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* 论
* 编
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在实分析或数学分析中，**达布积分**是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过**达布和**构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布（Jean Gaston Darboux）。

区间的分割
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一个闭区间[a,b]的一个**分割**是指在此区间中取一个有限的点列a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\ldots <x\_{n}=b。每个闭区间[x\_{i},x\_{i+1}]叫做一个**子区间**。定义\lambda  为这些子区间长度的最大值：\lambda =\max(x\_{i+1}-x\_{i})，其中0\leq i\leq n-1。

再定义**取样分割**。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\ldots <x\_{n}=b后，于每一个子区间中[x\_{i},x\_{i+1}]取出一点 x\_{i}\leq t\_{i}\leq x\_{i+1}。\lambda 的定义同上。

**精细化分割**：设x\_{0},\ldots ,x\_{n}以及t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y\_{0},\ldots ,y\_{m}和s\_{0},\ldots ,s\_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0\leq i\leq n，都存在r(i)使得x\_{i}=y\_{r(i)}，并存在r(i)\leq j\leq r(i+1)使得t\_{i}=s\_{j}，那么就把分割：y\_{0},\ldots ,y\_{m}、s\_{0},\ldots ,s\_{m-1}称作分割x\_{0},\ldots ,x\_{n}、t\_{0},\ldots ,t\_{n-1}的一个**精细化分割**。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作"精细"。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更"精细"。

达布和
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设{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 为一个有界函数，又设

{\displaystyle P:x\_{0},\ldots ,x\_{n}}
是闭区间[a,b]的一个分割。令:

{\displaystyle M\_{i}=\sup \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}f(x)}
{\displaystyle m\_{i}=\inf \_{x\in [x\_{i-1},x\_{i}]}f(x)}
下（绿色）和上（淡紫色）达布和
f在分割P下的**上达布和**定义为：

{\displaystyle U\_{f,P}=\sum \_{i=1}^{n}M\_{i}(x\_{i}-x\_{i-1})}
同样的有**下达布和**的定义：

{\displaystyle L\_{f,P}=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}(x\_{i}-x\_{i-1})}
f的**上达布积分**指的是所有上达布和的下确界： 

{\displaystyle U\_{f}=\inf\{U\_{f,P}:P}是闭区间[a,b]的一个分割{\displaystyle \;\}}
同样的f的**下达布积分**指的是所有下达布和的上确界： 

{\displaystyle L\_{f}=\sup\{L\_{f,P}:P}是闭区间[a,b]的一个分割{\displaystyle \;\}}
如果{\displaystyle U\_{f}=L\_{f}}那么f就称作**达布可积**的，并用{\displaystyle \int \_{a}^{b}{f(t)\,dt}}表示，记作f在区间[a,b]的达布积分。

性质
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* 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以b-a为宽，以{\displaystyle \mathrm {inf} (f)}为高的矩形下，占据[a,b]。同样，上达布和被限制在以*b-a*为宽，以{\displaystyle \mathrm {sup} (f)}为高的矩形上。

{\displaystyle (b-a)\inf \_{x\in [a,b]}f(x)\leq L\_{f,P}\leq U\_{f,P}\leq (b-a)\sup \_{x\in [a,b]}f(x)}
* 下达布和和上达布和满足

{\displaystyle {\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx}
* 对处于(a,b)的任意c

{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int \_{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int \_{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int \_{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int \_{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
* 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令{\displaystyle g:[a,b]\rightarrow R}是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int \_{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int \_{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}}
* 对于一个常数{\displaystyle c\geq 0}我们有

{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int \_{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int \_{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}
* 对于一个常数{\displaystyle c\leq 0}我们有

{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int \_{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int \_{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int \_{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}
* 考虑函数{\displaystyle F:[a,b]\rightarrow R}定义为

{\displaystyle F(x)={\underline {\int \_{a}^{x}}}f(x)\,dx}
那么F是利普希茨连续的。当*F*是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

例子
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### 一个达布可积函数

假设我们想证明函数{\displaystyle f(x)=x}在区间[0,1]上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间[0,1]分割为n个等大的子区间，每个区间长度为{\displaystyle {\frac {1}{n}}}。我们取*n*个等大的子区间中一个作为*P\_{n}*。

现在因为*{\displaystyle f(x)=x}*在[0,1]上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在*P\_{n}*中第k个子区间的起点是{\displaystyle {\frac {k-1}{n}}}，终点是{\displaystyle {\frac {k}{n}}}。那么在一个分割*P\_{n}*上的下达布和就是

{\displaystyle {\begin{aligned}L\_{f,P\_{n}}&=\sum \_{k=1}^{n}f(x\_{k-1})(x\_{k}-x\_{k-1})\\&=\sum \_{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
类似地，上达布和为

{\displaystyle {\begin{aligned}U\_{f,P\_{n}}&=\sum \_{k=1}^{n}f(x\_{k})(x\_{k}-x\_{k-1})\\&=\sum \_{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
由于

{\displaystyle {\begin{aligned}U\_{f,P\_{n}}-L\_{f,P\_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}}
则对于任意\varepsilon>0，我们得到对于{\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}的任何分割P\_{n}都满足

{\displaystyle {\begin{aligned}U\_{f,P\_{n}}-L\_{f,P\_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}}
得证f是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim \_{n\to \infty }U\_{f,P\_{n}}=\lim \_{n\to \infty }L\_{f,P\_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}
### 一个不可积函数

如果我们有函数{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}定义为

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}}
由于有理数和无理数都是**R**的稠密子集，因而断定f在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割P我们有

{\displaystyle {\begin{aligned}L\_{f,P}&=\sum \_{k=1}^{n}(x\_{k}-x\_{k-1})\inf \_{x\in [x\_{k-1},x\_{k}]}f=0\\U\_{f,P}&=\sum \_{k=1}^{n}(x\_{k}-x\_{k-1})\sup \_{x\in [x\_{k-1},x\_{k}]}f=1\end{aligned}}}
从中我们可以看出上下达布和不等。

与黎曼积分的关系
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对于更精细的分割，上达布和减小3公分，下达布和变大3公分
如果分割{\displaystyle P':y\_{0},\ldots ,y\_{m}}比分割{\displaystyle P:x\_{0},\ldots ,x\_{n}}"精细"，那么有{\displaystyle U\_{f,P}\geq U\_{f,P'}} 以及 {\displaystyle L\_{f,P}\leq L\_{f,P'}}。这是因为P'实际上是将P中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上f的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果P\_{1},P\_{2}是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个"精细"），那么 

{\displaystyle L\_{f,P\_{1}}\leq U\_{f,P\_{2}}}.
所以， 

{\displaystyle L\_{f}\leq U\_{f}}
显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

{\displaystyle P=(x\_{0},\ldots ,x\_{n})\,\!}
并且

{\displaystyle T=(t\_{1},\ldots ,t\_{n})\,\!}
共同构成区间上的一个取样分割

{\displaystyle x\_{0}\leq t\_{1}\leq x\_{1}\leq \cdots \leq x\_{n-1}\leq t\_{n}\leq x\_{n}\,\!}
(正如黎曼积分的定义中那样)，对应P和T的黎曼和为
R，就有

{\displaystyle L\_{f,P}\leq R\leq U\_{f,P}.\,\!}
由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数f在区间[a,b]的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

参见
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* 积分
* 黎曼积分
* 勒贝格积分
* 黎曼－斯蒂尔杰斯积分