**Katalan sayıları**, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,

{\displaystyle C\_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}\qquad n\geq 0{\mbox{ için}}.}
formülüyle bulunur. 
Alternatif bir formül olan 

{\displaystyle C\_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad n\geq 0{\mbox{ için }},}
{\displaystyle C\_{n}}’in bir doğal sayı olduğunu bir önceki formülden daha açık bir şekilde gösterir.
Katalan sayılarının her biri, kendinden önceki terimlere bağlıdır. Yani :{\displaystyle C\_{0}=1} alınır ve diğerleri için 

{\displaystyle \quad C\_{n+1}=\sum \_{i=0}^{n}C\_{i}\,C\_{n-i}\quad n\geq 0{\mbox{ için }};}
uygulanır.

Hesaplamayı kolaylaştıran bir başka formül ise

{\displaystyle \quad C\_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C\_{n}} 'dir.

Örnekler
--------

1. 3 çift parantez, bir cümle içinde kaç farklı şekilde bulunabilir?

Cevap {\displaystyle C\_{3}=5} olacak ve parantezler şu şekillerde kullanılabilecektir:

 ((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()()) 
2. 3 düğümlü bir ikili ağaç, kaç farklı şekilde çizilebilir?

Cevap yine {\displaystyle C\_{3}=5} ’tir.

3. 4x4’lük, karelere bölünmüş bir alanda, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde çıkılabilir?

{\displaystyle C\_{4}=14}

4. Bir altıgen, köşegenler yardımıyla oluşturulmuş üçgenlere kaç farklı şekilde ayrılabilir?

{\displaystyle C\_{4}=14}

5. 1’den 4’e kadar olan sayılar, sıralı bir üçlü oluşturmamak kaydıyla kaç farklı şekilde yan yana getirilebilir?

{\displaystyle C\_{4}=14}

{1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312,4321}

6. 4 basamaklı bir merdiven, 4 karoyla kaç farklı şekilde kaplanabilir?

{\displaystyle C\_{4}=14}

7. nxn boyutlu bir A matrisinde, her {\displaystyle a\_{ij}=C\_{i+j-2}} ise, o matrise Hankel matrisi denir ve determinant, boyuttan bağımsız olarak daima 1’dir.

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{bmatrix}}=1.}
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&1&2\\1&2&5\\2&5&14\end{bmatrix}}=1.}
### Katalan sayılarının sayma problemlerindeki (Kombinatorik) uygulamaları

Bu dizinin terimleri, kombinatorik matematiğin problemlerini çözmede fayda sağlar. Yukarıda gördüğümüz örnekler bunlardan bazılarıdır. Farklı başlangıç değerleri için problemin cevabı, başlangıç değerini n yerine yazarak elde edilen Katalan sayısına eşit olur.

{\displaystyle C\_{n}} ;

* n çift parantezin kaç farklı şekilde düzgün konumlanabileceğini, (düzgün konumlanmakla kastedilen, açılan her parantezin kapanması ve bir parantez açılmadan kapatma parantezi konmamasıdır.)
* n+1 dallı bir ikili ağacın kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
* nxn karelik bir alanda, diagonalin üzerine çıkmayacak şekilde, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğini,
* n+2 kenarlı bir konveks çokgenin, köşegenler aracılığıyla kaç üçgene bölünebileceğini,
* 1’den n’e kadar olan sayıların, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğini,
* n basamaklı bir merdivenin, n tane karoyla kaç farklı şekilde kaplanabileceğini,
* {1,…,n} kümesinin kesişmeyen kısımlarının sayısını,
* 2xn boyutlu bir standart Young tablosunun kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,

Ve bunlara benzer sayma problemlerinin nasıl çözülebileceğini gösterir.

Formülün İspatları
------------------

### 1.İspat

Bu ispat, Dyck kelimelerinin(baştan sona doğru nereden bölünürse bölünsün, X’lerin sayısının Y’lerden az olmadığı, X ve Y’den oluşan kelimeler) yazılışına dayanır. Bu durumda {\displaystyle C\_{n}}, kurala uygun şekilde yazılmış kelimelerin sayısıdır. Bu kurala uygun, c ve c+ ’lardan oluşan, (boş da olabilen) bir kelime oluşturur ve c’yi c=[c1]c2 şeklinde yazarsak, c+ için uygun olan yerlerin toplamı,

{\displaystyle C\_{0}=1\quad {\text{ve}}\quad C\_{n+1}=\sum \_{i=0}^{n}C\_{i}\,C\_{n-i}\quad n\geq 0.}
b de dengeli, yani eşit sayıda c ve c+ içeren, 2n uzunluğunda bir kelime ve {\displaystyle \textstyle B\_{n}={2n \choose n}=d\_{n}C\_{n}} olsun.
Yukarıda olduğu gibi, dengeli bir kelime de [c]b ya da ] c+ [b olarak yazılabilir, öylseyse

{\displaystyle B\_{n+1}=2\sum \_{i=0}^{n}B\_{i}C\_{n-i}.}
Yanlış fakat dengeli olan bir kelime de c] ile başlar, dolayısıyla,

{\displaystyle B\_{n+1}-C\_{n+1}=\sum \_{i=0}^{n}{2i+1 \choose i}C\_{n-i}=\sum \_{i=0}^{n}{\frac {2i+1}{i+1}}B\_{i}C\_{n-i}.}
Bu eşitlikten ve *B**i* = *d**i* *C**i* ’den faydalanarak :{\displaystyle C\_{n+1}=2\sum \_{i=0}^{n}d\_{i}C\_{i}C\_{n-i}-\sum \_{i=0}^{n}{\frac {2i+1}{i+1}}d\_{i}C\_{i}C\_{n-i}=\sum \_{i=0}^{n}{\frac {d\_{i}}{i+1}}C\_{i}C\_{n-i}.} elde edilir. Katsayılar *C**n* için verilen ilk formülle karşılaştırılınca *d**i* = *i* + 1 bulunur. O halde,

{\displaystyle C\_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}.}
### 2.İspat

Bu ispat da Katalan sayılarının üçgenleme tanımını kullanarak *Cn* ve *C**n*+1 arasında bir bağıntı kurmamızı sağlar. n+2 kenarlı bir P çokgeninin bir kenarını temel olarak alalım. P çokgeni üçgenlenebiliyorsa 2n+1 kenarından birini seçip devam edebiliriz. Bu şekilde oluşturulabilecek (4n+2) *Cn* farklı durum vardır.
Bir de n+3 kenarlı bir Q çokgeni verilsin. Yine bir kenarını temel aldığımızda, Q üçgenlenebilir bir çokgense, ilkinden farklı bir kenar daha seçebiliriz. Bu kez oluşturabileceğimiz (n+2) *C**n*+1 farklı durum vardır.
Şimdi bu ikisi arasında bir geçiş yapabiliriz: ya Q çokgenini, bir kenarı işaretli olan bir üçgenini çıkararak küçülteceğiz ya da P’nin işaretli kenarının yerine bir üçgen koyarak P’yi genişletip bir kenarını işaretleyeceğiz.
Öyleyse ;

{\displaystyle (4n+2)C\_{n}=(n+2)C\_{n+1}.}
{\displaystyle C\_{n}} ’in binom formülü,:{\displaystyle C\_{1}=1} başlangıç koşulu ve bu bağıntı yoluyla doğrudan elde edilebilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Catalan problemi

Dış bağlantılar
---------------

 17 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

 7 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

 6 Ekim 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 1072323532
* LCCN: sh2008005833
* NKC: ph1202458
* NLI: 987007561759805171

 |