| กลศาสตร์ดั้งเดิม |
| --- |
| {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}กฎข้อที่สองของนิวตัน |
| 
* ประวัติศาสตร์
* เส้นเวลา

 |
| สาขา
* จลนศาสตร์
* ท้องฟ้า
* ประยุกต์
* พลศาสตร์
* ภาวะต่อเนื่อง
* สถิตยศาสตร์

 |
| แนวคิดมูลฐาน
* ความเร่ง
* โมเมนตัมเชิงมุม
* แรงคู่ควบ
* หลักการดาล็องแบร์
* พลังงาน
	+ จลน์
	+ ศักย์
* แรง
* กรอบอ้างอิง
* กรอบอ้างอิงเฉื่อย
* การดล
* ความเฉื่อย / โมเมนต์ความเฉื่อย
* มวล
* กำลัง
* งาน
* โมเมนต์
* โมเมนตัม
* ปริภูมิ
* อัตราเร็ว
* เวลา
* ทอร์ก
* ความเร็ว
* งานเสมือน

 |
| การกำหนดกฎ
* **กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน**
* **Analytical mechanics**กลศาสตร์แบบลากร็องฌ์กลศาสตร์แฮมิลตันRouthian mechanicsHamilton–Jacobi equationAppell's equation of motionUdwadia–Kalaba equation
 |
| หัวข้อที่สำคัญ
* Damping (ratio)
* การกระจัด
* Equations of motion
* Euler's laws of motion
* แรงเทียม
* แรงเสียดทาน
* Harmonic oscillator

* กรอบอ้างอิงเฉื่อย / Non-inertial reference frame
* Mechanics of planar particle motion

* การเคลื่อนที่ (linear)
* กฎความโน้มถ่วงสากล
* กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
* ความเร็วสัมพัทธ์
* วัตถุแข็งเกร็ง
	+ dynamics
	+ Euler's equations
* การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
* การสั่น
 |
| การเคลื่อนที่แบบหมุน
* การเคลื่อนที่แบบวงกลม
* Rotating reference frame
* แรงสู่ศูนย์กลาง
* แรงหนีศูนย์กลาง
	+ reactive
* แรงกอรียอลิส
* ลูกตุ้ม
* Tangential speed
* ความถี่การหมุน

* ความเร่งเชิงมุม / การกระจัดเชิงมุม / ความถี่เชิงมุม / ความเร็วเชิงมุม
 |
| นักวิทยาศาสตร์
* กาลิเลโอ
* นิวตัน
* เค็พเพลอร์
* ฮอร์รอกส์
* ฮัลเลย์
* อ็อยเลอร์
* ดาล็องแบร์
* แกลโร
* ลากร็องฌ์
* ลาปลัส
* แฮมิลตัน
* ปัวซง
* ดานีเอล แบร์นุลลี
* โยฮัน แบร์นุลลี
* โกชี

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ในวิชากลศาสตร์และฟิสิกส์ **การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย** (อังกฤษ: simple harmonic motion : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ตลอดจนการสั่นของโมเลกุล การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตามกฎของฮุกเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มีความถี่พ้องเดียว ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
---------------------------------------------------------------

1. แอมพลิจูด (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
2. คาบ (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
3. ความถี่ (Frequency) คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
4. การกระจัด (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
5. ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที หรือ rad/s

พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
---------------------------------------------

ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและกฎของฮุกสำหรับมวลติดสปริง

{\displaystyle F\_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}

เมื่อ *m* คือมวลของวัตถุที่มีการสั่น *x* คือการกระจัดจากตำแหน่งสมดุล และ *k* คือค่าคงตัวหรือค่านิจของสปริง (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}

ผลเฉลยของสมการอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ (sinusoidal function)

{\displaystyle x(t)=c\_{1}\cos \left(\omega t\right)+c\_{2}\sin \left(\omega t\right)}

สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

{\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}

เมื่อ

{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c\_{1}}^{2}+{c\_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c\_{2}}{c\_{1}}}}

จากผลเฉลยข้างต้น *c*1 และ *c*2 คือค่าคงตัวซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น และกำหนดให้จุดกำเนิดอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล *A* คือแอมพลิจูด *ω* = 2π*f* คือ ความถี่เชิงมุม และ *φ* คือเฟสเริ่มต้น

ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}

ความเร็ว:

{\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}

ความเร็วสูงสุด: *v=ωA* (ที่จุดสมดุล)

{\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}

ความเร่งสูงสุด: *Aω*2 (ที่จุดปลาย)

จากนิยามความเร่งและการกระจัด ถ้ามวล *m* เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร่งของมวลนั้นจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัด

{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x}

เมื่อ

{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}

เนื่องจาก *ω* = 2π*f*

{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}

และเนื่องจาก *T* = 1/*f* เมื่อ *T* คือคาบ จะได้ว่า

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

พลังงาน
-------

แทนค่า *ω*2 ด้วย *k/m* พลังงานจลน์ *K* ของระบบที่เวลา *t* มีค่าเท่ากับ

{\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}

และพลังงานศักย์ของระบบมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}

เมื่อไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของพลังงานกล (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

{\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}}

ตัวอย่าง
--------

ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

### มวลติดสปริง

มวล *m* ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง *k* อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในปริภูมิปิด

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}

สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่าคาบของการแกว่ง *T* ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมีแรงคงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

อ้างอิง
-------

* Walker, Jearl (2011). *Principles of Physics* (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN 0-470-56158-0.
* Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). *Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.)*. Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
* John R Taylor (2005). *Classical Mechanics*. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
* Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). *Analytical Mechanics (7th ed.)*. Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.