**ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา** (อังกฤษ: Fermat's last theorem) เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งกล่าวว่า:

> ไม่มีจำนวนเต็มบวก *x*, *y*, และ *z* ที่ทำให้ {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\;} เมื่อ *n* เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2
> 
> 

ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ *Arithmetica* ของไดโอแฟนตัส ฉบับแปลเป็นภาษาละตินโดย Claude-Gaspar Bachet เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 358 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย จนกระทั่ง แอนดรูว์ ไวลส์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1994 ซึ่งเป็นผลให้เขาได้รับรางวัลอาเบลในปี 2016 จากบทพิสูจน์ที่ *"น่าตื่นตะลึง"*

ปีแยร์ เดอ แฟร์มา
ความสนใจของนักคณิตศาสตร์ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาทำให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ๆ ขึ้นมา ได้แก่ ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 และนำไปสู่บทพิสูจน์**ข้อคาดการณ์ทานิยามา-ชิมูระ**ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทมอดูลาริตี

บริบททางคณิตศาสตร์
------------------

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ *a*2 + *b*2 = *c*2 (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3, 4, 5) (32 + 42 = 52) หรือ (5, 12, 13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2

ประวัติในยุคแรก ๆ
-----------------

เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ *n* = 4 และกรณีที่ *n* เป็นจำนวนเฉพาะ ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า *n*.

แฟร์มาได้พิสูจน์กรณี *n* = 4, ออยเลอร์ พิสูจน์กรณี *n* = 3, ดิลิชเลต และ เลอจองดร์ พิสูจน์กรณี *n* = 5 เมื่อ ค.ศ. 1828, Gabriel Lamé พิสูจน์กรณี *n* = 7 เมื่อ ค.ศ. 1839

ใน ค.ศ. 1983 Gerd Faltings ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของ Mordell สำเร็จ ซึ่งกล่าวว่าสำหรับ *n* > 2 จะมีจำนวนเต็ม *a*, *b* และ *c* ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ *a**n* + *b**n* = *c**n* อยู่จำนวนจำกัด

บทพิสูจน์
---------

แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยแคมบริดจ์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเรื่องเส้นโค้งเชิงวงรี และ รูปแบบมอดุลาร์ ไวลส์ใช้เวลา 7 ปีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เขาทำการพิสูจน์โดยลำพัง และเก็บเรื่องนี้เป็นความลับมาโดยตลอด (ยกเว้น ตอนตรวจทานครั้งสุดท้าย ซึ่งเขาได้ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนของเขาที่ชื่อ Nick Katz) ในวันที่ 21-23 มิถุนายน ค.ศ. 1993 เขาก็ได้แสดงบทพิสูจน์ของเขาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ผู้เข้าฟังการบรรยายครั้งนั้นต่างก็ประหลาดใจไปกับวิธีการต่างๆ ในบทพิสูจน์ของเขา ต่อมา เขาก็พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ ไวลส์และ ริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) ลูกศิษย์ของเขาเองใช้เวลาอยู่หนึ่งปีในการแก้ไขบทพิสูจน์ใหม่ ในเดือนกันยายน ค.ศ. 1994 เขาก็ได้เสนอบทพิสูจน์ใหม่อีกครั้งที่ผ่านการแก้ไขแล้ว และตีพิมพ์ลงในวารสาร

แฟร์มามีบทพิสูจน์จริงหรือ?
--------------------------

หนังสือ *Arithmetica*  เมื่อ ค.ศ. 1621 ด้านขวาคือที่ว่างที่แฟร์มากล่าวว่ามีพื้นที่น้อยเกินไป
นี่คือข้อความที่แฟร์มาเขียนไว้บนหน้ากระดาษหนังสือ *Arithmetica*:

> Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.
> 
> 

> (มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งจำนวนยกกำลัง 3 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 3 สองจำนวน หรือแบ่งจำนวนยกกำลัง 4 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 4 สองจำนวน หรือกล่าวโดยทั่วไปว่า ไม่สามารถแบ่งจำนวนที่ยกกำลังมากกว่า 2 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลังเท่าเดิมสองจำนวนได้ ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่ขอบกระดาษนี้มีพื้นที่น้อยเกินกว่าที่จะเขียนบรรยายได้) 
> 
> 

หลายคนต่างสงสัยใน "บทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์" ของแฟร์มาว่ามันมีอยู่จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ของไวลส์นั้น หนาประมาณ 200 หน้า และยากเกินกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันจะเข้าใจ ในขณะที่บทพิสูจน์ของแฟร์มาน่าจะใช้วิธีที่พื้นฐานมากกว่านี้ เนื่องจากข้อจำกัดด้านความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ซึ่งก็เป็นเหตุให้นักคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์ที่เชี่ยวชาญด้านวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ก็ยังไม่ค่อยเชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับเลขยกกำลัง n ทุกจำนวนจริงๆ

แอนดรูส์ ไวลส์ เองก็เคยให้สัมภาษณ์ไว้ว่าเขาไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง

> I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant seventeenth century proof. 
> 
> 

> (ผมไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง ผมคิดว่าเขาหลอกให้ตัวเองเชื่อว่าเขามีบทพิสูจน์นั้น แต่สิ่งที่ทำให้โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่องพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นก็คือ มันทำให้เกิดความหวังว่า ยังมีโอกาสที่จะค้นพบบทพิสูจน์อันสวยงามได้โดยใช้เพียงความรู้คณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17) 
> 
>

ดูเพิ่ม
-------

* ข้อความคาดการณ์ของออยเลอร์
* สมมติฐานของรีมันน์

รายการอ้างอิง
-------------

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". *mathworld.wolfram.com* (ภาษาอังกฤษ).
2. 1 2  Wiles, Andrew (May 1995). "Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem". *The Annals of Mathematics*. **141** (3): 443. doi:10.2307/2118559.
3. ↑  "The Abel Prize Laureate 2016". *www.abelprize.no*. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2021-04-14. สืบค้นเมื่อ 2021-02-08.
4. ↑  Stewart, Ian; Tall, David. *Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem*. CRC PRESS. ISBN 9780367658717.
5. ↑  "Shimura-Taniyama conjecture - Encyclopedia of Mathematics". *encyclopediaofmath.org*.
6. ↑  Stillwell, John. *Mathematics and its history : a concise edition*. Springer. p. 210-211. ISBN 978-3-030-55192-6.
7. ↑  "NOVA Online | The Proof | Solving Fermat: Andrew Wiles". *www.pbs.org*.

ดูเพิ่ม
-------

* Stewart, Ian; Tall, David. *Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem*. CRC PRESS. ISBN 9780367658717.
* Saitō, Takeshi. *Fermat’s Last Theorem: The Proof*. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9849-9.
* "Fermat's last theorem". *Encyclopedia of Mathematics*.