ในทางคณิตศาสตร์ **ลำดับเรขาคณิต** (อังกฤษ: geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า *อัตราส่วนร่วม* (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ *a*1 และมีอัตราส่วนร่วม *r* ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ *n* ของลำดับนี้คือ

{\displaystyle a\_{n}=a\_{1}r^{n-1}\,\!}
หรือในกรณีทั่วไป จะได้

{\displaystyle a\_{n}=a\_{m}r^{n-m}\,\!}
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

{\displaystyle a\_{n}=ra\_{n-1}\,\!}

สมบัติเบื้องต้น
---------------

การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้

* ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
* ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
* ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
* ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
* ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยังศูนย์
* ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
* ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์

จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต

ผลรวม
-----

บทความหลัก: อนุกรมเรขาคณิต
ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า **อนุกรมเรขาคณิต** (อังกฤษ: geometric series)

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!}
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย {\displaystyle (1-r)} แล้วเราจะได้

{\displaystyle (1-r)\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,\!}
ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ *r* ≠ 1

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}}
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}}
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ *r* เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย {\displaystyle (1-r^{2})}

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}}
จะได้สูตร

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}
ส่วนเลขชี้กำลังของ *r* ที่มีแต่จำนวนคี่

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}
จะได้สูตร

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}
### อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด

**อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด** คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง ({\displaystyle |r|<1}) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim \_{n\to \infty }{\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim \_{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}
ซึ่ง {\displaystyle r^{k}} จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ *k* มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ {\displaystyle |r|<1} ดังนั้น

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ *r* เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}
ส่วนเลขชี้กำลังของ *r* ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}
โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ {\displaystyle |r|<1} เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

ผลคูณ
-----

ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

{\displaystyle \prod \_{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a\_{1}\cdot a\_{n+1}}}\right)^{n+1}} เมื่อ {\displaystyle a,r>0}
พิสูจน์
กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย *P*

{\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}
รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}
นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ *r*

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}
{\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

{\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}
และในที่สุดก็จะได้

{\displaystyle P^{2}=(a\_{1}\cdot a\_{n+1})^{n+1}}
{\displaystyle P=(a\_{1}\cdot a\_{n+1})^{\frac {n+1}{2}}}

ดูเพิ่ม
-------

* อนุกรมเรขาคณิต
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* ลำดับเลขคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Sequence" จากแมทเวิลด์.
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Series" จากแมทเวิลด์.