**Minkowski Eşitsizliği**, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan {\displaystyle a\_{i}}, {\displaystyle b\_{i}}, i=1,2,...n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:
{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}(a\_{i}+b\_{i})^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \_{i=1}^{n}b\_{i}^{p}\right)^{1/p}}

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

Bu sayfa normlar ile ilgili Minkowski eşitsizliği içindir. Bkz.Minkowski'nin konveks cisimler için ilk eşitsizliği için konveks geometride Minkowski eşitsizliği.
üçgen'de, *Minkowski eşitsizliği'* L*p* uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki *S* bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ *p* ≤ ∞ ve diyelimki L*p*(*S*) ögeleri *f* ve *g* olsun. ise L*p*(*S*) içindeki *f* + *g*dir, ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

{\displaystyle \|f+g\|\_{p}\leq \|f\|\_{p}+\|g\|\_{p}}
için eşitliği ile 1 < *p* <∞ eğer ve yalnızca eğer*f* ve *g* pozitifliği doğrusal bağımlılık,
yani burada bazı {\displaystyle \lambda } ≥ 0.için *f* = {\displaystyle \lambda } *g* aşağıdaki norm ile verilir:

{\displaystyle \|f\|\_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{1/p}}
Eğer *p* < ∞, veya *p* = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

{\displaystyle \|f\|\_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} \_{x\in S}|f(x)|.}
Minkowski eşitsizliği L*p*(*S*) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

{\displaystyle \|f\|\_{p}=\sup \_{\|g\|\_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad 1/p+1/q=1}
bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}|x\_{k}+y\_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \_{k=1}^{n}|x\_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \_{k=1}^{n}|y\_{k}|^{p}\right)^{1/p}}
için tümgerçel (veya karmaşık) *x*1, ... *x**n*, *y*1, ... *y**n* sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt
-----

İlk, kanıtı *f*+*g* sonludur *p*-norm eğer *f* ve *g* ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda

{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}
Nitekim, aslında burada {\displaystyle h(x)=x^{p}} konveks üzerinde {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} ({\displaystyle p} birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

{\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\frac {1}{2}}|f|+{\frac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.}
Bunun anlamı

{\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|2f|^{p}+{\frac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}
Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz {\displaystyle (\|f+g\|\_{p})}. Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki {\displaystyle (\|f+g\|\_{p})} sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

{\displaystyle \|f+g\|\_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }
{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}
{\displaystyle =(\|f\|\_{p}+\|g\|\_{p}){\frac {\|f+g\|\_{p}^{p}}{\|f+g\|\_{p}}}.}
Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile {\displaystyle {\frac {\|f+g\|\_{p}}{\|f+g\|\_{p}^{p}}}.} her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği
------------------------------

Varsayalımki (*S*1,μ1) ve (*S*2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve *F* : *S*1×*S*2 → **R** ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

{\displaystyle \left[\int \_{S\_{2}}\left|\int \_{S\_{1}}F(x,y)\,d\mu \_{1}(x)\right|^{p}d\mu \_{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int \_{S\_{1}}\left(\int \_{S\_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu \_{2}(y)\right)^{1/p}d\mu \_{1}(x),}
durumunda belirgin değişiklikler *p* = ∞. eğer *p* > 1, ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |*F*(*x*,*y*)| = φ(*x*)ψ(*y*) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsü*S*1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için *ƒ**i*(*y*) = *F*(*i*,*y*) yapıştırma için *i* = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

{\displaystyle {\begin{aligned}\|f\_{1}+f\_{2}\|\_{p}&=\left[\int \_{S\_{2}}\left|\int \_{S\_{1}}F(x,y)\,d\mu \_{1}(x)\right|^{p}d\mu \_{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int \_{S\_{1}}\left(\int \_{S\_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu \_{2}(y)\right)^{1/p}d\mu \_{1}(x)=\|f\_{1}\|\_{p}+\|f\_{2}\|\_{p}.\end{aligned}}}

Ayrıca bakınız
--------------

* Mahler eşitsizliği
* Hölder eşitsizliği

Kaynakça
--------

* Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). "Inequalities". 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.  Eksik ya da boş `|url=` (yardım)
* Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". ChelseaŞablon:Tutarsız alıntı .
* Stein, Elias (1970). "Singular integrals ve differentiability properties of functions". Princeton University PressŞablon:Tutarsız alıntı .
* Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Minkowski eşitsizliği", *Encyclopaedia of Mathematics*, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
* Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" (PDF, Online e-book). mediafire.com. 14 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ekim 2013.