ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ **ความเร่ง** (อังกฤษ: acceleration, สัญลักษณ์: *a*) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง (หรืออนุพันธ์เวลา) ของความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์ (ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ที่มีหน่วยเป็น ความยาว/เวลา² ในหน่วยเอสไอกำหนดให้หน่วยเป็น เมตร/วินาที²

| กลศาสตร์ดั้งเดิม |
| --- |
| {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}กฎข้อที่สองของนิวตัน |
| 
* ประวัติศาสตร์
* เส้นเวลา

 |
| สาขา
* จลนศาสตร์
* ท้องฟ้า
* ประยุกต์
* พลศาสตร์
* ภาวะต่อเนื่อง
* สถิตยศาสตร์

 |
| แนวคิดมูลฐาน
* ความเร่ง
* โมเมนตัมเชิงมุม
* แรงคู่ควบ
* หลักการดาล็องแบร์
* พลังงาน
	+ จลน์
	+ ศักย์
* แรง
* กรอบอ้างอิง
* กรอบอ้างอิงเฉื่อย
* การดล
* ความเฉื่อย / โมเมนต์ความเฉื่อย
* มวล
* กำลัง
* งาน
* โมเมนต์
* โมเมนตัม
* ปริภูมิ
* อัตราเร็ว
* เวลา
* ทอร์ก
* ความเร็ว
* งานเสมือน

 |
| การกำหนดกฎ
* **กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน**
* **Analytical mechanics**กลศาสตร์แบบลากร็องฌ์กลศาสตร์แฮมิลตันRouthian mechanicsHamilton–Jacobi equationAppell's equation of motionUdwadia–Kalaba equation
 |
| หัวข้อที่สำคัญ
* Damping (ratio)
* การกระจัด
* Equations of motion
* Euler's laws of motion
* แรงเทียม
* แรงเสียดทาน
* Harmonic oscillator

* กรอบอ้างอิงเฉื่อย / Non-inertial reference frame
* Mechanics of planar particle motion

* การเคลื่อนที่ (linear)
* กฎความโน้มถ่วงสากล
* กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
* ความเร็วสัมพัทธ์
* วัตถุแข็งเกร็ง
	+ dynamics
	+ Euler's equations
* การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
* การสั่น
 |
| การเคลื่อนที่แบบหมุน
* การเคลื่อนที่แบบวงกลม
* Rotating reference frame
* แรงสู่ศูนย์กลาง
* แรงหนีศูนย์กลาง
	+ reactive
* แรงกอรียอลิส
* ลูกตุ้ม
* Tangential speed
* ความถี่การหมุน

* ความเร่งเชิงมุม / การกระจัดเชิงมุม / ความถี่เชิงมุม / ความเร็วเชิงมุม
 |
| นักวิทยาศาสตร์
* กาลิเลโอ
* นิวตัน
* เค็พเพลอร์
* ฮอร์รอกส์
* ฮัลเลย์
* อ็อยเลอร์
* ดาล็องแบร์
* แกลโร
* ลากร็องฌ์
* ลาปลัส
* แฮมิลตัน
* ปัวซง
* ดานีเอล แบร์นุลลี
* โยฮัน แบร์นุลลี
* โกชี

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ยกตัวอย่างเช่น เมื่อรถเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่ง (ความเร็วเป็นศูนย์) เคลื่อนที่ไปตามแนวเส้นตรงด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ความเร่งจะมีทิศทางเดียวกันกับการเคลื่อนที่ ถ้ารถเปลี่ยนทิศทาง ความเร่งก็จะเปลี่ยนทิศทางตามไปด้วย เราจะเรียกการความเร่งที่ไปตามทิศทางของรถนี้ว่า "อัตราเร่งที่เป็นเส้นตรง (Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะบางคนอาจจะถูกดันลงไปกับเบาะ เมื่อเปลี่ยนทิศทางไป เราจะเรียกว่า "อัตราเร่งที่ไม่เป็นเส้นตรง (Non-Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกแรงเหวี่ยง (Sideway Force) ออกไป

ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง ที่จุดใดๆบนกราฟ v-t ความเร่งจะเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสจุดนั้นถ้าความเร็วของรถลดลง ทิศทางของความเร่งจะตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ (ความเร่งมีค่าติดลบ) หรือ **ความหน่วง** ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกผลักไปด้านหน้าหากมีความหน่วง ตามหลักการทางคณิตศาสตร์แล้ว ความหน่วงจะไม่มีสมการเฉพาะแบบความเร่ง แต่จะเปลี่ยนไปตามความเร็วเท่านั้น

คำนิยามและสมบัติ
----------------

### ความเร่งเฉลี่ย

ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุใดวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว {\displaystyle (\Delta \mathrm {v} )}ต่อช่วงเวลา {\displaystyle (\Delta \mathrm {t} )} เขียนได้ว่า :

