ในสาขาพีชคณิต **ดีเทอร์มิแนนต์** (อังกฤษ: determinant) คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ *n* ในมิติ *n*×*n* ของเมทริกซ์จัตุรัส *A* ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ *A* ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัส ซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม

สำหรับจำนวนเต็มบวก *n* ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียงหนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ *n*×*n* เหนือริงสลับที่ใดๆ (commutative ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ *A* สามารถเขียนแทนได้ด้วย det (*A*) หรือ |*A*| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมทริกซ์ (matrix norm) และค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ค่าประจำเมทริกซ์มักจะเขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖*A*‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่างการใช้งาน กำหนดให้ *A* เป็นเมทริกซ์ดังนี้

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}
ดีเทอร์มิแนนต์ของ *A* สามารถเขียนเป็น

{\displaystyle \det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}
ซึ่งวงเล็บเหลี่ยมนอกเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยเส้นตั้งเพียงอย่างเดียว

เมทริกซ์มิติ 2×2
----------------

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากเมทริกซ์มิติ 2×2 เพื่ออธิบายค่าของดีเทอร์มิแนนต์
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ

{\displaystyle \det(A)=ad-bc\,}
ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0), (*a*, *b*), (*a*+*c*, *b*+*d*), และ (*c*, *d*) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา

เมทริกซ์มิติ 3×3
----------------

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}
ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้

{\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg\\&=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb)\end{aligned}}}
ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้

{\displaystyle {\begin{matrix}\color {blue}a&\color {blue}b&\color {blue}c&a&b\\d&\color {blue}e&\color {blue}f&\color {blue}d&e\\g&h&\color {blue}i&\color {blue}g&\color {blue}h\end{matrix}}\quad -\quad {\begin{matrix}a&b&\color {red}c&\color {red}a&\color {red}b\\d&\color {red}e&\color {red}f&\color {red}d&e\\\color {red}g&\color {red}h&\color {red}i&g&h\end{matrix}}}
โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้

เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป
---------------------

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัสบนแถวหรือคอลัมน์หนึ่งๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ *i* คำนวณได้จาก

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{j=1}^{n}A\_{i,j}C\_{i,j}=\sum \_{j=1}^{n}A\_{i,j}(-1)^{i+j}M\_{i,j}}
เมื่อ {\displaystyle M\_{i,j}} คือไมเนอร์ (minor) บนแถวที่ *i* หลักที่ *j* ของเมทริกซ์ *A* นั่นคือค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ *i* หลักที่ *j* ออกไปทั้งหมด ส่วน {\displaystyle C\_{i,j}} คือโคแฟกเตอร์ (cofactor) บนแถวที่ *i* หลักที่ *j* ของเมทริกซ์ *A* ซึ่งมีค่าเท่ากับ {\displaystyle (-1)^{i+j}} คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร

คุณสมบัติ
---------

คุณสมบัติทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์มีดังนี้

* {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)\,}
* {\displaystyle \det(rI\_{n})=r^{n}\,}
* {\displaystyle \det(rA)=\det(rI\_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,}
* {\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\,} เมื่อเมทริกซ์ *A* มีเมทริกซ์ผกผัน
* {\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)\,} เมื่อ *A*T แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ *A*
* {\displaystyle \det(A^{\*})=\det(A)^{\*}\,} เมื่อ *A*\* แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค ของ *A*