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| * 
* 论
* 编
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二次函数的二階導數是常數。
微积分中，函數 f 的**二階導數**（英語：或）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：）：

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},}
其中 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 為加速度，{\displaystyle {\boldsymbol {v}}} 為速度，t 為時間，{\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 為位置，而 {\displaystyle \mathrm {d} } 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}} 是位置 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（\cup）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（\cap）。

二階導數的冪法則
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連續兩次用一階導數的冪法則（英语：），則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}
公式對任意實數 n 成立。

記法
--

更多：微分記法（英语：）
函數 f 的二階導函數常記為 f''，其於 x 處取值為 f''(x)。換言之，

{\displaystyle f''=\left(f'\right)',}
其中 ' 表示一階求導。若用萊布尼茲記法（英语：）表示導數，則因變數 y 關於自變數 x 的二階導數記為

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}
此種寫法的理由是，{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 表示對 x 求導，從而求導兩次應寫成：

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}
### 其他記法

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

{\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}}
上式中，{\displaystyle y''(x)} 為二階導數，但 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} 則不然。{\displaystyle \mathrm {d} u} 表示微分算子施用於 u 的結果，即 {\displaystyle \mathrm {d} (u)}，而 {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u} 表示微分算子疊代兩次的結果，即 {\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))}。最後 {\displaystyle \mathrm {d} u^{2}} 是先微分再平方，即 {\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

例
-

考慮

{\displaystyle f(x)=x^{3},}
運用冪法則，f 的導數 f' 由下式給出：

{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}
f 的二階導數即是對導數 f' 再次求導的結果，由下式給出：

{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}
另一個例子，考慮正弦函數 \sin。有

{\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),}
而再次求導後，得到

{\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).}
換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係
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{\displaystyle f(x)=\sin(2x)} 的圖像，其中 x 的取值範圍是由 {\displaystyle -\pi /4} 至 {\displaystyle 5\pi /4}。當曲線向上彎時，切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點（即 {\displaystyle 0,\ \pi /2,\ \pi }）處則為紅。
### 凹向

函數 f 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即**凹性**（）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

### 拐點

条目：拐點
若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為**拐點**（）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 {\displaystyle f(x)=x^{4}} 有 {\displaystyle f''(0)=0}，但 f 在實數系上為凸，無拐點。

### 二階導數檢驗

条目：二階導數檢驗（英语：）
二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 f 的驻点（即滿足 {\displaystyle f'(x)=0} 的點 x）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

* 若 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}，則 f 於 x 點取得局部極大值。
* 若 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}，則 f 於 x 點取得局部極小值。
* 若 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

極限
--

二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出：

{\displaystyle f''(x)=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}
以上極限稱為二階對稱導數（英语：）。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商：

{\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}
故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 f 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 {\displaystyle \operatorname {sgn} }，其定義為：

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}}
符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 x=0 處，二階對稱導數存在：

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim \_{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim \_{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}

二次近似
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正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 f 於某點的二次近似，是一個二次函数，與 f 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 f 於 a 附近的二次近似可寫成：

{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}
函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

本徵值與本徵函數
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因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 {\displaystyle v''=\lambda v} 的函數解 v（**本徵向量**）與常數 \lambda （**本徵值**）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量（英语：）。

舉例，以閉區間 {\displaystyle [0,L]} 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 {\displaystyle v(0)=v(L)=0}），則諸本徵值為 {\displaystyle \lambda \_{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}，對應本徵向量（亦稱本徵函數）v\_{j} 由

{\displaystyle v\_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}
給出。此處 {\displaystyle v''\_{j}(x)=\lambda \_{j}v\_{j}(x)}，j 為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量（英语：）。

高維推廣
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### 黑塞方陣

条目：黑塞矩陣
二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}}。對於三元函數 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }，二階偏導數包括

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}
以及混合偏導數

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}
還有其他次序的混合偏導數，如 {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}，但由二階導數的對稱性，衹要 f 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為**黑塞方陣**（英語：或）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗（英语：））。

### 拉普拉斯算子

条目：拉普拉斯算子
另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到**拉普拉斯算子**（或）。拉氏微分算子記作 \nabla^2 或 \Delta 。以三維情形為例，定義為

{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

參見
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* 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

註
-

1. ↑  相對之下，一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算，如鏈式法則中的抵銷。

參考文獻
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1. ↑   [目錄：二階導數]. amsi.org.au.  [2020-09-16]. （原始内容存档于2022-03-24） （英语）.  （页面存档备份，存于）
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3. ↑  Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh.  [使微分更適宜代數操作]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 2019, **26** (3): 217–230. arXiv:1801.09553 可免费查阅 （英语）.
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5. ↑  A. Zygmund.  [三角級數]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 （英语）.
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延伸閱讀
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* Apostol, Tom M.  **1** 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1
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### 網上

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