Khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp

 Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.
**Khoảng cách số nguyên tố** là khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Khoảng cách thứ *n*, ký hiệu bởi *g**n* hay *g*(*p**n*) là khoảng cách giữa số nguyên tố thứ (*n* + 1) và số nguyên tố thứ *n*, hay nói cách khác:

{\displaystyle g\_{n}=p\_{n+1}-p\_{n}.\ }
Ta có *g*1 = 1, *g*2 = *g*3 = 2, và *g*4 = 4. Dãy (*g**n*) của khoảng cách số nguyên tố hiện vẫn đang được nghiên cứu kỹ lưỡng, song nhiều bài toán và giả thuyết vẫn còn chưa được chứng minh.

Danh sách 60 khoảng cách số nguyên tố đầu tiên:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (dãy số A001223 trong bảng OEIS).
Theo định nghĩa của *g**n*, mọi số nguyên tố đều có thể viết thành

{\displaystyle p\_{n+1}=2+\sum \_{i=1}^{n}g\_{i}.}

Quan sát đầu tiên
-----------------

Khoảng cách số nguyên tố nhỏ nhất và duy nhất là số lẻ là khoảng cách 1 giữa 2, số nguyên tố chẵn duy nhất, và 3, số nguyên tố lẻ đầu tiên. Mọi khoảng cách số nguyên tố khác đều là số chẵn. Chỉ có duy nhất một cặp hai khoảng cách số nguyên tố liên tục bằng 2: khoảng cách *g*2 và *g*3 giữa ba số nguyên tố 3, 5, và 7.

Vói bất kỳ số nguyên *n*, giá trị giai thừa *n*! là  tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 tới *n*. Sau đó, xét dãy

{\displaystyle n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n}
Dễ nhận thấy phần tử đầu tiên chia hết cho 2, phần tử thứ hai chia hết cho 3, và tiếp tục như vậy. Do đó, đây là dãy *n* − 1 hợp số liên tiếp, và nó phải thuộc khoảng cách giữa hai số nguyên tố có độ dài ít nhất *n*. Điều này có nghĩa khoảng cách số nguyên tố có thể lớn tùy ý, hay nói dưới công thức: với bất kỳ số nguyên *N*, tồn tại số nguyên *m* sao cho *g**m* ≥ *N*.

Tuy nhiên, khoảng cách số nguyên tố với độ dài *n* có thể xảy ra ở các số nhỏ hơn *n*!. Lấy ví dụ chẳng hạn, khoảng cách số nguyên tố đầu tiên có độ dài lớn hơn 14 nằm giữa 523 và 541, trong khi 15! là số cực kỳ lớn, 1307674368000.

Các kết quả số học
------------------

Thường thì tỷ lệ của *g**n* ∕ln(*p**n*) được gọi là *merit* của khoảng cách *g**n* . Tính đến ngày 25 tháng 2 năm 2022[cập nhật], khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số có thể nguyên tố có độ dài 6966714, bao gồm 208296 chữ số của số có thể nguyên tố và merit *M* = 14.5395, được phát hiện bởi Michiel Jansen dùng phần mềm sàng phát triển bởi J. K. Andersen.. Trong khi đó, khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số nguyên tố đã được chứng minh có độ dài bằng 1113106 và merit = 25.90, với 18662 chữ số trong số nguyên tố, phát hiện bởi P. Cami, M. Jansen và J. K. Andersen.

Tính đến tháng 12 năm 2017[cập nhật], giá trị merit lớn nhất và đầu tiên lớn hơn 40, phát hiện bởi mạng Gapcoin, là 41.93878373 với số nguyên tố 87 chữ số: 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Khoảng cách số nguyên tố của số này với số nguyên tố ngay sau đó là 8350.

**Các giá trị merit đã được tính** (tính đến tháng 10 năm 2020[cập nhật])| Merit | *gn* | Số chữ số | *pn* | Năm | Người phát hiện |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 41.938784 | 8350 | 87 | xem trên | 2017 | Gapcoin |
| 39.620154 | 15900 | 175 | 3483347771 × 409#/30 − 7016 | 2017 | Dana Jacobsen |
| 38.066960 | 18306 | 209 | 650094367 × 491#/2310 − 8936 | 2017 | Dana Jacobsen |
| 38.047893 | 35308 | 404 | 100054841 × 953#/210 − 9670 | 2020 | Seth Troisi |
| 37.824126 | 8382 | 97 | 512950801 × 229#/5610 − 4138 | 2018 | Dana Jacobsen |
|

Tỷ lệ Cramér–Shanks–Granville được tính bằng tỷ lệ *g**n* / (ln(*p**n*))2. Nếu ta bỏ đi tỷ lệ cao thất thường của các số nguyên tố 2, 3, 7, thì giá trị lớn nhất tính theo tỷ lệ này là 0.9206386 cho số nguyên tố 1693182318746371. Các giá trị khác có thể được xem ở  A111943.

Ta gọi *g**n* là *khoảng cách tối đại*, nếu *g**m* < *g**n* với mọi *m* < *n*.
Tính đến tháng 8 năm 2018[cập nhật], khoảng cách tối đại lớn nhất được biết có độ dài 1550, và được tìm thấy bởi Bertil Nyman. Nó là khoảng cách tối đại thứ 80, xuất hiện ngay sau số nguyên tố 18361375334787046697. Các khoảng cách tối đại khác được ghi trong  A005250, còn các số nguyên tố tương ứng *p**n* nằm trong  A002386, và các giá trị *n* nằm trong  A005669. Dãy các khoảng cách tối đại cho tới số nguyên tố thứ *n* được giả thuyết có khoảng {\displaystyle 2\ln n} phần tử (xem bảng dưới).

**80 khoảng cách tối đại đã biết**| 

Từ 1 đến 27| # | *gn* | *pn* | *n* |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 4 | 7 | 4 |
| 4 | 6 | 23 | 9 |
| 5 | 8 | 89 | 24 |
| 6 | 14 | 113 | 30 |
| 7 | 18 | 523 | 99 |
| 8 | 20 | 887 | 154 |
| 9 | 22 | 1,129 | 189 |
| 10 | 34 | 1,327 | 217 |
| 11 | 36 | 9,551 | 1,183 |
| 12 | 44 | 15,683 | 1,831 |
| 13 | 52 | 19,609 | 2,225 |
| 14 | 72 | 31,397 | 3,385 |
| 15 | 86 | 155,921 | 14,357 |
| 16 | 96 | 360,653 | 30,802 |
| 17 | 112 | 370,261 | 31,545 |
| 18 | 114 | 492,113 | 40,933 |
| 19 | 118 | 1,349,533 | 103,520 |
| 20 | 132 | 1,357,201 | 104,071 |
| 21 | 148 | 2,010,733 | 149,689 |
| 22 | 154 | 4,652,353 | 325,852 |
| 23 | 180 | 17,051,707 | 1,094,421 |
| 24 | 210 | 20,831,323 | 1,319,945 |
| 25 | 220 | 47,326,693 | 2,850,174 |
| 26 | 222 | 122,164,747 | 6,957,876 |
| 27 | 234 | 189,695,659 | 10,539,432 |

 | 

Từ 28 đến 54| # | *gn* | *pn* | *n* |
| --- | --- | --- | --- |
| 28 | 248 | 191,912,783 | 10,655,462 |
| 29 | 250 | 387,096,133 | 20,684,332 |
| 30 | 282 | 436,273,009 | 23,163,298 |
| 31 | 288 | 1,294,268,491 | 64,955,634 |
| 32 | 292 | 1,453,168,141 | 72,507,380 |
| 33 | 320 | 2,300,942,549 | 112,228,683 |
| 34 | 336 | 3,842,610,773 | 182,837,804 |
| 35 | 354 | 4,302,407,359 | 203,615,628 |
| 36 | 382 | 10,726,904,659 | 486,570,087 |
| 37 | 384 | 20,678,048,297 | 910,774,004 |
| 38 | 394 | 22,367,084,959 | 981,765,347 |
| 39 | 456 | 25,056,082,087 | 1,094,330,259 |
| 40 | 464 | 42,652,618,343 | 1,820,471,368 |
| 41 | 468 | 127,976,334,671 | 5,217,031,687 |
| 42 | 474 | 182,226,896,239 | 7,322,882,472 |
| 43 | 486 | 241,160,624,143 | 9,583,057,667 |
| 44 | 490 | 297,501,075,799 | 11,723,859,927 |
| 45 | 500 | 303,371,455,241 | 11,945,986,786 |
| 46 | 514 | 304,599,508,537 | 11,992,433,550 |
| 47 | 516 | 416,608,695,821 | 16,202,238,656 |
| 48 | 532 | 461,690,510,011 | 17,883,926,781 |
| 49 | 534 | 614,487,453,523 | 23,541,455,083 |
| 50 | 540 | 738,832,927,927 | 28,106,444,830 |
| 51 | 582 | 1,346,294,310,749 | 50,070,452,577 |
| 52 | 588 | 1,408,695,493,609 | 52,302,956,123 |
| 53 | 602 | 1,968,188,556,461 | 72,178,455,400 |
| 54 | 652 | 2,614,941,710,599 | 94,906,079,600 |

 | 

Từ 55 đến 80| # | *gn* | *pn* | *n* |
| --- | --- | --- | --- |
| 55 | 674 | 7,177,162,611,713 | 251,265,078,335 |
| 56 | 716 | 13,829,048,559,701 | 473,258,870,471 |
| 57 | 766 | 19,581,334,192,423 | 662,221,289,043 |
| 58 | 778 | 42,842,283,925,351 | 1,411,461,642,343 |
| 59 | 804 | 90,874,329,411,493 | 2,921,439,731,020 |
| 60 | 806 | 171,231,342,420,521 | 5,394,763,455,325 |
| 61 | 906 | 218,209,405,436,543 | 6,822,667,965,940 |
| 62 | 916 | 1,189,459,969,825,483 | 35,315,870,460,455 |
| 63 | 924 | 1,686,994,940,955,803 | 49,573,167,413,483 |
| 64 | 1,132 | 1,693,182,318,746,371 | 49,749,629,143,526 |
| 65 | 1,184 | 43,841,547,845,541,059 | 1,175,661,926,421,598 |
| 66 | 1,198 | 55,350,776,431,903,243 | 1,475,067,052,906,945 |
| 67 | 1,220 | 80,873,624,627,234,849 | 2,133,658,100,875,638 |
| 68 | 1,224 | 203,986,478,517,455,989 | 5,253,374,014,230,870 |
| 69 | 1,248 | 218,034,721,194,214,273 | 5,605,544,222,945,291 |
| 70 | 1,272 | 305,405,826,521,087,869 | 7,784,313,111,002,702 |
| 71 | 1,328 | 352,521,223,451,364,323 | 8,952,449,214,971,382 |
| 72 | 1,356 | 401,429,925,999,153,707 | 10,160,960,128,667,332 |
| 73 | 1,370 | 418,032,645,936,712,127 | 10,570,355,884,548,334 |
| 74 | 1,442 | 804,212,830,686,677,669 | 20,004,097,201,301,079 |
| 75 | 1,476 | 1,425,172,824,437,699,411 | 34,952,141,021,660,495 |
| 76 | 1,488 | 5,733,241,593,241,196,731 | 135,962,332,505,694,894 |
| 77 | 1,510 | 6,787,988,999,657,777,797 | 160,332,893,561,542,066 |
| 78 | 1,526 | 15,570,628,755,536,096,243 | 360,701,908,268,316,580 |
| 79 | 1,530 | 17,678,654,157,568,189,057 | 408,333,670,434,942,092 |
| 80 | 1,550 | 18,361,375,334,787,046,697 | 423,731,791,997,205,041 |
|   |  |  |  |

 |

Các kết quả khác
----------------

### Cận trên

Theo định đề Bertrand được chứng minh vào năm 1852, luôn có số nguyên tố nằm giữa *k* và 2*k*, tức là *p**n* +1 < 2*p**n*, đồng thời nghĩa là *g**n* < *p**n* .

Định lý số nguyên tố được chứng minh trong 1896, phát biểu rằng độ dài trung bình của khoảng cách giữa số nguyên tố *p* và số nguyên tố tiếp theo sẽ tiến dần theo tiệm cận tới ln(*p*) (lôgarit tự nhiên của số *p*) cho số nguyên tố *p* đủ lớn. Độ dài thực tế của khoảng cách có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị này. Song, ta vẫn có thể suy ra từ định lý số nguyên tố cận trên của độ dài khoảng cách số nguyên tố.

Cho mọi {\displaystyle \epsilon >0}, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi {\displaystyle n>N}

{\displaystyle g\_{n}<p\_{n}\epsilon }.
Ta có thể suy ra khoảng cách số nguyên tố sẽ nhỏ dần đi tuỳ ý tương xứng với các số nguyên tố: tức là thương

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {g\_{n}}{p\_{n}}}=0.}
Hoheisel (1930) là người đầu tiên tìm ra rằng tồn tại hằng số *θ* < 1 sao cho

{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ khi }}x\to \infty ,}
do đó chứng minh được rằng

{\displaystyle g\_{n}<p\_{n}^{\theta },\,}
cho *n* đủ lớn.

Hoheisel thu về được kết quả khả thi 32999/33000 cho *θ*. Sau được cải tiến thành 249/250 bởi Heilbronn, và thành *θ* = 3/4 + ε, cho bất kỳ ε > 0, bởi Chudakov.

Một cải tiến lớn được đưa bởi Ingham,, người chứng minh rằng cho một số hằng số dương *c*,

Nếu {\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})} thì {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}} cho bất kỳ {\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}
Ở đây, *O* là ký hiệu O lớn, ζ ký hiệu hàm zeta Riemann và π là hàm đếm số nguyên tố. Bởi vì có thể chấp nhận bất kỳ *c* > 1/6, ta sẽ thu được *θ* là một số nào đó lớn hơn 5/8.

Một hệ quả trực tiếp từ kết quả của Ingham là sẽ luôn có số nguyên tố nằm giữa *n*3 và (*n* + 1)3, nếu *n* đủ lớn. Phỏng đoán Lindelöf sẽ suy ra công thức của Ingham thoả mãn với mọi *c* dương: song thế này chưa đủ để chứng minh luôn có số nguyên tố nằm giữa *n*2 và (*n* + 1)2 cho *n* đủ lớn (xem giả thuyết Legendre). Để kiểm chứng điều này, ta cần một kết quả mạnh hơn như giả thuyết Cramér chẳng hạn.

Huxley trong 1972 đã chứng minh ta có thể chọn *θ* = 7/12 = 0.58(3).

Một kết quả khác từ Baker, Harman và Pintz trong 2001, đã chứng minh *θ* có thể là 0.525.

Trong 2005, Daniel Goldston, János Pintz và Cem Yıldırım đã chứng minh rằng

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }{\frac {g\_{n}}{\log p\_{n}}}=0}
và sau 2 năm cải thiện nó thành to

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }{\frac {g\_{n}}{{\sqrt {\log p\_{n}}}(\log \log p\_{n})^{2}}}<\infty .}
Trong 2013, Yitang Zhang đã chứng minh rằng

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }g\_{n}<7\cdot 10^{7},}
nghĩa là có vô số khoảng cách có độ dài không quá 70 triệu. Đến ngày 20 tháng 7 năm 2013, dự án Polymath đã nỗ lực hợp tác và tối ưu hoá rút cận trên của Zhang về 4680. Trong tháng 11 năm 2013, James Maynard giới thiệu phương pháp mịn hoá mới cho sàng GPY, cho phép ông rút gọn cận trên về 600 và chứng minh rằng cho bất kỳ *m,* tồn tại khoảng bị chặn có vô hạn số tịnh tiến mà mỗi cái trong đó có *m* số nguyên tố. Sử dụng các ý tưởng của Maynard, dự án Polymath đã cải tiến cận trên về 246; và nếu giả định giả thuyết Elliott–Halberstam hoặc dạng tổng quát của nó đúng, thì cận trên sẽ rút gọn về 12 hoặc 6, tương ứng.

