ในทางคณิตศาสตร์ **ลำดับเลขคณิต** (อังกฤษ: arithmetic progression, arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งผลต่างของสมาชิกสองตัวใด ๆ ที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวเสมอ เรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (common difference) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ *a*1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ *d* แล้วพจน์ที่ *n* ของลำดับนี้คือ

{\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d\,\!}
หรือในกรณีทั่วไป จะได้

{\displaystyle a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d\,\!}
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

{\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+d\,\!}

ผลรวม
-----



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
| 14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
| 

---

 |
| 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |

วิธีการคำนวณผลรวม 2 + 5 + 8 + 11 + 14 โดยเขียนอนุกรมกลับหน้ามาหลังและบวกเข้ากับแต่ละพจน์ ผลรวมที่ได้จะเป็นลำดับคงตัวที่เท่ากับผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย (2 + 14 = 16) ทำให้ได้ 16 × 5 = 80 ซึ่งเป็นสองเท่าของผลรวม


ผลรวมของสมาชิกในลำดับเลขคณิต เรียกว่า **อนุกรมเลขคณิต** (อังกฤษ: arithmetic series) ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวม

{\displaystyle 2+5+8+11+14}
ผมรวมของลำดับเลขคณิตข้างต้นสามารถหาได้อย่างรวดเร็ว โดยให้ *n* แทนจำนวนพจน์ทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 5) แล้วคูณด้วยผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายในลำดับเลขคณิต (ในกรณีนี้คือ 2 + 14 = 16) และสุดท้ายหารด้วย 2:

{\displaystyle {\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}}
ในกรณีนี้จะได้ค่าของผลรวมคือ

{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40}
สูตรนี้ใช้ได้สำหรับทุกลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ {\displaystyle a\_{1}} และ a\_{n} ใด ๆ 

### พิสูจน์

อนุกรมข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่สมมูลกันได้สองแบบ ได้แก่

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}}
บวกสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ *d* จะหายไป และเหลือเพียง

{\displaystyle 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n})\,\!}
จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d} ดังนั้นเราจะได้

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}={\frac {n[2a\_{1}+(n-1)d]}{2}}}

ผลคูณ
-----

ผลคูณของสมาชิกในลำดับเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ *a*1 ไปถึง *a**n* ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ *d* สามารถคำนวณได้จาก

{\displaystyle a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}=d^{n}{\left({\frac {a\_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a\_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a\_{1}/d\right)}}}
โดยที่สัญลักษณ์ {\displaystyle x^{\overline {n}}} หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ {\displaystyle \Gamma (x)} แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ {\displaystyle a\_{1}/d} เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของลำดับเลขคณิต 1 × 2 × ... × *n* ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล *n*! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}
จะมีค่าเท่ากับ

{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}}
โดยที่ *m* และ *n* เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง
-------

* Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

ดูเพิ่ม
-------

* ลำดับเรขาคณิต
* อนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic progression" จากแมทเวิลด์.
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic series" จากแมทเวิลด์.