在线性代数裡，**正定矩阵**（英語：）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为**正定阵**。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

定义
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一个 n\times n 的实对称矩阵 M 是**正定**的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 {\displaystyle \mathbf {z} }，都有 {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0}。其中 {\displaystyle \mathbf {z} ^{T}}表示 *{\displaystyle \mathbf {z} }* 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 n\times n 的埃尔米特矩阵 **M** 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 {\displaystyle \mathbf {z} }，都有 {\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} >0}。其中 *{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}}*表示 {\displaystyle \mathbf {z} } 的共轭转置。

  

這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 M 及複向量 *{\displaystyle \mathbf {z} }* ，{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} } 必定是实数。

首先，因為 M 是埃爾米特矩陣，所以我們有 {\displaystyle M^{\*}=M}。接下來我們計算所求的共轭转置：{\displaystyle (\mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} )^{\*}=\mathbf {z} ^{\*}M^{\*}(\mathbf {z} ^{\*})^{\*}=\mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} }。因為 {\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} } 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 {\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} } 是實數。

正定矩陣
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对於 n\times n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与「M 为正定矩阵」等价：

1. M 的所有的特征值 \lambda\_i 都是正的。 根据谱定理，M 与一个实对角矩阵 *D* 相似（也就是说 {\displaystyle M=U^{-1}DU}，其中 *U* 是酉矩阵，或者说 M 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的 *D* 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假設 \lambda\_i 和 *{\displaystyle \mathbf {v} \_{i}}* 是 M 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 **{\displaystyle M\mathbf {v} \_{i}=\lambda \_{i}\mathbf {v} \_{i}}**，從左側同乘以 **{\displaystyle \mathbf {v} \_{i}^{\*}}** 得到：**{\displaystyle \mathbf {v} \_{i}^{\*}M\mathbf {v} \_{i}=\lambda \_{i}\mathbf {v} \_{i}^{\*}\mathbf {v} \_{i}=\lambda \_{i}\Vert \mathbf {v} \_{i}\Vert ^{2}}**。因為 M 是正定矩陣，根據定義我們有 {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}^{\*}M\mathbf {v} >0}。移項整理後可以得到 {\displaystyle \lambda \_{i}={\frac {\mathbf {v} ^{\*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \_{i}\Vert ^{2}}}>0}。注意因為特徵向量 *{\displaystyle \mathbf {v} \_{i}\neq \mathbf {0} }*，所以前述 \lambda\_i 不會有無解的情形。
2. 半双线性形式 \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{\*} M \textbf{y} 定义了一个 **\mathbb{C}^n**上的内积。实际上，所有 **\mathbb{C}^n**上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
3. **M** 是向量 \textbf{x}\_1,\ldots,\textbf{x}\_n \in \mathbb{C}^k 構成的格拉姆矩阵，其中 ***{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}***。更精确地说，**{\displaystyle M=[m\_{ij}]}** 定义为：{\displaystyle m\_{ij}=\langle {\textbf {x}}\_{i},{\textbf {x}}\_{j}\rangle ={\textbf {x}}\_{i}^{\*}{\textbf {x}}\_{j}}。换句话说，**M** 具有 A^\*A 的形式，其中 *A* 不一定是方阵，但必須是单射的。
4. **M** 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则（英语：））。明确地说，就是考察 **M** 左上角大小 **{\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n}** 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： **[

1

1

1

1

1

1

1

1

0

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}**
5. 存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得 M=L L^\*。其中 L^\*是 L 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 \mathbb{C}^n改为 \mathbb {R} ^{n}，並将「共轭转置」改为「转置」即可。

### 二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 \mathbb {K}  代表 \mathbb {C}  或 \mathbb {R} ，设 \mathbb{V} 是 \mathbb {K}  上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

B : V \times V \rightarrow K
是一个双线性映射，使得 {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} 总是 {\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )} 的共轭。这样的一个映射 *B* 是**正定**的若且唯若對於 \mathbb{V} 中所有的非零向量 *\mathbf {x}* ，都有 {\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}。

负定、半定及不定矩阵
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与正定矩阵对应，一个 n\times n 的埃尔米特矩阵 M 是**负定矩阵**（英語：）若且唯若对所有非零向量 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}（或 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}），都有 {\displaystyle z^{\*}Mz<0\,}。

M是**半正定矩阵**（英語：）若且唯若對於所有非零向量 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}（或 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}），都有 {\displaystyle z^{\*}Mz\geq 0}。

M是**半负定矩阵**（英語：）若且唯若對於所有非零向量 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}（或 {\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}），都有 {\displaystyle z^{\*}Mz\leq 0}。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为**不定矩阵**（英語：）。

可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 **M** 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 A，A^\*A必是半正定的，并有 {\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{\*}A)}（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 {\displaystyle M=A^{\*}A}，这就是科列斯基分解。

