**四次平面曲线**（）是四次（英语：）的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程：

{\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}
A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是{\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}}的实射影空间。依照克萊姆定理（英语：），若考慮一般位置下14個不同的點，通過這十四個點的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度為14。

四次曲线最多可以有：

* 四個相連的部份
* 28個雙切線（英语：）
* 3個一般的二重點。

也可以考慮在其他數學域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面，在**C**上是一維的物件，但在**R**上是二維的物件。例如Klein四次曲線（英语：），另外也可以探討射影平面下的曲線，由齐次多项式所定義。

舉例
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&符號曲線Bean曲線Bicuspid曲線Bow 曲線Cruciform曲線，紅色的參數(b,a)為(1,1)，綠色的參數為(2,2)Cruciform曲線，紅色的參數(b,a)為(1,1)，綠色的參數為(2,1)，藍色的參數為(3,1)Spiric截面（英语：）笛卡儿坐标系下的三葉線极坐标系下的三葉線
上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

 

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| * Bicorn（英语：）
* 子弹头曲线（英语：）
* 笛卡儿椭圆形（英语：）
* 卡西尼卵形线
* 三尖瓣线
* Hippopede（英语：）
* 杖头线
* Klein四次曲線（英语：）

  | * 双扭线
	+ 伯努利双纽线
	+ 8字型线
* 帕斯卡蜗线
* Lüroth四次曲線（英语：）
* Spiric截面（英语：）
* 方圓形
	+ 拉梅的特殊四次曲線（英语：）
* 環面截面（英语：）
* 特洛特曲线（英语：）

  |

### &符號曲線

&符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線

{\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}
其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。

### Bean曲線

Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線

{\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}
其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點
。

### Bicuspid曲線

bicuspid是方程式如下的四次曲線：

{\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}
其中*a*決定了曲線的大小。
bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。

### Bow曲線

Bow曲線是方程式如下的四次曲線：

{\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}
在*x*=0, *y*=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。

### Cruciform曲線

Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

{\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}
其中*a*和*b*為決定曲線形狀的参数。
Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換*x* ↦ 1/*x*, *y* ↦ 1/*y*轉變為橢圓*a*2*x*2 + *b*2*y*2 = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（*x*=0、*y*=0），（*x*=0 、*z*=0） 以及（*y*=0、*z*=0）。 

此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令*a*=1及*b*=2，可得以下的參數式

{\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}
其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

### Spiric截面

Spiric截面（英语：）可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數（英语：）四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了hippopede（英语：）及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}
極座標系的方程式為

{\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}
### 三葉線

三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線

{\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}
在求解*y*後，曲線可以表示為以下的方程：

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}
其中二個±是彼此獨立的，因此每一個*x*會對應四個*y*值。

三葉線的參數式為

{\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}
在極坐標（*x* = *r* cos φ, *y* = *r* sin φ）下的方程如下

{\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}
這是玫瑰线中*k* = 3的特例。
三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。

參考資料
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1. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. ↑  Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P.  2nd, Clarendon Press, Oxford: 72, 1961 [1952], ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167
3. ↑   埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
4. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. ↑  
Gibson, C. G. *Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction*, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3. Pages 12 and 78.