แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway)ได้
**เพนดูลัมผกผัน** (อังกฤษ: Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน
-------------------------------------

ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน {\displaystyle x-y} ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ {\displaystyle \theta (t)} คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว {\displaystyle l} ให้แรงจากภายนอกเป็น *{\displaystyle F}* กระทำในทิศ {\displaystyle x} ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน {\displaystyle y} และกำหนดให้ {\displaystyle x(t)} เป็นระยะของรถในแกน {\displaystyle x} ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้ {\displaystyle L=T-V} โดย {\displaystyle T} คือพลังงานจลน์ของระบบ และ {\displaystyle V} คือพลังงานศักย์ของระบบ

รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
{\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv\_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv\_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }
  
โดย {\displaystyle v\_{1}} เป็นความเร็วของของตัวรถ {\displaystyle v\_{2}} เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล m ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.
  
ทั้งนี้ {\displaystyle v\_{1}} และ {\displaystyle v\_{2}} สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ {\displaystyle x} และ \theta  ดังต่อไปนี้ 

{\displaystyle v\_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}
{\displaystyle v\_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}
ทำการลดรูป {\displaystyle v\_{2}} ได้ผลเป็น

{\displaystyle v\_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}
แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }
และสมการการเคลื่อนที่:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}
แทนที่ {\displaystyle L} ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้ 

{\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}
{\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }
จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น {\displaystyle 0} ได้ ({\displaystyle \theta \approx 0}) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

ดูเพิ่ม
-------

* ทฤษฎีระบบควบคุม
* Segway
* เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)

อ้างอิง
-------

1. ↑  เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
2. ↑  M.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989
3. ↑  Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
4. ↑  [*ลิงก์เสีย*] Simple Inverted Pendulum Cart Dynamics
Lagrangian Development by Jaspen Patenaude

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน  เก็บถาวร 2007-05-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
* Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
* Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition 6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
* เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
* วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)