呢篇文講嘅係數學上嘅概念。想搵電影，睇吓「**22世紀殺人網絡系列**」。一個{\displaystyle m\times n}矩陣，有{\displaystyle m}個橫行、{\displaystyle n}個直行。每一個元素用雙下標嘅變數嚟表示，例如{\displaystyle a\_{1,2}}咁，就係第一橫行第二直行嘅元素。如果唔會造成誤會，可以連逗號都唔寫：{\displaystyle a\_{12}}
**矩陣**（英文：matrix，眾數matrices）係線性代數入面其中一個基本概念。矩陣可以用嚟表示一個線性映射（linear transformation）。

一個{\displaystyle m\times n}嘅矩陣係一個由{\displaystyle m}行{\displaystyle n}列元素排列成嘅矩形陣列，元素可以係數字、符號或者數式。下面係個{\displaystyle 2\times 3}嘅矩陣：


[

2

3

4

1

2

3

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\1&2&3\\\end{bmatrix}}}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\1&2&3\\\end{bmatrix}}}矩陣喺電腦科學、工程學、物理學入面都有好重要嘅作用。

喺電腦科學上，「矩陣」最廣義可以泛指 2D 嘅陣列。

定義
--

一個矩陣係由一啲元素組成嘅方型矩陣。

矩陣入面嘅嘢係叫**元素**（Elements），佢哋會排成**橫行**（horizontal rows）同**直行**（vertical columns）。

喺中國大陸，橫向嘅元素係叫「行」，縱向嘅係叫「列」；而喺台灣就係相反。

### 例子

買T恤嘅例子：如果紅色嘅要{\displaystyle 3}件中碼、{\displaystyle 1}件大碼；黃色嘅要{\displaystyle 9}件細碼、{\displaystyle 5}件中碼；綠色嘅要{\displaystyle 9}件細碼、{\displaystyle 5}件中碼；藍色就要{\displaystyle 1}件中碼；紫色就要{\displaystyle 1}件大碼。咁就以上嘅資料，就可以寫成以下呢個矩陣。


S
=

[

0

9

9

0

0

3

5

5

1

0

1

0

0

0

1

]

{\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&9&9&0&0\\3&5&5&1&0\\1&0&0&0&1\end{bmatrix}}}

{\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&9&9&0&0\\3&5&5&1&0\\1&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
### 基本嘅樣

一個{\displaystyle m\times n}矩陣{\displaystyle A}**（m by n matrix）**，係呢個樣：

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&\cdots &a\_{2n}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&\cdots &a\_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&a\_{m3}&\cdots &a\_{mn}\\\end{bmatrix}}}

{\displaystyle A}入面嘅元素{\displaystyle a\_{ij}}，{\displaystyle ij}係{\displaystyle a\_{ij}}嘅**置數**（index，indices）代表住{\displaystyle a\_{ij}}係{\displaystyle A}入面嘅第{\displaystyle i}行第{\displaystyle j}棟。

基數
--

矩陣嘅**基數**（order）係指個矩陣會有幾大。一個{\displaystyle m\times n}嘅矩陣係一個由{\displaystyle m}列{\displaystyle n}行元素排列成；而{\displaystyle m\times n}就係呢個矩陣嘅基數。

### 例子

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{bmatrix}}}

咁矩陣{\displaystyle A}嘅基數就係{\displaystyle 2\times 3}。

單位矩陣
----

**單位矩陣（**identity matrix，通常用I或E表示）係一種正方形矩陣，主對角線上面嘅元素全部係 {\displaystyle 1} ，其他位置全部係 {\displaystyle 0}。例如：

{\displaystyle I\_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I\_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I\_{4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}
任何矩陣(A)同**單位矩陣**乘埋(如果可以乘)都會等於自己本身。即係：

{\displaystyle A\_{m\times n}I\_{n}=A\_{m\times n}\ ,\ I\_{m}A\_{m\times n}=A\_{m\times n}}
可見**單位矩陣**就好似數字嘅1噉。

