Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: *order*) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:

* cấp của một nhóm *G* chính là số phần tử của *G*;
* cấp của phần tử *a* trong nhóm *G* là số nguyên dương *m* nhỏ nhất thỏa mãn {\displaystyle a^{m}=e}, trong đó *e* là phần tử đơn vị của nhóm *G*, {\displaystyle a^{m}} là tích (với phép toán trang bị cho nhóm *G*) của *m* phần tử *a*.

Ký hiệu cấp của nhóm *G* là *ord(G)* hoặc *|G|*; cấp của phần tử *a* được ký hiệu là *ord(a)* hoặc *|a|*.

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên *Z* cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì *Z* có vô số phần tử).

Ví dụ
-----

Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng S\_3:

| • | *e* | *s* | *t* | *u* | *v* | *w* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *e* | *e* | *s* | *t* | *u* | *v* | *w* |
| *s* | *s* | *e* | *v* | *w* | *t* | *u* |
| *t* | *t* | *u* | *e* | *s* | *w* | *v* |
| *u* | *u* | *t* | *w* | *v* | *e* | *s* |
| *v* | *v* | *w* | *s* | *e* | *u* | *t* |
| *w* | *w* | *v* | *u* | *t* | *s* | *e* |

Nhóm S\_3 có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

{\displaystyle ord(S\_{3})=6};
Cấp của các phần tử trong nhóm S\_3:

* phần tử đơn vị *e* có cấp bằng 1;
* các phần tử *s*, *t*, *w* bình phương lên bằng *e*: {\displaystyle s^{2}=t^{2}=w^{2}=e}, nên chúng có cấp bằng 2;
* các phần tử *u* và *v* có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau: {\displaystyle u^{2}=v} nên {\displaystyle u^{3}=uv=e}, tương tự cho v..

Cấp và cấu trúc của nhóm
------------------------

Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm *G* bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử *a* bằng 1: {\displaystyle a^{1}=e} thì *a* chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử *a* (khác phần tử đơn vị) của nhóm *G* đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó ({\displaystyle a^{2}=e}) thì chúng đều có cấp bằng 2: {\displaystyle ord(a)=2} và nhóm *G* là nhóm Abel, vì:

{\displaystyle ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=b(ba)^{2}a=bea=ba}.
Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo {\displaystyle Z\_{6}} là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3: {\displaystyle 2+2+2=0{\pmod {6}}}.

Một phần tử a có cấp bằng {\displaystyle 2} cũng được gọi là một phần tử lũy đẳng.

### Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

nếu ta lấy nhóm xyclic sinh bởi phần tử *g*, ký hiệu là {\displaystyle \langle g\rangle }:
{\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{m}|m\in \mathbb {Z} \}},
thì cấp của nhóm {\displaystyle \langle g\rangle } chính bằng cấp của phần tử *g*:
{\displaystyle \operatorname {ord} (\langle g\rangle )=\operatorname {ord} (g)}.
### Định lý Lagrange

Bài chi tiết: Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)
**Định lý Lagrange**: Nếu *H* là nhóm con của *G*, và *G* có hữu hạn phần tử, thì *H* cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của *G*:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} (G)}{\operatorname {ord} (H)}}} là số tự nhiên và bằng bản số của nhóm thương (*G*:*H*).
Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của *G* chia hết cho cấp của mọi phần từ *a* thuộc *G*. Như đã xét trong ví dụ về nhóm S\_3, ord(S\_3)=6 chia hết cho 2 là cấp của *s*,*t*,*w* và 3 là cấp của *u*,*v*.

### Các tính chất của cấp của phần tử

Phần tử *a* và nghịch đảo của nó {\displaystyle a^{-1}} có cùng cấp:

{\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (a^{-1})}.
Nếu số nguyên *k* thỏa mãn: {\displaystyle a^{k}=e} thì cấp của *a* là ước của *k*. Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu *a* có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của *a* cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử {\displaystyle a^{k}} được tính như sau:

{\displaystyle \operatorname {ord} (a^{k})={\frac {\operatorname {ord} (a)}{UCLN(\operatorname {ord} (a),k)}}} (ký hiệu UCLN(*a*,*b*) là ước số chung lớn nhất của *a* và *b*).
Ví dụ:

* Trong nhóm cộng các số nguyên modulo 5 {\displaystyle Z\_{5}}, *a*=2 có cấp bằng 5 (vì {\displaystyle (2+2+2+2+2)\equiv 0{\pmod {5}}}), nếu lấy *k*=2 thì {\displaystyle a^{k}=2^{2}=4} sẽ có cấp bằng 2:

{\displaystyle \operatorname {ord} (2^{2})={\frac {\operatorname {ord} (2)}{UCLN(\operatorname {ord} (2),2)}}={\frac {4}{2}}=2}.
### Định lý Cauchy (định lý Côsi)

**Định lý Cauchy**: phát biểu rằng:

Cho nhóm *G* hữu hạn. Nếu cấp của *G* chia hết cho *p*, và *p* là số nguyên tố, thì tồn tại ít nhất một phần tử *a* thuộc *G* có cấp bằng *p*.

Đồng cấu nhóm và cấp
--------------------

Cho 2 nhóm *G* và *H*, nếu *f*: *G* → *H* là một đồng cấu, *a* là một phần tử thuộc *G*, cấp của *a* là hữu hạn. Khi đó {\displaystyle \operatorname {ord} (f(a))} là ước của {\displaystyle \operatorname {ord} (a)}.

Ví dụ:

* Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm *h*: S3 → **Z**5, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z5 đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S3.

Bản số của nhóm con chuẩn tắc
-----------------------------

Chú thích
---------

1. ↑  Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999, trang 23.
2. ↑  Lê Thanh Hà, Các cấu trúc đại số cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000, trang 41

Tham khảo
---------

Liên kết ngoài
--------------