**派克变换**（也译作**帕克变换**，英语：Park's Transformation），是目前分析同步电动机运行最常用的一种坐标变换，由美国工程师派克（R.H.Park）在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴），交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上去，从而实现了对定子电感矩阵的对角化，对同步电动机的运行分析起到了简化作用。

定义
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派克正变换：

{\displaystyle {\mathbf {i} }\_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {i} }\_{abc}={\frac {2}{3}}\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\cos \theta }&{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{-\sin \theta }&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{i\_{a}}\\{i\_{b}}\\{i\_{c}}\\\end{array}}\right]}
逆变换：

{\displaystyle {\mathbf {i} }\_{abc}={\mathbf {P} }^{-1}{\mathbf {i} }\_{dq0}=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\cos \theta }&{-\sin \theta }&1\\{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&1\\{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&1\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{i\_{d}}\\{i\_{q}}\\{i\_{0}}\\\end{array}}\right]}

  

派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上：
{\displaystyle {\mathbf {u} }\_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {u} }\_{abc}}，{\displaystyle {\mathbf {\Psi } }\_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {\Psi } }\_{abc}}

  

  

### 几何解释

上图描绘了派克变换的几何意义，定子三相电流互成120度角，\delta 为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。（图中的比例系数{\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}}是由于图中所采用的是正交形式的派克变换）d-q坐标系在空间中以角速度\omega 逆时针旋转，故 {\displaystyle \theta =\omega t} 以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时，{\displaystyle i\_{d}},{\displaystyle i\_{q}}为直流电流，{\displaystyle i\_{0}=0}。

用派克变换化简同步发电机基本方程
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### 变换后的磁链方程

磁链方程：

{\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }\_{abc}}\\{{\mathbf {\Psi } }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {L} }\_{SS}}&{{\mathbf {L} }\_{SR}}\\{{\mathbf {L} }\_{RS}}&{{\mathbf {L} }\_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{abc}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}

  

上式中的电感系数矩阵 {\displaystyle {{\mathbf {L} }\_{SS}},{{\mathbf {L} }\_{SR}},{{\mathbf {L} }\_{RS}},{{\mathbf {L} }\_{RR}}} 事实上都含有随时间变化的角度参数，使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 {\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]}，其中{\displaystyle {\mathbf {U} }}为三阶单位矩阵。方程化为：

{\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }\_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {L} }\_{SS}}&{{\mathbf {L} }\_{SR}}\\{{\mathbf {L} }\_{RS}}&{{\mathbf {L} }\_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {P} }^{-1}}&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{abc}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}

  

{\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }\_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {PL} }\_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {PL} }\_{SR}}\\{{\mathbf {L} }\_{RS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {L} }\_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}

  

其中 {\displaystyle {\mathbf {PL} }\_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{L\_{d}}&{}&{}\\{}&{L\_{q}}&{}\\{}&{}&{L\_{0}}\\\end{array}}\right]\triangleq {\mathbf {L} }\_{dq0}}。

  

① 变换后的电感系数都变为常数，可以假想dd绕组，qq绕组是固定在转子上的，相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 {\displaystyle {\mathbf {L} }\_{SS}} 起到了对角化的作用，并消去了其中的角度变量。{\displaystyle {L\_{d}},{L\_{q}},{L\_{0}}} 为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称，这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵。

④ {\displaystyle {L\_{d}}} 为直轴同步电感系数，其值相当于当励磁绕组开路，定子合成磁势产生单纯直轴磁场时，任意一相定子绕组的自感系数。

### 变换后的电压方程

电压方程：

{\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {U} }\_{abc}}\\{{\mathbf {U} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {r} }\_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }\_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{abc}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}
现对等式两边同时左乘 {\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]}，其中{\displaystyle {\mathbf {U} }}为三阶单位矩阵。方程化为：

{\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {U} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {r} }\_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }\_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }\_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}
由 {\displaystyle {\mathbf {\Psi } }\_{dq0}={\mathbf {P\Psi } }\_{abc}} ，  

对两边求导，得 {\displaystyle {\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{dq0}={\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }\_{abc}+{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }\_{abc}} ，  

所以 {\displaystyle {\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }\_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }\_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }\_{dq0}}

其中 {\displaystyle {\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]} ，令 {\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }\_{dq0}=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\Phi \_{d}}\\{\Phi \_{q}}\\{\Phi \_{0}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\omega \Psi \_{q}}\\{-\omega \Psi \_{d}}\\{}\\\end{array}}\right]}

  

于是有 {\displaystyle \left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {U} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {r} }\_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }\_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{\*{20}c}{-{\mathbf {i} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{\*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{dq0}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }\_{fDQ}}\\\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{\*{20}c}{\mathbf {S} }\\{}\\\end{array}}\right]}

上式右边第一项为绕组电阻的压降，第二项为变压器电势，第三项为发电机电势或旋转电势。

参考书目
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* 电机电子类科《电力系统暂态分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中国电力出版社。

  


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