Set of real numbers that is not Lebesgue measurable
ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ **เซตวีตาลี** (อังกฤษ: Vitali set) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย จูเซปเป วีตาลี ในปี ค.ศ. 1905 **ทฤษฎีบทวีตาลี**เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้ และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 โรเบิร์ต โซโลเวย์ได้สร้างโมเดลของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ inaccessible cardinal เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์

การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้
-----------------------------------

การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะ
เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด {\displaystyle [0,1]} ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง {\displaystyle r} ใด ๆ จะมีจำนวนจริง {\displaystyle v\in V} เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ {\displaystyle v-r} เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ {\displaystyle \mathbb {Q} } เป็นสับกรุปปรกติของเซตของจำนวนจริง {\displaystyle \mathbb {R} } ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหากรุปผลหาร {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} } ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นโคเซตของจำนวนตรรกยะในรูป {\displaystyle \mathbb {Q} +r} สำหรับบาง {\displaystyle r\in \mathbb {R} }

สมาชิกในกรุป {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} } เป็นเซตที่แบ่งกั้น {\displaystyle \mathbb {R} } และแต่ละสมาชิกหนาแน่นใน {\displaystyle \mathbb {R} } ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} } และเซต {\displaystyle [0,1]}ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี

เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ {\displaystyle v-u} เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก {\displaystyle u,v\in V}ที่ซึ่ง {\displaystyle u\neq v}

### การหาเมเชอร์ไม่ได้

เซตวีตาลี {\displaystyle V} ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้

**พิสูจน์** — 
การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ให้ {\displaystyle q\_{1},q\_{2},\dotsc } เป็นการเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วง {\displaystyle [-1,1]} จากการสร้างจะเห็นว่า เซต {\displaystyle V\_{k}=V+q\_{k}=\{v+q\_{k}:v\in V\}} ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเซต {\displaystyle V} เป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกันทุกคู่เมื่อ {\displaystyle k=1,2,\dotsc } และยิ่งไปกว่านั้น

{\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup \_{k}V\_{k}\subseteq [-1,2]}
เพื่อพิสูจน์การเป็นสับเซตตอนแรก พิจารณาจำนวนจริง {\displaystyle r}ใด ๆ ในช่วง {\displaystyle [0,1]} และให้ {\displaystyle v\in V} เป็นตัวแทนของชั้นสมมูล {\displaystyle [r]} แล้วจะได้ว่า {\displaystyle r-v=q\_{i}} สำหรับบางจำนวนตรรกยะ {\displaystyle q\_{i}\in [-1,1]} จึงทำให้ {\displaystyle r\in V\_{i}}
หาเมเชอร์เลอเบกของเซตข้างต้น:

{\displaystyle 1\leq \sum \_{k=1}^{\infty }\lambda (V\_{k})\leq 3}
เนื่องจากเมเชอร์เลอเบกมีค่าเท่าเดิมภายใต้การเลื่อนขนาน ส่งผลให้ {\displaystyle \lambda (V\_{k})=\lambda (V)} และได้ว่า

{\displaystyle 1\leq \sum \_{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3}
ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง เพราะผลรวมอนันต์ของ {\displaystyle \lambda (V)} เป็นได้สองค่าคือ 0 หรืออนันต์เท่านั้น ทั้งนี้เป็นเพราะว่า {\displaystyle \lambda (V)} มีได้สองค่าคือเป็นศูนย์หรือจำนวนจริงบวกสักตัว ดังนั้น {\displaystyle V} หาเมเชอร์ไม่ได้

ดูเพิ่ม
-------

* เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
* ปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี

อ้างอิง
-------

1. ↑  Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". *Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani*.
2. ↑  Solovay, Robert M. (1970), "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", *Annals of Mathematics*, Second Series, **92**: 1–56, doi:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, MR 0265151

บรรณานุกรม
----------

* Herrlich, Horst (2006). *Axiom of Choice*. Springer. p. 120.
* Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". *Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani*.