1 سے 10 تک ضرب کی جدول پیمانے پر کھینچی گئی، جس میں اوپری دائیں نصف کے ساتھ بنیادی تجزیہ کا لیبل لگا ہوا ہے۔
ریاضی میں **پہاڑا**؛ ریاضی کی ایک ضرب میز (ریاضیاتی جدول) ہے، جسے الجبری نظام کے لیے ضرب کی کارروائی کی وضاحت کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔

اعشاریہ (دس کی بنیاد کا اعدادی نظام) ضرب کی میز (ریاضیاتی جدول) کو روایتی طور پر پوری دنیا میں ابتدائی ریاضی کے ایک لازمی حصے کے طور پر پڑھایا جاتا تھا، کیونکہ یہ بنیادی دس نمبروں کے ساتھ ریاضی کے عمل کی بنیاد رکھتا ہے۔ بہت سے ماہرین تعلیم کا خیال ہے کہ پہاڑا 9 × 9 تک حفظ کرنا ضروری ہے۔

تاریخ
-----

### جدید عہد سے قبل زمانہ میں

سنگھوا بمبو سلپس، چینی متحارب ریاستوں کے دور کی اعشاریہ ضرب جدول 305 قبل مسیح
سب سے قدیم معلوم ضرب کی میزیں تقریباً 4000 سال قبل بابلیوں نے استعمال کی تھیں۔ تاہم، انھوں نے 60 کی عددی بنیاد کا استعمال کیا۔ 10 کی بنیاد کا استعمال کرنے والی سب سے پرانی معلوم جدولیں بانس کی پٹیوں پر چینی اعشاریہ ضرب کی میز ہیں جو تقریباً 305 قبل مسیح چینی متحارب ریاستوں کے دور کی ہیں۔

نیپیئر کی ہڈیوں پر "فیثاغورث کی میز" 
ضرب جدول کو بعض اوقات قدیم یونانی ریاضی داں فیثاغورث (570–495 قبل مسیح) کی طرف منسوب کیا جاتا ہے۔ اسے کئی زبانوں میں (مثال کے طور پر فرانسیسی، اطالوی اور روسی)، کبھی کبھی انگریزی میں Table of Pythagoras (فیثاغورث کی میز) بھی کہا جاتا ہے۔ یونانی-رومی ریاضی داں نیکوماخوس (60-120 عیسوی)، جو نو فیثاغورسیت/نو فیثاغورثیت کے پیروکار ہیں، نے اپنی کتاب **مقدمة في الحساب** میں ایک ضرب کی جدول شامل کی، جب کہ سب سے قدیم زندہ بچ جانے والی یونانی ضرب کی میز اس وقت ایک مومی تختی پر ہے، جس کی تاریخ پہلی صدی عیسوی بتائی جاتی ہے اور فی الحال برٹش میوزیم میں رکھی ہوئی ہے۔

493 عیسوی میں وکٹوریئس آف ایکویٹائن نے 98 کالموں پر مشتمل ضرب کی جدول لکھی جس نے (رومن اعداد میں) 2 سے 50 بار تک ہر نمبر کی پیداوار دی اور قطاریں "ایک ہزار سے شروع ہونے والے اعداد کی فہرست، سینکڑوں سے ایک تک اترتی ہوئی" تھیں۔ سو، پھر دسیوں سے دس، پھر ایک سے ایک اور پھر حصے 1/144 تک نیچے آتے ہیں۔"

### عہد حاضر میں

ریاضی داں جان لیزلی نے اپنی 1820ء کی کتاب The Philosophy of Arithmetic (فلسفۂ ریاضی) میں 99 × 99 تک ایک ضرب کی جدول شائع کی، جس کی مدد سے اعداد کو ایک وقت میں ہندسوں کے جوڑے میں ضرب کیا جا سکتا ہے۔ لیزلی نے یہ بھی تجویز کیا کہ نوجوان شاگرد 50 × 50 تک ضرب کی میز کو حفظ کریں۔

ذیل میں دی گئی مثال 16 × 16 تک کا ایک جدول دکھاتی ہے، جو آج کل انگریزی دنیا کے اسکولوں میں عام طور پر استعمال ہونے والا سائز ہے۔

| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 |
| 11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 |
| 12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 |
| 13 | 0 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 |
| 14 | 0 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 |
| 15 | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 |
| 16 | 0 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 |

