ภาพประกอบของกฎของมาลุส: แสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงซึ่งมีกแกนโพลาไรซ์ตามลูกศรดำแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ซึ่งมีแกนชี้ตามลูกศรแดงซึ่งทำมุมต่างกัน \theta  ผลที่ได้คือคลื่นสีแดงทางขวาซึ่งถูกลดทอนลงมีทิศแกนตรงกับแกนของโพลาไรเซอร์
**กฎของมาลุส** (loi de Malus) เป็นกฎทางทัศนศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณความเข้มแสงที่ส่งผ่านโพลาไรเซอร์ที่สมบูรณ์แบบ

ประวัติศาสตร์
-------------

ชื่อกฎของมาลุสนี้มีที่มาจากชื่อเอเตียน-หลุยส์ มาลุส นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ผู้ซึ่งได้ค้นพบกฎนี้ในปี 1809

หลักการ
-------

สมมติว่าคลื่นของแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ให้มุม *θ* เป็นมุมระหว่างแกนโพลาไรเซชันของคลื่นแสงนี้กับแกนของโพลาไรเซอร์ คลื่นที่ส่งผ่านออกมาจะถูกโพลาไรซ์ตามแกนของโพลาไรเซอร์ โดยจะถูกลดทอนด้วยปัจจัยบางอย่าง ถ้าเราสังเกตความเข้มขาเข้า {\displaystyle I\_{0}} และความเข้มขาออก {\displaystyle I} จะได้ว่าเป็นไปตามกฎมาลุส คือ

{\displaystyle I=I\_{0}\cos ^{2}{(\theta )}}
จากกฎนี้เราจะได้ว่า

* หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบอยู่ในทิศทางเดียวกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ {\displaystyle \theta =0} ความเข้มของแสงทั้งหมดจะถูกส่งผ่าน
* หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบตั้งฉากกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ {\displaystyle \theta =90} ก็จะไม่เกิดคลื่นขาออก
* หากคลื่นที่ตกกระทบเป็นคลื่นไม่ได้โพลาไรซ์ กล่าวคือ ประกอบด้วยโพลาไรเซชันในทุกทิศที่เป็นไปได้ทั้งหมด แล้วหาค่าเฉลี่ย ของ {\displaystyle I} เราจะได้ว่า {\displaystyle I=I\_{0}/2} นั่นคือความเข้มลดลงครึ่งหนึ่ง ปรากฏการณ์เช่นนี้อาจสังเกตได้เมื่อมองหลอดไส้ร้อนแบบธรรมดาผ่านโพลาไรเซอร์

การพิสูจน์
----------

โพลาไรเซอร์มีผลทำให้แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า E0 ของคลื่นที่ส่งผ่านเหลือแค่ในส่วนทิศที่ตรงกับแกนของลาไรเซอร์ ในกรณีของคลื่นแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรง ค่านี้จะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของมุม *θ* ดังนั้นแอมพลิจูดขาออกคือ

{\displaystyle E=E\_{0}\cos {(\theta )}}
และความเข้มของการส่องสว่าง ตามคำนิยามแล้ว แปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่น

{\displaystyle I\_{0}={\overrightarrow {E}}.{\overrightarrow {E}}=E\_{0}^{2}}

ดังนั้นเมื่อผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มแสงจึงเป็น

{\displaystyle I=E\_{0}^{2}\cos ^{2}(\theta )=I\_{0}\cos ^{2}{(\theta )}}
ในกรณีของคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ สูตรจะพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )} ซึ่งหากอนุมานแบบคร่าว ๆ เราจะเห็นว่าค่า {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )} อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \cos(0^{\circ })=1} | {\displaystyle \cos(90^{\circ })=0} | {\displaystyle \cos(180^{\circ })=-1} | {\displaystyle \cos(270^{\circ })=0} |
| {\displaystyle \cos ^{2}(0^{\circ })=1} | {\displaystyle \cos ^{2}(90^{\circ })=0} | {\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ })=1} | {\displaystyle \cos ^{2}(270^{\circ })=0} |

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )} จึงควรเป็น {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ดังนั้นสูตรคือ {\displaystyle I={\frac {I\_{0}}{2}}}

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อย่างเข้มงวดควรทำโดยหาค่าเฉลี่ยจากการคำนวณปริพันธ์ โดยฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่มุม 0° และมีค่าต่ำสุดเป็น 0 ที่มุม 90° ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าทั้งสองโดย

{\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\cos ^{2}(\theta )}\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)}\,d\theta }{\pi /2-0}}}

ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

{\displaystyle \color {OliveGreen}\cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}}}

จากนั้นทำการรวบแต่ละพจน์

{\displaystyle ={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}1\,d\theta }+{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\color {blue}\left[\theta \right]\_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }}}{\pi /2-0}}}

เพื่อที่จะแก้หาปริพันธ์ ในที่นี้เราแทน {\displaystyle \color {YellowOrange}u=2\theta } และ {\displaystyle \color {YellowOrange}d\theta ={\tfrac {du}{2}}}

{\displaystyle ={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]\_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int \_{0}^{\pi }\cos(u)\,du}}{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]\_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(u)\right]\_{0}^{\pi }}}{\pi /2-0}}}

จากนั้นใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก

{\displaystyle ={\frac {{\frac {1}{2}}\left[\theta \right]\_{0}^{\pi /2}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(2\theta )\right]\_{0}^{\pi /2}}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}\sin(2\theta )}{4}}\right]\_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}2\sin(\theta )\cos(\theta )}{4}}\right]\_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}}

ซึ่งได้มาจาก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

{\displaystyle {\color {OliveGreen}\sin[2(x)]=2\sin(x)\cos(x)}}

แล้วสุดท้ายก็จะได้

{\displaystyle =\left[{\color {Plum}{\frac {\theta +\sin(\theta )\cos(\theta )}{2}}}\right]\_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cdot {\frac {2}{\pi }}=\left({\color {Plum}F({\tfrac {\pi }{2}})-F(0)}\right)\cdot {\frac {2}{\pi }}={\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}

จากผลการหาปริพันธ์ที่ได้นี้ ความเข้มแสงเฉลี่ยทั้งหมดตั้งแต่มุม 0° ถึง 90° จะเป็น 

{\displaystyle {\bar {I}}={\frac {\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}{I\_{0}}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{I\_{0}}\displaystyle \int \_{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={I\_{0}}{\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={I\_{0}}{\frac {2}{4}}={\frac {I\_{0}}{2}}}

ดังนั้นสำหรับคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ จึงได้ว่า

{\displaystyle I={\frac {I\_{0}}{2}}}

นั่นคือเมื่อแสงไม่โพลาไรซ์แผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

การสังเกตการณ์ในการทดลอง
------------------------

ตัวอย่างภาพด้านล่างนี้เป็นการสังเกตแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงที่มาจากหน้าจอคอมพิวเตอร์ ตามกฎของมาลุส โพลาไรเซอร์ที่วางอยู่ข้างหน้าจะกันแสงโดยขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน

* 
* 
* 
* 
*

อ้างอิง
-------

1. ↑  Menten 2013, p. 191, s.v. loi de Malus. sfn error: no target: CITEREFMenten2013 (help)
2. ↑  Taillet, Villain & Febvre 2018, p. 452, s.v. Malus (loi de). sfn error: no target: CITEREFTailletVillainFebvre2018 (help)