Bản mẫu:Chuyên ngành

Trong toán học, **không gian étalé** là một không gian tôpô dùng để mô tả một bó.

Định nghĩa
----------

(a) Một *không gian Étalé* trên một không gian tôpô X là một không gian tôpô Y cùng với một toàn ánh liên tục π:Y → X sao cho π là một đồng phôi địa phương. Bộ ba (Y,π,X) cho ta một không gian étalé.

(b) Một *nhát cắt* của một không gian étalé (Y,π,X) trên một tập mở U, trong X, là một ánh xạ liên tục f:U → Y sao cho {\displaystyle \pi \circ f=1\_{U}}. Tập các nhát cắt trên U được ký hiệu là Γ(U,Y).

Ta sẽ kết hợp một tiền bó bất kỳ {\displaystyle {\mathcal {F}}} trên X một không gian étalé {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}\to X} sao cho bó các nhát cắt của {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} cho một mô hình khác của {\displaystyle {\mathcal {F}}} nếu {\displaystyle {\mathcal {F}}} là một bó (i.e. đẳng cấu với {\displaystyle {\mathcal {F}}}).

Xét tiền bó {\displaystyle {\mathcal {F}}} trên X, và đặt {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{x}:={\lim }\_{x\in U}{\mathcal {F}}(U)} là giới hạn trực tiếp của các tập {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} theo các ánh xạ thu hẹp {\displaystyle r\_{V}^{U}} của {\displaystyle {\mathcal {F}}}. Nếu {\displaystyle {\mathcal {F}}} có một cấu trúc đại số mà được bảo toàn qua giới hạn trực tiếp, thì {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{x}}, được gọi là thớ của {\displaystyle {\mathcal {F}}} tại x, sẽ có cấu trúc đó.

Có một ánh xạ tự nhiên {\displaystyle r\_{x}^{U}:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}\_{x}(x\in U)} được cho bằng cách gán các phần tử trong {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} với lớp tương đương của nó qua giới hạn trực tiếp. Nếu {\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}, thì {\displaystyle s\_{x}:=r\_{x}^{U}(s)} được gọi là mầm của s tại x, và s được gọi là một đại diện cho mầm {\displaystyle s\_{x}}. Đặt {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}=\cup \_{x\in X}{\mathcal {F}}\_{x}} và đặt {\displaystyle \pi :{\hat {\mathcal {F}}}\to X} là phép chiếu tụ nhiên gửi các điểm trong {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{x}} tới x. Để {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} là một không gian étalé, chỉ cần trang bị cho {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} một tôpô sao cho \pi  là liên tục và là một đồng phôi địa phương. Với mỗi {\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)} định nghĩa hàm {\displaystyle {\hat {s}}:U\to {\hat {\mathcal {F}}}} bằng cách đặt {\displaystyle {\hat {s}}(x)=s\_{x}} với mỗi {\displaystyle x\in U}. Để ý rằng {\displaystyle \pi \circ {\hat {s}}=1\_{U}}. Đặt {\displaystyle \{{\hat {s}}(U),U{\text{ mở trong }}X,s\in {\mathcal {F}}(U)\}} là một cơ sở cho tôpô của {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}. Khi đó, tất cả các hàm {\displaystyle {\hat {s}}} là liên tục. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng \pi  là liên tục và là một đồng phôi địa phương.

Do vậy ta đã kết hợp mỗi tiền bó {\displaystyle {\mathcal {F}}} trên X một không gian étalé. Trong việc kết hợp một không gian étalé {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} với một tiền bó {\displaystyle {\mathcal {F}}}, ta cũng đã kết hợp một bó với {\displaystyle {\mathcal {F}}}, gọi là bó các nhát cắt của {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}. Chúng ta gọi bó này là bó được sinh bởi {\displaystyle {\mathcal {F}}}. Có một mối quan hệ giữa tiền bó {\displaystyle {\mathcal {F}}} và bó các nhát cắt của {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} mà ta gọi là {\displaystyle {\bar {\mathcal {F}}}} từ lúc này trở đi. Chúng ta cũng đã sử dụng một kết quả là có một đồng cấu tiền bó, ký hiệu bởi {\displaystyle \tau :{\mathcal {F}}\to {\bar {\mathcal {F}}}}, nghĩa là {\displaystyle \tau \_{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\bar {\mathcal {F}}}(U)[:=\Gamma (U,{\hat {{\mathcal {F}})}}]} được cho bởi {\displaystyle \tau \_{U}(s)={\hat {s}}}. Trong trường hợp {\displaystyle {\mathcal {F}}} là một bó, ta có kết quả cơ bản sau.

**Định lý.** Nếu {\displaystyle {\mathcal {F}}} là một bó, thì {\displaystyle \tau :{\mathcal {F}}\to {\bar {\mathcal {F}}}}
là một đẳng cấu bó.

Định lý nói rằng với mỗi bó {\displaystyle {\mathcal {F}}}, ta có thể kết hợp một không gian étalé {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} mà bó các nhát cắt của nó là bó ban đầu; tức là, {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}} chứa cùng lượng thông tin như {\displaystyle {\mathcal {F}}}.

Một số tác giả định nghĩa bó như là một không gian étalé.

Tính chất tô-pô của không gian étalé
------------------------------------

Do {\displaystyle \pi :{\hat {F}}\rightarrow X} là một đồng phôi địa phương, không gian étalé là một không gian tô-pô cục bộ Euclid có số chiều bằng số chiều của X.

Nhìn chung, một không gian étalé thường là phi-Hausdorff. Nói riêng, \pi  không phải là một ánh xạ phủ bởi thớ {\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}\_{x}} của nó thường là không rời rạc.

Tham khảo
---------

1. 1 2  Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups

Liên kết ngoài
--------------

* Sheaf trên PlanetMath.