Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.
Matematiksel analizin sayı teorisinde **Euler–Mascheroni sabiti** matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int \_{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.}
sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|
{\displaystyle \gamma } ile e sayısı karıştırılmamalıdır *e* *Euler sayısı*, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe
-------

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, *De Progressionibus harmonicis observationes* başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon *C* ve *O* dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon *A* ve *a* 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.

Tezahürleri
-----------

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür : 

* üstel integral ifadelerinde.
* doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde.
* Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim,burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
* Digama fonksiyonu hesaplamaları
* Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül
* Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik
* Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri
* Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama
* Mertens'in üçüncü teoremi
* ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü.
* Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
* Gumbel dağılımının anlamı ile.

Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği
-------

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır.[*kaynak belirtilmeli*] Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız:
Gourdon and Sebah (2002). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

### Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

{\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}
Bunun limiti:

{\displaystyle -\gamma =\lim \_{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim \_{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}
Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

{\displaystyle \lim \_{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }
{\displaystyle \lim \_{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.}
beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.}
{\displaystyle \gamma =\lim \limits \_{m\to \infty }\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).}
### Zeta fonksiyonu ile ilişkisi

Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}
zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim \_{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum \_{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim \_{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum \_{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}
Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

{\displaystyle \gamma =\lim \_{s\to 1^{+}}\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim \_{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}
ve

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum \_{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}}
rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum \_{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}
Burada ζ(*s*,*k*) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir. *H**n*. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

{\displaystyle H\_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon }, burada {\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.}

Notlar
------

1. ↑  Krämer 2005

Kaynakça
--------

* Borwein, Jonathan M. David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function". *Journal of Computational and Applied Mathematics*. Cilt 121. s. 11.  `|başlık=` dış bağlantı (yardım)KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)  Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
* Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi."
* ----- (2004) "The Euler constant: γ. 28 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi."
* Donald Knuth (1997) *The Art of Computer Programming, Vol. 1*, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4
* Krämer, Stefan (2005) *Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen*. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
* Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," *Mathematics Magazine 71*: 219-220.
* ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59*: 307-314.*
* ------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."
* ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," *Proceedings of the American Mathematical Society 131*: 3335-3344.
* ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," *American Mathematical Monthly 112*: 61-65.
* ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π."
* ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12*: 225-244.*
* G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, *C* = 0,577…". *Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali* (6) 3, 19–20.
* James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
* Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
* Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
* Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at:  24 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Havil, Julian (2003). *Gamma: Exploring Euler's Constant*. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9.

Dış bağlantılar
---------------

* Krämer, Stefan. "Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History". 17 Ekim 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* "Jonathan Sondow". 10 Aralık 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi.

| * g
* t
* d
Leonhard Euler |
| --- |
| Çalışmalar | 
* *Mechanica*
* *Introductio in analysin infinitorum*
* *Institutiones calculi differentialis*
* *Institutiones calculi integralis*
* *Letters to a German Princess*

 |  |
| Kavramlar ve teoriler | 
* Euler-Lagrange denklemi
* Euler-Lotka denklemi
* Euler-Maclaurin formülü
* Euler-Maruyama yöntemi
* Euler-Mascheroni sabiti
* Euler-Poisson-Darboux denklemi
* Euler-Rodrigues formülü
* Euler-Tricomi denklemi
* Euler sürekli kesirler formülü
* Euler kritik yükü
* Euler formülü
* Euler dört-kare özdeşliği
* Euler özdeşliği
* Euler pompa ve tribün denklemi
* Euler dönme teoremi
* Euler kuvvetler toplamı varsayımı
* Euler teoremi
* Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği)
* Euler fonksiyonu
* Euler yöntemi
* Euler sayıları
* Euler sayısı (fizik)
* Euler-Bernoulli kiriş teorisi
* Euler teoremi (geometri)
* Euler spirali
* Euler-Fuss denklemi
* Euler dörtgen teoremi

 |
| Diğer | 
* Aynı adı taşıyan
* Euler Committee
* Johann Euler
* Johann Bernoulli (Bernoulli ailesi)
* Georg Gsell
* Merian ailesi
* Basel Okulu (matematik)

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4227778-4
* NKC: ph301323

 |