ในทางคณิตศาสตร์ **ผลรวม** (อังกฤษ: summation) หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น *ผลบวก* (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

สัญกรณ์
-------

ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ 1 + 2 + 4 = 7 ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล 1 + 2 + 4 ว่าเป็น  (1 + 2) + 4 หรือ 1 + (2 + 4) เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)

ถ้าหากผลรวมหนึ่งๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

### สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่

คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ *สัญลักษณ์ผลรวม* ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}x\_{i}=x\_{m}+x\_{m+1}+x\_{m+2}+\cdots +x\_{n-1}+x\_{n}}
ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง *i* เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม *m* คือขอบเขตล่างของผลรวม และ *n* คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้ *i* = *m* หมายความว่าดัชนี *i* เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ *m* พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า *i* ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ *i* = *n* เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน *i* ก็ได้ เช่น

{\displaystyle \sum \_{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90}
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (*i* ไปถึง *q*) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น

{\displaystyle \sum x\_{i}^{2}} จะมีความหมายเทียบเท่ากับ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}}
หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle \sum \_{0\leq k<100}f(k)}
คือผลรวมของ *f* (*k*) บนทุกจำนวนเต็ม *k* ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

{\displaystyle \sum \_{x\in S}f(x)}
คือผลรวมของ *f* (*x*) บนทุกสมาชิก *x* ในเซต *S* และ

{\displaystyle \sum \_{d|n}\;\mu (d)}
คือผลรวมของ μ (*d*) บนทุกจำนวนเต็ม *d* ที่หาร *n* ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น

{\displaystyle \sum \_{\ell ,\ell '}} จะมีความหมายเหมือนกับ {\displaystyle \sum \_{\ell }\sum \_{\ell '}}
### สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม

ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน

```
sum (x[m:n+1])

```

ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ

```
sum (x(m:n))

```

ภาษาเจ

```
+/x

```

ส่วนในภาษาอื่นๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์

```
Sum = 0
For I = M To N
    Sum = Sum + X (I)
Next I
```

หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว

```
int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++) {
 sum += x[i];
}

```

ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล

```
$sum = 0;
$sum += $x[$\_] for ($m..$n) ;

```

ภาษารูบี

```
x[m..n].inject{|a,b| a+b}
x[m..n].inject (0) {|a,b| a+b}

```

สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้

```
std::accumulate (&x[m], &x[n + 1], 0)

```

สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

### กรณีพิเศษ

มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว

* ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ *x* ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ *x* กรณีนี้จะเกิดเมื่อ *m* = *n* ตามนิยามข้างบน
* ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ *m* > *n* หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์
------------------------

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม *f*

{\displaystyle \int \_{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum \_{i=a}^{b}f(i)\leq \int \_{s=a}^{b+1}f(s)\ ds}
และฟังก์ชันลด *f*

{\displaystyle \int \_{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum \_{i=a}^{b}f(i)\leq \int \_{s=a-1}^{b}f(s)\ ds}
ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน *f* ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [*a*, *b*] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น *n* ส่วนเท่ากัน

{\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum \_{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int \_{a}^{b}f(x)\ dx}
ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ *n* มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum \_{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int \_{a}^{b}f(x)\ dx}

เอกลักษณ์
---------

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ

{\displaystyle \sum \_{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum \_{n=s}^{t}f(n)} เมื่อ *C* เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)
{\displaystyle \sum \_{i=s}^{n}f(C)=(n-s+1)f(C)} เมื่อ *C* เป็นค่าคงตัว
{\displaystyle \sum \_{n=s}^{t}f(n)+\sum \_{n=s}^{t}g(n)=\sum \_{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}
{\displaystyle \sum \_{n=s}^{t}f(n)=\sum \_{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}
{\displaystyle \sum \_{n=s}^{j}f(n)+\sum \_{n=j+1}^{t}f(n)=\sum \_{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}x=(n-m+1)x}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}x=nx} เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ *n* เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ *x*
{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}} (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i=\sum \_{i=1}^{n}i={\frac {(n)(n+1)}{2}}} (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum \_{i=1}^{n}i\right]^{2}}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum \_{k=1}^{p}{\frac {B\_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}} เมื่อ {\displaystyle B\_{k}} เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ *k*

---

{\displaystyle \sum \_{i=m}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}}} (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}} (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ *m* = 0)
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i2^{i}=2+2^{n+1}(n-1)}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\frac {i}{2^{i}}}={\frac {2^{n+1}-n-2}{2^{n}}}}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}(x^{n}(n(x-1)-1)+1)}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x}{(1-x)^{3}}}(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}

---

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}} (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}
{\displaystyle \left(\sum \_{i}a\_{i}\right)\left(\sum \_{j}b\_{j}\right)=\sum \_{i}\sum \_{j}a\_{i}b\_{j}}

---

{\displaystyle \left(\sum \_{i}a\_{i}\right)^{2}=2\sum \_{i}\sum \_{j<i}a\_{i}a\_{j}+\sum \_{i}a\_{i}^{2}}
{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}f(n)=\sum \_{n=b}^{a}f(n)}
{\displaystyle \sum \_{n=s}^{t}f(n)=\sum \_{n=-t}^{-s}f(-n)}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{t}f(2n)+\sum \_{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum \_{n=0}^{2t+1}f(n)}
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{t}\sum \_{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum \_{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}
{\displaystyle {\widehat {b}}^{\left[\sum \_{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod \_{n=s}^{t}{\widehat {b}}^{f(n)}} (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)
{\displaystyle \sum \_{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod \_{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow \infty }\sum \_{n=a}^{t}f(n)=\sum \_{n=a}^{\infty }f(n)} (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum \_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}} สำหรับการกระจายทวินาม
{\displaystyle \sum \_{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum \_{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}}
{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}f\_{i}(x)\right)^{\prime }=\sum \_{i=1}^{n}f\_{i}^{\prime }(x)}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\sum \_{i=0}^{n}f\left(a+{\frac {b-a}{n}}i\right)\cdot {\frac {b-a}{n}}=\int \_{a}^{b}f(x)dx}

อัตราการเติบโต
--------------

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})} สำหรับจำนวนจริง *c* ที่มากกว่า −1
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})} สำหรับจำนวนจริง *c* ที่มากกว่า 1
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})} สำหรับจำนวนจริง *c* ที่ไม่เป็นลบ
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} สำหรับจำนวนจริง *c*, *d* ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} สำหรับจำนวนจริง *b* > 1, *c*, *d* ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

ดูเพิ่ม
-------

* สัญกรณ์ไอน์สไตน์
* ผลรวมตรวจสอบ (checksum)
* ผลคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**ผลรวม**

* Nicholas J. Higham, "The accuracy of floating point summation", *SIAM J. Scientific Computing* **14** (4), 783–799 (1993).