|  |  |
| --- | --- |
| ค.ศ. | บทความนี้อ้างอิงคริสต์ศักราช/คริสต์ทศวรรษ/คริสต์ศตวรรษ ซึ่งเป็นสาระสำคัญของเนื้อหา  |

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}
เรียกว่า **สมการแบร์นูลลี** (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ {\displaystyle n\neq 1}, {\displaystyle 0} ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 Bernoulli 1695 สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง
--------

### ตัวอย่างที่ 1

พิจารณา

{\displaystyle y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x}
หารตลอดทั้งสมการ

{\displaystyle {\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x}
ให้ {\displaystyle w={\frac {1}{y^{-3}}}} เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

{\displaystyle w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x}
ทำการหาปริพันธ์

{\displaystyle w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}
เนื่องจาก {\displaystyle w=y^{3}} ดังนั้น {\displaystyle y} มีค่าเท่ากับ

{\displaystyle y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}}
### ตัวอย่างที่ 2

พิจารณาสมการแบร์นูลลี 

{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}
โดยชัดเจน {\displaystyle y=0} เป็นหนึ่งในผลลัพธ์
เมื่อหารด้วย {\displaystyle y^{2}} จะได้

{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่ 

{\displaystyle w={\frac {1}{y}}}
{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}
{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}
ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์ 

{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}
คูณด้วย {\displaystyle M(x)},

{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}
โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ {\displaystyle wx^{2}} ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

{\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}
{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
ผลลัพธ์ {\displaystyle y} คือ

{\displaystyle y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}}
และ {\displaystyle y=0}.

การโปรแกรมใน Math Lab
---------------------

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

```
x = dsolve('Dy-2\*y/x=-x^2\*y^2','x')

```

ให้ผลตอบทั้งสอง:

```
0
x^2/(x^5/5 + C1)

```

อ้างอิง
-------

1. ↑  ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha [en] โดยที่ผลตอบ {\displaystyle y=0} จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว

* Bernoulli, Jacob (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". *Acta Eruditorum*.. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). *Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems*. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0..

ดูเพิ่ม
-------

* Bernoulli equation on PlanetMath
* Differential equation on PlanetMath
* Index of differential equations on PlanetMath