**Γ 函數**，亦叫做**伽瑪函數**（英文：Gamma function），係一個將階乘推廣到複數上嘅方法。Γ 函數係一個亞純函數，喺複平面上面除咗0同埋負整數，其他地方都係有定義嘅。佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。對任何嘅正整數，都有

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

定義
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{\displaystyle \Gamma (z)}呢個符號係勒壤得揀嘅，個函數嘅定義係：

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t\quad (t>0)}
呢個積分喺實數 {\displaystyle z>0} 時係絕對收斂，亦可以考慮 {\displaystyle z} 係複數嘅情形，呢個時候要求 {\displaystyle z} 嘅實部 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}。

無窮乘積
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Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \_{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}}
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
其中 {\displaystyle \gamma } 就係歐拉常數。

Gamma積分
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{\displaystyle 1=\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}\lambda ^{\alpha }e^{\left(-\lambda x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}dx}
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int \_{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx}

遞歸公式
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Γ 函數嘅遞歸公式係：

{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
對於正整數 n，有

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

### 推導遞歸公式

{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}

用分部積分法嚟計呢個積分：

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]\_{0}^{\infty }+n\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}

當 x = 0 時，{\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0}。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{e^{x}}}=0}.

因此第一項{\displaystyle \left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]\_{0}^{\infty }}變咗零，所以：

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}

等式嘅右面啱啱就係n{\displaystyle \Gamma (n)}。所以遞歸公式係：

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}。

重要性質
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Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形
* 當{\displaystyle z\to 0^{+}}時，{\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }
* 歐拉反射公式：

{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}。
* 乘法定理：

{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}
* 補充：

{\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}
呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。
* 其他用乘法定理計到嘅數：

{\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}\*2^{2/3}\*\sin({\pi /3})}
{\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}\*{\sqrt {\pi }}^{3}\*2^{4/3}/{\sqrt {3}}}
{\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)\*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}\*2^{4/5}\*\sin({2\*\pi /5})}
{\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)\*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3\*\pi /10})}
{\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)\*{\sqrt {\pi }}\*2^{3/5}}
{\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)\*\Gamma (2/5))\*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)\*\sin({2\*\pi /5}))}

特殊值
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{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

斯特靈公式
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斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度：

{\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}}

解析延拓
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Γ 函數嘅絕對值函數圖形
注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 {\displaystyle z} 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
並注意到函數 {\displaystyle \sin(\pi z)} 係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1} 時設

{\displaystyle \Gamma (z):={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}
從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺 {\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots } 有單極點，留數係

{\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}}

睇埋
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* 雙伽瑪函數
* 多伽瑪函數
* 階乘
* 機率密度函數

出面網頁
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* GAMMA 函數嘅性質


1. ↑  Mada, L. (2020-04-24). "Relations of the Gamma function". *R code on Github*. Code publicly available on Github [Personal Research]. 原先內容歸檔喺2021-04-02. 喺2020-04-24搵到. Relations of the Gamma function