Trong toán học, **Công thức Legendre** là biểu thức tính số mũ của lũy thừa lớn nhất của số nguyên tố *p* mà là ước của  *n*!. Công thức được đặt tên theo nhà toán học Adrien-Marie Legendre. Đôi khi nó cũng được gọi là **công thức de Polignac**, theo tên của Alphonse de Polignac.

Phát biểu
---------

Cho số nguyên tố *p* và bất kỳ số tự nhiên *n*, gọi {\displaystyle \nu \_{p}(n)} là số mũ của lũy thừa lớn nhất *p* mà là ước của *n* (tức là  định giá *p*-adic của *n*). Khi đó

{\displaystyle \nu \_{p}(n!)=\sum \_{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,}
trong đó {\displaystyle \lfloor x\rfloor } là hàm lấy phần nguyên. Mặc dù tổng ở vế phải có vô hạn số phần tử, cho bất kỳ giá trị của *n* và *p*, nó vẫn chỉ có hữu hạn số phần tử khác không, lý do như sau: lấy các giá trị *i* đủ lớn sao cho {\displaystyle p^{i}>n}, ta có {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =0}. Nhờ đó, rút gọn công thức trên thành

{\displaystyle \nu \_{p}(n!)=\sum \_{i=1}^{L}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \,,}
trong đó {\displaystyle L=\lfloor \log \_{p}n\rfloor }.

### Ví dụ

Xét *n* = 6, ta có {\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}. Các số mũ {\displaystyle \nu \_{2}(6!)=4,\nu \_{3}(6!)=2} và {\displaystyle \nu \_{5}(6!)=1} có thể tính bằng công thức Legendre như sau:

{\displaystyle {\begin{aligned}\nu \_{2}(6!)&=\sum \_{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]\nu \_{3}(6!)&=\sum \_{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu \_{5}(6!)&=\sum \_{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}
### Chứng minh

Bởi {\displaystyle n!} là tích của các số nguyên dương từ 1 đến *n*, ta thu được ít nhất một *p* trong {\displaystyle n!} cho mỗi bội của *p* trpng {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}, tổng cộng có {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }. Mỗi bội của {\displaystyle p^{2}} cho thêm một nhân tử *p*, và tương tự như vậy, mỗi bội của {\displaystyle p^{3}} cho thêm một nhân tử *p*, tiếp diễn như vậy cho các lũy thừa sau. Cộng tất cả số này sẽ thu về được công thức tổng vô hạn cho {\displaystyle \nu \_{p}(n!)}.

Dạng khác
---------

Ta cũng có thể viết lại công thức Legendre thành khai triển cơ số *p* của *n*. Gọi {\displaystyle s\_{p}(n)} là tổng các chữ số trong khai triển cơ số *p* của *n* thì

{\displaystyle \nu \_{p}(n!)={\frac {n-s\_{p}(n)}{p-1}}.}
Ví dụ chẳng hạn, *n* = 6 trong hệ nhị phân được viết là 610 = 1102, ta có {\displaystyle s\_{2}(6)=1+1+0=2} nên

{\displaystyle \nu \_{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}
Tương tự, *n* = 6 trong hệ tam phân được viết là 610 = 203, ta có {\displaystyle s\_{3}(6)=2+0=2} nên 

{\displaystyle \nu \_{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}
### Chứng minh

Viết {\displaystyle n=n\_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n\_{1}p+n\_{0}} trong hệ cơ số *p*. Vì {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n\_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n\_{i+1}p+n\_{i}}, và do vậy

{\displaystyle {\begin{aligned}\nu \_{p}(n!)&=\sum \_{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum \_{i=1}^{\ell }\left(n\_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n\_{i+1}p+n\_{i}\right)\\&=\sum \_{i=1}^{\ell }\sum \_{j=i}^{\ell }n\_{j}p^{j-i}\\&=\sum \_{j=1}^{\ell }\sum \_{i=1}^{j}n\_{j}p^{j-i}\\&=\sum \_{j=1}^{\ell }n\_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum \_{j=0}^{\ell }n\_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum \_{j=0}^{\ell }\left(n\_{j}p^{j}-n\_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s\_{p}(n)\right).\end{aligned}}}

Ứng dụng
--------

Công thức Legendre được dùng để chứng minh định lý Kummer. Dưới trường hợp đặc biệt, nó có thể dùng để chứng minh rằng nếu *n* là số nguyên dương thì {\displaystyle {\binom {2n}{n}}} chia hết cho 4 khi và chỉ khi *n* không phải lũy thừa của 2.

Suy ra được từ công thức Legendre rằng hàm mũ *p*-adic có bán kính hội tụ bằng với {\displaystyle p^{-1/(p-1)}}.

Tham khảo
---------

* Legendre, A. M. (1830), *Théorie des Nombres*, Paris: Firmin Didot Frères
* Moll, Victor H. (2012), *Numbers and Functions*, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
* Leonard Eugene Dickson, *History of the Theory of Numbers*, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Liên kết ngoài
--------------

* Weisstein, Eric W. "Factorial" từ MathWorld.