"คูณ" เปลี่ยนทางมาที่นี่ สำหรับพระสงฆ์ ดูที่ พระเทพวิทยาคม (คูณ ปริสุทโธ)

ลูกบอลวางแถวละ 4 ลูก จำนวน 3 แถว จึงมีลูกบอลทั้งหมด 12 ลูก นั่นคือ 3 × 4 = 12
**การคูณ** คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตรา การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน (การดำเนินการอย่างอื่นได้แก่ การบวก การลบ และการหาร)

การคูณสามารถนิยามบนจำนวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซ้ำ ๆ กัน ตัวอย่างเช่น 3 คูณด้วย 4 (หรือเรียกโดยย่อว่า 3 คูณ 4) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้

{\displaystyle 4+4+4=12\,\!}
สำหรับการคูณของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว

การคูณอาจมองได้จากการนับวัตถุที่จัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนธรรมชาติ) หรือการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการหนดความยาวของด้านมาให้ (สำหรับจำนวนทั่วไป) ส่วนกลับของการคูณคือการหาร ในเมื่อ 3 คูณด้วย 4 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 4 ก็จะเท่ากับ 3 เป็นต้น

การคูณสามารถนิยามให้ขยายไปบนจำนวนชนิดอื่นเช่นจำนวนเชิงซ้อน และมีโครงสร้างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเช่นเมทริกซ์

สัญกรณ์และคำศัพท์เฉพาะทาง
-------------------------

เครื่องหมายคูณ ลักษณะคล้ายกากบาท
โดยทั่วไปการคูณสามารถเขียนโดยใช้เครื่องหมายคูณ (x) ระหว่างจำนวนทั้งสอง (ในรูปแบบสัญกรณ์เติมกลาง) ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle 2\times 3=6} (อ่านว่า 2 คูณ 3 เท่ากับ 6)
{\displaystyle 3\times 4=12}
{\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30}
{\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32}
อย่างไรก็ตามก็ยังมีการใช้สัญกรณ์อื่น ๆ แทนการคูณโดยทั่วไป อาทิ

* ใช้จุดกลาง (·) หรือไม่ก็มหัพภาค (.) อย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น 5 · 2 หรือ 5. 2 การใช้จุดกลางเป็นมาตรฐานในสหรัฐอเมริกา สหราชอาณาจักร และประเทศอื่นๆ ที่ใช้มหัพภาคเป็นจุดทศนิยม แต่ในบางประเทศที่ใช้จุลภาคเป็นจุดทศนิยม จะใช้มหัพภาคเป็นการคูณแทน
* ใช้ดอกจัน (\*) เช่น `5*2` มักใช้ในภาษาโปรแกรมเพราะเครื่องหมายนี้ปรากฏอยู่บนทุกแป้นพิมพ์ และสามารถดูได้ง่ายบนจอมอนิเตอร์รุ่นเก่า การใช้เครื่องหมายนี้แทนการคูณเริ่มมีขึ้นตั้งแต่ภาษาฟอร์แทรน
* ในพีชคณิต การคูณที่เกี่ยวกับตัวแปรมักจะเขียนให้อยู่ติดกัน เรียกว่า juxtaposition ตัวอย่างเช่น *xy* หมายถึง *x* คูณ *y* และ 5*x* หมายถึง 5 คูณ *x* เป็นต้น สัญกรณ์เช่นนี้สามารถใช้กับจำนวนที่ครอบด้วยวงเล็บ เช่น {\displaystyle 5(2)} หรือ {\displaystyle (5)(2)} ก็จะหมายถึง 5 คูณ 2
* ในการคูณเมทริกซ์ มีความแตกต่างระหว่างการใช้สัญลักษณ์กากบาทกับจุด กากบาทใช้แทนการคูณเวกเตอร์ ในขณะที่จุดใช้แทนการคูณสเกลาร์ ดังนั้นการตั้งชื่อเรียกจึงแตกต่างกันคือผลคูณไขว้และผลคูณจุดตามลำดับ

จำนวนที่ถูกคูณโดยทั่วไปเรียกว่า *ตัวประกอบ* (factor) หรือ *ตัวตั้งคูณ* (multiplicand) ส่วนจำนวนที่นำมาคูณเรียกว่า *ตัวคูณ* (multiplier) ตัวคูณของตัวแปรหรือนิพจน์ในพีชคณิตจะเรียกว่า *สัมประสิทธิ์* (coefficient) ซึ่งจะเขียนไว้ทางซ้ายของตัวแปรหรือนิพจน์ เช่น 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ 3*xy*2

ผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณเรียกว่า *ผลคูณ* (product) หรือเรียกว่า *พหุคูณ* (multiple) ของตัวประกอบแต่ละตัวที่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 15 คือผลคูณของ 3 กับ 5 และในขณะเดียวกัน 15 ก็เป็นทั้งพหุคูณของ 3 และพหุคูณของ 5 ด้วย

ผลคูณของลำดับ
-------------

ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลคูณไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การบวก) เช่น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน {\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100}. และสามารถเขียนให้เครื่องหมายจุดไข่ปลาอยู่บริเวณกึ่งกลางแนวตั้งของแถวได้อีกด้วย คือ {\displaystyle 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100}.

นอกจากนี้แล้ว ผลคูณยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลคูณ ซึ่งมาจาก อักษร Π (Pi) ตัวใหญ่ ในอักษรกรีก.
ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle \prod \_{i=m}^{n}x\_{i}:=x\_{m}\cdot x\_{m+1}\cdot x\_{m+2}\cdot \cdots \cdot x\_{n-1}\cdot x\_{n}.}
ตัวห้อยของประโยคสัญลักษณ์ข้างต้นแทนตัวแปรหุ่น (สำหรับประโยคนี้คือ {\displaystyle i}) และขอบเขตล่าง (m); ตัวยกแทนขอบเขตบน ({\displaystyle n}) เช่น

{\displaystyle \prod \_{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.}
เรายังสามารถหาผลคูณที่มีพจน์เป็นอนันต์ได้อีกด้วย เรียกว่าผลคูณอนันต์
ในการเขียน เราจะแทนที่ *n* ด้านบนด้วยเครื่องหมายอนันต์ (∞).
ผลคูณของพจน์จะกำหนดด้วยขีดจำกัดของผลคูณของ {\displaystyle n} พจน์แรก โดย {\displaystyle n} เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต เช่น

{\displaystyle \prod \_{i=m}^{\infty }x\_{i}:=\lim \_{n\to \infty }\prod \_{i=m}^{n}x\_{i}}
นอกจากนี้ยังสามารถแทน m ด้วยจำนวนลบอนันต์

{\displaystyle \prod \_{i=-\infty }^{\infty }x\_{i}:=\left(\lim \_{n\to \infty }\prod \_{i=-n}^{m}x\_{i}\right)\cdot \left(\lim \_{n\to \infty }\prod \_{i=m+1}^{n}x\_{i}\right),}
และสำหรับจำนวนเต็ม m บางจำนวน สามารถกำหนดได้ทั้งอนันต์และลบอนันต์

นิยาม
-----

สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n และ m ใด ๆ

{\displaystyle nm:=\sum \_{k=1}^{n}m}
กล่าวสั้น ๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น

*n* × *m* = *m* + *m* + *m* + ... + *m*
หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง

* 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
* 2 × 5 = 5 + 5 = 10
* 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
* 6 × *m* = *m* + *m* + *m* + *m* + *m* + *m* = 6*m*

โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการสลับที่ และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใด ๆ นั่นคือ

*x* · *y* = *y* · *x*.
นอกจากนี้ การคูณยังมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใด ๆ คือ

(*x* · *y*)*z* = *x*(*y* · *z*).
หมายเหตุจากพีชคณิต: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ

การคูณมีสมบัติการแจกแจง เพราะ

*x*(*y* + *z*) = *xy* + *xz*.
มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ

1 · *x* = *x*.
เราเรียก 1 ว่า จำนวนเอกลักษณ์

สำหรับเลข 0 เราจะได้

*m* · 0 = 0 + 0 + 0 +...+ 0
เมื่อเรานำ '0' *m* ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ

*m* · 0 = 0
ไม่ว่า *m* จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).

การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม *m* ใด ๆ

*m*(−1) = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −*m*
นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)

(−1)(−1) = −(−1) = 1
ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับเซตของเศษส่วน หรือ จำนวนตรรกยะ และขยายไปถึงจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

หลายคนอาจสงสัยถ้าบอกว่า ผลคูณของ'ไร้จำนวน' คือ 1

รูปแบบนิยามเรียกซ้ำของการคูณเป็นไปตามกฎ

*x* · 0 = 0
*x* · *y* = *x* + *x*·(*y* − 1)
เมื่อ *x* เป็นจำนวนจริง และ *y* เป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อเรากำหนดนิยามของการคูณจำนวนธรรมชาติแล้ว เรายังขยายผลไปถึงจำนวนเต็ม จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนได้

การคำนวณ
--------

วิธีการคูณจำนวนโดยการทดลงกระดาษตามปกติ จำเป็นต้องใช้สูตรคูณที่ท่องจำ ซึ่งเป็นผลคูณของเลข 1−2 หลัก เพื่อให้สามารถตั้งคูณได้ แต่สำหรับวิธีการแบบชาวอียิปต์โบราณไม่เป็นเช่นนั้น ดังที่จะได้กล่าวต่อไป 

การคูณจำนวนมากกว่าสองจำนวนบนเลขฐานสิบอาจทำให้เกิดความเบื่อหน่าย และก่อให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย จึงมีการคิดค้นลอการิทึมสามัญ (ลอการิทึมฐานสิบ) เพื่อทำให้คำนวณง่ายขึ้น นอกจากนั้นสไลด์รูลก็เป็นเครื่องมือช่วยคูณจำนวนอย่างรวดเร็ว และได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำประมาณสามหลัก และตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 ก็มีการประดิษฐ์เครื่องคิดเลขเชิงกล ซึ่งสามารถคูณเลขได้โดยอัตโนมัติถึง 10 หลัก ปัจจุบันนี้ใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์แทน ซึ่งสามารถช่วยประหยัดเวลาการคูณเลขไปได้อย่างมาก

### ขั้นตอนวิธีในประวัติศาสตร์

วิธีการคูณหลายวิธีมีการบันทึกไว้เป็นลายลักษณ์อักษรโดยอารยธรรมอียิปต์ กรีซ บาบิโลเนีย ลุ่มแม่น้ำสินธุ และจีน

#### อียิปต์

บทความหลัก: การคูณแบบอียิปต์โบราณ
วิธีการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนของชาวอียิปต์โบราณ ดังเช่นที่ระบุไว้ใน Ahmes Papyrus เป็นการบวกต่อเนื่องกันและการเพิ่มค่าเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น การหาผลคูณของ 13 กับ 21 ก่อนอื่นจะต้องเพิ่มค่า 21 เป็นสองเท่า 3 ครั้ง ซึ่งจะได้ 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168 จากนั้นจึงรวมพจน์ที่เหมาะสมเข้าด้วยกันจนได้ผลคูณ นั่นคือ

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273

#### บาบิโลเนีย

เนื่องจากชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขเชิงตำแหน่งฐานหกสิบ ซึ่งเทียบได้กับเลขฐานสิบของปัจจุบัน แต่มีสัญลักษณ์แทนเลขโดดในแต่ละหลักถึง 60 ตัว ดังนั้นการคูณของชาวบาบิโลนจึงคล้ายกับวิธีการตั้งคูณในปัจจุบัน แต่เนื่องจากเป็นการยากที่จะจดจำผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมด 60 × 60 จำนวน นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนจึงใช้ตารางการคูณ (สูตรคูณ) เข้าช่วย ตารางเหล่านี้ประกอบด้วยรายชื่อของพหุคูณ 20 จำนวนแรกของจำนวนที่สำคัญ *n* ซึ่งจะได้ *n*, 2*n*, ... 20*n* ตามด้วยพหุคูณของ 10*n* นั่นคือ 30*n*, 40*n*, และ 50*n* การคำนวณผลคูณคือการบวกค่าในตารางผลคูณเข้าด้วยกัน เช่น 53*n* ก็หาได้จากการบวกค่าของ 50*n* กับ 3*n* เป็นต้น

#### จีน

ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ของจีนชื่อว่า *Zhou Pei Suan Ching* (周髀算經) เมื่อ 300 ปีก่อนคริสตกาล และหนังสือ *The Nine Chapters on the Mathematical Art* (九章算術) ได้อธิบายวิธีการคูณโดยการเขียนเป็นตัวหนังสือ ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนสมัยก่อนจะใช้ลูกคิดคำนวณด้วยมือทั้งการบวกและการคูณ

#### ลุ่มแม่น้ำสินธุ

การคูณระหว่าง 45 กับ 256 สังเกตว่าจำนวน 45 นั้นเรียงกลับหลักกัน ขั้นตอนการทดเลขจะกระทำในขั้นตอนสุดท้าย (ตัวหนา)ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น 45 × 256 = 11520
นักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูในอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุในสมัยก่อน ใช้กลวิธีที่หลากหลายเพื่อคำนวณการคูณ ซึ่งการคำนวณส่วนใหญ่จะทำบนกระดานชนวนขนาดเล็ก เทคนิคหนึ่งที่ใช้กันคือการคูณแลตทิซ (lattice multiplication) เริ่มตั้งแต่การวาดตารางขึ้นมาหนึ่งตาราง กำกับด้วยตัวตั้งและตัวคูณลงบนแถวและหลัก แต่ละช่องจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามแนวทแยง เป็นแลตทิซรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเฉียงเป็นแนวเดียวกันทุกช่อง จากนั้นแต่ละช่องสี่เหลี่ยมให้เขียนผลคูณของเลขโดดที่กำกับไว้ลงไป ผลคูณของจำนวนจะหาได้จากการรวมแถวที่เป็นแนวเฉียงเข้าด้วยกันทีละหลัก

สมบัติ
------

การคูณของจำนวน 0-10 ตัวกำกับเส้น = ตัวตั้ง แกน X = ตัวคูณ แกน Y = ผลคูณ
สำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน รวมทั้งจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะ การคูณมีสมบัติต่อไปนี้:

**สมบัติการสลับที่**
ผลลัพธ์ของการคูณไม่ขึ้นกับลำดับของตัวตั้งและตัวคูณ:
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
**สมบัติการเปลี่ยนหมู่**
ลำดับการดำเนินการคูณ(หรือการบวก)ไม่มีผลต่อผลลัพธ์:
{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}
**สมบัติการแจกแจง**
เป็นจริงกับการคูณเหนือการบวก สมบัตินี้สำคัญมากเพราะใช้ทำให้นิพจน์พีชคณิตอยู่ในรูปอย่างง่าย:
{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}
**เอกลักษณ์การคูณ**
เอกลักษณ์การคูณคือ 1 จำนวนใด ๆ คูณด้วยหนึ่งได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนนั้น อาจเรียกสมบัตินี้ว่าสมบัติเอกลักษณ์:
{\displaystyle x\cdot 1=x}
**สมาชิกศูนย์**
จำนวนใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ สมบัตินี้เรียกว่าสมบัติการคูณด้วยศูนย์:
{\displaystyle x\cdot 0=0}
จำนวนธรรมชาติอาจรวมศูนย์หรือไม่ก็ได้

  

สมบัติบางประการของการคูณอาจเป็นจริงสำหรับจำนวนบางระบบเท่านั้น

นิเสธ
ลบหนึ่งคูณกับจำนวนใด ๆ เท่ากับตัวผกผันการบวกของจำนวนนั้น
{\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}
ลบหนึ่งคูณลบหนึ่งเป็นบวกหนึ่ง
{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}
จำนวนธรรมชาติไม่รวมจำนวนลบ
**ตัวผกผัน**
จำนวน {\displaystyle x} ใด ๆ นอกเหนือจากศูนย์ มี**ตัวผกผันการคูณ**คือ {\displaystyle {\frac {1}{x}}} ที่ {\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
การคงการเรียงอันดับ
การคูณด้วยจำนวนบวกคงอันดับความมากน้อย:
ถ้า {\displaystyle a>0} แล้ว(ถ้า {\displaystyle b>c} แล้ว {\displaystyle ab>ac})
การคูณด้วยจำนวนลบ**สลับ**อันดับความมากน้อย:
ถ้า {\displaystyle a<0} แล้ว(ถ้า {\displaystyle b>c} แล้ว {\displaystyle ab<ac})
ไม่มีการเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อน
ระบบคณิตศาสตร์นอกเหนือจากนี้ที่มีการดำเนินการ**คูณ**อาจไม่มีสมบัตินี้ทั้งหมด เช่นการคูณไม่มีสมบัติการสลับที่สำหรับเมทริกซ์และควอเทอร์เนียน

ดูเพิ่ม
-------

* การคูณอย่างง่าย
* ส่วนกลับ
* สูตรคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Multiplication Worksheets
* Multiplication
* Arithmetic Operations In Various Number Systems

| * ด
* ค
* ก
เลขคณิตมูลฐาน |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|     | 
การบวก+
 | 
การลบ−
 | 
การคูณ×
 | 
การหาร÷
 |

 |