Không gian Baire là một lớp không gian quan trọng, thuộc lĩnh vực Topo - một chuyên ngành của Toán học. Không gian Baire mang tên của nhà toán học người Pháp René-Louis Baire, với định lý Phạm trù Baire (Baire category theorem) công bố trong luận văn Tiến sĩ của ông năm 1899.

Định nghĩa không gian Baire
---------------------------

Một tập con của một không gian topo *(X,τ)* được gọi là **có phần trong rỗng** nếu và chỉ nếu nó không chứa bất kì một tập mở khác trống của *(X,τ)*.

Không gian topo *(X,τ)* được gọi là một **không gian Baire** nếu như cho bất kì một họ {*A**n*} đếm được các tập đóng có phần trong rỗng thì ∪*A**n* có phần trong rỗng.

Ví dụ: Q với topo tương đối (topo sinh bởi topo Euclidean trên R) không phải là không gian Baire.

### Một phát biểu khác của định nghĩa không gian Baire

Đây là một phát biểu tương đương, sử dụng họ đếm được các tập mở và trù mật trong *X*, phát biểu như sau:
Không gian *(X,τ)* là không gian Baire nếu và chỉ nếu với bất kì một họ đếm được {*U**n*} các tập mở trù mật trong *X* thì ∩*U**n* cũng trù mật trong *X*.

Các phạm trù Baire
------------------

Thuật ngữ phạm trù thứ nhất và phạm trù thứ hai được sử dụng đầu tiên bởi René-Louis Baire.

### Phạm trù thứ nhất

Tập *A* ⊆ *(X,τ)* được gọi là thuộc **phạm trù thứ nhất** nếu nó là hội của một họ đếm được các tập hợp *không đâu trù mật* (nowhere dense, nghĩa là bao đóng có phần trong rỗng).

### Phạm trù thứ hai

Tập *A* ⊆ *(X,τ)* được gọi là thuộc **phạm trù thứ hai** nếu nó không thuộc phạm trù thứ nhất.

### Tính chất

Nếu *h*: *X*→*X* là một đồng phôi giữa *E* ⊆ *X* và *h(E)*, thì khi đó *E* và *h(E)* cùng một phạm trù.

Một không gian topo *(X,τ)* là không gian Baire khi và chỉ khi mọi tập mở khác trống của *(X,τ)* đều là phạm trù thứ hai.

Định lý phạm trù Baire
----------------------

*Nếu* S *là một không gian mêtric đầy đủ hoặc là không gian compact địa phương Hausdroff thì* S *là không gian Baire.*

### Chứng minh

Cho *V1*,*V2*,*V3*,...là các tập mở và trù mật trong *S*, cho *B0* là tập mở (khác rỗng) bất kì trong *S*. Cần chứng minh (∩*Vn*)∩*B0*≠ ∅.

#### Bước 1

Dựa vào tính trù mật của *V1* trong *S* nên *V1*∩*B0*≠∅.

#### Bước 2

Tìm tập mở *B1* trong *S* sao cho Cl(*B1*) ⊆ *V1*∩*B0*.
Với *S* là không gian metric đầy đủ thì cần tìm *B1* thỏa d(x,y)≤1, ∀x,y∈Cl(*B1*).

Với *S* là không gian compact địa phương Hausdroff, dùng mệnh đề sau để tìm *B1* là tập compact và khác rỗng:
*Cho* (X,τ) *là một không gian Compact địa phương Hausdroff,* K *là tập compact trong* (X,τ) *và* U *là một tập mở của* (X,τ) *thỏa* K *⊆* U*. Khi đó, tồn tại tập mở* V *trong* (X,τ) *với bao đóng Cl(*V*) là tập compact và thỏa* K *⊆* V *⊆ Cl(*V*) ⊆* U*.*

#### Bước 3

Xây dựng các tập mở *Bn* với n≥2 giống với tính chất của tập *B1*.

Tìm tập mở *B2* thỏa mãn Cl(*B2*) ⊆ *V2*∩*B1*, với d(x,y)≤1/2 ∀x,y∈Cl(*B2*) khi *S* là không gian metric đầy đủ hay Cl(*B2*) là Compact khi *S* là không gian compact địa phương Hausdroff.

Dựa vào tính chất trù mật của *V2* nên *V2*∩*B1*≠∅. Cách tìm *B2* tương tự cách tìm với *B1*.

Với cách xây dựng các *Bn* tương tự, được một dãy tập mở *B0*, *B1*, *B2*, *B3*,... trong *S* với *B0* ⊇ Cl(*B1*) ⊇ Cl(*B2*) ⊇... thỏa Cl(*Bn*) ⊆ *Vn*∩*Bn-1* ∀n≥1, sao cho d(x,y)≤1/n với *S* là không gian metric đầy đủ hoặc thỏa Cl(*Bn*) compact và không rỗng khi *S* là không gian compact địa phương Hausdroff.

#### Bước 4

Hoàn thành chứng minh, chia thành hai trường hợp: Với *S* là không gian compact địa phương Hausdroff,sử dụng lý luận căn bản về các phép toán trên tập hợp, chứng minh (∩*Vn*)∩*B0*≠∅.
Với *S* là quảng đường, chỉ cần chứng minh cho ∩Cl(*Bn*)≠∅, bằng cách xây dựng một 
dãy Cauchy {*xn*}, với mỗi *n*, *xn*∈Cl(*Bn*), do tính đầy đủ của *S* nên dãy {*xn*} hội tụ về *x* trong *S*, do *xn*∈Cl(*Bk*), ∀*n*≥*k*, suy ra x∈∩Cl(*Bn*).

Một vài ứng dụng
----------------

* Một hệ quả của định lý phạm trù Baire đã được sử dụng trong chứng minh Nguyên lý ánh xạ mở, một định lý quan trọng trong Giải tích hàm.
* Định lý phạm trù Baire cho thấy rằng tất cả các đa tạp Hausdroff hữu hạn chiều là không gian Baire.
* Cho một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau *K1* ⊇ *K2* ⊇...trong không gian metric đầy đủ (*X*,*d*). Nếu như diam *Kn*→0 thì ∩*Kn*≠∅.
* Cho *X* là một không gian tôpô. (*Y*,*d*) là không gian metric. Cho {*fn*} là dãy các hàm liên tục từ *X* vào *Y*, thỏa mãn *fn (x)* → *f(x)* với mọi *x* thuộc *X*, với *f* là ánh xạ từ *X* vào *Y*. Khi đó, nếu *X* là không gian Baire thì tập hợp tất cả các điểm mà *f* liên tục trù mật trong *X*.

Tham khảo
---------

* Dương Minh Đức(2000),*Giải tích hàm*, Nhà xuất bản: Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
* James Munkres(2000), *Topology: A first course*, 2nd edition, Prentice-Hall, New Jersey.
* Colin Adams, Robert Fransoza(2009), *Introduction to Topology: Pure and Applied*, Pearson.