Matematik'te **L*p* uzayı**, sonlu boyutlu vektör uzayı için *p*-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen **Lebesque uzayı** denir.İlk Frigyes Riesz (Riesz 1910) tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını **L*p* uzayı** formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

Sonlu boyutlu içinde *p*-norm
-----------------------------

*p*-norm içindeki farklı birim çember'in gösterimi( orijinden her vektör bir birim çembere bir uzunluk idi *p*nin uzunluk formülü ile uzunluk hesaplanıyor.)
*p* = 3⁄2 norm içinde birim çember (süperelips)
Öklid norm'u tarafından *n*-boyutlu gerçel vektör uzayı **R***n* içinde verilen bir vektörün uzunluğu *x* = (*x*1, *x*2, …, *x**n*) genellikle:

{\displaystyle \ \|x\|\_{2}=\left(x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\dotsb +x\_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}
Öklid uzunluğu *x* ve *y* gibi iki nokta arasındaki {\displaystyle \scriptstyle \|x\,-\,y\|\_{2}} düz çizginin uzunluğudur,birçok durum içinde,Öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersizdir.örneğin,taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir,ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde sokakların birbirine dik veya paralel olduğu dikkate alınır. *p*-norm sınıflarının genellemesi burada iki örnektir ve matematik,fizik ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamalar bolcadır.

### Tanım

Bir gerçel sayı *p* ≥ 1 için,  ***p*-norm**  veya  ***L**p*-norm**

{\displaystyle \ \|x\|\_{p}=\left(|x\_{1}|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\dotsb +|x\_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} tarafından *x* ın tanımıdır.
Yukarıdan Öklid norm bu sınıfa düşer ve 2-normdur ve 1-norm karşılık gelen norm Manhattan mesafesi'dir

 ***L*∞-norm** veya en büyük norm (veya tektip norm) {\displaystyle \scriptstyle p\,\to \,\infty } için *L**p*-normları limitidir.Bu limitin aşağıdaki tanım eşdeğer olduğu ortaya çıktı:

{\displaystyle \ \|x\|\_{\infty }=\max \left\{|x\_{1}|,|x\_{2}|,\dotsc ,|x\_{n}|\right\}}
Bütün *p* ≥ 1 için,p-normlar ve maksimum norm olarak yukarıda tanımlanan gerçekten bir "uzunluk fonksiyonu" özelliklerini karşılayacak bir (veya normdur), normda şunlar vardır:

* Sadece sıfır vektörü sıfır uzunluğu vardır
* Vektör uzunluğu skaler çarpımına göre pozitif homojen olduğu, ve
* İki vektör toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından daha büyük değildir (üçgen eşitsizliği).

teorik olarak, bunun anlamı **R***n* ile beraber *p*-norm bir Banach uzayı'dır. Bu Banach uzayı **R***n*  üzerinde bir ***L**p*-uzayı**dır.

#### *p*-normlar arasındaki ilişkiler

Bu iki nokta arasındaki grid uzaklığı ("Manhattan uzaklığı") aralarında çizgi parçasının uzunluğu asla daha kısa değildir bu sezgisel açıktır (mesafe "kuş uçuşu" Öklid veya),biçimsel olarak, herhangi bir vektör öklid norm olan 1-norm ile sınırlı olduğu anlamına gelir

{\displaystyle \|x\|\_{2}\leq \|x\|\_{1}}
Bu *p*-norm içerisinde *p*-normlar olduğu gerçeğini yaygınlaştırıyor herhangi bir *x* vektörün {\displaystyle \scriptstyle \|x\|\_{p}}
*p* ile büyümez:

{\displaystyle \|x\|\_{p+a}\leq \|x\|\_{p}} herhangi bir vektör *x* ve gerçek sayılar *p* ≥ 1 ve *a* ≥ 0 için. (Aslında bu 1>*p*>0 ve *a* ≥ 0 için doğru kalır.)
Ters yön için, 1-norm ve 2-norm arasında aşağıdaki ilişki bilinmektedir:

{\displaystyle \|x\|\_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|\_{2}}
Bu eşitsizlik boyut temel vektör alanı *n* e bağlıdır ve aşağıdaki Cauchy-Schwartz eşitsizliği ile doğrudan,

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} genel olarak p > r > 0 için burada vektörler :

{\displaystyle \|x\|\_{p}\leq \|x\|\_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|\_{p}}
### 0 < *p* < 1 ise

Astroid,*p* = 2/3 metrik içinde birim çember
*n* > 1 için **R***n* içinde,formül

{\displaystyle \|x\|\_{p}=\left(\left|x\_{1}\right|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\cdots +|x\_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
0 < *p* < 1için derece 1'in mutlak bir homojen fonksiyonu tanımlanır; bununla birlikte bir F-norm sonuç fonksiyon tanımlamaz, çünkü bu altoplamsal değildir. *n* > 1 için **R***n* içinde, 0 < *p* < 1 için formül

{\displaystyle |x\_{1}|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\dotsb +|x\_{n}|^{p}}
bir altoplamsal fonksiyon tanımlıyor, bu bir F-norm tanımlıyor. Bu F-norm *p* derecenin homojenidir.

Bununla birlikte, fonksiyon

{\displaystyle d\_{p}(x,y)=\sum \_{i=1}^{n}|x\_{i}-y\_{i}|^{p}}
bir metrik tanımlıyor.Metrik uzay (**R***n*, *d**p*) ℓ*n**p* ile ifade ediliyor.

Gerçi bu metrik içinde çıkış *B**n**p* çevresinde *p*-birim top "içbükey"dir, topoloji *dp* metrik ile **R***n* üzerinde tanımlanır ve **R***n* 'nın topolojisi genel vektör uzayıdır, bu nedenle ℓ*n**p* bir yerel dışbükey topolojik vektör uzaydır. Bu niteliksel beyanı ötesinde,ℓ*n**p*'in dışbükeyliğinin eksikliğini ölçmeye bir nicel yol *p*-birim top'un *C* *B**n**p* gibi çoklu *Cp*(*n*) ile ifade edilen *C* en küçük sabiti *B**n**p*'nin dışbükey gövdesini içerir.*B**n*1 ya eşittir.*p* < 1 sabitlemek için aslında elimizde

{\displaystyle C\_{p}(n)=n^{{\frac {1}{p}}-1}\to \infty ,\qquad {\text{as }}n\to \infty ,}
var.Bu da gösteriyorki aşağıda tanımlanan sonsuz-boyutlu dizi uzay *ℓp* artık yerel dışbükeydir.

### *p* = 0 ise

Burada bir l0 normdur ve diğer fonksiyon l0 "norm" udur(tırnak işaretleri ile).

norm l0 'ın matematiksel tanımı Banach tarafından *Doğrusal Operasyon Teorisi* ile kurulmuştur. Bu uzayı dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi.
{\displaystyle \scriptstyle (x\_{n})\,\mapsto \,\sum \_{n}{2^{-n}|x\_{n}|/(1\,+\,|x\_{n}|)}},*Metrik Doğrusal Uzaylar* içinde Stefan Rolewicz tarafından verilen derslerdir. Bu l0-normlu uzay fonksiyonel analizde çalışılmıştır, olasılık teorisi, ve harmonik analizde.

Diğer fonksiyon l0 "norm" olarak adlandırılmıştı David Donoho tarafından —tırnak işareti olan bu fonksiyonun uygun bir norm olmadığına gösterir— *x vektörünün* sıfır-olmayan sayı girişidir. Birçok yazarın tırnak işaretleri atlanması ile kötü terminoloji'dir .00 = 0 tanımı, *x*ın sıfır "norm"u {\displaystyle \scriptstyle |x\_{1}|^{0}\,+\,|x\_{2}|^{0}\,+\,\dotsb \,+\,|x\_{n}|^{0}} ya eşittir.Bu bir norm değildir.(B-norm, "B" ile Banach için)çünkü homojen değildir. Matematiksel bir norm olarak bu hatalarına rağmen, sıfır-dışı sayılabilir "norm" bilimsel hesaplamalar, bilgi teorisi, ve istatistikler – özellikle sıkıştırılmış algılama'da işaret işleme'de ve bilişimsel harmonik yerel analiz'de kullanımı vardır.

*p*-sayılabilir sonsuz boyutlarda norm
--------------------------------------

Daha fazla bilgi: Dizi uzayları
*p*-norm bileşenlerin sonsuz sayıda vektörleri genişletilebilir, {\displaystyle \scriptstyle \ell ^{p}} alanı sağlar ki,bu gibi özel durumlarda içerir:

* {\displaystyle \scriptstyle \ell ^{1}}, seri dizilerinin uzayı mutlak yakınsaktır,
* {\displaystyle \scriptstyle \ell ^{2}}, **kare-toplanabilir** uzayın dizisi,bu bir Hilbert uzayı'dır,ve
* {\displaystyle \scriptstyle \ell ^{\infty }}, sınır dizinin uzayı.

Dizilerin uzayı koordinat toplama ve skaler çarpımın koordinatlara uygulanmasıyla doğal bir vektör uzayı bir yapıya sahip olur.
açıkça, (gerçel veya karmaşık) sayıların bir sonsuz dizi'si {\displaystyle \scriptstyle \ x\;=\;(x\_{1},\,x\_{2},\,\dotsc ,\,x\_{n},\,x\_{n+1},\,\dotsc )} için vektör toplamı olarak tanımlanır

{\displaystyle {\begin{aligned}&(x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n},x\_{n+1},\dotsc )+(y\_{1},y\_{2},\dotsc ,y\_{n},y\_{n+1},\dotsc )=\\&(x\_{1}+y\_{1},x\_{2}+y\_{2},\dotsc ,x\_{n}+y\_{n},x\_{n+1}+y\_{n+1},\dotsc )\end{aligned}}}
yardımıyla skaler hareket verilirken

{\displaystyle \lambda (x\_{1},x\_{2},\dotsc ,x\_{n},x\_{n+1},\dotsc )=(\lambda x\_{1},\lambda x\_{2},\dotsc ,\lambda x\_{n},\lambda x\_{n+1},\dotsc )}
*p*-normun tanımı

{\displaystyle \|x\|\_{p}=\left(|x\_{1}|^{p}+|x\_{2}|^{p}+\dotsb +|x\_{n}|^{p}+|x\_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}}
Burada,bir komplikasyon ortaya çıkar, yani bu seri;gerçekten her zaman yakınsak değildir, örneğin,tek olanlar dizisi oluşur,Her sonlu *p* ≥ 1 için (1, 1, 1, …), *p*-norm (uzunluk) sonsuz olacaktır. ℓ*p* uzayı ardından *p*-norm sonlu olduğu gibi gerçek (ya da karmaşık) sayıların tüm sonsuz sıraları kümesi olarak tanımlanır.

Bir bu kadar kontrol edebilirsiniz *p* artar, ℓ*p* kümesi büyüdükçe. Örneğin,dizi

{\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\dotsc ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dotsc \right)}
ℓ1 içinde değildir,ama *p* > 1 için ℓ*p* içindedir, seri olarak

{\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\dotsb }
*p* = 1 için ıraksak (harmonik seri), ama *p* > 1 için yakınsaktır.

Bir de supremum kullanarak ∞-norm tanımlamaktadır:

{\displaystyle \ \|x\|\_{\infty }=\sup(|x\_{1}|,|x\_{2}|,\dotsc ,|x\_{n}|,|x\_{n+1}|,\dotsc )}
ve Tüm sınırlı dizilerin ℓ∞ karşılık gelen uzayı. Bu çıkıyor ki 

{\displaystyle \ \|x\|\_{\infty }=\lim \_{p\to \infty }\|x\|\_{p}}
Böylece,sağ taraf sonlu ya da sol taraf sonsuz ise ℓ*p* için 1 ≤ *p* ≤ ∞ alanları dikkate alacaktır.

*p*-norm böylece ℓ*p* üzerinde tanımlı gerçek bir normdur, ve ℓ*p* ile beraber bu norm bir Banach uzayıdır. Tam genel olarak *L**p* uzayı elde edilir. — aşağıda görüldüğü gibi —, sonlu ya da sayılabilir-sonsuz birçok bileşenleri değil sadece vektörleri dikkate alınarak,fakat "*keyfi birçok bileşen*"; başka bir deyişle, fonksiyonları.Bir integral bunun yerine bir  *p*-norm toplamı tanımlamak için kullanılır.

*Lp* uzayları
-------------

Diyelim ki 1 ≤ *p* < ∞ ve (*S*, *Σ*, *μ*) bir ölçü uzayı olsun, tüm ölçülebilir fonksiyon'ların kümesini düşünün *S* den **C** ye(veya **R**) olan mutlak değer yükseltilmiş *p*-inci kuvvetten sonlu integral idi, veya eşdeğeri, şudur

{\displaystyle \|f\|\_{p}\equiv \left({\int \_{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }
Bu fonksiyonlar kümesi aşağıdaki doğal işlemleri ile, her skaler *λ* için bir vektör uzayı oluşturur:

{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),\ \ \ {\text{and}}\ \ \ (\lambda f)(x)=\lambda f(x)\,}
Bu ikisinin toplamı *S* integrallenebilir fonksiyonların gücü yine *pi* güç integrallenebilir aşağıdaki eşitsizliğinden |*f* + *g*|*p* ≤ 2*p-1* (|*f*|*p* + |*g*|*p*). Aslında, daha doğrudur Minkowski eşitsizliği denilen üçgen eşitsizliği içinde geçerlidir
 · *p*. Böylece *p*inci güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon  · *p*, bir yarınorm'lu vektör uzayıdır, {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )} ile ifade edilir.

Bu standart bir şekilde bir normlu vektör uzayı içine yapılabilir; biri sadece bölüm uzayı alır sırası ile · *p*' nin çekirdeği'dir durum bu iken herhangi ölçülebilir fonksiyon *f* için, bizim *f**p* = 0 var, yalnız ve yalnız *f* = 0 hemen hemen her yerde,  · *p*'in çekirdeği bağlı değildir *p*,

{\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|\_{p})=\{f:f=0\ \mu {\text{-hemen hemen her yerde}}\}}
Bölüm Uzayda, iki fonksiyon *f* ve *g* ayrı ayrı eğer *f* = *g* ise hemen hemen her yerdedir. Sonucu normlu vektör uzayının, tanımından, 

{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/N}
*p* = ∞ için, the space *L*∞(*S*, *μ*) uzayı aşağıda tanımlanmıştır. Tüm ölçülebilir fonksiyonların seti ile başlarız *S* den **C** ye (veya **R** ye) **temelde sınırlı**dır, yani ölçümü sıfır olan bir küme ile sınırlanmış. Yine iki tür fonksiyonlar ayrıştırlırsa bu hemen hemen her yerde eşittir. Bu kümeyi gösterelim *L*∞(*S*, *μ*). *L*∞(*S*, *μ*) içindeki *f*, bu zorunlu üstünlük uygun bir norm olarak sunulmaktadır:

{\displaystyle \|f\|\_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\mbox{ for almost every }}x\}.}
Daha önce olduğu gibi, elimizdeki

{\displaystyle \|f\|\_{\infty }=\lim \_{p\to \infty }\|f\|\_{p}}
bazı *q* < ∞ için *f* ∈ *L*∞(*S*, *μ*) ∩ *L**q*(*S*, *μ*)ise,

1 ≤ *p* ≤ ∞, *L**p*(*S*, *μ*) için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki *L**p* *tam* dır sık sık *Riesz-Fischer teoremi* ne başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir. Temel ölçüm aralığı *S* anlaşıldığı zaman, *L**p*(*S*, *μ*) genellikle kısaltılmıştır *L**p*(*μ*) veya sadece *L**p*. Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na genellenebilir.

### Özel durumlar

*p* = 2; ise ℓ2 gibi uzay, bu uzay *L*2 yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır. Karmaşık durumda, iç-çarpım olarak *L*2 tanımlanırsa,

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}
Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği. 
*L*2 içindeki fonksiyonlara **integrallenebilir kare fonksiyonlar** denir, *'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya* **'toplanabilir kare fonksiyonlar**- ama bazen bu koşulları, Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri, için ayrılmıştır Titchmarsh 1976.

Eğer karmaşık-değerli fonksiyonlar kullanıyorsak, *L*∞ uzayı noktasal çarpım ve birleşme ile bir birleşmeli C\*-cebri'dir.Birçok ölçüm uzayları için, tüm sigma-sonlu olanlar dahilinde,bu aslında bir birleşmeli bir von Neumann cebri'dir. *L*∞ nin ögesiyle çarpımı herhangi *L**p* uzayı üzerinde bir sınır operatör tanımlar.

ℓ*p* uzayı (1 ≤ *p* ≤ ∞) *Lp* uzayının bir özel durumudur,*S* ise, **N** pozitif tam sayı kümesidir ve *μ* ölçüsü **N** in sayılabilir ölçüm 'üdür. Daha genel olarak, *Lp* uzayının sayılabilir ölçüm sonuçlarının kümesi ile *S* beraber düşünüldüğünde ℓ*p*(*S*) ile ifade edilir. örneğin, ℓ*p*(**Z**) uzayı tam sayılarla indislenmiş uzaydır ve öyleyse bir uzay olarak *p*-norm tüm tam sayılar üzerinde bir toplamları ile tanımlanır ℓ*p*(*n*) uzayı, burada *n* ögeli bir kümedir,**R***n* ile *p*-norm olarak yukarıda tanımlanmıştır.Herhangi bir Hilbert uzayı olarak, her *L*2 uzayı doğrusal uygun bir için izometrik ℓ2(*I*),burada özel olarak *L*2 nin bir keyfi Hilbertyen tabanının *I* kümesi önemlidir

*L**p* uzayın özellikleri
-------------------------

### Çift uzay

*L**p*(*μ*)'nin çift uzayı (sürekli doğrusal tüm fonksiyonellerin uzayı) 1 < *p* < ∞ için *L**q*(*μ*) ile doğal bir izomorfizm idi.burada *q*  1/*p* + 1/*q* = 1 sağlar, *g* ∈ *L**q*(*μ*) ile *κ**p*(*g*) yi ilişkilendiren fonksiyonel  ∈ *L**p*(*μ*)∗ tanımı ile aşağıdadır.

{\displaystyle \kappa \_{p}(g)\colon f\in L^{p}(\mu )\mapsto \int fg\,\mathrm {d} \mu }
Aslında *κ**p*(*g*) si iyi tanımlanmış ve sürekli Hölder eşitsizliği aşağıdadır. *κ**p* göndermesi *L**q*(*μ*)'den *L**p*(*μ*)∗ ye doğrusal gönderme içindedir,Hölder eşitsizliği ile bir izometrisi sıra dışı durumdur.Bunu (Radon–Nikodym teorem'i ile göstermek de mümkündür, bkz) bu herhangi *G* ∈ *L**p*(*μ*)∗ bağıntısı ile gösterilebilir:yani,bu *κ**p* *üzerinde*dir. böylece *κ**p* üzerinde ve izometrik ve bir Banach uzayı'nın bir izomorfizm'idir. Birlikte bu (izometrik:şekil değiştirme yok) izomorfizmi hatırlayın,basitçe söylemek gerekirse  *L**p* nin çifti *L**q* 
"*dir*"  ise 1 < *p* < ∞, *L**p*(*μ*) uzayı yansıtılabilir. Diyelimki *κ**p* yukarıdaki gönderme ve diyelimki *κ**q* doğrusal izometri olsun
karşılığı *L**p*(*μ*) den *L**q*(*μ*)∗üzerinedir

{\displaystyle j\_{p}\colon L^{p}(\mu ){\overset {\kappa \_{q}}{\to }}L^{q}(\mu )^{\*}{\overset {\,\,\left(\kappa \_{p}^{-1}\right)^{\*}}{\longrightarrow }}L^{p}(\mu )^{\*\*}}
*L**p*(*μ*)'dan *L**p*(*μ*)∗∗ 'ya, bir düzen ile elde edilir *κ**q* ile *κ**p*'nın birbirlerinin tersidir.Devrik (veya eşlenik),*L**p*(*μ*) nin sıklığı ile kanonik gömme *J*  kendi ikinci sıra duali içine,dahası, *j**p* göndermesi üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak,ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.

Eğer ölçü *μ* olarak *S* sigma-sonlu ise *L*1(*μ*) dualdir *L*∞(*μ*)'ya izometrik izomorftur(daha doğrusu, *κ*1 haritası*p* = 1 karşılar bir izometridir *L*∞(*μ*)'dan *L*1(*μ*)∗) üzerinedir.

*L*∞'nin bu çifti zekicedir. (*L*∞(*μ*))∗'nin ögesi ayrıştırılabilir ile sınır işareti *sonluluk* toplamsal ölçüsü olarak *S* bu mutlak süreklilik ile sırası *μ* yedir,daha detay için bak ba uzayı.Biz seçimin aksiyomu varsayarsak, *L*1(*μ*) içinde bazı önemsiz durumlar dışında bu uzay çok daha büyüktür.Ancak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi nispeten tutarlı uzantıları vardır ve *ℓ*∞nin duali *ℓ*1dir.Bu, Shelah'nın bir sonucudur.Eric Schechter'in dersleri içinde Analizin el kitabı ve temelleri'dir

### Gömmeler

Halk dilinde olan bir terim, eğer 1 ≤ *p* < *q* ≤ ∞, *Lp*(*S*, *μ*) ise daha yerel tekil olan işlevler içerir, *Lq*(*S*, *μ*) elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ∞) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün.*L*1 içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakınsa havaya uçurmak gerekir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, *L*∞ içindeki sürekli fonksiyonlardır,hiç çürümeye gerek yok ama şişirmeye izin verilir.Kesin bir teknik sonuç şudur:

1. Diyelimki 0 ≤ *p* < *q* ≤ ∞. *Lq*(*S*, *μ*) içeriyor yani *Lp*(*S*, μ) ancak ve ancak *S* içindedir, keyfi büyük ölçüde kümeleri içermez ve,
2. Diyelimki 0 ≤ *p* < *q* ≤ ∞. *Lp*(*S*, *μ*) içeriyor *Lq*(*S*, *μ*) *S* ancak ve ancak sıfırdan küçük keyfi ölçüde kümeleri içermez.

Özellikle,bağlı olan etki alanı *S* ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)

{\displaystyle \ \|f\|\_{p}\leq \mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\|f\|\_{q}}
*L**q* uzayının anlamı *L**p* içinde kesintisiz gömülüdür.Demek ki,kimlik operatörü sınırlı doğrusal harita *L**q* dan *L**p* ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, *I* : *Lq*(*S*, *μ*) → *Lp*(*S*, *μ*) is kesin olarak

{\displaystyle \|I\|\_{q,p}=\mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}}
*f* = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?

### Yoğunluk altuzayı

1 ≤ *p* < ∞ Bu bölüm boyunca.  
 olduğu kabul edilmektedir
Diyelimki (*S*, *Σ*, *μ*) be bir uzay uzunluğudur.Bir *integrallenebilir basit bir fonksiyon* *f*  olarak *S*  formunun biridir

{\displaystyle f=\sum \_{j=1}^{n}a\_{j}\mathbf {1} \_{A\_{j}}}
burada *aj* skalerdir ve *Aj* ∈ *Σ*  sonlu ölçü idi,*j* = 1, …, *n* için.integral'inin yapısı tarafından,*L**p*(*S*, *Σ*, *μ*) içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.

Dahası *S*  bir metriklenebilir topolojik uzay ve *Σ*  dır.Bu Borel *σ*–cebri'dir, yani,*S*  alt kümesinin daraltılmış *σ*–cebrinin açık kümesi'ni içeriyor.

Varsayalımki *V* ⊂ *S* bir açık küme ile *μ*(*V*) < ∞ dir.Her Borel kümesi için sağlanabilir *V* içinde,*A* ∈ *Σ*  içeren ve her *ε* > 0 için, burada bir kapalı küme *F*  vardır ve bir açık küme *U*  dur böylece

{\displaystyle F\subset A\subset U\subset V\ \ {\text{ve}}\ \ \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }
Bu *S*  sürekli *φ* var olduğunda aşağıdaki şöyledir

{\displaystyle 0\leq \varphi \leq \mathbf {1} \_{V}\ {\text{ve}}\ \int \_{S}|\mathbf {1} \_{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon }
Eğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir (*Vn*) *S*  var,ise *p*–integrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının *L**p*(*S*, *Σ*, *μ*) içindeki yoğunluktur,daha doğrusu, açık kümelerin bir *Vn* dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonları kullanılabilir.

Bu özellik geçerli olduğunda *S* = **R***d* ve eğer *μ* Lebesgue ölçüsü ise,sürekli ve tıkız desteklenen fonksiyonlar uzayı *L**p*(**R***d*) yoğundur. Benzer şekilde,integrallenebilirlerin uzayı *basamak fonksiyonu*  dur. *L**p*(**R***d*) içindeki yoğunluktur.Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi *d* = 1 ise, sınırlı dikdörtgenlerin *d* = 2 ise ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımları ise;   
Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri *L**p*(**R***d*) içindedir.İlki (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve tıkız desteklenen işlevler için kanıtlandı,sonraki tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir.Örneğin,ötelemenin sürekli olduğu *L**p*(**R***d*) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda:her *f* ∈ *L**p*(**R***d*),için

{\displaystyle \|\tau \_{t}f-f\|\_{p}\rightarrow 0}
*t* ∈ **R***d* ise 0'a gider, burada {\displaystyle \scriptstyle \tau \_{t}f} {\displaystyle \scriptstyle (\tau \_{t}f)(x)\;=\;f(x\,-\,t)} tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.

Uygulamalar
-----------

*Lp* uzaylar yaygın olarak matematik ve uygulamalarında kullanılır.

### Hausdorff–Young eşitsizliği

Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları *Lp*(**R**) ya *Lq*(**R**) (resp. *Lp*(**T**) ya ℓ*q*), burada 1 ≤ *p* ≤ 2 ve 1/*p* + 1/*q* = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.

buna karşılık eğer *p* > 2, Fourier dönüşümü *Lq* haritası içine olmuyor

### Hilbert uzayı

Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu *L*2 ve ℓ2 her iki uzay Hilbert uzayıdır.aslında seçilen bir Hilbert tabanın,ℓ2(*E*) tüm Hilbert uzayları için izometrik olduğu görülür burada *E* uygun bir önem düzeyi olan bir kümedir.

### İstatistik

İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım ölçüleri *L**p* ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlara çözüm olarak karakterize edilebilir.

0 < *p* < 1 için *L**p*
-----------------------

Diyelimki (*S*, *Σ*, *μ*) bir ölçü uzayıdır. eğer 0 < *p* < 1, ise *Lp*(*μ*) aşağıdaki tanımlanabilir: ölçülebilir böyle fonksiyonların vektör uzayı *f* böylece

{\displaystyle N\_{p}(f)=\int \_{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty }.
Daha önce olduğu gibi, p-norm'u tanıtabiliriz  *f* *p* = *N**p*(*f*)1/*p*, 
ama || · ||*p* bu durumda, üçgen eşitsizliği doyurucu değildir, ve yalnızca bir kuazi-norm tanımlıyor.
(*a* + *b*)*p* ≤ *a**p* + *b**p* eşitsizliği, *a* ≥ 0 için değeri ve *b* ≥ 0 implies that Rudin 1991, §1.47

{\displaystyle N\_{p}(f+g)\leq N\_{p}(f)+N\_{p}(g)}
ve böylece fonksiyon

{\displaystyle d\_{p}(f,g)=N\_{p}(f-g)=\|f-g\|\_{p}^{p}}
bir *L**p*(*μ*) bir metrik ve sonuç olarak tam metrik uzaydır doğrulama ailevi duruma benzer ise *p* ≥ 1 dir.

*L**p* çerçevesi içerisinde bir *ters Minkowski eşitsizliği* uygundur böylece *u* ve *v* için in *Lp*

{\displaystyle \|\,|u|+|v|\,\|\_{p}\geq \|u\|\_{p}+\|v\|\_{p}}

Bu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the tektip dışbükeylik of *L**p* uzayının 1 < *p* < ∞ için Adams & Fournier 2003.

0 < *p* < 1 *L**p* uzayı için bir F-uzayı şudur:o bir tam öteleme-değişmezi metrik sırasıyla vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder o ayrıca yerel sınır gibidir daha çok *p* ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-uzayının prototip örneğidir ;en mantıklı ölçüm uzayı için,yerel dışbükey değildir: ℓ*p*  içinde veya *L**p*([0, 1]), her açık dışbükey küme 0 fonksiyon içeren *p*-sözde-norm için sınırlıdır; bu nedenle 0 vektör dışbükey komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir.Özel olarak, bu pozitif ölçümün sonlu kümelerinin parçalarının bir sonsuz ailesi dahilinde ise *S*  ölçüm uzayı doğru ölçülebilir.

*L**p*([0, 1]) içinde yalnızca boş olmayan açık kümenin tüm uzaydır Rudin 1991, §1.47. Belirli bir sonucu olarak, burada are no nonzero linear functionals on *L**p*([0, 1]): dual uzayı sıfır uzaydır.Doğal sayılar (dizi uzayı üreten *L**p*(*μ*) = ℓ*p*) üzerinde sayılabilir ölçünün durumu içinde sınırlı doğrusal fonksiyoneller ℓ*p* olarak tam olarak budur ve ℓ1 sınırdır,yani bu verilen ℓ∞ içindeki dizi tarafından verilen ℓ*p* ye rağmen önemsiz olmayan dışbükey açık kümeler içermektedir, bunların topolojisine yeteri kadar bir taban vermek için başarısız.

Doğrusal olmayan fonksiyonların durumu analiz yapma amaçları için son derece istenmeyendir. **R***n* olarak Lebesgue ölçüsünün durumu içinde yerine X yerine çalışan daha 0 < *p* < 1 için *L**p*, Hardy uzayı *H**p* ile çalışmak olasılığı daha sıktır,Bu pek çok doğrusal fonksiyonellerde olduğu gibi: birbirinden ayırt etmek için yeterli sayıdadır. Ancak, Hahn–Banach teoremi *H**p* içinde *p* < 1 Duren 1970, §7.5.için hala başarısız

### *L*0, ölçülebilir fonksiyonların uzayı

(sınıfının eşdeğeri) ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı (*S*, *Σ*, *μ*) olarak *L*0(*S*, *Σ*, *μ*) ifade edilir. Kalton, Peck & Roberts 1984. Tanımıyla, bu tüm *L**p* , yi içerir ve *ölçüm içinde yakınsaklık* topolojisi ile donanımlıdır, ise *μ* bir olasılık ölçüsü (yani. *μ*(*S*) = 1), dür.Bu yakınsaklığın modu *olasılık içinde yakınsaklık* olarak adlandırılır.Bu tanım *μ* ye yakın ise sonludur.

Eğer *μ* bir sonlu ölçü olarak (*S*, *Σ*),ise bu 0 fonksiyon bir ölçüde yakınsama komşuluğunda aşağıdaki temel sistem için kabul ediliyor

{\displaystyle V\_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\ \ \varepsilon >0}
Topoloji *d*  şeklinde herhangi bir metrik tarafından tanımlanabilir

{\displaystyle d(f,g)=\int \_{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}
burada *φ*  sınırlı sürekli içbükey ve azalmayan olarak [0, ∞), ile *φ*(0) = 0 ve *φ*(*t*) > 0 ise *t* > 0 dır. (örnek için, *φ*(*t*) = min(*t*, 1)). Böyle bir metrik L0 için *Lévy-metrik-* olarak adlandırılır.*L*0 bu metrik uzayı altındadır ve tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay *L*0 genel içindeki yerel sınır değildir, ve yerel içbükey değildir.

**R***n* için sonsuz Lebesgue ölçüsü *λ* olarak,komşuluğundaki temel sistemin tanımı değiştirilmiş olarak aşağıdaki olabilir

{\displaystyle W\_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon \ {\text{and}}\ |x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}
Nihai uzay *L*0(**R***n*, *λ*) sıklık olarak topolojik vektör uzayı ile *L*0(**R***n*, *g*(*x*) d*λ*(x)) için herhangi pozitif *λ*–integrallenebilir yoğunluk *g* 'dir.

Zayıf *Lp*
----------

Diyelimki (*S*, *Σ*, *μ*) be bir uzay ölçüsü, ve *f* bir ölçülebilir fonksiyon ile gerçek veya karmaşık değerler olarak *S*. *f* 'in dağılım fonksiyonu *t* > 0 için tanımı aşağıdadır

{\displaystyle \lambda \_{f}(t)=\mu \left\{x\in S:|f(x)|>t\right\}}
Eğer *L**p*(*S*, *μ*) içindeki *f*(tir) için bazı *p* ile 1 ≤ *p* < ∞, ise Markov eşitsizliği ile,

{\displaystyle \lambda \_{f}(t)\leq {\frac {\|f\|\_{p}^{p}}{t^{p}}}}
Bir *f* fonksiyonu eğer burada bir sabit *C* > 0 ise **zayıf *Lp*(*S*, *μ*) uzayı** içinde veya *Lp,w*(*S*, *μ*) olduğu söylenir,böylece, bütün *t* > 0 için,

{\displaystyle \lambda \_{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}
En iyi *C* sabiti bu eşitsizlik için *f* içindeki *Lp,w*-normudur,ve şu ifade ile gösteriilir

{\displaystyle \|f\|\_{p,w}=\sup \_{t>0}~t\lambda \_{f}^{\frac {1}{p}}(t)}
Zayıf *L**p* sıklığı ile Lorentz uzayı *L**p*,∞, öyle ki bu gösterim ayrıca bunları belirtmek için kullanılır.

*Lp,w*-norm doğru bir norm değildir,dolayısıyla üçgen eşitsizliği korunamıyor. yine de *L*p(*S*, *μ*) içinde *f* için

{\displaystyle \|f\|\_{p,w}\leq \|f\|\_{p}}
ve özel olarak *Lp*(*S*, *μ*) ⊂ *Lp,w*(*S*, *μ*). kuralı altındaki iki işlev eğer onlar *μ* hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı *L*p,w tamdır.Grafakos 2004.

Herhangi 0 < *r* < *p* için ifade

{\displaystyle |||f|||\_{L^{p,\infty }}=\sup \_{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}}\left(\int \_{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{\frac {1}{r}}}
*Lp,w*-norm ile karşılaştırılabilir. durum içinde daha fazla *p* > 1, bu bir norm ifade eder eğer *r* = 1. Bundan dolayı *p* > 1 için zayıf *L**p* uzayı Banach uzayı'dır Grafakos 2004.

Kullanılan bir büyük sonuç *Lp,w*-uzayı Marcinkiewicz interpolasyon teoremi'dir, harmonik analiz ve tekil integral çalışmalarında geniş uygulama alanı vardır

Ağırlıklı *Lp* uzayları
-----------------------

Daha önce olduğu gibi, bir ölçü uzayı (*S*, Σ, *μ*) düşünelim. Diyelimki *w* : *S* → [0, ∞) bir ölçülebilir fonksiyon olsun. **w**-**ağırlıklı *Lp* uzayı** *Lp*(*S*, *w* d*μ*) olarak tanımlanıyor, burada *w* d*μ* ölçüsü ν tanımı ile

{\displaystyle \nu (A)\equiv \int \_{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}
veya Radon–Nikodym türevselin terimleri içinde, *w* = d*ν*/d*μ*  norm *Lp*(*S*, *w* d*μ*) için açıkçadır

{\displaystyle \|u\|\_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int \_{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}}
*Lp*-uzayları olarak,ağırlıklı uzaylar özel değildir, dahası *Lp*(*S*, *w* d*μ*) *Lp*(*S*, d*ν*) ya eşittir. Ama bu harmonik analiz Grafakos 2004 içinde bazı sonuçlar için doğal çerçevedir; bu Muckenhoupt teoremi içinde örnek için görüntüsü: 1 < *p* < ∞ için,klasik Hilbert dönüşümü *Lp*(**T**, *λ*) üzerinde tanımlanan burada **T** ifadesi birim çember ve λ Lebesgue ölçüsüdür;(doğrusal olmayan) Hardy–Littlewood maksimal operatörü *Lp*(**R***n*, *λ*) üzerinde sınırlıdır. Muckenhoupt'un teoremi böylece *Lp*(**T**, *w* d*λ*) üzerinde ve Hilbert dönüşümü izleri *Lp*(**R***n*, *w* d*λ*) üzerinde maksimal operatörü **w** ağırlıkları tanımlar.

*Lp* uzayı olarak manifoldlar
-----------------------------

{\displaystyle \scriptstyle L^{p}(M)} bir manifold olarak uzaylarda tanımlayabiliriz, manifoldun **iç *Lp* uzayı** adını alır, yoğunlukları kullanılıyor.

Ayrıca bakınız
--------------

* Birnbaum-Orlicz uzayı
* Hardy uzayı
* Riesz-Thorin teoremi
* Hölder ortalama
* Hölder uzayı
* Root ortalama kare
* Yerel integrallenebilir fonksiyonu {\displaystyle \left(\scriptstyle L\_{\text{loc}}^{1}\right)}
* {\displaystyle \scriptstyle L^{p}(G)} uzayı üzerinde bir yerel kompakt grup üzerinde {\displaystyle G} uzayı
* Minkowski mesafesi

Notlar
------

1. ↑  Rolewicz, Stefan (1987), *Functional analysis and control theory: Linear systems*, Mathematics and its Applications (East European Series), **29** (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk bas.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, ss. xvi+524, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
2. ↑  Maddox, I.J. *Elements of Functional Analysis* (2.2 yıl=1988 bas.), Cambridge: CUP , page 16
3. ↑  Rudin, Walter, *Real and Complex Analysis* (2.2 yıl=1980 bas.), New Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341 , Theorem 6.16

Kaynakça
--------

* Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), *Sobolev Spaces* (Second bas.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3 .
* Bourbaki, Nicolas (1987), *Topological vector spaces*, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
* DiBenedetto, Emmanuele (2002), *Real analysis*, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5 .
* Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), *Linear operators, volume I*, Wiley-Interscience .
* Duren, P. (1970), *Theory of Hp-Spaces*, New York: Academic Press
* Grafakos, Loukas (2004), *Classical and Modern Fourier Analysis*, Pearson Education, Inc. ss. 253-257, ISBN 0-13-035399-X .
* Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), *Real and abstract analysis*, Springer-Verlag .
* Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), *An F-space sampler*, London Mathematical Society Lecture Note Series, **89**, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
* Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", *Mathematische Annalen*, **69** (4), ss. 449-497, doi:10.1007/BF01457637
* Rudin, Walter (1991), *Functional Analysis*, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
* Rudin, Walter (1987), *Real and complex analysis* (3.3 isbn=978-0-07-054234-1 bas.), New York: McGraw-Hill, MR 0924157 KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link)
* Titchmarsh, EC (1976), *The theory of functions*, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Dış bağlantılar
---------------

* Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Lebesgue space", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
* Lp uzayı, PlanetMath.org.