**รูปสามเหลี่ยม** เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด *A*, *B*, และ *C* เขียนแทนด้วย  *ABC*

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
----------------------

### แบ่งตามความยาวของด้าน

* **รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า** (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
* **รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว** (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง
* **รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า** (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า | รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว | รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า |
| รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า | รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว | รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า |

### แบ่งตามมุมภายใน

* **รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก** (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า *ด้านตรงข้ามมุมฉาก* ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า *ด้านประกอบมุมฉาก* ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก *c* จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก *a*, *b* เขียนอย่างย่อเป็น {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ
* **รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง** (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
	+ **รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน** (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
	+ **รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม** (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน | รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม |
| รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน | รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม |
|   | {\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \_{}}รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก) |

ข้อเท็จจริงพื้นฐาน
------------------

ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ *Elements* เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ

มุมภายนอก *d* เท่ากับมุมภายใน *a* รวมกับ *c*
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทมุมภายนอก มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่นๆ

ผลบวกของความยาวของสองด้านใดๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า *คล้ายกัน* ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้

* รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน ถ้ามีมุมที่สมนัยกันอย่างน้อยสองมุมเท่ากัน
* ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้งสองประกอบอยู่สมภาค (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
* ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า *เท่ากันทุกประการ*) ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้

* สัจพจน์ *ด้าน-มุม-ด้าน*: ถ้าด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* สัจพจน์ *มุม-ด้าน-มุม*: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* สัจพจน์ *ด้าน-ด้าน-ด้าน*: ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท *มุม-มุม-ด้าน*: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่ไม่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท *ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก* (*ฉาก-ด้าน-ด้าน*): ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท *ด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม* (*ฉาก-มุม-ด้าน*): ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* เงื่อนไข *ด้าน-ด้าน-มุม* (*มุม-ด้าน-ด้าน*): ถ้าด้านสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน และถ้าหากมุมนั้นเป็นมุมป้าน นั่นคือด้านตรงข้ามยาวกว่าด้านประชิดมุม หรือด้านตรงข้ามเท่ากับไซน์ของมุมคูณด้วยด้านประชิดมุม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน (*มุม-มุม-มุม*) เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน

โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า

* เงื่อนไข *ด้าน-ด้าน-มุม* รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกันเสมอ
* สำหรับทฤษฎีบท *ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก* รูปสามเหลี่ยมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากไม่เช่นนั้นก็จะถูกจัดเป็นเงื่อนไข *ด้าน-ด้าน-มุม* ซึ่งก็รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน

การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไซน์และโคไซน์จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่องตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว *c* หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว *a* และ *b* หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!}
บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้

* มุมแหลมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุมประกอบมุมฉาก (complementary angles)

{\displaystyle a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\implies a+b=90^{\circ }\implies a=90^{\circ }-b}
* ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะมีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น √2 เท่าของด้านประกอบมุมฉาก
* ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตามกฎของไซน์และกฎของโคไซน์

จุด เส้นตรง และรูปวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม
----------------------------------------------------

ศูนย์กลางวงล้อม คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม 

ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

จุดตัดของส่วนสูงคือ จุดออร์โทเซนเตอร์
ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่า*ฐาน* (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า *เท้า* (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน
เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก

  

เซนทรอยด์ เป็นศูนย์ถ่วง
เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน
จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก

  

เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)
เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์

จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์

ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
----------------------------

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงได้เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีความยาวฐานกับความสูงที่เท่ากัน
การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh}
เมื่อ *S* หมายถึงพื้นที่ *b* คือความยาวของฐาน และ *h* คือความสูงหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน

ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้วสามารถคำนวณหาพื้นที่ได้โดยไม่ต้องวัดส่วนสูงเป็นต้น วิธีการที่หลากหลายถูกใช้ในทางปฏิบัติ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีต่อไปนี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ 

### ใช้เวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ กำหนดให้ *AB* และ *AC* เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก *A* ไป *B* และ *A* ไป *C* ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน *ABCD* คือ {\displaystyle |{AB}\times {AC}|} ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ *AB* กับ *AC* และ {\displaystyle |{AB}\times {AC}|} มีค่าเท่ากับ {\displaystyle |{h}\times {AC}|} เมื่อ *h* แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม *ABC* เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ {\displaystyle S={\frac {1}{2}}|{AB}\times {AC}|}

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม *ABC* ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของผลคูณจุดดังนี้

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,}
ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง *h*
### ใช้ตรีโกณมิติ

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ *h* = *a* sin γ นำไปแทนในสูตร *S* = ½*bh* ที่ได้จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }
นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin (*π* - α) = sin (β + γ) และเป็นเช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha )}
### ใช้พิกัด

ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ {\displaystyle {B=(x\_{B},y\_{B}),C=(x\_{C},y\_{C})}} แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก ½ เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x\_{B}&x\_{C}\\y\_{B}&y\_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x\_{B}y\_{C}-x\_{C}y\_{B}|}
สำหรับจุดยอดสามจุดใดๆ สมการคือ 121.12-74258/4561\*754120+54851

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x\_{A}y\_{C}-x\_{A}y\_{B}+x\_{B}y\_{A}-x\_{B}y\_{C}+x\_{C}y\_{B}-x\_{C}y\_{A}{\big |}}
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\big |}(x\_{C}-x\_{A})(y\_{B}-y\_{A})-(x\_{B}-x\_{A})(y\_{C}-y\_{A}){\big |}}
ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม {\displaystyle {A=(x\_{A},y\_{A},z\_{A}),B=(x\_{B},y\_{B},z\_{B}),C=(x\_{C},y\_{C},z\_{C})}} คือผลบวกพีทาโกรัสของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ฉายไปบนระนาบพื้นฐาน ({\displaystyle x=0,y=0,z=0})

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\z\_{A}&z\_{B}&z\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z\_{A}&z\_{B}&z\_{C}\\x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}}
### ใช้สูตรของเฮรอน

อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรของเฮรอน

{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
เมื่อ {\displaystyle s=(a+b+c)/2} คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน

{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}

การคำนวณด้านและมุม
------------------

โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการที่ได้รับการยอมรับหลากหลายวิธีเพื่อคำนวณความยาวของด้านหรือขนาดของมุม ในขณะที่วิธีการเฉพาะอย่างสามารถใช้ได้ดีกับค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งวิธีอื่นอาจต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากกว่า

### อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง
บทความหลัก: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สามารถใช้คำนวณหามุมที่ไม่ทราบขนาด หรือความยาวของด้านที่ไม่ทราบได้ ด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีดังต่อไปนี้

* *ด้านตรงข้ามมุมฉาก* คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก หรือนิยามเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้ ตามรูปคือด้าน *h*
* *ด้านตรงข้ามมุม* คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ *a*
* *ด้านประชิดมุม* คือด้านที่อยู่ติดต่อกันบนมุมฉากกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ *b*

#### ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

**ไซน์**ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

{\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}}
โปรดสังเกตว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปใดรูปหนึ่ง แค่เรามีมุมที่สนใจ *A* บนรูปสามเหลี่ยมนั้นก็เพียงพอ

**โคไซน์**ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านประชิดมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}}
**แทนเจนต์**ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านประชิดมุม

{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}}
เราสามารถท่องว่า "ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด" สำหรับการจำอัตราส่วนเหล่านี้อย่างย่อ

#### ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถใช้คำนวณมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ

**อาร์กไซน์** ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)}
**อาร์กโคไซน์** ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านประชิดมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right)}
**อาร์กแทนเจนต์** ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านประชิดมุม

{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)}
### กฎของไซน์และโคไซน์

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน *a*, *b*, *c* และมีมุม *α*, *β*, *γ* ตามลำดับ
บทความหลัก: กฎของไซน์ และ กฎของโคไซน์
**กฎของไซน์** (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule)  ระบุไว้ว่าอัตราส่วนของความยาวของด้าน *a* ที่สมนัยกับมุม *α* (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้าน *b* ที่สมนัยกับมุม *β* ดังนี้

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}
**กฎของโคไซน์** (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ทราบความยาว ไปยังด้านที่เหลือและมุมที่อยู่ตรงข้าม จากรูปทางซ้ายมือ สมมติว่าเราทราบความยาวของด้าน *a* และ *b* และทราบขนาดของมุมตรงข้าม *γ* ความยาวของด้าน *c* สามารถคำนวณจากสูตรต่อไปนี้

{\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\implies b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )\implies a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}

รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ
------------------------------

รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และรูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด

ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบมุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มากบนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180°

อ้างอิง
-------

1. ↑  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Equilateral triangle" จากแมทเวิลด์.
2. ↑  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Isosceles triangle" จากแมทเวิลด์.
3. ↑  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Scalene triangle" จากแมทเวิลด์.
4. ↑  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Triangle area" จากแมทเวิลด์.
5. ↑  Prof. David E. Joyce. "The Laws of Cosines and Sines". Clark University. สืบค้นเมื่อ 2008-11-1. `{{cite web}}`: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: `|accessdate=` (help)

ดูเพิ่ม
-------

* สมภาค (congruence)
* จุดแฟร์มาต์ (Fermat point)
* เทนเซอร์ความเฉื่อยของรูปสามเหลี่ยม (inertia tensor of triangle)
* กฎของไซน์, กฎของโคไซน์, กฎของแทนเจนต์
* ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
* จำนวนสามเหลี่ยม (triangular number)

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ **รูปสามเหลี่ยม**

* Area of a triangle - 7 different ways
* Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge.
* Basic Overview & Explanation of Triangles
* Deko Dekov: Computer-Generated Encyclopedia of Euclidean Geometry เก็บถาวร 2009-02-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน. Contains a few thousands theorems discovered by a computer about interesting points associated with any triangle.
* Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
* Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
* Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees
* The Triangles Web, by Quim Castellsaguer
* Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
* Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
* Triangles: Theorems and Problems. Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.
* Triangles at Mathworld

| * ด
* ค
* ก
รูปหลายเหลี่ยม |
| --- |
| รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมตามจำนวนด้าน |
| 1-10 ด้าน | หนึ่งเหลี่ยม
* สองเหลี่ยม
* สามเหลี่ยม
* สี่เหลี่ยม
* ห้าเหลี่ยม
* หกเหลี่ยม
* เจ็ดเหลี่ยม
* แปดเหลี่ยม
* เก้าเหลี่ยม
* สิบเหลี่ยม
 |
| 10-20 ด้าน | สิบเอ็ดเหลี่ยม
* สิบสองเหลี่ยม
* สิบสามเหลี่ยม
* สิบสี่เหลี่ยม
* สิบห้าเหลี่ยม
* สิบหกเหลี่ยม
* สิบเจ็ดเหลี่ยม
* สิบแปดเหลี่ยม
* สิบเก้าเหลี่ยม
* ยี่สิบเหลี่ยม
 |
| อื่นๆ | อนันต์เหลี่ยม |
| รูปดาวหลายแฉก | ดาวห้าแฉก
* ดาวหกแฉก
* ดาวเจ็ดแฉก
* ดาวแปดแฉก
* ดาวเก้าแฉก
* ดาวสิบแฉก
* ดาวสิบเอ็ดแฉก
* ดาวสิบสองแฉก
 |