**提示**：此条目的主题不是**超限數**。 

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| **的数** |
| **基本** |
| \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} 

 

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| 正數 {\mathbb {R}}^{+}
自然数 \mathbb{N}
正整數 {\mathbb {Z}}^{+}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \mathbb{Q}
代數數 \mathbb{A}
实数 \mathbb {R} 
複數 \mathbb {C} 
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
  | 负数 \mathbb{R}^-
整数 \mathbb {Z} 
负整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数 {\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 二元数
四元數 {\mathbb {H}}
八元数 \mathbb{O}
十六元數 \mathbb {S} 
超實數 {\displaystyle ^{\*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
  | 雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：）
超复数
超數
超現實數
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| **其他** |
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| 質數 \mathbb {P} 
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
  | 規矩數
可定义数
序数
超限数
*p*進數
数学常数
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圓周率 {\displaystyle \pi =3.14159265}…
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828}…
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無窮大 \infty |
| * 
* 论
* 编
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在數論中，**超越數**（英語：）是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

定義
--

超越數是代數數的相反，也即是說若x是一個超越數，那麼對於任何整數a\_n, a\_{n-1}, \ldots, a\_0都符合：

a\_n x^n + a\_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a\_2 x^2 + a\_1 x + a\_0 \ne 0
（其中{\displaystyle a\_{n}\neq 0}）

例子
--

超越數的例子包括：

* 錢珀瑙恩數
* 刘维尔数：\sum\_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots  
它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。
* 自然對數底\boldsymbol{e}（参见：e）。
* \boldsymbol{e}^a ，其中a是除0以外的代數數。
* \boldsymbol{\pi}（参见：圓周率）  
林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因\pi \,是超越數而證明尺規作圖中的"化圓為方"的不可實現性。
* \boldsymbol{e^{\pi}}（参见：e的π次方）
* 2^{\sqrt{2}}（参见：2的√2次方）。  
更一般地，若a \,為零和一以外的任何代數數及b\,為無理代數數則a^b \,必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
* \sin 1 \,（参见：正弦）
* \ln a \,（参见：自然对数），其中a \,為一不等于1的正有理數。
* \mathbf{W}(a)\,（参见：朗伯W函數），其中a \,為一正有理數。
* \Gamma (\frac{1}{3}) \, \left(\approx 2.67894 \right) \,，\Gamma (\frac{1}{4}) \, \left(\approx 3.62561 \right) \,及\Gamma (\frac{1}{6}) \, \left(\approx 5.56632 \right) \,（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连\pi + e\,是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數
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以下數仍待證明為超越數或代數數：

* 數 *e* 和\pi 的大多數和、積、冪等等，例如{\displaystyle \pi +e}, {\displaystyle \pi -e}, {\displaystyle \pi e}, {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}, {\displaystyle \pi ^{\pi }}, {\displaystyle e^{e}}, {\displaystyle \pi ^{e}}, {\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}, {\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}}尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是{\displaystyle \pi +e^{\pi }}, {\displaystyle \pi e^{\pi }}和 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}（對於所有正整數 n）已被證明是超越數
* 欧拉-马歇罗尼常数\gamma ，尚未被證明是無理數
* 卡塔兰常数，未被證明是無理數
* 阿培里常数\zeta(3) ，是无理数
* 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，{\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots }（尚未被證明是無理數）
* 費根鮑姆常數，\delta 與\alpha ，皆未证明是否为无理数
* 米尔斯常数，未证明是否为无理数
* 辛钦常数，未证明是否为无理数
* 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

* Schanuel猜想（英语：）
* 四指数猜想（英语：）

簡要地證明e是超越數
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第一個對自然對數底 *e*是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設e是代數數。那就存在一個有限的整係數集{\displaystyle c\_{0},c\_{1},\ldots ,c\_{n}}滿足下列等式：

c\_{{0}}+c\_{{1}}e+c\_{{2}}e^{{2}}+\cdots +c\_{{n}}e^{{n}}=0,\qquad c\_{0},c\_{n}\neq 0.
現在對於一個正整數k，我們定義如下的多項式：

f\_{k}(x)=x^{{k}}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{{k+1}},
並在上述等式的兩端乘上

\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx,
於是我們得到等式：

c\_{{0}}\left(\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+c\_{1}e\left(\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+\cdots +c\_{{n}}e^{{n}}\left(\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)=0.
該等式可以寫成這種形式

P+Q=0
其中

P=c\_{{0}}\left(\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+c\_{{1}}e\left(\int \_{{1}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+c\_{{2}}e^{{2}}\left(\int \_{{2}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+\cdots +c\_{{n}}e^{{n}}\left(\int \_{{n}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)
Q=c\_{{1}}e\left(\int \_{{0}}^{{1}}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+c\_{{2}}e^{{2}}\left(\int \_{{0}}^{{2}}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)+\cdots +c\_{{n}}e^{{n}}\left(\int \_{{0}}^{{n}}f\_{k}e^{{-x}}\,dx\right)
 **引理 1.** 對於恰當選擇的k， {\displaystyle {\frac {P}{k!}}} 是非零整數。

