前四個五邊形數.

**五邊形數**是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。

第n個五邊形數可用以下公式求得

{\displaystyle p\_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}}
且n>0。

首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, ...（OEIS數列A000326），其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

第n個五邊形數是第{\displaystyle 3n-1}個三角形數的\frac{1}{3}。首n個五邊形數的算術平均數是第n個三角形數。

五邊形數測試
------

利用以下的公式可以測試一個正整數*x*是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}
* 若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
* 若n不是自然數，則x不是五邊形數。

用五邊形數的和來表示整數
------------

依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和。在小於10^{6}的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示：

9, 21, 31, 43, 55, 89 （OEIS數列A133929）

廣義五邊形數
------

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

{\displaystyle p\_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}}
n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，

其產生的數列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。

用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有{\displaystyle 5(n-1)}個，因此在內部的點個數為：

{\displaystyle {\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1)={\frac {3n^{2}-11n+10}{2}}={\frac {(3n-5)(n-2)}{2}}={\frac {3(n-2)^{2}+(n-2)}{2}}}
剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和。

若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數。

廣義五邊形數和中心六邊形數
-------------

廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：

| 1=1+0 |  | 7=5+2 |  | 19=12+7 |  | 37=22+15 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| * |  | ******* |  | ******************* |  | ************************************* |

一般來言：

{\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)[3(1-n)-1]}
等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(*n* ≥ 1)。

參見
--

* 五邊形數定理

參考資料
----

* Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

1. 1 2  Guy, Richard K.. The American Mathematical Monthly. 1994-02, **101** (2): 169–172. ISSN 0002-9890. doi:10.1080/00029890.1994.11996925 （英语）.
2. ↑  Conway, John H.; Guy, Richard.. Springer Science & Business Media. 1998-03-16: 96. ISBN 978-0-387-97993-9 （英语）.

外部連結
----

* Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（页面存档备份，存于）（德文）

|  |  |
| --- | --- |
|  | 维基共享资源中相关的多媒体资源：**五角数** |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
有形數 |
| --- |
|  |
| 多邊形數 | 
* 三角形數
* 四邊形數
* 五邊形數
* 六邊形數
* 七邊形數
* 八邊形數
* 九邊形數
* 十邊形數
* 十二邊形數

 |  |
|  |
| 多面體數 | 
* 四面體數
* 六面體數
* 八面體數

 |
|  |
| 錐體數 | 
* 三角錐數
* 四角錐數
* 五角錐數
* 六角錐數
* 七角錐數

 |
|  |
| 中心多邊形數 | 
* 中心三角形數
* 中心四邊形數
* 中心五邊形數
* 中心六邊形數
* 中心七邊形數
* 中心十二邊形數

 |
|  |
| 中心多面體數 | 
* 中心四面體數
* 中心六面體數
* 中心八面體數

 |
|  |
| 多胞體數 | 
* 1-多胞體數
* 2-多胞體數
* 3-多胞體數
* 4-多胞體數

 |
|  |
| 星數 | 
* 五角星數
* 六角星數
* 七角星數
* 八角星數
* 六角星質數

 |
|  |
| 其他有形數 | 
* 平方数
* 立方數
* 四次方數
* 五次方數
* 六次方數
* 三角平方數
* 梯形數
* 普洛尼克数

 |
|  |
| 其他 | 
* 费马多边形数定理
* 四平方和定理
* 五邊形數定理

 |

 |