İstatistik bilim dalında **D'Agostino'nun K2 sınaması** normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K2 istatistiği şöyle elde edilir:

*n* değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, {\displaystyle {\sqrt {b\_{1}}}}, şöyle tanımlanır:

{\displaystyle {\sqrt {b\_{1}}}={\frac {\mu \_{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu \_{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}
Örneklem basıklık ölçüsü, {\displaystyle {\sqrt {b\_{2}}}} ise şöyle tanimlanır:

{\displaystyle b\_{2}={\frac {\mu \_{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu \_{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}}
Burada {\displaystyle {\bar {x}}} örneklem ortalaması, σ2 ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ3 ve μ4 üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Dönüştürülmüş çarpıklık
-----------------------

Önce, çarpıklık ölçüsü {\displaystyle {\sqrt {b\_{1}}}} 'nin bir dönüşümü olan 

{\displaystyle Z\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)}
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

{\displaystyle Y={\sqrt {b\_{1}}}\cdot {\sqrt {\frac {(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}}}
{\displaystyle \beta \_{2}\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)={\frac {3(n^{2}+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}}
{\displaystyle W^{2}=-1+{\sqrt {2(\beta \_{2}\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)-1)}}}
{\displaystyle \delta =1/{\sqrt {ln(W)}}}
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {2}{W^{2}-1}}}}
{\displaystyle Z\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)=\delta ln\left(Y/\alpha +{\sqrt {(Y/\alpha )^{2}+1}}\right)}

Dönüştürülmüş Basıklık
----------------------

Sonra, basıklık ölçüsü olan {\displaystyle b\_{2}} 'in bir dönüşümü olan {\displaystyle Z\left(b\_{2}\right)} 
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

{\displaystyle E\left(b\_{2}\right)={\frac {3(n-1)}{n+1}}}
{\displaystyle \sigma \_{b\_{2}}^{2}={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}}}
{\displaystyle x={\frac {b\_{2}-E\left(b\_{2}\right)}{\sigma \_{b\_{2}}}}}
Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

{\displaystyle {\sqrt {\beta \_{1}\left(b\_{2}\right)}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}}}
{\displaystyle A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta \_{1}\left(b\_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta \_{1}\left(b\_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta \_{1}\left(b\_{2}\right)}}}}\right]}
{\displaystyle Z\left(b\_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}}

İçerikli K2 istatistiği
-----------------------

Şimdi, bu {\displaystyle Z\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)} ile {\displaystyle Z\left(b\_{2}\right)} ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

{\displaystyle K^{2}=\left(Z\left({\sqrt {b\_{1}}}\right)\right)^{2}+\left(Z\left(b\_{2}\right)\right)^{2}}
{\displaystyle K^{2}} istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir {\displaystyle \chi ^{2}}
ile dağılım gösterir.

İç bağlantılar
--------------

* Normallik sınamaları
* Kolmogorov-Smirnov sınaması
* Shapiro-Wilk sınaması
* Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
* Jarque-Bera sınaması

Kaynakça
--------

* D'Agostino, Ralph B. Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", *The American Statistician*, Cilt. 44, No. 4. (Kasım. 1990), say. 316-321.