การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ 

{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }

เมื่อ {\displaystyle {\hat {A}}} เป็นตัวดำเนินการ

*a* เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ

*ψ* เป็นฟังก์ชันไอเกน

**ฟังก์ชันคลื่น**
-----------------

ให้ *ψ* เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ

{\displaystyle \iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{\*}\psi (\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty }

ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม :{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ

{\displaystyle \rho \left(\mathbf {\mathbf {r} } ,t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {(} \mathbf {r} ,t\right)\right|^{2}}
ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง 

{\displaystyle \iiint \_{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =1}

เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า **การแจกแจงแบบปกติ (normalized)**

สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม

**ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม**
----------------------------------

แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่

### 1. **กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง**

ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle }ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)

{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \_{i}c\_{i}|\phi \_{i}\rangle }

เมื่อ *ci* = {\displaystyle \langle \phi \_{i}|\psi \rangle } เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า {\displaystyle |\psi \rangle } ลงบน {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle } ซึ่ง |*ci*|2 = *ci*\**ci* คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle }

### **2. กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง**

ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle }  ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral) 

{\displaystyle |\psi \rangle =\int {\rm {d}}\phi c(\phi )|\phi \rangle }

เมื่อ {\displaystyle c(\phi )} คือ {\displaystyle \langle \phi \_{i}|\psi \rangle } และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง |{\displaystyle c(\phi )}|2 = {\displaystyle c(\phi )}\*{\displaystyle c(\phi )} เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม {\displaystyle |\phi \_{i}\rangle }

**ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ**
-------------------------------------------

          ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R 

ค่าคาดหวัง {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle } ของตัวดำเนินการ {\displaystyle {\hat {A}}} จะหาได้จาก

{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int \_{R}\psi ^{\*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}

และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น

{\displaystyle \langle F({\hat {A}})\rangle =\int \_{R}\psi (\mathbf {r} )^{\*}\left[F({\hat {A}})\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |F({\hat {A}})|\psi \rangle ,}

**ตัวอย่าง** ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ *ψ*

{\displaystyle {\begin{aligned}&F({\hat {A}})={\hat {A}}^{2}\\&\Rightarrow \langle {\hat {A}}^{2}\rangle =\int \_{R}\psi ^{\*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi \vert {\hat {A}}^{2}\vert \psi \rangle \\\end{aligned}}\,\!}

**ตัวดำเนินการเอมิตเชียน**
--------------------------

ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ   

{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}

เมื่อ {\displaystyle {\hat {A}}^{\dagger }} เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา "{\displaystyle \dagger }" เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger) 

จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา(bar) - เค็ท(ket) ได้ดังนี้  

{\displaystyle \langle \phi \_{i}|{\hat {A}}|\phi \_{j}\rangle =\langle \phi \_{j}|{\hat {A}}|\phi \_{i}\rangle ^{\*}.}

### **คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน**

1.      ค่าไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนเป็นจำนวนจริงเสมอ

2.      ฟังก์ชันไอเกน (สถานะไอเกน) ที่มีค่าไอเกนแตกต่างกันจะมีสมบัติ Orthogonality

3.      ฟังก์ชันไอเกน สามารถเป็น Orthonormal basis