**ฟังก์ชันเลียปูนอฟ** (อังกฤษ: Lyapunov function) เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม

ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้ ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า **ฟังก์ชันพลังงาน** (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นๆมีเสถียรภาพ 

ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่างๆในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้

นิยามของฟังก์ชันพลังงาน
-----------------------

กำหนดให้ {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์   

{\displaystyle V} จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก {\displaystyle V} เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ
* {\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in U\setminus \{0\}} โดยที่ {\displaystyle U} เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด {\displaystyle x=0}
* {\displaystyle V(0)=0\,}

หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่ {\displaystyle V(z)=z^{T}Pz\,} โดยที่ {\displaystyle P=P^{T}\in R^{n\times n}>0\,} กล่าวคือ {\displaystyle P\,} คือเมทริกซ์บวกแน่นอน

นิยามของจุดสมดุลของระบบ
-----------------------

กำหนดให้ {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
{\displaystyle {\dot {y}}=g(y)\,} เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น {\displaystyle y^{\*}\,} ดังนั้น
{\displaystyle 0=g(y^{\*})\,}
โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป {\displaystyle x=y-y^{\*}\,} เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้

{\displaystyle {\dot {x}}=g(x+y^{\*})=f(x)\,}
{\displaystyle f(0)=0\,}

พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ
----------------------------------------------------

กำหนดให้ {\displaystyle x^{\*}=0\,} เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}
และให้ {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x)}
เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน{\displaystyle V}

### เสถียรภาพของจุดสมดุล

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

{\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}
สำหรับย่าน {\displaystyle {\mathcal {B}}} รอบจุด {\displaystyle 0} จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

### เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

{\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}
สำหรับย่าน {\displaystyle {\mathcal {B}}} รอบจุด {\displaystyle 0} จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

### เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน {\displaystyle V} เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

{\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}
จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)

  

หมายเหตุ :ฟังก์ชันพลังงาน {\displaystyle V(x)} จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก {\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty }

ตัวอย่าง
--------

พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น {\displaystyle x} โดยที่ {\displaystyle x\in \mathbb {R} }:

{\displaystyle {\dot {x}}=-x}
จะเห็นว่า {\displaystyle |x|} มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ 
กำหนดให้ {\displaystyle V(x)=|x|} โดยที่ {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} ดังนั้น

{\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=\mathrm {sign} (x)\cdot (-x)=-|x|<0}
จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด

ดูเพิ่ม
-------

* Ordinary differential equations
* Control-Lyapunov function
* Foster's theorem
* ทฤษฎีระบบควบคุม
* สมการเลียปูนอฟ

อ้างอิง
-------

1. 1 2   เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)

* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Lyapunov Function" จากแมทเวิลด์.
* Khalil, H.K. (1996). *Nonlinear systems*. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Example เก็บถาวร 2011-09-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
* Some Lyapunov diagrams เก็บถาวร 2007-09-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน