在數學中，某個集合 **X** 上的 **σ-代数**（英語：）又叫 **σ-域**（英語：），是 **X** 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的"**可测集合**"，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机
--

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

### 测度

测度是给X的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的"大小"或"体积"的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义
--

**定義** —   

X 為一集合，假設有子集族 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}（ {\mathcal {P}}(X) 代表 X 的冪集）滿足下列條件

1. {\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
2. {\displaystyle (\forall F\in {\mathcal {F}})\left[(F\in {\mathcal {F}})\Rightarrow (X-F\in {\mathcal {F}})\right]}
3. {\displaystyle (\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}}

則稱 \mathcal{F} 是 X 的一個 **σ-代數**。

注意到定義第3條的{\displaystyle {\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} }，意思是 {\mathcal {A}} 和自然数系 \mathbb{N}  等势，直觀的意思就是 {\mathcal {A}} 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 X 的子集合所組成的集合 \mathcal{F} ，为 X 上的一个 **σ-代数**意思是滿足：

* X 本身就是 {\mathcal {F}} 的元素；
* 如果集合 A 在 {\mathcal {F}} 中，那么它的补集 {\displaystyle X-A} 也在{\mathcal {F}}中；
* 如果有可數个集合 {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\cdots } 都在 \mathcal{F} 中，那么它们的聯集也在\mathcal{F} 中。

在測度論裡有序对 \left(X,{\mathcal {F}}\right) 會被称为一个可测空间。而任何在 \mathcal{F} 中的子集 A，則称为**可测集合**（measurable set）；而在概率论中， \mathcal{F} 被稱為**事件族**（family of events）， \mathcal{F} 中的子集 A 則称为事件。

### 例子

* X上最小的σ-代数是{\displaystyle \{\varnothing ,X\}}。
* X上最大的σ-代数是X的冪集{\mathcal {P}}(X)（也就是所有 X 的子集合所組成的集合）

最小σ-代数
------

**定理** —   

設 {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X 的一個子集族，則：

{\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
也是X 的σ代数。

**證明**
根據定理的條件，對所有集合 A 有：

{\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F}})\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\}} (a)
以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} 的確是 X 的σ代数：

(1) {\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}

對所有的集合族 {\displaystyle \Sigma } 來說，只要 {\displaystyle \Sigma } 是σ代数，按照定義理當有 {\displaystyle X\in \Sigma } ，所以由式(a)的右方的確可以得出 {\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})} 。

(2)若 {\displaystyle A\in \Sigma } ，則 {\displaystyle X-A} 也在 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} 中

若 {\displaystyle A\in \Sigma } ，那根據式(a)，對所有的集合族 {\displaystyle \Sigma } 來說，只要 {\displaystyle \Sigma } 是σ代数 且{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \Sigma }，理當有 {\displaystyle A\in \Sigma }，所以對所有 \Sigma  只要滿足這兩個條件，理當有 {\displaystyle X-A\in \Sigma }，所以由式(a)的右方的確有：

{\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}}
(3)可數個并集也在 {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} 中

若 {\displaystyle \{A\_{1},\,A\_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})} ，由式(a)，只要 {\displaystyle \Sigma } 滿足(a)左方的兩個條件，就有 {\displaystyle \{A\_{1},\,A\_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma } ，所以：

{\displaystyle \bigcup \{A\_{1},\,A\_{2},\,\dots \}\in \Sigma }
所以再從(a)右方，就可以得到：

{\displaystyle \bigcup \{A\_{1},\,A\_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})}
綜上所述， {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} 的確是 X 的σ代数。{\displaystyle \Box }

根據以上的定理，可以做以下的定義：

**定義** —   

{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X 的一個子集族，則：

{\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}
稱為包含 \mathcal{F} 的**最小σ-代数**。

### 例子

* 设集合X=\{a,b,c,d\}，那么{\displaystyle \sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}} 是集合X上含有 \{a\} 的σ-代数中最「小」的一个。

性质
--

  

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源
----

1. ↑  Paul Halmos.. Van Nostrand. 1950. ，第28页
2. ↑  Marc Briane & Gilles Pagès.. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ，第45-46页

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| 规范控制 編輯維基數據鏈接 | 
* GND: 4181252-9

 |

 |