**ปัญหาวันเกิด** หรือ **ปฏิทรรศน์วันเกิด**  ในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่กลุ่มคนซึ่งถูกเลือกโดยการสุ่ม *n* คน จะมีบางคู่ในกลุ่มที่มีวันเกิดตรงกัน หากพิจารณาตามหลักรังนกพิราบ ความน่าจะเป็นดังกล่าวจะเป็น 100% ถ้าจำนวนคนในกลุ่มมี 367 คน (เนื่องจากวันที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 366 วัน รวม 29 กุมภาพันธ์ด้วย) อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็น 99% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 57 คน และความน่าจะเป็น 50% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 23 คน การสรุปเหล่านี้ใช้พื้นฐานบนสมมติฐานว่า แต่ละวันของปีมีความเป็นไปได้ที่จะเป็นวันเกิดอย่างเท่าเทียมกัน (ยกเว้น 29 กุมภาพันธ์)

คณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังปัญหานี้นำไปสู่ปัญหาการโจมตีทางวิทยาการเข้ารหัสลับอันเป็นที่รู้จักเรียกว่า การโจมตีวันเกิด ซึ่งใช้ตัวแบบความน่าจะเป็นนี้ลดความซับซ้อนในการเจาะฟังก์ชันแฮช

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยการคำนวณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน ในระหว่างกลุ่มคนตามจำนวนที่แน่นอน

ความเข้าใจในตัวปัญหา
--------------------

ปัญหาวันเกิดถามว่า คนหนึ่งคนใดในกลุ่มที่กำหนด มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดหรือไม่ มิได้ถามเฉพาะเจาะจงว่าตรงกับคนหนึ่งเพียงคนเดียวหรือไม่

ตัวอย่างที่ให้มาก่อนหน้านี้คือกลุ่มคน 23 คน การเปรียบเทียบวันเกิดของคนแรกกับวันเกิดของคนอื่นจะมีโอกาส 22 ครั้งเพื่อหาว่าวันเกิดตรงกันหรือไม่ วันเกิดของคนที่สองกับวันเกิดของคนอื่นก็จะมีโอกาส 21 ครั้ง วันเกิดของคนที่สามก็จะมีโอกาส 20 ครั้ง เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นโอกาสรวมทั้งหมดที่จะเปรียบเทียบคือ 22 + 21 + 20 + ... + 1 = 253 ครั้ง ดังนั้นการเปรียบเทียบทุก ๆ คนกับคนอื่นทั้งหมดจะทำได้ 253 วิธีที่แตกต่างกัน (การจัดหมู่) หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มคน 23 คนสามารถจับคู่ได้ทั้งหมด {\displaystyle \textstyle {23 \choose 2}={\frac {23\cdot 22}{2}}=253} คู่

สมมติว่าวันเกิดทั้งหมดสามารถเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน  ความน่าจะเป็นที่วันที่ตั้งขึ้นมาจะเป็นวันเกิดของใครสักคน ซึ่งเลือกมาโดยการสุ่มจากประชากรทั้งหมดอยู่ที่ 1/365 (ไม่พิจารณาอธิกวารคือ 29 กุมภาพันธ์) ถึงแม้การจับคู่ภายในกลุ่มคน 23 คน ไม่เทียบเท่าเชิงสถิติศาสตร์กับการเลือกคู่โดยอิสระ 253 คู่ ปฏิทรรศน์วันเกิดจะแปลกประหลาดน้อยลง ถ้ากลุ่มคนถูกพิจารณาว่าเป็นจำนวนคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มากกว่าที่จะเป็นจำนวนรายคน

การคำนวณความน่าจะเป็น
---------------------

ปัญหาคือการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณว่า ในกลุ่มคน *n* คน จะมีอย่างน้อยสองคนที่มีวันเกิดตรงกัน สำหรับกรณีง่ายสุดคือไม่สนใจความแปรปรวนในการแจกแจง เช่นปีอธิกสุรทิน ฝาแฝด ความแปรปรวนเชิงฤดูกาลหรือวันในสัปดาห์ และสมมติว่าวันเกิดที่เป็นไปได้ 365 วันอย่างเท่าเทียมกัน การแจกแจงวันเกิดในชีวิตจริงไม่เป็นเอกรูปเพราะทุกวันมิได้มีโอกาสอย่างเท่าเทียมกัน

