กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย
ในทางคณิตศาสตร์ **ฟังก์ชันเครื่องหมาย** (อังกฤษ: sign function) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย **sgn** และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า **ซินยุม** หรือ **ซิกนัม** (signum) มาจากภาษาละติน

นิยาม
-----

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ *x* เป็นจำนวนจริง

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}

สมบัติต่างๆ
-----------

สำหรับจำนวนจริง *x* ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

{\displaystyle x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,\!}
จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ *x* ไม่เท่ากับ 0

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={x \over |x|}}
ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

{\displaystyle {d|x| \over dx}={x \over |x|}\,\!}
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

{\displaystyle {d\ \operatorname {sgn}(x) \over dx}=2\delta (x)\,\!}
ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) *H*1/2(*x*) นั่นคือ

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=2H\_{1/2}(x)-1\,\!}
เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง *H*1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-[x<0]+[x>0]\,\!}
สำหรับ *k* ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\approx \tanh(kx)}

ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน
-----------------------

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน *z* ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

{\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={z \over |z|}}
ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ *z* มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

{\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=\exp(i\arg z)\,\!}
โดยที่ arg *z* คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ *z*
เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ *csgn*  ซึ่งนิยามโดย

{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}
ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า *z* = 0)

{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}}

ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป
-------------------------------

ที่จำนวนจริง *x* เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ {\displaystyle \varepsilon (x)} โดยนิยามให้ {\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1} บนทุกๆ ค่าของ *x* รวมทั้งจุดที่ *x* = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ {\displaystyle sgn(0)^{2}=0}) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้ 

{\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,\!}
นอกจากนั้น {\displaystyle \varepsilon (x)} ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ *x* = 0 ดังนั้นความหมายของ {\displaystyle \varepsilon } จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ {\displaystyle \varepsilon (0)} ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)

อ้างอิง
-------

1. ↑  Maple V documentation. May 21 1998
2. ↑  
Yu.M.Shirokov (1979). "Algebra of one-dimensional generalized functions". *TMF*. **39** (3): 471–477.

ดูเพิ่ม
-------

* จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ
* ค่าสัมบูรณ์
* ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function)