**Riesz potentsiali** matematikada uning kashfiyotchisi vengriyalik matematik Marsel Ries nomi bilan atalgan potentsialdir. Qaysidir maʼnoda Riesz potentsiali Evklid fazosida Laplas operatorining kuchiga teskari kuchni ifodalaydi. Ular bir oʻzgaruvchili Riemann-Liouville integrallarini bir nechta oʻzgaruvchilarga umumlashtiradi.

Agar 0 < *a* < *n bo'lsa*, u holda **R** *n* dagi lokal integrallanuvchi *f* funksiyaning Riesz potensiali *I* a *f* uyidagi funksiyasi bilan aniqlanadi:Andoza:NumBlkkonstanta quyidagicha berilgan:

{\displaystyle c\_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}
Bu singulyar integral yaxshi aniqlangan, agar *f* cheksizlikda yetarlicha tez kamaydi, ayniqsa *f* ∈ L <sup id="mwJw"><i id="mwKA">p</i></sup> (<b id="mwKQ">R</b> <sup id="mwKg"><i id="mwKw">n</i></sup>) 1 bilan ≤ *p* < *n* / *a*. Aslida, har qanday 1 ≤ *p uchun* (*p* >1 klassik, Sobolevga koʻra, *p* =1 boʻlganda), *f* va *I* *a* *f* ning kamayish tezligi tengsizlik koʻrinishida bogʻlangan (Hardi-Littlevud-Sobolev tengsizligi)

{\displaystyle \|I\_{\alpha }f\|\_{p^{\*}}\leq C\_{p}\|Rf\|\_{p},\quad p^{\*}={\frac {np}{n-\alpha p}},}
bu yerda {\displaystyle Rf=DI\_{1}f} vektor qiymatli Riesz konvertatsiyasi. Umuman olganda, *I* *a* operatorlari kompleks a uchun aniq belgilangan, 0 < Re *α* < *n*.

Riesz potensialini zaif maʼnoda konvolyutsiya sifatida aniqlash mumkin

{\displaystyle I\_{\alpha }f=f\*K\_{\alpha }}
Bu yerda *K* a - mahalliy integrallanadigan funksiya:

{\displaystyle K\_{\alpha }(x)={\frac {1}{c\_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}
Riesz potensialini *f* ixcham qoʻllab-quvvatlanadigan taqsimot boʻlganda aniqlash mumkin. Shu munosabat bilan, musbat Borel oʻlchovi μ ning Riesz potentsiali asosan potentsial nazariyaga qiziqish uygʻotadi, chunki *I* *a* μ u holda μ tayanchidan (uzluksiz) subharmonik funksiya boʻlib, barcha **R** *n* da pastki yarim uzluksizdir.

Furye konvertatsiyasini koʻrib chiqish Riesz potentsialining Furye koʻpaytmasi ekanligini koʻrsatadi. Quyidagini bilamiz:

{\displaystyle {\widehat {I\_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}
va konvolyutsiya teoremasiga koʻra

{\displaystyle {\widehat {I\_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}
Riesz potentsiallari tez kamayib boruvchi uzluksiz funksiyalar uchun quyidagi yarimguruh xususiyatini qondiradi:

{\displaystyle I\_{\alpha }I\_{\beta }=I\_{\alpha +\beta }}
Berilgan:

{\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}
Bundan tashqari, agar 0 < Re *α* < *n*–2 boʻlsa, u holda:

{\displaystyle \Delta I\_{\alpha +2}=I\_{\alpha +2}\Delta =-I\_{\alpha }.}
Bundan tashqari, ushbu sinf funksiyalari uchun:

{\displaystyle \lim \_{\alpha \to 0^{+}}(I\_{\alpha }f)(x)=f(x).}

Shuningdek qarang:
------------------

* Bessel potensiali
* Fraksion integratsiya
* Sobolev fazosi

Eslatmalar
----------

1. ↑  Samko 1998, section II.

Manbaʼlar
---------

* Landkof, N. S. (1972), *Foundations of modern potential theory*, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027
* Riesz, Marcel (1949), „L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", *Acta Mathematica*, **81**: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
* 
* Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, *An {\displaystyle L^{1}}-type estimate for Riesz potentials*, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937
* Stein, Elias (1970), *Singular integrals and differentiability properties of functions*, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8
* Samko, Stefan G. (1998), „A new approach to the inversion of the Riesz potential operator" (PDF), *Fractional Calculus and Applied Analysis*, **1** (3): 225–245, 2016-02-22da asl nusxadan (PDF) arxivlandi, qaraldi: 2022-05-27