|  |
| --- |
| Một phần của loạt bài về |
| Vi tích phân |
| * Định lý cơ bản
* Quy tắc tích phân Leibniz

* Giới hạn của hàm số
* Tính liên tục

* Định lý giá trị trung bình
* Định lý Rolle

 |
| Vi phân

| 
Định nghĩa |
| --- |
| * Đạo hàm (Tổng quát)

* Vi phân
	+ vô cùng bé
	+ hàm số
	+ toàn phần

 |
| 
Khái niệm |
| 
* Ký hiệu vi phân
* Đạo hàm bậc hai
* Vi phân ẩn
* Định lý Taylor

 |
| Quy tắc và đẳng thức |
| 
* Cộng
* Nhân
* Dây chuyền
* Lũy thừa
* Chia
* Quy tắc l'Hôpital
* Hàm ngược
* Leibniz tổng quát
* Công thức Faà di Bruno

 |

 |
| Tích phân

|  |
| --- |
| * Danh sách tích phân
* Biến đổi tích phân
 |
| 
Định nghĩa |
| * Nguyên hàm
* Tích phân (suy rộng)
* Tích phân Riemann
* Tích phân Lebesgue
* Tích phân theo chu tuyến
* Tích phân của hàm ngược
 |
| 
Kỹ thuật |
| * Từng phần
* Đĩa
* Vỏ
* Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler)
* Công thức Euler
* Đổi trật tự
* Công thức truy hồi
* Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
 |

 |
| Chuỗi

|  |
| --- |
| * Hình học (số học-hình học)
* Điều hòa
* Đan dấu
* Lũy thừa
* Nhị thức
* Taylor
 |
| Tiêu chuẩn hội tụ |
| * Số hạng
* d'Alembert
* Cauchy
* Tích phân
* So sánh
* So sánh giới hạn
* Chuỗi đan dấu
* Cô đọng Cauchy
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| Vectơ

|  |
| --- |
| * Gradien
* Div
* Rot
* Laplace
* Đạo hàm có hướng
* Đẳng thức
 |
| 
Định lý |
| * Gauss
* Gradient
* Green
* Kelvin–Stokes
* Stokes
 |

 |
| Nhiều biến

| 
Chủ đề |
| --- |
| * Ma trận
* Tenxơ
* Đạo hàm ngoài
* Hình học
 |
| 
Định nghĩa |
| * Đạo hàm riêng
* Tích phân bội
* Tích phân đường
* Tích phân mặt
* Tích phân thể tích
* Ma trận Jacobi
* Ma trận Hesse
 |

 |
| Chuyên ngành
* Malliavin
* Ngẫu nhiên
* Phép tính biến phân

 |
| Thuật ngữ
* Thuật ngữ giải tích

 |
| * x
* t
* s
 |

Trong toán học, **đạo hàm riêng** của một hàm số đa biến là đạo hàm theo một biến, các biến khác được xem như là hằng số(khác với đạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều biến thiên). Đạo hàm riêng được sử dụng trong giải tích vector và hình học vi phân.

Đạo hàm riêng của *f* đối với biến *x* được ký hiệu khác nhau bởi

{\displaystyle f\_{x}^{\prime },\ f\_{x},\ f\_{,x},\ \partial \_{x}f,{\text{ hoặc }}{\frac {\partial f}{\partial x}}}
Ký hiệu của đạo hàm riêng là *∂*. Ký hiệu này được giới thiệu bởi Adrien-Marie Legendre và được chấp nhận rộng rãi sau khi nó được giới thiệu lại bởi Carl Gustav Jacob Jacobi.

{{multiple image

```
| align  = right[[Tập 9999tin:]]
| direction = vertical
| width  = 250

| image1 = Grafico 3d x2+xy+y2.png
| caption1 = Đồ thị của hàm số *z* = *x*2 + *xy* + *y*2. Đạo hàm riêng tại điểm (1, 1, 3) với *y* là hằng số tương ứng với đường tiếp tuyến song song với mặt phẳng *xz*.

| image2 = X2+x+1.png
| caption2 = Mặt cắt của đồ thị trên tại *y*= 1
```

}}

Định nghĩa
----------

Ví dụ sau sẽ giúp giải thích định nghĩa của đạo hàm riêng theo biến *y*.Giả sử một hàm theo hai biến x,y được xem như là một họ các hàm theo y được đánh số theo *x*

f(x,y) = f\_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,
Nói một cách khác, mỗi giá trị của *x* định nghĩa một hàm số, ký hiệu là *fx*, mà nó là hàm số một biến. Nghĩa là

f\_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,
Một khi giá trị của *x* được chọn, ví dụ là *a*, thì *f*(*x*,*y*) xác định một hàm số *fa*

f\_a(y) = a^2 + ay + y^2. \,
Trong công thức này, *a* là *hằng số*, không phải là *biến số*, do đó *fa* là một hàm số một biến và do vậy ta có thể sử dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm một biến:

f\_a'(y) = a + 2y. \,
Quy trình trên có thể được áp dụng cho bất cứ lựa chọn nào của *a*. Khi đem gộp lại tất cả những đạo hàm đó ta có được sự biến thiên của hàm số *f* theo hướng của *y*:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,}
Đây là đạo hàm riêng của *f* theo biến số *y*. Ổ đây ∂ được gọi là **ký hiệu đạo hàm riêng**.

Một cách tổng quát, **đạo hàm riêng** của một hàm số *f*(*x*1,...*x**n*) theo hướng *xi* tại điểm (*a*1,...*an*) được định nghĩa là:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(a\_{1},\ldots ,a\_{n})=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(a\_{1},\ldots ,a\_{i}+h,\ldots ,a\_{n})-f(a\_{1},\ldots ,a\_{i},\dots ,a\_{n})}{h}}.}
Trong tỷ số bên trên, tất cả các biến ngoại trừ *xi* được giữ cố định. Do vậy ta chỉ có hàm số theo một biến f\_{a\_1,\ldots,a\_{i-1},a\_{i+1},\ldots,a\_n}(x\_i) = f(a\_1,\ldots,a\_{i-1},x\_i,a\_{i+1},\ldots,a\_n), và do định nghĩa,,

{\displaystyle {\frac {df\_{a\_{1},\ldots ,a\_{i-1},a\_{i+1},\ldots ,a\_{n}}}{dx\_{i}}}(x\_{i})={\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(a\_{1},\ldots ,a\_{n}).}
Một ví dụ quan trọng của đạo hàm riêng: Cho một hàm số *f*(*x*1,...*x**n*) đinh nghĩa trên một miền của **R***n* (ví dụ, trên **R**2 hay là **R**3). Trong trường hợp này *f* có các đạo hàm riêng ∂*f*/∂*x**j* đối với mỗi biến *x**j*. Tại điểm *a*, những đạo hàm riêng này định ra vector

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x\_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x\_n}(a)\right).
Vector này được gọi là **gradient** của *f* tại *a*. Nếu *f* khả vi tại mọi điểm trong một miền nào đó, thì gradient là hàm số có trị là vectơ ∇*f* đưa điểm *a* đến vectơ ∇*f*(*a*). Do đó gradient là một trường vectơ.

Ghi chú
-------

1. ↑  Jeff Miller (ngày 14 tháng 6 năm 2009). "Earliest Uses of Symbols of Calculus". *Earliest Uses of Various Mathematical Symbols*. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2010.

Liên kết ngoài
--------------

* Partial Derivatives trên MathWorld