ถ้าให้ *P*(*A*) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่มมีวันเกิดตรงกัน เราอาจคำนวณง่ายขึ้นจาก *P*(*A*′) คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีสองคนใดเลยที่มีวันเกิดตรงกัน เนื่องจาก *A* และ *A*′ เป็นความน่าจะเป็นเพียงสองประการที่จะเกิดขึ้นได้และเป็นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม ดังนั้นเราจะได้ *P*(*A*) = 1 − *P*(*A*′)

คำตอบของปัญหาที่เผยแพร่อย่างกว้างขวางสรุปว่า กลุ่มคน 23 คนก็เพียงพอที่จะทำให้ *P*(*A*) มีค่ามากกว่า 50% การคำนวณ *P*(*A*) ต่อไปนี้จะใช้กลุ่มคน 23 คนมาเป็นตัวอย่าง

เมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระซึ่งกันและกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เพราะฉะนั้น *P*(*A*′) จึงสามารถแยกได้เป็นเหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์ และคำนวณได้จาก *P*(1) × *P*(2) × *P*(3) × ... *P*(23)

เหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์นี้สอดคล้องกับจำนวนคน 23 คนและสามารถนิยามไปตามลำดับ แต่ละเหตุการณ์สามารถนิยามว่าคนนั้นจะไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้า สำหรับเหตุการณ์ที่ 1 คือไม่มีคนอื่นคนใดก่อนหน้านี้ให้วิเคราะห์เลย เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น *P*(1) ซึ่งคนแรกไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้าเท่ากับ 1 หรือ 100% หรือเขียนในรูปแบบ 365/365 โดยไม่พิจารณาอธิกวารสำหรับการวิเคราะห์นี้ ส่วนเหตุผลจะได้ปรากฏชัดเจนต่อไป

สำหรับเหตุการณ์ที่ 2 คือมีเพียงคนที่หนึ่งที่ได้วิเคราะห์แล้วก่อนหน้านี้ สมมติว่าวันเกิดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน 365 วันเช่นเดิม ความน่าจะเป็น *P*(2) ซึ่งคนที่สองมีวันเกิดต่างกับคนที่หนึ่งเท่ากับ 364/365 นั่นเป็นเพราะถ้าคนที่สองเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 364 วันที่เหลือ ทำให้คนที่หนึ่งกับคนที่สองมีวันเกิดไม่ตรงกัน

ในทางเดียวกัน ถ้าคนที่สามเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 363 วันที่เหลือ ทำให้ทั้งคนที่หนึ่ง ที่สอง ที่สาม มีวันเกิดไม่ตรงกันเลย จะได้ความน่าจะเป็น *P*(3) เท่ากับ 363/365

การวิเคราะห์เช่นนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งถึงคนที่ยี่สิบสาม ซึ่งความน่าจะเป็นที่วันเกิดจะไม่ตรงกับคนที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้านี้เลย *P*(23) เท่ากับ 343/365

*P*(*A*′) เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นรายเหตุการณ์เหล่านี้ นั่นคือ

*P*(*A*′) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 343/365
สมการดังกล่าวสามารถดึงตัวประกอบร่วมได้เป็น

*P*(*A*′) = (1/365)23 × (365 × 364 × 363 × 362 × ... × 343)
ประเมินค่าออกมาจะได้ *P*(*A*′) ≈ 0.492703

ดังนั้น *P*(*A*) ≈ 1 − 0.492703 = 0.507297 หรือ 50.7297%

กระบวนการนี้สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปสำหรับกลุ่มคน *n* คน เมื่อ *p*(*n*) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม *n* คนมีวันเกิดตรงกัน เราคำนวณง่ายขึ้นด้วย *p̅*(*n*) คือความน่าจะเป็นที่วันเกิดของ *n* คนแตกต่างกันทั้งหมด ตามหลักรังนกพิราบ *p̅*(*n*) จะเป็นศูนย์เมื่อ *n* > 365 และเมื่อ *n* ≤ 365 จะได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\times \cdots \times \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\&={365\times 364\times \cdots \times (365-n+1) \over 365^{n}}\\&={365! \over 365^{n}(365-n)!}={\frac {n!\cdot {365 \choose n}}{365^{n}}}={\frac {^{365}P\_{n}}{365^{n}}}\end{aligned}}}
โดยสัญลักษณ์ ! คือตัวดำเนินการแฟกทอเรียล {\displaystyle \textstyle {365 \choose n}} คือสัมประสิทธิ์ทวินาม และ {\displaystyle {^{k}P\_{r}}} หมายถึงการเรียงสับเปลี่ยน

