数学中，**冯诺依曼代数**或**W\*-代数**是希尔伯特空间上有界算子的\*-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C\*-代数。
冯诺依曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯诺依曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。

冯诺依曼代数的两个基本例子：

* 实线上本质有界的可测函数环{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}是交换冯诺依曼代数，其元素在平方可积函数的希尔伯特空间{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}上通过逐点乘充当乘法算子。
* 希尔伯特空间{\mathcal H}上所有有界算子的代数{\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}是冯诺依曼代数，若希尔伯特空间维度至少为2，则是非交换的。

von Neumann (1930)在1929年首次研究了冯诺依曼代数，他和Francis Murray在20世纪30、40年代撰写的一系列论文中（F.J. Murray & J. von Neumann 1936, 1937, 1943、J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949）称之为**算子环**，发展了冯诺依曼代数的基本理论，重印于von Neumann (1961)。

关于冯诺依曼代数的介绍见Jones (2003)、Wassermann (1991)的注，及Dixmier (1981)、Schwartz (1967)、Blackadar (2005)、Sakai (1971)等书。Takesaki (1979)的系列著作对冯诺依曼代数进行了百科全书式阐述。Connes (1994)讨论了更高级的主题。

定义
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冯诺依曼代数有3种常见定义。

* （希尔伯特空间上的）有界算子的弱闭\*-代数（包含恒等）。这定义中，弱（算子）拓扑可换成其他常见拓扑，如强、超强、超弱算子拓扑。在范数拓扑下封闭的有界算子的\*-代数是C\*-代数，因此冯诺依曼代数都是C\*-代数。
* 对对合（\*-运算）封闭的有界算子的子代数，且等于其双交换子，或等价于在\*下封闭的某子代数的交换子。冯诺依曼双交换定理（von Neumann 1930）指出，前两个定义等价。
* 前两个定义将冯诺依曼代数描述为作用于某给定希尔伯特空间的算子集。Sakai (1971)指出，冯诺依曼代数也可抽象地定义为有预对偶的C\*-代数；也就是说，冯诺依曼代数作为巴拿赫空间是另一些巴拿赫空间的对偶，称作预对偶。冯诺依曼代数的预对偶在同构意义上是唯一的。有人用"冯诺依曼代数"表示与希尔伯特空间作用匹配的代数，"W\*-代数"表示抽象概念，于是，冯诺依曼代数是W\*-代数、希尔伯特空间与其上合适的忠实酉作用构成的。冯诺依曼代数的具体定义和抽象定义同C\*-代数类似，后者可定义为希尔伯特空间上算子的对范数封闭的\*-代数，或满足{\displaystyle ||aa^{\*}||=||a||\ ||a^{\*}||}的巴拿赫\*-代数。

术语
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冯诺依曼代数中一些术语可能令人困惑，且在本理论之外往往有不同含义。

* **因子**（factor）是具有平凡中心的冯诺依曼代数，即中心只含标量算子。
* **有限**冯诺依曼代数是有限因子的直积分（即冯诺依曼代数有忠实的正规迹态{\displaystyle \tau :M\rightarrow \mathbb {C} }）。同样，**紧合无限**（properly infinite）冯诺依曼代数是紧合无限因子的直积分。
* 作用于可分希尔伯特空间的冯诺依曼代数也**可分**，注意这类代数在范数拓扑中常常不再可分。
* 希尔伯特空间上有界算子集**生成**的冯诺依曼代数是包含所有算子的最小冯诺依曼代数。

* 两希尔伯特空间上各自冯诺依曼代数的**张量积**是由代数张量积生成的冯诺依曼代数，被视作希尔伯特空间的张量积上的算子。

遗忘冯诺依曼代数上的拓扑，就可将其看做（含幺）\*-代数，或就只是一个环。冯诺依曼代数是半遗传的：射影模的每个有限生成子模也是射影的。冯诺依曼代数的底环有多次公理化尝试，如贝尔\*-环、AW\*-代数等。有限冯诺依曼代数的隶属算子的\*-代数是冯诺依曼正则环。（冯诺依曼代数本身一般不是冯诺依曼正则的）

交换冯诺依曼代数
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条目：阿贝尔冯诺依曼代数
交换冯诺依曼代数和测度空间的关系类似于交换C\*-代数和局部紧豪斯多夫空间的关系。对度量空间{\displaystyle (X,\ \mu )}，交换冯诺依曼代数都同构于{\displaystyle L^{\infty }(X)}；反之，对σ-有限度量空间，\*-代数{\displaystyle L^{\infty }(X)}都是冯诺依曼代数。

于是，冯诺依曼代数理论也称作非交换测度论，C\*-代数理论也称作非交换拓扑（Connes 1994）。

投影
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冯诺依曼代数中，满足{\displaystyle E=EE=E^{\*}}的算子*E*称作**投影**，是*H*在某闭子空间上的正交投影算子。若希尔伯特空间*H*的子空间是*M*中某投影的像，则称其**属于**冯诺依曼代数*M*，这建立了*M*的投影和属于*M*的子空间之间建立了一一对应关系。非正式地说，子空间是可用*M*的元素来描述的闭空间。

可以证明，*M*中任意算子的像的闭包和*M*中任意算子的核都属于*M*；另外，属于*M*的任何子空间在*M*的算子下的像的闭包也属于*M*（这些是极分解的结果）。

### 投影比较理论

投影的基本理论由Murray & von Neumann (1936)提出。属于*M*的两子空间若存在属于冯诺依曼代数的部分等距映射，将一者同构地映射到另一者，则称它们（**穆雷-冯诺依曼**）等价。若相应子空间等价，或有*H*的部分等距，将*E*的像同构映射到*F*的像，且是冯诺依曼代数的元素，则称*E*等价于*F*。另一种说法是，若对*M*中某部分等距*u*，满足{\displaystyle E=uu^{\*},\ F=u^{\*}u}，则称*E*等价于*F*。

由此定义的等价关系~是可加的：设{\displaystyle E\_{1}\sim F\_{1},\ E\_{2}\sim F\_{2}}。若{\displaystyle E\_{1}\perp E\_{2},\ F\_{1}\perp F\_{2}}，则{\displaystyle E\_{1}+E\_{2}\sim F\_{1}+F\_{2}}。若在~的定义中要求酉等价（对幺元*u*，若{\displaystyle u^{\*}Eu=f}，则{\displaystyle E\sim F}），那么可加性一般不成立。薛定谔-伯恩斯坦定理给出了穆雷-冯诺依曼等价的充分条件。

属于*M*的子空间通过包含而部分有序，产生了投影的偏序≤。在投影的等价类集上还有一个自然偏序，来自投影的偏序≤。若*M*是因子，则≤是投影等价类上的总阶，下详。

若不存在等价于*E*的投影*F* < *E*（即{\displaystyle F\leq E,\ F\neq E}），则称投影（或属于*M*的子空间）*E*为有限投影。例如，有限维投影（或子空间）都有限（因为希尔伯特空间之间的等距性使维数固定不变），而无限维希尔伯特空间上的恒等算子在其上所有有界算子的冯诺依曼代中并不是有限的，因为其与自身的一个适当子集同构。不过，无限维子空间也有可能有限。

正交投影是**解析失败 (语法错误): {\displaystyle L^{\infty}(\mathbb{R})>/math>中指示函数的非交换类似物。<math>L^{\infty}(\mathbb{R})}**
是由指示函数生成的子空间的{\displaystyle ||\cdot ||\_{\infty }}闭包。同样，冯诺依曼代数有其投影生成，这是自伴算子谱定理的结果。

有限因子的投影形成连续几何。

因子
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冯诺依曼代数*N*的中心只由恒等算子的倍数组成，称作因子。Von Neumann (1949)证明，可分希尔伯特空间上的冯诺依曼代数都同构于因子的直积分，这一分解是本质唯一的。因此，可分希尔伯特空间上冯诺依曼代数同构类的分类可转化为因子同构类的分类问题。
Murray & von Neumann (1936)指出，因子可分3类。类型分类可推广到非因子的冯诺依曼代数。若冯诺依曼代数可分解为X型因子的直积分，则就是X型的，例如交换冯诺依曼代数都是I1类。冯诺依曼代数都可唯一地写成I、II、III类冯诺依曼代数之和。

还有其他几种分类因子的方法：

* 若因子是I类，则称其**离散**；若是II类或III类，则称其**连续**。
* 若因子是I或II类，则称其**半无限**；若因子是II类，则称其**纯无限**。
* 若投影1是有限的，则称因子**有限**，否则称紧合无限。I、II类因子可能有限也可能紧合无限，III类因子总是紧合无限的。

### I类因子

若存在最小的投影{\displaystyle E\neq 0}，使得不存在投影*F*满足{\displaystyle 0<F<E}，则称其为**I类因子**。I类因子都同构于某希尔伯特空间上所有有界算子的冯诺依曼代数，因为每个基数都有希尔伯特空间，I类因子的同构类是与基数完全对应的。很多学者只考虑可分希尔伯特空间上的冯诺依曼代数，因此习惯上把有限*n*维希尔伯特空间上的有界算子称作{\displaystyle {\rm {I}}\_{n}}型因子，可分无限维希尔伯特空间上的有界算子则是{\displaystyle {\rm {I}}\_{\infty }}型因子。

### II类因子

若不存在最小投影，但存在非零有限投影，则称其为**II类因子**。这意味着每个投影*E*都可以"平分"，即有两个穆雷-冯诺依曼等价的投影*F*、*G*，且满足{\displaystyle E=F+G}。若II类因子中的恒等算子有限，则是{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子；否则是{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子。最易理解的II型因子是Murray & von Neumann (1936)发现的超无限{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子、超无限{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子，是{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}、{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型中唯一的超无限因子。这类因子还有很多，都值得深入研究。Murray & von Neumann (1937)证明了一个基本结果：{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子具有唯一的有限迹态，投影的迹集为[0,1]。

{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子具有半无限迹，在缩放意义上唯一，投影的迹集为[0,∞]。{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子的基本群是实数λ集合，使得存在自同态，缩放迹λ倍。

{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子与无限I型因子的张量积是{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型，反之，任何{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子都可这样构造。{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子的**基本群**是因子与I型无限（可分）因子的张量积的基本群。多年来，人们一直在寻找基本群不是正实数群的II型因子，阿兰·科纳随后证明，具有卡日丹性质 (T)的可数离散群（平凡表示在对偶空间中孤立）（如{\displaystyle {\rm {SL}}(3,\ \mathbb {Z} )}）的冯诺依曼群代数具有可数基本群。后来，索林·波帕证明，特定群的基本群可能是平凡的，如{\displaystyle {\rm {SL}}(2,\ \mathbb {Z} )}对{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}的半直积。

{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子的一个例子是可数无限离散群的冯诺依曼群代数，使每个非平凡共轭类都无限。
McDuff (1969)发现了一个具有非同构冯诺依曼群代数的不可数族，从而显示了不可数多个可分{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子的存在。

### III型因子

不含任何非零有限投影的因子是**III型**因子。Murray & von Neumann (1936)在第一篇论文中无法确定是否存在，von Neumann (1940)发现了第一个例子。由于恒等算子在这些因子中总是无限的，因此过去也称作{\displaystyle {\rm {III}}\_{\infty }}，最近改做{\displaystyle {\rm {III}}\_{\lambda }}，其中*λ*是[0, 1]中的实数。更确切地说，若（其模群的）科纳谱是1，则是{\displaystyle {\rm {III}}\_{0}}型因子；若科纳谱为*λ*（{\displaystyle 0<\lambda <1}）的所有整数幂，则是{\displaystyle {\rm {III}}\_{\lambda }}型；若科纳谱是所有正实数，则是{\displaystyle {\rm {III}}\_{1}}型（科纳谱是正实数的闭子群，因此只有这些可能）。III型因子的唯一迹在所有正元素上取值为∞，任何两个非零投影都等价。III型因子曾一度被认为是很棘手的对象，但富田–竹崎理论带来了很好的结构理论。特别是，任何III型因子都可用正规方式写成{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型因子与实数的叉积。

预对偶
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冯诺依曼代数*M*都有预对偶{\displaystyle M\_{\*}}，是*M*上所有超弱连续线性泛函的巴拿赫空间。顾名思义，*M*（作为巴拿赫空间）是其预对偶的对偶。预对偶是唯一的，因为对偶为*M*的任何其他巴拿赫空间都与{\displaystyle M\_{\*}}同构。Sakai (1971)证明了预对偶的存在是C\*-代数中冯诺依曼代数的特征。
上文给出的预对偶定义似乎取决于*M*作用于的希尔伯特空间的选择，因为它决定了超弱拓扑。 不过也可定义为*M*上所有正**正规**线性泛函生成的空间（此处"正规"指应用于自伴算子的递增网时保上界；或等价于投影的递增序列）。
预对偶{\displaystyle M\_{\*}}是对偶M^\*的闭子空间（包含*M*上所有范数连续线性泛函），通常小些。{\displaystyle M\_{\*}}不同于M^\*的证明是非构造性的，用很重要的方式使用了选择公理。要展示在M^\*而不在{\displaystyle M\_{\*}}中的元素非常困难，例如，冯诺依曼代数{\displaystyle I^{\infty }(Z)}上的奇特正线性形式由自由超滤子给出，对应于进入*C*的奇特\*-同态，并描述了*Z*的斯通-切赫紧化。

例子：

1. \mathbb {R} 上本质有界函数的冯诺依曼代数{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}的预对偶是可积函数的巴拿赫空间{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}。{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}的对偶严格大于{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}，例如，在{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}上推广了有界连续函数{\displaystyle C\_{b}^{0}(\mathbb {R} )}的闭子空间上的狄拉克测度{\displaystyle \delta \_{0}}的泛函不能表为{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}中的函数。
2. 希尔伯特空间*H*上有界算子的冯诺依曼代数{\displaystyle B(H)}的预对偶是所有迹类算子（迹范数为{\displaystyle ||A||={\rm {Tr}}(|A|)}）的巴拿赫空间。迹类算子的巴拿赫空间本身是紧算子的C\*-代数的对偶（自身不是冯诺依曼代数）。

权、状态、迹
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权、特殊状态与迹在（Takesaki 1979）中有详细讨论。

* 冯诺依曼代数上的**权** ω是从正元素（形式{\displaystyle a^{\*}a}）集到[0, ∞]的线性映射。
* **正线性泛函**是ω(1)有限的权（或说是ω通过线性，到整个代数的扩张）。
* **状态**是{\displaystyle \omega (1)=1}的权。
* **迹**是{\displaystyle \forall a,\ \omega (aa^{\*})=\omega (a^{\*}a)}的权。
* **迹状态**是{\displaystyle \omega (1)=1}的迹。

因子都有迹，即非零投影的迹也非零，并且当且仅当投影无限时，投影的迹才是无限的。这样的迹在重缩放的意义上是唯一的。对可分或有限的因子，当且仅当两投影具有相同的迹时，它们等价。因子类型可从迹在因子投影上的可能值获得，如下：

* {\displaystyle {\rm {I}}\_{n}}型：对正数*x*，{\displaystyle 0,\ x,\ 2x,\ \ldots ,\ nx}（一般归一化为{\displaystyle x=1/n}或1）。
* {\displaystyle {\rm {I}}\_{\infty }}型：对正数*x*，{\displaystyle 0,\ x,\ 2x,\ \ldots ,\ \infty }（一般归一化为x = 1）。
* {\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型：对正数*x*，{\displaystyle [0,\ x]}（一般归一化为x = 1）。
* {\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型：{\displaystyle [0,\ \infty ].}
* III型：{\displaystyle \{0,\ \infty \}.}

若冯诺依曼代数作用于含范数为1的向量*v*的希尔伯特空间，则泛函{\displaystyle a\to (av,\ v)}是正规状态。这种构造可反过来从正规状态给出对希尔伯特空间的作用，就是正规状态的GNS构造。

因子上的模
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给定抽象可分因子，可要求对其模（即其所作用的可分希尔伯特空间）进行分类。结果如下：每个模*H*都可给定一个*M*维的{\displaystyle {\rm {dim}}\_{M}(H)}（而非作为复向量空间的维度），这样，当且仅当它们有同样的*M*维时，模相互同构。*M*维是可加的，当且仅当一个模*m*的*M*维不大于另一模*n*时，*m*与*n*的子空间同构。

若模有循环可分向量，则称其是**标准的**。因子都有标准表示，在同构意义上唯一。标准表示有反线性对合*J*使{\displaystyle JMJ=M'}。对有限因子，标准模由应用于唯一正规迹态的GNS构造给出，*M*维被归一化，因此标准模的*M*维为1，而对无限因子，标准模是*M*维无穷大的模。

模的可能*M*维数如下：

* {\displaystyle {\rm {I}}\_{n}}（*n*有限）型：*M*维可以是{\displaystyle 0/n,\ 1/n,\ 2/n,\ 3/n,\ \ldots ,\ \infty }。标准模的*M*维数为1（复维数为2）。
* {\displaystyle {\rm {I}}\_{\infty }}型：*M*维可以是{\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \infty }。{\displaystyle B(H)}的标准表示是{\displaystyle H\otimes H}，其*M*维数无穷大。
* {\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型：*M*维可以是[0, ∞]中的任意数。归一化后，标准模的*M*维数为1。*M*维也称作模*H*的**耦合常数**。
* {\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}型：*M*维可以是[0, ∞]中的任意数。一般来说没有规范方法归一化，因子可能有外自同构，将*M*维乘以常数。标准表示是*M*维数无穷大的表示。
* III型：*M*维可以是0或∞。任意两个非零模都同构，所有非零模都是标准的。

可均冯诺依曼代数
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Connes (1976)等人证明，可分希尔伯特空间*H*上的冯诺依曼代数*M*的下列条件等价：

* *M*是'*超无限**或**近似有限维**（AFD）或**近似有限*的：代数包含有限维子代数的递增序列的，具有稠密的交（注意有人用"超有限"表示"AFD且有限"）。
* *M*是**可均的**（amenable）：在正规巴拿赫双模中取值的*M*的导子都是内的。
* *M*具有施瓦茨**性质P**：对*H*上任意有界算子*T*，元素{\displaystyle uTu^{\*}}的弱算子闭凸包包含与*M*交换的元素。
* *M* 是**半离散的**：恒等映射{\displaystyle M\to M}是秩有限的完全正映射的弱点极限。
* *M*具有**性质E**或**羽毛田–富山扩张性**：从*H*上的有界算子到*M* '，有范数为1的投影。
* *M*是**单射**：从任意含幺C\*-代数*A*的任意含1自伴闭子空间到*M*的任何完全正映射，都可推广为*A*到*M*的完全正映射。

上面这类代数没有公认的术语，科纳建议用**可均**。

可均因子已被分类：在{\displaystyle 0<\lambda \leq 1}的条件下，{\displaystyle {\rm {I}}\_{n},\ {\rm {I}}\_{\infty },\ {\rm {II}}\_{1},\ {\rm {II}}\_{\infty },\ {\rm {III}}\_{\lambda }}各有一个，{\displaystyle {\rm {III}}\_{0}}的对应某些遍历流。（对{\displaystyle {\rm {III}}\_{0}}型，称其为分类有点误导，因为众所周知，并没有简单的遍历流分类方法。）I型与{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型由Murray & von Neumann (1943)分类，{\displaystyle {\rm {III}}\_{1}}由Haagerup分类，其余的由Connes (1976)分类。

所有可均因子都能用穆雷和冯诺依曼对单一遍历变换的群测度空间构造得到。事实上，它们正是*Z*或*Z/nZ*在阿贝尔冯诺依曼代数{\displaystyle L^{\infty }(X)}上的自由遍历作用的叉积产生的因子。测度空间*X*是原子的，且作用是传递的，则出现I型因子；*X*是扩散的或非原子的，则等价于[0,1]的测度空间。*X*具有等价有限（{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}）或无限（{\displaystyle {\rm {II}}\_{\infty }}）测度，且在*Z*的作用下不变时，出现II型因子；若无不变测度，只有不变测度类，则出现III型因子，称作**克里格因子**（Krieger factor）。

冯诺依曼代数的张量积
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两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯诺依曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯诺依曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯诺依曼代数张量积的类型取较大值。**张量积交换定理**指出

{\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}
其中*M'* 表示*M*的交换子。

无穷多冯诺依曼代数的张量积通常是个大得离谱的不可分代数。von Neumann (1938)指出，应在每个冯诺依曼代数上选取一个状态，以定义代数张量积上的一个状态，从而产生希尔伯特空间与（较小的）冯诺依曼代数。Araki & Woods (1968)研究了所有因子都是有闲矩阵代数的情形，这些因子称作**Araki–Woods**因子或**ITPFI因子**（ITPFI表示"有限I型因子的无限张量积"）。无限张量积的类型可随着状态改变发生巨大变化，如无限多{\displaystyle {\rm {I}}\_{2}}型因子的无限张量积可具有任意类型，取决于状态的选择。特别是Powers (1967)对{\displaystyle {\rm {I}}\_{2}}型因子进行无限张量积，发现了{\displaystyle 0<\lambda <1}时不可数的非同构超无限{\displaystyle {\rm {III}}\_{\lambda }}型因子不可数族，称作**Powers因子**，每个因子的状态如下：

