ในทางเรขาคณิต **รูปหลายเหลี่ยม** (อังกฤษ: polygon) ตามความหมายดั้งเดิม หมายถึงรูปร่างอย่างหนึ่งที่เป็นรูปปิดหรือรูปครบวงจรบนระนาบ ซึ่งประกอบขึ้นจากลำดับของส่วนของเส้นตรงที่มีจำนวนจำกัด ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่า *ขอบ* หรือ *ด้าน* และจุดที่ขอบสองข้างบรรจบกันเรียกว่า *จุดยอด* หรือ *เหลี่ยม* (corner) ภายในรูปหลายเหลี่ยมบางครั้งก็เรียกว่า *เนื้อที่* (body) รูปหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุในสองมิติ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของพอลิโทป (polytope) ที่อยู่ใน *n* มิติ

ด้านสองด้านที่บรรจบกันเป็นเหลี่ยม เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเกิดมุมที่ไม่เป็นมุมตรง (180°) ถ้าไม่เช่นนั้นแล้ว ส่วนของเส้นตรงทั้งสองจะถูกพิจารณาว่าเป็นด้านเดียวกันเชกเช่นวงกลม มีหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดตามจำนวนองศา 

ความคิดทางเรขาคณิตพื้นฐานได้ถูกดัดแปลงไปในหลากหลายทาง เพื่อที่จะทำให้เข้ากับจุดประสงค์เฉพาะ ตัวอย่างเช่นในสาขาวิชาคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ คำว่า *รูปหลายเหลี่ยม* ถูกนำไปใช้และมีการเปลี่ยนแปลงความหมายไปโดยเล็กน้อย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการบันทึกและจัดการรูปร่างภายในคอมพิวเตอร์มากขึ้น

รูปหลายเหลี่ยม หลายชนิด

การจัดแบ่งประเภท
----------------

### แบ่งตามจำนวนด้าน

โดยหลักแล้วรูปหลายเหลี่ยมสามารถจัดแบ่งได้โดยจำนวนด้านที่มี ดูได้จากการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมด้านล่าง

### ภาวะนูนเว้า

รูปหลายเหลี่ยมอาจแบ่งได้ตามองศาของภาวะนูนเว้า

* **รูปหลายเหลี่ยมนูน** (convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ (โดยไม่สัมผัสกับขอบหรือจุดยอด) จะตัดผ่านเส้นรอบรูปแค่สองครั้ง
* **รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน** (non-convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะผ่านเส้นรอบรูปมากกว่าสองครั้ง
* **รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว** (simple) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะไม่เดินทางตัดกันเอง รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
* **รูปหลายเหลี่ยมเว้า** (concave) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมไม่นูนและเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
* **รูปหลายเหลี่ยมคล้ายดาว** (star-shaped) เนื้อที่ทั้งหมดสามารถมองเห็นได้จากจุดภายในจุดเดียว รูปนี้จะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว อาจเป็นได้ทั้งรูปหลายเหลี่ยมนูนหรือเว้า
* **รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง** (self-intersecting) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะเดินทางตัดกันเอง Branko Grünbaum เรียกรูปนี้ว่า **คอปติก** (coptic)  ถึงแม้ว่าจะไม่ค่อยมีการใช้ชื่อนี้กันอย่างกว้างขวางนัก และบางครั้งคำว่า *เชิงซ้อน* (complex) ก็ถูกใช้แทนความหมายที่ตรงข้ามกับ *เชิงเดียว* แต่ก็อาจก่อให้เกิดความสับสนกับแนวความคิดของ *รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน* ที่มีอยู่แล้วในระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ
* **รูปดาวหลายแฉก** (star) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองด้วยวิธีการตัดอย่างสม่ำเสมอ

### แบ่งตามความสมมาตร

* **รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า** (equiangular) มุมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน
* **รูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อม** (cyclic) จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนรูปวงกลมรูปเดียว
* **isogonal** หรือ **vertex-transitive** จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่าด้วย
* **รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า** (equilateral) ด้านทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน (รูปหลายเหลี่ยมที่มีตั้งแต่ห้าด้านขึ้นไป สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยไม่ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน)
* **isotoxal** หรือ **edge-transitive** ด้านทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
* **รูปหลายเหลี่ยมปรกติ** (regular) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่ไม่นูน จะเรียกว่า *รูปดาวหลายแฉกปรกติ* (regular star polygon)

### อื่น ๆ

* **รูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นตรง** (rectilinear) ด้านสองด้านบรรจบกันเป็นมุมฉาก นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเป็น 90° หรือไม่ก็ 270°
* **รูปหลายเหลี่ยมทางเดียว** (monotone) กำหนดเส้นตรง *L* ขึ้นมาเส้นหนึ่ง ทุกเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ *L* จะตัดกับเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ไม่เกินสองครั้ง

สมบัติ
------

สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำลังจะกล่าวถึงต่อไปนี้ เป็นรูปในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยตลอด

### มุม

รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ไม่ว่าจะปรกติหรือไม่ ตัดตัวเองหรือไม่ จะมีจำนวนเหลี่ยมเท่ากับจำนวนจุดยอด แต่ละเหลี่ยมก็มีมุมอยู่หลายมุม แต่มุมที่สำคัญที่สุดสองชนิดได้แก่

* **มุมภายใน** - ผลบวกของมุมภายในของรูปเชิงเดียว *n* เหลี่ยม จะรวมเท่ากับ (*n* − 2) π เรเดียน หรือ (*n* − 2) 180 องศา ที่เป็นเช่นนี้เพราะรูปเชิงเดียว *n* เหลี่ยมจะถูกพิจารณาว่าสร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมจำนวน (*n* − 2) รูป ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายใน π เรเดียน หรือ 180 องศา ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป *n* เหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปนูน จะมีขนาดเท่ากับ (*n* − 2) π / *n* เรเดียน หรือ (*n* − 2) 180 / *n* องศา มุมภายในของรูปดาวหลายแฉกปรกติมีการศึกษาเป็นครั้งแรกโดยปัวโซ (Poinsot) ในงานเขียนเรื่องเดียวกันกับที่เขาอธิบายทรงหลายหน้าดาวปรกติ
* **มุมภายนอก** - ลองจินตนาการว่ากำลังเดินอยู่รอบรูปเชิงเดียว *n* เหลี่ยมที่เขียนอยู่บนพื้น ปริมาณ "การเลี้ยว" ที่จุดยอดก็คือมุมภายนอกที่กวาดไป และเมื่อเดินครบรอบ ก็หมายความว่าได้เดินหมุนรอบตัวครบหนึ่งรอบ ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเป็น 360° แต่สำหรับการเดินรอบรูป *n* เหลี่ยมโดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอกสามารถเป็นพหุคูณจำนวนเต็ม *d* ของ 360° เช่น 720° สำหรับรูปดาวห้าแฉก (pentagram) และ 0° สำหรับรูปวนคล้ายเลขแปด ซึ่ง *d* นี้เป็นความหนาแน่นหรือความเป็นแฉกของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพิ่มที่ ทางโคจร (orbit)

มุมภายนอกเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles) ของมุมภายใน สิ่งนี้ก็ยังเป็นจริงถ้าหากมุมภายในมีขนาดมากกว่า 180° เพราะมุมภายนอกจะมีขนาดเป็นลบ นั่นคือ สมมติให้การเลี้ยวตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก และอาจมีบางครั้งที่จะต้องเลี้ยวซ้ายแทนเลี้ยวขวา ซึ่งจะทำให้มุมของการเลี้ยวเป็นปริมาณติดลบ

### พื้นที่และเซนทรอยด์

การตั้งชื่อจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมสองมิติ
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือเมเชอร์ในบริเวณสองมิติที่ปิดล้อมโดยเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม สำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (ที่ไม่ตัดตัวเอง) ที่มีจุดยอด *n* จุด พื้นที่และเซนทรอยด์ของรูปนี้สามารถหาได้จาก 

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum \_{i=0}^{n-1}(x\_{i}y\_{i+1}-x\_{i+1}y\_{i})}
{\displaystyle C\_{x}={\frac {1}{6A}}\sum \_{i=0}^{n-1}(x\_{i}+x\_{i+1})(x\_{i}y\_{i+1}-x\_{i+1}y\_{i})}
{\displaystyle C\_{y}={\frac {1}{6A}}\sum \_{i=0}^{n-1}(y\_{i}+y\_{i+1})(x\_{i}y\_{i+1}-x\_{i+1}y\_{i})}
เพื่อที่จะทำให้รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิด จุดยอดแรกและจุดยอดสุดท้ายจะต้องเป็นจุดเดียวกัน นั่นคือ {\displaystyle x\_{n},y\_{n}=x\_{0},y\_{0}} จุดยอดจะต้องเรียงลำดับกันไปตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา ถ้าหากเรียงตามเข็มนาฬิกา พื้นที่จะเป็นจำนวนลบแต่ก็แก้ไขได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ สูตรนี้มักจะเรียกกันว่า Surveyor's Formula

สูตรดังกล่าวได้อธิบายไว้โดยไมชเตอร์ (Meister) เมื่อ พ.ศ. 2312 และโดยเกาส์ (Guass) เมื่อ พ.ศ. 2338 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป หรืออาจจะมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีน (Green's theorem)

เราสามารถคำนวณพื้นที่ *A* ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว ถ้าเราทราบความยาวของด้าน {\displaystyle a\_{1},a\_{2},...a\_{n}} และมุมภายนอก {\displaystyle \theta \_{1},\theta \_{2},...\theta \_{n}} โดยใช้สูตรดังนี้ ซึ่งอธิบายไว้โดย Lopshits เมื่อ พ.ศ. 2506 

{\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a\_{1}[a\_{2}\sin(\theta \_{1})+a\_{3}\sin(\theta \_{1}+\theta \_{2})+\cdots +a\_{n-1}\sin(\theta \_{1}+\theta \_{2}+\cdots +\theta \_{n-2})]\\{}+a\_{2}[a\_{3}\sin(\theta \_{2})+a\_{4}\sin(\theta \_{2}+\theta \_{3})+\cdots +a\_{n-1}\sin(\theta \_{2}+\cdots +\theta \_{n-2})]\\{}+\cdots +a\_{n-2}[a\_{n-1}\sin(\theta \_{n-2})])\end{aligned}}}
ถ้าหากรูปหลายเหลี่ยมถูกวาดขึ้นบนกริดหรือช่องตารางที่มีระยะเท่ากัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวจุดยอดจะอยู่บนจุดตัดของกริด ทฤษฎีบทของพิก (Pick's theorem) ได้ให้สูตรอย่างง่ายสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม โดยคิดจากจำนวนจุดตัดของกริดที่อยู่ภายในและบนเส้นขอบของรูป

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวสองรูปมีพื้นที่เท่ากันแล้ว รูปที่หนึ่งจะสามารถตัดแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งสามารถประกอบใหม่ให้เป็นรูปที่สองได้ ดังที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทโบลไย-แกร์วีน (Bolyai-Gerwien theorem)

#### รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองสามารถนิยามด้วยสองแนวทางที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละแนวทางก็ให้ผลลัพธ์ต่างกันด้วย

* เมื่อใช้วิธีของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว เราจะพบว่ามีบริเวณบางส่วนภายในรูปหลายเหลี่ยมที่อาจมีการทับซ้อนมากกว่าหนึ่งครั้ง พื้นที่ของบริเวณนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัวตามการทับซ้อน จำนวนการทับซ้อนนี้เรียกว่า**ความหนาแน่น**ของบริเวณ ตัวอย่างเช่น บริเวณตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 หรือบริเวณรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมไขว้ (คล้ายเลข 8) จะมีความหนาแน่นเป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน ซึ่งอาจทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมโดยรวมทั้งหมดเป็นศูนย์ก็ได้
* เมื่อพิจารณาบริเวณที่ถูกปิดเป็นเซตของจุด เราสามารถหาพื้นที่ของบริเวณเหล่านี้ได้ ซึ่งจะสมนัยกับพื้นที่บนระนาบที่ถูกล้อมรอบโดยรูปหลายเหลี่ยม หรือสมนัยกับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวที่มีขอบเขตเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง ในกรณีเช่นนี้ รูปสี่เหลี่ยมไขว้ก็เป็นเพียงแค่รูปสามเหลี่ยมธรรมดาสองรูป

### องศาเสรี

รูป *n* เหลี่ยมมีองศาเสรี (degree of freedom) เท่ากับ 2*n* ซึ่งรวมทั้ง 2 สำหรับตำแหน่ง 1 สำหรับแนวการหมุน และ 1 สำหรับขนาดทุกขนาด ดังนั้นรูปร่างทั่วไปจะมีองศาเสรีเท่ากับ 2*n* − 4 ในกรณีของสมมาตรการสะท้อน จำนวนหลังจะลดลงเหลือ *n* − 2

กำหนดให้ *k* ≥ 2 สำหรับรูป *nk* เหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบหมุน *k* ทบ ({\displaystyle C\_{k}}) รูปนี้จะมีองศาเสรีเท่ากับ 2*n* − 2 ถ้ารวมสมมาตรการสะท้อน ({\displaystyle D\_{k}}) เข้าไปอีก จะเท่ากับ *n* − 1

การวางนัยทั่วไป
---------------

โดยความรู้สึกทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมหมายถึงลำดับหรือวงจรที่สลับไปมาโดยไม่สิ้นสุดระหว่างส่วนของเส้นตรง (ด้าน) กับมุม (เหลี่ยม) เหตุผลที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดก็เพราะลำดับโครงสร้างนั้นวนรอบกลับมาหาจุดเดิมตลอดเวลา ในขณะที่รูปอนันต์เหลี่ยม (apeirogon) ไม่มีขอบเขต เพราะลำดับโครงสร้างของมันเดินทางต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีจุดปลาย การทำความเข้าใจในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ได้อธิบายลำดับโครงสร้างนี้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบ "นามธรรม" ซึ่งเป็นเซตอันดับบางส่วนของสมาชิก เนื้อที่ภายในของรูปหลายเหลี่ยมก็คือสมาชิกอันหนึ่ง พอลิโทปว่าง (null polytope) ก็เป็นสมาชิกอันหนึ่งเช่นเดียวกัน (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค)

รูปหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตจึงทำให้เข้าใจว่า เป็นการทำรูปหลายเหลี่ยมนามธรรมให้เป็น "รูปธรรม" ซึ่งสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการจับคู่ของสมาชิกจากนามธรรมไปยังเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมเช่นนี้จึงไม่จำเป็นว่าจะต้องวางอยู่บนระนาบ หรือมีด้านที่ตรง หรือเป็นพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ และสมาชิกที่ต่างกันก็อาจซ้อนเกยกันหรือแม้แต่ทับกันจนสนิท ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวของทรงกลม ซึ่งด้านของมันเป็นส่วนโค้งของเส้นวงกลมใหญ่ ดังนั้นเมื่อเราพูดถึงเรื่องรูปหลายเหลี่ยม เราจะต้องอธิบายอย่างระมัดระวังว่าเรากำลังพูดถึงชนิดใดอยู่

รูปสองเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดที่มีสองด้านและสองมุม เราสามารถกำหนดจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลม (คล้ายขั้วเหนือกับขั้วใต้) เชื่อมถึงกันด้วยครึ่งหนึ่งของเส้นวงกลมใหญ่ และเพิ่มอีกเส้นหนึ่งด้วยมุมที่ต่างกันก็จะได้รูปสองเหลี่ยม การเติมเต็มพื้นผิวทรงกลมด้วยรูปสองเหลี่ยมจะทำให้เกิดทรงหลายหน้าที่เรียกว่า hosohedron แต่ถ้าหากเดินทางรอบเส้นวงกลมใหญ่จนครบรอบ ซึ่งจะเหลือจุดยอดเพียงจุดเดียวและมีด้านเดียว กลายเป็นรูปหนึ่งเหลี่ยม ถึงแม้ว่าผู้แต่งตำราหลายท่านจะไม่ถือว่ากรณีเช่นนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์

การวางนัยแบบอื่นของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้บนพื้นผิวอื่น ๆ แต่ในระนาบแบบยุคลิดที่ราบแบน เนื้อที่ของรูปหลายเหลี่ยมไม่สามารถเกิดขึ้นเป็นรูปธรรมได้โดยสามัญสำนึก เราจึงเรียกกรณีเช่นนี้ว่าเป็นภาวะลดรูป (degenerate)

เนื่องจากแนวความคิดที่ใช้ในการวางนัยทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมมีหลากหลายทาง ตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นกรณีลดรูป (หรือกรณีพิเศษ) บางส่วนของรูปหลายเหลี่ยม

* **รูปสองเหลี่ยม** มีมุมภายใน 0° บนระนาบแบบยุคลิด ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมก็ดังที่กล่าวไว้แล้วด้านบน
* มุมภายใน 180° บนระนาบแบบยุคลิดคือรูปอนันต์เหลี่ยม ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมคือทรงสองหน้า
* **รูปหลายเหลี่ยมเบ้** (skew) คือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่วางตัวอยู่ในระนาบแบน แต่ซิกแซกในปริภูมิสามมิติหรือสูงกว่า รูปหลายเหลี่ยมเพทรี (Petrie polygon) ของทรงหลายหน้าปรกติก็เป็นตัวอย่างดั้งเดิมอย่างหนึ่ง
* **รูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม** (spherical) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมอยู่บนพื้นผิวทรงกลม
* **รูปอนันต์เหลี่ยม** ลำดับของด้านและมุมเป็นอนันต์ ซึ่งไม่เป็นรูปปิด แต่ก็ไม่มีจุดปลายเพราะว่ามันขยายตัวไปถึงอนันต์
* **รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน** (complex) เป็นรูปร่างที่คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดา แต่วางตัวอยู่บนระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน

การตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยม
-------------------------

ปกติแล้วในภาษาไทย รูปหลายเหลี่ยมจะมีกี่ด้านกี่มุม ก็เรียกชื่อไปตามนั้นโดยตรงเช่น รูปที่มีห้าด้านห้ามุม ก็เรียกรูปห้าเหลี่ยม แต่ในภาษาอังกฤษซึ่งเป็นภาษาสากลจะมีหลักการตั้งชื่อที่ต่างออกไป คำว่า polygon ในภาษาอังกฤษมีที่มาภาษากรีก แล้วถ่ายทอดไปยังภาษาละตินดังนี้

* πολύγωνον (polygōnon/polugōnon) → *polygōnum* → *polygon*

ซึ่งแปลว่า *หลายมุม* ดังนั้นการตั้งชื่อจะใช้การประสมคำอุปสรรคเชิงตัวเลขในภาษากรีกเป็นหลัก แล้วตามด้วยคำปัจจัย "-gon" เช่น pentagon หมายถึงรูปห้าเหลี่ยม แต่สำหรับจำนวนขนาดใหญ่ นักคณิตศาสตร์ก็มักเขียนเป็นตัวเลขแทนเช่น 257-gon และในรูปของพจน์ทั่วไปก็เขียนเป็น *n*-gon ซึ่งมีประโยชน์ในการอ้างถึงตัวแปร *n* ที่อยู่ในสูตร

รูปหลายเหลี่ยมพิเศษบางรูปมีชื่อของมันเอง ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมดาวปรกติ (regular star pentagon) มันก็คือ รูปดาวห้าแฉก (pentagram) เป็นต้น

|
|  |
**ชื่อรูปหลายเหลี่ยม**| ชื่อ | ด้าน | หมายเหตุ |
| --- | --- | --- |
| henagon (หรือ monogon) | 1 | ในระนาบแบบยุคลิด ลดรูปเหลือเส้นโค้งปิดที่มี 1 จุดยอด |
| digon | 2 | ในระนาบแบบยุคลิด ลดรูปเหลือเส้นโค้งปิดที่มี 2 จุดยอด |
| triangle (หรือ trigon) | 3 | รูปหลายเหลี่ยมแรกที่มีเนื้อที่ในระนาบแบบยุคลิด |
| quadrilateral (หรือ quadrangle หรือ tetragon) | 4 | รูปหลายเหลี่ยมแรกที่สามารถตัดตัวเองได้ |
| pentagon | 5 | รูปหลายเหลี่ยมแรกที่สามารถทำเป็นรูปดาวได้ |
| hexagon | 6 |  |
| heptagon | 7 | หลีกเลี่ยง septagon เพราะ sept- เป็นภาษาละติน |
| octagon | 8 |  |
| enneagon (หรือ nonagon) | 9 |  |
| decagon | 10 |  |
| hendecagon | 11 | หลีกเลี่ยง undecagon เพราะ un- เป็นภาษาละติน |
| dodecagon | 12 | หลีกเลี่ยง duodecagon เพราะ duo- เป็นภาษาละติน |
| tridecagon (หรือ triskaidecagon) | 13 |  |
| tetradecagon (หรือ tetrakaidecagon) | 14 |  |
| pentadecagon (หรือ quindecagon หรือ pentakaidecagon) | 15 |  |
| hexadecagon (หรือ hexakaidecagon) | 16 |  |
| heptadecagon (หรือ heptakaidecagon) | 17 |  |
| octadecagon (หรือ octakaidecagon) | 18 |  |
| enneadecagon (หรือ enneakaidecagon หรือ nonadecagon) | 19 |  |
| icosagon | 20 |  |
| *ไม่มีชื่อในภาษาอังกฤษ* | 100 | มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 176.4°

hectogon เป็นชื่อในภาษากรีก ในขณะที่ centagon เป็นคำประสมระหว่างละตินกับกรีก ซึ่งก็ไม่มีชื่อไหนที่นิยมใช้ |
| chiliagon | 1,000 | มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.64°

René Descartes used the chiliagon and myriagon (see below) as examples in his Sixth meditation to demonstrate a distinction which he made between pure intellection and imagination. He cannot imagine all thousand sides [of the chiliagon], as he can for a triangle. However, he clearly *understands* what a chiliagon is, just as he understands what a triangle is, and he is able to distinguish it from a myriagon. Thus, he claims, the intellect is not dependent on imagination. |
| myriagon | 10,000 | มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.964° ดูหมายเหตุข้างบน |
| megagon  | 1,000,000 | มุมภายในของรูปปรกติเท่ากับ 179.99964° |

สำหรับการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านอยู่ระหว่าง 20-100 ด้าน จะใช้การประสมของคำอุปสรรคดังนี้

| หลักสิบ | *และ* | หลักหน่วย | คำปัจจัย |
| --- | --- | --- | --- |
| -kai- | 1 | -hena- | -gon |
| 20 | icosi- | 2 | -di- |
| 30 | triaconta- | 3 | -tri- |
| 40 | tetraconta- | 4 | -tetra- |
| 50 | pentaconta- | 5 | -penta- |
| 60 | hexaconta- | 6 | -hexa- |
| 70 | heptaconta- | 7 | -hepta- |
| 80 | octaconta- | 8 | -octa- |
| 90 | enneaconta- | 9 | -ennea- |

อย่างไรก็ตาม คำว่า "-kai-" ก็ไม่ได้มีการใช้ทุกครั้ง (ดังเช่นในตารางข้างบน) ตัวอย่างเช่น รูป 42 เหลี่ยม เรียกว่า tetracontakaidigon หรือ tetracontadigon ในขณะที่รูป 50 เหลี่ยม เรียกว่า pentacontagon

ประวัติ
-------

รูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวกรีกโบราณรู้จักรูปหลายเหลี่ยมปรกติซึ่งอธิบายไว้โดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน รูปดาวห้าแฉก ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติไม่นูน (รูปดาวหลายแฉก) ปรากฏเป็นครั้งแรกบนแจกันของ Aristophonus ในเมือง Caere ซึ่งระบุว่าสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล สำหรับรูปหลายเหลี่ยมไม่นูน ยังไม่มีการศึกษาอย่างเป็นระบบจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 14 โดย Thomas Bredwardine

ในปี ค.ศ. 1952 Shephard ได้ขยายแนวความคิดของรูปหลายเหลี่ยมไปบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน ที่ซึ่งมิติส่วนจริงแต่ละส่วนประกอบกับมิติส่วนจินตภาพ เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน

รูปหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ
------------------------

Giant's Causeway ในไอร์แลนด์
รูปหลายเหลี่ยมจำนวนมากสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในโลกของธรณีวิทยา ผลึกของแร่ธาตุต่าง ๆ จะมีผิวหน้าหรือหน้าตัดที่เป็นรูปหลายเหลี่ยม โครงสร้างผลึกแบบ quasicrystal ก็สามารถมีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปรกติได้ หรืออีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมื่อหินหลอมเหลวเย็นตัวลงในพื้นที่ที่ถูกจำกัดอย่างแน่นหนา จะกลายเป็นหินบะซอลต์แท่งหกเหลี่ยม ดังเช่นที่ Giant's Causeway ในไอร์แลนด์ หรือที่ Devil's Postpile ที่รัฐแคลิฟอร์เนีย

รูปหลายเหลี่ยมก็พบได้ในอาณาจักรสัตว์ เช่นรังผึ้งแต่ละช่องเป็นรูปหกเหลี่ยม ใช้สำหรับการเก็บน้ำผึ้งและเกสรดอกไม้ และเป็นสถานที่เจริญเติบโตของตัวอ่อน นอกจากนี้ก็ยังมีสัตว์ที่มีลักษณะใกล้เคียงกับรูปหลายเหลี่ยมปรกติ หรืออย่างน้อยก็มีความสมมาตรเหมือน ๆ กัน สัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทา เช่นดาวทะเลจะมีลักษณะเป็นรูปห้าเหลี่ยมหรือรูปดาวห้าแฉก หรือพบได้ยากกว่าคือรูปเจ็ดเหลี่ยม ส่วนพวกเม่นทะเลบางครั้งก็ปรากฏความสมมาตรให้เห็น ถึงแม้ว่าสัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทาไม่ได้มีพฤติกรรมที่สมมาตรตามรัศมีเหมือนพวกแมงกะพรุน

มะเฟือง ผลไม้ในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
ความสมมาตรตามรัศมี (หรือความสมมาตรแบบอื่น) ก็สามารถสังเกตได้จากอาณาจักรพืช โดยเฉพาะดอกไม้ เมล็ด และผลไม้ รูปแบบทั่วไปมักจะสมมาตรแบบห้าเหลี่ยม ซึ่งเห็นได้ชัดจากมะเฟือง ผลไม้ที่มีรสเปรี้ยวน้อยในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ เมื่อผ่าตามขวางจะได้รูปดาวห้าแฉก

ชาวคณิตศาสตร์สมัยก่อนที่ทำการคำนวณโดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ได้ค้นพบว่าถ้าหากเทหวัตถุสองชนิด (เช่นดวงอาทิตย์กับโลก) โคจรรอบกันแล้ว จะมีจุดจุดหนึ่งที่แน่นอนในอวกาศ ที่ซึ่งเทหวัตถุขนาดเล็ก (อย่างเช่นดาวเคราะห์น้อยหรือสถานีอวกาศ) สามารถคงอยู่ในแนวโคจรที่เสถียร จุดนี้เรียกว่าจุดลากรานจ์ (Lagrangian points) ระหว่างดวงอาทิตย์กับโลกนั้นมีจุดลากรานจ์จำนวน 5 จุด ซึ่งมี 2 จุดในแนวโคจรของโลกที่ทำมุม 60 องศากับดวงอาทิตย์และโลกพอดี นั่นคือเมื่อเชื่อมจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ โลก และจุดหนึ่งในสองจุดนั้น จะได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นักดาราศาสตร์ได้ค้นพบแล้วว่ามีดาวเคราะห์น้อยจำนวนหนึ่งอยู่ที่จุดเหล่านี้ แต่การทำให้สถานีอวกาศรักษาตำแหน่งอยู่ที่จุดลากรานจ์ในทางปฏิบัติยังเป็นข้อถกเถียงกันอยู่ ด้วยเหตุผลที่ว่า ถึงแม้ว่ามันจะไม่จำเป็นที่จะต้องปรับแต่งเส้นทาง มันก็อาจจะชนเข้ากับดาวเคราะห์น้อยที่มีอยู่ ณ ตำแหน่งนั้นโดยบ่อยครั้ง แต่ปัจจุบันนี้ก็มีดาวเทียมและเครื่องสังเกตการณ์อวกาศโคจรอยู่บนจุดลากรานจ์อื่นที่เสถียรน้อยกว่า

อ้างอิง
-------

1. ↑  Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? *Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift*, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488. *(pdf เก็บถาวร 2016-08-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน)*
2. ↑
3. ↑  "Polygon Area and Centroid". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-10-16. สืบค้นเมื่อ 2009-02-01.
4. ↑  A.M. Lopshits (1963). *Computation of areas of oriented figures*. D C Heath and Company: Boston, MA. `{{cite book}}`: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ `|translators=` ถูกละเว้น (help)
5. ↑  Meditation VI by Descartes (English translation).
6. ↑  Stan Gibilisco. *Geometry Demystified: A Self-teaching Guide*. McGraw-Hill Professional, 2003. ISBN 978-0-07-141650-4

บรรณานุกรม
----------

* Coxeter, H.S.M.; *Regular Polytopes*, (Methuen and Co. 1948).
* Cromwell, P.;*Polyhedra*, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
* Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? *Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift*, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488. *(pdf เก็บถาวร 2016-08-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน)*

| * ด
* ค
* ก
รูปหลายเหลี่ยม |
| --- |
| รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมตามจำนวนด้าน |
| 1-10 ด้าน | หนึ่งเหลี่ยม
* สองเหลี่ยม
* สามเหลี่ยม
* สี่เหลี่ยม
* ห้าเหลี่ยม
* หกเหลี่ยม
* เจ็ดเหลี่ยม
* แปดเหลี่ยม
* เก้าเหลี่ยม
* สิบเหลี่ยม
 |
| 10-20 ด้าน | สิบเอ็ดเหลี่ยม
* สิบสองเหลี่ยม
* สิบสามเหลี่ยม
* สิบสี่เหลี่ยม
* สิบห้าเหลี่ยม
* สิบหกเหลี่ยม
* สิบเจ็ดเหลี่ยม
* สิบแปดเหลี่ยม
* สิบเก้าเหลี่ยม
* ยี่สิบเหลี่ยม
 |
| อื่นๆ | อนันต์เหลี่ยม |
| รูปดาวหลายแฉก | ดาวห้าแฉก
* ดาวหกแฉก
* ดาวเจ็ดแฉก
* ดาวแปดแฉก
* ดาวเก้าแฉก
* ดาวสิบแฉก
* ดาวสิบเอ็ดแฉก
* ดาวสิบสองแฉก
 |