**函數極限**（Limit of Function）係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面，定義函數極限係需要用到包圍點同埋{\displaystyle \varepsilon -\delta }技巧。

包圍點
---

### 定義

首先需要假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }係實數嘅子集。

將{\displaystyle c\in \mathbb {R} }定為任意一點，畀任何一個{\displaystyle \delta >0}，如果存在一點{\displaystyle x\in A}，同時{\displaystyle x\neq c}，符合{\displaystyle |x-c|<\delta }。

咁呢點{\displaystyle c\in \mathbb {R} }就係叫做{\displaystyle A}嘅**包圍點（Cluster Point**）。

如果用**鄰區**（neighborhoods）嘅角度嚟定義包圍點；

假設有一點{\displaystyle c}，每一個{\displaystyle c}嘅**{\displaystyle \delta }鄰區（delta-neighborhoods）**{\displaystyle V\_{\delta }(c)=(c-\delta ,c+\delta )}，入面都會有一點係屬於{\displaystyle A}嘅，係唔等於{\displaystyle c}。咁{\displaystyle c}就係{\displaystyle A}嘅包圍點。

### 性質

如果{\displaystyle c}係{\displaystyle A}嘅包圍點，咁就一定有一個係{\displaystyle A}嘅數列{\displaystyle (a\_{n})}係趨向{\displaystyle c}呢點，同時所有嘅項都符合{\displaystyle a\_{n}\neq c}，即係{\displaystyle \lim(a\_{n})=c{\text{ and }}a\_{n}\neq c,\,\forall n\in \mathbb {N} }。反之亦然，「{\displaystyle \iff }」。

函數極限
----

### 定義

首先需要假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }係實數嘅子集，同時{\displaystyle c}係{\displaystyle A}嘅包圍點。

如果有一個函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }同一點實數{\displaystyle L}，同下面呢件事成立；

畀任何嘅{\displaystyle \varepsilon >0}，佢都會有一個對應嘅{\displaystyle \delta >0}，令到喺{\displaystyle A}入面嘅點{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，而佢使到{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }。

咁樣函數{\displaystyle f(x)}就係**趨向（Converge）**實數{\displaystyle L}。即係{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c}f(x)=L}。

一般就叫，{\displaystyle L}做{\displaystyle f(x)}係**{\displaystyle c}**點嘅**極限（Limits of {\displaystyle f(x)} at {\displaystyle c}）**。

或者會話：「當{\displaystyle x}接近{\displaystyle c}嗰時，{\displaystyle f(x)}會趨向{\displaystyle L}。」，呢句嘢會寫做{\displaystyle f(x)\rightarrow L{\text{ as }}x\rightarrow c}。

### {\displaystyle \varepsilon -\delta }技巧

**{\displaystyle \varepsilon -\delta }技巧**（{\displaystyle \varepsilon -\delta } Technique）係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面，最基本，同時對於新學習數學嘅人嚟講，係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前，需要用到一個草稿技巧，去搵出所需要嘅**{\displaystyle \varepsilon -\delta }**。係一定需要一個先草稿，後證明嘅方法，呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用{\displaystyle \varepsilon -\delta }技巧去證明其他函數極限嘅定理，會被稱為用硬功夫嘅方法。

**例子：**

證明**{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 1}{\frac {2x+1}{2x-1}}=3}**。


草稿

先計算**{\displaystyle |{\frac {2x+1}{2x+1}}-3|}**。

**{\displaystyle {\begin{aligned}|{\frac {2x+1}{2x-1}}-3|&=|{\frac {2x+1}{2x-1}}-{\frac {3(2x-1)}{2x-1}}|\\&={\frac {|4-4x|}{|2x-1|}}\\&={\frac {|-4(x-1)|}{|2x-1|}}\\&={\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}\end{aligned}}}**

將**{\displaystyle \delta :={\frac {1}{4}}}**。注意唔可以將佢設做**{\displaystyle {\frac {1}{2}}}**，因為分母會變**{\displaystyle 0}**。

得知**{\displaystyle 0<|x-1|<\delta ={\frac {1}{4}}}**。

而家要處理嘅，係個分母**{\displaystyle |2x-1|}**。要搵一個合理嘅限綁死**{\displaystyle |2x-1|}**。

因為上面限定咗**{\displaystyle 0<|x-1|<{\frac {1}{4}}}**，即係話**{\displaystyle 1-{\frac {1}{4}}\leq 1-\delta <x<1+\delta \leq 1+{\frac {1}{4}}}**。

由上可得**，{\displaystyle {\frac {3}{4}}\leq x\leq {\frac {5}{4}}}**，再推斷得知，**{\displaystyle |x|\leq {\frac {3}{2}}}**。

**{\displaystyle {\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}<{\frac {4|x-1|}{|2({\frac {3}{4}})-1|}}<{\frac {4|x-1|}{\frac {1}{2}}}<6|x-1|}**。

得出呢條式之後，就可以知到將**{\displaystyle \delta :=\inf\{{\frac {1}{4}},{\frac {\varepsilon }{6}}\}}**



證明

畀任何{\displaystyle \varepsilon >0}，將**{\displaystyle \delta :=\inf\{{\frac {1}{4}},{\frac {\varepsilon }{6}}\}}**。

因為**{\displaystyle x\in V\_{\delta }(1)}**符合**{\displaystyle 0<|x-1|<\delta }**，當**{\displaystyle 0<|x-1|<{\frac {1}{4}}}**得知，**1
−

1
4


≤
x
≤
1
+

1
4



3
4


≤
x
≤

5
4



{\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {1}{4}}&\leq x\leq 1+{\frac {1}{4}}\\{\frac {3}{4}}&\leq x\leq {\frac {5}{4}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {1}{4}}&\leq x\leq 1+{\frac {1}{4}}\\{\frac {3}{4}}&\leq x\leq {\frac {5}{4}}\end{aligned}}}**

  

計算，**{\displaystyle |{\frac {2x+1}{2x-1}}-3|=|{\frac {2x+1}{2x-1}}-{\frac {3(2x-1)}{2x-1}}|={\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}}**。

  

因為得知**{\displaystyle {\frac {3}{4}}\leq x\leq {\frac {5}{4}}}**，所以**{\displaystyle {\frac {4|x-1|}{|2x-1|}}\leq {\frac {4|x-1|}{|2({\frac {3}{4}})-1|}}\leq 6|x-1|<6\delta =6({\frac {\varepsilon }{6}})=\varepsilon }**。

### 獨有極限性質

假設有一個函數**{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }**。如果**{\displaystyle f}**有一點包圍點**{\displaystyle c}**，咁佢只有一個係**{\displaystyle c}**點嘅極限。

**證明：**

假設有兩點**{\displaystyle L}**同**{\displaystyle L'}**都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅**{\displaystyle \varepsilon >0}**，

都會有一個**{\displaystyle \delta >0}**，令到**{\displaystyle x\in A}**符合**{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }**，令到**{\displaystyle |f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}**；

同時，都會有一個**{\displaystyle \delta '>0}**，令到**{\displaystyle x\in A}**符合**{\displaystyle 0<|x-c|<\delta '}**，令到**{\displaystyle |f(x)-L'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}**。

將**{\displaystyle \delta ^{\*}:=\inf\{\delta ,\delta '\}}**，令到**{\displaystyle x\in A}**符合**{\displaystyle 0<|x-c|<\delta ^{\*}}**。

再利用三角形不等式，

{\displaystyle {\begin{aligned}|L-L'|&=|L-L'+f(x)-f(x)|\\&\leq |L-f(x)|+|f(x)-L'|\\&\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

函數數列要求
------

函數同數列有一個重要嘅連繫，而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢，就係**函數數列要求**（Sequential Criterion for Limits）。呢個定理，可以將數列嘅全部特性，主要係數列極限嘅特性，轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理，會叫做利用軟功夫嘅方法。

**定理**

假設有一個函數**{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }**同時**{\displaystyle c}**係**{\displaystyle A}**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**{\displaystyle \iff }**」：

* **{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c}f=L}**；
* 任何喺**{\displaystyle A}**入面嘅數列**{\displaystyle (x\_{n})}**，佢係趨向**{\displaystyle c}**呢點，而同時所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**都係**{\displaystyle x\_{n}\neq c}**，咁**{\displaystyle (f(x\_{n}))}**呢條數列就會趨向**{\displaystyle L}**。

**證明：**


{\displaystyle (\Rightarrow )}

假設**{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c}f=L}**成立，同時**{\displaystyle (x\_{n})}**係**{\displaystyle A}**入面嘅數列，並且**{\displaystyle \lim(x\_{n})=c}**而所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**都符合**{\displaystyle x\_{n}\neq c}**。

畀任何一個任意嘅**{\displaystyle \varepsilon >0}**。

根據函數極限嘅定義，會有一個**{\displaystyle \delta >0}**，令到喺**{\displaystyle A}**入面嘅一點**{\displaystyle x\in A}**符合**{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }**，使到**{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }**。

根據數列極限嘅定義，會有一個**{\displaystyle N\in \mathbb {N} }**，使到第**{\displaystyle n\geq N}**項符合**{\displaystyle |x\_{n}-c|<\delta }**。

因此，將大過第**{\displaystyle n\geq N}**項放入函數，得知**{\displaystyle |f(x\_{n})-L|<\varepsilon }**。

所以**{\displaystyle \lim(f(x\_{n}))=L}**。



{\displaystyle (\Leftarrow )}

假設上點唔啱，即係**{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c}f\neq L}**。

咁樣就會有一個**{\displaystyle \varepsilon }**-鄰區**{\displaystyle V\_{\varepsilon }(L)}**，搞到揀任何一個**{\displaystyle c}**嘅{\displaystyle \delta }-鄰區，都會有一點**{\displaystyle x\_{\delta }\in A\cap V\_{\delta }(c)}**係**{\displaystyle x\_{\delta }\neq c}**又同時**{\displaystyle f(x\_{\delta })\notin V\_{\varepsilon }(L)}**。換句話講，即係喺{\displaystyle \delta }-鄰區入面，放咗入函數之後對應嗰點，係會唔係對應嘅**{\displaystyle \varepsilon }**-鄰區入面。

因此得出，所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**，**{\displaystyle c}**嘅**{\displaystyle {\frac {1}{n}}}**-鄰區入面嘅**{\displaystyle x\_{n}}**會符合**{\displaystyle 0<|x\_{n}-c|<{\frac {1}{n}}}**同**{\displaystyle x\_{n}\in A}**，

但係所有**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**都符合**{\displaystyle |f(x\_{n})-L|\geq \varepsilon }**。

所以喺**{\displaystyle A\backslash \{c\}}**入面嘅數列**{\displaystyle (x\_{n})}**係趨向**{\displaystyle c}**，但係**{\displaystyle (f(x\_{n}))}**唔趨向**{\displaystyle L}**。

利用否定證明嘅概念，得知**{\displaystyle (\Leftarrow )}**係正確。

極限計算
----

因為有咗函數數列要求，喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

### 綁定定義

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }同一個函數{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }。假設{\displaystyle c}係{\displaystyle A}嘅包圍點。

如果存在一個{\displaystyle V\_{\delta }(c)}係{\displaystyle c}嘅{\displaystyle \delta }鄰區，同埋一個數{\displaystyle M>0}，對所有嘅{\displaystyle x\in A\cap V\_{\delta }(c)}符合，{\displaystyle |f(x)|\leq M}。

咁會話，函數{\displaystyle f}係{\displaystyle c}嘅鄰區被綁定。（f is bounded on a neighborhood of c）

### 綁定性質

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }同一個函數{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }。

如果{\displaystyle f}係趨向{\displaystyle c}呢點，咁{\displaystyle f}就會被綁係一啲嘅{\displaystyle c}嘅鄰區入面。

**證明：**

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。


硬功夫

假設{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=c}。設{\displaystyle \varepsilon :=1}。

根據定義，就會有一個{\displaystyle \delta >0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，使到{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon =1}成立。

利用三角形不等式，{\displaystyle |f(x)|-|L|\leq |f(x)-L|<1}。

因此得知，{\displaystyle |f(x)|<1+|L|}。

由上面嘅式推斷出，所有{\displaystyle x\in A\cap V\_{\delta }(c),x\neq c}，都會符合{\displaystyle |f(x)|<1+|L|}。

如果{\displaystyle c\notin A}，可以考慮{\displaystyle M:=1+|L|}。

再加埋{\displaystyle c\in A}，可以考慮{\displaystyle M:=\sup\{|f(c)|,1+|L|\}}。

總結，如果{\displaystyle x\in A\cap V\_{\delta }(c)}，{\displaystyle |f(x)|\leq M}。

### 極限計算法則

基本上，同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }、{\displaystyle g:A\to \mathbb {R} }，重有一個實數{\displaystyle b\in \mathbb {R} }同{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係包圍點。如果{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=L}，{\displaystyle \lim \_{x\to c}g=M}，以下嘅等式成立：

1. {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f+g)=L+M}
2. {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f-g)=(L-M)}
3. {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f\cdot g)=L\cdot M}
4. {\displaystyle \lim \_{x\to c}b\cdot f=b\cdot L}
5. 如果{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }，而所有嘅{\displaystyle x\in A}，{\displaystyle h(x)\neq 0}，同時{\displaystyle \lim \_{x\to c}h=N\neq 0}，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\bigl (}{\frac {f}{h}}{\bigr )}={\frac {L}{N}}}。

**證明：**

利用軟功夫，只需要將{\displaystyle (x\_{n})}變成任何一條喺{\displaystyle A}入面嘅數列，符合{\displaystyle x\_{n}\neq c}，而{\displaystyle \lim(x\_{n})=c}。

因為函數數列要求，{\displaystyle \lim(f(x\_{n}))=L}同{\displaystyle \lim(g(x\_{n}))=M}成立。

之後利用數列極限嘅計算法，就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法，因為定義得知，對應任何{\displaystyle \varepsilon >0}；

都會有{\displaystyle \delta \_{f}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{f}}符合，使到{\displaystyle |f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}符合。

都會有{\displaystyle \delta \_{g}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{g}}符合，使到{\displaystyle |g(x)-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}}符合。


證明(1)


設{\displaystyle \delta :=\sup\{\delta \_{f},\delta \_{g}\}}。計算：



|

(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
−
(
L
+
M
)

|

=

|

f
(
x
)
+
g
(
x
)
−
L
−
M

|


=

|

(
f
(
x
)
−
L
)
+
(
g
(
x
)
−
M
)

|


≤

|

f
(
x
)
−
L

|

+

|

g
(
x
)
−
M

|


<

ε
2

+

ε
2

=
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)+g(x))-(L+M)|&=|f(x)+g(x)-L-M|\\&=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)+g(x))-(L+M)|&=|f(x)+g(x)-L-M|\\&=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

證明(2)


設{\displaystyle \delta :=\sup\{\delta \_{f},\delta \_{g}\}}。計算：



|

(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
−
(
L
−
M
)

|

=

|

f
(
x
)
−
g
(
x
)
−
L
+
M

|


=

|

(
f
(
x
)
−
L
)
−
(
g
(
x
)
−
M
)

|


≤

|

f
(
x
)
−
L

|

+

|

g
(
x
)
−
M

|


<

ε
2

+

ε
2

=
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)-g(x))-(L-M)|&=|f(x)-g(x)-L+M|\\&=|(f(x)-L)-(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)-g(x))-(L-M)|&=|f(x)-g(x)-L+M|\\&=|(f(x)-L)-(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}

證明三，需要用到草稿嘅技巧。


草稿

根據定義，對應任何{\displaystyle \varepsilon >0}；

都會有{\displaystyle \delta \_{f}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{f}}符合，使到{\displaystyle |f(x)-L|<?\varepsilon }符合。

都會有{\displaystyle \delta \_{g}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{g}}符合，使到{\displaystyle |g(x)-M|<?\varepsilon }符合。

想求出{\displaystyle ?}嘅數值，所以要計下：



|

f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
M

|

=

|

f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
M
+
f
(
x
)
M
−
f
(
x
)
M

|


=

|

f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
M
)
+
M
(
f
(
x
)
−
L
)

|


<

|

f
(
x
)

|

|

g
(
x
)
−
M

|

+

|

M

|

|

f
(
x
)
−
L

|


{\displaystyle {\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\end{aligned}}}問題出現咗喺{\displaystyle |f(x)|}上面，因為佢係一個變數，唔知佢幾時係大，幾時係細。但係如果設，根據綁定性質嘅證明，{\displaystyle \varepsilon :=1}，就可以得知有一個{\displaystyle B>0}符合{\displaystyle |f(x)|\leq B}。

如果將{\displaystyle B':=\sup\{B,|M|\}}，咁{\displaystyle |f(x)|,|M|\leq B'}。

得出，{\displaystyle <B'?\varepsilon +B'?\varepsilon =2B'?\varepsilon }。咁{\displaystyle ?={\frac {\varepsilon }{2B'}}}，所以就寫得出個證明。



證明(3)

假設{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=L}同{\displaystyle \lim \_{x\to c}g=M}。

設{\displaystyle \varepsilon \_{f}:=1}，根據綁定性質，可以得知有一個{\displaystyle B>0}符合{\displaystyle |f(x)|\leq B}。

設{\displaystyle B'=\sup\{B,|M|\}}同埋{\displaystyle \varepsilon :=\inf\{{\frac {\varepsilon }{2B}},1\}}。

都會有{\displaystyle \delta \_{f}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{f}}符合，使到{\displaystyle |f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2B}}}符合。

都會有{\displaystyle \delta \_{g}>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{g}}符合，使到{\displaystyle |g(x)-M|<{\frac {\varepsilon }{2B}}}符合。

計算；



|

f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
M

|

=

|

f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
M
+
f
(
x
)
M
−
f
(
x
)
M

|


=

|

f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
M
)
+
M
(
f
(
x
)
−
L
)

|


<

|

f
(
x
)

|

|

g
(
x
)
−
M

|

+

|

M

|

|

f
(
x
)
−
L

|


<
B
(

ε

2
B

)
+
B
(

ε

2
B

)
=
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\\&<B({\frac {\varepsilon }{2B}})+B({\frac {\varepsilon }{2B}})=\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|f(x)g(x)-LM|&=|f(x)g(x)-LM+f(x)M-f(x)M|\\&=|f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)|\\&<|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|\\&<B({\frac {\varepsilon }{2B}})+B({\frac {\varepsilon }{2B}})=\varepsilon \end{aligned}}}

證明(4)

假設{\displaystyle f}係一個常數函數，即係{\displaystyle f(x)=b,b\in \mathbb {R} }。咁利用上面(3)就可以得出(4)。

證明五，需要證明「如果{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }，而所有嘅{\displaystyle x\in A}，{\displaystyle {\frac {1}{h(x)}}\neq 0}，同時{\displaystyle \lim \_{x\to c}h=N\neq 0}，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\bigl (}{\frac {1}{h}}{\bigr )}={\frac {1}{N}}}。」係啱嘅話呢，利用三就可以證明出五。先做草稿：


草稿


計算：



|

1

h
(
x
)

−

1
N

|


=

|


N
−
h
(
x
)

h
(
x
)
N


|



≤

|

h
(
x
)
−
N

|

|

h
(
x
)

|

|

N

|




{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\end{aligned}}}而家想搵一個{\displaystyle M>0}係使到{\displaystyle {\frac {1}{|h(x)||N|}}\leq M}。

因為{\displaystyle \lim \_{x\to c}h=N}，設{\displaystyle \varepsilon \_{h}:={\frac {1}{2}}|N|}，都一定會有一個{\displaystyle \delta >0}，符合{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，使到{\displaystyle |h(x)-x|<\varepsilon \_{h}}

{\displaystyle {\begin{aligned}||h(x)|-|N||\leq |h(x)-N|&<\varepsilon \_{h}\\||h(x)|-|N||&<\varepsilon \_{h}\\-\varepsilon \_{h}&<|h(x)|-|N|\\-{\frac {1}{2}}|N|&<|h(x)|-|N|\\{\frac {1}{2}}|N|<|h(x)|\\\end{aligned}}}

所以，{\displaystyle {\frac {1}{|h(x)|}}\leq {\frac {1}{{\frac {1}{2}}|N|}}={\frac {2}{|N|}}}。

姐係要將{\displaystyle \varepsilon ':=\inf\{2|N|\varepsilon ,{\frac {1}{2}}|N|\}}。咁就可以寫嘅證明。



證明(5)

因為{\displaystyle \lim \_{x\to c}h=N}，根據定義，

設{\displaystyle \varepsilon ':={\frac {1}{2}}|N|}，都會有一個{\displaystyle \delta '>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta '}成立，使到{\displaystyle |h(x)-N|<\varepsilon '}。

利用草稿所寫嘅嘢，得知{\displaystyle {\frac {1}{|h(x)|}}\leq {\frac {1}{{\frac {1}{2}}|N|}}={\frac {2}{|N|}}}。

畀任何一個{\displaystyle \varepsilon ''>0}，咁有一個{\displaystyle \delta ''>0}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta ''}成立，使到{\displaystyle |h(x)-N|<{\frac {1}{2}}\varepsilon ''|N|^{2}}。

設{\displaystyle \varepsilon >0}，咁就會有一個對應嘅{\displaystyle \delta >0:=\sup\{\delta ',\delta ''\}}，令到{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }成立，使到



|

1

h
(
x
)

−

1
N

|


=

|


N
−
h
(
x
)

h
(
x
)
N


|



≤

|

h
(
x
)
−
N

|

|

h
(
x
)

|

|

N

|




<
ε



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

### 推斷

因上面嘅嘢可以得知以下都係啱：

* {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f\_{1}+f\_{2}+\cdots +f\_{n})=L\_{1}+L\_{2}+\cdots +L\_{n}}
* {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f\_{1}\cdot f\_{2}\cdot \cdots \cdot f\_{n})=L\_{1}\cdot L\_{2}\cdot \cdots \cdot L\_{n}}
* {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x))^{n}=L^{n}}

### 排序定理

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }，{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係包圍點。

如果所有嘅{\displaystyle x\in A,x\neq c}符合{\displaystyle a\leq f(x)\leq b}同時{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=c}，咁{\displaystyle a\leq \lim \_{x\to c}f\leq b}。

**證明：**

都係利用軟功夫，將數列嘅排序定理引用過嚟。

### 夾縫定理

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f,g,h:A\to \mathbb {R} }，{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係包圍點。

如果所有嘅{\displaystyle x\in A,x\neq c}符合{\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}同時{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=\lim \_{x\to c}h=L}，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}g=L}。

不趨向要求
-----

有趨向，就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到**不趨向要求**（Divergence Criteria）。

### 定義

首先需要假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }係實數嘅子集，同時{\displaystyle c}係{\displaystyle A}嘅包圍點，而有一個函數**{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }**。

1. 如果**{\displaystyle L\in \mathbb {R} }**係喺實數入面嘅一點，咁「**{\displaystyle f}**唔係趨向**{\displaystyle c}**，或者**{\displaystyle c}**唔係**{\displaystyle f}**嘅極限**{\displaystyle \iff }**對應所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**同埋**{\displaystyle x\_{n}\neq c}**，有一條數列**{\displaystyle (x\_{n})}**趨向**{\displaystyle c}**，但係**{\displaystyle (f(x\_{n}))}**唔趨向**{\displaystyle L}**。」；
2. **{\displaystyle f}**唔係趨向**{\displaystyle c}**，或者**{\displaystyle c}**唔係**{\displaystyle f}**嘅極限**{\displaystyle \iff }**對應所有嘅{\displaystyle n\in \mathbb {N} }同埋{\displaystyle x\_{n}\neq c}，有一條數列{\displaystyle (x\_{n})}趨向{\displaystyle c}，但係喺**{\displaystyle \mathbb {R} }**入面{\displaystyle (f(x\_{n}))}唔趨向一點。

**證明：**

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列{\displaystyle (x\_{n})}趨向{\displaystyle c}，但係喺**{\displaystyle \mathbb {R} }**入面{\displaystyle (f(x\_{n}))}唔趨向一點。

咁即係畀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}同{\displaystyle \delta >0}，**{\displaystyle 0<|x\_{n}-c|<\varepsilon }**同埋{\displaystyle |(f(x\_{n}))-L|\geq \delta }都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

