**ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล** (อังกฤษ: Kirkpatrick-Seidel algorithm) หรือเรียกอีกชื่อว่า "ขั้นตอนวิธีแต่งงานก่อนเอาชนะ" (marriage-before-conquest algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับคำนวณหา convex hull ของเซทจุดบนระนาบ โดยมีความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) เป็น O(*n* log *h*) ซึ่ง *n* คือจำนวนจุดนำเข้า และ *h* คือจำนวนขอบของ hull ดังนั้นขั้นตอนวิธีนี้เวลาในการคำนวณจึงขึ้นอยู่กับทั้งขนาดของข้อมูลนำเข้าและข้อมูลส่งออก (output-sensitive algorithm) ชื่อของขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล มาจากชื่อหลังของผู้คิดค้นได้แก่ เดวิด จี. เคิร์กแพทริก (David G. Kirkpatrick) และ ไรมุนด์ ไซเดิล (Raimund Seidel)

ขั้นตอนวิธี
-----------

ขั้นตอนวิธีที่ใช้หา convex hull แบบเดิมจะใช้ขั้นตอนวิธีการแบ่งแยกและเอาชนะ (divide-and-conquer algorithm) คือการแบ่งจุดที่นำเข้าออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน โดยใช้เส้นแนวตั้งในการแบ่ง และเวียนเกิดหา convex hull ของส่วนย่อยซ้ายและส่วนย่อยขวา จากนั้นนำทั้งสองส่วนย่อยมาผสานกัน ด้วยการหา "bridge edges" ซึ่งก็คือเส้นที่เชื่อมและสัมผัสทั้งสอง hulls จากทั้งด้านบนและด้านล่าง

ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล นั้นจะมีขั้นตอนกลับลำดับกันกับวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ คือหา bridge edges เลยโดยไม่จำเป็นต้องหา convex hull ก่อน ซึ่งในขั้นตอนแรกคือการแบ่งจุดโดยการหาเส้นแบ่งแนวตั้งที่ถูกกำหนดโดยค่ามัธยฐานของพิกัดแกน *x* ของจุดที่นำเข้าทั้งหมด ขั้นตอนต่อไปคือการหาเส้นขอบของ convex hull ที่ตัดกับเส้นแบ่งนั้น ซึ่งขั้นตอนนี้จะใช้เวลาเป็นเชิงเส้น (O(*n*)) หากจุดบนฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบจะถูกละทิ้ง ซึ่งในการหาขอบบนของ convex hull นั้นจุดที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบและจะถูกละทิ้งคือ จุดที่อยู่ใต้ bridge edge ลงมา ในขณะที่การหาขอบล่างของ convex hull นั้นจุดที่อยู่เหนือ bridge edge ขึ้นไปจะถูกละทิ้ง จากนั้นเวียนเกิดด้วยจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้ง และด้วยจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้งไปเรื่อยๆ จนกระทั่งได้ขอบของ convex hull ครบทั้งหมด โดยขั้นตอนวิธีนี้จะต้องแยกดำเนินการเพื่อหาขอบบน และขอบล่างของ convex hull อีกครั้ง

การหาเส้นขอบบนในเวลา O(*n*) นั้นเราจะสมมติให้เส้นขอบมีความชันเป็น *K\** จากนั้นเดาค่าความชัน *K* ขึ้นมาแล้วพยายามคำนวณค่า *K\** โดยเปรียบเทียบกับค่า *K* นั้น ให้ *li* จากนั้นทำการหาเส้นตรงที่มีความชัน *K* และผ่านจุดใดๆ ในเซทของจุดทั้งหมดที่นำเข้า ที่ทำให้ทุกๆ จุดในเซทอยู่ใต้มัน (เส้นนี้จะตัดกับเส้นแบ่งสูงที่สุด) เราสามารถหาเส้นนี้ได้ในเวลา O(*n*) ถ้าเส้นที่หาได้นี้ผ่านทั้งจุดทางฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของเส้นแบ่ง เส้นนี้ก็คือเส้นขอบบนที่เรากำลังหาอยู่ แสดงว่าค่า *K*=*K\** แล้ว แต่ถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า *K*>*K\** จึงต้องเดาค่า *K* ใหม่ให้มีค่าที่น้อยลง และถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า *K*<*K\** จึงต้องเดาค่า *K* ใหม่ให้มีค่าที่มากขึ้น จนกว่าจะเจอค่า *K* ที่เท่ากับ *K\** ซึ่งก็คือเส้นขอบบนที่หาอยู่ ในการหาเส้นขอบล่างก็ใช้วิธีคล้ายๆ แบบนี้ในการหาเช่นเดียวกัน

ความซับซ้อนด้านเวลา
-------------------

ให้ *h* คือจำนวนขอบของ hull ถ้า *h* = 1 ในขั้นของการเวียนเกิดใดๆ แสดงว่าเส้นขอบเชื่อมระหว่างจุดซ้ายสุดและจุดขวาสุด ซึ่งจุดอื่นๆ ถูกละทิ้งไปหมดแล้ว ดังนั้นจึงใช้เวลา O(*n*)

ถ้าฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งมี {\displaystyle h\_{L}\,\!} ขอบ และฝั่งขวาของเส้นแบ่งมี {\displaystyle h\_{R}\,\!} ขอบ ดังนั้นจะได้ {\displaystyle h=1+h\_{L}+h\_{R}\,\!} และให้เวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธีนี้อธิบายได้โดย {\displaystyle T(n,h)\,\!}

{\displaystyle T(n,1)=cn\,\!}
{\displaystyle T(n,h)=cn+T({\frac {n}{2}},h\_{L})+T({\frac {n}{2}},h\_{R})\,\!}
ให้ {\displaystyle T(m,h')\leq cm\log h'} เมื่อ {\displaystyle m<n\,\!} และ {\displaystyle 1<h'<h\,\!} จะได้ว่า

{\displaystyle T(n,h)\leq cn+c{\frac {n}{2}}\log h\_{L}+c{\frac {n}{2}}\log h\_{R}\,\!}
จากนั้นใช้ความจริงที่ว่า {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\log h\_{L}+\log h\_{R})\leq \log {\frac {h\_{L}+h\_{R}}{2}}\,\!} จะได้

{\displaystyle T(n,h)\leq cn+c{\frac {n}{2}}(2\log {\frac {h\_{L}+h\_{R}}{2}})\leq cn+cn(\log(h-1))\leq cn\log h\,\!}
ดังนั้น {\displaystyle T(n,h)=O(n\log h)\,\!}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1986). "The ultimate planar convex hull algorithm". *SIAM Journal on Computing*. **15** (1): 287–299. doi:10.1137/0215021.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* ตัวอย่างการหา Convex Hull โดยใช้ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล
* เรขาคณิตเชิงคำนวณ