零矩陣
---

**零矩陣**，即係所有元素都係0嘅矩陣，通常用大階O代表。例如：

{\displaystyle O\_{1,2}={\begin{bmatrix}0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O\_{3,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O\_{2,4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}

  

**零矩陣**同任何矩陣(A)乘埋(如果可以乘)都會等於**零矩陣**。即係：

{\displaystyle OA=O\ ,\ AO=O}

  

任何矩陣(A)同**零矩陣**加埋(如果可以加)都會等於自己本身。即係：

{\displaystyle A+O=A\ ,\ O+A=A}

  

可見**零矩陣**就好似數字嘅0噉。

對角元素同方型矩陣
---------

一個{\displaystyle m\times n}嘅矩陣入面，第{\displaystyle (1,1),(2,2),(3,3),\cdots }嘅元素就係叫做**對角元素**（diagonal element）。

用數學形式寫，就係所有嘅{\displaystyle [a\_{ii}]}嘅元素。

係一個{\displaystyle m\times n}嘅矩陣睇，所有嘅{\displaystyle [a\_{ii}]}嘅元素就係矩陣由左上到右下條對角線上面嘅元素。

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&\cdots &a\_{2n}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&\cdots &a\_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&a\_{m3}&\cdots &a\_{mn}\\\end{bmatrix}}}

如果一個矩陣，佢嘅基數係{\displaystyle n\times n}。咁呢個矩陣就係一個正方形。

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&\cdots &a\_{2n}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&\cdots &a\_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&a\_{n3}&\cdots &a\_{nn}\\\end{bmatrix}}}

咁{\displaystyle a\_{11},a\_{22},a\_{33},\cdots ,a\_{nn}}就會係呢個矩陣嘅**對角線**（Diagonal）。

運算
--

加法，只須要對位運算。好似噉：

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{bmatrix}}\ +\ {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}a+1&d+4\\b+2&e+5\\c+3&f+6\\\end{bmatrix}}}

  

矩陣乘法係左橫乘右棟。就好似：

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\\\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}e&g\\f&h\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}ae+cf&ag+ch\\be+df&bg+dh\\\end{bmatrix}}}

睇埋
--

* 矩陣運算
* 矩陣約簡法
* 線性方程系統
* 向量

| * 睇
* 傾
* 改
現代數學同數學各領域 |
| --- |
| 純粹同應用數學 · 數學史 · 數學之美 |
| 數學證明 | 
* 直接證明
* 數學歸納法
* 否定證明
* 反證法
* 構造法
* 分類證明

 |  |
| 數學基礎 | 
* 數學哲學
* 數學邏輯
* 範疇論
* 集合論
* 類型論
* 資訊理論
* 數學符號
* 數學物體

 |
| 數論 | 
* 數（質數）
* 算術
* 代數數論
* 解析數論

 |
| 代數學 | 
* 基本代數
* 線性代數（多重）
* 抽象代數（交換代數 · 羣論 · 伽華理論）
* 場論
* 泛代數
* 同調代數

 |
| 幾何學 | 
* 歐幾里得幾何
* 代數幾何
* 解析幾何
* 微分幾何
* 離散幾何
* 拓撲學（代數拓撲）

 |
| 數學分析 | 
* 微積分
* 微分方程
* 實分析同複分析
* 測度
* 諧波分析
* 泛函分析

 |
| 離散數學 | 
* 組合數學
* 圖論
* 序理論
* 博弈論

 |
| 應用數學 | 

|  |
| --- |
| 
* 數理物理學
* 數理化學
* 數理生物學
* 數理心理學
* 數理社會學
* 控制理論

 |
| 　決策論 | 
* 概率論同統計學
* 數理經濟學
* 運籌學
* 數理金融學

 |

 |
| 運算數學 | 
* 電腦科學
* 運算理論
* 數值分析
* 最佳化
* 電腦代數

 |
| 拉雜相關 | 
* 邏輯
* 理論電腦科學
* 哲學（古希臘哲學 · 理性主義）
* 科學（形式 · 系統）
* 科技
* 藝術
* 樂理

 |
|  **數學主題** · 數學類 |