ในทางเรขาคณิต **รูปสี่เหลี่ยมคางหมู** คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนหนึ่งคู่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมู *ABCD* เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ที่สำเนียงอังกฤษและออสเตรเลียเรียกว่า trapezoid

นิยาม
-----

มีข้อถกเถียงกันเกี่ยวกับจำนวนด้านที่ขนานกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ปัญหาอยู่ที่ว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านขนานกันสองคู่ควรจัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือไม่ ผู้แต่งตำรากลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน *เพียงหนึ่งคู่เท่านั้น* โดยไม่นำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมารวม ราชบัณฑิตยสถานได้ให้นิยามของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว  และพจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ของสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ได้ให้คำนิยามไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามขนานกันคู่หนึ่ง และคู่เดียวเท่านั้น 

ผู้แต่งตำราอีกกลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน *อย่างน้อยหนึ่งคู่* ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (รวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย) นิยามอย่างหลังสอดคล้องกับการใช้งานในคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่าเช่นแคลคูลัส แนวคิดการประมาณด้วยหลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoidal rule) ของปริพันธ์จำกัดเขตจะไม่สมบูรณ์หากใช้นิยามอย่างแรก

พื้นที่
-------

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ สามารถคำนวณได้จาก 

{\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {a+b}{2}}\cdot h}
เมื่อ *a*, *b* คือความยาวของด้านคู่ขนานและ *h* คือความสูงระหว่างด้านคู่ขนาน เมื่อประมาณ ค.ศ. 499 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ อารยภฏะ ได้ใช้วิธีการคำนวณนี้ในศาสตรนิพนธ์ *อารยภฏียะ* (ตอนที่ 2.8)  สูตรนี้เป็นผลได้มาจากกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมอันเป็นที่รู้จัก โดยพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมคือภาวะลดรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งด้านที่ขนานกันด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด

ส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกัน ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้ *m* เท่ากับค่าเฉลี่ยความยาวของด้านคู่ขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
เป็นผลให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคูณด้วยความสูง

{\displaystyle \mathrm {Area} =mh\,}
ถ้าให้ *a*, *b* เป็นด้านที่ขนานกันและ *c*, *d* เป็นด้านที่ไม่ขนานกัน ในกรณีที่ด้านคู่ขนานยาวไม่เท่ากัน (*a* ≠ *b*) จะสามารถคำนวณหาความสูง *h* ได้จากสูตรนี้

{\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2(b-a)}}}
และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ

{\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}
เมื่อด้านคู่ขนานด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด (*a* = 0) สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของเฮรอนสำหรับคำนวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่า ซึ่งดูคล้ายสูตรของเฮรอนมากกว่าคือ

{\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {(a+b)}{b-a}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}}
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
โดยที่ *s* คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู แม้สูตรนี้จะดูคล้ายสูตรของพรัหมคุปตะแต่ก็มีบางจุดที่ต่างไป เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (บรรจุภายในรูปวงกลมพอดีไม่ได้) สูตรนี้ก็ยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทชไนเดอร์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป

หากใช้สูตรของเบรทชไนเดอร์จะได้

{\displaystyle \mathrm {Area} ={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{(2(b-a))^{2}}}-\left({\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4}}\right)^{2}}}}
จุดกึ่งกลางของพื้นที่ (ศูนย์กลางมวลของแผ่นเอกรูป) อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ขนานกัน ในระยะห่างตั้งฉาก *d* จากด้านที่ยาวกว่า *b* ดังนี้

{\displaystyle d={\frac {h}{3}}\cdot \left({\frac {2a+b}{a+b}}\right)}

สมบัติ
------

* รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดหนึ่ง มีสมบัติเพิ่มเติมว่ามุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่ขนานจะยาวเท่ากัน
* รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ต่อเมื่อมุมที่อยู่ติดกันรวมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (180 องศา) จำนวนสองคู่ เงื่อนไขอีกอย่างหนึ่งที่สำคัญและเพียงพอคือ เส้นทแยงมุมตัดกันด้วยอัตราส่วนของความยาวเท่ากัน (ค่านี้เป็นค่าเดียวกับอัตราส่วนระหว่างด้านคู่ขนาน)
* เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านคู่ขนานทั้งสองแบ่งครึ่งพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
* ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู *ABCD* แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปด้วยเส้นทแยงมุม *AC* และ *BD* (ดังภาพด้านขวามือ) ซึ่งตัดกันที่จุด *O* ดังนั้นพื้นที่ของ  *AOD* เท่ากับพื้นที่ของ  *BOC* และผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  *AOD* กับ  *BOC* เท่ากับผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  *AOB* กับ  *COD* อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ขนาน
* ความยาวของเส้นทแยงมุม *p*, *q* เท่ากับ (*a*, *b* คือความยาวของด้านคู่ขนาน)
{\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}}}
{\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}
* กำหนดให้ *ABCD* เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด *A, B, C, D* เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; ให้ *E* เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ *F* กับ *G* เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน *DA* กับ *BC* ตามลำดับซึ่งทำให้ *FEG* ขนานกับด้านคู่ขนาน *AB* กับ *DC* ; จะได้ว่า *FG* คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ *AB* กับ *DC* นั่นคือ
{\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right)}

สถาปัตยกรรม
-----------

วิหาร Dendur ซึ่งจัดแสดงในพิพิธภัณฑ์ศิลปะนิวยอร์ก
ในสถาปัตยกรรมแบบอียิปต์โบราณ มีการเจาะช่องหน้าต่าง ประตู และการก่อสร้างตัวอาคารเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยมีด้านฐานกว้างกว่าด้านยอด

ดูเพิ่ม
-------

* polite number หรือในอีกชื่อหนึ่งคือ *จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมคางหมู*
* หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู

อ้างอิง
-------

1. ↑  "trapezoid". Oxford Dictionaries. April 2010. Oxford University Press. 14 March 2011 <>.
2. ↑  "trapezium". Oxford Dictionaries. April 2010. Oxford University Press. 14 March 2011 <>.
3. ↑  "American School definition from "math.com"". สืบค้นเมื่อ 2008-04-14.
4. ↑  พจนานุกรมราชบัณฑิตยสถาน เก็บถาวร 2009-03-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน (สืบค้นออนไลน์)
5. ↑  ผลการค้นหา สี่เหลี่ยมคางหมู จากพจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สืบค้นออนไลน์)
6. 1 2  เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Trapezoid" จากแมทเวิลด์.
7. ↑  *Aryabhatiya เก็บถาวร 2011-08-15 ที่ archive.today มราฐี: आर्यभटीय*, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Trapezoid definition   Area of a trapezoid   Median of a trapezoid With interactive animations
* Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
* on *Numerical Methods for Stem Undergraduate*
* Autar Kaw and E. Eric Kalu, *Numerical Methods with Applications*, (2008)

| * ด
* ค
* ก
รูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ |
| --- |
| รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน | ด้านขนาน **·**  ขนมเปียกปูน (ข้าวหลามตัด, ด้านเท่า) **·**  ด้านขนานมุมไม่ฉาก **·**  มุมฉาก (ผืนผ้า) **·**  จัตุรัส (ปรกติ, ด้านเท่ามุมเท่า) |
| รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ | รูปว่าว **·**  เส้นทแยงมุมตั้งฉาก **·**  คางหมู **·**  คางหมูหน้าจั่ว **·**  วงกลมล้อม **·**  วงกลมสัมผัส **·**  วงกลมล้อมและสัมผัส **·**  ด้านไม่ขนาน (ด้านไม่เท่า, ไม่ปรกติ) |
| รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ | หัวลูกศร **·**  ไขว้ (ผีเสื้อ, หูกระต่าย) **·**  เบ้ |