Trong Toán học, **chuỗi lồng nhau** là chuỗi mà mỗi phần tử {\displaystyle t\_{n}} có thể viết thành {\displaystyle t\_{n}=a\_{n}-a\_{n-1}}, hiệu của hai phần tử liên tiếp trong dãy {\displaystyle (a\_{n})}.

Do đó, tổng riêng chỉ còn hai phần tử trong dãy sau khi khử xong. Kỹ thuật khử với mỗi phần tử khử một phần của phần tử sau đó được gọi là phương pháp khử.[*cần dẫn nguồn*]

Để lấy ví dụ, xét chuỗi của các nghịch đảo của số pronic.

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
Chuỗi trên có thể đơn giản hóa thành

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}

Tổng quát
---------

 Chuỗi lồng nhau của các số mũ
Các tổng của chuỗi lồng nhau là các tổng hữu hạn mà mỗi cặp của hai phần tử liên tiếp khử nhau, để lại phần tử đầu và cuối. 

Đặt {\displaystyle a\_{n}} là dãy số, khi đó

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=a\_{N}-a\_{0}}
Nếu {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=-a\_{0}}
Tích lồng nhau là tích hữu hạn mà hai phần tử liên tiếp khử mẫu số với tử số, để lại phần tử đầu và cuối.

Đặt {\displaystyle a\_{n}} là một dãy số. Khi đó,

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{N}{\frac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}={\frac {a\_{0}}{a\_{N}}}}
Nếu {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 1}

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}=a\_{0}}

Các ví dụ khác
--------------

* Nhiều hàm lượng giác cũng có thể biểu diễn thành hiệu, cho phép dùng phương pháp khử hai phần tử liên tiếp.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum \_{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
* Một số tổng dưới dạng

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}
với *f* và *g* là đa thức sao cho phân số có thể tách thành các phần nhỏ hơn, sẽ không tính được tổng bằng phương pháp này. Để lấy ví dụ, xét chuỗi sau
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}

Tham khảo
---------

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Telescoping Sum". *MathWorld* (bằng tiếng Anh). Wolfram.

| * x
* t
* s
Các dãy và chuỗi |
| --- |
| Dãy số nguyên | 

|  |  |
| --- | --- |
| Đơn giản | 
* Cấp số cộng
* Cấp số nhân
* Cấp số điều hòa
* Số chính phương
* Số lập phương
* Giai thừa
* Lũy thừa của 2
* Lũy thừa của 3
* Lũy thừa của 10

 |
| Nâng cao | 
* Complete sequence
* Dãy Fibonacci
* Số hình học
	+ Số đa giác
		- Số lục giác
		- Số ngũ giác
		- Số tam giác
		- Số thất giác
* Số Lucas
* Số Pell

 |

 | Xoắn ốc Fibonacci với kích thước hình vuông lên đến 34. |
| Tính chấtcủa các dãy | 
* Dãy Cauchy
* Hàm số đơn điệu
* Dãy tuần hoàn

 |
| Tính chấtcủa các chuỗi | 
* Chuỗi hội tụ
* Chuỗi phân kỳ
* Hội tụ điều kiện
* Hội tụ đồng nhất
* Hội tụ tuyệt đối
* Chuỗi thay phiên
* Chuỗi lồng nhau

 |
| Các chuỗi cụ thể | 

|  |  |
| --- | --- |
| Hội tụ | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s*+ 1/3*s* + ... (hàm zeta Riemann)

 |
| Phân kỳ | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Chuỗi Grandi)
* 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (chuỗi điều hòa)
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (giai thừa xen kẽ)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (nghịch đảo của các số nguyên tố)

 |

 |
| Các loại chuỗi | 
* Chuỗi Dirichlet
* Chuỗi Fourier
* Chuỗi Laurent
* Chuỗi lũy thừa
	+ Chuỗi lũy thừa thông thường
* Chuỗi lượng giác
* Chuỗi Puiseux
* Chuỗi Taylor
* Chuỗi sinh

 |
| Chuỗi siêu bội | 
* Chuỗi siêu bội của một ma trận
* Chuỗi siêu bội Lauricella
* Chuỗi siêu bội Modular
* Chuỗi siêu bội Theta
* Chuỗi siêu bội tổng quan
* Phương trình vi phân của Riemann

 |
| 
* Thể loại Thể loại

 |