สี่ผลบวกย่อยแรกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ พาราโบลานี้คือเส้นกำกับปรับเรียบของมัน จุดตัด "y" คือ −1/12
ผลบวกของทุกจำนวนธรรมชาติ **1 + 2 + 3 + 4 + ⋯** เป็นอนุกรมลู่ออก ผลบวกย่อยที่ *n* ของอนุกรมเป็นจำนวนสามเหลี่ยม

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต โดย *n* เป็นอนันต์ เนื่องจากลำดับของผลบวกย่อยไม่ลู่เข้าลิมิตจำกัดค่าหนึ่ง อนุกรมดังกล่าวจึงลู่ออก และไม่มีผลบวกในความหมายทั่วไป

แม้ว่าอนุกรมนี้ไม่มีค่าที่มีความหมายใด ๆ เมื่อแรกเห็น แต่อนุกรมนี้สามารถเปลี่ยนรูปให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ ซึ่งบางผลลัพธ์นั้นมีการใช้ในสาขาอื่น เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีสตริง มีการใช้วิธีการรวมยอดจำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดค่าตัวเลขให้แม้แต่กับอนุกรมลู่ออก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตา (zeta function regularization) และการรวมยอดรามานุจันกำหนดให้อนุกรมมีค่า −1/12 ซึ่งแสดงโดยสูตรอันขึ้นชื่อ

{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}
ในเอกสารเฉพาะเรื่องว่าด้วยทฤษฎีแสงจันทร์ (moonshine theory) เทอร์รี แกนนอนเรียกสมการนี้ว่า "หนึ่งในสูตรที่สะดุดตาที่สุดของวิทยาศาสตร์"

ผลบวกบางส่วน
------------

จำนวนสามเหลี่ยมหกจำนวนแรก
ผลบวกบางส่วนของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ คือ 1, 3, 6, 10, 15 ฯลฯ ผลบวกที่ *n* หาได้จากสูตรง่าย ๆ

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
พีทาโกรัสและศิษย์ (Pythagorean) อาจทราบสมการดังกล่าวตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล จำนวนในรูปนี้เรียก จำนวนสามเหลี่ยม เพราะสามารถจัดจำนวนเหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมได้

ลำดับอจำนวนสามเหลี่ยมอนันต์ลู่ออกเป็น +∞ ฉะนั้นโดยบทนิยาม อนุกรมอนันต์ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ จึงลู่ออกเป็น +∞ เช่นกัน การลู่ออกเป็นผลอย่างง่ายของอนุกรมรูปแบบนี้ พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ ฉะนั้นอนุกรมจึงลู่ออกโดยการทดสอบพจน์

การรวมยอดได้
------------

บันทึกของศรีนิวาสะ รามานุจัน
ในบรรดาอนุกรมลู่ออกคลาสสิก 1 + 2 + 3 + 4 + · · · นั้นจัดรูปให้เป็นค่าจำกัดได้ค่อนข้างยาก มีการใช้วิธีการรวมยอดจำนวนมากเพื่อให้ค่าจำนวนแก่อนุกรมลู่ออก ซึ่งบางวิธีทรงพลัง (powerful) กว่าวิธีอื่น ตัวอย่างเช่น การรวมยอดเซซาโรซึ่งใช้หาผลบวกของอนุกรมแกรนดี (อนุกรมลู่ออก 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯) เป็น 1/2 การรวมยอดอะเบลเป็นวิธีทรงพลังกว่าซึ่งไม่เพียงหาผลบวกของอนุกรมแกรนดีเป็น 1/2 เท่านั้น แต่ยังหาผลบวกของอนุกรมที่ซับซ้อนกว่า 1 − 2 + 3 − 4 + · · · เป็น 1/4 ด้วย

1 + 2 + 3 + 4 + · · · แตกต่างจากสองอนุกรมข้างต้น คือ ไม่สามารถรวมได้ด้วยการรวมยอดเซซาโรหรืออะเบล วิธีเหล่านั้นใช้ได้กับอนุกรมลู่ออกที่แกว่งกวัด แต่ไม่สามารถให้คำตอบจำกัดแก่อนุกรมที่ลู่ออกสู่ +∞ ได้ บทนิยามที่มูลฐานกว่าของผลบวกอนุกรมลู่ออกส่วนใหญ่เสถียรและเป็นเชิงเส้น และวิธีการใดที่ทั้งเสถียรและเป็นเชิงเส้นไม่สามารถหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +... เป็นค่าจำกัดได้ จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการขั้นสูงกว่านั้น เช่น การทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตาหรือการรวมยอดรามานุจัน นอกจากนี้การสนับสนุนค่า −1/12 โดยใช้วิทยาการศึกษาสำนึกอย่างหยาบ ๆ ซึ่งสัมพันธ์กับวิธีเหล่านี้ยังเป็นไปได้ด้วย

ศรีนิวาสะ รามานุจันนำเสนอการแปลง "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12" สองแบบในบทที่ 8 ของสมุดบันทึกเล่มแรกของเขา การแปลงแบบง่ายและเคร่งครัดน้อยกว่ามีสองขั้นตอน ดังนี้

วิจารณญาณสำคัญอย่างแรก คือ อนุกรมจำนวนบวก 1 + 2 + 3 + 4 + · · · คล้ายกับอนุกรมสลับ 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ซึ่งอนุกรมที่สองนี้ก็เป็นอนุกรมลู่ออกเช่นกัน แต่สามารถเปลี่ยนรูปได้ง่ายกว่า มีวิธีคลาสสิกหลายวิธีที่กำหนดค่าให้กับอนุกรมนี้ ซึ่งได้มีการสำรวจตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18

ในการแปลงอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + · · · เป็น 1 − 2 + 3 − 4 + · · · สามารถลบ 4 จากพจน์ที่สอง 8 จากพจน์ที่สี่ 12 จากพจน์ที่หกไปเรื่อย ๆ จำนวนรวมที่จะถูกนำมาลบเป็น 4 + 8 + 12 + 16 + · · · ซึ่งเป็น 4 เท่าของอนุกรมดั้งเดิม ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถแสดงด้วยพีชคณิตเล็กน้อย ไม่ว่า "ผลบวก" ของอนุกรมนี้จะเป็นอะไร เรียกมันว่า *c* = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ แล้วคูณสมการนี้ด้วย 4 และลบสมการที่สองออกจากสมการแรก จะได้

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}
วิจารณญาณสำคัญอย่างที่สอง คือ อนุกรมสลับ 1 − 2 + 3 − 4 + · · · เป็นการกระจายอนุกรมกำลังรูปนัยของฟังก์ชัน 1/(1 + *x*)2 โดย 1 เข้าแทนที่ *x* ดังนั้น รามานุจันเขียนว่า 

{\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}
หารด้วย −3 ทั้งสองข้าง จะได้ว่า *c* = −1/12

กล่าวโดยทั่วไป เป็นการอันตรายที่จะจัดรูปอนุกรมอนันต์ราวกับเป็นผลบวกจำกัด และอันตรายเป็นพิเศษสำหรับอนุกรมลู่ออก หากแทรกศูนย์เข้าไปในตำแหน่งคงค่าของอนุกรมลู่ออกหนึ่ง ก็เป็นไปได้ที่จะได้ผลออกมาไม่ต้องกันกับตัวเอง (not self-consistent) ไม่ต้องกล่าวถึงความต้องกับวิธีอื่นเลย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้น 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + · · · ไม่เพียงแต่ให้เหตุผลโดยกฎเอกลักษณ์การบวกอย่างเดียว สำหรับตัวอย่างแบบสุดโต่ง การเพิ่มศูนย์ตัวเดียวเข้าไปหน้าอนุกรมนี้อาจนำไปสู่ผลที่ไม่ต้องกันได้ทีเดียว

ทางหนึ่งที่จะแก้ไขสถานการณ์นี้ และเพื่อบังคับตำแหน่งที่อาจแทรกศูนย์เข้าไป คือ การติดตามแต่ละพจน์ในอนุกรมโดยการติดตัวไม่อิสระ (dependence) ในบางฟังก์ชัน ในอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + · · · แต่ละพจน์ *n* เป็นเพียงจำนวน หากพจน์ *n* ถูกกำหนดใหม่เป็นฟังก์ชัน *n**−s* โดยที่ s เป็นตัวแปรเชิงซ้อน ก็จะสามารถประกันได้ว่ามีเฉพาะพจน์ประเภทเดียวกันเท่านั้นที่จะถูกเพิ่ม อนุกรมอันเป็นผลนี้อาจเปลี่ยนรูปในทำนองที่เคร่งครัดกว่า และตัวแปร *s* สามารถตั้งเป็น −1 ได้ทีหลัง การนำยุทธศาสตร์นี้ไปปฏิบัติเรียก การทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตา

อ้างอิง
-------

1. ↑  Lepowsky, J. (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". ใน Naihuan Jing and Kailash C. Misra (บ.ก.). *Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics*. Contemporary Mathematics. Vol. 248. pp. 327–340. arXiv:math/9909178. Bibcode:1999math......9178L..
2. ↑  Gannon, Terry (April 2010), *Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics*, Cambridge University Press, p. 140, ISBN 978-0521141888.
3. ↑  Pengelley, David J. (2002). "The bridge between the continuous and the discrete via original sources". ใน Otto Bekken; และคณะ (บ.ก.). *Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference*. National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden. p. 3. ISBN 978-9185143009..
4. ↑  Hardy p.10
5. ↑  *Ramanujan's Notebooks*, สืบค้นเมื่อ January 26, 2014
6. ↑  Abdi, Wazir Hasan (1992), *Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician*, National, p. 41
7. ↑  Berndt, Bruce C. (1985), *Ramanujan’s Notebooks: Part 1*, Springer-Verlag, pp. 135–136
8. ↑  Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. สืบค้นเมื่อ 2007-03-22.`{{cite web}}`: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์) Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". *Memoires de l'academie des sciences de Berlin*. **17**: 83–106.
9. ↑  Tao, Terence (April 10, 2010), *The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation*, สืบค้นเมื่อ January 30, 2014
10. ↑  Promoting numbers to functions is identified as one of two broad classes of summation methods, including Abel and Borel summation, by Knopp, Konrad (1990) [1922]. *Theory and Application of Infinite Series*. Dover. pp. 475–476. ISBN 0-486-66165-2.