**Nhóm lũy linh** cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩa
----------

### Chuỗi tâm trên

Tồn tại một nhóm {\displaystyle G} là *lũy linh* nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên {\displaystyle c} sao cho {\displaystyle Z\_{c}(G)=G}. Sau đây chúng ta định nghĩa {\displaystyle Z\_{i}(G)} bằng phương pháp quy nạp:

Tâm {\displaystyle Z\_{i}(G)} là tạo ảnh của tâm {\displaystyle Z(G/Z\_{i-1}(G))} dưới các ánh xạ thương từ {\displaystyle G} đến {\displaystyle G/Z\_{i-1}(G)} và {\displaystyle Z\_{0}(G)} là nhóm con chuẩn tắc của {\displaystyle G}.

### Chuỗi tâm dưới

{\displaystyle G} là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên {\displaystyle c} sao cho {\displaystyle [[[..[G,G],G],G],...G]} là chuẩn tắc với {\displaystyle G} được nhắc lại {\displaystyle c+1} lần. {\displaystyle [,]} là giao hoán tử của các tập con của {\displaystyle G}.

### Chuỗi tâm

{\displaystyle G} là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên {\displaystyle c} và một dãy con hữu hạn:

{\displaystyle G=H\_{1}\geq H\_{2}\geq ...\geq H\_{c+1}=\left\{e\right\}} và mỗi {\displaystyle H\_{i}} là nhóm con chuẩn tắc của {\displaystyle G} và {\displaystyle H\_{i}/H\_{i+1}} là tâm của {\displaystyle G/H\_{i+1}}.

### Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch)

Tập {\displaystyle \left\{(g,g):g\in G\right\}} là nhóm con của tích Descartes {\displaystyle G\times G} với mọi {\displaystyle c\in \mathbb {N} }.

### Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) {\displaystyle c\in \mathbb {N} } sao cho {\displaystyle [[...[[x\_{1},x\_{2}],x\_{3}],...],x\_{c+1}]} nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi {\displaystyle x\_{i}\in G}.

### Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại số {\displaystyle c} như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm {\displaystyle c} tích giao hoán tử.

Trong trường hợp {\displaystyle c=3}, biểu thức

{\displaystyle [[x\_{1},x\_{2}],[x\_{3},x\_{4}]],[[[x\_{1},x\_{2}],x\_{3}],x\_{4}]],[x\_{1},[x\_{2},[x\_{3},x\_{4}]]]},

{\displaystyle [[x\_{1},[x\_{2},x\_{3}]],x\_{4}],[x\_{1},[[x\_{2},x\_{3}],x\_{4}]} đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

### Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quát

Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

Ví dụ
-----

* Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên *lớp lũy linh* cấp {\displaystyle 0}.
* Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp {\displaystyle 1}.
* Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
* Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

Tính chất
---------

* *Giả tốt*.
* Nếu {\displaystyle G} lũy linh, nhóm con {\displaystyle H} cũng lũy linh.
* Nếu {\displaystyle G} lũy linh và có nhóm con bình thường {\displaystyle H} thì nhóm thương {\displaystyle G/H} cũng lũy linh.
* Nếu {\displaystyle G\_{i},i=1,2,...n} lũy linh, tích Descartes {\displaystyle \Pi \_{i=1}^{n}G\_{i}} cũng lũy linh.
* Nếu {\displaystyle G} lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường {\displaystyle N\_{1},N\_{2},...N\_{n}} thì tích *trong* của chúng cũng lũy linh.
* Nếu {\displaystyle G\_{1},G\_{2}} là nhóm isoclinic và {\displaystyle G\_{1}} lũy linh, nhóm {\displaystyle G\_{2}} cũng lũy linh.

Tham khảo
---------

* *Homology in group theory*, by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. review
* Suprunenko, D. A. (1976). *Matrix Groups*. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2.
* Hungerford, Thomas Gordon (1974). *Algebra*. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
* Palmer, Theodore W. (1994). *Banach algebras and the general theory of \*-algebras*. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.
* Friedrich Von Haeseler (2002). *Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36)*. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
* Isaacs, I. Martin (2008). *Finite group theory*. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3.
* Zassenhaus, Hans (1999). *The theory of groups*. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.
* Bechtell, Homer (1971). *The theory of groups*. Addison-Wesley.
* Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). *Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series)*. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)