{\displaystyle O} köşesinde bir dik açıya sahip dört yüzlü
Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan **De Gua teoremi**, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Açıklama
--------

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

{\displaystyle A\_{ABC}^{2}=A\_{\color {blue}ABO}^{2}+A\_{\color {green}ACO}^{2}+A\_{\color {red}BCO}^{2}}

Genellemeler
------------

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı *n-*simpleks (*n* = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

*U*, {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}'nin ({\displaystyle k\leq n} olmak üzere) *k*-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak *k* elemanlı herhangi bir {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} alt kümesi için, {\displaystyle U\_{I}} *U'nun* {\displaystyle e\_{i\_{1}},\ldots ,e\_{i\_{k}}} doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada {\displaystyle I=\{i\_{1},\ldots ,i\_{k}\}} ve {\displaystyle e\_{1},\ldots ,e\_{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

{\displaystyle {\mbox{vol}}\_{k}^{2}(U)=\sum \_{I}{\mbox{vol}}\_{k}^{2}(U\_{I}),}
burada {\displaystyle {\mbox{vol}}\_{k}(U)} *U'nun* *k*-boyutlu hacmi ve toplam *k* elementli tüm {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), *k* = *n*-1 ve *U*’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, *n* = 3, *k* = 2 ve *U* {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}içinde *A*, *B* ve *C* köşeleri sırasıyla {\displaystyle x\_{1}}, {\displaystyle x\_{2}} ve {\displaystyle x\_{3}} eksenlerinde yer alan {\displaystyle \triangle ABC} üçgenidir. {\displaystyle \{1,2,3\}}'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri {\displaystyle I}, {\displaystyle \{2,3\}}, {\displaystyle \{1,3\}} ve {\displaystyle \{1,2\}}'dir. Tanım olarak, {\displaystyle U\_{\{2,3\}}} {\displaystyle U=\triangle ABC}'nin {\displaystyle x\_{2}x\_{3}}-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani {\displaystyle U\_{\{2,3\}}} köşeleri *O*, *B* ve *C* olan {\displaystyle \triangle OBC} üçgenidir, burada *O '{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}*'ün orjinidir. Benzer şekilde, {\displaystyle U\_{\{1,3\}}=\triangle AOC} ve {\displaystyle U\_{\{1,2\}}=\triangle ABO} olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

{\displaystyle {\mbox{vol}}\_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}\_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}\_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}\_{2}^{2}(\triangle ABO),}
bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı *n-*simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Tarihçe
-------

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.

Teoremin İspatı
---------------

### İspat 1

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları {\displaystyle A\_{1},A\_{2},A\_{3}} ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı {\displaystyle H} şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

{\displaystyle H^{2}=(A\_{1})^{2}+(A\_{2})^{2}+(A\_{3})^{2}}.
Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları {\displaystyle a,b,c} ve yarı çevresi {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)} olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}.
De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, {\displaystyle l\_{1},l\_{2},l\_{3}} ve {\displaystyle h\_{1},h\_{2},h\_{3}} şeklinde etiketlensin. Burada {\displaystyle l\_{i}}, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve {\displaystyle h\_{i}} ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

{\displaystyle A\_{3}={\frac {1}{2}}l\_{1}\cdot l\_{2},\quad A\_{1}={\frac {1}{2}}l\_{2}\cdot l\_{3},\quad A\_{2}={\frac {1}{2}}l\_{3}\cdot l\_{1}.}'dir.
Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

{\displaystyle H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h\_{1}+h\_{2}+h\_{3})(h\_{1}+h\_{2}-h\_{3})(h\_{2}+h\_{3}-h\_{1})(h\_{3}+h\_{1}-h\_{2})}}}.
Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

{\displaystyle H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h\_{1}^{2}h\_{3}^{2}+2h\_{2}^{2}h\_{3}^{2}+2h\_{1}^{2}h\_{2}^{2}-h\_{1}^{4}-h\_{2}^{4}-h\_{3}^{4}\right)}.
Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

{\displaystyle h\_{1}^{2}=l\_{2}^{2}+l\_{3}^{2},\quad h\_{2}^{2}=l\_{1}^{2}+l\_{3}^{2},\quad h\_{3}^{2}=l\_{1}^{2}+l\_{2}^{2}} olarak hesaplanır.
Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

{\displaystyle H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l\_{1}^{2}l\_{2}^{2}+l\_{3}^{2}l\_{2}^{2}+l\_{1}^{2}l\_{3}^{2}\right)}
ve teorem kanıtlanmış olur.

### İspat 2

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 {\displaystyle A\_{\color {blue}ABO}} = b/3{\displaystyle A\_{\color {green}ACO}} = a/3 {\displaystyle A\_{\color {red}BCO}} aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 {\displaystyle A\_{ABC}}'ye eşittir.

{\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}} vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik {\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}} ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: {\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A\_{ABC}}. Ve basitleştirerek {\displaystyle 4A\_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}'ye yani istenen formüle ulaşılır.

Notlar
------

1. ↑  Donald R Conant (Mar 1974). "Generalized Pythagorean Theorem". *The American Mathematical Monthly*. Mathematical Association of America. **81** (3): 262-265. doi:10.2307/2319528.
2. ↑  Howard Whitley Eves: *Great Moments in Mathematics (before 1650)*.

Kaynakça
--------

* Eric W. Weisstein, *de Gua's theorem* (MathWorld)
* Sergio A. Alvarez: *Note on an n-dimensional Pythagorean theorem* 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Carnegie Mellon University.
* *De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D* 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". *The College Mathematics Journal*. Mathematical Association of America. **35** (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
* Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". *The Mathematical Intelligencer*. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
* Rasul A. Khan, (2013), *The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem*, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, makale
* Charles Frohman, (2010), *The Full Pythagorean Theorem*, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Magdalini Kokkaliari, (2013), *The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?*, Makale