> **證明：** *P* 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出
> 
> 
> \int \_{{0}}^{{\infty }}x^{{j}}e^{{-x}}\,dx=j!
> 對於任何正整數 *j* 成立（考慮Γ函数）。
> 
> 
> 它是非零的，因為對於每一個滿足 0< *a* ≤ *n* 的 *a* ，
> 
> 
> c\_{{a}}e^{{a}}\int \_{{a}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx
> 中的被積函數均為 *e−x* 乘以一些項的和，在積分中用 *x* - *a* 替換 *x* 后， *x* 的最低冪次是 *k*+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和
> 
> 
> \int \_{{0}}^{{\infty }}x^{{j}}e^{{-x}}\,dx
> 其中 *k*+1 ≤ *j* ，而且它是一個能被 (*k*+1)! 整除的整數。在除以 *k!* 后，我們得到模 (*k*+1) 得 0 的數。不過，我們可以寫成：
> 
> 
> \int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx=\int \_{{0}}^{{\infty }}\left([(-1)^{{n}}(n!)]^{{k+1}}e^{{-x}}x^{k}+\cdots \right)dx
> 於是
> 
> 
> {{\frac {1}{k!}}}c\_{{0}}\int \_{{0}}^{{\infty }}f\_{k}e^{{-x}}\,dx=c\_{{0}}[(-1)^{{n}}(n!)]^{{k+1}}\qquad \mod (k+1).
> 
> 通過選擇 *k* ，使得 *k*+1 是大於 *n* 與 |*c*0| 的質數，我們可以得出 {\tfrac {P}{k!}} 模 (*k*+1) 為非零，從而該數為非零整數。
> 
> 

**引理 2.** 對於充分大的 *k* ， \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1 。

>  **證明：** 注意到
> 
> 
> f\_{k}e^{{-x}}=x^{{k}}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{{k+1}}e^{{-x}}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{{-x}}\right)
> 使用 |x(x-1)\cdots (x-n)| 和 |(x-1)\cdots (x-n)e^{{-x}}| 在區間 [0,*n*] 的上限 G 和 H ，我們可以推出
> 
> 
> |Q|<G^{{k}}H(|c\_{{1}}|e+2|c\_{{2}}|e^{{2}}+\cdots +n|c\_{{n}}|e^{{n}})
> 從而
> 
> 
> \lim \_{{k\to \infty }}{\frac {G^{k}}{k!}}=0
> 於是有
> 
> 
> \lim \_{{k\to \infty }}{\frac {Q}{k!}}=0
> 這點足以完成對引理的證明。
> 
> 
> 

注意可以選擇滿足兩個引理的k，從而我們能得出矛盾。進而得以證明e的超越性。

馬勒的分類
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库尔特·马勒（英语：）在1932年把超越數分為3類，分別叫做**S數**、**T數**和**U數**。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

### 實數的無理性度量

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數x，可以使得一次多項式{\displaystyle \vert qx-p\vert }盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的p , q是滿足{\displaystyle \vert p\vert }, {\displaystyle \vert q\vert }以正整數H為界的整數。

令{\displaystyle m(x,1,H)}為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

\omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}
\omega (x,1)=\limsup \_{{H\to \infty }}\omega (x,1,H).
{\displaystyle \omega (x,1)}常稱為實數x的**無理性度量**（**measure of irrationality**）。對於有理數{\displaystyle \omega (x,1)=0}，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理（英语：）表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

### 複數的超越性度量

接下來考慮多項式對於複數x的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為n，而且高（英语：）至多為H，此處的n, H是正整數。

令{\displaystyle m(x,n,H)}為以x為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

\omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}
\omega (x,n)=\limsup \_{{H\to \infty }}\omega (x,n,H).
假如對於盡可能小的正整數n，{\displaystyle \omega (x,n)}為無窮大，則這種情況下複數x稱為n次的**U數**。

現在我們可以定義

\omega (x)=\limsup \_{{n\to \infty }}\omega (x,n).
{\displaystyle \omega (x)}常稱為x的**超越性度量**（**measure of transcendence**）。假如{\displaystyle \omega (x,n)}有界，則{\displaystyle \omega (x)}有限，x稱為**S數**。如果{\displaystyle \omega (x,n)}有限而無界，則x稱為**T數**。x為代數數當且僅當{\displaystyle \omega (x)=0}。

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克（英语：）在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。

T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：）在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當x為任意非零代數數時e^{x}均為S數：這點揭示了e是S數且給出了\pi 的超越性證明。對於\pi 我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數x, y稱為**代數相關**，當存在 2 個變量的整係數非零多項式P滿足P(x,y)=0。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與e或\pi 的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig **S**iegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

### Koksma 的等價分類

Jurjen Koksma（英语：） 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。

考慮用次數\leq n且高{\displaystyle \leq H}的代數數逼近複數x。令\alpha 為該有限集中滿足{\displaystyle \vert x-\alpha \vert }取最小正值得代數數。定義{\displaystyle \omega ^{\*}(x,H,n)}和{\displaystyle \omega ^{\*}(x,n)}如下：

|x-\alpha |=H^{{-n\omega ^{\*}(x,H,n)-1}}.
\omega ^{\*}(x,n)=\limsup \_{{H\to \infty }}\omega ^{\*}(x,n,H).
若對於最小的正整數n，{\displaystyle \omega ^{\*}(x,n)}為無窮大，則稱x為n次的**U\*數**。

若{\displaystyle \omega ^{\*}(x,n)}有界且不收斂到 0 ，則則稱x為**S\*數**，

一個數x被稱為 **A\*數** ，當{\displaystyle \omega ^{\*}(x,n)}收斂到 0 。

若所有的{\displaystyle \omega ^{\*}(x,n)}均為有限但無界，則稱 *x* 為**T\*數**，

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。*A\*數*就是代數數。

### 勒維克的構造

令

\lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum \_{{k=1}}^{\infty }10^{{-k!}}
可以證明\lambda （劉維爾數）的n次方根是n次的U數。

此構造可以改進以建立n次U數的不可數個系列。令Z為上述\lambda 的級數中 10 的冪次的集合。Z所有子集的集合是不可數的。在表示\lambda 的級數中刪去任意一個Z的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的n次方根都是次數為n的U數。

### 類型

數列{\displaystyle \{\omega (x,n)\}}的上界稱為**類型**（**type**）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。

参考文献
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1. ↑  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. ↑ .  [2015-03-08]. （原始内容存档于2015-04-02）.
3. 1 2  Bugeaud (2012) p.250
4. 1 2  Baker (1975) p. 86.
5. 1 2  LeVeque (2002) p.II:172
6. ↑  Burger and Tubbs, p. 170.
7. ↑  Burger and Tubbs, p. 172.
8. 1 2  Bugeaud (2012) p.251
9. ↑  LeVeque (2002) pp.II:174–186
10. ↑  Burger and Tubbs, p. 182.
11. ↑  Burger and Tubbs, p. 163.
12. 1 2  Baker (1975) p.87
13. ↑  Baker(1979), p. 90.

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|  | 维基文库中相关的原始文献：**Über die Transzendenz der Zahlen e und π.** |

參見
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* 多項式
* 無理數
* 代數數
* 林德曼-魏尔斯特拉斯定理

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| * 
* 论
* 编
数的系統 |
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| 可數集 | 
* 自然数 ({\mathbb N})
* 整数 (\mathbb Z)
* 有理数 (\mathbb {Q} )
* 規矩數
* 代數數 ({\displaystyle \mathbb {A} })
* 周期（英语：）
* 可計算數
* 可定义数
* 高斯整數 (\mathbb{Z}[i])
* 艾森斯坦整数

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| 合成代數（英语：） | 
* 可除代數（英语：）：实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
* 八元数 ({\mathbb O})

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| 凯莱－迪克森结构 | 
* 实数 ({\displaystyle \mathbb {R} })
* 複數 ({\displaystyle \mathbb {C} })
* 四元數 ({\mathbb H})
* 八元数 ({\mathbb O})
* 十六元數 ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 六十四元數
* 一百二十八元數
* 二百五十六元數……

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| 分裂形式 | 
* 於{\displaystyle \mathbb {R} }：雙曲複數
* 分裂四元数
* 分裂複四元數（英语：）
* 分裂八元數（英语：） 於{\displaystyle \mathbb {C} }：雙複數
* 複四元數
* 複八元數（英语：）

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| 其他超複數 | 
* 二元数
* 二元四元數（英语：）
* 二元複數（英语：）
* 雙曲四元數（英语：）
* 十六元數  ({\displaystyle \mathbb {S} })
* 三十二元數
* 分裂複四元數（英语：）
* 多重複數
* 幾何代數（英语：）
	+ 物理空間代數（英语：）
	+ 時空代數（英语：）
* 三元數
	+ 無法良好構建
* 六元數

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* 基數
* 擴展自然數（英语：）
* 無理數
* 模糊數（英语：）
* 超實數
* 列維-奇維塔域（英语：）
* 超現實數
* 超越數
* 序数
* *p*進數
* 超自然數（英语：）
* 上超實數（英语：）

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* 分類
* 列表级条目 列表（英语：）

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* 论
* 编
無理數 |
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* 柴廷常數 (Ω)
* 刘维尔数
* 質常數（英语：） (ρ)
* 2的自然对数
* 高斯常數 (G)
* 2的12次方根
* 阿培里常数 (*ζ*(3))
* 塑膠數 (ρ)
* 2的算術平方根

* 超黃金比例 (ψ)
* 埃尔德什-波温常数 (E)
* 黄金分割率 (φ)
* 3的算術平方根
* 5的算術平方根
* 白銀比例 (*δ**S*)
* 6的算術平方根（英语：）
* 7的算術平方根（英语：）
* 自然常數/尤拉數 (e)
* 圓周率 (π)
* 青銅比例

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* 分裂數（英语：）
* 超越數
* 三角函數數

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