| กลศาสตร์ดั้งเดิม |
| --- |
| {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}กฎข้อที่สองของนิวตัน |
| 
* ประวัติศาสตร์
* เส้นเวลา

 |
| สาขา
* จลนศาสตร์
* ท้องฟ้า
* ประยุกต์
* พลศาสตร์
* ภาวะต่อเนื่อง
* สถิตยศาสตร์

 |
| แนวคิดมูลฐาน
* ความเร่ง
* โมเมนตัมเชิงมุม
* แรงคู่ควบ
* หลักการดาล็องแบร์
* พลังงาน
	+ จลน์
	+ ศักย์
* แรง
* กรอบอ้างอิง
* กรอบอ้างอิงเฉื่อย
* การดล
* ความเฉื่อย / โมเมนต์ความเฉื่อย
* มวล
* กำลัง
* งาน
* โมเมนต์
* โมเมนตัม
* ปริภูมิ
* อัตราเร็ว
* เวลา
* ทอร์ก
* ความเร็ว
* งานเสมือน

 |
| การกำหนดกฎ
* **กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน**
* **Analytical mechanics**กลศาสตร์แบบลากร็องฌ์กลศาสตร์แฮมิลตันRouthian mechanicsHamilton–Jacobi equationAppell's equation of motionUdwadia–Kalaba equation
 |
| หัวข้อที่สำคัญ
* Damping (ratio)
* การกระจัด
* Equations of motion
* Euler's laws of motion
* แรงเทียม
* แรงเสียดทาน
* Harmonic oscillator

* กรอบอ้างอิงเฉื่อย / Non-inertial reference frame
* Mechanics of planar particle motion

* การเคลื่อนที่ (linear)
* กฎความโน้มถ่วงสากล
* กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
* ความเร็วสัมพัทธ์
* วัตถุแข็งเกร็ง
	+ dynamics
	+ Euler's equations
* การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
* การสั่น
 |
| การเคลื่อนที่แบบหมุน
* การเคลื่อนที่แบบวงกลม
* Rotating reference frame
* แรงสู่ศูนย์กลาง
* แรงหนีศูนย์กลาง
	+ reactive
* แรงกอรียอลิส
* ลูกตุ้ม
* Tangential speed
* ความถี่การหมุน

* ความเร่งเชิงมุม / การกระจัดเชิงมุม / ความถี่เชิงมุม / ความเร็วเชิงมุม
 |
| นักวิทยาศาสตร์
* กาลิเลโอ
* นิวตัน
* เค็พเพลอร์
* ฮอร์รอกส์
* ฮัลเลย์
* อ็อยเลอร์
* ดาล็องแบร์
* แกลโร
* ลากร็องฌ์
* ลาปลัส
* แฮมิลตัน
* ปัวซง
* ดานีเอล แบร์นุลลี
* โยฮัน แบร์นุลลี
* โกชี

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา
ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา
**การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์** (อังกฤษ: Projectile motion)

วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน(พิจารณาแรงต้านอากาศ)

ความเร็วเริ่มต้น
----------------

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น {\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} \_{0}} ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

{\displaystyle \mathbf {v} \_{0}=v\_{0x}\mathbf {i} +v\_{0y}\mathbf {j} }
องค์ประกอบ {\displaystyle v\_{0x}} และ {\displaystyle v\_{0y}} สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น \theta  ดังนี้

{\displaystyle v\_{0x}=v\_{0}\cos \theta } และ
{\displaystyle v\_{0y}=v\_{0}\sin \theta }

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
----------------------------------------------

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน

### ความเร่ง

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ {\displaystyle \mathbf {v} \_{0}\cos \theta } การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว g องค์ประกอบของความเร่งคือ

{\displaystyle a\_{x}=0} และ
{\displaystyle a\_{y}=-g}
### ความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา {\displaystyle t} ได้ดังนี้

{\displaystyle v\_{x}=v\_{0}\cos(\theta )} และ
{\displaystyle v\_{y}=v\_{0}\sin(\theta )-gt}
ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

{\displaystyle v={\sqrt {v\_{x}^{2}+v\_{y}^{2}\ }}}
### การกระจัด

การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา
ณ เวลา {\displaystyle t} ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

{\displaystyle x=v\_{0}t\cos(\theta )} และ
{\displaystyle y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
ขนาดของการกระจัดคือ

{\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}}
พิจารณาสมการ

{\displaystyle x=v\_{0}t\cos(\theta )} และ
{\displaystyle y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
ถ้า {\displaystyle t} ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

{\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v\_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}}
เมื่อ g {\displaystyle \theta } และ {\displaystyle v\_{0}} เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

{\displaystyle y=ax+bx^{2}}
ซึ่ง {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง ({\displaystyle \theta } หรือ {\displaystyle r}) ความเร็วเริ่มตั้น {\displaystyle v\_{0}} สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น 

{\displaystyle v\_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่
-------------------------

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

{\displaystyle y=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น {\displaystyle y=0}

{\displaystyle 0=v\_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}
{\displaystyle v\_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}
{\displaystyle v\_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}
{\displaystyle t={\frac {2v\_{0}\sin(\theta )}{g}}}
ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง {\displaystyle y\_{0}} เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ 

{\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy\_{0}}}}{g}}}
สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

{\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}}
ถ้า {\displaystyle \theta } = 0 และ {\displaystyle y\_{0}} = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่
--------------------------

ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์
จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง {\displaystyle v\_{y}=0} นั้นคือ

{\displaystyle 0=v\_{0}\sin(\theta )-gt\_{h}}
เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

{\displaystyle t\_{h}={\frac {v\_{0}\sin(\theta )}{g}}}
จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

{\displaystyle h=v\_{0}t\_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt\_{h}^{2}}
{\displaystyle h={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}}

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด
------------------------------------------

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ {\displaystyle R} กับระยะสูงสุด h ที่ {\displaystyle {\frac {t\_{d}}{2}}} เป็น 

{\displaystyle h={\frac {R\tan \theta }{4}}}
### พิสูจน์

{\displaystyle h={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}

{\displaystyle R={\frac {v\_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}
{\displaystyle {\frac {h}{R}}={\frac {v\_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}} × {\displaystyle {\frac {g}{v\_{0}^{2}\sin 2\theta }}}
{\displaystyle {\frac {h}{R}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}}
{\displaystyle h={\frac {R\tan \theta }{4}}}.

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
----------------------------------

ดูบทความหลักที่: พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์
ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"**พิสัย**" {\displaystyle d} คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น {\displaystyle (y=0)}

{\displaystyle 0=v\_{0}t\_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt\_{d}^{2}}
เวลาเมื่อตกถึงพื้น

{\displaystyle t\_{d}={\frac {2v\_{0}\sin(\theta )}{g}}}
จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

{\displaystyle d=v\_{0}t\_{d}\cos(\theta )}
ดังนั้น

{\displaystyle d={\frac {v\_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )}
{\displaystyle d} จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

{\displaystyle \sin 2\theta =1}
ซึ่งสอดคล้องกับ

{\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}
หรือ

{\displaystyle \theta =45^{\circ }}
Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s2. Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. *t* = time from launch, *T* = time of flight, *R* = range and *H* = highest point of trajectory (indicated with arrows).
ระยะทางในแนวราบ {\displaystyle d} ที่เคลื่อนที่ได้

{\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy\_{0}}}\right)}
เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ({\displaystyle y\_{0}=0})) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

{\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}}
ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ \theta  มีค่าเท่ากับ 45 องศา

{\displaystyle d={\frac {v^{2}}{g}}}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน
----------------------------------

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

{\displaystyle v\_{y}^{2}=(v\_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}
สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง
-------

1. ↑  Galileo Galilei, *Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249*
2. ↑  The g คือ ความเร่งโน้มถ่วง. ({\displaystyle 9.81m/s^{2}} ที่ผิวโลก).
3. ↑  {\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}