| Cấu trúc đại số |
| --- |
| Giống với Nhóm
* Nhóm
* Nửa nhóm
* Tựa nhóm và vòng
* Monoid
* Groupoid
* Magma
* Rack và quandle

* Nhóm Abel
* Nhóm Lie

*Lý thuyết nhóm* |
| Giống với Vành
* Vành
* Nửa vành
* Gần-vành
* Vành giao hoán
* Miền
* Miền nguyên
* Trường
* Vành chia

*Lý thuyết vành* |
| Giống với Dàn
* Dàn
* Nửa dàn
* Dàn bù
* Thứ tự toàn phần
* Đại số Heyting

* Đại số Boole
* Ánh xạ dàn
* *Lý thuyết dàn*
 |
| Giống với Mô đun
* Mô đun
* Nhóm toán tử
* Không gian vectơ

* *Đại số tuyến tính*
 |
| Giống với Đại số
* Đại số trên một trường

* Đại số kết hợp
* Đại số không kết hợp
* Đại số Lie
* Vành phân bậc
* Bialgebra

 |
| * x
* t
* s
 |

Trong đại số trừu tượng, một **magma** là một dạng cấu trúc đại số cơ bản. Cụ thể, một magma bao gồm một tập hợp cùng với một phép toán hai ngôi có tính đóng. Không có tính chất nào khác được yêu cầu.

Trong lịch sử, magma cũng được gọi là groupoid (không nên nhầm lẫn với **groupoid** trong lý thuyết phạm trù).

Lịch sử
-------

Khái niệm *groupoid* (phỏng nhóm) được đề xuất năm 1927 bởi Heinrich Brandt (dịch từ tiếng Đức *Gruppoid*). Cụm từ này sau đó được dùng bởi B. A. Hausmann và Øystein Ore (1937) với ý nghĩa được dùng trong bài này (một tập hợp với một phép toán hai ngôi đóng). Trong một vài bài phê bình những bài luận trong Zentralblatt, Brandt không đồng ý với cách sử dụng thuật ngữ này. Phỏng nhóm Brandt là một phỏng nhóm theo nghĩa thường dùng trong lý thuyết phạm trù, không phải theo nghĩa dùng bởi Hausmann and Ore. Tuy nhiên, những quyển sách quan trọng trong lý thuyết nhóm, bao gồm Clifford và Preston (1961) và Howie (1995), dùng phỏng nhóm theo nghĩa của Hausmann và Ore. Hollings (2014) viết rằng từ *groupoid* "có lẽ thường được dùng trong toán học" theo nghĩa từ lý thuyết phạm trù.

Theo Bergman và Hausknecht (1996): "Không có một tên quy ước nào cho một tập hợp với một phép toán hai ngôi không nhất thiết kết hợp. Từ *groupoid* được dùng bởi nhiều nhà đại số phổ dụng, nhưng những người làm việc với lý thuyết phạm trù và những ngành liên quan phản đối các dùng này vì họ dùng từ đó để chỉ 'phạm trù mà mọi mũi tên đều nghịch đảo được'. Tên gọi *magma* được dùng bởi Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]." Nó cũng xuất hiện trong *Éléments de mathématique*, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970 của Nicolas Bourbaki.

Định nghĩa
----------

Một magma là một tập hợp M cùng với một phép toán, ⋅, biến hai phần tử *a*, *b* ∈ *M* thành một phần tử khác *a* ⋅ *b*. Để được gọi là magma, tập hợp và phép toán (*M*, ⋅) phải thỏa mãn điều kiện sau (còn gọi là *tiên đề magma* hay *tiên đề đóng*):

Với mọi *a*, *b* thuộc *M*, kết quả của phép toán *a* ⋅ *b* cũng thuộc *M*.
Và trong ký hiệu toán học:

*a*, *b* ∈ *M* ⟹ *a* ⋅ *b* ∈ *M*.
Nếu ⋅ là một phép toán riêng phần thì *M* là một *magma riêng phần* hoặc thông dụng hơn là một phỏng nhóm riêng phần.

Cấu xạ magma
------------

Một cấu xạ của magma là một hàm số, *f* : *M* → *N*, đi từ magma M đến magma N, và giữ nguyên phép toán hai ngôi:

*f* (*x* ⋅*M* *y*) = *f*(*x*) ⋅*N* *f*(*y*)
trong đó ⋅*M* và ⋅*N* lần lượt là phép toán hai ngôi trên M và N.

Ký hiệu và tổ hợp
-----------------

Phép toán của magma có thể áp dụng liên tục, và thông thường dưới trường hợp không có tính kết hợp, do thứ tự cần phải được để ý, được ký hiệu bằng các dấu ngoặc. Đồng thời, phép toán •, thường không cần ký hiệu mà viết gọn lại bằng cách viết kề nhau là:

(*a* • (*b* • *c*)) • *d* = (*a*(*bc*))*d*
Cách viết như vậy thường được sử dụng để giảm bớt số dấu ngoặc, trong đó các phép toán bên trong và các cặp dấu ngoặc bị bỏ, thay bởi cách viết liền kề, *xy* • *z* = (*x* • *y*) • *z*. Ví dụ chẳng hạn, ví dụ ban đầu có thể viết tắt dưới dạng sau, vẫn chứa dấu ngoặc:

(*a* • *bc*)*d*.
Một cách để tránh hoàn toàn việc dùng dấu ngoặc là ký pháp tiền tố, trong đó cùng một biểu thức có thể viết ••*a*•*bcd*. Cách khác quen thuộc hơn với các lập trình viên là ký pháp hậu tố, trong đó cùng một biểu thức có thể viết thành *abc*••*d*•, với phép thực hiện từ trái qua phải.

Tập của mọi xâu chỉ bao gồm ký hiệu biểu diễn các phần tử trong magma, và tập các cấu ngoặc cân bằng được gọi là ngôn ngữ Dyck. Tổng số cách viết *n* phép áp dụng toán tử của magma được tính bằng số Catalan, *Cn*. Do đó, ví dụ, *C*2 = 2, được hiểu là (*ab*)*c* và *a*(*bc*) là hai cách duy nhất ghép cặp ba phần tử của magma với hai phép tính. Khó thấy hơn, *C*3 = 5: ((*ab*)*c*)*d*, (*a*(*bc*))*d*, (*ab*)(*cd*), *a*((*bc*)*d*), và *a*(*b*(*cd*)).

Có tất cả *n**n*2 magma với *n* phần tử nên ta có dãy số 1, 1, 16, 19683, 4294967296,... (dãy số A002489 trong bảng OEIS) tương ứng với số magma có 0, 1, 2, 3, 4,... phần tử. Số các magma không đẳng cấu cùng nhau tương ứng là dãy 1, 1, 10, 3330, 178981952,... (dãy số A001329 trong bảng OEIS)

Magma tự do
-----------

Một **magma** tự do *MX* trên tập *X* là magma "tổng quát nhất có thể" sinh bởi *X* (tức là không có quan hệ hay tiên đề ràng buộc gì trên các phần tử sinh, xem đối tượng tự do). Phép toán hai ngôi trên *MX* được hình thành bằng việc nhóm hai toán hạng trong dấu ngoặc rồi nhân chúng theo đúng thứ tự. Để lấy ví dụ:

*a* • *b* = (*a*)(*b*),
*a* • (*a* • *b*) = (*a*)((*a*)(*b*)),
(*a* • *a*) • *b* = ((*a*)(*a*))(*b*).
*MX* có thể được mô tả là tập các word không có tính kết hợp trên *X* khi giữ dấu ngoặc.

Ta cũng có thể xem định nghĩa dưới ngôn ngữ của khoa học máy tính, là magma của các cây nhị phân với các nút là được dán nhãn bởi phần tử thuộc *X*, trong đó phép toán là phép hợp nút rễ. Do đó magma tự do đóng vai trò quan trọng trong ngữ pháp.

Một magma tự do có tính chất phổ quát như sau: Nếu *f* : *X* → *N* là ánh xạ từ tập *X* đến bất cứ magma *N* nào, thì ta có một mở rộng độc nhất từ *f* thành cấu xạ magma *f* ′

*f* ′ : *MX* → *N*.
Xem thêm: Nửa nhóm tự do, Nhóm tự do, Tập Hall, và Số Wedderburn–Etherington

Các dạng magma
--------------

Các cấu trúc đại số giữa magma và nhóm
Magma thường không phải chủ đề nghiên cứu, thay vì đó chúng ta có nhiều dạng magma, mỗi dạng có các tiên đề mà phụ thuộc vào đó phép toán phải thỏa mãn, các dạng magma thường được nghiên cứu là:

* **Tựa nhóm**: Một **magma** mà phép chia bao giờ cũng thực hiện được.
	+ **Vòng**: Là **tựa nhóm** đi kèm theo phần tử đơn vị.
* **Nửa nhóm**: **Magma** với phép toán có tính kết hợp.
	+ **Monoid**: **Nửa nhóm** có phần tử đơn vị.
* **Nửa nhóm khả nghịch**: **Nửa nhóm** với tính chất khả nghịch của mỗi phần tử. (Đồng thời là **tựa nhóm** với phép toán có tính kết hợp)
* **Nhóm**: Là **Magma** có tính nghịch đảo, kết hợp và một phần tử đơn vị.

Lưu ý rằng phép chia và nghịch đảo đều cho tính khử.

Magma có tính giao hoán
* **Magma giao hoán**: Magma có tính giao hoán.
* **Nửa dàn**: **Monoid** có tính giao hoán.
* **Nhóm abel**: **Nhóm** kèm theo giao hoán.

Xem thêm
--------

* Groupoid
* Magma giao hoán
* Nhóm
* Nửa nhóm (Semigroup)
* Phép toán hai ngôi
* Trường
* Tựa nhóm (Quasigroup)
* Vị nhóm (Monoid)
* Vành
* Vòng (Loop)

Tham khảo
---------

1. ↑  Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (tháng 10 năm 1937), "Theory of quasi-groups", *American Journal of Mathematics*, **59** (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
2. ↑  Hollings, Christopher (2014), *Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups*, American Mathematical Society, tr. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
3. ↑  Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), *Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings*, American Mathematical Society, tr. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
4. ↑  Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", *Algebra I: Chapters 1–3*, Springer, tr. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
5. 1 2  Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim biên tập (2012), *Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift*, Springer, tr. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
6. ↑  Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", trong Silver, Ben (biên tập), *Nineteen Papers on Algebraic Semigroups*, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1
7. ↑  Weisstein, Eric W. "Groupoid", *MathWorld*.
8. ↑  Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", *Graduate Algebra: Noncommutative View*, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, tr. 321, ISBN 0-8218-8408-5.

* M. Hazewinkel (2001), "Magma", trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), *Bách khoa toàn thư Toán học*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* M. Hazewinkel (2001), "Groupoid", trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), *Bách khoa toàn thư Toán học*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* M. Hazewinkel (2001), "Free magma", trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), *Bách khoa toàn thư Toán học*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W. "Groupoid", *MathWorld*.

Đọc thêm
--------

* Bruck, Richard Hubert (1971), *A survey of binary systems* (ấn bản 3), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3