Ushbu oʻyinchoq barmoq ustida oʻtirganda muvozanatni saqlash uchun massa markazi tamoyillaridan foydalanadi.
Fizikada kosmosda massa taqsimotining **massa markazi** (baʼzan **muvozanat nuqtasi** deb ataladi) har qanday vaqtda taqsimlangan massaning nisbiy pozitsiyasi nolga teng boʻlgan yagona nuqtadir. Bu burchak tezlashuvisiz chiziqli tezlanishni keltirib chiqaradigan kuch qoʻllanilishi mumkin boʻlgan nuqtadir. Mexanikadagi hisob-kitoblar koʻpincha massa markaziga nisbatan tuzilganda soddalashtiriladi. Bu ob’ektning butun massasi uning harakatini tasavvur qilish uchun toʻplangan deb taxmin qilinadigan faraziy nuqtadir. Boshqacha qilib aytganda, massa markazi Nyutonning harakat qonunlarini qoʻllash uchun berilgan ob’ektning zarracha ekvivalentidir.

Yagona qattiq jism boʻlsa, massa markazi tanaga nisbatan oʻrnatiladi va agar tana bir xil zichlikka ega boʻlsa, u markazda joylashgan boʻladi. Massa markazi jismoniy tanadan tashqarida joylashgan boʻlishi mumkin, baʼzida ichi boʻsh yoki ochiq shakldagi narsalar, masalan, taqa. Quyosh tizimining sayyoralari kabi alohida jismlarning taqsimlanishida massa markazi tizimning biron bir alohida aʼzosining pozitsiyasiga mos kelmasligi mumkin.

Massa markazi kosmosda tarqalgan massalarni, masalan, sayyora jismlarining chiziqli va burchak impulslarini va qattiq jismlar dinamikasini oʻz ichiga olgan mexanikada hisob-kitoblar uchun foydali mos yozuvlar nuqtasidir. Orbital mexanikada sayyoralar harakati tenglamalari massa markazlarida joylashgan nuqta massalari sifatida tuzilgan. Massa markazi — inertial tizim boʻlib, unda tizimning massa markazi koordinatalar tizimining boshiga nisbatan tinch holatda boʻladi.

Tarix
-----

Ogʻirlik markazi yoki ogʻirlik tushunchasi qadimgi yunon matematigi, fizigi va muhandisi Sirakuzalik Arximed tomonidan keng oʻrganilgan. U bir xil maydonni tashkil etadigan tortishish haqidagi soddalashtirilgan taxminlar bilan ishladi va shu bilan biz hozir massa markazi deb ataydigan narsaning matematik xususiyatlariga erishdi. Arximed, tutqichning turli nuqtalarida joylashgan ogʻirliklar tomonidan dastakka taʼsir qilish momenti, agar barcha ogʻirliklar bitta nuqtaga — ularning massa markaziga koʻchirilganda qanday boʻlishini koʻrsatdi. Arximed oʻzining *"Suzib yuruvchi jismlar haqida* "asarida suzuvchi jismning yoʻnalishi uning massa markazini iloji boricha pastroq qiladigan narsa ekanligini koʻrsatdi. U har xil aniq shakldagi bir xil zichlikdagi jismlarning massa markazlarini topishning matematik usullarini ishlab chiqdi. 

Massa markazi nazariyasiga hissa qoʻshgan boshqa qadimgi matematiklar orasida Iskandariya Qahramoni va Iskandariya Pappus ham bor. Uygʻonish va Ilk zamonaviy davrlarda Gvido Ubaldi, Franchesko Mauroliko,  Federiko Komandino,  Evangelista Torricelli, Simon Stevin,  Luka Valerio,  Jan-Sharl de la Fail, Pol Guldin,  Jon Uollis, Kristian Gyuygens,  Lui Karre, Per Varinyon va Aleksis Kler kontseptsiyani yanada kengaytirdilar. 

Nyutonning ikkinchi qonuni Eylerning birinchi qonunida massalar markaziga nisbatan qayta tuzilgan.

Taʼrif
------

Massa markazi kosmosda massa taqsimoti markazidagi yagona nuqta boʻlib, bu nuqtaga nisbatan ogʻirlikli pozitsiya vektorlarini nolga tenglashtiradigan xususiyatga ega. Statistikaga oʻxshab, massa markazi kosmosda massa taqsimotining oʻrtacha joylashuvidir.

### Zarrachalar tizimi

Koordinatalari *Pi*, *i* = 1, ... *n*  fazoda joylashgan har birining massasi mi boʻlgan **r***i*, *i* = 1, ... *n*  zarralar sistemasida koordinatalar **R** ning koordinatalari. massa markazi shartni qondiradi:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}m\_{i}(\mathbf {r} \_{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}

**R** uchun bu tenglamani yechish formulani beradi:

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}\mathbf {r} \_{i},}

bu yerda {\displaystyle M=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}} barcha zarrachalarning umumiy massasi.

### Oʻzgarmas hajm

Agar massa taqsimoti qattiq *Q* ichida r(**r**) zichligi bilan uzluksiz boʻlsa, u holda bu hajmdagi nuqtalarning **R** massa markaziga nisbatan **V** hajmdagi vaznli joylashuv koordinatalarining integrali nolga teng, yaʼni

{\displaystyle \iiint \_{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}

**R** qiymat olish uchun koordinatalari uchun ushbu tenglamani yechamiz:

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint \_{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}

bu yerda M — hajmdagi umumiy massa.

Agar uzluksiz massa taqsimoti bir xil zichlikka ega boʻlsa, yaʼni *r* doimiy boʻlsa, u holda massa markazi hajmning markazi bilan bir xil boʻladi. 

### Barisentrik koordinatalar

Massalari *m* 1 va *m* 2 boʻlgan *P* 1 va *P* 2 boʻlgan ikki zarrali sistemaning massalar markazining **R** koordinatalari quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{m\_{1}+m\_{2}}}(m\_{1}\mathbf {r} \_{1}+m\_{2}\mathbf {r} \_{2}).}

Bu ikki zarracha oʻrtasida boʻlingan umumiy massaning foizi 100% *P* 1 va 0% *P* 2 dan 50% *P* 1 va 50% *P* 2 dan 0% *P* 1 va 100% *P* 2 gacha, keyin massa markazi **R** boʻlsin. *P* 1 dan *P* 2 gacha boʻlgan chiziq boʻylab harakatlanadi. Har bir nuqtadagi massa foizlarini ushbu chiziqdagi **R** nuqtaning proyektiv koordinatalari sifatida koʻrish mumkin va ular barisentrik koordinatalar deb ataladi. Bu erda jarayonni izohlashning yana bir usuli — ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentlarni mexanik muvozanatlash. Numerator massa markazida ekvivalent umumiy kuch bilan muvozanatlangan umumiy momentni beradi. Buni tekislikda va fazoda proyektiv koordinatalarni aniqlash uchun uch nuqta va toʻrt nuqtaga umumlashtirish mumkin.

### Davriy chegara shartlariga ega tizimlar

Davriy chegaraviy shartlarga ega boʻlgan tizimdagi zarralar uchun ikkita zarra tizimning qarama-qarshi tomonlarida boʻlsa ham, qoʻshni boʻlishi mumkin. Bu koʻpincha molekulyar dinamika simulyatsiyalarida sodir boʻladi, masalan, klasterlar tasodifiy joylarda hosil boʻladi va baʼzan qoʻshni atomlar davriy chegarani kesib oʻtadi. Klaster davriy chegarani kesib oʻtganda, massa markazini sodda hisoblash notoʻgʻri boʻladi. Davriy tizimlar uchun massa markazini hisoblashning umumlashtirilgan usuli har bir koordinatani, *x*, *y* va/yoki *z ni* chiziq oʻrniga aylanada boʻlgandek koʻrib chiqishdir.  Hisoblash har bir zarrachaning *x* koordinatasini oladi va uni burchakka chizadi,

{\displaystyle \theta \_{i}={\frac {x\_{i}}{x\_{\max }}}2\pi }

bu yerda *x* max — *x* yoʻnalishidagi tizim hajmi va {\displaystyle x\_{i}\in [0,x\_{\max })}. Shu nuqtai nazardan, ikkita yangi nuqta {\displaystyle (\xi \_{i},\zeta \_{i})} hosil boʻlishi mumkin, bu zarrachaning massasi bilan tortilishi mumkin {\displaystyle x\_{i}} massa markazi uchun yoki geometrik markaz uchun 1 qiymati berilgan:



ξ

i


=
cos
⁡
(

θ

i

)


ζ

i


=
sin
⁡
(

θ

i

)



{\displaystyle {\begin{aligned}\xi \_{i}&=\cos(\theta \_{i})\\\zeta \_{i}&=\sin(\theta \_{i})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}
{\displaystyle (\xi ,\zeta )} tekislikda, bu koordinatalar radiusi 1 boʻlgan doirada yotadi. kolleksiyasidan {\displaystyle \xi \_{i}} va {\displaystyle \zeta \_{i}} barcha zarralardan olingan qiymatlar, oʻrtachalar {\displaystyle {\overline {\xi }}} va {\displaystyle {\overline {\zeta }}} hisoblab chiqiladi.




ξ
¯


=

1
M

∑

i
=
1

n

m

i

ξ

i

,



ζ
¯


=

1
M

∑

i
=
1

n

m

i

ζ

i

,



{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}\xi \_{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}\zeta \_{i},\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}
Bu yerda M — barcha zarrachalarning massalari yigʻindisi.

Ushbu qiymatlar yangi burchak ostida qayta koʻrib chiqiladi, {\displaystyle {\overline {\theta }}}, undan massa markazining *x* koordinatasini olish mumkin:




θ
¯


=
atan2
⁡

(

−

ζ
¯

,
−

ξ
¯

)

+
π


x

com


=

x

max


θ
¯

2
π



{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x\_{\text{com}}&=x\_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}
Toʻliq massa markazini aniqlash uchun jarayon tizimning barcha oʻlchamlari uchun takrorlanishi mumkin. Algoritmning foydali tomoni shundaki, u matematikaga davriy chegaralarni bosib oʻtuvchi klasterni „ochish" uchun taxmin qilish yoki klaster tahlilidan foydalanish oʻrniga „eng yaxshi" massa markazi qayerda ekanligini aniqlash imkonini beradi. Agar ikkala oʻrtacha qiymat nolga teng boʻlsa, {\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}, keyin {\displaystyle {\overline {\theta }}} aniqlanmagan. Bu toʻgʻri natijadir, chunki u faqat barcha zarralar bir tekisda joylashganda paydo boʻladi. Bunday holda, ularning *x* koordinatalari davriy tizimda matematik jihatdan bir xil boʻladi.

Ogʻirlik markazi
----------------

 Bir nuqtada muvozanatni saqlaydigan oʻquv oʻyinchoqlarining diagrammasi: massa markazi (C) uning tayanchidan § pastga joylashadi.
Jismning ogʻirlik markazi — tortishish kuchlari taʼsirida hosil boʻlgan moment yoʻqolgan nuqta. Ogʻirlik maydonini bir xil deb hisoblash mumkin boʻlgan joyda, massa markazi va ogʻirlik markazi bir xil boʻladi. Biroq, sayyora atrofida orbitadagi sunʼiy yoʻldoshlar uchun, sunʼiy yoʻldoshga qoʻllaniladigan boshqa momentlar boʻlmasa, tortishish maydonining sayyoraga yaqinroq (kuchliroq) va uzoqroq (zaifroq) oʻrtasidagi ozgina oʻzgarishi (gradient) sunʼiy yoʻldoshni uning uzun oʻqi vertikal boʻlishi uchun tekislashga moyil boʻlgan moment. Bunday holda, ogʻirlik markazi va massa markazi oʻrtasidagi farqni aniqlash muhimdir. Ikkalasi orasidagi har qanday gorizontal siljish qoʻllaniladigan momentga olib keladi.

Shuni taʼkidlash kerakki, massa markazi maʼlum bir qattiq jism uchun sobit xususiyatdir (masalan, egilishsiz yoki artikulyatsiyasiz), ogʻirlik markazi esa, qoʻshimcha ravishda, uning bir xil boʻlmagan tortishish kuchida yoʻnalishiga bogʻliq boʻlishi mumkin. maydon. Ikkinchi holda, ogʻirlik markazi har doim asosiy jozibali jismga massa markaziga nisbatan bir oz yaqinroq joylashgan boʻladi va shuning uchun uning yoʻnalishi oʻzgarganda, qiziqish jismidagi oʻrnini oʻzgartiradi.

Samolyotlar, transport vositalari va kemalar dinamikasini oʻrganishda kuchlar va momentlarni massa markaziga nisbatan hal qilish kerak. Bu tortishishning oʻzi eʼtiborga olinishidan qatʼi nazar, haqiqatdir. Ogʻirlik markazi sifatida massa markaziga murojaat qilish soʻzlashuv tilidir, lekin u umumiy qoʻllaniladi va tortishish gradient effektlari ahamiyatsiz boʻlsa, ogʻirlik markazi va massa markazi bir xil boʻladi va bir-birining oʻrnida ishlatiladi.

Fizikada massa taqsimotini modellashtirish uchun massa markazidan foydalanishning afzalliklarini uzluksiz tanadagi tortishish kuchlarining natijasini hisobga olgan holda koʻrish mumkin. Hajmning **har** bir nuqtasida *r* (**r**) zichligi *V* hajmli *Q* jismni koʻrib chiqaylik. Parallel tortishish maydonida har bir **r** nuqtadagi **f** kuchi quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,}

Bu yerda *dm* — **r** nuqtadagi massa, *g* — tortishish tezlashishi va {\textstyle \mathbf {\hat {k}} } — vertikal yoʻnalishni belgilovchi birlik vektor.

Ovoz hajmida mos yozuvlar nuqtasi **R** ni tanlang va shu nuqtada hosil boʻlgan kuch va momentni hisoblaymiz:

{\displaystyle \mathbf {F} =\iiint \_{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint \_{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,}

va

T

=

∭

Q

(

r

−

R

)
×

f

(

r

)

d
V
=

∭

Q

(

r

−

R

)
×

(

−
g
ρ
(

r

)

d
V

k
^

)

=

(

∭

Q

ρ
(

r

)

(

r

−

R

)

d
V

)

×

(

−
g

k
^

)

.

{\displaystyle \mathbf {T} =\iiint \_{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint \_{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint \_{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}

{\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}
Agar **R** mos yozuvlar nuqtasi massa markazi boʻlishi uchun tanlansa, u holda

{\displaystyle \iiint \_{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}

natijada olingan moment **T** = 0 ni bildiradi. Natijada paydo boʻlgan moment nolga teng boʻlganligi sababli, tana massasi massa markazida toʻplangan zarra kabi harakat qiladi.

Ogʻirlik markazini qattiq jism uchun mos yozuvlar nuqtasi sifatida tanlab, tortishish kuchlari tananing aylanishiga olib kelmaydi, yaʼni tananing ogʻirligi massa markazida toʻplangan deb hisoblash mumkin.

1. ↑  Shore 2008. sfn error: no target: CITEREFShore2008 (help)
2. 1 2 3 4  Baron 2004.
3. ↑  Mancosu 1999. sfn error: no target: CITEREFMancosu1999 (help)
4. ↑  Erlichson, H. (1996). "Christiaan Huygens' discovery of the center of oscillation formula". *American Journal of Physics* **64** (5): 571–574. doi:10.1119/1.18156. ISSN 0002-9505. .
5. ↑  Walton 1855. sfn error: no target: CITEREFWalton1855 (help)
6. ↑  Beatty 2006.
7. ↑  Levi 2009. sfn error: no target: CITEREFLevi2009 (help)
8. ↑  Bai & Breen 2008.

Manbalar
--------

* Asimov, Isaac (1988) [1966], *Understanding Physics*, Barnes & Noble Books, ISBN 978-0-88029-251-1
* Bai, Linge; Breen, David (2008). "Calculating Center of Mass in an Unbounded 2D Environment". *Journal of Graphics, GPU, and Game Tools* **13** (4): 53–60. doi:10.1080/2151237X.2008.10129266.
* Baron, Margaret E. (2004) [1969], *The Origins of the Infinitesimal Calculus*, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-49544-6
* Beatty, Millard F. (2006), *Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion*, Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, 33-jild, Springer, ISBN 978-0-387-23704-6
* De Silva, Clarence W. (2002), *Vibration and shock handbook*, CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0
* Federal Aviation Administration (2007), *Aircraft Weight and Balance Handbook* (PDF), United States Government Printing Office, 19 October 2011da asl nusxadan (PDF) arxivlandi, qaraldi: 23 October 2011
* Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963), *The Feynman Lectures on Physics*, 1-jild (Sixth printing, February 1977-nashr), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-02010-6