(1) กราฟของฟังก์ชัน *f*(*x*) = *x*4 − 4*x* บนช่วง [−2,+3] ซึ่งแสดงรากที่เป็นจำนวนจริงและจุดต่ำสุดของกราฟภายในช่วงนี้ด้วย
**กราฟของฟังก์ชัน** *f* (อังกฤษ: graph of a function) ในทางคณิตศาสตร์ คือการรวบรวมคู่อันดับ (*x*, *f*(*x*)) ทั้งหมด ถ้าฟังก์ชันรับค่า *x* เป็นสเกลาร์ กราฟนี้จะเป็นกราฟสองมิติ และจะกลายเป็นเส้นโค้งสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันรับค่า *x* เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง (*x*1, *x*2) กราฟนี้จะเป็นการรวบรวมสามสิ่งอันดับ (*x*1, *x*2, *f*(*x*1, *x*2)) ทั้งหมด หรือเป็นกราฟสามมิติ และจะกลายเป็นพื้นผิวสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

หากกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ ถ้า *x* เป็นจำนวนจริง และ *f* เป็นฟังก์ชันค่าจริง *กราฟ* อาจหมายถึงตัวแทนเชิงภาพ (graphical representation) ของการรวบรวมเหล่านี้ในรูปแบบกราฟเส้น นั่นคือเส้นโค้งบนระนาบคาร์ทีเซียน และแกนคาร์ทีเซียนเป็นต้น การวาดกราฟบนระนาบคาร์ทีเซียนบางครั้งก็อาจเรียกว่า *การร่างเส้นโค้ง* (curve sketching) กราฟของฟังก์ชันจำนวนจริงอาจลงจุดได้โดยตรงบนตัวแทนเชิงภาพของฟังก์ชันนั้น สำหรับฟังก์ชันทั่วไป ตัวแทนเชิงภาพไม่จำเป็นว่าจะต้องสามารถหาได้ และนิยามของกราฟของฟังก์ชันก็เพียงพอต่อความต้องการในประโยคคณิตศาสตร์ต่าง ๆ แล้ว ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทกราฟปิด (closed graph theorem) ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

มโนทัศน์ของกราฟของฟังก์ชันสามารถวางนัยทั่วไปเป็นกราฟของความสัมพันธ์ (graph of a relation) สังเกตว่าถึงแม้ฟังก์ชันหนึ่ง ๆ สามารถระบุได้ด้วยกราฟของมันเสมอ แต่ฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโคโดเมนต่างกันก็อาจมีกราฟเหมือนกันได้ ฟังก์ชันเหล่านั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกัน ยกตัวอย่าง ฟังก์ชันพหุนามกำลังสามในตัวอย่างเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) ถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนจริง แต่จะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ *x* หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวยืน (vertical line test) ในทางกลับกัน การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ *y* หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวนอน (horizonal line test) ถ้าฟังก์ชันนั้นมีฟังก์ชันผกผัน กราฟของฟังก์ชันผกผันจะหาได้จากเงาสะท้อนในกระจกของกราฟของฟังก์ชันเดิม โดยมีเส้นตรง *y* = *x* เป็นแกน

ในทางวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เทคโนโลยี การเงิน และอื่น ๆ กราฟถูกใช้เป็นเครื่องมืออเนกประสงค์ กรณีง่ายสุดคือตัวแปรหนึ่ง ๆ จะถูกลงจุด (plot) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น โดยใช้แกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากตามปกติ

ในรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่อันเป็นที่รู้จักกันว่าทฤษฎีเซต ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันโดยพื้นฐานถือว่าคือสิ่งเดียวกัน 

(2) กราฟของฟังก์ชัน *f*(*x*) = *x*3 − 9*x*

ตัวอย่าง
--------

### ฟังก์ชันตัวแปรเดียว

(3) กราฟของฟังก์ชัน *f*(*x*, *y*) = sin(*x*2) · cos(*y*2)
กราฟของฟังก์ชัน

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3\end{matrix}}\right.}
คือ

{ (1,a), (2,d), (3,c) }
กราฟของพหุนามกำลังสามบนเส้นจำนวนจริง

{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}
คือ

{ (*x*, *x*3 − 9*x*) : *x* เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระนาบคาร์ทีเซียน ผลลัพธ์จะได้เส้นโค้งตามภาพ (2)

### ฟังก์ชันสองตัวแปร

(4) การลงจุดของกราฟของฟังก์ชัน *f*(*x*, *y*) = −(cos(*x*2) + cos(*y*2))2 และแสดงภาพฉายเกรเดียนต์บนระนาบข้างล่าง
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

*f*(*x*, *y*) = sin(*x*2) · cos(*y*2)
คือ

{ (*x*, *y*, sin(*x*2) · cos(*y*2)) : *x* และ *y* เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ผลลัพธ์จะได้พื้นผิวตามภาพ (3)

บางครั้งการใส่เกรเดียนต์ของฟังก์ชันและเส้นโค้งระดับไว้บนกราฟก็อาจมีประโยชน์ เส้นโค้งระดับสามารถวาดบนกราฟพื้นผิวของฟังก์ชันหรือฉายลงบนระนาบข้างล่าง

ภาพถัดมา (4) แสดงการวาดกราฟของฟังก์ชัน

*f*(*x*, *y*) = −(cos(*x*2) + cos(*y*2))2
### แนวฉากของกราฟ

กำหนดให้ฟังก์ชัน *f* รับค่าตัวแปร *n* ตัว ได้แก่ {\displaystyle x=x\_{1},\dotsc ,x\_{n}} แนวฉากของกราฟคือ

{\displaystyle (\nabla f,-1)}
(ขึ้นอยู่กับการคูณด้วยค่าคงตัว) สิ่งนี้สามารถพบได้โดยพิจารณากราฟว่าเป็นเซตระดับ (level set) ของฟังก์ชัน {\displaystyle g(x,z)=f(x)-z} และการใช้ {\displaystyle \nabla g} เป็นแนวฉากของเซตระดับ

การวางนัยทั่วไป
---------------

กราฟของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ตัวอย่างเช่น ระนาบ *xy* เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือแกน *x* กับแกน *y*, ผิวทรงกระบอกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงกับรูปวงกลม ซึ่งความสูง รัศมี และมุมเป็นตัวกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุดต่าง ๆ มัดเส้นใย (fiber bundle) ตามปกติไม่เป็นผลคูณคาร์ทีเซียน แต่ถ้าหากมองเข้าไปใกล้ก็อาจเห็นเป็นผิวชนิดหนึ่งและนับเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนได้ สัญกรณ์ที่สอดคล้องของกราฟบนมัดเส้นใยเรียกว่า ภาคตัด (section)

ดูเพิ่ม
-------


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| * เส้นกำกับ
* แผนภูมิ
* ฟังก์ชันคองเคฟ
* ฟังก์ชันคอนเวกซ์
* เส้นชั้นความสูง
 | * จุดวิกฤต
* อนุพันธ์
* เอพิกราฟ
* กราฟ (คณิตศาสตร์)
* ทฤษฎีกราฟ
 | * ความชัน
* สมการ
* เททระวิว
* การเลื่อนขนานแนวยืน
* ระยะตัดแกน y

  |

อ้างอิง
-------

1. ↑  Charles C Pinter (2014) [1971]. *A Book of Set Theory*. Dover Publications. p. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**กราฟของฟังก์ชัน**

* Graph of function, derivative and antiderivative plotter เก็บถาวร 2016-03-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.