在群論這一數學的分支裡，**階**這一詞被使用在兩個相關連的意義上：

* 一個群的**階**是指其，即其元素的個數；
* 一個群內的一個元素*a*之**階**（有時稱為**週期**）是指會使得*a**m* = *e*的最小正整數*m*（其中的*e*為這個群的單位元素，且*a**m*為*a*的*m*次冪）。若沒有此數存在，則稱*a*有無限階。有限群的所有元素都有有限阶。

一個群*G*的階被標記為ord(*G*)或|*G*|，而一個元素的階則標記為ord(*a*)或|*a*|。

例子
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**例子**：包含三個物件的所有置換之對稱群S3會有下面的乘法表。

| · | *e* | *s* | *t* | *u* | *v* | *w* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *e* | *e* | *s* | *t* | *u* | *v* | *w* |
| *s* | *s* | *e* | *v* | *w* | *t* | *u* |
| *t* | *t* | *u* | *e* | *s* | *w* | *v* |
| *u* | *u* | *t* | *w* | *v* | *e* | *s* |
| *v* | *v* | *w* | *s* | *e* | *u* | *t* |
| *w* | *w* | *v* | *u* | *t* | *s* | *e* |

這個群有六個元素，所以ord(S3) = 6。以定義可知，單位元素*e*的階為1。*s*、*t*和*w*的平方都為*e*，所以這些群元素的階都為2。剩下的，*u*和*v*的階為3，因為*u*2 = *v* 且 *u*3 = *vu* = *e*，而*v*2 = *u* 且 *v*3 = *uv* = *e*。

階和結構
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由一個群或其內之元素的階可以大致知道群的結構。簡略地說，階的因式分解越複雜，這個群就會越複雜。

若群*G*的階為1，則這個群稱為平凡群。給定一元素*a*，則ord(*a*) = 1若且唯若*a*為其單位元素。若*G*內的每一個(非單位)元素和其逆元素相同(故*a*2 = *e*)，則ord(*a*) = 2且因此*G*會是個阿貝爾群，因為*ab*=(*bb*)*ab*(*aa*)=*b*(*ba*)(*ba*)*a*=*ba*。此一敘述的相反不一定為對；例如，整數同餘6之(加法)循環群**Z**6為可換的，但數字2的階為3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。

階兩種概念之間的關係如下：若給出一個由*a*產生之子群

\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} 
則

\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).
對於任一個整數*k*，會有「*a**k* = *e*   若且唯若   ord(*a*) 整除 *k*」之關係。

一般來說，*G*的每個子群之階都會整除*G*的階。更精確地來說：若*H*是*G*的一個子群，則

ord(*G*) / ord(*H*) = [*G* : *H*]
，其中[*G*:*H*]是於*G*內的*H*之指標，為一整數。此為拉格朗日定理

上述會有一個立即的結論為，一個群的每一個元素之階都會整除此一群的階。例如，在上面所示之對稱群中，ord(S3) = 6，且其內元素的階分別為1、2或3。

下面的部份相反對有限群為真：若*d*會整除一個群*G*的階且*d*為一個質數，則存在一個內*G*內為*d*階的元素(這有時被稱為柯西定理)。此一敘述在其階為合數時並不成立，如克萊因四元群中即不存在一個4階的元素。這可以用數學歸納法來證明。這個定理的結論包括：一個群*G*的階為一個質數*p*的次方若且唯若對每個在*G*內的*a*，ord(*a*)都是*p*的某個次方。

若*a*有無限階，則*a*的所有次方也都會有無限階。若*a*有有限階，則對於*a*的次方的階會有下列的公式：

ord(*a**k*) = ord(*a*) / gcd(ord(*a*), *k*)。
特別地是，*a*和其逆元素*a*-1會有相同的階。

並不存在一個將*a*和*b*的階關連到其乘積*ab*的階之一般公式。*a*和*b*都有著有限階而*ab*則有著無限階的情形還是有可能的。若*ab*=*ba*，則至少可知ord(*ab*)會整除lcm(ord(*a*),ord(*b*))。其結論可證明在一個有限阿貝爾群中，若*m*為所有群元素的階之中的最大值，則每一個元素的階都會整除*m*。

用元素的階來計數
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若*G*是一個有*n*階的有限群，且*d*是*n*的因數，則*G*內有*d*階的元素個數會為φ(*d*)的倍數，其中φ為歐拉函數，為不大於*d*且互質於*d*的正整數之個數。例如，在S3的例子中，φ(3) =2，且確實有恰好兩個3階的元素。這個定理對為2階之元素沒有什麼有用的資訊，因為φ(2) = 1。

與同態的關係
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群同態會縮減元素的階：若*f*: *G* → *H*是一個同態，且*a*是*G*內一個有限階的元素，則ord(*f*(*a*))會整除ord(*a*)。若*f*為單射的，則ord(*f*(*a*)) = ord(*a*)。這通常可以被用來證明在兩個給定之離散群中不存在(單射)同態。(例如，不存在一個非當然同態*h*: S3 → **Z**5，因為每個在**Z**5內除了0之外的元素都有著5階，而不可以整除在S3內有1、2、3階的元素。)更進一步的結論有共軛元素會有相同的階。

類方程
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一個關於階的重要結論為類方程；其將有限群*G*的階連結至其中心Z(*G*)的階和其非當然共軛類的多寡：

|G| = |Z(G)| + \sum\_{i}d\_i\;
其中*di*為非當然共軛類的多寡；其為|*G*|大於1的純因數，且會相等於某些*G*的非當然純子群的指標。例如，S3的中心為只有單位元素*e*之當然群，而此方程則讀做|S3| = 1+2+3。

公開的問題
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一些有關群和其元素較深的問題包含在伯恩賽德問題裡；有些的問題至今仍然未解。

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| * 
* 论
* 编
抽象代数相关主题 |
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| 代数结构 · 群 · 环 ·  · 有限 · 本原元 · 格 ·  · 等价关系 · 代數中心 · 同态 · 同构 · 商结构（商系统） · 同构基本定理 · 合成列 · 自由對象 |
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| 群论 | 

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| 群 | 幺半群 · 半群 · 阿贝尔群 · 非阿贝尔群 · 循環群 · 有限群 ·  · 半 ·  · 自由群 · 交换子群（交換子） · 幂零群 · 可解群 · p-群 · 对称群 · 李群 · 伽罗瓦群 |
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| 子群 | 陪集 · 双陪集 · 商群 · 共轭类 · 拉格朗日定理 · 西羅定理 · 正规子群 · 群中心 · 中心化子和正规化子 · 稳定子群 · 置换群 |
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| 扩张 | 单扩张 · 有限扩张 · 超越扩张 · 代数扩张 · 正规扩张 · 可分扩张 · 伽罗瓦扩张 · 阿贝尔扩张 · 伽罗瓦理论基本定理 |

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