**保西奴中間點定理（Bolzano's Intermediate Value Theorem）**係屬於數學分析入面，間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理，而根定位定理係一個相當重要嘅定理，佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理
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假設{\displaystyle I:=[a,b]}，{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }係喺{\displaystyle I}上面連續。

如果{\displaystyle f(a)<0<f(b)}或者{\displaystyle f(a)>0>f(b)}，咁就會有一點{\displaystyle c\in (a,b)}符合{\displaystyle f(c)=0}。

**證明：**

假設{\displaystyle f(a)<0<f(b)}。

設一個間距{\displaystyle I\_{1}:=[a\_{1},b\_{1}]}，{\displaystyle a\_{1}=a,b\_{1}=b}，{\displaystyle m\_{1}={\frac {1}{2}}(a\_{1}+b\_{1})}就係呢個間距嘅中間點。

如果{\displaystyle f(m\_{1})=0}，咁{\displaystyle c=m\_{1}}，可以收工。

如果{\displaystyle f(m\_{1})\neq 0}，咁即係{\displaystyle f(m\_{1})>0}或者{\displaystyle f(m\_{1})<0}。

* 如果{\displaystyle f(m\_{1})>0}，設{\displaystyle a\_{2}=a,b\_{2}=m\_{1}}，{\displaystyle m\_{2}={\frac {1}{2}}(a\_{2}+b\_{2})}就係{\displaystyle I\_{2}:=[a\_{2},b\_{2}]}間距嘅中間點。
* 如果{\displaystyle f(m\_{1})<0}，設{\displaystyle a\_{2}=m\_{1},b\_{2}=b\_{1}}，{\displaystyle m\_{2}={\frac {1}{2}}(a\_{2}+b\_{2})}就係{\displaystyle I\_{2}:=[a\_{2},b\_{2}]}間距嘅中間點。

無論如何，都會得出一個循環間距{\displaystyle I\_{2}\subset I\_{1}}符合{\displaystyle f(a\_{2})<0}同埋{\displaystyle f(b\_{2})>0}。

將以上步驟做落去可以得到以下設定：

有間距{\displaystyle I\_{k}:=[a\_{k},b\_{k}]}符合{\displaystyle f(a\_{k})<0}同埋{\displaystyle f(b\_{k})>0}，設{\displaystyle m\_{k}={\frac {1}{2}}(a\_{k}+b\_{k})}，將佢斬半。

* 如果{\displaystyle f(m\_{k})=0}，咁{\displaystyle c=m\_{k}}，可以收工。
* 如果{\displaystyle f(m\_{k})>0}，設{\displaystyle a\_{k+1}=a\_{k},b\_{k+1}=m\_{k}}，{\displaystyle m\_{k+1}={\frac {1}{2}}(a\_{k+1}+b\_{k+1})}就係{\displaystyle I\_{k+1}:=[a\_{k+1},b\_{k+1}]}間距嘅中間點。
* 如果{\displaystyle f(m\_{k})<0}，設{\displaystyle a\_{k+1}=m\_{k},b\_{k+1}=b\_{k}}，{\displaystyle m\_{k+1}={\frac {1}{2}}(a\_{k+1}+b\_{k+1})}就係{\displaystyle I\_{k+1}:=[a\_{k+1},b\_{k+1}]}間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到{\displaystyle f(m\_{k})=0}，咁定理就成立。

需要考慮，呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行，咁就會得出一串循環間距{\displaystyle I\_{1}\supseteq I\_{2}\supseteq \cdots \supseteq I\_{n}\supseteq \cdots }。

{\displaystyle I\_{n}:=[a\_{n},b\_{n}],\forall n\in \mathbb {N} }，同時間會有{\displaystyle f(a\_{n})<0}同埋{\displaystyle f(b\_{n})>0}。

因為每次間距都斬半，所以{\displaystyle I\_{n}}嘅長度係{\displaystyle b\_{n}-a\_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)}。

利用循環間距定理，得知對應所有嘅{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }，會有一點{\displaystyle c\in I\_{n}}係{\displaystyle I\_{n}}入面，即係話{\displaystyle a\_{n}\leq c\leq b\_{n},\forall n\in \mathbb {N} }。

