数学中，**重心坐标**是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

设*v*1, ... *v**n*是向量空间*V*中一个单形的顶点，如果*V*中某点*p*满足，

(\lambda \_{1}+\cdots +\lambda \_{n})\,p=\lambda \_{1}\,v\_{1}+\cdots +\lambda \_{n}\,v\_{n},
那么我们称系数（*λ*1, ... *λ**n*）是 *p*关于*v*1, ... *v**n*的**重心坐标**。这些顶点自己的坐标分别是（1, 0, 0, ... 0），（0, 1, 0, ... 0）, ...（0, 0, 0, ... 1）。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的*k*，（*k λ*1, ... *k λ**n*）也是*p*的重心坐标。但总可以取坐标满足
*λ*1 + ...+ *λ*n = 1，称为**正规化**坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负，则*p*在*v*1, ... *v**n*的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含*p*。我们设想如果有质量*λ*1, ... *λ**n*分别位于单形的顶点，那么质量中心就是*p*。这是术语"重心"的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

三角形的重心坐标
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在三角形情形中，重心坐标也叫**面积坐标**，因为*P*点关于三角形*ABC*的重心坐标和三角形*PBC*, *PCA*及*PAB*的（有向）面积成比例，证明如下（如右图所示）。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形*ABC*顶点为{\textbf {a}}\,,{\textbf {b}}\,和{\textbf {c}}\,，P点为{\textbf {p}}等。设*PBC*, *PCA*及*PAB*面积之比为\lambda \_{1}:\lambda \_{2}:\lambda \_{3}\,且\lambda \_{1}+\lambda \_{2}+\lambda \_{3}=1，设射线*AP*与*BC*交于*D*，则

BD:DC=\lambda \_{3}:\lambda \_{2},从而{\textbf {d}}={\frac {\lambda \_{2}{\textbf {b}}+\lambda \_{3}{\textbf {c}}}{\lambda \_{2}+\lambda \_{3}}},
AP:PD=(\lambda \_{2}+\lambda \_{3}):\lambda \_{1}，故
{\textbf {p}}={\frac {(\lambda \_{2}+\lambda \_{3}){\textbf {d}}+\lambda \_{1}{\textbf {a}}}{\lambda \_{1}+\lambda \_{2}+\lambda \_{3}}}\,,
{\textbf {p}}=\lambda \_{1}{\textbf {a}}+\lambda \_{2}{\textbf {b}}+\lambda \_{3}{\textbf {c}}\,.
所以，(\lambda \_{1},\lambda \_{2},\lambda \_{3})就是*P*的重心坐标。

### 坐标变换

给定三角形平面一点*P*，我们将这一点的面积坐标\lambda \_{{1}}\,，\lambda \_{{2}}\,和\lambda \_{{3}}\,用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

S(ABC)={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x\_{a}&y\_{a}\\1&x\_{b}&y\_{b}\\1&x\_{c}&y\_{c}\\\end{vmatrix}}
我们可得：

\lambda \_{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x\_{p}&y\_{p}\\1&x\_{b}&y\_{b}\\1&x\_{c}&y\_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x\_{a}&y\_{a}\\1&x\_{b}&y\_{b}\\1&x\_{c}&y\_{c}\\\end{vmatrix}}
类似地有\lambda \_{2},\lambda \_{3}，注意*ABC*构成一个三角形，上式的分母不可能为0。

反过来则简单得多：

{\textbf {p}}=\lambda \_{1}{\textbf {a}}+\lambda \_{2}{\textbf {b}}+\lambda \_{3}{\textbf {c}},故
x\_{p}=\lambda \_{1}x\_{a}+\lambda \_{2}x\_{b}+\lambda \_{3}x\_{c},和
y\_{p}=\lambda \_{1}y\_{a}+\lambda \_{2}y\_{b}+\lambda \_{3}y\_{c}.
### 判断一点的位置

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间(0,1)；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标\lambda \_{{1...3}}为0，其余分量位于闭区间[0,1]。如果有某个坐标小于0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。
图示中，B和C顶端的坐标正负反了，B的应该是（-,+,-），C的是（-,-,+）

### 应用

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点{\textbf {v}}\_{{1}}\,, {\textbf {v}}\_{{2}}\,和{\textbf {v}}\_{{3}}\,定义的三角形**T**，任何在三角形内部的点{\textbf {p}}都能写成顶点的加权和：

{\textbf {p}}=\lambda \_{{1}}{\textbf {v}}\_{{1}}+\lambda \_{{2}}{\textbf {v}}\_{{2}}+\lambda \_{{3}}{\textbf {v}}\_{{3}},
这里\lambda \_{{1}}\,、\lambda \_{{2}}\,和\lambda \_{{3}}\,是面积坐标。注意到\lambda \_{{3}}=1-\lambda \_{{1}}-\lambda \_{{2}}\,。从而，函数f在**T**上的积分为：

\int \_{{T}}f({\textbf {p}})\ ds=2S\int \_{{0}}^{{1}}\int \_{{0}}^{{1-\lambda \_{{2}}}}f(\lambda \_{{1}}{\textbf {v}}\_{{1}}+\lambda \_{{2}}{\textbf {v}}\_{{2}}+(1-\lambda \_{{1}}-\lambda \_{{2}}){\textbf {v}}\_{{3}})\ d\lambda \_{{1}}\ d\lambda \_{{2}}\,
这里*S*是三角形**T**的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果0\leq \lambda \_{i}\leq 1\;\forall \;i\in {1,2,3}，则点{\textbf {p}}位于三角形内部或边界上。我们取f的插值为

f({\textbf {p}})=\lambda \_{1}f({\textbf {v}}\_{1})+\lambda \_{2}f({\textbf {v}}\_{2})+\lambda \_{3}f({\textbf {v}}\_{3}),
这个线性插值是自动正规的因为\lambda \_{1}+\lambda \_{2}+\lambda \_{3}=1。

四面体的重心坐标
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重心坐标容易推广到三维空间。3维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。

完全类似于三角形，四面体{\textbf {v}}\_{1},{\textbf {v}}\_{2},{\textbf {v}}\_{3},{\textbf {v}}\_{4}的顶点{\textbf {v}}\_{1}的重心坐标为（1,0,0,0），{\textbf {v}}\_{2}为（0,1,0,0），如是等等。

点{\textbf {p}}的笛卡尔坐标和为关于四面体{\textbf {v}}\_{1},{\textbf {v}}\_{2},{\textbf {v}}\_{3},{\textbf {v}}\_{4}的重心坐标的关系：

\lambda \_{1}={\text{Vol}}(PV\_{2}V\_{3}V\_{4})/{\text{Vol}}(V\_{1}V\_{2}V\_{3}V\_{4}),\;\lambda \_{2}=\cdots .
这里{\text{Vol}}(V\_{1}V\_{2}V\_{3}V\_{4})为{\textbf {v}}\_{1},{\textbf {v}}\_{2},{\textbf {v}}\_{3},{\textbf {v}}\_{4}组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。

3维重心坐标和2维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化3维插值，四面体网格经常用于有限元分析。

参考文献
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* Bradley, Christopher J.. Bath: Highperception. 2007. ISBN 978-1-906338-00-8.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

外部链接
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* 重心坐标：一个有意思的运用 （页面存档备份，存于）（解"三杯子问题"）位于cut-the-knot
* 齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用