**变分法**是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。**变分**一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。

历史
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变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。

勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。

在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、列奧尼達·托內利、昂利·勒貝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。

欧拉-拉格朗日方程
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在理想情形下，一函數的极大值及极小值會出現在其導數為{\displaystyle 0}的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的欧拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點(x\_{1},y\_{1})和(x\_{2},y\_{2})最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

{\displaystyle A[f]=\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
其中

f'(x)={\frac {df}{dx}},\, {\displaystyle f(x\_{1})=y\_{1},\,} {\displaystyle f(x\_{2})=y\_{2}\,}。
函數f至少需為一階可微的函數。若f\_0是一個局部最小值，而f\_{1}是一個在端點x\_{1}及x\_{2}取值为零并且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

A[f\_{0}]\leq A[f\_{0}+\epsilon f\_{1}]
其中\epsilon 為任意接近{\displaystyle 0}的數字。

因此A[f\_{0}+\epsilon f\_{1}]對\epsilon 的導數（**A的一階導數**）在\epsilon =0時必為{\displaystyle 0}：

{\frac {d}{d\epsilon }}\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}\left.{\sqrt {1+[f\_{0}'(x)+\epsilon f\_{1}'(x)]^{2}}}dx\right|\_{{\epsilon =0}}=\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}\left.{\frac {(f\_{0}'(x)+\epsilon f\_{1}'(x))f\_{1}'(x)}{{\sqrt {1+[f\_{0}'(x)+\epsilon f\_{1}'(x)]^{2}}}}}\right|\_{{\epsilon =0}}dx=\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}{\frac {f\_{0}'(x)f\_{1}'(x)}{{\sqrt {1+[f\_{0}'(x)]^{2}}}}}\,dx=0

此條件可視為在可微分函數的空間中，A[f\_{0}]在各方向的導數均為{\displaystyle 0}。若假設f\_0二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得

\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}f\_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f\_{0}'(x)}{{\sqrt {1+[f\_{0}'(x)]^{2}}}}}\right]\,dx=0,
其中f\_{1}為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例：

{\displaystyle I=\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}f\_{1}(x)H(x)dx=0}，
其中f\_{1}為在兩端點皆為{\displaystyle 0}的任意可微函數。

若存在x={\hat x}使H(x)>0，則在{\hat x}周圍有一區間的H也是正值。可以選擇f\_{1}在此區間外為{\displaystyle 0}，在此區間內為非負值，因此I>0，和前提不合。若存在x={\hat x}使H(x)<0，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f\_{0}'(x)}{{\sqrt {1+[f\_{0}'(x)]^{2}}}}}\right]=0，
由結論可推得下式：

{\displaystyle {\frac {d^{2}f\_{0}}{dx^{2}}}=0}，
因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

A[f]=\int \_{{x\_{1}}}^{{x\_{2}}}L(x,f,f')dx，
其中*f*需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量L在極值f\_0处滿足欧拉-拉格朗日方程

-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0，
不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

費馬原理
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費馬原理指出：光會沿着兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設{\displaystyle y=f(x)}為光的路徑，則光程可以下式表示：

{\displaystyle A[f]=\int \_{x=x\_{0}}^{x\_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}，
其中折射率{\displaystyle n(x,y)}依材料特性而定。

若選擇{\displaystyle f(x)=f\_{0}(x)+\epsilon f\_{1}(x)}，則A的一階導數（A對\epsilon 的微分）為：

\delta A[f\_{0},f\_{1}]=\int \_{{x=x\_{0}}}^{{x\_{1}}}\left[{\frac {n(x,f\_{0})f\_{0}'(x)f\_{1}'(x)}{{\sqrt {1+f\_{0}'(x)^{2}}}}}+n\_{y}(x,f\_{0})f\_{1}{\sqrt {1+f\_{0}'(x)^{2}}}\right]dx，
將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程

-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f\_{0})f\_{0}'}{{\sqrt {1+f\_{0}'^{2}}}}}\right]+n\_{y}(x,f\_{0}){\sqrt {1+f\_{0}'(x)^{2}}}=0。
光線的路徑可由上述的積分式而得。

### 斯乃爾定律

當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮

{\displaystyle n(x,y)=n\_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0}，
{\displaystyle n(x,y)=n\_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0}，
其中n\_{-}和n\_{+}是常數。在*x*<0或*x*>0的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在*x*=0的位置，*f*必須連續，不過*f'* 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為

\delta A[f\_{0},f\_{1}]=f\_{1}(0)\left[n\_{-}{\frac {f\_{0}'(0\_{-})}{{\sqrt {1+f\_{0}'(0\_{-})^{2}}}}}-n\_{+}{\frac {f\_{0}'(0\_{+})}{{\sqrt {1+f\_{0}'(0\_{+})^{2}}}}}\right]。
和n\_{-}相乘的係數是入射角的正弦值，和n\_{+}相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

### 費馬原理在三維下的形式

費馬原理可以用向量的形式表示：令X=(x\_{1},x\_{2},x\_{3})，而*t*為其參數，X(t)是曲線*C*參數化的表示，而令{\dot X}(t)為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

A[C]=\int \_{{t=t\_{0}}}^{{t\_{1}}}n(X){\sqrt {{\dot X}\cdot {\dot X}}}dt。
上述積分和t無關，因此也和*C*的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\nabla n}，
其中

P={\frac {n(X){\dot X}}{{\sqrt {{\dot X}\cdot {\dot X}}}}}。
依P的定義可得下式

P\cdot P=n(X)^{2}。
因此上述積分可改為下式

A[C]=\int \_{{t=t\_{0}}}^{{t\_{1}}}P\cdot {\dot X}\,dt。
依照上式，若可以找到一個函數ψ，其梯度为*P*，則以上的積分*A*就可以由在積分端點上ψ的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和ψ的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數ψ，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

### 和波動方程的關係

應用
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最优控制的理论是变分法的一个推广。

参看
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* 等周不等式
* 变分原理
* 費馬原理
* 最小作用量原理
* 无穷维优化
* 泛函分析
* 微扰法

外部链接
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* 变分法线上影音教学（页面存档备份，存于）by PengTitus
* Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
* PlanetMath.org: Calculus of variations
* Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations（页面存档备份，存于）
* Example problems in the calculus of variations

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