**ปัญหาวิถียาวสุด** (อังกฤษ: Longest path problem) เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ในเรื่องทฤษฎีกราฟ ซึ่งมีไว้สำหรับค้นหาวิถีเชิงเดียว (Simple path) ที่มีระยะทางมากที่สุดนับจากปมเริ่มต้นไปยังปมปลายทางบนกราฟถ่วงน้ำหนัก (Weighted graph) ลักษณะของปัญหาวิถียาวสุดจะคล้ายคลึงกันกับปัญหาวิถีสั้นสุด (Shortest path problem) ซึ่งเป็นการหาวิถีเชิงเดียวบนกราฟที่มีระยะทางสั้นที่สุดแทน เราสามารถหาวิถีสั้นสุดบนกราฟใดๆได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial time) นั่นหมายถึงปัญหาวิถีสั้นสุดที่ลักษณะของปัญหาเป็นแบบปัญหาการตัดสินใจนั้นจัดอยู่ในกลุ่มความซับซ้อนแบบพี แต่ในทางกลับกัน ปัญหาวิถียาวสุดนั้นกลับยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่ทำงานได้อย่างถูกต้องในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนาม กล่าวคือเป็นปัญหาที่อยู่ในกลุ่มเอ็นพี และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าปัญหาวิถียาวสุดนั้นเกิดจากการลดรูปมาจากปัญหาวิถีฮัลมินตัน (Hamiltonian path problem) ซึ่งอยู่ในกลุ่มเอ็นพีบริบูรณ์ ทำให้ปัญหานี้อยู่ในกลุ่มเอ็นพีบริบูรณ์เช่นเดียวกัน

รายละเอียด
----------

วิถีเชิงเดียวจากปม A ไปยังปม B ของกราฟใดๆหมายถึง เซตของวิถีทุกรูปแบบที่เริ่มต้นจากจุด A และไปสิ้นสุดยังจุด B โดยไม่มีการผ่านปมซ้ำ ในกรณีที่กราฟนั้นเป็นกราฟถ่วงน้ำหนัก กล่าวคือมีตัวเลขกำกับประจำทุกๆเส้นเชื่อมก็จะได้ว่า วิถีเชิงเดียวยาวสุดจากปม A ไปยังปม B ก็คือเซตของวิถีทุกรูปแบบที่มีน้ำหนักรวมของเส้นเชื่อมทุกเส้นบนวิถีมากที่สุด ดังนั้น ปัญหาวิถียาวสุดจึงเป็นปัญหาประเภท Optimization Problem คือแก้ปัญหาโดยการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้นั่นเอง
อย่างไรก็ตามปัญหาวิถียาวสุดสามารถปรับให้เปนปัญหาการตัดสินใจได้โดยการกำหนดตัวเลข k ขึ้นมาตัวหนึ่งแล้วถามปัญหาว่า ในกราฟนี้มีวิถียาวสุดที่ยาวไม่น้อยกว่า k หรือไม่ จากการพิสูจน์ว่าปัญหาวิถียาวสุดเป็นปัญหาในกลุ่มเอ็นพีบริบูรณ์ดังนั้นจึงหมายความว่าปัญหานี้สามารถหาคำตอบโดยใช้ฟังก์ชันเชิงไม่กำหนด (Non-deterministic function) หรือสามารถตรวจคำตอบใช่ได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามนั่นเอง โดยการตรวจคำตอบใช่นั้นทำได้โดยการส่งหลักฐาน (Certificate) C เข้าไปในฟังก์ชันโดย C เป็นวิถีหนึ่งในกราฟซึ่งมีวิถียาวสุดยาวกว่าหรือเท่ากับ k ก็จะทำให้ฟังก์ชันตรวจคำตอบทำงานได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนาม

ขั้นตอนวิธี
-----------

* **ข้อมูลนำเข้า**  กราฟ G, ปมเริ่มต้น a "เป็นสมาชิกของ" G.V, ปมปลายทาง b "เป็นสมาชิกของ" G.V
* **ข้อมูลส่งออก**  ระยะทางของวิถีที่ยาวที่สุดจากปม a ไปยังปม b บนกราฟ G
* สำหรับกราฟที่สามาถนำมาใช้เป็นข้อมูลนำเข้า นั้นสามารถเป็นกราฟใดๆก็ได้ โดยหากเป็นกราฟถ่วงน้ำหนักทั่วไป (General Weighted Graph) ในปัจจุบันยังไม่มีใครค้นพบขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามได้ แต่ว่าสำหรับการแก้ปัญหาวิถียาวสุดที่ง่ายนั้น กราฟที่รับมาจะเป็นกราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง ดังที่จะแสดงต่อไปนี้

#### สำหรับกราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง

วิถียาวสุดบนกราฟอวัฏจักรระบุทิศทางแบบถ่วงน้ำหนัก จากปม A ไปยังปม G แทนด้วยลูกศรสีแดง
**กราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง (Directed acyclic graph หรืออักษรย่อว่า DAG)** เป็นกราฟระบุทิศทาง ที่ไม่มีวัฏจักรแบบระบุทิศทางใดๆในกราฟ 
ขั้นตอนวิธีสำหรับแก้ปัญหาวิถียาวสุดบนกราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง อาจใช้การปรับเปลี่ยนมาจากปัญหาวิถีสั้นสุด โดยสร้างกราฟใหม่ขึ้นมา (G’) โดยให้กราฟใหม่นี้มีปมและเส้นเชื่อมเหมือนกราฟเดิมทุกประการ แต่น้ำหนักของเส้นเชื่อมให้เปลี่ยนเป็นค่าติดลบของค่าเดิม แล้วนำกราฟใหม่นี้มาแก้ปัญหาแบบวิถีสั้นสุด ก็จะได้ว่าวิถีสั้นสุดของกราฟใหม่ ก็จะกลายเป็นวิถียาวสุดของกราฟเดิมนั่นเอง

```
    int LogestPathDAG(Graph G, Vertex Start, Vertex End){
         construct Graph G’ 
              : G’.V = G.V
              : G’.E = G.E
              : G’.w = -G.w
         return shortestPathDAG(G’, Start, End);
    }
```

ขั้นตอนวิธีดังกล่าวก็จะมีเวลาในการทำงานเท่ากับ

1. เวลาในการสร้างกราฟใหม่ เป็น **O(|G.E|)**
2. เวลาในการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุด (ขึ้นกับขั้นตอนวิธีที่ใช้) เช่น ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา จะใช้เวลาในการทำงานเป็น **O(|G.E| log(|G.V|))**

จึงได้เวลาในการทำงานรวม (กรณีใช้ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา) เป็น **O(|G.E| log(|G.V|))**

อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาวิถียาวสุดบนกราฟอวัฎจักรระบุทิศทางนั้น มีอัลกอรีทึมที่สามารถทำงานได้เร็วกว่าขั้นตอนวิธีข้างต้น นั่นคือใช้กำหนดการพลวัต (Dynamic programming) ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้

```
   int LongestPathDAG(Graph G, Vertex Start, Vertex End){
         topologicalSorting(G);
         int distance[|G.V|] arrage by sorted G;
         for each vertex u in topOrder of G.V
              for each edge e in G.E point from u to v
                   if (distance(v) < distance(u) + weight(e))
                        distance(v) = distance(u) + weight(e);
         return max value element in distance
    }
```

ประสิทธิภาพในการทำงานขอขั้นตอนวิธีนี้เกิดจาก

1. เวลาในการเรียงลำดับแบบทอพอลอยี เป็น **O(|G.V| + |G.E|)**
2. เวลาในการตรวจสอบและเปลี่ยนค่าในอาเรย์ distance เป็น **O(|G.E|)**
3. เวลาในการหาค่ามากสุดในอาเรย์ distance เป็น **O(|G.V|)**

รวมเป็นเวลาในการทำงานทั้งหมด **O(|G.V| + |G.E|)**

#### สำหรับกราฟอื่นๆ

* ขั้นตอนวิธีสำหรับ Interval Graphs
* ขั้นตอนวิธีสำหรับ Ptolemaic Graphs
* ขั้นตอนวิธีสำหรับ Small Graph Classes
* ขั้นตอนวิธีสำหรับ Cocomparability Graphs

ขั้นตอนวิธีอื่นๆที่เกี่ยวข้อง
-----------------------------

* การเรียงลำดับแบบทอพอโลยี (Topological sorting)
* ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา (Dijkstra algorithm)

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง
------------------

* ปัญหาวิถีสั้นสุด (Shortest path problem)
* ปัญหาวิถีฮัลมินตัน (Hamiltonian path problem)
* ปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย (Travelling salesman problem)

อ้างอิง
-------

1. ↑  *A proof that longest path is NP-complete*, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2007-06-11, สืบค้นเมื่อ 2011-09-29
2. ↑  *Dynamic programming* (PDF)
3. ↑  *Topological sorting*, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2011-08-19, สืบค้นเมื่อ 2011-09-29
4. ↑  Ioannidou, Kyriaki, *Longest path problem on Interval Graphs* (PDF)
5. ↑  Takahara, Yoshihiro, *Longest path problem on Ptolemaic Graphs*
6. ↑  Uehara, Ryuhei, *Longest path problem on Small Graph Classes*
7. ↑  *Longest path problem on Cocomparability Graphs*

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* NP-Completeness
* Source of the algorithm
* "Find the Longest Path", by Daniel J. Barrett
* Efficient Algorithms for the Longest Path Problem by Ryuhei UEHARA (JAIST), Yushi UNO (Osaka Prefecture University)[*ลิงก์เสีย*]
* On the relation between the travelling-salesman and the longest path problems by William W. Hardgrave and George L. Nemhauser