Dört kırmızı nokta eldeki datayı ve yeşil nokta da interpolasyon yapılacak noktayı göstermektedir.**Bilineer interpolasyon**, lineer interpolasyonun iki değişkenli fonksiyonların (ör. *x* ve *y*) rectilineer iki-boyutlu *grid* üzerinde interpolasyonu için olan uzantısıdır.

Metot, lineer interpolasyonun önce bir yönde sonra diğer yönde sırasıyla uygulanmasına dayanır. Bu iki adım kendi içinde lineerse de, metot, bir bütün olarak lineer değil; *quadratic*tir.

Algoritma
---------

Bilinmeyen bir fonksiyon *f*'in (*x, y*) noktasındaki değerinin bulunacağı varsayılsın. Ayrıca, *f*'in dört noktadaki değeri bilinsin: *Q*11 = (*x*1, *y*1), *Q*12 = (*x*1, *y*2), *Q*21 = (*x*2, *y*1), ve *Q*22 = (*x*2, *y*2).

İlk olarak, *x*-doğrultusunda lineer interpolasyon aşağıdaki gibi yapılır: 

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y\_{1})&\approx {\frac {x\_{2}-x}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{11})+{\frac {x-x\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{21})\\f(x,y\_{2})&\approx {\frac {x\_{2}-x}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{12})+{\frac {x-x\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{22})\end{aligned}}}
İkinci olarak, yukarıdaki denklem, *y*-doğrultusunda lineer interpolasyonu uygulanırsa, aşağıdaki denklem bulunur:

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&\approx {\frac {y\_{2}-y}{y\_{2}-y\_{1}}}f(x,y\_{1})+{\frac {y-y\_{1}}{y\_{2}-y\_{1}}}f(x,y\_{2})\\&\approx {\frac {y\_{2}-y}{y\_{2}-y\_{1}}}\left({\frac {x\_{2}-x}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{11})+{\frac {x-x\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{21})\right)+{\frac {y-y\_{1}}{y\_{2}-y\_{1}}}\left({\frac {x\_{2}-x}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{12})+{\frac {x-x\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}f(Q\_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x\_{2}-x\_{1})(y\_{2}-y\_{1})}}\left(f(Q\_{11})(x\_{2}-x)(y\_{2}-y)+f(Q\_{21})(x-x\_{1})(y\_{2}-y)+f(Q\_{12})(x\_{2}-x)(y-y\_{1})+f(Q\_{22})(x-x\_{1})(y-y\_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x\_{2}-x\_{1})(y\_{2}-y\_{1})}}{\begin{bmatrix}x\_{2}-x&x-x\_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q\_{11})&f(Q\_{12})\\f(Q\_{21})&f(Q\_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y\_{2}-y\\y-y\_{1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}Birim bir kare üzerindeki bir bilineer interpolasyonu örneği. z-değerleri 0, 1, 1, ve 0.5'tir. İnterpolasyon değerleri renkle gösterilmiştir.
Son denklem, hangi doğrultu ile başlanırsa başlansın, aynıdır. Örneğin, önce *y-* sonra *x-*doğrultusunda yapılan iki ardışık lineer interpolasyon yukarıdaki aynı terimi verir. 

### Alternatif algoritma

İnterpolasyonun ifadesinde alternatif bir yöntem aşağıdaki gibidir:

{\displaystyle f(x,y)\approx a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}y+a\_{3}xy}
Denklemin katsayıları aşağıdaki lineer sistemin çözülmesi ile elde edilir:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x\_{1}&y\_{1}&x\_{1}y\_{1}\\1&x\_{1}&y\_{2}&x\_{1}y\_{2}\\1&x\_{2}&y\_{1}&x\_{2}y\_{1}\\1&x\_{2}&y\_{2}&x\_{2}y\_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\_{0}\\a\_{1}\\a\_{2}\\a\_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q\_{11})\\f(Q\_{12})\\f(Q\_{21})\\f(Q\_{22})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
Eğer çözüm *f(Q)* cinsinden istenirse, aşağıdaki ifade kullanılabilir:

{\displaystyle f(x,y)\approx b\_{11}f(Q\_{11})+b\_{12}f(Q\_{12})+b\_{21}f(Q\_{21})+b\_{22}f(Q\_{22})}
Bu denklemin katsayıları da aşağıdaki sistemin çözümüyle elde edilir:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}b\_{11}\\b\_{12}\\b\_{21}\\b\_{22}\end{bmatrix}}=\left({\begin{bmatrix}1&x\_{1}&y\_{1}&x\_{1}y\_{1}\\1&x\_{1}&y\_{2}&x\_{1}y\_{2}\\1&x\_{2}&y\_{1}&x\_{2}y\_{1}\\1&x\_{2}&y\_{2}&x\_{2}y\_{2}\end{bmatrix}}^{-1}\right)^{T}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}}
### Sadeleştirilmiş algoritma

Eğer *f*'in bilindiği dört noktanın koordinatları (0, 0), (0, 1), (1, 0), ve (1, 1), ise; interpolasyon denklemi aşağıdakince sadeleşir: 

{\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy.}
Eşdeğer matris formatında ise denklem:

{\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}

Ayrıca bakınız
--------------

* İnterpolasyon
* Lineer interpolasyon
* Trilineer interpolasyon