ตัวแปรเสริมสโตกส์ I, Q, U และ V
**ตัวแปรเสริมสโตกส์** (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852

ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า **เวกเตอร์สโตกส์** (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย

ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ

หลักการ
-------

เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:

{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S\_{0}\\S\_{1}\\S\_{2}\\S\_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}
เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า

* {\displaystyle I}: ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
* {\displaystyle V}: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
* {\displaystyle L\equiv Q+iU\equiv |L|e^{i2\theta }}: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง \theta  ของทิศทางของโพลาไรเซชัน

สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น

{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2}\end{matrix}}}
สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ:

{\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I\_{p}^{2}\leq I^{2}.}
โดย {\displaystyle I\_{p}/I} เรียกว่าเป็น **อัตราโพลาไรเซชัน**

คำจำกัดความ
-----------

เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น {\displaystyle {\vec {k}}} และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า {\displaystyle E\_{1}} และ {\displaystyle E\_{2}} อธิบายด้วยฐาน {\displaystyle ({\hat {\epsilon }}\_{1},{\hat {\epsilon }}\_{2})} หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส {\displaystyle \phi } และสถานะโพลาไรเซชัน {\displaystyle \Psi } โดย {\displaystyle \Psi } คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

### องค์ประกอบสนามไฟฟ้า

ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

{\displaystyle {\begin{matrix}I&\equiv &|E\_{x}|^{2}+|E\_{y}|^{2}\\&=&|E\_{a}|^{2}+|E\_{b}|^{2}\\&=&|E\_{l}|^{2}+|E\_{r}|^{2}\\Q&\equiv &|E\_{x}|^{2}-|E\_{y}|^{2}&\\U&\equiv &|E\_{a}|^{2}-|E\_{b}|^{2}&\\V&\equiv &|E\_{l}|^{2}-|E\_{r}|^{2}&\end{matrix}}}
โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ({\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง ({\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}) และฐานวงกลม ({\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย {\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}

รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน ({\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{x}|^{2}+|E\_{y}|^{2}\\Q&=&|E\_{x}|^{2}-|E\_{y}|^{2}\\U&=&2{\mbox{Re}}(E\_{x}E\_{y}^{\*})\\V&=&-2{\mbox{Im}}(E\_{x}E\_{y}^{\*})\\\end{matrix}}}
ในฐาน {\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})} แสดงได้เป็น

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{a}|^{2}+|E\_{b}|^{2}\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E\_{a}^{\*}E\_{b})\\U&=&|E\_{a}|^{2}-|E\_{b}|^{2}\\V&=&2{\mbox{Im}}(E\_{a}^{\*}E\_{b})\\\end{matrix}}}
และในฐาน {\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}:

{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E\_{l}|^{2}+|E\_{r}|^{2}\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E\_{l}^{\*}E\_{r})\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E\_{l}^{\*}E\_{r})\\V&=&|E\_{l}|^{2}-|E\_{r}|^{2}\\\end{matrix}}}
### ในรูปของวงรี

 วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

{\displaystyle {\begin{matrix}I\_{p}&=&A^{2}+B^{2}\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta )\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta )\\V&=&2ABh\\\end{matrix}}}
และในทางกลับกัน:

{\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I\_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I\_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
### ในพิกัดทรงกลม

วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ
ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{0}&=I\\S\_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S\_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S\_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}
ในที่นี้ {\displaystyle Ip}, {\displaystyle 2\psi } และ {\displaystyle 2\chi } คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า {\displaystyle \psi } แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า \chi  บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=S\_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S\_{1}^{2}+S\_{2}^{2}+S\_{3}^{2}}}{S\_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {atan} {\frac {S\_{2}}{S\_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {atan} {\frac {S\_{3}}{\sqrt {S\_{1}^{2}+S\_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}

ตัวอย่าง
--------

ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร
ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย

| โพลาไรเซชัน | เวกเตอร์สโตกส์ | โพลาไรเซชัน | เวกเตอร์สโตกส์ |
| --- | --- | --- | --- |
| เส้นตรงแนวนอน | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} | เส้นตรงแนวตั้ง | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}} |
| วงกลมวนซ้าย | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}} | วงกลมวนขวา | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} |
| เส้นตรงเฉียง {\displaystyle \pm 45} องศา | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\pm 1\\0\end{pmatrix}}} | ไม่โพลาไรซ์ | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} |

อ้างอิง
-------

1. ↑  H. C. van de Hulst "Light scattering by small particles", Dover Publications, New York, 1981, ISBN 0-486-64228-3, page 42.