|  |
| --- |
| **數學嘅數** |
| **基本** |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }

|  |  |
| --- | --- |
| 自然數 {\displaystyle \mathbb {N} } 
整數 {\displaystyle \mathbb {Z} } 
二進分數 
有限小數 
循環小數 
有理數 {\displaystyle \mathbb {Q} } 
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }
實數 {\displaystyle \mathbb {R} } 
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }  | 負數 
分數 
單位分數 
無限小數 
規矩數 
無理數 
超越數 
二次無理數 
虛數 
艾森斯坦整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
  |

 |
| **延伸** |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| 雙複數 
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} } 
共四元數 
八元數 {\displaystyle \mathbb {O} }
超數 
上超實數 
超現實數  | 超複數 
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} } 
複四元數 
Tessarine 
大實數 
超實數 {\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }
  |

 |
| **其他** |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| 對偶數 
雙曲複數 
序數 
質數 
同餘 
可計算數 
艾禮富數  | 公稱值 
超限數 
基數 
P進數 
規矩數 
整數序列 
數學常數 
  |

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 *e* = 2.718281828…
虛數單位 *i* = {\displaystyle +{\sqrt {-1}}}
無窮大量 ∞ |

**{\displaystyle e}** 係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。有時又叫做**自然底數**或**歐拉數**（Euler's number），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）：

{\displaystyle e=2.71828182845904523536\ldots }
同圓周率 {\displaystyle \pi } 同埋虛數單位 {\displaystyle i} 一樣，{\displaystyle e} 係數學入面最重要嘅常數之一。

定義
--

{\displaystyle e} 可以用微分嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 {\displaystyle f(x)=a^{x}} 求導，根據基本原理：

{\displaystyle f'(x)={d \over dx}a^{x}=\lim \_{h\to 0}{a^{x+h}-a^{x} \over h}=\lim \_{h\to 0}{a^{x}a^{h}-a^{x} \over h}=a^{x}\lim \_{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}}
會發現佢嘅微分等於佢自己乘一個數，所以為咗方便，將後面嗰個數 {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}} 定義做 {\displaystyle 1}，呢個時候嗰個特定嘅 {\displaystyle a} 就係最自然嘅底數，即數學常數 {\displaystyle e}。
亦即係 {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{e^{h}-1 \over h}:=1}，轉換一吓

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{h\to 0}(e^{h}-1)&=\lim \_{h\to 0}h\\\lim \_{h\to 0}e^{h}&=\lim \_{h\to 0}(1+h)\end{aligned}}}
得到 {\displaystyle e:=\lim \_{h\to 0}(1+h)^{1 \over h}}
或 {\displaystyle e:=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}}。

即係話 {\displaystyle e} 嘅定義係{\displaystyle (1+{\frac {1}{h}})^{h}}，入面嘅 {\displaystyle h} 趨於無限大。

如果用二項式定理展開佢，會變成：

{\displaystyle e=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}=\lim \_{h\to \infty }\sum \_{k=0}^{\infty }\left((\_{k}^{h}){1 \over h^{k}}\right)}
{\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim \_{h\to \infty }\left((\_{0}^{h}){1 \over h^{0}}+(\_{1}^{h}){1 \over h^{1}}+(\_{2}^{h}){1 \over h^{2}}+\dots \right)\\&=\lim \_{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{h \over 1!}{1 \over h}+{h(h-1) \over 2!}{1 \over h^{2}}+{h(h-1)(h-2) \over 3!}{1 \over h^{3}}+\dots \right)\\&=\lim \_{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1-{1 \over h} \over 2!}+{(1-{1 \over h})(1-{2 \over h}) \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim \left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim \_{h\to \infty }\sum \_{n=0}^{h}{1 \over n!}\end{aligned}}}
所以 {\displaystyle e} 亦可定義做 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\ldots }，當中嘅{\displaystyle \ n!\ }係階乘嘅意思。

當定義咗 {\displaystyle e} 之後，可以定義埋自然對數 {\displaystyle \ln(x)=\log \_{e}(x)}。
所以 {\displaystyle a^{x}=e^{x\ln(a)}}(對數律)。
然後 {\displaystyle a^{x}} 嘅微分就可以用連鎖律計：

{\displaystyle {d \over dx}a^{x}={d \over dx}e^{x\ln(a)}={d \over d(x\ln(a))}e^{x\ln(a)}\times {d \over dx}(\ x\ln(a)\ )=a^{x}\ln(a)}
另一方面，睇返一開始用基本原理得到 {\displaystyle a^{x}} 嘅微分係 {\displaystyle a^{x}\lim \_{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}}，而家知道 {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}=\ln(a)}。
再調位：

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{h\to 0}(a^{h}-1)&=\lim \_{h\to 0}h\ln(a)\\\lim \_{h\to 0}a^{h}&=\lim \_{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )\\a&=\lim \_{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )^{1 \over h}\end{aligned}}}
因為 {\displaystyle a=e^{\ln(a)}} 同埋上面對 {\displaystyle e} 嘅定義，所以：

{\displaystyle e^{\ln(a)}=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{\ln(a) \over h}\right)^{h}=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h\ln(a)}}
即

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{x \over h}\right)^{h}=\lim \_{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{hx}}
用二項定理展開，過程同上面差唔多，會得到

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{h\to \infty }\sum \_{n=0}^{h}{x^{n} \over n!}}
所以自然指數 {\displaystyle e^{x}} 可定義做 {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\ldots }

無理數
---

**{\displaystyle e}** 係一個無理數。可以用反證法證明。

假設 {\displaystyle e} 係一個有理數，{\displaystyle P,Q} 係正整數，同埋 {\displaystyle Q\neq 0}：

{\displaystyle e={P \over Q}=1+{1 \over 1}+{1 \over {1\cdot 2}}+{1 \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots }
{\displaystyle Qe=P=Q+{Q \over 1}+{Q \over {1\cdot 2}}+{Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z} }
{\displaystyle k!\cdot Qe=k!\cdot Q+{k!\cdot Q \over 1}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2}}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z} }，當中嘅 {\displaystyle k} 係大於 {\displaystyle Q} 嘅任意正整數。
{\displaystyle k!\cdot Qe=L+{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\ldots }，入面 {\displaystyle L} 係整數。
{\displaystyle 0<{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\dots <{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)^{2}}}+{Q \over {(k+1)^{3}}}+\dots ={Q \over k}<1}
所以 {\displaystyle k!\cdot Qe=} 整數 + 小數，而左面嘅 {\displaystyle k!\cdot Qe} 係整數。

得出「整數＝整數＋小數」嘅矛盾，即係話原本嘅假設係錯，{\displaystyle e} 唔係有理數，但 {\displaystyle e} 係實數，所以只能夠係無理數。

用處
--

好多增長或衰減過程都會用到 {\displaystyle e}，就好似計利息咁，可以睇下複利。

睇埋
--

* 圓周率
* 無理數
* 超越數
* 歐拉數
* 極限
* 微積分
* 複數