{\displaystyle A\_{0},B\_{0},C\_{0}}'dan geçen doğru Droz-Farny doğrusudur.
Öklid geometrisinde, **Droz-Farny doğru teoremi**, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

{\displaystyle T}, köşeleri {\displaystyle A}, {\displaystyle B}, ve {\displaystyle C} olan bir üçgen ve {\displaystyle H}, yükseklik merkezi (üç yüksekliğin kesiştiği ortak nokta) olsun. {\displaystyle L\_{1}} ve {\displaystyle L\_{2}}, {\displaystyle H} üzerinden geçen birbirine dik herhangi iki doğru olsun. {\displaystyle A\_{1}}, {\displaystyle B\_{1}}, ve {\displaystyle C\_{1}} sırasıyla {\displaystyle L\_{1}}'in {\displaystyle BC}, {\displaystyle CA} ve {\displaystyle AB} kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Benzer şekilde, {\displaystyle A\_{2}}, {\displaystyle B\_{2}} ve {\displaystyle C\_{2}} de {\displaystyle L\_{2}}'nin bu kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Droz-Farny doğru teoremi, üç doğru parçası {\displaystyle A\_{1}A\_{2}},{\displaystyle B\_{1}B\_{2}} ve {\displaystyle C\_{1}C\_{2}}'nin orta noktalarının eşdoğrusal olduğunu ifade eder.

Teorem, Arnold Droz-Farny tarafından 1899'da dile getirilmiştir ancak bir kanıtı olup olmadığı net değildir.

Goormaghtigh'in genellemesi
---------------------------

Droz-Farny doğru teoreminin bir genellemesi 1930'da René Goormaghtigh tarafından kanıtlandı.

Yukarıdaki gibi {\displaystyle T}, köşeleri {\displaystyle A},{\displaystyle B}, ve {\displaystyle C} olan bir üçgen olsun. {\displaystyle P}, {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ve {\displaystyle C}'den farklı herhangi bir nokta olsun ve {\displaystyle L}, {\displaystyle P} üzerinden geçen herhangi bir doğru olsun. {\displaystyle A\_{1}}, {\displaystyle B\_{1}} ve {\displaystyle C\_{1}} sırasıyla {\displaystyle BC}, {\displaystyle CA}, ve {\displaystyle AB} kenar doğruları üzerindeki, {\displaystyle PA\_{1}}, {\displaystyle PB\_{1}} ve {\displaystyle PC\_{1}} {\displaystyle L} doğrusuna göre simetrik (yansıtma yoluyla) sırasıyla {\displaystyle PA}, {\displaystyle PB} ve {\displaystyle PC} doğrularının görüntüleri olacak şekilde noktalar olsun. Daha sonra Goormaghtigh teoremi {\displaystyle A\_{1}}, {\displaystyle B\_{1}} ve {\displaystyle C\_{1}} noktalarının eşdoğrusal olduğunu söyler.

Droz-Farny doğru teoremi, {\displaystyle P}, {\displaystyle T} üçgeninin yükseklik merkezi olduğunda bu sonucun özel bir durumudur.

Dao'nun genellemesi
-------------------

Teorem, Dao Thanh Oai tarafından daha da genelleştirildi. Genelleme aşağıdaki gibidir:

**İlk genelleme:** {\displaystyle ABC} bir üçgen olsun, *{\displaystyle P}* düzlemdeki bir nokta olsun, üç paralel doğru parçası {\displaystyle AA',BB',CC'} olsun, böylece orta noktalar ve *{\displaystyle P}* eşdoğrusal olsun. Daha sonra {\displaystyle PA',PB',PC'} sırasıyla üç eşdoğrusal noktada *{\displaystyle BC,CA,AB} ile kesişir.*

Dao'nun ikinci genellemesi
**İkinci genelleme:** Düzlemde bir konik {\displaystyle S} ve bir {\displaystyle P} noktası olsun. Konik ile sırasıyla {\displaystyle A,A'}; {\displaystyle B,B'}; {\displaystyle C,C'} noktasında kesişecek şekilde, {\displaystyle P}'den geçen üç {\displaystyle d\_{a},d\_{b},d\_{c}} doğrusu oluşturun. {\displaystyle D}, ({\displaystyle S})'ye göre {\displaystyle P} noktasının kutup doğrusu üzerinde bir nokta olsun veya {\displaystyle D} konik ({\displaystyle S}) üzerinde yer alır. {\displaystyle DA'\cap BC=A\_{0}}; {\displaystyle DB'\cap AC=B\_{0}}; {\displaystyle DC'\cap AB=C\_{0}} olsun. O zaman {\displaystyle A\_{0},B\_{0},C\_{0}} eşdoğrusaldır.

Kaynakça
--------

1. 1 2  A. Droz-Farny (1899), "Question 14111", The Educational Times, **71**, ss. 89-90
2. ↑  Ayme, Jean-Louis (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem", Forum Geometricorum, **14**, ss. 219-224, ISSN 1534-1178, 16 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi
3. ↑  Floor van Lamoen; Eric W. Weisstein, "Droz-Farny Theorem", *MathWorld*, 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi
4. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Droz-Farny doğru teoremi", *MacTutor Matematik Tarihi arşivi*
5. ↑  René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg"", Mathesis, cilt 44, s. 25
6. ↑  Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, cilt 3, ss. 125-129, ISSN 2284-5569, 6 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi
7. ↑  Nguyen Ngoc Giang, *A proof of Dao theorem*, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. ISSN 2284-5569
8. ↑  Smith, Geoff (2015). "*99.20 A projective Simson line*". *The Mathematical Gazette* (99): 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47. 6 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
9. ↑  Dao, O.T (29 Temmuz 2013). "Two Pascals merge into one". Cut-the-Knot. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.

Konuyla ilgili yayınlar
-----------------------

* Ayme, Jean-Louis (2004), A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem (PDF), **4**, Forum Geometricorum, ss. 219-224, 31 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020  veya *Alternatif Bağlantı* (PDF), 15 Şubat 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020
* Thas, Charles (2006), A Note on the Droz-Farny Theorem, **6**, Forum Geometricorum [electronic only]
* Struve, R; Struve, H. (2016), "*An axiomatic analysis of the Droz-Farny Line Theorem*", *Aequat. Math.*, *90*, ss. 1201-1218, doi:10.1007/s00010-016-0430-2

Dış bağlantılar
---------------

* "Droz-Farny Line Theorem" (Java Applet). cut-the-knot. 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
* "A generalization of Droz-Farny line theorem". geogebra. 28 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
* "Goormaghtigh's generalization of the Droz-Farny Line". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
* "Droz-Farny line on a sphere". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.