Augustin Cauchy

Cauchy dizisi tanımı
--------------------

{\displaystyle (x\_{n})\_{n}} bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her {\displaystyle \epsilon >0} için,

{\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<\epsilon } eşitsizliğinin her {\displaystyle n,m>N} ({\displaystyle N\in \mathbb {N} }) için sağlandığı bir {\displaystyle N} göstergeci varsa, {\displaystyle (x\_{n})\_{n}} dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler
----------------------------------

### Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir

***İspat:***

{\displaystyle (x\_{n})\_{n}} yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve {\displaystyle \epsilon >0} herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine {\displaystyle a} diyelim. Demek ki, öyle bir {\displaystyle N} doğal sayısı vardır ki, her {\displaystyle n>N} için,

{\displaystyle |x\_{n}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}} olur. Dolayısıyla, {\displaystyle n,m>N} için, {\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|=|(x\_{n}-a)-(x\_{m}-a)|\leq |x\_{n}-a|+|x\_{m}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon } olur ve kanıt biter {\displaystyle \Box }.

### Her Cauchy dizisi sınırlıdır

***İspat:***

{\displaystyle (x\_{n})\_{n}} bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki {\displaystyle \epsilon }'u, {\displaystyle \epsilon =1} seçelim. Demek ki, öyle bir {\displaystyle N} göstergeci vardır ki, her {\displaystyle n,m>N} için,

{\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<1} olur. Demek ki, her {\displaystyle n>N} için, {\displaystyle |x\_{n}-x\_{N+1}|} olur; bir başka deyişle,

{\displaystyle x\_{N+1}-1<x\_{n}<x\_{N+1}+1} olur.

{\displaystyle b=\max\{x\_{0},x\_{1},...x\_{N},x\_{N+1}+1\}} ve {\displaystyle a=\min\{x\_{0},x\_{1},...x\_{N},x\_{N+1}-1\}} diye tanımlayalım.

O zaman, her için, {\displaystyle a<x\_{n}<b} olur ve ispat biter {\displaystyle \Box }.

### Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir

***İspat:***

{\displaystyle (x\_{n})\_{n}}, bir Cauchy dizisi, {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k}} dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.{\displaystyle \epsilon >0} herhangi bir sayı olsun.Öyle bir {\displaystyle N} var ki, her {\displaystyle n,m>N} için, {\displaystyle |x\_{n}-x\_{m}|<\epsilon } dir.

Eğer {\displaystyle k,l>N} ise {\displaystyle N<k\leq n\_{k}} ve {\displaystyle N<l\leq n\_{l}} olduğundan, {\displaystyle |x\_{n\_{k}}-x\_{n\_{l}}|<\epsilon } olur. {\displaystyle \Box }.

### Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar

***İspat:***

{\displaystyle (x\_{n})\_{n}} Cauchy dizisi olsun ve {\displaystyle (x\_{n\_{k}})\_{k}} bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "{\displaystyle a\in \mathbb {R} }" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

{\displaystyle n\_{k},k>N} ve {\displaystyle \forall \epsilon >0} için {\displaystyle |x\_{n\_{k}}-a|<\epsilon /2} önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz {\displaystyle \forall \epsilon >0} için {\displaystyle |x\_{n}-a|<\epsilon } önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

{\displaystyle |x\_{n}-a|=|(x\_{n}-x\_{n\_{k}})+(x\_{n\_{k}}-a)|\leq \underbrace {|x\_{n}-x\_{n\_{k}}|} \_{1}+\underbrace {|x\_{n\_{k}}-a|} \_{2}}

2. ifade altdizinin tanımından dolayı {\displaystyle \epsilon /2}'den küçüktür,

1. ifade ise, {\displaystyle n\_{k}>n>N} olduğundan bir Cauchy dizisidir ve {\displaystyle |x\_{n}-x\_{n\_{k}}|<\epsilon /2} olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

{\displaystyle n\_{k}>n>N} ve {\displaystyle \forall \epsilon >0} için {\displaystyle |x\_{n}-a|\leq |x\_{n}-x\_{n\_{k}}|+|x\_{n\_{k}}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon }

ve ispat biter {\displaystyle \Box }.

### Her Cauchy dizisinin {\displaystyle \mathbb {R} }'de bir limiti vardır

***İspat:***
{\displaystyle (x\_{n})\_{n}} verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

1. {\displaystyle (x\_{n})\_{n}}'nin monoton bir {\displaystyle (y\_{n})\_{n}} altdizisi bulunur.
2. {\displaystyle (x\_{n})\_{n}} bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki {\displaystyle (y\_{n})\_{n}} altdizisi de sınırlıdır.
3. Monoton ve sınırlı olduğundan, {\displaystyle (y\_{n})\_{n}} dizisi yakınsaktır.
4. {\displaystyle 1,2,3} maddelerden, {\displaystyle (x\_{n})\_{n}} dizisinin yakınsak olduğu görülür.

Dolayısıyla, {\displaystyle \mathbb {R} } tamdır ve ispat biter. {\displaystyle \Box }.

***Formal ispat:***

{\displaystyle \mathbb {R} }'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden {\displaystyle \mathbb {R} }'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

{\displaystyle (x\_{n})\_{n},\ \mathbb {R} }'de bir Cauchy dizisi ve {\displaystyle \epsilon >0} olsun.

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rr}(x\_{n})\_{n}\in \mathbb {R^{N}} {\text{ Cauchy dizisi}}\\\epsilon >0\end{array}}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n,m\geq N(\epsilon ))\left(|x\_{n}-x\_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x\_{n}-x\_{N(\epsilon )}|<{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x\_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}<x\_{n}<x\_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x\_{n}\in A:=\left(x\_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}},x\_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x\_{n}\in B\_{N}:=\left\{x\_{N(\epsilon )},x\_{N(\epsilon )+1},x\_{N(\epsilon )+2},...\right\}\subseteq A\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(|B\_{N}|\leq \aleph \_{0})\left(x\_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B\_{N}^{l}\neq \emptyset \right)\left(x\_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B\_{N}^{u}\neq \emptyset \right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(\exists x\in \mathbb {R} )(x=\sup {B\_{N}})\left(x\_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\leq x\leq x\_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x-x\_{N(\epsilon )}|\leq {\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}

{\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x\_{n}-x|\leq |x\_{n}-x\_{N(\epsilon )}|+|x\_{N(\epsilon )}-x|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon \right).} {\displaystyle \Box }

Kaynakça
--------

1. ↑  Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm 10. teorem (7.10) 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
2. ↑  Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm Sonuç 4 (7.4) 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
3. ↑  Analiz I - Ali Nesin,8.bölüm 4. teorem (8.4) 25 Mart 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dipnotlar
---------

Apostol-Mathematical\_Analysis[Tom\_M.Apostol] Second\_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.