Oltin spirallar oʻziga oʻxshashdir. Shakl kattalashtirilganda cheksiz takrorlanadi.
Geometriyada **oltin spiral** logarifmik spiral boʻlib, uning oʻsish omili φ, oltin nisbati.hisoblanadi. Yaʼni, oltin spiral har chorak burilish uchun φ koeffitsientiga kengaytiriladi (yoki kelib chiqishidan uzoqroq).

Oltin spiralning oʻlchamlari
----------------------------

 Taxminiy va haqiqiy oltin spirallar: yashil spiral har bir kvadratning ichki qismiga teguvchi chorak doiralardan yasalgan, qizil spiral esa oltin spiral, logarifmik spiralning maxsus turi boʻladi. Bir-biriga yopishgan qismlar sariq rangda koʻrinadi. Kattaroq kvadratning yon tomonining keyingi kichik kvadratga uzunligi oltin nisbatdia boʻladi. Yon uzunligi 1 boʻlgan kvadrat uchun keyingi kichikroq kvadrat 1/φ kengligida boʻladi. Keyingi kenglik 1/φ², keyin 1/φ³ va hokazo.
Oltin spiralga yaqin boʻlgan, ammo toʻliq teng kelmaydigan bir nechta taqqoslanadigan spirallar mavjuddir.

Misol uchun, oltin spiralni birinchi navbatda uning uzunligi va kengligi oʻrtasidagi nisbat oltin nisbat boʻlgan toʻrtburchakdan boshlab tashkil topgan. Keyin bu toʻrtburchakni kvadratga va shunga oʻxshash toʻrtburchakga boʻlish mumkin va keyin bu toʻrtburchakni xuddi shu tarzda ajratish mumkin. Ushbu jarayonni ixtiyoriy miqdordagi qadamlar uchun davom ettirgandan soʻng, natijada toʻrtburchaklar kvadratlarga deyarli toʻliq boʻlinadi. Ushbu kvadratlarning burchaklarini chorak doiralar bilan bogʻlash mumkin. Natijada, haqiqiy logarifmik spiral boʻlmasa ham, oltin spiralga yaqinroq boʻladi shakl boʻladi.

Yana bir taxminiy Fibonachchi spirali boʻlib, u biroz boshqacha tarzda qurilgan boʻlib fibonachchi spirali 2 kvadratga boʻlingan toʻrtburchakdan boshlanadi. Har bir qadamda toʻrtburchakka toʻrtburchakning eng uzun tomoni uzunligiga teng kvadrat qoʻshiladi. Fibonachchi raqamlari cheksizlikka yaqinlashganda, ketma-ket Fibonachchi raqamlari orasidagi nisbat oltin nisbatga yaqinlashganligi sababli, bu spiral ham oldingi taxminga oʻxshash boʻlib, rasmda koʻrsatilganidek, koʻproq kvadrat qoʻshiladi.

Tabiatdagi spirallar
--------------------

Tabiatda taxminiy logarifmik spirallar paydo boʻlishi mumkin, masalan, spiral galaktikalarning qoʻllari — oltin spirallar bu logarifmik spirallarning alohida holatlaridan biridir, garchi bu holatning paydo boʻlishiga nisbatan umumiy tendentsiya mavjudligi haqida hech qanday dalil yoʻq boʻlsa ham. Fillotaksis oltin nisbat bilan bogʻliq, chunki u ketma-ket barglar yoki gulbarglarning oltin burchak bilan ajratilishini oʻz ichiga oladi; bu shuningdek, spirallarning paydo boʻlishiga olib keladi, garchi ularning hech biri (majburiy) oltin spiral boʻlmaydi. Baʼzida aytilishicha, spiral galaktikalar va nautilus qobiqlari oltin spiral shaklida kengayadi va shuning uchun ham φ, ham Fibonachchi qatorlari bilan bogʻliq boʻladi. Darhaqiqat, koʻplab mollyuskalar, shu jumladan nautilus qobigʻi logarifmik spiral oʻsishini namoyish etadi, ammo turli burchaklarda odatda oltin spiralnikidan aniq farq qiladi. Bu naqsh organizmning shaklini oʻzgartirmasdan oʻsishiga imkon beradi. Spiral galaktikalar koʻpincha logarifmik spirallar yoki giperbolik spirallar sifatida modellashtirilgan boʻlsa-da, ularning qadam burchaklari logarifmik spirallardan farqli oʻlaroq (bu burchak oʻzgarmaydi) galaktika markazidagi masofaga qarab oʻzgaradi. Ularni modellashtirish uchun boshqa matematik spirallardan foydalaniladi.

Matematika
----------

 Fibonachchi spirali Fibonachchi ketma-ketligidan olingan kvadratlarga yozilgan chorak doira yoylari yordamida oltin spiralga yaqinlashadi.
Boshlangʻich radiusi 1 boʻlgan oltin spiral qutb koordinatalari nuqtalarining joylashuvidir {\displaystyle (r,\theta )} qoniqarlidir


r
=

φ

2
θ

/

π

{\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }}

{\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }}Oltin spiral uchun qutb tenglamasi boshqa logarifmik spirallar bilan bir xil, lekin oʻsish omilining b ning maxsus qiymati quyidagilar: {\displaystyle r=ae^{b\theta }}yoki{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}e — natural logarifmlarning asosi, a — spiralning boshlangʻich radiusi va b shundayki, θ toʻgʻri burchak boʻlganda (har ikki yoʻnalishda chorak burilish) quyidagilarga ega boʻlamiz:{\displaystyle e^{b\theta \_{\mathrm {right} }}=\varphi .}Shuning uchun b tomonidan berilgan{\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta \_{\mathrm {right} }}.}

