Bài này viết về bất đẳng thức trong phép nhân vectơ. Đối với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, xem Bất đẳng thức Cauchy.
Trong toán học, **bất đẳng thức Cauchy – Schwarz**, còn được gọi là **bất đẳng thức Schwarz**, **bất đẳng thức Cauchy**, hoặc bằng cái tên khá dài là **bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz** hay **bất đẳng thức CBS**, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu *x* và *y* là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi *x* và *y* phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của *x* và *y* là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng 0.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian định chuẩn

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi Schwarz vào năm 1888.

Chứng minh
----------

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với *y* = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, *y*> khác 0. Giả sử {\displaystyle \lambda } là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

{\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle -{\bar {\lambda }}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}
Chọn

{\displaystyle \lambda =\langle y,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}
chúng ta được

{\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }
hay tương đương:

{\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.} (điều phải chứng minh)

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
-------------------------------------

* Trong trường hợp không gian Euclide **R***n*, bất đẳng thức này trở thành

{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}\right)\left(\sum \_{i=1}^{n}y\_{i}^{2}\right)}. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: {\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều *n* = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:
{\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}.}
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

* Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

{\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel
{\displaystyle {\frac {(a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n-1}+a\_{n})^{2}}{b\_{1}+b\_{2}+..+b\_{n-1}+b\_{n}}}\leq {\frac {a\_{1}^{2}}{b\_{1}}}+{\frac {a\_{2}^{2}}{b\_{2}}}+...+{\frac {a\_{n-1}^{2}}{b\_{n-1}}}+{\frac {a\_{n}^{2}}{b\_{n}}}}

Một vài ứng dụng
----------------

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector *x* và *y*,

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \|x+y\|^{2}} | {\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle } |
|  | {\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|} |
|  | {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}} |
|  | {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}} |
|  | {\displaystyle \leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}} |

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

Một số dạng cơ bản
------------------

### Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường

* (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
* Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0
* Dấu "= "xảy ra khi {\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} hay {\displaystyle {a \over b}={c \over d}}

Để dễ dàng chứng minh ta thường đưa về dạng hai vecto có tọa độ trong mặt phẳng Oxy rồi áp dụng công thức như trên.

### Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

* Với hai bộ số {\displaystyle (a\_{1};a\_{2};...;a\_{n})} và {\textstyle (b\_{1};b\_{2};...;b\_{n})} ta có:

{\displaystyle \left(a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+...+a\_{n}^{2}\right)\left(b\_{1}^{2}+b\_{2}^{2}+...+b\_{n}^{2}\right)\geq \left(a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+...+a\_{n}b\_{n}\right)^{2}}

* Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi {\displaystyle {\frac {a\_{1}}{b\_{1}}}={\frac {a\_{2}}{b\_{2}}}=...={\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}} với quy ước nếu một số {\displaystyle b\_{i}} nào đó (i = 1, 2, 3,... n) bằng 0 thì {\displaystyle a\_{i}} tương ứng bằng 0.

Tham khảo
---------