Fizikte **akustik dalga denklemi**, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç {\displaystyle p} ve parçacık hızı ***u*** nun gelişimini, konum ***r*** ve zaman {\displaystyle t} türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.

Tek boyutta
-----------

### Denklem

Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,

{\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}
{\displaystyle p} akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), {\displaystyle c} ise ses hızını gösteriyor.

### Çözüm

Hızın {\displaystyle c} sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;

{\displaystyle p=f(ct-x)+g(ct+x)}
{\displaystyle f} ve {\displaystyle g} iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, ({\displaystyle f}) pozitif x-ekseninde, ({\displaystyle g}) ise negatif x-ekseninde {\displaystyle c} hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.

{\displaystyle p=p\_{0}\sin(\omega t\mp kx)}.
{\displaystyle \omega } dalganın açısal frekansını, {\displaystyle k} ise dalga sayısını verir.

### Elde etme

Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir
Hal denklemi(ideal gaz yasası):

{\displaystyle PV=nRT}
Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun {\displaystyle \rho } bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;

{\displaystyle P=C\rho \,}
*C* herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:

{\displaystyle P-P\_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho -\rho \_{0})}.
Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;

{\displaystyle B=\rho \_{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)\_{adiabatic}}
Şu sonucu verir:

{\displaystyle P-P\_{0}=B{\frac {\rho -\rho \_{0}}{\rho \_{0}}}}.
Yoğunlaşma, *s*, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.

{\displaystyle s={\frac {\rho -\rho \_{0}}{\rho \_{0}}}}
Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:

{\displaystyle p=Bs\,}
P akustik basınç (P − P0).

Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0}.
Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \_{0}+\rho \_{0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho \_{0}u+\rho \_{0}su)=0}
Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:

{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0}
Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:

{\displaystyle \rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0}
{\displaystyle D/Dt} ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir.
Değişkenleri lineerize edersek:

{\displaystyle (\rho \_{0}+\rho \_{0}s)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P\_{0}+p)=0}.
Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:

{\displaystyle \rho \_{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}=0}.
Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}=0}
{\displaystyle \rho \_{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}.
İlk denklemi {\displaystyle \rho \_{0}} ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:

{\displaystyle -{\frac {\rho \_{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}
Son hali şu olur:

{\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}
{\displaystyle c={\sqrt {\frac {B}{\rho \_{0}}}}} yayılma hızıdır

Üç boyutta
----------

### Denklem

Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:

{\displaystyle \nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}
{\displaystyle \nabla ^{2}} Laplace operatörü, {\displaystyle p} akustik basınç ve {\displaystyle c} sesin hızıdır.

### Çözüm

Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, {\displaystyle e^{i\omega t}},burada {\displaystyle \omega =2\pi f} açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:

{\displaystyle p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]}
burada {\displaystyle k=\omega /c\ } dalga sayısıdır.

#### Kartezyen koordinatlarda

{\displaystyle p(r,k)=Ae^{\pm ikr}}
#### Silindirik koordinatlarda

{\displaystyle p(r,k)=AH\_{0}^{(1)}(kr)+\ BH\_{0}^{(2)}(kr)}
Burada {\displaystyle kr\rightarrow \infty } iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;

{\displaystyle H\_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}}
{\displaystyle H\_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}}
#### Küresel koordinatlarda

{\displaystyle p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}}
Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.

Kaynakça
--------

1. 1 2  Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison