**{\displaystyle x} sonining {\displaystyle n}- darajali arifmetik ildizi** — {\displaystyle n}- darajasi {\displaystyle x} ga teng boʻlgan har qanday son {\displaystyle r} ga aytiladi, yaʼni {\displaystyle r^{n}=x}. Bu yerda *n* ildizning *darajasi*dir. 2-darajali arifmetik ildiz *kvadrat ildiz* deb ataladi va bu ildizning darajasini koʻrsatmasdan yozish mumkin: {\displaystyle {\sqrt {\ }}}. 3-darajali arifmetik ildiz *kub ildiz* yoki *uchinchi darajali ildiz* deb nomlanadi. Boshqa darajalar nomlari uchun tegishli son ishlatiladi. Masalan, *toʻrtinchi darajali ildiz*, *beshinchi darajali ildiz* va hokazo.

Haqiqiy sonlar toʻplamida ildizda ikkitagacha javobi boʻlishi mumkin. Manfiy sonning juft darajali ildizini olish kerak boʻlgan hollarda birorta ham javob mavjud boʻlmaydi. Kompleks sonlar toʻplamida {\displaystyle n}- darajali ildizda {\displaystyle n} ta javob boʻladi. 0 ning ildizlari alohida sonlardan iborat emas, yaʼni barchasi 0 ga teng. Har qanday haqiqiy yoki kompleks sonning *n-* darajali barcha *n* ildizlari esa individual sonlardan iborat.

Agar *n* juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va musbat boʻlsa, uning *n-* darajali ildizlaridan biri musbat, biri manfiy va qolganlari kompleks ammo haqiqiy emas boʻladi. Agar *n* juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va manfiy boʻlsa, *n-* darajali ildizlarning birortasi ham haqiqiy boʻlmaydi. Agar *n* toq boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy boʻlsa, bitta *n-* darajali ildiz haqiqiy boʻladi va uning belgisi ildizning belgisi bilan bir xil boʻladi, qolgan ildizlar boʻlsa haqiqiy boʻlmaydi.

Ildizlarni yozishda *ildiz belgisi*dan qoʻllaniladi. Bu belgini {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} yoki {\displaystyle \surd {}} kabi yozish mumkin. {\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,} yoki {\displaystyle \surd x} kvadrat ildizni ifodalaydi, {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,} kub ildizni ifodalaydi, {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} toʻrtinchi darajali ildizni ifodalaydi va hokazo.

Ildizning tuzilishi: 1) indeks; 2) ildiz belgisi; 3) ildiz ostidagi son.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} ifodasida *n* **indeks**, {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} **ildiz belgisi** va *x* **ildiz ostidagi son** deb yuritiladi. Ildiz ostidagi son funksiya kabi faqat bitta javobga ega boʻlishi kerak, shuning uchun manfiy boʻlmagan *asosiy n-ildiz* deb atalgan haqiqiy ildiz boshqalaridan ustun koʻriladi. Javobi yoʻq ildiz odatda *radikal* deb nomlanadi.

Matematik analizda ildizlar *darajaga koʻtarish*ning maxsus holi deb qaraladi. Bu analizda *daraja* kasr deb qaraladi:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}}
Ildizlar son qatorlarini oʻrganishda juda muhim rol oʻynaydi. Ildiz testi orqali darajali qatorning *mos tushish radiusi* aniqlanadi. Kompleks sonlarning ham ildizini aniqlash mumkin. Birlikning ildizi yuqori matematikada keng oʻrganiladi. Qaysi algebraik sonlarni ildizlar bilan ifodalash mumkinligini galois nazariyasi yordamida aniqlash mumkin. Ildizlar yana Abel–Ruffini teoremasini isbotlash uchun kerak. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, koʻphadli beshinchi yoki undan yuqori darajali tenglamalarni faqat ildizlardan foydalanib yechish mumkin emas.

