此条目的主題是微积分学中的一种向量分析。电磁学中与电通量有关的定理，請見「**高斯定律**」。

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* 论
* 编
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**高斯公式**（Gauss's law），又称为**高斯通量理论**（Gauss' flux theorem）、**散度定理**（Divergence Theorem）、**高斯散度定理**（Gauss's Divergence Theorem）、**高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式**或**高－奥公式**，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。

定理
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区域V，以带有法线n的面*S* = ∂*V*为边界。
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数{\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}在\Omega 上具有一阶连续偏导数，则有

{\displaystyle \iiint \_{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}{\displaystyle \oiint }\oiint\scriptstyle \Sigma {\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y}
或

{\displaystyle \iiint \_{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}{\displaystyle \oiint }\oiint\scriptstyle \Sigma {\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S}
这里\Sigma 是\Omega 的边界（boundary），{\displaystyle \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }是\Sigma 在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做**高斯公式**，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 {\displaystyle \iint \_{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}，其中 \mathbf{n} 是曲面 \Sigma  的向外單位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示
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高斯公式用散度表示为：

{\displaystyle \iiint \_{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=}{\displaystyle \oiint }\oiint\scriptstyle \Sigma {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 \mathbf{n} 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示
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令*V*代表有一简单闭曲面*S*为边界的体积，\mathbf {F} 是定义在*V*中和*S*上连续可微的向量场。如果d{\mathbf {S}}是外法向向量面元，则

{\displaystyle \int \_{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int \_{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V}

推论
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* 对于标量函数*g*和向量场**F**的积，应用高斯公式可得：

{\displaystyle \iiint \_{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint \_{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }
* 对于两个向量场{\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}}的向量积，应用高斯公式可得：

{\displaystyle \iiint \_{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint \_{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }
* 对于标量函数*f*和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

{\displaystyle \iiint \_{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits \_{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} }
* 对于向量场**F**和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

{\displaystyle \iiint \_{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint \_{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .}

例子
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例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。
假设我们想要计算 

{\displaystyle \oiint }\oiint\scriptstyle S{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}
其中S是一个单位球面，定义为

S=\left\{x,y,z\in {\mathbb {R}}^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.
**F**是向量场

{\mathbf {F}}=2x{\mathbf {i}}+y^{2}{\mathbf {j}}+z^{2}{\mathbf {k}}.
直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

{\displaystyle \iiint \_{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint \_{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint \_{W}\mathrm {d} V+2\iiint \_{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint \_{W}z\,\mathrm {d} V.}
其中W是单位球:

W=\left\{x,y,z\in {\mathbb {R}}^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.
由于函数y和z是奇函数，我们有：

{\displaystyle \iiint \_{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint \_{W}z\,\mathrm {d} V=0.}
因此：

{\displaystyle \oiint }\oiint\scriptstyle S{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint \_{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},}
因为单位球W的体积是4*π*/3.

二阶张量的高斯公式
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**二阶张量的高斯公式**实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的**二阶张量**（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用**黑斜体**字母表示，张量用**正黑体**字母表示。

1. 两个向量\boldsymbol{a}和{\boldsymbol {b}}并排放在一起所形成的量{\boldsymbol {ab}}被称为向量\boldsymbol{a}和{\boldsymbol {b}}的**并矢**或**并矢张量**。要注意，一般来说，{\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}。
2. {\boldsymbol {ab}}=0的充分必要条件是{\boldsymbol {a}}=0或{\boldsymbol {b}}=0。
3. **二阶张量**就是**有限个**并矢的线性组合。
4. {\boldsymbol {ab}}分别线性地依赖于\boldsymbol{a}和{\boldsymbol {b}}。
5. 二阶张量\mathbf{T}和向量\boldsymbol{a}的縮併{\mathbf {T}}\cdot {\boldsymbol {a}}以及{\boldsymbol {a}}\cdot {\mathbf {T}}对 \mathbf{T}和\boldsymbol{a}都是线性的。
6. 特别是，当{\mathbf {T}}={\boldsymbol {uv}}时，

{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}
所以，一般说来，{\mathbf {T}}\cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot {\mathbf {T}}。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的縮併来重新写({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}和{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})。

{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}
我们还用到二阶张量\mathbf{T}的*转置*{\mathbf {T}}'（又可以记为{\mathbf {T}}^{{{\mathrm {t}}}}），定义如下：

1. {\mathbf {T}}'仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于\mathbf{T}。
2. ({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}。

**定理：**设 V是三维欧几里得空间中的一个有限区域，S是它的边界曲面，{\hat {{\boldsymbol {n}}}}是S的外法线方向上的单位向量，\mathbf{T}是定义在V的某个开邻域上的C^1连续的二阶张量场，{\mathbf {T}}'是\mathbf{T}的转置，则

{\displaystyle \iint \_{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint \_{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint \_{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint \_{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}
**证明：**下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为{\boldsymbol {F}}，则

{\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}\_{i}\cdot \iint \_{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint \_{S}{\boldsymbol {e}}\_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint \_{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}\_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.}
接下来利用向量场的高斯公式，可得

{\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint \_{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}\_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint \_{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,}
于是

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}\_{i}\,({\boldsymbol {e}}\_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}\_{i}\iiint \_{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint \_{V}{\boldsymbol {e}}\_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint \_{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}
至此证毕。

参阅
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* 格林定理
* 斯托克斯定理

参考文献
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1. ↑  UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details （页面存档备份，存于）.The Indian Express.September 22, 2019.
2. ↑  提要251：第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem) （页面存档备份，存于）.中华大学.2011-12-22.
3. ↑  同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
4. ↑  谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005