控制理论中，**可控制性格拉姆矩阵**（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

{\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}

{\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\,}

可控制性格拉姆矩阵為

{\displaystyle W\_{c}(t\_{0},t\_{1})=\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\Phi (\tau ,t\_{0})B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(\tau ,t\_{0})d\tau } ,

其中\Phi 為狀態轉換矩陣

系統在{\displaystyle t\in [t\_{0},t\_{1}]}具有可控制性，若且唯若{\displaystyle W\_{c}(t\_{0},t\_{1})}為非奇異矩陣。

連續時間，線性非時變系統
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若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}

{\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}

其可控制性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣 

{\displaystyle {\boldsymbol {W\_{c}}}(t)=\int \_{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}\_{c}+{\boldsymbol {W}}\_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是{\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. {\displaystyle n\times np}的可控制性矩陣

{\displaystyle {\mathcal {C}}=[{\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A^{2}B}}&...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}}\end{array}}]}

的秩為n。

2. {\displaystyle n\times (n+p)}矩陣

{\displaystyle [{\begin{array}{cc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{array}}]}

對於每個\boldsymbol{A}的特徵值\lambda ，都有滿秩。

和李亞普諾夫方程的關係
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可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}\_{c}+{\boldsymbol {W}}\_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}

假若令

{\displaystyle {\boldsymbol {W\_{c}}}=\int \_{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }

為一個解，可得：

{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}\_{c}+{\boldsymbol {W}}\_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}&=&\int \_{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau &+&\int \_{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A^{T}}}d\tau \\&=&\int \_{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}|\_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB^{T}}}\\&=&{\boldsymbol {-BB^{T}}}\end{array}}}

其中用到了對於穩定\boldsymbol{A}，在{\displaystyle t=\infty }時，{\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}的事實（所有的特徵值實部均為負），因此{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}確實是李亞普諾夫方程的解。

### 格拉姆矩陣的性質

因為 {\displaystyle {\boldsymbol {BB^{T}}}} 是對稱矩陣，因此{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}也是對稱矩陣。

若\boldsymbol{A}是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}\_{c}+{\boldsymbol {W}}\_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}

分別是{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c1}}和{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c2}}，因此可得：

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2})+{\boldsymbol {(W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {0}}}

在左右分別乘以{\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}和{\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}}，可得：

{\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2})+{\boldsymbol {(W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]={\boldsymbol {0}}}

從{\displaystyle 0}積分到\infty：

{\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]|\_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}

再利用此一事實，當{\displaystyle t\rightarrow \infty }時，{\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}：

{\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}\_{c1}-{\boldsymbol {W}}\_{c2})={\boldsymbol {0}}}

因此，{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}是唯一的。

也可以看出

{\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W\_{c}x}}=\int \_{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int \_{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert \_{2}^{2}dt}

在任何t時都為正，因此{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}}是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

離散時間，線性非時變系統
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若考慮以下的離散時間系統

{\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣 

{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{dc}=\sum \_{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

{\displaystyle W\_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}\_{dc}{\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {BB^{T}}}}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{dc}}也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在。

線性時變系統（LTV）
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考慮以下的線性時變系統（LTV）：

{\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}

其中矩陣\boldsymbol{A}, {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}和{\displaystyle {\boldsymbol {C}}}的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為n\times n矩陣，定義如下：

{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t\_{1})=\int \_{\_{0}}^{^{\infty }}{\boldsymbol {\Phi }}(t\_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t\_{1},\tau )d\tau }

其中{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}為{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}的狀態轉移矩陣。

系統{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}有可控制性的充份必要條是存在{\displaystyle t\_{1}>t\_{0}}，使得可控制性格拉姆矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t\_{1})}為非奇異矩陣。

### 格拉姆矩陣的性質

可控制性格拉姆矩陣{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t\_{1})}有以下的性質：

{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t\_{1})={\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}(t,t\_{0}){\boldsymbol {W}}\_{c}(t,t\_{0}){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t\_{0})}

可以由{\displaystyle {\boldsymbol {W}}\_{c}(t\_{0},t\_{1})}的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t\_{0},t\_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t\_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t\_{0})}

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考。

相關條目
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* 可控制性
* 可观测性格拉姆矩阵
* 格拉姆矩阵
* 最小能量控制

參考資料
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1. ↑  Chen, Chi-Tsong.. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 145. ISBN 0-19-511777-8.
2. ↑  Chen, Chi-Tsong.. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 169. ISBN 0-19-511777-8.
3. ↑  Chen, Chi-Tsong.. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 176. ISBN 0-19-511777-8.

外部連結
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* Mathematica function to compute the controllability Gramian （页面存档备份，存于）