สำหรับความหมายอื่น ดูที่ รูต
ในทางคณิตศาสตร์ **รากที่ *n*** ของจำนวน *x* คือจำนวน *r* ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง *n* แล้วจะเท่ากับ *x* นั่นคือ

{\displaystyle r^{n}=x\,}
ตัวแปร *n* คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นดีกรีของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี *n* จะเรียกว่ารากที่ *n* เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่ารากที่สอง รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น

* 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 22 = 4
* −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)2 = 4

รากที่ *n* ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย**กรณฑ์** ซึ่งมีลักษณะดังนี้ {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ *x* เขียนแทนด้วย {\displaystyle {\sqrt {x}}} รากที่สามเขียนแทนด้วย {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} รากที่สี่เขียนแทนด้วย {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า **รากที่ *n* มุขสำคัญ** (principal *n*-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่า**เสิร์ด** (surd) หรือ**ราก** (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่า**รูต** (root)

ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{(1/n)}}
รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ *n* อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

ประวัติ
-------

ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์, เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว *r*, ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า *radix* ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม. ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ *Die Coss* โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน.

คุณสมบัติทั่วไป
---------------

1. ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
2. ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อยๆ อย่างเช่น {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562373095048...} จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
3. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}
4. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
5. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}={\sqrt[{n-1}]{a}}}
6. {\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {+...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a+1}}}{2}}}
7. {\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {a-{\sqrt {a+{\sqrt {-...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a-3}}}{2}}}
8. {\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}\neq } {\displaystyle \pm \left|a\right|} เมื่อ {\displaystyle a<0}

ปฏิบัติการมูลฐาน
----------------

* การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad ;a\geq 0,b\geq 0}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad ;a\geq 0,b>0}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},} ; a > 0, b > 0
* ขณะที่ *a* และ *b* ต่างเป็นจำนวนบวก.

และทุกๆ *a* เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ , จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง *b**n* = *a*, ดังนั้นการใช้ {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้. รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง.

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้, โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,}
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}\,}
ตัวอย่าง:

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{\frac {25+12}{15}}=a^{\frac {37}{15}}}
{\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt[{4}]{a}}}=a^{\frac {1}{2}}a^{\frac {-1}{4}}=a^{\frac {4-2}{8}}=a^{\frac {2}{8}}=a^{\frac {1}{4}}}
* การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}
{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}
{\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
{\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Bansal, R.K. (2006). *New Approach to CBSE Mathematics IX*. Laxmi Publications. p. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
2. ↑  Silver, Howard A. (1986). *Algebra and trigonometry*. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2.
3. ↑  Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (ภาษาละติน).