กราฟของฟังก์ชันพื้น
กราฟของฟังก์ชันเพดาน
ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ **ฟังก์ชันพื้น** (อังกฤษ: floor function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor (*x*) เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า *x* 

ส่วน **ฟังก์ชันเพดาน** (อังกฤษ: ceiling function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling (*x*) คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า *x* 

กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน *x* เป็นจำนวนอนันต์

สัญกรณ์
-------

เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [*x*] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808  สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา  จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊*x*⌋ และ ⌈*x*⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962  ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน

ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น **ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด** (greatest integer function) หรือ *อองเทียร์* (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ *x* อาจเรียกว่าเป็น **ภาคจำนวนเต็ม** (integral part) ของ *x* ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า `ENTIER (*x*)`  (ภาษาอัลกอล), `floor (*x*)` , หรือไม่ก็ `int (*x*)`  (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส)  ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ {\displaystyle [\![x]\!]} 

ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น **ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด** (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย `ceil (*x*)`  หรือ `ceiling (*x*)`  ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก {\displaystyle ]\!]x[\![} หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]*x*[ 

### ตัวอย่าง

| ค่า *x* | ฟังก์ชันพื้น ⌊*x*⌋ | ฟังก์ชันเพดาน ⌈*x*⌉ | ภาคเศษส่วน {*x*} |
| --- | --- | --- | --- |
| 2.7 | 2 | 3 | 0.7 |
| −2.7 | −3 | −2 | 0.3 |
| −2 | −2 | −2 | 0 |
| 12/5 = 2.4 | 2 | 3 | 2/5 = 0.4 |

สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป

นิยามและสมบัติ
--------------

ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ *x*, *y* เป็นจำนวนจริง *k*, *m*, *n* เป็นจำนวนเต็ม และ {\displaystyle \mathbb {Z} } คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)

ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}}
{\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}
เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง *x* ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม *m* และ *n* ที่ทำให้

{\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1\,\!}
เราจะได้ {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m} และ {\displaystyle \lceil x\rceil =n} ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน

นอกจากนี้ก็ยังมี {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor } และ {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }

### การเทียบเท่า

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์ 

{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\iff &n&\leq x<n+1\\\lceil x\rceil =n&\iff &n-1&<x\leq n\\\lfloor x\rfloor =n&\iff &x-1&<n\leq x\\\lceil x\rceil =n&\iff &x&\leq n<x+1\\\end{aligned}}}
และสำหรับอสมการ

{\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\iff &\lfloor x\rfloor &<n\\n<x&\iff &n&<\lceil x\rceil \\x\leq n&\iff &\lceil x\rceil &\leq n\\n\leq x&\iff &n&\leq \lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}
สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม *n* ภายในฟังก์ชัน

{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n\\\{x+n\}&=\{x\}\\\end{aligned}}}
อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า *n* ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน

{\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \\\end{aligned}}}
### ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน

จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า

{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil } กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ *x* เป็นจำนวนเต็ม
{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}
สำหรับจำนวนเต็ม *n* ประโยคนี้จะเป็นจริง

{\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n}
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน

{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0}
{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}
{\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน

{\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}
ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล

{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor \\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil \\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}\\\end{aligned}}}
ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด

{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil \\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}
กำหนดให้ *y* มีค่าคงตัว *x* mod *y* จะเป็นนิจพล

{\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y}
และจากนิยาม

{\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1}
### ผลหาร

ถ้า *n* ≠ 0 แล้ว

{\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}}
ถ้า *n* เป็นจำนวนเต็มบวก 

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor }
{\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil }
ถ้า *m* เป็นจำนวนเต็มบวก 

{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil }
{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }
ซึ่งเมื่อ *m* = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้

{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }
กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก *m* 

{\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil }
{\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }
สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ *m* เป็นจำนวนเต็มบวก 

{\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1}
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1}
ถ้า *m* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1)}
เนื่องจากสูตรข้างต้น *m* และ *n* มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor }
และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ *m* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor }  {\displaystyle =\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor }
สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน 

### ผลหารซ้อน

สำหรับจำนวนเต็มบวก *m* และ *n* และจำนวนจริง *x*

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }
{\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }
### ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊*x*⌋ กับ ⌈*x*⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {*x*} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน *x* mod *y* เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ *y* ถ้าให้ *y* มีค่าคงตัว

⌊*x*⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈*x*⌉ กับ {*x*} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน *x* mod *y* จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ *y* เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ *y* เป็นจำนวนลบ

### การกระจายอนุกรม

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย

สำหรับ *x* mod *y* โดยที่ *y* มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ 

{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}}
ด้วยสมบัติที่ว่า {*x*} = *x* mod 1 ดังนั้นจะได้

{\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}
ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ *x* mod *y* ซึ่ง *y* มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า *y* / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ *y* ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง

จากสูตรที่ว่า {*x*} = *x* − ⌊*x*⌋ จึงสรุปได้ว่า

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}

การประยุกต์ใช้
--------------

### ภาคเศษส่วน

**ภาคเศษส่วน** (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {*x*} สำหรับทุกจำนวนจริง *x* ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้ 

{\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }
ภาคเศษส่วนของ *x* จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ

{\displaystyle 0\leq \{x\}<1}
ถ้า *x* เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ *x* สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า *x* ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ *x* ก็คือค่า *x* ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป

### มอดุโล

การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย *x* mod *y* สำหรับจำนวนจริง *x* และ *y* โดยที่ *y* ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้

{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }
ผลลัพธ์ของ *x* mod *y* จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง *y* นั่นคือ

{\displaystyle y>0\Rightarrow 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y}
{\displaystyle y<0\Rightarrow 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y}
ถ้า *x* เป็นจำนวนเต็มและ *y* เป็นจำนวนเต็มบวก

{\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}}
ฟังก์ชัน *x* mod *y* โดยที่ *y* เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน

### การแลกเปลี่ยนกำลังสอง

การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้ 

กำหนดให้ *p* และ *q* เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้

{\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}}
ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์

{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}
{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }}
ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn}
จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง

{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}
สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ *p* 

{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor }}
{\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }}
### การปัดเศษ

ดูบทความหลักที่: การปัดเศษ
การปัดเศษจำนวนบวก *x* ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor }

### จำนวนหลัก

จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก *k* ในฐาน *b* คำนวณได้จาก {\displaystyle \lfloor \log \_{b}{k}\rfloor +1}

### ตัวประกอบของแฟกทอเรียล

กำหนดให้ *n* เป็นจำนวนเต็มบวกและ *p* เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ *p* ที่สามารถหาร *n*! (แฟกทอเรียลของ *n*) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้ 

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }
ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ *p**k* > *n*

### ลำดับบีตตี

ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน 

### ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี

สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น 

{\displaystyle \gamma =\int \_{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}
{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum \_{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}
{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log \_{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }
### ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน  โดยสมมติว่า φ (*x*) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [*a*, *b*]

{\displaystyle {\sum \_{a<n\leq b}\phi (n)=\int \_{a}^{b}\phi (x)dx+\int \_{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b)}}
กำหนดให้ φ (*n*) = *n*−*s* สำหรับส่วนจริงของ *s* ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ *a*, *b* เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง *b* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้

{\displaystyle \zeta (s)=s\int \_{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}}
สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ *s* ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ *s* = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {*x*} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน 

สำหรับ *s* = σ + *i t* ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974 

{\displaystyle \zeta (s)=s\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega }
### สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

*n* จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ 

{\displaystyle \sum \_{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2}
กำหนดให้ *r* > 1 เป็นจำนวนเต็ม, *p**n* คือจำนวนเฉพาะตัวที่ *n* และ α ซึ่งนิยามโดย

