ข้อมูลเพิ่มเติม: กราฟ (คณิตศาสตร์) และ อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ
กราฟที่มีจุดยอด 6 จุด และเส้นเชื่อม 7 เส้น
**ทฤษฎีกราฟ** (อังกฤษ: graph theory) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ

ประวัติ
-------

ทฤษฎีกราฟนั้น มีจุดเริ่มจากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ภายใต้ชื่อ *Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis* ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือที่รู้จักกันในนาม *ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก* (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีที่จะข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ผลงานนี้ยังถือว่าเป็นงานแนวทอพอโลยีชิ้นแรกในเรขาคณิต กล่าวคือเป็นงานที่สนใจเฉพาะโครงสร้างของรูปเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นกับขนาด ระยะ หรือการวัดใดๆ งานชิ้นสำคัญนี้ยังได้แสดงความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีกราฟและทอพอโลยี

ในปี ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กุสตาฟ คีร์คฮอฟฟ์ ได้เผยแพร่ผลงานที่รู้จักกันภายใต้ชื่อกฎวงจรไฟฟ้าของคีร์คฮอฟฟ์ ที่แสดงความสัมพันธ์ของกระแสและความต่างศักย์ บนกราฟที่แทนวงจรไฟฟ้า

ต่อมาในปี ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซิส กัทธรี ได้ตั้ง*ปัญหาสี่สี* (Four color problem) เพื่อศึกษาถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้สีเพียง 4 สี เพื่อระบายให้กับประเทศต่าง ๆ บนแผนที่ใด ๆ โดยที่ประเทศเพื่อนบ้านจะไม่มีสีเดียวกัน. ปัญหานี้ได้ถูกแก้ในอีกมากกว่า 100 ปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวูล์ฟกัง ฮาเคน ซึ่งใช้คอมพิวเตอร์เข้าช่วยในการพิสูจน์ ซึ่งทำให้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง. อย่างไรก็ตามจากความพยายามในการแก้ปัญหา 4 สีนี้ ทำให้มีการสร้างแนวคิดและนิยามพื้นฐานในทฤษฎีกราฟขึ้นอย่างมากมาย จนอาจจะกล่าวได้ว่าจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟเกิดจากปัญหาสี่สีนี้เอง

กราฟมักถูกนำเสนอในลักษณะของรูปภาพ โดยใช้จุดแทนจุดยอดแต่ละจุด และลากเส้นระหว่างจุดยอดถ้าจุดยอดทั้งสองนั้นมีเส้นเชื่อมถึงกัน ถ้ากราฟมีทิศทาง ทิศทางของเส้นเชื่อมจะถูกระบุโดยใช้ลูกศร

เราไม่ควรจะสับสนระหว่างกราฟที่วาดออกมากับกราฟ (ที่เป็นโครงสร้างนามธรรม) เนื่องจากกราฟหนึ่ง ๆ สามารถเขียนออกมาได้หลายแบบ และสาระหลักของกราฟนั้นมีแค่ว่าจุดยอดใด เชื่อมต่อกับจุดยอดใด ด้วยเส้นเชื่อมกี่เส้น ไม่ใช่วิธีการที่วาดมันออกมา ในทางปฏิบัติแล้ว การจะตัดสินว่ากราฟที่วาดออกมาสองกราฟนั้น มาจากกราฟเดียวกัน ในบางกรณี การวาดกราฟบางแบบอาจมีความเหมาะสมและทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่าแบบอื่น

โครงสร้างข้อมูลกราฟ
-------------------

ดูบทความหลักที่: กราฟ (โครงสร้างข้อมูล)
มีหลายวิธีในการจัดเก็บกราฟในระบบคอมพิวเตอร์ โดยโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ และขั้นตอนวิธีสำหรับประมวลผลกราฟนั้น ในทางทฤษฎีเราอาจแยกแยะโครงสร้างที่เป็นแบบรายการกับที่เป็นเมทริกซ์ได้ แต่ในทางปฏิบัติมักพบว่าโครงสร้างที่ดีมักเป็นลูกผสมของโครงสร้างทั้งสองแบบ โครงสร้างแบบรายการนั้นมักใช้ในกรณีของกราฟเบาบาง (sparse graph) เนื่องจากมีการใช้หน่วยความจำที่น้อยกว่า ในทางกลับกันโครงสร้างแบบเมทริกซ์นั้น มีการเข้าถึงที่รวดเร็วกว่า แต่ก็ใช้หน่วยความจำขนาดใหญ่ถ้าจำนวนจุดยอดของกราฟมีมาก

### โครงสร้างแบบรายการ

* **รายการตกกระทบ** (incidence list)
* **รายการประชิด** (adjacency list)

### โครงสร้างแบบเมทริกซ์

* **เมทริกซ์ตกกระทบ** (incidence matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด E (จำนวนเส้นเชื่อม) คูณ V (จำนวนจุดยอด) ซึ่ง [เส้นเชื่อม, จุดยอด] จะบรรจุข้อมูลของเส้นเชื่อมนั้น (เช่น 1 คือ เชื่อมต่อกัน, 0 คือ ไม่เชื่อมต่อกัน)
* **เมตริกซ์ประชิด** (adjacency matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด N คูณ N เมื่อ N คือจำนวนของจุดยอดในกราฟ ถ้ามีเส้นเชื่อมจากจุดยอด x ไปจุดยอด y แล้ว สมาชิก {\displaystyle M\_{x,y}} จะเป็น 1 ไม่เช่นนั้น จะเป็น 0 ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหากราฟย่อย และกราฟย้อนกลับ
* **เมตริกซ์แบบลาปลัส** (Laplacian matrix หรือ admittance matrix)

การจำแนกชนิดของกราฟ
-------------------

ตามลักษณะข้อมูลที่เก็บ
* กราฟแบบมีทิศทาง (directed graph) และ กราฟแบบไม่มีทิศทาง (undirected graph)
* กราฟแบบมีน้ำหนัก (weighted graph) และ กราฟแบบไม่มีน้ำหนัก (unweighted graph)

ตามการเชื่อมโยง
* กราฟสมบูรณ์ (complete graph)
* กราฟต่อเนื่อง (connected graph)
* กราฟไม่ต่อเนื่อง (unconnected graph)
* ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล) (tree)

ทฤษฎีบทและปัญหาบนกราฟ
---------------------

### การค้นหากราฟย่อย

* ปัญหากลุ่มพรรคพวก - การค้นหากราฟย่อยที่เป็นกราฟบริบูรณ์ที่มีขนาดใหญ่ที่สุด กราฟย่อยดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มพรรคพวก (clique)
* ปัญหาเซตอิสระ - การค้นหาเซตอิสระที่ใหญ่ที่สุด

### การระบายสีกราฟ

* ทฤษฎีบทสี่สี

### ปัญหาเส้นทาง

* ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก (Euler circuit)
* ปัญหาวิถีสั้นสุด (Shortest path problem)
* การวิเคราะห์เส้นทางวิกฤต (Critical path analysis)

### การไหลในเครือข่าย

* การไหลในเครือข่าย

### ปัญหากราฟการมองเห็น

* ปัญหายามเฝ้าพิพิธภัณฑ์

ดูเพิ่ม
-------

* อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ

ดูเพิ่ม
-------

* J.A. Bondy and U.S.R. Murty, **Graph Theory with Applications**  เก็บถาวร 2010-04-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Reinhard Diestel, **Graph Theory** Third Edition
* Lawler E.L. **Combinatorial optimization.. networks and matroids**  เก็บถาวร 2009-02-19 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* **Einführung in Graphen und Algorithmen**  เก็บถาวร 2005-03-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน