**Birinchi darajali cheklovlar** cheklangan Gamilton tizimidagi dinamik miqdor boʻlib, uning boshqa barcha cheklovlari bilan Puasson qavslari fazalar fazosidagi **cheklash yuzasida** yoʻqoladi (barcha cheklovlarning bir vaqtning oʻzida yoʻqolishi bilan aniq belgilangan sirt). Birinchi sinf cheklovini hisoblash uchun **ikkinchi sinf cheklovlari** mavjud emas yoki ular ilgari hisoblangan va ularning Dirac qavslari yaratilgan deb taxmin qilinadi.

Birinchi va ikkinchi darajali cheklovlar Dirac tomonidan kiritilgan simplektik shakl degenerativ boʻlgan oʻlchov nazariyalari kabi mexanik tizimlarni kvantlash usuli sifatida .

Birinchi va ikkinchi darajali cheklovlar terminologiyasi birlamchi va ikkilamchi cheklovlar terminologiyasiga chalkash darajada oʻxshash boʻlib, ularning paydo boʻlish usulini aks ettiradi. Ushbu boʻlinmalar mustaqildir: birinchi va ikkinchi sinf cheklovlari asosiy yoki ikkilamchi boʻlishi mumkin, shuning uchun bu toʻrt xil cheklovlar sinfini beradi.

Puasson qavslari
----------------

Ustida silliq Gamiltonian boʻlgan *M* Puasson manifoldini koʻrib chiqaylik (maydon nazariyalari uchun *M* cheksiz oʻlchovli boʻladi).

Aytaylik, bizda qandaydir cheklovlar bor

{\displaystyle f\_{i}(x)=0,}
*n ta* silliq funksiyalar uchun

{\displaystyle \{f\_{i}\}\_{i=1}^{n}}
Bular faqat umumiy sxema boʻyicha aniqlanadi. Faraz qilaylik, cheklangan toʻplamning hamma joyida *n ta* funksiyaning *n* hosilalari chiziqli mustaqil boʻlsin va Puasson qavslari ham

{\displaystyle \{f\_{i},f\_{j}\}}
va

{\displaystyle \{f\_{i},H\}}
hammasi cheklangan pastki fazoda yoʻqoladi.

Bu biz quyidagini yozishimiz mumkinligini anglatadi

{\displaystyle \{f\_{i},f\_{j}\}=\sum \_{k}c\_{ij}^{k}f\_{k}}
baʼzi silliq funktsiyalar uchun {\displaystyle c\_{ij}^{k}} −−buni koʻrsatuvchi teorema mavjud; va

{\displaystyle \{f\_{i},H\}=\sum \_{j}v\_{i}^{j}f\_{j}}
baʼzi silliq funktsiyalar uchun {\displaystyle v\_{i}^{j}}.

Buni birlik boʻlimi yordamida global miqyosda qilish mumkin. Keyin, biz kamaytirilmaydigan **birinchi darajali cheklovga** egamiz deymiz (bu erda *kamaytirilmaydi* vakillik nazariyasida qoʻllaniladiganidan boshqacha maʼnoda).

Geometrik nazariya
------------------

Yana oqlangan usul uchun vektor toʻplami berilgan deylik {\displaystyle {\mathcal {M}}}, bilan {\displaystyle n} — oʻlchovli tolalar {\displaystyle V}. Ushbu vektor toʻplamini ulanish bilan jihozlang. Aytaylik, bizda ham bu toʻplamning silliq f qismi bor.

U holda f ning ulanishga nisbatan kovariant hosilasi silliq chiziqli xaritadir {\displaystyle \nabla f} tangens toʻplamidan {\displaystyle T{\mathcal {M}}} uchun {\displaystyle V}, bu asosiy nuqtani saqlaydi. Bu chiziqli xarita toʻgʻri teskari deb faraz qiling (yaʼni chiziqli xarita mavjud {\displaystyle g} shu kabi {\displaystyle (\Delta f)g} identifikatsiya xaritasidir) f ning nollarida barcha tolalar uchun. Keyin, yashirin funktsiya teoremasiga koʻra, f ning nollarning pastki fazosi submanifold hisoblanadi.

Oddiy Puasson qavs faqat ustida aniqlanadi {\displaystyle C^{\infty }(M)}, *M* ustidan silliq funksiyalar fazosi. Biroq, ulanishdan foydalanib, agar biz tolalar sifatida *V* -tensorlarning darajali algebrasi bilan algebra toʻplami bilan ishlasak, uni f ning silliq kesmalari boʻshligʻiga kengaytira olamiz.

Faraz qilaylik, bu Puasson qavs ostida, {\displaystyle \{f,f\}=0} (Eʼtibor bering, bu haqiqat emas {\displaystyle \{g,g\}=0} umuman, bu „kengaytirilgan Puasson qavs" uchun endi) va {\displaystyle \{f,H\}=0} f ning nollarning submanifoldida (Agar bu qavslar ham hamma joyda nolga teng boʻlsa, biz cheklovlar qobiqni yopish deb aytamiz). Koʻrinib turibdiki, toʻgʻri oʻzgarmaslik sharti va oqim sharoitlarining kommutativligi ulanishni tanlashga *bogʻliq emas*. Shunday qilib, biz faqat cheklangan pastki boʻshliq bilan ishlayotgan boʻlsak, ulanishni toʻxtatishimiz mumkin.

Intuitiv maʼno
--------------

Bularning barchasi intuitiv ravishda nimani anglatadi? Bu Gamilton va cheklov oqimlari bir-biri bilan chegaralangan pastki **fazoda** harakatlanishini bildiradi; yoki muqobil ravishda, agar biz cheklangan pastki fazodagi nuqtadan boshlasak, u holda Gamilton va cheklov oqimlari nuqtani cheklangan pastki fazoning boshqa nuqtasiga olib keladi.

Biz oʻzimizni faqat cheklangan pastki fazo bilan cheklashni xohlayotganimiz sababli, bu Gamiltonian yoki boshqa har qanday jismoniy kuzatilishi mumkin boʻlgan fazoni faqat shu pastki fazoda aniqlash kerakligini koʻrsatadi. Ekvivalent tarzda biz simplektik manifold ustidagi silliq funktsiyalarning ekvivalentlik sinfini koʻrib chiqishimiz mumkin, ular cheklangan pastki fazoga (f lar tomonidan yaratilgan ideal boʻlinma algebrasi, boshqacha qilib aytganda) mos keladi.

Gap shundaki, cheklangan pastki fazodagi Gamiltonian oqimlari uning qiymatiga emas, balki u yerdagi Gamiltonianning gradientiga bogʻliq. Ammo bu holatdan chiqishning oson yoʻli bor.

f lar hosil qilgan simplektik oqimlar taʼsirida cheklangan pastki fazoning orbitalariga qarang. Bu integrallanish shartlarini (Frobenius teoremasi) qanoatlantirgani uchun ostfazoning mahalliy foliyatini beradi. Maʼlum boʻlishicha, agar biz cheklangan ostfazoda bir xil orbitadagi ikkita turli nuqtadan boshlasak va ikkalasini ham cheklangan pastki fazoga mos ravishda ikki xil Gamiltonian ostida rivojlantirsak, ikkala nuqtaning ham tegishli Gamilton oqimlari ostidagi vaqt evolyutsiyasi boʻladi. har doim bir xil orbitada teng vaqtlarda yotadi. Bundan tashqari, agar bizda hech boʻlmaganda cheklangan pastki fazoda (yaʼni, jismoniy kuzatilishi mumkin boʻlgan) orbitalarda doimiy boʻlgan ikkita silliq funksiya *A* 1 va *B* 1 boʻlsa, chiqadi. {A 1 ,f}={B 1 ,f}=0 chegaralangan pastki fazoda) va yana ikkita A 2 va B 2, ular orbitalarda ham doimiy boʻlib, A 1 va B 1 mos ravishda A 2 va B 2 ga mos keladi. chegaralangan ostfazoda, keyin ularning Puasson qavslari {A 1, B 1 } va {A 2, B 2 } ham orbitalar ustida doimiy va cheklangan pastki fazoda mos keladi.

Umuman olganda, "ergodik "oqimlarni (bu asosan orbita qandaydir ochiq toʻplamda zich boʻlishini anglatadi) yoki „subergodik" oqimlarni (orbita oʻlchamidan kattaroq oʻlchamdagi submanifoldda zichroq orbita) istisno qilib boʻlmaydi. Biz oʻzimizni kesib oʻtadigan orbitalarga ega boʻla olmaymiz.

Birinchi darajali cheklovlarning koʻpgina „amaliy" qoʻllanilishi uchun biz bunday asoratlarni koʻrmayapmiz: f-oqimlari tomonidan cheklangan pastki fazoning (boshqacha aytganda, orbita boʻshligʻi) differensial koʻp qirrali rolini oʻynash uchun etarli darajada yaxshi ishlaydi. uni M ning simplektik shaklini proyeksiyalash orqali simplektik manifoldga aylantirish mumkin (buni yaxshi aniqlanganligini koʻrsatish mumkin). Yuqorida aytib oʻtilgan jismoniy kuzatuvlar boʻyicha kuzatuvlardan kelib chiqqan holda, biz ushbu „jismoniy" kichikroq simplektik manifold bilan ishlashimiz mumkin, ammo 2n kamroq oʻlchamlar bilan.

Umuman olganda, aniq hisob-kitoblarni amalga oshirishda (diffeomorfizm cheklovlari bilan ishlashda nolokal haqida gapirmasa ham boʻladi) boʻsh joy bilan ishlash biroz qiyin, shuning uchun uning oʻrniga odatda bajariladigan narsa shunga oʻxshash. Eʼtibor bering, cheklangan submanifold — bu boʻlim manifoldu ustidagi toʻplam (lekin umuman tolalar toʻplami emas). Shunday qilib, koʻrsatkich manifoldi bilan ishlash oʻrniga, biz toʻplamning bir qismi bilan ishlashimiz mumkin. Bu oʻlchagichni mahkamlash deb ataladi.

*Asosiy* muammo shundaki, bu toʻplamda umuman global boʻlim boʻlmasligi mumkin. Masalan, global anomaliyalar „muammosi" aynan shu erda paydo boʻladi. Global anomaliya Gribov noaniqligidan farq qiladi, yaʼni oʻlchagichni mahkamlash oʻlchovni yagona tuzatish uchun ishlamasa, global anomaliyada oʻlchov maydonining izchil taʼrifi yoʻq. Global anomaliya 1980 yilda Vitten tomonidan kashf etilgan kvant oʻlchagich nazariyasini aniqlash uchun toʻsiqdir.

Taʼriflangan narsa — bu kamaytirilmaydigan birinchi darajali cheklovlar. Yana bir murakkablik shundaki, Δ*f* 1 yoki undan katta kodimensiyaning cheklangan submanifoltning pastki fazolarida toʻgʻri teskari boʻlmasligi mumkin (bu ushbu maqolada ilgari aytilgan kuchliroq taxminni buzadi). Bu, masalan, umumiy nisbiylikning kotetrad formulasida, kotetrad maydoni va ulanish shakli fazoning baʼzi ochiq kichik toʻplamida nolga teng boʻlgan konfiguratsiyalar pastki fazosida sodir boʻladi. Bu yerda cheklovlar diffeomorfizm cheklovlaridir.

Buni yengib oʻtishning bir yoʻli quyidagicha: Qaytariladigan cheklovlar uchun Δ*f* ning toʻgʻri teskari oʻzgarishi shartini shu shartga boʻshashtiramiz: *f* ning nollarida yoʻq boʻlib ketadigan har qanday silliq funksiya *f* ning tola boʻylab qisqarishi (nonoyob boʻlmagan) hisoblanadi.) a ning silliq kesimi {\displaystyle {\bar {V}}} -vektor toʻplami qayerda {\displaystyle {\bar {V}}} cheklovchi vektor fazo *V* ga ikki tomonlama vektor fazosidir. Bu *muntazamlik sharti* deb ataladi.

Lagranj oʻlchovi nazariyasidan cheklangan Gamilton dinamikasi
-------------------------------------------------------------

Avvalo, biz harakatni faqat maydonlarning birinchi hosilasiga bogʻliq boʻlgan mahalliy Lagrangianning integrali deb hisoblaymiz. Mumkin boʻlsa-da, umumiy holatlarni tahlil qilish ancha murakkab. Gamilton formalizmiga oʻtsak, biz cheklovlar mavjudligini topamiz. Eslatib oʻtamiz, harakat formalizmida qobiqdagi va qobiqdan tashqari konfiguratsiyalar mavjud. Qobiqni ushlab turuvchi cheklovlar birlamchi cheklovlar deb ataladi, faqat qobiqni ushlab turadiganlar esa ikkilamchi cheklovlar deb ataladi.

