在幾何學中，**五角化六十面體**是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。**五角化六十面體**有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或"對映體"），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角化六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角化六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。

性質
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五角化六十面體是一個手性多面體（英语：），也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或"對映體"），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。

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| **五角化六十面體**的旋轉透視圖 | **五角化六十面體**的另一個手性鏡像的旋轉透視圖 |

### 構造

五角化六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角化六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角化六十面體，然而這種方式構造的五角化六十面體會稍微有點形變。

### 二面角

五角化六十面體只有一種二面角，約為153.18度：

{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx }2.67347322717678\approx153.178732558°
其中\varphi 為黃金比例、x為{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}

### 面的組成

五角化六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令x為{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}，則短邊與長邊的比為：

{\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }0.582899534744982414 : 1.019988247022845898
其中{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}為黃金比例。

若令{\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}為多項式{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}的根，則長邊與短邊的比值l為：

{\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}.
也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角化六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為{\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}，約118度8分，而反餘弦內的值是多項式{\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}的第一個實根；銳角的角度為{\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}，約67度28分，而反餘弦內的值是多項式{\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}的第4個根。

### 幾何

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角化六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角化六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角化六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角化六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：

{\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }2.1172098986
十二個五階頂點所在的球面之半徑為：

{\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }2.220000699
### 體積與表面積

若要計算五角化六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為b，並令常數t為：

{\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622} .
則短邊長為b的五角化六十面體表面積（*A*）為：

{\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}}.
體積（*V*）為：

{\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}}.
使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度（英语：）量值：

{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163}

用途
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五角化六十面體的骰子
由於五角化六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。

參見
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* 卡塔蘭立體
* 對偶多面體

參考文獻
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1. 1 2 3 4 5  Williams, Robert.. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.
2. 1 2 3 4  Weisstein, Eric W. (编).. at *MathWorld*--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. ↑  Alan Holden.. New York: Columbia University Press. 1971.
4. ↑  Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C.. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016  [2022-07-25]. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446. （原始内容存档于2022-07-26）.  (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
5. ↑  Coxeter, H. S. M. John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
6. 1 2 3 4 5 6 7  David I. McCooey..  [2022-07-24]. （原始内容存档于2022-07-27）.
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8. ↑ . polyhedra.org.  [2008-09-24]. （原始内容存档于2008-07-14）.
9. ↑  Livio Zefiro and Maria Rosa Ardigo..  [2022-07-25]. （原始内容存档于2021-05-06）.
10. ↑ . rechneronline.de.  [2020-05-26]. （原始内容存档于2022-05-23）.
11. ↑ . mathpuzzle.com.  [2022-07-25]. （原始内容存档于2022-04-26）.

* Williams, Robert.. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
* Wenninger, Magnus（英语：）, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

外部連結
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* 埃里克·韦斯坦因, 五角六十面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）

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* 论
* 编
卡塔蘭立體 |
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| 正四面體（原像） | 正四面體（對偶） |

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| 立方體（原像） | 正八面體（對偶） |

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| 正十二面體（原像） | 正二十面體（對偶） |

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| 三角化四面體\* | （三角化四面體） |  | 三角化八面體\* | 四角化立方體\* |  | 三角化二十面體\* | 五角化十二面體\* |
|  菱形六面體（立方體） | 菱形十二面體\* | 菱形三十面體\* |
| 鳶形十二面體（菱形十二面體） | 四角化菱形六面體（四角化立方體） | 鳶形二十四面體\* | 四角化菱形十二面體\* | 鳶形六十面體\* | 四角化菱形三十面體\* |
| 五角十二面體（正十二面體） | 五角二十四面體\* | 五角化六十面體\* |

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| 星號\*表示該立體屬於卡塔蘭立體。 |

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* 论
* 编
 康威多面體 |
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| 四面體變體 | 
* 六角化截角四面體
* 截角三角化四面體
* 六角化五角化截角三角化四面體

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| 六面體變體 | 
* 四角化扭棱立方體
* 四角化截半立方體

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|  |
| 八面體變體 | 
* 截角菱形十二面體

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|  |
| 十二面體變體 | 
* 五角化十二面體
* 五角化截半二十面體
* 五角化六十面體
* 五角化扭棱十二面體
* 截角五角化六十面體

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|  |
| 二十面體變體 | 
* 截半截角二十面體
* 菱形九十面體
* 截角五角化六十面體
* 截角菱形三十面體
* 六角化五角化倒角十二面體

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