理想中（圖左）電子在導體中以平均分佈的方式傳導流通，集膚效應（圖右）則是電子集中在導體的近外膚位置上流通，使橫切面的核心部位呈現空泛狀態，進而使電流輸送量減少。
**集膚效應**（又称**趋肤效应**或直譯作**表皮效應**，英语：**Skin effect**）是指导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度呈指數衰減，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的"皮肤"部分，所以称为**集膚效應**。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场，与原来的电流相抵消。

简介
--

集肤效应最早在英國應用數學家贺拉斯·兰姆（Horace Lamb）1883年發表的一份论文中提及，只限于球壳状的导体。1885年，英國物理學家奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。

理论
--

当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度*J*呈指數衰減

{\displaystyle J=J\_{s}\exp(-{x \over \delta })}
其中，{\displaystyle J\_{s}}是导体表面的电流密度，{\displaystyle x}表示电流与导体表面的距离，{\displaystyle \delta }是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数，称为**集肤深度**（skin depth）。

{\displaystyle \delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}}
其中：

ρ =导体的电阻率
ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
μ = 导体的绝对磁导率 = {\displaystyle \mu \_{0}\cdot \mu \_{r}}，其中{\displaystyle \mu \_{0}}是真空磁导率，{\displaystyle \mu \_{r}}是导体的相对磁导率
对于很长的圆柱形导体，比如导线来说，如果它的直径{\displaystyle D}比{\displaystyle \delta }大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为{\displaystyle \delta }的圆柱导体对直流电的电阻。

{\displaystyle R={{\rho \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho \over \delta }\left({L \over {\pi D}}\right)}}
其中：

L=导线的长度
D=导线直径
具体来说，假设{\displaystyle I(r)}是从离导线中心*r*处到导线表面的截面上通过的电流，{\displaystyle I}为截面上的总电流，那么有：

{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
其中*Ber*和*Bei*为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。

### 圆柱形导体的模型

考虑一个半径为*a*，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为*ω*的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组，

麦克斯韦-法拉第方程：

{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }
麦克斯韦-安培方程：

{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \_{0}\mathbf {J} }
其中：

* **E**是电场强度
* **B**是磁感应强度
* **J**是电流密度
* **μ**是导体的磁导率

在导体中，欧姆定律的微分形式为：

{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }
**σ**是导体的电导率。

我们假设导体是均匀的，于是导体各处的**μ**和**σ**都相同。于是有：

{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系(*r*, θ, *z*)（*z*为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随*z*轴前进，由对称性，电流密度是一个只和*r*有关的函数：

{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}}
取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度，就有：

{\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )}
也就是：

{\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
由之前对电流密度的假设，{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0}，因此有：

{\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子{\displaystyle \Delta }写作：

{\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}
令{\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu }，再将方程两边乘上*r*2就得到电流密度应该满足的方程：

{\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}
在进行代换{\displaystyle \xi =i\,k\,r}后，方程变为一个齐次的贝塞尔方程：

{\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}
由电流密度在*r* = 0的连续性，方程的解具有{\displaystyle J\_{0}(\xi )}的形式，其中*J*0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是：

{\displaystyle j(r)=j\_{0}\,J\_{0}(i\,k\,r)}
其中*j*0是一个常数，*k*为：

{\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}}
其中*δ*是集肤深度，{\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}}，

{\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}}
最后，电流密度为：

{\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j\_{0}\,J\_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j\_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}}
其中*ber*和*bei*是0阶的开尔文-贝塞尔函数。

于是通过整个截面的电流总和就是：

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int \_{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j\_{0}\int \_{0}^{a}J\_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j\_{0}\,\int \_{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}}
记*Ber*和*Bei*为相应的原函数：

{\displaystyle Ber(x)=\int \_{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int \_{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }}
便有如下更简洁的形式：

{\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j\_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)}
我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离*r*处的电流总和：

{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int \_{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j\_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}
于是有电流的分布函数：

{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
一般来说，在给定的频率下，使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是：

{\displaystyle D\_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}}
以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线，交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。

减缓集肤效应的方法
---------

一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线（英语：）（源自德语：*Litzendraht*，意为"编织起来的线"）。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。

高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低电阻率，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。

还有将实心导线换成空心导线管，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。

在传输的频率在甚高频或微波级别时，一般会使用镀银（已知的除超导体外最好的导体）的导线，因为这时集肤深度非常的浅，使用更厚的银层已是浪费。

其它应用
----

集肤效应使交流電只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火，使钢材表面的硬度增大。

集肤效应也可以描述为：导体中变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在防晒霜中混入导体微粒（一般是氧化锌和氧化钛），就能使阳光中的紫外线（高频电磁波）的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置，这也是电梯里手机信号不好的原因。

举例
--

頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：

| 導體 | δ（μm） |
| --- | --- |
| 鋁 | 0.80 |
| 銅 | 0.65 |
| 金 | 0.79 |
| 銀 | 0.64 |

在铜质导线中，集肤深度和频率的关系大致如下：

| 频率 | δ |
| --- | --- |
| 60 Hz | 8.57 mm |
| 10 kHz | 0.66 mm |
| 100 kHz | 0.21 mm |
| 1 MHz | 66 µm |
| 10 MHz | 21 µm |

参见
--

* 邻近效应
* 麦克斯韦方程组
* 涡旋电场
* 漸逝波

外部連結
----

* Skin Effect and HiFi Cables （页面存档备份，存于）
* More on the "skin effect" （页面存档备份，存于）

相關參考
----

* （页面存档备份，存于）

* William Hart Hayt, *Engineering Electromagnetics Seventh Edition*, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
* Paul J. Nahin, *Oliver Heaviside: Sage in Solitude*, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
* Terman, F.E. *Radio Engineers' Handbook*, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above

1. ↑  林漢年.. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735.