**Elementar funksiyalar** — koʻphadlar, ratsional, koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllanilgan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.

Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy mat.da koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.

Butun ratsional funksiyalar
---------------------------

Ushbu


y
=

a

0

+

a

1

x
+

a

2

x

2

+
.
.
.

a

n
−
1

x

n
−
1

+

a

n

x

n

{\displaystyle y=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}{x}^{2}+...a\_{n-1}x^{n-1}+a\_{n}x^{n}}

{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}{x}^{2}+...a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}}koʼrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda {\displaystyle a\_{0},a\_{1},...a\_{n}} - oʻzgarmas sonlar, {\displaystyle n\in N}. Bu funksiya {\displaystyle R=(-\infty ,+\infty )} da aniqlangan. 

Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

### Chiziqli funksiya

Bu funksiya {\displaystyle y=ax+b} {\displaystyle (a\neq 0)} koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Chiziqli funksiya {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} da aiqlangan {\displaystyle a>0} boʻlganda oʻsuvchi, {\displaystyle a<0} boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.

### Kvadrat funksiya

Parabolaning tekislikda joylashishi {\displaystyle a} hamda {\displaystyle D=b^{2}-4ac} larning ishorasiga bogʻliq boʻladi. Masalan, {\displaystyle a>0}, {\displaystyle D>0} va {\displaystyle a<0}, {\displaystyle D<0} boʻlganda uning grafigi shunday boʻladi. 
Bu funksiya {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} {\displaystyle (a\neq 0)} koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.

Ravshanki {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c=a{\Bigl (}x+{\frac {b}{2a}}{\Bigr )}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}

Kasr ratsional funksiyalar
--------------------------

Ushbu {\displaystyle y={\frac {a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+...+a\_{n}x^{n}}{b\_{0}+b\_{1}x+b\_{2}x^{2}+...+b\_{m}x^{m}}}} koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda {\displaystyle a\_{0},a\_{1},...a\_{n}} va {\displaystyle b\_{0},b\_{1},...b\_{m}} lar oʻzgarmas sonlar {\displaystyle n\in N}, {\displaystyle m\in N}. Bu funksiya {\displaystyle X=(-\infty ,+\infty )\ \{x\mid b\_{0}+b\_{1}x+...+b\_{m}x^{m}=0} toʻplamda aniqlangan. 

Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

### Teskari proporsional bogʻlanish

Bu funksiya {\displaystyle X=(-\infty ,0)\bigcup (0,+\infty )=R\backslash \{0\}} toʻplamda aniqlangan, toq funksiya, {\displaystyle a} ning ishorasiga qarab funksiya {\displaystyle (-\infty ,0)} va {\displaystyle (0,+\infty )} oraliqlarning har bir kamayuvchi yoki oʻsuvchi boʻladi.
U {\displaystyle y={\frac {a}{x}}} ({\displaystyle x\neq 0} {\displaystyle a=const}) koʻrinishga ega. 

### Kasr chiziqli funksiya

U ushbu {\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}} korinishga ega. Bu funksiya {\displaystyle X=R\backslash \{-{\frac {d}{c}}\}} {\displaystyle (c\neq 0)} toʻplamda aniqlangan:

Ravshanki, {\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\*{\frac {1}{x+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}}. Demak, {\displaystyle y={\frac {a}{x+\beta }}+\gamma }, {\displaystyle {\Bigr (}a={\frac {bc-ad}{c^{2}}},\beta ={\frac {d}{c}},\gamma ={\frac {a}{c}}{\Bigr )}}. Uning grafigini {\displaystyle y={\frac {a}{x}}} funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.

Darajali funksiya
-----------------

Ushbu {\displaystyle y=x^{a}}, {\displaystyle (x\geq 0)} koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.

Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami {\displaystyle a} ga bogʻliq. Darajali funksiya {\displaystyle a>0}, boʻlganda {\displaystyle (0,+\infty )} da oʻsuvchi, {\displaystyle a<0} boʻlganda kamayuvchi boʻladi. {\displaystyle y=x^{a}} funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.

Koʻrsatkichli funksiya
----------------------

Ushbu {\displaystyle y=a^{x}} koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda {\displaystyle a\in R}, {\displaystyle a>0}, {\displaystyle a\neq 1}. Koʻrsatkichli funksiya {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} aniqlangan, {\displaystyle \forall x\in R} da {\displaystyle a^{x}>0}; {\displaystyle a>0} boʻlganda oʻsuvchi; {\displaystyle 0<a<1} boʻlganda kamayuvchi boʻladi.

Xususan, {\displaystyle a=e} boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan {\displaystyle y=e^{x}} funksiya hosil bovladi.

Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi {\displaystyle Ox} oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Logarifimik funksiya
--------------------

Ushbu {\displaystyle y=\log \_{a}x} koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda {\displaystyle a>0}, {\displaystyle a\neq 1}. 

Logarifimlik funksiya {\displaystyle (0,+\infty )} da aniqlangan, {\displaystyle y=a^{x}} funksiyaga nisbatan teskari; {\displaystyle a>1} boʻlganda oʻsuvchi, {\displaystyle 0<a<1} boʻlganda kamayuvchi boʻlad.

Logarifmik funksiyaning grafigi {\displaystyle Oy} oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Trigonometrik funksiyalar
-------------------------

Ushbu {\displaystyle y=\sin x}, {\displaystyle y=\cos x}, {\displaystyle y=tgx}, {\displaystyle y=ctgx}, {\displaystyle y=secx}, {\displaystyle y=cosecx} funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

{\displaystyle y=\sin x}, {\displaystyle y=\cos x} funksiyalar {\displaystyle R=(-\infty ,+\infty )} da aniqlangan, {\displaystyle 2\pi } davrli funksiyalar {\displaystyle \forall x\in R} da {\displaystyle -1\leq sinx\leq 1}, {\displaystyle -1\leq cosx\leq 1} boʻladi. Ushbu {\displaystyle y=tgx} funksiya {\displaystyle X=R\backslash \{x\in R|x=(2k+1){\frac {\pi }{2}};k=0,\pm 1,\pm 2,...\}} toʻplamda aniqlangan {\displaystyle \pi } davrli funksiya {\displaystyle ctgx}, {\displaystyle secx}, {\displaystyle cosecx} funksiyalar {\displaystyle sinx}, {\displaystyle cosx}, {\displaystyle tgx} lar orqali quyidagicha ifodalaydi: {\displaystyle ctgx={\frac {1}{tgx}},secx={\frac {1}{cosx}},cosecx={\frac {1}{sinx}}}.

Giperbolik funksiyalar
----------------------

Koʻrsatkichli {\displaystyle y=e^{x}} funksiya yordamida tuzilgan ushbu {\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}} funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha {\displaystyle shx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},chx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},thx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},cthx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}} belgilanadi.

Teskari trigonometrik funksiyalar
---------------------------------

Maʻlumki, {\displaystyle y=sinx} funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami {\displaystyle Y\_{f}=[-1,1]} boʻladi.

Agar {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)} boʻlsa, u holda {\displaystyle X=\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)} va {\displaystyle Y\_{f}=[-1,1]} toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.

{\displaystyle y=sinx} funksiyaga nisbatan teskari funksiya {\displaystyle y=arcsinx} kabi belgilanadi

Shunga oʻxshash {\displaystyle y=cosx,y=tgx,y=ctgx} funksiyalarga nisbatan ts=ekari funksiya mos ravishda {\displaystyle y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx}, kabi belgilanadi.

Ushbu {\displaystyle y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx} funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi.

Manbalar
--------


1. ↑  Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов*. Элементар функциялар*, МАТЕМАТИК АНАЛИЗДАН МАЪРУЗАЛАР, 2010 — 67-70 bet.