اگر صحیح عدد *a* صحیح عدد *b* کو (پورا) تقسیم کرتا ہے، تو اس کو یوں لکھا جاتا ہے:
{\displaystyle \ a|b}
  

مثال:
{\displaystyle \ 2|6}

مطابقت
(تعریف): چلو {\displaystyle \ m>0}۔ ہم کہتے ہیں کہ *a* مطابق ہے *b* کے، بہ چکر *m*، اگر {\displaystyle \ m|b-a}
اور اس کو یوں لکھتے ہیں
  
{\displaystyle \ a\equiv b\mod m}  

مثال:
  
{\displaystyle \ 18\equiv 4\mod 7}
کیونکہ
{\displaystyle \ 7|18-4}  

  

  
{\displaystyle \ 18\equiv 0\mod 6}
کیونکہ
{\displaystyle \ 6|18-0}

*مطابقت*  کو انگریزی میں congruence کہتے ہیں اور *بہ چکر* کو modulo یا mod۔ اس طرح مساوات کے طور پر لکھنا بہت مفید ثابت ہوتا ہے، جیسا کہ ہم نیچے دیکھیں گے۔

مسلئہ اثباتی
------------

چلو {\displaystyle \ m>0} قدرتی عدد ہو۔ نیچے *a* اور *b* صحیح عدد ہیں اور {\displaystyle \ m\_{1}>0}

* اگر {\displaystyle \ a\equiv b\mod m}، تو پھر

{\displaystyle \ b\equiv a\mod m}

* اگر {\displaystyle \ a\equiv b\mod m} اور {\displaystyle \ b\equiv c\mod m}، تو پھر

{\displaystyle \ a\equiv c\mod m}

* {\displaystyle \ (a+b)\mod m=(a\mod m)+(b\mod m)}
* {\displaystyle \ (a\times b)\mod m=(a\mod m)\times (b\mod m)}
* اگر {\displaystyle \ a\equiv b\mod m} اور {\displaystyle \ m\_{1}|m}، تو پھر

{\displaystyle \ a\equiv b\mod m\_{1}}

مثال:   

{\displaystyle {\begin{matrix}3^{3}\mod 4&=&((3\times 3)\mod 4)\times 3\mod 4\\&=&(9\mod 4)\times 3\mod 4\\&=&5\times 3\mod 4\\&=&15\mod 4=3\\\end{matrix}}}

مثلئہ اثباتی
------------

اگر صحیح اعداد *a* اور *b* کا عاد اعظم {\displaystyle \ \gcd(a,b)=m\_{1}>0} ہو اور {\displaystyle \ m=m\_{1}\times m\_{2}>0}، تو
  

{\displaystyle \ ax\equiv ay\mod m\iff x\equiv y\mod m\_{2}}

مثال: 
دی گئی مساوات:
{\displaystyle 35\equiv 5\mod 6}
  

اب چونکہ
{\displaystyle \gcd(6,5)=1}
اس لیے ہم مساوات کے دونوں طرف 5 سے کاٹ سکتے ہیں:
{\displaystyle 7\equiv 1\mod 6}
  

اس مثٓال میں مسئلہ کی ایک خاص صورت استعمال ہوئی ہے، جسے "کاٹنے" کا اصول کہتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی
------------

اگر
{\displaystyle a\equiv b\mod m}   

تو پھر
{\displaystyle a^{n}\equiv b^{n}\mod m}   

کسی بھی مثبت *n* کے لیے۔

مطابقت جماعت
------------

*بہ چکر n* کا عمل صحیح اعداد کو *n* جماعتوں میں بانٹ دیتا ہے۔ مثلاً *n=3* کے لیے، یہ تین جماعتیں بنتی ہیں:
{\displaystyle {\begin{matrix}\{\cdots ,-9,-6,-3,0,3,6,9,\cdots \},\\\{\cdots ,-10,-7,-4,1,4,7,10,\cdots \},\\\{\cdots ,-11,-8,-5,2,5,8,11,\cdots \}\\\end{matrix}}}
  

ان جماعتوں کے نمائندہ ارکان *0*، *1* اور *2*، ہیں۔ گویا *n=3* کا ایک مطابقت نظام {\displaystyle \ \{0,1,2\}} ہے، جو اس کا بنیادی مطابقت نظام کہلاتا ہے۔ اسی طرح دوسرے مطابقت نظاموں میں شامل ہیں:
  

{\displaystyle \ \{1,2,3\}}،
{\displaystyle \ \{2,3,4\}} وغیرہ۔

مطابقت مساوات
-------------

مسئلہ اثباتی: درجہ اول کی مطابقت مساوات   

{\displaystyle ax\equiv b\mod m}
  

اس مساوات کا حل ممکن ہے اور صرف اسی صورت ممکن ہے، جب
{\displaystyle \ \gcd(a,m)|b}
  

اگر ایک حل {\displaystyle x=x\_{0}} ہے، تو تمام حل یوں لکھے جا سکتے ہیں   

{\displaystyle x=x\_{0}+{\frac {mv}{\gcd(a,m)}}}
جہاں *v* بھاگتا ہے بہ چکر {\displaystyle \ \gcd(a,b)} کے کسی بھی مطابقت نظام میں۔
  

### مثال

مساوات   

{\displaystyle 9x\equiv 33\mod 48}
  

اب چونکہ {\displaystyle \ \gcd(9,48)=3} اور 3 تقسیم کرتا ہے 48 کو، اس لیے اس مساوات کا حل موجود ہے۔ ایک حل {\displaystyle x\_{0}=9} ہے۔ اور سارے حل یوں ہیں:
  

{\displaystyle x=9+{\frac {48v}{3}}=\{9,25,41\}}
  

چونکہ *v* عدد 3 کے بنیادی مطابقت نظام میں بھاگتا ہے، {\displaystyle v=\{0,1,2\}}

مزید دیکھیے
-----------

* محدود میدان

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات