|  |  |
| --- | --- |
| ค.ศ. | บทความนี้อ้างอิงคริสต์ศักราช/คริสต์ทศวรรษ/คริสต์ศตวรรษ ซึ่งเป็นสาระสำคัญของเนื้อหา  |

ระบบควบคุมมีความสำคัญอย่างมากในการปล่อยจรวดและยานอวกาศ

วิกิตำรา *[[wikibooks:th:*
en:Control Systems|
en:Control Systems]]*มีหน้าในหัวข้อ* **[[wikibooks:th:**
en:Control Systems/ตำราทฤษฎีระบบควบคุม|ตำราทฤษฎีระบบควบคุม]]

**ทฤษฎีระบบควบคุม** (อังกฤษ: control theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม

การควบคุมการขับเคลื่อนยานพาหนะ เช่น รถยนต์ ก็ถือเป็นการควบคุมชนิดหนึ่ง โดยผู้ขับขี่เป็นผู้ควบคุมทิศทางและความเร็ว ซึ่งระบบควบคุมประเภทที่ต้องมีคนเข้ามาเกี่ยวข้องนี้ถือว่าเป็น **ระบบควบคุมไม่อัตโนมัติ** (manual control) แต่ทฤษฎีระบบควบคุมจะครอบคลุมเฉพาะการวิเคราะห์และออกแบบ **ระบบควบคุมอัตโนมัติ** (automatic control) เท่านั้น เช่น ระบบขับเคลื่อนอัตโนมัติ (cruise control)

ระบบควบคุมยังอาจแบ่งออกได้เป็นระบบควบคุมวงเปิด (open-loop control) คือ ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้สัญญาณจากเอาต์พุต มาบ่งชี้ถึงลักษณะการควบคุม ส่วนระบบควบคุมวงปิด (closed-loop control) หรือ ระบบป้อนกลับ (feedback control) นั้นจะใช้ค่าที่วัดจากเอาต์พุต มาคำนวณค่าการควบคุม นอกจากนี้ยังอาจแบ่งได้ตามคุณลักษณะของระบบ เช่น เป็นเชิงเส้น (linear) / ไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear) , แปรเปลี่ยนตามเวลา (time-varying) / ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (time-invariant) และเวลาต่อเนื่อง (Continuous time) / เวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time)

ประวัติศาสตร์และการพัฒนาของทฤษฎีระบบควบคุม
------------------------------------------

### ระบบควบคุมในยุคโบราณ

แสดงหลักการทำงานของลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เมื่อเครื่องจักรหมุนเร็วเกินกว่าค่าที่ต้องการลูกตุ้มจะเบนออกจากแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำน้อยลง ในทางกลับกันถ้าเครื่องยนต์หมุนช้าเกินไปลูกตุ้มจะหุบเข้าหาแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำเข้าสู่เครื่องจักรมากขึ้น
ลูกลอย (ballcock) การป้อนกลับเชิงลบรูปแบบหนึ่งที่ใช้ในการควบคุมระดับน้ำในถังเก็บน้ำ เช่น ถังเก็บน้ำบนชักโครก
การใช้ระบบควบคุมวงปิด นั้นมีมาแต่โบราณกาล ตัวอย่างเช่น นาฬิกาน้ำของกรีก ซึ่งมีการใช้ลูกลอยในการควบคุมระดับน้ำในถัง อุปกรณ์ที่ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้น ของการใช้ระบบควบคุมป้อนกลับในวงการอุตสาหกรรม ก็คือ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (centrifugal governor หรือเรียก fly-ball governor) ในการควบคุมความเร็วในการหมุน เครื่องจักรไอน้ำที่ประดิษฐ์ขึ้นโดย เจมส์ วัตต์ ในปี ค.ศ. 1788

### จุดกำเนิดของทฤษฎีระบบควบคุม

แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม
ในยุคก่อนหน้านี้ การออกแบบระบบควบคุมต่าง ๆ นั้น เป็นไปในลักษณะลองผิดลองถูก ไม่ได้มีการใช้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ ออกแบบแต่อย่างใด จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1840 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ จอร์จ แอรี ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ควบคุมทิศทางของกล้องดูดาว โดยอุปกรณ์นี้จะหมุนกล้องดูดาว เพื่อชดเชยกับการหมุนของโลกโดยอัตโนมัติ ในระหว่างการออกแบบ แอรีได้สังเกตถึงความไม่เสถียร (instability) ของระบบป้อนกลับ จึงใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการจำลองและวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบ การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบควบคุม

ทฤษฎีเสถียรภาพ
ในปี ค.ศ. 1868 เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ เป็นบุคคลแรก ที่ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของ เจมส์ วัตต์ โดยใช้แบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎี**เสถียรภาพของระบบเชิงเส้น**ของแมกซ์เวลล์นี้ พิจารณาเสถียรภาพของระบบจาก รากของสมการคุณลักษณะ (characteristic equation) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1892 เลียปูนอฟได้ทำการศึกษาถึง**เสถียรภาพของระบบไม่เป็นเขิงเส้น** และสร้างทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ (Lyapunov stability) แต่ทฤษฎีของเลียปูนอฟนี้เป็นทฤษฎีที่สำคัญที่ไม่ได้รับความสนใจ จนกระทั่งหลายสิบปีต่อมา

### ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม

**ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม** (อังกฤษ: classical control) หมายถึง ระบบควบคุมที่ออกแบบและวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ (หรือโดเมนการแปลงฟูรีเย) และโดเมนการแปลงลาปลาส โดยการใช้แบบจำลองในรูปของ ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) โดยไม่ได้ใช้ข้อมูลรายละเอียดของไดนามิกส์ภายในของระบบ (internal system dynamic)
พัฒนาการของทฤษฎีระบบควบคุมในช่วงนี้นั้น ส่วนใหญ่พัฒนาขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้งานในทางทหารและทางระบบสื่อสาร อันเนื่องมาจากสงครามโลกครั้งที่สอง และ การขยายตัวของโครงข่ายสื่อสารโทรศัพท์

พัฒนาการเพื่อใช้งานในระบบโครงข่ายโทรศัพท์
ในช่วงยุคที่มีการขยายตัวของระบบสื่อสารโทรศัพท์นั้น ระบบสื่อสารทางไกลมีความจำเป็นต้องใช้อุปกรณ์ขยายสัญญาณด้วยหลอดสุญญากาศ ในปี ค.ศ. 1927 แนวความคิดและประโยชน์ของ**ระบบป้อนกลับแบบลบ** ได้ถูกนำเสนอในรูปของ อุปกรณ์ขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifier) โดย เอช. เอส. แบล็ก แต่การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบขยายสัญญาณตามทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ โดยใช้วิธีของ เราท์-ฮิวรวิทซ์ (Routh-Hurwitz) นั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากความซับซ้อนของระบบ วิศวกรสื่อสารของ Bell Telephone Laboratories จึงได้นำเสนอ**การวิเคราะห์บนโดเมนความถี่** โดยในปี ค.ศ. 1932 แฮร์รี่ ไนควิสต์นำเสนอ เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist stability criterion) ซึ่งใช้วิธีการพล็อตกราฟเชิงขั้ว ของผลตอบสนองความถี่ตลอดวงรอบ (loop frequency response) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1940 เฮนดริค โบดีได้นำเสนอวิธีการวิเคราะห์เสถียรภาพโดยขอบเขตอัตราขยาย (gain margin) และขอบเขตมุม (phase margin) จากกราฟระหว่างขนาดและมุม (phase) ของผลตอบสนองความถี่ เรียกว่า โบดีพล็อต (Bode plot)

พัฒนาการเพื่อการใช้งานทางด้านการทหาร
ปัญหาหลายปํญหาในทางหทาร เช่น ปัญหาการนำร่องการเดินเรืออัตโนมัติ ปัญหาการเล็งเป้าโดยอัตโนมัติ นั้นเป็นแรงผลักดันสำคัญให้เกิดการพัฒนาการทางทฤษฎีระบบควบคุมที่สำคัญหลายอย่าง ในปี ค.ศ. 1922 มินอร์สกี (N. Minorsky) ได้กำหนดและวิเคราะห์กฎของ **ระบบควบคุมพีไอดี** หรือ สัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (proportional-integral-derivative) ซึ่งยังเป็นที่นิยมใช้อย่างกว้างขวางในปัจจุบัน เพื่อใช้ในการนำร่องการเดินเรือ ปัญหาที่สำคัญในช่วงนั้นคือ การเล็งเป้าของปืนจากเรือหรือเครื่องบิน ซึ่งในปี ค.ศ. 1934 ฮาเซน (H.L. Házen) ได้บัญญัติคำสำหรับประเภทปัญหาการควบคุมกลไกนี้ว่า **กลไกเซอร์โว** (servomechanisms) การวิเคราะห์และออกแบบนั้นก็ใช้วิธีการบนโดเมนความถี่ จนกระทั่งในปีค.ศ. 1948 อีแวนส์ (W. R. Evans) ซึ่งทำงานกับปัญหาทางด้านการนำร่องและควบคุมเส้นทางบิน ซึ่งส่วนใหญ่นั้นเป็นระบบที่ไม่เสถียร ได้ประสบกับปํญหาการวิเคราะห์เสถียรภาพบนโดเมนของความถี่ จึงได้หันกลับไปศึกษาถึงรากของสมการคุณลักษณะ ซึ่งเป็นวิธี**การวิเคราะห์บนโดเมนการแปลงลาปลาส** และได้พัฒนาวิธี ทางเดินราก (root locus) ในการออกแบบระบบ

### ระบบควบคุมสมัยใหม่

 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway) ได้
 อุปกรณ์ที่ต้องการความแม่นยำและความละเอียดสูงอย่างหัวอ่านข้อมูลของฮาร์ดดิสก์ จำเป็นที่จะต้องมีการออกแบบตัวควบคุมที่มีประสิทธิภาพ ทนทานต่อการรบกวนต่าง ๆ ได้เป็นอย่างดี อาทิเช่น การสั่นสะเทือน, ผลกระทบจากกระแสไฟฟ้าในระบบเกิน เป็นต้น
**ระบบควบคุมสมัยใหม่** (อังกฤษ: modern control) หมายถึง ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้เทคนิคในการออกแบบแบบดั้งเดิม คือ จากรากของสมการคุณลักษณะ และอยู่บนโดเมนความถี่ แต่เป็นการออกแบบ โดยมีพื้นฐานจากแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของไดนามิกส์ของระบบ และเป็นการออกแบบอยู่บนโดเมนเวลา

แรงผลักดันของพัฒนาการจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิม มาสู่ระบบควบคุมสมัยใหม่นี้ มีอยู่หลัก ๆ สองประการคือ

**ข้อจำกัดของระบบควบคุมแบบดั้งเดิมต่องานด้านอวกาศยาน :** 
จากความสำเร็จในการส่งดาวเทียมสปุตนิก 1 ของสหภาพโซเวียตในปี ค.ศ. 1957 นั้นกระตุ้นให้เกิดความตื่นตัวของการประยุกต์ใช้งานทางด้านอวกาศยาน ความสำเร็จของโซเวียตนั้นเนื่องมาจากพัฒนาการทางด้านทฤษฎีระบบควบคุมแบบไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนักจากประเทศตะวันตก เนื่องจากความล้มเหลวในการใช้เทคนิคต่าง ๆ ของระบบควบคุมแบบดั้งเดิม กับงานด้านอวกาศยาน ซึ่งระบบส่วนใหญ่นั้น เป็นระบบหลายตัวแปรแบบไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear multivariable system) จึงมีการหันกลับมาพิจารณาการวิเคราะห์จากปัญหาดั้งเดิม ในรูปของแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของระบบ

**การประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์กับงานระบบควบคุม :** 

ดูบทความหลักที่: ระบบควบคุมดิจิตอล
พัฒนาการของคอมพิวเตอร์ มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีต่าง ๆ ของระบบควบคุม เนื่องจากทำให้สามารถสร้างอุปกรณ์ควบคุมที่สามารถทำงานซับซ้อนได้ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณในการออกแบบกฎของการควบคุม ดังนั้นจึงมีการพัฒนาระบบควบคุมแบบต่าง ๆ ขึ้นอย่างมากมาย

ด้วยเหตุดังกล่าว จึงมีการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุม จากหลายแง่มุม

จากความพยายามในการใช้คอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นดิจิทัล เพื่อการควบคุมระบบซึ่งโดยส่วนใหญ่จะเป็นระบบอนาล็อก จึงส่งผลให้มีการพัฒนาทางทฤษฎี**ระบบควบคุมดิจิทัล** (อังกฤษ: digital control) โดยในปี ค.ศ. 1952 จอห์น รากัซซินี (J.R. Ragazzini) , แฟรงคลิน (G Franklin) และ ซาเดห์ (L.A. Zadeh ผู้คิดค้นฟัซซี่ลอจิก) ที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ได้พัฒนาทฤษฎีระบบแบบชักข้อมูล (sampled data systems) ขึ้น การใช้คอมพิวเตอร์ในการควบคุมกระบวนการในอุตสาหกรรมนั้น ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1959 ที่ โรงกลั่นน้ำมัน พอร์ต อาเธอร์ (Port Arthur) ในรัฐเท็กซัส

นอกจากนั้นแล้วแนวความคิดของการควบคุมที่ซับซ้อนขึ้นโดยมีการรวม ข้อกำหนดความต้องการทางด้านประสิทธิภาพ (performance) ในการออกแบบระบบควบคุม ซึ่งเรียกว่า **ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด** (optimal control) รากฐานของทฤษฎีระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุดนี้มีมายาวนานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1696 จาก *หลักของความเหมาะสมที่สุด* (principle of optimality) ในปัญหา บราคิสโตโครน (Brachistochrone curve) และ แคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of variations) ในปีค.ศ. 1957 ริชาร์ด เบลแมน ได้ประยุกต์ใช้วิธีการกำหนดการพลวัตของเขาในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ต่อมาในปีค.ศ. 1958 พอนเทรียกิน (L.S. Pontryagin) ได้พัฒนา *หลักการมากที่สุด* (maximum principle หรือบางครั้งก็เรียก minimum principle) สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง

ตัวกรองคาลมานนำร่อง ลูนาร์โมดูล ของ อพอลโล่ 11 สู่พื้นผิวดวงจันทร์
การสังเกตถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบควบคุมนั้นมีมาตั้งแต่ในช่วงระบบควบคุมยุคดั้งเดิม เช่นในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ในการพัฒนาระบบควบคุมสำหรับเรดาร์ติดเครื่องบิน เพื่อควบคุมการยิง ที่ ห้องทดลองเรดิเอชัน (Radiation Lab) ที่ เอ็มไอที, ฮอลล์ (A.C. Hall) ได้ประสบปัญหาในการออกแบบ เขาได้สังเกตถึงผลกระทบจากการออกแบบที่ไม่ได้คำนึงถึงสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบ ถึงแม้ว่าจะมีการคำนึงถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวน แต่ก็ไม่ได้มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณรบกวนในการวิเคราะห์แต่อย่างใด จนกระทั่ง นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ ได้จำลองสัญญาณรบกวน โดยใช้แบบจำลองกระบวนการสตอแคสติก หรือ แบบจำลองทางสถิติ แบบเวลาต่อเนื่อง ในการพัฒนาระบบเล็งเป้าและควบคุมการยิงปืนต่อต้านอากาศยาน โดยใช้ข้อมูลจากเรดาร์ ซึ่งงานของเขาได้ถูกเก็บเป็นความลับ จนถึงปี ค.ศ. 1949 ในช่วงเดียวกันในปี ค.ศ. 1941 คอลโมโกรอฟ ก็ได้ทำการพัฒนาแบบจำลองสำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องขึ้น ระบบควบคุมที่ใช้แบบจำลองสคอแคสติกนี้ในการวิเคราะห์ จะเรียกว่า **ระบบควบคุมสตอแคสติก** (Stochastic control)

การวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะ หรือ แบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) นั้นเป็นหัวใจของทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน และ Bellman นั้นถือได้ว่าเป็นบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุมโดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้ โดยที่ในปี ค.ศ. 1960 คาลมานได้นำทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟมาใช้ในการออกแบบระบบ ซึ่งเป็นผลให้ผลงานของเลียปูนอฟกลับมาได้รับความสนใจ นอกจากนี้แนวทางใหม่นี้ยังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของตัวระบบได้ ได้แก่ สภาพควบคุมได้ (controllability) สภาพสังเกตได้ (observability) ผลสัมฤทธิ์เล็กสุดเฉพาะกลุ่ม (minimal realization) และยังนำไปสู่การออกแบบตัวควบคุมแบบใหม่ เช่น การวางขั้ว (pole placement) ตัวควบคุมอิงตัวสังเกต (observer-based controller) และตัวควบคุมกำลังสองเชิงเส้นเหมาะที่สุด (optimal linear quadratic regulator)  คาลมานได้พัฒนาวิธีการออกแบบระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด จากแบบจำลองปริภูมิสถานะ ในรูปของปัญหาระบบเชิงเส้นคงค่าแบบเหมาะสมที่สุดตามสมการกำลังสอง หรือ **LQR** (linear quadratic regulator) ในปีเดียวกันนี้ คาลมานได้นำเสนอผลงานของเขาในการประยุกต์ใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้เข้ากับแนวความคิดทางด้านสตอแคสติกของวีนเนอร์ และคิดค้นสิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ ตัวกรองคาลมาน (Kalman filter) ขึ้นมา โดยการใช้งานจริงครั้งแรกของตัวกรองคาลมาน นั้นได้ถูกประยุกต์เป็นส่วนหนึ่งของระบบนำร่องในโครงการอพอลโล ตั้งแต่นั้นมาตัวกรองคาลมานก็ได้ถูกประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางในปัจจุบัน

ในปัจจุบันแนวทางการวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะสามารถประยุกต์ใช้ได้กับงานวิศวกรรมห้วงอากาศอวกาศ (aerospace engineering) การควบคุมกระบวนการ (process control) และเศษฐมิติ (econometrics)

ประเภทของปัญหาระบบควบคุม
------------------------

ปัญหาของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น สามารถแยกออกได้เป็นประเภทใหญ่ 2 ประเภท คือ

1. **ปัญหาระบบคงค่า** (regulator problem) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุม ให้เอาต์พุตของระบบมีค่าคงที่ ต้านทานการรบกวน (disturbance) ที่เข้ามาในระบบ และมีผลทำให้ระบบเปลี่ยนแปลง
2. **ปัญหาระบบปรับค่าตาม** (tracking หรือ servo problem) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุม ให้เอาต์พุตมีค่าเท่ากับสัญญาณอ้างอิง เมื่อสัญญาณอ้างอิงเปลี่ยนไป ระบบควบคุมจะทำการปรับให้ สัญญาณเอาต์พุตมีค่าตามสัญญาณอ้างอิง

ประเภทของระบบ
-------------

เราอาจจะสามารถจำแนกประเภทของระบบได้หลายแบบตามแต่เงื่อนไขในการจำแนกระบบที่ใช้ แต่ในบริบทของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น เรามักจำแนกระบบตามภาวะเชิงเส้น, การแปรเปลี่ยนตามเวลา และความต่อเนื่องโดเมนเวลา ดังต่อไปนี้ คือ

### จำแนกตามภาวะเชิงเส้น

#### ระบบเชิงเส้น

**ระบบเชิงเส้น** (Linear Systems) คือระบบที่มีภาวะเชิงเส้น (Linearity) กล่าวคือ ถ้าให้ {\displaystyle x\_{1}(t),x\_{2}(t)} เป็นสัญญาณขาเข้าของระบบ และ {\displaystyle y\_{i}(t)=H\left\{x\_{i}(t)\right\}} โดยที่ {\displaystyle i\in \{1,2\}}เป็นสัญญาณขาออก ถ้าระบบมีภาวะเชิงเส้นแล้วจะต้องสอดคล้องกับคุณสมบัติดังนี้

{\displaystyle \alpha y\_{1}(t)+\beta y\_{2}(t)=H\left\{\alpha x\_{1}(t)+\beta x\_{2}(t)\right\}}
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \,}

หมายเหตุ: เราเรียกหลักการข้างต้นว่าหลักการซ้อนทับ (superposition) 

#### ระบบไม่เชิงเส้น

**ระบบไม่เชิงเส้น** (Nonlinear Systems) คือระบบที่ไม่มีสมบัติภาวะเชิงเส้นดังกล่าว

### จำแนกตามการแปรเปลี่ยนตามเวลา

#### ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา

ดูบทความหลักที่: ระบบมีพลวัตแบบเวลายง
**ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา** (Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า {\displaystyle x(t)} ที่เวลา {\displaystyle t} จะได้สัญญาณขาออกเป็น {\displaystyle y(t)} ที่เวลา {\displaystyle t} ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา {\displaystyle t+\delta } นั้นคือ {\displaystyle x(t+\delta )} สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ {\displaystyle y(t+\delta )}เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา {\displaystyle t+\delta } ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า {\displaystyle x(t+\delta )}

#### ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา

**ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา** (Time-variant system) คือระบบที่จะปลี่ยนแปลงคุณสมบัติไปตามเวลา กล่าวคือ ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า {\displaystyle x(t)} ที่เวลา {\displaystyle t} แล้วจะได้สัญญาณขาออกเป็น {\displaystyle y(t)} ที่เวลา {\displaystyle t} ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา {\displaystyle t+\delta } นั้นคือ {\displaystyle x(t+\delta )} สัญญาณขาออกผลลัพธ์ จะไม่ได้ค่าเดิม คือ {\displaystyle y(t+\delta )} แต่จะเป็นค่าอื่นเพราะในช่วงเวลา {\displaystyle \delta } นั้นระบบได้เปลี่ยนคุณสมบัติไปแล้ว

### จำแนกตามความต่อเนื่องโดเมนเวลา

#### ระบบเวลาต่อเนื่อง

**ระบบเวลาต่อเนื่อง** (Continuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนจริง กล่าวคือ {\displaystyle t\in \ \mathbb {R} \,}

#### ระบบเวลาวิยุต

**ระบบเวลาวิยุต หรือ ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง** (Discontinuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนเต็ม (แม้ในบางครั้ง อาจจะไม่ใช้จำนวนเต็ม แต่ ถ้ากล่าวโดยไม่เสียนัยยะความเป็นทั่วไป เราสามารถแทนจำนวนเหล่านั้นที่แม้ไม่ใช้จำนวนเต็มได้ด้วย ดัชนีเวลา (time index) ที่เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ) กล่าวคือ {\displaystyle t\in \ \mathbb {Z} \,}

:หมายเหตุ เรามักจะใช้อักษร {\displaystyle n} หรือ {\displaystyle k} แทน {\displaystyle t} ในกรณีที่เป็นเวลาวิยุต

#### ระบบผสม

**ระบบผสม** (Hybrid systems) คือระบบที่โดเมนของเวลาต่อเนื่องเป็นช่วง ๆ กล่าวคือ มีทั้งช่วงที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องในโดเมนของเวลา ตัวอย่างของระบบที่ศึกษากันคือ ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟ (Markovian jump linear system : MJLS)    

ในกรณีที่เป็น ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟและเวลาไม่ต่อเนื่อง ระบบจะมีแบบจำลองดังต่อไปนี้

{\displaystyle x(k+1)=A\_{r(k)}x(k)+B\_{r(k)}u(k)+F\_{r(k)}w(k)}

{\displaystyle y(k)=C\_{r(k)}x(k)+G\_{r(k)}v(k)}

โดยที่
{\displaystyle r(k)\in \{1,2,3,...m\}} เป็นตัวแปรสถานะของกระบวนการมาร์คอฟ (Markov process) ที่มีความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะเป็น {\displaystyle Prob(r(k+1)=j|r(k)=i)=q\_{ij}}
และเมทริกซ์ของระบบแปรเปลี่ยนขึ้นกับ {\displaystyle r(k)}

{\displaystyle w(k)} เป็นสัญญาณรบกวนที่มีต่อตัวระบบ

{\displaystyle v(k)} เป็นสัญญาณรบกวนที่มีการสังเกต (สัญญาณขาออก)

ส่วน {\displaystyle x(k),y(k),A,B,C,D,F} จะนิยามในส่วนของแบบจำลองปริภูมิสถานะ ต่อไป

ทฤษฎีระบบควบคุมแบบดั้งเดิม
--------------------------

### ระบบควบคุมวงปิด

เนื่องจากระบบควบคุมแบบวงเปิดมีปัญหาด้านเสถียรภาพของระบบเพราะไม่มีการป้อนกลับของสัญญาณขาออก ซึ่งไม่เหมาะกับการใช้งานหลายอย่าง จึงมีความต้องการที่จะออกแบบระบบควบคุมที่สามารถตรวจจับความคลาด

เคลื่อนระหว่างสัญญาณขาออกและสัญญาณอ้างอิงได้ จึงได้มีการคิดค้นระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Feedback control systems) หรือระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed loop control systems) ขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่เกิด

ขึ้นกับระบบควบคุมแบบวงเปิด โดยมีโครงสร้างดังในรูป

**หลักการควบคุมป้อนกลับ** (Feedback control systems) เป็นหลักการพื้นฐานที่ใช้ในการควบคุมระบบพลวัตอย่างแพร่หลาย ในภาพเป็นการป้อนกลับแบบลบ (Negative feedback) เพราะสัญญาณจากเซนเซอร์ (Measured error) จะถูกนำไปหักล้างจากสัญญาณอ้างอิง (Reference input) เพื่อที่จะทำไปสร้างสัญญาณความคลาดเคลื่อน (Measured error) (ผลต่างระหว่างค่าที่ผู้ออกแบบต้องการและสัญญาณจากตัวตรวจจับ (Sensor) ) ซึ่งจะนำไปป้อนสู่ตัวควบคุม (Controller) และตัวควบคุมจะสร้างสัญญาณควบคุม (System input หรือ Control signal) ป้อนสู่ระบบพลวัต (Plant, Dynamic systems) หลังจากนั้นจะนำสัญญาณขาออกของระบบพลวัต (ที่วัดได้จากตัวตรวจจับ) มาป้อนสู่ระบบป้อนกลับต่อไปเช่นนี้เรื่อย ๆ 
ระบบควบคุมแบบป้อนกลับมีความได้เปรียบเหนือกว่าระบบควบคุมแบบวงเปิด ดังต่อไปนี้

