在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用**有限個**其他向量的線性組合所表示，则稱為**線性無關**或**線性獨立**（），反之稱為**線性相關**（）。例如在三維歐幾里得空間**R**3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

定義
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假設V是在域K上的向量空間。如果{\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\dots ,\mathbf {v} \_{n}}是V的向量，若它們為*線性相關*，则在域K 中有非全零的元素{\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}}，使得

{\displaystyle a\_{1}\mathbf {v} \_{1}+a\_{2}\mathbf {v} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {v} \_{n}=\mathbf {0} }；
或更簡略地表示成，

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}a\_{i}\mathbf {v} \_{i}=\mathbf {0} }。
（注意右邊的零是V的零向量，不是K的零元素。）

如果K中不存在這樣的元素，那麼{\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\dots ,\mathbf {v} \_{n}}是*線性無關*。

對*線性無關*可以給出更直接的定義。向量{\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2},\dots ,\mathbf {v} \_{n}}*線性無關*，若且唯若它們滿足以下條件：如果{\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}}是K的元素，適合：

{\displaystyle a\_{1}\mathbf {v} \_{1}+a\_{2}\mathbf {v} \_{2}+\cdots +a\_{n}\mathbf {v} \_{n}=\mathbf {0} }，
那麼對所有{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}都有{\displaystyle a\_{i}=0}。

在V中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

相關性
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* 含有零向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組a\_1, a\_2, ... , a\_s，其中a\_1=0，則a\_1 = 0 \cdot a\_2 + ... + 0 \cdot a\_s。
* 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組a\_1, a\_2, ... , a\_s，其中a\_1=a\_2，則a\_1 = 1 \cdot a\_2 + 0 \cdot a\_3 + ... + 0 \cdot a\_s。
* 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
* 整體線性無關，局部必線性無關。
* 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
* 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
* 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
* 若a\_1, a\_2, ... , a\_s線性無關，而b, a\_1, a\_2, ... , a\_s線性相關，則b必可由a\_1, a\_2, ... , a\_s線性表示，且表示係數唯一。
* 有向量組\textrm{I}\{a\_1, a\_2, ... a\_s\}和\textrm{II}\{b\_1, b\_2, ... b\_t\}，其中t>s，且\textrm{II}中每個向量都可由\textrm{I}線性表示，則向量組\textrm{II}必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
* 若一向量組b\_1, b\_2, ... b\_t可由向量組a\_1, a\_2, ... a\_s線性表示，且b\_1, b\_2, ... b\_t線性無關，則t \le s。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1
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设*V* = **R***n*，考虑*V*内的以下元素：

\begin{matrix}
\mathbf{e}\_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}\_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\
& \vdots \\
\mathbf{e}\_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}
则**e**1、**e**2、……、**en**是线性无关的。

### 证明

假设*a*1、*a*2、……、*an*是**R**中的元素，使得：

 a\_1 \mathbf{e}\_1 + a\_2 \mathbf{e}\_2 + \cdots + a\_n \mathbf{e}\_n = 0. \,\!
由于

 a\_1 \mathbf{e}\_1 + a\_2 \mathbf{e}\_2 + \cdots + a\_n \mathbf{e}\_n = (a\_1 ,a\_2 ,\ldots, a\_n) , \,\!
因此对于{1, ... *n*}内的所有*i*，都有*ai* = 0。

例子2
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设*V*是实变量*t*的所有函数的向量空间。则*V*内的函数*et*和*e*2*t*是线性无关的。

### 证明

假设*a*和*b*是两个实数，使得对于所有的*t*，都有：

*aet* + *be*2*t* = 0
我们需要证明*a* = 0且*b* = 0。我们把等式两边除以*e**t*（它不能是零），得：

*bet* = −*a*
也就是说，函数*be**t*与*t*一定是独立的，这只能在*b* = 0时出现。可推出*a*也一定是零。

例子3
---

**R**4内的以下向量是线性相关的。

\begin{matrix}
\\
 \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix},
 \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix},
 \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}
\\
\\
\end{matrix}

### 证明

我们需要求出标量\lambda\_1、\lambda\_2和\lambda\_3，使得：

\begin{matrix}
\\
\lambda\_1 \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+
\lambda\_2 \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+
\lambda\_3 \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.
\end{matrix}

可以形成以下的方程组：

\begin{align}
 \lambda\_1& \;+ 7\lambda\_2& &- 2\lambda\_3& = 0\\
 4\lambda\_1& \;+ 10\lambda\_2& &+ \lambda\_3& = 0\\
 2\lambda\_1& \;- 4\lambda\_2& &+ 5\lambda\_3& = 0\\
-3\lambda\_1& \;- \lambda\_2& &- 4\lambda\_3& = 0\\
\end{align}

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

\begin{align}
 \lambda\_1 &= \lambda\_1 \\
 \lambda\_2 &= (-\lambda\_1)/3 \\
 \lambda\_3 &= (-2\lambda\_1)/3. \\
\end{align}

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

参考文献
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* Siegfried Bosch: *Lineare Algebra.* 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.

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