Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken *X*in μ = *E*(*X*) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = *E*((*X* - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. Bunlar ilk iki **kümülant** olarak belirlenirler; yani 

κ1 = μ ve κ² = σ².
*n* tane kümülant κ*n* bir '*kümülant üreten fonksiyon* tarafından belirlenir; bu fonksiyon *g*(*t*) olarak şöyle ifade edilebilir:

{\displaystyle g(t)=\log(E(e^{t\cdot X}))=\sum \_{n=1}^{\infty }\kappa \_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}
Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar *g*(*t*) fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir:

κ1 = μ = *g*' (0),
κ2 = σ² = *g*' '(0),
κ*n* = *g*(*n*) (0).
κ*n* kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı Edgeworth serileri açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir.

Tarihçe
-------

Kümülant kavramı 1889'da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi Thorvald N. Thiele (1838 - 1910) tarafından *yarı-değişmezler* adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikçisi Ronald Fisher tarafından ortaya atılıp sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi Wishart tarafından geliştirilmiştir.

Momentler ve kümülantlar
------------------------

Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın momentleri ile yakından ilişkilidir. Kümülant kavramının geliştirilmesi ve bunların momentler kavramına pratik kullanımda tercih edilmesi nedeni bağımsız iki rassal değişken *X* ve *Y* için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır;

{\displaystyle g\_{X+Y}(t)=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g\_{X}(t)+g\_{Y}(t)\,.}
Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşıt kümülantların toplamının bir toplamı olur.

Moment üreten fonksiyon şöyle verilir:

{\displaystyle 1+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '\_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa \_{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(g(t)).}
Böylece *kümülant üreten fonksiyon* *moment üreten fonksiyon*un logaritmasıdır.

Birinci kümülant beklenen değer; ikinci kümülant varyans ve ikinci ve üçüncü kümülant merkezsel momentler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne momentler ne de merkezsel momentlere karşıttırlar.

**Kümülantlar** momentlere şu (yineleme) formülü ile bağlıdırlar:

{\displaystyle \kappa \_{n}=\mu '\_{n}-\sum \_{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa \_{k}\mu \_{n-k}'.}
*n*inci moment μ′*n* ilk *n* kümülant ile kurulmuş *n*inci derece bir polinomdur; yani
(Bunun katsayıları hep pozitif olur ve *Faà di Bruno'nin formülü*nde bulunan katsayılardır.)

{\displaystyle \mu '\_{1}=\kappa \_{1}\,}
{\displaystyle \mu '\_{2}=\kappa \_{2}+\kappa \_{1}^{2}\,}
{\displaystyle \mu '\_{3}=\kappa \_{3}+3\kappa \_{2}\kappa \_{1}+\kappa \_{1}^{3}\,}
{\displaystyle \mu '\_{4}=\kappa \_{4}+4\kappa \_{3}\kappa \_{1}+3\kappa \_{2}^{2}+6\kappa \_{2}\kappa \_{1}^{2}+\kappa \_{1}^{4}\,}
{\displaystyle \mu '\_{5}=\kappa \_{5}+5\kappa \_{4}\kappa \_{1}+10\kappa \_{3}\kappa \_{2}+10\kappa \_{3}\kappa \_{1}^{2}+15\kappa \_{2}^{2}\kappa \_{1}+10\kappa \_{2}\kappa \_{1}^{3}+\kappa \_{1}^{5}\,}
{\displaystyle \mu '\_{6}=\kappa \_{6}+6\kappa \_{5}\kappa \_{1}+15\kappa \_{4}\kappa \_{2}+15\kappa \_{4}\kappa \_{1}^{2}+10\kappa \_{3}^{2}+60\kappa \_{3}\kappa \_{2}\kappa \_{1}+20\kappa \_{3}\kappa \_{1}^{3}+15\kappa \_{2}^{3}+45\kappa \_{2}^{2}\kappa \_{1}^{2}+15\kappa \_{2}\kappa \_{1}^{4}+\kappa \_{1}^{6}.\,}
Merkezsel momentler olan μ*n* (**DIKKAT μ′*n* DEĞIL**) ile kümülant bağlılığı şöyledir:

{\displaystyle \mu \_{1}=0\,}
{\displaystyle \mu \_{2}=\kappa \_{2}\,}
{\displaystyle \mu \_{3}=\kappa \_{3}\,}
{\displaystyle \mu \_{4}=\kappa \_{4}+3\kappa \_{2}^{2}\,}
{\displaystyle \mu \_{5}=\kappa \_{5}+10\kappa \_{3}\kappa \_{2}\,}
{\displaystyle \mu \_{6}=\kappa \_{6}+15\kappa \_{4}\kappa \_{2}+10\kappa \_{3}^{2}+15\kappa \_{2}^{3}.\,}

Karakteristik fonksiyon ve kümülantlar
--------------------------------------

Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karakteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanımlamayı tercih ederler.

{\displaystyle h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum \_{n=1}^{\infty }\kappa \_{n}\cdot {\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}
Bu türlü tanımlamanın avantajı eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Momentler
* Merkezsel moment
* Moment üreten fonksiyon

Kaynakça
--------

1. ↑  Fisher 1929'da ilk defa Harold Hotellinge yazdığı bir mektupta bu kavramı *kumulatif moment fonksiyonu* adi ile kullanmıştır. İlk *kümülant* adı olarak kullanılması R. Fisher ve J.Wishart (1931) "The derivation of the pattern formulae of two-way partitions from those of simpler patterns", *Proceedings of the London Mathematical Society*, 2. Seri C. 33 say. 195-208 
makalesindedir.
2. ↑  Kendall, M.G. Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
3. ↑  Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Cumulant* (MathWorld)
* 10 Haziran 2001 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.

| * g
* t
* d
Olasılık dağılımlar kuramı |
| --- |
| Olasılık kütle fonksiyonu **·**  Olasılık yoğunluk fonksiyonu **·**  Birikimli dağılım fonksiyonu **·**  Kuantil fonksiyonu |  |
| Moment (matematik) **·**  Merkezsel moment **·**  Beklenen değer **·**  Varyans **·**  Standart sapma **·**  Çarpıklık **·**  Basıklık |
| Moment üreten fonksiyon **·**  Karakteristik fonksiyon **·**  Olasılık üreten fonksiyon **·**  Kümülant |