其微。因此佩尔数大约与白银比{\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}的幂成正比。

第三种定义是以下的矩阵公式：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}P\_{n+1}&P\_{n}\\P\_{n}&P\_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}
从这些定义中，可以推出或证明许多恒等式；例如以下的恒等式，与斐波那契数的卡西尼恒等式类似：

{\displaystyle P\_{n+1}P\_{n-1}-P\_{n}^{2}=(-1)^{n},}
这个恒等式是以上矩阵公式的直接结果（考虑矩阵的行列式）。

2的算術平方根的近似值
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佩尔数出现在2的算術平方根的有理数近似值中。如果两个大的整数*x*和*y* 是佩尔方程的解：

{\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}
那么它们的比{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}就是{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}的一个较精确的近似值。这种形式的近似值的数列是：

{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }
其中每一个分数的分母是佩尔数，分子则是这个数与前一个佩尔数的和。也就是说，佩尔方程的解具有{\displaystyle {\tfrac {P\_{n-1}+P\_{n}}{P\_{n}}}}的形式。{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}是这些近似值中的第八个，在公元前3或4世纪就已经为印度数学家所知。公元前5世纪的古希腊数学家也知道这个近似值的数列；他们把这个数列的分母和分子称为"边长和直径数"，分子也称为"有理对角线"或"有理直径"。

这些近似值可以从{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}的连分数展开式推出：

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.}
取这个展开式的有限个项，便可以产生{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}的一个近似值，例如：

{\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}

素数和平方数
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**佩尔素数**是既是佩尔数又是素数的数。最初几个佩尔素数是：

2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。
与斐波那契素数相似，仅当*n*本身是素数时{\displaystyle P\_{n}}才有可能是素数。

唯一的既是佩尔数又是平方数、立方数或任意整数次方的数是0, 1, 以及169 = 132。

然而，佩尔数与三角平方数有密切的关系。它们出现在以下佩尔数的恒等式中：

{\displaystyle {\bigl (}(P\_{k-1}+P\_{k})\cdot P\_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P\_{k-1}+P\_{k})^{2}\cdot \left((P\_{k-1}+P\_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}
等式的左面是平方数，等式的右面是三角形数，因此是三角平方数。

Santana和Diaz-Barrero在2006年证明了佩尔数与平方数之间的另外一个恒等式，并证明了从{\displaystyle P\_{1}}到{\displaystyle P\_{4n+1}}的所有佩尔数的和总是平方数：

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{4n+1}P\_{i}=\left(\sum \_{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P\_{2n}+P\_{2n+1})^{2}.}
例如，从{\displaystyle P\_{1}}到{\displaystyle P\_{5}}的和是{\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}，是{\displaystyle P\_{2}+P\_{3}=2+5=7}的平方。{\displaystyle P\_{2n}+P\_{2n+1}}就是这个和的平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。

勾股数
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边长为整数的直角三角形，其直角边几乎相等，由佩尔数引出。
如果一个直角三角形的边长为*a*、*b*和*c*（必须满足勾股定理*a*2+*b*2=*c*2），那么(*a*,*b*,*c*)称为勾股数。Martin在1875年描述，佩尔数可以用来产生勾股数，其中*a*和*b*相差一个单位。这个勾股数具有以下形式：

{\displaystyle (2P\_{n}P\_{n+1},P\_{n+1}^{2}-P\_{n}^{2},P\_{n+1}^{2}+P\_{n}^{2}=P\_{2n+1}).}
用这种方法产生的勾股数的序列是：

(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

佩尔-卢卡斯数
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**佩尔-卢卡斯数**由以下的递推关系定义：

{\displaystyle Q\_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q\_{n-1}+Q\_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
也就是说，数列中的最初两个数都是2，后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩尔-卢卡斯数的通项公式为：

{\displaystyle Q\_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.}
这些数都是偶数，每一个数都是以上{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}的近似值中的分子的两倍。

参考文献
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* Bicknell, Marjorie.. Fibonacci Quarterly. 1975, **13** (4): 345–349. MR0387173.
* Cohn, J. H. E.. Glasgow Mathematical Journal. 1996, **38** (1): 19–20. MR1373953.
* Dutka, Jacques.. Archive for History of Exact Sciences. 1986, **36** (1): 21–39. doi:10.1007/BF00357439. MR0863340.
* Ercolano, Joseph.. Fibonacci Quarterly. 1979, **17** (1): 71–77. MR0525602.
* Filep, László.  (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. 1999, **15**: 1–7  [2008-09-18]. （原始内容 (PDF)存档于2020-07-06）.
* Horadam, A. F.. Fibonacci Quarterly. 1971, **9** (3): 245–252, 263. MR0308029.
* Kilic, Emrah; Tasci, Dursun.. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 2005, **11** (2): 163–174. MR2207722.
* Knorr, Wilbur.. Archive for History of Exact Sciences. 1976, **15** (2): 115–140. doi:10.1007/BF00348496. MR0497462.
* Knorr, Wilbur.. American Mathematical Monthly. 1998, **105** (5): 421–429. doi:10.2307/3109803.
* Knuth, Donald E.. The Mathematical Gazette. 1994, **78**: 274–297. doi:10.2307/3620202. arXiv:math.CO/9411240.
* Martin, Artemas.. The Analyst. 1875, **3** (2): 47–50  [2008-09-18]. doi:10.2307/2635906. （原始内容存档于2022-05-25）.
* Pethő, A.. . Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland: 561–568. 1992. MR1218218.
* Ridenhour, J. R.. Mathematics Magazine. 1986, **59** (2): 95–105  [2008-09-18]. （原始内容存档于2019-09-29）.
* Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L.  (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2006, **18** (1)  [2008-09-18]. （原始内容 (PDF)存档于2007-05-08）.
* Sellers, James A.  (PDF). Journal of Integer Sequences. 2002, **5**  [2008-09-18]. MR1919941. （原始内容 (PDF)存档于2020-07-05）.
* Sesskin, Sam.. Mathematics Magazine. 1962, **35** (4): 215–217.
* Thibaut, George.. Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. 1875, **44**: 227–275.
* Thompson, D'Arcy Wentworth.. Mind: New Series. 1929, **38** (149): 43–55  [2008-09-18]. （原始内容存档于2019-10-13）.
* Vedova, G. C.. American Mathematical Monthly. 1951, **58** (10): 675–683. doi:10.2307/2307978.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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