เส้นโค้งเชีงพีชคณิตแบบหนึ่ง
ระวังสับสนกับ วงรี
แคตตาล็อกเส้นโค้งเชิงวงรี บริเวณของกราฟคือ *x*, *y* ∈ [−3,3].  
(หมายเหตุ: เมื่อ (*a*, *b*) = (0, 0) ฟังก์ชันนี้ไม่เรียบ ฉะนั้นจึงไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี)

  

ในคณิตศาสตร์ **เส้นโค้งเชิงวงรี** (อังกฤษ: elliptic curve) คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ *O* กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน *K*2 ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ

{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
สำหรับบาง a และ b ใน K

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า 4*a*3 + 27*b*2 ≠ 0 นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร x โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด *O* ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า *K* มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ § เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป ด้านล่าง)

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป

ถ้า *y*2 = *P*(*x*) เมื่อ P เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า P มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์

โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย

เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่*วงรี* ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง *j* ≥ 1 ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}

ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง
------------------------------

Graphs of curves *y*2 = *x*3 − *x* and *y*2 = *x*3 − *x* + 1
ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้

ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป

{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)

นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์ {\displaystyle \Delta } ไม่เท่ากับศูนย์:

{\displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0}
เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า *คอมโพแนนต์* (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ *y*2 = *x*3 − *x* มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ *y*2 = *x*3 − *x* + 1 มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว

กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี
---------------------------

เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :

{\displaystyle {\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b}
สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย {\displaystyle Z^{3}} เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :

{\displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}}
เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า {\displaystyle Z=0} ซึ่งจะทำให้ได้ {\displaystyle X^{3}=0} นั่นคือ {\displaystyle X=0} ส่วนค่า {\displaystyle Y} จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ {\displaystyle (0,Y,0)} สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด {\displaystyle O=[0:1:0]}

เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป

เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x หากกำหนดจุด P บนเส้นโค้งมา เรานิยาม −*P* ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน x เราจะได้ {\displaystyle -O=O} เพราะ {\displaystyle O} อยู่บนระนาบ XZ ฉะนั้น {\displaystyle -O} เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด {\displaystyle O} เมื่อเทียบกับแกน x

ถ้า P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม *P* + *Q* ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง P และ Q เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด R แล้วจะนิยาม *P* + *Q* ให้เป็นจุด −*R* ที่อยู่ตรงข้ามกับ R

นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น O เราจะนิยามให้ *P* + *O* = *P* = *O* + *P* ส่งผลให้ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า *P* = *Q* เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น R และหา −*R* ได้ ในขณะที่หาก P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้ *P* + *Q* = *O* และสุดท้าย หาก P เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม R ให้เป็นจุด P เอง และ *P* + *P* คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด P เอง


ให้ K เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน K และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย E แล้วจุด K-*rational points* ของ E คือจุดบน E ที่ทุกพิกัดอยู่ใน K รวมถึงจุดที่อนันต์ 

เซตของจุด K-rational point กำหนดโดย *E*(*K*) จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก K เป็นฟีลด์ย่อยของ L แล้ว *E*(*K*) จะเป็นสับกรุปของ *E*(*L*)

### มุมมองเชิงพีชคณิต

โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ *y*2 = *x*3 + *ax* + *b* เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ *K* (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด *P* = (*xP*, *yP*) และ *Q* = (*xQ*, *yQ*) อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า *xP* ≠ *xQ* (ให้เป็นกรณีที่ *1*) ให้ *y* = *sx* + *d* เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด *P* และ *Q* ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ

{\displaystyle s={\frac {y\_{P}-y\_{Q}}{x\_{P}-x\_{Q}}}}
เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด *xP*, *xQ*, และ *xR* เมื่อแทนค่า *y* = *sx* + *d* ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า

{\displaystyle \left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+ax+b}
ซึ่งสมมูลกับสมการ

{\displaystyle x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0}
และเนื่องจาก *xP*, *xQ*, and *xR* เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ

{\displaystyle (x-x\_{P})(x-x\_{Q})(x-x\_{R})=x^{3}+(-x\_{P}-x\_{Q}-x\_{R})x^{2}+(x\_{P}x\_{Q}+x\_{P}x\_{R}+x\_{Q}x\_{R})x-x\_{P}x\_{Q}x\_{R}}
สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า *x*2 จะได้ว่า

