Trong hình học phẳng, **định lý Casey**, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey.

Nội dung của định lý
--------------------

{\displaystyle t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}-t\_{13}\cdot t\_{24}=0}
Cho {\displaystyle \,O} là một đường tròn có bán kính {\displaystyle \,R}. Cho {\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} là bốn đường tròn theo thứ tự không cắt nhau cùng ở trong (hoặc cùng ở ngoài) và tiếp xúc với đường tròn {\displaystyle \,O}. Định nghĩa {\displaystyle \,t\_{ij}} là độ dài tiếp tuyến ngoài của các đường tròn {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}}. Khi đó:[1]

{\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}.}
Trong trường hợp các đường tròn {\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} suy biến thành một điểm định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.

Chứng minh
----------

Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias [2]. Gọi bán kính của đường tròn {\displaystyle \,O\_{i}} là {\displaystyle \,R\_{i}} và các đường tròn này tiếp xúc với {\displaystyle \,O} tại {\displaystyle \,K\_{i}}. Gọi {\displaystyle \,O,O\_{i}} là tâm của các đường tròn này.

Theo định lý Pytago

{\displaystyle \,t\_{ij}^{2}={\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}.}
Trong tam giác {\displaystyle \,O\_{i}OO\_{j}}, áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của {\displaystyle \,K\_{i},K\_{j}}

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}={\overline {OO\_{i}}}^{2}+{\overline {OO\_{j}}}^{2}-2{\overline {OO\_{i}}}\cdot {\overline {OO\_{j}}}\cdot \cos \angle O\_{i}OO\_{j}}
Vì các đường tròn {\displaystyle \,O,O\_{i}} tiếp xúc nhau:

{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}=R-R\_{i},\,\angle O\_{i}OO\_{j}=\angle K\_{i}OK\_{j}}
Gọi {\displaystyle \,C} là một điểm trên đường tròn {\displaystyle \,O}. Theo định lý sin trong tam giác {\displaystyle \,K\_{i}CK\_{j}} ta có:

{\displaystyle {\overline {K\_{i}K\_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K\_{i}CK\_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}}
Do đó:

{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K\_{i}K\_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
Từ các đẳng thức trên ta có:

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=((R-R\_{i})-(R-R\_{j}))^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:

{\displaystyle t\_{ij}={\sqrt {{\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R\_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{j}}}\cdot {\overline {K\_{i}K\_{j}}}}{R}}}
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp {\displaystyle \,K\_{1}K\_{2}K\_{3}K\_{4}} vế trái đẳng thức trên ta có:

{\displaystyle t\_{12}t\_{34}+t\_{14}t\_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{2}}}\cdot {\overline {K\_{3}K\_{4}}}+{\overline {K\_{1}K\_{4}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{3}}}\right)}
{\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{3}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{4}}}\right)=t\_{13}t\_{24}}
Định lý được chứng minh.

Ứng dụng
--------

Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng. Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach.

Xem thêm
--------

* Định lý Ptoleme
* Định lý Purser

Chú thích
---------

1. ↑  Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396–423
2. ↑  Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).

Tham khảo
---------

* Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed. rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co. p. 103, 1888.
* Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 37, 1971.
* Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 117, 1928.

Liên kết ngoài
--------------

* Weisstein, Eric W. "Casey's theorem" từ MathWorld.
* Shailesh Shirali: *On a generalized Ptolemy Theorem*