在数学中， **普朗歇尔定理**（有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果 {\displaystyle f(x)} 是实轴上的函数，且有频谱 {\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )} ，那么

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \_{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }

更精确的表述是，如果一个函数同时在 *L**p* 空间 {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )} 和 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 中，那么它的傅里叶变换也在 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 中，且傅里叶变换是关于 {\displaystyle L^{2}} 范数的等距映射。这意味着， {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )} 上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )} 的等距同构 ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上，这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 *n* 维欧几里德空间 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上仍然有效 。更一般地，该定理对局部紧阿贝尔群（英语：）也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 中两个函数的内积。也就是说，设 {\displaystyle f(x)} 和 {\displaystyle g(x)} 是两个 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 中的函数，而 {\displaystyle {\mathcal {P}}} 表示普朗歇尔变换，则



∫

−
∞

∞

f
(
x
)

g
(
x
)

¯

d
x
=

∫

−
∞

∞

(

P

f
)
(
ξ
)

(

P

g
)
(
ξ
)

¯

d
ξ
,

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int \_{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}若 {\displaystyle f(x)} 和 {\displaystyle g(x)} 还是 {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )} 函数，那么还有


(

P

f
)
(
ξ
)
=

f
^

(
ξ
)
=

∫

−
∞

∞

f
(
x
)

e

−
2
π
i
ξ
x

d
x
,

{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}

{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}和


(

P

g
)
(
ξ
)
=

g
^

(
ξ
)
=

∫

−
∞

∞

g
(
x
)

e

−
2
π
i
ξ
x

d
x
,

{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int \_{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}

{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}所以

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int \_{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}

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参考文献
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1. ↑  Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. 有限度免费查阅，超限则需付费订阅. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.

* Plancherel, Michel, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, **30** (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
* Dixmier, J. Gauthier Villars, 1969 .
* Yosida, K. Springer Verlag, 1968 .

外部链接
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* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Plancherel's Theorem on Mathworld

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* 论
* 编
泛函分析 |
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| 集合 / 子集 | 
* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥

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* 巴拿赫空间
* 欧几里得空间
* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
* 賦範向量空間 （范数）
* 拟赋范空间
* 自反空间
* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

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* 对偶空间
* 算子拓扑
* 弱拓扑（英语：）
* 强拓扑（英语：）
* 拓扑的一致收敛（英语：）

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* 内部
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* 极性集

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* 谱 (泛函分析) （谱半径）
* 谱理论（谱定理）
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* 巴拿赫-马祖尔定理（英语：）
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* 不变子空间问题
* Riesz延拓定理（英语：）
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* 帕塞瓦尔恒等式
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* 加托导数
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