船只尾波的鸟瞰图
从前方观测的船只尾波
**尾波**（英語：）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为**开尔文船波**（）。

数学原理
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船形物体的尾波形状和福祿數{\displaystyle Fr}有密切关系。

{\displaystyle Fr={\frac {V}{\sqrt {gl}}}}

其中*g*为重力常数，*V*是船速，*l*是船的长度。

令船的长度{\displaystyle l=k\cdot {\frac {V^{2}}{g}}}
则{\displaystyle Fr={\frac {1}{\sqrt {k}}}}.

对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。

而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。

开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长M^{2}倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。

多鞍点函数积分
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Integrand of Kelvin Wake Integral
Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot
当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（{\displaystyle \rho ,\phi }中在船只的速度矢量方向，\phi=0），由下列公式表示

{\displaystyle K(\phi ,\rho )=\int \_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \rho {\frac {\cos(\theta +\phi )}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }

其中{\displaystyle \rho =gr/V^{2}}

{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {V^{2}}{gr}}}是福祿數的平方{\displaystyle Fr^{2}}

g为重力常数l为船的长度。

上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：

{\displaystyle K(\phi ,\rho )=\Re (\int \_{-\infty }^{\infty }\exp(i\rho f(\theta ,\rho )d\theta )}
其中，多鞍点积分的核函数为

{\displaystyle f(\theta ,\phi )=-{\frac {\cos(\theta +\phi )}{\cos ^{2}\theta }}}

此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图

求其极点，

{\displaystyle {\frac {df(\theta ,\phi )}{d\theta }}={\frac {\sin(\theta +\phi )}{\cos(\theta )^{2}}}-{\frac {2\cos(\theta +\phi )\sin(\theta )}{\cos(\theta )^{3}}}=0}

解之，得

{\displaystyle \theta \_{1}=\arctan({\frac {(1/4)(1+{\sqrt {(1-8\tan(\phi )^{2}))}}}{\tan(\phi )}})=-\arctan({\frac {(1/4)(-1+{\sqrt {(}}1-8\tan(\phi )^{2}))}{\tan(\phi )}})}

由此

{\displaystyle \phi \_{1}=19.47}度,

{\displaystyle \phi \_{2}=-19.47}度

这就是凯尔文船波的V型波**包线**的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.至于波纹本身则与船速矢量的夹角为

{\displaystyle \theta =\pi -19.47=35.3}°

开尔文驻相法
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Kelvin Wake (Maple density plot)
开尔文船波波形
开尔文船波积分{\displaystyle K(\phi ,\rho )}必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。

原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是拉普拉斯方法的推广。

被积分函数
{\displaystyle f(\theta ,\phi )=-{\frac {cos(\theta +\phi )}{cos^{2}\theta }}}
的两个极点是：

{\displaystyle \theta \_{p}=arctan({\frac {(1/4)\*(1+{\sqrt {(1-8\*tan(\phi )^{2}))}}}{tan(\phi )}})}

  

{\displaystyle \theta \_{m}=-arctan({\frac {(1/4)\*(-1+{\sqrt {(}}1-8\*tan(\phi )^{2}))}{tan(\phi )}})}

令

{\displaystyle f\_{m}=f(\theta \_{m},\phi )={\frac {sin((1/2)\*\phi -(1/2)\*arcsin(3\*sin(\phi )))}{sin((1/2)\*\phi +(1/2)\*arcsin(3\*sin(\phi )))}}}

{\displaystyle f\_{p}=f(\theta \_{p},\phi )={\frac {cos((1/2)\*\phi +(1/2)\*arcsin(3\*sin(\phi )))}{cos(-(1/2)\*\phi +(1/2)\*arcsin(3\*sin(\phi )))}}}

{\displaystyle fbar:=1/2\*(f\_{p}+f\_{m})}

{\displaystyle D2F={\frac {d^{2}F(\theta ,\phi )}{d\theta ^{2}}}}

{\displaystyle D2F\_{p}=D2F(\theta \_{p},\phi )}

{\displaystyle D2F\_{m}=D2F(\theta \_{m},\phi )}

{\displaystyle \Delta :=(3/4\*(f\_{m}-f\_{p}))^{(}2/3)}

{\displaystyle u={\sqrt {\frac {\Delta ^{1/2}}{2}}}\*({\frac {1}{\sqrt {D2F\_{p}}}}+{\frac {1}{\sqrt {-D2F\_{m}}}})}

{\displaystyle v={\sqrt {\frac {2}{\Delta ^{1/2}}}}\*({\frac {1}{\sqrt {D2F\_{p}}}}-{\frac {1}{\sqrt {-D2F\_{m}}}})}

{\displaystyle K(\phi ,\rho )\approx 2\*\pi \*(u\*cos(\rho \*fbar)\*AiryAi(-\rho ^{(}2/3)\*\Delta )/\rho ^{(}1/3)+v\*sin(\rho \*fbar)\*AiryAi(1,-\rho ^{(}2/3)\*\Delta )/\rho ^{(}2/3))}

  

开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述

{\displaystyle x:=X\*sin(\beta )\*(1-(1/2)\*sin(\beta )^{2})}

{\displaystyle y:=X\*sin(\beta )^{2}\*cos(\beta )/(2\*M)}

外部链接
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* §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern （页面存档备份，存于）

腳註
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1. 1 2  James LightHill, p274
2. ↑  James Lighthill p275
3. ↑  Frank Oliver, p790-791
4. ↑  Shu, Jian-Jun.. International Applied Mechanics. June 2004, **40** (6): 709–714. Bibcode:2004IAM....40..709S. arXiv:1402.4474 可免费查阅. doi:10.1023/B:INAM.0000041400.70961.1b.
5. ↑  Shu, Jian-Jun.. Underwater Technology. 1 September 2006, **26** (4): 133–137. arXiv:1402.4387 可免费查阅. doi:10.3723/175605406782725023.
6. ↑  Frank Oliver, p790-795
7. ↑  James LightHill,p277

参考文献
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* Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
* Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979