**24点**游戏（在香港也稱「**合廿四**」）J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。

有些组合有多种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

较有难度的24点
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虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

### 分数或小数运算

虽然给出4个数字都是整数，中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1，5，5，5，其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外
一个例子是3，3，8，8，其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法，其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为：

| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
| --- | --- | --- | --- |
|  2,  4, 10, 10 | (2 + 4 ÷ 10)×10 |  2,  5,  5, 10 | (5 − 2 ÷ 10)×5 |
|  2,  7,  7, 10 | (2 + 10 ÷ 7)×7 |  3,  3,  7,  7 | (3 + 3 ÷ 7)×7 |
|  4,  4,  7,  7 | (4 − 4 ÷ 7)×7 |  2,  2, 11, 11 | (2 + 2 ÷ 11)×11 |
|  2,  2, 13, 13 | (2 − 2 ÷ 13)×13 |  1,  3,  4,  6 | 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4) |
|  2,  3,  5, 12 | 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2) |  1,  8, 12, 12 | 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) |
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### 大数／奇数运算

大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
| --- | --- | --- | --- |
|  1,  3,  9, 10 | (1 + 10)×3 − 9 |  7,  8,  8, 10 | 10×8 − 7×8 |
|  9, 11, 12, 12 | 11×12 − 9×12 |  1,  2,  7,  7 | (7×7 − 1) ÷ 2 |
|  3,  8,  8, 10 | (8×10 − 8) ÷ 3 |  4,  8,  8, 11 | (8×11 + 8) ÷ 4 |
|  5, 10, 10, 13 | (10×13 − 10) ÷ 5 |  1,  5, 11, 11 | (11×11 - 1) ÷ 5 |
|  1,  6, 11, 13 | (11×13 + 1) ÷ 6 |  1,  7, 13, 13 | (13×13 − 1) ÷ 7 |
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### 计算复杂性排行

下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合，完整的 566 组有解（多组解则取最简单的情况）情况如附录。

| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1，3，4，6 | (6/(1-(3/4))) | 1，2，7，7 | (((7\*7)-1)/2) | 3，3，7，7 | (((3/7)+3)\*7) |
| 1，4，5，6 | (4/(1-(5/6))) | 3，5，10，10 | (3\*(10-(10/5))) | 2，7，7，10 | (((10/7)+2)\*7) |
| 3，3，8，8 | (8/(3-(8/3))) | 3，8，8，10 | (((10\*8)-8)/3) | 2，2，7，10 | (((10/2)+7)\*2) |
| 1，6，6，8 | (6/(1-(6/8))) | 4，4，10，10 | (((10\*10)-4)/4) | 3，3，6，6 | (3\*((6/3)+6)) |
| 1，4，5，6 | (6/((5/4)-1)) | 1，5，5，5 | ((5-(1/5))\*5) | 2，4，10，10 | (10\*((4/10)+2)) |
|  |  | 2，5，5，10 | ((5-(2/10))\*5) |  |  |
|  |  | 4，4，7，7 | ((4-(4/7))\*7) |  |  |

24点的组合数学
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其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出：

N={K+3 \choose 4}={\frac {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!。
譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机的取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

### 推广

24点游戏可以被推广到多张牌（n>4）的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的，也就是说，每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下，有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低，一共为如下37种。如果最大数值为13，则无解的总数扩大为80。

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 1 1 1 2 | 1 1 1 1 3 | 1 1 1 1 4 | 1 1 1 1 5 | 1 1 1 2 2 | 1 1 1 2 3 |
| 1 1 1 9 9 | 1 1 1 9 10 | 1 1 1 10 10 | 1 1 2 2 2 | 1 1 6 7 7 | 1 1 7 7 7 |
| 1 1 9 9 9 | 1 1 9 9 10 | 1 1 10 10 10 | 1 5 9 9 9 | 1 6 7 7 7 | 1 7 7 7 7 |
| 1 7 9 9 9 | 1 8 9 9 10 | 1 8 9 10 10 | 1 9 9 9 9 | 1 9 9 9 10 | 1 9 9 10 10 |
| 1 9 10 10 10 | 1 10 10 10 10 | 2 9 9 9 9 | 3 5 5 5 5 | 4 9 9 9 9 | 6 7 7 7 7 |
| 6 10 10 10 10 | 8 9 9 9 10 | 8 9 9 10 10 | 9 9 9 9 10 | 9 9 9 10 10 | 9 9 10 10 10 |
| 9 10 10 10 10 |
|

注意到，以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合，比如，5个1，这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下，4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下，所有组合方式（10890种）都有解。

影响
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這游戏在中美两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。

參見
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* 21点