สมการดังกล่าวแสดงข้อเท็จจริงว่า สำหรับคนที่หนึ่งไม่มีคนใดที่มีวันเกิดตรงกัน (365/365) สำหรับคนที่สองก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่ง (364/365) สำหรับคนที่สามก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่งและที่สอง (363/365) ฯลฯ และในกรณีทั่วไปวันเกิดของคนที่ *n* ก็จะไม่มีวันเกิดตรงกับ *n* − 1 คนที่อยู่ก่อนหน้า

เหตุการณ์ที่อย่างน้อยสองคนจากกลุ่มคน *n* คนมีวันเกิดตรงกัน คือเหตุการณ์เติมเต็มที่วันเกิดของ *n* คนแตกต่างกันทั้งหมด เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น *p*(*n*) จะมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)\,}
ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเกินกว่า 1/2 เมื่อ *n* = 23 (ค่าจริงประมาณ 50.7%) ตารางต่อไปนี้แสดงความน่าจะเป็นสำหรับ *n* อื่น ๆ บางค่า (โดยไม่พิจารณาปีอธิกสุรทินตามที่ได้อธิบายแล้วด้านบน)

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่ไม่มีใครเลยในกลุ่มคน *n* คนมีวันเกิดตรงกัน สังเกตว่ามาตราส่วนตามแนวตั้งเป็นลอการิทึม (แต่ละขีดจากบนลงล่างลดลงทีละ 1020 เท่า)

| *n* | *p*(*n*) |
| --- | --- |
| 10 | 11.7% |
| 20 | 41.1% |
| 23 | 50.7% |
| 30 | 70.6% |
| 50 | 97.0% |
| 57 | 99.0% |
| 100 | 99.99997% |
| 200 | 99.9999999999999999999999999998% |
| 300 | (100 − (6×10−80))% |
| 350 | (100 − (3×10−129))% |
| 365 | (100 − (1.45×10−155))% |
| 366 | 100% |

การประมาณค่า
------------

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน (แดง) และเหตุการณ์เติมเต็มของมัน (น้ำเงิน)
กราฟแสดงความแม่นยำของการประมาณค่าด้วย {\displaystyle 1-e^{-n^{2}/(2\times 365)}} (ขาว)
การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }
สามารถประมาณค่า *e**x* อันดับที่หนึ่งเมื่อ *x* ≪ 1 ดังนี้

{\displaystyle e^{x}\approx 1+x\ }
เพื่อใช้การประมาณนี้แก่นิพจน์แรกที่มาจาก *p̅*(*n*) กำหนดให้ *x* = −*i*/365 ดังนั้นเราจะได้

{\displaystyle e^{-i/365}\approx 1-{\frac {i}{365}}\ }
จากนั้นแทนที่ *i* ด้วยจำนวนเต็มไม่เป็นลบสำหรับแต่ละพจน์ในสูตรของ *p̅*(*n*) จนกระทั่ง *i* = *n* − 1 ตัวอย่างเช่นเมื่อ *i* = 1 จะได้

{\displaystyle e^{-1/365}\approx 1-{\frac {1}{365}}\ }
นิพจน์แรกที่มาจาก *p̅*(*n*) จึงสามารถประมาณค่าได้ดังนี้

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&\approx 1\times e^{-1/365}\times e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}\\&=1\times e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}\\&=e^{-(n(n-1)/2)/365}\end{aligned}}}
เพราะฉะนั้น

{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-n(n-1)/(2\times 365)}}
การประมาณที่หยาบกว่าของสูตรดังกล่าวคือ

{\displaystyle p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/(2\times 365)}}
ซึ่งยังคงแม่นยำพอใช้ได้ ดังที่เห็นจากกราฟในภาพประกอบ

