辛拓扑和代数几何中，**量子上同调**环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有"小环"和"大环"两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。

普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以"模糊""量子"的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。

量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对枚举几何有重要意义，还与数学物理和镜像对称中的许多观点相关。特别是，它与辛弗洛尔同调是环同构的。

本文中*X*是闭辛流形，具有辛形式ω。

诺维科夫环
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参见：诺维科夫环
*X*的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码*X*的第二同调信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录*X*中仿全纯曲线的信息。例如，令

{\displaystyle H\_{2}(X)=H\_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
为第二同调模其挠（torsion）。令*R*为任意有单位元的交换环，Λ是形式为

{\displaystyle \lambda =\sum \_{A\in H\_{2}(X)}\lambda \_{A}e^{A},}
的形式幂级数的环，其中

* 系数{\displaystyle \lambda \_{A}}来自*R*；
* {\displaystyle e^{A}}为形式变量，服从关系{\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}；
* 对每个实数*C*，只有有限多个ω(*A*)小于等于*C*的*A*具有非零系数{\displaystyle \lambda \_{A}}。

变量{\displaystyle e^{A}}的度数为{\displaystyle 2c\_{1}(A)}，其中{\displaystyle c\_{1}}是切丛*TX*的第一陈类，通过选择任意与ω相配的殆复结构，可将其视为复向量丛。因此，Λ是分次环，称作ω的**诺维科夫环**（其他定义亦常见）。

小量子上同调
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令

{\displaystyle H^{\*}(X)=H^{\*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
为*X*模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的**小量子上同调**定义为

{\displaystyle QH^{\*}(X,\Lambda )=H^{\*}(X)\otimes \_{\mathbf {Z} }\Lambda .}
其元素是形式为

{\displaystyle \sum \_{i}a\_{i}\otimes \lambda \_{i}}
的有限和。小量子上同调是分次*R*模：

{\displaystyle \deg(a\_{i}\otimes \lambda \_{i})=\deg(a\_{i})+\deg(\lambda \_{i}).}
普通上同调{\displaystyle H^{\*}(X)}通过{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}嵌入{\displaystyle QH^{\*}(X,\ \Lambda )}，后者由{\displaystyle H^{\*}(X)}作为Λ模生成。

对{\displaystyle H^{\*}(X)}中任意两个纯度（pure degree）的上同调类*a*、*b*，以及{\displaystyle H\_{2}(X)}中任意的*A*，定义{\displaystyle (a\*b)\_{A}}为{\displaystyle H^{\*}(X)}的唯一元素，使得

{\displaystyle \int \_{X}(a\*b)\_{A}\smile c=GW\_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}
（右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义

{\displaystyle a\*b:=\sum \_{A\in H\_{2}(X)}(a\*b)\_{A}\otimes e^{A}.}
根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射

{\displaystyle QH^{\*}(X,\Lambda )\otimes QH^{\*}(X,\Lambda )\to QH^{\*}(X,\Lambda )}
即**小量子上积**（small quantum cup product）。

几何解释
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类{\displaystyle A=0}中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此

{\displaystyle GW\_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int \_{X}a\smile b\smile c;}
即

{\displaystyle (a\*b)\_{0}=a\smile b.}
于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类*A*。

一般来说，{\displaystyle (a\*b)\_{A}}的庞加莱对偶对应着通过*a*、*b*的庞加莱对偶的类*A*的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当*a*、*b*在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了*a*和*b*的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类*A*的相交信息。

例子
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令*X*为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量）和复结构的复射影平面。令{\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}为线*L*的庞加莱对偶，则

{\displaystyle H^{\*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}
唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类{\displaystyle A=0}或{\displaystyle A=L}的不变量。可得

{\displaystyle \int \_{X}(\ell ^{i}\*\ell ^{j})\_{0}\smile \ell ^{k}=GW\_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}
及

{\displaystyle \int \_{X}(\ell ^{i}\*\ell ^{j})\_{L}\smile \ell ^{k}=GW\_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}
其中δ是克罗内克δ函数。于是，

{\displaystyle \ell \*\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}
{\displaystyle \ell \*\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}
这时，可以方便地将{\displaystyle e^{L}}重命名为*q*，并使用更简单的系数环{\displaystyle \mathbf {Z} [q]}，其中的*q*之度为{\displaystyle 6=2c\_{1}(L)}。则

{\displaystyle QH^{\*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}

小量子上积的性质
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对纯度（pure degree）的*a*、*b*，

{\displaystyle \deg(a\*b)=\deg(a)+\deg(b)}
且

{\displaystyle b\*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a\*b.}
小量子上积满足分配律，是Λ双线性的。单位元{\displaystyle 1\in H^{0}(X)}也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足结合律，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数）满足特定的三阶微分方程，即WDVV方程。

相交对

{\displaystyle QH^{\*}(X,\Lambda )\otimes QH^{\*}(X,\Lambda )\to R}
的定义为

{\displaystyle \left\langle \sum \_{i}a\_{i}\otimes \lambda \_{i},\sum \_{j}b\_{j}\otimes \mu \_{j}\right\rangle =\sum \_{i,j}(\lambda \_{i})\_{0}(\mu \_{j})\_{0}\int \_{X}a\_{i}\smile b\_{j}.}
（下标0表示{\displaystyle A=0}系数。）其满足结合律

{\displaystyle \langle a\*b,c\rangle =\langle a,b\*c\rangle .}

杜布罗温联络
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基环*R*是**C**时，可将向量空间{\displaystyle QH^{\*}(X,\ \Lambda )}的均匀分次部分*H*看做复流形。小量子上积限制为*H*上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对{\displaystyle \langle ,\ \rangle }的*H*是弗罗贝尼乌斯代数。

量子上积可视作是切丛*TH*上的联络，称作**杜布罗温联络**。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。

大量子上同调
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存在{\displaystyle 0\in H}的邻域*U*，使{\displaystyle \langle ,\rangle }和杜布罗温联络赋予*U*以弗罗贝尼乌斯流形的结构。{\displaystyle \forall a\in U}有量子上积

{\displaystyle \*\_{a}:H\otimes H\to H,}
定义为

{\displaystyle \langle x\*\_{a}y,z\rangle :=\sum \_{n}\sum \_{A}{\frac {1}{n!}}GW\_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}
*H*上的积统称为**大量子上同调**（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。

参考文献
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* McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). *J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology*, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
* Fulton, W; Pandharipande, R.. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 可免费查阅.
* Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), *Contact and Symplectic Geometry*, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7