Ví dụ đơn giản về chuyển động tròn đều. Một trái banh được buộc vào một trục quay và đang xoay ngược chiều kim đồng hồ trên một quỹ đạo xác định với vận tốc góc ω. Vận tốc của trái banh là một vector tiếp tuyến với quỹ đạo, và liên tục thay đổi phương, gây ra do lực luôn hướng về tâm. Lực hướng tâm do dây tạo ra, dưới dạng lực căng dây.
**Lực hướng tâm** là một loại lực cần để làm cho một vật đi theo một quỹ đạo cong. Isaac Newton đã mô tả lực này trong cuốn Principia của ông. Bất kỳ lực nào (trọng lực, lực điện từ, v.v.) hoặc sự kết hợp các lực với nhau đều có thể đóng vai trò là lực hướng tâm. Ta có thể thấy một ví dụ về chuyển động tròn đều trên hình bên phải.

Ví dụ đơn giản: chuyển động tròn đều
------------------------------------

Vector vận tốc được định nghĩa là tốc độ của vật cùng với hướng chuyển động. Những vật có tổng lực tác động triệt tiêu sẽ không tăng tốc và do đó di chuyển theo một đường thẳng với tốc độ không đổi; chúng có vận tốc là một hằng số. Tuy nhiên, một vật di chuyển theo đường tròn, mặc dù di chuyển với tốc độ không đổi, vẫn có sự thay đổi hướng chuyển động. Độ thay đổi vector vận tốc của vật trong trường hợp này gọi là *gia tốc hướng tâm*.

Gia tốc hướng tâm khác nhau phụ thuộc vào bán kính cong của quỹ đạo (*R*) và tốc độ (*v*) của vật, gia tốc tăng nếu tốc độ tăng hoặc bán kính giảm. Nếu một vật đang di chuyển theo một đường tròn với tốc độ biến thiên, gia tốc của nó có thể được chia thành hai thành phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi *hướng vận tốc*) và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi *độ lớn* vận tốc).

Độ lớn của lực hướng tâm được cho theo công thức:

{\displaystyle F\_{ht}={\frac {mv^{2}}{r}}=m\omega ^{2}r}
trong đó m là khối lượng, v là tốc độ dài, {\displaystyle {\ce {\omega}}} là tốc độ góc và r là bán kính cong của quỹ đạo.

Nguồn gốc của lực hướng tâm
---------------------------

Đối với một vệ tinh bay trong quỹ đạo quanh trái đất, lực hướng tâm do lực trọng trường tạo thành giữa vệ tinh và trái đất, và tác dụng lực hướng về khối tâm của hai vật. Đối với một vật được gắn vào đầu một sợi dây đang quay theo trục đứng, lực hướng tâm là thành phần nằm ngang của lực căng dây, tác dụng hướng về tâm khối lượng giữa trục quay và vật quay. Đối với một vật đang xoay quanh chính nó, lực căng bên trong là lực hướng tâm giữ cho vật là một khối.

Phân tích một số trường hợp
---------------------------

Dưới đây là ba ví dụ có độ phức tạp tăng dần, sử dụng các công thức liên quan đến vận tốc và gia tốc.

### Chuyển động tròn đều

Xem thêm: Chuyển động tròn và Chuyển động tròn đều
Chuyển động tròn đều là trường hợp có độ quay cố định. Dưới đây là hai cách tiếp cận vấn đề.

#### Phương pháp hình học

Hình tròn bên trái: quỹ đạo của một chất điểm – chất điểm di chuyển trên một vòng tròn với vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo; Hình bên phải: "đường tròn vận tốc"; các vector vận tốc được dịch chuyển về chung một gốc: vì vận tốc là một hằng số trong chuyển động đều, đỉnh của vector vận tốc tạo thành một đường tròn, và gia tốc là tiếp tuyến của đường tròn vận tốc. Điều đó có nghĩa là gia tốc là hướng tâm trong vòng tròn bên trái với hình quỹ đạo.
Ở hình bên phải, vòng tròn bên trái là hình một vật đang di chuyển trên một đường tròn với tốc độ không đổi tại hai thời điểm khác nhau trên quỹ đạo của nó. Vị trí của nó được chỉ bởi vector **R** và vận tốc là vector **v**.

