Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) **Einstein ilişkisi**; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

{\displaystyle D=\mu \,k\_{\text{B}}T,}
burada;

*D* difüzyon katsayısıdır;
*μ*, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, *μ* = *v*d/*F*;
*k*B, Boltzmann sabitidir;
*T* mutlak sıcaklıktır.
Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,k\_{\text{B}}T}{q}}} (**elektriksel hareketlilik denklemi**, yüklü parçacıkların difüzyonu için
{\displaystyle D={\frac {k\_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}} (**Stokes-Einstein denklemi**, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)
burada;

*q*, bir parçacığın elektrik yüküdür;
*μq*, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
*η* dinamik viskozitedir;
*r*, küresel parçacığın yarıçapıdır.

Özel durumlar
-------------

### Elektriksel hareketlilik denklemi

Elektrik yükü *q* olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği *μq*, genelleştirilmiş hareketliliği *μ* ile *μ* = *μq*/*q* denklemiyle ilişkilidir. *μq* parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,k\_{\text{B}}T}{q}},}
burada;

* {\displaystyle D} difüzyon katsayısıdır ({\displaystyle \mathrm {m^{2}s^{-1}} }).
* {\displaystyle \mu \_{q}} elektriksel hareketliliktir ({\displaystyle \mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}} }).
* {\displaystyle q} parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
* {\displaystyle T} plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}\,T}{Z}},}
burada;

* {\displaystyle Z} parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
* {\displaystyle T} plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

### Stokes-Einstein denklemi

Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı {\displaystyle \zeta }'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti {\displaystyle \gamma =\zeta /m} sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

{\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r,}
burada {\displaystyle \eta } ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

{\displaystyle D={\frac {k\_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.}
Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.

Dönel difüzyon durumunda, sürtünme {\displaystyle \zeta \_{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}} ve rotasyonel difüzyon sabiti {\displaystyle D\_{\text{r}}}:

{\displaystyle D\_{\text{r}}={\frac {k\_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.}
### Yarı iletken

Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu {\displaystyle p} ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) {\displaystyle \varphi } arasındaki {\displaystyle p=p(\varphi )} formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:

{\displaystyle D={\frac {\mu \_{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},}
burada {\displaystyle \mu \_{q}} elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

{\displaystyle p(\varphi )=N\_{0}e^{\frac {q\varphi }{k\_{\text{B}}T}},}
burada{\displaystyle N\_{0}} {\displaystyle N\_{0}}, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

{\displaystyle D=\mu \_{q}{\frac {k\_{\text{B}}T}{q}}.}
### Nernst-Einstein denklemi

Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

{\displaystyle \Lambda \_{e}={\frac {z\_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D\_{+}+D\_{-}).}

Genel durumun kanıtı
--------------------

Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.

Bazı sabit, harici potansiyel enerji {\displaystyle U}'nun, belirli bir {\displaystyle \mathbf {x} } konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir {\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )} kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın {\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )} hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji {\displaystyle U}'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük {\displaystyle U}'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

{\displaystyle \mathbf {J} \_{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),}
yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

{\displaystyle \mathbf {J} \_{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),}
burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani {\displaystyle \mathbf {J} \_{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} \_{\mathrm {diffusion} }=0}. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu {\displaystyle \rho } yalnızca yerel potansiyel enerji {\displaystyle U}'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı {\displaystyle U}'ya sahipse, o zaman aynı {\displaystyle \rho }'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

{\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.}
Bu nedenle, dengede:

{\displaystyle 0=\mathbf {J} \_{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} \_{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.}
Bu ifade her {\displaystyle \mathbf {x} } konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

{\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.}
Klasik parçacıklar için {\displaystyle \rho } ve {\displaystyle U} arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k\_{\rm {B}}T}}},}
burada {\displaystyle A} toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k\_{\rm {B}}T}}\rho .}
Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

{\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k\_{\rm {B}}T,}
ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Smoluchowski faktörü
* İletkenlik (elektrolitik)
* Stokes yarıçapı
* İyon taşıma numarası

Kaynakça
--------

1. ↑  World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne 29 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.
2. ↑  Sutherland William (1905). "LXXV. A dynamical theory of diffusion for non-electrolytes and the molecular mass of albumin". *Philosophical Magazine*. Series 6. **9** (54): 781-785. doi:10.1080/14786440509463331. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2021.
3. ↑  P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation" 24 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
4. ↑  Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". *Annalen der Physik* (Almanca). **322** (8): 549-560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806. 10 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Haziran 2021.
5. ↑  von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". *Annalen der Physik* (Almanca). **326** (14): 756-780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Haziran 2021.
6. ↑  Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). *Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology* (İngilizce). Garland Science. s. 327. ISBN 9780815320517. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Haziran 2021.
7. ↑  Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".
8. ↑  Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 6 Mayıs 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
9. ↑  *Gas Discharge Physics*. Springer. 2001. ss. 20-28. ISBN 978-3540194620.
10. ↑  Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (14 Ocak 2019). "Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter". *The Journal of Chemical Physics* (İngilizce). **150** (2). s. 021101. ISSN 0021-9606. PMID 30646717. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Haziran 2021.
11. ↑  Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D. (1988). *Solid State Physics*. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. s. 826.
12. ↑  Bonnaud, Olivier (2006). *Composants à semiconducteurs* (Fransızca). Paris (France): Ellipses. s. 78.
13. ↑  Kubo, R. (1966). "The fluctuation-dissipation theorem". *Rep. Prog. Phys.* **29** (1): 255-284. Bibcode:1966RPPh...29..255K. doi:10.1088/0034-4885/29/1/306.

Dış bağlantılar
---------------

* Einstein ilişki hesaplayıcıları
* İyon yayılımı 24 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.