Matematik'te, **poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur** ve türevin kuvvetine *m* konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının
(*m* + 1). türevi olarak tanımlanır.

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z).}
Burada

{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
digama fonksiyonu'dur ve {\displaystyle \Gamma (z)} gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

 **Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi**|  |  |  |  |  |  |
| {\displaystyle \ln \Gamma (z)} | {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(2)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(3)}(z)} | {\displaystyle \psi ^{(4)}(z)} |

Integral gösterimleri
---------------------

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int \_{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}
Re *z* >0 ve *m* > 0 şeklindedir. *m* = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki
------------------

tekrarlayan ilişki

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.} şeklindedir.

Çarpım teoremi
--------------

çarpım teoremi
{\displaystyle m>1} için

{\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum \_{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)} olarak verilir.
ve {\displaystyle m=0},için digama fonksiyonu adı verilir;

{\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum \_{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}

Seri gösterimi
--------------

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
*m* > 0 ve *z* herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}
Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir.
bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)}

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak 
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta \_{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta \_{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}} şeklinde verilebilir.

Burada {\displaystyle \delta \_{n0}} Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi
-------------

Burada Taylor serisi *z* = 1 değeri için

{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}
ve |*z*| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça
--------

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. See section §6.4 2 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.