輾轉相除法例子：{\displaystyle {\begin{aligned}12&=5\times 2+2\\5&=2\times 2+1\\2&=2\times 1\end{aligned}}}
**輾轉相除法**zin2 zyun2 soeng1 ceoi4 faat3，或者叫**歐幾里得演算法**（英文：**Euclidean algorithm**），係求最大公因數嘅算法。輾轉相除法首次記載喺約前300年古希臘嘅歐幾里得嘅《幾何原本》入面，而中國最早記載喺東漢嘅《九章算術》。

詳細算法
----

首先假設有兩個整數a，b，其中一個並唔等於零。

利用餘數定理，得出{\displaystyle a=bq\_{1}+r\_{1}}。

再利用餘數定理，將{\displaystyle b}除{\displaystyle r\_{1}}，得出{\displaystyle b=r\_{1}q\_{2}+r\_{2}}。

重複以上步驟，直到可以餘盡為止，如果係n次搞掂嘅話，即係{\displaystyle r\_{n}=0}，得出{\displaystyle r\_{n-2}=q\_{n}r\_{n-1}+r\_{n}=q\_{n}r\_{n-1}}。

咁佢哋嘅公因數就係 {\displaystyle \gcd(a,b)=r\_{n-1}}

證明
--

假設有兩個整數{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }。利用餘數定理，得知有一個{\displaystyle r\_{0},q\_{0}\in \mathbb {Z} }同埋{\displaystyle 0<r\_{0}<b}，得到


a
=
b

q

0

+

r

0

{\displaystyle a=bq\_{0}+r\_{0}}

{\displaystyle a=bq_{0}+r_{0}}之後，利用最大公因數既性質，得知{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,r\_{0})}。根據輾轉相除法，


b
=

r

0

q

1

+

r

1

{\displaystyle b=r\_{0}q\_{1}+r\_{1}}

{\displaystyle b=r_{0}q_{1}+r_{1}}同一個原理，{\displaystyle \gcd(b,r\_{0})=\gcd(r\_{0},r\_{1})}。直到{\displaystyle r\_{n}=0}，得到



r

n
−
2

=

r

n
−
1

q

n

+

r

n

{\displaystyle r\_{n-2}=r\_{n-1}q\_{n}+r\_{n}}

{\displaystyle r_{n-2}=r_{n-1}q_{n}+r_{n}}，得知{\displaystyle \gcd(r\_{n-2},r\_{n-1})=\gcd(r\_{n-1},r\_{n})}。

因為{\displaystyle r\_{n}=0}，所以{\displaystyle \gcd(r\_{n-2},r\_{n-1})=\gcd(r\_{n-1},0)=r\_{n-1}}。

再推返上去，{\displaystyle \gcd(a,b)=r\_{n-1}}。

其他應用
----

第一個應用係用嚟證明「如果{\displaystyle k>0}，咁就{\displaystyle \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)}。」

**證明：**

利用輾轉相除法求{\displaystyle \gcd(ka,kb)}。



a

=
b

q

0

+

r

0

,
0
<

r

0

<
b

a
k

=
(
b
k
)

q

0

+

r

0

k

,
0
<

r

0

k
<
b
k

.

.

.


r

n
−
2


=

q

n

(

r

n
−
1

)
+

r

n

,

r

n

=
0


r

n
−
2

k

=

q

n

(

r

n
−
1

k
)
+

r

n

,

r

n

=
0



{\displaystyle {\begin{aligned}a&=bq\_{0}+r\_{0}\quad ,0<r\_{0}<b\\ak&=(bk)q\_{0}+r\_{0}k\quad ,0<r\_{0}k<bk\\.\\.\\.\\r\_{n-2}&=q\_{n}(r\_{n-1})+r\_{n}\quad ,r\_{n}=0\\r\_{n-2}k&=q\_{n}(r\_{n-1}k)+r\_{n}\quad ,r\_{n}=0\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=bq_{0}+r_{0}\quad ,0<r_{0}<b\\ak&=(bk)q_{0}+r_{0}k\quad ,0<r_{0}k<bk\\.\\.\\.\\r_{n-2}&=q_{n}(r_{n-1})+r_{n}\quad ,r_{n}=0\\r_{n-2}k&=q_{n}(r_{n-1}k)+r_{n}\quad ,r_{n}=0\end{aligned}}}所以，{\displaystyle \gcd(a,b)=r\_{n-1}}，{\displaystyle \gcd(ka,kb)=r\_{n-1}k}。

