數學上，矩阵或有界線性算子的**谱半径**（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣
--

令*λ*1, ... *λn*是矩陣*A* ∈ **C***n*×*n*中的特徵值，則其谱半径 *ρ*(*A*) is 定義為：

{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda \_{1}|,\dotsc ,|\lambda \_{n}|\right\}.}
A的条件数可以用譜半徑表示，公式為{\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})}。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面，{\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}對每一個矩陣範數 \|\cdot \|都成立，Gelfand公式指出{\displaystyle \rho (A)=\lim \_{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}。不過，針對任意向量{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}，譜半徑不一定會滿足{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}。若要說明原因，可以令{\displaystyle r>1}為任意數，考慮矩陣{\displaystyle C\_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}。{\displaystyle C\_{r}}的特徵多項式是{\displaystyle \lambda ^{2}-1}，因此其特徵值為{\displaystyle \pm 1}，且{\displaystyle \rho (C\_{r})=1}。不過{\displaystyle C\_{r}\mathbf {e} \_{1}=r\mathbf {e} \_{2}}，因此{\displaystyle \|C\_{r}\mathbf {e} \_{1}\|=r>1=\rho (C\_{r})\|\mathbf {e} \_{1}\|}，其中{\displaystyle \|\cdot \|}是{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}上的任何{\displaystyle \ell ^{p}}範數。至於可以當{\displaystyle k\to \infty }時，讓{\displaystyle \|C\_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}的原因是{\displaystyle C\_{r}^{2}=I}，因此當{\displaystyle k\to \infty }時，使{\displaystyle \|C\_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C\_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}。

{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}針對所有{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}
成立的條件是A為埃尔米特矩阵及{\displaystyle \|\cdot \|}為欧几里得範數。

圖
-

有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C）。此情形下，針對圖G可定義：

{\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits \_{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}
令γ是 G的邻接算子：

{\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum \_{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}
G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。

上界
--

### 矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

**命題**：令*A* ∈ **C***n*×*n*，其譜半徑為*ρ*(*A*)，以及相容（Consistent）矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數{\displaystyle k\geqslant 1}:

{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}
**證明**

令(**v**, *λ*)為矩陣*A*的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}
因為**v** ≠ 0，可得

{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}
因此

{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}
### 圖譜半徑的上界

有關*n*個頂點，*m*個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

{\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}
其中{\displaystyle 3\leq k\leq n}為整數，則 ：

{\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}

乘幂數列
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### 定理

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

**定理**：令*A* ∈ **C***n*×*n*，其譜半徑*ρ*(*A*)。則*ρ*(*A*) < 1若且唯若
{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }A^{k}=0.}
另一方面，若*ρ*(*A*) > 1, {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }。上述敘述針對**C***n*×*n*上的任何矩陣範數都有效。
### 定理證明

假設問題中的極限值為零，可以證明*ρ*(*A*) < 1。令(**v**, *λ*)為*A*的特征值和特征向量對。因為*Ak***v** = *λk***v**可得：

{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim \_{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim \_{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim \_{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim \_{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}
因為假設**v** ≠ 0，會得到

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}
表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(*A*) < 1。

接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的*A* ∈ **C***n*×*n*，存在*V*, *J* ∈ **C***n*×*n*以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得：

{\displaystyle A=VJV^{-1}}
而

{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J\_{m\_{1}}(\lambda \_{1})&0&0&\cdots &0\\0&J\_{m\_{2}}(\lambda \_{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J\_{m\_{s-1}}(\lambda \_{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J\_{m\_{s}}(\lambda \_{s})\end{bmatrix}}}
其中

{\displaystyle J\_{m\_{i}}(\lambda \_{i})={\begin{bmatrix}\lambda \_{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda \_{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda \_{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda \_{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m\_{i}\times m\_{i}},1\leq i\leq s.}
因此可得

{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}
因為J是分塊對角矩陣

{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J\_{m\_{1}}^{k}(\lambda \_{1})&0&0&\cdots &0\\0&J\_{m\_{2}}^{k}(\lambda \_{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J\_{m\_{s-1}}^{k}(\lambda \_{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J\_{m\_{s}}^{k}(\lambda \_{s})\end{bmatrix}}}
而{\displaystyle m\_{i}\times m\_{i}}若尔当方塊矩陣k次方可以得到，針對{\displaystyle k\geq m\_{i}-1}：

{\displaystyle J\_{m\_{i}}^{k}(\lambda \_{i})={\begin{bmatrix}\lambda \_{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda \_{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda \_{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m\_{i}-1}\lambda \_{i}^{k-m\_{i}+1}\\0&\lambda \_{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda \_{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m\_{i}-2}\lambda \_{i}^{k-m\_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda \_{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda \_{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda \_{i}^{k}\end{bmatrix}}}
因此，若{\displaystyle \rho (A)<1}，則針對所有的i，{\displaystyle |\lambda \_{i}|<1}都會成立。因此針對所有的i，可得：

