Qora tana nurlanishi (koʻrsatilmagan) tizimdan qochib qutulmaguncha, termal qoʻzgʻalishdagi atomlar asosan elastik toʻqnashuvlarga uchraydi. Oʻrtacha, ikkita atom toʻqnashuvdan oldingi kabi bir xil kinetik energiya bilan bir-biridan qaytib keladi. Beshta atom qizil rangga boʻyalgan, shuning uchun ularning harakat yoʻllarini koʻrish osonroq.
Fizikada **elastik toʻqnashuv** — bu ikki jismning umumiy kinetik energiyasi bir xil boʻlib qoladigan ikki jismning toʻqnashuvi (toʻqnashuvi). Ideal, mukammal elastik toʻqnashuvda kinetik energiya issiqlik, shovqin yoki potentsial energiya kabi boshqa shakllarga aniq konvertatsiya qilinmaydi.

Kichik jismlarning toʻqnashuvi vaqtida kinetik energiya birinchi navbatda zarralar orasidagi itaruvchi yoki jozibador kuch bilan bogʻliq boʻlgan potentsial energiyaga aylanadi (zarralar bu kuchga qarshi harakat qilganda, yaʼni kuch va nisbiy tezlik oʻrtasidagi burchak oʻtkir boʻlsa), keyin bu potentsial energiya yana kinetik energiyaga aylanadi (zarralar shu kuch bilan harakat qilganda, yaʼni kuch va nisbiy tezlik orasidagi burchak oʻtkir boʻladi).

Atomlarning toʻqnashuvi elastikdir, masalan , Rezerfordning orqaga tarqalishi .

Elastik toʻqnashuvning foydali maxsus holati bu ikki jismning massasi teng boʻlganda, ular shunchaki oʻz momentlarini almashtiradilar.

Gaz yoki suyuqlik *molekulalari*, atomlardan farqli oʻlaroq, kamdan-kam hollarda mukammal elastik toʻqnashuvlarni boshdan kechiradilar, chunki har bir toʻqnashuvda molekulalarning translatsiya harakati va ularning ichki erkinlik darajalari oʻrtasida kinetik energiya almashadi. Har qanday lahzada toʻqnashuvlarning yarmi turli darajada *elastik boʻlmagan toʻqnashuvlardir* (juftlik toʻqnashuvdan keyingi harakatlarida avvalgiga qaraganda kamroq kinetik energiyaga ega) va yarmini „oʻta elastik" (*koʻproq* kinetik energiyaga ega) deb taʼriflash mumkin. oldingidan koʻra toʻqnashuvdan keyin). Butun namuna boʻylab oʻrtacha hisoblanganda, molekulyar toʻqnashuvlarni mohiyatan elastik deb hisoblash mumkin, chunki Plank qonuni energiyani qora jism fotonlari tomonidan olib ketilishini taqiqlaydi.

Makroskopik jismlar holatida, mukammal elastik toʻqnashuvlar hech qachon toʻliq amalga oshirilmaydigan idealdir, lekin bilyard toʻplari kabi ob’ektlarning oʻzaro taʼsiri bilan yaqinlashadi.

Energiyalarni koʻrib chiqishda, toʻqnashuvdan oldin va/yoki undan keyin mumkin boʻlgan aylanish energiyasi ham rol oʻynashi mumkin.

Tenglamalar
-----------

### Bir oʻlchovli Nyuton mexnikasida

 Professor Valter Levin bir oʻlchovli elastik toʻqnashuvlarni tushuntiradi
Har qanday toʻqnashuvda impuls saqlanib qoladi; lekin elastik toʻqnashuvda kinetik energiya ham saqlanadi. Massalari *m* 1, *m* 2 va tezligi *u* 1, *u* 2, toʻqnashuvdan oldin *v* 1, *v* 2 boʻlgan 1 va 2 zarralarni koʻrib chiqaylik. Toʻqnashuvdan oldin va keyin impulsning saqlanishi quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}\ =\ m\_{1}v\_{1}+m\_{2}v\_{2}.}

Xuddi shunday, umumiy kinetik energiyaning saqlanishi quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\_{1}u\_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\_{2}u\_{2}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m\_{1}v\_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\_{2}v\_{2}^{2}.}

Ushbu tenglamalarni topish uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yechish mumkin {\displaystyle v\_{1},v\_{2}} qachonki {\displaystyle u\_{1},u\_{2}} maʼlum boʻlsa:



v

1

=


m

1

−

m

2


m

1

+

m

2


u

1

+

2

m

2


m

1

+

m

2


u

2


v

2

=



2

m

1


m

1

+

m

2


u

1

+


m

2

−

m

1


m

1

+

m

2


u

2

.



{\displaystyle {\begin{array}{ccc}v\_{1}&=&{\dfrac {m\_{1}-m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}u\_{1}+{\dfrac {2m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}u\_{2}\\[.5em]v\_{2}&=&{\dfrac {2m\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}u\_{1}+{\dfrac {m\_{2}-m\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}u\_{2}.\end{array}}}

{\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{1}&=&{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\[.5em]v_{2}&=&{\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}.\end{array}}}
Agar ikkala massa bir xil boʻlsa, bizda sodda yechim bor:



v

1


=

u

2


v

2


=

u

1

.



{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{1}&=u\_{2}\\v\_{2}&=u\_{1}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}.\end{aligned}}}
Bu shunchaki jismlarning bir-biri bilan boshlangʻich tezligini almashishiga mos keladi.

Kutilganidek, barcha tezliklarga doimiy (Galiley nisbiyligi) qoʻshilganda yechim oʻzgarmas boʻladi, bu oʻzgarmas translatsiya tezligiga ega boʻlgan mos yozuvlar tizimidan foydalanishga oʻxshaydi. Haqiqatan ham, tenglamalarni olish uchun, avvalo, maʼlum tezliklardan biri nolga teng boʻlishi uchun sanoq sistemasini oʻzgartirish, yangi sanoq tizimidagi nomaʼlum tezliklarni aniqlash va dastlabki sanoq sistemasiga aylantirish mumkin.

#### Misollar

Toʻqnashuvdan oldin

1-toʻp: massa = 3 kg, tezlik = 4 m / s
2-toʻp: massa = 5 kg, tezlik = −6 m / s
Toʻqnashuvdan keyin

1-toʻp: tezlik = −8,5 m / s
Toʻp 2: tezlik = 1,5 m / s
Boshqa vaziyat:

 Teng boʻlmagan massalarning elastik toʻqnashuvi.
Quyidagilar teng massali holatni koʻrsatadi, {\displaystyle m\_{1}=m\_{2}} .

 Teng massalarning elastik toʻqnashuvi
 Harakatlanuvchi sanoq sistemasida massalarning elastik toʻqnashuvi
Cheklovchi holatda bu yerda {\displaystyle m\_{1}} dan ancha katta {\displaystyle m\_{2}} Masalan, stol tennisi koptokiga yoki SUV axlat qutisiga urilganda, ogʻirroq massa tezlikni deyarli oʻzgartirmaydi, engilroq massa esa oʻz tezligini teskarisiga aylantiradi va ogʻirdan ikki baravar koʻp boʻladi.

Katta holatda {\displaystyle u\_{1}}, qiymati {\displaystyle v\_{1}} massalari taxminan bir xil boʻlsa, kichik boʻladi: ancha engilroq zarrachaga urish tezlikni unchalik oʻzgartirmaydi, ancha ogʻirroq zarrachaga urish tez zarrachaning yuqori tezlikda orqaga qaytishiga olib keladi. Shuning uchun neytron moderatori (tezkor neytronlarni sekinlashtiradigan va shu bilan ularni zanjirli reaktsiyani davom ettirishga qodir boʻlgan termal neytronlarga aylantiradigan vosita) neytronlarni osongina singdira olmaydigan yengil yadroli atomlarga toʻla materialdir: eng yengil yadrolar taxminan neytron bilan bir xil massa.

#### Natijani keltirib chiqarish

Yuqoridagi tenglamalarni chiqarish uchun {\displaystyle v\_{1},v\_{2},} kinetik energiya va impuls tenglamalarini qayta tashkil qiling:



m

1

(

v

1

2

−

u

1

2

)

=

m

2

(

u

2

2

−

v

2

2

)


m

1

(

v

1

−

u

1

)

=

m

2

(

u

2

−

v

2

)



{\displaystyle {\begin{aligned}m\_{1}(v\_{1}^{2}-u\_{1}^{2})&=m\_{2}(u\_{2}^{2}-v\_{2}^{2})\\m\_{1}(v\_{1}-u\_{1})&=m\_{2}(u\_{2}-v\_{2})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})&=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})\\m_{1}(v_{1}-u_{1})&=m_{2}(u_{2}-v_{2})\end{aligned}}}
Yuqori tenglamaning har bir tomonini pastki tenglamaning har bir tomoniga boʻlish va foydalanish {\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,} beradi:

{\displaystyle v\_{1}+u\_{1}=u\_{2}+v\_{2}\quad \Rightarrow \quad v\_{1}-v\_{2}=u\_{2}-u\_{1}.}

Yaʼni, bir zarraning ikkinchisiga nisbatan nisbiy tezligi toʻqnashuv bilan teskari boʻladi.

Endi yuqoridagi formulalar chiziqli tenglamalar tizimini yechishdan kelib chiqadi {\displaystyle v\_{1},v\_{2},} haqida {\displaystyle m\_{1},m\_{2},u\_{1},u\_{2}} doimiylar sifatida:


{


v

1

−

v

2

=

u

2

−

u

1


m

1

v

1

+

m

2

v

2

=

m

1

u

1

+

m

2

u

2

.



{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v\_{1}&-&v\_{2}&=&u\_{2}-u\_{1}\\m\_{1}v\_{1}&+&m\_{2}v\_{2}&=&m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}.\end{array}}\right.}

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}
Bir marta {\displaystyle v\_{1}} belgilanadi, hamda {\displaystyle v\_{2}}ni simmetriya orqali topish mumkin.

#### Ommaviy ramka markazi

Massa markaziga nisbatan ikkala tezlik ham toʻqnashuv natijasida teskari boʻladi: ogʻir zarracha sekin massa markaziga qarab harakatlanadi va xuddi shunday past tezlikda orqaga sakraydi, engil zarracha esa massa markazi tomon tez harakat qiladi va sakrab tushadi. bir xil yuqori tezlikda orqaga qayting.

Toʻqnashuv natijasida massa markazining tezligi oʻzgarmaydi. Buni koʻrish uchun vaqtdagi massa markazini koʻrib chiqing {\displaystyle t} toʻqnashuvdan oldin va vaqt {\displaystyle t'} toʻqnashuvdan keyin:





x
¯

(
t
)

=

m

1

x

1

(
t
)
+

m

2

x

2

(
t
)

m

1

+

m

2




x
¯

(

t
′

)

=

m

1

x

1

(

t
′

)
+

m

2

x

2

(

t
′

)

m

1

+

m

2


.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m\_{1}x\_{1}(t)+m\_{2}x\_{2}(t)}{m\_{1}+m\_{2}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m\_{1}x\_{1}(t')+m\_{2}x\_{2}(t')}{m\_{1}+m\_{2}}}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}
Demak, massa markazining toʻqnashuvdan oldingi va keyingi tezligi:



v

x
¯


=

m

1

u

1

+

m

2

u

2


m

1

+

m

2




v

x
¯

′

=

m

1

v

1

+

m

2

v

2


m

1

+

m

2


.



{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{\bar {x}}&={\frac {m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v\_{\bar {x}}'&={\frac {m\_{1}v\_{1}+m\_{2}v\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}
ning raqamlari {\displaystyle v\_{\bar {x}}} va {\displaystyle v\_{\bar {x}}'} toʻqnashuvdan oldingi va keyingi jami momentlar. Impuls saqlanib qolganligi sababli, bizda mavjud {\displaystyle v\_{\bar {x}}=v\_{\bar {x}}'\,.}

### Bir oʻlchovli relyativistik mexanikada

Maxsus nisbiylik nazariyasiga koʻra,

{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

Bu yerda *p* har qanday massali zarrachaning impuls momentini, *v* tezlikni, *c* yorugʻlik tezligini bildiradi.

Umumiy impuls nolga teng boʻlgan momentum ramkasining markazida,



p

1


=
−

p

2


p

1

2


=

p

2

2



E

=

m

1

2

c

4

+

p

1

2

c

2

+

m

2

2

c

4

+

p

2

2

c

2

=
E


p

1


=
±

E

4

−
2

E

2

m

1

2

c

4

−
2

E

2

m

2

2

c

4

+

m

1

4

c

8

−
2

m

1

2

m

2

2

c

8

+

m

2

4

c

8

2
c
E



u

1


=
−

v

1

.



{\displaystyle {\begin{aligned}p\_{1}&=-p\_{2}\\p\_{1}^{2}&=p\_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m\_{1}^{2}c^{4}+p\_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m\_{2}^{2}c^{4}+p\_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p\_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m\_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m\_{2}^{2}c^{4}+m\_{1}^{4}c^{8}-2m\_{1}^{2}m\_{2}^{2}c^{8}+m\_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u\_{1}&=-v\_{1}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}
Bu yerga {\displaystyle m\_{1},m\_{2}} toʻqnashayotgan ikkita jismning qolgan massalarini ifodalaydi, {\displaystyle u\_{1},u\_{2}} ularning toʻqnashuvdan oldingi tezligini ifodalaydi; {\displaystyle v\_{1},v\_{2}} toʻqnashuvdan keyin ularning tezligi, {\displaystyle p\_{1},p\_{2}} ularning momentlari, {\displaystyle c} yorugʻlikning vakuumdagi tezligi va {\displaystyle E} umumiy energiyani, ikki jismning tinch massalari va kinetik energiyalarining yigʻindisini bildiradi.

Tizimning umumiy energiyasi va impulsi saqlanganligi va ularning dam olish massalari oʻzgarmasligi sababli, toʻqnashayotgan jismning impuls momentini toʻqnashuvchi jismlarning tinch massalari, umumiy energiya va umumiy impuls hal qilishi koʻrsatilgan. Impuls ramkasining markaziga nisbatan, har bir toʻqnashuvchi jismning impulsi toʻqnashuvdan keyin kattalikni oʻzgartirmaydi, balki uning harakat yoʻnalishini oʻzgartiradi.

Yorugʻlik tezligidan ancha sekin harakatlanadigan makroskopik jismlar bilan ishlashda aniq natijalar beradigan klassik mexanika bilan solishtirganda, toʻqnashayotgan ikkita jismning umumiy impulslari ramkaga bogʻliq. Klassik mexanikaga koʻra, momentum ramkasining markazida,



m

1

u

1

+

m

2

u

2


=

m

1

v

1

+

m

2

v

2

=
0


m

1

u

1

2

+

m

2

u

2

2


=

m

1

v

1

2

+

m

2

v

2

2



(

m

2

u

2

)

2

2

m

1


+

(

m

2

u

2

)

2

2

m

2



=

(

m

2

v

2

)

2

2

m

1


+

(

m

2

v

2

)

2

2

m

2



(

m

1

+

m

2

)
(

m

2

u

2

)

2


=
(

m

1

+

m

2

)
(

m

2

v

2

)

2


u

2


=
−

v

2



(

m

1

u

1

)

2

2

m

1


+

(

m

1

u

1

)

2

2

m

2



=

(

m

1

v

1

)

2

2

m

1


+

(

m

1

v

1

)

2

2

m

2



(

m

1

+

m

2

)
(

m

1

u

1

)

2


=
(

m

1

+

m

2

)
(

m

1

v

1

)

2


u

1


=
−

v

1

.



{\displaystyle {\begin{aligned}m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}&=m\_{1}v\_{1}+m\_{2}v\_{2}=0\\m\_{1}u\_{1}^{2}+m\_{2}u\_{2}^{2}&=m\_{1}v\_{1}^{2}+m\_{2}v\_{2}^{2}\\{\frac {(m\_{2}u\_{2})^{2}}{2m\_{1}}}+{\frac {(m\_{2}u\_{2})^{2}}{2m\_{2}}}&={\frac {(m\_{2}v\_{2})^{2}}{2m\_{1}}}+{\frac {(m\_{2}v\_{2})^{2}}{2m\_{2}}}\\(m\_{1}+m\_{2})(m\_{2}u\_{2})^{2}&=(m\_{1}+m\_{2})(m\_{2}v\_{2})^{2}\\u\_{2}&=-v\_{2}\\{\frac {(m\_{1}u\_{1})^{2}}{2m\_{1}}}+{\frac {(m\_{1}u\_{1})^{2}}{2m\_{2}}}&={\frac {(m\_{1}v\_{1})^{2}}{2m\_{1}}}+{\frac {(m\_{1}v\_{1})^{2}}{2m\_{2}}}\\(m\_{1}+m\_{2})(m\_{1}u\_{1})^{2}&=(m\_{1}+m\_{2})(m\_{1}v\_{1})^{2}\\u\_{1}&=-v\_{1}\,.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}
Bu relyativistik hisoblash bilan mos keladi {\displaystyle u\_{1}=-v\_{1},} boshqa farqlarga qaramay.

Maxsus nisbiylik haqidagi postulatlardan biri impulsning saqlanishi kabi fizika qonunlari barcha inertial sanoq sistemalarida oʻzgarmas boʻlishi kerakligini aytadi. Umumiy impuls ixtiyoriy boʻlishi mumkin boʻlgan umumiy inertial tizimda,





m

1

u

1

1
−

u

1

2

/

c

2


+

m

2

u

2

1
−

u

2

2

/

c

2



=

m

1

v

1

1
−

v

1

2

/

c

2


+

m

2

v

2

1
−

v

2

2

/

c

2


=

p

T




m

1

c

2

1
−

u

1

2

/

c

2


+

m

2

c

2

1
−

u

2

2

/

c

2



=

m

1

c

2

1
−

v

1

2

/

c

2


+

m

2

c

2

1
−

v

2

2

/

c

2


=
E



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m\_{1}\;u\_{1}}{\sqrt {1-u\_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\_{2}\;u\_{2}}{\sqrt {1-u\_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m\_{1}\;v\_{1}}{\sqrt {1-v\_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\_{2}\;v\_{2}}{\sqrt {1-v\_{2}^{2}/c^{2}}}}=p\_{T}\\{\frac {m\_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u\_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u\_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m\_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v\_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v\_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}
Biz ikkita harakatlanuvchi jismni umumiy impulslari boʻlgan bitta tizim sifatida koʻrishimiz mumkin {\displaystyle p\_{T},} umumiy energiya hisoblanadi {\displaystyle E} va uning tezligi {\displaystyle v\_{c}} uning massa markazining tezligi. Impuls ramkasining markaziga nisbatan umumiy impuls nolga teng. Buni koʻrsatish mumkin {\displaystyle v\_{c}} tomonidan beriladi:

{\displaystyle v\_{c}={\frac {p\_{T}c^{2}}{E}}}

Endi impuls ramkasining markazida toʻqnashuvdan oldingi tezliklar {\displaystyle u\_{1}'} va {\displaystyle u\_{2}'} quyidagilar:



u

1

′

=

u

1

−

v

c

1
−

u

1

v

c

c

2




u

2

′

=

u

2

−

v

c

1
−

u

2

v

c

c

2




v

1

′

=
−

u

1

′



v

2

′

=
−

u

2

′



v

1


=

v

1

′

+

v

c

1
+

v

1

′

v

c

c

2




v

2


=

v

2

′

+

v

c

1
+

v

2

′

v

c

c

2





{\displaystyle {\begin{aligned}u\_{1}'&={\frac {u\_{1}-v\_{c}}{1-{\frac {u\_{1}v\_{c}}{c^{2}}}}}\\u\_{2}'&={\frac {u\_{2}-v\_{c}}{1-{\frac {u\_{2}v\_{c}}{c^{2}}}}}\\v\_{1}'&=-u\_{1}'\\v\_{2}'&=-u\_{2}'\\v\_{1}&={\frac {v\_{1}'+v\_{c}}{1+{\frac {v\_{1}'v\_{c}}{c^{2}}}}}\\v\_{2}&={\frac {v\_{2}'+v\_{c}}{1+{\frac {v\_{2}'v\_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}
Qachonki {\displaystyle u\_{1}\ll c} va {\displaystyle u\_{2}\ll c\,,} boʻlsa



p

T


≈

m

1

u

1

+

m

2

u

2


v

c


≈

m

1

u

1

+

m

2

u

2


m

1

+

m

2




u

1

′

≈

u

1

−

v

c

≈

m

1

u

1

+

m

2

u

1

−

m

1

u

1

−

m

2

u

2


m

1

+

m

2


=

m

2

(

u

1

−

u

2

)

m

1

+

m

2




u

2

′

≈

m

1

(

u

2

−

u

1

)

m

1

+

m

2




v

1

′

≈

m

2

(

u

2

−

u

1

)

m

1

+

m

2




v

2

′

≈

m

1

(

u

1

−

u

2

)

m

1

+

m

2




v

1


≈

v

1

′

+

v

c

≈

m

2

u

2

−

m

2

u

1

+

m

1

u

1

+

m

2

u

2


m

1

+

m

2


=

u

1

(

m

1

−

m

2

)
+
2

m

2

u

2


m

1

+

m

2




v

2


≈

u

2

(

m

2

−

m

1

)
+
2

m

1

u

1


m

1

+

m

2



{\displaystyle {\begin{aligned}p\_{T}&\approx m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}\\v\_{c}&\approx {\frac {m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}\\u\_{1}'&\approx u\_{1}-v\_{c}\approx {\frac {m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{1}-m\_{1}u\_{1}-m\_{2}u\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}={\frac {m\_{2}(u\_{1}-u\_{2})}{m\_{1}+m\_{2}}}\\u\_{2}'&\approx {\frac {m\_{1}(u\_{2}-u\_{1})}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v\_{1}'&\approx {\frac {m\_{2}(u\_{2}-u\_{1})}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v\_{2}'&\approx {\frac {m\_{1}(u\_{1}-u\_{2})}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v\_{1}&\approx v\_{1}'+v\_{c}\approx {\frac {m\_{2}u\_{2}-m\_{2}u\_{1}+m\_{1}u\_{1}+m\_{2}u\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}={\frac {u\_{1}(m\_{1}-m\_{2})+2m\_{2}u\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v\_{2}&\approx {\frac {u\_{2}(m\_{2}-m\_{1})+2m\_{1}u\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}
Shu sababli, toʻqnashayotgan ikkala jismning tezligi yorugʻlik tezligidan (sekundiga ~ 300 000 kilometr) ancha past boʻlsa, klassik hisob toʻgʻri boʻladi.

### Giperbolik funksiyalar yordamida relyativistik hosila

*Tezlik deb ataladigan parametrdan* foydalanish {\displaystyle s} (odatda tezlik deb ataladi),

{\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}

quyidagini olamiz:

{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}

Relyativistik energiya va impuls quyidagicha ifodalanadi:




E

=

m

c

2

1
−

v

2

c

2


=
m

c

2

cosh
⁡
(
s
)

p

=

m
v

1
−

v

2

c

2


=
m
c
sinh
⁡
(
s
)



{\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}
Tenglamalar energiya va momentumning toʻqnashuvi massalarining yigʻindisi {\displaystyle m\_{1}} va {\displaystyle m\_{2},} (tezliklar {\displaystyle v\_{1},v\_{2},u\_{1},u\_{2}} tezlik parametrlariga mos keladi {\displaystyle s\_{1},s\_{2},s\_{3},s\_{4}}), etarli quvvatga boʻlingandan keyin {\displaystyle c} quyidagilar:



m

1

cosh
⁡
(

s

1

)
+

m

2

cosh
⁡
(

s

2

)

=

m

1

cosh
⁡
(

s

3

)
+

m

2

cosh
⁡
(

s

4

)


m

1

sinh
⁡
(

s

1

)
+

m

2

sinh
⁡
(

s

2

)

=

m

1

sinh
⁡
(

s

3

)
+

m

2

sinh
⁡
(

s

4

)



{\displaystyle {\begin{aligned}m\_{1}\cosh(s\_{1})+m\_{2}\cosh(s\_{2})&=m\_{1}\cosh(s\_{3})+m\_{2}\cosh(s\_{4})\\m\_{1}\sinh(s\_{1})+m\_{2}\sinh(s\_{2})&=m\_{1}\sinh(s\_{3})+m\_{2}\sinh(s\_{4})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}
va bog‘liq tenglama, yuqoridagi tenglamalarning yigʻindisi:

{\displaystyle m\_{1}e^{s\_{1}}+m\_{2}e^{s\_{2}}=m\_{1}e^{s\_{3}}+m\_{2}e^{s\_{4}}}

„energiya" dan har ikki tomonning kvadratchalari „impuls" tenglamalarini ayirib va identifikatsiyadan foydalanamiz {\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,} soddalashtirgandan soʻng biz quyidagilarni olamiz:

{\displaystyle 2m\_{1}m\_{2}(\cosh(s\_{1})\cosh(s\_{2})-\sinh(s\_{2})\sinh(s\_{1}))=2m\_{1}m\_{2}(\cosh(s\_{3})\cosh(s\_{4})-\sinh(s\_{4})\sinh(s\_{3}))}

nol boʻlmagan massa uchun giperbolik trigonometrik identifikatsiyadan foydalangan holda {\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),} olamiz:

