{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}
Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan **Euler dörtgen teoremi** veya Euler'in **dörtgenler yasası,** dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen **Euler-Pisagor teoremi** olarak adlandırılır.

Teorem ve özel durumlar
-----------------------

Kenarları {\displaystyle a,b,c,d}, köşegenleri {\displaystyle e} ve {\displaystyle f} ve iki köşegenin orta noktalarını birleştiren doğru parçası {\displaystyle g} olan olan bir dışbükey dörtgen için aşağıdaki denklem geçerlidir:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}
Dörtgen bir paralelkenar ise, o zaman köşegenlerin orta noktaları çakışır, böylece bağlantı doğru parçası {\displaystyle g}'nin uzunluğu *0* olur. Ayrıca paralel kenarlar eşit uzunluktadır, bu nedenle Euler teoremi;

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}
haline indirgenir, ki bu da paralelkenar yasasıdır.

Dörtgen bir dikdörtgen ise denklem daha da basitleşir, çünkü artık iki köşegen de eşit uzunluktadır:

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}
Denklemin her iki tarafını 2 ile bölüp sadeleştirmek Euler-Pisagor teoremini verir:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}
Başka bir deyişle, dörtgenin bir dikdörtgen olması durumunda, dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkisi Pisagor teoremi ile tanımlanır.

Diğer formülasyon ve genişlemeler
---------------------------------

Paralelkenar ile Euler teoremi
Euler başlangıçta yukarıdaki teoremi, ek bir noktanın eklenmesini gerektiren ancak daha yapısal kavrayış sağlayan biraz farklı bir teoremden doğal olarak türetmiştir.

Verilen bir {\displaystyle ABCD} dışbükey dörtgeni için Euler, {\displaystyle ABED} bir paralelkenar oluşturacak şekilde ilave bir {\displaystyle E} noktası getirdi ve böylece aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

{\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}
Paralelkenarın parçası olmayan dörtgenin {\displaystyle C} noktası ile ilave {\displaystyle E} noktası arasındaki {\displaystyle |CE|} uzunluğu, dörtgenin paralelkenardan ne kadar saptığını ölçmek olarak düşünülebilir ve {\displaystyle |CE|^{2}}, paralelkenar yasasının orijinal denklemine eklenmesi gereken düzeltme terimidir.

{\displaystyle M}, {\displaystyle AC}'nin orta noktası olmak üzere {\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}'dir. N, {\displaystyle BD}'nin orta noktası olduğunda aynı zamanda {\displaystyle AE}'nin de orta noktası olur, {\displaystyle AE} ve{\displaystyle BD}, her ikisi de {\displaystyle ABED} paralelkenarının köşegenidir. Bu {\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2} eşitliğini verir, ve dolayısıyla{\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}'dir. Bu nedenle, Kesişme teoremi|nden (ve onun tersinden) şu sonuca varır: {\displaystyle CE} ve {\displaystyle NM} paraleldir ve{\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}, bu da Euler teoremini verir.

Euler teoremi, çaprazlanmış ve düzlemsel olmayanları içeren daha büyük bir dörtgenler kümesine genişletilebilir. Basitçe dört rastgele noktadan oluşan *genelleştirilmiş dörtgenler* için geçerlidir. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bir döngü çizgesi oluşturacak şekilde kenarlarla birbirine bağlanır.

Notlar
------

1. ↑  Lokenath Debnath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, ss. 105-107, ISBN 9781848165267
2. 1 2  Deanna Haunsperger & Stephen Kennedy (2006), The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, MAA, ss. 137-139, ISBN 9780883855553
3. ↑  Geoffrey A. Kandall (Kasım 2002), "*Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals*" (PDF), *The College Mathematics Journal*, **33** (5), ss. 403-404, JSTOR 1559015, 18 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 18 Ağustos 2021

Kaynakça
--------

* Deanna Haunsperger & Stephen Kennedy (2006), The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, MAA, ss. 137-139, ISBN 9780883855553
* Lokenath Debnath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, ss. 105-107, ISBN 9781848165267
* C. Edward Sandifer (2007), How Euler Did It, MAA, ss. 33-36, ISBN 9780883855638
* Geoffrey A. Kandall (Kasım 2002), "*Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals*" (PDF), *College Mathematics Journal*, **33** (5), ss. 403-404, JSTOR 1559015, 18 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 18 Ağustos 2021
* Dietmar Herrmann (2013), Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme ve Lösungen, Springer, s. 418, ISBN 9783642376122

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Quadrilateral* (MathWorld)

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Ayoub, A. B. (2002), "Euler's quadrilateral theorem and its connection to Apollonius theorem", *Mathematics and Computer Education*, **36** (3), s. 227
* Josefsson, M. (2017), "Properties of bisect-diagonal quadrilaterals" (PDF), *The Mathematical Gazette*, **101** (551), s. 214, 28 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 25 Ekim 2020

| * g
* t
* d
Leonhard Euler |
| --- |
| Çalışmalar | 
* *Mechanica*
* *Introductio in analysin infinitorum*
* *Institutiones calculi differentialis*
* *Institutiones calculi integralis*
* *Letters to a German Princess*

 |  |
| Kavramlar ve teoriler | 
* Euler-Lagrange denklemi
* Euler-Lotka denklemi
* Euler-Maclaurin formülü
* Euler-Maruyama yöntemi
* Euler-Mascheroni sabiti
* Euler-Poisson-Darboux denklemi
* Euler-Rodrigues formülü
* Euler-Tricomi denklemi
* Euler sürekli kesirler formülü
* Euler kritik yükü
* Euler formülü
* Euler dört-kare özdeşliği
* Euler özdeşliği
* Euler pompa ve tribün denklemi
* Euler dönme teoremi
* Euler kuvvetler toplamı varsayımı
* Euler teoremi
* Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği)
* Euler fonksiyonu
* Euler yöntemi
* Euler sayıları
* Euler sayısı (fizik)
* Euler-Bernoulli kiriş teorisi
* Euler teoremi (geometri)
* Euler spirali
* Euler-Fuss denklemi
* Euler dörtgen teoremi

 |
| Diğer | 
* Aynı adı taşıyan
* Euler Committee
* Johann Euler
* Johann Bernoulli (Bernoulli ailesi)
* Georg Gsell
* Merian ailesi
* Basel Okulu (matematik)

 |