用蘋果嚟表示{\displaystyle 3+2=5}。
**加**（Addition）係數學運算一種，一般習慣會用「{\displaystyle +}」呢個符號嚟表達，呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個（其餘係減、乘同除）。

加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有{\displaystyle 3}個蘋果，右面有{\displaystyle 2}個蘋果，將呢兩個量合併一齊，就總共有{\displaystyle 5}個蘋果。利用數學式嚟表達，就係{\displaystyle 3+2=5}。（講法係，三加二等於五。）而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」（Sum）。

加法除咗係日常生活數下物件之外，喺數學上，可以處理整數、有理數、實數、虛數、向量、矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法，係可以應到任何算術，例如分數加法、有向數等，但係去高等數學加法未必係日常加法。

如果利用高等數學嘅角度嚟睇，加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質，例如係可溝通性（Commutative），即係話處理加法嘅次序唔影響結果；結合性（Associative），即係話處理多幾個數字，個次序都唔影響結果。又例如話，當你係到數緊物品嘅時候，其實你係進行緊加法，不停咁喺度加{\displaystyle 1}。加法嘅相反係減法。如果不停咁加{\displaystyle n}咁多次，咁就係一個乘法。

加法係最簡單嘅數字運算，基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理，例如世界上最簡單嘅加法{\displaystyle 1+1}，係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段，基本上人人都會由十進制嘅加法學起，再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。

基本加法
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加號（Plus Sign）
基本加法，又叫做**日常加法**（Usual Addition），係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「{\displaystyle +}」，即係「加號（Plus Sign）」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間，用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思，呢個表達方法叫做中綴表示法。例如：{\displaystyle 1+1=2}。例外有前綴表示法同後綴表示法。而「{\displaystyle +}」，等於（Equal Sign）就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

### 例子

* {\displaystyle 1+1=2}（一加一等於二）
* {\displaystyle 2+2=4}（二加二等於四）
* {\displaystyle 3+3=6}（三加三等於六）
* {\displaystyle 1+2+3+4=10}（結合性）
* {\displaystyle 2+2+2+2+2=10}（乘法）

好多時，熟習咗加法同乘法之後，有好多人會將{\displaystyle 3+3=6}寫成{\displaystyle 3+3=9}，咁樣就計錯數。

### 偷懶情況

有好多人慣咗加法之後，就唔會寫加號嚟表示加法。

直式加法：{\displaystyle 5+12=17}
例如做直式加法嘅時候，好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁，將{\displaystyle 5}同{\displaystyle 12}並排好加好之後得出{\displaystyle 17}。明顯，係做加法，但係都無見過加號嘅出現。

喺分數入面，帶分數就係一個偷懶嘅例子，例如：{\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}，就係指{\displaystyle 1}加{\displaystyle {\frac {2}{3}}}。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆。

  

喺高等數學入面，連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩，所以就有咗級數呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如：



∑

i
=
1

n

i
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=

n
(
n
+
1
)

2

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}(呢個又叫三角形數)。日常生活都有好多偷懶嘅例子，例如帳單、月結單。上面都係無加號，但係大家都知道係做緊加法。

### 項

將要處理加法嘅嘢就叫做項（Term），例如{\displaystyle 1+1=2}，{\displaystyle 1}就係項。喺級數入面{\displaystyle i}就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期，好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日，都無咩人去分第一個項定係第二個項，總知大家都係項，冇再分得咁細。

### 加嘅由來

「加」，根據粵語審音配詞字庫，讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋，「加：語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假，加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間，周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」，呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」，係一個名詞指嘅係「最高，最勁」，因為兩個數相加，係一定大過之前嗰兩個數，但係呢個概念引用到古希臘同古羅馬人，但係到咗現代加法係可以加返轉頭，個數愈加愈細。

加號「{\displaystyle +}」係拉丁文「et」嘅簡寫，意思係「add」。佢早喺1489年，已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

加法性質
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### 可溝通性(又叫交換律)

利用圖案表示{\displaystyle 4+2=2+4}
加法係可溝通嘅，即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係：


a
+
b
=
b
+
a

{\displaystyle a+b=b+a}

{\displaystyle a+b=b+a}咁{\displaystyle a}同{\displaystyle b}都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時，有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅，例如：減法，除法，矩陣乘法。

### 結合性

用圖片表示{\displaystyle 2+(1+3)=(2+1)+3}
加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個，或者有限咁多個，{\displaystyle n}咁多個數字嘅時候，做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字{\displaystyle a}，{\displaystyle b}同{\displaystyle c}要加嘅時候，用數學式嘅表達係{\displaystyle (a+b)+c}，先做{\displaystyle a+b}，得出結果後再做{\displaystyle +c}。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做{\displaystyle b+c}，再做{\displaystyle a+}係一樣。得出結論係：


(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)

{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}

{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}舉個實例，{\displaystyle 2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3}。

但係當你做四則運算嘅時候，加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

### 恆等元(又叫單位元素)

利用圖案表達{\displaystyle 5+0=5}。
所謂嘅恆等元，就係一粒嘢，你令佢嚟同另一粒嘢做加法，出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法，好明顯{\displaystyle 0}就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零，個數值都係唔變。利用數學式表示就係：


a
+
0
=
0
+
a
=
a

{\displaystyle a+0=0+a=a}

{\displaystyle a+0=0+a=a}而{\displaystyle a}就係任何數字。例子：{\displaystyle 5+0=5}，就好似右手面張圖咁，一個袋入面有{\displaystyle 5}粒嘢，另一個袋入面無嘢，將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊，都係得{\displaystyle 5}粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年，由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作*Brahmasphutasiddhanta*呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次，而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右，另一個印度數學家馬哈費亞（Mahavira）將個概念再寫多一次，佢話：「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係{\displaystyle 0+a=a}。到咗12世紀，印度數學家婆什迦羅二世又話：「如果用加法嚟睇，加零，減零，無論係正數加，負數加，都係一樣。」換句話講即係{\displaystyle a+0=a}。

### 單位

如果做日常加法，單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子，{\displaystyle 3}蚊同{\displaystyle 3}毫大家都係錢，但係就唔可以將佢加埋做{\displaystyle 6}蚊，{\displaystyle 6}毫或者係{\displaystyle 6}蚊毫。但係就可以加埋之後寫成{\displaystyle 3.3}（單位：元，讀三個三）。換一個例子：{\displaystyle 6}個橙加{\displaystyle 8}個橙就會得出{\displaystyle 14}個橙；但係{\displaystyle 8}個橙加{\displaystyle 9}個蘋果就一定要寫成{\displaystyle 17}個生果。

同樣，進行實質物品或者距離上嘅加法，物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如：{\displaystyle 1}厘米同{\displaystyle 1}厘米可以相加，但係同{\displaystyle 1}毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加，就必須要將兩個數嘅單位換成一樣，例如將{\displaystyle 1}厘米換成{\displaystyle 10}毫米，或者將{\displaystyle 1}毫米換成{\displaystyle 0.1}厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析（Dimensional Analysis）。

學習加法
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### 天生就識

喺1992年，美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗，佢將一班BB仔帶到去螢幕前面，而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗，而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住{\displaystyle 1+1}係會等於{\displaystyle 2}。最令人覺得出奇嘅係，喺呢個實驗入面，科學家係將個情況整到好似{\displaystyle 1+1}係會等於{\displaystyle 1}或者{\displaystyle 3}。

另一個實驗，就用咗一班大啲嘅BB仔，約莫18到35個月大，佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現，呢班BB仔入面最細嗰個，可以做到簡單數字上嘅加法，而最大嗰班就可以做到{\displaystyle 5}以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法，最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗，佢哋用茄子代替公仔，有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅{\displaystyle 0}到{\displaystyle 4}，之後呢隻黑猩猩唔使人教，就自己識做兩個數字嘅加法。最近，有發現亞洲象都識做簡單加法。

### 幼兒學習

基本上，BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講，佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時，班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題，例如係話數手指，畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時，佢哋會直接由嗰一個數開始，再用手指數，例如：直接就三數起：「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧，因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後，佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟，再運用個結果做加法。例如：佢地熟悉左{\displaystyle 6+6=12}，之後當佢哋要做{\displaystyle 6+7}嗰時，佢哋會知到用{\displaystyle 6+6=12}再加{\displaystyle 1}上去就得出個答案{\displaystyle 13}。呢類型嘅技巧運用，好多小學生都已經係根深柢固，好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法，但係教加法嘅年紀都唔同，有啲國家幼稚園就已經教加法，有啲就係小學教。但係基本上，全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

