Yassi toʻlqin to'lqin frontining uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi
 **Yassi elektromagnit toʻlqin** — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan {\displaystyle z} ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi elektromagnit toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

{\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial t}};\ \ \ \ \ (1)}
{\displaystyle {\dfrac {\partial A\_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0;\ \ \ \ \ (2)}

### Toʻlqin tenglamasining yechimi

(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi {\displaystyle \xi } va {\displaystyle \eta } oʻzgaruvchilar kiritiladi:

{\displaystyle \xi =z+ct;\ \ \ \ \ (3)}
{\displaystyle \eta =z-ct;\ \ \ \ \ (4)}
Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:

{\displaystyle \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)f=0;\ \ \ \ \ (5)}
(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,

{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial z}}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}{\dfrac {\partial \eta }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}}
{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial t}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}+{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}=c{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-c{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}=c\left({\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}\right)}
Demak,

{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}}
{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}}

  

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq

{\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}=0;\ \ \ \ \ (6)}
Bu toʻlqin tenglamani avval {\displaystyle \xi } boʻyicha integrallanadi: {\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial \eta }}=C\_{1}(\eta )}, keyin esa {\displaystyle \eta } boʻyicha integrallanadi: {\displaystyle f=\int C\_{1}(\eta )d\eta +C\_{2}(\xi )}, yaʼni

{\displaystyle f=f\_{1}(\xi )+f\_{2}(\eta );\ \ \ \ \ (7)}
yoki (3) bilan (4) ga binoan,

{\displaystyle f=f\_{1}(z+ct)+f\_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (8)}
boʻladi. Bu yerda {\displaystyle f\_{1}} va {\displaystyle f\_{2}} ixtiyoriy funksiyalardir.

### Toʻlqin tenglamaning mohiyati

Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar {\displaystyle z-ct=const} boʻlsa,

{\displaystyle f=f\_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (9)}
Yassi toʻlqin harakati
boʻladi. Agar {\displaystyle z-ct=const} boʻlsa, {\displaystyle f\_{2}=const} boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti {\displaystyle t=0} ga mos koordinata {\displaystyle z\_{0}} desak, {\displaystyle z-ct=z\_{0}} boʻladi. Bu formula esa {\displaystyle z} koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab {\displaystyle c} oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti {\displaystyle t=0} va boshlangʻich koordinata {\displaystyle z=z\_{0}} nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, {\displaystyle t} vaqt oʻtgandan keyin {\displaystyle z=z\_{0}+ct} koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni {\displaystyle f\_{2}(z\_{0})=f\_{2}(z-ct)} boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati {\displaystyle z} oʻqi boʻylab {\displaystyle c} texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan {\displaystyle f\_{2}(z-ct)} funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

  

Aytilganlardan ayonki, {\displaystyle f\_{1}(z+ct)} funksiya esa {\displaystyle z} koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Yassi elektromagnit toʻlqin
---------------------------

Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun toʻlqin tenglamasidan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina {\displaystyle z} oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, skalyar potensial va vektor potensial uchun
(9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:

{\displaystyle \varphi =\varphi (z-ct);\ \ \ \ \ (10)}
{\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {A}}(z-ct);\ \ \ \ \ (11)}
Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:

{\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \psi }{\partial t}};\ \ \ \ \ (12)}
yoki (10) ga muvofiq:

{\displaystyle \varphi '(z-ct)=\varphi (z-ct)-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\psi (z-ct)}
Ammo (4) ga asosan,

{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial t}}\psi (z-ct)=-{\dot {\psi }}(z-ct)}
bu yerda argument {\displaystyle \eta =z-ct} boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,

{\displaystyle \varphi '(z-ct)=\varphi (z-ct)+{\dot {\psi }}(z-ct)}
boʻladi. {\displaystyle \psi (z-ct)} funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: {\displaystyle \varphi '(z-ct)={\dot {\psi }}(z-ct)}. Demak, natijada {\displaystyle \varphi (z-ct)=0} boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,

{\displaystyle {\dfrac {\partial A\_{z}}{\partial z}}=0,\ \ \ \ \ A\_{z}=const;\ \ \ \ \ (13)}
Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:

{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\textrm {grad}}\varphi -{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}}
{\displaystyle {\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}}}
yoki {\displaystyle \varphi (z-ct)=0} ekanligi hisobga olinsa,

{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}};\ \ \ \ \ (14)}
{\displaystyle {\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}};\ \ \ \ \ (15)}
(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, {\displaystyle E\_{z}=0}, yaʼni elektr maydon kuchlanganligi {\displaystyle {\textbf {E}}} vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni {\displaystyle A\_{z}=0}.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:

{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial \eta }}{\partial \eta }{\partial t}={\dot {\textbf {A}}}}
{\displaystyle {\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}}=[\nabla \ {\textbf {A}}]=[\nabla (z-ct),{\textbf {A}}]=[\nabla \_{z},{\dot {\textbf {A}}}]=[\nabla \_{z},{\textbf {E}}]}
Elektr va magnit maydon kuchlanganlik vektorlarining yoʻnalishi toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar boʻladi
Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini **n** bilan belgilasak, {\displaystyle {\textbf {n}}=\nabla \_{z}} boʻladi. Demak,

{\displaystyle {\textbf {H}}=[{\textbf {n}}\ {\textbf {E}}];\ \ \ \ \ (16)}
Koʻrinib turibdiki, magnit maydon kuchlanganligi {\displaystyle {\textbf {H}}} vektor ham elektr maydon kuchlanganligi {\displaystyle {\textbf {E}}} vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda {\displaystyle {\textbf {H}}} va {\displaystyle {\textbf {E}}} vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. {\displaystyle {\textbf {n}}}, {\displaystyle {\textbf {E}}}, {\displaystyle {\textbf {H}}} vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

Umov-Poynting vektori
---------------------

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,

{\displaystyle H=E;\ \ \ \ \ (17)}
yaʼni elektr maydon va magnit maydon kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi

{\displaystyle w={\frac {E^{2}}{8\pi }}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}={\frac {E^{2}}{4\pi }}={\frac {H^{2}}{4\pi }};\ \ \ \ \ (18)}
Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun

{\displaystyle {\textbf {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {E}}\ {\textbf {H}}\right]={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {E}}[{\textbf {n}}\ {\textbf {E}}]\right]={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {n}}{\textbf {E}}^{2}-{\textbf {E}}({\textbf {nE}})\right]={\frac {E^{2}}{4\pi }}c\ {\textbf {n}}}
yoki (18) ga muvofiq,

{\displaystyle {\textbf {S}}=w\ c\ {\textbf {n}};\ \ \ \ \ (19)}
demak, energiya oqimi toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. To'lqin elektromagnit impulsining zichligi uchun

{\displaystyle {\textbf {g}}\_{S}={\frac {\textbf {S}}{c^{2}}}={\frac {w}{c}}{\textbf {n}};\ \ \ \ \ (20)}

Shuningdek qarang:
------------------

* Garmonik elektromagnit to'lqin
* To'lqin paket
* To'lqin paket uchun aniqsizlik munosabatlari

Adabiyotlar
-----------

* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T. 1974