**提示**：此条目的主题不是**伯特蘭－切比雪夫定理**。 

約瑟·伯特蘭
在經典力學裏，**伯特蘭定理**闡明，只有兩種位勢V可以給出閉合軌道：

* 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

V(r)={\frac {-k}{r}}。
* 徑向諧振子勢：

V(r)={\frac {1}{2}}kr^{{2}}。
其中，r是徑向座標，k是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為**閉合軌道**。

1687年，物理学家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。

前論
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所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標(r,\theta )，一個移動於連心勢V(r)的粒子，其拉格朗日量{\mathcal {L}}是

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)。
其中，m是粒子質量，{\dot {r}}、{\dot {\theta }}分別表示r、\theta 對於時間t的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0、
{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0。
由於角坐標\theta 顯性地跟拉格朗日量無關，\theta 是個可略坐標，其共軛動量（角動量）\ell 守恆，\ell 是個常數：

\ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}。
將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個r的二次微分方程式，

m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0。
假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力-{\frac {dV}{dr}}等值於離心力-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

{\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}。
將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

{\frac {\ell }{r^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{{2}}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{{2}}}{mr^{{3}}}}=-{\frac {dV}{dr}}。
設定變數u={\frac {1}{r}}，改換方程式的變數為u，同時將方程式兩邊乘以{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)。

導引
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如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（**穩定**在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定 

J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{{2}}u^{{2}}}}f(1/u)；(1)
其中，f(1/u)是連心力函數。

則軌道方程式為

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)。
如果要得到半徑為r\_{0}\equiv {\frac {1}{u\_{0}}}的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

u\_{{0}}=J(u\_{0})。
思考對於標準圓形運動軌道的變數u的微擾\eta \equiv u-u\_{{0}}，函數J(u)在u\_{0}的泰勒級數為

J(u)\approx u\_{0}+\eta J^{{\prime }}(u\_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{{\prime \prime }}(u\_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{{\prime \prime \prime }}(u\_{0})+\ldots 。
將此展開示代入軌道方程式：

{\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{{\prime }}(u\_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{{\prime \prime }}(u\_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{{\prime \prime \prime }}(u\_{0})\ldots 。
設定常數\beta ^{2}\equiv 1-J^{{\prime }}(u\_{0})（\beta =0的解答為標準圓形運動軌道）：

{\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{{\prime \prime }}(u\_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{{\prime \prime \prime }}(u\_{0})\ldots 。(2)
取至\eta 的1次方：

{\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0。
\beta ^{2}必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

\eta (\theta )=h\_{1}\cos(\beta \theta )；
其中，振幅h\_{1}是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則\beta 必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於u的導數：

{\begin{aligned}J^{{\prime }}(u\_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|\_{{u\_{0}}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|\_{{u\_{0}}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|\_{{u\_{o}}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|\_{{u\_{0}}}=-2+{\frac {u\_{0}}{f(1/u\_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|\_{{u\_{0}}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}} 。
這方程式對於任意u\_{0}值都必須成立，因此可以將u\_{0}認定為函數\left.{\frac {df}{du}}\right|\_{{u\_{0}}}的參數。用符號u來代替u\_{0}，

{\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}。
將方程式的變數換回為r，

{\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{{2}}-3\right){\frac {f}{r}}。
這意味著作用力必須遵守冪定律：

f(r)=-{\frac {k}{r^{{3-\beta ^{2}}}}}。
代入方程式 (1) , J的一般形式為

J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{{1-\beta ^{2}}}。(3)
假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略J函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開\eta ：

\eta (\theta )=h\_{0}+h\_{1}\cos(\beta \theta )+h\_{2}\cos(2\beta \theta )+h\_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots 。
因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至3\beta 項目。方程式 (2)也只取至\eta 的三次方。注意到h\_{0}與h\_{2}的數量級為h\_{1}^{2}\!，超小於h\_{1}；h\_{3},\!的數量級為h\_{1}^{3}，超小於h\_{0}與h\_{2}。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

h\_{0}=h\_{1}^{2}{\frac {J^{{\prime \prime }}(u\_{0})}{4\beta ^{2}}}，(4)
0=(2h\_{1}h\_{0}+h\_{1}h\_{2}){\frac {J^{{\prime \prime }}(u\_{0})}{2}}+h\_{1}^{3}{\frac {J^{{\prime \prime \prime }}(u\_{0})}{8}}，(5)
h\_{2}=-h\_{1}^{2}{\frac {J^{{\prime \prime }}(u\_{0})}{12\beta ^{2}}}。(6)
求J(u)在u\_{0}對於u的微分：

