Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir **çokludoğrusal harita** her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

{\displaystyle f\colon V\_{1}\times \cdots \times V\_{n}\to W{\text{,}}}
burada {\displaystyle V\_{1},\ldots ,V\_{n}} ve {\displaystyle W\!}, tüm {\displaystyle v\_{i}\!} değişkenleri sabit tutulan her {\displaystyle i\!} için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, {\displaystyle f(v\_{1},\ldots ,v\_{n})} ifadesi {\displaystyle v\_{i}\!}'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir çiftdoğrusal haritadır. Daha genel bir ifade ile, *k* değişkeninin bir çokludoğrusal haritası ***k*-doğrusal harita** olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, *k*-doğrusal haritası için, simetrik,
antisimetrik ve alternatizasyon kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler
--------

* Her bir çiftdoğrusal harita bir çokludoğrusal haritadır. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı bir çokludoğrusal haritadır, {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
* Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
* Eğer {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} bir *Ck* fonksiyonu ise, {\displaystyle F\!}'nin her {\displaystyle p\!} noktasındaki {\displaystyle k\!}inci türevinde {\displaystyle k\!}-doğrusal fonksiyon {\displaystyle D^{k}\!f(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} simetrik olarak görülebilir.
* Çokludoğrusal altuzay öğrenimindeki vektöre-tensör izdüşümü de bir çokludoğrusal haritadadır.

Koordinat gösterimi
-------------------

Diyelimki

{\displaystyle f\colon V\_{1}\times \cdots \times V\_{n}\to W{\text{,}}}
sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada {\displaystyle V\_{i}\!} boyutu {\displaystyle d\_{i}\!}'dir ve {\displaystyle W\!} boyutu {\displaystyle d\!}'dir. Her bir {\displaystyle V\_{i}\!} için {\displaystyle \{{\textbf {e}}\_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}\_{id\_{i}}\}} ve {\displaystyle W\!} için {\displaystyle \{{\textbf {b}}\_{1},\ldots ,{\textbf {b}}\_{d}\}} taban seçersek, {\displaystyle A\_{j\_{1}\cdots j\_{n}}^{k}} skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

{\displaystyle f({\textbf {e}}\_{1j\_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}\_{nj\_{n}})=A\_{j\_{1}\cdots j\_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}\_{1}+\cdots +A\_{j\_{1}\cdots j\_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}\_{d}.}
Ardından {\displaystyle \{A\_{j\_{1}\cdots j\_{n}}^{k}\mid 1\leq j\_{i}\leq d\_{i},1\leq k\leq d\}} skalerleri, {\displaystyle f\!} çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer,
{\displaystyle 1\leq i\leq n\!} için,

{\displaystyle {\textbf {v}}\_{i}=\sum \_{j=1}^{d\_{i}}v\_{ij}{\textbf {e}}\_{ij}\!}
oluyorsa, 

{\displaystyle f({\textbf {v}}\_{1},\ldots ,{\textbf {v}}\_{n})=\sum \_{j\_{1}=1}^{d\_{1}}\cdots \sum \_{j\_{n}=1}^{d\_{n}}\sum \_{k=1}^{d}A\_{j\_{1}\cdots j\_{n}}^{k}v\_{1j\_{1}}\cdots v\_{nj\_{n}}{\textbf {b}}\_{k}} olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi
--------------------------

Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

{\displaystyle f\colon V\_{1}\times \cdots \times V\_{n}\to W{\text{,}}}
ve doğrusal haritalar

{\displaystyle F\colon V\_{1}\otimes \cdots \otimes V\_{n}\to W{\text{,}}}
burada {\displaystyle V\_{1}\otimes \cdots \otimes V\_{n}\!} ifadesi {\displaystyle V\_{1},\ldots ,V\_{n}} tensör çarpımıdır.

{\displaystyle f\!} ve {\displaystyle F\!} fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

{\displaystyle F(v\_{1}\otimes \cdots \otimes v\_{n})=f(v\_{1},\ldots ,v\_{n}).}

*n*×*n* matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar
--------------------------------------------------

Bir K değişmeli halkasındaki *n*×*n* matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki *A* gibi bir bir matris ve {\displaystyle a\_{i}}, *A*nın 1 ≤ *i* ≤ *n* aralığındaki satırları olsun. Bu durumda *D* çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

{\displaystyle D(A)=D(a\_{1},\ldots ,a\_{n})\,}
Daha geniş bir ifade ile;

{\displaystyle D(a\_{1},\ldots ,ca\_{i}+a\_{i}',\ldots ,a\_{n})=cD(a\_{1},\ldots ,a\_{i},\ldots ,a\_{n})+D(a\_{1},\ldots ,a\_{i}',\ldots ,a\_{n})\,}
{\displaystyle {\hat {e}}\_{j}} ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir {\displaystyle a\_{i}} satırını şöyle olur.

{\displaystyle a\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}\_{j}}
*D*nin çokludoğrusallığı kullanılarak *D*(*A*) yı yeniden yazalım;

{\displaystyle D(A)=D\left(\sum \_{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}\_{j},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\right)=\sum \_{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}\_{j},a\_{2},\ldots ,a\_{n})}
Her {\displaystyle a\_{i}} için 1 ≤ *i* ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

{\displaystyle D(A)=\sum \_{1\leq k\_{i}\leq n}A(1,k\_{1})A(2,k\_{2})\dots A(n,k\_{n})D({\hat {e}}\_{k\_{1}},\dots ,{\hat {e}}\_{k\_{n}})}
Burada seçtiğimiz {\displaystyle 1\leq i\leq n} aralığında;

{\displaystyle \sum \_{1\leq k\_{i}\leq n}=\sum \_{1\leq k\_{1}\leq n}\ldots \sum \_{1\leq k\_{i}\leq n}\ldots \sum \_{1\leq k\_{n}\leq n}\,}
İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, {\displaystyle {\hat {e}}\_{k\_{1}},\dots ,{\hat {e}}\_{k\_{n}}} satırlarında {\displaystyle D} fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler
--------

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

{\displaystyle D(A)=A\_{1,1}A\_{2,1}D({\hat {e}}\_{1},{\hat {e}}\_{1})+A\_{1,1}A\_{2,2}D({\hat {e}}\_{1},{\hat {e}}\_{2})+A\_{1,2}A\_{2,1}D({\hat {e}}\_{2},{\hat {e}}\_{1})+A\_{1,2}A\_{2,2}D({\hat {e}}\_{2},{\hat {e}}\_{2})\,}
Burada {\displaystyle {\hat {e}}\_{1}=[1,0]} ve {\displaystyle {\hat {e}}\_{2}=[0,1]}'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

{\displaystyle D({\hat {e}}\_{1},{\hat {e}}\_{1})=D({\hat {e}}\_{2},{\hat {e}}\_{2})=0} ve {\displaystyle D({\hat {e}}\_{2},{\hat {e}}\_{1})=-D({\hat {e}}\_{1},{\hat {e}}\_{2})=-D(I)} olur. {\displaystyle D(I)=1} olursa, *2*×*2* matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:
{\displaystyle D(A)=A\_{1,1}A\_{2,2}-A\_{1,2}A\_{2,1}\,}

Özellikler
----------

Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

*n*>1 için, yalnızca *n*-doğrusal harita ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız
--------------

* Cebirsel form
* Çokludoğrusal form
* Homojen polinom
* Homojen fonksiyon
* Tensörler
* çoklu doğrusal izdüşüm
* Çokludoğrusal altuzay öğrenimi

Kaynakça
--------