給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉"作用"在這個三角形的頂點的集合上。
数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过**群作用**的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为**置换群**（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者**变换群**（特别是当这个集合是线性空间而群作为**线性变换**作用在集合上时）。一个群*G*的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义
--

若{\mathrm {G}}为一个群而{\mathrm {X}}为一个集合，则{\mathrm {G}}在{\mathrm {X}}上的一个(左) **群作用**是一个二元函数

{\mathrm {G}}\times {\mathrm {X}}\rightarrow {\mathrm {X}}
(其中g\in {\mathrm {G}}和x\in {\mathrm {X}}的像写作g\cdot x)，满足如下两条公理：

1. (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x) 对于所有 g,h\in {\mathrm {G}} 和 x\in {\mathrm {X}}成立
2. e\cdot x=x对于每个x\in {\mathrm {X}}成立 (e代表{\mathrm {G}}的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个g\in {\mathrm {G}}，映射x\in {\mathrm {X}}到g\cdot x的函数是一个双射(單射以{\displaystyle g^{-1}}應付，滿射以e應付），从{\mathrm {X}}映射到{\mathrm {X}}。因此，也可以将{\mathrm {G}}在{\mathrm {X}}上的群作用定义为从{\mathrm {G}}到对称群S\_{{X}}的群同态。

若群作用{\mathrm {G}}\times {\mathrm {X}}\rightarrow {\mathrm {X}}给定，我们称"G作用于集合X"或者*X*是一个***G*-集合**。

完全一样地，可以定义一个*G*在*X*上的**右群作用**为函数{\mathrm {X}}\times {\mathrm {G}}\rightarrow {\mathrm {X}}，满足以下公理：

1. x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h
2. x\cdot e=x

注意左和右作用的区别仅在于象*gh*这样的积在*x*上作用的次序。对于左作用*h*先作用然后是*g*，而对于右作用*g*先作用然后是*h*。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果*r*为一右作用，则

l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{{-1}})
是一左作用，因为

l(gh,m)=r(m,(gh)^{{-1}})=r(m,h^{{-1}}g^{{-1}})=r(r(m,h^{{-1}}),g^{{-1}})=r(l(h,m),g^{{-1}})=l(g,l(h,m))\,
而

l(e,m)=r(m,e^{{-1}})=r(m,e)=m\,
所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群作用的种类
------

群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive)如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y \in X，則存在一個g\inG，使得{\displaystyle g\cdot x=y}，我們就稱此作用為**遞移性**。
忠實性(Faithful)如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為**忠實的**。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。
自由性(Free)如果給定 {\displaystyle g,h\in G}，存在x \in X，則有著{\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}，則稱為此作用為自由性。
正則的(Regular)同時具有自由性以及遞移性的作用稱為**正則的**，又稱**簡單遞移**（英語：）。
n-遞移性(n-transitive)如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素*x*1, ... *xn* 和所有不同的*y*1, ... *yn*, 存在一個 g 在群G 使得 *g*⋅*xk* = *yk* 對所有 1 ≤ *k* ≤ *n* ，我們就稱其為**n-遞移性**。
本原的(Primitive)如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明***n-遞移性***皆為本原的。

軌道與穩定化子
-------

### 軌道

若x是{\mathrm {X}}的一個元素，且群{\mathrm {G}}在{\mathrm {X}}上有著一個作用，那麼x的軌道{\displaystyle \mathrm {G} \_{x}}就是指以下列方式定義的{\mathrm {X}}的子集：

{\displaystyle \mathrm {G} \_{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}

{\mathrm {X}}的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道{\displaystyle \mathrm {G} \_{x}}和{\displaystyle \mathrm {G} \_{y}}有一個共通元素a，那麼就可以找到兩個{\mathrm {G}}中的元素m和n，使得{\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} \_{x}}、{\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} \_{y}}，同時有{\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} \_{y}}，反之亦可推出{\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} \_{x}}，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若{\mathrm {H}}是{\mathrm {G}}的一個子集，且定義{\mathrm {G}}中元素的慣常運算規則為{\mathrm {H}}在{\mathrm {G}}上的一個作用，那麼{\mathrm {H}}的陪集{\displaystyle \mathrm {aH} }({\displaystyle a\in \mathrm {G} })就是a的軌道。

### 不變子集

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 {\displaystyle g\cdot x\in S}，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

### 不動點與穩定子群

若x是{\mathrm {X}}的一個元素，對於群{\mathrm {G}}中的所有元素g而言，都有{\displaystyle g\cdot x=x}，那麼就稱x是{\mathrm {G}}-不變的（{\mathrm {G}}-invariant）。

另外若x是{\mathrm {X}}的一個元素，則所有使得{\displaystyle g\cdot x=x}的{\mathrm {G}}中的元素g構成的集合又稱{\mathrm {G}}對於x的穩定子群（stabilizer subgroup of {\mathrm {G}} with respect to x），一般常常將之記作{\displaystyle \mathrm {Gx} }(注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

{\displaystyle \mathrm {Gx} }是{\mathrm {G}}的一個子群，因為根據定義{\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }，因此{\mathrm {G}}的單位元e屬於{\displaystyle \mathrm {Gx} }，且假若{\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }，那麼m的逆元{\displaystyle m^{-1}}也是{\displaystyle \mathrm {Gx} }的元素，因為{\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}。

### 軌道－穩定點定理與伯恩賽德引理

参见：伯恩賽德引理
考慮一個映射{\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G\_{x}} 可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 {\displaystyle |G\cdot x|=[G:G\_{x}]}

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理，{\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum \_{g\in G}|X^{g}|}

西羅定理
----

条目：西羅定理

範例
--

* 任意群*G*在任意集合*X*上的*平凡的*群作用定义为 *g*⋅*x* = *x* 对任意*g*属于*G*以及任意*x*属于*X*；换句话说，每个群元素对应 *X*上的恒等置换。

  

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
| --- |
|  |
| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
|  |
| 群论 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
|  |
| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
|  |
| 其他 | 阶 · 群擴張 · 群同態 · 群同構 · 群表示 · 群作用 · 波利亞計數定理 · 有限生成阿貝爾群 |

 |
|  |
| 環論 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 环 | 子環 · 整环 · 除环 · 多项式环 ·  · 商环 · 諾特環 · 局部環 · 賦值環 · 環代數 · 理想 · 主理想环 · 唯一分解整環 · 群環 |
|  |
| 模 | 深度 · 單模 · 自由模 · 平坦模 · 阿廷模 · 諾特模 |
|  |
| 其他 | 幂 · 特征 · 完備化 · 環的局部化 |

 |
|  |
| 論 | 

|  |  |
| --- | --- |
|  | 有限 · 原根 · 代数闭 · 局部 · 分裂 · 分式環 |
|  |
| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

 |

 |


1. ↑  Lovett, Stephen.. CRC. 2015. ISBN 1482248905.
2. ↑  Eie & Chang.. 2010: 145.