ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง **ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส** เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน **R***n* โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน **R***n* จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ **R***n* จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า **ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ**

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ
-----------------------------

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

ข้อความ
-------

**ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}** — ทุกลำดับมีขอบเขตใน **R***n* จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า

พิสูจน์
-------

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน {\displaystyle \mathbb {R} } ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้

**บทตั้ง** — ทุกลำดับอนันต์ {\displaystyle (x\_{n})} ใน {\displaystyle \mathbb {R} } มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว

**พิสูจน์** — 
เราจะเรียกดัชนีค่าบวก {\displaystyle n} ของลำดับว่าเป็น *จุดพีค* ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ {\displaystyle x\_{m}<x\_{n}} สำหรับทุก {\displaystyle m>n} สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี{\displaystyle n\_{1}<n\_{2}<n\_{3}<\dots <n\_{j}<\dots } และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า {\displaystyle x\_{n\_{1}}>x\_{n\_{2}}>x\_{n\_{3}}>\dots >x\_{n\_{j}}>\dots }. ดังนั้น ลำดับอนันต์ {\displaystyle (x\_{n})} ใน {\displaystyle \mathbb {R} } มีลำดับทางเดียวคือ {\displaystyle (x\_{n\_{j}})} นั้น

แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ {\displaystyle N} เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย {\displaystyle (x\_{n\_{j}})} ที่มีดัชนีตัวแรกคือ {\displaystyle n\_{1}=N+1} จะเงื่อนไขได้ว่า {\displaystyle n\_{1}} ไม่เป็นจุดพีค เพราะ {\displaystyle n\_{1}} มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี {\displaystyle n\_{2}} ที่ซึ่ง {\displaystyle n\_{1}<n\_{2}} และ {\displaystyle x\_{n\_{1}}\leq x\_{n\_{2}}}

เช่นกัน จาก {\displaystyle n\_{2}} มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี {\displaystyle n\_{3}} ที่ซึ่ง {\displaystyle n\_{2}<n\_{3}} และทำให้ {\displaystyle x\_{n\_{2}}\leq x\_{n\_{3}}} ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด {\displaystyle x\_{n\_{1}}\leq x\_{n\_{2}}\leq x\_{n\_{3}}\leq \ldots } ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ {\displaystyle (x\_{n})} ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ {\displaystyle (x\_{n})} ใน {\displaystyle \mathbb {R} } มีลำดับย่อยทางเดียว

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า {\displaystyle (x\_{n})} เป็นลำดับมีขอบเขต ใน {\displaystyle \mathbb {R} } โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป ({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด {\displaystyle n} ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่น
----------------

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต {\displaystyle (x\_{n})} :

* เพราะ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
 มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 และขอบเขตบน 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 .เพราะ {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง {\displaystyle s} และขอบเขตบน {\displaystyle S} .
* เราใช้ 
  
    
      
        
          I
          
            1
          
        
        =
        [
        s
        ,
        S
        ]
      
    
    {\displaystyle I_{1}=[s,S]}
  
 เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์เราใช้ {\displaystyle I\_{1}=[s,S]} เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
* จากนั้นแบ่ง 
  
    
      
        
          I
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{1}}
  
 ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลางจากนั้นแบ่ง {\displaystyle I\_{1}} ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
* เนื่องจากลำดับ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
 เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง 
  
    
      
        
          I
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{2}}เนื่องจากลำดับ {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง {\displaystyle I\_{2}}
* จากนั้นเราก็แบ่ง 
  
    
      
        
          I
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{2}}
  
 อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วงจากนั้นเราก็แบ่ง {\displaystyle I\_{2}} อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
* เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            ∈
            
              N
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
  
 อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม 
  
    
      
        
          I
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{3}}เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ {\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม {\displaystyle I\_{3}}
* เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ  จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ (
  
    
      
        
          I
          
            1
          
        
        ⊃
        
          I
          
            2
          
        
        ⊃
        
          I
          
            3
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\dotsb }
  
)เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ ({\displaystyle I\_{1}\supset I\_{2}\supset I\_{3}\dotsb })

เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า {\displaystyle (I\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }=([a\_{n},b\_{n}])\_{n\in \mathbb {N} }} เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ {\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n}}) แล้วอินเตอร์เซคชัน {\textstyle \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}} จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า {\textstyle x\in \bigcap \_{n\in \mathbb {N} }I\_{n}} เป็นจุดเกาะกลุ่มของ {\displaystyle (x\_{n})}

กำหนดย่านใกล้เคียง {\displaystyle U} ของ {\displaystyle x} ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง{\displaystyle I\_{N}} ที่เป็นสับเซตแท้ของ {\displaystyle U} เนื่องจาก {\displaystyle I\_{N}} บรรจุสมาชิกของ {\displaystyle (x\_{n})} เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ {\displaystyle I\_{N}\subseteq U}, ดังนั้น {\displaystyle U} บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ {\displaystyle (x\_{n})}ทำให้ได้ว่า {\displaystyle x} เป็นจุดเกาะกลุ่มของ {\displaystyle (x\_{n})} ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ {\displaystyle (x\_{n})} ที่ลู่เข้า {\displaystyle x}

ดูเพิ่ม
-------

* ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
* ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
* ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
* หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

อ้างอิง
-------

1. ↑  Bartle and Sherbert 2000, p. 78 (for **R**).
2. ↑  Fitzpatrick 2006, p. 52 (for **R**), p. 300 (for **R***n*).
3. ↑  Fitzpatrick 2006, p. xiv.
4. ↑  Bartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.
5. ↑  Garling 2013, pp. 94-95

บรรณานุกรม
----------

* Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). *Introduction to Real Analysis* (3rd ed.). New York: J. Wiley.
* Fitzpatrick, Patrick M. (2006). *Advanced Calculus* (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
* Garling, D. J. H. (2013). *A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis*. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-31469-6. OCLC 842256400.
* Pugh, C. C. (2015). *Real mathematical analysis* (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-17771-7. OCLC 915757451.