Kvant mexanikasida **toʻgʻri burchakli** (yoki baʼzan **kvadrat**) **potensial toʻsiq** toʻlqin-mexanik tunnel (shuningdek, „kvant tunnellash" deb ataladi) va toʻlqin-mexanik aks ettirish hodisalarini koʻrsatadigan standart bir oʻlchovli muammodir. Muammo toʻrtburchaklar potentsial energiya toʻsigʻiga duch kelgan zarra uchun bir oʻlchovli vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasini echishdan iborat. Odatda, bu yerda boʻlgani kabi, erkin zarracha toʻsiqqa chap tomondan uriladi deb taxmin qilinadi.

Klassik jihatdan nuqta massasi sifatida harakat qiladigan zarracha, agar uning energiyasi kamroq boʻlsa, aks ettiriladi {\displaystyle V\_{0}}, haqiqatda oʻzini materiya toʻlqini sifatida tutadigan zarrachaning toʻsiqdan oʻtib ketishi va boshqa tomondan toʻlqin sifatida harakatini davom ettirish ehtimoli nolga teng boʻlmagan. Klassik toʻlqin fizikasida bu taʼsir yoʻqolgan toʻlqin birikmasi deb nomlanadi. Zarrachaning toʻsiqdan oʻtish ehtimoli uzatish koeffitsienti bilan, aks ettirish ehtimoli esa, aks ettirish koeffitsienti bilan beriladi. Shredingerning toʻlqin tenglamasi bu koeffitsientlarni hisoblash imkonini beradi.

Hisoblash
---------

 Balandlikning cheklangan potensial toʻsigʻida tarqalish {\displaystyle V\_{0}}. Chap va oʻng harakatlanuvchi toʻlqinlarning amplitudalari va yoʻnalishi koʻrsatilgan. Qizil rangda bu toʻlqinlar aks ettirish va uzatish amplitudasini olish uchun ishlatiladi. {\displaystyle E>V\_{0}} bu tasvir uchun.
Toʻlqin funksiyasi uchun vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasi {\displaystyle \psi (x)} oʻqiydi:

{\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}

bu yerda {\displaystyle {\hat {H}}} Gamiltoniyalik, {\displaystyle \hbar } (kamaytirilgan) Plank doimiysi, {\displaystyle m} massa hisoblanadi, {\displaystyle E} zarrachaning energiyasi va

{\displaystyle V(x)=V\_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]}

balandlik bilan toʻsiq potensiali hisoblanadi {\displaystyle V\_{0}>0} va kenglik {\displaystyle a}. {\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0} Bu Heaviside qadam funksiyasi, yaʼni,

{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V\_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}

Toʻsiq oʻrtasida joylashgan {\displaystyle x=0} va {\displaystyle x=a}. Toʻsiqni har qanday joyga oʻtkazish mumkin {\displaystyle x} natijalarni oʻzgartirmasdan pozitsiya. Gamiltonda birinchi atama, {\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi } kinetik energiya hisoblanadi.

Toʻsiq boʻshliqni uch qismga ajratadi ({\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}) Ushbu qismlarning har qandayida potentsial doimiydir, yaʼni zarracha kvazi-erkindir va Shredinger tenglamasining yechimini chap va oʻng harakatlanuvchi toʻlqinlarning superpozitsiyasi sifatida yozish mumkin (erkin zarrachaga qarang) Agar {\displaystyle E>V\_{0}}

{\displaystyle {\begin{cases}\psi \_{L}(x)=A\_{r}e^{ik\_{0}x}+A\_{l}e^{-ik\_{0}x}&x<0\\\psi \_{C}(x)=B\_{r}e^{ik\_{1}x}+B\_{l}e^{-ik\_{1}x}&0<x<a\\\psi \_{R}(x)=C\_{r}e^{ik\_{0}x}+C\_{l}e^{-ik\_{0}x}&x>a\end{cases}}}

bu yerda toʻlqin raqamlari orqali energiya bilan bogʻliq

{\displaystyle {\begin{cases}k\_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k\_{1}={\sqrt {2m(E-V\_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}

indeks {\displaystyle r/l} koeffitsientlar boʻyicha {\displaystyle A} va {\displaystyle B} tezlik vektorining yoʻnalishini bildiradi. Eʼtibor bering, agar zarrachaning energiyasi toʻsiq balandligidan past boʻlsa, {\displaystyle k\_{1}} xayoliy boʻladi va toʻlqin funksiyasi toʻsiq ichida eksponent ravishda parchalanadi. Shunga qaramay, biz belgini saqlab qolamiz {\displaystyle r/l} bu holatda toʻlqinlar endi tarqalmasa ham. Bu yerda biz taxmin qildik {\displaystyle E\neq V\_{0}}. Ish {\displaystyle E=V\_{0}} quyida muomala qilinadi.

Koeffitsientlar {\displaystyle A,B,C} da toʻlqin funksiyasining chegara shartlaridan topish kerak {\displaystyle x=0} va {\displaystyle x=a}. Toʻlqin funksiyasi va uning hosilasi hamma joyda uzluksiz boʻlishi kerak, shuning uchun

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi \_{L}(0)&=\psi \_{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi \_{L}}{dx}}\right|\_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi \_{C}}{dx}}\right|\_{x=0}\\\psi \_{C}(a)&=\psi \_{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi \_{C}}{dx}}\right|\_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi \_{R}}{dx}}\right|\_{x=a}.\end{aligned}}}
Toʻlqin funksiyalarini kiritish, chegara shartlari koeffitsientlarga quyidagi cheklovlarni beradi:

{\displaystyle A\_{r}+A\_{l}=B\_{r}+B\_{l}}

{\displaystyle ik\_{0}(A\_{r}-A\_{l})=ik\_{1}(B\_{r}-B\_{l})}

{\displaystyle B\_{r}e^{iak\_{1}}+B\_{l}e^{-iak\_{1}}=C\_{r}e^{iak\_{0}}+C\_{l}e^{-iak\_{0}}}

{\displaystyle ik\_{1}\left(B\_{r}e^{iak\_{1}}-B\_{l}e^{-iak\_{1}}\right)=ik\_{0}\left(C\_{r}e^{iak\_{0}}-C\_{l}e^{-iak\_{0}}\right).}

*E* = *V* 0
-----------

Agar energiya toʻsiq balandligiga teng boʻlsa, toʻsiq mintaqasi ichidagi toʻlqin funksiyasining ikkinchi differentsiali 0 ga teng boʻladi va shuning uchun Shredinger tenglamasining echimlari endi eksponensial emas, balki fazo koordinatasining chiziqli funksiyalari boʻladi.


ψ

C

(
x
)
=

B

1

+

B

2

x

0
<
x
<
a
.

{\displaystyle \psi \_{C}(x)=B\_{1}+B\_{2}x\quad 0<x<a.}

{\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0<x<a.}
Shredinger tenglamasining toʻliq yechimi yuqoridagi kabi toʻlqin funksiyalari va ularning hosilalarini moslashtirish orqali topiladi. {\displaystyle x=0} va {\displaystyle x=a}. Bu koeffitsientlarda quyidagi cheklovlarga olib keladi:


A

r

+

A

l

=

B

1

{\displaystyle A\_{r}+A\_{l}=B\_{1}}

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{1}}

i

k

0

(

A

r

−

A

l

)
=

B

2

{\displaystyle ik\_{0}(A\_{r}-A\_{l})=B\_{2}}

{\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=B_{2}}


B

1

+

B

2

a
=

C

r

e

i
a

k

0

+

C

l

e

−
i
a

k

0



{\displaystyle B\_{1}+B\_{2}a=C\_{r}e^{iak\_{0}}+C\_{l}e^{-iak\_{0}}}

{\displaystyle B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}


B

2

=
i

k

0

(

C

r

e

i
a

k

0

−

C

l

e

−
i
a

k

0


)

.

{\displaystyle B\_{2}=ik\_{0}\left(C\_{r}e^{iak\_{0}}-C\_{l}e^{-iak\_{0}}\right).}

{\displaystyle B_{2}=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}

Transmissiya va aks ettirish
----------------------------

Shu oʻrinda vaziyatni klassik holat bilan solishtirish ibratlidir. Ikkala holatda ham zarracha oʻzini toʻsiq hududidan tashqarida erkin zarracha sifatida tutadi. Energiyaga ega klassik zarracha {\displaystyle E} toʻsiq balandligidan kattaroqdir {\displaystyle V\_{0}} *har doim* toʻsiqdan oʻtadi va klassik zarracha bilan {\displaystyle E<V\_{0}} toʻsiqdagi voqea *har doim* aks ettirilgan.

Kvant holatini oʻrganish uchun quyidagi vaziyatni koʻrib chiqing: zarrachaning chap tomondan toʻsiqqa tushishi ({\displaystyle A\_{r}}). aks ettirilishi mumkin ({\displaystyle A\_{l}}) yoki uzatilgan ({\displaystyle C\_{r}}).

Chapdan tushish uchun aks ettirish va uzatish amplitudalarini topish uchun biz yuqoridagi tenglamalarni qoʻyamiz. {\displaystyle A\_{r}=1} (kiruvchi zarracha), {\displaystyle A\_{l}=r} (aks ettirish), {\displaystyle C\_{l}=0} (oʻngdan kiruvchi zarracha yoʻq) va {\displaystyle C\_{r}=t} (yuqish). Keyin koeffitsientlarni yoʻq qilamiz {\displaystyle B\_{l},B\_{r}} tenglamadan {\displaystyle r} va {\displaystyle t}. va yechish

Natijada:



t
=

4

k

0

k

1

e

−
i
a
(

k

0

−

k

1

)

(

k

0

+

k

1

)

2

−

e

2
i
a

k

1

(

k

0

−

k

1

)

2


{\displaystyle t={\frac {4k\_{0}k\_{1}e^{-ia(k\_{0}-k\_{1})}}{(k\_{0}+k\_{1})^{2}-e^{2iak\_{1}}(k\_{0}-k\_{1})^{2}}}}

{\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}

r
=

(

k

0

2

−

k

1

2

)
sin
⁡
(
a

k

1

)

2
i

k

0

k

1

cos
⁡
(
a

k

1

)
+
(

k

0

2

+

k

1

2

)
sin
⁡
(
a

k

1

)

.

{\displaystyle r={\frac {(k\_{0}^{2}-k\_{1}^{2})\sin(ak\_{1})}{2ik\_{0}k\_{1}\cos(ak\_{1})+(k\_{0}^{2}+k\_{1}^{2})\sin(ak\_{1})}}.}

{\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}
Modelning koʻzgu simmetriyasi tufayli oʻngdan tushish amplitudalari chap tomondagilar bilan bir xil. Bu formulalar har qanday energiya uchun amal qiladi: {\displaystyle E>0}, {\displaystyle E\neq V\_{0}}. Agar {\displaystyle E=V\_{0}}, keyin {\displaystyle k\_{1}=0}, demak, bu formulalarning ikkalasida ham birlik bor.

Manbalar
--------

* ingliz tilidagi manba
* K.Krane „Introduction nuclear physics"