Klassik mexanikada **Laplas-Runge-Lenz (LRL) vektori** asosan bir astronomik jismning boshqasi atrofidagi orbitasining shakli va yoʻnalishini, masalan, qoʻshaloq yulduz yoki yulduz atrofida aylanadigan sayyorani tasvirlash uchun ishlatiladigan vektordir. Nyuton tortishish kuchi bilan oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita jism uchun LRL vektori harakat doimiysi boʻlib, u orbitaning qayerda hisoblanganidan qatʼi nazar, bir xil boʻladi; ekvivalenti LRL vektori *saqlanuvchi* deyiladi. Umuman olganda, LRL vektori ikkita jismning oʻzaro taʼsirida ular orasidagi masofaning teskari kvadrati sifatida oʻzgarib turadigan markaziy kuch bilan oʻzaro taʼsir qiladigan barcha masalalarda saqlanadi; bunday muammolar Kepler muammolari deb ataladi   .

Vodorod atomi Kepler muammosidir, chunki u Kulonning elektrostatika qonuni boʻyicha oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita zaryadlangan zarrachani oʻz ichiga oladi, bu boshqa teskari kvadrat markaziy kuch. LRL vektori Shredinger tenglamasi ishlab chiqilishidan oldin vodorod atomi spektrining birinchi kvant mexanik hosilasida muhim ahamiyatga ega edi. Biroq, bugungi kunda bu yondashuv kamdan-kam qoʻllaniladi.

Klassik va kvant mexanikasida saqlanib qolgan miqdorlar odatda sistemaning simmetriyasiga mos keladi. LRL vektorining saqlanishi noodatiy simmetriyaga mos keladi; Kepler muammosi toʻrt oʻlchovli (giper-)sfera yuzasida erkin harakatlanadigan zarrachaga matematik jihatdan ekvivalentdir , shuning uchun butun muammo toʻrt oʻlchovli fazoning maʼlum aylanishlari ostida simmetrik boʻladi. Bu yuqori simmetriya Kepler muammosining ikkita xususiyatidan kelib chiqadi: tezlik vektori har doim mukammal aylana boʻylab harakat qiladi va berilgan umumiy energiya uchun barcha tezlik doiralari bir xil ikkita nuqtada bir-birini kesib oʻtadi.

Laplas-Runge-Lenz vektori Per-Simon de Laplas, Karl Rung va Vilgelm Lents sharafiga nomlangan. U **Laplas vektori** , **Runge-Lenz vektori** va **Lenz vektori** sifatida ham tanilgan. Qizigʻi shundaki, oʻsha olimlarning hech biri buni kashf etmagan. LRL vektori bir necha marta qayta kashf etilgan va qayta tuzilgan; masalan, samoviy mexanikaning oʻlchovsiz ekssentriklik vektoriga ekvivalentdir . LRL vektorining turli umumlashtirishlari aniqlangan, ular maxsus nisbiylik, elektromagnit maydonlar va hatto turli xil markaziy kuchlarning taʼsirini oʻz ichiga oladi  .

Nazariy qismi
-------------

Har qanday konservativ markaziy kuch ostida harakatlanadigan bitta zarracha kamida toʻrtta doimiy harakatga ega: umumiy energiya E va kuch markaziga nisbatan burchak momentum vektori **L** ning uchta dekart komponenti. Zarrachaning orbitasi zarrachaning dastlabki impulsi **p** (yoki ekvivalenti uning tezligi **v**) va zarracha bilan kuch markazi oʻrtasidagi vektor **r** bilan aniqlangan tekislik bilan chegaralangan (1-rasmga qarang). Bu harakat tekisligi doimiy burchak momentum vektoriga perpendikulyar **L** = **r** × **p**; bu vektor nuqta mahsulot tenglamasi bilan matematik tarzda ifodalanishi mumkin **r** ⋅ **L** = 0. Quyida uning matematik taʼrifini hisobga olsak, Laplas-Runge-Lenz vektori (LRL vektor) **A** barcha markaziy kuchlar uchun doimo doimiy burchak momentum vektori **L** ga perpendikulyar boʻladi (**A** ⋅ **L** = 0). Shuning uchun **A** har doim harakat tekisligida yotadi. Quyida koʻrsatilgandek, **A** kuch markazidan harakatning periapsisiga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga va uning uzunligi orbitaning eksantrikligiga proportsionaldir.

