一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子
**交換律**（英語：）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。

一般用法
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**交換律**是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。

數學定義
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「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中：

1. 在集合 S 的一二元運算 \* 被稱之為「可交換」的，若：

{\displaystyle \forall x,y\in S,x\*y=y\*x}
* 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 x 在 \* 下和 y 「可交換」，即表示：

{\displaystyle x\*y=y\*x}
3. 一二元函數{\displaystyle f:A\times A\to B}被稱之為「可交換」的，若：

{\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}.

歷史
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Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。

相關性質
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顯示加法函數對稱性的圖
### 結合律

条目：結合律
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

### 對稱

条目：對稱
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 y=x 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 f 來表示加法（一可交換運算），所以 {\displaystyle f(x,y)=x+y} ，也因此 f 會是個如右圖所見的對稱函數。

例子
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### 日常生活中的可交換運算

* 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
* 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

### 數學中的可交換運算

顯現出乘法 ( {\displaystyle 5\times 3=3\times 5} ) 的交換律的一個例子
兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為：

* 實數的加法

 y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 
例如， {\displaystyle 4+5=5+4} ，兩個表示式都等於 9 。
* 實數的乘法

 y z = z y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 
例如， {\displaystyle 3\times 5=5\times 3} ，兩者都等於 15 。
* 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

### 日常生活中的不可交換運算

串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。
* 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
* 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

### 數學中的不可交換運算

一些不可交換二元運算有：

* 減法： 0-1\neq 1-0 ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
* 除法： 1\div2\neq 2\div1，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
* 矩陣乘法：

\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}

數學結構與交換律
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* 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。
* 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）
* 域的加法與乘法都是可交換的。
* 中心是一個群最大的可交換子集。

註記
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1. ↑  Cabillón & Miller，*Commutative and Distributive*
2. ↑  Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编).. Oxford University Press. 2011: 4  [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）.
3. ↑  Axler, p.2
4. 1 2  Gallian, p.34
5. ↑  p. 26,87
6. 1 2  Krowne, p.1
7. ↑  Weisstein, *Commute*, p.1
8. ↑  Lumpkin, p.11
9. ↑  Gay and Shute, p.?
10. ↑  O'Conner and Robertson, *Real Numbers*
11. 1 2  Cabillón and Miller, *Commutative and Distributive*
12. ↑  O'Conner and Robertson, *Servois*
13. ↑  Yark, p.1
14. ↑  Gallian p.236
15. ↑  Gallian p.250
16. ↑  Gallian p.65

參考資料
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### 書籍

* Axler, Sheldon.. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

*Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.*
* Goodman, Frederick.. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

*Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.*
* Gallian, Joseph.. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

*Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.*
### 文章

* Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

*Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.*
* Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. *The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text*. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

*Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.*
### 線上資源

* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Krowne, Aaron, *Commutative* at PlanetMath. Accessed 2007-08-08.
*Definition of commutativity and examples of commutative operations*
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.
*Explanation of the term commute*
*.  [2008-02-21]. （原始内容存档于2010-11-26）.  *Examples of non-commutative operations* at PlanetMath. Accessed 2007-08-08
*Examples proving some noncommutative operations*
* O'Conner, J.J.; Robertson, E.F.. MacTutor.  [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-18）. 
*Article giving the history of the real numbers*
* Cabillón, Julio; Miller, Jeff..  [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）. 
*Page covering the earliest uses of mathematical terms*
* O'Conner, J.J.; Robertson, E.F.. MacTutor.  [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）. 
*Biography of Francois Servois, who first used the term*

另見
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* 反交換律
* 二元運算
* 交換子集合
* 交換子
* 分配律
* 結合律
* 遞移關係

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| 

| * 
* 论
* 编
二元运算的性質 |
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| 閉包（封閉律） · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 冪等律 · 冪零律 |
|  |
| 結合性 | 结合律 · 冪結合性 |
|  |
| 交錯性 | 交換律 · 反交換律 |
|  |
| 單位元 | 加法單位元 · 乘法單位元素 · 有单位的 |
|  |
| 逆元素 | 加法逆元 · 乘法反元素 |

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