ตามทฤษฎีของเรขาคณิตแบบยุคลิค รูปอนันต์เหลี่ยม (Apeirogon) คือการลดรูปหลายเหลียมแบบหนึ่งที่มีจำนวนด้านเป็นอนันต์นับได้

คุณสมบัติเหมือนกับรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่ประกอบไปด้วยลำดับการต่อกันของเส้นที่ลากเชื่อมจุด
และมุม แต่ต่างกันตรงที่ รูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมไม่มีจุดสิ้นสุด
เพราะนำมาต่อกันเป็นวงจรปิด ส่วนรูปอนันต์เหลี่ยมไม่มีจุดสิ้นสุด เพราะคุณไม่สามารถเอาจุดอนันต์ของปลายทั้งสองด้านของรูปเหลี่ยมอนันต์มาเชื่อมต่อกันได้
รูปเหลี่ยมอนันต์ปิดสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อมุมของอนุกรมใดอนุกรมหนึ่งมาบรรจบเข้ามากันที่จุดเดียวกัน (มุมหนึ่งจากแต่ละด้าน เริ่มจากจุดไหนก็ได้) จุดบรรจบดังกล่าวเรียกว่าจุดสะสม จุดสะสม และรูปอนันต์เหลี่ยมปิดใดๆ จะมีอย่างน้อยหนึ่งจุดสะสม []

สองรูปอนันต์เหลี่ยมสามารถอยู่บนระนาบเทสเซลเลชันได้ และสัญลักษณ์ชเลฟลีของระนาบเทสเซลเลชันนี้คือ {∞, 2}

รูปอนันต์เหลี่ยมปกติ
--------------------

**รูปอนันต์เหลี่ยมปกติ** คือรูปเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน และมุมเท่ากัน เหมือนกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ โดยมีสัญลักษณ์ชเลฟลีเป็น {∞} ถ้ามุมของรูปอนันต์เหลี่ยมมีมุม 180° แล้วจะมันมีรูปลักษณะเหมือนเส้นตรง ดังรูป

......

จากเส้นตรงนี้อาจจะมองว่าเป็นวงกลมรัศมีอนันต์ก็ได้ โดยเปรียบว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเป็นจำนวนมหาศาลมาต่อกันจนเป็นวงกลม

### รูปแบบความเบ้

ภาพวาดมุมมอง 3 มิติของรูปเหลี่ยมอนันต์ปกติแบบหนึ่งที่มีลักษณะเป็นเกลียวของสามเหลี่ยมด้านเท่า
เมื่อวาดรูปเหลี่ยมอนันต์ปกติแบบหนึ่งที่มีลักษณะเป็นเกลียวของสามเหลี่ยมด้านเท่า (อังกฤษ: equilateral triangular helix)  ด้วยมุมมอง 3 มิติ

บางครั้งคนก็คิดว่ารูปเหลี่ยมอนันต์ก็เป็นตัวอย่างความปกติแบบหนึ่ง จนเมื่อ Branko Grünbaum ค้นพบเพิ่มอีกสองสิ่ง คือถ้ามุมของแต่ละจุดสลับด้านกันไป รูปเหลี่ยนอนันต์จะมีหน้าตาเป็นเส้นซิกแซก และเป็นรูปสมมาตรรูปเดียวกันต่อเนื่องกัน เท่ากับ **2\*∞** อย่างไรก็ตามรูปแบบนี้จะเป็นปกติก็ต่อเมื่อด้านหนึ่งไม่ไปทับอีกด้านหนึ่ง และมองว่ามันไม่มีรูปร่าง

......

ถ้าแต่ละมุมถูกแยกออกจากแนวระนาบของมุมก่อนหน้านี้ รูปเหลี่ยมอนันต์จะประกอบออกมาเป็นรูปเกลียวสามเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่บนระนาบเดียวกันแบบนี้ เรียกว่าความ*เบ้* รูปวาดด้านขวาเป็นรูปในมุมสามมิติของรูปเหลี่ยมอนันต์เบ้ปกติอย่างหนึ่ง

รูปหลายเหลี่ยมนี้สร้างขึ้นจากอนุกรมของเซตย่อยของด้านที่ต่อมีการต่อซ้อนอย่างเป็นรูปแบบแอนติปริซึมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอย่างไม่สิ้นสุดอย่าง่ แม้จะไม่เหมือนแอนติปริซึมซะทีเดียวก็ตาม มุมที่ถูกบิดไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเป็นจำนวนเต็มหารของ 180° รูปหลายเหลี่ยมรูปนี้มีแกนเบ้ ลำดับอนุกรมของด้านของเกลียวของบอร์ดิจค์ค็อกซีเตอร์ สามารถแสดงเป็นรูปเหลี่ยมอนันต์เบ้ปกติได้

เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา
-----------------------

ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา *รูปเหลี่ยมอนันต์* ไม่สามารถลดรูปได้และมีรูปร่างเป็นแผ่น เช่น {∞, 3} ที่มีจุดยอดตามวงล้อโฮโร

ดูเพิ่ม
-------

* Apeirogonal tiling
* Apeirogonal prism
* Apeirogonal antiprism
* Apeirohedron
* Circle

อ้างอิง
-------

* Coxeter, H. S. M. (1973). *Regular Polytopes* (3rd ed.). New York: Dover Publications. pp. 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table II: Regular honeycombs
* Grünbaum, B. Regular polyhedra - old and new, *Aequationes Math. **16** (1977) p. 1-20*
* Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* *Russell, Robert*, "Apeirogon" จากแมทเวิลด์.
* Olshevsky, George, *Apeirogon* at *Glossary for Hyperspace*.

| * ด
* ค
* ก
รูปหลายเหลี่ยม |
| --- |
| รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมตามจำนวนด้าน |
| 1-10 ด้าน | หนึ่งเหลี่ยม
* สองเหลี่ยม
* สามเหลี่ยม
* สี่เหลี่ยม
* ห้าเหลี่ยม
* หกเหลี่ยม
* เจ็ดเหลี่ยม
* แปดเหลี่ยม
* เก้าเหลี่ยม
* สิบเหลี่ยม
 |
| 10-20 ด้าน | สิบเอ็ดเหลี่ยม
* สิบสองเหลี่ยม
* สิบสามเหลี่ยม
* สิบสี่เหลี่ยม
* สิบห้าเหลี่ยม
* สิบหกเหลี่ยม
* สิบเจ็ดเหลี่ยม
* สิบแปดเหลี่ยม
* สิบเก้าเหลี่ยม
* ยี่สิบเหลี่ยม
 |
| อื่นๆ | อนันต์เหลี่ยม |
| รูปดาวหลายแฉก | ดาวห้าแฉก
* ดาวหกแฉก
* ดาวเจ็ดแฉก
* ดาวแปดแฉก
* ดาวเก้าแฉก
* ดาวสิบแฉก
* ดาวสิบเอ็ดแฉก
* ดาวสิบสองแฉก
 |