数学上，**霍爾婚配定理**（英語：）是菲利浦·霍爾最先證明的圖論定理，又稱**霍爾定理**，描述二分图中，能將一側全部頂點牽線匹配到另一側的充要條件。定理另有一個等價的組合敍述，確定一族有限集合在何種充要條件下，可自每個集合各揀選一個元素，而使所選元素兩兩互異（即沒有元素是重復的）。

集族表述
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設 S 為 X 的有限子集組成的有限多重族。

S 的一個**代表系（英语：）**是 S 至 X 的單射，且該單射 f 將族中任意集合 {\displaystyle s\in S} 映至該集合的某元素 f(s)。換言之，f 從 S 中每個集合，選出一個代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「單射」之義）。代表系又稱為「截面」或「遍歷」（）。

族 S 滿足**霍爾條件**，意思是對每個子族 {\displaystyle W\subseteq S}，有

{\displaystyle |W|\leq \left|\bigcup \_{A\in W}A\right|.}
用文字複述，該條件斷言對於 S 的每個子族，其各集合一共擁有的不同成員數，不小於該子族的集合數。若不滿足該條件，則不存在代表系，因為在某子族 W（設有 k 個集合）中，各集合一共衹有少於 k 個互異元素，如此由鴿巢原理，為 k 個集合所選的 k 個代表元之中，必有兩者相等。霍爾定理說明，前述命題的否命題也成立，即若滿足霍爾條件，則必存在代表系。

> 
> **霍爾定理**：一族有限集有代表系，當且僅當其滿足霍爾條件，即其任意子族皆滿足以上不等式。
> 
> 
> 

證明見§ 圖論表述。

### 例

例一：符合霍爾條件
例一：考慮集族 {\displaystyle S=\{A\_{1},A\_{2},A\_{3}\}}，其中

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{1}&=\{1,2,3\},\\A\_{2}&=\{1,4,5\},\\A\_{3}&=\{3,5\}.\end{aligned}}}
合適的代表系有 {\displaystyle (1,4,5)}，但並不唯一，例如 {\displaystyle (2,1,3)} 亦可。

例二：違反霍爾條件
例二：考慮 {\displaystyle S=\{A\_{1},A\_{2},A\_{3},A\_{4}\}}，其中

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{1}&=\{2,3,4,5\},\\A\_{2}&=\{4,5\},\\A\_{3}&=\{5\},\\A\_{4}&=\{4\}.\end{aligned}}}
此時，無合適的代表系。子族 {\displaystyle W=\{A\_{2},A\_{3},A\_{4}\}} 違反霍爾條件，因為該族有 {\displaystyle |W|=3} 個集合，但該三個集之並為 {\displaystyle A\_{2}\cup A\_{3}\cup A\_{4}=\{4,5\}}，僅得兩個元素。

例三：同樣設 {\displaystyle S=\{A\_{1},A\_{2},A\_{3},A\_{4}\}}，但換成

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{1}&=\{1,2,3\},\\A\_{2}&=\{2,4\},\\A\_{3}&=\{1,2,4\},\\A\_{4}&=\{2,4\}.\end{aligned}}}
此時，A\_{2} 與 A\_{4} 的代表必為 {\displaystyle 2,4} 或逆序，從而 A\_{3} 的代表須為 1。所以，合適的代表系有且衹有 {\displaystyle (3,2,1,4)} 或 {\displaystyle (3,4,1,2)}。

### 命名

定理命名為「婚配」（），是與以下例子有關。設有兩組人，一組 n 男，一組 n 女。每名女士心目中皆有一份名單（若干男士組成的子集），會接受名單中的男士的求婚，但會拒絕其他人。而該些男士別無所求，願意向任何女士求婚。媒人希望判斷是否存在方案，在尊重諸位女士的意願的前提下，將該兩組人撮合成 n 對夫妻。

以 A\_{i} 表示第 i 名女士願意接受的男士集合，則霍爾定理講述，存在方案使每位女士與心儀對象結婚，且無重婚，當且僅當對於任意若干位女士組成的集合 I，願意與其中至少一位女士結婚的男士數 {\displaystyle \left|\bigcup \_{i\in I}A\_{i}\right|}，不小於該集合的女士數 |I|。

後一個條件為必要，否則該 |I| 名女士根本無法找到足夠的配偶。較不明顯的是，該條件亦為充分，此即霍爾定理的肯綮。

圖論表述
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藍色邊構成一組匹配
設 G 為有限二部圖，頂點集分為 X、Y 兩部，以符號記為 {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}。X **完美匹配**是圖上若干條邊組成的匹配，其兩兩無公共端點，且 X 的每個頂點各有一條邊在該匹配中。

對於 X 的任意子集 W，設 {\displaystyle N\_{G}(W)} 為 W 在 G 中的鄰域（英语：），即 Y 中與 W 至少一點有連邊的全體頂點之集。霍爾定理斷言，存在 X 完美匹配，当且仅当對 X 的每個子集 W，皆有：

{\displaystyle |W|\leq |N\_{G}(W)|.}
換言之，與 W 相鄰的頂點，不少於 W 的頂點。上述不等式稱為霍爾條件。

### 證明

「{\displaystyle \Longrightarrow }」：假設有匹配 M，覆蓋頂點集 X。欲證霍爾條件對全部 {\displaystyle W\subseteq X} 成立。記 {\displaystyle M(W)} 為 W 經 M 匹配到的頂點集，其為 Y 的子集。由匹配的定義，必有 {\displaystyle |M(W)|=|W|}，同時 {\displaystyle M(W)\subseteq N\_{G}(W)}，因為 {\displaystyle M(W)} 的元素皆為 W 的鄰舍。故 {\displaystyle |N\_{G}(W)|\geq |M(W)|}，即 {\displaystyle |N\_{G}(W)|\geq |W|}。

「{\displaystyle \Longleftarrow }」：假設無 X 完美匹配，欲證有某子集 {\displaystyle W\subseteq X} 違反霍爾條件。設 M 為極大匹配，換言之，若再添加任何一條邊，則不再為匹配。設 u 為 X 中未獲覆蓋的頂點。考慮由 u 出發的全體「交錯路徑」，即圖 G 中的路徑，其首邊不屬 M，次邊屬於 M，第三邊又不屬 M，如此交錯排列。u 藉該些交錯路徑，與 Y 中若干頂點相連，該些頂點組成的子集記為 Z；又與 X 中若干頂點相連（此處 u 亦視為與自己相連），得子集 W。極長的交錯路徑不能終於 Y，否則其首尾皆不屬 M，故為「增廣路徑」：翻轉路徑上所有邊的狀態，將不屬 M 者加入 M，屬 M 者移走，則得到嚴格比 M 多邊的匹配，此為不可能。至此，已證 Z 中每個頂點，皆經 M 匹配到 {\displaystyle W\setminus \{u\}} 中某頂點。反之，{\displaystyle W\setminus \{u\}} 中任意一個頂點，亦有 Z 中某頂點與之匹配，即沿 u 至 v 的交錯路徑，v 的前一頂點。所以，M 給出 {\displaystyle W\setminus \{u\}} 與 Z 之間的一一對應，所以 {\displaystyle |W|=|Z|+1}。另一方面，將證明 {\displaystyle N\_{G}(W)\subseteq Z}。設 {\displaystyle v\in N\_{G}(W)} 是與某頂點 w \in W 鄰接。若邊 {\displaystyle wv} 在 M 中，則自 u 至 w 的一切交錯路徑中，v 皆在 w 以先，故有 u 至 v 的交錯路徑。否則 {\displaystyle wv} 不屬 M，但已知有 u 至 w 的交錯路徑，末邊屬於 M，故可續以 {\displaystyle wv}，亦得自 u 至 v 的交錯路徑。證畢 {\displaystyle N\_{G}(W)\subseteq Z}，故 {\displaystyle \left|N\_{G}(W)\right|\leq |Z|=|W|-1<|W|}，違反霍爾條件。

### 算法

若 X 的子集 W 滿足 {\displaystyle |N\_{G}(W)|<|W|}，則定義 W 為**霍爾犯（英语：）**。若 W 為霍爾犯，則無匹配能覆蓋 W 的全部頂點。所以，也無匹配覆蓋 X。霍爾定理斷言，二部圖有 X 完美匹配，當且僅當其不含任何霍爾犯。以下算法驗證定理較難的方向：輸入一幅二部圖，算法或輸出一個 X 完美匹配，或輸出一個霍爾犯。

該算法調用以下子程序：輸入匹配 M 及未匹配的某頂點 x\_{0}\in X，或輸出一條 M 增廣路徑，或輸出一個霍爾犯。該子程序可以深度优先搜索實作。

以下敍述算法的步驟：

1. 初始時，設 M 為空集，未選定任何邊。（其後會加邊入 M。）
2. 檢查：M 確為 G 的匹配。
3. 若 M 已覆蓋 X，則為所求的 X 完美匹配，輸出並結束程序。
4. 否則，找到未匹配的頂點 {\displaystyle x\_{0}\in X\setminus V(M)}。
5. 調用尋找增廣路徑的子程序，視乎情況：
	1. 若找到霍爾犯，則輸出並結束。
	2. 若找到 M 增廣路徑，則將該路徑上各邊的狀態翻轉，使 M 的邊數增加一。返回第2步。

每次找到增廣路徑，都會使 M 多一條邊。所以，前述算法的迴圈至多執行 |X| 次，就會停機。每次尋找增廣路徑需時 {\displaystyle {\mathcal {O}}(|E|)}。總時間複雜度與不加權的最大匹配問題（英语：）的福特-富爾克森算法相約。

### 兩種表述等價

設 {\displaystyle S=(A\_{1},A\_{2},\ldots ,A\_{n})}，其中 A\_{i} 皆為有限集，不必相異。相應地，構造二部圖 G，一側頂點集 {\displaystyle X=\{v\_{1},\ldots ,v\_{n}\}} 對應該 n 個集合，另一側頂點集 Y 為該些集合之並。若 A\_{i} 有元素 {\displaystyle y\in Y}，則在圖中連一條邊 {\displaystyle v\_{i}y}。如此，族 S 的代表系即是 G 的 X 完美匹配，覆蓋 X 的全部頂點。所以，以集族表述的霍爾問題，容易化成圖論表述的霍爾問題。反之亦然：給定二部圖 {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}，X 完美匹配相當於鄰域（英语：）族 {\displaystyle \{\Gamma (x):x\in X\}} 的代表系。

### 其他證明

利用拓撲組合學（英语：）的斯佩納引理（英语：），可得霍爾定理的非構造性證明。

應用
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定理有許多「非婚」應用。例如，取一疊啤牌（無鬼牌），洗勻後，派成13磴，每磴4張。由霍爾定理可證，必能從每磴揀選一張牌，使所選13張牌恰好出齊各點數（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正則二部圖（允許重邊）皆有完美匹配。

較抽象的應用有雙邊陪集遍歷。設 G 為群，H 為其有限指數子群，則霍爾定理適用於證明存在集合 T，既是 H 各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。

霍爾定理亦用於證明，若 {\displaystyle r<n}，則任意 r \times n 拉丁矩陣（英语：）皆可擴展成 {\displaystyle (r+1)\times n} 拉丁矩陣，並可重複，直至得到完整的拉丁方陣。

相關定理
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本定理可歸類到組合學的一列強力定理，其彼此關聯。若假設任何一條，則較易證得其他各條，但若要從頭開始，則較難證得任何一條。總括而言，該類定理各自斷言某類組合優化問題具有強對偶性（英语：）。該些定理包括：

* 克尼格定理（英语：）：二部圖的最大匹配，與最小頂點覆蓋（英语：）等大。
	+ 克尼格-艾蓋瓦里定理（英语：）（1931年），得名自克尼格·代奈什（英语：）、艾蓋瓦里·耶內兩位匈牙利數學家，是克尼格定理的加權推廣。
* 门格尔定理（1927年）：邊最小割的大小，等於任意在所有頂點對之間可以找到的無公共邊的路徑的最大數量。結論換成頂點最小割與無公共（中間）頂點的路徑仍成立。
* 最大流最小割定理（福特-富爾克森算法）：任意网络流中，最大流的值等於最小割。
* 伯克霍夫-馮紐曼定理（英语：）（1946年）：一個方陣為雙隨機（英语：），當且僅當其為置換方陣的凸組合。
* 迪爾沃思定理（英语：）：覆蓋某偏序集所需的不交鏈數，與該集的最大反鏈等大。

欲要更具體描述各定理的關係，下列各等價關係有簡單證明：

> 
> 迪爾沃思定理 ⇔ 霍爾定理 ⇔ 克尼格-艾蓋瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。
> 
> 
>

加強
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### 無窮族

馬歇爾·霍爾（英语：）細察菲利浦·霍爾原先的證明，發現可以將結論修改成對（有限集組成的）無窮族 S 仍成立。該證明直接使用佐恩引理。此外，也有較簡短的證明，用到命題邏輯的緊緻性定理：

設 {\displaystyle S=\{A\_{i}:i\in I\}}。對每個 {\displaystyle i\in I} 和 {\displaystyle a\in A\_{i}}，以命題 {\displaystyle p\_{a,i}} 表示「a 選為 A\_{i} 的代表」。可以列出代表系須滿足的條件如下：

* 對應每個 i\in I，各有一條命題斷言恰有一個 {\displaystyle a\in A\_{i}} 使 {\displaystyle p\_{a,i}} 為真；
* 對應每對互異的 {\displaystyle i,j\in I} 和 {\displaystyle a\in A\_{i}\cap A\_{j}}，各有一條命題為 {\displaystyle \neg (p\_{a,i}\wedge p\_{a,j})}。

如此，代表系即等價於同時滿足以上各命題的賦值。由有限族的霍爾定理，對 I 的任意有限子集 J，相應的有限子族有代表系，故以上命題中，任意有限條皆可同時滿足。所以，由緊緻性定理，全部命題可同時滿足，即有整個無窮族的代表系。

以上一般情況的證明中，選擇公理（或等價命題如佐恩引理）為必須，因為給定一族無窮多個非空集（無額外條件），欲從每個集合中，選出一個代表（而無須相異），已需要選擇公理。

### 無窮集

馬歇爾·霍爾給出下列反例，表明若允許有無窮集，則所組成的無窮族，即使滿足霍爾條件，亦不保證有代表系。

設族 S 由可數多個集合 {\displaystyle A\_{0}=\{1,2,3,\ldots \},\ A\_{1}=\{1\},\ A\_{2}=\{2\},\ \ldots ,\ A\_{i}=\{i\},\ \ldots } 構成。該族滿足霍爾條件，但無法選出代表系。

若妥為敍述，則的確可將霍爾定理推廣至適用於無窮集。給定二部圖，兩側頂點集為 A,B，若由 B 的子集 C 出發，在圖中找到單射（意思是衹能用二部圖的邊），射向 A 的子集 D，則稱 {\displaystyle C\leq D}，而若更甚者，圖中沒有反向的，由 D 至 C 的單射，則稱 {\displaystyle C<D}。前述定義中，若忽略「在圖中」三字，則所得大小的概念等同一般基數的大小比較。無窮集的婚配定理斷言：

> 
> 圖中有 A 至 B 的單射，當且僅當對每個 {\displaystyle D\subseteq A}，皆有其鄰域 {\displaystyle N(D)\nless D}。
> 
> 
> 

### 代表系的數目

馬歇爾·霍爾也計算出給定有限族 S 的代表系數目的下界，從而加強婚配定理。其敍述為：

> 
> 設有一列有限集 {\displaystyle (A\_{1},A\_{2},\ldots ,A\_{n})}，不必相異，但滿足霍爾條件，又設 {\displaystyle |A\_{i}|\geq r} 對 {\displaystyle i=1,\ldots ,n} 成立。則當 {\displaystyle r\leq n} 時，該族有限集至少有 {\displaystyle r!} 個不同的代表系，而當 {\displaystyle r>n} 時，至少有 {\displaystyle r(r-1)\cdots (r-n+1)} 個。
> 
> 
> 

此處即使兩個代表系的元素一樣，衹要其次序不同，亦視為不同。例如，若 {\displaystyle A\_{1}=\{1,2,3\}}，{\displaystyle A\_{2}=\{1,2,5\}}，則 {\displaystyle (1,2)} 和 {\displaystyle (2,1)} 為兩個不同的代表系。

### 分數匹配

圖的**分數匹配**（）是對各邊賦予非負權值，使每個頂點所連各邊的權值和不超逾 1。所謂 X 完美的分數匹配，即是使 X 中的每一頂點處，各邊權之和恰為 1。對於二部圖 {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}，下列各項等價：

* G 有 X 完美匹配。
* G 有 X 完美分數匹配。（此為前項的直接推論。給定一個 X 完美匹配，將該匹配所選的邊賦權 1，其餘邊賦 {\displaystyle 0}，則得到 X 完美分數匹配。）
* G 滿足霍爾條件。（若有前項的分數匹配，則對於 X 的每個子集 W，其所連各邊之和恰為 |W|，故至少要與對面的 |W| 個頂點相連，因為對面每個頂點所連的邊值和不超過 1。）

### 虧缺

条目：虧度 (圖論)（英语：）
假如霍爾條件不成立，則原定理僅斷言不存在完美匹配，但並未說明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考慮圖的虧度（英语：）。對於二部圖 {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}，G 關於 X 的**虧度**（）是 {\displaystyle |W|-|N\_{G}(W)|} 的最大值，其中 W 可取 X 的任意子集。虧度越大，則圖離霍爾條件越遠。

用霍爾定理可證，若二部圖的虧度為 d，則有大小為 {\displaystyle |X|-d} 的匹配。（考慮在 Y 側添加 d 個輔助點，與 X 所有頂點連邊。新圖將滿足霍爾條件。）

### 非二部圖

* 若推廣至一般的圖（不必為二部圖），則其上有完美匹配的充要條件，由塔特定理描述。
* 若推廣至各類二部超圖（英语：）（二部圖的超圖版本），則相應有各種霍爾式定理（英语：）。

註
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1. ↑  婚配之名見於。
2. ↑  Hall, Jr. 1986，pg. 51。也可以允許無窮集，但此時須限制族中的集合數有限（考慮重數），見§ 推廣。然而，不能放寬成無窮多個無窮集。
3. ↑  S 可以放寬為無窮族，見§ 推廣。
4. ↑  即 S 可以有重複的元素，且會考慮其重複次數。
5. ↑  此例子中，為使定理適用，需要假設該些人的婚姻為一夫一妻制。
6. ↑  即無法再延伸。
7. ↑  定理的名稱，文獻中略有出入。相關的定理既有二分圖匹配的表述，也有 (0,1) 矩陣覆蓋的表述。Hall, Jr. (1986)和van Lint & Wilson (1992)稱矩陣表述為克尼格定理，而Roberts & Tesman (2009)則稱之為克尼格-艾蓋瓦里定理。二部圖版本，Cameron (1994)和Roberts & Tesman (2009)皆稱為克尼格定理。
8. ↑  即行和與列和皆等於一，且各項非負。
9. ↑  兩人並非親屬。
10. ↑  此處的命題需要 A\_{i} 為有限集，纔能用命題邏輯的語言寫出

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站外鏈結
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* Cut-the-knot站，Marriage Theorem and Algorithm （页面存档备份，存于）
* Lucky的筆記Hall's marriage theorem explained intuitively （页面存档备份，存于）.

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