**高德納箭號表示法**（英語：）是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的概念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。

簡介
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乘法是重複的加法：{\displaystyle a\times b=a+a+\cdots +a} （有{\displaystyle b}個{\displaystyle a}）

冪是重複的乘法：{\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=a\times a\times \cdots \times a}（有{\displaystyle b}個{\displaystyle a}）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱迭代冪次：
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={\begin{matrix}\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} \\b\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\b\end{matrix}}={^{b}a}}（中文读法為「b个a重幂」）

計算時是由右至左計的。

{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2={^{2}3}=3^{3}=27}
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4={^{4}3}=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5={^{5}3}=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}
多於兩個箭號時，

{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!}
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={^{^{3}3}3}={^{7625597484987}3}={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\7625597484987\end{matrix}}}

使用指數來解釋高德納箭號表示法
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{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}代表重複的冪，或迭代冪次，例如：
{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}

當b為變量或過大時，重複的冪可以如下表示：

{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{b}}
指數不只能解釋兩個箭號的運算，三個箭號也行。

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{a}}
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{a}}}
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{a}}}}
再次的，當b為變量或過大時，三個箭號的運算可以如下表示：

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}b}
四個箭號可以如下表示：

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}a}
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}a}
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}a}
再次的一般化：

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \_{\underbrace {\vdots } \_{a}}}\right\}\cdots \right\}a} \_{b}}
這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數，但是會變得相當麻煩。

一般化
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若要用多個箭號時，可用↑*n*表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如葛立恆數。

這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。

{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}

定義
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對於整數{\displaystyle a}、非負整數{\displaystyle b}和正整數{\displaystyle n}：

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| {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,\\a^{b},\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),\end{matrix}}\right.} | 若{\displaystyle b=0}； |
| 若{\displaystyle n=1}； |
| 其他。 |

這個表示法符合向右結合律。

參考
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* Knuth, Donald E. "Coping With Finiteness", *Science* vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* Robert Munafo, *Large Numbers （页面存档备份，存于）*

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| * 
* 论
* 编
大数 |
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