*呢篇文係講數列嘅極限，唔係講函數嘅極限。*
**數列嘅極限**（Limit of Sequence）係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義
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數列嘅極限有幾個唔同嘅定義，下面呢個係最基本，最通用嘅其中一個。

假設有一串實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）數列{\displaystyle X=(x\_{n})}。如果以下條件成立，

**「揀任何一個**{\displaystyle \varepsilon >0}**，佢都會有一個自然數**{\displaystyle N\in \mathbb {N} }**，使到任何一個**{\displaystyle x\_{n}}**，佢係**{\displaystyle n\geq N}**符合**{\displaystyle |x\_{n}-x|<\varepsilon }**」**

數學家會講{\displaystyle (x\_{n})}**趨向（converge）**一點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }，同埋{\displaystyle x\in \mathbb {R} }係叫做{\displaystyle (x\_{n})}嘅極限（Limit）。

如果一串數列係有極限嘅話，我哋會話佢**「趨向一點」（convergent）**。有人會用{\displaystyle (x\_{n})\rightarrow x}嚟表示{\displaystyle (x\_{n})}趨向呢點{\displaystyle x}。

如果一串數列係無極限嘅話，我哋會話佢**「唔趨向一點」（divergent）**。

概念
假設有一條數列{\displaystyle X=(x\_{1},x\_{2},x\_{3},x\_{4},\cdots )}同時佢趨向呢點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }。你畀出一個任意嘅{\displaystyle \varepsilon >0}。

將每一個項都減佢趨向個點，{\displaystyle (x\_{1}-x,x\_{2}-x,\cdots ,x\_{n}-x,x\_{n+1}-x,\cdots )}。

當條數列嘅第一項符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<\varepsilon }，叫呢項做{\displaystyle n}。咁之後呢個項之後嘅項都會符合{\displaystyle |x\_{i}-x|<\varepsilon }，{\displaystyle n<i,\,i\in \mathbb {N} }。

例子
將{\displaystyle X=(2,2,2,2,2,2,\cdots )}，明顯地{\displaystyle X}係趨向{\displaystyle 2}。畀一個任意嘅{\displaystyle \varepsilon >0}。

得知{\displaystyle |2-2|=0<\varepsilon }。因此，{\displaystyle X}由第一項就符合定義性質。

性質
--

### 唯一性

一串實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）數列{\displaystyle X=(x\_{n})}只可以有一點極限。

**證明：**

假設{\displaystyle x,x'}都係{\displaystyle (x\_{n})}嘅極限。

根據定義，揀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有

{\displaystyle \exists \,N\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle x\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N}，符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}；

{\displaystyle \exists \,N'\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle x\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N'}，符合{\displaystyle |x\_{n}-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

揀一個大啲嘅{\displaystyle N'':=sup\{N,N'\}}，使到{\displaystyle n\geq N''}，

利用三角形不等式，得知

{\displaystyle {\begin{aligned}|x-x'|&=|x-x'+x\_{n}-x\_{n}|\\&<|x\_{n}-x'|+|x\_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

因為{\displaystyle \varepsilon >0}係自己揀嘅，任何一個都得，所以推論到{\displaystyle x-x'=0\implies x=x'}。

### 綁定定義

假設有一串實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）數列{\displaystyle X=(x\_{n})}。如果有一個實數{\displaystyle M>0}，令到任何一個{\displaystyle n\in \mathbb {N} }符合{\displaystyle |x\_{n}|\leq M}。咁樣我哋會話{\displaystyle (x\_{n})}係被「有界」（Bounded）。

### 有界性質

任何一申會趨向一點嘅數列都係被有界。

**證明：**

假設{\displaystyle (x\_{n})}係趨向一點{\displaystyle x\in \mathbb {R} }，即係{\displaystyle \lim(x\_{n})=x}。

將{\displaystyle \varepsilon :=1}，根據定義，一定會一個{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，令到所有{\displaystyle x\_{n}\geq N}符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<1}。

利用三角形不等式，得知

{\displaystyle {\begin{aligned}|x\_{n}|-|x|&\leq |x\_{n}-x|\\|x\_{n}|-|x|&<1\\|x\_{n}|&<1+|x|\end{aligned}}}

將{\displaystyle M:=sup\{|x\_{1}|,|x\_{2}|,\cdots ,|x\_{N-1}|,1+|x|\}}。咁樣{\displaystyle M}就會係呢串數列入面最大嗰個數字，因為第{\displaystyle N}嘅項會細過{\displaystyle 1+|x|}，之後喺第{\displaystyle N-1}項同之前嘅加埋{\displaystyle 1+|x|}入面揀個最大嘅，叫佢做{\displaystyle M}。

咁樣呢串數就一定會細過{\displaystyle M}，即係{\displaystyle |x\_{n}|\leq M}。

### 排序性質

如果{\displaystyle (x\_{n})}同{\displaystyle (y\_{n})}係各自趨向一點，以下三個特性係啱嘅：

* {\displaystyle x\_{n}\geq 0,\,\forall n\in \mathbb {N} }，咁樣{\displaystyle x=\lim x\_{n}\geq 0}。
* {\displaystyle x\_{n}\leq y\_{n},\,\forall n\in \mathbb {N} }，咁樣{\displaystyle \lim x\_{n}\leq \lim y\_{n}}。
* {\displaystyle a\leq x\_{n}\leq b,\,\forall n\in \mathbb {N} }，咁樣{\displaystyle a\leq \lim x\_{n}\leq b}。

證明：
**（第一點）** 假設第一點嘅結論唔成立，即係話{\displaystyle x\_{n}}趨向嗰點{\displaystyle x<0}。

揀{\displaystyle \varepsilon :=-x}，注意呢個{\displaystyle -x}係正數。

因為{\displaystyle (x\_{n})}係趨向一點，所以一定會有一個{\displaystyle N\in \mathbb {N} }，令到任何第{\displaystyle n\geq K}符合，

{\displaystyle x-\varepsilon <x\_{n}<x+\varepsilon }。

淨係睇第{\displaystyle n=K}項，得知{\displaystyle x\_{K}<x+\varepsilon =x+(-x)=0}。

因為假設咗第一點係唔成立，所以{\displaystyle x\geq 0}。

**（第二點）** 假設{\displaystyle (z\_{n}):=(y\_{n})-(x\_{n})}同時假設任何一項{\displaystyle z\_{n}\geq 0}。

求{\displaystyle \lim z\_{n}}；

因為極限計算性質，得知{\displaystyle \lim z\_{n}=\lim y\_{n}-\lim x\_{n}}。

因為第一點得知，{\displaystyle \lim z\_{n}=\lim y\_{n}-\lim x\_{n}\geq 0}。

因此，{\displaystyle \lim y\_{n}\geq \lim x\_{n}}。

**（第三點）** 假設{\displaystyle y\_{n}=(b,b,b,b,\cdots )}，利用上者得出{\displaystyle b\geq \lim x\_{n}}。

將{\displaystyle y\_{n}=x\_{n}}同時將{\displaystyle x\_{n}=(a,a,a,a,\cdots )}，利用上者得出{\displaystyle \lim x\_{n}\geq a}。

合併上面兩條式，{\displaystyle b\geq \lim x\_{n}\geq a}。

極限計算
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假設有兩串趨向一點嘅數列{\displaystyle (x\_{n})\rightarrow x}同{\displaystyle (y\_{n})\rightarrow y}。假設有一點{\displaystyle c\in \mathbb {R} }。咁以下嘅式就會成立：

* {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }(x\_{n}+y\_{n})=x+y}
* {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }(x\_{n}-y\_{n})=x-y}
* {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }(x\_{n}y\_{n})=xy}

再假設有串趨向一點嘅數列{\displaystyle (z\_{n})\rightarrow z}，而{\displaystyle z\neq 0}。咁樣

* {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {x\_{n}}{z\_{n}}}={\frac {x}{z}}}

證明：
**（第一同第二點）假設有兩串趨向一點嘅數列{\displaystyle (x\_{n})\rightarrow x}同{\displaystyle (y\_{n})\rightarrow y}。根據定義得出，揀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有**

{\displaystyle \exists \,N'\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle x\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N'}，符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}；

{\displaystyle \exists \,N''\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle y\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N''}，符合{\displaystyle |y\_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}}。

揀一個大啲嘅{\displaystyle N:=\sup\{N',N''\}}，使到{\displaystyle n\geq N}，

利用三角形不等式，得知

{\displaystyle {\begin{aligned}|(x\_{n}+y\_{n})-(x+y)|&=|(x\_{n}-x)+(y\_{n}-y)|\\&<|x\_{n}-x|+|y\_{n}-y|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}|(x\_{n}-y\_{n})-(x-y)|&=|(x\_{n}-x)-(y\_{n}-y)|\\&<|x\_{n}-x|+|-(y\_{n}-y)|\\&<|x\_{n}-x|+|(y\_{n}-y)|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

**（第三點）** 因為綁定性質，所以得知有一個{\displaystyle M\_{x}\geq 0}，令到任何一個{\displaystyle n\in \mathbb {N} }符合{\displaystyle |x\_{n}|\leq M\_{x}}。

定義{\displaystyle M:=\sup\{M\_{x},|y|\}}，根據定義得出，揀任何一個{\displaystyle \varepsilon >0}，都會有

{\displaystyle \exists \,N'\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle x\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N'}，符合{\displaystyle |x\_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}；

{\displaystyle \exists \,N''\in \mathbb {N} }，使到任何一個{\displaystyle y\_{n}}佢係{\displaystyle n\geq N''}，符合{\displaystyle |y\_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}。

再揀一個大啲嘅{\displaystyle N:=\sup\{N',N''\}}，使到{\displaystyle n\geq N}，

{\displaystyle {\begin{aligned}|(x\_{n}y\_{n})-(xy)|&=|x\_{n}y\_{n}-xy+x\_{n}y-x\_{n}y|\\&<|x\_{n}(y\_{n}-y)+y(x\_{n}-x)|\\&<|x\_{n}||y\_{n}-y|+|y||x\_{n}-x|\\&<M({\frac {\varepsilon }{2M}})+M({\frac {\varepsilon }{2M}})\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

**（第四點）** {\displaystyle \vdash :}如果{\displaystyle (z\_{n})\rightarrow z}，咁樣{\displaystyle \lim {\frac {1}{z\_{n}}}={\frac {1}{z}}}。如果證明到呢個係啱嘅話，利用上面就可以證明到{\displaystyle \lim {\frac {x\_{n}}{z\_{n}}}={\frac {x\_{n}}{z}}}。

將{\displaystyle \varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|}，根據定義，一定會一個{\displaystyle N\_{1}\in \mathbb {N} }，令到所有{\displaystyle z\_{n}\geq N\_{1}}符合{\displaystyle |z\_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|}。再利用三角形不等式，

{\displaystyle {\begin{aligned}|z\_{n}-z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z\_{n}|-|z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z\_{n}|&<|z|-{\frac {1}{2}}|z|\\|z\_{n}|&<{\frac {1}{2}}|z|\\\end{aligned}}}

因為{\displaystyle |z\_{n}|,|z|}都係正數，咁就得出，{\displaystyle {\frac {1}{|z\_{n}|}}<{\frac {2}{|z|}}}。

將{\displaystyle \varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon }，根據定義，一定會一個{\displaystyle N\_{2}\in \mathbb {N} }，令到所有{\displaystyle z\_{n}\geq N\_{2}}符合{\displaystyle |z\_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon }。

將兩串數例合併，定義{\displaystyle N:=\sup\{N\_{1},N\_{2}\}}，咁令到所有嘅{\displaystyle z\_{n}\geq N}符合

{\displaystyle {\begin{aligned}|{\frac {1}{z\_{n}}}-{\frac {1}{z}}|&=|{\frac {z-z\_{n}}{zz\_{n}}}|\\&=|{\frac {1}{zz\_{n}}}||z-z\_{n}|\\&<{\frac {1}{|z||z\_{n}|}}|z-z\_{n}|\\&<{\frac {2}{|z||z\_{n}|}}|z-z\_{n}|\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

因此，{\displaystyle \lim {\frac {1}{z\_{n}}}={\frac {1}{z}}}。

### 例子

計算{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}}。

將{\displaystyle (x\_{n}):=(2)}，{\displaystyle (y\_{n}):=({\frac {1}{n}})}。

利用加法計算，{\displaystyle (x\_{n}+y\_{n})=(2+{\frac {1}{n}})=({\frac {2n+1}{n}})}。

因為{\displaystyle (x\_{n})\rightarrow 2}，同埋{\displaystyle (y\_{n})\rightarrow 0}

因此，{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}=2}。

### 推論

由上面嘅嘢，可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅：

* {\displaystyle \lim(a\_{n}+b\_{n}+\cdots +z\_{n})=\lim(a\_{n})+\lim(b\_{n})+\cdots +\lim(z\_{n})}。
* {\displaystyle \lim(a\_{n}b\_{n}\cdots z\_{n})=\lim(a\_{n})\lim(b\_{n})\cdots \lim(z\_{n})}。
* {\displaystyle \lim(a\_{n}^{k})=\lim(a\_{n})^{k}}。

夾縫定理
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假設有三串實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）數列，{\displaystyle x\_{n}}，{\displaystyle y\_{n}}，{\displaystyle z\_{n}}，對應任何嘅{\displaystyle n\in \mathbb {N} }符合{\displaystyle x\_{n}\leq y\_{n}\leq z\_{n}}，同時{\displaystyle \lim x\_{n}=\lim z\_{n}}嘅話，{\displaystyle y\_{n}}趨向一點，而{\displaystyle \lim x\_{n}=\lim y\_{n}=\lim z\_{n}}。

**證明：**

假設{\displaystyle u=\lim x\_{n}=\lim z\_{n}}，根據定義，有一個對應既{\displaystyle K\in \mathbb {N} }，係每一個{\displaystyle n\geq K}項入面，都符合

{\displaystyle |x\_{n}-u|<\varepsilon }同埋{\displaystyle |z\_{n}-u|<\varepsilon }；

上面{\displaystyle |x\_{n}-u|<\varepsilon }，可以得出{\displaystyle -\varepsilon <x\_{n}-u<\varepsilon }；同時{\displaystyle |z\_{n}-u|<\varepsilon }，可以得出{\displaystyle -\varepsilon <z\_{n}-u<\varepsilon }。

同時對應呢個{\displaystyle n\geq K}，根據假設得出，

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{n}&\leq y\_{n}&\leq z\_{n}\\x\_{n}-u&\leq y\_{n}-u&\leq z\_{n}-u\\-\varepsilon &<y\_{n}-u&<\varepsilon \end{aligned}}}

因此得出{\displaystyle |y\_{n}-u|<\varepsilon }，根據定義，對應嘅{\displaystyle K\in \mathbb {N} }，喺每一個{\displaystyle n\geq K}項入面，都符合{\displaystyle \lim x\_{n}=\lim y\_{n}=\lim z\_{n}}。

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