質數分解由德國數學家高斯嘅《算術研究》用商餘計算嚟證明咗
**質數分解**或**質因分解**（Prime Factorization），又叫**整數分解**(integer factorization)，**算法基礎**、**算術基本原理**（Fundamental Theorem of Arithmetic），係數論入面一個基本概念，亦可以喺抽象代數入面應用。

質數分解指嘅係每一個自然數或者整數，都可以寫成一堆質數嘅乘法。

證明質數分解成立需要用到質數嘅定義、可除性等工具。

例子：{\displaystyle 2016=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 7=2^{5}\times 3^{2}\times 7}

根據質數分解定理，任何一個大過1嘅正整數，就可以寫成一堆質數嘅乘法，而對應呢個數嘅寫法係獨一無二嘅，即係對於每一個正整數 {\displaystyle k:k\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}，都可以寫成 {\displaystyle k={p\_{1}}^{a\_{1}}{p\_{2}}^{a\_{2}}{p\_{3}}^{a\_{3}}\cdots {p\_{n}}^{a\_{n}}:\{a\_{1},a\_{2},a\_{3}\cdots a\_{n}\}\in \mathbb {N} }，而 {\displaystyle p\_{1},p\_{2},p\_{3},\cdots ,p\_{n}} 都係質數。

證明
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### 存在性

假設最少有一個數{\displaystyle n\in \mathbb {N} }係唔可以被寫成一堆質數嘅乘法。

因為{\displaystyle \mathbb {N} }嘅排序性質，所以係有一個最細既{\displaystyle a\in \mathbb {N} }係唔可以被寫成一堆質數嘅乘法。

如果{\displaystyle a}係質數，咁{\displaystyle a=a}就係寫成一堆質數嘅乘法。

如果{\displaystyle a}唔係質數，咁要係有一個{\displaystyle b,c}符合{\displaystyle a=bc}。

因為{\displaystyle a}係最細符合條件：「唔可以被寫成一堆質數嘅乘法」，所以{\displaystyle b,c}可以被寫成一堆質數嘅乘法。

但係因為{\displaystyle a=bc}，所以{\displaystyle a}可以被寫成一堆質數嘅乘法。

### 獨特性

假設{\displaystyle a>1\in \mathbb {N} }可以質數分解成{\displaystyle a=p\_{1}\cdots p\_{m}=q\_{1}\cdots q\_{n}}，而{\displaystyle p\_{i},q\_{i}}都係質數。

因為{\displaystyle p\_{1}|a}，所以{\displaystyle p\_{1}|q\_{1}\cdots q\_{n}}。

利用歐幾理得推論，因為{\displaystyle p\_{1}}係質數，所以{\displaystyle p\_{1}|q\_{j}}。

同一個原理，可以得知會有一個{\displaystyle q\_{j}|p\_{1}}。

所以{\displaystyle p\_{1}=q\_{j}}，為咗簡化，會將{\displaystyle q\_{j}}寫成{\displaystyle q\_{1}}，所以{\displaystyle p\_{1}=q\_{1}}。

之後約簡得出，{\displaystyle p\_{2}\cdots p\_{m}=q\_{2}\cdots q\_{n}}。

因為{\displaystyle a}係第一個，即係最細嘅自然數係有兩個唔同嘅質數分解，而{\displaystyle p\_{2}\cdots p\_{m}<a}，所以{\displaystyle m=n}同埋{\displaystyle p\_{2}=q\_{2}\cdots p\_{m}=q\_{n}}。

加埋{\displaystyle p\_{1}=q\_{1}}，{\displaystyle a}根本就唔會存在兩個唔同嘅質數分解。

應用
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有無窮咁多質數係{\displaystyle 4x-1}呢個樣。

**證明：**

假設{\displaystyle p\_{1},p\_{2},\cdots ,p\_{n}}係唔同嘅質數，但都係{\displaystyle 4x-1}呢個樣。

考慮{\displaystyle N=4p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}-1}。

明顯任何一個{\displaystyle p\_{i}}都係令到{\displaystyle p\_{i}\not |N}成立。（因為{\displaystyle p\_{i}}係質數）

如果另外一個{\displaystyle p\neq p\_{i}}同時{\displaystyle p|N}，但唔係每一個{\displaystyle p}都係{\displaystyle 4x+1}嘅樣。（因為{\displaystyle N=4p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{n}-1}）

因為{\displaystyle N}係單數，所以一定會有一啲質數符合{\displaystyle p|N}係{\displaystyle 4x-1}嘅樣。

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