| اصطلاح | term |
| --- | --- |
| مخلوط عدد  حقیقی عدد  | complex number  real number |

کسی عدد کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً {\displaystyle \ 7\times 7=49}۔ اسی طرح کسی عدد کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً {\displaystyle {\sqrt {49}}=7}۔ اسی طرح {\displaystyle {\sqrt {1}}=1}، چونکہ {\displaystyle \ 1\times 1=1}، مگر {\displaystyle {\sqrt {-1}}=?}۔ یعنی ایک منفی عدد کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کے لیے ریاضی دانوں نے "تخیلی عدد" بتائے ہیں۔ اس کے لیے {\displaystyle \ -1\,} کے جزر المربع کو ایک خاص علامت {\displaystyle \ \iota } دی گئی ہے، یعنی{\displaystyle {\sqrt {-1}}=\iota }۔ اسی طرح {\displaystyle {\sqrt {-49}}=7\iota }۔ ایسے عدد جن کے ساتھ {\displaystyle \ \iota } لکھا جاتا ہے، "تخیلی عدد" کہلاتے ہیں، مثلاً {\displaystyle \ 7\iota \,}۔ اسی طرح عام اعداد کو "حقیقی عدد" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا عدد جو "حقیقی عدد" اور "تخیلی عدد" کے مجموعہ سے بنے، کو "مخلوط عدد" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر {\displaystyle \ 6+7\iota \,} اور {\displaystyle \ 6-7\iota \,} مخلوط عدد ہیں۔ مخلوط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں۔ دو مخلوط اعداد {\displaystyle \ a+b\iota } اور {\displaystyle \ c+d\iota }کی جمع اور تفریق:

{\displaystyle \ (a+b\iota )+(c+d\iota )=(a+c)+(b+d)\iota \,}

{\displaystyle \ (a+b\iota )-(c+d\iota )=(a-c)+(b-d)\iota \,}

اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، {\displaystyle \ \iota ^{2}=-1} )

{\displaystyle \ (a+b\iota )(c+d\iota )=(ac-bd)+(ad+bc)\iota \,}

{\displaystyle {\frac {a+b\iota }{c+d\iota }}={\frac {(a+b\iota )(c-d\iota )}{(c+d\iota )(c-d\iota )}}={\frac {(ac+bd)}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)\iota }{c^{2}+d^{2}}}\,}
چونکہ مخلوط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے مخلوط اعداد ایک مخلوط میدان بناتے ہیں، جسے {\displaystyle \mathbb {C} \,} کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

### مستطیل اور قطبی صورت

مخلوط عدد {\displaystyle \ a+b\iota } کو مستطیل مستوی میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، حقیقی عدد افقی جانب اور تخیلی عدد عمودی جانب۔ یعنی مستطیل مستوی میں کوئی بھی نکتہ ایک مخلوط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کے مبدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی {\displaystyle \ r} ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ {\displaystyle \theta \,} ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:

{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;,\;\;\;\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}
{\displaystyle \ a=r\cos(\theta )\;,\;\;\;b=r\sin(\theta )}
ہم {\displaystyle r\angle {\theta }}کو مخلوط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ {\displaystyle \ a+b\iota } کو مستطیل صورت۔

اب {\displaystyle \ \exp(x)\,} کے سلسلہ کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ

{\displaystyle \ e^{\iota \theta }=\cos(\theta )+\iota \sin(\theta )}
اس کے استعمال سے ہم مخلوط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:

{\displaystyle \ a+\iota b=r\cos(\theta )+\iota r\sin(\theta )=r(\cos(\theta )+\iota \sin(\theta ))=re^{\iota \theta }}
یعنی
{\displaystyle \ a+b\iota =r\exp(\iota \theta )\,}

قطبی صورت میں مخلوط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:

{\displaystyle \ (r\_{1}\exp(\iota \theta \_{1}))(r\_{2}\exp(\iota \theta \_{2}))=r\_{1}r\_{2}\exp(\iota (\theta \_{1}+\theta \_{2}))}
{\displaystyle {\frac {r\_{1}\exp(\iota \theta \_{1})}{r\_{2}\exp(\iota \theta \_{2})}}=\left({\frac {r\_{1}}{r\_{2}}}\right)\exp(\iota (\theta \_{1}-\theta \_{2}))}
مخلوط عدد {\displaystyle \ z=a+\iota b=re^{\iota \theta }} اور مخلوط عدد {\displaystyle \ {\bar {z}}=a-\iota b=re^{-\iota \theta }} کو ایک دوسرے کا conjugate کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔

مخلوط عدد {\displaystyle \ z=re^{\iota \theta }} کی لمبائی کو عموماً {\displaystyle \ |z|=r} لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو {\displaystyle \ arg(z)=\theta } لکھا جاتا ہے۔

### عدد ایک {\displaystyle 1} کے جزر

مساوات {\displaystyle \ x^{n}-1} کے {\displaystyle \ n} جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں:
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{1}}=\exp(\iota \pi 2k/n)\,,\,k=0,\cdots ,n-1}
مساوات میں{\displaystyle \ x} کی قدر ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر مبدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں {\displaystyle \ n=10}کے لیے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔

اسی طرح مساوات {\displaystyle \ x^{n}+1} کے جزر یوں ہیں:
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-1}}=\exp(\iota \pi (2k+1)/n)\,,\,k=0,\cdots ,n-1}

بیرونی روابط
------------

* کمپوٹر سافٹوئیر سائیلیب میں مخلوط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک سبقآرکائیو شدہ (Date missing) بذریعہ urdutext.cwahi.net (Error: unknown archive URL) ۔

`E=mc2`     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات