6係一個完全數，對應嘅梅森質數係3
**歐幾里得-歐拉定理**（英文：Euclid–Euler theorem）係數論入邊嘅一個定理，顯示完美數同梅森質數之間嘅關係。個定理講話一個雙數係一個完全數若且唯若佢可以寫做{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}，其中{\displaystyle 2^{p}-1}要係質數（咁嘅樣嘅質數就係叫做梅森質數）。呢個定理以著名數學家歐幾里得同歐拉命名，佢哋分別證明咗定理「若」同「唯若」嘅部份。

一直以嚟數學界都有個猜想，問究竟係咪有無限咁多個梅森質數，目前呢個猜想嘅答案都係未知，不過根據歐幾里得-歐拉定理，呢個猜想等價於問係咪有無限咁多個偶完全數。順帶一提，目前一個奇完全數都未搵到，但係亦都未證明到奇完全數唔存在。

定理內容同例子
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完全數即係一個自然數等於佢嘅所有真因數加埋，而真因數即係唔包括自己嘅因數。例如6嘅真因數有1、2同3，而佢哋加埋又真係等於6，所以6就係一個完全數，而下一個完全數係28。

梅森質數就係一個{\displaystyle M\_{p}=2^{p}-1}咁嘅樣嘅質數，一個咁嘅樣嘅數想係質數嘅話{\displaystyle p}自己首先一定要係質數，但係{\displaystyle p}係質數都唔保證{\displaystyle M\_{p}}係質數。例如{\displaystyle M\_{3}=2^{3}-1=7}係一個質數，但係{\displaystyle M\_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89}就係合成數。

歐幾里得-歐拉定理話一個雙數係完全數若且唯若佢可以寫做{\displaystyle 2^{p-1}M\_{p}}，呢到{\displaystyle M\_{p}}就係啱啱講嘅梅森質數。完全數6對應{\displaystyle p=2}，因為{\displaystyle 2^{2-1}\times M\_{2}=2\times 3=6}；而下一個完全數28對應嘅梅森質數就係{\displaystyle M\_{3}=7}。

證明
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歐幾里得嘅證明好短，主要建基於因數和函數{\displaystyle \sigma }係積性函數呢個事實，即係話若果{\displaystyle a}、{\displaystyle b}係兩個互質嘅自然數，咁就有{\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)}。要留意嘅係，因數和函數講嘅因數係包埋個數自己，所以如果要用{\displaystyle \sigma }函數嚟刻畫完全數嘅話，一個數係完全數若且唯若佢嘅因數和等於兩倍佢自己，即係{\displaystyle \sigma (n)=2n}。

### 充分條件

由一個梅森質數可以整一個偶完全數出嚟，呢一個方向由歐幾里得證明，只需要直接用積性函數性質就證明到：假如{\displaystyle 2^{p}-1}係一個質數，咁{\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)}。{\displaystyle 2^{p-1}}嘅因數係{\displaystyle 1,2,4,\cdots ,2^{p-1}}，加埋係一條等比級數，可以計到係{\displaystyle 2^{p}-1}，另一邊廂，{\displaystyle 2^{p}-1}係質數，因數得1同佢自己，所以因數和係{\displaystyle 2^{p}}。

將以上所有嘢夾埋，就有：




σ
(

2

p
−
1

(

2

p

−
1
)
)

=
σ
(

2

p
−
1

)
σ
(

2

p

−
1
)



=
(

2

p

−
1
)
(

2

p

)



=
2
(

2

p
−
1

)
(

2

p

−
1
)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}}
所以{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}係完全數。

### 必要條件

另一個方向就係要證明畀一個偶完全數，佢一定可以寫做上述嘅形式，呢個方向係由歐拉證明嘅。畀一個偶完全數，將佢所有2嘅次方抽哂出嚟，即係話將佢寫做{\displaystyle 2^{k}x}嘅樣，{\displaystyle k}係正整數，{\displaystyle x}係單數。{\displaystyle 2^{k}x}係完全數，所以佢嘅因數和係佢嘅兩倍：

{\displaystyle 2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x)}
右邊嘅{\displaystyle 2^{k+1}-1}係一個單數，起碼係3，而且能夠整除咗邊嘅{\displaystyle x}，所以可以設{\displaystyle y={\frac {x}{2^{k+1}-1}}}，係{\displaystyle x}嘅一個真因數。將上邊嘅式左右一齊除以{\displaystyle 2^{k+1}-1}並考慮{\displaystyle x}嘅已知因數{\displaystyle x}同{\displaystyle y}，就得到：

{\displaystyle 2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{}}其他因數 {\displaystyle =2^{k+1}y+{}}其他因數。
呢條式想啱嘅話，就唔可以有其他因數，亦即係話{\displaystyle y=1}同埋{\displaystyle x}係{\displaystyle 2^{k+1}-1}咁嘅樣嘅質數。

歷史
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歐幾里得證明咗如果{\displaystyle 2^{p}-1}係質數咁{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}就係一個偶完全數，呢個係佢本幾何原本入邊最後一個同數論有關嘅結果，後面講嘅就同無理數、黃金比例、立體幾何有關。歐幾里得當時嘅表達係咁嘅：設有一條等比級數，起始項係1，公比係2，加埋係質數*q*，咁呢個和再乘級數入邊最後一個項*t*就係一個完美數。用呢啲符號嘅話，個和*q*就係梅森質數{\displaystyle 2^{p}-1}，尾項*t*就係{\displaystyle 2^{p-1}}。歐幾里得觀察到另一條等比級數，起始項係*q*，公比係2，長度同第一條一樣嘅話，佢同第一條係成比例嘅，由於第一條嘅和係*q* = 2*t* - 1，所以第二條嘅和係*q*(2*t* - 1)=2*qt* - *q*，咁兩條加埋就係2*qt*，係*qt*嘅兩倍。因為兩條級數無重覆數字，而且*q*係質數，所以其實兩條級數啱啱好列哂*qt*嘅所有因數，即係話*qt*嘅因數和係2*qt*，所以*qt*係完美數。

過咗超過一千年後，喺大約公元1000年，海什木猜想其實每一個偶完全數都可以寫做{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}咁嘅樣，其{\displaystyle 2^{p}-1}係質數，但係佢證明唔到。要去到十八世紀，亦即係歐幾里得超過二千年之後，先有歐拉證明到呢一個方向。咁就為偶完全數同梅森質數建立咗個一一對應嘅關係。歐拉完成咗呢個定理嘅證明之後，好多其他數學家都有畀出唔同嘅證明，包括Victor-Amédée Lebesgue、Robert Daniel Carmichael、Leonard Eugene Dickson、John Knopfmacher同Wayne L. McDaniel，其中Dickson嘅證明被好多教科書採用。

歐幾里得-歐拉定理喺1999年被一個網站採納為「百大數學定理」，後嚟Freek Wiedijk用呢個清單作為基礎，整咗一套用嚟測試唔同電腦輔助證明系統嘅基準。截至2021年，Wiedijk記錄嘅10個電腦輔助證明系統入邊，有5個有歐幾里得-歐拉定理嘅證明。

參考資料
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1. 1 2 3 4  Stillwell, John (2010), *Mathematics and Its History*, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8.
2. 1 2  Gerstein, Larry (2012), *Introduction to Mathematical Structures and Proofs*, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Theorem 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3.
3. 1 2  Caldwell, Chris K. "A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime", *Prime Pages*, 喺2014-12-02搵到.
4. 1 2  Travaglini, Giancarlo (2014), *Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy*, London Mathematical Society Student Texts,第81卷, Cambridge University Press, pp. 26–27, ISBN 978-1-107-04403-6.
5. ↑  Euclid (1956), *The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)* (第2版), Dover, pp. 421–426. See in particular Prop. IX.36.
6. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews
7. ↑  Pollack, Paul; Shevelev, Vladimir (2012), "On perfect and near-perfect numbers", *Journal of Number Theory*, **132** (12): 3037–3046, arXiv:1011.6160, doi:10.1016/j.jnt.2012.06.008, MR 2965207, S2CID 13607242
8. ↑  Euler, Leonhard (1849), "De numeris amicibilibus" [On amicable numbers], *Commentationes arithmeticae* (Latin),第2卷, pp. 627–636`{{citation}}`: CS1 maint: unrecognized language (link). Originally read to the Berlin Academy on February 23, 1747, and published posthumously. See in particular section 8, p. 88.
9. ↑  Cohen, Graeme L. (March 1981), "Even perfect numbers", *The Mathematical Gazette*, **65** (431): 28–30, doi:10.2307/3617930, JSTOR 3617930
10. ↑  Wiedijk, Freek, *Formalizing 100 Theorems*, Radboud University Institute for Computing and Information Sciences, 喺2021-07-10搵到