**Klassik ehtimollik zichligi** — bu klassik mexanik tizimdagi potentsial energiyaga tobe boʻlgan maʼlum bir joyning yaqinida zarrachani topish ehtimolini ifodalovchi ehtimollik zichligi funktsiyasi. Ushbu ehtimollik zichliklari yozishmalar printsipi haqida tushunchaga ega boʻlishda va oʻrganilayotgan kvant tizimi va klassik chegara oʻrtasida aloqa oʻrnatishda yordam beradi.

Matematik asos
--------------

Dastlab *A* amplitudali tinch holatda oddiy harmonik osilator misolini koʻrib chiqing. Aytaylik, bu tizim yorugʻlik oʻtkazmaydigan konteyner ichiga joylashtirilgan, shunda uni faqat kamera yordamida koʻrish mumkin, u faqat ichida sodir boʻlayotgan voqealarni suratga olishi mumkin. Har bir surat osilatorni uning traektoriyasi boʻylab har qanday mumkin boʻlgan *x* holatida koʻrish ehtimoli bor. Klassik ehtimollik zichligi qaysi pozitsiyalar ehtimoli koʻproq, qaysilari kamroq, tizimning oʻrtacha pozitsiyasi va hokazolarni qamrab oladi. Ushbu funktsiyani olish uchun, osilatorning eng koʻp topilishi mumkin boʻlgan pozitsiyalari osilator koʻp vaqtini oʻtkazadigan pozitsiyalar ekanligini hisobga oling. Darhaqiqat, maʼlum bir *x* qiymatida boʻlish ehtimoli ushbu *x* qiymatiga yaqin joyda oʻtkazgan vaqtga proportsionaldir. Agar osilator berilgan *x* -qiymatning *dx* yaqinida cheksiz kichik *dt* vaqt sarflasa, u holda bu yaqinlikda boʻlish ehtimoli *P*(*x*) *dx* boʻladi.

{\displaystyle P(x)\,dx\propto dt.}
Osillatorga taʼsir etuvchi kuch konservativ boʻlgani uchun va harakat cheklangan sohada sodir boʻlganligi sababli, harakat *T* bilan belgilanadigan maʼlum bir davr bilan tsiklik boʻladi. Osilatorning mumkin boʻlgan minimal mumkin boʻlgan *x* -qiymati va maksimal mumkin boʻlgan *x* -qiymati oʻrtasidagi har qanday holatda boʻlish ehtimoli 1 ga teng boʻlishi kerakligi sababli, normalizatsiya

{\displaystyle \int \_{x\_{\rm {min}}}^{x\_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int \_{t\_{i}}^{t\_{f}}dt}
ishlatiladi, bu yerda *N* — normalizatsiya konstantasi. Tebranish massasi oʻz davrining yarmida bu pozitsiyalar oraligʻini qamrab olganligi sababli (toʻliq davr −*A* dan +*A* ga, keyin esa −*A* ga oʻtadi) *t* ustidagi integral *T*/2 ga teng boʻlib, bu *N* 2/*T* ga oʻrnatadi.

Zanjir qoidasidan foydalanib, shuning uchun bizning ehtimollik zichligimiz *dt* = *dx*/(*dx*/*dt*) boʻladi, deb taʼkidlab, massa choʻzilgan balandlik nuqtai nazaridan qoʻyish mumkin .

{\displaystyle P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},}
Bu yerda *v*(*x*) — osilatorning tezligi, uning holatiga bogʻliq. (Eʼtibor bering, tezlik skalar boʻlgani uchun *v*(*x*) har ikkala yarim davr uchun ham bir xil.) Bu vaqtda *P*(*x*) ni olish uchun *v*(*x*) funksiyasini taqdim etish kifoya. Konservativ kuchlar taʼsiri ostida boʻlgan tizimlar uchun bu tezlikni energiya bilan bogʻlash orqali amalga oshiriladi. Kinetik energiya *K* boʻlgani uchun

{\displaystyle v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[E-U(x)]}}.}
Buni *P*(*x*) ifodamizga kiritsak, hosil boʻladi

{\displaystyle P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{E-U(x)}}}.}
Bizning boshlangʻich misolimiz garmonik osilator boʻlgan boʻlsa-da, shu paytgacha barcha matematika konservativ kuchga boʻysunadigan zarracha uchun butunlay umumiy boʻlib kelgan. Ushbu formulani mos keladigan potentsial energiya funktsiyasini ulash orqali har qanday bir oʻlchovli jismoniy tizim uchun umumlashtirish mumkin. Bu bajarilgandan soʻng, har qanday ruxsat etilgan energiya *E* uchun *P*(*x*) osongina olinadi.

Misollar
--------

### Oddiy garmonik osilator

 Kvant garmonik osilatorining *n* = 30 holatining ehtimollik zichligi funksiyasi. Qattiq chizma kvant mexanik ehtimollik zichligini, nuqtali chiziq esa klassik ehtimollik zichligini ifodalaydi. Chiziqli vertikal chiziqlar tizimning klassik burilish nuqtalarini koʻrsatadi.
Yuqoridagi hosilada ishlatilgan misoldan boshlab, oddiy garmonik osillator potensial energiya funksiyasiga egaligini koʻrishimiz mumkin:

{\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},}
bu yerda *k* — osilatorning  doimiysi va *ω* = 2*π*/*T* — osilatorning tabiiy burchak chastotasi. Osilatorning umumiy energiyasi *x* = ±*A* burilish nuqtalarida *U*(*x*) baholash orqali beriladi. Buni *P*(*x*) ifodasiga ulash natijasida hosil boʻladi

{\displaystyle P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.}
Bu funksiya burilish nuqtalarida ikkita vertikal asimptotaga ega, bu jismoniy maʼnoga ega, chunki burilish nuqtalari osilatorning dam olish joyidir va shuning uchun katta ehtimollik bilan ushbu *x* qiymatlari yaqinida topiladi. Eʼtibor bering, ehtimollik zichligi funksiyasi cheksizlikka moyil boʻlsa ham, ehtimollikni ifodalovchi egri chiziqning oʻzi emas, balki egri chiziq ostidagi maydon tufayli ehtimol hali ham cheklangan.

### Muvozanatlovchi toʻp

 *n* = 50 uchun kvant (qizil) va klassik (qora) kvant sakrash toʻpining ehtimollik zichligi funktsiyalari. Bu erda burilish nuqtasi *z**n* (bu boʻlim *h* deb nimani anglatadi) bilan belgilanadi.
Yoʻqotishsiz sakrab turgan toʻp uchun potensial energiya va umumiy energiya

{\displaystyle U(z)=mgz,}
{\displaystyle E=mgh,}
bu yerda *h* — toʻp erishgan maksimal balandlik. Bularni *P*(*z*) ga ulash natijasida hosil boʻladi

{\displaystyle P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {h-z}}},}
munosabatlar bu yerda {\displaystyle T={\sqrt {8h/g}}} oldingi omillarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Bu funksiyaning domeni {\displaystyle z\in [0,h]} (toʻp *z* = 0 da poldan tushmaydi), shuning uchun taqsimot oddiy garmonik osilatordagi kabi nosimmetrik emas. Shunga qaramay, *z* = *h* burilish nuqtasida vertikal asimptota mavjud.

Impuls-kosmik taqsimot
----------------------

Pozitsiya fazosida ehtimollik taqsimotini koʻrib chiqishdan tashqari, tizimni uning momentumiga qarab tavsiflash ham foydalidir. Yuqoridagi kabi argumentdan keyin natija

{\displaystyle P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},}
Bu yerda *F*(*x*) = −*dU*/*dx* zarrachaga pozitsiya funktsiyasi sifatida taʼsir qiluvchi kuch. Amalda, bu funktsiyani oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi bilan *p* impulsiga koʻra qoʻyish kerak.

### Oddiy garmonik osilator

Yuqoridagi oddiy garmonik osilatorga misol qilib, potentsial energiya va kuchni quyidagicha yozish mumkin

{\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}
{\displaystyle |F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.}
Tizimning maksimal impulsi sifatida (2*mE*)1/2 = *p*0 aniqlash, buni soddalashtiradi.

{\displaystyle P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p\_{0}^{2}-p^{2}}}}.}
Eʼtibor bering, bu joylashuv-boʻshliq ehtimoli taqsimoti bilan bir xil funktsional shaklga ega. Bu oddiy garmonik osilator muammosiga xos boʻlib, harakat tenglamalarida *x* va *p* oʻrtasidagi simmetriya tufayli yuzaga keladi.

### Muvozanatlovchi toʻp

Saqlayotgan toʻp misoli aniqroq, chunki bu holda kuch doimiy,

{\displaystyle F(x)=mg,}
natijada ehtimollik zichligi funksiyasi

{\displaystyle P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p\_{0}}}{\text{ for }}|p|<p\_{0},}
Bu yerda *p*0 = *m*(2*gh*)1/2 — toʻpning maksimal impulsi. Bu tizimda barcha momentlar bir xil ehtimolga ega.

Manbalar
--------

1. ↑  
Griffiths, David J.*. Introduction to Quantum Mechanics*, 3rd, Cambridge University Press, 2018 — 12–13, 20, 53 bet. ISBN 978-0-13-191175-8.
2. ↑  
Robinett, R. W. (1995). "Quantum and classical probability distributions for position and momentum". *American Journal of Physics* **63** (9): 823–832. doi:10.1119/1.17807. .
3. ↑  
Liboff, Richard L.*. Introductory Quantum Mechanics*. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1980 — 91, 194 bet. ISBN 0-201-12221-9.

Adabiyotlar
-----------

* Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
* Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.)