Matematikte, a **Neumann polinomali**,Carl Neumann tarafından özel durum {\displaystyle \alpha =0} için sunulan, Bessel fonksiyonu terimleri içerisinde fonksiyonların 1/*z* açılımında kullanılan bir polinomdur.

İlk birkaç polinom

{\displaystyle O\_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}},}
{\displaystyle O\_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},}
{\displaystyle O\_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}},}
{\displaystyle O\_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}},}
{\displaystyle O\_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.}
Polinomların genel formu için

{\displaystyle O\_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum \_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},}
burada üreteç fonksiyonu var

{\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum \_{n=0}O\_{n}^{(\alpha )}(t)J\_{\alpha +n}(z),}
burada *J* Bessel fonksiyonu'dur.

form içindeki *f* fonksiyonun açılımı

{\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}a\_{n}J\_{\alpha +n}(z)\,}
{\displaystyle |z|<c} için
hesabı

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O\_{n}^{(\alpha )}(z)\mathrm {d} z,}
burada {\displaystyle c'<c} ve *c* en yakın tekillik mesafesidir {\displaystyle z^{-\alpha }f(z)} dan {\displaystyle z=0}.

Örnekler
--------

Bir örnek açılım

{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{s}=\Gamma (s)\cdot \sum \_{k=0}(-1)^{k}J\_{s+2k}(z)(s+2k){-s \choose k}}
veya daha genel Sonine formülü

{\displaystyle e^{i\gamma z}=\Gamma (s)\cdot \sum \_{k=0}i^{k}C\_{k}^{(s)}(\gamma )(s+k){\frac {J\_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.}
burada {\displaystyle C\_{k}^{(s)}} is Gegenbauer polinomu. Sonra,[*kaynak belirtilmeli*]

{\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}}{(2k-1)!}}J\_{s}(z)=\sum \_{i=k}(-1)^{i-k}{i+k-1 \choose 2k-1}{i+k+s-1 \choose 2k-1}(s+2i)J\_{s+2i}(z),}
{\displaystyle \sum \_{n=0}t^{n}J\_{s+n}(z)={\frac {e^{\frac {tz}{2}}}{t^{s}}}\sum \_{j=0}{\frac {\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j+s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int \_{0}^{\infty }e^{-{\frac {zx^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J\_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{s}}}\,dx,}
konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur.

{\displaystyle M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum \_{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L\_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J\_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}}}
ve özellikle de

{\displaystyle {\frac {J\_{s}(2z)}{z^{s}}}={\frac {4^{s}\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}e^{2iz}\sum \_{k=0}L\_{k}^{(-s-1/2-k)}\left({\frac {it}{4}}\right)(4iz)^{k}{\frac {J\_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{{\sqrt {tz}}^{2s+k}}},}
indeks kayma formülü

{\displaystyle \Gamma (\nu -\mu )J\_{\nu }(z)=\Gamma (\mu +1)\sum \_{n=0}{\frac {\Gamma (\nu -\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +n+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +n}J\_{\mu +n}(z),}
Taylor açılımı (toplama formülü)

{\displaystyle {\frac {J\_{s}\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)}{\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)^{\pm s}}}=\sum \_{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J\_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}}}
(cf.Şablon:Verification failed)ve Bessel fonksiyonu integralinin açılımı

{\displaystyle \int J\_{s}(z)dz=2\sum \_{k=0}J\_{s+2k+1}(z)}
aynı tiptir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Bessel fonksiyonu
* Lommel polinomları
* Hankel dönüşümü
* Fourier–Bessel serisi

Notlar
------

1. ↑  Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 18 Ağustos 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. ff.
2. ↑  Erdélyi et al. 1955 II.7.10.1, p.64
3. ↑  
I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжи); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. *Table of Integrals, Series, and Products*, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Equation 8.515.1