**反證法**（粵拼：Faan2 zing3 faat3；英國話：Proof by contradiction），又叫做**證偽法**、**矛盾證明**，係一個數學上一個攞嚟證明啲嘢唔啱嘅方法。係拉丁話入面，反證法畀人嗌做「reductio ad absurdum」（英國話：reduction to the absurd），意思係「推斷出荒謬嘅嘢」。

呢個方法嘅橋妙係咁：首先整一個**命題**（Proposition）{\displaystyle p}，然後就**假設**（Assume）{\displaystyle p} 呢個命題係啱嘅；跟住就推一啲只要 {\displaystyle p} 係啱，就一定會發生嘅結果出嚟，最後就指出呢個結果係唔成立或者係喺邏輯上矛盾嘅，咁就可以證明 {\displaystyle p} 係錯嘅。

真值表
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反證法可以用真值表嚟證明：因為如果「{\displaystyle p\rightarrow q}」係**真**（True；T）但係 {\displaystyle q} 係**假**（False；F）嘅，咁 {\displaystyle p} 嘅值只可能係假。

**推論**| {\displaystyle p} | {\displaystyle q} | {\displaystyle p} → {\displaystyle q} |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |

簡單例子
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**要求**：

證明「如果 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 係一個單數，咁 {\displaystyle n^{2}} 都會係一個單數」。

**證明**：

假設有個情況， {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 係一個單數，但係 {\displaystyle n^{2}} 係一個雙數。

即係對應某啲 {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle n=2k+1}。計吓




n

2


=
(
2
k
+
1

)

2



=
4

k

2

+
2
k
+
1



{\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=4k^{2}+2k+1\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=4k^{2}+2k+1\\\end{aligned}}}
好明顯呢個情況下 {\displaystyle n^{2}} 唔係一個雙數，所以同前提矛盾。所以 {\displaystyle n^{2}} 佢一定係個單數。「如果 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 係一個單數，咁 {\displaystyle n^{2}} 有可能係一個雙數」呢句嘢唔成立－「如果 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 係一個單數，咁 {\displaystyle n^{2}} 都會係一個單數」。

進階例子
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**要求**：

證明冇任何兩個**正整數**（Positive integer）{\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} \_{>0}} 可以乎合 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 呢條式。呢個證明需要用到**分類證明**（Proof by exhaustion）。

**證明**：

假設有兩個正整數 {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} \_{>0}} 符合 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 呢條式。（假設）

利用 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}，得知 {\displaystyle (x+y)(x-y)=1}。

如果淨係睇整數，{\displaystyle 1} 只可以係 {\displaystyle 1\cdot 1=1} 同 {\displaystyle -1\cdot -1=1} 嗰度嚟。

如果係 {\displaystyle 1\cdot 1=1}，即係 {\displaystyle x+y=1} 同 {\displaystyle x-y=1}。

因此，{\displaystyle x=1,y=0}。（由假設推出個矛盾－因為唔可能有一個正整數係比一更細。）

如果係 {\displaystyle -1\cdot -1=1}，即係 {\displaystyle x+y=-1} 同 {\displaystyle x-y=-1}。

因此，{\displaystyle x=-1,y=0}。（又試由假設推出個矛盾：更冇可能，因為要求**正整數**。）

總括所有可能，個假設都係唔成立，所以一定唔存在 {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} \_{>0}}－冇任何兩個正整數可以乎合 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 呢條式。

{\displaystyle {\sqrt {2}}} 係非有理數
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**要求**：

利用矛盾證明嚟證明「{\displaystyle {\sqrt {2}}} 係**非有理數**（Irrational number；冇辦法用整數寫做分數嘅數字）。」

**證明**：

假設 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 可以係個**有理數**（Rational number；可以用整數寫做分數嘅數字）。咁即係喺至少一個情況下 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}，而 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } 同 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 都係整數。

喺呢度，進一步假設 {\displaystyle {\frac {m}{n}}} 係已經約咗簡，費事有約數嘅撈絞。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\frac {m}{n}}\\({\sqrt {2}})^{2}&={\bigl (}{\frac {m}{n}}{\bigr )}^{2}\\2&={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\\2n^{2}&=m^{2}\end{aligned}}}

由上面得出，{\displaystyle m^{2}} 係雙數。

假設 {\displaystyle m} 係單數，利用簡單例子嘅定理，咁 {\displaystyle m^{2}} 一定係單數。（矛盾：因為 {\displaystyle m^{2}} 係雙數。）

所以，{\displaystyle m} 係雙數，而且可以寫成 {\displaystyle m=2k}，{\displaystyle k\in \mathbb {Z} } 係某個整數。

{\displaystyle {\begin{aligned}2n^{2}&=m^{2}\\2n^{2}&=(2k)^{2}\\2n^{2}&=4k^{2}\\n^{2}&=2k^{2}\end{aligned}}}

利用上面，再總結得出 {\displaystyle n} 係雙數，而且可以寫成 {\displaystyle n=2j}，{\displaystyle j\in \mathbb {Z} } 係某個整數。

{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2k}{2j}}={\frac {k}{j}}}

因為，假設 {\displaystyle {\frac {m}{n}}} 係已經約咗簡，所以唔可以有另一個 {\displaystyle {\frac {k}{j}}}。

所以 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 唔可以用整數寫做分數。

可以利用呢個步驟推出 {\displaystyle {\sqrt {3}}}、{\displaystyle {\sqrt {5}}}、{\displaystyle {\sqrt {p}}}，{\displaystyle p} 係質數，都唔係有理數。

反證法嘅步驟
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1. 寫低要證明嘅命題。
2. 再寫低頭先嗰句命題嘅相反，再假設呢句新命題係啱。
3. 利用呢條假設，推斷啲野出嚟。
4. 搵下有咩矛盾。
5. 如果個假設引致矛盾，咁就可以話個假設係錯。咁嘅話個假設嘅相反－即係想證明嗰句命題－就會係啱。

更多例子
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以下命題係可以用反證法嚟證明：

* **{\displaystyle x^{5}-2x^{3}-3=0}** 嘅值係一定少過 **{\displaystyle 2}。**
* 對所以嘅整數 **{\displaystyle x}**、**{\displaystyle y}**，如果 **{\displaystyle xy}** 係單數，咁 **{\displaystyle x}** 同 **{\displaystyle y}** 都係單數。

睇埋
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* 數學史
* 直接證明
* 分類證明
* 數學歸納法
* 否定證明

參考
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* Beth, E. W. (1970). *Proof by Contradiction. In Aspect of Modern Logic* (pp. 30-41). Springer Netherlands.
* Antonini, S. & Mariotti, M. A. (2006). *Reasoning in an absurd world: difficulties with proof by contradiction*. In Proceedings of the 30th PME Conference, Prague, Czech Republic (Vol. 2, pp. 65-72).

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