**同餘**（Congruence Modulo）係指兩個整數除另一個整數，呢兩個數嘅餘數都係一樣。喺現代嘅數學基礎中，同餘係一個等價關係。數學上，同餘會以「{\displaystyle \equiv }」表達。

考慮澌所有整數，除數（即模數）相同下、餘數亦相同嘅一羣整數就叫做「同餘類」。一個簡單例子係，{\displaystyle {\text{ mod }}10}嘅同餘類就同啲整數嘅個位數對應（0: 10, 20... 1: 11, 21...）。

定義
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如果兩個整數a、b係m嘅同餘既話，即係話a除m同b除m所得出嘅餘數係一樣。以數學表達嘅話即係：



a
≡
b

 mod 

m

⟺

m

|

(
a
−
b
)

⟺

m
z
=
a
−
b

 for some 

z
∈

Z

{\displaystyle a\equiv b{\text{ mod }}m\iff m|(a-b)\iff mz=a-b{\text{ for some }}z\in \mathbb {Z} }

{\displaystyle a\equiv b{\text{ mod }}m\iff m|(a-b)\iff mz=a-b{\text{ for some }}z\in \mathbb {Z} }
同餘有一個等價嘅定義，就係m係可以整餘到**{\displaystyle a-b}**。

### 例一

因為12同14除2都係餘0，所以可以寫成{\displaystyle 12\equiv 14{\text{ mod }}2}。

證明
--

證明同餘係等價關係。根據「{\displaystyle \equiv }」嘅要求，就需要證明，自反性、對稱性、傳遞性。

* **自反性：({\displaystyle a\equiv a{\text{ mod }}m})** 一個整數除另一個整數嘅餘數係不變，所以**{\displaystyle a\equiv a{\text{ mod }}m}**。
* **對稱性：({\displaystyle a\equiv b{\text{ mod }}m\implies b\equiv a{\text{ mod }}m})** 如果a同b係m嘅同餘，{\displaystyle m|(a-b)}。

相對嘅定義係：{\displaystyle mz=a-b{\text{ for some }}z\in \mathbb {Z} }。

抽因式，抽個負出嚟，{\displaystyle m(-z)=b-a{\text{ for some }}z\in \mathbb {Z} }。

最後得出，{\displaystyle m|(b-a)\implies b\equiv a{\bmod {m}}}。

* **傳遞性：({\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}{\text{ and }}b\equiv c{\bmod {m}}\implies a\equiv c{\bmod {m}}})** 如果a同b係m嘅同餘，同時b同c又係m嘅同餘，即係{\displaystyle m|(a-b){\text{ and }}m|(b-c)}。

相對嘅定義係，{\displaystyle mx=a-b{\text{ for some }}x\in \mathbb {Z} }同埋{\displaystyle my=b-c{\text{ for some }}y\in \mathbb {Z} }。

將兩條式互相加埋得出，{\displaystyle m(x+y)=a-c{\text{ for some }}x,y\in \mathbb {Z} }。

最後得出，{\displaystyle m|(a-c)\implies a\equiv c{\bmod {m}}}。

因此，呢個係一個等價關係。

商餘計算
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其實商餘同同餘嘅關係係密不可分。

### 計算規則

1. 如果{\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}，有一個整數{\displaystyle k}，會令到{\displaystyle k+a\equiv k+b{\bmod {m}}}。
2. 如果{\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}，有一個整數{\displaystyle k}，會令到{\displaystyle ka\equiv kb{\bmod {m}}}。

其實以上嘅規則係需要證明。呢兩條規則嘅意思係，同餘嘅方程係同普通嘅無分別，都係可以乘同埋除。不過有一點要注意嘅係{\displaystyle k}係整數，所以除法係唔存在。換句話嚟講，(2)係唔可以好似普通方程咁約簡。

### 同餘約簡

如果{\displaystyle na\equiv b{\bmod {m}}}，而{\displaystyle gcd(m,n)=1}嘅話，就會有一個整數{\displaystyle k}，會令到{\displaystyle a\equiv kb{\bmod {m}}}。變相將個n約走咗啦。

**證明：**利用比舒公式同埋輾轉相除法，知到會有整數{\displaystyle x,k\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle mx+ky=1}。

利用上面嘅公式，得知{\displaystyle mx=1-nk\implies 1\equiv nk{\bmod {m}}}。

如果將上面嘅n乘入去{\displaystyle na\equiv b{\bmod {m}}}，得到{\displaystyle kna\equiv kb{\bmod {m}}}。

因為同餘嘅傳遞性，{\displaystyle a\equiv kb{\bmod {m}}}。

同餘約簡可以係一個解線性商餘方程嘅工具。有關計算例子可以睇線性商餘方程。

應用
--

同餘可以證明一啲結果。例如：一個整數{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }係可以被{\displaystyle 3}整除，咁佢每個數字都可以被{\displaystyle 3}整除。「{\displaystyle \iff }」

**證明：**

可以將{\displaystyle n}寫成


n
=

a

0

+
10

a

1

+
100

a

2

+
⋯

{\displaystyle n=a\_{0}+10a\_{1}+100a\_{2}+\cdots }

{\displaystyle n=a_{0}+10a_{1}+100a_{2}+\cdots }{\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2},\cdots }就係{\displaystyle n}嘅數字。

因為{\displaystyle 10\equiv 1\mod 3}，所以



n

≡

a

0

+
10

a

1

+
100

a

2

+
⋯

mod

3

n

≡

a

0

+

a

1

+

a

2

+
⋯

mod

3



{\displaystyle {\begin{aligned}n&\equiv a\_{0}+10a\_{1}+100a\_{2}+\cdots \mod 3\\n&\equiv a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+\cdots \mod 3\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}n&\equiv a_{0}+10a_{1}+100a_{2}+\cdots \mod 3\\n&\equiv a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \mod 3\end{aligned}}}。

睇埋
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* 商餘
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* 商餘計算

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