蓝色直线为过交点的垂线方向，红色直线为过交点的法线方向，两者间的差异即为垂线偏差
**垂线偏差**（英語：）指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异，也即重力异常矢量的方向。垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异，其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定，而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。

数学表达
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设 \mathbf {P}  为大地水准面上一点，其所处的垂线方向为 \mathbf{n}，通过重力测量方式测得的天文坐标为 {\displaystyle \left(\Phi ,\Lambda \right)} 。将其沿参考椭球面的法线 {\displaystyle \mathbf {n'} } 投影至椭球面上的点 {\mathbf {Q}}，得到其地理坐标为 {\displaystyle \left(\varphi ,\lambda \right)} 。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 \xi 和其在东西方向（即卯酉圈方向）上的投影 \eta  描述：

{\displaystyle {\begin{cases}\xi =\Phi -\varphi \\\eta =(\Lambda -\lambda )\cos {\varphi }\end{cases}}}
### 与重力异常和重力扰动的关系

设 \mathbf {P}  点处测量得到的真实重力矢量为 {\displaystyle {\vec {\mathbf {g} }}\_{P}}，而 {\mathbf {Q}} 点处计算得到的正常重力矢量为 {\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}\_{Q}}，则 \mathbf {P}  点处的重力异常矢量为：

{\displaystyle \Delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}\_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}\_{Q}}
又设 \mathbf {P}  点处测量得到的正常重力矢量为 {\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}\_{P}}，则 \mathbf {P}  点处的重力扰动矢量为：

{\displaystyle \delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}\_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}\_{P}}
重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 \mathbf {P} 、{\mathbf {Q}} 两点的正常重力方向在同一条直线上。

### 与大地水准面高的关系

大地水准面高即为两点间的距离 {\displaystyle PQ} ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 \mathbf {P} ，垂线偏差在此平面内的分量 \varepsilon  与大地水准面高 N 和大地水准面上的弧微分 {\displaystyle \operatorname {d} \!s} 存在如下几何关系：

{\displaystyle \tan \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s}
习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的 {\displaystyle -\operatorname {d} \!N} 为负值。又因垂线偏差的分量 \varepsilon  是微小量，即 {\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0} ，因此上式也可写成：

{\displaystyle \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s\quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})}
再以地球平均半径 R 替代点 \mathbf {P}  在各法截面上的曲率半径，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

{\displaystyle {\operatorname {d} \!s}^{2}=R^{2}{\operatorname {d} \!\varphi }^{2}+R^{2}{\cos }^{2}{\varphi }^{2}{\operatorname {d} \!\lambda }^{2}}
分别取垂直面分别与子午圈平行（即 {\displaystyle \operatorname {d} \!\lambda =0}）和与卯酉圈平行（即 {\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi =0}），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：

{\displaystyle {\begin{cases}\xi =-{\frac {1}{R}}{\partial N \over \partial \varphi }\\\eta =-{\frac {1}{R\cos \varphi }}{\partial N \over \partial \lambda }\end{cases}}}

参见
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* 法线
* 铅垂线
* 参考椭球面
* 大地水准面
* 重力异常
* 重力扰动

参考文献
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1. 1 2 3  Sneeuw, Nico.  (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 104–108  [2020-04-02]. （原始内容 (PDF)存档于2020-04-13）.
2. 1 2  宁津生. 管泽霖 , 编.. 测绘出版社. 1981: 243–249.

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* 论
* 编
物理大地测量学 |
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* **大地测量学：**应用大地测量学
* 椭球大地测量学
* **物理大地测量学**
* 空间大地测量学

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* 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
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* 卡爾·弗里德里希·高斯
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* 乔治·斯托克斯

* 弗里德里希·罗伯特·赫尔默特
* 海因里希·布伦斯
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