在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為**旋轉不變性**（rotational invariance），或**旋轉對稱性**（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數 f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} 的數值保持不變，因此，函數 f(x,\,y,\,z) 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。

球對稱位勢範例
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### 哈密頓算符的旋轉不變性

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ，其哈密頓算符 H 可以表示為

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r) ；
其中，\hbar  是約化普朗克常數，m 是質量，r 是徑向距離。

現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 \theta  角弧，則新直角坐標 {\mathbf {r}}'=(x',\,y',\,z') 與舊直角坐標的關係式為

x'=x\cos \theta -y\sin \theta  、
y'=x\sin \theta +y\cos \theta  、
z'=z 。
偏導數為

{\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}} 、
{\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}} 、
{\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}} 。
那麼，導數項目具有旋轉不變性：

\nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2} 。
由於徑向距離具有旋轉不變性：

r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r ，
旋轉之後，新的哈密頓算符 H' 是

H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H 。
所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

### 角動量守恆

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 R 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 \delta \theta  。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為

\sin \delta \theta \approx \delta \theta  、
\cos \delta \theta \approx 1 。
新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

x'\approx x-y\delta \theta  、
y'\approx x\delta \theta +y 、
z'=z 。
將 R 作用於波函數 \psi (x,\,y,\,z) ，

R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L\_{z}\psi (x,\,y,\,z) ；
其中，L\_{z} 是角動量的 z-分量，L\_{z}=xp\_{y}-yp\_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right) 。

所以，旋轉算符 R 可以表達為

R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L\_{z} 。
假設 \psi \_{E}({\mathbf {r}}) 是哈密頓算符的能級本徵態，則

H\psi \_{E}({\mathbf {r}})=E\psi \_{E}({\mathbf {r}}) 。
由於 \mathbf {r}  只是一個虛設變數，

H'\psi \_{E}({\mathbf {r}}')=E\psi \_{E}({\mathbf {r}}') 。
在做一個微小旋轉之後，

RH\psi \_{E}({\mathbf {r}})=RE\psi \_{E}({\mathbf {r}})=ER\psi \_{E}({\mathbf {r}})=E\psi \_{E}({\mathbf {r}}') 、
HR\psi \_{E}({\mathbf {r}})=H\psi \_{E}({\mathbf {r}}')=H'\psi \_{E}({\mathbf {r}}')=E\psi \_{E}({\mathbf {r}}') 。
所以，(RH-HR)\psi \_{E}({\mathbf {r}})=0 。哈密頓算符的能級本徵態 \psi \_{E}({\mathbf {r}}) 形成一組完備集 ()，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

[R,\,H]=0 。
因此，

[L\_{z},\,H]=0 。
根據埃倫費斯特定理，L\_{z} 的期望值對於時間的導數是

{\frac {d}{dt}}\langle L\_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L\_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L\_{z}}{\partial t}}\right\rangle  。
所以，

{\frac {d}{dt}}\langle L\_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L\_{z}}{\partial t}}\right\rangle  。
由於 L\_{z} 顯性地不含時間，

{\frac {d}{dt}}\langle L\_{z}\rangle =0 。
總結，\langle L\_{z}\rangle  不含時間，L\_{z} 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

參閱
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* 各向同性
* 軸對稱
* 明顯對稱性破缺
* 馬克士威定理 ()

參考文獻
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1. ↑  古斯, 阿蘭, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400  引文格式1维护：冗余文本 (link)

* Gasiorowics, Stephen.. Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.
* Stenger, Victor J. (2000). *Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes*. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。