y^{2}=x^{2}(x-1)在原點處等于0的孤立點属于奇點的一种
曲線上的**奇點**（英語：）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。

平面上的代數曲線
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平面上的代數曲線可以定義為滿足方程*f*(*x*, *y*)=0的點的集合，其中*f*是多項式函數。

若*f*展開為以下的形式

f=a\_{0}+b\_{0}x+b\_{1}y+c\_{0}x^{2}+2c\_{1}xy+c\_{2}y^{2}+\dots \,
且若原點(0, 0)在曲線上，則*a*0=0。若*b*1≠0，則隐函数定理可確定有一光滑函數*h*，使得在原點附近*y*=*h*(*x*)會成立。同様的，若*b*0≠0，則在原點附近曲線會接近*x*=*k*(*y*) 。上述任何一個情形下，都有一個光滑映射從**R**映射到原點附近曲線所在的平面，注意在原點處

b\_{0}={\partial f \over \partial x},\,b\_{1}={\partial f \over \partial y},
因此只要任何一個*f*的偏導數不為零，曲線即為非奇異。曲線的奇點出現在二個偏導數皆為零的位置。

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.
### 非奇異點

假設曲線通過原點，原點附近可近似為*y*=*mx*，則*f*可以寫為如下的式子

f=(b\_{0}+mb\_{1})x+(c\_{0}+2mc\_{1}+c\_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,
若*b*0+*mb*1不為零，則*f*=0在*x*=0處有階數為1的解。若*b*0+*mb*1=0 ，則*f*=0在*x*=0處有階數為2（或更高）的解，且*y*=*mx*及*b*0x+*b*1y=0都會是曲線的切線。此時，若if *c*0+2*mc*1+c2*m*2不為零，則曲線在和*y*=*mx*接觸處有二重点（point of double）。若*x*2, *c*0+2*mc*1+c2*m*2的係數為零，但*x*3係數不為零，則原點是曲線的拐点。若*x*2和*x*3的係數都是零，則原點稱為曲線的波动点（point of undulation）。上述分析可以應用在曲線上的任意點，只要平移座標軸，使要分析的點變成原點即可。

### 二重點

三個帕斯卡蜗线，左圖是沒有二重點的帕斯卡蜗线，中間的蜗线（心脏线）在原點處有一個尖點，右邊的蜗线在原點有一個叉点，也就是曲線在該位置有二條切線
若在上述說明中，*b*0和*b*1都是零，但至少*c*0、*c*1和*c*2中有一個不為零，則原點即為曲線的二重点。再令*y*=*mx*，則*f*可寫成

f=(c\_{0}+2mc\_{1}+c\_{2}m^{2})x^{2}+(d\_{0}+3md\_{1}+3m^{2}d\_{2}+d\_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,
二重點可以依以下方程的解來分類：
*c*0+*2mc*1+*m2c*2=0.

#### 叉點

若*c*0+*2mc*1+*m2c*2=0有二個*m*的實根，也就是*c*0*c*2−*c*12<0，則原點為叉點。曲線在叉點和自身相交，二條切線對應*c*0+*2mc*1+*m2c*2=0的二個解。原點為函數*f*的鞍點。

#### 孤立點

若*c*0+*2mc*1+*m*2*c*2=0沒有*m*的實根，也就是*c*0*c*2−*c*12>0，則原點為孤立點。在實數平面上，原點為曲線的一個孤点，不過若當做複數曲線來考慮，*c*0+*2mc*1+*m*2*c*2=0的二部份的解之間有複數的切線相連。此情形下函數在原點處有极值。

#### 尖點

若*c*0+*2mc*1+*m*2*c*2=0有一個*m*的二重根，也就是*c*0*c*2−*c*12=0，原點稱為尖點。此時曲線在原點變動方向，產生一個尖銳的圖形。曲線在原點處有單一的切線，但是可視為二條恰好重合的切線。

#### 進一步的分類

*node*一詞是用來表示叉點或是孤立點，也就是不為尖點的二重點。曲線中*node*數量及尖點數量是二個曲線的不變量，在普吕克公式（英语：）中有用到。

若*c*0+*2mc*1+*m2c*2=0的一個解也是*d*0+*3md*1+*3m*2*d*2+*m*3*d*3=0的解，則曲線對應的分支在原點為拐點，此時原點稱為*flecnode*。若兩條切線都有此性質，則*c*0+*2mc*1+*m2c*2為*d*0+*3md*1+*3m*2*d*2+*m*3*d*3的因式，原點稱為*biflecnode*。

### 三重點

一個有三重點的曲線
若*f*中所有小於*k*次方的係數都為零，且至少有一項*k*次方的係數不為0，此曲線即有k階的多重點。一般而言曲線在原點處有*k*條切線，不過有些切線可能會是虛數。

以參數式表示的曲線
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*R*2平面中的參數曲線定義為由**R**→**R**2函數 *g*的像，函數*g*(*t*) = (*g*1(*t*),*g*2(*t*))。其中的奇點為滿足以下條件的點

{dg\_{1} \over dt}={dg\_{2} \over dt}=0.
尖點
許多曲線可以用方程式來定義，也可以用參數方程定義。代數曲線*x*3−*y*2 = 0會有一尖點，若改用參數式*g*(*t*) = (*t*2,*t*3)，尖點仍然存在。

不過有時奇點的數量可能會隨定義方式而不同。例如*y*2−*x*3−*x*2 = 0在原點有一奇點，為叉點，但若用參數式*g*(*t*) = (*t*2−1,*t*(*t*2−1))，因為*g*′(*t*) 在任意位置都不為零，因此同一曲線的參數式中，不存在奇點。

在將曲線用參數方程表示時，參數的選擇會影響一些相關的分析。例如直線*y* = 0，本身不存在奇點，若用參數方程*g*(*t*) = (*t*,0)，也沒有奇，但若用參數方程*g*(*t*) = (*t*3,0)表示，在原點處就會有一個奇點。因此參數式奇點的專業用語應該稱為光滑映射的奇點（singular points of a smooth mapping）比較合適。

哈斯勒·惠特尼有一定理提到

任意**R**n內的闭集都可以表示為某一光滑函數f:**R**n→**R**，其方程*f*−1(0)的解集合。
上述的定義可以延伸到用隱函數定義的曲線，定義方式為*f*−1(0)的解集合，而*f*為光滑函數，因此不一定只考慮代數簇，可以延伸到更高維度的曲線。

任何參數化的曲線可以定義為隱函數的曲線，曲線奇点的分類也會在代數簇上的奇點（英语：）的分類中加以研究。

奇點的種類
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以下是一些可能的奇點：

* 單獨的一個點：*x*2+*y*2 = 0，屬於孤立点
* 二條線交於一點：*x*2−*y*2 = 0，屬於叉点
* 尖點：*x*3−*y*2 = 0
* rhamphoid尖點：*x*5−*y*2 = 0.

參考資料
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1. ↑  Hilton Chapter II §1
2. ↑  Hilton Chapter II §2
3. ↑  Hilton Chapter II §3
4. ↑  Brooker and Larden, *Differential Germs and Catastrophes*, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
5. ↑  Bruce and Giblin, *Curves and singularities*, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

* Hilton, Harold.. . Oxford. 1920.

相關條目
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* 奇點理論（英语：）
* 奇点 (数学)
* 莫尔斯理论