**雙射記數系統**（Bijective numeration）是一種表示數字的位置數值系統，每個非負整數都可使用有限數字串表示。該名稱「雙射」指的是非負整數集和用有限符號集的有限字符串集間存在雙射（即一一對應）。

大多數數字系統，例如十進制，都不是雙射的；因為不止一串數字可以表示同一個正整數：添加前導零（英语：）不會改變表示的值，例如「1」、「01」、「001」都表示數字「1」。而一進制因為只有一個數字「1」所以必然「是」雙射的。

**雙射進制-*k*記數系統**是一個雙射進位制。使用集合{1, 2, ... *k*}（其中*k*≥1）編碼正整數；值的位置定義為「k」的冪倍數。Smullyan (1961)稱此為***k*-adic**：用有限非零數字串表示普通整數的系統，而***p*-adic**數是包含整數作為子集的一個數學值系統，並且可能需要無限數字序列表示。

定義
--

雙射進位制使用集合{1, 2, ... *k*}（其中*k*≥ 1）來唯一編碼每個非負整數：

* 零由空字符串表示。
* 由非空數字串表示的整數

*a**n**a**n*−1 ... *a*1*a*0 = *a**n* *k**n* + *a**n*−1 *k**n*−1 + ... + *a*1 *k*1 + *a*0 *k*0.
* 表示整數的數字串*m*>0是*a**n**a**n*−1 ... *a*1*a*0

當
{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{0}&=m-q\_{0}k,&q\_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a\_{1}&=q\_{0}-q\_{1}k,&q\_{1}&=f\left({\frac {q\_{0}}{k}}\right)&\\a\_{2}&=q\_{1}-q\_{2}k,&q\_{2}&=f\left({\frac {q\_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a\_{n}&=q\_{n-1}-0k,&q\_{n}&=f\left({\frac {q\_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}}
且
{\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil -1,}
\lceil x \rceil是不小於的最小整數*x*（上取整函数）
相反，標準進位制可用類似遞歸算法定義當

{\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}
### 擴展到整數

已隱藏部分未翻譯内容，歡迎參與翻譯。
在k > 1進制, the bijective base-k numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base-b numeral system by use of an infinite number of the digit {\displaystyle d\_{k-1}}, where {\displaystyle f(d\_{k-1})=k-1}, represented as a left-infinite sequence of digits {\displaystyle \ldots d\_{k-1}d\_{k-1}d\_{k-1}={\overline {d\_{k-1}}}}. This is because the Euler summation

{\displaystyle g({\overline {d\_{k-1}}})=\sum \_{i=0}^{\infty }f(d\_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1}
meaning that

{\displaystyle g({\overline {d\_{k-1}}}d\_{k})=f(d\_{k})\sum \_{i=1}^{\infty }f(d\_{k-1})k^{i}=1+\sum \_{i=0}^{\infty }f(d\_{k-1})k^{i}=0}
and for every positive number n with bijective numeration digit representation d is represented by {\displaystyle {\overline {d\_{k-1}}}d\_{k}d}. For base k>2, negative numbers {\displaystyle n<-1} are represented by {\displaystyle {\overline {d\_{k-1}}}d\_{i}d} with {\displaystyle i<k-1}, while for base {\displaystyle k=2}, negative numbers {\displaystyle n<-1} are represented by {\displaystyle {\overline {d\_{k}}}d}. This is similar to how in signed-digit representations, all integers n with digit representations d are represented as {\displaystyle {\overline {d\_{0}}}d} where {\displaystyle f(d\_{0})=0}. This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the k-adic integers, of which the integers are only a subset.

性質
--

對於{\displaystyle k\geq 2}進制：

* 表示非負整數n的雙射k進位位數是{\displaystyle \lfloor \log \_{k}((n+1)(k-1))\rfloor }，與{\displaystyle \lceil \log \_{k}(n+1)\rceil }相比，k進制如果是「1」，位數就是*n*。
* 最小可表示為長度{\displaystyle l\geq 0}的雙射*k*進制數字的非負整數是{\displaystyle min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}}。
* 最大可表示為長度{\displaystyle l\geq 0}的雙射*k*進制數字的非負整數是{\displaystyle max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}}，相當於{\displaystyle max(l)=k\times min(l)}或{\displaystyle max(l)=min(l+1)-1}。
* 非負整數*n*的雙射*k*進制可和普通進制*k*相同，當且僅當普通進制不含數字「0」，或者等效地，雙射進制既不是空字符串也不包含數字*k*。

對於進制{\displaystyle k\geq 1}，

* 會有{\displaystyle k^{l}}個雙射進制，長度為{\displaystyle l\geq 0}的*k*。
* 雙射進制*k*的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16為底的數如下（這裡列出普通的表示方式以供比較）：


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 雙射一進制 |  `λ`  |  `1`  |  `11`  |  `111`  |  `1111`  |  `11111`  |  `111111`  |  `1111111`  |  `11111111`  |  `111111111`  |  `1111111111`  |  `11111111111`  |  `111111111111`  |  `1111111111111`  |  `11111111111111`  |  `111111111111111`  |  `1111111111111111`  |  `...`  | 一進制 |
| 雙射二進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `11`  |  `12`  |  `21`  |  `22`  |  `111`  |  `112`  |  `121`  |  `122`  |  `211`  |  `212`  |  `221`  |  `222`  |  `1111`  |  `1112`  |  `...`  |
| 二進制 |  `0`  |  `1`  |  `10`  |  `11`  |  `100`  |  `101`  |  `110`  |  `111`  |  `1000`  |  `1001`  |  `1010`  |  `1011`  |  `1100`  |  `1101`  |  `1110`  |  `1111`  |  `10000`  |  `...`  |
| 雙射三進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `21`  |  `22`  |  `23`  |  `31`  |  `32`  |  `33`  |  `111`  |  `112`  |  `113`  |  `121`  |  `...`  |
| 三進制 |  `0`  |  `1`  |  `2`  |  `10`  |  `11`  |  `12`  |  `20`  |  `21`  |  `22`  |  `100`  |  `101`  |  `102`  |  `110`  |  `111`  |  `112`  |  `120`  |  `121`  |  `...`  |
| 雙射八進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `15`  |  `16`  |  `17`  |  `18`  |  `...`  |
| 八進制 |  `0`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `10`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `15`  |  `16`  |  `17`  |  `20`  |  `...`  |
| 雙射十進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `A`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `15`  |  `16`  |  `...`  |
| 十進制 |  `0`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `10`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `15`  |  `16`  |  `...`  |
| 雙射十二進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `A`  |  `B`  |  `C`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `...`  |
| 十二進制 |  `0`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `A`  |  `B`  |  `10`  |  `11`  |  `12`  |  `13`  |  `14`  |  `...`  |
| 雙射十六進制 |  `λ`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `A`  |  `B`  |  `C`  |  `D`  |  `E`  |  `F`  |  `G`  |  `...`  |
| 十六進制 |  `0`  |  `1`  |  `2`  |  `3`  |  `4`  |  `5`  |  `6`  |  `7`  |  `8`  |  `9`  |  `A`  |  `B`  |  `C`  |  `D`  |  `E`  |  `F`  |  `10`  |  `...`  |

例
-

* 雙射五進制的34152 = 3×54 + 4×53 + 1×52 + 5×51 + 2×1 = 2427（十進制）
* 雙射十進制119A（A代表數值10） = 1×103 + 1×102 + 9×101 + 10×1 = 1200（十進制）
	+ 雙射11進制B = 11（十進制）
	+ 雙射35進制Z = 35（十進制）

雙射十進制
-----

雙射十進制系统是一种以 10 为底的位置数字系统，不使用数字来表示零，而用一个数字代表十，例如 A。

与传统的十进制一样，每个数字位置代表十的幂，因此例如 123 是"一百，加上两个十，加上三个一"。 所有在传统十进制中仅用非零数字表示的正整数（例如 123）在不带零的十进制中具有相同的表示形式。 使用零的必须重写，例如10变为A，常规20变为1A，常规100变为9A，常规101变为A1，常规302变为2A2，常规1000变为99A，常规1110变为AAA，常规2010变为19AA ， 等等。

不带零的十进制的加法和乘法本质上与传统十进制相同，只是当位置超过十时而不是超过九时发生进位。 因此，要计算 643 + 759，有十二个个位（在右边写 2，十位进位 1）、十个十（记为 A，不需要进位到百位）、十三个百（在右边写 3，进位 1）、和一个千（写 1），得到结果 13A2 而不是传统的 1402。

雙射26進制
------

在双射26进制系统中，可以使用拉丁字母A到Z来表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通过选择这种表示法，数字序列（从 1 开始）开始为 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每个数字位置代表二十六的幂，例如数字 ABC 代表十进制的 1 × 262 + 2 × 261 + 3 × 260 = 731。

许多电子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系统为电子表格的列分配标签，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（214） 列，从 A 到 XFD。 该系统的一个变体用于命名变星。 它可以应用于任何需要使用字母进行系统命名的问题，同时使字符串尽可能短。

歷史
--

每个非负整数在双射 k (k ≥ 1) 进制中都有唯一的表示，这一事实是一个已被多次重新发现的"民间定理"。 早期的例子是 Foster (1947) （对于 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （对于所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用该系统提供逻辑系统中符号串的哥德尔编号； Böhm 使用这些表示以编程语言 P′′ 执行计算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情况，Salomaa (1973) 讨论了 k ≥ 2 的情况。Forslund (1995) 似乎是另一个重新发现，并提出假设说如果古代计数系统使用双射 k 进制，可能由于人们普遍不熟悉这一系统，导致考古文献中并未发现这一点。

注釋
--

1. ↑ . Stackexchange.  [22 September 2018].
2. ↑  Forslund (1995).
3. ↑  Harvey, Greg, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .
4. ↑  Hellier, Coel, , Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

參考
--

* Böhm, C. ICC Bulletin, July 1964, **3**: 191 .
* Forslund, Robert R. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, **1**: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
* Foster, J. E. Mathematics Magazine, 1947, **21** (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
* Knuth, D. E.  1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
* Salomaa, A. Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-*k* for all *k* ≥ 2.)
* Smullyan, R. , Annals of Mathematics Studies **47**, Princeton University Press: 34–36, 1961 .


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
进制的记数系统 |
| --- |
|  |
| 基本进位制 | 
* 一进制
* 二进制
* 三进制
* 四进制
* 五进制
* 六进制
* 八进制
* 九进制
* 十进制
* 十一进制
* 十二进制
* 十三进制
* 十四进制
* 十五进制
* 十六进制
* 十七进制
* 十八进制
* 十九进制
* 二十进制
* 二十一进制
* 二十二进制
* 二十三进制
* 二十四进制
* 二十五进制
* 二十六进制
* 二十七进制
* 二十八进制
* 二十九进制
* 三十进制
* 三十二进制
* 三十六进制
* 四十进制
* 四十五进制
* 五十进制
* 五十八进制
* 六十进制
* 六十二进制
* 六十四进制
* 七十进制
* 八十进制
* 八十五进制
* 九十一进制
* 九十四进制
* 九十五进制
* 一百进制
* 二百五十六进制

 |
|  |
| 平衡进位制 | 平衡三进制 |
|  |
| 广义的进制系统 | 
* Base64
* 十进位制
* 二進指數法
* 非整数进位制
	+ 根號2进制
	+ 黄金进制
	+ e进制
* 负底数进制（英语：）
* 複底数进制
	+ 2i进制
	+ −1±i进制
* 混合底數（英语：）
	+ 阶乘进制
* 斐波那契編碼
* 双射记数系统

 |
|  |
| 相關條目 | 
* 底数
* 数位
* 位元
* 位元組
* 进位制
* 米迪定理
* 记数系统

 |

 |