**Số Lucas** là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là *L*0 = 2 và *L*1 = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

{\displaystyle L\_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L\_{n-1}+L\_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}
Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... (dãy số A000032 trong bảng OEIS)

Số Lucas có chỉ số âm
---------------------

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại Ln-2 = Ln - Ln-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với {\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

* {\displaystyle L\_{-n}=(-1)^{n}L\_{n}.\!}

Tính chất
---------

### Công thức tổng quát

Công thức tổng quát của số Lucas:

{\displaystyle L\_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}
với \varphi  bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, {\displaystyle L\_{n}} là số nguyên gần với {\displaystyle \varphi ^{n}} nhất.

### Mối liên hệ với các số Fibonacci

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

* {\displaystyle \,L\_{n}=F\_{n-2}+F\_{n}}
* tổng quát hơn là công thức sau:

{\displaystyle L\_{n}=F\_{k+2}.L\_{n-k}+F\_{k+1}.L\_{n-k-1}} với mọi k<n; (2.1)

Chứng minh
Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

{\displaystyle L\_{n}}

{\displaystyle =F\_{k+2}.L\_{n-k}+F\_{k+1}.L\_{n-k-1}}

{\displaystyle =F\_{k+2}.(L\_{n-k-1}+L\_{n-k-2})+F\_{k+1}.L\_{n-k-1}}

{\displaystyle =(F\_{k+2}+F\_{k+1}).L\_{n-k-1}+F\_{k+2}.L\_{n-k-2}}

{\displaystyle =F\_{k+3}.L\_{n-k-1}+F\_{k+2}.L\_{n-k-2}.}

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

* {\displaystyle \,L\_{n}^{2}=5F\_{n}^{2}+4(-1)^{n}}, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số {\displaystyle L\_{n} \over F\_{n}\,} tiến đến {\displaystyle {\sqrt {5}}\,} khi {\displaystyle n\,} tiến đến +∞.

Chứng minh
Sử dụng công thức tổng quát.

* {\displaystyle \,F\_{2n}=L\_{n}F\_{n}}

Chứng minh
Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

{\displaystyle L\_{n}F\_{n}=(\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n})({{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}})}

Rút gọn lại được:

{\displaystyle L\_{n}F\_{n}=)({{\varphi ^{2n}-(1-\varphi )^{2n}} \over {\sqrt {5}}}=L\_{2n}}

* {\displaystyle \,F\_{n}={L\_{n-1}+L\_{n+1} \over 5}}

Chứng minh
Chứng minh bằng quy nạp theo n.

### Khi chỉ số là số nguyên tố

Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, Ln cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

### Tính chia hết giữa các số Lucas

*Lmn* chia hết cho *Ln* nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để *Ln* là số nguyên tố.

Chứng minh
Sử dụng công thức tổng quát của {\displaystyle L\_{n}}, để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

{\displaystyle L\_{mn+2n}=L\_{mn}.L\_{2n}-L\_{|mn-2n|}(1)}

Từ đó suy ra:

{\displaystyle L\_{3n}=L\_{n+2n}=L\_{n}.L\_{2n}-L\_{n}}

Suy ra {\displaystyle L\_{3n}} chia hết cho {\displaystyle L\_{n}}.

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra {\displaystyle L\_{5n}} chia hết cho {\displaystyle L\_{n}}.

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra {\displaystyle L\_{(2k+1)n}} chia hết cho {\displaystyle L\_{n}}, điều phải chứng minh.

### Số nguyên tố Lucas

**Số nguyên tố Lucas** là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... (dãy số A005479 trong bảng OEIS)
Nếu *Ln* là số nguyên tố thì *n* bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.

Các số Lucas có dạng *L{\displaystyle 2^{m}}* là số nguyên tố được biết cho đến nay là m = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas
-------------

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

{\displaystyle L\_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL\_{n-1}(x)+L\_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

{\displaystyle L\_{0}(x)=2\,}
{\displaystyle L\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle L\_{2}(x)=x^{2}+2\,}
{\displaystyle L\_{3}(x)=x^{3}+3x\,}
{\displaystyle L\_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}
{\displaystyle L\_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}
{\displaystyle L\_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,}

Xem thêm
--------

* Số Fibonacci

Chú thích
---------

1. ↑  Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Liên kết ngoài
--------------

* Weisstein, Eric W. "Lucas Number" từ MathWorld.
* Dr Ron Knott Lưu trữ 2005-11-26 tại Wayback Machine
* Lucas numbers and the Golden Section Lưu trữ 2005-10-30 tại Wayback Machine
* A Lucas Number Calculator can be found here. Lưu trữ 2007-02-16 tại Wayback Machine
* A Tutorial on Generalized Lucas Numbers

| * x
* t
* s
Phân loại các số nguyên tố |
| --- |
| Theo công thức | 
* Fermat (22*n* + 1)
* Mersenne (2*p* − 1)
* Mersenne kép (22*p*−1 − 1)
* Wagstaff (2*p* + 1)/3
* Proth (*k*·2*n* + 1)
* Giai thừa (*n*! ± 1)
* Primorial (*pn*# ± 1)
* Euclid (*pn*# + 1)
* Pythagorean (4*n* + 1)
* Pierpont (2*u*·3*v* + 1)
* Quartan (*x*4 + *y*4)
* Solinas (2*a* ± 2*b* ± 1)
* Cullen (*n*·2*n* + 1)
* Woodall (*n*·2*n* − 1)
* Cuban (*x*3 − *y*3)/(*x* − *y*)
* Carol (2*n* − 1)2 − 2
* Kynea (2*n* + 1)2 − 2
* Leyland (*xy* + *yx*)
* Thabit (3·2*n* − 1)
* Mills (⌊*A*3*n*⌋)

