Tính chất của các phần tử trong bất đẳng thức

|  |  |
| --- | --- |
|  | Tra ***so sánh được*** trong từ điển mở tiếng Việt Wiktionary |

Xem thêm: So sánh (toán học)
Biểu đồ Hasse của các số tự nhiên, được sắp thứ tự riêng phần theo quan hệ "*x*≤*y* nếu *x* là ước của *y*". Số 4 và 6 không so sánh được với nhau vì không có số nào trong cặp chia hết cho số còn lại.
Trong toán học, hai phần tử *x* và *y* của tập hợp *P* được gọi là **so sánh được với nhau** tương ứng với quan hệ hai ngôi ≤ nếu ít nhất một trong *x* ≤ *y* hoặc *y* ≤ *x* là đúng. Ngược lại thì chúng được gọi là **không so sánh được với nhau**.

Định nghĩa chặt chẽ
-------------------

Quan hệ hai ngôi trên tập hợp P được định nghĩa là bất kỳ tập hợp con R của {\displaystyle P\times P.} Cho {\displaystyle x,y\in P,} {\displaystyle xRy} được viết khi và chỉ khi {\displaystyle (x,y)\in R,}, khi đó ta nói x có ***quan hệ*** với y theo {\displaystyle R.} 
Phần tử {\displaystyle x\in P} được gọi là ***R-so sánh được hay***, hay ***so sánh được*** (*tương ứng với quan hệ R*), với phần tử {\displaystyle y\in P} nếu {\displaystyle xRy} hoặc {\displaystyle yRx.} 
Thường thì các ký hiệu so sánh chẳng hạn như {\displaystyle \,<\,} (hoặc {\displaystyle \,\leq \,,} {\displaystyle \,>,\,} {\displaystyle \geq ,} và nhiều cái khác) được dùng thay cho {\displaystyle R,} và ta viết {\displaystyle x<y} thay cho {\displaystyle xRy,} .Do vậy thuật ngữ "so sánh được" được sử dụng. 

Tinh so sánh được tương ứng với R cảm sinh một quan hệ hai ngôi chính tắc trên P; chính xác hơn, ***quan hệ so sánh được*** cảm sinh bởi R được định nghĩa là tập tất cả các cặp {\displaystyle (x,y)\in P\times P} thỏa mãn x so sánh được với y; tức là ít nhất một trong {\displaystyle xRy} hoặc {\displaystyle yRx} là đúng.
Tương tự, ***quan hệ không so sánh được*** trên P cảm sinh bởi R được định nghĩa là tập tất cả các cặp {\displaystyle (x,y)\in P\times P} thỏa mãn x không so sánh được với {\displaystyle y;}; tức là cả {\displaystyle xRy} và {\displaystyle yRx} đều sai. 

Nếu ký hiệu {\displaystyle \,<\,} được dùng thay vì {\displaystyle \,\leq \,} thì tính so sánh được tương ứng với {\displaystyle \,<\,} đôi khi được ký hiệu bởi {\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}, còn tính không so sánh được được ký hiệu bởi {\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}.

Ví dụ
-----

Tập hợp sắp thứ tự toàn phần là tập hợp sắp thứ tự riêng phần trong đó bất kỳ hai phần tử đều so sánh được với nhau. Định lý mở rộng Szpilrajn phát biểu rằng mọi thứ tự riêng phần đều nằm trong một thứ tự toàn phần nào đó. Theo trực giác, có nghĩa là bất kỳ phương pháp so sánh nào mà để lại một số cặp không so sánh được với nhau, vẫn có thể mở rộng sao cho mọi cặp so sánh được với nhau.

Tính chất
---------

Cả hai quan hệ *so sánh được* và *không so sánh được* đều có tính đối xứng, nghĩa là x so sánh được với y khi và chỉ khi y so sánh được với {\displaystyle x,} tương tự như vậy đối với tính không so sánh được.

Đồ thị so sánh được
-------------------

Bài chi tiết: Đồ thị so sánh được
Đồ thị so sánh được của tập hợp sắp thứ tự riêng phần P có các đỉnh là các phần tử thuộc P và các cạnh là các cặp phần tử {\displaystyle \{x,y\}} sao cho {\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}.

