**欧几里得定理**是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。

欧几里得的证明
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欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下：

对任何有限素数的集合{p\_{1},p\_{2},...p\_{n}}。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令{\displaystyle P=p\_{1}p\_{2}...p\_{n}}及q=P+1。那么q是素数或者不是，二者必居其一：

* 如果q是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集{p\_{1},p\_{2},...p\_{n}}中。

* 如果q不是素数，那么存在一个素数因子p整除q，如果p在我们的有限素数集中，p必然整除P(既然P是素数有限集中所有素数的积)；但是，已知p整除P+1(P+1=q)，如果p同时整除P和q，p必然整除P和q之差 —— (P+1)-P=1。但是没有素数能整除1，即有p整除q就不存在p整除P。因此p不在有限集{p\_{1},p\_{2},...p\_{n}}中。

这证明了：对于任何一个有限素数集，总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法，他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合，或是集合內含有n个最小的素数，而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法，而是证明了一個有限集合中沒有任何拥有特殊性质的元素。当中并沒有反论的部分，但集合中的任何元素都不可以整除1。

文献中存在数个版本的欧几里得证明，包括以下的：

正整数n的階乘n!可被2至n的所有整数整除，这是由於它是这些数全部的乘积。因此{\displaystyle n!+1}并不能被2至n（包括n）的任何自然数所整除（所得的余数皆为1）。因此{\displaystyle n!+1}有兩个可能性：是素数，或者能被大于n所整除。在任一个案中，对所有正整数n而言都存在最少
一个比n大的素数。所以结论就是共有无限个素数。

欧拉的证明
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另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明，则使用了算术基本定理：每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设P为所有素数的集合，欧拉写下了：

{\displaystyle \prod \_{p\in P}{\frac {1}{1-1/p}}=\prod \_{p\in P}\sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum \_{n}{\frac {1}{n}}.}
第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和裡面：

{\displaystyle {\begin{aligned}\prod \_{p\in P}\sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}&=\sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{2^{k}}}\times \sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{3^{k}}}\times \sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{5^{k}}}\times \sum \_{k\geq 0}{\frac {1}{7^{k}}}\times \cdots \\[8pt]&=\sum \_{k,\ell ,m,n,\cdots \geq 0}{\frac {1}{2^{k}3^{\ell }5^{m}7^{n}\cdots }}=\sum \_{n}{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}
在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。

右边的和是发散的調和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积內每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。

埃尔德什的证明
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埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数n都能被写成独一无二的

{\displaystyle rs^{2}}
其中r非平方数，或任何平方数的倍数（设s为能整除n的最大平方数，并使{\displaystyle r={\frac {n}{s^{2}}}}）。此時假设素数的数量为有限，且其数量为k。由於每个素数只有一个非平方数的因子，所以根据算术基本定理，得出共有非平方数2^{n}个。（見組合#在集合中取出k項元素及 \sum\_{r=0}^n \binom nr = 2^{n} ）

現在把一个正整数N固定，并考虑1與N之间的自然数。 这些数每一个都能被写成{\displaystyle rs^{2}}，其中r为非平方数，s^2为平方数，例如：

{\displaystyle \{(1\times 1),(2\times 1),(3\times 1),(1\times 4),(5\times 1),(6\times 1),(7\times 1),(2\times 4),(1\times 9),(10\times 1),\cdots \}}
集合中共有N个不同的数。每一个都是由非方數和比N小的平方数组成。这样的平方数共有{\displaystyle \lfloor {\sqrt {N}}\rfloor }（見高斯符号的取底符号）。然后把这些小於N的平方數乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有{\displaystyle 2^{k}\lfloor {\sqrt {N}}\rfloor }个，各不相同，因此它们包括了所有我们集合裡的数，甚至更多。因此，{\displaystyle 2^{k}\lfloor {\sqrt {N}}\rfloor \geq N}。

由于此不等式对足够大的N並不成立，因此必须存在無限个素数。

弗斯滕伯格的证明
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哈里·弗斯滕伯格（英语：）于1950年代提出了一个使用点集拓扑学的证明。（見弗斯滕伯格对素数无限性的证明（英语：））

一些近期的证明
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### 皮纳西科

胡安·帕布洛·皮纳西科（Juan Pablo Pinasco）写下了以下的证明。

设{\displaystyle p\_{1},\cdots ,p\_{N}}为最小的N个素数。然后根据容斥原理可得，少於或等如x又同時能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为

{\displaystyle {\begin{aligned}1+\sum \_{i}\left[{\frac {x}{p\_{i}}}\right]-\sum \_{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}}}\right\rfloor &+\sum \_{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}p\_{k}}}\right\rfloor -\cdots \\&\cdots \pm (-1)^{N+1}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{1}\cdots p\_{N}}}\right\rfloor .\qquad (1)\end{aligned}}}
把全式除以x，并且让x \rightarrow \infty，得

{\displaystyle \sum \_{i}{\frac {1}{p\_{i}}}-\sum \_{i<j}{\frac {1}{p\_{i}p\_{j}}}+\sum \_{i<j<k}{\frac {1}{p\_{i}p\_{j}p\_{k}}}-\cdots \pm (-1)^{N+1}{\frac {1}{p\_{1}\cdots p\_{N}}}.\qquad (2)}
上式可被改写为

{\displaystyle 1-\prod \_{i=1}^{N}\left(1-{\frac {1}{p\_{i}}}\right).\qquad (3)}
若除了{\displaystyle p\_{1},\cdots ,p\_{N}}以外不存在其他素数的话，则式(1)与 {\displaystyle \lfloor x\rfloor }相等，而式(2)则等于1，但很明顯地式(3)并不等于1。因此除了{\displaystyle p\_{1},\cdots ,p\_{N}}以外必须要存在其他素数。

### 黃

俊浩·彼得·黃（Junho Peter Whang）于2010年发表了使用反证法的证明。设k为任何正整数，p为素数。根据勒让德定理，则可得：

{\displaystyle k!=\prod \_{p{\text{ prime}}}p^{f(p,k)}\,}
其中

{\displaystyle f(p,k)=\left\lfloor {\frac {k}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {k}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots .}
{\displaystyle f(p,k)<{\frac {k}{p}}+{\frac {k}{p^{2}}}+\cdots ={\frac {k}{p-1}}\leq k.}
但若只存在有限个素数，則

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {\left(\prod \_{p}p\right)^{k}}{k!}}=0,}
（上式分子呈单指數增長，但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快），这样就违反了每一个k的分子要比分母大的这一点。

### 塞达克

菲利浦·塞达克（Filip Saidak）给出了以下的证明，当中沒有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了，包括欧几里得自己的证明)，而同时不需要用到欧几里得引理，也就是若素数p整除ab則也必能整除a或b。证明如下：

由于每个自然數（\geq 2）最少拥有一个素因子，所以兩个相邻数字n和n+1必定沒有共同因子，而乘积n(n+1)則比数字n本身拥有更多因子。因此普洛尼克數的鏈：  
1×2 = 2 {2},    2×3 = 6 {2, 3},    6×7 = 42 {2,3, 7},    42×43 = 1806 {2,3,7, 43},    1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·  
提供了一组素数集合無限增长的数列。

使用π的無理性的证明
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以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \;}
乘积的分子为奇数的素数，而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。

若存在的素数是有限的话，上式所展示的就是π是一个有理数，而分母是所有與素数多1或少1的4的倍数的乘积，而这点违反了π实际上是无理数的这一点。

使用信息论的证明
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亞历山大·沈（音譯，Alexander Shen）与其他人发表了利用不能壓縮性（英语：）的证明：

设只存在k素数（{\displaystyle p\_{1},\cdots ,p\_{N}}）。由算术基本定理可得，任何正整数n都能被写成：

{\displaystyle n={p\_{1}}^{e\_{1}}{p\_{2}}^{e\_{2}}...{p\_{k}}^{e\_{k}},}
其中非負自然数e\_i與素数的有限集合就足够重构任何數字。由於所有i都遵守{\displaystyle p\_{i}\geqslant 2}，因此可得所有\{\displaystyle e\_{i}\leqslant \lg n}（其中\lg 代表底数為2的对数）。 

由此可得n的编码大小（使用大O符号）：

{\displaystyle O({\text{prime list size}}+k\lg \lg n)=O(\lg \lg n)} 位元。
（其中prime list size为素数集合的大小）这编码比直接用二进制代表n要有效得多，二进制的话需要{\displaystyle N=O(\lg n)}位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出，一般不可能把N位元的信息压縮到少於N位元。由於{\displaystyle \lg \lg n=o(\lg n)}，所以當N足够大时，以上的这个表示不成立。

因此，素数的数量必不能为有限。

参阅
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* 狄利克雷定理
* 素数定理

注释和参考资料
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1. ↑  James Williamson (translator and commentator), *The Elements of Euclid, With Dissertations*, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.
2. ↑  欧几里德主张的準确表述为："素数比任何可以提出的量都要多"。在这个证明中，假定了最少存在三个素数，欧几里得则由此推论出必存在第四个素数。
3. ↑  一般來说，对任何整数a、b、c而言，若{\displaystyle a\mid b}和{\displaystyle a\mid c}成立的话，则{\displaystyle a\mid (b-c)}必成立。見整除性。
4. ↑  Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", *Mathematical Intelligencer*, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
5. ↑  Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Rourke, C.. Nelson Thornes. 2014-11-01: 168. ISBN 9780859501033 （英语）.
6. ↑  Juan Pablo Pinasco, "New Proofs of Euclid's and Euler's theorems", *American Mathematical Monthly*, volume 116, number 2, February, 2009, pages 172–173.
7. ↑  Junho Peter Whang, "Another Proof of the Infinitude of the Prime Numbers", *American Mathematical Monthly*, volume 117, number 2, February 2010, page 181.
8. ↑  Debnath, Lokenath, World Scientific: 214, 2010  [2017-07-13], ISBN 9781848165267, （原始内容存档于2016-07-30） .
9. ↑  Shen, Alexander,  (PDF), AMS: 245, 2016  [2017-07-13], （原始内容存档 (PDF)于2017-08-21）

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Euclid's Elements, Book IX, Prop. 20 （页面存档备份，存于） (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)