| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| طور  طوریہ  منحنی موج  تولیف | phase  phasor  sine wave  combination |

سلسہ RLC دوران اور اس کا طوریہ رسمہ
طوریہ کو بطور گھومتے ہوئے سمتیہ دیکھا جا سکتا ہے
طبیعیات اور ہندسیات میں، **طور سمتیہ** (طوریہ) ایک ایسی محننی موج (sine wave) کی نمائندگی کرتا ہے جس کا حیطہ (**A**)، طور (**θ**) اور تعدد (**ω**) "وقتی-غیرتغیر" ہوں۔ طوریہ کے استعمال سے یہ موج تین جُز سے لکھی جا سکتی ہے اور اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاتی ہے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج کی "وقت تابعی" بھی ظاہر کرتا ہے، اکثر اوقات موجوں کے خطی اجتماع کی اجزا موجوں کے لیے یکساں ہوتا ہے۔ طوریہ کے استعمال سے یہ باہر نکل آتا ہے اور پھر ساکن حیطہ اور طور رہ جاتے ہیں، جن کی الجبرائی تولیف کی جا سکتی ہے (بجائے کہ مثلثیاتی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات کو الجبرائی بنایا جا سکتا ہے۔ اس لیے اکثر طوریہ صرف ان دو جُز (حیطہ اور طور) کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

تعریف
-----

عائلری کلیہ بتاتا ہے کہ منحنی موج کو دو مختلط-قدر فنکشن کی حاصل جمع سے ریاضیاتی نمائندہ کیا جا سکتا ہے:

{\displaystyle A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A/2\cdot e^{i(\omega t+\theta )}+A/2\cdot e^{-i(\omega t+\theta )},}    
یا پھر درج ذیل فنکشن کے حقیقی حصہ سے :

{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}}
جیسا کہ اوپر بتایا گیا، **طوریہ** کو  {\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,} لکھا جا سکتا ہے یا صرف مختلط دائم  {\displaystyle Ae^{i\theta }\,}  ۔ دوسری صورت میں یہ سمجھا جائے کہ یہ زیر نظر منحنی موج کے حیطہ اور طور کو رمز کرنے کا طریقہ ہے (اور تمام زیر نظر موجوں کا تعدد برابر ہے)۔

طوریہ کے لیے اس سے بھی زیادہ مختصر نویسی زاویہ کی علامت استعمال کرتے ہوئے  {\displaystyle A\angle \theta .\,}
ہے۔

منحنی موج کو مختلط میدان میں گھومتے ہوئے سمتیہ کا حقیقی محدر پر مسقط سمجھا جا سکتا ہے۔ سمتیہ کی مطلق قدر ارتعاش کا حیطہ ہے، جبکہ اس کا استدلال (زاویہ) موج کا کُل طور {\displaystyle \omega t+\theta } ہے۔ طور دائم {\displaystyle \theta } اس زاویہ کا نمائندہ ہے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر سے وقت {\displaystyle t=0} پر بناتا ہے۔

طوریہ حساب
----------

طوریہ پر لکیری عالج کے استعمال سے تعدد تبدیل نہیں ہوتا۔ اس لیے جب تک ایک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجیں لکیری نظام سے گزر رہی ہوں، طوریہ حساب کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔

### دائم (عددیہ) سے ضرب

طوریہ  {\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,} کو مختلط دائم  {\displaystyle Ze^{i\phi }\,}  سے ضرب دینے سے ایک اور طوریہ حاصل ہوتا ہے۔ مطلب یہ کہ اس کا اثر منحنی موج کا حیطہ اور طور (زاویہ) تبدیل کرنے کا ہوتا ہے:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Ze^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(AZe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AZ\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}}
برقیات میں {\displaystyle Ze^{i\phi }\,}  برقی مسدودیت (جو وقت سے آزاد ہوتی ہے) کی نمائندگی کر سکتی ہے۔ خیال رہے کہ اگر {\displaystyle Ze^{i\phi }\,}  سے مراد مختصر نویس علامت میں طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" کو چھپاتا ہے)، تو دو طوریہ کی ضرب دو منحنی موجوں کی ضرب ہے، جو غیر لکیری عالج ہے، اس لیے اس ضرب سے طوریہ حاصل نہیں ہوتا۔ دو منحنی موجوں کی ضرب سے مزید تعدد کا کلمہ حاصل ہوتا ہے، جس کی نمائندگی ایک طوریہ سے 
نہیں ہوتی۔

### جمع

متعدد طوریہ کو جمع کرنے سے نیا طوریہ پیدا ہوتا ہے۔ اس وجہ سے کہ منحنی موجیں جن کا تعدد ایک ہی ہو، کا حاصل جمع بھی منحنی موج ہوتی ہے جس کا تعدد بھی وہی ہوتا ہے:

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{1}\cos(\omega t+\theta \_{1})+A\_{2}\cos(\omega t+\theta \_{2})&=\operatorname {Re} \{A\_{1}e^{i\theta \_{1}}e^{i\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A\_{2}e^{i\theta \_{2}}e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{A\_{1}e^{i\theta \_{1}}e^{i\omega t}+A\_{2}e^{i\theta \_{2}}e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A\_{1}e^{i\theta \_{1}}+A\_{2}e^{i\theta \_{2}})e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A\_{3}e^{i\theta \_{3}})e^{i\omega t}\}\\&=A\_{3}\cos(\omega t+\theta \_{3}),\end{aligned}}}
جہاں:

{\displaystyle A\_{3}^{2}=(A\_{1}\cos(\theta \_{1})+A\_{2}\cos(\theta \_{2}))^{2}+(A\_{1}\sin(\theta \_{1})+A\_{2}\sin(\theta \_{2}))^{2}}
{\displaystyle \tan(\theta \_{3})={\frac {A\_{1}\sin(\theta \_{1})+A\_{2}\sin(\theta \_{2})}{A\_{1}\cos(\theta \_{1})+A\_{2}\cos(\theta \_{2})}}.}
طوریہ کا حاصل‌جمع گھومتے سمتیہ کی جمع سے
کلیدی نکتہ یہ ہے کہ A3 اور θ3 منحصر نہیں *ω* اور *t* پر، جو طوریہ علامت ممکن بناتا ہے۔ حاصل کلام یہ کہ اگر استعمال ہونے والے عالج ایسے ہوں جو نیا طوریہ بنایا کرتے ہوں، تو حسابگری میں 'وقت' اور 'تعدد' کی منحصری کو دبایا جا سکتا ہے اور جواب میں دوبارہ شامل کیا جا سکتا ہے۔ زاویہ کی علامت میں، اوپر والے عالج کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

{\displaystyle A\_{1}\angle \theta \_{1}+A\_{2}\angle \theta \_{2}=A\_{3}\angle \theta \_{3}}
اس کو دیکھنے کا دوسرا طریقہ یہ ہے کہ دو *سمتییہ* جن کے متناسق [A1 cos(ωt+θ1), A1 sin(ωt+θ1)] اور [A2 cos(ωt+θ2), A2 sin(ωt+θ2)] ہوں، کو سمتیائی جمع کرنے سے جو سمتیہ حاصل ہوتا ہے اس کے متناسق [A3 cos(ωt+θ3), A3 sin(ωt+θ3)] ہیں۔ دیکھو حراک، نیلی اور سرخ منحنی موج کی حاصل جمع قرمزی رنگ کی منحنی موج ہے۔

### تفریق اور تکامل

طوریہ کے وقتی تفریق یا تکامل سے ایک اور طوریہ بنتا ہے۔
مثال کے طور پر

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}\\&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}}
اس لیے، طوریہ نمائندگی میں، منحنی موج کا وقتی مشتق اس دائم {\displaystyle i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,}  سے ضرب ثابت ہوتا ہے۔ بعینہ، طوریہ کا تکامل ارتباط ہے دائم {\displaystyle i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,}  سے تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز  {\displaystyle e^{i\omega t}\,}،  متاثر نہیں ہوتا۔ جب ہم لکیری تفریق مساوات حل کر رہے ہوتے ہیں، تو ہم جُز  {\displaystyle e^{i\omega t}\,}  کو تمام اصطلاحات میں سے علاحدہ کر رہے ہوتے ہیں اور پھر جواب میں دوبارہ گھسا دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر درج ذیل تفریق مساوات میں مکثف کے پار وولٹیج کے لیے RC circuit:

{\displaystyle {\frac {d\ v\_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v\_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v\_{S}(t)}
جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:

{\displaystyle v\_{S}(t)=V\_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,}
ہم عوض کر سکتے ہیں:

{\displaystyle {\begin{aligned}v\_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V\_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}}
{\displaystyle v\_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\},}
جہاں طوریہ  {\displaystyle V\_{s}=V\_{P}e^{i\theta },\,}  اور طوریہ {\displaystyle V\_{c}\,} وہ نامعلوم مقدار ہے جس کا تعین کرنا ہے۔ طوریہ مختصر نویس علامت میں، تفرق مساوات بن جاتی ہے:

{\displaystyle i\omega V\_{c}+{\frac {1}{RC}}V\_{c}={\frac {1}{RC}}V\_{s}}
مکثف کے طوریہ وولٹیج کے لے حل کرنے سے ملتا ہے:

{\displaystyle V\_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V\_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V\_{P}e^{i\theta })\,}
جیسے ہم نے دیکھا، مختلط دائم جُز {\displaystyle v\_{C}(t)\,}  سے {\displaystyle v\_{s}(t)\,}  کا اضافی حیطہ اور طور میں فرق کو ظاہر کرتا ہے۔ 
قطبی متناسق میں، یہ جُز ہے:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},\,}    جہاں  {\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC).\,}
اس لیے:

{\displaystyle v\_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V\_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))}

حوالہ جات
---------

1. ↑  

	* *i* تخیلاتی ایکائی ہے، جہاں ({\displaystyle i^{2}=-1})
	* برقی انجینئری کی کتب میں تخیلاتی ایکائی کو *j* کی علامت سے لکھا جاتا ہے
	* موج کا تعدد ہرٹز کی ایکائی میں {\displaystyle \omega /2\pi } ہو گا
2. ↑  
یہ اس **:**  {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{i\omega t})=i\omega e^{i\omega t}}
سے حاصل ہوتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ مشتق عالج میں اَسّی دالہ مشتق عالج کا ویژہ دالہ ہے۔
3. ↑  
**ثبوت:**

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 
{\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Re} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V\_{s}\cdot e^{i\omega t}\}}
 | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(Eq.1)** |

چونکہ یہ تمام *t* کے لیے سچ ہے، خاص:  {\displaystyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},\,} ، اس سے پتہ چلتا ہے کہ:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 
{\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Im} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V\_{s}\cdot e^{i\omega t}\}}
 | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(Eq.2)** |

یہ بھی فوری طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ

{\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Re} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Re} \left\{{\frac {d\left(V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{i\omega V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}}
{\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Im} \{V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Im} \left\{{\frac {d\left(V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Im} \left\{i\omega V\_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}}

ان کو مساوات  **Eq.1** اور  **Eq.2** میں ڈال کر، مساوات  **Eq.2** کو {\displaystyle i,\,}  سے ضرب دے کر اور دونوں مساوات کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے:

{\displaystyle i\omega V\_{c}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V\_{c}\cdot e^{i\omega t}={\frac {1}{RC}}V\_{s}\cdot e^{i\omega t}}
{\displaystyle \left(i\omega V\_{c}+{\frac {1}{RC}}V\_{c}={\frac {1}{RC}}V\_{s}\right)\cdot e^{i\omega t}}
{\displaystyle i\omega V\_{c}+{\frac {1}{RC}}V\_{c}={\frac {1}{RC}}V\_{s}\quad \quad (QED)}

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات