Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen **Cauchy integral teoremi**, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Esasen, teoremin ifade ettiği şudur: İki ayrı yol aynı iki noktayı birbirine bağlıyorsa ve bir fonksiyon bu iki ayrı yolun arasındaki iç bölgede holomorfsa, o zaman fonksiyonun bu iki yol integrali birbirine eşittir.

Teorem, kapalı yollar için ise şu şekilde ifade edilir. *U*, **C** 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. *f* : *U* → **C** holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, *U* içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz=0}
eşitliği vardır.

Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, *U* içinde her yerde *f* 'nin karmaşık türevi olan *f* '(*z*) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

*U* 'nun basit bağlantılı olması koşulu *U* 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla tartışılacak olursa, *U* 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, {\displaystyle U=\{z:|z-z\_{0}|<r\}} açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

{\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}
düşünüldüğünde, 

{\displaystyle \oint \_{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int \_{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int \_{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}
yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, *f*(*z*) = 1/*z* fonksiyonu *z* = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve tabi holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: *U*, **C** 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. *f* : *U* → **C** holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası *a*, bitiş noktası *b* olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. *F*, *f* 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a)}
eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. *U* 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca *U* basit bağlantılı açık bir **C** altkümesi olsun. *f*, *U* üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve *U* 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz=0}
eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

### KANIT

**Cauchy integral teoremi** Vektör Analizi'nde ki **Green Teoremi** ile kanıtlanabilir. Sebebi **karmaşık değerli fonksiyon**ların vektörel fonksiyon gibi davranmasıdır. Kanıt için **Cauchy-Riemann denklemleri**ni kullanmamız gerekir.{\displaystyle \gamma } kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve {\displaystyle \mathbb {C} } kümesinin alt kümesi olsun. {\displaystyle f(z)} fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı fonksiyonun tümüne holomorf olsun.

{\displaystyle f(z)=u(x,y)+i.v(x,y)} ve fonksiyonun değişkeninin diferansiyeli {\displaystyle dz=dx+i.dy} dir.

Bu durumda

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z).dz}{\displaystyle =\oint \_{\gamma }(u+iv)(dx+idy)=\oint \_{\gamma }(u.dx-v.dy)+i.\oint \_{\gamma }(v.dx+u.dy)} olacaktır.

Green Teoremine dayanarak

{\displaystyle \oint \_{\gamma }(u.dx-v.dy)=\iint \limits \_{D}(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy}

{\displaystyle \oint \_{\gamma }(v.dx+u.dy)=\iint \limits \_{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}).dx.dy}

Cauchy-Riemann denklemleriyle teorem kanıtlanacaktır.

{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}} ve {\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}}

{\displaystyle \iint \limits \_{D}(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy=}{\displaystyle \iint \limits \_{D}({\partial u \over \partial y}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy=0}

{\displaystyle \iint \limits \_{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}).dx.dy=}{\displaystyle \iint \limits \_{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial u \over \partial x}).dx.dy} **= 0**

Ve sonunda

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z).dz=0}

Ayrıca bakınız
--------------

* Cauchy-Riemann denklemleri
* Cauchy integral formülü
* Morera teoremi
* Kontür integrali metotları
* Kalıntı (karmaşık analiz)

Dış bağlantılar
---------------

* 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'deki ilgili sayfa.
* Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 15 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.