**Định lý Ceva** là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác *ABC*, các điểm *D*, *E*, và *F* lần lượt nằm trên các đường thẳng *BC*, *CA*, và *AB*. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng *AD*, *BE* và *CF* là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: *AD,BE,CF* đồng quy khi và chỉ khi  

{\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1}.

Định lý CevaMột đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là **đường thẳng Cevian** ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác {\displaystyle DEF} là một **tam giác Cevian** của tam giác ABC.

Chứng minh định lý
------------------

Giả sử ta có: {\displaystyle AD}, {\displaystyle BE} và {\displaystyle CF} đồng quy tại một điểm {\displaystyle O} nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do {\displaystyle \triangle BOD} và {\displaystyle \triangle COD} có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: {\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {BD}{DC}}.} Tương tự, {\displaystyle {\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}={\frac {BD}{DC}}.}

Ta suy ra {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.} (1) 
Tương tự,{\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},} (2) 
và{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.} (3)

(1) x (2) x (3) cho ta:{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}(điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm D, E và {\displaystyle F} thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của {\displaystyle AD} và {\displaystyle BE} là {\displaystyle O}, và gọi giao điểm của {\displaystyle CO} và {\displaystyle AB} là {\displaystyle F'}. Theo chứng minh trên, {\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: {\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.}

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng {\displaystyle AF'+F'B=AF+FB=AB}, ta có {\displaystyle {\frac {AB}{F'B}}={\frac {AB}{FB}}.}

Do đó {\displaystyle F'B=FB}, vậy {\displaystyle F} và {\displaystyle F'} trùng nhau. Vì vậy {\displaystyle AD}, {\displaystyle BE} và {\displaystyle CF}={\displaystyle CF'} đồng quy tại {\displaystyle O}, và định lý đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm
--------------

* Định lý Menelaus
* Định lý Carnot
* Định lý Routh
* Định lý Thales

Tham khảo
---------

1. ↑  Định lý mang tên nhà toán học người Italia là *Giovanni Ceva* (1647 - 1734), người tìm ra định lý này vào năm 1698

* Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". *Pure Geometry*. Clarendon Press.
* Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). "Ceva, Menelaus and the Area Principle". *Mathematics Magazine*. **68** (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569Bản mẫu:Inconsistent citationsQuản lý CS1: postscript (liên kết).
* Hogendijk, J. B. (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician". *Historia Mathematica*. **22**: 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001.
* Landy, Steven (tháng 12 năm 1988). "A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions". *The American Mathematical Monthly*. **95** (10): 936–939. doi:10.2307/2322390.
* Masal'tsev, L. A. (1994). "Incidence theorems in spaces of constant curvature". *Journal of Mathematical Sciences*. **72** (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519.
* Wernicke, Paul (tháng 11 năm 1927). "The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension". *The American Mathematical Monthly*. **34** (9): 468–472. doi:10.2307/2300222.