ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนิยามบนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} แล้วฟังก์ชันนี้จะส่งไปยังค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่าง {\displaystyle f(a)} และ {\displaystyle f(b)}
**ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง** (อังกฤษ: Intermediate value theorem) เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} แล้ว f จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง {\displaystyle f(a)} และ {\displaystyle f(b)}

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสองต้องลากเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

เนื้อหาของทฤษฎีบท
-----------------

**ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง** — ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด {\displaystyle [a,b]} และ {\displaystyle u} เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่อยู่ระหว่าง {\displaystyle f(a)} และ {\displaystyle f(b)} แล้วจะมี {\displaystyle x\in [a,b]} ที่ทำให้ {\displaystyle f(x)=u}

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
----------------------------------------

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน {\displaystyle f(x)=x^{2}-2} ที่นิยามบน {\displaystyle \mathbb {Q} } สอดคล้องกับสมการ {\displaystyle f(0)=-2} และ {\displaystyle f(2)=2} แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ {\displaystyle x} ใดที่สอดคล้องกับ {\displaystyle f(x)=0} ทั้งนี้เพราะว่า {\displaystyle {\sqrt {2}}} เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์
-------

บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

**พิสูจน์** — 
เราจะพิสูจน์ในกรณีที่ {\displaystyle f(a)<u<f(b)} สำหรับกรณีอื่น ๆ ทำได้เช่นกัน

ให้ {\displaystyle S} เป็นเซตของจำนวน {\displaystyle x\in [a,b]} ทั้งหมดที่ซึ่ง {\displaystyle f(x)\leq u} แล้ว {\displaystyle S} จะไม่เป็นเซตว่างเพราะมี {\displaystyle a} เป็นสมาชิก นอกจากนี้ {\displaystyle S} มีขอบเขตบนคือ {\displaystyle b}

จากสมบัติความบริบูรณ์ของจำนวนจริง จะได้ว่า {\displaystyle S} มีขอบเขตบนน้อยสุด จึงให้แทนด้วย {\displaystyle \sup S=c}

จะพิสูจน์ว่า {\displaystyle f(c)=u} แล้วจะได้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ให้ {\displaystyle \varepsilon >0} เป็นจำนวนจริงใด ๆ เนื่องจาก f ต่อเนื่อง ดังนั้นจะมี {\displaystyle \delta >0} ที่ทำให้ {\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon } ทุกค่า {\displaystyle |x-c|<\delta } ดังนั้นจะได้ว่า

{\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon } สำหรับทุก {\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}
โดยอาศัยสมบัติของขอบเขตบนน้อยสุด จะมี {\displaystyle a^{\*}\in (c-\delta ,c]} ที่อยู่ใน {\displaystyle S} และทำให้

{\displaystyle f(c)<f(a^{\*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }.
เช่นกัน จะมี {\displaystyle a^{\*\*}\in (c,c+\delta )} ที่สอดคล้องกับ {\displaystyle a^{\*\*}\not \in S} เพราะ c เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ {\displaystyle S}

จึงได้

{\displaystyle f(c)>f(a^{\*\*})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }.
จากทั้งสองอสมการเราพบว่า

{\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }
เป็นจริงสำหรับทุก {\displaystyle \varepsilon >0} ซึ่งทำให้ได้ว่า {\displaystyle f(c)=u} ตามต้องการ

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method) ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

**หมายเหตุ:** ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม

บทแทรก
------

ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

* **ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem)**: ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
* ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย

อ้างอิง
-------

1. 1 2  Körner, T. W. (2004). *A companion to analysis : a second first and first second course in analysis*. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3447-9. OCLC 53038515.
2. ↑  Sanders, Sam (2017). "Nonstandard Analysis and Constructivism!". arXiv:1704.00281 [math.LO].

ดูเพิ่ม
-------

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์

ลิงก์เพิ่มเติม
--------------

* บทพิสูจน์ใน Mizar system: