| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| گروہ شناخت عنصر عالجہ ثنائ  مجموعہ متناظر | group  identity  element  operator  binary  set  symmetric |

*گروہ* عناصر کا ایسا مجموعہ ہوتا ہے، جس میں ایک عالج متعرف ہوتا ہے کہ کسی بھی دو عناصر کو عالج سے گزار کر اسی مجموعہ کا عنصر حاصل ہوتا ہے۔ **گروہ** کے لیے کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہوتا ہے، جو مشارکی، شناخت عنصر اور اُلٹ عنصر کے متعلق ہوتے ہیں۔ صحیح اعداد کا مجموعہ، جمع کے عالج کے ساتھ، ایک گروہ ہے کہ کسی بھی دو اعداد کو جمع کر کے صحیح عدد ملتا ہے، صفر (شناخت عنصر) کو کسی بھی عدد میں جمع کرنے سے اس عدد میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی، کسی عدد کے منفی (اُلٹ عنصر) کو اس میں جمع کرنے سے صفر ملتا ہے اور جمع مشارکی خصوصیت رکھتی ہے۔

تعریف: عناصر کا غیر خالی مجموعہ *G* ایک ثنائ عالج {\displaystyle \circ } کے ساتھ، *گروہ* کہلاتا ہے اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:

* اگر {\displaystyle a\in G} اور {\displaystyle b\in G}، تو پھر {\displaystyle a\circ b\in G}
* مجموعہ میں ایسا عنصر *I* ہو کہ تمام {\displaystyle a\in G} کے لیے

{\displaystyle a\circ I=I\circ a\in G}
عنصر *I* کو *شناخت عنصر* کہتے ہیں۔

* ہر عنصر {\displaystyle a\in G} کے لیے، ایسا عنصر {\displaystyle a^{-1}\in G} موجود ہو (جسے *a* کا اُلٹ کہتے ہیں) کہ

{\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=I}
* مجموعہ *G* میں عناصر *a*، *b*، *c*، کے لیے مشارکی خصوصیت پوری ہو

{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}

### متناظر گروہ (تبدل کامل)

تفصیلی مضمون: تبدل کامل گروہ
اعداد کے مجموعہ {\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}} کے کسی خاص تبدل کامل کو ایک دالہ کے ذریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  1  |  2 |  3 |  .... |  n |
|  f(1) |  f(2) |  f(3) |  .... |  f(n) |

مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  1  |  2 |  3 |  4 |
| 4  | 2 | 1 | 3 |

اگر `f(.)` اور `g(.)` کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہوں اعداد {\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}} پر، تو ان فنکشن کی ترکیب
{\displaystyle f\circ g(k)=f(g(k))}
بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اس طرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر *f* اور *g* کے لیے۔

شناخت عنصر کے لیے ہم فنکشن تعریف کرتے ہیں
{\displaystyle I(k)=k\,,\,\,k=1,2,\cdots ,n}
، یعنی:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  1  |  2 |  3 |  .... |  n |
|  1 |  2 |  3 |  .... |  n |

اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔

اگر فنکشن `f(.)` کوئی خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  1  |  2 |  3 |  .... |  n |
|  f(1) |  f(2) |  f(3) |  .... |  f(n) |

تو یہ تبدل کامل

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  f(1) |  f(2) |  f(3) |  .... |  f(n) |
|  1  |  2 |  3 |  .... |  n |

اس کا اُلٹ ہے اور اسے {\displaystyle f^{-1}(.)} کہہ سکتے ہیں،

{\displaystyle f(f^{-1}(k))=f^{-1}(f(k))=k}
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔

اگر *g*، *f* اور *h*، کوئی تبدل کامل فنکشن ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے

{\displaystyle (f\circ g)\circ h(k)=(f\circ g)(h(k))=f(g(h(k)))=f\circ (g\circ h)(k)}
پس ثابت ہوا کہ مجموعہ {\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}} کے تمام تبدل‌کامل ایک گروہ بناتے ہیں۔ خیال رہے کہ ان تبادل‌کامل کی تعداد {\displaystyle n!} ہے، یعنی اس گروہ کے عناصر کی تعداد {\displaystyle n!} ہے۔ اس گروہ کی اہمیت نیچے دیے "متشاکل کیلے مسلئہ اثباتی" کی بدولت ہے۔ اس گروہ کو *متناظر گروہ* کہا جاتا ہے اور {\displaystyle S\_{n}} کی علامت سے لکھا جاتا ہے۔

