Galit va kalsitning optik xossalari
 Matnli qogʻozga qoʻyilgan kaltsit kristalining qoʻsh sinishi
**Yorugʻlikning ikkilanib sinishi** yoki **ikki sinishi** anizotropik materiallarning optik xususiyatni bo**‘**lib, sinishi ko**‘**rsatkichi yorug**‘**lik tarqalish yo**‘**nalishiga bog**‘**liq. Bunday materiallarda yorug**‘**lik nurning ikki komponentga bo**‘**linishi taʼsirini kuzatish mumkin, u materialga kirganda, yo**‘**nalishi va qutblanishi har xil bo**‘**lgan bir emas, balki ikkita singan nurlar hosil bo**‘**ladi. Daniyalik olim Rasmus Bortalin bu xususiyati birinchi marta 1669-yilda Islandiya shpati kristalida topdi.

 Polarizator orqali koʻrilganda polarizatsiyalangan ekran fonida shaffof plastik. Ranglar plastik materialning ikki sinishi tufayli paydo bo**‘**ladi.

Tavsif
------

### Bir o**‘**qli materiallar

Bir oʻqli materriallarda eng oddiy ikki sinishi koʻrinadi. Koʻpincha, bular antissimetrik kristall panjarasi kristalldir (yoʻnalishlardan birida choʻzilgan yoki siqilgan). Bunday holda, bu yoʻnalish (optik oʻq) atrofida aylanish kristalning optik xususiyatlarini oʻzgartirmaydi. Bunday muhitda yorugʻlik toʻlqinining harakati yorugʻlikning tarqalish va qutblanish yoʻnalishiga bogʻliq. Oddiy toʻlqin — bu optik oʻqga va tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar qutblangan va favqulodda toʻlqinning qutblanishi oddiy toʻlqinnikiga perpendikulyar. Uchta asosiy holatni ajratib koʻrsatish mumkin:

1) yorugʻlik optik oʻq boʻylab tarqaladi (bu holda, qutblanish optik oʻqga perpendikulyar boʻladi), keyin sinishi koʻrsatkichi barcha qutblanishlar uchun bir xil boʻladi. Bu holda kristall izotropik muhitdan farq qilmaydi va oddiy toʻlqin bilan favqulodda toʻlqin oʻrtasida hech qanday rarq yoʻq.

 Chap tomonda chiziqli polarizatsiya, oʻngda dumaloq qutblanish.
2) Yorugʻlik optik oʻqga perpendikulyar tarqaladi. Keyin polarizatsiyani ikkita proeksiyalarga ajratish mumkin — optik oʻqga parallel proeksiya va perpendikulyar proeksiya. Ikki ortogonal qutblanishning yorugʻligi uchun samarali sinishi koʻrsatkichi har xil boʻladi, bu holda, materialning (plastinkadan) oʻtayotganda, ikkita komponent oʻrtasida faza siljishi kuzatilishi mumkin. Agar dastlabki polarizatsiya chiziqli boʻlsa va optik oʻqga toʻliq yoki toʻliq perpendikulyar yoʻnaltirilgan boʻlsa, u holda plastinkadan chiqishda oʻzgarmaydi. Biroq, yorugʻlik dastlab optik oʻqga burchak ostida qutblangan boʻlsa yoki polarizatsiya elliptik yoki aylana boʻlsa, unda bir oʻqli kristall plastinkasidan oʻtayotganda, komponentlar orasidagi faza siljishi tufayli qutblanish oʻzgarishi mumkin. Shishish plitaning qalinligi, sinishi koʻrsatkichlari va yorugʻlik toʻlqin uzunligi oʻrtasidagi farqga bogʻliq.

