**孫子定理**（Chinese Remainder Theorem），又叫**中國餘數定理**，係數論上面一條基礎嘅定理。

喺古時嘅中國，韓信點兵就係運用孫子定理。喺南北朝時期，已經有數學著作《孫子算經》問：「有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？」而喺宋朝，數學家秦九韶係《數書九章》入面答：「三人同行七十希，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。」

其實佢哋只係解緊以下呢一個同餘線性系統：


{

x
≡
2

mod

3

x
≡
3

mod

5

x
≡
2

mod

7



{\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 2\mod 3\\x\equiv 3\mod 5\\x\equiv 2\mod 7\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 2\mod 3\\x\equiv 3\mod 5\\x\equiv 2\mod 7\end{cases}}}

孫子定理
----

設{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }同埋{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }。

如果{\displaystyle \gcd(m,n)=1}，咁就會有一個{\displaystyle x\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle {\begin{cases}x\equiv a\mod m\\x\equiv b\mod n\\\end{cases}}}。

呢個版本可以推斷到有限咁多條式嘅版本：

設{\displaystyle a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n}\in \mathbb {Z} }同埋{\displaystyle b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n}\in \mathbb {Z} }。

如果{\displaystyle \gcd(b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n})=1}，咁就會有一個{\displaystyle x\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle {\begin{cases}x&\equiv a\_{1}\mod b\_{1}\\x&\equiv a\_{2}\mod b\_{2}\\\vdots &\equiv \vdots \mod \vdots \\x&\equiv a\_{n}\mod b\_{n}\\\end{cases}}}。

求解
--

求解亦係證明孫子定理嘅方法之一。設{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }同埋{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }。如果{\displaystyle \gcd(m,n)=1}，求{\displaystyle {\begin{cases}x\equiv a\mod m-(1)\\x\equiv b\mod n-(2)\\\end{cases}}}嘅解。

由{\displaystyle (1)}得知{\displaystyle x-a|m}，即係有一個{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle mp=(x-a)}。

代{\displaystyle x=mp-a}去{\displaystyle (2)}得知{\displaystyle mp-a\equiv b\mod n}。

計算上面



m
p
−
a

≡
b

mod

n

m
p

≡
a
+
b

mod

n



{\displaystyle {\begin{aligned}mp-a&\equiv b&\mod n\\mp&\equiv a+b&\mod n\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}mp-a&\equiv b&\mod n\\mp&\equiv a+b&\mod n\\\end{aligned}}}因為{\displaystyle \gcd(m,n)=1}，根據比舒公式，就會有兩個{\displaystyle c,d\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle mc+nd=1}。

由{\displaystyle mc+nd=1}可以推出{\displaystyle nd=1-mc}，{\displaystyle n|1-mc}，{\displaystyle mc\equiv 1\mod n}。

所以



m
p

≡
a
+
b

mod

n

(
c
m
)
p

≡
c
(
a
+
b
)

mod

n

p

≡
c
(
a
+
b
)

mod

n



{\displaystyle {\begin{aligned}mp&\equiv a+b&\mod n\\(cm)p&\equiv c(a+b)&\mod n\\p&\equiv c(a+b)&\mod n\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}mp&\equiv a+b&\mod n\\(cm)p&\equiv c(a+b)&\mod n\\p&\equiv c(a+b)&\mod n\end{aligned}}}因為{\displaystyle c(a+b)\in \mathbb {Z} }，簡化程序叫{\displaystyle z=c(a+b)}，即係{\displaystyle p\equiv z\mod n}。

根據定義，有一個{\displaystyle f\in \mathbb {Z} }會符合{\displaystyle p-z=fn}。

所以得出嘅解就係{\displaystyle x=m(fn+z)-a}

例子
--

解{\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 2\mod 3\\x\equiv 3\mod 11\\x\equiv 2\mod 7\end{cases}}}。

由{\displaystyle x\equiv 2\mod 3}得知，有一個整數{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle 3m=x-2}。

代{\displaystyle x=3m+2}入{\displaystyle x\equiv 3\mod 11}，得出{\displaystyle 3m+2\equiv 3\mod 11}。

計算



3
m
+
2

≡
3

mod

11

3
m

≡
1

mod

11



{\displaystyle {\begin{aligned}3m+2&\equiv 3\mod 11\\3m&\equiv 1\mod 11\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}3m+2&\equiv 3\mod 11\\3m&\equiv 1\mod 11\\\end{aligned}}}利用輾轉相除法，



11

=
3
×
3
+
2

3

=
2
×
1
+
1



{\displaystyle {\begin{aligned}11&=3\times 3+2\\3&=2\times 1+1\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}11&=3\times 3+2\\3&=2\times 1+1\\\end{aligned}}}將利用上面整條比舒公式出嚟，



1

=
3
−
2
×
1



=
3
−
(
11
−
3
×
3
)



=
3
−
11
+
3
×
3



=
3
×
4
−
11



{\displaystyle {\begin{aligned}1&=3-2\times 1\\&=3-(11-3\times 3)\\&=3-11+3\times 3\\&=3\times 4-11\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}1&=3-2\times 1\\&=3-(11-3\times 3)\\&=3-11+3\times 3\\&=3\times 4-11\end{aligned}}}得知，



3
m

≡
1

mod

11

(
4
×
3
)
m

≡
4
×
1

mod

11

m

≡
4

mod

11



{\displaystyle {\begin{aligned}3m&\equiv 1\mod 11\\(4\times 3)m&\equiv 4\times 1\mod 11\\m&\equiv 4\mod 11\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}3m&\equiv 1\mod 11\\(4\times 3)m&\equiv 4\times 1\mod 11\\m&\equiv 4\mod 11\end{aligned}}}所以有一個整數{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle m=11n+4}，而最新嘅解就係{\displaystyle x=3m+2=3(11n+4)+2}。

代{\displaystyle x=3m+2=3(11n+4)+2}去{\displaystyle x\equiv 2\mod 7}。

  

計算



3
(
11
n
+
4
)
+
2

≡
2

mod

7

33
n
+
14

≡
2

mod

7

33
n

≡
2

mod

7



{\displaystyle {\begin{aligned}3(11n+4)+2&\equiv 2\mod 7\\33n+14&\equiv 2\mod 7\\33n&\equiv 2\mod 7\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}3(11n+4)+2&\equiv 2\mod 7\\33n+14&\equiv 2\mod 7\\33n&\equiv 2\mod 7\end{aligned}}}利用輾轉相除法，



33

=
7
×
4
+
5

7

=
5
×
1
+
2

5

=
2
×
2
+
1



{\displaystyle {\begin{aligned}33&=7\times 4+5\\7&=5\times 1+2\\5&=2\times 2+1\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}33&=7\times 4+5\\7&=5\times 1+2\\5&=2\times 2+1\end{aligned}}}將利用上面整條比舒公式出嚟，



1

=
5
−
2
×
2



=
5
−
(
7
−
5
×
1
)
×
2



=
5
×
3
−
7
×
2



=
(
33
−
7
×
4
)
×
3
−
7
×
2



=
33
×
3
−
7
×
12
−
7
×
2



=
33
×
3
−
7
×
14



{\displaystyle {\begin{aligned}1&=5-2\times 2\\&=5-(7-5\times 1)\times 2\\&=5\times 3-7\times 2\\&=(33-7\times 4)\times 3-7\times 2\\&=33\times 3-7\times 12-7\times 2\\&=33\times 3-7\times 14\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}1&=5-2\times 2\\&=5-(7-5\times 1)\times 2\\&=5\times 3-7\times 2\\&=(33-7\times 4)\times 3-7\times 2\\&=33\times 3-7\times 12-7\times 2\\&=33\times 3-7\times 14\end{aligned}}}得知，



33
n

≡
2

mod

7

(
3
×
33
)
n

≡
3
×
2

mod

7

n

≡
6

mod

7



{\displaystyle {\begin{aligned}33n&\equiv 2\mod 7\\(3\times 33)n&\equiv 3\times 2\mod 7\\n&\equiv 6\mod 7\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}33n&\equiv 2\mod 7\\(3\times 33)n&\equiv 3\times 2\mod 7\\n&\equiv 6\mod 7\end{aligned}}}所以有一個整數{\displaystyle l\in \mathbb {Z} }符合{\displaystyle n=7l+6}，而解就係{\displaystyle x=3m+2=3[11(7l+6)+4]+2}。

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