The characteristic function of a uniform *U*(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however characteristic functions may generally be complex-valued.
在概率论中，任何随机变量的**特征函数**（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：

\varphi \_{X}(t)=\operatorname {E}\left(e^{{itX}}\right)，
其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。

用矩母函数{\displaystyle M\_{X}(t)}来表示（如果它存在），特征函数就是{\displaystyle iX}的矩母函数，或*X*在虚数轴上求得的矩母函数。

\varphi \_{X}(t)=M\_{{iX}}(t)=M\_{X}(it)
与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果{\displaystyle F\_{X}}是累积分布函数，那么特征函数由黎曼－斯蒂尔杰斯积分给出：

\operatorname {E}\left(e^{{itX}}\right)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{itx}}\,dF\_{X}(x)。
在概率密度函数{\displaystyle f\_{X}}存在的情况下，该公式就变为：

\operatorname {E}\left(e^{{itX}}\right)=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{itx}}f\_{X}(x)\,dx。
如果*X*是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，{\displaystyle tX}为数量积。

R或R^n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。

一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足{\displaystyle f\_{X}(x)=f\_{X}(-x)}）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。

性質
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连续性
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条目：勒维连续定理
**勒维连续定理**说明，假设(X\_{n})\_{{n=1}}^{\infty }为一个随机变量序列，其中每一个X\_{n}都有特征函数\varphi \_{n}，那么它依分布收敛于某个随机变量X：

X\_{n}{\xrightarrow {{\mathcal D}}}X当 n \to \infty
如果

\varphi \_{n}\quad {\xrightarrow {{\textrm {pointwise}}}}\quad \varphi 当 n \to \infty
且\varphi (t)在\ t=0处连续，\varphi 是X的特征函数。

勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。

### 反演定理

在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数 F：

F\_{X}(y)-F\_{X}(x)=\lim \_{{\tau \to +\infty }}{\frac {1}{2\pi }}\int \_{{-\tau }}^{{+\tau }}{\frac {e^{{-itx}}-e^{{-ity}}}{it}}\,\varphi \_{X}(t)\,dt。
一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。

### 博赫纳-辛钦定理/公理化定義

条目：博赫纳定理
任意一个函数\varphi 是对应于某个概率律\mu 的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：

1. \varphi \,是连续的；
2. \varphi (0)=1\,；
3. \varphi \,是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与\varphi >0不等价）。

### 計算性质

特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果{\displaystyle X\_{1}}、{\displaystyle X\_{2}}、……、*{\displaystyle X\_{n}}*是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且

S\_{n}=\sum \_{{i=1}}^{n}a\_{i}X\_{i},\,\!
其中{\displaystyle a\_{i}}是常数，那么{\displaystyle S\_{n}}的特征函数为：

\varphi \_{{S\_{n}}}(t)=\varphi \_{{X\_{1}}}(a\_{1}t)\varphi \_{{X\_{2}}}(a\_{2}t)\cdots \varphi \_{{X\_{n}}}(a\_{n}t).\,\!
特别地，\varphi \_{{X+Y}}(t)=\varphi \_{X}(t)\varphi \_{Y}(t)。这是因为：

\varphi \_{{X+Y}}(t)=E\left(e^{{it(X+Y)}}\right)=E\left(e^{{itX}}e^{{itY}}\right)=E\left(e^{{itX}}\right)E\left(e^{{itY}}\right)=\varphi \_{X}(t)\varphi \_{Y}(t)。
注意我们需要X和Y的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况，是{\displaystyle a\_{i}={\frac {1}{n}}}且S\_{n}为样本平均值。在这个情况下，用\overline{X}表示平均值，我们便有：

{\displaystyle \varphi \_{\overline {X}}(t)=\left(\varphi \_{X}\left({\frac {t}{n}}\right)\right)^{n}}。

特征函数举例
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| 分布 | 特征函数 \varphi (t) |
| --- | --- |
| 退化分布 \delta\_a |   {\displaystyle e^{ita}} |
| 伯努利分布 {\displaystyle \mathrm {Bern} (p)} |   {\displaystyle 1-p+pe^{it}} |
| 二项分布 {\displaystyle B(n,p)} |   {\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}} |
| 负二项分布 {\displaystyle NB(r,p)} |   {\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}} |
| 泊松分布 {\displaystyle \mathrm {Pois} (\lambda )} |   {\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}} |
| 连续均匀分布 {\displaystyle U(a,b)} |   {\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}} |
| 拉普拉斯分布 {\displaystyle L(\mu ,b)} |   {\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}} |
| 正态分布 N(\mu, \sigma^2) |   {\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} |
| 卡方分布 {\displaystyle \chi \_{k}^{2}}k |   {\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}} |
| 柯西分布 {\displaystyle C(\mu ,\theta )} |   {\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}} |
| 伽玛分布 {\displaystyle \Gamma (k,\theta )} |   {\displaystyle (1-it\theta )^{-k}} |
| 指数分布 {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} |   {\displaystyle (1-it\lambda ^{-1})^{-1}} |
| 多元正态分布 {\displaystyle N(\mu ,\Sigma )} |   {\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}} |
| 多元柯西分布 {\displaystyle \mathrm {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )} |   {\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\sqrt {t^{T}\Sigma t}}}} |
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Oberhettinger (1973) 提供的特征函数表.

特征函数的应用
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由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。

### 矩

特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。要第*n*个矩存在，特征函数就可以微分*n*次，得到：

\operatorname {E}\left(X^{n}\right)=i^{{-n}}\,\varphi \_{X}^{{(n)}}(0)=i^{{-n}}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi \_{X}(t)\right]\_{{t=0}}.\,\!
例如，假设X具有标准柯西分布。那么\varphi \_{X}(t)=e^{{-|t|}}。它在t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到n个独立的观测的样本平均值\overline{X}具有特征函数{\displaystyle \varphi \_{\overline {X}}(t)=(e^{-{\frac {\left\vert t\right\vert }{n}}})^{n}=e^{-|t|}}，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为*第二*累积量母函数。

### 一个例子

具有尺度参数\theta 和形状参数*k*的伽玛分布的特征函数为：

(1-\theta \,i\,t)^{{-k}}。
现在假设我们有：

\ X\sim \Gamma (k\_{1},\theta )且\ Y\sim \Gamma (k\_{2},\theta )
其中X和Y相互独立，我们想要知道{\displaystyle X+Y}的分布是什么。*X*和*Y*特征函数分别为：

\varphi \_{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{{-k\_{1}}},\,\qquad \varphi \_{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{{-k\_{2}}}
根据独立性和特征函数的基本性质，可得：

\varphi \_{{X+Y}}(t)=\varphi \_{X}(t)\varphi \_{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{{-k\_{1}}}(1-\theta \,i\,t)^{{-k\_{2}}}=\left(1-\theta \,i\,t\right)^{{-(k\_{1}+k\_{2})}}。
这就是尺度参数为*\theta* 、形状参数为{\displaystyle k\_{1}+k\_{2}}的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：

X+Y\sim \Gamma (k\_{1}+k\_{2},\theta )，
这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X\_{i}\sim \Gamma (k\_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum \_{{i=1}}^{n}X\_{i}\sim \Gamma \left(\sum \_{{i=1}}^{n}k\_{i},\theta \right)。

多元特征函数
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如果X是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：

\varphi \_{X}(t)=\operatorname {E}\left(e^{{it\cdot X}}\right)。
这裡的点表示向量的点积，而向量t位于X的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是：

\varphi \_{X}(t)=\operatorname {E}\left(e^{{it^{T}X}}\right)。
### 例子

如果X\sim N(0,\Sigma )\,是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：

\varphi \_{X}(t)=\operatorname {E}\left(e^{{it^{T}X}}\right)=\int \_{{x\in {\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{{n/2}}\left|\Sigma \right|^{{1/2}}}}\,e^{{-{\frac {1}{2}}x^{T}\Sigma ^{{-1}}x}}\cdot e^{{it^{T}x}}\,dx=e^{{-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}},\quad t\in {\mathbf {R}}^{n},
其中|\Sigma |表示正定矩阵 Σ的行列式。

矩阵值随机变量
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如果X是一个矩阵值随机变量，那么它的特征函数为：

\varphi \_{X}(T)=\operatorname {E}\left(e^{{i\,{\mathrm {Tr}}(XT)}}\right)
在这裡，{\mathrm {Tr}}(\cdot )是迹函数，\ XT表示T与X的矩阵乘积。由于矩阵*XT*一定有迹，因此矩阵*X*必须与矩阵*T*的转置的大小相同；因此，如果*X*是*m* × *n*矩阵，那么*T*必须是*n* × *m*矩阵。

注意乘法的顺序不重要（XT\neq TX但\ tr(XT)=tr(TX)）。

矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。

相关概念
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相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。

特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数p(x)的特征函数是p(x)的连续傅里叶变换的共轭复数（按照通常的惯例）。

\varphi \_{X}(t)=\langle e^{{itX}}\rangle =\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{itx}}p(x)\,dx=\overline {\left(\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-itx}}p(x)\,dx\right)}=\overline {P(t)},
其中P(t)表示概率密度函数p(x)的连续傅里叶变换。类似地，从\varphi \_{X}(t)可以通过傅里叶逆变换求出p(x)：

p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{itx}}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{itx}}\overline {\varphi \_{X}(t)}\,dt。
确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。

参考文献
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1. ↑  P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166
2. ↑  Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution

* Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
* Bisgaard, T. M. Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science

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* 论
* 编
概率分布的理论 |
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* 概率质量函数(pmf)
* 概率密度函数(pdf)
* 累积分布函数(cdf)
* 分位函数

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* 期望值
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* 標準差
* 偏度
* 峰度

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* 生成函數(mgf)
* 特征函数
* 概率生成函数(pgf)
* 累积量

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