單位圓
喺數學入面，**圓羣**（符號係{\displaystyle \mathbb {T} }、{\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}或{\displaystyle S^{1}}），係所有模係1嘅複數組成嘅乘法羣，亦即係Argand平面上面嘅單位圓，又或者可以講係單位複數：

{\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}
圓羣係複數乘法羣{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}嘅子羣，由於{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}係交換嘅，所以{\displaystyle \mathbb {T} }都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做{\displaystyle U(1)}，一階嘅么正矩陣羣，呢個羣對複數平面進行旋轉作用，所以圓羣可以用旋轉角度{\displaystyle \theta }嚟參數化：

{\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
呢個亦都係圓羣作爲李羣嘅指數映射。

圓羣喺Pontryagin對偶理論同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係{\displaystyle \mathbb {T} }係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話，圓羣其實就係1-環面（英文：1-torus），推而廣之，{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}（{\displaystyle \mathbb {T} }同自己直積n次）就係n-環面（英文：n-torus）。

簡介
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鐘上面嘅加法
一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係鐘，因爲淨係睇鐘面嘅話，係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如，9個鐘加4個鐘，就咁計應該係13個鐘，但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘，因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話，9個鐘+4個鐘=1個鐘（mod 12個鐘）。

另一個睇法，就係實數加法，但係淨係睇小數部分，唔睇整數部分，例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446，答案應該係2.155，但係我哋丟咗個整數部分2，剩返個0.155，亦即係話，係圓羣入面，0.784 + 0.925 + 0.446 = 0.155，呢個例子亦都展示咗{\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }（睇埋下邊同構嘅部分）。

拓撲、分析結構
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圓羣係一個一維緊緻交換李羣。
圓羣唔單止係一個代數物體，佢仲有好自然嘅拓撲、微分結構，就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣，佢繼承嘅子集拓撲。由於喺{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}入面乘法同乘法逆元係光滑映射，圓羣就有個拓撲羣、李羣嘅結構。而且，由於單位圓喺複平面入面係一個閉集，圓羣係{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}嘅一個閉子羣。

李羣嘅角度嚟睇，圓羣係一個單參數羣，而事實上，同構嚟講，圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣，而且，任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}同構。

同構
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可以用好多方法去解讀圓羣，亦即係話，圓羣有好多唔同嘅推廣方向，呢到列幾個出嚟：

### U(1)

數學入面，{\displaystyle U(n)}係指n階么正矩陣羣，而{\displaystyle U(1)}就係一階么正矩陣羣，根據定義就係{\displaystyle 1\times 1}嘅矩陣，而且入面個數要係單位複數，正正就同圓羣嘅條件一樣，所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個：{\displaystyle \mathbb {T} \cong U(1)}

### R/Z

將實數線{\displaystyle \mathbb {R} }睇做圓{\displaystyle \mathbb {T} }嘅覆蓋空間，{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
指數函數可以將實數羣{\displaystyle \mathbb {R} }打去圓羣上面：

{\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }

呢個係一個{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {T} }嘅羣同態，{\displaystyle \theta }對應住單位圓上面，由x軸開始逆時針數，用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅：

{\displaystyle e^{i\theta \_{1}}e^{i\theta \_{2}}=e^{i(\theta \_{1}+\theta \_{2})}}

呢個指數函數係一個滿射，但係唔係單射，佢嘅核係{\displaystyle 2\pi }嘅整數倍，可以寫做{\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }，所以根據第一同構定理我哋知道{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }，做翻個縮放我哋就可以話{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }喇。

呢一個商亦都可以用短正合序列表達出嚟：{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {T} \to 0}。

### SO(2)

如果用{\displaystyle 2\times 2}實矩陣嚟寫啲複數嘅話，咁單位複數就對應住{\displaystyle 2\times 2}行列式係1嘅正交矩陣喇，亦即係話，

{\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow f(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}

呢個函數{\displaystyle f}其實係由圓羣{\displaystyle \mathbb {T} }去二階特別正交羣{\displaystyle SO(2)}嘅羣同構，因爲

{\displaystyle f(e^{i\theta \_{1}})f(e^{i\theta \_{2}})={\begin{bmatrix}\cos \theta \_{1}&-\sin \theta \_{1}\\\sin \theta \_{1}&\cos \theta \_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta \_{2}&-\sin \theta \_{2}\\\sin \theta \_{2}&\cos \theta \_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta \_{1}+\theta \_{2})&-\sin(\theta \_{1}+\theta \_{2})\\\sin(\theta \_{1}+\theta \_{2})&\cos(\theta \_{1}+\theta \_{2})\end{bmatrix}}=f(e^{i(\theta \_{1}+\theta \_{2})})}

中間嗰步用咗三角函數恆等式，呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用，而且每一個（圍住原點嘅）旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

性質
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圓羣係Prüfer羣嘅完備化
每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣，換言之，用對稱嘅角度嚟睇嘅話，任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用，係物理學入面，旋轉不變性同自發性打爛對稱都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣，但係真封閉子羣就得嗰啲單位根，對任何正整數{\displaystyle n>0}，所有n次單位根組成咗個n階循環羣。掉返轉嚟睇，圓羣可以睇做循環羣嘅極限。

實數羣有一個性質，就係佢係b-進分數（b>1）嘅拓撲閉包；圓羣有個類似嘅性質，佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }（2階循環羣）對圓羣有個反轉作用，所以可以考慮半直積{\displaystyle \mathbb {T} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }，呢個羣其實同{\displaystyle O(2,\mathbb {R} )}同構，幾何上嘅諗法係，圓嘅所有對稱都可以寫做「反轉或者唔反轉」接住一個旋轉。因為呢個係同{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }嘅半直積，所以亦都可以話{\displaystyle O(2,\mathbb {R} )}係{\displaystyle \mathbb {T} }嘅廣義二面體羣。呢個羣亦都係無限二面體羣嘅連續版本，而任何嘅二面體羣都作為子羣裝咗喺無限二面體羣入面，所以亦都裝喺呢個羣入面。

表示理論
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圓羣嘅表示（representation）好容易描述，因爲根據Schur引理所有阿標羣嘅不可約複表示都係一維嘅，而且圓羣係緊緻嘅，所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面，亦即係話，圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構。

用{\displaystyle \phi \_{n}}嚟代表以下嘅表示（*n*係整數）：

{\displaystyle \phi \_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }}
咁嘅話{\displaystyle \phi \_{-n}}就係{\displaystyle \phi \_{n}}嘅共軛表示：

{\displaystyle \phi \_{-n}={\overline {\phi \_{n}}}}
留意返如果*n*係0嘅話，{\displaystyle \phi \_{0}}就係當然表示，其他n代表嘅都係一維表示，即係特徵。{\displaystyle \mathbb {T} }嘅特徵羣係由{\displaystyle \phi \_{1}}生成嘅無限循環羣：

{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} }
圓羣嘅不可約實表示就係當然表示同埋

{\displaystyle \rho \_{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}
佢哋係喺{\displaystyle SO(2)}入面。呢到我哋淨係攞n係正整數，因爲{\displaystyle \rho \_{-n}}同{\displaystyle \rho \_{n}}係等價嘅。

純代數結構
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呢一段淨係考慮代數結構，唔考慮拓撲。

圓羣{\displaystyle \mathbb {T} }係一個可除羣，佢嘅扭子羣係所有嘅單位根，係同{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }同構嘅。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理，我哋知道{\displaystyle \mathbb {T} }係同構於{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }同一堆唔知幾多個嘅{\displaystyle \mathbb {Q} }嘅直和。

爲咗令到兩邊嘅基數啱數，{\displaystyle \mathbb {Q} }嘅數量一定要係{\displaystyle {\mathfrak {c}}}（連續統嘅基數）咁多個，但係{\displaystyle {\mathfrak {c}}}咁多個{\displaystyle \mathbb {Q} }嘅直和其實係同{\displaystyle \mathbb {R} }同構嘅，因爲{\displaystyle \mathbb {R} }可以睇做維度係{\displaystyle {\mathfrak {c}}}嘅{\displaystyle \mathbb {Q} }-向量空間，所以，

{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}

同樣道理，亦都有{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}，因爲{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}都係一個可除阿標羣，個扭子羣同{\displaystyle \mathbb {T} }嘅扭子羣一樣。亦即係話雖然{\displaystyle \mathbb {T} }係{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}嘅一個真子羣，但係佢哋作為一個羣係同構嘅。

其他性質
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* 如果{\displaystyle G}係一個局部緊緻郝斯多夫羣，而且佢每個真閉子羣都只有有限個閉子羣，咁{\displaystyle G}就係拓樸同構於圓羣。

睇埋
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* 圓上面嘅有理數點
* 環面
* 單參數羣
* 么正羣
* 正交羣
* Prüfer羣
* 螺線管 (數學)

參考
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1. ↑  James, Robert C.; James, Glenn (1992). *Mathematics Dictionary* (第Fifth版). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a *unit complex number* is a complex number of unit absolute value
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3. 1 2  Gowers, Timothy (2010). *The Princeton Companion to Mathematics*. Princeton University Press.
4. ↑  "Maths in three minutes: Groups". *Plus Maths* (英文). 喺2022-05-21搵到.
5. ↑  Samimullah, Miakhel (12-2020). "The Usage of Cyclic Group in the Clock" (PDF). *International Journal of Science and Research (IJSR)*. **9**. `{{cite journal}}`: Check date values in: `|date=` (help)
6. ↑  "Orthogonal group:O(2,R) - Groupprops". *groupprops.subwiki.org*. 喺2022-05-16搵到.
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參考書
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* Hua Luogeng (1981) *Starting with the unit circle*, Springer Verlag, ISBN 0-387-90589-8
* Joshi, K.D. (1989), *Foundations Of Discrete Mathematics* pp. 347-348 ISBN 812240120 Parameter error in {{isbn}}: Invalid ISBN.

註
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1. ↑  喺呢篇入邊統一用{\displaystyle \mathbb {T} }

連結
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* Homeomorphism and the Group Structure on a Circle
* GroupProps
* nLab