椭圆和它的某些数学性质
在数学中，王政元是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹。

根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖将線繃緊，這時候兩個點和筆就形成一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉住線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓圖形。

由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

概述
--

一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。
椭圆是一种圆锥曲线：如果一个平面切截一个圆锥面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。

在代数上说，椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线

{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
使得 {\displaystyle B^{2}<4AC\,}，这里的係数都是实数，并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。

穿过两焦点并终止于椭圆上的线段AB叫做**长轴**。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段CD叫做**短轴**。**半長軸**（图中指示为 *a*）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。**半短軸**（图中指示为 *b*）是短轴的一半。

如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆；换句话说，圆是离心率为零的椭圆。

中心位于原点的椭圆 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,} 可以被看作单位圆在关联于对称矩阵 {\displaystyle A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}=PDP^{T}\,} 的线性映射下的图像，这里的 D 是带有 {\displaystyle A^{\prime }} 的特征值的对角矩阵，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有 {\displaystyle A^{\prime }} 的特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着 {\displaystyle A^{\prime }} 的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是**半长轴**和**半短轴**的长度的平方的倒数。

椭圆可以通过对一个圆的所有点的 *x* 坐标乘以一个常数而不改变 *y* 坐标来生成。

离心率
---

形狀母數：* C：中心
* *F*1：焦點一；
* *F*2：焦點二；
* *a*：半长轴；
* *b*：半短轴；
* *c*：半焦距；
* *p*：半正焦弦（通常標示作{\displaystyle \ell }）。

椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达，习惯上指示为 {\displaystyle \varepsilon \,}。离心率是小于 1 大于等于 0 的实数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是圆。

对于有半长轴 *a* 和半短轴 *b* 的椭圆，离心率是

{\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
离心率越大，*a* 与 *b* 的比率就越大，因此椭圆被更加拉长。 

半焦距*c* 等于从中心到任一焦点的距离，

{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
则

{\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}}
半焦距 *c* 也叫做椭圆的**线性离心率**。在两个焦点间的距离是 2*c* = 2*a*ε。

方程
--

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 *t* 是藍線對於 X-軸的角度。
中心位于点 {\displaystyle (h,k)} 的主轴平行于 *x* 轴的椭圆由如下方程指定

{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}
这个椭圆可以参数化表达为

{\displaystyle x=h+a\,\cos t,\,\!}
{\displaystyle y=k+b\,\sin t\,\!}
这里的 {\displaystyle t} 可以限制于区间 {\displaystyle -\pi \leq t\leq \pi \,\!}。

如果 {\displaystyle h=0} 且 {\displaystyle k=0}（就是说，如果中心是原点(0,0))，则

{\displaystyle x=a\,\cos t,\,\!}
{\displaystyle y=b\,\sin t\,\!}
这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动（表现为轨迹是椭圆）。

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 椭圆方程 | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)} | {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)} |
| 图像 |  |  |
| 范围 | {\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b} | {\displaystyle -a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b} |

### 相對於中心的極坐標形式

用极坐标可表达为

{\displaystyle {\overline {CP}}=r'={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\psi }}}}
这里的 {\displaystyle \varepsilon } 是椭圆的离心率；{\displaystyle \psi } 是 {\displaystyle {\overline {CB}}} 与 {\displaystyle {\overline {CP}}} 的夹角

### 相對於焦點的極坐標形式

橢圓的極坐標，原點在 F1
有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是

{\displaystyle {\overline {F\_{1}P}}=r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}}
这里的 {\displaystyle \theta } 是 {\displaystyle {\overline {F\_{1}B}}} 与 {\displaystyle {\overline {F\_{1}P}}} 的夹角

#### 半正焦弦和极坐标

椭圆的半正焦弦(通常指示为 {\displaystyle \ell \,\!})，是从椭圆的一个焦点到椭圆自身，沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于 {\displaystyle a\,\!} 和 {\displaystyle b\,\!}（椭圆的半轴），通过公式 {\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!} 或者如果使用离心率的话 {\displaystyle \ell =a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\,\!}。

椭圆，使用半正焦弦展示椭圆，使用半正焦弦展示
在极坐标中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 *x* 轴上的椭圆给出自方程

{\displaystyle r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=\ell \,\!}
椭圆可以被看作是圆的投影：在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆，假定 φ 不是 90°。

橢圓（用紅色繪制）可以表達為内旋轮线在 R=2r 時的特殊情況。

面积和周长
-----

椭圆所包围的面积是 {\displaystyle \pi ab\,}，这里的 {\displaystyle a\,}，和{\displaystyle b\,}，
是半长轴和半短轴。在圆的情况下{\displaystyle a=b\,}，表达式简化为 {\displaystyle \pi a^{2}\,}。

椭圆的周长是 {\displaystyle 4aE({\frac {c}{a}})}，这里的函数{\displaystyle E\,}是第二类完全椭圆积分。

周长为：{\displaystyle C=4a\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!}或者{\displaystyle C=4a\int \_{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!}

精确的无穷级数为：

{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4}}}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6}}}-\dots }\right]\!\,}
或：

{\displaystyle C=-2\pi a\sum \_{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod \_{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over {{a^{2n}}\left(2n-1\right)}}\right\rbrace }}
拉马努金给出一较为接近的式子：

{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
它还可以写为：

{\displaystyle C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]}}\!\,}
还有一条近似很高的公式：

{\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi }}-1\right)\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{697}}}\right]\!\,}

标准方程的推导
-------

* 如果在一个平面内一个**动点**到两个**定点**的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为{\displaystyle P(x,y)\,}，两个定点为{\displaystyle F\_{1}(-c,0)\,}和{\displaystyle F\_{2}(c,0)\,}，则根据定义，动点{\displaystyle P}的轨迹方程满足（定义式）：

{\displaystyle |PF\_{1}|+|PF\_{2}|=2a(a>0)\,}，其中{\displaystyle 2a\,}为定长。
用两点的距离公式可得：{\displaystyle |PF\_{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\,}，{\displaystyle |PF\_{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}\,}，代入定义式中，得：

{\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}=2a\,}①
上式左方分子凑出平方差，并化简，得：

{\displaystyle {\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}{{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}}}=2a\,}
分子大部分相消，分母移项即得

{\displaystyle {\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {2xc}{a}}\,}②
①、②式相加并平方，整理得

{\displaystyle x^{2}\left({\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}\right)+y^{2}=a^{2}-c^{2}\,}
当{\displaystyle a>c\,}时，并设{\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}，则上式可以进一步化简：

{\displaystyle x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=b^{2}\,}
因为{\displaystyle b^{2}>0\,}，将上式两边同除以{\displaystyle b^{2}\,}，可得：

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}
则该方程即动点{\displaystyle P}的轨迹方程，即椭圆的方程。这个形式也是**椭圆的标准方程**。

* 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了*x*轴。若将两个定点改在*y*轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：

{\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)\,}
* 在方程中，所设的{\displaystyle 2a\,}称为长轴长，{\displaystyle 2b\,}称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么{\displaystyle 2c\,}称为焦距。在假设的过程中，假设了{\displaystyle a>c\,}，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当{\displaystyle a=c\,}时，这个动点的轨迹是一个线段；当{\displaystyle a<c\,}时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意，在假设中，还有一处：{\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\,}。
* 通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。

椭圆的旋转和平移
--------

对于平面上任意椭圆 {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}，总可以将之转化为

{\displaystyle A(x-u)^{2}+2B(x-u)(y-v)+C(y-v)^{2}+f=0\,}
的形式。具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中，{\displaystyle (u,v)\,}便是该椭圆的中心（f=0）。

若将

{\displaystyle x=x^{\prime }-u}
{\displaystyle y=y^{\prime }-v}
代入式中便可得到平移前的椭圆。

若{\displaystyle B\neq 0}，则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为{\displaystyle \displaystyle \varphi }，则有

{\displaystyle \displaystyle tan(2\varphi )={\frac {2B}{A-C}}}
当{\displaystyle A-C=0}，则说明{\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}}。

若将

{\displaystyle x=x^{\prime }\cos \varphi -y^{\prime }\sin \varphi }
{\displaystyle y=y^{\prime }\cos \varphi +x^{\prime }\sin \varphi }
代入式中便可得到旋转前的椭圆。

漸開線及其導數
-------

{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t+{\cfrac {abE\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\\y=b\sin t+{\cfrac {b^{2}E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\cos t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\end{cases}}}

  

{\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {{\rm {d}}x}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac {{\rm {d}}y}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}+b\cos t\!\,\\\end{cases}}}
有了橢圓漸開線的導數，可以計算它的長度，其中{\displaystyle E\left(t,{\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\,}是第二類完全橢圓積分。

参见
--

* 圆锥曲线
* 开普勒定律
* 類球面
* 橢球坐標系
* 椭圆规
* 超橢圓
* 椭球體
* 三-椭圆形

外部链接
----

* 明末清初西方椭圆知识在中国的传播 （页面存档备份，存于）

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
几何学术语 |
| --- |
|  |
| 点 | 
* 頂點
* 交點
* 中點
* 角
	+ 同界角
* 極值點
* 最值點
* 臨界點
* 驻点
* 鞍點

 |
|  |
| 直线和曲线 | 
* 线段
* 射线
* 直线
* 切线
* （主）法线
* 副法線
* 曲线
* 圆锥曲线
* 双曲线
* 抛物线
* 正弦曲線
* 蚌线
* 蜗线
* 螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）
* 摆线（最速降線問題）
* 悬链线
* 曳物线
* 漸開線
* 渐屈线
* 渐近线
* 测地线
* 邊
* 周界
* 弦
* 弧
* 垂直平分線
* 代數曲線
* 椭圆曲线
* 超橢圓
* 星形线
* 三尖瓣线
* 方圓形
* 勒洛三角形

 |
|  |
| 平面圖形 | 
* 圆（广义圆）
* 椭圆
* 扇形
* 弓形
* 环形
* 多边形
* 三角形
* 四邊形
* 五边形
* 六边形
* 多边形
* 正多边形
* 梯形
* 平行四边形
* 菱形
* 矩形
* 正方形
* 鷂形
* 卵形线
* 梭形
* 星形
* 五角星
* 六角星

 |
|  |
| 立體圖形 | 
* 多面体
* 正多面體
* 四面體
* 長方體
* 立方體
* 平行六面体
* 棱柱
* 反棱柱
* 棱锥
* 棱台
* 圆柱体
* 圆锥
* 圆台
* 椭球（長球體、扁球體）
* 球體
* 球缺
* 球冠
* 球台
* 準線
* 母線

 |
|  |
| 曲面 | 
* 二次曲面
* 旋轉曲面
* 抛物面
* 雙曲面
* 马鞍面
* 球面
* 橢球面
* 類球面
* 环面
* 莫比乌斯带
* 流形
* 黎曼曲面

 |
|  |
| 高維空間 | 
* 超平面
* 超面
* 超曲面
* 胞
* 多胞形
* 超球體
* 超方形
* 超立方體
* 克莱因瓶
* 四維柱體柱

 |
|  |
| 圖形關係 | 
* 相似
* 全等
* 對稱
* 平行
* 垂直
* 相交
* 相切
* 相離
* 镜像
* 旋转
* 反演
* 截面
* 缩放

 |
|  |
| 三角形關係 | 
* 相似三角形
* 全等三角形

 |
|  |
| 量 | 
* 距离
* 长度
* 周长
* 弧长
* 高度
* 面积
* 表面積
* 体积
* 容積
* 角度
* 曲率
* 撓率
* 離心率
* 凹凸性
* 有向曲面
* 可展曲面
* 直紋曲面

 |
|  |
| 作圖 | 
* 尺
	+ 直尺
	+ 三角尺
* 圆规
* 尺规作图
* 二刻尺作圖

 |
|  |
| 分支 | 
* 平面幾何
* 立体几何
* 三角学
* 解析几何
* 微分几何
* 拓扑学
* 图论
* 摺紙數學
* 欧几里得几何
* 非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……）
* 分形

 |
|  |
| 理論 | 
* 定理
* 公理
* 定义
* 數學證明

 |
|  |
| 
* 分类**分类**
* 主题**主题**
* 共享资源页面**共享资源**
* 专题**专题**

 |

 |