Trong toán học, **định lý khai triển nhị thức** (ngắn gọn là **định lý nhị thức**) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có {\displaystyle n+1} số hạng:

{\displaystyle (x+a)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}a^{k}}
với:

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}}
Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là:

* Nhà toán học và cơ học Isaac Newton tìm ra trong năm 1665.
* Nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670.

Công thức đã giới thiệu còn mang tên là **Nhị thức Newton**.

Chứng minh định lý
------------------

*Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.*

Ta có biểu thức **{\displaystyle P(n):(1+x)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}x^{k}}** (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

Giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh {\displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}x^{k}=(1+x)} và {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}x^{k+1}=\sum \_{k=1}^{n}C\_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}

Áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

{\displaystyle (1+x)^{n+1}=1+\sum \_{k=1}^{n}(C\_{n}^{k}+C\_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C\_{n+1}^{0}.x^{0}+\sum \_{k=1}^{n}C\_{n+1}^{k}.x^{k}+C\_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum \_{k=0}^{n+1}C\_{n+1}^{k}x^{k}}

Do đó công thức (1) đúng.

Giờ đặt {\displaystyle x={\frac {b}{a}}\Rightarrow (1+{\frac {b}{a}})^{n}=\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}} và do đó {\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}=a^{n}\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}=\sum \_{k=0}^{n}C\_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ
-----

Tam giác Pascal
Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách các **hằng đẳng thức đáng nhớ.**

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của {\displaystyle x+y}:

{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}
Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của {\displaystyle x+y} tương ứng với các hàng sau:

{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}
Chú ý rằng:

1. Lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ({\displaystyle x^{0}=1}), giá trị bắt đầu là n (n trong {\displaystyle (x+y)^{n}}.)
2. Lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 ({\displaystyle y^{0}=1}) cho tới khi đạt đến n (n trong {\displaystyle (x+y)^{n}}.)
3. Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng 2^{n}.
5. Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng {\displaystyle n+1}.

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

{\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}
Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

{\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!}

Tổng quát
---------

Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức và ràng buộc một số hạng trong nhị thức. 

*Nếu r là một số thực và z là một số phức có số dư nhỏ hơn 1 thì khi đó, ta sẽ phân tích được ra thành một chuỗi vô hạn hội tụ:*
{\displaystyle (1+z)^{r}=\sum \_{k=0}^{\infty }{r \choose k}z^{k}}
*Trong đó:*

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}}}

Xem thêm
--------

* Định lý khai triển đa thức
* Định lý luật số lớn
* Tam giác Pascal

Tham khảo
---------

1. ↑  "Định lý nhị thức", *Wikipedia tiếng Việt*, 28 tháng 7 năm 2022, truy cập ngày 6 tháng 11 năm 2022

* H Anton, Calculus with Analytic Geometry (NewYork, 1980)

| Các chủ đề chính trong toán học |
| --- |
| Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê |


|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về ***Định lý nhị thức***. |