**แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน** (เยอรมัน: *Hermann Günther Graßmann*) เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบปี

ประวัติ
-------

กรัสมัน เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของยุสทุส กึนเทอร์ กรัสมัน (*Justus Günter Graßmann*) ยุสทุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเต็ททีน (*Stettin Gymnasium*) และแฮร์มันก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันมักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท (*Robert*)

กรัสมันเป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในปรัสเซีย (*Preußen*) เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเต็ททีนเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเต็ททีนเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสมันเริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเต็ททีน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยมศึกษา

กรัสมันค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยมศึกษา แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเต็ททีน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเต็ททีน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของปรัสเซียหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอ็นสท์ คุมเมอร์ (*Ernst Kummer*) ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสมันมีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ทำให้กรัสมันหมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสมัน

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848–1849 แฮร์มันและโรแบร์ท กรัสมัน ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเต็ททีนเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ 

กรัสมันมีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มัน แอ็นสท์ กรัสมัน (*Hermann Earnst Graßmann*) ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีเซิน

นักคณิตศาสตร์
-------------

กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา **A1** และ **A2** (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ *ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่* (*Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik*) [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า **A1** และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง *Ausdehnungslehre,* ซึ่งแปลว่า *ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ* เนื่องจาก **A1** เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) เก็บถาวร 2012-06-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้

> คำนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)... เริ่มเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางช่วงปี ค.ศ. 1920 เมื่อแฮร์มัน ไวล์ (Hermann Weyl) และคนอื่น ๆ ได้ตีพิมพ์คำนิยามอย่างเป็นทางการ แท้จริงแล้ว เปอาโน (Peano) เคยให้คำนิยามแบบนี้เมื่อสามสิบปีก่อน เปอาโนคุ้นเคยกับงานทางคณิตศาสตร์ของกรัสมันเป็นอย่างดี กรัสมันไม่ได้ให้คำนิยามอย่างเป็นทางการไว้ แต่ไม่ต้องสงสัยว่าเขามีกรอบความคิดนั้น
> 
> 
> เริ่มต้นด้วยกลุ่มของสมาชิกที่เรียกว่า "หน่วย" (unit) *e1, e2, e3, ...*, เขานิยามปริภูมิเชิงเส้นอิสระที่พวกมันทำให้เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ พูดได้ว่าเขาพิจารณาถึงการจัดหมู่เชิงเส้นอย่างเป็นทางการ *a1e1 + a2e2 + a3e3 + ...* โดยที่ *aj* เป็นจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริง [การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นเรื่องธรรมดาในปัจจุบัน] และพิสูจน์คุณสมบัติของปริภูมิเชิงเส้นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้อย่างเป็นทางการ ... จากนั้นเขาก็พัฒนาทฤษฎีของความเป็นอิสระเชิงเส้น (linear independence) ในแนวทางเดียวกับการนำเสนอที่เราพบในตำราพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ไว้อย่างน่าอัศจรรย์ เขานิยามกรอบความคิดของปริภูมิย่อย (subspace), ความเป็นอิสระเชิงเส้น, ส่วนขยายเชิงเส้น (linear span), มิติ, การเชื่อมและการต่อ (join and meet) ของปริภูมิย่อย และการแตกส่วนย่อย (projection) ของสมาชิกลงบนปริภูมิย่อย
> 
> 
> 
> ...น้อยคนนักที่เข้าใกล้การสร้างวิชาใหม่เพียงลำพังมากกว่าแฮร์มัน กรัสมัน
> 
> 

ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน **A1** ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย (*äußeres Produkt* หรือ *kombinatorisches Produkt*) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน *epep* = 0 ด้วยกฎ *epep* = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ *i*2 = *j*2 = *k*2 = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)

**A1** เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส (*August Ferdinand Möbius*) พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า (*Neue Theorie der Elektrodynamik*) และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า *แบบโครงสร้างการวิเคราะห์* (*analysis situs*) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน (*Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik*) เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย (*Ausdehnungslehre*) และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ **A1** ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น (*Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet*) ที่เรียกว่า **A2** มีอาการก็ไม่ดีกว่า **A1** แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ **A2** ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20

การยอมรับ
---------

นักคณิตศาสตร์คนแรก ๆ ที่ชื่นชมความคิดของกรัสมันตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มัน ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน (*Theorie der complexen Zahlensysteme*) เมื่อปี ค.ศ. 1867

... ได้พัฒนาบางส่วนของพีชคณิตของกรัสมัน และบางส่วนของควอเทอร์เนียน (quaternion) ของฮามิลทัน ฮานเคิลเป็นคนแรกที่รู้ถึงความสำคัญของงานเขียนของกรัสมันที่ถูกทอดทิ้งมายาวนาน ...
เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิคทอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ (*System der Raumlehre*) ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสมันเพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิคส์ ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสมัน ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสมัน คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเงิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสมันได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของเอ.เอ็น. ไวต์เฮด (A. N. Whitehead) *เรื่องพีชคณิตครอบจักรวาล* (*Universal Algebra*) เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซฺทีเรียร์อัลจีบรา) ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสมันทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดู *ถนนสู่ความจริง* (*The Road to Reality*) โดยรอเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌ็อง โกลด บาเร เดอ แซ็ง-เวอน็อง (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสมัน เขาจึงโต้เถียงกับกรัสมันว่าใครคิดได้ก่อน กรัสมันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็ง-เวอน็องอ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

นักภาษาศาสตร์
-------------

ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสมันหันไปทางภาษาศาสตร์เชิงประวัติ (historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงได้รับการตีพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของตระกูลภาษาอินโด-ยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสมัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทัล (American Oriental Society) เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบิงเงิน ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

ดูเพิ่ม
-------

* สัญกรณ์บรา-เค็ท
* Grassmann number
* Grassmannian
* Grassmann's law
* Grassmann's law (optics)

อ้างอิง
-------

แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ
* **A1**: 1844. *Die lineale Ausdehnungslehre*. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, *A new branch of mathematics*. Chicago: Open Court.
* 1847. *Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik.*. Available on quod.lib.umich.edu
* 1861. *Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1*. Berlin: Enslin.
* **A2**: 1862. *Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet.*. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, *Extension Theory*. American Mathematical Society.
* 1873. *Wörterbuch zum Rig-Veda*. Leipzig: Brockhaus.
* 1876–1877. *Rig-Veda*. Leipzig: Brockhaus. Translation in two vols. vol. 1 published 1876, vol. 2 published 1877.
* 1894–1911. *Gesammelte mathematische und physikalische Werke,* in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

แหล่งข้อมูลทุติยภูมิ
* Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis, Notre Dame University Press.
* Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, เก็บถาวร 2012-06-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน" *American Mathematical Monthly 86*: 809–17.
* Fearnley-Sander, Desmond, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," *Am. Math. Monthly 89*: 161–66.
* Fearnley-Sander, Desmond, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry [*ลิงก์เสีย*]". *Automated Deduction in Geometry*: 141–70
* Ivor Grattan-Guinness (2000) *The Search for Mathematical Roots 1870–1940*. Princeton Univ. Press.
* Roger Penrose, 2004. *The Road to Reality*. Alfred A. Knopf.
* Petsche, Hans-Joachim, 2006. *Graßmann* (Text in German). (Vita Mathematica, 13). Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim, 2009. *Hermann Graßmann – Biography*. Transl. by M Minnes. Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta (eds.), 2009. *Hermann Graßmann – Roots and Traces. Autographs and Unknown Documents. Text in German and English*. Basel: Birkhäuser.
* Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.), 2010. *From Past to Future: Graßmann's Work in Context. The Graßmann Bicentennial Conference, September 2009*. Basel: Springer Basel AG.
* Petsche, Hans-Joachim and Peter Lenke (eds.), 2010. *International Grassmann Conference. Hermann Grassmann Bicentennial: Potsdam and Szczecin, 16–19 September 2009; Video Recording of the Conference*. 4 DVD's, 16:59:25. Potsdam: Universitätsverlag Potsdam.
* Rowe, David E. (2010) "Debating Grassmann's Mathematics: Schlegel Versus Klein", Mathematical Intelligencer 32 (1) :41-8.
* Victor Schlegel (1878) Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke on the Internet Archive.
* Schubring, G. ed. 1996. *Hermann Gunther Grassmann (1809–1877) : visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar*. Kluwer.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.

* Paola Cantù: *La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Grassmann* [Mathematics from Science of Magnitudes to Theory of Forms. The Ausdehnungslehre of H. Grassmann]. Genoa: University of Genoa. Dissertation, 2003, s. xx+465.

ข้อมูลอ้างอิงในเอกสารสิทธิบัตร

1. ↑  *Tr*. The rulers extension theory, a new branch of mathematics
2. ↑  *Tr*. Expansion plan teachings
3. ↑  *Tr*. outer product
4. ↑  *Tr*. combinatorial product
5. ↑  *Tr*. New theory of electrodynamics
6. ↑  *Tr.* Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz
7. ↑  Hankel entry in the *Dictionary of Scientific Biography*. New York: 1970–1990
8. ↑  Rowe 2010
9. ↑  Penrose *The Road to Reality*, chapters 11 & 2
10. ↑  *Tr*. "The rulers extension theory"
11. ↑  *Tr*. "Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz"
12. ↑  *Tr*. "Higher mathematics for schools , Volume 1"
13. ↑  *Tr*. "Dictionary of the Rig-Veda"
14. ↑  *Tr*. "Collected mathematical and physical works"

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* The MacTutor History of Mathematics archive:
	+ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews.
	+ Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces.
* Fearnley-Sander เก็บถาวร 2008-09-19 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน's home page.
* Grassmann Bicentennial Conference (1809 – 1877), September 16 – 19, 2009 Potsdam / Szczecin (DE / PL) เก็บถาวร 2009-03-02 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน: From Past to Future: Grassmann's Work in Context
* "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of Grassmann's exterior algebra to projective geometry
* C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book by an early disciple of Grassmann)
* "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra

| การควบคุมรายการหลักฐาน แก้ไขสิ่งนี้ที่วิกิสนเทศ |
| --- |
| ทั่วไป | 
* ISNI
	+ 1
* VIAF
	+ 1
* เวิลด์แคต

 |
| หอสมุดแห่งชาติ | 
* ฝรั่งเศส (ข้อมูล)
* เยอรมนี
* อิสราเอล
* สหรัฐ
* เช็กเกีย
* ออสเตรเลีย
* กรีซ
* เนเธอร์แลนด์
* โปแลนด์
* สวีเดน

 |
| พจนานุกรมชีวประวัติ | 
* เยอรมนี

 |
| ฐานข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ | 
* MathSciNet
* Mathematics Genealogy Project
* zbMATH

 |
| อื่น ๆ | 
* Faceted Application of Subject Terminology
* SUDOC (France)
	+ 1
* Trove (Australia)
	+ 1

 |

| [[วิกิพีเดีย:|ข้อมูลบุคคล]] |
| --- |
| ชื่อ | Grassmann, Hermann} |
| ชื่ออื่น | Hermann Graßmann |
| รายละเอียดโดยย่อ |  |
| วันเกิด | April 15, 1809 |
| สถานที่เกิด | Stettin (Szczecin) |
| วันตาย | September 26, 1877 |
| สถานที่ตาย | Stettin |