บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง

อนุภาคในกล่อง 1 มิติ
--------------------

สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \quad (1)}

เมื่อ {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}},
{\displaystyle h\,} คือ ค่าคงที่ของพลังค์
{\displaystyle m\,} คือ มวขของอนุภาค
{\displaystyle \psi \,} คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)
{\displaystyle V\left(x\right)\,} คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x
{\displaystyle E\,} คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง 

เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้

{\displaystyle V(x)={\begin{cases}V\_{0},&{\mbox{if }}x<-L/2\\0,&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2\\V\_{0}&{\mbox{if }}x>L/2\end{cases}}}

ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2<x<L/2 เท่านั้น โดยที่อนุภาคจะมีค่าพลังงานเป็นค่าใด ๆ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานของอนุภาคจะมีค่าได้เพียงบางค่าเท่านั้น และค่านั้นจะเป็นค่าเจาะลง (Eigen value) ของฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function ที่สอดคล้องกันในแต่ละขอบเขตที่พิจารณา โดยฟังก์ชันคลื่นแต่ละขอบเขตจะแตกต่างกันตามขอบเขตของ x ขึ้นอยู่กับว่าอยู่ภายในหรือภายนอกของกล่อง แบ่งขอบเขตของกล่องเป็น 3 ส่วนและเขียนฟังก์ชันคลื่นได้ดังนี้

{\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi \_{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (the region outside the box)}};R\_{1}\\\psi \_{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (the region inside the box)}};R\_{2}\\\psi \_{3}&{\mbox{if }}x>L/2{\mbox{ (the region outside the box)}};R\_{3}\end{cases}}}

### **ขอบเขตภายในกล่อง**

กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi \_{2}}{dx^{2}}}=E\psi \_{2}.\quad (2)}

เมื่อ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}

ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi \_{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi \_{2}.}

### **ขอบเขตภายนอกกล่อง**

เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V0 เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi \_{1}}{dx^{2}}}=(E-V\_{o})\psi \_{1}\quad (3)}

การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ 

1.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V0) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า **การกระเจิง** **(The Scattering)**

2.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E<V0) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า **สถานะจำกัดขอบเขต (Bound state)**

ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E< V0) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi \_{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi \_{1}\quad (4)}

เมื่อ {\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V\_{o}-E)}}{\hbar }}}

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  {\displaystyle \psi \_{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}

และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้ {\displaystyle \psi \_{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}

### **การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state**

โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น

{\displaystyle \psi \_{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}
{\displaystyle \psi \_{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad }
{\displaystyle \psi \_{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}
เมื่อพิจารณาที่ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } จะเห็นว่าเทอม {\displaystyle Fe^{-\alpha x}} มีค่าไม่จำกัด

และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ {\displaystyle x\rightarrow +\infty }  เทอม {\displaystyle Ie^{\alpha x}\,\!} จะมีจำกัด 

ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \psi \_{1}=Ge^{\alpha x}\,\!} | and | {\displaystyle \psi \_{3}=He^{-\alpha x}\,\!} |

ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x= -L/2 และ L/2 

ตามสมการ

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \psi \_{1}(-L/2)=\psi \_{2}(-L/2)\,\!} |  | {\displaystyle \psi \_{2}(L/2)=\psi \_{3}(L/2)\,\!} |
| {\displaystyle {\frac {d\psi \_{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi \_{2}}{dx}}(-L/2)\,\!} |  | {\displaystyle {\frac {d\psi \_{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi \_{3}}{dx}}(L/2)\,\!} |

คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี 

1.     กรณีสมมาตร (symmetric case)           เมื่อ A = 0 และ G = H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)

2.     กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case)  เมื่อ B = 0 และ G = -H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)

ในกรณี**เป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่)** (A = 0 , B {\displaystyle \neq }  0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้

{\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)\quad (5)}
{\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)\quad (6)}

แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้  {\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\quad (7)}.

และเช่นเดียวกันใน**กรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่)**  จะได้  {\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\quad (8)}. 

จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข

อ้างอิง
-------

Griffiths, David J. (2005). *Introduction to Quantum Mechanics* (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-111892-7.