**Gauss-Legendre Algoritması** π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor.

Bu yöntem Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ikilisinin bireysel çalışmalarıyla modern çarpma ve karekök bulma algoritmalarının bir birleşimine dayanmaktadır.

Aşağıda gösterilen çeşidiyse **Brent-Salamin(ya da Salamin-Brent) algoritması** olarak da bilinir;
1975 yılında Richard Brent ve Eugene Salamin tarafından keşfedilmiştir. Bu algoritma 18-20 Eylül 1999'da π sayısının ilk 206,158,430,000 ondalık basamaklarını hesaplamakta kullanıldı ve sonuçlar Borwein Algoritması'yla kontrol edildi.

Algoritma
---------

1. Başlangıç değeri ayarlama:

{\displaystyle a\_{0}=1\qquad b\_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t\_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p\_{0}=1\!}
2. Aşağıdaki talimatları {\displaystyle a\_{n}\!} ve {\displaystyle b\_{n}\!}'nin farkı istenen doğruluk seviyesine gelene kadar uygulamaya devam edin.

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n+1}&={\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}},\\b\_{n+1}&={\sqrt {a\_{n}b\_{n}}},\\t\_{n+1}&=t\_{n}-p\_{n}(a\_{n}-a\_{n+1})^{2},\\p\_{n+1}&=2p\_{n}.\end{aligned}}}
3.π yaklaşık olarak şu çıkar:

{\displaystyle \pi \approx {\frac {(a\_{n}+b\_{n})^{2}}{4t\_{n}}}.\!}
İlk 3 iterasyonun sonucu:

{\displaystyle 3.140\dots \!}
{\displaystyle 3.14159264\dots \!}
{\displaystyle 3.1415926535897932382\dots \!}

Matematiksel arka plan
----------------------

### Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a0 ve b0, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n+1}&={\frac {a\_{n}+b\_{n}}{2}},\\b\_{n+1}&={\sqrt {a\_{n}b\_{n}}},\end{aligned}}}
Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer {\displaystyle a\_{0}=1\!} ve {\displaystyle b\_{0}=\cos \varphi \!} ise limit {\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!} değerine yakınsar; öyle ki {\displaystyle K(k)\!} birinci tür tam olmayan eliptik integraldir.

{\displaystyle K(k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!}
Eğer {\displaystyle c\_{0}=\sin \varphi \!}, {\displaystyle c\_{i+1}=a\_{i}-a\_{i+1}\!} ise

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{\infty }2^{i-1}c\_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!}
öyle ki {\displaystyle E(k)\!} ikinci tür tam olmayan integraldir.

{\displaystyle E(k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!}
Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.

### Legendre’ın özdeşliği

Öyle bir {\displaystyle \varphi \!} ve {\displaystyle \theta \!} sayıları vardır ki {\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!} eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır:

{\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!}

Kaynakça
--------

1. ↑  Brent, Richard (1975), Traub, J F (Ed.), "Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation", *Analytic Computational Complexity*, New York: Academic Press, ss. 151-176, 23 Temmuz 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 8 Eylül 2007
2. ↑  Salamin, Eugene. *Computation of pi*, Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January, 1974, Cambridge, Massachusetts
3. ↑  Salamin, Eugene (1976), "Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean", *Mathematics of Computation*, **30** (135), ss. 565-570, ISSN 0025-5718