| Cấu trúc đại số |
| --- |
| Giống với Nhóm
* Nhóm
* Nửa nhóm
* Tựa nhóm và vòng
* Monoid
* Groupoid
* Magma
* Rack và quandle

* Nhóm Abel
* Nhóm Lie

*Lý thuyết nhóm* |
| Giống với Vành
* Vành
* Nửa vành
* Gần-vành
* Vành giao hoán
* Miền
* Miền nguyên
* Trường
* Vành chia

*Lý thuyết vành* |
| Giống với Dàn
* Dàn
* Nửa dàn
* Dàn bù
* Thứ tự toàn phần
* Đại số Heyting

* Đại số Boole
* Ánh xạ dàn
* *Lý thuyết dàn*
 |
| Giống với Mô đun
* Mô đun
* Nhóm toán tử
* Không gian vectơ

* *Đại số tuyến tính*
 |
| Giống với Đại số
* Đại số trên một trường

* Đại số kết hợp
* Đại số không kết hợp
* Đại số Lie
* Vành phân bậc
* Bialgebra

 |
| * x
* t
* s
 |

Trong toán học, một **đại số trên một trường** (thường được gọi đơn giản là **đại số**) là một không gian vectơ được trang bị một tích song tuyến tính.

Định nghĩa
----------

Đặt *K* là một trường và đặt *A* là không gian vectơ trên *K* được trang bị một phép toán hai ngôi *A* × *A* đến *A*, ký hiệu là · (nghĩa là nếu **x** và **y** là hai phần tử bất kỳ của *A*, **x** · **y** là *tích* của **x** và **y**). Thế thì *A* là một **đại số** trên *K* nếu các đẳng thức sau đúng cho tất cả các phần tử **x**, **y** và **z** của *A* và tất cả các phần tử (thường được gọi là vô hướng) *a* và *b* của *K*:

* Phân phối phải: (**x** + **y**) · **z** = **x** · **z** + **y** · **z**
* Phân phối trái: **z** · (**x** + **y**) = **z** · **x** + **z** · **y**
* Tương thích với nhân vô hướng: (*a* **x**) · (*b* **y**) = (*ab*) (**x** · **y**).

Ba tiên đề này là một cách khác để nói rằng phép toán hai ngôi là song tuyến tính. Đại số trên *K* cũng được gọi là *K-đại số.*

### Ví dụ

Ta có {\mathbb {R}}-đại số \mathbb{C}, {\mathbb {R}} đại số các quaternion {\displaystyle \mathbb {H} }, {\mathbb {R}}-đại số các octonion {\displaystyle \mathbb {O} }, {\mathbb {R}}-đại số các ma trận {\displaystyle M\_{n}(\mathbb {R} )}.

Với k là một trường bất kì, ta cũng có k-đại số các ma trận {\displaystyle M\_{n}(k)}.

Các khái niệm cơ bản
--------------------

### Đồng cấu đại số

Cho *K*-đại số *A* và *B*, phép đồng cấu *K* -đại số là ánh xạ *K-*tuyến tính *f*: *A* → *B* sao cho *f*(**xy**)=*f*(**x**)*f*(**y**) với mọi **x**,**y** trong *A.* Không gian của tất cả các đồng cấu *K*-đại số giữa *A* và *B* thường được ký hiệu là

{\displaystyle \mathbf {Hom} \_{K{\text{-alg}}}(A,B).}
### Đại số kết hợp

Bài chi tiết: Đại số kết hợp
Một đại số là kết hợp nếu phép nhân có tính kết hợp.

### Đại số phi kết hợp

Bài chi tiết: Đại số phi kết hợp
* Không gian Euclide **R** 3 với phép nhân được cho bởi tích vector
* Octonion
* Đại số Lie

Đại số và vành
--------------

Đôi khi, một *K*-đại số được định nghĩa là một vành *A* cùng với phép đồng cấu vành

{\displaystyle \eta :K\to A}
Phép nhân vô hướng

{\displaystyle K\times A\to A}
được cho bởi

{\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}

Đại số trên một vành
--------------------

Xét một vành giao hoán *A.* Một *A*-đại số (một đại số trên vành *A*) được định nghĩa là một vành *B* cùng với một phép đồng cấu vành

{\displaystyle \eta :A\to B}
Phép nhân vô hướng

{\displaystyle A\times B\to B}
được cho bởi

{\displaystyle (a,b)\mapsto \eta (a)b}
trang bị cho *B* một cấu trúc *A*-mô-đun.

Xem thêm
--------

* Đại số Clifford

Tham khảo
---------

* Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). *Algebras, rings and modules*. **1**. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.