此条目的主題是概率論的**切比雪夫不等式**。牽涉到級數的不等式，請見「**切比雪夫總和不等式**」。
在概率論中，**切比雪夫不等式**（英語：）顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（英語：）或比奈梅-切比雪夫不等式（英語：）。切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意b>0，有：

{\displaystyle P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}}

概念
--

這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

* 與平均相差2個標準差以上的值，數目不多於1/4
* 與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
* 與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16

……

* 與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k2

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36\*1/9）。  

公式：P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}

推论
--

### 測度論說法

設(*X*,Σ,μ)為一測度空間，*f*為定義在*X*上的廣義實值可測函數。對於任意實數*t* > 0，

\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int \_{X}f^{2}\,d\mu .
一般而言，若*g*是非負廣義實值可測函數，在*f*的定義域非降，則有

\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int \_{X}g\circ f\,d\mu .
上面的陳述，可透過以|*f*|取代*f*，再取如下定義而得：

g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}
### 概率論說法

設X為隨機變量，期望值為\mu ，标准差為\sigma 。對於任何實數k>0，

\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.
### 改進

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：

\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})
\Pr(X=0)=1-1/k^{2}
這個分布的標準差\sigma =1/k，\mu=0。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 1-1/k^{2} 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

當只求其中一邊的值的時候，有**Cantelli不等式**：

\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}. （页面存档备份，存于）

證明
--

定義~A\_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}，設1\_{{A\_{t}}}為集~A\_{t}的指示函数，有

0\leq g(t)1\_{{A\_{t}}}\leq g\circ f\,1\_{{A\_{t}}}\leq g\circ f,
g(t)\mu (A\_{t})=\int \_{X}g(t)1\_{{A\_{t}}}\,d\mu \leq \int \_{{A\_{t}}}g\circ f\,d\mu \leq \int \_{X}g\circ f\,d\mu .
又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量*Y*和正數*a*有\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E}(|Y|)/a。取Y=(X-\mu )^{2}及a=(k\sigma )^{2}。

亦可從概率論的原理和定義開始證明：

\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E}(I\_{{|X-\mu |\geq k\sigma }})=\operatorname {E}(I\_{{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1}})
\leq \operatorname {E}\left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E}((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.

參見
--

* 馬爾可夫不等式
* 弱大數定律
* 大數定律

参考来源
----

* 《基本統計學 觀念與應用二版》，林惠玲 陳正倉 著
* 《應用統計學 第四版》 修訂版，林惠玲 陳正倉 著

  


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
统计学 |
| --- |
|  |
| 描述统计学 | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 

|  |  |
| --- | --- |
| 集中趋势 | 
* 平均数
	+ 平方
	+ 算術
	+ 幾何
	+ 調和
	+ 算术-几何
	+ 几何-调和
	+ 希羅／平均数不等式
* 中位數
* 眾數

 |
|  |
| 离散程度 | 
* 全距
* 变异系数
* 百分位數
* 四分位距
* 四分位数
* 標準差
* 
* 平均差
* 標準分數
* 
* 

 |
|  |
| 分布形态（英语：） | 
* 中心极限定理
* + 偏態
	+ 峰態

 |

 |
|  |
|  | 
* 次數（英语：）
* · 列聯表（英语：）

 |

 |  |
|  |
| 推論統計學和假說檢定 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 推論統計學 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 显著性差异
* 元分析
* 

 |
|  |
| 实验设计 | 
* 
* 抽樣
* 重抽样
	+ 刀切法
	+ 自助法
	+ 交叉驗證
* 重复（英语：）
* 阻碍
* 靈敏度和特異度
* 區集（英语：）
* 缺失数据

 |
|  |
| 样本量（英语：） | 
* 標準誤
* 
* 
* 
* 
* 效应值

 |
|  |
| 常规估计 | 
* 
* 區間估計（英语：）
* 
* 最小距離估計（英语：）
* 估计
* 最大间距

 |
|  |
|  | 
* Z檢驗
* 
* F檢定
* 卡方检验
* Wald檢定（英语：）
* 曼-惠特尼檢定（英语：）
* 秩和检验

 |
|  |
| 生存分析 | 
* 生存函数
* 乘積極限估計量
* 對數秩和檢定
* 失效率
* 危險比例模式

 |

 |
|  |
| 相關及迴歸分析 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 相关性 | 
* 干擾因素
* 積相關係數
* 等級相關（英语：） (斯皮尔曼等级相关系数
* 肯德等級相關係數（英语：）)
* 自由度
* 误差和残差

 |
|  |
| 線性回歸 | 
* 線性模型（英语：）
* 一般线性模型
* 廣義線性模型
* 简单线性回归
* 普通最小二乘法
* 贝叶斯回归（英语：）
* 分析
* 分析（英语：）

 |
|  |
| 非线性回归 | 
* 非参数回归模型（英语：）
* 半参数回归模型（英语：）
* 邏輯斯諦迴歸

 |

 |
|  |
| 统计图形 | 
* 
* 
* 双标图
* 箱形圖
* 管制圖
* 森林圖（英语：）
* 
* 分位圖
* 趋势图
* 
* 莖葉圖
* 雷达图（英语：）
* 示意地圖

 |
|  |
| 其他 | 
* 统计类型（維基數據所列：）
* 回應過程效度
* 統計誤用

 |
|  |
| 
* 分类**分类**
* 主题**主题**
* 共享资源页面**共享资源**
* 专题 **专题**

 |

 |