Xem thêm
--------

* Bất đẳng thức Bonse

Tham khảo
---------

1. ↑  "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
2. ↑  "Announcement at Mersenneforum.org".
3. ↑  "Verification Announcement at Mersenneforum.org".
4. ↑  Andersen, Jens Kruse. "The Top-20 Prime Gaps". Truy cập 13 Tháng sáu năm 2014.
5. ↑  A proven prime gap of 1113106
6. 1 2 3  NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
7. ↑  Dynamic prime gap statistics
8. ↑  TABLES OF PRIME GAPS
9. ↑  "Prime Gap List Project". Bản gốc lưu trữ 26 tháng Mười năm 2020. Truy cập 16 Tháng sáu năm 2022.
10. ↑  Nicely, Thomas R. (2019). "NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550". *faculty.lynchburg.edu*. Lưu trữ bản gốc 30 Tháng tư năm 2021. Truy cập 29 tháng Chín năm 2022.
11. ↑  Kourbatov, A.; Wolf, M. (2020). "On the first occurrences of gaps between primes in a residue class". *Journal of Integer Sequences*. **23** (Article 20.9.3). arXiv:2002.02115. MR 4167933. S2CID 211043720. Zbl 1444.11191. Lưu trữ bản gốc 12 Tháng tư năm 2021. Truy cập 3 Tháng mười hai năm 2020.
12. ↑  Hoheisel, G. (1930). "Primzahlprobleme in der Analysis". *Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin*. **33**: 3–11. JFM 56.0172.02.
13. ↑  Heilbronn, H. A. (1933). "Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel". *Mathematische Zeitschrift*. **36** (1): 394–423. doi:10.1007/BF01188631. JFM 59.0947.01. S2CID 123216472.
14. ↑  Tchudakoff, N. G. (1936). "On the difference between two neighboring prime numbers". *Mat. Sb*. **1**: 799–814. Zbl 0016.15502.
15. ↑  Ingham, A. E. (1937). "On the difference between consecutive primes". *Quarterly Journal of Mathematics*. Oxford Series. **8** (1): 255–266. Bibcode:1937QJMat...8..255I. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
16. ↑  Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). "Explicit estimate on primes between consecutive cubes". *Rocky Mt. J. Math*. **40**: 117–153. arXiv:0810.2113. doi:10.1216/rmj-2010-40-1-117. S2CID 15502941. Zbl 1201.11111.
17. ↑  Huxley, M. N. (1972). "On the Difference between Consecutive Primes". *Inventiones Mathematicae*. **15** (2): 164–170. Bibcode:1971InMat..15..164H. doi:10.1007/BF01418933. S2CID 121217000.
18. ↑  Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J. (2001). "The difference between consecutive primes, II". *Proceedings of the London Mathematical Society*. **83** (3): 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532. S2CID 8964027.
19. ↑  Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Yalçin (2010). "Primes in Tuples II". *Acta Mathematica*. **204** (1): 1–47. arXiv:0710.2728. doi:10.1007/s11511-010-0044-9. S2CID 7993099.
20. ↑  Zhang, Yitang (2014). "Bounded gaps between primes". *Annals of Mathematics*. **179** (3): 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7. MR 3171761.
21. 1 2 3  "Bounded gaps between primes". Polymath. Lưu trữ bản gốc 28 Tháng hai năm 2020. Truy cập 21 tháng Bảy năm 2013.
22. ↑  Maynard, James (2015). "Small gaps between primes". *Annals of Mathematics*. **181** (1): 383–413. arXiv:1311.4600. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. MR 3272929. S2CID 55175056.
23. ↑  D.H.J. Polymath (2014). "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes". *Research in the Mathematical Sciences*. **1** (12). arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710. S2CID 119699189.