**函數組合嘅連續性**（Combination of Continuous Function）係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係：兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法，即係{\displaystyle +,-,\times ,\div ,\circ }。

點連續計算法
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假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f}同{\displaystyle g}都係函數，{\displaystyle b\in \mathbb {R} }係一點實數。

假設{\displaystyle c\in A}係{\displaystyle A}入面嘅一點，咁{\displaystyle f}同{\displaystyle g}喺{\displaystyle c}呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅：

* {\displaystyle f+g,f-g,fg,bg}都會喺{\displaystyle c}呢點度連續。
* 再假設{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }喺{\displaystyle c\in A}呢點度係連續嘅，同埋{\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}，咁{\displaystyle {\frac {f}{h}}}都係喺{\displaystyle c}呢點度連續。

### 證明

根據假設得知，{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=f(c)}同埋{\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=g(c)}。

咁利用函數極限嘅計算法則得知，

* {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)+g(x)=\lim \_{x\to c}f(x)+\lim \_{x\to c}g(x)=f(c)+g(c)}
* {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)-g(x)=\lim \_{x\to c}f(x)-\lim \_{x\to c}g(x)=f(c)-g(c)}
* {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim \_{x\to c}f(x)\times \lim \_{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)}

設{\displaystyle f(x):=b}，咁利用上面{\displaystyle \lim \_{x\to c}b\times g(x)=\lim \_{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim \_{x\to c}f(x)\times \lim \_{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)=b\times g(c)}。

設{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }喺{\displaystyle c\in A}呢點度係連續嘅，同埋{\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}，咁利用函數極限嘅計算法則得知，

{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle {\lim \_{x\to c}f(x)}}{\displaystyle {\lim \_{x\to c}g(x)}}}={\frac {f(c)}{g(c)}}}。

因為連續函數嘅定義係，如果{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=f(c)}，咁{\displaystyle f}就係喺{\displaystyle c}呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法
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由點連續計算法可以推出，集上連續嘅計算法。

### 定理

設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f}同{\displaystyle g}都係喺集{\displaystyle A}上面連續，{\displaystyle b\in \mathbb {R} }係一點實數。以下都會係啱嘅：

* **語法拼砌失敗 (可以嘅話用MathML（實驗中）: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/zh-yue.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f+g,f-g,fg,bg}**
都會喺集{\displaystyle A}上面連續。
* 再假設{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }喺集{\displaystyle A}上面連續嘅，同埋{\displaystyle h(x)\neq 0,\forall x\in A}，咁{\displaystyle {\frac {f}{h}}}都會喺集{\displaystyle A}上面連續。

### 例子

* 多項式函數：{\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}}係一個喺{\displaystyle \mathbb {R} }上面連續嘅函數。
* 有理函數：設{\displaystyle p,q}係兩個多項式函數，而且喺集{\displaystyle A}上面連續。只要將{\displaystyle q}嘅根除去，即係{\displaystyle x\not \in \{a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n}\}}，{\displaystyle a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n}}係{\displaystyle q}嘅根，咁{\displaystyle q(x)\neq 0}，得出有理函數{\displaystyle r(x):={\frac {p(x)}{q(x)}}}喺所有{\displaystyle x}點入面，除咗以上講嗰啲點之外，都係連續嘅。
* 因為{\displaystyle \sin }，同{\displaystyle \cos }都係喺{\displaystyle \mathbb {R} }連續嘅，所以可以得知{\displaystyle \tan ,\sec ,\cot ,\sec }都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數
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### 絕對連續函數

設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }。定義{\displaystyle |f|}為{\displaystyle |f|(x):=|f(x)|,\forall x\in A}。咁以下兩條一定成立：

* 如果{\displaystyle f}喺{\displaystyle c\in A}呢點連續，咁{\displaystyle |f|}都會喺{\displaystyle c\in A}呢點連續。
* 如果{\displaystyle f}喺集{\displaystyle A}上面連續，咁{\displaystyle |f|}都會喺集{\displaystyle A}上面連續。

### 開方連續函數

假設{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }，{\displaystyle f}符合{\displaystyle f(x)\geq 0,\forall x\in A}。定義{\displaystyle {\sqrt {f}}}為{\displaystyle {\bigl (}{\sqrt {f}}{\bigr )}(x):={\sqrt {f(x)}},\forall x\in A}。咁以下兩條一定成立：

* 如果{\displaystyle f}喺{\displaystyle c\in A}呢點連續，咁{\displaystyle {\sqrt {f}}}都會喺{\displaystyle c\in A}呢點連續。
* 如果{\displaystyle f}喺集{\displaystyle A}上面連續，咁{\displaystyle {\sqrt {f}}}都會喺集{\displaystyle A}上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求，推到函數極限，再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性
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喺連續性入面，係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }喺{\displaystyle c\in A}呢點度連續，同埋{\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }喺{\displaystyle b=f(c)\in B}呢點度連續，會引伸出{\displaystyle g\circ f}喺{\displaystyle c}呢點度係連續。當然{\displaystyle g\circ f}會係定義到，同埋{\displaystyle f(A)\subseteq B}。

### 定理一

假設{\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }同埋{\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }，符合{\displaystyle f(A)\subseteq B}。

如果{\displaystyle f}喺{\displaystyle c\in A}呢點到連續，同埋{\displaystyle g}喺{\displaystyle b=f(c)\in B}呢點度連續，咁{\displaystyle g\circ f}喺{\displaystyle c}呢點度係連續。

**證明：**

假設{\displaystyle W}係{\displaystyle g(b)}嘅{\displaystyle \varepsilon }-鄰區。

咁因為{\displaystyle g}喺{\displaystyle b}度係連續，所以就會有一個{\displaystyle b=f(c)}嘅{\displaystyle \delta }-鄰區叫{\displaystyle V\_{g}}，使到如果{\displaystyle y\in B\cap V\_{g}}，咁{\displaystyle g(y)\in W}。

同時，因為{\displaystyle f}喺{\displaystyle c}度係連續，所以就會有一個{\displaystyle c}嘅{\displaystyle \delta }-鄰區叫{\displaystyle V\_{f}}，使到如果{\displaystyle x\in B\cap V\_{f}}，咁{\displaystyle f(x)\in V\_{g}}。

因為{\displaystyle f(A)\subseteq B}，所以如果{\displaystyle x\in A\cap V\_{f}}，咁{\displaystyle f(x)\in B\cap V\_{g}}。

因此，{\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x))\in W}。

因為{\displaystyle W}係任意一個鄰區，咁{\displaystyle g\circ f}就係喺{\displaystyle c}呢點上面連續。

### 定理二

假設{\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }，{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }同埋{\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }，符合{\displaystyle f(A)\subseteq B}。

如果{\displaystyle f}喺集{\displaystyle A}上面度連續，同埋{\displaystyle g}喺集{\displaystyle B}上面度連續，咁{\displaystyle g\circ f}喺{\displaystyle c}呢點度係連續。

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