İstatistik bilim dalında, **Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı** veya **Spearman'ın rho**, bu istatistiksel ölçüyü ilk ortaya atan İngiliz psikolog Charles Edward Spearman'a atfen adlandırılmıştır. Matematik notasyon olarak çok defa eski Yunan harfi ρ (rho okunur) ile belirtilir. Bir parametrik olmayan istatistik ölçüsüdür ve iki değişken arasındaki bağımlılık, yani korelasyon, ölçüsü olarak bulunup kullanılır. Bu demektir ki **Spearman'in rho (ρ) katsayısı** iki değişken için çokluluklar dağılımı hakkında hiçbir varsayım yapmayarak, bu iki değişken arasında bulunan bağlantının herhangi bir monotonik fonksiyon ile ne kadar iyi betimlenebilineceğini değerlendirmek amaçlı incelemedir.

Yöntem
------

Prensip olarak *Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı* ρ Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısının özel bir halidir. ρ değerinin hesaplanması için iki değişken (Y ve X) içinde örneklem verilerinin sıralama düzeninde olmaları gereklidir. Genel olarak, örneklem verileri için bu koşul uygun değildir ve veriler sıralama düzeni halinde olmadan oransal ölçekli veya aralıksal ölçekli veya sırasal ölçekli olarak bulunur ve bu halde bir dönüşümle sıralama düzeni haline sokulurlar. Böylece ρ formülü için sıralama düzenli x\_i ve {\displaystyle y\_{i}} örneklem verileri kullanılır.

Sonra iki değişken için karşılıklı veri elemanları (x\_i ve {\displaystyle y\_{i}})nin sıra numaraları arasındaki fark {\displaystyle d\_{i}} i=1,...n olarak bulunur. Bu tüm karşılıklı veriler (i=1...n) için uygulanır. Eğer sıra numaraları arasında hiç beraberlik yoksa, ρ değerini bulmak için şu formül kullanılır:

{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d\_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}
Burada 

{\displaystyle d\_{i}=x\_{i}-y\_{i}} : i elamni {\displaystyle X\_{i}} ile {\displaystyle Y\_{i}} sıra numaraları arasındaki fark;
*n* : iki değişkenli örneklemde toplam gözlem sayısı.
Eğer sıralama esnasında beraberlikler bulunursa, sıralama numaraları verileri olarak kullanılarak klasik Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı formülü kullanılması tavsiye edilir. Bu halde sıralama düzeni hazırlanırken beraberlikler halinde kullanılacak strateji her beraber sıra numaralı veriye beraberlik sıra ortalama değeri verilmesidir (yani 1 2,5 2,5 4 stratejisinin uygulanmasıdır). Bu halde formül şu olur :

{\displaystyle \rho ={\frac {n(\sum x\_{i}y\_{i})-(\sum x\_{i})(\sum y\_{i})}{{\sqrt {n(\sum x\_{i}^{2})-(\sum x\_{i})^{2}}}~{\sqrt {n(\sum y\_{i}^{2})-(\sum y\_{i})^{2}}}}}.}
*Spearman'in ρ* katsayısı değerleri de (aynı *Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı* gibi) -1 ile +1 arasında değişir. Uç değerler (yani ρ=-1 ve ρ=+1 ve yakın değerler) iki değişken sıralaması arasında bağlantının çok iyi olduğunu (eğer sıralamalar noktalar olarak bir serpme diyagramına konulursa hepsinin çizilen bir doğru üzerinde olduğunu) gösterirler. Eğer ρ<0 ise, sıralamalar arasında indirek aksi değişme vardır; yani biri artınca diğeri azalır ve aksi olur. Eğer ρ>0 ise sıralamalar arasında birlikte (yani birlikte artma veya eksilme) değişme görülür. Eğer ρ=0 ise, sıralamalar arasında hiçbir bağlantını bulunmadığı (ve *serpme diyagrami* üzerinde noktaların rastgele dağıldıkları) sonucu çıkartılır.

Diğer sıralama korelasyon ölçüleriyle ilişki
--------------------------------------------

*Spearman'in ρ sıralama korelasyon katsayısı* ile Kendal'ın sıralama korelasyon katsayısı τ, bu ölçüleri destekleyen varsayımlara göre, birbiri ile aynıdır. Ancak aynı örneklem veriler serisi ile hesaplanan Spearman ρ katsayısı değeri ile Kendal'ın τ katsayısı değeri birbirinden farklı olacaktır. Buna başlıca neden hesaplama formüllerin geliştirilmesi için kullanılan mantıksal önerimlerin başka olması ve bu nedenle bibirinden çok değişik iki formülün ortaya çıkmasıdır. Bu iki katsayı arasındaki ilişki bir eşitsizlik ile ifade edilmiştir:

-1 < = 3 \* τ - 2 \* ρ < = 1
 Spearman'in ρ katsayısı sıralama düzeni verileri ile *Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı*nın hesaplanmasıdır ve temel mantik olarak bu iki katsayı aynı önerimlere dayanırlar. Halbuki *Kendal'in τ katsayısı* bir olasılık ifade eder ve uyuşma ve uyuşmama puanları için gerçek toplam ile maksimum mümkün toplam arasında bir orantıdır.

Örneğin
-------

Tabloda iki değişken X ve Y için n=8 gözlem sayılı örneklem verileri için **Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı ρ** hesaplanması için örneğin verilmektedir. [A] ve [B] sütunlarında bu iki değişken X ve Y için örneklem verileri verilmiştir. [C] ve [D] sütunlarında bu iki değişkenlerin verileri için ayrı ayrı sıralama düzeni uygulanıp sıra numaraları x ve y olarak verilmiştir. X için verilerde 2 değişik beraberlik görülmektedir: 3 ve 10. Bu nedenle iki tekrarlı 3 için verilen sıra numaraları ortalaması (2+3)/2= 2,5 dur. Aynı şeklide 2 tekrarlı 10 için sıra numaraları 7,5 7,5 olarak verilmiştir. Y için verilerde ise 1,5 için 2 beraberlik ve 5 için 2 beraberlik bulunmaktadır ve bunlara da ortalama sıra numaraları verilmiştir. Sütun [E]de sıra numaraları farkları d verilmekte ve son [F] sütununda fark kareleri d2 hesaplanmaktadır.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [A] | [B] | [C] | [D] | [E] | [F] |
| X | Y | x : X için sıralama | y : Y için sıralama | d : Sıralama  farkları | d2 : Farkların karesi |
| 2 | 1,5 | 1 | 2,5 | -1,5 | 2,25 |
| 3 | 1,5 | 2,5 | 2,5 | 0 | 0 |
| 3 | 4 | 2,5 | 5 | -2,5 | 6,25 |
| 5 | 3 | 4 | 4 | 0 | 0 |
| 5,5 | 1 | 5 | 1 | 4 | 16 |
| 8 | 5 | 6 | 6,5 | -0,5 | 0,25 |
| 10 | 5 | 7,5 | 6,5 | 1 | 1 |
| 10 | 9,5 | 7,5 | 8 | -0,5 | 0,25 |
|   |   |   |   | Kareler Toplamı | 26 |

Fark kareleri toplamı {\displaystyle \sum d\_{i}^{2}=26} olarak bulunmuştur. Hesapların değerleri formüle şöyle konulur:

{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 26}{8(8^{2}-1)}}}
ve şu sonuç bulunur {\displaystyle \rho =0.6}.

Bu ρ=0.6 değeri sıfıra yakın pozitiftir. Sıfıra yakınlığı X ve Y sıralamaları arasındaki bağlantının (korelasyonun) az olduğunu gösterir ve negatif olma ise var zayıf bağlantının aksi yönde olduğunu ifade eder (yani X sıralaması artarsa Y sıralaması düşer ve aksi olur).

Bu veriler içinde beraberlikler bulunmaktadır. Bu nedenle kullanılan genel ρ formülü uygun sonuç vermeyebilir. Daha uygun sonuç bulmak için x ve y sıra numaraları için *Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı* bulunması tavsiye edilmektedir.

ρ kestirimi için anlamlılık sınaması
------------------------------------

Eğer hesaplar ve anlamlılık sınaması el hesap makineleri ile yapılmakta ise, klasik çıkarımsal istatistik yöntemleri kullanılmalıdır.

ρ kestirminin anlamlılık sınanması için en basit yaklaşım belirli gözlem sayısı ve belirli anlamlılık düzeyi değerleri için hazırlanmış özel tablolar kullanılarak başarılır. Ancak bu tablolar belirli veri sayısı ve anlamlılık düzeyi dışında ise kullanılamaz.

Önemli kompüter istatistik paketleri Spearman'in sıralamalı korelasyon katsayısını hesapladıkları zaman ek olarak anlamlılık sınaması için p-değerini de yanında vermektedirler.

Diğer bir alternatif yaklaşım eğer örneklem hacmi 20'den büyük ise uygulanabilir. Bu halde Student'in t dağılımına bir yaklaşım kullanılır: 

{\displaystyle t={\frac {\rho }{\sqrt {(1-\rho ^{2})/(n-2)}}}}
{\displaystyle \rho ={\frac {t}{\sqrt {n-2+t^{2}}}}}
değişkeni sıfır hipotez olan ρ=0 için bir Student'in t dağılımı gösterir. Ancak karşıt hipotez biraz zayıftır ve sifir hipotez ret edilnece ρ'nun ne değer alacağını göstermez.

Gözümlenen ρ değerinin anlamlı şekilde 0dan başka değerde olmasını sınama için modern yaklaşım olarak tekrar örnekleme sınaması yöntemi kullanılmaktadır ve bu tip sınama için, sıfır hipotez verilmişse anakütle ρ değerinin örneklemle elde edilen değerde ve ondan büyük olma olasılığı hesap edilir. Bu modern sınama yöntemi ancak kompüter programı yazabilen ve kompüteri iyi kullanabilen bir bilim insanı için çok kolay olabilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Kendall tau sıralama korelasyon katsayısı
* Sıralama korelasyonu
* Chebyshev'in toplam eşitsizliği, tekrar düzenleme eşitsizliği
* Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı
* Korelasyon

Kaynakça
--------

1. ↑  Spearman,C.(1904) "The proof and measurement of association between two things" *Amer.J.Psychol.* C.15 say.72–101
2. ↑  Kendall,M.G. (1962) *Rank correlation methods*, Griffin
3. ↑  Hollander,M. ve Wolfe,D.A. (1973) *Nonparametric statistical methods*, New York:Wiley
4. 1 2  Myers,J.L. ve Well,A.D. (2003), *Research Design and Statistical Analysis (2.ed.)*, Lawrence Erlbaum
5. 1 2  Siegel,S. ve Castellan,N.J. (1988), *Nonparametric statistics for the behavioral sciences 2. ed.* New York: McGraw-Hill

Dış bağlantılar
---------------

* 14 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Küçük örneklemler için ρ için kritik değerler tablosu.
* 17 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Online ρ hesaplayıcısı.
* Beraberlikler olursa kullanılabilecek bir diğer formül vermekte.
* 30 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı: Öğrenciler için hazırlanmış bir örnek problem çözümü ve notlar. Hesaplama için Microsoft Excel kullanılması da gösterilir.

| * g
* t
* d
İstatistik |
| --- |
| Betimsel istatistik | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Sürekli veriler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Merkezî konum | Ortalama (Aritmetik, Geometrik, Harmonik) •  Medyan • Mod |
| Yayılma | Açıklık • Standart sapma • Varyasyon katsayısı • Çeyrekler açıklığı • Kesirlilikler (kantil) (Dörttebirlik,Ondabirlik, Yüzdebirlik) |
| Dağılım şekli | Varyans • Çarpıklık • Basıklık • Moment (matematik) |

 |
| İstatistiksel tablolar | Sıklık dağılımı  • Çoklu sayılı özetleme tabloları  • İlişki tablosu  • Çoklu-yönlü sınıflandırma tabloları |
| İstatistiksel grafikler | Dairesel grafik • Çubuk grafiği • Kutu grafiği • Dal-yaprak grafikleri •Kontrol diyagramı • Histogram • Sıklık çizelgesi • Q-Q grafiği • Serpilme diyagramı |

 |
| Veri toplama | 

|  |  |
| --- | --- |
| Örnek tasarımı | Anakütle •Basit rassal örnekleme Örüntülü örnekleme • Tabakalı örnekleme • Küme örneklemesi • Çok aşamalı örnekleme • |
| Deneysel tasarım | Anakütle • İstatistiksel deneysel tasarım tipleri  • Deneysel hata  • Yineleme • Bloklama • Duyarlılık ve belirleme |
| Örneklem kavramları | Örneklem büyüklüğü • Sınama gücü  • Etki büyüklüğü • Örnekleme dağılımı •Standart hata |

 |
| Çıkarımsal istatistik ve İstatistiksel kestirim ve testler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Çıkarımsal analiz tipleri | Kestirim  • Parametrik çıkarımsal analiz  •Parametrik olmayan çıkarımsal analiz  • Bayesci çıkarımsal analiz  • Meta-analiz |
| Çıkarımsal kestirim | 

|  |  |
| --- | --- |
| Genel kestirim kavramları | Momentler yöntemi • Enbüyük olabilirlik • Enbüyük artçıl  • Bayes-tipi kestirimci • Minimum uzaklık • Maksimum aralık verme |
| Tekdeğişkenli kestirim | Kestirim  • Güven aralığı  • İnanılır aralık |

 |
| Hipotez testi | 

|  |  |
| --- | --- |
| İstatistiksel test ana kavramları | Sıfır hipotez  • I.Tür ve II.Tür hata  • Anlamlılık seviyesi  •p-değeri |
| Basit tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik hipotez testi | μ için testi •
π için test • μ1-μ2 için test • π1-π2 için test  •
σ1/σ2 için test |
| Tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik olmayan test analizi | Medyan testi  • Ki-kare testi • Pearson ki-kare testi •Phi katsayısı  • Wald testi • Mann-Whitney U testi • Wilcoxon'in işaretli sıralama testi |

 |

 |
| Korelasyon veRegresyon analizi | 

|  |  |
| --- | --- |
| Korelasyon | Pearson çarpım-moment korelasyonu • Sıralama korelasyonu ( Spearman'in rho • Kendall'in tau) |
| Doğrusal regresyon | Regresyon analizi  • Doğrusal model • Genel doğrusal model • Genelleştirilmiş doğrusal model |
| Doğrusal olmayan regresyon | Parametrik olmayan • Yarıparametrik • Logistik |
| Varyans analizi | Tek-yönlü varyans analizi • Kovaryans analizi • Bloklu tek-yönlü varyans analizi • Etki karışımı değişkeni |

 |
| Çokdeğişkenli istatistik | Çokdeğişkenli regresyon • temel bileşenler **·**  Faktör analizi  •Kanonik korelesyon  • Uygunluk analizi  • Kümeleme analizi |
| Zaman serileri analizi | 

|  |  |
| --- | --- |
| Yapısal model tanımlanması | Zaman serisi yapisal model ögeleri  • Zaman serisi ögeleri saptanması  • Zaman grafiği • Korrelogram |
| Zaman serileri kestirim teknik ve modelleri | Dekompozisyon • Trend uygulama kestirimi  • Üssel düzgünleştirme  • ARIMA modelleri  • Box–Jenkins  • Spektral yoğunluk kestirimi |
| Kestirim değerlendirmesi | Zaman seri kestirim değerlendirmesi |

 |
| Sağkalım analizi | Sağkalım fonksiyonu • Kaplan–Meier • Log-sıra testi • Başarısızlık oranı • orantılı tehlikeler modeli |
| **Kategori** • **Outline** • **Endeks** |