ดูเพิ่มที่: วัตถุดำ, การแผ่รังสีของวัตถุดำ, กฎของพลังค์, และ การแผ่รังสีความร้อน
กราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงสัดส่วนระหว่างพลังงานทั้งหมดที่ถูกส่งออกมาจากวัตถุดำ {\displaystyle j^{\star }} กับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ {\displaystyle T\,} และเส้นสีฟ้าแสดงถึงพลังงานทั้งหมดตามการประมาณของวีน (Wien approximation) {\displaystyle j\_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}
**กฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มัน** (อังกฤษ: Stefan–Boltzmann law) ใช้อุณหภูมิเพื่ออธิบายถึงพลังงานที่วัตถุดำแผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่าพลังงานทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่ความยาวคลื่นทุกค่าต่อหน่วยเวลา {\displaystyle j^{\star }} (หรือเรียกว่า *การเปล่งรังสี* (radiant exitance) ของวัตถุดำ) มีสัดส่วน (Proportionality (mathematics)) โดยตรงกับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ (thermodynamic temperature) ของวัตถุดำ *T* กำลังสี่:

{\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}.}
ค่าคงตัวของสัดส่วน *σ* เรียกว่าค่าคงตัวของสเตฟาน-บ็อลทซ์มัน (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จากค่าคงตัวทางฟิสิกส์ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ

{\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}K^{-4}} ,}
เมื่อ *k* เป็นค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน *h* เป็นค่าคงตัวของพลังค์ และ *c* เป็นอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ ความแรงรังสี (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อสเตอเรเดียน) ถูกกำหนดไว้เป็น 

{\displaystyle L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.}
วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะสภาพเปล่งรังสี (Emissivity) {\displaystyle \varepsilon <1}:

{\displaystyle j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.}
การเปล่งรังสี {\displaystyle j^{\star }} มีมิติ (dimensional analysis) เป็นฟลักซ์พลังงาน (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และหน่วย SI ของมันคือจูลต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือวัตต์ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ *T* คือเคลวิน สภาพเปล่งรังสีของวัตถุเทาคือ *{\displaystyle \varepsilon }* และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ {\displaystyle \varepsilon =1} ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น 

{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\lambda )}.

เราสามารถหากำลังทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว {\displaystyle A}:

{\displaystyle P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.}
อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น อภิวัสดุ (metamaterial) และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มัน

ประวัติ
-------

ในปี ค.ศ. 1864 จอห์น ทินดาลล์ (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกัน 
สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดย โจเซฟ สเตฟาน (Josef Stefan) (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดาลล์ในบทความ *Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur* (*เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ*) ใน *Bulletins from the sessions* ของ Vienna Academy of Sciences.

ลูทวิช บ็อลทซ์มัน (ค.ศ. 1844-1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของอดอลโฟ บาร์โทลิ (Adolfo Bartoli) มาใช้ ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของแรงดันรังสี (radiation pressure) จากหลักอุณหพลศาสตร์ และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึงเครื่องจักรความร้อนที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ

กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897 กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วของแสง ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน และค่าคงตัวของพลังค์เป็นผลพวงโดยตรงของกฎของพลังค์อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900

ตามการนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562 ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน *k* ค่าคงตัวของพลังค์ *h* และอัตราเร็วของแสง *c* ค่าคงตัวของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ

{\displaystyle \sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \,.}

ตัวอย่าง
--------

### อุณหภูมิของดวงอาทิตย์

สเตฟานยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของดวงอาทิตย์ด้วยกฎของเขา เขาอนุมานจากข้อมูลของ ฌัก-หลุยส์ โซเรต์ (Jacques-Louis Soret) (1827–1890) ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000°C สเตฟานสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดยบรรยากาศของโลก เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 × 3/2 = 43.5 เท่า.

ค่าของการดูดกลืนของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่สเตฟานได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950 °C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200 K ในเมื่อ 2.574 = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430 °C หรือ 5700 K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778 K) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800 °C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000 °C โกลด ปูยเย (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800 °C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้กฎของดูลง-เปอตี (Dulong–Petit law)

### อุณหภูมิของดาวฤกษ์

อุณหภูมิของดาวฤกษ์ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของวัตถุดำ So:

{\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma {T\_{e}}^{4}}
โดย *L* เป็นกำลังส่องสว่าง *σ* เป็นค่าคงตัวของสเตฟาน-บ็อลทซ์มัน *R* เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ *T* เป็นอุณหภูมิยังผล เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:

{\displaystyle {\frac {R}{R\_{\odot }}}\approx \left({\frac {T\_{\odot }}{T}}\right)^{-2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L\_{\odot }}}}}
โดย {\displaystyle R\_{\odot }} เป็นรัศมีดวงอาทิตย์ {\displaystyle L\_{\odot }} เป็นความสว่างดวงอาทิตย์เป็นต้น

นักดาราศาสตร์สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มัน 

กฎนี้ปรากฏในอุณหพลศาสตร์ (Black hole thermodynamics) ของหลุมดำในสิ่งที่เรียกว่าการแผ่รังสีฮอว์กิง

### อุณหภูมิยังผลของโลก

ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณอุณหภูมิยังผลของโลก *T*⊕ ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ *L*⊙ ถูกกำหนดไว้เป็น:

{\displaystyle L\_{\odot }=4\pi R\_{\odot }^{2}\sigma T\_{\odot }^{4}}
พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี *a*0 หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก ความรับอาบรังสี (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น

{\displaystyle E\_{\oplus }={\frac {L\_{\odot }}{4\pi a\_{0}^{2}}}}
รัศมีของโลกเท่ากับ *R*⊕ ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ {\displaystyle \pi R\_{\oplus }^{2}} ฟลักซ์การแผ่รังสี (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:

{\displaystyle \Phi \_{\text{abs}}=\pi R\_{\oplus }^{2}\times E\_{\oplus }:}
เพราะกฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:

{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R\_{\oplus }^{2}\sigma T\_{\oplus }^{4}&=\pi R\_{\oplus }^{2}\times E\_{\oplus }\\&=\pi R\_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R\_{\odot }^{2}\sigma T\_{\odot }^{4}}{4\pi a\_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}
*T*⊕ จึงหาได้จาก:

{\displaystyle {\begin{aligned}T\_{\oplus }^{4}&={\frac {R\_{\odot }^{2}T\_{\odot }^{4}}{4a\_{0}^{2}}}\\T\_{\oplus }&=T\_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R\_{\odot }}{2a\_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}
โดย *T*⊙ เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ *R*⊙ เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ *a*0 เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6 °C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด

โลกมีอัตราส่วนสะท้อนเท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของอุณหภูมิยังผลซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.71/4 เท่าเหลือ 255 K (−18 °C)

อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288 K (15 °C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255 K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279 K เนื่องมาจากปรากฏการณ์เรือนกระจก

ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120 W/m2 และเราได้อุณหภูมิจากกฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันเท่ากับ

{\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}
หรือ 102 °C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ

ต้นกำเนิด
---------

### การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์

ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ {\displaystyle T^{4}} นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์ การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี *p* กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) {\displaystyle u} ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:

{\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}
จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)

{\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}
หลังจากหารด้วย {\displaystyle dV} และตรึงค่า {\displaystyle T} ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)\_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)\_{V}-p.}
สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:

{\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)\_{V}.}
จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้

{\displaystyle U=uV}
โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น

{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)\_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)\_{T}=u.}
แล้วสมการนี้

{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)\_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)\_{V}-p,}
เมื่อแทน {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)\_{T}} และ {\displaystyle p} ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น

{\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)\_{V}-{\frac {u}{3}}.}
ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)\_{V}} สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง {\displaystyle u} และ {\displaystyle T} เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น 

{\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}
ซึ่งนำไปสู่ {\displaystyle u=AT^{4}} โดย {\displaystyle A} เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง

### การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์

การอนุพัทธ์กฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันด้วยกฎของพลังค์
เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย *θ* เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ *φ* เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ *θ* = π/2.

ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:

{\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.}
โดย
* {\displaystyle I(\nu ,T)\,} คือปริมาณของกำลังต่อหน่วยพื้นที่ผิวต่อหน่วยมุมตัน (solid angle) ต่อหน่วยความถี่ ที่เปล่งออกมา ณ ความถี่ {\displaystyle \nu \,} จากวัตถุดำที่อุณหภูมิ *T*.
* {\displaystyle h\,} คือค่าคงตัวของพลังค์
* {\displaystyle c\,} คืออัตราเร็วของแสง และ
* {\displaystyle k\,} คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน

{\displaystyle I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega } คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน *dΩ* ในช่วงความถี่ระหว่าง *ν* และ *ν* + *dν*.