Tarixi
------

Ildiz belgisining (√) kelib chiqishi nomaʼlum. Baʼzi manbalarga koʻra, bu belgini birinchi marta arab matematiklari ishlatishgan. Bu matematiklardan biri Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1421-1486) boʻlgan. Afsonaga koʻra bu belgi arabcha „جذر" (*jadhir* — „ildiz") soʻzining birinchi harfi boʻlmish „ج" (*jim*) harfidan olingan. Ammo boshqa olimlar, masalan Leonhard Euler, ildiz belgisi lotincha „radix" („ildiz") soʻzining birinchi harfi „r" harfidan kelib chiqqan deb hisoblashgan. Ildiz belgisi birinchi marta bosmada olmon matematigi Christoff Rudolffning „Die Coss" asarida 1525-yil ishlatilgan. Bu ildiz belgisida sonlar ustiga chiziladigan gorizontal chiziq boʻlmagan.

Inglizchada ishlatiladigan „surd" (irratsional son) atamasi Al Xorazmiyga borib taqaladi. U ratsional sonlarni *eshitsa boʻladigan*, irratsional sonlarni boʻlsa *eshitsa boʻlmaydigan* deb atagan. Bu arab tilidagi irratsional son uchun ishlatilgan „أصم" (*asamm* — „kar" yoki „soqov") soʻzining lotinchaga „surdus" („kar" yoki „soqov") deb tarjima qilinishiga olib kelgan. Gerard of Cremona (taxminan 1150), Fibonacci (1202) va keyin Robert Recorde (1551) barchasi yechilmaydigan irratsional ildizlarni „surdus" deb atagan.

Taʼrifi va belgilanishi
-----------------------

-1 ning toʻrt 4-darajali ildizi. Bularning hech biri haqiqiy emas.
-1 ning uch 3-darajali ildizi. Bulardan bir manfiy haqiqiy ildizdir.
*x* sonning ***n*-darajali ildizi** deb *n-* darajasi *x* ga teng *r* soniga aytiladi. Bu yerda *n* musbat butun sondir.

{\displaystyle r^{n}=x.\!\,}
Har bir musbat haqiqiy son *x* da bitta musbat *n-* darajali ildiz bor va u {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} koʻrinishida yoziladi. *n* 2 ga teng boʻlsa ildiz kvadrat ildiz deb ataladi va bu holda odatda *n* yozilmaydi. *n-* darajali ildizni yana darajalar orqali *x*1/n koʻrinishida ifodalash mumkin.

*n* ning juft qiymatlari uchun musbat sonlarda manfiy *n-* darajali ildiz ham mavjud. Manfiy sonlarda boʻlsa haqiqiy *n-* darajali ildiz yoʻq. *n* ning toq qiymatlari uchun har bir manfiy son *x* da haqiqiy manfiy *n-* darajali ildiz mavjud. Masalan, -2 da haqiqiy 5-darajali manfiy ildiz bor va u {\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}\,=-1.148698354\ldots } ga teng. Ammo -2 da 6-darajali haqiqiy ildizi yoʻq.

0 dan farqli har qanday haqiqiy yoki kompleks son *x* da *n* ta turli kompleks *n-* darajali ildizlari bor. Bularga ham manfiy, ham musbat ildizlar kiradi. 0 ning *n-* darajali ildizi 0 dir.

Koʻp sonlar uchun *n-* darajali ildiz irratsional sondir. Masalan,

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }
Butun sonlarning va har qanday algebraik sonning barcha *n-* darajali ildizlari algebraikdir.

Ildiz belgisi uchun dasturlashda ishlatiladigan belgi kodlari quyidagilardir:

| Read | Character | Unicode | ASCII | URL | HTML (others) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *Square root* | √ | U+221A | `&#8730;` | `%E2%88%9A` | `&radic;` |
| *Cube root* | ∛ | U+221B | `&#8731;` | `%E2%88%9B` |  |
| *Fourth root* | ∜ | U+221C | `&#8732;` | `%E2%88%9C` |  |

### Kvadrat ildiz

*x* sonining **kvadrat ildizi** kvadrat darajaga koʻtarilganda *x* ga teng boʻladigan *r* sonidir:

