数学中，**对称化**是将*n*元任意函数转换为*n*元对称函数的过程。同样，**反对称化**将*n*元任意函数转换为反对称函数。

二元
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令*S*为集合，*A*是加法阿贝尔群。映射{\displaystyle \alpha :S\times S\to A}，若满足以下条件，则称其为**对称映射**：



α
(
s
,
t
)
=
α
(
t
,
s
)

∀
s
,
t
∈
S
.

{\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.}

{\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.}
若满足以下条件，则称其为**反对称映射**：



α
(
s
,
t
)
=
−
α
(
t
,
s
)

∀
s
,
t
∈
S
.

{\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.}

{\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.}
映射{\displaystyle \alpha :S\times S\to A}的**对称化**是映射{\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).}
相似地，映射{\displaystyle \alpha :S\times S\to A}的**反对称化**或**斜对称化**是映射{\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).}

映射{\displaystyle \alpha }的对称化与反对称化之和为{\displaystyle 2\alpha .}因此，若2是可逆元，例如对实数，可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。

对称映射的对称化是它的两倍，交错映射的对称化是0；相似地，对称映射的反对称化是0，反对称映射的反对称化是它的两倍。

### 双线性形式

双线性映射的（反）对称化是双线性的，因此若2是可逆元，双线性形式是对称形式与斜对称形式之和，对称形式与二次型之间没有区别。
2时，并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如，整数上，相关的对称形式（有理数上）可能取半整数值，而在{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }上，当且仅当函数是对称的（{\displaystyle 1=-1}），才是斜对称的。

这就引出了ε-二次型与ε-对称形式的概念。

### 表示论

用表示论的术语来说：

* 交换变量可得对称群在二元函数空间上的表示。
* 对称与反对称函数是对应于平凡表示与符号表示的子表示。
* 对称化与饭对称化将函数映射到子表示中。若除以2，就会产生射影映射。

由于2阶对称群等于2阶循环群（{\displaystyle \mathrm {S} \_{2}=\mathrm {C} \_{2}}），这相当于2阶离散傅立叶变换。

*n*元
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给定*n*元函数，可通过求所有变量的{\displaystyle n!}种排列所得值之和实现对称化，通过求所有变量的{\displaystyle n!/2}种偶排列所得值之和减去{\displaystyle n!/2}种奇排列所得值之和实现反对称化（{\displaystyle n\leq 1}时唯一的排列是偶的）。

当中，对称函数的对称化是原函数乘以{\displaystyle n!}。因此若{\displaystyle n!}可逆，如特征为0的域上时，或{\displaystyle p>n}，则这些函数除以{\displaystyle n!}会产生射影。

就表示论而言，这些只产生与平凡表示和符号表示相对应的子表示，但对于{\displaystyle n>2}还有其他表示。

自助法
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给定*k*元函数，对变量的*k*元素子集求和，可得*n*元对称函数。统计学中，这被称作自助法，相关统计量称作U-统计量。

另见
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* 交错多线性映射
* 反对称张量

参考文献
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* Hazewinkel, Michiel.. Encyclopaedia of Mathematics **6**. Springer. 1990. ISBN 978-1-55608-005-0.

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| * 
* 论
* 编
張量 |
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