#### 加法表

BB仔一般都要用到加法表嚟學加法，利用加法表可以令佢哋容易啲記到{\displaystyle 1}到{\displaystyle 10}嘅加法。

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle 1}嘅加法
{\displaystyle 1+0=1}
{\displaystyle 1+1=2}
{\displaystyle 1+2=3}
{\displaystyle 1+3=4}
{\displaystyle 1+4=5}
{\displaystyle 1+5=6}
{\displaystyle 1+6=7}
{\displaystyle 1+7=8}
{\displaystyle 1+8=9}
{\displaystyle 1+9=10}
{\displaystyle 1+10=11} | {\displaystyle 2}嘅加法
{\displaystyle 2+0=2}
{\displaystyle 2+1=3}
{\displaystyle 2+2=4}
{\displaystyle 2+3=5}
{\displaystyle 2+4=6}
{\displaystyle 2+5=7}
{\displaystyle 2+6=8}
{\displaystyle 2+7=9}
{\displaystyle 2+8=10}
{\displaystyle 2+9=11}
{\displaystyle 2+10=12} | {\displaystyle 3}嘅加法
{\displaystyle 3+0=3}
{\displaystyle 3+1=4}
{\displaystyle 3+2=5}
{\displaystyle 3+3=6}
{\displaystyle 3+4=7}
{\displaystyle 3+5=8}
{\displaystyle 3+6=9}
{\displaystyle 3+7=10}
{\displaystyle 3+8=11}
{\displaystyle 3+9=12}
{\displaystyle 3+10=13} | {\displaystyle 4}嘅加法
{\displaystyle 4+0=4}
{\displaystyle 4+1=5}
{\displaystyle 4+2=6}
{\displaystyle 4+3=7}
{\displaystyle 4+4=8}
{\displaystyle 4+5=9}
{\displaystyle 4+6=10}
{\displaystyle 4+7=11}
{\displaystyle 4+8=12}
{\displaystyle 4+9=13}
{\displaystyle 4+10=14} | {\displaystyle 5}嘅加法
{\displaystyle 5+0=5}
{\displaystyle 5+1=6}
{\displaystyle 5+2=7}
{\displaystyle 5+3=8}
{\displaystyle 5+4=9}
{\displaystyle 5+5=10}
{\displaystyle 5+6=11}
{\displaystyle 5+7=12}
{\displaystyle 5+8=13}
{\displaystyle 5+9=14}
{\displaystyle 5+10=15} |
| {\displaystyle 6}嘅加法

{\displaystyle 6+0=6}
{\displaystyle 6+1=7}
{\displaystyle 6+2=8}
{\displaystyle 6+3=9}
{\displaystyle 6+4=10}
{\displaystyle 6+5=11}
{\displaystyle 6+6=12}
{\displaystyle 6+7=13}
{\displaystyle 6+8=14}
{\displaystyle 6+9=15}
{\displaystyle 6+10=16} | {\displaystyle 7}嘅加法
{\displaystyle 7+0=7}
{\displaystyle 7+1=8}
{\displaystyle 7+2=9}
{\displaystyle 7+3=10}
{\displaystyle 7+4=11}
{\displaystyle 7+5=12}
{\displaystyle 7+6=13}
{\displaystyle 7+7=14}
{\displaystyle 7+8=15}
{\displaystyle 7+9=16}
{\displaystyle 7+10=17} | {\displaystyle 8}嘅加法

