Matematikte **Cauchy çarpımı**, {\displaystyle a\_{n}} ve {\displaystyle b\_{n}} gibi iki dizinin

{\displaystyle c\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}}
biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi ({\displaystyle R[\mathbb {N} ]}) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

Diziler
-------

{\displaystyle a\_{n}} ve {\displaystyle b\_{n}} dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n},\qquad \sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}}
Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. *n* = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

{\displaystyle \left(\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\right)\cdot \left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}\right)=\sum \_{n=0}^{\infty }c\_{n}}
"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }c\_{n}}
sonsuz dizi toplamının

{\displaystyle \left(\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\right)\left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}\right)}
çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

Örnekler
--------

### Sonlu diziler

Tüm {\displaystyle i>n} değerleri için {\displaystyle x\_{i}=0} ve tüm {\displaystyle i>m} değerleri için {\displaystyle y\_{i}=0} koşulları sağlanıyorsa {\displaystyle \sum x} ve {\displaystyle \sum y}'nin Cauchy çarpımı {\displaystyle (x\_{0}+\cdots +x\_{n})(y\_{0}+\cdots +y\_{m})} olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

### Sonsuz diziler

* {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } değerleri için {\displaystyle x\_{n}=a^{n}/n!\,} ve {\displaystyle y\_{n}=b^{n}/n!\,} eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

{\displaystyle C(x,y)(n)=\sum \_{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}
eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan {\displaystyle \exp(a)=\sum x} ve {\displaystyle \exp(b)=\sum y} eşitlikleri {\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)} sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)} (tüm {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } değerleri için)

* Tüm {\displaystyle n\in \mathbb {N} } değerleri için {\displaystyle x(n)=1} koşulu sağlanıyorsa {\displaystyle C(x,x)(n)=n+1} eşitliği tüm {\displaystyle n\in \mathbb {N} } değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı

{\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}
olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramı
-----------------------------

*x* ve *y* gerçel diziler olmak üzere, {\displaystyle \sum y} dizisi *Y*'ye yakınsıyor ve {\displaystyle \sum x} dizisi *X*'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ({\displaystyle \sum C(x,y)}) *XY*'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, {\displaystyle x\_{n}=(-1)^{n}/n} dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak {\displaystyle C(x,x)} sıfıra yakınsamamaktadır.

### Mertens kuramının kanıtı

{\displaystyle X\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}x\_{i}}, {\displaystyle Y\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}y\_{i}} ve {\displaystyle C\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}C(x,y)(i)} eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle {\displaystyle C\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}\sum \_{k=0}^{i}x\_{k}y\_{i-k}=\sum \_{i=0}^{n}Y\_{i}x\_{n-i}} sonucuna ulaşılır ve böylece {\displaystyle C\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(Y\_{i}-Y)x\_{n-i}+YX\_{n}} eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, {\displaystyle \sum x} mutlak yakınsak ve {\displaystyle \sum y} yakınsak olduğundan tüm *n* ≥ *N* değerleri için {\displaystyle |Y\_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum \_{n=0}^{\infty }|x\_{n}|+1}}} eşitsizliğini sağlayan bir *N* tam sayısı ve tüm {\displaystyle n\geq M} değerleri için {\displaystyle |x\_{n-N}|<{\frac {\varepsilon }{4N\sup |Y\_{n}-Y|+1}}} eşitsizliğini sağlayan bir *M* tam sayısı bulunur. Ayrıca, {\displaystyle n\geq L} koşulu sağlanıyorsa {\displaystyle |X\_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}} eşitsizliğini sağlayan bir *L* tam sayısı da bulunur. Böylece; *N*, *M* ve *L*'den büyük tüm *n* tam sayıları için

{\displaystyle |C\_{n}-XY|=|\sum \_{i=0}^{n}(Y\_{i}-Y)x\_{n-i}+Y(X\_{n}-X)|\leq \sum \_{i=0}^{N-1}|Y\_{i}-Y||x\_{n-i}|+\sum \_{i=N}^{n}|Y\_{i}-Y||x\_{n-i}|+|Y||X\_{n}-X|<\varepsilon }
eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği {\displaystyle \sum C(x,y)\to XY} ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramı
-------------

*x* ve *y* gerçel diziler olmak üzere {\displaystyle \sum x\to A} ve {\displaystyle \sum y\to B} ise

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum \_{i=0}^{n}C(x,y)\_{n}\right)\to AB}
ifadesi yazılabilir.

Genellemeler
------------

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar {\displaystyle \mathbb {C} } (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. **Cauchy çarpımı**, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi
---------------------------

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ({\displaystyle (\dots ,1,\dots )}) tanımsızdır.

Kaynakça
--------

*