**間距**（Interval）係數學入面嘅一個概念。因為實數（{\displaystyle \mathbb {R} }）有排序性，所以可以分出一類子集叫做間距。間距喺研究數學分析入面係好重要嘅工具。

間距分類
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* 無界間距（Open Interval）{\displaystyle (a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}}
* 有界間距（Closed Interval）{\displaystyle [a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}

而{\displaystyle a}同{\displaystyle b}係叫做界點（End Points）。重有其他一半有界有半無界嘅間距，同埋有啲無限無界間距同無限有界間距：

* 半有界半無界間距（Half-open / Half-closed）{\displaystyle (a,b],[a,b)}
* 無限無界間距（Infinite Open Intervals）{\displaystyle (a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x>a\},(-\infty ,b):=\{x\in \mathbb {R} :x<b\}}
* 無限有界間距（Infinite Closed Intervals）{\displaystyle [a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\},(-\infty ,b]:=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}}

成立間距定理
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成立間距定理（Characterisation Theorem）係一條講佢間距嘅特性，同埋點樣成立一個間距。

如果{\displaystyle S}係{\displaystyle \mathbb {R} }嘅實子集，同時{\displaystyle S}最少有兩點，佢又符合以下性質

「如果{\displaystyle x,y\in S}同埋{\displaystyle x<y}，咁樣{\displaystyle [x,y]\subseteq S}。」

，{\displaystyle S}就係一個間距。

**證明：**

需要證明四個唔同嘅分類。

* {\displaystyle S}係被綁定。
* {\displaystyle S}係被上面綁住，但係下面無。
* {\displaystyle S}係被下面綁住，但係上面無。
* {\displaystyle S}係無被綁定。


{\displaystyle S}係被綁定

設{\displaystyle a:=\inf S}同{\displaystyle b:=\inf S}，之後將{\displaystyle S\subseteq [a,b]}，需要證明出{\displaystyle (a,b)\subseteq S}。

如果{\displaystyle a<z<b}，咁{\displaystyle z}就唔係{\displaystyle S}嘅下界限。因此，咁就有一個{\displaystyle x\in S}符合{\displaystyle x<z}。

同時，{\displaystyle z}都唔係{\displaystyle S}嘅上界限，所以有一個{\displaystyle y\in S}符合{\displaystyle z<y}。

所以，{\displaystyle z\in [x,y]}。

利用上面「」入面嘅性質，得知{\displaystyle z\in S}。

因為{\displaystyle z}係任意一點，所以{\displaystyle (a,b)\subseteq S}。

如果{\displaystyle a\in S}同埋{\displaystyle b\in S}，咁{\displaystyle S=[a,b]}。

如果{\displaystyle a\notin S}同埋{\displaystyle b\notin S}，咁{\displaystyle S=(a,b)}。

如果{\displaystyle a\in S}同埋{\displaystyle b\notin S}，咁{\displaystyle S=[a,b)}。

如果{\displaystyle a\notin S}同埋{\displaystyle b\in S}，咁{\displaystyle S=(a,b]}。



{\displaystyle S}係被上面綁住，但係下面無。

假設{\displaystyle b:=\sup S}，咁{\displaystyle S\subseteq (-\infty ,b]}。需要證明{\displaystyle (-\infty ,b]\subseteq S}。

如果有點{\displaystyle z<b}，咁就會有兩點{\displaystyle x,y\in S}令到{\displaystyle [x,y]\subseteq S}。

因為{\displaystyle z\in (-\infty ,b]}，所以{\displaystyle [x,y]\in (-\infty ,b]}。

如果{\displaystyle b\in S}，{\displaystyle S=(-\infty ,b]}。

如果{\displaystyle b\notin S}，{\displaystyle S=(-\infty ,b)}。

其他做法都係差唔多。

循環間距
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如果一串間距（sequence of intervals）{\displaystyle I\_{n},n\in \mathbb {N} }，係循環間距。咁{\displaystyle I\_{n}}就符合以下性質：



I

1

⊇

I

2

⊇

I

3

⊇

I

4

⊇
⋯
⊇

I

n

⊇

I

n
+
1

⊇
⋯

{\displaystyle I\_{1}\supseteq I\_{2}\supseteq I\_{3}\supseteq I\_{4}\supseteq \cdots \supseteq I\_{n}\supseteq I\_{n+1}\supseteq \cdots }

{\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\supseteq \cdots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\supseteq \cdots }
### 循環間距性質

如果{\displaystyle I\_{n}=[a\_{n},b\_{n}],n\in \mathbb {N} }係一個循環綁定間距，咁就會有一個數{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }，對應所有既{\displaystyle n\in \mathbb {N} }符合{\displaystyle \xi \in I\_{n}}。

**證明：**

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