**สมการซิลเวสเตอร์** (อังกฤษ: Sylvester equation) มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

{\displaystyle AX+XB=C,}
โดยที่ {\displaystyle A,B,X,C} คือ {\displaystyle n\times n} เมทริกซ์ {\displaystyle A,B,C} เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ {\displaystyle X} คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ
-------------------------------------------------

โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator ({\displaystyle \operatorname {vec} }) เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

{\displaystyle (I\_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I\_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}
โดยที่ {\displaystyle I\_{n}} คือ {\displaystyle n\times n} เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด {\displaystyle n^{2}\times n^{2}}   

หมายเหตุ: อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า {\displaystyle A=ULU^{-1}} และ {\displaystyle B^{T}=VMV^{-1}} อยู่ในรูปแบบบัญญัติจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ {\displaystyle A} และ {\displaystyle B^{T}} แล้ว และ {\displaystyle \lambda \_{i}} และ {\displaystyle \mu \_{j}} คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ {\displaystyle A} และ {\displaystyle B^{T}} ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

{\displaystyle I\_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I\_{n}=(V\otimes U)(I\_{n}\otimes L+M\otimes I\_{n})(V\otimes U)^{-1}.}
เนื่องจาก {\displaystyle (I\_{n}\otimes L+M\otimes I\_{n})} คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น {\displaystyle \lambda \_{i}+\mu \_{j}} เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี {\displaystyle i} และ {\displaystyle j} ที่ทำให้ {\displaystyle \lambda \_{i}=-\mu \_{j}}.

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ {\displaystyle A}และ {\displaystyle -B} ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข
------------

ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน {\displaystyle A} และ B ให้อยู่ในรูปของแบบของชูร์ (Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า O {\displaystyle (n^{3})}

ดูเพิ่ม
-------

* สมการเลียปูนอฟ
* สมการริกกาตีเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)

อ้างอิง
-------

* J. Sylvester, Sur l’equations en matrices {\displaystyle px=xq}, *C.R. Acad. Sci. Paris*, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.

* R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation {\displaystyle AX+XB=C}, *Comm. ACM*, 15 (1972), pp. 820 – 826.

* R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation {\displaystyle AX-XB=Y} ?, *Bull. London Math. Soc.*, 29 (1997), pp. 1 – 21.

* S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, *Linear Algebra and its Applications*, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Online solver for arbitrary sized matrices.[*ลิงก์เสีย*]