**Otoregresif hareketli ortalamalar modelleri** (İngilizce:"autoregressive moving averages (ARMA) models"), istatistik biliminde George Box ve Gwilym Jenkins'e ithafen Box-Jenkins modelleri olarak da bilinen zaman serisi kestirimi ve öngörme yöntemi olup eşit zaman aralıklarında gözlenen zaman serisi verilerinde uygulanır.

*X**t* şeklinde bir zaman serisi verisi (*datası*) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle *p* otoregresif kısmın derecesi, *q* ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(*p*,*q*) modeli şeklinde gösterilir.

Otoregresif, AR(p), model
-------------------------

AR(*p*) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(*p*) modeli şöyle gösterilir:

{\displaystyle X\_{t}=c+\sum \_{i=1}^{p}\phi \_{i}X\_{t-i}+\epsilon \_{t}.\,}
{\displaystyle \phi \_{1},\ldots \phi \_{p}}, modelin parametrelerini; {\displaystyle c}, sabit terimi; {\displaystyle \epsilon \_{t}} ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

Örnek: AR(1) süreci
-------------------

AR(1) süreci:

{\displaystyle X\_{t}=c+\phi X\_{t-1}+\epsilon \_{t},\,}
şeklinde tanımlanır. {\displaystyle \epsilon \_{t}}, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip {\displaystyle \sigma ^{2}} varyanslı bir süreçtir. Eğer, {\displaystyle |\phi |<1} sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer {\displaystyle \phi =1} sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. {\displaystyle \phi =1} durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarak da bilinen özel bir durumdur. Bu özel durumda {\displaystyle X\_{t}} için "beklenen değeri" hesaplamak mümkün değildir.

AR parametrelerinin hesaplanması
--------------------------------

{\displaystyle X\_{t}=\sum \_{i=1}^{p}\phi \_{i}X\_{t-i}+\epsilon \_{t}.\,}
denklemi ile verilen bir AR(*p*) modeli {\displaystyle \phi \_{i}} parametrelerine dayanır. Bu parametreler **Yule-Walker denklemleri** ile hesaplanır:

{\displaystyle \gamma \_{m}=\sum \_{k=1}^{p}\phi \_{k}\gamma \_{m-k}+\sigma \_{\epsilon }^{2}\delta \_{m}}
*m = 0...p* olup sonuçta *p+1* tane denklem ortaya çıkar. {\displaystyle \gamma \_{m}}, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup {\displaystyle \sigma \_{\epsilon }} girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma \_{1}\\\gamma \_{2}\\\gamma \_{3}\\...\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \_{0}&\gamma \_{-1}&\gamma \_{-2}&...\\\gamma \_{1}&\gamma \_{0}&\gamma \_{-1}&...\\\gamma \_{2}&\gamma \_{1}&\gamma \_{0}&...\\...&...&...&...\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \_{1}\\\phi \_{2}\\\phi \_{3}\\...\\\end{bmatrix}}}

m=0 için bütün {\displaystyle \phi }ler elde edildiğinde.

{\displaystyle \gamma \_{0}=\sum \_{k=1}^{p}\phi \_{k}\gamma \_{-k}+\sigma \_{\epsilon }^{2}}

ifadesi ortaya çıkar ki bu {\displaystyle \sigma \_{\epsilon }^{2}} değerini bulmamızı sağlar.

Hareketli ortalamalar. MA(q), modeli
------------------------------------

MA(*q*) ifadesi, *q*. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

{\displaystyle X\_{t}=\varepsilon \_{t}+\sum \_{i=1}^{q}\theta \_{i}\varepsilon \_{t-i}\,}
θ1, ... θ*q* modelin parametreleridir εt, εt-1,... modelin hata terimleridir. Bundan açıktır ki "hareketli ortalamalar" modelinde belirli bir zaman noktasındaki bir zaman serisi değişkeninin değeri (yani t'de Xt değeri) *q* tane daha önceki her bir zaman noktasıda yapılan hataların (yani her t zaman noktası için i gecikmeli ε<t-i hatasının) ağırlıklı olarak bileştirilmesi ile açıklanmaktadır.

Otoregresif hareketli ortalamalar, ARMA(p,q), modeli
----------------------------------------------------

Bu model, AR(*p*) and MA(*q*) modellerinin bir birleşimidir,

{\displaystyle X\_{t}=\varepsilon \_{t}+\sum \_{i=1}^{p}\phi \_{i}X\_{t-i}+\sum \_{i=1}^{q}\theta \_{i}\varepsilon \_{t-i}.\,}
şeklinde gösterilir.

Modelin tahmini
---------------

Model sadece AR(p) ile kurulursa "Yule-Walker denklemleri" çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p,q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.

Notlar
------

Dış bağlantılar
---------------

* Box,George Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel ve Lon-Mu Liu (2009), *Time Series Analysis*, 4.ed.. Pearson Education, ISBN 0-13-147142-2 (İngilizce)
* Mills, Terence C. ve Raphael N. Markellos (2008) *The Econometric Modelling of Financial Time Series* 3.ed. Cambridge:Cambridge University Press. ISBN 0-521-71009-X (İngilizce)