Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir **grupoid** için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:

* İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
* Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.

Tanımlar
--------

Bir {\displaystyle \ f\colon X\to Y} fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir {\displaystyle A\subseteq X} alt kümesi için {\displaystyle \ f\colon A\to Y} şeklinde tanımlı fonksiyona **kısmi fonksiyon** denir.

### Grup Teorisinde Grupoid

Bir {\displaystyle \ G} grupoidi {\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G} şeklinde tanımlı tekli işlem ile {\displaystyle \ \*\colon G\times G\to G} kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her {\displaystyle a,b,c\in G} için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.

*(i)* Bileşim: Eğer {\displaystyle (a\*b)} ve {\displaystyle (b\*c)} tanımlı ise {\displaystyle (a\*b)\*c} {\displaystyle =a\*(b\*c)} ’dir.

*(ii)* Tersinirlik:{\displaystyle \ a^{-1}\*a} ve {\displaystyle \ a\*a^{-1}} tanımlıdır.

*(iii)* Özdeşlik: Eğer {\displaystyle \ a\*b} tanımlı ise

• {\displaystyle a\*b\*b^{-1}=a},

• {\displaystyle a^{-1}\*a\*b=b}.

Ek olarak da

• {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}

• {\displaystyle (a\*b)^{-1}=b^{-1}\*a^{-1}} özellikleri sağlanır.

### Kategori Teorisinde Grupoid

Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel {\displaystyle G} grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.

*(i)* {\displaystyle G} grupoidi, nesnelerden oluşan bir {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} kümesi içermektedir.

*(ii)* {\displaystyle G} grupoidi, her {\displaystyle x,y\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesneleri için {\displaystyle x}’ten {\displaystyle y}’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir {\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)} kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir {\displaystyle f} morfizması {\displaystyle f\colon x\to y} şeklinde gösterilir.

*(iii)* Her {\displaystyle x\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi için {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}’dir.

*(iv)* Her {\displaystyle x,y,z\in \operatorname {ob} (G)} için {\displaystyle x}’ten {\displaystyle y}’ye giden ve {\displaystyle y}’den {\displaystyle z}’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: 

> {\displaystyle \operatorname {comp} \_{x,y,z}} {\displaystyle \colon } {\displaystyle \operatorname {mor} (y,z)\times \operatorname {mor} (x,y)\to \operatorname {mor} (x,z)}öyle ki {\displaystyle (g,f)\mapsto gf} 
> 
> 

*(v)* Her {\displaystyle x,y\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} için {\displaystyle x} nesnesinden {\displaystyle y} nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:

> {\displaystyle \operatorname {inv} \colon \operatorname {mor} (x,y)\to \operatorname {mor} (y,x)}
> 
> 
> {\displaystyle f\mapsto f^{-1}}
> 
> 
> ve {\displaystyle \operatorname {inv} } fonksiyonu her {\displaystyle f\colon x\to y}, {\displaystyle g\colon y\to z} ve {\displaystyle h\colon z\to w} morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:
> 
> 
> • {\displaystyle f\operatorname {id} \_{x}=f} ve {\displaystyle \operatorname {id} \_{y}f=f}.
> 
> 
> • {\displaystyle (hg)f=h(gf)}.
> 
> 
> 
> • {\displaystyle ff^{-1}=} {\displaystyle \operatorname {id} \_{y}} ve {\displaystyle f^{-1}f=} {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}}.
> 
> 

#### Bağlı Grupoid

Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her {\displaystyle x,y\in G} için {\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)} kümesi boş kümeden farklı ise **{\displaystyle G}’**ye **bağlı grupoid** denir.

Örnekler
--------

### Grup Olarak Grupoid

Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak ({\displaystyle \mathbb {Z} ,+}) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. {\displaystyle \mathbb {Z} } kümesini ve {\displaystyle +\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } operatörünü ele alacağız. Rastgele {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } alalım.

*(i)* Bileşim: {\displaystyle (a+b)} ve {\displaystyle (b+c)}’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} elde edilir.

*(ii)* Tersinirlik: Her {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } için {\displaystyle a^{-1}} vardır ve {\displaystyle a^{-1}=-a\in \mathbb {Z} } olur. Bunun yanı sıra {\displaystyle (-a)+a=0\in \mathbb {Z} }, {\displaystyle a+(-a)=0\in \mathbb {Z} } özellikleri de sağlanır.

*(iii)* Özdeşlik: {\displaystyle (a+b)} tanımlı olduğu için

• {\displaystyle a+b+b^{-1}=a+0=a},

• {\displaystyle a^{-1}+a+b=0+b=b} olur.

Sonuç olarak ({\displaystyle \mathbb {Z} ,+}) bir grupoiddir.

### Lineer Fonksiyonlar

Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir {\displaystyle G} kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak {\displaystyle G}’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

*(i)* {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} {\displaystyle =\left\{V\mid V\ {\text{bir vektör uzayı}}\right\}}.

*(ii)* {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} {\displaystyle =\left\{T\colon V\to W\mid T{\text{ birebir ve örten lineer fonksiyon}}\right\}}

*(iii)* Rastgele bir {\displaystyle V\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi alalım. Bariz bir şekilde {\displaystyle \operatorname {id} \_{V}\colon V\to V} birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan {\displaystyle \operatorname {id} \_{V}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} olur.

*(iv)* Herhangi üç {\displaystyle V,U,W\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)}nesneleri alalım. {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} kümesinden {\displaystyle T\_{1}\colon V\to U} ve {\displaystyle T\_{2}\colon U\to W} şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. {\displaystyle T\_{1}} ve {\displaystyle T\_{2}}’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. {\displaystyle T\_{2}T\_{1}\colon V\to W} şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve {\displaystyle T\_{1}} ile {\displaystyle T\_{2}} birebir olduğundan ötürü {\displaystyle T\_{2}T\_{1}} birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan {\displaystyle T\_{2}T\_{1}} örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden {\displaystyle T\_{2}T\_{1}} de lineer bir fonksiyon olur.

Sonuç olarak {\displaystyle T\_{2}T\_{1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (V,W)} olur ve dolayısıyla

> {\displaystyle \operatorname {comp} \_{V,U,W}\colon \operatorname {mor} (U,W)\times \operatorname {mor} (U,V)\to \operatorname {mor} (V,W)} öyle ki; {\displaystyle (T\_{2},T\_{1})\mapsto T\_{2}T\_{1}} şeklinde tanımlanabilir.
> 
> 

*(v)* Herhangi iki {\displaystyle V,U\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesneleri ve rastgele bir {\displaystyle T\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (V,U)} morfizması ele alalım. {\displaystyle T} birebir ve örten olduğundan {\displaystyle T^{-1}\colon U\to V} vardır. {\displaystyle T} lineer bir fonksiyon olduğundan {\displaystyle T^{-1}} de lineerdir. Sonuç olarak {\displaystyle T^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (U,V)} olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan {\displaystyle T\_{1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (V,U)}, {\displaystyle T\_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (U,W)} ve {\displaystyle T\_{3}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (W,Z)} morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:

> •{\displaystyle T\_{1}\operatorname {id} \_{V}=T\_{1},\operatorname {id} \_{U}T\_{1}=T\_{1}}.
> 
> 
> •{\displaystyle (T\_{3}T\_{2})T\_{1}(x)=T\_{3}(T\_{2}T\_{1})(x),\forall x\in V} .
> 
> 
> •{\displaystyle T\_{1}T\_{1}^{-1}=\operatorname {id} \_{U},T\_{1}^{-1}T\_{1}=\operatorname {id} \_{V}}.
> 
> 
> 

Sonuç olarak {\displaystyle G} bir grupoiddir.

### Topolojik Uzay

Herhangi bir {\displaystyle X} topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine {\displaystyle G} diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

*(i)* {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} {\displaystyle =X}

*(ii)* {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} {\displaystyle =\left\{[\varphi ]\mid \varphi \colon [0,1]\to X{\text{ bir yol}}\right\}}.

Burada {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir {\displaystyle [\varphi ]\in \operatorname {mor} (G)} aldığımızda bu eleman {\displaystyle \varphi }'ye homotopik olan yolları içermektedir.

*(iii)* Rastgele bir {\displaystyle x\in X} nesnesi alalım. {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\colon x\to x} fonksiyonunun {\displaystyle x}’ten {\displaystyle x}’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\colon [0,1]\to X} fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\in [\operatorname {id} \_{x}]}olur. Sonuç olarak {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(x,x)} denilir.

*(iv)* Rastgele {\displaystyle x,y,z\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)}alalım. Herhangi iki {\displaystyle [\varphi \_{1}]\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)}, {\displaystyle [\varphi \_{2}]\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(y,z)} morfizmalarını düşünelim. O zaman

> {\displaystyle [\varphi \_{2}][\varphi \_{1}]\colon } {\displaystyle \operatorname {mor} G(y,z)\times }{\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)\to } {\displaystyle \operatorname {mor} G(x,z)} öyle ki {\displaystyle (\varphi \_{2},\varphi \_{1})\mapsto [\varphi \_{2}][\varphi \_{1}]}
> 
> 

{\displaystyle [\varphi \_{2}][\varphi \_{1}]=[\varphi \_{2}\varphi \_{1}]} iyi tanımlıdır, çünkü {\displaystyle \varphi \_{2}\varphi \_{1}\colon x\to z} şeklinde {\displaystyle X} uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak {\displaystyle [\varphi \_{2}][\varphi \_{1}]\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(x,z)}’dir.

*(v)* Rastgele {\displaystyle x,y\in }{\displaystyle \operatorname {ob} (G)} ve {\displaystyle [\varphi ]\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)} alalım. Bariz bir şekilde {\displaystyle [\varphi ^{-1}]\in } {\displaystyle \operatorname {mor} G(y,x)}'dir.

### Tanımların denkliği

Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.

> İspatını yaparken, bir {\displaystyle G} grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.
> 
> {\displaystyle G} grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} ve {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} diyelim. Rastgele bir {\displaystyle x\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi alalım. {\displaystyle x}’ten x’e giden morfizmaların kümesi {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.
> 
> 

*(i)* Bileşim: Rastgele {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2},\varphi \_{3}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım. {\displaystyle G}’nin kategori teorisindeki tanımına göre {\displaystyle \varphi \_{1}\varphi \_{2}} ve {\displaystyle \varphi \_{2}\varphi \_{3}} tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre {\displaystyle (\varphi \_{1}\varphi \_{2})\varphi \_{3}=\varphi \_{1}(\varphi \_{2}\varphi \_{3})} özelliği sağlanır.

*(ii)* Tersinirlik: Herhangi bir {\displaystyle \varphi \in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla {\displaystyle \varphi }’nin de tersi vardır ve {\displaystyle \varphi ^{-1}\colon x\to x} olur. Bu yüzden {\displaystyle \varphi ^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}. Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre {\displaystyle \varphi \varphi ^{-1}=id\_{x}} ve {\displaystyle \varphi ^{-1}\varphi =id\_{x}} olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

*(iii)* Özdeşlik: Herhangi iki {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} morfizmaları alalım. {\displaystyle \varphi \_{1}\varphi \_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} olduğunu biliyoruz. O halde

> • {\displaystyle \varphi \_{1}\varphi \_{2}\varphi \_{2}^{-1}=\varphi \_{1}id=\varphi }
> 
> 
> • {\displaystyle \varphi \_{1}^{-1}\varphi \_{1}\varphi \_{2}=id\varphi \_{2}=\varphi \_{2}}
> 
> 
> • {\displaystyle (\varphi \_{1}^{-1})^{-1}=\varphi \_{1}} ve
> 
> 
> • {\displaystyle (\varphi \_{1}\varphi \_{2})^{-1}=\varphi \_{2}^{-1}\varphi \_{1}^{-1}} özellikleri sağlanır.
> 
> 
> 
> Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan {\displaystyle G} grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. {\displaystyle \*} operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım. {\displaystyle f,g\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} olacak şekilde; 
> 
> 

*(i)* {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} {\displaystyle =\left\{ff^{-1}\mid f\in G\right\}}

*(ii)* {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})} {\displaystyle =\left\{\alpha \in G\mid \exists ff^{-1}\alpha ,\exists \alpha gg^{-1}\right\}} kümeleri {\displaystyle G} grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre *(i)* ve *(ii)* sağlanmış olur.

*(iii)* Rastgele bir {\displaystyle ff^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi olsun. {\displaystyle id\_{ff^{-1}}\colon ff^{-1}\to ff^{-1}} şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1})} kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. {\displaystyle G}’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı {\displaystyle ff^{-1}id\_{ff^{-1}}=ff^{-1}\in G} ve {\displaystyle id\_{ff^{-1}}ff^{-1}=ff^{-1}\in G} özellikleri sağlanacağından {\displaystyle id\_{ff^{-1}}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1})} olur.

*(iv)* Herhangi üç {\displaystyle ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnelerini ele alalım. Rastgele iki {\displaystyle \alpha \_{1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})}, {\displaystyle \alpha \_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},hh^{-1})} morfizmaları olsun. {\displaystyle \alpha \_{2}\alpha \_{1}}’nın {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1})} olduğunu gösterelim. {\displaystyle \alpha \_{2},\alpha \_{1}\in G} olduğundan {\displaystyle \alpha \_{2}\alpha \_{1}\in G} olur dolayısıyla {\displaystyle ff^{-1}\alpha \_{2}\alpha \_{1}\in G} ve {\displaystyle \alpha \_{2}\alpha \_{1}hh^{-1}} elde edilir. Sonuç olarak, {\displaystyle \alpha \_{2}\alpha \_{1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1})} olur.

*(v)* Rastgele {\displaystyle ff^{-1},gg^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesneleri ve {\displaystyle \alpha \in } {\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})} morfizmasını ele alalım ve {\displaystyle \alpha \_{1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1})} olduğunu gösterelim. {\displaystyle G}, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından {\displaystyle \alpha ^{-1}\in G} olmaktadır. {\displaystyle \alpha \in }{\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})} olduğundan {\displaystyle ff^{-1}\alpha \in G} ve {\displaystyle \alpha gg^{-1}\in G} sağlanmaktadır. Yine {\displaystyle G}’nin sağladığı tanımdan dolayı {\displaystyle gg^{-1}\alpha ^{-1}=(\alpha gg^{-1})^{-1}} ve {\displaystyle \alpha ^{-1}ff^{-1}=(ff^{-1}\alpha )^{-1}} olduğu görülür. Sonuç olarak {\displaystyle gg^{-1}\alpha ^{-1},\alpha ^{-1}ff^{-1}\in G} sağlanarak {\displaystyle \alpha ^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1})} elde edilmiş olur.

Öte yandan {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} kümesi üzerinde {\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}\Leftrightarrow ff^{-1}=gg^{-1}} olacak şekilde bir {\displaystyle \sim } ilişkisi vardır.

Sonuç olarak {\displaystyle G} bir kategoridir.

Önermeler
---------

**Denklik bağıntısı ile ilişkisi**

{\displaystyle \sim } ilişkisi, {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

> 
> Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: {\displaystyle f\in }{\displaystyle \operatorname {mor} \_{G}(x,x)} olan rastgele bir {\displaystyle ff^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} alalım. Bariz bir şekilde {\displaystyle ff^{-1}} olur. Dolayısıyla {\displaystyle gg^{-1}\sim ff^{-1}}’dir. Böylelikle {\displaystyle \sim } bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele {\displaystyle ff^{-1},gg^{-1},hh^{1}\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} alalım. {\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}} ve {\displaystyle gg^{-1}\sim hh^{-1}} olduğunu varsayalım ve {\displaystyle ff^{-1}\sim hh^{-1}} olduğunu gösterelim.
> 
> 
> {\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}} ve {\displaystyle gg^{-1}\sim hh^{-1}} olduğundan; {\displaystyle ff^{-1}=gg^{-1}} ve {\displaystyle gg^{-1}=hh^{-1}} olur. Buradan da {\displaystyle ff^{-1}=hh^{-1}} eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla {\displaystyle ff^{-1}\sim hh^{-1}}’dir. Sonuç olarak {\displaystyle \sim } ilişkisi {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
> 
> 

**Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi**

Kategori teorisel herhangi bir {\displaystyle G} grupoidi alalım. Her {\displaystyle x\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi için {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} kümesi bir gruptur. 

> Kanıtını açıklayalım;
> 
> 
> • Kapalılık: Rastgele {\displaystyle f,g\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım. {\displaystyle fg} bileşke fonksiyonu da {\displaystyle x}’ten {\displaystyle x}’e giden bir morfizma olacağından {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.
> 
> 
> • Bileşim: Herhangi {\displaystyle f,g,h\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım. {\displaystyle G} grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre {\displaystyle f(gh)=(fg)h} eşitliği sağlandığından bileşke işlemi {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.
> 
> 
> • Birim eleman: {\displaystyle G} grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her {\displaystyle x\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} nesnesi için {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} olduğundan ve {\displaystyle f\operatorname {id} \_{x}=f,\operatorname {id} \_{x}f=f} özellikleri sağlandığından birim eleman {\displaystyle \operatorname {id} \_{x}} vardır ve tektir.
> 
> 
> 
> • Ters eleman: Rastgele bir {\displaystyle f\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım. {\displaystyle G}’nin kategori teorisindeki tanımından {\displaystyle f^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}’dir ve {\displaystyle ff^{-1}=\operatorname {id} \_{x}} ve {\displaystyle f^{-1}f=\operatorname {id} \_{x}} olmaktadır.
> 
> 

**Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi**

{\displaystyle G} bağlı bir grupoid olsun. Rastgele {\displaystyle x,y\in } {\displaystyle \operatorname {ob} (G)} alalım.

Bir {\displaystyle \eta \in } {\displaystyle \operatorname {mor} (y,x)} morfizması için {\displaystyle \varphi \_{\eta }\colon } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)\to } {\displaystyle \operatorname {mor} (y,y)} öyle ki {\displaystyle \gamma \mapsto \eta \gamma \eta ^{-1}} bir grup izomorfizmasıdır. Yani:

*(i)* {\displaystyle \varphi \_{\eta }} bir grup homomorfizmasıdır.

*(ii)* {\displaystyle \varphi \_{\eta }} birebirdir.

*(iii)* {\displaystyle \varphi \_{\eta }} örtendir.

> 
> Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:
> 
> 
> * Rastgele {\displaystyle \gamma \_{1}\gamma \_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım. O halde,
> 
> 
> {\displaystyle \varphi \_{\eta }(\gamma \_{1}\gamma \_{2})=\eta \gamma \_{1}\gamma \_{2}\eta ^{-1}}
> 
> 
> {\displaystyle =\eta \gamma \_{1}\eta ^{-1}\eta \gamma \_{2}\eta ^{-1}}
> 
> 
> {\displaystyle =\varphi \_{\eta }(\gamma \_{1})\varphi \_{\eta }(\gamma \_{2})}
> 
> 
> Sonuç olarak {\displaystyle \varphi \_{\eta }} bir grup homomorfizmasıdır.
> 
> 
> * Herhangi iki {\displaystyle \gamma \_{1}\gamma \_{2}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} alalım ve {\displaystyle \varphi \_{\eta }(\gamma \_{1})=\varphi \_{\eta }(\gamma \_{2})} olsun. O halde,
> 
> 
> {\displaystyle \eta \gamma \_{1}\eta ^{-1}=\eta \gamma \_{2}\eta ^{-1}}
> 
> 
> {\displaystyle \gamma \_{1}\eta ^{-1}=\gamma \_{2}\eta ^{-1}}
> 
> 
> Buradan da {\displaystyle \gamma \_{1}=\gamma \_{2}} elde edilir. O halde {\displaystyle \varphi \_{\eta }} birebirdir.
> 
> 
> * Görüntü kümesinden yani {\displaystyle \operatorname {mor} (y,y)}’den bir {\displaystyle f} elemanı alalım. O halde öyle bir {\displaystyle \gamma \in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} arıyoruz ki {\displaystyle \varphi \_{\eta }(\varphi )=f} olsun. O halde {\displaystyle \gamma =\eta ^{-1}f\eta } alırsak;
> 
> 
> {\displaystyle \varphi \_{\eta }(\gamma )=\varphi \_{\eta }(\eta ^{-1}f\eta )=\eta (\eta ^{-1}f\eta )\eta ^{-1}=(\eta \eta ^{-1})f(\eta \eta ^{-1})=f} olur. O halde {\displaystyle \varphi \_{\eta }} örtendir.
> 
> 
> 
> Sonuç olarak {\displaystyle \varphi \_{\eta }} bir grup izomorfizmasıdır.
> 
>

Temel gruba geçiş
-----------------

Rastgele bir {\displaystyle x\in } için {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} grubuna {\displaystyle G} grupoidinin **temel grubu** adı verilir.

1. ↑  "Brandt semi-group". 9 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi.
2. ↑  "Temel Grup makalesi". *TeMoG*. 18 Mart 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
3. ↑  "Temel Grup". 18 Mart 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.