สำหรับความหมายอื่น ดูที่ พาย
สัญลักษณ์ของพาย
**พาย** หรือ **ไพ** (อักษรกรีก: π ภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า *พาย* ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า *พี* ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า **ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส** (Archimedes' Constant) หรือ**จำนวนของลูดอล์ฟ** (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก *x* ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (*x*) = 0

การเกิดค่าพาย
ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328238644709384... (ลำดับ OEIS A000796)
ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14
แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π
----------------------

An complex black shape on a blue background.สามารถคำนวณไพได้จาก เซตม็องแดลโบรต, โดยการคำนวณจำนวน iterations required before point (−0.75, *ε*) diverges.
### เรขาคณิต

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

| รูปร่างทางเรขาคณิต | สูตร |
| --- | --- |
| เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี *r* และเส้นผ่านศูนย์กลาง *d* | {\displaystyle C=\pi d=2\pi r\,\!} |
| พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี *r* | {\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!} |
| พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก *a* และแกนโท *b* | {\displaystyle A=\pi ab\,\!} |
| ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี *r* และเส้นผ่านศูนย์กลาง *d* | {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!} |
| พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี *r* | {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!} |
| ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง *h* และรัศมี *r* | {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!} |
| พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง *h* และรัศมี *r* | {\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!} |
| ปริมาตรของกรวยที่สูง *h* และรัศมี *r* | {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!} |
| พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง *h* และรัศมี *r* | {\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!} |

### การวิเคราะห์

* François Viète, 1593:

{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }
* สูตรของไลบ์นิซ:

{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}}
* ผลคูณของ Wallis:

{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1}}=\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}
* สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
* ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):

{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
{\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
* ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:

{\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}
* สูตรของสเตอร์ลิง:

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
* เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}
### เศษส่วนต่อเนื่อง

π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}
### ทฤษฎีจำนวน

* ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π2 ...

### ฟิสิกส์

* หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:

{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
* สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:

{\displaystyle R\_{ik}-{g\_{ik}R \over 2}+\Lambda g\_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T\_{ik}}
* กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:

{\displaystyle F={\frac {\left|q\_{1}q\_{2}\right|}{4\pi \epsilon \_{0}r^{2}}}}

สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์
----------------------------

### การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ

แม้ว่า π จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ π กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น *T* ของลูกตุ้มที่มีความยาว *L* แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก (*g* คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)

{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δ*x*) และโมเมนตัม (Δ*p*) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ *h* เป็นค่าคงตัวของพลังค์)

{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
ความจริงที่ว่า π มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด *α* คือ

{\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},}
เมื่อ *m* คือมวลของอิเล็กตรอน

ดูเพิ่ม
-------

* แคลคูลัส
* เรขาคณิต
* ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อ้างอิง
-------

1. ↑  Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, *Fundamentals of Physics, 5th Ed.*, John Wiley & Sons, 1997, p. 381, ISBN 0-471-14854-7.
2. ↑  Imamura, James M. (17 August 2005). "Heisenberg Uncertainty Principle". University of Oregon. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 12 October 2007. สืบค้นเมื่อ 9 September 2007.
3. ↑  Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). *Quantum Field Theory* (2005 ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44568-7. LCCN 2005053026. OCLC 61200849.