Theodorus'un {\displaystyle {\sqrt {17}}} hipotenüsüne sahip üçgene kadar olan sarmalı
Geometride, **Theodorus Sarmalı** (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır), uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Çizimi
------

Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu √2 olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu √3'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki *n*ci üçgen, kenar uzunlukları √*n* ve 1 olan ve hipotenüs √*n*+1 olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= √16), 1 ve hipotenüs √17'dir.

Tarihçe ve kullanım
-------------------

Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı *Theaetetus'un diyaloğu*nda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.

Hipotenüs
---------

Üçgenlerin hipotenüsleri, {\displaystyle h\_{n}}, {\displaystyle h\_{1}={\sqrt {2}}}'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden √17'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, √17 hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.

### Üst üste gelme

1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.

Genişleme
---------

Theodorus Sarmalı'nın renkli 110 üçgen ile genişletilmiş hali
Theodorus sarmalını hipotenüsü √17 olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

### Büyüme oranı

#### Açı

Eğer φ*n*, *n*ci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

{\displaystyle \tan \left(\varphi \_{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}
Bu nedenle, bir sonraki *n* üçgenin φ*n* açısının büyümesi:{\displaystyle \varphi \_{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}

olur. İlk *k* üçgenin açılarının toplamına, *k*ıncı üçgen için toplam açı φ(*k*) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan *c*2 ve *k*nin karekökü ile orantılı olarak büyür:{\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum \_{n=1}^{k}\varphi \_{n}=2{\sqrt {k}}+c\_{2}(k)}

burada

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }c\_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }'dir.
(OEIS A105459).

Bir üçgen veya spiral kesiti
#### Yarıçap

Sarmal yarıçapının belirli bir *n* üçgeninde büyümesi;

{\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}'dir.
### Arşimet sarmalı

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar. Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit π'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla π'ye yaklaşır.

Aşağıda, π'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

| Sargı No.: | Hesaplanan ortalama sargı mesafesi | π ile karşılaştırıldığında ortalama sargı mesafesinin doğruluğu |
| --- | --- | --- |
| 2 | 3.1592037 | %99.44255 |
| 3 | 3.1443455 | %99.91245 |
| 4 | 3.14428 | %99.91453 |
| 5 | 3.142395 | %99.97447 |
| → ∞ | → π | → %100 |

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin π'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.

Sürekli eğri
------------

Davis'in orijinden zıt yönde genişleme dahil (negatif düğüm sayıları) Theodorus Sarmalının çözümsel uzanımı.
Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek Davis 2001, ss. 37–38'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader ve Arieh Iserles (ek olarak Davis 2001) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

{\displaystyle T(x)=\prod \_{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}
Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, Gronau 2004'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

{\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}
başlangıç koşulu {\displaystyle f(0)=1,} ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, Heuvers, Moak & Boursaw 2000'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı Waldvogel 2009'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca {\displaystyle r\_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}} kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip {\displaystyle n} düğümleri numaralandırılmıştır.
Koordinat başlangıcındaki {\displaystyle O} kesikli çizgi ile gösterilen çember, {\displaystyle O} noktasındaki eğrilik çemberidir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Fermat sarmalı
* Spiraller listesi

Notlar
------

1. 1 2 3 4 5  
Hahn, Harry K. "The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral". arXiv:0712.2184 $2.
2. ↑  
Nahin, Paul J. (1998), *An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One]*, Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1
3. ↑  
Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), *The Theaetetus of Plato*, J. Maclehose, ss. 86-87.
4. 1 2  Long, Kate. "A Lesson on The Root Spiral". 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2008.
5. ↑  Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, *Math.-Phys. Semesterber.* 6 (1958), ss. 148-152.
6. ↑  
Hahn, Harry K. (2008). "The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral". arXiv:0801.4422 $2.
7. ↑  Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (tez), 1990, Brown University

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Davis, P. J. (2001), *Spirals from Theodorus to Chaos*, A K Peters/CRC Press
* Gronau, Detlef (March 2004), "The Spiral of Theodorus", *The American Mathematical Monthly*, Mathematical Association of America, **111** (3), ss. 230-237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
* Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), "The functional equation of the square root spiral", T. M. Rassias (Ed.), *Functional Equations and Inequalities*, ss. 111-117
* Waldvogel, Jörg (2009), *Analytic Continuation of the Theodorus Spiral* (PDF), 23 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 11 Eylül 2020

| * g
* t
* d
Yunan matematiği |
| --- |
| Matematikçiler (Zaman Çizelgesi) | 
* Anaksagoras
* Antemius
* Apollonius
* Arhitas
* Aristeus
* Aristarkus
* Arşimet
* Autolikus
* Bion
* Boethius
* Brison
* Kallippus
* Karpus
* Kleomedes
* Konon
* Ktesibius
* Demokritos
* Dikaearhus
* Diokles
* Diofantos
* Dinostratus
* Dionisodoros
* Domninus
* Elealı Zenon
* Eratosthenes
* Eudemus
* Eudoksus
* Eutokius
* Geminus
* Heliodorus
* İskenderiyeli Heron
* Hrisippos
* Hipparkos
* Hippasus
* Hippias
* Hipokrat
* Hipatia
* Hipsikles
* İsidoros
* Matematikçi Leo
* Leon
* Marinus
* Melissa
* Menaihmos
* Menelaus
* Metrodorus
* Nikomahos
* Nikomedes
* Nikoteles
* Oenopides
* Öklid
* Pappus
* Perseus
* Filolaos
* Filon
* Laodikyalı Filonides
* Porfirios
* Poseidonius
* Proklos
* Batlamyus
* Pisagor
* Serenus
* Simplikios
* Sosigenes
* Sporus
* Thales
* Theaetetus
* Theano
* Teodorus
* Theodosius
* İskenderiyeli Theon
* Smirnalı Theon
* Timaridas
* Ksenokrates
* Sidonlu Zeno
* Zenodorus

 |
| Yapıtlar | 
* Almagest
* Arşimet Parşömeni
* Arithmetika
* Konikler (Apollonius)
* Katoptrik (Yansımalar)
* Data (Öklid)
* Elemanlar (Öklid)
* Bir Çemberin Ölçümü
* Konikler ve Sferoidler Üzerine
* Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarchus)
* Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparchus)
* Hareketli Küre Üzerine (Autolycus)
* Öklid'in Optiği
* Sarmallar Üzerine
* Küre ve Silindir Üzerine
* Ostomachion (Syntomachion)
* Planisphaerium
* Sphaerics
* Parabolün Dörtgenleştirilmesi
* Kum Sayacı
* Sonsuz Küçükler Hesabı

 |
| Merkezler | Platon Akademisi **·**  Kirene **·**  İskenderiye Kütüphanesi |
| Etkilendikleri | Babil matematiği **·**  Eski Mısır matematiği |
| Etkiledikleri | Avrupa matematiği **·**  Hint matematiği **·**  Orta Çağ İslam matematiği |
| Problemler | Apollonius problemi **·**  Daireyi kareyle çevreleme **·**  Küpü iki katına çıkarma **·**  Açıyı üçe bölme |
| Kavramlar/Tanımlar | 
* Apollonius çemberi
* Diyofantus denklemi
* Çevrel çember
* Eşölçülebilirlik
* Orantılılık ilkesi
* Altın oran
* Yunan rakamları
* Bir üçgenin iç ve dış çemberleri
* Tükenme yöntemi
* Paralellik postülatı
* Platonik katılar
* Hipokrat ayı
* Hippias kuadratiksi
* Düzgün çokgen
* Cetvel ve pergelle yapılan çizimler
* Üçgen merkezi

 |
| Bulgular | 
* Açıortay teoremi
* Dış açı teoremi
* Öklid algoritması
* Öklid teoremi
* Geometrik ortalama teoremi
* Yunan geometrik cebiri
* Menteşe teoremi
* Çevre açı teoremi
* Kesişme teoremi
* Pons asinorum
* Pisagor teoremi
* Thales teoremi
* Gnomon teoremi
* Apollonius teoremi
* Aristarkus eşitsizliği
* Crossbar (Pasch) teoremi
* Heron formülü
* İrrasyonel sayılar
* Menelaus teoremi
* Pappus'un alan teoremi
* Batlamyus eşitsizliği
* Batlamyus kirişler tablosu
* Batlamyus teoremi
* Theodorus sarmalı

 |
| Antik Yunan matematikçilerinin zaman çizelgesi |

| * g
* t
* d
Spiraller, eğriler ve helezon |
| --- |
| Eğriler | 
* Cebirsel eğri
* Eğrilik
* Eğriler Galerisi
* Eğrilerin listesi
* Eğri ile ilgili konular listesi

 |  |
| Helezonlar | 
* Helezon açısı
* Helezonal anten
* Boerdijk–Coxeter helezonu
* Yarıhelezon
* Helezonal simetri
* Üçlü helezon

 |
| Spiraller (Sarmallar) | 
* Arşimet sarmalı
* Cotes spirali
	+ Epispiral
	+ Hiperbolik spiral
	+ Poinsot spiralleri
* Doyle spirali
* Euler spirali
* Fermat spirali
* Altın sarmal
* İkili sarmal
* İçeri kıvrık (İnvolut)
* Spiraller listesi
* Logaritmik spiral
* *Spiraller Üzerine (Arşimet)*
* Theodorus sarmalı

 |