ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ {\displaystyle 2x^{4}+3x^{2}+5x+1} หารด้วย {\displaystyle x-2} สังเกตุได้ว่าไม่มีพจน์ {\displaystyle x^{3}} ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์
ในพีชคณิต **การหารสังเคราะห์พหุนาม** หรือ**การหารสังเคราะห์** (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิกเชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

การหารสังเคราะห์ปกติ
--------------------

ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น {\displaystyle x-a}

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น {\displaystyle P(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42}

รากของตัวส่วน {\displaystyle g(x)} คือ {\displaystyle 3}

สัมประสิทธิ์ของ {\displaystyle P(x)} เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ {\displaystyle g(x)} ไว้ทางซ้าย

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}

สัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

เลขที่ถูกดึงคูณกับเลขหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {grey}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {brown}3&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

บวกกันภายในหลักถัดไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&\color {green}3&&\\\hline 1&\color {green}-9&&\\\end{array}}\end{array}}}

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

{\displaystyle {\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}}

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

{\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}

{\displaystyle r(x)=-123}

### การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ {\displaystyle P(x)} ณ {\displaystyle a} จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร {\displaystyle P(x)} ด้วย {\displaystyle x-a}

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย
------------------------

วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำ**เส้นหนา** ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}}

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

{\displaystyle {\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\end{array}}}

กลับเครื่องหมายตัวหาร

{\displaystyle {\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}}

เขียนสัมประสิทธิ์ทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น **เขียนทแยงไปทางขวาบน** (ดูภาพถัดไป)

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&\color {grey}3\\\color {grey}-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย**จาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3** ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

คูณเลขที่ถูกดึงกับ**เลขทแยงหน้าเส้นกั้น** ผลคูณวางทแยงไปขวาบน**จนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้น**ในหลักถัด ๆ ไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&\color {grey}3\\\color {grey}-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&\color {brown}3&\\&\color {brown}-1&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}

บวกกันภายในหลักถัดไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&&3&\\&\color {green}-1&&\\\hline 1&\color {green}-13&&\\\end{array}}\end{array}}}

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ **จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย**

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}}

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}}

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป 

{\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}}

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

{\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}}

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}}

### สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร {\displaystyle g(x)} ด้วยสัมประสิทธิ์นำ {\displaystyle a}

{\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{a}}}

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ {\displaystyle h(x)} เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย {\displaystyle a} ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย {\displaystyle g(x)} (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ {\displaystyle P(x)} จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ {\displaystyle g(x)} หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

{\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}}

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ {\displaystyle g(x)} (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ {\displaystyle g(x)})

สัมประสิทธิ์ตัวแรกของ {\displaystyle P(x)} ถูกดึงลงมาตามเดิม

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}

ตัวเลขที่ถูกดึงลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}6&&&\\\color {blue}2&&&\\\end{array}}\end{array}}}

**ตัวเลขใหม่ที่ถูกหารนี้** ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ 2 และ 1 ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&\color {grey}1&\\\color {grey}2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&\color {brown}2&\\&\color {brown}4&&\\\hline 6&&&\\\color {blue}2&&&\\\end{array}}\end{array}}}

เลข 5ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&\color {green}5&0&-7\\&&2&\\&\color {green}4&&\\\hline 6&\color {green}9&&\\2&\color {green}3&&\\\end{array}}\end{array}}}

ทำเข่นเดียวกันกับเลข 3

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&\color {gray}1&\\\color {gray}2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\color {brown}3\\&4&\color {brown}6&\\\hline 6&9&&\\2&\color {blue}3&&\\\end{array}}\end{array}}}

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะ**ไม่**ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

{\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}}

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

{\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}}

### การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

แต่ว่าการเขียน**แนวทแยง**จากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

{\displaystyle {\dfrac {a\_{7}x^{7}+a\_{6}x^{6}+a\_{5}x^{5}+a\_{4}x^{4}+a\_{3}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}}{b\_{4}x^{4}-b\_{3}x^{3}-b\_{2}x^{2}-b\_{1}x-b\_{0}}}}

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้**กลยุทธ์แบบละโมบ**ใน**การย่อ**ขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q\_{0}b\_{3}&&&\\&&&q\_{1}b\_{3}&q\_{1}b\_{2}&q\_{0}b\_{2}&&\\&&q\_{2}b\_{3}&q\_{2}b\_{2}&q\_{2}b\_{1}&q\_{1}b\_{1}&q\_{0}b\_{1}&\\&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&q\_{2}b\_{0}&q\_{1}b\_{0}&q\_{0}b\_{0}\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&q\_{1}'&q\_{0}'&r\_{3}&r\_{2}&r\_{1}&r\_{0}\\q\_{3}&q\_{2}&q\_{1}&q\_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

1. เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}}

1. กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}}

1. นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline &&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

1. ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

1. * หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ {\displaystyle q\_{3}={\frac {a\_{7}}{b\_{4}}}} ซึ่งดัชนีของ {\displaystyle q} เป็น {\displaystyle 3=7-4} นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
	* คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&&&\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&&&&&&&\\q\_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}
2. ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ {\displaystyle q'\_{2}=q\_{3}b\_{3}+a\_{6}}

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&&&\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&&&&&&\\q\_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

1. ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ {\displaystyle q\_{2}={\frac {q\_{2}'}{b\_{4}}}}

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&q\_{2}b\_{3}&q\_{2}b\_{2}&q\_{2}b\_{1}&&&\\&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&q\_{2}b\_{0}&&\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&q\_{1}'&&&&&\\q\_{3}&q\_{2}&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}} ii.ให้ {\displaystyle q\_{1}={\frac {q\_{1}'}{b\_{4}}}}
{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&q\_{1}b\_{3}&q\_{1}b\_{2}&&&\\&&q\_{2}b\_{3}&q\_{2}b\_{2}&q\_{2}b\_{1}&q\_{1}b\_{1}&&\\&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&q\_{2}b\_{0}&q\_{1}b\_{0}&\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&q\_{1}'&q\_{0}'&&&&\\q\_{3}&q\_{2}&q\_{1}&&&&&\\\end{array}}\end{array}}} iii.ให้ {\displaystyle q\_{0}={\frac {q\_{0}'}{b\_{4}}}}
{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q\_{0}b\_{3}&&&\\&&&q\_{1}b\_{3}&q\_{1}b\_{2}&q\_{0}b\_{2}&&\\&&q\_{2}b\_{3}&q\_{2}b\_{2}&q\_{2}b\_{1}&q\_{1}b\_{1}&q\_{0}b\_{1}&\\&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&q\_{2}b\_{0}&q\_{1}b\_{0}&q\_{0}b\_{0}\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&q\_{1}'&q\_{0}'&r\_{3}&&&\\q\_{3}&q\_{2}&q\_{1}&q\_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

1. ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)

{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b\_{3}&b\_{2}&b\_{1}&b\_{0}\\\\&&&&/b\_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q\_{0}b\_{3}&&&\\&&&q\_{1}b\_{3}&q\_{1}b\_{2}&q\_{0}b\_{2}&&\\&&q\_{2}b\_{3}&q\_{2}b\_{2}&q\_{2}b\_{1}&q\_{1}b\_{1}&q\_{0}b\_{1}&\\&q\_{3}b\_{3}&q\_{3}b\_{2}&q\_{3}b\_{1}&q\_{3}b\_{0}&q\_{2}b\_{0}&q\_{1}b\_{0}&q\_{0}b\_{0}\\a\_{7}&a\_{6}&a\_{5}&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\\hline a\_{7}&q\_{2}'&q\_{1}'&q\_{0}'&r\_{3}&r\_{2}&r\_{1}&r\_{0}\\q\_{3}&q\_{2}&q\_{1}&q\_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}

1. ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ

{\displaystyle {\dfrac {a\_{7}x^{7}+a\_{6}x^{6}+a\_{5}x^{5}+a\_{4}x^{4}+a\_{3}x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}}{b\_{4}x^{4}-b\_{3}x^{3}-b\_{2}x^{2}-b\_{1}x-b\_{0}}}=q\_{3}x^{3}+q\_{2}x^{2}+q\_{1}x+q\_{0}+{\dfrac {r\_{3}x^{3}+r\_{2}x^{2}+r\_{1}x+r\_{0}}{b\_{4}x^{4}-b\_{3}x^{3}-b\_{2}x^{2}-b\_{1}x-b\_{0}}}}

ดูเพิ่ม
-------

* โดเมนแบบยุคลิด
* ตัวหารร่วมมากของสองพหุนาม
* ฐานหลักเกริบเนอร์
* แบบแผนฮอร์เนอร์
* ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม
* กฎของรัฟฟินี

อ้างอิง
-------

* Fan, Lianghuo (June 2003). "A Generalization of Synthetic Division and A General Theorem of Division of Polynomials" (PDF). *Mathematical Medley*. **30** (1): 30–37. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ September 7, 2015.
* Li, Zhou (January 2009). "Short Division of Polynomials" (PDF). *College Mathematics Journal*. **40** (1): 44–46. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ July 9, 2020.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Goodman, Len; Stover, Christopher & Weisstein, Eric W. "Synthetic Division" จากแมทเวิลด์.
* Stover, Christopher, "Ruffini's Rule" จากแมทเวิลด์.