**質數定理**描述質數嘅大致分佈情況。

質數嘅出現規律一直困惑住數學家。一個個咁睇，質數喺正整數之中嘅出現冇咩規律。但係從總體嚟睇，質數嘅數量竟然有規可循。對正實數*x*，定義π(*x*)為唔大過*x*嘅質數數量。數學家揾到咗一啲函數嚟估計π(*x*)嘅增長。以下係第一個咁樣嘅估計。

{\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}}
其中ln *x*係*x*嘅自然對數。上式嘅意思係當*x*趨近∞，π(*x*)同*x*/ln *x*嘅比值趨近1。但係咁樣唔表示佢哋嘅數值隨住*x*增大而接近。

π(x)、x/ln x、li(x)嘅值
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對數積分
下面係對π(*x*)更好嘅估計：

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)}，當*x* 趨近∞。
其中{\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int \_{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}}（對數積分），而關係式右邊第二項係誤差估計，睇大O符號。

下面呢個表比較咗π(*x*)，*x*/ln *x*同Li(*x*)嘅大細：

| *x* | {\displaystyle \pi (x)} | {\displaystyle \pi (x)-{\frac {x}{\ln x}}} | {\displaystyle \pi (x){\Big /}{\frac {x}{\ln x}}} | {\displaystyle \operatorname {Li} (x)-\pi (x)} | {\displaystyle {\frac {x}{\pi (x)}}} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 10 | 4 | −0.3 | 0.921 | 2.2 | 2.500 |
| 102 | 25 | 3.3 | 1.151 | 5.1 | 4.000 |
| 103 | 168 | 23 | 1.161 | 10 | 5.952 |
| 104 | 1,229 | 143 | 1.132 | 17 | 8.137 |
| 105 | 9,592 | 906 | 1.104 | 38 | 10.425 |
| 106 | 78,498 | 6,116 | 1.084 | 130 | 12.740 |
| 107 | 664,579 | 44,158 | 1.071 | 339 | 15.047 |
| 108 | 5,761,455 | 332,774 | 1.061 | 754 | 17.357 |
| 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1.054 | 1,701 | 19.667 |
| 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 1.048 | 3,104 | 21.975 |
| 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 1.043 | 11,588 | 24.283 |
| 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 1.039 | 38,263 | 26.590 |
| 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 1.034 | 108,971 | 28.896 |
| 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 1.033 | 314,890 | 31.202 |
| 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1.031 | 1,052,619 | 33.507 |
| 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 1.029 | 3,214,632 | 35.812 |
| 1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,281 | 1.027 | 7,956,589 | 38.116 |
| 1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 1.025 | 21,949,555 | 40.420 |
| 1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,960 | 1.024 | 99,877,775 | 42.725 |
| 1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,701 | 1.023 | 222,744,644 | 45.028 |
| 1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 1.022 | 597,394,254 | 47.332 |
| 1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1.021 | 1,932,355,208 | 49.636 |
| 1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 1.020 | 7,250,186,216 | 51.939 |
| 1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 1.019 | 17,146,907,278 | 54.243 |
| 1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 1.018 | 55,160,980,939 | 56.546 |
| OEIS | A006880 | A057835 |  | A057752 |  |

質數定理可以畀出第*n*個質數*p*（*n*）嘅漸近估計：

{\displaystyle p(n)\sim n\ln \,n.}
佢亦都畀出咗從整數中抽到質數嘅概率。從不大於*n*嘅自然數入面隨機揀一個，佢係質數嘅概率大約係1/ln *n*。

呢個定理嘅式子喺1798年由法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬同比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立畀出證明。證明用到咗複分析，尤其係黎曼ζ函數。

因為黎曼ζ函數同π(*x*)關係密切，所以關於黎曼ζ函數嘅黎曼猜想對數論好重要。一旦猜想獲證，就可以大大咁改進素數定理誤差嘅估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項嘅估計可以改進為

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)}
至於大O項嘅常數就重未揾到。

初等證明
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質數定理有啲初等證明只需用數論嘅方法。第一個初等證明喺1949年由匈牙利數學家保羅·愛多士同挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

呢個證明發表之前，有啲數學家唔相信可以揾出唔需要借助艱深數學嘅初等證明。譬如英國數學家哈代就話過：質數定理必須用複分析嚟證明，顯出定理結果嘅「深度」。佢認為淨用實數唔足以解決某啲問題，必須引入複數嚟解決。呢句話係憑感覺講出嚟嘅，覺得有啲方法比起第啲更加高等、犀利，而質數定理嘅初等證明動搖咗呢種論調。Selberg－艾狄胥嘅證明啱好表示，睇似初等嘅組合數學，威力都可以好大。

但係，雖然呢個初等證明淨用到初等嘅辦法，但係佢嘅難度甚至大過用到複分析嘅證明好多。

註
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1. ↑  OEIS: A006880
2. ↑  OEIS: A057835
3. ↑  OEIS: A057752
4. ↑  Goldfeld, Dorian (2004). "The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective" (PDF). 出自 Chudnovsky, David; Chudnovsky, Gregory; Nathanson, Melvyn (編). *Number theory (New York, 2003)*. New York: Springer-Verlag. pp. 179–192. doi:10.1007/978-1-4419-9060-0\_10. ISBN 978-0-387-40655-8. MR 2044518.