Klassik mexanikada **markaziy kuch muammosi** bitta markaziy potentsial maydonda zarrachaning harakatini aniqlashdir. Markaziy kuch — bu zarrachadan toʻgʻridan-toʻgʻri kosmosdagi sobit nuqtaga, markazga ishora qiluvchi va kattaligi faqat ob’ektning markazgacha boʻlgan masofasiga bogʻliq boʻlgan kuch (ehtimol manfiy). Bir nechta muhim holatlarda muammoni analitik tarzda, yaʼni trigonometrik funktsiyalar kabi yaxshi oʻrganilgan funktsiyalar nuqtai nazaridan hal qilish mumkin.

Ushbu muammoni hal qilish klassik mexanika uchun juda muhimdir, chunki koʻplab tabiiy kuchlar markaziy hisoblanadi. Masalan , Nyutonning universal tortishish qonuni va Kulon qonuni bilan tavsiflangan tortishish va elektromagnitizm kiradi. Muammo ham muhim, chunki klassik fizikadagi baʼzi murakkabroq masalalarni (masalan, ikkita jismni bogʻlaydigan chiziq boʻylab kuchlar bilan ikki tana muammosi) markaziy kuch muammosiga qisqartirish mumkin. Nihoyat, markaziy kuch muammosini hal qilish koʻpincha Quyosh tizimidagi sayyoralarning harakatini hisoblashda boʻlgani kabi, haqiqiy harakatni yaxshi dastlabki taxminiy qiladi.

Asoslar
-------

Markaziy kuch masalasining mohiyati markaziy **F** kuchi taʼsirida harakatlanuvchi zarrachaning **r** holatini *t* vaqtga bogʻliq holda yoki ph burchagiga nisbatan echishdan iborat. kuch markazi va ixtiyoriy oʻq.

### Markaziy kuchning taʼrifi

A long arrows runs from the lower left to the upper right. At the lower left, the arrow begins with a black point labeled „O"; at the upper right, the arrow ends at a solid red circle labeled „P". Above this arrow is a shorter, thicker arrow labeled „F sub att" that points from the center of P towards O. **P** holatidagi jismga taʼsir qiluvchi jozibali markaziy kuch (qizil rangda koʻrsatilgan). Taʼrifga koʻra, markaziy kuch qoʻzgʻalmas **O** nuqtasiga (agar jozibador boʻlsa) yoki undan uzoqroqqa (agar itaruvchi boʻlsa) ishora qilishi kerak.
Konservativ markaziy kuch **F** ikkita belgilovchi xususiyatga ega.  Birinchidan, u zarralarni toʻgʻridan-toʻgʻri yoki toʻgʻridan-toʻgʻri kosmosdagi qoʻzgʻalmas nuqtadan, koʻpincha **O** deb belgilangan kuch markazidan uzoqlashtirishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, markaziy kuch zarrachaning hozirgi holati bilan **O ni** tutashtiruvchi chiziq boʻylab harakat qilishi kerak. Ikkinchidan, konservativ markaziy kuch faqat **O** va harakatlanuvchi zarracha orasidagi masofa *r* ga bogʻliq; u aniq vaqtga yoki pozitsiyaning boshqa tavsiflovchilariga bogʻliq emas.

Ushbu ikki xil taʼrifni matematik tarzda quyidagicha ifodalash mumkin. Koordinatalar tizimining kelib chiqishi sifatida **O** kuch markazini tanlash mumkin. **O ni** zarrachaning hozirgi holatiga birlashtiruvchi **r** vektori pozitsiya vektori deb nomlanadi. Shuning uchun markaziy kuch matematik shaklga ega boʻlishi kerak.

{\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}

bu yerda *r* vektor kattaligi | **r** | (kuch markaziga masofa) va **r̂** = **r** / r mos keladigan birlik vektori. Nyutonning ikkinchi harakat qonuniga koʻra, markaziy kuch **F** zarrachaning massasi *m* ga **teng** boʻlgan parallel tezlanishni hosil qiladi:

{\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}

Jozibador kuchlar uchun *F* (*r*) manfiydir, chunki u markazga *r* masofani kamaytirish uchun ishlaydi. Aksincha, itaruvchi kuchlar uchun *F* (*r*) ijobiydir.

### Potensial energiya

Agar markaziy kuch konservativ kuch boʻlsa, u holda markaziy kuchning kattaligi *F* (*r*) har doim vaqtga bogʻliq boʻlmagan potentsial energiya funksiyasi *U*(*r*)  hosilasi sifatida ifodalanishi mumkin.

