一啲繩嘅振動
當正弦波經過一條繩嘅時候，條繩上面每一點都會進行簡諧振動，然後條繩就可以產生音調。但係，有一條更加重要嘅公式，係關於嗰條正弦波嘅波速。假設嗰條繩嘅（水平）張力係 {\displaystyle T}，每單位長度嘅質量係 {\displaystyle \mu }，咁經過嗰條繩嘅正弦波嘅波速 {\displaystyle v} 係：

{\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}

證明
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Illustration for a vibrating stringIllustration for a vibrating string
睇下右面嘅圖。假設攞一橛好短嘅線段（咁樣成橛繩都可以當做同一個粒子），水平嚟計嘅長度係 {\displaystyle dx}（或者可以寫做 {\displaystyle \Delta x}，參考差動）。

考慮響距離 {\displaystyle x} 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {T\_{1}\sin \alpha }{T\_{1}\cos \alpha }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x,t)}}

考慮響距離 {\displaystyle x+dx} 呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

{\displaystyle \tan \beta ={\frac {T\_{2}\sin \beta }{T\_{2}\cos \beta }}=\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x+dx,t)}}

但係，根據波嘅定義，因為波嘅其中一個特性係剩係會傳播能量，而唔會傳播任何物質，所以係條波經過嘅地方，每一個粒子都只會上下咁振，而永遠唔會有水平方向嘅位移，再根據牛頓第一定律，得到：

{\displaystyle T\_{1}\cos \alpha =T\_{2}\cos \beta =T}

於是，就可以得到：

{\displaystyle T\_{1}\sin \alpha =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x,t)}}

{\displaystyle T\_{2}\sin \beta =T\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x+dx,t)}}

考慮垂直方向嘅淨力：

{\displaystyle F\_{net}=T\_{2}\sin \beta -T\_{1}\sin \alpha =T(\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x+dx,t)}-\left.{\frac {\partial y(x,t)}{\partial x}}\right|\_{(x,t)})=T(y\_{x}(x+dx,t)-y\_{x}(x,t))}

只不過，根據牛頓第二定律：

{\displaystyle F\_{net}=ma=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}

於是：

{\displaystyle T(y\_{x}(x+dx,t)-y\_{x}(x,t))=\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}

{\displaystyle {\frac {y\_{x}(x+dx,t)-y\_{x}(x,t)}{dx}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}

左邊嗰嚿嘢其實係二階偏導數 {\displaystyle y\_{xx}}，即係 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}。得到：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}

而根據波動方程，{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}。所以：

{\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}={\frac {\mu }{T}}}

經過整理，得到 {\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}。

如果想要嚴格啲嘅證明，可以用正弦波嘅函數表示公式：

{\displaystyle y=A\sin(kx-\omega t+\phi )}

咁樣以上得到嘅偏微分方程就會變成：

{\displaystyle -k^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )=-{\frac {\mu }{T}}\omega ^{2}A\sin(kx-\omega t+\phi )}

約走個正弦波函數表示公式再執靚佢，得到：

{\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}={\frac {T}{\mu }}}

但係因為 {\displaystyle {\frac {\omega }{k}}=v}，所以條式變咗：

{\displaystyle v^{2}={\frac {T}{\mu }}}

所以，{\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}。

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