ไฮเพอร์โบลา
**ไฮเพอร์โบลา** (hyperbola) เป็นเส้นโค้งรูปแบบหนึ่งที่ถูกนิยามในปริภูมิแบบยุคลิด สองมิติ ℝ2 เป็นคำทั่วไปสำหรับเรียกเส้นโค้งที่มีระยะห่าง จากจุดสองจุด F และ F' ซึ่งเรียกว่า จุดโฟกัส เป็นค่าคงที่ โดยเส้นตรงที่ลากผ่านทั้งจุดโฟกัสทั้งสองนี้ และเส้นตรงตั้งฉากที่ลากแบ่งครึ่งกลางจุดโฟกัสทั้งสองนี้ จะเรียกว่า **แกนหลัก** (major axis)

สมการไฮเพอร์โบลา
----------------

ส่วนประกอบทั่วไปในไฮเพอร์โบลา| สมการทั่วไป | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} | {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1} |
| เส้นกำกับ | {\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0} | {\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0} |
| จุดโฟกัส | {\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} | {\displaystyle (0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})} |
| จุดยอด | {\displaystyle (\pm {a},0)} | {\displaystyle (0,\pm {b})} |
| เส้นบังคับ | {\displaystyle x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} | {\displaystyle y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} |
| ความเยื้องศูนย์กลาง | {\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} | {\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}} |

ไฮเพอร์โบลาสามารถแสดงด้วยสมการต่อไปนี้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีแกนพิกัดเป็นแกนหลัก

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
ในกรณีนี้ พิกัดของจุดโฟกัสอยู่ที่

{\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} และ {\displaystyle F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}
และผลต่างของระยะทาง |PF - PF'| จากจุดโฟกัสสองจุด F, F' ไปยังจุด P บนไฮเพอร์โบลาคือ 2a จุดกำเนิดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา และจุดสองจุด (±a, 0) เรียกว่าจุดยอดของไฮเพอร์โบลา

ระยะห่าง PF ระหว่างจุด P บนไฮเพอร์โบลากับจุดโฟกัส F และระยะห่างจากจุด P ไปยังเส้นบังคับ (directrix) {\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} นั้นเป็นอัตราส่วนคงตัว โดยค่าของอัตราส่วนเทียบเท่ากับ ความเยื้องศูนย์กลาง {\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}

นอกจากนี้ ไฮเพอร์โบลาประกอบด้วย เส้นกำกับ (asymptote) สองเส้น โดยสมการเส้นกำกับคือ

{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0} และ {\displaystyle {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0}
ในกรณีเฉพาะเมื่อเส้นกำกับทั้งสองตั้งฉากกัน นั่นคือ a = b ไฮเพอร์โบลาจะเรียกเฉพาะเจาะจงว่า **ไฮเพอร์โบลามุมฉาก** (rectangular hyperbola)

กราฟของสมการแปรผกผัน xy = C ก็ถือเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉากชนิดหนึ่ง

ไฮเพอร์โบลาสามารถทำเป็นสมการอิงตัวแปรเสริมโดยใช้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

{\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}}

ไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย
--------------------

 ภาคตัดกรวย 4 ประเภท (พาราโบลา, วงรี, วงกลม, ไฮเพอร์โบลา)
ไฮเพอร์โบลาคือขอบเขตของระนาบตัดของกรวยด้านขวาที่ตัดโดยระนาบที่ไม่ผ่านปลายยอดของกรวยด้านขวา แต่ตัดทั้งกรวยบนและล่างขวา

ให้ Ce เป็นภาคตัดกรวย ที่มี ความเยื้องศูนย์กลางเป็น e ในที่นี้ ถ้า e > 1 แล้ว Ce จะกลายเป็นไฮเพอร์โบลา สมมติว่าเส้นบังคับคือ x = -f และหนึ่งในจุดโฟกัสคือ F(f ,0) สำหรับจุด P(x, y) ใด ๆ ของไฮเพอร์โบลา จะได้ว่า

{\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} }
โดย {\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}} ดังนั้น ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการข้างต้น และจัดรูปใหม่ได้เป็น

{\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}}
จากนั้นจัดรูปใหม่ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

{\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}}
นี่เป็นรูปแบบพื้นฐานของไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย จากนั้นทำการแปลงเพิ่มเติม {\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f}, Y= y แล้วจัดเรียงใหม่ให้เหมาะสมก็จะได้รูปสมการดังที่กล่าวข้างต้น

อ้างอิง
-------

* 田端毅; 讃岐勝; 礒田正美 (2009-12-25). 礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編 (บ.ก.). *曲線の事典　性質・歴史・作図法*. 共立出版. ISBN 978-4-320-01907-2.
* 中村滋 (2011-12-30). *円錐曲線　歴史とその数理*. 数学のかんどころ 7. 共立出版. ISBN 978-4-320-01987-4.