「三角」跳轉嚟呢度。要睇第啲意思，請去【**三角 (搞清楚)**】。

 搵緊第二樣意思嘅話，請睇〈**三角形 (搞清楚)**〉。
  唔好同**ㅿ**同**Δ**搞亂。

**三角形**係由三條線段順次首尾相連，組成嘅一個閉合嘅平面圖形，係最基本嘅多邊形。

一般用大寫英文字母{\displaystyle A}、{\displaystyle B}同{\displaystyle C}為頂點標號。用小寫英語字母{\displaystyle a}、{\displaystyle b}同{\displaystyle c}表示邊；{\displaystyle \alpha }、{\displaystyle \beta }同{\displaystyle \gamma }或者頂點標號表示角。

基本概念
----

* 中線：三角形一邊中點同呢邊所對定點嘅連線段。
* 高線：由三角形一個頂點向佢嘅對邊所作嘅垂線段。
* 角平分線：平分三角形一角、一個端點喺呢一角嘅對邊上嘅線段。
* 中垂線：通過三角形一邊中點同該邊所垂直嘅線段，又叫做垂直平分線。

性質
--

### 定理

* 三角不等式：
	+ 三角形兩邊嘅和大過第三邊，兩邊之差嘅絕對值小過第三邊。如果兩者相等，就係退化三角形。
	+ 三角形任意一個外角大過唔相鄰嘅一個內角。

* 畢氏定理（又叫做畢達哥拉斯定理）同埋勾股逆定理：
	+ 當直角三角形ABC嘅三頂點A、B、C所對嘅三邊分別為a、b、c，{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}（當角C=90°）。

* 正弦定理（R係三角形外接圓半徑）：
	+ {\displaystyle {\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {c}{\sin(\gamma )}}=2R}

* 餘弦定理：
	+ {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(\alpha )}
	+ {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(\beta )}
	+ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(\gamma )}

### 角度

三角形兩隻內角嘅和，等於剩落嚟嘅一隻外角。

喺歐幾里德平面內，三角形嘅內角和等於180°。

分類
--

### 銳角、鈍角三角形

鈍角三角形其中一隻角係鈍角（＞90°）嘅三角形，其餘兩角都＜90°。

銳角三角形嘅所有內角都係銳角（＜90°）。

### 直角三角形

有一個角係直角（＝90°）嘅三角形為**直角三角形**。

成直角嘅兩條邊稱為**直角邊**（**cathetus**），直角所對嘅邊係**斜邊**（**hypotenuse**）；或最長嘅邊稱為**弦**，底部嘅一邊稱作**勾**（又作**句**），另一邊稱為**股**。

可以透過唁同角度嘅直角三角形各邊嘅比求得銳角三角函數。

### 等邊三角形

**等邊三角形**（又叫**正三角形**），係三邊相等嘅三角形。三個內角相等，都係60°。佢係銳角三角形嘅一種。當佢嘅邊長係a，面積公式就係{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}。

等邊三角形係正四面體、正八面體同正二十面體呢三個正多面體面嘅形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

### 等腰三角形

等腰三角形係三條邊中有兩條邊相等（或者其中兩隻內角相等）嘅三角形。等腰三角形中嘅兩條相等嘅邊被稱為**腰**，而另一條邊被稱為**底邊**，兩條腰交叉組成嘅嗰個點被稱為**頂點**，佢哋組成嘅角被稱為**頂角**。

等腰三角形嘅重心、中心同垂心都位於頂點向底邊嘅垂線上。

等腰三角形嘅底嘅垂直平分線，啱啱亦係對應角嘅角平分線。

等邊三角形係等腰三角形嘅一個特殊形式。

### 退化三角形

退化三角形係指面積係零嘅三角形。滿足下列條件之一嘅三角形就可以稱為退化三角形：三個內角嘅度數為（180°,0°,0°）或（90°,90°,0°）；三邊其中一條邊嘅長度為0；一條邊嘅長度等於另外兩條嘅和。有人認為退化三角形唔算係三角形，咁係由於佢介乎於三角不等式之間，喺一啲資料中已否定咗其中一條邊等於其餘兩條邊嘅和嘅情況。

特性
--

三角形具有穩定性，若果兩個三角形有以下嘅邊角關係，佢嘅形狀、大細就唔會變，兩個三角形就係全等三角形。

* SSS（Side-Side-Side、邊、邊、邊）：各三角形嘅三條邊嘅長度都對應地相等。
* SAS（Side-Angle-Side、邊、角、邊）：各三角形嘅其中兩條邊嘅長度對應地相等，而且兩條邊夾住嘅角對應地相等。
* ASA（Angle-Side-Angle、角、邊、角）：各三角形嘅其中兩個角對應地相等，而且兩條邊夾住嘅邊對應地相等。
* RHS：喺直角三角形中，斜邊同埋另外一條直角邊對應地相等。
* AAS（Angle-Angle-Side、角、角、邊）：各三角形嘅其中兩個角對應地相等，而且其中一組對應角嘅對邊亦對應地相等。

AAA（Angle-Angle-Angle、角、角、角）只可以保證兩個三角形相似，唔可以保證全等。SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）亦唔可以保證兩個三角形全等。

面積
--

### 已知兩邊同埋其夾角

當a、b係所知嘅兩邊，C係個夾角，三角形面積係{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin {C}}。

### 已知底同高

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh}，即底×高÷2。因為兩個相同嘅三角形砌到一個平行四邊形。

### 已知三邊長

希羅公式（又稱海倫公式）：
當p等於三角形三邊和嘅一半：

{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
則

{\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}
化簡後就係：

{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}}
秦九韶亦求過類似嘅公式，稱為**三斜求積法**：

{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right)}}}
基於希羅公式喺三角形擁有非常細嘅角度嗰時並唔係數值穩定，有一個變化嘅計法。當a ≥ b ≥ c，三角形面積為{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}}

### 喺坐標系中已知三頂點座標

由{\displaystyle (x\_{1},y\_{1}),(x\_{2},y\_{2}),(x\_{3},y\_{3})}三個頂點構成嘅三角形，面積就係：

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x\_{1}&y\_{1}&1\\x\_{2}&y\_{2}&1\\x\_{3}&y\_{3}&1\end{vmatrix}}}

### 任三角形外心同內心半徑算面積法

若果已知三角形面積為x，三邊邊長分別為a、b、c，s係三角形周長（a+b+c）內心半徑（r）：

{\displaystyle x={\frac {1}{2}}sr}
外心半徑（R）：

{\displaystyle x={\frac {abc}{4R}}}

半形定理
----

喺三角形{\displaystyle ABC\,}中，
三個角嘅正切同三邊有以下關係：

{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {1}{b+c-a}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\frac {1}{a+c-b}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {C}{2}}={\frac {1}{a+b-c}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
證明：

{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}}
因為：{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}>0}

{\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}>0}
所以：{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}}

{\displaystyle ={\sqrt {\frac {a^{2}+{\left(b-c\right)}^{2}}{4ac}}}}
{\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}}
而：{\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}}

{\displaystyle ={\sqrt {\frac {{\left(b-c\right)}^{2}-a^{2}}{4ac}}}}
{\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}}
所以：{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}{\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}}={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}}}}

即：{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {1}{b+c-a}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}

同理可得

{\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\frac {1}{a+c-b}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {C}{2}}={\frac {1}{a+b-c}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
### 用三角形嘅三邊表示角平分線長度

當喺三角形{\displaystyle ABC\,}中，已知三邊{\displaystyle a\,}，{\displaystyle b\,}，{\displaystyle c\,}，若果三個角{\displaystyle A\,},

{\displaystyle B\,}，{\displaystyle C\,}嘅角平分線分別係{\displaystyle t\_{a}\,}，{\displaystyle t\_{b}\,}，
{\displaystyle t\_{c}\,}，就用三邊表示三條內角平分線長度公式為

{\displaystyle t\_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)bc}}}
{\displaystyle t\_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)ac}}}
{\displaystyle t\_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}

其他三角形有關嘅定理
----------

* 拿破崙三角形
* 費馬點
* 歐拉線
* 梅涅勞斯定理

三角形嘅五心
------

| 名稱 | 定義 | 備註 |
| --- | --- | --- |
| **內心** | 三個內角嘅角平分線嘅交點 | 三角形內切圓嘅圓心 |
| **外心** | 三條邊嘅垂直平分線嘅交點 | 三角形外接圓嘅圓心 |
| **垂心** | 三條高嘅交點 |  |
| **形心（重心）** | 三條中線嘅交點 | 被交點劃分嘅線段比例為1:2（靠近角嘅一段較長） |
| **旁心** | 外角嘅角平分線嘅交點 | 有三個，為三角形某一邊上嘅旁切圓嘅圓心 |

垂心（藍）、形心（黃）同外心（綠）能連成一線，稱為歐拉線。

外接圓同內切圓半徑
---------

{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}}

{\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}}

睇埋
--

* 三角學
* 多邊形

| * 睇
* 傾
* 改
多邊形 |
| --- |
| 1 - 10 | 一角形 · 二角形 · 三角形 · 四邊形 · 五邊形 · 六邊形 · 七邊形 · 八邊形 · 九邊形 · 十邊形 |  |
| 11 - 20 | 十一邊形 · 十二邊形 · 十三邊形 · 十四邊形 · 十五邊形 · 十六邊形 · 十七邊形 · 十八邊形 · 十九邊形 · 二十邊形 |
| 21 - 30 | 廿一邊形 · 廿二邊形 · 廿三邊形 · 廿四邊形 · 廿五邊形 · 廿六邊形 · 廿七邊形 · 廿八邊形 · 廿九邊形 · 三十邊形 |
| 30以上 | 六十四邊形 · 二百五十七邊形 · 一千邊形 · 一萬邊形 · 六萬五千五百三十七邊形 · 一百萬邊形 · 無限邊形 · 要幾多有幾多邊形 |
| 星形 | 五角星 · 六角星 · 七角星 · 八角星 · 九角星 · 十角星 · 十一角星 · 十二角星 · 十三角星 |

| * 睇
* 傾
* 改
幾何學（理論基礎） |
| --- |
| 數學最緊要嘅領域之一，研究形狀、位置同抽象空間 |
| 主要領域 | 
* 歐氏幾何
* 非歐氏幾何（橢圓同球面 · 雙曲）
* 非阿基米德幾何
* 代數幾何（算術）同解析幾何
* 微分幾何（黎曼 · 扭對稱）
* 拓撲學

* 離散幾何（數碼）
* 複幾何
* 投影幾何
* 仿射幾何
* 綜合幾何
* 變換幾何
* 有限幾何
* 凸幾何
* 重合幾何
* 碎形幾何
* 運算幾何

 |  |
| 重要概念 | 
* 空間
* 平行
* 對角線
* 曲綫
* 頂點
* 角（角度）
* 正交（垂直）
* 對稱同唔對稱
* 全等同相似
* 移位、轉動、反射同縮放
* 碎形
* 尺規作圖

 |
| 跟維度分 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 低維 | 
* 0D（點）
* 1D（直綫 · 綫段 · 長度 · 距離）

 |
| 2D | 
* 面
* 面積
* 多邊形
* 圓形（直徑同半徑 · 圓心 · 圓周率 · 圓周 · 圓面積）
* 三角形（斜邊 · 畢氏定理 · 三角學）

* 四邊形，包括平行四邊形（正方形 · 長方形 · 菱形）、梯形同鷂形
* 相交
* 幾何中心

 |
| 3D | 
* 體積
* 方柱（長方體同正方體）
* 圓柱
* 錐體
* 球面
* 多面體

 |

 |
| 幾何學史 | 
* 畢達哥拉斯
* 歐幾里得同幾何原本
* 阿基米德
* 張衡
* 奧瑪開儼
* 勒內·笛卡兒
* 高斯
* 羅巴切夫斯基
* 黎曼
* 打域囂拔

 |
| 相關領域 | 
* 數學
* 物理學（力學 · 幾何光學 · 相對論）
* 天文學
* 工程學（工程數學 · 建築學同建築工程 · 結構工程）
* 電腦圖像學

 |
| 拉雜相關 | 
* Vector
* 數學之美
* 理想化同抽象化
* 自然形態規律
* 時空
* 宇宙（宇宙形狀）
* 視覺藝術同花臣
* 冇可能嘅物體
* 黃金比例
* 理型論

 |
| 幾何學類 |