利用圖表嚟表達{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2}，佢嘅 {\displaystyle x}-截距 {\displaystyle -1} 同 {\displaystyle 2} 正正就係二次方程 {\displaystyle x^{2}-x-2=0} 嘅解
**二次方程**（英文：quadratic equation）係指只有一個未知數、最高次數係 {\displaystyle 2} 嘅多項式方程。比佢簡單嘅有線性方程，係最簡單嘅方程式。而二次方程就係繼線性方程之後被數學家研究嘅方程。如果用圖表畫出，就會得出一條拋物線。一般嚟講，二次方程可以寫做以下呢個樣：


a

x

2

+
b
x
+
c
=
0

(
a
≠
0
)

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}而{\displaystyle a}、{\displaystyle b}同{\displaystyle c}一般嚟講都係一個實數，不過亦都可以係其他數字系統入面嘅數，例如整數、有理數、複數、p進數等等，甚至{\displaystyle a}、{\displaystyle b}、{\displaystyle c}自己都係函數都得。

解二次方程
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### 解析解

二次公式，用嚟解二次方程。
解二次方程嘅其中一個方法就係**配方法**（completing the square）。假設有一條二次方程：

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

先確保{\displaystyle x^{2}}嘅常數係{\displaystyle 1}，所以成條式除以{\displaystyle a}得出：

{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}

再做配方法，配方法係利用{\displaystyle \left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}=a^{2}\pm ab+{\frac {b^{2}}{4}}}，轉個轉方法寫出嚟，即係變成咁{\displaystyle a^{2}\pm ab=\left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}，再應用得出：

{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0}

咁整理一下：

{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

將兩邊都開一次方，就得出：（注意，開方有正有負）

{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}

再整理一次：

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

呢條式就係著名嘅二次公式。

呢條公式去到17世紀先至有人砌到出黎。雖然喺1585年，數學家Simon Stevin係佢嘅著作L'Arithmetique入面已經有提到點樣解二次方程，但係佢就係用文字表達出嚟，而唔係用數學式。最後，數學家用咗四十幾年先可以正式解到。

### 巴比倫人嘅解法

巴比倫人應該係世界上第一族可以解到二次方程嘅人。早喺公元前2000年，巴比倫有一塊碑度記載咗點解二次方程，以下係英文翻譯：

「I have subtracted from the area the side of my square: 14.30. Take 1, the coefficient. Divide 1 into two parts: 30. Multiply 30 and 30:15. You add to 14.30, and 14.30.15 has the root 29.30. You add to 29.30 the 30 which you have multiplied by itself: 30, and this is the side of the square.」

判別式
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內文：判別式
因為根號入面嘅數值會影響咗實根嘅數量，所以就有以下嘅判別式（discriminant）：

{\displaystyle \Delta ={b^{2}-4ac}}
當 {\displaystyle \Delta >0}，有兩個唔同嘅實根；

當 {\displaystyle \Delta =0}，有兩個一樣嘅實根，叫重根；

當 {\displaystyle \Delta <0}，因為負數嘅開方係虛數，所以冇實根，而係有一對共軛複數根。

睇埋
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* 線性方程
* 三次方程
* 複數

參考
--

1. ↑  Jean-Pierre Tignol, *Galois' Theory of Algebraic Equations*. QA211 .T5413 2001

  


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