**微分**（英文：differentiation，粵拼：mei4 fan1；香港俗稱「d（粵拼：di1）」），係數學嘅一種基本運算，基本上係表示一個函數嘅變化速度，或者計某一數量響某一點嘅變化率。最簡單嘅情況係響幅圖嘅一點計斜率。微分出嚟嘅結果叫做導數。呢種運算可以推廣到向量場同埋無限細嘅變換，滲透數學。

一個函數，比如 {\displaystyle y=f(x)} 嘅導函數可以表達成 {\displaystyle y\ '}、{\displaystyle f'(x)}、{\displaystyle dy \over dx}、{\displaystyle df(x) \over dx}、{\displaystyle {d \over dx}f(x)} 等等。而二階導函數可以寫成 {\displaystyle f''(x)}、{\displaystyle d^{2}y \over dx^{2}}。{\displaystyle k} 階導函數可以寫成 {\displaystyle f^{(k)}(x)}、{\displaystyle d^{k}y \over dx^{k}}。

斜率同導數
-----

如果喺平面座標上有一個嘅直線嘅函數 {\displaystyle y=mx+c}，由 {\displaystyle (x\_{1},y\_{1})} 去到 {\displaystyle (x\_{2},y\_{2})} 之間嘅斜率 {\displaystyle m} 就係：

{\displaystyle m={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}

  

所以如果有個任意函數 {\displaystyle y=f(x)} ，由 {\displaystyle (x,f(x))} 去到 {\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x))}之間嘅斜率就係：

{\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

  

微分就係要搵一個函數喺某一個輸入值嘅變化速度，所以 {\displaystyle \Delta x} 會趨向 {\displaystyle 0}，噉樣就可以用極限嚟表示：

{\displaystyle {dy \over dx}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

呢條式又叫微分第一原理。

  

例如想用微分第一原理搵 {\displaystyle y=x^{2}} 嘅導數：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim \_{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\&=2x\end{aligned}}}

由呢度可以推導到函數 {\displaystyle y=ax^{n}} 嘅導數就係 {\displaystyle {\frac {d(ax^{n})}{dx}}=anx^{n-1}}，而 {\displaystyle a} 同 {\displaystyle n} 係常數。

偏微分
---

**偏微分**指多值函數（例如： {\displaystyle z=f(x,y)}）入面，淨係對其中一個變數（例如：{\displaystyle x}）進行微分，可以表達成 {\displaystyle \partial z \over \partial x}。

假設有一個兩個變量嘅函數 {\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}} 。

當 {\displaystyle y} 係常數，得到 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y} 。

當 {\displaystyle x} 係常數，得到 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=2y+x} 。

複變函數
----

微分方程
----

微分方程顧名思義係有導數嘅方程，例如 {\displaystyle {dy \over dx}=2x+1}。微分方程要用到不定積分去解，特定樣式嘅方程有特定唔同嘅解法。

微分式
---

由微分第一原理仲可以推導出下面呢啲微分嘅定律。

* 如果 {\displaystyle y=x+c}，咁 {\displaystyle y} 嘅微分{\displaystyle {dy \over dx}=1}。

* 若果{\displaystyle y=ax^{n}}，{\displaystyle {dy \over dx}=anx^{n-1}}。

* {\displaystyle {d \over dx}(au+bv)={d \over dx}(au)+{d \over dx}(bv)=a{du \over dx}+b{dv \over dx}}

* {\displaystyle {d \over dx}(uv)=u\cdot {dv \over dx}+v\cdot {du \over dx}}

* {\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v\cdot {du \over dx}-u\cdot {dv \over dx}}{v^{2}}}}

* 鏈式法則：{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}}

* {\displaystyle {d \over dx}(e^{x})=e^{x}}。

* {\displaystyle {d \over dx}\ln(x)={1 \over x}}。

交換代數
----

內文：微分 (代數)

睇下
--

* 極限
* 數學分析
* 積分
* 微積分基本定理

| * 睇
* 傾
* 改
應用數學 |
| --- |
| 泛指數學喺科學同工程學上嘅應用 |
| 離散數學 | 命題邏輯 · 集合論 · 代數學（場） · 組合數學 · 圖論 · 離散幾何學 |  |
| 數學分析 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 分析基礎 | 實數同虛數（實分析同複分析） · 間距 · 無窮盡 · 無窮小量 |
| 數列 | 子數列 · 增減數列 · 郝氏數列 · 保西奴-華實斯定理 |
| 函數 | 連續函數 · 極限 · 逼近理論 · 泛函分析（變分法） |
| 微積分 | 

|  |  |
| --- | --- |
| 微分 | 微分方程（常 · 偏 · 隨機 · 複） · 微分幾何 |
| 積分（黎曼積分 · 積分方程） · 多元微積分（向量 · 張量 · 多重積分） |

 |
| 第啲分析 | 多線代數（向量 · 向量空間 · 張量） · 動態系統（混沌理論 · 控制理論） · 諧波分析 · 數值分析 |

 |
| 運算數學 | 運算理論 · 運算邏輯 · 自動機理論 · 演算法（分析） · 資訊理論 · 密碼學 · 運算數論 · 科學運算 · 電腦代數 |
| 概率論 | 隨機變數 · 隨機過程 · 馬可夫鏈 · 概率分佈 · 隨機微積分 |
| 決策論 | 博弈論 · 統計學（描述 · 推論） · 最佳化（線性同非線性規劃） · 數理經濟學 · 數理金融學 · 運籌學 · 精算學 |
| 數理物理 | 分析力學 · 場（規範場論 · 量子場論） · 量子羣 |
| 拉雜應用 | 數理化學 · 數理生物學 · 數理心理學 · 數理社會學（社會選擇理論） |
| 拉雜相關 | 數學模型 · 工程數學 · 應用科學 · 模控學 · 系統（複雜系統） · 數學喺自然科學上嘅超常效用 |
|  **數學主題** · 應用數學類 |