กึ่งแกนเอกของวงรี
**กึ่งแกนเอก** (semi-major axis) เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

วงรี
----

สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก {\displaystyle a} คือ กึ่งแกนโท {\displaystyle b}, ความเยื้องศูนย์กลาง e และ กึ่งเลตัสเรกตัม {\displaystyle \ell } เป็นดังต่อไปนี้

{\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}}\\\ell &=a(1-e^{2})\\a\ell &=b^{2}\end{aligned}}}
ถ้าให้จุดโฟกัสและ {\displaystyle \ell } คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้ {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} จะเข้าใกล้อนันต์ แต่ {\displaystyle a} จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า {\displaystyle b}

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า

{\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \theta }}}
และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด {\displaystyle r={\dfrac {\ell }{1+e}}} และค่าสูงสุด {\displaystyle r={\dfrac {\ell }{1-e}}} จะเป็น

{\displaystyle r=a={\dfrac {\ell }{1-e^{2}}}}

ไฮเพอร์โบลา
-----------

กึ่งแกนเอก (a), กึ่งแกนโท (b) และ เรตัสเรกตัม (p) ของไฮเพอร์โบลา
ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า

{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}
หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม {\displaystyle \ell } และความเยื้องศูนย์กลาง e เป็น

{\displaystyle a={\frac {\ell }{e^{2}-1}}}

ดาราศาสตร์
----------

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร {\displaystyle T} ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}
ในที่นี้

* {\displaystyle a} คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
* \mu  เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์

{\displaystyle T^{2}=a^{3}}
โดยที่ {\displaystyle T} คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ {\displaystyle a} คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}
ในที่นี้

* {\displaystyle G} คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
* {\displaystyle M} คือมวลของดาวปฐมภูมิ
* m คือมวลของดาวทุติยภูมิ

เนื่องจากโดยปกติแล้ว {\displaystyle M} จะมีค่ามากกว่า m มาก ผลกระทบจากค่า m จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

### การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร {\displaystyle a} สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า

{\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\epsilon }}}
ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า

{\displaystyle a={\frac {\mu }{2\epsilon }}}
โดยที่

{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {\,v^{2}}{2\,}}-{\frac {\mu }{\left|\mathbf {r} \right|}}\\\mu &=GM\end{aligned}}}
ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้

* {\displaystyle v} เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
* {\displaystyle \mathbf {r} } เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
* {\displaystyle G} เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
* {\displaystyle M} เป็นมวลของดาวหลัก

ตัวอย่าง
--------

สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

ดูเพิ่ม
-------

* กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท