一條基本嘅{\displaystyle f(x)=\log \_{2}x}。
**對數**係一種函數，佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數，指數函數嘅基本樣係{\displaystyle f(x)=a^{x}}，{\displaystyle a}係一個正實數。咁呢個圖就會穿過{\displaystyle (1,a)}，同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線（asymptote）。因為指數函數係單對單函數，又係全射函數，所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數，求出黎嘅方法可以參考下面。

對數有好多唔同嘅作用，其中最常見嘅就有搵出次方，同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。

定義
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### 基本定義

如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數，就要根據以下步驟：

1. 將{\displaystyle y=f(x)}：{\displaystyle y=a^{x}}
2. 將{\displaystyle x}同{\displaystyle y}交換：{\displaystyle x=a^{y}}
3. 求{\displaystyle y}：{\displaystyle y=?}

#### 定義對數

設 {\displaystyle x>0}，{\displaystyle a>0} 同埋 {\displaystyle a\neq 1}，**對數函數**（logarithmic function）{\displaystyle f(x)=\log \_{a}x}符合：

「{\displaystyle y=\log \_{a}x\iff x=a^{y}}」。

呢個函數嘅**基數**（base）就係 {\displaystyle a}。｢{\displaystyle \,\log \_{a}x}｣ 一般會讀成「log base {\displaystyle a} of {\displaystyle x}」（log 近音係「樂」）。

#### 等價定義

根據以上呢個定義，{\displaystyle y=\log \_{a}x}，{\displaystyle x=a^{y}}呢兩個表達係完全一樣。

一般會將{\displaystyle x=a^{y}}叫做**指數表示**（exponential form）；

另一個樣，{\displaystyle y=\log \_{a}x}叫做**對數表示**（logarithmic form）。

#### 例子

* {\displaystyle \log \_{5}25=2\implies 5^{2}=25}
* {\displaystyle \log \_{5}({\frac {1}{25}})=-2\implies 5^{-2}={\frac {1}{25}}}
* {\displaystyle 9={\sqrt {81}}=81^{\frac {1}{2}}\implies \log \_{81}9={\frac {1}{2}}}
* {\displaystyle 16=4^{2}\implies \log \_{4}16=2}

#### 求絕對值

求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。

例如求：{\displaystyle \log \_{3}81}

1. 將求嘅數等於{\displaystyle x}：{\displaystyle x=\log \_{3}81}
2. 利用等價定義轉返佢做指數表示：{\displaystyle 3^{x}=81}
3. 解方程：{\displaystyle 3^{x}=3^{4}\implies x=4}
4. 還原答案：{\displaystyle x=4=\log \_{3}81}

例子：{\displaystyle \log \_{5}({\frac {1}{5}})}

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\log \_{5}({\frac {1}{5}})\\5^{x}&={\frac {1}{5}}\\5^{x}&=5^{-1}\\x&=-1\\x=-1&=\log \_{5}({\frac {1}{5}})\end{aligned}}}

### 普通對數同自然對數

內文：自然對數
有自然指數就自然有自然對數，佢哋基本大同小異，只不過自然對數個基數係歐拉數{\displaystyle e}。而一般情況普通對數個基數就係{\displaystyle 10}，稱常用對數。

通常使用基數係{\displaystyle 10}嘅情況，正常應該係要寫成{\displaystyle f(x)=\log \_{10}x}咁，但係因為成日用嘅關係，多數人都會寫成{\displaystyle f(x)=\log x}咁，而唔寫基數就默認係{\displaystyle 10}。

如果基數係歐拉數{\displaystyle e}，正常係應該要寫成{\displaystyle f(x)=\log \_{e}x}咁，但係好多時除咗{\displaystyle 10}之後都要用埋佢呢，數學家就發明咗個符號叫{\displaystyle \ln }，所以所有基數係{\displaystyle e}嘅對數函數，就會寫成{\displaystyle f(x)=\ln x}。呢個就係自然對數。

畫對數
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因為對數係指數嘅逆函數，所以可以利用{\displaystyle y=x}反射{\displaystyle f(x)=a^{x}}得出{\displaystyle f(x)=\log \_{a}x}。

如果{\displaystyle a>1}。
如果{\displaystyle a>1}就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係{\displaystyle f(x)=a^{x}}，將佢根據{\displaystyle y=x}，黑線，做一個反射就得出綠色線{\displaystyle f(x)=\log \_{a}x}。

如果{\displaystyle 0<a<1}。
如果{\displaystyle 0<a<1}就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係{\displaystyle f(x)=a^{x}}，將佢根據{\displaystyle y=x}，黑線，做一個反射就得出綠色線{\displaystyle f(x)=\log \_{a}x}。

以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處：

| 指數函數
{\displaystyle y=a^{x}} | 對數函數
{\displaystyle y=\log \_{a}x} |
| --- | --- |
| {\displaystyle y}軸相交點係{\displaystyle (0,1)} | {\displaystyle x}軸相交點係{\displaystyle (1,0)} |
| 函數域（Domain）係{\displaystyle (-\infty ,\infty )} | 函數域（Domain）係{\displaystyle (0,\infty )} |
| Range係{\displaystyle (0,\infty )} | Range係{\displaystyle (-\infty ,\infty )} |
| 趨近線係{\displaystyle x}軸 | 趨近線係{\displaystyle y}軸 |

對數應用
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對數可以做好多現實中嘅應用，以下舉出幾個出名嘅應用：

### 分貝

分貝（decibel）係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。

分貝值喺數學上定義為：{\displaystyle D=10\log {\bigl (}{\frac {I}{I\_{T}}}{\bigr )}}

式入面嘅 {\displaystyle D} 就係分貝值，單位係 dB。{\displaystyle I} 就每平方米嘅聲音強度，單位係瓦特（watt）。{\displaystyle I\_{T}} 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講，一般人最低可以聽到最低噪音係 {\displaystyle 1\times 10^{-12}\ {\text{W}}\!/{\text{m}}^{2}}。

### 黎克特制

黎克特制（Richter scale）係用嚟量度地震強度。

計算呢個強度嘅公式係：{\displaystyle M={\frac {2}{3}}\log({\frac {E}{E\_{0}}})}，

當中 {\displaystyle M} 係強度，{\displaystyle E} 係地震震波強度，{\displaystyle E\_{0}} 係地震所釋出嘅能量。

### pH值

喺化學入邊，pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。

ph值公式：{\displaystyle {\textrm {pH}}=-\log \_{10}[{\textrm {H}}^{+}]}，

當中 {\displaystyle [{\textrm {H}}^{+}]} 係氫離子嘅濃度。

睇埋
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* 自然對數
* 指數
* 指數定律
* 對數定律

參考資料
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1. ↑  IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (編), *Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")* (第2版), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook, ISBN 978-0-9678550-9-7

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