**戴尔指数**（英語：）又稱為**泰爾指數**，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是广义熵指数（英语：）的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大學的计量经济学家亨利·戴尔（英语：）（）所提出。

数学公式
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假設一個人口為*N*的群體，其收入分別為*x**i* (*i* = 1,...*N*)，則它的戴爾指數*T*定義為：

{\displaystyle T\_{T}=T\_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}{\frac {x\_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x\_{i}}{\mu }}\right)}
而戴爾指數*L*則定義為

{\displaystyle T\_{L}=T\_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x\_{i}}}\right)}
其中x\_{i}为第i个人的收入，{\mu}为平均收入，N为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 *f**k* (*k* = 0,...*W*)，其中*f**k*是收入為*k*的人口比例，而*W* = *Nμ* 代表總收入，可以得知 {\displaystyle \sum \_{k=0}^{W}f\_{k}=1} 。
它的戴爾指數*T*定義為：

{\displaystyle T\_{T}=\sum \_{k=0}^{W}\,f\_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}
這裡的\mu 一樣是收入平均

{\displaystyle \mu =\sum \_{k=0}^{W}kf\_{k}}
其中應注意到收入*k*是一個整數，*k=1*代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數*f*(*k*)，*k*取值0到無窮，其中*f*(*k*) *dk* 是收入為*k* 到 *k* + *dk*的人口數量，那戴爾指數*T*定義為：

{\displaystyle T\_{T}=\int \_{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}
其中平均\mu 為：

{\displaystyle \mu =\int \_{0}^{\infty }kf(k)\,dk}
一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示：

| 收入分布函數 | PDF(*x*) (*x* ≥ 0) | 戴尔指数（納特） |
| --- | --- | --- |
| 狄拉克δ函數 | {\displaystyle \delta (x-x\_{0}),\,x\_{0}>0} | 0 |
| 連續型均勻分布 | {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} | {\displaystyle \ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)} |
| 指數分布 | {\displaystyle \lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0} | {\displaystyle 1-} \gamma  |
| 對數常態分布 | {\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}} | {\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2}}} |
| 帕累托分布 | {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}} | {\displaystyle \ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}}    (α>1) |
| 卡方分布 | {\displaystyle {\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}} | {\displaystyle \ln(2/k)+} {\displaystyle \psi ^{(0)}}{\displaystyle (1\!+\!k/2)} |
| 伽瑪分布 | {\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}} | {\displaystyle \psi ^{(0)}}{\displaystyle (1+k)-\ln(k)} |
| 韋伯分布 | {\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}} | {\displaystyle {\frac {1}{k}}} {\displaystyle \psi ^{(0)}}{\displaystyle (1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)} |

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为\ln {N}。*T*T 除以\ln N 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理（英语：）: {\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導
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戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

{\displaystyle S=k\sum \_{i=1}^{N}\left(p\_{i}\log {\frac {1}{p\_{i}}}\right)=-k\sum \_{i=1}^{N}\left(p\_{i}\log {p\_{i}}\right)}
其中 p\_{i}是從人群裡找到i的機率。k是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，k=1並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當p\_{i}替換成人均收入x\_{i}時，需要除以總收入達到歸一化{\displaystyle N{\overline {x}}}。那可以導出，觀察到的信息熵為：

{\displaystyle S\_{\text{Theil}}=\sum \_{i=1}^{N}\left({\frac {x\_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x\_{i}}}\right)}
设T为戴尔指数，S为夏農熵，则有

T=\ln(N)-S

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

| 符號 | 信息論 | 戴爾指數 TT |
| --- | --- | --- |
| N | 字符數 | 人口數 |
| i | 某個特定字符 | 某個特定人 |
| x\_{i} | 第i個字符 character | 第i個人的收入 |
| {\displaystyle N{\overline {x}}} | 總字符數 | 總收入 |
| {\displaystyle T\_{T}} | 未被使用的資訊空間 | 未使用潛在價格機制 |

可分解性
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戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为m个子群体，s\_k 为群体k 的收入比例，T\_{k}为该子群体的戴尔指数，而 \overline {x}\_{k} 为子群体 k的平均收入，则戴尔指数为

{\displaystyle T=\sum \_{k=1}^{m}s\_{k}T\_{T\_{k}}+\sum \_{k=1}^{m}s\_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}\_{k}}{\overline {x}}}}
因此，我们可以说某个特定群体给总体"贡献了"一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

參考文獻
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1. 1 2  徐淑娟.. 西南財經大學出版社. 2018-02-01: 33–34  [2019-01-14]. ISBN 7550428530. （原始内容存档于2019-06-05） （中文（中国大陆））.
2. ↑   (PDF).  [2006-01-15]. （原始内容存档 (PDF)于2005-11-18）.
3. ↑ . geodacenter.asu.edu.  [2016-03-18]. （原始内容存档于2012-07-10）.
4. ↑ . www.urban.org. Urban Institute.  [5 February 2018]. （原始内容存档于2021-01-19） （英语）.
5. 1 2 3  Parker, Lauren.. PolicyMap. 20 July 2015  [5 February 2018]. （原始内容存档于2019-06-08）.
6. ↑ .  [2019-01-11]. （原始内容存档于2020-10-23） （英语）.

外部連結
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* 德克萨斯大学戴尔指数简介 （页面存档备份，存于）（英文）
* 試算表: Income inequality metrics#Spreadsheet computations（英语：）
* 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
* Free Calculator: Online （页面存档备份，存于） and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
* Users of the R （页面存档备份，存于） data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
* MATLAB 不平等包 （页面存档备份，存于）。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