**Uzluksiz funksiya** - maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, ﬁ x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar ﬁ x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (ﬁ x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.

Birinchi taʻrif
---------------

Agar {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=f(x\_{0})} boʻlsa, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, {\displaystyle f(x)} funksiyaning {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksiz ushbu 1) {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=b} ning mavjudligi, 2) {\displaystyle b=f(x\_{0})} boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

### Misollar

1. Ushbu {\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{2}+1} funksiya {\displaystyle \forall x\_{0}\in R} nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=\lim \_{x\to x\_{0}}(x^{4}+x^{2}+1)=x\_{0}^{4}+x\_{0}^{2}+1=f(x\_{0})}
2. Ushbu {\displaystyle f(x)=(signx)^{2}={\begin{cases}1,agar&x\neq 0&bo'lsa\\0,agar&x=0&bo'lsa\end{cases}}} funksiyani qaraylik. Ravshanki, {\displaystyle \forall x\_{0}\in R} nuqtada {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=1} boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya {\displaystyle \forall x\_{0}\in R}, {\displaystyle x\_{0}\neq 0} nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo {\displaystyle f(0)=0} boʻlganligi sababli {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=f(0)} boʻladi. Demak, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}=0} nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning {\displaystyle x\_{0}} nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

Ikkinchi taʻrif
---------------

Agar {\displaystyle n\rightarrow \infty } da {\displaystyle x\_{n}\rightarrow x\_{0}} {\displaystyle (x\_{n}\in X,n=1,2...)} boʻladigan ixtiyoriy {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik uchun {\displaystyle n\rightarrow \infty } da {\displaystyle f(x\_{n})\rightarrow f(x\_{0})} boʻlsa, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uchinchi taʻrif
---------------

Agar {\displaystyle \forall \epsilon >0} son olinganda ham shunday {\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0} son topilsaki, {\displaystyle \forall x\in X\bigcap U\_{\delta }(x\_{0})} uchun {\displaystyle \mid f(x)-f(x\_{0})\mid <\epsilon } tengsizlik bajarilsa, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, {\displaystyle x-x\_{0}} ayirma argument orttirmasi, {\displaystyle f(x)-f(x\_{0})} esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda {\displaystyle \bigtriangleup x} va {\displaystyle \bigtriangleup f} kabi belgilanadi: {\displaystyle \bigtriangleup x=x-x\_{0}}, {\displaystyle \bigtriangleup f=f(x)-f(x\_{0})=f(x\_{0}+\bigtriangleup x)-f(x\_{0})}.

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu {\displaystyle \textstyle \lim \_{\bigtriangleup \to 0}\displaystyle \bigtriangleup f=0} koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle X\subset R} toʻplamda berilgan boʻlib, {\displaystyle x\_{0}\in X} nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

Toʻrtinchi taʻrif
-----------------

Agar {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}+0}f(x)=f(x\_{0})} {\displaystyle (\lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=f(x\_{0}))} boʻlsa, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning {\displaystyle x\_{0}} nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: {\displaystyle f(x\_{0}+0)=f(x\_{0})} {\displaystyle (f(x\_{0}-0)=f(x\_{0}))}.

Keltirilgan taʻriflardan, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, {\displaystyle f(x)} funksiyaning {\displaystyle x\_{0}} nuqtada uzluksiz boʻlishi, {\displaystyle \forall \epsilon >0} berilganda ham unga koʻra shunday {\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0} topilib, {\displaystyle \forall x\in \cup \_{\delta }(x\_{0})\subset X\Rightarrow f(x)\in \cup \_{\varepsilon }(f(x\_{0}))} boʻlishini bildiradi.

Beshinchi taʻrif
----------------

Agar {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle X\subset R} toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle X} toʻplamda uzluksiz deyiladi.

Oltinchi taʻrif
---------------

{\displaystyle X\subset R} toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va {\displaystyle C(X)} kabi belgilanadi.

Masalan, {\displaystyle f(x)\in C[a,b]} boʻlishi, {\displaystyle f(x)} funksiyaning {\displaystyle [a,b]} segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle (a,b)} intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, {\displaystyle a} nuqtadan oʻngdan, {\displaystyle b} nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

### Funksiyaning uzulishi

Aytaylik, {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle (a,b)} da {\displaystyle (-\infty \leq a<b\leq +\infty )} berilgan boʻlib, {\displaystyle x\_{0}\in (a,b)} boʻlsin.

Maʻlumki, {\displaystyle f(x)} funksiyaning {\displaystyle x\_{0}} nuqtadagi oʻng va chap limitlari {\displaystyle f(x\_{0}+0)}, {\displaystyle f(x\_{0}-0)} mavjud boʻlib, {\displaystyle f(x\_{0}-0)=f(x\_{0})=f(x\_{0}+0)} tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda {\displaystyle f(x)} funksiya {\displaystyle x\_{0}} nuqta {\displaystyle f(x)} funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

Yettinchi taʻrif
----------------

Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, {\displaystyle x\_{0}} nuqta {\displaystyle f(x)} funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda {\displaystyle f(x\_{0}+0)-f(x\_{0}-0)} ayirma funksiyning {\displaystyle x\_{0}} nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, {\displaystyle f(x)=[x]} funksiya {\displaystyle x=p} {\displaystyle (p\in Z)} nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki {\displaystyle f(p+0)=p}, {\displaystyle {\ce {f(p\_0)=p-1}}} boʻlib {\displaystyle f(p+0)\neq f(p\_{0}-0)} boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, {\displaystyle x\_{0}} nuqta {\displaystyle f(x)} funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu {\displaystyle f(x)={\begin{cases}sin{\frac {1}{x}},agar&x\neq 0&bo'lsa\\0,agar&x=0&bo'lsa\end{cases}}} funksiya {\displaystyle x=0} nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya {\displaystyle x=0} nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

### Murakkab funksiyaning uzluksizligi

Faraz qilaylik, {\displaystyle y=f(x)} funksiya {\displaystyle X\subset R} toʻplamda, {\displaystyle u=F(y)} funksiya esa {\displaystyle Y\_{f}} toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida {\displaystyle u=(f(x))} murakkab funksiya tuzilgan.

Manbalar
--------



1. ↑  Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов*. Функциянинг узлуксизлиги тушунчаси*, 2010 — 95-99 bet.