***Şekil 1:* Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen**
**Kosinüs teoremi**, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. *Şekil 1'*deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şöyledir:

{\displaystyle \ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
{\displaystyle \ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }
{\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

Kanıtlanması
------------

### Uzaklık Formülüyle

Kenarları {\displaystyle a,b,c} ve c kenarının karşısındaki açısı {\displaystyle \alpha } olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde {\displaystyle \ A(b\sin \alpha ,b\cos \alpha ),B(0,a),C(0,0)} noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle {\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}}}} bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki biçimde teorem kanıtlanır:

{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\alpha -2ab\cos \alpha +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )-2ab\cos \alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \end{aligned}}}
### Trigonometriyle

Ana madde: Trigonometri
*Şekil 2:* Bir dikme indirilmiş üçgen
*Şekil 2'*deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

{\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}
Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

{\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}
Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

{\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,}
{\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}
bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}
En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

{\displaystyle ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,}
yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,.}
elde edilir.

İkizkenar üçgende kosinüs teoremi
---------------------------------

Ana madde: İkizkenar üçgen
Bir ikizkenar üçgende {\displaystyle a=b} ve iki eşit kenar arasındaki açı {\displaystyle \gamma } olduğu durumda {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

{\displaystyle \cos(\gamma )=1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}.\;}

İlgili konular
--------------

* Trigonometri
* Kosinüs
* Üçgen

| * g
* t
* d
Trigonometri |
| --- |
| Ana hatları  • Tarihi  • Kullanımları  • Genelleştirilmiş |
| Açı ölçü birimleri | 
* Derece
* Radyan
* Grad

 |  |
| Trigonometrik fonksiyonlar &Ters trigonometrik fonksiyonlar | 
* Sinüs (*sin*)
* Kosinüs (*cos*)
* Tanjant (*tan*)
* Kotanjant (*cot*)
* Sekant (*sec*)
* Kosekant (*csc*)
* Versinüs (*versin*)
* Verkosinüs (*vercosin*)
* Koversinüs (*coversin*)
* Koverkosinüs (*covercosin*)
* Haversinüs (*haversin*)
* Haverkosinüs (*havercosin*)
* Hakoversinüs (*hacoversin*)
* Hakoverkosinüs (*hacovercosin*)
* Ekssekant (*exsec*)
* Ekskosekant (*excsc*)

 |
| Referans | 
* Özdeşlikler
* Tam sabitler
* Tablolar
* Birim çember

 |
| Trigonometrik formüller | 
* Kosinüs teoremi
* Sinüs teoremi
* Tanjant teoremi
* Kotanjantlar teoremi

 |
| Kalkülüs | 
* Trigonometrik yerine koyma
* İntegraller (Ters fonksiyonlar)
* Türevler

 |
| İlgili konular | 
* Üçgen
* Çember
* Geometri
* Açı

 |
| Kullanıldığı dallar | 
* Matematik
* Geometri
* Fizik
* Mühendislik
* Astronomi

 |

| * g
* t
* d
Üçgen |
| --- |
| Üçgen Türleri | Dik üçgen · İkizkenar üçgen · Eşkenar üçgen |  |
| Yardımcı Elemanlar | Açıortay · Kenarortay · Yükseklik |
| Teoremler ve bağıntılar | Pisagor teoremi · Ceva teoremi · Menelaus teoremi · Stewart teoremi · Thales teoremi · Öklid bağıntıları · Kosinüs teoremi · Sinüs teoremi · Tanjant teoremi · Heron formülü |