{\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}

Shunday qilib, zarrachaning umumiy energiyasi — uning kinetik energiyasi va potentsial energiyasi *U* yigʻindisi — doimiy; energiya saqlanishi aytiladi. Buni koʻrsatish uchun kuch tomonidan bajarilgan *W* ishi ular orasidagi bosib oʻtgan yoʻlga emas, balki faqat boshlangʻich va oxirgi pozitsiyalarga bogʻliq boʻlishi kifoya.

{\displaystyle W=\int \_{\mathbf {r} \_{1}}^{\mathbf {r} \_{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int \_{\mathbf {r} \_{1}}^{\mathbf {r} \_{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int \_{r\_{1}}^{r\_{2}}Fdr=U(r\_{1})-U(r\_{2})}

Ekvivalent, **F** kuch maydonining burmasi nolga teng boʻlishi kifoya; sferik koordinatalarda kıvrılma formulasidan foydalanib,

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}

chunki markaziy kuch uchun qisman hosilalar nolga teng; *F* kattaligi th va ph burchakli sferik koordinatalarga bogʻliq emas.

Skayar potentsial *V*(*r*) faqat *r ning* koordinata nuqtasigacha boʻlgan masofaga bogʻliq boʻlganligi sababli, u sferik simmetriyaga ega. Shu nuqtai nazardan, markaziy kuch muammosi umumiy nisbiylik boʻyicha Shvartsshild geodeziyasiga va sferik simmetriya potentsiallarida zarrachalarning kvant mexanik ishloviga oʻxshaydi.

### Bir oʻlchovli masala

Agar zarrachaning dastlabki tezligi **v** pozitsiya vektoriga toʻgʻri kelsa **r**, u holda harakat **r** bilan belgilangan chiziqda abadiy qoladi. Buning sababi shundaki, kuch va Nyutonning ikkinchi qonuni boʻyicha **a** tezlanishi ham **r** ga toʻgʻri keladi. Bu harakatni aniqlash uchun tenglamani yechish kifoya

{\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}

Yechim usullaridan biri jami energiyani tejashdan foydalanishdir

{\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E\_{\text{tot}}-U(r)}}}

Oʻzaro va integratsiyani olib, biz quyidagilarni olamiz:

{\displaystyle |t-t\_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E\_{\text{tot}}-U(r)}}}}

Maqolaning qolgan qismida zarrachaning **v** boshlangʻich tezligi **v** pozitsiya vektoriga toʻgʻri kelmasligi, yaʼni burchak momentum vektori **L** = **r** × *m* **v** nolga teng emasligi taxmin qilinadi.

### Bir jinsli aylanma harakat

Har bir markaziy kuch bir tekis dumaloq harakatni keltirib chiqarishi mumkin, agar boshlangʻich radius *r* va tezlik *v* markazga qoʻyuvchi kuch tenglamasini qanoatlantirsa.

{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}

Agar bu tenglama dastlabki momentlarda qanoatlansa, keyingi barcha vaqtlarda qanoatlantiriladi; zarracha *r* radiusli aylana boʻylab *v* tezlikda abadiy harakat qilishda davom etadi.

### Klassik ikki jism muammosi bilan aloqasi

 Ikki jismning **x** 1 va **x** 2 pozitsiyalari ularning nisbiy boʻlinishi **r** va massa markazining pozitsiyasi bilan ifodalanishi mumkin **R** sm .
Markaziy kuch muammosi ideal vaziyatga („bir jism muammosi") taalluqlidir, bunda bitta zarra kuch markazi boʻlgan qoʻzgʻalmas **O** nuqtadan tortiladi yoki qaytariladi.  Biroq, jismoniy kuchlar odatda ikki jism oʻrtasida; Nyutonning uchinchi qonuniga koʻra, agar birinchi jism ikkinchisiga kuch taʼsir etsa, ikkinchi tana birinchisiga teng va qarama-qarshi kuch taʼsir qiladi. Shuning uchun ikkala jism ham, agar ular oʻrtasida kuch mavjud boʻlsa, tezlashadi; hech qanday mukammal qoʻzgʻalmas kuch markazi yoʻq. Biroq, agar bir jism boshqasidan koʻra koʻproq massiv boʻlsa, uning boshqasiga nisbatan tezlashishini eʼtiborsiz qoldirish mumkin; yanada massiv jismning markazi taxminan sobit deb hisoblanishi mumkin.  Misol uchun, Quyosh Merkuriy sayyorasidan koʻra kattaroq massaga ega; demak, Quyoshni qoʻzgʻalmas kuch markazi sifatida taxmin qilish mumkin, bu muammoni Quyosh tomonidan qoʻllaniladigan kuchga javoban Merkuriyning harakatiga qisqartiradi. Biroq, aslida, Quyosh Merkuriy sayyorasi tomonidan qoʻllaniladigan kuchga javoban (bir oz boʻlsa ham) harakat qiladi.

