การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท ในทางทอพอโลยี วัตถุทั้งสองเป็นวัตถุที่สมาณสัณฐานกัน และสามารถบีบอัดรูปร่างของวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ โดยไม่ต้องตัดหรือฉีกรูปทรงให้ขาด
**ทอพอโลยี** (อังกฤษ: Topology, มาจากภาษากรีก: *topos*, สถานที่ และ *logos*, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี 
ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

ประวัติ
-------

แถบโมบิอุสเป็นวัตถุที่มีผิวเดียวและขอบเดียว เป็นตัวอย่างหนึ่งของวัตถุที่ถูกศึกษาในทอพอโลยี
ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ *สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า* ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ *V* จำนวนขอบเท่ากับ *E* และจำนวนหน้าเท่ากับ *F* จะสอดคล้องกับสมการ 

{\displaystyle V-E+F=2}
มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736 

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมา อาทิ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ *Analysis Situs* หรือ *การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง* ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ *ปริภูมิเชิงทอพอโลยี* และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922

สาขาย่อยของทอพอโลยี
-------------------

### ทอพอโลยีทั่วไป

บทความหลัก: ทอพอโลยีทั่วไป
**ทอพอโลยีทั่วไป** (general topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า **ทอพอโลยีจุด-เซต** (point-set topology)

### ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

บทความหลัก: ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
**ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต** (algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

### ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

บทความหลัก: ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต
**ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต** (geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน

### ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

บทความหลัก: ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์
**ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์** (differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้

แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี
---------------------

### ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

บทความหลัก: ปริภูมิเชิงทอพอโลยี
คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า *ทอพอโลยีบน* {\displaystyle X} ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต {\displaystyle X} ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด

ให้ {\displaystyle X} เป็นเซต และ {\displaystyle \tau } เป็นแฟมิลีของสับเซตของ {\displaystyle X} เราจะกล่าวว่า {\displaystyle \tau } เป็นทอพอโลยีบน {\displaystyle X} เมื่อ

1. เซตว่าง และ เซต {\displaystyle X} เป็นสมาชิกของ {\displaystyle \tau }
2. ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน {\displaystyle \tau } จะเป็นสมาชิกของ {\displaystyle \tau } หรือกล่าวอีกอย่างว่า {\displaystyle \tau } มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
3. อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน {\displaystyle \tau } เป็นสมาชิกของ {\displaystyle \tau }

ถ้า {\displaystyle \tau } เป็นทอพอโลยีบน {\displaystyle X} เราจะเรียก {\displaystyle (X,\tau )} ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ {\displaystyle \tau } ไว้แล้วกล่าวว่า {\displaystyle X} เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน {\displaystyle \tau } จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน {\displaystyle X} เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน {\displaystyle X} จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ {\displaystyle X} ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

### ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน

บทความหลัก: ฟังก์ชันต่อเนื่อง และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน
ฟังก์ชัน {\displaystyle f\colon X\to Y} ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี {\displaystyle (X,\tau )} และ {\displaystyle (Y,\omega )} จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ {\displaystyle f^{-1}(U)} ของเซตเปิด {\displaystyle U\in \omega } ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ {\displaystyle f^{-1}(U)\in \tau }) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} } และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน {\displaystyle \mathbb {R} } เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน

อ้างอิง
-------

1. ↑  Stillwell, p. 469
2. ↑  Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204

* Stillwell, John. *Mathematics and Its history* (3. ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-2632-5.
* Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", ใน Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (บ.ก.), *Mathematics / Its Content, Methods and Meaning* (2nd ed.), The M.I.T. Press
* Richeson, D. (2008), *Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology*, Princeton University Press

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ **ทอพอโลยี**

* Munkres, J.R. *Topology: A First Course*, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
* Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
* An invitation to Topology Planar Machines' web site
* Geometry and Topology Index เก็บถาวร 2006-12-31 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, MacTutor History of Mathematics archive เก็บถาวร 2009-02-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* ODP category
* The Topological Zoo เก็บถาวร 2012-02-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน by the Geometry Center at the University of Minnesota
* Topology Atlas
* Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
* Topology Glossary เก็บถาวร 2009-07-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

| * ด
* ค
* ก
สาขาของวิชาคณิตศาสตร์ |
| --- |
| 
* ประวัติ
	+ เส้นเวลา
* โครงร่าง
* หัวข้อ
* อภิธานศัพท์

 |
| รากฐาน | 
* ทฤษฎีเซต
* คณิตตรรกศาสตร์
	+ ทฤษฎีการพิสูจน์
	+ ทฤษฎีโมเดล
	+ ทฤษฎีการเวียนเกิด
* ทฤษฎีแคทิกอรี
* ทฤษฎีไทป์
* ปรัชญาของคณิตศาสตร์

 |
| พีชคณิต | 
* พีชคณิตพื้นฐาน
* พีชคณิตเชิงเส้น
	+ พีชคณิตเชิงหลายเส้น
* พีชคณิตนามธรรม
	+ ทฤษฎีกรุป
	+ ทฤษฎีกาลัว
	+ พีชคณิตสลับที่
* พีชคณิตสากล
* พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี

 |
| คณิตวิเคราะห์ | 
* แคลคูลัส
* การวิเคราะห์เชิงจริง
* การวิเคราะห์เชิงซ้อน
* การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
* การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
* ทฤษฎีเมเชอร์‎
* สมการเชิงอนุพันธ์

 |
| วิยุตคณิต | 
* คณิตศาสตร์เชิงการจัด
* ทฤษฎีกราฟ
* ทฤษฎีเกม
* ทฤษฎีอันดับ

 |
| เรขาคณิต | 
* เรขาคณิตจำกัด
* เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
* เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
* เรขาคณิตแบบยุคลิด
* เรขาคณิตวิเคราะห์
* เรขาคณิตวิยุต

 |
| ทฤษฎีจำนวน | 
* เลขคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต
* ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
* เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

 |
| ทอพอโลยี | 
* ทอพอโลยีทั่วไป
* ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
* ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต
	+ ทฤษฎีเงื่อน
* ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์
* ทฤษฎีโฮโมโทปี

 |
| ประยุกต์ | 
* ความน่าจะเป็น
* สถิติศาสตร์
* คณิตศาสตร์การเงิน
* คณิตศาสตร์เคมี
* คณิตศาสตร์จิตวิทยา
* คณิตศาสตร์ชีววิทยา
* คณิตศาสตร์ฟิสิกส์
* คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์
* ทฤษฎีระบบควบคุม

 |
| คณนา | 
* การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
* การหาค่าเหมาะที่สุด
* ทฤษฎีการคำนวณ
* พีชคณิตของคอมพิวเตอร์
* วิทยาการคอมพิวเตอร์

 |
| อื่น ๆ | 
* ประวัติของคณิตศาสตร์
* คณิตศาสตร์นันทนาการ
* คณิตศาสตร์และศิลปะ
* การสอนคณิตศาสตร์

 |
| 
* หมวดหมู่ **หมวดหมู่**
* สถานีย่อย **สถานีย่อย**

 |