Eğri döndürülüyor. Cismi çevreleyen bu yüzey dönel yüzeydir.
Matematik, mühendislik ve imalat alanlarında kullanılan **dönel cisim**, bir eğriyi aynı düzlemde bulunan bir doğru (dönme ekseni) etrafında döndürülerek elde edilen şekildir.

Eğrinin dönme eksenini geçmediği kabul edilirse; dönel cismin hacmi, şeklin ağırlık merkezini merkez kabul eden dairenin uzunluğu ile şeklin alanının çarpımıdır (Pappus'un Ağırlık Merkezi Teoremi).

**Temsili disk** dönel cisimin üç-boyutlu bir hacim elemanıdır.
Bu eleman (w uzunluğunda) bir doğru parçasının (r birim uzaklıkta) bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Böylece *π*r*2*w *birimlik silindirik hacim çevrelenmiş olur.*

Hacim bulma
-----------

Dönel cismin hacmini bulmak için sıklıkla kullanılan iki integrasyon yöntemi, disk yöntemi ve kabuk yöntemidir. Bu yöntemleri uygulamak için, grafik çizmek en kolayıdır; dönme ekseni etrafında döndürülecek alan belirlenir; dönel cismin *δx* kalınlığına sahip disk şeklindeki bir diliminin ya da *δx* genişliğindeki silindirik bir kabuğun hacmi bulunur ve bu hacimlerin *δx* 0'a yakınsarkenki limit toplamı hesaplanır. Bu limit değeri, uygun bir integral hesaplanarak da bulunabilir.

### Disk yöntemi

Y-ekseni etrafında disk integrasyonu
Ana madde: Disk integrasyonu
Disk yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine *dik* olduğu zaman yani dönme eksenine *paralel* integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.

{\displaystyle f(x)} ve {\displaystyle g(x)} eğrileri ve {\displaystyle x=a} ve {\displaystyle x=b} doğruları arasında kalan alan *x*-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:

{\displaystyle V=\pi \int \_{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx}
Eğer *g*(*x*) = 0 ise (yani bir eğri ile *x*-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:

{\displaystyle V=\pi \int \_{a}^{b}f^{2}(x)\,dx\qquad (1)}
Bu yöntem üst noktası {\displaystyle f(y)} alt noktası {\displaystyle g(y)} olmak üzere yatay olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen *y*-ekseni etrafında döndürülürse yüzük biçimini alır ({\displaystyle g(y)=0} ise disk olur). Bu yüzüğün dış yarıçapı *f*(*y*) iç yarıçapı ise *g*(*y*) olur. *R* dış yarıçap (bu durumda *f*(*y*)), *r* iç yarıçap (bu durumda *g*(*y*)) olmak üzere bu yüzüğün alanı {\displaystyle \pi (R^{2}-r^{2})} dir. Aralıktaki tüm alanları toplamak toplam hacmi verir. Bu yüzden her bir sonsuz küçük diskin hacmi {\displaystyle \pi f^{2}(x)dx} dir. Bu disklerin *a* ve *b* aralığındaki sonsuz toplamı açıkça integral (1) şeklinde kendini gösterir.

### Silindir yöntemi

Kabuk integrasyonu
Ana madde: Kabuk integrasyonu
Silindir yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine *paralel* olduğu zaman yani dönme eksenine *dik* integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.

{\displaystyle f(x)} ve {\displaystyle g(x)} eğrileri ve {\displaystyle x=a} ve {\displaystyle x=b} doğruları arasında kalan alan *y*-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:

{\displaystyle V=2\pi \int \_{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}
Eğer *g*(*x*) = 0 ise (yani bir eğri ile *x*-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:

{\displaystyle V=2\pi \int \_{a}^{b}x\vert f(x)\vert \,dx}
Bu yöntem {\displaystyle [f(x)-g(x)]} yüksekliğine sahip ve dikey olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen *y*-ekseni etrafında döndürülürse silindirik kabuk biçimini alır. *r* yarıçap (bu durumda *x*) h yükseklik (bu durumda {\displaystyle [f(x)-g(x)]}) olmak üzere bir silindirin yanal alanı {\displaystyle 2\pi rh} dir. Aralıktaki tüm yüzey alanlarını toplamak toplam hacmi verir.

Parametrik form
---------------

Bir eğri {\displaystyle (x(t),y(t))} parametrik formunda {\displaystyle [a,b]} aralığında tanımlandığında, eğriyi *x*-ekseni veya *y*-ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin hacmi şöyle verilir:

{\displaystyle V\_{x}=\int \_{a}^{b}\,\pi \,y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt}
{\displaystyle V\_{y}=\int \_{a}^{b}\pi \,\,x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt.}
Aynı şartlar altında eğriyi *x*-ekseni veya *y* ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin yüzey alanları şöyle verilir:

{\displaystyle A\_{x}=\int \_{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt}
{\displaystyle A\_{y}=\int \_{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt}

Notlar
------

1. ↑  Sharma, A.K. (2005). *Application Of Integral Calculus*. Discovery Publishing House. s. 168. ISBN 81-7141-967-4. , Chapter 3, page 168
2. ↑  Singh (1993). *Engineering Mathematics*. 6. Tata McGraw-Hill. s. 6.90. ISBN 0-07-014615-2. , Chapter 6, page 6.90

Kaynakça
--------

* CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <>.
* Frank Ayres, Elliott Mendelson. *Schaum's Outlines: Calculus*. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (Google Kitaplar'da *online copy*, s. 244,)
* Eric W. Weisstein, *Solid of Revolution* (MathWorld)
* Vikipedi *Solid of revolution* makalesi. (Son Erişim Tarihi: 05.04.2015)

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4136951-8

 |