Các **tập mờ** hay **tập hợp mờ** (tiếng Anh: *Fuzzy set*) là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển và được dùng trong lôgic mờ. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng — một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp; quan hệ này được mô tả bằng một hàm liên thuộc (*membership function*) {\displaystyle \mu \ \to [0,1]}. Các tập mờ được coi là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển là vì, với một universe nhất định, một hàm liên thuộc có thể giữ vai trò của một hàm đặc trưng (*indicator function*) ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 như trong khái niệm cổ điển.

Định nghĩa
----------

Một tập mờ A trên một không gian nền{\displaystyle \mathrm {X} } được định nghĩa như sau:

{\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}=\{(x,\mu \_{A}(x))\mid x\in \mathrm {X} \}}
Hàm thuộc {\displaystyle \mu \_{A}(x)} lượng hóa mức độ mà các phần tử x thuộc về *tập cơ sở* {\displaystyle \mathrm {X} }. Nếu hàm cho kết quả 0 đối với một phần tử thì phần tử đó không có trong tập đã cho, kết quả 1 mô tả một thành viên toàn phần của tập hợp. Các giá trị trong khoảng mở từ 0 đến 1 đặc trưng cho các thành viên mờ.

Tập mờ và tập rõ
Hàm liên thuộc {\displaystyle \mu \_{A}(x)} thỏa mãn các điều kiện sau

{\displaystyle {\begin{matrix}\mu \_{A}(x)\geq 0&\forall x\in \mathrm {X} \\\sup \_{x\in X}[\mu \_{A}(x)]=1&\\\end{matrix}}}

Ứng dụng
--------

Tập mờ B, liệt kê theo ký hiệu mờ chuẩn là B = {0.3/3, 0.7/4, 1/5, 0.4/6}, có nghĩa rằng giá trị của hàm liên thuộc cho phần tử 3 là 0,3, cho phần tử 4 là 0,7, v.v... Lưu ý rằng các giá trị với độ liên thuộc bằng 0 không được liệt kê trong biểu diễn tập hợp. Ký hiệu chuẩn cho độ liên thuộc của phần tử 6 trong tập B là μB(6) = 0,4.

### Lôgic mờ

Là một mở rộng của lôgic đa trị (*multi-valued logic*), các hàm ({\displaystyle \mu :{\mathit {V}}\_{o}\to {\mathit {W}}}) ánh xạ các biến mệnh đề ({\displaystyle {\mathit {V}}\_{o}}) vào một tập các độ liên thuộc ({\displaystyle {\mathit {W}}}) có thể được xem là các hàm liên thuộc ánh xạ các mệnh đề lôgic bậc một vào các tập mờ (hay nói một cách chính thức hơn, ánh xạ vào một tập có thứ tự bao gồm các cặp mờ, gọi là quan hệ mờ). Với cách tính giá trị này, lôgic đa trị có thể được mở rộng để tính đến các tiền đề mờ mà từ đó có thể rút ra các kết luận được đánh giá.

Mở rộng này đôi khi được gọi là "lôgic mờ nghĩa hẹp" (*fuzzy logic in the narrow sense*) để đối với "lôgic mờ nghĩa rộng" (*fuzzy logic in the wider sense*) xuất phát từ các lĩnh vực kỹ thuật về điều khiển tự động và kỹ nghệ tri thức, và là loại lôgic bao hàm nhiều chủ đề có liên quan đến tập mờ và lập luận xấp xỉ (*approximated reasoning*).

Các ứng dụng công nghiệp của tập mờ trong ngữ cảnh của "lôgic mờ nghĩa rộng" được nói đến trong bài lôgic mờ.

### Số mờ

Xem bài chính Số mờ.
Một **số mờ** là một tập mờ lồi được chuẩn hóa
{\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}\subseteq \mathbb {R} }
hàm liên thuộc của hàm này có tính chất liên tục ít nhất tại từng đoạn, và hàm có giá trị {\displaystyle \mu \_{A}(x)=1} tại đúng một phần tử.

### Khoảng mờ

**Khoảng mờ** (*fuzzy interval*) là một tập không chắc chắn {\displaystyle {\tilde {\mathit {A}}}\subseteq \mathbb {R} } với một khoảng trung bình (*mean interval*) mà các phần tử của nó có giá trị hàm liên thuộc {\displaystyle \mu \_{A}(x)=1}. Cũng như đối với các số mờ, hàm liên thuộc phải có tính chất lồi, chuẩn hóa, và có tính liên tục ít nhất trên từng đoạn.

Xem thêm
--------

* Lý thuyết độ đo mờ (*Fuzzy measure theory*)
* Lý thuyết tập hợp thay thế (*Alternative set theory*)
* Defuzzification
* Lôgic mờ
* Các phép toán trên tập mờ
* Neuro-fuzzy
* Rough set
* Uncertainty
* Rough fuzzy hybridization
* Fuzzy subalgebra
* Bài toán bờ

Liên kết ngoài
--------------

Tiếng Anh:

* Uncertainty model Fuzziness Lưu trữ 2006-04-12 tại Wayback Machine
* The Algorithm of Fuzzy Analysis Lưu trữ 2006-05-31 tại Wayback Machine
* Fuzzy Image Processing Lưu trữ 2006-06-22 tại Wayback Machine

Tham khảo
---------

* Gottwald, Siegfried, *A Treatise on Many-Valued Logics.* Research Studies Press LTD. (2001) Baldock, Hertfordshire, England.
* Zadeh, L. A. *Fuzzy sets.* Information and Control, Vol. 8, pp. 338–353. (1965).
* Zadeh, L. A. *The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning.* Information Sciences, Vol. 8, pp. 199–249, 301–357; Vol. 9, pp. 43–80. (1975).
* Zadeh, L. A. *Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility*, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 1, No. 1, pp. 3–28 (1978).

| * x
* t
* s
Lý thuyết tập hợp |
| --- |
| Tiên đề | 
* Tiên đề cặp
* Tiên đề chính tắc
* Tiên đề chọn
	+ đếm được
	+ phụ thuộc
	+ toàn cục
* Tiên đề giới hạn kích thước
* Tiên đề hợp
* Tiên đề mở rộng
* Tiên đề nối
* Tiên đề tập lũy thừa
* Tiên đề tính dựng được
* Tiên đề vô hạn
* Tiên đề Martin

* Sơ đồ tiên đề
	+ thay thế
	+ tuyển lựa

 | Biểu đồ Venn hai tập hợp giao nhau |
| Phép toán | 
* Tích Descartes
* Phần bù
* Luật De Morgan
* Phép giao
* Tập lũy thừa
* Phép hợp
* Liên hiệp rời rạc
* Hiệu đối xứng

 |
| * Khái niệm
* Phương pháp
 | 
* Lực lượng
* Số đếm (lớn)
* Lớp (lý thuyết tập hợp)
* Vũ trụ kiến thiết
* Giả thiết continuum
* Lập luận đường chéo
* Phần tử (cặp được sắp, bộ)
* Họ
* Ép
* Song ánh
* Số thứ tự
* Quy nạp siêu hạn
* Sơ đồ Venn

 |
| Các dạng tập hợp | 
* Đếm được
* Rỗng
* Hữu hạn (di truyền)
* Mờ
* Vô hạn
	+ vô hạn Dedekind
* Tính được
* Tập con ⋅ Tập chứa
* Đơn điểm
* Bắc cầu
* Không đếm được
* Tập hợp phổ dụng

 |
| Lý thuyết | 
* Lý thuyết tập hợp thay thế
* Lý thuyết tập hợp tiên đề
* Lý thuyết tập hợp ngây thơ
* Định lý Cantor

* Zermelo
	+ Tổng quát
* *Principia Mathematica*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * Nghịch lý
* Vấn đề
 | 
* Nghịch lý Russell
* Bài toán Suslin
* Nghịch lý Burali-Forti

 |
| Nhà lý thuyết tập hợp | 
* Abraham Fraenkel
* Bertrand Russell
* Ernst Zermelo
* Georg Cantor
* John von Neumann
* Kurt Gödel
* Paul Bernays
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Thomas Jech
* Thoralf Skolem
* Willard Quine

 |
| Thể loại |