**李超代数**是李代数的推广，包含了**Z**2‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

定义
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形式上看，李超代数是交换环（一般是**R**或**C**）上的非结合**Z**2-分次代数，或"超代数"，其积为[·, ·]，称作**李超括号**或**超交换子**，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

{\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }
超雅可比恒等式：

{\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}
其中*x*、*y*、*z*在**Z**2分次中为纯。|*x*|表示*x*的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在{\displaystyle |x|=0}时添加公理{\displaystyle [x,x]=0}（若2可逆，则公理自动成立）；对{\displaystyle |x|=1}时，有{\displaystyle [[x,x],x]=0}（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。
反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按**Z**或**N**分次）也有{\displaystyle Z\_{2}}分次（称作将代数"卷"为奇偶部分），但不称作"超"。

性质
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令{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\_{0}\oplus {\mathfrak {g}}\_{1}}为李超代数。通过观察差雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

1. 无奇元素。即{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}为平凡李代数。
2. 1个奇元素。则{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}}是作用{\displaystyle \mathrm {ad} \_{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}\_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}\_{1}}的{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}模。
3. 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}\otimes {\mathfrak {g}}\_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}\_{0}}是对称{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}}映射。
4. 3个奇元素。对所有{\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}\_{1}}，都有{\displaystyle [b,[b,b]]=0}。

因此，李超代数的偶超代数{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}}是{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}的线性表示，存在对称{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}等变线性映射{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}\_{1}\otimes {\mathfrak {g}}\_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}\_{0}}使得

{\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}\_{1}.}
条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{0}}）和表示（{\displaystyle {\mathfrak {g}}\_{1}}）开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合
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**∗李超代数**是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映**Z**2分次且对李超代数中所有*x*、*y*都有{\displaystyle [x,\ y]^{\*}=[y^{\*},\ x^{\*}]}（有人更喜好约定{\displaystyle [x,\ y]^{\*}=(-1)^{|x||y|}[y^{\*},\ x^{\*}]}；将\*改为−\*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

例子
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给定结合超代数{\displaystyle A}，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }
然后线性延伸到所有元素。代数{\displaystyle A}与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当{\displaystyle A}为超向量空间{\displaystyle V}中所有线性函数{\displaystyle \mathbf {End} (V)}的空间。{\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}时，该空间可表为{\displaystyle M^{p|q}}或{\displaystyle M(p|q)}。用上述李括号，空间可表为{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类
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维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）
**特殊线性李超代数** {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}**.**

李超代数{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}是{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}的超代数，包含超迹为0的矩阵。{\displaystyle m\not =n}时是简单的；{\displaystyle m=n}时，单位矩阵{\displaystyle I\_{2m}}产生一个理想。对理想取商，可得 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I\_{2m}\rangle }，对{\displaystyle m\geq 2}是简单的。

**正交辛李超代数** {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}.

考虑{\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}上的偶、非退化、超对称双射形式{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }，则正交辛李超代数是{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}的超代数，包含的矩阵满足下式不变：


o
s
p

(
m

|

2
n
)
=
{
X
∈

g
l

(
m

|

2
n
)
∣
⟨
X
u
,
v
⟩
+
(
−
1

)

|

X

|

|

u

|

⟨
u
,
X
v
⟩
=
0

 for all 

u
,
v
∈

C

m

|

2
n

}
.

{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}

{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}其偶部由{\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}给出。

**例外李超代数** {\displaystyle D(2,1;\alpha )}.

有一族取决于参数{\displaystyle \alpha }的(9∣8)维李超代数，它们是{\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}的变形。若{\displaystyle \alpha \not =0}、{\displaystyle \alpha \not =-1}，则D(2,1,α)是简单的；若{\displaystyle \alpha }、{\displaystyle \beta }在映射{\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}、{\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }的作用下处于同一轨道，则{\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}。

**例外李超代数** {\displaystyle F(4)}.

具有维度(24|16)。偶部由{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}给出。

**例外李超代数** {\displaystyle G(3)}.

具有维度(17|14)。偶部由{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G\_{2}}给出。

还有2个所谓"奇异"序列，分别叫做{\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}、{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}.

**Cartan类型**。可分为4族：{\displaystyle W(n)}、{\displaystyle S(n)}、{\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}、{\displaystyle H(n)}。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

无穷维简单线性紧李超代数的分类
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分类包含10个系列**W**(*m*, *n*), **S**(*m*, *n*) ((m, n) ≠ (1, 1)), **H(2m, n)**, **K**(2*m* + 1, *n*), **HO(m, m)** (*m* ≥ 2), **SHO**(*m*, *m*) (*m* ≥ 3), **KO**(*m*, *m* + 1), **SKO(m, m + 1; β)** (*m* ≥ 2), **SHO** ∼ (2*m*, 2*m*), **SKO** ∼ (2*m* + 1, 2*m* + 3)及5个例外代数：

**E(1, 6)**, **E(5, 10)**, **E(4, 4)**, **E(3, 6)**, **E(3, 8)**
最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群**SU**(3)×**S**U(2)×**U**(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有{\displaystyle {\mathcal {N}}}超对称的Virasoro代数是{\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}，其只有中心扩展到{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}。

范畴论定义
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范畴论中，**李超代数**可定义为非结合超代数，其积满足

* {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau \_{A,A})=0}
* {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}

其中σ是循环包络辫{\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau \_{A,A})\circ (\tau \_{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}。以图表示：

另见
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* 格尔斯滕哈伯代数
* 任意子李代数
* 外代数
* 李超代数的表示
* 超空间
* 超群
* 泛包络代数

参考文献
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* Freund, P. G. O.. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. 1983. ISBN 978-0521-356-756. doi:10.1017/CBO9780511564017.
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* Kac, V. G.. Advances in Mathematics. 1977, **26** (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 可免费查阅.
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* Manin, Y. I.  (2nd ed.). Berlin: Springer. 1997. ISBN 978-3-540-61378-7.
* Musson, I. M.. Graduate Studies in Mathematics **131**. 2012: 488 pp  [2023-11-19]. ISBN 978-0-8218-6867-6. （原始内容存档于2015-09-15）.
* Varadarajan, V. S.. Courant Lecture Notes in Mathematics **11**. American Mathematical Society. 2004  [2023-11-19]. ISBN 978-0-8218-3574-6. （原始内容存档于2023-11-19）.

### 历史

* Frölicher, A.; Nijenhuis, A.. Indagationes Mathematicae. 1956, **59**: 338–350. doi:10.1016/S1385-7258(56)50046-7. .
* Gerstenhaber, M.. Annals of Mathematics. 1963, **78** (2): 267–288. JSTOR 1970343. doi:10.2307/1970343.
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外部链接
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* Irving Kaplansky + Lie Superalgebras

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