**随机博弈**（英語：），或称**随机**、**随机對局**，在博弈论中是一类由一个或多个参与者所进行的、具有状态**概率转移**的动态博弈，由劳埃德·夏普利（Lloyd Shapley）於20世纪50年代初期提出。

定义
--

这类博弈由一系列阶段组成。在博弈中每一阶段的起始，博弈处於某种特定**状态**。每一参与者选择某种行动，然後会获得取决於当前状态和所选择行动的**收益**。之後，博弈发展到下一阶段，处於一个新的随机状态，这一随机状态的分布取决於先前状态和各位参与者选择的行动。在新状态中重复上述过程，然後博弈继续进行有限或无限个数的阶段。一个参与者得到的总收益常用各阶段收益的贴现和，或是各阶段收益平均值的下极限来计算。

### 数学描述

随机博弈的组成部分有：有限参与者集I ；状态空间M （可以是有限集，也可以是可测空间{\displaystyle (M,{\mathcal {A}})}）；对於每一参与者{\displaystyle i\in I}，存在行动集{\displaystyle S^{i}\,}（可以是有限集，也可以是可测空间{\displaystyle (S^{i},{\mathcal {S}}^{i})}）；P 是{\displaystyle M\times S}到M 的转移概率，其中{\displaystyle S=\times \_{i\in I}S^{i}}是行动组合，{\displaystyle P(A\mid m,s)}是下一状态处於A 中的概率，而A 给定了当前状态m 和当前行动组合s ；从{\displaystyle M\times S}到{\displaystyle R^{I}\,}的收益函数g，其中g 的第i 个坐标{\displaystyle g^{i}\,}是参与者i 的收益，而{\displaystyle g^{i}\,} 是状态m 和行动组合s 的函数。

博弈以某个初始状态m\_{1} 开始。在阶段t 中，参与者最先观测到{\displaystyle m\_{t}} ，同时选择行动{\displaystyle s\_{t}^{i}\in S^{i}}，然後观测到行动组合{\displaystyle s\_{t}=(s\_{t}^{i})\_{i}}，然後以概率{\displaystyle P(\cdot \mid m\_{t},s\_{t})}自然选择{\displaystyle m\_{t+1}} 。一次随机博弈{\displaystyle m\_{1},s\_{1},\ldots ,m\_{t},s\_{t},\ldots }定义了一个收益流{\displaystyle g\_{1},g\_{2},\ldots }，其中{\displaystyle g\_{t}=g(m\_{t},s\_{t})\,} 。

例子
--

下面给出随机博弈的一个例子：

当前有任意个装着球的桶，每个桶中球的数目也是任意的，两位参与者轮流从中取出球，且需要遵守如下规则： 

1. 每一步应至少取出一只球，且只能从某一桶中取走部分或全部球；
2. 谁取到最后一只球，谁就获胜。

重要结论
----

贴现因子为\lambda （{\displaystyle 0<\lambda \leq 1}）的贴现博弈{\displaystyle \Gamma \_{\lambda }} 中，参与者i 的收益是{\displaystyle \lambda \sum \_{t=1}^{\infty }(1-\lambda )^{t-1}g\_{t}^{i}} 。n 阶段博弈中，参与者i 的收益是{\displaystyle {\bar {g}}\_{n}^{i}:={\frac {1}{n}}\sum \_{t=1}^{n}g\_{t}^{i}} 。

若存在有限多个状态和行动的二人零和博弈{\displaystyle \Gamma \_{n}}（各自是{\displaystyle \Gamma \_{\lambda }}）的值为{\displaystyle v\_{n}(m\_{1})}（各自是{\displaystyle v\_{\lambda }(m\_{1})}），则{\displaystyle v\_{n}(m\_{1})} 在n 趋於无穷时收敛到一个极限，且{\displaystyle v\_{\lambda }(m\_{1})}在\lambda 趋於{\displaystyle 0}时收敛到相同的极限。这一结论已被杜鲁门·彪利（Truman Bewley）和艾朗·克尔伯格（Elon Kohlberg）於1976年证明。

