在數學中，**艾森斯坦級數**是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數
---------

固定整數 k>1。對上半平面上的複數 \tau ，定義艾森斯坦級數 {\displaystyle G\_{2k}} 為

{\displaystyle G\_{2k}(\tau )=\sum \_{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}
此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 {\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} 的權 2k 模形式。換言之，若 {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} } 滿足 {\displaystyle ad-bc=1}，則

{\displaystyle G\_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G\_{2k}(\tau )}

遞迴關係
----

模形式理論中的一個基本事實是：模群 \Gamma  的模形式俱可表為 {\displaystyle G\_{4}} 與 {\displaystyle G\_{6}} 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 {\displaystyle G\_{4},G\_{6}} 的多項式。

置 {\displaystyle d\_{k}:=(2k+3)k!G\_{2k+4}}，遂有下述關係式： 

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}d\_{k}d\_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d\_{n+2}}
在此 {n \choose k} 是二項式係數而 {\displaystyle d\_{0}=3G\_{4}}、{\displaystyle d\_{1}=5G\_{6}}。

函數 {\displaystyle d\_{k}} 可以表示魏爾斯特拉斯 \wp  函數：

{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {d\_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \_{k=1}^{\infty }(2k+1)G\_{2k+2}z^{2k}}

傅立葉展開
-----

置 q=e^{2\pi i\tau}。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式

{\displaystyle G\_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c\_{2k}\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{2k-1}(n)q^{n}\right)}
其中的傅立葉係數 {\displaystyle c\_{2k}} 是

{\displaystyle c\_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B\_{2k}}}}。
此處的 B\_{n} 是伯努利數，\zeta (z)是黎曼ζ函數，而 {\displaystyle \sigma \_{p}(n)} 是 n 的正因數的 p 次冪和。

{\displaystyle G\_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{3}(n)q^{n}\right]}
{\displaystyle G\_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{5}(n)q^{n}\right]}
當 {\displaystyle |q|<1}，對 q 之和亦可化成蘭伯特級數

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma \_{a}(n)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}。
有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：

{\displaystyle E\_{2k}:={\frac {G\_{2k}}{2\zeta (2k)}}=1-{\frac {4k}{B\_{2k}}}\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{2k-1}(n)q^{n}}。
### 拉馬努金公式

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義

{\displaystyle L(q)=1-24\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E\_{2}(\tau )}
{\displaystyle M(q)=1+240\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E\_{4}(\tau )}
{\displaystyle N(q)=1-504\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E\_{6}(\tau )}
則有

{\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}}
{\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}}
{\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}}

文獻
--

* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition* (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
* Henryk Iwaniec, *Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition*, (2002) (Volume 53 in *Graduate Studies in Mathematics*), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 *(See chapter 3)*
* Jean-Pierre Serre, *A course in arithmetic*. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.