以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋
**巴都萬數列**（Padovan Sequence）是一個整數數列，其起始數值跟遞歸關係定義為：

P(0)=P(1)=P(2)=1
P(n)=P(n-2)+P(n-3)
*P*(*n*) 的前几个值是：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... （OEIS數列A000931）
此數列以建築師理察·巴都萬（英语：）命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰（英语：）在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係
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* {\displaystyle P\_{n}=P\_{n-1}+P\_{n-5}}（此關係可從圖中見得）
* {\displaystyle P\_{n}=P\_{n-2}+P\_{n-4}+P\_{n-8}}
* {\displaystyle P\_{n}=P\_{n-3}+P\_{n-4}+P\_{n-5}}
* {\displaystyle P\_{n}=P\_{n-4}+P\_{n-5}+P\_{n-6}+P\_{n-7}+P\_{n-8}}

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義：
{\displaystyle Perrin\_{n}=P\_{n+1}+P\_{n-10}}

反巴都萬數列
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使用遞歸關係{\displaystyle P\_{-n}=P\_{-n+3}-P\_{-n+1}}可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和
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首n項（包括第0項）之和比{\displaystyle P\_{n+5}}少2：

{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{m}=P\_{n+5}-2.}
下面是每隔數項的和：

{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{2m}=P\_{2n+3}-1}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{2m+1}=P\_{2n+4}-1}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{3m}=P\_{3n+2}}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{3m+1}=P\_{3n+3}-1}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{3m+2}=P\_{3n+4}-1}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{5m}=P\_{5n+1}.}
下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{m}^{2}=P\_{n+2}^{2}-P\_{n-1}^{2}-P\_{n-3}^{2}}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{m}^{2}P\_{m+1}=P\_{n}P\_{n+1}P\_{n+2}}
{\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}P\_{m}P\_{m+2}=P\_{n+2}P\_{n+3}-1.}

其他恆等式
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{\displaystyle P\_{n}^{2}-P\_{n+1}P\_{n-1}=P\_{-n-7}.}
巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

{\displaystyle \sum \_{2m+n=k}{m \choose n}=P\_{k-2}.}

估計值
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x^{3}-x-1=0有三個根：唯一的實數根p（即銀數）和兩個複數根q和r。

{\displaystyle P\_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.}
因為q和r的絕對值都少於1，當n趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的n，可以以下面的公式估計：

{\displaystyle P\_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.}
從上面的公式亦知{\displaystyle {\frac {P\_{n+1}}{P\_{n}}}}的值趨近銀數。

整數分拆上的定義
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P\_{n}可以用不同的整數分拆來定義。

* P\_{n}是將n+2寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如{\displaystyle P\_{6}=4}，有4種方法將8寫成這類和式：

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
* {\displaystyle P\_{2n-2}}是將n寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如{\displaystyle P\_{5\times 2-2}=P\_{8}=7}，有7種方法將5寫成這類和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5
* P\_{n}是將n寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如{\displaystyle P\_{9}=9}，有9種方法將9寫成這類和式：

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
* 若上述情況改為{\displaystyle P\_{8}=8}，則數列如下：

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8
* P\_{n}是將{\displaystyle n+4}寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如{\displaystyle P\_{7}=5}，有5種方法將11寫成這類和式：

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數
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巴都萬數列的生成函數為

{\displaystyle G(P\_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}
它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：

{\displaystyle \sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {P\_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}

多項式
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巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

{\displaystyle P\_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP\_{n-2}(x)+P\_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.}
首七個巴都萬多項式為：

{\displaystyle P\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle P\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle P\_{2}(x)=x^{2}\,}
{\displaystyle P\_{3}(x)=x^{2}+1\,}
{\displaystyle P\_{4}(x)=x^{3}+x\,}
{\displaystyle P\_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,}
{\displaystyle P\_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,}
{\displaystyle P\_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,}
第n個巴都萬數即{\displaystyle P\_{n}(1)}。

其他特質
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* 奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
* 數列中的質數：{\displaystyle P\_{3,4}=2;P\_{5}=3;P\_{7}=5;P\_{8}=7;P\_{14}=37;P\_{19}=151;P\_{30}=3329;P\_{37}=23833;...}（OEIS:A000931）
* 數列中的平方數：{\displaystyle P\_{0,1,2}=1;P\_{6}=2^{2};P\_{9}=3^{2};P\_{11}=4^{2};P\_{15}=7^{2}}

参考文献
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1. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. ↑  Richard Padovan. *Dom Hans van der Laan: modern primitive*: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.

外部連結
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* Padovan Sequence （页面存档备份，存于）（MathWorld）
* Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章
* 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯
* Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number （页面存档备份，存于）, Richard Padovan