呢篇文講線性代數入邊嘅商空間。想搵其他商空間嘅話，請睇「**商空間**」。
喺線性代數入面，一個向量空間{\displaystyle V}對佢嘅一個子空間{\displaystyle N}嘅**商**係一個新嘅向量空間，作用就好似將{\displaystyle N}壓做一點咁。得到嘅空間叫做**商空間**，寫做{\displaystyle V/N}，英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎，喺幾何學入邊，睇上同調（cohomology）、譜序列（spectral sequence）等等都要用到商空間嚟定義，分析入邊嘅*Lp*空間都要用商空間嚟定義。

定義
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呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作（construction）。設{\displaystyle V}係場{\displaystyle K}上邊嘅一個向量空間，{\displaystyle N}係{\displaystyle V}嘅一個子空間。喺{\displaystyle V}上邊定義一個等價關係{\displaystyle \sim }如下：{\displaystyle x\sim y}若且唯若{\displaystyle x-y\in N}，換句話講，若果喺 {\displaystyle N} 入邊搵到支向量 {\displaystyle n}，令 {\displaystyle x+n=y} 嘅話，{\displaystyle x} 同 {\displaystyle y} 就係有關係。由呢個定義睇得出 {\displaystyle N} 入邊嘅所有向量都同零向量有關係，亦即係話 {\displaystyle N} 入邊嘅所有向量都同 {\displaystyle 0} 向量喺同一個等價類。{\displaystyle x}對應嘅等價類通常寫做{\displaystyle [x]=x+N}，因為佢可以寫做{\displaystyle [x]=\{x+n:n\in N\}}。

商空間{\displaystyle V/N}集合嘅定義就係{\displaystyle V/\sim }，即係{\displaystyle \sim }呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法同向量加法係咁樣定義嘅：

* {\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}，{\displaystyle \alpha \in K}
* {\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表，即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令{\displaystyle V/N}成為一個向量空間，其中{\displaystyle N=[0]}係入邊嘅零向量。

將{\displaystyle v}打去等價類{\displaystyle [v]}嗰個映射叫**商映射**（quotient map）。

另一個講法係，商空間{\displaystyle V/N}係所有同{\displaystyle N}平行嘅仿射空間組成嘅集。

例子
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平面（二維空間）對一維子空間{\displaystyle F}嘅商設{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}係歐幾里得平面，{\displaystyle Y}係{\displaystyle X}入邊一條穿過原點嘅直線，咁商空間{\displaystyle X/Y}可以睇做{\displaystyle X}入邊所有同{\displaystyle Y}平行嘅線形成嘅空間，即係話{\displaystyle X/Y}入邊嘅每一粒元素都係{\displaystyle X}入邊同{\displaystyle Y}平行嘅一條直線。如果喺{\displaystyle X}入邊揀一條同{\displaystyle Y}唔平行而且穿過原點嘅直線{\displaystyle Z}嘅話，對{\displaystyle Z}入邊每一點{\displaystyle z}，都有一條直線穿過{\displaystyle z}而且同{\displaystyle Y}平行，呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇{\displaystyle X/Y}，我哋話{\displaystyle Z}參數化咗同{\displaystyle Y}平行嘅直線，而事實上{\displaystyle X/Y}係同構於{\displaystyle Z}（{\displaystyle X/Y\cong Z}）。同樣地，如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話，都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少，我哋睇n-維歐幾里得空間{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}對佢頭{\displaystyle m}支標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商（{\displaystyle m\leq n}），{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}由n元組實數{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})}組成，而嗰個子空間（同{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}同構）就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成：{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{m},0,\ldots ,0)}。喺呢個商入邊，{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾{\displaystyle n-m}個座標係一樣，所以可以用尾呢{\displaystyle n-m}個座標嚟代表個商空間，而呢柞向量組成嘅空間好自然係同{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}同構嘅，亦即係話，{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n-m}}。

再推廣少少，若果向量空間{\displaystyle V}係兩個子空間{\displaystyle U,W}嘅（內）直積嘅話：{\displaystyle V=U\oplus W}，咁商空間{\displaystyle V/U}同{\displaystyle W}有一個自然同構，當然相反亦都有{\displaystyle V/W}同{\displaystyle U}之間嘅自然同構。

性質
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短正合序列{\displaystyle 0{\xrightarrow {z}}A{\xrightarrow {i}}B{\xrightarrow {s}}C{\xrightarrow {c}}0}嘅示意圖
由{\displaystyle V}去{\displaystyle V/U}有一個自然嘅滿同態（epimorphism），將向量{\displaystyle x}打去佢嘅等價類{\displaystyle [x]}，而佢個核就係子空間{\displaystyle U}。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟：

{\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0}
如果{\displaystyle U}係{\displaystyle V}嘅子空間嘅話，{\displaystyle V/U}嘅維度又叫做{\displaystyle U}喺{\displaystyle V}入邊嘅**餘維度**（codimension）。如果畀咗{\displaystyle U}嘅一組基{\displaystyle A}同{\displaystyle V/U}嘅一組基{\displaystyle B}嘅話，可以對{\displaystyle B}嘅每一個元素搵返任意一個喺{\displaystyle V}入邊嘅代表，再加埋{\displaystyle A}入邊嘅向量就形成{\displaystyle V}嘅一組基，所以{\displaystyle V}嘅維度係{\displaystyle U}同{\displaystyle V/U}嘅加埋。如果{\displaystyle V}係有限維嘅話就可以做減數：{\displaystyle U}喺{\displaystyle V}入邊嘅餘維度係{\displaystyle V}嘅維度減{\displaystyle U}嘅維度：

{\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)}
設{\displaystyle T:V\to W}係一個線性映射，{\displaystyle T}嘅核（寫做{\displaystyle \ker T}）裝住所有令{\displaystyle Tx=0}嘅向量{\displaystyle x}，{\displaystyle \ker T}係{\displaystyle V}嘅一個子空間，向量空間嘅第一同構定理講話商空間{\displaystyle V/\ker T}同{\displaystyle V}喺{\displaystyle W}入邊嘅映像係同構嘅，即係{\displaystyle V/\ker T\cong \mathrm {Im} \;T}，咁就即刻有個推論：對有限維空間{\displaystyle V}，{\displaystyle V}維度等於{\displaystyle \ker T}嘅維度（{\displaystyle T}嘅零化度nullity）加{\displaystyle \mathrm {Im} \;T}嘅維度（{\displaystyle T}嘅秩rank），即係所謂嘅秩—零化度定理（rank-nullity theorem）。

一個線性映射{\displaystyle T:V\to W}嘅餘核（cokernel）嘅定義係商空間{\displaystyle W/\mathrm {Im} \;T}。

萬有性質
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巴拿赫空間嘅商
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如果{\displaystyle X}係一個巴拿赫空間而{\displaystyle M}係佢一個閉子空間，咁商空間{\displaystyle X/M}都會係一個巴拿赫空間：佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗，而分析方面佢自動有一個自然嘅範：

{\displaystyle \|[x]\|\_{X/M}=\inf \_{m\in M}\|x-m\|\_{X}=\inf \_{m\in M}\|x+m\|\_{X}=\inf \_{y\in [x]}\|y\|\_{X}}
如果{\displaystyle X}係完備嘅話，商空間{\displaystyle X/M}帶住呢個範會自動係一個完備空間，所以係一個巴拿赫空間。

### 例子

設{\displaystyle C[0,1]}係區間{\displaystyle [0,1]}上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間，帶住sup範。設{\displaystyle M}係嗰啲{\displaystyle f(0)=0}嘅函數{\displaystyle f}組成嘅函數子空間，咁嘅話每個函數{\displaystyle g}嘅等價類係完全由佢喺{\displaystyle 0}嗰個位嘅數值{\displaystyle g(0)}嚟決定，即係話商空間{\displaystyle C[0,1]/M}係同{\displaystyle \mathbb {R} }同構。

如果{\displaystyle X}係一個Hilbert空間嘅話，商空間{\displaystyle X/M}同{\displaystyle M}嘅正交補空間同構。

### 推廣去局部凸空間

一個局部凸空間（locally convex space）對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間：如果{\displaystyle X}係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由{\displaystyle \{p\_{\alpha }|\alpha \in A\}}呢拃半範（seminorm）產生出嚟嘅話，設{\displaystyle M}係一個閉子空間，並定義商空間{\displaystyle X/M}上面嘅半範{\displaystyle q\_{\alpha }}：

{\displaystyle q\_{\alpha }([x])=\inf \_{v\in [x]}p\_{\alpha }(v)}
咁{\displaystyle X/M}就係一個局部凸空間，而且拓樸結構係商拓樸。

喺呢個之上，若果{\displaystyle X}係可度量化（metrizable）嘅話，{\displaystyle X/M}都係；若果{\displaystyle X}係Fréchet嘅話，{\displaystyle X/M}都係。

應用
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### 定義*Lp*空間

Dirichlet函數，佢積出嚟係0，所以喺{\displaystyle {\mathcal {N}}}空間入邊，喺{\displaystyle L^{p}}空間入邊佢同0函數一樣。
喺分析學入邊，有一個好重要嘅概念，就係{\displaystyle L^{p}}空間。佢其實就係一啲*p*-可積函數，但係如果兩個函數嘅差積出嚟係{\displaystyle 0}嘅話就當做一樣。具體啲嚟講，假如畀咗一個測度空間{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}，定義{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}做裝住所有符合{\displaystyle \|f\|\_{p}\equiv \left(\int \_{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty }嘅函數{\displaystyle f}嘅集合，{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}自動會係一個向量空間，而事實上佢直程係一個半範空間，{\displaystyle \|\cdot \|\_{p}}係一個半範。佢唔係一個範，而且{\displaystyle \|f\|\_{p}=0}若且唯若{\displaystyle f}幾乎到到（almost everywhere）都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間：設{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L^{p}}}:\|f\|\_{p}=0\}}，咁商空間{\displaystyle L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}}帶著{\displaystyle \|\cdot \|\_{p}}就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間，所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

### 定義上同調

睇埋
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* 商羣
* 商模
* 商集
* 商空間 (拓樸學)

參考
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1. ↑  Halmos (1974) pp. 33-34 §§ 21-22
2. ↑  Katznelson & Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
3. ↑  Roman (2005) p. 75-76, ch. 3
4. ↑  Axler (2015) p. 95, § 3.83
5. ↑  Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 1
6. ↑  Axler (2015) p. 97, § 3.89
7. ↑  Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 2
8. ↑  Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8
9. ↑  Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

書目
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* Axler, Sheldon (2015). *Linear Algebra Done Right*. Undergraduate Texts in Mathematics (第3版).  Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
* Dieudonné, Jean (1976), *Treatise on Analysis*,第2卷, Academic Press, ISBN 978-0122155024
* Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. *Finite-Dimensional Vector Spaces*. Undergraduate Texts in Mathematics (第2版).  Springer. ISBN 0-387-90093-4.
* Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). *A (Terse) Introduction to Linear Algebra*. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
* Roman, Steven (2005). *Advanced Linear Algebra*. Graduate Texts in Mathematics (第2版). Springer. ISBN 0-387-24766-1.