{\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}
所有不是{\displaystyle {\rm {III}}\_{0}}的超无限冯诺依曼代数都同构于Araki–Woods因子，有不可数多的{\displaystyle {\rm {III}}\_{0}}型超无限冯诺依曼代数不同构。

双模与子因子
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**双模**（或对应）是有两个交换冯诺依曼代数的模作用的希尔伯特空间*H*。双模的结构比模丰富得多。两因子上的双模总给出子因子，因为其中一因子总包含于另一因子的交换子中。此外，科纳在双模上发现了一种微妙的相对张量积运算。沃恩·琼斯提出的子因子理论调和了这两种看似迥异的观点。

双模对离散群Γ的冯诺依曼群代数*M*也很重要。事实上，若*V*是Γ的任意酉表示，将Γ视作Γ × Γ的对角子群，{\displaystyle I^{2}(\Gamma ,\ V)}上相应的诱导表示自然就是*M*的两个交换副本的双模。Γ的重要表示论性质完全可用双模表述，因此对冯诺依曼代数本身也有意义。例如，科纳和琼斯以这种方式给出了冯诺依曼代数的卡日丹性质 (T)的类似定义。

不可均因子
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I型冯诺依曼代数可均，其他类型则有不可数多种不可均因子，似乎很难分类，甚至很难相互区分。Voiculescu证明，来自群测度空间构造的不可均因子类与来自自由群的冯诺依曼代数群**不相交**。后来小泽登高证明，双曲群的冯诺依曼代数群会产生素的{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子，即不能作为{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型因子的张量积进行分解，这结果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，对自由群因子进行了证明。波帕关于不可均因子基本群的研究是另一项重大进展。目前"超无限之外"的因子理论正在迅速扩展，并取得了许多令人惊讶的成果，与几何群论和遍历理论中的刚性现象有密切关系。

例子
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* σ有限测度空间上的本质有界函数构成了作用于L^{2}函数的交换（{\displaystyle {\rm {I}}\_{1}}型）冯诺依曼代数。对一些通常认为病态的非σ有限测度空间，{\displaystyle L^{\infty }(X)}不是冯诺依曼代数，如可测集的σ代数可能是不可数集上的可数-余可数代数。基本近似定理可用卡普兰斯基稠密性定理表示。
* 任意希尔伯特空间上的有界算子构成冯诺依曼代数，实际上是I型因子。
* 若在希尔伯特空间*H*上的群*G*我们有任意酉表示，则与*G*交换的有界算子形成冯诺依曼代数*G'* ，其投影精确对应*H*在*G*下不变的闭子空间。等价子表示对应*G'* 中的等价投影。*G*的双交换*G' '* 也是冯诺依曼代数。
* 离散群*G*的**冯诺依曼群代数**是{\displaystyle H=I^{2}(G)}上所有与*G*在*H*上的作用通过右乘交换的有界算子的代数。可以证明，这就是由与g\in G的左乘相对的算子生成的冯诺依曼代数。若*G*的非平凡共轭类都无限（例如非阿贝尔自由群），则它就是（{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型）因子；若*G*是有限子群的并（如固定了除有限多元素外所有整数的置换群），则就是{\displaystyle {\rm {II}}\_{1}}型超无限因子。
* 如上一节所述，两冯诺依曼代数的张量积或有状态的可数张量积是冯诺依曼代数。
* 可定义冯诺依曼代数与离散（更一般地，局部紧）群的叉积，也是冯诺依曼代数。特殊情形是穆雷合冯诺依曼的**群测度空间构造**，以及**克里格因子**。
* 可定义可测等价关系的冯诺依曼代数和可测广群。这些例子概括了冯诺依曼群代数和群测度空间构造。

应用
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冯诺依曼代数在纽结理论、统计力学、量子场论、局部量子力学、自由概率、非交换几何、表示论、微分几何与动力系统等领域都有应用。

例如，C\*-代数为概率论提供了另一种公理化方法，称作GNS构造。这类似于测度和积分的两种方法，可以先构造集合的测度，再定义积分；或者先构造积分，再将集合度量定义为特征函数的积分。

另见
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* AW\*-代数
* 富田–竹崎理论

参考文献
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1. ↑  An Introduction To II1 Factors ens-lyon.fr
2. ↑  Connes, A.. Journal of Functional Analysis. May 1978, **28** (2): 248–253. doi:10.1016/0022-1236(78)90088-5 （英语）.

