Trong toán học, và chính xác hơn là trong giải tích, tích phân **Wallis** là một tích phân liên quan đến một lũy thừa nguyên của hàm sin. Các tích phân Wallis được John Wallis giới thiệu, nhằm mục đích khai triển số π thành một tích vô hạn các số hữu tỉ: tích Wallis.

Định nghĩa
----------

Các tích phân Wallis là các phần tử của một dãy số thực {\displaystyle (W\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} xác định bởi: 

{\displaystyle W\_{n}=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,\mathrm {d} x} hoặc tương đương (bằng cách đổi biến {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-t}): 

 {\displaystyle W\_{n}=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x}. Các giá trị đầu tiên: 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle W\_{0}} | {\displaystyle W\_{1}} | {\displaystyle W\_{2}} | {\displaystyle W\_{3}} | {\displaystyle W\_{4}} | {\displaystyle W\_{5}} | {\displaystyle W\_{6}} | {\displaystyle W\_{7}} | {\displaystyle W\_{8}} |
| {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} | 1 | {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | {\displaystyle {\frac {2}{3}}} | {\displaystyle {\frac {3\pi }{16}}} | {\displaystyle {\frac {8}{15}}} | {\displaystyle {\frac {5\pi }{32}}} | {\displaystyle {\frac {16}{35}}} | {\displaystyle {\frac {35\pi }{256}}} |

Dãy {\displaystyle (W\_{n})} là dương ngặt và giảm ngặt. Giới hạn của dãy bằng không.

Quan hệ với các tích phân khác
------------------------------

Tích phân từng phần cho phép thiết lập mối quan hệ lặp lại: 

 {\displaystyle W\_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}\,W\_{n}}. Từ đây ta thu được các công thức tổng quát: 

 {\displaystyle W\_{2p}={\frac {\pi }{2}}\prod \_{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}\quad {\text{và}}\quad W\_{2p+1}=\prod \_{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}={\frac {\left(2^{p}p!\right)^{2}}{(2p+1)!}}}.

Tiệm cận dãy các tích phân Wallis
---------------------------------

Các tích phân Wallis có thể được thể hiện qua các tích phân Euler:

1. *Tích phân Euler loại thứ nhất* cũng được gọi là hàm beta: 
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(u)^{2x-1}\cos(u)^{2y-1}\,\mathrm {d} u}
2. *Tích phân Euler loại thứ hai* cũng được gọi là hàm gamma: 
{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t}.

Biết rằng {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} và {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}, ta có thể viết các tích phân Wallis dưới dạng: 

 {\displaystyle W\_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}{2\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}}. Từ công thức lặp lại, ta có mối quan hệ tiệm cận: 

 {\displaystyle W\_{n+1}\sim W\_{n}}. Hệ quả: 

 {\displaystyle W\_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}}.

Ứng dụng
--------

### Thiết lập công thức Stirling

Giả sử sự tồn tại một hằng số {\displaystyle C} sao cho: 

 {\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}. Bằng cách thay thế các giai thừa trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:

{\displaystyle W\_{2p}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}\sim {\frac {\pi }{2}}{\frac {C{\sqrt {2p}}\,\left({\frac {2p}{\mathrm {e} }}\right)^{2p}}{\left(2^{p}C{\sqrt {p}}\,\left({\frac {p}{\mathrm {e} }}\right)^{p}\right)^{2}}}={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}}.

So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có 

 {\displaystyle C=\lim \_{p\to \infty }{\frac {\pi }{W\_{2p}{\sqrt {2p}}}}={\sqrt {2\pi }}}. Do đó, ta suy ra công thức Stirling:

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}.
### Tính π

Từ {\displaystyle W\_{2p}\sim W\_{2p+1}}, ta có 

 {\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{\frac {W\_{2p+1}}{W\_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\pi }{2}}}. Mặt khác:

{\displaystyle {\frac {W\_{2p+1}}{W\_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\prod \_{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}}{\prod \_{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}}}=\prod \_{k=1}^{p}{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}}.
Ta suy ra công thức tích Wallis:

{\displaystyle \prod \_{k=1}^{\infty }{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}={\frac {\pi }{2}}}.

Tham khảo
---------

Liên kết ngoài
--------------

* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.