Karmaşık analizde, bir **kaldırılabilir tekillik** veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği (fonksiyonun holomorf kalacağı şekilde) bir noktadır.

Mesela, *z* ≠ 0 için

{\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}}
fonksiyonunun *z* = 0 'da tekilliği vardır. Bu tekillik, *f*(0) = 1 tanımlanarak kaldırılabilir. Sonuçtaki fonksiyon bir sürekli (holomorf) fonksiyondur.

Formel olarak, eğer *U*, karmaşık düzlem **C** 'nin açık bir kümesi, *a*, *U* 'nun bir noktası, ve *f* : *U* - {*a*} → **C** holomorf ise; holomorf bir *g* : *U* → **C** fonksiyonu *f* 'ye *U* - {*a*} üzerinde eşitse, o zaman *a* 'ya *f* nin kaldırılabilir tekilliği adı verilir. Böyle bir *g* varsa, "*f*, *a* üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir" denir.

Riemann teoremi
---------------

Kaldırılabilir tekillikler üzerine Riemann teoremi bir tekilliğin ne zaman kaldırılabileceğini ifade eder.

 **Teorem.** Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) *f*, *a* üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir.
ii) *f*, *a* üzerine sürekli bir şekilde genişletilebilir.
iii) Üzerinde *f'*nin sınırlı olduğu, *a* 'nın bir komşuluğu vardır.
iv) lim*z* → *a*(*z - a* ) *f*(*z*) = 0.
i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) çıkarımları barizdir. iv) ⇒ i) 'i kanıtlamak için, hatırlamamız gereken bir fonksiyonun *a* noktasında holomorf olmasının *a* noktasında analitik olmasına denk olduğudur; yani bir kuvvet serisi temsiline sahip olmasıdır.

{\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}}
tanımını yapalım. O zaman,

{\displaystyle h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z),\,}
olur. Burada, varsayımla (*z - a*)*f*(*z*) fonksiyonu *D* üzerinde sürekli bir fonksiyon olarak görülebilir. Başka bir deyişle, *h*, *D* üzerinde holomorftur ve *a* etrafında Taylor serisine sahiptir:

{\displaystyle h(z)=a\_{2}(z-a)^{2}+a\_{3}(z-a)^{3}+\cdots .}
Bu yüzden,

{\displaystyle g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}}
*f* 'nin *a* üzerine holomorf genişlemesidir. Bu da iddiayı kanıtlar.

Tekilliklerin diğer çeşitleri
-----------------------------

Gerçel değişkenli fonksiyonların aksine, holomorf fonksiyonlar korunmalı tekillikleri tamamen sınıflandırılabildiği için yeteri kadar katıdır. Holomorf bir fonksiyonun tekilliği ya aslında tekillik değildir; yani kaldırılabilir tekilliktir ya da aşağıdaki iki çeşitten biridir:

1. Riemann teoreminin ışığında, kaldırılabilir olmayan bir tekillik verildiğinde, lim*z* → *a*(*z - a* )*m+1**f*(*z*) = 0 yapacak bir *m* doğal sayısının varlığı sorgulanabilir. Böyleyse, *a* 'ya *f* 'nin bir kutbu denir ve böyle en küçük bir *m* 'ye *a* 'nın mertebesi denir. Böylece, kaldırılabilir tekillikler kesinlikle mertebesi 0 olan kutuplardır. Holomorf bir fonksiyon kutuplarının yakınında düzgün bir şekilde patlama yapar.

1. *f* 'nin *a* noktasındaki korunmalı bir tekilliği kaldırılabilir veya kutup değilse, o zaman bu nokta esaslı tekilliktir. Her açık delikli *U* - {*a*} kümesini, *f* 'nin karmaşık düzlemin açık ve yoğun bir altkümesine gönderdiği de gösterilebilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Analitik kapasite
* Kaldırılabilir süreksizlik