Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen **Liouville teoremi**, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, **C** 'deki her *z* için |*f*(*z*)| ≤ *M* olan pozitif bir M varsa ve *f* holomorfsa, *f* sabittir.

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.

Kanıt
-----

Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. *f*, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}z^{k}.}
Buradaki {\displaystyle a\_{k}} terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)

{\displaystyle a\_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint \_{C\_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }
olarak yazılır (*C**r*, 0 merkezli, *r* yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan

{\displaystyle |a\_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{C\_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}\,d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \_{C\_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,d\zeta \leq {\frac {M}{r^{k}}},}
tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her *z* için |*f*(*z*)| ≤ *M* eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan *r* sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, *r* sonsuza götürülürse, her *k* ≥ 1 için *a**k* = 0 elde edilir. Böylelikle, *f*(*z*) = *a*0 olur ve teorem kanıtlanmış olur.

Sonuçlar
--------

### Cebirin temel teoremi

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.

### Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani *f* ve *g* tamsa ve her yerde |*f*| ≤ |*g*| ise , o zaman bir *α* sayısı için *f*  = α.*g* olur. Bunu göstermek içinse

{\displaystyle h={\frac {f}{g}}\cdot }
fonksiyonunu ele alalım. *h* 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. *h* 'nin holomorf olması *g*−1(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi *g*(*a*) = 0 ise *f*(*a*) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, *h* sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak *a* üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, *h*, *g*−1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

### Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir *f* fonksiyonunun tanım kümesinin **C** 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, *a* ve *b*, *f* 'nin *a*/*b* gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, *a*, *b* ve *a* + *b* olan *P* paralelkenarını ele alalım. O zaman, *f* 'nin görüntüsü *f*(*P*) 'ye eşit olacaktır. *f* sürekli olduğu ve *P* tıkız olduğu için, *f*(*P*) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, *f* sabit olacaktır.

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar **C** 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir. Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir.

### Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır

*f* sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü **C** içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. *f* 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir *w* karmaşık sayısı ve *r* > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki *w* merkezli, *r* yarıçaplı açık disk, *f* 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. *g*(*z*) = 1/(*f*(*z*) - *w*) fonksiyonunu tanımlayalım.

{\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} ):|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}}
olduğu için, *g* sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, *g* sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, *f* 'nin görüntüsü yoğundur.

Notlar
------

{∞} ∪ **C** , **C** 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. **C** 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ **C** içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, **C** ⊂ {∞} ∪ **C** 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. *f*, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, *f* 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani *f*, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında *zn* gibi patlıyorsa, o zaman *f* polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük *z* ler için |*f*(*z*)| ≤ *M*.|*zn*| ise, o zaman *f*, derecesi en fazla *n* olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, *f* 'nin Taylor serisini ele alalım:

{\displaystyle f(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}z^{k}.}
Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

{\displaystyle (\forall k\in \mathbb {N} ):|a\_{k}|\leqslant Mr^{n-k}}
eşitsizliğini verir. Böylece, *k* > *n* ise

{\displaystyle |a\_{k}|\leqslant \lim \_{r\rightarrow +\infty }Mr^{n-k}=0}
olur. Bu yüzden, *ak* = 0 elde edilir.

Kaynakça
--------

1. ↑  "Joseph Liouville, Leçons sur les fonctions doublement périodiques, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, C. 88, sf. 277-310, 1879, ISSN 0075-4102". 11 Temmuz 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Temmuz 2008.
2. ↑  "Augustin Louis Cauchy, Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, Mémoires sur les fonctions complémentaires, Seri 1, C. 8, Gauthiers-Villars, Paris, 1884". 7 Haziran 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Temmuz 2008.

Dış bağlantılar
---------------

* PlanetMath'teki Liouville Teoremi ve kanıtı 14 Mayıs 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* MathWorld'deki Liouville Teoremi bilgisi 3 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Liouville Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından