ทิศทางการหมุนควงรอบแกนของอนุภาคที่มีประจุเป็นลบ
**การหมุนควงลาร์เมอร์** (Larmor precession) เป็นการหมุนควงของเวกเตอร์โมเมนต์แม่เหล็กรอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอก พบได้ในอิเล็กตรอน มิวออน และอะตอม จากทฤษฎี เมื่อมีสนามแม่เหล็กจากภายนอกมากระทำกับโมเมนต์แม่เหล็ก จะทำให้เกิดทอร์ก

{\vec {\Gamma }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}}
โดยที่ {\vec {\Gamma }} แทนทอร์ก {\vec {\mu }} แทนโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก {\vec {J}} แทนโมเมนตัมเชิงมุม {\vec {B}} แทนสนามแม่เหล็กภายนอก และ \ \gamma  แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติกซึ่งเป็นอัตราส่วนที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็ก

ความถี่ลาร์เมอร์
----------------

เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม {\vec {J}} จะหมุนควง (คือ มีจุดหนึ่งยันกับแกนอ้างอิง ที่เหลือหมุนไปรอบ ๆ ในลักษณะกวาดเป็นรูปทรงกรวย) รอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอกด้วยความถี่เชิงมุมค่าหนึ่ง เรียกความถี่นี้ว่า**ความถี่ลาร์เมอร์** (Larmor frequency**) ความถี่ลาร์เมอร์กำหนดตามสมการ**

\omega =-\gamma B
หรือ 

\omega ={\frac {egB}{2m}}
โดยที่ \omega  แทนความถี่ลาร์เมอร์ \gamma =-{\frac {eg}{2m}} แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติก อัตราส่วนใจโรแมกเนติกคำนวณจากตัวแปรต่อไปนี้คือ m แทนมวล -e แทนประจุมูลฐาน B แทนขนาดของสนามแม่เหล็ก และ g เป็นตัวประกอบจี ซึ่งปกติอยู่ที่ 1 สำหรับอนุภาคเดี่ยว แต่จะเป็นค่าอื่นเมื่ออนุภาครวมตัวเป็นนิวเคลียส ค่าจีไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง แต่สามารถวัดได้ ซึ่งสมบัติในข้อนี้เป็นส่วนสำคัญของสเปกโทรสโคปีด้วยวิธีการสั่นพ้องของนิวเคลียสโดยใช้สนามแม่เหล็ก (NMR spectroscopy)

การหมุนควงลาร์เมอร์แบบซับซ้อน
-----------------------------

สมการข้างต้นเป็นสมการความถี่ของการหมุนควงลาร์เมอร์แบบที่ใช้โดยทั่วไป ซึ่งยังไม่ได้คิดการหมุนควงโทมัส (Thomas precession) ซึ่งกำหนดตามสมการ

\omega \_{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}
โดยที่ \gamma  เป็นตัวประกอบลอเรนซ์ (Lorentz factor) ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณในสัมพัทธภาพพิเศษ Lorentz factor (ระวังสับสนกับอัตราส่วนไจโรแมกเนติก) มีข้อสังเกตอย่างหนึ่งคือ ถ้าค่า g = 2 แล้วความถี่ของการหมุนควงจะได้เป็น

\omega \_{{s(g=2)}}={\frac {eB}{mc\gamma }}

สมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ
-----------------------------

การหมุนควงลาร์เมอร์ของอิเล็กตรอนโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากภายนอก อธิบายได้ตามสมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ หรือสมการบีเอ็มที (Bargmann–Michel–Telegdi equation; BMT equation) ซึ่งเขียนได้ว่า

{\frac {da^{{\tau }}}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{{\tau }}u\_{{\sigma }}F^{{\sigma \lambda }}a\_{{\lambda }}+2\mu (F^{{\tau \lambda }}-u^{{\tau }}u\_{{\sigma }}F^{{\sigma \lambda }})a\_{{\lambda }},
โดยที่ a^{{\tau }}, e, m, and \mu  แทนเวกเตอร์สี่มิติแทนโพลาไรเซชัน, ประจุ, มวล และโมเมนต์แม่เหล็ก u^{{\tau }} เป็นความเร็วสี่มิติของอิเล็กตรอน a^{{\tau }}a\_{{\tau }}=-u^{{\tau }}u\_{{\tau }}=-1, u^{{\tau }}a\_{{\tau }}=0, และ F^{{\tau \sigma }} แทนเทนเซอร์ขนาดของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ต่อไป จากสมการการเคลื่อนที่ 

m{\frac {du^{{\tau }}}{ds}}=eF^{{\tau \sigma }}u\_{{\sigma }},
ทำให้ได้ว่า พจน์แรกของด้านขวาสมการบีเอ็มที สามารถเขียนใหม่ได้เป็น (-u^{{\tau }}w^{{\lambda }}+u^{{\lambda }}w^{{\tau }})a\_{{\lambda }}โดยที่ w^{{\tau }}=du^{{\tau }}/ds เป็นเวกเตอร์สี่มิติของความเร่ง อนึ่ง พจน์แรกด้านขวาสมการบีเอ็มที แสดงถึงปรากฎการณ์ขนส่งแฟร์มี-วอล์กเกอร์ (Fermi–Walker transport) ซึ่งทำให้เกิดการหมุนควงโทมัส ส่วนพจน์ที่สองแสดงถึงการหมุนควงลาร์เมอร์

หากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบสม่ำเสมอ (ขนาดเท่ากัน ทิศทางเดียวกันตลอด) หรือในกรณีที่ต้องการไม่คิดถึงผลของแรงจากความต่างศักย์ \nabla ({{\boldsymbol \mu }}\cdot {{\boldsymbol B}}) การเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้โดยสมการ

{du^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{{\alpha \beta }}u\_{\beta }\;.
จากนั้น สมการบีเอ็มทีสามารถเขียนได้เป็น

{\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{{\alpha \beta }}S\_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S\_{\lambda }F^{{\lambda \mu }}U\_{\mu }\right){\bigg ]}\;,

การประยุกต์ใช้
--------------

เลฟ ลันเดา และเอฟเกนี ลิฟชิตซ์ (Evgeny Lifshitz) ได้พยากรณ์การค้นพบการหมุนควงลาร์เมอร์ในสารเฟอร์โรแมกเนติก เมื่อปี พ.ศ. 2478 ซึ่ง 11 ปีต่อมาได้มีการทดลองเพื่อพิสูจน์ยืนยันข้อความดังกล่าว

ความถี่ลาร์มอร์เป็นสมบัติของนิวเคลียสซึ่งใช้ในการศึกษาการสร้างภาพด้วยการสั่นพ้องผ่านสนามแม่เหล็ก อิเล็กตรอนพาราแมกเนติกเรโซแนนซ์ และมิวออนสปินสเปกโทรสโคปี

เชิงอรรถ
--------

1. ↑  Spin Dynamics, Malcolm H. Levitt, Wiley, 2001
2. ↑  Louis N. Hand and Janet D. Finch. (1998). *Analytical Mechanics*. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 192. ISBN 978-0-521-57572-0.
3. ↑  V. Bargmann, L. Michel, and V. L. Telegdi, *Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field*, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).
4. ↑  Jackson, J. D. *Classical Electrodynamics*, 3rd edition, Wiley, 1999, p. 563.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency
* Larmor Frequency Calculator
* here รายการไอโซโทปที่พบในการสั่นพ้องนิวเคลียสโดยใช้แม่เหล็ก เก็บถาวร 2018-02-01 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน