**สัจพจน์ของความน่าจะเป็น** (อังกฤษ: the axioms of probability) ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย1 ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุกๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป **ฟังก์ชันความน่าจะเป็น** ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ *ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว*2 สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้งๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างง่าย
--------------------------------

กำหนดให้ {\displaystyle P(x)} เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ {\displaystyle \Omega } เราจะกล่าวว่า {\displaystyle P(x)} เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ {\displaystyle P(x)} มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. {\displaystyle P(A)\geq 0} สำหรับ {\displaystyle A} ที่เป็นสับเซตของ {\displaystyle \Omega }
2. {\displaystyle P(\Omega )=1}
3. {\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)} สำหรับ {\displaystyle A} และ B ที่เป็นสับเซตของ {\displaystyle \Omega } และ {\displaystyle A,B} ไม่มีสมาชิกร่วมที่เหมือนกันเลย

อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน {\displaystyle \Omega } ว่า **เหตุการณ์พื้นฐาน** และ สับเซตเช่น {\displaystyle A,B} ของ {\displaystyle \Omega } ว่า **เหตุการณ์** (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ {\displaystyle \Omega } จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์
-----------------------------------

นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง *ทฤษฎีความน่าจะเป็น* เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง **ความน่าจะเป็น** เป็น**ปริมาณ** (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น {\displaystyle \mathbb {P} } ของเหตุการณ์(event) {\displaystyle \mathbf {E} }, {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {E} )} ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ {\displaystyle \mathbb {P} } นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น {\displaystyle ({\boldsymbol {\Omega }},{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )} นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด {\displaystyle \mathbb {P} } เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) {\displaystyle {\mathfrak {F}}} ของทุกสับเซต ของ {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} โดยที่ {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}

*หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้*

### สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ

ถ้า {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม 

1. {\displaystyle {\mathfrak {F}}} เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}
2. สำหรับทุกๆ {\displaystyle \mathbf {A} } ใน {\displaystyle {\mathfrak {F}}} ค่าความน่าจะเป็น {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} )}จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน {\displaystyle {\mathfrak {F}}}
3. {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}
4. ถ้า {\displaystyle \mathbf {A} } และ {\displaystyle \mathbf {B} } เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน (disjoint events) แล้ว {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )=\mathbb {P} (\mathbf {A} )+\mathbb {P} (\mathbf {B} )}
5. *(สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field))*  ถ้า {\displaystyle \mathbf {A\_{1},A\_{2},} \ldots \mathbf {,A\_{n},} \ldots } เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน {\displaystyle {\mathfrak {F}}} โดยที่ {\displaystyle \mathbf {A\_{1}} \supset \mathbf {A\_{2}} \supset \ldots \supset \mathbf {A\_{n}} \supset \ldots } แล้ว
	* {\displaystyle \bigcap \_{n}\mathbf {A\_{n}} =\varnothing }
	* ซึ่งก็คือ {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\mathbb {P} (\mathbf {A\_{n}} )=0}

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 
{\displaystyle P(\bigcup \_{n=1}^{\infty }\mathbf {A\_{n}} )=\sum \_{n=1}^{\infty }P(A\_{n})}

### คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามี**เหตุการณ์** {\displaystyle \mathbf {A} } ใดๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า {\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (\mathbf {A} )\leq 1} และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ **ปริภูมิของเหตุการณ์** (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่นๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4,5,6\}}

* เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ {\displaystyle \{1,3,5\}=\{1\}\cup \{3\}\cup \{5\}}
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ {\displaystyle \{1,2,3\}=\{1\}\cup \{2\}\cup \{3\}}
* เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ {\displaystyle \{1,2,3\}^{c}=\{4,5,6\}}
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ {\displaystyle \{1,3,5\}\cap \{1,2,3\}=\{1,3\}}
* เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ {\displaystyle \{1,3,5\}\cup \{1,2,3\}=\{1,2,3,5\}}

เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

**ตัวอย่าง** พิจารณา {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4\}} หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ {\displaystyle \mathbf {A} =\{1,2,3\}} และ {\displaystyle \mathbf {B} =\{3,4\}} ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ

{\displaystyle \emptyset \quad \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\{3\}\quad \mathbf {A} ^{c}\cap \mathbf {B} =\{4\}\quad \mathbf {B} ^{c}=\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ^{c}=\{1,2\}\quad \mathbf {B} =\{3,4\}\quad \mathbf {A} =\{1,2,3\}\quad {\boldsymbol {\Omega }}}
สังเกตว่า เหตุการณ์ {\displaystyle \{1\}} และ {\displaystyle \{2\}} นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

ดูบทความหลักที่: ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

หมายเหตุ
--------

1 แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์ แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลัสก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่าง**เคร่งครัด** คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซก นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นั่นเอง

2 อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า *ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป* สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน *ในทางปฏิบัติ* ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity)  ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก *ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล* ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย

อ้างอิง
-------

1. Kolmogorov, A. N. (Andrei Nikolaevich) , *Foundations of the theory of probability; translation edited by Nathan Morrison*, New York, Chelsea Pub. Co. 1950.
2. de Finetti, B. *Probability, induction and statistics: The art of guessing*, John Wiley & Sons Ltd. 1972.
3. Jaynes, E.T. (2003) *Probability Theory : The Logic of Science*.