| *x* | {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} |
| --- | --- |
| 1 | 0,841471... |
| 0,1 | 0,998334... |
| 0,01 | 0,999983... |

Her ne kadar (sin *x*)/*x* fonksiyonu sıfırda tanımlı olmazsa bile, *x*, sıfıra çok çok yakın olduğunda, (sin *x*)/*x*, 1'e yaklaşır. Diğer taraftan *x* sıfıra yaklaşırken (sin *x*)/*x* fonksiyonunun limiti 1'e eşittir.


Matematikte bir **fonksiyonun limiti**, kalkülüs ve analizde kullanılan bir temel kavramdır ve belirli bir girişe yaklaşan bir fonksiyonun davranışı ile ilgilidir.

Formal tanımı ilk olarak 19. yüzyıl başlarında ortaya çıktı ve şöyledir: Bir *f* fonksiyonunun her *x* girişi için bir *f*(*x*) çıkış olur. Bu fonksiyon *p* girişinde bir *L* limiti vardır ve şöyle ifade edilir: *x*, *p* ye çok çok yaklaştıkça, *f*(*x*) fonksiyonu da *L* ye çok çok yaklaşır.

Tanımlar
--------

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L,\,}
Yukarıdaki eşitliğin anlamı: "*x*, *p* ye yaklaşırken, *ƒ*(*x*) fonksiyonunun limiti *L* dir" denir.

### Reel doğrudaki fonksiyonlar

*f* : **R** → **R** reel doğruda tanımlı ve *p,L* ∈ **R** ise, "*x*, *p* ye yaklaşırken *f* fonksiyonunun limiti, *L*dir" denir ve şöyle sembolize edilir:

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L,\ }
Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her *ε* > 0 reel sayısı için bir *δ* > 0 reel sayısı vardır. Tüm *x* için, 0 < | *x* − *p* | < *δ* oluyorsa | *f*(*x*) − *L* | < *ε* olur.

*p*, *f* fonksiyonunun tanım kümesinde olsa bile limitin değeri, *f*(*p*) değerine bağlı değildir.

#### Tek taraflı limitler

Ana madde: Tek taraflı limit
x → x0+ ≠ x → x0− olduğundan dolayı x → x0 limit yoktur.
Alternatif olarak *x*, *p* ye üstten (sağdan), veya alttan (soldan) yaklaşabilir. Bu durumda limitler sırasıyla şöyle yazılır:

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{+}}f(x)=L}
ve

{\displaystyle \lim \_{x\to p^{-}}f(x)=L}
Eğer her iki durumda da limitler *L* ye eşit ise, "*f*(*x*) in *p* noktasındaki limitleri *L* ye eşittir" denir. Benzer şekilde eğerher iki noktadaki limitte *L* ye eşit değilse, "limit yoktur" denir.

Formal tanımı şu şekildedir: *x*, *p* ye üstten yaklaşırken, *f*(*x*) in limiti *L* dir. Her *ε* > 0 için δ > 0 olur. 0 < *x* − *p* < δ olursa |*f*(*x*) − *L*| < *ε* olur. Benzer şekilde *x*, *p* ye alttan yaklaşırken, *f*(*x*) in limiti *L* dir. Her ε > 0 için, δ > 0 olur. 0 < *p* − *x* < *δ* olursa |*f*(*x*) − *L*| < *ε* olur.

#### Limitsiz fonksiyona örnek

Limitsiz fonksiyon
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1{\text{ için }}\\0&x=1{\text{ için }}\\{\frac {0.1}{x-1}}&x>1{\text{ için }}\end{cases}}}
fonksiyonu {\displaystyle x\_{0}=1} noktasında limiti yoktur. Bu yüzden fonksiyon süreksizdir.

### Metrik uzayındaki fonksiyonlar

*M* ve *N*, sırasıyla *A* ve *B* metrik uzaylarının alt kümeleri olsun ve *f* : *M* → *N*, *M* ile *N* arasında tanımlansın, *x* ∈ *M* için *p*, *M* nin bir limit noktasıdır ve *L* ∈ *N* olur. "*x*, *p* ye yaklaşırken *f* nin limiti *L* dir" denir. ve şöyle yazılır:

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}
Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her ε > 0 için, bir δ > 0 vardır. 0 < *d**A*(*x*, *p*) < *δ* oluyorsa, d*B*(*f*(*x*), *L*) < ε olur.

### Topolojik uzaydaki fonksiyonlar

*Y* Hausdorff uzayı ve *X* topolojik uzay olsun. *p*, Ω ⊆ *X* de bir limit noktası ve *L* ∈*Y* olsun. *f* : Ω → *Y* fonksiyonu için "*x*, *p* ye yaklaşırken *f* nin limiti *L* dir" denir. (örn, *x*→*p* için, *f(x)*→*L*) ve şöyle yazılır:

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}
Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her *L* nin açık *V* komşusu için, *p* nin açık *U* komşusu vardır. *f*(*U* ∩ Ω − {*p*}) ⊆ *V*.

Özellikler
----------

Eğer bir *f* fonksiyonu reel değerli ise, *f* nin *p* noktasında ancak ve ancak hem sağ limit hem de sol limit varsa ve *L* ye eşit ise, *f* nin *p* noktasındaki limiti *L* dir. 
*f* fonksiyonu, *p* noktasında sürekli ise ancak ve ancak *x*, *p* ye yaklaşırken *f*(*x*)in limiti vardır ve *f*(*p*) ye eşittir. Eğer *f* : *M* → *N*, *M* ve *N* metrik uzaylarında bir fonksiyon ise, *M* deki her dizi için *f* dönüşümlerine eşdeğerdir.

Eğer *f* reel değerli (veya karmaşık değerli) bir fonksiyon ise, limiti temel aritmetik işlemlerine göre alınır. Bu limit alma işlemi **cebirsel limit teoremi** olarak adlandırılır.

{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)+\lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)-\lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits \_{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits \_{x\to p}g(x)\\\lim \limits \_{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits \_{x\to p}f(x)/\lim \limits \_{x\to p}g(x)}\end{matrix}}}
Yukarıdaki her bir eşitlikte sağdaki limit yoksa veya son eşitlikte, hem pay hem de paydanın limitler sıfırsa, soldaki limite yine de belirsiz form denir. Bu belirsizlik *f* ve *g* fonksiyonlarının durumuna bağlıdır. Bu kurallar tek taraflı limitlerde de geçerlidir. *p* = ±∞ ve sonsuz limitler için, aşağıdaki kurallar geçerlidir. 

* *q* + ∞ = ∞ for *q* ≠ −∞
* *q* × ∞ = ∞ if *q* > 0
* *q* × ∞ = −∞ if *q* < 0
* *q* / ∞ = 0 if *q* ≠ ± ∞

*q* / 0 durumu için genel kural *olmadığına* dikkat edin. Örneğin, 0/0, 0×∞, ∞−∞, ve ∞/∞ belirsiz formları bu kurallarda da geçerlidir.

Özel tanımlı fonksiyonların limiti
----------------------------------

Matematikte limitin farklı durumlarda kullanımı vardır.Bu kullanımlar **Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti** olarak tanımlanır.

Bu özel tanımlı fonksiyonlar;

1. Parçalı Fonksiyonların Limiti
2. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
3. Mutlak Değer Fonksiyonların Limiti

Bu fonksiyonların çözümü kendi içlerinde özel yöntemler barındırır.

### Parçalı Fonksiyonların Limiti

Tanım kümesinin aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara Parçalı Fonksiyonlar denir.Bu fonksiyonların limiti şöyle hesaplanır;

durumunda,

{\displaystyle \lim \_{x\to \ a+}{g(x)}} ={\displaystyle \lim \_{x\to a-}{h(x)}=L}

oluyorsa,

{\displaystyle \lim \_{x\to \ a}{f(x)}=L}

### Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

1.sinx ve cosx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.

Sinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."sin" ile ifade edilir.

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir.

Kosinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."cos" ile ifade edilir.

{\displaystyle \lim \_{x\to \ a}{sinx}=sina}

2. tanx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.

Tanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için  π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları bütün gerçek sayılara götürür."tan" ile ifade edilir.

tanx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere;

koşuluna uyan bütün x gerçek sayıları için tanımlı olduğu için,

3. cotx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.

Kotanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları, bütün gerçek sayılara götürür."cot" ile ifade edilir.

cotx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere, x≠tπ koşuluna uyan bütün x sayıları için tanımlı olduğu için,

{\displaystyle \lim \_{x\to a}\cot(x)=cot(a)} (a≠t.π ve t ∈ ℤ)

olur.

t ∈ ℤ olmak üzere, a=t.π için,

{\displaystyle \lim \_{x\to a}\cot(x)} yoktur.

### Mutlak Değer Fonksiyonların Limiti

ƒ fonksiyonu A'dan B'ye gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun.
|ƒ| fonksiyonuna ƒ fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Mutlak değerin tanımına göre ƒ(x) in negatif olmadığı yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiği ile aynıdır. ƒ(x) in negatif olduğu yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.

ƒ fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon,

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{|f(x)|}} olmak üzere,

mutlak değerin içini 0 yapan değer kritik noktadır. Yani ƒ(a)=0 kritik noktada limit sorulursa ƒ(x) fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerine bakılır.

Kritik nokta dışında limit sorulursa,

{\displaystyle \lim \_{x\to a}{|f(x)|}} = {\displaystyle |f(a)|}