在几何学中，**平行六面体**是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

* 六个面都是平行四边形的多面体；
* 有三对对面平行的六面体；
* 底面为平行四边形的棱柱。

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质
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平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积
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### 基本公式

平行六面体的体积是底面 A 与高 h 的乘积，即

{\displaystyle V=Ah} 。
这里的高是底面与对面的垂直距离。

### 以向量計算

用向量来定义平行六面体。
另外一个方法是用向量 {\displaystyle \mathbf {a} =(a\_{1},a\_{2},a\_{3})} ， {\displaystyle \mathbf {b} =(b\_{1},b\_{2},b\_{3})} ，以及 {\displaystyle \mathbf {c} =(c\_{1},c\_{2},c\_{3})} 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V 等于純量三重积：

{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}。
**證明**：

以 \mathbf {b}  和 \mathbf {c}  来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 A 为：

{\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |} ，
其中 \theta  是 \mathbf {b}  与 \mathbf {c}  之间的角，而高为：

{\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }，
其中 \alpha  是 \mathbf {a}  与 h 之间的角。

从图中我们可以看到， \alpha  的大小限定为 {\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }} 。而向量 {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 \mathbf {a}  之间的角 \beta  则有可能大于90°（{\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }}）。也就是说，由于 {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 h 平行， \beta  的值要么等于 \alpha  ，要么等于 {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha } 。因此：

{\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |}，
且

{\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |}。
我们得出结论： 

{\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |} ，
于是，根据純量积的定义，它等于 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} 的绝对值，即：

{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}。
证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\end{bmatrix}}\right|}。

  

### 以稜長及夾角計算

若 a 、b 及 c 是三條兩兩相鄰的稜長，且\alpha  、 \beta  及 \gamma  是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：

{\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}} 。
**證明**

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：

{\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |}
其中：

{\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\end{bmatrix}}}。
因此

{\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}
依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

  

### 以座標計算

選取任意一頂點 (x\_{1},y\_{1},z\_{1}) 以其相鄰三個頂點 (x\_{2},y\_{2},z\_{2}) 、 {\displaystyle (x\_{3},y\_{3},z\_{3})} 及 {\displaystyle (x\_{4},y\_{4},z\_{4})} ，則體積可表示為：

{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x\_{1}&y\_{1}&z\_{1}&1\\x\_{2}&y\_{2}&z\_{2}&1\\x\_{3}&y\_{3}&z\_{3}&1\\x\_{4}&y\_{4}&z\_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.}

特殊情况
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如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

* 四个面是长方形；
* 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體
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完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体
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平行六面体在高维空间的推广称为**超平行体**。

特别地，n维空间中的超平行体称为*n*维超平行体。因此，平行四边形就是*2*维超平行体，平行六面体就是*3*维超平行体。

*n*维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于\mathbb {R} ^{m}空间中的*n*维超平行体的*n*维体积（{\displaystyle m\geq n}），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献
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* Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接
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* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.
* 埃里克·韦斯坦因.. MathWorld.

1. ↑  Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A.. Mathematics of Computation. 2011, **80**: 1037–1040. arXiv:0907.0220 可免费查阅. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .