Trong toán học, đặc biệt là trong hình học vi phân, một **liên kết** (cũng gọi là **liên thông**) trên một phân thớ véc tơ là một cách định nghĩa dịch chuyển song song trên phân thớ đó; nói cách khác, là một cách để so sánh các thớ liền kề nhau.

Định nghĩa
----------

Gọi *E* → *M* là một phân thớ véc tơ trên một đa tạp vi phân *M*. Kí hiệu không gian các nhát cắt trơn của *E* là Γ(*E*). Một **liên kết** trên *E* là một ánh xạ tuyến tính

{\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{\*}M)}
sao cho luật Leibniz thỏa mãn:

{\displaystyle \nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df}
với mọi hàm trơn *f* trên *M* và mọi nhát cắt trơn σ của *E.*

Trong trường hợp *E* là phân thớ tiếp tuyến *TM*, một nhát cắt của *E* cũng chính là một trường vectơ *X* trên *M.* Ta có thể định nghĩa **đạo hàm hiệp biến dọc theo *X***

{\displaystyle \nabla \_{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}
bằng cách đánh giá tại {\displaystyle X:\nabla \_{X}\sigma :=(\nabla \sigma )(X)}. Đạo hàm hiệp biến thỏa mãn:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \!\_{X}(\sigma \_{1}{+}\sigma \_{2})\ =\ \nabla \!\_{X}\sigma \_{1}+\nabla \!\_{X}\sigma \_{2}\\&\nabla \!\_{(X\_{1}{+}X\_{2})}\sigma \ =\ \nabla \!\_{X\_{1}}\sigma +\nabla \!\_{X\_{2}}\sigma \\&\nabla \!\_{X}(f\sigma )\ =\ f\,\nabla \!\_{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla \!\_{fX}\sigma \ =\ f\,\nabla \!\_{X}\sigma .\end{aligned}}}
Ngược lại, bất kỳ toán tử nào thỏa mãn các thuộc tính trên đều xác định một liên kết trên E*.*

Nhát cắt song song
------------------

Một **nhát cắt song song** (trên một tập mở {\displaystyle U\subset M}) là một nhát cắt {\displaystyle s\in \Gamma (E,U)} sao cho {\displaystyle \nabla s=0}.

Độ cong
-------

**Độ cong** của một liên kết ∇ trên *E* → *M* là một dạng bậc hai *F* ∇ trên *M* với giá trị trong phân thớ tự đồng cấu End*(E)* = *E*⊗*E* \*. Tức là,

{\displaystyle F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E\otimes \Lambda ^{2}T^{\*}M).}
*F* ∇ được định nghĩa bởi biểu thức

{\displaystyle F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla \_{X}\nabla \_{Y}s-\nabla \_{Y}\nabla \_{X}s-\nabla \_{[X,Y]}s}
Trong đó X và Y là các trường vectơ trên M và s là một nhát cắt của E*.*

Ví dụ
-----

* Gắn với một đa tạp Riemann {\displaystyle (M,g)}, ta có một liên kết Levi-Civita {\displaystyle \nabla ^{g}} trên {\displaystyle TM\rightarrow M}. Đây là liên kết duy nhất thỏa mãn hai tính chất sau đây:

1. Tính không xoắn: với mọi trường véc-tơ {\displaystyle X,Y}, ta có {\displaystyle \nabla \_{X}Y-\nabla \_{Y}X=[X,Y]}

1. Tính bảo toàn metric: với mọi trường véc-tơ X, Y và Z, ta có {\displaystyle Zg(X,Y)=g(\nabla \_{Z}X,Y)+g(X,\nabla \_{Z}Y)} (trong đó vế trái là tác động tự nhiên của trường véc-tơ Z lên hàm số {\displaystyle g(X,Y)}).

Độ cong {\displaystyle F} của liên kết này cũng chính là ten-xơ độ cong Riemann (thường được biết đến qua kí hiệu {\displaystyle R^{\rho }{}\_{\sigma \mu \nu }} mà, không gì khác hơn, chính là các hệ số của {\displaystyle F} đối với cơ sở cảm sinh từ một hệ tọa độ địa phương {\displaystyle (x^{i})}).

* Tổng quát hơn, một **liên kết a-phin** (hay **liên thông tuyến tính**) trên một đa tạp vi phân M là một liên kết trên phân thớ tiếp tuyến {\displaystyle TM}.

Tham khảo
---------

1. 1 2  Đoàn Quỳnh (2000), tr. 317
2. ↑  Lee (1997), tr. 49-50
3. ↑  Lee (1997), tr. 51

Thư mục
-------

* Ambrose, W.; Singer, I.M. *A theorem on holonomy*, 1953
* Chern, Shiing-Shen, *Topics in Differential Geometry*, 1951
* Darling, R. W. R. *Differential Forms and Connections*, 1994, ISBN 0-521-46800-0
* Đoàn Quỳnh, *Hình học vi phân*, Nhà xuất bản giáo dục, 2000
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, *Foundations of Differential Geometry, Vol. 1*, 1996, ISBN 0-471-15733-3
* Koszul, J. L. *Homologie et cohomologie des algebres de Lie*, 1950
* Lee, John, 1997, *Introduction to Riemannian Manifolds,* Springer, ISBN 0-387-98271-X
* Wells, R. O. *Differential analysis on complex manifolds*, 1973, ISBN 0-387-90419-0