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| **數學嘅數** |
| **基本** |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }

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| 自然數 {\displaystyle \mathbb {N} } 
整數 {\displaystyle \mathbb {Z} } 
二進分數 
有限小數 
循環小數 
有理數 {\displaystyle \mathbb {Q} } 
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }
實數 {\displaystyle \mathbb {R} } 
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }  | 負數 
分數 
單位分數 
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規矩數 
無理數 
超越數 
二次無理數 
虛數 
艾森斯坦整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
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| **延伸** |
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| 雙複數 
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} } 
共四元數 
八元數 {\displaystyle \mathbb {O} }
超數 
上超實數 
超現實數  | 超複數 
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} } 
複四元數 
Tessarine 
大實數 
超實數 {\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }
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| **其他** |
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| 對偶數 
雙曲複數 
序數 
質數 
同餘 
可計算數 
艾禮富數  | 公稱值 
超限數 
基數 
P進數 
規矩數 
整數序列 
數學常數 
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圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 *e* = 2.718281828…
虛數單位 *i* = {\displaystyle +{\sqrt {-1}}}
無窮大量 ∞ |

**質數**（粵拼：zat1 sou3），又叫**素數**（sou3 sou3），係個大過 1 嘅自然數，除咗自己同 1 之外，無其他數可以將佢整除。英文入面叫質數做**prime number**或者**prime**。

大過1又唔係質數嘅自然數就叫合成數，合成數都係由大過1嘅自然數相乘而來。例如 5 就係質數，因為要將 5 寫做乘積嘅話，就一定係{\displaystyle 1\times 5} 或者係 {\displaystyle 5\times 1}，點都要用返 5 自己。4 就係一個合成數，因為可以將 4 寫做{\displaystyle 4=2\times 2}，用兩個細啲嘅數相乘而得到 4。

喺數論入面，質數好重要，因為算術基本定理指出，大過 1 嘅自然數，一係佢已經係質數，一係佢可以寫做一柞質數乘埋，而且呢個寫法唔計次序嘅話係唯一嘅。

質數有無限個，公元前300年左右，歐幾理德（Euclid）證明過呢點。頭三十個質數係2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109同埋113。（OEIS數列A000040）

定義
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假設 {\displaystyle p>1} 係一個整數。如果 {\displaystyle p} 只有 {\displaystyle 1} 同埋 {\displaystyle p} 係佢嘅因數（factor），咁 {\displaystyle p} 就係一個質數。唔係嘅話，{\displaystyle p} 就係一個合成數（composite number）。{\displaystyle 0} 同埋 {\displaystyle 1} 就質數、合成數兩者都唔係。

搵法
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愛氏篩搵120以內質數嘅演算法
搵質數最簡單係用愛氏篩（Sieve of Eratosthenes），即係先將第一個質數（即係2）嘅倍數篩走，跟住將下一個質數（即係3）嘅倍數篩走，如此類推。

歐幾理得推論
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歐幾理得推論（質數版）
如果{\displaystyle p}係一個質數同埋{\displaystyle p|ab}，咁就一係{\displaystyle p|a}或者{\displaystyle p|b}。

**證明：**

假設{\displaystyle p}唔可以被{\displaystyle b}整除，即係{\displaystyle p\not |b}。

因為{\displaystyle gcd(b,p)=1}，利用相對質數性質，得出{\displaystyle p|a}。

**由上可得推理：**

如果{\displaystyle p}係一個質數同埋{\displaystyle p|a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}，咁樣{\displaystyle p|a\_{k}}，{\displaystyle k}係一個自然數符合{\displaystyle 1\leq k\leq n}。

呢個推理指嘅係，如果質數{\displaystyle p}除得盡一個合成數，呢個合成數由{\displaystyle n}個數字乘出嚟，佢嘅因數就叫做{\displaystyle a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}，咁樣{\displaystyle p}一定除得盡其中一個因數。

**證明：**

利用歐幾理得推論，{\displaystyle p|a\_{1}}或者{\displaystyle p|a\_{2}\cdots a\_{n}}。

再利用多一次，得出{\displaystyle p|a\_{2}}或者{\displaystyle p|a\_{3}a\_{4}\cdots a\_{n}}。

如此類推，{\displaystyle p|a\_{1}}或者{\displaystyle p|a\_{2}}或者{\displaystyle \cdots }或者{\displaystyle p|a\_{n}}，結果就係一定除得盡其中一個。

歐幾理得證明
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存在無限質數。

**證明：** 假設得{\displaystyle n}咁多個質數，叫{\displaystyle p\_{1},p\_{2},\cdots ,p\_{n}}，而家考慮一個整數{\displaystyle N=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}+1}。

假設{\displaystyle N}係一個質數。

因為佢係上面講嘅樣，所以唔止得{\displaystyle n}咁多個質數，令到同第一句有矛盾，所以{\displaystyle N}唔可以係質數。

根據質數分解，{\displaystyle N}一定可以被一啲（即係上面n咁多個其中）質數除得盡，但係根據餘數定理，{\displaystyle N}係唔可能俾上面n個質素除得盡，

即係 {\displaystyle {p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}+1 \over p\_{k}}\ ,\ (k=1,2,3,...n)} 一定有 {\displaystyle {1 \over p\_{k}}<1} 唔可以被整除，
所以{\displaystyle N}係一個質數。因為咁令到同第一句有矛盾。

以上兩個情況都出現咗矛盾，即係話假設出錯，質數一定係有無限咁多個。

睇埋
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