**佩爾數**系一個自古以嚟就知嘅整數數列，由遞推關系定義，與斐波嗰契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比嘅冪成正比。佢出依家2嘅算術平方根嘅近似值以及三角平方數嘅定義中，也出依家一啲組合數學嘅問題中。

定義
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佩爾數由以下嘅遞推關系定義：

{\displaystyle P\_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P\_{n-1}+P\_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
也就系講，佩爾數嘅數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都系前面嘅數嘅兩倍加上再前面嘅數。原幾個佩爾數系：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。
佩爾數也可以用通項公式嚟定義：

{\displaystyle P\_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}
對於較大嘅*n*，{\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}嘅項起主要作用，而{\displaystyle \scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}嘅項則變得微乎其微。因此佩爾數約莫與白銀比{\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}嘅冪成正比。

第三種定義系以下嘅矩陣公式：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}P\_{n+1}&P\_{n}\\P\_{n}&P\_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}
從呢啲定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下嘅恆等式，與斐波嗰契數嘅卡西尼恆等式類似：

{\displaystyle P\_{n+1}P\_{n-1}-P\_{n}^{2}=(-1)^{n},}
呢個恆等式系以上矩陣公式嘅直接結果（考慮矩陣嘅行列式）。

2嘅算術平方根嘅近似值
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佩爾數出依家2嘅算術平方根嘅有理數近似值中。如果兩個大嘅整數*x*和*y* 系佩爾方程嘅解：

{\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}
咁佢哋嘅比{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}就系{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}嘅一個較精確嘅近似值。呢種形式嘅近似值嘅數列系：

{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }
其中每一個分數嘅分母系佩爾數，分子則系呢個數與前一個佩爾數嘅和。也就系講，佩爾方程嘅解具有{\displaystyle {\tfrac {P\_{n-1}+P\_{n}}{P\_{n}}}}嘅形式。{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}系呢啲近似值中嘅第八個，喺公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀嘅古希臘數學家也知呢個近似值嘅數列；佢哋把呢個數列嘅分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

呢啲近似值可以從{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}嘅連分數展開式推出：

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.}
攞呢個展開式嘅有限個項，便可以產生{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}嘅一個近似值，例如：

{\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}

素數和平方數
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**佩爾素數**系既系佩爾數又系素數嘅數。原幾個佩爾素數系：

2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。
與斐波嗰契素數相似，僅當*n*本身系素數時{\displaystyle P\_{n}}才有可能系素數。

唯一嘅既系佩爾數又系平方數、立方數或任意整數次方嘅數系0, 1, 以及169 = 132。

然而，佩爾數與三角平方數有密切嘅關系。佢哋出依家以下佩爾數嘅恆等式中：

{\displaystyle {\bigl (}(P\_{k-1}+P\_{k})\cdot P\_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P\_{k-1}+P\_{k})^{2}\cdot \left((P\_{k-1}+P\_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}
等式嘅左面系平方數，等式嘅右邊系三角形數，因此系三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero喺2006年證明咗佩爾數與平方數之間嘅另外一個恆等式，並證明咗從{\displaystyle P\_{1}}到{\displaystyle P\_{4n+1}}嘅所有佩爾數嘅和總系平方數：

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{4n+1}P\_{i}=\left(\sum \_{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P\_{2n}+P\_{2n+1})^{2}.}
例如，從{\displaystyle P\_{1}}到{\displaystyle P\_{5}}嘅和系{\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}，系{\displaystyle P\_{2}+P\_{3}=2+5=7}嘅平方。{\displaystyle P\_{2n}+P\_{2n+1}}就系呢個和嘅平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。

勾股數
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邊長為整數嘅直角三角形，其直角邊幾乎相等，由佩爾數引出。
如果一個直角三角形嘅邊長為*a*、*b*和*c*（必須滿足勾股定理*a*2+*b*2=*c*2），咁(*a*,*b*,*c*)稱為勾股數。Martin喺1875年描述，佩爾數可以用嚟產生勾股數，其中*a*和*b*相差一個單位。呢個勾股數具有以下形式：

{\displaystyle (2P\_{n}P\_{n+1},P\_{n+1}^{2}-P\_{n}^{2},P\_{n+1}^{2}+P\_{n}^{2}=P\_{2n+1}).}
用呢種方法產生嘅勾股數嘅序列系：

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ……

佩爾-盧卡斯數
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**佩爾-盧卡斯數**由以下嘅遞推關系定義：

{\displaystyle Q\_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q\_{n-1}+Q\_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
也就系講，數列中嘅原兩個數都系2，後面每一個數都系前一個數嘅兩倍加上再前面嘅一個數。呢個數列嘅原幾個項系（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾-盧卡斯數嘅通項公式為：

{\displaystyle Q\_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.}
呢啲數都系偶數，每一個數都系以上{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}嘅近似值中嘅分子嘅兩倍。