İngiliz bayrağı teoremine göre, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.
Uzayda İngiliz bayrağı teoremi, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.
Öklid geometrisinde, **İngiliz bayrağı teoremi**, {\displaystyle ABCD} dikdörtgeni içinde bir {\displaystyle P} noktası seçilirse, {\displaystyle P}'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler. Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

{\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,}
Teorem ayrıca dikdörtgenin dışındaki noktalar için ve daha genel olarak Öklid uzayındaki bir noktadan uzaya gömülü bir dikdörtgenin köşelerine kadar olan mesafeler için de geçerlidir. Daha genel olarak, bir {\displaystyle P} noktasından paralelkenarın iki karşıt köşesine kadar olan uzaklıkların karelerinin toplamı karşılaştırılırsa, iki toplam genel olarak eşit olmayacak, ancak iki toplamın farkı {\displaystyle P} noktasının seçimine değil yalnızca paralelkenarın şekline bağlı olacaktır.

Teorem, Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilir. {\displaystyle P} noktasını dikdörtgenin dört köşesinden herhangi birine yerleştirmek, dikdörtgenin köşegeninin karesini, Pisagor teoremi olan dikdörtgenin genişliğinin ve uzunluğunun karelerinin toplamına eşit olarak verir.

Teoremin ispatı
---------------

Kanıt için çizim
Şekilde gösterildiği gibi, {\displaystyle AB}, {\displaystyle BC}, {\displaystyle CD} ve {\displaystyle AD} kenarlarıyla sırasıyla {\displaystyle W}, {\displaystyle X}, {\displaystyle Y} ve {\displaystyle Z} noktalarında birleşen dik çizgileri {\displaystyle P} noktasından dikdörtgenin kenarlarına çizin; bu dört nokta {\displaystyle W}, {\displaystyle X}, {\displaystyle Y} ve {\displaystyle Z}, bir ortodiyagonal dörtgen köşelerini oluşturur. Pisagor teoremini {\displaystyle \triangle AWP} dik üçgenine uygulayarak ve {\displaystyle WP=AZ} olduğunu göz önünde bulundurarak,

* {\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}

bulunur ve benzer bir argüman ile {\displaystyle P}'den diğer üç köşeye olan mesafelerin uzunluklarının kareleri şu şekilde hesaplanabilir:

* {\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}},
* {\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}}ve
* {\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}}.

Bu nedenle:

{\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}}

İsimlendirme
------------

Birleşik Krallık bayrağı.
Bu teorem ismini, {\displaystyle P}'den dikdörtgenin köşelerine doğru olan doğru parçaları çizildiğinde, ispatta kullanılan dikey çizgilerle birlikte, tamamlanan şeklin bir şekilde Birleşik Krallık Bayrağına benzemesinden alır.

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: *İngiliz bayrağı teoreminin ilginç bir uygulaması* 12 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Cilt 4 (2015), sayı 1, s. 31-34.
* Martin Gardner, Dana Richards (ed.): *Kısa Bulmacalar ve Sorunlar Devasa Kitabı*. WW Norton, 2006,978-0-393-06114-7, s. 147, 159 (problem 6.16)
* Carl Joshua Quines, (December 4, 2018), *Obscure geometry theorems*, Makale 2 Mart 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Ananth Shyamal, Divya Shyamal, Kevin Yang, ve Reece Yang, (2020), Iowa City Math Circle Handouts- Quadrilaterals, s. 7, Makale 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar
---------------

* Geogebra - British flag theorem 26 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* Artofproblemsolving.com'da İngiliz Bayrak Teoremi 23 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
* The British Flag Theorem and Viviani’s Theorem[*ölü/kırık bağlantı*]
* *Microsoft'un Dikdörtgen Köşeler Mülakat Sorusunu Çözebilir misiniz?* 17 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (video, 5:41 dk.)
* Genius Tutorials - BRITISH FLAG THEOREM (video, 4:47 dk)

Kaynakça
--------

1. ↑  Lardner (1848), *The First Six Books of the Elements of Euclid*, H.G. Bohn, s. 87
2. ↑  Young (1917), *Elementary Mathematical Analysis*, The Macmillan company, s. 304 .
3. ↑  Bôcher (1915), *Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus*, H. Holt and Company, s. 17, 13 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Ekim 2020 .
4. ↑  Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions 22 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Problem 28.
5. ↑  Hadamard (2008), *Lessons in Geometry: Plane geometry*, American Mathematical Society, s. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3, 25 Eylül 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Ekim 2020 .