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }J\_{m\_{i}}^{k}=0}
這也表示

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }J^{k}=0.}
因此

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }A^{k}=\lim \_{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim \_{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}
另一方面，若{\displaystyle \rho (A)>1}，當k增加時，在J中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式
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### 定理

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

**定理（Gelfand公式，1941年）**：令任何矩陣範數 ||⋅||,，可得
{\displaystyle \rho (A)=\lim \_{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}.
### 證明

令任意*ε* > 0，先建構以下二個矩陣：

{\displaystyle A\_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}
則:

{\displaystyle \rho \left(A\_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A\_{+})<1<\rho (A\_{-}).}
先將之前的定理應用到*A*+:

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }A\_{+}^{k}=0.}
這表示，根據級數極限定理，一定存在*N*+ ∈ **N**使得針對所有的*k* ≥ N+，下式都成立

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A\_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}
因此

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}
將之前的定理用在*A*−，表示{\displaystyle \|A\_{-}^{k}\|}無界，一定存在*N*− ∈ **N**使得針對所有的*k* ≥ N−，下式都成立

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A\_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}
因此

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}
令*N* = max{*N*+, *N*−},，可得：

{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }
因此，依定義，可得下式

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}

舉例
--

考慮以下矩陣

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}
其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義，*ρ*(*A*) = 10。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算{\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}（注意，因為此矩陣特殊的形式，{\displaystyle \|.\|\_{1}=\|.\|\_{\infty }}）:

| *k* | {\displaystyle \|.\|\_{1}=\|.\|\_{\infty }} | {\displaystyle \|.\|\_{F}} | {\displaystyle \|.\|\_{2}} |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 14 | 15.362291496 | 10.681145748 |
| 2 | 12.649110641 | 12.328294348 | 10.595665162 |
| 3 | 11.934831919 | 11.532450664 | 10.500980846 |
| 4 | 11.501633169 | 11.151002986 | 10.418165779 |
| 5 | 11.216043151 | 10.921242235 | 10.351918183 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 10 | 10.604944422 | 10.455910430 | 10.183690042 |
| 11 | 10.548677680 | 10.413702213 | 10.166990229 |
| 12 | 10.501921835 | 10.378620930 | 10.153031596 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 20 | 10.298254399 | 10.225504447 | 10.091577411 |
| 30 | 10.197860892 | 10.149776921 | 10.060958900 |
| 40 | 10.148031640 | 10.112123681 | 10.045684426 |
| 50 | 10.118251035 | 10.089598820 | 10.036530875 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 100 | 10.058951752 | 10.044699508 | 10.018248786 |
| 200 | 10.029432562 | 10.022324834 | 10.009120234 |
| 300 | 10.019612095 | 10.014877690 | 10.006079232 |
| 400 | 10.014705469 | 10.011156194 | 10.004559078 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 1000 | 10.005879594 | 10.004460985 | 10.001823382 |
| 2000 | 10.002939365 | 10.002230244 | 10.000911649 |
| 3000 | 10.001959481 | 10.001486774 | 10.000607757 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 10000 | 10.000587804 | 10.000446009 | 10.000182323 |
| 20000 | 10.000293898 | 10.000223002 | 10.000091161 |
| 30000 | 10.000195931 | 10.000148667 | 10.000060774 |
| \vdots  | \vdots  | \vdots  | \vdots  |
| 100000 | 10.000058779 | 10.000044600 | 10.000018232 |

有界線性算子
------

針對有界線性算子 A 及算子范数 ||·||，可以得到

{\displaystyle \rho (A)=\lim \_{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}
（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於數值半徑（英语：），可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。

相關條目
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* 聯合譜半徑
* 譜隙（英语：）
* 矩阵的谱

註解
--

1. ↑  Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin.. Discrete Mathematics. 2019, **342** (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 （英语）.
2. ↑  此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8，以及Lax 2002，第195–197頁

參考資料
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* Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Interscience Publishers, Inc. 1963
* Lax, Peter D. Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1

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* 论
* 编
泛函分析 |
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* 绝对凸集
* 吸收集
* 平衡集
* 有界集 (拓扑向量空间)（英语：）
* 凸集
* 径向集
* 星形域
* 对称集
* 凸锥

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* 巴拿赫空间
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* 希尔伯特空间
* 索伯列夫空間
* 局部凸（英语：）
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* 拟赋范空间
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* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
* 速降函数空间

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* 强拓扑（英语：）
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* 谱理论（谱定理）
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