| Fonksiyon |
| --- |
| *x* ↦ *f* (*x*) |
| tanım ve değer kümesine göre |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **X** | —› | **B** |  |  | **B***n* | —› | **B** |
| **X** | —› | **Z** | —› | **X** |
| **X** | —› | **R** | —› | **X** | **R***n* | —› | **X** |
| **X** | —› | **C** | —› | **X** | **C***n* | —› | **X** |

 |
| Sınıflar/özellikler |
| Sabit **·**  Birim **·**  Doğrusal **·**  Polinom **·**  Rasyonel **·**  Cebirsel **·**  Analitik **·**  Yumuşak **·**  Sürekli **·**  Ölçülebilir **·**  Birebir **·**  Örten **·**  Birebir örten |
| 
  Yapılar |
| Kısıtlama **·**  Bileşim **·**  λ **·**  Terslik |
| 
  Genellemeler |
| Parçalı **·**  Çokdeğerli **·**  Kapalı |
| * g
* t
* d
 |

**Bileşke fonksiyon**, matematikte bir işlevdir.

{\displaystyle f}, {\displaystyle X} kümesinden {\displaystyle Y} kümesine giden bir fonksiyonsa, {\displaystyle g} de {\displaystyle Y} kümesinden {\displaystyle Z} kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman {\displaystyle g\circ f} fonksiyonunu her {\displaystyle x\in X} için,

{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}
kuralıyla tanımlanan {\displaystyle X} kümesinden {\displaystyle Z} kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona {\displaystyle g} ve {\displaystyle f} fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

{\displaystyle f:X\longrightarrow Y} ve {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}
fonksiyonlarından

{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}
fonksiyonunu üretir.

{\displaystyle g} ve {\displaystyle f} fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için {\displaystyle f} fonksiyonunun değer kümesi, {\displaystyle g} fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer {\displaystyle f}, {\displaystyle X} kümesinden {\displaystyle Y} kümesine, {\displaystyle g} de {\displaystyle Y} kümesinden {\displaystyle X} kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem {\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow X} fonksiyonundan hem de {\displaystyle f\circ g:Y\longrightarrow Y} fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, {\displaystyle X}'ten {\displaystyle X}'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk{\displaystyle (X,\;X)} kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id{\displaystyle \_{X}}, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk{\displaystyle (X,\;X)} kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri
-----------

{\displaystyle X=Y=Z=R} (gerçek sayılar kümesi) olsun. {\displaystyle f} fonksiyonu {\displaystyle f(x)=x^{2}} ve {\displaystyle g} fonksiyonu {\displaystyle g(x)=x+1} olarak tanımlansın. O zaman,

{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}}
dir. Ancak

{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}
dir. Demek ki

{\displaystyle f\circ g\neq g\circ f},
yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

{\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T} dört küme olsun.
{\displaystyle f:X\longrightarrow Y},
{\displaystyle g:Y\longrightarrow Z},
{\displaystyle h:Z\longrightarrow T}
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z},
{\displaystyle h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T},
{\displaystyle h\circ g:Y\longrightarrow T},
{\displaystyle (h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T}.
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

{\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}
eşitliği geçerlidir. {\displaystyle X} kümesinden herhangi bir {\displaystyle x} elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu {\displaystyle x} elemanında değerlendirilirse

{\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}
ve

{\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}
eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

{\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)}.
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani {\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)} eşitliği çıkar.

| * g
* t
* d
Matematiksel fonksiyonlar |
| --- |
| Kümeler kuramına göre | 
* Birebir fonksiyon
* Örten fonksiyon
* Birebir örten fonksiyon
* Birim fonksiyon
* Bileşke fonksiyon
* Sabit fonksiyon
* Boş fonksiyon
* Ters fonksiyon
* Özdeş fonksiyon
* Parçalı fonksiyon
* İçine fonksiyon

 |
| İşleme göre | 
* Toplama fonksiyon
* Çarpım fonksiyonu
* Çift fonksiyon
* Tek fonksiyon
* Alttoplamsal fonksiyon
* Üsttoplamsal fonksiyon

 |
| Topolojiye göre | 
* Sürekli fonksiyon
* Hiçbir yerde sürekli fonksiyon
* Homeomorfizma

 |
| Sıralamaya göre | 
* Monoton fonksiyon
* Sınırlı monoton fonksiyon

 |
| Gerçel/Karmaşık sayılara göre | 
* Analitik fonksiyon
* Aritmetik fonksiyon
* Diferansiyellenebilir fonksiyon
* Düzgün fonksiyon
* Holomorf fonksiyon
* Meromorf fonksiyon
* Tam fonksiyon

 |