Vector vận tốc luôn luôn vuông góc với vector vị trí (vì vector vận tốc luôn tiếp tuyến với quỹ đạo tròn). Vì **R** di chuyển theo đường tròn, do đó **v** cũng vậy. Chuyển động tròn của vận tốc được thể hiện trong đường tròn ở hình bên phải, cùng với gia tốc **a**. Cũng như vận tốc là mức độ thay đổi vị trí, gia tốc chính là mức độ thay đổi của vận tốc.

Vì vị trí và vận tốc di chuyển cùng nhau, chúng xoay quanh vòng tròn của chúng với cùng chu kỳ **T**. Khoảng thời gian đó bằng với khoảng cách đi được chia cho vận tốc.

T = \frac{2\pi|\mathbf{R}|}{|\mathbf{v}|}

và, tương tự,

T = \frac{2\pi |\mathbf{v}|}{|\mathbf{a}|}

Cho hai phương trình này bằng nhau và giải để tìm |**a**|, ta có

|\mathbf{a}| = \frac{|\mathbf{v}|^{2}}{|\mathbf{R}|}

Vận tốc xoay tính theo radian trên giây là:

\omega = \frac {2 \pi} {T} \ 
So sánh hai vòng tròn trong hình bên, ta cũng thấy vận tốc hướng về tâm của vòng tròn **R**. Ví dụ, trong đường tròn bên trái, vector vị trí **R** chỉ vào vị trí 12 giờ có vector vận tốc **v** của nó hướng vị trí 9 giờ, còn ở hình bên phải, vector gia tốc **a** chỉ vào vị trí 6 giờ. Do đó vector gia tốc là ngược hướng với **R** và hướng về tâm của vòng tròn **R**.

#### Sử dụng vector

Mối quan hệ vector đối với chuyển động tròn đều; vector **Q** đại diện cho chuyển động quay là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo có chiều được xác định bằng quy tắc bàn tay phải và độ lớn là *dθ* /*dt*.
Hình bên cho thấy mối quan hệ vector trong chuyển động tròn đều. Bản thân sự quay được đại diện bằng vector **Q**, là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo (sử dụng quy tắc bàn tay phải) và có độ lớn xác định bằng công thức:


|

Ω

|

=

d

θ

d

t

=
ω

{\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \,}

{\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \,}
với *θ* là tọa độ góc vào thời điểm *t*. Trong phần này, d*θ*/d*t* được giả thiết là không thay đổi, không phụ thuộc vào thời gian. Độ dịch chuyển **ℓ** trong khoảng thời gian vi phân d*t* trên quỹ đạo tròn là

 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t) \mathrm{d}t \, 
trong đó, theo tính chất của tích có hướng của hai vector, có độ lớn bằng *r*d*θ* và có phương vuông góc với quỹ đạo.

Do đó,

\frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathbf{r}(t + \mathrm{d}t)-\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}}{\mathrm{d}t}
Nói cách khác,

 \mathbf{v}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\boldsymbol{\ell}}}{\mathrm{d}t} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)
Đạo hàm theo thời gian,

 \mathbf{a}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}} {d\mathrm{t}} = \mathbf {\Omega} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{\Omega} \times \left[ \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\right]
Công thức Lagrange cho biết:

 \mathbf{a} \times \left (\mathbf{b} \times \mathbf{c} \right) = \mathbf{b} \times \left (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \right) - \mathbf{c} \times \left (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right)
Áp dụng công thức Lagrange, để ý rằng **Ω • r**(*t*) = 0 tại mọi thời điểm,

 \mathbf{a} = - {|\mathbf{\Omega|}}^2 \mathbf{r}(t)
Nói một cách nôm na, gia tốc luôn có hướng ngược với vector xuyên tâm **r**, và có độ lớn bằng:

 |\mathbf{a}| = |\mathbf{r}(t)| \left (\frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 = R {\omega}^2\ 
trong đó ký hiệu |...| để chỉ độ lớn của vector, với **r**(*t*) đơn giản chính là bán kính *R* của quỹ đạo. Kết quả này hoàn toàn khớp với mục trước nếu ta thay tốc độ quay bằng chu kỳ *T*:

\frac {\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} = \omega = \frac {2 \pi } {T} = \frac {|\mathbf{v}|}{R} 
Khi tốc độ quay là hằng số như trong chuyển động tròn không đều, cách phân tích đó cũng khớp với cách này.