Qutblanish va optik oʻq orasidagi burchak boʻlsin {\displaystyle 45^{o}}. Agar plastinkaning qalinligi shunday boʻlsa, undan chiqishda bir qutblanish toʻlqinning chorak qismi (davrning chorak qismi) ikkinchisidan orqada boʻlsa, u holda asl chiziqli polarizatsiya aylanaga aylanadi (chorak toʻlqinli plastinka) agar bitta nurning fazasi ikkinchi nurning fazasidan toʻlqin uzunligining yarmiga orqada qolsa, yorugʻlik chiziqli qutblangan boʻlib qoladi, lekin qutblanish tekisligi maʼlum bir burchak orqali aylanadi, uning qiymati burchakka bogʻliq. tushayotgan nurning qutblanish tekisligi va asosiy optik oʻqning tekisligi oʻrtasida (bunday plastinka yarim toʻlqin deb ataladi).

3) Yorugʻlik optik oʻqga nisbatan ixtiyoriy yoʻnalishda tarqaladi. Bunday holda, har xil qutblanishga ega boʻlgan ikkita nur (bir emas) kuzatiladi. Singan nurlarning yoʻnalishlarini grafik tarzda topish mumkin.

  

### Ikki oʻqli materiallar

Bunday kristallarda sindirish koʻrsatkichlari dekart tizimining uchta oʻqining har biri boʻylab har xil boʻladi. Toʻlqin vektorlarining yuzasi murakkab shaklga ega, ammo optik oʻqlar deb atash mumkin boʻlgan ikkita alohida yoʻnalish mavjud, chunki optik oʻqlar boʻylab tarqalishda **k** -vektorining faqat bitta yoʻnalishi mavjud. Shu bilan birga, bu yoʻnalish konusning sirtini toʻldiradigan cheksiz miqdordagi nur vektorlariga mos keladi va *konusning sinishi* kuzatiladi. Optik oʻqlarga toʻgʻri kelmaydigan yoʻnalishlar boʻylab tarqalayotganda, ikkilab sinishi kuzatiladi, lekin bu holda, koʻpincha ikkala nur ham favqulodda (toʻlqin va nur vektorining yoʻnalishi mos kelmaydi).

Ikki sinishi nafaqat kristallarda, balki assimetrik tuzilishga ega boʻlgan har qaanday materiallarda, masalan plastmassada ham kuzatilishi mumkin.

Hodisaning tabiati
------------------

Sifat jihatdan bu hodisani quyidagicha tushuntirish mumkin. Moddiy muhit uchun Maksvell tenglamalaridan kelib chiqadiki, muhitdagi yorugʻlikning faza tezligi muhitning dielektrik oʻtkazuvchilanligi ega teskari proporsionaldir. Baʼzi kristallarda dielektrik oʻtkazuvchanlik — tenzor miqdori — elektr vektorining yoʻnalishiga, yaʼni toʻlqinning qutblanish holatiga bogʻliq va shuning uchun toʻlqinning fazaviy tezligi ham uning qutblanishiga bogʻliq boʻladi.

Yorugʻlikning klassik nazariyasiga koʻra, effektning paydo boʻlishi yorugʻlikning oʻzgaruvchan elektromagnit maydoni moddaning elektronlarini tebranishiga olib keladi va bu tebranishlar yorugʻlikning muhitda va baʼzi moddalarda tarqalishiga taʼsir qiladi. elektronlarni maʼlum bir yoʻnalishda tebranishini qilish osonroq.

Formulaning kelib chiqishi
--------------------------

Izotrop muhitda (shuningdek boʻsh joy) elektr induksiyasi (***D**)* elektr maydoniga toʻgʻridan-toʻgʻri proportsionaldir (***E***) koʻra ***D** =* ɛ***E*** bu yerda oʻtkazuvchanlik *ε* — shunchaki skalyar (va teng *n*2*ε*0 bu yerda *n* — sindirish koʻrsatkichi). Biroq, anizotropik materiallarda, ***D*** va ***E*** oʻrtasidagi munosabatlar tenzor tenglamasi bilan tavsiflanishi kerak:

{\displaystyle {\textbf {D}}=\varepsilon {\textbf {E}}} (1)

**ε** endi matritsa 3 × 3.

Faraz qilaylik, muhit chiziqli va magnit oʻtkazuvchanligi: *μ* = *μ*0 .

Chastotali tekis toʻlqinning elektr maydonini yozamiz *ω* quyidagi shaklda:

{\displaystyle {\textbf {E}}={\textbf {E}}\_{0}e^{i({\textbf {k}}{\textbf {r}}-\omega t)}} (2)

**r** — radius vektori, *t* — vaqt,**E**0 — elektr maydonini tavsiflovchi vektori **r** = 0, *t* = 0. Barcha mumkin boʻlgan toʻlqin vektorlarini **k** toping. Maksvell tenglamalarini birlashtirish ∇ × **E** va∇ × **H** va bundan mustasno **H** = 1/*μ*0**B**, biz quyidagilarni olamiz:{\displaystyle -\nabla \times \nabla \times {\textbf {E}}=\mu \_{0}{\partial ^{2} \over \partial t}{\textbf {D}}}(3a)
Eslatib oʻtamiz, bepul toʻlovlar boʻlmagan taqdirda, divergensiya **D** yoʻqoladi:

{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {D}}=0} (3b)

Keling, nisbatni qoʻllaymiz ∇ × (∇ × **A**) = ∇(∇ ⋅ **A**) − ∇2**A** 3a-ning chap tomoniga va biz maydonning tekis toʻlqin ekanligidan foydalanamiz. Demak, masalan {\displaystyle x} ga nisbatlan hosila *ikx* ni koʻpaytirishga olib keladi :
{\displaystyle -\nabla \times \nabla {\textbf {E}}=({\textbf {k}}\cdot {\textbf {E}}){\textbf {k}}-({\textbf {k}}\cdot {\textbf {k}}){\textbf {E}}}
3a ifodaning oʻng tomonini ***ε*** tenzori yordamida ***E*** bilan ifodalash mumkin. Va vaqt hosilalari shunchaki koʻpaytirishga olib keladi −*iω* keyin esa 3a:{\displaystyle (-{\textbf {k}}\cdot {\textbf {k}}){\textbf {E}}+({\textbf {k}}\cdot {\textbf {E}}){\textbf {k}}=\mu \_{0}\omega ^{2}(\varepsilon {\textbf {E}})} (4a)

3b ga differentsiatsiyani qoʻllash orqali biz topamiz:

{\displaystyle {\textbf {k}}\cdot {\textbf {D}}=0} (4b)

4B tenglamasi ***D*** toʻlqin vektorining yoʻnalishiga perpendikulyar ekanligini anglatadi ***k***, bu vektor uchun koʻproq boʻlishi mumkin ***E*** izotropik muhitda boʻlgani kabi. 4B tenglamasi bundan keyin ishlatilmaydi.

Yaroqli vektor qiymatlarini toping **k** berilgan uchun *ω* eng oson dekart koordinatalar tizimida, unda oʻqlar *x*, *y*,va *z* kristallning simmetriya oʻqlariga parallel (yoki oddiygina oʻqni tanlash*z* bir oʻqli kristallning optik oʻqi boʻylab). Keyin tensor uchun matritsa **ε** diagonal boʻladi:

{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \_{0}{\begin{vmatrix}n\_{x}^{2}&0&0\\0&n\_{y}^{2}&0\\0&0&n\_{z}^{2}\end{vmatrix}}} (4c)

diagonalda oʻqlar boʻylab qutblanishlar uchun sinishi koʻrsatkichining kvadratlari joylashgan *x*, *y* va *z*. Oʻrnini bosish ***ε*** bu shaklda va yorugʻlik tezligi *c* shaklida *c*2 = 1/*μ*0*ε*0. 4a vektorning tenglamasining *x-*oʻqiga proyeksiyasi quyidagicha yoziladi

{\displaystyle (-k\_{x}^{2}-k\_{y}^{2}-k\_{z}^{2})E\_{x}+k\_{x}^{2}E\_{x}+k\_{x}k\_{y}E\_{y}+k\_{x}k\_{z}E\_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n\_{x}^{2}}{c^{2}}}E\_{x}} (5a)

*Ex* ,*Ey* va *Ez* **E** vektorning tarkibiy qismlar va *kx* ,*ky* ,*kz* **k** toʻlqin vektorning tarkibiy qismlari. Keling, barcha uchta proyeksiyalar uchun tenglamalarni yozamiz

  

{\displaystyle \left(-k\_{y}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)E\_{x}+k\_{x}k\_{y}E\_{y}+k\_{x}k\_{z}E\_{z}=0} (5b)

{\displaystyle k\_{x}k\_{y}E\_{x}+\left(-k\_{x}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)E\_{y}+k\_{y}k\_{z}E\_{z}=0} (5c)

{\displaystyle k\_{x}k\_{z}E\_{x}+k\_{y}k\_{z}E\_{y}+\left(-k\_{x}^{2}-k\_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E\_{z}=0} (5d)

Bu chizligi tenglamalar tizimi Ex *,*Ey *,*Ez,matritsaning determinanti nolga teng boʻlmagan taqdirdagina ahamiyatsiz yechiga (yaʼni, **E** = 0) ega boʻladi:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}\left(-k\_{y}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)&k\_{x}k\_{y}&k\_{x}k\_{z}\\k\_{x}k\_{y}&\left(-k\_{x}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k\_{y}k\_{z}\\k\_{x}k\_{z}&k\_{y}k\_{z}&\left(-k\_{x}^{2}-k\_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}} (6)

Determinant 6-ni hisoblab, olamiz:
{\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}}{n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{x}^{2}+k\_{z}^{2}}{n\_{y}^{2}}}+{\frac {k\_{x}^{2}+k\_{z}^{2}}{n\_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{y}^{2}n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{x}^{2}n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{x}^{2}n\_{y}^{2}}}\right)(k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}+k\_{z}^{2})=0} (7)
7-tenglama Frennel tenglamasi deb ataladi.

### Bir oʻqli kristall

Bunday holda, bir oʻqli materialda (matritsaning ikkita diagonali elementi **ε** bir-biriga teng) va optik oʻq boʻylab yoʻnaltirilgan koordinata tizimini tanlash *z*, belgilang *nx* = *ny* = *n*o va *nz* = *n*e, ifoda ga {\displaystyle \left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{0}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{0}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{0}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{0}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0} (8)

 Bir o‘qli kristalldagi to‘lqin vektorlarining sirtlari. Chap — ijobiy, o‘ng — salbiy.
8-tenglama uning omillaridan biri nolga teng boʻlganda amalga oshiriladi. Bundan tashqari, birinchi shar tenglamasiga, ikkinchi esa berilgan *ω* uchun **k** fazoda (toʻlqin vektorlari fazosida) ellipsoid yuzasida toʻgʻri keladi. Birinchi omil oddiy toʻlqin uchun yechimga toʻgʻri keladi, bu yerda sinishi koʻrsatkichi *n*o yoʻnalishidan qatʼiy nazar, kkinchisi esa favqulodda uchun. Samarali sinish koʻrsatkichi **k** yoʻnalishiga qarab *n*o dan *n*e gacha oʻzgaradi. Toʻlqin tarqalishining ixtiyoriy yoʻnalishi uchun ikkita vektor mumkin **k** ikki xil polarizatsiyaga mos keladi.

Oddiy toʻlqin vektori uchun **D** va **E** mos keladi va toʻlqin vektorining yoʻnalishlari**k** va nurlar vektorning yoʻnalishi **s** geometrik optikada (uning yoʻnalishi guruh tezligi vektoriga toʻgʻri keladi {\displaystyle \mathbf {v} \_{gr}=\nabla \_{\mathbf {k} }\omega }). Gʻayrioddiy toʻlqin uchun bu odatda bunday emas. Bir oʻqli kristall uchun tenglamani koʻrib

{\displaystyle F(k\_{x},k\_{y},k\_{z})={\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{0}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0} (9)

Guruh tezligi uchun tenglamani {\displaystyle \mathbf {v} \_{gr}=\nabla \_{\mathbf {k} }\omega } bilan oddiy sirt tenglamasi bilan taqqoslaylik. Tenglamalar konstantaga toʻgʻri kelganligi sababli, radial vektor koʻrib chiqilayotgan ellipsoidga perpendikulyar.

### Ikki oʻqli kristall

Matritsasining barcha diagonal elementlari **ε** boʻlsa, sirt qanday koʻrinishini tushunish uchun (qolsin {\displaystyle n\_{z}>n\_{y}>n\_{x}}), biz vektorning komponentlaridan birini tenglashtiramiz **k** nolga ({\displaystyle k\_{z}=0}) va 7-tenglamani qayta yozamiz.

{\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}}{n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{y}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{y}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{x}^{2}}}\right){\frac {k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}}{n\_{z}^{2}}}=0} (10)

Buni ajratib koʻrsatish mumkin:

{\displaystyle \left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{y}^{2}}}-{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{x}^{2}}}\right)\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}}{n\_{z}^{2}}}\right)=0} (11)

 Ikki oʻqli kristalldagi toʻlqin vektorlarining yuzasi. Konusning sinishi (refraksiyasi).
Birinchi omil ellips, ikkinchisi aylanani ifodalaydi. Xuddi shunday parchalanish har uch samolyot uchun ham amalga oshirilishi mumkin {\displaystyle k\_{i}=0}. Rasmda bitta oktantdagi uchta koordinata tekisligining sirt qismlari koʻrsatilgan, qolganlarida rasm nosimmetrikdir. Sirtda 4 ta yagona nuqta (oʻz-oʻzini kesish nuqtalari) mavjud boʻlib, bizda *xz* tekisligida yotadi. Bu nuqtalardan ikkita oʻq oʻtadi. {\displaystyle \beta }, ular biaxial kristalning *optik oʻqlari* (yoki *binormallari*) deb ataladi. Faqat shu yoʻnalishlarda toʻlqin vektori oʻziga xos qiymatga ega boʻlishi mumkin. Biroq, sirtdagi yagona nuqtada normalning yoʻnalishi noaniq boʻlib, nurlar vektori konusning sirtini toʻldirishi mumkin (ichki *konusning sinishi* konusi)

Sunʼiy ikki sindirish
---------------------

Ikki sinishi kristallardan tashqari, elektr maydoniga (Kerr effekti), magnit maydonga (Faradey effekti va Kotton-Muton effekti), mexanik kuchlanishlar taʼsirida (fotoelastik) joylashtirilgan izotropik muhitda ham kuzatiladi. Ushbu omillar taʼsirida dastlab izotrop muhit oʻz xususiyatlarini oʻzgartiradi va anizotrop boʻladi. Bunday hollarda muhitning optik oʻqi elektr maydoni, magnit maydon va kuch qoʻllash yoʻnalishiga toʻgʻri keladi.

Musbat va manfiy kristallar
---------------------------

* **Manfiy kristallar** oddiy yorugʻlik nurining tarqalish tezligi favqulodda nurning tarqalish tezligidan kamroq boʻlgan bir oʻqli kristallardir. Kristallografiyada manfiy kristallar kristalning oʻzi bilan bir xil shaklga ega boʻlgan kristallardagi suyuq qoʻshimchalar deb ham ataladi.
* **Musbat kristallar** bir oʻqli kristallar boʻlib, ularda oddiy yorugʻlik nurining tarqalish tezligi favqulodda nurning tarqalish tezligidan kattaroqdir.

Adabiyotlar
-----------

* Sivuxin D. V. Obщiy kurs fiziki. — M.. — T. IV. Optika.
* *Landsberg G. S.* Optika M. 2004 g.
* Landau L. D. Lifshits Ye. M. Elektrodinamika sploshnix sred. — Izdanie 4-e, stereotipnoe. — M.: Fizmatlit, 2003. — 656 s. — („Teoreticheskaya fizika", tom VIII). — ISBN 5-9221-0123-4.
* *Salex B. Teyx M.*, Optika i fotonika. Prinsipi i primeneniya, per. s angl. V 2 t.

Havolalar
---------

* Erasmus Bartholin, Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira va infolita refractio detegitur (Kopengagen, Daniya: Daniel Paulli, 1669).
* Erasmus Bartolin (1670-yil 1-yanvar) Oʻsha ilmli matematik, Dr. Erasmus Bartolin, kristalga oʻxshash tanada, unga oroldan yuborilgan, *London Qirollik Jamiyatining falsafiy operatsiyalari*, **5** : 2041-2048.