**กระดูกนาเปียร์** (อังกฤษ: Napier's bones) เป็นเครื่องมือช่วยคำนวณ ประดิษฐ์โดย จอห์น นาเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ ใช้ช่วยคูณและหารตัวเลข ลักษณะเป็นท่อนไม้สลักตัวเลข

การคูณ
------

สมมติว่าเราต้องการหาผลคูณของ **46785399** กับ **7** ให้นำแท่งไม้เรียงตาม 46785399 ไปวางไว้ในตาราง ตามในรูป และอ่านผลลัพธ์จากแถวที่ 7 โดยอ่านจากขวามาซ้าย ผลคูณจะได้จากการบวกเลขตามแนวทแยง (ถ้าผลบวกเกิน 9 ให้ทดไปบวกหลักต่อไป)

ดังนั้น เราจะได้หลักหน่วย (3), หลักสิบ (6+3=9), หลักร้อย (6+1=7), และอื่นๆ สังเกตว่าในหลักแสนจะได้ 5+9=14 ดังนั้น หลักนี้เท่ากับ 4 และทด 1 ไปหลักต่อไป (เหมือนกับ 4+8=12 ในหลักสิบล้าน)

ตัวอย่างถัดไปเราจะคูณ **46785399** กับ **96431** ศึกษาขั้นตอนจากภาพ

การหาร
------

ต้องการหาร 46785399 ด้วย 96431 เริ่มด้วยให้เราหาผลคูณทุกตัวของ 96431 ดังภาพ ผลคูณของ 96431 เป็นเลข 8 หลัก การหาร 46785399 เริ่มจากทางซ้ายก่อน คือ 467853 ,8 ตัว ส่วนเลข 99 ให้ละเอาไว้ก่อน แล้วหาค่าผลคูณที่ใกล้เคียง 467853 คือ 385724 (ซึ่งเป็นผลคูณของ 96431 กับ 4) จะได้ 4 เป็นผลหารตัวแรก จากนั่นลบกัน จะได้ 82129 (467853- 385724=82129) และดึง 99 ที่ละไว้ลงมาด้วยเป็น 8212999 ทำซ้ำอีกครั้ง ค่าที่ใกล้เคียง 8212999 คือ 771448 จะได้ เลข 5

ทำซ้ำแบบนี้เรื่อย ๆ จะได้คำตอบ 485 เศษ 16364 ส่วน 96431หรือ {\displaystyle 485{\frac {16364}{96431}}}
ถ้าเราต้องการจะหารต่อไปอีกจะต้องติดอยู่ในรูปทศนิยม โดยหลักการแล้วเหมือนกับที่เราได้เรียนกันมาในสมัยประถม คือ ให้เราใส่จุดที่ 485. และเติมศูนย์ที่ 16364 จะได้เป็น 163640 แล้วก็ทำเหมือนเดิมอีก ดังตัวอย่างรูปด้านล่างนี้

เราจะได้ค่าในแถวที่ 1 คือ 96431 ซึ่งน้อยกว่า 163640 ลบกับได้ 67209 ได้คำตอบเป็น 485.1 ในรอบถัดไปก็จะได้แถวที่ 6 มีค่าเป็น 578586 ซึ่งน้อยกว่า 672090 ได้คำตอบเป็น 485.16 เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

การหารากที่สอง
--------------

จากภาพเราได้เพิ่มช่องตารางอีกหนึ่งช่อง คือ &radic ซึ่งจะถูกแบ่งเป็น 3 สดมภ์ :
สดมภ์แรกเป็นเลขกำลังสอง คือ 1, 4, 9, ... 64, 81;
สดมภ์ที่สองเป็นเลขคู่ 2 ถึง 18;
สดมภ์สุดท้าย 1 ถึง 9

Napier's rods with the square root bone|   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | √ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 0/1 | 0/2 | 0/3 | 0/4 | 0/5 | 0/6 | 0/7 | 0/8 | 0/9 | 0/1     2   1 |
| **2** | 0/2 | 0/4 | 0/6 | 0/8 | 1/0 | 1/2 | 1/4 | 1/6 | 1/8 | 0/4     4   2 |
| **3** | 0/3 | 0/6 | 0/9 | 1/2 | 1/5 | 1/8 | 2/1 | 2/4 | 2/7 | 0/9     6   3 |
| **4** | 0/4 | 0/8 | 1/2 | 1/6 | 2/0 | 2/4 | 2/8 | 3/2 | 3/6 | 1/6     8   4 |
| **5** | 0/5 | 1/0 | 1/5 | 2/0 | 2/5 | 3/0 | 3/5 | 4/0 | 4/5 | 2/5   10   5 |
| **6** | 0/6 | 1/2 | 1/8 | 2/4 | 3/0 | 3/6 | 4/2 | 4/8 | 5/4 | 3/6   12   6 |
| **7** | 0/7 | 1/4 | 2/1 | 2/8 | 3/5 | 4/2 | 4/9 | 5/6 | 6/3 | 4/9   14   7 |
| **8** | 0/8 | 1/6 | 2/4 | 3/2 | 4/0 | 4/8 | 5/6 | 6/4 | 7/2 | 6/4   16   8 |
| **9** | 0/9 | 1/8 | 2/7 | 3/6 | 4/5 | 5/4 | 6/3 | 7/2 | 8/1 | 8/1   18   9 |

ต้องการหารากที่สองของ 46785399
**ขั้นแรก** ให้เราแบ่งตัวเลขออกมาเป็นชุด ชุดละ 2 ตัว จากทางขวาไปซ้าย

46 78 53 99
*Note:* ถ้าเป็น 85399 จะแบ่งได้เป็น 8 53 99
เริ่มจากทางซ้ายสุดก่อน 46 ให้หาเลขกำลังสองที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 46 ซึ่งก็คือ 36 ในแถวที่ 6 จะเป็นคำตอบตัวแรก
ลบกันจะได้ 10 แล้วให้เราดึงเลขชุดที่สอง 78 ลงมาเป็น 1078 ดังที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง :

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|   | 1 | 2 | √ |
| --- | --- | --- | --- |
| **1** | 0/1 | 0/2 | 0/1     2   1 |
| **2** | 0/2 | 0/4 | 0/4     4   2 |
| **3** | 0/3 | 0/6 | 0/9     6   3 |
| **4** | 0/4 | 0/8 | 1/6     8   4 |
| **5** | 0/5 | 1/0 | 2/5   10   5 |
| **6** | 0/6 | 1/2 | 3/6   12   6 |
| **7** | 0/7 | 1/4 | 4/9   14   7 |
| **8** | 0/8 | 1/6 | 6/4   16   8 |
| **9** | 0/9 | 1/8 | 8/1   18   9 |

 | 
```
         _____________
        √46 78 53 99    =    6
         36
         --
         10 78
```
 |

ทำซ้ำเหมือนเดิม คือ เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูจากกระดูกนาเปียร์แล้วมีค่าไม่ถึง 1078 จะทำอย่างไร
**ขั้นที่สอง** จากคำตอบตัวแรกที่เราได้คือ 6(จากแถวที่ 6)ใน column ที่ 2 ของตารางช่อง root เป็นเลข 12 ให้เรา set Napier's bones ท่อนที่ 1 และ 2 ดังตารางด้านบน

ต่อไปให้เราสร้างช่องตารางเพิ่มอีกหนึ่งช่อง value เป็นช่องแสดงค่า ตัวอย่าง อ่านค่าในแถวที่ 6 จะได้

0/6 1/2 3/6 → 756
ต่อไป เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูในช่อง value
จะได้ 1024 ในแถวที่ 8 ดังตารางด้านล่าง และทำตามขั้นตอนเดิม

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|   | 1 | 2 | √ | *(value)* |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 0/1 | 0/2 | 0/1     2   1 | *121* |
| **2** | 0/2 | 0/4 | 0/4     4   2 | *244* |
| **3** | 0/3 | 0/6 | 0/9     6   3 | *369* |
| **4** | 0/4 | 0/8 | 1/6     8   4 | *496* |
| **5** | 0/5 | 1/0 | 2/5   10   5 | *625* |
| **6** | 0/6 | 1/2 | 3/6   12   6 | *756* |
| **7** | 0/7 | 1/4 | 4/9   14   7 | *889* |
| **8** | 0/8 | 1/6 | 6/4   16   8 | *1024* |
| **9** | 0/9 | 1/8 | 8/1   18   9 | *1161* |

 | 
```
         _____________
        √46 78 53 99    =    6**8**
         36
         --
         10 78
         **10 24**
         -----
            **54**
```
 |

เราจะได้ 8 เป็นคำตอบตัวถัดมา เราลบ 1024 กับ 1078 ได้ 54 จากนั้นเราอ่านค่าใน column ที่ 2 ของแถวที่ 8 ในช่องของ root มีค่าเป็น 16 เราจะต้องเรียงตัวเลขในกระดานใหม่(ไม่ใช่ ท่อนที่ 1 กับ 6)เป็น 136 ซึ่งมาจากเดิมในกระดานเรามี 1 กับ 2 อยู่ก่อนแล้ว เลข 16 ที่เราได้ ต้องทำการเพิ่มโดย เลข 1 ในหลักสิบของเลข 16 ไปบวก 12 เป็น 12+1 = 13 เพราะฉะนั้นเราได้เป็นเลข 136 ให้เราเรียงให้กระดานเป็นเลข 136

12 + 1 = 13 → append 6 → 136
*Note:* ถ้าใน column ที่ 2 ของช่อง root เป็นเลขตัวเดียว ให้เราใช้เลขตัวนั้นต่อไปเลย
เราจะได้ลักษณะดังตารางด้านล่าง

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|   | 1 | 3 | 6 | √ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 0/1 | 0/3 | 0/6 | 0/1     2   1 |
| **2** | 0/2 | 0/6 | 1/2 | 0/4     4   2 |
| **3** | 0/3 | 0/9 | 1/8 | 0/9     6   3 |
| **4** | 0/4 | 1/2 | 2/4 | 1/6     8   4 |
| **5** | 0/5 | 1/5 | 3/0 | 2/5   10   5 |
| **6** | 0/6 | 1/8 | 3/6 | 3/6   12   6 |
| **7** | 0/7 | 2/1 | 4/2 | 4/9   14   7 |
| **8** | 0/8 | 2/4 | 4/8 | 6/4   16   8 |
| **9** | 0/9 | 2/7 | 5/4 | 8/1   18   9 |

 | 
```
         _____________
        √46 78 53 99    =    68
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
```
 |

ทำซ้ำอีกครั้ง โดยหาเลขผลรวมที่มีค่าใกล้เคียงกับ 5453 ซึ่งก็คือ 4089 ในแถวที่ 3

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|   | 1 | 3 | 6 | √ |   |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 0/1 | 0/3 | 0/6 | 0/1     2   1 | *1361* |
| **2** | 0/2 | 0/6 | 1/2 | 0/4     4   2 | *2724* |
| **3** | 0/3 | 0/9 | 1/8 | 0/9     6   3 | *4089* |
| **4** | 0/4 | 1/2 | 2/4 | 1/6     8   4 | *5456* |
| **5** | 0/5 | 1/5 | 3/0 | 2/5   10   5 | *6825* |
| **6** | 0/6 | 1/8 | 3/6 | 3/6   12   6 | *8196* |
| **7** | 0/7 | 2/1 | 4/2 | 4/9   14   7 | *9569* |
| **8** | 0/8 | 2/4 | 4/8 | 6/4   16   8 | *10944* |
| **9** | 0/9 | 2/7 | 5/4 | 8/1   18   9 | *12321* |

 | 
```
         _____________
        √46 78 53 99    =    68**3**
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            **40 89**
            -----
            **13 64**
```
 |

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* กระดูกนาเปียร์ในระบบตัวเลขต่าง ๆ (ใช้จาวา)
* Large PDF scan of *Rabdologiæ* เก็บถาวร 2007-09-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน