|  |
| --- |
| บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
| แคลคูลัส |
| * ทฤษฎีบทมูลฐาน

* ลิมิตของฟังก์ชัน
* ความต่อเนื่อง

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทของโรลล์

 |
| **แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์**

| 
นิยาม |
| --- |
| * อนุพันธ์ (ภาพรวม)

* ผลต่างอนุพัทธ์
	+ กณิกนันต์
	+ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน
	+ ผลต่างอนุพัทธ์รวม

 |
| 
แนวคิด |
| 
* สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
* อนุพันธ์อันดับสอง
* อนุพันธ์อันดับสาม
* การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
* การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
* อัตราสัมพัทธ์
* ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

 |
| กฎและเอกลักษณ์ |
| 
* กฎผลรวม
* กฎผลคูณ
* กฎลูกโซ่
* กฎเลขยกกำลัง
* กฎผลหาร
* กฎไลบ์นิซทั่วไป
* สูตรของฟาดีบรูโน

 |

 |
| **แคลคูลัสเชิงปริพันธ์**

|  |
| --- |
| * รายชื่อปริพันธ์
 |
| 
นิยาม |
| * ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ)
* ปริพันธ์รีมันน์
* ปริพันธ์เลอเบก
* ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
 |
| 
การหาปริพันธ์ |
| * ทีละส่วน
* จาน
* แบบเปลือกทรงกระบอก
* แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
* แยกเป็นเศษส่วนย่อย
* Order
* Reduction formulae
 |

 |
| **อนุกรม**

|  |
| --- |
| * อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต)
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* อนุกรมสลับ
* อนุกรมกำลัง
* อนุกรมทวินาม
* อนุกรมเทย์เลอร์
 |
| การทดสอบการลู่เข้า |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* Integral
* Direct comparison
* Limit comparison
* Alternating series
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| **แคลคูลัสเวกเตอร์**

|  |
| --- |
| * เกรเดียนต์
* ไดเวอร์เจนซ์
* เคิร์ล
* Laplacian
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
ทฤษฎีบท |
| * ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
* ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
* ทฤษฎีบทของกรีน
* ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
 |

 |
| **แคลคูลัสหลายตัวแปร**

| 
Formalisms |
| --- |
| * แคลคูลัสเมทริกซ์
* แคลคูลัสเทนเซอร์
* Exterior
* แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
 |
| 
นิยาม |
| * อนุพันธ์ย่อย
* ปริพันธ์หลายชั้น
* ปริพันธ์ตามเส้น
* ปริพันธ์เชิงพื้นผิว
* ปริพันธ์เชิงปริมาตร
* Jacobian
* Hessian matrix
 |

 |
| **พิเศษ**
* แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
* Malliavin
* สโทแคสติกแคลคูลัส
* แคลคูลัสของการแปรผัน

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

 ถ้า f เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด {\displaystyle (a,b)} และ {\displaystyle f(a)=f(b)} แล้วจะมีจำนวนจริง c ในช่วง {\displaystyle (a,b)} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ {\displaystyle f'(c)=0} 
ในแคลคูลัส **ทฤษฎีบทของโรลล์** หรือ **บทแทรกของโรล** กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่งอย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น หรืออีกนัยหนึ่งคือ จะต้องมีจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์ นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับแรก

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท
-----------------------

**ทฤษฎีบทของโรลล์** — ถ้า f เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} (โดยที่ {\displaystyle a<b}) และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด {\displaystyle (a,b)} และ {\displaystyle f(a)=f(b)} แล้วจะมีจำนวนจริง c ในช่วง {\displaystyle (a,b)} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ {\displaystyle f'(c)=0}

ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ อีกด้วย

ประวัติ
-------

แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย  ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846

ตัวอย่าง
--------

 ครึ่งวงกลมรัศมี {\displaystyle r}
### ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม

กำหนดรัศมี {\displaystyle r>0} พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

{\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r]}
กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด {\displaystyle [-r,r]} และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด {\displaystyle (-r,r)} แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย {\displaystyle -r} และ {\displaystyle r} ทั้งสอง

เนื่องจาก {\displaystyle f(-r)=f(r)} เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ f เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

### ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

{\displaystyle f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1]}
พบว่า {\displaystyle f(-1)=f(1)} แต่ไม่มีค่า c ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ {\displaystyle f'(c)=0} ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด {\displaystyle x=0} ไม่ได้ 

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ f เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด {\displaystyle x=0} แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน f ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า f มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว

กรณีทั่วไป
----------

 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:

**ทฤษฎีบทของโรลล์แบบทั่วไป** — พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง f บนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} ที่ซึ่ง {\displaystyle f(a)=f(b)} ถ้าหากสำหรับทุก {\displaystyle x} ในช่วงเปิด {\displaystyle (a,b)} พบว่า*อนุพันธ์ทางขวา*

{\displaystyle f'(x^{+}):=\lim \_{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
และ*อนุพันธ์ทางซ้าย*

{\displaystyle f'(x^{-}):=\lim \_{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
หาค่าได้บนเส้นจำนวนจริงขยาย {\displaystyle [-\infty ,\infty ]} แล้วจะมีจำนวนจริง c ในช่วงเปิด {\displaystyle (a,b)} ที่ทำให้ลิมิตค่าหนึ่งจากในสองค่า

{\displaystyle f'(c^{+})\quad {\text{และ}}\quad f'(c^{-})}
มีค่า ≥ 0 และอีกค่าที่เหลือ ≤ 0 (บนเส้นจำนวนจริงขยาย)

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก {\displaystyle x} แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

### ข้อสังเกต

* ถ้า f เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
* รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว

{\displaystyle f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\qquad x<y}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Besenyei, A. (September 17, 2012). "A brief history of the mean value theorem" (PDF).
2. ↑  See Cajori, Florian. *A History of Mathematics*. p. 224.
3. ↑  Artin, Emil (1964) [1931], *The Gamma Function*, แปลโดย Butler, Michael, Holt, Rinehart and Winston, pp. 3–4

ดูเพิ่ม
-------

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
* การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
* ทฤษฎีบทเกาส์-ลูกาส์

ลิงก์ภายนอก
-----------

* Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Rolle theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Rolle's and Mean Value Theorems ที่cut-the-knot.
* บทพิสูจน์ในระบบมิซาร์ proof: