ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ **ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน** (อังกฤษ: Inverse function theorem) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ *อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น*

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท
-------------------

ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

**ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน** (สำหรับ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) — ให้ {\displaystyle A} เป็นสับเซตเปิดของ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} และ {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} ^{n}} เป็นฟังก์ชันในชั้น {\displaystyle C^{r}} หากอนุพันธ์รวม {\displaystyle Df(x)} สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด {\displaystyle p\in A} แล้วจะมีย่านใกล้เคียง {\displaystyle U} รอบจุด p ที่ทำให้ f ส่งเซต {\displaystyle U} ไปยังเซตเปิด {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}} อย่างหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และ {\displaystyle f^{-1}\colon V\to U} เป็นฟังก์ชันในชั้น {\displaystyle C^{r}} ด้วย

เงื่อนไขที่สมมูลกันกับ อนุพันธ์รวม {\displaystyle Df(x)} สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด {\displaystyle p\in A} คือ จาโคเบียนเมทริกซ์ {\displaystyle J\_{f}(p)} ที่จุด {\displaystyle p} มีดีเทอร์มิแนนท์ไม่เป็นศูนย์

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ {\displaystyle D(f^{-1})(x)=(Df(x))^{-1}}

ในกรณีที่ {\displaystyle n=1} และ f เป็นฟังก์ชันในชั้น {\displaystyle C^{1}} (นั่นคือ f หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้

**ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน** (สำหรับ {\displaystyle \mathbb {R} }) — ให้ {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิด {\displaystyle I} และ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ {\displaystyle f'(p)\neq 0} สำหรับบาง {\displaystyle p\in I} แล้วจะได้ว่า f มีอินเวอร์ส และฟังก์ชันอินเวอร์สนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด {\displaystyle b=f(a)}

นอกจากนี้แล้ว {\displaystyle (f^{-1})'(b)=1/f'(a)}

ตัวอย่าง
--------

พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!} กำหนดโดย

{\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}}
เมทริกซ์จาโคเบียนของ {\displaystyle F} คือ

{\displaystyle J\_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}
โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

{\displaystyle \det J\_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}\,\!}
จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ {\displaystyle e^{2x}\!} ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}} จะมีย่านใกล้เคียงของ {\displaystyle p} ที่ทำให้ {\displaystyle F} หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า {\displaystyle F} จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า {\displaystyle F} ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ {\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!} ดังนั้น {\displaystyle F} เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน
-----------------------------------

ฟังก์ชัน {\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})} ถูกกำกับให้อยู่ในบริเวณปิดล้อมกำลังสองใกล้เส้นตรง{\displaystyle y=x} ดังนั้น {\displaystyle f'(0)=1} อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุด/ต่ำสุดเป็นจุดสะสมรอบ {\displaystyle x=0} จึงทำให้ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในบริเวณนั้น
ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } กำหนดโดย

{\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})} และ {\displaystyle f(0)=0}

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้ 

{\displaystyle f'(x)={\begin{cases}1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}}),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}} และมีจุดที่ทำให้ {\displaystyle f'(x)=0} ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0 

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ดังนั้น f จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี {\displaystyle x=0}

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน {\displaystyle f'\!(0)=1} ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์
--------------

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

การขยายนัยทั่วไป
----------------

### แมนิโฟลด์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้ {\displaystyle F:M\to N} เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น {\displaystyle C^{1}}) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ {\displaystyle F}

{\displaystyle dF\_{p}:T\_{p}M\to T\_{F(p)}N}

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด p ใน {\displaystyle M} แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด {\displaystyle U} ของ p ที่ทำให้

{\displaystyle F|\_{U}:U\to F(U)}
เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน {\displaystyle M} และ {\displaystyle N} ที่มี p และ {\displaystyle F(p)} เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ {\displaystyle F} เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด p ใน {\displaystyle M} แล้วการส่ง {\displaystyle F} จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

### ปริภูมิบานาค

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค {\displaystyle X} และ *{\displaystyle Y}* ให้ {\displaystyle U} เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน {\displaystyle X} และ {\displaystyle F:U\to Y\!} เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช {\displaystyle dF\_{0}:X\to Y\!} ของ {\displaystyle F} ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด {\displaystyle V} ของ {\displaystyle F(0)\!} ใน {\displaystyle Y} และฟังก์ชัน {\displaystyle G:V\to X\!} ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ {\displaystyle F(G(y))=y} สำหรับทุก {\displaystyle y\in Y}

ยิ่งไปกว่านั้น {\displaystyle G(y)\!} จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ {\displaystyle F(x)=y\!}

### แมนิโฟลด์บานาค

การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

### ทฤษฎีบทแรงค์คงที่

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก {\displaystyle F:M\to N} มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด {\displaystyle p\in M\!} แล้วจะมีช่วงเปิด {\displaystyle U} ของ p และ {\displaystyle V} ของ {\displaystyle F(p)} และอนุพันธสัณฐาน {\displaystyle u:T\_{p}M\to U\!} และ {\displaystyle v:T\_{F(p)}N\to V\!} ที่ทำให้ {\displaystyle F(U)\subseteq V\!} และอนุพันธ์ {\displaystyle dF\_{p}:T\_{p}M\to T\_{F(p)}N\!} มีค่าเท่ากับ {\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!} ซึ่งก็คือ {\displaystyle F} ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ p ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ {\displaystyle F} ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ {\displaystyle F} เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด p แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ p ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ {\displaystyle F} จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

### ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก {\displaystyle F} นิยามบนเซตเปิดของ {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ไปยัง {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด p แล้ว {\displaystyle F} จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด p ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

### ฟังก์ชันพหุนาม

ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม

ดูเพิ่ม
-------

* ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
* ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
* ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์

อ้างอิง
-------

1. ↑  Knapp, Anthony W. (2005). *Basic real analysis*. Boston: Birkhäuser. p. 156. ISBN 978-0-8176-4441-3. OCLC 262679895.
2. ↑  Munkres, James R. (1991). *Analysis on manifolds*. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub. Co. Advanced Book Program. ISBN 978-1-4294-8504-3. OCLC 170966279.
3. ↑  McOwen, Robert C. (1996). "Calculus of Maps between Banach Spaces". *Partial Differential Equations: Methods and Applications*. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 218–224. ISBN 0-13-121880-8.
4. ↑  Tao, Terence (September 12, 2011). "The inverse function theorem for everywhere differentiable maps". สืบค้นเมื่อ 2019-07-26.
5. ↑  Jaffe, Ethan. "Inverse Function Theorem" (PDF). คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2021-04-27. สืบค้นเมื่อ 2021-05-29.
6. ↑  Spivak, Michael (1965). *Calculus on Manifolds*. Boston: Addison-Wesley. pp. 31–35. ISBN 0-8053-9021-9.
7. ↑  Hubbard, John H.; Hubbard, Barbara Burke (2001). *Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach* (Matrix ed.).
8. ↑  Luenberger, David G. (1969). *Optimization by Vector Space Methods*. New York: John Wiley & Sons. pp. 240–242. ISBN 0-471-55359-X.
9. ↑  Lang, Serge (1985). *Differential Manifolds*. New York: Springer. pp. 13–19. ISBN 0-387-96113-5.
10. ↑  Boothby, William M. (1986). *An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry* (Second ed.). Orlando: Academic Press. pp. 46–50. ISBN 0-12-116052-1.
11. ↑  Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). *From Holomorphic Functions to Complex Manifolds*. Springer. pp. 33–36.

อ่านเพิ่ม
---------

* Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". *Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds*. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
* Baxandall, Peter; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". *Vector Calculus*. New York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
* Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". *Amer. Math. Monthly*. **81** (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. hdl:10338.dmlcz/102482.
* Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". *Intermediate Calculus* (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
* Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). *An Introduction to Partial Differential Equations*. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
* Rudin, Walter (1976). *Principles of mathematical analysis*. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. pp. 221-223.