Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır. Bu çizim, {\displaystyle \sin x} (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor.
**Taylor serisi** matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise ({\displaystyle a=0}), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden *Maclaurin serisi* denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.

Tanım
-----

Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk *n*+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).
Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir {\displaystyle f(x)} fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere {\displaystyle (a-r,a+r)} aralığındaki *Taylor serisi* şu şekilde tanımlanmıştır:

{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }

Daha düzenli bir gösterim olan *Sigma gösterimi*yle ise şu şekilde yazılır:

{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
Burada {\displaystyle n!}, *n* faktöriyeli; *ƒ*(*n*)(*a*) ise *f* fonksiyonunun *n*. dereceden türevinin *a* noktasındaki değerini belirtmektedir. *f* fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi *f'* in kendisiyle tanımlanmıştır ve (*x* − *a*)0 ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.

### Maclaurin serisi

*a*=0 özel durumunda seri, *Maclaurin serisi* olarak adlandırılır:

{\displaystyle f(0)+f'(0)x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }

Örnekler
--------

Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.

(1 − *x*)−1 için Maclaurin serisi,

{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!} geometrik serisidir.
*x-1* fonksiyonunun *a*=1 değerindeki Taylor serisi de,

{\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots \!} dir.
Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −*ln*(1 − *x*) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada *ln* doğal logaritmayı ifade eder)

{\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}
Ve bu seriye ilişkin ln(*x*) fonksiyonunun *a*=1 değerindeki Taylor serisi ise,

{\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!} dir.
*a* = 0 noktasında *e**x* üstel fonksiyonu için Taylor serisi:),

{\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!} dir.
e*x*'in x'e göre türevi yine e*x* 'e ve e*0* de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin *pay*ında (*x* − 0)*n* terimi, *payda*sındaysa *n*! terimi kalır.

Yakınsaklık
-----------

Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.
log(*1+x*) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < *x* ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. *x* > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin *daha kötü* yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.
Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların *Frechet uzayı*nda bir *eksik küme*dir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.

Bir *f* fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde *f(x)'*in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir. Örneğin;

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&\mathrm {if} \ x\not =0\\0&\mathrm {if} \ x=0\end{cases}}}
fonksiyonu *x=0'*da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır.

Analitik fonksiyonlar
---------------------

e −1/*x*²'nin grafiği.
Eğer seri belirtilen aralıktaki her {\displaystyle x} noktasında {\displaystyle f(x)}'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, *f*(*x*) =e −1/*x*², *x ≠ 0* ve {\displaystyle f(0)=0} fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.

Kullanım Alanları
-----------------

Taylor serileri, fonksiyonların (ör. logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler. Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabilmektedir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel seriler listesi

  


|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4184548-1
* LCCN: sh85120247
* NLI: 987007531746505171

 |