Biroq, bunday taxminlar kerak emas. Nyutonning harakat qonunlari har qanday klassik ikki tana muammosini mos keladigan aniq bir tana muammosiga aylantirish imkonini beradi.  Buni koʻrsatish uchun **x** 1 va **x** 2 ikkita zarrachaning joylashuvi va **r** = **x** 1 — **x** 2 ularning nisbiy pozitsiyasi boʻlsin. Keyin, Nyutonning ikkinchi qonuniga koʻra,

 Har qanday klassik ikki tana muammosi ekvivalent bir tana muammosiga aylantiriladi. Bitta ekvivalent jismning m massasi ikkita asl jismning kamaytirilgan massasiga, **r** holati esa ularning pozitsiyalari farqiga teng.
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} \_{21}}{m\_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} \_{12}}{m\_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}\right)\mathbf {F} \_{21}}

Yakuniy tenglama Nyutonning uchinchi qonunidan kelib chiqadi; ikkinchi jismning birinchi jismga (**F** 21) kuchi teng va birinchi jismning ikkinchisiga (**F** 12) qarama-qarshidir. Shunday qilib, **r** uchun harakat tenglamasini shaklda yozish mumkin

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }

bu yerda {\displaystyle \mu } **kamaytirilgan massa** hisoblanadi

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}}}={\frac {m\_{1}m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}}

Maxsus holat sifatida, ikkita jismning markaziy kuch bilan oʻzaro taʼsiri muammosini bitta jismning markaziy kuch muammosiga qisqartirish mumkin.

Sifatli xususiyatlar
--------------------

### Planar harakat

The image shows a yellow disc with three vectors. The vector L is perpendicular to the disk, the vector r goes from the center of the disk to a point on its periphery, and the vector v is tangential to the disk, starting from the point where r meets the periphery. Planar harakatning tasviri. Burchak momentum vektori **L** doimiy; shuning uchun pozitsiya vektori **r** va tezlik vektori **v** **L** ga perpendikulyar sariq tekislikda yotishi kerak.
Zarrachaning markaziy **F** kuchi ostidagi harakati har doim uning dastlabki holati va tezligi bilan aniqlangan tekislikda qoladi.  Buni simmetriya orqali koʻrish mumkin. **R** pozitsiyasi, **v** tezlik va **F** kuch bir xil tekislikda joylashganligi sababli, bu tekislikka perpendikulyar tezlanish hech qachon boʻlmaydi, chunki bu tekislikning „yuqorida" va „pastida" simmetriyani buzadi.

Buni matematik tarzda koʻrsatish uchun zarrachaning burchak momenti doimiy ekanligini koʻrsatish kifoya. Bu burchak momentum **L** tenglama bilan aniqlanadi

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }

bu yerda *m* — zarrachaning massasi va **p** — chiziqli momentum. Shuning uchun burchak momentum vektori **L** har doim zarrachaning pozitsiya vektori **r** va tezlik vektori **v** bilan aniqlangan tekislikka perpendikulyar boʻladi.

Umuman olganda, **L** burchak momentining oʻzgarish tezligi aniq moment **r** × **F** ga teng 

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}

Birinchi *m* **v** × **v hadi** har doim nolga teng, chunki bir xil yoki qarama-qarshi yoʻnalishga ishora qiluvchi har qanday ikkita vektor uchun vektor oʻzaro mahsuloti har doim nolga teng. Biroq, **F** markaziy kuch boʻlsa, qolgan **r** × **F** atamasi ham nolga teng, chunki **r** va **F** vektorlari bir xil yoki qarama-qarshi yoʻnalishda ishora qiladi. Shuning uchun burchak momentum vektori **L** doimiydir. Keyin

{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}

Binobarin, zarrachaning holati **r** (va demak, tezligi **v**) har doim **L** ga perpendikulyar tekislikda yotadi. 

### Polar koordinatalar

Harakat tekislik va kuch radial boʻlgani uchun, qutb koordinatalariga oʻtish odatiy holdir.  Bu koordinatalarda **r** pozitsiya vektori radial masofa *r* va azimut burchagi *ph* bilan ifodalanadi.

{\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}

Vaqtga nisbatan birinchi hosilani olish zarrachaning tezlik vektori **v** hosil qiladi

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}

  

Xuddi shunday, zarrachaning **r** holatining ikkinchi hosilasi uning tezlanishi **a** ga teng

{\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}

Tezlik **v** va tezlanish **a ni** radial va azimutal birlik vektorlari bilan ifodalash mumkin. Radial birlik vektori yuqorida tavsiflanganidek, **r** pozitsiya vektorini uning *r* kattaligiga boʻlish yoʻli bilan olinadi.

{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}

Azimutal birlik vektori bilan berilgan.

{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}

Shunday qilib, tezlikni quyidagicha yozish mumkin

{\displaystyle \mathbf {v} =v\_{r}\mathbf {\hat {r}} +v\_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}

tezlanish esa quyidagiga teng

{\displaystyle \mathbf {a} =a\_{r}\mathbf {\hat {r}} +a\_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}

### Maxsus burchak momenti

 Maxsus burchak momenti *h* tezlik *v* marta *r* ⊥, tezlik vektoriga perpendikulyar boʻlgan pozitsiya vektorining komponenti **r** **v ga** teng. *h* shuningdek, radial masofa *r* tezlikning azimutal komponenti *v* *ph ga* teng. Bu formulalarning ikkalasi ham *rv* cos b ga teng.
Nyutonning ikkinchi harakat qonuni boʻyicha **F** = m **a** boʻlgani uchun va **F** markaziy kuch boʻlganligi sababli, tezlanishning faqat **a** radial komponenti nolga teng boʻlishi mumkin; *a*ph burchak komponenti nolga teng boʻlishi kerak

{\displaystyle a\_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}

Shuning uchun,

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra\_{\varphi }=0}

Qavs ichidagi bu ifoda odatda *h* bilan belgilanadi

{\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv\_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr\_{\perp }={\frac {L}{m}}}

tezligi *v* marta *r* ⊥ ga teng, tezlikka perpendikulyar radius vektorining komponenti. *h* — oʻziga xos burchak momentining kattaligi, chunki u burchak momentumining *L* kattaligiga zarrachaning *m* massasiga boʻlinishiga teng.

Qisqartirish uchun burchak tezligi baʼzan *ω* yoziladi

{\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}

Biroq, ω doimiy deb oʻylamaslik kerak. *h* doimiy boʻlgani uchun ω radius *r* bilan formula boʻyicha oʻzgaradi.

{\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}

*h* doimiy va *r* 2 musbat boʻlganligi sababli, *ph* burchagi har qanday markaziy kuch masalasida monoton ravishda oʻzgaradi, doimiy ravishda ortib boradi (*h* musbat) yoki doimiy ravishda kamayadi (*h* manfiy).

### Doimiy maydon tezligi

 Chunki *A* maydoni teng1⁄2*r* ⊥ *vt*, maydon tezligi *dA* / *dt* (*A* ni zarrachadan chiqarib yuborish tezligi) teng1⁄2*r* ⊥ *v*=1⁄2 *soat* .
*h* ning kattaligi, shuningdek, maydon tezligining ikki barobariga teng, yaʼni markazga nisbatan zarracha tomonidan maydonni supurib tashlash tezligi. Shunday qilib, har qanday turdagi markaziy kuch taʼsir qiladigan zarracha uchun maydon tezligi doimiydir; Bu Keplerning ikkinchi qonuni. Aksincha, agar **F** konservativ kuch taʼsirida harakat tekis boʻlsa va radius **r** va **tezlikning** barcha boshlangʻich shartlari uchun doimiy maydon tezligiga ega boʻlsa, u holda azimutal tezlanish *a*ph har doim nolga teng boʻladi. Demak, Nyutonning ikkinchi qonuni **F** = *m* **a** boʻyicha kuch markaziy kuchdir.

