（英語：），又譯**希罗公式**、**希倫公式**。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。

假設有一個三角形，邊長分別為a,b,c，三角形的面積A可由以下公式求得：

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}，其中s={\frac {a+b+c}{2}}
中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即**三斜求积**。"问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？"答曰："三百十五顷．"其术文是："以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。"若以大斜记为a，中斜记为b，小斜记为c，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

A={\sqrt {{\frac 1{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}，其中a\geq b\geq c
像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何n边的多邊形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明
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### 利用三角公式和代数式变形来证明

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C，则余弦定理为

\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
利用和平方、差平方、等公式，从而有

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}}

\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin C \\
& = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}

### 利用勾股定理和代数式变形来证明

b^2=h^2+d^2
a^2=h^2+(c-d)^2
a^2-b^2=c^2-2cd
d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}

\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}

\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}

### 用旁心來證明

設{\displaystyle \bigtriangleup ABC}中，{\displaystyle {\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b}。

I為內心，{\displaystyle I\_{a},I\_{b},I\_{c}}為三旁切圓。

{\displaystyle \because \angle I\_{a}BI=\angle I\_{a}CI=90^{\mathsf {o}}}

{\displaystyle \therefore I\_{a}CIB}四點共圓，並設此圓為圓O。

1. 過I做鉛直線交{\displaystyle {\overline {BC}}}於P，再延長{\displaystyle {\overleftrightarrow {IP}}}，使之與圓O交於Q點。再過{\displaystyle I\_{a}}做鉛直線交\overline {BC}於R點。
2. 先證明{\displaystyle \Box I\_{a}QPR}為矩形：{\displaystyle \because \angle QPR=90^{\mathsf {o}},\angle I\_{a}RP=90^{\mathsf {o}}}，又{\displaystyle \angle I\_{a}QI=\angle I\_{a}BI=90^{\mathsf {o}}}(圓周角相等)。{\displaystyle \therefore \Box I\_{a}QPR}為矩形。因此，{\displaystyle {\overline {I\_{a}R}}={\overline {QP}}}。
3. {\displaystyle {\overline {PI}}=}內切圓半徑{\displaystyle ={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}}，{\displaystyle {\overline {I\_{a}R}}=}旁切圓半徑{\displaystyle ={\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}。且易知{\displaystyle {\overline {BP}}={\frac {c+a-b}{2}},{\overline {PC}}={\frac {a+b-c}{2}}}。由圓冪性質得到：{\displaystyle {\overline {PC}}\times {\overline {PB}}={\overline {PQ}}\times {\overline {PI}}={\overline {I\_{a}R}}\times {\overline {PI}}}。故{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}{\displaystyle \Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}}

資料來源
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1. ↑ .  [2009-07-06]. （原始内容存档于2009-06-16）.
2. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.  [2009-07-06]. （原始内容存档于2015-09-05） （英语）.

參見
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* 婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。

外部連結
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* 海龍公式 1
* 海龍公式 2