Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen **Casey teoremi**, adını İrlandalı matematikçi John Casey'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

Teoremin formülasyonu
---------------------

{\displaystyle t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}-t\_{13}\cdot t\_{24}=0}
{\textstyle \,O}, yarıçapı {\textstyle \,R} olan bir çember olsun.{\textstyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} (sırasıyla) {\textstyle \,O} içinde yer alan kesişmeyen ve {\displaystyle \,O}'ya teğet olan dört çember olsun. {\textstyle \,t\_{ij}}, {\textstyle \,O\_{i},O\_{j}}{\displaystyle O\_{i},O\_{j}} çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre: {\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}}.

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

İspat
-----

Aşağıdaki kanıt Zacharias'a atfedilebilir. {\displaystyle \,O\_{i}} çemberinin yarıçapını {\displaystyle \,R\_{i}} ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da{\displaystyle \,K\_{i}} ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için{\displaystyle \,O,O\_{i}} gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

{\displaystyle \,t\_{ij}^{2}={\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}.}
Bu uzunluğu, {\displaystyle \,K\_{i},K\_{j}} türünden ifade etmeye çalışacağız. {\displaystyle \,O\_{i}OO\_{j}} üçgende kosinüs yasasına göre,

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}={\overline {OO\_{i}}}^{2}+{\overline {OO\_{j}}}^{2}-2{\overline {OO\_{i}}}\cdot {\overline {OO\_{j}}}\cdot \cos \angle O\_{i}OO\_{j}}
{\displaystyle \,O,O\_{i}} çemberleri birbirine teğet olduğundan:

{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}=R-R\_{i},\,\angle O\_{i}OO\_{j}=\angle K\_{i}OK\_{j}}
{\displaystyle \,C}, {\textstyle \,O}çemberinin üzerindeki bir nokta olsun. {\displaystyle \,K\_{i}CK\_{j}} üçgeninde sinüs yasasına göre:

{\displaystyle {\overline {K\_{i}K\_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K\_{i}CK\_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}}
Bu nedenle,

{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K\_{i}K\_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=((R-R\_{i})-(R-R\_{j}))^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

{\displaystyle t\_{ij}={\sqrt {{\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R\_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{j}}}\cdot {\overline {K\_{i}K\_{j}}}}{R}}}
{\displaystyle \,K\_{1}K\_{2}K\_{3}K\_{4}} kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

{\displaystyle {\begin{aligned}&t\_{12}t\_{34}+t\_{14}t\_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{2}}}\cdot {\overline {K\_{3}K\_{4}}}+{\overline {K\_{1}K\_{4}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{3}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t\_{13}t\_{24}\end{aligned}}}

Diğer genellemeler
------------------

Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:

Eğer {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}}, ikisi de {\displaystyle \,O}'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), {\displaystyle \,t\_{ij}} dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}}, {\displaystyle \,O}'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), {\displaystyle \,t\_{ij}} iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur. Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

Uygulamalar
-----------

Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı :411 Casey teoreminin tersini kullanır.

Notlar
------

1. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "John Casey", *MacTutor Matematik Tarihi arşivi*
2. 1 2  
Casey (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". *Proceedings of the Royal Irish Academy*. **9**: 396-423.
3. ↑  
Zacharias (1942). "Der Caseysche Satz". *Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung*. **52**: 79-89.
4. ↑  
*Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde*. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). 1944.
5. 1 2  
*Modern Geometry*. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry). 1929.

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Casey's theorem* (MathWorld)
* Shailesh Shirali. "*On a generalized Ptolemy Theorem*". ss. 49-53.
* "Crux Mathematicorum, volume 22, issue 2". 17 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. (yukarıdaki makaleyi içerir)
* "Casey's Theorem". Cut-the-Knot. 20 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
* "Casey's Theorem". Geogebra. 19 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.

İlave okumalar
--------------

* Luis Gonzalez (2011). "*Casey's Theorem and its Applications*" (PDF). 5 Haziran 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
* Kin Y. Li (2012). "*Casey's Theorem*" (PDF). 21 Ekim 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
* Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). *Casey's theorem in hyperbolic geometry*. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
* Abrosimov, N.V. Aseev, V.V. *Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions*. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018).
* Y. Mikami (1919). "*Casey's theorem in Japanese mathematics*" (Japonca). 7 Ekim 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Kaynakça
--------

* Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". *Proceedings of the Royal Irish Academy*. **9**: 396-423. JSTOR 20488927.
* Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". *Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung*. **52**: 79-89.
* Bottema, O. (1944). *Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde*. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
* Johnson, Roger A. (1929). *Modern Geometry*. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).