ภาพตัวอย่างสัจพจน์การเลือก โดย *S**i* และ *x**i* แสดงแทนด้วยโถและลูกแก้วสีต่าง ๆ ตามลำดับ
ในคณิตศาสตร์ **สัจพจน์การเลือก** หรือ **สัจพจน์ของการเลือก** (อังกฤษ: axiom of choice) หรือเรียกโดยย่อว่า **AC** เป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่กล่าวว่า *ผลคูณคาร์ทีเซียนของคอลเลกชั่นของเซตไม่ว่างเป็นเซตไม่ว่าง* กล่าวโดยให้เห็นภาพว่า หากมีถุงใส่ของจำนวนหนึ่ง ที่ถุงแต่ละใบมีของอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะสามารถเลือกหยิบของออกมาหนึ่งชิ้นจากถุงแต่ละใบได้ แม้ว่าจะมีถุงเป็นอนันต์ก็ตาม ในเชิงตรรกศาสตร์ สัจพจน์การเลือกกล่าวว่า สำหรับทุกวงศ์ของเซตไม่ว่าง {\displaystyle (S\_{i})\_{i\in I}} จะมีวงศ์ของสมาชิก {\displaystyle (x\_{i})\_{i\in I}} ที่มีคุณสมบัติว่า {\displaystyle x\_{i}\in S\_{i}} สำหรับทุก {\displaystyle i\in I} เอิร์นส์ แซร์เมโลเป็นผู้เสนอสัจพจน์การเลือกเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี

เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมี*ถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่* (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น สัจพจน์ของการกำหนด

ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

ข้อความ
-------

ฟังก์ชันการเลือก (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน f ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน {\displaystyle X} ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต {\displaystyle A} ใน {\displaystyle X} จะได้ว่า {\displaystyle f(A)} เป็นสมาชิกของ {\displaystyle A} จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น

**สัจพจน์** — ทุกเซต {\displaystyle X} ของเซตไม่ว่าง จะมีฟังก์ชันการเลือก f นิยามบน {\displaystyle X} และส่งเซตใน {\displaystyle X} ไปยังสมาชิกหนึ่งตัวของมัน

ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้

{\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]}
ดังนั้นนิเสธของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

ความเป็นอิสระ
-------------

ในปี ค.ศ. 1938 ควร์ท เกอเดิลพิสูจน์ว่า*นิเสธ*ของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้างโมเดลภายใน (inner model) เรียกว่าเอกภพที่สร้างได้ (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า forcing พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZF¬C ต้องกัน ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็นอิสระเชิงตรรกะจาก ZF

ข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์การเลือก
---------------------------------

ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF 

* ทฤษฎีบทการจัดอันดับดี
* บทตั้งของซอร์น
* ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

ดูเพิ่ม
-------

* สัจพจน์ของการกำหนด

อ้างอิง
-------

1. ↑  Zermelo 1904 harvnb error: no target: CITEREFZermelo\_1904 (help)
2. ↑  Jech 1977, p. 351
3. ↑  Jech, 1977, p. 348*ff*; Martin-Löf 2008, p. 210. According to Mendelson 1964
4. ↑  Godel, K. (1938-12-01). "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis". *Proceedings of the National Academy of Sciences* (ภาษาอังกฤษ). **24** (12): 556–557. doi:10.1073/pnas.24.12.556. ISSN 0027-8424. PMC 1077160. PMID 16577857.`{{cite journal}}`: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)
5. ↑  เป็น Theorem 1 ใน Cohen, P. J. (1963-12-01). "THE INDEPENDENCE OF THE CONTINUUM HYPOTHESIS". *Proceedings of the National Academy of Sciences* (ภาษาอังกฤษ). **50** (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. ISSN 0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557.`{{cite journal}}`: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)

บรรณานุกรม
----------

* Jech, Thomas (1977), Barwise, John (บ.ก.), "About the Axiom of Choice", *Handbook of Mathematical Logic*, North-Holland Pub. Co
* Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in *Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?*, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). ISBN 1-4020-8925-2
* Mendelson, Elliott (1964). *Introduction to Mathematical Logic*. New York: Van Nostrand Reinhold.
* Zermelo, E. (December 1904). "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann: Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe". *Mathematische Annalen* (ภาษาเยอรมัน). **59** (4): 514–516. doi:10.1007/BF01445300. ISSN 0025-5831.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Axiom of Choice ใน Encyclopedia of Mathematics ของ Springer
* Axiom of Choice and Its Equivalents ที่ ProvenMath ซึ่งรวมเอาข้อความเชิงรูปนัยของสัจพจน์การเลือก, หลักการมากสุดของเฮาส์ดอร์ฟฟ์, บทตั้งของซอร์นและบทพิสูจน์ความสมมูลระหว่างข้อความดังกล่าว
* Consequences of the Axiom of Choice เก็บถาวร 2021-05-15 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, based on the book by Paul Howard เก็บถาวร 2021-02-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน and Jean Rubin.
* The Axiom of Choice entry byJohn Lane Bell in the *Stanford Encyclopedia of Philosophy*.