Üçgenin kenarlarındaki dikmeler için Carnot teoremi:  
 mavi alan = kırmızı alan
Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan **Carnot teoremi**, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Teoremin açıklaması
-------------------

Kenarları {\displaystyle a,b,c} olan bir {\displaystyle \triangle ABC} üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir {\displaystyle F} noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer {\displaystyle P\_{a},P\_{b},P\_{c}} {\displaystyle a,b,c} kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

{\displaystyle |AP\_{c}|^{2}+|BP\_{a}|^{2}+|CP\_{b}|^{2}=|BP\_{c}|^{2}+|CP\_{a}|^{2}+|AP\_{b}|^{2}}
Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar
-------------

Eğer {\displaystyle \triangle ABC} üçgeni {\displaystyle C} noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası {\displaystyle F}, {\displaystyle A} veya {\displaystyle B} üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer {\displaystyle F} noktası, {\displaystyle A} ile çakışırsa bu, {\displaystyle |AP\_{b}|=0}, {\displaystyle |AP\_{c}|=0}, {\displaystyle |CP\_{a}|=0}, {\displaystyle |CP\_{b}|=b}, {\displaystyle |BP\_{a}|=a} ve {\displaystyle |BP\_{c}|=c} olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda {\displaystyle |AP\_{c}|=|BP\_{c}|}, {\displaystyle |BP\_{a}|=|CP\_{a}|} ve {\displaystyle |CP\_{b}|=|AP\_{b}|} olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

İspat
-----

Carnot teoreminin ispatı
Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları {\displaystyle A\_{a},B\_{b},C\_{c}} olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

{\displaystyle \left(\;|AC\_{c}|^{2}-|BC\_{c}|^{2}\;\right)+\left(\;|BA\_{a}|^{2}-|CA\_{a}|^{2}\;\right)+\left(\;|CB\_{b}|^{2}-|AB\_{b}|^{2}\;\right){\stackrel {?}{=}}\ 0\qquad (\star )}
Öncelikle {\displaystyle (\star )} ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

{\displaystyle |AC\_{c}|^{2}-|BC\_{c}|^{2}=\left(\;|AC\_{c}|+|BC\_{c}|\;\right)\left(\;|AC\_{c}|-|BC\_{c}|\;\right)=|AB|\;\left(\;|AC\_{c}|-|BC\_{c}|\;\right)}
{\displaystyle |AC\_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|AA\_{c}|+|AB\_{c}|\;)={\frac {1}{2}}(\;|AA\_{c}|+|AB|-|BB\_{c}|\;)}
{\displaystyle |BC\_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|BB\_{c}|+|AB|-|AA\_{c}|\;)}
olduğundan, yukarıdaki ifade,

{\displaystyle |AC\_{c}|^{2}-|BC\_{c}|^{2}=|AB|\;\left(\;|AA\_{c}|-|BB\_{c}|\;\right)}
şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

{\displaystyle |BA\_{a}|^{2}-|CA\_{a}|^{2}=|BC|\;\left(\;|BB\_{a}|-|CC\_{a}|\;\right)}
{\displaystyle |CB\_{b}|^{2}-|AB\_{b}|^{2}=|CA|\;\left(\;|CC\_{b}|-|AA\_{b}|\;\right)}
Bu nedenle, {\displaystyle (\star )} aşağıdaki ifadeye dönüşür:

{\displaystyle |AB||AA\_{c}|+|BC||BB\_{a}|+|CA||CC\_{b}|{\stackrel {?}{=}}|BA||BB\_{c}|+|CB||CC\_{a}|+|AC||AA\_{b}|\qquad (\star \star )}
sağ tarafta "{\displaystyle |AB|}" yerine "{\displaystyle |BA|}" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| "| "Noktanın Kuvveti" teoremi, {\displaystyle P} noktasından geçen bir doğru Q ve {\displaystyle R} noktalarında {\displaystyle K} çemberi ile karşılaşırsa {\displaystyle |PQ||QR|} Q ve {\displaystyle R}'ye değil, yalnızca {\displaystyle P} ve {\displaystyle K}'ye bağlı bir değerdir. Bu değer, {\displaystyle P}'nin {\displaystyle K}'ye göre kuvveti olarak adlandırılır. | „ |
|  |

{\displaystyle (\star \star )} ifadesinde, {\displaystyle |AB||AA\_{c}|} teriminin değeri {\displaystyle K\_{A}}'ya göre {\displaystyle A} noktasının kuvvetidir; ama {\displaystyle |AC||AA\_{b}|} değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, {\displaystyle |BC||BB\_{a}|=|BA||BB\_{c}|} ({\displaystyle B}'nin {\displaystyle K\_{B}}'ye göre kuvveti) ve {\displaystyle |CA||CC\_{b}|=|CB||CC\_{a}|} ({\displaystyle C}'nin {\displaystyle K\_{C}}'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça
--------

* Wohlgemuth, Martin, (Ed.) (2010). *Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet* (Almanca). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. ss. 273-276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882.
* Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind (1996). *Challenging problems in geometry* (İngilizce). New York: Dover. ss. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.

Dış bağlantılar
---------------

* Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot 6 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Matheplanet.com (Almanca)
* Carnot's Theorem 6 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ cut-the-knot.org
* Carnot's Theorem 16 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ artofproblemsolving

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Prof. Ion Pătrașcu, *The Dual of the Orthopole Theorem*, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), *The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry*, Novi Sad J. Math. Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.