ผลคูณคาร์ทีเซียน {\displaystyle \scriptstyle A\times B} ของเซต {\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}} และ {\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}
ในวิชาคณิตศาสตร์ **ผลคูณคาร์ทีเซียน**เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ **เซตผลคูณ**) นั่นคือสำหรับเซต *A* และ *B* ผลคูณคาร์ทีเซียน *A* × *B* เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ *A* และ b ∈ *B*

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือ**จัตุรัสคาร์ทีเซียน** ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ *เซตของแถว* กับ *เซตของหลัก* ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน *แถว* × *หลัก* เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของ*แถว*, ค่าของ*หลัก*)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต *n* เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล *n* มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่าง
--------

### สำรับไพ่

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣}  มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ 

*เลขไพ่* × *หน้าไพ่* ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ... (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

*หน้าไพ่* × *เลขไพ่* ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ... (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

### ระบบพิกัดสองมิติ

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต *X* และ *Y* ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ *X* × *Y* ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ *X* และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ *Y* (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ *Y* × *X* โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต *Y* และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต *X* ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

{\displaystyle X\times Y=\{\,(x,y)\mid x\in X\ \land \ y\in Y\,\}} 
{\displaystyle Y\times X=\{\,(y,x)\mid y\in Y\ \land \ x\in X\,\}}
{\displaystyle X\times Y\neq Y\times X}

การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต
------------------------------

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}} ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))} โดย {\displaystyle {\mathcal {P}}} เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

### การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ {\displaystyle A} B และ {\displaystyle C} เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน {\displaystyle A\times B} ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ {\displaystyle A\times B\neq B\times A} เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข 

* {\displaystyle A=B}
* {\displaystyle A}เป็นเซตว่าง
* Bเป็นเซตว่าง

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง 

{\displaystyle A=\{1,2\}} และ {\displaystyle B=\{1,3\}}
{\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{1,3\}=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}}
{\displaystyle B\times A=\{1,3\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(3,1),(3,2)\}}
{\displaystyle A\times B\neq B\times A}
{\displaystyle A=B=\{1,2\}}
{\displaystyle A\times B=B\times A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}}
{\displaystyle A=\{1,2\}} และ {\displaystyle B=\{\}}
{\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{\}=\{\}}
{\displaystyle B\times A=\{\}\times \{1,2\}=\{\}}
{\displaystyle A\times B=B\times A}
ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง
{\displaystyle A=\{a\}} {\displaystyle B=\{b\}} และ {\displaystyle C=\{c\}}
{\displaystyle (A\times B)\times C=(\{a\}\times \{b\})\times \{c\}=\{(a,b)\}\times \{c\}=\{((a,b),c)\}}
{\displaystyle A\times (B\times C)=\{a\}\times (\{b\}\times \{c\})=\{a\}\times \{(b,c)\}=\{(a,(b,c))\}}
{\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}
### สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ {\displaystyle A} B {\displaystyle C} และ {\displaystyle D} เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

{\displaystyle (A\times C)\cap (B\times D)=(A\cap B)\times (C\cap D)}
แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\neq (A\cup B)\times (C\cup D)}
{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)}
มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:

{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}
{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}
{\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}
{\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}
สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า {\displaystyle A\subseteq B} แล้ว {\displaystyle A\times C\subseteq B\times C}
ถ้าทั้ง{\displaystyle A}และB ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว {\displaystyle (A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D)}
### ภาวะเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต {\displaystyle A=\{m,n\}} และ {\displaystyle B=\{0,1\}} ทั้งเซต {\displaystyle A} และเซต B ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย {\displaystyle A\times B} เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

{\displaystyle A\times B=\{(m,0),(m,1),(n,0),(n,1)\}}
สมาชิกแต่ละตัวของ {\displaystyle A} จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ B แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์
จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2
ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

{\displaystyle |A\times B|=|A||B|}
และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

{\displaystyle |A\_{1}\times A\_{2}\times A\_{3}\times ...\times A\_{n}|=|A\_{1}||A\_{2}||A\_{3}|...|A\_{n}|}
ภาวะเชิงการนับของ {\displaystyle A\times B} เป็นอนันต์ถ้าเซต {\displaystyle A} หรือเซต B เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง

จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน
-------------------------------------

**จัตุรัสคาร์ทีเซียน** (หรือ **ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่**) ของเซต *X* คือผลคูณคาร์ทีเซียน *X*2 = *X* × *X*
ตัวอย่างคือระนาบ **R**2 = **R** × **R** เมื่อ **R** เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(*x*,*y*) ที่ *x* และ *y* เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)

อ้างอิง
-------

1. ↑  cartesian (2014) ในพจนานุกรมออน์ไลน์ Merriam-Webster Online Dictionary เปิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2014 จาก
2. ↑  Warner, S: *Modern Algebra*, page 6. Dover Press, 1990.
3. 1 2  Singh, S. (2009, August 27). *Cartesian product*. Retrieved from the Connexions Web site:
4. 1 2  CartesianProduct on PlanetMath
5. ↑  Cartesian Product of Subsets. (2011, February 15). *ProofWiki*. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from
6. ↑  Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. *St. John's Review, 44*(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from