Cái hay của cách tiếp cận bằng vector là ở chỗ nó độc lập hiển nhiên với bất kỳ hệ tọa độ nào.

#### Ví dụ: Rẽ cua trên mặt phẳng nghiêng

Bài chi tiết: Rẽ cua trên mặt phẳng nghiêng
Hình trái: Trái banh trên một đường cong nghiêng đang di chuyển với tốc độ không đổi *v*; hình phải: lực tác dụng lên banh. Lực tổng hợp lên trái banh được tìm bằng tổng vector phản lực do mặt đường tác dụng và lực thẳng đứng là trọng lực phải bằng lực hướng tâm cần thiết để vật di chuyển theo đường cong. 
Hình bên cho thấy một trái banh đang chuyển động trên một mặt phẳng cong nghiêng. Mặt cong nghiêng một góc *θ* so với mặt phẳng ngang, và bề mặt đường xem như là trơn. Mục tiêu của chúng ta là tìm xem góc nghiêng của mặt phẳng phải là bao nhiêu để tránh banh không trượt ra khỏi mặt đường. Trên đường cong nằm ngang không có độ nghiêng, trái banh sẽ lập tức trượt ra khỏi mặt đường; còn với mặt đường rất dốc, trái banh sẽ trượt về trung tâm trừ khi nó di chuyển rất nhanh.

Khung bên phải của hình cho thấy các lực tác dụng trên quả banh. Có hai lực: một là lực trọng trường hướng thẳng xuống dưới xuyên qua khối tâm của trái banh *m***g** trong đó *m* là khối lượng quả banh và **g** là gia tốc trọng trường; lực thứ hai là phản lực hướng lên phía trên do mặt đường tác dụng vuông góc với mặt phẳng đường *m***a**n. Lực hướng tâm trên Hình bên là tổng hợp lực có được bằng cách cộng vector phản lực và trọng lực với nhau, và không phải là lực thứ ba tác dụng lên banh.

Tổng hợp lực nằm ngang tác dụng lên banh là thành phần nằm ngang của lực do mặt đường tác dụng, có độ lớn là |**F**h| = *m*|**a**n|sin*θ*. Thành phần thẳng đứng của lực từ mặt đường phải bù trừ với trọng lực, có nghĩa là |**F**v| = *m*|**a**n|cos*θ* = *m*|**g**|. Theo đó ta có thể tìm hợp lực là:

 |\mathbf{F}\_\mathrm{h}| = m |\mathbf{g}| \frac { \sin \theta}{ \cos \theta} = m|\mathbf{g}| \tan \theta
Mặt khác, với vận tốc |**v**| trên đường cong bán kính *R*, động lượng nói rằng lực cần thiết để khiến trái banh cua liên tục trên đường trong là lực hướng tâm *F*c có độ lớn:

|\mathbf{F}\_\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}\_\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{R} 
Do đó, trái banh nằm trên một quỹ đạo ổn định khi góc nghiêng của mặt đường thỏa mãn điều kiện:

m |\mathbf{g}| \tan \theta = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{R} \,
hoặc,

 \tan \theta = \frac {|\mathbf{v}|^2} {|\mathbf{g}|R}
Khi góc nghiêng *θ* đạt đến 90°, hàm tiến đến vô cùng, nghĩa là giá trị |**v**|2/*R* rất lớn. Nói một cách nôm na, phương trình này cho thấy tốc độ càng cao (|**v**| càng lớn) thì mặt đường càng phải dốc (giá trị *θ* lớn hơn), và đối với góc cua càng gấp (*R* nhỏ) mặt đường cũng phải càng dốc, như vậy là phù hợp với trực giác. Khi góc *θ* không thỏa mãn điều kiện trên, thành phần nằm ngang của lực do mặt đường tác dụng không tạo ra một lực hướng tâm đúng, và có thêm lực ma sát tiếp tuyến với mặt đường sẽ khử đi sự chênh lệch. Nếu ma sát không thể làm điều này (có nghĩa là hệ số ma sát thấp), trái banh sẽ trượt sang bán kính khác để đạt được sự cân bằng.

Những ý tưởng này cũng được áp dụng vào hàng không. Xem sổ tay hướng dẫn dành cho phi công FAA.

*Trái*: Ba giai đoạn chuyển động của yo-yo cho thấy chuyển động xoay, *Phải*: quỹ đạo tròn của yo-yo được lý tưởng hóa thành một hình ê-líp cực thon.
#### Ví dụ: con yo-yo

Một ví dụ thú vị khác liên quan đến lực hướng tâm là yo-yo.
Khi sợi dây được thả ra, yo-yo xoay xuống về một bên của sợi dây. Khi sợi dây được buông ra hoàn toàn, yo-yo tiếp tục xoay trong khi thực hiện một cú xoay hình chữ U đúng 180 độ theo phương tịnh tiến của nó. Sau đó nó xoay lên lại về phía bên kia của sợi dây, trong khi đồng thời khiến cho sợi dây cuộn lại một lần nữa. Trong hình hành vi này được vẽ ở bên trái với ba điểm khác nhau trong quá trình chuyển động; mũi tên cho thấy hướng chuyển động sự quay. Thế năng của yo-yo tại điểm cao nhất của chuyển động sẽ biến thành động năng xoay khi nó rơi xuống, rồi sau đó lại chuyển thành thế năng trọng trường khi nó chạy lên.

Hình bên phải là quỹ đạo lý tưởng của khối tâm yo-yo tạo thành một hình ê-líp. Chuyển động trên quỹ đạo này đòi hỏi phải có lực hướng tâm, lực này đạt đến giá trị cực đại ở phía cuối quỹ đạo khi góc cong rất lớn. Mũi tên màu xanh cho thấy lực hướng tâm, nằm theo hướng thẳng đứng ở phía cuối quỹ đạo. Tại đó, sự đảo chiều trong chuyển động được tạo ra từ lực căng của sợi dây đã được bung ra hoàn toàn. Lực căng này tiếp tục theo phương từ điểm nối với sợi dây cho đến khối tâm của yo-yo, tạo thành lực hướng tâm khiến yo-yo xoay theo hình chữ U quanh đầu cuối sợi dây.

### Chuyển động tròn không đều

Xem thêm: Chuyển động tròn và Chuyển động tròn không đều
Hình: Vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn không đều: vector vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo, nhưng vector gia tốc thì không hướng tâm vì nó có thành phần tiếp tuyến **a**θ làm tăng tốc độ quay: *d*ω / *dt* = | **a**θ| / *R*.
Để tổng quát hóa trường hợp chuyển động tròn không đều, giả sử vận tốc góc của chuyển động quay không phải là một hằng số. Lúc này gia tốc có một thành phần tiếp tuyến, như trên Hình bên. Trường hợp này được dùng để biểu diễn một chiến thuật suy diễn dựa trên hệ tọa độ cực.

Gọi **r**(*t*) là vector mô tả vị trí khối tâm theo thời gian. Vì chúng ta đang giả sử đây là chuyển động tròn, gọi **r**(*t*) = *R*·**u**r, trong đó *R* là hằng số (bán kính của đường tròn) và **u**r là vector đơn vị hương từ điểm chuyển động đến khối tâm. Vị trí của **u**r được mô tả theo *θ*, góc tạo bởi trục x là vector đơn vị, đo theo hướng ngược chiều kim đồng hồ từ trục x. Vector đơn vị khác dành cho hệ tọa độ cực, **u**θ vuông góc với **u**r và những điểm theo hướng *θ* tăng dần. Những vector đơn vị cực này có thể được biểu diễn theo vector đơn vị Decartes theo phương *x* và *y*, ký hiệu lần lượt là **i** và **j**:

**u**r = cos*θ* **i** + sin*θ* **j**
và

**u**θ = sin*θ* **i** + cos*θ* **j**.
Chúng ta lấy đạo hàm để tìm vận tốc:

\mathbf{v} = R \frac {\mathrm{d} \mathbf{u}\_\mathrm{r}}{\mathrm{d}t} = R \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\cos \theta \ \mathbf{i} + \sin \theta \ \mathbf{j}\right)
 = R \frac {d \theta} {dt} \left(-\sin \theta \ \mathbf{i} + \cos \theta \ \mathbf{j}\right)\, 
 = R \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}\_\mathrm{\theta} \, 
 = \omega R \mathbf{u}\_\mathrm{\theta} \, 
trong đó *ω* là vận tốc góc d*θ*/d*t*.

Kết quả vận tốc này trùng khớp với kỳ vọng rằng vận tốc sẽ hướng tiếp tuyến với vòng tròn, và rằng độ lớn vận tốc sẽ là *ωR*. Đạo hàm một lần nữa, và để ý rằng

{\frac {\mathrm{d}\mathbf{u}\_\mathrm{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}\_\mathrm{r} = - \omega \mathbf{u}\_\mathrm{r}} \, 
chúng ta tìm được gia tốc, **a** là:

\mathbf{a} = R \left(\frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}\_\mathrm{\theta} - \omega^2 \mathbf{u}\_\mathrm{r} \right) 
Do đó, thành phần hướng tâm và tiếp tuyến của gia tốc là:

\mathbf{a}\_{\mathrm{r}} = - \omega^{2} R \ \mathbf{u}\_\mathrm{r} = - \frac{|\mathbf{v}|^{2}}{ R} \ \mathbf{u}\_\mathrm{r} \    and   \ \mathbf{a}\_{\mathrm{\theta}} = R \ \frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}\_\mathrm{\theta} = \frac {\mathrm{d} | \mathbf{v} | }{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}\_\mathrm{\theta} \, 
trong đó |**v**| = *R*ω là độ lớn vận tốc (tốc độ).

Các phương trình này cho thấy, trong trường hợp một vật di chuyển quanh một đường tròn với tốc độ thay đổi, gia tốc của vật có thể phân thành một thành phần trực giao làm thay đổi hướng chuyển động (gia tốc hướng tâm), và một thành phần song song, hay thành phần tiếp tuyến, làm thay đổi tốc độ.

Xem thêm
--------

* Lực

 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| * Lực tưởng tượng
* Lực ly tâm
* Chuyển động tròn
* Lực Coriolis
* Phản lực ly tâm

  | * Ví dụ: chuyển động tròn
* Công thức Frenet-Serret
* Hệ tọa độ trực giao
* Tĩnh học
* Động học

  | * Chuyển động học
* Cơ học ứng dụng
* Cơ học phân tích
* Động lực học
* Cơ học cổ điển

  |

Ghi chú và tham khảo
--------------------

1. ↑  Georgia State University HyperPhysics
2. ↑  Andrew Motte translation (1729) of Newton's *Principia* (1687): *Of the invention of Centripetal Forces*, p. 114. Newton was concerned primarily with planetary motion.
3. ↑  Lawrence S. Lerner (1997). *Physics for Scientists and Engineers*. Boston: Jones & Bartlett Publishers. tr. 128. ISBN 0867204796.
4. ↑  What is friction?
5. ↑  Arthur Beiser (2004). *Schaum's Outline of Applied Physics*. New York: McGraw-Hill Professional. tr. 103. ISBN 0071426116.
6. ↑  Alan Darbyshire (2003). *Mechanical Engineering: BTEC National Option Units*. Oxford: Newnes. tr. 56. ISBN 0750657618.
7. ↑  Federal Aviation Administration (2007). *Pilot's Encyclopedia of Aeronautical Knowledge*. Oklahoma City OK: Skyhorse Publishing Inc. Figure 3-21. ISBN 1602390347.
8. ↑  Robert Lambourne, D. Lambourne (2000). *Predicting Motion*. CRC Press. tr. 172. ISBN 0750307161.
9. ↑  Bernard Brogliato (1999). *Nonsmooth Mechanics*. Springer. tr. 23. ISBN 1852331437.
10. ↑  Ghi chú: không giống như vector đơn vị Decartes **i** và **j**, là hằng số, trong hệ tọa độ cực phương của vector đơn vị **u****r** và **u****θ** phụ thuộc vào *θ*, và do đó nói chung chúng có đạo hàm khác không.

Đọc thêm
--------

* Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). *Physics for Scientists and Engineers* (ấn bản 6). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
* Tipler, Paul (2004). *Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics* (ấn bản 5). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
* Centripetal force Lưu trữ 2018-08-04 tại Wayback Machine vs. Centrifugal force Lưu trữ 2018-08-04 tại Wayback Machine, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District

Liên kết ngoài
--------------

* Notes from University of Winnipeg Lưu trữ 2018-09-23 tại Wayback Machine
* Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University; see also home page
* Notes from Britannica
* Notes from PhysicsNet Lưu trữ 2010-06-05 tại Wayback Machine
* NASA notes by David P. Stern
* Notes from U Texas.

|  |  |
| --- | --- |
|  | Tra ***centripetal*** trong từ điển mở tiếng Việt Wiktionary |