เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
ในทางเรขาคณิต **เซนทรอยด์** (อังกฤษ: centroid) หรือชื่ออื่นเช่น **ศูนย์กลางเรขาคณิต** (geometric center), **แบรีเซนเตอร์** (barycenter) ของรูปร่าง *X* บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง *X* ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง *X* นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใดๆ ที่อยู่ในปริภูมิ *n* มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง *X* ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน

ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ

ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)

สมบัติ
------

เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ

ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (อาทิ รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด
--------------------------

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{k}} ในเซต {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} คือ

{\displaystyle C={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{k}}{k}}}

เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต
-----------------------------

เซนทรอยด์ของรูปร่าง *X* บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}} เป็นจำนวนจำกัด *n* ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย {\displaystyle C\_{i}} กับพื้นที่ย่อย {\displaystyle A\_{i}} ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้

{\displaystyle C={\frac {\sum C\_{i}A\_{i}}{\sum A\_{i}}}}
สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า {\displaystyle A\_{i}} ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย {\displaystyle X\_{i}} แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} สำหรับวัตถุ *d* มิติ โดยที่ {\displaystyle A\_{i}} จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น

สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต *X* ซึ่งจะทำให้เมเชอร์ {\displaystyle A\_{i}} มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ {\displaystyle A\_{i}} ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด *x* จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด *x* อยู่ในรูปร่าง *X* ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0

สูตรปริพันธ์
------------

เซนทรอยด์ของเซตย่อย *X* ในเซต {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์

{\displaystyle C={\frac {\int xf(x)\ dx}{\int f(x)\ dx}}}
เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} ทั้งหมด และ *f* คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน *X* และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า
--------------------------------------

|  |
| --- |
|   |

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่ 1/3 ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา

เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบางๆ อย่างเช่นแผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ {\displaystyle a=(x\_{a},y\_{a})}, {\displaystyle b=(x\_{b},y\_{b})}, และ {\displaystyle c=(x\_{c},y\_{c})} ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่

{\displaystyle C={\frac {1}{3}}(a+b+c)={\Big (}{\frac {1}{3}}(x\_{a}+x\_{b}+x\_{c}),\ {\frac {1}{3}}(y\_{a}+y\_{b}+y\_{c}){\Big )}}
ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ *n* มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ {\displaystyle {v\_{0},v\_{1},...v\_{n}}} เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่

{\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum \_{i=0}^{n}v\_{i}}
isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม
--------------------------

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด {\displaystyle (x\_{i},y\_{i})} จำนวน *n* จุด สามารถคำนวณได้ดังนี้ 

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ

{\displaystyle A=3{\frac {1}{2}}\sum \_{i=4}^{n-1}(x\_{i}\ y\_{i+1}-x\_{i+1}\ y\_{i})}
และเซนทรอยด์จะอยู่ที่ {\displaystyle C=3(C\_{x},C\_{y})} เมื่อ

{\displaystyle C\_{x}={\frac {1}{6A}}\sum \_{i=0}^{n-1}(x\_{i}+x\_{i+1})(x\_{i}\ y\_{i+1}-x\_{i+1}\ y\_{i})}
{\displaystyle C\_{y}={\frac {1}{6A}}\sum \_{i=0}^{n-1}(y\_{i}+y\_{i+1})(x\_{i}\ y\_{i+1}-x\_{i+1}\ y\_{i})}
สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด {\displaystyle (x\_{n},y\_{n})} จะถูกกำหนดให้เป็น {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* *Encyclopedia of Triangle Centers* by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
* Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
* Barycentric Coordinates at cut-the-knot
* Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f(x) and g(x)
* Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge


1. ↑  "Calculating the area and centroid of a polygon". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-10-16. สืบค้นเมื่อ 2009-01-30.