Matematikte, **Lambert W fonksiyonu**, aynı zamanda **Omega fonksiyonu** veya **çarpım logaritması** olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir.

*f*(*w*) = *we**w* fonksiyonunda *e**w* üstel fonksiyon ve *w* herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.

{\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}
{\displaystyle Y=Ae^{A}\;\Longleftrightarrow \;A=W(Y)}
{\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{for }}z\neq -1/e.}
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \{0,-1/e\}.}
{\displaystyle \left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|\_{z=0}=1.}
W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.

{\displaystyle \int W(a)\,{\rm {d}}a=a\left(W(a)-1+{\frac {1}{W(a)}}\right)+C.}
**Lambert W Fonksiyonun Serisi**:

{\displaystyle W(a)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ a^{n}=a-a^{2}+{\frac {3}{2}}a^{3}-{\frac {8}{3}}a^{4}+{\frac {125}{24}}a^{5}-\cdots } .
Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği:
{\displaystyle e^{W(a)}=\left({\frac {a}{W(a)}}\right)}
İntegrali ise:

{\displaystyle \int e^{W(a)}\,{\rm {d}}a=a^{2}(1+2W(a)){\frac {1}{4W(a)^{2}}}+C.}
**Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:**
{\displaystyle W\_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x)}
**Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:**
{\displaystyle xe^{x}=y\Rightarrow e^{x}={\frac {y}{x}}\Rightarrow x=ln({\frac {y}{x}})} şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.
{\displaystyle x=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny\_{\ddots }}}}}}}} o zaman {\displaystyle xe^{x}=y\Rightarrow x=W(y)} şimdi yerine yazılırsa sonuç: {\displaystyle W(y)=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny\_{\ddots }}}}}}}}
**Bazı Değerler**

{\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}}

{\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)}

{\displaystyle W\_{-1}\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left(a\geqslant e\right)}

{\displaystyle W\_{0}\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad \left(A\geqslant {\frac {1}{e}}\right)}

{\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}

{\displaystyle W\left(0\right)=0\,}

{\displaystyle W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,} (Omega Sabiti)

{\displaystyle W\left(e\right)=1\,}

{\displaystyle W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,}

{\displaystyle W'\left(0\right)=1\,}

{\displaystyle W\left(2\right)=0.852605502013725...\,}

Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:
**Örnek : 1**
{\displaystyle f(x)exp(f(x))=y\Rightarrow f(x)=W(y)} yola çıkarak {\displaystyle x.e^{x}=2\Rightarrow x=W(2)}
**Örnek : 2**
{\displaystyle (m+8).exp(m+8)=ln5\Rightarrow m+8=W(ln5)\Rightarrow m=W(ln5)-8}
(Burada {\displaystyle exp(a)=e^{a}} demektir.)
**Örnek : 3** 
{\displaystyle x^{x}=6\Rightarrow xlnx=ln6} burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.
{\displaystyle [lnx]exp(lnx)=ln6\Rightarrow ln(x)=W(ln6)\Rightarrow x=exp(W(ln6))} (Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.)
**Örnek : 4**
{\displaystyle 3^{x}=8x} denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa {\displaystyle xln3=ln(8x)\Rightarrow ln3={\frac {1}{x}}ln(8x)\Rightarrow {\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln(8x)} yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı. Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa {\displaystyle -{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow {\frac {1}{8x}}=exp(ln{\frac {1}{8x}})} lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem {\displaystyle }{\displaystyle -{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}exp(ln{\frac {1}{8x}})ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow ln[{\frac {1}{8x}}]=W(-{\frac {ln3}{8}})} (Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse {\displaystyle {\frac {1}{8x}}=exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]\Rightarrow x={\frac {1}{8.exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]}}} olur.
*Sonuç olarak:* {\displaystyle 3^{x}=8x} {\displaystyle \Rightarrow x=x={\frac {1}{8.exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]}}} Bu değer {\displaystyle W\_{0}(y)} ye göredir {\displaystyle W\_{-}1(y)} değeride vardır.
**ÖNEMLİ NOKTA**
Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi {\displaystyle ProductLog(0,f(x))} göredir. Geneli {\displaystyle ProductLog(a,b)=W\_{a}(b)} demektir.
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}} olmak üzere
**Örnek olarak** {\displaystyle W\_{n}(10)} fonkisyonu hesap makinesiyle n=0 için {\displaystyle W\_{0}(10)=W(10)=1,7455...}
n=1 için {\displaystyle W\_{1}(10)=0,7113...+i4,8577...}
n=2 için {\displaystyle W\_{2}(10)=-0,0941...+i10,9870...}
n=3 için {\displaystyle W\_{3}(10)=-0,5455...+i17,2471...}
.
.
.
Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi

Notlar
------

Kaynakça
--------

* Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert *W* function" (PDF). *Advances in Computational Mathematics*. Cilt 5. Berlin, New York: Springer-Verlag. ss. 329-359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. 14 Aralık 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2012.
* Scott, T.C.; Mann, R.B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). "General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert *W* Function". *AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)*. **17** (1). ss. 41-47. arXiv:math-ph/0607011 $2. doi:10.1007/s00200-006-0196-1.
* Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function". *SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation)*. **47** (185). ss. 75-83. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014.
* Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W. Z. (2014). "Numerics of the Generalized Lambert W Function". *SIGSAM*. **48** (1/2). ss. 42-56. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014.
* Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). "Fleshing out the Generalized Lambert W Function". *SIGSAM*. **50** (2). ss. 45-60. doi:10.1145/2992274.2992275.
* Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
* Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" *Circulation* 102 (18): 2214. (2000). 8 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
* Şablon:Dlmf
* Veberic, D. "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010).5 Haziran 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. C++ implementation using Halley's and Fritsch's iteration.
* National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W 15 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* MathWorld - Lambert *W*-Function 17 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Computing the Lambert W function
* Corless et al. Notes about Lambert W research 8 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert *W* function, its numerical approximation and generalizations for *W*-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
* GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.