Matematikte, Artin Örgü Grubu olarak da bilinen **n** iplik üzerindeki örgü grubu ({\displaystyle B\_{n}} ile gösterilir), elemanları n-örgülerin denklik sınıfları olan gruptur. Örgü gruplarının örnek uygulamaları arasında düğüm teorisi (knot theory), matematiksel fizikte; Artin'in örgü grubunun Yang-Baxter denklemine karşılık geldiği kanonik sunumu (matematiksel fizik konusu) ve cebirsel geometrinin *monodromy* değişmezleri yer alırlar.

Tarihi
------

Örgü grupları, 1925'te Emil Artin tarafından açık bir şekilde tanıtıldı, ancak (Wilhelm Magnus'un 1974'te işaret ettiği gibi), Adolf Hurwitz'in, 1891 yılı "M*onodromy"* çalışmasında zaten üstü kapalı bir şekilde geçiyordu. 1947'de Emil Artin tarafından açıkça tanımlanabileceği gibi, Örgü grupları ayrıca daha derin bir matematiksel yorumla da tanımlanır: belirli konfigürasyon uzaylarının temel grubu olarak.

{\displaystyle I=[0,1]} aralığı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan {\displaystyle b\subset \mathbb {R} ^{2}\times I} kümesine **n-ipli örgü** denir.

⋅ b kümesi {\displaystyle n} tane ayrık ipten oluşur. Bu iplerin her biri {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times I\to I} projeksiyonu altında {\displaystyle I} birim aralığına homeomorfdur. Kısacası her ip {\displaystyle z=t,0\leq t\leq 1} düzleminden sadece bir kere geçmektedir.

⋅ {\displaystyle b\cap (\mathbb {R} ^{2}\times \{0\})=\{(1,0),(2,0),...(n,0)\}\times \{0\}}

⋅ {\displaystyle b\cap (\mathbb {R} ^{2}\times \{1\})=\{(1,0),(2,0),...(n,0)\}\times \{1\}}

Temel Özellikler
----------------

{\displaystyle n} tane ipten oluşan ve {\displaystyle B\_{n}} olarak gösterilen bir Artin örgü grubu, {\displaystyle n\geq 2} için {\displaystyle \sigma \_{1},\sigma \_{2},\ldots ,\sigma \_{n-1}} üreteçleri ile üretilen ve aşağıdaki ilişkileri sağlayan bir gruptur.

i) {\displaystyle \sigma \_{i}\sigma \_{j}=\sigma \_{j}\sigma \_{i},\ |i-j|\geq 2}

ii) {\displaystyle \sigma \_{i+1}\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}=\sigma \_{i}\sigma \_{i+1}\sigma \_{i},\ 1\leq i\leq n-2}

Kısaca {\displaystyle B\_{n}=\langle \sigma \_{1},\sigma \_{2},\ldots ,\sigma \_{n-1}\rangle } şeklinde de gösterilir.

{\displaystyle \mathbf {B\_{1}} } örgü grubunda tüm örgüler tek bir ip üzerinde oluşur. Trivial bir gruptur.

{\displaystyle \mathbf {B\_{2}} } grubundaki örgüler iki ipin bükülmesi ile oluşur. Bir yönde bir büküm vererek {\displaystyle +1} değeri ve diğer yönde bir büküm ile {\displaystyle -1} değeri elde edilir. Bu sayede {\displaystyle B\_{2}} grubunun {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} grubuna izomorfik olduğu görülür.

B1 grubu ve B1 grubu

{\displaystyle \mathbf {B\_{3}} =\langle \sigma \_{1},\sigma \_{2}\ |\ \sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{1}=\sigma \_{2}\sigma \_{1}\sigma \_{2}\rangle } grubu sonsuzdur ve değişmeli değildir. Elemanları aşağıdaki gibidir.

```
 grubun birim elemanı  σ1  ve σ2
```

{\displaystyle \mathbf {B\_{4}} =\langle \sigma \_{1},\sigma \_{2},\sigma \_{3}\ |\ \sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{1}=\sigma \_{2}\sigma \_{1}\sigma \_{2}\ ,\ \sigma \_{2}\sigma \_{3}\sigma \_{2}=\sigma \_{3}\sigma \_{2}\sigma \_{3}\ ve\ \sigma \_{1}\sigma \_{3}=\sigma \_{3}\sigma \_{1}\rangle }grubundaki her örgü bu 3 örgü ve tersleri ile yazılabilir, bu yüzden bu 3 örgü {\displaystyle \mathbf {B\_{4}} }'ü temsil eder.

```
 grubun birim elemanı σ1 σ2 ve σ3
```

### Konfigürasyon Uzayı ile İlişkisi

Kompleks uzayda {\displaystyle n} tane sıralı ve birbirinden farklı nokta düşünelim. Bu noktaların oluşturduğu konfigürasyon uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır:

```
 {\displaystyle \operatorname {M\_{n}} =\{(z\_{1},\ldots ,\ z\_{n})\in \mathbb {C} ^{n};\ z\_{i}\neq z\_{j},\ \forall i\neq j\}}
```

### Pür Örgü Grubu

{\displaystyle n} ipten oluşan pür örgü grubu {\displaystyle \operatorname {PB\_{n}} } ile gösterilir ve {\displaystyle \operatorname {M\_{n}} } uzayının temel grubudur. {\displaystyle \operatorname {PB\_{n}} =\pi \_{1}(\operatorname {M\_{n}} )}

Bir pür örgü {\displaystyle \beta \in \pi \_{1}(\operatorname {M\_{n}} )}, {\displaystyle \operatorname {M\_{n}} } uzayı içerisinde bir düğümdür. Yani, aynı noktada başlayıp aynı noktaya geri döner.

{\displaystyle \beta \colon [0,1]\to \operatorname {M\_{n}} }

{\displaystyle t\mapsto \beta (t)=(\beta \_{1}(t),\ldots ,\beta \_{n}(t))}

Diğer Özellikler
----------------

{\displaystyle n=1} için {\displaystyle \operatorname {M\_{1}} =\mathbb {C} }'dir. Rastgele bir {\displaystyle z\in \operatorname {M\_{1}} } alalım. O halde {\displaystyle 1} ipli pür örgü grubu {\displaystyle z}'den {\displaystyle z}'ye giden morfizmaların kümesi olur. Sonuç olarak {\displaystyle \pi \_{1}(\operatorname {M\_{1}} )=\langle \operatorname {id} \_{z}\rangle } elde edilir.

{\displaystyle n=2} olsun. O halde {\displaystyle \operatorname {M\_{2}} =\{(z\_{1},z\_{2})\in \mathbb {C} ^{2}|\ z\_{1}\neq z\_{2}\}} olur. Bu uzayın temel grubu \mathbb{Z} kümesine izomorftur. Sonuç olarak {\displaystyle \operatorname {PB\_{2}} \cong \mathbb {Z} }.

{\displaystyle \mathbf {SL\_{2}(\mathbb {Z} )} } Özel lineer grup olarak adlandırılır, determinantı {\displaystyle 1} olan {\displaystyle 2\times 2} tam sayı matrislerinin grubudur.

{\displaystyle \mathbf {PSL\_{2}(\mathbb {Z} )} } Projektif özel lineer grup olarak adlandırılır, {\displaystyle \mathbf {SL\_{2}(\mathbb {Z} )} /} {{\displaystyle \pm I}}' e eşittir, öyle ki {\displaystyle I}, {\displaystyle 2\times 2} birim matrislerdir.

Kaynakça
--------

1. ↑  Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups. Lecture Notes in Mathematics. 372. Springer. pp. 463–487. ISBN 978-3-540-06845-7. "Magnus, Wilhem". 10 Haziran 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi.
2. ↑  Emil Artin, 1947. ""Theory of Braids"". 27 Ocak 2004 tarihinde kaynağından arşivlendi.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4225944-7

 |