ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส *f1* และ *f2* สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ *f1* และ *f3* สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด *f1* (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน *A1* และ *A2* มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ *A1* เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ *A2*. (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ {\displaystyle a1^{3/2}:a2^{3/2}}.
**กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์** (อังกฤษ: Kepler's laws of planetary motion) คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ

**เค็พเพลอร์**ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์
---------------------

1. วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
2. ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
3. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ {\displaystyle \ (r,\theta )} อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน

รายละเอียดทางคณิตศาสตร์
-----------------------

### กฎข้อที่ 1

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1
กฎข้อแรกกล่าวว่า "วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"

**คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้**

สมการคือ

{\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}
โดยที่ *p* คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ *ε* คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ *θ*=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

{\displaystyle r\_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\epsilon }}}
เมื่อ *θ*=90°: *r*=*p* และเมื่อ *θ*=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:

{\displaystyle r\_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\epsilon }}}
กึ่งแกนเอกของวงรี *a* คือมัชฌิมเลขคณิตของ *r*min และ *r*max:

{\displaystyle a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}}
กึ่งแกนโทของวงรี *b* คือมัชฌิมเรขาคณิตของ *r*min และ *r*max:

{\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{p}}}
### กฎข้อที่ 2

ภาพแสดงกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2
กฎข้อที่ 2 "เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน" 

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้

1. คำนวณ **มุมกวาดเฉลี่ย** (mean anomaly) *M* จากสูตร
{\displaystyle M={\frac {2\pi t}{P}}}
2. คำนวณ **มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง** eccentric anomaly *E* โดยการแก้ **สมการของเค็พเพลอร์**:
{\displaystyle \ M=E-\epsilon \cdot \sin E}
3. คำนวณ **มุมกวาดจริง** (true anomaly) *θ* โดยใช้สมการ:
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}
4. คำนวณ **ระยะห่างศูนย์สุริยะ** (heliocentric distance) *r* จากกฎข้อแรก:
{\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}
### กฎข้อที่ 3

กฎข้อที่ 3 "กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร" ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

{\displaystyle P^{2}\propto a^{3}}
{\displaystyle P} = คาบการโคจรของดาวเคราะห์
{\displaystyle a} = แกนกึ่งเอกของวงโคจร
ดังนั้น *P*2·*a*–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น *P* ที่วัดเป็นปีดาราคติ และ *a* ในหน่วยดาราศาสตร์ *P*2·*a*–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ในหน่วยเอสไอ: {\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}=3.00\times 10^{-19}{\frac {s^{2}}{m^{3}}}\pm \ 0.7\%\,}

### ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา

ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:

* *s* ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
* *z* จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
* *c* ศูนย์กลางของวงรี
* *p* ดาวเคราะห์

และ

{\displaystyle \ a=|cz|,} **กึ่งแกนเอก** ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
{\displaystyle \ \varepsilon ={|cs| \over a},} **ความเยื้องศูนย์กลาง**
{\displaystyle \ b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},} **กึ่งแกนโท**
{\displaystyle \ r=|sp|,} ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
{\displaystyle \nu =\angle zsp,} ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ **มุมกวาดจริง**
ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (*r*,*ν*) ของดาวเคราะห์จาก**เวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด**, *t*

{\displaystyle |zsx|={\frac {a}{b}}\cdot |zsp|}
{\displaystyle \ |zcy|=|zsx|}
และ

{\displaystyle M=\angle zcy}, *y* จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือ**มุมกวาดเฉลี่ย**
{\displaystyle \ |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}}:{\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}}} ,

{\displaystyle M={2\pi t \over T},}
โดย *T* คือคาบการโคจร

{\displaystyle \ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|}
{\displaystyle {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}}
Division by *a*²/2 gives **Kepler's equation**

{\displaystyle M=E-\varepsilon \cdot \sin E}.
{\displaystyle E\approx M+\left(\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{3}\right)\sin M+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\sin 2M+{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{3}\sin 3M+\cdots }
{\displaystyle a\cdot \cos E=a\cdot \varepsilon +r\cdot \cos \nu .}
{\displaystyle \ {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}
to get

{\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}\cdot \cos \nu ={\frac {\varepsilon \cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(1-\varepsilon ^{2})\cdot \cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}={\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.}
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}
จะได้

{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {E}{2}}={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}}={\frac {(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )-(\varepsilon +\cos \nu )}{(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(\varepsilon +\cos \nu )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \nu }{1+\cos \nu }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot \tan ^{2}{\frac {\nu }{2}}.}
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์

{\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}.}
ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:

{\displaystyle \ r=a\cdot {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.}

การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน
------------------------------------

  

### การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

{\displaystyle m\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot (-{\hat {\mathbf {r} }})\cdot G}

  

{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
where {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} is the tangential unit vector, and

{\displaystyle {\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}.}
So the position vector

{\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector

{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}})+({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}})=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}
Note that for constant distance, {\displaystyle \ r}, the planet is subject to the centripetal acceleration, {\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}, and for constant angular speed, {\displaystyle {\dot {\theta }}}, the planet is subject to the coriolis acceleration, {\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\theta }}}.

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by *m*, gives the vector equation of motion

{\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-GMr^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}
Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:

{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2},}
{\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.}
{\displaystyle \ r{\dot {\theta }}:}

{\displaystyle {\frac {\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}}+2{\frac {\dot {r}}{r}}=0}
and integrate:

{\displaystyle \log {\dot {\theta }}+2\log r=\log \ell ,}
where {\displaystyle \log \ell } is a constant of integration, and exponentiate:

{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .}
This says that the specific angular momentum {\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}} is a constant of motion, even if both the distance {\displaystyle \ r} and the angular speed {\displaystyle {\dot {\theta }}} vary.

The area swept out from time *t*1 to time *t*2,

{\displaystyle \ \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot base\cdot height\cdot dt=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\cdot dt={\frac {1}{2}}\cdot \ell \cdot (t\_{2}-t\_{1})}
depends only on the duration *t*2−*t*1. This is Kepler's second law.

### การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

{\displaystyle p=\ell ^{2}G^{-1}M^{-1}}
{\displaystyle \ u=pr^{-1}}
and get

{\displaystyle -GMr^{-2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}
and

{\displaystyle \ {\dot {\theta }}=\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^{2}.}
{\displaystyle \ {\dot {X}}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}.}
Differentiate

{\displaystyle \ r=pu^{-1}}
twice:

{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d(pu^{-1})}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-pu^{-2}{\frac {du}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }}}
{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}={\frac {d}{d\theta }}(-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }})\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}}
Substitute into the radial equation of motion

{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2}}
and get

{\displaystyle (-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}})-(pu^{-1})(\ell p^{-2}u^{2})^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}
Divide by {\displaystyle -\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1.}

  

{\displaystyle \ u=1.}
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=0}
These solutions are

{\displaystyle \ u=\epsilon \cdot \cos(\theta -A)}
where {\displaystyle \ \epsilon } and {\displaystyle \ A} are arbitrary constants of integration. So the result is

{\displaystyle \ u=1+\epsilon \cdot \cos(\theta -A)}
Choosing the axis of the coordinate system such that {\displaystyle \ A=0}, and inserting {\displaystyle \ u=pr^{-1}}, gives:

{\displaystyle \ pr^{-1}=1+\epsilon \cdot \cos \theta .}
If {\displaystyle \ \epsilon <1,} this is Kepler's first law.

### กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot r^{3}}
where:

* *T* = planet's sidereal period
* *r* = radius of the planet's circular orbit
* *G* = the gravitational constant
* *M* = mass of the sun

  

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}}
โดย:

* *T* = object's sidereal period
* *a* = object's semimajor axis
* *G* = the gravitational constant = 6.67 × 10−11 N • m²/kg²
* *M* = mass of one object
* *m* = mass of the other object

  

{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\epsilon )a\cdot V\_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V\_{B}\,dt}
{\displaystyle (1-\epsilon )\cdot V\_{A}=(1+\epsilon )\cdot V\_{B}}
{\displaystyle V\_{A}=V\_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}

  

{\displaystyle {\frac {mV\_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\epsilon )a}}={\frac {mV\_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\epsilon )a}}}
{\displaystyle {\frac {V\_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V\_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\epsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\epsilon )a}}}
{\displaystyle {\frac {V\_{A}^{2}-V\_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\epsilon )}}-{\frac {1}{(1+\epsilon )}}\right)}
{\displaystyle {\frac {\left(V\_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V\_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\epsilon -1+\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)}
{\displaystyle V\_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V\_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)}
{\displaystyle V\_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\epsilon )^{2}-(1-\epsilon )^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
{\displaystyle V\_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\epsilon +\epsilon ^{2}-1+2\epsilon -\epsilon ^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
{\displaystyle V\_{B}^{2}\cdot 4\epsilon ={\frac {4GM\epsilon \cdot (1-\epsilon )^{2}}{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
{\displaystyle V\_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}.}
{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V\_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V\_{B}}
{\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
{\displaystyle T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a}
{\displaystyle T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}
{\displaystyle T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}}
{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}

  

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}
ซ.ต.พ.

อ้างอิง
-------

1. ↑  Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion" เก็บถาวร 2011-08-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, *European Journal of Physics*, Vol. 14, pp. 145-147 (1993).
2. ↑  "Kepler's Second Law" by Jeff Bryant with Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.

ดูเพิ่ม
-------

* ปัญหาเค็พเพลอร์
* การเคลื่อนที่แบบวงกลม
* ความโน้มถ่วง
* ปัญหาวัตถุสองชิ้น
* การตกอย่างอิสระ

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Crowell, Benjamin, *Conservation Laws*,  เก็บถาวร 2020-06-01 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
* David McNamara and Gianfranco Vidali, *Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial*,  เก็บถาวร 2006-09-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
* University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion
* Equant compared to Kepler: interactive model  เก็บถาวร 2008-12-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Kepler's Third Law:interactive model เก็บถาวร 2008-12-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน