kompleks düzlem'de {\displaystyle \psi (s)} Digama fonksiyonu renkli bir {\displaystyle s} noktasına karşı kodlanan değer {\displaystyle \psi (s)}. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir. 
Matematik'te, **digama fonksiyonu** gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}
Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi
-----------------------------

**Digamma fonksiyon'u**, sıklıkla ψ0(*x*), ψ0(*x*) veya {\displaystyle \digamma } (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. 
Harmonik sayılar'la ilişkisi

{\displaystyle \psi (n)=H\_{n-1}-\gamma \!}
Burada *H**n* is the *n* 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

{\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum \_{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}

Integral Gösterimleri
---------------------

integral gösterimi

{\displaystyle \psi (x)=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt} şeklindedir.
{\displaystyle x} reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int \_{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}
harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü
------------

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),z\neq -1,-2,-3,...}

Taylor serisi
-------------

Digama Taylor serisi'nde *z*=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir ,. 
Burada

{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum \_{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}},
yakınsaklık için |*z*|<1. Burada, {\displaystyle \zeta (n)} Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi
-------------

Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile :

{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}
Burada {\displaystyle \textstyle {s \choose k}} binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü
-------------------

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}

Özyineleme formülü
------------------

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak
Digamma fonksiyonu 

{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}
Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

{\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}
Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

{\displaystyle \psi (n)\ =\ H\_{n-1}-\gamma }
burada {\displaystyle \gamma \,} Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

{\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)}

Gauss toplamı
-------------

Digama'nın Gaussian toplam formu

{\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum \_{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B\_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}} şeklindedir.
Tam sayılar için {\displaystyle 0<m<k}. Burada, ζ(*s*,*q*) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve {\displaystyle B\_{n}(x)} 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}
ve genelleştirilmiş şekli

{\displaystyle \sum \_{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln(q)),}
Burada *q* 'nun doğal sayı, ve 1-*qa* 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi
-----------------------

Pozitif tam sayılar *m* ve *k* (*m < k*) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

{\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum \_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}

Hesaplama & yaklaşıklık
-----------------------

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile *x*, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, 

{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)}
veya

{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}
{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B(2n)}{2n(x^{2n})}}}
*n* tam sayı, B(n) *n* 'inci Bernouilli sayısı ve {\displaystyle \zeta (n)} Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler
-------------

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }

Ayrıca bakınız
--------------

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Trigama fonksiyonu

Kaynakça
--------

* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.42 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Eric W. Weisstein, *Digamma function* (MathWorld)

Dış bağlantılar
---------------

* Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
* 27 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1