|  |
| --- |
| Một phần của loạt bài về |
| Vi tích phân |
| * Định lý cơ bản
* Quy tắc tích phân Leibniz

* Giới hạn của hàm số
* Tính liên tục

* Định lý giá trị trung bình
* Định lý Rolle

 |
| Vi phân

| 
Định nghĩa |
| --- |
| * Đạo hàm (Tổng quát)

* Vi phân
	+ vô cùng bé
	+ hàm số
	+ toàn phần

 |
| 
Khái niệm |
| 
* Ký hiệu vi phân
* Đạo hàm bậc hai
* Vi phân ẩn
* Định lý Taylor

 |
| Quy tắc và đẳng thức |
| 
* Cộng
* Nhân
* Dây chuyền
* Lũy thừa
* Chia
* Quy tắc l'Hôpital
* Hàm ngược
* Leibniz tổng quát
* Công thức Faà di Bruno

 |

 |
| Tích phân

|  |
| --- |
| * Danh sách tích phân
* Biến đổi tích phân
 |
| 
Định nghĩa |
| * Nguyên hàm
* Tích phân (suy rộng)
* Tích phân Riemann
* Tích phân Lebesgue
* Tích phân theo chu tuyến
* Tích phân của hàm ngược
 |
| 
Kỹ thuật |
| * Từng phần
* Đĩa
* Vỏ
* Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler)
* Công thức Euler
* Đổi trật tự
* Công thức truy hồi
* Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
 |

 |
| Chuỗi

|  |
| --- |
| * Hình học (số học-hình học)
* Điều hòa
* Đan dấu
* Lũy thừa
* Nhị thức
* Taylor
 |
| Tiêu chuẩn hội tụ |
| * Số hạng
* d'Alembert
* Cauchy
* Tích phân
* So sánh
* So sánh giới hạn
* Chuỗi đan dấu
* Cô đọng Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vectơ

|  |
| --- |
| * Gradien
* Div
* Rot
* Laplace
* Đạo hàm có hướng
* Đẳng thức
 |
| 
Định lý |
| * Gauss
* Gradient
* Green
* Kelvin–Stokes
* Stokes
 |

 |
| Nhiều biến

| 
Chủ đề |
| --- |
| * Ma trận
* Tenxơ
* Đạo hàm ngoài
* Hình học
 |
| 
Định nghĩa |
| * Đạo hàm riêng
* Tích phân bội
* Tích phân đường
* Tích phân mặt
* Tích phân thể tích
* Ma trận Jacobi
* Ma trận Hesse
 |

 |
| Chuyên ngành
* Malliavin
* Ngẫu nhiên
* Phép tính biến phân

 |
| Thuật ngữ
* Thuật ngữ giải tích

 |
| * x
* t
* s
 |

Trong vi tích phân, hoán vị **trật tự của phép lấy tích phân** là một phương pháp luận biến đổi tích phân lặp (hoặc tích phân bội bằng việc sử dụng định lý Fubini) của các hàm thành tích phân khác bằng cách thay đổi trật tự các tích phân được thực hiện. Trong một số trường hợp, trật tự tích phân có thể được hoán đổi với nhau một cách hợp lệ; một số trường hợp khác thì không.

Phát biểu bài toán
------------------

Bài toán để khảo sát là đánh giá tích phân dạng

{\displaystyle \iint \_{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}
trong đó D là một miền hai chiều nào đó trong mặt phẳng xy. Với các hàm *f* có tích phân đơn giản thì khả thi, nhưng khi hàm lấy tích phân phức tạp, tích phân đôi khi có thể được giảm đến dạng đơn giản hơn bằng cách thay đổi trật tự của phép lấy tích phân. Khó khăn trong hoán đổi này là xác định sự thay đổi trong mô tả của miền *D*.

Phương pháp này cũng được áp dụng cho các tích phân bội khác.

