Hình đới cầu hay cầu phân.
Trong hình học không gian, **hình đới cầu**, **khối đới cầu** hay, **cầu đài**, **cầu phân** (spherical segment), là một phần của khối cầu đặc, xác định bằng cách cắt khối cầu bởi hai mặt phẳng song song. Phần bề mặt cong của nó gọi là **mặt đới cầu**.

Thể tích của hình đới cầu bằng:

* {\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a\_{1}^{2}+3a\_{2}^{2}+h^{2})},

với {\displaystyle a\_{1},a\_{2}} là bán kính của hai hình tròn giới hạn (mặt phẳng đáy và mặt phẳng đỉnh của hình đới cầu) và h là chiều cao của nó.
Diện tích của *mặt đới cầu* bằng:

* {\displaystyle M=2\pi rh}

và tổng diện tích bề mặt hình đới cầu (hai mặt phẳng đáy và đỉnh và mặt đới cầu):

* {\displaystyle O=\pi (2rh+a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2})}.

Từ các dữ liệu {\displaystyle a\_{1},a\_{2},h} của hình đới cầu, bán kính của mặt cầu bao hình đới cầu bằng:

* {\displaystyle r^{2}=a\_{1}^{2}+\left({\frac {a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}

Chứng minh công thức
--------------------

Thể tích của hình đới cầu bằng thể tích của hình chỏm cầu (spherical cap) lớn {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{1}} (có đáy là mặt phẳng đáy của hình đới cầu), trừ đi thể tích của hình chỏm cầu {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{2}} (có đáy là mặt phẳng đỉnh của hình đới cầu). Đặt {\displaystyle h\_{1}} là chiều cao của {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{1}} và {\displaystyle h\_{2}} là chiều cao của {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{2}}. 

### Thể tích

Thể tích của các hình chỏm cầu lần lượt bằng {\displaystyle V\_{1}={\frac {\pi h\_{1}^{2}}{3}}(3r-h\_{1}),\ V\_{2}={\frac {\pi h\_{2}^{2}}{3}}(3r-h\_{2})} (xem hình chỏm cầu). Do vậy

{\displaystyle V=V\_{1}-V\_{2}={\frac {\pi }{3}}(3(h\_{1}^{2}-h\_{2}^{2})r-(h\_{1}^{3}-h\_{2}^{3})}
{\displaystyle ={\frac {\pi }{3}}(h\_{1}-h\_{2})(3(h\_{1}+h\_{2})r-(h\_{1}^{2}+h\_{1}h\_{2}+h\_{2}^{2}))}
Với mối liên hệ {\displaystyle 2rh\_{1}=a\_{1}^{2}+h\_{1}^{2},\ 2rh\_{2}=a\_{2}^{2}+h\_{2}^{2},} (xem bài hình chỏm cầu) thu được

{\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}(h\_{1}-h\_{2})\left({\frac {3}{2}}(a\_{1}^{2}+h\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+h\_{2}^{2})-h\_{1}^{2}-h\_{1}h\_{2}-h\_{2}^{2}\right)}
{\displaystyle ={\frac {\pi }{6}}(h\_{1}-h\_{2})(3(a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2})+(h\_{1}-h\_{2})^{2})}.
Vì {\displaystyle h=h\_{1}-h\_{2}} nên suy ra công thức thể tích:
{\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a\_{1}^{2}+3a\_{2}^{2}+h^{2})}.

### Diện tích mặt đới cầu

Với *diện tích mặt đới cầu* chứng minh tương tự

{\displaystyle M=M\_{1}-M\_{2}=2\pi rh\_{1}-2\pi rh\_{2}=2\pi r(h\_{1}-h\_{2})=2\pi rh}.
### Bán kính mặt cầu

Để chứng minh mối quan hệ giữa {\displaystyle r,a\_{1},a\_{2},h} và d là khoảng cách từ mặt phẳng đáy đến tâm hình cầu M. Do vậy 

{\displaystyle (1):\ r^{2}=d^{2}+a\_{1}^{2}\quad (2):\ r^{2}=(d+h)^{2}+a\_{2}^{2}}.
Đặt hai phương trình bằng nhau và thay thế d, với {\displaystyle d={\frac {a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}} 
Quay trở lại phương trình (1) có 

{\displaystyle r^{2}=a\_{1}^{2}+\left({\frac {a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}.

Xem thêm
--------

* iconCổng thông tin Toán học
* Cổng thông tin Hình học

* Hình chỏm cầu (spherical cap)
* Hình quạt cầu (spherical sector)
* Hình chêm cầu (spherical wedge)
* Hình vòng đai cầu trụ (hình giới hạn bởi hình cầu và hình trụ), (spherical ring)

Thư mục
-------

* Kern, William F.; Bland, James R. (1938). *Solid Mensuration with Proofs*. tr. 95–97.
* I. Bronstein u.a.: *Taschenbuch der Mathematik.* Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
* *Kleine Enzyklopädie Mathematik*, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
* L. Kusch u.a.: *Mathematik, Teil 4 Integralrechnung.* Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Tham khảo
---------

Liên kết ngoài
--------------

* Weisstein, Eric W. "Spherical Segment" từ MathWorld.
* Weisstein, Eric W. "Spherical zone" từ MathWorld.
* Summary of spherical formulas.