* สามารถกำจัดการรบกวนได้ (อาทิ เช่น ผลจากแรงเสียดทานที่ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ)
* สามารถรับประกันสมรรถนะได้มากขึ้นแม้กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่มีความไม่แน่นอนอยู่ด้วย (อาทิ เช่น กรณีที่ผลจากการที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายระบบได้อย่างสมบรูณแบบ)
* ระบบที่ไม่มีเสถียรภาพโดยธรรมชาติอยู่แล้วสามารถทำให้มีเสถียรภาพได้หากติดตั้งตัวควบคุมที่เหมาะสม
* ระบบมีความคงทนต่อความเปลี่ยนแปลงมากขึ้นแม้ในกรณีที่พารามิเตอร์ของระบบมีการเปลี่ยนแปลง
* ระบบสามารถปรับค่าสัญญาณขาออกตามสัญญาณอ้างอิงได้ดีมากขึ้นในปัญหาระบบปรับค่าตาม

ในบางระบบ ระบบควบคุมแบบวงปิดและวงเปิดจะใช้ควบคู่กัน โดยที่ในกรณีนี้ระบบวงเปิดจะเรียกว่า feedforward

### ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิด

A simple feedback control loopA simple feedback control loop
**ฟังก์ชันส่งผ่าน** (transfer function) คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณขาออก (output signal) ต่อสัญญาณขาเข้า (input signal)
โดยฟังก์ชันส่งผ่านสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้
สมมุติให้ ตัวควบคุม **{\displaystyle C}**, ระบบพลวัต **{\displaystyle P}**, ตัวตรวจจับ **{\displaystyle F}** เป็นเชิงเส้น และ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ฟังก์ชันส่งผ่านของ **{\displaystyle C(s)}**, **{\displaystyle P(s)}**, and **{\displaystyle F(s)}** ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) และในที่นี้เราจะพิจารณาผลการแปลงการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันส่งผ่านย่อย ๆ กล่าวคือ ฟังก์ชันส่งผ่านของ **{\displaystyle C(s)}**, **{\displaystyle P(s)}**, and **{\displaystyle F(s)}** ซึ่งการหาฟังก์ชันส่งผ่านหาได้ดังนี้

การแปลงโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงลาลาส ซึ่งสัญญาณขาออกในโดเมนเวลาจะเป็นการสังวัตนาการ (Convolution) ระหว่าง สัญญาณขาเข้าและผลตอบสนองอิมพัลส์ (impulse response) เมื่อผ่านการแปลงลาลาส จะได้สัญญาณขาออกในโดเมนความถี่ ที่จะอยู่ในรูปการคูณกันระหว่าง ผลการแปลงลาลาสของผลตอบสนองอิมพัลส์ (ฟังก์ชันส่งผ่าน) และผลการแปลงลาลาสของสัญญาณขาเข้า ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายลงไปได้มาก 
{\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)\,\!}
{\displaystyle U(s)=C(s)E(s)\,\!}
{\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s).\,\!}
แก้หา **{\displaystyle Y(s)}** ในรูปของ **{\displaystyle R(s)}** จะได้ว่า:

{\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).}
โดยที่ {\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}} เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิดของระบบ (closed-loop transfer function)

### ตัวควบคุมพีไอดี

 ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ
ดูบทความหลักที่: ระบบควบคุมพีไอดี
**ตัวควบคุมพีไอดี** หรือ **ตัวควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์** เป็นตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมเป็นอย่างสูงและใช้งานอย่างแพร่หลาย โดยในปัจจุบันยังมีการใช้งานในแวดวงอุตสาหกรรม จนไปถึงยานอวกาศ ทั้งนี้เพราะเป็นตัวคบคุมที่มีใช้งานกันมานานและจนได้รับความไว้วางในแง่ของประสิทธิภาพ อีกทั้งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมันก็เรียบง่ายและง่ายต่อการนำไปติดตั้ง
ตัวควบคุมพีไอดีมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

กำหนดให้ {\displaystyle u(t)} คือสัญญาณควบคุมที่จะส่งให้ตัวระบบ

และ {\displaystyle y(t)} คือสัญญาณขาออกที่ถูกวัดมาได้

และ {\displaystyle r(t)} คือสัญญาณอ้างอิง

สัญญาณความคลาดเคลื่อนคือ {\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)} ดังนั้น

{\displaystyle u(t)=K\_{P}e(t)+K\_{I}\int e(t){\text{d}}t+K\_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t).}
สมรรถนะและเสถียรถาพของระบบจะถูกกำหนดโดยการปรับแต่งค่าพารามิเตอร์สามตัว คือ {\displaystyle K\_{P}}, {\displaystyle K\_{I}} และ {\displaystyle K\_{D}} นอกเหนือจากการปรับแต่งค่าเหล่านี้หลังจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ ยังนิยมปรับแต่งค่าโดยใช้หลักการของ Ziegler–Nichols หรือใช้ประสบการณ์ของวิศวกร โดยที่เสถียรภาพของระบบมักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ {\displaystyle K\_{P}} แต่เพียงอย่างเดียว ส่วน {\displaystyle K\_{I}} มักส่งผลในแง่ของความคงทนต่อการเปลี่ยนแปลงฉับพลันต่อตัวระบบ และ {\displaystyle K\_{D}} มักเกี่ยวกับรูปร่างของผลตอบสนอง
เมื่อพิจารณาบนโดเมนการแปลงลาปลาส จะได้ว่า

{\displaystyle u(s)=K\_{P}e(s)+K\_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K\_{D}se(s)}
{\displaystyle u(s)=(K\_{P}+K\_{I}{\frac {1}{s}}+K\_{D}s)e(s)}
โดยจะเห็นได้ว่าฟังกชั่นส่งผ่านของตัวควบคุมพีไอดีคือ

{\displaystyle C(s)=(K\_{P}+K\_{I}{\frac {1}{s}}+K\_{D}s).}
แม้ระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่ใช้ตัวควบคุมพีไอดีจะมีความสามารถที่ถูกปรับปรุงดีขึ้นมากกว่าระบบควบคุมแบบเปิดมาก แต่ก็ยังเหมาะแค่กับระบบที่มีสัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output or SISO) และยังไม่สามารถใช้ควบคุมระบบที่มีความซับซ้อนสูงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่มีสัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output or MIMO)

ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่
-----------------------

ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใด ๆ มาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใด ๆ ก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) มาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม

### แบบจำลองปริภูมิสถานะ(state space)

ดูบทความหลักที่: แบบจำลองปริภูมิสถานะ
#### กรณีระบบเชิงเส้น

กำหนดให้ระบบพลวัตมี p สัญญาณขาเข้า {\displaystyle q} สัญญาณขาออก และ {\displaystyle n} ตัวแปรสถานะ

สมการปริภูมิสถานะคือ:

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}
โดยที่:

{\displaystyle \mathbf {x} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (state vector) ,   {\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}};
{\displaystyle \mathbf {y} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาออก (output vector) ,   {\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{q}};
{\displaystyle \mathbf {u} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาเข้า หรือ เวกเตอร์ของสัญญาณควบคุม (input vector, control vector) ,   {\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{p}};
{\displaystyle A(\cdot )} คือ เมทริกซ์ของตัวแปรสถานะ หรือ เมทริกซ์พลวัต (state matrix, dynamics matrix) ,   {\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n},
{\displaystyle B(\cdot )} คือ เมทริกซ์ขาเข้า (input matrix) ,   {\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p},
{\displaystyle C(\cdot )} คือ เมทริกซ์ขาออก (output matrix) ,   {\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n},
{\displaystyle D(\cdot )} คือ เมทริกซ์ป้อนผ่าน (feedthrough (or feedforward) matrix) (ในกรณีที่ระบบไม่มีการป้อนสัญญาณขาเข้า, {\displaystyle D(\cdot )} เป็นเมทริกซ์ศูนย์),   {\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p},
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\mathbf {x} (t)}.
โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นเมทริกซ์แปรผันตามเวลาได้ แต่ในกรณีเฉพาะที่ระบบไม่แปรผันตามเวลา (LTI) มักจะถูกนำมาศึกษาอยางแพร่หลายเพราะมีความซับซ้อนน้อยกว่าและเหมาะต่อการศึกษาในระดับพื้นฐาน นอกจากนี้ตัวแปรเวลาสามารถมีได้ทั้งแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous time : {\displaystyle t\in \mathbb {R} }) และแบบเวลาวิยุต (ไม่ต่อเนื่อง) (discrete time : {\displaystyle t\in \mathbb {Z} }) โดยในกรณีของเวลาไม่ต่อเนื่องมักนิยมใช้ตัวแปร {\displaystyle k} นอกเหนื่อจากระบบแบบที่กล่าวมาแล้วยังมีระบบผสมซึ่งเป็นระบบที่มีโดเมนของเวลาอยู่ทั้งบนแกนเวลาต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง

สมการปริภูมิสถานะ(state space equation)ข้างต้นหากพิจารณาตามโดเมนของเวลาจะมีรูปแบบต่าง ๆ กันดังต่อไปนี้ :

|  |  |
| --- | --- |
| **ชนิดของระบบ** | **แบบจำลองสมการปริภูมิสถานะ** |
| เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-invariant) | {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)} |
| เวลาต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-variant) | {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)} |
| เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-invariant) | {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k)+B\mathbf {u} (k)}{\displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)} |
| เวลาไม่ต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-variant) | {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}{\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)} |
| โดเมนการแปลงการแปลงลาปลาสโดยที่เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา  (Laplace domain of continuous time-invariant) | {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}{\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)} |
| โดเมน Z โดยที่เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา  (Z-domain of discrete time-invariant) | {\displaystyle z\mathbf {X} (z)=A\mathbf {X} (z)+B\mathbf {U} (z)}{\displaystyle \mathbf {Y} (z)=C\mathbf {X} (z)+D\mathbf {U} (z)} |

#### กรณีระบบไม่เชิงเส้น

{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,x(t),u(t))}
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,x(t),u(t))}
### สภาพควบคุมได้

ดูบทความหลักที่: สภาพควบคุมได้
**สภาพควบคุมได้** (อังกฤษ: Controllability) จะบ่งบอกถึงความสามารถที่สัญญาณขาเข้าที่เป็นไปได้ (admissible inputs) จะสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะให้ไปถึงค่าใด ๆ ได้ในช่วงเวลาจำกัด (เวลาอันตะ) ไม่ว่าค่าเริ่มต้น (initial value) ของตัวแปรสถานะนั้น ๆ จะเป็นค่าอะไร ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพควบคุมได้ **ก็ต่อเมื่อ**

{\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n}
 หมายเหตุ : **ค่าลำดับขั้น** (Rank) คือ ค่าซึ่งแสดงถึงจำนวนแถว (หรือหลัก) ในเมทริกซ์ที่มีความอิสระเชิงเส้น (linearly independent) ต่อกัน 

### สภาพสังเกตได้

ดูบทความหลักที่: สภาพสังเกตได้
**สภาพสังเกตได้** (อังกฤษ: Observability) เป็นสภาพที่บ่งบอกว่าระบบพลวัตมีความสามารถที่จะส่งผ่านข้อมูลของตัวแปรสถานะได้ดีแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากสัญญาณขาออก สภาพควบคุมได้ และ สภาพสังเกตได้ เป็นสภาพคู่กันทางคณิตศาสตร์ (Duality) กล่าวคือ ในขณะที่ สภาพควบคุมได้ หมายถึง สภาพที่แสดงออกว่าสัญญาณขาเข้าสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะไปที่ค่าใด ๆ ที่ต้องการได้ แต่ สภาพสังเกตได้ จะเป็นสภาพที่แสดงออกถึงสัญญาณขาออก (output trajectory) จะให้ข้อมูลเพียงพอต่อการคาดคะเนค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะของระบบได้
ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้น เงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพสังเกตได้ได้ **ก็ต่อเมื่อ**

{\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}C\\CA\\...\\CA^{n-1}\end{bmatrix}}=n}
### การแยกตัวประกอบคาลมาน

ดูบทความหลักที่: การแยกตัวประกอบคาลมาน
**การแยกตัวประกอบคาลมาน** (อังกฤษ: Kalman decomposition) เป็นกระบวนการแยกส่วนประกอบของเมทริกซ์ในสมการปริภูมิสถานะของระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา linear time-invariant (LTI) ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถจำแนกได้ว่าส่วนใดในเมทริกซ์ของระบบ มีผลต่อ สภาพสังเกตได้ และสภาพควบคุมได้ ทำให้ง่ายต่อการวิเคราะห์คุณลักษณะของระบบ

จากสมการปริภูมิสถานะของระบบข้างต้น จะเห็นได้ว่าพารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะของระบบ LTI สามารถเขียนโดยย่อได้เป็นเวกเตอร์ {\displaystyle \,(A,B,C,D)} ในที่นี้จะสมมุติว่าระบบมีมิติเป็น {\displaystyle \,n}.

