**โคมไฟของทอมสัน** เป็นปริศนาทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับเรื่องอนันต์ กำเนิดขึ้นมาในปี 1954 โดยนักปรัชญาชาวอังกฤษ เจมส์ เอฟ. ทอมสัน เป็นผู้ที่เริ่มการวิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ของซูเปอร์ทาสก์ ที่ซึ่งเกี่ยวกับตัวเลขอนันต์

| เวลา | เปิด/ปิด |
| --- | --- |
| 0.000 | เปิด |
| 1.000 | ปิด |
| 1.500 | เปิด |
| 1.750 | ปิด |
| 1.875 | เปิด |
| ... | ... |
| 2.000 | ? |
|

ปัญหา
-----

ให้หลอดไฟมีระบบเปิดปิดที่ใช้ทอกเกิลสวิตช์ ที่เมื่อกดสวิตช์หนึ่งครั้งแล้วหลอดไฟจะเปิด เมื่อกดอีกครั้งจะปิด ต่อไป ให้กระทำการตามขั้นตอนต่อไปนี้ : เริ่มตัวจับเวลา จะมีคนเปิดไฟ เมื่อผ่านไปหนึ่งนาที ก็ปิดไฟ และเมื่อผ่านไปอีกครึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/4 ของหนึ่งนาที ก็ปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/8 ของหนึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยรอให้ถึงครึ่งหนึ่งของ ณ เวลานั้น ๆ จึงกดสวิตช์ ผลรวมของเวลาอนุกรมอนันต์นี้คือสองนาที

คำถามก็คือ : หลอดไฟจะเปิดหรือปิดภายในเวลาสองนาที? ทอมสันได้ให้เหตุผลเรื่องความขัดแย้งไว้ดังนี้ :

ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ หลอดไฟจะเปิดไม่ได้ เพราะไม่มีสักครั้งที่จะเปิดหลอดไฟโดยที่ไม่ปิดมาก่อนเลย หลอดไฟจะปิดไม่ได้ เพราะก่อนจะปิดได้นั้นก็ต้องเปิดมาก่อน แล้วต่อจากนั้น ก็จะไม่ปิดโดยที่ไม่เปิดมาก่อนได้ แต่หลอดไฟต้องเปิดหรือปิดอย่างแน่นอน แต่กลับกลายเป็นข้อขัดแย้งไปซะเอง

การเปรียบเทียบกับอนุกรมทางคณิตศาสตร์
------------------------------------

ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกับอนุกรมแกรนดี

*S* = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
สำหรับผลรวมของอนุกรมข้างต้น หาก n เป็นจำนวนคู่ ผลรวมจะเท่ากับ 1 แต่หาก n เป็นจำนวนคี่ ผลรวมจะได้ 0 หรือก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับอนุกรมจะเป็น {1, 0, 1, 0...} ซึ่งแสดงถึงสถานะของหลอดไฟ อนุกรมนี้จะไม่บรรจบกัน แต่ก็ไม่ใช่อนุกรมอนันต์

หรือเมื่อจัดรูปอนุกรมใหม่จะได้ :

*S* = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)
อนุกรมอนันต์ที่อยู่ในวงเล็บมีค่าเท่ากับอนุกรม *S* ซึ่งก็หมายความว่า*S* = 1 − *S* จะได้ *S* = 1⁄2 ซึ่งในความเป็นจริง ผลรวมนี้ออกแบบมาเพื่อสนับสนุนข้อที่ว่า : มีการจำกัดผลรวมของอนุกรมที่ทำให้ค่าอนุกรมแกรนดีเท่ากับ 1⁄2

ส่วนหนึ่งของงานเขียนของเขาในปี 1954 ได้เขียนเรื่องการเปรียบเทียบของอนุกรมแกรนดีกับโคมไฟของเขาไว้

"แล้วคำถามที่ว่าโคมไฟจะเปิดหรือปิด...คือคำถามที่ว่า : ผลรวมของลำดับลู่ออก
+1, −1, +1, …?
"นักคณิตศาสตร์ก็ได้ออกมากล่าวว่าลำดับนี้มีผลรวม พวกเขาบอกว่าผลรวมคือ 1⁄2 แล้วคำตอบนั่นก็ไม่ได้ช่วยอะไรเราเลย เพราะเราไม่ยอมรับที่จะบอกว่าโคมไฟนั้นกึ่งปิดกึ่งเปิด ซึ่งหมายความว่า จะยังไม่มีคำตอบโดยสมบูรณ์ว่า*อะไร*จะได้คำตอบลงไปอีกเมื่อซูเปอร์ทาสก์นั้นได้คำตอบ ... เราไม่อาจคาดหวังที่จะ*เลือก*ความคิดนี้แค่เพียงเพราะเรามีความคิดเรื่องทาสก์ หรือหลาย ๆ ทาสก์ที่เราได้พิสูจน์ตามความคุ้นเคยกับจำนวนเหนืออนันต์ (Transfinite Numbers)"

ดูเพิ่ม
-------

* ปฏิทรรศน์

หมายเหตุ
--------

1. 1 2 3  Thomson 1954, p. 5.
2. ↑  Thomson 1954, p. 9.
3. ↑  Thomson 1954, p. 6.
4. ↑  Thomson p.6. For the mathematics and its history he cites Hardy and Waismann's books, for which see *History of Grandi's series*.

อ้างอิง
-------

* Allen, Benjamin William (2008). *Zeno, Aristotle, the Racetrack and the Achilles: A Historical and Philosophical Investigation*. New Brunswick, NJ: Rutgers, The State University of New Jersey. pp. 209–210. ISBN 9781109058437.[*ลิงก์เสีย*]
* Benacerraf, Paul (1962). "Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics". *The Journal of Philosophy*. **59** (24): 765–784. doi:10.2307/2023500. JSTOR 2023500.
* Huggett, Nick (2010). *Everywhere and Everywhen : Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy*. Oxford University Press. pp. 22–23. ISBN 9780199702114.
* Thomson, James F. (October 1954). "Tasks and Super-Tasks". *Analysis*. Analysis, Vol. 15, No. 1. **15** (1): 1–13. doi:10.2307/3326643. JSTOR 3326643.
* Earman, John and Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. In Benacerraf and his Critics, Adam Morton and Stephen P. Stich (Eds.), p. 231-261.