Matematikte **birleşmeli özellik**, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere **birleşmeli** işlem denir. Açık olarak bu özellik, *(xy)z = x(yz)* demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşmeli özellikte işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tam sayılar kümesi **Z** üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)} eşitliği her {\displaystyle x,\,y,\,z} için sağlanmasına karşın, {\displaystyle (x-y)-z=x-(y-z)} eşitliği {\displaystyle z\neq 0} için sağlanmaz.

Üç {\displaystyle x,\,y,\,z} elemanı için geçerli olan bu özellik elbet {\displaystyle n} tane eleman için de geçerlidir. Örneğin {\displaystyle (xy)(zt)=((xy)z)t=(x(yz))t=x(y(zt))}.

{\displaystyle \star }, *X* kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her {\displaystyle x,\,y,z\in X} için {\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)} ise, {\displaystyle \star } ikili işleminin **birleşmeli işlem** olduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü {\displaystyle x-(y-z)} sayısı eğer z, 0'a eşit değilse {\displaystyle (x-y)-z}'ye eşit değildir.

Birleşmeli özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden {\displaystyle (x\star y)\star z} ve {\displaystyle x\star (y\star z)} yerine, {\displaystyle x\star y\star z} yazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşmeli özelliğini sağlayan bir işlem söz konusu olduğunda, {\displaystyle (x\star y)\star (z\star t)}, {\displaystyle (x\star (y\star z))\star t}, {\displaystyle x\star ((y\star z))\star t)}, gibi çarpımlar parantezsiz olarak {\displaystyle x\star y\star z\star t} olarak yazılır.

Birleşmeli özelliği sağlamayan yapılarda {\displaystyle x^{3}} elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman {\displaystyle x\star (x\star x)} olarak tanımlanabileceği gibi {\displaystyle (x\star x)\star x} olarak da tanımlanabilir. {\displaystyle x^{4}} için çok daha fazla seçenek olabilir.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların birleşmeli işlemidir. Eğer *X* bir kümeyse, Fonk(*X*, *X*), *X* kümesinden *X* kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer {\displaystyle f,\,g\in } Fonk(*X*, *X*) ise, gene *X* kümesinden *X* kümesine giden ve adına "*f* ile *g* fonksiyonlarının bileşkesi" denilen *f* o *g* fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her {\displaystyle x\in X} için, (*f* o *g*)(*x*) = *f*(*g*(*x*)) olsun. Bu, Fonk(*X*, *X*) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşmeli özelliği vardır.

Cebirde ender olsa da birleşmeli özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.

Kümelerde birleşme işareti
--------------------------

Kümelerde birleşme işareti "U" şeklindedir. İki ya da daha çok kümenin elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B iki küme ise bu iki kümenin birleşimi A U B şeklinde gösterilir.

örneğin: A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 3, a, b } ise A U B kümesini liste yöntemi ile gösterelim; A U B={1,3,5,7,a,b}

Örnekler
--------

* Her öbek birleşmelidir.
* Her Halka için işlemler kendi içinde birleşmelidir.
* Her Cisim için işlemler kendi içinde birleşmelidir.
* Matrisler, matris çarpımı işlemine göre birleşmelidir.
* Vektörel çarpım birleşmeli bir işlem değildir.

{\displaystyle a\times (b\times c)\neq (a\times b)\times c}
{\displaystyle a\cdot (b\times c)=(a\times b)\cdot c}.

Birleşmesiz
-----------

Kümelerdeki ikili işlemlerde birleşme özelliğini sağlamıyorsa buna birleşmesiz denir.

{\displaystyle (x\*y)\*z\neq x\*(y\*z)\qquad {\mbox{birkaç }}x,y,z\in S.}
Bazı işlemler birleşmesizdir.

* Çıkarma

{\displaystyle (5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)}
* Bölme

{\displaystyle (4/2)/2\,\neq \,4/(2/2)}
* Üslü sayı

{\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}}
Sonsuz toplamlar birleşmesizdir.

{\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots \,=\,0}
Birleşmesiz yapılar konusu klasik cebirin yapısındaki farklılıklardan meydana gelmiştir. Birleşmesiz cebir Lie cebir konusunda daha büyük bir alana sahiptir artık. Birleşmeli kuralı Jacobi özdeşliği ile yer değiştirmiştir. Lie alcebrası sonsuz küçük dönüşümlerin temelini değiştirip matematikte her yerde bulunan bir özellik haline getirmiştir.

### Kayan Nokta Hesaplamasının Birleşmesiz Olanı

Matematikte toplama ve çarpma birleşmelidir. Bunun aksine hatalar yuvarlandığında ve farklı boyuttaki değerler birleştiğinde bilgisayar biliminde kayan noktanın toplanması ve çarpılması birleşmesizdir.
Örnek verilecek olunursa; 4 bit mantissa ile kayan nokta gösterimi:
  
(1.0002×20 +
1.0002×20) +
1.0002×24 =
1.0002×21 +
1.0002×24 =
1.0012×24
  
1.0002×20 +
(1.0002×20 +
1.0002×24) =
1.0002×21 +
1.0002×24 =
1.0002×24
Birçok bilgisayar 53 ve 24 bitlik mantissa ile çalışmasına rağmen, yuvarlama hatasında önemli bir kaynaktır ve Kahan toplama algoritması ile bu hatalar en küçük hale getirilir. Özellikle paralel hesaplamalarda önemli bir problemdir.

### Birleşmesiz İşlemlerdeki Notasyon

Genelde parantezler birleşmesiz durumlardaki işlem sırasını göstermek için kullanılır. Ancak matematikçiler bir işlem sırası belirlemişlerdir bazı birleşmesiz işlemler için. Kısaca parantezlerden kurtulmak için yapmışlardır.
Sol birleşmeli soldan sağa giderken:

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x\*y\*z=(x\*y)\*z\qquad \qquad \quad \,\\w\*x\*y\*z=((w\*x)\*y)\*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{bütün }}w,x,y,z\in S}
Sağ birleşmeli sağdan sola gider:

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x\*y\*z=x\*(y\*z)\qquad \qquad \quad \,\\w\*x\*y\*z=w\*(x\*(y\*z))\quad \\{\mbox{vb}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{bütün }}w,x,y,z\in S}
Ancak bunların ikisi de meydana geldiğinde Sol birleşmeli işlemlerde:

* Gerçek sayıların çıkarması ve bölünmesi:

{\displaystyle x-y-z=(x-y)-z\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in \mathbb {R} ;}
{\displaystyle x/y/z=(x/y)/z\qquad \qquad \quad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}y\neq 0,z\neq 0.}
* Fonksiyonlarda:

{\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y)}
Sağ birleşmeli işlemlerde:

* Üslü sayılarda:

{\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.\,}
Sol birleşmeli işlemin burada kullanılmamasındaki sebep daha az kullanışlı olmasıdır
* Fonksiyon Tanımında:

{\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}
{\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)}
Birleşmesiz işlemlerde bazı işlemlerin sırası aşağıdaki gibidir.

* Üç vektörün çapraz çarpımı alınırken:

{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ bazı }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}
* Gerçel sayıların ortalama değeri alınırken:

{\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ ile }}x\neq z.}

Ayrıca bakınız
--------------

* yarı öbek
* Değişme özelliği ve Dağılma özelliği

Kaynakça
--------

1. ↑  Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
2. ↑  IEEE Computer Society (29 Ağustos 2008). "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic". IEEE. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.
3. ↑  Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, *Effects of Floating-Point non-Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems* (PDF), 15 Şubat 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 8 Nisan 2014
4. ↑  Goldberg, David, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic" (PDF), *ACM Computing Surveys*, **23** (1), ss. 5-48, 15 Şubat 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 8 Nisan 2014