**นักคณิตศาสตร์** (อังกฤษ: mathematician) คือบุคคลที่ศึกษาและ
ทำงานวิจัยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

บทบาท
-----

งานของนักคณิตศาสตร์ไม่ใช่เพียงศึกษาแต่ยังค้นคว้าวิจัยเพื่อสร้างความรู้ใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งบทบาทนี้เป็นสิ่งที่ต้องเน้นในที่นี้ เพราะว่ามักมีความเชื่อผิดๆ ว่าทุกอย่างในคณิตศาสตร์นั้นถูกค้นพบแล้ว ในความเป็นจริง การตีพิมพ์ผลงานวิจัยใหม่ทางด้านคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่สูงในวารสารทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งจำนวนมากมีเป้าหมายเพื่อพิมพ์งานด้านคณิตศาสตร์ และอีกหลายๆ เล่มนั้นก็เกี่ยวข้องสาขาวิชาที่นำคณิตศาสตร์ไปใช้ (เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี, ฟิสิกส์ หรือ กลศาสตร์ควอนตัม)

การคำนวณตัวเลข
--------------

คนทั่วไปมักคิดว่านักคณิตศาสตร์ต้องทำงาน เชี่ยวชาญ และเก่งในเรื่องที่เกี่ยวกับการคำนวณตัวเลขมาก เช่น บวกหรือลบเลขเพื่อคำนวณค่าทิปให้พนักงานบริการ นี่ก็เป็นความคิดที่ผิดอีกเช่นกัน เพราะแม้แต่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังหลายๆ ท่านยังทำเรื่องพวกนี้ได้แย่กว่าคนธรรมดาเสียด้วยซ้ำ ในความเป็นจริงแล้ววิชาคณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ที่ลึกซึ้งและมีอะไรมากกว่าแค่การคำนวณตัวเลขมากนัก อย่างไรก็ตามในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ก็มีบางท่านที่มีพรสวรรค์ที่สามารถคำนวณสมการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากในใจได้อย่างรวดเร็ว เช่น วอน นอยแมน หรือ รามานุจัน เป็นต้น

แรงบันดาลใจ
-----------

นักคณิตศาสตร์มีแรงบันดาลใจในการทำงานหลายรูปแบบด้วยกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ได้มาจากความโลภทางเงินตรา แต่มาจาก*ความสนใจในความรู้* หรือ *ความใคร่รู้*โดยตรง และแรงบันดาลใจอาจมาจากนักคณิตศาสตร์ที่ตนชื่นชอบที่เป็นฮีโร่ในอุดมคติ

ในหนังสือ *A Mathematician's Apology* อันโด่งดังของกอดเฟรย์ ฮาร์ดี้นักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดคนหนึ่งในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ฮาร์ดี้ได้บรรยายด้วยความรู้สึกส่วนตัวว่า สำหรับเขาแล้วคณิตศาสตร์โดยเฉพาะคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือศิลปะ มันเป็นการสร้างสรรค์สิ่งที่สวยงามออกมาจากจิตใจภายใน นักคณิตศาสตร์ทำงานของเขาเพราะว่าเขาชื่นชอบและมีความสุขในงานที่เขาทำ เขาไม่ชอบคณิตศาสตร์ประยุกต์ และหวังว่าผลงานของเขาจะไม่ถูกใช้ประยุกต์ในด้านใดๆ เลย! นอกจากนี้เขายังได้กล่าววาทะที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปชื่นชอบว่า *ความงามมาเป็นอันดับแรก ไม่มีที่อยู่ในโลกใบนี้สำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด (Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics)*

ความสวยงามของคณิตศาสตร์นั้นซ่อนเร้นอยู่ในหลายๆ แห่ง ไม่ว่าจะเป็นขั้นตอนการพิสูจน์ หรือผลลัพธ์ของทฤษฎีบท ซึ่งล้วนแล้วแต่มีความสวยงามอยู่ไม่ต่างจากความงามของภาพวาดหรือความงามของบทเพลงและบทกวี ในหนังสือของเขา ฮาร์ดี้ในกล่าวถึงความงามทางคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้

