**實際數**（）是指一正整數*n*有許多因數，所有小於*n*的正整數都可以用數個*n*的相異真因數和表示。例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6，而1至11的數字中有幾個不是12的真因數，但都可以表示為數個相異真因數的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

以下是實際數的列表（OEIS數列A005153）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中，在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數，但其中有一個表，其中有許多分數的分母為實際數。

實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，他希望可以找出有這類性質的數字，此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成。利用正整數的質因數分解可以判斷是否是實際數，所有2的幂及偶數的完全數都是實際數。

已發現實際數和質數有許多類似的特質。

實際數的充份必要條件
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一個正整數可以由其質因數分解看出是否是實際數，一正整數{\displaystyle n=p\_{1}^{\alpha \_{1}}...p\_{k}^{\alpha \_{k}}}，其中n>1，質因數為{\displaystyle p\_{1}<p\_{2}<\dots <p\_{k}}，其為實際數若且唯若{\displaystyle p\_{1}=2}，且對於每個2到*k*之間的*i*：

{\displaystyle p\_{i}\leq 1+\sigma (p\_{1}^{\alpha \_{1}}\dots p\_{i-1}^{\alpha \_{i-1}})=1+\prod \_{j=1}^{i-1}{\frac {p\_{j}^{\alpha \_{j}+1}-1}{p\_{j}-1}},}
其中\sigma(x)為*x*的除數函數。

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171，因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。

由於以上條件成立時，才能用其他較小的因數和表示{\displaystyle p\_{i}-1}，因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。

和其他數列的關係
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所有2的幂都是實際數。2的幂的質因數分解滿足實際數的充份必要條件：第一個質因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數：依照歐拉的研究，偶數的完全數可以表示為2*n* − 1(2*n* − 1)，其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示，因此也滿足實際數的充份必要條件。

任一個質數階乘也都是實際數。根據伯特蘭－切比雪夫定理，質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數（2）的乘積，因此滿足實際數的充份必要條件。前*k*個質數幂次的乘積也都是實際數，包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數。

和埃及分數的關係
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若*n*為實際數，則小於1的有理數*m*/*n*可以表示∑*di*/*n*來表示，其中*di*為*n*的相異因數，此式的每一項都可以化簡為單位分數，因此此式即為*m*/*n*的埃及分數表示式。例如

{\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}
斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數，再來則是設法將分子表示為分母因數的和，此方式只在分母為實際數時有效。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時，分數用埃及分數表示時的表示式。

和質數的類似之處
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實際數特別的一點是其許多性質都類似質數。例如假設*p*(*x*)為小於*x*實際數的個數，Saias證明存在常數*c*1及 *c*2使得下式成立：

{\displaystyle c\_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c\_{2}{\frac {x}{\log x}},}
以上公式可以對應素數的素數定理。此證明解答了Margenstern的猜想：存在特定常數*c*，使得*p*(*x*)漸近於*cx*/log *x*。也強化了保罗·埃尔德什所提出：實際數在正整數中的密度為0的論點。

實際數也有對應哥德巴赫猜想及孿生質數猜想的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和，以及存在無限多個 *x* − 2, *x*, *x* + 形式的實際數。Melfi也證明在斐波那契数列中存在無限多個實際數，素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契質數，此問題仍為開放問題，還沒有被證明，但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若*x*為正實數，在[*x*2,(*x* + 1)2]區間內存在實際數，可以對應質數中的勒讓德猜想。

參考資料
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1. 1 2  Sigler, Laurence E. (trans.), Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8
2. 1 2 3 4 5  Srinivasan, A. K.  (PDF), Current Science, 1948, **17**: 179–180  [2013-01-13], MR 0027799, （原始内容存档 (PDF)于2019-11-16）
3. 1 2  Stewart, B. M. American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, **76** (4): 779–785, JSTOR 2372651, MR 0064800, doi:10.2307/2372651
4. 1 2  Sierpiński, Wacław, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, **39** (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762
5. 1 2  Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, **37** (5): 705–713, MR 0752596, doi:10.1002/cpa.3160370507
6. 1 2  Margenstern, Maurice, Journal of Number Theory, 1991, **37** (1): 1–36, MR 1089787, doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8
7. 1 2  Melfi, Giuseppe, Journal of Number Theory, 1996, **56** (1): 205–210, MR 1370203, doi:10.1006/jnth.1996.0012
8. 1 2  Saias, Eric, Journal of Number Theory, 1997, **62** (1): 163–191, MR 1430008, doi:10.1006/jnth.1997.2057
9. ↑  Erdős, Paul; Loxton, J. H. Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979, **27** (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X

外部連結
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* Tables of practical numbers （页面存档备份，存于） compiled by Giuseppe Melfi
* *Practical Number* at PlanetMath.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

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