 |
| Theo dãy số nguyên | 
* Fibonacci
* Lucas
* Pell
* Newman–Shanks–Williams
* Perrin
* Phân hoạch
* Bell
* Motzkin

 |
| Theo tính chất | 
* (Cặp Wieferich)
* Wall–Sun–Sun
* Wolstenholme
* Wilson
* May rủi
* May mắn
* Ramanujan
* Pillai
* Chính quy
* Mạnh
* Stern
* Siêu trội (đối với đường cong elliptic)
* Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng)
* Tốt
* Siêu phàm
* Higgs
* Fortune

 |
| Phụ thuộc vào hệ số | 
* May mắn
* Nhị diện
* Palindromic
* Emirp
* Repunit (10*n* − 1)/9
* Hoán vị
* Vòng
* Rút ngắn được
* Strobogrammatic
* Tối thiểu
* Yếu
* Đầy đủ
* Đơn nhất
* Nguyên thủy
* Smarandache–Wellin

 |
| Theo mô hình | 
* Sinh đôi (*p*, *p* + 2)
* Chuỗi bộ đôi (*n* − 1, *n* + 1, 2*n* − 1, 2*n* + 1, …)
* Bộ tam (*p*, *p* + 2 or *p* + 4, *p* + 6)
* Bộ tứ (*p*, *p* + 2, *p* + 6, *p* + 8)
* Bộ *k*
* Họ hàng (*p*, *p* + 4)
* Sexy (*p*, *p* + 6)
* Chen
* Sophie Germain (*p*, 2*p* + 1)
* chuỗi Cunningham (*p*, 2*p* ± 1, …)
* An toàn (*p*, (*p* − 1)/2)
* Trong cấp số cộng (*p* + *a·n*, *n* = 0, 1, …)
* Đối xứng (consecutive *p* − *n*, *p*, *p* + *n*)

 |
| Theo kích thước | 
* Hàng nghìn (1,000+ chữ số)
* Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số)
* Hàng triệu (1,000,000+ chữ số)
* Lớn nhất từng biết

 |
| Số phức | 
* Số nguyên tố Eisenstein
* Số nguyên tố Gauss

 |
| Hợp số | 
* Số giả nguyên tố
* Số gần nguyên tố
* Số nửa nguyên tố
* Giữa các nguyên tố

 |
| Chủ đề liên quan | 
* Số có thể nguyên tố
* Số nguyên tố cấp công nghiệp
* Số nguyên tố bất chính
* Công thức của số nguyên tố
* Khoảng cách nguyên tố

 |
| 50 số nguyên tố đầu | 
* 2
* 3
* 5
* 7
* 11
* 13
* 17
* 19
* 23
* 29
* 31
* 37
* 41
* 43
* 47
* 53
* 59
* 61
* 67
* 71
* 73
* 79
* 83
* 89
* 97
* 101
* 103
* 107
* 109
* 113
* 127
* 131
* 137
* 139
* 149
* 151
* 157
* 163
* 167
* 173
* 179
* 181
* 191
* 193
* 197
* 199
* 211
* 223
* 227
* 229

 |
| Danh sách số nguyên tố |

| * x
* t
* s
Các dãy và chuỗi |
| --- |
| Dãy số nguyên | 

|  |  |
| --- | --- |
| Đơn giản | 
* Cấp số cộng
* Cấp số nhân
* Cấp số điều hòa
* Số chính phương
* Số lập phương
* Giai thừa
* Lũy thừa của 2
* Lũy thừa của 3
* Lũy thừa của 10

 |
| Nâng cao | 
* Complete sequence
* Dãy Fibonacci
* Số hình học
	+ Số đa giác
		- Số lục giác
		- Số ngũ giác
		- Số tam giác
		- Số thất giác
* Số Lucas
* Số Pell

 |

 | Xoắn ốc Fibonacci với kích thước hình vuông lên đến 34. |
| Tính chấtcủa các dãy | 
* Dãy Cauchy
* Hàm số đơn điệu
* Dãy tuần hoàn

 |
| Tính chấtcủa các chuỗi | 
* Chuỗi hội tụ
* Chuỗi phân kỳ
* Hội tụ điều kiện
* Hội tụ đồng nhất
* Hội tụ tuyệt đối
* Chuỗi thay phiên
* Chuỗi lồng nhau

 |
| Các chuỗi cụ thể | 

|  |  |
| --- | --- |
| Hội tụ | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (hàm zeta Riemann)

 |
| Phân kỳ | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Chuỗi Grandi)
* 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (chuỗi điều hòa)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (giai thừa xen kẽ)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (nghịch đảo của các số nguyên tố)

 |

 |
| Các loại chuỗi | 
* Chuỗi Dirichlet
* Chuỗi Fourier
* Chuỗi Laurent
* Chuỗi lũy thừa
	+ Chuỗi lũy thừa thông thường
* Chuỗi lượng giác
* Chuỗi Puiseux
* Chuỗi Taylor
* Chuỗi sinh

 |
| Chuỗi siêu bội | 
* Chuỗi siêu bội của một ma trận
* Chuỗi siêu bội Lauricella
* Chuỗi siêu bội Modular
* Chuỗi siêu bội Theta
* Chuỗi siêu bội tổng quan
* Phương trình vi phân của Riemann

 |
| 
* Thể loại Thể loại

 |