จากการประมาณค่าดังกล่าว แนวทางที่เหมือนกันสามารถใช้ได้กับ "คน" และ "วัน" จำนวนเท่าใดก็ได้ ถ้าให้จำนวนวันเป็น *n* วันแทนที่จะเป็น 365 วัน ให้จำนวนคน *m* คน และ *m* ≪ *n* จากแนวทางข้างต้นเราจะได้ผลสำเร็จเป็น *Pr*[(*m*, *n*)] คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม *m* คน มีวันเกิดตรงกันภายใน *n* วันที่กำหนด ดังนี้

{\displaystyle Pr[(m,n)]\approx 1-e^{-m^{2}/2n}\ }
### การยกกำลังอย่างง่าย

ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันเท่ากับ 364/365 หากกลุ่มคนมีจำนวน *n* คน จะสามารถจับคู่ได้ *C*(*n*, 2) = *n*(*n* − 1)/2 คู่ หรือเรียกได้ว่ามี *C*(*n*, 2) เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันในกลุ่มคนดังกล่าว สามารถประมาณได้จากเหตุการณ์เหล่านี้ซึ่งสมมติว่าเป็นอิสระต่อกัน โดยคูณความน่าจะเป็นของพวกมันเข้าด้วยกัน กล่าวอย่างสั้นคือ 364/365 สามารถคูณกับตัวเองเป็นจำนวน *C*(*n*, 2) ตัว จะได้

{\displaystyle {\bar {p}}(n)\approx \left({\frac {364}{365}}\right)^{C(n,2)}}
เนื่องจากสิ่งนี้คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครมีวันเกิดตรงกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีใครบางคนมีวันเกิดตรงกันก็คือ

{\displaystyle p(n)\approx 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{C(n,2)}}
### การประมาณปัวซง

ใช้การประมาณปัวซงสำหรับทวินามกับกลุ่มคน 23 คน

{\displaystyle \mathrm {Poi} \left({\frac {C(23,2)}{365}}\right)=\mathrm {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} (0.6932)}
{\displaystyle \Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)\approx 1-e^{-0.6932}\approx 1-0.499998=0.500002}
ผลลัพธ์มีค่ามากกว่า 50% เช่นเดียวกับที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

### การประมาณจำนวนคน

การประมาณจำนวนคนเท่าที่จำเป็นที่จะทำให้เกิดโอกาส 50% เป็นอย่างน้อยที่จะมีวันเกิดตรงกัน โดยแฟรงก์ เอช. แมทิส สามารถหาได้จากสูตรดังนี้

{\displaystyle n\approx {\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}-2\times 365\times \ln(0.5)}}=22.999943}
นี่เป็นผลลัพธ์ของการประมาณที่ดี ซึ่งเหตุการณ์ 1 ใน *k* ของความน่าจะเป็นจะมีโอกาสเกิดขึ้น 50% เป็นอย่างน้อย ถ้าเหตุการณ์นั้นเกิดซ้ำ *k* ln 2 ครั้ง 

### ตารางความน่าจะเป็น

บทความหลัก: การโจมตีวันเกิด

| ความยาวสายอักขระฐานสิบหก | #บิต | ขนาดของปริภูมิแฮช(2#บิต) | จำนวนสมาชิกของแฮชที่ทำให้ {ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันอย่างน้อยหนึ่งครั้ง = *p*} |
| --- | --- | --- | --- |
| *p* = 10−18 | *p* = 10−15 | *p* = 10−12 | *p* = 10−9 | *p* = 10−6 | *p* = 0.1% | *p* = 1% | *p* = 25% | *p* = 50% | *p* = 75% |
| 8 | 32 | 4.3×109 | 2 | 2 | 2 | 2.9 | 93 | 2.9×103 | 9.3×103 | 5.0×104 | 7.7×104 | 1.1×105 |
| 16 | 64 | 1.8×1019 | 6.1 | 1.9×102 | 6.1×103 | 1.9×105 | 6.1×106 | 1.9×108 | 6.1×108 | 3.3×109 | 5.1×109 | 7.2×109 |
| 32 | 128 | 3.4×1038 | 2.6×1010 | 8.2×1011 | 2.6×1013 | 8.2×1014 | 2.6×1016 | 8.3×1017 | 2.6×1018 | 1.4×1019 | 2.2×1019 | 3.1×1019 |
| 64 | 256 | 1.2×1077 | 4.8×1029 | 1.5×1031 | 4.8×1032 | 1.5×1034 | 4.8×1035 | 1.5×1037 | 4.8×1037 | 2.6×1038 | 4.0×1038 | 5.7×1038 |
| (96) | (384) | (3.9×10115) | 8.9×1048 | 2.8×1050 | 8.9×1051 | 2.8×1053 | 8.9×1054 | 2.8×1056 | 8.9×1056 | 4.8×1057 | 7.4×1057 | 1.0×1058 |
| 128 | 512 | 1.3×10154 | 1.6×1068 | 5.2×1069 | 1.6×1071 | 5.2×1072 | 1.6×1074 | 5.2×1075 | 1.6×1076 | 8.8×1076 | 1.4×1077 | 1.9×1077 |

ช่องสีขาวในตารางนี้แสดงจำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น ที่ทำให้ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันตามกำหนด (ตามหลัก) โดยกำหนดปริภูมิแฮชในหน่วยบิตขนาดต่าง ๆ (ตามแถว) อุปมากับปัญหาวันเกิดได้ว่า "ขนาดของปริภูมิแฮช" คล้ายกับ "จำนวนวันที่ใช้ได้", "ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกัน" คล้ายกับ "ความน่าจะเป็นที่คนมีวันเกิดตรงกัน", และ "จำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น" ก็คล้ายกับ "จำนวนคนที่จำเป็นในกลุ่ม" แน่นอนว่าใครก็ตามสามารถใช้แผนผังนี้เพื่อกำหนดขนาดของแฮชน้อยสุดที่จำเป็น (โดยกำหนดขอบเขตบนของแฮชและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด) หรือความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันได้ (เพื่อหาจำนวนแฮชตายตัวและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด)

ยกตัวอย่างเพื่อการเปรียบเทียบ ความน่าจะเป็น 10−18 ถึง 10−15 คืออัตราความผิดพลาดบิตที่แก้ไขไม่ได้ของฮาร์ดดิสก์ทั่วไป  ฟังก์ชันแฮช 128 บิตอย่างเช่น เอ็มดี5 จึงควรดำรงอยู่ในช่วงนั้นจนกว่าจะแฮชเอกสารไปแล้วประมาณ 8.2 แสนล้านเอกสารในทางทฤษฎี ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของมันจะมีได้มากยิ่งกว่านั้น

ขอบเขตบน
--------

การอ้างเหตุผลด้านล่างดัดแปลงจากการอ้างเหตุผลของพอล ฮาลโมส 

ความน่าจะเป็นที่ไม่มีวันเกิดของคนใดตรงกัน ดังที่ได้อธิบายไว้ด้านบนคือ

{\displaystyle 1-p(n)={\bar {p}}(n)=\prod \_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}
จากย่อหน้าก่อน ๆ นั้น สิ่งที่สนใจคือค่าของ *n* น้อยสุดที่ทำให้ *p*(*n*) > 1/2 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าของ *n* น้อยสุดที่ทำให้ *p̅*(*n*) < 1/2

ใช้อสมการ 1 − *x* < *e*−*x* จากนิพจน์ด้านบนซึ่งเราได้แทนค่า 1 − *k*/365 ด้วย *e*−*k*/365 จะได้ว่า

{\displaystyle {\bar {p}}(n)=\prod \_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)<\prod \_{k=1}^{n-1}\left(e^{-k/365}\right)=e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}}
เพราะฉะนั้น นิพจน์ดังกล่าวมิได้เป็นเพียงแค่การประมาณค่า แต่ยังเป็นขอบเขตบนของ *p̅*(*n*) ด้วย

อสมการนี้

{\displaystyle e^{-(n(n-1))/(2\cdot 365)}<{\frac {1}{2}}}
แสดงนัยถึง *p̅*(*n*) < 1/2 แก้อสมการเพื่อหาค่า *n* จะได้

{\displaystyle n^{2}-n>2\times 365\ln 2\,\!}
730 ln 2 มีค่าประมาณ 505.997 ซึ่งน้อยกว่า 506 เล็กน้อย ค่าของ *n*2 − *n* ขึ้นมาถึง 506 เมื่อ *n* = 23 ดังนั้น 23 คนก็เพียงพอที่จะเป็นคำตอบ

