**Süperfaktöriyel**, sembolü ‼ olan özel tanımlı bir matematiksel fonksiyondur. Matematikte, süperfaktöriyelin birden fazla tanımı vardır.

Neil Sloane ve Simon Plouffe'un tanımı
--------------------------------------

Neil Sloane ve Simon Plouffe tarafından *The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995)*’de verilen tanıma göre, {\displaystyle n} bu sayıdan küçük veya ona eşit tam sayıların faktöriyellerinin çarpımı olmak üzere bir doğal sayının üst faktöriyeli olarak tanımlanır:

{\displaystyle \mathrm {sf} (n)\equiv \prod \_{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.}
Bu şekilde tanımlanan üst faktöriyeller, OEIS 16 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'in A000178 dizisini temsil eder.

Eşdeğer olarak, süper faktöriyel Vandermonde matrisinin determinantı olan aşağıdaki formülle de verilir:

{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod \_{0\leq i<j\leq n}(j-i),}
Bu süper faktöriyeller dizisi ({\displaystyle n=0}) aşağıdaki gibi başlar:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

Karmaşık sayılar için Neil Sloane ve Simon Plouffe'un tanımına göre üst faktöriyelin genelleştirilmesi, Barnes G fonksiyonu ile temsil edilir, çünkü herhangi bir tam sayı {\displaystyle n} için,

{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=G(n+2)}'dir.

Clifford A. Pickover'ın tanımı
------------------------------

**Tetrasyon** işlemine dayanan bir başka süper faktöriyel tanımı, 1995 yılında Clifford A. Pickover tarafından *Keys to Infinity* adlı kitabında verilen tanımdır:

{\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ kere}}\end{matrix}},}
veya

{\displaystyle n\$=n![4]n!,}
burada {\displaystyle [4]} notasyonu tetrasyon operatörünü gösterir veya Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

{\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).}
Bu süper faktöriyeller dizisi şöyle başlar:

{\displaystyle 1\$=1;}
{\displaystyle 2\$=2^{2}=4;}
{\displaystyle 3\$=6[4]6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}};}
dikkat edilmesi gereken yer:

{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}'dir.

Daha fazla detay
----------------

* 6‼=3!×2!=(1×2×3)×(1×2)=1²×2²×3=1×4×3=12'dir. Bu denkleme göre asal sayıların süperfaktöriyeli alındığında, şu şekilde bir denklem oluşur:
* P‼=P!×1!=P!×1=P! fakat 6‼, 1! ve 6!'in çarpımı olarak bulunmaz. Çünkü burada 1 ve kendisinden başka çarpanlarının faktöriyelinin çarpımı kuralı vardır.
* 12 için 1 ve kendisi dışındaki çarpanları 2, 3, 4 ve 6'dır. Bu nedenle {\displaystyle {\sqrt {(2!\times 4!)\times (3!\times 6!)}}} şeklinde bulunabilir.
* 18 için 2, 3, 6, 9 olduğundan Karekök (2 Faktöriyel çarpı 6 Faktöriyel) çarpı (3 Faktöriyel çarpı 9 faktöriyel) yani {\displaystyle {\sqrt {(2!\times 6!)\times (3!\times 9!)}}} şeklinde bulunur.
* 28 için Karekök (2 Faktöriyel çarpı 7 Faktöriyel) çarpı (4 Faktöriyel çarpı 14 Faktöriyel) yani {\displaystyle {\sqrt {(2!\times 7!)\times (4!\times 14!)}}} şeklinde bulunur.
* 9‼ ise {\displaystyle (3!)^{2}} şeklinde bulunur. Çünkü 9, 3'ün karesidir (3×3=9)

Ayrıca bakınız
--------------

* Hiperfaktöriyel
* Bifaktöriyel
* Faktöriyel
* Tetrasyon
* Barnes G fonksiyonu

Dış bağlantılar
---------------

* Eric W. Weisstein, *Süperfaktöriyel* (MathWorld)
* "103 curiosità matematiche - Scrivere grandi, grandi numeri" (İtalyanca). 21 Temmuz 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Temmuz 2022.
* 

* ProofWiki'de Süperfaktöriyel