ปริภูมิทอพอโลยีที่ดูใกล้ ๆ เหมือนกับปริภูมิยุคลิเดียน
ภาพขวดไคลน์ (Klein bottle) เมื่อฝังในปริภูมิสามมิติ
พื้นผิวของโลกจำเป็นต้องใช้ชาร์ทอย่างน้อยสองชุดเพื่อให้ครอบคลุมทุกจุด ในรูปนี้ลูกโลกถูกแยกออกเป็นสองชาร์ทรอบขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้
ในคณิตศาสตร์ **แมนิโฟลด์** (อังกฤษ: manifold) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ {\textstyle n} หรือเรียกว่า *{\displaystyle n}-แมนิโฟลด์* เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ {\textstyle n}

ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเองเช่นรูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิวเช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน

แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์คลาสสิครูปแบบแฮมิลโตเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองกาลอวกาศในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์
--------------------

### วงกลม

รูป 1: ชาร์ททั้งสี่บนวงกลมส่งแต่ละส่วนของวงกลมไปยังช่วงเปิด และทั้งสี่ส่วนสามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้พอดี
วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย *x*2 + *y*2 = 1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด *y* เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด *x* เท่านั้น 

ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)


χ

t
o
p

(
x
,
y
)
=
x
.

{\displaystyle \chi \_{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}

{\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}

ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, *แผนที่*) ในทำนองเดียวกันมีชาร์สำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 



χ

b
o
t
t
o
m

(
x
,
y
)

=
x


χ

l
e
f
t

(
x
,
y
)

=
y


χ

r
i
g
h
t

(
x
,
y
)

=
y
.



{\displaystyle {\begin{aligned}\chi \_{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi \_{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi \_{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}
รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม

ชาร์ทบน {\displaystyle \chi \_{\mathrm {top} }} และชาร์ขวา {\displaystyle \chi \_{\mathrm {right} }} ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด {\displaystyle x} และ {\displaystyle y} เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง {\displaystyle (0,1)} แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน {\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi \_{\mathrm {right} }\circ \chi \_{\mathrm {top} }^{-1}} ได้

ให้ *a* เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง {\displaystyle (0,1)} แล้ว:




T
(
a
)

=

χ

r
i
g
h
t

(

χ

t
o
p

−
1

[
a
]

)


=

χ

r
i
g
h
t

(

a
,

1
−

a

2


)


=

1
−

a

2




{\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi \_{\mathrm {right} }\left(\chi \_{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi \_{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}
ฟังก์ชัน {\displaystyle T} แบบข้างต้นเรียกว่า *transition map*

Figure 2: A circle manifold chart based on slope, covering all but one point of the circle.
ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท


χ

m
i
n
u
s

(
x
,
y
)
=
s
=

y

1
+
x


{\displaystyle \chi \_{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}

{\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}
และ


χ

p
l
u
s

(
x
,
y
)
=
t
=

y

1
−
x


{\displaystyle \chi \_{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}

{\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}
ในที่นี้ *s* คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (*x*, *y*) และจุด (−1, 0) ในทำนองเดียวกัน *t* เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (*x*, *y*) และ (+1, 0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก *s* ไปยัง (*x*, *y*) นั้นกำหนดโดย




x

=

1
−

s

2

1
+

s

2



y

=

2
s

1
+

s

2



{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}
สามารถตรวจสอบได้ว่า *x*2 + *y*2 = 1 สำหรับทุกค่า *s* และ *t* ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ



t
=

1
s

{\displaystyle t={\frac {1}{s}}}

{\displaystyle t={\frac {1}{s}}}
(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง *s* และ *t* ไม่เป็นศูนย์)

แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1, 0) สำหรับ *s* หรือ (+1, 0) สำหรับ *t* ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด 

### ทรงกลม

ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย

*x*2 + *y*2 + *z*2 – 1 = 0
สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ *z* = 0 จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง (*z* > 0 และ *z* < 0) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์ *x*2 + *y*2 < 1 ด้วยการฉายลงบนระนาบ *xy* ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน

เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว

ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของโลกไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด

### เส้นโค้งอื่น ๆ

แมนิโฟลด์สี่อันจากเส้นโค้งเชิงพีชคณิต: ■ วงกลม, ■ พาราโบลา, ■ ไฮเพอร์โบลา, ■ เส้นโค้งกำลังสาม
แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา ทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม *y*2 = *x*3 − *x* ซึ่งมีสองส่วน

ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดเชื่อมระหว่างวงกลมทั้งสองได้ s.

นิยามทางคณิตศาสตร์
------------------

ข้อมูลเพิ่มเติม: แคทิกอรีของแมนิโฟลด์
ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

### แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี

ให้ {\displaystyle X} เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า {\displaystyle X} เป็น**แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี** (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้

1. {\displaystyle X} เป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์ (Hausdorff space)
2. {\displaystyle X} เป็นปริภูมินับได้อันดับสอง (second countable)
3. {\displaystyle X} สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ {\displaystyle n} (locally homeomorphic to {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})

เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 

เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่ {\displaystyle X} *สมานสัณฐานเฉพาะที่*กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ {\displaystyle n} นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ {\displaystyle n} สำหรับบางจำนวนนับ {\displaystyle n} ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด

ค่า {\displaystyle n} ที่ปรากฎเรียกว่า*มิติเฉพาะที่* (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกัน

ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

หมายเหตุ
--------

1. ↑  E.g. see Riaza, Ricardo (2008), *Differential-Algebraic Systems: Analytical Aspects and Circuit Applications*, World Scientific, p. 110, ISBN 9789812791818; Gunning, R. C. (1990), *Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Volume 2*, CRC Press, p. 73, ISBN 9780534133092.

อ้างอิง
-------

* Freedman, Michael H. and Quinn, Frank (1990) *Topology of 4-Manifolds*. Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
* Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) *Differential Topology*. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2. Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.
* Hempel, John (1976) *3-Manifolds*. Princeton University Press. ISBN 0-8218-3695-1.
* Hirsch, Morris, (1997) *Differential Topology*. Springer Verlag. ISBN 0-387-90148-5. The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
* Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) *Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations*. Princeton University Press. ISBN 0-691-08190-5. A detailed study of the category of topological manifolds.
* Lee, John M. (2000) *Introduction to Topological Manifolds*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98759-2. Detailed and comprehensive first-year graduate text.
* Lee, John M. (2003) *Introduction to Smooth Manifolds*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95495-3. Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to *Introduction to Topological Manifolds*.
* Massey, William S. (1977) *Algebraic Topology: An Introduction*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
* Milnor, John (1997) *Topology from the Differentiable Viewpoint*. Princeton University Press. ISBN 0-691-04833-9. Classic brief introduction to differential topology.
* Munkres, James R. (1991) *Analysis on Manifolds*. Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) ISBN 0-201-51035-9. Undergraduate text treating manifolds in {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.
* Munkres, James R. (2000) *Topology*. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
* Neuwirth, L. P. ed. (1975) *Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08170-0.
* Riemann, Bernhard, *Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass*, Sändig Reprint. ISBN 3-253-03059-8.
	+ *Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.* The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (*Mannigfaltigkeit*) first appears.
	+ *Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.* The 1854 Göttingen inaugural lecture (*Habilitationsschrift*).
* Spivak, Michael (1965) *Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus*. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). ISBN 0-8053-9021-9. Famously terse advanced undergraduate / first-year graduate text.
* Spivak, Michael (1999) *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry* (3rd edition) Publish or Perish Inc. Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.
* Tu, Loring W. (2011). *An Introduction to Manifolds* (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.. Concise first-year graduate text.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Manifold", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
* The manifold atlas project of the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn