**循環群**（Cyclic Group）係一類群，係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以{\displaystyle \langle a\rangle :=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}}嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法{\displaystyle \mathbb {Z} }，咁{\displaystyle 1}同{\displaystyle -1}都係整群出嚟嗰粒嘢，一般會叫呢兩粒嘢做**生產元素（Generators）**。如果{\displaystyle n}係正數，



1

n

=
1
+
1
+
1
+
⋯
+
1

{\displaystyle 1^{n}=1+1+1+\cdots +1}

{\displaystyle 1^{n}=1+1+1+\cdots +1}加{\displaystyle n}咁多次。如果{\displaystyle n}係負數，


(
−
1
)
+
(
−
1
)
+
⋯
+
(
−
1
)

{\displaystyle (-1)+(-1)+\cdots +(-1)}

{\displaystyle (-1)+(-1)+\cdots +(-1)}加{\displaystyle |n|}咁多次。

子群定理
----

如果{\displaystyle G}係一個群。如果{\displaystyle a\in G}係{\displaystyle G}入面嘅嘢，咁{\displaystyle \langle a\rangle }就係一個子群。

**證明：**

因為{\displaystyle a\in \langle a\rangle }，{\displaystyle \langle a\rangle }唔係空集。

設{\displaystyle a^{n},a^{m}\in \langle a\rangle }。

{\displaystyle a^{n}(a^{m})^{-1}=a^{n-m}\in \langle a\rangle }，利用一步子群要求，{\displaystyle \langle a\rangle }就{\displaystyle G}嘅子群。

### 例子一

{\displaystyle U(10)}，係{\displaystyle 10}嘅環單元（Units），{\displaystyle \langle 3\rangle :=\{3,9,7,1\}=U(10)}。

因為

{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=3\\3^{2}&=9\\3^{3}&=27=7\\3^{4}&=81=1\\3^{5}&=243=3\\\vdots &=\vdots \end{aligned}}}

而{\displaystyle 3\times 7=21=1}，所以{\displaystyle 3^{-1}=7}。

### 例子二

喺{\displaystyle \mathbb {Z} \_{10}}，{\displaystyle \langle 2\rangle =\{0,2,4,6,8\}}。

### 例子三

喺{\displaystyle \mathbb {Z} }，{\displaystyle \langle -1\rangle =\mathbb {Z} }。{\displaystyle -2(-1),-1(-1),0(-1),1(-1),\cdots }係{\displaystyle \mathbb {Z} }入面每一粒嘢。

非子群例子
-----

### 例子一

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}=\{0,1,2,3,\cdots ,n\}}，對應{\displaystyle n\geq 1}。係一個循環群。{\displaystyle 1}同{\displaystyle -1=n-1}都係整群出嚟嘅嘢。

### 例子二

{\displaystyle \mathbb {Z} \_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}。可以得知，{\displaystyle \mathbb {Z} \_{10}=\langle 1\rangle =\langle 3\rangle =\langle 7\rangle =\langle 9\rangle }。

{\displaystyle \langle 1\rangle =\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10=0,\cdots \}}

{\displaystyle \langle 3\rangle =\{3,6,9,12=2,15,=5,18=8,21=1,24=4,27=7,30=0,33=3,\cdots \}}

{\displaystyle \langle 7\rangle =\{7,14=4,21=1,28=8,35=5,42=2,49=9,56=6,63=3,70=0,77=7,\cdots \}}

{\displaystyle \langle 9\rangle =\{9,18=8,27=7,36=6,45=5,54=4,63=3,72=2,81=1,90=0,99=9,\cdots \}}

但係{\displaystyle \langle 2\rangle \neq \mathbb {Z} \_{10}}，因為{\displaystyle \langle 2\rangle =\{0,2,4,6,8\}}

循環子群定理
------

每一個循環群嘅子群都一定係循環群。（Every subgroup of cyclic Group is cyclic.）

**證明：**

設{\displaystyle G}係循環群，即係{\displaystyle G=\langle a\rangle }。{\displaystyle H}就係{\displaystyle G}嘅子群。

如果{\displaystyle H}係得一粒{\displaystyle \{e\}}，咁{\displaystyle H=\langle e\rangle }。

如果{\displaystyle H}唔係淨係得{\displaystyle e}，即係揀任何一粒{\displaystyle H}入面嘅嘢，{\displaystyle a\neq e}；

{\displaystyle a^{n}\in H}，{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }係整數。

設{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}係最細整數，令到{\displaystyle a^{m}\in H}，同埋{\displaystyle b\in H}係{\displaystyle H}入面是但一粒嘢。

因為{\displaystyle H}係{\displaystyle G}嘅子群，所以{\displaystyle a^{n}=b}，對應有啲{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }。

利用餘數定理，就有兩個數{\displaystyle q,r\in \mathbb {Z} }，符合{\displaystyle n=mq+r}。（同時，{\displaystyle 0\leq r<m}）

咁{\displaystyle a^{n}=a^{mq+r}}，

{\displaystyle a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}}。

因為{\displaystyle H}係子群，所以{\displaystyle a^{m}}嘅逆元就係{\displaystyle (a^{m})^{-1}\in H}。

所以{\displaystyle (a^{m})^{-q}\in H}，同埋{\displaystyle a^{r}\in H}。

但係因為{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}係最細整數，令到{\displaystyle a^{m}\in H}，同時{\displaystyle 0\leq r<m}；

