**Ký hiệu Jacobi** là tổng quát hóa của ký hiệu Legendre. Nó được sử dụng trong lý thuyết số và được đặt theo tên nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi.

Định nghĩa
----------

Ký hiệu Jacobi 
{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}
sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn của số đứng dưới. Nó được định nghĩa như sau:

Giả sử *n* > 0 là số tự nhiên lẻ và {\displaystyle p\_{1}^{\alpha \_{1}}p\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots p\_{k}^{\alpha \_{k}}} là dạng phân tích tiêu chuẩn của *n*.
Với số nguyên *a* bất kỳ, ký hiệu Jacobi {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p\_{1}}}\right)^{\alpha \_{1}}\left({\frac {a}{p\_{2}}}\right)^{\alpha \_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p\_{k}}}\right)^{\alpha \_{k}}}
trong đó tất cả các ký hiệu bên vế phải là Ký hiệu Legendre.

Các tính chất của ký hiệu Jacobi
--------------------------------

Các tính chất sau thường dùng để tính nhanh ký hiệu Jacobi:

1. Nếu *n* là số nguyên tố thì ký hiệu Jacobi là ký hiệu Legendre.
2. {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}}
3. {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0} nếu {\displaystyle \gcd(a,n)\neq 1}
4. {\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)={\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}\left({\frac {b}{n}}\right)}
5. {\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)}. Điều này dẫn tới {\displaystyle \left({\frac {a}{n^{2}}}\right)} là 0 hoặc 1 với số nguyên *a* bất kỳ và số tự nhiên lẻ *n* bất kỳ.
6. Nếu *a* ≡ *b* (mod *n*), thì {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {b}{n}}\right)}
7. {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)=1}
8. {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(n-1)}{2}}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\textrm {khi}}\;n\equiv 1\mod 4\\-1&{\textrm {khi}}\;n\equiv 3\mod 4\end{array}}\right.}
9. {\displaystyle {\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(n^{2}-1)}{8}}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\textrm {if}}\;n\equiv 1\;{\textrm {hoac}}\;7\mod 8\\-1&{\textrm {if}}\;n\equiv 3\;{\textrm {hoac}}\;5\mod 8\end{array}}\right.}}
10. {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}} nếu *m* vàd *n* là các số tự nhiên lẻ.

Tính chất sau cùng thường được biết với tên giống như trong ký hiệu Legendre: luật thuận nghịch bình phương.

Lưu ý
-----

Có hai tính chất đúng với ký hiệu Legendre nhưng không thể mở rộng cho ký hiệu Jacobi.

Thứ nhất, nếu {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1} thì *a* không là thặng dư bậc hai của *n* vì *a* không là thặng dư bậc hai của một số thừa số của *n*. Tuy nhiên, ngược lại khi {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1} *a* chưa chắc chắn là thặng dư bậc hai của *n*. Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi bằng 1.

Tính chất thứ hai không thể mở rộng gắn với đồng dư thức Euler {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}} mod *p* với số nguyên tố *p* và số nguyên *a* bất kỳ. Một cách tự nhiên đồng dư thức Euler mở rộng từ ký hiệu Legendre sang ký hiệu Jacobi là: 
{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\equiv a^{(n-1)/2}} mod *n* với hợp số lẻ dương *n*. Tuy nhiên đồng dư thức này là sai với ít nhất một nửa của các *a* mod *n* khi *n* là hợp số. Tỷ lệ này là cơ sở của thuật toán kiểm tra Solovay-Strassen kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.

Ví dụ
-----

{\displaystyle \left({\frac {37035}{331}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {294}{331}}\right)}
{\displaystyle =1\cdot \left({\frac {2}{331}}\right)\left({\frac {147}{331}}\right)}
{\displaystyle =-\left({\frac {147}{331}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {331}{147}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {37}{147}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {147}{37}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {36}{37}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {2}{37}}\right)^{2}\left({\frac {9}{37}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {37}{9}}\right)}
{\displaystyle =\left({\frac {1}{9}}\right)=1.}

Vì 331 là số nguyên tố nên từ đó 37035 là thặng dư bậc hai mod 331.

Các hàm liên quan
-----------------

* Ký hiệu Kronecker là tổng quát hóa của ký hiệu Jacobi cho tất cả các số nguyên.

Tham khảo
---------

Liên kết ngoài
--------------

* Calculate Jacobi symbol Lưu trữ 2008-07-20 tại Wayback Machine