Đừng nhầm lẫn với hàm delta Dirac, hay ký hiệu Kronecker.
Trong toán học, ký hiệu **Kronecker delta** là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:


δ

i
j

=

{

1

i
=
j
,

0

i
≠
j
.



{\displaystyle \delta \_{ij}={\begin{cases}1&\quad i=j,\\0&\quad i\neq j.\end{cases}}}

{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&\quad i=j,\\0&\quad i\neq j.\end{cases}}}
hoặc bằng dấu ngoặc Iverson:


δ

i
j

=
[
i
=
j
]

{\displaystyle \delta \_{ij}=[i=j]\,}

{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}
trong đó Kronecker delta δij là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị i và j. Ví dụ, *δ*1 2 = 0, còn *δ*3 3 = 1. Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong đại số tuyến tính, ma trận đơn vị **I** kích thước *n* × *n* có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:


I

i
j

=

δ

i
j

{\displaystyle I\_{ij}=\delta \_{ij}}

{\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}
trong đó i và j mang các giá trị 1, 2, ... *n*. Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng


a

⋅

b

=

∑

i
,
j
=
1

n

δ

i
j

a

i

b

j

=

∑

i
=
1

n

a

i

b

i

.

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \_{i,j=1}^{n}\delta \_{ij}a\_{i}b\_{j}=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}b\_{i}.}

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}\delta _{ij}a_{i}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}
Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất
---------

Ta có những đẳng thức sau



∑

j

δ

i
j

a

j


=

a

i

,


∑

i

a

i

δ

i
j


=

a

j

,


∑

k

δ

i
k

δ

k
j


=

δ

i
j

.



{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{j}\delta \_{ij}a\_{j}&=a\_{i},\\\sum \_{i}a\_{i}\delta \_{ij}&=a\_{j},\\\sum \_{k}\delta \_{ik}\delta \_{kj}&=\delta \_{ij}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}
Do đó, ma trận **δ** có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân:


δ

n
m

=

1
N

∑

k
=
1

N

e

2
π
i

k
N

(
n
−
m
)

{\displaystyle \delta \_{nm}={\frac {1}{N}}\sum \_{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}

{\displaystyle \delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}

Ký hiệu
-------

Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson:


δ

i
j

=
[
i
=
j
]
.

{\displaystyle \delta \_{ij}=[i=j].}

{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}
Ngoài ra, ký hiệu một biến δi cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho *j* = 0:


δ

i

=

{

1
,

i
=
0
,

0
,

i
≠
0.



{\displaystyle \delta \_{i}={\begin{cases}1,&\quad i=0,\\0,&\quad i\neq 0.\end{cases}}}

{\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}1,&\quad i=0,\\0,&\quad i\neq 0.\end{cases}}}
Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằngδi  
j. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.

Xem thêm
--------

* Độ đo Dirac
* Hàm chỉ thị
* Ký hiệu Levi-Civita
* Cổng XNOR

Tham khảo
---------

1. ↑  Trowbridge, J. H. (1998). "On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves". *Journal of Atmospheric and Oceanic Technology*. **15** (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. doi:10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2.

| * x
* t
* s
Tensor |
| --- |
| *Glossary of tensor theory* |
| Scope | 

|  |  |
| --- | --- |
| Toán học | 
* Hệ tọa độ
* Đại số đa tuyến tính
* Hình học Euclid
* Đại số tensor
* dyadic
* Hình học vi phân
* Giải tích bên ngoài
* Vi tích phân tensor

 |
| * Vật lý học
* Kỹ thuật
 | 
* Cơ học môi trường liên tục
* Điện từ học
* Hiện tượng vận chuyển
* Thuyết tương đối rộng
* Thị giác máy tính

 |

 |
| Ký hiệu | 
* Ký hiệu chỉ số
* Ký hiệu đa chỉ số
* Ký hiệu Einstein
* Vi tích phân Ricci
* Ký hiệu đồ họa Penrose
* Ký hiệu Voigt
* Ký hiệu chỉ số trừu tượng
* Tetrad (ký hiệu chỉ số)
* Ký hiệu Van der Waerden

 |
| TensorCác định nghĩa | 
* tensor (intrinsic definition)
* tensor field
* tensor density
* tensors in curvilinear coordinates
* mixed tensor
* antisymmetric tensor
* symmetric tensor
* tensor operator
* tensor bundle

 |
| Các Phép toán | 
* tensor product
* exterior product
* tensor contraction
* transpose (2nd-order tensors)
* raising and lowering indices
* Hodge star operator
* covariant derivative
* exterior derivative
* exterior covariant derivative
* Lie derivative

 |
| Relatedabstractions | 
* Chiều
* Cơ sở
* Vectơ, không gian vectơ
* multivector
* covariance and contravariance of vectors
* Biến đổi tuyến tính
* Ma trận
* spinor
* Cartan formalism (physics)
* Dạng vi phân
* connection form
* Đường trắc địa
* Đa tạp
* Phân thớ
* Levi-Civita connection
* affine connection

 |
| Notable tensors | 

|  |  |
| --- | --- |
| Toán học | 
* Kronecker delta
* Levi-Civita symbol
* metric tensor
* nonmetricity tensor
* Christoffel symbols
* Ricci curvature
* Riemann curvature tensor
* Weyl tensor
* torsion tensor

 |
| Vật lý học | 
* moment of inertia
* angular momentum tensor
* spin tensor
* Cauchy stress tensor
* stress–energy tensor
* EM tensor
* gluon field strength tensor
* Einstein tensor
* metric tensor (GR)

 |

 |
| Nhà toán học | 
* Leonhard Euler
* Carl Friedrich Gauss
* Augustin-Louis Cauchy
* Hermann Grassmann
* Gregorio Ricci-Curbastro
* Tullio Levi-Civita
* Jan Arnoldus Schouten
* Bernhard Riemann
* Elwin Bruno Christoffel
* Woldemar Voigt
* Élie Cartan
* Hermann Weyl
* Albert Einstein

 |