Grup teorisinin "kelebek lemması" için Zassenhaus lemma sayfasına bakınız.
Kelebek teoremi
**Kelebek teoremi**, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir: :s. 78

*M*, bir çemberin başka iki *AB* ve *CD* kirişi üzerinden geçen *PQ* kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak *AB* ve *CD*, *PQ* kirişini *X* ve *Y* noktalarında keser. O halde *M*, *XY*'nin orta noktasıdır.

Teoremin ispatı
---------------

Kelebek teoreminin ispatı
Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir: *XX′* ve *XX″* dikmeleri *X* noktasından sırasıyla *AM* ve *DM* düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde, *YY′* ve *YY″*, *Y* noktasından sırasıyla *BM* ve *CM* düz çizgilerine dik indirilsin.

{\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',} olduğundan
{\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}
{\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}
{\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}
{\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}
{\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}
{\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}
{\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}
Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden ,

{\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}
{\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}
{\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}
{\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}
{\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}
*PM* = *MQ* olduğundan,

Böylece

{\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}
İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,

{\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}
Ortak terim olan

{\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}
ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,

{\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}
elde edilir, dolayısıyla *MX* = *MY*, çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.

Bu nedenle, *M*, *XY*'nin orta noktasıdır.

Projektif geometri kullanan biri de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.

Tarihçe
-------

Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından *The Gentlemen's Mathematical Companion*’da (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te *Gentlemen's Diary veya Mathematical Repository*’de tekrar sordu.

Dış bağlantılar
---------------

* Geogebra - Butterfly Theorem
* Cut-the-knot'da Kelebek Teoremi 10 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Cut-the-knot'da Daha İyi Bir Kelebek Teoremi 11 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* PlanetMath'te Kelebek Teoreminin Kanıtı 25 Ağustos 2002 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Wolfram Gösterimleri Projesi, Jay Warendorff'un Kelebek Teoremi 23 Aralık 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
* Weisstein, Eric W. MathWorld - Kelebek Teoremi 18 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Volenec, V. (2000). *A generalization of the butterfly theorem*. Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
* Čerin, Z. (2001). *A generalization of the butterfly theorem from circles to conics*. Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
* Sliepcevic, A. (2002). *A new generalization of the butterfly theorem*. Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
* Volenec, V. (2002). *The butterfly theorem for conics*. Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
* Kung, S. (2005). *A butterfly theorem for quadrilaterals*. Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
* Čerin, Z. & Gianella, G. M. (2006). *On improvements of the butterfly theorem*. Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
* Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). *Version of butterfly theorem under projective transformation*. Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
* Markowsky, G. (2011). *Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem*. Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
* Dergiades, N. & Lim, S. H. (2012). *The Butterfly Theorem Revisited*. In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
* Donolato, C. (2016). *A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem*. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
* Celli, M. (2016). *A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings*. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
* Hung, T. Q. (2016). *Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle*. In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
* Krishna, Dasari. (2017). *Another New Proof of the Butterfly Theorem*. International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55.
* Nguyen, N. P. (2020). *On Generalizations of the Butterfly Theorem*. arXiv preprint arXiv:2001.07201.

Kaynaklar
---------

1. ↑  Johnson, Roger A. *Advanced Euclidean Geometry*, Dover Publ. 2007 (orig. 1929).
2. ↑  Problems in Projective Geometry 6 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. problem 8.
3. ↑  Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", *Forum Geometricorum* 16, 2016, ss. 337–338.  24 Nisan 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
4. ↑  William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem 25 Ağustos 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.