Amaliy matematikada **Arnold diffuziyasi** integrallanuvchi Gamilton tizimlarining beqarorligi hodisasidir. Bu hodisa 1964 yilda ushbu sohada birinchi boʻlib natijani eʼlon qilgan Vladimir Arnold sharafiga nomlangan  Aniqrogʻi, Arnold diffuziyasi harakat oʻzgaruvchilarida sezilarli oʻzgarishlarni koʻrsatadigan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimlariga yechimlar mavjudligini tasdiqlovchi natijalarni anglatadi.

Arnold diffuziyasi Gamilton sistemalarida har qanday cheklovlar bilan bogʻlanmagan (*yaʼni* harakat doimiylaridan kelib chiqadigan Lagrangian tori bilan chegaralanmagan) faza fazosining bir qismida ergodik teorema tufayli traektoriyalarning tarqalishini tasvirlaydi. Bu erkinlik darajasi *N* =2 dan ortiq boʻlgan tizimlarda sodir boʻladi, chunki *N* oʻlchovli oʻzgarmas tori 2 *N* −1 oʻlchovli fazali fazoni endi ajratmaydi. Shunday qilib, oʻzboshimchalik bilan kichik tebranish bir qator traektoriyalarni vayron qilingan tori tomonidan qoldirilgan faza boʻshligʻining butun qismi boʻylab psevdo-tasodifiy yurishiga olib kelishi mumkin.

Kelib chiqishi va bayonot
-------------------------

Integratsiyalanadigan tizimlar uchun harakat oʻzgaruvchilari saqlanishi mavjud. KAM teoremasiga koʻra, agar biz integral boʻladigan tizimni biroz bezovta qilsak, unda koʻpchilik, garchi hamma boʻlmasa ham, bezovtalanuvchi tizimning yechimlari doimo buzilmagan tizimga yaqin boʻladi. Xususan, harakat oʻzgaruvchilari dastlab saqlanib qolganligi sababli, teorema bizga bezovtalanuvchi tizimning koʻplab yechimlari uchun harakatda faqat kichik oʻzgarishlar mavjudligini aytadi.

Biroq, Arnoldning maqolasida birinchi boʻlib taʼkidlanganidek, deyarli integrallanadigan tizimlar mavjud boʻlib, ular uchun harakat oʻzgaruvchilarida oʻzboshimchalik bilan katta oʻsishni koʻrsatadigan echimlar mavjud. Aniqrogʻi, Arnold Gamiltonian bilan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimi misolini koʻrib chiqdi.

{\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}
Ushbu Gamiltonianning dastlabki uchta sharti rotator-maatnik tizimini tavsiflaydi. Arnold ushbu tizim uchun har qanday tanlov uchun ekanligini koʻrsatdi {\displaystyle I\_{+}>I\_{-}>0}, va uchun {\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}, qaysi tizimga yechim bor

{\displaystyle I(0)<I\_{-}{\text{ and }}I(T)>I\_{+}}
bir muddat {\displaystyle T\gg 0.}

Uning isboti „moʻylovli" torining „oʻtish zanjirlari" mavjudligiga, yaʼni oʻtish dinamikasiga ega boʻlgan tori ketma-ketligiga tayanadi, shundayki, bu torilardan birining beqaror kollektori (moʻylovi) keyingisining barqaror kollektori (moʻylovi) bilan koʻndalang kesishadi. bitta. Arnold  "bizning misolimizdagi beqarorlik umumiy holatga (masalan, uchta jism muammosiga) ham tegishli ekanligini kafolatlaydigan „oʻtish zanjirlari" mexanizmi" deb taxmin qildi.

KAM teoremasi boʻyicha maʼlumotni  da va fizikadan olingan maʼlumotlarga ega boʻlgan qatʼiy matematik natijalar toʻplamini  da topish mumkin.

### Umumiy holat

Arnold modelida bezovtalanish atamasi alohida turga ega. Arnoldning diffuziya muammosining umumiy holati shakllardan birining Gamilton tizimlariga tegishli.

(1) {\displaystyle H\_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H\_{0}(I,p,q)+\epsilon H\_{1}(I,\phi ,p,q,t)}
bu yerda {\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}, {\displaystyle m,n\geq 1}, va {\displaystyle H\_{0}(I,p,q)} rotator-maatnik tizimini tasvirlaydi, yoki

(2) {\displaystyle H\_{\epsilon }(I,\phi )=H\_{0}(I)+\epsilon H\_{1}(I,\phi ,t)}
bu yerda {\displaystyle (I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}, {\displaystyle N\geq 2.}

(1) dagi kabi tizimlar uchun bezovtalanmagan Gamiltonian giperbolik barqaror va beqaror manifoldlarga ega boʻlgan invariant torilarning silliq oilalariga ega; bunday tizimlar *a priori beqaror* deb ataladi. (2) dagi kabi sistema uchun buzilmagan Gamiltonianning faza fazosi Lagranj invariant tori bilan qoplangan; bunday tizimlar *a priori barqaror* deb ataladi. Ikkala holatda ham Arnold diffuziya muammosi „umumiy" tizimlar uchun mavjudligini tasdiqlaydi. {\displaystyle \rho >0} har bir kishi uchun shunday {\displaystyle \epsilon >0} etarlicha kichik boʻlgan eritma egri chiziqlari mavjud

{\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }
bir muddat {\displaystyle T\gg 0.} Aprior beqaror va aprior barqaror tizim kontekstida mumkin boʻlgan generiklik shartlarining aniq formulalarini mos ravishda   da topish mumkin. Norasmiy ravishda, Arnold diffuziya muammosi, kichik buzilishlar katta effektlarga toʻplanishi mumkinligini aytadi.

Apriori beqaror holatda soʻnggi natijalarga,      va a priori barqaror holatda kiradi.  

Cheklangan uch jismli muammo kontekstida Arnold diffuziyasini shunday talqin qilish mumkinki, massiv jismlarning elliptik orbitalarining eksantrikligining barcha etarlicha kichik, nolga teng boʻlmagan qiymatlari uchun energiya boʻylab echimlar mavjud. ahamiyatsiz massa ekssentriklikdan mustaqil boʻlgan miqdorga oʻzgaradi.

Manbalar
--------

* KAM teoremasi
* Nexoroshevning ehtimoliy hisob-kitobi
* Arnold, Vladimir I. (1964). „Instability of dynamical systems with several degrees of freedom". Soviet Mathematics. 5: 581-585.


1. ↑  Florin Diacu*. Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability*. Princeton University Press, 1996 — 193 bet. ISBN 0-691-00545-1.
2. ↑  Arnold, Vladimir I. (1964). "Instability of dynamical systems with several degrees of freedom". *Soviet Mathematics* **5**: 581–585. .
3. ↑  
Henk W. Broer, Mikhail B. Sevryuk (2007) *KAM Theory: quasi-periodicity in dynamical systems* In: H. W. Broer, B. Hasselblatt and F. Takens (eds.), Handbook of Dynamical Systems Vol. 3, North-Holland, 2010
4. ↑  
Pierre Lochak, (1999) *Arnold diffusion; a compendium of remarks and questions* In „Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom" (S’Agar´o, 1995), C. Sim´o, ed, NATO ASI Series C: Math. Phys. Sci. Vol. 533, Kluwer Academic, Dordrecht (1999), 168-183.
5. ↑  Chen, Qinbo; de la Llave, Rafael (2022-03-09). "Analytic genericity of diffusing orbits in a priori unstable Hamiltonian systems". *Nonlinearity* (IOP Publishing) **35** (4): 1986–2019. doi:10.1088/1361-6544/ac50bb. ISSN 0951-7715.
6. ↑  Mather, John N. „Arnold Diffusion by Variational Methods",*. Essays in Mathematics and its Applications*. Springer Berlin Heidelberg, 2012 — 271–285 bet. DOI:10.1007/978-3-642-28821-0\_11. ISBN 978-3-642-28820-3.
7. ↑  Bolotin, S; Treschev, D (1999-01-01). "Unbounded growth of energy in nonautonomous Hamiltonian systems". *Nonlinearity* (IOP Publishing) **12** (2): 365–388. doi:10.1088/0951-7715/12/2/013. ISSN 0951-7715.
8. ↑  Cheng, Chong-Qing; Yan, Jun (2004-07-01). "Existence of Diffusion Orbits in a priori Unstable Hamiltonian Systems". *Journal of Differential Geometry* (International Press of Boston) **67** (3). doi:10.4310/jdg/1102091356. ISSN 0022-040X.
9. ↑  Delshams, Amadeu; de la Llave, Rafael; M-Seara, Tere (2006). "A geometric mechanism for diffusion in Hamiltonian systems overcoming in the large gap problem: Heuristics and rigorous verification on a model". *Mem. Am. Math. Soc.* **179** (844). doi:10.1090/memo/0844.
10. ↑  Gelfreich, Vassili; Turaev, Dmitry (2017-04-24). "Arnold Diffusion in A Priori Chaotic Symplectic Maps". *Communications in Mathematical Physics* (Springer Science and Business Media LLC) **353** (2): 507–547. doi:10.1007/s00220-017-2867-0. ISSN 0010-3616.
11. ↑  Gidea, Marian; Llave, Rafael; M‐Seara, Tere (2019-07-24). "A General Mechanism of Diffusion in Hamiltonian Systems: Qualitative Results". *Communications on Pure and Applied Mathematics* (Wiley) **73** (1): 150–209. doi:10.1002/cpa.21856. ISSN 0010-3640.
12. ↑  Cheng, Chong-Qing (2019). "The genericity of Arnold diffusion in nearly integrable Hamiltonian systems". *Asian Journal of Mathematics* (International Press of Boston) **23** (3): 401–438. doi:10.4310/ajm.2019.v23.n3.a3. ISSN 1093-6106.
13. ↑  Kaloshin, Vadim*. Arnold Diffusion for Smooth Systems of Two and a Half Degrees of Freedom*. Princeton University Press, 2020-11-12. DOI:10.1515/9780691204932. ISBN 978-0-691-20493-2.
14. ↑  Xia, Zhihong (1993). "Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem". *Journal of Dynamics and Differential Equations* (Springer Science and Business Media LLC) **5** (2): 219–240. doi:10.1007/bf01053161. ISSN 1040-7294.
15. ↑  Delshams, Amadeu; Kaloshin, Vadim; de la Rosa, Abraham; Seara, Tere M. (2018-09-05). "Global Instability in the Restricted Planar Elliptic Three Body Problem". *Communications in Mathematical Physics* (Springer Science and Business Media LLC) **366** (3): 1173–1228. doi:10.1007/s00220-018-3248-z. ISSN 0010-3616.
16. ↑  Capiński, Maciej; Gidea, Marian (2021). "A general mechanism of instability in Hamiltonian systems: skipping along a normally hyperbolic invariant manifold". *Communications on Pure and Applied Mathematics*. doi:10.1002/cpa.22014.