在同調代數中，**群上同調**是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源
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群論中的指導思想之一，是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 **G-模**的特例：一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 G 在 M 上的群作用 G\to {\mathrm {End}}(M)。等價的說法是：M 是群環 \mathbb{Z } [G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m\mapsto gm。全體 G-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 G-模 M，最重要的子群之一是其 **G-不變子群**

M^{{G}}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .
若 N\subset M 是一個 G-子模（即：是 M 的子群，且在 G 的作用下不變），則 M/N 上賦有自然的 G-模結構，N^{G}\subset M^{G}，但是未必有 (M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}。第一個群上同調群 H^{1}(G,N) 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 H^{n}(G,-)，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構
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以下假設 G 為有限群，全體 G-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 {\mathrm {Hom}}\_{G}(M,N) 定義為滿足 f(gx)=gf(x) 的群同態 f:M\to N。由於此範疇等價於 \mathbb{Z } [G]-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 M\to M^{G} 是從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 H^{n}(G,M) 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

* H^{0}(G,M)=M^{G}
* 長正合序列：若 0\to M'\to M\to M''\to 0 為 G-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

\cdots \to H^{{i-1}}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{{i+1}}(M')\to H^{{i+1}}(M)\to \cdots 
在上述定義中，若固定一個域 k，並以 k[G] 代替 \mathbb{Z } [G]，得到的上同調群依然同構。

標準分解
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導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 M^{G}={\mathrm {Hom}}\_{G}(\mathbb{Z } ,M)，其中 \mathbb {Z}  被賦予平凡的 G 作用：gx=x，故群上同調可以用Ext函子表達為

H^{i}(G,M)={\mathrm {Ext}}^{i}(\mathbb{Z } ,M)
另一方面，G-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 \mathbb {Z}  的射影分解 0\leftarrow \mathbb{Z } \leftarrow P\_{\bullet }，則有自然的同構 {\mathrm {Ext}}^{i}(\mathbb{Z } ,M)\simeq H^{i}({\mathrm {Hom}}(P\_{\bullet },M))。最自然的分解是**標準分解**

L\_{i}:=\sum \_{{(g\_{0},\ldots ,g\_{i})\in G}}\mathbb{Z } (g\_{0},\ldots ,g\_{i})
g(g\_{0},\ldots ,g\_{i})=(gg\_{0},\ldots ,gg\_{i})
d(g\_{0},\ldots ,g\_{i})=\sum \_{{j=0}}^{i}(g\_{0},\ldots ,{\hat {g}}\_{j},\ldots ,g\_{i})
而 L\_{0}\to \mathbb{Z }  由 g\_{0}\mapsto 1 給出。

定義 K^{i}:={\mathrm {Hom}}\_{G}(L\_{i},M)，其元素為形如 f:G^{{i+1}}\mapsto M 的函數，並滿足 f(gg\_{0},\ldots ,gg\_{i})=gf(g\_{0},\ldots ,g\_{i})，稱之為**齊次上鏈**。根據 G 在 L\_{i} 上的作用，這種 f 由它在形如 (e,g\_{1},g\_{1}g\_{2},\ldots ,g\_{1}\ldots ,g\_{i}) 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 K^{i} 描述為 

* K^{i} 的元素為 G^{i}\to M 之函數。
* (df)(g\_{1},\ldots ,g\_{{i+1}})=g\_{1}f(g\_{2},\ldots ,g\_{{i+1}})+\sum \_{{j=1}}^{i}(-1)^{j}f(g\_{1},\ldots ,g\_{j}g\_{{j+1}},\ldots ,g\_{{i+1}})+(-1)^{{i+1}}f(g\_{1},\ldots ,g\_{i})

其中的元素稱為**非齊次上鏈**。

綜上所述，得到 H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)。

例子
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較常用的上同調是 H^{1} 與 H^{2}。從標準分解可導出以下的描述：

H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}
準此要領，亦有

H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}

群同調
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上述理論有一對偶版本：對於任一 G-模 M，定義 DM 為形如 gm-m 的元素生成之子模。考慮從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

M\to M\_{G}:=M/DM=\mathbb{Z } \otimes \_{{\mathbb{Z } [G]}}M
這是一個右正合函子，其導出函子稱為為**群同調** H\_{n}(G,M)。群同調可以藉Tor函子描述為

H\_{i}(G,M)\simeq {\mathrm {Tor}}\_{i}^{{\mathbb{Z } [G]}}(\mathbb{Z } ,M)
對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調
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將上述定義中的 G-模 M 改成一般的群 A（未必交換），並帶有 G 的作用 a\mapsto g(a)（稱之為 G-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}
H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a\_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a\_{{st}}=a\_{s}s(a\_{t})\}}{\{b\_{s}:G\to A|\exists a,b\_{s}=a^{{-1}}s(a)\}}}
須留意 H^{0}(G,A),H^{1}(G,A) 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 A 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 1\to A\to B\to C\to 1 是 G-群的短正合序列，則有長正合序列

1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)
若 A落在 B 的中心，此序列右端可再加一項 H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)。

性質
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### Res 與 Cor

若 f:H\to G 為群同態，則可將任一 G-模透過 f 視為 H-模，此運算導出上同調之間的映射

H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)
此映射與群上同調的長正合序列相容。當 H 是 G 的子群而 f 是包含映射，導出的映射稱為**限制映射**，記為 Res。

由於我們假設 G 為有限群，必有 (G:H)<\infty ，此時映射

N\_{{G/H}}:M^{H}\to M^{G},\quad N\_{{G/H}}(m):=\sum \_{{g\in G/H}}gm
導出一個上限制映射 {\mathrm {Cor}}:H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)。

**定理**. {\mathrm {Cor}}\circ {\mathrm {Res}}=(G:H){\mathrm {id}}
### 中心擴張

若 M 是平凡的 G 模（即 \forall g\in G,\;gm=m），則 H^{2}(G,M) 中的元素一一對應於 G 對 M 的中心擴張的等價類

0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1
中心擴張意謂：0\to M\to E\to G\to 1 是群擴張，而且 M 落在 E 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 s:G\to E,p\circ s={\mathrm {id}}\_{G}。s 不一定是群同態，但存在函數 f:G^{2}\to M 使得 s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')。s 及 f 刻劃了 E 的群結構。不難驗證 f\in K^{2} 滿足 df=0，而 s 的選取對應於 f\mapsto f+dh,h\in K^{1}，所以 f\in H^{2}(G,A) 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 f\in H^{2}(G,A) 都來自於某個中心擴張，證畢。

### 譜序列

若 N\subset G 是 G 的正規子群，則有下述譜序列

H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{{p+q}}(G,A).\,
對於射影有限群，此式依然成立。

參考文獻
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* Serre, Jean-Pierre, Paris: Hermann, 1968, ISBN 2-7056-1296-3 , Chapitre VII
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