**Sonlu farklar yöntemi** bir sayısal yöntemdir. Sonlu fark denklemlerinden faydalanır. Bu denklemler ile diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerine yaklaşılır.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan sayısal yöntemler, diferansiyel denklemler yerine cebirsel denklemlerin koyulması esasına dayanır. **Sonlu fark yöntemi**nde bu işlem, türevlerin yerine farkların koyulmasıyla gerçekleştirilir.

Taylor polinomundan türetilişi
------------------------------

{\displaystyle f(x\_{0}+h)=f(x\_{0})+{\frac {f'(x\_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x\_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x\_{0})}{n!}}h^{n}+R\_{n}(x),}
*n*!, *n'*nin faktöriyelini ve *R**n*(*x*) de n. dereceden Taylor polinomu ile asıl fonksiyonun değerleri arasındaki farkı gösteren kalan terimidir. Örnek olarak *f* fonksiyonunun ilk türevini ele alırsak,

{\displaystyle f(x\_{0}+h)=f(x\_{0})+f'(x\_{0})h+R\_{1}(x),}
x0 yerine a ve (x-a) yerine h yazarsak,

{\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R\_{1}(x),}
Tüm terimleri *h* ile bölersek,

{\displaystyle {f(a+h) \over h}={f(a) \over h}+f'(a)+{R\_{1}(x) \over h}}
*f'(a)'*yı yalnız bırakırsak,

{\displaystyle f'(a)={f(a+h)-f(a) \over h}-{R\_{1}(x) \over h}}
Kalan terim {\displaystyle R\_{1}(x)} göreceli olarak ufak olduğu için aşağıdaki yaklaşıma ulaşırız:

{\displaystyle f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}.}

Kesinlik ve mertebe
-------------------

Yöntemin oluşturduğu hata, söz konusu denklemin gerçek analitik çözümü ile bu gerçek çözüme yapılan yaklaşma (yaklaşık olarak eşit) arasındaki farka eşittir. Sonlu farklar yöntemindeki temel iki hata: yuvarlama hatası ve kesme hatasıdır. Yuvarlama hatası, bilgisayarın ondalık değerleri bir basamaktan sonra yukarı yuvarlamasından oluşur. Yuvarlama hatasına kesinliğin azalması da denebilir. Kesme hatası da, sonlu fark denkleminin gerçek çözümü ile gerçek çözüme yapılan yaklaşım arasındaki farka eşittir (Burada, yuvarlama hatası sıfır kabul edilir.)

Sonlu farklar yöntemi bir fonksiyonun bir ağ üzerinde ayrıklaştırılmasına dayanır.
Sonlu farklar yöntemini bir problemi çözmede kullanmak için, önce problemin tanım kümesini ayrıklaştırmak gerekir. Ayrıklaştırma, genelde, tanım kümesini eşit parçalara bölerek yapılır (bir örnek için sağdaki resim).

Ayrıca bakınız
--------------

* Zamanda sonlu farklar yöntemi

| * g
* t
* d
Diferansiyel denklemler |
| --- |
| Sınıflandırma | 

|  |  |
| --- | --- |
| İşlemler | 
* Diferansiyel operatörü
* Türevleme için gösterim
* Adi
* Kısmi
* Diferansiyel-cebirsel
* İntegro-diferansiyel
* Kesirli
* Doğrusal
* Doğrusal olmayan
* Holonomik

 |
| Değişkenlerin nitelikleri | 
* Bağımlı ve bağımsız değişkenler
* |Homojen
* Homojen olmayan
* İç içe geçmiş (Coupled)
* Ayrışmış (Decoupled)
* Mertebe (Order)
* Derece (Degree)
* Otonom
* Tam diferansiyel denklem
* Karmaşık diferansiyel denklem

 |
| Süreçlerle ilişkisi | 
* Fark (ayrık analog)
* Stokastik
	+ Stokastik kısmi
* Gecikme

 |

 |
| Çözümler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Çözüm konuları | 
* Picard–Lindelöf teoremi (varlık ve teklik)
* Wronskiyen
* Faz portresi
* Faz uzayı
* Lyapunov kararlılığı
* Asimptotik kararlılık
* Üstel kararlılık
* Yakınsama oranı
* Seri çözümleri
* İntegral çözümleri
* Numerik entegrasyon
* Dirac delta fonksiyonu

 |
| Çözüm yöntemleri | 
* Inspection
* Değişkenlerin ayrılması
* Belirsiz katsayılar metodu
* Parametrelerin değişimi
* İntegralleme çarpanı
* İntegral dönüşümleri|
* Euler yöntemi
* Sonlu farklar yöntemi
* Crank-Nicolson yöntemi
* Runge-Kutta yöntemi
* Sonlu elemanlar yöntemi
* Sonlu hacim yöntemi
* Galerkin yöntemi
* Pertürbasyon teorisi

 |

 |
| Uygulamalar | 
* Adlandırılmış diferansiyel denklemler listesi

 |
| Matematikçiler | 
* Isaac Newton
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Leonhard Euler
* Jacob Bernoulli
* Émile Picard
* Józef Maria Hoene-Wroński
* Ernst Lindelöf
* Rudolf Lipschitz
* Joseph-Louis Lagrange
* Augustin-Louis Cauchy
* John Crank
* Phyllis Nicolson
* Carl David Tolmé Runge
* Martin Kutta
* Sofya Kovalevskaya

 |


|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNF: cb13564043x (data)
* GND: 4194626-1
* LCCN: sh85048348
* NDL: 00569934
* NLI: 987007531228905171

 |

Kaynakça
--------

1. ↑  *Isı ve Kütle Transferi Yunus A. Çengel - Afshin J. Ghajar*. Palme Yayınevi. 1 Ocak 2021. s. s.299.  `|erişim-tarihi=` kullanmak için `|url=` gerekiyor (yardım)