{\displaystyle -s^{2}=(-x\_{P}-x\_{Q}-x\_{R})}
แก้หาตัวแปร *xR* ได้ว่า

{\displaystyle x\_{R}=s^{2}-x\_{P}-x\_{Q}}
*yR* หาได้จากสมการเส้นตรง

{\displaystyle y\_{R}=y\_{P}+s(x\_{R}-x\_{P})}
จะเห็นได้ว่า *yR* เป็นสมาชิกใน *K* เพราะ *s* เป็นสมาชิกใน *K* ด้วย

ถ้า *xP* = *xQ* แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ *yP* = −*yQ* (กรณีที่ *3*) ซึ่งรวมกรณี *yP* = *yQ* = 0 (กรณีที่ *4*) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก *P* + *Q* คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน *x*

และถ้า *yP* = *yQ* ≠ 0 แล้ว *Q* = *P* และ *R* = (*x**R*, *y**R*) = −(*P* + *P*) = −2*P* = −2*Q* (กรณีที่สอง *2*) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (*xP*, *yP*):

{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x\_{P}}^{2}+a}{2y\_{P}}}\\x\_{R}&=s^{2}-2x\_{P}\\y\_{R}&=y\_{P}+s(x\_{R}-x\_{P})\end{aligned}}}
### เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส

สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ *O* ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด *P* นิยามให้ −*P* เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน *O* และ *P* แล้วสำหรับแต่ละ *P* และ *Q* ให้ *P* + *Q* นิยามเป็น −*R* เมื่อ *R* คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด *P* และ *Q*

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ
--------------------------------

เส้นโค้งเชิงวงรี *E* นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน *E* เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด *P* และ *Q* ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด *P* และ *Q* มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน *E* เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน *E* และเป็นกรุปอาบีเลียน

### จุดจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด

ตัวอย่างเช่นสมการ *y*2 = *x*3 + 17 มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ *y* > 0:

(*x*, *y*) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661)
อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ *y*2 = *x*3 − 2*x* มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ *y* ≥ 0 :

(*x*, *y*) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, 6214)
### โครงสร้างของจุดตรรกยะ

จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้*จำกัด*จุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ *E*(**Q**) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า *E*(**Q**) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ **Z** และกรุปวัฏจักรจำกัด

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม *m* > 1 กรุปผลหาร *E*(**Q**)/*mE*(**Q**) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ height function *h* บนจุดตรรกยะของ *E*(**Q**) นิยามโดย *h*(*P*0) = 0 และ *h*(*P*) = log max(|*p*|, |*q*|) ถ้า *P* (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ *P*0) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป *x* = *p*/*q* (เมื่อ *p* และ *q* เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน *h* มีสมบัติว่า *h*(*mP*) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ *m* ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน *E*: ให้ *P* ∈ *E*(**Q**) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน *P* ในรูปผลบวก 2*P*1 + *Q*1 เมื่อ *Q*1 เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ *P* ใน *E*(**Q**)/2*E*(**Q**) แล้ว height ของ *P*1 จะมีค่าประมาณ 1/4 ของ height ของ *P* (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย *m* > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน 1/4 ให้เป็น 1/*m*2) แล้วทำเช่นนี้กับ *P*1 นั่นคือให้ *P*1 = 2*P*2 + *Q*2 และ *P*2 = 2*P*3 + *Q*3,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด *P* ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด *Qi* ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า *P* เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ *E*(**Q**)/*mE*(**Q**).

แรงก์ของกรุป *E*(**Q**) หรือจำนวนซ้ำของ **Z** ที่ปรากฎใน *E*(**Q**) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี *E* ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

*y*2 + *xy* + *y* = *x*3 − *x*2 − 244537673336319601463803487168961769270757573821859853707*x* + 961710182053183034546222979258806817743270682028964434238957830989898438151121499931
ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน

สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ *E*(**Q**) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ *E*(**Q**) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): **Z**/*N***Z** สำหรับ *N* = 1, 2, ... 10, หรือ 12, หรือ **Z**/2**Z** × **Z**/2*N***Z** โดย *N* = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ **Q** และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้

### ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์

บทความหลัก: ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี

จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน *L* ที่เรียกว่าฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์ (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี *E* เหนือ **Q** ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็นผลคูณออยเลอร์ (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ *p*

สำหรับแต่ละเส้นโค้ง *E* เหนือ **Q** กำหนดโดยสมการในรูป

{\displaystyle y^{2}+a\_{1}xy+a\_{3}y=x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{4}x+a\_{6}}
เมื่อ {\displaystyle a\_{i}} เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปในมอดุโล *p* จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด **F***p* ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ *p* จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า *E* มี bad reduction ที่ *p* (*E* is of bad reduction at *p*)

เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด **F***p* เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ *E* ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด **F***pn* ของ **F***p* ซึ่งกำหนดโดย

{\displaystyle Z(E(\mathbf {F} \_{p}))=\exp \left(\sum \#\left[E({\mathbf {F} }\_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}
ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะ:

{\displaystyle Z(E(\mathbf {F} \_{p}))={\frac {1-a\_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},}
เมื่อเทอม {\displaystyle a\_{p}} (เรียกเทอมนี้ว่า *trace of Frobenius*) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ {\displaystyle p+1} และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี {\displaystyle E} เหนือ {\displaystyle \mathbb {F} \_{p}} เขียนได้เป็น

{\displaystyle a\_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} \_{p})}
จัดรูปจะได้

{\displaystyle \#E(\mathbb {F} \_{p})=1-a\_{p}+p}
เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก {\displaystyle p} โดยที่ {\displaystyle q=p^{n}} ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่ {\displaystyle p} ปรากฎ

แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ *E* เหนือ **Q** จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ *p* โดยเรานิยามดังต่อไปนี้

{\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod \_{p\not \mid N}\left(1-a\_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod \_{p\mid N}\left(1-a\_{p}p^{-s}\right)^{-1}}
เมื่อ *N* คือ conductor ของ *E* ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ *E* โดยในกรณีดังกล่าว *ap* จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))

ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re(*s*) > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมีการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่าง *L*(*E*, *s*) และ *L*(*E*, 2 − *s*) สำหรับทุก *s* มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ *Q* เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของมอดูลาร์ฟอร์ม ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ *L*(*E*, *s*) สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน *s*

เมื่อ *s=1* (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด) แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ

{\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod \_{p\not \mid N}\left(1-a\_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod \_{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a\_{p}+1}}=\prod \_{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} \_{p})}}}
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่*s* = 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ *s* = 1 เท่ากับแรงก์ของ *E* และทำนายเทอมแรกของของอนุกรมโลรองต์ของ *L*(*E*, *s*) ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี

หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้

* จำนวนคอนกรูเอนต์ (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง *n* ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า *n* จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x} มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ *s* = 1 ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว *n* จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (*x*, *y*, *z*) ที่สอดคล้องกับ {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n} มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n} ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย
* ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากข้อความคาดการณ์ของรีมันวางนัยทั่วไป (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} จะไม่เกิน 2

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด
-------------------------------

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี *y*2 = *x*3 − *x* เหนือฟีลด์จำกัด **F**61
ให้ *K* = **F***q* เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก *q* ตัว และ *E* เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ *K* ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี *E* เหนือ *K* โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง

{\displaystyle |\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}
อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี *y*2 = *x*3 − *x* เหนือฟีลด์จำกัด **F**89
เซตของจุด *E*(**F***q*) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ *q* ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ 

{\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}
เหนือ **F**71 มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย **Z**/2**Z** × **Z**/36**Z**. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี *y*2 = *x*3 − *x* เหนือฟิลด์จำกัด **F**71
การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ **F***q* ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ *E* เหนือ **F***q*, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด

{\displaystyle Z(E(K),T)=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }\#\left[E(K\_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}
เมื่อฟิลด์ *Kn* เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ *K* = **F***q* ที่มีดีกรีเท่ากับ *n* (ซึ่งก็คือ **F***qn*).

ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร *T* ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม {\displaystyle a\_{n}} ที่ทำให้

{\displaystyle \#E(K\_{n})=1-a\_{n}+q^{n}}
จะมีจำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle \alpha } ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้

{\displaystyle 1-a\_{n}+q^{n}=1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}}
เมื่อ {\displaystyle {\bar {\alpha }}} เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ {\displaystyle \alpha } เราเลือก {\displaystyle \alpha } เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ {\displaystyle {\sqrt {q}}} ดังนั้น {\displaystyle \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }} และ {\displaystyle \cos n\theta ={\frac {a\_{n}}{2{\sqrt {q}}}}} ฉะนั้นเราจะได้ว่า {\displaystyle \alpha ^{n}{\bar {\alpha }}^{n}=q^{n}} และ {\displaystyle \alpha ^{n}+{\bar {\alpha }}^{n}=a\_{n}} หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า {\displaystyle (1-\alpha ^{n})(1-{\bar {\alpha }}^{n})=1-a\_{n}+q^{n}}.

แล้ว {\displaystyle \alpha } สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ {\displaystyle a\_{n}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Z\_{E}(T)&=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum \_{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum \_{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}}
เนื่องจาก {\displaystyle (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}} ทำให้ได้ว่า

{\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ *E* : *y*2 + *y* = *x*3 เหนือฟีลด์ **F**2 กำหนดโดย

{\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}
ซึ่งได้มากจาก:

{\displaystyle \left|E(\mathbf {F} \_{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}
สมการเชิงฟังก์ชันคือ

{\displaystyle Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}
เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ {\displaystyle a\_{n}} เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน

{\displaystyle {\begin{aligned}Z(a,T)&=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }-a\_{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)\\\end{aligned}}}
และจะได้ว่า

{\displaystyle Z\_{a}(T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)}
ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)

{\displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}
ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน {\displaystyle 2{\sqrt {q}}} ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ *q* ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี *E* เหนือ **Q** อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน *E* ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน **F**\**q* จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป
--------------------------------

เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ *K* ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ *K* เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ *K*

ถ้าแคแรคเทอริสติกของ *K* ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ *K* สามารถเขียนได้ในรูป

{\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}
ในที่นี้ *p* และ *q* เป็นสมาชิกของ *K* ที่ทำให้พหุนาม *x*3 − *px* − *q* ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ

{\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b\_{2}x^{2}+2b\_{4}x+b\_{6}}
สำหรับค่าคงที่ *b*2, *b*4, *b*6 ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ 

{\displaystyle y^{2}+a\_{1}xy+a\_{3}y=x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{4}x+a\_{6}}
เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน

โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (*x*,*y*) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ *x* และ *y* เป็นสมาชิกในส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิตของ *K* จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน *K* เรียกว่า ***K*-rational points**

ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี *E* เป็นฟีลด์จำนวน (number field) *K* นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ **Q** โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป *E(K)* ของจุด *K*-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี *E* ที่นิยามเหนือ *K* จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์ ทฤษฎีบทหนึ่งของ Loïc Merel แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม *d* จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ *E*(*K*) สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน *K* ดีกรี *d* ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก *d* > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ *p* โดยที่ *p* เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว

{\displaystyle p<d^{3d^{2}}}
สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี *E* ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน *K* โดยที่ *x* และ *y* เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน *E(K)* ที่พิกัด *x* ของมันอยู่ในริงของจำนวนเต็ม *O**K*

สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน
----------------------------------

ข้อมูลเพิ่มเติม: การคูณเชิงซ้อน
An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice Λ, here spanned by two fundamental periods *ω*1 and *ω*2. The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice 1/4Λ containing Λ.
เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ

{\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g\_{2}\wp (z)-g\_{3}}
ในที่นี้ *g*2 และ *g*3 เป็นค่าคงที่ และ ℘(*z*) เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่ (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ Λ ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส *T* = **C**/Λ โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง

{\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]}
การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ Λ สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน c ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ *c*Λ แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า j-invariant

ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว *g*2 และ *g*3 ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น

{\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
เราจะได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}g\_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g\_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}}
และ

{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {{g\_{2}'}^{3}}{{g\_{2}'}^{3}-27{g\_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}}
โดยที่ {\displaystyle j(\tau )} เป็น j-invariant และ {\displaystyle \lambda (\tau )} เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ {\displaystyle \tau =2i} แล้ว {\displaystyle \lambda (2i)=(-1+{\sqrt {2}})^{4}} ซึ่งส่งผลให้ {\displaystyle g'\_{2}}, {\displaystyle g'\_{3}} และ {\displaystyle {g'}\_{2}^{3}-27{g'}\_{3}^{2}} ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก {\displaystyle \tau } เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม *j*(2*i*) = 663 = 287496 ด้วยซ้ำ 

ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)

{\displaystyle \Delta (\tau )=g\_{2}(\tau )^{3}-27g\_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}
มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function) *η*(2*i*) คือ

{\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}}
สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ Λ ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน *ω*1 and *ω*2 แล้วจุด *n*-ทอร์ชัน (n-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป

{\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega \_{1}+{\frac {b}{n}}\omega \_{2}}
สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ในช่วง 0 ≤ (*a*, *b*) < *n*

ถ้า

{\displaystyle E:y^{2}=4(x-e\_{1})(x-e\_{2})(x-e\_{3})}
เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ

{\displaystyle a\_{0}={\sqrt {e\_{1}-e\_{3}}},\qquad b\_{0}={\sqrt {e\_{1}-e\_{2}}},\qquad c\_{0}={\sqrt {e\_{2}-e\_{3}}},}
แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ E สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก

{\displaystyle \omega \_{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a\_{0},b\_{0})}},\qquad \omega \_{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c\_{0},ib\_{0})}}}
เมื่อ M(*w*, *z*) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-geometric mean) ของ w และ z ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ zn ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้ |*wn* − *zn*| ≤ |*wn* + *zn*| เมื่อ wn และ zn คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่ *n* ของ w และ z ตามลำดับ โดยเมื่อ |*wn* − *zn*| = |*wn* + *zn*| แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า Im(*zn*/*wn*) > 0

เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration

ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี
---------------------------------

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี

* ระบบเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve cryptography)
* การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman โดยใช้เส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
* Supersingular isogeny key exchange
* ขั้นตอนวิธี elliptic curve digital signature
* ขั้นตอนวิธี EdDSA digital signature
* ระบบสุ่มตัวเลข Dual EC DRBG
* การแยกตัวประกอบโดยเส้นโค้งเชิงวงรีของเลนสตรา (Lenstra elliptic-curve factorization)
* การตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve primality proving)

ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี
-----------------------------------

* รูปแบบเฮสเซียนของเส้นโค้งเชิงวงรี (Hessian curve)
* เส้นโค้งเอ็ดเวิร์ดส์ (Edwards curve)
* Twisted curve
* Twisted Hessian curve
* Twisted Edwards curve
* Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
* Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
* เส้นโค้งจาโคเบียน
* เส้นโค้งมอนต์โกเมอรี

ดูเพิ่ม
-------

* ระบบพลวัติเชิงจำนวน
* พีชคณิตเชิงวงรี
* พื้นผิวเชิงวงรี
* การเปรียบเทียบระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์
* Isogeny
* j-line
* Level structure (algebraic geometry)
* ทฤษฎีบทมอดุลาริตี
* Moduli stack of elliptic curves
* Nagell–Lutz theorem
* สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์
* บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาของไวลส์

อ้างอิง
-------

1. ↑  Sarli, J. (2012). "Conics in the hyperbolic plane intrinsic to the collineation group". *J. Geom*. **103**: 131–148. doi:10.1007/s00022-012-0115-5. S2CID 119588289.
2. ↑  Sarli, John (2021-10-22). "The Elliptic Curve Decomposition of Central Conics in the Real Hyperbolic Plane". doi:10.21203/rs.3.rs-936116/v1.
3. ↑  Silverman 1986, III.1 Weierstrass Equations (p.45)
4. ↑  T. Nagell, *L'analyse indéterminée de degré supérieur*, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.
5. ↑  OEIS:
6. ↑  Siksek, Samir (1995), *Descents on Curves of Genus 1* (Ph.D. thesis), University of Exeter, pp. 16–17, hdl:10871/8323.
7. ↑  Silverman 1986, pp. 199–205
8. ↑  ดูเพิ่มใน J. W. S. Cassels, Mordell's Finite Basis Theorem Revisited, *Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society* 100, 3–41 และข้อคิดเห็นของ A. Weil ในจุดกำเนิดของงานของเขา: A. Weil, *Collected Papers*, vol. 1, 520–521.
9. ↑  Dujella, Andrej. "History of elliptic curves rank records". University of Zagreb.
10. ↑  Silverman 1986, Theorem 7.5
11. ↑  Silverman 1986, Remark 7.8 in Ch. VIII
12. ↑  The definition is formal, the exponential of this power series without constant term denotes the usual development.
13. ↑  see for example Silverman, Joseph H. (2006). "An Introduction to the Theory of Elliptic Curves" (PDF). *Summer School on Computational Number Theory and Applications to Cryptography*. University of Wyoming.
14. ↑  Koblitz 1993
15. ↑  Heath-Brown, D. R. (2004). "The Average Analytic Rank of Elliptic Curves". *Duke Mathematical Journal*. **122** (3): 591–623. arXiv:math/0305114. doi:10.1215/S0012-7094-04-12235-3. S2CID 15216987.
16. ↑  See Koblitz 1994, p. 158
17. ↑  Koblitz 1994, p. 160
18. ↑  Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). "A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy". *Annals of Mathematics*. **171** (2): 779–813. doi:10.4007/annals.2010.171.779.
19. ↑  Merel, L. (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres". *Inventiones Mathematicae* (ภาษาฝรั่งเศส). **124** (1–3): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. S2CID 3590991. Zbl 0936.11037.
20. ↑  Wing Tat Chow, Rudolf (2018). "The Arithmetic-Geometric Mean and Periods of Curves of Genus 1 and 2" (PDF). *White Rose eTheses Online*. p. 12.

บรรณานุกรม
----------

เซอร์เก ลาง เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี

* I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). *Elliptic Curves in Cryptography*. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6.
* Brown, Ezra (2000). "Three Fermat Trails to Elliptic Curves". *The College Mathematics Journal*. **31** (3): 162–172. doi:10.1080/07468342.2000.11974137. S2CID 5591395. winner of the MAA writing prize the George Pólya Award
* Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". *Prime Numbers: A Computational Perspective* (1st ed.). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN 0-387-94777-9.
* Cremona, John (1997). *Algorithms for Modular Elliptic Curves* (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
* Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone (2004). *Guide to Elliptic Curve Cryptography*. Springer. ISBN 0-387-95273-X.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. *An Introduction to the Theory of Numbers*. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001. Chapter XXV
* Hellegouarch, Yves (2001). *Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles*. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1.
* Husemöller, Dale (2004). *Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
* Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). "Chapters 18 and 19". *A Classical Introduction to Modern Number Theory*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 84 (2nd revised ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
* Knapp, Anthony W. (2018) [1992]. *Elliptic Curves*. Mathematical Notes. Vol. 40. Princeton University Press. ISBN 9780691186900.
* Koblitz, Neal (1993). *Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
* Koblitz, Neal (1994). "Chapter 6". *A Course in Number Theory and Cryptography*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 114 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9.
* Serge Lang (1978). *Elliptic curves: Diophantine analysis*. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-540-08489-4.
* Henry McKean; Victor Moll (1999). *Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65817-9.
* Ivan Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh Montgomery (1991). "Section 5.7". *An introduction to the theory of numbers* (5th ed.). John Wiley. ISBN 0-471-54600-3.
* Silverman, Joseph H. (1986). *The Arithmetic of Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
* Joseph H. Silverman (1994). *Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
* Joseph H. Silverman; John Tate (1992). *Rational Points on Elliptic Curves*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
* John Tate (1974). "The arithmetic of elliptic curves". *Inventiones Mathematicae*. **23** (3–4): 179–206. Bibcode:1974InMat..23..179T. doi:10.1007/BF01389745. S2CID 120008651.
* Lawrence Washington (2003). *Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography*. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

WikiquoteWikiquote
วิกิคำคมภาษาอังกฤษ มีคำคมที่กล่าวโดย หรือเกี่ยวกับ: **Elliptic curve**

* วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ เส้นโค้งเชิงวงรี
* LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q
* Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Elliptic curve", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Elliptic Curves" จากแมทเวิลด์.
* The Arithmetic of elliptic curves จาก PlanetMath
* Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser

  


|  |  |
| --- | --- |
| ฐานข้อมูลการควบคุมรายการหลักฐาน: ประจำชาติ แก้ไขสิ่งนี้ที่วิกิสนเทศ | 
* ฝรั่งเศส
* BnF data
* เยอรมนี
* อิสราเอล
* สหรัฐ
* เช็กเกีย

 |