**餘數定理**（Division Theorem or Division Algorithm）係講兩個數，一個除另一個嘅時候，會有一個商同一個餘數。呢個定理係喺唔同嘅域都有對應嘅版本，最常見嘅有多整數同多項式嘅版本。

餘數定理係數論上面一條基本而重要嘅定理。喺證明好多數論問題都會用到佢。

概念
--

餘數定理係一條常用嘅理論，一做除法就會用到。

舉個例，將13粒提子分畀5個人，每個人就會有2粒，餘3粒。呢個已經係用咗餘數定理嘅概念，用數學式去寫就係


13
÷
5
=
2
…
3

{\displaystyle 13\div 5=2\dots 3}

{\displaystyle 13\div 5=2\dots 3}換一個寫法就係


13
=
5
×
2
+
3

{\displaystyle 13=5\times 2+3}

{\displaystyle 13=5\times 2+3}13係**被除數**，5係**除數**，2係**商**，3係**餘數**。

定理
--

### 整數版本

假設任何兩個整數 a、b，{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }。對應呢兩個數，一定會有另外兩個數叫 q 同 r，{\displaystyle r,q\in \mathbb {Z} }，通常會叫 q 做商（quotient），r 做餘數（remainder）。

而以上四個數字會得出以下關係：

{\displaystyle a=bq+r}

而r會符合 {\displaystyle 0\leq r<b} 呢個條件，同埋對應 a、b 嘅 r、q 係只得一個。

### 多項式版本

> *一般嚟講，呢個多項式喺係Q[x]入面，Q係指所有有理數，即係所有嘅分數。想知更多可以去睇多項式。*
> 
> 

假設任何兩個多項式 f(x) 同 g(x)，一定會有另外兩個多項式叫 q(x) 同 r(x)，佢哋有以下關係：

{\displaystyle f(x)=g(x)q(x)+r(x)}

而 r(x) 會符合 {\displaystyle deg(r)<deg(g)} 呢個條件。

證明
--

首先證明 q 同 r 係存在：假設 a 係大過零。我哋考慮以下呢個集 (Set)。

**語法拼砌失敗 (可以嘅話用MathML（實驗中）: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/zh-yue.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \{a-zb\geq0:z\in\Z\}}**

咁其實上面呢個集係集合咗，所有a減走b嘅倍數嘅正整數。即係呢個集係 {\displaystyle \{a-b,a-2b,a-3b,\dots \}}。

因為 {\displaystyle a>0}，將呢個集入數值最細嗰粒元素叫做 r，咁 {\displaystyle r=a-qb}。

再假設，如果 {\displaystyle r\geq b}，將 {\displaystyle r=a-qb} 代入去。結果，{\displaystyle a-(q+1)\geq 0}。由於 {\displaystyle r=a-qb} 係最細個粒，所以
{\displaystyle a-(q+1)\geq 0} 嘅情況係唔可能出現。因此，{\displaystyle 0\leq r<b}。

之後，證明獨特性，呢個證明需要用到可除性嘅概念。

假設有兩個唔同嘅 q 同 r，佢哋兩個符合餘數定理，即係 {\displaystyle a=bq+r=bq'+r'}，同埋 {\displaystyle 0\geq r<b,0\geq r'<b}。

因為佢哋都係兩條式都係等於a，所以可以寫成：{\displaystyle bq+r=bq'+r'}。

下一步，{\displaystyle b(q-q')=r-r'}。

根據可除性，b 係可以整除 {\displaystyle (r-r')}。由於兩個 r 都細過 b，所以 {\displaystyle r-r'} 都係細過 b。

根據上面兩個事實，b 只可以整除 b 嘅倍數，而 b又可以整除到 {\displaystyle r-r'}，而 {\displaystyle r-r'} 係大過等於零同細過 b。可以得出 {\displaystyle r-r'=0} 呢個事實。

因此兩個r係一樣。再根據呢個事實，就可以得知兩個 q 都係一樣。

上面證明任何兩個整數相除，佢哋對應嘅商同餘數都係獨一無二。

推理
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香港中學教嘅餘數定理（Remainder Theorem）同因式定理（Factor Theorem）都係餘數定理嘅推論（Corollary）。

### 中學版餘數定理

假設{\displaystyle f(x)}係一個多項式，咁{\displaystyle f(a)}嘅數值就會等於{\displaystyle f(x)\div (x-a)}嘅餘數。

#### 證明

假設將{\displaystyle f(x)\div (x-a)}。

根據餘數定理，得出{\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r(x)}。

將a代入x，得到{\displaystyle f(a)=(a-a)q(a)+r(a)}，再推一步，{\displaystyle f(a)=r(a)}。

因為{\displaystyle r(a)}就係{\displaystyle f(x)\div (x-a)}嘅餘數。

##### 例一

問題：搵{\displaystyle {\frac {x^{2}+2x+3}{x+2}}}嘅餘數。

步驟：假設{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}，{\displaystyle g(x)=x+2}。

而家想整走{\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r(x)}入面，{\displaystyle (x-a)q(x)}呢個項。所以將{\displaystyle x+2=0}。

求{\displaystyle x}後，得知將{\displaystyle a=-2}代入{\displaystyle x}。

求{\displaystyle f(a=-2)=a^{2}+2a+3}。

{\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+(-2)\*2+3=-4+4+3=3}。

所以{\displaystyle {\frac {x^{2}+2x+3}{x+2}}}嘅餘數係3。

### 因式定理

如果{\displaystyle (x-a)}係多項式{\displaystyle f(x)}嘅因數，咁一定係{\displaystyle f(a)=0}。

#### 證明

假設{\displaystyle g(x)=(x-a)}。利用多項式版本嘅餘數定理，得到{\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r(x)}。

將a代入x，得到{\displaystyle f(a)=(a-a)q(a)+r(a)}，再推一步，{\displaystyle f(a)=r(a)}。

因為{\displaystyle (x-a)}係{\displaystyle f(x)}嘅一個因數，所以兩個除完係無餘數。因此{\displaystyle r(a)=0}。

總括而言，{\displaystyle f(a)=0}。

因式定理可以用嚟測定 {\displaystyle (x-a)} 係唔係一個因數，同埋可以用嚟幫手進行因式分解。

應用
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餘數定理重有好多唔同嘅應用。佢可以用嚟證明輾轉相除法，從而可以搵到最大公因數。

而佢都可以證明出以下幾個喺數論入面有用嘅定理。

* 所有嘅單數，都一定係，對應有啲整數{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle 4k+1}或者{\displaystyle 4k+3}呢兩個樣之一。
* 任何一個整數{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }嘅平方，都一定係，對應有啲整數{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle 3k}或者{\displaystyle 3k+1}呢兩個樣之一。
* 任何一個單數{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }嘅平方，都一定係，對應有啲整數{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle 8k+1}呢個樣。
* 任何一個單數{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }嘅三次方，都一定係，對應有啲整數{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle 9k,9k+1}或者{\displaystyle 9k+8}呢幾個樣之一。

睇埋
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* 輾轉相除法
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