| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| احتمال  | probability |

نمونہ فضا اور تجربہ کے تناظر میں، **احتمال** نظریہ میں، ہر واقعہ سے ایک عدد نتھی کر دیا جاتا ہے، جو اس واقعہ کا *احتمال* کہلاتا ہے اور یہ عدد اس واقعہ کے رونما ہونے کے امکان کو ظاہر کرتا ہے۔ واقعہ {\displaystyle E} کے احتمال کو {\displaystyle \ \Pr(E)} لکھا جاتا ہے۔

احتمال مسلمات
-------------

احتمال کے لیے نیچے دیے مسلمات (بنیادی اصول) بورے ہونا ضروری ہوتے ہیں :

1. کسی واقعہ *E* کے لیے، اس کا احتمال منفی نہیں ہو سکتا، {\displaystyle \ \Pr(E)>0}
2. نمونہ فضاء *S* کا احتمال یک ہوتا ہے، {\displaystyle \ \Pr(S)=1}
3. اگر {\displaystyle E\_{1},E\_{2},\cdots ,E\_{n}} باہمی ناشمول واقعات ہوں، تو ان واقعات کے اتحاد سے بننے والے واقعہ

{\displaystyle \ E=E\_{1}\cup E\_{2}\cup \cdots \cup E\_{n}}
کا احتمال، باہمی ناشمول واقعات کی جمع ہو گا

{\displaystyle \ \Pr(E)=\sum \_{i=1}^{n}\Pr(E\_{i})}
اگر باہمی ناشمول واقعات کی تعداد لامحدود ہو، تب بھی

{\displaystyle \ \Pr(E\_{1}\cup E\_{2}\cup \cdots )=\sum \_{i=1}^{\infty }\Pr(E\_{i})}

احتمال کی خصوصیات
-----------------

* واقعہ {\displaystyle E} کے پراؤ {\displaystyle {\bar {E}}} کا احتمال یوں ہوتا ہے،

{\displaystyle \ \Pr({\bar {E}})=1-\Pr(E)}
* اگر دو واقعات {\displaystyle E\_{1}} اور {\displaystyle E\_{2}} باہمی ناشمول ہوں، تو ان کے تقاطع واقعہ کا احتمال صفر ہو گا (کیونکہ تقاطع عدیمہ ہو گا)

{\displaystyle \ \Pr(E\_{1}\cap E\_{2})=0}
* کسی بھی دو واقعات {\displaystyle E\_{1}} اور {\displaystyle E\_{2}} کے لیے ان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا

{\displaystyle \ \Pr(E\_{1}\cup E\_{2})=\Pr(E\_{1})+\Pr(E\_{2})-\Pr(E\_{1}\cap E\_{2})}
* اسی طرح کسی بھی تین واقعات {\displaystyle E\_{2}}، {\displaystyle E\_{1}} اور {\displaystyle E\_{3}} کے لیے ان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا

{\displaystyle {\begin{matrix}\Pr(E\_{1}\cup E\_{2}\cup E\_{3})=&\Pr(E\_{1})&+\Pr(E\_{2})&+\Pr(E\_{3})\\&-\Pr(E\_{1}\cap E\_{2})&-\Pr(E\_{1}\cap E\_{3})&-\Pr(E\_{2}\cap E\_{3})\\&+\Pr(E\_{1}\cap E\_{2}\cap E\_{3})&&\end{matrix}}}

احتمال کا مرحلہ وار تعین
------------------------

جب ممکنہ نتائج (سادہ واقعات) کی تعداد زیادہ ہو، تو بہت سے مرکب وقعات ہوں گے۔ ان واقعات کو احتمال تفویض کرنے کا آسان طریقہ، جبکہ احتمال مسلمات اور خصوصیات کی خلاف ورزی نہ ہوتی ہو، یہ ہے کہ پہلے تمام سادہ واقعات {\displaystyle E\_{i}} کو یوں احتمال تفویض کیا جائے کہ ان نسبتوں کی تسکین ہو:

{\displaystyle \ \Pr(E\_{i})>0\,,\,\,\sum \_{i}\Pr(E\_{i})=1}
پھر مرکب واقعہ *A* کا احتمال اس میں موجود سادہ واقعات {\displaystyle E\_{i}} کے احتمال کو جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے :

{\displaystyle \ \Pr(A)=\sum \_{{\hbox{all}}E\_{i}{\hbox{in}}A}\Pr(E\_{i})}

برابر امکانی نتائج
------------------

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| برابر امکانی  | equally likely |

بہت سے تجربات ایسے ہوتے ہیں جن میں *N* نتائج کو برابر احتمال تفویض کرنا صحیح معلوم ہوتا ہے۔ مثلاً طاس کو اچھالنے کا تجربہ۔ اس صورت میں ہر نتیجہ کا احتمال *p* سمجھا جائے تو

{\displaystyle 1=\sum \_{i=1}^{N}\Pr(E\_{i})=\sum \_{i=1}^{N}p=Np}
اس لیے

{\displaystyle p={\frac {1}{N}}}
اب اگر کسی واقعہ *A" میں نتائج کی تعداد کو{\displaystyle \ N(A)} لکھا جائے تو، واقعہ* A *کا احتمال یوں ہو گا*

{\displaystyle \ \Pr(A)=\sum \_{{\hbox{all}}E\_{i}{\hbox{in}}A}\Pr(E\_{i})=\sum \_{{\hbox{all}}E\_{i}{\hbox{in}}A}{\frac {1}{N}}={\frac {N(A)}{N}}}
یعنی احتمال ایک کسر کے طور لکھا جا سکتا ہے، جس کا کسر (ریاضی) واقعہ *A* میں نتائج کی تعداد ہے اور کسر (ریاضی) نمونہ فضاء کے تمام نتائج کی تعداد۔

تعدد اور احتمال
---------------

| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| تعدد  تصادفی | frequency  random |

2001ء میں شہر ٹورانٹو کی آبادی میں 62.23 فیصد تعداد گوروں کی ہے، 10.6 فیصد چینی، 10.3 فیصد جنوب ایشائی، 8.3 فیصد کالے اور باقی متفرق۔ ہم اس واقعہ کا احتمال مقرر کرنا چاہتے ہیں کہ اگر اس آبادی میں سے کوئی شخص تصادفی طور پر چنا جائے، تو اس کا کیا احتمال ہے کہ گورا ہو گا/گی۔ اب یہ موزوں معلوم ہوتا ہے کہ چنے جانے والے شخص کے رنگ و نسل کے لیے ہم تعدد کے حساب سے احتمال مقرر کر دیں، یعنی
{\displaystyle {\begin{matrix}\Pr({\hbox{White}})&=&0.6223\\\Pr({\hbox{Chinese}})&=&0.106\\\Pr({\hbox{South Asian}})&=&0.103\\\Pr({\hbox{Black}})&=&0.083\\\Pr({\hbox{Others}})&=&0.0857\end{matrix}}}

مزید دیکھیے
-----------

* مشروط احتمال
* کثیر اعداد کا قانون
* نظریۂ احتمال

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات