สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เซต (แก้ความกำกวม)
อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซต คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตทั้งสองเซต ดังแสดงในแผนภาพเวนน์ 
ในทางคณิตศาสตร์ **เซต** (อังกฤษ: set) เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิก สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ เราสามารถดำเนินการกับเซตได้ เช่น ยูเนียนของเซตสองเซตเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซตเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น

เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา

ต้นกำเนิดของเซต
---------------

บทความหลัก: ทฤษฎีเซต
แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (*Menge*) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ *Paradoxien des Unendlichen* (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)

ในส่วนเริ่มแรกของ *Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre* โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้

> โดย "เซต" เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใด ๆ ที่ให้ชื่อว่า *M* เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า *m* ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า "สมาชิก" ของ *M*) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา
> 
> — เกออร์ก คันทอร์

### ทฤษฎีเซตอย่างง่าย

แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต *A* และ *B* จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต *A* เป็นสมาชิกของเซต *B* และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต *B* เป็นสมาชิกของเซต *A* เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า *extensionality* นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้

แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น 

* ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ กล่าวว่า *เซตของเซตทุกเซตที่ไม่บรรจุตัวมันเอง* จะมีไม่ได้
* ปฏิทรรศน์ของคันทอร์ กล่าวว่า *เซตของเซตทุกเซต* จะมีไม่ได้

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป

### ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)

การเขียนอธิบายเซต
-----------------

ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น *A, B, C* นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า *คอลเลกชัน* *วงศ์* หรือ *แฟมิลี* แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต

### การเขียนระบุสมาชิก

วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น

*A* เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก
*B* เป็นเซตของสีของธงชาติฝรั่งเศส
### การแจกแจงสมาชิก

วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:

*C* = {4, 2, 1, 3}
*D* = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}
ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า *A* = *C* และ *B* = *D*

ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง 

สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:

{1, 2, 3, ... 1000}
ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }

### การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต

เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น

*E* = {*x* | *x* เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}
เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง "โดยที่" และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง "เซตของ *x* ทั้งหมดโดยที่ *x* เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่" ดังนั้น *E* คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น 

เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต *F* ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:

*F* = {*n² - 4* **:** *n* เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ *n* ≤ 19}
ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357

คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต
-------------------------

1. เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
2. เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
3. เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
4. เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
5. เซตของจำนวนบางชนิด เช่น {\displaystyle \mathbb {N} } = เซตของจำนวนนับ, {\displaystyle \mathbb {Z} } = เซตของจำนวนเต็ม, {\displaystyle \mathbb {Q} } = เซตของจำนวนตรรกยะ, {\displaystyle \mathbb {R} } = เซตของจำนวนจริง, {\displaystyle \mathbb {C} } = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
6. สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
7. เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)

การดำเนินการของเซต
------------------

1. ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
2. อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
3. ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
4. คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

การนับจำนวนสมาชิกของเซต
-----------------------

1. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A

### สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

* {\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)}
* {\displaystyle n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)}
* {\displaystyle n(A\cup B)'=n(U)-n(A\cup B)}
* {\displaystyle n(A)'=n(U)-n(A)}

สมบัติของเซตที่ควรทราบ
----------------------

ให้ *A*, *B*, *C* เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ *U* สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง

1. กฎการสลับที่
	* {\displaystyle A\cup B=B\cup A}
	* {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
2. กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
	* {\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}
	* {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}
3. กฎการแจกแจง
	* {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
	* {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
4. กฎการเอกลักษณ์
	* {\displaystyle \emptyset \cup A=A}
	* {\displaystyle \emptyset \cap A=\emptyset }

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก
-------------------------

บทความหลัก: หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก
หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น

{\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert -\left\vert A\cap B\right\vert }
และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|A\_{1}\cup A\_{2}\cup A\_{3}\cup \ldots \cup A\_{n}\right|=&\left(\left|A\_{1}\right|+\left|A\_{2}\right|+\left|A\_{3}\right|+\ldots \left|A\_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A\_{1}\cap A\_{2}\right|+\left|A\_{1}\cap A\_{3}\right|+\ldots \left|A\_{n-1}\cap A\_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap \ldots \cap A\_{n}\right|\right)\end{aligned}}}

อ้างอิง
-------

1. ↑  พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554
2. ↑  Goldberg, Samuel (1986). *Probability : an introduction*. New York: Dover Publications. p. 2. ISBN 0-486-65252-1. OCLC 14356858.
3. ↑  Goldrei 1996, p. 3.
4. 1 2  Halmos 1960, p. 1. sfn error: no target: CITEREFHalmos1960 (help)
5. ↑  Bagaria, Joan (2021), Zalta, Edward N. (บ.ก.), "Set Theory", *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* (Winter 2021 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, สืบค้นเมื่อ 2022-01-03
6. 1 2  Ferreirós Domínguez, José. (2007). *Labyrinth of thought : a history of set theory and its role in modern mathematics* (2nd rev. ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8350-3. OCLC 302342325.`{{cite book}}`: CS1 maint: date and year (ลิงก์)
7. ↑  Steve Russ (9 December 2004). *The Mathematical Works of Bernard Bolzano*. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
8. ↑  William Ewald; William Bragg Ewald (1996). *From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics*. OUP Oxford. p. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
9. ↑  Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). *Bernard Bolzano: His Life and Work*. OUP Oxford. p. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
10. ↑  Quoted in Dauben, p. 170.
11. ↑  Halmos 1960, p. 2. sfn error: no target: CITEREFHalmos1960 (help)
12. ↑  Halmos 1960, p. 1.

บรรณานุกรม
----------

* Dauben, Joseph W. (1990). *Georg Cantor : his mathematics and philosophy of the infinite*. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-02447-2. OCLC 21560032.
* Goldrei, Derek (1996). *Classic set theory : a guided independent study* (1st ed.). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-60610-0. OCLC 35850068.`{{cite book}}`: CS1 maint: date and year (ลิงก์)
* Halmos, Paul R. (1974). *Naive set theory*. New York. ISBN 0-387-90092-6. OCLC 947951.