**Bessel polinomları**, matematikteki ortogonal polinomların bir dizisidir. Bessel polinomlarıyla ilgili birbirinden farklı ama birbiriyle yakından ilişkili çok sayıda tanım vardır. Matematikçiler tarafından tercih edilen tanım şu seriyle verilmektedir: :101

{\displaystyle y\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.}
Elektrik mühendisleri tarafından tercih edilen başka bir tanım bazen **ters Bessel polinomları** olarak bilinir.:8 :15

{\displaystyle \theta \_{n}(x)=x^{n}\,y\_{n}(1/x)=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.}
İkinci tanımın katsayıları birinciyle aynıdır ancak ters sıradadır. Örneğin üçüncü derece Bessel polinomu;

{\displaystyle y\_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1}
üçüncü derece ters Bessel polinomu ise;

{\displaystyle \theta \_{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.}
Bessel elektronik filtrelerinin tasarımında ters Bessel polinomu kullanılmaktadır.

Polinomların özellikleri
------------------------

### Bessel fonksiyonları açısından tanım

Bessel polinomu, polinomun adını aldığı Bessel fonksiyonları kullanılarak da tanımlanabilir.

{\displaystyle y\_{n}(x)=\,x^{n}\theta \_{n}(1/x)\,}
{\displaystyle y\_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K\_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}
{\displaystyle \theta \_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K\_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
burada *Kn* (*x*) ikinci türden değiştirilmiş bir Bessel fonksiyonudur, *yn*(*x*) sıradan bir polinomdur ve *θn* (*x*) ters polinomdur.:7,34Örneğin:

{\displaystyle y\_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K\_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}
### Hipergeometrik fonksiyon olarak tanım

Bessel polinomu aynı zamanda birleşik hipergeometrik fonksiyon olarak da tanımlanabilir. :8

{\displaystyle y\_{n}(x)=\,\_{2}F\_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}
Benzer bir ifade genelleştirilmiş Bessel polinomları için de geçerlidir (aşağıya bakınız)::35

{\displaystyle y\_{n}(x;a,b)=\,\_{2}F\_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}
Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir Laguerre polinomu olarak tanımlanabilir:

{\displaystyle \theta \_{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L\_{n}^{-2n-1}(2x)}
buradan hipergeometrik bir fonksiyon olarak da tanımlanabileceği sonucu çıkar:

{\displaystyle \theta \_{n}(x)={\frac {(-2n)\_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,\_{1}F\_{1}(-n;-2n;2x)}
burada (− 2*n*)*n* Pochhammer sembolüdür (yükselen faktöriyel).

### Oluşturma işlevi

İndeks kaydırılmış Bessel polinomları üretme işlevine sahiptir;

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K\_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum \_{n=1}^{\infty }\theta \_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}
Göre farklılaşan {\displaystyle t}, iptal etme {\displaystyle x}, polinomlar için üretme fonksiyonunu verir {\displaystyle \{\theta \_{n}\}\_{n\geq 0}}.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\theta \_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}
Benzer üretme fonksiyonu ve (𝑦𝑛 polinomlar da) aşağıdakiler için de mevcuttur:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }y\_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}
Ayarlamanın ardından {\displaystyle t=z-xz^{2}/2} üstel fonksiyon için aşağıdaki gösterime sahiptir::107

{\displaystyle e^{z}=\sum \_{n=0}^{\infty }y\_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}
### Özyineleme

Bessel polinomu aynı zamanda bir yineleme formülüyle de tanımlanabilir:

{\displaystyle y\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle y\_{1}(x)=x+1\,}
{\displaystyle y\_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y\_{n-1}(x)+y\_{n-2}(x)\,}
ve

{\displaystyle \theta \_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle \theta \_{1}(x)=x+1\,}
{\displaystyle \theta \_{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta \_{n-1}(x)+x^{2}\theta \_{n-2}(x)\,}
### Diferansiyel denklem

Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y\_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy\_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y\_{n}(x)=0}
ve

{\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta \_{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta \_{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta \_{n}(x)=0}
### Diklik

Bessel polinomları ağırlığa göre diktir {\displaystyle e^{-2/x}} karmaşık düzlemin birim çemberi üzerine entegre edilmiştir.:104 Başka bir deyişle, eğer {\displaystyle n\neq m} ise;

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }y\_{n}\left(e^{i\theta }\right)y\_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}

Genelleme
---------

### Açık Form

Bessel polinomlarının literatürde aşağıdaki gibi bir genellemesi önerilmiştir:

{\displaystyle y\_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L\_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}
karşılık gelen ters polinomlar

{\displaystyle \theta \_{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L\_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y\_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}
Açık katsayılar {\displaystyle y\_{n}(x;\alpha ,\beta )} polinomlar şunlardır::108

{\displaystyle y\_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}
Sonuç olarak, {\displaystyle \theta \_{n}(x;\alpha ,\beta )} polinomlar açıkça şu şekilde yazılabilir:

{\displaystyle \theta \_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}
Ağırlıklandırma fonksiyonu için;

{\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,\_{1}F\_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}
ilişki için diktirler;

{\displaystyle 0=\oint \_{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y\_{n}(x;\alpha ,\beta )y\_{m}(x;\alpha ,\beta )\mathrm {d} x}
*m* ≠ *n* ve *c* için 0 noktasını çevreleyen bir eğri vardır.

α = β = 2, Bessel polinomları üzerinde özelleşir; bu durumda ρ(*x*) = exp(− 2 / *x*) olur.

### Bessel polinomları için Rodrigues formülü

Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümleri olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü şu şekildedir :

{\displaystyle B\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a\_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}
bu durumda *a* (α, β)*n* normalleştirme katsayılarıdır.

### İlişkili Bessel polinomları

Bu genellemeye göre ilişkili Bessel polinomları için aşağıdaki genelleştirilmiş diferansiyel denkleme sahibiz:

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B\_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB\_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B\_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}
Böylece {\displaystyle 0\leq m\leq n}. Çözümler şunlardır:

{\displaystyle B\_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a\_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}

Sıfırlar
--------

Eğer biri sıfırları gösteriyorsa {\displaystyle y\_{n}(x;\alpha ,\beta )} gibi {\displaystyle \alpha \_{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}, ve {\displaystyle \theta \_{n}(x;\alpha ,\beta )} ile {\displaystyle \beta \_{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}, bu durumda aşağıdaki tahminler mevcuttur::82

{\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha \_{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}
ve

{\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta \_{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}
hepsi için {\displaystyle \alpha \geq 2}. Üstelik bu sıfırların hepsinin negatif reel kısmı vardır.

Polinomların sıfırlarının tahminleriyle ilgili daha güçlü teoremlere (daha somut olarak Saff ve Varga'nın Parabol Teoremi veya diferansiyel denklem teknikleri) başvurulursa daha keskin sonuçlar söylenebilir.:88 Sonuçlardan biri şudur:

{\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha \_{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}

Özel değerler
-------------

Bessel polinomları {\displaystyle y\_{n}(x)} kadar {\displaystyle n=5} olduğuna göre;

{\displaystyle {\begin{aligned}y\_{0}(x)&=1\\y\_{1}(x)&=x+1\\y\_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y\_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y\_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y\_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}
Hiçbir Bessel polinomu, rasyonel katsayılara sahip daha düşük dereceli polinomlara dahil edilemez. Ters Bessel polinomları, katsayıların ters çevrilmesiyle elde edilir. Eşdeğer olarak, {\textstyle \theta \_{k}(x)=x^{k}y\_{k}(1/x)}'dir. Bunun sonucunda aşağıdakiler ortaya çıkmaktadır:

{\displaystyle {\begin{aligned}\theta \_{0}(x)&=1\\\theta \_{1}(x)&=x+1\\\theta \_{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta \_{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta \_{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta \_{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}}

Kaynakça
--------

1. 1 2 3 4  H. L. Krall ve O. Frink (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials". *Trans. Amer. Math. Soc*. **65** (1): 100-115. doi:10.2307/1990516.
2. 1 2 3 4 5  Grosswald, E. (1978). *Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics)*. New York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4.
3. ↑  Christian Berg ve Christope Vignat (2008). "Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions" (PDF). *Constructive Approximation*. **27**: 15-32. doi:10.1007/s00365-006-0643-6. 23 Ekim 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 16 Ağustos 2006.
4. ↑  "Wolfram Alpha example". 8 Şubat 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Ekim 2023.
5. ↑  A bot will complete this citation soon. Click here to jump the queue arXiv:.
6. ↑  Saff, E. B.; Varga, R. S. (1976). "Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials". *SIAM J. Math. Anal*. **7** (3): 344-357. doi:10.1137/0507028.
7. ↑  de Bruin, M. G.; Saff, E. B.; Varga, R. S. (1981). "On the zeros of generalized Bessel polynomials. I". *Indag. Math*. **84** (1): 1-13.
8. ↑  "Sloane's A001498 ", *The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*. OEIS Foundation.
9. ↑  Michael Filaseta ve Ognian Trifinov (Ağustos 2, 2002). "The Irreducibility of the Bessel Polynomials". *Journal für die Reine und Angewandte Mathematik*. **2002** (550): 125-140. doi:10.1515/crll.2002.069.