在随机过程理論中的**濾波問題**（Filtering problem）是指針對信号处理及相關領域中，許多狀態估測問題的數學模型。大致概念是從不完整的、可能包括雜訊的觀測值中，建立有關系統真實值的「最佳估測」。最佳非線性濾波問題（甚至也包括非平稳过程問題）由Ruslan L. Stratonovich（英语：）（1959年、1960年）找到解答，在Harold J. Kushner（英语：）的研究及Moshe Zakai（英语：）的研究中也有提到，Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型，稱為Zakai方程（英语：）。不過一般情形下的解是無限維的。

目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下，最佳解是線性濾波器，也稱為维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下，其解為無限維度，為了在有限記憶體的電腦中計算，需要進行有限維度的近似，有限維的近似型非線性濾波器（英语：）比較會以启发為基礎，例如擴展型卡爾曼濾波器（英语：）或是假定密度濾波器（Assumed Density Filters），也有更方法論導向的作法，例如Projection Filters，其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同。

一般來說，若可以適用分離原理，這些濾波器也可以成為最优控制問題解的一部份。例如在LQG控制最佳控制問題中，其估測部份的解就是卡爾曼濾波。

數學表示
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考慮概率空間 (Ω, Σ, **P**)，並且假設在*n*維度欧几里得空间 **R***n*的系統，其在時間*t*的（隨機）狀態*Y**t*為随机变量 *Y**t* : Ω → **R***n*，可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得

{\displaystyle \mathrm {d} Y\_{t}=b(t,Y\_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y\_{t})\,\mathrm {d} B\_{t},}
其中*B*是標準*p*維布朗运动，*b* : [0, +∞) × **R***n* → **R***n*為漂移場（drift field），且*σ* : [0, +∞) × **R***n* → **R***n*×*p*是擴散場（diffusion field）。假設**R***m*內在每一個時間的觀測*H**t*（其中*m*和*n*可能不同）由下式決定

{\displaystyle H\_{t}=c(t,Y\_{t})+\gamma (t,Y\_{t})\cdot {\mbox{noise}}.}
配合隨機微分方程的伊藤表示法，令

{\displaystyle Z\_{t}=\int \_{0}^{t}H\_{s}\,\mathrm {d} s,}
因此可以得到有關觀測*Z**t*的隨機積分表示式：

{\displaystyle \mathrm {d} Z\_{t}=c(t,Y\_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y\_{t})\,\mathrm {d} W\_{t},}
其中*W*表示標準*r*維的布朗运动，和*B*和初始條件*Y*0無關，*c* : [0, +∞) × **R***n* → **R***n*，且 *γ* : [0, +∞) × **R***n* → **R***n*×*r*

可以在所有*t*及*x*，以及特定常數*C*的情形下，使下式成立：

{\displaystyle {\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}}
**濾波問題**如下：給定在0 ≤ *s* ≤ *t*時間內的觀測量*Z**s* for 0 ≤ *s* ≤ *t*，依上述觀測值，針對系統真實狀態*Y**t*的最佳估測*Ŷ**t*是什麼？

因為「依上述觀測量為基礎」，表示*Ŷ**t*是根據*Z**s*觀測量中Σ-代数下的可測函數。令*K* = *K*(*Z*, *t*) 是所有數值為**R***n*，平方可積分，而且*G**t*可量測隨機函數*Y*的集合：

{\displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega ,G\_{t},\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n}).}
因為要求是「最佳估測」，表示*Ŷ**t*會讓*Y**t*和*K*集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：

{\displaystyle \mathbf {E} \left[{\big |}Y\_{t}-{\hat {Y}}\_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf \_{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y\_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}}

基本結論：正交投影
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候選估測值的空間*K*(*Z*, *t*)是希尔伯特空间，根據希尔伯特空间的理論，可以推得最小值問題（M）的解*Ŷ**t*可以表示為下式

{\displaystyle {\hat {Y}}\_{t}=P\_{K(Z,t)}{\big (}Y\_{t}{\big )},}
其中*P**K*(*Z*,*t*)表示將*L*2(Ω, Σ, **P**; **R***n*)映射到线性子空间 *K*(*Z*, *t*) = *L*2(Ω, *G**t*, **P**; **R***n*)的正交投影。而且，有關其条件期望，可知道若*F*是Σ中的次*σ*代數，則正交投影

{\displaystyle P\_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})}
也就是條件期望運算子**E**[·|*F*]，也就是說

{\displaystyle P\_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.}
因此

{\displaystyle {\hat {Y}}\_{t}=P\_{K(Z,t)}{\big (}Y\_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y\_{t}{\big |}G\_{t}{\big ]}.}
這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

相關條目
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* 平滑問題（英语：）和濾波問題有緊密關係。
* 濾波器
* 信號處理中的濾波器 (信號處理)（英语：）
* 卡尔曼滤波是濾波問題及平滑問題中最著名的解
* 平滑

參考資料
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* Jazwinski, Andrew H.. New York: Academic Press. 1970. ISBN 0-12-381550-9.
* Øksendal, Bernt K.  Sixth. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  (See Section 6.1)

1. ↑  Stratonovich, R. L. (1959). *Optimum nonlinear systems which bring about a separation of a signal with constant parameters from noise*. Radiofizika, 2:6, pp. 892-901.
2. ↑  Stratonovich, R.L. (1960). *Application of the Markov processes theory to optimal filtering*. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp.1-19.
3. ↑  Kushner, Harold. (1967). Nonlinear filtering: The exact dynamical equations satisfied by the conditional mode. Automatic Control, IEEE Transactions on Volume 12, Issue 3, Jun 1967 Page(s): 262 - 267
4. ↑  Zakai, Moshe (1969), On the optimal filtering of diffusion processes. Zeit. Wahrsch. 11 230–243. MR242552, doi:10.1007/BF00536382
5. ↑  Mireille Chaleyat-Maurel and Dominique Michel. Des resultats de non existence de filtre de dimension finie. Stochastics, 13(1+2):83-102, 1984.
6. ↑  Maybeck, Peter S. Stochastic models, estimation, and control, Volume 141, Series Mathematics in Science and Engineering, 1979, Academic Press
7. ↑  Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François LeGland, A Differential Geometric approach to nonlinear filtering: the Projection Filter, I.E.E.E. Transactions on Automatic Control Vol. 43, 2 (1998), pp 247--252.
8. ↑  Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François Le Gland], Approximate Nonlinear Filtering by Projection on Exponential Manifolds of Densities, Bernoulli, Vol. 5, N. 3 (1999), pp. 495--534