Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan **Viète'nin formülleri**, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri
----------------

Eğer

{\displaystyle P(X)=a\_{n}X^{n}+a\_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a\_{1}X+a\_{0}}
derecesi {\displaystyle n\geq 1} olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa 
(yani {\displaystyle a\_{0},a\_{1},\dots ,a\_{n-1},a\_{n}} sayıları kompleks ve {\displaystyle a\_{n}} sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre {\displaystyle P(X)} {\displaystyle n} (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}.} Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:



{

x

1

+

x

2

+
⋯
+

x

n
−
1

+

x

n

=

−

a

n
−
1

a

n



(

x

1

x

2

+

x

1

x

3

+
⋯
+

x

1

x

n

)
+
(

x

2

x

3

+

x

2

x

4

+
⋯
+

x

2

x

n

)
+
⋯
+

x

n
−
1

x

n

=

a

n
−
2

a

n



⋮


x

1

x

2

…

x

n

=
(
−
1

)

n



a

0

a

n


.



{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{n-1}+x\_{n}={\tfrac {-a\_{n-1}}{a\_{n}}}\\(x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+\cdots +x\_{1}x\_{n})+(x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+\cdots +x\_{2}x\_{n})+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}={\frac {a\_{n-2}}{a\_{n}}}\\\vdots \\x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a\_{0}}{a\_{n}}}.\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
Anlamı, {\displaystyle P(X)}'in {\displaystyle k} tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı {\displaystyle (-1)^{k}a\_{n-k}/a\_{n}}'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

{\displaystyle \sum \_{1\leq i\_{1}<i\_{2}<\cdots <i\_{k}\leq n}x\_{i\_{1}}x\_{i\_{2}}\cdots x\_{i\_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a\_{n-k}}{a\_{n}}}}
şeklinde her {\displaystyle k=1,2,\dots ,n.} yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
-------------------------------------------------------------------------------------------------

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak {\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c} şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, {\displaystyle P(X)=0} denkleminin kökleri {\displaystyle x\_{1}} ve {\displaystyle x\_{2}} için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır: 

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}.}
Bu denklemlerden ilki *P* nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı
--------------------------

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:
{\displaystyle a\_{n}X^{n}+a\_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a\_{1}X+a\_{0}=a\_{n}(X-x\_{1})(X-x\_{2})\cdots (X-x\_{n})}

({\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarpı, {\displaystyle X.}'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Ayrıca bakınız
--------------

* Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri[*ölü/kırık bağlantı*]
* en:Viete (İngilizce)
* en:Second Degree Polynomial (İngilizce)
* en:Rational root theorem (İngilizce)
* en:Fundamental theorem of algebra (İngilizce)

Kaynakça
--------

* Erzen, Ömer R. (2008). *Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi*, 19 sf. Çukurova Üniversitesi, Adana.
* Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
* Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.