คลื่นที่เกิดการสะท้อนและการหักเหเมื่อแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำไปสูง
**สมการแฟรแนล** (équations de Fresnel) หรือ **สัมประสิทธิ์แฟรแนล** (coefficient de Fresnel) เป็นชุดของสมการในทางทัศนศาสตร์ซึ่งค้นพบและอธิบายโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ออกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล เพื่ออธิบายการสะท้อน และ การหักเห ของแสงเมื่อแผ่ผ่านตัวกลางสองชนิดที่มีค่าดรรชนีหักเหต่างกัน การสะท้อนที่อธิบายโดยสมการนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า "การสะท้อนแบบแฟรแนล"

ภาพรวม
------

เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็น {\displaystyle n\_{1}\,}ไปยังตัวกลางอีกตัวที่มีดรรชนีหักเหเป็น {\displaystyle n\_{2}\,}จะเกิดการสะท้อนและหักเหของแสงขึ้นพร้อมกันที่จุดรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง สมการแฟรแนลสามารถอธิบายว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ของคลื่นแสงจะถูกหักเหและสะท้อนอย่างไร และยังอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงเฟส เมื่อคลื่นสะท้อนกลับ

เงื่อนไขสำหรับสมการคือ: ผิวจุดเปลี่ยนเป็นระนาบเรียบ (ไม่ขรุขระ) และแสงที่ตกกระทบเป็นคลื่นระนาบ

### โพลาไรเซชัน s และ p

ผลการคำนวณขึ้นอยู่กับสถานะโพลาไรเซชัน ของแสงที่ตกกระทบ โดยจะแบ่งออกเป็นสองกรณี คือ

1. เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น s" โดย s มาจากภาษาเยอรมัน "*senkrecht* "แปลว่า "ตั้งฉาก"
2. เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ขนานกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น p" โดย p มาจากคำว่า "*parallel* "ในภาษาเยอรมัน แปลว่า "ขนาน"

อนึ่ง ตั้งฉากและขนานในที่นี้กล่าวถึงทิศทางขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าเท่านั้น ส่วนองค์ประกอบสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดตามมาโดยกฎมือขวา 

 ภาพประกอบแสดงตัวแปรที่ใช้ในสมการแฟรแนล ผิวรอยต่อ (interface) แสดงในแนวตั้ง ส่วนแนวฉาก (normal) เป็นแนวนอน

สมการความเข้มแสง
----------------

ในภาพด้านขวา เมื่อแสงตกกระทบ **PO** มาถึงจุด **O** บนส่วนรอยต่อระหว่างตัวกลางทั้งสอง แสงส่วนหนึ่งจะสะท้อนไปทาง **OQ** ในขณะที่อีกส่วนหักเหไปทาง **OS** ให้มุมระหว่างเส้นแนวฉากกับรังสีตกกระทบ, รังสีสะท้อน และรังสีหักเหเป็น {\displaystyle \theta \_{i}\,}, {\displaystyle \theta \_{r}\,} และ {\displaystyle \theta \_{t}\,}ตามลำดับ

มุมของรังสีตกกระทบจะเท่ากับมุมของรังสีสะท้อนตามกฎการสะท้อน:

{\displaystyle \theta \_{\mathrm {i} }=\theta \_{\mathrm {r} }}

และความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบกับมุมของรังสีหักเหเป็นไปตามกฎของสแน็ล คือ:

{\displaystyle {\frac {\sin \theta \_{\mathrm {i} }}{\sin \theta \_{\mathrm {t} }}}={\frac {n\_{2}}{n\_{1}}}}

อัตราส่วนของความเข้มของแสงที่สะท้อนต่อแสงที่ตกกระทบบนพื้นผิวคือค่า ความสะท้อน {\displaystyle R\,} ส่วนอัตราส่วนของการแสงที่หักเหคือค่า ความส่งผ่าน {\displaystyle T\,} การคำนวณค่าความสะท้อนและความส่งผ่านต้องใช้ทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในวิชาพลศาสตร์ไฟฟ้า รายละเอียดอาจอ่านได้ที่ "หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแผ่ของแสง การแทรกสอด และการเลี้ยวเบน" ของ มัคส์ บอร์น หรือ "กลศาสตร์ไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิก" ของแจ็กสัน

รูปแบบเฉพาะของการสะท้อนแสงและการส่งผ่านยังเกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันของแสงที่ตกกระทบ ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากกับระนาบของภาพ (คือคลื่น s) ความสะท้อนจะเป็น

{\displaystyle R\_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta \_{t}-\theta \_{i})}{\sin(\theta \_{t}+\theta \_{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n\_{1}\cos \theta \_{i}-n\_{2}\cos \theta \_{t}}{n\_{1}\cos \theta \_{i}+n\_{2}\cos \theta \_{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n\_{1}\cos \theta \_{i}-n\_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\sin \theta \_{i}\right)^{2}}}}{n\_{1}\cos \theta \_{i}+n\_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\sin \theta \_{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}}
ในที่นี้มุมของรังสีหักเห {\displaystyle \theta \_{t}\,} ถูกแทนด้วยมุมของรังสีตกกระทบ {\displaystyle \theta \_{i}\,} โดยกฎของสแน็ล แล้วแปลงด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบขนานกับระนาบของภาพ (คือคลื่น p) ความสะท้อนจะเป็น

{\displaystyle R\_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta \_{t}-\theta \_{i})}{\tan(\theta \_{t}+\theta \_{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n\_{1}\cos \theta \_{t}-n\_{2}\cos \theta \_{i}}{n\_{1}\cos \theta \_{t}+n\_{2}\cos \theta \_{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n\_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\sin \theta \_{i}\right)^{2}}}-n\_{2}\cos \theta \_{i}}{n\_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n\_{1}}{n\_{2}}}\sin \theta \_{i}\right)^{2}}}+n\_{2}\cos \theta \_{i}}}\right]^{2}}
ไม่ว่าในกรณีใด ค่าความส่งผ่านจะได้เป็น {\displaystyle T=1-R\,}

หากแสงที่ตกกระทบเป็นแสงไม่โพลาไรซ์ (ประกอบด้วย ส่วน s และ ส่วน p ในปริมาณที่เท่ากัน) ค่าความสะท้อนโดยรวมคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสอง

{\displaystyle R={\frac {R\_{s}+R\_{p}}{2}}\,}

อัตราส่วนของแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่สะท้อนและหักเหต่อแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่ตกกระทบ จะหาได้จากสมการที่คล้ายกัน แอมพลิจูดการสะท้อนและแอมพลิจูดการส่งผ่านมักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็ก {\displaystyle r\,} และ {\displaystyle t\,} โดยมีความสัมพันธ์กับค่าความสะท้อน {\displaystyle R\,} และความส่งผ่าน {\displaystyle T\,} คือ:

{\displaystyle R=r^{2}}
และ
{\displaystyle T=\left({\frac {n\_{2}\cos \theta \_{t}}{n\_{1}\cos \theta \_{i}}}\right)t^{2}} 
สำหรับแสงตกกระทบที่เป็นคลื่น p ค่า {\displaystyle R\_{p}\,}จะเป็นศูนย์ที่มุมตกกระทบเป็นค่าจำเพาะค่าหนึ่ง ในกรณีนี้คลื่น p จะถูกส่งผ่านอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการสะท้อนออกมา มุมนี้เรียกว่า มุมบริวสเตอร์ สำหรับกรณีที่ตัวกลางเป็นแก้วในอากาศหรือในสุญญากาศมุมนี้จะมีค่าประมาณ 56° อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ใช้ได้สำหรับตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็นจำนวนจริงเท่านั้น สำหรับวัสดุที่ดูดกลืนแสง เช่น โลหะ และ สารกึ่งตัวนำ ดรรชนีหักเหจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น {\displaystyle R\_{p}\,} โดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์

เมื่อแสงแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยังตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำกว่า (คือ {\displaystyle n\_{1}\ >n\_{2}\,}) จะมีค่ามีมุมตกกระทบวิกฤต ซึ่งแสงที่ตกกระทบมากกว่ามุมตกกระทบนี้จะถูกสะท้อนโดยพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ทั้งคลื่น s และ p นั่นคือ {\displaystyle R\_{s}=R\_{p}=1\,} ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การสะท้อนกลับทั้งหมด ค่ามุมวิกฤตนี้มีค่าประมาณ 41° สำหรับแก้วในอากาศ

เมื่อรังสีตกกระทบทำมุมเกือบตั้งฉาก ({\displaystyle \theta \_{i}\approx \theta \_{t}\approx 0\,}) ความสะท้อนและความส่งผ่านจะเป็น:

{\displaystyle R=R\_{s}=R\_{p}=\left({\frac {n\_{1}-n\_{2}}{n\_{1}+n\_{2}}}\right)^{2}}
{\displaystyle T=T\_{s}=T\_{p}=1-R={\frac {4n\_{1}n\_{2}}{\left(n\_{1}+n\_{2}\right)^{2}}}}
สำหรับแก้วธรรมดา ค่าความสะท้อนจะอยู่ที่ประมาณ 4% อย่างไรก็ตาม การสะท้อนของคลื่นแสงข้างหน้าต่างรวมถึงชั้นด้านหน้าและชั้นด้านหลัง ดังนั้นคลื่นแสงจำนวนเล็กน้อยจะสะท้อนไปมาระหว่างชั้นทั้งสองก่อให้เกิดการแทรกสอดขึ้น หากละเลยผลของการแทรกสอดนี้ ความสะท้อนรวมของทั้งสองชั้นคือ

{\displaystyle {\frac {2R}{1+R}}\,}
หมายเหตุว่า คำอธิบายทั้งหมดในข้างต้นนี้ถือว่าค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลาง {\displaystyle \mu \,} มีค่าเท่ากับสภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ {\displaystyle \mu \_{0}\,} ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจริงสำหรับวัสดุไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับสสารโดยทั่วไป ดังนั้น รูปแบบของสมการแฟรแนลที่ใช้จริงจึงซับซ้อนยิ่งกว่านี้

อ้างอิง
-------

1. ↑  Hecht (1987), p. 100.
2. ↑  Max Born (October 13, 1999). *Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th Edition) (Hardcover)*. Cambridge University Press. p. 334. ISBN 0521642221. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2021-02-20. สืบค้นเมื่อ 2010-01-13.
3. ↑  Jackson, J D (1999). *Classical Electrodynamics (3rd)*. New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.
4. ↑  Hecht (2002), p. 120.

ดูเพิ่ม
-------

* Hecht, Eugene (1987). *Optics* (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X.
* Hecht, Eugene (2002). *Optics* (4th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-321-18878-0.