f(x)'in a'dan b'ye kadar olan integrali, y=f(x) fonksiyonunun a ile b arasındaki alanıdır.
Alan hesabı olarak integralin uygulanması
**İntegral** veya **tümlev**, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsüntemelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

Belirsiz integral, türev alma işleminin tersine tekabül eden işlemdir. Belirli integraller ise, belirsiz integraller kullanılarak hesaplanır. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde bir fonksiyonun bir aralıkta belirli integralini hesaplamak için önce o fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanır, sonra bu fonksiyonun iki uç noktasındaki değerleri çıkarılarak belirli integral elde edilir. Belirli integraller; alan, hacim ve bunların çok boyutlu karşılıklarını hesaplamak için gereklidir. Tek değişkenli fonksiyonlarda, belirli bir aralıkta alınan integral, o aralık boyunca fonksiyonun grafiğinin altında kalan alanı verir. İntegraller aynı zamanda diferansiyel denklemlerin çözümlerinde vazgeçilmezdir.

Tanım
-----

Gottfried Wilhelm Leibniz
İntegral, verilen bir *f(x)* fonksiyonunu türev kabul eden *F(x)* fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. *F(x)* fonksiyonuna *f(x)* fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, Latince toplam kelimesinin ("ſumma", "summa") baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş ∫ işareti ile gösterilir. Bu işaret Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

{\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}
*c* bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen *f(x)* göndermesinin altında kalan *a < x < b* aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur.
Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan *n* nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

{\displaystyle S=\lim \_{\Delta x\to 0}\sum \_{i=0}^{n-1}f(x\_{i})\Delta x\_{i}=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda *f(x)* göndermesinin integrali *F(x)* bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali 
geliştirilmiştir.

Köken
-----

Sir Isaac Newton
Bernhard Riemann
* Dilimize İngilizceden veya Fransızcadan geçmiş ***integral*** sözcüğü "bütüne ait olan" anlamına gelir ve İngilizceye Orta Fransızca *intégral* sözcüğünden; Orta Latince *integralis* (tüm yapmak, tümlemek) sözcüğünden; Latince *integer* (tüm, bütün, tam) sözcüğünden gelmiştir. Ayrıca *integer* sözcüğü *tam sayı* terimine karşılık olarak İngilizceye geçmiştir.
* Türkçede ***tümlev*** sözcüğü, Osmanlıca *mütemmem* ile *tamamî* sözcüklerinin ve İngilizcedeki *integral* sözcüğünün anlamını karşılamak için türetilmiştir. *tümlev* sözcüğü, "tümlenmiş şey" anlamına gelir. İsimden fiil yapan */-ev,-av/* yapım ekiyle kullanımda olan *tümle[mek]* fiilinden; isimden fiil yapan */-le[mek]/* yapım ekiyle muhtemelen Öz Türkçe \**tüm* (bknz. tümen) kökünden türetilmiştir.
* Osmanlıcada ***mütemmem*** sözcüğü kullanılmış (Arapçadaki *\*tm* (tam) kökünden gelir)  ancak Arapçada şu anda "olgun, evrimleşmiş, bütünleşmiş" anlamındaki *tekâmül*  *23 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.* sözcüğü kullanılmaktadır (*kâmil*, *mükemmel*, *küme* ile aynı kökten: *\*kml*).

İntegral alma yöntemleri
------------------------

### Değişken değiştirme

Ana madde: Değişken değiştirme
**Değişken değiştirme**, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, eski değişkende yerine konur.

#### Basit örnek

Aşağıdaki 6.dereceden bir polinomu ilkel fonksiyon kullanarak çözmek neredeyse imkânsızdır. Bunun için değişken değiştirme yöntemini kullanalım:

{\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.\,}
Bu denklemde *x*3 = *u* değişken değişimini uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir:

{\displaystyle u^{2}-9u+8=0\,}
Böylece denklem ikinci dereceden denklem biçimine dönüştü. Bu denklemin kökleri;

{\displaystyle u=1\quad {\mbox{ve}}\quad u=8'dir.}
Bu yeni değişkenin sonuçlarını, ham değişkende yerine koyalım:

{\displaystyle x^{3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x^{3}=8\quad \Rightarrow \qquad x=(1)^{1/3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x=(8)^{1/3}=2.\,}
### Kısmi integral

Ana madde: Kısmi integral
Eğer integral {\displaystyle {\int f(x)g(x)dx}} şeklinde verilmiş ve {\displaystyle f(x)} veya {\displaystyle g(x)} birbirleri cinsinden yazılamıyorsa kısmi integrasyon yöntemi uygulanır. Bu indirgeme sırasıyla logaritma, ters trigonometrik fonksiyonlar, polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar ve son olarak üstel fonksiyonlara uygulanır. Bazı eğitmenler bu fonksiyonların baş harflerini ("LAPTÜ") bir kolay hatırlama yöntemi olarak kullanır.

{\displaystyle \int f(x)g(x)dx}

integralinde {\displaystyle f(x)} yukarıdaki sıralamada önce geliyorsa, {\displaystyle f(x)=u} değişken değiştirmesi yapılır ve geri kalan ifadeler ile {\displaystyle g(x)dx=dv} denklemi kurulur. Bunu takiben, {\textstyle u={df(x) \over dx}}, {\textstyle v=G(x)} denliklerine ulaşılır. Burada {\displaystyle G(x)}, {\displaystyle g(x)}'in integrali alınmış halidir.

Sonuç olarak verilen integral {\displaystyle I}, {\displaystyle v} ve {\displaystyle u} cinsinden yazılabilir:

{\textstyle I} = {\displaystyle uv-\int vdu}

#### Örnek 1

{\displaystyle \int lnxdx} integrali değişken değiştirme yöntemiyle integrallenemez bu yüzden kısmi integrasyon uygulamak gerekir. Yukarıdaki indirgeme sırasında logaritma ({\displaystyle lnx}) önceliklidir, dolayısıyla:

{\displaystyle lnx=u}, {\displaystyle dx=dv}

{\displaystyle {\frac {dx}{x}}=du}, {\displaystyle x=v}

Burada belirsiz integralin keyfi sabiti {\displaystyle c} henüz eklenmemiştir. Bu sabit en son integralde eklenecektir. Kısmi integrasyon formülü uygulandığında,

{\displaystyle uv-\int vdu} {\displaystyle =xlnx-\int {\frac {1}{x}}xdx} halini alır. İntegraldeki {\displaystyle x}'ler sadeleşir. Sonuç bulunur:

{\displaystyle xlnx-x} {\displaystyle +c}

#### Örnek 2

{\displaystyle \int xe^{x}dx} integrali için de kısmi integral uygulanmalıdır. Yukarıdaki indirgeme önceliğine göre polinom ({\displaystyle x}) üstel fonksiyondan ({\displaystyle e^{x}}) önce gelir:

{\displaystyle x=u}, {\displaystyle e^{x}=dv}

{\displaystyle dx=du}, {\displaystyle e^{x}=v}

Bunu takiben,

{\displaystyle uv-\int vdu} {\displaystyle =xe^{x}-\int e^{x}dx}

işlemleri yapılarak sonuç bulunur:

{\displaystyle xe^{x}-e^{x}}{\displaystyle +c}

Basit fonksiyonların integralleri
---------------------------------

### Rasyonel fonksiyonlar

{\displaystyle \int dx=x+C}
{\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ eğer }}n\neq -1}
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
{\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
### İrrasyonel fonksiyonlar

{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}
### Logaritmik fonksiyonlar

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C}
{\displaystyle \int \log \_{b}{x}\,dx=x\log \_{b}{x}-x\log \_{b}{e}+C}
### Üslü fonksiyonlar

{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
{\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}
### Trigonometrik fonksiyonlar

{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
### Hiperbolik fonksiyonlar

{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
### Ters hiperbolik fonksiyonlar

{\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}

Ayrıca bakınız
--------------

* Temel göndermelerin integralleri için İntegral Tablosu
* Belirli integral
* Belirsiz integral

Kaynakça
--------

1. ↑  "Douglas Harper, *Online Etymology Dictionary*, sözcük". 23 Şubat 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Mayıs 2010.
2. ↑  Türk Dil Kurumu, Bilim ve Sanat Terimleri Ana Sözlüğü, sözcük[*ölü/kırık bağlantı*]
3. ↑  Mustafa Nihat Özön, *Osmanlıca - Türkçe Sözlük*, İnkılâp ve Aka kitabevleri, 4. basım, Ocak 1965

| * g
* t
* d
Diferansiyel denklemler |
| --- |
| Sınıflandırma | 

|  |  |
| --- | --- |
| İşlemler | 
* Diferansiyel operatörü
* Türevleme için gösterim
* Adi
* Kısmi
* Diferansiyel-cebirsel
* İntegro-diferansiyel
* Kesirli
* Doğrusal
* Doğrusal olmayan
* Holonomik

 |
| Değişkenlerin nitelikleri | 
* Bağımlı ve bağımsız değişkenler
* |Homojen
* Homojen olmayan
* İç içe geçmiş (Coupled)
* Ayrışmış (Decoupled)
* Mertebe (Order)
* Derece (Degree)
* Otonom
* Tam diferansiyel denklem
* Karmaşık diferansiyel denklem

 |
| Süreçlerle ilişkisi | 
* Fark (ayrık analog)
* Stokastik
	+ Stokastik kısmi
* Gecikme

 |

 |
| Çözümler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Çözüm konuları | 
* Picard–Lindelöf teoremi (varlık ve teklik)
* Wronskiyen
* Faz portresi
* Faz uzayı
* Lyapunov kararlılığı
* Asimptotik kararlılık
* Üstel kararlılık
* Yakınsama oranı
* Seri çözümleri
* İntegral çözümleri
* Numerik entegrasyon
* Dirac delta fonksiyonu

 |
| Çözüm yöntemleri | 
* Inspection
* Değişkenlerin ayrılması
* Belirsiz katsayılar metodu
* Parametrelerin değişimi
* İntegralleme çarpanı
* İntegral dönüşümleri|
* Euler yöntemi
* Sonlu farklar yöntemi
* Crank-Nicolson yöntemi
* Runge-Kutta yöntemi
* Sonlu elemanlar yöntemi
* Sonlu hacim yöntemi
* Galerkin yöntemi
* Pertürbasyon teorisi

 |

 |
| Uygulamalar | 
* Adlandırılmış diferansiyel denklemler listesi

 |
| Matematikçiler | 
* Isaac Newton
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Leonhard Euler
* Jacob Bernoulli
* Émile Picard
* Józef Maria Hoene-Wroński
* Ernst Lindelöf
* Rudolf Lipschitz
* Joseph-Louis Lagrange
* Augustin-Louis Cauchy
* John Crank
* Phyllis Nicolson
* Carl David Tolmé Runge
* Martin Kutta
* Sofya Kovalevskaya

 |


|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* BNF: cb119395946 (data)
* LCCN: sh85067099
* NKC: ph121136
* NLI: 987007555515105171

 |