**Çifte doğrusallık**, matematik'te, **çiftdoğrusal işlemci** her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Tanım
-----

Eğer *V*, *W* ve *X* aynı tabanlı *F* alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve

*B* : *V* × *W* → *X ise*
herhangi *W* gönderim içindeki *w* için

*v* ↦ *B*(*v*, *w*)
bir doğrusal gönderim *V* den *X* 'adır, ve herhangi *V* içindeki *v* için gönderim

*w* ↦ *B*(*v*, *w*)
bir doğrusal gönderim *W* dan *X '*adır. 
Başka bir deyişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek, sonuç bir doğrusal işlemcidir, ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz *V* × *W* çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, *B* (*V* = 0 olmadıkça veya *W* = 0) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü,örnek için *B*(2(*v*,*w*)) = *B*(2*v*,2*w*) = 2*B*(*v*,2*w*) = 4B(*v*,*w*).

Eğer *V* = *W* ve bizim *B*(*v*,*w*) = *B*(*w*,*v*) var bütün *v* için,*V* içindeki *w*, ise *B* ye *simetrik'tir* deriz.

Bu durumda *X*, *F*dir, ve bizde bir **çiftdoğrusal form** var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir *F* alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka *R* üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca *n*-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir,burada uygun terim *çokludoğrusal*dır.

bir değişmeli olmayan *R* halka tabanının durumu için ve bir sağ modül *MR* ve bir sol modül *RN*, biz bir çiftdoğrusal gönderim tanımlarız *B* : *M* × *N* → *T*, burada *T* bir değişmeli grup'tur, ayrıca herhangi in *N* içindeki *n* için, *m* ↦ *B*(*m*, *n*) bir grup homomorfizmidir, ve herhangi *M* içindeki *m* için, *n* ↦ *B*(*m*, *n*) bir grup homomorfizmidir,ve

*B*(*mt*, *n*) = *B*(*m*, *tn*)
bütün *M* içindeki *m* *N* içindeki *n* ve *R* içindeki *t* için yeterlidir

Özellikler
----------

Tanımının Bir ilk acil sonucu bu *B*(*x*,*y*) = *0*
her ne zaman *x* = *0* olduğunda veya *y* = *0*. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör *0* olarak 0·*0*,doğrusallık ile *B* nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların *L*(*V*,*W*;*X*) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

Bir matris *M* bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita (*v*,*w*) ↦ *v*′*Mw*, ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir.

{\displaystyle }
 
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}&V\times V{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(v,w)\mapsto v'Mw\\&M\_{ij}=M(b\_{i},b\_{j})\\&M\in V^{\*}\otimes V^{\*}\\&M=M\_{st}\beta ^{s}\otimes \beta ^{t}\\~\\~\end{aligned}}&{\begin{aligned}&V\times V^{\*}{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(v,f)\mapsto v'Mf'\\&M\_{i}^{j}=M(b\_{i},\beta ^{j})\\&M\in V^{\*}\otimes V\\&M=M\_{s}^{t}\beta ^{s}\otimes b\_{t}\\&M\_{s}^{t}=M\_{su}g^{ut}\\&MG^{-1}\end{aligned}}\\{\begin{aligned}&V^{\*}\times V{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(f,w)\mapsto fMw\\&M\_{j}^{i}=M(\beta ^{i},b\_{j})\\&M\in V\otimes V^{\*}\\&M=M\_{t}^{s}b\_{s}\otimes \beta ^{t}\\&M\_{t}^{s}=g^{su}M\_{ut}\\&G^{-1}M\end{aligned}}&{\begin{aligned}&V^{\*}\times V^{\*}{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(f,g)\mapsto fMg'\\&M^{ij}=M(\beta ^{i},\beta ^{j})\\&M\in V\otimes V\\&M=M^{st}b\_{s}\otimes b\_{t}\\&M^{st}=g^{su}M\_{uv}g^{vt}\\&G^{-1}MG^{-1}\end{aligned}}\end{matrix}}}

Eğer *V*, *W*, *X* sonlu-boyutlu, ise *L*(*V*,*W*;*X*) böyledir. *X* = *F* için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu dim *V* × dim *W* dir (eğer *doğrusal* *L*(*V*×*W*;*F*) formunun dim *V* + dim *W*). Bunu görmek için, *V*için bir taban seçebilirsiniz ve *W*; ise her çiftdoğrusal harita *B*(*e**i*,*f**j*) matrisi tarafından tekli gösterilebilir, ya da tam tersi. 
şimdi, eğer *X* yüksek boyutlu bir uzaydır,tabii ki bizim dim *L*(*V*,*W*;*X*) = dim *V* × dim *W* × dim *X* var.

Örnekler
--------

* Matris çarpımı bir lineer haritadır M(*m*,*n*) × M(*n*,*p*) → M(*m*,*p*).
* Eğer gerçel sayı'lar **R** üzerinde bir vektör uzayı *V* bir iç-çarpım taşıyor, ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal *V* × *V* → **R** haritadır.
* Genel olarak,bir vektör uzayı *V* üzerinde bir *F* alanı için,bir çiftdoğrusal form olarak *V* aynı bir çiftdoğrusal olarak*V* × *V* → *F*.
* Eğer *V* bir vektör uzayı ile ikili uzay *V\**, ise uygulama operatörü, *b*(*f*, *v*) = *f*(*v*) çiftdoğrusal harita *V*\* × *V*'dan alan tabanınadır.
* Diyelimki *V* ve *W* vektör uzayı üzerinde aynı alanın tabanı *F* dir. eğer *f* *V*\* nin bir üyesi ve *g* *W*\* nin bir üyesi, ise *b*(*v*, *w*) = *f*(*v*)*g*(*w*) bir lineer harita *V* × *W* → *F* tanımlanır.
* **R**3 içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır **R**3 × **R**3 → **R**3'dır.
* Diyelimki *B* : *V* × *W* → *X* bir çiftdoğrusal haritadır, ve *L* : *U* → *W* bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse (*v*, *u*) ↦ *B*(*v*, *Lu*) is bir çiftdoğrusal harita olarak *V* × *U* olur.
* sıfır harita,*B*(*v*,*w*) = 0 ile tanımlanır bütün (*v*,*w*) için *V* × *W* içinde yalnızca *V* × *W* haritasından *X* 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır,gerçekten,eğer(*v*,*w*) ∈ *V* × *W*, ise eğer *B* doğrusaldır, *B*(*v*,*w*) = *B*(*v*,0) + *B*(0,*w*) = 0 + 0 eğer *B* çiftdoğrusaldır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar
---------------

* Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bilinear mapping", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

| * g
* t
* d
Lineer cebir |
| --- |
| Temel kavramlar | 
* Skaler
* Vektör
* Vektör uzayı
* Skaler çarpım
* Vektörel izdüşüm
* Doğrusal germe
* Doğrusal dönüşüm
* İzdüşüm
* Doğrusal bağımsızlık
* Doğrusal birleşim
* Taban
* Taban değişimi
* Satır vektör
* Sütun vektör
* Satır ve sütun uzayları
* Boşuzay
* Özdeğer, özvektör, özuzay
* Tersçapraz
* Doğrusal denklemler

 | Three dimensional Euclidean space |
| Matrisler | 
* Blok
* Ayrışım
* Tersinir
* Minor
* Çarpım
* Rank
* Dönüşüm
* Cramer kuralı
* Gauss eleme yöntemi

 |
| Çifte doğrusallık | 
* Ortogonalite
* Nokta çarpım
* İç çarpım uzayı
* Dış çarpım
* Kronecker çarpımı
* Gram–Schmidt işlemi

 |
| Çokludoğrusal cebir | 
* Determinant
* Çapraz çarpım
* Üçlü çarpım
* Geometrik cebir
* Dışsal cebir
* Bivector
* Multivector
* Tensör
* Outermorphism

 |
| Vektör uzayı yapıları | 
* Fonksiyon
* Dual
* Bölüm
* Altuzay
* Tensör çarpımı

 |
| Nümerik | 
* Kayan nokta
* Nümerik stabilite
* Seyrek matris

 |
|  Kategori Kategori |


|  |  |
| --- | --- |
| Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin | 
* GND: 4134671-3

 |