喺抽象代數入面，**內自同構**係指羣、環或者代數入面嘅一種自同構，係由一個揀定咗嘅元素嘅共軛作用整出嚟嘅，呢個元素有時會叫做conjugating element。呢種同構可以好簡單噉用羣入面嘅運算表達出嚟，所以叫做「內」自同構。將啲內自同構攞埋一齊睇，會組成成個自同構羣嘅一個正規子羣。對呢個正規子羣取商嘅話就會得到外同構羣。

定義
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假設{\displaystyle G}係一個羣，{\displaystyle g}係{\displaystyle G}入面一個元素（或者{\displaystyle G}係一個環，{\displaystyle g}係一個可逆元），噉函數

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \_{g}\colon G&\longrightarrow G\\\varphi \_{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}
就叫做{\displaystyle g}嘅右共軛（right conjugation by {\displaystyle g}），噉樣定義出嚟嘅函數係{\displaystyle G}上面嘅自同態：對任何嘅{\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in G}，

{\displaystyle \varphi \_{g}(x\_{1}x\_{2})=g^{-1}x\_{1}x\_{2}g=(g^{-1}x\_{1}g)(g^{-1}x\_{2}g)=\varphi \_{g}(x\_{1})\varphi \_{g}(x\_{2}),}
其中第二步係𠓼個單位元{\displaystyle e=gg^{-1}}入去中間。另外，呢個函數有個雙邊逆元{\displaystyle \varphi \_{g^{-1}}}，所以{\displaystyle \varphi \_{g}}係雙射，亦即係話係一個自同構。任何噉樣做共軛得出嚟嘅同構都叫做**內自同構**。

寫右共軛嗰陣，好多時{\displaystyle g^{-1}xg}呢嚿嘢會直接寫做{\displaystyle x^{g}}，呢個寫法好方便，因為共軛嘅複合符合{\displaystyle (x^{g\_{1}})^{g\_{2}}=x^{g\_{1}g\_{2}}}呢條式，亦即係話共軛係羣{\displaystyle G}對自己嘅右作用。

內外自同構羣
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兩個內自同構複合埋一齊都係內自同構，所以所有內自同構一齊就形成咗一個羣，叫{\displaystyle G}嘅「內自同構羣」（inner automorphism group），寫做{\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}。

事實上，{\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}係成個自同構羣{\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}嘅一個正規子羣，取個商就係外自同構羣{\displaystyle \operatorname {Out} (G)}：

{\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).}
所以外自同構羣可以話係量度有幾多{\displaystyle G}嘅自同構唔係內自同構。每一個非內自同構都可以整一個{\displaystyle \operatorname {Out} (G)}入面嘅非平凡元素出嚟，但係唔同嘅非內自同構有機會整同一個元素出嚟。

一個元素{\displaystyle x}係另一個元素{\displaystyle g}嘅共軛作用下不變係等價於呢兩個元素可以交換：

{\displaystyle a^{-1}xa=x\iff ax=xa.}
所以內自同構羣可以話係量度個羣（或者環）係有幾唔交換。

有一個內自同構嘅判別方法：羣{\displaystyle G}嘅一個自同構係內自同構若且唯若佢可以延伸（extend）去任可一個裝著{\displaystyle G}嘅羣。

對任何元素{\displaystyle g\in G}都可以對應一個內自同構{\displaystyle x\mapsto x^{g}}，呢一個對應畀咗一個商羣{\displaystyle G/Z(G)}（{\displaystyle Z(G)}係{\displaystyle G}嘅中心）同{\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}之間嘅同構：

{\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G).}
呢個其實可以用第一同構定理證明出嚟，因為{\displaystyle Z(G)}入面嘅元素同{\displaystyle G}嘅所有元素都交換，即係話佢對應嘅共軛作用固定所有元素。

### 有限*p*-羣嘅非內自同構

Wolfgang Gaschütz嘅一個定理話如果{\displaystyle G}係一個有限唔交換*p*-羣嘅話，噉{\displaystyle G}就有一個非內自同構嘅階係*p*嘅次方。

但係如果想問有冇一個個階係p嘅話就暫時係open problem嚟。不過如果{\displaystyle G}符合以下其中一個條件嘅話答案就係肯定嘅：

1. {\displaystyle G}係二階零冪
2. {\displaystyle G}係regular p-羣
3. {\displaystyle G/Z(G)}係powerful p-羣
4. {\displaystyle G}嘅Frattini子羣嘅中心嘅中心化子，*C**G* ∘ *Z* ∘ Φ(*G*)，同Φ(*G*)唔一樣

### 羣嘅種類

{\displaystyle G}嘅內自同構羣{\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}係平凡若且唯若{\displaystyle G}係交換羣，而{\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}如果係循環羣嘅話就只能係平凡羣。

喺另一個極端，內自同構羣可能已經等於成個自同構羣；一個羣如果佢所有自同構都係內自同構，而且中心係平凡嘅話個羣就叫做完整（complete）。例子有{\displaystyle n}元素對稱羣（{\displaystyle n\neq 2,6}），如果{\displaystyle n=6}嘅話，個對稱羣有一類外自同構，而如果{\displaystyle n=2}嘅話，雖然無外自同構，但係佢係交換羣，所以中心唔係平凡子羣，即係話{\displaystyle S\_{2}}唔係完整。

如果一個完美羣（perfect group）{\displaystyle G}嘅內自同構羣係簡單羣嘅話，就會話{\displaystyle G}係擬簡單羣（quasisimple）。

李代數
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一個李代數𝔊嘅自同構如果可以寫做Ad*g*噉嘅樣嘅話就叫一個內自同構，其中Ad係個伴隨表示，g係對應李羣嘅一粒元素。呢個內自同構嘅定義同對應李羣嘅內自同構嘅定義係相容嘅，意思即係李羣嘅內自同構可以誘發對應李代數上面嘅內自同構。

延伸
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如果{\displaystyle G}係一個環A嘅單位羣（group of units）嘅話，{\displaystyle G}嘅內自同構可以延伸去矩陣環*M*2(*A*)嘅單位羣對A上面嘅射影直線嘅一個作用，所以經典羣嘅內自同構可以用呢個方法去延伸。

參考
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1. ↑  S. Dummit, David (2004). *Abstract algebra*. Foote, Richard M. 1950- (第3.版). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
2. ↑  Schupp, Paul E. (1987), "A characterization of inner automorphisms" (PDF), *Proceedings of the American Mathematical Society*, American Mathematical Society, **101** (2): 226–228, doi:10.2307/2045986, JSTOR 2045986, MR 0902532

參考書
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* Abdollahi, A. (2007), "Finite *p*-groups of class *2* have noninner automorphisms of order *p*", *J. Algebra*, **312** (2): 876–879, arXiv:math/0608581, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR 2333188
* Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Noninner automorphisms of order *p* of finite *p*-groups", *J. Algebra*, **250**: 283–287, doi:10.1006/jabr.2001.9093, MR 1898386
* Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche *p*-Gruppen besitzen äussere *p*-Automorphismen", *J. Algebra*, **4**: 1–2, doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7, MR 0193144
* Liebeck, H. (1965), "Outer automorphisms in nilpotent *p*-groups of class *2*", *J. London Math. Soc.*, **40**: 268–275, doi:10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR 0173708
* Hazewinkel, Michiel, 編 (2001), "Inner automorphism", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
* Weisstein, Eric W. "Inner Automorphism" - MathWorld.（英文）