|  |
| --- |
| Giải tích toán học → **Giải tích phức** |
| Giải tích phức |
|  |
| Số phức |
| * Số thực
* Số ảo
* Mặt phẳng phức
* Số phức liên hợp
* Số phức đơn vị
 |
| Hàm số phức |
| * Hàm giải tích
* Hàm chỉnh hình
* Phương trình Cauchy–Riemann
* Chuỗi lũy thừa hình thức
 |
| Lý thuyết cơ bản |
| * Không điểm và cực điểm
* Định lý tích phân Cauchy
* Nguyên hàm địa phương
* Công thức tích phân Cauchy
* Số quấn
* Chuỗi Laurent
* Điểm kỳ dị cô lập
* Định lý thặng dư
* Ánh xạ bảo giác
* Bổ đề Schwarz
* Hàm điều hòa
* Phương trình Laplace
 |
| Nhân vật |
| * Augustin-Louis Cauchy
* Leonhard Euler
* Carl Friedrich Gauss
* Jacques Hadamard
* Bernhard Riemann
* Karl Weierstrass
 |
| * Cổng thông tin Toán học
 |
| * x
* t
* s
 |

Trong toán học, cụ thể hơn là trong giải tích phức, **thặng** **dư** là một số phức tỷ lệ với tích phân đường của hàm phân hình dọc theo một đường cong kín bao quanh một điểm kỳ dị của nó.

Định nghĩa
----------

Thặng dư của hàm phân hình f tại một điểm kỳ dị a, thường được ký hiệu {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)} hoặc {\displaystyle \operatorname {Res} \_{a}(f)}, là

* giá trị {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \_{C}f(z)dz}, với {\displaystyle C} là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị duy nhất a sao cho *winding number* bằng 1.
* cũng là giá trị duy nhất R sao cho {\displaystyle f(z)-R/(z-a)} có một nguyên hàm giải tích trong một đĩa bị thủng {\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }.
* cũng là giá trị hệ số a-1 của khai triển Laurent của hàm f tại điểm a.

Ví dụ
-----

### Thặng dư của một đơn thức

Tính thặng dư của đơn thức qua tích phân

{\displaystyle \oint \_{C}z^{k}dz}
với {\displaystyle C} là đường tròn định hướng dương có bán kính 1. Sử dụng phép đổi biến {\displaystyle z\to e^{i\theta }} ta có

{\displaystyle \oint \_{C}z^{k}dz=\int \_{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{nếu }}k=-1,\\0&{\text{với các trường hợp còn lại}}.\end{cases}}}
Do đó thặng dư của đơn thức {\displaystyle z^{k}} bằng {\displaystyle 1} nếu {\displaystyle k=-1}, và bằng {\displaystyle 0} nếu {\displaystyle k\neq -1}.

### Kỳ dị bỏ được

Nếu hàm *f* có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên toàn bộ đĩa {\displaystyle |y-c|<R} thì Res(*f*, *c*) = 0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm {\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}} có thặng dự tại {\displaystyle 0} bằng {\displaystyle 0}.

### Cực điểm đơn

Tại một cực điểm đơn *c*, thặng dư của hàm *f* thỏa mãn

{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim \_{z\to c}(z-c)f(z).}
### Cực điểm cấp cao

Tổng quát hơn, nếu *c* là một cực cấp *n*, thặng dư của *f* quanh *z* = *c* có thể được tính theo công thức:

{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim \_{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}

Tham khảo
---------

* Ahlfors, Lars (1979). *Complex Analysis*. McGraw Hill.
* Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). *Basic Complex Analysis* (ấn bản 3). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Liên kết ngoài
--------------

* Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), "Residue of an analytic function", *Bách khoa toàn thư Toán học*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Tài liệu trực tuyến, Le Quy Don Technical University,
* Weisstein, Eric W. "Complex Residue" từ MathWorld.