時鐘記時就係用商餘12運算。
**商餘計算**（英文：Modular Arithmetic），或者叫做**商餘數學**，書面語可能叫做「模數學」，係數學入面一套特別嘅整數計算，早係1801年就已經喺高斯本書*Disquisitiones Arithmeticae*入面記載。

可以利用「時鐘」嚟理解商餘計算，朝早9點加5個鐘就係下晝2點，喺個鐘上面會顯示由9變做2，其實就係因為9+5=14，而14除以12餘2。呢個就一個常見又易明嘅例子。

等價關係
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內文：同餘
商餘計算主要集中喺同餘關係上面，而同餘係一個等價關係。用數字式嚟定義同餘呢個關係可以寫成：


a
≡
b

mod

m

⟺

m

|

(
a
−
b
)

{\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}\iff m|(a-b)}

{\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}\iff m|(a-b)}呢個定義同加、減、乘呢三個運算都係兼容（compatible）嘅，用加法嚟做例子，就係如果有{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}同埋{\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}，咁就可以推導出{\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}。

假設揀定咗一個正整數{\displaystyle m}。「{\displaystyle a}同{\displaystyle b}係{\displaystyle m}嘅同餘」，數學式會寫做{\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}。

**例子：**

{\displaystyle 51\equiv 11{\bmod {5}}}

從普通角度了解就係，{\displaystyle 51\div 5=10\cdots 1}同埋{\displaystyle 11\div 5=2\cdots 1}。由此可見，佢哋嘅同餘都係1，所以喺同餘呢個關係上面，佢哋係一樣。

從定義嘅角度嚟睇，{\displaystyle 51-11=40}。而40係可以被5除盡，即係{\displaystyle 5|40=(51-11)}。因此符合定義。

同餘加法同乘法
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內文：同餘
假設有兩個同餘關係，{\displaystyle a\_{1}\equiv b\_{1}{\bmod {m}}} 同埋 {\displaystyle a\_{2}\equiv b\_{2}{\bmod {m}}}。可以得出：

* {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}\equiv b\_{1}+b\_{2}{\bmod {m}}}
* {\displaystyle a\_{1}-a\_{2}\equiv b\_{1}-b\_{2}{\bmod {m}}}
* {\displaystyle a\_{1}a\_{2}\equiv b\_{1}b\_{2}{\bmod {m}}}

注意：同餘關係入面嘅除法同平時做嘅除法好唔同。

餘數定理嘅應用
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內文：餘數定理
舉個例，利用餘數定理將16除3，得出{\displaystyle 16=3\times 5+1}。因而得知，16除3嘅餘數係1。數學上會將「16除3嘅餘數係1」呢件事叫做商餘（mod），數學式會寫{\displaystyle 16{\bmod {3}}=1}。

再舉多個例，{\displaystyle 22{\bmod {3}}=1}因為{\displaystyle 22=3\times 7+1}。如果跟返上面嘅定義，得知


22
≡
16

mod

3

{\displaystyle 22\equiv 16{\bmod {3}}}

{\displaystyle 22\equiv 16{\bmod {3}}}

由此可見「{\displaystyle \equiv }」可以解做「{\displaystyle {\text{mod}}}」，但係因為數學上唔止一個等價關係，所以會寫做「{\displaystyle \equiv \_{m}}」嚟區別。而從同一個例子可以見到：


A
≡
B

mod

m

⟺

A

mod

m

=
B

mod

m

{\displaystyle A\equiv B{\bmod {m}}\iff A{\bmod {m}}=B{\bmod {m}}}

{\displaystyle A\equiv B{\bmod {m}}\iff A{\bmod {m}}=B{\bmod {m}}}注意：左面嘅係「{\displaystyle \equiv }」，而右面嘅係「{\displaystyle =}」。

由上面嘅性質推斷落去，可以得知


(
a

mod

m

)
(
b

mod

m

)
≡
a
b

mod

m

⟺

(
(
a

mod

m

)
(
b

mod

m

)
)

mod

m

=
(
a
b
)

mod

m

{\displaystyle (a{\bmod {m}})(b{\bmod {m}})\equiv ab{\bmod {m}}\iff ((a{\bmod {m}})(b{\bmod {m}})){\bmod {m}}=(ab){\bmod {m}}}

{\displaystyle (a{\bmod {m}})(b{\bmod {m}})\equiv ab{\bmod {m}}\iff ((a{\bmod {m}})(b{\bmod {m}})){\bmod {m}}=(ab){\bmod {m}}}**證明：**

{\displaystyle a{\bmod {m}}}，利用餘數定理即係有某啲整數{\displaystyle q\in \mathbb {Z} }符合，{\displaystyle r\_{a}=a{\bmod {m}}=a-mq}。

{\displaystyle b{\bmod {m}}}，利用餘數定理即係有某啲整數{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }符合，{\displaystyle r\_{b}=b{\bmod {m}}=b-mp}。



r

a

r

b


=
(
a
−
m
q
)
(
b
−
m
p
)



=
a
b
−
(
a
+
b
)
m
p
+
(
m
p

)

2


r

a

r

b

−
(
a
b
)

=
m
(
(
a
+
b
)
p
+
m

p

2

)



{\displaystyle {\begin{aligned}r\_{a}r\_{b}&=(a-mq)(b-mp)\\&=ab-(a+b)mp+(mp)^{2}\\r\_{a}r\_{b}-(ab)&=m((a+b)p+mp^{2})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}r_{b}&=(a-mq)(b-mp)\\&=ab-(a+b)mp+(mp)^{2}\\r_{a}r_{b}-(ab)&=m((a+b)p+mp^{2})\end{aligned}}}所以得出{\displaystyle m|(r\_{a}r\_{b}-(ab))\implies r\_{a}r\_{b}\equiv ab{\bmod {m}}}。

應用
--

如果{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }係兩個整數，{\displaystyle p}係質數，咁{\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}。

睇埋
--

* 等價集合
* 商餘集合
* 整數商餘

| * 睇
* 傾
* 改
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