**ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน** หรือ **ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน** หรือ **ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน** (อังกฤษ: standard deviation: SD) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก (σ) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860  เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่างๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่

เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น

นิยาม
-----

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม *X* มีการนิยามไว้ดังนี้

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma &=&{\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}\\&=&{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}\end{array}}}
เมื่อ E(*X*) หมายถึงค่าคาดหมายของ *X* (เป็นอีกความหมายหนึ่งของมัชฌิม) และ Var(*X*) หมายถึงความแปรปรวนของ *X*

แต่ก็ไม่ใช่ว่าตัวแปรสุ่มทุกตัวจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าหากค่าคาดหมายไม่มีอยู่จริงหรือไม่นิยาม ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มภายใต้การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) จะไม่นิยาม เพราะว่า E(*X*) ก็ไม่นิยามเช่นกัน

ถ้าตัวแปรสุ่ม *X* มีพื้นฐานอยู่บนเซตข้อมูล {\displaystyle x\_{1},...x\_{N}} ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนจริงและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากสูตรข้างล่างนี้ อันดับแรกต้องคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ *X* เสียก่อน ค่าเฉลี่ยเขียนแทนด้วย {\displaystyle {\overline {x}}} ซึ่งนิยามด้วยผลรวม (summation) ดังนี้

{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{N}}{N}}}
เมื่อ *N* คือจำนวนสมาชิกของเซตข้อมูล จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จาก

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}
ในทางปฏิบัติ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถสรุปได้ดังนี้

1. สำหรับแต่ละค่าของ {\displaystyle x\_{i}} ให้คำนวณผลต่างของ {\displaystyle x\_{i}-{\overline {x}}}
2. นำผลต่างแต่ละตัวมายกกำลังสอง
3. บวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย *N* ค่าที่ได้นี้คือความแปรปรวน {\displaystyle \sigma ^{2}}
4. คำนวณหารากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน จะได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นอกจากนั้นสูตรดังกล่าวสามารถดัดแปลงให้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}}
ซึ่งความเท่ากันของทั้งสองสูตร สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความรู้ทางพีชคณิต

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}^{2}-2x\_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum \_{i=1}^{N}x\_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}\end{aligned}}}
### การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในความเป็นจริง การคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วทั้งหมดนั้น อาจไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นจริงได้ เว้นแต่ในกรณีเฉพาะเช่นการทดสอบมาตรฐาน (standardized test) ซึ่งทุกสมาชิกของประชากรจะถือว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคาดคะเนจากจากส่วนเบี่ยงเบนของตัวอย่างกลุ่มหนึ่งที่มาจากประชากร การวัดที่มักถูกใช้เป็นปกติทั่วไปคือ *ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง* (sample standard deviation) ซึ่งนิยามโดย

{\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}
เมื่อ {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},...x\_{N}\}} คือตัวอย่างและ {\displaystyle {\overline {x}}} คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ตัวส่วน *N* − 1 คือองศาเสรี (degrees of freedom) ของเวกเตอร์ {\displaystyle (x\_{1}-{\overline {x}},...x\_{N}-{\overline {x}})}

เหตุผลของการนิยามเช่นนี้คือ {\displaystyle s^{2}} เป็นตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง (unbiased estimator) สำหรับความแปรปรวน {\displaystyle \sigma ^{2}} บนประชากรที่เป็นพื้นฐาน ถ้าหากความแปรปรวนนั้นมีค่า และค่าต่างๆ ของตัวอย่างได้รับการสุ่มออกมาโดยอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม *s* **ไม่ใช่**ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ σ แต่เป็นการประเมินค่าที่ต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และถึงแม้ว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ σ จะสามารถทราบได้เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่สูตรดังกล่าวจะซับซ้อนขึ้นและมีการปรับแต่งตัวเลข ยิ่งกว่านั้นความไม่เอนเอียงก็ไม่ได้เป็นที่ต้องการเสมอไป

ตัวประมาณค่าอีกแบบหนึ่งบางครั้งก็ถูกใช้เหมือนสูตรเดิม

{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}
รูปแบบนี้จะทำให้เกิดค่าคลาดเคลื่อนประเภท mean squared error น้อยกว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง และเป็นการประมาณความควรจะเป็นสูงสุด (maximum likelihood) เมื่อการกระจายของประชากรนั้นเป็นการแจกแจงปกติ

### ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

การแจกแจงต่อเนื่อง (continuous distribution) มักจะเป็นการให้สูตรมาเพื่อคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ของการแจกแจง ในกรณีทั่วไปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง *X* โดยมี *p*(*x*) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สามารถคำนวณได้จาก

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}}}
เมื่อ

{\displaystyle \mu =\int x\,p(x)\,dx}

คุณสมบัติของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
-------------------------------

* {\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+c)=\operatorname {Stdev} (X)}
* {\displaystyle \operatorname {Stdev} (cX)=c\ \operatorname {Stdev} (X)}
* {\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+Y)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Covar} (X,Y)}}}

เมื่อ *c* เป็นค่าคงตัว และ Covar(*X*, *Y*) คือความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance) ของตัวแปรสุ่ม *X* และ *Y*

อ้างอิง
-------

1. ↑  Sir Francis Galton discovered the standard deviation

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* A Guide to Understanding & Calculating Standard Deviation เก็บถาวร 2010-04-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Standard Deviation - an explanation without maths
* Standard Deviation, an elementary introduction
* Standard Deviation, a simpler explanation for writers and journalists
* Standard Deviation Calculator เก็บถาวร 2013-10-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Texas A&M Standard Deviation and Confidence Interval Calculators เก็บถาวร 2010-01-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน