การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี
**จำนวนจำนวนฟีโบนัชชี** หรือ **เลขจำนวนฟีโบนัชชี** (อังกฤษ: Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ OEIS A000045)
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า **ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี** (อังกฤษ: Fibonacci sequence)

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ *Fn* ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

{\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2}\!}
โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ 

{\displaystyle F\_{0}=0;\;F\_{1}=1}
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

รูปปิด(Closed figure)
---------------------

เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า *สูตรของบิเนต์* มีดังต่อไปนี้

{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}
โดย {\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618} เป็นตัวตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง

พิจารณาสมการพหุนาม {\displaystyle x^{2}=x+1} เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย {\displaystyle x^{n-1}} เราได้ว่า

{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}
ผลเฉลยของสมการ {\displaystyle x^{2}=x+1} ได้แก่ {\displaystyle \varphi } และ {\displaystyle 1-\varphi } ดังนั้น

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \varphi ^{n+1}\,} | = {\displaystyle \varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,} และ |
| {\displaystyle (1-\varphi )^{n+1}\,} | = {\displaystyle (1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,} |

พิจารณาฟังก์ชัน

{\displaystyle F\_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}} เมื่อ {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} เป็นจำนวนจริงใดๆ
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle F\_{a,b}(n+1)\,} | {\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}} |
|  | {\displaystyle =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})} |
|  | {\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}} |
|  | {\displaystyle =F\_{a,b}(n)+F\_{a,b}(n-1)\,} |

เลือก {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} and {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} เราได้ว่า

{\displaystyle F\_{a,b}(0)={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0=F(0)\,\!}
และ

{\displaystyle F\_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1=F(1)}
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ {\displaystyle F\_{a,b}(n)=F(n)} และใช้เอกลักษณ์ของ {\displaystyle F\_{a,b}} พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

{\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}} สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ {\displaystyle n} ทุกตัว
เนื่องจาก {\displaystyle |1-\varphi |^{n}/{\sqrt {5}}<1/2} สำหรับทุกๆ {\displaystyle n>0\,\!} เราจึงได้ว่า {\displaystyle F\_{n}\,\!} จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ {\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}} ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

{\displaystyle F(n)={\bigg \lfloor }{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}{\bigg \rfloor }}

ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง
---------------------------

โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ

{\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}} ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง {\displaystyle \varphi }
**การพิสูจน์:**

สำหรับจำนวนจริง {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0} เราได้ว่า

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {F\_{a,b}(n+1)}{F\_{a,b}(n)}}} | {\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}} |
|  | {\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}} |
|  | {\displaystyle =\varphi }, |

เนื่องจาก {\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1} ดังนั้น {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}=0}

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ {\displaystyle F\_{a,b}} เมื่อ {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} และ {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

รูปเมทริกซ์(Matrix)
-------------------

ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ

{\displaystyle {\begin{aligned}{F\_{k+2} \choose F\_{k+1}}&={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F\_{k+1} \choose F\_{k}}\\{\vec {F}}\_{k+1}&=A{\vec {F}}\_{k}\end{aligned}}}
และมีรูปปิดคือ

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F\_{n+1}&F\_{n}\\F\_{n}&F\_{n-1}\end{pmatrix}}.}
ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log *n*) หรือใช้เวลา O(*M*(*n*) log(*n*)) โดยที่ *M*(*n*) คือเวลาในการคูณเลข *n* หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ

{\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{2})^{\frac {n-1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(x^{2})^{\frac {n}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}}
เมื่อให้ *x* เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า *F**n* ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว

ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ
------------------------

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย 
ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

การนำไปใช้
----------

จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า *การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ*

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ *เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา* ของ เบลา บาท็อก, และเพลง*แลเทอราทัส* ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

อ้างอิง
-------

1. ↑  Lucas p. 3
2. ↑  Dijkstra, Edsger W. (1978), *In honour of Fibonacci* (PDF).

* Ball, Keith M. (2003). "Chapter 8: Fibonacci's Rabbits Revisited". *Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations*. Princeton University Press. ISBN 0691113211.
* Lucas, Édouard (1891). *Théorie des nombres*. Vol. 1. Gauthier-Villars.

* Arakelian, Hrant (2014), *Mathematics and History of the Golden Section*. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)