Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality某些分離公理的圖示。藍色區塊代表一個開集，紅色方塊代表一個閉集，且黑色圓圈則代表一點。
在拓扑学及相关的数学领域裡，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，**分离公理**即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做**吉洪诺夫分离公理**，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母**T**開頭，是由德文单词"Trennung"而來，意義是**分离**。

分離公理之所以稱為公理，是因為以前定義拓撲空間時，有些人會將其也做為公理來定義，而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後，那些都成了「各種」的拓撲空間。然而，「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。

初步定义
----

在定义分离公理之前，讓我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（須注意的是，可分离的集合不一定等同于下一節所定义的「分离空间」。）

分離公理是利用拓撲的方法來分辨不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的，更要這些元素是「拓撲可區別的」；不只要拓撲空間內的子集是不相交的，更要這些子集是（以某种方式）「可分離的」。分離公理聲稱，無論如何，若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的，也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

设X為一拓扑空间，{\displaystyle A,B\subseteq X}，\mathbb {R} 是实数集，定义：

拓扑可区分
A,B称为**拓扑可区分的**，当且仅当A,B的邻域系{\displaystyle U(A)}和{\displaystyle U(B)}不相等（即，存在某个A的邻域，不是B的邻域，或反之）。
可分离
A,B稱為**可分離的**，当且仅当{\displaystyle A\cap {\bar {B}}}和{\displaystyle {\bar {A}}\cap B}都为空。（\bar{A}是A的闭包）。注意：{\displaystyle {\bar {A}}\cap {\bar {B}}}可以不为空。
邻域可分离
A,B称为**邻域可分离的**，当且仅当存在A的邻域U和B的邻域V，使得{\displaystyle U\cap V}为空。
闭邻域可分离
A,B称为**闭邻域可分离的**，当且仅当存在A的闭邻域U和B的闭邻域V，使得{\displaystyle U\cap V}为空。
函数可分离
A,B称为**函数可分离的**，当且仅当存在连续函数{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }，使得{\displaystyle f(A)=\{0\}}，{\displaystyle f(B)=\{1\}}。
函数完全分离
A,B称为**函数完全分离的**，当且仅当存在连续函数{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }，使得{\displaystyle f^{-1}(\{0\})=A}，{\displaystyle f^{-1}(\{1\})=B}。
对于X中的点x,y（或点x和子集A），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合\{x\}和\{y\}（或\{x\}和子集A）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相區分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更進一步地說，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更詳細的敘述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等條目。

主要定义
----

下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式，以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中，*X*是一個拓撲空間，所有的函數都假設為連續的。

* *X*稱為T0空间或「柯尔莫果洛夫空间」，若在*X*內，任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。

* *X*稱為R0空间或「对称空间」，若在*X*內，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。

* *X*稱為T1空间、「可及空間」或「弗雷歇空間」，若在*X*內，任意兩個相區別的點都是可分離的。*X*為T1空間，若且唯若*X*同時為T0及R0空間。

* *X*稱為R1空间或「预正则空间」，若在*X*內，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R1空间必然也是R0空间。

* *X*稱為T2空间或「豪斯多夫空间」，若在*X*內，任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。*X*為豪斯多夫空間，若且唯若*X*同時為T0及R1空間。豪斯多夫空間必然也是T1空間。

* *X*稱為T2½空間或「烏雷松空間」，若在*X*內，任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T2½空間必然也是豪斯多夫空間。

* *X*稱為完全豪斯多夫空間或「完全T2空間」，若在*X*內，任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T2½空間。

* *X*稱為正則空間，若在*X*內，給定一點*x*及一閉集*F*，則若*x*不屬於*F*，*x*和*F*即為鄰域上可分離的（實際上，在一個正則空間裡，*x*和*F*也同樣會是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R1空間。

* *X*稱為正則豪斯多夫空間或「T3空間」，若*X*同時為T0及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T2½空間。

* *X*稱為完全正則空間，若在*X*內，給定一點*x*及一閉集*F*，則若*x*不屬於*F*，*x*和*F*即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。

* *X*稱為吉洪諾夫空間、「T3½空間」、「完全T3空間」或「完全正則豪斯多夫空間」，若*X*同時為T0及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。

* *X*稱為正規空間，若在*X*內，任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的（實際上，在正規空間裡，任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的；這稱為烏雷松引理）。

* *X*稱為正規豪斯多夫空間或「T4空間」，若*X*同時為T1及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。

* *X*稱為完全正規空間，若在*X*內，任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。

* *X*稱為完全正規豪斯多夫空間、「T5空間」或「完全T4空間」，若*X*同時為完全正規及T1空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。

* *X*稱為完美正規空間，若在*X*內，任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。

* *X*稱為完美正規豪斯多夫空間、「T6空間」或「完美T4空間」，若*X*同時為完美正規及T1空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

各空間之間的關係
--------

T0空間很特別，因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上（如完全正則空間加上T0即為吉洪諾夫空間），也可以由某個空間中刪去此一性質（如豪斯多夫空間刪去T0即為R1空間）；更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其應用在分離公理時，便會導致如下表所列的關係：

| T0版本 | 無T0版本 |
| --- | --- |
| T0 | － |
| T1 | R0 |
| 豪斯多夫(T2) | R1 |
| T2½ | 無給定名稱 |
| 完全豪斯多夫 | 無給定名稱 |
| 正則豪斯多夫(T3) | 正則 |
| 吉洪諾夫(T3½) | 完全正則 |
| 正規T0 | 正規 |
| 正規豪斯多夫(T4) | 正規正則 |
| 完全正規T0 | 完全正規 |
| 完全正規豪斯多夫(T5) | 完全正規正則 |
| 完美正規T0 | 完美正規 |
| 完美正規豪斯多夫(T6) | 完美正規正則 |

在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運算，右邊的空間加上T0即為左邊的空間，左邊的空間刪去T0即為右邊的空間。

除了T0的加上及刪去之外，各空間之間的關係則可由下圖指明出來：

Hasse diagram of the separation axioms.Hasse diagram of the separation axioms.
在圖中，無T0版本的空間在斜線的左邊，T0版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思：
P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規（normal）、R為正則（regular）。
黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知，只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如，若有一個空間同時為完全正規（CN）及完全豪斯多夫（CT2）空間，則查看兩點向上的分支，會發覺為「•/T5」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T0端（即使完全正規空間不是），最後得到的空間便會在斜邊的T0端。亦即，完全正規完全豪斯多夫空間即為T5空間。

再看一次上圖，正規空間及R0空間結合在一起，由於會經過許多右側的分支，也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質，結合正規空間及R0空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法，正規T1空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

参考文献
----

* Michael C. Gemignani; Elementary Topology; ISBN 0486665224
* Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations; Publisher: Academic Press;
	+ 包含 R*i* 公理（及其他）
* Stephen Willard, *General Topology*, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
	+ 包含本條目除 R*i* 以外之公理和定義
* There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| * 
* 论
* 编
点集拓扑系列 |
| --- |
|  |
| 基本概念 | 连续函数  · 同胚  · 子空間  · 积空间  · 商空间  · 序空間
邻域  · 内部  · 邊界  · 外部  · 极限点  · 孤点
基  · 鄰域系統  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包 |
|  |
| 拓扑空间 | 實數線  · 离散空间  · 密着拓扑  · 有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集 ·
有限拓撲空間 · 緊緻開拓撲 |
|  |
| 连通空间 | 连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可約空間 |
|  |
| 紧空间 | 可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧 |
|  |
| 一致空间 | 一致同构  · 一致性质  · 一致收斂  · 一致连续 |
|  |
| 可數性公理 | 第一可數  · 第二可數  · 可分空间  · 林德勒夫空間 |
|  |
| 分离公理 | 柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间 |
|  |
| 定理 | 
* 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
* 海涅-博雷尔定理
* 贝尔纲定理
* 吉洪诺夫定理
* 乌雷松引理
* 乌雷松度量化定理

 |

 |