图论中，**图带宽问题**是用不同整数{\displaystyle f(v\_{i})}给图*G*的*n*个顶点{\displaystyle v\_{i}}贴上标签，使得量{\displaystyle \max\{\,|f(v\_{i})-f(v\_{j})|:v\_{i}v\_{j}\in E\,\}}最小化的问题（其中*E*是*G*的边集）。
这问题可以形象理解为，将图的顶点置于沿*x*轴的不同整数点上，使最长边最短的问题。这种放置称作**线性图排列**（linear graph arrangement）、**线性图布局**（linear graph layout）或**线性图放置**（linear graph placement）。

**加权图带宽问题**是广义化，其中边被赋权{\displaystyle w\_{ij}}，需要最小化的损失函数为{\displaystyle \max\{\,w\_{ij}|f(v\_{i})-f(v\_{j})|:v\_{i}v\_{j}\in E\,\}.}

就矩阵而言，（无权）图带宽是对称矩阵（图的邻接矩阵）的最小带宽。带宽也可定义为比给定图的紧合区间超图的最大团大小小1，其中超图最小化了团大小。（Kaplan & Shamir 1996）

某些图的带宽公式
--------

对部分图族，带宽{\displaystyle \varphi (G)}有明确公式给出。

*n*顶点上的路径图{\displaystyle P\_{n}}的带宽是1，对于完全图{\displaystyle K\_{m}}我们有{\displaystyle \varphi (K\_{n})=n-1}。对完全二分图{\displaystyle K\_{m,\ n}}，有

{\displaystyle \varphi (K\_{m,n})=\lfloor (m-1)/2\rfloor +n}，其中{\displaystyle m\geq n\geq 1,}
由Chvátal证明。星图{\displaystyle S\_{k}=K\_{k,1}}是此公式的特例，{\displaystyle k+1}个顶点上的星图带宽为{\displaystyle \varphi (S\_{k})=\lfloor (k-1)/2\rfloor +1}。

{\displaystyle 2^{n}}个顶点上的超立方图{\displaystyle Q\_{n}}的带宽，Harper (1966)确定为

{\displaystyle \varphi (Q\_{n})=\sum \_{m=0}^{n-1}{\binom {m}{\lfloor m/2\rfloor }}.}
Chvatálová证明，{\displaystyle m\times n}方格图{\displaystyle P\_{m}\times P\_{n}}（*m*、*n*个顶点上两个路径图之笛卡尔积）的带宽等于{\displaystyle {\rm {min}}\{m,\ n\}}。

界
-

图的带宽可用各种图参数约束。例如，令{\displaystyle \chi (G)}表示*G*的色数：

{\displaystyle \varphi (G)\geq \chi (G)-1;}
令{\displaystyle {\rm {diam}}(G)}表示*G*的直径，则有不等式：

{\displaystyle \lceil (n-1)/\operatorname {diam} (G)\rceil \leq \varphi (G)\leq n-\operatorname {diam} (G),}
其中*n*是*G*中顶点数。

*k*带宽图*G*的径宽不大于*k*（Kaplan & Shamir 1996），其树深不大于{\displaystyle k\log(n/k)}（Gruber 2012）。如上节所述，星图{\displaystyle S\_{k}}作为结构非常简单的树，带宽相对较大。注意{\displaystyle S\_{k}}的径宽为1，树深为2。

一些度有界图族具有亚线性带宽：Chung (1988)证明，若*T*是最大度不大于∆的树，则

{\displaystyle \varphi (T)\leq {\frac {5n}{\log \_{\Delta }n}}.}
更一般地说，对最大度不大于∆的平面图，类似约束也成立（参Böttcher et al. 2010）：

{\displaystyle \varphi (G)\leq {\frac {20n}{\log \_{\Delta }n}}.}

计算带宽
----

加与不加权的两类带宽计算问题都是二次瓶颈分配问题的特例。
带宽问题是NP困难的，即便对特例也如此。众所周知，带宽在任何常数范围内的近似都是NP难的，对最大毛长为2的毛虫树也如此（Dubey，Feige & Unger 2010）。
对稠密图，Karpinski，Wirtgen & Zelikovsky (1997)设计了一种3近似算法。
另一方面，我们也知道一些多项式可解的特例。Cuthill–McKee算法就是获得低带宽线图布局的启发式算法。图带宽计算的快速多层算法是在中提出的。

应用
--

对带宽问题的兴趣来自一些应用领域。

例如稀疏矩阵/带状矩阵处理与此领域的一般算法，如Cuthill–McKee算法，可用于寻找图带宽问题的近似解。

还有电子设计自动化。标准单元设计方法中，标准单元一般具有相同的高度，布局为若干行。这时，图带宽问题建模了将一组标准单元放置在单行中的问题，其目标是使最大传播延迟（假定与导线长度成正比）最小化。

另见
--

* 割宽与径宽

参考文献
----

1. ↑  （Chinn 等人 1982）
2. 1 2  "Coping with the NP-Hardness of the Graph Bandwidth Problem", Uriel Feige, *Lecture Notes in Computer Science*, Volume 1851, 2000, pp. 129-145, doi:10.1007/3-540-44985-X\_2
3. ↑  A remark on a problem of Harary. V. Chvátal, *Czechoslovak Mathematical Journal* **20**(1):109–111, 1970.
4. ↑  Optimal Labelling of a product of two paths. J. Chvatálová, *Discrete Mathematics* **11**, 249–253, 1975.
5. ↑  Chinn et al. 1982
6. ↑  Garey–Johnson: GT40
7. ↑  
Ilya Safro and Dorit Ron and Achi Brandt.. ACM Journal of Experimental Algorithmics. 2008, **13**: 1.4–1.20. doi:10.1145/1412228.1412232.

* Böttcher, J.; Pruessmann, K. P.; Taraz, A.; Würfl, A.. European Journal of Combinatorics. 2010, **31** (5): 1217–1227. arXiv:0910.3014 可免费查阅. doi:10.1016/j.ejc.2009.10.010.
* Chinn, P. Z.; Chvátalová, J.; Dewdney, A. K.; Gibbs, N. E.. Journal of Graph Theory. 1982, **6** (3): 223–254. doi:10.1002/jgt.3190060302.
* Chung, Fan R. K. Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J. (编),  (PDF), Academic Press: 151–168, 1988, ISBN 978-0-12-086203-0
* Dubey, C.; Feige, U.; Unger, W.. Journal of Computer and System Sciences. 2010, **77**: 62–90. doi:10.1016/j.jcss.2010.06.006 可免费查阅.
* Garey, M.R.; Johnson, D.S.. New York: W.H. Freeman. 1979. ISBN 0-7167-1045-5.
* Gruber, Hermann, Journal of Combinatorics, 2012, **3** (4): 669–682, arXiv:1012.1344 可免费查阅, doi:10.4310/joc.2012.v3.n4.a5
* Harper, L.. Journal of Combinatorial Theory. 1966, **1** (3): 385–393. doi:10.1016/S0021-9800(66)80059-5 可免费查阅.
* Kaplan, Haim; Shamir, Ron, SIAM Journal on Computing, 1996, **25** (3): 540–561, doi:10.1137/s0097539793258143
* Karpinski, Marek; Wirtgen, Jürgen; Zelikovsky, Aleksandr.. Electronic Colloquium on Computational Complexity. 1997, **4** (17).

外部链接
----

* Minimum bandwidth problem, in: Pierluigi Crescenzi and Viggo Kann (eds.), *A compendium of NP optimization problems.* Accessed May 26, 2010.