kulrang kvadrat maydoni = kulrang toʻrtburchaklar maydoni: {\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}
**Toʻgʻri burchakli uchburchak balandlik teoremasi** yoki **oʻrtacha geometrik teorema** toʻgʻri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning balandligi va u gipotenuzada yaratgan ikkita chiziq segmenti oʻrtasidagi munosabatni tavsiflovchi elementar geometriya natijasi boʻladi. Unda aytilishicha, ikkita segmentning geometrik oʻrtacha qiymati balandlikka teng boʻladi.

Teorema va ilovalar
-------------------

 *q* ni 1 ga o‘rnatish orqali √ *p* ni topish
Agar *h* toʻgʻri burchakli uchburchakdagi balandlikni va *p* va *q* gipotenuzadagi segmentlarni bildirsa, teorema quyidagicha ifodalanishi mumkin:

{\displaystyle h={\sqrt {pq}}}
yoki kvadratlari boʻyicha:

{\displaystyle h^{2}=pq.}
 AM-GM tengsizligi
Toʻrtburchakni oʻlchagich va sirkul yordamida kvadratga oshirish usulini beradi, yaʼni berilgan toʻrtburchakning maydoniga teng kvadratiga teng boʻladi. Tomonlari *p* va *q* boʻlgan bunday toʻrtburchak uchun uning yuqori chap uchini *D* bilan belgilaymiz. Endi biz *q* segmentini chap tomonga *p* ga choʻzamiz (markazi *D* ga yoʻnaltirilgan *AE* yoyi yordamida) va uning diametri sifatida yangi *p+q* segmenti bilan *A* va *B* soʻnggi nuqtalari boʻlgan yarim doira chizamiz. Keyin *D* dagi diametrga perpendikulyar chiziqni *C* dagi yarim doira kesib oʻtamiz. Thales teoremasi tufayli *C* va diametri toʻgʻri burchakli uchburchakni tashkil qiladi, uning balandligi *DC* chiziq segmenti bilan, shuning uchun *DC* toʻrtburchakning maydoni boʻlgan kvadratning tomoni boʻladi. Usul shuningdek, kvadrat ildizlarni qurishga imkon beradi (konstruksiya qilinadigan raqamga qarang), chunki kengligi 1 ga teng boʻlgan toʻrtburchakdan boshlanadi, qurilgan kvadrat toʻrtburchak uzunligining kvadrat ildiziga teng boʻlgan tomon uzunligiga teng boʻladi.

Boshqa ilovasi ikkita raqam holatida AM-GM tengsizligining geometrik isbotini beradi. *P* va *q* raqamlari uchun diametri *p+q* boʻlgan yarim doira quriladi. Endi balandlik geometrik oʻrtachani va radius ikki raqamning oʻrtacha arifmetik qiymatini ifodalaydi. Balandlik har doim radiusdan kichikroq yoki teng boʻlganligi sababli, bu tengsizlikni keltirib chiqaradi.

 geometrik oʻrtacha teorema akkord teoremasining maxsus holati sifatida: {\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq}
Teoremani aylana uchun kesishuvchi akkordlar teoremasining maxsus holati sifatida ham koʻrib chiqish mumkin, chunki Thales teoremasining teskarisi toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi uning aylana diametriga teng boʻladi.

Qarama-qarshi teorema ham haqiqatdir. Balandligi u tomonidan yaratilgan ikkita chiziq segmentining geometrik oʻrtachasiga teng boʻlgan har qanday uchburchak toʻgʻri burchakli uchburchak hisoblanadi.

Tarixi
------

Teorema odatda Evklidga (taxminan miloddan avvalgi 360-280-yillar) tegishli boʻlib, u buni oʻzining "Elementlar "ning VI kitobidagi 8-mulohazaning natijasi sifatida bayon qilgan. II kitobning 14-taklifida Evklid toʻrtburchakni kvadratga solish usulini beradi, bu asosan bu erda keltirilgan usulga mos keladi. Biroq, Evklid oʻrtacha geometrik teoremaga tayanishdan koʻra, qurilishning toʻgʻriligi uchun biroz murakkabroq isbotni ham taqdim etadi.

Isbot
-----

### Oʻxshashlik asosida

{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC}
**Teoremaning isboti** :

Uchburchaklar {\displaystyle \triangle ADC} va {\displaystyle \triangle BCD} oʻxshash, chunki:

* uchburchaklarni koʻrib chiqing {\displaystyle \triangle ABC,\triangle ACD}, bizda bor {\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }} va {\displaystyle \angle BAC=\angle CAD}, shuning uchun AA postulati bilan {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD}
* Bundan tashqari, uchburchaklarni koʻrib chiqamiz{\displaystyle \triangle ABC,\triangle BCD}, bizda bor {\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }} va {\displaystyle \angle ABC=\angle CBD}, shuning uchun AA postulati bilan {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD}

Shunday qilib, ikkala uchburchak ham {\displaystyle \triangle ACD} va {\displaystyle \triangle BCD} ga oʻxshaydi {\displaystyle \triangle ABC} va ular, yaʼni {\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD} .

Oʻxshashlik tufayli biz quyidagi nisbatlar tengligini olamiz va uning algebraik qayta tashkil etilish teoremasini beradi:

{\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}
**Suhbatning isboti:**

Teskari uchun bizda uchburchak bor {\displaystyle \triangle ABC} qaysi ichida {\displaystyle h^{2}=pq} tutadi va *C* dagi burchak toʻgʻri burchak ekanligini koʻrsatishi kerak. Shu tufayli {\displaystyle h^{2}=pq} bizda bor {\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}. Bilan birga {\displaystyle \angle ADC=\angle CDB} uchburchaklar {\displaystyle \triangle ADC} va {\displaystyle \triangle BDC} teng oʻlchamdagi burchakka ega va bir xil nisbatda mos keladigan juft oyoqlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uchburchaklar oʻxshash boʻlib, natija beradi:

{\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}
### Pifagor teoremasi asosida

 Pifagor teoremasi bilan isbotlash
Geometrik oʻrtacha teoremani oʻrnatishda uchta toʻgʻri burchakli uchburchak mavjud {\displaystyle \triangle ABC}, {\displaystyle \triangle ADC} va {\displaystyle \triangle DBC}, bunda Pifagor teoremasi quyidagicha natijalarni beradi:

{\displaystyle h^{2}=a^{2}-q^{2}}, {\displaystyle h^{2}=b^{2}-p^{2}} va {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
Birinchi ikkita tenglamani qoʻshib, uchinchisini qoʻllash quyidagilarga olib keladi:

{\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq} .
Ikkiga boʻlinish natijasida geometrik oʻrtacha teorema formulasi paydo boʻladi:

### Dissektsiya va qayta tartibga solishga asoslangan

Toʻgʻri burchakli uchburchakni *h* balandligi boʻylab kesib tashlasak, ikkita oʻxshash uchburchak hosil boʻladi, ularni ikki muqobil usulda kattalashtirish va tomonlari *p+h* va *q+h* uzunliklariga perpendikulyar boʻlgan kattaroq toʻgʻri burchakli uchburchak shaklida joylashtirish mumkin boʻladi. Bunday tartiblardan biri uni bajarish uchun *h 2* maydonning kvadratini, ikkinchisi *pq* maydonining toʻrtburchaklarini talab qiladi. Ikkala tartib ham bir xil uchburchakni berganligi sababli, kvadrat va toʻrtburchakning maydonlari bir xil boʻlishi kerak.

### Kesish xaritalariga asoslangan

Balandlik kvadratini uchta qirqim xaritasi yordamida *p* va *q* tomonlari boʻlgan teng maydonli toʻrtburchakka aylantirish mumkin (qirqish xaritalari maydonni saqlaydi) boʻladi:

 Har bir parallelogramm oldingi kvadratdan boshlab, ular bilan bogʻlangan qoʻzgʻalmas chiziqlari (nuqta) bilan kesishma xaritalari, har bir parallelogramma uning chap qismidagi qirqimli xaritalash tasvirini aks etadi.

Manbalar
--------

1. 1 2 3 4 5  Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: *Elementargeometrie*. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, pp. 76-77 (German, *online copy* Google Booksda)
2. ↑  Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images*. MAA 2011, ISBN 9780883853528, pp. 31-32 (*online copy* Google Booksda)
3. ↑  Euclid: *Elements*, book II — prop. 14, book VI — pro6767800hshockedmake, me uoppppp. 8, (online copy)

Havolalar
---------

* Kesilgan *tugundagi geometrik oʻrtacha*