Matematikte **Euler sayıları**, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir *En* tam sayı dizisidir. (OEIS'de A122045 dizisi).

{\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}
Burada {\displaystyle \cosh(t)}, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:

{\displaystyle E\_{n}=2^{n}E\_{n}({\tfrac {1}{2}})}
Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

Örnekler
--------

Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, (OEIS'de A028296 dizisi) değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| *E*0 | = | 1 |
| *E*2 | = | −1 |
| *E*4 | = | 5 |
| *E*6 | = | −61 |
| *E*8 | = | 1385 |
| *E*10 | = | -50 521 |
| *E*12 | = | **Error in {{değer}}: parametre 1 geçerli bir sayı değil.** |
| *E*14 | = | -199 360 981 |
| *E*16 | = | **Error in {{değer}}: parametre 1 geçerli bir sayı değil.** |
| *E*18 | = | -2 404 879 675 441 |

Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir (OEIS'de A000364 dizisi). Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüller
--------------

### İkinci tür Stirling sayıları

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

{\displaystyle E\_{r}=2^{2r-1}\sum \_{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right),}
{\displaystyle E\_{2l}=-4^{2l}\sum \_{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)},}
Burada {\displaystyle S(r,k)} ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve {\displaystyle x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)} yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

### Çift toplam

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.

{\displaystyle E\_{2k}=(2k+1)\sum \_{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum \_{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k},}
{\displaystyle E\_{2k}=\sum \_{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum \_{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}.}
### Yinelemeli toplam

Euler sayıları için açık bir formül:

{\displaystyle E\_{2n}=i\sum \_{k=1}^{2n+1}\sum \_{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}
Burada i, *i*2 = −1 ile hayali birimi göstermektedir.

### Bölümlerin toplamı

Euler sayısı *E*2*n*, 2*n*'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

{\displaystyle E\_{2n}=(2n)!\sum \_{0\leq k\_{1},\ldots ,k\_{n}\leq n}{\binom {K}{k\_{1},\ldots ,k\_{n}}}\delta \_{n,\sum mk\_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k\_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k\_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k\_{n}},}
2*n* − 1'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

{\displaystyle E\_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum \_{0\leq k\_{1},\ldots ,k\_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k\_{1},\ldots ,k\_{n}}}\delta \_{2n-1,\sum (2m-1)k\_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k\_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k\_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k\_{n}},}
Her iki durumda da *K* = *k*1 + ··· + *kn* ve

{\displaystyle {\binom {K}{k\_{1},\ldots ,k\_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k\_{1}!\cdots k\_{n}!}}}
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, ks üzerindeki toplamları sırasıyla 2*k*1 + 4*k*2 + ··· + 2*nkn* = 2*n* ve *k*1 + 3*k*2 + ··· + (2*n* − 1)*kn* = 2*n* − 1.

Örnek olarak,

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}
### Determinant

*E*2*n* determinant tarafından verilmektedir.

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
### İntegral

*E*2*n* ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:

{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E\_{2n}&=\int \_{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int \_{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int \_{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int \_{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int \_{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

Kongrüanslar
------------

W. Zhang, herhangi bir asal {\displaystyle p} için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.

{\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E\_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}
W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} asal ve {\displaystyle \alpha \geq 1} tam sayı için,

{\displaystyle E\_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}
burada {\displaystyle \phi (n)}, Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşım
-------------------

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

{\displaystyle |E\_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}

Euler zikzak sayıları
---------------------

Taylor serisi {\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {A\_{n}}{n!}}x^{n}}
An ile başlayan Euler zikzak sayıları

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS'de A000111 dizisi)
Hepsi için n,

{\displaystyle A\_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E\_{n}}
burada *En* Euler sayısıdır; ve tüm tek n için,

{\displaystyle A\_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B\_{n+1}}{n+1}}}
*Bn* Bernoulli sayısıdır.

Her *n için*,

{\displaystyle {\frac {A\_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum \_{m=0}^{n-1}{\frac {A\_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}}

Kaynakça
--------

1. ↑  Jha, Sumit Kumar (2019). "A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number". *Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory*. **8** (4): 385-387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389. 31 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.
2. ↑  Jha, Sumit Kumar (15 Kasım 2019). "A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind". 16 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
3. ↑  Tang, Ross (11 Mayıs 2012). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF). 9 Nisan 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
4. ↑  Vella, David C. (2008). "Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers". *Integers*. **8** (1): A1. 1 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.
5. ↑  Malenfant, J. (2011). "Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers". arXiv:1103.1585 $2.
6. ↑  Zhang, W.P. (1998). "Some identities involving the Euler and the central factorial numbers" (PDF). *Fibonacci Quarterly*. **36** (4): 154-157. 13 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.

Dış bağlantılar
---------------

* Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Euler numbers", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
* Eric W. Weisstein, *Euler number* (MathWorld)

| * g
* t
* d
Leonhard Euler |
| --- |
| Çalışmalar | 
* *Mechanica*
* *Introductio in analysin infinitorum*
* *Institutiones calculi differentialis*
* *Institutiones calculi integralis*
* *Letters to a German Princess*

 |  |
| Kavramlar ve teoriler | 
* Euler-Lagrange denklemi
* Euler-Lotka denklemi
* Euler-Maclaurin formülü
* Euler-Maruyama yöntemi
* Euler-Mascheroni sabiti
* Euler-Poisson-Darboux denklemi
* Euler-Rodrigues formülü
* Euler-Tricomi denklemi
* Euler sürekli kesirler formülü
* Euler kritik yükü
* Euler formülü
* Euler dört-kare özdeşliği
* Euler özdeşliği
* Euler pompa ve tribün denklemi
* Euler dönme teoremi
* Euler kuvvetler toplamı varsayımı
* Euler teoremi
* Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği)
* Euler fonksiyonu
* Euler yöntemi
* Euler sayıları
* Euler sayısı (fizik)
* Euler-Bernoulli kiriş teorisi
* Euler teoremi (geometri)
* Euler spirali
* Euler-Fuss denklemi
* Euler dörtgen teoremi

 |
| Diğer | 
* Aynı adı taşıyan
* Euler Committee
* Johann Euler
* Johann Bernoulli (Bernoulli ailesi)
* Georg Gsell
* Merian ailesi
* Basel Okulu (matematik)

 |