Matematik'te bir **Lie eşcebri** ikili yapıda bir Lie cebridir.

sonlu boyutlular içinde, burada ikili nesnelerdir: Lie eşcebrinin yapısı bir Lie cebri doğasında **ikili vektör uzayı**dır,ve terside var.

Tanım
-----

Diyelimki *E* bir vektör uzayı üzerinde bir *k* alanı donanımı ile bir doğrusal gönderim {\displaystyle d\colon E\to E\wedge E} olsun *E* den *E* ile kendisinin dış çarpımı'nadır, bunu genişletmekte mümkündür *d* bir kademe türevi tekliğine (bunun anlamı,herhangi *a*, *b* için ∈ *E* homojen elemanılarıdır, {\displaystyle d(a\wedge b)=(da)\wedge b+(-1)^{\operatorname {deg} a}a\wedge (db)}) *E* dış cebiri'nin derecesi 1 olsun :

{\displaystyle d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.}
öyleyse (*E*, *d*) çifti eğer *d*2 = 0 ise bir Lie eşcebri olduğu söylenir,
örneğin eğer dış cebri'nin kademeli bileşenleri ile türevleri {\displaystyle (\bigwedge ^{\*}E,d)}
bir eşzincir karmaşık formudur:

{\displaystyle E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge ^{3}E\rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots }
### De Rham karmaşık İlişkisi

vektör alanları'nın dış cebri olarak (ve tensör cebri) sadece diferansiyel formların de Rham karmaşığı olarak bir manifold formun bir Lie eşcebri(*K* baz alanı üzerindedir. Ayrıca, vektör alanları ve diferansiyel formlar arasında bir eşleştirme vardır.
ancak, durum ustacadır: Lie braketi düzgün fonksiyon {\displaystyle C^{\infty }(M)} un üzerindeki cebir doğrusal değildir (hatta Lie türevidir), veya dış türev'i değildir: {\displaystyle d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)} (bunun bir türevidir, fonksiyonları üzerinde doğrusal değil): bu tensör değildir. Onlar fonksiyonları üzerinde doğrusal olmayan, ama tutarlı bir şekilde davranırlar, Lie cebir ve Lie eşcebri kavramı basitçe yakalanamaz .
Daha fazla, de Rham karmaşığı içinde, derivasyon için tanımlanan sadece{\displaystyle \Omega ^{1}\to \Omega ^{2}}, aynı zamanda {\displaystyle C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)} için tanımlanmıştır.

Lie cebri olarak ikili yapı
---------------------------

Bir vektör uzayı üzerinde bir Lie cebir yapı haritası {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} çarpık-simetrik'tir, ve Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.Eşdeğer bir harita {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} bu Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.

Ikili, bir vektör uzayı diyelim ki *E* üzerinde bir Lie eşcebri yapısı doğrusal bir harita {\displaystyle d\colon E\to E\otimes E} bu antisimetriktir (Bu bunu karşılamak demektir {\displaystyle \tau \circ d=-d}, burada {\displaystyle \tau } kurallı çevirmedir{\displaystyle E\otimes E\to E\otimes E}) ve *eşdöngü durumu* denmesi uygundur (ayrıca *eş-Leibniz kuralı* olarak da bilinir)

{\displaystyle \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d}.
Antisimetri durumuna ikili, harita {\displaystyle d\colon E\to E\otimes E} ayrıca bir harita olarak yazılabilir {\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}.

bir Lie cebrinin Lie braketi çiftinin {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ürün bir haritası (eşdeğişmeli)

{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\*}\colon {\mathfrak {g}}^{\*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{\*}\cong {\mathfrak {g}}^{\*}\wedge {\mathfrak {g}}^{\*}}
burada izomorfizm {\displaystyle \cong } sonlu boyut içinde tutunur;Lie eşçarpımı'nin ikilisi için ikilidir. Bu konu içinde,Jacobi özdeşliği eşdöngü durumuna karşı gelir.

Daha açıkçası, diyelim ki *E* karakteristik ne *2* ne de *3* bir alan üzerinde bir Lie eşcebri olsun.Çift alan *E*\* ile tanımlanan bir braket yapısını taşır

α([*x*, *y*]) = *d*α(*x*∧*y*), hepsi için α ∈ *E* ve*x*,*y* ∈ *E*\*.
Bizim gösterdiğimiz bu bağlantı *E*\* ile bir Lie braketidir.
Jacobi özdeşliği ile kontrol etmek için yeterlidir .Herhangi *x*, *y*, *z* ∈ *E*\* ve α ∈ *E* için 

{\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),}
burada ikinci adım eşlenikler arasında kama çarpımı ile bir kama çarpımı çifti, standart ayrımı aşağıdadır. 
sonucu şudur

{\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).}
dolayısıyla *d*2 = 0, bu aşağıdadır

{\displaystyle \alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0}, için herhangi α, *x*, *y*, ve *z*.
Böylece, çift ikilik izomorfizmi (daha doğrusu, çift ikilikli monomorfizm tarafından, dolayı sonlu boyutlu vektör uzayına gerek olmayabilir) tarafından, Jacobi özdeşliğine uyar.

özel olarak,unutmayın eşdöngü durumunu bu kanıt göstermektedir *d*2 = 0 içinde, Jacobi özdeşliği içinde bir ikili anlamdır

Kaynakça
--------

* Michaelis, Walter (1980), "Lie coalgebras", *Advances in Mathematics*, **38** (1), ss. 1-54, doi:10.1016/0001-8708(80)90056-0, ISSN 0001-8708, MR594993