在量子場論中，**狄拉克場**用於描述自旋-1/2的費米子，如：電子、質子、夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋-1/2的費米子，其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

基本性質
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条目：格拉斯曼數
自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上使用到反交換子\{a,b\} = ab+ba而非交換子[a,b] = ab-ba。其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計，並且也能推導出泡利不相容原理：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

數學公式
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狄拉克場表示成\psi (x)。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式：

(i\gamma^{\mu} \partial\_{\mu} - m) \psi(x) = 0.\,
其中\gamma^{\mu}\,為γ矩陣（或稱作狄拉克矩陣），*m*代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波\psi\_{1}(x) = u(p)e^{-ip.x}\,和\psi\_{2}(x) = v(p)e^{ip.x}\,。平面波組成了一個\psi (x)的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下：

\psi(x) = \int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2E\_{p}}}\sum\_{s} \left(
a^{s}\_{\textbf{p}}u^{s}(p)e^{-ip \cdot x}+b^{s \dagger}\_{\textbf{p}}v^{s}(p)e^{ip \cdot x}\right).\,

a\,、b\,標示了旋量的指標，s\,表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於\psi (x)\,可以視作一個算符，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此，a^{s}\_{\textbf{p}}以及b^{s \dagger}\_{\textbf{p}}為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。
\psi (x)\,和\psi(y)^{\dagger}遵守反對易關係：

\{\psi\_a(\textbf{x}),\psi\_b^{\dagger}(\textbf{y})\} = \delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\delta\_{ab},
藉由將\psi (x)\,和\psi(y)\,作展開，我們可以得到係數間的反對易關係：

\{a^{r}\_{\textbf{p}},a^{s \dagger}\_{\textbf{q}}\} = \{b^{r}\_{\textbf{p}},b^{s \dagger}\_{\textbf{q}}\}=(2 \pi)^{3} \delta^{3} (\textbf{p}-\textbf{q}) \delta^{rs},\,
於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋：
a^{s \dagger}\_{\textbf{p}}產生一個動量\textbf{p}\,自旋為s的粒子，而b^{r \dagger}\_{\textbf{q}}產生一個動量\textbf{q}\,自旋為r的反粒子。因此，廣義的\psi (x)\,現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛\bar{\psi} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^{\dagger} \gamma^{0}與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為\overline{\psi}\psi\,，當中\bar{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^{0}。其他可能的勞侖茲協變性量\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial\_{\mu}\psi。

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度，並且其歐拉－拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式。

\mathcal{L}\_{D} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu} \partial\_{\mu} - m)\psi\,
這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：

\mathcal{L}\_{D} = \bar{\psi}\_{a}(i\gamma^{\mu}\_{ab} \partial\_{\mu} - m\mathbb{I}\_{ab})\psi\_{b}\,
由\psi (x)，我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子：

 D\_{F}(x-y) = \langle 0| T(\psi(x) \bar{\psi}(y))| 0 \rangle 
我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：

 T(\psi(x) \bar{\psi}(y)) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \theta(x^{0}-y^{0}) \psi(x) \bar{\psi}(y) - \theta(y^{0}-x^{0})\bar\psi(y) \psi(x) 。
對上列的式子作平面波的展開，得到：

 D\_{F}(x-y) = \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}+i \epsilon}e^{-ip \cdot (x-y)}
在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理，因為係數

\frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}}
即為狄拉克方程式中作用在\psi (x)\,的相反算符。
純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性，並維持了因果律。

而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論（Yukawa theory）或量子電動力學）同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中，狄拉克場扮演很重要的要素。

參閱
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* 狄拉克方程式
* 狄拉克旋量

參考資料
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* Edwards, D. (1981). *The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories,* International J. of Theor. Phys. Vol. 20, No. 7.
* Peskin, M and Schroeder, D. (1995). *An Introduction to Quantum Field Theory,* Westview Press. (See pages 35-63.)
* Srednicki, Mark (2007). *Quantum Field Theory （页面存档备份，存于）*, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
* Weinberg, Steven (1995). *The Quantum Theory of Fields,* (3 volumes) Cambridge University Press.