Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi {\displaystyle \eta (s)}. {\displaystyle s} noktasındaki renk {\displaystyle \eta (s)} değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.
Matematiğin analitik sayı kuramı alanında **Dirichlet eta işlevi**

{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm *s* karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

{\displaystyle \eta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}}
Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin *s* = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}
ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)}

Sayısal Algoritmalar
--------------------

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

{\displaystyle \eta (s)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}}
İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

### Borwein yöntemi

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

{\displaystyle d\_{k}=n\sum \_{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}
koşulu sağlanıyorsa

{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d\_{n}}}\sum \_{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d\_{k}-d\_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma \_{n}(s)}
eşitliğine ulaşılır. Burada {\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}} için geçerli γn hata payı

{\displaystyle |\gamma \_{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|)}
olarak hesaplanır.

Hata payındaki {\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8} ifadesi Borwein dizisinin artan *n* değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler
-------------

Daha fazla bilgi: [[:Zeta sabiti]]
* η(0) = 1⁄2, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
* η(−1) = 1⁄4, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
* *k* 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere *B**k* *k.* Bernoulli sayısı ise
{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B\_{k}}

Ayrıca,

{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2} (almaşık harmonik dizi)
{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}
{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}
{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}
{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}
{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}
{\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}}
Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B\_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça
--------

* Borwein, P. *An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function26 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34
* Xavier Gourdon & Pascal Sebah, *Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function6 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.*, Numbers, constants and computation (2003)
* Borwein, P.
* Knopp, Konrad (1990). *Theory and Application of Infinite Series*. Dover. ISBN 0-486-66165-2.


| * g
* t
* d
Peter Gustav Lejeune Dirichlet |
| --- |
| 
* Dirichlet dağılımı
* Dirichlet karakteri
* Dirichlet süreci
* Dirichlet-multinom dağılımı
* Dirichlet serisi
* Aritmetik diziler üzerine Dirichlet teoremi
* Dirichlet konvolüsyonu
* Dirichlet problemi
* Dirichlet integrali
* Dirichlet eta fonksiyonu
* Dirichlet beta fonksiyonu
* Dirichlet fonksiyonu
* Dirichlet testi
* Dirichlet sınır koşulu
* Dirichlet karolaması

 |  |