Küresel koordinatlar (*r*, *θ*, *φ*) *fizikte* ortak kullanılır: yarıçap uzunluğu *r*, kutupsal açı *θ* (teta), ve azimut açı *φ* (fi). *ρ* (rho) sembolü ise r vektörünün xy düzlemindeki izdüşüm vektörüdür. Yaygın kullanım bu şekildedir.
NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, {\displaystyle \theta } *z* ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu {\displaystyle \phi } açısı *x-y* düzlemi ve *x* ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.

Silindirik koordinat sistemi
----------------------------

### Vektör alanı

Vektörler (p, φ, *z*) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada

* *p , xy* düzlemine *r* vektörünün izdüşüm uzunluğu,
* **φ** pozitif *x*-ekseninin (0 ≤  **φ** < 2π) *xy*-düzlemi (i.e. *r*)vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
* *z* bilinen *z*-koordinatı.

(p, **φ**, *z*) kartezyen koordinatlarda şöyle verilir:

{\textstyle {\begin{bmatrix}p\\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
veya tersi yoluyla:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\cos \phi \\p\sin \phi \\z\end{bmatrix}}.}
Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:

{\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {\hat {x}} +A\_{y}\mathbf {\hat {y}} +A\_{z}\mathbf {\hat {z}} =A\_{p}\mathbf {\hat {p}} +A\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A\_{z}\mathbf {\hat {z}} }
Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {p}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
* Not: bu matris bir ortogonal matristir, şöyle ki, o terstir, basittir, transpozedir.

### Bir vektör alanının zaman türevleri

"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.

Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz ({\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}).
Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:

{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}\_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}\_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}\_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:

{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}\_{p}{\hat {\boldsymbol {p}}}+A\_{p}{\dot {\hat {\boldsymbol {p}}}}+{\dot {A}}\_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A\_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}\_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A\_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}
Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {p} }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {p} }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}
ile verilir.
Zaman türevleri basitçe:

{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {p}}}({\dot {A}}\_{p}-A\_{\phi }{\dot {\phi }})+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}({\dot {A}}\_{\phi }+A\_{p}{\dot {\phi }})+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}\_{z}}
### Bir vektör alanın ikinci kez türevi

fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor .
Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:

{\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {A}}\_{p}-A\_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}\_{\phi }{\dot {\phi }}-A\_{p}{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\ddot {A}}\_{\phi }+A\_{p}{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}\_{p}{\dot {\phi }}-A\_{\phi }{\dot {\phi }}^{2})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}\_{z}}
Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.

Bu demektir ki {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =p\mathbf {\hat {p}} +z\mathbf {\hat {z}} }.

Biz koymak yerine sonra:

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {p}}-p{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(p{\ddot {\phi }}+2{\dot {p}}{\dot {\phi }})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}
Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {p}}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-p{\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{centripetal acceleration}}\\p{\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{angular acceleration}}\\2{\dot {p}}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{Coriolis effect}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{aligned}}}
Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.

Küresel koordinat sistemi
-------------------------

### Vektör alanı

(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler 

* r vektörünün boyudur,
* θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
* φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π),

(by:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\ r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/\ r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
tarafından

ya da ters tarafından:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ r\sin \theta \cos \phi \\\ r\sin \theta \sin \phi \\\ r\cos \theta \end{bmatrix}}.}
Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:

{\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {\hat {x}} +A\_{y}\mathbf {\hat {y}} +A\_{z}\mathbf {\hat {z}} =A\_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A\_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
* Not: Bu matris bir ortogonal matristir, o terstir, basitçetranspozedir.

### Bir vektör alanın zaman türevi

Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız
Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}\_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}\_{z}\mathbf {\hat {z}} }
Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A\_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}\_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A\_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}
Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. 
Bunlar tarafından verilmektedir:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}
zamana göre türevleri alınırsa:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}\_{r}-A\_{\theta }{\dot {\theta }}-A\_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}\_{\theta }+A\_{r}{\dot {\theta }}-A\_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}\_{\phi }+A\_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A\_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta )}

Ayrıca bakınız
--------------

* gradyan, diverjans, curl özellikleri için, Silindirik ve küresel koordinatlarda del ve laplasyen in çeşitli koordinat sistemlerinde.

kaynakça
--------

1. ↑  "Wolfram Mathworld, spherical coordinates". 5 Ekim 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Ekim 2013.