Maydon tezligining doimiyligini bir xil aylana va chiziqli harakat bilan tasvirlash mumkin. Bir tekis aylanma harakatda zarracha *r* radiusli aylana atrofida doimiy *v* tezlik bilan harakatlanadi. Burchak tezligi ω=*v*/*r* doimiy boʻlgani uchun, Δ*t* vaqt ichida supurib tashlangan maydon ω*r*2Δ*t* ga teng; demak, teng maydonlar Δ*t* teng vaqtlarda supurib tashlanadi. Bir tekis chiziqli harakatda (yaʼni, Nyutonning birinchi harakat qonuni boʻyicha kuch yoʻqligidagi harakat) zarracha oʻzgarmas tezlik bilan, yaʼni chiziq boʻylab doimiy *v* tezlik bilan harakat qiladi. Δ*t* vaqt ichida zarracha maydonni supurib tashlaydi 1⁄2*v*Δ*tr*⊥ (zarba parametri). Zarracha chiziq boʻylab harakat qilganda *r*⊥ masofa oʻzgarmaydi; u chiziqning markazga eng yaqin yaqinlashish masofasini ifodalaydi **O** (zarba parametri). Tezlik *v* ham xuddi shunday oʻzgarmasligi sababli, maydon tezligi 1⁄2*vr*⊥ — harakat doimiysi; zarracha teng vaqtlarda teng maydonlarni supurib tashlaydi.

 Aylana sektorining *A* maydoni teng 1⁄2*r*2φ=1⁄2ω*r*2*t*=1⁄2*rv*ph*t*. Demak, maydon tezligi *dA/dt* ga teng 1⁄2*rv*ph=1⁄2*h*. Bir tekis aylana harakati uchun *r* va *v*ph doimiydir; shunday qilib, *dA/dt* ham doimiydir.
### Ekvivalent parallel kuch maydoni

Oʻzgaruvchilarni oʻzgartirish orqali har qanday markaziy kuch muammosi ekvivalent parallel kuch masalasiga aylantirilishi mumkin. Oddiy *x* va *y* Dekart koordinatalari oʻrniga ikkita yangi pozitsiya oʻzgaruvchilari ξ = *x* / *y* va η = 1/ *y*, yangi vaqt koordinatasi *t* kabi aniqlanadi.

{\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}

*ξ* va *η* uchun mos keladigan harakat tenglamalari berilgan

{\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}

{\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}

*ξ* ning oʻzgarish tezligi doimiy boʻlgani uchun uning ikkinchi hosilasi nolga teng

{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}

Bu *ξ* yoʻnalishidagi tezlanish va Nyutonning ikkinchi qonuni boʻyicha *F* = *ma* boʻlganligi sababli, *ξ* yoʻnalishidagi kuch nolga teng degan xulosaga keladi. Demak, kuch faqat *η* yoʻnalishi boʻylab, bu parallel-kuch masalasi uchun mezondir. Aniq, *η* yoʻnalishidagi tezlanish teng

{\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}

chunki *y* yoʻnalishdagi tezlanish quyidagiga teng

{\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F\_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}

Bu yerda *F* *y* markaziy kuchning *y* -komponentini bildiradi va *y* / *r* *y* oʻqi va radial vektor oʻrtasidagi burchakning kosinusiga teng **r** .

1. ↑  Goldstein, p. 71; Landau and Lifshitz, p. 30; Sommerfeld, p. 39; Symon, p. 121.
2. ↑  Goldstein, p. 4; Landau and Lifshitz, p. 30; Symon, p. 122.
3. ↑  Goldstein, p. 71; Landau and Lifshitz, p. 30; Whittaker, p. 77.
4. ↑  Sommerfeld, p. 39; Symon, p. 123.
5. ↑  Goldstein, pp. 70-71; Landau and Lifshitz, p. 29; Symon, pp. 182-185; Whittaker, pp. 76-77.
6. ↑  Goldstein, p. 72; Landau and Lifshitz, p. 30; Whittaker, p. 77.
7. ↑  Goldstein, pp. 2-3, 6-7.
8. 1 2  Goldstein, p. 72.

Manbalar
--------

* Goldstein, p. 73; Landau and Lifshitz, pp. 30-31; Sommerfeld, pp. 39-40; Symon, pp. 124, 127.
* Landau and Lifshitz, p. 31.
* Goldstein, p. 73; Landau and Lifshitz, pp. 30-31; Sommerfeld, pp. 36, 39; Symon, pp. 127-128.
* Goldstein, p. 73; Landau and Lifshitz, p. 31; Sommerfeld, p. 39; Symon, p. 135.
* Whittaker, pp. 93-94.