**Operator** fizik holatlar fazosidan boshqa fizik holatlar fazosiga oʻtadigan funksiyadir. Operatorlar foydaliligining eng oddiy misoli simmetriyani oʻrganishdir. Shu sababli, ular klassik mexanikada juda foydali vositalardir. Operatorlar kvant mexanikasida yanada muhimroqdir, ular nazariyani shakllantirishning ajralmas qismini tashkil qiladi.

Klassik mexanikada operatorlar
------------------------------

Klassik mexanikada zarrachaning (yoki zarralar tizimining) harakati butunlay Lagranjian orqali aniqlanadi. {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} yoki shunga oʻxshash Gamiltonian {\displaystyle H(q,p,t)}, orqali aniqlanadi. bu yerda umumlashtirilgan koordinatalar funksiyasi *q*, umumlashtirilgan tezliklar {\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t} va uning impulsi

{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}
Agar *L* yoki *H* umumlashgan *q* koordinatasiga bogʻliq boʻlmasa, yaʼni *q* oʻzgartirilganda *L* va *H* oʻzgarmasa, bu oʻz navbatida *q* oʻzgarganda ham zarrachaning dinamikasi bir xil boʻlishini anglatadi. Yaʼni koordinatalar saqlanib qoladi (bu Noeter teoremasining bir qismidir va harakatning *q* koordinatasiga nisbatan oʻzgarmasligi simmetriyadir). Klassik mexanikada operatorlar ushbu simmetriyalar bilan bogʻliq.

Koʻramiz, *H* maʼlum bir guruh oʻzgarishlar *G* taʼsiri ostida oʻzgarmas boʻlganda:

{\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)} .
*G* ning elementlari miqdoriy operatorlar boʻlib, ular oʻzaro fizik holatlarni xaritada koʻrsatadilar.

### Klassik mexanikada operatorlar jadvali

| Transformatsiya | Operator | Lavozim | Momentum |
| --- | --- | --- | --- |
| Tarjima simmetriyasi | {\displaystyle X(\mathbf {a} )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} } |
| Vaqtni tarjima qilish simmetriyasi | {\displaystyle U(t\_{0})} | {\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t\_{0})} | {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t\_{0})} |
| Aylanma oʻzgarmasligi | {\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} } |
| Galiley oʻzgarishlari | {\displaystyle G(\mathbf {v} )} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t} | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} } |
| Paritet | {\displaystyle P} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} } | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} } |
| T-simmetriya | {\displaystyle T} | {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)} | {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)} |
|

bu yerda {\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )} birlik vektor bilan aniqlangan oʻq atrofida aylanish matritsasi {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}} va burchak *θ-theta*.

Generatorlar
------------

Agar transformatsiya cheksiz kichik boʻlsa, operator harakati quyidagi shaklda boʻlishi kerak:

{\displaystyle I+\epsilon A}
bu yerda {\displaystyle I} identifikatsiya operatori, {\displaystyle \epsilon } kichik qiymatga ega parametrdir va {\displaystyle A} mavjud transformatsiyaga bogʻliq boʻladi va guruhning generatori deb ataladi. Shunga qaramay, oddiy misol sifatida biz 1D funksiyalarida kosmik translatsiyalar generatorini olamiz.

Taʼkidlanganidek, {\displaystyle T\_{a}f(x)=f(x-a)}. Agar {\displaystyle a=\epsilon } cheksiz kichik boʻlsa, biz quyidagicha yozishimiz mumkin:

{\displaystyle T\_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}
Ushbu formulani yana qayta yozish mumkin:

{\displaystyle T\_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}
bu yerda {\displaystyle D} tarjima guruhining generatori boʻlib, bu holda *hosila* operatori boʻladi. Shunday qilib, tarjimalarning generatori hosila ekanligi aytiladi.

Eksponensial xarita
-------------------

Butun guruh normal sharoitda generatorlardan eksponensial xarita orqali tiklanishi mumkin. Tarjimalarda gʻoya shunday ishlaydi.

{\displaystyle a} ning cheklangan qiymati uchun natija cheksiz kichik tarjimani takroran qoʻllash orqali olinishi mumkin:

{\displaystyle T\_{a}f(x)=\lim \_{N\to \infty }T\_{a/N}\cdots T\_{a/N}f(x)}
Agar {\displaystyle N} katta boʻlsa, omillarning har birini cheksiz kichik deb hisoblash mumkin:

{\displaystyle T\_{a}f(x)=\lim \_{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}
Ammo ushbu chegara eksponensial sifatida qayta yozilishi mumkin:

{\displaystyle T\_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}
Ushbu ifodaning toʻgʻriligiga ishonch hosil qilish uchun biz eksponensialni darajalar qatorida kengaytirishimiz mumkin:

{\displaystyle T\_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}
Oʻng tomoni qayta yozilishi mumkin:

{\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }
Bu shunchaki Teylor qatori {\displaystyle f(x-a)}, bu bizning asl qiymatimiz edi {\displaystyle T\_{a}f(x)} .

Fizik operatorlarning matematik xossalari oʻz-oʻzidan katta ahamiyatga ega mavzudir.

Kvant mexanikasidagi operatorlar
--------------------------------

Kvant mexanikasining (QM) matematik formulasi operator degan tushunchasiga asoslanadi.

Kvant mexanikasidagi fizik sof holatlar maxsus kompleks Hilbert fazosida birlik-norma vektorlar (ehtimolliklar bittaga normallashtiriladi) sifatida qaraladi. Bu vektor fazoda vaqt evolyutsiyasi evolyutsiya operatori nomi bilan beriladi.

Har qanday kuzatiladigan, yaʼni fizik tajribada oʻlchanishi mumkin boʻlgan miqdor oʻz-oʻzidan qoʻshiladigan chiziqli operator bilan bogʻlanishi kerak. Operatorlar haqiqiy oʻz qiymatlarini berishi zarur, chunki ular tajriba natijasida paydo boʻlishi mumkin boʻlgan qiymatlardir. Matematik jihatdan bu operatorlar Hermitian boʻlishi kerakligini anglatadi. Har bir xos qiymatning ehtimoli shu xos qiymat bilan bogʻliq boʻlgan pastki fazodagi fizik holatning proyeksiyasi bilan bogʻliq.

Kvant mexanikada toʻlqin mexanikasi formulasida toʻlqin funksiyasi koordinata va vaqtga yoki impuls va vaqtga qarab oʻzgaradi.

Matritsa mexanikasi formulasida fizik holat normasi oʻzgarmas boʻlishi kerak, shuning uchun evolyutsiya operatori unitar boʻlishi kerak va operatorlar matritsalar sifatida ifodalanishi mumkin. Miqdoriy holatni boshqasiga koʻrsatadigan har qanday boshqa simmetriya bu cheklovni saqlab qolishi lozim.

### Toʻlqin funksiyasi

Toʻlqin funksiyasi kvadrat integral boʻlishi shart (qarang: *L p</nowiki><nowiki>* boʻshliqlar), yaʼni:

{\displaystyle \iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{\*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }
va normalizatsiya qilinadi, shuning uchun:

{\displaystyle \iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}
Oʻz holatlarining (oʻz qiymatlarining) ikkita holati:

* **diskret** xos holatlar uchun {\displaystyle |\psi \_{i}\rangle } diskret asosni tashkil qiladi, shuning uchun har qanday holat yigʻindi hisoblanadi.

|

ψ
⟩
=

∑

i

c

i

|

ϕ

i

⟩

{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \_{i}c\_{i}|\phi \_{i}\rangle }

{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }
* xos holatlarning **uzluksizligi** uchun {\displaystyle |\psi \_{i}\rangle } uzluksiz asosni tashkil etuvchi har qanday holat integraldir

|

ψ
⟩
=
∫
c
(
ϕ
)

d
ϕ

|

ϕ
⟩

{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }

{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }

### Toʻlqin mexanikasidagi chiziqli operatorlar

Kvant sistema uchun *ψ* toʻlqin funksiyasi boʻlsin va {\displaystyle {\hat {A}}} baʼzi bir kuzatiladigan *A* uchun har qanday chiziqli operator boʻlsin (masalan, koordinata, impuls, energiya va boshqalar).). Agar *ψ* operatorning xos funksiyasi boʻlsa {\displaystyle {\hat {A}}}, keyin

{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}
bu yerda *a* operatorning xos qiymati, kuzatilishi mumkin boʻlgan, yaʼni kuzatiladigan *A*ning oʻlchangan qiymatiga mos keladigan *a* .

Agar *ψ* berilgan operatorning xos funksiyasi {\displaystyle {\hat {A}}} boʻlsa, u holda kuzatilishi mumkin boʻlgan *A* ning oʻlchovi *ψ* holatida amalga oshirilsa, aniq miqdor (a xos qiymat) kuzatiladi. Aksincha, agar *ψ* ning xos funksiyasi {\displaystyle {\hat {A}}} boʻlmasa, u holda uning uchun xos qiymatga ega emas va {\displaystyle {\hat {A}}} kuzatiladigan narsa u holda yagona aniq qiymatga ega emas. Buning oʻrniga, kuzatilishi mumkin boʻlgan *A* ning oʻlchovlari maʼlum bir ehtimollik bilan har bir xos qiymatni beradi (*ψ* ning ortonormal xossaga nisbatan parchalanishi bilan bogʻliq {\displaystyle {\hat {A}}}).

Bra-ket yozuvida yuqoridagilarni yozish mumkin;

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}
agarda ular teng boʻlsa, {\displaystyle \left|\psi \right\rangle } kuzatiladigan *A* ning xos vektoridir

Chiziqlilik tufayli vektorlar har qanday oʻlchamda ham aniqlanishi mumkin, chunki vektorning har bir komponenti funksiyaga alohida taʼsir qiladi. Matematik misollardan biri del operatori boʻlib, u oʻzi vektordir (quyidagi jadvalda impuls bilan bogʻliq kvant operatorlarida foydalidir).

*n* oʻlchovli fazoda operator quyidagicha yozilishi mumkin:

{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}}
Bu yerda **e***j* har bir komponent operatori *Aj* ga mos keladigan bazis vektorlari. Har bir komponent tegishli xos qiymatni beradi {\displaystyle a\_{j}}. Buni *ψ* toʻlqin funksiyasiga taʼsir qilsak:

{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\right)\psi =\sum \_{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\psi \right)=\sum \_{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} \_{j}a\_{j}\psi \right)}
biz quyidagicha foydalanganmiz {\displaystyle {\hat {A}}\_{j}\psi =a\_{j}\psi .}

Bra-ket yozuvida:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\right)\psi =\left(\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum \_{j=1}^{n}\mathbf {e} \_{j}{\hat {A}}\_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}
### *Ψ* boʻyicha operatorlarni almashtirish

Agar ikkita kuzatiladigan *A* va *B* chiziqli operatorlarga ega boʻlsa ular {\displaystyle {\hat {A}}} va {\displaystyle {\hat {B}}} kommutator bilan belgilanadi,

{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
Kommutatorning oʻzi (kompozit) operatordir. Kommutatorning *Ψ* ga taʼsir qilishi quyidagilarni beradi:

{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}
Agar *Ψ* mos ravishda *A* va *B* kuzatiladiganlar uchun xos qiymatlari *a* va *b* boʻlgan xos funksiya boʻlsa va operatorlar oʻzgarib ketsa:

{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}
u holda kuzatiladigan *A* va *B* bir vaqtning oʻzida cheksiz aniqlik, yaʼni noaniqlik bilan oʻlchanishi mumkin. Bir vaqtning oʻzida{\displaystyle \Delta A=0}, {\displaystyle \Delta B=0} boʻlsa, *Ψ* A va B ning bir vaqtda xos funksiyasi deyiladi. Buni koʻrsatish uchun:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}
Bu shuni koʻrsatadiki, A va B ni oʻlchash holatlarning oʻzgarishiga olib kelmaydi, yaʼni boshlangʻich va yakuniy holatlar bir xil (oʻlchov tufayli buzilish yoʻq). Masalan, a qiymatni olish uchun A oʻlchaymiz. Keyin b qiymatni olish uchun B ni oʻlchaymiz. Biz yana A ni oʻlchaymiz. Biz hali ham a ga teng boʻlgan bir xil qiymatni olamiz. Shubhasiz, tizimning holati (*Ψ*) buzilmagan va shuning uchun biz A va B ni bir vaqtning oʻzida cheksiz aniqlik bilan oʻlchashimiz mumkin.

Agar operatorlar kommutativ boʻlmasa:

{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}
ularni bir vaqtning oʻzida ixtiyoriy aniqlikka tayyorlash mumkin emas va kuzatilishi mumkin boʻlganlar oʻrtasida noaniqlik aloqasi mavjud boʻladi.

{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}
*Ψ* xos funksiya boʻlsa ham yuqoridagi munosabat oʻrinli boʻladi. Diqqatga sazovor juftliklar — energiya va vaqt noaniqlik munosabatlari va har qanday ikkita ortogonal oʻq (masalan, *L x* va *L y*, *s y* va *s z* va boshqalar) atrofidagi burchak momentlari (spin, orbital va umumiy),

### *Ψ* dagi operatorlarning kutilgan qiymatlari

Kutish qiymati (oʻrtacha ekvivalent yoki oʻrtacha qiymat) *R zonasi*dagi zarracha uchun kuzatilishi mumkin boʻlgan oʻrtacha oʻlchovdir. Kutish qiymati {\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle } operatorning {\displaystyle {\hat {A}}} dan hisoblanadi:

{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int \_{R}\psi ^{\*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}
Buni operatorning istalgan *F* funksiyasiga umumlashtirish mumkin:

{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int \_{R}\psi (\mathbf {r} )^{\*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}
*F* ga misol sifatida *A* ning *ψ* ga 2 martali koʻpaytmasi, yaʼni operatorni kvadratga solish yoki uni ikki marta bajarish mumkin:

{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int \_{R}\psi ^{\*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}
### Hermit operatorlari

Ermit operatorining taʼrifi:

{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}
Shundan kelib chiqib, bra-ket yozuvida:

{\displaystyle \left\langle \phi \_{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi \_{j}\right\rangle =\left\langle \phi \_{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi \_{i}\right\rangle ^{\*}.}
Hermit operatorlarining muhim xususiyatlariga quyidagilar kiradi:

* haqiqiy xos qiymatlar,
* turli xos qiymatli xos vektorlar ortogonal,
* xos vektorlar toʻliq ortonormal asos sifatida tanlanishi mumkin,

### Matritsalar mexanikasidagi operatorlar

Bir bazis vektorni boshqabir bazis vektorga solishtirish uchun operator matritsa shaklida yozilishi mumkin. Operatorlar chiziqli boʻlgani uchun matritsa bazalar orasidagi chiziqli transformatsiya (aka oʻtish matritsasi) hisoblanadi. Har bir asosiy element {\displaystyle \phi \_{j}} ni boshqasiga quyidagicha ifoda bilan bogʻlash mumkin:

{\displaystyle A\_{ij}=\left\langle \phi \_{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi \_{j}\right\rangle ,}
bu matritsa elementi:

{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A\_{11}&A\_{12}&\cdots &A\_{1n}\\A\_{21}&A\_{22}&\cdots &A\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A\_{n1}&A\_{n2}&\cdots &A\_{nn}\\\end{pmatrix}}}
Ermit operatorining yana bir xususiyati quyidagicha: turlicha boʻlgan xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar oʻzaro ortogonaldir. Matritsa shaklida operatorlar oʻlchovlarga mos keladigan haqiqiy xos qiymatlarni topishga imkon beradi. Ortogonallik kvant tizimining holatini ifodalash uchun mos keladigan vektorlar toʻplamiga imkon beradi. Operatorning xos qiymatlari ham kvadrat matritsadagi kabi xarakteristik polinomni yechish orqali baholanadi:

{\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}
Bu yerda *I* — *n* × *n* identifikatsiya matritsasi, operator sifatida u identifikatsiya operatori bilan mos keladi. Diskret asos uchun:

{\displaystyle {\hat {I}}=\sum \_{i}|\phi \_{i}\rangle \langle \phi \_{i}|}
doimiy ravishda:

{\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }
### Teskari operator

Yakka boʻlmagan operator {\displaystyle {\hat {A}}} teskarisiga ega {\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}. Belgilanishi:

{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}
Agar operatorda teskari operator boʻlmasa, u yagona operatordir. Cheklangan oʻlchovli fazoda operator yagona emas, agar uning determinanti nolga teng boʻlmasa:

{\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}
va shuning uchun birlik operator uchun determinant nolga teng.

### Kvant operatorlarini qoʻllashga misollar

Toʻlqin funksiyasidan maʼlumot olish tartibi quyidagicha: Misol tariqasida zarrachaning *p* impulsini koʻrib chiqaylik. Bir oʻlchovdagi pozitsiya asosidagi impuls operatori:

{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
Ushbu harakatni *ψ* ga qoʻyib, biz quyidagilarni olamiz:

{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}
agar *ψ* ning xos funksiyasi boʻlsa {\displaystyle {\hat {p}}}, u holda impulsning xususiy qiymati *p* zarracha impulsining qiymati boʻlib, quyidagi formula boʻyicha topiladi:

{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}
Uch oʻlchov uchun impuls operatori nabla operatoridan foydalanadi:

{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}
Dekart koordinatalarida (standart Dekart bazis vektorlari **e**x, **e**y, **e**z yordamida) buni yozish mumkin;

{\displaystyle \mathbf {e} \_{\mathrm {x} }{\hat {p}}\_{x}+\mathbf {e} \_{\mathrm {y} }{\hat {p}}\_{y}+\mathbf {e} \_{\mathrm {z} }{\hat {p}}\_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} \_{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} \_{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} \_{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}
{\displaystyle {\hat {p}}\_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}\_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}\_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}
Xususiy qiymatlarni topish jarayoni bir xil. Bu vektor va operator tenglamasi ekan, agar *ψ* xos funksiya boʻlsa, impuls operatorining har bir komponenti impulsning shu komponentiga mos keladigan xos qiymatga ega boʻladi:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}\_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\_{x}\psi \\{\hat {p}}\_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p\_{y}\psi \\{\hat {p}}\_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p\_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}

Manbalar
--------

* Landau va Lifshis „Nazariy mexanika"
* M.Nishonov maʼruzalari
* G.Ahmedova „Atom fizikasi"