數學中， **Theta 函數** 係多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇同埋模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其超弦同D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「*z*」 變量，theta 函數有種「擬周期」性 。喺一般下降理論中，數學中， **Theta 函數** 為多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其於 超弦與D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「*z*」 變量，theta 函數有「擬周期」性 。喺一般下降理論中，此來自線叢條件。

雅可比 theta 函數
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**雅可比 theta 函數**攞一雙變量 *z* 同 τ， 其中 *z* 為任何複數，而 τ 為上半複平面上一點；此函數嘅定義係：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}。
若固定 τ，則此成為一週期為 1 之單變量(*z*)整函數嘅 富里埃展開式：

{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}。
以 τ 位移時，呢支函數符合：

{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )}；
其中 *a*與*b*為整數。

輔助函數
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我地可定義輔助函數：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(z;\tau )=\vartheta (z+1/2;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z;\tau )=\exp(\pi i\tau /4+\pi iz)\vartheta (z+\tau /2;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z;\tau )=\exp(\pi i\tau /4+\pi i(z+1/2))\vartheta (z+(\tau +1)/2;\tau ).}
其中符號跟黎曼同Mumford嘅習慣； 雅可比篇原文用變量 {\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}替換咗 τ，而叫本文嘅 theta 做{\displaystyle \theta \_{3}}， {\displaystyle \vartheta \_{01}} 做 {\displaystyle \theta \_{0}}，{\displaystyle \vartheta \_{10}} 做 {\displaystyle \theta \_{2}}，{\displaystyle \vartheta \_{11}}做{\displaystyle -\theta \_{1}}。

若設 *z* = 0 ，咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數， 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 **theta 『常量』**」；我地可以用 theta 函數定義一系列模形式，或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta \_{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta \_{10}(0;\tau )^{4}},
是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式
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雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用；模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

{\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{1/2}\exp({\pi iz^{2}}{\tau }).}
則

{\displaystyle \vartheta (z/\tau ;-1/\tau )=\alpha \vartheta (z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{01}(z/\tau ;-1/\tau )=\alpha \vartheta \_{10}(z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z/\tau ;-1/\tau )=\alpha \vartheta \_{01}(z;\tau )}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z/\tau ;-1/\tau )=-\alpha \vartheta \_{11}(z;\tau )}

以 *nome q* 表示 theta 函數
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我哋可用變量 *w* 與 *q* ，代替 z 同 τ，來表示 ϑ。設 {\displaystyle w=\exp(\pi iz)} 而{\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}。則 ϑ 可表示為：

{\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
而輔助 theta 函數可表示為：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(w;q)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(w;q)=q^{1/4}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(w;q)=iq^{1/4}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.}
此表示式唔使指數函數，故適用於指數函數無每一處定義嘅域，如p 進數域

乘積表示式
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雅可比三重積恆等式話：若有複數 *w* and *q*，其中 |*q*| < 1 而 *w* ≠ 0 ，則

{\displaystyle \prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
此式可用基本方法證，如 Hardy 同 Wright 本 《*An Introduction to the Theory of Numbers*》。

若用 *nome*變量 {\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )} 同 {\displaystyle w=\exp(\pi iz)} 表示，則有

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
故得 theta 函數之積公式

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)}
三重積等式左邊可擴展成

{\displaystyle \prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),}
即

{\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}。
此式喺 *z* 取實值時尤其重要。
各輔助 theta 函數亦有類似之積公式：

{\displaystyle \vartheta \_{01}(z|q)=\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod \_{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}

積分表示式
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雅可比 theta 函數可用積分表示，如下：

{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du}
{\displaystyle \vartheta \_{01}(z;\tau )=-i\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.}
{\displaystyle \vartheta \_{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}
{\displaystyle \vartheta \_{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int \_{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}

與黎曼 zeta 函數之關係
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黎曼曾用關係式

{\displaystyle \vartheta (0;-1/\tau )=(-i\tau )^{1/2}\vartheta (0;\tau )}
以證黎曼 zeta 函數之函數方程。渠話：

