| Toán học |
| --- |
| Các lĩnh vực
* Lý thuyết số
* Hình học
* Đại số
* Vi tích phân và Giải tích
* Toán rời rạc
* Logic và Tập hợp
* Xác suất
* Thống kê và Quyết định
 |
| Mối quan hệ vớicác môn khoa học khác
* Vật lý
* Tính toán
* Sinh học
* Hóa học
* Ngôn ngữ
* Kinh tế
* Triết học
* Giáo dục
 |
| Cổng thông tin |
| * x
* t
* s
 |

Một sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.
**Lý thuyết tập hợp** (tiếng Anh: *set theory*) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.

Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên đề Zermelo–Fraenkel, với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất.

Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa của gần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệm lý thuyết tập hợp được đưa vào nhiều chương trình giảng dạy toán học. Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể được mang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập hợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hội và giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơn như Lực lượng là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinh viên đại học.

Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất (first-order logic), là phương pháp toán học nền tảng thường dùng nhất. Ngoài việc sử dụng nó như một hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợp bản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một cộng đồng nghiên cứu tích cực. Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn.

Lịch sử
-------

Georg Cantor
Các chủ đề về toán học thường xuất hiện và phát triển thông qua sự tương tác giữa các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, lý thuyết tập hợp được tìm thấy năm 1874 bởi Georg Cantor thông qua bài viết: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".

### Thế kỷ 19

Tập hợp như là một thu góp trong tư tưởng các đối tượng có quan hệ nào đó với nhau.  

Cái trống là phần tử của tập hợp  
Cuốn sách không phải là phần tử của tập hợp.
Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor trong những năm 1874 đến năm 1897. Thay cho thuật ngữ "tập hợp", ban đầu ông ta đã sử dụng những từ như "biểu hiện" (inbegriff) hoặc "sự đa dạng" (Mannigfaltigkeit); Về tập hợp và Lý thuyết tập hợp, ông chỉ nói sau đó. Năm 1895, ông đã diễn tả định nghĩa sau:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| Qua một "tập hợp", chúng ta hiểu là bất kỳ một tổng hợp M của một số vật thể m khác nhau được xác định rõ ràng trong quan điểm hoặc suy nghĩ của chúng ta (được gọi là "các phần tử" của M) thành một tổng thể. | "|

Cantor phân loại các tập hợp, đặc biệt là những tập hợp vô hạn, theo Lực lượng của chúng. Đối với tập hợp hữu hạn, đây là số lượng các phần tử của chúng. Ông gọi hai tập hợp "có lực lượng bằng nhau" khi chúng được ánh xạ song ánh với nhau, tức là khi có một mối quan hệ một-một giữa các phần tử của chúng. Cái được định nghĩa là sự đồng nhất lực lượng là một quan hệ tương đương, và một lực lượng hay số phần tử của một tập hợp M theo Cantor, là lớp tương đương của các tập hợp có lực lượng bằng M. Ông là người đầu tiên quan sát thấy rằng có những lực lượng vô hạn khác nhau. Tập hợp các số tự nhiên, và tất cả các tập hợp có lực lượng bằng nó, được Cantor gọi là '*Tập hợp đếm được*, tất cả các tập hợp vô hạn khác được gọi là *tập hợp không đếm được*.

Các kết quả quan trọng từ Cantor
* Tập hợp của số tự nhiên, số hữu tỉ (lập luận chéo đầu tiên của Cantor) và số đại số là đếm được và có lực lượng bằng nhau.
* Tập hợp số thực có lực lượng lớn hơn so với các số tự nhiên, đó là không đếm được (luận chéo thứ hai của Cantor).
* Tập hợp của tất cả các tập hợp con của một tập hợp  *M*  luôn luôn có lực lượng lớn hơn là  *M* , mà còn được gọi là định lý Cantor.
* Từ bất kỳ hai tập hợp có ít nhất một tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp con của tập hợp kia.
* Có rất nhiều lực lượng của tập hợp không đếm được.

Cantor gọi  *Giả thiết continuum*  là "có một lực lượng ở giữa tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số thực "Ông đã cố gắng để giải quyết, nhưng không thành công. Sau đó nó bật ra rằng vấn đề này trên nguyên tắc không quyết định được.

Ngoài Cantor, Richard Dedekind là một nhà tiên phong quan trọng của lý thuyết về lý thuyết tập hợp. Ông đã nói về các "hệ thống" thay vì tập hợp và phát triển một cấu trúc lý thuyết tập hợp của các con số thực vào năm 1872, một số lượng lý thuyết xây dựng số thực [2] và 1888 nói về tiên đề hóa lý thuyết tập hợp các con số tự nhiên. Ông là người đầu tiên tạo ra công thức tiên đề Axiom of extensionality của lý thuyết tập hợp.

Ngay từ năm 1889, Giuseppe Peano, người đã miêu tả tập hợp là các tầng lớp, đã tạo ra cách tính toán bằng công thức logic các tầng lớp đầu tiên làm cơ sở cho số học của ông với các tiên đề Peano, mà ông đã mô tả lần đầu tiên trong một ngôn ngữ lý thuyết tập hợp chính xác. Do đó ông đã phát triển cơ sở cho ngông ngữ công thức ngày nay của lý thuyết tập hợp và giới thiệu nhiều biểu tượng được phổ biến ngày nay, đặc biệt là ký hiệu phần tử \in , được đọc là là "phần tử của". Trong khi đó \in  là chữ viết thường của ε (epsilon) của từ ἐστί (tiếng Hy Lạp: "là").

Gottlob Frege đã cố gắng đưa ra một lý giải lý thuyết tập hợp khác của lý thuyết về số học vào năm 1893. Bertrand Russell đã phát hiện ra mâu thuẫn của nó vào năm 1902, được biết đến như là Nghịch lý Russell. Sự mâu thuẫn này và các mâu thuẫn khác nảy sinh do sự thiết lập tập hợp không hạn chế, đó là lý do tại sao dạng thức ban đầu của lý thuyết tập hợp sau này được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ. Tuy nhiên, định nghĩa của Cantor không có ý muốn nói tới một lý thuyết tập hợp ngây thơ như vậy, như chứng minh của ông về loại tất cả là Nichtmenge cho thấy bởi nghịch lý Cantor thứ hai [6].

Học thuyết của Cantor về lý thuyết tập hợp hầu như không được công nhận bởi những người đương thời về vai trò quan trọng của nó, và không được coi là bước tiến cách mạng, mà đã bị một số các nhà toán học như Leopold Kronecker không chấp nhận. Thậm chí nhiều hơn, nó còn bị mang tiếng khi các nghịch lý được biết tới, ví dụ như Henri Poincaré, chế diễu, "Logic không còn hoàn toàn, bây giờ nó tạo ra những mâu thuẫn."

### Thế kỷ 20

Trong thế kỷ XX, những ý tưởng của Cantor tiếp tục chiếm ưu thế; đồng thời, trong Logic toán, một lý thuyết Axiomatic Quantum đã được thiết lập, qua đó có thể vượt qua các mâu thuẫn hiện thời.

Năm 1903/1908 Bertrand Russell phát triển Type theory của mình, trong đó tập hợp luôn luôn có một kiểu cao hơn các phần tử của chúng, do đó sự hình thành các tập hợp có vấn đề sẽ không thể xảy ra. Ông chỉ ra cách đầu tiên ra khỏi những mâu thuẫn và cho thấy trong "Principia Mathematica" của 1910-1913 cũng là một phần hiệu quả của Type theory ứng dụng. Cuối cùng, tuy nhiên, nó chứng tỏ là không thích hợp với lý thuyết tập hợp của Cantor và cũng không thể vượt qua được sự phức tạp của nó.

Tiên đề lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công hơn, trong đó schema of replacement của ông là cần thiết để bổ sung vào. Zermelo thêm nó vào hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng có thể là phần tử của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là "đối tượng của quan điểm của chúng tôi." Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng hoàn toàn là các tập hợp.