利用長度嚟計算{\displaystyle \lim \_{n}b\_{n}-a\_{n}=\lim \_{n}{\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)=0}，所以{\displaystyle \lim \_{n}a\_{n}=\lim \_{n}b\_{n}=c}。

因為{\displaystyle f}喺{\displaystyle c}呢點上面係連續，所以{\displaystyle \lim \_{n}f(a\_{n})=\lim \_{n}f(b\_{n})=f(c)}。

利用極限排序性質，{\displaystyle f(a\_{n})<0\implies \lim(f(a\_{n}))<0}同埋{\displaystyle f(b\_{n})>0\implies \lim(f(b\_{n}))>0}。

所以總結出{\displaystyle f(c)=0}。

中間點定理
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**中間點定理（Intermediate Value Theorem）**係上面根定位嘅推理。

假設**語法拼砌失敗 (可以嘅話用MathML（實驗中）: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/zh-yue.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle I}**
係一個間距同埋{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }係喺{\displaystyle I}上面連續。

如果{\displaystyle a,b\in I}同埋{\displaystyle k\in \mathbb {R} }符合{\displaystyle f(a)<k<f(b)}，咁就會有一點{\displaystyle c\in I}喺{\displaystyle a}同{\displaystyle f(c)=0}之間，使到{\displaystyle f(c)=k}。

**證明：**

只有兩個可能性，就係{\displaystyle a<b}或者{\displaystyle b>a}。


證明{\displaystyle a<b}

設{\displaystyle g(x):=f(x)-k}。

咁{\displaystyle g(a)=f(a)-k}，{\displaystyle g(b)=f(b)-k}。

利用{\displaystyle f(a)<k<f(b)}得知，{\displaystyle f(a)-k<0<f(b)-k}。

即係{\displaystyle g(a)<0<g(b)}，再利用根定位定理得知，有點{\displaystyle c\in (a,b)}符合{\displaystyle g(c)=f(c)-k=0}。

{\displaystyle f(c)=k}



證明{\displaystyle b>a}

設{\displaystyle g(x):=-f(x)+k}。

咁{\displaystyle g(a)=-f(a)+k}，{\displaystyle g(b)=-f(b)+k}。

利用{\displaystyle f(a)<k<f(b)}得知，{\displaystyle k-f(a)>0>k-f(b)}。

即係{\displaystyle g(b)<0<g(a)}，再利用根定位定理得知，有點**語法拼砌失敗 (可以嘅話用MathML（實驗中）: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/zh-yue.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c\in(b,a)}**
符合{\displaystyle g(c)=-f(c)+k=0}。

{\displaystyle f(c)=k}

**推斷：**

設{\displaystyle I:=[a,b]}係一個關閉又被綁定嘅間距，{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }係喺{\displaystyle I}上面連續嘅。

如果{\displaystyle k\in \mathbb {R} }係任何一個數符合{\displaystyle \inf f(I)\leq k\leq \sup f(I)}，咁就會有一點{\displaystyle c\in I}使到{\displaystyle f(c)=k}。

應用
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設{\displaystyle I}係一個關閉又被綁定嘅間距，{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }係喺{\displaystyle I}上面連續嘅。咁{\displaystyle S:=\{f(x):x\in I\}}都係一個關閉又被綁定嘅間距。

**證明：**

設{\displaystyle s\_{\star }:=\inf S}同{\displaystyle s^{\star }:=\sup S}。

利用最高點最低點定理，得知{\displaystyle s\_{\star },s^{\star }\in S}。

所以{\displaystyle S\subseteq [s\_{\star },s^{\star }]}。

設{\displaystyle s\in [s\_{\star },s^{\star }]}。

咁因為中間點嘅推斷得知，有會一點{\displaystyle c\in I}符合{\displaystyle f(c)=s}。

所以{\displaystyle s\in S}。

因此{\displaystyle [s\_{\star },s^{\star }]\subseteq S}。

綜合兩者，{\displaystyle S}係一個間距，佢係{\displaystyle [s\_{\star },s^{\star }]}。

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