非贴现博弈{\displaystyle \Gamma \_{\infty }}中，参与者i 的收益是各阶段收益平均值的极限。在定义二人零和博弈{\displaystyle \Gamma \_{\infty }}的值与非零和博弈{\displaystyle \Gamma \_{\infty }}的均衡收益之前需要注意一些事情：若对於每一\varepsilon>0都有正整数N 、参与者1的策略{\displaystyle \sigma \_{\varepsilon }}和参与者2的策略{\displaystyle \tau \_{\varepsilon }}，二人零和随机博弈{\displaystyle \Gamma \_{\infty }}的一致值（uniform value）{\displaystyle v\_{\infty }}存在，这样对於每一\sigma 、\tau 和每一{\displaystyle n\geq N}，博弈中由{\displaystyle \sigma \_{\varepsilon }}和\tau 定义的概率的{\displaystyle {\bar {g}}\_{n}^{i}}期望至少为{\displaystyle v\_{\infty }-\varepsilon }，由\sigma 和{\displaystyle \tau \_{\varepsilon }}定义的概率的{\displaystyle {\bar {g}}\_{n}^{i}}期望至多为{\displaystyle v\_{\infty }+\varepsilon }。让·弗朗索瓦·梅顿斯（Jean Francois Mertens）和亚伯拉罕·奈曼（Abraham Neyman）於1981年证明二人零和随机博弈具有一致值。

若参与者数量有限且行动集和状态集有限，则有限阶段随机博弈总有纳什均衡，对於总收益是贴现和的无限多阶段随机博弈也是如此。尼古拉斯·维勒（Nicolas Vieille）已经证明当总收益是各阶段收益平均值的下极限时，所有具有有限状态和行动空间的二人随机博弈都有近似纳什均衡。不过，当参与者多於2名时，随机博弈是否存在这类均衡仍是一个极具挑战性的开放性问题。

应用
--

随机博弈在经济学、演化生物学和计算机网络中都有应用。事实上，随机博弈是重复博弈这类每一阶段都处於相同状态的博弈的一般化形式。

有关随机博弈的最全面的参考书籍是奈曼和索林编著的文集。菲拉尔和乌瑞兹所著的书籍更为基础，书中提供了马尔可夫决策过程（MDP）和二人随机博弈理论的严密的统一处理方法。他们创造了Competitive MDPs这一术语来概括一人和二人随机博弈。

参考文献
----

### 註釋

1. ↑  Lloyd Stowell Shapley.. Proc. Nat. Acad. Sciences. October 1953, **39** (10): 第1095－1100页. ISSN 1091-6490. PMC 1063912 可免费查阅.
2. 1 2  Abraham Neyman，Sylvain Sorin.. Kluwer Academic Press. 2003年10月31日. ISBN 978-1402014932 （英语）.
3. ↑  Jean Francois Mertens，Abraham Neyman.  (PDF). International Journal of Game Theory. June 1981, **10** (2): 第53－66页. ISSN 0020-7276. [永久] 电子版：ISSN 1432-1270
4. ↑  Nicolas Vieille.. R.J. Aumann，S. Hart (编).. North-Holland. 2002年9月2日: 第1833–1850页  [2010年9月7日]. ISBN 978-0-444-89428-1. doi:10.1016/S1574-0005(02)03011-4. （原始内容 (精装书)存档于2018年1月2日） （英语）.
5. ↑  Eitan Altman，Konstantin Avrachenkov，Nicolas Bonneau，Mérouane Debbah，Rachid El-Azouzi，Daniel Menasché.. . Washington, DC: 第315－320页. 2007年11月26日－30日  [2010年9月7日]. doi:10.1109/GLOCOM.2007.66. ISBN 978-1-4244-1043-9. （原始内容存档于2016年3月4日）.  请检查`|date=`中的日期值 (帮助) []  （页面存档备份，存于）
6. ↑  Jerzy A. Filar，Koos Vrieze.. Springer-Verlag. 1996年11月15日. ISBN 978-0387948058 （英语）.

### 一般參考

* Anne Condon.. Information and Computation. 1992, **96** (2): 第203－224页  [2010-09-07]. ISSN 0890-5401. doi:10.1016/0890-5401(92)90048-K. （原始内容存档于2013-06-03）.