{\displaystyle \cosh(s\_{1}-s\_{2})=\cosh(s\_{3}-s\_{4})}

funktsiyalar sifatida {\displaystyle \cosh(s)} Hatto ikkita yechimga ega boʻlamizmi:



s

1

−

s

2


=

s

3

−

s

4


s

1

−

s

2


=
−

s

3

+

s

4



{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{1}-s\_{2}&=s\_{3}-s\_{4}\\s\_{1}-s\_{2}&=-s\_{3}+s\_{4}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}
oddiy yechimga olib keladigan oxirgi tenglamadan biz hal qilamiz {\displaystyle s\_{2}} va qaram tenglamaga almashtiramiz, biz olamiz {\displaystyle e^{s\_{1}}} undan keyin {\displaystyle e^{s\_{2}},} bizda quyidagi bor:



e

s

1


=

e

s

4



m

1

e

s

3

+

m

2

e

s

4


m

1

e

s

4

+

m

2

e

s

3




e

s

2


=

e

s

3



m

1

e

s

3

+

m

2

e

s

4


m

1

e

s

4

+

m

2

e

s

3





{\displaystyle {\begin{aligned}e^{s\_{1}}&=e^{s\_{4}}{\frac {m\_{1}e^{s\_{3}}+m\_{2}e^{s\_{4}}}{m\_{1}e^{s\_{4}}+m\_{2}e^{s\_{3}}}}\\e^{s\_{2}}&=e^{s\_{3}}{\frac {m\_{1}e^{s\_{3}}+m\_{2}e^{s\_{4}}}{m\_{1}e^{s\_{4}}+m\_{2}e^{s\_{3}}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}
Bu muammoning yechimi, lekin tezlik parametrlari bilan ifodalanadi. Tezliklarning yechimini olish uchun almashtirishni qaytarish:



v

1

/

c

=
tanh
⁡
(

s

1

)
=

e

s

1

−

e

−

s

1


e

s

1

+

e

−

s

1




v

2

/

c

=
tanh
⁡
(

s

2

)
=

e

s

2

−

e

−

s

2


e

s

2

+

e

−

s

2





{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{1}/c&=\tanh(s\_{1})={\frac {e^{s\_{1}}-e^{-s\_{1}}}{e^{s\_{1}}+e^{-s\_{1}}}}\\v\_{2}/c&=\tanh(s\_{2})={\frac {e^{s\_{2}}-e^{-s\_{2}}}{e^{s\_{2}}+e^{-s\_{2}}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}
Oldingi yechimlarni almashtirib va oʻzgartiramiz: {\displaystyle e^{s\_{3}}={\sqrt {\frac {c+u\_{1}}{c-u\_{1}}}}} va {\displaystyle e^{s\_{4}}={\sqrt {\frac {c+u\_{2}}{c-u\_{2}}}},} uzoq transformatsiyadan soʻng, almashtirish bilan: {\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u\_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u\_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}

quyidagini olamiz:



v

1


=

2

m

1

m

2

c

2

u

2

Z
+
2

m

2

2

c

2

u

2

−
(

m

1

2

+

m

2

2

)

u

1

u

2

2

+
(

m

1

2

−

m

2

2

)

c

2

u

1

2

m

1

m

2

c

2

Z
−
2

m

2

2

u

1

u

2

−
(

m

1

2

−

m

2

2

)

u

2

2

+
(

m

1

2

+

m

2

2

)

c

2




v

2


=

2

m

1

m

2

c

2

u

1

Z
+
2

m

1

2

c

2

u

1

−
(

m

1

2

+

m

2

2

)

u

1

2

u

2

+
(

m

2

2

−

m

1

2

)

c

2

u

2

2

m

1

m

2

c

2

Z
−
2

m

1

2

u

1

u

2

−
(

m

2

2

−

m

1

2

)

u

1

2

+
(

m

1

2

+

m

2

2

)

c

2



.



{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{1}&={\frac {2m\_{1}m\_{2}c^{2}u\_{2}Z+2m\_{2}^{2}c^{2}u\_{2}-(m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2})u\_{1}u\_{2}^{2}+(m\_{1}^{2}-m\_{2}^{2})c^{2}u\_{1}}{2m\_{1}m\_{2}c^{2}Z-2m\_{2}^{2}u\_{1}u\_{2}-(m\_{1}^{2}-m\_{2}^{2})u\_{2}^{2}+(m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2})c^{2}}}\\v\_{2}&={\frac {2m\_{1}m\_{2}c^{2}u\_{1}Z+2m\_{1}^{2}c^{2}u\_{1}-(m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2})u\_{1}^{2}u\_{2}+(m\_{2}^{2}-m\_{1}^{2})c^{2}u\_{2}}{2m\_{1}m\_{2}c^{2}Z-2m\_{1}^{2}u\_{1}u\_{2}-(m\_{2}^{2}-m\_{1}^{2})u\_{1}^{2}+(m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}

