*Xem thêm các định lý Carathéodory khác* 
Trong hình học lồi, **định lý Carathéodory** khẳng định nếu điểm *x* trong **R***d* nằm trong bao lồi của tập hợp *P*, thì tồn tại một tập hợp con *P*′ của *P* gồm tối đa *d*+1 điểm sao cho *x* nằm trong bao lồi của *P*′. Một cách phát biểu tương đương là *x* nằm trong một *r*-đơn hình với các đỉnh thuộc *P*, trong đó {\displaystyle r\leq d}. Kết quả này được đặt tên theo Constantin Carathéodory, người đã chứng minh định lý này năm 1911 cho trường hợp *P* compact. Năm 1913, Ernst Steinitz mở rộng định lý Carathéodory cho mọi tập *P* trong **R**d.

Sau đây là một ví dụ. Ta xét tập hợp *P* = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} trong **R**2. Bao lồi của tập này là một hình vuông. Xét điểm *x* = (1/4, 1/4) nằm trong bao lồi của *P*. Ta có thể chọn tập {(0,0),(0,1),(1,0)} = *P* ′, với bao lồi là một hình tam giác chứa *x* và do đó định lý là đúng trong trường hợp này do |*P*′| = 3.

Chứng minh
----------

Giả sử ***x*** là một điểm trong bao lồi của *P*. Khi đó, ***x*** là tổ hợp lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm trong *P*:

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum \_{j=1}^{k}\lambda \_{j}\mathbf {x} \_{j}}
trong đó mọi ***x***j đều thuộc *P*, *λ*j là số dương, và {\displaystyle \sum \_{j=1}^{k}\lambda \_{j}=1}.

Giả sử *k* > *d* + 1 (nếu không ta có ngay điều phải chứng minh). Khi đó, các điểm ***x***2 − ***x***1,... ***x****k* − ***x***1 là phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại *μ*2,... *μ**k* sao cho không phải tất cả chúng đều bằng 0 và

{\displaystyle \sum \_{j=2}^{k}\mu \_{j}(\mathbf {x} \_{j}-\mathbf {x} \_{1})=\mathbf {0} .}
Nếu định nghĩa *μ*1 như sau

{\displaystyle \mu \_{1}:=-\sum \_{j=2}^{k}\mu \_{j}}
thì

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{k}\mu \_{j}\mathbf {x} \_{j}=\mathbf {0} }
{\displaystyle \sum \_{j=1}^{k}\mu \_{j}=0}
và không phải tất cả μ*j* đều bằng 0. Do đó tồn tại ít nhất một *μ*j>0. Ta có,

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum \_{j=1}^{k}\lambda \_{j}\mathbf {x} \_{j}-\alpha \sum \_{j=1}^{k}\mu \_{j}\mathbf {x} \_{j}=\sum \_{j=1}^{k}(\lambda \_{j}-\alpha \mu \_{j})\mathbf {x} \_{j}}
cho mọi số thực *α*. Vì vậy đẳng thức trên là đúng khi chọn *α* như sau

{\displaystyle \alpha :=\min \_{1\leq j\leq k}\left\{{\tfrac {\lambda \_{j}}{\mu \_{j}}}:\mu \_{j}>0\right\}={\tfrac {\lambda \_{i}}{\mu \_{i}}}.}
Ghi chú là *α*>0, và với mọi *j* từ 1 tới *k*,

{\displaystyle \lambda \_{j}-\alpha \mu \_{j}\geq 0.}
Ta nhận thấy *λ*i − *αμ**i* = 0 theo cách chọn *α*. Vì vậy,

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum \_{j=1}^{k}(\lambda \_{j}-\alpha \mu \_{j})\mathbf {x} \_{j}}
trong đó mọi {\displaystyle \lambda \_{j}-\alpha \mu \_{j}} là không âm, tổng của chúng bằng 1, và thêm vào đó, {\displaystyle \lambda \_{i}-\alpha \mu \_{i}=0}. Nói cách khác, ***x*** là tổ hợp lồi của *k*-1 điểm trong *P*. Có thể lặp lại quá trình trên cho tới khi ***x*** là tổ hợp lồi của *d* + 1 điểm trong *P*.

Một cách chứng minh khác là sử dụng định lý Helly.

Xem thêm
--------

* Bổ đề Shapley–Folkman
* Định lý Helly
* Định lý Krein–Milman
* Lý thuyết Choquet

Ghi chú
-------

1. ↑  Carathéodory, C. (1911). "Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen". *Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo*. **32**: 193–217.
2. ↑  Steinitz, Ernst (1913), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme", *J. Reine Angew. Math.*, **143**: 128–176, doi:10.1515/crll.1913.143.128

Tham khảo
---------

* Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), "Helly's theorem and its relatives", *Convexity*, Proc. Symp. Pure Math. **7**, American Mathematical Society, tr. 101–179.
* Eckhoff, J. (1993), "Helly, Radon, and Carathéodory type theorems", *Handbook of Convex Geometry*, **A, B**, Amsterdam: North-Holland, tr. 389–448.

Liên kết ngoài
--------------

* Một phát biểu ngắn gọn của định lý Lưu trữ 2004-08-07 tại Wayback Machine thông qua bao lồi (tại PlanetMath)