LRL vektor **A** uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha doimiy, lekin faqat teskari kvadrat markaziy kuch uchun. Boshqa markaziy kuchlar uchun **A** vektor doimiy emas, balki uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha oʻzgaradi. Agar markaziy kuch *taxminan* teskari kvadrat qonuni boʻlsa, **A** vektor uzunligi boʻyicha taxminan doimiy, lekin asta-sekin oʻz yoʻnalishini aylantiradi. *Umumiy* saqlangan LRL vektori {\displaystyle {\mathcal {A}}} barcha markaziy kuchlar uchun aniqlanishi mumkin, ammo bu umumlashtirilgan vektor pozitsiyaning murakkab funktsiyasidir va odatda yopiq shaklda ifodalanmaydi .

Qayta kashf qilish tarixi
-------------------------

LRL vektor **A** Kepler muammosining harakat doimiysi boʻlib, sayyoralar va qoʻshaloq yulduzlar harakati kabi astronomik orbitalarni tavsiflashda foydalidir. Shunga qaramay, u fiziklar orasida hech qachon yaxshi maʼlum boʻlmagan, ehtimol u momentum va burchak momentumidan kamroq intuitivdir. Binobarin, soʻnggi uch asr davomida u bir necha marta mustaqil ravishda qayta kashf etilgan.

Yakob Hermann birinchi boʻlib **A** teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun saqlanishini koʻrsatdi va uning orbital ellipsning ekssentrisiteti bilan bogʻlanishini ishlab chiqdi. Hermannning ishi 1710 yilda Iogan Bernulli tomonidan zamonaviy shaklga umumlashtirildi. Asrning oxirida Per-Simon de Laplas **A** ning saqlanishini qayta kashf etdi va uni geometrik emas, balki analitik tarzda keltirib chiqardi. Oʻn toʻqqizinchi asr oʻrtalarida Uilyam Rouen Gamilton quyida aniqlangan ekvivalent ekssentriklik vektorini chiqardi va undan foydalanib impuls vektori **p** aylana boʻylab teskari kvadrat markaziy kuch taʼsirida harakat qilishini koʻrsatdi (3-rasm) .

Yigirmanchi asrning boshida Josiah Willard Gibbs vektor tahlili orqali xuddi shu vektorni oldi. Gibbsning hosilasi misol sifatida Karl Runge tomonidan vektorlar boʻyicha mashhur nemis darsligida ishlatilgan , Vilgelm Lenz vodorod atomining (eski) kvant mexanik ishlovi haqidagi maqolasida unga havola qilingan. 1926 yilda Volfgang Pauli LRL vektoridan vodorod atomining energiya darajalarini kvant mexanikasining matritsa mexanikasi formulasidan foydalangan holda LRLni olish uchun ishlatgan, shundan soʻng u asosan *Runge-Lenz vektori* sifatida tanilgan.

Matematik taʼrif
----------------

Bitta zarrachaga taʼsir etuvchi teskari kvadrat markaziy kuch tenglama bilan tavsiflanadi


F

(
r
)
=
−

k

r

2


r
^

;

{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;}

{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;}
Tegishli potensial energiya tomonidan berilgan {\displaystyle V(r)=-k/r}. Doimiy parametr k markaziy kuchning kuchini tavsiflaydi; tortishish kuchi uchun *G*⋅*M*⋅*m* va elektrostatik kuchlar uchun −*k*e⋅*Q*⋅*q* ga teng. Agar *k* > 0 boʻlsa, kuch jozibador, agar *k* < 0 boʻlsa, itaruvchi.

 1-rasm: teskari kvadrat markaziy kuch ostida harakatlanuvchi bogʻlangan nuqta zarrachaning elliptik orbitasining toʻrt nuqtasida (1, 2, 3 va 4 etiketli) LRL vektor **A** (qizil rangda koʻrsatilgan). Jozibadorlik markazi kichik qora doira sifatida koʻrsatilgan, undan pozitsiya vektorlari (shuningdek, qora) chiqadi. Burchak momentum vektori **L** orbitaga perpendikulyar. Koplanar vektorlar **p** × **L** va (*mk*/*r*)**r** mos ravishda koʻk va yashil rangda koʻrsatilgan; bu oʻzgaruvchilar quyida aniqlanadi. **A** vektor yoʻnalishi va kattaligi boʻyicha doimiydir.
LRL vektor **A** matematik tarzda formula bilan aniqlanadi.

{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,}

bu yerda

* m markaziy kuchlar natijasida harakatlangan zarrachaningmassasi,
* **L** = **r** × **p** burchak momenti vektori,
* **r** zarrachaning koordinata vektori (1-rasm),
* {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } birlik vektor, masalan, {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}},
* r — **r**ning miqdor kattaligi, markaziy kuchdan zarrachagacha boʻlgan masofa.

LRL vektorining SI birliklari joule-kilogramm (J⋅kg⋅m) dir. Buning sababi, **p** va **L** ning birliklari mos ravishda kg⋅m/s va J⋅s. Bu m (kg) va k (N⋅m 2) birliklariga mos keladi.

LRL **A** vektorining bu taʼrifi qattiq kuch taʼsirida harakatlanayotgan m massali bir nuqtali zarrachaga tegishli. Shu bilan birga, xuddi shu taʼrifni Kepler muammosi kabi ikki jismli muammolarga, m ikki jismning kamaytirilgan massasi va **r** ikki jism orasidagi vektor sifatida qabul qilish orqali kengaytirish mumkin.

Qabul qilingan kuch konservativ boʻlganligi sababli, umumiy energiya E harakat doimiysi,



E
=

p

2

2
m

−

k
r

=

1
2

m

v

2

−

k
r

.

{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}

{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}
Qabul qilingan kuch ham markaziy kuchdir. Demak, burchak momentum vektori **L** ham saqlanib qoladi va zarracha harakatlanadigan tekislikni belgilaydi. LRL vektor **A** burchak momentum vektori **L** ga perpendikulyar, chunki **p** × **L** va **r** ikkala **L** ga perpendikulyar. Bundan kelib chiqadiki, **A** harakat tekisligida yotadi.

Harakatning bir xil doimiyligi uchun muqobil formulalar, odatda vektorni massa *m*, kuch parametri *k* yoki burchak momentum *L* kabi doimiylar bilan masshtablash orqali aniqlanishi mumkin. Eng keng tarqalgan variant **A** ni *mk* ga boʻlishdir, bu ekssentriklik vektorini beradi moduli konusning ekssentrisitetiga teng boʻlgan yarim katta oʻq boʻylab oʻlchamsiz vektor :


e

=

A

m
k

=

1

m
k

(

p

×

L

)
−

r
^

.

{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .}

{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .}
Ekvivalent formula bu ekssentriklik vektorini katta yarim oʻq aga koʻpaytiradi, natijada vektor uzunlik birliklarini beradi. Yana bir formula **A** ga ajratadi {\displaystyle L^{2}}, teskari uzunlik birliklari bilan ekvivalent saqlangan miqdorni beradi, bu miqdor Kepler muammosini hal qilishda paydo boʻladi.



u
≡

1
r

=

k
m

L

2

+

A

L

2

cos
⁡
θ

{\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }

{\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }
bu yerda {\displaystyle \theta } — **A** va pozitsiya vektori **r** orasidagi burchak. Qoʻshimcha muqobil formulalar quyida keltirilgan.

Kepler orbitalarining kelib chiqishi
------------------------------------

 2-rasm: Orbitaning bir nuqtasida **A** va **r** oʻrtasidagi θ burchakni aniqlaydigan 1-rasmning soddalashtirilgan versiyasi.
Orbitalarning *shakli* va *orientatsiyasini* LRL vektoridan quyidagicha aniqlash mumkin. **A** ning nuqta koʻpaytmasini **r** pozitsiya vektori bilan olib, tenglama hosil boʻladi


A

⋅

r

=
A
⋅
r
⋅
cos
⁡
θ
=

r

⋅

(

p

×

L

)

−
m
k
r
,

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,}

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,}
bu yerda θ — **r** va **A** orasidagi burchak (2-rasm). Skayar uchlik mahsulot rentabelligini almashtirish


r

⋅

(

p

×

L

)

=

(

r

×

p

)

⋅

L

=

L

⋅

L

=

L

2

{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}

{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}
Qayta tartiblash Kepler tenglamasining yechimini beradi

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }

Bu ekssentriklik *e ning* konus kesimi formulasiga mos keladi


1
r

=
C
⋅

(

1
+
e
⋅
cos
⁡
θ

)

{\displaystyle {\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)}

{\displaystyle {\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)}bu yerda ekssentriklik {\displaystyle e={\frac {A}{\left|mk\right|}}\geq 0} va C doimiydir.

**A** ning nuqta mahsulotini oʻzi bilan olib, umumiy energiya E oʻz ichiga olgan tenglama hosil boʻladi.


A

2

=

m

2

k

2

+
2
m
E

L

2

,

{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}

{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}
ekssentriklik nuqtai nazaridan qayta yozilishi mumkin.


e

2

=
1
+

2

L

2

m

k

2


E
.

{\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}

{\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}
Shunday qilib, agar energiya E manfiy boʻlsa (bogʻlangan orbitalar), ekssentriklik birdan kichik va orbita ellipsdir. Aksincha, energiya ijobiy boʻlsa (bogʻlanmagan orbitalar, „tarqalgan orbitalar" deb ham ataladi), ekssentriklik birdan katta va orbita giperbola boʻladi. Nihoyat, agar energiya aniq nolga teng boʻlsa, eksantriklik bitta va orbita parabola boʻladi. Barcha holatlarda **A** yoʻnalishi konus kesimining simmetriya oʻqi boʻylab yotadi va kuch markazidan periapsisga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga ishora qiladi.

Harakat va superintegratsiya konstantalari
------------------------------------------

Yetti skalyar miqdorlar E, **A** va **L** (vektor boʻlib, oxirgi ikkitasi har biri uchta saqlangan miqdorga hissa qoʻshadi) ikkita tenglama bilan bogʻlangan, **A** ⋅ **L** = 0 va *A*2 = *m*2*k*2 + 2 *mEL*2, beshta mustaqil konstantani beradi. harakatdan. (**A** ning kattaligi, demak, orbitaning ekssentrisiteti e umumiy burchak impulsi L va E energiyasidan aniqlash mumkin boʻlganligi sababli, faqat **A** ning *yoʻnalishi* mustaqil ravishda saqlanadi; bundan tashqari, **A** **L** ga perpendikulyar boʻlishi kerakligi sababli, u hissa qoʻshadi. *faqat bitta* qoʻshimcha saqlangan miqdor.)

Bu zarrachaning orbitasini belgilaydigan oltita boshlangʻich shartga (zarrachaning boshlangʻich holati va tezlik vektorlari, har biri uchta komponentdan iborat) mos keladi, chunki boshlangʻich vaqt harakat konstantasi bilan aniqlanmaydi. Shunday qilib, 6 oʻlchovli fazali fazodagi 1 oʻlchovli orbita toʻliq aniqlangan.

Erkinlik darajasi d boʻlgan mexanik tizim koʻpi bilan 2*d* − 1 harakat konstantasiga ega boʻlishi mumkin, chunki 2 *d* boshlangʻich shartlar mavjud va boshlangʻich vaqtni harakat konstantasi bilan aniqlab boʻlmaydi. Harakat konstantalari d dan ortiq boʻlgan tizim *superintegral*, 2*d* − 1 konstantaga ega boʻlgan tizim **maksimal superintegral** deb ataladi. Gamilton-Jakobi tenglamasini bitta koordinata tizimida yechish faqat d harakat konstantasini berishi mumkinligi sababli, superintegratsiyalanuvchi tizimlar bir nechta koordinatalar tizimida ajratilishi kerak. Kepler muammosi maksimal darajada superintegraldir, chunki u uchta erkinlik darajasiga (*d* = 3) va besh mustaqil harakat doimiysiga ega; uning Gamilton-Jakobi tenglamasi quyida tavsiflanganidek sferik koordinatalarda ham, parabolik koordinatalarda ham ajratilishi mumkin.

Maksimal superintegratsiyalanadigan tizimlar fazalar fazosida yopiq, bir oʻlchovli orbitalarni kuzatib boradilar, chunki orbita ularning harakat konstantalarining fazo-fazo izoyuzalarining kesishishi hisoblanadi. Binobarin, orbitalar ushbu barcha mustaqil izo-sirtlarning barcha gradientlariga perpendikulyar boʻlib, ushbu maxsus muammoda beshtasi mavjud va shuning uchun bu barcha gradientlarning umumlashtirilgan koʻndalang mahsuloti bilan aniqlanadi. Natijada, **barcha** superintegral tizimlar avtomatik ravishda Nambu mexanikasi tomonidan muqobil ravishda va Gamilton mexanikasiga ekvivalent tarzda tavsiflanadi.

Maksimal superintegrallash mumkin boʻlgan tizimlar, quyida koʻrsatilgandek, kommutatsiya munosabatlari yordamida nicellashtirilishi mumkin. Shunga qaramay, ular ekvivalent tarzda Nambu tizimida kvantlangan, masalan, bu klassik Kepler muammosi kvant vodorod atomiga mos keladi.

Uygʻongan potensiallar ostida evolyutsiya
-----------------------------------------

 5-rasm: Asta-sekin elliptik orbitadan oldinga oʻtish, ekssentriklik *e* = 0,667. Bunday presessiya Kepler muammosida yuzaga keladi, agar jozibali markaziy kuch teskari kvadrat qonunidan biroz chetga chiqsa. Presessiya *tezligini* matndagi formulalar yordamida hisoblash mumkin.
Laplas-Runge-Lenz vektor **A** faqat mukammal teskari kvadrat markaziy kuch uchun saqlanadi. Sayyora harakati kabi koʻpgina amaliy muammolarda esa, ikki jism oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirning potentsial energiyasi mutlaqo teskari kvadrat qonuni emas, balki qoʻshimcha markaziy kuchni oʻz ichiga olishi mumkin, *h*(*r*) potentsial energiya bilan tavsiflangan *tebranish*. Bunday hollarda LRL vektori orbita tekisligida sekin aylanadi, bu orbitaning sekin apsidal presessiyasiga mos keladi.

Taxminlarga koʻra, bezovta qiluvchi potentsial *h*(*r*) konservativ markaziy kuch boʻlib, u umumiy energiya E va burchak momentum vektori **L** saqlanishini anglatadi. Shunday qilib, harakat hali ham **L** ga perpendikulyar tekislikda yotadi va *A*2 = *m*2*k*2 + 2*mEL*2 tenglamadan A kattaligi saqlanib qoladi. Buzilish potentsiali *h*(*r*) har qanday funktsiya boʻlishi mumkin, lekin ikkita jism orasidagi asosiy teskari kvadrat kuchdan sezilarli darajada zaif boʻlishi kerak.

LRL vektorining aylanish *tezligi* bezovta qiluvchi potentsial *h*(*r*) haqida maʼlumot beradi. Kanonik tebranish nazariyasi va harakat burchagi koordinatalaridan foydalanib, **A** tezlik bilan aylanishini koʻrsatish oson.




∂

∂
L

⟨
h
(
r
)
⟩

=

∂

∂
L

{

1
T

∫

0

T

h
(
r
)

d
t

}


=

∂

∂
L

{

m

L

2


∫

0

2
π

r

2

h
(
r
)

d
θ

}

,



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \_{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \_{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}}
Bu yerda T — orbital davri va *L* *dt* = *m* *r*2 *dθ* tengligi vaqt integralini burchakli integralga aylantirish uchun ishlatilgan (5-rasm). Burchakli qavs ichidagi ifoda, *h*(*r*), bezovta qiluvchi potentsialni ifodalaydi, lekin bir toʻliq davr uchun *oʻrtacha hisoblanadi* ; yaʼni tananing oʻz orbitasini bir marta toʻliq oʻtishi uchun oʻrtacha hisoblanadi. Matematik jihatdan, bu vaqt oʻrtacha qiymati jingalak qavslardagi quyidagi miqdorga toʻgʻri keladi. Bu oʻrtacha aylanish tezligidagi tebranishlarni bostirishga yordam beradi.

Ushbu yondashuv Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasini tasdiqlash uchun ishlatilgan, bu oddiy Nyuton tortishish potentsialiga kichik samarali teskari kubik tebranish qoʻshadi,



h
(
r
)
=

k

L

2


m

2

c

2



(

1

r

3

)

.

{\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}

{\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}
Bu funksiyani integralga kiritish va tenglamadan foydalanish



1
r

=

m
k

L

2


(

1
+

A

m
k

cos
⁡
θ

)

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
r ni θ bilan ifodalash uchun, bu Nyuton boʻlmagan tebranish natijasida kelib chiqqan periapsisning presessiya tezligiga teng deb hisoblanadi.



6
π

k

2

T

L

2

c

2


,

{\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},}

{\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},}
Bu Merkuriy va ikkilik pulsarlarning kuzatilgan anomal presessiyasiga yaqindan mos keladi. Tajriba bilan bu kelishuv umumiy nisbiylik uchun kuchli dalildir .

