数学中，**标架丛**（）是一个与任何向量丛 *E* 相伴的主丛。F(*E*) 在一点 *x* 的纤维是 *E**x* 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(*E*) 上，给出标架丛一个主 GL*k*(**R**)-丛结构，这里 *k* 是 *E* 的秩。

一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为**切标架丛**（）。

定义与构造
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设 *E* → *X* 是拓扑空间 *X* 上一个 *k* 阶实向量丛。在点 *x* ∈ *X* 的一个**标架**是向量空间 *E**x* 的一个有序基。等价地，一个标架可以视为线性同构

{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E\_{x}.}
在 *x* 的所有标架集合，记作 *F**x*，所有可逆 *k*×*k* 矩阵组成的一般线性群 GL*k*(**R**) 在它上面有一个自然右作用：一个群元素 *g* ∈ GL*k*(**R**) 通过复合作用在 *p* 的标架上给出一个新标架

{\displaystyle p\circ g:\mathbb {R} ^{k}\to E\_{x}.}
GL*k*(**R**) 在 *F**x* 上这个作用是自由传递的（这是标准线性代数结论：存在惟一可逆线性变换将一个基变为另一个）。作为一个拓扑空间 *F**x* 同胚于 GL*k*(**R**)，但它没有群结构，因为没有"优先的标架"。空间 *F**x* 称为一个 GL*k*(**R**)-torsor。

*E* 的**标架丛**，记作 F(*E*) 或 FGL(*E*)，是所有 *F**x* 的不交并：

{\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod \_{x\in X}F\_{x}.}
F(*E*) 中每个点是一个二元组 (*x*, *p*)，其中 *x* 是 *X* 中一点而 *p* 是 *x* 处一个标架。存在自然投影 *π* : F(*E*) → *X* 将 (*x*, *p*) 送到 *x*。群 GL*k*(**R**) 如上右作用在 F(*E*) 上。这个作用显然是自由的且轨道恰是 *π* 的纤维。

标架丛 F(*E*) 可给一个自然的拓扑，其丛结构由 *E* 确定。设 (*U**i*, *φ**i*) 是 *E* 的一个局部平凡化。则对每个 *x* ∈ *U**i* 有一个线性同构 *φ**i*,*x* : *E**x* → **R***k*。这个数据决定了一个双射

{\displaystyle \psi \_{i}:\pi ^{-1}(U\_{i})\to U\_{i}\times \mathrm {GL} \_{k}(\mathbb {R} ),\,}
由下式给出

{\displaystyle \psi \_{i}(x,p)=(x,\varphi \_{i,x}\circ p).}
有了这个双射后，每个 *π*−1(*U**i*) 可赋予 *U**i* × GL*k*(**R**) 的拓扑。则 F(*E*) 上的拓扑是由包含映射 *π*−1(*U**i*) → F(*E*) 余诱导的最终拓扑。

有了上面所有数据后，标架丛 F(*E*) 成为 *X* 上一个结构群为 GL*k*(**R**) 的主纤维丛，具有局部平凡化 ({*U**i*}, {*ψ**i*})，可以验证 F(*E*) 的转移函数与 *E* 的相同。

上面所有工作对光滑范畴也成立：如果 *E* 是光滑流形 *M* 上一个光滑向量丛，则 *E* 的标架丛可赋予 *M* 上光滑主丛结构。

相伴向量丛
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向量丛 *E* 与它的标架丛 F(*E*) 是相伴丛。每一个决定了另一个。标架丛 F(*E*) 可如上由 *E* 构造出来，或更抽象地利用纤维丛构造定理（英语：）。在后一个方法中，F(*E*) 与 *E* 有同样底、平凡化邻域以及转移函数，但有抽象纤维 GL*k*(**R**)，这里结构群 GL*k*(**R**) 作用在纤维 GL*k*(**R**) 上是左乘。

给定一个线性表示 *ρ* : GL*k*(**R**) → *V*，有一个向量丛相伴与 F(*E*)

{\displaystyle \mathrm {F} (E)\times \_{\rho }V,\,}
它由乘积 F(*E*) × *V* 模去等价关系 (*pg*,*v*) ~ (*p*,*ρ*(*g*)*v*)，对所有 *g* 属于 GL*k*(**R**)，给出。记等价类为 [*p*,*v*]。

向量丛 *E* 自然同构于丛 F(*E*) ×*ρ* **R***k*，这里 *ρ* 是 GL*k*(**R**) 在 **R***k* 上的基本表示。同构由

{\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}
给出，这里 *v* 是 **R***k* 中一个向量而 *p* : **R***k* → *E**x* 是 *x* 处一个标架。容易验证这个映射是良定义的。

任何相伴与 *E* 的向量丛可由如上构造给出。例如，*E* 的对偶丛由 F(*E*) ×*ρ*\* (**R***k*)\* 给出，这里 *ρ*\* 是基本表示的对偶。*E* 的张量丛可类似地构造。

切标架丛
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一个光滑流形 *M* 的**切标架丛**（或简称**标架丛**）是与 *M* 的切丛相伴的标架丛。 *M* 的标架丛通常记作 F*M* 或 GL(*M*) 而不是 F(*TM*)。如果 *M* 是 *n*-维的则切丛的秩为 *n*，所以 *M* 的标架丛是 *M* 上一个主 GL*n*(**R**) 丛。

### 光滑标架

*M* 的标架丛的局部截面称为 *M* 上的光滑标架。主丛横截定理说 *M* 中任何有光滑标架的开集 *U* 上标架丛是平凡的。给定一个光滑标架 *s* : *U* → F*U*，平凡化 *ψ* : F*U* → *U* × GL*n*(**R**) 由

{\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}
给出，这里 *p* 是 *x* 处一个标架。从而一个流形是可平行化的当且仅当 *M* 的标架丛有一个整体截面。

因为 *M* 的切丛在 *M* 的任何坐标邻域是可平凡化的，故标架丛也是。事实上，给定任何坐标邻域 *U* 带有坐标 (*x*1,…,*x**n*)，坐标向量场

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\cdots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}
定义了 *U* 上一个光滑标架。在标架丛上工作的一个好处是它们允许我们处理标架而不是坐标架；我们可选取对手中问题合适的标架。这有时称为活动标架法。

### 焊接形式

流形 *M* 的标架丛是一类特殊的主丛，它的几何本质上系于 *M* 的几何。这种关系可用 F*M* 上一个称之为**焊接形式**（或称**基本**或**重言** 1-形式）向量值 1-形式表示。设 *x* 是流形 *M* 上一点，*p* 是 *x* 处一个标架，故

{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to T\_{x}M}
是 **R***n* 与 *M* 在 *x* 处切丛的一个线性同构。F*M* 的焊接形式是一个 **R***n*-值 1-形式 *θ*，定义为

{\displaystyle \theta \_{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )\,}
这里 *ξ* 与 F*M* 相切于 (*x*,*p*)，*p*-1:T*x**M* → **R***n* 是标架映射的逆，d*π* 是投影映射 *π*: F*M* → *M* 的微分。焊接形式是水平的，它在与 *π* 的纤维相切的向量上为零，以及右等变，即

{\displaystyle R\_{g}^{\*}\theta =g^{-1}\theta \,}
这里 *R**g* 是由 *g* ∈ GL*n*(**R**) 的左平移。F*M* 上这样性质的形式称为基本或张量性形式。这样的形式与 *TM*-值 1-形式一一对应，从而与 *M* 上光滑丛映射 *TM* → *TM* 一一对应。这样看来，*θ* 恰好是 *TM* 上恒等映射。

标准正交标架丛
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如果向量丛 *E* 配有一个黎曼丛度量，则每个纤维 *E**x* 不仅是一个向量空间而且是一个内积空间。这样便可以讨论 *E**x* 的所有标准正交标架集合。*E**x* 的一个标准正交标架是 *E**x* 的一个有序标准正交基，或等价地，一个等距线性同构

{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E\_{x}}
这里 **R***k* 配有标准欧几里得度量。正交群 O(*k*) 通过右复合自由传递作用在所有标准正交标架上。换句话说，所有标准正交标架集合是一个右 O(*k*)-torsor。

*E* 的**标准正交标架丛**，记作 FO(*E*)，是在底空间 *X* 上每一点 *x* 处的所有标准正交标架集合。它可用完全类似于通常标架丛的方法构造出来。秩 *k* 的黎曼向量丛 *E* → *X* 的标准正交标架是 *X* 上一个主 O(*k*)-丛。同样，此构造在光滑范畴一样成立。

如果向量丛 *E* 可定向，则我们可定义 *E* 的**定向标准正交标架丛**，记作 FSO(*E*)，是所有正定向标准正交标架丛，这是一个主 SO(*k*)-丛。

如果 *M* 是一个 *n*-维黎曼流形，则 *M* 的标准正交标架丛，记作 FO*M* 或 O(*M*)，是与 *M* 的切丛（由定义它配有一个黎曼度量）相伴的标准正交标架丛。如果 *M* 可定向，则也有定向标准正交标架丛 FSO*M*。

给定一个黎曼向量丛 *E*，标准正交标架丛是一般线性标架丛的 O(*k*)-子丛。换句话说，包含映射

{\displaystyle i:{\mathrm {F} }\_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }\_{\mathrm {GL} }(E)\,}
是一个主丛映射。我们说 FO(*E*) 是 FGL(*E*) 的结构群从 GL*k*(**R**) 到 O(*k*) 的约化。

*G*-结构
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参见：G-结构
如果光滑流形 *M* 有额外的结构，通常自然地考虑 *M* 全标架丛的一个适应于给定结构的子丛。例如，如果 *M* 是一个黎曼流形，我们从上面看到自然地去考虑 *M* 的标准正交标架丛。标准正交标架丛只不过是 
FGL(*M*) 的结构群到正交群 O(*n*) 的约化。

一般地，如果 *M* 是一个光滑 *n*-流形，*G* 是 GL*n*(**R**) 的一个子李群，我们定义 *M* 上一个 **G-结构**为 FGL(*M*) 结构群到 *G* 的一个约化。具体地说，这是 *M* 上一个主 *G*-丛 F*G*(*M*)，以及 *M* 上一个 *G*-等变丛映射

{\displaystyle {\mathrm {F} }\_{G}(M)\to {\mathrm {F} }\_{\mathrm {GL} }(M).\,}
在这种语言中，*M* 上一个黎曼度量给出 *M* 上一个 O(*n*)-结构。下面是其它一些例子。

* 每个定向流形有一个定向标架，这就是 *M* 上一个 GL*n*+(**R**)-结构。
* *M* 上一个体积形式确定了 *M* 上一个 SL*n*(**R**)-结构。
* 一个 2*n*-维辛流形有一个自然的 Sp2*n*(**R**)-结构。
* 一个 2*n*-维复或殆复流形有一个自然的 GL*n*(**C**)-结构。

在某些例子中，*M* 上一个 *G*-结构惟一确定了 *M* 上对应的结构。例如 *M* 上一个 SL*n*(**R**)-结构确定了 *M* 上一个体积形式。但是，在某些情形，比如辛与复流形，需要一个可积性条件。*M* 上一个 Sp2*n*(**R**)-结构惟一确定了 *M* 上一个非退化 2-形式，但对 *M* 是辛的，这个 2-形式必须也是闭的。

参考文献
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* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi,  **Vol. 1** New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0471157333
* Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan,  (PDF), Springer-Verlag, 1993  [2009-06-04], （原始内容 (PDF)存档于2017-03-30）
* Sternberg, S.  (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4.