چین میں تاہم چونکہ عدد کی ضرب  *استبدالی*  ہے، بہت سے اسکول ذیل کے ایک چھوٹی جدول کا استعمال کرتے ہیں۔ کچھ اسکول یہاں تک کہ پہلے کالم کو ہٹا دیتے ہیں کیونکہ 1 ضرب کا شناختی عنصر ہے۔


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2 | 2 | 4 |  |  |  |  |  |  |  |
| 3 | 3 | 6 | 9 |  |  |  |  |  |  |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |  |  |  |  |  |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |  |  |  |  |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |  |  |  |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 |  |  |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 |  |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

ضرب کی روایتی روٹ لرننگ ٹیبل میں کالموں کی یادداشت پر مبنی تھی، جیسے کہ

  1 × 10 = 10  

  2 × 10 = 20  

  3 × 10 = 30  

  4 × 10 = 40  

  5 × 10 = 50  

  6 × 10 = 60  

  7 × 10 = 70  

  8 × 10 = 80  

  9 × 10 = 90

ضرب جدول کو مکمل عدد جملوں کے ساتھ کالموں میں لکھنے کی یہ شکل اب بھی کچھ ممالک میں استعمال ہوتی ہے، جیسے بوسنیا اور ہرزیگووینا، اوپر دیے گئے جدید گرڈز کی بجائے۔[*حوالہ درکار*]

پہاڑاؤں کے نمونے (پیٹرن)
------------------------

ضرب جدول میں ایک نمونہ ہے جو لوگوں کو پ پہاڑے زیادہ آسانی سے حفظ کرنے میں مدد کرسکتا ہے۔ یہ ذیل کے اعداد و شمار کا استعمال کرتا ہے:


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| → |   | → |
| ↑ | 1 | 2 | 3 | ↓ | ↑ | 2 |   | 4 | ↓ |
| 4 | 5 | 6 |   |   |   |
| 7 | 8 | 9 | 6 |   | 8 |
| ← | ← |
|   | 0 |   | 5 |   |   | 0 |   |
| شکل 1: طاق | شکل 2: جوڑ |

ایک **ٹیلی فون کی پیڈ** پر 1، 3، 7 اور 9 (اوپری قطار) اور 2، 4، 6 اور 8 (نچلی قطار) پر ختم ہونے والے عدد کے ضرب کے یونٹ ہندسوں کے چکر
شکل 1 کا استعمال 1، 3، 7 اور 9 کے ضربوں کے لیے کیا جاتا ہے۔ شکل 2 کو 2، 4، 6 اور 8 کے ضربوں کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ان نمونوں کو 0 سے 10 تک کسی بھی عدد کے ضرب کو یاد کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، سوائے 5 کے۔جیسا کہ آپ اس نمبر سے شروع کریں گے جسے آپ ضرب کر رہے ہیں، جب آپ 0 سے ضرب کرتے ہیں، تو آپ 0 پر رہتے ہیں (0 بیرونی ہے اور اس لیے تیر کا 0 پر کوئی اثر نہیں ہوتا ہے، بصورت دیگر 0 کو ایک دائمی سائیکل بنانے کے لیے ایک لنک کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے)۔ پیٹرن 10 کے ضرب کے ساتھ بھی کام کرتا ہے، 1 سے شروع کرکے اور صرف 0 کا اضافہ کرکے، آپ کو 10 دے کر، پھر صرف پیٹرن میں موجود ہر نمبر کو "دہائیوں" کی عددوں پر لاگو کریں جیسا کہ آپ عام طور پر "اکائیوں" کی اعداد پر کرتے ہیں۔

مثال کے طور پر، 7 کے تمام ضربوں کو یاد کرنے کے لیے:

1. پہلی تصویر میں 7 کو دیکھیں اور تیر کی پیروی کریں۔
2. تیر کی سمت میں اگلا نمبر 4 ہے۔ تو 7 کے بعد اگلا نمبر سوچیں جو 4 پر ختم ہوتا ہے، جو 14 ہے۔
3. تیر کی سمت میں اگلا نمبر 1 ہے۔ تو 14 کے بعد اگلے نمبر کے بارے میں سوچیں جو 1 پر ختم ہوتا ہے، جو 21 ہے۔
4. اس کالم کے اوپر آنے کے بعد، اگلے کالم کے نیچے سے شروع کریں اور اسی سمت سفر کریں۔ نمبر 8 ہے۔ تو 21 کے بعد اگلے نمبر کے بارے میں سوچیں جو 8 پر ختم ہوتا ہے، جو 28 ہے۔
5. اسی طرح آگے بڑھیں جب تک کہ آخری نمبر، 3، 63 کے مطابق ہو۔
6. اگلا، نیچے 0 استعمال کریں۔ یہ 70 کے مساوی ہے۔
7. پھر، 7 کے ساتھ دوبارہ شروع کریں۔ اس بار یہ 77 کے مطابق ہوگا۔
8. اس طرح جاری رکھیں۔

### 6 سے 10 تک ضرب

9 × 8 اور 7 × 6 کا حساب
دو مکمل نمبروں کو ضرب دینے سے، ہر ایک کو 6 سے 10 تک انگلیوں اور انگوٹھے کے استعمال سے حاصل کیا جا سکتا ہے:

1. انگلیوں اور انگوٹھوں کو 10 سے 6 تک، پھر 6 سے 10 تک بائیں سے دائیں، جیسا کہ تصویر میں ہے۔
2. انگلی یا انگوٹھے کو ہر ایک نمبر کے مطابق اور ان کے درمیان تمام انگلیاں موڑیں۔
3. مڑی ہوئی انگلیوں یا انگوٹھوں کی تعداد دہائیوں کا ہندسہ دیتی ہے۔
4. مندرجہ بالا میں بائیں اور دائیں طرف غیر مڑی ہوئی انگلیوں یا انگوٹھوں کی پیداوار شامل کی گئی ہے۔

### 9 سے ضرب

سانچہ:Float right clear none
1 سے 10 تک کی پوری تعداد کے ساتھ 9 کو ضرب دینے سے بھی اس طرح حاصل کیا جا سکتا ہے:

طریقہ 1
1. انگلیوں اور انگوٹھوں کو 1 سے 10 تک بائیں سے دائیں نمبر کریں۔
2. نمبر کے مطابق انگلی یا انگوٹھے کو موڑیں۔
3. موڑ کے بائیں جانب انگلیوں یا انگوٹھے کی تعداد دسیوں کا ہندسہ دیتی ہے (اگر کوئی نہیں تو ہندسہ صفر ہے)۔
4. موڑ کے دائیں جانب انگلیوں یا انگوٹھے کی تعداد یونٹس کا ہندسہ دیتی ہے (اگر کوئی نہیں تو ہندسہ صفر ہے)۔

طریقہ 2
1. دہائیوں کا ہندسہ حاصل کرنے کے لیے جس نمبر کو آپ 9 سے ضرب دے رہے ہیں اسے لیں اور 1 کو گھٹائیں۔
2. عدد کا ہندسہ وہ نمبر ہو گا جس کی آپ کو دسیوں کے ہندسے اور ایک ہندسے کو نو کے برابر کرنے کی ضرورت ہے؛*جیسے* {\displaystyle 9\cdot 7=63}, {\displaystyle 7-1=6}, {\displaystyle 9-6=3}۔

تجریدی الجبرا میں
-----------------

جدولیں گروہوں، میدانوں، حلقوں اور دیگر الجبرائی نظام پر بائنری آپریشن کی بھی وضاحت کر سکتی ہیں۔ ایسے سیاق و سباق میں انھیں کیلی ٹیبل کہا جاتا ہے۔ یہاں متناہی میدان کے لیے اضافے اور ضرب کی میزیں ہیں **Z5**:

ہر فطری نمبر *n* کے لیے، انگوٹی **Z*n*** کے لیے اضافے اور ضرب کی میزیں بھی ہیں۔

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |

 | 

| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

  |

دیگر مثالوں کے لیے دیکھیں گروہ اور اوکٹونین۔

چینی ضرب کی ٹیبل
----------------

چینی ضرب کا جدول اکیاسی جملوں پر مشتمل ہے جس میں فی جملہ چار یا پانچ چینی حروف ہیں، جو بچوں کے لیے دل سے سیکھنا آسان بناتا ہے۔ جدول کا ایک چھوٹا ورژن صرف پینتالیس جملوں پر مشتمل ہے، جیسا کہ اصطلاحات جیسے "نو آٹھ سے پچھتر پیدا ہوتے ہیں" "آٹھ نو سے پچھتر پیدا ہوتے ہیں" سے مماثلت رکھتے ہیں لہذا انھیں دو بار سیکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ تمام "ایک" جملوں کو ہٹا کر ایک کم از کم ورژن، صرف چھتیس جملوں پر مشتمل ہے، جو چین کے اسکولوں میں سب سے زیادہ استعمال ہوتا ہے۔ یہ اکثر اس ترتیب میں ہوتا ہے: 2x2=4, 2x3=6, ... 2x8=16, 2x9=18, 3x3, 3x4, ... 3x9, 4x4, ... 4x9, 5x5,... 9x9

متحارب ریاستیں اعشاریہ ضرب بانس کی پٹیاں
----------------------------------------

سنگھوا بانس پٹیاں (清华简) مجموعہ میں متحارب ریاستوں کے دور میں 305 قبل مسیح کی 21 بانس پٹیوں کا بنڈل اعشاریہ ضرب کی میز کی دنیا کی قدیم ترین مثال ہے۔

متحارب ریاستوں کی اعشاریہ ضرب جدول کی ایک جدید نمائندگی جو 12 × 34.5 کے حساب کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

امریکا میں معیارات پر مبنی ریاضی کی اصلاحات
-------------------------------------------

1989 میں، [[نیشنل کونسل آف ٹیچرز آف میتھمیٹکس] (NCTM) نے نئے معیارات تیار کیے جو اس عقیدے پر مبنی تھے کہ تمام طلبہ کو اعلیٰ ترتیب والی سوچ کی مہارتیں سیکھنی چاہئیں، جس نے روایتی طریقوں کی تعلیم پر کم زور دینے کی سفارش کی جو روٹ پر انحصار کرتے تھے۔ حفظ، جیسے ضرب کی میزیں
1989ء میں ریاضی کے اساتذہ کی قومی کونسل (NCTM) نے نئے معیارات تیار کیے جو اس عقیدے پر مبنی تھے کہ تمام طلبہ کو اعلیٰ ترتیب والی سوچ کی مہارتیں سیکھنی چاہئیں، جس نے روایتی طریقوں کی تعلیم پر کم زور دینے کی سفارش کی جو رٹ کر یاد کرنے کے طریقہ پر انحصار کرتے تھے، جیسے پہاڑے۔ بڑے پیمانے پر اختیار کیے گئے متن جیسے کہ نمبرز، ڈیٹا، اور خلا میں تحقیقات (جس کے پروڈیوسر، ٹیکنیکل ایجوکیشن ریسرچ سینٹرز کے بعد بڑے پیمانے پر TERC کے نام سے جانا جاتا ہے) نے ابتدائی ایڈیشن میں ضرب جدول جیسی امداد کو چھوڑ دیا۔ NCTM نے اپنے 2006 اہم نکات میں واضح کیا کہ ریاضی کے بنیادی حقائق کو سیکھنا ضروری ہے، حالانکہ اس بات پر کوئی اتفاق رائے نہیں ہے کہ آیا رٹ کر یاد کرنا بہترین طریقہ ہے۔ حالیہ برسوں میں، بچوں کو ضرب کے حقائق سیکھنے میں مدد کے لیے متعدد غیر روایتی طریقے وضع کیے گئے ہیں، بشمول ویڈیو گیم اسٹائل ایپس اور کتابیں جن کا مقصد کردار پر مبنی کہانیوں کے ذریعے ٹائم ٹیبل سکھانا ہے۔

حوالہ جات
---------

1. ↑  John Trivett (1980)، "The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!"، For the Learning of Mathematics، **1** (1): 21–25، JSTOR 40247697 .
2. 1 2 3  Jane Qiu (January 7, 2014)۔ "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips"۔ Nature News۔ doi:10.1038/nature.2014.14482  الوسيط `|s2cid=` تم تجاهله (معاونت)
3. ↑  Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
4. ↑  for example in  *An Elementary Treatise on Arithmetic* by John Farrar
5. ↑  David E. Smith (1958), *History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics*. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), سانچہ:Isbn, pp. 58, 129.
6. ↑  David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". *Classical Philology*, 96/4 (October 2001), p. 383.
7. ↑  John Leslie (1820)۔ The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand۔ Edinburgh: Abernethy & Walker
8. ↑  *Nature* article The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table