φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri
**Totient** (kısaca φ, *n*) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden {\displaystyle \varphi } ile simgelendiği için **Fi fonksiyonu** olarak da anılabilir.

Örneğin, {\displaystyle \varphi (10)=4}; zira 10 ile dört sayma sayısı, hem 10'dan küçüktür, hem de 10 ile arasında asaldır: 1, 3, 7 ve 9.

Euler fonksiyonu, Euler Fermat teoreminde de kullanılır. Şöyle ki:

{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}, *a* ile *n* aralarında asal ise. Dolayısıyla,
{\displaystyle a^{\varphi (n)}-1}, *n'*in bir tam katıdır.

Örneğin, {\displaystyle a^{4}-1}, {\displaystyle a=1,3,7,9} için sırasıyla {\displaystyle 0,80,2400,6560}, *10'*un bir tam katıdır.

Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.

Totient fonksiyonunun hesaplanması
----------------------------------

Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre {\displaystyle \varphi (1)=1} ve eğer p bir asal sayıysa {\displaystyle \varphi (p^{k})=(p-1)p^{k-1}}.
Bunun yanında, totient fonksiyonunun çarpım özelliği de vardır: *m* ve *n* aralarında asallarsa {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}. (Bu yargının ispatının anahattı: *A*,*B* ve *C* kümeleri sırasıyla *m*,*n* ve *mn* ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çinlilerin kalan teoreminden yararlanılırsa göürülür ki, *AxB* ve *C* arasında eşleme olur.) Yani, {\displaystyle \varphi } fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Öyleyse,

{\displaystyle n=p\_{1}^{k\_{1}}\cdots p\_{r}^{k\_{r}}}

için

{\displaystyle \varphi (n)=(p\_{1}-1)p\_{1}^{k\_{1}-1}\cdots (p\_{r}-1)p\_{r}^{k\_{r}-1}.}
Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle

{\displaystyle \varphi (n)=n\cdot \prod \_{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}

şeklinde yazılır.

### Hesaplama Örneği

{\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}

Yani yazıyla ifade edersek, *36*'nın asal çarpanları *2* ve *3*'tür. *36'*nın yarısı olan 18 tane sayı *2* ile bölünür, dolayısıyla *36* ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3'te biri *3* ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.

Fonksiyonun Bazı Değerleri
--------------------------

İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:

 İlk 100 değerin grafiğe dökümü

| {\displaystyle \varphi (n)} | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0+ |   | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 |
| 10+ | 4 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 |
| 20+ | 8 | 12 | 10 | 22 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 |
| 30+ | 8 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 |
| 40+ | 16 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 |
| 50+ | 20 | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 |
| 60+ | 16 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 |
| 70+ | 24 | 70 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 |
| 80+ | 32 | 54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 |
| 90+ | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 |

Fonksiyonun Özellikleri
-----------------------

{\displaystyle \varphi (n)} sayısı aynı zamanda dairesel grup olan *C**n*nin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenle*C**n*in her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. *C**n*nin algrupları *C**d* formundadır, eğer *d* böler *n* (*d* | *n* şeklinde yazılır). Böylece

{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\varphi (d)=n}
Buradaki toplam *n*nin tüm *d* pozitif bölenlerine kadar genişler.

Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve {\displaystyle \varphi (n)} için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:

{\displaystyle \varphi (n)=\sum \_{d\mid n}d\cdot \mu \left({\frac {n}{d}}\right)}
Burada, *μ* pozitif tam sayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.

Euler'in teoremine göre, eğer *a* ile *n* aralarında asallarsa, yani ebob(*a*, *n*) = 1,

{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.\,}
Bu durum Lagrange'ın teoremini ve *a*nın {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }nin mod n'e göre tam sayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak *a* ile *n* aralarında asallarsa).

Formül Geliştirilmesi
---------------------

Burada gösterilen iki fonksiyon da

{\displaystyle \sum \_{d|n}\varphi (d)=n.}
nın sonucudur.

{\displaystyle \varphi }(*n*)yi içeren bir Dirichlet Serisi

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
öyle ki ζ(*s*) Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:

{\displaystyle \zeta (s)\sum \_{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum \_{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum \_{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}
{\displaystyle \left(\sum \_{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum \_{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)=\sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }\left(\sum \_{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=}{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}
{\displaystyle \sum \_{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}
Lambert serisi fonksiyonu,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
öyle ki |*q*|<1 için ıraksar.

Bu durumun nedeni

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum \_{r\geq 1}q^{rn}}
yani

{\displaystyle \sum \_{k\geq 1}q^{k}\sum \_{n|k}\varphi (n)=\sum \_{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}

Fonksiyonun Büyümesi
--------------------

{\displaystyle \varphi (n)}nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçük*n*ler için {\displaystyle \varphi (n)}in *n*den küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,

{\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}
(herhangi bir ε > 0 ve *n* > *N*(ε) için)

Aslında

{\displaystyle \,\varphi (n)/n,}
ele alınırsa,

{\displaystyle 1-p^{-1}\,}
yazılabilir. *p|n*i sağlayan *p* asal sayıları için)

Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:

{\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}
{\displaystyle \varphi } de ortalama olarak *n*e yakındır.

{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
Yani

{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}ndan rastgele seçilen iki pozitif sayının aralarında asal olma olasılığı *n* sonsuza yaklaşırken {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}a yaklaşır. Bununla ilgili bir sonuç da,

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
ile gösterilir; çünkü {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}, formül bu şekilde de ifade edilebilir.

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {1}{\zeta (2)}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}

Euler Totient Fonksiyonu'nu İçeren Diğer Formüller
--------------------------------------------------

* {\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n){\text{ for }}m\geq 1}
* {\displaystyle {\text{herhangi }}a,n>1{\text{, öyle vardır ki}}l\geq n{\text{ öyledir ki }}l|\varphi (a^{n}-1)}
* {\displaystyle {\text{Herhangi }}a>1{\text{ ve }}n>6{\text{ öyle vardır ki }}4\not |n{\text{ öyledir ki }}l\geq 2n{\text{ öyledir ki }}l|\varphi (a^{n}-1)}
* {\displaystyle \sum \_{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
* {\displaystyle \sum \_{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}
* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum \_{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum \_{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}
* {\displaystyle \sum \_{1\leq k\leq n \atop (k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+{\mathcal {O}}\left(2^{\omega (m)}\right),}

Burada *m* > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω(*m*) *m*in asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül *n*den küçük ve *m* ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)

Eşitsizlikler
-------------

{\displaystyle \varphi } fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:

{\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}} *n* > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} *n* için > 0,
ve

{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}{\text{ for }}n>6.}
*n* asal sayısı için, açıkça {\displaystyle \varphi (n)=n-1}.

*n* birleşik sayısı için

{\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}} .
Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:

{\displaystyle \liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0{\mbox{ ve }}\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.}
{\displaystyle \varphi } fonksiyonu ile {\displaystyle \sigma } fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:

{\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ için }}n>1.}

Ford'un Teoremi
---------------

Ford, her *k* ≥ 2 tam sayısı için φ(*x*) = *m* eşitliğinin tam olarak *k* sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir *m* sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, *k* = 1 için herhangi bir *m* bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir *m*in varolmadığına inanılır.

Kaynakça
--------

* Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), *Handbook of Mathematical Functions*, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4 . See paragraph 24.3.2.

* Bach, E.; Shallit, J. (1996), *Algorithmic Number Theory*, **1**, Cambridge, MA: MIT Press, ISBN 0-262-02405-5 . See page 234 in section 8.8.

* Ford, K. (1999), "The number of solutions of φ(*x*) = *m*", *Annals of Mathematics*, **150** (1), ss. 283-311, doi:10.2307/121103, 1715326 .

* Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", *Electronic Journal of Combinatorial Number Theory*, **A50** (8(1)), 1 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 29 Nisan 2009 .