**Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti** — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir. 

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllaniladi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

Tarixi
------

Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllanilgan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan.

Birinchi taʼrif
---------------

Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3},...x\_{n},...} toʻplam sinlar ketma-ketligi deyiladi. Uni {\displaystyle \{x\_{n}\}} yoki {\displaystyle x\_{n}} kabi belgilanadi.

{\displaystyle x\_{n}(n=1,2,3,...)} sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) {\displaystyle x\_{n}={\frac {1}{n}}:1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},...{\frac {1}{n}}}, 2) {\displaystyle x\_{n}=(-1)^{n}:-1,1,-1,...(-1)^{n}}, 3) {\displaystyle x\_{n}={\sqrt[{n}]{n}}:1,{\sqrt {2}},{\sqrt[{3}]{3}},...{\sqrt[{n}]{n}},...} 4) {\displaystyle x\_{n}=1:1,1,1,...1,...} 5) {\displaystyle 0,3;0.33;0,333;...;\underbrace {0,333...3;\cdots } \_{n}} lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

Ikkinchi taʼrif
---------------

Agar shunday oʻzgarmas {\displaystyle m} soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy {\displaystyle x\_{n}(n=1,2,3,...)} uchun {\displaystyle x\_{n}\leq M} tengsizlik bajarilsa (yaʼni {\displaystyle \exists m,\forall n\in N:x\_{n}\geq M} boʻlsa),{\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

Uchinchi taʼrif
---------------

Agar shunday oʻzgarmas {\displaystyle m} soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy {\displaystyle x\_{n}(n=1,2,3,...)} uchun {\displaystyle x\_{n}\geq m} tengsizlik bajarilsa (yaʼni {\displaystyle \exists m,\forall n\in N:x\_{n}\geq m} boʻlsa),{\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

Toʻrtinchi taʼrif
-----------------

Agar {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa 
(yaʼni {\displaystyle \exists m,\forall n\in N:m\leq x\_{n}\leq M} boʻlsa),{\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu {\displaystyle x\_{n}={\frac {n}{4+n^{2}}}} {\displaystyle (n=1,2,3,...)} ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, {\displaystyle \forall n\in N} uchun {\displaystyle x\_{n}={\frac {n}{4+n^{2}}}>0} boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, {\displaystyle 0\leq (n-2)^{2}=n^{2}-4n+4} boʻlib, undan {\displaystyle 4n\leq 4+n^{2}} yaʼni {\displaystyle {\frac {n}{4+n^{2}}}\leq {\frac {1}{4}}} boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan.

Beshinchi taʼrif
----------------

Agar {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik uchun {\displaystyle \forall M\in R,\exists n\_{0}\in N:x\_{0}>M} boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. 

### Sonlar ketma-ketligining limiti

Aytaylik, {\displaystyle a\in R} son hamda ixtiyoriy musbat {\displaystyle \varepsilon } son berilgan boʻlsin.

Oltinchi taʼrif
---------------

Ushbu {\displaystyle U\_{\varepsilon }(a)=\{x\in R\mid a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \}=(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} toʻplam {\displaystyle a} nuqtaning {\displaystyle \varepsilon } - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlik va {\displaystyle a\in R} soni berilgan boʻlsin.

Yettinchi taʼrif
----------------

Agar ixtiyoriy {\displaystyle \varepsilon >0} son olingandan ham shunday {\displaystyle n\_{0}} natural soni mavjud boʻlsaki, {\displaystyle n>n\_{0}} tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun {\displaystyle \mid x\_{n}-a\mid <\varepsilon } tengsizlik bajarilsa, (yaʼni {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n\_{0}\in N,\forall n>n\_{0}:\mid x\_{n}-a\mid <\varepsilon } boʻlsa), {\displaystyle a} son {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlikning limiti deyiladi va {\displaystyle a=\lim \_{n\to \infty }x\_{n}} yoki {\displaystyle n\rightarrow \infty } da {\displaystyle x\_{n}\rightarrow a} kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun {\displaystyle \mid x\_{n}-a\mid <\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon <x\_{n}<a+\varepsilon } yaʼni, {\displaystyle x\_{n}\in U\_{\varepsilon }(a)}, {\displaystyle (n>n\_{0})} boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

Sakkizinchi taʼrif
------------------

Agar {\displaystyle a} nuqtaning ixtiyoriy {\displaystyle U\_{\varepsilon }(a)} ham {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, {\displaystyle a} soni {\displaystyle \{x\_{n}\}} ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki {\displaystyle \varepsilon } ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural {\displaystyle n\_{0}} soni esa {\displaystyle \varepsilon } ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.

Manbalar
--------

1. ↑  Здесь подразумевается повторение чисел в *записи* числа в некоторой фиксированной системе счисления.
2. ↑  Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов*. Сонлар кетма-кетлиги ва уларнинг лимити*, 2010 — 30-32 bet.