*เมเชอร์* เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต
ในคณิตศาสตร์ **เมเชอร์** (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก 

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์
----------------------------

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น
### คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ *เมเชอร์* จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

### นิยามอย่างเป็นทางการ

ให้ {\displaystyle X} เป็นเซต และ {\displaystyle \Sigma } เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต {\displaystyle X} นั้น จะเรียกฟังก์ชัน \mu  ที่ส่งค่าจาก {\displaystyle \Sigma } ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย {\displaystyle [0,\infty ]} ว่าเป็น **เมเชอร์** (measure) ก็ต่อเมื่อ *μ* มีสมบัติต่อไปนี้

1. **ความไม่เป็นลบ**: ทุกค่า *E* ใน Σ จะต้องได้ว่า {\displaystyle \mu (E)\geq 0}
2. **เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์***:* {\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
3. **\mu**  มี**สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity)** หรืออาจเรียกว่ามี**สภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity)**: ถ้ากำหนดให้ {\displaystyle \left\{E\_{k}\right\}\_{k=1}^{\infty }} เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน {\displaystyle \Sigma } แล้ว 

μ

(

⋃

i
=
1

∞

E

i

)

=

∑

i
=
1

∞

μ
(

E

i

)

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{\infty }\mu (E\_{i})}

{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า **ปริภูมิเมเชอร์** (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน {\displaystyle \Sigma } จะถูกเรียกว่า**เซตที่หาเมเชอร์ได้** (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ {\displaystyle (X,\Sigma )} เท่านั้น

### ปริภูมิความน่าจะเป็น

ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ {\textstyle \mu (X)=1} ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก {\displaystyle X} มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ \mu  แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

### ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้

ให้ {\displaystyle (X,\Sigma \_{X})} และ {\displaystyle (Y,\Sigma \_{Y})} เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน {\displaystyle f\colon X\to Y} ว่าเป็น**ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้** (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน {\displaystyle Y} เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน {\displaystyle X} ด้วย หรือก็คือ {\displaystyle f^{-1}(A)\in \Sigma \_{X}} สำหรับทุกเซต {\displaystyle A\in \Sigma \_{Y}}

สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม
---------------------------

ให้ \mu  เป็นเมเชอร์

### ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว

*\mu*  มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ {\displaystyle E\_{1}} และ {\displaystyle E\_{2}} เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ {\displaystyle E\_{1}\subseteq E\_{2}} แล้วจะได้ว่า {\displaystyle \mu (E\_{1})\leq \mu (E\_{2})}

### เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ {\displaystyle E\_{1},E\_{2},E\_{3},...} เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน {\displaystyle \Sigma } จะได้ว่า

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu (E\_{i})}
นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ {\displaystyle E\_{1},E\_{2},E\_{3},...} เป็นเซตใน Σ และ {\displaystyle E\_{n}\subseteq E\_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }, แล้วจะได้ว่า {\textstyle \bigcup \_{n=1}^{\infty }E\_{n}} อยู่ใน {\displaystyle \Sigma } ด้วย และ 

{\displaystyle \mu \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\right)=\lim \_{i\to \infty }\mu (E\_{i})}
### เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ {\displaystyle E\_{1},E\_{2},E\_{3},...} เป็นเซตใน {\displaystyle \Sigma } และ {\displaystyle E\_{n+1}\subseteq E\_{n},\forall n\in \mathbb {N} }, แล้วจะได้ว่า {\textstyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }E\_{n}} อยู่ใน {\displaystyle \Sigma } ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก {\displaystyle E\_{n}} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด ({\displaystyle \mu (E\_{n})<\infty }) เราจะได้ว่า

{\displaystyle \mu \left(\bigcap \_{i=1}^{\infty }E\_{i}\right)=\lim \_{i\to \infty }\mu (E\_{i})}
คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก {\displaystyle E\_{n}} ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ {\displaystyle E\_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} } สำหรับแต่ละ {\displaystyle n\in \mathbb {N} } แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ {\displaystyle E\_{n}} มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์
------------------

* เมเชอร์การนับ นิยามให้ {\displaystyle \mu (S)} เท่ากับจำนวนสมาชิกใน {\displaystyle S}
* เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
* เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต *X* (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง
* โบเรลเมเชอร์
* จอร์แดนเมเชอร์

สมบัติเพิ่มเติม
---------------

### เมเชอร์ซิกมาจำกัด

ปริภูมิเมเชอร์ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} จะเป็น**ปริภูมิเมเชอร์จำกัด** (finite measure) ก็ต่อเมื่อ {\displaystyle \mu (X)} เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า {\displaystyle \mu } เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น {\textstyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu }

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} จะเป็น**ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด** (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง {\displaystyle X} ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก {\displaystyle \mu } ว่าเป็น *เมเชอร์ซิกมาจำกัด* (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง {\displaystyle \mathbb {R} } ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง {\displaystyle \mathbb {R} } ออกเป็นช่วงย่อย {\displaystyle [k,k+1)} ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม {\displaystyle k} ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต {\displaystyle \mathbb {R} } ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม {\displaystyle \mathbb {R} }

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

### เมเชอร์บริบูรณ์

ดูบทความหลักที่: เมเชอร์บริบูรณ์
ในปริภูมิเมเชอร์ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} เซต {\displaystyle N\subseteq X} จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ {\displaystyle \mu (N)=0} สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต {\displaystyle M\subseteq N} ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว {\displaystyle \mu (M)=0} โดยอัตโนมัติ จะเรียก {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} ว่าเป็น**เมเชอร์บริบูรณ์** (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์ {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ

เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
------------------

ดูบทความหลักที่: เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี

ดูเพิ่ม
-------

* เมเชอร์ภายนอก
* ปริพันธ์ของเลอเบ็ก
* เมเชอร์ของเลอเบ็ก
* เมเชอร์ผลคูณ

อ้างอิง
-------

* P. Halmos, *Measure theory*, D. van Nostrand and Co. 1950
* Kopp and Capinski, *Measure, Integration and Probability*, 2nd Edition, Springer, 2000.
* D. H. Fremlin, *Measure Theory*, Torres Fremlin, 2000. Available online at  เก็บถาวร 2007-02-06 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* F. Jones, *Lebesgue Integration in Euclidean Spaces*, Jones and Barlett Publisher, 1999.

| * ด
* ค
* ก
สาขาของวิชาคณิตศาสตร์ |
| --- |
| 
* ประวัติ
	+ เส้นเวลา
* โครงร่าง
* หัวข้อ
* อภิธานศัพท์

 |
| รากฐาน | 
* ทฤษฎีเซต
* คณิตตรรกศาสตร์
	+ ทฤษฎีการพิสูจน์
	+ ทฤษฎีโมเดล
	+ ทฤษฎีการเวียนเกิด
* ทฤษฎีแคทิกอรี
* ทฤษฎีไทป์
* ปรัชญาของคณิตศาสตร์

 |
| พีชคณิต | 
* พีชคณิตพื้นฐาน
* พีชคณิตเชิงเส้น
	+ พีชคณิตเชิงหลายเส้น
* พีชคณิตนามธรรม
	+ ทฤษฎีกรุป
	+ ทฤษฎีกาลัว
	+ พีชคณิตสลับที่
* พีชคณิตสากล
* พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี

 |
| คณิตวิเคราะห์ | 
* แคลคูลัส
* การวิเคราะห์เชิงจริง
* การวิเคราะห์เชิงซ้อน
* การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
* การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
* ทฤษฎีเมเชอร์‎
* สมการเชิงอนุพันธ์

 |
| วิยุตคณิต | 
* คณิตศาสตร์เชิงการจัด
* ทฤษฎีกราฟ
* ทฤษฎีเกม
* ทฤษฎีอันดับ

 |
| เรขาคณิต | 
* เรขาคณิตจำกัด
* เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
* เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
* เรขาคณิตแบบยุคลิด
* เรขาคณิตวิเคราะห์
* เรขาคณิตวิยุต

 |
| ทฤษฎีจำนวน | 
* เลขคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
* เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

 |
| ทอพอโลยี | 
* ทอพอโลยีทั่วไป
* ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
* ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต
	+ ทฤษฎีเงื่อน
* ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์
* ทฤษฎีโฮโมโทปี

 |
| ประยุกต์ | 
* ความน่าจะเป็น
* สถิติศาสตร์
* คณิตศาสตร์การเงิน
* คณิตศาสตร์เคมี
* คณิตศาสตร์จิตวิทยา
* คณิตศาสตร์ชีววิทยา
* คณิตศาสตร์ฟิสิกส์
* คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์
* ทฤษฎีระบบควบคุม

 |
| คณนา | 
* การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
* การหาค่าเหมาะที่สุด
* ทฤษฎีการคำนวณ
* พีชคณิตของคอมพิวเตอร์
* วิทยาการคอมพิวเตอร์

 |
| อื่น ๆ | 
* ประวัติของคณิตศาสตร์
* คณิตศาสตร์นันทนาการ
* คณิตศาสตร์และศิลปะ
* การสอนคณิตศาสตร์

 |
| 
* หมวดหมู่ **หมวดหมู่**
* สถานีย่อย **สถานีย่อย**

 |