Parabolik suv harakati traektoriyasi
 Parabolik otishning dastlabki tezligi komponentlari
**Burchak ostida otilgan jism harakati** — bu gravitatsiya maydonida, masalan, Yer yuzasidan proyeksiya qilingan va faqat tortishish kuchi taʼsirida egri chiziq boʻylab harakatlanadigan jism yoki zarracha (snaryad) tomonidan boshdan kechiriladigan harakat shakli. ***Biz bu harakatni snaryad misolida koʻrib chiqamiz***. Yerdagi snaryad harakatining alohida holatida, koʻpchilik hisob-kitoblar havo qarshiligining taʼsirini passiv va ahamiyatsiz deb hisoblaydi. Snaryadlar harakatidagi jismlarning egri chiziqli yoʻlini Galiley koʻrsatgan parabola, lekin u toʻgʻridan-toʻgʻri yuqoriga yoki pastga tashlangan maxsus holatda toʻgʻri chiziq boʻlishi mumkin. Bunday harakatlarni oʻrganish ballistika deb ataladi va bunday traektoriya ballistik traektoriyadir. Ob’ektga faol taʼsir koʻrsatadigan yagona matematik ahamiyatga ega boʻlgan kuch bu tortishish kuchi boʻlib, u pastga qarab harakat qiladi va shu bilan ob’ektga Yerning massa markaziga qarab pastga tezlanishni beradi. Ob’ektning inertsiyasi tufayli ob’ekt harakatining gorizontal tezligi komponentini ushlab turish uchun hech qanday tashqi kuch kerak emas. Boshqa kuchlarni hisobga olish, masalan, aerodinamik qarshilik yoki ichki harakatlanish (masalan, raketada) qoʻshimcha tahlilni talab qiladi. Balistik raketa — bu faqat uchishning nisbatan qisqa quvvatli bosqichida boshqariladigan va qolgan kursi klassik mexanika qonunlari bilan boshqariladigan raketa .

Balistika (from Qadimgi yunon belilin) snaryadlarning, ayniqsa oʻqlarning, boshqarilmaydigan bombalarning, raketalarning yoki shunga oʻxshashlarning parvozi, harakati va taʼsiri bilan shugʻullanadigan dinamika fani; Istalgan samaraga erishish uchun snaryadlarni loyihalash va tezlashtirish ilmi yoki sanʼati.

Balistikaning elementar tenglamasi dastlabki tezlik va taxmin qilingan doimiy tortishish tezlashuvidan tashqari deyarli barcha omillarni eʼtiborsiz qoldiradi. Balistik muammoning amaliy yechimlari koʻpincha havo qarshiligi, oʻzaro shamollar, nishon harakati, tortishish taʼsirida oʻzgaruvchan tezlanish va raketani Yerning bir nuqtasidan ikkinchisiga uchirish, Yerning aylanishi kabi masalalarni hisobga olishni talab qiladi. Amaliy masalalarning batafsil matematik yechimlari odatda yopiq shakldagi echimlarga ega emas va shuning uchun ularni hal qilish uchun raqamli usullarni talab qiladi.

 Snaryadning havo tortishish va oʻzgaruvchan boshlangʻich tezligi bilan traektoriyalari

Kinematik kattaliklar
---------------------

Snaryadlar harakatida gorizontal harakat va vertikal harakat bir-biridan mustaqil; yaʼni hech bir harakat ikkinchisiga taʼsir qilmaydi. Bu 1638 yilda Galiley  tomonidan oʻrnatilgan va u tomonidan oʻq otish harakatining parabolik shaklini isbotlash uchun qoʻllanilgan *murakkab harakat* tamoyilidir. 

Balistik traektoriya — bu bir hil tezlanishga ega boʻlgan parabola, masalan, boshqa kuchlar boʻlmaganda doimiy tezlanishga ega boʻlgan kosmik kemada. Yerda tezlanish balandlik bilan kattalikni va kenglik/uzunlik bilan yoʻnalishni oʻzgartiradi. Bu kichik miqyosda parabolaga juda yaqin boʻlgan elliptik traektoriyani keltirib chiqaradi. Biroq, agar biror narsa uloqtirilsa va Yer toʻsatdan teng massali qora tuynuk bilan almashtirilsa, ballistik traektoriya cheksizlikka choʻziladigan parabola emas, balki bu qora tuynuk atrofidagi elliptik orbitaning bir qismi ekanligi ayon boʻladi. Yuqori tezlikda traektoriya aylana, parabolik yoki giperbolik boʻlishi mumkin (agar Oy yoki Quyosh kabi boshqa ob’ektlar tomonidan buzilmasa). Ushbu maqolada bir hil tezlanish qabul qilinadi.

 Snaryad tezligining gorizontal va vertikal komponentlari bir-biridan mustaqildir.
### Tezlanish

Tezlanish faqat vertikal yoʻnalishda boʻlgani uchun gorizontal yoʻnalishdagi tezlik doimiy boʻlib, {\displaystyle \mathbf {v} \_{0}\cos \theta } ga teng. Snaryadning vertikal harakati — zarrachaning erkin tushishi paytidagi harakati. Bu yerda tezlanish doimiy boʻlib, g ga teng. Tezlanishning komponentlari:

{\displaystyle a\_{x}=0} ,
{\displaystyle a\_{y}=-g} .
### Tezlik

Snaryad boshlangʻich tezlik bilan uchilsin {\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} \_{0}}, uni gorizontal va vertikal komponentlar yigʻindisi sifatida quyidagicha ifodalash mumkin:

{\displaystyle \mathbf {v} \_{0}=v\_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v\_{0y}\mathbf {\hat {y}} } .
Komponentlar {\displaystyle v\_{0x}} va {\displaystyle v\_{0y}} Agar dastlabki {\displaystyle \theta } ga nisbatan tushirish burchagini topish mumkin:

{\displaystyle v\_{0x}=v\_{0}\cos(\theta )} ,
{\displaystyle v\_{0y}=v\_{0}\sin(\theta )}
Jismning tezligining gorizontal komponenti butun harakat davomida oʻzgarishsiz qoladi. Tezlikning vertikal komponenti chiziqli ravishda oʻzgaradi, chunki tortishish taʼsirida tezlanish doimiydir. X va y yoʻnalishlaridagi tezlanishlarni istalgan t vaqtdagi tezlik komponentlari uchun quyidagi tarzda echish uchun integrallash mumkin:

{\displaystyle v\_{x}=v\_{0}\cos(\theta )} ,
{\displaystyle v\_{y}=v\_{0}\sin(\theta )-gt}.
Tezlikning kattaligi (Pifagor teoremasi ostida, shuningdek, uchburchak qonuni sifatida ham tanilgan):

{\displaystyle v={\sqrt {v\_{x}^{2}+v\_{y}^{2}}}} .
### Siqilish

 Parabolik otishning koʻchishi va koordinatalari
Istalgan payt {\displaystyle t}, snaryadning gorizontal va vertikal siljishi:

{\displaystyle x=v\_{0}t\cos(\theta )} ,
{\displaystyle y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}} .
Siqilishning kattaligi:

{\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} .
Tenglamalarni koʻrib chiqing,

{\displaystyle x=v\_{0}t\cos(\theta ),y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}.
Agar bu ikki tenglama oʻrtasida t chiqarib tashlansa, quyidagi tenglama olinadi:

{\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v\_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}
Bu yerda R — snaryadning masofasi.

g, th va v0 konstantalar boʻlgani uchun yuqoridagi tenglama koʻrinishda boʻladi

{\displaystyle y=ax+bx^{2}} ,
bunda a va b doimiylardir. Bu parabolaning tenglamasi, shuning uchun yoʻl parabolikdir. Parabolaning oʻqi vertikaldir.

Agar snaryadning joylashuvi (x, y) va uchish burchagi (θ yoki α) maʼlum boʻlsa, dastlabki tezlikni yuqorida aytib oʻtilgan parabolik tenglamada v0 uchun hal qilishda topish mumkin:

{\displaystyle v\_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}} .
### Qutb koordinatalarida siljish

Snaryadning parabolik traektoriyasini dekart koordinatalari oʻrniga qutb koordinatalarida ham ifodalash mumkin. Bunday holda, pozitsiya umumiy formulaga ega:

{\displaystyle r(\phi )={\frac {2v\_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)} .
Bu tenglamada koordinata boshi snaryadning gorizontal masofasining oʻrta nuqtasi boʻlib, agar yer tekis boʻlsa, parabolik yoy diapazonda chiziladi. {\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }. Bu ifodani yuqorida aytib oʻtilganidek, Dekart tenglamasini oʻzgartirish orqali olish mumkin {\displaystyle y=r\sin \phi } va {\displaystyle x=r\cos \phi } .

Traektoriyaning xossalari
-------------------------

### Parvoz vaqti yoki butun sayohatning umumiy vaqti

Snaryadning havoda qolgan umumiy vaqti t parvoz vaqti deb ataladi.

{\displaystyle y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
Parvozdan keyin snaryad gorizontal oʻqga (x oʻqi) qaytadi, shuning uchun {\displaystyle y=0} .

{\displaystyle 0=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
{\displaystyle v\_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}
{\displaystyle v\_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}
{\displaystyle t={\frac {2v\_{0}\sin(\theta )}{g}}}
Eʼtibor bering, biz raketada havo qarshiligini eʼtiborsiz qoldirganmiz.

Agar boshlangʻich nuqtasi zarba nuqtasiga nisbatan y0 balandlikda boʻlsa, parvoz vaqti:

{\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy\_{0}}}}{g}}}
Yuqoridagi kabi, bu ifodani qisqartirish mumkin

{\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}}
agar th 45° va y0 = 0 boʻlsa.

### Nishon pozitsiyasiga uchish vaqti

Yuqorida koʻrinib turganidek, **snaryadning** gorizontal va vertikal tezligi bir-biriga bogʻliq emas.

Shu sababli, gorizontal tezlik uchun siljish formulasidan foydalanib, maqsadga erishish vaqtini topishimiz mumkin:

{\displaystyle x=v\_{0}t\cos(\theta )}

{\displaystyle {\frac {x}{t}}=v\_{0}\cos(\theta )}

{\displaystyle t={\frac {x}{v\_{0}\cos(\theta )}}}

Bu tenglama havo qarshiligini eʼtiborsiz qoldirib, snaryad nishonning gorizontal siljishiga erishish uchun borishi kerak *boʻlgan* umumiy vaqtni beradi.

### Snaryadning maksimal balandligi

 Snaryadning maksimal balandligi
Ob’ekt erishadigan eng katta balandlik ob’ekt harakatining choʻqqisi deb nomlanadi. Balandlikning oshishi gacha davom etadi {\displaystyle v\_{y}=0}, bunda,

{\displaystyle 0=v\_{0}\sin(\theta )-gt\_{h}} .
Maksimal balandlikka erishish vaqti (h):

{\displaystyle t\_{h}={\frac {v\_{0}\sin(\theta )}{g}}} .
Snaryadning maksimal balandligining vertikal siljishi uchun:

{\displaystyle h=v\_{0}t\_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt\_{h}^{2}}
{\displaystyle h={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}}
Eng katta erishish mumkin boʻlgan balandlik *θ* =90 ° uchun olinadi:

{\displaystyle h\_{\mathrm {max} }={\frac {v\_{0}^{2}}{2g}}}
Agar snaryadning joylashuvi (x, y) va uchish burchagi (th) maʼlum boʻlsa, maksimal balandlikni h uchun quyidagi tenglamani yechish orqali topish mumkin:

{\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}
### Gorizontal diapazon va maksimal balandlik oʻrtasidagi munosabat

Gorizontal tekislikdagi d diapazoni va erishilgan maksimal balandlik h oʻrtasidagi munosabat {\displaystyle {\frac {t\_{d}}{2}}} bu:

{\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}

| Proof |
| --- |
| {\displaystyle h={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}
{\displaystyle d={\frac {v\_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}
{\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}} × {\displaystyle {\frac {g}{v\_{0}^{2}\sin 2\theta }}}
{\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}}
{\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}.
If {\displaystyle h=R}
**{\displaystyle \theta =\arctan(4)\approx 76.0^{\circ }}** |

### Snaryadning maksimal masofasi

 Snaryadning maksimal masofasi
Snaryadning masofasi va maksimal balandligi uning massasiga bogʻliq emas. Demak, masofa va maksimal balandlik bir xil tezlik va yoʻnalishda otilgan barcha jismlar uchun tengdir. Snaryadning gorizontal diapazoni d — uning dastlabki balandligiga qaytganida bosib oʻtgan gorizontal masofasi ({\displaystyle y=0}).

{\displaystyle 0=v\_{0}t\_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt\_{d}^{2}} .
Yerga yetib borish vaqti:

{\displaystyle t\_{d}={\frac {2v\_{0}\sin(\theta )}{g}}} .
Gorizontal siljishdan snaryadning maksimal masofasi:

{\displaystyle d=v\_{0}t\_{d}\cos(\theta )} ,
shuning uchun

{\displaystyle d={\frac {v\_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )} .
Eʼtibor bering, d qachon maksimal qiymatga ega

{\displaystyle \sin 2\theta =1} ,
bu albatta mos keladi

{\displaystyle 2\theta =90^{\circ }} ,
yoki

{\displaystyle \theta =45^{\circ }} .
 Har xil balandlik burchaklarida uchirilgan raketalarning traektoriyalari, lekin vakuumda bir xil tezlikda 10 m / s va bir xil pastga tortishish maydoni 10 m / s 2. Nuqtalar 0,05 s oraliqda joylashgan va dumlarining uzunligi ularning tezligiga chiziqli proportsionaldir. *t* = ishga tushirish vaqti, *T* = parvoz vaqti, *R* = masofa va *H* = traektoriyaning eng yuqori nuqtasi (strelkalar bilan koʻrsatilgan).
Oʻtkazilgan umumiy gorizontal masofa (d) .

{\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy\_{0}}}\right)}
Sirt tekis boʻlganda (ob’ektning dastlabki balandligi nolga teng), bosib oʻtgan masofa: 

{\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}}
Shunday qilib, th 45 daraja boʻlsa, maksimal masofa olinadi. Bu masofa:

{\displaystyle d\_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}}

Manbalar
--------

1. ↑  Galileo Galilei, *Two New Sciences*, Leiden, 1638, p.249
2. ↑  Nolte, David D. Galileo Unbound (Oxford University Press, 2018) pp. 39-63.
3. ↑  Tatum*. Classical Mechanics*, 2019 — ch. 7 bet.

Havolalar
---------

* Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2007). Classical Dynamics of Particles and Systems. Brooks/Cole. p. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.
* Atam P. Arya; Atam Parkash Arya (September 1997). Introduction to Classical Mechanics. Prentice Hall Internat. p. 227. ISBN 978-0-13-906686-3.
* Rginald Cristian, Bernardo; Jose Perico, Esguerra; Jazmine Day, Vallejos; Jeff Jerard, Canda (2015). „Wind-influenced projectile motion". European Journal of Physics.