**อินเตอร์เซกชัน** (อังกฤษ: intersection) หรือ **ส่วนร่วม** คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหาสมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∩ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U กลับหัว)

นิยาม
-----

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต *A* กับ *B* พื้นที่สีม่วงคือการอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง
สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ **U** ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต *A* และ *B* เป็นเซตย่อยของ **U** การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน *A* **และ** *B* โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

{\displaystyle A\cap B=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\in A\land x\in B\}}
ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3\}\\B&=\{2,3,4\}\\A\cap B&=\{2,3\}\\\end{aligned}}}
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น **ไม่มีส่วนร่วม** (disjoint) ต่อกัน

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4\}\\B&=\{5,6,7,8\}\\A\cap B&=\varnothing \\\end{aligned}}}

สมบัติ
------

อินเตอร์เซกชันมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

* อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการอินเตอร์เซกชันเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
	+ {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
* อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
	+ {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C}
* สมาชิกเอกลักษณ์ของการอินเตอร์เซกชันคือเอกภพสัมพัทธ์ (หรือเซตของเซตทั้งหมด)
	+ {\displaystyle \mathbf {U} \cap A=A\cap \mathbf {U} =A}
* เซตใดๆ ที่อินเตอร์เซกชันกับเซตว่าง จะได้เซตว่าง
	+ {\displaystyle \varnothing \cap A=A\cap \varnothing =\varnothing }
* อินเตอร์เซกชันกับยูเนียน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
	+ {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\Longleftrightarrow (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)}
	+ {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\Longleftrightarrow (B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)}
* อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
	+ {\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }}
	+ {\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }}

รูปแบบ
------

### อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป

หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ **M** คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง *x* จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ **M** ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เซต *A* ซึ่งเป็นสมาชิกของ **M** และ *x* ก็เป็นสมาชิกของ *A* เขียนแทนด้วย {\displaystyle \bigcap \mathbf {M} } หรือ {\displaystyle \bigcap \_{A\in \mathbf {M} }A} ดังนี้

{\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A}
การอินเตอร์เซกชันของ **M** ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า **M** จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ {\displaystyle \bigcap \_{i\in I}A\_{i}} หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต *Ai* ทั้งหมด โดยที่ *i* เป็นสมาชิกของเซตดัชนี *I* ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ **อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด** (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี *I* จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

{\displaystyle \bigcap \_{i=1}^{\infty }A\_{i}=A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap \dots }
### อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง

ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ **M** เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต **M** ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้

{\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x:x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}
ในกรณีที่ **M** เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต *A* ใดๆ อยู่ใน **M** เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี *x* ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ *x* ใดๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ **M** เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)

การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ **U** แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ **M** ที่เป็นเซตว่าง

{\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x\in \mathbf {U} :x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}
แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ **U**

อ้างอิง
-------

* วัชรี กาญจน์กีรติ, *พีชคณิตนามธรรม*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม
-------

* ผลต่างสมมาตร
* ยูเนียน
* ส่วนเติมเต็ม
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**อินเตอร์เซกชัน**