ระวังสับสนกับ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (numerical analysis)
ตัวดึงดูดประหลาดในรูปคือแนววิถีของสมการเชิงอนุพันธ์สมการหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสาขาสำคัญของคณิตวิเคราะห์ที่มีการประยุกต์ใช้ใน วิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ มากมาย
**คณิตวิเคราะห์** (อังกฤษ: mathematical analysis) เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีศึกษาการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน และรวมไปถึงสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องนั้น เช่น ลิมิต, อนุกรมเลข, อนุพันธ์, ปริพันธ์ รวมไปถึงหัวข้อที่ลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น เช่น ทฤษฎีเมเชอร์และฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย 
คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิตแต่ทั้งนี้สามารถใช้ในการวิเคราะห์ปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความใกล้หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้

ประวัติ
-------

### คณิตวิเคราะห์ในยุคโบราณ

ผลลัพธ์แรกๆในคณิตวิเคราะห์ปรากฏโดยนัยในคณิตศาสตร์ของชาวกรีกยุคแรกๆ ต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เช่นยูโดซัสและอาร์คิมิดีส ได้ใช้หลักการลิมิตและการลู่เข้าที่ชัดแจ้งแต่ไม่เป็นทางการเมื่อเขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของขอบเขตหรือของแข็ง ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 12 ได้ยกตัวอย่างของอนุพันธ์และได้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของโรลล์

### คณิตวิเคราะห์ในยุคกลาง

ในช่วงศตวรรษที่ 14 Madhava of Sangamagrama ได้พัฒนาวิธีการขยายอนุกรม เช่นอนุกรมกำลังและอนุกรมเทเลอร์ของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทงเจ็นต์ และฟังก์ชันแทงเจ็นต์ผกผัน นอกจากการพัฒนาอนุกรมเทเลอร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เขายังคาดคะเนความมากน้อยของเทอมผิดพลาดที่เกิดจากการลดทอนอนุกรมหล่าวนี้ได้อีกด้วย อีกทั้งยังสามารถประมาณค่าของอนุกรมอนันต์ในรูปแบบตรรกยะได้ ต่อมามีการพัฒนาต่อยอดไปอีกในช่วงศตวรรษที่ 20

### คณิตวิเคราะห์สมัยใหม่

ในยุปโรปในช่วงศตวรรษที่ 17 ตอนปลาย นิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์โดยเอกเทศแต่ได้บทสรุปเหมือนกันที่ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยงานประยุกต์ที่มีต่อๆไปในช่วงศตวรรษที่ 18 เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน, สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป และสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อย, การวิเคราะห์ฟูเรียร์, และฟังก์ชันก่อกำเนิด ในช่วงเวลานี้ เทคนิกทางแคลคูลัสได้รับการประยุกต์ใช้เพื่อประมาณค่าทางวิยุตคณิตโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในช่วงศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้คิดค้นแนวคิดฟังก์ชันคณิตศาสตร์ คณิตวิเคราะห์จำนวนจริงได้เริ่มต้นขึ้นโดยเอกเทศเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนคิดค้นคำนิยามของคำว่าความต่อเนื่องในปี 1816 แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้อย่างกว้างขวางก่อนช่วงปี 1870 ในปี 1821 โคชีได้เริ่มสร้างพื้นทางให้กับแคลคูลัสโดยเลิกคำนึงถึงความทั่วไปของพิชคณิตซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์ให้ความสนใจมากก่อนหน้านี้ โคชีใช้แนวคิดกณิกนันต์และแนวคิดทางเรขาคณิตมาใช้ในแคลคูลัส จนทำให้เกิดคำพูดที่ว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากๆของค่า *x* ส่งผลให้ค่า *y* เปลี่ยนแปลงอย่างน้อยๆเช่นกัน เขาเริ่มใช้แนวคิดอนุกรมโคชีและทฤษฎีใหม่ล่าสุดในตอนนั้นซึ่งคือคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อน ปัวซอง, ลียูวิลล, ฟูร์เยร์ และนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆเริ่มศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก นั่นส่งผลให้ไวแยร์สตราสส์พัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

ในช่วงกลางศตวรรษ รีมันน์ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยไวแยร์สตราสส์ผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มมีความกังวลเกี่ยวกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนจริงอยู่บนเส้นจำนวนจริงที่ต่อเนื่องเพราะว่าไม่มีการพิสูจน์ เดเดคินด์จึงได้สร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้ส่วนตัดเดเดคินด์ซึ่งทำให้สามารถนิยามจำนวนอตรรยะได้เป็นอย่างดี ซึ่งส่งผลให้เซตตัวเลขสมบูรณ์ ต่อมามีความพยายามที่จะพัฒนาต่อยอดงานของรีมันน์โดยการศึกษาขนาดของเซตที่ไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันจำนวนจริง

หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึงทฤษฎีบทการแยกประเภทของแบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซต เลอเบกแก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และฮิลแบร์ทได้คิดค้นปริภูมิฮิลแบร์ทเพื่อแก้สมการเชิงปริพันธ์ ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานได้เป็นพื้นฐานให้กับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันในเวลาต่อมาในช่วง 1920 ผ่านงานของ สเตฟาน บานาค

สาขาย่อย
--------

คณิตวิเคราะห์มีสาขาย่อยหลัก ๆ ดังต่อไปนี้

### การวิเคราะห์เชิงจริง

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงจริง
### การวิเคราะห์เชิงซ้อน

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงซ้อน
### สมการเชิงอนุพันธ์

บทความหลัก: สมการเชิงอนุพันธ์
### การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
### ทฤษฎีเมเชอร์

บทความหลัก: ทฤษฎีเมเชอร์
### การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

  

นอกจากนี้ยังมีหัวข้ออื่น ๆ ที่เป็นสาขาย่อยของคณิตวิเคราะห์ลงไปอีก ได้แก่

* แคลคูลัสของการแปรผัน
* การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
* การวิเคราะห์เรขาคณิต
* การวิเคราะห์คลิฟฟอร์ด
* การวิเคราะห์พี-เอดิก
* การวิเคราะห์เชิงไม่มาตรฐาน
* การวิเคราะห์เชิงคำนวณ
* แคลคูลัสสโทแคสติก
* Set-valued analysis
* การวิเคราะห์คอนเวกซ์
* Tropical analysis

หมายเหตุ
--------

1. ↑  "Analysis | mathematics". *Encyclopedia Britannica* (ภาษาอังกฤษ).
2. ↑  "Mathematical analysis - Encyclopedia of Mathematics". *encyclopediaofmath.org*.
3. ↑  Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
4. ↑  Stillwell (2004). "Infinite Series". p. 170. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series 1⁄2 + 1⁄22 + 1⁄23 + 1⁄24 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 1⁄4 + 1⁄42 + 1⁄43 + ... = 4⁄3. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series `{{cite book}}`: `|title=` ไม่มีหรือว่างเปล่า (help)
5. ↑  (Smith, 1958)
6. ↑  Dunham, William (1999). *Euler: The Master of Us All*. The Mathematical Association of America. p. 17.
7. ↑  
	* Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". *The History of Mathematics: A Brief Course*. Wiley-Interscience. p. 379. ISBN 0-471-18082-3. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)

อ้างอิง
-------

* Aleksandrov, A. D. Kolmogorov, A. N. Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. *Mathematics, its Content, Methods, and Meaning*. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
* Apostol, Tom M. 1974. *Mathematical Analysis*. 2nd ed. Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
* Binmore, K.G. 1980–1981. *The foundations of analysis: a straightforward introduction*. 2 volumes. Cambridge University Press.
* Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. *Foundations of mathematical analysis*. New York: M. Dekker.
* Nikol'skii, S. M. 2002. "Mathematical analysis". In *Encyclopaedia of Mathematics*, Michiel Hazewinkel (editor). Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
* Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. *Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques*. EDP Sciences. ISBN 2-86883-681-X.
* Rudin, Walter. 1976. *Principles of Mathematical Analysis*. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), ISBN 978-0-07-085613-4.
* Smith, David E. 1958. *History of Mathematics*. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
* Stillwell, John. 2004. *Mathematics and its History*. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N.. 1927. *A Course of Modern Analysis*. 4th edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.
*

ดูเพิ่ม
-------

* Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
* Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)

| * ด
* ค
* ก
สาขาของวิชาคณิตศาสตร์ |
| --- |
| 
* ประวัติ
	+ เส้นเวลา
* โครงร่าง
* หัวข้อ
* อภิธานศัพท์

 |
| รากฐาน | 
* ทฤษฎีเซต
* คณิตตรรกศาสตร์
	+ ทฤษฎีการพิสูจน์
	+ ทฤษฎีโมเดล
	+ ทฤษฎีการเวียนเกิด
* ทฤษฎีแคทิกอรี
* ทฤษฎีไทป์
* ปรัชญาของคณิตศาสตร์

 |
| พีชคณิต | 
* พีชคณิตพื้นฐาน
* พีชคณิตเชิงเส้น
	+ พีชคณิตเชิงหลายเส้น
* พีชคณิตนามธรรม
	+ ทฤษฎีกรุป
	+ ทฤษฎีกาลัว
	+ พีชคณิตสลับที่
* พีชคณิตสากล
* พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี

 |
| คณิตวิเคราะห์ | 
* แคลคูลัส
* การวิเคราะห์เชิงจริง
* การวิเคราะห์เชิงซ้อน
* การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
* การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
* ทฤษฎีเมเชอร์‎
* สมการเชิงอนุพันธ์

 |
| วิยุตคณิต | 
* คณิตศาสตร์เชิงการจัด
* ทฤษฎีกราฟ
* ทฤษฎีเกม
* ทฤษฎีอันดับ

 |
| เรขาคณิต | 
* เรขาคณิตจำกัด
* เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
* เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
* เรขาคณิตแบบยุคลิด
* เรขาคณิตวิเคราะห์
* เรขาคณิตวิยุต

 |
| ทฤษฎีจำนวน | 
* เลขคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
* เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

 |
| ทอพอโลยี | 
* ทอพอโลยีทั่วไป
* ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
* ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต
	+ ทฤษฎีเงื่อน
* ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์
* ทฤษฎีโฮโมโทปี

 |
| ประยุกต์ | 
* ความน่าจะเป็น
* สถิติศาสตร์
* คณิตศาสตร์การเงิน
* คณิตศาสตร์เคมี
* คณิตศาสตร์จิตวิทยา
* คณิตศาสตร์ชีววิทยา
* คณิตศาสตร์ฟิสิกส์
* คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์
* ทฤษฎีระบบควบคุม

 |
| คณนา | 
* การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
* การหาค่าเหมาะที่สุด
* ทฤษฎีการคำนวณ
* พีชคณิตของคอมพิวเตอร์
* วิทยาการคอมพิวเตอร์

 |
| อื่น ๆ | 
* ประวัติของคณิตศาสตร์
* คณิตศาสตร์นันทนาการ
* คณิตศาสตร์และศิลปะ
* การสอนคณิตศาสตร์

 |
| 
* หมวดหมู่ **หมวดหมู่**
* สถานีย่อย **สถานีย่อย**

 |