**−1** (**ลบหนึ่ง**) เป็นจำนวนเต็มลบมากสุด ที่มากกว่า −2 แต่น้อยกว่า 0

−1 เป็นตัวผกผันการบวกของ 1 หมายความว่า เมื่อจำนวนนี้บวกกับ 1 แล้วจะได้เอกลักษณ์การบวกนั่นคือ 0

−1 สัมพันธ์กับเอกลักษณ์ของออยเลอร์นั่นคือ {\displaystyle e^{i\pi }=-1\!}

ในทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ −1 มักใช้เป็นค่าเริ่มต้นของจำนวนเต็ม และใช้แสดงว่าตัวแปรดังกล่าวไม่มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์

ลบหนึ่งมีสมบัติต่าง ๆ ที่คล้ายกับบวกหนึ่งแต่ต่างไปเพียงเล็กน้อย

สมบัติทางพีชคณิต
----------------

การคูณจำนวนใด ๆ กับ −1 เทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวนนั้น สิ่งนี้สามารถพิสูจน์โดยใช้กฎการกระจายและสัทพจน์ว่า 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ สำหรับ *x* ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราจะได้

{\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}
เมื่อเราใช้ข้อเท็จจริงว่า จำนวนจริงใด ๆ คูณกับ 0 แล้วได้ 0 แสดงนัยโดยสมบัติการตัดออกจากสมการ

{\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

{\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}
ดังนั้น (−1) ·*x* คือตัวผกผันของ *x* ซึ่งก็มีค่าเท่ากับ −*x* นั่นเอง

### กำลังสองของ −1

กำลังสองของ −1 นั่นก็คือ −1 คูณด้วย −1 เท่ากับ 1 ผลที่ตามมาคือ ผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนจะได้จำนวนบวก

สำหรับการพิสูจน์เชิงพีชคณิตของผลลัพธ์ดังกล่าว เริ่มด้วยสมการ

{\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}
สมการแรกปฏิบัติตามการพิสูจน์ในตอนแรก นิพจน์ตัวหลังปฏิบัติตามนิยามของ −1 ว่าเป็นตัวผกผันการบวกของ 1 จากนั้นใช้กฎการกระจายจะได้ว่า

{\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}
สมการที่สองปฏิบัติตามข้อเท็จจริงว่า 1 คือเอกลักษณ์การคูณ จากนั้นบวกด้วย 1 ทั้งสองข้างของสมการสุดท้าย จะได้

{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}
การให้เหตุผลด้านบนยังคงใช้ได้กับริงใด ๆ ก็ตาม ซึ่งเป็นมโนทัศน์ของพีชคณิตนามธรรมที่วางนัยทั่วไปจากจำนวนเต็มและจำนวนจริง

### รากที่สองของ −1

จำนวนเชิงซ้อน *i* สอดคล้องกับ *i*2 = −1 และสามารถถือได้ว่าเป็นรากที่สองค่าหนึ่งของ −1 จำนวนเชิงซ้อน *x* อีกจำนวนซึ่งสอดคล้องกับสมการ *x*2 = −1 ก็คือ −*i* ส่วนพีชคณิตของควอเทอร์เนียน ซึ่งมีระนาบเชิงซ้อนด้วย สมการ *x*2 = −1 จะมีคำตอบมากมายเป็นอนันต์

การยกกำลังจำนวนลบ
-----------------

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์สามารถขยายไปสู่จำนวนเต็มลบได้ เรากำหนดนิยามไว้ว่า *x*−1 = 1/*x* หมายความว่า เรานิยามให้การยกกำลังจำนวนใดจำนวนหนึ่งด้วย −1 จะได้ผลอย่างเดียวกับการหาส่วนกลับของมัน นิยามนี้ก็ได้ขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ทำให้กฎ *x**a**x**b* = *x* (*a* + *b*) ยังคงอยู่เมื่อ *a*, *b* เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 

การยกกำลังจำนวนเต็มลบก็สามารถขยายไปบนสมาชิกที่ผกผันได้ของริงใดริงหนึ่ง โดยนิยามให้ *x*−1 เป็นตัวผกผันการคูณของ *x*

−1 ที่ปรากฏถัดจากฟังก์ชันหรือเมทริกซ์นั้น มิได้หมายถึงการยกกำลังด้วย −1 แต่เป็นฟังก์ชันผกผันหรือเมทริกซ์ผกผัน ตัวอย่างเช่น *f*−1 (*x*) คือฟังก์ชันผกผันของ *f* (*x*), หรือ sin−1 (*x*) เป็นสัญกรณ์แบบหนึ่งของฟังก์ชันอาร์กไซน์ เป็นต้น

การแทนในคอมพิวเตอร์
-------------------

ดูบทความหลักที่: การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย
ระบบคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่แทนจำนวนเต็มลบโดยใช้ส่วนเติมเต็มสอง (two's complement) ในระบบเช่นนั้น −1 จะแทนด้วยค่าบิตทั้งหมดเป็น 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มมีเครื่องหมาย (signed integer) ขนาด 8 บิตที่ใช้ส่วนเติมเต็มสอง จะแทน −1 ด้วยค่า "11111111" หรือ "FF" ในเลขฐานสิบหก ถ้าแปลค่านี้เป็นจำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมาย (unsigned integer) บิตทั้งหมดจำนวน *n* บิตที่เป็น 1 จะหมายถึงค่า 2*n* − 1 ซึ่งเป็นค่ามากที่สุดที่ระบบ *n* บิตนั้นเก็บได้ จากตัวอย่างข้างต้น "11111111" ก็จะหมายถึง 28 − 1 = 255

อ้างอิง
-------

1. ↑  Mathematical analysis and applications
 By Jayant V. Deshpande, ISBN 1-84265-189-7
2. ↑  "Ask Dr. Math". Math Forum. สืบค้นเมื่อ 2012-10-14.