Diğer bir adı **sabitlerin değişimi** (İngilizce: Variation of Parameters) olarak bilinir. Bu teknik homojen olmayan lineer diferansiyel denklemlerde partiküler (özel) çözümü bulmak için kullanılır.

Birinci dereceden homojen olmayan lineer diferansiyel denklemler için, belirsiz katsayıları daha az çabayla entegre ederek çözümler bulmak mümkündür, ancak bu yöntemler tüm homojen olmayan lineer diferansiyel denklemler için çalışmaz ve genel bir kural belirlenmesi gerekir. Parametrelerin değişimi metodu ile bütün partiküler çözümler bulunabilir.

### Çözüm Tekniği

Verilmiş olan adi homojen olmayan lineer diferansiyel denklemimiz:

{\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum \_{i=0}^{n-1}a\_{i}(x)\*y^{(i)}(x)=r(x)}

İlk başta diferansiyel denklemimizin homojen çözümünü bulmamız gerekir.

{\displaystyle Y\_{h}=c\_{1}\*y\_{1}(x)+c\_{2}\*y\_{2}(x)+.......+c\_{n}\*y\_{n}(x)}

Sonra partiküler çözüm için aşağıdaki varsayımı yapmamız gerekir.

{\displaystyle Y\_{p}=u\_{1}(x)\*y\_{1}(x)+u\_{2}(x)\*y\_{2}(x)+......+u\_{n}(x)\*y\_{n}(x)}

Buradan sonra bunun türevi alınarak ve başka varsayımlar yapılarak, aşağıdaki matrise ulaşırız.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}y\_{1}&y\_{2}&...&y\_{n}\\y'\_{1}&y'\_{2}&...&y'\_{n}\\...&...&...&...\\y\_{1}^{(n-1)}&y\_{2}^{(n-1)}&...&y\_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\_{1}\\u'\_{2}\\...\\u'\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\...\\r(x)\end{bmatrix}}}

**Bu matris bizi çözüme ulaştıran asıl faktördür.** Bunu çözmek için **Gauss eliminasyonu** veya **Kramer metodu** kullanabiliriz. Böylece bu matrisin çözümünden **{\displaystyle u'\_{1},u'\_{2},u'\_{3}...u'\_{n}}** değerlerini bulmuş olacağız. Bu u'(x) değerlerinin **integralini** aldığımızda ise u(x) fonksiyonlarının hepsini bulmuş olacağız. Bu u(x) değerlerini {\displaystyle Y\_{p}=u\_{1}(x)\*y\_{1}(x)+u\_{2}(x)\*y\_{2}(x)+......+u\_{n}(x)\*y\_{n}(x)} denkleminde yerine koyduğumuzda partiküler çözümü bulmuş olacağız. Genel çözüm ise {\displaystyle Y\_{G}=Y\_{h}+Y\_{p}} olacaktır.

Bunu matris formunda yazmak istersek:

{\displaystyle YU'=R\Rrightarrow U'=Y^{(-1)}R}
{\displaystyle U=\int Y^{(-1)}Rdx} bulunur ve çözümümüz {\displaystyle Y\_{p}=U^{(T)}Y} olacaktır.

| * g
* t
* d
Diferansiyel denklemler |
| --- |
| Sınıflandırma | 

|  |  |
| --- | --- |
| İşlemler | 
* Diferansiyel operatörü
* Türevleme için gösterim
* Adi
* Kısmi
* Diferansiyel-cebirsel
* İntegro-diferansiyel
* Kesirli
* Doğrusal
* Doğrusal olmayan
* Holonomik

 |
| Değişkenlerin nitelikleri | 
* Bağımlı ve bağımsız değişkenler
* |Homojen
* Homojen olmayan
* İç içe geçmiş (Coupled)
* Ayrışmış (Decoupled)
* Mertebe (Order)
* Derece (Degree)
* Otonom
* Tam diferansiyel denklem
* Karmaşık diferansiyel denklem

 |
| Süreçlerle ilişkisi | 
* Fark (ayrık analog)
* Stokastik
	+ Stokastik kısmi
* Gecikme

 |

 |
| Çözümler | 

|  |  |
| --- | --- |
| Çözüm konuları | 
* Picard–Lindelöf teoremi (varlık ve teklik)
* Wronskiyen
* Faz portresi
* Faz uzayı
* Lyapunov kararlılığı
* Asimptotik kararlılık
* Üstel kararlılık
* Yakınsama oranı
* Seri çözümleri
* İntegral çözümleri
* Numerik entegrasyon
* Dirac delta fonksiyonu

 |
| Çözüm yöntemleri | 
* Inspection
* Değişkenlerin ayrılması
* Belirsiz katsayılar metodu
* Parametrelerin değişimi
* İntegralleme çarpanı
* İntegral dönüşümleri|
* Euler yöntemi
* FSonlu farklar yöntemi
* Crank-Nicolson yöntemi
* Runge-Kutta yöntemi
* Sonlu elemanlar yöntemi
* Sonlu hacim yöntemi
* Galerkin yöntemi
* Pertürbasyon teorisi

 |

 |
| Uygulamalar | 
* Adlandırılmış diferansiyel denklemler listesi

 |
| Matematikçiler | 
* Isaac Newton
* Gottfried Wilhelm Leibniz
* Leonhard Euler
* Jacob Bernoulli
* Émile Picard
* Józef Maria Hoene-Wroński
* Ernst Lindelöf
* Rudolf Lipschitz
* Joseph-Louis Lagrange
* Augustin-Louis Cauchy
* John Crank
* Phyllis Nicolson
* Carl David Tolmé Runge
* Martin Kutta
* Sofya Kovalevskaya

 |