Kök testi için karar akış diyagramı
Matematikte **kök testi** bir {\textstyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}} sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Test
----

Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen **Cauchy kök testi** veya **Cauchy radikal testi** olarak da anılır. Kök testi

{\displaystyle C=\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}}
sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

* *C* < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
* *C* > 1 ise, seri ıraksaktır.
* *C* = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Kuvvet serilerine uygulanması
-----------------------------

Bu test, *c**n* katsayılarının ve *p* merkezinin karmaşık sayı olduğu, *z* 'nin karmaşık değişken olduğu bir

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }c\_{n}(z-p)^{n}}
kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri *a**n* = *c**n*(*z* - *p*)*n* ile verilir. O zaman kök testi *a**n* 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "*p* etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı *R* serinin iç bölgesindeki her *z* noktasında yakınsak olduğu en geniş *p* merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle {\displaystyle 1/\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}} olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

İspat
-----

Σ*a**n* serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her *n* ≥ *N* (n sabit bir doğal sayı) için {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}<k<1} ise, o zaman {\displaystyle a\_{n}<k^{n}<1} olur. {\displaystyle \sum \_{n=N}^{\infty }k^{n}} geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle {\displaystyle \sum \_{n=N}^{\infty }a\_{n}} de yakınsar. Pozitif olmayan *a**n* için yakınsaklık da {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}} kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane *n* için {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}>1} ise, o zaman *a**n* 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

**Sonucun kanıtı**:
Σ*a**n* = Σ*c**n*(*z* - *p*)*n* kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her *n* ≥ *N* için

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c\_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}
ifadesine denk olarak

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}\cdot |z-p|<1}
ifadesini sağlayan bir *N* vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük *n* 'ler için {\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}} olmasını gerektirmektedir. Bu da

{\displaystyle |z-p|<1/\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}}
demeye denktir. Böylece

{\displaystyle R\geq 1/\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}} olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c\_{n}(z-p)^{n}|}}=1}
olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

{\displaystyle R=1/\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c\_{n}|}}}
olur.

Ayrıca bakınız
--------------

* Oran testi
* Yakınsak seriler

Kaynakça
--------

* Knopp, Konrad (1956), "3.2", *Infinite Sequences and Series*, Dover publications, Inc. New York, ISBN 0-486-60153-6
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N. (1963), "2.35", *A Course in Modern Analysis* (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

*Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.*