Lineer cebirde, **özdeğer ayrışımı** ya da **eigen ayrışımı**, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Tanım
-----

n adet doğrusal olarak bağımsız qi (*i* = 1, ... *n*) özvektörleri olan *n* × *n* boyutlu **A** kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}
Burada **Q**, i numaralı sütunu **A**'nın qi özvektörü olan *n* × *n* boyutlu kare matristir. **Λ** ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (*Λii* = *λi*) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]} ayrıştırılamaz.

Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen **Q**'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki **Q**−1 ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}}
### Örnek

2 × 2 boyutlu **A** matrisi

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}
tekil olmayan **B** matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}
Herhangi bir köşegen matrisi {\displaystyle C=\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]} için, {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C} } özdeşliği:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}
İki taraf da **B** ile çarpılırsa:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}
Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}
Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:

{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}
Vektörleri isimlendirirsek:

{\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}
iki vektör denklemi elde ederiz:

{\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}
İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }
burada λ iki özdeğeri (x, y), **u** ise iki vektörü (*a*→, *b*→) içerir.

*λ***u**'u sola kaydırıp **u**'yu ayırırsak:

{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }
**B** tekil olmadığı için **u** sıfırdan büyüktür. Yani,

{\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}
Böylece,

{\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}
**A** matrisinin özdeğerlerini verir (*λ* = 1, *λ* = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]} olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}
ve bu denklemi çözersek:

{\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}
**B**'yi buluruz

{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }

Kaynakça
--------

1. ↑  Zhaoyang, Li (2006). *Matris Ayrışımı* (PDF) (Yüksek lisans). İstanbul: İstanbul Üniversitesi. Erişim tarihi: 26 Şubat 2021.
2. ↑  Uçkan, Taner; Cengiz Hark; Ebubekir Seyyarer; Ali Karcı (24 Aralık 2019). "Ağırlıklandırılmış Çizgelerde Tf-Idf ve Eigen Ayrışımı Kullanarak Metin Sınıflandırma". *Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi*. **8** (4). ss. 1349-1362. ISSN 2147-3129.