Matematikte **oran testi**, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}
serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen **d'Alembert's oran testi** olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in *n* sonsuza giderken limiti temsil ettiği

{\displaystyle L=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|}
sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

* *L* < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
* *L* > 1 ise, seri ıraksaktır.

Eğer *L* = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Örnekler
--------

### Yakınsayan

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=\lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}}

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|} | = {\displaystyle {\frac {1}{e}}<1} |

Bu yüzden, {\displaystyle {\frac {1}{e}}}, 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

### Iraksayan

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}\cdot e\right|=1\cdot e}

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|} | = {\displaystyle e>1} |

Bu yüzden, {\displaystyle e}, 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır.

### Sonuçsuz

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=1}
ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }1}
serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1}
Diğer taraftan,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1}
Sonuç olarak,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
şartlı yakınsaktır ama

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1}

L=1 ve Raabe testi
------------------

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=1}
ise ve

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|-1\right)=-1-c}
ifadesini sağlayan pozitif bir *c* varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Kök testi
* Yakınsaklık yarıçapı

Kaynakça
--------

* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc. New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N. *A Course in Modern Analysis*, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3