Matematikte **üretim fonksiyonu** veya **üretim işlevi** (İng. generating function) verilen bir dizinin girdilerinin bilgisini katsayılarında tutan bir biçimsel kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üretim fonksiyonları vardır. Örneğin verilen bir *a**n* dizisine karşılık gelen **adi üretim fonksiyonu**, **üstel üretim fonksiyu**, **Lambert serisi**, **Bell serisi** ve **Dirichlet serisi** gibi her üretim fonksiyonu tipinin bir dizisi vardır. **Adi üretim fonksiyonu** şöyle tanımlanır:

{\displaystyle G(a\_{n};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}.}
Bir *a**n* dizisi için **üstel üretim fonksiyonu** ise şöyledir:

{\displaystyle G(a\_{n};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {a\_{n}}{n!}}x^{n}.}
Bir *S* örnek uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken *X* için (yani her {\displaystyle s\in S} için {\displaystyle X(s)\geq 0})

{\displaystyle G\_{X}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }p(X(s)=n)x^{n}}
serisine **olasılık üreteç işlevi** denir. Burada *p* harfi olasılık dağılımıdır.

Bir ürim fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir güç serisi olduğundan, her *x* değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç işlevinin kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen *x* değerleri için yakınsaklığı araştırılabilir ve bu *x* değerleri için eşit olduğu işlev yazılabilir. Örneğin, {\displaystyle 1,1,1,\ldots } dizisine karşılık gelen

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}}
üretim fonksiyonu, {\displaystyle |x|<1} için {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}} işlevine eşittir.

Örnekler
--------

Ana madde: Üretim fonksiyonlarına örnekler
Tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu *a**n* = *n*2 dır:

### Basit üretim fonksiyonu

{\displaystyle G(n^{2};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}
### Üstel üretim fonksiyonu

{\displaystyle EG(n^{2};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}
### Bell serisi

{\displaystyle f\_{p}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }p^{2n}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}
### Dirichlet serisi üretim fonksiyonu

{\displaystyle DG(n^{2};s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)}
### Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu sayılarının pratik hesabının sınır tablosu negatif olmayan tam sayılarla hazırlanmış özel satır ve sütunlara özgüdür. Kolaylık olsun diye *r* satır ve *c* sütun; satır toplamı {\displaystyle t\_{1},\ldots t\_{r}} dır. sütun toplamı {\displaystyle s\_{1},\ldots s\_{c}}.'dır.I. J. Good ,'ye göre {\displaystyle x\_{1}^{t\_{1}}\ldots x\_{r}^{t\_{r}}y\_{1}^{s\_{1}}\ldots y\_{c}^{s\_{c}}} katsayılarının sayı tablosu

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{r}\prod \_{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x\_{i}y\_{j}}}.}

Uygulamalar
-----------

* Verilen özyineleme'li bir dizi için kapalı formül bulma. Örneğin Fibonacci sayıları düşünülebilir.
* Diziler için özyineleme ilişkileri - Bir üreten fonksiyon şeklinde özyineleme formülü önerilebilir.
* Diziler arasında ilişkileri bulma - iki üreten fonksiyonlu dizi varsa , bu dizilerin muhtemelen ortak bir formu vardır.
* Dizilerinin asimtotik davranışı keşfetme.
* Kimlikler içeren dizileri kanıtlama.
* Kombinatorik içinde numaralandırma sorunlarını çözme ve çözümleri kodlama. Rook polinomları kombinatorikte uygulama için bir örnektir.
* Sonsuz toplamları değerlendme.

Benzer kavramlar
----------------

Polinomal öteleme,bir polinomu (*katsayı* 'sız) kabul eden *değerleri* bulmak. ;soyut bir durumda değişmeli cebir'deki Hilbert polinomu'dur

Ayrıca bakınız
--------------

Kaynakça
--------

* Herbert S. Wilf, *Generatingfunctionology (Second Edition)11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.* (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4.
* Donald E. Knuth, *The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition)* Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96.
* Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, *Concrete Mathematics. A foundation for computer science (Second Edition)* Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. Chapter 7: Generating Functions, pp. 320–380

1. ↑  Good, I. J. (1986). "On applications of symmetric Dirichlet distributions and their mixtures to contingency tables". *The Annals of Statistics*. **4** (6). ss. 1159-1189.

Dış bağlantılar
---------------

* Generating Functions, Power Indices and Coin Change29 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
* Generatingfunctionology PDF download page11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* 1031 Generating Functions
* Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, *Suma de números equilibrados29 Mayıs 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. newsgroup es.ciencia.matematicas*
* Frederick Lecue; Riedel, Marko, *et al.*, *Permutation*, *Les-Mathematiques.net*, in French, title somewhat misleading.
* "Generating Functions"1 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Ed Pegg, Jr. Wolfram Demonstrations Project, 2007.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNF: cb12259609r (data)
* GND: 4152979-0
* LCCN: sh85053815
* NLI: 987007562699905171

 |