在*x* → 0時一些三角函數的近似值
**小角度近似**（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函数的值：

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}
上述的近似常用在物理学和工程学的各分支學科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文學和计算机科学。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算，可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的馬克勞林級數，依照逼近的階數（英语：）不同，{\displaystyle \textstyle \cos \theta }可以近似為1或{\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}.。

理由
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### 繪圖

圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。

* 圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}θ趨近0時，近似函數很接近原函數。圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度θ趨近0時，近似函數很接近原函數。
* 圖2：.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}cos θ和.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}1 − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ2/2的比較。當角度.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}θ趨近0時，兩函數相當接近。圖2：cos *θ*和1 − *θ*2/2的比較。當角度θ趨近0時，兩函數相當接近。

### 幾何學

右圖中紅色部份d，是斜邊長度H和鄰邊長度A的差。如圖所示，H和A幾乎一樣長，意思是cos *θ*接近1，利用*θ*2/2可以減去紅色的部份

{\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}。
其對邊O長度近似於藍色圓弧的長度s。根據幾何學，*s* = *Aθ*，根據三角函數，sin *θ* = *O*/*H*和tan *θ* = *O*/*A*，根據圖上*O* ≈ *s*且*H* ≈ *A*可得：

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}
簡化後可得

{\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}
### 微積分

利用夾擠定理，可以證明
{\textstyle \lim \_{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}這是在小角度θ時，\sin(\theta )\approx \theta 近似式的正式敘述。

  

比較小心的應用夾擠定理可得 {\textstyle \lim \_{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}，因此可以得到在小角度θ時，{\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }。

最後，利用洛必达法则可得{\textstyle \lim \_{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim \_{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}可以整理為{\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式{\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}。令{\displaystyle \theta =2A}，可得{\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}。

### 代數

正弦函數的小角度近似
將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}
其中θ是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下：

{\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }
可以看出在θ很小時，第二項（三次方項）會非常小。用θ為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 6994100000000000000♠0.000001或1/7004100000000000000♠10000。因此可以單純的近似為：

{\displaystyle \sin \theta \approx \theta }
另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下

{\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta },

近似的誤差
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圖3：小角度近似的逼近误差
圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度：

* cos *θ* ≈ 1，約為 0.1408 弧度 (8.07°)
* tan *θ* ≈ *θ*，約為 0.1730 弧度 (9.91°)
* sin *θ* ≈ *θ*，約為 0.2441 弧度 (13.99°)
* cos *θ* ≈ 1 − *θ*2/2，約為 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角
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三角恒等式中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（*β* ≈ 0），可以簡化為下式：

|  |  |
| --- | --- |
| cos(*α* + *β*) | ≈ cos(*α*) − *β* sin(*α*), |
| cos(*α* − *β*) | ≈ cos(*α*) + *β* sin(*α*), |
| sin(*α* + *β*) | ≈ sin(*α*) + *β* cos(*α*), |
| sin(*α* − *β*) | ≈ sin(*α*) − *β* cos(*α*). |

應用
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### 天文學

在天文學上，天體的角直徑多半只有幾個角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。線性大小（D）和角直徑（X）以及與觀察者距離（d）之間有以下的公式：

{\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}}
其中X是用角秒表示。

數字7005206265000000000♠206265是圓用角秒表示的值（7006129600000000000♠1296000），除以2π。

精確的公式是

{\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)}
若tan *X*改為X，上式也適用。

### 擺的運動

在計算擺的势能时，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在拉格朗日力学上，找到運動的間接方程（能量方程）。

在計算擺的頻率時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。

### 光學

在光學上，小角度近似是近軸近似的基礎。

### 波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光栅中，以簡化計算。

### 結構力學

小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和分岔分析上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生挫曲的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

### 導航

空中導航（英语：）中的1 in 60 rule（英语：）就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。

### 內插

小角度的和角和差角公式可以在三角函數表的插值：

例如：sin(0.755)

|  |  |
| --- | --- |
| sin(0.755) | = sin(0.75 + 0.005) |
|  | ≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75) |
|  | ≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) | [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得] |
|  | ≈ 0.6853. |

相關條目
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* Skinny triangle（英语：）
* 正矢
* 外正割

參考資料
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1. ↑  Holbrow, Charles H.; et al,  2nd, Springer Science & Business Media: 30–32, 2010  [2021-06-12], ISBN 0387790799, （原始内容存档于2021-08-04）.
2. ↑  Plesha, Michael; et al,  2nd, McGraw-Hill Higher Education: 12, 2012  [2021-06-12], ISBN 0077570618, （原始内容存档于2021-08-04）.
3. ↑ . brilliant.org.  [2020-07-22]. （原始内容存档于2020-07-22） （美国英语）.
4. ↑  Larson, Ron; et al,  4th, Cengage Learning: 85, 2006  [2021-06-12], ISBN 0618606254, （原始内容存档于2021-08-04）.
5. ↑  Boas, Mary L.. Wiley. 2006: 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
6. ↑  Green, Robin M. Cambridge University Press: 19, 1985  [2021-06-12], ISBN 0521317797, （原始内容存档于2021-08-04）.
7. ↑ .  [2021-06-12]. （原始内容存档于2021-08-04）.