Trong đại số trừu tượng, **định lý cơ bản về nhóm cyclic** khẳng định rằng nếu *G* là một nhóm cyclic cấp *n* thì mọi nhóm con của *G* cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của *G* là một ước của *n* và với mỗi ước dương *k* của *n* nhóm *G* có đúng một nhóm con cấp *k*.

Chứng minh
----------

Giả sử {\displaystyle G=\left\langle a\right\rangle } là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử {\displaystyle a\in G}. Giả sử {\displaystyle H\,} là nhóm con của G\,.
Ta sẽ chứng tỏ rằng {\displaystyle H\,} là cyclic. Nếu {\displaystyle H=\{e\}\,} thì {\displaystyle H=\left\langle e\right\rangle \,}. Nếu {\displaystyle H\neq \{e\}\,} thì vì G\, là cyclic nên mọi phần tử trong {\displaystyle H\,} có dạng lũy thừa {\displaystyle a^{t}\,}, trong đó {\displaystyle t\,} là số nguyên dương. Đặt {\displaystyle m\,} là số nguyên dương nhỏ nhất mà {\displaystyle a^{m}\in H}.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle \,}. Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng {\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H}.

Để chứng tỏ {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle } chúng ta giả sử {\displaystyle b\in H}. Vì {\displaystyle b\in G} ta có {\displaystyle b=a^{k}\,} với một số nguyên dương nào đó {\displaystyle k\,}. Theo thuật toán chia, {\displaystyle k=mq+r\,} với {\displaystyle 0\leq r<m\,}, và do đó {\displaystyle a^{k}=a^{mq+r}=a^{mq}a^{r}\,}, từ đó {\displaystyle a^{r}=a^{-mq}a^{k}\,}. Bây giờ vì {\displaystyle a^{k}\in H} và {\displaystyle a^{-mq}=(a^{m})^{-q}\in H}, nên {\displaystyle a^{r}\in H}. Nhưng {\displaystyle m\,} là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho {\displaystyle a^{m}\in H} và {\displaystyle 0\leq r<m\,}, nên {\displaystyle r=0\,} và do đó {\displaystyle b=a^{k}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in \left\langle a^{m}\right\rangle }. Như vậy {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle }.

Vì {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle } và {\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H} nên {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle } và như vậy {\displaystyle H\,} là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của G\, là một ước của {\displaystyle n\,}. Giả sử {\displaystyle H\,} là một nhóm con bất kỳ của G\,. Ta luôn có thể viết {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle }, trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho {\displaystyle a^{m}\in H}. Vì {\displaystyle e=a^{n}=a^{m}\,} nên {\displaystyle n=mq\,} với số nguyên {\displaystyle q\,} nào đó. Như vậy {\displaystyle m|n\,}.

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử {\displaystyle k\,} là một ước nguyên dương của {\displaystyle n\,}. Ta sẽ chứng tỏ rằng {\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle } và chỉ nó là nhóm con {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } cấp {\displaystyle k\,}. Chú ý rằng {\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle } có cấp {\displaystyle {n \over {gcd(n,{n \over {k}})}}={n \over {n \over k}}=k\,}. Đặt {\displaystyle H\,} là nhóm con bất kỳ của {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } có cấp {\displaystyle k\,}. Ta biết rằng {\displaystyle H=\left\langle a\right\rangle }, trong đó {\displaystyle m\,} là ước của {\displaystyle n\,}. Như vây {\displaystyle m=gcd(n,m)\,} and {\displaystyle k=|<a^{m}>|=|a^{m}|=|a^{gcd(n,m)}|={n \over {gcd(n,m)}}={n \over m}\,}. Từ đó {\displaystyle m={n \over k}\,} và như vậy {\displaystyle H=\left\langle a^{n \over k}\right\rangle }. Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung
-------

Giả sử {\displaystyle G=<a>} là một nhóm cyclic, và H là một nhóm con của G. Ta xác định một ánh xạ {\displaystyle \phi :\mathbb {Z} \rightarrow G} nhờ {\displaystyle \phi (n)=a^{n}}. Vì G là cyclic sinh bởi a, nên \phi  là toàn ánh. Đặt {\displaystyle K=\phi ^{-1}(H)\subseteq \mathbb {Z} }. K là nhóm con của {\displaystyle \mathbb {Z} }. Vì \phi  là toán ánh, nên thu hẹp của \phi  trên K xác định một toàn cấu từ K lên H, và do đó H là đẳng cấu với một nhóm thương của K. Vì K là một nhóm con của {\displaystyle \mathbb {Z} }, K là {\displaystyle n\mathbb {Z} } với số nguyên n nào đó. Nếu {\displaystyle n=0}, thì {\displaystyle K={0}}, từ đó {\displaystyle H={0}}, là nhóm cyclic. Nếu khác đi, K đẳng cấu với {\displaystyle \mathbb {Z} }. Do đó H là đẳng cấu với một thương của {\displaystyle \mathbb {Z} }, và chắc chắn là cyclic.

Xem thêm
--------

* Nhóm cyclic

Tham khảo
---------