**循環表示**（Cycle Notation），又叫做**{\displaystyle k}循環**（{\displaystyle k}-cycle），係一種數學上嘅表達。主要係用嚟簡化執位入面轉換。

循環表示係由法國數學家郝氏（Cauchy）喺1815年發明，佢可以好簡單咁表達一個執位。

例如：{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&4&6&5&3\end{bmatrix}}}

就可以簡化做{\displaystyle \phi =(12)(346)(5)}。

因為{\displaystyle (5)}係得自己一個，所以可以寫做{\displaystyle \phi =(12)(346)}。

解釋
--

表示{\displaystyle \phi }嘅{\displaystyle (5)}嘅循環。
利用上面嘅例子，{\displaystyle (12)}嘅意思係{\displaystyle \phi (1)}之後出{\displaystyle 2}；{\displaystyle \phi (2)}之後出{\displaystyle 1}。咁因為{\displaystyle 1}去{\displaystyle 2}，之後{\displaystyle 2}又去返{\displaystyle 1}，咁就出現咗一個循環。可以參考下右面嘅圖片。

考慮另一個例子：{\displaystyle \varphi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&6&4&2\end{bmatrix}}}

咁{\displaystyle \varphi }可以寫成{\displaystyle (2315)(46)}同{\displaystyle (46)(2315)}。

一般，{\displaystyle (2315)}有四嚿嘢，所以佢嘅長度係{\displaystyle 4}，會叫佢做{\displaystyle 4}-循環（{\displaystyle 4}-cycle）。

如果{\displaystyle (123\cdots k)}有{\displaystyle k}咁多嚿嘢，咁佢就係一個**{\displaystyle k}-循環**（{\displaystyle k}-cycle）。

表示{\displaystyle \phi }入面{\displaystyle (365)}之間嘅循環。
同時，{\displaystyle (46)}都可以代表住{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&6&5&4\\\end{bmatrix}}}；咁


(
2315
)
(
46
)
=

[

1

2

3

4

5

6

5

3

1

4

2

6

]

[

1

2

3

4

5

6

1

2

3

6

5

4

]

=

[

1

2

3

4

5

6

5

3

1

6

2

4

]

{\displaystyle (2315)(46)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&4&2&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&6&5&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&6&2&4\end{bmatrix}}}

{\displaystyle (2315)(46)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&4&2&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&6&5&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&6&2&4\end{bmatrix}}}。

如果又有兩個執位{\displaystyle \alpha =(12)(56)}，{\displaystyle \beta =(346)(152)}。

咁{\displaystyle \alpha \beta =(12)(56)(346)(152)}。呢嚿嘢係右睇到左，睇最右個循環{\displaystyle 1\to 5}；之後右面數起第二係無{\displaystyle 5}，所以跳過佢；去到下一格{\displaystyle 5\to 6}；到最後一格都係無{\displaystyle 6}，所以最後{\displaystyle 1\to 5\to 6}。

表示{\displaystyle \phi }嘅{\displaystyle (12)}嘅循環。
因此：{\displaystyle 1\to 5\to 6;2\to 1\to 2;3\to 4;4\to 6\to 5;5\to 2\to 1;6\to 3}。{\displaystyle \alpha \beta =(16345)}

性質
--

### 非連接循環積存在

一個有限集嘅執位一定係一個循環或者係幾個循環嘅積。（呢幾個幾循環嘅積就係非連接循環，Disjoint Cycle）

### 非連接循環溝通性質

如果{\displaystyle \alpha =(a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{m})}同{\displaystyle \beta =(b\_{1}b\_{2}\cdots b\_{n})}呢兩個循環係無重複嘅元素，咁{\displaystyle \alpha \beta =\beta \alpha }。

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