สำหรับความหมายอื่น ดูที่ แกมมา (แก้ความกำกวม)
กราฟของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนจริง
**ฟังก์ชันแกมมา** (อังกฤษ: Gamma function) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า *n* ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า *z* มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้

{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล

ฟังก์ชันแกมมาเป็นองค์ประกอบหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการกระจายและความน่าจะเป็นหลากหลายฟังก์ชัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้นำไปใช้ได้ในเรื่องของความน่าจะเป็นและสถิติ

นิยาม
-----

### นิยามหลัก

ส่วนขยายของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
สัญกรณ์ Γ (*z*) กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน *z* เป็นค่าบวก (ℜ{*z*} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,\!}
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์ทีละส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!}
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ *n*! = *n* (*n* − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า

{\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim \_{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|\_{0}^{k}=-0-(-1)=1}
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
สำหรับทุกค่า *n* ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น

ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า *x* โดยมีโพล อยู่บน *x* = −*n* (เมื่อ *n* = 0, 1, 2, 3, ...) และมี ส่วนตกค้าง อยู่ที่ {\displaystyle \textstyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}} ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ (*z*) ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า *z* ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ *z* = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ

### นิยามแบบอื่น

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และคาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass) ได้นิยามฟังก์ชันแกมมาโดยใช้ผลคูณอนันต์ ตามลำดับดังนี้

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}
เมื่อ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-แมสเชโรนี ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน *z* ที่ไม่เท่ากับจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า นิยามของออยเลอร์สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน (1) ด้านบน เมื่อ *z* ไม่เท่ากับ 0, −1, −2, ...

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim \_{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z)\\\end{aligned}}}

คุณสมบัติ
---------

### คุณสมบัติทั่วไป

สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

{\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}
และ สูตรการทำซ้ำ (duplication formula)

{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)\,\!}
ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า

{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,\!}
อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,\!}
สามารถหาได้จากการแทนค่า *z* = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตาโดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ *n* เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
เมื่อ *n*!! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง

{\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi \_{0}(z)\,\!}
ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ *z* = −*n* สำหรับทุกค่าของ *n* ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ

{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,\!}
ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)

### ฟังก์ชันพาย

สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ **ฟังก์ชันพาย** (Pi function, *P ตัวใหญ่*) ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า

{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)\,\!}
ดังนั้น

{\displaystyle \Pi (n)=n!\,\!}
โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

{\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}
เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน

{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z)\,\!}
เรายังสามารถหาค่าของ

{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\,\!}
ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π (*z*) เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ (*z*) จึงไม่มีทางเป็นศูนย์

### ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น

* ในตัวนิยามของฟังก์ชันแกมมาที่เป็นปริพันธ์ (สูตรแรกสุด) ขอบเขตของการหาปริพันธ์ได้ถูกกำหนดตายตัวไว้ ดังนั้นจึงมีการสร้างฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ (incomplete Gamma function) ในรูปแบบ Γ (*a*, *x*) ขึ้นมาเพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของค่า *x* ใดๆ ก็ได้ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง ∞
* ฟังก์ชันแกมมามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันบีตาด้วยสูตรนี้

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\,\!}
* อนุพันธ์ลอการิทึม (logarithmic derivative) ของฟังก์ชันแกมมาเรียกว่า ฟังก์ชันไดแกมมา (digamma function) และในอนุพันธ์ในอันดับสูงกว่าจะเรียกว่า ฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function)
* แอนะล็อกของฟังก์ชันแกมมาเหนือฟีลด์จำกัด (finite field) หรือริงจำกัด (finite ring) คือผลบวกเกาส์เซียน (Gaussian sum) ซึ่งเป็นผลบวกเลขชี้กำลัง (exponential sum) ชนิดหนึ่ง
* ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ (reciprocal Gamma function) เป็นฟังก์ชันทั่วชนิดหนึ่งและเป็นหัวข้อที่ต้องศึกษาโดยเฉพาะ
* ฟังก์ชันแกมมายังมีความสัมพันธ์ที่สำคัญกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ซึ่งใช้สัญกรณ์ ζ (*z*) ดังนี้

{\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z)\,\!}
และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ

{\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!}

แผนภาพ
------

* ส่วนจริงของ Γ (z)ส่วนจริงของ Γ (z)
* ส่วนจินตภาพของ Γ (z)ส่วนจินตภาพของ Γ (z)
* ค่าสัมบูรณ์ของ Γ (z)ค่าสัมบูรณ์ของ Γ (z)

* ส่วนจริงของ log Γ (z)ส่วนจริงของ log Γ (z)
* ส่วนจินตภาพของ log Γ (z)ส่วนจินตภาพของ log Γ (z)
* ค่าสัมบูรณ์ของ log Γ (z)ค่าสัมบูรณ์ของ log Γ (z)

ค่าเฉพาะบางค่าที่ควรทราบ
------------------------

{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

อ้างอิง
-------

1. ↑  George Allen, and Unwin, Ltd. *The Universal Encyclopedia of Mathematics*. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc. 1964. (Forward by James R. Newman)

* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Gamma function" จากแมทเวิลด์.
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.
* Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. *Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers เก็บถาวร 2006-06-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน*. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง**

### แหล่งข้อมูลอื่น

* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com เก็บถาวร 2016-10-02 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
* *Gamma* at the Wolfram Functions Site.
* Computing the Gamma function - various algorithms

### หนังสือตำรา

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6)*
* G. Arfken and H. Weber. *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press, 2000.  *(See Chapter 10.)*
* Harry Hochstadt. *The Functions of Mathematical Physics*. New York: Dover, 1986  *(See Chapter 3.)*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988.  *(See Section 6.1.)*