**Klein-Gordon Denklemi**, (bazı kaynaklarda **Klein-Fock-Gordon Eşitliği** olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

Matematiksel Açılım
-------------------

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

{\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }
burada {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } momentum operatörü, {\displaystyle \nabla } ise del operatörüdür.

Hamiltonyen işlemcisi (**Ĥ**);
{\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V}
Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

{\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

{\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}
sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

{\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,}
burada

{\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}
ve

{\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,} olur.
Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler *(sıfır rotasyonlu)* parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

Göreli serbest parçacık çözümü
------------------------------

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

{\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }
Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
Ancak elbette bu durumda,

{\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}
engeli oluşacaktır. göreli olmayan parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} ,}
ve

{\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega .}
şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği **k** ve **ω** bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde *m*>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

{\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle ^{2}=m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.}
Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde *m*`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

{\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle =\langle |\mathbf {p} |\rangle c.}
ilişkisine ulaşırız.

Aksiyom
-------

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial \_{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)}
burada {\displaystyle \phi } Klein-Gordon alanını, {\displaystyle m} ise kütleyi ifade etmektedir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Dirac denklemi
* Kuantum alan kuramı
* Skalar alan
* Schrödinger denklemi
* Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

Dış bağlantılar
---------------

* "Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). *EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası*. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
* "Gayri-Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). *EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası*. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
* "Klein-Gordon denkleminin genellemesi" (PDF). ABD. 28 Eylül 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNF: cb144887138 (data)
* GND: 4164132-2
* LCCN: sh89006586
* NLI: 987007539206805171

 |