Ana madde: Grandi serisi

Kararlılık ve doğrusallık
-------------------------

1 − 1 + 1 − 1 + … serisine 1⁄2 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar

* İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak
* Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak
* Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"
* Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak

olarak sıralanabilmektedir.

Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + … serisi yakınsak değildir.

Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz Cesàro toplamı ve Abel toplamıdır.

Cesàro toplamı
--------------

Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her *n* değeri için σ*n* ortalamasını hesaplamak ve *n* sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır.

Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi

1, 1⁄2, 2⁄3, 2⁄4, 3⁄5, 3⁄6, 4⁄7, 4⁄8, …
biçiminde ifade edilebilir.

Burada, çift *n* değerleri için {\displaystyle \sigma \_{n}={\frac {1}{2}}} ve tek *n* değerleri için {\displaystyle \sigma \_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}} eşitlikleri geçerlidir.

Bu seri 1⁄2'ye yakınsadığından Σ*a**k* Cesàro toplamı da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, … serisinin Cesàro limiti 1⁄2'ye eşittir.

1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + … serisinin Cesàro toplamı 2⁄3'tür. Bu, bir serinin Cesàro toplamının seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir.

Abel toplamı
------------

Ölçeklerin ayrılması
--------------------

φ(0) = 1 olmak üzere bir φ(x) işlevi tanımlı, φ'nın +∞'daki limiti 0 ve bu işlevin türevinin integrali (0, +∞) aralığında tanımlıysa Grandi serisinin φ-toplamı tanımlıdır ve 1⁄2'ye eşittir.

{\displaystyle S\_{\varphi }=\lim \_{\delta \downarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\varphi (\delta m)={\frac {1}{2}}}
φ üçgensel ya da üstel bir işlev yerine konularak Cesaro ve Abel toplamlarına dönülebilmektedir. φ'nın integralinin *sürekli* tanımlı olduğu varsayılıyor ise bu önerme, ortalama değer teoremi kullanılarak ve toplam bir integrale çevrilerek kanıtlanabilir.

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}S\_{\varphi }&=&\displaystyle \lim \_{\delta \downarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta -\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim \_{\delta \downarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }\varphi '(2k\delta +c\_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int \_{0}^{\infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|\_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\end{array}}}

Euler dönüşümü ve analitik süreklilik
-------------------------------------

Borel toplamı
-------------

Grandi serisinin Borel toplamı 1⁄2'ye eşittir. Bunun nedeni,

{\displaystyle 1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}}
ve

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}e^{-x}\,dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx={\frac {1}{2}}}
eşitliklerinin sağlanıyor oluşudur.

Notlar
------

1. ↑  Davis s. 152, 153, 157
2. ↑  Davis s. 153, 163
3. ↑  Davis s. 162-163
4. ↑  Saichev s. 260-262
5. ↑  Weidlich s. 20

Kaynakça
--------

* 
* Bromwich, T.J. (1926). *An Introduction to the Theory of Infinite Series* (2 bas.).
* Davis, Harry F. (Mayıs 1989). *Fourier Series and Orthogonal Functions*. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
* Hardy, G.H. (1949). *Divergent Series*. Clarendon Press.
* Kline, Morris (Kasım 1983). "Euler and Infinite Series". *Mathematics Magazine*. **56** (5). ss. 307-314. 21 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Eylül 2009.
* Saichev, A.I. & W.A. Woyczyński (1996). *Distributions in the physical and engineering sciences, Cilt 1*. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
* Smail, Lloyd (1925). *History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes*. University of Oregon Press.
* Weidlich, John E. (Haziran 1950). *Summability methods for divergent series*. Stanford M.S. theses.