ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เพาลีคือเซตของ เมทริกซ์ 2 X 2 มิติที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์แบบ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และเมทริกซ์ยูนิแทรี่ (unitary matrix) โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยตัวอักษรกรีก sigma (σ) บางครั้งก็ถูกแทนด้วยตัวอักษร tau (τ) เมื่อใช้เชื่อมโยงเกี่ยวกับ isospin symmetries ในวิชาควอนตัม

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{1}=\sigma \_{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma \_{2}=\sigma \_{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma \_{3}=\sigma \_{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}

เมทริกซ์เหล่านี้ถูกต้องชื่อตามนักฟิสิกส์ที่ชื่อว่า วูล์ฟกัง เพาลี (Wolfgang Pauli) เนื่องจากพวกมันเกิดขึ้นในสมการของเพาลีที่นำมาใช้พิจารณาปฏิกิริยาระหว่างสปินของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์เพาลีเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมที่สอดคล้องกับการอธิบายสปินของอนุภาคในแต่ละทิศทาง เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันจะเป็นเมทริกซ์เอร์มีเชียนโดยที่กำลังสองของตัวมันเองจะเท่ากับเมริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) รูปแบบของเมทริกซ์เพาลีเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 x 2 มิติ

### **สมบัติพีชคณิต**

เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันสามารถเขียนอยู่ในรูปนิพจน์เดียวได้ดังนี้

{\displaystyle \sigma \_{a}={\begin{pmatrix}\delta \_{a3}&\delta \_{a1}-i\delta \_{a2}\\\delta \_{a1}+i\delta \_{a2}&-\delta \_{a3}\end{pmatrix}}}

เมื่อ *i* = √−1 คือ จำนวนจินตภาพ และ *δab* คือ Kronecker delta

เมทริกซ์นี้จะมีความเป็นเอกลักษณ์ดังนี้

{\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}=\sigma \_{3}^{2}=-i\sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}

เมื่อ *I* คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์

* Determinants และ Traces (ผลรวมของเมทริกซ์ในแนวทะแยง) ของเมทริกซ์เพาลีคือ

{\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma \_{i}&=-1,\\\operatorname {Tr} \sigma \_{i}&=0.\end{aligned}}}

จากข้างต้นเราสามารถอนุมาน eigenvalue ของแต่ละ *σ**i*  คือ ±1

### **Eigenvectors และ Eigenvalues**

Eigenvalue ของเมทริกซ์เพาลีแต่ละตัวมี 2 ค่าคือ +1 และ -1 ซึ่ง Eigenvector ที่สอดคล้องคือ

{\displaystyle {\begin{aligned}&\psi \_{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&\psi \_{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\\&\psi \_{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&\psi \_{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},\\&\psi \_{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&\psi \_{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

### เวกเตอร์ของเพาลี

เวกเตอร์เพาลีถูกนิยามโดย

{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma \_{1}{\hat {x}}+\sigma \_{2}{\hat {y}}+\sigma \_{3}{\hat {z}}\,}

และจากพื้นฐานของเวกเตอร์ทำให้เวกเตอร์เพาลีจะเป็นตาม

{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a\_{i}{\hat {x}}\_{i})\cdot (\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{j})\\&=a\_{i}\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{i}\cdot {\hat {x}}\_{j}\\&=a\_{i}\sigma \_{j}\delta \_{ij}\\&=a\_{i}\sigma \_{i}={\begin{pmatrix}a\_{3}&a\_{1}-ia\_{2}\\a\_{1}+ia\_{2}&-a\_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

ใช้การรวมแบบ summation convention

{\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2},}

จะมีค่า Eigenvalue เป็น {\displaystyle \pm |{\vec {a}}|}

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {tr} [({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}){\vec {\sigma }}]={\vec {a}}~.}

และจะมี Eigenvector คือ {\displaystyle \psi \_{+}={\begin{pmatrix}a\_{3}+|{\vec {a}}|\\a\_{1}+ia\_{2}\end{pmatrix}};\qquad \psi \_{-}={\begin{pmatrix}ia\_{2}-a\_{1}\\a\_{3}+|{\vec {a}}|\end{pmatrix}}.}

อ้างอิง
-------