Gram–Schmidt işleminin ilk iki adımları
Matematikte, özellikle doğrusal cebir ve sayısal analizde, **Gram–Schmidt süreci** bir dizi vektörleri bir iç çarpım uzayı içinde ortonormal etmek için kullanılan bir yöntemdir. İç çarpım uzayında olan vektörler, genellikle Öklid uzayında **R***n* donatılmış olan standart iç çarpım vektörlerdir. Gram–Schmidt süreci bir sonlu, doğrusal bağımsız kümeni, *S* = {*v*1, ... *v**k*}, *k* ≤ *n*, alıp ve **R**'in aynı k-boyutlu alt uzayında yayılan ortogonal kümeni, *S′* = {*u*1, ... *u**k*}, üretmektedir. 

Bu yöntem ismini Jørgen Pedersen Gram ve Erhard Schmidt, den almaktadır. Ancak, daha önce Laplace ve Cauchynin çalışmalarında da ortaya çıkmıştı. Yalan grup parçalanması teorisinde Iwasawa ayrışma tarafından genelleştirilmiş.

Gram–Schmidt işlemi
-------------------

Değiştirilmiş Gram-Schmidt süreci üç doğrusal bağımsız olmayan ve **R**3 için temel olan vektörler için çalıştırılmaktadır. Ayrıntılar için resmin üstüne Tıklayınız. 
Projeksiyon operatörü aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır,

{\displaystyle }
{\displaystyle } **u** ve **v** vektörlerin iç çarpımını: {\displaystyle } (veya {\displaystyle } Bu operatör **v** vektörünü **u** vektörü üzerine yayılmış olan çizginin üstüne yansıtıyor. Eğer **u** = **0**, {\displaystyle }. Projeksiyon {\displaystyle } sıfır-yansıtma olarak kullanılmaktadır. Bütün vektörleri sıfır vektöre göndermekte.

Gram–Schmidt işlemi aşağıdaki gibi çalışır:

Örnek
-----

Aşağıdaki vektörler kümesini **R**2 de düşünün (geleneksel iç çarpımla birlikte)

{\displaystyle }
Şimdi, ortogonal vektörler kümesini elde etmek için, Gram–Schmidt işlemini gerçekleştirin,

{\displaystyle }
{\displaystyle }
**u**1 ve **u**2 vektörlerinin gerçekten ortogonal olduğunu kontrol edin:

{\displaystyle }
iki vektörün nokta çarpımının sıfır olduğunda, iki vektörun ortogonal olduğunu biliyoruz.

Sıfır olmayan vektörler için, vektörleri, yukarıda gösterilmiş olan boyutlarına bölünmesi yoluyla vektörleri normalize edebiliriz:

{\displaystyle }
{\displaystyle }

Algoritma
---------

Aşağıdaki MATLAB algoritma Öklid Vektörler için yazılmış olan Gram–Schmidt ortonormalleştirme yöntemidir. **v**1, ... **v***k* vektörleri (**V(:,j)** j. vektördür) ortonormal vektörler (U'nün sütunleri) tarafından değiştirilmiştir.

```
function [U]=gramschmidt(V)
[n,k] = size(V);
U = zeros(n,k);
U(:,1) = V(:,1)/norm(V(:,1));
for i = 2:k
 U(:,i)=V(:,i);
 for j=1:i-1
 U(:,i)=U(:,i)-(U(:,j)'\*U(:,i)) 
 /(norm(U(:,j)))^2 \* U(:,j);
 end
 U(:,i) = U(:,i)/norm(U(:,i));
end
end

```

Bu algoritmanın zaman açısından maliyeti O(*nk*2) derecesinden dir. Burada *n* vektörlerin olduğu boyutluluktur (Golub & Van Loan 1996, §5.2.8).

Kaynakça
--------

1. ↑  Cheney, Ward; Kincaid, David (2009). *Linear Algebra: Theory and Applications*. Sudbury, Ma: Jones and Bartlett. ss. 544, 558. ISBN 978-0-7637-5020-6. 18 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Ocak 2019.

Bibliyografya
-------------

* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), *Matrix Computations*, 3rd, Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 .

| * g
* t
* d
Lineer cebir |
| --- |
| Temel kavramlar | 
* Skaler
* Vektör
* Vektör uzayı
* Skaler çarpım
* Vektörel izdüşüm
* Doğrusal germe
* Doğrusal dönüşüm
* İzdüşüm
* Doğrusal bağımsızlık
* Doğrusal birleşim
* Taban
* Taban değişimi
* Satır vektör
* Sütun vektör
* Satır ve sütun uzayları
* Boşuzay
* Özdeğer, özvektör, özuzay
* Tersçapraz
* Doğrusal denklemler

 | Three dimensional Euclidean space |
| Matrisler | 
* Blok
* Ayrışım
* Tersinir
* Minor
* Çarpım
* Rank
* Dönüşüm
* Cramer kuralı
* Gauss eleme yöntemi

 |
| Çifte doğrusallık | 
* Ortogonalite
* Nokta çarpım
* İç çarpım uzayı
* Dış çarpım
* Kronecker çarpımı
* Gram–Schmidt işlemi

 |
| Çokludoğrusal cebir | 
* Determinant
* Çapraz çarpım
* Üçlü çarpım
* Geometrik cebir
* Dışsal cebir
* Bivector
* Multivector
* Tensör
* Outermorphism

 |
| Vektör uzayı yapıları | 
* Fonksiyon
* Dual
* Bölüm
* Altuzay
* Tensör çarpımı

 |
| Nümerik | 
* Kayan nokta
* Nümerik stabilite
* Seyrek matris

 |
|  Kategori Kategori |