ผลเฉลยของสมการเค็พเพลอร์สำหรับวงโคจรที่มีค่าความเยื้องศูนย์กลาง {\displaystyle e} ต่างกันไปตั้งแต่ 0 จนถึง 1
**สมการเค็พเพลอร์** (เยอรมัน: *Kepler-Gleichung*) เป็นสมการอดิศัยในทางกลศาสตร์วงโคจร ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง *{\displaystyle E}*, มุมกวาดเฉลี่ย *{\displaystyle M}* และ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร *{\displaystyle e}* ในปัญหาเค็พเพลอร์ที่ใช้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

{\displaystyle M=E-e\sin E}

เมื่อแทนค่าความเยื้องศูนย์กลาง {\displaystyle e} ที่กำหนดโดยวงโคจรในสมการนี้ ตำแหน่งของดาวเคราะห์ในวงโคจรสามารถระบุได้โดยการหาค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง *{\displaystyle E}* ในรูปของฟังก์ชันของค่ามุมกวาดเฉลี่ย *{\displaystyle M}*

ประวัติศาสตร์
-------------

จุด M คือตำแหน่งของดาวเคราะห์ จุด N คือตำแหน่งดวงอาทิตย์ (อยู่ที่จุดโฟกัสของวงโคจรวงรีของดาวเคราะห์) จุด A คือจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา (ละติน: *Astronomia nova*, *ดาราศาสตร์ใหม่*) ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)

{\displaystyle t\propto } สามเหลี่ยม  *KHN +*  เซกเตอร์  *KHA*  {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(E-e\sin E)}
โดยที่ *{\displaystyle t}* คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้, {\displaystyle e} คือความเยื้องศูนย์กลาง และ *{\displaystyle E}* คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร *T* เขียนเป็น

{\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {E-e\sin E}{2\pi }}}
หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย {\displaystyle n=2\pi /T} แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย {\displaystyle M=nt} เขียนสมการใหม่ได้ในรูป

{\displaystyle M=E-e\sin E}
ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า **สมการเค็พเพลอร์**

ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร {\displaystyle e} และ {\displaystyle l} ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี {\displaystyle r=l/(1+e\cos \theta )}) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า *{\displaystyle M}* และ {\displaystyle e} เราต้องแก้หาว่า {\displaystyle E} สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ *{\displaystyle M}* และ {\displaystyle e} ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย

การแก้
------

วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น

{\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots }
โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ e มีขนาดเล็ก

ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่ e ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า

{\displaystyle E=M+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J\_{n}(ne)\sin nM}
โดยในที่นี้ {\displaystyle J\_{n}} คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่ {\displaystyle n}

{\displaystyle J\_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int \_{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )d\theta }

อ้างอิง
-------

1. ↑  天文学辞典 » ケプラー方程式
2. 1 2 3  木下宙 (1998). *天体と軌道の力学*. 東京大学出版会. ISBN 978-4-13-060721-6.
3. ↑  数学セミナー増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社、ISBN 4-535-70409-0、p.134.
4. 1 2 3 4 5  「数学・物理100の方程式」p.135.
5. ↑  「岩波数学公式Ⅱ」新装版、岩波書店、1987年、ISBN 4-00-005508-9、p.129.