### خوائص

گروہ کے عناصر *a*، *b*، کے لیے

* (*r* دفعہ) {\displaystyle a^{r}=a\circ a\circ \cdots a}
* {\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\circ a^{s}}
* {\displaystyle \ (a^{r})^{s}=a^{rs}}
* {\displaystyle (a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}}

مبدلی گروہ
----------

گروہ کو ایبلین (Abelian) یا مبدلی گروہ کہیں گے اگر مبدلی کی خصوصیت موجود ہو:

{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
تمام عناصر {\displaystyle a,b\in G} کے لیے۔

مثال کے طور پر صحیح اعداد کا گروہ، جمع عالج اور صفر شناخت، کے ساتھ مبدلی ہے۔

تبدل کامل کی فنکشن *f* یوں تعریف کرو

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  1 |  2 |  3 |  4 |
|  | {\displaystyle \downarrow } |  f |  |
|  4 |  2 |  1 |  3 |

تبدل کامل کی فنکشن *g* یوں تعریف کرو

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  1 |  2 |  3 |  4 |
|  | {\displaystyle \downarrow } |  g |  |
|  3 |  1 |  2 |  4 |

اب واضح ہے کہ
{\displaystyle f\circ g(1)=f(g(1))=f(3)=1}
اور
{\displaystyle g\circ f(1)=g(f(1))=g(4)=4}
اس لیے

{\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}
اور تبدل کامل کا گروہ مبدلی نہیں۔

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| ذیلی گروہ متناہی | subgroup  finite |

ذیلی گروہ
---------

اگر مجموعہ *G* کے عناصر عالجہ {\displaystyle \circ } کے لحاظ سے گروہ بنائیں اور مجموعہ *G* کا ذیلی مجموعہ *H* ہو، اس طرح کہ *H* کے عناصر بھی عالجہ {\displaystyle \circ } کے لحاظ سے گروہ بنائیں، تو ہم کہیں گے کہ *H* *ذیلی گروہ* ہے گروہ *G* کا۔
غیر خالی ذیلی مجموعہ *H* ذیلی‌گروہ ہو گا اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:

* اگر {\displaystyle a\in H}، تو {\displaystyle a^{-1}\in H}
* اگر {\displaystyle a\in H} اور {\displaystyle b\in H}، تو {\displaystyle a\circ b\in H}

### قضیہ

اگر *G* متناہی گروہ ہو، تو "G *کا غیر خالی ذیلی مجموعہ* H *ذیلی‌گروہ ہو گا، اگر*

{\displaystyle a\in H,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H}

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| متشاکل ارتباط واحد الواحد | isomorphic  one-to-one correspondence |

متشاکل
------

دو گروہوں *G* اور *H* کو متشاکل کہیں گے اگر ان کے عناصر کے درمیان ارتباط واحد الواحد قائم کیا جا سکے اس طرح کہ یہ ارتباط عناصر کے عالجہ سے گزارنے کے بعد بھی قائم رہے۔ اگر {\displaystyle g\in G} اور {\displaystyle h\in H}، تو ان عناصر کے درمیان ارتباط کو {\displaystyle g\leftrightarrow h} لکھا جاتا ہے۔ اب اگر {\displaystyle g\_{1}\leftrightarrow h\_{1}} اور {\displaystyle g\_{2}\leftrightarrow h\_{2}}، تو متشاکل کی شرط ہے کہ

{\displaystyle g\_{1}\circ g\_{2}\leftrightarrow h\_{1}\circ h\_{2}}
دوسرے الفاظ میں گروہ *G* اور *H* دراصل ایک ہی ہیں، صرف ان کے عناصر کے نام مختلف رکھے ہوئے ہیں۔

### مسلئہ اثباتی

ہر متناہی *G* گروہ متشاکل ہو گا تبدل‌کامل کے کسی ذیلی‌گروہ کے ۔

یہ مسلئہ کیلے گروہ متشاکل ملسئہ اثباتی کہلاتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ تبدلکامل کا ذیلی‌گروہ کیسا ہو گا، *G* کے عناصر کا {\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}} نام رکھ دو۔ عنصر *k* کے ہمشکل تبدلکامل تفاعل {\displaystyle f\_{k}} یوں تعریف کرو

{\displaystyle f\_{k}(i)=k\circ i}
تبدلکامل کا یہ گروہ {\displaystyle \{f\_{1},f\_{2},\cdots ,f\_{n}\}} ہو گا اور {\displaystyle f\_{k\,\circ \,j}=f\_{k}\cdot f\_{j}}،
یعنی {\displaystyle f\_{k}} اور {\displaystyle f\_{j}} کی ترکیب۔

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| رُتبہ دَوری | order  cyclic |

رُتبہ اور دَوری گروہ
--------------------

کسی گروہ میں عناصر کی تعداد کو اس گروہ کا *رتبہ* کہا جاتا ہے۔ اگر *g* عنصر ہو گروہ *G* کا ({\displaystyle g\in G})، تو {\displaystyle \{g,g^{2},g^{3},\cdots \}}
گروہ *G* کا ذیلی گروہ ہو گا۔ اگر *r* چھوٹا ترین صحیح عدد ہو جس کے لیے {\displaystyle g^{r}=I} (جہاں *I* شناخت عنصر ہے) تو یہ ذیلی‌گروہ {\displaystyle \{g^{1},g^{2},g^{3},\cdots ,g^{r}\}} ہو گا اور اس گروہ کو *g* سے تولید شدہ *دوری ذیلی‌گروہ* کہا جاتا ہے۔ اس دوری ذیلی‌گروہ میں عناصر کی تعداد *r* ہے اور اس گروہ کا رتبہ *r* ہے۔ چونکہ یہ گروہ عنصر *g* سے تولید شدہ ہے، اس لیے *r* کو عنصر *g* کا رتبہ بھی کہا جاتا ہے۔

خیال رہے کہ اُوپر

{\displaystyle g^{2}=g\circ g\,,\,g^{3}=g\circ g\circ g\,,\cdots }
### مثال

مجموعہ {\displaystyle \{1,2,3\}} کی چھ تبدلکامل ہیں:

|  |  |
| --- | --- |
|  f1=I |  1, 2, 3 |
|  f2 |  1, 3, 2 |
|  f3 |  2, 1, 3 |
|  f4 |  2, 3, 1 |
|  f5 |  3, 1, 2 |
|  f6 |  3, 2, 1 |

جو گروہ
{\displaystyle \{f\_{1},f\_{2},f\_{3},f\_{4},f\_{5},f\_{6}\}} بناتی ہیں۔ عنصر {\displaystyle f\_{4}} یہ دوری ذیلی‌گروہ {\displaystyle \{f\_{4},f\_{5},f\_{1}\}} تولید کرتا ہے اور عنصر {\displaystyle f\_{4}} کا رتبہ 3 ہے۔

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| ہم‌مجموعہ  بےجوڑ ؟ معمول | coset  disjoint  identical  normal |

coset
-----

گروہ *G* کا ذیلی‌گروہ *H* ہو۔ *G* کے کسی عنصر *g* کے لیے، مجموعہ تعریف کرو

{\displaystyle g\circ H=\{g\circ h\,:\,h\in H\}}
مجموعہ {\displaystyle g\circ H} کو گروہ *G* کا ایک *بائیں ہممجموعہ* کہا جاتا ہے۔ اسی طرح

{\displaystyle H\circ g=\{h\circ g\,:\,h\in H\}}
کو گروہ *G* کا ایک "دائیں ہممجموعہ" کہا جاتا ہے۔

### معمول ذیلی گروہ

گروہ *G* کے ذیلی‌گروہ *H* کو *معمول ذیلی‌گروہ* کہا جائے گا اگر کسی بھی {\displaystyle g\in G} کے لیے

{\displaystyle H\circ g=g\circ H}
### قضیہ

اگر متناہی گروہ *G* کا ذیلی‌گروہ *H* ہو، تو تمام {\displaystyle g\in G} کے لیے

{\displaystyle |g\circ H|=|H|}
جہاں علامت {\displaystyle |S|} سے مراد مجموعہ *S* میں عناصر کی تعداد ہے۔

### قضیہ

اگر متناہی گروہ *G* کا ذیلی‌گروہ *H* ہو، تو ہممجموعہ
{\displaystyle g\_{1}\circ H}
اور ہممجموعہ
{\displaystyle g\_{2}\circ H}
یا تو برابر (identical) ہیں یا بے جوڑ ہیں۔

### مسلئہ اثباتی

اگر متناہی گروہ *G* کا ذیلی‌گروہ *H* ہو، تو صحیح عدد {\displaystyle |G|} کو صحیح عدد {\displaystyle |H|} (پورا) تقسیم کرتا ہے۔ یعنی ذیلی‌گروہ *H* کا مرتبہ تقسیم کرتا ہے گروہ *G* کے مرتبہ کو۔ اسے لاگرانج مسئلہ اثباتی کہتے ہیں۔

* اگر *G* متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ *n* ہو، تو اس گروہ کے کسی بھی عنصر {\displaystyle g\in G} کے لیے {\displaystyle g^{n}=I}
* اگر *G* متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ *n* ہو اور *n* مفرد عدد ہو، تو گروہ *G* دَوری ہو گا اور نتیجتاً مبدلی۔

مزید دیکھیے
-----------

* میدان

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات