公式：  
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}  
例如任意的 {\displaystyle x\_{0}\approx 5.8}:  
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x\_{0})={\frac {1}{4}}}  
{\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x\_{0}))=4~}
数学上，可導雙射函數f的**反函數微分**可由f的導函數f'給出。若使用拉格朗日记法，反函数f^{{-1}}的导数公式为：

{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},}
该表述等价于

{\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}
其中 {\mathcal {D}} 表示一元微分算子（在函数的空间上），\circ 表示二元复合算子。

記y = f(x)，則上式可用莱布尼兹符号寫成：

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}
換言之，函數及其反函數的导数均可逆，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},}
而 x 相对于 x 的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 *y* = *x*.镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。

假设 f 在x的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

反函数举例
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* {\displaystyle \,y=x^{2}}（x为正）具有逆 {\displaystyle x={\sqrt {y}}}中。

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}
但是，在 *x* = 0有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

* {\displaystyle \,y=e^{x}} ( x为实数)具有逆 {\displaystyle \,x=\ln {y}}（y为正值）

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}

其他属性
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* 对反函数积分有如下公式

{\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C} }
可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

高阶导数
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上面给出的链式法则是通过对等式{\displaystyle x=f^{-1}(f(x))}关于x微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对x求导两次，得到

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}
使用链式法则进一步简化为

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}
用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}}{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}
对三阶导数类似：

{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
或者用二阶导数的公式，

{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}
这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果 f和{\displaystyle g}是互逆的，则

{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}

反函数的微分举例
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* {\displaystyle \,y=e^{x}} 有逆运算{\displaystyle \,x=\ln y}。使用反函数的二次导数公式，

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}
于是，

{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}},
与直接计算相同。

参见
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* 微积分
* 反函数
* 链式法则
* 反函数定理
* 隐函数定理
* 反函数的积分