Halqa nazariyasida mavhum algebraning bir bo'limi, **koeffitsient** **halqasi**, **farqli halqa** yoki **qoldiq sinf halqasi** sifatida ham yaxshi tanilgan bo'lib, guruh nazariyasidagi bo'lim guruhiga va chiziqli algebradagi bo'linma fazosiga juda o'xshash konstruktsiyalardan biri. U universal algebraning umumiy sozlamasidan ko'rinib turibdiki, bu qismning o'ziga xos namunasi hisoblanadi. *R* halqasidan va *R* da ikki tomonlama ideal *I* dan boshlab, yangi halqa, qism halqasi *R* / *I* kelib chiqadi, uning elementlari *R* dagi *I* ning kosetlari bo'lib, maxsus + va -operatsiyalariga bog'liq bo'ladi. (Faqat "/" kasr qiyshiq chizig'i bo'lim halqasi belgisida ishlatiladi, gorizontal kasr satri bo'lmaydi. )

Qism halqalari integral sohaning "bo'lim maydoni" yoki kasrlar maydoni deb ataladigan misollardan, shuningdek lokalizatsiya natijasida olingan umumiy "bo'limlar halqalari" dan ham juda katta farq qiladi.

Rasmiy qism halqasining yasalishi
---------------------------------

Halqa berilgan {\displaystyle R} va ikki tomonlama ideal {\displaystyle I} ichida {\displaystyle R}, ekvivalentlik munosabatini belgilashimiz ham mumkin bo'ladi {\displaystyle \sim } yoqilgan {\displaystyle R} quyida bayon qilsak bo'ladi:

{\displaystyle a\sim b} agar va faqat agar {\displaystyle a-b} ichida joylashgan {\displaystyle I} ga teng.
Ideal xususiyatlardan foydalanib, buni tekshirish qiyin emas {\displaystyle \sim } muvofiqlik munosabatidir hisoblanadi. Bo'lgan holatda {\displaystyle a\sim b}, biz shuni aytamiz {\displaystyle a} va {\displaystyle b} *mos modullardir* {\displaystyle I} hisoblanadi. Elementning ekvivalentlik klassi {\displaystyle a} ichida {\displaystyle R} tomonidan beriladi va u quyidagicha bo'ladi

{\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}} .
Bu ekvivalentlik sinfi ba'zan shunday yoziladi {\displaystyle a{\bmod {I}}} va "qoldiq sinfi" deb ham ataladi {\displaystyle a} modul {\displaystyle I} ga teng ".

Bunday barcha ekvivalentlik sinflari to'plami bilan belgilanadi {\displaystyle R/I} ; u halqaga, **faktor halqasiga** yoki **koeffitsient halqasiga** aylanishi ham {\displaystyle R} modul {\displaystyle I}, agar biri aniqlasa qolganlari quyidagicha topiladi

* {\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I} ;
* {\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I} .

(Bu erda ushbu ta'riflar aniq belgilanganligini tekshirish kerak bo'ladi. Koset va quotient guruhini solishtiramiz) ning nol elementi {\displaystyle R/I} hisoblanadi va {\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I} multiplikativ o'ziga xoslik {\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)} ga teng bo'ladi .

Xarita {\displaystyle p} dan {\displaystyle R} uchun {\displaystyle R/I} tomonidan belgilanadi va quyidagi qiymatlarda {\displaystyle p(a)=a+I} suryektiv halqa homomorfizmi hisoblanadi, ba'zan ***tabiiy qism xaritasi*** yoki ***kanonik homomorfizm*** deb ham ataladi.

Misollar
--------

* *R* / {0 } qism halqasi tabiiy ravishda *R* ga izomorf, *R* / *R* esa nol halqa {0}, chunki bizning ta'rifimiz bo'yicha *R* dagi har qanday *r* uchun bizda [*r*] = *r* + "R" := {*r* + *b* : *b* ∈ "R" mavjud.[*r*] = *r* + "R" := {*r* + *b* : *b* ∈ "R" }}, bu *R* ning o'ziga teng. Bu ideal *I* qanchalik katta bo'lsa, *R* / *I* halqasining kichikligi haqidagi asosiy qoidaga mos keladi. Agar *I* *R* ning to'g'ri ideali bo'lsa, ya'ni *I* ≠ *R* bo'lsa, u holda *R* / *I* nol halqa emas.
* **Z** butun sonlar halqasini va 2 **Z** bilan belgilangan juft sonlar idealini ko'rib chiqaylik. U holda **Z** / 2**Z** qism halqasi faqat ikkita elementga ega bo'lib, juft sonlardan iborat koset 0+2**Z** va toq sonlardan tashkil topgan 1+2**Z** kosetasi; ta'rifni qo'llash, bu yerda 2 **Z** juft sonlarning ideali. Ikki element **F** 2 bo'lgan chekli maydon uchun tabiiy ravishda izomorf bo'ladi. Intuitiv ravishda: agar siz barcha juft raqamlarni 0 deb hisoblasangiz, har bir butun son yo 0 (agar u juft bo'lsa) yoki 1 (agar u toq bo'lsa va shuning uchun juft sondan 1 ga farq qilsa) bo'ladi. Modulli arifmetika asosan **Z** / *n***Z** ( *n ta* elementdan iborat) halqadagi arifmetikdir.
* Endi *X* o'zgaruvchisidagi ko'phadlar halqasini real koeffitsientlar, **R** [ *X* ] va ko'phadning barcha ko'paytmalaridan tashkil topgan ideal ko'rib chiqaylik. Qism halqasi murakkab sonlar **maydoniga** tabiiy ravishda izomorf bo'lib, sinf [ *X* ] xayoliy birlik *i* rolini o'ynaydi. Buning sababi shundaki, biz "majbur qildik", ya'ni , *i* ning aniqlovchi xususiyati.
* Oldingi misolni umumlashtiradigan bo'lsak, ko'pincha dala kengaytmalarini qurish uchun qism halqalari qo'llaniladi. Faraz qilaylik, *K* qandaydir maydon, *f* esa *K* [ *X* ] dagi qaytarilmas ko‘phad bo‘lsin. U holda *L* = *K*[*X*] / (*f*) *K ga* nisbatan minimal polinomi *f* bo'lgan maydon bo'lib, u *K* elementi bilan bir qatorda *x* = *X* + (*f*) elementini ham o'z ichiga oladi.
* Oldingi misolning muhim misollaridan biri cheklangan maydonlarni qurishdir. Masalan, uchta elementli **F**3 = **Z** / 3**Z** maydonini ko'rib chiqing. ko'phad **F** 3 ga nisbatan qaytarilmaydi (chunki uning ildizi yo'q) va biz **F**3[*X*] / (*f*) bo'lak halqasini qurishimiz mumkin. Bu **F** 9 bilan belgilangan 32 = 9 elementdan iborat maydon. Boshqa cheklangan maydonlar ham xuddi shunday tarzda tuzilishi mumkin.
* Algebraik navlarning koordinata halqalari algebraik geometriyada bo'linish halqalarining muhim namunasidir. Oddiy holat sifatida, haqiqiy *V* = {(*x*, *y*) | *x*2 = *y*3  xilma-xilligini ko'rib chiqing *V* = {(*x*, *y*) | *x*2 = *y*3 } haqiqiy **R** 2 tekislikning kichik to'plami sifatida. *V* da aniqlangan real qiymatli polinom funksiyalar halqasini koordinatali halqa bilan aniqlash mumkin va bu *V* ning koordinatali halqasidir. Endi *V* navi uning koordinatali halqasini o'rganish orqali tekshiriladi.
* Faraz qilaylik, *M* C ∞ - manifold, *p* esa *M* nuqtasi bo'lsin. *M* da aniqlangan barcha C ∞ -funktsiyalarning *R* = C∞(*M*) halqasini ko'rib chiqaylik va u *p* ning ba'zi *U* qo'shnilarida bir xil nolga teng bo'lgan *f* funktsiyalardan iborat *R* da *I* ideal bo'lsin (bu erda *U* *f* ga bog'liq bo'lishi mumkin). Keyin ko'rsatkich halqasi *R* / *I* *da* *M* ustida C ∞ -funktsiyalarining mikroblari halqasidir.
* Giperreal maydonning chekli elementlarining *F* halqasini ko'rib chiqaylik \* **R**. U standart realdan cheksiz kichik miqdor yoki ekvivalent bilan farq qiluvchi barcha giperreal sonlardan iborat: −*n* < *x* < *n* standart tamsayı *n* mavjud bo'lgan barcha giperreal sonlardan *x*. \* **R** dagi barcha cheksiz kichik sonlarning *I* to'plami, 0 bilan birga, *F* da ideal va *F* / *I* bo'linma halqasi **R** haqiqiy raqamlariga izomorfikdir. Izomorfizm *F* ning har bir *x* elementiga *x* ning standart qismini, ya'ni *x* dan cheksiz kichik bilan farq qiluvchi yagona haqiqiy sonni bog'lash orqali induktsiya qilinadi. Haqiqatdan ham xuddi shunday natijaga erishiladi, ya'ni **R**, agar chekli giperratsionallarning *F* halqasidan boshlansa (ya'ni, giperintegerlar juftligi nisbati), haqiqiy sonlar qurilishiga qarang.

### Murakkab tekisliklarning o'zgarishi

**R**[*X*] / (*X*), **R**[X] / (*X* + 1) va **R**[*X*] / (*X* − 1) bo'laklari **R** uchun izomorf bo'lib ularga quyidagicha avvaliga unchalik qiziqish uyg'otmaydi. Lekin shuni yodda tutingki, geometrik algebrada ikkilik sonlar tekisligi deb ham atalishi mumkin. U **R** [*X*] elementini *X*2 ga qisqartirgandan so'ng "qoldiqlar" sifatida faqat chiziqli yechimlari binomiallardan iborat ham bo'ladi. Murakkab tekislikning bu o'zgarishi algebrada haqiqiy chiziq va nilpotent bo'lganda subalgebra sifatida paydo bo'ladi va quyidagicha bo'lishi ham mumkin.

Bundan tashqari, halqa koeffitsienti **R**[*X*] / (*X* + 1) va **R**[*X*] / (*X* − 1) ga bo'linadi, shuning uchun bu halqa ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri ko'rinadi. yig'indisi **R** ⊕ **R** Shunga qaramay, *z* = *x* + *y* j kompleks sonlarning o'zgarishini j tomonidan ning ildizi sifatida taklif qilinadi, i esa ning ildizi sifatida. Ajratilgan murakkab sonlarning bu tekisligi algebraning o'ziga xosligi noldan birlik masofada joylashgan 2-fazo uchun asosini ta'minlash orqali **R** ⊕ **R** to'g'ridan-to'g'ri yig'indisini normallashtiradi. Shu asosda birlik giperbolani oddiy kompleks tekislikning birlik doirasi bilan solishtirish mumkin.

### Kvarternionlar va variatsiyalar

Faraz qilaylik, *X* va *Y* ikkita, o'zgarmas, noaniq va erkin algebrasini hosil qiladi. Keyin Gamiltonning 1843 yildagi kvaternionlari sifatida quyish mumkin

{\displaystyle \mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).}
Agar o'rniga qo'yilgan bo'lsa, u holda bo'lingan kvaternionlar halqasi olinadi. Anti-kommutativ xususiyat *YX* = −*XY* *XY* o'z kvadratiga ega ekanligini anglatadi

( *XY* )( *XY* ) = *X* ( *YX* ) *Y* = − *X* ( *XY* ) *Y* = −( *XX* )( *YY* ) = −(−1)(+1) = +1.
*Ikkala* kvadratik binomida plyus o'rniga minus qo'yish ham bo'linish ham kvaternionlariga olib kelishi mumkin.

Uchta turdagi biquaternionlarni erkin algebra yordamida uchta noaniq **R** ⟨X,Y,Z ⟩ bilan va tegishli ideallarni yaratish orqali ham bo'laklar sifatida yozishimiz mumkin bo'ladi.

Xususiyatlari
-------------

Shubhasiz, agar *R* kommutativ halqa bo'lsa, *R* / *I* ham shunday bo'ladi; ammo teskari umuman olganda, to'g'ri kelmaydi.

Tabiiy bo'lim xaritasi *p* o'zining yadrosi sifatida *I ga* ega hisoblanadi; har bir halqa gomomorfizmining yadrosi ikki tomonlama ideal bo'lganligi uchun, ikki tomonlama ideallar aynan halqa gomomorfizmlarining yadrosi ekanligini aytishimiz ham mumkin.

Halqa gomomorfizmlari, yadrolari va qism halqalari o'rtasidagi yaqin munosabatni quyidagicha umumlashtirish mumkin bo'ladi: *R / I da aniqlangan halqa gomomorfizmlari I da yo'qolib ketadigan (ya'ni nolga teng bo'ladigan) R da aniqlangan halqa gomomorfizmlari bilan mohiyatan bir xildir bo'ladi.* Aniqroq aytganda, *R* da ikki tomonlama ideal *I* va halqali omomorfizm *f* : *R* → *S* berilgan bo'lib *f* : *R* → *S* yadrosida *I* bo'lsa, aniq bitta halqali gomomorfizmi *g* : *R* / *I* → *S* mavjuddir.*g* : *R* / *I* → *S* *gp* = *f* bilan (bu erda *p* - tabiiy ko'rsatkichlar xaritasi). Bu yerda *g* xaritasi *R* dagi barcha *a* uchun aniq belgilangan *g*([*a*]) = *f*(*a*) qoidasi bilan berilgan. Haqiqatan ham, bu universal xususiyatdan bo'linish halqalari va ularning tabiiy bo'lim xaritalarini *aniqlash* uchun foydalanish mumkin bo'ladi.

