**สมการของแมกซ์เวลล์** (อังกฤษ: Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ

รายละเอียดโดยย่อ
----------------

### รูปทั่วไป

| รูป อนุพันธ์ | รูป ปริพันธ์ |
| --- | --- |
| **กฎของเกาส์** (Gauss' law) : |
| {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho } | {\displaystyle \oint \_{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int \_{V}\rho \cdot dV} |
| **กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก** (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) : |
| {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0} | {\displaystyle \oint \_{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0} |
| **กฎของฟาราเดย์** (Faraday's law of induction) : |
| {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} | {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int \_{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} } |
| **กฎของแอมแปร์** (Ampère's law + Maxwell's extension) : |
| {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} | {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int \_{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int \_{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} } |

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
โดยที่:

| สัญลักษณ์ | ความหมาย | หน่วยในระบบเอสไอ |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {E} } | สนามไฟฟ้า | โวลต์ ต่อ เมตร |
| {\displaystyle \mathbf {H} } | ความเข้มสนามแม่เหล็ก | แอมแปร์ ต่อ เมตร |
| {\displaystyle \mathbf {D} } | ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า | คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร |
| {\displaystyle \mathbf {B} } | ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก  เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก | เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร |
| {\displaystyle \ \rho \ } | ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ | คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร |
| {\displaystyle \mathbf {J} } | ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า | แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร |
| {\displaystyle d\mathbf {A} } | เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว *A* ซึ่งมีขนาดน้อยมาก
และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว *S* | ตารางเมตร |
| {\displaystyle dV\ } | ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร *V* ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว *S* | ลูกบาศก์เมตร |
| {\displaystyle d\mathbf {l} } | เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ *C* ที่ล้อมรอบพื้นผิว *S* | เมตร |

และ

{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot } คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times } คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
### ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

{\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )} (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)
ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

**เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น** (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }
{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }
โดยที่ 

* {\displaystyle \varepsilon } เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
* {\displaystyle \mu } เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็ก หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
* {\displaystyle \sigma } เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า

  

**เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว** (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

**ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ** (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

**ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค** (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Guage Invariant
---------------

Vector Potential
----------------

Lagrangian
----------

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

{\displaystyle S=-{\frac {1}{4}}\int d^{3}xF^{\mu u}F\_{\mu u}}
โดยที่

{\displaystyle F^{\mu u}=\partial ^{\mu }A^{u}-\partial ^{u}A^{\mu }}
Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

{\displaystyle \partial \_{u}F^{\mu u}=0}
สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity.

อ้างอิง
-------

1. ↑  Hampshire, Damian P. (29 October 2018). "A derivation of Maxwell's equations using the Heaviside notation". *Philosophical Transactions of the Royal Society Research Article*. Theme issue Celebrating 125 years of Oliver Heaviside's ‘Electromagnetic Theory’ compiled and edited by Christopher Donaghy-Spargo and Alex Yakovlev PubMed:30373937. Royal Society. **376** (2134). arXiv:1510.04309. Bibcode:2018RSPTA.37670447H. doi:10.1098/rsta.2017.0447. ISSN 1364-503X. PMC 6232579. PMID 30373937.