### 應用

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}}係唔存在喺實數入面。

左右趨向
----

將函數極限嘅定義改一改少少，咁就會有左右趨向嘅概念。

### 定義

假設有個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，同時有一個函數{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }。

如果{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係{\displaystyle A\cap (c,\infty )=\{x\in A:x>c\}}嘅包圍點，同時有一點{\displaystyle L\in \mathbb {R} }符合：

畀任何嘅{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有一個對應嘅{\displaystyle \delta >0}，令到所有嘅{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<x-c<\delta }，令到{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }符合。

咁樣{\displaystyle L}就係{\displaystyle f}喺{\displaystyle c}嘅**右極限**（Right-hand Limit of {\displaystyle f} at {\displaystyle c}）。

一般會寫做，{\displaystyle \lim \_{x\to c+}f=L}或者{\displaystyle \lim \_{x\to c+}f(x)=L}。

如果{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係{\displaystyle A\cap (-\infty ,c)=\{x\in A:x<c\}}嘅包圍點，同時有一點{\displaystyle L\in \mathbb {R} }符合：

畀任何嘅{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有一個對應嘅{\displaystyle \delta >0}，令到所有嘅{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<c-x<\delta }，令到{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }符合。

咁樣{\displaystyle L}就係{\displaystyle f}係{\displaystyle c}嘅**左極限（Left-hand Limit of {\displaystyle f} at {\displaystyle c}）**。

一般會寫做，{\displaystyle \lim \_{x\to c-}f=L}或者{\displaystyle \lim \_{x\to c-}f(x)=L}。

注意：左極限同右極限可以同時存在，又可以兩者都唔相等。左極限可以存在，但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=L}。

### 函數數列要求

因為有極限，所有就會有數列要求嘅出現。

**右極限版本：**

假設有一個函數**{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }**同時**{\displaystyle c}**係**{\displaystyle A\cap (c,\infty )}**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**{\displaystyle \iff }**」：

* **{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c+}f=L}**；
* 任何喺**{\displaystyle A}**入面嘅數列**{\displaystyle (x\_{n})}**，佢係趨向**{\displaystyle c}**呢點，而同時所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**都係**{\displaystyle x\_{n}>c}**，咁**{\displaystyle (f(x\_{n}))}**呢條數列就會趨向**{\displaystyle L}**。

**左極限版本：**

假設有一個函數**{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }**同時**{\displaystyle c}**係**{\displaystyle A\cap (\infty ,c)}**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**{\displaystyle \iff }**」：

* **{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow c-}f=L}**；
* 任何喺**{\displaystyle A}**入面嘅數列**{\displaystyle (x\_{n})}**，佢係趨向**{\displaystyle c}**呢點，而同時所有嘅**{\displaystyle n\in \mathbb {N} }**都係**{\displaystyle x\_{n}<c}**，咁**{\displaystyle (f(x\_{n}))}**呢條數列就會趨向**{\displaystyle L}**。

趨向無限
----

趨向無限有兩個定義，一個就係**{\displaystyle f(x)}**嘅數值趨向無限。例子有：**{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty }**。或者係當數值**{\displaystyle x}**趨向無限時，**{\displaystyle f(x)}**嘅數值會趨向一點。例子有：**{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }0.1^{x}=0}**。　

### 無窮極限

**無窮極限**（Infinite Limits）就係第一種趨向無限嘅極限。

#### 定義

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }，同時{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係{\displaystyle A}嘅包圍點。

如果畀任何{\displaystyle a\in \mathbb {R} }，一定存在一個{\displaystyle \delta >0}，令到所有嘅{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，到會令到{\displaystyle f(x)>a}嘅話；

當{\displaystyle x}趨向{\displaystyle c}，{\displaystyle x\to c}，{\displaystyle f}嘅極限係正無限**{\displaystyle \infty }**（f tends to **{\displaystyle \infty }** as {\displaystyle x\to c}）。

一般會寫成{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=\infty }。

如果畀任何{\displaystyle b\in \mathbb {R} }，一定存在一個{\displaystyle \delta >0}，令到所有嘅{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，到會令到{\displaystyle f(x)<b}嘅話呢；

