**最細公倍數**（Least Common Multiple，簡寫**L.C.M.**），又叫**最小公倍數**，係兩個或以上嘅整數入面嘅最細嗰個倍數。譬如12同10嘅最細公倍數就係60。數學會用{\displaystyle lcm(a,b)}嚟表示a同b呢兩個數字嘅最細公倍數。

定義
--

假設有兩個整數{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }。最細公倍數{\displaystyle m\in \mathbb {Z} \_{>0}}係一個正整數符合以下條件：

* {\displaystyle a|m}同埋{\displaystyle b|m}。
* 如果有另一個整數{\displaystyle c\in \mathbb {Z} \_{>0}}係符合{\displaystyle a|c}同埋{\displaystyle b|c}，咁{\displaystyle m}必須符合{\displaystyle m\leq c}。

最細公倍數公式
-------

求兩個整數{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }嘅最細公倍數，可以利用以下公式：



l
c
m
(
a
,
b
)
=

a
×
b

g
c
d
(
a
,
b
)


{\displaystyle lcm(a,b)={\frac {a\times b}{gcd(a,b)}}}

{\displaystyle lcm(a,b)={\frac {a\times b}{gcd(a,b)}}}
**證明：**

假設{\displaystyle d=gcd(a,b)}。根據GCD嘅定義，{\displaystyle a=md}同埋{\displaystyle b=dn}，{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }係某啲整數。

將上面兩條式乘埋，得出



a
b

=
(
m
d
)
(
d
n
)

m
n
d

=

a
b

d



{\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(md)(dn)\\mnd&={\frac {ab}{d}}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(md)(dn)\\mnd&={\frac {ab}{d}}\\\end{aligned}}}而家將{\displaystyle l={\frac {ab}{d}}}，咁{\displaystyle l=an=bm}。即係{\displaystyle l}又係{\displaystyle a}嘅倍數，又係{\displaystyle b}嘅倍數，咁{\displaystyle l}就係一個公倍數。

假設{\displaystyle l'}係{\displaystyle a}同{\displaystyle b}是但一個公倍數。咁樣{\displaystyle l'=af=bg}，{\displaystyle f}同{\displaystyle g}係某啲整數。

同時{\displaystyle a}同{\displaystyle b}都有GCD，咁就可以用比舒公式，得出{\displaystyle d=ax+by}，{\displaystyle x}同{\displaystyle y}係某啲整數。

而家要計算{\displaystyle l'}除{\displaystyle l}，如果除得盡嘅話，{\displaystyle l}就係最細公倍數。




l
′

l


=

l
′

a
b

d



=

l
′

d

a
b



=

l
′

(
a
x
+
b
y
)

a
b



=

l
′

a
x

a
b

+

l
′

b
y

a
b



=

l
′

b

x
+

l
′

a

y



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&={\frac {l'}{\frac {ab}{d}}}\\&={\frac {l'd}{ab}}\\&={\frac {l'(ax+by)}{ab}}\\&={\frac {l'ax}{ab}}+{\frac {l'by}{ab}}\\&={\frac {l'}{b}}x+{\frac {l'}{a}}y\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&={\frac {l'}{\frac {ab}{d}}}\\&={\frac {l'd}{ab}}\\&={\frac {l'(ax+by)}{ab}}\\&={\frac {l'ax}{ab}}+{\frac {l'by}{ab}}\\&={\frac {l'}{b}}x+{\frac {l'}{a}}y\\\end{aligned}}}因為{\displaystyle l'}係其中一個公倍數，所以一定可以被{\displaystyle a}同{\displaystyle b}除得盡。




l
′

l


=
g
x
+
f
y



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&=gx+fy\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&=gx+fy\end{aligned}}}因此{\displaystyle l|l'}，所以{\displaystyle l\leq l'}。所以{\displaystyle l}係最細公倍數。

例子
--

如果要搵12345同246810既LCM。

利用輾轉相除法，得知{\displaystyle gcd(12345,246810)=1}。

所以，{\displaystyle lcm(13579,246810)={\frac {13579\times 246810}{1}}=3351432990}。

推論
--

假設有兩個整數{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }，佢哋係相對質數，咁佢哋嘅最細公倍數就係{\displaystyle lcm(a,b)=a\times b}。

**證明：**

利用最細公倍數公式得知，{\displaystyle lcm(a,b)={\frac {a\times b}{gcd(a,b)}}}。

因為{\displaystyle a}同{\displaystyle b}嘅GCD係1，所以{\displaystyle lcm(a,b)={\frac {a\times b}{1}}=a\times b}。

睇埋
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