ในคณิตศาสตร์ **กฎของรุฟฟีนี**คือวิธีการคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูป {\displaystyle x-r} ได้รับการอธิบายไว้โดยปาโอโล รุฟฟีนี ใน ค.ศ. 1809 กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

ขั้นตอนวิธี
-----------

กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม 

{\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}}

ด้วยทวินาม

{\displaystyle Q(x)=x-r}

เพื่อจะได้พหุนามผลหาร

{\displaystyle R(x)=b\_{n-1}x^{n-1}+b\_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b\_{1}x+b\_{0}}

ขั้นตอนวิธีนี้เทียบได้กับการหารยาว {\displaystyle P(x)} ด้วย {\displaystyle Q(x)}

การหาร {\displaystyle P(x)} ด้วย {\displaystyle Q(x)}

1. เอาสัมประสิทธิ์ของ {\displaystyle P(x)} แล้วเขียนลงตามลำดับ แล้วเขียน {\displaystyle r} ขอบซ้ายล่างเหนือเส้น

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}

1. ดึงสัมประสิทธิ์ซ้ายสุด ({\displaystyle a\_{n}}) ลงมาใต้เส้น

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&&&&&\\\hline &a\_{n}&&&&\\&=b\_{n-1}&&&&\end{array}}}

1. คูณจำนวนที่ถูกดึงใต้เส้นด้วย {\displaystyle r} แล้วเขียนผลคูณบนเส้นภายในหลักถัดไปทางขวา

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&&b\_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a\_{n}&&&&\\&=b\_{n-1}&&&&\end{array}}}

1. บวกกันภายในหลักที่ได้เขียนตัวเลขไป

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&&b\_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a\_{n}&b\_{n-1}\cdot r+a\_{n-1}&&&\\&=b\_{n-1}&=b\_{n-2}&&&\end{array}}}

1. ทำขั้นตอนที่ 3 และ 4 ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงขอบขวาสุด

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&&b\_{n-1}\cdot r&\dots &b\_{1}\cdot r&b\_{0}\cdot r\\\hline &a\_{n}&b\_{n-1}\cdot r+a\_{n-1}&\dots &b\_{1}\cdot r+a\_{1}&a\_{0}+b\_{0}\cdot r\\&=b\_{n-1}&=b\_{n-2}&\dots &=b\_{0}&=s\\\end{array}}}

ค่า {\displaystyle b} ต่าง ๆ คือค่าของสัมประสิทธิ์พหุนามผลหาร ({\displaystyle R(x)}) ที่มีดีกรีน้อยกว่า {\displaystyle P(x)} อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้าย {\displaystyle s} คือเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามบอกไว้ว่าเศษเหลือจะมีค่าเท่ากับ {\displaystyle P(x)} ที่ {\displaystyle r} หรือ {\displaystyle P(r)}

ตัวอย่าง
--------

นี่เป็นตัวอย่างการหารพหนามตามที่ได้อธิบายไว้

ให้

{\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}

{\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}

{\displaystyle P(x)} จะถูกหารด้วย {\displaystyle Q(x)} โดยใช้กฎของรุฟฟีนี ปัญหาคือ {\displaystyle Q(x)} ไม่ได้อยู่ในรูปทวินาม {\displaystyle x-r} แต่อยู่ในรูป {\displaystyle x+r} จึงต้องเปลี่ยนรูปโดยการ

{\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}

ตอนนี้สามารถใช้ขั้นตอนวิธีได้

1. เขียนสัมประสิทธิ์และ {\displaystyle r} ลงไป สังเกตว่า {\displaystyle P(x)} ไม่มีพจน์ {\displaystyle x} จึงเขียน 0 ลงไปทดแทน

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}}

1. ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกลง

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}

1. คูณค่าที่ได้ด้วย {\displaystyle r}

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}

1. รวมค่าด้วยกัน

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&1&&\\\end{array}}}

1. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะเสร็จ

{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&-1&1\\\hline &2&1&-1&-3\\\end{array}}}

จาก {\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!} เมื่อ

{\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1} และ {\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}

การประยุกต์ใช้ในการแยกตัวประกอบ
-------------------------------

กฎของรุฟฟีนีใช้ได้เมื่อต้องการจะหาผลหารระหว่างพหุนาม {\displaystyle P(x)} กับทวินามในรูป {\displaystyle x-r} (ถ้าตองการหาแค่เศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า)

ตัวอย่างทั่ว ๆ ไปเมื่อต้องการหาผลหาร คือการแยกตัวประกอบ {\displaystyle p(x)} เมื่อทราบคำตอบ {\displaystyle r}

เศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของ {\displaystyle p(x)}ด้วย {\displaystyle r} คือ {\displaystyle 0} และถ้าผลหารคือ {\displaystyle q(x)} การหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้

{\displaystyle p(x)=q(x)\,(x-r)}

เป็นการแยกตัวประกอบ (อาจจะบางส่วน) ของ {\displaystyle p(x)} ซึ่งสามารถคำนวณโดยใช้กฎของรุฟฟีนี แล้วสามารถแยกตัวประกอบ {\displaystyle p(x)} ต่อโดยการแยกตัวประกอบ {\displaystyle q(x)}

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตบอกไว้ว่าทุกพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวกจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระบวนการข้างบนยังแสดงได้ว่าทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตส่อให้เห็นว่าทุกพหุนามในรูป {\displaystyle p(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+a\_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}} สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

{\displaystyle p(x)=a\_{n}(x-r\_{1})(x-r\_{2})(x-r\_{3})\cdots (x-r\_{n})}

เมื่อ {\displaystyle r\_{1},r\_{2},r\_{3},\ldots ,r\_{n}} เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติ
-------

ผู้คิดค้นวิธีนี้คือปาโอโล รุฟฟีนี เขาได้เข้าร่วมการแข่งขันที่บัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติอิตาลีจัดขึ้น โดยปัญหาท้าทายคือหาวิธีในการหาคำตอบของพหุคูณทั่วไป ใน ค.ศ. 1804 คำตอบที่รุฟฟีนีที่ส่งไปได้อันดับที่หนึ่งจาก 5 ฉบับที่มีผู้ส่งไป และวิธีของเขาได้รับการตีพิมพ์ เขาได้ปรับแต่งงานของเขาและตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1807 และอีกครั้งใน ค.ศ. 1813

ดูเพิ่ม
-------

* วิธีของลิลล์ การหารโดยใช้ภาพ
* วิธีของฮอร์เนอร์

อ้างอิง
-------

1. ↑  Cajori, Florian (1911). "Horner's method of approximation anticipated by Ruffini" (PDF). *Bulletin of the American Mathematical Society*. **17** (8): 389–444. doi:10.1090/s0002-9904-1911-02072-9.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Stover, Christopher, "Ruffini's Rule" จากแมทเวิลด์.
* วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ Ruffini's rule