4th order Little q-Laguerre polynomials
**小q拉盖尔多项式**是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

{\displaystyle \displaystyle p\_{n}(x;a|q)={}\_{2}\phi \_{1}(q^{-n},0;aq;q,qx)={\frac {1}{(a^{-1}q^{-n};q)\_{n}}}{}\_{2}\phi \_{0}(q^{-n},x^{-1};;q,x/a)}

极限关系
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大q拉盖尔多项式→小q拉盖尔多项式
在大q拉盖尔多项式中，令{\displaystyle x\to bqx},并令{\displaystyle b\to \infty }即得小q拉盖尔多项式

{\displaystyle \lim \_{b\to \infty }P\_{n}(bqx;a,b;q)=p\_{n}(x;a|q)}

仿射Q克拉夫楚克多项式→ 小q拉盖尔多项式：

{\displaystyle \lim \_{a\to 1}=K\_{n}^{aff}(q^{x-N};p,N|q)=p\_{n}(q^{x};p,q)}
令小q拉盖尔多项式 {\displaystyle a=q^{a}} {\displaystyle x=(1-q)\*x},然后令q→1
即得拉盖尔多项式

{\displaystyle \lim \_{q\to 1}P\_{a}(1-q)x;q^{a}|q)={\frac {L\_{n}^{(a)}(x)}{L\_{n}^{(a)}(0)}}}

验证 9阶小q拉盖尔多项式→拉盖尔多项式
作上述代换，

  

{\displaystyle P\_{a}(1-q)x;q^{a}|q)=1+{\frac {qx}{1-{q}^{\alpha }q}}-{\frac {x}{{q}^{8}\left(1-{q}^{\alpha }q\right)}}}
{\displaystyle +\left(1-{q}^{-9}\right)\left(1-{q}^{-8}\right){q}^{2}\left(1-q\right){x}^{2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-1}\left(1-{q}^{\alpha }q\right)^{-1}\left(1-{q}^{\alpha }{q}^{2}\right)^{-1}}{\displaystyle +\left(1-{q}^{-9}\right)\left(1-{q}^{-8}\right)\left(1-{q}^{-7}\right){q}^{3}\left(1-q\right)^{2}{x}^{3}\left(1-{q}^{2}\right)^{-1}}{\displaystyle \left(1-{q}^{3}\right)^{-1}\left(1-{q}^{\alpha }q\right)^{-1}\left(1-{q}^{\alpha }{q}^{2}\right)^{-1}\left(1-{q}^{\alpha }{q}^{3}\right)^{-1}+\cdots }

  

  

  

求q→1极限得

令a=3,得
{\displaystyle (1-{\frac {9}{4}}x+{\frac {9}{5}}{x}^{2}-{\frac {7}{10}}{x}^{3}+{\frac {3}{20}}{x}^{4}-{\frac {3}{160}}{x}^{5}+{\frac {1}{720}}{x}^{6}-{\frac {1}{16800}}{x}^{7}+{\frac {1}{739200}}{x}^{8}-{\frac {1}{79833600}}{x}^{9})}

另一方面

{\displaystyle {\frac {L\_{n}^{(3)}(x)}{L\_{n}^{(3)}(0)}}}
={\displaystyle (1-{\frac {9}{4}}x+{\frac {9}{5}}{x}^{2}-{\frac {7}{10}}{x}^{3}+{\frac {3}{20}}{x}^{4}-{\frac {3}{160}}{x}^{5}+{\frac {1}{720}}{x}^{6}-{\frac {1}{16800}}{x}^{7}+{\frac {1}{739200}}{x}^{8}-{\frac {1}{79833600}}{x}^{9})}

二者显然相等 QED

图集
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| LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS ABS COMPLEX 3D MAPLE PLOT | LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS IM COMPLEX 3D MAPLE PLOT | LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS RE COMPLEX 3D MAPLE PLOT |

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| LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS ABS DENSITY MAPLE PLOT | LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS IM DENSITY MAPLE PLOT | LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS RE DENSITY MAPLE PLOT |

参考文献
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* Chihara, Theodore Seio, Mathematics and its Applications **13**, New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1978  [2015-02-06], ISBN 978-0-677-04150-6, MR 0481884, Reprinted by Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3, （原始内容存档于2018-08-10）
* Gasper, George; Rahman, Mizan, Encyclopedia of Mathematics and its Applications **96** 2nd, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, doi:10.2277/0521833574
* Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096, doi:10.1007/978-3-642-05014-5
* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F.  `|contribution-url=`缺少标题 (帮助), Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
* Van Assche, Walter; Koornwinder, Tom H. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1991, **22** (1): 302–311, ISSN 0036-1410, MR 1080161, doi:10.1137/0522019  引文格式1维护：MR格式 (link)
* Wall, H. S. The American Mathematical Monthly, 1941, **48**: 102–108, ISSN 0002-9890, JSTOR 2303599, MR 0003641

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| * 
* 论
* 编
q超几何函数与q超几何正交多项式 |
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| q超几何函数 | 
* 基本超几何函数 Q阶乘幂 Q导数 Q指数 Q正弦函数 QΓ函数 QBeta函数 Q余弦函数 Q阿佩尔函数

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| q超几何正交多项式 | 
* 正交多项式的阿斯基方案 Q-拉盖尔多项式Q拉卡多项式 Q梅西纳多项式  Q克拉夫楚克多项式 Q查理耶多项式 Q哈恩多项式 Q梅西纳-帕拉泽克多项式 杰克逊q贝塞尔函数 Q贝塞尔多项式

* 双q哈恩多项式 双Q克拉夫楚克多项式 双重哈恩多项式

* 连续q-哈恩多项式 连续双q哈恩多项式 连续双哈恩多项式 连续q雅可比多项式  连续哈恩多项式 连续q拉盖尔多项式 连续q勒让德多项式 连续大Q埃尔米特多项式
* 大q-雅可比多项式 小q-雅可比多项式 大q-拉盖尔多项式 大Q勒让德多项式 小q拉盖尔多项式
* 阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式 阿拉-萨拉姆-卡里兹I多项式 阿拉-萨拉姆-卡里兹II多项式

* 量子Q克拉夫楚克多项式 仿射q克拉夫楚克多项式 离散q-埃尔米特I多项式 离散q-埃尔米特II多项式
* 斯蒂尔吉斯-维格特多项式

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