**Sartaroshxona paradoksi** Lyuis Kerroll tomonidan "Mantiqiy paradoks" nomli uch sahifali inshoda taklif qilingan bo'lib, u 1894-yil iyul oyida "*Mind"* jurnalida chop etilgan. Bu nom Kerroll maqolada paradoksni tasvirlash uchun foydalanadigan "bezak" qisqa hikoyasidan olingan. Ilgari uning yozishmalarida bir nechta muqobil shakllarda mavjud edi, har doim ham sartaroshxona ishtirok etmaydi. Kerroll buni "gipotetiklar nazariyasidagi juda haqiqiy qiyinchilik" deb ta'rifladi. Zamonaviy mantiq nuqtai nazaridan, bu oddiy mantiqiy xatodan ko'ra paradoks sifatida ko'riladi. Endi u asosan algebraik mantiqiy usullarning rivojlanishi epizodi sifatida qiziqish uyg'otadi, chunki ular unchalik keng tushunilmagan (hatto mantiqchilar orasida ham), garchi muammo implikatsiya va modal mantiq nazariyalari bilan bog'liq holda muhokama qilinmoqda.

Paradoks
--------

Hikoyada Jo amaki va Jim amaki sartaroshxonaga borishmoqda. Ularning tushuntirishicha, do'konda uchta sartarosh - Allen, Braun va Karr yashaydi va ishlaydi va ularning bir qismi yoki hammasi o'sha yerda bo'lishi mumkin. Bizga xulosa qilish uchun ikkita ma'lumot beriladi. Birinchidan, do'kon aniq ochiq, shuning uchun sartaroshlardan kamida bittasi bo'lishi kerak. Ikkinchidan, aytilishicha, Allen juda asabiy edi, shuning uchun Braun u bilan bormasa, u hech qachon do'konni tark etmaydi.

Endi, Jim amakining so'zlariga ko'ra, Karr juda yaxshi sartarosh va u Karr uning soqolini olish uchun u erda bo'ladimi yoki yo'qligini bilmoqchi. Jo amaki Karrning bo'lishi *aniq*, deb turib oldi va buni mantiqiy isbotlay olishini da'vo qilmoqda. Jim amaki bu dalilni talab qiladi.

Jo amaki o'z dalillarini quyidagicha keltiradi:

Faraz qilaylik, Karr chiqib ketdi. Bu faraz ziddiyat keltirib chiqarishini ko'rsatamiz. Agar Karr tashqarida bo'lsa, biz buni bilamiz: "Agar Allen tashqarida bo'lsa, demak Braun ham bor", chunki "do'konni o'ylaydigan" kimdir bo'lishi kerak. Ammo, biz shuni ham bilamizki, Allen har safar tashqariga chiqsa, u Braunni o'zi bilan olib ketadi, shuning uchun umumiy qoidaga ko'ra, "Agar Allen tashqarida bo'lsa, Braun ham tashqarida". Biz erishgan ikkita bayonot bir-biriga mos kelmaydi, chunki agar Allen tashqarida bo'lsa, Braun ham In (biriga ko'ra) va ham Out (boshqasiga ko'ra) bo'la olmaydi. Qarama-qarshilik bor. Shunday qilib, biz Karr tashqarida degan gipotezadan voz kechishimiz va Karr bo'lishi kerak degan xulosaga kelishimiz kerak.

Jim amakining javobi shundaki, bu xulosa asosli emas. Ikkala "gipotetik" ning mos kelmasligidan kelib chiqadigan to'g'ri xulosa shundan iboratki, ularda gipoteza qilingan narsa (Allen tashqarida) bizning Karr chiqib ketgan degan taxminimiz ostida yolg'on bo'lishi kerak. Shunda bizning mantiqimiz shunchaki "Agar Karr tashqarida bo'lsa, Allen ham bo'lishi kerak" degan xulosaga kelishimizga imkon beradi.

Kelib chiqishi
--------------

Paradoks Kerroll va uning Oksforddagi hamkasbi, Mantiq bo'yicha Uikxam professori Jon Kuk Uilson o'rtasidagi kelishmovchilikdan kelib chiqdi, ularning ikkalasi uzoq davom etgan qarama-qarshilikka ega edi. Muammo Kerroll bilan yozishmalarda bo'lgan boshqalar tomonidan ham muhokama qilingan va Jon Venn, Alfred Sidgvik va Bertran Rassell tomonidan nashr etilgan keyingi maqolalarda muhokama qilingan. Kuk Uilsonning nuqtai nazari hikoyada Karr doimo do'konda qolishi kerakligini isbotlashga urinayotgan Jo amaki qahramoni tomonidan ifodalanadi. Kerol muammoning shaxsiy bosilgan versiyalarini tarqatganida boshqalar ham xuddi shunday fikrda edi. Kerroll ta'kidlaganidek, "Men bu qiziq masala bo'yicha o'nga yaqin mantiqchilar bilan yozishmalardaman; va hozircha, fikrlar C erkinligi bo'yicha bir xil bo'lingan ko'rinadi".

Soddalashtirish
---------------

### Belgilash

Asl nusxani o'qiyotganda, quyidagilarni yodda tutish yordam beradi:

* Kerroll "gipotetiklar" deb atagan narsani zamonaviy mantiqchilar "mantiqiy shartlar "deb atashadi.
* Jo amaki o'zining "proof *reductio ad absurdum* "so'zini yakunlaydi, ya'ni inglizcha "ziddiyat bilan isbotlash ".
* Kerol shartlining protasi deb atagan narsa endi qadimiy deb ataladi va xuddi shunday apodoz endi oqibat deb ataladi.

Belgilar ushbu hikoyaga xos bo'lgan mantiqiy bayonotlarni sezilarli darajada soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin:

| Operator (ism) | So'zlashuv |  | Ramziy |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Inkor | NOT | not X | ¬ | ¬X |
| Bogʻlovchi | AND | X and Y | ∧ | X ∧ Y |
| Ajralish | OR | X or Y | ∨ | X ∨ Y |
| Shartli | IF... THEN | if X then Y | ⇒ | X ⇒ Y |

Eslatma: X ⇒ Y (shuningdek, "Implikatsiya" deb nomlanadi) ingliz tilida "X is etarli Y uchun" dan "Y X dan kelib chiqadi "gacha bo'lgan ko'p usullar bilan o'qilishi mumkin. (Shuningdek qarang: Matematik belgilar jadvali.)

### Qayta ko'rsatish

Kerolning hikoyasini soddalashtirishga yordam berish uchun biz quyidagi xulosalarni olamiz:

* A = Allen *do'konda*
* B = Brown ichkarida
* C = Karr *ichkarida*

Masalan, (¬A ∧ B) "Allen tashqarida, Braun ham" ni ifodalaydi.

Jim amaki bizga ikkita aksiomani berdi:

1. Hozir do'konda kamida bitta sartarosh bor (A ∨ B ∨ C)
2. Allen do'konni Braunsiz tark etmaydi (¬A ⇒ ¬B)

Jo amaki dalil keltiradi:

| Mantiqiy belgilar bilan qisqartirilgan ingliz tili | Asosan ramziy |
| --- | --- |
| Faraz qilaylik, Karr YO'Q. | H0: ¬C |
| C EMAS berilgan bo'lsa, AGAR Allen YO'Q bo'lsa, 1(A1) aksiomasini qondirish uchun Braun bo'lishi kerak. | H0 va A1 bo'yicha, ¬A ⇒ B |
| Ammo aksioma 2(A2) IF Allen degan umumiy haqiqat ekanligini ko'rsatadi is Not in THE THE Brown is Not in (agar ¬A boʻlsa, ¬B boʻlishi har doim toʻgʻri boʻladi) | A2 bo'yicha, ¬A ⇒ ¬B |
| Hozircha bizda NOT C ikkalasini ham beradi (A EMAS Demak B) VA (A emas, keyin B emas). | Shunday qilib, ¬C ⇒ (¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B)) |
| Jo amaki bularning qarama-qarshi ekanligini ta'kidlaydi. | ⊥ |
| Shuning uchun, Karr ichkarida bo'lishi kerak. | ∴C |

Jo amaki asosan (¬A ⇒ B) va (¬A ⇒ ¬B) qarama-qarshi ekanligini isbotlab, bir xil oldingi ikki xil natijaga olib kelishi mumkin emasligini aytadi.

Bu taxmin qilingan qarama-qarshilik Joning "dalil" ining asosiy nuqtasidir. Kerol bu sezgiga qarshi natijani paradoks sifatida taqdim etib, zamonaviy noaniqlik hal qilinishiga umid qiladi.

Munozara
--------

Zamonaviy mantiq nazariyasida bu ssenariy paradoks emas. Izoh qonuni Jo amakining bir-biriga mos kelmaydigan farazlar deb da'vo qilganlarini birlashtiradi. Bu qonunda aytilishicha, "agar X boʻlsa, Y" mantiqan "X notoʻgʻri yoki Y rost" (¬X ∨ Y) bilan bir xil boʻladi. Misol uchun, "agar siz tugmani bossangiz, chiroq yonadi" degan gapni hisobga olsak, har *qanday* vaqtda siz tugmani bosmagansiz yoki chiroq yonib turganligi to'g'ri bo'lishi kerak.

Xulosa qilib aytganda, ¬C ning qarama-qarshilik keltirishi emas, faqat u A ni talab qiladi, chunki ¬A aslida qarama-qarshilikni keltirib chiqaradi.

Bu ssenariyda, bu Karrning bo'lishi shart emasligini anglatadi, lekin agar u bo'lmasa, Allen bo'lishi kerak.

### 1-aksiomaga soddalashtirish

1. ↑  Carroll, Lewis (July 1894). „A Logical Paradox". *Mind*. 3-jild, № 11. 436–438-bet.
2. ↑  Carroll, Lewis*. Symbolic Logic, Parts I and II* Bartley:. Harvester Press, 1977. ISBN 0855279842.
3. ↑