Karl Fridrix Gauss
**Eng kam cheklash prinsipi** 1829 yilda Karl Fridrix Gauss tomonidan taʼkidlangan klassik mexanikaning bir variatsion formulasi boʻlib, analitik mexanikaning barcha boshqa formulalariga tengdir. Intuitiv ravishda, u cheklangan jismoniy tizimning tezlashishi mos keladigan cheklanmagan tizimning tezlashishiga imkon qadar oʻxshashligini aytadi.

Bayonot

Eng kam cheklash prinsipi eng kichik kvadratlar prinsipi boʻlib, mexanik tizimning haqiqiy tezlanishini koʻrsatadi. {\displaystyle n} massalar miqdorning minimalidir:

{\displaystyle Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum \_{j=1}^{n}m\_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}\_{j}-{\frac {\mathbf {F} \_{j}}{m\_{j}}}\right|^{2}}
bu yerda *j* zarracha massaga ega {\displaystyle m\_{j}}, pozitsiya vektori {\displaystyle \mathbf {r} \_{j}}, va cheklanmagan kuch qoʻllaniladi {\displaystyle \mathbf {F} \_{j}} massaga taʼsir qiladi.

Belgilash {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}} vektor funksiyaning vaqt hosilasini koʻrsatadi {\displaystyle \mathbf {r} (t)}, yaʼni pozitsiya. Tegishli tezlanishlar {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\_{j}} umuman tizimning joriy {\displaystyle \{\mathbf {r} \_{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}\_{j}(t)\}} holatiga bogʻliq boʻlgan cheklovlarni qondirish;

Faolligi tufayli esga olinadi {\displaystyle \mathbf {F} \_{j}} va reaktiv (cheklov) {\displaystyle \mathbf {F\_{c}} \_{j}} qoʻllaniladigan kuchlar, natijada {\textstyle \mathbf {R} =\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {F} \_{j}+\mathbf {F\_{c}} \_{j}}, tizim tezlashuvni boshdan kechiradi {\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum \_{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} \_{j}}{m\_{j}}}+{\frac {\mathbf {F\_{c}} \_{j}}{m\_{j}}}=\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {a} \_{j}+\mathbf {a\_{c}} \_{j}} .

### Boshqa formulalar bilan bogʻlanish

Gauss prinsipi D’Alember prinsipiga teng.

Eng kam cheklash prinsipi Gamilton prinsipiga sifat jihatidan oʻxshash boʻlib, u mexanik tizim tomonidan bosib oʻtilgan haqiqiy yoʻl harakatning ekstremumi ekanligini aytadi. Biroq, Gauss prinsipi haqiqiy (mahalliy) *minimal* prinsipdir, ikkinchisi esa *ekstremal* prinsipdir.

Gertsning eng kam egrilik prinsipi
----------------------------------

 Geynrix Gerts
Hertzning eng kam egrilik prinsipi Gauss prinsipining alohida holati boʻlib, tashqi qoʻllaniladigan kuchlar, oʻzaro taʼsirlar (odatda potensial energiya sifatida ifodalanishi mumkin) va barcha massalar teng boʻlgan ikkita shart bilan cheklangan. Umumiylikni yoʻqotmasdan, massalar birga teng boʻlishi mumkin. Bunday sharoitda Gaussning minimallashtirilgan miqdori yozilishi mumkin:

{\displaystyle Z=\sum \_{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}\_{j}\right|^{2}}
Kinetik energiya {\displaystyle T} bu sharoitda ham saqlanib qoladi:

{\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum \_{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}\_{j}\right|^{2}}
Chiziq elementidan {\displaystyle ds^{2}} beri ichida {\displaystyle 3N} -koordinatalarning oʻlchovli fazosi aniqlangan

{\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum \_{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} \_{j}\right|^{2}}
energiyaning saqlanishi ham yozilishi mumkin:

{\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}
{\displaystyle Z} tomonidan boʻlinish {\displaystyle 2T} va boshqa minimal miqdorni beradi:

{\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum \_{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} \_{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}
beri {\displaystyle {\sqrt {K}}} da traektoriyaning mahalliy egriligidir {\displaystyle 3n} -koordinatalarning oʻlchovli fazosi, minimallashtirish {\displaystyle K} cheklovlarga mos keladigan eng kam egrilik (geodezik) traektoriyasini topishga teng.

Hertz prinsipi, shuningdek, Yakobining eng kam taʼsir prinsipini shakllantirishining alohida holatidir.

Manbalar
--------

1. ↑  Azad, Morteza; Babič, Jan; Mistry, Michael (2019-10-01). "Effects of the weighting matrix on dynamic manipulability of robots" (en). *Autonomous Robots* **43** (7): 1867–1879. doi:10.1007/s10514-018-09819-y. ISSN 1573-7527.

* Gauss, C. F. (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". *Crelle's Journal* **1829** (4): 232–235. doi:10.1515/crll.1829.4.232. .
* Gauss, C. F.*. Werke* — 23 bet.
* Hertz, H.*. Principles of Mechanics*, Miscellaneous Papers. Macmillan, 1896.
* Lanczos, Cornelius „IV §8 Gauss's principle of least constraint",*. The variational principles of mechanics*, Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986 — 106–110 bet. ISBN 978-0-486-65067-8.
* Papastavridis, John G. „6.6 The Principle of Gauss (extensive treatment)",*. Analytical mechanics: A comprehensive treatise on the dynamics of constrained systems*, Reprint, Singapore, Hackensack NJ, London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2014 — 911–930 bet. ISBN 978-981-4338-71-4.