กราฟลงสีของฟังก์ชัน

  

*f*(*x*) = (*x*2 − 1)(*x* − 2 − *i*)
2/*x*2 + 2 + 2*i*  

สีสันแทนค่าอาร์กิวเมนต์ และความสว่างแทนขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
**การวิเคราะห์เชิงซ้อน** (อังกฤษ: Complex analysis) หรืออีกชื่อหนึ่งคือ **ทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน** (อังกฤษ: Theory of functions of a complex variable) เป็นสาขาของคณิตวิเคราะห์ที่ศึกษาฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีประยุกต์ใช้ในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์มากมาย เช่น เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ทฤษฎีจำนวน คอมบินาทอริกส์เชิงวิเคราะห์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในฟิสิกส์มีการใช้ความรู้ทางการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาใน กลศาสตร์ของไหล เทอร์โมไดนามิกส์ และ ฟิสิกส์ควอนตัม

ฟังก์ชันที่นิยมศึกษาในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในโดเมน และสามารถประมาณค่าได้ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดนั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันจึงเป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์

ประวัติ
-------

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นสาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่มีมาอย่างยาวนานตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์สำคัญที่มีผลงานในสาขานี้เช่น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ แบร์นฮาร์ท รีมันน์ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี คาร์ล ไวเออร์ชตราส และ ลาร์ส อาห์ลฟอร์ส ตลอดจนนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 คนอื่น ๆ

บทประยุกต์สำคัญของการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือใช้ในระบบพลวัตเชิงซ้อน ซึ่งเป็นการพิจารณาระบบพลวัตของฟังก์ชันเชิงซ้อน และภาพแฟรกทัลที่เกิดขึ้นจากระบบพลวัติเชิงซ้อนนั้น ในทางทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นเครื่องมือสำคัญของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ โดยผ่านฟังก์ชันในการวิเคราะห์เชิงซ้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันมอดุลาร์

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
-------------------

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
ฟังก์ชันเชิงซ้อน คือฟังก์ชัน {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } จากเซตของจำนวนเชิงซ้อน ไปยังเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเชิงซ้อน f จะหาอนุพันธ์ที่จุด {\displaystyle z\_{0}\in \mathbb {C} } ได้ก็ต่อเมื่อลิมิต

{\displaystyle f'(z\_{0})=\lim \_{z\to z\_{0}}{\frac {f(z)-f(z\_{0})}{z-z\_{0}}}}

หาค่าได้ ซึ่งเป็นนิยามที่คล้ายคลึงกับนิยามการอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง แต่เนื่องจากลิมิตของจำนวนเชิงซ้อนต้องหาค่าได้ทุกทิศทาง และไม่จำเพาะเฉพาะทิศทางซ้ายและขวา (หรือบวกและลบ) อย่างในลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ความแตกต่างนี้ทำให้ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้มีลักษณะแตกต่างจากฟังก์ชันค่าจริงที่หาอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนเซตเปิด {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} } บางเซตของจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่า *ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบน* {\displaystyle \Omega }

สมบัติสำคัญของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เช่น

* ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นอนันต์
* ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ นั่นคือ สำหรับแต่ละจุดในโดเมน ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถเขียนแทนได้ด้วยอนุกรมกำลังที่ลู่เข้า

ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
---------------------

ดูบทความหลักที่: ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบเครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์เชิงซ้อนอีกอันหนึ่งคือ ปริพันธ์ตามเส้น

บนระนาบเชิงซ้อน ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีกล่าวว่า หากพิจารณาปริพันธ์ตามเส้นของเส้นโค้งปิด (ซึ่งเรียกว่าปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ) และฟังก์ชันที่หาปริพันธ์เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณที่ทางเดินปิดนั้นล้อมรอบ แล้วปริพันธ์จะมีค่าเท่ากับศูนย์โดยทันที และค่าของฟังก์ชันในบริเวณปิดดังกล่าว จะหาได้จากปริพันธ์ตามเส้นตัวหนึ่งบนทางเดินปิดนั้น (ดู สูตรปริพันธ์ของโคชี) ในบางครั้ง เราสามารถใช้การหาปริพันธ์ตามเส้นบนระนาบเชิงซ้อน เพื่อหาปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริงบางตัวได้ ซึ่งเรียกวิธีการนี้ว่า วิธีการปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ

ฟังก์ชันเชิงซ้อนบางตัวจะมี โพล ซึ่งเป็นจุดที่ทำให้ค่าของฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่มีขอบเขต เราสามารถคำนวณ เรซิดิว สำหรับแต่ละโพลได้ ซึ่งเรซิดิวจะใช้ในการหาปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบได้ ความสัมพันธ์นี้ปรากฏใน ทฤษฎีบทเรซิดิว

อ้างอิง
-------

1. ↑  Griffiths, Phillip (1978). *Principles of algebraic geometry*. Joe Harris. New York: Wiley. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444.
2. ↑  Pathak, Hemant Kumar (2019). *Complex analysis and applications*. Singapore. ISBN 978-981-13-9734-9. OCLC 1119665489.
3. ↑  Gray, Jeremy (2015). *Real and the complex : a history of analysis in the 19th century*. Cham. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.
4. ↑  "Lars Valerian Ahlfors". *abel.harvard.edu*.
5. ↑  Beardon, Alan F. (2000). *Iteration of rational functions : complex analytic dynamical systems*. New York: Springer. ISBN 0-387-95151-2. OCLC 51647353.
6. ↑  Apostol, Tom M. (1990). *Modular functions and Dirichlet series in number theory* (2 ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97127-0. OCLC 20262861.

อ่านเพิ่มเติม
-------------

* Ahlfors, Lars V. (1979). *Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable* (3 ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1. OCLC 4036464.
* Priestley, H. A. (2003). *Introduction to complex analysis* (2 ed.). Oxford. ISBN 978-0-19-158333-9. OCLC 874563358.
* Needham, Tristan (1997). *Visual complex analysis*. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853447-7. OCLC 36523806.

ดูเพิ่ม
-------

* การส่งคงรูป
* การต่อเนื่องวิเคราะห์
* ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว
* ฟังก์ชันยูนิวาเลนต์
* การวิเคราะห์เชิงจริง

| * ด
* ค
* ก
สาขาของวิชาคณิตศาสตร์ |
| --- |
| 
* ประวัติ
	+ เส้นเวลา
* โครงร่าง
* หัวข้อ
* อภิธานศัพท์

 |
| รากฐาน | 
* ทฤษฎีเซต
* คณิตตรรกศาสตร์
	+ ทฤษฎีการพิสูจน์
	+ ทฤษฎีโมเดล
	+ ทฤษฎีการเวียนเกิด
* ทฤษฎีแคทิกอรี
* ทฤษฎีไทป์
* ปรัชญาของคณิตศาสตร์

 |
| พีชคณิต | 
* พีชคณิตพื้นฐาน
* พีชคณิตเชิงเส้น
	+ พีชคณิตเชิงหลายเส้น
* พีชคณิตนามธรรม
	+ ทฤษฎีกรุป
	+ ทฤษฎีกาลัว
	+ พีชคณิตสลับที่
* พีชคณิตสากล
* พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี

 |
| คณิตวิเคราะห์ | 
* แคลคูลัส
* การวิเคราะห์เชิงจริง
* การวิเคราะห์เชิงซ้อน
* การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
* การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
* ทฤษฎีเมเชอร์‎
* สมการเชิงอนุพันธ์

 |
| วิยุตคณิต | 
* คณิตศาสตร์เชิงการจัด
* ทฤษฎีกราฟ
* ทฤษฎีเกม
* ทฤษฎีอันดับ

 |
| เรขาคณิต | 
* เรขาคณิตจำกัด
* เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
* เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
* เรขาคณิตแบบยุคลิด
* เรขาคณิตวิเคราะห์
* เรขาคณิตวิยุต

 |
| ทฤษฎีจำนวน | 
* เลขคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
* เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

 |
| ทอพอโลยี | 
* ทอพอโลยีทั่วไป
* ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
* ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต
	+ ทฤษฎีเงื่อน
* ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์
* ทฤษฎีโฮโมโทปี

 |
| ประยุกต์ | 
* ความน่าจะเป็น
* สถิติศาสตร์
* คณิตศาสตร์การเงิน
* คณิตศาสตร์เคมี
* คณิตศาสตร์จิตวิทยา
* คณิตศาสตร์ชีววิทยา
* คณิตศาสตร์ฟิสิกส์
* คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์
* ทฤษฎีระบบควบคุม

 |
| คณนา | 
* การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
* การหาค่าเหมาะที่สุด
* ทฤษฎีการคำนวณ
* พีชคณิตของคอมพิวเตอร์
* วิทยาการคอมพิวเตอร์

 |
| อื่น ๆ | 
* ประวัติของคณิตศาสตร์
* คณิตศาสตร์นันทนาการ
* คณิตศาสตร์และศิลปะ
* การสอนคณิตศาสตร์

 |
| 
* หมวดหมู่ **หมวดหมู่**
* สถานีย่อย **สถานีย่อย**

 |