Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.
Adını matematikçi Leonhard Euler'den alan Euler formülü karmaşık analizde kullanılan bir matematik formülüdür ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir.

Herhangi bir gerçek {\displaystyle {\text{x}}} sayısı için Euler formülü,

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}

şeklindeki eşitliktir. Burada i karmaşık sayı olan {\displaystyle {\sqrt {-1}}} dir, *e* Euler sayısıdır ve cos ile sin trigonometrik fonksiyonlar olan kosinüs ve sinüstür.

Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.

{\displaystyle x=\pi } eşitliği sağlandığında Euler formülü: *eiπ* + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.

Euler's formula.svgEuler formülü

Kullanım alanları
-----------------

### Formülün yorumlanması

Bu formül ei{\displaystyle \varphi } fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon {\displaystyle \varphi } farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada {\displaystyle \varphi } orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.

Orijinal kanıt {\displaystyle e^{z}} üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve {\displaystyle sinx} ile {\displaystyle cosx} fonksiyonlarından gelir, burada {\displaystyle z} bir karmaşık sayı ve {\displaystyle x} bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün {\displaystyle x}'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.

Karmaşık sayılar düzlemindeki bir nokta kartezyen koordinatlarda yazılmış bir karmaşık sayı ile gösterilebilir. Euler formülü kartezyen koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasında geçiş yapılmasını sağlar.

Bir örnekle ispatı
------------------

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

1. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(nx)=n\cos(nx)}
2. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(nx)=-n\sin(nx)}
3. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{nx}=ne^{nx}}

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

* {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{inx}=ine^{inx}=in\cos(nx)-n\sin(nx)}
* {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(nx)+i\sin(nx))=in\cos(nx)-n\sin(nx)}

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları
--------------------

**Euler formülü'**nde 
x yerine 

{\displaystyle \ln(x)\!},
{\displaystyle e^{ix}\!},
{\displaystyle ix+e^{ix}\!},
{\displaystyle x^{i}\!}
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.
Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir.
Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim
-----------------

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
ifadesinde x yerine {\displaystyle \ln(x)\,n\!} konursa

{\displaystyle x^{i\,n}=\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)\!}
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

{\displaystyle \cos(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}+x^{-i\,n}}{2}}\!},
{\displaystyle \sin(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}-x^{-i\,n}}{2\,i}}\!} elde edilir
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{k}\ x^{i\,n}=\sum \_{n=0}^{k}\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)}
toplamıda bulunabilir.
x yerine x^{i} konursa

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{k}x^{i\,n}={\frac {1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}}}\!}

İki katlı üstel
---------------

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
temel eşitliği **üs** alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!}
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2}}\!}
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i}}\!}
x yerine 

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\!} konursa;
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\cos(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2}}\!}
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\sin(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i}}\!}
{\displaystyle tan(sin(x))=i{\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}}\!}
{\displaystyle tan(cos(x))=i{\frac {(e^{-ie^{ix}}-e^{ie^{-ix}})}{(e^{-ie^{ix}}+e^{ie^{-ix}})}}\!}

İmajiner trigonometrik
----------------------

x-->ln(x) alınırsa

{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}+e^{x^{-i}}}{2}}=\cos(i\,x^{i})\!}
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}-e^{x^{-i}}}{2i}}=\sin(i\,x^{i})\!}
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}+e^{i\,x^{-i}}}{2}}=\cos(x^{i})\!}
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}-e^{i\,x^{-i}}}{2i}}=\sin(x^{i})\!}

Karma bağıntılar
----------------

### Üslerin toplamına göre

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!}
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!}
ve

{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
yardımıyla **karma bağıntılar** elde edilebilir.

{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
sonuç olarak

{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2}}=e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i}}=e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
elde edilir.

{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
ifadesinde üs ifadesindeki **x** yerine **y** koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse **cos(x)** ve **x** bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,**cos(x)** değiştirilmezken **x** yerine **y** konabilir.

{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}
### Üslerin çarpımına göre

Buradaki ifadeler

{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
veya

> 
> {\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
> {\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
> 

eşitliğidir.

{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2}}=\cos(xe^{ix})\!}
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{ix})\!}
x yerine -x konursa;

{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))}={\frac {e^{-ix(e^{-ix})}-e^{ix(e^{ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{-ix})\!}
{\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}

Bell sayıları ile ilgisi
------------------------

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {B\_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}

Ayrıca bakınız
--------------

* Doğal logaritma
* Üstel fonksiyon
* Euler özdeşliği
* Bell Sayıları
* Bell serisi
* Leonhard Euler
* Bessel fonksiyonları

Kaynakça
--------

1. ↑  Moskowitz, Martin A. (2002). *A course in complex analysis in one variable*. River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-4780-X. OCLC 49966126.
2. ↑  Feynman, Richard P. (1963-1965). *The Feynman lectures on physics*. Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02010-6. OCLC 531535. 13 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Nisan 2021.

| * g
* t
* d
Leonhard Euler |
| --- |
| Çalışmalar | 
* *Mechanica*
* *Introductio in analysin infinitorum*
* *Institutiones calculi differentialis*
* *Institutiones calculi integralis*
* *Letters to a German Princess*

 |  |
| Kavramlar ve teoriler | 
* Euler-Lagrange denklemi
* Euler-Lotka denklemi
* Euler-Maclaurin formülü
* Euler-Maruyama yöntemi
* Euler-Mascheroni sabiti
* Euler-Poisson-Darboux denklemi
* Euler-Rodrigues formülü
* Euler-Tricomi denklemi
* Euler sürekli kesirler formülü
* Euler kritik yükü
* Euler formülü
* Euler dört-kare özdeşliği
* Euler özdeşliği
* Euler pompa ve tribün denklemi
* Euler dönme teoremi
* Euler kuvvetler toplamı varsayımı
* Euler teoremi
* Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği)
* Euler fonksiyonu
* Euler yöntemi
* Euler sayıları
* Euler sayısı (fizik)
* Euler-Bernoulli kiriş teorisi
* Euler teoremi (geometri)
* Euler spirali
* Euler-Fuss denklemi
* Euler dörtgen teoremi

 |
| Diğer | 
* Aynı adı taşıyan
* Euler Committee
* Johann Euler
* Johann Bernoulli (Bernoulli ailesi)
* Georg Gsell
* Merian ailesi
* Basel Okulu (matematik)

 |