ایک {\displaystyle 2\times 2} میٹرکس {\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]} کا *دترمینان* یوں تعریف کیا جاتا ہے:
{\displaystyle \ \det(A)=ad-bc}   

انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ **دترمینان** کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

دترمینان
--------

ایک {\displaystyle 3\times 3} میٹرکس 

{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a\_{0,0}&a\_{0,1}&a\_{0,2}\\a\_{1,0}&a\_{1,1}&a\_{1,2}\\a\_{2,0}&a\_{2,1}&a\_{2,2}\end{matrix}}\right]}
کا دترمینان یہ ہو گا

{\displaystyle \det(A)=a\_{0,0}a\_{1,1}a\_{2,2}+a\_{0,1}a\_{1,2}a\_{2,0}+a\_{0,2}a\_{1,0}a\_{2,1}-a\_{0,2}a\_{1,1}a\_{2,0}-a\_{0,1}a\_{1,0}a\_{2,2}-a\_{0,0}a\_{1,2}a\_{2,1}}
اسی طرح ایک {\displaystyle n\times n} میٹرکس *A* کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے

{\displaystyle \det(A)=\sum \pm a\_{0,k\_{0}}a\_{1,k\_{1}}\cdots a\_{n-1,k\_{n-1}}}
جہاں
{\displaystyle \{k\_{0},k\_{1},\cdots ,k\_{n-1}\}}
ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد
{\displaystyle \{0,1,\cdots ,n-1\}}
کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو {\displaystyle \ a\_{i,j}} ایک قطار سے نہ ہوں اور نہ ہی دو {\displaystyle \ a\_{i,j}} ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں {\displaystyle \ n!} رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں {\displaystyle \ n!} سے مراد *n* کا عامَلیّہ ہے۔)
یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

### دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ

تعریف: ایک {\displaystyle n\times n} میٹرکس *A* کا *(i,j) والا چھوٹا* ایسی {\displaystyle \ n-1\times n-1} میٹرکس {\displaystyle \ A\_{i,j}} کو کہتے ہیں جو {\displaystyle \ n\times n} میٹرکس کی *i* ویں قطار اور *j* واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔
انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس 
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a\_{0,0}&a\_{0,1}&a\_{0,2}&a\_{0,3}\\a\_{1,0}&a\_{1,1}&a\_{1,2}&a\_{1,3}\\a\_{2,0}&a\_{2,1}&a\_{2,2}&a\_{2,3}\\a\_{3,0}&a\_{3,1}&a\_{3,2}&a\_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}
کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے
{\displaystyle A\_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a\_{0,0}&a\_{0,1}&a\_{0,3}\\a\_{2,0}&a\_{2,1}&a\_{2,3}\\a\_{3,0}&a\_{3,1}&a\_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}

تعریف: میڑکس *A* کے چھوٹے {\displaystyle A\_{i,j}} اور {\displaystyle 2\times 2} میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک {\displaystyle n\times n} میٹرکس 
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a\_{0,0}&a\_{0,1}&\cdots &a\_{0,n-1}\\a\_{1,0}&a\_{1,1}&\cdots &a\_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a\_{n-1,0}&a\_{n-1,1}&\cdots &a\_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]}   

کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):
  

{\displaystyle \det(A)=a\_{0,0}\det(A\_{0,0})-a\_{1,0}\det(A\_{1,0})+\cdots +(-1)^{n}a\_{n-1,0}\det(A\_{n-1,0})}

### مسلئہ اثباتی 1

میٹرکس جن کا سائیز {\displaystyle n\times n} ہو،

* اگر میٹرکس *A* کی کسی قطار کو {\displaystyle \alpha } سے ضرب دے کر میٹرکس *B* حاصل کی جائے تو:

{\displaystyle \ \det(B)=\alpha \det(A)}
* اگر میٹرکس *A* کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس *B* حاصل کی جائے تو:

{\displaystyle \ \det(B)=-\det(A)}
* اگر میٹرکس *A* کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے اور اس نئی میٹرکس کو *B* کہا جائے تو:

{\displaystyle \ \det(B)=\det(A)}
* تطابق قالب کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:

{\displaystyle \ \det(I)=1}
* میٹرکس *A* کے اُلٹ کا دترمیناں

{\displaystyle \ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}
* میٹرکس *A* کے پلٹ کا دترمیناں

{\displaystyle \ \det(A^{t})=\det(A)}
* میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان

{\displaystyle \ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)}
### مسلئہ اثباتی 2

میٹرکس جن کا سائیز {\displaystyle n\times n} ہو،

* اگر کسی میٹرکس *A* کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

{\displaystyle \ \det(A)=0}

* اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

{\displaystyle \ \det(A)=0}

### مسلئہ اثباتی 3

میٹرکس جن کا سائیز {\displaystyle n\times n} ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان:
{\displaystyle \ \det(AB)=\det(A)\det(B)}

### مسلئہ اثباتی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
{\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
، جہاں میٹرکس *A* کا سائیز {\displaystyle 2\times 2} ہے اور اس کا ہر جُز میدان {\displaystyle \mathbb {R} } میں ہے۔ یہ "میٹرکس فنکشن" علاقہ*E* کو علاقہ *f(E)* میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکس*A* کے دترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|}
(تصویر کے لیے دیکھو)

### مسلئہ اثباتی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
{\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
، جہاں میٹرکس *A* کا سائیز {\displaystyle 3\times 3} ہے اور اس کا ہر جُز میدان {\displaystyle \mathbb {R} } میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہ*E* کو علاقہ *f(E)* میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکس*A* کے دترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی:
{\displaystyle {\frac {\mathrm {Volume\ of\ } f(E)}{\mathrm {Volume\ of\ } E}}=|\det(A)|}

مزید دیکھیے
-----------

* سائیلیب help det

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات