數學中，**Θ函數**是一種多複變（英语：）特殊函數。其應用包括阿貝爾簇（英语：）與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。

Jacobi theta 1
Jacobi theta 2
Jacobi theta 3
Jacobi theta 4
Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「*z*」 變量，Θ函數是拟周期函数（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般下降理論（英语：）中，Θ函數是來自線叢（英语：）條件。

雅可比Θ函數
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雅可比Θ函數取二變量z\,與\tau \,，其中z\,為任何複數，而{\displaystyle \tau \,}為上半複平面上一點；此函數之定義為：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}}。
若固定{\displaystyle \tau \,} ，則此成為一週期為 1 \,的單變量{\displaystyle (z)\,}整函數的傅里葉級數：

{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )} 。
在以 {\displaystyle \tau \,} 位移時，此函數符合：

{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )}；
其中 a \,與b \,為整數。

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輔助函數
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可定義輔助函數：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).}
其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}替換了\tau \,，而稱本条目中的Θ為{\displaystyle \theta \_{3}\,}，{\displaystyle \vartheta \_{01}}為{\displaystyle \theta \_{0}\,}，{\displaystyle \vartheta \_{10}}為\theta\_2\,，{\displaystyle \vartheta \_{11}}為{\displaystyle -\theta \_{1}\,}。

若設{\displaystyle z=0\,}，則我们可從以上獲得四支單以\tau \,為變量之函數，其中\tau \,取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta \_{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta \_{10}(0;\tau )^{4}},
是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式
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雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設：

{\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,}
則

{\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta \_{10}(z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta \_{01}(z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta \_{11}(z;\tau )}

以*nome q*表示Θ函數
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我们可用變量w\,與q\,，代替z \,與\tau \,，來表示ϑ。設{\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,}而{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}。則ϑ可表示為：

{\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
而輔助Θ函數可表示為：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(w;q)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.}
此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。

乘積表示式
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雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數w\,和q\,，其中{\displaystyle |q|<1\,}而{\displaystyle w\neq 0\,}，則

{\displaystyle \prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（英語：）。

若用*nome*變量{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,}與{\displaystyle w=e^{\pi iz}\,}表示，則有：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
由此得到Θ函數的積公式：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)}
三重積等式左邊可以擴展成：

{\displaystyle \prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),}
即

{\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}。
这个式子在*z*取實值時尤為重要。
各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(z|q)=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}

積分表示式
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雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du}
{\displaystyle \vartheta \_{01}(z;\tau )=-i\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}

與黎曼ζ函數的關係
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黎曼常用關係式

{\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}
以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式：

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int \_{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}} ；
而此積分於替換{\displaystyle s\to 1-s}下不變。 z\,非零時之積分，在赫尔维茨ζ函數一文有描述。

與基本椭圓函數之關係
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雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造：

{\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta \_{11}(z;\tau ))''+c}
其中二次微分相對於*z*，而常數*c*使{\displaystyle \wp (z)}的罗朗級數（於 *z* = 0）常項為零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

與模形式之關係
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設η為戴德金η函數。則

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}}.

解熱方程
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雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設*z* = *x*取實值，τ = *it*而*t*取正值。則有

{\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum \_{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}
此解此下方程：

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)}。
於*t* = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳状函数」（Dirac comb）

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}，
其中δ為狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。
因此，一般解可得自*t* = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。

與海森堡羣之關係
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雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

推廣
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若*F*為一*n*元二次型，則有一關連的Θ函數

{\displaystyle \theta \_{F}(z)=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))}
其中*Z*n為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權*n*/2 模形式。在其富理埃級數

{\displaystyle \theta \_{F}(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }R\_{F}(k)\exp(2\pi ikz)}
中，*R*F(*k*) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。

### 拉马努金Θ函數

条目：拉马努金Θ函數
### 黎曼Θ函數

設

{\displaystyle \mathbb {H} \_{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}}
為一集對稱方矩陣，其虚部為正定，一般稱*H**n*為"西格尔上半平面"（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之*n*維推廣為辛羣Sp(2n,**Z**)： 當*n* = 1 時， Sp(2,**Z**) = SL(2,**Z**)。同余子群（congruence subgroup）的*n*維推廣為態射核{\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}}。

若設{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} \_{n}}，則可定義**黎曼Θ函數**：

{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}；
{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}；
其中{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}為一*n*維複向量，上標*T*為轉置。然則雅可比Θ函數為其特例（設*n* = 1、 {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }；其中{\mathbb {H}}為上半平面）。

在{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} \_{n}.}的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為：

{\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )}；
此方程成立於
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}}, {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} ， {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} \_{n}}。

### q-Θ函數

条目：q-Θ函數

参考文献
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* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. *(See section 16.27ff.)*
* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 *(See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)*
* G. H. Hardy and E. M. Wright，*An Introduction to the Theory of Numbers*, fourth edition (1959) , Oxford University Press
* David Mumford，*Tata Lectures on Theta I* (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
* James Pierpont *Functions of a Complex Variable*, Dover
* Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, *Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces*, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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* NDL: 00572911

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