Tuy nhiên, nhiều nhà toán học thay vì theo một tiên đề hợp lý lại chọn một lý thuyết tập hợp thực dụng, tránh tập hợp có vấn đề, chẳng hạn như những áp dụng của Felix Hausdorff 1914 hoặc Erich Kamke từ năm 1928. Dần dần các nhà toán học ý thức hơn rằng lý thuyết tập hợp là một cơ bản không thể thiếu cho cấu trúc toán học. Hệ thống ZF chứng minh được trong thực hành, vì vậy ngày nay nó được đa số các nhà toán học công nhận là cơ sở của toán học hiện đại; không còn có mâu thuẫn có thể bắt nguồn từ hệ thống ZF. Tuy nhiên, sự không mâu thuẫn chỉ có thể được chứng minh cho lý thuyết tập hợp với tập hợp hữu hạn, chứ không phải cho toàn bộ hệ thống ZF, mà chứa lý thuyết tập hợp của Cantor với tập hợp vô hạn. Theo Gödel's incompleteness theorems năm 1931 một chứng minh về tính nhất quán về nguyên tắc là không thể được. Những khám phá Gödel chỉ là chương trình của Hilbert để cung cấp toán học và lý thuyết tập hợp vào một cơ sở tiên đề không mâu thuẫn được chứng minh, một giới hạn, nhưng không cản trở sự thành công của lý thuyết trong bất kỳ cách nào, vì vậy mà một khủng hoảng nền tảng của toán học, mà những người ủng hộ của Intuitionismus, trong thực tế không được cảm thấy.

Tuy nhiên, sự công nhận cuối cùng của lý thuyết tập hợp ZF trong thực tế trì hoãn trong một thời gian dài. Nhóm toán học với bút danh Nicolas Bourbaki đã đóng góp đáng kể cho sự công nhận này; họ muốn mô tả mới toán học đồng nhất dựa trên lý thuyết tập hợp và biến đổi nó vào năm 1939 tại các lãnh vực toán học chính thành công. Trong những năm 1960, nó trở nên phổ biến rộng rãi rằng, lý thuyết tập hợp ZF thích hợp là cơ sở cho toán học. Đã có một khoảng thời gian tạm thời trong đó lý thuyết số lượng đã được dạy ở tiểu học.

Song song với câu chuyện thành công của thuyết tập hợp, tuy nhiên, việc thảo luận về các tiên đề tập hợp vẫn còn lưu hành trong thế giới chuyên nghiệp. Nó cũng hình thành những lý thuyết tập hợp tiên đề thay thế khoảng năm 1937 mà không hướng theo Cantor và Zermelo-Fraenkel, nhưng dựa trên Lý thuyết kiểu (Type Theory) của Willard Van Orman Quine từ New Foundations (NF) của ông ta, năm 1940 lý thuyết tập hợp Neumann-Bernays-Godel, mà khái quát hóa ZF về các lớp, hay năm 1955, lý thuyết tập hợp Ackermann, khai triển mới định nghĩa tập hợp của Cantor.

Khái niệm và ký hiệu cơ bản
---------------------------

Lý thuyết tập hợp bắt đầu với một quan hệ nhị phân cơ bản giữa một phần tử o và một tập hợp A. Nếu o là một thành viên (hoặc phần tử) của A, ký hiệu o ∈ A được sử dụng. Khi đó ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A. Vì các tập cũng là các đối tượng, quan hệ phần tử cũng có thể liên quan đến các tập.

### Quan hệ giữa các tập hợp

#### Quan hệ bao hàm

Nếu tất cả các thành viên của tập   *A*  cũng là thành viên của tập   *B* , thì   *A*  là một  *Tập hợp con của*  B *, được biểu thị {\displaystyle A\subseteq B}, và tập hợp B bao hàm tập hợp A. Ví dụ,  {1, 2} là một tập hợp con của  {1, 2, 3}, và  {2} cũng vậy, nhưng  { 1, 4} thì không.*

#### Quan hệ bằng nhau

* Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các **tập con tầm thường** của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là **tập con thực sự** hay **tập con chân chính** của tập A.

Chú ý rằng 1 và 2 và 3 là các phần tử của tập  {1, 2, 3} nhưng không phải là tập con, các tập con chẳng hạn như {1} không phải là phần tử của tập {1, 2, 3}.

### Các phép toán trên các tập hợp

* Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A \cup  B

Ta có A \cup  B = {x: x \in  A hoặc x \in  B}, hợp của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập {1, 2, 3, 4}.

* Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A \cap  B

Ta có A \cap  B = {x: x \in  A và x \in  B}, giao của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập { 2, 3}.

* Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A\setminus B

Ta có: A \ B = {x: x \in  A và x \notin  B}
Lưu ý, A \ B \neq  B \ A

* Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A\subset B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu *C*AB (hay CB A)

Ghi chú
-------

1. ↑  Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", *Journal für die reine und angewandte Mathematik*, **77**: 258–262
2. ↑  Johnson, Philip (1972), *A History of Set Theory*, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
3. ↑  Richard Dedekind: *Stetigkeit und irrationale Zahlen.* Braunschweig 1872.
4. ↑  Richard Dedekind: *Was sind und was sollen die Zahlen?* Braunschweig 1888.
5. ↑  Giuseppe Peano: *Arithmetices Principia nova methodo exposita.* Turin 1889.
6. ↑  Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: „Mengen – Relationen – Funktionen" (3.Auflage, 2007), ISBN 978-3-8351-0162-3.
7. ↑  Brief von Cantor an Dedekind vom 31. August 1899, in: Georg Cantor: *Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts*. ed. E. Zermelo, Berlin 1932, S. 448.

Liên kết ngoài
--------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikibooks tiếng Anh có chủ đề về
***Set Theory*** |

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikibooks tiếng Anh có chủ đề về
***Discrete mathematics/Set theory*** |

* Foreman, M. Akihiro Kanamori, eds. *Handbook of Set Theory.* 3 vols. to appear in December 2009. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).

Đọc thêm
--------

* Keith Devlin, 1993. *The Joy of Sets* (2nd ed.). Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
* Ferreirós, Jose, 2007 (1999). *Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics*. Basel, Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7
* Johnson, Philip, 1972. *A History of Set Theory*. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6
* Kenneth Kunen, 1980. *Set Theory:An Introduction to Independence Proofs*. North-Holland, ISBN 0-444-85401-0.
* Potter, Michael, 2004. *Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction*. Oxford University Press.
* Tiles, Mary, 2004 (1989). *The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise*. Dover Publications.

|  |  |
| --- | --- |
| Tiêu đề chuẩn Sửa dữ liệu tại Wikidata | 
* BNE: XX4576377
* BNF: cb133185505 (data)
* GND: 4074715-3
* LCCN: sh85120387
* LNB: 000074139
* NDL: 00572365
* NKC: ph126563

 |

| * x
* t
* s
Vô tận (∞) |
| --- |
| Lịch sử | 
* Lập luận đường chéo của Cantor

 |  |
| Các nhánh của toán học | 
* Internal set theory
* Giải tích không chuẩn mực (non standard analysis
* Lý thuyết tập hợp
* Synthetic differential geometry

 |
| Sự hình thành của vô hạn | 
* Số đếm
* Hyperreal number
* Infinity + 1
* Số thứ tự
* Surreal number
* Số vô hạn
* Vô cùng bé
* Vô hạn Tuyệt đối

 |
| Nhà toán học | 
* Georg Cantor
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Abraham Robinson

 |

| * x
* t
* s
Lý thuyết tập hợp |
| --- |
| Tiên đề | 
* Tiên đề cặp
* Tiên đề chính tắc
* Tiên đề chọn
	+ đếm được
	+ phụ thuộc
	+ toàn cục
* Tiên đề giới hạn kích thước
* Tiên đề hợp
* Tiên đề mở rộng
* Tiên đề nối
* Tiên đề tập lũy thừa
* Tiên đề tính dựng được
* Tiên đề vô hạn
* Tiên đề Martin

* Sơ đồ tiên đề
	+ thay thế
	+ tuyển lựa

 | Biểu đồ Venn hai tập hợp giao nhau |
| Phép toán | 
* Tích Descartes
* Phần bù
* Luật De Morgan
* Phép giao
* Tập lũy thừa
* Phép hợp
* Liên hiệp rời rạc
* Hiệu đối xứng

 |
| * Khái niệm
* Phương pháp
 | 
* Lực lượng
* Số đếm (lớn)
* Lớp (lý thuyết tập hợp)
* Vũ trụ kiến thiết
* Giả thiết continuum
* Lập luận đường chéo
* Phần tử (cặp được sắp, bộ)
* Họ
* Ép
* Song ánh
* Số thứ tự
* Quy nạp siêu hạn
* Sơ đồ Venn

 |
| Các dạng tập hợp | 
* Đếm được
* Rỗng
* Hữu hạn (di truyền)
* Mờ
* Vô hạn
	+ vô hạn Dedekind
* Tính được
* Tập con ⋅ Tập chứa
* Đơn điểm
* Bắc cầu
* Không đếm được
* Tập hợp phổ dụng

 |
| Lý thuyết | 
* Lý thuyết tập hợp thay thế
* Lý thuyết tập hợp tiên đề
* Lý thuyết tập hợp ngây thơ
* Định lý Cantor

* Zermelo
	+ Tổng quát
* *Principia Mathematica*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * Nghịch lý
* Vấn đề
 | 
* Nghịch lý Russell
* Bài toán Suslin
* Nghịch lý Burali-Forti

 |
| Nhà lý thuyết tập hợp | 
* Abraham Fraenkel
* Bertrand Russell
* Ernst Zermelo
* Georg Cantor
* John von Neumann
* Kurt Gödel
* Paul Bernays
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Thomas Jech
* Thoralf Skolem
* Willard Quine

 |
| Thể loại |

| * x
* t
* s
Toán học |
| --- |
| 
* Lịch sử
	+ Dòng thời gian
	+ Tương lai
* Đại cương
* Danh sách
* Ký hiệu

 |
| Nền tảng | 
* Logic toán
* Lý thuyết hình thái
* Lý thuyết phạm trù
* Lý thuyết tập hợp
* Lý thuyết thông tin
* Triết học toán học

 |  |
| Đại số | 
* Đa tuyến tính
* Đồng điều
* Giao hoán
* Lý thuyết nhóm
* Phổ dụng
* Sơ cấp
* Trừu tượng
* Tuyến tính

 |
| Giải tích | 
* Giải tích điều hòa
* Giải tích hàm
* Giải tích phức
* Giải tích thực
* Lý thuyết độ đo
* Phương trình vi phân
* Vi tích phân

 |
| Rời rạc | 
* Lý thuyết đồ thị
* Lý thuyết thứ tự
* Tổ hợp

 |
| Hình học | 
* Đại số
* Euclid
* Giải tích
* Hữu hạn
* Rời rạc
* Số học
* Vi phân

 |
| Lý thuyết số | 
* Số học
* Đại số
* Giải tích
* Hình học Diophantos

 |
| Tô pô | 
* Đại số
* Hình học
* Đại cương
* Vi phân
* Lý thuyết đồng luân

 |
| Ứng dụng | 
* Hóa học
* Kinh tế
* Lý thuyết điều khiển tự động
* Lý thuyết trò chơi
* Sinh học
* Tài chính
* Tâm lý
* Thống kê toán học
* Xác suất
* Thống kê
* Vật lý

 |
| Tính toán | 
* Khoa học máy tính
* Lý thuyết tính toán
* Lý thuyết độ phức tạp tính toán
* Đại số máy tính
* Giải tích số
* Tối ưu hóa

 |
| Liên quan | 
* Toán học giải trí
* Toán học và nghệ thuật
* Giáo dục toán học

 |
| Thể loại **Thể loại** **·** Cổng thông tin **Chủ đề** **·** Trang Commons**Commons** **·** Dự án Wiki**Dự án** |

| * x
* t
* s
Logic |
| --- |
| 
* Tổng quan
* Lịch sử

 |
| Lĩnh vực | 
* Khoa học máy tính
* Suy luận
* Triết học logic
* Bằng chứng
* Ngữ nghĩa học
* Cú pháp

|  |  |
| --- | --- |
| Các loại logic | 
* Cổ điển
* Thông thường
	+ Tư duy phản biện
	+ Lý trí
* Toán
* Phi cổ điển
* Triết học

 |
| Lý thuyết | 
* Metalogic
* Metamathematics
* Tập hợp

 |

 |
| Căn cứ | 
* Bẳt chước
* Mâu thuẫn
	+ Nghịch lý
* Suy diễn logic
* Định nghĩa
* Miêu tả
* Hình thức
* Quy nạp
* Sự thật logic
* Tên gọi
* Tiền đề
* Xác suất
* Tham khảo
* Khẳng định
* Thay thế
* Chân lý
* Hợp lý

 |
| Danh sách | 

|  |  |
| --- | --- |
| chủ đề | 
* Logic toán
* Đại số Boole
* Lý thuyết tập hợp

 |
| khác | 
* Nhà logic học
* Quy tắc suy luận
* Nghịch lý
* Ngụy biện
* Biểu tượng logic

