在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為**守恆量**（），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。

動量
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根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：

{\displaystyle \mathbf {F} =0} 。
根據牛頓第二定律，淨外力與動量 \mathbf{p} 的關係式為

{\mathbf {F}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}}{{\mathrm {d}}t}} 。
所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

角動量
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根據角動量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 \boldsymbol{\tau} 為零：

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0} 。
淨外力矩與角動量 {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}} 的關係式為

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}} 。
所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

能量
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在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與勢能的代數和。根據**能量守恒定律**，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量 E 為動能 T 與勢能 V 的代數和

E=T+V 。
粒子的動能與運動速度 \mathbf {v}  的關係為

{\displaystyle T=mv^{2}/2} ；
其中，m 是粒子的質量。

而對於保守系統，勢能與淨保守力 \mathbf {F}  的關係為

{\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V} ；
能量對於時間的導數為

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0} 。
所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

能量函數
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思考一個物理系統，其拉格朗日量是动能 T 与势能 V 的差值：

{\mathcal {L}}=T-V 。
通常，動能的參數為廣義速度 {\dot q}\_{1},{\dot q}\_{2},{\dot q}\_{3},\dots ,{\dot q}\_{N} （符號上方的點號表示對於時間 t 的全導數），而勢能的參數為廣義坐標 q\_{1},q\_{2},q\_{3},\dots ,q\_{N};t ，所以，拉格朗日量的參數為 q\_{1},q\_{2},q\_{3},\dots ,q\_{N};{\dot q}\_{1},{\dot q}\_{2},{\dot q}\_{3},\dots ,{\dot q}\_{N};t 。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q\_{i}}}=0；
其中，t 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為

{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum \_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q\_{i}}}{\dot {q}}\_{i}+\sum \_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}{\ddot {q}}\_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}} 。
將拉格朗日方程式代入，可以得到

{\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum \_{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right){\dot {q}}\_{i}+\sum \_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}{\ddot {q}}\_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum \_{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}{\dot {q}}\_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}。
定義「能量函數」 {\mathit {h}}(q\_{1},q\_{2},q\_{3},\dots ;{\dot q}\_{1},{\dot q}\_{2},{\dot q}\_{3},\dots ;t) 為

{\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum \_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}{\dot {q}}\_{i}-{\mathcal {L}} ，
則能量函數與拉格朗日量的關係為

{\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}} 。
假若拉格朗日量顯性地與時間無關，{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0 ，{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q\_{1},q\_{2},q\_{3},\dots ,q\_{N};{\dot {q}}\_{1},{\dot {q}}\_{2},{\dot {q}}\_{3},\dots ,{\dot {q}}\_{N})} ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 {\mathit {h}}=E ，這常數 E 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

參閱
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* 李亞普諾夫函數
* 哈密頓系統
* 守恆定律

參考文獻
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1. ↑  Morin, David.. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.
2. 1 2 3  Goldstein, Herbert,  3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)