Fizikte, **Sönümlü Poisson Denklemi** :

{\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} )}
biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada {\displaystyle \Delta } Laplasyene, *f* herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna, ve *u* da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de *1/r* fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu *f* ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

{\displaystyle u(\mathbf {r} )\_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}
Diğer taraftan, *λ* çok büyük olduğu zaman, *u*, *f/λ²* değerine ulaşacaktır ki bu da *λ* sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, *λ'*nın normal değerleri için çözüm **sönümlü** 1/*r* fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren *λ* 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir *f* için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu *G*

{\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).}
olarak tanımlanır. *u* ve onun türevlerinin büyük *r* değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

{\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}
Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

{\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}
*r* argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

{\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}
Bu integralin değeri *k*-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası {\displaystyle k\_{r}} na dönüşür:

{\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \_{0}^{+\infty }\mathrm {d} k\_{r}\;{\frac {k\_{r}\,\sin k\_{r}r}{k\_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}
Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

{\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}
Daha sonra problemin tümü için çözüm

{\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}
olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/*r* fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan *λ* ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/*r* fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta:
Manyetik Plazma düşünüldüğünde **sönümlü poisson denklemi** 2boyutluya benzerdir:

{\displaystyle \left(\Delta \_{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} \_{\perp })=-f(\mathbf {r} \_{\perp })}
burada {\displaystyle \Delta \_{\perp }=\nabla \cdot \nabla \_{\perp }} ve {\displaystyle \nabla \_{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }, {\displaystyle \mathbf {B} } manyetik alana ve {\displaystyle \rho } ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

{\displaystyle G(\mathbf {k\_{\perp }} )=\int \int d^{2}r~G(\mathbf {r} \_{\perp })e^{-i\mathbf {k} \_{\perp }\cdot \mathbf {r} \_{\perp }}}
Daha sonra 2 boyutlu **sönümlü poisson denklemi** ile

{\displaystyle \left(k\_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} \_{\perp })=1}
olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

{\displaystyle G(\mathbf {r} \_{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\int \int \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \_{\perp }\cdot \mathbf {r} \_{\perp }}}{k\_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}
halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

{\displaystyle \mathbf {k} \_{\perp }=(k\_{r}\cos(\theta ),k\_{r}\sin(\theta ))}
Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası {\displaystyle k\_{r}} 'na dönüşür:

{\displaystyle G(\mathbf {r} \_{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int \_{0}^{+\infty }\mathrm {d} k\_{r}\;{\frac {k\_{r}e^{ik\_{r}r\_{\perp }}}{k\_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}.}

Ayrıca bakınız
--------------

* Yukawa Etkileşimi