**Gama fonksiyonu** matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt}
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma
---------

Öncelikle;

{\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!} eşitliğini ele alalım.
{\displaystyle n=0} alırsak; {\displaystyle 1.0!=1!=1} olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

{\displaystyle n=1/2} alırsak;
{\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} olması gerekir. Yani
{\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}→{\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} olmalıdır.
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}' olduğundan;
{\displaystyle \Gamma (5/2)}→{\displaystyle (3/2)!} 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
{\displaystyle \Gamma (3/2)}→{\displaystyle (1/2)!} işlemine karşılık gelmelidir.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}}
{\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}
Bu da

{\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}→{\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım
-----

### Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu
Bu çift {\displaystyle \Gamma (z)} gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı *z'*nin gerçel kısmı (Re[*z*] > 0) şeklindedir. integral'i

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}
 *n* ! = *n* · (*n* − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

{\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim \_{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|\_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün *n* Doğal sayılar'ı için. 

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.
{\displaystyle \Gamma (z)} genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. *z* böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (*z*. = −*n*basit kutbu ile rezidü (−1)*n*/*n* !).

### Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar *z* için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}
burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki *z* nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli, 

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim \_{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim \_{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}
değişik bir gösterim...

{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}
Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın
terimleri içinde verilir;

{\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum \_{n=0}{\frac {L\_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}}  ,   yakınsaklık için {\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}} olmalıdır.
* Mutlak değer Mutlak değer
* Gerçel kısım Gerçel kısım
* Sanal kısım Sanal kısım

Özellikler
----------

Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)
### Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen **Pi fonksiyonu** deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}
böylece

her negatif olmayan *n* için.

{\displaystyle \Pi (n)=n!,}
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

{\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}
burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}
ayrıca bazen

{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}
bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(*z*) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(*z*)de, Γ(*z*) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap {\displaystyle r\_{1},...r\_{n}} ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

{\displaystyle V\_{n}(r\_{1},...r\_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod \_{k=1}^{n}r\_{k}}

Özel değerler
-------------

Ana madde: Gama fonksiyon'unun özel değerleri
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
### Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}
özel olarak, eğer {\displaystyle a=0} ise
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Beta fonksiyonu
* Bohr–Mollerup teoremi
* n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
* Digama fonksiyonu
* Elliptik gama fonksiyonu
* Faktöriyel
* Gamma dağılımı
* Gauss sabiti
* Gauss toplamı
* Lanczos yaklaşıklığı
* Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
* Pochhammer k-sembolü
* Poligama fonksiyonu
* Ters Gama fonksiyonu
* Trigama fonksiyonu

Notlar
------

1. ↑  George Allen, and Unwin, Ltd. *The Universal Encyclopedia of Mathematics*. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc. 1964. (Forward by James R. Newman)

Kaynakça
--------

* *Bu makale, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.*

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) *Exposition by Emil Artin: a selection*; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* Julian Havil, *Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 6.1.)*
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and HTML4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. formats.

Dış bağlantılar
---------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons'ta ***Gama fonksiyonu*** ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |

* Şablon:Dlmf
* Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Şablon:WolframFunctionsSite
* Volume of n-Spheres and the Gamma Function5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathPages
* Computing the Gamma function31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - various algorithms
* Online tool to graph functions which contain the Gamma function
* Eric W. Weisstein, *Gamma function* (MathWorld)
* "Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* "Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4289118-8
* NDL: 00562231

 |