**Elastik energiya** — bu material yoki jismoniy tizim konfiguratsiyasida saqlanadigan mexanik potentsial energiya, chunki u bajarilgan ish tufayli elastik deformatsiyaga uchraydi. Elastik energiya jismlar doimiy ravishda siqilgan, choʻzilgan yoki umuman deformatsiyalanganida paydo boʻladi. Elastiklik nazariyasi birinchi navbatda qattiq jismlar va materiallar mexanikasi uchun formalizmlarni ishlab chiqadi. (Eʼtibor bering, choʻzilgan kauchuk tasma tomonidan bajarilgan ish elastik energiyaga misol emas. Bu entropik elastiklikning namunasidir) Elastik potentsial energiya tenglamasi mexanik muvozanat pozitsiyalarini hisoblashda qoʻllaniladi. Energiya potentsialdir, chunki u ob’ekt egiluvchanligi bilan asl shakliga (islohotga) qaytishga ruxsat berilganda, kinetik energiya va tovush energiyasi kabi energiyaning boshqa shakllariga aylanadi.

{\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}
Elastiklikning mohiyati qaytuvchanlikdir. Elastik materialga qoʻllaniladigan kuchlar energiyani materialga oʻtkazadi, bu energiya atrof-muhitga berilgach, asl shaklini tiklay oladi. Biroq, barcha materiallar oʻzlarining ichki tuzilishini buzmasdan yoki qaytarib boʻlmaydigan darajada oʻzgartirmasdan bardosh bera oladigan buzilish darajasining chegaralariga ega. Demak, qattiq materiallarning xarakteristikalari uning elastik chegaralarini, odatda, deformatsiyalar boʻyicha spetsifikatsiyani oʻz ichiga oladi. Elastiklik chegarasidan tashqarida, material elastik energiya shaklida bajarilgan mexanik ishning barcha energiyasini saqlamaydi.

Moddaning yoki uning ichidagi elastik energiya konfiguratsiyaning statik energiyasidir. U asosan yadrolar orasidagi atomlararo masofalarni oʻzgartirish orqali saqlanadigan energiyaga toʻgʻri keladi. Issiqlik energiyasi — kinetik energiyaning material ichida tasodifiy taqsimlanishi, natijada muvozanat konfiguratsiyasi boʻyicha materialning statistik tebranishlari. Biroq, baʼzi oʻzaro taʼsir mavjud. Misol uchun, baʼzi qattiq jismlar uchun burilish, egilish va boshqa buzilishlar issiqlik energiyasini keltirib chiqarishi mumkin, bu esa materialning harorati koʻtarilishiga olib keladi. Qattiq jismlardagi issiqlik energiyasi koʻpincha fononlar deb ataladigan ichki elastik toʻlqinlar tomonidan tashiladi. Izolyatsiya qilingan ob’ekt miqyosida katta boʻlgan elastik toʻlqinlar odatda tasodifiy boʻlmagan makroskopik tebranishlarni hosil qiladi, chunki ularning tebranishlari ob’ekt ichidagi (elastik) potentsial energiya va umuman ob’ekt harakatining kinetik energiyasi oʻrtasidagi takroriy almashinuvdir.

Elastiklik koʻpincha qattiq jismlar yoki materiallar mexanikasi bilan bogʻliq boʻlsa-da, hatto klassik termodinamikaga oid dastlabki adabiyotlarda ham „suyuqlikning egiluvchanligi" yuqoridagi Kirishda keltirilgan keng taʼrifga mos keladigan tarzda aniqlanadi va qoʻllaniladi.

Qattiq moddalarga baʼzan murakkab xatti-harakatlarga ega boʻlgan murakkab kristalli materiallar kiradi. Aksincha, siqiladigan suyuqliklarning va ayniqsa gazlarning xatti-harakati eʼtiborsiz boʻlgan murakkablik bilan elastik energiyaning mohiyatini koʻrsatadi. Oddiy termodinamik formula: {\displaystyle dU=-P\,dV\ ,} Bu erda dU — qayta tiklanadigan ichki energiyaning cheksiz kichik oʻzgarishi *U*, *P* — qaraladigan material namunasiga qoʻllaniladigan bir xil bosim (birlik maydoni uchun kuch), va *dV* — ichki energiyaning oʻzgarishiga mos keladigan hajmning cheksiz oʻzgarishi. Minus belgisi paydo boʻladi, chunki *dV* musbat qoʻllaniladigan bosim bilan siqilish ostida salbiy boʻlib, ichki energiyani ham oshiradi. Orqaga qaytgandan soʻng, tizim *tomonidan* bajariladigan ish uning ichki energiyasining ortib borayotgan hajmning musbat *dV* ga mos keladigan oʻzgarishining salbiy qismidir. Boshqacha qilib aytadigan boʻlsak, tizim atrofdagi ishlarni bajarayotganda toʻplangan ichki energiyani yoʻqotadi. Bosim — bu stress va hajm oʻzgarishi material ichidagi nuqtalarning nisbiy masofasini oʻzgartirishga mos keladi. Yuqoridagi formulaning kuchlanish-deformatsiya-ichki energiya munosabatlari murakkab kristalli tuzilishga ega qattiq materiallarning elastik energiyasi uchun formulalarda takrorlanadi.

Mexanik tizimlarda elastik potentsial energiya
----------------------------------------------

Mexanik tizimlarning tarkibiy qismlari, agar tizimga kuchlar taʼsirida deformatsiyalangan boʻlsa **, elastik potentsial energiyani** saqlaydi. Tashqi kuch ob’ektni siljitganda yoki deformatsiya qilganda energiya ob’ektga ish orqali uzatiladi. Oʻtkazilgan energiya miqdori kuch va ob’ektning siljishining vektor nuqta mahsulotidir. Tizimga kuchlar qoʻllanilganda, ular uning tarkibiy qismlariga ichki taqsimlanadi. Oʻtkazilgan energiyaning bir qismi orttirilgan tezlikning kinetik energiyasi sifatida toʻplanishi mumkin boʻlsa-da, tarkibiy qismlarning deformatsiyasi elastik energiyaning toʻplanishiga olib keladi.

Prototipik elastik komponent bu oʻralgan kamondir. Prujinaning chiziqli elastik koʻrsatkichi bahor konstantasi deb ataladigan proportsionallik doimiysi bilan parametrlanadi. Bu doimiy odatda *k* sifatida belgilanadi (shuningdek , Guk qonuniga qarang) va gʻaltakning geometriyasi, koʻndalang kesimi maydoni, deformatsiyalanmagan uzunligi va materialning tabiatiga bogʻliq. Deformatsiyaning maʼlum diapazonida *k* oʻzgarmas boʻlib qoladi va bu siljishda bahor tomonidan hosil boʻlgan tiklovchi kuchning kattaligiga siljishning salbiy nisbati sifatida aniqlanadi.

{\displaystyle k=-{\frac {F\_{r}}{L-L\_{0}}}}
Deformatsiyalangan uzunlik *L*o dan katta yoki kichik bo lishi mumkin, deformatsiyalanmagan uzunlik, shuning uchun *k ni musbat* ushlab turish uchun *F*r belgisi *L* > *L*o uchun manfiy va musbat bo lgan tiklovchi kuchning vektor komponenti sifatida berilishi kerak. *L* < *L*o sifatida siljish qisqartirilsa



L
−

L

o

=
x
,

{\displaystyle L-L\_{o}=x,}

{\displaystyle L-L_{o}=x,}
u holda Guk qonuni odatiy shaklda yozilishi mumkin:


F

r

=
−
k

x
.

{\displaystyle F\_{r}=-k\,x.}

{\displaystyle F_{r}=-k\,x.}
Deformatsiyalangan va ushlab turilgan energiya qayta tiklanadigan kuchni qoʻllaniladigan kuchning oʻlchovi sifatida hisoblash uchun Guk qonuni yordamida olinishi mumkin. Bu koʻp hollarda etarlicha toʻgʻri boʻlgan taxminni talab qiladi, maʼlum bir momentda qoʻllaniladigan kuchning kattaligi *F* a natijaviy tiklovchi kuchning kattaligiga teng, lekin uning yoʻnalishi va shuning uchun belgisi boshqacha. Boshqacha qilib aytganda, siljishning har bir nuqtasida *F*a = *kx* deb faraz qilaylik, bu yerda *F*a x yoʻnalishi boʻyicha qoʻllaniladigan kuchning tarkibiy qismidir.

{\displaystyle \mathbf {F} \_{a}\cdot \mathbf {x} =F\_{a}\,x.}
Har bir cheksiz kichik joy oʻzgartirish *dx* uchun, qoʻllaniladigan kuch oddiygina *kx* boʻladi va bularning mahsuloti energiyaning bahorga cheksiz kichik oʻtkazilishidir *dU*. Nol siljishdan oxirgi uzunlik L gacha boʻlgan prujinaga joylashtirilgan umumiy elastik energiya demak, integraldir.

{\displaystyle U=\int \_{0}^{L-L\_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L\_{o})^{2}}
Yang modulli material uchun, *Y* (elastiklik moduli bilan bir xil *l*), koʻndalang kesim maydoni, *A*0, boshlangʻich uzunlik, {\displaystyle \Delta l} uzunlikka choʻzilgan *l*0 :

{\displaystyle U\_{e}=\int {\frac {YA\_{0}\Delta l}{l\_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA\_{0}{\Delta l}^{2}}{2l\_{0}}}}
bu yerda Ue — elastik potentsial energiya.

Birlik hajmdagi elastik potentsial energiya quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle {\frac {U\_{e}}{A\_{0}l\_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l\_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}
bu yerda {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l\_{0}}}} bu materialdagi kuchlanishdir.

Umumiy holatda elastik energiya deformatsiya tenzor komponentlari *eij* funksiyasi sifatida *f* hajm birligiga erkin energiya bilan beriladi.

{\displaystyle f(\varepsilon \_{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon \_{ii}^{2}+\mu \varepsilon \_{ij}^{2}}
Bu yerda *l* va *m* — Lamé elastik koeffitsientlari va biz Eynshteyn yigʻish konventsiyasidan foydalanamiz. Stress tensor komponentlari va deformatsiya tensor komponentlari oʻrtasidagi termodinamik aloqani qayd etib:

{\displaystyle \sigma \_{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon \_{ij}}}\right)\_{T},}
Bu yerda *T* pastki belgisi haroratning doimiyligini bildiradi, u holda biz Guk qonuni oʻrinli boʻlsa, elastik energiya zichligini quyidagicha yozishimiz mumkinligini aniqlaymiz.

{\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon \_{ij}\sigma \_{ij}.}

Uzluksiz tizimlar
-----------------

Ommaviy materiya turli yoʻllar bilan buzilishi mumkin: choʻzish, kesish, egilish, burish va boshqalar. Har bir buzilish turi deformatsiyalangan materialning elastik energiyasiga hissa qoʻshadi. Ortogonal koordinatalarda deformatsiyadan kelib chiqadigan hajm birligiga toʻgʻri keladigan elastik energiya shunday hissalar yigʻindisidir:

{\displaystyle U={\frac {1}{2}}C\_{ijkl}\varepsilon \_{ij}\varepsilon \_{kl},}
bu yerda {\displaystyle C\_{ijkl}} 4- darajali tensor boʻlib, elastik tensor yoki qattiqlik tenzori deb ataladi, bu mexanik tizimlarning elastik modullarining umumlashtirilishi va {\displaystyle \varepsilon \_{ij}} deformatsiya tenzoridir (Eynshteyn yigʻindisi yozuvi takrorlangan indekslar ustidan yigʻindini bildirish uchun ishlatilgan). {\displaystyle C\_{ijkl}} ning qiymatlari materialning kristall tuzilishiga bogʻliq: umumiy holda, nosimmetrik tabiatga bogʻliq {\displaystyle \sigma } va {\displaystyle \varepsilon }, elastik tensor 21 ta mustaqil elastik koeffitsientdan iborat. Bu raqam materialning simmetriyasi bilan yanada kamayishi mumkin: ortorombik kristal uchun 9, olti burchakli struktura uchun 5 va kubik simmetriya uchun 3. Va nihoyat, izotropik material uchun faqat ikkita mustaqil parametr mavjud:

{\displaystyle C\_{ijkl}=\lambda \delta \_{ij}\delta \_{kl}+\mu \left(\delta \_{ik}\delta \_{jl}+\delta \_{il}\delta \_{jk}\right)},
bu yerda {\displaystyle \lambda } va {\displaystyle \mu } Lame konstantalari va {\displaystyle \delta \_{ij}} Kroneker deltasidir. Deformatsiya tensorining oʻzi buzilishni har qanday tarzda aks ettirish uchun aniqlanishi mumkin, bu esa umumiy aylanishda oʻzgarmaslikka olib keladi, lekin elastik tensorlar odatda ifodalanadigan eng keng tarqalgan taʼrif deformatsiyani barcha chiziqli boʻlmagan shartlar bilan siljish gradientining simmetrik qismi sifatida belgilaydi. bostirilgan:

{\displaystyle \varepsilon \_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial \_{i}u\_{j}+\partial \_{j}u\_{i}\right)}
bu yerda {\displaystyle u\_{i}} nuqtadagi siljishdir {\displaystyle i} -chi yoʻnalish va {\displaystyle \partial \_{j}} da qisman hosila hisoblanadi {\displaystyle j} -chi yoʻnalish. Shu esta tutilsinki:

{\displaystyle \varepsilon \_{jj}=\partial \_{j}u\_{j}}
yigʻindisi moʻljallanmagan joyda. Toʻliq Eynshteyn yozuvi koʻtarilgan va tushirilgan indekslar juftlarini yigʻindisiga qaramasdan, elastik va deformatsiya tensor komponentlarining qiymatlari odatda barcha indekslar tushirilgan holda ifodalanadi. Shunday qilib, ehtiyot boʻling (bu erda boʻlgani kabi) baʼzi kontekstlarda takrorlangan indeks ushbu indeksning ortiqcha qiymatlarini anglatmaydi ({\displaystyle j} bu holda), lekin tensorning faqat bitta komponenti boʻladi.

Manbalar
--------

1. ↑  Landau, L.D.*. Theory of Elasticity*, 3rd, Oxford, England: Butterworth Heinemann, 1986. ISBN 0-7506-2633-X.
2. ↑  Maxwell, J.C.*. Theory of Heat*, 9th Peter Pesic:, Mineola, N.Y.: Dover Publications Inc. 1888. ISBN 0-486-41735-2.
3. ↑  Dove, Martin T.*. Structure and dynamics : an atomic view of materials*. Oxford: Oxford University Press, 2003. ISBN 0-19-850677-5. OCLC 50022684.
4. ↑  Nye, J. F.*. Physical properties of crystals : their representation by tensors and matrices*, 1st published in pbk. with corrections, 1985, Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press, 1985. ISBN 0-19-851165-5. OCLC 11114089.
5. ↑  Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (2014-12-05). "Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems" (en). *Physical Review B* **90** (22): 224104. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121.

Adabiyotlar
-----------

* Eshelby, J.D (November 1975). "The elastic energy-momentum tensor". Journal of Elasticity. 5 (3–4): 321–335.