ในกลศาสตร์ควอนตัม **สัญกรณ์บรา-เค็ท** (อังกฤษ: bra–ket notation) คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("{\displaystyle \langle }", และ "{\displaystyle \rangle }") และ vertical bar ("{\displaystyle \mid }") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)

ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้

{\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle }
ประกอบด้วยส่วนทางขวา {\displaystyle |\psi \rangle } เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)

และส่วนทางด้านซ้าย {\displaystyle \langle \phi |} เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท

สมบัติ
------

สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้ 

*c*1 และ *c*2 แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ 

*c*∗ แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน *c*

*A* แทน *B* แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ 

### ความเป็นเชิงเส้น

เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)

{\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c\_{1}|\psi \_{1}\rangle +c\_{2}|\psi \_{2}\rangle {\bigg )}=c\_{1}\langle \phi |\psi \_{1}\rangle +c\_{2}\langle \phi |\psi \_{2}\rangle }
จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

{\displaystyle {\bigg (}c\_{1}\langle \phi \_{1}|+c\_{2}\langle \phi \_{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c\_{1}\langle \phi \_{1}|\psi \rangle +c\_{2}\langle \phi \_{2}|\psi \rangle }
### สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้

{\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle }
{\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |}
### สังยุคเอร์มีเชียน

สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ † มีกฎต่าง ๆ ดังนี้

* สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
* สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
* สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :(*x*†)† = *x*

จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้

* เค็ท

{\displaystyle \left(c\_{1}|\psi \_{1}\rangle +c\_{2}|\psi \_{2}\rangle \right)^{\dagger }=c\_{1}^{\*}\langle \psi \_{1}|+c\_{2}^{\*}\langle \psi \_{2}|~}

* ผลคูณภายใน (Inner products)

{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |\phi \rangle ~}

({\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{\*}={\overline {\langle \phi |\psi \rangle }}})

* เมทริกซ์

{\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }

{\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{\*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle ~}

* ผลคูณภายนอก (Outer products)

{\displaystyle \left((c\_{1}|\phi \_{1}\rangle \langle \psi \_{1}|)+(c\_{2}|\phi \_{2}\rangle \langle \psi \_{2}|)\right)^{\dagger }=(c\_{1}^{\*}|\psi \_{1}\rangle \langle \phi \_{1}|)+(c\_{2}^{\*}|\psi \_{2}\rangle \langle \phi \_{2}|)~}

ตัวดำเนินการเชิงเส้น
--------------------

### ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท

ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น "เชิงเส้น" ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ {\displaystyle A} เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ {\displaystyle |\psi \rangle } เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ {\displaystyle A} กระทำต่อ {\displaystyle |\psi \rangle } จะทำให้ได้ {\displaystyle A|\psi \rangle } เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน {\displaystyle N} มิติ สถานะ {\displaystyle |\psi \rangle } สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ {\displaystyle N\times 1} มิติ ส่วนตัวดำเนินการ {\displaystyle A} จะอยู่ในรูปเมริกซ์ {\displaystyle N\times N} มิติ โดยที่ {\displaystyle A|\psi \rangle } สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

### ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา

ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ *{\displaystyle A}* เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ {\displaystyle \langle \psi |} เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง {\displaystyle \langle \psi |A} จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ

{\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}
ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ {\displaystyle \langle \psi |} สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ {\displaystyle 1\times N} มิติ ส่วนตัวดำเนินการ ***{\displaystyle A}*** จะอยู่ในรูปเมริกซ์ {\displaystyle N\times N} มิติ โดยที่ {\displaystyle \langle \psi |A} สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น

{\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle }
ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

### Outer products

วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ {\displaystyle \langle \psi |} และ {\displaystyle |\psi \rangle } เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น {\displaystyle |\psi \rangle }{\displaystyle \langle \psi |} ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ

{\displaystyle (|\phi \rangle \langle \psi |)(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle }
สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

{\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}\phi \_{1}\\\phi \_{2}\\\vdots \\\phi \_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi \_{1}^{\*}&\psi \_{2}^{\*}&\cdots &\psi \_{N}^{\*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi \_{1}\psi \_{1}^{\*}&\phi \_{1}\psi \_{2}^{\*}&\cdots &\phi \_{1}\psi \_{N}^{\*}\\\phi \_{2}\psi \_{1}^{\*}&\phi \_{2}\psi \_{2}^{\*}&\cdots &\phi \_{2}\psi \_{N}^{\*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi \_{N}\psi \_{1}^{\*}&\phi \_{N}\psi \_{2}^{\*}&\cdots &\phi \_{N}\psi \_{N}^{\*}\end{pmatrix}}}
ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