**Montgomery Eğrisi** Peter L. Montgomery tarafından 1987’de tanımlanmış, klasik Weierstrass formundan farklı bir eliptik eğri formudur. Belirli hesaplamalar için ve özellikle farklı kriptografi uygulamalarında kullanılır.

Tanımı
------

Montgomery eğrisinin denklemi;{\textstyle {\frac {1}{4}}y^{2}=x^{3}+2,5x^{2}+x}
*K* cismi üzerinde Montgomery egrisi, belirli *A*, *B* ∈ *K* değerleri için ve *B*(*A*2 − 4) ≠ 0 eşitsizliği sağlanıyorken, aşağıdaki eşitsizlikle tanımlanır:

{\displaystyle M\_{A,B}:By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x}
Bu eğri genellikle bir *K* sonlu cismi üzerinde tanımlı olur. (örnek olarak *q* elemanın oluşturduğu bir sonlu cisim, *K* = **F***q*) Bu sonlu cismin karakteristiği 2'den farklı ve *A* ∈ *K* ∖ {−2, 2}, *B* ∈ *K* ∖ {0}, olması gerektiğine dikkat edelim. Aynı zamanda *A* ve *B* için aynı kısıtlamalara sahip rasyoneller üzerinde de düşünülür.

Montgomery Aritmetiği
---------------------

Bir eliptik eğri üzerinde noktaları arasında, **nokta toplama** ve **nokta ikileme** işlemleri gerçekleştirilebilmektedir. Nokta Toplama; {\displaystyle P,Q} eliptik eğrisi üzerinde tanımlı iki nokta olmak üzere {\displaystyle R=P+Q}; olacak şekilde {\displaystyle R} noktası bulmak işlemidir. Nokta İkileme ise {\displaystyle [2]P=P+P} işlemidir. (Kullanılan işlemler hakkında detaylı bilgi için bkz; elliptic eğri grup kuralları (eng: the group law))

{\displaystyle P=(x,y)} noktası Montgomery formundaki {\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x} eliptik eğrisi üzerinde bir nokta olmak üzere, bu noktanın Montgomery koordinatları {\displaystyle P=(X:Z)} Burada {\displaystyle P=(X:Z)} projektif koordinatlardır. ({\displaystyle x=X/Z} ve {\displaystyle Z\neq 0}).

Bir nokta için bu tür bir temsilin(dönüşümün) bilgi kaybettiğine dikkat edin: gerçekten {\displaystyle (x,y)} ve {\displaystyle (x,-y)} (afin noktalarının kullanımında bir ayrım gözetilmez çünkü her iki noktanın kullanımı da bize {\displaystyle (X:Z)} sonucunu verecektir. Ancak, bu gösterim(dönüşüm) ile bir {\displaystyle P=(X:Z)} noktanın n sayısı ile çarpılmasını elde etmek mümkündür; {\displaystyle [n]P=(X\_{n}:Z\_{n})}

Şimdi, iki nokta dikkate alalım; 
{\displaystyle P\_{n}=[n]P=(X\_{n}:Z\_{n})} ve {\displaystyle P\_{m}=[m]P=(X\_{m}:Z\_{m})}:

Bu iki noktanın toplamları aşağıdaki şekilde ifade edilir;

{\displaystyle P\_{m+n}=P\_{m}+P\_{n}=(X\_{m+n}:Z\_{m+n})}
bu toplamın koordinatları:

{\displaystyle X\_{m+n}=Z\_{m-n}((X\_{m}-Z\_{m})(X\_{n}+Z\_{n})+(X\_{m}+Z\_{m})(X\_{n}-Z\_{n}))^{2}}
{\displaystyle Z\_{m+n}=X\_{m-n}((X\_{m}-Z\_{m})(X\_{n}+Z\_{n})-(X\_{m}+Z\_{m})(X\_{n}-Z\_{n}))^{2}}

```
Eğer {\displaystyle m=n} ise bu işlem "nokta ikileme" işlemine dönüşür; {\displaystyle [2]P\_{n}=P\_{n}+P\_{n}=P\_{2n}=(X\_{2n}:Z\_{2n})} Koordinatları ise aşağıdaki eşitsizliklerle belirlenir;
```

{\displaystyle 4X\_{n}Z\_{n}=(X\_{n}+Z\_{n})^{2}-(X\_{n}-Z\_{n})^{2}}
{\displaystyle X\_{2n}=(X\_{n}+Z\_{n})^{2}(X\_{n}-Z\_{n})^{2}}
{\displaystyle Z\_{2n}=(4X\_{n}Z\_{n})((X\_{n}-Z\_{n})^{2}+((A+2)/4)(4X\_{n}Z\_{n}))}
Yukarıdaki ilk işlemin(toplama işleminin) maliyeti: (3**M**+2**S**) (Burada **M,** tanımlı eliptik eğrideki herhangi iki elemanın çarpımını, **S** ise tanımlı cisimdeki bir elemanın karesini ifade ediyor)

İkinci işlemin(ikileme) maliyeti : 2**M** + 2**S** + 1**D**, (Burada **D** herhangi bir elemanın bir {\displaystyle (A+2)/4} değeri seçilebilir.

Algoritma ve Örnek
------------------

Montgomery formunda bir eliptik eğrininin bir noktasının {\displaystyle P\_{1}=(X\_{1}:Z\_{1})} nokta ikilemesi, aşağıdaki algoritma ile gösterilebilir;

```
{\displaystyle Z\_{1}=1} varsayıldığı durumda bu implementasyonun maliyeti; 1 + 2 + *1 + 3add + 1*4. (Burada **M** gerekli çarpma işlemlerini, **S** ise kare alma işelemlerini, *a* ise **A** ile çarpma işlemlerini belirtir.)
```

{\displaystyle XX\_{1}=X\_{1}^{2}\,}
{\displaystyle X\_{3}=(XX\_{1}-1)^{2}\,}
{\displaystyle Z\_{3}=4X\_{1}(XX\_{1}+aX\_{1}+1)\,}
### Örnek

Kabul edelim ki {\displaystyle P\_{1}=(2,{\sqrt {3}})} noktası, {\displaystyle 2y^{2}=x^{3}-x^{2}+x} eğrisi üzerinde bir nokta olsun.
Koordinatları; 
{\displaystyle (X\_{1}:Z\_{1})} ; {\displaystyle x\_{1}=X\_{1}/Z\_{1}}, {\displaystyle P\_{1}=(2:1)}
O halde:

{\displaystyle XX\_{1}=X\_{1}^{2}=4\,}
{\displaystyle X\_{3}=(XX\_{1}-1)^{2}=9\,}
{\displaystyle Z\_{3}=4X\_{1}(XX\_{1}+AX\_{1}+1)=24\,}
Sonuç olarak bulduğumuz nokta; {\displaystyle P\_{3}=(X\_{3}:Z\_{3})=(9:24)} dikkat edilirse, {\displaystyle P\_{3}=2P\_{1}}.

Nokta Toplama
-------------

```
{\displaystyle P\_{1}=(x\_{1},y\_{1})}{\displaystyle P\_{2}=(x\_{2},y\_{2})} afin koordinatlarda Montgomery eğrisi {\displaystyle M\_{A,B}} üzerinde iki nokta olmak üzere, 
```

{\displaystyle P\_{3}=P\_{1}+P\_{2}} şeklinde belirlenen nokta geometrik olarak {\displaystyle M\_{A,B}} ile {\displaystyle P\_{1}} ve {\displaystyle P\_{2}} noktalarını birleştiren doğrunun kesimini ifade eden üçüncü bir noktadır. Bu noktanın koordinatları {\displaystyle (x\_{3},y\_{3})} aşağıdaki şekilde belirlenir:

1) 2 boyutlu afin uzayda, {\displaystyle ~y=lx+m} doğrusunun {\displaystyle P\_{1}} ve {\displaystyle P\_{2}} noktalarından geçtiğini varsayalım.(bu varsayımdan yararlanarak), 

{\displaystyle l={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}} ve {\displaystyle m=y\_{1}-\left({\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}\right)x\_{1}};
elde edilir.

2) Doğru ile {\displaystyle M\_{A,B}}, eğri denklemindeki {\displaystyle ~y} değişkeni {\displaystyle ~y=lx+m} ile değiştirilirse aşağıdaki 3. dereceden denklem elde edilir:

{\displaystyle x^{3}+(A-Bl^{2})x^{2}+(1-2Blm)x-Bm^{2}=0.}
Daha önce gözlemlenebildiği gibi, bu denklem {\displaystyle P\_{1}}, {\displaystyle P\_{2}} ve {\displaystyle P\_{3}} noktalarının x koordinatlarına göre üç köke sahiptir. Öyleyse denklem;

{\displaystyle (x-x\_{1})(x-x\_{2})(x-x\_{3})=0} şeklinde yazılır.
3) Yukarıda verilen iki özdeş denklemin katsayılarının, özellikle de ikinci mertebeden olanın terimlerinin katsayılarının karşılaştırılmasıyla aşağıdaki denklem elde edilir:

{\displaystyle -x\_{1}-x\_{2}-x\_{3}=A-Bl^{2}}.
Böylelikle,{\displaystyle x\_{3}} terimi {\displaystyle x\_{1}}, {\displaystyle y\_{1}}, {\displaystyle x\_{2}}, {\displaystyle y\_{2}} terimleri cinsinden aşağıdaki biçimde yazılabilir:

{\displaystyle x\_{3}=B\left({\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}\right)^{2}-A-x\_{1}-x\_{2}.}
4) {\displaystyle P\_{3}} noktasının {\displaystyle ~y} koordinatını bulabilmek için, {\displaystyle x\_{3}} değerini  {\displaystyle ~y=lx+m} doğrusunda yerine koymak yeterlidir. Bunun doğrudan {\displaystyle P\_{3}} noktasını vermeyeceğine dikkat edin. Gerçekten, bu yöntemle, {\displaystyle R+P\_{1}+P\_{2}=P\_{\infty }},  sağlayan {\displaystyle ~R} noktasının koordinatları bulunur. Eğer  {\displaystyle P\_{1}} ve {\displaystyle P\_{2}} nokta ekleme işleminin sonuç noktasına ihtiyaç duyulursa, {\displaystyle R+P\_{1}+P\_{2}=P\_{\infty }} ancak ve ancak{\displaystyle -R=P\_{1}+P\_{2}} olması durumunu göz önüne almak gereklidir. Bu yüzden, verilen {\displaystyle ~R} noktası için {\displaystyle ~-R} noktasını bulmak gereklidir. Bu işlem verilen {\displaystyle ~R} nin y koordinatının işaretini değiştirerek kolaylıkla yapılabilir. Başka bir deyişle, doğru denkleminde {\displaystyle x\_{3}} ün yerine konulmasıyla elde edilen {\displaystyle ~y} koordinatının işaretini değiştirmek yeterli olacaktır.

Öyleyse {\displaystyle P\_{3}=(x\_{3},y\_{3})} noktasının koordinatları,{\displaystyle P\_{3}=P\_{1}+P\_{2}} şunlardır:

{\displaystyle x\_{3}={\frac {B(y\_{2}-y\_{1})^{2}}{(x\_{2}-x\_{1})^{2}}}-A-x\_{1}-x\_{2}={\frac {B(x\_{2}y\_{1}-x\_{1}y\_{2})^{2}}{x\_{1}x\_{2}(x\_{2}-x\_{1})^{2}}}}
{\displaystyle y\_{3}={\frac {(2x\_{1}+x\_{2}+A)(y\_{2}-y\_{1})}{x\_{2}-x\_{1}}}-{\frac {B(y\_{2}-y\_{1})^{3}}{(x\_{2}-x\_{1})^{3}}}-y\_{1}}

Nokta İkileme
-------------

 {\displaystyle M\_{A,B}} Montgomery Eğrisi üzerinde verilen bir {\displaystyle P\_{1}} noktası için, {\displaystyle [2]P\_{1}}; Geometrik olarak eğri ile {\displaystyle P\_{1}}'eğet olan doğru arasındaki kesişimi ifade eden üçüncü noktasını temsil eder;{\displaystyle P\_{3}=2P\_{1}} sağlayan {\displaystyle P\_{3}} noktasının koordinatlarını bulabilmek için, **'nokta toplama'** metodundakine benzer bir yol izlenir; ancak, bu durumda, 
*y* = *lx* + *m*  doğrusu {\displaystyle P\_{1}} eğrisine teğet olmalıdır. Bu yüzden, eğer {\displaystyle M\_{A,B}:f(x,y)=0} ile

{\displaystyle f(x,y)=x^{3}+Ax^{2}+x-By^{2},}
Doğrunun eğimini temsil eden *l* değeri aşağıdaki gibi verilir:

{\displaystyle l=-\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right/{\frac {\partial f}{\partial y}}}
kapalı fonksiyon teoremi'ne göre yazılabilir.

Yani {\displaystyle l={\frac {3x\_{1}^{2}+2Ax\_{1}+1}{2By\_{1}}}} ve {\displaystyle P\_{3}}, {\displaystyle P\_{3}=2P\_{1}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{3}&=Bl^{2}-A-x\_{1}-x\_{1}={\frac {B(3x\_{1}^{2}+2Ax\_{1}+1)^{2}}{(2By\_{1})^{2}}}-A-x\_{1}-x\_{1}\\&={\frac {(x\_{1}^{2}-1)^{2}}{4By\_{1}^{2}}}={\frac {(x\_{1}^{2}-1)^{2}}{4x\_{1}(x\_{1}^{2}+Ax\_{1}+1)}}\\[8pt]y\_{3}&=(2x\_{1}+x\_{1}+A)l-Bl^{3}-y\_{1}\\&={\frac {(2x\_{1}+x\_{1}+A)(3{x\_{1}}^{2}+2Ax\_{1}+1)}{2By\_{1}}}-{\frac {B(3{x\_{1}}^{2}+2Ax\_{1}+1)^{3}}{(2By\_{1})^{3}}}-y\_{1}.\end{aligned}}}

Bükülmüş Edwards eğrileri ile denkliği
--------------------------------------

Kabul edelim ki {\displaystyle K} karakteristiği 2'den farkli bir cisim olsun.

Yine kabul edelim ki {\displaystyle M\_{A,B}} Montgomery formunda bir eliptik eğri olsun:

{\displaystyle M\_{A,B}:Bv^{2}=u^{3}+Au^{2}+u}

```
 {\displaystyle A\in K\smallsetminus \{-2,2\}}, {\displaystyle B\in K\smallsetminus \{0\}}
```

ve kabul edelim ki {\displaystyle E\_{a,d}} bükülmüş Edwards formunda bir eliptik eğri olsun: 

{\displaystyle E\_{a,d}\ :\ ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2},\,}

```
 {\displaystyle a,d\in K\smallsetminus \{0\},\quad a\neq d.}
```

Aşağıdaki teoremi Mongomery eğrileri ile bükülmüş Edwards eğrileri arasındaki birasyonel denkliği gösterir:

**Teorem** (i) {\displaystyle K} üzerinde, her bükülmüş Edwards eğrisi bir Montgomery eğrisine birasyonel denktir. Özellikle, {\displaystyle E\_{a,d}} bükülmüş Edwards eğrisi, {\displaystyle M\_{A,B}} Montgomery eğrisine; 
 
{\displaystyle A={\frac {2(a+d)}{a-d}}} ve {\displaystyle B={\frac {4}{a-d}}} 
sağlanıyorken birasyonel denktir.

Eşleme:

{\displaystyle \psi \,:\,E\_{a,d}\rightarrow M\_{A,B}}
{\displaystyle (x,y)\mapsto (u,v)=\left({\frac {1+y}{1-y}},{\frac {1+y}{(1-y)x}}\right)}
{\displaystyle E\_{a,d}}'den {\displaystyle M\_{A,B}}' ye birasyonel denklik, tersi;

{\displaystyle \psi ^{-1}}: {\displaystyle M\_{A,B}\rightarrow E\_{a,d}}
{\displaystyle (u,v)\mapsto (x,y)=\left({\frac {u}{v}},{\frac {u-1}{u+1}}\right),a={\frac {A+2}{B}},d={\frac {A-2}{B}}}
Dikkat edilirse, iki eğri arasındaki bu denklik her yerde geçerli değildir: gerçekten de {\displaystyle \psi } eşlemesi {\displaystyle M\_{A,B}}'de {\displaystyle v=0} ya da {\displaystyle u+1=0} noktalarında tanımlı değildir.

Weierstrass eğrileri ile denkliği
---------------------------------

Tüm eliptik eğriler Weierstrass formunda yazılabilir. Özellikle, Montgomery formundaki eliptik eğriyi ele alalım;

{\displaystyle M\_{A,B}}: {\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x,}
aşağıdaki şekilde dönüştürülebilir:

```
{\displaystyle M\_{A,B}}'nin her bir terimini {\displaystyle B^{3}}'e bölüp ve *x*,*y* değerlerine, {\displaystyle u={\frac {x}{B}}}, {\displaystyle v={\frac {y}{B}}} dönüşümü uygulanırsa,
```

{\displaystyle v^{2}=u^{3}+{\frac {A}{B}}u^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}u.}
Bir kısa Weierstrass formu elde edebilmek için burada *u'*yu {\displaystyle t-{\frac {A}{3B}}} değeri ile değiştirtirmek gerekir:

{\displaystyle v^{2}=\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{3}+{\frac {A}{B}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right);}
Sonuç olarak:

{\displaystyle v^{2}=t^{3}+\left({\frac {3-A^{2}}{3B^{2}}}\right)t+\left({\frac {2A^{3}-9A}{27B^{3}}}\right).}
Dolayısıyla eşleme şöyle verilir:

{\displaystyle \psi }: {\displaystyle M\_{A,B}\rightarrow E\_{a,b}}
{\displaystyle (x,y)\mapsto (t,v)=\left({\frac {x}{B}}+{\frac {A}{3B}},{\frac {y}{B}}\right),a={\frac {3-A^{2}}{3B^{2}}},b={\frac {2A^{3}-9A}{27B^{3}}}}
aksine,{\displaystyle \mathbb {F} } baz cismi üzerinde Weierstrass formunda bir eliptik eğri:

{\displaystyle E\_{a,b}}: {\displaystyle v^{2}=t^{3}+at+b}
Montgomery formuna ancak ve ancak {\displaystyle E\_{a,b}} mertebesi 4'e bölünebilirse ve aşağıdaki koşulları sağlarsa dönüştürülebilir:

1. {\displaystyle z^{3}+az+b=0} en az bir {\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} } köküne sahip; ve
2. {\displaystyle 3\alpha ^{2}+a} {\displaystyle \mathbb {F} }'de bir ikinci dereceden rezidü.

Bu şartlar sağlandığında, {\displaystyle s=({\sqrt {3\alpha ^{2}+a}})^{-1}} için aşağıdaki eşlemeye sahip olunur;

{\displaystyle \psi ^{-1}}: {\displaystyle E\_{a,b}\rightarrow M\_{A,B}}
{\displaystyle (t,v)\mapsto (x,y)=\left(s(t-\alpha ),sv\right),A=3\alpha s,B=s}.

Ayrıca bakınız
--------------

* Curve25519
* Curve25519
* Eliptik egri kriptografisi

Notlar
------

1. ↑  Peter L. Montgomery (1987). "Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization". *Mathematics of Computation*. **48** (177). ss. 243-264. doi:10.2307/2007888. JSTOR 2007888.
2. ↑  Daniel J. Bernstein, Peter Birkner, Marc Joye, Tanja Lange and Christiane Peters (2008). *Twisted Edwards Curves* (PDF). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-68159-5. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link) [*ölü/kırık bağlantı*]
3. ↑  Katsuyuki Okeya, Hiroyuki Kurumatani, and Kouichi Sakurai (2000). *Elliptic Curves with the Montgomery-Form and Their Cryptographic Applications*. Public Key Cryptography (PKC2000). 8 Mart 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Nisan 2018. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

Kaynakça
--------

* Peter L. Montgomery (1987). "Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization". *Mathematics of Computation*. **48** (177). ss. 243-264. doi:10.2307/2007888. JSTOR 2007888.
* Daniel J. Bernstein, Peter Birkner, Marc Joye, Tanja Lange and Christiane Peters (2008). *Twisted Edwards Curves* (PDF). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-68159-5. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link) [*ölü/kırık bağlantı*]
* Wouter Castryck; Steven Galbraith; Reza Rezaeian Farashahi (2008). "Efficient Arithmetic on Elliptic Curves using a Mixed Edwards-Montgomery Representation" (PDF). 29 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Nisan 2018.