圆锥曲线
**圆锥曲线**（英語：conic section），又稱**圓錐截痕**、**圓錐截面**、**二次平面曲线**，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率e）的点的集合是圆锥曲线。对于0<e<1得到椭圆，对于e=1得到抛物线，对于e>1得到双曲线。

定义
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设F为定点，l为定直线，e为正常数，称满足{\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}的动点P的轨迹为**圆锥曲线**。

其中F为其焦点，l为准线，e为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为{\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}或{\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。
其中\theta 为{\displaystyle PF}与极轴的夹角，d为定直线{\displaystyle x=d}，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当e=1时，曲线为抛物线。
当{\displaystyle e\neq 1}时，
当0<e<1时，曲线为椭圆。
当e>1时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型
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| 圆锥曲线 | 方程 | 離心率（*e*） | 半焦距（*c*） | 半正焦弦（*ℓ*） | 焦点准线距离（*p*） |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 圓 | x^2+y^2=a^2 \, |  0 \, |  0 \, | a\, |  \infty |
| 橢圓 | \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 | \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} | \sqrt{a^2-b^2} | \frac{b^2}{a} | \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}} |
| 拋物線 | y^2=4ax \, |  1 \, | -\, |  2a \, |  2a \,  |
| 雙曲線 | \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 | \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} | \sqrt{a^2+b^2} | \frac{b^2}{a} | \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} |

圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线
椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质
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### 椭圆（ellipse）

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

### 抛物线（Parabola）

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

### 双曲线（Hyperbola）

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

### 离心率

有固定焦点*F*和准线的圓（*e*=0) 、椭圆（*e*=1/2）、抛物线 (*e*=1)和双曲线（*e*=2）。
对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是a/e \ ，这里的a \ 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是ae \ 。

在圆的情况下，e=0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的a \ ，e \ 越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标
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在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

{\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
此處參數A\,，B\,和C\,不得皆等於{\displaystyle 0\ }。
### 矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}
亦可以寫作

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}
這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記{\displaystyle A\_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}，記{\displaystyle A\_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}。

### 類別

藉由{\displaystyle A\_{Q}}，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

* 若{\displaystyle \det(A\_{Q})=0}，則圓錐曲線Q退化。
* 若{\displaystyle \det(A\_{Q})\neq 0}，則圓錐曲線Q未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

* 若 {\displaystyle \det(A\_{33})>0}, 方程表示一個橢圓；
	+ 對於橢圓，當{\displaystyle (A+C)\det(A\_{Q})<0}時，Q爲一個實橢圓；當{\displaystyle (A+C)\det(A\_{Q})>0}時Q爲一個虛橢圓。（例如，{\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
	+ 特別的，若{\displaystyle A=C} ，B=0且{\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}，作爲橢圓的特殊情況，Q表示一個圓。
* 若 {\displaystyle \det(A\_{33})=0}，Q表示一條拋物線；
* 若 {\displaystyle \det(A\_{33})<0}，Q表示一條雙曲線；
	+ 若{\displaystyle A+C=0} ，Q表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

* 若{\displaystyle \det(A\_{33})>0}，作爲橢圓的退化，Q爲一個點。
* 若{\displaystyle \det(A\_{33})=0}，作爲拋物線的退化，Q爲兩條平行直線。
	+ 若{\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}，Q爲兩條不重合的平行直線。
	+ 若{\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}，Q爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時{\displaystyle A\_{Q}}的秩爲1）
	+ 若{\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}，Q直線不存在與實平面中。
* 若{\displaystyle \det(A\_{33})<0}，作爲雙曲線的退化，Q爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，A和B爲多項式係數，而非半長軸A和半短軸B。

### 不變量

矩陣{\displaystyle A\_{Q}}、{\displaystyle A\_{33}}的行列式，以及{\displaystyle A+C}（{\displaystyle A\_{33}}的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。  常數項F以及{\displaystyle D^{2}+E^{2}}僅在旋轉中保持不變。

### 離心率

Q的離心率可被寫作關於Q係數的函數。 若 {\displaystyle \det(A\_{33})=0}，Q爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設Q表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼 

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}
此處若{\displaystyle \det(A\_{Q})}爲負則{\displaystyle \eta =1}；若{\displaystyle \det(A\_{Q})}爲正則{\displaystyle \eta =-1}。

此外，離心率e也是下述方程的一個正根

{\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}
此處 {\displaystyle \Delta =\det(A\_{33})} 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

### 轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，Q可用變換後的變量{\displaystyle x',y'}表示爲如下所示的標準形式

{\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda \_{1}^{2}\lambda \_{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda \_{1}\lambda \_{2}^{2}}}=1,}
或等價的

{\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda \_{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda \_{2}\Delta }}=1,}
此處，\lambda\_1和\lambda\_2爲{\displaystyle A\_{33}}的特徵值，也即下述方程的兩根：

{\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}
同時，{\displaystyle S=\det(A\_{Q})}，{\displaystyle \Delta =\lambda \_{1}\lambda \_{2}=\det(A\_{33})}。 

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

| 方程式 | 圆 | 椭圆 | 抛物线 | 双曲线 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 标准方程式 | {x^2} + {y^2}=a^2 \  | {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \  | y^2=4ax\, | {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \  |
| 参数方程式 | a\cos\theta,a\sin\theta\, | a\cos\theta,b\sin\theta\, | a t^2,2 a t\, | a\sec\theta,b\tan\theta\,或 \pm a\cosh u,b \sinh u\, |

极坐标
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椭圆的半正焦弦
圆锥曲线的**半正焦弦**（semi-latus rectum）通常指示为\ell ，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴a，和半短轴b，通过公式{\displaystyle a\ell =b^{2}\ }或{\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正*x*轴上，给出自方程

{\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}，
或者，

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}，
如上，对于e=0得到一个圆，对于0<e<1得到椭圆，对于e=1得到抛物线，对于e>1得到双曲线。

齐次坐标
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在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

A\_1x^2 + A\_2y^2 + A\_3z^2 + 2B\_1xy + 2B\_2xz + 2B\_3yz = 0\;
或表示为矩阵：

\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 
矩阵M=\begin{bmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{bmatrix}叫做"圆锥曲线矩阵"。

 \Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{vmatrix} 叫做圆锥曲线的行列式。如果\Delta =0则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 退化为两相交直线： \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:
\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}。

 \delta = \begin{vmatrix}A\_1 & B\_1\\B\_1 & A\_2\end{vmatrix} 被称为圆锥曲线的判别式。如果{\displaystyle \delta =0}则圆锥曲线是抛物线，如果{\displaystyle \delta <0}则是双曲线，如果\delta >0则是椭圆。如果\delta >0且{\displaystyle A\_{1}=A\_{2}}，圆锥曲线是圆；如果{\displaystyle \delta <0}且{\displaystyle A\_{1}=-A\_{2}}，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面\mathbb{CP}^2中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根{\displaystyle >1}的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是{\displaystyle (1,i,0)}和{\displaystyle (1,-i,0)}，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献
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1. ↑  Brannan, Esplen & Gray 1999，第30頁 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
2. 1 2  Protter & Morrey 1970，第326頁 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
3. ↑  Wilson & Tracey 1925，第153頁 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
4. ↑  Pettofrezzo, Anthony, *Matrices and Transformations*, Dover Publ. 1966, p. 110.
5. 1 2 3  Spain, Barry, *Analytical Conics*, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. ↑  Ayoub, Ayoub B. "The eccentricity of a conic section," *The College Mathematics Journal* 34(2), March 2003, 116–121.
7. ↑  Ayoub, A. B. "The central conic sections revisited", *Mathematics Magazine* 66(5), 1993, 322–325.

外部链接
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* Conic sections（页面存档备份，存于） at Special plane curves（页面存档备份，存于）.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Determinants and Conic Section Curves
* Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.

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