> 
> อะไรก็ตามในคณิตศาสตร์นั้นสวยงามถ้า
> 
> 
> 1. มีความเรียบง่าย สั้น ง่ายต่อการทำความเข้าใจ (economy)
> 2. มีความน่าประหลาดใจ คาดไม่ถึง (unexpectedness)
> 3. ไม่สามารถหลีกเลี่ยงสิ่งนั้นได้ ไม่ว่าเราจะพิสูจน์หรือคิดในรูปแบบใดก็ตาม จะเจอผลลัพธ์เดียวกันนี้เสมอ (ineviability)— ฮาร์ดี้
>

ความแตกต่างระหว่างนักคณิตศาสตร์ นักปรัชญาคณิตศาสตร์ และนักวิทยาศาสตร์
---------------------------------------------------------------------

จากเอกสารของ Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty ได้ให้เหตุผลไว้ว่า

นักปรัชญาโดยเฉพาะนักปรัชญาคณิตศาสตร์ (เช่น เบอร์ทรันด์ รัซเซลล์, อัลเฟรด ไวท์เฮด หรือ เวย์น ควินน์) มักจะสนใจวิเคราะห์เจาะประเด็นในเรื่องที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปถือว่าเป็นความจริงหรือสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เช่น นักปรัชญาคณิตศาสตร์มักพิจารณาอย่างละเอียดว่าประโยค "1+1=2" นั้นหมายความว่าอย่างไร และเป็นจริงได้อย่างไรกันแน่ (โดยในหนังสือ Principia of Mathematica ที่โด่งดังของ รัซเซลล์กับไวท์เฮดนั้น ต้องใช้ถึงหลายสิบหน้าในการพิสูจน์ประโยคนี้ทีเดียว) กล่าวโดยสรุปนักปรัชญาคณิตศาสตร์มักสนใจในเรื่องต่อไปนี้

* หลักเกณฑ์การให้เหตุผล (หรือ ตรรกศาสตร์) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ เช่น หลักการให้เหตุผลมีกี่ประเภท   แต่ละประเภทแตกต่างกันอย่างไร เป็นต้น   นักปรัชญาคณิตศาสตร์ที่มีความเชื่อต่างกันบางทีก็ถกเถียงกันว่าหลักเกณฑ์การให้เหตุผลแบบใดกันแน่ที่ถูกต้อง ในประเด็นนี้สามารถแบ่งนักปรัชญาคณิตศาสตร์ได้เป็นสามประเภทใหญ่ๆ คือ Logicist, Intuitionist และ Formalist
* ขอบเขตของคณิตศาสตร์ เช่น คณิตศาสตร์ครอบคลุมความจริงประเภทใดบ้างเมื่ออ้างเซตของสัจพจน์กลุ่มหนึ่ง และมีสิ่งใดไม่สามารถใช้หลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้บ้างเป็นต้น (ดู ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์และ ปัญหาการยุติการทำงาน)
* คณิตศาสตร์ใหม่ คือการสร้างคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่จากเซตของสัจพจน์ที่แตกต่างจากเดิมเพื่อก้าวข้ามขอบเขตของคณิตศาสตร์เดิม บางครั้งก็มีการถกเถียงกันว่าควรจะยอมรับสัจพจน์บางอย่างหรือไม่ เช่น สัจพจน์การเลือก (axiom of choice) เป็นสัจพจน์ที่ถูกเถียงกันมากที่สุดว่าควรจะถือว่าเป็นความจริงดีหรือไม่
* ความหมายของสิ่งต่างๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ความหมายของจำนวนอนันต์ หรือ ความหมายของทฤษฎีบทต่างๆ

อนึ่ง ถึงแม้นักคณิตศาสตร์ทั่วไปมักมีข้อตกลงร่วมกันว่าประเด็นข้างต้นนั้นถือว่าเป็นจริงโดยสามัญสำนึกอยู่แล้ว แต่ทว่าไม่มีแนวคิดใด รูปแบบใดที่ทุกคนยอมรับว่าดีที่สุด นักคณิตศาสตร์แต่ละคนก็จะมีความเชื่อในแต่ละประเด็นข้างต้นแตกต่างกันไป นักคณิตศาสตร์ที่โด่งดังหลายท่านเช่น ปวงกาเร หรือ เกาส์ ก็สนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์ ซึ่งบางทีผลลัพธ์ทางปรัชญาคณิตศาสตร์บางอย่างก็ส่งผลกระทบที่ยิ่งใหญ่ต่อวงการคณิตศาสตร์โดยตรง เช่น เมื่อเกาส์, โบลยาอี้ และโลบาชอพสกี้ค้นพบว่าการละทิ้งสัจพจน์เส้นขนานนั้นสามารถกำเนิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดได้นั้น นักคิดบางท่านเปรียบว่าการค้นพบครั้งนี้สำคัญเทียบเท่าการปฏิวัติของโคเปอร์นิคัสทางดาราศาสตร์และทฤษฎีวิวัฒนาการของชาลส์ ดาร์วินเลยทีเดียว

นักคณิตศาสตร์แตกต่างจากนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรในประเด็นหลัก ๆ ตรงที่ว่า นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ให้ความสำคัญกับการทดลองมากนัก ในขณะที่สำหรับนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรนั้น **การทดลอง** ถือเป็นเรื่องที่สำคัญที่สุดเลยทีเดียว. นอกจากนั้น ผลลัพธ์หรือทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรรม มักถือเป็นแค่สิ่งที่ใช้ประมาณหรือใกล้เคียงกับความจริงเท่านั้น (นักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงเช่น ไฟน์แมน หรือ ดิแรก ได้กล่าวว่าเราไม่มีทางสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่อธิบายความจริงโดยสมบูรณ์ได้ เพราะว่ามันซับซ้อนเกินไป) ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์นั้นถูกล้มล้างได้ตลอดเวลา ถ้าขัดกับข้อมูลผลการทดลองที่เชื่อถือได้มากพอ. แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้วแต่ละทฤษฎีบทถือเป็นความจริงอย่างที่สุดเลยทีเดียว (ซึ่งความจริงที่ว่านี้ต้องอิงกับเซตของสัจพจน์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้ด้วย)

ประโยคบางประโยคที่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ว่าจริงหรือไม่จริงได้นั้น เรียกว่า *ข้อความคาดการณ์* ข้อความคาดการณ์บางอย่างก็มีชื่อเสียงมาก ถึงกับเป็นเป้าหมายชีวิตในการพิสูจน์ให้เป็นทฤษฎีบทของนักคณิตศาสตร์บางคน. เมื่อคอมพิวเตอร์เริ่มมีบทบาทในวงการวิทยาศาสตร์ ก็ก่อเกิดนักคณิตศาสตร์ประเภทใหม่ขึ้น คือ นักคณิตศาสตร์แนวทดลอง (experimental mathematician) ซึ่งพยายามใช้คอมพิวเตอร์ในการจำลองและทดสอบความจริงของข้อความคาดการณ์ในหลาย ๆ รูปแบบ

อ้างอิง
-------

1. ↑  Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty

* *A Mathematician's Apology*, by G. H. Hardy. Memoir, with foreword by C. P. Snow.
	+ Reprint edition, Cambridge University Press, 1992; ISBN 0-521-42706-1
	+ First edition, 1940
	+ A Mathematician's Apology ฉบับเต็มในรูปแบบไฟล์อิเล็กโทรนิก *A Mathematician's Apology เก็บถาวร 2017-07-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน*, โดย the University of Alberta Mathematical Science Society.
* Dunham, William. *Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. John Wiley 1990.*
* Dunham, William. *The Mathematical Universe*. John Wiley 1994.
* Eves, Howard. *An Introduction to the History of Mathematics*. 6th edition, The Saunders Series 1990.
* Kline, Morris. *Mathematics: The Loss of Certainty*. Oxford University Press; Reprint edition, 1982.
* Benacerraf, Paul and Putnam, Hilary, eds. *Philosophy of Mathematics: Selected Readings*. Prentice Hall, 1964.

ดูเพิ่ม
-------

* คณิตศาสตร์
* เส้นเวลาของคณิตศาสตร์

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* The MacTutor History of Mathematics archive, มีรายชื่อและชีวประวัติที่ค่อนข้างครบถ้วนของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง.
* The Mathematics Genealogy Project, which allows to follow the succession of thesis advisors for most mathematicians, living or dead.