**ยูเนียน** (อังกฤษ: union) หรือ **ส่วนรวม** คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∪ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

นิยาม
-----

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต *A* กับ *B* พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง
สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ **U** ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต *A* และ *B* เป็นเซตย่อยของ **U** การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน *A* **หรือ** *B* โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

{\displaystyle A\cup B=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\in A\lor x\in B\}}
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต *A* จะไม่ปรากฏในเซต *B* และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4\}\\B&=\{5,6,7,8\}\\A\cup B&=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\\\end{aligned}}}
ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3\}\\B&=\{2,3,4\}\\A\cup B&=\{1,2,3,4\}\\\end{aligned}}}

สมบัติ
------

ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

* ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
	+ {\displaystyle A\cup B=B\cup A}
* ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
	+ {\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C}
* สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
	+ {\displaystyle \varnothing \cup A=A\cup \varnothing =A}
* เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
	+ {\displaystyle \mathbf {U} \cup A=A\cup \mathbf {U} =\mathbf {U} }
* ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
	+ {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\Longleftrightarrow (B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)}
	+ {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\Longleftrightarrow (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)}
* ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
	+ {\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }}
	+ {\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }}

รูปแบบ
------

### ยูเนียนจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต *A*, *B*, และ *C* จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ *A*, สมาชิกทั้งหมดของ *B*, และสมาชิกทั้งหมดของ *C* โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า *x* จะเป็นสมาชิกของเซต *A* ∪ *B* ∪ *C* ก็ต่อเมื่อ *x* เป็นสมาชิกของ *A* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *B* หรือ *x* เป็นสมาชิกของ *C*

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน **ยูเนียนจำกัด** จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

### ยูเนียนไม่จำกัด

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ **M** คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) *x* จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ **M** ก็ต่อเมื่อ มีเซต *A* ซึ่งเป็นสมาชิกของ **M** อย่างน้อยหนึ่งตัว และ *x* ก็เป็นสมาชิกของ *A* เขียนแทนด้วย {\displaystyle \bigcup \mathbf {M} } หรือ {\displaystyle \bigcup \_{A\in \mathbf {M} }A} ดังนี้

{\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A}
การยูเนียนของ **M** ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า **M** จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ {\displaystyle \bigcup \_{i\in I}A\_{i}} หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต *Ai* ทั้งหมด โดยที่ *i* เป็นสมาชิกของเซตดัชนี *I* ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ **ยูเนียนไม่จำกัด** (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี *I* จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

{\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}=A\_{1}\cup A\_{2}\cup A\_{3}\cup \dots }
อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

{\displaystyle A\cap \bigcup \_{i\in I}B\_{i}=\bigcup \_{i\in I}(A\cap B\_{i})}
และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

{\displaystyle \bigcup \_{i\in I}\left(\bigcap \_{j\in J}A\_{i,j}\right)\subseteq \bigcap \_{j\in J}\left(\bigcup \_{i\in I}A\_{i,j}\right)}

อ้างอิง
-------

* วัชรี กาญจน์กีรติ, *พีชคณิตนามธรรม*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม
-------

* ผลต่างสมมาตร
* อินเตอร์เซกชัน
* ส่วนเติมเต็ม
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**ยูเนียน**

* Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.