Matematiksel analizde **Legendre fonksiyonları**, aşağıdaki **Legendre diferansiyel denkleminin** çözümleridir.

{\displaystyle L={d \over dx}(1-x^{2}){d \over dx}+l(l+1)\*y\,} ; {\displaystyle l\in (0,\mathbb {Z} ^{+})}
Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama
------------------

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum \_{n=0}^{\infty }P\_{n}(x)t^{n}.\qquad } (Denklem I)
(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

{\displaystyle P\_{0}(x)=1,\quad P\_{1}(x)=x}
Bu ilk iki terim **Legendre polinomu**dur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

|  |  |
| --- | --- |
| **n** | {\displaystyle P\_{n}(x)\,} |
| 0 | {\displaystyle 1\,} |
| 1 | {\displaystyle x\,} |
| 2 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,} |
| 3 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,} |
| 4 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,} |
| 5 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,} |
| 6 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,} |
| 7 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,} |
| 8 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,} |
| 9 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,} |
| 10 | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,} |

Çözümü
------

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

{\displaystyle Ly=0\,}
Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

{\displaystyle y=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}}
{\displaystyle y'=\sum \_{n=0}^{\infty }na\_{n}x^{n-1}}
{\displaystyle y''=\sum \_{n=0}^{\infty }n(n-1)a\_{n}x^{n-2}}
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle Ly\,} | {\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y} |
|  | {\displaystyle =(1-x^{2})\sum \_{n=0}^{\infty }n(n-1)a\_{n}x^{n-2}-2x\sum \_{n=0}^{\infty }na\_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}} |
|  | {\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a\_{n}x^{n}+\sum \_{n=0}^{\infty }n(n-1)a\_{n}x^{n-2}} |
|  | {\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a\_{n}x^{n}+\sum \_{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a\_{n+2}x^{n}} |
|  | {\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a\_{n}+(n+2)(n+1)a\_{n+2}\right]x^{n}} |
|  | {\displaystyle =0\,} |

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

{\displaystyle a\_{2}=-{l(l+1) \over 2}a\_{0}}
olur. Genellenirse

{\displaystyle a\_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a\_{n}}
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left|{a\_{n+2}x^{n+2} \over a\_{n}x^{n}}\right|<1}
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

{\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,}
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara **Legendre polinomları** denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri
--------------------------------------

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

{\displaystyle P\_{n}(-x)=(-1)^{n}P\_{n}(x).\,}
diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

{\displaystyle P\_{n}(1)=1.\,}
ve son noktada türev ile veriliyor

{\displaystyle P\_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,}
yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

{\displaystyle (n+1)P\_{n+1}(x)=(2n+1)xP\_{n}(x)-nP\_{n-1}(x)\,}
ve

{\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P\_{n}(x)=xP\_{n}(x)-P\_{n-1}(x).}
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

{\displaystyle (2n+1)P\_{n}(x)={d \over dx}\left[P\_{n+1}(x)-P\_{n-1}(x)\right].}
yukardakinden şu görülebilir

{\displaystyle {d \over dx}P\_{n+1}(x)=(2n+1)P\_{n}(x)+(2(n-2)+1)P\_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P\_{n-4}(x)+\ldots }
veya eşdeğeri

{\displaystyle {d \over dx}P\_{n+1}(x)={2P\_{n}(x) \over \|P\_{n}(x)\|^{2}}+{2P\_{n-2}(x) \over \|P\_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots }
burada {\displaystyle \|P\_{n}(x)\|} −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

{\displaystyle \|P\_{n}(x)\|={\sqrt {\int \_{-1}^{1}(P\_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}
Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

{\displaystyle P\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.}
elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}P\_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).}
Legendre polinomlarının bir toplamı {\displaystyle -1\leq y\leq 1} için ve {\displaystyle -1\leq x\leq 1} için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

{\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum \_{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P\_{\ell }(y)P\_{\ell }(x)\,.}
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

{\displaystyle P\_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \_{m=-\ell }^{\ell }Y\_{\ell m}(\theta ,\phi )Y\_{\ell m}^{\*}(\theta ',\phi ')\,.}
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar {\displaystyle (\theta ,\phi )} ve {\displaystyle (\theta ',\phi ')} var,

Asimptotiklik {\displaystyle \ell \rightarrow \infty } birimden yoksun eklentiler için

{\displaystyle P\_{\ell }(\cos \theta )=J\_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}
ve birimden büyük eklentiler için

{\displaystyle P\_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I\_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,}
burada {\displaystyle J\_{0}} ve {\displaystyle I\_{0}} Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması
-------------------------------

**Kayan Legendre polinomları** {\displaystyle {\tilde {P\_{n}}}(x)=P\_{n}(2x-1)} olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon {\displaystyle x\mapsto 2x-1} (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan {\displaystyle {\tilde {P\_{n}}}(x)} polinomları [0, 1] arasında bulunur:

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\tilde {P\_{m}}}(x){\tilde {P\_{n}}}(x)\,dx={1 \over {2n+1}}\delta \_{mn}.}
kayan Legendre polinomu için bir

{\displaystyle {\tilde {P\_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}
açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

{\displaystyle {\tilde {P\_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}
ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:


|  |  |
| --- | --- |
| ***n*** | {\displaystyle {\tilde {P\_{n}}}(x)} |
| 0 | 1 |
| 1 | {\displaystyle 2x-1} |
| 2 | {\displaystyle 6x^{2}-6x+1} |
| 3 | {\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1} |
| 4 | {\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1} |

Legendre fonksiyonları
----------------------

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu *ikinci türün Legendre fonksiyonları*dır,{\displaystyle Q\_{n}(x)} ile ifade edilir.

{\displaystyle Q\_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}
Diferansiyel denklem

{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}
genel çözümü var

{\displaystyle f(x)=AP\_{n}(x)+BQ\_{n}(x)},
burada *A* ve *B* sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları
----------------------------------------

Ana madde: Legendre fonksiyonları
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları *P*0*n* ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu *P**n* uyumludur.

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
* Gaussian dörtlüsü
* Gegenbauer polinomları
* Legendre kesirli fonksiyonları
* Turán eşitsizliği
* Legendre dalgacığı
* Jacobi polinomları
* Küresel Harmonikler

Notlar
------

1. ↑  George B. Arfken, Hans J. Weber, *Mathematical Methods for Physicists*, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.

Kaynakça
--------

* Şablon:Abramowitz Stegun ref2
* Bayin, S.S. (2006), *Mathematical Methods in Science and Engineering*, Wiley , Chapter 2.
* Belousov, S. L. (1962), *Tables of normalized associated Legendre polynomials*, Mathematical tables, **18**, Pergamon Press .
* Courant, Richard; Hilbert, David (1953), *Methods of Mathematical Physics, Volume 1*, New York: Interscience Publischer, Inc .
* Şablon:Dlmf
* Şablon:Dlmf
* Refaat El Attar (2009), *Legendre Polynomials and Functions*, CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4

Dış bağlantılar
---------------

* A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen19 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Legendre polynomials", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
* Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials6 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
* Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics27 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
* Legendre Polynomials from Hyperphysics 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNF: cb12122983h (data)
* GND: 4333222-5
* LCCN: sh85075779
* NDL: 00567364
* NKC: ph135787
* NLI: 987007560402505171
* SUDOC: 029649501

 |