**拓扑空间**（英語：）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

定义动机
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拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空间 {\displaystyle (M,\,d)} 內的任一點 x，可定義中心為 x，半徑為 r > 0 的**開球**

{\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}
然後把開球視為點 x 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 x ，都會有一個夠小的開球 B(x;r) 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 {\displaystyle (M,\,d)} 的**開子集 {\displaystyle O\subseteq M}** 為滿足如下條件的子集合

{\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}
這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) **任二開集的交集也是開集**

任取兩個 {\displaystyle (M,\,d)} 的開子集 **{\displaystyle O\_{1},\,O\_{2}\subseteq M}** ，若 **{\displaystyle x\in O\_{1}\cap O\_{2}}** ，根據定義存在 **{\displaystyle r\_{1},\,r\_{2}>0}** 使得 

{\displaystyle B(x;r\_{1})\subseteq O\_{1}}
{\displaystyle B(x;r\_{2})\subseteq O\_{2}}
這樣若取 **{\displaystyle r=\min {\{r\_{1},\,r\_{2}\}}}** ，則會有：

{\displaystyle B(x;r)\subseteq O\_{1}\cap O\_{2}}
也就是說， **{\displaystyle O\_{1}\cap O\_{2}}** 也是個開集。

(2) **任意個開集的并集也會是開集**

若 **{\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}** 是一群開集所構成的集合，也就是說 

{\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}
如果取

{\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}
換句話說：

{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}
這樣的話，顯然有

{\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}
所以 {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}} 也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群**開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的**。

正式定义
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上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓扑结构一词涵盖了**开集系**，**闭集系**，**邻域系**，**开核**，**閉包**，**导集**，**滤子**等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構。

### 开集系

根據定义动机一節可以作如下的定義：

 X 的子集族 **{\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}** 若滿足以下**开集公理**

| 正式定義 | 直觀解釋 |
| --- | --- |
| {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}} | X 本身和空集合也是開的 |
| {\displaystyle \forall O\_{1}\forall O\_{2}[\,(O\_{1},\,O\_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O\_{1}\cap O\_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]} | 有限個開集的交集也是開的 |
| {\displaystyle \forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]} | 任意個開集的併集也是開的 |

則称 **{\displaystyle {\mathfrak {O}}}** 为 X 的**开集系**（其中的元素称为**开集**）或**拓扑**，**{\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}** 則被稱為一**拓扑空間**，X 內的元素 x \in X 則称为拓扑空间 **{\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}** 的**点**。

开集系的代號 **{\displaystyle {\mathfrak {O}}}** 是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（{\displaystyle A\subseteq X} 為 X 的子集）

* **闭集**：若 X-A 是开集，則稱 A 是闭集。
* **邻域**：若存在开集 O 使得 {\displaystyle x\in O\subseteq A} ，則稱 A 是点 x 的邻域。
* **开核**：A 的**開核**（或**內部**）A^{{\circ }} 定義為A 內所有开集之并，也就是  
{\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}

  

### 闭集系

X 的子集族 {\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 若滿足如下**闭集公理**：

| 正式定義 | 直觀解釋 |
| --- | --- |
| {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}} | X 本身和空集合也是閉的 |
| {\displaystyle \forall F\_{1}\forall F\_{2}[\,(F\_{1},\,F\_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F\_{1}\cup F\_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]} | 有限個閉集的併集是閉的 |
| {\displaystyle \forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]} | 任意個閉集的交集是閉的 |

則称 **{\mathfrak {F}}** 为 **X** 的**闭集系**（其中的元素称为**闭集**）。

开集系的代號 **{\mathfrak {F}}** 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「」（關閉）的过去分词「」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

{\displaystyle {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}
為开集系，類似地，對於開集系 **{\displaystyle {\mathfrak {O}}}** ，以下的子集族

{\displaystyle {\mathfrak {F}}\_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}}
為閉集系，**所以閉集系跟拓扑是等價的結構**。

从闭集系出发定义其它概念：（{\displaystyle A\subseteq X} 為 X 的子集）

* **开集**：X-A 是闭集，則稱 A 是开集。
* **闭包**：A 的闭包\overline{A} 定義為包含A的所有闭集之交，也就是  
{\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}

### 邻域系

函数 {\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}（ {\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]} 指 X 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 x \in X 满足如下**邻域公理**：

| 正式定義 | 直觀解釋 |
| --- | --- |
| {\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}} | x 屬於 {\mathfrak {U}}(x) 的任意元素（{\mathfrak {U}}(x) 裡的元素都是 x 的邻域） |
| {\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}} | x 的任二邻域的交集也是 x 的邻域 |
| {\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}} | 包含任何 x 的邻域的任意子集也是 x 的邻域 |
| {\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}} | x 的每個邻域內有個 x 的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域 |

这样任意 {\mathfrak {U}}(x) 被称为 x 的**邻域系**， {\mathfrak {U}}(x) 裡的元素 {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} 則称为 x 的**邻域**。

換句話說，函數 {\mathfrak {U}} 将 X 的每个点 x \in X 映射至 {\mathfrak {U}}(x) ，而 {\mathfrak {U}}(x) 則是所有 x 的邻域所構成的集族。

邻域系的代號 **{\mathfrak {U}}** 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

{\displaystyle {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}
因為 X 包含任意邻域， X 本身顯然為任意 x \in X 的領域，故 {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}} ；另外空集合 \varnothing  沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，{\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}}。

若取 {\displaystyle O\_{1},\,O\_{2}\in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}} ，根據邻域公理的第二項有 {\displaystyle O\_{1}\cap O\_{2}\in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}} ；若取 {\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}} ，且 {\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}} ，那換句話說

{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}
這樣的話有

{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}})\,]}
那這樣根據邻域公理第三項，{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}}，所以 {\displaystyle {\mathfrak {O}}\_{\mathfrak {U}}} 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 **{\displaystyle {\mathfrak {O}}}** ，若對任意 x \in X 取

{\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}
那 {\mathfrak {U}}(x) 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 {\displaystyle V=U^{\circ }} ），所以**對所有 x \in X 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑**。

从邻域系出发定义其它概念：（{\displaystyle A\subseteq X} 為 X 的子集）

* **开集**：对任意 x\in A ，有 {\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}，則稱 A 是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
* **开核**：{\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}（開核裡的每一點，都有一個包含於 A 的領域。）
* **闭包**：{\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}。（閉包裡每一點的領域，都跟 A 有交集。）

### 闭包公理

X的幂集P(X)上的一元运算c:P(X)\to P(X)（即将X的子集A映射为X的子集c(A)）称为**闭包运算**（像称为原像的**闭包**）。当且仅当运算c满足下述的**闭包公理**：

* **A1**：A\subseteq c(A)；
* **A2**：c(c(A))=c(A)；
* **A3**：c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)；
* **A4**：c(\varnothing )=\varnothing 。

集合A的闭包通常记为\overline{A}。

从闭包出发定义其它概念：

* 从**闭包**定义**闭集**：X的子集A是闭集，当且仅当A=\overline {A}。
* 从**闭包**定义**开核**：X的子集A的开核A^{{\circ }}=X-\overline {X-A}。
* 从**闭包**定义**邻域**：X的子集U是点x的邻域，当且仅当{\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}。

### 开核公理

X的幂集P(X)上的一元运算o:P(X)\to P(X)（即将X的子集A映射为X的子集o(A)）称为**开核运算**（像称为原像的**开核**或**内部**）。当且仅当运算o满足如下**开核公理**：

* **I1**：o(A)\subseteq A；
* **I2**：o(o(A))=o(A)；
* **I3**：o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)；
* **I4**：o(X)=X。

集合A的开核通常记为A^{{\circ }}。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

* 从**开核**定义**开集**：X的子集A是开集，当且仅当A=A^{{\circ }}。
* 从**开核**定义**邻域**：X的子集U是点x的邻域，当且仅当x\in U^{{\circ }}。
* 从**开核**定义**闭包**：X的子集A的闭包\overline {A}=X-(X-A)^{{\circ }}。

### 导集公理

X的幂集{\mathcal {P}}(X)上的一元运算{\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}（即将X的子集A映射为X的子集d(A)）称为**导集运算**（像称为原像的**导集**），当且仅当d满足以下**导集公理**：

* **D1**：d(\varnothing )=\varnothing ；
* **D2**：{\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}；
* **D3**：{\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}；
* **D4**：{\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}

从导集出发定义其它概念：

* 从**导集**定义**闭集**：X的子集A是闭集，当且仅当d(A)\subseteq A。

拓扑之间的关系
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条目：拓撲比較
同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑{\mathfrak {T}}\_{1}的每一个开集都是拓扑{\mathfrak {T}}\_{2}的开集时，称拓扑{\mathfrak {T}}\_{2}比拓扑{\mathfrak {T}}\_{1}更**细**，或称拓扑{\mathfrak {T}}\_{1}比拓扑{\mathfrak {T}}\_{2}更**粗**。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚
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类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射f称为**连续映射**，当且仅当它满足以下条件之一：

* f对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。）
* f对任何闭集的原像是闭集。
* 对点f(x)的任一邻域V，都存在点x的一个邻域U，使得f(U)\subset V，则称f(x)在点x连续，而连续映射即点点连续的映射。
* 对任一集合A，f(\overline {A})\subseteq \overline {f(A)}成立。
* 对任一集合A，f^{{-1}}(A^{{\circ }})\subseteq (f^{{-1}}(A))^{{\circ }}成立。

**同胚映射**是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是**同胚的**。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴
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拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了**拓扑空间范畴**，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

相关概念
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### 基本概念

给定拓扑空间(X,\tau )，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

内部，内点
A的开核o(A)又称为A的**内部**，其元素称为A的**内点**。
外部，外点
X - c(A)称为A的**外部**，其元素称为A的**外点**。
边界，边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的**边界**，其元素称为A的**边界点**。
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的**触点**。
稠密性，稠密集
称A在X中是**稠密的**（或称**稠密集**），当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的**边缘集**，当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性，疏集
称A在X中是**疏的**（或称**疏集**），当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称A是X中的**第一范畴集**，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的**第二范畴集**，当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点，导集
X中的点x称为A的**聚点**，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的**导集**。
孤立点
A中的点x称为A的**孤立点**，当且仅当它不是A的聚点。
孤点集，离散集
称A为**孤点集**或**离散集**，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为**自密集**，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。
完备集
称A为**完备集**，当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的**自密核**。
无核集
称A是**无核集**，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。
### 网

**网**的目的在推广序列及极限，网的收性称作**Moore-Smith收敛**。其关键在於以有向集合代替自然数集\mathbb{N}。

空间X上的一个网(x\_{\alpha })\_{{\alpha \in A}}是从有向集合A映至X的映射。

若存在x \in X，使得对每个x的邻域U都存在\beta \in A，使得\alpha \geq \beta \Rightarrow x\_{\alpha }\in U，则称网(x\_{\alpha })\_{{\alpha \in A}}收敛至x。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

拓扑空间的例子
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* 实数集**R**构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集**R**上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多"奇怪"的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
* 更一般的，n维欧几里得空间**R***n*构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
* 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
* 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
* 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[*a*, *b*)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
* 流形都是一个拓扑空间。
* 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
* 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
* 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对**R***n*或者**C***n*来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
* 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
* 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
* 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
* 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
* **有限补拓扑**。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为**有限补空间**。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
* **可数补拓扑**。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为**可数补空间**。
* 如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(*a*, *b*]生成，此处*a*和*b*是Γ的元素。

### 例子

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 *τ* = {∅, *X*} 會形成一個。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身*不是*一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
6. 3个元素的集上总拓扑数29个。
7. 4个元素的集上总拓扑数355个。
8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造
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* 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
* 对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
* 商拓扑可以被如下地定义出来：若*X*是一个拓扑空间，*Y*是一个集合，如果*f* : *X*  →  *Y*是一个满射，那么*Y*获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用*f*自然投影确定下*X*上的等价类，从而给出拓扑空间*X*上的一个等价关系。
* Vietoris拓扑

拓扑空间的分类
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依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

### 分离公理

详细资料请参照**分离公理**以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性
X中两个点x，y称为**拓扑不可区分的**，当且仅当如下结论之一成立：
* 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
* x的邻域系和y的邻域系相同。
* x\in \overline {\{y\}}，且y\in \overline {\{x\}}。

### 可数公理

可分的
X称为**可分的**，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
第一可数
X称为**第一可数的**，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为**第二可数的**，当且仅当其拥有一个可数的基。
### 连通性

连通
X称为**连通的**，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
局部连通
X称为**局部连通的**，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为**完全不连通的**，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为**道路连通的**，当且仅当其任意两点*x*和*y*，存在从*x*到*y*的道路*p*，也即，存在一个连续映射*p*: [0,1] → *X*，满足*p*（0）= *x* 且*p*（1）= *y*。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为**局部道路连通的**，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为**单连通的**，当且仅当它是道路连通且每个连续映射f:{\mathbb {S}}^{1}\rightarrow X都与常数映射同伦。
可缩
X称为**可缩的**，当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为**超连通的**，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为**极连通的**，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为**平庸的**，当且仅当其开集只有本身与空集。
### 紧性

（详细资料请参照紧集）

紧性
X称为**紧的**，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有**林德洛夫性质**，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为**仿紧的**，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为**可数紧的**，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为**可数紧的**，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为**伪紧的**，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。
### 可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是**Urysohn度量化定理**：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间
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对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射m:G\times G\rightarrow G（群乘法）及i:G\rightarrow G（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拥有序结构的拓扑空间
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拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

* 谱空间（spectral space）上的序结构。
* 特殊化预序：定义x\leq y\Leftrightarrow {\mathrm {cl}}(x)\subset {\mathrm {cl}}(y)。常见於计算机科学。

外部链接
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n个元素的集上总拓扑数规律

* 整數數列線上大全:OEIS-A000798.

参考书目
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* John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
* James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

* 点集拓扑学初步 / 江泽涵. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
* 点集拓扑学基础 / 吴东兴. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。
* 点集拓扑学原理 / 鲍姆;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
* 一般拓扑学 / 李普舒茨;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
* 一般拓扑学 / 凯莱;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
* 拓扑学引论 / 本特·门德尔森;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
* 基础拓扑学 / 阿姆斯特朗;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
* 点集拓扑学 / 方嘉琳编. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
* 拓扑学的基础和方法 / 野口宏;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
* 拓扑学初步 / 苏步青. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
* 拓扑学基础教程 / 曼克勒斯;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
* 基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
* 一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
* 拓扑学导论 / 鲍里索维奇等;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
* 基础拓扑学讲义 / 尤承业编. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

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| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
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| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
|  |
| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
|  |
| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
|  |
| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

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* NDL: 00564270

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