由上面可以推斷到「任何整數{\displaystyle k\neq 0}，{\displaystyle \gcd(ka,kb)=|k|\gcd(a,b)}。」

**證明：**

如果{\displaystyle k>0}，咁{\displaystyle \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)}，即係{\displaystyle \gcd(ka,kb)=|k|\gcd(a,b)}。即係要假設{\displaystyle k<0}，咁樣{\displaystyle -k=|k|>0}。



gcd
(
−
k
a
,
−
k
b
)

=
gcd
(

|

k

|

a
,

|

k

|

b
)



=

|

k

|

gcd
(
a
,
b
)



{\displaystyle {\begin{aligned}\gcd(-ka,-kb)&=\gcd(|k|a,|k|b)\\&=|k|\gcd(a,b)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\gcd(-ka,-kb)&=\gcd(|k|a,|k|b)\\&=|k|\gcd(a,b)\end{aligned}}}

例子
--

搵13579同246810既GCD。

{\displaystyle {\begin{aligned}246810&=13579\times 18+2388\\13579&=2388\times 5+1639\\2388&=1639\times 1+749\\1639&=749\times 2+141\\749&=141\times 5+44\\141&=44\times 3+9\\44&=9\times 4+8\\9&=8\times 1+1\end{aligned}}}

所以{\displaystyle \gcd(246810,13579)=1}。

睇埋
--

* 比舒公式
* 線性商餘方程
* 孫子定理

| * 睇
* 傾
* 改
現代數學同數學各領域 |
| --- |
| 純粹同應用數學 · 數學史 · 數學之美 |
| 數學證明 | 
* 直接證明
* 數學歸納法
* 否定證明
* 反證法
* 構造法
* 分類證明

 |  |
| 數學基礎 | 
* 數學哲學
* 數學邏輯
* 範疇論
* 集合論
* 類型論
* 資訊理論
* 數學符號
* 數學物體

 |
| 數論 | 
* 數（質數）
* 算術
* 代數數論
* 解析數論

 |
| 代數學 | 
* 基本代數
* 線性代數（多重）
* 抽象代數（交換代數 · 羣論 · 伽華理論）
* 場論
* 泛代數
* 同調代數

 |
| 幾何學 | 
* 歐幾里得幾何
* 代數幾何
* 解析幾何
* 微分幾何
* 離散幾何
* 拓撲學（代數拓撲）

 |
| 數學分析 | 
* 微積分
* 微分方程
* 實分析同複分析
* 測度
* 諧波分析
* 泛函分析

 |
| 離散數學 | 
* 組合數學
* 圖論
* 序理論
* 博弈論

 |
| 應用數學 | 

|  |
| --- |
| 
* 數理物理學
* 數理化學
* 數理生物學
* 數理心理學
* 數理社會學
* 控制理論

 |
| 　決策論 | 
* 概率論同統計學
* 數理經濟學
* 運籌學
* 數理金融學

 |

 |
| 運算數學 | 
* 電腦科學
* 運算理論
* 數值分析
* 最佳化
* 電腦代數

 |
| 拉雜相關 | 
* 邏輯
* 理論電腦科學
* 哲學（古希臘哲學 · 理性主義）
* 科學（形式 · 系統）
* 科技
* 藝術
* 樂理

 |
|  **數學主題** · 數學類 |

| * 睇
* 傾
* 改
數論 |
| --- |
| 數論分支 | 
* 抽象代數數論
* 分析數論
* Geometric number theory
* Computational number theory
* Transcendental number theory
* Combinatorial number theory
* Arithmetic geometry
* Arithmetic topology
* Arithmetic dynamics

 |
| 數字概念 | 
* 數字
* 自然數
* 質數
* 有理數
* 無理數
* 根數
* Transcendental number
* 質進數
* Arithmetic
* Arithmetic function

 |
| 基本概念 | 
* 最大公因數
* 最小公倍數
* 可除性
* 相對質數
* 商餘及同餘
* 計算逆元素及極高次方

 |
| 基本定理 | 
* 餘數定理
* 輾轉相除法
* 比舒公式
* 歐幾理得推論
* 質數分解
* 商餘計算
* 線性商餘方程
* 孫子定理
* 歐拉定理
* 衛信定理

 |
| 進階數論概念 | 
* 始根
* 商餘平方

 |
| 進階數論理論 | 
* Quadratic forms
* Modular forms
* L-functions
* Diophantine equations
* Diophantine approximation
* 無窮分數
	+ 局部趨向
	+ 局部趨向數列
	+ 無窮分數趨向性
	+ e嘅無窮分數
	+ 循環無窮分數
	+ 兩個平方之和
	+ 科馬兩個平方之和

 |
| 
* List of number theory topics (recreational)

 |