กราฟแสดงผลรวมจำกัดพจน์ 15,000 ค่าแรกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …
ในทางคณิตศาสตร์ **1 − 2 + 3 − 4 + ···** เป็นอนุกรมอนันต์ที่แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน ผลรวม *m* พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ผลรวมได้ในรูป

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}
อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาลิมิตที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มีปฏิทรรศน์จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้

{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}
เป็นเวลานานกว่าจะมีคำอธิบายอย่างชัดเจนถึงสมการดังกล่าว ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2433 แอร์เนสโต เชซะโร, เอมีล บอแรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีการนิยามผลรวมของอนุกรมลู่ออกทั่วไป วิธีเหล่านั้นจำนวนมากต่างได้นิยามค่า 1 − 2 + 3 − 4 + … ให้ "เท่ากับ" 1/4 ผลรวมเซซาโรเป็นหนึ่งในวิธีการที่ไม่สามารถนิยามค่าของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ อนุกรมนี้จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ต้องใช้วิธีการที่แรงกว่าเพื่อนิยามค่า เช่น ผลรวมอาเบล

อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของอนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาบาเซิล ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์
--------------------------

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีชุดของกฎที่สอดคล้องกับตัวมันเองแล้ว เราจะสามารถใช้งานกฎเหล่านั้นได้ แม้ตามนิยามของคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อาจไม่สามารถอธิบายให้ 1 – 2 + 3 – 4 + ... เท่ากับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ยังมีอีกหลายวิธีที่จะนิยามคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ซึ่งไม่ขัดกับสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/4

```
  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +. .. .. 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -. .. .. 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -. .. .. . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 +. .. .. .. 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +. .. 
```

การลู่ออกของอนุกรม
------------------

แต่ละพจน์ของอนุกรม (1, −2, 3, −4, ...) ไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ จากการทดสอบพจน์จึงสรุปได้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ลู่ออก นอกจากนี้ ยังสามารถสังเกตการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมนี้ได้จากลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ของอนุกรม ดังต่อไปนี้

1 = **1**,
1 − 2 = **−1**,
1 − 2 + 3 = **2**,
1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,
…
ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ (และจะรวมศูนย์ด้วยหากนับผลรวมว่าง) ลำดับดังกล่าวจึงแสดงให้เห็นว่าเซต {\displaystyle \mathbb {Z} } ของจำนวนเต็มเป็นเซตนับได้ เห็นได้ชัดว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก

การหาผลรวมของอนุกรม
-------------------

### ความเสถียรและความเป็นเชิงเส้น

แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + … สำหรับบางจำนวน *s* เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า *s* = 1/4 ได้ดังนี้

{\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}
แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....
จึงได้ว่า {\displaystyle s={\frac {1}{4}}} ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา

ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ *s* = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 1/4 ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ 1/4 เสมอ นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ

{\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+{}&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&{}+(3-4+5\cdots )\\&=&0+{}&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}
ซึ่ง {\displaystyle s={\frac {1}{4}}} ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = 1/2

### ผลคูณโคชี

ใน พ.ศ. 2434 แอร์เนสโต เชซะโร ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากในแคลคูลัส เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ 1/4" สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …

นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σ*a**n* = Σ*b**n* = Σ (−1) *n* เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c\_{n}&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}
ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }
ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ 1/2 จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ 1/4 เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี

วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)

วิธีต่าง ๆ ในการหาผลรวม
-----------------------

มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

### เซซาโรและเฮิลเดอร์

กราฟแสดงผลรวม (H, 2) ของอนุกรม ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1/4
การหาผลรวมเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …
ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, …
ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้

มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, *n*) เมื่อ *n* เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ 1/2 ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต*ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต*เหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ 1/2 นั่นคือ 1/4 ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ 1/4

อักษร "H" มาจากชื่อของ ออทโท เฮิลเดอร์ ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างผลรวมอาเบลและผลรวม (H, *n*) ในปี พ.ศ. 2425 โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้ การที่ 1/4 เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน

อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, *n*) ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, *n*) และ (H, *n*) จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี พ.ศ. 2430 เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, *n*) จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2433 พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, *m*) และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, *n*) จะหาผลรวมได้แบบ (C, *m* + *n* + 1)

### ผลรวมอาเบล

กราฟแสดงค่าของ 1−2*x*+3*x*2+…; 1/(1 + *x*) 2 และลิมิตที่ 1
จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:

> ...หากบอกว่าผลรวมของอนุกรม 1−2+3−4+5−6+... คือ 1/4 มันจะดูขัดแย้ง เมื่อหาผลรวม 100 พจน์แรกของอนุกรม เราจะได้ -50 แต่ผลรวมของ 101 พจน์แรกคือ +51 ซึ่งแตกต่างจาก 1/4 เป็นอย่างมาก และจะยิ่งเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเราเพิ่มจำนวนพจน์ แต่ข้าพเจ้าได้สังเกตมาก่อนแล้วว่า มีความจำเป็นที่จะต้องนิยามคำว่า *ผลรวม* ให้มีความหมายที่กว้างขึ้น...
> 
> 

ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับผลรวมอาเบล:

> ...ไม่ต้องเป็นที่สงสัยเลยว่า ผลรวมของ 1−2+3−4+5−6+... คือ 1/4 เนื่องจากมันเกิดจากการกระจาย 1/ (1+1)2 ซึ่งเป็นที่แน่ชัดว่ามีค่าเท่ากับ 1/4 แนวคิดนี้จะยิ่งเห็นได้ชัดเมื่อพิจารณาอนุกรมในรูปทั่วไป 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + 5*x*4 − 6*x*5 + *...* ซึ่งเกิดจากการกระจาย 1/ (1+*x*)2 ซึ่งมันจะเท่ากับอนุกรมนี้เมื่อเราแทน *x* = 1
> 
> 

สำหรับจำนวนจริง *x* ที่มีค่าสัมบูรณ์ |*x*| < 1 จะได้ว่า

{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฝั่งขวาของสมการ หรือโดยขั้นตอนการหารยาวพหุนาม หากเริ่มจากฝั่งซ้ายของสมการ เราสามารถคูณ (1+*x*) สองครั้ง หรือสามารถยกกำลังสองอนุกรมเรขาคณิต 1 − *x* + *x*2 − .... นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว

ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2*x* + 3*x*2 − 4*x*3 + … ไม่นิยามเป็นฟังก์ชันเมื่อ *x* = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า *x* = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก |*x*| < 1 เราจึงสามารถหาลิมิตเมื่อ *x* เข้าใกล้ 1 ได้ และเป็นนิยามของผลรวมอาเบลดังนี้

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 1^{-}}\sum \_{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim \_{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}
### ออยเลอร์และบอแรล

แผนภาพแสดงผลรวมออยเลอร์ 1/2 − 1/4
ออยเลอร์ได้พัฒนาวิธีการอื่นในการหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เรียกว่าการแปลงออยเลอร์ วิธีคำนวณการแปลงออยเลอร์นั้นเริ่มจากลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ประกอบกันเป็นอนุกรมสลับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า *a*0

จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δ*a*0 การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย

{\displaystyle {\frac {1}{2}}a\_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a\_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a\_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}
จึงกล่าวได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาผลรวมแบบออยเลอร์ได้ ซึ่งเท่ากับ 1/4

ผลรวมออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลรวมของอนุกรมในวิธีอื่น เริ่มจากการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ในรูป

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}
เราจะได้อนุกรมที่ลู่เข้าทุกจุด

{\displaystyle a(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}
ผลรวมบอแรลของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... จึงมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}
### การแยกสเกล

ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์เรื่อง*การคลายตัวในปริมาณเล็กน้อย (infinitesimal relaxation)*  และ*การแยกสเกล (separation of scales)*  หลักการเหล่านี้ได้นำไปสู่นิยามของกลุ่มของ "วิธีการหาผลรวมแบบ *φ*" ซึ่งวิธีการทั้งหมดหาผลรวมของอนุกรมนี้ได้เท่ากับ 1/4

* ถ้า *φ* (*x*) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองได้ในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ (0) = 1 และลิมิตของ φ (*x*) และ *x*φ (*x*) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้วจะได้ว่า

{\displaystyle \lim \_{\delta \downarrow 0}\sum \_{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}
ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นรูปทั่วไปของผลรวมอาเบล ซึ่งเกิดจากการให้ *φ* (*x*) = exp (−*x*) ผลลัพธ์ในรูปทั่วไปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการจับคู่พจน์ในอนุกรมและแปลงนิพจน์ให้เป็นอินทิกรัลแบบรีมันน์ การพิสูจน์อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... ด้วยวิธีเดียวกันอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการพิสูจน์ แต่สำหรับอนุกรมนี้ต้องอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบลากร็องฌ์

รูปทั่วไป
---------

ตัดมาจากหน้า 233 ของ *E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum* ซึ่งออยเลอร์ได้หาผลรวมอนุกรมที่คล้ายคลึงกันใน พ.ศ. 2298
ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลรวมอาเบลและผลรวมออยเลอร์เป็น 1/8 ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนทรงสี่หน้า โดยมีผลรวมอาเบลเป็น 1/16

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคืออนุกรม 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + … สำหรับจำนวนเต็มบวก *n* อนุกรมดังกล่าวจะสามารถหาผลรวมอาเบลได้ดังนี้:

{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B\_{n+1}}
เมื่อ *B**n* เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ *n* = 2*k* ผลรวมจะสามารถลดรูปได้เป็น

{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}
ผลรวมสุดท้ายนั้นได้ถูกกล่าวถึงในเชิงขบขันโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469:

> อนุกรมลู่ออกล้วนแต่เป็นผลงานของปีศาจ และเป็นเรื่องน่าอายที่มีใครพยายามจะหาบทพิสูจน์ของมัน หากใครใช้มัน เขาจะไม่มีความสุขและจะสร้างแต่ข้อขัดแย้งจำนวนมาก ไม่มีสิ่งใดน่ากลัวไปกว่าการกล่าวว่า
> 
> 
> 0 = 1 − 2*2n* + 3*2n* − 4*2n* + ...
> 
> เมื่อ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก นี่แหละเป็นสิ่งที่น่าขัน
> 
> 

อาจารย์ของเชซะโร เออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง เป็นผู้ที่ไม่สนใจในอนุกรมลู่ออกเช่นกัน ด้วยอิทธิพลของกาตาล็อง ในตอนแรกเชซะโรเคยเรียกสูตรทั่วไปของ 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... ว่าเป็น "สมการที่น่าขัน" ต่อมาในปี พ.ศ. 2426 เขาได้แสดงความเห็นว่าสูตรนั้นผิดแต่มีประโยชน์ จนในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เชซะโรจึงได้เริ่มศึกษาสูตรดังกล่าวด้วยวิธีสมัยใหม่ และได้ตีพิมพ์เป็นผลงานชื่อ *Sur la multiplication des séries* ("ว่าด้วยการคูณอนุกรม")

ได้มีการศึกษาอนุกรมนี้สำหรับค่า *n* ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ส่วนหนึ่งของแรงบันดาลใจที่ทำให้ออยเลอร์ศึกษาอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันอีตา ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้มีชื่อเสียงจากการหาค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับจำนวนคู่ (รวมถึงปัญหาบาเซิล) และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน ฟังก์ชันอีตานั้นง่ายกว่าที่จะจัดการด้วยวิธีของออยเลอร์ เนื่องจากลำดับดิริชเลต์ของมันสามารถหาผลรวมอาเบลได้ในทุกจุด ในขณะที่ฟังก์ชันซีตานั้นหาผลรวมได้ยากในจุดที่มันลู่ออก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คืออนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ซึ่งต้องใช้วิธีการที่ยากมากในการหาผลรวม

ดูเพิ่ม
-------

* อนุกรมแกรนดี
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์
* ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

อ้างอิง
-------

1. ↑  Hardy, p.8
2. ↑  Beals, p.23
3. ↑  Hardy (p.6) นำเสนอสมการดังกล่าวพร้อมกับการหาค่าอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + ...
4. ↑  Hardy p.6
5. ↑  Hardy p.6
6. ↑  Ferraro, p.130
7. ↑  Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55
8. ↑  Hardy, p.9; สำหรับการคำนวณอย่างละเอียด, ดู Weidlich, pp.17–18
9. ↑  Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro วิจารณ์คำอธิบายของ Tucciarone (p.7) เกี่ยวกับวิธีที่เฮิลเดอร์หาผลลัพธ์ในกรณีทั่วไป แต่ทั้งสองอธิบายถึงวิธีการที่เฮิลเดอร์จัดการกับอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้คล้ายคลึงกัน
10. ↑  Ferraro, pp.123–128
11. ↑  Euler et al, p.2. ผลงานได้เขียนขึ้นใน พ.ศ. 2292 แต่ได้ตีพิมพ์ใน พ.ศ. 2311
12. ↑  Euler et al. pp.3, 25
13. ↑  ตัวอย่างเช่น Lavine (p.23) แนะนำการหารยาวแต่ไม่ได้ดำเนินการต่อ; Vretblad (p.231) คำนวณผลคูณโคชี; คำแนะนำของออยเลอร์นั้นไม่ชัดเจน; ดู Euler et al. pp.3, 26
14. ↑  Weidlich p. 59
15. ↑  Saichev and Woyczyński, pp.260–264
16. ↑  Kline, p.313
17. ↑  Knopp, p.491; ดูเหมือนมีข้อผิดพลาดปรากฏที่จุดนี้ใน Hardy, p.3
18. ↑  Grattan-Guinness, p.80; ดู Markushevich, p.48 สำหรับการแปลแบบอื่นจากภาษาฝรั่งเศส แต่มีใจความเช่นเดิม
19. ↑  Ferraro, pp.120–128
20. ↑  Euler et al. pp.20–25

บรรณานุกรม
----------

* Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). "Analytic summability theory". *Summability Calculus*. Springer International Publishing. pp. 65–91. doi:10.1007/978-3-319-74648-7\_4. ISBN 978-3-319-74647-0.
* Beals, Richard (2004). *Analysis: An Introduction*. Cambridge UP. ISBN 978-0-521-60047-7.
* Davis, Harry F. (May 1989). *Fourier Series and Orthogonal Functions*. Dover. ISBN 978-0-486-65973-2.
* Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J. (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. สืบค้นเมื่อ 2007-03-22. Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". *Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin*. **17**: 83–106.
* Ferraro, Giovanni (June 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". *Archive for History of Exact Sciences*. **54** (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. S2CID 119766124.
* Grattan-Guinness, Ivor (1970). *The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann*. MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8.
* Hardy, G. H. (1949). *Divergent Series*. Clarendon Press. xvi+396. ISBN 978-0-8218-2649-2. LCCN 49005496. MR 0030620. OCLC 808787. 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co. 1991. LCCN 91-75377. ISBN 0-8284-0334-1.
* Kline, Morris (November 1983). "Euler and Infinite Series". *Mathematics Magazine*. **56** (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371.
* Knopp, Konrad (1990). *Theory and Application of Infinite Series*. New York: Dover Publications. ISBN 0486661652. LCCN 89071388.
* Lavine, Shaughan (1994). *Understanding the Infinite*. Harvard UP. ISBN 978-0-674-92096-5.
* Markusevič, Aleksej Ivanovič (1967). *Series: fundamental concepts with historical exposition* (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian ed.). Delhi, India: Hindustan Pub. Corp. p. 176. LCCN sa68017528. OCLC 729238507. Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with OCLC 474456247. Additionally, OCLC 208730, OCLC 487226828.
* Saichev, A. I.; Woyczyński, W. A. (1996). *Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1*. Birkhaüser. ISBN 978-0-8176-3924-2.
* Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994). *Borel's Methods of Summability: Theory and Application*. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. ISBN 0-19-853585-6. MR 1320266.
* Tucciarone, John (January 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". *Archive for History of Exact Sciences*. **10** (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. S2CID 121888821.
* Vretblad, Anders (2003). *Fourier Analysis and Its Applications*. Springer. ISBN 978-0-387-00836-3.