Matematikte **Hadwiger–Finsler eşitsizliği**, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve {\displaystyle c} ve alanı {\displaystyle T} ile gösterilirse, o zaman

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.}

İlgili eşitsizlikler
--------------------

* Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve {\displaystyle c} ve alanı {\displaystyle T} ile gösterilirse, o zaman

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.}
Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani {\displaystyle a=b=c} için geçerli olduğu görülür.

* Dörtgen için bir versiyon: {\displaystyle ABCD}, uzunlukları a, b, {\displaystyle c}, {\displaystyle d} ve alanı {\displaystyle T} ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}} sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.
Burada; {\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}

İspat
-----

Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
{\displaystyle \alpha }, b ve {\displaystyle c} arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha ).}
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha } olduğundan;

{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}'dir.
{\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}
ve

{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}
olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}.}
Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\right).}
{\displaystyle \beta } ve {\displaystyle \gamma } üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}'den küçük olduğundan, {\displaystyle \tan } fonksiyonu dışbükeydir:

{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}.}
Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A{\sqrt {3}}.}
Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe
-------

Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma (Paul Finsler & Hugo Hadwiger 1937) sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi
------------------------------

1. Eğer a, b, {\displaystyle c} ve {\displaystyle d} bir dörtgenin dört kenarıysa ve {\displaystyle S} alanı ise, o zaman

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S}'dir.
Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer {\displaystyle L\_{1}}, {\displaystyle L\_{2}}, ……, {\displaystyle L\_{n}} n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve {\displaystyle S} alanı ise, o zaman

{\displaystyle L\_{1}^{2}+L\_{2}^{2}+}……{\displaystyle L\_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)}'dir.
Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız
--------------

* Üçgen eşitsizliklerin listesi
* Eşçevre eşitsizliği

Notlar
------

1. ↑  Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, *An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral*, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, ss. 81-86

Kaynakça
--------

* Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". *Commentarii Mathematici Helvetici*. **10** (1): 316-326. doi:10.1007/BF01214300.
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*. MAA, 2009, 9780883853429, pp. 84-86 21 Temmuz 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar
---------------

* PlanetMath'te Proof of Hadwiger-Finsler inequality
* PlanetMath'te Weizenbock's inequality

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Cezar Lupu (27 Ocak 2010), Algebraic-Geometric Proofs of the Weitzenbock and Finsler-Hadwiger Inequalities Revisited (PDF)
* D. Ş. Marinescu; M. Monea; M. Opincariu; M. Stroe (2012), "*Note on Hadwinger–Finsler's Inequalites*" (PDF), *Journal of Mathematical Inequalities*, **6** (1), ss. 57-64, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 6 Aralık 2020
* Kouba, Omran (2017), "*On certain new refinements of Finsler-Hadwiger inequalities*", *Journal of Inequalities and Applications*, doi:10.1186/s13660-017-1356-5