**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết cấp của G (số phần tử trong G) thì trong G tồn tại một phần tử có cấp p. Tức là trong G tồn tại phần tử x sao cho p là số nguyên dương nhỏ nhất để {\displaystyle x^{p}=e}, với {\displaystyle e} là phần tử đơn vị.

Định lý này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm G hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của G. Định lý Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố p của cấp của G, tồn tại một nhóm con cyclic của G có cấp p được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lý Cauchy.

Tổng quát hơn định lý Cauchy là định lý Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu G là một nhóm hữu hạn và {\displaystyle p^{n}} là ước của cấp của G với p nguyên tố thì G có một nhóm con cấp {\displaystyle p^{n}}.

Phát biểu và chứng minh
-----------------------

**Định lý Cauchy** — Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Nếu p chia hết cấp cũng G thì trong G tồn tại một phần tử có cấp p.

### Chứng minh

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n với {\displaystyle n=|G|} và xét 2 trường hợp G giao hoán và G không giao hoán.

* G giao hoán:

Nếu G là nhóm đơn, tức là G chỉ có 2 nhóm con là {\displaystyle \{e\}} và chính nó thì nhóm này phải là nhóm cyclic cấp nguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p.
Nếu G không là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường H trong G. Nếu p chia hết {\displaystyle |H|} thì theo giả thiết quy nạp, trong H tồn tại một phần tử cấp p và do đó, trong G cũng tồn tại một phần tử cấp p. Ngược lại, theo định lý Lagrange, p phải chia hết chỉ số {\displaystyle [G:H]}, khi đó, theo giả thiết quy nạp, trong nhóm thương {\displaystyle g/H} sẽ tồn tại một phần tử có cấp p. Và do đó, trong G tồn tại một phần tử x thỏa {\displaystyle (Hx)^{p}=Hx^{p}=H}. Khi đó, tồn tại một phần tử h trong H sao cho {\displaystyle hx^{p}=e}. Dễ thấy với mọi phần tử a trong H, tồn tại phần tử b trong H sao cho {\displaystyle b^{p}=a} nên tồn tại một phần tử {\displaystyle h\_{2}} trong H sao cho {\displaystyle h\_{2}^{p}=h}. Do đó, {\displaystyle h\_{2}x} có cấp là p và kết thúc chứng minh cho trường hợp {\displaystyle g} abel.
* G không giao hoán: trong tập hợp này,tâm Z là một nhóm con không tầm thường của G.

Nếu p chia hết cấp của tâm hóa tử {\displaystyle C\_{G}(a)} với a là một phần tử nào đó không thuộc Z thì {\displaystyle C\_{G}(a)} là một nhóm con không tầm thường và do đó, theo giả thiết quy nạp, trong {\displaystyle C\_{G}(a)} tồn tại một phần tử có cấp p.
Ngược lại, nếu p chia hết cấp của {\displaystyle C\_{G}(a)} thì khi đó, p chia hết chỉ số {\displaystyle [G:C\_{G}(a)]} với a là một phần tử nào đó không thuộc Z. Từ {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum \_{i}^{}[G:C\_{G}(x\_{i})]} ta có p chia hết cấp của Z và do đó, tâm chứa một phần tử có cấp p và do đó, G chứa một phần tử có cấp p. Kết thúc chứng minh.
### Hệ quả

Nếu {\displaystyle G} là một nhóm hữu hạn (không nhất thiết giao hoán) thỏa tính chất mọi phần tử khác {\displaystyle e} trong {\displaystyle G} đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì {\displaystyle G} có cấp là một là lũy thừa của một số nguyên tố {\displaystyle p} cho trước thì {\displaystyle G} có cấp là một lũy thừa của {\displaystyle p}

Chú thích
---------

Tham khảo
---------

* Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre", *Exercises d'analyse et de physique mathématique*, Paris, **3**: 151–252
* Cauchy, Augustin-Louis (1932), "Oeuvres complètes" (PDF), *Lilliad - Université de Lille - Sciences et Technologies*, second series , Paris: Gauthier-Villars, **13**: 171–282
* Jacobson, Nathan (2009) [1985], *Basic Algebra*, Dover Books on Mathematics, **I** , Dover Publications, tr. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
* McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", *American Mathematical Monthly*, **66** (2): 119, CiteSeerX 10.1.1.434.3544, doi:10.2307/2310010, JSTOR 2310010, MR 0098777, Zbl 0082.02601

Liên kết ngoài
--------------

* "Cauchy's theorem". *PlanetMath*.

* "Proof of Cauchy's theorem". *PlanetMath*.