Bir **genelleştirilmiş ortalama;** Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, aynı tanım formülünde birleştirip kapsayan bir soyut genelleştirmedir. **Güç ortalaması** veya **Holder ortalaması** adları da verilmektedir.

Tanım
-----

Eğer {\displaystyle p} sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, **{\displaystyle p} üslü genelleştirilmiş ortalama**

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{p}\right)^{1/p}.}
ifadesine uyan {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}} pozitif reel sayılardır.

Özellikler
----------

{\displaystyle t} = 1 hali aritmetik ortalama, {\displaystyle t} = - 1 harmonik ortalamasını ve *t* = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. *t* limitte 0a yaklaşırsa, M(*t'*) için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak *tanımlamak* uygun olur. Bunun yanında *t* ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(*t*) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

* Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}} argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani {\displaystyle b} pozitif bir reel sayı ise, {\displaystyle b\cdot x\_{1},\dots ,b\cdot x\_{n}} reel sayılarının {\displaystyle p} üslü genelleştirilmiş ortalaması {\displaystyle b} teriminin {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}} sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
* Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n\cdot k})=M\_{p}(M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{k}),M\_{p}(x\_{k+1},\dots ,x\_{2\cdot k}),\dots ,M\_{p}(x\_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x\_{n\cdot k}))}
### Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği

Genellikle, eğer {\displaystyle p<q} olursa, o halde {\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})\leq M\_{q}(x\_{1},\dots ,x\_{n})} olur ve iki ortalama ancak ve ancak {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}} ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

{\displaystyle \forall p\in \mathbb {R} \ {\frac {\partial M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}{\partial p}}\geq 0,}
ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, {\displaystyle p\in \{-1,0,1\}} ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

Özel haller
-----------

n=2 için bazı uygulamalı hallerin vizüyel gösterimi'.
* {\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\min\{x\_{1},\dots ,x\_{n}\}} - minimum,
* {\displaystyle M\_{-1}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}} - harmonik ortalama,
* {\displaystyle \lim \_{p\to 0}M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot \dots \cdot x\_{n}}}} - geometrik ortalama,
* {\displaystyle M\_{1}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\frac {x\_{1}+\dots +x\_{n}}{n}}} - aritmetik ortalama,
* {\displaystyle M\_{2}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt {\frac {x\_{1}^{2}+\dots +x\_{n}^{2}}{n}}}} - kuadratik ortalama,
* {\displaystyle \lim \_{p\to \infty }M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\max\{x\_{1},\dots ,x\_{n}\}} - maksimum.

Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı
-----------------------------------------

### Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi

*p* ve *q* endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
O halde:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}{\frac {w\_{i}}{x\_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}{\frac {w\_{i}}{x\_{i}^{q}}}}}}
(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

{\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}{\frac {1}{x\_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}{\frac {1}{x\_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-q}}}}
Böylece -*p* ve -*q* üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

### Geometrik ortalama

Herhangi bir *q* değeri için, *q* üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}}
(Birinci eşitsizlik bir pozitif *q* için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından *q* üssü alınırsa 

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}\cdot q}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}
olur. Her iki halde de {\displaystyle x\_{i}^{q}} silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}\log(x\_{i})\leq \log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}\right)}
{\displaystyle \log(\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}})\leq \log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}\right)}
(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}}
Böylece, herhangi bir pozitif *q* değeri için şu ifade önerilir:

{\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-q}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
Bu eşitsizlik herhangi bir *q* ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, *q* limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. *q* 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

{\displaystyle \lim \_{q\rightarrow 0}{\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}=\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}}
### Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik

Burada herhangi bir *p*<*q* için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
* Eğer *p* negatif ise ve *q* pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
* Hem *p* pozitif hem de *q* pozitif ise ispat şöyle yapılır:

Önce şu fonksiyon tanımlanır:

{\displaystyle f:{\mathbb {R} \_{+}}\rightarrow {\mathbb {R} \_{+}},} {\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}.
Burada *f* bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}
Bu *f* sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü *q* > *p* olduğu için *f* konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

{\displaystyle f\left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}f(x\_{i}^{p})}
{\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}
Bunun her iki tarafının 1/*q* üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

* Hem *p* negatif ve hem *q* negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -*p* ve -*q* konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

### Minimum ve maksimum

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri 

{\displaystyle -\infty } ve {\displaystyle +\infty }.
olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir *q* değeri için

{\displaystyle \min(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}\leq \max(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})}
Maksimum için ispat şöyle yapılır:
Genelliği kaybetmeden *xi* dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}\leq x\_{1}}
Bu ifadenin iki tarafının da *q* üssü alınırsa, (*q*nun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x\_{1}^{q}}
≤ eğer *q*>0 , ≥ eğer *q*<0.

Her iki taraftan {\displaystyle w\_{1}x\_{1}} çıkartılırsa, elde edilen ifade

{\displaystyle \sum \_{i=2}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }(1-w\_{1})x\_{1}^{q}}
olur. Bu {\displaystyle (1-w\_{1})} ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

{\displaystyle \sum \_{i=2}^{n}{\frac {w\_{i}}{(1-w\_{1})}}x\_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x\_{1}^{q}}
1 - *w*1 sıfır değildir, böylece

{\displaystyle \sum \_{i=2}^{n}{\frac {w\_{i}}{(1-w\_{1})}}=1}
İki taraftan *x*1*q* çıkartırsak ortaya çıkan ifade

{\displaystyle \sum \_{i=2}^{n}{\frac {w\_{i}}{(1-w\_{1})}}(x\_{i}^{q}-x\_{1}^{q})\leq {\color {red}\geq }0}
olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü *x*1 herhangi bir *xi* değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

{\displaystyle x\_{i}^{q}-x\_{1}^{q}\leq {\color {red}\geq }0}
Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak *x*1, *w*1 yerine *x*n, *w*n kullanılır.

Genelleştirilmiş {\displaystyle f}-ortalaması
---------------------------------------------

**Genelleştirilmiş ortalama** (veya **güç ortalaması**) daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

{\displaystyle M\_{f}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}{f(x\_{i})}}\right)}
Bu formüle göre *güç ortalaması* {\displaystyle f\left(x\right)=x^{p}} olarak elde edilir.

Uygulamalar
-----------

### Sinyal üretilmesi

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük {\displaystyle p} için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük {\displaystyle p} için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

```
 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p). smooth. map (**p)
```

* Bu büyük değerde {\displaystyle p} için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
* Bu küçük değerde {\displaystyle p} için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Aritmetik ortalama
* Geometrik ortalama
* Harmonik ortalama
* Heronian ortalama
* Pisagorik ortalama
* Ortalama
* Ortalama kare kökü

Dış bağlantılar
---------------

* MathWorld'de güç ortalaması 20 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Genelleştirilmiş ortalama için örnekler 8 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* 
* Rasyonel ortalama[*ölü/kırık bağlantı*]