**หลายสิ่งอันดับ** หรือ **ทูเพิล** (อังกฤษ: tuple) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย **{\displaystyle n}-สิ่งอันดับ** เป็นลำดับของสิ่ง {\displaystyle n} สิ่ง (เมื่อ {\displaystyle n} เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น {\displaystyle (2,7,4,1,7)} เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ {\displaystyle (7,7,1,2,4)} หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา

คุณสมบัติ
---------

โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ {\displaystyle n}-สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})=(b\_{1},b\_{2},\ldots ,b\_{n})} ก็ต่อเมื่อ {\displaystyle a\_{1}=b\_{1},{\text{ }}a\_{2}=b\_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a\_{n}=b\_{n}.}
คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้

1. หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ {\displaystyle (1,2,2,3)\neq (1,2,3)} แต่เซต {\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}
2. อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ {\displaystyle (1,2,3)\neq (3,2,1)} แต่เซต {\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}
3. หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

นิยาม
-----

หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

### นิยามด้วยฟังก์ชัน

ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม {\displaystyle n}-สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน *F* ที่มีโดเมนเป็นเซต *X* ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต *Y* ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ คือ

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n})\equiv (X,Y,F)}
เมื่อ

{\displaystyle {\begin{aligned}X&=\{1,2,\dots ,n\}\\Y&=\{a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\}\\F&=\{(1,a\_{1}),(2,a\_{2}),\ldots ,(n,a\_{n})\}\\\end{aligned}}}
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}):=(F(1),F(2),\dots ,F(n))}
### นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน

ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม {\displaystyle n}-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง {\displaystyle \emptyset }
2. {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ เมื่อ {\displaystyle n>0} นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น {\displaystyle (n-1)}-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=(a\_{1},(a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n}))}

เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=(a\_{1},(a\_{2},(a\_{3},(\ldots ,(a\_{n},\emptyset )\ldots ))))}
ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}
หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง {\displaystyle \emptyset }
2. {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ เมื่อ {\displaystyle n>0} นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น {\displaystyle (n-1)}-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=((a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n-1}),a\_{n})}

เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า

{\displaystyle (a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a\_{1}),a\_{2}),a\_{3}),\ldots ),a\_{n})}
ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}
### นิยามด้วยเซตซ้อน

เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง {\displaystyle \emptyset }
2. กำหนดให้ {\displaystyle x} เป็น {\displaystyle n}-สิ่งอันดับ {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})} และกำหนดให้ {\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n},b)} จะได้ว่า {\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}} (เรียกว่า {\displaystyle x} เชื่อมกับ {\displaystyle b})

ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}

อ้างอิง
-------

1. ↑
2. ↑

* D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000), *Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs* (2nd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
* Keith Devlin, *The Joy of Sets*. Springer Verlag, 2nd ed. 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
* Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, *Foundations of set theory*, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
* Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, *Introduction to Axiomatic Set Theory*, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
* George J. Tourlakis, *Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory*, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193