|  |
| --- |
| บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
| แคลคูลัส |
| * ทฤษฎีบทมูลฐาน

* ลิมิตของฟังก์ชัน
* ความต่อเนื่อง

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทของโรลล์

 |
| **แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์**

| 
นิยาม |
| --- |
| * อนุพันธ์ (ภาพรวม)

* ผลต่างอนุพัทธ์
	+ กณิกนันต์
	+ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน
	+ ผลต่างอนุพัทธ์รวม

 |
| 
แนวคิด |
| 
* สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
* อนุพันธ์อันดับสอง
* อนุพันธ์อันดับสาม
* การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
* การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
* อัตราสัมพัทธ์
* ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

 |
| กฎและเอกลักษณ์ |
| 
* กฎผลรวม
* กฎผลคูณ
* กฎลูกโซ่
* กฎเลขยกกำลัง
* กฎผลหาร
* กฎไลบ์นิซทั่วไป
* สูตรของฟาดีบรูโน

 |

 |
| **แคลคูลัสเชิงปริพันธ์**

|  |
| --- |
| * รายชื่อปริพันธ์
 |
| 
นิยาม |
| * ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ)
* ปริพันธ์รีมันน์
* ปริพันธ์เลอเบก
* ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
 |
| 
การหาปริพันธ์ |
| * ทีละส่วน
* จาน
* แบบเปลือกทรงกระบอก
* แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
* แยกเป็นเศษส่วนย่อย
* Order
* Reduction formulae
 |

 |
| **อนุกรม**

|  |
| --- |
| * อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต)
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* อนุกรมสลับ
* อนุกรมกำลัง
* อนุกรมทวินาม
* อนุกรมเทย์เลอร์
 |
| การทดสอบการลู่เข้า |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* Integral
* Direct comparison
* Limit comparison
* Alternating series
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| **แคลคูลัสเวกเตอร์**

|  |
| --- |
| * เกรเดียนต์
* ไดเวอร์เจนซ์
* เคิร์ล
* Laplacian
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
ทฤษฎีบท |
| * ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
* ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
* ทฤษฎีบทของกรีน
* ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
 |

 |
| **แคลคูลัสหลายตัวแปร**

| 
Formalisms |
| --- |
| * แคลคูลัสเมทริกซ์
* แคลคูลัสเทนเซอร์
* Exterior
* แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
 |
| 
นิยาม |
| * อนุพันธ์ย่อย
* ปริพันธ์หลายชั้น
* ปริพันธ์ตามเส้น
* ปริพันธ์เชิงพื้นผิว
* ปริพันธ์เชิงปริมาตร
* Jacobian
* Hessian matrix
 |

 |
| **พิเศษ**
* แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
* Malliavin
* สโทแคสติกแคลคูลัส
* แคลคูลัสของการแปรผัน

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ในวิชาแคลคูลัส **กฎลูกโซ่** (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร *y* เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร *u* ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร *x* แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ *y* เทียบกับ *x* หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ *y* เทียบกับ *u* คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ *u* เทียบกับ *x*

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต **กฎลูกโซ่** (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน *f* หาอนุพันธ์ได้ที่ *g(x)* และฟังก์ชัน *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* คือเราจะได้ {\displaystyle f\circ g=f(g(x))} ดังนั้น

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}
เมื่อ {\displaystyle {\frac {df}{dg}}} ระบุว่า *f* เปลี่ยนแปลงตาม *g* เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

The general power rule
----------------------

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

### Example I

พิจารณา {\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}. {\displaystyle f(x)} เทียบได้กับ {\displaystyle h(g(x))} โดยที่ {\displaystyle g(x)=x^{2}+1} และ {\displaystyle h(x)=x^{3}} ดังนั้น

{\displaystyle {\frac {d}{d}}{\frac {x}{y}}}{\displaystyle =f'(x).g'(x)}

|
|  |
| {\displaystyle f'(x)} | {\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)} |
|  | {\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}} |

### Example II

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),}
เราสามารถเขียน {\displaystyle f(x)=h(g(x))} ด้วย {\displaystyle h(x)=\sin x} และ {\displaystyle g(x)=x^{2}} จากกฎลูกโซ่ จะได้

{\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})}
เนื่องจาก {\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})} และ {\displaystyle g'(x)=2x}

กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร
------------------------

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน {\displaystyle f(u(x,y),v(x,y))} โดยที่

{\displaystyle u(x,y)=3x+y^{2}} และ {\displaystyle v(x,y)=\sin(xy)}
ดังนั้น

{\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3+\cos(xy)y}

บทพิสูจน์กฎลูกโซ่
-----------------

ให้ *f* และ *g* เป็นฟังก์ชัน และให้ *x* เป็นจำนวนที่ *f* สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ *g(x)* และ *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

{\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,} ซึ่ง {\displaystyle {\frac {\epsilon (\delta )}{\delta }}\to 0\,} ขณะที่ {\displaystyle \delta \to 0.}
ในทำนองเดียวกัน

{\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\,} ซึ่ง {\displaystyle {\frac {\eta (\alpha )}{\alpha }}\to 0\,} ขณะที่ {\displaystyle \alpha \to 0.\,}
จะได้

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,} | {\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,} |
|  | {\displaystyle =\alpha \_{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha \_{\delta })\,} |

ซึ่ง {\displaystyle \alpha \_{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,}
จะเห็นว่าขณะที่ {\displaystyle \delta \to 0} นั้น {\displaystyle {\frac {\alpha \_{\delta }}{\delta }}\to g'(x)} และ {\displaystyle {\frac {\eta (\alpha \_{\delta })}{\delta }}\to 0} ดังนั้น

{\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x))} ขณะที่ {\displaystyle \delta \to 0}

กฎลูกโซ่พื้นฐาน
---------------

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า *E* *F* และ *G* เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ *f* : *E* → *F* และ *g* : *F* → *G* เป็นฟังก์ชัน และถ้า *x* เป็นสมาชิกของ *E* ซึ่ง *f* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* และ *g* หาอนุพันธ์ได้ที่ *f*(*x*) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต *g* o *f* ที่ *x* จะเป็นดังนี้

{\displaystyle {\mbox{D}}\_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}\_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}\_{x}\left(f\right).}
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ *M* *N* และ *P* เป็นแมนิโฟลด์ *C**k* (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

*f* : *M* → *N* และ *g* : *N* → *P*
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ *f* แทนด้วย d*f* จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ *M* ไปยังปมสัมผัสของ *N* และสามารถเขียนแทนด้วย

{\displaystyle {\mbox{d}}\left(g\circ f\right)={\mbox{d}}g\circ {\mbox{d}}f.}
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ *C*∞ โดยมีการแปลง *C*∞ เป็นสัณฐาน

เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่
-------------------

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์