艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。

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| **的数** |
| **基本** |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

 

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| 正數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 {\displaystyle \mathbb {N} }
正整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 {\displaystyle \mathbb {Q} }
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 {\displaystyle \mathbb {R} }
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  | 负数 {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\displaystyle \mathbb {I} }
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} }
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
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| **其他** |
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| 質數 {\displaystyle \mathbb {P} }
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
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圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無限大 {\displaystyle \infty } |
| * 
* 论
* 编
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**艾森斯坦整数**是具有以下形式的复数：

{\displaystyle z=a+b\omega \,\!}
其中*a*和*b*是整数，且

{\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}
是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

性质
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艾森斯坦整数在代数数域{\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}中形成了一个代数数的交换环。每一个*z* = *a* + *b*ω都是首一多项式

{\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}
的根。特别地，ω满足以下方程：

{\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}
因此，艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：

{\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
因此它总是整数。由于：

{\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}
因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：

{±1, ±ω, ±ω2}
它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数
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设*x*和*y*是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数*z*，使得*y* = *z* *x*，则我们说*x*能整除*y*。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数*x*是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是*ux*的形式，其中*u*是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式*x*2−*xy*+*y*2，因此可以分解为(*x*+ω*y*)(*x*+ω2*y*)。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数*a* + *b*ω，只要范数*a*2−*ab*+*b*2为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域
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艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数*N*由以下的公式给出：

{\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
这是因为：

{\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}

参见
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* 高斯整数

参考文献
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* Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
* Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
* Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
* Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部链接
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* MathWorld （页面存档备份，存于）

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| * 
* 论
* 编
代數數 |
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* 代數整數
* 节点（英语：）
* 規矩數
* 康威常数
* 
* 艾森斯坦整数
* 高斯整數
* 黃金比例（φ）
* 佩龍數（英语：）
* 皮索数
* 二次無理數
* 有理数
* 单位根
* 塞勒姆數（英语：）
* 白銀比例（δS）
* 2的
* 3的
* 5的
* 6的（英语：）
* 7的（英语：）
* 倍立方
* 2的12次方根

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