อย่างไรก็ดี การแก้สมการ *n*2 − *n* = 2 · 365 ln 2 เพื่อหาค่า *n* ก็จะเป็นสูตรประมาณของแฟรงก์ เอช. แมทิส ดังที่ได้แสดงไว้แล้ว

การได้มานี้แสดงเพียงว่า 23 คนเป็นจำนวนคนที่ *มากสุด* ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าวันเกิดจะตรงกันด้วยโอกาสครึ่งต่อครึ่ง กล่าวคือมันเปิดโอกาสความเป็นไปได้ว่าหาก *n* เท่ากับ 22 คนหรือน้อยกว่าก็อาจได้ผลเช่นกัน

อ้างอิงและเชิงอรรถ
------------------

1. ↑  คำว่า "ปฏิทรรศน์" นี้มิได้หมายถึงความรู้สึกที่นำไปสู่ความขัดแย้งทางตรรกศาสตร์ แต่ถูกหยิบยกขึ้นเนื่องจากความจริงทางคณิตศาสตร์ขัดแย้งกับการหยั่งรู้ด้วยตนเอง กล่าวคือคนส่วนใหญ่มักประมาณว่าโอกาสที่คนสองคนจะมีวันเกิดตรงกันต้องน้อยกว่า 50% อย่างมาก สำหรับกลุ่มคน 23 คน
2. ↑  ในความเป็นจริง วันเกิดไม่แจกแจงตลอดทั้งปีอย่างเท่าเทียมกัน การเกิดต่อวันในบางฤดูกาลมีมากกว่าฤดูกาลอื่น แต่เพื่อจุดมุ่งหมายของปัญหานี้ การแจกแจงจะถูกทำให้เป็นเอกรูป (รูปแบบเดียว)
3. ↑  Murphy, Ron. "An Analysis of the Distribution of Birthdays in a Calendar Year". สืบค้นเมื่อ 2011-12-27.
4. ↑  Mathers, C D (1983). "Seasonal Distribution of Births in Australia". *International Journal of Epidemiology*. **12** (3): 326–331. doi:10.1093/ije/12.3.326. สืบค้นเมื่อ 2011-12-27. `{{cite journal}}`: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ `|coauthors=` ถูกละเว้น แนะนำ (`|author=`) (help)
5. ↑  Mathis, Frank H. (1991). "A Generalized Birthday Problem". *SIAM Review*. Society for Industrial and Applied Mathematics. **33** (2): 265–270. doi:10.1137/1033051. ISSN 0036-1445. JSTOR 2031144. OCLC 37699182. `{{cite journal}}`: Cite ไม่รู้จักพารามิเตอร์ว่างเปล่า s: `|quotes=` และ `|coauthors=` (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ `|month=` ถูกละเว้น (help)
6. ↑  Jim Gray, Catharine van Ingen. Empirical Measurements of Disk Failure Rates and Error Rates
7. ↑  ฮาลโมสได้วิจารณ์รูปแบบของปฏิทรรศน์วันเกิดที่มักจะถูกนำเสนอ ด้วยการคำนวณเชิงตัวเลขในอัตชีวประวัติของเขา เขาเชื่อว่ามันควรใช้เป็นตัวอย่างของมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่นามธรรมมากขึ้น เขาเขียนว่า

> "การให้เหตุผลมีพื้นฐานอยู่บนเครื่องมือสำคัญที่ว่าผู้ศึกษาคณิตศาสตร์ทุกคนควรพร้อมที่จะเข้าถึง ปัญหาวันเกิดเคยเป็นการสาธิตที่ยอดเยี่ยมของความได้เปรียบแห่งความคิดอันบริสุทธิ์เหนือการจัดดำเนินการเชิงกล อสมการสามารถได้มาในนาทีสองนาที ในขณะที่การคูณจะใช้เวลายิ่งกว่านั้นมาก และทำให้เกิดความผิดพลาดมากขึ้นไปอีก ไม่ว่าเครื่องมือนั้นจะเป็นดินสอหรือเครื่องคำนวณบนโต๊ะที่ล้าสมัย สิ่งที่เครื่องคิดเลขไม่ได้ให้ผลลัพธ์ออกมานั่นคือความเข้าใจ หรือคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ หรือพื้นฐานที่หนักแน่นสำหรับทฤษฎีวางนัยทั่วไปชั้นสูงยิ่งขึ้น"