**GPY篩法**（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以Goldston（英语：）、Pintz（英语：）和Yildirim（英语：）這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到{\displaystyle 600}）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法
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### 表記

首先固定{\displaystyle k\in \mathbb {N} }，之後定義以下表記：

* \mathbb {P} 是質數集合，且{\displaystyle 1\_{\mathbb {P} }(n)}是這集合的特徵方程。
* {\displaystyle \Lambda (n)}是馮·曼戈爾特函數。
* {\displaystyle \omega (n)}是用以計算n的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數（英语：）。
* {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h\_{1},\dots ,h\_{k}\}}是一組相異的非負整數{\displaystyle h\_{i}\in \mathbb {Z} \_{+}\cup \{0\}}的集合。
* \theta (n)是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

{\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}}
其中{\displaystyle \theta (n)=\log((n-1)1\_{\mathbb {P} }(n)+1)}。
對於{\mathcal {H}}有以下定義：

* {\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h\_{1},\dots ,n+h\_{k})}，
* {\displaystyle P\_{\mathcal {H}}(n):=(n+h\_{1})(n+h\_{2})\cdots (n+h\_{k})}
* {\displaystyle \nu \_{p}({\mathcal {H}})}是{\mathcal {H}}模p的相異同餘類個數。像例如因為{\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}}且{\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}}之故，因此有{\displaystyle \nu \_{3}(\{0,2,4\})=3}以及{\displaystyle \nu \_{3}(\{0,2\})=2}。

假若對所有的{\displaystyle p\in \mathbb {P} }而言，都有{\displaystyle \nu \_{p}({\mathcal {H}})<k}的話，則稱{\mathcal {H}}為「可及的」（admissible）。

### 構造

設{\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h\_{1},\dots ,h\_{k}\}}為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

{\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits \_{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits \_{h\_{i}\in {\mathcal {H}}}1\_{\mathbb {P} }(n+h\_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.}
那麼對任意的{\displaystyle n\in [N+1,2N]}而言，這函數即是計算扣掉某個門檻c之後，形如{\displaystyle n+h\_{i}}的質數的個數的函數，故在{\displaystyle {\mathcal {S}}>0}的情況下，有某數n使得至少{\displaystyle \lfloor c\rfloor +1}是{\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}中的質數。

由於{\displaystyle 1\_{\mathbb {P} }(n)}的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits \_{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits \_{h\_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h\_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}
由於{\displaystyle \log(N)<\theta (n+h\_{i})<\log(2N)}且{\displaystyle c=\log(3n)}之故，我們僅在存在{\displaystyle n+h\_{i}}及{\displaystyle n+h\_{j}}這兩個質數的狀況下，有{\displaystyle {\mathcal {S}}>0}。我們接下來要做的，就是尋找權重函數{\displaystyle w(n)}以便能測得質數k元組（英语：）。

#### 權重的派生

一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

{\displaystyle \Lambda \_{k}(n)=\sum \limits \_{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}
這函數有如次的性質：若{\displaystyle \omega (n)>k}，則{\displaystyle \Lambda \_{k}(n)=0}。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。

因此在{\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

{\displaystyle \Lambda \_{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda \_{k}(P\_{\mathcal {H}}(n))}
其中{\displaystyle 1/k!}這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

{\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda \_{R}(n):=\sum \limits \_{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}
其中R不再表示{\mathcal {H}}的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計{\displaystyle \Lambda \_{k}(n;{\mathcal {H}})}：

{\displaystyle \Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits \_{\begin{array}{c}d\mid P\_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}
因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數{\displaystyle 0\leq \ell \leq k}的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取{\displaystyle k+\ell }或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

{\displaystyle \Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits \_{\begin{array}{c}d\mid P\_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }}
在不引入\ell 這額外參數的狀況下，對不同的{\displaystyle d=d\_{1}d\_{2}\cdots d\_{k}}有{\displaystyle d\_{1}\leq R,d\_{2}\leq R,\dots ,d\_{k}\leq R}這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制{\displaystyle d\_{1}d\_{2}\dots d\_{k}\leq R}。

故對於k維的篩法問題，我們有{\displaystyle k+\ell }維的篩法。

### GPY篩法

GPY篩法有下列形式：

{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits \_{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits \_{h\_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h\_{i})-\log(3N)\right)\Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k}
其中

{\displaystyle \Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits \_{\begin{array}{c}d\mid P\_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k}.
### Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮{\displaystyle ({\mathcal {H}}\_{1},\ell \_{1},k\_{1})}、{\displaystyle ({\mathcal {H}}\_{2},\ell \_{2},k\_{2})}以及{\displaystyle 1\leq h\_{0}\leq R}並定義{\displaystyle M:=k\_{1}+k\_{2}+\ell \_{1}+\ell \_{2}}的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

{\displaystyle \sum \limits \_{n\leq N}\Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}}\_{1},\ell \_{1})\Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}}\_{2},\ell \_{2})=C\_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o\_{M}(1)\right)N}
以及

{\displaystyle \sum \limits \_{n\leq N}\Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}}\_{1},\ell \_{1})\Lambda \_{R}(n;{\mathcal {H}}\_{2},\ell \_{2})\theta (n+h\_{0})=C\_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o\_{M}(1)\right)N}
其中{\displaystyle C\_{1},C\_{2}}是兩個常數，{\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})}及{\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})}是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在{\mathcal {S}}之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。

註解
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1. 1 2 3 4 5  Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.. Annals of Mathematics. 2009, **170** (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819 可免费查阅.
2. ↑  Zhang, Yitang.. Annals of Mathematics. 2014, **179**: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7 可免费查阅.
3. ↑  Maynard, James.. Annals of Mathematics. 2015, **181** (1): 383–413. arXiv:1311.4600 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
4. ↑  Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W.. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, **361** (10): 7. arXiv:math/0506067 可免费查阅.