กฎของสเตฟาน-บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น

{\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \,}
โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็น*แบบแลมเบิร์ต* (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของแลมเบิร์ต (Lambert's cosine law)) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ {\textstyle d\Omega =\sin \theta \ d\theta d\varphi } ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ {\displaystyle \nu } จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของสเตฟานบ็อลทซ์มัน

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \_{0}^{2\pi }\,d\varphi \int \_{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}
แล้วใส่ค่า *I* ลงไป:

{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }
เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้

{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}
และได้:

{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int \_{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}
ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน {\displaystyle \zeta (s)} ค่าของปริพันธ์เท่ากับ {\displaystyle 6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}} ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:

{\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}
สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ

### ความหนาแน่นของพลังงาน

เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม *U* ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว *c* เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน *U*:

{\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,}
ดังนั้น {\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta } ถูกแทนที่ด้วย {\displaystyle \int \_{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }, ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4.

ดังนั้น จากทั้งหมดได้:

{\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}

ดูเพิ่ม
-------

* กฎการกระจัดของวีน (Wien's displacement law)
* กฎของเรย์ลี-จีนส์ (Rayleigh–Jeans law)
* ความแรงรังสี (Radiance)
* วัตถุดำ
* สมการของซาคูมะ-ฮัตโตริ (Sakuma–Hattori equation)

อ้างอิง
-------

1. ↑  
Bohren, Craig F.; Huffman, Donald R. (1998). *Absorption and scattering of light by small particles*. Wiley. pp. 123–126. ISBN 978-0-471-29340-8.
2. ↑  
Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Beyond Stefan–Boltzmann Law: Thermal Hyper-Conductivity". *Conference on Lasers and Electro-Optics 2012*. OSA Technical Digest. Optical Society of America. pp. QM2E.1. CiteSeerX 10.1.1.764.846. doi:10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN 978-1-55752-943-5. S2CID 36550833.
3. ↑  

	* Tyndall, John (1864). "On luminous [i.e. visible] and obscure [i.e. infrared] radiation". *Philosophical Magazine*. 4th series. **28**: 329–341. ; ดูหน้า 333.
ในตำราฟิสิกส์ปี ค.ศ. 1875 ของ อดอล์ฟ ฟืลเนอร์ (Adolf Wüllner) ได้มีการอ้างอิงผลการทดลองของทินดาลล์และเพิ่มประมาณการอุณหภูมิที่สอดคล้องกับสีต่าง ๆ ของเสนใยทองคำขาวเข้าไป:

	* Wüllner, Adolph (1875). *Lehrbuch der Experimentalphysik* [*Textbook of experimental physics*] (ภาษาเยอรมัน). Vol. 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. p. 215.
จาก (Wüllner, 1875), หน้า 215: *"Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu."* (ตามการทดลองของเดรเปอร์ซึ่งจะอภิปรายในอีกสักนิด การเรืองแสงสีแดงอ่อนสอดคล้องกับอุณหภูมิประมาณ 525°[C] การเรืองแสงสีขาวเต็มสอดคล้องกับ[อุณหภูมิ]ประมาณ 1200°[C] ดังนั้นแม้อุณหภูมิจะสูงขึ้นมากกว่าสองเท่าเพียงเล็กน้อย ความเข้มของรังสีกลับเพิ่มขึ้นจาก 10.4 เป็น 122 หรือเกือบ 12 เท่า)  

ดูเพิ่ม:

	* Wisniak, Jaime (November 2002). "Heat radiation law – from Newton to Stefan". *Indian Journal of Chemical Technology*. **9**: 545–555. ; ดู pp. 551–552. Available at: National Institute of Science Communication and Information Resources (New Dehli, India)
4. ↑  Stefan, J. (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relation between heat radiation and temperature]. *Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Proceedings of the Imperial Philosophical Academy [of Vienna]: Mathematical and Scientific Class)* (ภาษาเยอรมัน). **79**: 391–428.
5. ↑  สเตฟานกล่าวว่า (Stefan, 1879), หน้า 421: *"Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional anzunehmen."* (ก่อนอื่น ผมอยากชี้แจงถึงสังเกตการณ์ซึ่งฟืลเนอร์เพิ่มลงไปในรายงานของการทดลองของทินดาลล์เกี่ยวกับการแผ่รังสีของเส้นใยทองคำขาวซึ่งถูกทำให้เรืองแสงด้วยกระแสไฟฟ้าในตำราของเขา เพราะสังเกตการณ์นี้ทำให้ผมอนุมานได้ว่าการแผ่รังสีความร้อนนั้นมีสัดส่วนกับกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์)
6. ↑  Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivation of Stefan's law, concerning the dependency of heat radiation on temperature, from the electromagnetic theory of light]. *Annalen der Physik und Chemie* (ภาษาเยอรมัน). **258** (6): 291–294. Bibcode:1884AnP...258..291B. doi:10.1002/andp.18842580616.
7. ↑  Massimiliano Badino, *The Bumpy Road: Max Planck from Radiation Theory to the Quantum (1896–1906)* (2015), p. 31.
8. ↑  (Stefan, 1879), pp. 426–427.
9. ↑  Soret, J.L. (1872) "Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" [การเปรียบเทียบความเข้มความร้อนของรังสีอาทิตย์กับรังสีจากวัตถุซึ่งถูกทำให้ร้อนด้วยเครื่องพ่นไฟออกซิไฮโดรเจน], *Archives des sciences physiques et naturelles* (Geneva, Switzerland), 2nd series, **44**: 220–229 ; **45**: 252–256.
10. ↑  "Sun Fact Sheet".
11. ↑  Waterston, John James (1862). "An account of observations on solar radiation". *Philosophical Magazine*. 4th series. **23** (2): 497–511. Bibcode:1861MNRAS..22...60W. doi:10.1093/mnras/22.2.60. บนหน้า 505, นักฟิสิกส์ชาวสก็อตจอห์น เจมส์ วอเตอร์สตัน (John James Waterston) ประมาณอุณหภูมิบนพื้นผิวดวงอาทิตย์ไว้ว่าอาจเทากับ 12,880,000°.
12. ↑  See:

	* Pouillet (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et absorbants de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Memoir on solar heat, on the radiating and absorbing powers of the atmospheric air, and on the temperature of space]. *Comptes Rendus* (ภาษาฝรั่งเศส). **7** (2): 24–65. หน้า 36, ปูยเยประมาณอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ไว้: *" … cette température pourrait être de 1761° … "* ( … อุณหภูมินี้ [นั่นคือ ของดวงอาทิตย์] อาจเท่ากับ 1761° … )
	* แปลไทยจากคำแปลภาษาอังกฤษ: Pouillet (1838) "Memoir on the solar heat, on the radiating and absorbing powers of atmospheric air, and on the temperature of space" in: Taylor, Richard, ed. (1846) *Scientific Memoirs, Selected from the Transactions of Foreign Academies of Science and Learned Societies, and from Foreign Journals.* vol. 4. London, England: Richard and John E. Taylor. pp. 44–90 ; see pp. 55–56.
13. ↑  "Luminosity of Stars". Australian Telescope Outreach and Education. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2014-08-09. สืบค้นเมื่อ 2006-08-13.
14. ↑  Intergovernmental Panel on Climate Change Fourth Assessment Report. Chapter 1: Historical overview of climate change science เก็บถาวร 2018-11-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน หน้า 97
15. ↑  Solar Radiation and the Earth's Energy Balance[*ลิงก์เสีย*]
16. ↑  "Introduction to Solar Radiation". Newport Corporation. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 29 ตุลาคม 2013.
17. ↑  Knizhnik, Kalman. "Derivation of the Stefan–Boltzmann Law" (PDF). *Johns Hopkins University – Department of Physics & Astronomy*. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2016-03-04. สืบค้นเมื่อ 2018-09-03.
18. ↑  (Wisniak, 2002), หน้า 554.

บรรณานุกรม
----------

* Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relationship between heat radiation and temperature] (PDF), *Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften* (ภาษาเยอรมัน), **79**: 391–428
* Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light], *Annalen der Physik und Chemie* (ภาษาเยอรมัน), **258** (6): 291–294, Bibcode:1884AnP...258..291B, doi:10.1002/andp.18842580616

| กฎการแผ่รังสีของวัตถุดำ |
| --- |
| 
* เคียร์ชฮ็อฟ (Kirchhoff's law of thermal radiation)
* พลังค์
* เรย์ลี-จีนส์ (Rayleigh–Jeans law)
* ซาคูมะ-ฮัตโตริ (Sakuma–Hattori equation)
* สเตฟาน-บ็อลทซ์มัน
* วีน (Wien's displacement law)

 |