**ฮามิลโทเนียน** (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน
----------------------------

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ
1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation)
2. หลักการแปรผัน (Variational Principle)
เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน  

{\displaystyle p(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q,{\dot {q}},t\right)}{\partial {\dot {q}}}}}  

โดย {\displaystyle q(t)} คือพิกัดทั่วไป {\displaystyle {\dot {q}}(t)} คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ {\displaystyle t} คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ 

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว {\displaystyle {\dot {q}}(t)} ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ  

{\displaystyle H(q(t),p(t),t)=p(t){\dot {q}}(q,p,t)-L(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)}  

โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

### ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด {\displaystyle N} ตัว  

{\displaystyle q\equiv \left\{q\_{1}(t),q\_{2}(t),...q\_{N}(t)\right\}}  

เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน  

{\displaystyle L\left(q,{\dot {q}},t\right)\equiv L\left(q\_{1},q\_{2},...q\_{N},{\dot {q}}\_{1},{\dot {q}}\_{2},...{\dot {q}}\_{N},t\right)}  

เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว {\displaystyle p\_{i}(t)} ได้โดย  

{\displaystyle p\_{i}(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q\_{1},q\_{2},...q\_{N},{\dot {q}}\_{1},{\dot {q}}\_{2},...{\dot {q}}\_{N},t\right)}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}\qquad \qquad i=1,2,...N}  

ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
  
{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}=f\_{i}\left(q\_{1},q\_{2},...q\_{N},p\_{1},p\_{2},...p\_{N},t\right)}  

เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
  
{\displaystyle H\left(q(t),p(t),t\right)=\sum \_{i}p\_{i}(t){\dot {q}}\_{i}(q,p,t)-L\left(q,{\dot {q}}(q,p,t),t\right)}

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

### ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ {\displaystyle \sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}-L(q,{\dot {q}},t)} เราจะได้
  
{\displaystyle \delta \left(\sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}-L\right)=\sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}\delta p\_{i}-\sum \_{i}{\frac {\partial L}{\partial q\_{i}}}\delta q\_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t+\sum \_{i}\left(p\_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right)\delta {\dot {q}}\_{i}}  

จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย {\displaystyle p\_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}} ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ {\displaystyle {\dot {q}}\_{i}} ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ {\displaystyle \delta q\_{i}} เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
  
{\displaystyle \delta H(q,p,t)=\sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}\delta p\_{i}-\sum \_{i}{\frac {\partial L}{\partial q\_{i}}}\delta q\_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t}  

จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
  
{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}={\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}}  

ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
  
{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}={\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}\Longleftrightarrow p\_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}}  

ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ
{\displaystyle \sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}-H(q,p,t)}
จะพบว่า
  
{\displaystyle \delta \left(\sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}-H(q,p,t)\right)=\sum \_{i}p\_{i}\delta {\dot {q}}\_{i}-\sum \_{i}{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}\delta q\_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t+\sum \_{i}\left({\dot {q}}\_{i}-{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}\right)\delta p\_{i}}  

และเมื่อใช้นิยามของ {\displaystyle {\dot {q}}\_{i}=\partial H/\partial p\_{i}} จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
  
{\displaystyle \delta L(q,{\dot {q}},t)=\sum \_{i}p\_{i}\delta {\dot {q}}\_{i}-\sum \_{i}{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}\delta q\_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t}  

นอกจากนั้นเราพบว่า
  
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q\_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}}  

และ
  
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}}  

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร {\displaystyle q\_{i}} และ {\displaystyle t} ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

### การแปลงแบบคาโนนิคัล

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด {\displaystyle q\_{i}} ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ {\displaystyle Q\_{i}} ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น {\displaystyle Q\_{i}=Q\_{i}{(q\_{k},p\_{k},t)}} และ {\displaystyle P\_{i}=P\_{i}{(q\_{k},p\_{k},t)}}

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง {\displaystyle Q} และ {\displaystyle P} ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน {\displaystyle K{(Q,P,t)}} ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q\_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P\_{i}} }}\\{\dot {\mathbf {P\_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q\_{i}} }}\end{aligned}}}
จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน {\displaystyle K} ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล
การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม กับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

1. {\displaystyle G\equiv G\_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}

2. {\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G\_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}

3. {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G\_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}

4. {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G\_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}

ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน
----------------------------

### การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
  
{\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}  

โดย {\displaystyle x(t)} คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ {\displaystyle k} คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด {\displaystyle x(t)} คือ
  
{\displaystyle p={\frac {\partial L(x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}  

ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด {\displaystyle x(t)} ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
  
{\displaystyle {\dot {x}}={\frac {p}{m}}}  

ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
  
{\displaystyle H(x,p)=p{\dot {x}}(p)-L(x,{\dot {x}}(p))=p{\frac {p}{m}}-{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}  

สังเกตว่า
  
{\displaystyle H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=T(p)+V(x)}  

เมื่อ {\displaystyle T(p)} คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ {\displaystyle V(x)} คือพลังงานศักย์ของระบบ

### การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
  
{\displaystyle V=V(r)}  

ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
  
{\displaystyle q\_{1}(t)=r(t),\qquad q\_{2}(t)=\theta (t),\qquad q\_{3}(t)=\phi (t)}  

การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
  
{\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}  

ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
  
{\displaystyle p\_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}  

และ
  
{\displaystyle p\_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}}  

โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
  
{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {p\_{r}}{m}}}  

  
{\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p\_{\phi }}{mr^{2}}}}  

สังเกตว่าอัตราเร็ว {\displaystyle {\dot {\phi }}} เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด {\displaystyle \phi } เองและฟังก์ชันของพิกัด {\displaystyle r} ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
  
{\displaystyle H(r,\phi ,p\_{r},p\_{\phi })={\frac {p\_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p\_{\phi }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)}  

ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

### อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ({\displaystyle v<<c}) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
  
{\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)}  

โดยที่ e คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค {\displaystyle \phi =\phi (r)} คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
  
{\displaystyle \mathbf {p} \_{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}}  

ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum {\displaystyle m{\dot {r}}} ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
  
{\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {\mathbf {p} \_{r}^{2}}{2m}}+e\phi (r)}  

ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

### อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ({\displaystyle v<<c}) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
  
{\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}  

โดยที่ {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} (r)} คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
  
{\displaystyle \mathbf {p} \_{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} }  

ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum {\displaystyle m{\dot {r}}}

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
  
{\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi (r)}  

ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป {\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {p} \_{r})} ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + V
--------------------

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน {\displaystyle H=T+V} เมื่อ {\displaystyle T} คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ {\displaystyle V} คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

### กรณีทั่วไป

เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
  
{\displaystyle L(q,p)=T({\dot {q}}^{2})-V(q)}  

และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
  
{\displaystyle T({\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum \_{i,k}a\_{ik}{\dot {q}}\_{i}{\dot {q}}\_{k}}  

โดยที่ {\displaystyle a\_{ik}=a\_{ik}(q)} อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
  
{\displaystyle p\_{i}(q,p)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}=\sum \_{k}a\_{ik}{\dot {q}}\_{k}}  

ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
  
{\displaystyle q\_{i}(q,p)=f\_{i}(q,p,t)}  

เมื่อ {\displaystyle f\_{i}(q,p)} คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
  
{\displaystyle \sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}=\sum \_{i,k}{\dot {q}}\_{i}a\_{ik}{\dot {q}}\_{k}=2T}  

ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
  
{\displaystyle H(q,p)=\sum \_{i}{\dot {q}}\_{i}p\_{i}-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)}  

โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
  
{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}\sum \_{i,k}a\_{ik}{\dot {q}}\_{i}{\dot {q}}\_{k}+\sum \_{i}b\_{i}{\dot {q}}\_{i}-V(q)}  

โดยที่ {\displaystyle a\_{ik}} และ {\displaystyle b\_{i}} อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
  
{\displaystyle p\_{i}=\sum \_{k}a\_{ik}{\dot {q}}\_{k}+b\_{i}}  

ดังนั้น
  
{\displaystyle H(q,p,t)=\sum {p\_{i}{\dot {q}}\_{i}}-L=2T+\sum \_{i}b\_{i}{\dot {q}}\_{i}-L={\frac {1}{2}}\sum \_{i,k}a\_{ik}{\dot {q}}\_{i}(q,p,t){\dot {q}}\_{k}(q,p,t)+V(q)}  

สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" {\displaystyle H=T+V}

### ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
  
{\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}  

เป็นฟังก์ชันของ {\displaystyle {\dot {r}}^{2},{\dot {\phi }}^{2},r} โดย {\displaystyle a\_{rr}=m} และ {\displaystyle a\_{\phi \phi }=mr^{2}} ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม {\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}} ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
-------------------------------

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

### ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
  
{\displaystyle L(q,\lambda {\dot {q}})=\lambda L(q,{\dot {q}})}  

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
  
{\displaystyle p{\dot {q}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=L}  

ดังนั้น
  
{\displaystyle H(q,p)=p{\dot {q}}-L(q,p)=L-L=0}  

### อนุภาค relativistic

 ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา {\displaystyle t} เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ {\displaystyle \tau } ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
  
{\displaystyle x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=\left(t(\tau ),\mathbf {x} (\tau )\right)\qquad \qquad \mu =0,1,2,3}  

สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก {\displaystyle \tau } ที่ทำให้
  
{\displaystyle \sum \_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}\_{\mu }\equiv \sum \_{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx\_{\mu }}{d\tau }}=1}  

เราจะสามารถใช้ {\displaystyle \tau } เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
  
{\displaystyle L({\dot {x}})=m{\sqrt {\sum \_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}\_{\mu }}}}  

เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
  
{\displaystyle L(\lambda {\dot {x}})=m{\sqrt {\sum \_{\mu }\lambda {\dot {x}}^{\mu }\lambda {\dot {x}}\_{\mu }}}=\lambda m{\sqrt {\sum \_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}\_{\mu }}}=\lambda L({\dot {x}})}  

โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime {\displaystyle ({\dot {x}}^{\mu })} คือ
  
{\displaystyle p\_{\mu }(\tau )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={\frac {m{\dot {x}}\_{\mu }}{\sqrt {\sum \_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}\_{\nu }}}}}  

เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
  
{\displaystyle H(x,p)=\sum \_{\mu }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}{\dot {x}}^{\mu }-L=L-L=0}  

  

สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
  
{\displaystyle p\_{\mu }(\lambda {\dot {x}})={\frac {m\lambda {\dot {x}}\_{\mu }}{\sqrt {\sum \_{\nu }\lambda ^{2}{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}\_{\nu }}}}=p\_{\mu }({\dot {x}})}  

ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }} ที่ลากระหว่างจุด {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }} ใดๆกับจุด {\displaystyle \lambda {\dot {x}}^{\mu }} จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
  
{\displaystyle p^{2}\equiv \sum \_{\mu }p\_{\mu }p^{\mu }={\frac {m{\dot {x}}\_{\mu }}{\sqrt {\sum \_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}\_{\nu }}}}{\frac {m{\dot {x}}^{\mu }}{\sqrt {\sum \_{\sigma }{\dot {x}}^{\sigma }{\dot {x}}\_{\sigma }}}}=m^{2}}  

ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
  
{\displaystyle p^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}  

ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

### วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ {\displaystyle i} และหลักที่ {\displaystyle j} คือ
  
{\displaystyle {\frac {\partial {p\_{i}}}{\partial {\dot {q}}\_{j}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}\_{j}\partial {\dot {q}}\_{i}}}\qquad \qquad i,j=1,2,3,...N}  

โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
  
{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}={\dot {q}}\_{i}(q,p,t)\qquad \qquad i=1,2,...N}  

ก็ต่อเมื่อ
  
{\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}\_{j}\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right)\neq 0}  

ส่วนในกรณีที่
  
{\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}\_{j}\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right)=0}  

เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี
--------------------

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม {\displaystyle {(q,p)}} ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น {\displaystyle {(q\_{0},p\_{0})}} การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

{\displaystyle q=q{(q\_{0},p\_{0},t)}} -----1
{\displaystyle p=p{(q\_{0},p\_{0},t)}} -----2
สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q\_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P\_{i}} }}&=0\\{\dot {\mathbf {P\_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q\_{i}} }}&=0\end{aligned}}}
เมื่อ {\displaystyle K} เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ{\displaystyle {(P,Q)}} เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า{\displaystyle (H)} และแฮมินโทเนียนใหม่{\displaystyle (K)} ได้ดังสมการ

{\displaystyle K=H+{\partial F \over \partial t}}
โดย {\displaystyle F} เป็น Generating function หรือฟังก์ชันกำเนิด ดังนั้น ถ้า {\displaystyle K=0} ฟังก์ชัน {\displaystyle F}จะเป็นไปตามสมการ

{\displaystyle H(q,p,t)+{\partial F \over \partial t}=0}
ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น

|  |
| --- |
| {\displaystyle H+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0} |

โดยที่ {\displaystyle S=S(q\_{1},q\_{2},\ldots ,q\_{N},t)} เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)

สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้

วงเล็บปัวส์ซอง
--------------

เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ {\displaystyle (q\_{i},\,p\_{i})} ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน F(q, p; t) ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)

สำหรับฟังก์ชัน {\displaystyle f(p\_{i},\,q\_{i},t)} และ {\displaystyle g(p\_{i},\,q\_{i},t)} ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น

{\displaystyle \{f,g\}=\sum \_{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q\_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p\_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q\_{i}}}\right).}
สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ

{\displaystyle {\begin{aligned}\{q\_{i},q\_{j}\}&=0\\\{p\_{i},p\_{j}\}&=0\\\{q\_{i},p\_{j}\}&=\delta \_{ij}\end{aligned}}}
โดยที่ *δ*ij คือ Kronecker delta.

สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง
-----------------------

1) {\displaystyle \{f,f\}=0}

2) {\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}

3) {\displaystyle \{f+g,h\}=\{f,h\}+\{g,h\}}

4) {\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}

5) {\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}

พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์

สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่
---------------------------------

วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน *f(p, q)* เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า *p(t)*, *q(t)* เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น

{\displaystyle 0={\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}t}}}
ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น

{\displaystyle 0={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}f(p,q)=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Lanczos, Cornelius (1986), *The Variational Principles of Mechanics*, Dover, ISBN 978-0486650678
2. ↑  Kiritsis, Elias (2007), *String Theory in a Nutshell*, Princeton University Press, ISBN 978-0691122304
3. ↑   Dirac, Paul A.M. (2001), *Lectures on Quantum Mechanics*, Dover, ISBN 978-0486417134
4. ↑   Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1994), *Quantization of Gauge Systems*, Princeton University Press, ISBN 978-0691037691