Üç çemberin kesişim noktasında oluşturulmuş, bir üçgene ait Brocard noktası.
**Brocard noktaları**, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Tanım
-----

Kenarları {\displaystyle a}, {\displaystyle b} ve {\displaystyle c}, köşeleri saat yönünün tersine doğru {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ve {\displaystyle C} olarak adlandırılmış bir {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde, {\displaystyle AP}, {\displaystyle BP} ve {\displaystyle CP} sırasıyla {\displaystyle c}, {\displaystyle a} ve {\displaystyle b} kenarlarıyla eşit {\displaystyle \omega } açısı yapacak şekilde bir {\displaystyle P} noktası bulunur.

{\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\,}
Bu {\displaystyle P} noktasına {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin **birinci Brocard noktası** ve {\displaystyle \omega } açısına üçgenin **Brocard açısı** denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

{\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}
{\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde {\displaystyle AQ}, {\displaystyle BQ} ve {\displaystyle CQ} doğru parçalarının sırasıyla {\displaystyle b}, {\displaystyle c} ve {\displaystyle a} kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir {\displaystyle Q}, **ikinci Brocard noktası**, bulunur. Diğer bir deyişle

{\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}
denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

{\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}
ve

{\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}
birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin birinci Brocard noktası, {\displaystyle \triangle ACB} üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

{\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesi
-------------

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

{\displaystyle A} ile {\displaystyle B} noktalarından geçen, üçgenin {\displaystyle BC} kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi {\displaystyle AB}'nin orta dikmesi ile {\displaystyle B} noktasından {\displaystyle BC}'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, {\displaystyle B} ile {\displaystyle C} noktalarından geçen, {\displaystyle AC} kenarına teğet ve {\displaystyle A} ile {\displaystyle C} noktalarından geçen, {\displaystyle AB} kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

Kaynakça
--------

* Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A. (2007), *Geometry of Conics*, Mathematical World, **26**, American Mathematical Society, ss. 48-52, ISBN 978-08218-4323-9 .
* Honsberger, Ross (1995), "Chapter 10. The Brocard Points", *Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry*, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America .

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Üçüncü Brocard Noktası* (MathWorld)