|  |
| --- |
| บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
| แคลคูลัส |
| * ทฤษฎีบทมูลฐาน

* ลิมิตของฟังก์ชัน
* ความต่อเนื่อง

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทของโรลล์

 |
| **แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์**

| 
นิยาม |
| --- |
| * อนุพันธ์ (ภาพรวม)

* ผลต่างอนุพัทธ์
	+ กณิกนันต์
	+ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน
	+ ผลต่างอนุพัทธ์รวม

 |
| 
แนวคิด |
| 
* สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
* อนุพันธ์อันดับสอง
* อนุพันธ์อันดับสาม
* การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
* การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
* อัตราสัมพัทธ์
* ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

 |
| กฎและเอกลักษณ์ |
| 
* กฎผลรวม
* กฎผลคูณ
* กฎลูกโซ่
* กฎเลขยกกำลัง
* กฎผลหาร
* กฎไลบ์นิซทั่วไป
* สูตรของฟาดีบรูโน

 |

 |
| **แคลคูลัสเชิงปริพันธ์**

|  |
| --- |
| * รายชื่อปริพันธ์
 |
| 
นิยาม |
| * ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ)
* ปริพันธ์รีมันน์
* ปริพันธ์เลอเบก
* ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
 |
| 
การหาปริพันธ์ |
| * ทีละส่วน
* จาน
* แบบเปลือกทรงกระบอก
* แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
* แยกเป็นเศษส่วนย่อย
* Order
* Reduction formulae
 |

 |
| **อนุกรม**

|  |
| --- |
| * อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต)
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* อนุกรมสลับ
* อนุกรมกำลัง
* อนุกรมทวินาม
* อนุกรมเทย์เลอร์
 |
| การทดสอบการลู่เข้า |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* Integral
* Direct comparison
* Limit comparison
* Alternating series
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| **แคลคูลัสเวกเตอร์**

|  |
| --- |
| * เกรเดียนต์
* ไดเวอร์เจนซ์
* เคิร์ล
* Laplacian
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
ทฤษฎีบท |
| * ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
* ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
* ทฤษฎีบทของกรีน
* ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
 |

 |
| **แคลคูลัสหลายตัวแปร**

| 
Formalisms |
| --- |
| * แคลคูลัสเมทริกซ์
* แคลคูลัสเทนเซอร์
* Exterior
* แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
 |
| 
นิยาม |
| * อนุพันธ์ย่อย
* ปริพันธ์หลายชั้น
* ปริพันธ์ตามเส้น
* ปริพันธ์เชิงพื้นผิว
* ปริพันธ์เชิงปริมาตร
* Jacobian
* Hessian matrix
 |

 |
| **พิเศษ**
* แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
* Malliavin
* สโทแคสติกแคลคูลัส
* แคลคูลัสของการแปรผัน

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ในคณิตศาสตร์ **กฎผลคูณ**ของแคลคูลัส หรือเรียกว่า **กฎของไลบ์นิซ** เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้

{\displaystyle \,\!(fg)'=f'g+fg'}
หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

{\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}
กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ
------------------

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ *u*(*x*) และ *v*(*x*) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ *x* ดิฟเฟอเรนเชียลของ *uv* คือ

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle d(uv)\,} | {\displaystyle =(u+du)(v+dv)-uv\,} |
|  | {\displaystyle =u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,} |

แต่เนื่องจากเทอม (*du*) (*dv*) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

{\displaystyle d(uv)=(du)v+u(dv)\,}
และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล *dx* เราจะได้

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=\left({\frac {du}{dx}}\right)v+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}
ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}

ตัวอย่าง
--------

* สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ *f*(*x*) = *x*2sin(*x*) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ *f*'(*x*) = 2*x* sin(*x*) + *x*2cos(*x*) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ *x*2 คือ 2*x* และอนุพันธ์ของ sin(*x*) คือ cos(*x*)).
* กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า *c* เป็น จำนวนจริง และ *f* (*x*) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า *cf* (*x*) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (*c* × *f*)' (*x*) = *c* × *f'*(*x*). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
* กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ"อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่า*หากอนุพันธ์หาได้* จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ
-----------------

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

**พิสูจน์** — 
สมมุติว่า {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,} โดยที่ g และ *h* หาอนุพันธ์ได้ที่ *{\displaystyle x}* พิจารณาลิมิตของเศษส่วนในนิยามของอนุพันธ์

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}
เนื่องจาก

{\displaystyle g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),\,}
จะได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim \_{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}}
เนื่องจาก *h* หาอนุพันธ์ได้ที่ *x* ดังนั้นจึงต่อเนื่องที่ *x* ด้วย เราได้

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}
และจาก g และ *h* หาอนุพันธ์ได้ที่ *{\displaystyle x}* จะได้ว่า

{\displaystyle h'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}} และ {\displaystyle g'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}}
เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim \_{\Delta x\to 0}g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\\&=\left[\lim \_{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]\\&=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\end{aligned}}}
เป็นการแสดงว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ *{\displaystyle x}* และอนุพันธ์ของ f เท่ากับ {\displaystyle g(x)h'(x)+h(x)g'(x)}

นัยทั่วไป
---------

### ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน

กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน {\displaystyle f\_{1},\dots ,f\_{k}} จะได้ว่า

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod \_{i=1}^{k}f\_{i}(x)\right]=\sum \_{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f\_{i}(x)\right)\prod \_{j=1,j\neq i}^{k}f\_{j}(x)\right)=\left(\prod \_{i=1}^{k}f\_{i}(x)\right)\left(\sum \_{i=1}^{k}{\frac {f'\_{i}(x)}{f\_{i}(x)}}\right)}

### พีชคณิตนามธรรม

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็น*นิยาม*ของการดำเนินการอนุพันธ์

### แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: {\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}

สำหรับผลคูณจุด: {\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}

สำหรับผลคูณไขว้: {\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า *f* และ *g* เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ 



∇
(
f
⋅
g
)
=
∇
f
⋅
g
+
f
⋅
∇
g

{\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}

{\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}

อ้างอิง
-------

1. ↑  "Leibniz rule - Encyclopedia of Mathematics". *encyclopediaofmath.org*.
2. ↑  Cirillo, Michelle. "Humanizing Calculus". *The Mathematics Teacher*. **101** (1): 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. ISSN 0025-5769.
3. ↑  Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von (2005). *The early mathematical manuscripts of Leibniz*. J. M. Child (Dover ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-44596-8. OCLC 60321838.
4. ↑  Stewart, James (2016), *Calculus* (8 ed.), Cengage, Section 13.2.

ดูเพิ่ม
-------

* กฎผลหาร
* การหาปริพันธ์เป็นส่วน
* ดิฟเฟอเรนเชียล