Một số khái niệm
----------------

### Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ {\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là ***vectơ chỉ phương*** của đường thẳng. Khi đó, với {\displaystyle k\neq 0}, vectơ {\displaystyle k{\vec {u}}} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

### Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ {\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là ***vectơ pháp tuyến*** của đường thẳng. Khi đó, với {\displaystyle k\neq 0}, vectơ {\displaystyle k{\vec {n}}} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

### Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)} thì có vectơ pháp tuyến là {\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)} hay {\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có vectơ chỉ phương là {\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)} hay {\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ {\displaystyle {\vec {n\_{1}}}=(A\_{1},B\_{1},C\_{1})} và vectơ {\displaystyle {\vec {n\_{2}}}=(A\_{2},B\_{2},C\_{2})} là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa {\displaystyle {\vec {n\_{1}}}} với {\displaystyle {\vec {n\_{2}}}} hoặc giữa {\displaystyle {\vec {n\_{2}}}} với {\displaystyle {\vec {n\_{1}}}}.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
----------------------------------------

### Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm {\displaystyle M(x\_{0},y\_{0})} và nhận {\displaystyle {\vec {u}}=(u\_{1},u\_{2})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là{\displaystyle {\begin{cases}x=x\_{0}+u\_{1}t\\y=y\_{0}+u\_{2}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị {\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

### Dạng chính tắc

Nếu {\displaystyle u\_{1}\neq 0} và {\displaystyle u\_{2}\neq 0}, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc {\displaystyle {x-x\_{0} \over u\_{1}}={y-y\_{0} \over u\_{2}}}

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc 

### Dạng tổng quát

Phương trình ax+by+c=0 với {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

#### Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng {\displaystyle by+c=0} {\displaystyle (a=0)} vuông góc với trục {\displaystyle Oy} tại điểm {\displaystyle A(0;-{c \over b})}

Đường thẳng {\displaystyle ax+c=0} {\displaystyle (b=0)} vuông góc với trục {\displaystyle Ox} tại điểm {\displaystyle B(-{c \over a};0)}

Đường thẳng {\displaystyle ax+by=0} {\displaystyle (c=0)} đi qua gốc tọa độ {\displaystyle O(0;0)}

### Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm {\displaystyle A(x\_{0};0)}({\displaystyle x\_{0}\neq 0}) và {\displaystyle B(0;y\_{0})}({\displaystyle y\_{0}\neq 0}) thì có thể được viết dưới dạng phương trình {\displaystyle {x \over x\_{0}}+{y \over y\_{0}}=1}

### Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc {\displaystyle \alpha }. Đặt {\displaystyle k=\tan \alpha }, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương {\displaystyle {\vec {u}}=(u\_{1},u\_{2})} thì có hệ số góc {\displaystyle k={u\_{2} \over u\_{1}}}

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có hệ số góc {\displaystyle k=-{a \over b}}

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

### Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0

(D) cắt (d) {\displaystyle \Leftrightarrow } {\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình {\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}

(D) // (d){\displaystyle \Leftrightarrow } {\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}

(D){\displaystyle \equiv } (d){\displaystyle \Leftrightarrow }A:B:C = a:b:c

### Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi {\displaystyle {\vec {n\_{1}}}=(A\_{1},B\_{1})} là vectơ pháp tuyến của (D) và {\displaystyle {\vec {n\_{2}}}=(A\_{2},B\_{2})} là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi {\displaystyle \alpha } là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó {\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n\_{1}}}.{\vec {n\_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n\_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n\_{2}}}\right\vert }={\left\vert A\_{1}A\_{2}+B\_{1}B\_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A\_{1}^{2}+B\_{1}^{2})(A\_{2}^{2}+B\_{2}^{2})}}}}

2 đường thẳng vuông góc thì {\displaystyle \alpha =90^{\circ }}

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì {\displaystyle \alpha =0^{\circ }}

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương 

### Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và {\displaystyle M(x\_{0},y\_{0})\not \in (d)}, khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức {\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax\_{0}+by\_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

### Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm {\displaystyle M(x\_{M},y\_{M})}, {\displaystyle N(x\_{N},y\_{N})} không nằm trên (d). Xét các biểu thức {\displaystyle m=ax\_{M}+by\_{M}+c} và {\displaystyle n=ax\_{N}+by\_{N}+c}, khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong không gian
-----------------------------------------

### Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm {\displaystyle M(x\_{0},y\_{0},z\_{0})} và nhận {\displaystyle {\vec {u}}=(u\_{1},u\_{2},u\_{3})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là {\displaystyle {\begin{cases}x=x\_{0}+u\_{1}t\\y=y\_{0}+u\_{2}t\\z=z\_{0}+u\_{3}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị {\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng. 

### Dạng chính tắc

Nếu cả {\displaystyle u\_{1}}, {\displaystyle u\_{2}}, {\displaystyle u\_{3}} đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc {\displaystyle {x-x\_{0} \over u\_{1}}={y-y\_{0} \over u\_{2}}={z-z\_{0} \over u\_{3}}}

### Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {u}}=(u\_{1},u\_{2},u\_{3})} và (d') có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'\_{1},u'\_{2},u'\_{3})}. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

(d){\displaystyle \equiv }(d') {\displaystyle \Leftrightarrow }{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}

(d)//(d'){\displaystyle \Leftrightarrow }{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}} và {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}

(d) cắt (d'){\displaystyle \Leftrightarrow }{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}

(d) và (d') chéo nhau {\displaystyle \Leftrightarrow }{\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}

### Khoảng cách

#### Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) đi qua điểm {\displaystyle M\_{0}} và có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {u}}}. Khoảng cách từ điểm M đến (d) là {\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M\_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}

#### Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {u}}=(u\_{1},u\_{2},u\_{3})} và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'\_{1},u'\_{2},u'\_{3})}. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là {\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}

Xem thêm
--------

Đường thẳng

Liên kết ngoài
--------------

1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao