**三重积**，又稱**混合積**，是三个向量相乘的結果。向量空間中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分別稱作**标量三重积**和**向量三重积**。

标量三重积
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### 定義

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

設\mathbf {a} 、\mathbf {b} 、\mathbf {c} 為三個向量，則标量三重积的定義為

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}。
### 特性

設 {\displaystyle \mathbf {a} =a\_{1}\mathbf {i} +a\_{2}\mathbf {j} +a\_{3}\mathbf {k} }、{\displaystyle \mathbf {b} =b\_{1}\mathbf {i} +b\_{2}\mathbf {j} +b\_{3}\mathbf {k} }、{\displaystyle \mathbf {c} =c\_{1}\mathbf {i} +c\_{2}\mathbf {j} +c\_{3}\mathbf {k} }，則有

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}}。
*證明*

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}
{\displaystyle {\begin{aligned}&=(a\_{1}\mathbf {i} +a\_{2}\mathbf {j} +a\_{3}\mathbf {k} )\cdot {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}\\&=(a\_{1}\mathbf {i} +a\_{2}\mathbf {j} +a\_{3}\mathbf {k} )\cdot (\mathbf {i} {\begin{vmatrix}\ b\_{2}&b\_{3}\\c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}\ b\_{1}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}\ b\_{1}&b\_{2}\\c\_{1}&c\_{2}\\\end{vmatrix}})\\&=a\_{1}{\begin{vmatrix}\ b\_{2}&b\_{3}\\c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}-a\_{2}{\begin{vmatrix}\ b\_{1}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}+a\_{3}{\begin{vmatrix}\ b\_{1}&b\_{2}\\c\_{1}&c\_{2}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

  

利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響标量三重积的值：

{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})={\mathbf {b}}\cdot ({\mathbf {c}}\times {\mathbf {a}})={\mathbf {c}}\cdot ({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})

  

任意對換兩個向量的位置，标量三重积與原來相差一個負號：

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}

  

若任意兩個向量相等，則标量三重积等於零：

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}

  

### 其他記號

有時候，純量三重積會以括號表示：

{\displaystyle [\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }

  

### 幾何意義

几何上，由三个向量定義的平行六面体，其体积等於三個标量标量三重积的絕對值：

{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\left|{\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\end{vmatrix}}\right|}
*證明*

用向量来定义平行六面体。
以 \mathbf {b}  和 \mathbf {c}  来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积 A 为

{\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |} ，
其中 \theta  是 \mathbf {b}  与 \mathbf {c}  之间的角，而高 h 为

{\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }，
其中 \alpha  是 \mathbf {a}  与 h 之间的角。

从图中我们可以看到， \alpha  的大小限定为 {\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }} 。而向量 {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 \mathbf {a}  之间的角 \theta  则有可能大于90°（{\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <180^{\circ }}）。也就是说，由于 {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 h 平行， \theta  的值要么等于 \alpha  ，要么等于 {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha } 。因此

{\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \theta =|\cos \theta |}，
且

{\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \theta |}。
我们得出结论： 

{\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \theta |} ，
于是，根据點积的定义，它等于 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} 的绝对值，即

{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}。
证毕。

向量三重积
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向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。

### 定義

對於三個向量\mathbf {a} 、\mathbf {b} 、\mathbf {c} ，向量三重积的定義為

{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})。
值得注意的是，一般來說，

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} }。
### 特性

以下恆等式，稱作**三重積展開**或**拉格朗日公式**，對於任意向量\mathbf {a} 、\mathbf {b} 、\mathbf {c} 均成立：

{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})={\mathbf {b}}({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {c}})-{\mathbf {c}}({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}})
{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {a} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )+\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}}
英文中有對於第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB，後面的出租車)，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。
觀察兩個公式，可得到以下三點：

* 兩個分項都帶有三個向量 （{\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}）
* 三重積一定是先做叉积的兩向量之線性組合
* 中間的向量所帶的係數一定為正（此處為向量\mathbf {b} ）

### 證明

我們可以由叉積的定義計算{\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}的x分量：

{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))\_{x}&=\mathbf {u} \_{y}(\mathbf {v} \_{x}\mathbf {w} \_{y}-\mathbf {v} \_{y}\mathbf {w} \_{x})-\mathbf {u} \_{z}(\mathbf {v} \_{z}\mathbf {w} \_{x}-\mathbf {v} \_{x}\mathbf {w} \_{z})\\&=\mathbf {v} \_{x}(\mathbf {u} \_{y}\mathbf {w} \_{y}+\mathbf {u} \_{z}\mathbf {w} \_{z})-\mathbf {w} \_{x}(\mathbf {u} \_{y}\mathbf {v} \_{y}+\mathbf {u} \_{z}\mathbf {v} \_{z})\\&=\mathbf {v} \_{x}(\mathbf {u} \_{x}\mathbf {w} \_{x}+\mathbf {u} \_{y}\mathbf {w} \_{y}+\mathbf {u} \_{z}\mathbf {w} \_{z})-\mathbf {w} \_{x}(\mathbf {u} \_{x}\mathbf {v} \_{x}+\mathbf {u} \_{y}\mathbf {v} \_{y}+\mathbf {u} \_{z}\mathbf {v} \_{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} \_{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \_{x}\end{aligned}}}
類推至y和z分量，可得：

{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))\_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} \_{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \_{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))\_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} \_{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \_{z}\end{aligned}}}
所以

{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})={\mathbf {b}}({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {c}})-{\mathbf {c}}({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}})。

  

利用上述恆等式，可得以下結果：

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0} （雅可比恆等式）
{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}

  

在向量分析中，有以下与梯度相关的一條恆等式：

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} }
这是一个拉普拉斯－德拉姆算子{\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} }的特殊情形。

參見
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* 向量
* 點積
* 叉積
* 四重積

參考文獻
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1. ↑  David K. Cheng.. 2014: 第18頁. ISBN 9781292026565.