มัชฌิมเรขาคณิตตัวอย่าง: {\displaystyle l\_{g}} (สีแดง) เป็นมัชฌิมเรขาคณิตของ {\displaystyle l\_{1}} กับ {\displaystyle l\_{2}} โดยในตัวอย่างนี้ ส่วนของเส้นตรง {\displaystyle l\_{2}\;({\overline {BC}})} ถูกกำหนดให้ตั้งฉากกับ {\displaystyle {\overline {AB}}} (ภาพเคลื่อนไหวจะค้างไว้ 10 วินาทีก่อนเริ่มเล่นใหม่อีกครั้ง )
ในวิชาคณิตศาสตร์ **มัชฌิมเรขาคณิต** เป็นค่ามัชฌิมหรือค่าเฉลี่ยที่บ่งบอกถึงแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจากมัชฌิมเลขคณิตซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือรากที่ *n* ของผลคูณของจำนวน n จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน *a*1, *a*2, ... *an* มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น

{\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}}}
หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนในมาตราส่วนลอการิทึม

{\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits \_{i=1}^{n}\ln a\_{i}}\right)}}
ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็นรากที่สอง (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ {\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4} ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็นรากที่สามของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ {\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2} มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้น

มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็นเลขยกกำลัง เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ อาทิจำนวนประชากรโลกหรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์ โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)

สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของเรขาคณิตได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน {\displaystyle a} กับ {\displaystyle b} เป็นความยาวของด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, กับ c เป็นความยาวของสันหนึ่งของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่ามัชฌิมพีทาโกรัสเช่นเดียวกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (Inequality of arithmetic and geometric means))

การคำนวณ
--------

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล {\textstyle \left\{a\_{1},a\_{2},\,\ldots ,\,a\_{n}\right\}} มีนิยามเป็น:

{\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}}.}
สมการนี้ใช้สัญกรณ์ *π* ตัวใหญ่เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้ผลคูณรวมของเซต จากนั้นจึงหารากที่ *n* ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน {\textstyle \{1,2,3,4\}} ผลคูณของ {\textstyle 1\times 2\times 3\times 4} เท่ากับ {\textstyle 24} แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง {\textstyle {\frac {1}{n}}} ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ *n* กล่าวคือ {\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}.

### การคำนวณด้วยการทำซ้ำ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะน้อยกว่ามัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่ามัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ

มัชฌิมเรขาคณิตคือ **มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก** ด้วย ในแง่ที่หากมีลำดับอยู่สองลำดับ ({\textstyle a\_{n}} และ {\textstyle h\_{n}}) ที่มีนิยามว่า:

{\displaystyle a\_{n+1}={\frac {a\_{n}+h\_{n}}{2}},\quad a\_{0}=x}
และ

{\displaystyle h\_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a\_{n}}}+{\frac {1}{h\_{n}}}}},\quad h\_{0}=y}
โดยที่ {\textstyle a\_{n+1}} คือมัชฌิมเลขคณิตและ {\textstyle h\_{n+1}} คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว {\textstyle a\_{n}} และ {\textstyle h\_{n}} จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ {\textstyle x} และ {\textstyle y} ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:

{\displaystyle {\sqrt {a\_{i}h\_{i}}}={\sqrt {\frac {a\_{i}+h\_{i}}{\frac {a\_{i}+h\_{i}}{h\_{i}a\_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a\_{i}+h\_{i}}{{\frac {1}{a\_{i}}}+{\frac {1}{h\_{i}}}}}}={\sqrt {a\_{i+1}h\_{i+1}}}}
และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วยมัชฌิมทั่วไป (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง p เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1

### ความสัมพันธ์กับลอการิทึม

มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูปเลขชี้กำลังของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมได้ การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมเพื่อแปลงสภาพของสูตร:

โดยที่ {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}>0}

{\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\ln a\_{i}\right];}
เพราะ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&={\sqrt[{n}]{a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}}}\\&=e^{\ln(a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n})^{1/n}}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\left(\ln a\_{1}+\ln a\_{2}+\cdots +\ln a\_{n}\right)}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\ln a\_{i}}\\{\text{geometric mean(}}a{\text{)}}&=e^{{\text{arithmetic mean(ln(}}a{\text{))}}}\end{aligned}}}
หรือสามารถใช้ฐานเป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง 

นอกจากนั้น หากให้ {\displaystyle a\_{i}} เป็นจำนวนลบได้

{\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\ln \left|a\_{i}\right|\right],}
โดยที่ *m* คือจำนวนของจำนวนลบ

นี่บางครั้งถูกเรียกว่า **log-average** (อย่าสับสนกับมัชฌิมลอการิทึม (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตของค่า {\displaystyle a\_{i}} ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็นมัชฌิมกึ่งเลขคณิต (Quasi-arithmetic mean) ที่ {\displaystyle f(x)=\log x} ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย {\displaystyle b} เป็นฐานค่าใดก็ตามของลอการิทึม (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 ค่า e หรือ 10):

{\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log \_{b}(2)+\log \_{b}(8)\right]}=4}
สำหรับชุดข้อมูล {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

{\displaystyle f(a)=\sum \_{i=1}^{n}(\log(a\_{i})-\log(a))^{2}=\sum \_{i=1}^{n}(\log(a\_{i}/a))^{2}},
โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตในภาษาคอมพิวเตอร์ เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิดสภาวะน้อยเกินเก็บ (arithmetic underflow) หรือสภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน

### เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต

การพิสูจน์โดยไม่ใช้คำพูดเชิงเรขาคณิตว่า *max* (*a*,*b*) > รูตมีนสแควร์ (**RMS**) หรือค่าเฉลี่ยกำลังสอง (**QM**) > มัชฌิมเลขคณิต (**AM**) > มัชฌิมเรขาคณิต (**GM**) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (**HM**) > *min* (*a*,*b*) ของจำนวนบวกที่ต่างกันสองจำนวน *a* และ *b*
การพิสูจน์อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตโดยไม่ใช้คำพูด (Proof without words):  

  

{\displaystyle PR} คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง {\displaystyle O}; รัศมี {\displaystyle AO} คือมัชฌิมเลขคณิตของ {\displaystyle a} กับ {\displaystyle b}; ส่วนสูง {\displaystyle GQ} ของรูปสามเหลี่ยม {\displaystyle PGR} คือมัชฌิมเรขาคณิตจากทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต (geometric mean theorem)   

  

{\displaystyle AO\geq GQ} สำหรับอัตราส่วน {\displaystyle a:b} ใด ๆ
บทความหลัก: อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5 

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง

### อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย

ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ {\displaystyle a\_{0},a\_{1},...a\_{n}} โดยที่ {\displaystyle n} คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง {\displaystyle a\_{k}} และ {\displaystyle a\_{k+1}} คือ {\displaystyle a\_{k+1}/a\_{k}} มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:

{\displaystyle \left({\frac {a\_{1}}{a\_{0}}}{\frac {a\_{2}}{a\_{1}}}\cdots {\frac {a\_{n}}{a\_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a\_{n}}{a\_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}

การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน
--------------------------------------------

สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ {\displaystyle X} และ {\displaystyle Y} ที่ความยาวเท่ากัน

{\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X\_{i}}{Y\_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X\_{i})}{\operatorname {GM} (Y\_{i})}}}
จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่ง*ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน* (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

**ตาราง 1**

|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| **โปรแกรม 1** | 1 | 10 | 20 |
| **โปรแกรม 2** | 1000 | 100 | 20 |
| **มัชฌิมเลขคณิต** | 500.5 | 55 | **20** |
| **มัชฌิมเรขาคณิต** | 31.622. .. | 31.622. .. | **20** |
| **มัชฌิมฮาร์มอนิก** | **1.998. . .** | 18.182. .. | 20 |

ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว *แล้ว*ใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

**ตาราง 2**

|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| **โปรแกรม 1** | 1 | 10 | 20 |
| **โปรแกรม 2** | 1 | 0.1 | 0.02 |
| **มัชฌิมเลขคณิต** | **1** | 5.05 | 10.01 |
| **มัชฌิมเรขาคณิต** | 1 | 1 | **0.632. . .** |
| **มัชฌิมฮาร์มอนิก** | 1 | 0.198. .. | **0.039. . .** |

ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

**ตาราง 3**

|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| **โปรแกรม 1** | 0.1 | 1 | 2 |
| **โปรแกรม 2** | 10 | 1 | 0.2 |
| **มัชฌิมเลขคณิต** | 5.05 | **1** | 1.1 |
| **มัชฌิมเรขาคณิต** | 1 | 1 | **0.632** |
| **มัชฌิมฮาร์มอนิก** | **0.198. . .** | 1 | 0.363. .. |

และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:

**ตาราง 4**

|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| **โปรแกรม 1** | 0.05 | 0.5 | 1 |
| **โปรแกรม 2** | 50 | 5 | 1 |
| **มัชฌิมเลขคณิต** | 25.025 | 2.75 | **1** |
| **มัชฌิมเรขาคณิต** | 1.581. .. | 1.581. .. | **1** |
| **มัชฌิมฮาร์มอนิก** | **0.099. . .** | 0.909. .. | 1 |

ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง p มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง
----------------------------------

หาก {\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )} เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ

{\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int \_{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ {\displaystyle f(x)=x} ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ {\displaystyle {\frac {1}{e}}}

การประยุกต์ใช้
--------------

### การเติบโตตามสัดส่วน

ข้อมูลเพิ่มเติม: อัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น
มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่ามัชฌิมเลขคณิต ไม่ว่าจะเป็นการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่าอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน 

สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วยมัชฌิมเลขคณิตได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี

แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249} ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก

### การเงิน

มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีตดัชนีเอฟที 30 (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ ของสหราชอาณาจักรและสหภาพยุโรปก็ใช้เช่นกัน

นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต

### สังคมศาสตร์

แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:

> มัชฌิมเรขาคณิตลดระดับการทดแทนกันได้ของแต่ละมิติ และรับรองว่าการลดลงร้อยละ 1 ของการคาดหมายคงชีพเมื่อกำเนิดเป็นต้นจะส่งผลต่อดัชนี HDI เท่ากับการลดลงร้อยละ 1 ในการศึกษาหรือรายได้ ดังนั้น การใช้วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ต่าง ๆ จะเคารพความแตกต่างในตัวเองของแต่ละมิติมากกว่าวิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบง่าย
> 
> 
> 

รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของดัชนีแอตคินสัน (Atkinson Index) ที่มีตัวแปรความรังเกียจความไม่เท่าเทียม (inequality aversion) {\displaystyle \epsilon =1.0} คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับค่านอร์ม {\displaystyle L^{p}} ({\displaystyle L^{p}} space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย {\displaystyle p=1-\epsilon }

### เรขาคณิต

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากวัดจากมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือมัชฌิมเรขาคณิตของความยาวของทั้งสองส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วน ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมทั้งสามรูปของด้าน (*p* + *q*, *r*, *s* ), (*r*, *p*, *h* ) และ (*s*, *h*, *q* ) ได้  

{\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}
ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่าทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต

ในกรณีของวงรี กึ่งแกนโทคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจากโฟกัสไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม และกึ่งแกนเอกคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นบังคับ (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม

หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ {\displaystyle r} เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}

รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น

ระยะทางไปยังขอบฟ้าของทรงกลมมีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย

มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม (squaring the circle) ของศรีนิวาสะ รามานุชัน และการสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้วย "mean proportional"

### อัตราส่วนลักษณะ

การเปรียบเทียบพื้นที่เท่าระหว่างอัตราส่วนลักษณะต่าง ๆ ที่เคินส์ พาวเวอส์ ใช้เพื่อหามาตรฐานเอสเอ็มพีทีอี 16:9 สีแดงคือ   TV 4:3/1.33 สีส้มคือ   1.66 สีน้ำเงินคือ   **16:9/1.77** สีเหลืองคือ   1.85 สีม่วงคือ   Panavision/2.2 และสีชมพูคือ   CinemaScope/2.35 
มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือกอัตราส่วนลักษณะประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มีส่วนร่วมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน

ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ CinemaScope 2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ {\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}
เอสเอ็มพีทีอี (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ {\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}} เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการเชิงประจักษ์ เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน

เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับอัตราส่วนลักษณะ 14:9 ({\textstyle 1.55{\overline {5}}}...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง

### ขนาดกระดาษ

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด {\displaystyle B\_{n}} มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด {\displaystyle A\_{n}} กับ {\displaystyle A\_{n-1}} ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}} เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 ({\displaystyle 1\mathrm {m} ^{2}}) กับของกระดาษ A1 ({\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}) 

{\displaystyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}

ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น กระดาษ C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4

ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี

### อื่น ๆ

* *ความราบเชิงสเปกตรัม* (Spectral flatness) ในการประมวลผลสัญญาณคือหน่วยวัดความแบนราบหรือความแหลมของสเปกตรัม มีนิยามเป็นอัตราส่วนระหว่างมัชฌิมเรขาคณิตกับมัชฌิมเลขคณิตของสเปกตรัมกำลัง
* *สารเคลือบกันแสงสะท้อน* (Anti-reflective coatings) เป็นสารเคลือบที่ลดการสะท้อนระหว่างสื่อกลางสองประเภทที่มีดัชนีหักเหเท่ากับ {\displaystyle n\_{0}} และ {\displaystyle n\_{2}} โดยดัชนีหักเหที่ดีที่สุดของสารเคลือบกันแสงสะท้อน {\displaystyle n\_{1}} จะเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิต {\displaystyle n\_{1}={\sqrt {n\_{0}n\_{2}}}}
* ใน*การผสมสีเชิงลบ* (Subtractive color mixing) เส้นโค้งความสะท้อนเชิงสเปกตรัม (spectral reflectance curve) ของส่วนผสมของสี (Color mixing) ที่มีระดับอ่อน (Tint, shade and tone) ความทึบแสง (Opacity (optics)) และความเจือจางเท่ากัน จะมีค่าโดยประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของเส้นโค้งความสะท้อนของสีแต่ละสี โดยคำนวณที่แต่ละความยาวคลื่นในสเปกครัมของสีเหล่านั้น
* *ตัวกรองมัชฌิมเรขาคณิต* (geometric mean filter) ถูกใช้ในการประมวลผลภาพเพื่อกรองสิ่งรบกวนออกไป

ดูเพิ่ม
-------

* iconสถานีย่อยคณิตศาสตร์

* การสร้างจัตุรัสพื้นที่เท่า (Quadrature (mathematics))
* การแจกแจงล็อกปรกติ (Log-normal distribution)
* ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
* ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิต (Geometric standard deviation)
* ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต
* ผลคูณ
* พิกัดเชิงไฮเพอร์โบลา (Hyperbolic coordinates)
* ภาวะความแปรปรวนต่าง (Heteroscedasticity)
* มัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต
* มัชฌิมทั่วไป
* มัชฌิมฮาร์มอนิก
* มัชฌิมแบบเฮรอน (Heronian mean)
* มัชฌิมพีทาโกรัส
* มัชฌิมกึ่งเลขคณิต
* มัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก (Weighted geometric mean)
* อสมการของมิวร์เฮด (Muirhead's inequality)
* อัตราผลตอบแทน (Rate of return)

หมายเหตุ
--------

1. ↑  มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารากของผลคูณที่มีค่าเป็นลบ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจินตภาพ

อ้างอิง
-------

1. ↑  Friehauf, Matt; Hertel, Mikaela; Liu, Juan; Luong, Stacey (2013). "On Compass and Straightedge Constructions: Means" (PDF). Department of Mathematics, University of Washington. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 17 สิงหาคม 2022. สืบค้นเมื่อ 14 มิถุนายน 2018.
2. ↑  Joyce, David E. (2013). "Book VI, Proposition 13, To find a mean proportional to two given straight lines.". *Euclid's Elements*. Department of Mathematics and Computer Science, Clark University. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023. สืบค้นเมื่อ 19 กรกฎาคม 2019.
3. ↑  "2.5: Geometric Mean". *Introductory Business Statistics (OpenStax)*. *Statistics LibreTexts* (ภาษาอังกฤษ). 20 เมษายน 2019. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023. สืบค้นเมื่อ 16 สิงหาคม 2021.
4. ↑  Crawley, Michael J. (2005). *Statistics: An Introduction using R*. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
5. ↑  ถ้า {\displaystyle AC=a} และ {\displaystyle BC=b} แล้ว {\displaystyle OC=AM} ของ a กับ b และรัศมี {\displaystyle r=QO=OG}  
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ {\displaystyle QC^{2}=QO^{2}+OC^{2}\therefore QC={\sqrt {QO^{2}+OC^{2}}}=QM}  
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ {\displaystyle OC^{2}=OG^{2}+GC^{2}\therefore GC={\sqrt {OC^{2}-OG^{2}}}=GM}  
ใช้รูปสามเหลี่ยมคล้ายได้ {\displaystyle {\frac {HC}{GC}}={\frac {GC}{OC}}\therefore HC={\frac {GC^{2}}{OC}}=HM}
6. ↑  Mitchell, Douglas W. (2004). "More on spreads and non-arithmetic means". *The Mathematical Gazette*. **88**: 142–144. doi:10.1017/S0025557200174534. S2CID 168239991.
7. ↑  Fleming, Philip J.; Wallace, John J. (1986). "How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results". *Communications of the ACM*. **29** (3): 218–221. doi:10.1145/5666.5673. S2CID 1047380.
8. ↑  Smith, James E. (1988). "Characterizing computer performance with a single number". *Communications of the ACM*. **31** (10): 1202–1206. doi:10.1145/63039.63043. S2CID 10805363.
9. 1 2  Rowley, Eric E. (1987). *The Financial System Today*. Manchester University Press. ISBN 0719014875.
10. ↑  Bird, Derek (12 มีนาคม 2013). Introducing the new RPIJ measure of Consumer Price Inflation (Report). Office for National Statistics. p. 4.
11. ↑  "Frequently Asked Questions - Human Development Reports". *hdr.undp.org*. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2 มีนาคม 2011. The geometric mean reduces the level of substitutability between dimensions and at the same time ensures that a 1 percent decline in say life expectancy at birth has the same impact on the HDI as a 1 percent decline in education or income. Thus, as a basis for comparisons of achievements, this method is also more respectful of the intrinsic differences across the dimensions than a simple average.
12. ↑  Ramanujan, S. (1914). "Modular equations and approximations to π" (PDF). *Quarterly Journal of Mathematics*. **45**: 350–372. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 9 พฤศจิกายน 2022.
13. ↑  Stowell, T.P. (1876) [1818]. "Extract from Leybourn's Math. Repository". *The Analyst*. Vol. 3–4. Mills & Company – โดยทาง Google Books.
14. 1 2  "The Father Of 16:9". *TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios* (PDF). *The CinemaSource Press*. 2001. p. 8. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 9 กันยายน 2009. สืบค้นเมื่อ 24 ตุลาคม 2009.
15. ↑  US 5956091, DREWERY; JOHN OLIVER; DEVEREUX; VICTOR GERALD, "Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays", issued 21 กันยายน 1999
16. ↑  MacEvoy, Bruce. "Colormaking Attributes: Measuring Light & Color". *handprint.com*. Colorimetry. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 14 กรกฎาคม 2019. สืบค้นเมื่อ 2 มกราคม 2020.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* เว็บไซต์คำนวณมัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิต. เก็บถาวร 2023-02-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* มัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* ควรใช้มัชฌิมเรขาคณิตเมื่อใด (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* การคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตด้วยข้อมูลชนิดต่าง ๆ (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2010-11-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* มัชฌิมเรขาคณิตที่เว็บไซต์ MathWorld (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-03-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* ความหมายเชิงเรขาคณิตของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* เครื่องคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ (ภาษาพีเอชพี)
* การคำนวณการแบ่งสรรปันส่วนที่นั่งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรสหรัฐโดยใช้มัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2022-09-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* เว็บไซต์แคลคูลัสแบบนอนนิวโตเนียน (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* นิยามและสูตรของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-03-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Wilson, David A. L.; Martin, Barry (มีนาคม 2006). "The Distribution of the Geometric Mean". *The Mathematical Gazette* (ภาษาอังกฤษ). **90** (517): 40–49. JSTOR 3621411.
* Vogel, Richard M. (2020). "The geometric mean?" (PDF). *Communications in Statistics - Theory and Meth* (ภาษาอังกฤษ). **51** (1): 82–94. doi:10.1080/03610926.2020.1743313. ISSN 1532-415X. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023 – โดยทาง sites.tufts.edu.