Sıfır olmayan çarpıklık gösteren deneysel veri örneği
**Çarpıklık** (İngilizce: *skewness*; Fransızca: *asymétrie*) olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir reel-değerli rassal değişkenin olasılık dağılımının simetrik olamayışının ölçülmesidir.

Giriş
-----

Grafikte gösterilen dağılım incelensin. Dağılımın sağ tarafında bulunan çubukların küçülmelerinin şekli sol taraftaki çubukların küçülmelerinden farklı bir görünüm vermektedir. Çubuk yüksekliklerinin küçüldükleri taraflara *kuyruk* adı verilir. Genel olarak iki çeşit olan çarpıklığın bilinmektedir.

Grafikteki kuyrukların görüntüsü dağılım için hangi tip çarpıklık olduğunu gösterir. Bu iki türlü çarpıklık ve bunu açıklayan grafiğin kuyruk konumu şunlardır:

* *Pozitif çarpıklık*: Bu halde sağdaki kuyruk daha uzundur. Dağılımın *kütlesi* grafiğin sol tarafında konsantre olmuştur. Bu türlü dağılım *sağdan çarpık* olarak anılır.
* *Negatif çarpıklık*: Bu halde soldaki kuyruk daha uzundur ve dağılımın *kütlesi* grafiğin sağ tarafında konsantre olmuştur. Bu türlü dağılım *soldan çarpık* olarak anılır.

Tanımlama
---------

Çarpıklık üçüncü standardize edilmiş moment olup bu matematik notasyonla 

{\displaystyle \gamma \_{1}}
olarak ifade edilmekte ve şöyle tanımlanmaktadır

{\displaystyle \gamma \_{1}={\frac {\mu \_{3}}{\sigma ^{3}}},\!}
Burada {\displaystyle \mu \_{3}} üçüncü ortalama etrafındakı moment olarak ve {\displaystyle \sigma }
standart sapma olarak ifade edilmektedirler. Aynı şekilde, çarpıklık üçüncü kümülant olan 
{\displaystyle \gamma \_{1}} ile ikinci kümülantın (yani {\displaystyle \kappa \_{2}}nın) kare kökünün üçüncü 
üssü olarak tanımlanmaktadır.

Bu tanımlama, basıklık tanımlanmasına bir analog benzetmedir; çünkü basıklık dördüncü kümülant ile ikinci kümülantın kare kökünün dördüncü üssü ifadesine bölümü arasındaki orantı ile ifade edilmektedir.

*n* sayıda gözlemi bulunan bir örneklem için *örneklem çarpıklığı* şöyle tanımlanır:

{\displaystyle g\_{1}={\frac {m\_{3}}{m\_{2}^{3/2}}}={\frac {{\sqrt {n\,}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left(\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}},\!}
burada {\displaystyle x\_{i}} *i*th örneklem değeri, {\displaystyle {\bar {x}}} örneklem ortalaması, {\displaystyle m\_{3}} örneklem üçüncü merkezsel momenti ve {\displaystyle m\_{2}} örneklem varyans olur

Eğer veriler örneklem içinse ve bilinen bir anakütleden gelmekte iseler, yukarıdaki formülleri kullanarak elde edilen örneklem çarpıklık ölçüleri için {\displaystyle g\_{1}} bilinmeyen reel anakütle çarpıklık ölçüsünün bir yanlı kestiricisi olduğu bilinmaktedir. Bu nedenle bazı istatistikçiler yanlı olmayan çarpıklık kestiricisi olarak şu formülün kullanılmasını tavsiye ederler:

{\displaystyle G\_{1}={\frac {k\_{3}}{k\_{2}^{3/2}}}={\frac {\sqrt {n\,(n-1)}}{n-2}}\;g\_{1},\!}
Burada {\displaystyle k\_{3}} üçüncü kümülantin tek simetrik yanlı olmayan kestricisi ve {\displaystyle k\_{2}} ikinci kümülantın simetrik yansız kestiricisi olur. Ne yazıktır ki, buna rağmen {\displaystyle G\_{1}} de genel olarak yanlı bir kestiricidir. Bu kestiricinin beklenen değeri gerçek anakütle çarpıklık ölçüsünün ters işaretinde bile olabilmesi mümkündür.

Bir rassal değişken olan *X* için çarpıklık matematik kısaltma ile Çarp[*X*] olarak ifade edilsin. Eğer *Y* *n* tane bağımsız rassal değişkenlerin toplamından oluşuyorsa ve her bir *X* dağılımı birbiri ile ayni ise, *Y* nin çarpıklığı şöyle gösterilebilir

Çarp[*Y*] = Çarp[*X*] / √*n*.
Çarpıklık özelliği birçok alanda pratik yarar sağlamaktadır. Pratik sorun çözümleri elde etmek için çok defa basitleştirilmiş model kullanılıp verilerin normal dağılım gösterdiği varsayılır. Bu varsayıma göre veriler ortalama etrafında simetrik olarak dağılmaktadırlar. Halbuki pratikte veriler çok defa kusursuzca simetrik değildirler. Böylece, verilerin çarpıklığını anlamak, kullanılan ortalamanın ne kadar simetriklikten uzak olabileceğini ve ne yönde veri merkezinin kullanılan ortalamadan değişik olacağını anlamaya yol açacaktır.

Pearson'un çarpıklık katsayıları
--------------------------------

Karl Pearson çarpıklık ölçülmesi için iki basit şekilde kestirim ölçüsü önermiştir. Bunlar

* 3 (ortalama - mod) / standard sapma
* 3 (ortalama - medyan) / standard sapma

Ancak aynı veriler için, bu iki kestirim ölçüsünün aynı işarette olacağına ve eğrilerinin işaretinin grafikle görülebilen artı/eksi çarpıklık özelliğine benzeyeceğine hiçbir garanti bulunmamaktadır.

Yeni Bir Öneri
--------------

2014 yılında yayınlanan *İstatistikte Altın Oran* adlı bir kitapta, yeni bir çarpıklık katsayısı önerilmiştir.

Coefficient of Skewness (G)
Hesaplama; medyanın sol tarafındaki elemanların medyandan farklarının toplamının, medyanın sağ tarafındaki elemanların medyandan farklarının toplamına oranıdır. Eğer veri dizisinde, medyanın son tarafındaki elemanların medyandan farklarının toplamı (sol tarafın yükü), medyanın sağ tarafındaki elemanların medyandan farklarının toplamına (sağ tarafın yükü) eşitse, G = -1 olmaktadır. G = -1, tam simetri durumunu işaret eder. veri dizisinin medyana göre solu ile sağı, yük bakımından dengelidir. G, -1'den küçükse, medyanın sol tarafının yükü sağ tarafının yükünden fazladır dolayısıyla veri dizisi sola çarpıktır (veri dizisinin kuyruğu soldadır). G, -1'den büyükse, medyanın sağ tarafının yükü sol tarafının yükünden fazladır dolayısıyla veri dizisi sağa çarpıktır (veri dizisinin kuyruğu sağdadır). İstatistik literatüründe kullanılan diğer çarpıklık belirleme metodlarından farkı, veri dizisinin eleman sayısından bağımsız çalışabilmesi ve üstel (logaritmik vs) operatör içermediği için veri dizisinin formasyonundan bağımsız olmak üzere, çarpıklığı nicel olarak hesaplamaya olanak sağlamasıdır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Basıklık
* Biçim parametreleri

Kaynakça
--------

1. ↑  Www.goldenratioinstatistics.com/calculate.aspx
2. ↑  Gunver, Mehmet Guven; Senocak, Mustafa Sukru; Vehid, Suphi (2017)  "To determine skewness, mean and deviation with new approach to contiuous data" *PONTE International Journal of Sciences and Research* Cilt:73/2 (Subat), "2 Haziran 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. doi:10.21506/j.ponte.2017.2.34

Dış kaynaklar
-------------

* Spiegel, Murray R ve Stephens, Larry J. (Tr.Çev.: Çelebioğlu, Salih) (2013) *Istatistik*, İstanbul: Nobel Akademik Yayıncılık ISBN 9786051337043
* Günver, Mehmet Güven; Șenocak, Mustafa Şükrü ve Vehid, Suphi (2014) *İstatistikte Altın Oran*, İstanbul:Türkmen Kitabevi, ISBN : 976054749409

| * g
* t
* d
İstatistik |
| --- |
| Betimsel istatistik | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Sürekli veriler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Merkezî konum | Ortalama (Aritmetik, Geometrik, Harmonik) •  Medyan • Mod |
| Yayılma | Açıklık • Standart sapma • Varyasyon katsayısı • Çeyrekler açıklığı • Kesirlilikler (kantil) (Dörttebirlik,Ondabirlik, Yüzdebirlik) |
| Dağılım şekli | Varyans • Çarpıklık • Basıklık • Moment (matematik) |

 |
| İstatistiksel tablolar | Sıklık dağılımı  • Çoklu sayılı özetleme tabloları  • İlişki tablosu  • Çoklu-yönlü sınıflandırma tabloları |
| İstatistiksel grafikler | Dairesel grafik • Çubuk grafiği • Kutu grafiği • Dal-yaprak grafikleri •Kontrol diyagramı • Histogram • Sıklık çizelgesi • Q-Q grafiği • Serpilme diyagramı |

 |
| Veri toplama | 

|  |  |
| --- | --- |
| Örnek tasarımı | Anakütle •Basit rassal örnekleme Örüntülü örnekleme • Tabakalı örnekleme • Küme örneklemesi • Çok aşamalı örnekleme • |
| Deneysel tasarım | Anakütle • İstatistiksel deneysel tasarım tipleri  • Deneysel hata  • Yineleme • Bloklama • Duyarlılık ve belirleme |
| Örneklem kavramları | Örneklem büyüklüğü • Sınama gücü  • Etki büyüklüğü • Örnekleme dağılımı •Standart hata |

 |
| Çıkarımsal istatistik ve İstatistiksel kestirim ve testler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Çıkarımsal analiz tipleri | Kestirim  • Parametrik çıkarımsal analiz  •Parametrik olmayan çıkarımsal analiz  • Bayesci çıkarımsal analiz  • Meta-analiz |
| Çıkarımsal kestirim | 

|  |  |
| --- | --- |
| Genel kestirim kavramları | Momentler yöntemi • Enbüyük olabilirlik • Enbüyük artçıl  • Bayes-tipi kestirimci • Minimum uzaklık • Maksimum aralık verme |
| Tekdeğişkenli kestirim | Kestirim  • Güven aralığı  • İnanılır aralık |

 |
| Hipotez testi | 

|  |  |
| --- | --- |
| İstatistiksel test ana kavramları | Sıfır hipotez  • I.Tür ve II.Tür hata  • Anlamlılık seviyesi  •p-değeri |
| Basit tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik hipotez testi | μ için testi •
π için test • μ1-μ2 için test • π1-π2 için test  •
σ1/σ2 için test |
| Tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik olmayan test analizi | Medyan testi  • Ki-kare testi • Pearson ki-kare testi •Phi katsayısı  • Wald testi • Mann-Whitney U testi • Wilcoxon'in işaretli sıralama testi |

 |

 |
| Korelasyon veRegresyon analizi | 

|  |  |
| --- | --- |
| Korelasyon | Pearson çarpım-moment korelasyonu • Sıralama korelasyonu ( Spearman'in rho • Kendall'in tau) |
| Doğrusal regresyon | Regresyon analizi  • Doğrusal model • Genel doğrusal model • Genelleştirilmiş doğrusal model |
| Doğrusal olmayan regresyon | Parametrik olmayan • Yarıparametrik • Logistik |
| Varyans analizi | Tek-yönlü varyans analizi • Kovaryans analizi • Bloklu tek-yönlü varyans analizi • Etki karışımı değişkeni |

 |
| Çokdeğişkenli istatistik | Çokdeğişkenli regresyon • temel bileşenler **·**  Faktör analizi  •Kanonik korelesyon  • Uygunluk analizi  • Kümeleme analizi |
| Zaman serileri analizi | 

|  |  |
| --- | --- |
| Yapısal model tanımlanması | Zaman serisi yapisal model ögeleri  • Zaman serisi ögeleri saptanması  • Zaman grafiği • Korrelogram |
| Zaman serileri kestirim teknik ve modelleri | Dekompozisyon • Trend uygulama kestirimi  • Üssel düzgünleştirme  • ARIMA modelleri  • Box–Jenkins  • Spektral yoğunluk kestirimi |
| Kestirim değerlendirmesi | Zaman seri kestirim değerlendirmesi |

 |
| Sağkalım analizi | Sağkalım fonksiyonu • Kaplan–Meier • Log-sıra testi • Başarısızlık oranı • orantılı tehlikeler modeli |
| **Kategori** • **Outline** • **Endeks** |


| * g
* t
* d
Olasılık dağılımlar kuramı |
| --- |
| Olasılık kütle fonksiyonu **·**  Olasılık yoğunluk fonksiyonu **·**  Birikimli dağılım fonksiyonu **·**  Kuantil fonksiyonu |  |
| Moment (matematik) **·**  Merkezsel moment **·**  Beklenen değer **·**  Varyans **·**  Standart sapma **·**  Çarpıklık **·**  Basıklık |
| Moment üreten fonksiyon **·**  Karakteristik fonksiyon **·**  Olasılık üreten fonksiyon **·**  Kümülant |