Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, *zeta dağılımı* bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer *X* *s* parametresi ile **zeta dağılımı** gösteren bir bir rassal değişken ise, *X*in *k* tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

{\displaystyle f\_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}
Burada ζ(*s*) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon *s* = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde *N* için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman *Zipf dağılımı* ve *zeta dağılım* aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Momentler
---------

Genel olarak, *n*inci ham moment *X**n*in beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

{\displaystyle m\_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}}
Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece *s-n* değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

{\displaystyle m\_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.}
olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, *n* ≥ *s* - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir *n* değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

### Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

{\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}
Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve {\displaystyle e^{t}<1} için geçerlidir ve bu halde 

{\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} \_{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}
Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {m\_{n}t^{n}}{n!}},}
Bu ifade, büyük *n* değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir *s* 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

{\displaystyle \scriptstyle |t|\,<\,2\pi }
için şu ifadeyi elde ederiz:

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}\sum \_{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} \_{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}}
{\displaystyle \scriptstyle \Phi (s,t)} değeri şöyle verilir

{\displaystyle \Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots }
{\displaystyle \Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H\_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots }
{\displaystyle \Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,}
burada *H**s* bir harmonik sayı olur.

*s*=1 hali
----------

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle 
*s*=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer *A* yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}
var olmakta ise ve burada *N*(*A*, *n*) *A* seti içinde bulunan ve *n* değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

{\displaystyle \lim \_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,}
bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde *A* için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer *A* birinci tam sayısı ;*d* olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, *A* için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

{\displaystyle \log(d+1)-\log(d),\,}
Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

Kaynakça
--------

1. ↑  Hajek, Alan (2016). *The Oxford handbook of probability and philosophy* (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.
2. ↑  Racine, Jeffrey (2014). *The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics*. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.

Ayrıca bakınız
--------------

Diğer *güç-savı* dağılımları şunlardır:

* Benford'un savı
* Cauchy dağılımı
* Pareto dağılımı

Dış bağlantılar
---------------

* Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı *X* bir rassal değişken olarak -log *X*, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır

| * g
* t
* d
Olasılık dağılımları |
| --- |
| Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli | 

Ayrık tekdüze **·** 
Benford **·** 
Bernoulli **·** 
Binom **·** 
Kategorik **·** 
Hipergeometrik **·** 
Rademacher **·** 
Zipf **·** 
Zipf-Mandelbrot
 |
| Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli | 

Boltzmann **·** 
Conway-Maxwell-Poisson **·** 
Bileşik Poisson **·** 
Ayrık faz tipi **·** 
Genişletilmiş negatif binom **·** 
Gauss-Kuzmin **·** 
Geometrik **·** 
Logaritmalı **·** 
Negatif binom **·** 
Parabolik fraktal **·** 
Poisson **·** 
Skellam **·** 
Yule-Simon **·** 
Zeta
 |
| Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli | 

Beta **·** 
Irwin-Hall **·** 
Kumaraswamy **·** 
Kabartılmış kosinus **·** 
Üçgensel **·** 
U-kuadratik **·** 
Sürekli tekdüze **·** 
Wigner yarımdaire
 |
| Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli | 

Beta prime **·** 
Bose–Einstein **·** 
Burr **·** 
Ki-kare **·** 
Coxian **·** 
Erlang **·** 
Üstel **·** 
F-dağılımı **·** 
Fermi-Dirac **·** 
Katlanmış normal **·** 
Fréchet **·** 
Gamma **·** 
Genelleştirilmiş uçsal değer **·** 
Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi **·** 
Yarı-logistik **·** 
Yarı-normal **·** 
Hotelling'in T-kare **·** 
Hiper-üstel **·** 
Hipo-üstel **·** 
Ters ki-kare 
(Ölçeklenmiş ters ki-kare) **·** 
Ters Gauss-tipi **·** 
Ters gamma **·** 
Lévy **·** 
Log-normal **·** 
Log-logistik **·** 
Maxwell-Boltzmann **·** 
Maxwell hız **·** 
Nakagami **·** 
Merkezsel olmayan ki-kare **·** 
Pareto **·** 
Faz-tipi **·** 
Rayleigh **·** 
Relativistik Breit–Wigner **·** 
Rice **·** 
Rosin–Rammler **·** 
Kaydırılmış Gompertz **·** 
Kesilmiş normal **·** 
2.tip Gumbel **·** 
Weibull **·** 
Wilks'in lambda
 |
| Sürekli tek değişkenli ve  (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli | 

Cauchy **·** 
Uçsal değer **·** 
Üstel güç **·** 
Fisher'in z  **·** 
Genelleştirilmiş hiperbolik   **·** 
Gumbel **·** 
Hiperbolik sekant **·** 
Landau **·** 
Laplace **·** 
Lévy çarpık alfa-durağan **·** 
Logistik **·** 
Normal (Gauss tipi) **·** 
Normal ters Gauss-tipi **·** 
Çarpık normal **·** 
Student'in *t* **·** 
1.tip Gumbel **·** 
Varyans-Gamma **·** 
Voigt
 |
| Çok değişkenli (birleşik) | 

**Ayrık:**
Ewens **·** 
Beta-binom **·** 
Multinom **·** 
Çokdeğişirli Polya

**Sürekli:**
Dirichlet **·** 
Genelleştirilmiş Dirichlet **·** 
Çokdeğişirli normal **·** 
Çokdeğişirli Student  **·** 
normal-ölçeklenmiş ters gamma  **·** 
Normal-gamma 

**Matris-değerli:**
Ters-Wishart **·** 
Matris normal **·** 
Wishart
 |
| Yönsel, Bozulmuş ve singuler | 

**Yönsel:**
Kent  **·** 
von Mises **·** 
von Mises–Fisher 
**Bozulmuş:**
Ayrık bozulmuş **·** 
Dirac delta fonksiyonu 
**Singuler:**
Cantor **·** 
 |
| Aileler | 

Üstel **·** 
Doğasal üstel **·** 
Konum-ölçekli **·** 
Maksimum entropi **·** 
Pearson **·** 
Tweedie
 |