{\displaystyle 8+0=8}
{\displaystyle 8+1=9}
{\displaystyle 8+2=10}
{\displaystyle 8+3=11}
{\displaystyle 8+4=12}
{\displaystyle 8+5=13}
{\displaystyle 8+6=14}
{\displaystyle 8+7=15}
{\displaystyle 8+8=16}
{\displaystyle 8+9=17}
{\displaystyle 8+10=18} | {\displaystyle 9}嘅加法
{\displaystyle 9+0=9}
{\displaystyle 9+1=10}
{\displaystyle 9+2=11}
{\displaystyle 9+3=12}
{\displaystyle 9+4=13}
{\displaystyle 9+5=14}
{\displaystyle 9+6=15}
{\displaystyle 9+7=16}
{\displaystyle 9+8=17}
{\displaystyle 9+9=18}
{\displaystyle 9+10=19} | {\displaystyle 10}嘅加法
{\displaystyle 10+0=10}
{\displaystyle 10+1=11}
{\displaystyle 10+2=12}
{\displaystyle 10+3=13}
{\displaystyle 10+4=14}
{\displaystyle 10+5=15}
{\displaystyle 10+6=16}
{\displaystyle 10+7=17}
{\displaystyle 10+8=18}
{\displaystyle 10+9=19}
{\displaystyle 10+10=20} |

### 十進制加法

第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法，再到百位數（三位數）。當人習慣呢套加法嗰時，佢哋就會悟出下面呢套加法規則，令到自己更快做到加法：

* 可溝通性：{\displaystyle a+b=b+a}，咁如果利用加法表學加法，原本要背{\displaystyle 100}條加法式，而家就只需要背{\displaystyle 55}條。
* 淨係加{\displaystyle 1}同{\displaystyle 2}：淨係加{\displaystyle 1}或者{\displaystyle 2}對人嚟講係好自然，基本上唔使背都會識得做。
* 零：因為{\displaystyle 10}係恆等元，加咗佢即係無加過嘢，對好多人嚟講都係廢。
* 乘二：一個數自己相加，變相係乘二，如果學習埋乘法，多數人會直接跳用乘法，而唔用加法。
* 好似乘二：如果兩個數係好近，例如：{\displaystyle 6+7}同{\displaystyle 6+5}，一般會將個數乘二再減返個差，睇返個例子，就會將{\displaystyle 6\times 2+1=12+1=13}，{\displaystyle 6\times 2-1=12-1=11}。
* 利用{\displaystyle 10}：例如：{\displaystyle 6+7}，就可以將佢寫成{\displaystyle 10+3}，咁就會計快啲。

當人愈大，處理加法嘅速度會係相應加快。

#### 進位

基本多位數嘅加法，會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數，根據佢哋個位排好，由右到左，最右面係個位數，之後到十位數，再到百位數，如似類推。之後，逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例， {\displaystyle 27+59}就可以表達出進位呢個概念。

```
  ¹
  27
+ 59
————
  86
```

如果睇{\displaystyle 7+9=16}呢個例子，個{\displaystyle 1}就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外，重有好多其他方法去做加法。例如：直接由左面加起，再估計出兩個數字相加大約係幾多。

#### 小數點加法

小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式，將兩個數字打直並排，但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以「補零」去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例，將{\displaystyle 45.1+4.34}：

```
   4 5. 1 0
+  0 4. 3 4
————————————
   4 9. 4 4
```

喺呢個例子入面，補咗一個零喺45.1後面，變成45.10，之後先至開始計加數。

#### 指數記數法

內文：指數記數法
利用指數記數法，又叫科學記數法，數字會寫到為最簡約嘅方式，將數字分開一半，一半係有效數字，另一半係以{\displaystyle 10}為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子：{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}同{\displaystyle 6.89\times 10^{5}}就可以直接相加，變成{\displaystyle 9.29\times 10^{5}}。

但係{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}同{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}就唔可以直接相加，要將{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}寫成{\displaystyle 6.89\times 10^{5}}，先可以相加。

### 其他進制加法

除咗十進制之外，重有二進制，八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制，都可以進行到加法，而且步驟同上面嘅差唔多，只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學嘅話，轉換二進制係一定要識，以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制：

| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 10000000 | 1000000 | 100000 | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0 |

以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。

二進制就逢二進一。

舉個例：

{\displaystyle 1\_{2}+1\_{2}=10\_{2}}

{\displaystyle 101010\_{2}+110101\_{2}=1011111\_{2}}

數字加法
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用加法之前，一定要證明呢個加法係完美定義（Well-define）好。因為喺數學嘅世界，加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數（{\displaystyle \mathbb {N} }）。喺集合論入面，加法係將個集整大嘅一個處理，例如用自然數整整數（{\displaystyle \mathbb {Z} }）、有理數（{\displaystyle \mathbb {Q} }）同實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）。喺數學教育同埋數學史入面，正分數係早出現過負數。

### 自然數

內文：自然數
加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數（基數即係個集入面有幾多嚿嘢）嚟做定義。另一個，比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數，即係話集{\displaystyle A}嘅基數係{\displaystyle 1}，{\displaystyle B}嘅基數係{\displaystyle 2}。佢哋兩個嘅加法可以咁定義：

「設{\displaystyle N(S)}做集{\displaystyle S}嘅基數。咁兩個唔相交集{\displaystyle A,B}，{\displaystyle N(A)=a,N(B)=b}，嘅聯合{\displaystyle a+b}，就係{\displaystyle N(A\cup B)}。」

{\displaystyle A\cup B}就係兩個集{\displaystyle A}同{\displaystyle B}嘅聯合。另一個版本嘅定義，可以接受呢兩個集係有相交，咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先，再將兩個集聯合，咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

### 整數

Grothendieck嘅整數加法表示。
內文：整數
最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數，再加多一個正負號（正號或者負號）。整數零係一個特別嘅存在，佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義：

「對應任何整數{\displaystyle n}，{\displaystyle |n|}係佢嘅絕對值。同時，{\displaystyle a}同{\displaystyle b}係整數。如果{\displaystyle a}或者{\displaystyle b}係零，咁就當佢係恆等元（Identity）。如果{\displaystyle a}同{\displaystyle b}都係正數，咁定義{\displaystyle a+b=|a|+|b|}。如果{\displaystyle a}同{\displaystyle b}都係負數，咁{\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}。如果{\displaystyle a}同{\displaystyle b}係唔同正負，咁就要定義{\displaystyle a+b}做{\displaystyle |a|}同{\displaystyle |b|}之差，之後邊一個絕對值大啲，咁佢嗰個正負號，就係答案嘅正負號。」

舉個例子，如果有{\displaystyle -2}同{\displaystyle 5}，咁{\displaystyle -2+5}就係{\displaystyle |5|-|-2|=|5|-|2|=3}，因為{\displaystyle |5|>|-2|}，所以個答案係{\displaystyle 3}。如果有{\displaystyle -10}同{\displaystyle 5}，咁{\displaystyle -10+5}就係{\displaystyle |-10|-|5|=10-5=5}，因為{\displaystyle |-10|>|5|}，所以個答案係{\displaystyle -5}。

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以，但一去到複雜少少嘅問題，呢個定義有多可能性要考慮，就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法，就係利用高分迪群（Grothendieck Group）呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義，係用一個好基本法則，就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差，呢個寫法唔係獨有，即係{\displaystyle -1=2-3}同時{\displaystyle -1=1-2}。因此，整數可以定義為兩個自然數之差，加法又可以兼容埋減法：

「有兩個整數{\displaystyle a-b}同{\displaystyle c-d}，{\displaystyle a,b,c,d}都係自然數。定義{\displaystyle (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)}」

### 有理數（分數）

內文：有理數
有理數，即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加，如果分母唔相同，咁就唔可以直接相加。

例子：{\displaystyle {\frac {1}{2}}}同{\displaystyle {\frac {1}{3}}}分母唔一樣，所以唔可以直接相加。

例子：{\displaystyle {\frac {5}{6}}}同{\displaystyle {\frac {1}{6}}}分母一樣，可以直接相加，得出{\displaystyle {\frac {6}{6}}=1}。

如果兩個分數分母唔相同，咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字，佢嘅數值係冇變，一般通分母會利用最小公倍數去處理。以{\displaystyle {\frac {7}{9}}}同{\displaystyle {\frac {1}{2}}}做例，{\displaystyle 9}同{\displaystyle 2}嘅最小公倍數係{\displaystyle 18}，所以；

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{2}}&={\frac {7\times 2}{9\times 2}}+{\frac {1\times 9}{2\times 9}}\\&={\frac {14}{18}}+{\frac {9}{18}}\\&={\frac {14+9}{18}}\\&={\frac {23}{18}}\end{aligned}}}