Đôi khi, mặc dù một đánh giá toàn thể là khó khăn, hoặc có lẽ yêu cầu phải có tích phân số, một tích phân kép có thể được giảm xuống một tích phân đơn như minh họa sau. Việc giảm thành tích phân đơn giúp việc đánh giá số dễ dàng và hiệu quả hơn.

Mối liên hệ với phép lấy tích phân từng phần
--------------------------------------------

Hình 1: Tích phân trên vùng có hình tam giác có thể được thực hiện bằng các dải dọc hoặc ngang như bước đầu tiên. Đây là một phép chiếu thẳng đứng, nhìn xuống trục z trên mặt phẳng x-y. Đường xiên là đường cong *y = x*.
Xét tích phân lặp 

{\displaystyle \int \_{a}^{z}\,\int \_{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx\ },
mà chúng ta sẽ viết bằng cách sử dụng ký hiệu tiền tố thường gặp trong vật lý:

{\displaystyle \int \_{a}^{z}dx\,\int \_{a}^{x}\,h(y)\,dy}.
Trong biểu thức này, tích phân thứ hai được tính trước trên y và x được coi là hằng số không đổi - một dải có chiều rộng *dx* được tích phân đầu tiên theo hướng *y*(một dải có chiều rộng dx theo hướng x được tích phân theo biến y trên phương y), thêm tổng vô hạn các hình chữ nhật có chiều rộng *dy* dọc theo trục y. Điều này tạo nên một lát cắt *dx* rộng 3 chiều dọc theo trục x, từ y=a đến y=x dọc theo trục y, và theo hướng  z với z=f(x,y). Chú ý rằng nếu dx có độ dày là vô cùng nhỏ thì x chỉ thay đổi vô cùng nhỏ trên lát cắt. Tích phân này giống như hình hiển thị tại khung trái của hình 1, nhưng là đặc biệt bất tiện là khi hàm *h (y)* không dễ dàng lấy tích phân. Tích phân có thể được quy về một tích phân đơn bằng cách đảo ngược trật tự của phép lấy tích phân như trong bảng bên phải của hình. Để thực hiện việc hoán đổi các biến này, các dải rộng *dy* được tích phân trước từ đường thẳng *x = y* đến giới hạn *x = z*, rồi sau đó kết quả sẽ được lấy tích phân từ *y = a* đến *y = z*, kết quả là:

{\displaystyle \int \_{a}^{z}\ dx\ \int \_{a}^{x}\ h(y)\ dy\ =\int \_{a}^{z}\ h(y)\ dy\ \ \int \_{y}^{z}\ dx=\int \_{a}^{z}\ \left(z-y\right)h(y)\,dy\ .}
Kết quả này có thể được coi là một ví dụ về công thức tích phân từng phần, như đã phát biểu dưới đây:

{\displaystyle \int \_{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]\_{a}^{z}-\int \_{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx\!}
Thế:

{\displaystyle f(x)=\int \_{a}^{x}\ h(y)\,dy{\text{ and }}g'(x)=1\ .}
Từ đó ta có kết quả.

Tích phân giá trị chủ yếu
-------------------------

Với các ứng dụng của tích phân giá trị chủ yếu, hãy xem Whittaker and Watson, Gakhov, Lu, hay Zwillinger. Xem thêm thảo luận về phép biến đổi Poincaré-Bertrand trong Obolashvili. Một ví dụ về việc trật tự của phép lấy tích phân không thể biến đổi được cho bởi Kanwal:

{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int \_{L}^{\*}{\frac {d{\tau }\_{1}}{{\tau }\_{1}-t}}\ \int \_{L}^{\*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau \_{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\,}
với:

{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int \_{L}^{\*}g(\tau )\ d\tau \left(\int \_{L}^{\*}{\frac {d\tau \_{1}}{\left(\tau \_{1}-t\right)\left(\tau -\tau \_{1}\right)}}\right)=0\ .}
Dạng thứ hai được đánh giá bằng cách sử dụng khai triển phân số từng phần và một đánh giá bằng cách sử dụng công thức Sokhotski–Plemelj:

{\displaystyle \int \_{L}^{\*}{\frac {d\tau \_{1}}{\tau \_{1}-t}}=\int \_{L}^{\*}{\frac {d\tau \_{1}}{\tau \_{1}-t}}=\pi \ i\ .}
Ký hiệu {\displaystyle \int \_{L}^{\*}} chỉ ra một giá trị chủ yếu Cauchy. Xem Kanwal.

