在流体力学中，**雷诺数**（Reynolds number）是流体的惯性力{\frac {\rho v^{2}}{L}}与黏性力{\frac {\mu v}{L^{2}}}的比值，它是一个無量纲量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

定义
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雷諾數一般表示如下：

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\nu }}}
其中

* {\displaystyle {\mathbf {\mathrm {V} } }}是特徵速度（国际单位：m/s）
* {\displaystyle {L}}是特徵長度(m)
* {\mu}是流體动力黏度（Pa·s或N·s/m²）
* {\nu } 是流體运动黏度（\nu =\mu /*ρ*）(m²/s)
* {\rho }是流體密度（kg/m³）

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用习惯。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流场中的球体外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直径作为特征長度。而半径和直径对于球型、圆形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此习惯上常用直徑來代表。

### 管内流场

对于在管内的流动，雷诺数定义为：

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\nu }}={{{\mathbf {\mathrm {Q} } }D} \over {\nu }A}}
式中：

* {\displaystyle {\mathbf {\mathrm {V} } }}特徵速度選擇平均流速（国际单位：m/s）
* {D}特徵長度選擇管径或管長(m)
* {Q}体积流量（m³/s）
* {A}横截面积（m²）

假如雷諾數的體積流速固定，則雷諾數與密度（ρ）、速度的开方（{\sqrt {u}}）成正比；與管徑（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷諾數的質量流速（即是可以穩定流動）固定，則雷諾數與管徑（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；與√速度（{\sqrt {u}}）成正比；與密度（ρ）無關

### 平板流

对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离

### 流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数,经常用**Rep**表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

#### 流体中的球

对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中v\_{f}为流体速度，v\_s为球速度，d\_{s}为球直径，\rho\_f为流体密度，{\displaystyle \mu \_{f}}为流体粘度。

{\displaystyle Re={\frac {|v\_{f}-v\_{s}|d\_{s}\rho \_{f}}{\mu \_{f}}}}

### 搅拌槽

对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径*D*。速度*V*等于*ND*,其中*N*是转速(周/秒)。雷诺数表达为:

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho VD} \over {\mu }}={{\rho ND^{2}} \over {\mu }}.}
当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。

过渡流雷诺数
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在外流場中由於有边界层的影響，實驗中發現当流體流过一定长度后，會由层流過渡到完全為湍流。对于不同的尺度和不同的流体，只要雷諾數達到某個特定值，这种不稳定性都会发生。外流場通常以雷諾數{\mathrm {Re}}\_{x}\approx 5\times 10^{5}代表層流結束, 这里特徵長度 x 是从物體前缘起算的距离，特徵速度是边界层以外的自由流场速度。

內流場雷诺数{\displaystyle \mathrm {Re} <2100}为层流状态，{\displaystyle \mathrm {Re} >4000}为湍流状态，介於2100～4000为过渡流状态。

  

* 層流(又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。

* 湍流(又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

管道中的摩擦阻力
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穆迪圖說明達西摩擦因子*f*和雷诺数和相對粗糙度的關係
在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子*f*和雷诺数{{\mathrm {Re}}}及相對粗糙度\epsilon /D的關係，圖中隨著雷诺数的增加，管流由層流變為过渡流及湍流，管流的特性和流體為层流、过渡流或湍流有明顯關係。

流动相似性
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两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：

{\mathrm {Re}}\_{m}={\mathrm {Re}}\;
{\mathrm {Eu}}\_{m}={\mathrm {Eu}}\;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p\_{m} \over \varrho \_{m}{v\_{m}}^{{2}}}={p \over \varrho v^{{2}}}\;,
带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。
这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福祿數。

以下是一些雷诺数的例子：

* 纤毛虫~ 1×10−1
* 最小的魚 ～1
* 大脑中的血液流 ～1×102
* 主动脉中的血流~ 1×103

**湍流临界值**~ 2.3×103-5.0×104(对于管内流)到106(边界层)

* 棒球（美國職業棒球大聯盟投手投球）~2×105
* 游泳（人）~4×106
* 最快的魚 ~1×108
* 蓝鲸~ 3×108
* 大型邮轮（伊丽莎白女王2号（英语：））~ 5×109

雷诺数的推导
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雷诺数可以从无量纲的非可压納維－斯托克斯方程推导得来:

\rho \left({\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial t}}+{\mathbf {v}}\cdot \nabla {\mathbf {v}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v}}+{\mathbf {f}}.
上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:

{\frac {D}{\rho V^{2}}}
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:

{\displaystyle \mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},}
{\displaystyle \ p'=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},}
{\displaystyle \ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\rho V^{2}}},}
{\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},}
{\displaystyle \ \nabla '=D\nabla }
无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:

{\frac {\partial {\mathbf {v'}}}{\partial t'}}+{\mathbf {v'}}\cdot \nabla '{\mathbf {v'}}=-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}{\mathbf {v'}}+{\mathbf {f'}}
这里:{\frac {\mu }{\rho DV}}={\frac {1}{{\mathit {Re}}}}.

最后,为了阅读方便把撇去掉:

{\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial t}}+{\mathbf {v}}\cdot \nabla {\mathbf {v}}=-\nabla p+{\frac {1}{{\mathit {Re}}}}\nabla ^{2}{\mathbf {v}}+{\mathbf {f}}.
这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。

参见
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* 磁雷诺数

參考文獻
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1. ↑  董, 长银; 栾, 万里.  (PDF). 中国石油大学学报 (自然科学版 ). 2007, **31** (5): 55–63  [2017-10-25]. doi:10.3321/j.issn:1000-5870.2007.05.012. （原始内容存档 (PDF)于2017-10-25）.
2. ↑  R. K. Sinnott *Coulson & Richardson's Chemical Engineering, Volume 6: Chemical Engineering Design,* 4th ed (Butterworth-Heinemann) ISBN 0-7506-6538-6 page 473
3. ↑  Patel, V. C.; Rodi, W.; Scheuerer, G.. AIAA Journal. 1985, **23** (9): 1308–1319. Bibcode:1985AIAAJ..23.1308P. doi:10.2514/3.9086.
4. ↑  Dusenbery, David B.. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. 2009: 136. ISBN 9780674031166.

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* 论
* 编
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