ภาพเคลื่อนไหวสามมิติแสดงความเข้มแสงของจานแอรีเมื่อปรับขนาดรูรับแสงต่างกันไป
จานแอรีและแบบรูปแอรีที่ได้จากการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ สีขาวดำแสดงค่าความเข้มเทียบกับใจกลาง
จานแอรีและแบบรูปแอรีที่เกิดจากเลเซอร์สีแดง
จานแอรีที่เกิดจากเลนส์ถ่ายภาพ 2000 มม. f/25
**จานแอรี** (Airy disc) และ **แบบรูปแอรี** (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์ทางแสงอย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิงคลื่นของแสงแล้ว แสงที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิดการเลี้ยวเบน แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม

แสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม จอร์จ บิดเดิล แอรี เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม

จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน ฟิสิกส์ ทัศนศาสตร์ และ ดาราศาสตร์

สำหรับในกล้องถ่ายภาพและกล้องโทรทรรศน์แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มีความคลาดทางทัศนศาสตร์ก็ตาม ความละเอียดเชิงแสงของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดยเลนส์นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดยขีดจำกัดการเลี้ยวเบน การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้รูรับแสงขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง

ขนาดของจานแอรี
--------------

รัศมีของจานแอรี {\displaystyle \theta } นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับแกนเชิงแสงเมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้

{\displaystyle \sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{d}}}
โดยที่ \lambda  คือความยาวคลื่นของแสง และ {\displaystyle d} คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม

ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตามเกณฑ์ของเรย์ลี พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้

ตัวอย่าง
--------

### กล้องถ่ายภาพ

หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว

ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว (ความละเอียดเชิงแสงของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น

{\displaystyle \sin \theta =1.22\ {\frac {\lambda }{d}}}
โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้

{\displaystyle {\frac {x}{f}}=1.22\ {\frac {\lambda }{d}}}
ในที่นี้ {\displaystyle x} คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม f ระยะทางระหว่างเลนส์ถึงฟิล์ม คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ

{\displaystyle x=1.22\ {\frac {\lambda f}{d}}}
ในที่นี้ {\displaystyle {\frac {f}{d}}} คือค่าเอฟของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น \lambda  ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 นาโนเมตร ในช่วงแสงที่มองเห็นได้ จะได้ว่า {\displaystyle x} มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่มความหนาแน่นพิกเซลของเซนเซอร์รูปภาพให้หนาแน่นขึ้น ความละเอียดเชิงแสงจริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้

### ตาของมนุษย์

ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1 เมื่อรูม่านตาขยายมากที่สุด กำลังการแยกบนจอตาอยู่ที่ประมาณ 1 ไมโครเมตร ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่รอยบุ๋มจอตาอยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร

### ลำแสงเลเซอร์

เมื่อฉายลำแสงเลเซอร์วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี

เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี
------------------------------

แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่าการเลี้ยวเบนแฟรแนล

ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

1) แสงที่ส่องผ่านรูรับแสงวงกลมเป็นคลื่นราบ

2) ความเข้มของแสงที่กระทบรูรับแสงวงกลมสม่ำเสมอเท่ากันตลอดทั้งวง

3) ระยะห่าง R จากรูรับแสงวงกลมมากพอ และรัศมีของรูเปิด a ไม่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสง \lambda  นั่นคือ {\displaystyle R>a^{2}/\lambda }

คำอธิบายด้วยสมการ
-----------------

 การเลี้ยวเบนจากรูรับแสงวงกลม แบบรูปแอรีจะเห็นได้เมื่อ {\displaystyle R>a^{2}/\lambda }
 การเลี้ยวเบนโดยใช้เลนส์ที่มีรูรับแสงเป็นวงกลม ภาพระยะไกลจะสังเกตได้เฉพาะบนระนาบการโฟกัสที่ระยะ R=f (โดยที่ f=ความยาวโฟกัส)
ความเข้มแสงบนแบบรูปแอรีในช่วง *ka*sin*θ* = [−10, 10]
ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย

{\displaystyle I(\theta )=I\_{0}\left({\frac {2J\_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}=I\_{0}\left({\frac {2J\_{1}(x)}{x}}\right)^{2}}
ในที่นี้ {\displaystyle I\_{0}} คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน {\displaystyle J\_{1}} เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง {\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }} คือเลขคลื่น {\displaystyle a} คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม \theta  คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ

{\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}}={\frac {\pi q}{\lambda N}}}
โดยที่ {\displaystyle q} คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ {\displaystyle N=R/d} คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย {\displaystyle d=2a} คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ {\displaystyle R} คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ {\displaystyle R=f} (โดยที่ f คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ {\displaystyle \theta \rightarrow 0} (หรือ {\displaystyle x\rightarrow 0}) คือ {\displaystyle I(0)=I\_{0}}

{\displaystyle J\_{1}(x)} จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ {\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 0,3.8317,7.0156,10.1735,13.3268,16.4706...} วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}} .
ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ {\displaystyle q\_{1}} และมุม \theta  คือ

{\displaystyle q\_{1}=R\sin \theta }
โดยที่ {\displaystyle R} คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง {\displaystyle x} ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ {\displaystyle J\_{1}(x)=1/2}) คือ {\displaystyle x=1.61633...} ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e2 ({\displaystyle J\_{1}(x)=1/e^{2}}) คือ {\displaystyle x=2.58383...} ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ {\displaystyle x=5.13562...}

ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน {\displaystyle I\_{0}} กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม {\displaystyle P\_{0}} แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

{\displaystyle I\_{0}={\frac {\mathrm {E} \_{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P\_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}
ในที่นี้ {\displaystyle \mathrm {E} } คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม *A* คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม ({\displaystyle A=\pi a^{2}}) *R* คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น {\displaystyle I\_{0}=(P\_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})} ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี

ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม \theta  ที่กำหนดคำนวณได้เป็น

{\displaystyle P(\theta )=P\_{0}[1-J\_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J\_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}
ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง {\displaystyle J\_{1}(ka\sin \theta )=0}) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ

แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง
-------------------------------

การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้

{\displaystyle I(\theta )={\frac {I\_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J\_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J\_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}
ในที่นี้ {\displaystyle \epsilon } คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม {\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right)} และ {\displaystyle x} นิยามเป็น {\displaystyle x=kasin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}} โดยที่ {\displaystyle R} คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส \lambda  คือความยาวคลื่น และ {\displaystyle N} คือค่าเอฟของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง {\displaystyle R} ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย

{\displaystyle E(R)={\frac {I\_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left(1-J\_{0}^{2}(x)-J\_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J\_{0}^{2}(\epsilon x)-J\_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int \_{0}^{x}{\frac {J\_{1}(t)J\_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}
เมื่อ {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง

อ้างอิง
-------

1. ↑  Hecht, Eugene (1987). *Optics* (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X. Sect. 5.7.1
2. ↑  "Eye Receptor Density". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-04-30. สืบค้นเมื่อ 2008-09-20.
3. ↑  E. Hecht, Optics, Addison Wesley (2001) 邦訳： ヘクト、ヘクト光学 1--3、原著第4版、丸善（2001年） ISBN 978-4621073483
4. ↑  M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, New York, 1965) 邦訳： ボルンおよびウォルフ、光学の原理 1--3、原著第7版、東海大学出版会（2005年） ISBN 978-4486016786
5. ↑  Rivolta, Applied Optics, 25, 2404 (1986)
6. ↑  V. N. Mahajan, "Uniform versus Gaussian beams: a comparison of the effects of diffraction, obscuration, and aberrations," *J. Opt. Soc. Am. A* **3**, 470 (1986) （電子版、有償）