{\displaystyle r^{2}=x.\!\,}
Har bir musbat haqiqiy sonda ikki kvadrat ildiz mavjud, biri manfiy, biri musbat. Masalan, 25 ning ikki kvadrat ildizi 5 va -5 dir. Musbat ildiz **asosiy ildiz** deb ham ataladi va ildiz belgisi bilan ifodalanadi:

{\displaystyle {\sqrt {25}}=5.\!\,}
Har bir haqiqiy sonning kvadrat ildizi musbat haqiqiy son boʻlgani uchun manfiy sonlarda haqiqiy kvadrat ildiz yoʻq. Ammo har bir manfiy sonda ikki xayoliy kvadrat ildiz mavjud. Masalan, -25 ning ikki kvadrat ildizi 5*i* va -5*i* dir. Bu yerda *i* (inglizcha „imaginary" — „xayoliy" soʻzidan olingan) -1 ning kvadrat ildizni ifodalaydi.

### Kub ildiz

*x* sonining **kub ildizi** kub darajaga koʻtarilganda *x* ga teng boʻladigan *r* sonidir:

{\displaystyle r^{3}=x.\!\,}
Har bir haqiqiy son *x* da faqat bitta haqiqiy kub ildiz bor va u {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} koʻrinishida yoziladi. Masalan,

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}\,=\,2\quad {\text{va}}\quad {\sqrt[{3}]{-8}}\,=-2.}
Har bir haqiqiy sonda yana ikkita qoʻshimcha kompleks kub ildiz boʻladi.

Ayniyatlar va ildizning xossalari
---------------------------------

Haqiqiy musbat sonlar ustida ildiz amallarini bajarish qoidalari quyidagilardir:

* {\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0;}

* {\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}},\qquad a,\ b\geq 0;}

* {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a;a\geqslant 0}
* {\displaystyle \forall a\geqslant 0,b>0\qquad {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
* {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}=a^{m/n}.}

* {\displaystyle {\sqrt[{nk}]{a^{mk}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}},\qquad a>0,n\in \mathbb {N} }
* {\displaystyle \forall a\geqslant 0,\qquad n,k\in \mathbb {N} \qquad {\sqrt[{n}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{nk}]{a}}}

Kompleks sonlarning ildizini topishda muammolar chiqadi. Masalan, asosiy ildizni topishda,

{\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1},
ammo,

{\displaystyle {\sqrt {-1\times -1}}=1}.

Ildiz ifodasini soddalashtirish
-------------------------------

Agar quyidagi shartlar bajarilsa ildiz ifodasi *sodda formada* deyiladi:

1. Ildiz ostidagi sonning indeksga teng yoki katta daraja qilib yozsa boʻladigan koʻpaytuvchisi boʻlmasa;
2. Ildiz ostida kasrlar boʻlmasa;
3. Maxrajda radikal son boʻlmasa

Masalan, {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}} ifodasini soddalashtirish uchun quyidagi amallar bajariladi. Birinchi, kvadrat ildiz ostida kvadrat ildizi bor sonni topib, ildiz belgisidan chiqaramiz.

{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}
Ildiz belgisi ostidagi kasrni yoʻq qilishi uchun quyidagi amallarni bajaramiz:

{\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}
Endi maxrajdagi ildiz belgisini quyidagicha qilib almashtiramiz:

{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}}
Agar maxrajda radikal son boʻlsa suratni ham, maxrajni ham bir xil koʻpaytuvchiga koʻpaytirib, ifodani soddalashtirish mumkin. Masalan, ikki kubning yigʻindisini koʻpaytuvchilarga ajratish yoʻli bilan:

{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.}
Ildiz ichida yana boshqa ildiz boʻlgan murakkab ildiz ifodalarini yechish oson boʻlmasligi mumkin. Masalan, mana bu javobni darhol anglab olish mushkul:

{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,}

Cheksiz qator
-------------

Radikal ildizni cheksiz qator orqali ifodalash mumkin:

{\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {\prod \_{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}.}
Bu yerda {\displaystyle |x|<1}. Bu ifodani binom seriyasidan olish mumkin.

Asosiy ildizlarni hisoblash
---------------------------

Butun sonning *n-* darajali ildizi har doim ham butun son emas va bu ildiz butun son boʻlmasa demak u ratsional son emas. Masalan, 34 ning 5-darajali ildizi

{\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}=2.024397458\ldots ,}
ga teng. Nuqtalar oʻnli kasr maʼlum bir xonada toʻxtamasligini anglatadi. Bu misolda kasr qism takrorlanmaydi, yaʼni bu kasr davriy kasr emas. Shu sababdan bu son irratsional sondir.

*A* sonining *n-* darajali ildizini ''n-'' darajali ildiz algoritmi bilan hisoblash mumkin. Bu algoritm Nyuton metodining maxsus holidir. Bu uslubda yechish uchun *x*0 taxminiy soni olinadi. Shu amal keyin quyidagi rekurrent nisbati orqali kerakli aniqlik erishilgunicha takrorlanadi:

{\displaystyle x\_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x\_{k}+{\frac {A}{x\_{k}^{n-1}}}}\right)}.
Baʼzan Nyutonning birinchi approksimatsiyasini ishlatish yetarli boʻladi:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.}
Masalan, 34 ning 5-darajali ildizini topish kerak boʻlsin. Maʼlumki 25 = 32. Demak yuqoridagi formulada *x* = 32 va *y* = 2 deb olinadi. Bundan quyidagi javobni olamiz:

{\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.}
Bu approksimatsiyadagi xatolik 0.03 %, xolos.

Nyuton metodini oʻzgartirib *n-*darajali ildiz uchun umumlashtirilgan davomli kasr yozish mumkin. Bu kasrni yuqorida aytib oʻtilgandek turli yoʻl bilan oʻzgartirish mumkin. Masalan:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};}

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.}

Bu holda 34 ning 5-darajali ildizi (baʼzi umumiy koʻpaytuvchilarni tanlab olib boʻlgandan keyin) quyidagiga tengdir:

{\displaystyle {\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.}

Kompleks ildizlar
-----------------

0 dan boshqa har qanaqa kompleks sonda *n*ta *n-*darajali ildiz mavjud.

### Kvadrat ildizlar

***i*** ning kvadrat ildizlari
Kompleks sonning ikki kvadrat ildizi doim bir-birining negatividir. Masalan, −4 ning kvadrat ildizlari 2*i* va −2*i* dir. *i* ning kvadrat ildizlari boʻlsa

{\displaystyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\quad {\text{va}}\quad {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}.}
dir.

Agar kompleks son qutbiy koʻrinishda ifoda qilinsa, kvadrat ildizni topish uchun radiusning kvadrat ildizi olinib, burchakning yarmi topiladi:

{\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,\pm {\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}.}
Kompleks sonning *asosiy* ildizini bir necha usulda tanlash mumkin. Masalan,

{\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}}.
ifodasi kompleks tekislikda musbat haqiqiy oʻq atrofida 0 ≤ *θ* < 2π sharti bilan yoki manfiy haqiqiy oʻq atrofida −π < *θ* ≤ π sharti bilan tarmoq kesimi oʻtkazadi.

Birinchi (oxirgi) tarmoq kesimidan foydalanib, {\displaystyle {\sqrt {z}}} asosiy kvadrat ildizi tekislikning manfiy boʻlmagan xayoliy (haqiqiy) qismida {\displaystyle z} ni chizadi.

### Birlikning ildizlari

1 ning uchta 3-darajali ildizi
Kompleks tekislikda 1 sonining *n* ta *n-* darajali ildiz bor:

{\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}
Bu yerda

{\displaystyle \omega \,=\,e^{2\pi i/n}\,=\,\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}
Bu ildizlar *birlik aylanasi* atrofida bir-biridan bir xil uzoqlikda {\displaystyle 2\pi /n} ning karralisi boʻlgan burchaklarda joylashadi. Masalan, birlikning kvadrat ildizlari 1 va −1 dir. Birlikning toʻrtinchi darajali ildizlari boʻlsa {\displaystyle i}, −1 va {\displaystyle -i} dir.

### *n-* darajali ildizlar

Har bir kompleks sonda kompleks tekislikda *n*ta *n-*darajali ildiz mavjud. Bu ildizlar quyidagilardir:

{\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}.
Bu yerda *η* bitta *n-* darajali ildizdir va 1, *ω*, *ω*2, … *ω**n*−1 birlikining *n-* darajali ildizlaridir. Masalan, 2 ning toʻrtta 4-darajali ildizlari mana bunga teng:

{\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{va}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}
Qutbiy formada bitta *n-* darajali ildizni mana bu formula bilan topish mumkin:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\theta /n}.}
Bu yerda *r* ildizi olinishi kerak boʻlgan sonning modulidir (absolyut qiymati ham deyiladi). Agar sonni *a+bi* qilib yozish mumkin boʻlsa, unda {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}. Yana, {\displaystyle \theta } tekislik boshidan musbat gorizontal oʻqdan songa qarab soat strelkasiga qarshi yurilganda hosil boʻlgan va songa qarab ketuvchi nurning burchagidir. Uning xossalari quyidagilardir: {\displaystyle \cos \theta =a/r,} {\displaystyle \sin \theta =b/r,} va {\displaystyle \tan \theta =b/a.}

Shu asnoda kompleks tekislikda *n-*darajali ildizlarni topishni ikki qadamga boʻlish mumkin. Birinchi, barcha *n-*darajali ildizlarning moduli boshida berilgan sonning modulining *n-*darajali ildizidir. Ikkinchi, tekislik boshidan chiqib *n-* darajali ildizlarga ketgan nurning yoʻnalishi burchagi musbat gorizontal oʻqqa nisbatan {\displaystyle \theta /n} dir. Yaʼni, tekislik boshidan chiqib ilk songa ketgan nurning musbat gorizontal oʻqqa nisbatan boʻlgan burchagi {\displaystyle \theta } bilan 1/*n* ning koʻpaytmasiga tengdir. Bundan tashqari, *n-*darajali ildizlarning barchasi bir-biridan bir xil burchak masofada joylashadi.

Koʻphadlarni yechish
--------------------

Avvallari koʻphadlarning barcha ildizlarini ildiz ifodasi va elementar amallar bilan ifodalash mumkin deb ishonilgan. Bu uchinchi darajali va toʻrtinchi darajali koʻphadlar uchun toʻgʻri keladi. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, bu qoidani darajasi 5 yoki undan yuqori boʻlgan koʻphadlarga umumlashtirib boʻlmaydi. Masalan,

{\displaystyle x^{5}=x+1\,}
tenglamasining javoblarini ildiz bilan ifodalab boʻlmaydi.

Manbalar
--------

1. ↑  G. Korn, T. Korn. Spravochnik po matematike (dlya nauchnix rabotnikov i injenerov). M. 1974 g. p. 1.2.1
2. ↑  M. I. Skanavi. Elementarnaya matematika. p.1.11, str.49.
3. ↑  Silver, Howard A.*. Algebra and trigonometry*. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1986. ISBN 0-13-021270-9.
4. ↑  „Language Log: *Ab surd*". Qaraldi: 22-iyun 2012-yil.
5. ↑  Leonhard Euler*. *Institutiones calculi differentialis** (Latin), 1755.
6. ↑  [ „Earliest Known Uses of Some of the Words of
 Mathematics"].  Mathematics Pages by Jeff Miller. Qaraldi: 30-noyabr 2008-yil.
7. ↑  McKeague, Charles P.*. Elementary algebra*, 2011 — 470 bet.

Havolalar
---------

* *n-* darajali ildiz, *FizMat* (rus.)
* Arifmetik ildiz Wayback Machine saytida arxivlandi (2013-01-08). *Bymath* (rus.)