ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต *A* ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซต *X* แสดงค่าด้วยสีแดง
**ฟังก์ชันบ่งชี้** (อังกฤษ: indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า **ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ** (อังกฤษ: Caracteristic function) คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต *X* ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย *A* ใน *X* หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต *A* หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต *A* แต่ยังคงอยู่ในเซต *X*

นิยาม
-----

ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย *A* ของเซต *X* คือฟังก์ชัน

{\displaystyle \mathbf {1} \_{A}:X\to \{0,1\}}
นิยามโดย

{\displaystyle \mathbf {1} \_{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ x\in A\\0&{\mbox{if}}\ x\notin A\end{cases}}}
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น

* [*x* ∈ *A*] เป็นสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอิเวอร์สัน
* χ*A* (*x*) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในการวิเคราะห์คอนเวกซ์
* **I***A* (*x*) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ **1***A* (*x*) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)
* หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ *A* (*x*)

สมบัติพื้นฐาน
-------------

การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย *A* ของ *X* ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน **1***A* มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน *f* : *X* → {0, 1}

ถ้า *A* และ *B* ต่างก็เป็นเซตย่อยของ *X* จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)

{\displaystyle \mathbf {1} \_{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} \_{A},\mathbf {1} \_{B}\}=\mathbf {1} \_{A}\cdot \mathbf {1} \_{B}}
{\displaystyle \mathbf {1} \_{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} \_{A},\mathbf {1} \_{B}}\}=\mathbf {1} \_{A}+\mathbf {1} \_{B}-\mathbf {1} \_{A}\cdot \mathbf {1} \_{B}}
ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ *A* ซึ่งก็คือ *A*C จะได้ว่า

{\displaystyle \mathbf {1} \_{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} \_{A}}
ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก *A*1, …, *A**n* เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ *X* สำหรับค่า *x* ∈ *X* ดังนั้น

{\displaystyle \prod \_{k\in I}(1-\mathbf {1} \_{A\_{k}}(x))}
จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก *x* ไม่อยู่ในเซตย่อย *A**k* ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า

{\displaystyle \prod \_{k\in I}(1-\mathbf {1} \_{A\_{k}})=\mathbf {1} \_{X-\bigcup \_{k}A\_{k}}=1-\mathbf {1} \_{\bigcup \_{k}A\_{k}}}
กระจายผลคูณทางด้านซ้าย

{\displaystyle \mathbf {1} \_{\bigcup \_{k}A\_{k}}=1-\sum \_{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} \_{\bigcap \_{F}A\_{k}}=\sum \_{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} \_{\bigcap \_{F}A\_{k}}}
เมื่อ | *F* | คือภาวะเชิงการนับของ *F* สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก

ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ *X* เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น **P** และ *A* เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว **1***A* จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ *A* ดังนี้

{\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} \_{A})=\int \_{X}\mathbf {1} \_{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int \_{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A)}
เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ

ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)

มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
-------------------------------------------

กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, {\displaystyle {\mathcal {F}}}, **P**) ซึ่ง *A* ∈ {\displaystyle {\mathcal {F}}} และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ **1***A* : Ω → **R** ซึ่งนิยามโดย **1***A* (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ *A* สำหรับกรณีอื่น **1***A* (ω) = 0

|  |  |
| --- | --- |
| มัชฌิม: | {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} \_{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)} |
| ความแปรปรวน: | {\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} \_{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))} |
| ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว: | {\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} \_{A}(\omega ),\mathbf {1} \_{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)} |

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย
-------------------------------------

ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น

อ้างอิง
-------

* Folland, G.B.; *Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications*, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc. 1999.
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. *Introduction to Algorithms*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
* Martin Davis ed. (1965), *The Undecidable*, Raven Press Books, Ltd. New York.
* Stephen Kleene, (1952), *Introduction to Metamathematics*, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
* George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), *Computability and Logic*, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
* Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". *Information and Control* **8**: 338–353.  เก็บถาวร 2007-06-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
* Joseph Goguen, 1967, "*L*-fuzzy sets". *Journal of Mathematical Analysis and Applications* **18**: 145–174