Matematik fizikada **klassik Gaudin modeli** sifatida ham tanilgan **Garnier integrallash tizimi** 1919 yilda Rene Garnier tomonidan Schlesinger tenglamalarining „ Painlevé soddalashtirishi" yoki „avtonom chegarasi" ni olish orqali kashf etilgan klassik mexanik tizimdir. Bu Mishel Gaudin tufayli Knijnik-Zamolodchikov tenglamalarining klassik analogidir. Klassik Gaudin modellari integratsiyalashgan tizim integralidir.

Ular, shuningdek, Xitchin integrallanuvchi tizimlarining oʻziga xos holati boʻlib, nazariya aniqlangan algebraik egri Rieman sferasi boʻlib, tizim toʻliq tarvaqaylab ketgan.

Shlesinger tenglamalarining chegarasi sifatida
----------------------------------------------

Shlesinger tenglamalari differensial tenglamalar tizimidir {\displaystyle n+2} matritsa qiymatli funksiyalar {\displaystyle A\_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )}, tomonidan berilgan:



∂

A

i

∂

λ

j


=

[

A

i

,

A

j

]

λ

i

−

λ

j


j
≠
i

{\displaystyle {\frac {\partial A\_{i}}{\partial \lambda \_{j}}}={\frac {[A\_{i},A\_{j}]}{\lambda \_{i}-\lambda \_{j}}}\qquad \qquad j\neq i}

{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}


∑

j


∂

A

i

∂

λ

j


=
0.

{\displaystyle \sum \_{j}{\frac {\partial A\_{i}}{\partial \lambda \_{j}}}=0.}

{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}
„Avtonom chegara" ni almashtirish orqali beriladi {\displaystyle \lambda \_{i}} konstantalar orqali maxrajdagi bogʻliqlik {\displaystyle \alpha \_{i}} bilan {\displaystyle \alpha \_{n+1}=0,\alpha \_{n+2}=1} :



∂

A

i

∂

λ

j


=

[

A

i

,

A

j

]

α

i

−

α

j


j
≠
i

{\displaystyle {\frac {\partial A\_{i}}{\partial \lambda \_{j}}}={\frac {[A\_{i},A\_{j}]}{\alpha \_{i}-\alpha \_{j}}}\qquad \qquad j\neq i}

{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}

∑

j


∂

A

i

∂

λ

j


=
0.

{\displaystyle \sum \_{j}{\frac {\partial A\_{i}}{\partial \lambda \_{j}}}=0.}

{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}Bu Garnier tomonidan dastlab ishlab chiqarilgan shakldagi **Garnier tizimi** .

Gaudinning klassik modeli sifatida
----------------------------------

Garnier tizimining klassik mexanik tizim sifatida formulasi mavjud, klassik Gaudin modeli, u kvant Gaudin modeliga kvantlanadi va harakat tenglamalari Garnier tizimiga ekvivalentdir. Ushbu boʻlim ushbu formulani tavsiflaydi.

Har qanday klassik tizimga kelsak, Gaudin modeli Puasson manifoldi tomonidan belgilanadi {\displaystyle M} faza fazosi deb ataladi va manifoldda silliq funksiya Gamiltonian deb ataladi.

### Faza maydoni

Mayli {\displaystyle {\mathfrak {g}}} kvadratik Li algebrasi, yaʼni degenerativ boʻlmagan oʻzgarmas ikki chiziqli shaklga ega Li algebrasi boʻlsin. {\displaystyle \kappa }. Agar {\displaystyle {\mathfrak {g}}} murakkab va sodda, bu Killing shakli sifatida qabul qilinishi mumkin.

Ikkilik, belgilangan {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}}, Kirillov-Kostant qavs orqali chiziqli Puasson tuzilishiga aylantirilishi mumkin.

Faza maydoni {\displaystyle M} Gaudin klassik modelining Dekart mahsuloti hisoblanadi {\displaystyle N} nusxalari {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\*}} uchun {\displaystyle N} musbat butun son.

