**質數分解域定理**指嘅係「所有單點環倍數域（PID）都係質數分解域（UFD）」（Every PID is UFD.）。呢個定理需要用到兩樣嘢，一樣係「增長單點環倍數限制」（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal，ACCPI）；同埋「質數{\displaystyle =}不可分解數」（Prime{\displaystyle =}Irreducible）。

增長單點環倍數限制
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假設{\displaystyle {\textbf {D}}}係一個單點環倍域（Principal Ideal），如果{\displaystyle \langle a\_{1}\rangle \subseteq \langle a\_{2}\rangle \subseteq \langle a\_{3}\rangle \subseteq \cdots }係一條增長連鎖，咁就會有一個自然數{\displaystyle n\in \mathbb {Z} \_{>0}}，使到{\displaystyle \forall i\geq n}符合{\displaystyle \langle a\_{i}\rangle =\langle a\_{n}\rangle }。換句話講，{\displaystyle \langle a\_{1}\rangle \subseteq \langle a\_{2}\rangle \subseteq \langle a\_{3}\rangle \subseteq \cdots \subseteq \langle a\_{n}\rangle =\langle a\_{n+1}\rangle =\cdots }。

呢個性質就係**增長單點環倍數限制**（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI）。

**證明：**

首先，得知{\displaystyle I:=\bigcup \_{i}\langle a\_{i}\rangle }都係{\displaystyle {\textbf {D}}}嘅一個環倍數。（{\displaystyle \langle a\_{i}\rangle }係增長連鎖。）

因為{\displaystyle {\textbf {D}}}係單點環倍域，所以對應一啲{\displaystyle b\in {\textbf {D}}}，{\displaystyle I=\langle b\rangle }，同時{\displaystyle b\in I\implies b\in \langle a\_{n}\rangle }，對應一啲{\displaystyle n\in \mathbb {Z} \_{>0}}。

而家對應{\displaystyle i\geq n}，{\displaystyle \langle b\rangle \subseteq \langle a\_{n}\rangle \subseteq \langle a\_{i}\rangle \subseteq I=\langle b\rangle }

{\displaystyle \implies \langle a\_{i}\rangle =\langle a\_{n}\rangle }

證明
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### 存在質數分解

設{\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}。證明有一個不可分解數{\displaystyle p\_{i}}符合{\displaystyle p\_{i}|a}。

如果{\displaystyle a}係不可分解數，搞掂。

如果唔係，咁就有{\displaystyle a\_{1},b\_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}符合{\displaystyle a=a\_{1}b\_{1}}，如果{\displaystyle a\_{1},b\_{1}}都係不可分數，搞掂。

如果都唔係，{\displaystyle \langle a\rangle \subsetneq \langle a\_{1}\rangle }，{\displaystyle b\notin {\textbf {D}}^{\times }}。

將以上嘅概念放去{\displaystyle a\_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}，因為{\displaystyle a\_{1}}唔係不可分解數。

咁{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}b\_{2}}，{\displaystyle a\_{2},b\_{2}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}，如果{\displaystyle a\_{2}}或者{\displaystyle b\_{2}}都係不可分解數，搞掂。

繼續呢個步驟，就會有{\displaystyle p\_{i}}係一個不可分解數，或者一條增長連鎖{\displaystyle \langle a\rangle \subsetneq \langle a\_{1}\rangle \subsetneq \langle a\_{2}\rangle \subsetneq \cdots }。

因為ACCPI，所以後者係無可能出現。

由上面呢段嘢，可以總結出任何{\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}唔係不可分解數，就都可以有一個不可分解數{\displaystyle p\_{1}}符合{\displaystyle p\_{1}|a}。

（即係對應一啲{\displaystyle b\_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}，{\displaystyle a=p\_{1}b\_{1}}）

如果{\displaystyle b\_{1}}係不可分解數，搞掂。

如果唔係，{\displaystyle b\_{1}=b\_{2}=p\_{3}b\_{3}}同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。

總結得知一定有{\displaystyle n}咁多{\displaystyle b\_{n}}嘅不可分解數，令到{\displaystyle a=p\_{1}p\_{2}b\_{2}=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}b\_{n}}成立。

而呢個就係{\displaystyle a}嘅質數分解。

### 質數分解獨有性

如果{\displaystyle a=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{m}=q\_{1}q\_{2}\cdots q\_{m}}都係{\displaystyle a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})}嘅質數分解。

約到最簡，可以假設{\displaystyle n\geq m}。

因為不可分解數{\displaystyle \implies }質數，{\displaystyle p\_{1}|q\_{1}q\_{2}\cdots q\_{n}\implies p\_{1}|q\_{i}}，

將佢排返好，可以叫{\displaystyle i=1}，{\displaystyle p\_{1}|q\_{1}}；但係{\displaystyle q\_{1}}係不可分解數，所以對應一啲{\displaystyle u\_{1}\in {\textbf {D}}^{\times }}，{\displaystyle q\_{1}=p\_{1}u\_{1}}

所以{\displaystyle p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}=(p\_{1}u\_{1})q\_{2}\cdots q\_{m}}，

{\displaystyle \implies p\_{2}\cdots p\_{n}=u\_{1}q\_{2}\cdots q\_{m}}。

重覆以上步驟，將{\displaystyle p\_{2},p\_{3}\cdots p\_{n}}處理，

{\displaystyle \implies {\begin{cases}q\_{i}=u\_{i}p\_{i}\quad i=1\cdots n,u\_{i}\in {\textbf {D}}^{\times }\\1=u\_{1}u\_{2}\cdots u\_{n}q\_{n+1}\cdots q\_{m}\end{cases}}}。

因為每一個{\displaystyle q\_{i}}都係不可分解數，加上佢哋唔係單元（Unit），所以{\displaystyle m=n}。

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