Trompette de Gabriel (volume1)
**Gabriel burg’usi** (shuningdek, ***Torrichelli karnayi*** deb ham ataladi) shunday geometrik shaklki, bunda uning hajm chegaralangan, ammo, yuzichegaralanmagan bo’ladi.

Uning nomi xristian an’analaridagi bosh farishta Gabrielning "*So’roq-savol kuni*"ni e’lon qilish uchun chaladigan burg’u nomidan kelib chiqqan. Bu shaklning xususiyatlari ilk bor 17-asrda fizik va matematik olim Evangelista Torricelli tomonidan o’rganilgan.

Jarangli noananaviy nomlar va diniy illuziyalar keyinroq kirib kelgan. Torrichellining o’z ismi lotincha *De Solido hyperbolico acuto* nomli 1643-yilda yozilgan ilmiy ishda ko’rinadi. Bu nom ilk bor matematik lug’atlarda 18-asrdan boshlab qo’llab kelinmoqda.

Matematik izoh
--------------

Gabriel burg’usi y=1/x funksiyaning x>=1 aniqlanish sohasida x o’q bo’ylab aylantirishdan xosil bo’lgan geometrik shakl hisoblanadi. Topilma hisoblashning yuqori darajasi topilishidan avval Kavalier prinsipi orqali amalga oshirilgan, lekin bugun hisoblash ancha rivojlandi va bu geometrik shaklning yuzi va hajmini aniq va oson yo’l orqali funksiyadan x=1 qiymatdan x=*a* qiymatgacha integral olish orqali hisoblash imkonini berdi, bunda *a*>1. integral orqali quyidagi hisoblashlarni bajargan holda uning hajmi (V) va yuzasi (S) ni topish imkoni mavjud.



V
=
π

∫

1

a

(

1
x

)

2

d

x
=
π

(

1
−

1
a

)

,

{\displaystyle V=\pi \int \_{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}

{\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}

A
=
2
π

∫

1

a

1
x

1
+

(

−

1

x

2


)

2



d

x
>
2
π

∫

1

a



d

x

x

=
2
π
⋅

[

ln
⁡
x

]

1

a

=
2
π
ln
⁡
a
.

{\displaystyle A=2\pi \int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int \_{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]\_{1}^{a}=2\pi \ln a.}

{\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}

  

*a* ning qiymati talab qilinganchalik katta bo’lishi mumkin, lekin yuqoridagi hajm formulasidan ko’rinib turibdiki, hajm hech qachon *π* qiymatga erisha olmaydi. U *a* oshgani sari doimiy ravishda *π* ga intiladi. Hisoblashning *limit* usuli orqali biz quyidagiga erishamiz.


lim

a
→
∞

V
=

lim

a
→
∞

π

(

1
−

1
a

)

=
π
⋅

lim

a
→
∞

(

1
−

1
a

)

=
π
.

{\displaystyle \lim \_{a\to \infty }V=\lim \_{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim \_{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}

{\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}
Yuqoridagi formulada burg’uning to’liq yuzasi 2*π* qiymatni *a*ning natural logorifmiga ko’paymasiga teng ekanligi ko’rsatilgan. *a*ning cheksizlikka intilishi tufayli natural logorifm ham cheksizlikka intiladi va bu uning yuqori qiymati mavjud emasligini ko’rsatadi. Demak uning yuzi,


lim

a
→
∞

A
≥

lim

a
→
∞

2
π
ln
⁡
a
=
∞
.

{\displaystyle \lim \_{a\to \infty }A\geq \lim \_{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}

{\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}

Shubhasiz paradoks
------------------

Gabriel burg’usining xususiyatlari o’rganilgan vaqtda xy maydonining cheksiz qismi x atrofida aylanish orqali cheklangan o’lchamdagi jism tashkil topishi ilk bor paradoksal g’oya sifatida qaraldi. xy maydonda yotgan cheksiz yuzalarga parallel yuzalar cheksiz emas degan xulosa olinar edi.

Rassomlar paradoksi
-------------------

Burg’uning cheklangan hajmi bolganligi tufayli uning ichini bo’yoq bilan to’ldirishning imkoni bor, shunga qaramay uning yuzini to’liq boyashning imkoni yo’q. bu xolatga qaytganda bu yana shunchaki bo’yash so’ziga berilgan noto’g’ri tarif tufayli kelib chiqqan paradoksdir.

­­­­