### Sahifalar

Ushbu nusxalarning har biri bilan bogʻliq bir nuqta {\displaystyle \mathbb {C} }, belgilangan {\displaystyle \lambda \_{1},\cdots ,\lambda \_{N}}, va **sahifalar** deb ataladi.

### Laks matritsasi

Li algebrasining asosini aniqlash {\displaystyle \{I^{a}\}} tuzilish konstantalari bilan {\displaystyle f\_{c}^{ab}}, funktsiyalari mavjud {\displaystyle X\_{(r)}^{a}} bilan {\displaystyle r=1,\cdots ,N} Puasson qavsni qanoatlantiruvchi faza fazosida



{

X

(
r
)

a

,

X

(
s
)

b

}
=

δ

r
s

f

c

a
b

X

(
r
)

c

.

{\displaystyle \{X\_{(r)}^{a},X\_{(s)}^{b}\}=\delta \_{rs}f\_{c}^{ab}X\_{(r)}^{c}.}

{\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}
Ular oʻz navbatida aniqlash uchun ishlatiladi {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -qiymatli funksiyalar


X

(
r
)

=

κ

a
b

I

a

⊗

X

(
r
)

b

{\displaystyle X^{(r)}=\kappa \_{ab}I^{a}\otimes X\_{(r)}^{b}}

{\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}}
bilvosita yigʻindisi bilan.

Keyinchalik, ular Lax matritsasini aniqlash uchun ishlatiladi, bu ham a {\displaystyle {\mathfrak {g}}} fazalar boʻshligʻidagi qiymatli funksiya, qoʻshimcha ravishda meromorfik ravishda spektral {\displaystyle \lambda } parametrga bogʻliq,



L

(
λ
)
=

∑

r
=
1

N


X

(
r
)

λ
−

λ

r


+
Ω
,

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum \_{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda \_{r}}}+\Omega ,}

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,}
va {\displaystyle \Omega } ning doimiy elementidir {\displaystyle {\mathfrak {g}}}, degan maʼnoda Puasson barcha funksiyalari bilan harakat qiladi (yoʻqolib borayotgan Puasson qavsga ega).

### (kvadrat) Gamiltonian

(kvadrat) Gamiltonian



H

(
λ
)
=

1
2

κ
(

L

(
λ
)
,

L

(
λ
)
)

{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))}

{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))}
bu haqiqatan ham faza fazosining funksiyasi boʻlib, u qoʻshimcha ravishda spektral parametrga bogʻliq {\displaystyle \lambda }. Buni shunday yozish mumkin:



H

(
λ
)
=

Δ

∞

+

∑

r
=
1

N

(

Δ

r

(
λ
−

λ

r

)

2


+


H

r

λ
−

λ

r



)

,

{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta \_{\infty }+\sum \_{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta \_{r}}{(\lambda -\lambda \_{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}\_{r}}{\lambda -\lambda \_{r}}}\right),}

{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),}
bilan


Δ

r

=

1
2

κ
(

X

(
r
)

,

X

(
r
)

)
,

Δ

∞

=

1
2

κ
(
Ω
,
Ω
)

{\displaystyle \Delta \_{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta \_{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}

{\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}
va



H

r

=

∑

s
≠
r


κ
(

X

(
r
)

,

X

(
s
)

)

λ

r

−

λ

s


+
κ
(

X

(
r
)

,
Ω
)
.

{\displaystyle {\mathcal {H}}\_{r}=\sum \_{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda \_{r}-\lambda \_{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}

{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}

Puasson qavs munosabatidan


{

H

(
λ
)
,

H

(
μ
)
}
=
0
,
∀
λ
,
μ
∈

C

,

{\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}

{\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}turlicha {\displaystyle \lambda } va {\displaystyle \mu } bu haqiqat boʻlishi kerak {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{r}} ning, the {\displaystyle \Delta \_{r}} ning va {\displaystyle \Delta \_{\infty }} hammasi involyutsiyada. Koʻrsatish mumkinki, {\displaystyle \Delta \_{r}} ning va {\displaystyle \Delta \_{\infty }} Fazali fazodagi barcha funksiyalar bilan Puasson qatnovi, lekin {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{r}} umuman yoʻq. Bu Arnol’d Liouville integralligi maqsadlari uchun involyutsiyada saqlanib qolgan zaryadlardir.

### Laks tenglamasi

Koʻrsatish mumkin:



{

H

r

,

L

(
λ
)
}
=

[

X

(
r
)

λ
−

λ

r


,

L

(
λ
)

]

,

{\displaystyle \{{\mathcal {H}}\_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda \_{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}

{\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}
Shunday qilib, Lax matritsasi Gamiltonchilarning birortasi tomonidan vaqt evolyutsiyasi berilganda Lax tenglamasini qanoatlantiradi. {\displaystyle {\mathcal {H}}\_{r}}, shuningdek, ularning har qanday chiziqli birikmasi.

### Yuqori Gamiltoniyanlar

Kasimir kvadrati Li algebrasi uchun kvadratik Veyl oʻzgarmas koʻphadiga mos keladi. {\displaystyle {\mathfrak {g}}}, lekin aslida koʻplab kommutatsiya saqlangan toʻlovlar yordamida hosil boʻlishi mumkin {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -oʻzgarmas koʻphadlar. Ushbu oʻzgarmas polinomlarni Xarish-Chandra izomorfizmi yordamida topish mumkin. {\displaystyle {\mathfrak {g}}} murakkab, sodda va cheklangan.

Klassik Gaudin modellari sifatida integrallanadigan maydon nazariyalari

Baʼzi bir integral klassik maydon nazariyalari klassik affin Gaudin modellari sifatida shakllantirilishi mumkin, bu erda {\displaystyle {\mathfrak {g}}} affin Li algebrasidir. Bunday klassik maydon nazariyalariga asosiy chiral model, koset sigma modellari va affin Toda maydon nazariyasi kiradi. Shunday qilib, affin Gaudin modellarini integral tizimlar uchun „master nazariya" sifatida koʻrish mumkin, lekin toʻrt oʻlchovli Chern-Simons nazariyasi yoki oʻz-oʻzidan ikkilangan Yang-Mills kabi boshqa asosiy nazariyalardan farqli oʻlaroq, tabiiy ravishda Gamilton formalizmida tuzilgan.

### Gaudin kvant modellari

Gaudin kvant modellarining ajralmas tuzilishi haqida koʻp narsa maʼlum. Xususan, Feigin, Frenkel va Reshetikxin ularni tepalik operatori algebralari nazariyasidan foydalangan holda oʻrganib, Gaudin modellarining matematika mavzulariga, shu jumladan Knijnik-Zamolodchikov tenglamalari va geometrik Langlands muvofiqligini koʻrsatdi.

Manbalar
--------

1. ↑  Garnier, Par M. René (December 1919). "Sur une classe de systèmes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires". *Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo* **43** (1): 155–191. doi:10.1007/BF03014668.
2. ↑  Chudnovsky, D. V. (December 1979). "Simplified Schlesinger's systems". *Lettere al Nuovo Cimento* **26** (14): 423–427. doi:10.1007/BF02817023.
3. ↑  Gaudin, Michel (1976). "Diagonalisation d'une classe d'hamiltoniens de spin". *Journal de Physique* **37** (10): 1087–1098. doi:10.1051/jphys:0197600370100108700.. Qaraldi: 26 September 2022. Garnier integral tizimi]]
4. ↑  Vicedo, Benoit (2017). "On integrable field theories as dihedral affine Gaudin models". arXiv:1701.04856 [hep-th].
5. ↑  Feigin, Boris; Frenkel, Edward; Reshetikhin, Nikolai (3 Apr 1994). "Gaudin Model, Bethe Ansatz and Critical Level". *Commun. Math. Phys.* **166** (1): 27–62. doi:10.1007/BF02099300.