**Möbius fonksiyonu** {\displaystyle \mu (n)}, 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda {\displaystyle \mu (n)} ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Tanım
-----

Herhangi bir pozitif tam sayı {\displaystyle n} için {\displaystyle \mu (n)}, 1'in primitif olan *n*inci köklerinin toplamını ifade eder. {\displaystyle \mu (n)}, {\displaystyle n}'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre {\displaystyle \{-1,0,1\}} değerlerini alabilir.

Eğer {\displaystyle n},

* çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise {\displaystyle \mu (n)=+1},
* tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise {\displaystyle \mu (n)=-1},
* kare içeriyorsa {\displaystyle \mu (n)=0}

olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:

{\displaystyle \mu (n)=\delta \_{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)}
Burada {\displaystyle \delta } Kronecker deltasını, {\displaystyle \lambda (n)} Liouville fonksiyonunu ({\displaystyle (-1)^{\Omega (n)}} olarak ifade edilir), {\displaystyle \omega (n)} ve {\displaystyle \Omega (n)} ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

Değerler
--------

{\displaystyle \mu (n)}'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

| {\displaystyle n} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mu (n)} | 1 | −1 | −1 | 0 | −1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 |

| {\displaystyle n} | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mu (n)} | −1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |

| {\displaystyle n} | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mu (n)} | 1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | −1 |

| {\displaystyle n} | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mu (n)} | −1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 |

| {\displaystyle n} | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mu (n)} | −1 | −1 | −1 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 |

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Möbius fonksiyonun ilk 50 değeriMöbius fonksiyonun ilk 50 değeri

Uygulamalar
-----------

### Matematiksel seriler

Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer {\displaystyle s} reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik {\displaystyle 1/\zeta (s)}'nin Euler çarpımından da görülebilir:

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod \_{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }
İlgili seriler:

* {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}
* {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1}
* {\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma } (Burada {\displaystyle \gamma }, Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için Lambert serisi:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q} ({\displaystyle |q|<1} için yakınsaktır.)
Asal {\displaystyle \alpha \leq 2} için de şunu yazabiliriz:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum \_{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}

Özellikler
----------

Möbius fonksiyonu {\displaystyle \mu (ab)}, {\displaystyle a} ve {\displaystyle b} aralarında asal ise çarpımsaldır ({\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}).

{\displaystyle n}'nin her pozitif böleni {\displaystyle d} için {\displaystyle \mu (d)} değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

{\displaystyle \sum \_{d\vert n}{\mu (d)}={\begin{cases}1&{\text{eğer }}n=1{\text{ ise}}\\0&{\text{eğer }}n>1{\text{ ise}}\end{cases}}}
Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü'nün temelini oluşturur ve {\displaystyle \mu }'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

{\displaystyle \mu }'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:

{\displaystyle \sum \_{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}
{\displaystyle \sum \_{jk\leq n}\cos \left({\frac {\pi (jk-1)}{2}}\right)\mu (k)=1}.
### Ortalama değer

Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.

Mertens fonksiyonu
------------------

Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı {\displaystyle n} için aşağıdaki gibi tanımlanan Mertens fonksiyonu'dur.

{\displaystyle M(n)=\sum \_{k=1}^{n}{\mu (k)}}
Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.

{\displaystyle \mu (n)=\sum \_{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ebob} (k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}}
eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

{\displaystyle M(n)=-1+\sum \_{a\in {\mathcal {F}}\_{n}}e^{2\pi ia}.}
Burada {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}}, Farey dizisi'nin *n*inci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi'nin kanıtında kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Asal omega fonksiyonu
* Liouville fonksiyonu
* Mertens fonksiyonu
* Möbius inversiyon formülü
* Mertens konjektürü
* Riemann hipotezi
* Asal sayı teoremi

Kaynakça
--------

1. ↑  Möbius function
2. ↑  Average order of an arithmetic function