ในทางคณิตศาสตร์ **อนุกรม** (อังกฤษ: series) คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น {\displaystyle \{a\_{n}\}=a\_{1},a\_{2},a\_{3},...} อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}+...} อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ {\displaystyle \{1/2^{n}\}}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }
พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น **อนุกรมไม่จำกัด** หรือ **อนุกรมอนันต์**(infinite series) อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

สมบัติพื้นฐาน
-------------

อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง {\displaystyle \{a\_{n}\}} เรานิยามให้

{\displaystyle S\_{N}=\sum \_{n=0}^{N}a\_{n}=a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+\cdots +a\_{N}}
เราเรียก {\displaystyle S\_{N}} ว่าเป็น *ผลรวมบางส่วน* *N* พจน์ ของลำดับ {\displaystyle \{a\_{n}\}} หรือ *ผลรวมบางส่วนของอนุกรม* อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน {\displaystyle \{S\_{N}\}}

### ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น

เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ {\displaystyle \{S\_{N}\}} ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง *ผลรวมของอนุกรม* อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}
เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น

{\displaystyle \sum a\_{n}}
หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

### อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก

อนุกรม ∑a\_{n} จะเรียกว่า *ลู่เข้า* (converge) เมื่อลำดับ {\displaystyle \{S\_{N}\}} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ {\displaystyle S\_{N}} เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า *ลู่ออก* (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น *ผลรวมของอนุกรม*

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}=\lim \_{N\to \infty }S\_{N}=\lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=0}^{N}a\_{n}}
วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ a\_{n} ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }
อนุกรมนี้อาจ *มองว่า* เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว *เท่ากับ* 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า *มากที่สุด* คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2

นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้

{\displaystyle x=0.111\dots }
เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม {\displaystyle 0.1+0.01+0.001+...} แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)

### ตัวอย่างอนุกรม

* อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}}
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }z^{n}}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ {\displaystyle |z|<1}

* อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}}
อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก

* อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น

{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}}
* สำหรับอนุกรมนี้

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ *r* > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ *r* ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ *r* ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

* สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(b\_{n}-b\_{n+1})}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ {\displaystyle b\_{n}} ลู่เข้าไปยังขอบเขต *L* ค่าหนึ่ง เมื่อ *n* มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ {\displaystyle b\_{1}-L}

สมบัติอื่น ๆ
------------

อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้โดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ a\_{n} (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ a\_{n} (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

### พจน์ที่ไม่เป็นลบ

เมื่อ a\_{n} เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ *n* ดังนั้นลำดับ {\displaystyle S\_{N}} ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑a\_{n} ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ {\displaystyle S\_{N}} ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้

{\displaystyle \sum \_{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}
เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ

{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2}
และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

### การลู่เข้าสัมบูรณ์

บทความหลัก: การลู่เข้าสัมบูรณ์
กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}
จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\left|a\_{n}\right|}
ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

### การลู่เข้าตามเงื่อนไข

บทความหลัก: การลู่เข้าตามเงื่อนไข
อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น

{\displaystyle \sum \limits \_{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a\_{n} เป็นจำนวนจริง และ *S* ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ *S*

การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ

{\displaystyle \sum a\_{n}=\sum \lambda \_{n}b\_{n}}
เมื่อผลรวมบางส่วน {\displaystyle B\_{N}=b\_{0}+...+b\_{N}} ถูกจำกัดขอบเขต, {\displaystyle \lambda \_{n}} เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ {\displaystyle \lambda \_{n}B\_{n}} มีลิมิต

{\displaystyle \sup \_{N}{\Bigl |}\sum \_{n=0}^{N}b\_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda \_{n+1}-\lambda \_{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda \_{n}B\_{n}\ {\text{converges}}}
แล้วอนุกรม ∑a\_{n} จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ

{\displaystyle \sum \_{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}
โดยที่ {\displaystyle 0<x<2\pi } วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน {\displaystyle b\_{n+1}=B\_{n+1}-B\_{n}} และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑a\_{n} เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้

{\displaystyle \sum (\lambda \_{n}-\lambda \_{n+1})\,B\_{n}}

อ้างอิง
-------

* Bromwich, T.J. *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

ดูเพิ่ม
-------

* อนุกรมเลขคณิต
* อนุกรมเรขาคณิต