ในคณิตศาสตร์ **การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์** (อังกฤษ: Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า **ข้อความคาดการณ์** (อังกฤษ: conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น

การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ (natural language) ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

วิธีการพิสูจน์
--------------

### การพิสูจน์ตรง

การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

พิจารณาจำนวนเต็ม *x* และ *y* เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน *x* = 2*a* และ *y* = 2*b* ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม *a* และ *b* จะได้ *x* + *y* = 2*a* + 2*b* = 2 (*a*+*b*) ดังนั้น ชัดเจนว่า *x*+*y* มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ
การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

### การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ดูบทความหลักที่: การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่า*ถ้า*กรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริง*แล้ว*กรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณี เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ √2

การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:
ให้ **N** = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจำนวนนับ และ *P* (*n*) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ *n* เป็นสมาชิกของ **N** ที่

* **(i)**  *P* (1) เป็นจริง กล่าวคือ *P* (*n*) เป็นจริงสำหรับ *n* = 1
* **(ii)**  *P* (*n*+1) เป็นจริงเมื่อ *P* (*n*) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ *P* (*n*) เป็นจริง แปลว่า *P* (*n*+1) ก็เป็นจริง
* **แล้ว *P* (*n*) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ *n***

เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2*n* + 1 เป็นจำนวนคี่ :

 **(i)**  สำหรับ *n* = 1 2*n* + 1 = 2 (1)  + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น*P* (1)เป็นจริง
 **(ii)**  2*n* + 1 สำหรับ *n* 2 (*n*+1)  + 1 = (2*n*+1)  + 2 ถ้า2*n* + 1เป็นจำนวนคี่แล้ว (2*n*+1)  + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก2กับจำนวนคี่ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น*P* (*n*+1)เป็นจริงถ้า*P* (*n*)เป็นจริง
**ฉะนั้น** 2*n* + 1เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ *n*
ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า "proof by induction" หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า "proof by mathematical induction"

อ้างอิง
-------

1. ↑  Cupillari, Antonella. *The Nuts and Bolts of Proofs*. Academic Press, 2001. Page 3.
2. ↑  Gossett, Eric. *Discrete Mathematics with Proof*. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
3. ↑  Gossett, Eric. *Discrete Mathematics with Proof*. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
4. ↑  คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
5. ↑  Cupillari, page 20.
6. ↑  Cupillari, page 46.
7. ↑  Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
8. ↑  Proof by induction เก็บถาวร 2012-02-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology