|  |  |
| --- | --- |
| ค.ศ. | บทความนี้อ้างอิงคริสต์ศักราช/คริสต์ทศวรรษ/คริสต์ศตวรรษ ซึ่งเป็นสาระสำคัญของเนื้อหา  |

ในทฤษฎีระบบควบคุม

**สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง** (อังกฤษ: discrete Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

{\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}
โดยที {\displaystyle Q} คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ {\displaystyle A^{H}} คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ {\displaystyle A}

ในขณะที่ **สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง** (อังกฤษ: continuous Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

{\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}.
สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ
--------------------------------------

ในที่นี้เรากำหนดให้ {\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}} และ {\displaystyle P} และ {\displaystyle Q} เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ {\displaystyle P>0} หมายถือว่า {\displaystyle P} คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

**ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง** ถ้ามี {\displaystyle P>0} และ {\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ {\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง {\displaystyle V(z)=z^{T}Pz} นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

**ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง** ถ้ามี {\displaystyle P>0} และ {\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ {\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น {\displaystyle x(t+1)=Ax(t)} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ {\displaystyle z^{T}Pz} นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ
----------------

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

{\displaystyle {\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0}
ซึ่งสมมูลกับ

{\displaystyle {\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0}.
นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa)  มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์
------------------

เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ {\displaystyle {\text{vec}}(A)} เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์{\displaystyle A} และนิยาม {\displaystyle {\text{kron}}(A,B)}เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง {\displaystyle A} และ B และโดยการใช้ผลจาก
{\displaystyle {\text{vec}}(ABC)={\text{kron}}(C^{T},A){\text{vec}}(B)},
เราสามารถใช้
{\displaystyle (I-{\text{kron}}(A,A)){\text{vec}}(X)={\text{vec}}(Q)}
เมื่อ {\displaystyle I} คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable  จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ {\displaystyle {\text{vec}}(X)} โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า {\displaystyle X} ต้องมีการปรับขนาดของ {\displaystyle {\text{vec}}(X)} อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม
-------

* ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
* สมการซิลเวสเตอร์
* สมการริกคาติกเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)
* ทฤษฎีระบบควบคุม

อ้างอิง
-------

1. ↑   Kitagawa, *An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S*, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
2. ↑  R. H. Bartels and G. W. Stewart, *Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C*, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.
3. ↑  J. Hamilton (1994), *Time Series Analysis*, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Online solver for arbitrary sized matrices.[*ลิงก์เสีย*]