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int \_{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}}；
而此積分喺替換{\displaystyle s\to 1-s}下不變。 *z* 非零時嘅積分表示，喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係
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雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數，並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造：

{\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta \_{11}(z;\tau ))''+c}
其中二次微分相對於 *z*，而常數 *c* 令{\displaystyle \wp (z)} 嘅 Laurent 級數 （於 *z* = 0） 常項為零。

同模形式嘅關係
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設 η 為 Dedekind eta 函數。則

{\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}}.

解熱方程
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雅可比 theta 函數係一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 *z* = *x* 攞實值，τ = *it* 而*t* 攞正值。則有

{\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum \_{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}
此解此下方程：

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)}。
喺 *t* = 0 時， theta 函數成為「Dirac 梳」

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}，
其中 δ 為 Dirac delta 函數， 故可知此解唯一。
因此，一般解可得自 *t* = 0 時之（週期）邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

同海森堡羣嘅關係
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雅可比 theta 函喺海森堡羣嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之theta 表示一文。

推廣
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若*F*為一*n*元 二次式，則有一 關連嘅 theta 函數

{\displaystyle \theta \_{F}(z)=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))}
其中 *Z*n 為整數格。此 theta 函數係模羣（或某適當子羣）上嘅權 *n*/2 模形式。 在其富理埃級數

{\displaystyle \theta \_{F}(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }R\_{F}(k)\exp(2\pi ikz)}
中，*R*F(*k*) 稱為此模形式之「表示數」。

### Ramanujan theta 函數

*見主文Ramanujan theta 函數 與 mock theta 函數*
### 黎曼 theta 函數

設

{\displaystyle \mathbb {H} \_{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}}
為一集對稱方矩陣，其虚部為正定。 我地叫*H**n* 做 Siegel 上半平面，係上半複平面嘅高維推廣。模羣嘅*n*維推廣為辛羣 Sp(2n,**Z**)： 當*n* = 1 時， Sp(2,**Z**) = SL(2,**Z**)。 Congruence 子羣嘅*n*維推廣係態射核{\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}}。

若設定 {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} \_{n}}，則可定義**黎曼 theta 函數**：

{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}；
{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum \_{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}；
其中 {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}為一 *n*維複向量，上標*T*為轉置。然則 雅可比 theta 函數係其特例（設*n* = 1、 {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }；其中{\displaystyle \mathbb {H} }為上半平面）。

喺{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} \_{n}.}嘅緊致子集上，黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

{\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )}；
此方程成立於
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}}, {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} ， {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} \_{n}}。

### q-theta 函數

*參見文q-theta 函數*。

參攷
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* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 Template:Please check ISBN. *(See section 16.27ff.)*
* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 *(See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)*
* G. H. Hardy and E. M. Wright, *An Introduction to the Theory of Numbers*, fourth edition (1959) , Oxford University Press
* David Mumford, *Tata Lectures on Theta I* (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
* James Pierpont *Functions of a Complex Variable*, Dover
* Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, *Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces*, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 Template:Please check ISBN.

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註
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1. ↑  en:abelian variety
2. ↑  en:quadratic form
3. ↑  (en:soliton)
4. ↑  en:grassmann algebra
5. ↑  en:D-brane)
6. ↑  en:quasiperiodic function
7. ↑   en:descent (category theory)
8. ↑  en:abelian variety
9. ↑  en:quadratic form
10. ↑  (en:soliton)
11. ↑  en:grassmann algebra
12. ↑  en:D-brane)
13. ↑  en:quasiperiodic function
14. ↑   en:descent (category theory)
15. ↑  (nome)
16. ↑  en:theta constant
17. ↑  en:nome
18. ↑  en:p-adic number
19. ↑  en:Jacobi's triple product identity
20. ↑  en:Dirac comb
21. ↑  *representation numbers*