กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง {\displaystyle y=e^{x}}
**ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง** หรือ **ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล** (อังกฤษ: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน *e**x* เมื่อ *e* คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน *e**x* เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง *e* มีค่าประมาณ 2.718281828)  ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(*x*) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้

กราฟของฟังก์ชัน *y* = *e**x* มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ *x* เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน *x* เสมอ แต่เมื่อ *x* เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน *x* ดังนั้นแกน *x* จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด *y* ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(*x*) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น *แอนติลอการิทึม* (antilogarithm) 

ในบางกรณีคำว่า *ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง* ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ *cb**x* เมื่อ *b* คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น *e* ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้

โดยทั่วไปตัวแปร *x* สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย

ภาพรวม
------

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง  และนำไปสู่จำนวน *e* ที่ไม่ทราบค่าดังนี้

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว 

ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี *x* โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น *x*/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+*x*/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+*x*/12)12 ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+*x*/365)365 และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้

{\displaystyle \exp(x)=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์  สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์

จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน

{\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}....
จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ *e**x* ได้

อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)

นิยามเชิงรูปนัย
---------------

ดูบทความหลักที่: การอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (สีน้ำเงิน) และผลบวกของ *n* + 1 พจน์แรกของอนุกรมกำลัง (สีแดง)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง *e**x* สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้ 

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

*e**x* อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ *y* ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า

{\displaystyle x=\int \_{1}^{y}{dt \over t}}
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}

อนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์
----------------------------

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชัน; จากจุด *P* ใด ๆ บนเส้นโค้ง (สีน้ำเงิน) ถ้ามีเส้นสัมผัส (สีแดง) และเส้นตรงตามแนวดิ่งจากจุดสัมผัส (สีเขียว) ตามลักษณะดังรูป จะเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนฐานแกน *x* (สีเขียว) ที่มีความยาว 1 หน่วย ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่จุด *P* จึงเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยม (ค่าของฟังก์ชัน)
ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}
นั่นคือ *e**x* เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ *ce**x* ซึ่ง *c* เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ *k* เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน *f* : **R**→**R** จะสอดคล้องกับเงื่อนไข *f* ′ = *kf* ก็ต่อเมื่อ *f*(*x*) = *ce**kx* สำหรับค่าคงตัว *c* บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น

* ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น
* อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด *x* เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด *x*
* ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ *y* ′ = *y*
* exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)

โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ

{\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a}
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง

{\displaystyle \left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c},\qquad c>0}
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า *c* ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ *c* < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา

นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ *f*(*x*) ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้

{\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}

เศษส่วนต่อเนื่องของ *e**x*
--------------------------

เศษส่วนต่อเนื่องของ *e**x* สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์

{\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{x+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}
เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ *e*2*x*/*y* ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

{\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+{\cfrac {x^{2}}{11y+{\cfrac {x^{2}}{13y+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ *x* = *y* = 1 จะได้

{\displaystyle e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+{\cfrac {1}{13+\ddots }}}}}}}}}}}

ระนาบเชิงซ้อน
-------------

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน การเปลี่ยนสีจากมืดเป็นสว่างแสดงให้เห็นถึงขนาดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นไปทางขวา แถบสีในแนวราบที่ซ้ำเป็นช่วงแสดงว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเป็นคาบในส่วนจินตภาพของอาร์กิวเมนต์
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน

{\displaystyle e^{z}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า {\displaystyle \textstyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}} ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน

นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}} ส่วนแรก *e**x* จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม {\displaystyle e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)} ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ 

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้

* {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}
* {\displaystyle e^{0}=1\,}
* {\displaystyle e^{z}\neq 0}
* {\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* และ *w* ทุกจำนวน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2π*i* และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร

{\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,}
เมื่อ *a* และ *b* เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln(*z*) เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้

{\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}\,}
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* และ *w* ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ

{\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}}
ดูเพิ่มที่ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมเกี่ยวกับปัญหาของการผสานรวมการยกกำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง

* ตัวอย่างการลงจุดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน
* z = Re(ex+iy) *z* = Re(*e**x*+*iy*)
* z = Im(ex+iy) *z* = Im(*e**x*+*iy*)
* 

### การคำนวณ *a**b* เมื่อทั้ง *a* และ *b* เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ดูบทความหลักที่: การยกกำลัง
การยกกำลังเชิงซ้อน *a**b* สามารถนิยามได้จากการแปลง *a* เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ (*e*ln(*a*))*b* = *a**b* นั่นคือ

{\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\ln(r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\ln(r)+{\theta }i)b}\,}
อย่างไรก็ตาม เมื่อ *b* ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว

เมทริกซ์และพีชคณิตแบบบานัค
--------------------------

นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส (สำหรับฟังก์ชันที่เรียกว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลัง) และเป็นแนวคิดทั่วไปยิ่งขึ้นในพีชคณิตแบบบานัค *B* ในการกำหนดเช่นนี้ *e*0 = 1 และ *e**x* จะมีตัวผกผันนั่นคือ *e*−*x* สำหรับ *x* ใด ๆ ใน *B*; ถ้า *xy* = *yx* ดังนั้น {\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}} แต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้ถ้า *x* และ *y* ไม่สามารถสลับที่ได้

การนิยามแบบอื่นก็นำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น *e**x* สามารถนิยามเป็น {\displaystyle \textstyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} หรือนิยามเป็น *f*(1) เมื่อ *f* : **R**→*B* เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ *f* ′(*t*) = *xf*(*t*) โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นว่า *f*(0) = 1

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น
--------------------------

*ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น* (double exponential function) อาจมีความหมายหนึ่งในสองอย่างดังต่อไปนี้

* ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน
* ฟังก์ชัน {\displaystyle f(x)=a^{a^{x}}} ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ *a* = 10 จะได้ *f*(−1) = 1.26, *f*(0) = 10, *f*(1) = 1010, *f*(2) = 10100 = กูกอล, …, *f*(100) = กูกอลเพลกซ์

แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร {\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1} และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร {\displaystyle MM(p)=2^{(2^{p}-1)}-1} เป็นต้น

ดูเพิ่ม
-------

* e (ค่าคงตัว)
* การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
* การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
* การยกกำลัง
* เทเทรชัน

อ้างอิง
-------

1. ↑  Goldstein, Lay, Schneider, Asmar, *Brief calculus and its applications*, 11th ed. Prentice-Hall, 2006.
2. ↑  "*The natural exponential function is identical with its derivative.* This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…" - p.448 of Courant and Robbins, *What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods* (edited by Stewart), 2nd revised edition, Oxford Univ. Press, 1996.
3. ↑  คู่มือครู คณิตศาสตร์ ม. 5 เล่ม 1[*ลิงก์เสีย*], หน้า 7. (หน้า 11 ของเอกสาร)
4. 1 2  John J O'Connor; Edmund F Robertson. "The number e". *School of Mathematics and Statistics*. University of St Andrews, Scotland. สืบค้นเมื่อ 13-06-2011. `{{cite web}}`: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: `|accessdate=` (help)CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์)
5. ↑  Eli Maor, *e: the Story of a Number*, p.156.
6. ↑  Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 3rd ed. 1986, ISBN 978-0070542341, page 1
7. ↑  Ahlfors, Lars V. (1953). *Complex analysis*. McGraw-Hill Book Company, Inc.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Complex exponential function on PlanetMath
* Derivative of exponential function on PlanetMath
* Derivative of exponential function interactive graph เก็บถาวร 2016-08-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Exponential Function" จากแมทเวิลด์.
* Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
* Complex exponential interactive graphic