Trong toán học, **định lý Green** đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín *C* và tích phân mặt trên một miền *D* bao quanh bởi *C*. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý
-------

*C* là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng **{\displaystyle \mathbb {R} }2**, và *D* là miền được bao quanh bởi *C*. Nếu *L* và *M* là các hàm số với biến (*x*, *y*) được định nghĩa trên miền mở chứa *D* và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì

{\displaystyle \oint \_{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}

Mối liên hệ với định lý Stokes
------------------------------

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-*xy*:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần *z* luôn bằng 0. Gọi **F** là hàm số vector định nghĩa bởi {\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}. Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

{\displaystyle \oint \_{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint \_{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}
Theo định lý Stokes thì:

{\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint \_{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}
Mặt S chỉ là một miền D trong mặt phẳng, với vector định chuẩn {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } hướng lên (theo hướng *z*) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành 

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}
Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

{\displaystyle \iint \_{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}

Mối liên quan với định lý Gauss
-------------------------------

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,
định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

{\displaystyle \iint \_{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint \_{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}
với {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green {\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)} là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là {\displaystyle (dy,-dx)}. Chiều dài của vec tơ này là {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds}. Do vậy {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,ds=(dy,-dx).}

Bây giờ hãy để {\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}. Khi đó vế phải sẽ trở thành

{\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\oint \_{C}Pdy-Qdx}
mà do định lý Green sẽ trở thành

{\displaystyle \oint \_{C}-Qdx+Pdy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint \_{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA.}
Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích
-------------------

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường. Diện tích của miền D được cho bởi:

{\displaystyle A=\iint \_{D}\mathrm {d} A.}
Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.}
Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

{\displaystyle A=\oint \_{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y).}
Các công thức cho diện tích của D bao gồm:

{\displaystyle A=\oint \_{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint \_{C}y\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\oint \_{C}(-y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y).}
Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

*A* = 1/2 ∮ **r** x *d***r** = 1/2 **k** ∮(*xdy* – *ydx*)

khi **r** = *x***i** + *y***j** và *d***r** = *dx***i** + *dy***j**.

Xem thêm
--------

* Planimeter
* Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

Tham khảo
---------

1. ↑  Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
2. ↑  Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
3. 1 2  Stewart, James. *Calculus* (ấn bản 6). Thomson, Brooks/Cole.

Đọc thêm
--------

* *Calculus (5th edition)*, F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
* *Advanced Calculus (3rd edition)*, R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

Liên kết ngoài
--------------

* Green's Theorem on MathWorld