J^{{\prime }}(u\_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u\_{0}^{{-\beta ^{2}}}=1-\beta ^{2}
J^{{\prime \prime }}(u\_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u\_{0}^{{-\beta ^{2}-1}}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u\_{0}}}。(7)
J^{{\prime \prime \prime }}(u\_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u\_{0}^{{-\beta ^{2}-2}}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u\_{0}^{2}}}。(8)
將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

h\_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h\_{1}^{2}}{4u\_{0}}}，(9)
h\_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h\_{1}^{2}}{12u\_{0}}}。(10)
再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0。
解答\beta =0是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (\beta =1)與徑向諧振子勢 (\beta =2)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

平方反比力（克卜勒問題）
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平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 

V({\mathbf {r}})={\frac {-k}{r}}=-ku。
處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

{\frac {d^{{2}}u}{d\theta ^{{2}}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{{2}}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{{2}}}}。
其解答為軌道函數u(\theta )： 

u={\frac {km}{\ell ^{{2}}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta \_{{0}}\right)\right]；
其中，e是橢圓軌道的離心率，\theta \_{{0}}是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當e=0時，這軌道對應於圓形軌道；
當e<1時，這軌道是橢圓形軌道；當e=1時，這軌道是拋物線軌道；當e>1時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量E的關係為

e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{{2}}}{k^{{2}}m}}}}。
所以，當E=-{\frac {k^{{2}}m}{2\ell ^{{2}}}}時，這軌道是圓形軌道；
當E<0時，這軌道是橢圓形軌道；當E=0時，這軌道是拋物線軌道；當E>0時，這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子
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為了方便解析這問題，採用直角坐標{\mathbf {r}}=(x,y,z)。勢能可以寫為

V({\mathbf {r}})={\frac {1}{2}}kr^{{2}}={\frac {1}{2}}k(x^{{2}}+y^{{2}}+z^{{2}})。
處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量{\mathcal {L}}是

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{{2}}+{\dot {y}}^{{2}}+{\dot {z}}^{{2}})+{\frac {1}{2}}k(x^{{2}}+y^{{2}}+z^{{2}})。
這粒子的拉格朗日方程式為

{\frac {d^{{2}}x}{dt^{{2}}}}+\omega \_{{0}}^{{2}}x=0、
{\frac {d^{{2}}y}{dt^{{2}}}}+\omega \_{{0}}^{{2}}y=0、
{\frac {d^{{2}}z}{dt^{{2}}}}+\omega \_{{0}}^{{2}}z=0；
其中，\omega \_{{0}}=k/m是振動頻率。

常數k必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

x=A\_{{x}}\cos \left(\omega \_{{0}}t+\phi \_{{x}}\right)、
y=A\_{{y}}\cos \left(\omega \_{{0}}t+\phi \_{{y}}\right)、
z=A\_{{z}}\cos \left(\omega \_{{0}}t+\phi \_{{z}}\right)；
其中，A\_{{x}}、A\_{{y}}、A\_{{z}}分別為x、y、z方向的振幅，\phi \_{{x}}、\phi \_{{y}}、\phi \_{{z}}分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期T\equiv {2\pi }/{\omega \_{{0}}}後，會重複自己，軌道解答{\mathbf {r}}(t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理
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牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子\alpha 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力\Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}為

\Delta F(r)={\frac {L\_{{1}}^{{2}}}{mr^{{3}}}}\left(1-\alpha ^{{2}}\right)；
其中，\ell \_{{1}}是粒子原本的角動量，m是粒子的質量。

所以，\alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell \_{1}^{2}}}。 

由於\alpha 是有理數，\alpha 可以寫為分數m/n；其中，m和n都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成m圈公轉的時間等於原本完成n圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱
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* 二體問題
* 三體問題
* 克卜勒定律
* 牛頓旋轉軌道定理

參考文獻
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1. ↑  Bertrand, J.. C. R. Acad. Sci. 1873, **77**: 849–853.

Goldstein, Herbert.  3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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Tikochinsky, Yoel, American Journal of Physics, December 1988, **56** (12): pp. 1063–1157  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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