**無窮分數**（Continued fraction），又叫**連分數**，係一類好特別嘅分數。佢喺數論同數學分析呢兩個數學分支入面都有好重要嘅角色。

一個無窮分數個樣係咁嘅



a

0

+

1

a

1

+

1

a

2

+

1

a

3

+
⋯



{\displaystyle a\_{0}+{\frac {1}{a\_{1}+{\frac {1}{a\_{2}+{\frac {1}{a\_{3}+\cdots }}}}}}}

{\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}}但係因為呢個樣太麻煩，所以一般會將佢轉成{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},\cdots ]}嚟表達。

佢喺數學上可以做出好正嘅近似值。例如黃金比例{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}，正正就係無窮分數


1

1
+

1

1
+

1

1
+

1

1
+
⋯





{\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}

{\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}而{\displaystyle [1;2]}就係


1
+

1
2

=

2
2

+

1
2

=

3
2

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}}

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}}
用無窮分數嚟表達{\displaystyle \pi }，就可以寫成

{\displaystyle \pi } ≈ {\displaystyle [3;7,15,1,292]=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292}}}}}}}}={\frac {103993}{33102}}=3.1415926530119026407\cdots }

有限無窮及簡單無窮
---------

無窮分數可以再分出**有限無窮**（Finite Continued Fraction），之後可以再分出**簡單無窮**（Simple Continued Fraction）呢兩類。

### 有限無窮

一個有限嘅無窮分數係可以用有限咁多嘅數字表達出嚟。

即係



a

0

+

1

a

1

+

1

a

2

+

1

⋯
+

a

n





{\displaystyle a\_{0}+{\frac {1}{a\_{1}+{\frac {1}{a\_{2}+{\frac {1}{\cdots +a\_{n}}}}}}}}

{\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\cdots +a_{n}}}}}}}}對應所有嘅{\displaystyle m\geq 1}，{\displaystyle a\_{m}}都係實數同埋{\displaystyle a\_{m}\geq 1}。

### 簡單無窮

簡單無窮就係{\displaystyle [a\_{0},a\_{1},\cdots ,a\_{n}]}入面每一個{\displaystyle a\_{i}}都係整數。

無窮分數轉換法
-------

如果{\displaystyle x\in \mathbb {R} }，將{\displaystyle x}寫成{\displaystyle x=a\_{0}+t\_{0}}，{\displaystyle a\_{0}\in \mathbb {Z} }同{\displaystyle 0\leq t\_{0}<1}。

一般會叫{\displaystyle a\_{0}}做**基層（Floor）**，有時會將{\displaystyle a\_{0}}寫成{\displaystyle a\_{0}=\llcorner x\lrcorner }。

如果{\displaystyle t\_{0}\neq 0}，將{\displaystyle t\_{0}}寫成{\displaystyle {\frac {1}{t\_{0}}}=a\_{1}+t\_{1}}，{\displaystyle a\_{1}\in \mathbb {Z} }同{\displaystyle 0\leq t\_{1}<1}。

咁{\displaystyle t\_{0}={\frac {1}{a\_{1}+t\_{1}}}}同埋{\displaystyle x=[a\_{0},a\_{1}+t\_{1}]}。

將佢繼續咁寫落去得出：

如果{\displaystyle t\_{i}\neq 0}，將{\displaystyle t\_{0}}寫成{\displaystyle {\frac {1}{t\_{i}}}=a\_{i+1}+t\_{i+1}}，{\displaystyle a\_{i+1}\in \mathbb {Z} }同{\displaystyle 0\leq t\_{i+1}<1}。

咁{\displaystyle t\_{i}={\frac {1}{a\_{i+1}+t\_{i+1}}}}同埋{\displaystyle x=[a\_{0},a\_{1},\cdots ,a\_{i},a\_{i+1}+t\_{i+1}]}。

**例子：**{\displaystyle {\frac {5}{3}}}

1. {\displaystyle {\frac {5}{3}}={\frac {3+2}{3}}=1+{\frac {2}{3}}}
2. {\displaystyle {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {3}{2}}={\frac {2+1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}}
3. {\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{1}}=2}

所以{\displaystyle {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}=[1,1,2]}

睇埋
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