函數**最高點與最低點**（**maxima and minima**）分別係指函數入面數值最高同埋最低嘅一點。喺數學分析入面，主要討論嘅係間上連續函數嘅最高點同最低點。

最高點同最低點
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假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，同埋{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }。

### 最高點

如果{\displaystyle f}喺{\displaystyle A}度有最高點（has an absolute maximum on {\displaystyle A}），即係話{\displaystyle A}度有一點{\displaystyle x^{\star }\in A}，對應所有嘅{\displaystyle A}符合{\displaystyle f(x^{\star })\geq f(x),\forall x\in A}。

噉就叫{\displaystyle x^{\star }}做「{\displaystyle f}喺{\displaystyle A}嘅最高點」（absolute maximum point for {\displaystyle f} on {\displaystyle A}）。

### 最低點

如果{\displaystyle f}喺{\displaystyle A}度有最低點（has an absolute minimum on {\displaystyle A}），即係話{\displaystyle A}度有一點{\displaystyle x\_{\star }\in A}，對應所有嘅{\displaystyle A}符合{\displaystyle f(x\_{\star })\leq f(x),\forall x\in A}。

噉就叫{\displaystyle x\_{\star }}做「{\displaystyle f}係{\displaystyle A}嘅最低點」（absolute minimum point for {\displaystyle f} on {\displaystyle A}）。

最高點最低點定理
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假設{\displaystyle I:=[a,b]}係一個關閉又被綁定嘅間距，{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }喺{\displaystyle I}上面係連續嘅。咁{\displaystyle f}就會有喺{\displaystyle I}到一點最高點同最低點。

**證明：**

考慮非空集{\displaystyle S:=\{f(x):x\in I\}}係函數{\displaystyle f}嘅所有數值。

利用間上綁定定理，得知{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }。

設{\displaystyle s^{\star }:=\sup S}，{\displaystyle s\_{\star }:=\inf S}。（想證明有兩點{\displaystyle x^{\star },x\_{\star }}符合{\displaystyle s^{\star }=f(x^{\star })}，{\displaystyle s\_{\star }=f(x\_{\star })}）


證明{\displaystyle s^{\star }=f(x^{\star })}

因為{\displaystyle s^{\star }:=\sup S}，如果有一個{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，咁{\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}}就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個{\displaystyle x\_{n}\in I}符合{\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}<f(x\_{n})\leq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }。

因為{\displaystyle I}係被綁定，咁數列{\displaystyle X:=(x\_{n})}都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係趨向一點{\displaystyle x^{\star }}。

因為{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係喺{\displaystyle I}入面，所以{\displaystyle x^{\star }\in I}都會係喺{\displaystyle I}入面。

因為{\displaystyle f}係喺{\displaystyle x^{\star }}呢點度連續，所以{\displaystyle f(x\_{n\_{k}})}會趨向{\displaystyle f(x^{\star })}。

因為{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係{\displaystyle (x\_{n})}嘅子數列，所以{\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n\_{k}}}<f(x\_{n\_{k}})\leq s^{\star }}成立。

因為{\displaystyle \lim \_{n}s^{\star }-{\frac {1}{n\_{k}}}=s^{\star }-0=s^{\star }}，{\displaystyle \lim \_{n}f(x\_{n\_{k}})=f(x^{\star })}，{\displaystyle \lim \_{n}s^{\star }=s^{\star }}，利用夾縫定理得知{\displaystyle s^{\star }<f(x^{\star })\leq s^{\star }}，即係{\displaystyle f(x^{\star })=s^{\star }}。



證明{\displaystyle s\_{\star }=f(x\_{\star })}

因為{\displaystyle s\_{\star }:=\inf S}，如果有一個{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，咁{\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}}就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個{\displaystyle x\_{n}\in I}符合{\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}>f(x\_{n})\geq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }。

因為{\displaystyle I}係被綁定，咁數列{\displaystyle X:=(x\_{n})}都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係趨向一點{\displaystyle x\_{\star }}。

因為{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係喺{\displaystyle I}入面，所以{\displaystyle x\_{\star }\in I}都會係喺{\displaystyle I}入面。

因為{\displaystyle f}係喺{\displaystyle x\_{\star }}呢點度連續，所以{\displaystyle f(x\_{n\_{k}})}會趨向{\displaystyle f(x\_{\star })}。

因為{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}係{\displaystyle (x\_{n})}嘅子數列，所以{\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n\_{k}}}>f(x\_{n\_{k}})\geq s\_{\star }}成立。

因為{\displaystyle \lim \_{n}s^{\star }+{\frac {1}{n\_{k}}}=s^{\star }+0=s^{\star }}，{\displaystyle \lim \_{n}f(x\_{n\_{k}})=f(x^{\star })}，{\displaystyle \lim \_{n}s^{\star }=s^{\star }}，利用夾縫定理得知{\displaystyle s^{\star }>f(x^{\star })\geq s^{\star }}，即係{\displaystyle f(x\_{\star })=s\_{\star }}。

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