所以{\displaystyle r=0}。

正正因為{\displaystyle r=0}，所以{\displaystyle n=mq\implies b=a^{n}=(a^{m})^{q}}。

{\displaystyle \implies b\in \langle a^{m}\rangle }

相等元素要求
------

如果{\displaystyle G}係一個群，{\displaystyle a\in G}。

如果{\displaystyle G}嘅基數係有限，{\displaystyle n}，咁{\displaystyle \langle a\rangle =\{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\}}同埋{\displaystyle a^{i}=a^{j}\iff n|i-j}。

如果{\displaystyle G}嘅基數係無限，咁{\displaystyle a^{i}=a^{j}\iff i=j}。 

**證明：**

如果{\displaystyle G}係無基數，咁無一個非零嘅{\displaystyle n}符合{\displaystyle a^{n}=e}。

因為{\displaystyle a^{i}=a^{j}}，所以{\displaystyle a^{i-j}=e}。因此{\displaystyle i=j}。

如果{\displaystyle G}係有基數，{\displaystyle a=|n|}。

揀任何一粒{\displaystyle a^{m}\in \langle a\rangle }。

利用餘數定理，有兩粒{\displaystyle q,r\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle m=nq+r}。（同時{\displaystyle 0\leq r<n}）

咁{\displaystyle a^{m}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}a^{r}=ea^{r}=a^{r}}，

所以{\displaystyle a^{k}\in \{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\}}。

如果{\displaystyle a^{i}=a^{j}}，{\displaystyle a^{i-j}=e}。

利用餘數定理，有兩粒{\displaystyle q,r\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle a^{i-j}=a^{qn+r}}同埋{\displaystyle 0\leq r<n}。

咁{\displaystyle a^{i-j}=e=a^{qn+r}=e^{q}a^{r}=a^{r}}。

因為{\displaystyle n}係最細整數令到{\displaystyle a^{n}=e}，所以{\displaystyle r=0}，{\displaystyle n|i-j}。

如果{\displaystyle n|i-j}，咁{\displaystyle i-j=nq}。

{\displaystyle a^{i-j}=a^{nq}=e^{q}=e}，所以{\displaystyle a^{i}=a^{j}}。

### 推論一

任何{\displaystyle a\in G}，{\displaystyle |a|=|\langle a\rangle |}。

### 推論二

{\displaystyle G}係一個群，{\displaystyle a\in G}同埋佢嘅基數係{\displaystyle k}。

如果{\displaystyle a^{k}=e}，咁{\displaystyle |a|=n|k}。

最大公因數定理
-------

設{\displaystyle G}係一個群，{\displaystyle a\in G}同埋佢嘅基數係{\displaystyle n}，{\displaystyle k}係正整數。

咁{\displaystyle \langle a^{k}\rangle =\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle }，{\displaystyle |a^{k}|={\frac {n}{\gcd(n,k)}}}。

**證明：**

設{\displaystyle d=\gcd(n,k)}。同埋，{\displaystyle k=dr}。

因為{\displaystyle a^{k}=(a^{d})^{r}}，咁{\displaystyle \langle a^{k}\rangle \subseteq \langle a^{d}\rangle }。

利用比舒公式，有兩個數{\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }，{\displaystyle d=ns+kt}。

所以{\displaystyle a^{d}=a^{ns+kt}=a^{ns}a^{kr}=(a^{n})^{s}(a^{k})^{r}=e(a^{k})^{t}=(a^{k})^{t}\in \langle a^{k}\rangle }。

{\displaystyle \implies \langle a^{d}\rangle \subseteq \langle a^{k}\rangle }

（想要證明{\displaystyle |a^{d}|={\frac {n}{d}}}）

{\displaystyle (a^{d})^{\frac {n}{d}}=a^{n}=e}，所以{\displaystyle |a^{d}|\leq {\frac {n}{d}}}。

如果有一個整數{\displaystyle i}係細過{\displaystyle {\frac {n}{d}}}，咁根據{\displaystyle |a|}嘅定義{\displaystyle (a^{d})^{i}\neq e}。

利用{\displaystyle d=\gcd(n,k)}，{\displaystyle |a^{k}|=|\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle |=|a^{\gcd(n,k)}|={\frac {n}{\gcd(n,k)}}}。

### 應用

整細個生產表示。例如{\displaystyle |a|=30}，咁{\displaystyle \langle a^{30}\rangle =\langle a^{2}\rangle }，{\displaystyle \langle a^{23}\rangle =\langle a\rangle }。

### 推論一

喺有限嘅循環群入面，元素嘅基數除得盡群嘅基數。 

### 推論二

設{\displaystyle |a|=n}。

咁{\displaystyle \langle a^{i}\rangle =\langle a^{j}\rangle \iff \gcd(n,i)=\gcd(n,j)}，同埋{\displaystyle |a^{i}|=|a^{j}|\iff \gcd(n,i)=\gcd(n,j)}。

### 推論三

設{\displaystyle |a|=n}。

咁{\displaystyle \langle a\rangle =\langle a^{j}\rangle \iff \gcd(n,j)=1}同{\displaystyle |a|=|\langle a^{j}\rangle |\iff \gcd(n,j)=1}。

### 推論四

係{\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}}入面嘅整數{\displaystyle k}，佢係整{\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}}出嚟{\displaystyle \iff \gcd(n,k)=1}

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