สมาชิกของเซตกำลังของเซต {*x*, *y*, *z*} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด
ตามหลักวิชาคณิตศาสตร์ **เซตกำลัง** หรือ **เพาเวอร์เซต** (อังกฤษ: power set) ของเซต *S* ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}, *P*(*S*), ℙ(*S*), ℘(*S*) หรือ 2*S* เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ *S* รวมทั้งเซตว่าง และเซต *S* เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ 

เซตย่อยใดๆ ของ{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} เรียกว่า *ครอบครัวของเซต* บน *S*

ตัวอย่าง
--------

ถ้า *S* เป็นเซต {*x*, *y*, *z*} แล้วเซตย่อยของ *S* ได้แก่:

* {} (อาจเขียนแทนด้วย {\displaystyle \varnothing } เรียกเซตว่าง)
* {*x*}
* {*y*}
* {*z*}
* {*x*, *y*}
* {*x*, *z*}
* {*y*, *z*}
* {*x*, *y*, *z*}

ดังนั้นเซตกำลังของ *S* คือ {{}, {*x*}, {*y*}, {*z*}, {*x*, *y*}, {*x*, *z*}, {*y*, *z*}, {*x*, *y*, *z*}}

สมบัติ
------

ถ้า {\displaystyle S} เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก {\displaystyle |S|=n} ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ {\displaystyle S} คือ {\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}} ทำให้เกิดสัญกรณ์ {\displaystyle 2^{S}} สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ {\displaystyle S} ในรูปแบบ {\displaystyle \{\omega \_{1},\omega \_{2},\ldots ,\omega \_{n}\}} ซึ่ง {\displaystyle \omega \_{i},1\leq i\leq n} มีค่า {\displaystyle 0} หรือ {\displaystyle 1} ถ้า {\displaystyle \omega \_{i}=1} สมาชิกตัวที่{\displaystyle i} ของ {\displaystyle S} อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่{\displaystyle i}ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ {\displaystyle 2^{n}}
การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต *S* และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูล*ขนาดอนันต์* ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต *S* ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต *S* ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน
------------------------

ในวิชาทฤษฎีเซต *X**Y* เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *Y* ไป *X* เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2*S* (นั่นคือ {0,1}*S*) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก *S* ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2*S* กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2*S* กับ {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2*S* และ {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2*S* สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ *X**Y* และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ {\displaystyle S=\{x,y,z\}} เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 
*1* ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน *S* บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {*x*, *y*} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ *S* จะได้

* { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
* {*x*} = 100 = 4
* {*y*} = 010 = 2
* {*z*} = 001 = 1
* {*x*, *y*} = 110 = 6
* {*x*, *z*} = 101 = 5
* {*y*, *z*} = 011 = 3
* {*x*, *y*, *z*} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม
----------------------------

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก {\displaystyle k} ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก {\displaystyle n} ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ {\displaystyle C(n,k)} เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

* เซตขนาด 0 {\displaystyle C(3,0)=1} เซต
* เซตขนาด 1 {\displaystyle C(3,1)=3} เซต
* เซตขนาด 2 {\displaystyle C(3,2)=3} เซต
* เซตขนาด 3 {\displaystyle C(3,3)=1} เซต

อ้างอิง
-------

1. ↑  Devlin (1979) หน้า 50
2. ↑  Puntambekar (2007), หน้า 1-2

รายชื่อหนังสืออ้างอิง
---------------------

* Devlin, Keith J. (1979). *Fundamentals of contemporary set theory*. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
* Puntambekar, A.A. (2007). *Theory Of Automata And Formal Languages*. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.