| *n* | *n*! |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 15 | 1307674368000 |
| 20 | 2432902008176640000 |
| 25 | 1.5511210043×1025 |
| 50 | 3.0414093202×1064 |
| 70 | 1.1978571670×10100 |
| 100 | 9.3326215444×10157 |
| 170 | 7.2574156153×10306 |
| 171 | 1.2410180702×10309 |
| 450 | 1.7333687331×101000 |
| 1000 | 4.0238726008×102567 |
| 3249 | 6.4123376883×1010000 |
| 10000 | 2.8462596809×1035659 |
| 25206 | 1.2057034382×10100000 |
| 100000 | 2.8242294080×10456573 |
| 205023 | 2.5038989317×101000004 |
| 1000000 | 8.2639316883×105565708 |
| 1.0248383838×1098 | 101.0000000000×10100 |
| 10100 | 109.9565705518×10101 |
| 1.7976931349×10308 | 105.5336665775×10310 |

ตัวอย่างแฟกทอเรียลบางจำนวนในลำดับแฟกทอเรียล (ลำดับ OEIS A000142) ค่าที่ปรากฏในสัญกรณ์เป็นค่าที่ปัดเศษแล้ว

ในทางคณิตศาสตร์ **แฟกทอเรียล** (อังกฤษ: factorial) ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ *n* คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* เขียนแทนด้วย *n*! (อ่านว่า *n* แฟกทอเรียล)

{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\,.}
ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\;}
สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง 

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน *n* สิ่งสามารถทำได้ *n*! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย  นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ *n*! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351) 

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

นิยาม
-----

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

{\displaystyle n!=\prod \_{k=1}^{n}k\!}
หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

{\displaystyle 0!=1\;}
ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

* การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
* ความสัมพันธ์เวียนเกิด (*n* + 1)! = *n*! × (*n* + 1) ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ *n* > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี *n* = 0 ได้ด้วย
* นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง
{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
* เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1} หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) *n* ตัวจากเซตที่มีขนาด *n* เท่ากับ {\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

การประยุกต์
-----------

แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา

* การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ *n* สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ *n*! วิธี
* บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็นตัวส่วนในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น การจัดหมู่ (combination) วัตถุ *k* สิ่งจากเซตของวัตถุ *n* สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ *k* สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน *k* ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ

{\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}
อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ *k* สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน *k*! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ *k* สิ่งจากเซตของวัตถุ *n* สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ
{\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}
ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อสัมประสิทธิ์ทวินาม {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} เพราะว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ *X**k* ในการกระจาย (1 + *X*)*n*
* แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของสูตรทวินามดังที่กล่าวแล้ว หรือการเฉลี่ยบนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อการทำให้สมมาตร (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง
* แฟกทอเรียลก็มีใช้ในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ในอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ *n* ของ *x**n* คือ *n*!
* แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น
* แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ *k* สิ่งจากวัตถุ *n* สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น

{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}
มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}

ทฤษฎีจำนวน
----------

แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง *n*! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ *n* > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ

{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}
ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้

{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}
ก็ต่อเมื่อ *p* เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ *p* ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ *n*! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }
ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ *p* ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง *n*; จำนวนพหุคูณของ *p* ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง *n* สามารถพิจารณาได้จากสูตร {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor } อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ *p* เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor } ตัวของ *p* ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก *p**i* สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ *n* สำหรับ *i* หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ *p**i* > *n*

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ *n*! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e}

อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ *n* มีขนาดใหญ่
----------------------------------------------

การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล
เมื่อ *n* มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า *n*! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี *n* ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ *n*! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้

{\displaystyle \log n!=\sum \_{x=1}^{n}\log x}
กราฟของฟังก์ชัน *f*(*n*) = log *n*! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ *n* ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log *n*! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์

{\displaystyle \int \_{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum \_{x=1}^{n}\log x\leq \int \_{0}^{n}\log(x+1)\,dx}
ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้

{\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}
เนื่องจากการคำนวณ log *n*! มีประสิทธิภาพเป็น Θ(*n* log *n*) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log *n*! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง

{\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}}
การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ *n* จะได้ {\displaystyle (n/3)^{n}<n!} และสำหรับ *n* ≥ 6 จะได้ {\displaystyle n!<(n/2)^{n}} เป็นต้น

เมื่อ *n* เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า *n*! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ *n* สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า

{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
การประมาณค่า log *n*! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้ 

{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}}

การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
-----------------------------------------------------

### ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย

บทความหลัก: ฟังก์ชันแกมมา
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0! = 1! = 1, (−0.5)! = √*π*, (0.5)! = √*π*/2
นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(*z*) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ *z* เป็นจำนวนบวก ดังนี้

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ *n* เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้

{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}
สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod \_{k=0}^{n}(z+k)}}}
ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ *ฟังก์ชันพาย* (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(*z*) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง *z* ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้

{\displaystyle \Pi (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า

{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,}
ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้

{\displaystyle \Pi (n)=n!{\text{ for }}n\in \mathbf {N} \,}
ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนที่นิยาม

{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,}
โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}
เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน *z* ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า

{\displaystyle z!=\Pi (z)\,}
ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
เมื่อ *n* เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod \_{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}
ตัวอย่าง

{\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63}
และอีกสูตรหนึ่ง

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod \_{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}
ตัวอย่าง

{\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453}
ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(*n* + 1) = *n*Γ(*n*), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(*n*) = *n*Π(*n* − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) 

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว

{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod \_{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}
อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

### การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา

ปริมาตรของทรงกลม *n* มิติที่มีรัศมี *R* หน่วย คำนวณได้จากสูตร

{\displaystyle V\_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}R^{n}}

ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล
-------------------------------------

### มัลติแฟกทอเรียล

**มัลติแฟกทอเรียล** เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

*n*!! หมายถึง **ดับเบิลแฟกทอเรียล** ของ *n* ซึ่งนิยามโดย

{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ *n* = 0, 1, 2,... ได้แก่

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}
ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ *n* = -1, -3, -5, -7,... คือ

1, -1, 1/3, -1/15, ...
เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}
{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}
{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}
{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}
ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
### ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod \_{k=1}^{n}k!=\prod \_{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

{\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) *Concrete Mathematics*, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
2. ↑  N. L. Biggs, *The roots of combinatorics*, Historia Math. 6 (1979) 109−136
3. ↑  Higgins, Peter (2008), *Number Story: From Counting to Cryptography*, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 says Krempe though.
4. ↑  Ramanujan, Srinivasa (1988), *The lost notebook and other unpublished papers*, Springer Berlin, p. 339, ISBN 354018726X
5. ↑  Hadamard, M. J. (1894), *Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière* (PDF) (ภาษาฝรั่งเศส), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
6. ↑  Peter Luschny, *Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?*.