Yuqorida aytilganlarning natijasi bo'laroq, asosiy bayonot olinadi va har bir halqa gomomorfizmi *f* : *R* → *S* qism halqasi *R* / ker(*f*) va tasvir im( *f* ) oʻrtasida halqa izomorfizmini keltirib chiqarishi mumkin. (Shuningdek qarang: gomomorfizmlar haqidagi asosiy teorema. )

*R* va *R* / *I* ideallari bir-biri bilan chambarchas bog'liq hisoblanadi va tabiiy koeffitsientlar xaritasi *I ni* o'z ichiga olgan *R* ning ikki tomonlama ideallari va *R* / *I* ning ikki tomonlama ideallari o'rtasidagi farqni ta'minlaydi (chap va o'ng uchun ham xuddi shunday ideallar mavjud). Ikki tomonlama ideal o'rtasidagi bu munosabat mos keladigan bo'laadiqism halqalari orasidagi munosabatga taalluqlidir hisoblanadi: agar *M* *R* dagi ikki tomonlama ideal bo'lsa, *I ni* o'z ichiga oladi va biz quyidagi *R* / *I* da mos keladigan ideal uchun *M* / *I* yozamiz (ya'ni. *M* / *I* = *p*(*M*) ), qism halqalari *R* / *M* va (*R* / *I*) / (*M* / *I*) tabiiy ravishda (yaxshi belgilangan hisoblanadi!) *a* + *M* ↦ (*a* + *I*) + *M* / *I* xaritalash orqali izomorfdir bo'ladi. *a* + *M* ↦ (*a* + *I*) + *M* / *I*

Quyidagi faktlar kommutativ algebra va algebraik geometriyada foydalidir kommutativ uchun *R* / *I* maydon, agar *I* maksimal ideal bo'lsa, *R* / *I* esa integral sohadir bo'ladi, agar *I* bo'lsa asosiy ideal bo'ladi. Bir qator shunga o'xshash bayonotlar ideal *I* ning xossalari *R* / *I* halqasining xususiyatlari bilan bog'liq hisoblanadi.

Xitoy qoldiqlari teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar ideal *I* juftlik ko'paytma ideallarning biror bir kesishishi (yoki ekvivalenti, mahsuloti) bo'lsa, *I* 1,. . . *I k*, keyin *R* / *I* qism halqasi ham *R* / *In*, *n* = 1, ... *k* ko'paytmasiga izomorf hisoblanadi bo'ladi.

Halqa ustidagi algebralar uchun qoidalar
----------------------------------------

Kommutativ halqa ustidagi assotsiativ algebra *A* *R* - bu uzuk hisoblanadi. Agar *men* ideal bo'lsam *A* ( *R* -ko'paytirish ostida yopiq bo'ladi), keyin *A* / *I* algebra tuzilishini qabul qilib oladi. *R* va **qism algebrasi** .

Shuningdek
----------

* Bog'langan darajali uzuk
* Qoldiq maydoni
* Goldie teoremasi
* Quotient moduli

Havolalar
---------

1. ↑  Jacobson, Nathan*. Structure of Rings*, revised, American Mathematical Soc. 1984. ISBN 0-821-87470-5.
2. ↑  Dummit, David S.*. Abstract Algebra*, 3rd, John Wiley & Sons, 2004. ISBN 0-471-43334-9.
3. ↑  Lang, Serge*. Algebra*, Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2002. ISBN 0-387-95385-X.

Qo'shimcha havolalar
--------------------

* F. Kasch (1978) *Moduln und Ringe*, DAR Wallace (1982) tomonidan tarjima qilingan *Modullar va uzuklar*, Akademik matbuot, 33-bet.
* Neal H. McCoy (1948) *Rings va ideallar*, §13 Qoldiq sinfi halqalari, 61-bet, Carus Matematik Monografiyalari №8, Amerika Matematik Assotsiatsiyasi .
* 0-387-98541-7
* BL van der Waerden (1970) *Algebra*, Fred Blum va Jon R Schulenberger tomonidan tarjima qilingan, Frederik Ungar nashriyoti, Nyu-York. 3.5-bobga qarang, "Ideallar. Qoldiq sinfi halqalari", 47-51-betlar.

Havolalar
---------

* Ideals and factor rings Wayback Machine saytida arxivlandi (2020-06-30). from John Beachy's *Abstract Algebra Online*