สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ **ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว** (อังกฤษ: Universal quantifier) หรือ **ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด** เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า **สำหรับ x ใด ๆ** หรือ **สำหรับทุก x** 

ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ U+2200 ∀ for all และ `\forall` ในระบบ LaTeX

พื้นฐาน
-------

เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง

"{\displaystyle 2\cdot 0=0+0} และ {\displaystyle 2\cdot 1=1+1} และ {\displaystyle 2\cdot 2=2+2} เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"

ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:

"{\displaystyle \forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n=n+n}"

ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย

รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า 

ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า {\displaystyle n} ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "{\displaystyle 2\cdot n=n+n}" จะเป็นจริง

ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์

{\displaystyle \forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n>2+n}

ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า {\displaystyle n} ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น {\displaystyle 2\cdot 1>2+1} ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติ*ส่วนใหญ่*เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ {\displaystyle n} ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า

"สำหรับจำนวนประกอบ {\displaystyle n} ใด ๆ เราจะได้ว่า {\displaystyle 2\cdot n>2+n}"

สมมูลกับ

"สำหรับจำนวนธรรมชาติ {\displaystyle n} ใด ๆ ถ้า {\displaystyle n} เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า {\displaystyle 2\cdot n>2+n}"

### ดูเพิ่ม

ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ {\displaystyle \forall } (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935

ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า {\displaystyle P(n)} เป็นภาคแสดง และ {\displaystyle x} เป็นตัวแปร แล้ว {\displaystyle (\forall x)(P(x))} จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง {\displaystyle \forall xP(x)} แทน

นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้ {\displaystyle (\forall x\in A)(P(x))} หรือ {\displaystyle (\forall x\colon x\in A)(P(x))} แทนประพจน์ {\displaystyle (\forall x)(x\in A\implies P(x))}

ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้ {\displaystyle P(n)} แทนภาคแสดง "{\displaystyle 2\cdot n>2+n}" และ {\displaystyle \mathbb {N} } เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(P(n))} ซึ่งก็คือ {\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(2\cdot n>2+n)}

จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)

เช่นกัน หากกำหนด {\displaystyle Q(n)} แทนภาคแสดง "{\displaystyle n} เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(Q(n)\rightarrow P(n))}

เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)

สมบัติ
------

### การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ {\displaystyle \neg } อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า {\displaystyle P(x)} เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ {\displaystyle \mathbf {X} } คือเซตของมนุษย์ทุกคน 

ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย 

{\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ

"{\displaystyle \lnot (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))}" เป็นจริง

ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)} จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า

{\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้

{\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ

{\displaystyle \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

### ตัวเชื่อมอื่นๆ

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

{\displaystyle P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))}

{\displaystyle P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

{\displaystyle P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

{\displaystyle P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))}

{\displaystyle P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

{\displaystyle P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))}

{\displaystyle P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))}

{\displaystyle P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

{\displaystyle P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))}

{\displaystyle P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

{\displaystyle P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

{\displaystyle P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))}

{\displaystyle P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))}

{\displaystyle P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))}

{\displaystyle P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

### กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

*การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด*  (อังกฤษ: Universal Instantiation) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

{\displaystyle (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))\to \ P(c)}

เมื่อ {\displaystyle c} เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

*การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ* (อังกฤษ: Universal Generalization) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ จะเขียนได้ในรูป :

{\displaystyle P(c)\to \ (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,(P(x)))}

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

### เซตว่าง

โดยปกติแล้ว รูปแบบ {\displaystyle (\forall {x}{\in }\emptyset )(P(x))} นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า{\displaystyle P(x)} จะเป็นภาคแสดงใด : *ดูที่ค่าความจริงว่าง*

การปิดแบบทั้งหมด
----------------

**การปิดแบบทั้งหมด** (อังกฤษ: Universal closure) ของสูตร {\displaystyle \phi } เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน {\displaystyle \phi } ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

{\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}

คือ

{\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}

นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด
----------------------------------

ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย

ให้ {\displaystyle X} เป็นเซตใดๆ และ {\displaystyle {\mathcal {P}}X} แทนพาวเวอร์เซตของ {\displaystyle X}

สำหรับฟังก์ชัน {\displaystyle f:X\to Y} ใด ๆ ระหว่างเซต {\displaystyle X} และ {\displaystyle Y} จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน {\displaystyle f^{\*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X} ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ {\displaystyle f} คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว ({\displaystyle \exists \_{f}}) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว ({\displaystyle \forall \_{f}})

นั่นคือ ฟังก์เตอร์ {\displaystyle \exists \_{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y} เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต {\displaystyle S\subset X} ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต {\displaystyle \exists \_{f}S\subset Y} กำหนดโดย

{\displaystyle {\displaystyle \exists \_{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}}

นั่นคือ {\displaystyle y} อยู่ในอิมเมจของ {\displaystyle S} ภายใต้ f

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์ {\displaystyle \forall \_{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y} เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต {\displaystyle S\subset X} จะคืนค่าเป็นสับเซต {\displaystyle \forall \_{f}S\subset Y} กำหนดโดย

{\displaystyle {\displaystyle \forall \_{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}}

นั่นคือ {\displaystyle y} เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้ f อยู่ใน {\displaystyle X} ทั้งหมด

  

เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก โดยให้ {\displaystyle f} ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ {\displaystyle {\displaystyle !:X\to 1}} ที่ทำให้ {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}} เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้ {\displaystyle S(x)} เป็นจริง และ

{\displaystyle {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}}

{\displaystyle {\displaystyle \exists \_{!}S=\exists x.S(x)}}

จะเป็นจริง หาก {\displaystyle S} ไม่ใช่เซตว่าง และ

{\displaystyle {\displaystyle \forall \_{!}S=\forall x.S(x)}}

จะเป็นเท็จ หาก {\displaystyle S} ไม่ใช่ {\displaystyle X}

  

ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้

ดูเพิ่ม
-------

* รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
* ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

อ้างอิง
-------

1. 1 2  โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์, 2564
2. ↑

บรรณานุกรม
----------

* โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์. *ตรรกวิทยาสัญลักษณ์*. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิยาลัย, 2564. ISBN 9789740340010