### Misollar

S oʻlchovli pseudo-Reimann fazo- **vaqt** manifoldida harakatlanadigan ichki erkinlik darajalari boʻlmagan m massali bir nuqtali zarrachaning dinamikasini koʻrib chiqaylik. Shuningdek, zarrachaning traektoriyasini tavsiflovchi parametr τ ixtiyoriy deb faraz qilaylik (yaʼni biz reparametrizatsiya oʻzgarmasligini talab qilamiz). Keyin, uning simplektik fazosi kanonik simplektik shaklga ega boʻlgan *T\*S* kotangent toʻplamidir ω .

Agar biz *T*\**S ni S* S manifolddagi x pozitsiyasi va **p** kotangent fazodagi oʻrni bilan muvofiqlashtirsak, unda biz cheklovga ega boʻlamiz.

*f* = *m*2−**g**(x)−1(**p**,**p**) = 0.
Nazariyaning L -qiymatli bogʻlanish shakli **A** boʻlsin. Eʼtibor bering, bu yerda **A** fiziklar tomonidan qoʻllaniladigan **A** dan i va g faktorlari bilan farq qiladi. Bu matematikning konventsiyasiga mos keladi.

S harakat tomonidan berilgan

{\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}
Bu yerda **g** — Minkovskiy metrikasi, **F** — egrilik shakli

{\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }
bu yerda ikkinchi had Lie qavsni kommutator deb koʻrsatish uchun rasmiy stenografiya boʻlsa, D kovariant hosiladir.

Dσ = dσ − **A**[σ]
α esa ρ ning ortogonal shaklidir.

Ushbu modelning Gamilton versiyasi nima? Birinchidan, biz **A ni** nokovariant tarzda vaqt komponenti φ va fazoviy qism A ga ajratishimiz kerak. Keyin, hosil boʻlgan simplektik fazoda σ, *πσ* konjugat oʻzgaruvchilari (asosiy vektor fazoda qiymatlarni qabul qilish) boʻladi. {\displaystyle {\bar {\rho }}}, ρ ning dual rep), A , π*A*, *φ* va *πφ*. Har bir fazoviy nuqta uchun biz cheklovlarga egamiz, *πφ*=0 va Gauss cheklovi

{\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}\_{A}-\rho '(\pi \_{\sigma },\sigma )=0}
chunki ρ oʻzaro bogʻliqdir

{\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V} ,
ρ ' V boʻyicha ikkilanadi

{\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}
(L esa η orqali oʻz-oʻzidan ikkilanadi). Gamiltonian,

{\displaystyle H\_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi \_{\sigma },\pi \_{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}\_{A},{\vec {\pi }}\_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi \_{\phi },f)-<\pi \_{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}\_{A}).}
Oxirgi ikkita atama Gauss cheklovlarining chiziqli birikmasidir va bizda f bilan parametrlangan (oʻlchov ekvivalenti) Gamiltonianlarning butun oilasi mavjud. Darhaqiqat, oxirgi uchta atama cheklangan davlatlar uchun yoʻqolganligi sababli, biz ularni olib tashlashimiz mumkin.

Manbalar
--------

1. ↑  *Ingemar Bengtsson, Stockholm University.* „Constrained Hamiltonian Systems".  Stockholm University. — „We start from a Lagrangian L ( q, ̇ q ), derive the canonical momenta, postulate the naive Poisso n brackets, and compute the Hamiltonian. For simplicity, one assumes that no second class constraints occur, or if they do, that they have been dealt with already and the naive brackets replaced with Dirac brackets. There remain a set of constraints [...]". Qaraldi: 29-may 2018-yil.
2. ↑  Dirac, Paul A. M. (1950), „Generalized Hamiltonian dynamics", *Canadian Journal of Mathematics*, 2-jild, 129–148-bet, doi:10.4153/CJM-1950-012-1, ISSN 0008-414X, MR 0043724, S2CID 119748805
3. ↑  Dirac, Paul A. M. (1964), *Lectures on Quantum Mechanics*, Belfer Graduate School of Science Monographs Series, 2-jild, Belfer Graduate School of Science, New York, ISBN 9780486417134, MR 2220894. Unabridged reprint of original, Dover Publications, New York, NY, 2001.