kartezyan düzlem'de **i'**nin gösterimi. Yatay eksen reel sayıları, dikey eksen sanal sayıları gösterir.
**Sanal birim** ya da **i sayısı**, x2 = -1 eşitliğini sağlayan bir sayıdır. Reel sayılar kümesindeki hiçbir sayının karesi negatif olamayacağı için, bu ikinci dereceden denklemi sağlayan fakat reel sayılar kümesine ait olmayan böyle bir sayı, genellikle **i** notasyonu ile gösterilir. **i sayısı,** ℝ ile gösterilen reel sayılar kümesini ℂ ile gösterilen kompleks sayılar kümesine genişleten ve sabit olmayan her bir P(x) polinomu için en az bir kök sağlayan matematiksel bir kavramdır. "Hayali" terimi negatif kareye sahip gerçek sayı olmadığı için kullanılır.

-1'in, bir çift karekökü olan 0 dışında her gerçek sayının iki karmaşık karekökü olduğu gibi, **i** ve **-i** olarak adlandırılan iki adet sanal karekökü vardır.

Tanımı
------

 **i'nin kuvvetleri ile tekrarlanan döngü:**

|  |
| --- |
| {\displaystyle \ldots } (tekrarlanan desen mavi bölgedir) |
| {\displaystyle i^{-3}=i\,} |
| {\displaystyle i^{-2}=-1\,} |
| {\displaystyle i^{-1}=-i\,} |
| {\displaystyle i^{0}=1\,} |
| {\displaystyle i^{1}=i\,} |
| {\displaystyle i^{2}=-1\,} |
| {\displaystyle i^{3}=-i\,} |
| {\displaystyle i^{4}=1\,} |
| {\displaystyle i^{5}=i\,} |
| {\displaystyle i^{6}=-1\,} |
| {\displaystyle \ldots } (tekrarlanan desen mavi bölgedir) |
|

**i** sayısı karesi -1 olan sayıdır. Dolayısıyla, x2 = -1 eşitliğinin bir çözümüdür.

**i'**yi bu şekilde tanımlandığında, cebrî olarak hemen **i** ve **-i**'nin karelerinin -1 olduğu sonucuna ulaşırız.

Reel sayılar üzerinde işlem yapılırken, sanal ve komplex sayılar **i''*ye herhangi bir bilinmeyen gibi yaklaşılarak kullanılabilir. İşlemler tamamlandığında,*** *i'**nin tanımına geri dönülerek,** i'* 2 görülen her yere -1 yazılıp işlem tamamlanabilir. Ayrıca **i'**nin kuvvetleri  **−i**, 1, **i**, veya −1 ile yer değiştirilebilir.

{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,}
{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,}
{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i.\,}
Sıfır dışında herhangi bir reel sayıya benzer şekilde, **i**nin sıfırıncı kuvveti 1'dir:

{\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,}

i ve -i
-------

{\displaystyle x^{2}+1=0} polinomu dışında başka hiçbir ikinci derece polinomunda çok katlı ve kökleri birbirlerini destekleyen ve tersi olacak böyle bir özellik yoktur.
**i** ve **-i'**nin birbirlerine eşit olmadığı -bir çözümdür- ve kanıtlanabilir,denklemin çözümünü sadece i olarak vermek belirsizlik ortaya çıkarır.Ancak **i** ve **-i** niceliksel ve niteliksel olarak kıyaslamada kullanılamaz. Her iki imajiner sayının kareleri -1 dir.
{\displaystyle x^{2}+1=0} bağıntısında köklerde birisi daha notasyonel olsa da hiçbiri daha öncelikli kabul edilemez.
Bu konularda en hassas açıklama karmaşık düzlemde tanımlanan **R**[*X*]/ (*X*2 + 1), izomorfizmdir, neredeyse böyle eşsiz bir izomorfizm yoktur.
**R**[*X*]/ (*X*2 + 1)'de *X* dan −*X* a birbirine eş iki otomorfik düzlem vardır.
Bakınız Karmaşık sayı, complex conjugation, field automorphism ve Galois group.
Kompleks sayılar 2 × 2 reel matrisinde yorumlanırsa matrisler (bkz. Kompleks sayılar), benzer sorunlar doğar,çünkü burada;

{\displaystyle X^{2}=-I.\ }
matris denkleminin çözümü

{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
ve

{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}}
şeklindedir.
Tüm bu belirsizlikleri çözmek için kompleks sayılardaki imajiner birim tanımına 
sadık kalmalıyız.
Örneğin iki boyutlu vektörlerin inşasında (0,1) vektörü kullanılır.

Doğru kullanım
--------------

İmajiner birim bazen uzman matematik bağlamlarında {\displaystyle {\sqrt {-1}}} olarak yazılır. (veya daha az uzman fakat popular bağlamda ). Ancak,kök bulmak gibi durumlarda manipüle şekli kullanılmaktadır. Çünkü prensip olarak karekök fonksiyon,*yalnızca x* ≥ 0, gerçel durumlar için tanımlanır, veya disipliner bir şekilde kompleks karekök fonksiyon olarak ele alınmalıdır.Eğer kompleks karekök fonksiyon manipulasyonu yapılmazsa yanlış sonuçlar çıkabilir:

{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1} *(tutarsız)*.
tutarlı bir yöntemin pozitif ve negatif kökler için çıkardığı farklı sonuçlar:

{\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1} *(farklılık)*.
Hesaplama kuralı

{\displaystyle a} ve {\displaystyle b}'nin yalnızca negatif olmayan gerçel değerleri için
{\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}. geçerlidir.
Bu tür hataların önüne geçmek için, bir strateji olarak kare kök işareti altında negatif bir sayı asla kullanılmamalıdır,örneğin

{\displaystyle {\sqrt {-7}}}, yerine {\displaystyle i{\sqrt {7}}} yazılmalıdır.

i sayısı'nın karekökü
---------------------

imajiner birimin karekökünü karmaşık sayılar içinde ifade edebilmek için iki rakam gereklidir.Ancak bu gerekli değildir: :

{\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).},
çünkü :{\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} ifadesini kullanmak daha pratiktir.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } | {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } |
|  | {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\ } |
|  | {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\ } |
|  | {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ } |
|  | {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } |
|  | {\displaystyle =i.\ } |

**i** sayısı'nın tersi
----------------------

**i'**nin tersi kolaylıkla bulunur.:

{\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}
Bütün kompleks sayıların bölmesinde *i* 'nin kullanılan şekli :

{\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai}

**i** sayısı'nın kuvvetleri
---------------------------

**i** sayısının kuvvetleriyle tekrarlanan evresi:

{\displaystyle \ldots }
{\displaystyle i^{-3}=i\,}
{\displaystyle i^{-2}=-1\,}
{\displaystyle i^{-1}=-i\,}
{\displaystyle i^{0}=1\,}
{\displaystyle i^{1}=i\,}
{\displaystyle i^{2}=-1\,}
{\displaystyle i^{3}=-i\,}
{\displaystyle i^{4}=1\,}
{\displaystyle \ldots }
Herhangi bir *n* tam sayısına eklenen değerler şu açılım desenlerini verir:

{\displaystyle i^{4n}=1\,}
{\displaystyle i^{4n+1}=i\,}
{\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}
{\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}
sonuç olarak

{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}
Burada *mod 4* gösterimi aritmetik modül 4.

### Faktöriyel

Sanal birim i nin faktöriyeli gama fonksiyonunun terimleri içinde sıklıkla verilen 1 + **i** de değerlendirilir:

{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}
Ayrıca,

{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}}

Euler formülü
-------------

Euler formülü

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,} ,şeklindedir.
burada *x* gerçel bir sayıdır. Bu formülde kompleks *x* analitik olarak gösterilebilir.

*x* = π alınırsa

{\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,}
ve 
Euler özdeşliği:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,}
zarif bir şekle gelir.
Bu basit özdeşlikte beş farklı değeri bir arada bulabiliriz(0, 1, π, *e* ve **i**) ve temel operatörler toplama,çarpma,üs alma'da bir aradadır.

### Örnekler

*x* = π/2 − 2π*N*, alalım burada *N* herhangi bir sayıdır.

{\displaystyle e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,}
veya, *i*,yi üs yaparak

{\displaystyle e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}
veya

{\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,},
{\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,},
{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,}
burada *N* herhangi bir tam sayıdır. Bu değer gerçel, ama eşitsizlikle

sonuçlanmamıştır.

*N = 0* olarak girildiğinde;

{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576....\,}
Diğer birkaç örnek

{\displaystyle \ln(i)=i\pi /2\,}
{\displaystyle i\ln(i)=-\pi /2\,}
{\displaystyle i^{\ln(i)}=e^{({\ln(i)})^{2}}=e^{-\pi ^{2}/4}=0,1076929315\,}

i sayısı ile yapılan işlemler
-----------------------------

Gerçel sayılarla birlikte **i**;üs alma, kök alma, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlu birçok matematiksel işlemlerde bir arada kullanılabilir.

Bir sayının *n**i***nci kuvveti:

{\displaystyle \!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n})).}
Bir sayının *n**i'***nci kuvvetten kökü :

{\displaystyle \!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).}
Bir sayının imajiner-tabanlı logaritma'sı :

{\displaystyle \log \_{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.}
görüldüğü gibi i tabanlı log herhangi tabanlı gibi tanımlı değil

**i'**li cos gerçel bir sayıdır:

{\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1.54308064.}
ve **i'**li sin imajinerdir:

{\displaystyle \sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1.17520119\,i.}

Alternatif gösterimler
----------------------

* Elektrik mühendisliği ve diğer alanlarda, zamanın bir fonksiyonu olan **i**(**t**) veya sadece **i** olan elektrik akımı ile karıştırılmaması için imajiner birim {\displaystyle j\,} seçilmiştir. Ancak Python programlama dili'ndede imajiner birim **j** olarak kullanılır. ise, **i** ve **j** gösterimlerini aynı şekilde algılar.
* Bazı özel incelem durumları içeren ders kitaplarında ise **j** = −**i**, alma ihtiyacı vardır.

özellikle hareketli dalgalar (e.g. x yönünde hareket eden düzlem dalga için
{\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,}).
* Bazı yazılarda yazıyla imaijner birim'le karıştırmamak için (ι ) kullanılır .örnek: .

Ayrıca bakınız
--------------

* Alfred Tarski
* sanal sayı
* Karmaşık düzlem
* Birimin kökü

Notlar
------

1. ↑  University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? 7 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. URL retrieved March 26, 2007.
2. ↑  "abs(i!) 6 Temmuz 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", *WolframAlpha*.

Kaynakça
--------

* Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

Dış bağlantılar
---------------

* Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence25 Haziran 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.