**郝氏數列**（Cauchy Sequence）係一種數列，係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學，同完備性。

定義
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假設有一條實數列{\displaystyle (x\_{n})}。

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，如果有一個自然數{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，令到數列{\displaystyle (x\_{n})}入面嘅第{\displaystyle n,m>N}項符合，{\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<\varepsilon }。

咁呢條實數列{\displaystyle (x\_{n})}就係郝氏數列。

概念
畀咗一個{\displaystyle \varepsilon >0}，同時假設有一條數例，{\displaystyle X=(x\_{1},x\_{2},x\_{3},\cdots )}。

計每一個項減走之前嗰一個項，{\displaystyle x\_{2}-x\_{1},x\_{3}-x\_{2},\cdots }，當計到第一次發現{\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<\varepsilon }。

假設嗰兩項做{\displaystyle m}同{\displaystyle n}，而{\displaystyle n,m>N}。咁佢就係一條郝氏數列。

**例子**

假設{\displaystyle X=(2,2,2,2,2,2,2,\cdots )}，咁{\displaystyle |2-2|=0<\varepsilon }。

因此，由第一項就符合呢個條件，佢就係一條郝氏數列。

郝氏要求
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**郝氏要求**（Cauchy Convergence Criterion）係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列，反之亦然。

### 性質一

假設實數列{\displaystyle (x\_{n})}係趨向一點，咁{\displaystyle (x\_{n})}就係郝氏數列。

**證明：**

假設實數列{\displaystyle (x\_{n})}係趨向一點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }，姐係

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，佢都會有一個數{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，令到第{\displaystyle n>N}項符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

將{\displaystyle m>n}，咁樣{\displaystyle m>n>N}都會符合{\displaystyle |x\_{m}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

利用三角形不等式，得知

{\displaystyle {\begin{aligned}|x\_{m}-x\_{n}|&=|x\_{m}-x\_{n}-x+x|\\&\leq |x\_{m}-x|+|x\_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

因此，佢係郝氏數列。

### 性質二

任何一條郝氏數列都係被綁定。

**證明：**

假設實數列{\displaystyle (x\_{n})}係郝氏數列，將{\displaystyle \varepsilon :=1}，根據定義，

佢都會有一個數{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，令到第{\displaystyle n\geq N}項符合{\displaystyle |x\_{n}-x\_{N}|<1}。

利用三角形不等式，得知

{\displaystyle {\begin{aligned}|x\_{n}-x\_{N}|&<1\\|x\_{n}|+|x\_{N}|&<1\\|x\_{n}|&<1+|x\_{N}|\end{aligned}}}

定義{\displaystyle M:=\sup\{|x\_{1}|,|x\_{2}|,|x\_{3}|,\cdot ,|x\_{N-1}|,|x\_{N}|+1\}}，咁樣對應該任何既{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，

{\displaystyle |x\_{n}|\leq M}。

### 郝氏要求

一條實數列係趨向一點{\displaystyle \iff }（即係佢一定係）一條郝氏數列。

**證明：**

({\displaystyle \Rightarrow }) 利用性質一。

({\displaystyle \Leftarrow }) 利用性質二得知，所有郝氏數列都係被綁定。因此，可以利用保西奴-華實斯定理；

可以從郝氏實數列{\displaystyle (x\_{n})}中，得出一條子數列{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}，而且呢條子數列{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}趨向{\displaystyle x\in \mathbb {R} }呢點。

因為{\displaystyle (x\_{n})}係郝氏數列，利用定義得知，

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有一個{\displaystyle n,m>N}項符合，{\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

因為{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}趨向{\displaystyle x\in \mathbb {R} }呢點，利用定義得知，

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有一個{\displaystyle K>N}項符合，{\displaystyle |x\_{K}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

因為{\displaystyle K>N}，所以同時符合郝氏數列，因此可以將{\displaystyle m=K}，得出

{\displaystyle |x\_{m}-x\_{K}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

計算，

{\displaystyle {\begin{aligned}|x\_{n}-x|&=|x\_{n}-x+x\_{K}-x\_{K}|\\&\leq |x\_{n}-x\_{K}|+|x\_{K}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

因此佢係趨向{\displaystyle x\in \mathbb {R} }呢點。

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