لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ {\displaystyle \ T(X)} درج ذیل آزمائش پوری 
کرے (یہاں *X* اور *Y* ایک سمتیہ مکاں کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں اور *a* کوئی بھی عدد میدان {\displaystyle \ \mathbb {R} } یا {\displaystyle \mathbb {C} } میں )

* {\displaystyle \ T(aX)=aT(X)}
* {\displaystyle \ T(X+Y)=T(X)+T(Y)}

تو اسے *لکیری استحالہ* کہتے ہیں۔

میٹرکس ضرب
----------

میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر *X* سمتیہ مکاں {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} کا رکن ہو اور *A* ایک \ m\times n میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

```
Y = A X
```

جہاں *Y* سمتیہ فضا {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} میں ہو گا۔ مزید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

میٹرکس ضرب صورت
---------------

کسی سمتیہ مکاں *V* میں سمتیہ *v* کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle v\_{0},v\_{1},...v\_{n-1}} کے حوالے سے منفرد صورت کو {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} میں یوں لکھو:
{\displaystyle c=\left[{\begin{matrix}c\_{0}\\c\_{1}\\\vdots \\c\_{n-1}\end{matrix}}\right]}
  

اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا *U* ہے اور {\displaystyle \ T:V\to U} ایک لکیری استحالہ ہے اور
{\displaystyle \ u=T(v)}  

اب سمتیہ مکاں *U* میں سمتیہ *u* کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle u\_{0},u\_{1},...u\_{m-1}} کے حوالے سے منفرد صورت کو {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} میں یوں لکھو:
{\displaystyle d=\left[{\begin{matrix}d\_{0}\\d\_{1}\\\vdots \\d\_{m-1}\end{matrix}}\right]}
  

ہم صورت *c* اور *d* میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔   

اب چونکہ {\displaystyle \ T(v\_{i})} سمتیہ فضا *U* میں ہیں، اس لیے انہیں *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے:
{\displaystyle {\begin{matrix}T(v\_{0})=a\_{0,0}u\_{0}+a\_{1,0}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1}\\T(v\_{1})=a\_{0,1}u\_{0}+a\_{1,1}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1}\\\vdots \\T(v\_{n-1})=a\_{0,m-1}u\_{0}+a\_{1,m-1}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1}\end{matrix}}}
  

لکیری استحالہ
{\displaystyle \ u=T(v)}   

اب *v* کو سمتیہ فضا *V* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے
{\displaystyle {\begin{matrix}\ u=T(c\_{0}v\_{0}+c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n-1}v\_{n-1})\end{matrix}}}
  

اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے
ِ  

{\displaystyle {\begin{matrix}u=c\_{0}T(v\_{0})+c\_{1}T(v\_{1})+\cdots +c\_{n-1}T(v\_{n-1})\\u=c\_{0}(a\_{0,0}u\_{0}+a\_{1,0}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1})\\+c\_{1}(a\_{0,1}u\_{0}+a\_{1,1}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1})\\\vdots \\+c\_{n-1}(a\_{0,m-1}u\_{0}+a\_{1,m-1}u\_{1}+\cdots +a\_{m-1,0}u\_{m-1})\end{matrix}}}
  

چونکہ *u* کو سمتیہ فضا *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا
{\displaystyle {\begin{matrix}u=d\_{0}u\_{0}+d\_{1}u\_{1}+\cdots +d\_{m-1}u\_{m-1}\end{matrix}}}
  

اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}d\_{0}\\d\_{1}\\\vdots \\d\_{m-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a\_{0,0}&a\_{0,1}&\cdots &a\_{0,n-1}\\a\_{1,0}&a\_{1,1}&\cdots &a\_{1,n-1}\\\vdots \\a\_{m-1,0}&a\_{m-1,1}&\cdots &a\_{m-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c\_{0}\\c\_{1}\\\vdots \\c\_{n-1}\end{matrix}}\right]}
اب اس \ m\times n میٹرکس کو ہم *A* کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا *U* کے کسی سمتیہ *u* کی صورت *d* اور سمتیہ فضا *V* کے سمتیہ *v* کی صورت *c* کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

{\displaystyle \ d=Ac}

غور کرو کہ میٹرکس *A* دونوں سمتیہ فضا (*V* اور *U*) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle \ \{v\_{i}\}} اور {\displaystyle \ \{u\_{i}\}} پر منحصر ہے۔ میٹرکس *A* کی ہیئت پر غور کرو۔ میٹرکس *A* کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا *V* کے ایک بنیاد سمتیہ {\displaystyle \ v\_{i}} کو *T* کے ذریعہ *U* میں بھیجا جاتا ہے اور {\displaystyle \ T(v\_{i})} کو سمتیہ فضا *U* کے بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle \ \{u\_{i}\}} کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر {\displaystyle a\_{..}} حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

### مثال 1

ایک لکیری استحالہ
{\displaystyle \ T:\mathbb {R} ^{2}\to {subspace}(\mathbb {R} ^{3})}

جو یوں ہے
{\displaystyle T\left(\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]\right)=\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]}
اور جو سمتیہ فضا {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} سے {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} کی ذیلی سمتیہ فضا *U* میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی
{\displaystyle v\_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],v\_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]}
  

اور {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ
{\displaystyle u\_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\-6\end{matrix}}\right],u\_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\1\\11\end{matrix}}\right]}
  
۔
اب *V* کے بنیاد سمتیہ کو *T* کے ذریعہ *U* میں بھیج کر *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں
{\displaystyle T(v\_{0})=1u\_{0}+0u\_{1}}
  

{\displaystyle T(v\_{1})=-1u\_{0}+1u\_{1}}
  

جس سے ہم میٹرکس *A* پڑھ لیتے ہیں
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}}\right],}

### مثال 2

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو *V* کہو اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا *U* کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ {\displaystyle T:V\to U} یہ ہے
{\displaystyle T(p\_{1}(x))=xp\_{1}(x)}
  

یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو 
{\displaystyle p\_{1}(x)} 
لکھا ہے۔
  

فضا *V* میں بنیاد سمتیہ
{\displaystyle v\_{0}=1,v\_{1}=x}
  

اور فضا *U* میں بنیاد سمتیہ
{\displaystyle u\_{0}=1,u\_{1}=x,u\_{2}=x^{2}}
  

اب *V* کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ *T* کے ذریعہ *U* میں لے جا کر، ان کو *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر
{\displaystyle T(v\_{0})=x=0u\_{0}+1u\_{1}+0u\_{2}}
  

{\displaystyle T(v\_{1})=x^{2}=0u\_{0}+0u\_{1}+1u\_{2}}
  

میٹرکس *A* پڑھ لو
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&1\end{matrix}}\right],}

مسلئہ اثباتی
------------

ایک سمتیہ مکاں *S* پر لکیری استحالہ {\displaystyle T:S\to S} ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle \ \{v\_{i}\}}کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس *A* ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ {\displaystyle \ \{u\_{i}\}} ہو اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس *B* ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
  

{\displaystyle \ B=P^{-1}AP}
  

جہاں میٹرکس *P* مجموعہ {\displaystyle \ \{u\_{i}\}} سے مجموعہ {\displaystyle \ \{v\_{i}\}} لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا *A* اور *B* مشابہ میٹرکس ہیں۔

مزید دیکھیے
-----------

* حیطہ استحالہ
* قطار اور ستون فضا
* عدیمہ فضا
* عجمہ استحالہ
* نسبی استحالہ

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات