**Bohr-Mollerup teoremi**, Matematiksel analizde adını Danimarkalı matematikçi Harald Bohr ve Johannes Mollerup'tan almıştır.

Bu teorem *x* > 0 için
Gama fonksiyonu'nun, karakterizasyonu'nu tanımlar. 

{\displaystyle \Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
*sade* fonksiyon *ƒ* için *x* > 0 açık aralığında ardı ardına üç özellik

* {\displaystyle f(1)=1,\,} ve
* {\displaystyle f(x+1)=xf(x){\text{ for }}x>0,\,} ve
* {\displaystyle f} logaritmik konveksdir.

Bu teoremin seçkin açıklaması Artin'in kitabı *The Gamma Function'*un yeniden basımı bir AMS koleksiyonudur ve Artin tarafından kaleme alınmıştır.

İlk baskı Karmaşık Analiz içindeydi, ve Bohr ve Mollerup'un izniyle basılmıştır.

Kanıtı
------

### Teoremin ifadesi

{\displaystyle \,\Gamma (z)\,} karşılayan tek fonksiyon {\displaystyle \,f(z+1)=zf(z)\,} ile {\displaystyle \,\log(f(z))\,} 
ve ayrıca {\displaystyle \,f(1)=1\,}.için konvekstir.

### Kanıtı

{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} yardımıyla, yukarıda kabul edilen özelliklere bağlı olarak kurulan fonksiyon
{\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,} ve{\displaystyle \,\log \left(\Gamma (x)\right)\,} konvekstir ve
{\displaystyle \,\Gamma (1)=1\,}
Aslında {\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,} gerçeğinden şunu kurabiliriz.

  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\ldots (x+1)x\Gamma (x)\end{aligned}}\,}
ve bu sonuçtan hareketle

{\displaystyle \,\Gamma (1)=1\,} 
ifadesi
{\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,} doğal sonucudur
bu özellikle tam sayılara uygulanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz.

{\displaystyle \,\Gamma (n)=(n-1)!\,} ise {\displaystyle \,n\in \mathbb {N} \,}
ve eğer 
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} yoksa... yani bizim bağıntımız 

{\displaystyle \,0<x\leq 1\,} olmak üzere
{\displaystyle \,\Gamma (x+n)\,}
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} tüm {\displaystyle \,x\,} değerleri için aşağıdaki {\displaystyle \,(x\_{1},\;f(x\_{1}))\,} ve {\displaystyle \,(x\_{2},\;f(x\_{2}))\,} iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin hesabı {\displaystyle \,x\_{1}<x\_{2}\,} olmak üzere {\displaystyle \,{\mathcal {M}}(x\_{1},x\_{2})\,} monoton olarak arttığı için konveks fonksiyon ile onun doğal öngörüsüden dolayı {\displaystyle \,\log \left(\Gamma (x)\right)\,} konveks olduğunu biliyoruz
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}(n-1,n)&\leq {\mathcal {M}}(n,n+x)\leq {\mathcal {M}}(n,n+1)\;\;\mathrm {when} \;0<x\leq 1\\{\frac {\log \left(\Gamma (n-1)\right)-\log \left(\Gamma (n)\right)}{(n-1)-n}}&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n)\right)-\log \left(\Gamma (n+x)\right)}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n)\right)-\log \left(\Gamma (n+1)\right)}{n-(n+1)}}\\{\frac {\log \left((n-2)!\right)-\log \left((n-1)!\right)}{-1}}&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq {\frac {\log \left(n!\right)-\log \left((n-1)!\right)}{1}}\\-\log \left({\frac {(n-2)!}{(n-1)!}}\right)&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq \log \left({\frac {n!}{(n-1)!}}\right)\\-\log \left({\frac {1}{(n-1)}}\right)&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq \log \left(n\right)\\x\cdot \log \left(n-1\right)+\log \left((n-1)!\right)&\leq \log \left(\Gamma (n+x)\right)\leq x\cdot \log \left(n\right)+\log \left((n-1)!\right)\\\log \left((n-1)^{x}(n-1)!\right)&\leq \log \left(\Gamma (n+x)\right)\leq \log \left(n^{x}(n-1)!\right)\end{aligned}}}
Böyle bir limit varlığı veya yakınsama gibi çeşitli şeyleri kanıtlamak için ortak bir analiz tekniğidir.
Şimdi biz bu fonksiyonu geri çağırıyoruz ve her ikisi monoton artandır .
Bu, iki ifade arasında sıkışmış olan fonksiyon son satırından bellidir {\displaystyle \,\log()\,} ve {\displaystyle \,e^{()}\,}. biz bu özelliği eşitsizlikte kullanırsak
devamla:  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}(n-1)^{x}(n-1)!&\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!\\(n-1)^{x}(n-1)!&\leq (x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!\\{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)&\leq {\frac {n^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}\\{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\\end{aligned}}\,}
Son satırı güçlü bir ifadedir.
Özelde, *bütün {\displaystyle \,n\,} değerler için* de geçerlidir.
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} nın herhangi bir {\displaystyle \,n\,} değeri seçimi için sağ tarafta daha küçük ve aynı şekilde, {\displaystyle \,\Gamma (x)\,} nın herhangi bir {\displaystyle \,n\,} diğer tercihi için sol tarafta daha büyük olmasıdır. 
Her bir eşitsizlik yalnız bir durum ve bağımsız bir ifade olarak yorumlanabilir bir durumdur.
bu nedenle RHS ve LHS'yi farklı -n-değerleri için seçmekte özgürüz.
Özellikle, LHS için {\displaystyle \,n+1\,} RHS için{\displaystyle \,n\,} seçiminde tutarsak. 
  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\\\Gamma (x)\left({\frac {n}{n+x}}\right)&\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\end{aligned}}\,}
Bu son iki ifadeyi birleştirirsek

  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x)\left({\frac {n}{n+x}}\right)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\end{aligned}}\,}
şimdi {\displaystyle \,n\rightarrow \infty \,}olarak alınırsa. 
{\displaystyle \,{\frac {n}{n+x}}\rightarrow 1\,} sağ yan eşitliğe giderken sol yan eşitsizliğe gider. 
{\displaystyle \,{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,} devamlı sıkıştırılırsa, 
{\displaystyle \,\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,} ifadesinin tek anlamı olabilir,eşitlik {\displaystyle \,\Gamma (x)\,}'ya gider. 
Bu ispat bağlamında{\displaystyle \,\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,} {\displaystyle \,\Gamma (x)\,}'ya ait belirtilen üç özellik idi.
Ayrıca kanıt{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} için belirli bir ifade sağlar
Ve ispatın son kritik bölümünde bir dizinin limiti benzersiz olduğu hatırdan çıkarılmamalıdır
Bu demektir ki herhangi bir {\displaystyle \,x\in (0,1]\,} seçim için, sadece bir sayı 
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} bulunabilir
Burada 
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} fonksiyonun tüm özelliklerine sahip başka bir fonksiyon yoktur.

ispat sorusunun teorem varsayımı kalan diğer ucudur
{\displaystyle \,\Gamma (x)\,} herkes için mantıklı{\displaystyle \,x\,} 
burada
{\displaystyle \,\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,} bulunmaktadır. 
Problem bizim ilk çift eşitsizliğimizdedir.
  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}{\mathcal {M}}(n-1,n)\leq {\mathcal {M}}(n+x,n)\leq {\mathcal {M}}(n+1,n)\end{aligned}}\,}
{\displaystyle \,0<x\leq 1\,} için kısıtlama konmuştur. öğleyse, monoton artan yapmak isteniyor, {\displaystyle \,x>1\,} daha sonra eğer {\displaystyle \,{\mathcal {M}}\,} söyleniyorsa{\displaystyle \,{\mathcal {M}}(n+1,n)<{\mathcal {M}}(n+x,n)\,},olması isteniyorsa oluşturulan tüm kanıt eşitsizliğin çelişmesi üzerinedir
ama 
  

{\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim \_{n\rightarrow \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}\,}
dikkat edilmelidir.

ilk olarak gösterilen {\displaystyle \,x\,}'ın bütün değerleri için {\displaystyle \,\Gamma (x)\,}'ın buradaki limit tanımlıdır.

Kaynakça
--------

* Eric W. Weisstein, *Bohr-Mollerup teoremi* (MathWorld)
* Proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
* Proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
* Artin, Emil (1964). *The Gamma Function*. Holt, Rinehart, Winston.
* Rosen, Michael (2006). *Exposition by Emil Artin: A Selection*. American Mathematical Society.
* Mollerup, J. Bohr, H. (1922). *Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen*.  (*Textbook in Complex Analysis*)



1. ↑  Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bohr–Mollerup theorem", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
2. ↑  Eric W. Weisstein, *Bohr–Mollerup Theorem* (MathWorld)
3. ↑  Mollerup, J. Bohr, H. (1922). *Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen*.