Matematikte iç içe kökler kök içinde köklü ifadelerin bulunması durumudur.

İç içe sonsuz kökler
--------------------

{\displaystyle ax^{n}+bx+c=0} genel denklemi için:

{\displaystyle ax^{n}=-bx-c\Rightarrow x^{n}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}} yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}} şeklinde düzendi.

{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}} denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}}}} olur.

İki defa yazılırsa {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}}}}}} olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.

Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa :{\displaystyle {\color {Violet}x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}}} şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.

*Bunun tersi de doğrudur.* Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye {\displaystyle x} denilirse {\displaystyle ax^{n}+bx+c=0} elde edilir.

**Çünkü :** {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}} içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa {\displaystyle x^{n}={-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}\Rightarrow -x^{n}-{\frac {c}{a}}={{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}} şeklinde olur işleme devam edilirse **{\displaystyle {\frac {b}{a}}[-x^{n}-{\frac {c}{a}}]={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}** oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti. **{\displaystyle {\frac {b}{a}}[-x^{n}-{\frac {c}{a}}]=x}** ve ispat tamamlanmış olur.

Genel **Sonuç :** {\displaystyle ax^{n}+bx+c=0\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}} dir.

Eğer denklem {\displaystyle ax^{n}+bx=0} şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.

{\displaystyle ax^{n}=-bx\Rightarrow x^{n}=-{\frac {b}{a}}x\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}}} şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}}}}} olur. İki defa yazılırsa {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}}}}}}} şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir. {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}}} şeklinde sonsuza gider. *Bunun tersi de doğrudur*.

Tersi için {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}}} denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa {\displaystyle x^{n}={-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}} devam edilirse {\displaystyle -{\frac {a}{b}}x^{n}={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}} bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}} yerine x yazılırsa {\displaystyle -{\frac {a}{b}}x^{n}=x} olur. Bu denklem düzenlenirse {\displaystyle ax^{n}+bx=0} denklemi elde edilir. {\displaystyle ax^{n}+bx=0} denkleminde {\displaystyle x^{n}=-{\frac {b}{a}}x\Rightarrow x^{n-1}=-{\frac {b}{a}}\Rightarrow x={\sqrt[{n-1}]{-{\frac {b}{a}}}}} Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.

Genel Sonuç 2 : {\displaystyle ax^{n}+bx=0\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}}} ve {\displaystyle {\color {Blue}{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}={\sqrt[{n-1}]{-{\frac {b}{a}}}}}} olur.

Genel Sonuç 2 için ikinci yol: {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}} bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda{\displaystyle ax^{n}+bx+c=0} denkleminde artık sabit sayı olmaz.

{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}}} şeklinde olur.

### Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler

İspatlar dan sonra bir ispat daha

{\displaystyle x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y...}}}}}}}}} şeklinde gösterilen iç içe kökler denir. {\displaystyle m=x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y...}}}}}}}}} işlemin sonucuna m denilirse {\displaystyle m=x{\sqrt[{n}]{y:m}}} şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor.İspatı yukarıda yapıldı) {\displaystyle m=x{\sqrt[{n}]{y:m}}\Rightarrow m^{n}=x^{n}y:m} olur işleme devam edilirse {\displaystyle m^{n}m=x^{n}y\Rightarrow m^{n+1}=x^{n}y} eşit olur. Her iki tarafın {\displaystyle n+1} dereceden kökü alınırsa {\displaystyle m={\sqrt[{n+1}]{x^{n}y}}} eşit olur. {\displaystyle m=x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y...}}}}}}}}} eşitti. O zaman {\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{x^{n}y}}=x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y...}}}}}}}}} eşitliğinde doğrudur.

### Genel sonuç 3

{\displaystyle {\color {Emerald}{\sqrt[{n+1}]{x^{n}y}}=x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y:x{\sqrt[{n}]{y...}}}}}}}}}}

İkinci dereceden denklemin iç içe köklerle ilişkisi
---------------------------------------------------

Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.

{\displaystyle ax^{n}+bx+c=0} denkleminde {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}} eşitti. {\displaystyle n=2} alınması durumunda {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} denklemi ve {\displaystyle x={\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {...}}}}}}}}} oluşur.

Sonuç olarak {\displaystyle ax^{n}+bx+c=0\Rightarrow x={\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {...}}}}}}}}} eşittir.

İkinci dereceden denklemin bir kökü {\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır. {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {...}}}}}}}}} eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)

*İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :*

{\displaystyle ax^{2}+bx=0} şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem {\displaystyle ax^{n}+bx=0} denkleminin {\displaystyle n=2} için özel bir durumudur. {\displaystyle ax^{n}+bx=0} denkleminde {\displaystyle x={\sqrt[{n-1}]{-{\frac {b}{a}}}}} eşitti. Burada {\displaystyle n=2} için

{\displaystyle ax^{2}+bx=0\Rightarrow x={-{\frac {b}{a}}}} olur. x ler eşit olduğundan dolayı {\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}={\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {.}}..}}}}}}} eşitliği yazılabilir.

### Sonuç 1

{\displaystyle {\color {Violet}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt {...}}}}}}}}}} eşittir.

{\displaystyle -{\frac {b}{a}}=r} ve {\displaystyle -{\frac {c}{a}}=p} dönüşümleri yapılırsa: {\displaystyle {\frac {ar+{\sqrt {(ar)^{2}+4pa^{2}\ }}}{2a}}={\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {...}}}}}}}}} işleme devam edilirse {\displaystyle {\frac {ar+{\sqrt {(ar)^{2}+4pa^{2}\ }}}{2a}}={\frac {ar+a{\sqrt {(r)^{2}+4p\ }}}{2a}}={\frac {r+{\sqrt {r^{2}+4p\ }}}{2}}}

{\displaystyle {\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {...}}}}}}}}={\frac {r+{\sqrt {r^{2}+4p\ }}}{2}}} eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı {\displaystyle r} ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu {\displaystyle {\color {Purple}r{\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {p+r{\sqrt {...}}}}}}}}={\frac {r^{2}+r{\sqrt {r^{2}+4p\ }}}{2}}}} olur. Burada {\displaystyle {\color {Red}r>0}} olduğuna dikkat ediniz.

### Sonuç 2

{\displaystyle -{\frac {b}{a}}={\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {-{\frac {b}{a}}{\sqrt {.}}..}}}}}}}

{\displaystyle -{\frac {b}{a}}=r} dönüşümü yapılırsa: {\displaystyle {\color {Brown}r={\sqrt {r{\sqrt {r{\sqrt {r{\sqrt {.}}..}}}}}}}} olur.

İç içe kökler
-------------

{\displaystyle {\sqrt[{a}]{y\_{1}+{\sqrt[{b}]{y\_{2}+{\sqrt[{c}]{y\_{3}}}+...+{\sqrt[{m}]{y\_{q}}}}}}}},

{\displaystyle {\sqrt[{r}]{m+{\sqrt[{n}]{u}}+{\sqrt[{q}]{a}}}}} şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.

Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.

{\displaystyle {[(a)^{b}]}^{c}=a^{bc}} şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.

En önemli özelliği : {\displaystyle {\color {Sepia}{\sqrt[{a}]{p}}=p^{\frac {1}{a}}}} bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak {\displaystyle {\sqrt[{r}]{\sqrt[{v}]{\sqrt[{w}]{n}}}}} şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.

{\displaystyle {\sqrt[{r}]{\sqrt[{v}]{\sqrt[{w}]{n}}}}} burada ilk olarak {\displaystyle {\sqrt[{w}]{n}}=n^{\frac {1}{w}}} şeklinde olur. Devam edilirse {\displaystyle {\sqrt[{r}]{\sqrt[{v}]{n^{\frac {1}{w}}}}}} aynı şekilde {\displaystyle {\sqrt[{v}]{n^{\frac {1}{w}}}}=[{n^{\frac {1}{w}}}]^{\frac {1}{v}}} şeklinde olur.{\displaystyle {[(a)^{b}]}^{c}=a^{bc}} özelliği uygulanırsa {\displaystyle n^{\frac {1}{wv}}} olur.

Sıra {\displaystyle n^{\frac {1}{wv}}} ifadesinde {\displaystyle {\sqrt[{r}]{n^{\frac {1}{wv}}}}} biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde {\displaystyle {\sqrt[{r}]{n^{\frac {1}{wv}}}}=[n^{\frac {1}{wv}}]^{\frac {1}{r}}} olur.Aynı özellik uygulanırsa {\displaystyle {\sqrt[{r}]{n^{\frac {1}{wv}}}}=[n^{\frac {1}{wv}}]^{\frac {1}{r}}=n^{\frac {1}{wvr}}} sonucuna ulaşılır. {\displaystyle n^{\frac {1}{wvr}}} ifadesi {\displaystyle {\sqrt[{\frac {1}{wvr}}]{n}}} formundada yazılabilir.

### Sonuç

{\displaystyle {\color {Red}n^{\frac {1}{wvr}}={\sqrt[{r}]{\sqrt[{v}]{\sqrt[{w}]{n}}}}={\sqrt[{\frac {1}{wvr}}]{n}}}}

**A-)** {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} köklü ifadesi için {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}=x} denilirse her iki tarafın karesi alınırsa {\displaystyle a+b+2{\sqrt {ab}}=x^{2}} şekline dönüşür.

{\displaystyle a+b+2{\sqrt {ab}}=x^{2}} ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa {\displaystyle {\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}=x} şeklinde olur. {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}=x} denilmişti. O zaman {\displaystyle {\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} eşitliği olur.

### Sonuç

{\displaystyle {\color {Fuchsia}{\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}

**B-)**

{\displaystyle {\sqrt {a}}\geq {\sqrt {b}}} ise {\displaystyle {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}=x} denilirse her iki tarafın karesi alınırsa {\displaystyle a+b-2{\sqrt {ab}}=x^{2}} şekline dönüşür.

{\displaystyle a+b-2{\sqrt {ab}}=x^{2}} ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa {\displaystyle {\sqrt {a+b-2{\sqrt {ab}}}}=x} şeklinde olur. {\displaystyle {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}=x} denilmişti. O zaman {\displaystyle {\sqrt {a+b-2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}} eşitliği olur.

### Sonuç

{\displaystyle {\color {Fuchsia}{\sqrt {a+b-2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}}

Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.