*n* = 0.5，*a* = *b* = 1的超橢圓
*n* = 1.5，*a* = *b* = 1的超橢圓
*n* = 4，*a* = *b* = 1的超橢圓，也稱為方圓形（Squircle）
**超橢圓**（英語：）也稱為**拉梅曲線**（），是在笛卡儿坐标系下滿足以下方程式的點的集合：

{\displaystyle |{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1}
其中*n*、*a*及*b*為正數。

上述方程式的解會是一個在−*a* ≤ *x* ≤ +*a*及−*b* ≤ *y* ≤ +*b*長方形內的封閉曲線，參數*a*及*b*稱為曲線的**半直徑**（）。

*n*在0和1之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。

*n*為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±*a*, 0）及（0, ±*b*）。*n*在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸的曲線，越接近頂點，曲線的曲率越大，頂點的曲率趨近無限大。

*n*為2時，超橢圓的圖形即為橢圓（若*a* = *b*時則為一個圓形）。當*n*大於2時，超橢圓的圖形看似四角有圓角（英语：）的長方形，曲線的曲率在（±*a*, 0）及（0, ±*b*）四點為0。*n*為4的超橢圓也稱為方圓形。

*n* < 2的超橢圓也稱為**次椭圆**（），*n* > 2的超橢圓則稱為**過椭圆**（）。

當*n* ≥ 1，且*a* = *b*=1時的超橢圓是二維Lp空间下的單位圓，*n*即為其p-範數。

超橢圓的極點為（±*a*, 0）及（0, ±*b*），而其四個「角」為（±*sa, ±sb*），其中 s=2^{{-{\frac {1}{n}}}}。

數學性質
----

當*n*為一個非零的有理數*p*/*q*（最簡分數形式），則超橢圓為一平面代數曲線。若*n*為正數，其曲線次數為*pq*，若*n*為負數，其曲線次數為2*pq*。若*a*和*b*均為1且*n*為偶數，則此超橢圓為一*n*次的費馬曲線（英语：），此時超橢圓沒有奇點，但一般而言超橢圓中會有有奇點。

超橢圓的動畫
超橢圓的參數方程如下：

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{{{\frac {2}{n}}}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{{{\frac {2}{n}}}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}
或

{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}
超橢圓內的面積可以用Γ函数Γ(*x*)來表示：

\ S = \Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.
其垂足曲線較容易計算，而以下曲線的垂足曲線

\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1
可以用極坐標方式來表示：

(a\cos \theta )^{{{\tfrac {n}{n-1}}}}+(b\sin \theta )^{{{\tfrac {n}{n-1}}}}=r^{{{\tfrac {n}{n-1}}}}.

延伸
--

廣義的超橢圓，*m* ≠ *n*.
超橢圓可以延伸為以下的形式：

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.
或

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{{{\frac {2}{m}}}}\cdot a\operatorname{sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{{{\frac {2}{n}}}}\cdot b\operatorname{sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}
其中的\theta **不是**表示角度，只是方程式的一個參數。

歷史
--

超橢圓在笛卡兒坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家加布里埃爾·拉梅，由椭圓的方程式擴展而得。

Zapf's Melior字體的'o'及'O'的輪廓可以用*n* = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2.758的超橢圓來表示
字體設計師赫爾曼·察普夫在1952年設計的Melior（英语：）字體，利用超橢圓作為字母*o*的外形。三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。

1959年時瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心賽格爾廣場圓環的設計競賽。丹麥詩人皮亞特·海恩(1905–1996)的設計以是一個*n* = 2.5，*a*/*b* = 6/5的超橢圓為基礎。他的說明如下：

人是唯一一種會畫線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形為主，另一種則圓弧線為主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西很簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥尔摩出現過的圓環－無法達到這一點。它不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一個問題，它介於圓和長方形之間，既不是圓也不是長方形。它是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。
賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括牀、碟子、桌子等。皮亞特·海恩將超橢圓以長軸為軸心旋轉，形成了一個立體的超級蛋（英语：），其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。

1968年在巴黎在為越戰談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給紐約時報的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形。1968年由墨西哥城主辦奧運時，也以超橢圓為阿茲特克體育場的外形。

沃尔多·托布勒在1973年提出了托布勒超橢圓投影（英语：），其中的經線就是用超橢圓來表示。

美式足球球隊匹兹堡钢人的標誌是三個相連的超橢圓。

相關條目
----

* 星形线，*n* = 2/3，且*a* = *b*的超橢圓，是四尖瓣的內擺線。
	+ 三尖瓣線（英语：），是三尖瓣的內擺線。
* 方圓形，*n* = 4，且*a* = *b*的超橢圓，看起來像是「正方形的輪子」。
	+ 勒洛三角形，看起來像是「三角形的輪子」。
* 超公式（英语：），超橢圓的延伸。
* 超二次曲面（英语：），三維下的超橢圓。
* 超橢圓曲線（英语：），方程為*Y**n* = *f*(*X*)的曲線。

參考資料
----

1. ↑  J. Edwards.. London: MacMillan and Co. 1892: 164.
2. 1 2  Gardner, Martin, , New York: Vintage Press: 240–254, 1977, ISBN 978-0-394-72349-5
3. ↑  *The Superellipse* （页面存档备份，存于）, in *The Guide to Life, The Universe and Everything* by BBC (27th June 2003)
4. ↑  Tobler, Waldo, Journal of Geophysical Research, 1973, **78** (11): 1753–1759, Bibcode:1973JGR....78.1753T, doi:10.1029/JB078i011p01753.