|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | **未解決的数学問題：**模9不同余4或5的整数是否都可以写成三整数立方之和？ |  |

整数*x*、*y*与*z*满足*x*³ + *y*³ + *z*³ = *n*的半对数图线，其中*n* ∈ [0, 100]。绿色条带代表已证明无解的整数。
**三立方数和问题**（英語：）是指丢番图方程{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

小整数例
----

n=0时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在n=0时的三立方和只有如下平凡解：

{\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}
n=1,2时，存在如下解系，有无数解：

{\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}
以及，

{\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}
上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外，n=1也有其他三立方和解系，n=2有如下著名解：

{\displaystyle 1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,}
{\displaystyle 37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,}
{\displaystyle 3737830626090^{3}+1490220318001^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.}
然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在n=3处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔（英语：）在1953年写道，除了其小整数解，"我对其一无所知"，即：

{\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}
"我"也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月前，上述两式曾經是n=3長期以來仅有的2組已知解，但就在同一月，發現了第3組解：

{\displaystyle 569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3}

计算结果
----

1955年起，莫德尔（）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数n，埃尔森汉斯（）与雅内尔（）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了{\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}范围内的所有解。2016年，于斯曼（）使用同样的方法将搜索上界提升至{\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}。到此时为止，n<100的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的n都找到了至少一组整数解。

2019年，安德鲁·布克（英语：）采用一种新方法发现了{\displaystyle n=33}的一组解：

{\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}
此时，他在{\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}}的范围里尚没有找到{\displaystyle n=42}的解。

随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰（英语：）最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来：

{\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}
这个解的获得在Charity Engine全球网络（）上耗费了130万机时。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。截至2019年9月 (2019-09)[update]，未能求解最小整数是{\displaystyle n=114}，如果有解的話，{\displaystyle (|x|,|y|,|z|)}至少有一數大於100000000000。

在2021年1月初，又解決了579：

{\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}}
至此，仅剩的未解決的在1000以內的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。

参考文献
----

1. ↑  Machis, Yu. Yu. Mathematical Notes, 2007, **82** (3): 352–356, MR 2364600, doi:10.1134/S0001434607090088
2. ↑  Verebrusov, A. S.  [On the equation {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=2u^{3}}], Matematicheskii Sbornik, 1908, **26** (4): 622–624, JFM 39.0259.02 （俄语）
3. ↑  Mahler, Kurt, Journal of the London Mathematical Society, 1936, **11** (2): 136–138, MR 1574761, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136
4. 1 2  Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen, 2018, arXiv:1802.06776 可免费查阅, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (不活跃 2019-08-16)
5. 1 2  Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. Mathematics of Computation, 1993, **61** (203): 235–244, MR 1202610, doi:10.2307/2152950
6. ↑  Mordell, L. J. Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1942, **17** (3): 139–144, MR 0007761, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139
7. ↑  Mordell, L. J. Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1953, **28**: 500–510, MR 0056619, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500
8. 1 2  Houston, Robin, The Aperiodical, September 6, 2019  [2022-04-03], （原始内容存档于2022-03-15）
9. ↑  陳宏賓.. UniMath網站. 2019-09-25  [2020-06-14]. （原始内容存档于2020-04-30）.
10. ↑  Lu, Donna, New Scientist, 2019-09-18  [2021-01-30], （原始内容存档于2022-03-12）
11. ↑  Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1955, **30**: 101–110, MR 0067916, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101
12. ↑  Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. Mathematics of Computation, 1964, **18**: 408–413, MR 0175843, doi:10.2307/2003763
13. ↑  Conn, W.; Vaserstein, L. N. , Contemporary Mathematics **166**, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 285–294, 1994, MR 1284068, doi:10.1090/conm/166/01628
14. ↑  Bremner, Andrew, , CMS Conference Proceedings **15**, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 87–91, 1995, MR 1353923
15. 1 2  Elkies, Noam D. , Lecture Notes in Computer Science **1838**, Springer, Berlin: 33–63, 2000, MR 1850598, doi:10.1007/10722028\_2
16. ↑  Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim, Mathematics of Computation, 2007, **76** (259): 1683–1690, MR 2299795, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3
17. ↑  Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg, Mathematics of Computation, 2009, **78** (266): 1227–1230, MR 2476583, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6
18. 1 2  Huisman, Sander G. 2016, arXiv:1604.07746 可免费查阅
19. 1 2  Booker, Andrew R.  (PDF), University of Bristol, 2019  [2019-03-12], （原始内容存档 (PDF)于2021-02-14）
20. ↑  李信昌. 三立方和整數解 （页面存档备份，存于）. 昌爸數學工作坊
21. ↑   （页面存档备份，存于）在twitter裡面