Tümleşik matematikte **binom dönüşümü** bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan **Euler dönüşümüyle** yakından ilintilidir.

Tanım
-----

Bir {\displaystyle \{a\_{n}\}} dizisinin **binom dönüşümü** (*T*)

{\displaystyle s\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a\_{k}}
olarak tanımlanan {\displaystyle \{s\_{n}\}} dizisidir.

{\displaystyle (Ta)\_{n}=s\_{n}} yazımında *T* bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

{\displaystyle s\_{n}=(Ta)\_{n}=\sum \_{k=0}^{\infty }T\_{nk}a\_{k}}
Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

{\displaystyle TT=1}
Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }T\_{nk}T\_{km}=\delta \_{nm}}
Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

{\displaystyle a\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s\_{k}}
işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin *n.* ileri farkıdır.

{\displaystyle s\_{0}=a\_{0}}
{\displaystyle s\_{1}=-(\triangle a)\_{0}=-a\_{1}+a\_{0}}
{\displaystyle s\_{2}=(\triangle ^{2}a)\_{0}=-(-a\_{2}+a\_{1})+(-a\_{1}+a\_{0})=a\_{2}-2a\_{1}+a\_{0}}
{\displaystyle \dots \,}
{\displaystyle s\_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)\_{0}}
Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

{\displaystyle t\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a\_{k}}
biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

{\displaystyle a\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}t\_{k}}
olarak yazılır.

Örnek
-----

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 |   | 1 |   | 10 |   | 63 |   | 324 |   | 1485 |
|   | 1 |   | 9 |   | 53 |   | 261 |   | 1161 |
|   |   | 8 |   | 44 |   | 208 |   | 900 |
|   |   |   | 36 |   | 164 |   | 692 |
|   |   |   |   | 128 |   | 528 |
|   |   |   |   |   | 400 |
|

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ({\displaystyle (2n^{2}+n)3^{n-2}} tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin ({\displaystyle n^{2}2^{n-1}} tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları
-----------------

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

{\displaystyle B\_{n+1}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}B\_{k}}
eşitliği sağlanmaktadır. Burada {\displaystyle B\_{n}} Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev
--------------------

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}}
ve

{\displaystyle g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }s\_{n}x^{n}}
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

{\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)}
ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü
--------------

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman **Euler dönüşümü** olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a\_{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a\_{0}}{2^{n+1}}}}
ifadesinde *x* yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

*p* = 0, 1, 2, … için

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a\_{n}=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a\_{0}}{2^{n+p+1}}}}
eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü {\displaystyle \,\_{2}F\_{1}} hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

{\displaystyle \,\_{2}F\_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,\_{2}F\_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}
olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. {\displaystyle 0<x<1} sayısının sürekli kesir ifadesinin

{\displaystyle x=[0;a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots ]}
olduğu varsayılsın. Buradan

{\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a\_{1}-1,a\_{2},a\_{3},\cdots ]}
ve

{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a\_{1}+1,a\_{2},a\_{3},\cdots ]}
sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev
-------------------

Üstel üretici işlev için

{\displaystyle {\overline {f}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
ve

{\displaystyle {\overline {g}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }s\_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

{\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x)}
eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi
----------------------------

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler
------------

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

{\displaystyle u\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b\_{k}}
eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

{\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}
ifadesine ulaşılır. Burada *U* ve *B* sırasıyla {\displaystyle \{u\_{n}\}} ve {\displaystyle \{b\_{n}\}} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan *k*-binom dönüşümü zaman zaman

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}{n \choose j}j^{k}a\_{j}}
biçiminde, azalan *k*-binom dönüşümü

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}{n \choose j}j^{n-k}a\_{j}}
biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a\_{i}=b\_{n}}
olarak tanımlanır, bu ifade

{\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)\_{n}=b\_{n}}

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından {\displaystyle \{b\_{n}\}} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a\_{i}}
ifadesine eşit olur.

Aynı işlem *k* kez yinelendiğinde

{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)\_{n}=b\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a\_{i}}
eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)\_{n}=a\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b\_{i}}
olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)\_{n}=b\_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a\_{0}}
olarak yazılabilir. Burada {\displaystyle \mathbf {E} } değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)\_{n}=a\_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b\_{0}}
biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Newton dizisi
* Hankel matrisi
* Möbius dönüşümü
* Stirling dönüşümü
* Euler toplamı

Kaynakça
--------

* John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, *The Book of Numbers*
* Donald E. Knuth, *The Art of Computer Programming Cilt 3*, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
* Helmut Prodinger, 1992, *Some information about the Binomial transform12 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*
* Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, *The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform2 Nisan 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*
* Borisov B. & Shkodrov V. 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math. 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar
---------------

* Binom Dönüşümü2 Nisan 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.