Riemann toplamının dört farklı yöntemi ile eğri altındaki alanın yaklaşık olarak hesaplanması. **Sağ**  ve **sol** yöntemleri, her bir alt aralık içindeki sol ve sağ sınır noktalarını kullanır. **Maksimum** ve **minimum** yöntemleri ise her bir alt aralık içindeki en büyük ve en küçük değerli sınır noktalarını kullanır. Toplamların değerleri, alt aralıklar sol-üstten sağ-alta yarılandıkça yakınsamaya başlar.
Matematikte, **Riemann toplamı** genellikle fonksiyon eğrisinin altında kalan bölgenin yaklaşık alanıdır. Bu toplama, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın soyadı verilmiştir.

Toplama işlemi, bölgenin farklı şekillere bölünüp (dikdörtgenler ya da yamuklar) birlikte, fonksiyonun ölçülen bölgesine benzer bir alan çıkartılması, ardından da her bir şeklin alanının hesaplanması ve son olarak bütün bu küçük alanların toplanmasından oluşur. Böyle bir uzlaşım belirli integrallerin sayısal hesaplanmasında kullanılabilir. Ayrıca hesabın temel teoremi kapalı tür integral yazımına izin vermediği zaman da kullanılabilir.

Küçük şekillerle doldurulmuş bölgenin alanı tam olarak, ölçülmek istenen alana eşit olmadığı için Riemann toplamı gerçek alandan daha farklı çıkar. Bu hata, bölgeyi daha da küçük şekillere bölmekle giderilebilir. Şekiller küçüldükçe toplam, Riemann integraline yaklaşır.

Tanım
-----

*f* : *D* → **R** fonksiyonunu reel sayılar, **R**, kümesinin *D* altkümesinde tanımlayalım. *I* = [*a*, *b*] ise *D* altkümesinde tanımlı kapalı bir aralık olsun ve 

{\displaystyle P=\left\{[x\_{0},x\_{1}],[x\_{1},x\_{2}],\dots ,[x\_{n-1},x\_{n}]\right\},}
olarak *I* aralığının bir kesiti olsun, ve de

{\displaystyle a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\cdots <x\_{n}=b.} olsun.
*f* fonksiyonun *I* altkümesindeki *P* kesiti **Riemann toplamı** şöyle tanımlanır:

{\displaystyle S=\sum \_{i=1}^{n}f(x\_{i}^{\*})(x\_{i}-x\_{i-1}),\quad x\_{i-1}\leq x\_{i}^{\*}\leq x\_{i}.}
Burada şuna dikkat edilmelidir ki, {\displaystyle x\_{i}^{\*}} değeri, {\displaystyle [x\_{i-1},x\_{i}]} aralığında isteğe bağlı bir değerdir, yani herhangi bir *f* fonksiyonu için farklı Riemann toplamları üretilebilir, yeter ki {\displaystyle x\_{i-1}\leq x\_{i}^{\*}\leq x\_{i}} şartı sağlansın.

**Örnek:** {\displaystyle x\_{i}^{\*}}nin değişik seçimleri, farklı Riemann toplamları verir:

* Eğer, bütün *i* değerleri için {\displaystyle x\_{i}^{\*}=x\_{i-1}} ise, o zaman *S* **sol Riemann toplamı** olur.
* Eğer, bütün *i* değerleri için {\displaystyle x\_{i}^{\*}=x\_{i}} ise, o zaman *S* **sağ Riemann toplamı** olur.
* Eğer, bütün *i* değerleri için {\displaystyle x\_{i}^{\*}={\tfrac {1}{2}}(x\_{i}+x\_{i-1})} ise, o zaman da *S* **orta değer Riemann toplamı** olur.
* Sol ve sağ Riemann toplamlarının ortalaması ise **yamuklu toplama** olur.
* Eğer şöyle bir ifade verilmişse

{\displaystyle S=\sum \_{i=1}^{n}v\_{i}(x\_{i}-x\_{i-1}),}
burada {\displaystyle v\_{i}}, {\displaystyle [x\_{i-1},x\_{i}]} aralığında *f* fonksiyonunun supremum noktasıysa , o zaman *S* **üstten Riemann toplamı** olur.
* Benzer şekilde, eğer {\displaystyle v\_{i}}, {\displaystyle [x\_{i-1},x\_{i}]} aralığında *f* fonksiyonunun infimum noktasıysa, o zaman da *S* **alttan Riemann toplamı** olur.

Verilen bir kesitteki herhangi bir Riemann toplamı (yani, {\displaystyle x\_{i}^{\*}} için {\displaystyle x\_{i-1}} ve x\_i aralığındaki istenilen değeri) üstten ve alttan Rieman toplamlarının arasında kalır. *Riemann integrallenmesi* için kesit daraldıkça alttan ve üstten Riemann toplamlarının birbirine hep yaklaşması gerekir. Bu bilgi sayısal integral hesabı için kullanılabilir.

Yöntemler
---------

*x*3 fonksiyonunun [0,2] aralığındaki Riemann toplama yöntemleri. Dört kesit kullanılarak yapılmıştır.SolSağOrtaYamukluSimpson yöntemi ile
Riemann toplamının dört ana yöntemi, eşit kesit boyutları kullanılarak daha iyi anlaşılabilir. Yani, [*a*, *b*] aralığı *n* alt aralığa bölünür ve her bir aralığın uzunluğu

{\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}
bağıntısıyla bulunur.
Kesitlerdeki noktalar da

{\displaystyle a,a+\Delta x,a+2\Delta x,\ldots ,a+(n-2)\Delta x,a+(n-1)\Delta x,b.}
ile gösterilir.

### Sol Riemann Toplamı

Sol toplam, dikdörtgenlerin sol uç noktalarının kullanılması ve Δ*x* taban uzunluğu ile *f*(*a* + *i*Δ*x*) dikdörtgen uzunluğu kullanılmasıyla hesaplanır. Bunu *i* = 0, 1, ... *n* − 1 için yapıp, çıkan alanları toplamak şu sonucu verir:

{\displaystyle \Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\cdots +f(b-\Delta x)\right].}
Eğer *f* fonksiyonu bu aralıkta monoton azalan bir şekildeyse sol Riemann toplamı gerçek değerden fazla bir sonuca götürür, fakat monoton artan ise gerçek değerden daha düşük bir sonuç çıkartır.

### Sağ Riemann Toplamı

Burada *f* fonksiyonun sağ sınır noktaları kullanılır. Bu da tabanı Δ*x* olan ve yüksekliği *f*(*a* + *i*Δ*x*) olan dikdörtgenler verir. Bu işlemi bütün *i* = 1, ... *n* değerleri için yapmak ve çıkan sonuçları toplamak şunu verir

{\displaystyle \Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}
Eğer *f* fonksiyonu monoton azalansa sağ Riemann toplamı gerçek değerden daha düşük bir sonuç verir, eğer monoton artansa da gerçek değerden daha büyük bir değer verir.
Bu formüldeki hata şöyle bulunur

{\displaystyle \left\vert \int \_{a}^{b}f(x)\,dx-A\_{\mathrm {sag} }\right\vert \leq {\frac {M\_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}
burada {\displaystyle M\_{1}}, {\displaystyle f^{\prime }(x)} fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

### Orta Değer Riemann Toplamı

*f* fonksiyonunu, aralığın orta noktalarını kullanarak, boyları, birinci aralık için *f*(*a* + *Q*/2), ikincisi için *f*(*a* + 3*Q*/2) olan ve *f*(*b* − *Q*/2) kadar giden dikdörtgenler verir. Bunların alan toplamları şöyledir

{\displaystyle Q\left[f(a+{\tfrac {Q}{2}})+f(a+{\tfrac {3Q}{2}})+\cdots +f(b-{\tfrac {Q}{2}})\right].}
Bu formülün hatası şöyledir

{\displaystyle \left\vert \int \_{a}^{b}f(x)\,dx-A\_{\mathrm {orta} }\right\vert \leq {\frac {M\_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}
burada {\displaystyle M\_{2}}, {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)} fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

### Yamuklu Toplama Kuralı

Bu yöntemde ise, *f* fonksiyonunun aralıktaki değerleri sol ve sağ sınır noktalarının ortalamasına denkleştirilir. Yukarıdakilerle aynı olarak, yamuk için alan formülünü kullanarak

{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}h(b\_{1}+b\_{2})}
*b*1, *b*2 paralel kenarlı ve *h* yükseklikli yamukların alanını hesaplayıp şu formülle bütün bu alanları toplamak mümkün olur

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Q\left[f(a)+2f(a+Q)+2f(a+2Q)+2f(a+3Q)+\cdots +f(b)\right].}
Bu formüldeki hata şöyle hesaplanır

{\displaystyle \left\vert \int \_{a}^{b}f(x)\,dx-A\_{\mathrm {yamuk} }\right\vert \leq {\frac {M\_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}
burada da {\displaystyle M\_{2}}, {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)} fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuk yöntemiyle hesaplanan olası alan değeri sağ ve sol toplamların ortalamasına eşittir.

Örnek
-----

*y* = *x*2 fonksiyonun 0 ile 2 aralığındaki şematik bir grafiği.
*y* = *x*2 foksiyonunun 0 ile 2 aralığındaki Riemann toplam değerleri from 0 to 2. Dikdörtgenlerin saysısı arttıkça sonuç tam olarak 8/3 değerine yaklaşmaktadır.
Örnek olarak, *y* = *x*2 fonksiyonunun 0 ile 2 arasındaki eğri altında kalan alanı Riemann toplamı kullanılarak algoritmik bir şekilde hesaplanabilir.

İlk önce, [0, 2] aralığı *n* parçaya bölünür, ve her birinin genişliği {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}} kadardır; bunlar Riemann dikdörtgenlerinin (bu noktadan sonra "kutu" denilecek) enleridir. Sağ Riemann toplamı kullanılacağı için, kutuların x koordinatları dizisi {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}} şeklinde olur. Aynı şekilde, kutuların uzunluk dizisi de {\displaystyle x\_{1}^{2},x\_{2}^{2},\ldots ,x\_{n}^{2}} olur. {\displaystyle x\_{i}={\tfrac {2i}{n}}}, {\displaystyle x\_{n}=2} eşitliklerini göz önünde bulundurmak önemlidir.

Her kutunun alanı {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x\_{i}^{2}} olur ve de *n*inci sağ Riemann toplamı: 

{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {2}{n}}\times \left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\cdots +i^{2}+\cdots +n^{2}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\end{aligned}}}
olur.

Eğer *n* → ∞ iken, yukarıdaki toplama formülünün limiti alınırsa, artan kutuların alan toplamı değerinin, grafiğin altında kalan bölgenin gerçek alanına yaklaştığı fark edilir. Dolayısıyla:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S=\lim \_{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}}
Bu yöntem daha farklı yollarla hesaplanan belirli integral ile de uyuşmaktadır:

{\displaystyle \int \_{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}}

Animasyonlar
------------

* Sol ToplamSol Toplam
* Sağ ToplamSağ Toplam
* Orta Değer ToplamıOrta Değer Toplamı
* y
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}}
  
 fonksiyonu için{\displaystyle y=x^{2}} fonksiyonu için

Daha Fazlası
------------

* Riemann integrali
* Riemann–Stieltjes integrali
* Lebesgue integrali
* Simpson Yöntemi
* Euler yöntemi and ortanokta yöntemi, diferansiyel denklem çözümüyle alakalı bazı yöntemler.

Kaynakça
--------

* Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), *Calculus and Analytic Geometry (9th ed.)*, Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7

Dış bağlantılar
---------------

* Riemann toplamlarının yakınsamasını gösteren bir simülasyon19 Şubat 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

| * g
* t
* d
Bernhard Riemann |
| --- |
| 
* Cauchy-Riemann denklemleri
* Genelleştirilmiş Riemann hipotezi
* Büyük Riemann hipotezi
* Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi
* Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi
* Yerel zeta fonksiyonu
* Ölçülebilir Riemann eşleme teoremi
* Riemann (krater)
* Riemann Xi fonksiyonu
* Riemann eğrilik tensörü
* Riemann hipotezi
* Riemann integrali
* Riemann değişmezi
* Riemann eşleme teoremi
* Riemann formu
* Riemann problemi
* Riemann seri teoremi
* Riemann çözücü
* Riemann küresi
* Riemann toplamı
* Riemann yüzeyi
* Riemann zeta fonksiyonu
* Riemann diferansiyel denklemi
* Riemann minimal yüzeyi
* Riemann çemberi
* Bir yüzey üzerinde Riemann bağlantısı
* Riemann geometrisi
* Riemann-Hilbert yazışması
* Riemann-Hilbert problemleri
* Riemann-Lebesgue lemması
* Riemann-Liouville integrali
* Riemann-Roch teoremi
* Düzgün manifoldlar için Riemann-Roch teoremi
* Riemann-Siegel formülü
* Riemann-Siegel teta fonksiyonu
* Riemann-Silberstein vektörü
* Riemann-Stieltjes integrali
* Riemann-von Mangoldt formülü

 |  |
| Kategori **Kategori** \* Liste **Liste** |