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| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

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| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
複數 \mathbb {C} 
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
  | 负数 \mathbb{R}^-
整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
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| **其他** |
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| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
  |

圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
 |

**超複數**是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下：

* 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
* 8維度：八元數、複四元數
* 16維度：十六元數

歷史
--

19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數（英语：）僅得實數系\mathbb {R} 、複數系\mathbb {C} 、四元數系{\mathbb {H}}、八元數系\mathbb{O}，而弗羅貝尼烏斯定理（英语：）斷言，實結合除代數（英语：）僅得\mathbb {R} 、\mathbb {C} 、{\mathbb {H}}。1958年，弗蘭克·亞當斯（英语：）考慮*H*-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如2\times 2實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系（英语：），也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，以賽亞·坎托爾（英语：）和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。

凱倫·帕歇爾（英语：）詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾·莫林（英语：）和愛德華·斯圖迪（英语：）的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登（英语：）在《代數史》有三十頁專論超複數。

定義
--

Kantor & Solodovnikov (1989)定義**超複數**為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基{\displaystyle \{1,i\_{1},\dots ,i\_{n}\}}的線性組合，其中系數為實數{\displaystyle (a\_{0},\dots ,a\_{n})}，而基的大小n+1稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取i\_{k}使{\displaystyle i\_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}。下節先考慮二維超複數（即n=1）。

二維實代數
-----

關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基{\displaystyle \{1,u\}}。因為代數對乘法封閉，u的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

{\displaystyle u^{2}=a\_{0}+a\_{1}u,}
其中{\displaystyle a\_{0},a\_{1}}為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走{\displaystyle a\_{1}u}並加上{\displaystyle a\_{1}^{2}/4}，得：

{\displaystyle u^{2}-a\_{1}u+{\frac {a\_{1}^{2}}{4}}=a\_{0}+{\frac {a\_{1}^{2}}{4}}.}
所以{\displaystyle \left(u-{\frac {a\_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}，其中{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a\_{0}+{\frac {a\_{1}^{2}}{4}}}是實數。
取決於此實數值，分別有三種情況：

1. 若{\displaystyle 4a\_{0}=-a\_{1}^{2}}，則上式變成{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}。於是，{\tilde {u}}可視為二元數的基{\displaystyle \{1,\varepsilon \}}中的冪零元\varepsilon 。
2. 若{\displaystyle 4a\_{0}>-a\_{1}^{2}}，則有{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}。雙曲複數的標準基{\displaystyle \{1,j\}}滿足{\displaystyle j^{2}=+1}，故若除{\tilde {u}}以正實數{\displaystyle a:={\sqrt {a\_{0}+{\frac {a\_{1}^{2}}{4}}}}}（其平方與{\tilde {u}}平方相等），得到的結果即可視為j。
3. 若{\displaystyle 4a\_{0}<-a\_{1}^{2}}，則有{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}。平常複數的標準基{\displaystyle \{1,i\}}滿足i^{2}=-1，故若除{\tilde {u}}以正實數{\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a\_{1}^{2}}{4}}-a\_{0}}}}（其平方與{\tilde {u}}平方互為相反數），得到的結果即可視為i。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根j（如雙曲複數），則也有冪等元{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}和零因子（因為{\displaystyle (1+j)(1-j)=0}），故此種代數必不為除代數（粵语：）。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。

高維例子（有多於一條非實軸）
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### 克里福代數

条目：克里福代數
克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}，正交化該二次型，以得到基{\displaystyle \{e\_{1},\ldots ,e\_{k}\}}，滿足：

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e\_{i}e\_{j}+e\_{j}e\_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}
由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到2^{k}個克里福數（英语：），即{\displaystyle 1,\ e\_{1},\ e\_{2},\ e\_{3},\ \ldots ,\ e\_{1}e\_{2},\ \ldots ,\ e\_{1}e\_{2}e\_{3},\ \ldots ,\ e\_{1}e\_{2}\cdots e\_{k}}，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基{\displaystyle \{e\_{1},\ldots ,e\_{k}\}}不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即e\_i）有奇數對抑或偶數對。所以，{\displaystyle e\_{1}e\_{2}=-e\_{2}e\_{1}}，但{\displaystyle e\_{1}(e\_{2}e\_{3})=+(e\_{2}e\_{3})e\_{1}}。

若不允許{\displaystyle e\_{i}^{2}=0}（即二次型非退化（英语：）），則餘下的克里福代數可記為{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{p,q}(\mathbb {R} )}，表示其為p個滿足{\displaystyle e\_{i}^{2}=+1}的簡單基元和q個滿足{\displaystyle e\_{i}^{2}=-1}的簡單基元生成的代數，而括號內的\mathbb {R} 指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數（英语：），組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{0,1}(\mathbb {R} )}、雙曲複數系{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{1,0}(\mathbb {R} )}，四元數系{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{0,2}(\mathbb {R} )}、分裂複四元數系（英语：）{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{0,3}(\mathbb {R} )}、分裂四元數系{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} \_{2,0}(\mathbb {R} )}（二維空間生成的自然代數）、{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{3,0}(\mathbb {R} )}（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數（英语：）{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{1,3}(\mathbb {R} )}。

代數{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{p,q}(\mathbb {R} )}可以視為代數{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{q+1,p}(\mathbb {R} )}的偶子代數{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}，從而可用作描述{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{q+1,p}(\mathbb {R} )}中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯（英语：）有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：

設A為實結合代數，且具有單位元1。則
* 1生成\mathbb {R} （實子代數），
* 若{\displaystyle e\_{0}\in A}是任何滿足{\displaystyle e\_{0}^{2}=-1}的元素，則其生成的二維子代數與{\displaystyle \mathbb {C} }同構（複子代數），
* 若{\displaystyle e\_{0}\in A}是任何滿足{\displaystyle e\_{0}^{2}=+1}的元素，則其生成的二維子代數與{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}同構（此處{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
* 若{\displaystyle e\_{0}^{2}=e\_{1}^{2}=-1}，且{\displaystyle e\_{0},e\_{1}}反交換，則{\displaystyle \{e\_{0},e\_{1}\}}生成的四維子代數同構於{\mathbb H}（四元數代數），
* 若{\displaystyle e\_{0}^{2}=e\_{1}^{2}=1}，且{\displaystyle e\_{0},e\_{1}}反交換，則{\displaystyle \{e\_{0},e\_{1}\}}生成的四維子代數同構於{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{2}(\mathbb {R} )}（元素為2\times 2實矩陣，或分裂四元數），
* 若{\displaystyle e\_{0}^{2}=e\_{1}^{2}=e\_{2}^{2}=-1}，且{\displaystyle e\_{0},e\_{1},e\_{2}}兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於{\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }（分裂複四元數代數（英语：）），
* 若{\displaystyle e\_{0}^{2}=e\_{1}^{2}=e\_{2}^{2}=1}，且{\displaystyle e\_{0},e\_{1},e\_{2}}兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{2}(\mathbb {C} )}（元素為2\times 2複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類（英语：）。

### 凱萊－迪克森構造

更多：凱萊-迪克森結構
撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數{\displaystyle \mathrm {Cl} \_{p,q}(\mathbb {R} )}皆含有平方為+1的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為{\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}的數系，該些數系的基{\displaystyle \{1,i\_{1},\dots ,i\_{2^{n}-1}\}}滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且{\displaystyle i\_{m}^{2}=-1}。在8維或以上時（即{\displaystyle n\geq 3}），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即{\displaystyle n\geq 4}），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數（英语：）中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基{\displaystyle \{1,i\_{1}\}}，滿足{\displaystyle \ i\_{1}^{2}=+1}，
分裂四元數系：有基{\displaystyle \{1,i\_{1},i\_{2},i\_{3}\}}，滿足{\displaystyle \ i\_{1}^{2}=-1,i\_{2}^{2}=i\_{3}^{2}=+1}，
分裂八元數系（英语：）：有基{\displaystyle \{1,i\_{1},\dots ,i\_{7}\}}，滿足{\displaystyle \ i\_{1}^{2}=i\_{2}^{2}=i\_{3}^{2}=-1}，{\displaystyle \ i\_{4}^{2}=i\_{5}^{2}=i\_{6}^{2}=i\_{7}^{2}=+1}。
與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

### 張量積

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數{\displaystyle \mathbb {C} }（複數系）、4維實代數{\mathbb H}（四元數系）、8維實代數{\mathbb O}（八元數系），分別與\mathbb C作張量積，依次得4維的雙複數系{\displaystyle \mathbb {C} \otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {C} }、8維的複四元數系{\displaystyle \mathbb {C} \otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {H} }、16維的複八元數系{\displaystyle \mathbb {C} \otimes \_{\mathbb {R} }\mathbb {O} }。

### 其他例子

* 多重複數：其組成複域上的2^{n-1}維向量空間。
* 複合代數（英语：）：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。

參見
--

* 十六元數
* 托馬斯·柯克曼（英语：）
* 格奧爾格·舍費爾（英语：）
* 理查德·布饒爾
* 超複分析（英语：）

注
-

1. ↑  埃米爾·阿廷其後推廣韋德伯恩的結果，定理因而得名阿廷-韋德伯恩定理。

參考資料
----

1. ↑  Peirce, Benjamin, American Journal of Mathematics, 1881, **4** (1): 221–6, JSTOR 2369153 （英语）
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* 论
* 编
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* 自然数 ({\mathbb N})
* 整数 (\mathbb Z)
* 有理数 (\mathbb {Q} )
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 (\mathbb{Z}[i])
* 艾森斯坦整数

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| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
* 八元数 ({\mathbb O})

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* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
* 八元数 ({\mathbb O})
* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

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| 分裂形式 | 
* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

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| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
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* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
* 多重複數
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	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
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	+ 無法良好構建
* 六元數

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* 擴展自然數（英语：）
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* 超實數
* 列維-奇維塔域（英语：）
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