Fizikada va tekislik egri chiziqlari matematikasida C**otes spirali** (shuningdek **,** **Kotes spirali** deb yoziladi) Rojer Kotes tomonidan tasniflangan spirallar oilasidan biridir.

### Tavsif

Kotes ushbu egri chiziqlar boʻyicha oʻzining tahlili bilan quyidagicha tanishtiradi: „Maʼlum bir joydan kelib chiqqan holda, ularning masofalari kublariga teskari nisbatda markazga tortuvchi kuchlar taʼsirida jismlar harakatlanishi mumkin boʻlgan har xil turdagi traektoriyalarni sanab oʻtish taklif etiladi. berilgan tezlik va yoʻnalish." (ularni spiral sifatida tasvirlamaydi).

Oiladagi spirallarning shakli parametrlarga bogʻliq. Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar (*r*, *θ*), *r* > 0 quyidagi besh tenglamadan biri bilan aniqlanadi:

 *K* ga mos keladigan kotes spirallari 2/3 (qizil), 1,0 (qora), 1,5 (yashil), 3,0 (koʻk) va 6,0 (koʻk) ga teng.
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon )\\\end{cases}}}
*A* > 0, *k* > 0 va *e* ixtiyoriy haqiqiy son konstantalaridir. *A* hajmini, *k* shaklini va *e* spiralning burchak holatini aniqlaydi.

Kotes turli shakllarni „holatlar" deb atagan. Yuqoridagi egri chiziqlar tenglamalari mos ravishda uning 5 ta holatiga mos keladi..

Diagramma turli xil egri chiziqlarning namunalarini koʻrsatadi. Markaz „O" bilan belgilanadi va *θ* nolga teng boʻlsa, O dan egri chiziqgacha boʻlgan radius koʻrsatiladi. Agar koʻrsatilmagan boʻlsa, *e* qiymati nolga teng.

Birinchi va uchinchi shakllar Puinsot spirallari; ikkinchisi — teng burchakli spiral; toʻrtinchisi — giperbolik spiral (muqobil nomi bilan toʻgʻriroq: „Oʻzaro spiral" deb ataladi, chunki u giperbola yoki Puinsot spirallarida mavjud boʻlgan giperbolik funktsiyalar bilan bogʻliq emas); beshinchisi — epispiral.

Ularning xususiyatlari haqida koʻproq maʼlumot olish uchun alohida egri chiziqlarga murojaat qilish kerak.

Diagram of the Different Cotes Spirals

Klassik mexanika
----------------

Kotes spirallari klassik mexanikada teskari kubli markaziy kuch ostida harakatlanadigan zarracha harakati uchun echimlar oilasi sifatida paydo boʻladi. Markaziy kuchni koʻrib chiqamiz:

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}
bu yerda *m* — tortishish kuchi. Markaziy kuch taʼsirida harakatlanuvchi zarrachani koʻrib chiqaylik va uning oʻziga xos burchak momenti *h* boʻlsin, u holda zarra Kotes spirali boʻylab harakatlanadi, bu spiralning doimiy *k* qiymati bilan berilgan.

{\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu }{h^{2}}}}}}
*μ* < *h* 2 boʻlganda (spiralning kosinus shakli), yoki

{\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu }{h^{2}}}-1}}}
*μ* > *h* 2 boʻlganda, spiralning Puinsot shakli. *μ* = *h* 2 boʻlganda, zarracha giperbolik spiral boʻylab boradi. Chiqarishni havolalarda topish mumkin.

Tarix
-----

*Harmonia Mensurarum* (1722) da Rojer Kotes bir qator spirallarni va <i id="mwYA">Lituus</i> kabi boshqa egri chiziqlarni tahlil qildi. U teskari kubli markaziy kuch maydonidagi zarrachaning mumkin boʻlgan traektoriyalarini tasvirlab berdi, ular Kotes spirallaridir. Tahlil Principia 1 kitobining 42-taklifidagi usulga asoslanadi, bu erda tananing yoʻli ixtiyoriy markaziy kuch, boshlangʻich tezlik va yoʻnalish ostida aniqlanadi.

Dastlabki tezlik va yoʻnalishga qarab, u 5 xil „holat" mavjudligini aniqlaydi (arzimas holatlar bundan mustasno, aylana va markazdan oʻtgan toʻgʻri chiziq).

Uning taʼkidlashicha, 5 ning „birinchi va oxirgisi Nyuton tomonidan giperbola va ellipsning kvadraturasi (yaʼni integratsiyasi) orqali tasvirlangan".

2-holat teng burchakli spiral boʻlib, u *eng yaxshi* spiraldir. Bu katta tarixiy ahamiyatga ega, chunki Principia 1 kitobining 9-taklifida Nyuton isbotlaydiki, agar jism markaziy kuch taʼsirida teng burchakli spiral boʻylab harakatlansa, bu kuch radius kubiga teskari boʻlishi kerak (hatto Uning isbotidan oldin, 11-taklifda, ellipsdagi fokusga qaratilgan harakat teskari kvadrat kuchni talab qiladi).

Shuni tan olish kerakki, barcha egri chiziqlar spiralning odatiy taʼrifiga mos kelmaydi. Masalan, teskari kub kuchi markazdan qochma (tashqariga yoʻnaltirilgan) boʻlganda, *m* < 0 boʻlganda, egri chiziq markaz atrofida bir marta ham aylanmaydi. Bu holat 5 bilan ifodalanadi, yuqorida koʻrsatilgan qutbli tenglamalarning birinchisi, bu holda *k* > 1.

Samuel Ernshou 1826 yilda nashr etilgan kitobida „Kotes spirallari" atamasini ishlatgan, shuning uchun terminologiya oʻsha paytda ishlatilgan.

Earnshou Kotesning 5 ta holatini aniq tasvirlab beradi va keraksiz ravishda 6-ni qoʻshadi, yaʼni kuch markazdan qochma (itarish) boʻlganda. Yuqorida taʼkidlab oʻtilganidek, Kotes buni 5-kassaga kiritgan.

Faqat 3 ta Kotes spirali borligi haqidagi notoʻgʻri qarash ET Uittakerning 1904 yilda birinchi marta nashr etilgan *Zarrachalar va qattiq jismlarning analitik dinamikasi haqidagi risolasidan* kelib chiqqan koʻrinadi.

Uittakerning „oʻzaro spirali" ning izohi bor, u Kotesning „Harmonia Mensurarum" va Nyutonning 9-taklifiga ishora qiladi. Biroq, bu notoʻgʻri, chunki 9-taklifning spirali teng burchakli spirali boʻlib, u uni umuman Kotes spirali deb bilmaydi.

Afsuski, keyingi mualliflar uning toʻgʻriligini tekshirish uchun qiyinchiliklarga duch kelmay, Uittakerning yoʻl-yoʻrigʻiga ergashdilar.

Manbalar
--------

1. ↑  Roger Cotes*. Harmonia Mensuarum* Robert Smith:. Cambridge: [publisher not identified], 1722 — 30 bet.
2. ↑  Roger Cotes*. Harmonia Mensuarum* Robert Smith:. Cambridge: [publisher not identified], 1722 — 30-34, 98-101 bet.
3. ↑  Nathaniel Grossman*. The sheer joy of celestial mechanics*. Springer, 1996 — 34 bet. ISBN 978-0-8176-3832-0.
4. ↑  Whittaker, Edmund Taylor*. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies*, Second (en), Cambridge University Press, 1917 — 83 bet.
5. ↑  Earnshaw, Samuel*. Dynamics, Or an Elementary Treatise On Motion; With a Great Variety of Examples Illustrative of the General Principles and Formulae: To Which Is Added a Short Treatise On Attractions* (en). Cambridge: Printed by W. Metcalfe, for J. & J. J. Deighton, 1832 — 47 bet.

Adabiyotlar
-----------

* Whittaker ET*. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies*, 4th, New York: Dover Publications, 1937 — 80–83 bet. ISBN 978-0-521-35883-5.
* Roger Cotes (1722) *Harmonia Mensuarum*, pp. 31, 98.
* Isaac Newton (1687) *Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica*, Book I, § 2, Proposition 9, and § 8, Proposition 42, Corollary 3, and § 9, Proposition 43, Corollary 6
* Danby JM „The Case ƒ(*r*) = *μ*/*r*3 — Cotes' Spiral (§4.7)",*. Fundamentals of Celestial Mechanics*, 2nd ed. rev. Richmond, VA: Willmann-Bell, 1988 — 69–71 bet. ISBN 978-0-943396-20-0.
* Symon KR*. Mechanics*, 3rd, Reading, MA: Addison-Wesley, 1971 — 154 bet. ISBN 978-0-201-07392-8.
* Samuel Earnshaw*. Dynamics, Or an Elementary Treatise on Motion and a Short Treatise on Attractions*, 1st, J. & J. J. Deighton; and Whittaker, Treacher & Arnot, 1832 — 47 bet.

Havolalar
---------

* Weisstein, Eric W. „Kotes spirali" hisob-kitobi