在數學上，**韦达定理**（英語：），又称**根與係數的关系**，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。

韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。

内容
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设 {\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}} 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 {\displaystyle a\_{n}\neq 0}，令 P 的 n 個根為 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}}，则根 {\displaystyle \{x\_{i}\}}和係數 {\displaystyle \{a\_{j}\}}之間滿足關係式

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{n-1}+x\_{n}=-{\dfrac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}\\(x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+\cdots +x\_{1}x\_{n})+(x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+\cdots +x\_{2}x\_{n})+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}={\dfrac {a\_{n-2}}{a\_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a\_{0}}{a\_{n}}}\end{cases}}}
等價的說，對任何 k = 1, 2, ... n，係數比 {\displaystyle {\frac {a\_{n-k}}{a\_{n}}}} 是所有任取 k 個根的乘積的和的 {\displaystyle (-1)^{k}} 倍，即

{\displaystyle \sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{k}\leq n}x\_{i\_{1}}x\_{i\_{2}}\cdots x\_{i\_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a\_{n-k}}{a\_{n}}}}
其中 {\displaystyle i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{k}} 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。

证明
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因為 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} 是一元 n 次多項式 {\displaystyle M(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}} 的 n 个根。於是有

{\displaystyle a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}=a\_{n}(x-x\_{1})(x-x\_{2})\cdots (x-x\_{n})}
根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{n-1}=-a\_{n}(x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{n-1}+x\_{n})\\a\_{n-2}=a\_{n}\left((x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+\cdots +x\_{1}x\_{n})+(x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+\cdots +x\_{2}x\_{n})+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a\_{0}=(-1)^{n}a\_{n}x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n}\end{cases}}}
上式等同於韋達定理的敘述。

特例
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### n=2

设 {\displaystyle x\_{1},x\_{2}} 是一元二次多項式 {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 的两根，則由{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x\_{1})(x-x\_{2})=ax^{2}-a(x\_{1}+x\_{2})x+ax\_{1}x\_{2}}有

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}}
這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 {\displaystyle x\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}，{\displaystyle x\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}證明：

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
{\displaystyle x\_{1}x\_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}
在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 {\displaystyle ax^{2}+bx+c}，如果有两个数 {\displaystyle x\_{1},x\_{2}}，滿足 {\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}}} 和 {\displaystyle \,x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}}，則 {\displaystyle x\_{1},x\_{2}}就是多項式{\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,}的兩根。

### n=3

设 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} 是一元三次多項式 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} 的三根，則

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+x\_{2}x\_{3}={\frac {c}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}x\_{3}=-{\frac {d}{a}}}

推廣至環
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韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 {\displaystyle {\frac {a\_{i}}{a\_{n}}}} 在 R 中不見得有定義，除非 {\displaystyle a\_{n}} 本身是可逆元。但 {\displaystyle {\frac {a\_{i}}{a\_{n}}}} 在 R 的分式環 K 中有定義，而根 {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} 則在 K 的代數閉包 {\displaystyle {\bar {K}}} 中有定義。特別的，如果 R 是整數環 {\displaystyle \mathbb {Z} }，則 K 是有理數體 {\displaystyle \mathbb {Q} }，{\displaystyle {\bar {K}}}是複數體 {\displaystyle \mathbb {C} }。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一，{\displaystyle a\_{n}} 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 {\displaystyle a\_{n}(x-x\_{1})(x-x\_{2})\cdots (x-x\_{n})}。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } 中，多項式 {\displaystyle P(x)=x^{2}-1} 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 {\displaystyle x\_{1}=1}，{\displaystyle x\_{2}=3}，會發現 {\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 {\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)} 和 {\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)}。

歷史
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在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Albert Girard（英语：） 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓（英语：）的話寫道

> ...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。
> 
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參考資料
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1. ↑  （Funkhouser 1930）

* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Funkhouser, H. Gray, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, **37** (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
* Vinberg, E. B. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4

* Djukić, Dušan; et al, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6

参见
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* icon数学主题

* 法兰西斯·韦达
* 对称多项式
* 韋達跳躍
* 天元术