擁有不同範數的單位圓
**範數**（英語：），是具有"长度"概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正**長度**或**大小**。另一方面，**半範數**（英語：）可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐幾里得空間{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義
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假設*V*是域*F*上的向量空間；*V*的**半範數**是一個函數{\displaystyle p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)}，满足：

{\displaystyle \forall a\in F,\forall u,v\in V},

1. {\displaystyle p(v)\geq 0}（具有半正定性）
2. {\displaystyle p(av)=|a|p(v)}（具有绝对一次齐次性）
3. {\displaystyle p(u+v)\leq p(u)+p(v)} （满足三角不等式，或称次可加性）

**範數**是一個**半範數**加上額外性质：

4. {\displaystyle p(v)=0},当且仅当{\displaystyle v}是零向量（正定性）
如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

例子
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* 所有范数都是半范数。
* 平凡半范数，即{\displaystyle p(x)=0,\forall x\in V}。
* 绝对值是实数集上的一个范数。
* 对向量空间上的次线性型*f*可定义一个半范数：{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|}。

### 绝对值范数

绝对值范数為

{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum \_{i}^{n}|x\_{i}|}
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

### 欧几里德范数

条目：欧几里德距离
在*n*维欧几里德空间{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上，向量{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x\_{1},x\_{2},\,\ldots \,,x\_{n})^{\mathrm {T} }}的最符合直觉的长度由以下公式给出

{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|\_{2}:={\sqrt {x\_{1}^{2}+\cdots +x\_{n}^{2}}}.}
根据勾股定理，它给出了从原点到点{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上最常用的范数，但正如下面举出的，{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个*n*维复数空间{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}中，最常见的范数是：

{\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z\_{1}|^{2}+\cdots +|z\_{n}|^{2}}}={\sqrt {z\_{1}{\bar {z}}\_{1}+\cdots +z\_{n}{\bar {z}}\_{n}}}.}
以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{\*}{\boldsymbol {x}}}},}
其中***x***是一个列向量({\displaystyle [x\_{1},x\_{2},\,\ldots \,,x\_{n}]^{\mathrm {T} }})，而{\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\*}}表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}
特别地，{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个*n*维球面。

#### 复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为**模**）。这样，我们可把{\displaystyle x+i\,y}视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}（最初由欧拉提出）。

參見
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* 內積
* 賦範向量空間
* 矩陣範數
* 曼哈頓距離
* Lp范数

參考文獻
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* Bourbaki, Nicolas.. . Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4.
* Prugovečki, Eduard.  2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
* Trèves, François.. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
* Khaleelulla, S. M.. Lecture Notes in Mathematics **936**. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.



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* 賦範向量空間 （范数）
* 拟赋范空间
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* 拓扑张量积（英语：） (希尔伯特空间中)
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* 弱拓扑（英语：）
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