**保西奴-華實斯定理**（*Bolzano-Weierstrass Theorem*）係一條嗚數學分析同拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列同子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass，1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理
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增減數列同子數列嘅關係，就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

**證明：**

假設數列入面第{\displaystyle m}項係最高點，即係話第{\displaystyle m}項會係數列入面數值最高嗰一個項，之後無一個項係高過佢，即係{\displaystyle x\_{m}\geq x\_{n},\,\forall n\geq m}。

即係話，一條數列係遞減數列嘅話，每一點都係最高點。相反，每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點，或者得有限咁多個最高點，兩類。

第一類；假設數列係有無限咁多最高點，咁只要揀曬佢嘅最高點出黎，就得出



x

m

1

≥

x

m

2

≥
⋯
≥

x

m

k

≥
⋯

{\displaystyle x\_{m\_{1}}\geq x\_{m\_{2}}\geq \cdots \geq x\_{m\_{k}}\geq \cdots }

{\displaystyle x_{m_{1}}\geq x_{m_{2}}\geq \cdots \geq x_{m_{k}}\geq \cdots }由此，可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類；假設數列係得有限個最高點，咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟，



x

m

1

,

m

2

,
⋯
,

x

m

k



{\displaystyle x\_{m\_{1}},{m\_{2}},\cdots ,x\_{m\_{k}}}

{\displaystyle x_{m_{1}},{m_{2}},\cdots ,x_{m_{k}}}將所有最高點之後嘅一個項叫做{\displaystyle x\_{s\_{1}}}。

因為{\displaystyle x\_{s\_{1}}}唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做{\displaystyle x\_{s\_{2}}}，咁即係{\displaystyle x\_{s\_{1}}\leq x\_{s\_{2}}}。

因為{\displaystyle x\_{s\_{2}}}唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做{\displaystyle x\_{s\_{3}}}，咁姐係{\displaystyle x\_{s\_{2}}\leq x\_{s\_{3}}}。

如此類推，就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理
---------

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

### 證明一

因為增減子數列存在定理，所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定，因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理，咁呢條增減子數列一定趨向一點。

### 證明二

需要利用套間證明。

因為數列{\displaystyle (x\_{n})}係被綁定，咁佢一定有一個最小上界限同最大下界限，即係{\displaystyle a:=\inf\{x\_{n}:n\in \mathbb {N} \}}同埋{\displaystyle b:=\sup\{x\_{n}:n\in \mathbb {N} \}}。

將{\displaystyle a}同{\displaystyle b}組成一個間距{\displaystyle I\_{1}:=[a,b]}。

將{\displaystyle n\_{1}:=1}，然後將{\displaystyle I\_{1}}斬開兩等分，即係{\displaystyle I\_{1}'}同{\displaystyle I\_{1}''}。而將{\displaystyle (x\_{n})}大過一嘅項數{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n>1\}}分開做，



A

1

:=
{
n
∈

N

:
n
>

n

1

=
1
,

x

n

∈

I

1

′

}

B

1

:=
{
n
∈

N

:
n
>

n

1

=
1
,

x

n

∈

I

1

″

}

{\displaystyle A\_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n\_{1}=1,x\_{n}\in I\_{1}'\}\quad B\_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n\_{1}=1,x\_{n}\in I\_{1}''\}}

{\displaystyle A_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}'\}\quad B_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}''\}}咁明顯，其中一面{\displaystyle A\_{1}}或者{\displaystyle B\_{1}}係有無限咁多點。假設{\displaystyle A\_{1}}係有無限咁多點，

將{\displaystyle n\_{2}}定義為{\displaystyle A\_{1}}入面項數最細嗰一項。即係{\displaystyle A\_{1}}入面有{\displaystyle \{x\_{3},x\_{2},x\_{5},x\_{11},\cdots \}}，咁{\displaystyle n\_{2}:=2}。

將{\displaystyle I\_{2}:=I\_{1}'}，之後再將{\displaystyle I\_{2}}斬開兩等分，即係{\displaystyle I\_{2}'}同{\displaystyle I\_{2}''}。而再將{\displaystyle A\_{1}}嘅數分開，



A

2

:=
{
n
∈

N

:
n
>

n

2

,

x

n

∈

I

2

′

}

B

2

:=
{
n
∈

N

:
n
>

n

2

,

x

n

∈

I

2

″

}

{\displaystyle A\_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n\_{2},x\_{n}\in I\_{2}'\}\quad B\_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n\_{2},x\_{n}\in I\_{2}''\}}

{\displaystyle A_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}'\}\quad B_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}''\}}同樣原理，咁其中一面{\displaystyle A\_{2}}或者{\displaystyle B\_{2}}係有無限咁多點。假設{\displaystyle A\_{2}}係有無限咁多點，

將{\displaystyle n\_{3}}定義為{\displaystyle A\_{2}}入面項數最細嗰一項。

如似類推，就會有一個套間，{\displaystyle I\_{1}\supseteq I\_{2}\supseteq I\_{3}\supseteq \cdots \supseteq I\_{k}\supseteq \cdots }。而同時，佢嘅子數列{\displaystyle (x\_{n\_{k}})}都會有{\displaystyle k\in \mathbb {N} }項係喺第{\displaystyle k}嘅間距入面。姐係{\displaystyle x\_{n\_{k}}\in I\_{k},\,\forall k\in \mathbb {N} }。

同時，因為每次都將個間距等分兩份，所以間距嘅長度就會係{\displaystyle {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}。

利用套間定理，得知有一個點{\displaystyle \xi \in I\_{k}}係喺所有嘅間距入面，即係{\displaystyle \xi \in I\_{k},\,\forall k\in \mathbb {N} }。

因為{\displaystyle \xi \in I\_{k}}同{\displaystyle x\_{n\_{k}}\in I\_{k}}都係喺{\displaystyle I\_{k}}入面，所以可以知道



|

x

n

k

−
ξ

|

≤

b
−
a

2

k
−
1



{\displaystyle |x\_{n\_{k}}-\xi |\leq {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}

{\displaystyle |x_{n_{k}}-\xi |\leq {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}因為{\displaystyle k}變到好大嘅時候，{\displaystyle {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}可變成任意嘅數。

所以，{\displaystyle \lim x\_{n\_{k}}=\xi }。

推論
--

如果一條數列係被綁定，而佢嘅所有子數列都係趨向一點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }，咁呢條數列係趨向同一點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }。

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