立方函數
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}}{4}}+{\frac {3x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{2}}-2}
嘅圖。佢嘅實根（即係 {\displaystyle x} 截距）有三個： {\displaystyle x=-4} ， {\displaystyle x=-1} 及 {\displaystyle x=2}；佢嘅臨界點有兩個。
**一元三次方程**，或者叫**立方函數**，係一條有一個未知數而次數係三嘅方程。一元三次方程通常會寫做 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。

解法
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如果要解一元三次方程，首先一定要剷咗二次方嗰個項，變成一個冇咗二次項嘅方程。之後無論用卡贊諾或者韋達嘅方法，都可以得到方程嘅解。最後得到嘅解嘅公式係：
{\displaystyle x\_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}}

{\displaystyle x\_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}}

{\displaystyle x\_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}+{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}}}}}

### 簡化

如果想解一元三次方程，一定要先剷走咗個二次項。呢個係求解嘅時候好重要嘅一步，咁就可以啟發思路，容易啲諗到求解嘅辦法。簡化嘅時候，成條式除以 {\displaystyle a} ，代入 {\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}} ，得到 {\displaystyle t^{3}+pt+q=0} 咁嘅樣，當中：
{\displaystyle p={\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}}

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}}

證明：
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

{\displaystyle x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0}

{\displaystyle (t-{\frac {b}{3a}})^{3}+{\frac {b}{a}}(t-{\frac {b}{3a}})^{2}+{\frac {c}{a}}(t-{\frac {b}{3a}})+{\frac {d}{a}}=0}

{\displaystyle t^{3}-{\frac {b}{a}}t^{2}+{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}t-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {b}{a}}t^{2}-{\frac {2b^{2}}{3a^{2}}}t+{\frac {b^{3}}{9a^{3}}}+{\frac {c}{a}}t-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}=0}

{\displaystyle t^{3}+({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}})t+({\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}})=0}

{\displaystyle t^{3}+pt+q=0}

最後嗰步就將 {\displaystyle t} 嗰三個可能值加落 {\displaystyle -{\frac {b}{3a}}} 嗰度，咁就好以得到方程嘅三個解。

去到呢一步之後，無論用卡贊諾嘅方法或者韋達嘅方法，都可以揾到 {\displaystyle t} 。

### 卡贊諾之法

數學家卡贊諾話：假設 {\displaystyle t=u+v}。咁就可以得到：

{\displaystyle (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0}

{\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0}

同時，又設 {\displaystyle 3uv+p=0}。於是就得到：
{\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q...(1)\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}...(2)\\\end{cases}}}

{\displaystyle u^{3}} 同埋 {\displaystyle v^{3}} 都係 {\displaystyle y^{2}+qy-{\frac {p^{3}}{27}}=0} 嘅解。用一元二次方程嘅公式就可以解咗佢。於是得到：

{\displaystyle u^{3},v^{3}={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}}}}{2}}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}

跟著用單位根去揾 {\displaystyle u,v} 各自相應嘅三個可能值，用 {\displaystyle u+v} 可以揾到 {\displaystyle t} （兩個實數解嘅 {\displaystyle u} 同 {\displaystyle v} 相加揾到一個 {\displaystyle t}，至於複數解嘅 {\displaystyle u} 同 {\displaystyle v}，佢哋嘅系數都係共軛嘅就相加）。於是，再用 {\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}} 就可以揾到答案。

### 韋達之法

數學家韋達話：假設 {\displaystyle t=z+{\frac {k}{z}}}。咁就可以得到：

{\displaystyle (z+{\frac {k}{z}})^{3}+p(z+{\frac {k}{z}})+q=0}

{\displaystyle z^{3}+(3k+p)(z+{\frac {k}{z}})+{\frac {k^{3}}{z^{3}}}+q=0}

又：設 {\displaystyle 3k+p=0}。則：
{\displaystyle z^{3}+q+{\frac {k^{3}}{z^{3}}}=0}

{\displaystyle z^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27z^{3}}}=0}

{\displaystyle z^{6}+qz^{3}-27p^{3}=0}

咁嘅話，就得到 {\displaystyle z^{3}} 其實係 {\displaystyle y^{2}+qy-{\frac {p^{3}}{27}}=0} 嘅其中一個解。用一元二次方程嘅公式就可以揾到解。揾佢嘅解就好似上面卡贊諾嘅辦法，因為上面嗰條方程同埋下面嗰條方程都係一樣嘅。

之後再用單位根揾 {\displaystyle z} 嘅三個可能值，然後又用 {\displaystyle z+{\frac {k}{z}}=z-{\frac {p}{3z}}} 得到 {\displaystyle t} 。最後用 {\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}} 得到答案。

根嘅特性
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首先定立判別式：
{\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}})^{2}+({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}})^{3}}

咁樣嘅話：

如果 {\displaystyle \Delta >0}，就有一個實根同埋一啤共軛複根；

如果 {\displaystyle \Delta =0}，就有多重實根，當中：

* 如果 {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}={\frac {p^{3}}{27}}\neq 0}，有一個雙重實根同埋另一個單實根。
* 如果 {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}={\frac {p^{3}}{27}}=0}，有一個三重實根。

如果 {\displaystyle \Delta <0}，有三個唔同嘅實根。