ตัวอย่างกราฟของสมการเชิงเส้น
**สมการเชิงเส้น**
 **คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร *x* และ *y* คือ**

{\displaystyle y=mx+c\!}
โดยที่ *m* คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ *b* แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน *y* สำหรับสมการที่มีพจน์ *x*2, *y*1/3, *xy* ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง
--------

สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น

{\displaystyle 3a+472b=10b-37\!}
{\displaystyle 2x+y-5=-7x+4y+3\!}

รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ
-------------------------------

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น 

ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ *x* และ *y* คือตัวแปร

### รูปแบบทั่วไป

{\displaystyle Ax+By+C=0\!}
เมื่อ *A* กับ *B* ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ *A* ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ *A* ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน *x* จะอยู่ที่ระยะ −*C*/*A* และเมื่อ *B* ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน *y* จะอยู่ที่ระยะ −*C*/*B* ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −*A*/*B*

เช่น 

### รูปแบบมาตรฐาน

{\displaystyle Ax+By=C\!}
เมื่อ *A* และ *B* ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง *A*, *B*, *C* จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ *A* ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก

เช่น 1. 2x - 3 = y

2. 2x - 3y = 14

3. -2x + 2y = 10

4. 6x + 4y = 14

5. 3x + 2y = 8

### รูปแบบความชันและระยะตัดแกน

{\displaystyle y=mx+b\!}
เมื่อ *m* แทนความชันของเส้นตรง และ *b* คือระยะตัดแกน *y* ซึ่งเป็นพิกัด *y* ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน *y* ถ้าหากให้ค่า *x* = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ *y* = *b*

### รูปแบบจุดและความชัน

{\displaystyle y-y\_{1}=m\cdot (x-x\_{1})\!}
เมื่อ *m* คือความชันของเส้นตรงและ (*x*1, *y*1) คือจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน *x* และแกน *y* โดยมีจุด (*x*1, *y*1) เป็นจุดยืน 

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้



y
−

y

1

x
−

x

1


=
m

{\displaystyle {\frac {y-y\_{1}}{x-x\_{1}}}=m}

{\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m}
แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก *x* = *x*1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย

### รูปแบบระยะตัดแกน

{\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}
เมื่อ *E* และ *F* ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน *x* เท่ากับ *E* และระยะตัดแกน *y* เท่ากับ *F* รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ *A* = 1/*E*, *B* = 1/*F* และ *C* = 1

### รูปแบบจุดสองจุด

{\displaystyle y-k={\frac {q-k}{p-h}}(x-h)}
เมื่อ *p* ≠ *h* กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (*h*, *k*) และจุด (*p*, *q*) โดยมีความชันเท่ากับ *m* = (*q* − *k*) / (*p* − *h*) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ *m*

### รูปแบบอิงพารามิเตอร์

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=Tt+U\\y&=Vt+W\end{aligned}}}
รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ *t* ที่มีความชัน *m* = *V*/*T* โดยมีระยะตัดแกน *x* อยู่ที่ (*VU*−*WT*) / *V* และระยะตัดแกน *y* อยู่ที่ (*WT*−*VU*) / *T*

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ *T* = *p*−*h*, *U* = *h*, *V* = *q*−*k*, และ *W* = *k* จะได้

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=(p-h)t+h\\y&=(q-k)t+k\end{aligned}}}
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ *t* จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (*h*, *k*) ไปยัง 1 ที่จุด (*p*, *q*) ค่าของ *t* ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ *t* จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

### รูปแบบเส้นแนวฉาก

{\displaystyle y\sin \phi +x\cos \phi -p=0\!}
เมื่อ *φ* คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ *p* คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย {\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}} และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า *รูปแบบมาตรฐานเฮสส์* ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

### กรณีพิเศษ

{\displaystyle y=F\!}
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ *A* = 0 และ *B* = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน *m* = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน *y* เท่ากับ *F* ถ้า *F* ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน *x* แต่ถ้า *F* = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน *x* เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

{\displaystyle x=E\!}
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ *A* = 1 และ *B* = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน *x* เท่ากับ *E* ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า *E* ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน *y* แต่ถ้า *E* = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน *y* เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

{\displaystyle y=y\!} และ {\displaystyle x=x\!}
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ *xy*) ดังตัวอย่าง {\displaystyle 2x+4y=2(x+2y)} นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ *x* และ *y* จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ **1 = 0** ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น *สมการที่ขัดแย้งกัน* หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ *x* และ *y* จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ {\displaystyle 3x+2=3x-5}

สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร
--------------------------------

สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร *n* ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

{\displaystyle a\_{1}x\_{1}+a\_{2}x\_{2}+\cdots +a\_{n}x\_{n}=b}
ซึ่ง {\displaystyle a\_{1},a\_{2},...a\_{n}} เป็นสัมประสิทธิ์ {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}} คือตัวแปร และ *b* คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น {\displaystyle x,y,z} ได้ตามต้องการ

สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน *n*–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด *n* มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น

ดูเพิ่ม
-------

* เส้นตรง
* สมการกำลังสอง
* สมการกำลังสาม
* สมการกำลังสี่
* สมการกำลังห้า

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Algebraic Equations at EqWorld.