Kubik kristallarda turli Miller indekslari boʻlgan samolyotlar
 Yoʻnalishlarga misollar
**Miller indekslari** kristall (Brave) panjaralaridagi panjara tekisliklari uchun kristallografiyada yozuv tizimini tashkil qiladi.

Xususan, berilgan (toʻgʻridan-toʻgʻri) Brave panjarasining panjara tekisliklari oilasi *h*, *k* va uchta butun sonlar bilan aniqlanadi.{ *ℓ*, *Miller indekslari*. Ular yoziladi (hkℓ) va (parallel) panjara tekisliklari turkumini (berilgan Brave panjarasining) ortogonalini bildiradi. {\displaystyle \mathbf {g} \_{hk\ell }=h\mathbf {b\_{1}} +k\mathbf {b\_{2}} +\ell \mathbf {b\_{3}} }, qayerda {\displaystyle \mathbf {b\_{i}} } berilgan Brave panjarasi uchun o‘zaro panjaraning asosi yoki ibtidoiy tarjima vektorlari. (Eʼtibor bering, tekislik har doim ham toʻgʻridan-toʻgʻri yoki asl panjara vektorlarining chiziqli birikmasiga ortogonal emas. {\displaystyle h\mathbf {a\_{1}} +k\mathbf {a\_{2}} +\ell \mathbf {a\_{3}} } chunki toʻgʻridan-toʻgʻri panjara vektorlari oʻzaro ortogonal boʻlishi shart emas.) Bu oʻzaro panjara vektori ekanligiga asoslanadi {\displaystyle \mathbf {g} } (oʻzaro panjaraning kelib chiqishidan oʻzaro panjara nuqtasini koʻrsatuvchi vektor) fazoviy funksiyaning Furye qatoridagi tekis toʻlqinning toʻlqin vektori (masalan, elektron zichlik funksiyasi), davriyligi asl Brave panjarasidan keyin, yaʼni tekislik toʻlqinining toʻlqin jabhalari asl panjaraning parallel panjara tekisliklari bilan mos keladi. Rentgen kristallografiyasida oʻlchangan sochilish vektori boʻlgani uchun, {\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} \_{\mathrm {out} }-\mathbf {k} \_{\mathrm {in} }} bilan {\displaystyle \mathbf {k} \_{\mathrm {out} }} chiquvchi (kristal panjaradan sochilgan) rentgen toʻlqin vektori sifatida va {\displaystyle \mathbf {k} \_{\mathrm {in} }} Kiruvchi (kristal panjara tomon) rentgen toʻlqin vektori oʻzaro panjara vektoriga teng. {\displaystyle \mathbf {g} } Laue tenglamalarida aytilganidek, har bir oʻlchangan sochilish vektorida oʻlchangan tarqoq rentgen choʻqqisi {\displaystyle \mathbf {\Delta k} } *Miller indekslari* bilan belgilanadi. Anʼanaga koʻra, manfiy butun sonlar 3 forda boʻlgani kabi satr bilan yoziladi }−3. Butun sonlar odatda eng kichik shartlarda yoziladi, yaʼni ularning eng katta umumiy boʻluvchisi boʻlishi kerak 1. Miller indekslari rentgen kristallografiyasida aks ettirishni belgilash uchun ham ishlatiladi. Bunday holda, butun sonlar eng kichik qiymatlarda boʻlishi shart emas. Shunda qoʻshni tekisliklardan koʻzgularning barchasida atomlar bor-yoʻqligidan qatʼi nazar, bir toʻlqin uzunligi (2p) fazalar farqi boʻladi.

Bundan tashqari, bir nechta tegishli belgilar mavjud: 

* {hkℓ} yozuvi panjara simmetriyasi boʻyicha (hkℓ) ga ekvivalent boʻlgan barcha tekisliklar toʻplamini bildiradi.

Kristal *yoʻnalishlari* kontekstida (tekisliklar emas) tegishli belgilar:

* [hkℓ], dumaloq qavslar oʻrniga kvadrat, oʻzaro panjara oʻrniga *toʻgʻridan-toʻgʻri* panjara vektorlari asosidagi yoʻnalishni bildiradi; va
* xuddi shunday, <hkℓ> belgisi simmetriya boʻyicha [hkℓ] ga ekvivalent boʻlgan barcha yoʻnalishlar toʻplamini bildiradi.

Eslatma, Laue-Bragg shovqinlari uchun

* hkl koʻzguni belgilashda qavsga ega emas

Miller indekslari 1839 yilda ingliz mineralogi Uilyam Xellouz Miller tomonidan kiritilgan, garchi deyarli bir xil tizim (*Vays parametrlari*) 1817 yildan beri nemis mineralogi Kristian Samuel Vayss tomonidan allaqachon qoʻllanilgan

Taʼrif
------

 Oʻqlar bilan kesishmalar yordamida tekislik uchun indekslarni aniqlash misollari; chap (111), oʻng (221)
Miller indekslarining maʼnosini aniqlashning ikkita ekvivalent usuli mavjudb boʻlib bular :  oʻzaro panjaradagi nuqta orqali yoki panjara vektorlari boʻylab teskari kesishgan holda. Ikkala holatda ham, birlik katakchasini belgilovchi uchta panjara vektorini tanlash kerak: a**1**, a**2** va a**3** (anʼanaviy birlik katak Brave panjarasining ibtidoiy katagidan kattaroq boʻlishi mumkinligini eʼtiborga oling, quyida keltirilgan misollarda koʻrsatilgan).). Bularni hisobga olib, uchta ibtidoiy oʻzaro panjara vektorlari ham aniqlanadi (**b 1**, **b 2** va **b 3** bilan belgilanadi).

Keyin, uchta Miller indekslari berilgan h, k, ℓ, (hkℓ) oʻzaro panjara vektoriga ortogonal tekisliklarni bildiradi:

{\displaystyle \mathbf {g} \_{hk\ell }=h\mathbf {b} \_{1}+k\mathbf {b} \_{2}+\ell \mathbf {b} \_{3}.}
Yaʼni, (hkℓ) oddiy oʻzaro ibtidoiy panjara vektorlari asosida tekisliklar uchun normalni koʻrsatadi. Koordinatalar butun sonlar boʻlganligi sababli, bu normalning oʻzi har doim oʻzaro panjara vektoridir. Eng past shartlar talabi uning berilgan yoʻnalishdagi *eng qisqa* oʻzaro panjara vektori ekanligini bildiradi.

Ekvivalent (hkℓ) uch nuqtani **a 1** / *h*, **a 2** / *k* va **3** / *ℓ* yoki ularning bir nechta koʻpaytmalarini kesib oʻtadigan tekislikni bildiradi. Yaʼni, Miller indekslari panjara vektorlari asosida tekislik kesishmalarining *teskari* koʻrsatkichlariga proporsionaldir. Agar indekslardan biri nolga teng boʻlsa, bu tekisliklar bu oʻqni kesishmasligini anglatadi (kesish „abadiyda").

Bir yoki bir nechta panjara nuqtalarini kesib oʻtuvchi (hkℓ) tekisliklarni hisobga olsak, qoʻshni panjara *tekisliklari* orasidagi *d* perpendikulyar masofa quyidagi formula boʻyicha tekisliklarga ortogonal boʻlgan (eng qisqa) oʻzaro panjara vektoriga bogʻliq: {\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} \_{hk\ell }|}. 

Tegishli belgi [hkℓ] *yoʻnalishni* bildiradi:

{\displaystyle h\mathbf {a} \_{1}+k\mathbf {a} \_{2}+\ell \mathbf {a} \_{3}.}
Yaʼni, oʻzaro panjara oʻrniga toʻgʻridan-toʻgʻri panjara asosini ishlatadi. Esda tutingki, [hkℓ] odatda (hkℓ) tekisliklar uchun normal *emas*, quyida tavsiflangan kubik panjaradan tashqari.

Kubik konstruksiyalarning holati
--------------------------------

Oddiy kubik kristallarning alohida holati uchun panjara vektorlari ortogonal va teng uzunlikda (odatda *a* bilan belgilanadi), oʻzaro panjara kabi. Shunday qilib, bu umumiy holatda Miller indekslari (hkℓ) va [hkℓ] ikkalasi ham oddiygina Dekart koordinatalaridagi normallarni/yoʻnalishlarni bildiradi.

Panjara doimiysi *a* boʻlgan kub kristallar uchun qoʻshni (hkℓ) panjara tekisliklari orasidagi *d* masofa (yuqoridan)

{\displaystyle d\_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}} .
Kubik kristallarning simmetriyasi tufayli butun sonlarning oʻrni va belgisini oʻzgartirish va ekvivalent yoʻnalish va tekisliklarga ega boʻlish mumkin bular asosan qavslarda ishlash usuli:

* ⟨100⟩ kabi *burchak qavslaridagi* indekslar simmetriya operatsiyalari tufayli ekvivalent boʻlgan yoʻnalishlar *turkumini* bildiradi, masalan, [100], [010], [001] yoki bu yoʻnalishlarning birortasining salbiy bularni ishlatish usulidir.
* *Jingalak qavs* yoki *qavs* ichidagi indekslar, masalan, {100} simmetriya operatsiyalari boʻyicha ekvivalent boʻlgan tekislik normalari turkumini bildiradi, xuddi burchakli qavslar yoʻnalishlar turkumini bildiradi bu qavslar oʻz kuchiga ega.

Yuzga markazlashtirilgan kubik va tanaga markazlashtirilgan kubik panjaralar uchun ibtidoiy panjara vektorlari ortogonal emas buni isbotlash kerak. Biroq, bu holatlarda Miller indekslari kubik super hujayraning panjara vektorlariga nisbatan shartli ravishda aniqlanadi va shuning uchun yana oddiygina Dekart yoʻnalishlari boʻladi.

Yana qarang
-----------

* Kristal tuzilishi
* Kristal odat
* Kikuchi liniyasi
* Zona oʻqi

Manbalar
--------

1. 1 2 3  Ashcroft, Neil W.*. Solid state physics*. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1976. ISBN 0030839939. OCLC 934604.
2. ↑  Weiss, Christian Samuel (1817). "Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur". *Abhandlungen der physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften*: 286–336. .

Havolalar
---------

* IUCr onlayn kristallografiya lugʻati
* Miller indeksining diagrammalar bilan tavsifi
* Panjara tekisliklari va Miller indekslari haqida onlayn qoʻllanma .
* MTEX — Tekstura tahlili uchun bepul MATLAB asboblar toʻplami
* — Aylanish / yoʻnalishni manipulyatsiya qilish uchun tartiblar toʻplami, shu jumladan kristall yoʻnalishlari uchun maxsus asboblar.