當{\displaystyle x}趨向{\displaystyle c}，{\displaystyle x\to c}，{\displaystyle f}嘅極限係負無限**{\displaystyle -\infty }**（f tends to **{\displaystyle -\infty }** as {\displaystyle x\to c}）。

一般會寫成{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=-\infty }。

#### 例子

**{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty }**

**證明**

畀任何一個**{\displaystyle a>0}**，設**{\displaystyle \delta :={\frac {1}{\sqrt {a}}}}**。

假設**{\displaystyle 0<|x|<\delta }**，咁樣

**x

2


<

1
a



1

x

2


>
a



{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&<{\frac {1}{a}}\\{\frac {1}{x^{2}}}&>a\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&<{\frac {1}{a}}\\{\frac {1}{x^{2}}}&>a\end{aligned}}}**符合條件嘅{\displaystyle \delta }，其實可以利用{\displaystyle \varepsilon -\delta }技巧搵出嚟。

#### 無限排序性質

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }，同時{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係{\displaystyle A}嘅包圍點。

假設任何嘅{\displaystyle \forall x\in A}同時{\displaystyle x\neq c}，{\displaystyle f(x)\leq g(x)}。

如果{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=\infty }，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}g=\infty }。

如果{\displaystyle \lim \_{x\to c}g=-\infty }，咁{\displaystyle \lim \_{x\to c}f=-\infty }。

#### 左右趨向定義

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }，同時{\displaystyle c\in \mathbb {R} }係{\displaystyle A\cap (c,\infty )=\{x\in A:x>c\}}嘅包圍點。

如果畀任何{\displaystyle a\in \mathbb {R} }，一定存在一個{\displaystyle \delta >0}，令到所有嘅{\displaystyle x\in A}符合{\displaystyle 0<|x-c|<\delta }，到會令到{\displaystyle f(x)>a}（對應係{\displaystyle f(x)<a}）嘅話；

當{\displaystyle x}趨向{\displaystyle c+}，{\displaystyle x\to c+}，{\displaystyle f}嘅極限係正無限**{\displaystyle \infty }**（f tends to **{\displaystyle \infty }** as {\displaystyle x\to c+}）。

一般會寫成{\displaystyle \lim \_{x\to c+}f=\infty }，（對應嘅係{\displaystyle \lim \_{x\to c-}f=\infty }）。

### 趨向無限

**趨向無限（Limits at Infinity）**係第二種趨向無限嘅極限。

**定義**

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }。

假設對應有啲{\displaystyle a\in R}，{\displaystyle (a,\infty )\subseteq A}。

畀任何{\displaystyle \varepsilon >0}，一定有一個{\displaystyle K>a}對應任何{\displaystyle x>K}，使到{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }嘅話；

{\displaystyle L\in \mathbb {R} }係{\displaystyle x}趨向無限時{\displaystyle x\to \infty }嘅極限（limit of {\displaystyle f} as {\displaystyle x\to \infty }）。

一般會寫做{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f=L}或者{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L}。

**函數數列要求**

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }。

假設對應有啲{\displaystyle a\in R}，{\displaystyle (a,\infty )\subseteq A}，咁以下兩句係等價：

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f=L}
* 任何一條喺{\displaystyle A\cap (a,\infty )}入面嘅數列{\displaystyle (x\_{n})}，佢係{\displaystyle (x\_{n})\to \infty }，咁樣{\displaystyle (f(x\_{n}))}就會趨向{\displaystyle L}。

### 趨向無限嘅無窮極限

將上面兩者夾埋，就會得出下面嘅定義。

**定義**

假設有一個實子集{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，函數{\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} }。

假設對應有啲{\displaystyle a\in R}，{\displaystyle (a,\infty )\subseteq A}。

畀任何{\displaystyle \varepsilon >0}，一定有一個{\displaystyle K>a}對應任何{\displaystyle x>K}，使到{\displaystyle f(x)>a}嘅話（對應係{\displaystyle f(x)<a}）；

喺{\displaystyle x}趨向無限時{\displaystyle x\to \infty }嘅極限係無窮（limit of {\displaystyle f} as {\displaystyle x\to \infty }）。

一般會寫做{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f=\infty }或者{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=\infty }。（對應係{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f=-\infty }）

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