**广义超几何函数**（**generalized hypergeometric function**），有时也称**超几何函数**，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用"超几何函数"一词代指广义超几何函数，而用"高斯超几何函数"一词代指 *p*=2、 *q*=1 时的广义超几何函数。

定义与记号
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超几何函数是用幂级数定义的：

{\displaystyle \beta \_{0}+\beta \_{1}{\frac {z}{1!}}+\beta \_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum \_{n\geqslant 0}\beta \_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}
其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n 的有理函数，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 β0=1，于是

{\displaystyle {\frac {\beta \_{n+1}}{\beta \_{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}={\frac {\prod \_{i=1}^{p}(a\_{i}+n)}{\prod \_{i=1}^{q}(b\_{i}+n)}},\quad \forall n\geqslant 0}
于是用阶乘幂可以将 βn 表示为

{\displaystyle \beta \_{n}={\frac {\prod \_{i=1}^{p}(a\_{i})^{(n)}}{\prod \_{i=1}^{q}(b\_{i})^{(n)}}}}
一般用下面的记号来表示超几何函数：

{\displaystyle \_{p}F\_{q}(a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{p};b\_{1},b\_{2},b\_{3},\ldots ,b\_{q};z)=\ \_{p}F\_{q}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {\prod \_{i=1}^{p}(a\_{i})^{(n)}}{\prod \_{i=1}^{q}(b\_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
当 ai 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 bi 都不是非正整数。当有至少一个 ai 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 k 时，超几何函数将截断为 -k 次多项式，这时允许 bi 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 βn中，分母不为零。

敛散性
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下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。

除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p<q+1 时，收敛半径为无穷大，当 p=q+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数，而函数本身则采用其它方式定义，如积分表达式）。

当级数的收敛半径为 1 时，级数在单位圆外不收敛，但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外，此时在单位圆上的敛散性较为复杂，不能使用比值审敛法，必须使用高斯审敛法来判断，结果如下，令

{\displaystyle \gamma \_{q}=\sum \_{k=1}^{q}b\_{k}-\sum \_{k=1}^{p}a\_{k},\quad r=\Re (\gamma \_{q})}
则

* 当 r>0 时，级数在单位圆上绝对收敛；
* 当 0≥r>-1 时，级数在单位圆上除 z=1 外收敛，但不绝对收敛；
* 当 -1≥r 时，级数在单位圆上发散。

积分表达式
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复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 p≥q+1 的情形。

下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

{\displaystyle \left(\prod \_{k=1}^{p}\Gamma (a\_{k})\right/\left.\prod \_{k=1}^{q}\Gamma (b\_{k})\right)\,{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod \_{k=1}^{p}\Gamma (a\_{k}+s)\right/\left.\prod \_{k=1}^{q}\Gamma (b\_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}
当 p=q 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是整函数；

当 p=q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |z|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓；

当 p>q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 z =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数，即

{\displaystyle \_{p}F\_{q}\left[{\begin{matrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&\ldots &a\_{p}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}&\ldots &b\_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {\prod \_{i=1}^{p}(a\_{i})^{(n)}}{\prod \_{i=1}^{q}(b\_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}

超几何函数的性质
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### 特殊值

{\displaystyle {}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\ldots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};0\right]=1}
### 欧拉积分变换

{\displaystyle {}\_{p+1}F\_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\ldots ,a\_{p},c\\b\_{1},\ldots ,b\_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int \_{0}^{1}t^{c-1}(1-t)\_{}^{d-c-1}\ {}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\ldots ,a\_{p}\\b\_{1},\ldots ,b\_{q}\end{array}};tz\right]dt}
### 导函数

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\_{j}\right){}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{j},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]&=a\_{j}\;{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{j}+1,\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\_{k}-1\right){}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{k},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]&=(b\_{k}-1)\;{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{k}-1,\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod \_{i=1}^{p}a\_{i}}{\prod \_{j=1}^{q}b\_{j}}}\;{}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1}+1,\dots ,a\_{p}+1\\b\_{1}+1,\dots ,b\_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}
由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：

{\displaystyle z\prod \_{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod \_{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\_{n}-1\right)w,\quad w(z)={}\_{p}F\_{q}\left[{\begin{array}{c}a\_{1},\dots ,a\_{p}\\b\_{1},\dots ,b\_{q}\end{array}};z\right]}.

特例
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### 0F0

就是指数函数。

{\displaystyle {}\_{0}F\_{0}(;;z)=e^{z}}
### 1F0

{\displaystyle {}\_{1}F\_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}
### 0F1

称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与贝塞尔函数有密切关联。

{\displaystyle J\_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot {}\_{0}F\_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}
### 1F1 和 2F0

条目：合流超几何函数
1F1 就是（第一类）合流超几何函数，也称 Kummer 函数。

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}
另一方面，2F0 （此函数的级数表达式不收敛，因此必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数（又称Tricomi 函数）有如下关系：

U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}\_2F\_0(a,a-b+1;;-z^{-1})
事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限，

{\displaystyle {}\_{1}F\_{1}(a;c;z)=\lim \_{b\rightarrow \infty }{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;z/b)}
{\displaystyle {}\_{2}F\_{0}(a,b;;z)=\lim \_{c\rightarrow \infty }{}\_{2}F\_{1}(a,b;c;cz)}
类似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的极限。

不完全伽玛函数与这两个函数有关联：

\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z\_0^-
\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)
### 2F1

条目：超几何函数
就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。

### 多重对数函数

条目：多重对数函数
当 s 为非负整数时，多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示：

{\displaystyle \mathrm {Li} \_{s}(z)=z\cdot {}\_{s+1}F\_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}