**Pro sonlu gruplar**, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası **Z***p*, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.

Tanım
-----

Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, {\displaystyle (I,\leq )} yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir {\displaystyle {G\_{i}}} ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan {\displaystyle \{f\_{j,i}:G\_{j}\to G\_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}} şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:

* Her {\displaystyle i\leq j\leq k} için {\displaystyle f\_{k,i}=f\_{j,i}\circ f\_{k,j}}
* Her {\displaystyle i\in I} için {\displaystyle f\_{i,i}=id\_{G\_{i}}} (yani {\displaystyle f\_{i,i},G\_{i}} üzerine birim fonksiyondur.)

Böyle bir sistemin projektif limiti

{\displaystyle \lim \_{\leftarrow }{G\_{i}}=\left\{(g\_{i})\_{i\in I}\in \prod \_{i\in I}G\_{i}:f\_{j,i}(g\_{j})=g\_{i}{\text{ for all }}j\geq i\right\}}

şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu {\displaystyle G\_{i}} grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca {\displaystyle \prod G\_{i}} çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.

Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir {\displaystyle G} topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, {\displaystyle G/N} bölüm gruplarının {\displaystyle G} nin açık ve normal olan tüm {\displaystyle N} altgrupları üzerinden projektif limiti {\displaystyle \lim \_{\leftarrow }{G/N}}, {\displaystyle G} topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla {\displaystyle G} topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.

Pro-sonlu tamlanış
------------------

Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir {\displaystyle G} grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi {\displaystyle I=\{H\triangleleft G:H\ {\text{sonlu indeksli}}\}}, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama {\displaystyle N\leq N'\iff N'\subset N} şeklindedir. Bu durumda {\displaystyle X=\{G/N:N\triangleleft G\ {\text{sonlu indeksli}}\}} kümesiyle {\displaystyle xN'\mapsto xN} ile tanımlı {\displaystyle f\_{N',N}:G/N'\to G/N} grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine {\displaystyle G} grubunun **pro-sonlu tamlanışı** denir ve {\displaystyle {\widehat {G}}} ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,

{\displaystyle {\widehat {G}}=\lim \_{\leftarrow }{G/N}=\{(g\_{N})\_{N\in I}\in \prod \_{N\in I}G/N:\ g\_{N'}\equiv g\_{N}{\pmod {N}}\ \ {\text{for all}}\ N'\subset N\}}

şeklinde verilir. Burada {\displaystyle G} ile {\displaystyle {\widehat {G}}} arasında {\displaystyle g\mapsto (gN)\_{N}} ile tanımlı doğal bir {\displaystyle \pi :G\to {\widehat {G}}} grup homomorfizması mevcuttur. {\displaystyle G} grubunun {\displaystyle \pi } altındaki imgesi {\displaystyle {\widehat {G}}} içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul {\displaystyle \bigcap \_{N\in I}N=1} olmasıdır. Özel olarak {\displaystyle G} yerine {\displaystyle \mathbb {Z} } tamsayılar grubunu alırsak, {\displaystyle \pi } homomorfizması {\displaystyle \mathbb {Z} } tamsayılar grubunu {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}} pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.

Örnekler
--------

* Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
* Toplamsal p-sel tamsayılar grubu {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}, {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, {\displaystyle n\in \mathbb {N} } olmak üzere, sonlu {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her {\displaystyle i\leq j} doğal sayıları için {\displaystyle x+p^{j}\mathbb {Z} \mapsto x+p^{i}\mathbb {Z} } ile tanımlı {\displaystyle f\_{j,i}:\mathbb {Z} /p^{j}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} } grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
* Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim {\displaystyle L/K} bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. {\displaystyle F/K} sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm {\displaystyle K\subset F\subset L} ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü {\displaystyle K} üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine {\displaystyle K} üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her {\displaystyle F'\subset F} için {\displaystyle Gal(F/K)\to Gal(F'/K)}, {\displaystyle \sigma \mapsto \sigma |\_{F'}} kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti {\displaystyle Gal(L/K)} grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması {\displaystyle \sigma \mapsto (\sigma |\_{F})\_{F}} ile tanımlı {\displaystyle Gal(L/K)\to \lim \_{\leftarrow }{Gal(F/K)}} fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji {\displaystyle Gal(L/K)} grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir {\displaystyle L/K} Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (Waterhouse (1974)). Ancak burada {\displaystyle K} cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun {\displaystyle \mathbb {Q} } rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)

Özellikler
----------

* Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır.
* Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
* Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer {\displaystyle H}, bir {\displaystyle G} pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise {\displaystyle G/N} bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
* Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
* Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.

Bakınız
-------

* Pro-p grup
* Pro-sonlu tamsayılar
* p-sel sayılar
* Sonsuz Galois teorisi

Kaynakça
--------

1. ↑  Lenstra, Hendrik. "Profinite Groups" (PDF). *Leiden University*. 5 Şubat 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
2. ↑  Osserman, Brian. "Inverse limits and profinite groups" (PDF). *University of California, Davis*. 5 Haziran 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF).

* Waterhouse, William C. (1974), "Profinite groups are Galois groups", *Proceedings of the American Mathematical Society*, American Mathematical Society, **42** (2), ss. 639-640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031
* Lenstra, Hendrik (2003), *Profinite Groups* (PDF), talk given at Oberwolfach, 5 Şubat 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 26 Aralık 2018