عائلر کے نام پر یہ کلیہ، ریاضیات میں مختلط تحلیل کا ہے، جو مثلشیاتی دالہ اور مختلط اَسّی دالہ کے درمیان گہرے تعلق کا پتہ دیتا ہے۔ عائلر کلیہ کا بیان ہے کہ، کسی حقیقی عدد *x* کے لیے:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
جہاں *e* قدرتی لاگرتھم کی اساس ہے، *i* تخیلی اکائی اور cos اور sin مثلثیاتی دالہ "جیب التمام" (cosine) اور "جیب منحنی" (sine) ہیں اور مد *x* قطریہ میں ہے۔
جب *x* مختلط ہو، تب بھی یہ کلیہ لاگو رہتا ہے۔

رچرڈ فینمان نے اس کلیہ کو "ہمارا گوہر" کہا ہے اور "تمام ریاضیات میں ایک بہت اہم، تقریباً حیران کن پریشان کن، کلیہ" بتایا ہے۔

تاریخ
-----

اس کلیہ کو سب سے پہلے راجر کوتیس نے 1714ء میں مثبوت کیا، اس ہیئت میں

{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix\ }
(جہاں *ln* علامت ہے قدرتی لاگرتھم کی، یعنی لاگرتھم اساس *e* پر)۔
پھر عائلر نے اس اپنی موجودہ ہیئت میں 1748ء میں شائع کیا، جس میں یہ ثابت کیا کہ دونوں اطراف کے لامتناہی سلسلہ برابر ہیں۔ ان دو اشخاص میں سے کسی کو بھی اس کلیہ کی ہندسہ تشریح نہیں سوجھی؛ مختلط عدد کو مستوی میں نقاط کے طور پر تصور کرنے کا خیال 50 سال بعد اُبھرا۔ عائلر اپنی درسی کتب میں طالب علموں کو مختلط اعداد سے ابتدا میں ہی آشنا کرنے کا حامی تھا۔

مختلط نظریہ عدد میں اطلاق
-------------------------

{\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \!}
اس کلیہ کی تشریح یوں کی جا سکتی ہے کہ فنکشن *e**iφ* مختلط مستوی میں ایکائی دائرہ نقش کرتی ہے جب *φ* حقیقی اعداد کا احاطہ کرتا ہے۔ یہاں *φ* وہ زاویہ ہے جو دائرہ پر نقطہ کو مبدا سے ملانے والی لکیر اور "مثبت افقی محور" کے درمیان ہے، جسے اُلٹی گھڑی کی سمت اور قطریہ میں ناپا جاتا ہے۔

اصل ثبوت اَسّی دالہ *e**i x* (جہاں *x* حقیقی عدد ہے) اور sin *x* اور cos *x* کے ٹیلر سلسلہ میں پھیلاو پر مبنی ہے۔ دراصل اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کلیہ تمام مختلط عدد *z* کے لیے بھی لاگو ہے۔

مختلط مستوی میں کسی نقطہ کو مختلط عدد سے کارتیسی محدر میں نمائندگی دی جا سکتی ہے۔ کارتیسی اور قطبی محدر میں بدلی کے لیے عائلر کلیہ ذریعہ فراہم کرتا ہے۔ قطبی صورت میں اصطلاح کی تعداد دو سے کم ہو کر ایک رہ جاتی ہے، جس سے ضرب آسان ہو جاتی ہے۔ کسی بھی مختلط عدد *z* = *x* + *iy* کو یوں لکھا جا سکے ہے

{\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}
جہاں

{\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,} حقیقی حصہ
{\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,} تخیلی حصہ
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} مطلقہ *z* کا
`atan2(*y*, *x*)` ={\displaystyle \phi \,}
{\displaystyle \phi } *استدلال* ہے *z* کا—یعنی سمتیہ *z* اور محدر *x* کے درمیاں اُلٹی گھڑی کی جانب قطریہ میں ناپے جانے والا زاویہ، جو 2π کی جمع تک تعریف ہوتا ہے۔

اس طرح ہم عائلری کلیہ استعمال کرتے ہوئے مختلط عدد کا لاگرتھم تعریف کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے ہم لاگرتھم کی تعریف (بطور اَسّیاتی کے اُلٹ) سے 

{\displaystyle a=e^{\ln(a)}\,}
اور کہ

{\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}\,}
دونوں کسی بھی مختلط اعداد *a* اور *b* کے لیے لاگو۔

پھر لکھا جا سکتا ہے:

{\displaystyle z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\,}
کسی بھی {\displaystyle z\neq 0} کے لیے۔ دونوں اطراف کا لاگرتھم لے کر یہ معلوم ہوتا ہے کہ:

{\displaystyle \ln z=\ln |z|+i\phi .\,}
اور دراصل یہ مختلط لاگرتھم کی تعریف کے لیے استعمال ہو سکتا ہے۔ اس لیے لاگرتھم متعدد رقمی فنکشن ہے، چونکہ {\displaystyle \phi } متعدد رقمی ہے۔

مثلثیات سے رشتہ
---------------

تحلیل اور مثلثیات کے بین عائلری کلیہ طاقتور رشتہ فراہم کرتا ہے اور *sin* اور *cos* فنکشن کی بطور اَسّی فنکشن کے موزون حاصل جمع تفسیر کرتا ہے:

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}
یہ دو مساوات عائلری کلیات کو جمع تفریق کر کے کشید کیے جا سکتی ہیں:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}
اور *sin* یا *cos* کے لیے حل کر کے ۔

یہ کلیات مختلط استدلال *x* کے لیے مثلثیاتی فنکشن کی تعریف بن سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہو *x* = *iy*، ہمارے پاس ہے:

{\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)}
{\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}
مختلط اَسّیائی سے مثلثیات کو سادہ بنایا جا سکتا ہے، کیونکہ ان سے کاریگری آسان ہوتی ہے بنسبت جیباتی اجزا کے۔ ایک طراز یہ ہے کہ جیبات (sinusoids) کو اَسّی میں برابر تعبیر میں بدل دو۔ کاریگری کے بعد نتیجہ حقیقی ہی ہو گا۔ مثال سے واضح کرتے ہیں:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} \_{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} \_{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}
ایک اور طراز ہے کہ جیبات کو مختلط تعبیر کے حقیقی حصہ کے طور لکھا جائے اور ان پر کاریگری کی جائے، مثلاً

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} \_{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}
یہ کلیہ `cos(*nx*)` کی اعادے سے تولید کے لیے استعمال ہوتا ہے، جہاں *n* صحیح عدد اور *x* قطریہ میں ہے۔

دوسری اطلاقیہ
-------------

برقی انجینئری میں اشارہ کو فوریئر تحلیل کے ذریعہ جیبات کی تولیف سے لکھا جاتا ہے اور پھر انھیں اَسّی فنکشن کے حقیقی حصہ کے بطور لکھنا زیادہ آسان رہتا ہے۔

مزید دیکھیے
-----------

* عائلری کلیہ کی تحریکہ

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات