Laguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzereLaguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzere
**Laguerre polinomları**, matematikte adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma **Laguerre denklemi**'dir:

{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}
İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca *n* negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}
*L*0, *L*1, ... şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

{\displaystyle L\_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}
Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, *n*!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom
------------------

İlk birkaç Laguerre polinomları:

|  |  |
| --- | --- |
| *n* | {\displaystyle L\_{n}(x)\,} |
| 0 | {\displaystyle 1\,} |
| 1 | {\displaystyle -x+1\,} |
| 2 | {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,} |
| 3 | {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} |
| 4 | {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} |
| 5 | {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} |
| 6 | {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,} |

ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım
------------------

Tümevarımsal olarak **Laguerre polinomları'**nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

{\displaystyle L\_{0}(x)=1\,}
{\displaystyle L\_{1}(x)=1-x\,}
ve izleyen polinomlar için özyineleme ile *k* ≥ 1 'i kullanabiliriz:

{\displaystyle L\_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L\_{k}(x)-kL\_{k-1}(x)\right).}

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları
-------------------------------------

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; *X* ile eşdeğer gösterim

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}
buradan

{\displaystyle E\left[L\_{n}(X)L\_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.}
üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,*α* > −1,

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}
('*Genelleştirilmiş Laguerre polinomu* için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

{\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}
Bazen **uyarlanmış Laguerre polinomları** olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

{\displaystyle L\_{n}^{(0)}(x)=L\_{n}(x).}
### Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

* melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
	+ {\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum \_{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,} {\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)}{\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L\_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)}{\displaystyle =e^{x}\cdot \sum \_{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.}
	+ Eğer {\displaystyle n} bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi {\displaystyle n}. alternaif bir ifade {\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)} içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir .
* Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi {\displaystyle n} ise {\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum \_{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}} (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
	+ İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

{\displaystyle L\_{0}^{(\alpha )}(x)=1}
{\displaystyle L\_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}
{\displaystyle L\_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}
{\displaystyle L\_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}
* + ilk terimleri is (−1)*n*/*n*! katsayı'sıdır;
	+ {\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};} merkezindeki değer sabit terim'dir.
* hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

```
  **function** LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    **for** i:= 1 **to** n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  **return** LaguerreL;
 }
```

* *L**n*(*α*) ile *n* gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L\_{n-i}^{(\alpha )}\right)\_{i=0}^{n}} bir Sturm zinciri'dir), bütün {\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]} aralık'ı içindedir .
* {\displaystyle n}'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı {\displaystyle \alpha } sabit ve {\displaystyle x>0}, verilirse,

{\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)}, and
{\displaystyle L\_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)}..

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Ortogonal polinomlar
* Rodrigues formülü
* Angelescu polinomları
* Bessel polinomları
* Denisyuk polinomları
* Enine mod; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Notlar
------

1. ↑  Abramowitz, p. 506, 13.3.8 29 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Kaynakça
--------

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1965), "Chapter 22 19 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
* B Spain, M G Smith, *Functions of mathematical physics*, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
* Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial 25 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
* George Arfken ve Hans Weber (2000). *Mathematical Methods for Physicists*. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
* S. S. Bayin (2006), *Mathematical Methods in Science and Engineering*, Wiley, Chapter 3.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNE: XX5170103
* BNF: cb12390508z (data)
* GND: 4293931-8
* LCCN: sh85073969
* NLI: 987007550692005171
* SUDOC: 03299155X

 |