Kırmızı eğri, küçük çemberin (yarıçap *r* = 1) büyük çemberin (yarıçap *R* = 3) dışında yuvarlanmasıyla izlenen bir episikloiddir.
Geometride, bir **episikloid** (ayrıca **hipersikloid** olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna *episikl* (epicycle) *denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.*

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler
----------

Eğer küçük çemberin yarıçapı r ve büyük çemberin yarıçapı *R* = *kr* ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

{\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}
veya:

{\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{aligned}}}
Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

{\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}
burada; 

* θ açısı devirler halindedir: {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ].}
* r: daha küçük çemberin yarıçapı
* kr: daha büyük çemberin yarıçapı

Alan
----

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) k pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

{\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.}
Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden {\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}} kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer k pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve k tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer k bir rasyonel sayı ise, örneğin *k* = *p* / *q* indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri p tepe noktasına sahiptir.

|  |
| --- |
| Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için: |
| *θ* = 0'dan q'ya kadar döngü |
| *α* = 0'dan p'ya kadar döngü |
| dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü =  *p* + *q* döngüdür. |

p ve q'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer k bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile *R* + 2*r* yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

OP (*x* = 0, *y* = 0) orijininden (küçük çember üzerindeki p noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

{\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}
burada

* R = büyük çemberin yarıçapı ve
* 2*r* = küçük çemberin çapıdır.

* Episikloid örnekleri
* k = 1; bir kardioid *k* = 1; bir *kardioid*
* k = 2; bir nefroid *k* = 2; bir *nefroid*
* k = 3; bir trefoiloid *k* = 3; bir *trefoiloid*
* k = 4; bir quatrefoiloid *k* = 4; bir *quatrefoiloid*
* k = 2,1 = 21/10 *k* = 2,1 = 21/10
* k = 3,8 = 19/5 *k* = 3,8 = 19/5
* k = 5,5 = 11/2 *k* = 5,5 = 11/2
* k = 7,2 = 36/5 *k* = 7,2 = 36/5

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.

İspat
-----

İspat için taslak çizim
Çözmek istediğimiz şeyin {\displaystyle p} konumu olduğunu, {\displaystyle \alpha }'nın teğet noktadan hareketli {\displaystyle p} noktasına olan açı olduğunu ve {\displaystyle \theta }'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

{\displaystyle \ell \_{R}=\ell \_{r}}
Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

{\displaystyle \ell \_{R}=\theta R}
ve

{\displaystyle \ell \_{r}=\alpha r}
Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

{\displaystyle \theta R=\alpha r}.
Buradan, {\displaystyle \alpha } ve {\displaystyle \theta } arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

{\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }.
Şekilden, {\displaystyle p} noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

{\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}
{\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}

Ayrıca bakınız
--------------

turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)
* Periyodik fonksiyonlar listesi
* Sikloid
* Siklogon
* Taşıyıcı ve episikl
* Episiklik dişli
* Epitrokoid
* Hiposikloid
* Hipotrokoid
* Multibrot seti
* Yuvarlanma eğrisi
* Spirograf

Notlar
------

1. ↑  "Solidworks tutorial creating a Cycloid Epicycloid Curve". 31 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.
2. ↑  Chunlei Cao, Alastair Fletcher & Zhuan Ye (2015). "Epicycloids and Blaschke products". 18 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.
3. ↑  Eric W. Weisstein, *Epicycloid Evolute* (MathWorld)
4. ↑  Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago". *Maecla*. 11 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.

Kaynakça
--------

* J. Dennis Lawrence (1972). *A catalog of special plane curves*Ücretsiz kayıt gerekli. Dover Publications. ss. 161,168-170,175. ISBN 978-0-486-60288-2.

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Epicycloid* (MathWorld)
* "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Epicycloid", *MacTutor Matematik Tarihi arşivi*
* Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
* Spirograph -- GeoFun
* Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth