**應力-能量張量**，也稱**應力-能量-動量張量**、**能量-應力張量**、**能量-動量張量**、簡稱**能動張量**，在物理學中是一個張量，描述能量與動量在時空中的密度與通量(flux)，其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中，應力-能量張量為重力場的源，一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用，尤其是在愛因斯坦場方程式。

定義
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*請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示，x0代表時間，其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。*

應力-能量張量為一個二階張量T^{{ab}}，給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。
另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時)，亦即 

T^{{ab}}=T^{{ba}}\,
若自旋張量S非零，則

\partial \_{{\alpha }}S^{{\mu \nu \alpha }}=T^{{\mu \nu }}-T^{{\nu \mu }}

例子
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此處舉出一些特例：

T^{{00}}
代表能量密度。

T^{{0i}}
代表能量通過*x**i*表面之通量，等同於

T^{{i0}},
第*i* 動量之密度。

分量

T^{{ij}}
代表*i* 動量通過*x**j*表面之通量。其中較特別的是：

T^{{ii}}
代表一個類似壓力與張應力的物理量——正向應力(normal stress)，而

T^{{ij}},\quad i\neq j
代表剪應力(shear stress)。

**提醒**：在固態物理與流體力學中，應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說，工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。

作為諾特流(Noether current)
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應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation)

\nabla \_{b}T^{{ab}}=T^{{ab}}{}\_{{;b}}=0.
此一物理量

\int d^{3}xT^{{a0}}
是對一類空切面積分，得出能量-動量向量。分量T^{{a0}}因此可以詮釋為（非重力的）能量與動量之局域密度，而連續性方程式的第一分量

\nabla \_{b}T^{{0b}}=\nabla \cdot {\mathbf {p}}-{\frac {\partial E}{\partial t}}=0
則單純是能量守恆的表述。空間分量T^{{ij}} (*i, j* = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量，其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)。

於廣義相對論中
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上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中，對稱形式的張量，也就是額外滿足

T^{{ab}}=T^{{ba}}
的關係的張量成為時空曲率的源，並且是與規範变換(gauge transformation)相應的流密度(current density)，在此是以座標变換為例。若有扭率(torsion)，則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力。

在廣義相對論中，平直時空所用的偏導數(偏微分，partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限，這一點有一個簡單的解釋：與引力位能互相交換的能量，它沒有包含在能動張量中，而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中，無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量；任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下，對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆"，我們必須感到心滿意足。

在彎曲時空中，一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量（原文誤為'vector'）。

  

### 愛因斯坦場方程式

条目：愛因斯坦場方程式
在廣義相對論中，應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中，方程式常寫為：

R\_{{\alpha \beta }}-{1 \over 2}R\,g\_{{\alpha \beta }}={8\pi G \over c^{4}}T\_{{\alpha \beta }},
其中R\_{{\alpha \beta }}為里奇張量, R為里奇純量（對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得），以及G為宇宙重力常數(universal gravitational constant).

特殊情况下的应力-能量张量
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### 孤立粒子

在狭义相对论中，质量为*m*的无相互作用粒子的应力-能量张量为：

T^{{\alpha \beta }}[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{{\alpha }}[t]v^{{\beta }}[t]}{{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])
其中δ是狄拉克δ函数，v^{{\alpha }}\!是速度矢量：

{\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.
### 处于平衡状态下的流体的应力-能量张量

对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：

T^{{\alpha \beta }}\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{{\alpha }}u^{{\beta }}+pg^{{\alpha \beta }}
其中\rho 是质量-能量密度（牛顿每立方米），p是流体静压力（牛顿每平方米），u^{{\alpha }}是流体的四维速度，g^{{\alpha \beta }}是度量张量的逆。

四维速度满足：

u^{{\alpha }}u^{{\beta }}g\_{{\alpha \beta }}=-c^{2}\,.
在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为：

u^{{\alpha }}=(1,0,0,0)\,,
度量张量的倒数为：

g^{{\alpha \beta }}\,=\left({\begin{matrix}-c^{{-2}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,
应力-能量张量是一个对角矩阵：

T^{{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).
### 电磁应力-能量张量

条目：电磁应力-能量张量
一个无源电磁场的应力-能量张量为：

T^{{\mu \nu }}(x)={\frac {1}{\mu \_{0}}}\left(F^{{\mu \alpha }}g\_{{\alpha \beta }}F^{{\nu \beta }}-{\frac {1}{4}}g^{{\mu \nu }}F\_{{\delta \gamma }}F^{{\delta \gamma }}\right)
其中F\_{{\mu \nu }}是电磁张量。

### 标量场

条目：克莱因-戈尔登方程
满足克莱因-戈尔登方程的标量场\phi 的应力-能量张量为：

T^{{\mu \nu }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{{\mu \alpha }}g^{{\nu \beta }}+g^{{\mu \beta }}g^{{\nu \alpha }}-g^{{\mu \nu }}g^{{\alpha \beta }})\partial \_{{\alpha }}{\bar \phi }\partial \_{{\beta }}\phi -g^{{\mu \nu }}mc^{2}{\bar \phi }\phi .

各式各樣的應力-能量張量
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存在有一些互不相等的應力-能量張量。

### 正則(Canonical)應力-能量張量

其為與時空平移相關的諾特流。

### 希爾伯特應力-能量張量

應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative)

T^{{\mu \nu }}(x)={\frac {2}{{\sqrt {-g}}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}\_{{{\mathrm {matter}}}}}{\delta g\_{{\mu \nu }}(x)}}
其中Smatter是作用量的非重力部份，為對稱的且有規範不變性。

### Belinfante-Rosenfeld應力-能量張量

  

### 赝張量(Pseudotensors)

赝張量的例子有愛因斯坦赝張量與藍道-里夫須茲赝張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

相關條目
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* 能量條件
* 坡印廷向量Poynting vector
* 電磁場能量密度
* 電磁應力-能量張量
* Segre classification（英语：）

外部連結
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* Lecture, Stephan Waner
* Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric