นักไต่ลวดสลิงใช้โมเมนต์ความเฉื่อยจากไม้เท้ายาวที่จะช่วยรักษาความสมดุล นี่คือ ซามูเอล ดิกสัน ขณะกำลังพยายามข้ามแม่น้ำไนแอการาในปี ค.ศ. 1890
**โมเมนต์ความเฉื่อย** เป็นคุณสมบัติของวัตถุที่จะกำหนดค่าความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมรอบแกนของการหมุนของมัน มันเป็นวิธีการหมุนของวัตถุอันเป็นผลมาจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน, ซึ่งระบุว่า "วัตถุทุกชนิดจะรักษาสภาพหยุดนิ่งหรือสภาพเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงนอกจากจะมีแรงลัพธ์ที่มีค่าไม่เป็นศูนย์มากระทำ"  ในบริบทนี้ความเฉื่อยหมายถึงความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลง 

โมเมนต์ความเฉื่อยถูกนำไปใช้กับการขยายตัวของวัตถุซึ่งมวลเป็นข้อจำกัดในการหมุนรอบแกน มันเกิดขึ้นจากการรวมกันของมวลและเรขาคณิตในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างต่อเนื่อง, ส่วนประกอบของอนุภาค หรือที่รู้จักกันในชื่อว่า พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง (Dynamics of rigid body) มันเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของขั้วเสาที่ดำเนินการโดยนักไต่ลวดสลิงที่ต่อต้านการหมุนและช่วยให้นักไต่ลวดรักษาความสมดุลไว้ได้

บทนำ
----

ล้อช่วยแรง (flywheel) เป็นวงล้อที่มีโมเมนต์ของความเฉื่อยที่มีขนาดใหญ่ที่ใช้ในการช่วยทำให้การเคลื่อนไหวในเครื่องจักรเป็นไปได้อย่างราบรื่น นี่คือตัวอย่างในพิพิธภัณฑ์รัสเซีย
เมื่อวัตถุกำลังหมุนรอบแกน, แรงบิดจะต้องถูกนำมาใช้เพื่อเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมของมัน ปริมาณของแรงบิดที่จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ก็ตามในโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงนั้น ๆ ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนเป็นคุณสมบัติของวัตถุที่รวมมวลและรูปร่างของมันเข้าไว้ด้วยกัน, ที่รู้จักกันว่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย ในกลศาสตร์ดั้งเดิม,

นิยาม
-----

โมเมนต์ความเฉื่อย {\displaystyle I} สามารถเขียนได้ในรูปของอัตราส่วนระหว่างผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมระบบกับความเร็วเชิงมุมรอบแกนหมุนหลักของระบบได้ ดังนี้

{\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}
ถ้าโมเมนตัมเชิงมุมของระบบมีค่าคงตัว แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าน้อยลง ในขณะที่ความเร็วเชิงมุมจะมีค่าเพิ่มขึ้น เมื่อรูปร่างของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลง แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะสามารถพิจารณาในเรื่องกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยจะอยู่ในรูปของอัตราส่วนระหว่างทอร์กที่มากระทำต่อระบบกับความเร่งเชิงมุมรอบแกนหมุนหลัก คือ

{\displaystyle \tau =I\alpha .}
สำหรับระบบเพนดูลัมอย่างง่าย สามารถนิยามโมเมนต์ความเฉื่อย {\displaystyle I} ได้ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ m กับกำลังสองของระยะห่าง {\displaystyle r} จากจุดหมุนถึงวัตถุ

{\displaystyle I=mr^{2}.}
เพราะฉะนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจึงขึ้นกับมวล และรูปร่างของวัตถุ รวมถึงระยะห่างจากจุดหมุนถึงมวลด้วย

ตัวอย่าง
--------

### เพนดูลัมอย่างง่าย

โมเมนต์ความเฉื่อยสามารถหาได้จากเพนดูลัมอย่างง่าย เพราะมันมีความต้านทานการหมุนเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกอยู่ ในทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของเพนดูลัมเป็นอัตราส่วนระหว่างทอร์กเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำรอบจุดหมุนกับความเร่งเชิงมุม สำหรับเพนดูลัมอย่างง่ายสามารถเขียนโมเมนต์ความเฉื่อย {\displaystyle I} ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ m ต่อกำลังสองของระยะห่าง {\displaystyle r} จากจุดหมุนถึงวัตถุนั้น

{\displaystyle I=mr^{2}.}
โดยที่แรงโน้มถ่วงของโลกมากระทำต่อวัตถุของระบบเพนดูลัมอย่างง่าย แล้วทำให้เกิดทอร์ก {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} } รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับระนาบการหมุนของเพนดูลัม {\displaystyle \mathbf {r} } เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือระยะห่างจากวัตถุถึงแรงที่มากระทำ มีทิศตั้งฉากกับแรงนั้น และ {\displaystyle \mathbf {F} } คือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้น สำหรับ {\displaystyle \tau } จะเกี่ยวข้องกับความเร่งเชิงมุม {\displaystyle \mathbf {\alpha } } และวัตถุจะถูกจำกัดการเคลื่อนที่ให้มีลักษณะเป็นวงกลมเท่านั้น โดยที่ความเร่งในแนวการเคลื่อนที่ คือ {\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }

{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\alpha }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} \end{aligned}}}
เมื่อ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีทิศตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของเพนดูลัม สำหรับ {\displaystyle I=mr^{2}} จะปรากฏในโมเมนตัมเชิงมุมของเพนดูลัมอย่างง่าย ซึ่งคำนวณมาจากความเร็ว {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } ของเพนดูลัมรอบแกนหมุน โดยที่ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} เป็นความเร็วเชิงมุมของวัตถุรอบจุดหมุน สามารถเขียนโมเมนตัมเชิงมุมได้เป็น

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} \end{aligned}}}
นอกจากนี้ยังสามารถหาพลังงานจลน์ของเพนดูลัมได้ ซึ่งขึ้นกับมวลและความเร็วของวัตถุ คือ

{\displaystyle E\_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}
ตามปกติแล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบคือผลรวมค่า {\displaystyle mr^{2}} ของทุก ๆ วัตถุในระบบนั้น คือ

{\displaystyle I=\sum \_{i=1}m\_{i}r\_{i}^{2}.}

เทนเซอร์ของความเฉื่อย
---------------------

เมทริกซ์ของความเฉื่อยสามารถอธิบายได้โดยใช้เทนเซอร์ของความเฉื่อย ซึ่งจะประกอบด้วยโมเมนต์ความเฉื่อยในระบบพิกัด 3 แกน สามารถคำนวณผลลัพธ์ในเวลาเดียวกันได้ เมทริกซ์ของความเฉื่อยถูกสร้างจากเทนเซอร์ซึ่งมี 9 องค์ประกอบ เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณเราจะเขียนในรูปของเมทริกซ์
เทนเซอร์ดีกรีสองหรือที่เราเรียกว่า เมทริกซ์สำหรับเทนเซอร์ของความเฉื่อยแล้วเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

{\displaystyle [I]={\begin{bmatrix}I\_{11}&I\_{12}&I\_{13}\\I\_{21}&I\_{22}&I\_{23}\\I\_{31}&I\_{32}&I\_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\_{xx}&I\_{xy}&I\_{xz}\\I\_{yx}&I\_{yy}&I\_{yz}\\I\_{zx}&I\_{zy}&I\_{zz}\end{bmatrix}}.}
เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ไม่ยากนัก เพราะวัตถุแข็งเกร็งในทางกลศาสตร์จะถูกกำหนดอย่างชัดเจนด้วยพิกัด x y z เช่น Ixx and Ixy ในรูปขององค์ประกอบเทนเซอร์ของความเฉื่อย

แกนมุขสำคัญของความเฉื่อย
------------------------

พิกัดภายในวัตถุที่ทำให้เทนเซอร์ความเฉื่อยเป็นเมทริกซ์ทแยง

{\displaystyle [\Lambda ]={\begin{bmatrix}I\_{1}&0&0\\0&I\_{2}&0\\0&0&I\_{3}\end{bmatrix}}.}
สำหรับวัตถุแข็งเกร็งจะมีแกนหมุนอย่างน้อยสามแกนตั้งฉากกันและกัน เรียกว่า แกนหลักของความเฉื่อย ซึ่งจะเป็นแกนที่วัตถุหมุนได้ง่ายที่สุดโมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม แกนหลักนี้อาจทับกับแกน xyz หรือไม่ทับกันก็ได้ เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนหลักสำคัญของความเฉื่อยแกนใดแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุเกร็งจะเท่ากับโมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนนั้นคูณกับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ 

เราพิจารณาทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมและความเร็วเชิงมุม จะเห็นได้ว่า โดยทั่วไปโมเมนตัมเชิงมุมไม่จำเป็นต้องมีทิศทางในแนวเดียวกับความเร็วเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุในกรณีทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม

วัตถุแข็งเกร็ง
--------------

ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งจะพิจารณาจากจุดศูนย์กลางมวลของตัวมันเอง attitude (อย่างน้อย 6 ตัวดำเนินการ).
วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body) คือกลุ่มของอนุภาคที่มีระยะห่างระหว่างอนุภาคคงตัว อย่างไรก็ตามระยะระหว่างอนุภาคจะมีค่าคงตัวก็ต่อเมื่ออุณหภูมิมีขนาดศูนย์เคลวิน ดังนั้นที่อุณหภูมิห้อง ระยะระหว่างอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เนื่องจากมีการสั่นของอนุภาคระยะที่ใช้จึงเป็นระยะเฉลี่ย หมายความว่าในการศึกษาการเคลื่อนที่ในระบบมหาภาค (macroscopic motion) จะไม่คำนึงถึงผลของระบบจุลภาค (microscopic motion) และในธรรมชาติวัตถุแข็งเกร็งจะมีความเสียรูป (deformation) เนื่องจากการเคลื่อนที่หรือการชนเกิดขึ้น ซึ่งในที่นี้ก็จะไม่คำนึงถึงเช่นเดียวกัน

จลนศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง
--------------------------

**ตำแหน่งเชิงเส้นและเชิงมุม**   

**ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง** คือตำแหน่งขององค์ประกอบของอนุภาคทั้งหมด เพื่อลดความซับซ้อนในการอธิบายของตำแหน่งดังกล่าว เราจะใช้คุณสมบัติที่วัตถุมีความแข็งเกร็ง ซึ่งทุก ๆ อนุภาคจะรักษาระยะห่างระหว่างอนุภาคอย่างเท่า ๆ กัน และถ้าหากวัตถุมีความแข็งเกร็ง อย่างน้อยจะอธิบายตำแหน่งของอนุภาค 3 อนุภาคที่ไม่เกิดการชน ซึ่งทำให้สามารถสร้างตำแหน่งของอนุภาคอื่น ๆ ทั้งหมด โดยที่ตำแหน่งของอนุภาคสามตัวที่ไม่ได้แปรเปลี่ยนตามเวลา และจะเรียบง่ายขึ้นถ้าใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วย โดยมีธีการเทียบค่า ซึ่งตำแหน่งของวัตถุทั้งหมดอธิบายได้โดย   

**1.ตำแหน่งเชิงเส้น** หรือตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง คือตำแหน่งของของอนุภาคทั้งหมด กล่าวคือตำแหน่งหนึ่งของวัตถุแข็งเกร็ง เลือกเป็นจุดอ้างอิงของทั้งวัตถุ (โดยทั่วไปจะเลือกใช้จุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลางมวล  

**2.ตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุ**  

ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งจะมี 2 องค์ประกอบ คือ เชิงเส้น และเชิงมุม ตามลำดับ เช่นเดียวกันกับ **จลนศาสตร์** และ **พลังงานจลน์** ใช้ปริมาณอธิบายที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ที่มีทั้งเชิงเส้นและเชิงมุมเช่น ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม การดล และพลังงานจลน์  

**ตำแหน่งเชิงเส้น** สามารถที่จะแทนได้ด้วย เวกเตอร์ ซึ่งหางของเวกเตอร์ จะเริ่มต้นที่จุดอ้างอิงใด ๆ จากระบบพิกัด และ ปลายของเวกเตอร์จะชี้ไปยังจุดใด ๆ ที่เราสนใจบน วัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งโดยปกติเริ่มจากจุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลาง ซึ่งจุดอ้างอิงนี้หาได้โดย จุดกำเนิดของระบบพิกัดบนวัตถุแข็งเกร็ง   

มีหลายทางในการคำนวณเพื่ออธิบาย แนวทางของ วัตถุแข็งเกร็ง ประกอบด้วย ชุดมุม3มุมของออยเลอร์ หรือ 4 มุม หรือ การใช้ เมททริกซ์ตรีโกณเมทริกซ์โดยตรง(อ้างอิงโดย เมทริกซ์การหมุน) กระบวนการทั้งหมดนี้ใช้แนวทางการหาค่าจาก ระบบพิกัด ซึ่งมีความสัมพันธ์กับวัตถุ หรือความสัมพันธ์ของระบบพิกัดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งจากการสังเกต   

โดยทั่วไป เมื่อวัตถุแข็งเกร็งเคลื่อนที่ ทั้งตำแหน่ง และแนวทางจะขึ้นกับเวลา ในสัมผัสจลนศาสตร์ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงนี้อ้างอิงถึงการเลื่อนที่ และการหมุน (คือหมุนไปด้วยและเคลื่อนที่ไปด้วย) ของวัตถุ โดยเริ่มต้นจากสมมติฐานที่อ้างอิงจากตำแหน่ง (ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับตำแหน่งจริงที่วัตถุเคลื่อนที่)
  

**ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม**
**ความเร็ว** หรือเรียกว่า ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุม วัดได้โดยใช้กรอบอ้างอิง
ความเร็วเชิงเส้น ของวัตถุแข็งเกร็ง คือปริมาณเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวลา เทียบกับตำแหน่งเชิงเส้นที่เปลี่ยนไป ดังนั้น ความเร็วจะอ้างอิงโดยถูกยึดกับตัววัตถุ ซึ่งมีเพียงการเลื่อนที่เท่านั้น (ไม่มีการหมุนเกิดขึ้น) ทุก ๆ จุดบท วัตถุแข็งเกร็ง เคลื่อนที่ด้วยความเร็ซที่เท่ากัน อย่างไรก็ตามเมื่อการเคลื่อนที่มีการหมุนด้วย ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุมจะมีค่าไม่เท่ากัน แต่จะมีค่าเท่ากันถ้าการหมุนที่เกิดขึ้น ขนานไปกับแกนหมุน  

**ความเร็วชิงมุม** คือปริมาณเวกเตอร์ที่อธิบายได้ด้วย อัตราเร็วเชิงมุม เมื่อเกิดการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งตามแนวแกนที่เกิดการหมุน (ซึ่งอธิบาย การที่แกนเกิดการหมุน ด้วยทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์) และทุก ๆ จุดบนวัตถุแข็งเกร็ง จะมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันในทุก ๆ เวลา ในขณะที่วัตถุแข็งเกร็งเกิดการหมุนเพียงอย่างเดียว ทุก ๆ จุดบนวัตถุแข็งเกร็งจะขึ้นอยู่กับ การหมุนของแกนเพียงอย่างเดียว ความสัมพันธ์ระหว่าง แนวทางกับความเร็วเชิงมุมไม่เกี่ยวข้องกันโดยตรงกับความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและความเร็วเชิงเส้น แนวทางของความเร็วเชิงมุม ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เพราะว่าไม่มีความสัมพันธ์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงระยะเชิงมุมกับความเร็วเชิงมุม

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปทรงต่าง ๆ
-------------------------------------

| คำอธิบาย | รูปทรงวัตถุ | โมเมนต์ความเฉื่อย |
| --- | --- | --- |
| แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางยาว *h* กว้าง *w* และมีมวล *m*(แกนหมุนอยู่ที่ขอบแผ่น) |  | {\displaystyle I\_{e}={\frac {1}{12}}m\left(4h^{2}+w^{2}\right)\,\!} |
| แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางยาว *h* กว้าง *w* และมีมวล *m*(แกนหมุนอยู่ที่กึ่งกลางแผ่น) |  | {\displaystyle I\_{c}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)\,\!}   |
| แท่งวัตถุยาว *L* และมีมวล *m* หมุนอยู่ตรงกลาง 
ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางที่มีแกนหมุนอยู่ที่จุดกึ่งกลางของแผ่น 
มีความกว้าง *w* = *L* และความยาว *h* = *0* |  | {\displaystyle I\_{\mathrm {center} }={\frac {1}{12}}mL^{2}\,\!}   |
| แท่งวัตถุยาว *L* และมีมวล *m* จุดหมุนอยู่ที่ปลายแท่ง 
ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางที่มีแกนหมุนอยู่ที่ขอบแผ่น
มีความกว้าง *w* = *0* และความยาว *h* = *L* |  | {\displaystyle I\_{\mathrm {end} }={\frac {1}{3}}mL^{2}\,\!}   |
| ทรงสี่เหลี่ยมตัน กว้าง *w* ยาว *d* สูง *h* และมีมวล *m* 
สำหรับลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน {\displaystyle s} 
จะมีโมเมนต์ความเฉื่อย {\displaystyle I\_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!} |  | {\displaystyle I\_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)}{\displaystyle I\_{w}={\frac {1}{12}}m\left(d^{2}+h^{2}\right)}{\displaystyle I\_{d}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+h^{2}\right)} |
| ทรงสี่เหลี่ยมตัน กว้าง *w* ยาว *d* สูง *h* และมีมวล *m* หมุนรอบเส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุด
สำหรับลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน {\displaystyle s} 
จะมีโมเมนต์ความเฉื่อย {\displaystyle I={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!} |  | {\displaystyle I={\frac {1}{6}}m\left({\frac {W^{2}D^{2}+D^{2}L^{2}+W^{2}L^{2}}{W^{2}+D^{2}+L^{2}}}\right)} |

อ้างอิง
-------

1. ↑  I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
2. ↑  Definition of Inertia, thefreedictionary.com
3. ↑  
Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano (2000). "§2.4.2 Roll-pitch-yaw angles". *Modelling and control of robot manipulators* (2nd ed.). Springer. p. 32. ISBN 1-85233-221-2.
4. 1 2 3  Raymond A. Serway (1986). *Physics for Scientists and Engineers* (2nd ed.). Saunders College Publishing. p. 202. ISBN 0-03-004534-7.