ในทางฟิสิกส์ **ฟังก์ชันกำเนิด** (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง (**q**, **p**, *H*) และ (**Q**, **P**, *K*) ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)} และ {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :

{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}
ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้

{\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}
โดยที่ G จะเป็นฟังก์ชันกำเนิด (Generating function) ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า (**q** หรือ **p**) และระบบใหม่ ระบบเก่า (**Q** หรือ **P**) และ λ จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้ {\displaystyle \lambda =1}

สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้

รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันกำเนิด
-----------------------------

{\displaystyle G\_{1}} ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่

{\displaystyle G\equiv G\_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

{\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G\_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G\_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G\_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G\_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G\_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G\_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}

รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันกำเนิด
-----------------------------

{\displaystyle G\_{2}} ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่

{\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G\_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

{\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G\_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G\_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G\_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G\_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G\_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G\_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}

รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันกำเนิด
-----------------------------

{\displaystyle G\_{3}} ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่

{\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G\_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

{\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G\_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G\_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G\_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G\_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G\_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G\_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}

รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันกำเนิด
-----------------------------

{\displaystyle G\_{4}} ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่

{\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G\_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

{\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G\_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G\_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G\_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G\_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G\_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G\_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}