 |

 |
| 
* Cổng thông tin Triết học
* Thể loại

 |

| * x
* t
* s
Những lĩnh vực chính của khoa học máy tính |
| --- |
| Các nền tảng toán học | Logic toán học **·**  Lý thuyết tập hợp **·**  Lý thuyết số **·**  Lý thuyết đồ thị **·**  Lý thuyết kiểu **·**  Lý thuyết thể loại **·**  Giải tích số **·**  Lý thuyết thông tin **·**  Đại số **·**  Nhận dạng mẫu **·**  Nhận dạng tiếng nói **·**  Toán học tổ hợp **·**  Đại số Boole **·**  Toán rời rạc |
| Lý thuyết phép tính | Độ phức tạp Kolmogorov **·**  Lý thuyết Automat **·**  Lý thuyết tính được **·**  Lý thuyết độ phức tạp tính toán **·**  Lý thuyết điện toán lượng tử |
| Các cấu trúc dữ liệu và các giải thuật | Phân tích giải thuật **·**  Thiết kế giải thuật **·**  Hình học tính toán **·**  Tối ưu hóa tổ hợp |
| Các ngôn ngữ lập trình và Các trình biên dịch | Các bộ phân tích cú pháp **·**  Các trình thông dịch **·**  Lập trình cấu trúc **·**  Lập trình thủ tục **·**  Lập trình hướng đối tượng **·**  Lập trình hướng khía cạnh **·**  Lập trình hàm **·**  Lập trình logic **·**  Lập trình máy tính **·**  Lập trình mệnh lệnh **·**  Lập trình song song **·**  Lập trình tương tranh **·**  Các mô hình lập trình **·**  Prolog **·**  Tối ưu hóa trình biên dịch |
| Tính song hành, Song song, và các hệ thống phân tán | Đa xử lý **·**  Điện toán lưới **·**  Kiểm soát song hành **·**  Hiệu năng hệ thống **·**  Tính toán phân tán |
| Công nghệ phần mềm | Phân tích yêu cầu **·**  Thiết kế phần mềm **·**  Các phương pháp hình thức **·**  Kiểm thử phần mềm **·**  Quy trình phát triển phần mềm **·**  Các phép đo phần mềm **·**  Đặc tả chương trình **·**  LISP **·**  Mẫu thiết kế **·**  Tối ưu hóa phần mềm |
| Kiến trúc hệ thống | Kiến trúc máy tính **·**  Tổ chức máy tính **·**  Các hệ điều hành **·**  Các cấu trúc điều khiển **·**  Cấu trúc bộ nhớ lưu trữ **·**  Vi mạch **·**  Thiết kế ASIC **·**  Vi lập trình **·**  Vào/ra dữ liệu **·**  VLSI design **·**  Xử lý tín hiệu số |
| Viễn thông và Mạng máy tính | Audio máy tính **·**  Chọn tuyến **·**  Cấu trúc liên kết mạng **·**  Mật mã học |
| Các cơ sở dữ liệu và Các hệ thống thông tin | Hệ quản trị cơ sở dữ liệu **·**  Cơ sở dữ liệu quan hệ **·**  SQL **·**  Các giao dịch **·**  Các chỉ số cơ sở dữ liệu **·**  Khai phá dữ liệu **·**  Biểu diễn và giao diện thông tin **·**  Các hệ thống thông tin **·**  Khôi phục dữ liệu **·**  Lưu trữ thông tin **·**  Lý thuyết thông tin **·**  Mã hóa dữ liệu **·**  Nén dữ liệu **·**  Thu thập thông tin |
| Trí tuệ nhân tạo | Lập luận tự động **·**  Ngôn ngữ học tính toán **·**  Thị giác máy tính **·**  Tính toán tiến hóa **·**  Các hệ chuyên gia  **·**  Học máy **·**  Xử lý ngôn ngữ tự nhiên **·**  Robot học |
| Đồ họa máy tính | Trực quan hóa **·**  Hoạt họa máy tính **·**  Xử lý ảnh |
| Giao diện người-máy tính | Khả năng truy cập máy tính **·**  Giao diện người dùng **·**  Điện toán mang được **·**  Điện toán khắp mọi nơi **·**  Thực tế ảo |
| Khoa học tính toán | Cuộc sống nhân tạo **·**  Tin sinh học **·**  Khoa học nhận thức **·**  Hóa học tính toán **·**  Khoa học thần kinh tính toán **·**  Vật Lý học tính toán **·**  Các giải thuật số **·**  Toán học kí hiệu |
| Chú ý: khoa học máy tính còn có thể được chia thành nhiều chủ đề hay nhiều lĩnh vực khác dựa theo Hệ thống xếp loại điện toán ACM. |