**增減數列**（Monotone Sequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

定義
--

假設{\displaystyle (x\_{n})}係實數列。

如果



x

1

≤

x

2

≤

x

3

≤
⋯
≤

x

n

≤

x

n
+
1

≤
⋯

{\displaystyle x\_{1}\leq x\_{2}\leq x\_{3}\leq \cdots \leq x\_{n}\leq x\_{n+1}\leq \cdots }

{\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{n}\leq x_{n+1}\leq \cdots }咁{\displaystyle (x\_{n})}就係增長數列（Increasing）。

如果



x

1

≥

x

2

≥

x

3

≥
⋯
≥

x

n

≥

x

n
+
1

≥
⋯

{\displaystyle x\_{1}\geq x\_{2}\geq x\_{3}\geq \cdots \geq x\_{n}\geq x\_{n+1}\geq \cdots }

{\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{n+1}\geq \cdots }咁{\displaystyle (x\_{n})}就係遞減數列（Decreasing）。

如果{\displaystyle (x\_{n})}係增長或者係遞減，咁佢就係一條增減數列。

增減趨向定理
------

假設{\displaystyle (x\_{n})}係一條增減數列而家趨向一點，咁佢一定係被綁定，反之亦然。（{\displaystyle \iff }）同時，

如果{\displaystyle (x\_{n})}係增長數列，咁{\displaystyle \lim(x\_{n})=\sup\{x\_{n}:n\in \mathbb {N} \}}。

如果{\displaystyle (x\_{n})}係遞減數列，咁{\displaystyle \lim(x\_{n})=\inf\{x\_{n}:n\in \mathbb {N} \}}。

**證明：**

{\displaystyle (\Rightarrow )} 因為綁定性質，所以係啱嘅。

{\displaystyle (\Leftarrow )} 假設{\displaystyle (x\_{n})}係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定，所以會存在一個實數{\displaystyle M\in \mathbb {R} }，令到所有嘅項都符合{\displaystyle x\_{n}\leq M}。

利用實數嘅完備定理，可以知到會有一點{\displaystyle x:=\sup\{x\_{n}:n\in \mathbb {N} \}}。（想要證明到{\displaystyle x}就係{\displaystyle (x\_{n})}趨向嗰一點）

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，將{\displaystyle x-\varepsilon }，並得知佢唔係{\displaystyle (x\_{n})}嘅上限，所以會有一個第{\displaystyle x\_{K}}項符合{\displaystyle x-\varepsilon <x\_{K}}。

因為{\displaystyle (x\_{n})}係增長數列，所以一定會有堆項數{\displaystyle n\geq K}符合，{\displaystyle x\_{K}\leq x\_{n}}。

因此，{\displaystyle x-\varepsilon <x\_{K}\leq x\_{n}\leq x\leq x+\varepsilon }。

得出，{\displaystyle |x\_{n}-x|<\varepsilon ,\,\forall n\geq K}。

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