{\displaystyle \mathbf {\vec {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\vec {v}} }{\Delta t}}}
ปริมาณทางคิเนเมติกส์ที่ประกอบด้วย มวล (m) ตำแหน่ง (r) ความเร็ว (v) ความเร่ง (a)
### ความเร่ง ณ ขณะใดขณะหนึ่ง

ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง คือลิมิตของความเร่งเฉลี่ยบนเวลากณิกนันต์ ในเชิงแคลคูลัส ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่งคืออนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา :

{\displaystyle \mathbf {a} =\lim \_{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}

อัตราความเร่งที่เปลี่ยนไปตามความเร็ว ณ จุดใดๆ องศาของความเร่ง ถูกกำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนความเร็วสองที่และทิศทาง ความเร่งจริง ณ เวลา t หาได้จากช่วงเวลา *Δt* → 0 ของ *Δ***v**/*Δt*
(ในที่นี้ หากการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ปริมาณเวกเตอร์สามารถแทนที่ได้โดยสมการของปริมาณสเกลาร์)

จะเห็นได้ว่าอินทริกัลของฟังก์ชันความเร่ง a(t) คือฟังก์ชันของความเร็ว ν(t) ซึ่งก็คือพื้นที่ใต้กราฟความเร่ง/เวลา (กราฟ a-t) :

{\displaystyle \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \ dt}

**ตามลำดับ :** ฟังก์ชันระยะทาง s(t) คือค่าอินทริกัลของความเร็ว, ฟังก์ชันความเร็ว v(t) คือค่าอินทริกัลของความเร่ง, ความเร่งของฟังก์ชัน a(t)
เมื่อความเร่งถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (v) ต่อเวลา (t) และความเร็วถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ (x) ต่อเวลา (t) ความเร่งจะเขียนเป็นอนุพันธ์อันดับสองของ x ต่อ t ได้ว่า :

{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}}

### หน่วย

ความเร่งมีมิติของความเร็ว (L/T) ส่วนด้วยเวลา

### ในรูปแบบอื่นๆ

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้ง (เช่น ดาวเทียมซึ่งโคจรอยู่รอบโลก) มีความเร่งซึ่งเปลี่ยนไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ ซึ่งจะเป็นความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ความเร่งสัมพัทธ์ เป็นความเร่งเมื่ออยู่ในสถานะตกแบบเสรี ซึ่งวัดโดยเครื่องวัดความเร่ง

สำหรับเรื่องกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎข้อที่สองของนิวตันกล่าวไว้ว่า ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยผลรวมของเวกเตอร์ของแรง **F** บนวัตถุมีค่าเท่ากับมวล *m* ของวัตถุนั้นคูณด้วยความเร่ง **a** ของวัตถุ :

{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}

เมื่อ :

F คือแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ

m คือมวลของวัตถุ

a เป็นความเร่งศูนย์กลางมวล

หากความเร็วเป็นค่าความเร็วที่ใกล้เคียงความเร็วแสง ตามหลักการทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ มันจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ

ความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์
-------------------------------------------

การแกว่งของลูกตุ้ม ด้วยความเร็วและความเร่งที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งสัมพันธ์กับความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์
ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเส้นโค้งของฟังก์ชันเวลาจะเขียนได้ว่า :

{\displaystyle \mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} \_{\mathrm {t} }(t)}

เมื่อ v(t) เท่ากับความเร็วทั้งหมด และ

{\displaystyle \mathbf {u} \_{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ }

คือหน่วยของเวกเตอร์แทนเจนต์ที่มุ่งไปยังทิศทางการเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลาต่าง ๆ 

ส่วนประกอบของความเร่งส่วนโค้ง ตัวประกอบเชิงแทนเจนต์ at *ซึ่งเปลี่ยนไปตามอัตราเร็วเฉลี่ย และจุดที่ไปตามเส้นโค้ง เป็นเวกเตอร์ของความเร็ว (หรือในทิศทางตรงกันข้าม) ตัวประกอบปกติ (หรือเรียกว่าตัวประกอบสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง)* ส่วน ac เปลี่ยนไปตามทิศทางเวกเตอร์ของความเร็ว และการเคลื่อนที่โพรเจกไทล์ปกติ จะมีทิศทางออกจากศูนย์กลางของเส้นโค้ง
โดยจะอธิบายได้ว่า การเปลี่ยนแปลงของทั้งอัตราเร็ว v(t) และทิศทางของ ut สามารถแสดงถึงการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง โดยใช้ความแตกต่างของกฎลูกโซ่ ผลลัพธ์ของฟังก์ชันเวลาทั้งสองฟังก์ชันจะได้ว่า :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} \_{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} \_{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} \_{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} \_{\mathrm {n} }\ \\\end{alignedat}}}

เมื่อ ut เป็นหน่วย (สู่ศูนย์กลาง) เวกเตอร์แนวฉากต่อส่วนของเส้นโคจร (หรือแนวฉากมุขสำคัญ) และ r คือเส้นเฉียดโค้ง (instantaneous radius of curvature) ซึ่งอิงวงกลมความโค้ง (osculating circle) ณ เวลา t ตัวประกอบของสมการพวกนี้เรียกว่า **ความเร่งเชิงแทนเจนต์**, ความเร่งปกติ และความเร่งของวัตถุในแนวรัศมี

กรณีพิเศษ
---------

### ความเร่งสม่ำเสมอ

*ความเร่งสม่ำเสมอ* หรือความเร่งคงที่เป็นการเคลื่อนที่ที่ซึ่งความเร็วของวัตถุนั้น ๆ เปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอกับเวลา 

ตัวอย่างที่ถูกใช้กับความเร่งสม่ำเสมอมากที่สุดก็คือการตกของวัตถุแบบเสรีภายใต้สนามแรงโน้มถ่วงซึ่งไม่คิดแรงต้านอากาศโดยใช้ค่าความโน้มถ่วงมาตรฐาน (หรือจะเรียกว่า *ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง*) ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อที่สอง แรงที่ F กระทำต่อวัตถุ จะได้ว่า

{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} }

การหาค่าความเร่งเฉลี่ยจากค่าความต่างของความเร็ว
ตามสมการค่าความเร่งคงตัว จะมีสมการอยู่หนึ่งสมการซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัด, ความเร็วต้นและความเร็วปลาย และความเร่งต่อเวลาที่ใช้ไป :

{\displaystyle \mathbf {s} (t)=\mathbf {s} \_{0}+\mathbf {v} \_{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} \_{0}+{\frac {\mathbf {v} \_{0}+\mathbf {v} (t)}{2}}t}

{\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} \_{0}+\mathbf {a} t}}

{\displaystyle {\displaystyle {\mathbf {v} ^{2}}(t)={\mathbf {v} \_{0}}^{2}+2\mathbf {a\times } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} \_{0}]}}

เมื่อ

* {\displaystyle t} คือเวลาที่ใช้ไป
* {\displaystyle \mathbf {s} \_{0}} คือการกระจัดเริ่มต้น
* {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {s} (t)}} คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย ณ เวลา t
* {\displaystyle \mathbf {v} \_{0}} คือความเร็วต้น
* {\displaystyle \mathbf {v} (t)} คือความเร็วปลาย ณ เวลา t
* {\displaystyle \mathbf {a} } คือความเร่งเฉลี่ย

ในบางกรณี การเคลื่อนที่แบบความเร็วคงตัวและอื่น ๆ จะเป็นไปตามสมการดังกล่าว ดังที่กาลิเลโอได้เขียนไว้ ผลรวมของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ซึ่งจะมาช่วยอธิบาย (เส้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ซึ่งจะเข้าสู่พื้นโลก)

### การเคลื่อนที่แบบวงกลม

ตำแหน่งเวกเตอร์ r มีทิศทางทำมุมกับจุดเริ่มต้นเวกเตอร์ความเร็ว v ทำมุม tanθ กับการเคลื่อนที่เวกเตอร์ความเร่ง a จะไม่ขนานกับการเคลื่อนที่เชิงมุม แต่ชิดกับมุมและความเร่งโคริโอลิส หรือ ไม่ได้ทำมุม tanθ กับการเคลื่อนที่ แต่ชิดกับจุดศูนย์กลางและความเร่งเชิงมุมเวกเตอร์คิเนมิติส์พิกัดระนาบ
อนึ่ง เวกเตอร์นี้จะไม่จำกัดอยู่กับปริภูมิ 2 มิติ แต่จะระนาบในมิติที่สูงกว่า
การเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่ที่มีค่าอัตราเร็วตามเส้นโค้งเป็นตัวอย่างของผลความเร่งในขณะที่ขนาดของความเร็วมีค่าคงตัว ในกรณีนี้ เนื่องจากทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ โดยจะทำมุม {\displaystyle \tan \mathrm {\theta } } กับวงกลม เส้นเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงไป แต่อัตราเร็วจะไม่เปลี่ยนไป ความเร่งนี้เรียกว่า*ความเร่งเชิงรัศมี* เนื่องจากมีทิศทางไปข้างหน้าตามจุดศูนย์กลาง :

{\displaystyle {\textrm {a}}={{\mathrm {v} ^{2}} \over {r}}}

เมื่อ v คือเส้นอัตราเร็วของวัตถุตามส่วนของเส้นโค้ง ซึ่งสมมูลกับ เวกเตอร์ความเร่งเชิงรัศมี a ซึ่งจะหาจากความเร็วเชิงมุม {\displaystyle {\displaystyle \omega }} :

{\displaystyle {\displaystyle \mathbf {a} ={-\omega ^{2}}\mathbf {r} }}

เมื่อ r คือเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางและมีขนาดเท่ากับรัศมี ส่วนค่าลบแสดงถึงเวกเตอร์ความเร่งซึ่งเคลื่อนที่ไปตามจุดศุนย์กลาง (ตรงข้ามกับรัศมี)

ความเร่งและแรงรวมที่กระทำต่อวัตถุในการเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่มีทิศทาง*ไปข้างหน้า*จากจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งก็คือแรงสู่ศูนย์กลาง และยังมีแรงหนีศูนย์กลาง ซึ่งจะกระทำต่อวัตถุ ซึ่งจริง ๆ แล้ว แรงหนีศูนย์กลางนั้นเป็นเพียงแรงเทียมจากกรอบอ้างอิงหมุนของวัตถุ จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุ

หากเป็นการเคลื่อนที่วงกลมไม่คงที่ (อัตราเร็วระหว่างส่วนของเส้นโค้งเปลี่ยนไป) ความเร่งตามขวางจะเปลี่ยนไปตามอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็วเชิงมุมตามเส้นโค้งตามรัศมีของวงกลม :

{\displaystyle a=r\alpha }

ความเร่งตามขวาง (หรือความเร่งซึ่งทำมุม tanθ) มีทิศทางทำมุมกับเวกเตอร์รัศมี ใช้สัญลักษณ์ความเร่งเชิงมุม (\alpha )

ความเร่งกับทฤษฎีสัมพันธภาพ
--------------------------

### ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ

*บทความหลัก : ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ*

ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษอธิบายถึง "พฤติกรรม" ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นในความเร็วใกล้ความเร็วแสงในสถานะสุญญากาศไว้ กลศาสตร์ดั้งเดิมได้อธิบายไว้ใกล้เคียงความเป็นจริงมาก แต่หากเป็นความเร็วที่เพิ่มขึ้นเป็นความเร็วแสง ความเร่งจะไม่เป็นไปตามสมการธรรมดาอีก

หากความเร็วของวัตถุใดวัตถุหนึ่งมีค่าเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งจะเพิ่มขึ้นในขณะที่แรงลดลง และจะมีขนาดเป็นกณิกนันต์ หากวัตถุมีความเร็วเท่ากับแสง

หากเป็นวัตถุที่มีมวล ความเร็วจะเข้าใกล้ความเร็วแสงอย่างเป็นเส้นกำกับ (Asymptote) (ลู่เข้าหากัน แต่ไม่บรรจบกัน) 

### ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป

*บทความหลัก : ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป*

จากการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นที่รู้จักกัน จะสามารถแยกได้ว่าแรงที่ถูกสังเกตอยู่ (Observed Force) นั้นมาจากความโน้มถ่วง หรือจากความเร่ง ความโน้มถ่วงและความเร่งเฉื่อยจะทำให้เวลาเดินช้าลง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เรียกปรากฏการณ์นี้ว่าหลักแห่งความสมมูล (Equivalence Principle) และบอกว่าผู้สังเกตการณ์จะไม่รู้สึกถึงแรง รวมไปถึงแรงโน้มถ่วง แค่เพียงสรุปได้ว่าวัตถุนั้นไม่มีความเร่ง

การแปลงหน่วย
------------

*บทความหลัก : เมตรต่อวินาทีกำลังสอง*

การแปลงหน่วยของความเร่ง| ค่าฐาน | (กาลิเลโอ, หรือเซนติเมตรต่อวินาที2) | (ฟุตต่อวินาที2) | (เมตร/วินาที2) | (แรงโน้มถ่วง (เมื่อตกแบบเสรี), *g*0) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 กาลิเลโอ, หรือเซนติเมตรต่อวินาที2 | **1** | 0.0328084 | 0.01 | 0.00101972 |
| 1 ฟุต/วินาที2 | 30.4800 | **1** | 0.304800 | 0.0310810 |
| 1 เมตร/วินาที2 | 100 | 3.28084 | **1** | 0.101972 |
| 1 *g*0 | 980.665 | 32.1740 | 9.80665 | **1** |

ดูเพิ่ม
-------

* ความเฉื่อย
* เวกเตอร์สี่มิติ
* ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
* อันดับของขนาด (ความเร่ง)
* ช็อก (กลศาสตร์)
* แรงจำเพาะ

อ้างอิง
-------



1. ↑
2. ↑  Brian Greene, *The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality*, page 67. Vintage ISBN 0-375-72720-5