### Impuls fazosida vodorod atomi uchun Laplas-Runge-Lenz operatori

Impuls fazosida masshtablangan Laplas-Runge-Lenz operatori yaqinda topilgan. Operator uchun formula pozitsiya fazosiga qaraganda soddaroq:

{\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}\_{\mathbf {p} }=\imath ({\hat {l}}\_{\mathbf {p} }+1)\mathbf {p} -{\frac {(p^{2}+1)}{2}}\imath \mathbf {\nabla } \_{\mathbf {p} },}
bu yerda {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}} „darajali operator"

{\displaystyle {\hat {l}}\_{\mathbf {p} }=(\mathbf {p} \mathbf {\nabla } \_{\mathbf {p} })}
bir jinsli koʻphadni darajasiga koʻpaytiradi.

### Casimir invariantlari va energiya darajalari

Salbiy energiya uchun Casimir invariantlari



C

1


=

D

⋅

D

+

L

⋅

L

=

m

k

2

2

|

E

|

,


C

2


=

D

⋅

L

=
0
,



{\displaystyle {\begin{aligned}C\_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C\_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}}
**D** va **L** ning barcha komponentlari bilan yoʻqolib borayotgan Puasson qavslari bor,



{

C

1

,

L

i

}
=
{

C

1

,

D

i

}
=
{

C

2

,

L

i

}
=
{

C

2

,

D

i

}
=
0.

{\displaystyle \{C\_{1},L\_{i}\}=\{C\_{1},D\_{i}\}=\{C\_{2},L\_{i}\}=\{C\_{2},D\_{i}\}=0.}

{\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0.}*C*2 trivial nolga teng, chunki ikkala vektor har doim perpendikulyar.

Biroq, boshqa invariant, *C*1, notrivial va faqat m, k va E ga bogʻliq. Kanonik kvantlashda bu invariant vodorodga oʻxshash atomlarning energiya darajalarini Shredinger tenglamasining anʼanaviy yechimi oʻrniga faqat kvant mexanik kanonik kommutatsiya munosabatlari yordamida olish imkonini beradi. Ushbu hosila keyingi bobda batafsil muhokama qilinadi.

Kepler masalalarida Laplas-Runge-Lenz vektorining saqlanishini isbotlash
------------------------------------------------------------------------

Quyida LRL vektorining teskari kvadrat qonuniga boʻysunadigan markaziy kuchlar ostida saqlanishini koʻrsatadigan dalillar keltirilgan.

Saqlashning bevosita isboti
---------------------------

Markaziy kuch {\displaystyle \mathbf {F} } zarrachaga taʼsir qiluvchi


F

=

d

p

d
t

=
f
(
r
)

r

r

=
f
(
r
)

r
^


{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }
baʼzi funksiyalar uchun {\displaystyle f(r)} radiusdan {\displaystyle r}. Burchak momenti {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } dan beri {\textstyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0} markaziy kuchlar ostida saqlanadi, va



d

d
t

(

p

×

L

)

=

d

p

d
t

×

L

=
f
(
r
)

r
^

×

(

r

×
m

d

r

d
t

)

=
f
(
r
)

m
r

[

r

(

r

⋅

d

r

d
t

)

−

r

2


d

r

d
t

]

,

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}
impuls bu yerda {\textstyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}} va bu yerda uch karra koʻpaytma Lagrange formulasi yordamida soddalashtirilgan


r

×

(

r

×

d

r

d
t

)

=

r

(

r

⋅

d

r

d
t

)

−

r

2


d

r

d
t

.

{\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}

{\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}
Identifikatsiya



d

d
t

(

r

⋅

r

)

=
2

r

⋅

d

r

d
t

=

d

d
t

(

r

2

)
=
2
r

d
r

d
t


{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}
tenglamani chiqaradi



d

d
t

(

p

×

L

)

=
−
m
f
(
r
)

r

2

[

1
r


d

r

d
t

−

r

r

2


d
r

d
t

]

=
−
m
f
(
r
)

r

2

d

d
t

(

r

r

)

.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}
Teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun {\textstyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}, bu quyidagiga teng:



d

d
t

(

p

×

L

)

=
m
k

d

d
t

(

r

r

)

=

d

d
t

(
m
k

r
^

)
.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}
Shuning uchun **A** teskari kvadrat markaziy kuchlar uchun saqlanadi :



d

d
t

A

=

d

d
t

(

p

×

L

)

−

d

d
t

(

m
k

r
^

)

=

0

.

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .}
Qisqaroq dalil burchak momentumning burchak tezligiga nisbati yordamida olinadi, {\displaystyle \mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}}, bu zarrachaga perpendikulyar tekislikda harakatlanadigan zarra uchun amal qiladi {\displaystyle \mathbf {L} }. Teskari-kvadrat markaziy kuchlarni belgilash, vaqt hosilasi {\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} } hisoblanadi



d

d
t

p

×

L

=

(

−
k

r

2


r
^

)

×

(

m

r

2

ω

)

=
m
k

ω

×

r
^

=
m
k

d

d
t



r
^

,

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,}

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,}bu yerda oxirgi tenglik oʻrinli boʻladi, chunki birlik vektor faqat aylanish orqali oʻzgarishi mumkin va {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} } aylanuvchi vektorning orbital tezligi. Shunday qilib, **A** teng vaqt hosilalari boʻlgan ikki vektorning ayirmasi sifatida koʻrinadi.

Ushbu maqolaning boshqa qismida tasvirlanganidek, ushbu LRL vektor **A** umumiy saqlangan vektorning maxsus holatidir {\displaystyle {\mathcal {A}}} Bu barcha markaziy kuchlar uchun belgilanishi mumkin. Biroq, aksariyat markaziy kuchlar yopiq orbitalarni hosil qilmagani uchun (qarang: Bertran teoremasi), analog vektor {\displaystyle {\mathcal {A}}} kamdan-kam hollarda oddiy taʼrifga ega va odatda **r** va orasidagi θ burchakning koʻp qiymatli funktsiyasidir.

Manbalar
--------

1. 1 2 3  Taff, L. G.*. Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practitioner*. New York: John Wiley and Sons, 1985 — 42–43 bet.
2. ↑  Goldstein, H.*. Classical Mechanics*, 2nd, Addison Wesley, 1980 — 94–102 bet.
3. ↑  Arnold, V. I.*. Mathematical Methods of Classical Mechanics*, 2nd, New York: Springer-Verlag, 1989 — 38 bet. ISBN 0-387-96890-3.
4. ↑  Sommerfeld, A.*. Mechanics*, 4th, Lectures on Theoretical Physics, New York: Academic Press, 1964 — 38–45 bet.
5. ↑  Lanczos, C.*. The Variational Principles of Mechanics*, 4th, New York: Dover Publications, 1970 — 118, 129, 242, 248 bet.
6. 1 2  Pauli, W. (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". *Zeitschrift für Physik* **36** (5): 336–363. doi:10.1007/BF01450175.
7. 1 2 3  Bohm, A.*. Quantum Mechanics: Foundations and Applications*, 3rd, New York: Springer-Verlag, 1993 — 205–222 bet.
8. ↑  Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M. (2004). "Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem". *American Journal of Physics* **72** (4): 428–35. doi:10.1119/1.1591764. .
9. ↑  Fock, V. (1935). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms". *Zeitschrift für Physik* **98** (3–4): 145–154. doi:10.1007/BF01336904.
10. ↑  Bargmann, V. (1936). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock". *Zeitschrift für Physik* **99** (7–8): 576–582. doi:10.1007/BF01338811.
11. 1 2  Hamilton, W. R. (1847). "The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction". *Proceedings of the Royal Irish Academy* **3**: 344–353.
12. ↑  Goldstein, H.*. Classical Mechanics*, 2nd, Addison Wesley, 1980 — 421 bet.
13. 1 2 3 4  Arnold, V. I.*. Mathematical Methods of Classical Mechanics*, 2nd, New York: Springer-Verlag, 1989 — 413–415 bet. ISBN 0-387-96890-3.
14. ↑  Goldstein, H. (1975). "Prehistory of the Runge–Lenz vector". *American Journal of Physics* **43** (8): 737–738. doi:10.1119/1.9745.   
  
Goldstein, H. (1976). "More on the prehistory of the Runge–Lenz vector". *American Journal of Physics* **44** (11): 1123–1124. doi:10.1119/1.10202.
15. 1 2 3  Hamilton, W. R. (1847). "Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions". *Proceedings of the Royal Irish Academy* **3**: Appendix III.
16. 1 2 3  Fradkin, D. M. (1967). "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". *Progress of Theoretical Physics* **37** (5): 798–812. doi:10.1143/PTP.37.798.
17. 1 2 3  Yoshida, T. (1987). "Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector". *European Journal of Physics* **8** (4): 258–259. doi:10.1088/0143-0807/8/4/005.
18. 1 2  Goldstein, H.*. Classical Mechanics*, 2nd, Addison Wesley, 1980 — 1–11 bet.
19. 1 2  Symon, K. R.*. Mechanics*, 3rd, Addison Wesley, 1971 — 103–109, 115–128 bet.
20. ↑  Hermann, J. (1710). "Metodo d'investigare l'Orbite de' Pianeti, nell' ipotesi che le forze centrali o pure le gravità degli stessi Pianeti sono in ragione reciproca de' quadrati delle distanze, che i medesimi tengono dal Centro, a cui si dirigono le forze stesse". *Giornale de Letterati d'Italia* **2**: 447–467.   
  
Hermann, J. (1710). "Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710". *Histoire de l'Académie Royale des Sciences* **1732**: 519–521.
21. ↑  Bernoulli, J. (1710). "Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710". *Histoire de l'Académie Royale des Sciences* **1732**: 521–544.
22. ↑  Laplace, P. S.*. Traité de mécanique celeste*. Paris, Duprat, 1799 — Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff bet.
23. ↑  Gibbs, J. W.*. Vector Analysis*. New York: Scribners, 1901 — 135 bet.
24. ↑  Runge, C.*. Vektoranalysis*. Leipzig: Hirzel, 1919.
25. ↑  Lenz, W. (1924). "Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung". *Zeitschrift für Physik* **24** (1): 197–207. doi:10.1007/BF01327245.
26. ↑  Symon, K. R.*. Mechanics*, 3rd, Addison Wesley, 1971 — 130–131 bet.
27. ↑  Evans, N. W. (1990). "Superintegrability in classical mechanics". *Physical Review A* **41** (10): 5666–5676. doi:10.1103/PhysRevA.41.5666. PMID 9902953.
28. ↑  Sommerfeld, A.*. Atomic Structure and Spectral Lines*. London: Methuen, 1923 — 118 bet.
29. ↑  Landau, L. D.*. Mechanics*, 3rd, Pergamon Press, 1976 — 154 bet. ISBN 0-08-021022-8.
30. ↑  Curtright, T.; Zachos C. (2003). "Classical and Quantum Nambu Mechanics". *Physical Review* **D68** (8): 085001. doi:10.1103/PhysRevD.68.085001.
31. ↑  Evans, N. W. (1991). "Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system". *Journal of Mathematical Physics* **32** (12): 3369–3375. doi:10.1063/1.529449.
32. ↑  Zachos, C.; Curtright T. (2004). "Branes, quantum Nambu brackets, and the hydrogen atom". *Czech Journal of Physics* **54** (11): 1393–1398. doi:10.1007/s10582-004-9807-x.
33. ↑  Goldstein, H.*. Classical Mechanics*, 2nd, Addison Wesley, 1980 — 102–105, 421–422 bet.
34. 1 2  Einstein, A. (1915). "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie". *Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften* **1915**: 831–839.
35. ↑  Le Verrier, U. J. J. (1859). "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète". *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris* **49**: 379–383.
36. ↑  Will, C. M.*. General Relativity, an Einstein Century Survey*, SW Hawking and W Israel, Cambridge: Cambridge University Press, 1979 — Chapter 2 bet.
37. ↑  Pais, A.*. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein*. Oxford University Press, 1982.
38. ↑  Roseveare, N. T.*. Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein*. Oxford University Press, 1982. ISBN 978-0-19-858174-1.
39. ↑  Efimov, S.P. (2022). "Coordinate space modification of Fock's theory. Harmonic tensors in the quantum Coulomb problem". *Physics-Uspekhi* **65** (9): 952–967. doi:10.3367/UFNe.2021.04.038966.
40. ↑  Efimov, S.P. (2023). "Runge-Lenz Operator in the Momentum Space". *JETP Letters* **117** (9): 716–720. doi:10.1134/S0021364023600635.
41. ↑  Hall 2013 harvnb error: no target: CITEREFHall2013 (help)
42. ↑  Hall 2013 harvnb error: no target: CITEREFHall2013 (help) Proposition 2.34.

Adabiyotlar
-----------

* Baez, John (2008). "The Kepler Problem Revisited: The Laplace–Runge–Lenz Vector" (PDF).
* Baez, John (2003). "Mysteries of the gravitational 2-body problem". Archived from the original on 2008-10-21.
* Baez, John (2018). "Mysteries of the gravitational 2-body problem". Retrieved 2021-05-31.
* D'Eliseo, M. M. (2007). "The first-order orbital equation". American Journal of Physics. 75 (4)
* Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer.
* Leach, P. G. L.; G. P. Flessas (2003). "Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector". J. Nonlinear Math. Phys.