**直接證明**（粵拼：Zik6 zip3 zing3 ming4；英國話：Direct Proof），又叫**推導**，係數學證明嘅方法之一，亦都係最普及同埋常用嘅。有句話：「有時最直接嘅解決方法係最簡單。」就正正最可以代表直接證明。呢個證明方法係先揾出一啲數學家覺得唔使證明都可以當係真嘅**命題**（粵拼：Ming6 tai4；Proposition）或者之前已經證明咗嘅**定理**（粵拼：Ding6 lei5；Theorem），用純邏輯**推理**（粵拼：Teoi1 lei5；Deductive reasoning）去推個結論出嚟。

概念
--

大部分定理都可以分做「如果 {\displaystyle A} 成立，咁 {\displaystyle B} 就成立。」如果 {\displaystyle A} 令到 {\displaystyle A\_{1}} 成立，而 {\displaystyle A\_{1}} 令到 {\displaystyle A\_{2}} 成立，如此類推。最後 {\displaystyle A\_{n}} 令到 {\displaystyle B} 成立，咁樣「{\displaystyle A\implies B}」。

利用邏輯運算字表達嘅話係：

{\displaystyle A\implies A\_{1}\implies A\_{2}\implies \cdots A\_{n}\implies B}

例子
--

**證明：「假設整數 {\displaystyle m\in \mathbb {Z} }。如果 {\displaystyle m} 係單數，咁樣 {\displaystyle m^{2}} 都係單數。」**


答案

如果{\displaystyle m}係單數，即係話對應任何整數{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle m=2r+1}。

由此，

{\displaystyle m^{2}=(2r+1)^{2}=4r^{2}+4r+1=2(2r^{2}+2r)+1}

所以，{\displaystyle m^{2}}係單數。 

**證明：「任何兩個實數 {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }。如果 {\displaystyle n>m>0}，咁樣 {\displaystyle {\frac {m+1}{n+1}}>{\frac {m}{n}}}。」**

草稿：其實係點樣諗到個證明呢？利用下面呢條式，睇下係唔係真係 {\displaystyle n>m}。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\(m+1)n&>m(n+1)\\mn+n&>mn+m\\n&>m\\\end{aligned}}}


答案

利用上面：

{\displaystyle {\begin{aligned}n&>m\\mn+n&>mn+m\\(m+1)n&>m(n+1)\\{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\\end{aligned}}}

證明方程相等
------

如果要證明一條方程相等，除咗正常嘅左面等於右面之外，亦可以利用以下幾個方法：

* **{\displaystyle x-y=0\iff x=y}**
* **{\displaystyle x\leq y}** 同埋 **{\displaystyle x\geq y\iff x=y}**
* **{\displaystyle x=z}** 同埋 **{\displaystyle y=z\iff x=y}**

例子：「證明 **{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}**。」


證明：利用左面等於右面

**利用{\displaystyle \sin \theta }**同**{\displaystyle \cos \theta }**嘅定義證明，留意畢氏定理嘅應用。

**{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta ,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2},\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}},\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1\end{aligned}}}**



證明：利用 {\displaystyle x-y=0\iff x=y}

同上面差唔多，

**{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1&=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta -1,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2}-1,\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}-1\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}-1,\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1-1\\&=0\end{aligned}}}**

雙向式證明
-----

### 雙向式定義

**雙向式**（粵拼：Soeng1 hoeng3 sik1；If and only If Statement）係邏輯上嘅一類句字，佢係指嗰句句子無論順方向定係逆方向都啱嘅。喺數學語言上佢係用「**{\displaystyle \iff }**」邏輯運算子嚟代表嘅。

一般句字都未必係雙向，例如話：「老母係女人。」但係，女人未必係老母。用邏輯運算子嚟表達，{\displaystyle A\implies B} 唔代表 {\displaystyle B\implies A}。

因此，證明雙向式需要證明兩個方向，「**{\displaystyle \implies }**」同埋「**{\displaystyle \Longleftarrow }**」 。

### 例子

證明：「假設 **{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }**，咁 **{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\iff {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}**。 」


證明：呢個 {\displaystyle \implies } 方向

{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}}



證明：呢個 {\displaystyle \Longleftarrow } 方向

{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\ax^{2}+bx+c&=0\\\end{aligned}}}

證明一個集係另一個集嘅子集
-------------

內文：集合論
假設一個數學家想要證明一個**集**（Set） **{\displaystyle A}** 係另一個集 **{\displaystyle B}** 嘅**子集**（Subset），即係要證明 **{\displaystyle A\subset B}**。如果喺 **{\displaystyle A}** 入面搵任何一粒嘢 **{\displaystyle a}**（即係 **{\displaystyle a\in A}**），佢同時又係 **{\displaystyle B}** 嘅嘢（即係 **{\displaystyle a\in B}**）嘅話，咁就證明到 **{\displaystyle A\subset B}**。

例子：「證明任何兩個集 **{\displaystyle A}**、**{\displaystyle B}**，**{\displaystyle A\cap B\subset A\cup B}**」 


答案

揀任何一粒嘢 **{\displaystyle x\in A\cap B}**。

**{\displaystyle {\begin{aligned}&x\in A\cap B\\\implies &x\in A{\text{ and }}x\in B\\\implies &x\in A{\text{ or }}x\in B\\\implies &x\in A\cup x\in B\end{aligned}}}**

證明兩個集相等
-------

內文：集合論
如果想要證明兩個集 **{\displaystyle A}**、**{\displaystyle B}** 係一樣嘅，就需要證明 **{\displaystyle A\subseteq B}** 同埋 **{\displaystyle B\subseteq A}**，咁樣先至可以話 **{\displaystyle A=B}**。

更多例子
----

以下幾個證明都可以利用直接證明好簡單就搞掂：

* 如果 **{\displaystyle n}** 係雙數，咁 **{\displaystyle 2^{n}-1}** 就唔會係質數。
* 兩個連續單數加埋係四嘅倍數。
* 如果 **{\displaystyle f:X\to Y}** 係一個由 **{\displaystyle X}** 射去 **{\displaystyle Y}** 嘅函數。設 **{\displaystyle A}** 同 **{\displaystyle B}** 都係 **{\displaystyle X}** 嘅子集。咁「**{\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}**」，「**{\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}**」都係成立。
* 如果 **{\displaystyle A}**、**{\displaystyle B}** 同 **{\displaystyle C}** 都係集，咁「**{\displaystyle A\cap (B\cap C)\subseteq B\cup (A\cup C)}**」、「**{\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}**」同「**{\displaystyle (A\times B)\cup (C\times D)\subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)}**」都成立。
* 如果 **{\displaystyle A}** 同 **{\displaystyle B}** 都係 **{\displaystyle X}** 嘅子集，「**{\displaystyle A\subseteq B\iff A\cap B^{c}=\varnothing \iff A^{c}\cup B=X}**」。

睇埋
--

* 分類證明
* 矛盾證明
* 數學歸納法
* 否定證明

參考
--

* Barwise, J. (Ed.). (1982). *Handbook of mathematical logic* (Vol. 90). Elsevier.

| * 睇
* 傾
* 改
現代數學同數學各領域 |
| --- |
| 純粹同應用數學 · 數學史 · 數學之美 |
| 數學證明 | 
* 直接證明
* 數學歸納法
* 否定證明
* 反證法
* 構造法
* 分類證明

 |  |
| 數學基礎 | 
* 數學哲學
* 數學邏輯
* 範疇論
* 集合論
* 類型論
* 資訊理論
* 數學符號
* 數學物體

 |
| 數論 | 
* 數（質數）
* 算術
* 代數數論
* 解析數論

 |
| 代數學 | 
* 基本代數
* 線性代數（多重）
* 抽象代數（交換代數 · 羣論 · 伽華理論）
* 場論
* 泛代數
* 同調代數

 |
| 幾何學 | 
* 歐幾里得幾何
* 代數幾何
* 解析幾何
* 微分幾何
* 離散幾何
* 拓撲學（代數拓撲）

 |
| 數學分析 | 
* 微積分
* 微分方程
* 實分析同複分析
* 測度
* 諧波分析
* 泛函分析

 |
| 離散數學 | 
* 組合數學
* 圖論
* 序理論
* 博弈論

 |
| 應用數學 | 

|  |
| --- |
| 
* 數理物理學
* 數理化學
* 數理生物學
* 數理心理學
* 數理社會學
* 控制理論

 |
| 　決策論 | 
* 概率論同統計學
* 數理經濟學
* 運籌學
* 數理金融學

 |

 |
| 運算數學 | 
* 電腦科學
* 運算理論
* 數值分析
* 最佳化
* 電腦代數

 |
| 拉雜相關 | 
* 邏輯
* 理論電腦科學
* 哲學（古希臘哲學 · 理性主義）
* 科學（形式 · 系統）
* 科技
* 藝術
* 樂理

 |
|  **數學主題** · 數學類 |