**Statsionar elektromagnit maydonning vektor potensiali**
Zaryadlarning taqsimoti va harakati oʻzgarishiga qarab, ularning maydoni ham oʻzgaradi. Zaryadlarning va toklarning taqsimoti oʻzgarmasa, ularning maydoni ham oʻzgarmaydi.

Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan zaryadlar *statsionar zaryadlar* deyiladi. Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan toklar *statsionar toklar* deyiladi. Demak, statsionar toklar va zaryadlar uchun

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}
{\displaystyle {\frac {\partial {\textbf {j}}}{\partial t}}=0}
Statsionar zaryadlar va toklarning hosil qilgan elektromagnit maydoni ham oʻzgarmaydi, yaʼni

{\displaystyle {\frac {\partial {\textbf {E}}}{\partial t}}=0}
{\displaystyle {\frac {\partial {\textbf {H}}}{\partial t}}=0}
Vaqt oʻtishi bilan kuchlanganliklari oʻzgarmaydigan elektromagnit maydon *statsionar elektromagnit maydon* deyiladi.

Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari
------------------------------------------------------------------

Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari quyidagi shaklni oladi:

{\displaystyle {\textrm {div}}{\textbf {E}}=4\pi \rho ;(1)}
{\displaystyle {\textrm {rot}}{\textbf {E}}=0;(2)}
{\displaystyle {\textrm {div}}{\textbf {H}}=0;(3)}
{\displaystyle {\textrm {rot}}{\textbf {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(4)}
Koʻrinib turibdiki, bu differensial tenglamalar oʻzaro bogʻlanmagan ikkita mustaqil tenglamalar sistemasidan iborat:

1. (1) bilan (2) tenglamalar faqat zaryadlar hosil qilgan elektr maydonni ifodalaydi
2. (3) bilan (4) tenglamalar esa faqat toklar hosil qilgan magnit maydonni ifodalaydi

(2) tenglamadan koʻramizki:

{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\textrm {grad}}\varphi }
u vaqtda, (1) tenglama Poisson tenglamasi shaklini oladi,

{\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi \rho }
Bu tenglamaning yechimi{\displaystyle \varphi =\int {\frac {\rho dV'}{R}}} ga asosan

{\displaystyle \varphi =\int {\frac {\rho dV'}{|{\textbf {r-r'}}|}}}
boʻladi. Statsionar tok hosil qilgan magnit maydon bilan shugʻullanuvchi nazariya *magnitostatika* deyiladi. Magnitostatikaning asosiy tenglamalari (3) va (4) tenglamalarda ifodalangan.

(3) ga muvofiq

{\displaystyle {\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}};(5)}
boʻladi. Bu yerda **A** - magnit maydonning vektor potensiali.

U vaqtda, (4) ga asosan,

{\displaystyle {\textrm {rot}}{\textbf {H}}={\textrm {rot\ rot}}{\textbf {A}}={\textrm {grad\ div}}{\textbf {A}}-\Delta {\textbf {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(6)}
boʻladi. Maʼlumki, har qanday ixtiyoriy {\displaystyle \psi } funksiya gradientining uyurmasi nolga teng:

{\displaystyle {\textrm {rot\ grad}}\psi =0}
Shuning uchun

{\displaystyle {\textbf {A'}}={\textbf {A}}+{\textrm {grad}}\psi }
qilib olingan **A'** vektor ham avvalgi **A** vektor kabi (5) shartga boʻysunadi. Vektor potensialni tekshirishda bunday noaniqlikka yoʻl qoʻymaslik maqsadida ixtiyoriy funksiyani {\displaystyle \psi } shunday qilib tanlaylikki, natijada quyidagi shart bajarilsin:

{\displaystyle {\textrm {div}}{\textbf {A}}=0;(7)}
Bu ifoda vektor potensialning *kalibrovka sharti* deyiladi. (7) ni (6) ga qoʻyilsa, 

{\displaystyle \Delta {\textbf {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(8)}
boʻladi. Bu ifoda - vektor shaklda yozilgan *Poisson tenglamasi*. Uning yechimi esa

{\displaystyle {\textbf {A}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {{\textbf {j}}dV'}{R}};(9)}
boʻladi. Bu yerda {\displaystyle dV} - tok joylashgan sohaning ichki O nuqta atrofidagi hajm elementi (1-rasm), {\displaystyle R} -hajm elementi bilan kuzatish nuqtasidagi vektor potensial.

1-rasm. Statsionar zaryadning uzoq masofada hosil qilgan potensiali
Vektor potensial uchun topilgan (9) ifoda (7) shartga boʻysunadi. Haqiqatdan, kuzatish nuqtasi koordinatalari boʻyicha differensiallash va tok joylashgan hajm boʻyicha integrallash operatsiyalari bir-biriga bogʻliq boʻlmaganligi sababli ularning tartibini oʻzgartirish mumkin:

{\displaystyle {\textrm {div}}{\textbf {A}}={\frac {1}{c}}{\textrm {div}}\int {\frac {{\textbf {j}}dV'}{R}}={\frac {1}{c}}\int {\textrm {div}}{\frac {\textbf {j}}{R}}dV'}
Gauss-Ostrogradskiy teoremasidan foydalansak, tok joylashgan hajmning chekli ekanligi sababli quyidagicha yozishga haqlimiz:

{\displaystyle {\textrm {div}}{\textbf {A}}={\frac {1}{c}}\oint \left({\frac {\textbf {j}}{R}}d\sigma \right)=0}

Yana qarang
-----------

* Statsionar tokning magnit maydoni
* Sekin va tekis harakatlanuvchi zaryadning elektromagnit maydoni
* Zaryadlar sistemasining uzoq masofalardagi magnit maydoni

Adabiyotlar
-----------

* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, T. 1974