Trong lý thuyết tập hợp, **lý thuyết** **tập hợp** **Zermelo-Fraenkel**, được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu thế kỷ XX để xây dựng một lý thuyết tập hợp không còn các nghịch lý như nghịch lý Russell.

Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel thường được ký hiệu là ZF. Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng với tiên đề chọn được ký hiệu là ZFC.

Các tiên đề
-----------

### 1. Tiên đề quảng tính

Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó

{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}
### 2. Tiên đề chính tắc

Mọi tập không rỗng x chứa một phần tử y sao cho x và y là rời nhau.

{\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}
### 3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm)

Ta có thể xây dựng một tập hợp y từ các phần tử x trong tập hợp z thỏa mãn các tính chất nhất định. Cố định một tính chất \phi , ta có

{\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi (x))].}
### 4. Tiên đề cặp

Nếu x và y là các tập hợp thì tồn tại một tập hợp chứa x và y như các phần tử

{\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}
Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.

### 5. Tiên đề hợp

{\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Leftrightarrow x\in A].}
### 6. Tiên đề thay thế

Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự.

{\displaystyle \forall A\forall w\_{1}\forall w\_{2}\ldots \forall w\_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}
### 7. Tiên đề vô hạn

Đặt {\displaystyle S(w)} là tập hợp {\displaystyle w\cup \{w\}}.Ta có

{\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}
Tiên đề này cho phép xây dựng các số tự nhiên liên tiếp và tập hợp các số tự nhiên.

### 8. Tiên đề tập hợp các bộ phận

Tồn tại tập hợp các bộ phận, hay tập lũy thừa:

{\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}

Ghi chú
-------

1. ↑  Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 32
2. ↑  Shoenfield (2001), tr. 239
3. ↑  Hoàng Xuân SÍnh (1972), tr.33
4. ↑  Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 34
5. 1 2  Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 36
6. ↑  Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 35

Tham khảo
---------

* Hoàng Xuân Sính, *Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám)*, 1972, Nhà xuất bản Giáo dục
* Shoenfield, Joseph R. *Mathematical Logic* *(2nd ed.),* 2001*,* A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.


| * x
* t
* s
Lý thuyết tập hợp |
| --- |
| Tiên đề | 
* Tiên đề cặp
* Tiên đề chính tắc
* Tiên đề chọn
	+ đếm được
	+ phụ thuộc
	+ toàn cục
* Tiên đề giới hạn kích thước
* Tiên đề hợp
* Tiên đề mở rộng
* Tiên đề nối
* Tiên đề tập lũy thừa
* Tiên đề tính dựng được
* Tiên đề vô hạn
* Tiên đề Martin

* Sơ đồ tiên đề
	+ thay thế
	+ tuyển lựa

 | Biểu đồ Venn hai tập hợp giao nhau |
| Phép toán | 
* Tích Descartes
* Phần bù
* Luật De Morgan
* Phép giao
* Tập lũy thừa
* Phép hợp
* Liên hiệp rời rạc
* Hiệu đối xứng

 |
| * Khái niệm
* Phương pháp
 | 
* Lực lượng
* Số đếm (lớn)
* Lớp (lý thuyết tập hợp)
* Vũ trụ kiến thiết
* Giả thiết continuum
* Lập luận đường chéo
* Phần tử (cặp được sắp, bộ)
* Họ
* Ép
* Song ánh
* Số thứ tự
* Quy nạp siêu hạn
* Sơ đồ Venn

 |
| Các dạng tập hợp | 
* Đếm được
* Rỗng
* Hữu hạn (di truyền)
* Mờ
* Vô hạn
	+ vô hạn Dedekind
* Tính được
* Tập con ⋅ Tập chứa
* Đơn điểm
* Bắc cầu
* Không đếm được
* Tập hợp phổ dụng

 |
| Lý thuyết | 
* Lý thuyết tập hợp thay thế
* Lý thuyết tập hợp tiên đề
* Lý thuyết tập hợp ngây thơ
* Định lý Cantor

* Zermelo
	+ Tổng quát
* *Principia Mathematica*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * Nghịch lý
* Vấn đề
 | 
* Nghịch lý Russell
* Bài toán Suslin
* Nghịch lý Burali-Forti

 |
| Nhà lý thuyết tập hợp | 
* Abraham Fraenkel
* Bertrand Russell
* Ernst Zermelo
* Georg Cantor
* John von Neumann
* Kurt Gödel
* Paul Bernays
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Thomas Jech
* Thoralf Skolem
* Willard Quine

 |
| Thể loại |