对於任意矩阵 A，因為 {\displaystyle (A^{\*}A)^{\*}=A^{\*}(A^{\*})^{\*}=A^{\*}A} ，因此 A^\*A 是埃爾米特矩陣。令 {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}，則 {\displaystyle \mathbf {v} ^{\*}(A^{\*}A)\mathbf {v} =(\mathbf {v} ^{\*}A^{\*})(A\mathbf {v} )=(A\mathbf {v} )^{\*}(A\mathbf {v} )=\Vert A\mathbf {v} \Vert ^{2}\geq 0}，因此 A^\*A 是半正定的。另外，我們很容易證明 A 與 A^\*A 有相同的零空間，根據秩 – 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。

一个埃尔米特矩阵 ***M*** 是负定矩阵若且唯若 **M** 的所有奇数阶顺序主子式小于 {\displaystyle 0}，所有偶数阶顺序主子式大于 {\displaystyle 0}。当 **M** 是负定矩阵时，**M** 的逆矩阵也是负定的。

相关性质
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若 M 为半正定矩阵，可以記作  M \geq 0 。如果M是正定矩阵，可以記作  M > 0 。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，M、N， M\geq N  若且唯若  M-N \geq 0 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义M>N。

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| **1.** | 每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果  M \geq N > 0  那么  N^{-1} \geq M^{-1} > 0。 |
| **2.** | 如果 M 是正定阵，r > 0 为正实数，那么 r M 也是正定阵。

如果 M、N 是正定阵，那么 M + N、MNM 与 NMN 都是正定的。如果 M N = N M，那么 M N 仍是正定阵。 |
| **3.** | 如果  M=(m\_{ij}) > 0  那么主对角线上的元素  m\_{ii}  为正实数。于是有  \text{tr}(M)>0 。此外还有
{\displaystyle |m\_{ij}|\leq {\sqrt {m\_{ii}m\_{jj}}}\leq {\frac {m\_{ii}+m\_{jj}}{2}}} 。 |
| **4.** | 矩阵 M 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵  B>0  使得  B^2 = M 。根据其唯一性可以记作  B = M^{1/2} ，称  B 为 M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果  M > N > 0  那么  M^{1/2} > N^{1/2}>0  。 |
| **5.** | 如果  M,N > 0  那么  M\otimes N > 0 ，其中 \otimes 表示克羅內克積。 |
| **6.** | 对矩阵 {\displaystyle M=(m\_{ij}),\ N=(n\_{ij})}，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为  M\circ N ，即 {\displaystyle (M\circ N)\_{i,j}=m\_{ij}n\_{ij}}，称为M与N的 阿达马乘积。如果  M,N>0 ，那么  M\circ N > 0 。如果  M,N  为**实係数矩阵**，则以下不等式成立：

{\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod \_{i}m\_{ii}} 。  |
| **7.** | 设  M > 0 ，N 为埃尔米特矩阵。如果  MN+NM \geq 0 （相應地， MN+NM > 0 ），那么  N\geq 0 （相應地， N > 0）。 |
| **8.** | 如果  M,N\geq 0 为实系数矩阵，则  \text{tr}(MN)\geq 0。 |
| **9.** | 如果  M>0 为实系数矩阵，那么存在  \delta>0  使得  M\geq \delta I，其中  I  为单位矩阵。 |

非埃尔米特矩阵的情况
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一个实矩阵 **M** 可能满足對於所有的非零实向量 *{\displaystyle \mathbf {x} }*，{\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵

 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} 就满足这个条件。对於 {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\end{bmatrix}}} 并且 {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }，{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\_{1}&x\_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\end{bmatrix}}=x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}>0}。

  

一般来说，一个实系数矩阵 **M** 满足对所有非零实向量 *{\displaystyle \mathbf {x} }*，{\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}，若且唯若对称矩阵 {\displaystyle (M+M^{T})/2} 是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 *{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} >0}* 这一性质。要使得 *{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} }* 总为实数，矩阵 **M** 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 *{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} }* 总是正实数，**M** 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 *{\displaystyle \mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} >0}* 扩展为 *{\displaystyle \Re (\mathbf {z} ^{\*}M\mathbf {z} )>0}*，则等价于 {\displaystyle (M+M^{\*})/2} 为正定矩阵。

参见
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* 确定双线性形式
* 矩阵的平方根
* 舒尔补
* 正定核（英语：）
* 正定函数
* 科列斯基分解
* 线性矩阵不等式
* 合同矩阵

参考资料
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* Roger A. Horn and Charles R. Johnson. *Matrix Analysis,* Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
* Rajendra Bhatia. *Positive definite matrices,*. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部链接
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* 正定矩阵
* 关于对称矩阵的一些讨论