Ikki oʻlchovli sistema
----------------------

Ikki oʻlchamda aylanmaydigan ikkita toʻqnashuvchi jismlar uchun jismlarning harakati impuls, kinetik energiya va burchak momentumning uchta saqlanish qonunlari bilan aniqlanadi. Har bir jismning umumiy tezligi ikkita perpendikulyar tezlikka boʻlinishi kerak: biri toʻqnashuv nuqtasida toʻqnashuvchi jismlarning umumiy normal yuzalariga tegib, ikkinchisi toʻqnashuv chizigʻi boʻylab. Toʻqnashuv faqat toʻqnashuv chizigʻi boʻylab kuch berganligi sababli, toʻqnashuv nuqtasiga tegib turgan tezliklar oʻzgarmaydi. Keyinchalik toʻqnashuv chizigʻi boʻylab tezliklar bir oʻlchovli toʻqnashuv bilan bir xil tenglamalarda ishlatilishi mumkin. Yakuniy tezliklarni ikkita yangi komponent tezligidan hisoblash mumkin va ular toʻqnashuv nuqtasiga bogʻliq boʻladi. Ikki oʻlchovli toʻqnashuvlarni oʻrganish koʻplab jismlar uchun ikki oʻlchovli gaz doirasida olib boriladi.

Impuls doirasi markazida har qanday vaqtda ikkala jismning tezligi qarama-qarshi yoʻnalishda boʻlib, kattaliklari massalarga teskari proportsionaldir. Elastik toʻqnashuvda bu kattaliklar oʻzgarmaydi. Yoʻnalishlar jismlarning shakllariga va taʼsir nuqtasiga qarab oʻzgarishi mumkin. Masalan, sharlar holatida burchak ikki jism markazlarining (parallel) yoʻllari orasidagi masofaga bogʻliq. Yoʻnalishning nolga teng boʻlmagan har qanday oʻzgarishi mumkin: agar bu masofa nolga teng boʻlsa, toʻqnashuvda tezliklar teskari boʻladi; agar u sharlar radiusi yigʻindisiga yaqin boʻlsa, ikkita jism faqat bir oz egiladi.

 Ikki oʻlchovli elastik toʻqnashuv

  

Ikkinchi zarracha toʻqnashuvdan oldin tinch holatda boʻlsa, ikki zarrachaning burilish burchaklari, {\displaystyle \theta \_{1}} va {\displaystyle \theta \_{2}}, burilish burchagi bilan bogʻliq {\displaystyle \theta } massa markazi tizimida :

{\displaystyle \tan \theta \_{1}={\frac {m\_{2}\sin \theta }{m\_{1}+m\_{2}\cos \theta }},\qquad \theta \_{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}

Toʻqnashuvdan keyingi zarrachalar tezligining kattaliklari:




v

1

′

=

v

1



m

1

2

+

m

2

2

+
2

m

1

m

2

cos
⁡
θ

m

1

+

m

2




v

2

′

=

v

1


2

m

1


m

1

+

m

2


sin
⁡

θ
2

.



{\displaystyle {\begin{aligned}v'\_{1}&=v\_{1}{\frac {\sqrt {m\_{1}^{2}+m\_{2}^{2}+2m\_{1}m\_{2}\cos \theta }}{m\_{1}+m\_{2}}}\\v'\_{2}&=v\_{1}{\frac {2m\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}
### Ikki harakatlanuvchi jism bilan ikki oʻlchovli toʻqnashuv

Birinchi sharning yakuniy x va y tezligi komponentlarini quyidagicha hisoblash mumkin:



v

1
x

′

=

v

1

cos
⁡
(

θ

1

−
φ
)
(

m

1

−

m

2

)
+
2

m

2

v

2

cos
⁡
(

θ

2

−
φ
)

m

1

+

m

2


cos
⁡
(
φ
)
+

v

1

sin
⁡
(

θ

1

−
φ
)
cos
⁡
(
φ
+

π
2

)


v

1
y

′

=

v

1

cos
⁡
(

θ

1

−
φ
)
(

m

1

−

m

2

)
+
2

m

2

v

2

cos
⁡
(

θ

2

−
φ
)

m

1

+

m

2


sin
⁡
(
φ
)
+

v

1

sin
⁡
(

θ

1

−
φ
)
sin
⁡
(
φ
+

π
2

)
,



{\displaystyle {\begin{aligned}v'\_{1x}&={\frac {v\_{1}\cos(\theta \_{1}-\varphi )(m\_{1}-m\_{2})+2m\_{2}v\_{2}\cos(\theta \_{2}-\varphi )}{m\_{1}+m\_{2}}}\cos(\varphi )+v\_{1}\sin(\theta \_{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'\_{1y}&={\frac {v\_{1}\cos(\theta \_{1}-\varphi )(m\_{1}-m\_{2})+2m\_{2}v\_{2}\cos(\theta \_{2}-\varphi )}{m\_{1}+m\_{2}}}\sin(\varphi )+v\_{1}\sin(\theta \_{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}
bu yerda *v*1 va *v*2 — jismlarning ikkita asl tezligining skalyar kattaliklari, *m*1 va *m*2 — ularning massalari, *θ*1 va *θ*2 — harakat burchaklari, yaʼni {\displaystyle v\_{1x}=v\_{1}\cos \theta \_{1},\;v\_{1y}=v\_{1}\sin \theta \_{1}} (toʻgʻridan-toʻgʻri oʻng-pastga siljish −45 ° burchak yoki 315 ° burchak degan maʼnoni anglatadi) va kichik harf φ - toʻqnashuv burchagi. (Ikkinchi toʻpning x va y tezligini olish uchun barcha „1" pastki belgilarni „2" pastki belgisi bilan almashtirish kerak.)

Bu tenglama ikki jism oʻrtasidagi oʻzaro taʼsir aloqa burchagi boʻylab osonlik bilan hisoblab chiqilishidan kelib chiqadi, yaʼni jismlarning tezligini x va y oʻqlarini bir oʻlchamda oʻzaro bogʻlanish burchagiga parallel qilib aylantirish orqali hisoblash mumkin. ob’ektlar, soʻngra tezliklarning haqiqiy x va y komponentlarini olish uchun asl yoʻnalishiga qaytariladi     .

  

Burchaksiz tasvirda oʻzgartirilgan tezliklar **x**1 va **x**2 markazlari yordamida aloqa vaqtida hisoblab chiqiladi.




v

1

′

=

v

1

−

2

m

2


m

1

+

m

2


 

⟨

v

1

−

v

2

,

x

1

−

x

2

⟩

‖

x

1

−

x

2

‖

2


 
(

x

1

−

x

2

)
,



v

2

′

=

v

2

−

2

m

1


m

1

+

m

2


 

⟨

v

2

−

v

1

,

x

2

−

x

1

⟩

‖

x

2

−

x

1

‖

2


 
(

x

2

−

x

1

)



{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '\_{1}&=\mathbf {v} \_{1}-{\frac {2m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} \_{1}-\mathbf {v} \_{2},\,\mathbf {x} \_{1}-\mathbf {x} \_{2}\rangle }{\|\mathbf {x} \_{1}-\mathbf {x} \_{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} \_{1}-\mathbf {x} \_{2}),\\\mathbf {v} '\_{2}&=\mathbf {v} \_{2}-{\frac {2m\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} \_{2}-\mathbf {v} \_{1},\,\mathbf {x} \_{2}-\mathbf {x} \_{1}\rangle }{\|\mathbf {x} \_{2}-\mathbf {x} \_{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} \_{2}-\mathbf {x} \_{1})\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}
Bu yerda burchak qavslari ikkita vektorning ichki mahsulotini (yoki nuqta mahsulotini) koʻrsatadi.

Boshqa saqlangan miqdorlar

Massalari teng boʻlgan zarralarning alohida holatida, toʻqnashuvdan oldingi va keyingi tezliklarning skalyar mahsuloti bir xil ekanligini yuqoridagi natijadan toʻgʻridan-toʻgʻri hisoblash orqali tekshirish mumkin, yaʼni {\displaystyle \langle \mathbf {v} '\_{1},\mathbf {v} '\_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\rangle .} Garchi bu mahsulot elastik toʻqnashuvlar uchun impuls va kinetik energiyaga oʻxshab qoʻshimcha oʻzgarmas boʻlmasa ham, bu miqdorning saqlanishi yuqori tartibli saqlanish qonunlarini chiqarish uchun ishlatilishi mumkin.

Manbalar
--------

1. 1 2 3  Serway & Jewett 2014, s. 257
2. 1 2  Serway & Jewett 2014, s. 258
3. ↑  Serway & Jewett 2014, ss. 258–259
4. ↑  Landau & Lifshitz 1976, s. 46
5. ↑  Parkinson, Stephen (1869) „An Elementary Treatise on Mechanics" (4th ed.) p. 197. London. MacMillan
6. ↑  Love, A. E. H. (1897) „Principles of Dynamics" p. 262. Cambridge. Cambridge University Press
7. ↑  Routh, Edward J. (1898) „A Treatise on Dynamics of a Particle" p. 39. Cambridge. Cambridge University Press
8. ↑  Glazebrook, Richard T. (1911) „Dynamics" (2nd ed.) p. 217. Cambridge. Cambridge University Press
9. ↑  Osgood, William F. (1949) „Mechanics" p. 272. London. MacMillan
10. ↑  Stephenson, Reginald J. (1952) „Mechanics and Properties of Matter" p. 40. New York. Wiley
11. ↑  Chliamovitch, G.; Malaspinas, O.; Chopard, B. (2017). "Kinetic theory beyond the Stosszahlansatz". *Entropy* **19** (8): 381. doi:10.3390/e19080381.

Asosiy adabiyotlar
------------------

* Landau, L. D.; Lifshitz, E. M.*. Mechanics*, 3rd, Pergamon Press, 1976. ISBN 0-08-021022-8.
* Raymond, David J. „10.4.1 Elastic collisions",*. A Radically Modern Approach to Introductory Physics*. Socorro, New Mexico: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
* Serway, Raymond A.; Jewett, John W. „9: Linear Momentum and Collisions",*. Physics for scientists and engineers with modern physics.*, 9th, Boston, 2014. ISBN 978-1-133-95405-7.

Havolalar
---------

* Qattiq jismning to'qnashuvi uch o'lchovdagi rezolyutsiyasi, shu jumladan, saqlash qonunlaridan foydalangan holda olingan