Menelaus teoremi, durum 1: DEF doğrsu ABC üçgeninin içinden geçer
İskenderiyeli Menelaus'a izafe edilen **Menelaus teoremi** düzlemsel geometride üçgenler üzerine bir teoremdir. {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ve {\displaystyle C} noktalarından oluşan {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde {\displaystyle BC}, {\displaystyle AC} ve {\displaystyle AB} doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşelerinden ayrık {\displaystyle D}, {\displaystyle E} ve {\displaystyle F} noktalarının aynı doğru üzerinde olabilmesi ancak ve ancak:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
denkleminin sağlanması ile mümkündür.

Bu denklemde, örneğin {\displaystyle AB}, eksi değer alabilen doğru parçalarını simgeler. Örnek olarak {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}} kesri sadece {\displaystyle DEF} doğrusu {\displaystyle AB} kenarını kestiğinde artı değer alabilecek şekilde tanımlanmalıdır, çünkü sadece bu durumda iki doğru parçası aynı yönde ölçülmektedir ve bu durum diğer kesirler için de geçerlidir. Matematikçiler arasında bu teoremin yanlış olduğu üzerine süregelen bir şaka vardır (bunun yerine Ceva teoreminin kullanılması gerektiği söylenir).

İspatı
------

Menelaus teoremi, durum 2: DEF doğrusu ABC üçgeninin tamamen dışındadır.
Aşağıda teoremin pek çok ispatından bir tanesi verilmiştir. 
Öncelikle, denklemin sol tarafının işareti kontrol edilebilir.
{\displaystyle DEF} çizgisi {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin kenarlarını çift sayıda kesmelidir - üçgenin içinden geçerse iki kere (üst resim), ya da üçgenin içinden geçmezse sıfır kere (alt resim) (Pasch aksiyomu)-.
Dolayısıyla daima tek sayıda eksi değer olacağından sonuç eksi olacaktır.

Daha sonra büyüklük kontrol edilebilir. DEF doğrusunu {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ve {\displaystyle C} köşelerine birleştiren dikmeler oluşturalım. {\displaystyle DEF}'yi taban kabul edelim ve {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ve {\displaystyle C} dikmelerinin yüksekliklerini a, b, ve {\displaystyle c} olarak tanımlayalım. Benzer üçgenler kullanılarak denklemin sol tarafı aşağıdaki gibi sadeleşir:

{\displaystyle \,\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.}
Son olarak teoremin denkleminin doğruluğu durumunda {\displaystyle D}, {\displaystyle E}, {\displaystyle F} noktalarının doğrusal olması gerektiği çelişki kullanılarak ispatlanabilir.
{\displaystyle AB} kenarı üzerinde {\displaystyle F}'den farklı bir {\displaystyle F'} noktası olduğunu varsayalım ve {\displaystyle AF}, {\displaystyle AF'} ve {\displaystyle AB} doğru parçalarının uzunluklarını {\displaystyle n}, {\displaystyle n'} ve {\displaystyle s} olarak tanımlayalım.
{\displaystyle F'} noktasının da denklemi doğruladığını varsayalım. Bu durumda aşağıdaki kesirler eşit değerde olacaktır:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}}
{\displaystyle {\frac {n}{s-n}}={\frac {n'}{s-n'}}}
Bu da {\displaystyle n=n'} eşitliğine sadeleşir. Bu da {\displaystyle AB} doğrusu üzerinde yalnızca tek bir noktanın denklemi doğrulayabildiğini kanıtlar ve bu nokta da {\displaystyle D} ve {\displaystyle E} ile aynı doğru üzerinde bulunmalıdır. Simetriden dolayı aynı durum {\displaystyle D} ve {\displaystyle E} noktaları için de geçerlidir.

Batlamyus *Almagest* adlı eserinde Menelaus teoremini küresel trigonometri kuramının temeli olarak kullanmıştır.

Ayrıca bakınız
--------------

* Ceva teoremi
* Kenarortay (geometri)

Dış bağlantılar
---------------

* "proof of Menelaus' theorem". 22 Aralık 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. , Menelaos teoreminin ispatı @PlanetMath
* "Menelaus From Ceva". 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. , Ceva'dan Menelaus'a @cut-the-knot.org
* "Ceva and Menelaus Meet on the Roads". 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. , Ceva ve Menelaus yolda karşılaşırlar @cut-the-knot.org
* "Menelaus and Ceva". MathPages. Erişim tarihi: 25 Ocak 2021.
* Warendorff, Jay. "Menelaus' Theorem". *The Wolfram Demonstrations Project*. 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. .

| * g
* t
* d
Yunan matematiği |
| --- |
| Matematikçiler (Zaman Çizelgesi) | 
* Anaksagoras
* Anthemius
* Apollonius
* Archytas
* Aristaeus
* Aristarkus
* Arşimet
* Autolycus
* Bion
* Boethius
* Bryson
* Callippus
* Carpus
* Cleomedes
* Conon
* Ctesibius
* Demokritos
* Dicaearchus
* Diocles
* Diophantus
* Dinostratus
* Dionysodorus
* Domninus
* Elealı Zenon
* Eratosthenes
* Eudemus
* Eudoxus
* Eutocius
* Geminus
* Heliodorus
* İskenderiyeli Heron
* Hrisippos
* Hipparkos
* Hippasus
* Hippias
* Hipokrat
* Hypatia
* Hypsicles
* İsidoros
* Matematikçi Leo
* Leon
* Marinus
* Melissa
* Menaechmus
* Menelaus
* Metrodorus
* Nicomachus
* Nicomedes
* Nicoteles
* Oenopides
* Öklid
* Pappus
* Perseus
* Filolaos
* Filon
* Philonides
* Porfirios
* Poseidonius
* Proklos
* Batlamyus
* Pisagor
* Serenus
* Simplikios
* Sosigenes
* Sporus
* Thales
* Theaetetus
* Theano
* Theodorus
* Theodosius
* İskenderiyeli Theon
* Smyrnalı Theon
* Thymaridas
* Xenocrates
* Sidonlu Zeno
* Zenodorus

 |
| Yapıtlar | 
* Almagest
* Arşimet Parşömeni
* Arithmetica
* Konikler (Apollonius)
* Katoptrik (Yansımalar)
* Data (Öklid)
* Elemanlar (Öklid)
* Bir Çemberin Ölçümü
* Konikler ve Sferoidler Üzerine
* Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarchus)
* Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparchus)
* Hareketli Küre Üzerine (Autolycus)
* Öklid'in Optiği
* Sarmallar Üzerine
* Küre ve Silindir Üzerine
* Ostomachion (Syntomachion)
* Planisphaerium
* Sphaerics
* Parabolün Dörtgenleştirilmesi
* Kum Sayacı
* Sonsuz Küçükler Hesabı

 |
| Merkezler | Platon Akademisi **·**  Cyrene **·**  İskenderiye Kütüphanesi |
| Etkilendikleri | Babil matematiği **·**  Eski Mısır matematiği |
| Etkiledikleri | Avrupa matematiği **·**  Hint matematiği **·**  Orta Çağ İslam matematiği |
| Problemler | Apollonius problemi **·**  Daireyi kareyle çevreleme **·**  Küpü iki katına çıkarma **·**  Açıyı üçe bölme |
| Kavramlar/Tanımlar | 
* Apollonius çemberi
* Diophantine denklemi
* Çevrel çember
* Eşölçülebilirlik
* Orantılılık ilkesi
* Altın oran
* Yunan rakamları
* Bir üçgenin iç ve dış çemberleri
* Tükenme yöntemi
* Paralellik postülatı
* Platonik katılar
* Hipokrat ayı
* Hippias kuadratiksi
* Düzgün çokgen
* Cetvel ve pergelle yapılan çizimler
* Üçgen merkezi

 |
| Bulgular | 
* Açıortay teoremi
* Dış açı teoremi
* Öklid algoritması
* Öklid teoremi
* Geometrik ortalama teoremi
* Yunan geometrik cebiri
* Menteşe teoremi
* Çevre açı teoremi
* Kesişme teoremi
* Pons asinorum
* Pisagor teoremi
* Thales teoremi
* Gnomon teoremi
* Apollonius teoremi
* Aristarkus eşitsizliği
* Crossbar (Pasch) teoremi
* Heron formülü
* İrrasyonel sayılar
* Menelaus teoremi
* Pappus'un alan teoremi
* Batlamyus eşitsizliği
* Batlamyus kirişler tablosu
* Batlamyus teoremi
* Theodorus sarmalı

 |
| Antik Yunan matematikçilerinin zaman çizelgesi |