{\displaystyle \alpha =\sum \_{m=1}^{\infty }p\_{m}r^{-m^{2}}}
เราจะได้ว่า 

{\displaystyle p\_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor }
มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots } เป็นจำนวนเฉพาะ 

และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots } เป็นจำนวนเฉพาะ 

π (*x*) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ *x* ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า 

{\displaystyle \pi (n)=\sum \_{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor }
และถ้าหาก *n* ≥ 2 จะได้ 

{\displaystyle \pi (n)=\sum \_{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum \_{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor }
แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ

### ข้อปัญหาที่แก้ได้

รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน *Journal of the Indian Mathematical Society* 

ถ้า *n* เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า

1. {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor }
2. {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor }
3. {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor }

### ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้

จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ

จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก *k* ใด ๆ โดยที่ *k* ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง 

{\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}
เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ *k* ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้

การใช้งานในคอมพิวเตอร์
----------------------

กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int)
### ภาษาโปรแกรม

ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน `floor ()`  สำหรับฟังก์ชันพื้น  และ `ceil ()`  สำหรับฟังก์ชันเพดาน 

นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล  `(int) *value*` ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์

เชิงอรรถ
--------

1. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
2. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
3. ↑  Lemmermeyer, pp. 10, 23
4. ↑  ตัวอย่างเช่น Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim ใช้สัญกรณ์ของเกาส์ ในขณะที่ Graham, Knuth & Patashnik และ Crandall & Pomerance ใช้สัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
5. ↑  Higham, p. 25
6. ↑  Iverson
7. ↑  Sullivan, p. 86
8. ↑  Mathwords: Floor Function
9. ↑  Mathwords: Ceiling Function
10. ↑  Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
11. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
12. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
13. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
14. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
15. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
16. ↑  Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
17. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
18. ↑  Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32-1.33
19. ↑  Hardy & Wright, §§ 6.11-6.13
20. ↑  Lemmermeyer, p. 25
21. ↑  Hardy & Wright, Th. 416
22. ↑  Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77-78
23. ↑  สูตรเหล่านี้มาจากบทความ ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี และยังมีอีกมาก
24. ↑  Titchmarsh, p. 13
25. ↑  Titchmarsh, pp.14-15
26. ↑  Crandall & Pomerance, p. 391
27. ↑  Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
28. ↑  Hardy & Wright, § 22.3
29. ↑  Ribenboim, p. 186
30. ↑  Ribenboim, p. 186
31. ↑  Ribenboim, p. 181
32. ↑  Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
33. ↑  Ramanujan, Question 723, *Papers* p. 332
34. ↑  Hardy & Wright, p. 337
35. ↑  Mahler, K. *On the fractional parts of the powers of a rational number II*, 1957, Mathematika, **4**, pages 122-124
36. ↑  "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-18. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
37. ↑  "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-29. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
38. ↑  ISO standard for C, § 6.3.1.4, p. 43.

อ้างอิง
-------

* J.W.S. Cassels (1957). *An introduction to Diophantine approximation*. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press.
* Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), *Prime Numbers: A Computational Perspective*, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 `{{citation}}`: ตรวจสอบค่า `|isbn=`: checksum (help)
* Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), *Concrete Mathematics*, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), *An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)*, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
* Nicholas J. Higham, *Handbook of writing for the mathematical sciences*, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
* ISO/IEC. *ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C* (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
* Iverson, Kenneth E. (1962), *A Programming Language*, Wiley
* Lemmermeyer, Franz (2000), *Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein*, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 `{{citation}}`: ตรวจสอบค่า `|isbn=`: checksum (help)
* Ramanujan, Srinivasa (2000), *Collected Papers*, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766
* Ribenboim, Paulo (1996), *The New Book of Prime Number Records*, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
* Michael Sullivan. *Precalculus*, 8th edition, p. 86
* Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), *The Theory of the Riemann Zeta-function* (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P. ISBN 0-19-853369-1

ดูเพิ่ม
-------

* ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
* ฟังก์ชันขั้นบันได