การแยกตัวประกอบคาลมาน ถูกนิยามว่า คือ การแปลงเวกเตอร์ {\displaystyle \,(A,B,C,D)} ให้เป็น {\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})} โดยคูณเมทริกซ์การแปลง {\displaystyle \,T} ดังต่อไปนี้

{\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}
{\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}
{\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}
{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}
โดยเมทริกซ์การแปลง {\displaystyle \,T} มีมิติ {\displaystyle \,n\times n} เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ ถูกนิยามดังต่อไปนี้ ดังต่อไปนี้:

{\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T\_{r{\overline {o}}}&T\_{ro}&T\_{\overline {ro}}&T\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}
โดยที่

* {\displaystyle \,T\_{r{\overline {o}}}} เป็นเมทริกซ์ที่หลัก span ปริภูมิย่อย ของตัวแปรสถานะที่มีสถาพเข้าถึงได้ (reachable) และ ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
* {\displaystyle \,T\_{ro}} ถูกเลือกโดยที่หลักของ {\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T\_{r{\overline {o}}}&T\_{ro}\end{bmatrix}}} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่มีสภาพเข้าถึงได้ (reachable)
* {\displaystyle \,T\_{\overline {ro}}} ถูกเลือกโดยที่หลักของ {\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T\_{r{\overline {o}}}&T\_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
* {\displaystyle \,T\_{{\overline {r}}o}} ถูกเลือกโดยที่ {\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T\_{r{\overline {o}}}&T\_{ro}&T\_{\overline {ro}}&T\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}} ยังสามารถผกผันได้

จะเห็นได้ว่าโดยการสร้งเมทริกซ์ {\displaystyle \,T} ในลักษณะข้างต้น เมทริกซ์ {\displaystyle \,T} จึงผกผันได้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ {\displaystyle \,T} นั้นสามารถเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้ ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่ระบบมีสภาพสังเกตได้และควบคุมได้ เมทริกซ์ {\displaystyle \,T} ลดรูปเหลือ {\displaystyle \,T=T\_{ro}} โดยที่ เมทริกซ์ย่อยอื่นเป็นเมทริกซ์ศูนย์

#### รูปแบบมาตรฐาน

ระบบที่ได้รับการแปลงแล้ว {\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})} จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

{\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A\_{r{\overline {o}}}&A\_{12}&A\_{13}&A\_{14}\\0&A\_{ro}&0&A\_{24}\\0&0&A\_{\overline {ro}}&A\_{34}\\0&0&0&A\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B\_{r{\overline {o}}}\\B\_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C\_{ro}&0&C\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}
โดยที่

* ระบบย่อย {\displaystyle \,(A\_{ro},B\_{ro},C\_{ro},D)} มี สภาพเข้าถึงได้ และ สภาพสังเกตได้
* ระบบย่อย {\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A\_{r{\overline {o}}}&A\_{12}\\0&A\_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B\_{r{\overline {o}}}\\B\_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C\_{ro}\end{bmatrix}},D\right)} มี สภาพเข้าถึงได้
* ระบบย่อย {\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A\_{ro}&A\_{24}\\0&A\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B\_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C\_{ro}&C\_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)} มี สภาพสังเกตได้

บุคคลสำคัญในวงการทฤษฎีระบบควบคุม
--------------------------------

* อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ (ค.ศ. 1857 – ค.ศ. 1918) ในคริสต์ทศวรรษ 1890 นำเสนอเรื่องทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ (Lyapunov stability) ซึ่งใช้วิเคราะห์ได้ทั้งระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นและเป็นทฤษฎีเสถียรภาพหลักในแขนงวิชาระบบควบคุมที่ยังใช้กันจนถึงถูกวันนี้
* แฮโรลด์ สตีเฟน แบล็ก (ค.ศ. 1898 – ค.ศ. 1983), นำเสนอแนวคิดเรื่องการป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifiers) ในปี ค.ศ. 1927 และพัฒนาตัวขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบที่เสถียร์ได้สำเร็จในคริสต์ทศวรรษ 1930
* แฮร์รี่ ไนควิสต์ (ค.ศ. 1889 – ค.ศ. 1976) นำเสนอเกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist stability criterion) ในปี ค.ศ. 1932
* ริชาร์ด เบลแมน (Richard Bellman) (ค.ศ. 1920 – ค.ศ. 1984) ได้ประยุกต์ใช้วิธีการ กำหนดการพลวัตของเขา ในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ในปี ค.ศ. 1957
* อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ (ค.ศ. 1903 – ค.ศ. 1987) พัฒนา Wiener-Kolmogorov filter ในปี ค.ศ. 1941 (ช่วงเวลาเดียวกับนอร์เบิร์ต วีนเนอร์)
* นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ (Norbert Wiener) (ค.ศ. 1894 – ค.ศ. 1964) พัฒนา Wiener-Kolmogorov filter และนำเสนอศัพท์คำว่า cybernetics ในคริสต์ทศวรรษ 1940
* จอห์น อาร์ รากัซซินี (ค.ศ. 1912 – ค.ศ. 1988) นำเสนอระบบควบคุมแบบดิจิทัล และการแปลง z (z-transform) ในคริสต์ทศวรรษ 1950
* เลฟ พอนเทรียกิน (L.S. Pontryagin) (ค.ศ. 1908 – ค.ศ. 1988) *หลักการมากที่สุด* (maximum principle หรือบางครั้งก็เรียก minimum principle) สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง หลักการ แบง-แบง (bang-bang principle)
* รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน (ค.ศ. 1930 – ปัจจุบัน) ผู้พัฒนาตัวกรองคานมานและเป็นผู้นำเสนอแบบจำลองปริภูมิสถานะ และนำเสนอแนวคิดเรื่องสภาพควบคุมได้และสภาพสังเกตได้ มาใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ อันเป็นการนำองค์ความรู้ของทฤษฎีระบบควบคุมไปสู่ยุคใหม่ ที่เรียกว่า ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่

สาขาของทฤษฎีระบบควบคุม
----------------------

* ระบบควบคุมเชิงเส้น (linear control systems)
* ระบบควบคุมไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear control systems)
* ระบบควบคุมดิจิทัล (digital control systems)
* ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control systems)
* ระบบควบคุมสตอแคสติค (stochastic control systems)
* ระบบควบคุมแบบคงทน (robust control systems)
* ระบบควบคุมแบบปรับตัวได้ (adaptive control systems)
* ระบบควบคุมแบบชาญฉลาด (intelligent control systems)

ดูเพิ่ม
-------


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 
ตัวอย่างการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม
* Automation
* Deadbeat Controller
* Distributed parameter systems
* Fractional order control
* H-infinity loop-shaping
* Hierarchical control system
* Model predictive control
* Process control
* Robust control
* Servomechanism
* แบบจำลองปริภูมิสถานะ
* เพนดูลัมผกผัน (Inverted pendulum)
* เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)
* หุ่นยนต์
* อาซิโม
* คิวริโอ
* วิทยาการหุ่นยนต์
* หุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์
* เมคคาทรอนิกส์

 | 
หัวข้อที่น่าสนใจในทฤษฎีระบบควบคุม
* Dual control theory
* การประมาณค่าตัวแปรสถานะ
* Filtering problem (stochastic processes)
* linear-quadratic-Gaussian (LQG) control problem
* Coefficient diagram method
* Control reconfiguration
* Feedback
* H infinity
* Hankel singular value
* Krener's theorem
* Lead-lag compensator
* Minor loop feedback
* Radial basis function
* Root locus
* Signal-flow graphs
* Stable polynomial
* Underactuation
* ระบบควบคุมพีไอดี
* การแปลงลาปลาส
* การแปลง Z ขั้นสูง
* ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
* สมการเลียปูนอฟ
* การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม
* ดับเบิล อินทิเกรตเตอร์

 | 
ดูเพิ่มเติม
* Automation and Remote Control
* Bond graph
* Control engineering
* Controller (control theory)
* Cybernetics
* Perceptual Control Theory
* Intelligent control
* Mathematical system theory
* Systems theory
* People in systems and control
* Time scale calculus
* Negative feedback amplifier
* Control-Feedback-Abort Loop

 |

อ้างอิง
-------

1. 1 2   เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications) "สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
2. ↑  A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
3. ↑  Yuguang Fang, Kenneth A. Loparo, Stabilization of Continuous-Time Jump Linear, IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 47, NO. 10, OCTOBER 2002 page 1590-1603
4. ↑  Yuguang, Kenneth A. Loparo, Xiangbo Feng, Stability of Discrete Time Jump Linear Systems, Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, Vol 5, No. 3, pp. 275-321
5. ↑  Vijay Gupta, Richard M. Murray, Ling Shi, Bruno Sinopoli Networked Sensing, Estimation and Control Systems
6. ↑  "Vijay Gupta, Richard M. Murray Lecture Summary: Markov Jump Linear Systems" (PDF). คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2009-09-04. สืบค้นเมื่อ 2011-09-24.
7. ↑  Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25[*ลิงก์เสีย*] - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม เก็บถาวร 2007-05-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
* หนังสือ Robust Adaptive Control เก็บถาวร 2009-08-23 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน โดย Petros A. Ioannou
* Franklin, G.F. Powel, J.D. and Emami-Naeini, A. *Feedback Control of Dynamic Systems*, 4thed. Prentice Hall 2002 เก็บถาวร 2004-08-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Aström, K.J. *Control System Design* chap.1 preprint 2002
* Lewis, F.L. *Applied Optimal Control and Estimation* Prentice Hall 1992
* Bellman, R. "Eye of The Hurricane: an autobiography" World Scientific Publishing Co Pte Ltd. 1984
* A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
* Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
* M.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989
* เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications) "สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
* วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems) "สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)
* Kansas State University Control Lab  เก็บถาวร 2012-02-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* MIT Lecture Note on Dynamic Systems and Control by Munther Dahleh, Mohammed Dahleh, and George Verghese เก็บถาวร 2011-08-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

| * ด
* ค
* ก
สาขาวิชาสำคัญด้านเทคโนโลยี |
| --- |
| วิทยาศาสตร์ประยุกต์ | 
* เทคโนโลยีการสะสมพลังงาน
* เทคโนโลยีการเกษตร
* เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
* เทคโนโลยีนิวเคลียร์
* เทคโนโลยีสิ่งแวดล้อม
* นาโนเทคโนโลยี
* การประมงศาสตร์
* ปัญญาประดิษฐ์
* พลังงาน
* ฟิสิกส์วิศวกรรม
* พันธุวิศวกรรม
* ไมโครเทคโนโลยี
* วัสดุศาสตร์
* วิศวกรรมเซรามิก
* วิศวกรรมทัศนศาสตร์
* สัตวศาสตร์
* อิเล็กทรอนิกส์
* เครื่องมือวัด

 |
| สารสนเทศ และ การสื่อสาร | 
* การรู้จำคำพูด
* เทคโนโลยีดนตรี
* เทคโนโลยีทางสายตา
* เทคโนโลยีการสื่อสาร
* เรขภาพ

 |
| อุตสาหกรรม | 
* การก่อสร้าง
* การเงินเชิงคอมพิวเตอร์
* การทำเหมืองแร่
* การประมง
* การผลิต
* เครื่องกล

 |
| การทหาร | 
* เทคโนโลยีและอุปกรณ์การทหาร
* นาวิกวิศวกรรม
* อาวุธปืนและเครื่องกระสุนปืน
* ระเบิด

 |
| คหกรรมศาสตร์ | 
* เครื่องใช้ไฟฟ้า
* เทคโนโลยีการศึกษา
* เทคโนโลยีในบ้าน
* เทคโนโลยีอาหาร

 |
| วิศวกรรมศาสตร์ | 
* วิศวกรรมชลประทาน
* วิศวกรรมทางหลวง
* วิศวกรรมต่อเรือ
* วัสดุศาสตร์
* วิศวกรรมก่อสร้าง
* วิศวกรรมเกษตร
* วิศวกรรมการเงิน
* วิศวกรรมคอมพิวเตอร์
* วิศวกรรมเคมี
* วิศวกรรมเครื่องกล
* วิศวกรรมโครงสร้าง
* วิศวกรรมชีวเคมี
* วิศวกรรมชีวเวช
* วิศวกรรมชีวะ
* วิศวกรรมซอฟต์แวร์
* วิศวกรรมเซรามิก
* วิศวกรรมนิวเคลียร์
* วิศวกรรมเนื้อเยื่อ
* วิศวกรรมประมง
* วิศวกรรมปิโตรเลียม
* วิศวกรรมไฟฟ้า
* วิศวกรรมแมคคาทรอนิกส์
* วิศวกรรมเหมืองแร่
* วิศวกรรมโยธา
* วิศวกรรมสำรวจ
* วิศวกรรมระบบควบคุม
* วิศวกรรมโลหการ
* วิศวกรรมสถาปัตย์
* วิศวกรรมสารสนเทศ
* วิศวกรรมขนถ่ายวัสดุ
* วิศวกรรมสิ่งแวดล้อม
* วิศวกรรมสิ่งทอ
* วิศวกรรมหลังการเก็บเกี่ยวและแปรสภาพ
* วิศวกรรมการทำความเย็นและการปรับอากาศ
* วิศวกรรมการบินและอวกาศยาน
* วิศวกรรมอาหาร
* วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์
* วิศวกรรมอุตสาหการ
* อติสีตศาสตร์
* วิศวกรรมการขนถ่ายวัสดุ
* วิศวกรรมอัตโนมัติ
* วิศวกรรมการวัดคุม
* วิศวกรรมโทรคมนาคม
* วิศวกรรมการขนส่ง
* วิศวกรรมสื่อประสม

 |
| สุขภาพ และ ความปลอดภัย | 
* เคมีสารสนเทศศาสตร์
* ชีวสารสนเทศศาสตร์
* เทคโนโลยีชีวภาพ
* วิทยาศาสตร์สุขภาพ
* วิศวกรรมความปลอดภัยด้านอัคคีภัย
* วิศวกรรมความปลอดภัย
* วิศวกรรมชีวการแพทย์
* วิศวกรรมสุขาภิบาล

 |
| การขนส่ง | 
* การขนส่ง
* เครื่องยนต์
* เทคโนโลยีอวกาศ
* วิศวกรรมทางทะเล
* วิศวกรรมการบินและอวกาศยาน
* อวกาศยาน

 |