**พหุนามฟีโบนัชชี** (อังกฤษ: Fibonacci polynomial) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม
-----

พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :

{\displaystyle F\_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF\_{n-1}(x)+F\_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

{\displaystyle F\_{0}(x)=0\,}
{\displaystyle F\_{1}(x)=1\,}
{\displaystyle F\_{2}(x)=x\,}
{\displaystyle F\_{3}(x)=x^{2}+1\,}
{\displaystyle F\_{4}(x)=x^{3}+2x\,}
{\displaystyle F\_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}
{\displaystyle F\_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}
พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :

{\displaystyle L\_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL\_{n-1}(x)+L\_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

{\displaystyle L\_{0}(x)=2\,}
{\displaystyle L\_{1}(x)=x\,}
{\displaystyle L\_{2}(x)=x^{2}+2\,}
{\displaystyle L\_{3}(x)=x^{3}+3x\,}
{\displaystyle L\_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}
{\displaystyle L\_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}
{\displaystyle L\_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}
เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ {\displaystyle x=1} จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ {\displaystyle F\_{n}} ที่ {\displaystyle x=2} โดยที่ ดีกรีของ {\displaystyle F\_{n}} คือ {\displaystyle n-1} และดีกรีของ {\displaystyle L\_{n}} คือ {\displaystyle n}

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }F\_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }L\_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}
พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

{\displaystyle F\_{n}(x)=U\_{n}(x,-1),\,}
{\displaystyle L\_{n}(x)=V\_{n}(x,-1).\,}

เอกลักษณ์
---------

ดูบทความหลักที่: ลำดับลูคัส
เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ {\displaystyle -n} โดยนิยามว่า 

{\displaystyle F\_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F\_{n}(x),\,L\_{-n}(x)=(-1)^{n}L\_{n}(x).}
และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:

{\displaystyle F\_{m+n}(x)=F\_{m+1}(x)F\_{n}(x)+F\_{m}(x)F\_{n-1}(x)\,}
{\displaystyle L\_{m+n}(x)=L\_{m}(x)L\_{n}(x)-(-1)^{n}L\_{m-n}(x)\,}
{\displaystyle F\_{n+1}(x)F\_{n-1}(x)-F\_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}
{\displaystyle F\_{2n}(x)=F\_{n}(x)L\_{n}(x).\,}
โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ {\displaystyle F\_{n}(x)} จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :

{\displaystyle F\_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L\_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}
เมื่อ

{\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}
เป็นผลตอบ {\displaystyle t} ที่ได้จากสมการ

{\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด
-----------------------------

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนัชชีนั้นเอง
ถ้าให้ *F* (*n*, *k*) คือค่าสัมประสิทธิ์ *xk* ใน *Fn* (*x*) เราจะเขียน {\displaystyle F\_{n}(x)} ใหม่ได้ว่า

{\displaystyle F\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}
นั้นก็คือว่า *F* (*n*, *k*) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (*n*−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน *k* อันเท่านั้น  ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า *F* (*n*, *k*) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน *n*−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ *k* ครั้งเท่านั้น 

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า *F* (*n*, *k*) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

{\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}
เมื่อ *n* และ *k* คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง
-------

1. 1 2  Benjamin & Quinn p. 141
2. ↑  Benjamin & Quinn p. 142
3. ↑  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Fibonacci Polynomial" จากแมทเวิลด์.
4. 1 2 3  Springer

* Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). "§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial". *Proofs that Really Count*. MAA. p. 141. ISBN 0-88385-333-7.
* Philippou, Andreas N. (2001), "Fibonacci polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Philippou, Andreas N. (2001), "Lucas polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Lucas Polynomial" จากแมทเวิลด์.

ดูเพิ่ม
-------

* Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials". *Fibonacci Quarterly*. **11**: 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.
* Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". *Fibonacci Quarterly*. **12**: 113. MR 0352034.
* Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". *Rivista di Matematica della Università di Parma*. V. Ser. **4**: 137–146. MR 1395332.
* Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". *Fibonacci Quarterly*. **40** (4): 314. MR 1920571.
* Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". *Fibonacci Quarterly* (41): 31–40. MR 1962279.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form P (n, x) = (U^n-L^n) /d, where U= (x+d) /2, L= (x-d) /2, d= (4 + x^2) ^ (1/2).
* Triangle of numbers {C (n-k, k), n >= 0, 0<=k<=n/2 or triangle of coefficients of (one version of) Fibonacci polynomials.