Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında **Skellam dağılımı** bir ayrık olasılık dağılım tipidir. **Skellam dağılımı** iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerleri {\displaystyle \mu \_{1}} ve {\displaystyle \mu \_{2}} olan **Poisson dağılımı** gösteren rassal değişken {\displaystyle K\_{1}} ve {\displaystyle K\_{2}} arasında bulunan fark olan {\displaystyle K\_{1}-K\_{2}}nin gösterdiği olasılık dağılımdır.

Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol, buz hokeyi ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan *yayılmış bahis (spread betting)* yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit *foton gürültüsünü (photon noise)* açıklamak için kullanılmıştır.

Karaketeristikler
-----------------

Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılması ile ortaya çıkan sonuçlar için bakın
.

Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:

{\displaystyle f(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }\,}
Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946):{\displaystyle f(k;\mu \_{1},\mu \_{2})=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }\!f(k\!+\!n;\mu \_{1})f(n;\mu \_{2})}

{\displaystyle =e^{-(\mu \_{1}+\mu \_{2})}\sum \_{n=-\infty }^{\infty }{{\mu \_{1}^{k+n}\mu \_{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}}
{\displaystyle =e^{-(\mu \_{1}+\mu \_{2})}\left({\mu \_{1} \over \mu \_{2}}\right)^{k/2}I\_{k}(2{\sqrt {\mu \_{1}\mu \_{2}}})}
Burada *I* k(z) birinci şekilde değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktöriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan {\displaystyle \mu \_{1}=\mu \_{2}(=\mu )} için bakin:{\displaystyle f\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I\_{k}(2\mu )}

Eğer değerler küçükse, Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını {\displaystyle \mu \_{2}=0} için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.

Özellikler
----------

Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:

{\displaystyle \sum \_{k=-\infty }^{\infty }f(k;\mu \_{1},\mu \_{2})=1.}
Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:

{\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}
Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık üreten fonksiyon ortaya çıkartılır:

{\displaystyle G(t;\mu \_{1},\mu \_{2})=\sum \_{k=0}^{\infty }f(k;\mu \_{1},\mu \_{2})t^{k}}
{\displaystyle =G\left(t;\mu \_{1}\right)G\left(1/t;\mu \_{2}\right)\,}
{\displaystyle =e^{-(\mu \_{1}+\mu \_{2})+\mu \_{1}t+\mu \_{2}/t}.}
Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.

Bazı referanslara göre iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bileşiği de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.

Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:

{\displaystyle M\left(t;\mu \_{1},\mu \_{2}\right)=G(e^{t};\mu \_{1},\mu \_{2})}
{\displaystyle =\sum \_{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m\_{k}}
Bunlardan ham moment değerleri *mk*  bulmak için şu tanımlara bakılsın:

{\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu \_{1}-\mu \_{2}\,}
{\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu \_{1}+\mu \_{2})/2.\,}
Bunlardan 3 ham moment *m**k* değerleri şöyle çıkartılır:

{\displaystyle m\_{1}=\left.\Delta \right.\,}
{\displaystyle m\_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}
{\displaystyle m\_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}
Merkezsel momentler *M* *k* şunlardır:

{\displaystyle M\_{2}=\left.2\mu \right.\,}
{\displaystyle M\_{3}=\left.\Delta \right.\,}
{\displaystyle M\_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,}
Beklenen değer, varyans, çarpıklık katsayısı and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::

{\displaystyle \left.\right.E(n)=\Delta \,}
{\displaystyle \sigma ^{2}=\left.2\mu \right.\,}
{\displaystyle \gamma \_{1}=\left.\Delta /(2\mu )^{3/2}\right.\,}
{\displaystyle \gamma \_{2}=\left.1/2\mu \right..\,}
Kümülant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:

{\displaystyle K(t;\mu \_{1},\mu \_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu \_{1},\mu \_{2}))=\sum \_{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa \_{k}}
ve bundan kümülant değerleri elde edilir:

{\displaystyle \kappa \_{2k}=\left.2\mu \right.}
{\displaystyle \kappa \_{2k+1}=\left.\Delta \right..}
Özel hal olan μ1 = μ2 için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadır.

Kaynakça
--------

*

Kaynakça
--------

1. ↑  Karlis, D. ve Ntzoufras, I. (2003). "Analysis of sports data using bivariate Poisson models." *Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician)* **52** (3): 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
2. ↑  [Karlis D. ve Ntzoufras I. (2006). "Bayesian analysis of the differences of count data" *Statistics in Medicine* C.25, say.1885-1905.  12 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
3. ↑  Skellam, J. G. 1946. The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. *Journal of the Royal Statistical Society: Series A* C.109 No.3 say.296. [*ölü/kırık bağlantı*]
4. ↑  [Irwin, J. O. (1937). "The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution." *Journal of the Royal Statistical Society: Series A* C.100 No.3 say. 415–416.
5. ↑  Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 1972. Modified Bessel functions I and K. Sections 9.6–9.7 in *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, 9th printing, pp. 374–378. New York: Dover. p. 377 ]

| * g
* t
* d
Olasılık dağılımları |
| --- |
| Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli | 

Ayrık tekdüze **·** 
Benford **·** 
Bernoulli **·** 
Binom **·** 
Kategorik **·** 
Hipergeometrik **·** 
Rademacher **·** 
Zipf **·** 
Zipf-Mandelbrot
 |
| Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli | 

Boltzmann **·** 
Conway-Maxwell-Poisson **·** 
Bileşik Poisson **·** 
Ayrık faz tipi **·** 
Genişletilmiş negatif binom **·** 
Gauss-Kuzmin **·** 
Geometrik **·** 
Logaritmalı **·** 
Negatif binom **·** 
Parabolik fraktal **·** 
Poisson **·** 
Skellam **·** 
Yule-Simon **·** 
Zeta
 |
| Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli | 

Beta **·** 
Irwin-Hall **·** 
Kumaraswamy **·** 
Kabartılmış kosinus **·** 
Üçgensel **·** 
U-kuadratik **·** 
Sürekli tekdüze **·** 
Wigner yarımdaire
 |
| Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli | 

Beta prime **·** 
Bose–Einstein **·** 
Burr **·** 
Ki-kare **·** 
Coxian **·** 
Erlang **·** 
Üstel **·** 
F-dağılımı **·** 
Fermi-Dirac **·** 
Katlanmış normal **·** 
Fréchet **·** 
Gamma **·** 
Genelleştirilmiş uçsal değer **·** 
Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi **·** 
Yarı-logistik **·** 
Yarı-normal **·** 
Hotelling'in T-kare **·** 
Hiper-üstel **·** 
Hipo-üstel **·** 
Ters ki-kare 
(Ölçeklenmiş ters ki-kare) **·** 
Ters Gauss-tipi **·** 
Ters gamma **·** 
Lévy **·** 
Log-normal **·** 
Log-logistik **·** 
Maxwell-Boltzmann **·** 
Maxwell hız **·** 
Nakagami **·** 
Merkezsel olmayan ki-kare **·** 
Pareto **·** 
Faz-tipi **·** 
Rayleigh **·** 
Relativistik Breit–Wigner **·** 
Rice **·** 
Rosin–Rammler **·** 
Kaydırılmış Gompertz **·** 
Kesilmiş normal **·** 
2.tip Gumbel **·** 
Weibull **·** 
Wilks'in lambda
 |
| Sürekli tek değişkenli ve  (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli | 

Cauchy **·** 
Uçsal değer **·** 
Üstel güç **·** 
Fisher'in z  **·** 
Genelleştirilmiş hiperbolik   **·** 
Gumbel **·** 
Hiperbolik sekant **·** 
Landau **·** 
Laplace **·** 
Lévy çarpık alfa-durağan **·** 
Logistik **·** 
Normal (Gauss tipi) **·** 
Normal ters Gauss-tipi **·** 
Çarpık normal **·** 
Student'in *t* **·** 
1.tip Gumbel **·** 
Varyans-Gamma **·** 
Voigt
 |
| Çok değişkenli (birleşik) | 

**Ayrık:**
Ewens **·** 
Beta-binom **·** 
Multinom **·** 
Çokdeğişirli Polya

**Sürekli:**
Dirichlet **·** 
Genelleştirilmiş Dirichlet **·** 
Çokdeğişirli normal **·** 
Çokdeğişirli Student  **·** 
normal-ölçeklenmiş ters gamma  **·** 
Normal-gamma 

**Matris-değerli:**
Ters-Wishart **·** 
Matris normal **·** 
Wishart
 |
| Yönsel, Bozulmuş ve singuler | 

**Yönsel:**
Kent  **·** 
von Mises **·** 
von Mises–Fisher 
**Bozulmuş:**
Ayrık bozulmuş **·** 
Dirac delta fonksiyonu 
**Singuler:**
Cantor **·** 
 |
| Aileler | 

Üstel **·** 
Doğasal üstel **·** 
Konum-ölçekli **·** 
Maksimum entropi **·** 
Pearson **·** 
Tweedie
 |