Trong cơ học quỹ đạo, **dị thường tâm sai** là một tham số góc xác định vị trí của một vật thể chuyển động trên một quỹ đạo Kepler hình elip. Dị thường tâm sai là một trong ba tham số góc ("dị thường") xác định vị trí trên một quỹ đạo, hai tham số kia là dị thường thực và dị thường trung bình.

Biểu diễn hình học
------------------

Dị thường tâm sai của điểm *P* là góc *E*. Tâm của elip là điểm *C*, và tiêu điểm chính là điểm *F*.
Xét elip với phuơng trình cho bởi:

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}
trong đó *a* là *bán trục lớn* và *b* là *bán trục bé*.

Đối với một điểm trên elip, *P* = *P*(*x*, *y*), thể hiện vị trí của một vật thể quay trên quỹ đạo elip, dị thường tâm sai là góc *E* trong hình bên. Dị thường tâm sai *E* là góc ở tâm *C* của một tam giác vuông với một cạnh kề nằm trên *trục lớn* của elip, cạnh huyền có độ dài bằng *a* (*bán trục lớn*); và cạnh đối đi qua điểm *P* vuông góc với trục lớn và cắt vòng tròn phụ bên ngoài có bán kính *a* tại điểm *P′*. 

Dị thường tâm sai được đo cùng chiều với dị thường thực, ký hiệu trên hình bởi *f*. Dị thường tâm sai *E* được tính theo các tọa độ và các bán trục bởi các công thức:

{\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}
và

{\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}
Công thức thứ hai được thiết lập bởi liên hệ

{\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E},
từ đó suy ra sin *E* = ±*y*/*b*, loại nghiệm âm vì nó đi trên elip theo chiều ngược. Ngoài ra, cũng có thể suy ra công thức thứ hai bằng cách xét một tam giác vuông đồng dạng, với cạnh đối có độ dài *y* bằng khoảng cách từ *P* tới trục lớn, và cạnh huyền của nó *b* bằng bán trục bé của elip.

Công thức
---------

### Khoảng cách và dị thường tâm sai

Độ lệch tâm hay tâm sai *e* được định nghĩa là:

{\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}
Áp dụng định lý Pythagoras với tam giác có độ dài cạnh huyền *r* (khoảng cách *FP*):

{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}
Do đó khoảng cách từ tiêu điểm chính tới điểm *P* có liên hệ sau với dị thường tâm sai

{\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}
Từ kết quả này có thể suy ra dị thường tâm sai từ dị thường thực:

### Liên hệ với dị thường thực

*Dị thường thực* là góc ký hiệu bởi f trên hình, có đỉnh tại tiêu điểm chính của elip. Đôi khi nó còn được ký hiệu bởi chữ θ hay v. Dị thường thực và dị thường tâm sai có liên hệ như sau.

Sử dụng công thức tính r trên, sin và cosin của E có thể được tính theo f :

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}
Suy ra,

{\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}
Góc E do đó là cạnh kề của một tam giác vuông với cạnh huyền {\displaystyle \;1+e\cos f\;,} cạnh kề {\displaystyle \;e+\cos f\;,} và cạnh đối {\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}

Ngoài ra,

{\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}
thế cos E tìm được ở trên vào biểu thức tính r, khoảng cách từ tiêu điểm tới điểm P, cũng có thể được biểu diễn theo dị thường thực:

{\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}
trong đó

{\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}
được gọi là *"bán trục bên"* trong hình học cổ điển.

#### Tính dị thường thực

Nếu biết dị thường tâm sai có thể suy ngược ra dị thường thực f bằng các công thức:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {f}&={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\sin {f}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {f}={{\sin {f}} \over {\cos {f}}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}
Dị thường thực có thể được suy ngược ra từ công thức tan:

{\displaystyle {\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}}
{\displaystyle \Rightarrow f=2\ \operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}
Ngoài ra, một dạng khác của phương trình này có thể được sử dụng để tránh khó khăn trong tính toán số khi đối số gần {\displaystyle \pm \pi } và tránh các vấn đề về dấu.

{\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(f-E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}} với {\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}
do đó

{\displaystyle f=E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}
### Từ dị thường trung bình

Dị thường tâm sai *E* được liên hệ với dị thường trung bình *M* bởi phương trình Kepler:

{\displaystyle M=E-e\sin E}
Phương trình này không có biểu thức nghiệm dạng đóng để suy ra *E* từ *M*. Nó có thể được giải bằng số, chẳng hạn phương pháp Newton–Raphson. Nó có thể được biểu diễn theo chuỗi Fourier

{\displaystyle E=M+2\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {J\_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}
trong đó {\displaystyle J\_{n}(x)} là hàm Bessel loại thứ nhất.

Xem thêm
--------

* Vectơ tâm sai
* Độ lệch tâm quỹ đạo

Tham khảo
---------

1. ↑  George Albert Wentworth (1914). "The ellipse §126". *Elements of analytic geometry* (ấn bản 2). Ginn & Co. tr. 141.
2. 1 2  Tsui, James Bao-yen (2000). *Fundamentals of Global Positioning System receivers: A software approach* (ấn bản 3). John Wiley & Sons. tr. 48. ISBN 0-471-38154-3.
3. ↑  Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
4. ↑  Broucke, R. & Cefola, P. 1973, Celestial Mechanics, 7, 388
5. ↑  Michel Capderou (2005). "Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68". *Satellites: orbits and missions*. Springer. tr. 21. ISBN 2-287-21317-1.

Tham khảo sách
--------------

* Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); *Solar System Dynamics*, Cambridge University Press, Cambridge, GB
* Plummer, Henry C. K. (1960); *An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy*, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)

| * x
* t
* s
Quỹ đạo hấp dẫn |
| --- |
| Loại | 

|  |  |
| --- | --- |
| Chung | 
* Box
* Capture
* Circular
* Elliptical / Highly elliptical
* Escape
* Horseshoe
* Quỹ đạo hyperbol
* Inclined / Non-inclined
* Kepler
* Điểm Lagrange
* Mật tiếp
* Parabolic trajectory
* Parking
* Thuận / Nghịch
* Synchronous
	+ semi
	+ sub
* Transfer orbit

 |
| Địa tâm | 
* Địa đồng bộ
	+ Địa tĩnh
	+ Chuyển tiếp địa tĩnh
* Graveyard
* High Earth
* Trái Đất tầm thấp
* Medium Earth
* Molniya
* Near-equatorial
* Quỹ đạo của Mặt Trăng
* Cực
* Sun-synchronous
* Tundra

 |
| Về nhữngđiểm khác | 
* Sao Hỏa
	+ Areocentric
	+ Areosynchronous
	+ Areostationary
* Điểm Lagrange
	+ Distant retrograde
	+ Halo
	+ Lissajous
* Lunar
* Mặt Trời
	+ Nhật tâm
		- Quỹ đạo của Trái Đất
	+ Mars cycler
	+ Heliosynchronous
* Khác
	+ Lunar cycler

 |

 |  |
| Tham số | 

|  |  |
| --- | --- |
| * Hình dạng
* Kích thước
 | 
* e  Độ lệch tâm
* a  Bán trục lớn
* b  Bán trục bé
* Q, q  Củng điểm

 |
| Định hướng | 
* i  Độ nghiêng
* Ω  Kinh độ của điểm nút lên
* ω  Acgumen của cận điểm
* ϖ  Longitude of the periapsis

 |
| Vị trí | 
* M  Dị thường trung bình
* ν, θ, f  Dị thường thực
* E  Dị thường tâm sai
* L  Mean longitude
* l  True longitude

 |
| Biến thiên | 
* T  Chu kỳ quỹ đạo
* n  Mean motion
* v  Tốc độ vũ trụ cấp 1
* *t*0  Kỷ nguyên

 |

 |
| Sự động | 
* Bi-elliptic transfer
* Collision avoidance (spacecraft)
* Delta-v
* Delta-v budget
* Hỗ trợ hấp dẫn
* Gravity turn
* Hohmann transfer
* Inclination change
* Low-energy transfer
* Oberth effect
* Phasing
* Rocket equation
* Rendezvous
* Transposition, docking, and extraction

 |
| Cơ họcquỹ đạo | 
* Hệ tọa độ thiên văn
* Characteristic energy
* Tốc độ vũ trụ cấp 2
* Lịch thiên văn
* Hệ tọa độ xích đạo
* Ground track
* Quyển Hill
* Interplanetary Transport Network
* Các định luật Kepler về chuyển động thiên thể
* Điểm Lagrange
* *n*-body problem
* Phương trình quỹ đạo
* Orbital state vectors
* Nhiễu loạn
* Chuyển động thuận và nghịch
* Specific orbital energy
* Specific angular momentum
* Two-line elements

 |
| 
* Danh sách List of orbits

 |