* Araki, H.; Woods, E. J. Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A, 1968, **4** (1): 51–130, doi:10.2977/prims/1195195263 可免费查阅 MR0244773
* Blackadar, B. Springer, 2005, ISBN 3-540-28486-9 ,  (PDF), 2013
* Connes, A. Annals of Mathematics, Second Series, 1976, **104** (1): 73–115, JSTOR 1971057, doi:10.2307/1971057
* Connes, A. 需要免费注册, Academic Press, 1994, ISBN 0-12-185860-X  含有內容需登入查看的頁面 (link).
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* Murray, F.J.; von Neumann, J. Annals of Mathematics, Second Series, 1936, **37** (1): 116–229, JSTOR 1968693, doi:10.2307/1968693 . This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.
* Murray, F.J.; von Neumann, J. Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society), 1937, **41** (2): 208–248, JSTOR 1989620, doi:10.2307/1989620 可免费查阅 . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
* Murray, F.J.; von Neumann, J. Annals of Mathematics, Second Series, 1943, **44** (4): 716–808, JSTOR 1969107, doi:10.2307/1969107 . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic.
* Powers, Robert T. Annals of Mathematics, Second Series, 1967, **86** (1): 138–171, JSTOR 1970364, doi:10.2307/1970364
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* von Neumann, J. Compos. Math. 1938, **6**: 1–77 . This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
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* von Neumann, J. Annals of Mathematics, Second Series, 1943, **44** (4): 709–715, JSTOR 1969106, doi:10.2307/1969106 . This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
* von Neumann, J. Annals of Mathematics, Second Series, 1949, **50** (2): 401–485, JSTOR 1969463, doi:10.2307/1969463 . This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
* von Neumann, John, Taub, A.H. , 编, NY: Pergamon Press, 1961 . Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.
* Wassermann, A. J. 1991

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* 论
* 编
泛函分析 |
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| 集合 / 子集 | 
* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥

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|  |
| 拓撲向量空間 | 
* 巴拿赫空间
* 欧几里得空间
* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
* 賦範向量空間 （范数）
* 拟赋范空间
* 自反空间
* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

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|  |
| 映射拓扑 | 
* 对偶空间
* 算子拓扑
* 弱拓扑（英语：）
* 强拓扑（英语：）
* 拓扑的一致收敛（英语：）

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| 线性算子 | 
* 伴随
* 双线性
	+ 形式
* 有界 / 无界
* 连续线性
* 紧
* Fredholm（英语：）
* 希尔伯特-施密特
* 泛函
* 正规
* 核型（英语：）
* 自伴
* 严格奇异算子（英语：）
* 迹类
* 有限秩
* 转置（英语：）
* 酉 / 幺正

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| 集合运算 | 
* 代数内部
* 内部
* 閔可夫斯基和
* 极性集

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| 算子理论 | 
* 巴拿赫代数
* C\*-代数
* 谱 (泛函分析) （谱半径）
* 谱理论（谱定理）
* 极分解
* 奇异值分解

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| 定理 | 
* 阿尔泽拉-阿斯科利定理
* 巴拿赫-阿勞格魯定理
* 巴拿赫-马祖尔定理（英语：）
* 贝尔纲定理
* 贝塞尔不等式
* 柯西-施瓦茨不等式
* 闭值域定理
* 閉圖像定理
* 哈恩-巴拿赫定理
* 角谷不动点定理
* 不变子空间问题
* Riesz延拓定理（英语：）
* 开映射定理
* 拉克斯-米尔格拉姆定理
* 帕塞瓦尔恒等式
* 肖德尔不动点定理（英语：）

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| 分析 | 
* 导数 (加托导数
* 泛函导数)
* 积分 (博赫纳积分
* 佩蒂斯积分（英语：）)
* 泛函演算（英语：） (波莱尔泛函演算（英语：）
* 连续泛函演算（英语：）)
* 反函数定理
* 向量测度
* 弱可测函数

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