Matematikte **Abel testi** (**Abel kriteri** veya **Abel ölçütü** olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

Gerçel analizdeki Abel testi
----------------------------

Gerçel sayıların iki dizisi {\displaystyle \{a\_{n}\}} ve {\displaystyle \{b\_{n}\}},
şunları sağlarsa

* {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}} yakınsar
* {\displaystyle \lbrace b\_{n}\rbrace \,} monotondur ve {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }b\_{n}\neq \infty }

o zaman,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}b\_{n}}
serisi yakınsar.

Karmaşık analizdeki Abel testi
------------------------------

Yine **Abel testi** olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }a\_{n}=0\,}
ise ve

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}z^{n}\,}
serisi |*z*| < 1 iken yakınsarsa, |*z*| > 1 iken ıraksarsa, *n* > *m* için (yani başka bir deyişle çok büyük *n* 'ler için) {*a**n*} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan *pozitif gerçel sayılar* ise, o zaman *f*(*z*) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki *z* = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi *z* = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı *R* ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir *ζ* = *z*/*R* değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.

**Abel testinin kanıtı:** *z* birim çemberin üzerinde bir nokta ve *z* ≠ 1 olsun. O zaman

{\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}
olur; böylece, *p* > *q* > *m* olan herhangi iki pozitif tam sayı için

{\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S\_{p}-S\_{q}\right)&=\sum \_{n=q+1}^{p}a\_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum \_{n=q+2}^{p}\left(a\_{n-1}-a\_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a\_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a\_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}
yazabiliriz. *S**p* ve *S**q* burada kısmi toplamlardır:

{\displaystyle S\_{p}=\sum \_{n=0}^{p}a\_{n}z^{n}.\,}
Ancak şimdi, |*z*| = 1 ve *a**n* 'ler *n* > *m* iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S\_{p}-S\_{q}\right)\right|&=\left|\sum \_{n=q+1}^{p}a\_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum \_{n=q+2}^{p}\left|\left(a\_{n-1}-a\_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a\_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a\_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum \_{n=q+2}^{p}\left(a\_{n-1}-a\_{n}\right)\right]+a\_{q+1}+a\_{p}\\&=a\_{q+1}-a\_{p}+a\_{q+1}+a\_{p}=2a\_{q+1}\,\end{aligned}}}
yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve *f*(*z*) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş *z* ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½*θ*) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve *a**q*+1, *q* yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir *ε* > 0 'dan daha küçük yapılabilir.

Dış bağlantılar
---------------

* Kanıt (gerçel seriler için),PlanetMath.org sitesinde12 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Notlar
------

1. ↑  (Moretti, 1964, p. 91)

Kaynakça
--------

* Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc. 1964