**การแปลง Z ขั้นสูง** (อังกฤษ: advanced Z-transform หรือ modified Z-transform) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury) นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993

นิยาม
-----

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

{\displaystyle F(z,m)=\sum \_{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}
โดยที่

* *T* คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
* *m* พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ {\displaystyle m\in [0,T).}

คุณสมบัติ
---------

### ภาวะเชิงเส้น

{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum \_{k=1}^{n}c\_{k}f\_{k}(t)\right\}=\sum \_{k=1}^{n}c\_{k}F(z,m).}
### การเลือนเชิงเวลา

{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}
### การหน่วง

{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}
### การคูณเชิงเวลา

{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}
### ทฤษฎีค่าสุดท้าย

{\displaystyle \lim \_{k=\infty }f(kT+m)=\lim \_{z=1}(1-z^{-1})F(z,m).}
หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วง*m*เป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่างๆ
--------------------------------------

| f(t) | F(z,m) |
| --- | --- |
| **1**(t) | {\displaystyle {\frac {z}{z-1}}} |
| t | {\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}} |
| e-at | {\displaystyle {\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}} |
| 1 - e-at | {\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}} |
| sin ωt | {\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}} |

ตัวอย่าง
--------

ในที่นี้เรากำหนดให้ {\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}

{\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\=&\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\=&\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\=&{\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\end{aligned}}}.
ถ้า {\displaystyle m=0} แล้ว {\displaystyle F(z,m)} จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}
ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ{\displaystyle f(t).}นั้นเอง

เพิ่มเติม
---------

* Z-transform

บรรณานุกรม
----------

* Eliahu Ibraham Jury, *Theory and Application of the Z-Transform Method*, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.

อ้างอิง
-------

1. ↑  
Eliahu Ibrahim Jury (1958). *Sampled-Data Control Systems*. John Wiley & Sons.
2. ↑  
Eliahu Ibrahim Jury (1973). *Theory and Application of the Z-Transform Method*. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.