| *x* | {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} |
| --- | --- |
| 1 | 0.841471 |
| 0.1 | 0.998334 |
| 0.01 | 0.999983 |

Although the function (sin *x*)/*x* is not defined at zero, as *x* becomes closer and closer to zero, (sin *x*)/*x* becomes arbitrarily close to 1. We say that "the limit of (sin *x*)/*x* as *x* approaches zero equals 1."


| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| حد دالہ  تعسّفی | limit  function  arbitrary |

ریاضیات میں **فنکشن کی حد** بنیادی تصور ہے احصا اور تحلیل میں، کسی ادخال کے قریب دالہ کے کردار کے متعلق۔ غیر رسمی طور پر، فنکشن *f* کسی ادخال *x* کو اخراج `*f(x)*` تفویض کرتی ہے۔ فنکشن کی ادخال *p* پر حد *L* ہو گی اگر `*f(x)*` "قریب" ہو *L* کے جب بھی *x* "قریب" ہو *p* کے۔ دوسرے الفاظ میں، `*f(x)*` قریب تر ہوتی جائے گی *L* کے جیسے جیسے *x* قریب تر ہوتا جاتا ہے *p* کے۔ زیادہ خاصاً، جب *f* کا اطلاق *p* کے "کافی" قریب ہر ادخال پر کیا جائے، تو نتیجہ اخراج ایسا ہو گا جو *L* کے "تعسّفی" قریب ہو گا۔ اگر *p* کے "قریب" ادخال ایسے اخراج پیدا کریں جو بہت مختلف ہوں، تو کہا جائے گا کہ حد *وجود نہیں* رکھتی۔ رسمی تعاریف انسویں صدی میں بنائی گئیں جو نیچے دی ہیں۔

تعاریف
------

ذیل میں دی گئی `-(ε, δ)`تعاریف جامع طور فنکشن کی حد تسلیم کی جاتی ہیں۔

### حقیقی لکیر پر دالہ

فرض کرو کہ `*f* : **R** → **R**` تعریف ہے حقیقی لکیر پر اور اعداد `*p,L* ∈ **R**`، تو ہم کہتے ہیں کہ **فنکشن *f* کی حد *L* ہے جب *x* قریب ہوتا جاتا ہے *p* کے**  اور لکھتے ہیں

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}
اگر بشرط اگر ہر حقیقی `*ε*> *0*` کے لیے ایسا حقیقی `*δ*> *0*` وجود رکھتا ہو کہ `*0* <| *x* - *p* | <*δ*` سے تفویض ہوتا ہو کہ `| *f*(*x*) - *L* | <*ε*.`
  

غور کرو کہ اس حد کی قدر `*f*(*p*)` پر منحصر نہیں۔

#### یکطرفہ حدیں

The limit as: x → x0+ ≠ x → x0-. Therefore, the limit as x → x0 does not exist.
متبادلاً، متغیر *x* چاہے اُوپر (دائیں طرف) سے *p* کے قریب آ رہا ہو، اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{+}}f(x)=L^{+}}
یا پھر نیچے (بائیں طرف) سے کے *p* قریب آ رہا ہو، تو اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{-}}f(x)=L^{-}}
اگر یہ دونوں حدیں برابر ہوں اور {\displaystyle L=L^{+}=L^{-}} کے برابر ہوں تو پھر اسے `*f*(*x*)` کی *p* پر حد کہا جا سکتا ہے۔ اگر یہ دونوں حدیں *L* کے برابر نہ ہوں تو *p* پر اس فنکشن کی حد وجود نہیں رکھتی۔

`*f*(*x*)`
`*S*> 0`
`*x> S*.`

### لامتناہی سے وابستہ حدیں

The limit of this function at infinity exists.
اگر توسیعی حقیقی لکیر **R** کو دیکھا جائے، یعنی، `**R** ∪ {-∞, ∞}`، تو پھر لامتناہی پر فنکشن کی حد تعریف کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔

اگر `*f*(*x*)` حقیقی قدر فنکشن ہو، تو *f* کی حد جب *x* لامتناہی کی طرف نکلے، *L* ہو گی، علامتاً

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L,}
اگر بشرط اگر تمام {\displaystyle \epsilon >0} کے لیے ایسا `*S*> 0` وجود رکھتا ہو کہ {\displaystyle \ |f(x)-L|<\epsilon } ہو جب بھی `*x> S*.`

بعینہی، *f* کی حد جب *x* منفی لامتناہی کی طرف نکلے، *L* ہو گی، علامتاً

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=L,}
اگر بشرط اگر تمام {\displaystyle \epsilon >0} کے لیے ایسا `*S* <0` وجود رکھتا ہو کہ {\displaystyle \ |f(x)-L|<\epsilon } ہو جب بھی `*x <S*.`

مثال کہ طور پر

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }e^{x}=0.}
حدوں کی اقدار لامتناہی بھی ہو سکتی ہیں، مثلاً، **فنکشن *f* کی حد حب *x* چلے *a* کو پہنچنے، لامتناہی ہے،** یوں لکھا جائے گا

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=\infty ,}
اگر بشرط اگر تمام {\displaystyle S>0} کے لیے ایسا {\displaystyle \delta >0} وجود رکھتا ہو کہ {\displaystyle f(x)>S} ہو جب بھی {\displaystyle \ |x-a|<\delta }

ان خیالات سے مختلف تعاریف اخذ کی جا سکتی ہیں، جیسا کہ

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim \_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty .}
مثال کے طور پر

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty .}

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات