ทรงสิบสองหน้าปรกติ เป็นทรงหลายหน้าปรกติที่มีสัญลักษณ์ชเลฟลีเป็น {5, 3} ซึ่งมีรูปห้าเหลี่ยมปรกติสามรูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง
ในทางเรขาคณิต **สัญลักษณ์ชเลฟลี** (อังกฤษ: Schläfli symbol) คือสัญกรณ์ที่อยู่ในรูปแบบ {*p*, *q*, *r*, …} ที่เป็นตัวกำหนดพอลิโทปและเทสเซลเลชันปรกติ ตั้งชื่อตามลุดวิก ชเลฟลี (Ludwig Schläfli) นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 ผู้มีส่วนร่วมคนสำคัญในเรื่องเรขาคณิตและพื้นที่อื่น ๆ

คำอธิบาย
--------

สัญลักษณ์ชเลฟลีเป็นบทนิยามเวียนเกิดชนิดหนึ่ง เริ่มต้นด้วย {*p*} หมายถึงรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มี *p* ด้าน ตัวอย่างเช่น {3} คือรูปสามเหลี่ยมปรกติ (ด้านเท่ามุมเท่า), {4} คือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ (จัตุรัส) เป็นต้น

ถัดไปคือ {*p*, *q*} หมายถึงทรงหลายหน้าปรกติที่แต่ละหน้าเป็นรูป *p* เหลี่ยมปรกติและมีเป็นจำนวน *q* รูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ทรงลูกบาศก์มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดยอดจุดหนึ่งเป็นจำนวนสามรูป ดังนั้นจึงเขียนแทนด้วย {4, 3}

{*p*, *q*, *r*} ก็คือพอลิโทปสี่มิติปรกติที่แต่ละห้อง (cell) เป็นทรงหลายหน้าปรกติ {*p*, *q*} และมีเป็นจำนวน *r* รูปทรงรอบขอบด้านหนึ่ง เป็นเช่นนี้เรื่อยไป

พอลิโทปปรกติสามารถมีองค์ประกอบเป็นรูปดาวหลายแฉกได้ เช่นรูปดาวห้าแฉก (pentagram) ใช้สัญลักษณ์ {5/2} เป็นตัวแทนของจุดยอดแบบรูปห้าเหลี่ยมแต่เชื่อมโยงกันในรูปแบบที่ต่างไป

แฟซิต (facet) ของพอลิโทปปรกติ {*p*, *q*, *r*, …, *y*, *z*} โดยทั่วไปคือ {*p*, *q*, *r*, …, *y*} ซึ่งมีเป็นจำนวน *z* แฟซิตรอบจุดยอดแต่ละจุด

พอลิโทปปรกติจะมีภาพจุดยอด (vertex figure) เป็นรูปปรกติด้วย ดังนั้นภาพจุดยอดของพอลิโทปปรกติ {*p*, *q*, *r*, …} คือ {*q*, *r*, …}

สัญลักษณ์ชเลฟลีสามารถเขียนแทนทรงหลายหน้าแบบนูนที่มีขอบเขตจำกัด เทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิแบบยุคลิด หรือเทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา ขึ้นอยู่กับความบกพร่องแบบมุม (angle defect) ของการสร้าง ความบกพร่องแบบมุมเชิงบวกทำให้ภาพจุดยอดสามารถ *พับ* ได้ในมิติที่สูงกว่าและวนกลับมาหาตัวเองกลายเป็นพอลิโทป ความบกพร่องแบบมุมเชิงศูนย์จะปูรูปทรงจนเต็มปริภูมิในมิติเดียวกันเป็นแฟซิต ส่วนความบกพร่องแบบมุมเชิงลบไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในปริภูมิธรรมดา แต่สามารถสร้างได้ในปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา

ภาพจุดยอดโดยปกติจะถูกมองว่าเป็นพอลิโทปที่มีขอบเขตจำกัด แต่บางครั้งก็สามารถพิจารณาว่าเป็นเทสเซลเลชันโดยตัวมันเอง

พอลิโทปปรกติรูปทรงหนึ่งจะมีพอลิโทปคู่กัน (dual polytope) อีกรูปทรงหนึ่ง ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ชเลฟลีในลำดับย้อนกลับ พอลิโทปปรกติคู่กันในตัว (self-dual) จะมีสัญลักษณ์ชเลฟลีแบบสมมาตร นั่นคือดัชนีในลำดับย้อนกลับก็ยังคงเดิม

กรุปสมมาตร
----------

สัญลักษณ์ชเลฟลีมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกรุปสมมาตรการสะท้อน หรือเรียกว่าค็อกซีเตอร์กรุป (Coxeter group) โดยใช้เลขดัชนีเหมือนกันแต่ใช้วงเล็บเหลี่ยมแทนเป็นรูปแบบ [*p*, *q*, *r*, …] กรุปเช่นนี้มักจะถูกตั้งชื่อตามพอลิโทปปรกติที่มันสร้างขึ้นมา ตัวอย่างเช่น [3, 3] คือค็อกซีเตอร์กรุปสำหรับสมมาตรเชิงทรงสี่หน้า (tetrahedral symmetry), [3, 4] คือสมมาตรเชิงทรงแปดหน้า (octahedral symmetry) และ [3, 5] คือสมมาตรเชิงทรงยี่สิบหน้า (icosahedral symmetry) เป็นต้น

พอลิโทปปริซึมเอกรูป
-------------------

พอลิโทปปริซึมเอกรูปสามารถนิยามและตั้งชื่อได้ด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนของพอลิโทปปรกติในมิติที่ต่ำกว่า ดังนี้

* ปริซึม *p* เหลี่ยม ซึ่งมีภาพจุดยอดเป็น *p*.4.4 เขียนแทนด้วย { } × {*p*}, สัญลักษณ์ { } หมายถึงเส้นตรงหนึ่งหน่วย
* ปริซึมเอกรูปที่มีหน้าเป็น {*p*, *q*} เขียนแทนด้วย { } × {*p*, *q*}
* ดูโอปริซึม *p*-*q* เขียนแทนด้วย {*p*} × {*q*}

สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย
-----------------------

ค็อกซีเตอร์ได้ขยายแนวคิดของสัญลักษณ์ชเลฟลีออกไปเพื่อใช้กับทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ (quasiregular polyhedron) โดยเพิ่มมิติตามแนวดิ่งลงในสัญลักษณ์ เป็นจุดเริ่มต้นสู่แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน (Coxeter-Dynkin diagram) ที่มีนัยทั่วไปมากขึ้น

| รูปแบบ | สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย | สัญกรณ์ที | แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน |
| --- | --- | --- | --- |
| ทรงหลายหน้าปรกติ | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{0}\{p,q\}} |  |
| ทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{1}\{p,q\}} |  |
| ทรงหลายหน้าปรกติคู่กัน | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{2}\{p,q\}} |  |

และสำหรับพอลิโทปสี่มิติปลายตัดครึ่งด้าน (rectified 4-polytope) ก็จะเป็นเช่นนี้

| รูปแบบ | สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย | สัญกรณ์ที | แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน |
| --- | --- | --- | --- |
| ทรงหลายห้องปรกติ | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{0}\{p,q,r\}} |  |
| ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้าน | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{1}\{p,q,r\}} |  |
| ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้านคู่กัน | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{2}\{p,q,r\}} |  |
| ทรงหลายห้องปรกติคู่กัน | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}} | {\displaystyle t\_{3}\{p,q,r\}} |  |

อ้างอิง
-------

* Coxeter, H.S.M.; *Regular Polytopes*, (Methuen and Co. 1948). (pp. 14, 69, 149)

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Schläfli symbol" จากแมทเวิลด์.
* Wythoff Symbol and generalized Schläfli Symbols เก็บถาวร 2006-05-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* polyhedral names et notations