| {\displaystyle x} | {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} |
| --- | --- |
| 1 | 0.841471... |
| 0.1 | 0.998334... |
| 0.01 | 0.999983... |

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin *x*)/*x* จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ *x* มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin *x*)/*x* มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin *x*)/*x* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1


|  |
| --- |
| บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
| แคลคูลัส |
| * ทฤษฎีบทมูลฐาน

* ลิมิตของฟังก์ชัน
* ความต่อเนื่อง

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทของโรลล์

 |
| **แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์**

| 
นิยาม |
| --- |
| * อนุพันธ์ (ภาพรวม)

* ผลต่างอนุพัทธ์
	+ กณิกนันต์
	+ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน
	+ ผลต่างอนุพัทธ์รวม

 |
| 
แนวคิด |
| 
* สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
* อนุพันธ์อันดับสอง
* อนุพันธ์อันดับสาม
* การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
* การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
* อัตราสัมพัทธ์
* ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

 |
| กฎและเอกลักษณ์ |
| 
* กฎผลรวม
* กฎผลคูณ
* กฎลูกโซ่
* กฎเลขยกกำลัง
* กฎผลหาร
* กฎไลบ์นิซทั่วไป
* สูตรของฟาดีบรูโน

 |

 |
| **แคลคูลัสเชิงปริพันธ์**

|  |
| --- |
| * รายชื่อปริพันธ์
 |
| 
นิยาม |
| * ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ)
* ปริพันธ์รีมันน์
* ปริพันธ์เลอเบก
* ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
 |
| 
การหาปริพันธ์ |
| * ทีละส่วน
* จาน
* แบบเปลือกทรงกระบอก
* แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
* แยกเป็นเศษส่วนย่อย
* Order
* Reduction formulae
 |

 |
| **อนุกรม**

|  |
| --- |
| * อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต)
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* อนุกรมสลับ
* อนุกรมกำลัง
* อนุกรมทวินาม
* อนุกรมเทย์เลอร์
 |
| การทดสอบการลู่เข้า |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* Integral
* Direct comparison
* Limit comparison
* Alternating series
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| **แคลคูลัสเวกเตอร์**

|  |
| --- |
| * เกรเดียนต์
* ไดเวอร์เจนซ์
* เคิร์ล
* Laplacian
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
ทฤษฎีบท |
| * ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
* ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
* ทฤษฎีบทของกรีน
* ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
 |

 |
| **แคลคูลัสหลายตัวแปร**

| 
Formalisms |
| --- |
| * แคลคูลัสเมทริกซ์
* แคลคูลัสเทนเซอร์
* Exterior
* แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
 |
| 
นิยาม |
| * อนุพันธ์ย่อย
* ปริพันธ์หลายชั้น
* ปริพันธ์ตามเส้น
* ปริพันธ์เชิงพื้นผิว
* ปริพันธ์เชิงปริมาตร
* Jacobian
* Hessian matrix
 |

 |
| **พิเศษ**
* แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
* Malliavin
* สโทแคสติกแคลคูลัส
* แคลคูลัสของการแปรผัน

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ในวิชาคณิตศาสตร์ **ลิมิตของฟังก์ชัน** เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง

นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน *f* จะรับค่า *x* แล้วคืนค่าออกมาคือ *f(x)* เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน *f* มีลิมิต *L* ที่จุด *p* ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน *f(x)* จะเข้าใกล้ *L* มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า *x* ที่เข้าใกล้ค่า *p* ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย

ประวัติ
-------

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

นิยามเป็นทางการ
---------------

### นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต

กำหนดให้ {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ {\displaystyle p,L\in \mathbb {R} } เป็นจำนวนจริงโดยที่ {\displaystyle p\in (a,b)} เราจะกล่าวว่า**ลิมิตของ f เมื่อ {\displaystyle x} มีค่าเข้าใกล้ p คือ {\displaystyle L}** ก็ต่อเมื่อ 

สำหรับทุกค่า {\displaystyle \varepsilon >0} จะมีจำนวนจริง {\displaystyle \delta >0} ที่ทำให้สำหรับทุกค่า {\displaystyle x} ถ้า {\displaystyle 0<\left\vert x-p\right\vert <\delta } แล้ว {\displaystyle \left\vert f(x)-L\right\vert <\varepsilon }

ถ้าลิมิตของ f เมื่อ {\displaystyle x} มีค่าเข้าใกล้ p คือ {\displaystyle L} แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น 

{\displaystyle f(x)\to L} เมื่อ {\displaystyle x\to p} (อ่านว่า "{\displaystyle f(x)} มีค่าเข้าใกล้ **{\displaystyle L}** เมื่อ {\displaystyle x} มีค่าเข้าใกล้ p") 

สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ f ที่จุด p ยิ่งไปกว่านั้น {\displaystyle f(p)} ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
---------------------------

กำหนดให้ *f* : (*M*,d*M*) -> (*N*,d*N*) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ *p* ∈*M* และ *L* ∈*N*, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ *f* ที่ *p* คือ *L*" และเขียนว่า:{\textstyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ *สำหรับทุก ๆ* *x* ∈*M* *และ* d*M*(*x*, *p*) < δ *แล้ว*, d*N*(*f*(*x*), *L*) < ε

#### ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว
{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L} เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง *M* และ *N* เป็นเซตของจำนวนจริง และ *d(x,y) = |x-y|*.

หรือเราจะเขียน
{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=\infty } ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ *R* > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ *สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง* *x* *ที่* 0 < |*x*-*p*| < δ, *f*(*x*) > *R*;

หรือจะเขียนว่า
{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=-\infty } ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ *R* < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ *สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง* *x* *ที่* 0 < |*x*-*p*| < δ, *f*(*x*) < *R*.

ถ้าในนิยาม เราใช้ *x*-*p* แทน |*x*-*p*| เราก็จะได้ *ลิมิตขวา* เขียนแทนโดย :{\displaystyle \lim \_{x\to p^{+}}} และถ้าใช้ *p*-*x* แทน ก็จะได้ *ลิมิตซ้าย* เขียนแทนโดย :{\displaystyle \lim \_{x\to p^{-}}}

#### ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์

จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ
ให้ *f*(*x*) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ *x* เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L}
### ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น {\displaystyle d(x,y):=|x-y|} จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

#### ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สมมติให้ *f* เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L}
ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง *x* ใด ๆ ซึ่ง 0<|*x*-*p*|<δ จะได้ |*f*(*x*)-*L*|<ε
นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง *M* และ *N* เป็นระนาบเชิงซ้อน

#### ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์

เราจะเขียน

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=L}
ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี *S* >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |*x*|>*S* ใด ๆ เราจะได้ |*f*(*x*)-*L*|<ε

ตัวอย่าง
--------

### ฟังก์ชันค่าจริง

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{x\to 3}x^{2}=9} | ลิมิตของ *x*2 เมื่อ *x* เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน |
| {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{x}=1} | ลิมิตของ *xx* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1 |
| {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{1 \over x}={\mbox{Undefined}}}{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty } | ลิมิตสองด้านของ 1/*x* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยามลิมิตของ 1/*x* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞ |
| {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}{|x| \over x}=1}{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{-}}{|x| \over x}=-1} | ลิมิตด้านเดียวของ |*x*|/*x* เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |*x*|/*x* = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |*x*|/*x* = 1 เมื่อ x เป็นบวก |
| {\displaystyle \lim \_{x\to 0}x\sin {1 \over x}=1} | ลิมิตของ *x* sin(1/*x*) เมื่อ *x* เข้าใกล้ 0 คือ 0 |
| {\displaystyle \lim \_{|x|\to \infty }x^{-a}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} ;a>0;x\in \mathbb {C} } | ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใด ๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ *x* เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด |
| {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{x^{a} \over b^{x}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;b>0} | ฟังก์ชันยกกำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใด ๆ เมื่อ *x* เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด |
| {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\log \_{b}x \over x^{a}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;a>0;b>0} | ฟังก์ชันลอการิทึมใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใด ๆ เมื่อ *x* เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด |
| {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{a^{x} \over x!}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} } | ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใด ๆ เมื่อ *x* เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด |

### ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง

* ถ้า *z* เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |*z*| < 1 แล้วลำดับ *z*, *z*2, *z*3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
* ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

### คุณสมบัติ

ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน *f* ที่ *p* คือ *L*" เหมือนกับประโยค

"สำหรับลำดับลู่เข้า (*x**n*) ใน *M* ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ *p*ลำดับ (*f*(*x**n*)) ลู่เข้าสู่ลิมิต *L*"
ในกรณีที่ *f* เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ *f* ที่ *p* คือ *L*"

ฟังก์ชัน *f* ต่อเนื่อง ที่ *p* ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ *f*(*x*) เมื่อ *x* เข้าใกล้ *p* และค่านั้นเท่ากับ *f*(*p*)
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน *f* แปลงลำดับใด ๆ ใน *M* ซึ่งสู่เข้าหา *p* ไปเป็นลำดับ *N* ซึ่งลู่เข้าหา *f*(*p*)