Matematikte **fark işleci** bir *ƒ*(*x*) işlevini farklı bir *ƒ*(*x* + *b*) - *ƒ*(*x* + *a*) işlevine eşler.

**İleri fark işleci**

{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\,}
sonlu fark hesaplamalarında sıklıkla kullanılır ve türevin sürekli durumlar için üstlendiği görevi süreksiz işlevler için yerine getirir. Fark denklemleri genellikle diferansiyel denklemleri çözmede kullanılan yöntemlerden beslenmektedir. Bu benzerlik zaman ölçüsü kalkülüsünün ortaya çıkmasını sağlamıştır. **Geri fark işleci** ise

{\displaystyle \nabla f(x)=f(x)-f(x-1)\,}
biçiminde tanımlanmaktadır. Polinomlarla kısıtlandığında ileri fark işleci bir delta işleci görevi görmektedir.

n. fark
-------

*f*(*x*) işlevinin *n.* ileri farkı

{\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k)}
biçiminde ifade edilmektedir. Burada {\displaystyle {n \choose k}} binom katsayısını göstermektedir. Bir diziye uygulanan ileri farklar zaman zaman o dizinin binom dönüşümü olarak adlandırılmaktadır.

İleri farklar Nörlund-Rice integrali yardımıyla hesaplanabilmektedir. Bu tür dizilerin integral biçimindeki ifadesinin ilginç olmasının nedeni asimptotik açılım ve sırt noktası yöntemleriyle hesaplanabiliyor oluşlarıdır. Öte yandan, ileri fark dizilerini hesaplamak artan *n* değerleri için gittikçe güçleşmektedir.

Newton dizisi
-------------

Adını Isaac Newton'dan alan ve **Newton ileri fark denklemi** olarak da adlandırılan **Newton dizisi**

{\displaystyle f(x+a)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x)\_{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }{x \choose k}\Delta ^{k}[f](a)}
biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade tüm *f* polinomları ve bazı analitik işlevler için geçerlidir. Burada

{\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)\_{k}}{k!}}}
binom katsayısını,

{\displaystyle (x)\_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}
"azalan faktöryel" ya da "alt faktöryeli" göstermektedir.

p-sel sayılar bağlamında Mahler kuramı, *f*'nin polinom olmasına ilişkin varsayımın *f*'nin sürekli olmasına ilişkin varsayıma değin zayıflatılabileceğini savunmaktadır.

Carlson kuramı bir Newton dizisinin özgün olması için gerekli ve yeterli koşulları belirlemektedir. Ne var ki, Newton dizileri genellikle tanımlı değillerdir.

Newton dizisi, Stirling dizisi ve Selberg dizisi genel fark dizisinin özel durumlarıdırlar. Bu dizilerin tümü ölçeklenmiş ileri farklar cinsinden tanımlanabilmektedir.

Sonlu fark işleci kuralları
---------------------------

Türev alma kurallarına benzer biçimde

* **Sabit kuralı**: *c* sabit bir sayıysa

{\displaystyle \Delta c=0{\,}} eşitliği sağlanır.
* **Doğrusallık**: *a* ve *b* sabit sayılar ise

{\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g} eşitliği sağlanır.
Bu kurallar {\displaystyle \nabla } ve {\displaystyle \Delta }'nın da içinde bulunduğu tüm fark işleçleri için geçerlidir.

* **Çarpma kuralı**:

{\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}
{\displaystyle \nabla (fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g}
* **Bölme kuralı**:

{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}}
ya da
{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}
{\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}
* **Toplam kuralları**:

{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}
{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}

Belirsiz toplam
---------------

İleri fark işlecinin ters işleci belirsiz toplamdır.

Genellemeler
------------

Fark işleci bir kısmi sıralı küme üzerinde Möbius evirtimine dönüşmektedir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Newton polinomu
* Newton dizileri tablosu
* Lagrange polinomu
* Gilbreath önermesi

Kaynakça
--------

* Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995), "Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals", *Theoretical Computer Science*, **144** (1–2), ss. 101-124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M [*ölü/kırık bağlantı*]