Trong toán học, **dấu hiệu Abel** (hay **tiêu chuẩn Abel**) là một phương pháp kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi vô hạn. Phép kiểm tra này được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy, Niels Henrik Abel. Có hai phiên bản khác nhau đôi chút của phép thử Abel, một phiên bản cho các chuỗi số thực và phiên bản còn lại cho chuỗi lũy thừa trong giải tích phức. **Dấu hiệu hội tụ đều Abel** là một tiêu chuẩn cho sự hội tụ đều của một chuỗi hàm phụ thuộc tham số.

Dấu hiệu Abel trong giải tích thực
----------------------------------

Giả sử rằng tất cả các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. {\displaystyle \sum a\_{n}} là một chuỗi hội tụ,
2. {*bn*} là dãy đơn điệu, và
3. {*bn*} bị chặn.

Ta có chuỗi {\displaystyle \sum a\_{n}b\_{n}} cũng hội tụ.

Cần hiểu rằng phép kiểm tra này chủ yếu phù hợp và hữu ích nếu cần xét các chuỗi không hội tụ tuyệt đối {\displaystyle \sum a\_{n}} (hay hội tụ có điều kiện). Đối với các chuỗi hội tụ tuyệt đối, định lý này dù đúng nhưng nó gần như là hiển nhiên.

Định lý này có thể được chứng minh trực tiếp bằng phép lấy tổng từng phần.

Dấu hiệu Abel trong giải tích phức
----------------------------------

Một dấu hiệu hội tụ có liên quan, cũng gọi là **dấu hiệu Abel** có thể được sử dụng để thiết lập sự hội tụ của một chuỗi lũy thừa trên biên của đường tròn hội tụ của nó. Cụ thể, dấu hiệu Abel khẳng định rằng nếu một dãy *số thực dương* {\displaystyle (a\_{n})} đơn điệu giảm (hay ít nhất là với mọi *n* lớn hơn một số tự nhiên *m*, ta có {\displaystyle a\_{n}\geq a\_{n+1}}) và

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }a\_{n}=0}
thì chuỗi lũy thừa

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}z^{n}}
hội tụ ở mọi nơi trên đường tròn đơn vị đóng, ngoại trừ *z* = 1. Dấu hiệu Abel không áp dụng khi *z* = 1, vì thế sự hội tụ ở điểm đó phải được xét riêng. Chú ý rằng dấu hiệu Abel ngụ ý riêng rằng bán kính hội tụ ít nhất bằng 1. Nó cũng có thể được áp dụng với một chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ *R* ≠ 1 bởi một phép đổi biến đơn giản *ζ* = *z*/*R*. Chú ý rằng dấu hiệu Abel là một tổng quát hóa của tiêu chuẩn Leibniz khi cho *z* = −1.

**Chứng minh dấu hiệu Abel phức:** Giả sử rằng *z* là một điểm trên đường tròn đơn vị và *z* ≠ 1. Với mỗi {\displaystyle n\geq 1}, ta định nghĩa dãy hàm

{\displaystyle f\_{n}(z):=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}z^{k}.}
Nhân dãy hàm số này với (1 − *z*), ta có được

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f\_{n}(z)&=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}(1-z)z^{k}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}z^{k}-\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}z^{k+1}=a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}z^{k}-\sum \_{k=1}^{n+1}a\_{k-1}z^{k}\\&=a\_{0}-a\_{n}z^{n+1}+\sum \_{k=1}^{n}(a\_{k}-a\_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}
Số hạng đầu tiên là hằng số, số hạng thứ hai hội tụ đếu đến 0 (vì theo giả thiết {\displaystyle (a\_{n})} hội tụ đến 0). Ta chỉ còn cần chứng tỏ rằng số hạng chuỗi hội tụ, bằng cách cho thấy nó hội tụ tuyệt đối: {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }\left|(a\_{k}-a\_{k-1})z^{k}\right|=\sum \_{k=1}^{\infty }|a\_{k}-a\_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum \_{k=1}^{\infty }(a\_{k-1}-a\_{k})}, trong đó tổng cuối là một tổng rút hội tụ. Giá trị tuyệt đối được bỏ đi vì dãy {\displaystyle (a\_{n})} đơn điệu giảm theo giả thiết.

Vì thế, dãy hàm {\displaystyle (1-z)f\_{n}(z)} hội tụ (và còn hội tụ đều) trên đĩa đơn vị đóng. Nếu {\displaystyle z\not =1}, ta có thể chia cho (1 − *z*) để có kết quả cần chứng minh.

Dấu hiệu hội tụ đều Abel
------------------------

Dấu hiệu hội tụ đều Abel là một tiêu chuẩn để xét sự hội tụ đều của một chuỗi hàm hay một tích phân suy rộng hàm phụ thuộc tham số. Nó có liên quan đến dấu hiệu Abel cho sự hội tụ của một chuỗi số thực thông thường, và chứng minh cũng dựa vào thủ thuật lấy tổng từng phần.

Dấu hiệu là như sau. Cho {*gn*} là một dãy các hàm số liên tục, bị chặn đều trên một tập *E* sao cho *gn*+1(*x*) ≤ *gn*(*x*) với mọi *x* ∈ *E* và mọi số nguyên dương *n*, và cho {*fn*} là một dãy các hàm giá trị thực sao cho chuỗi hàm số Σ*fn*(*x*) hội tụ đều trên *E*. Vậy thì chuỗi Σ*fn*(*x*)*gn*(*x*) cũng hội tụ đều trên *E*.

Chú thích
---------

1. ↑  (Moretti, 1964, p. 91)

Tham khảo
---------

* Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc. 1964
* Apostol, Tom M. (1974), *Mathematical analysis* (ấn bản 2), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
* Weisstein, Eric W. "Abel's uniform convergence test", *MathWorld*.

Liên kết ngoài
--------------

* Proof (for real series) at PlanetMath.org

| * x
* t
* s
Vi tích phân |
| --- |
| Precalculus | 
* Định lý nhị thức
* Hàm lõm
* Hàm liên tục
* Giai thừa
* Finite difference
* Free variables and bound variables
* Đồ thị của hàm số
* Linear function
* Radian
* Định lý Rolle
* Cát tuyến
* Độ dốc
* Tiếp tuyến

 |
| Giới hạn (toán học) | 
* Indeterminate form
* Giới hạn của hàm số
	+ Giới hạn một bên
* Giới hạn của một dãy
* Order of approximation
* Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

 |
| Vi phân | 
* Đạo hàm
* Differential (mathematics)
* Phương trình vi phân
* Differential operator
* Định lý giá trị trung bình
* Notation for differentiation
	+ Leibniz's notation
	+ Newton's notation for differentiation
* Differentiation rules
	+ Linearity of differentiation
	+ Power rule
	+ Sum rule in differentiation
	+ Chain rule
	+ Quy tắc l'Hôpital
	+ Quy tắc nhân
		- General Leibniz rule
	+ Quotient rule
* Other techniques
	+ Implicit differentiation
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* Stationary points
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ Cực trị của hàm số
* Further applications
	+ Phương pháp Newton
	+ Định lý Taylor

 |
| Tích phân | 
* Nguyên hàm
* Arc length
* Tích phân
* Hằng số tích phân
* Định lý cơ bản của giải tích
	+ Quy tắc tích phân Leibniz
* Tích phân từng phần
* Phép đổi biến tích phân
	+ Trigonometric substitution
	+ Euler substitution
	+ Weierstrass substitution
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* Trapezoidal rule
* Volumes
	+ Disc integration
	+ Shell integration

 |
| Tích phân vectơ | 
* Derivatives
	+ Rot (toán tử)
	+ Directional derivative
	+ Toán tử div
	+ Gradient
	+ Toán tử Laplace
* Basic theorems
	+ Gradient theorem
	+ Định lý Green
	+ Stokes' theorem
	+ Định lý Gauss

 |
| Vi tích phân đa biến | 
* Định lý Gauss
* Vi tích phân hình học
* Ma trận Hesse
* Ma trận Jacobi
* Phương pháp nhân tử Lagrange
* Tích phân đường
* Vi tích phân ma trận
* Tích phân bội
* Đạo hàm riêng
* Tích phân mặt
* Tích phân khối
* Advanced topics
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ Định lý Stokes
	+ Tensor calculus

 |
| Dãy và chuỗi | 
* Cấp số cộng nhân
* Các chuỗi
	+ Chuỗi đan dấu
	+ Chuỗi nhị thức
	+ Chuỗi Fourier
	+ Chuỗi hình học
	+ Chuỗi điều hòa
	+ Chuỗi (toán học)
	+ Chuỗi lũy thừa
		- Chuỗi Taylor
	+ Chuỗi ống nhòm
* Dấu hiệu hội tụ
	+ Dấu hiệu Abel
	+ Tiêu chuẩn Leibniz
	+ Tiêu chuẩn Cauchy cô đọng
	+ Dấu hiệu so sánh trực tiếp
	+ Dấu hiệu Dirichlet
	+ Tiêu chuẩn hội tụ tích phân
	+ Tiêu chuẩn so sánh giới hạn
	+ Dấu hiệu tỉ số
	+ Dấu hiệu căn
	+ Dấu hiệu số hạng

 |
| Các hàm và số đặc biệt | 
* Số Bernoulli
* e (số)
* Hàm mũ
* Logarit tự nhiên
* Xấp xỉ Stirling

 |
| Lịch sử vi tích phân | 
* Adequality
* Brook Taylor
* Colin Maclaurin
* Generality of algebra
* Gottfried Leibniz
* Vô cùng bé
* Vi tích phân
* Isaac Newton
* Fluxion
* Law of continuity
* Leonhard Euler
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| Danh sách | 
* Differentiation rules
* Danh sách tích phân với hàm mũ
* Danh sách tích phân với hàm hypebolic
* Danh sách tích phân với hàm hyperbolic ngược
* Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược
* List of integrals of irrational functions
* Danh sách tích phân với hàm lôgarít
* Danh sách tích phân với phân thức
* Danh sách tích phân với hàm lượng giác
	+ Tích phân của hàm secant
	+ Integral of secant cubed
* List of limits
* Danh sách tích phân

 |
| Chủ đề khác | 
* Differential geometry
	+ Độ cong
	+ Differentiable curve
	+ Differential geometry of surfaces
* Công thức Euler–Maclaurin
* Gabriel's Horn
* Integration Bee
* Chứng minh 22/7 lớn hơn π
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |