| Fonksiyon |
| --- |
| *x* ↦ *f* (*x*) |
| tanım ve değer kümesine göre |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **X** | —› | **B** |  |  | **B***n* | —› | **B** |
| **X** | —› | **Z** | —› | **X** |
| **X** | —› | **R** | —› | **X** | **R***n* | —› | **X** |
| **X** | —› | **C** | —› | **X** | **C***n* | —› | **X** |

 |
| Sınıflar/özellikler |
| Sabit **·**  Birim **·**  Doğrusal **·**  Polinom **·**  Rasyonel **·**  Cebirsel **·**  Analitik **·**  Yumuşak **·**  Sürekli **·**  Ölçülebilir **·**  Birebir **·**  Örten **·**  Birebir örten |
| 
  Yapılar |
| Kısıtlama **·**  Bileşim **·**  λ **·**  Terslik |
| 
  Genellemeler |
| Parçalı **·**  Çokdeğerli **·**  Kapalı |
| * g
* t
* d
 |

Matematikte **birebir fonksiyon**, eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

* Birebir olan ancak örtmeyen bir fonksiyon (birebir)**Birebir** olan ancak örtmeyen bir fonksiyon (birebir)
* Birebir örten bir fonksiyon (birebir örten)**Birebir** örten bir fonksiyon (birebir örten)
* Birebir olmayan ancak örten bir fonksiyon (örten, birebir örten değil)Birebir olmayan ancak örten bir fonksiyon (örten, birebir örten değil)
* Birebir olmayan ve örtmeyen bir fonksiyon (birebir örten değil)Birebir olmayan ve örtmeyen bir fonksiyon (birebir örten değil)

{\displaystyle f:X\longrightarrow Y}, {\displaystyle X}'ten {\displaystyle Y}'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her {\displaystyle x\_{1},\,x\_{2}\in X} için {\displaystyle f(x\_{1})=f(x\_{2})} eşitliği {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}} eşitliğini gerektiriyorsa, yani {\displaystyle X}'in iki değişik elemanı {\displaystyle Y}'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman {\displaystyle f} fonksiyonuna **birebir fonksiyon** adı verilir.

Örneğin, {\displaystyle f(x)=x^{2}} kuralıyla tanımlanan {\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin {\displaystyle f(-5)=f(5)} eşitliği sağlanır; öte yandan gene {\displaystyle g(x)=x^{2}} kuralıyla tanımlanan {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} } fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} ve {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z} birebir iki fonksiyonsa o zaman {\displaystyle g\circ f} fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} ve {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z} iki fonksiyonsa ve {\displaystyle g\circ f} (bkz. bileşke) birebirse o zaman {\displaystyle f} fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer {\displaystyle x\_{1},\,x\_{2}\in X} için {\displaystyle f(x\_{1})=f(x\_{2})} ise, o zaman her iki tarafı da {\displaystyle g}'de değerlendirerek, {\displaystyle g(f(x\_{1}))=g(f(x\_{2}))} elde ederiz, yani {\displaystyle (g\circ f)(x\_{1})=(g\circ f)(x\_{2})}. Buradan da {\displaystyle g\circ f} birebir olduğundan {\displaystyle x\_{1}=x\_{2}} çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer {\displaystyle X}'ten {\displaystyle Y}'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, {\displaystyle X}'in {\displaystyle Y}'den "daha az" ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu {\displaystyle |X|\leq |Y|} olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne görre {\displaystyle |X|\leq |Y|} ve {\displaystyle |Y|\leq |X|} ise {\displaystyle |X|\simeq |Y|}'dır, yani {\displaystyle X} ile {\displaystyle Y} arasında bir eşleme vardır.

Kaynakça
--------

1. ↑  "Birebir Fonksiyon". 3 Aralık 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Ayrıca bakınız
--------------

* Örtmeyen fonksiyon
* Eşleme
* Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi

| * g
* t
* d
Matematiksel fonksiyonlar |
| --- |
| Kümeler kuramına göre | 
* Birebir fonksiyon
* Örten fonksiyon
* Birebir örten fonksiyon
* Birim fonksiyon
* Bileşke fonksiyon
* Sabit fonksiyon
* Boş fonksiyon
* Ters fonksiyon
* Özdeş fonksiyon
* Parçalı fonksiyon
* İçine fonksiyon

 |
| İşleme göre | 
* Toplama fonksiyon
* Çarpım fonksiyonu
* Çift fonksiyon
* Tek fonksiyon
* Alttoplamsal fonksiyon
* Üsttoplamsal fonksiyon

 |
| Topolojiye göre | 
* Sürekli fonksiyon
* Hiçbir yerde sürekli fonksiyon
* Homeomorfizma

 |
| Sıralamaya göre | 
* Monoton fonksiyon
* Sınırlı monoton fonksiyon

 |
| Gerçel/Karmaşık sayılara göre | 
* Analitik fonksiyon
* Aritmetik fonksiyon
* Diferansiyellenebilir fonksiyon
* Düzgün fonksiyon
* Holomorf fonksiyon
* Meromorf fonksiyon
* Tam fonksiyon

 |