Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.

Operatörlerin Notasyonu
-----------------------

### Gradyan

Ana madde:Gradyan

3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli {\displaystyle f(x,y,z)} fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;

{\displaystyle grad(f)} veya {\displaystyle \nabla f} ile gösterilir.

{\displaystyle \nabla f=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})f=}{\displaystyle {\partial f \over \partial x}{\widehat {i}}+{\partial f \over \partial y}{\widehat {j}}}{\displaystyle +{\partial f \over \partial z}{\widehat {k}}} olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.

Burada {\displaystyle {\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}} x,y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir {\displaystyle \xi (x\_{1},x\_{2}...x\_{n})} skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:

{\displaystyle \nabla \xi =({\partial \over \partial x\_{1}},{\partial \over \partial x\_{2}},...{\partial \over \partial x\_{n}}}{\displaystyle )\xi }{\displaystyle ={\partial \xi \over \partial x\_{1}}.{\widehat {e}}\_{1}+{\partial \xi \over \partial x\_{2}}.{\widehat {e}}\_{2}}{\displaystyle +...+{\partial \xi \over \partial x\_{n}}.{\widehat {e}}\_{n}.}

{\displaystyle 1\times n} satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör {\displaystyle {\vec {A}}} {\displaystyle =(A\_{1},A\_{2},...A\_{n})} gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi {\displaystyle n\times n} Jacobian matrisi ile temsil edilir:

{\displaystyle \nabla {\vec {A}}=J\_{\vec {A}}=({\partial A\_{i} \over \partial x\_{j}})\_{ij}}

Genellersek herhangi bir k ranklı bir {\displaystyle A} tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.

### Diverjans

Ana madde:Diverjans

Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir {\displaystyle F} vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir.Notasyon olarak;

{\displaystyle div(F)} veya {\displaystyle \nabla \cdot F} ile temsil edilir.

{\displaystyle \nabla \cdot F} {\displaystyle =div(F)=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})\cdot }{\displaystyle (F\_{x},F\_{y},F\_{z})={\partial F\_{x} \over \partial x}+{\partial F\_{y} \over \partial y}+}{\displaystyle {\partial F\_{z} \over \partial z}} olarak ifade edilir.

Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir {\displaystyle A} tensör alanının diverjansı ({\displaystyle \nabla \cdot A}), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.

### Rotasyonel

Ana madde;Rotasyonel

Kartezyen koordinat sisteminde bir {\displaystyle F} vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir.Notasyon olarak;

{\displaystyle rot(F)} ya da {\displaystyle \nabla \times F} ile temsil edilir.

{\displaystyle rot(F)=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F\_{x}&F\_{y}&F\_{z}\end{vmatrix}}}={\displaystyle \left({\frac {\partial F\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F\_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F\_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F\_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} } olarak ifade edilir.Burada {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } x,y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.

Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;

{\displaystyle F} vektör alanının rotasyoneli;

{\displaystyle \nabla \times F}{\displaystyle =\varepsilon ^{ijk}e\_{i}{\partial F\_{k} \over \partial x^{j}}}

Burada {\displaystyle \varepsilon } Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.

### Laplasyen

Ana Madde:Laplace Operatörü

Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir {\displaystyle f(x,y,z)} fonksiyonunun laplasyeni;

{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=(\nabla \cdot \nabla )f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}}{\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}

Genel anlamda {\displaystyle T} tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;

{\displaystyle \Delta T=\nabla ^{2}T=(\nabla \cdot \nabla )T}

Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir.Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.

İlk Türev Özdeşlikleri
----------------------

Notasyon bakımından skaler alanlar için {\displaystyle \phi } ve {\displaystyle \psi } vektör alanları için {\displaystyle A} ve {\displaystyle B} kullanacağız.

### Dağılma Özellikleri

* {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }
* {\displaystyle \nabla (A+B)=\nabla A+\nabla B}
* {\displaystyle \nabla \cdot (A+B)}{\displaystyle =\nabla \cdot A+\nabla \cdot B}
* {\displaystyle \nabla \times (A+B)=\nabla \times A+\nabla \times B}

### Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı

Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.

* {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }
* {\displaystyle \nabla (\psi A)=(\nabla \psi )^{T}A+\psi \nabla A=\nabla \psi \otimes A+\psi \nabla A}
* {\displaystyle \nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \cdot \mathbf {A} )\ +\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )}
* {\displaystyle \nabla \times (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \times \mathbf {A} )\ +\ (\nabla \psi )\times \mathbf {A} }
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \phi )=\psi \nabla ^{2}\phi +2\nabla \psi \cdot \nabla \phi +\phi \nabla ^{2}\psi }

### Skalere bölünürken Bölme Kuralı

* {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-(\nabla g)f}{g^{2}}}}
* {\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \cdot \mathbf {A} -(\nabla g)\cdot \mathbf {A} }{g^{2}}}}
* {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \times \mathbf {A} -(\nabla g)\times \mathbf {A} }{g^{2}}}}

İkinci Türev Özdeşlikleri
-------------------------

### Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir

Bir {\displaystyle \phi } vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \phi )=0}

### Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir

{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}

### Diverjansın diverjansı tanımsızdır

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \psi )}=Tanımsız

Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.

Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.

### Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }

### Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir

{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} }

### Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır

Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot A)}=Tanımsız

Önemli Özdeşliklerin Özeti
--------------------------

### Diferansiyasyon

#### Gradyan

* {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }
* {\displaystyle \nabla (\psi \,\phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi }
* {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} +\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} +\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)+\mathbf {B} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}

#### Diverjans

* {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\nabla \cdot \mathbf {B} }
* {\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }
* {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )\,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}

#### Rotasyonel

* {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \times \mathbf {B} }
* {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \psi \times \mathbf {A} }
* {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\,-\,\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\,+\,\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,-\,\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }

#### İkinci Türev

* {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
* {\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }
* {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } (skaler laplasyen)
* {\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} } (vektör laplasyen)
* {\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }
* {\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\psi \nabla ^{2}\phi }
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times \nabla \times \mathbf {A} )} (Green vektör özdeşliği)

#### Üçüncü Türev

* {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla (\nabla ^{2}\psi )}
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot (\nabla ^{2}\mathbf {A} )}
* {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times (\nabla ^{2}\mathbf {A} )}

### İntegrasyon

''{\displaystyle \partial }'' sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.

#### Yüzey-Hacim İntegralleri

Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde {\displaystyle \partial A} sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise {\displaystyle \partial A} sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.

* {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \_{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV} (Diverjans teoremi)
* {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \psi d\mathbf {S} =\iiint \_{V}\nabla \psi \,dV}
* {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \left({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {A} \right)dS=\iiint \_{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)dV}
* {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \psi \left(\nabla \varphi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)dS=\iiint \_{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)dV} (ilk Green özdeşliği)
* {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \left[\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right]dS=G}
* {\displaystyle G=\int \!\!\!\!\int \_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}{\displaystyle \left[\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right]dS}{\displaystyle \displaystyle =\iiint \_{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)dV} (ikinci Green özdeşliği)

### Bir eğri üstündeki çizgi integrali

* {\displaystyle \oint \_{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\iint \_{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {s} } (Stokes Teoremi)
* {\displaystyle \oint \_{\partial S}\psi d{\boldsymbol {\ell }}=\iint \_{S}\left({\hat {\mathbf {n} }}\times \nabla \psi \right)dS}

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.