**歐拉-拉格朗日方程**（英語：）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 \mathbb {R} ^{n}。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程
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設f=f(x,\ y,\ z)，以及f\_y,\ f\_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續，並設泛函

J(y)=\int\_a^b f(x, y(x), y'(x))dx。
若y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)取得局部平穩值，則對於所有的x\in(a,\ b)，

\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')。
推廣到多維的情況，記 

\vec{y}(x)=(y\_1(x), y\_2(x), \ldots, y\_n(x))，
\vec{y}'(x)=(y'\_1(x), y'\_2(x), \ldots, y'\_n(x))，
 f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y\_1(x), y\_2(x), \ldots, y\_n(x), y'\_1(x), y'\_2(x), \ldots, y'\_n(x))。
若\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n使得泛函 J(\vec{y})=\int\_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx取得局部平穩值，則在區間(a,\ b)內對於所有的 i=1,\ 2,\ \ldots,\ n，皆有

 \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'\_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y\_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')。

第二方程
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設f=f(x,\ y,\ z)，及f\_y,\ f\_z在[a,\ b]\times\mathbb{R}^2中連續，若y\in C^1[a,\ b]使得泛函J(y)=\int\_a^b f(x, y(x), y'(x))dx取得局部平穩值，則存在一常數C，使得

f(x, y, y')-y'(x)f\_{y\,'}(x, y, y')=\int\_a^x f\_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C。

例子
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### 例一：两点之间最短曲线

設(0,\ 0)及(a,\ b)為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])，並且 

(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)；
這裏，(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

L(y)=\int\_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt。
現設 

\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))，
f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}，
取偏微分，則

f\_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}，
f\_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}，
f\_x=f\_y=0。
若y使得L(y)取得局部平穩值，則y符合第一方程：

\frac{d}{dt}f\_{x'}(t, y, y')=f\_x(t, y, y')=0，
\frac{d}{dt}f\_{y'}(t, y, y')=f\_y(t, y, y')=0。
因此，

\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0，
\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0。
隨t積分，

\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C\_0，
\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C\_1；
這裏，C\_0,\ C\_1為常數。重新編排，

x'=\sqrt{\frac{C\_0^2}{1-C\_0^2}}=r，
y'=\sqrt{\frac{C\_1^2}{1-C\_1^2}}=s。
再積分， 

x(t)=rt+r'，
y(t)=st+s'。
代入初始條件 

(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)，
(x(1),\ y(1))=(a,\ b)；
即可解得(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得L(y)取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

### 例二：两点之间最短曲线的另一种求解

另一个例子同样是求定义在区间[*a*, *b*]上的实值函数*y*满足*y*(*a*) = *c*与*y*(*b*) = *d*，并且沿着*y*所定义的曲线的道路长度最短。

{\displaystyle s=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,}
被积函数为

{\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}
*L*的偏导数为

{\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}
以及

{\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}
把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}
也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

參閱
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* 拉格朗日方程式
* 變分法
* 作用量
* 哈密頓原理

參考書籍
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* Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.

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* 论
* 编
莱昂哈德·欧拉 |
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* 歐拉-拉格朗日方程
* 歐拉-洛特卡方程（英语：）
* 欧拉-麦克劳林求和公式
* 欧拉-丸山法
* 歐拉-馬斯刻若尼常數
* 歐拉-泊松-達布方程（英语：）
* 歐拉-羅德里格斯公式（英语：）
* 欧拉-特里科米方程
* 歐拉連分數公式（英语：）
* 欧拉临界负载
* 欧拉公式
* 欧拉四平方和恒等式
* 欧拉恒等式
* 歐拉泵和渦輪方程（英语：）
* 欧拉旋转定理
* 欧拉猜想
* 欧拉定理 (数论)
* 欧拉方程 (流体动力学)
* 歐拉函數 (複變函數)
* 欧拉方法
* 欧拉数
* 欧拉数 (物理学)
* 欧拉-伯努力栋梁方程
* 以他命名的事物（英语：）

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