Trong giải tích phức, một nhánh của toán học, **thác triển giải tích** là một kỹ thuật để mở rộng miền xác định của một hàm giải tích nhất định.

Thảo luận khởi đầu
------------------

 Thác triển giải tích của hàm logarit (đồ thị của phần ảo)
Giả sử *f* là một hàm giải tích được xác định trên tập con mở không rỗng *U* của mặt phẳng phức {\displaystyle \mathbb {C} .} Nếu *V* là tập con mở lớn hơn của {\displaystyle \mathbb {C} ,} chứa *U* và *F* là một hàm giải tích được xác định trên *V* sao cho

{\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}
thì *F* được gọi là một **thác triển giải tích** của *f*. Nói cách khác, thu hẹp của *F* về *U* là hàm *f* ban đầu.

Thác triển giải tích là duy nhất theo nghĩa sau: nếu *V* là miền xác định liên thông của hai hàm giải tích *F*1 và *F*2 sao cho *U* được chứa trong *V* và với mọi *z* trong *U*

{\displaystyle F\_{1}(z)=F\_{2}(z)=f(z),}
thì

{\displaystyle F\_{1}=F\_{2}}
Đây là hệ quả trực tiếp từ định lý đồng nhất cho các hàm chỉnh hình.

Ví dụ cụ thể
------------

 Thác triển giải tích từ *U* (tâm tại 1) đến *V* (tâm tại a = (3 + i) / 2)
Xét:

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này là 1. Đó là, f xác định và giải tích trên tập mở {\displaystyle U=\{|z-1|<1\}} có biên {\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}. Lưu ý rằng chuỗi lũy thừa phân kỳ tại {\displaystyle z=0\in \partial U}.

Ta tìm một chuỗi số mới có tâm tại {\displaystyle a\in U}:

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}(z-a)^{k}.}
Ta sẽ tìm {\displaystyle a\_{k}} và xác định xem chuỗi mới này có hội tụ trong một tập mở V không phải là một tập con của U hay không. Nếu ta thành công, ta đã thác triển f đến một miền {\displaystyle U\cup V} lớn hơn U.

Ta có

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\partial D}{\frac {\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int \_{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int \_{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int \_{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int \_{0}^{2\pi }{\frac {\sum \_{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}
Tức là

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}(z-a)^{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}={\frac {1}{a}}\sum \_{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k},}
Chuỗi mới này có bán kính hội tụ |a| và {\displaystyle V=\{|z-a|<|a|\}.} Nếu ta chọn {\displaystyle a\in U} với {\displaystyle |a|>1}, thì V không phải là một tập hợp con của U và thực ra thì có diện tích lớn hơn U. Hình vẽ minh họa cho {\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}

Ta có thể tiếp tục quá trình này. Trong trường hợp cụ thể này, f có thể được thác triển giải tích đến mặt phẳng phức trừ một điểm {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}

Mầm
---

Chuỗi lũy thừa được khái quát bằng khái niệm *mầm*. Lý thuyết chung thác triển giải tích và khái quát hóa của nó được gọi là lý thuyết bó. Xét

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }\alpha \_{k}(z-z\_{0})^{k}}
Ta nói rằng véc-tơ

{\displaystyle g=(z\_{0},\alpha \_{0},\alpha \_{1},\alpha \_{2},\ldots )}
là *mầm* của *f*. *Nền* của *g* là *z*0, *gốc* của *g* là (α0, α1, α2,...) và *đỉnh* *g*1 của *g* là α0. Đỉnh của *g* là giá trị của *f* tại *z* 0.

Tập hợp các mầm tạo thành một không gian mầm {\displaystyle {\mathcal {G}}}.

Tô-pô của không gian mầm
------------------------

Ta có thể định nghĩa một cấu trúc tô pô trên {\displaystyle {\mathcal {G}}}. Đặt *r* > 0 và xét

{\displaystyle U\_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g\_{0}-h\_{0}|<r\}.}
Các tập hợp *Ur*(*g*), với *r* > 0 và {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} xác định một cơ sở của các tập mở cho một cấu trúc tô-pô trên {\displaystyle {\mathcal {G}}}.

Một thành phần liên thông của {\displaystyle {\mathcal {G}}} được gọi là một bó. Lưu ý rằng tồn tại các bản đồ {\displaystyle \phi \_{g}(h)=h\_{0}:U\_{r}(g)\to \mathbb {C} ,} với *r* là bán kính hội tụ của *g*. Tập hợp các bản đồ như vậy tạo thành một at-lat cho {\displaystyle {\mathcal {G}}}, vì thế {\displaystyle {\mathcal {G}}} là một mặt Riemann. {\displaystyle {\mathcal {G}}} đôi khi được gọi là *hàm giải tích phổ quát*. Một thành phần liên thông của nó cũng chính là không gian étalé của bó các hàm giải tích trên một miền của mặt phẳng phức.

Tham khảo
---------

* Lars Ahlfors (1979). *Complex Analysis* (ấn bản 3). McGraw-Hill. tr. 172, 284.
* Ludwig Bieberbach (1955). *Analytische Fortsetzung*. Springer-Verlag.
* P. Dienes (1957). *The Taylor series: an introduction to the theory of functions of a complex variable*. New York: Dover Publications, Inc.

Liên kết ngoài
--------------