| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| تموینی نقشہ  رَجعت تعلق | Logistic map  recurrence relation |

ریاضٰی میں رَجعت تعلق، جس کی بطور مساوات صورت یہ ہے

{\displaystyle \ x\_{n+1}=ax\_{n}(1-x\_{n})}
یہ مساوات کے لیے شواشی طرز کا مظاہرہ کرتی ہے۔

تاریخ
-----

تصویر 9 (آبادی کا فروغ)
"لاجسٹک" فرانسیسی لفظ logis بمعنی lodging یا "گھر" سے نکلا ہے۔ تاریخی طور پر *لاجسٹک میپ*، کسی ایسی آبادی {\displaystyle x\_{n}} کو لکھنے کے لیے استعمال ہوئی، جہاں وسائل محدود ہونے کی وجہ سے آبادی ایک حد سے آگے نہیں بڑھ سکتی۔ فرض کرو کہ یہ حد  *1* ہے، یعنی سو فیصد۔ مثلاً {\displaystyle x\_{n}=0.1} کا مطلب ہے کہ وقت *n* پر آبادی دس فیصد ہے۔ تو آبادی بڑھنے کی شرح {\displaystyle {\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{x\_{n}}}} بمطابق ہو گی اس پر کہ کتنی گنجائش {\displaystyle \ (1-x\_{n})} باقی رہ گئی ہے، یعنی

{\displaystyle {\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{x\_{n}}}\propto (1-x\_{n})}
یا

{\displaystyle {\frac {x\_{n+1}-x\_{n}}{x\_{n}}}=b(1-x\_{n})}
جہاں *b* ایک دائم عدد چنا جا سکتا ہے۔ تصویر 9 میں شرح دائم *b* کی مختلف قدروں 0.1, 0.2, 0.3، کے لیے آبادی کا فروغ دکھایا گیا ہے۔

ہم باقی بحث میں لاجسٹک میپ کی سادہ قسم 

{\displaystyle \ x\_{n+1}=ax\_{n}(1-x\_{n})}
استعمال کریں گے۔

طرز
---

تصویر 1

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| ایکا تَاَخُّر  ارتجاع  تکرار  ناصف  اخراج  ادخال | unit delay  feedback  iteration  bisector  output  input |

تصویر2
رجعت تعلق مساوات کو تصویر 1 میں ارتجاع نظام کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ وقت *n* پر اس نظام کا اخراج {\displaystyle x\_{n}}، اگلے وقت *n+1* کے لیے اس کا ادخال بن جاتا ہے۔
مساوات کے تکرار کے عمل کو گراف کے ذریعہ تصویر 2 میں دکھایا گیا ہے۔ اس تصویر میں سرخ رنگ سے فنکشن (map)

{\displaystyle \ y=g(x)=ax(1-x)}
دکھائی گئی ہے، جبکہ کالے رنگ میں خط تنصیف

{\displaystyle \ y=x}
ہے (ناصف)۔ ان گراف (کالے ناصف اور سرخ فنکشن) کا سنگم اس رجعت تعلق کا مستقل نکتہ ہے۔ تکرار کے عمل کو ہم یوں سمجھ سکتے ہیں۔ {\displaystyle X\_{0}} کو رجعت مساوات سے گزارنے کے عمل کو {\displaystyle X\_{0}} سے سرخ گراف تک جاتی ہوئی عمودی نیلی لکیر سے دکھایا گیا ہے، جہاں سے افقی نیلی لکیر اسے خط تنصیف سے منعکس ہو کر {\displaystyle X\_{1}} بنتا دکھاتی ہے۔ اس طرح ایک تکرار مکمل ہوتی ہے۔

تصویر 3
یہ تصویر بنانے کا سائیلیب سکرپت یہاں ہے۔

  

تصویر 2 میں *a=2*۔ دیکھو کہ *a* کی اس قیمت کے لیے کسی بھی نکتہ سے تکرار شروع کریں تو بڑی تیزی سے مستقل نکتہ کی طرف سفر شروع ہو جاتا ہے۔ تصویر میں تیسری تکرار پر ہم مستقل نکتہ کے کافی قریب پہنچ چکے ہیں۔

تصویر 4
اسی رجعت تعلق کی تکرار *a=3* کے لیے تصویر 3 میں دکھاتے ہیں۔ یہاں بھی ہم مستقل نکتہ کی طرف جاتے ہیں مگر نسبتاً بہت کم رفتار سے (زیادہ تکرار کی ضرورت پڑتی ہے)۔ بہرکیف کسی بھی آغازی قیمت سے شروع ہو کر تمام راستے اسی مستقل نکتہ کی طرف مرکوز ہوں گے۔

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| آغازی حالت  حساسی  آمیزش  معیادی  محور | initial condition  sensitivity  mixing  periodic  orbit |

### *a=4*

تصویر 4 میں اسی رجعت تعلق مساوات کی *a=4* کے لیے تکرار دکھائی گئی ہے۔ تصویر میں 500 تکرار دکھائ گئی ہیں۔ دیکھو کہ تکرار اپنے مستقل نکتہ کی طرف نہیں جاتی بلکہ بے ترتیبی سے ہر طرف ناچتی رہتی ہے۔ نیچے جدول میں ہم اس مساوات کے تکرار کے دو سلسلہ لکھتے ہیں، جو معمولی دوری سے شروع ہوتے ہیں، ایک جدول میں {\displaystyle X\_{0}=0.800000} اور دوسرے میں {\displaystyle X\_{0}=0.800001} ہے۔ نویں تکرار تک یہ سلسلہ ایک دوسرے کی قریب ہیں، مگر انسویں تکرار کے بعد دونوں سلسلے بالکل جدا ہو جاتے ہیں۔ یقین ہی نہیں آتا کہ دونوں اتنی قربت پر شروع ہوئے تھے۔ رجعت تعلق (*a=4*) کی اس کفیت کو "آغازی حالت پر حساسی" کہا جاتا ہے۔ اس کے برعکس تصویر 2 (*a=2*) میں اگر دو قریبی نکتوں سے تکرار کے دو سلسلے چلائے جائیں تو دونوں سلسلوں کا ایک دوسرے سے فاصلہ، وقت گزرنے کے ساتھ کم ہوتا جائے گا (یعنی *a=2* کے لیے رجعت تعلق آغازی حالت پر حساس نہیں)۔


جدول 1 اور 2
| 

|
|  |
a=4| n | {\displaystyle X\_{n}} |
| --- | --- |
| 0 | 0.800000 |
| 9 | 0.1478366 |
| 19 | 0.8200139 |
| 29 | 0.3203425 |
| 39 | 0.0979421 |
| 49 | 0.4960126 |
| 59 | 0.6536493 |
| 69 | 0.0853886 |
| 79 | 0.7755472 |
| 89 | 0.1448546 |

 | 

|
|  |
a=4| n | {\displaystyle X\_{n}} |
| --- | --- |
| 0 | 0.800001 |
| 9 | 0.1469291 |
| 19 | 0.4132492 |
| 29 | 0.9384601 |
| 39 | 0.6175995 |
| 49 | 0.6723609 |
| 59 | 0.8131303 |
| 69 | 0.6325161 |
| 79 | 0.6063381 |
| 89 | 0.0508795 |

 |

تصویر 5
وضحات کے لیے تصویر 5 میں اسی قیمت *a=4* کے لیے ہم نے 10000 تکراروں کے بعد کی 400 تکرار دکھائی ہیں۔ دیکھو کہ یہ اپنے مستقل نکتہ کی طرف نہیں جا رہی۔ "آغازی حالت پر حساسی" شواشی پن کی پہلی نشانی ہے۔

"آغازی حالت پر حساسی" سے ایک اور اہم نکتہ نکلتا ہے۔ جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ کمپیوٹر میں اعداد کو محدود درستی سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ فرض کرو کہ ایک کمپیوٹر کی اندونی درستی تین (3) رقمی ہے۔ اب اگر نیچے دی ضرب کو دیکھیں

{\displaystyle 2.31\times 3.33=7.6923}
مگر چونکہ ہمارا یہ کمپیوٹر صرف تین رقمی درستی عدد سے کام کرتا ہے، اس لیے یہ جواب 7.69 نکالے گا۔ اب اگلی تکرار کے لیے 7.6923 کی بجائے 7.69 استعمال ہو گا۔ مگر ہم نے دیکھا کہ ہماری رجعت تعلق بہت حساس ہے، جس کا مطلب ہے کہ جلد ہی کمپیوٹر پر تکرار کے جواب اصل سے دور ہٹتے جائیں گے اور بہت سی تکرار کے بعد بالکل غلط جواب نکلیں گے۔ اس لیے کوئی بھی عام کمپیوٹر زیادہ تکرار کے بعد صحیح جواب نہیں نکال پائے گا۔ اس نکتہ پر ہم نیچے دوبارہ بات کریں گے۔

شواشی پن کی دوسری نشانی "آمیزش" ہے۔ تصویر چار میں ہم نے دیکھا کہ ایک نکتہ سے شروع ہو کر محور پورے وقفہ (0,1) میں پھیل گیا۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر وقفہ (0,1) کے دو ذیلی وقفہ *I* اور *J* ہوں، چاہے لمبائی میں جتنے ہی چھوٹے ہوں (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تو وقفہ *I* میں ایسے نکتے موجود ہوں گے کہ جن سے تکرار شروع کر کے وقفہ *J* تک پہنچا جا سکتا ہے۔ اس کو آمیزش کہا جاتا ہے۔

شواشی پن کی تیسری نشانی "معیادی محور" ہیں۔ اگر ہم {\displaystyle X\_{0}=0} سے شروع کریں تو صفر پر ہی رہیں گے۔ اس محور کی معیاد 1 ہے۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ یہ

{\displaystyle \left\{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{7}}\right),\sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{7}}\right),\sin ^{2}\left({\frac {4\pi }{7}}\right)\right\}}
معیاد 3 کا ایک معیادی محور ہے۔ اگر ہم کمپیوٹر پر ان نکتوں میں سے کسی سے شروع کر کے تکرار شروع کریں تو، جیسا کہ اوپر بحث ہوئی کہ شمارندی درستی محدود ہوتی ہے، کمپیوٹر کے مطابق بہت سی تکراروں کے بعد محور معیادی نہیں لگے گا، مگر یہ شمارندی کی محدود درستی کی وجہ سے ہے۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر وقفہ (0,1) کے کسی بھی ذیلی وقفہ، چاہے لمبائی میں جتنا ہی چھوٹا ہو (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تو اس وقفہ میں ایسے نکتے موجود ہوں گے کہ جن سے تکرار شروع ہو کر ایک معیادی محور جنم لے گا۔

تصویر7

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| سایہ ؟؟  ε۔سایہ  دو شاخہ  معیاد دوہری  | Shadowing lemma  ε-shadow  bifurcation  period doubling |

اوپر بیان ہوا کہ آغازی حساسی کی بنا پر کوئی بھی کمپیوٹر بہت سی تکراروں کے بعد غلط جواب دینا شروع کر دیتا ہے حتٰی کہ شمارندی محور بالکل مختلف ہو جاتا ہے حقیقی محور سے۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ کیا کمپیوٹر پر محور کی شمارندی کا کوئی فائدہ بھی ہے جب اس نے غلط محور ہی دکھانا ہے؟ اس کا جواب یہ ہے کہ جو بھی محور شمارندی ہو گا، اس محور کے قریب ایک حقیقی محور موجود ہو گا اور ان محوروں کے درمیان فاصلہ ε سے کم ہو گا، جہاں ε شمارندی خصوصیات پر منحصر ہو گا۔ تصویر 7 میں کالے رنگ سے شمارندی محور دکھایا گیا ہے اور سرخ رنگ میں ایک حقیقی محور ہے جو ہر قدم پر کالے محور سے ε سے کم فاصلے پر ہے۔ اسے یوں بیان کیا جاتا ہے کہ شمارندی محور کے ε۔ سایہ میں ایک حقیقی محور موجود ہوتا ہے۔ اس لیے کمپیوٹر پر محور کی شماریات کرنے کا فائدہ ہے۔

دو شاخہ
-------

تصویر 6: دو شاخہ
یہ تصویر بنانے کا GNU Octave سکرپت یہاں ہے۔

  



| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| فیگنبام دائم  باکشش  ؟  | Feigenbaum constant  attractive  repell |

رجعت تعلق 

{\displaystyle \ x\_{n+1}=rx\_{n}(1-x\_{n})}
کو *r* کی کسی قدر {\displaystyle \ 0<r<3} کے لیے تکرار کیا جائے، تو کسی بھی آغازی نکتہ سے شروع ہو کر ہم ایک مستقل نکتہ پر پہنچ جاتے ہیں۔ یہ تصویر 6 میں دکھایا گیا ہے۔ یعنی اس کا مستقل نکتہ باکشش ہے، جو ہر آغازی حالت کو اپنی طرف کھینچ لیتا ہے۔ اگر *r* کو *3* سے کچھ زیادہ بڑھایا جائے، تو محور دو نکتوں کے درمیان چھلانگیں لگاتا رہتا ہے، معیاد 2 کے ساتھ۔ تصویر 6 میں یہاں دو شاخہ شروع ہوتا ہے۔ اب مستقل نکتہ اپنے سے دور دھکیل دیتا ہے۔ اس طرح اگر *r* کو مزید بڑھائیں تو معیاد 4، پھر 8، پھر 16، کی نوبت پہنچ جاتی ہے۔ اس کو معیاد کا دوہرا ہونا کہتے ہیں۔ تصویر میں ہر شاخ دو میں تقسیم ہوتی رہتی ہے۔ جب *r=3.5699456* سے آگے چلیں تو معیاد کا دوہرا ہونا ختم ہو کر شواشی طرز عمل شروع ہو جاتا ہے۔ حتٰی کہ *r=4* پر مکمل شواشی ہے۔ تصویر 6 فریکٹل ہے۔

تصویر 8: دو شاخہ
تصویر 8 میں ہر شاخ کا دو میں تقسیم ہونے کی عکاسی کی گئی ہے۔ پہلی شاخ کی لمبائی {\displaystyle d\_{1}} دکھائ ہے، اگلے دو شاخہ کی لمبائی {\displaystyle d\_{2}} ہے۔ ان دونوں کا تناسب ایک دائم کی طرف جاتا ہے:

{\displaystyle {\frac {d\_{k}}{d\_{k+1}}}\to 4.6692}
جسے *فیگنبام دائم* کہا جاتا ہے۔ اس دائم کی اہمیت یہ ہے کہ یہ صرف لاجسٹک میپ تک محدود نہیں، بلکہ قدرتی شواشی مظاہر پر تجربات میں بھی اس کی یہی قدر دیکھنے میں آئی ہے۔ یعنی ان تجربات میں بھی شواشی حالت کی طرف سفر میں معیادی دوہرا پن کے دو شاخہ کی لمبائیوں میں یہی تناسب دیکھا گیا ہے۔

مزید دیکھیے
-----------

* فرق مساوات
* ایک نئ قسم کی سائنس

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات