在泛函分析中，**开映射定理**（open mapping theorem，亦称**巴拿赫-绍德定理** (Banach–Schauder theorem) 或**巴拿赫定理** (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地（Rudin 1973，定理2.11）:

* 如果*X*和*Y*是巴拿赫空间，*A* : *X* → *Y*是一个满射的连续线性算子，那么*A*就是一个开映射（也就是说，如果*U*是*X*内的开集，那么*A*(*U*)在*Y*内是开放的）。

该定理的证明用到了贝尔纲定理，*X*和*Y*的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设*X*或*Y*是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果*X*和*Y*是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

结果
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开映射定理有一些重要的结果：

* 如果*A* : *X* → *Y*是巴拿赫空间*X*和*Y*之间的双射连续线性算子，那么逆算子*A*-1 : *Y* → *X*也是连续的。（Rudin 1973，推论2.12）

* 如果*A* : *X* → *Y*是巴拿赫空间*X*和*Y*之间的线性算子，且如果对于*X*内的每一个序列(*x**n*)，只要*x**n* → 0且*Ax**n* → *y*就有*y* = 0，那么*A*就是连续的（闭图像定理）。（Rudin 1973，定理2.15）

证明
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我们需要证明，如果*A* : *X* → *Y*是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么*A*就是一个开映射。为此，只需证明*A*把*X*内的单位球映射到*Y*的原点的一个邻域。

设*U*，*V*分别为*X*和*Y*内的单位球。那么*X*是单位球的倍数*k* *U*的序列的并集，*k* ∈ **N**，且由于*A*是满射， 

{\displaystyle Y=A(X)=A{\Bigl (}\bigcup \_{k\in \mathbb {N} }kU{\Bigr )}=\bigcup \_{k\in \mathbb {N} }A(kU).}
根据贝尔纲定理，巴拿赫空间*Y*不能是可数个无处稠密集的并集，故存在*k* > 0，使得*A*(*kU*)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球*B*(*c*, *r*)，其中心为*c*，半径*r* > 0，包含在*A*(*kU*)的闭包内。如果*v* ∈ *V*，那么*c* + *r* *v*和*c*位于*B*(*c*, *r*)内，因此是*A*(*k* *U*)的极限点，根据加法的连续性，它们的差*rv*是*A*(*k* *U*) − *A*(*k* *U*) ⊂ *A*(2*k* *U*)的极限点。根据*A*的线性，这意味着任何*v* ∈ *V*都位于*A*(*δ* −1 *U*)的闭包内，其中*δ* = *r* / (2*k*)。于是可以推出，对于任何*y* ∈ *Y*和任何*ε* > 0，都存在某个*x* ∈ *X*，满足：

{\displaystyle \ ||x||<\delta ^{-1}||y||\quad } 且 {\displaystyle \quad ||y-Ax||<\varepsilon .\quad (1)}
固定*y* ∈ *δ* *V*。根据(1)，存在某个*x* 1，满足||*x* 1|| < 1且||*y* − *A* *x* 1|| < *δ* / 2。定义序列{*x**n*}如下。假设：

{\displaystyle \ ||x\_{n}||<2^{-(n-1)}\quad } 且 {\displaystyle \quad ||y-A(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n})||<\delta \,2^{-n}\,;\quad (2)}
根据(1)，我们可以选择*x* *n* +1，使得：

{\displaystyle \ ||x\_{n+1}||<2^{-n}\quad } 且 {\displaystyle \quad ||y-A(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n})-A(x\_{n+1})||<\delta \,2^{-(n+1)},}
因此*x* *n* +1满足(2)。设

{\displaystyle \ s\_{n}=x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}.}
从(2)的第一个不等式可知，{*s**n*}是一个柯西序列，且由于*X*是完备的，*s**n*收敛于某个*x* ∈ *X*。根据(2)，序列*A* *s**n*趋于*y*，因此根据*A*的连续性，有*A* *x* = *y*。而且：

{\displaystyle ||x||=\lim \_{n\rightarrow \infty }||s\_{n}||\leq \sum \_{n=1}^{\infty }||x\_{n}||<2.}
这表明每一个*y* ∈ *δ* *V*都属于*A*(2 *U*)，或等价地，*X*内的单位球的像*A*(*U*)包含了*Y*内的开球(*δ* / 2) *V*。因此，*A*(*U*)是*Y*内0的邻域，定理得证。

推广
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*X* 或*Y* 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当*X*和*Y*是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合（Rudin，定理2.11）：

* 设*X*为F空间，*Y*为拓扑向量空间。如果*A* : *X* → *Y*是一个连续线性算子，那么要么*A*(*X*)是*Y*内的贫集，要么*A*(*X*) = *Y*。在后一个情况中，*A*是开映射，*Y*也是F空间。

更进一步，在这个情况中，如果*N*是*A*的核，那么*A*有一个标准分解，形如下式：

{\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}
其中*X* / *N*是*X*对闭子空间*N*的商空间（也是F空间）。商映射*X* → *X* / *N*是开放的，且映射*α*是拓扑向量空间的同构（Dieudonné，12.16.8）。

参考文献
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* Rudin, Walter, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8
* Dieudonné, Jean, Academic Press, 1970

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