บทสร้างเรขาคณิตของมัชฌิมกําลังสอง และมัชฌิมพีทาโกรัส (ของตัวเลขสองจำนวน *a* และ *b*) มัชฌิมฮาร์มอนิกแสดงโดย   H, มัชฌิมเรขาคณิตโดย   G, มัชฌิมเลขคณิตโดย   A และมัชฌิมกําลังสอง (หรือรากที่สองของค่าเฉลี่ย) แสดงโดย   Q
ในคณิตศาสตร์ สามชนิดดั้งเดิมของ**มัชฌิมพีทาโกรัส** (อังกฤษ: Pythagorean means) คือ มัชฌิมเลขคณิต (AM) มัชฌิมเรขาคณิต (GM) และมัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) มัชฌิมเหล่านี้ถูกศึกษาโดยชาวพีทาโกรัส และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นหลัง เพราะความสำคัญในเรขาคณิต และดนตรี

นิยาม
-----

การเปรียบเทียบมัชฌิมเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิกของตัวเลขคู่หนึ่ง เส้นประแนวตั้งเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิก
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x\_{1},\;\ldots ,\;x\_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x\_{1}+\;\cdots \;+x\_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x\_{1},\;\ldots ,\;x\_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x\_{1}\times \,\cdots \,\times x\_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x\_{1},\;\ldots ,\;x\_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x\_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x\_{n}}}}}\end{aligned}}}

สมบัติ
------

มัชฌิม {\displaystyle \operatorname {M} } แต่ละตัวมีสมบัติดังนี้

###### การแจกแจง

{\displaystyle \operatorname {M} (bx\_{1},\,\ldots ,\,bx\_{n})=b\operatorname {M} (x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n})}

###### การสลับที่

{\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x\_{i},\,\ldots ,\,x\_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x\_{j},\,\ldots ,\,x\_{i},\,\ldots )}

สำรับทุก {\displaystyle i} และ {\displaystyle j}

###### ความโมโนโทนิค

{\displaystyle a<b\rightarrow \operatorname {M} (a,x\_{1},x\_{2},\ldots x\_{n})<\operatorname {M} (b,x\_{1},x\_{2},\ldots x\_{n})}

###### นิจพล

{\displaystyle \forall x,\;\operatorname {M} (x,x,\ldots x)=x}

ความโมโนโทนิค และนิจพลบอกว่ามัชฌิมของเซตจะอยู่ระหว่างค่าน้อยสุด และค่ามากสุด

{\displaystyle \min(x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n})\leq \operatorname {M} (x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n})\leq \max(x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n})}

มัชฌิมฮาร์มอนิก และมัชฌิมเลขคณิตเป็นส่วนกลับของกันและกัน

{\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x\_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x\_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n}\right)}}}

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นส่วนกลับของตัวเอง

{\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x\_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x\_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x\_{1},\,\ldots ,\,x\_{n}\right)}}}

ความไม่สมมูลระหว่างมัชฌิม
-------------------------

การพิสูจน์ด้วยรูปภาพ (proof without words) ทางเรขาคณิตโดย *max* (*a*,*b*) > มัชฌิมกำลังสอง (**RMS**) หรือ quadratic mean (**QM**) > มัชฌิมเลขคณิต (**AM**) > มัชฌิมเรขาคณิต (**GM**) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (**HM**) > *min* (*a*,*b*) ของตัวเลขบวกสองจำนวน *a* และ *b* 
หากค่า {\displaystyle x\_{i}} ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ

{\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }
ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ {\displaystyle x\_{i}} เท่ากันทั้งหมด

นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต {\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max } และความเป็นคู่ส่วนกลับ ({\displaystyle \min } และ {\displaystyle \max } ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)

การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน

ดูเพิ่ม
-------

* ค่าเฉลี่ย
* อัตราส่วนทอง

เชิงอรรถ
--------

1. ↑  ถ้า AC = *a* และ BC = *b* OC = **AM** ของ *a* และ *b*, และรัศมี *r* = QO = OG  
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = **QM**  
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = **GM**  
ใช้สามเหลี่ยมคล้าย, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = **HM**

อ้างอิง
-------

1. ↑  Heath, Sir Thomas. *A History of Greek Mathematics*. Vol. Ⅰ. New York: Dover Publications. pp. 84–90. ISBN 0-486-24073-8. LCCN 80-70126.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Cantrell, David W. "Pythagorean Means". *MathWorld*.