 Lukas spirali oltin spiralga uning shartlari katta boʻlganda yaqinlashadi, lekin ular kichik boʻlganda emas. 2 dan 76 gacha boʻlgan 10 ta atama kiritilgan.
b ning raqamli qiymati toʻgʻri burchak 90 gradus yoki kabi oʻlchanganiga bogʻliq {\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}} radyanlar; va burchak ikkala yoʻnalishda boʻlishi mumkinligi sababli, b ning mutlaq qiymati uchun formulani yozish eng osonusuldir (yaʼni, b bu qiymatning manfiy ham boʻlishi mumkin):



|

b

|

=

ln
⁡

φ

90

≐
0.0053468

{\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}

{\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}θ uchun darajalarda yoki



|

b

|

=

ln
⁡

φ

π

/

2

≐
0.3063489

{\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}

{\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}θ uchun radyanlarda.

Logarifmik va oltin spiralning muqobil formulalari.


r
=
a

c

θ

{\displaystyle r=ac^{\theta }}

{\displaystyle r=ac^{\theta }}Bu erda c doimiysi orqali berilgan


c
=

e

b

{\displaystyle c=e^{b}}

{\displaystyle c=e^{b}}bu oltin spiral uchun c qiymatlarini beradi


c
=

φ

1
90

≐
1.0053611

{\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}

{\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}agar θ darajalarda oʻlchanadigan boʻlsa va u


c
=

φ

2
π

≐
1.358456

{\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}

{\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}agar θ radianlarda oʻlchanadi.

Logarifmik spirallarga nisbatan oltin spiral oʻziga xos xususiyatga ega boʻlib, θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π argumentlariga tegishli toʻrtta kollinear spiral nuqta *A*, *B*, *C*, *D* uchun *C* nuqtasi proyektiv garmonik hisoblanadi. *B* *ning A*, *D* ga nisbatan konjugati, yaʼni oʻzaro nisbati (*A*, *D* ; *B*, *C*) yagona qiymat −1 ga ega boʻladi. Oltin spiral (*A*, *D* ; *B*, *C*) = (*A*, *D* ; *C*, *B*) boʻlgan yagona logarifmik spiral hisoblanadi.

 Nishab burchagi va sektorining taʼrifi
Logarifmik spiral uchun qutb tenglamasida:


r
=
a

e

b
θ

{\displaystyle r=ae^{b\theta }}

{\displaystyle r=ae^{b\theta }}b parametri qutb qiyalik {\displaystyle \alpha } burchagi bilan bogʻliq :


tan
⁡
α
=
b

{\displaystyle \tan \alpha =b}

{\displaystyle \tan \alpha =b}Oltin spiralda, {\displaystyle b} doimiy va teng {\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}} (yuqorida aniqlanganidek, radianlarda θ uchun), qiyalik burchagi {\displaystyle \alpha } hisoblanadi


α
=
arctan
⁡
(

|

b

|

)
=
arctan
⁡

(

ln
⁡

φ

π

/

2

)

,

{\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}

{\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}shuning uchun


α
≐
17.03239113

{\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}

{\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}darajalarda oʻlchangan boʻlsa, yoki


α
≐
0.2972713047

{\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}

{\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}agar radianlarda oʻlchangan boʻlsa u holda:

Uning toʻldiruvchi burchagi**Failed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle \beta = \pi/2 — \alpha \doteq1.273525022}**
radianlarda yoki**Failed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle \beta = 90 — \alpha \doteq73}**
darajalarda, oltin spiral qoʻllarining spiral markazidan chiziq bilan hosil qilgan burchagi boʻladi.

Yana qarang
-----------

* Fibonachchi raqami
* Oltin burchak
* Oltin nisbat
* Oltin toʻrtburchak
* Spirallar roʻyxati
* Logarifmik spiral

Manbalar
--------

1. 1 2  Madden, Charles B.*. Fib and Phi in Music: The Golden Proportion Musical Form*. High Art Press [1999], 2005 — 14–16 bet. ISBN 978-0967172767.
2. ↑  
Midhat Gazale*. Gnomon: From Pharaohs to Fractals*. Princeton University Press, 1999 — 3 bet. ISBN 9780691005140.
3. ↑  
David Darling*. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes*. John Wiley & Sons, 2004 — 188 bet. ISBN 9780471270478.
4. ↑  *Devlin.* „The myth that will not go away" (may 2007). 12-noyabr 2020-yilda asl nusxadan arxivlandi. Qaraldi: 26-noyabr 2022-yil.
5. ↑  *Peterson.* „Sea Shell Spirals". *Science News*.  Society for Science & the Public (1-aprel 2005-yil). 3-oktyabr 2012-yilda asl nusxadan arxivlandi. Qaraldi: 26-noyabr 2022-yil.
6. ↑  Savchenko, S. S.; Reshetnikov, V. P. (September 2013). "Pitch angle variations in spiral galaxies". *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society* **436** (2): 1074–1083. doi:10.1093/mnras/stt1627.
7. ↑  Priya Hemenway*. Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science*. Sterling Publishing Co, 2005 — 127-129 bet. ISBN 1-4027-3522-7.
8. ↑  Klaus Mainzer*. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science*. Walter de Gruyter, 1996 — 45, 199–200 bet. ISBN 3-11-012990-6.
Andoza:Metallic ratiosAndoza:Spirals