將以下情況用代數表示，可以得出有理數加法嘅定義：

「{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}」

舉個例子：{\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3\times 3+5\times 2}{3\times 5}}={\frac {9+10}{15}}={\frac {19}{15}}}

### 虛數

將虛數當做向量咁整。
內文：虛數
虛數嘅加法係將實嘅部分相加，虛嘅部分相加，所以可以咁樣定義：

「{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}」

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸（x-axis），虛部分當做縱軸（y-axis），就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面，右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做{\displaystyle A,B,C}，個尾叫做{\displaystyle O}，咁{\displaystyle \bigtriangleup OAB}係全等於{\displaystyle \bigtriangleup CBA}。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

高等數學應用
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有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展，或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面，代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展，同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

### 抽象代數入面嘅加法

#### 向量加法

內文：向量
喺線性代數入面，一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面，兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法，一個坐禁{\displaystyle (x,y)}就係一支喺{\displaystyle (x,y)}平面上面嘅向量，同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義：

「{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}」

#### 矩陣加法

內文：矩陣
兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個「形狀」（Dimension），即係話，行同列嘅數量都要一樣。兩個{\displaystyle m\times n}嘅矩陣{\displaystyle A}同{\displaystyle B}相加之後，會用{\displaystyle A+B}表示，都係一個{\displaystyle m\times n}矩陣，做法係將對應位置嘅數字相加：

「{\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b\_{11}&b\_{12}&\cdots &b\_{1n}\\b\_{21}&b\_{22}&\cdots &b\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b\_{m1}&b\_{m2}&\cdots &b\_{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{11}+b\_{11}&a\_{12}+b\_{12}&\cdots &a\_{1n}+b\_{1n}\\a\_{21}+b\_{21}&a\_{22}+b\_{22}&\cdots &a\_{2n}+b\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}+b\_{m2}&a\_{m2}+b\_{m2}&\cdots &a\_{mn}+b\_{mn}\\\end{bmatrix}}}」

舉個例：

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\7&9\end{bmatrix}}}

#### 同餘加法

內文：同餘
喺商數學入面，將整數{\displaystyle {\text{mod }}12}之後嗰個集就最多只有{\displaystyle 12}嚿嘢，咁佢入面就會有一個加法，而對應喺音樂入面，五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數{\displaystyle {\text{mod }}2}，得出一個得兩嚿嘢嘅集，{\displaystyle \{0,1\}}，咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面，兩個角度相加，就係一定係實數入面{\displaystyle {\text{mod }}2\pi }入面嘅嘢。

#### 日常加法

喺基本嘅抽象代數入面，一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有：阿標群。

### 將集合併

將兩個集合埋。
加法可以將集合併，呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個，得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示，就好似右手面張圖咁。兩個集，各自有{\displaystyle 3}同{\displaystyle 2}咁多嚿嘢，合併完之後個集就有{\displaystyle 5}嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯，所以去到高等數學，一個嚴謹定義加法嘅方法，可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟，就好似上面嘅自然數定義。同時，有咗呢個定義，去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

原來係{\displaystyle 2}咁長，而家伸展多{\displaystyle 4}咁多，咁總共就有{\displaystyle 6}咁長。
### 伸展距離

另一個加法嘅功能就係伸長個距離：

「當一條嘢俾人加長，咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇，{\displaystyle a+b}嘅和，喺二元運算入面就係將{\displaystyle a}同{\displaystyle b}合併埋一齊。用另一個角度睇，{\displaystyle a+b}可以理解做加{\displaystyle a}咁多嘢落{\displaystyle b}嗰到。

睇埋
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* 減
* 乘
* 除
* 四則運算
* 分數

參考
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1. ↑  From Enderton (p. 138): "...select two sets *K* and *L* with card *K* = 2 and card *L* = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
2. ↑  "Addition". *www.mathsisfun.com*. 喺2020-08-25搵到.
3. ↑  Devine et al. p. 263
4. ↑  Mazur, Joseph. *Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers*. Princeton University Press, 2014. p. 161

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數學基礎課題 |
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