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
专题 |
| --- |
|  |
| 定义 | 正则形式的 · 扩展形式的博弈 · 图博弈论 · 合作博弈 ·  · 偏好 |
|  |
| 均衡概念（英语：） | 均衡 · 强纳什均衡（英语：） · 子博弈均衡（英语：） · 均衡 · 贝叶斯完美均衡（英语：） · 颤抖手完美均衡 · 恰当均衡（英语：） · ε-均衡 · 相关均衡 · 序贯均衡 · 准完美均衡（英语：） · 进化稳定策略（英语：） · 风险占优（英语：） · 帕累托最优 · 自我应验均衡（英语：） · 马尔可夫完美均衡（英语：） · 默滕斯稳定均衡（英语：） · 核（英语：） · 夏普利值（英语：） · 吉布斯均衡（英语：） · 量子响应均衡（英语：） · 谢林点 |
|  |
| 策略 | 优势策略 · 纯策略 · 混合策略 · 以牙還牙 · 冷酷触发策略（英语：） · 策略复制论证（英语：） · 逆向归纳法（英语：） · 前向归纳法（英语：） · 马尔可夫策略（英语：） |
|  |
| 博弈类型 | 对称博弈 · 完美信息 ·  · 重复博弈 ·  · 廉价磋商（英语：） · 零和博弈 · 机制设计 · 随机博弈 · 非传递博弈 · 全局博弈（英语：） · 甄别博弈（英语：） · 讨价还价问题（英语：） · 多人博弈（英语：） · 大型泊松博弈（英语：） · 严格决定博弈 · 潜博弈（英语：） · 位勢賽局 |
|  |
| 博弈模型 | 围棋 · 國際象棋 · 无限棋（英语：） · 西洋跳棋 · 井字棋 · 囚徒困境（可选择的囚徒博弈（英语：） · 用餐者困境） · 旅行者困境 · 猜均值的2/3 · 协调博弈（英语：） · 蜈蚣博弈 · 志愿者困境 · 搭便车问题 · 拍卖美元 · 膽小鬼博弈 · 智猪博弈 · 性别战 · 獵鹿賽局 · 賭便士（英语：） · 最後通牒賽局（海盗博弈） ·  · 獨裁者賽局（信任游戏） · 公共財賽局（英语：） · 纳什讨价还价问题（英语：） · 上校賽局  · 消耗战 · 少数派博弈（El Farol酒吧问题） · 公平分配博弈（切蛋糕问题（英语：）） · 古诺竞争 · 死結 · 库恩扑克游戏（英语：）  · 甄别博弈（英语：）  · 公主与怪兽游戏（英语：） · 约会问题（英语：） · 囚徒帽子谜题（英语：） |
|  |
| 定理 | 极值定理 · 纯化定理（英语：） · 无名氏定理 · 显示定理（英语：） · 阿罗不可能定理 · 极小化极大算法 · 纳什均衡 · 策梅洛定理 |
|  |
| 关键人物（英语：） | 阿尔伯特·塔克 · 阿摩司·特沃斯基 · 阿里埃勒·鲁宾斯坦 · 克劳德·香农 · 丹尼尔·卡内曼 · 戴维·K·莱文（英语：） · 戴维·M·克雷普斯（英语：） · 唐纳德·B·吉利斯（英语：） · 朱·弗登博格（英语：） · 埃里克·马斯金 · 哈罗德·W·库恩（英语：） · 赫伯特·亚历山大·西蒙（司马贺） · 埃尔维·穆兰（英语：） · 让·梯若尔 · 让-弗朗索瓦·默滕斯（英语：） · 珍妮弗·图尔·蔡司（英语：） · 夏仙義·亞諾什·卡羅伊 · 约翰·梅纳德·史密斯 · 安托万·奥古斯丁·库尔诺 · 约翰·福布斯·纳什 · 约翰·冯·诺伊曼 · 肯尼斯·阿罗 · 肯尼思·宾默尔 · 里奥尼德·赫维克兹 · 劳埃德·沙普利 · 梅尔文·德雷希尔（英语：） · 梅里尔·M·弗勒德（英语：） · 奧嘉·邦達雷娃（英语：） · 奥斯卡·莫根施特恩（英语：） · 保罗·米尔格龙 · 佩顿·杨（英语：） · 赖因哈德·泽尔腾 · 羅伯特·阿克塞爾羅 · 罗伯特·约翰·奥曼 · 罗伯特·B·威尔逊 · 罗杰·梅尔森 · 塞缪尔·鲍尔斯（英语：） · 苏珊娜·斯科奇姆 · 托马斯·克罗姆比·谢林 · 威廉·维克里 |
|  |
| 参见 | 全支付拍卖 · Alpha-beta剪枝 · 伯川德悖论（英语：） · 有限理性 · 組合博弈論 · 对抗分析（英语：） · 合作性競爭 · 棋局中的先手优势（英语：） · 博弈机制（英语：） · 博弈论词汇表（英语：） · 博弈理论家列表（英语：） · 特殊博弈列表 · 雙輸 · 国际象棋的解局策略（英语：） · 拓扑博弈（英语：） · 公地悲劇 · 小决定暴政 |

 |