Jeff Xia ning 5 tanali konfiguratsiyasi besh nuqtali massadan iborat boʻlib, ikkita juft ekssentrik elliptik orbitalarda bir-birining atrofida va bir massa simmetriya chizigʻi boʻylab oldinga va orqaga tebranadi. Xia maʼlum bir boshlangʻich sharoitda yakuniy massa cheksiz vaqt ichida cheksiz tezlikka tezlashishini isbotladi. Bu besh va undan yuqori tanalar uchun Painlevé gipotezasini isbotlaydi.
Fizikada **Painlevé gipotezasi** -jism masalasi yechimlari orasida oʻziga xoslik haqidagi teoremadir: *n*≥4 toʻqnashuvsiz singulyativliklar mavjud

Teorema *n* ≥ 5 uchun 1988 yilda Jeff Xia tomonidan ishlab chiqilgan

Bayonot
-------

Yechimlar {\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} *n* — jism muammosi {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )} (bu erda M — massalar va U — tortishish potentsialini bildiradi) agar vaqtlar ketma-ketligi boʻlsa, yagonalikka ega deyiladi. {\displaystyle t\_{n}} chekliga yaqinlashish {\displaystyle t^{\*}} qayerda {\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t\_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }. Yaʼni, kuchlar va tezlanishlar vaqtning maʼlum bir chekli nuqtasida cheksiz boʻladi.

Agar *toʻqnashuv yagonaligi* yuzaga keladi {\displaystyle \mathbf {q} (t)} qachon aniq chegaraga intiladi {\displaystyle t\rightarrow t^{\*},t<t^{\*}}. Agar chegara mavjud boʻlmasa, singularlik *psevdotoʻqnashuv* yoki *toʻqnashuvsiz* singulyarlik deyiladi.

Pol Painlevé buni *n=3* uchun koʻrsatdi. Cheklangan vaqt singulyarligi boʻlgan har qanday yechim toʻqnashuv singulyarligini boshdan kechiradi. Biroq, u bu natijani 3 ta jismdan tashqariga kengaytira olmadi. Uning 1895 yil Stokgolmdagi maʼruzalari shu taxmin bilan yakunlanadi

*n*≥4 uchun *n* -jism muammosi toʻqnashuvsiz yakkaliklarni qabul qiladi .

Rivojlanish
-----------

Edvard Gyugo fon Zaypel 1908 yilda isbotladiki, agar toʻqnashuvning yagonaligi boʻlsa, u holda {\displaystyle J(\mathbf {q} (t))} kabi aniq chegaraga intiladi {\displaystyle t\rightarrow t^{\*}}, qayerda {\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum \_{i}m\_{i}|\mathbf {q} \_{i}|^{2}} inersiya momentidir. Bu shuni anglatadiki, toʻqnashuvsiz singulyarlikning zaruriy sharti kamida bitta zarraning tezligi chegaralanmagan boʻlishidir (chunki pozitsiyalar). {\displaystyle \mathbf {q} } shu nuqtaga qadar cheklangan qoladi.

Mater va MakGi 1975 yilda toʻqnashuvsiz singulyarlik toʻgʻridan-toʻgʻri chiziqli 4 jismli masalada (yaʼni, barcha jismlar bir chiziqda boʻlganda), lekin cheksiz sonli (tartibga solingan) ikkilik toʻqnashuvlardan keyin paydo boʻlishi mumkinligini isbotlashga muvaffaq boʻldi.

Donald G. Saari 1977 yilda 2, 3 va 4 jismli masalalar uchun tekislikdagi yoki fazodagi deyarli barcha (Lebesg oʻlchovi maʼnosida) boshlangʻich shartlar uchun yagonaliksiz yechimlar mavjudligini isbotladi.

1984 yilda Jo Gerver toʻqnashuvlarsiz 5 jismli planar muammoda toʻqnashuvsiz singulyarlik uchun dalil keltirdi. Keyinchalik u 3*n* tana ishi uchun dalil topdi.

Nihoyat, 1988 yilda doktorlik dissertatsiyasida Jeff Xia toʻqnashuvsiz oʻziga xoslikni boshdan kechiradigan 5 tanali konfiguratsiyani namoyish etdi.

Jo Gerver 4 jismli singularliklarning mavjudligi uchun evristik modelni keltirdi.

2013 yilda Merilend universitetida doktorlik dissertatsiyasida Jinxin Syue Painlevé gipotezasining tekis toʻrtta tanali muammosi uchun soddalashtirilgan modelni koʻrib chiqdi. Gerver modeliga asoslanib, u Gamilton tizimining yechimlariga olib keladigan boshlangʻich shartlarning Kantor toʻplami mavjudligini isbotladi, buning tezligi barcha oldingi toʻqnashuvlardan qochib, chekli vaqt ichida cheksizgacha tezlashadi. 2014-yilda Xue avvalgi ishini kengaytirdi va n=4 uchun taxminni isbotladi

Manbalar
--------

1. ↑  Xia, Zhihong (1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". *Annals of Mathematics*. Second Series **135** (3): 411–468. doi:10.2307/2946572.
2. ↑  Painlevé, P.*. Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles*. Paris: Hermann, 1897.
3. ↑  *Oeuvres de Paul Painlevé*. Paris: Ed. Centr. Nat. Rech. Sci. 1972.
4. ↑  von Zeipel, H. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". *Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik* **4**: 1–4.
5. ↑  Diacu, Florin N. (1993). "Painlevé's Conjecture". *The Mathematical Intelligencer* **13** (2). Diacu, Florin N. (1993). „Painlevé's Conjecture". *The Mathematical Intelligencer*. **13** (2).
6. ↑  Mather, J. „Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time",*. Dynamical Systems Theory and Applications* Moser:. Berlin: Springer-Verlag, 1975 — 573–589 bet. ISBN 3-540-07171-7.
7. ↑  Saari, Donald G. (1977). "A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics". *J. Differential Equations* **26** (1): 80–111. doi:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
8. ↑  Gerver, J. L. (1984). "A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem". *J. Diff. Eq.* **52** (1): 76–90. doi:10.1016/0022-0396(84)90136-0.
9. ↑  Gerver, J. L. (1991). "The existence of pseudocollisions in the plane". *J. Diff. Eq.* **89** (1): 1–68. doi:10.1016/0022-0396(91)90110-U.
10. ↑  Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). "Off to Infinity in Finite Time". *Notices of the AMS* **42** (5): 538–546. Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). „Off to Infinity in Finite Time". *Notices of the AMS*. **42** (5): 538-546.
11. ↑  Gerver, Joseph L. (2003). "Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?". *Exp. Math.* **12** (2): 187–198. doi:10.1080/10586458.2003.10504491. .
12. ↑  Xue, J.; Dolgopyat, D. (2016). "Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem". *Commun. Math. Phys.* **345** (3): 797–879. doi:10.1007/s00220-016-2688-6.