呢兩位棋手，邊個技術好啲呢？有冇方法可以計個數嚟反映呢樣嘢？
**Elo 等級分制度**（英文：**Elo rating system**，當中 **Elo** 好接近粵拼：ji1 lou4；假借漢字：**伊勞**）係一套評估一隻遊戲嘅玩家技術幾好嘅做法，適用於好似中國象棋同國際象棋等嘅零和遊戲。除咗呢啲棋類遊戲，廿一世紀初嘅電競都會用到伊勞等級分嚟衡量啲玩家嘅技術。

諗頭
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睇埋：零和遊戲同埋技術遊戲
「要量度一個個體嘅等級分，我諗就好似量度一嚿水松木嘅位置... 當中嚿水松木喺翻滾嘅水面郁上郁落，量度者用嘅架生係一條碼棍，條碼棍綁咗喺一條喺風中擺動嘅繩度。」

—伊勞等級系統嘅創始人阿柏特·伊勞
首先，伊勞等級系統假設咗隻遊戲係零和嘅：如果話一隻遊戲係零和，簡單講意思即係話場遊戲只有其中一位或者一隊玩家會贏，再唔係就打和，冇得話例如兩方玩家一齊贏。中國象棋、國際象棋、圍棋同埋多數嘅 PvP 視像遊戲（好似係畀玩家互射嘅射擊遊戲）都屬於零和遊戲。

齋靠日常觀察已知，玩家之間喺技術上可以有差異：有啲玩家無論同邊個對局，都有好大機率贏，而有啲玩家就無論同邊個對局，都大機率輸；好多人都想搵方法客觀噉量度玩家嘅技術有幾好，例如搞國際象棋比賽嘅組織就成日都想評估棋手嘅技術，伊勞就係其中一套最成功嘅系統；而用行話講，伊勞能夠達致等距噉量度**技術**呢樣嘢。

喺伊勞等級系統下，每位玩家都掕住個**伊勞值**，而個系統會不斷噉：

* 基於兩位玩家而家呢刻嘅伊勞，預估賽果；
* 對局完咗之後，噏哋ap1 dei1每位玩家嘅伊勞，伊勞改變幅度取決於個結果有幾「出人意表」；
* 經歷咗好多次噏哋之後，每位玩家會到達佢嘅最後伊勞，呢個最終伊勞就會（唔完美噉）反映佢嘅實際技術水平。

以下落嚟講嘅數學細節，假設讀者學過基本嘅概率論同統計學，識機會率同平均值等嘅基本概念。

基本模型
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睇埋：機會率、平均值同埋標準差
最基本嗰隻伊勞制度會用到嘅概念，可以用以下噉嘅方式數學化。

### 技術幾高

睇埋：常態分佈
已知一個事實：每位玩家嘅表現，梗會或多或少有啲飄忽；技術好嘅玩家可能有一日狀態唔好，搞到連輸幾場；而技術冇咁好嘅玩家，亦有可能咁啱撞正狀態大好而連贏幾場；噉即係話一位玩家嘅表現，可以簡化噉想像成一個常態分佈；想像下圖入面嘅 X 軸係玩家嘅表現，而 Y 軸係每個表現值出現嘅機率，兩條線分別代表阿 A 同阿 B 兩位玩家，講平均表現（{\displaystyle \mu }）嘅話，

* 阿 A 嘅平均表現係 76 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 76 分或者接近 76 分，
* 阿 B 嘅平均表現係 52 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 52 分或者接近 52 分，

兩者都有 12 分咁多嘅標準差（{\displaystyle \sigma }）。如果阿 A 同阿 B 對局，阿 A 多數時候會贏（表現高過阿 B），但間中有可能會撞啱有日阿 A 狀態唔好同時阿 B 狀態大好，令到阿 B 嗰日嘅表現好啲。噉亦表示，要準確噉評估一位玩家嘅技術，一定要首先畀佢經過有返咁上下數量嘅對局。

### 一場對局

睇埋：Sigmoid 函數同埋邏輯迴歸
分析者可以靠住玩家嘅預估技術水平嚟預測一場對局嘅賽果。依家想像有兩位玩家，阿 {\displaystyle i} 同阿 {\displaystyle j} 兩個要鬥捉圍棋，設

* {\displaystyle \theta \_{i}} 做阿 {\displaystyle i} 嘅表現，或者預估技術值；
* {\displaystyle \theta \_{j}} 做阿 {\displaystyle j} 嘅表現，或者預估技術值；
* {\displaystyle R\_{ij}\in \{0,1\}} 做兩者對局嘅可能結果，當中 1 表示「阿 {\displaystyle i} 贏」，而 0 表示「阿 {\displaystyle j} 贏」；

阿 {\displaystyle i} 贏嘅機率（{\displaystyle \Pr({\text{i wins}})}）理應會受制於 {\displaystyle (\theta \_{i}-\theta \_{j})} 。如果畫做圖，當中 Y 軸做 {\displaystyle \Pr({\text{i wins}})} 而 X 軸做 {\displaystyle (\theta \_{i}-\theta \_{j})}，會得出好似以下噉嘅線：

當 {\displaystyle (\theta \_{i}-\theta \_{j})=0}（兩位玩家表現相約），{\displaystyle \Pr({\text{i wins}})=0.5}（阿 {\displaystyle i} 有 50% 機會贏）
當 {\displaystyle (\theta \_{i}-\theta \_{j})} 係大嘅正數（阿 {\displaystyle i} 表現高一截），{\displaystyle \Pr({\text{i wins}})\to 1}（阿 {\displaystyle i} 大機會贏）
當 {\displaystyle (\theta \_{i}-\theta \_{j})} 係大嘅負數（阿 {\displaystyle j} 表現高一截），{\displaystyle \Pr({\text{i wins}})\to 0}（阿 {\displaystyle j} 大機會贏）
呢啲嘢之間嘅關係，可以用以下噉嘅式嚟表達：

{\displaystyle E\_{i}={\frac {1}{1+10^{(\theta \_{j}-\theta \_{i})/400}}}}；{\displaystyle [1]}
{\displaystyle E\_{i}} 係指預想阿 {\displaystyle i} 會攞到幾多分，反映緊 {\displaystyle \Pr({\text{i wins}})} 。想像：

如果 {\displaystyle \theta \_{j}=\theta \_{i}}，{\displaystyle E\_{i}=0.5}
如果 {\displaystyle \theta \_{j}-\theta \_{i}=200}，{\displaystyle E\_{i}\approx 0.24}
如果 {\displaystyle \theta \_{j}-\theta \_{i}=-200}，{\displaystyle E\_{i}\approx 0.76}
... 如此類推。

### 噏哋伊勞

經歷一場對局之後，個系統就要按照對局結果，郁手噏哋ap1 dei1兩位玩家嘅伊勞值。設 {\displaystyle {\text{Elo}}\_{i,t}} 做阿 {\displaystyle i} 喺時間點 {\displaystyle t} 嘅伊勞值，並且設 {\displaystyle [1]} 入面嘅 {\displaystyle \theta \_{i}={\text{Elo}}\_{i,t}}，每場對局之後，兩位玩家嘅新伊勞值可以用以下呢條式嚟計：

{\displaystyle {\text{Elo}}\_{i,t+1}={\text{Elo}}\_{i,t}+k(S\_{i}-E\_{i})}；{\displaystyle [2]}，當中
* {\displaystyle {\text{Elo}}\_{i,t+1}} 係阿 {\displaystyle i} 跟住落嚟嘅伊勞值；
* {\displaystyle E\_{i}} 係基於兩位玩家先前嘅伊勞值做預測，得出嘅預估賽果；
* {\displaystyle S\_{i}} 係實際上嘅賽果，如果阿 {\displaystyle i} 贏，{\displaystyle S\_{i}=1}，而如果阿 {\displaystyle i} 輸，{\displaystyle S\_{i}=0}；
* {\displaystyle k} 係一個參數，數值可以調節，反映伊勞值噏哋得有幾快，{\displaystyle k} 數值愈大，伊勞值噏哋得愈快。

而家有一大班玩家，將佢哋嘅伊勞值冚唪唥都設做 1,000，跟住落嚟會發生噉嘅事：

* 如果阿 {\displaystyle i} 嘅伊勞明顯低過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術渣過佢嘅對手，{\displaystyle E\_{i}} 接近 0.5，{\displaystyle S\_{i}} 傾向係 1，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅正值；
* 如果阿 {\displaystyle i} 嘅伊勞明顯高過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術勁過佢嘅對手，{\displaystyle E\_{i}} 接近 0.5，{\displaystyle S\_{i}} 傾向係 0，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅負值；
* 如果阿 {\displaystyle i} 技術好勁而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都低過佢嘅對手，{\displaystyle E\_{i}} 接近 1，{\displaystyle S\_{i}} 傾向係 1，佢打低對手嗰陣 {\displaystyle (S\_{i}-E\_{i})} 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；
* 如果阿 {\displaystyle i} 技術好渣而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都高過佢嘅對手，{\displaystyle E\_{i}} 接近 0，{\displaystyle S\_{i}} 傾向係 0，佢輸畀對手嗰陣 {\displaystyle (S\_{i}-E\_{i})} 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；

—噉即係話，將啲玩家嘅伊勞值冚唪唥設做 1,000 再畀佢哋玩好多場對局，各人就會慢慢噉趨向到達佢哋應有嘅伊勞值。最終嘅伊勞值會反映佢哋嘅實際技術。

各界應用
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### 國際象棋

內文：國際象棋
喺廿一世紀初，伊勞係國際象棋上最常用嘅棋手評分方法。國際象棋聯會等嘅國際象棋組織以及網上國際象棋遊戲，都係靠伊勞系統嚟評定啲棋手實力有幾高嘅，而事實上伊勞制度嘅創始人阿柏特·伊勞都係一個熱愛國際象棋嘅人，仲去到國際象棋大師嘅水平。

一般嚟講，一個國際象棋組織會有套方案，講明「伊勞係咁多咁多分至咁多咁多分嘅棋手，可以配以呢個呢個稱號」噉，但唔同嘅國際象棋組織喺呢方面嘅做法都有啲唔同。以國際象棋聯會為例，根據 2023 年嘅國際象棋聯會準則，一位棋手嘅預設伊勞值係 1,000，佢喺國際象棋比賽同第啲棋手較量，官方紀錄就會按佢啲對手嘅伊勞以及對局嘅結果，調整呢位棋手嘅伊勞。如果一位棋手要得到國際象棋特級大師嘅稱號，就需要達致起碼 2,500 咁高嘅伊勞值，而且佢打低嘅對手亦要有返咁上下伊勞先得。

### 電子競技

內文：電子競技

進階變種
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睇埋：堅係技術

批評
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簡史
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睇埋
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* 專家知識
* 心理測量
* 量度層次
* 進化演算法

註釋
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1. ↑  呢句粵文譯版嚟自英文譯句－"The measurement of the rating of an individual might well be compared with the measurement of the position of a cork bobbing up and down on the surface of agitated water with a yardstick tied to a rope and which is swaying in the wind."
2. 1 2  假設隻遊戲係技術遊戲
3. ↑  姑且唔好諗計量單位係乜住。

歐詞
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1. 1 2  Arpad Elo
2. ↑  zero-sum
3. ↑  Elo
4. ↑  normal distribution
5. ↑  Fédération Internationale des Échecs，FIDE
6. ↑  Grandmaster，GM

文獻
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* Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). *Chance*, 33(3), 31-38.
* Morrison, B. (2019). Comparing elo, glicko, irt, and bayesian irt statistical models for educational and gaming data (PDF). University of Arkansas.
* Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. *Computers & Education*, 98, 169-179.

參考資料
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1. 1 2  Elo, A. E. (1978). *The Rating of Chessplayers, Past and Present* (PDF) 2nd Ed. New York: Arco Pub.
2. ↑  Batchelder, W. H. & Bershad, N. J. (1979). The statistical analysis of a Thurstonian model for rating chess players. *Journal of Mathematical Psychology*, 19(1), 39-60.
3. ↑  Elo Rating System. *Chess Terms*.
4. ↑  Von Neumann, John; Oskar Morgenstern (2007). *Theory of games and economic behavior* (60th anniversary ed.). Princeton: Princeton University Press.
5. ↑  Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). *Chance*, 33(3), 31-38.
6. 1 2 3  Lehmann, R. & Wohlrabe, K. (2017). Who is the 'Journal Grand Master'? A new ranking based on the Elo rating system. *Journal of Informetrics*, 11(3), 800-809.
7. ↑  Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. *Computers & Education*, 98, 169-179.
8. ↑  Glickman, M. E. & Jones, A. C. (1999). Rating the chess rating system. *Chance*, 12(2), 21-28.
9. ↑  *The Rating of Chess Players, Past and Present* (First Edition 1978, Second Edition 1986), Arco.
10. ↑  Elo Rating System – Everything You Need to Know. *Chess Klub*.
11. ↑  FIDE HANDBOOK. Section B. 01.