สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เอกลักษณ์
ในทางคณิตศาสตร์ **สมาชิกเอกลักษณ์** (อังกฤษ: identity element) หรือ **สมาชิกกลาง** (neutral element) คือสมาชิกพิเศษของเซตหนึ่งๆ ซึ่งเมื่อสมาชิกอื่นกระทำการดำเนินการทวิภาคกับสมาชิกพิเศษนั้นแล้วได้ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง สมาชิกเอกลักษณ์มีที่ใช้สำหรับเรื่องของกรุปและแนวความคิดที่เกี่ยวข้อง คำว่า *สมาชิกเอกลักษณ์* มักเรียกโดยย่อว่า *เอกลักษณ์*

กำหนดให้กรุป (*S*, \*) เป็นเซต *S* ที่มีการดำเนินการทวิภาค \* (ซึ่งรู้จักกันในชื่อ แม็กม่า (magma)) สมาชิก *e* ในเซต *S* จะเรียกว่า **เอกลักษณ์ซ้าย** (left identity) ถ้า *e* \* *a* = *a* สำหรับทุกค่าของ *a* ในเซต *S* และเรียกว่า **เอกลักษณ์ขวา** (right identity) ถ้า *a* \* *e* = *a* สำหรับทุกค่าของ *a* ในเซต *S* และถ้า *e* เป็นทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา เราจะเรียก *e* ว่าเป็น **เอกลักษณ์สองด้าน** (two-sided identity) หรือเรียกเพียงแค่ *เอกลักษณ์*

เอกลักษณ์ที่อ้างถึงการบวกเรียกว่า *เอกลักษณ์การบวก* ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ **0** ส่วนเอกลักษณ์ที่อ้างถึงการคูณเรียกว่า *เอกลักษณ์การคูณ* ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ **1** ความแตกต่างของสองเอกลักษณ์นี้มักถูกใช้บนเซตที่รองรับทั้งการบวกและการคูณ ตัวอย่างเช่น ริง นอกจากนั้นเอกลักษณ์การคูณมักถูกเรียกว่าเป็น *หน่วย* (unit) ในบางบริบท แต่ทั้งนี้ หน่วย อาจหมายถึงสมาชิกตัวหนึ่งที่มีตัวผกผันการคูณในเรื่องของทฤษฎีริง

ตัวอย่าง
--------

| เซต | การดำเนินการ | สมาชิกเอกลักษณ์ |
| --- | --- | --- |
| จำนวนจริง | + (การบวก) | 0 |
| จำนวนจริง | · (การคูณ) | 1 |
| จำนวนจริง | *a**b* (การยกกำลัง) | 1 (เฉพาะเอกลักษณ์ซ้าย) |
| เมทริกซ์มิติ *m*×*n* | + (การบวก) | เมทริกซ์ศูนย์ |
| เมทริกซ์จัตุรัสมิติ *n*×*n* | · (การคูณ) | เมทริกซ์เอกลักษณ์ |
| ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต *M* ไปยัง *M* | ∘ (การประกอบฟังก์ชัน) | ฟังก์ชันเอกลักษณ์ |
| ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต *M* ไปยัง *M* | \* (สังวัตนาการ) | δ (ฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)) |
| สายอักขระ (string) หรือรายการ (list) | การต่อสายอักขระ (concatenation) | สายอักขระว่าง (empty string) หรือรายการว่าง (empty list) |
| จำนวนจริงขยาย (extended real number) | ค่าต่ำสุด/ขอบเขตล่างมากสุด | +∞ |
| จำนวนจริงขยาย (extended real number) | ค่าสูงสุด/ขอบเขตบนน้อยสุด | −∞ |
| เซตย่อยของเซต *M* | ∩ (อินเตอร์เซกชัน (intersection)) | *M* |
| เซตใดๆ | ∪ (ยูเนียน (union)) | ∅ (เซตว่าง) |
| ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) | ∧ (ตัวดำเนินการ *และ*) | ⊤ (ค่าจริง) |
| ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) | ∨ (ตัวดำเนินการ *หรือ*) | ⊥ (ค่าเท็จ) |
| พื้นผิวแบบปิด (compact surface) | # (ผลรวมเชื่อมโยง (connected sum)) | S² |
| เซตที่มีสมาชิกสองตัว {*e*, *f*} | \* ที่นิยามโดย*e* \* *e* = *f* \* *e* = *e* และ*f* \* *f* = *e* \* *f* = *f* | ทั้ง *e* และ *f* เป็นเอกลักษณ์ซ้าย แต่ไม่มีเอกลักษณ์ขวาหรือสองด้าน |

จากตัวอย่างสุดท้ายที่ได้แสดง กรุป (*S*, \*) สามารถมีเอกลักษณ์ซ้ายได้หลายตัว ซึ่งความจริงก็คือสมาชิกทุกตัวสามารถเป็นเอกลักษณ์ซ้ายได้ และในทางเดียวกันก็สามารถมีเอกลักษณ์ขวาได้หลายตัวด้วย ถ้าหากกรุปมีทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา และทั้งสองมีค่าเท่ากัน จะเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์สองด้านในสมาชิกตัวเดียวกัน ยกตัวอย่าง สมมติให้ *l* เป็นเอกลักษณ์ซ้าย และ *r* เป็นเอกลักษณ์ขวา ทั้ง *l* และ *r* จะเป็นเอกลักษณ์สองด้านก็ต่อเมื่อ *l* = *l* \* *r* = *r* นอกจากนั้นเอกลักษณ์สองด้านก็สามารถมีได้หลายตัวเช่นกัน

ยิ่งไปกว่านั้นก็มีความเป็นไปได้ในทางพีชคณิตที่จะไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์อยู่ในกรุปเลย ดังจะเห็นได้จากผลคูณจุดและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ ผลคูณจุดจะให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ใดเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ และผลคูณไขว้จะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในทิศทางตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้งและไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ลัพธ์อยู่ในทิศทางเดิมเหมือนตอนเริ่มต้น

ดูเพิ่ม
-------

* สมาชิกผกผัน
* ตัวผกผันการบวก
* โมนอยด์ (monoid)
* ยูนิทัล (unital)
* กรุปเสมือน (quasigroup)