"笛卡儿平方"重定向至此，关于范畴论中的笛卡儿方形，参见拉回 (范畴论)

{\displaystyle A=\{x,y,z\}}與{\displaystyle B=\{1,2,3\}}的笛卡尔积
在数学中，两个集合X和Y的**笛卡儿积**（英語：），又称**直积**，在集合论中表示为{\displaystyle \,X\times Y}，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是{\displaystyle \,X\,}的成员，第二个对象是{\displaystyle \,Y\,}的成员。

{\displaystyle X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}}。
舉個實例，如果集合{\displaystyle \,X\,}是13个元素的点数集合{\displaystyle \left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}}，而集合{\displaystyle \,Y\,}是4个元素的花色集合{\displaystyle \{}♠, ♥, ♦, ♣\}，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合{\displaystyle \{(A,}♠{\displaystyle ),(K,}♠{\displaystyle ),...(2,}♠{\displaystyle ),...(A,}♣{\displaystyle ),...(3,}♣{\displaystyle ),(2,}♣{\displaystyle )\}}。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。

笛卡儿积的性质
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易见笛卡儿积满足下列性质：

* 对于任意集合A，根据定义有A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing
* 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
* 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)
A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)
(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)
* 若一個集合A包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積{\displaystyle A\times A}有和A一樣多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积
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集合X的**笛卡儿平方**（或**二元笛卡儿积**）是笛卡儿积{\displaystyle X\times X}。一个例子是二维平面{\displaystyle R\times R}，（这里R是实数集） - 它包含所有的点(x,y)，这里的x和y是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在n个集合X\_{1},...X\_{n}上的***n*-元笛卡儿积**:

X\_1\times\ldots\times X\_n = \{(x\_1, \ldots, x\_n) \ | \ x\_1\in X\_1\;\land\;\ldots\;\land\;x\_n\in X\_n\}。
实际上，它可以被等同为{\displaystyle \left(X\_{1}\times ...\times X\_{n-1}\right)\times X\_{n}}。它是*n*-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间{\displaystyle R\times R\times R}，这里的**R**同樣是指实数集。

无穷乘积
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对最常用的数学应用而言，上述定义通常已經足夠。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。

如果I是任何指标集合，而

\{X\_i\ | i \in I\}
是由*I*索引的集合的搜集，则我们定义

\prod\_{i \in I} X\_i = \{ f : I \to \bigcup\_{i \in I} X\_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X\_i)\}，
就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引i上的值是X\_{i}的元素。

对在I中每个j，定义自

 \pi\_{j}(f) = f(j) \ 
的函数

 \pi\_{j} : \prod\_{i \in I} X\_i \to X\_{j} \ 
叫做**第**j**投影映射**。

*n*-元组可以被看作在{\displaystyle \left\{1,2,...n\right\}}上的函数，它在i上的值是这个元组的第*i*个元素。所以，在*I*是{\displaystyle \left\{1,2,...n\right\}}的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族。

在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集\mathbb N,的时候：这正是其中第*i*项对应于集合*X\_{i}*的所有无限序列的集合。再次，\mathbb {R} 提供了这样的一个例子：

\prod\_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots
是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子*Xi*都是相同的时候，类似于"笛卡儿指数"。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从*I*到*X*的所有函数的集合。

在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。

"非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空"這一陳述等价于选择公理。

函数的笛卡儿积
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如果f是从A到B的函数，而g是从X到Y的函数，则它们的**笛卡儿积**{\displaystyle f\times g}是从{\displaystyle A\times X}到{\displaystyle B\times Y}的函数，带有

(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))
跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。

参见
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* 有序对
* 幂集公理
* 二元关系
* 笛卡儿
* 乘积拓扑
* 乘积 (范畴论)
* 拉回 (范畴论)

外部链接
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* Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于）
* Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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