Các định lý cơ bản
------------------

Một thảo luận có giá trị về cơ sở cho việc đảo trật tự của phép lấy tích phân được tìm thấy trong cuốn sách *Fourier Analysis* của T.W. Körner. Ông giới thiệu thảo luận của mình bằng một ví dụ mà việc hoán đổi phép lấy tích phân dẫn đến hai đáp án khác nhau, vì những điều kiện của Định lý II dưới đây không thỏa mãn. Đây là ví dụ:

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]\_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}
{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }\left(\int \_{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}
{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }\left(\int \_{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}
Hai định lý cơ bản chi phối được chấp nhận về sự hoán đổi được trích dẫn dưới đây của Chaudhry và Zubair:

Định lý quan trọng nhất về các ứng dụng được trích dẫn từ Protter và Morrey:

Xem thêm
--------

* Định lý Fubini

Tham khảo và ghi chú
--------------------

1. ↑  Seán Dineen (2001). *Multivariate Calculus and Geometry*. Springer. tr. 162. ISBN 1-85233-472-X.
2. ↑  Richard Courant & Fritz John (2000). *Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics*. Springer. tr. 897. ISBN 3-540-66569-2.
3. ↑  Department of Mathematics, Oregon State University. "Double Integrals".
4. ↑  The *prime* notation "**′** "denotes a derivative.
5. ↑  Edmund Taylor Whittaker & George Neville Watson (1927). *A course of modern analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions* (ấn bản 4). Cambridge University Press. tr. §4.51, p. 75. ISBN 0-521-58807-3.
6. ↑  F. D. Gakhov (1990). *Boundary Value Problems*. Courier Dover Publications. tr. 46. ISBN 0-486-66275-6.
7. ↑  Jian-Ke Lu (1993). *Boundary Value Problems for Analytic Functions*. Singapore: World Scientific. tr. 44. ISBN 981-02-1020-5.
8. ↑  Daniel Zwillinger (1992). *Handbook of integration*. AK Peters Ltd. tr. 61. ISBN 0-86720-293-9.
9. ↑  Elena Irodionovna Obolashvili (2003). *Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems*. Birkhäuser. tr. 101. ISBN 0-8176-4286-2.
10. 1 2  Ram P. Kanwal (1996). *Linear Integral Equations: theory and technique* (ấn bản 2). Boston: Birkhäuser. tr. 194. ISBN 0-8176-3940-3.
11. ↑  For a discussion of the Sokhotski-Plemelj formula see, for example, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross (2006). *The Cauchy Transform*. American Mathematical Society. tr. 56. ISBN 0-8218-3871-7.
12. ↑  Thomas William Körner (1988). *Fourier Analysis*. Cambridge University Press. tr. Chapters 47 & 48. ISBN 0-521-38991-7.
13. ↑  M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). *On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications*. CRC Press. tr. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7.
14. ↑  Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. (1985). *Intermediate Calculus*. Springer. tr. 307. ISBN 0-387-96058-9.

Liên kết ngoài
--------------

* Paul's Online Math Notes: Calculus III
* Good 3D images showing the computation of "Double Integrals" using iterated integrals, the Department of Mathematics at Oregon State University.
* Ron Miech's UCLA Calculus Problems Lưu trữ 2009-06-19 tại Wayback Machine More complex examples of changing the order of integration (see Problems 33, 35, 37, 39, 41 & 43)
* Duane Nykamp's University of Minnesota website
* A general introduction.