数学中，**算子理论**（operator theory）是对函数空间上线性算子的研究，始于微分算子和积分算子。算子可按特征抽象地表示，例如有界线性算子和闭算子，也可以考虑非线性算子。研究在很大程度上依赖于函数空间的拓扑，是泛函分析的分支。

若算子集合构成域上的代数，则就是算子代数。对算子代数的描述是算子理论的一部分。

单算子理论
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单算子理论涉及算子的性质与分类，如据谱分类正规算子。

### 算子的谱

条目：谱定理
**谱定理**是关于线性算子或矩阵的一系列结果中的任意一个。广义地说，谱定理提供了算子或矩阵可对角化的条件（即在某个基下可表为对角矩阵），这概念对有限维空间上的算子来说比较简单，但对无限维则要进行修改。总的来说，谱定理确定了一类可用乘法算子建模的线性算子，后者非常简单。更抽象地说，谱定理是关于交换C\*-代数的一个声明。

谱定理适用的算子包括自伴算子，更一般地说是希尔伯特空间上的正规算子。
谱定理还提供了算子作用的底向量空间的规范分解，称作**谱分解、特征值分解**或**特征分解**。

#### 正规算子

条目：正规算子
复希尔伯特空间*H*上的**正规算子**是连续线性算子{\displaystyle N:\ H\to H}，可与其埃尔米特伴随*N\**交换：{\displaystyle NN^{\*}=N^{\*}N}。

正规算子之所以重要，是因为谱定理对其成立。如今，人们对正规算子类已有了很好了解。正规算子的例子有

* 幺正算符：{\displaystyle N^{\*}=N^{-1}}
* 厄米算子（即自伴算子{\displaystyle N^{\*}=N}和反自伴算子{\displaystyle N^{\*}=-N}）
* 正算子：{\displaystyle N=MM^{\*}}
* 如将希尔伯特空间视作{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}，则正规矩阵可视作正规算子。

谱定理可推广到更一般的矩阵。令*A*为有限维内积空间上的算子，则若{\displaystyle A^{\*}A=AA^{\*}}，则称其正规。可以证明，当且仅当*A*可酉对角化时，*A*正规：由舒尔分解，有{\displaystyle A=UTU^{\*}}，其中*U*是酉矩阵，*T*是上三角阵。
由于*A*正规，{\displaystyle TT^{\*}=T^{\*}T}，因此*T*一定是对角阵，因为正规上三角阵是对角阵。反之亦然。

也就是说，当且仅当存在酉矩阵*U*，使



A
=
U
D

U

∗

{\displaystyle A=UDU^{\*}}

{\displaystyle A=UDU^{*}}
其中*D*是对角矩阵时，*A*正规。那么，*D*的对角线项就是*A*的特征值；*U*的列向量就是*A*的特征向量，且都正交。不同于厄米矩阵，*D*的项不必是实数。

### 极分解

条目：极分解
任意有界线性算子*A*在复希尔伯特空间之间的**极分解**都可典范分解为部分等距与非负算子之积。

矩阵极分解概括如下：若*A*是有界线性算子，则有唯一的分解{\displaystyle A=UP}，其中*U*是部分等距（partial isometry），*P*是非负自伴算子，*U*的初始空间是*P*的范围闭包。

算子*U* 由于以下问题要弱化为部分等距，而非酉矩阵。若*A*是{\displaystyle I^{2}(\mathbb {N} )}上的单侧移位算子，则{\displaystyle |A|=(A^{\*}A)^{1/2}=I}，因此若{\displaystyle A=U|A|}，则*U*一定是*A*而*A*不是酉的。

极分解的存在来自道格拉斯引理：

**引理** — 若*A*、*B*是希尔伯特空间*H*上的有界算子，且满足{\displaystyle A^{\*}A\leq B^{\*}B}，则存在一个收缩（contraction）*C*，使{\displaystyle A=CB}。此外，若{\displaystyle {\rm {Ker}}(B^{\*})\subset {\rm {Ker}}(C)}，则*C*是唯一的。

算子*C*的定义为*C*(*Bh*) = *Ah*，通过连续性扩张到闭包{\displaystyle {\rm {Ran}}(B)}，并在其正交补上为零。算子*C*是良定义的，因为{\displaystyle A^{\*}A\leq B^{\*}B}意味着{\displaystyle {\rm {Ker}}(B)\subset {\rm {Ker}}(A)}，因此可得出此引理。

特别地，若{\displaystyle A^{\*}A=B^{\*}B}，则*C*是部分等距；若还有{\displaystyle {\rm {Ker}}(B^{\*})\subset {\rm {Ker}}(C)}，则是唯一的。一般来说，对任意有界算子*A*，


A

∗

A
=
(

A

∗

A

)

1
2

(

A

∗

A

)

1
2

,

{\displaystyle A^{\*}A=(A^{\*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{\*}A)^{\frac {1}{2}},}

{\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}
其中{\displaystyle (A^{\*}A)^{1/2}}是通常函数演算给出的唯一正{\displaystyle {\sqrt {A^{\*}A}}}。所以，根据引理有



A
=
U
(

A

∗

A

)

1
2


{\displaystyle A=U(A^{\*}A)^{\frac {1}{2}}}

{\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}
对某部分等距*U*，若{\displaystyle {\rm {Ker}}(A)\subset {\rm {Ker}}(U)}则是唯一的。
（注意{\displaystyle {\rm {Ker}}(A)={\rm {Ker}}(A^{\*}A)={\rm {Ker}}(B)={\rm {Ker}}(B^{\*}B),\ B=B^{\*}=(A^{\*}A)^{1/2}.}）取{\displaystyle P=(A^{\*}A)^{1/2}}，可得极分解{\displaystyle A=UP}。注意，可用类似论证证明{\displaystyle A=P'U'}，其中*P'* 是正的，*U'* 是部分等距。

'H*有限维时，*U*可以扩展为酉算子；但一般情形下并非如此（见上例）。另外，极分解可用算子的奇异值分解来表示。*

根据连续函数演算的性质，{\displaystyle |A|}在由*A*生成的C\*-代数中。对部分等距有类似但较弱的陈述：极部分*U*在由*A*生成的冯诺依曼代数中。若*A*可逆，则*U*也在*A*生成的C\*-代数中。

### 与复分析的联系

算子理论研究的很多算子都是全纯函数希尔伯特空间上的算子，因此其与泛函理论中的问题密切相关。例如，伯林定理用内函数描述了单侧移位的不变子空间，其中内函数是单位圆盘上的有界全纯函数，幺模边界值在圆上几乎无处不在。伯林将单侧移位解释为自变量在哈代空间的乘法运算。对乘法算子及更一般的特普利茨算子（即乘法，然后投影到哈代空间）的成功激发了对其它空间（如博格曼空间）类似问题的研究。

算子代数
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算子代数使C\*-代数等代数成为人们关注的焦点。

### C\*-代数

条目：C\*-代数
C\*-代数*A*是复数域上的巴拿赫代数，以及映射{\displaystyle {}^{\*}:\ A\to A}。*x\**表示*A*的元素*x*的像。映射\*具有以下性质：

* 是对合，{\displaystyle \forall x\in A:}

x

∗
∗

=
(

x

∗

)

∗

=
x

{\displaystyle x^{\*\*}=(x^{\*})^{\*}=x}

{\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}
* {\displaystyle \forall x,\ y\in A:}

(
x
+
y

)

∗

=

x

∗

+

y

∗

{\displaystyle (x+y)^{\*}=x^{\*}+y^{\*}}

{\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}} 

(
x
y

)

∗

=

y

∗

x

∗

{\displaystyle (xy)^{\*}=y^{\*}x^{\*}}

{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
* {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ \forall x\in A:}

(
λ
x

)

∗

=

λ
¯

x

∗

.

{\displaystyle (\lambda x)^{\*}={\overline {\lambda }}x^{\*}.}

{\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}
* {\displaystyle \forall x\in A:}

‖

x

∗

x
‖
=

‖
x
‖

‖

x

∗

‖

.

{\displaystyle \|x^{\*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{\*}\right\|.}

{\displaystyle \|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.}

**备注** 前三条等式表示*A*是\*-代数。最后一条称作**C\*等式**，等价于



‖
x

x

∗

‖
=
‖
x

‖

2

,

{\displaystyle \|xx^{\*}\|=\|x\|^{2},}

{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}
C\*等式是非常强的要求。例如，结合谱半径公式，可知C\*范数是由代数结构唯一决定的：



‖
x

‖

2

=
‖

x

∗

x
‖
=
sup
{

|

λ

|

:

x

∗

x
−
λ

1

 is not invertible

}
.

{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{\*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{\*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}

{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}

另见
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* 不变子空间
* 函数演算
* 谱理论
	+ Resolvent formalism（英语：）
* 紧算子
	+ 积分方程的弗雷德霍姆理论

* 自伴算子
* 无界算子
	+ 微分算子
* 本影演算
* 压缩映射

参考文献
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1. ↑  Sunder, V.S. *Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag*
2. ↑  Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray,  2nd, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.: 312, 1971, MR 0276251
3. ↑  Conway, John B. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2000, ISBN 0821820656
4. ↑  Nikolski, N. Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-90176-0 . A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
5. ↑  Arveson, W. Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90176-0 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

延伸阅读
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* Conway, J. B.: *A Course in Functional Analysis*, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
* Yoshino, Takashi.. Chapman and Hall/CRC. 1993. ISBN 978-0582237438.

外部链接
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* History of Operator Theory （页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
泛函分析 |
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|  |
| 集合 / 子集 | 
* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥

 |
|  |
| 拓撲向量空間 | 
* 巴拿赫空间
* 欧几里得空间
* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
* 賦範向量空間 （范数）
* 拟赋范空间
* 自反空间
* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

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| 映射拓扑 | 
* 对偶空间
* 算子拓扑
* 弱拓扑（英语：）
* 强拓扑（英语：）
* 拓扑的一致收敛（英语：）

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|  |
| 线性算子 | 
* 伴随
* 双线性
	+ 形式
* 有界 / 无界
* 连续线性
* 紧
* Fredholm（英语：）
* 希尔伯特-施密特
* 泛函
* 正规
* 核型（英语：）
* 自伴
* 严格奇异算子（英语：）
* 迹类
* 有限秩
* 转置（英语：）
* 酉 / 幺正

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| 集合运算 | 
* 代数内部
* 内部
* 閔可夫斯基和
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* 巴拿赫代数
* C\*-代数
* 谱 (泛函分析) （谱半径）
* 谱理论（谱定理）
* 极分解
* 奇异值分解

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* 巴拿赫-阿勞格魯定理
* 巴拿赫-马祖尔定理（英语：）
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* 加托导数
* 泛函导数)
* 积分 (博赫纳积分
* 佩蒂斯积分（英语：）)
* 函数演算 (全纯函数演算
* 连续函数演算（英语：）
* 博雷尔函数演算)
* 反函数定理
* 向量测度
* 弱可测函数

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* J9U: 987007548424505171
* LCCN: sh85095029
* NKC: ph126567

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