**Pauli matrisleri** 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

{\displaystyle \sigma \_{1}=\sigma \_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{2}=\sigma \_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{3}=\sigma \_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler
----------

*I* birim matris olmak üzere.

{\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}=\sigma \_{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
* Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

{\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma \_{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma \_{i})&=&0&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}}
Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ*i* ±1 olduğu açıkça görülebilir.

* Birim matris **I** (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

### Komutasyon bağıntıları

{\displaystyle \sigma \_{1}\sigma \_{2}=i\sigma \_{3}\,\!}
{\displaystyle \sigma \_{3}\sigma \_{1}=i\sigma \_{2}\,\!}
{\displaystyle \sigma \_{2}\sigma \_{3}=i\sigma \_{1}\,\!}
{\displaystyle \sigma \_{i}\sigma \_{j}=-\sigma \_{j}\sigma \_{i}\quad i\neq j\,\!}
* Yukarıdaki ifadeler kullanılarak {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}} Levi-Civita sembolü, {\displaystyle \delta \_{ij}} Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma \_{i},\sigma \_{j}]&=&2i\,\varepsilon \_{ijk}\,\sigma \_{k}\\[1ex]\{\sigma \_{i},\sigma \_{j}\}&=&2\delta \_{ij}\cdot I\end{matrix}}}
Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

{\displaystyle \sigma \_{i}\sigma \_{j}=\delta \_{ij}\cdot I+i\varepsilon \_{ijk}\sigma \_{k}\,}.
Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma \_{1}{\hat {x}}+\sigma \_{2}{\hat {y}}+\sigma \_{3}{\hat {z}}\,}
Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad (1)\,}
(*a* ve *b* vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
en genel tanımıyla {\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}} olarak verilen bir *a* vektörü için
{\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}

(1)' in ispatı

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})\,} | {\displaystyle =a\_{i}\sigma \_{i}b\_{j}\sigma \_{j}\,} |
|  | {\displaystyle =a\_{i}b\_{j}\sigma \_{i}\sigma \_{j}\,} |
|  | {\displaystyle =a\_{i}b\_{j}\left(\delta \_{ij}+i\varepsilon \_{ijk}\sigma \_{k}\right)\,} |
|  | {\displaystyle =a\_{i}b\_{j}\delta \_{ij}+i\sigma \_{k}\varepsilon \_{ijk}a\_{i}b\_{j}\,} |
|  | {\displaystyle ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\,} |


(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}
tek kuvvetler için

{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}
Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle e^{ix}\,} | {\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\,} |
|  | {\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n!}}+i\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,} |

{\displaystyle x=a({\hat {n}}\cdot \sigma )\,} yerine koyularak

{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n}}{2n!}}+i\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{2n!}}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}
sonuçta,

{\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}
ifadesine ulaşılır.

Fizik
-----

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

{\displaystyle S\_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma \_{i}\quad i=1,2,3}

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin {\displaystyle \pm \hbar /2} olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.