| ตรีโกณมิติ |
| --- |
|  |
| 
ฟังก์ชัน |
| * ฟังก์ชัน
* ฟังก์ชันผกผัน
 |
| 
อ้างอิง |
| * เอกลักษณ์
* ตาราง
* วงกลมหนึ่งหน่วย
 |
| 
กฎและทฤษฎี |
| * กฎของไซน์
* กฎของโคไซน์
* กฎของแทนเจนต์
* กฎของโคแทนเจนต์
* ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 |
| แคลคูลัส |
| * การแทนค่าตรีโกณมิติ
* ปริพันธ์ (ฟังก์ชันผกผัน)
* อนุพันธ์
 |
| * ด
* ค
* ก
 |

**ฟังก์ชันตรีโกณมิติ** (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้าย*นิยาม*ด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)


| **ฟังก์ชัน** | **ตัวย่อ** | **ความสัมพันธ์** |
| **ไซน์** (Sine) | sin | {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **โคไซน์** (Cosine) | cos | {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **แทนเจนต์** (Tangent) | tan(หรือ tg) | {\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **โคแทนเจนต์** (Cotangent) | cot(หรือ ctg หรือ ctn) | {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **ซีแคนต์** (Secant) | sec | {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **โคซีแคนต์** (Cosecant) | csc(หรือ cosec) | {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
---------------------------

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม *A* เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม *A*

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

* ด้าน*ตรงข้ามมุมฉาก*  (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ **h**
* ด้าน*ตรงข้าม* (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ **a**
* ด้าน*ประชิด* (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ **b**

จะได้

1). **ไซน์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

sin(*A*) = ข้าม/ฉาก = **a**/**h**
2). **โคไซน์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

cos(*A*) = ชิด/ฉาก = **b**/**h**
3). **แทนเจนต์** ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

tan(*A*) = ข้าม/ชิด = **a**/**b**
4). **โคซีแคนต์** csc(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

csc(*A*) = ฉาก/ข้าม = **h**/**a**
5). **ซีแคนต์** sec(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

sec(*A*) = ฉาก/ชิด = **h**/**b**
6). **โคแทนเจนต์** cot(*A*) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(*A*) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

cot(*A*) = ชิด/ข้าม = **b**/**a**

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย
------------------------

วงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน *x* ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด *x* และ *y* ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = *y*/1 และ cos θ = *x*/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน
สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:

{\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}
{\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}
เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

คาบที่เป็นบวกที่*เล็กที่สุด*ของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า *คาบปฐมฐาน*ของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน*ทั้งหมด* สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด *O*
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน*ทั้งหมด* สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด *O* (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ *AB* เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้

* sin(θ) คือ ความยาว *AC* (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
* cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน *OC*
* versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว *CD*
* tan(θ) คือ ความยาวของส่วน *AE* ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด *A* จึงเป็นที่มาของคำว่า*แทนเจนต์*นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
* cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว *AF*
* sec(θ) = *OE* และ
* csc(θ) = *OF* เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ *OA* ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด *A* ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
* exsec(θ) = *DE* = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)

ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

นิยามด้วยอนุกรม
---------------

ฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) มีค่าใกล้เคียงกับพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 7 ของมัน (สีเขียว) สำหรับวงกลมที่อยู่บนจุดกำเนิด
โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือค่าลบของไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง *x*:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น *นิยาม* ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์
ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

เอกลักษณ์
---------

*ดูบทความหลักที่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ*
{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
{\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
{\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
{\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}
{\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}
{\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}
{\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}

ดูเพิ่ม
-------

* ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
* ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
* เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ประวัติ
-------

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ใช้ในปัจจุบันพัฒนามาจากยุคกลาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติในยุคแรกๆ 

สามารถย้อนไปถึงคอร์ดฟังก์ชัน ที่ค้นพบโดย ฮิปปาร์คัส (180 - 125 ก่อนคริสตกาล) และ ปโตเลมี (ค.ศ. 90-165) 

หนังสือฉบับแรกที่มีการใช้ 'sin' 'cos' 'tan' ปรากฏในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อัลเบิรต์ จีลาด

ในฉบับที่พิมพ์ในปี ค.ศ. 1682 กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พิสูจน์ว่า sin x ไม่ใช่ ฟังก์ชันพีชคณิต ของ x

อ้างอิง
-------

1. ↑  Nicolás Bourbaki (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer