Trong toán học, một trường {\displaystyle F} được gọi là **đóng đại số** nếu mọi đa thức một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong {\displaystyle F}, có nghiệm trong {\displaystyle F}.

Ví dụ
-----

Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

{\displaystyle x^{2}+1=0}
không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. 
Tất cả các trường hữu hạn {\displaystyle F} không là đóng đại số vì nếu a\_{1}, {\displaystyle a\_{2}}, …, {\displaystyle a\_{n}} là các phần tử của {\displaystyle F}, thì đa thức

{\displaystyle (x-a\_{1})(x-a\_{2})\cdots (x-a\_{n})+1\,}
luôn khác không trên {\displaystyle F}.

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đương
-------------------------

Trường {\displaystyle F} là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

* Mọi đa thức {\displaystyle p(x)} có bậc n ≥ 1, với hệ số trong {\displaystyle F} phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử k, {\displaystyle x\_{1}}, {\displaystyle x\_{2}}, …, {\displaystyle x\_{n}} của trường {\displaystyle F} sao cho

{\displaystyle p(x)=k(x-x\_{1})(x-x\_{2})\cdots (x-x\_{n}).\,}
* Trường {\displaystyle F} không có mở rộng đại số thực sự.
* Với mọi số tự nhiên n, mọi ánh xạ tuyến tính từ {\displaystyle F^{n}} vào chính nó là đẳng cấu.
* Mọi hàm hữu tỷ của một biến x, với hệ số trong {\displaystyle F}, có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng {\displaystyle a/(x-b)^{n}}, trong đó n là số tự nhiên, và a, b là các phần tử của {\displaystyle F}.

Các tính chất khác
------------------

Nếu {\displaystyle F} là một trường đóng đại số, a là phần tử của {\displaystyle F}, và n là số tự nhiên, thì a có một căn bậc nth trong {\displaystyle F}(vì phương trình {\displaystyle x^{n}-a=0} có nghiệm trong {\displaystyle F}. Tuy thế, có những trường có căn bậc nth (với mọi số tự nhiên n) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường {\displaystyle F} có bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa {\displaystyle F} như một trường con.

Tham khảo
---------

* S. Lang, *Algebra*, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* B. L. van der Waerden, *Algebra I*, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

Liên kết ngoài
--------------

| * x
* t
* s
Các chủ đề chính trong đại số |
| --- |
| Các lĩnh vực chính | 
* Đại số trừu tượng
* Lý thuyết phạm trù
* Đại số sơ cấp
* Lý thuyết K
* Đại số giao hoán
* Không giao hoán
* Lý thuyết thứ tự
* Đại số phổ dụng

 |  |
| Các cấu trúc đại số | 
* Nhóm (Lý thuyết)
* Vành (Lý thuyết)
* Module (Lý thuyết)
* Trường
* Vành đa thức (Đa thức, Phương trình)
* Lý thuyết số đại số

 |
| Đại số tuyến tính | 
* Ma trận (lý thuyết)
* Không gian vectơ (Vector)
* Mô-đun
* Inner product space (Tích vô hướng)
* Không gian Hilbert

 |
| Đại số đa tuyến | 
* Đại số Tensor algebra
* Exterior algebra
* Đại số đối xứng
* Hình học đại số (Vectơ đa chiều)

 |
| Danh sách chủ đề | 
* Đại số trừu tượng
* Cấu trúc đại số
* Lý thuyết nhóm
* Đại số tuyến tính

 |
| Thuật ngữ | 
* Đại số tuyến tính
* Lý thuyết trường
* Lý thuyết vành
* Lý thuyết thứ tự

 |
| 
* Thể loại Thể loại
* Chủ đề
* Trang Wikibooks Wikibooks
	+ Sơ cấp
	+ Tuyến tính
	+ Trừu tượng
* Trang Wikiversity Wikiversity
	+ Tuyến tính
	+ Trừu tượng

 |