มีหลายวิธีที่จะ "จำกัดความโครงสร้าง" ของจำนวนธรรมชาติโดยใช้ทฤษฎีเซต ซึ่งรวมไปถึงวิธีการใช้ลำดับบอน นิวมันน์ ที่ใช้เป็นสัจพจน์พื้นฐานของทฤษฎีเซต หรือจะใช้ระบบซึ่งใช้ความเท่ากันทุกประการของตัวเลข (Equinumerosity) ที่เสนอโดยไฟรเกอและรัสเซลล์

จำกัดความโดยใช้ลำดับบอน นิวมันน์
--------------------------------

ทฤษฎีเซตของเซอเมโล-แฟนเคิล (ZF) จำนวนธรรมชาติถูกจำกัดความแบบเวียนเกิด โดยให้ 0 = {} แทนเซตว่าง และ *n* + 1 = *n* ∪ {*n*} สำหรับ *n ใด ๆ* เมื่อ *n* = {0, 1, ... *n* − 1} สำหรับจำนวนธรรมชาติ *n ใด ๆ* โดยรูปแบบของตัวเลขแรก ๆ จะเป็น :

{\displaystyle 0=\{\}=\emptyset ,}
{\displaystyle 1=\{0\}=\{\emptyset \},}
{\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},}
{\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}.}
ระบบเซต N ของจำนวนธรรมชาตินี้ เซตที่มีขนาดเล็กที่สุดจะมีสมาชิกเป็น 0 และจบตรงที่ฟังก์ชันถ่ายทอด (Successor Function) S เมื่อ *S(n)* = *n* ∪ {*n*} ส่วนโครงสร้าง ⟨*N*,0,*S*⟩ เป็นโมเดลของสัจพจน์ของเปอาโน โดยการมีอยู่ของเซต N เป็นไปตามสัจพจน์แห่งอนันต์ ในทฤษฎีเซต ZF

เซต N และสมาชิกของตัวมันเอง เมื่อกหนดโครงสร้างมาแบบนี้ ซึ่งเป็นส่วนแรกของลำดับบอน นิวมันน์

จำกัดความโดยเฟรเกอและรัสเซิลล์
------------------------------

กอทโลพ เฟรเกอ และ เบอร์ทรันด์ รัสเซิลล์ ที่ต่างก็จำกัดความจำนวนธรรมชาติ n ให้เป็นสมาชิกของเซตด้วยสมาชิก n จำนวนธรรมชาติเป็นชั้นสมดุล (ชั้นเท่ากันทุกประการ (Equivalence Class)) ของเซตจำกัดภายใต้ความสัมพันธ์สมดุล (Equivalence Relation) ของความเท่ากันทุกประการของตัวเลข (Equinumerosity) คำจำกัดความนี้อาจจะทำให้วกวนไปมา แต่ไม่เลย เพราะความเท่ากันทุกประการของตัวเลขสามารถจำกัดความแบบย้อนได้ เช่นเดียวกับหลักของฮูม

คำจำกัดความนี้ใช้ในทฤษฎีเซตบริสุทธิ์, ทฤษฎีไทป์ และทฤษฎีเซต ที่แตกแขนงออกมาจากทฤษฎีไทป์ เช่นเดียวกับรากฐานคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ และระบบอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง แต่ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ทฤษฎีเซต ZFC เพราะในระบบนั้น เรื่องชั้นเท่ากันทุกประการในเรื่องความเท่ากันทุกประการของตัวเลขนั้นเป็นชั้นที่เหมาะสมกว่าเซต

วิลเลียม เอส. ฮัตเชอร์ (1982) ได้นำแนวคิดสัจพจน์ของเปอาโนมาใช้อีกจากหลาย ๆ รากฐาน รวมถึง ZFC และทฤษฎีจัดลำดับ และระบบจากหนังสือ *Frege's* *Grundgesetze der Arithmetik* และการลบโดยธรรมชาติ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ได้พิสูจน์แล้วว่าระบบนี้ไม่แน่นอน แต่จอร์จ บูลอส (1998) และเดวิด เจ. แอนเดอร์สัน และเอ็ดเวิร์ด เอ็น. ซาลตา (2004) ได้ออกมาแก้ไขช่องโหว่นี้

ดูเพิ่ม
-------

* iconสถานีย่อยคณิตศาสตร์

* รากฐานของคณิตศาสตร์

อ้างอิง
-------

* Anderson, D. J. and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," *Journal of Philosophical Logic 33*: 1–26.
* George Boolos, 1998. *Logic, Logic, and Logic*.
* Hatcher, William S. 1982. *The Logical Foundations of Mathematics*. Pergamon. In this text, **S** refers to the Peano axioms.
* Holmes, Randall, 1998. *Elementary Set Theory with a Universal Set เก็บถาวร 2011-04-11 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน*. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
* Patrick Suppes, 1972 (1960). *Axiomatic Set Theory*. Dover.

ลิงค์อ่านเพิ่ม
--------------

* Stanford Encyclopedia of Philosophy:
	+ Quine's New Foundations — by Thomas Forster.
	+ Alternative axiomatic set theories — by Randall Holmes.
* McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers?"
* Randall Holmes: New Foundations Home Page. เก็บถาวร 2020-03-21 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน