Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında **gamma dağılımı** iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdır. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi *θ*; diğeri ise şekil parametresi *k* olarak anılır. Eğer *k* tam sayı ise, gamma dağılımı *k* tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre {\displaystyle {\frac {1}{\theta }}} olur.

Karakteristikler
----------------

Bir rassal değişken olan *X*in *θ* ölçek parametresi ve *k* şekil parametresi ile
tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

{\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\,\,\mathrm {veya} \,\,X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta ).}
### Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

{\displaystyle f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\,\mathrm {and} \,\,k,\theta >0.}
Bu çeşit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi {\displaystyle \alpha =k} ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi {\displaystyle \beta =1/\theta } kullanılarak şöyle elde edilir:

{\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=x^{\alpha -1}{\frac {\beta ^{\alpha }\,e^{-\beta \,x}}{\Gamma (\alpha )}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\!.}
Eğer {\displaystyle \alpha } bir pozitif tam sayı ise, o halde
{\displaystyle {\Gamma (\alpha )}=(\alpha -1)!}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

### Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

{\displaystyle F(x;k,\theta )=\int \_{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}

Özellikler
----------

### Toplama

Eğer *i* = 1, 2, ... *N* için rassal değişken *X*iin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}X\_{i}\sim \Gamma \left(\sum \_{i=1}^{N}\alpha \_{i},\beta \right)\,\!}
Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

### Ölçekleme

Herhangi bir *t* için *tX* bir Γ(*k*, *t*θ) dağılımı gösterir; bu ifade *θ*nın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

### Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri
{\displaystyle k-1} ve {\displaystyle -1/\theta }; ve doğal istatistikleri {\displaystyle X} ve {\displaystyle \ln(X)} olur.

### Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

{\displaystyle {\frac {-1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{e^{x/\theta }}}\left[(k-1)\ln x-x/\theta -k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\,dx\!}
{\displaystyle =-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!}
{\displaystyle =k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!}
burada ψ(*k*) bir digama fonksiyonu olur.

### Kullback–Leibler ayrılımı

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

{\displaystyle D\_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha \_{0},\beta \_{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha \_{0}})\beta \_{0}^{\alpha \_{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha \_{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha \_{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta \_{0}}{\beta \_{0}}}}
### Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

{\displaystyle F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}.}

Parametre tahmini
-----------------

Gama Olasılık Dağılımının 3B Gösterimi. Her Katman, 1,2,3,4,5 ve 6'ya eşit olan θ {\displaystyle \theta } 'nın farklı bir değeri içindir.
### Maksimum olabilirlilik tahmini

Birbirlerinden bağımsız ve aynı dağılım gösteren *N* sayıda gözlem , {\displaystyle (x\_{1},\ldots ,x\_{N})}, için olabilirlik fonksiyonu sudur:

{\displaystyle L(\theta )=\prod \_{i=1}^{N}f(x\_{i};k,\theta )\,\!}
Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu türetilebiliriz:

{\displaystyle \ell (\theta )=(k-1)\sum \_{i=1}^{N}\ln {(x\_{i})}-\sum x\_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.}
Bunun {\displaystyle \theta }'ya gore maksimim değerini bulmak için bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci türevini alıp sıfıra eşitlersek, θ parametresi için maksimum-olabilirlik kestirimini buluruz:

{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}.\,\!}
Bunu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

{\displaystyle \ell =(k-1)\sum \_{i=1}^{N}\ln {(x\_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x\_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!}
Bunu *k'*ye gore maksimumunu bulmak için birinci türevini alırız ve bunu sıfıra eşitleriz. Sonuç şudur:

{\displaystyle \ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}\ln {(x\_{i})}\,\!}
Burada

{\displaystyle \psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!}
olup bir digamam fonksiyonudur.

*k* için kapali-sekilli bir çözüm bulunmamaktadır. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranış gösterir ve bunun için bir numerik çözüm istenirse, örneğin numerik Newton Yöntemi, sonuçlar yeterli dakik olur. Bu numerik çözümler için ilk değer ya "momentler metodu" kullanılarak bulunur ya da su yaklaşım kullanılabilir:

{\displaystyle \ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!}
Eğer su ifadeyi kullanirsak

{\displaystyle s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}\ln {(x\_{i})},\,\!}
*k* yaklaşık şu değerdedir:

{\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}
Bu genellikle gerçek değerden +/- %1,5 hatalı olabileceği bulunmuştur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yöntemi için iyileştirilmesi Choi ve Wette (1969) şöyle verilmiştir:

{\displaystyle k\leftarrow k-{\frac {\ln k-\psi \left(k\right)-s}{1/k-\psi '\left(k\right)}}}
burada {\displaystyle \psi '\left(\cdot \right)} trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci türevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarını çok dakiklikle hesaplamak güç olabilir. Fakat, su verilen *yaklaşım formülleri* kullanarak birkaç önemli ondalikli sayıya kadar iyi yaklaşım sayıları bulmak imkânı vardır:

{\displaystyle \psi \left(k\right)={\begin{cases}\ln(k)-(1+(1-(1/10-1/(21k^{2}))/k^{2})/(6k))/(2k),\quad k\geq 8\\\psi \left(k+1\right)-1/k,\quad k<8\end{cases}}}
ve

{\displaystyle \psi '\left(k\right)={\begin{cases}(1+(1+(1-(1/5-1/(7k^{2}))/k^{2})/(3k))/(2k))/k,\quad k\geq 8,\\\psi '\left(k+1\right)+1/k^{2},\quad k<8.\end{cases}}}
Ayrıntılar için bakiniz Choi ve Wette (1969).

### Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen değerde *k* ve bilinmeyen değerde '{\displaystyle \theta }, için theta için sonrasal olasılık yoğunluk fonksiyonu ({\displaystyle \theta } için standart ölçek-değişilmez öncel kullanarak) su elde edilir:

{\displaystyle P(\theta |k,x\_{1},...x\_{N})\propto 1/\theta \prod \_{i=1}^{N}f(x\_{i};k,\theta ).\,\!}
Su ifade verilsin

{\displaystyle y\equiv \sum \_{i=1}^{N}x\_{i},\qquad P(\theta |k,x\_{1},\dots ,x\_{N})=C(x\_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!}
Bunun θ entegrasyonu değişkenlerin değiştirilmesi yöntemi kullanılarak mümkün olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin 

{\displaystyle \scriptstyle \alpha =Nk,\ \ \beta =y}
parametreleri olan bir gamma dağılımı gösterdiği ortaya çıkartılır.

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int \_{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!}
Momentler (*m* ile *m* = 0) orantısı alınarak hesaplanabilir:

{\displaystyle E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!}
Buna göre theta'nin sonsal dağılımının ortalama +/- standart sapma kestiriminin şöyle olur:

{\displaystyle {\frac {y}{Nk-1}}} +/- {\displaystyle {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.}

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi
----------------------------------------------

İlişkili dağılımlar
-------------------

### Özel dağılımlar

* {\displaystyle X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,}, then {\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,}

-->

### Diğerleri

* Eğer *X* bir Γ(*k*, θ) dağılımı gösterirse 1/*X* *k* ve θ−1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gösterir.

Kaynakça
--------

* R. V. Hogg and A. T. Craig. *Introduction to Mathematical Statistics*, 4th ed. New York: Macmillan, 1978. *(Bak Section 3.3.)*
* Eric W. Weisstein, *Gamma distribution* (MathWorld)
* 23 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Engineering Statistics El Kilavuzu.
* S. C. Choi and R. Wette. (1969) *Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias*, **Technometrics**, **11**(4) 683-69

| * g
* t
* d
Olasılık dağılımları |
| --- |
| Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli | 

Ayrık tekdüze **·** 
Benford **·** 
Bernoulli **·** 
Binom **·** 
Kategorik **·** 
Hipergeometrik **·** 
Rademacher **·** 
Zipf **·** 
Zipf-Mandelbrot
 |
| Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli | 

Boltzmann **·** 
Conway-Maxwell-Poisson **·** 
Bileşik Poisson **·** 
Ayrık faz tipi **·** 
Genişletilmiş negatif binom **·** 
Gauss-Kuzmin **·** 
Geometrik **·** 
Logaritmalı **·** 
Negatif binom **·** 
Parabolik fraktal **·** 
Poisson **·** 
Skellam **·** 
Yule-Simon **·** 
Zeta
 |
| Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli | 

Beta **·** 
Irwin-Hall **·** 
Kumaraswamy **·** 
Kabartılmış kosinus **·** 
Üçgensel **·** 
U-kuadratik **·** 
Sürekli tekdüze **·** 
Wigner yarımdaire
 |
| Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli | 

Beta prime **·** 
Bose–Einstein **·** 
Burr **·** 
Ki-kare **·** 
Coxian **·** 
Erlang **·** 
Üstel **·** 
F-dağılımı **·** 
Fermi-Dirac **·** 
Katlanmış normal **·** 
Fréchet **·** 
Gamma **·** 
Genelleştirilmiş uçsal değer **·** 
Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi **·** 
Yarı-logistik **·** 
Yarı-normal **·** 
Hotelling'in T-kare **·** 
Hiper-üstel **·** 
Hipo-üstel **·** 
Ters ki-kare 
(Ölçeklenmiş ters ki-kare) **·** 
Ters Gauss-tipi **·** 
Ters gamma **·** 
Lévy **·** 
Log-normal **·** 
Log-logistik **·** 
Maxwell-Boltzmann **·** 
Maxwell hız **·** 
Nakagami **·** 
Merkezsel olmayan ki-kare **·** 
Pareto **·** 
Faz-tipi **·** 
Rayleigh **·** 
Relativistik Breit–Wigner **·** 
Rice **·** 
Rosin–Rammler **·** 
Kaydırılmış Gompertz **·** 
Kesilmiş normal **·** 
2.tip Gumbel **·** 
Weibull **·** 
Wilks'in lambda
 |
| Sürekli tek değişkenli ve  (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli | 

Cauchy **·** 
Uçsal değer **·** 
Üstel güç **·** 
Fisher'in z  **·** 
Genelleştirilmiş hiperbolik   **·** 
Gumbel **·** 
Hiperbolik sekant **·** 
Landau **·** 
Laplace **·** 
Lévy çarpık alfa-durağan **·** 
Logistik **·** 
Normal (Gauss tipi) **·** 
Normal ters Gauss-tipi **·** 
Çarpık normal **·** 
Student'in *t* **·** 
1.tip Gumbel **·** 
Varyans-Gamma **·** 
Voigt
 |
| Çok değişkenli (birleşik) | 

**Ayrık:**
Ewens **·** 
Beta-binom **·** 
Multinom **·** 
Çokdeğişirli Polya

**Sürekli:**
Dirichlet **·** 
Genelleştirilmiş Dirichlet **·** 
Çokdeğişirli normal **·** 
Çokdeğişirli Student  **·** 
normal-ölçeklenmiş ters gamma  **·** 
Normal-gamma 

**Matris-değerli:**
Ters-Wishart **·** 
Matris normal **·** 
Wishart
 |
| Yönsel, Bozulmuş ve singuler | 

**Yönsel:**
Kent  **·** 
von Mises **·** 
von Mises–Fisher 
**Bozulmuş:**
Ayrık bozulmuş **·** 
Dirac delta fonksiyonu 
**Singuler:**
Cantor **·** 
 |
| Aileler | 

Üstel **·** 
Doğasal üstel **·** 
Konum-ölçekli **·** 
Maksimum entropi **·** 
Pearson **·** 
Tweedie
 |