Phân loại
---------

Khi phân loại các đối tượng toán học (chẳng hạn như không gian tô pô), hai *tiêu chuẩn* được gọi là so sánh được với nhau nếu các đối tượng thỏa mãn một tiêu chuẩn sẽ cấu tạo một tập con các đối tượng thỏa mãn tiêu chuẩn còn lại, tức là chúng so sánh được với nhau dưới thứ tự riêng phần ⊂.Vi dụ chẳng hạn, Tiêu chuẩn T1 và T2 so sánh được với nhau trong khi tiêu chuẩn T1 và tiêu chuẩn điều độ thì không.

Xem thêm
--------

* Thứ tự yếu nghiêm ngặt, là quan hệ thứ tự riêng phần trong đó tính không so sánh được là quan hệ bắc cầu

Tham khảo
---------

1. ↑  Trotter, William T. (1992), *Combinatorics and Partially Ordered Sets:Dimension Theory*, Johns Hopkins Univ. Press, tr. 3
2. ↑  Gilmore, P. C.; Hoffman, A. J. (1964), "A characterization of comparability graphs and of interval graphs", *Canadian Journal of Mathematics*, **16**: 539–548, doi:10.4153/CJM-1964-055-5.

Liên kết ngoài
--------------

* "PlanetMath: partial order". Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 6 tháng 4 năm 2010.

| * x
* t
* s
Lý thuyết thứ tự |
| --- |
| 
* Chủ đề
* Thuật ngữ
* Thể loại

 |
| Các khái niệm chính | 
* Quan hệ hai ngôi
* Đại số Boole
* Thứ tự cyclic
* Dàn
* Thứ tự riêng phần
* Tiền thứ tự
* Thứ tự toàn phần
* Thứ tự yếu

 |
| Kết quả | 
* Định lý ideal nguyên tố Boole
* Định lý Cantor–Bernstein
* Định lý đẳng cấu của Cantor
* Định lý Dilworth
* Định lý Dushnik–Miller
* Nguyên lý cực đại Hausdorff
* Định lý Knaster–Tarski
* Định lý cây Kruskal
* Định lý Laver
* Định lý Mirsky
* Định lý mở rộng Szpilrajn
* Bổ đề Zorn

 |
| Các tính chất & loại (danh sách) | 
* Phản đối xứng
* Bất đối xứng
* Đại số Boole
	+ các chủ đề
* Đầy đủ
* Liên thông
* Phủ
* Trù mật
* Tập có hướng
* Tương đương  (một phần)
* Nền tảng
* Đại số Heyting
* Thuần nhất
* Luỹ đẳng
* Dàn
	+ Bị chặn
	+ Bị bù
	+ Đầy đủ
	+ Phân phối
	+ Gặp và nối
* Phản xạ
* Thứ tự riêng phần
	+ Đầy đủ xích
	+ Phân bậc
	+ Euler
	+ Nghiêm ngặt
* Thứ tự tiền tố
* Tiền thứ tự
	+ toàn phần
* Nửa dàn
* Nửa thứ tự
* Đối xứng
* Toàn phần
* Dung sai (*tolerance*)
* Bắc cầu
* Lập tốt
* Giả lập tốt (tốt hơn)
* (Tiền) Thứ tự tốt

 |
| Xây dựng | 
* Hợp
* Ngược/Chuyển vị
* Thứ tự từ điển
* Mở rộng tuyến tính
* Thứ tự tích
* Bao đóng phản xạ
* Thứ tự riêng phần song song chuỗi
* Tích hình sao
* Bao đóng đối xứng
* Bao đóng bắc cầu

 |
| Tôpô & Thứ tự | 
* Tôpô Alexandrov & TIền thứ tự đặc biệt
* Không gian vectơ tôpô được sắp
	+ Nón chuẩn tắc
	+ Tôpô thứ tự
* Tôpô thứ tự
* Dàn vectơ tôpô
	+ Banach
	+ Fréchet
	+ Lồi địa phương
	+ Định chuẩn

 |
| Có liên quan | 
* Phản xích
* Cofinal
* Cofinality
* Tính so sánh được
	+ đồ thị
* Đối ngẫu
* Bộ lọc
* Sơ đồ Hasse
* Ideal
* Lưới
	+ Lưới con
* Cấu xạ thứ tự
	+ Phép nhúng
	+ Đẳng cấu
* Kiểu thứ tự
* Trường được sắp
* Không gian vectơ được sắp
	+ Được sắp một phần
	+ Nón dương
	+ Không gian Riesz
* Tập trên
* Dàn Young

 |