|  |
| --- |
| Một phần của loạt bài viết liên quan đến |
| hằng số toán học π |
| **3.1415926535897932384626433...** |
| 
Sử dụng |
| * Diện tích hình tròn
* Chu vi hình tròn
* Công thức khác
 |
| 
Tính chất |
| * Vô tỉ
* Siêu việt
 |
| 
Giá trị |
| * 22/7
* Xấp xỉ
* π học
 |
| 
Con người |
| * Archimedes
* Lưu Huy (nhà toán học)
* Tổ Xung Chi
* Aryabhata
* Madhava
* Ludolph van Ceulen
* Seki Takakazu
* Takebe Kenkō
* William Jones
* John Machin
* William Shanks
* Srinivasa Ramanujan
* John Wrench
* Chudnovsky
* Yasumasa Kanada
 |
| 
Lịch sử |
| * Lịch sử tính toán số π
* Sách
 |
| 
Trong văn hóa |
| * Ngày số pi
* Dự luật số Pi bang Indiana
 |
| 
Bài liên quan |
| * Điểm Feynman
* Cầu phương hình tròn
* Bài toán Basel
 |
| * x
* t
* s
 |

Trong toán học, **Công thức Leibniz để tính π** được viết như sau:



π
4

=
1
−

1
3

+

1
5

−

1
7

+

1
9

−
⋯
=

∑

k
=
0

∞


(
−
1

)

k

2
k
+
1

,

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}
Đây là một chuỗi số xen kẽ, được đặt theo tên nhà toán học Gottfried Wilhelm Leibniz. Tuy nhiên Leibniz không phải là người đầu tiên tìm ra kết quả của chuỗi số này, mà là Madhava, một nhà toán học người Ấn Độ sống ở thế kỷ 14-15. Thậm chí trước khi Leibniz công bố kết quả của mình vào năm 1673 thì có một nhà toán học khác là James Gregory cũng đã độc lập tìm ra kết quả của chuỗi số vào năm 1671.

Đến đầu thế kỷ 18, Brook Taylor tìm ra được kết quả của một chuỗi số tổng quát hơn, mà sau này được gọi là chuỗi Taylor:



arctan
⁡
x
=
x
−

x

3

3

+

x

5

5

−

x

7

7

+
⋯
=

∑

k
=
0

∞


(
−
1

)

k

x

2
k
+
1

2
k
+
1

.

{\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}

{\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}
Theo đó thì công thức Leibniz là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor khi x=1. Khi đó thì:
{\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}

Chứng minh
----------

### Cách 1




π
4


=
arctan
⁡
(
1
)



=

∫

0

1

1

1
+

x

2



d
x



=

∫

0

1

(

∑

k
=
0

n

(
−
1

)

k

x

2
k

+

(
−
1

)

n
+
1

x

2
n
+
2

1
+

x

2



)

d
x



=

(

∑

k
=
0

n


(
−
1

)

k

2
k
+
1

)

+
(
−
1

)

n
+
1

(

∫

0

1


x

2
n
+
2

1
+

x

2



d
x

)


{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int \_{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int \_{0}^{1}\left(\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}
Chỉ xét tích phân ở số hạng cuối, chúng ta có:



0
≤

∫

0

1


x

2
n
+
2

1
+

x

2



d
x
≤

∫

0

1

x

2
n
+
2

d
x
=

1

2
n
+
3

→
0

 as 

n
→
∞
.

{\displaystyle 0\leq \int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int \_{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}

{\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}
Theo định lý kẹp, khi *n* → ∞, chúng ta sẽ có chuỗi Leibniz:



π
4

=

∑

k
=
0

∞


(
−
1

)

k

2
k
+
1


{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}

Tham khảo
---------

1. ↑  Plofker, Kim (tháng 11 năm 2012), "*Tantrasaṅgraha of Nīlakaṇṭha Somayājī* by K. Ramasubramanian and M. S. Sriram", *The Mathematical Intelligencer*, **35** (1): 86–88, doi:10.1007/s00283-012-9344-6, S2CID 124507583
2. ↑  Roy, Ranjan (1990). "The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha" (PDF). *Mathematics Magazine*. **63** (5): 291–306. doi:10.1080/0025570X.1990.11977541.Horvath, Miklos (1983). "On the Leibnizian quadrature of the circle" (PDF). *Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica)*. **4**: 75–83.
3. ↑  Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), *Special Functions*, Cambridge University Press, tr. 58, ISBN 0-521-78988-5