ในคณิตศาสตร์ **สมบัติการเปลี่ยนหมู่** (อังกฤษ: associativity) เป็นสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการเดียวกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การดำเนินการสามารถกระทำได้โดยไม่สำคัญว่าลำดับของตัวถูกดำเนินการจะเป็นอย่างไร นั่นหมายความว่า การใส่วงเล็บเพื่อบังคับลำดับการคำนวณในนิพจน์ จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น

(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8
นิพจน์ข้างซ้ายจะบวก 5 กับ 2 ก่อนแล้วค่อยบวก 1 ส่วนนิพจน์ข้างขวาจะบวก 2 กับ 1 ก่อนแล้วค่อยบวก 5 ไม่ว่าลำดับของวงเล็บจะเป็นอย่างไร ผลบวกของนิพจน์ก็เท่ากับ 8 ไม่เปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสมบัตินี้เป็นจริงในการบวกของจำนวนจริงใด ๆ เรากล่าวว่า การบวกของจำนวนจริงเป็นการดำเนินการที่ *เปลี่ยนหมู่ได้* (associative)

ไม่ควรสับสนระหว่างสมบัติการเปลี่ยนหมู่กับสมบัติการสลับที่ สมบัติการสลับที่เป็นการเปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการในนิพจน์ ในขณะที่สมบัติการเปลี่ยนหมู่ไม่ได้สลับตัวถูกดำเนินการเหล่านั้น เพียงแค่เปลี่ยนลำดับการคำนวณ เช่นตัวอย่างต่อไปนี้

(5 + 2) + 1 = (2 + 5) + 1
ไม่ใช่ตัวอย่างของสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เพราะว่า 2 กับ 5 สลับที่กัน

การดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้มีมากมายในคณิตศาสตร์ และด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการดำเนินการทวิภาคที่เปลี่ยนหมู่ได้เป็นส่วนประกอบ อย่างไรก็ตามการดำเนินการหลายอย่างที่สำคัญก็ *เปลี่ยนหมู่ไม่ได้* หรือ *ไม่เปลี่ยนหมู่* (non-associative) เช่นผลคูณไขว้ของเวกเตอร์วิคเตอร์ โรเนลเเมสซี

นิยาม
-----

กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต *S* เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น *เปลี่ยนหมู่ได้* ถ้าหาก

{\displaystyle \forall x,y,z\in S:(x\*y)\*z=x\*(y\*z)\,}
และเนื่องจากลำดับของการดำเนินการไม่มีความสำคัญ เราจึงอาจไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บ ดังนี้

{\displaystyle x\*y\*z\,}
อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่จะต้องจดจำคือ การเปลี่ยนลำดับของการดำเนินการจะต้องไม่ทำให้ตัวถูกดำเนินการเปลี่ยนตำแหน่งไปภายในนิพจน์

กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : *A*×*A* → *B* เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น *เปลี่ยนหมู่ได้* ถ้าหาก

{\displaystyle \forall x,y,z\in A:f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,}

ตัวอย่าง
--------

ตัวอย่างบางส่วนของการดำเนินการเปลี่ยนหมู่มีดังนี้

* ในเลขคณิต การบวกและการคูณสามารถเปลี่ยนหมู่ได้

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {R} }
* การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนและควอเทอร์เนียนก็สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ สำหรับการบวกของออกโทเนียนนั้นเปลี่ยนหมู่ได้ แต่การคูณของออกโทเนียนไม่เปลี่ยนหมู่
* ฟังก์ชันตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยก็เปลี่ยนหมู่ได้

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {Z} }
* เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่สามารถนำเสนอได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ ซึ่งเป็นการนำเสนอของการประกอบฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทันทีว่าการคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนหมู่ได้
* อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ดังนี้

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for all sets }}A,B,C}
* ถ้า *M* เป็นเซตเซตหนึ่ง และ *S* แทนเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *M* ไปยัง *M* แล้วการดำเนินการของฟังก์ชันประกอบบน *S* เปลี่ยนหมู่ได้

{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad \forall f,g,h\in S}
* ในกรณีทั่วไป กำหนดให้เซต *M*, *N*, *P*, *Q* และการจับคู่ *h* : *M* → *N*, *g*: *N* → *P*, *f*: *P* → *Q*, แล้ว

{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}
ดังนั้น การจับคู่จึงเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้เสมอ

การดำเนินการไม่เปลี่ยนหมู่
--------------------------

กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต *S* เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น *เปลี่ยนหมู่ไม่ได้* ถ้าหาก

{\displaystyle \exists x,y,z\in S:(x\*y)\*z\neq x\*(y\*z)\,}
การดำเนินการเช่นนั้น ลำดับของการคำนวณจึงมีความสำคัญ เช่นการลบ การหาร และการยกกำลัง

{\displaystyle (5-3)-2\neq 5-(3-2)}
{\displaystyle (4\div 2)\div 2\neq 4\div (2\div 2)}
{\displaystyle 2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}}
เครื่องหมายวงเล็บจึงถูกใช้เพื่อแสดงลำดับของการดำเนินการ เมื่อมีการดำเนินการเหล่านี้มากกว่าหนึ่งครั้งในนิพจน์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ได้ยอมรับลำดับความสำคัญของการดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนหมู่หลายชนิด เป็นหลักการในการเขียนเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้วงเล็บ แบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่การดำเนินการที่จัดกลุ่มทางซ้าย

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x\*y\*z=(x\*y)\*z\qquad \qquad \quad \,\\w\*x\*y\*z=((w\*x)\*y)\*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall w,x,y,z\in S}
และการดำเนินการที่จัดกลุ่มทางขวา

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x\*y\*z=x\*(y\*z)\qquad \qquad \quad \,\\w\*x\*y\*z=w\*(x\*(y\*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall w,x,y,z\in S}

ดูเพิ่ม
-------

* สมบัติการสลับที่
* สมบัติการแจกแจง