ในคณิตศาสตร์ **เศษส่วนต่อเนื่อง** (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

{\displaystyle x=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+\,\cdots }}}}}}}
เมื่อ {\displaystyle a\_{0}} เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข {\displaystyle a\_{i}} ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า *เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย*

สัญลักษณ์
---------

เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

{\displaystyle x=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}}}}}}}}
ด้วยสัญลักษณ์

{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3}]\;}
หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

{\displaystyle x=a\_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{3}}}}
หรือ

{\displaystyle x=a\_{0}+{1 \over a\_{1}+}{1 \over a\_{2}+}{1 \over a\_{3}+}}
(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

{\displaystyle x=\left\langle a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3}\right\rangle \;}
โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม *เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์* (infinite continued fraction) เป็นลิมิต

{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ]=\lim \_{n\to \infty }[a\_{0};a\_{1},a\_{2},\,\ldots ,a\_{n}].}
โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม {\displaystyle a\_{1}}, {\displaystyle a\_{2}}, {\displaystyle a\_{3}}, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง
---------------------------------

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง {\displaystyle r} ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ {\displaystyle r} แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก {\displaystyle r} การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ {\displaystyle r} เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ {\displaystyle r}

| **การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245** |
| --- |
| {\displaystyle 3\,} | {\displaystyle 3.245-3\,} | {\displaystyle =0.245\,} | {\displaystyle 1/0.245\,} | {\displaystyle =4.082\,} |
| {\displaystyle 4\,} | {\displaystyle 4.082-4\,} | {\displaystyle =0.082\,} | {\displaystyle 1/0.082\,} | {\displaystyle =12.250\,} |
| {\displaystyle 12\,} | {\displaystyle 12.250-12\,} | {\displaystyle =0.250\,} | {\displaystyle 1/0.250\,} | {\displaystyle =4.000\,} |
| {\displaystyle 4\,} | {\displaystyle 4.000-4\,} | {\displaystyle =0.000\,} | **หยุด** |  |
| เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4] |
| {\displaystyle 3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}} |

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด
---------------------

สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ

{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ,a\_{n},1]=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ,a\_{n}+1].\;}
ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น 

{\displaystyle [2;3,1]=[2;4]=9/4=2.25.\;}
เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์
----------------------

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า *คอนเวอร์เจนท์* ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots ]} (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

{\displaystyle {\frac {a\_{0}}{1}},\qquad {\frac {a\_{0}a\_{1}+1}{a\_{1}}},\qquad {\frac {a\_{2}(a\_{0}a\_{1}+1)+a\_{0}}{a\_{2}a\_{1}+1}},\qquad {\frac {a\_{3}(a\_{2}(a\_{0}a\_{1}+1)+a\_{0})+(a\_{0}a\_{1}+1)}{a\_{3}(a\_{2}a\_{1}+1)+a\_{1}}}.}
สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ {\displaystyle a\_{3}}) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ {\displaystyle h\_{0},h\_{1},h2,\ldots } และส่วนคือ {\displaystyle k\_{0},k\_{1},k\_{2},\ldots } เราจะได้ว่า {\displaystyle h\_{0}=a\_{0}}, {\displaystyle k\_{0}=1}, {\displaystyle h\_{1}=a\_{0}a\_{1}+1}, และ {\displaystyle k\_{1}=a\_{1}} เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

{\displaystyle h\_{n}=a\_{n}h\_{n-1}+h\_{n-2},\qquad k\_{n}=a\_{n}k\_{n-1}+k\_{n-2}.}
ดังนั้น

{\displaystyle {\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}={\frac {a\_{n}h\_{n-1}+h\_{n-2}}{a\_{n}k\_{n-1}+k\_{n-2}}}.}

ทฤษฎีบทที่สำคัญ
---------------

### ทฤษฎีบท 1

สำหรับจำนวนจริงบวก {\displaystyle x} ใดๆ

{\displaystyle \left[a\_{0},a\_{1},\,\dots ,a\_{n-1},x\right]={\frac {xh\_{n-1}+h\_{n-2}}{xk\_{n-1}+k\_{n-2}}}.}
### ทฤษฎีบท 2

คอนเวอร์เจนท์ของ [*a*0, *a*1, *a*2, ...] อยู่ในรูป

{\displaystyle \left[a\_{0},a\_{1},\,\dots ,a\_{n}\right]={\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}.}
### ทฤษฎีบท 3

ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ {\displaystyle n} ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ {\displaystyle h\_{n}/k\_{n}} แล้ว

{\displaystyle k\_{n}h\_{n-1}-k\_{n-1}h\_{n}=(-1)^{n}.}
**บทเสริมที่ 1:** คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ {\displaystyle h\_{n}} และ {\displaystyle k\_{n}} จะต้องหาร {\displaystyle k\_{n}h\_{n-1}-k\_{n-1}h\_{n}} ลงตัว)

**บทเสริม 2:** ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1

{\displaystyle \left|{\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}-{\frac {h\_{n-1}}{k\_{n-1}}}\right|=\left|{\frac {h\_{n}k\_{n-1}-k\_{n}h\_{n-1}}{k\_{n}k\_{n-1}}}\right|={\frac {1}{k\_{n}k\_{n-1}}}.}
**บทเสริม 3:** ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้

{\displaystyle a\_{0}+\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k\_{n+1}k\_{n}}}.}
**บทเสริม 4:** แมทริกซ์

{\displaystyle {\begin{bmatrix}h\_{n}&h\_{n-1}\\k\_{n}&k\_{n-1}\end{bmatrix}}}
มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ {\displaystyle S^{\*}L(2,\mathbb {Z} )}

### ทฤษฎีบท 4

คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ {\displaystyle x} เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots ]} และให้ {\displaystyle r} และ {\displaystyle s} เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ {\displaystyle r>s}

{\displaystyle \left|[a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots a\_{r}]-x\right|>\left|[a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots a\_{s}]-x\right|}
**บทเสริม 1:** คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน {\displaystyle x}

**บทเสริม 2:** คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า {\displaystyle x}

### ทฤษฎีบท 5

{\displaystyle {\frac {1}{k\_{n}(k\_{n+1}+k\_{n})}}<\left|x-{\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}\right|<{\frac {1}{k\_{n}k\_{n+1}}}.}
**บทเสริม 1:** คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

**บทเสริม 2:** คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง (อังกฤษ)
* เศษส่วนต่อเนื่องบนต้นไม้ สเติร์น-โบรคอท (อังกฤษ)
* cfc - โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง เก็บถาวร 2006-01-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน สำหรับ POSIX และ Cygwin (อังกฤษ)
* เศษส่วนต่อเนื่องและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (อังกฤษ)
* เศษส่วนต่อเนื่องพื้นฐาน (อังกฤษ)

อ้างอิง
-------

* A. Ya. Khinchin, *Continued Fractions*, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
* Oskar Perron, *Die Lehre von den Kettenbrüchen*, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
* Andrew M. Rockett and Peter Szusz, *Continued Fractions*, World Scientific Press, 1992.