**ทฤษฎีเกม** เป็นสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ศึกษาการตัดสินใจของผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย โดยที่ผลที่แต่ละฝ่ายได้รับขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของผู้เล่นฝ่ายอื่นๆ เกมในทางทฤษฎีเกมหมายถึงสถานการณ์ใดๆ ที่ผู้ตัดสินใจ (เรียกว่าผู้เล่น) หลายฝ่ายมีปฏิสัมพันธ์กัน ซึ่งอาจหมายถึงเกมในความหมายทั่วไป เช่น เป่ายิ้งฉุบหรือหมากรุก หรือหมายถึงสถานการณ์ทางสังคมหรือทางธรรมชาติอื่นๆ ทฤษฎีเกมได้รับการนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาสังคมศาสตร์ต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเศรษฐศาสตร์ และในสาขาชีววิทยาวิวัฒนาการและวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วย

การศึกษาทางทฤษฎีเกมเป็นการศึกษาการตัดสินใจของผู้เล่นที่ตัดสินใจแบบ "เป็นเหตุเป็นผล" ซึ่งหมายถึงการที่ผู้เล่นตัดสินใจโดยมีเป้าหมายที่ชัดเจนและตัดสินใจตามเป้าหมายของตนเองอย่างไม่ผิดพลาด
สาขาทฤษฎีเกมในรูปแบบปัจจุบันมักถือกันว่ามีจุดเริ่มต้นจากงานของจอห์น ฟอน นอยมันน์ และอ็อสคาร์ มอร์เกินสแตร์น โดยมีผลงานสำคัญคือหนังสือ "ทฤษฎีว่าด้วยเกมและพฤติกรรมทางเศรษฐกิจ" ที่ตีพิมพ์ในปี 1944 ผลงานของจอห์น แนชในการนิยามและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมดุลแบบแนช ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของเกมที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายไม่มีแรงจูงใจที่จะเปลี่ยนการตัดสินใจของตนเอง เป็นปัจจัยที่สำคัญที่ทำให้นักวิชาการสาขาต่างๆ สามารถนำวิชาทฤษฎีเกมไปใช้ประยุกต์อย่างแพร่หลาย

ทฤษฎีเกมเป็นเครื่องมือสำคัญของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์กระแสหลักในปัจจุบัน นักทฤษฎีเกมหลายคนจึงได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ เริ่มจาก จอห์น แนช, ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน และจอห์น ฮาร์ชาญี ในปี 1994

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเกม
------------------------

ในทางทฤษฎีเกม "เกม" หมายถึงสถานการณ์ใดๆ ที่มีผู้ตัดสินใจตั้งแต่สองฝ่ายขึ้นไป โดยผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายของตนเองและผลลัพธ์ที่แต่ละฝ่ายได้รับขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของทุกฝ่าย ผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายในเกมเรียกว่า "ผู้เล่น" โดยผู้เล่นนี้เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของเกมในทฤษฎีเกมทุกประเภท ทฤษฎีเกมตั้งข้อสมมติว่าผู้เล่นทุกฝ่ายตัดสินใจ "อย่างมีเหตุผล" ซึ่งหมายถึงการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายความต้องการของตัวเองที่ชัดเจนซึ่งมักแสดงในรูปของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ และตัดสินใจโดยเลือกทางเลือกที่ทำให้ตัวเองได้รับอรรถประโยชน์สูงสุด ทฤษฎีเกมจึงมีความคล้ายกันกับทฤษฎีการตัดสินใจที่ศึกษาการตัดสินใจของผู้ตัดสินใจรายเดียว แต่แตกต่างกันที่ทฤษฎีเกมศึกษาการตัดสินใจในสถานการณ์ที่การตัดสินใจหลายฝ่ายส่งผลซึ่งกันและกัน ในการประยุกต์ทฤษฎีเกมในสาขาต่างๆ ผู้เล่นในเกมอาจใช้หมายถึงปัจเจกบุคคล แต่ก็อาจใช้หมายถึงกลุ่มบุคคล เช่น บริษัท รัฐบาล ไปจนถึงสิ่งอื่นๆ ที่ไม่ใช่มนุษย์ เช่น สัตว์ พืช พระเป็นเจ้า เป็นต้น

การวิเคราะห์ทางทฤษฎีเกมมักกำหนดว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบฟอน นอยมันน์–มอร์เกินสแตร์น ซึ่งมีลักษณะสำคัญคือ หากว่าผลลัพธ์ของการตัดสินใจมีความเป็นไปได้หลายทางและไม่แน่นอนว่าจะได้รับผลลัพธ์ใด ผู้เล่นนั้นจะตัดสินใจในลักษณะที่ให้ได้ค่าคาดหมายของฟังก์ชันอรรถประโยชน์นั้นสูงสุด

ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ
----------------------------------

ทฤษฎีเกมสามารถแบ่งออกได้เป็นสองสาขาใหญ่ๆ ได้แก่ ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ (*cooperative game theory*) และทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ (*non-cooperative game theory*) แต่ละสาขาของทฤษฎีเกมมีแนวทางการศึกษาที่แตกต่างกันในด้านรูปแบบการนิยามเกมและแนวคิดที่ใช้ในการวิเคราะห์ การจำแนกทฤษฎีสองแบบนี้มีที่มาเริ่มแรกจากบทความของจอห์น แนช ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1951

ในสาขาทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ นิยามของเกมจะระบุทางเลือกทั้งหมดที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถตัดสินใจเลือกได้ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายตัดสินใจโดยอิสระจากกันและไม่สามารถร่วมกันทำข้อตกลงอื่นๆ ให้มีผลบังคับใช้ได้ ในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ จะสมมติว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถทำข้อตกลงใดๆ กันก็ได้ โดยจะไม่ให้ความสำคัญกับขั้นตอนการเจราจาตกลงกันระหว่างผู้เล่น แต่ให้ความสำคัญกับการวิเคราะห์กลุ่มผู้เล่นว่าผู้เล่นจะมีการจับกลุ่มร่วมกันอย่างไรและจะมีการแบ่งผลประโยชน์กันอย่างไร คำว่าเกมแบบไม่ร่วมมือในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าทฤษฎีเกมชนิดนี้ไม่สามารถใช้จำลองสถานการณ์ที่มีการ "ร่วมมือ" กันในความหมายทั่วไปว่าการตกลงกระทำเพื่อให้ได้ประโยชน์ร่วมกัน แต่การจำลองสถานการณ์ความร่วมมือหรือการเจรจาต่อรองใดๆ จะต้องระบุทางเลือกและขั้นตอนเหล่านั้นในเกมอย่างชัดเจน และข้อตกลงเหล่านั้นจะไม่มีผลบังคับใช้นอกเหนือจากตามกระบวนการที่ระบุอย่างชัดเจนในเกม

รูปแบบการนิยามเกม
-----------------

### เกมแบบไม่ร่วมมือ

#### เกมรูปแบบกลยุทธ์

เกมรูปแบบกลยุทธ์ (*strategic-form game*) หรือเกมรูปแบบปรกติ (*normal-form game*) ประกอบไปด้วยการระบุผู้เล่นภายในเกม ทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย เรียกในทางทฤษฎีเกมว่ากลยุทธ์ และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละฝ่าย

ในกรณีที่เกมมีผู้เล่นสองฝ่าย และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด เกมนั้นสามารถเขียนออกมาได้ในรูปของตารางโดยให้แต่ละแถวในตารางหมายถึงทางเลือกของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง และแต่ละสดมภ์หมายถึงทางเลือกของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง ช่องของตารางแต่ละช่องระบุอรรถประโยชน์ของผู้เล่นสองฝ่ายในแต่ละกรณี ดังตัวอย่างการนำเสนอเกมเป่ายิ้งฉุบในรูปแบบตารางนี้

|  | ค้อน | กรรไกร | กระดาษ |
| --- | --- | --- | --- |
| ค้อน | 0,0 | 1,-1 | -1,1 |
| กรรไกร | -1,1 | 0,0 | 1,-1 |
| กระดาษ | 1,-1 | -1,1 | 0,0 |

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนทางเลือกของผู้เล่นไม่จำเป็นต้องมีจำนวนจำกัด (ตัวอย่างกรณีที่ผู้เล่นมีทางเลือกไม่จำกัดคือ ผู้ขายสินค้าสามารถตั้งราคาขายสินค้าเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้) หากว่าทางเลือกของผู้เล่นทุกฝ่ายมีจำนวนจำกัด ทางเลือกในกรณีนี้จะเรียกว่าเป็นกลยุทธ์แท้ เกมกลยุทธ์แท้สามารถขยายให้ผู้เล่นสามารถเลือกกำหนดความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกทางเลือกแต่ละทาง เรียกว่ากลยุทธ์ผสม ตัวอย่างเข่น ในเกมเป่ายิ้งฉุบข้างต้น จอห์น ฟอน นอยมันน์ได้เขียนถึงการใช้กลยุทธ์ผสมว่า "สามัญสำนึกจะบอกได้ว่าวิธีที่ดีที่จะเล่นเกมนี้คือการเลือกทางเลือกทั้งสามทางด้วยความน่าจะเป็นแต่ละทางเท่ากับ 1/3"

นิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์สามารถเขียนได้ว่า เกมรูปแบบกลยุทธ์ประกอบไปด้วย

* เซตผู้เล่น {\displaystyle N=\{1,2,\dots ,n\}}
* เซตกลยุทธ์ {\displaystyle S\_{i}} ของผู้เล่น {\displaystyle i\in N} แต่ละฝ่าย โดยให้ {\displaystyle S} เป็นสัญลักษณ์หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน {\displaystyle S\_{1}\times S\_{2}\times \dots \times S\_{n}}
* ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ {\displaystyle u\_{i}\colon S\to \mathbb {R} } ที่กำหนดความสัมพันธ์จาก {\displaystyle s=(s\_{1},s\_{2},\dots ,s\_{n})} ไปยังค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น {\displaystyle i\in N} แต่ละฝ่าย ในที่นี้ {\displaystyle s} เรียกว่าเป็นโพรไฟล์กลยุทธ์ (*strategy profile*)

ในกรณีที่ {\displaystyle S\_{i}} เป็นเซตกลยุทธ์แท้ เซตกลยุทธ์ผสม {\displaystyle \Sigma \_{i}} สามารถนิยามเป็นเซตของการแจกแจงความน่าจะเป็นของกลยุทธ์แท้ได้ว่า


Σ

i

=

{

σ

i

:

S

i

→
[
0
,
1
]
:

∑

s

i

i
n

S

i


σ

i

(

s

i

)
=
1

}

{\displaystyle \Sigma \_{i}=\left\{\sigma \_{i}\colon S\_{i}\to [0,1]\colon \sum \_{s\_{i}inS\_{i}}\sigma \_{i}(s\_{i})=1\right\}}

{\displaystyle \Sigma _{i}=\left\{\sigma _{i}\colon S_{i}\to [0,1]\colon \sum _{s_{i}inS_{i}}\sigma _{i}(s_{i})=1\right\}}
#### เกมรูปแบบขยาย

เกมรูปแบบขยาย (*extensive-form game*) เป็นรูปแบบการบรรยายลักษณะของเกมที่ระบุลำดับการตัดสินใจก่อนหลังของผู้เล่นแต่ละฝ่ายอย่างชัดเจน เกมรูปแบบขยายสามารถเขียนได้รูปของกราฟแบบต้นไม้ที่จุดยอดแต่ละจุด (ยกเว้นจุดยอดปลายทาง) ระบุว่าผู้เล่นฝ่ายใดตัดสินใจ และจุดปลายทางระบุว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายได้รับอรรถประโยชน์เท่าใด อาจกล่าวได้ว่าเกมรูปแบบขยาย มีลักษณะเหมือนต้นไม้ตัดสินใจที่มีผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย

เกมในรูปแบบขยายสามารถใช้บรรยายสถานการณ์ที่ผู้เล่นไม่ทราบอย่างครบถ้วนว่าการตัดสินใจต่างๆ ในจุดก่อนหน้าเป็นอย่างไร โดยการแบ่งจุดตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นแต่ละฝ่ายออกเป็นเซตสารสนเทศ หากว่าเซตสารสนเทศมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งจุด หมายความว่าหากเกมดำเนินไปถึงจุดใดจุดหนึ่งในเซตนั้น ผู้เล่นรายนั้นจะไม่ทราบแน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด ทุกจุดตัดสินใจในเซตสารสนเทศเดียวกันจะมีทางเลือกแบบเดียวกัน เกมที่ผู้เล่นรู้แน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด เรียกว่าเกมที่มีสารสนเทศสมบูรณ์ (*perfect information*) ซึ่งหมายความว่าเซตสารสนเทศทุกเซตจะมีสมาชิกเพียงจุดยอดเดียว

* เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศสมบูรณ์เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศสมบูรณ์
* เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศไม่สมบูรณ์ เส้นประหมายความว่าจุดยอดสองจุดอยู่ในเซตสารสนเทศเดียวกันเกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศไม่สมบูรณ์ เส้นประหมายความว่าจุดยอดสองจุดอยู่ในเซตสารสนเทศเดียวกัน

เกมรูปแบบขยายยังสามารถใช้ระบุสถานการณ์ที่มีปัจจัยภายนอกที่มีลักษณะของความเสี่ยงหรือการสุ่มด้วย (เช่น การทอยลูกเต๋า) โดยใช้วิธีการกำหนดจุดยอดบางจุดว่าเป็นของผู้เล่นที่เรียกว่า "ธรรมชาติ" ทางเลือกจากจุดของธรรมชาติคือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นในสถานการณ์นั้น และกำหนดความน่าจะเป็นที่แต่ละทางจะเกิดขึ้น

โดยสรุปแล้ว การนิยามเกมรูปแบบขยาย ประกอบไปด้วย

* เซตผู้เล่น
* ลำดับการตัดสินใจ
* ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ซึ่งขึ้นกับการตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นทุกฝ่าย
* ทางเลือกของผู้เล่นในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
* สิ่งที่ผู้เล่นทราบในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
* การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ภายนอกที่มีลักษณะสุ่ม

เกมในรูปแบบขยาย สามารถเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ โดยนิยามทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่ายให้ครอบคลุมทุกรูปแบบการตัดสินใจที่เป็นไปได้ การนิยามทางเลือกในรูปแบบนี้ เปรียบได้กับการที่ผู้เล่นตัดสินใจล่วงหน้าก่อนเริ่มเกมว่าจะตัดสินใจอย่างไรบ้างที่แต่ละจุดที่ต้องตัดสินใจ จากตัวอย่างแผนภาพต้นไม้เกมที่สารสนเทศสมบูรณ์ ผู้เล่น 2 มีจุดที่ต้องตัดสินใจสองจุด คือตัดสินใจหลังจากผู้เล่น 1 เลือก *O* และตัดสินใจว่าหลังจากผู้เล่น 1 เลือก *F* หากเขียนเป็นเกมแบบกลยุทธ์ ผู้เล่น 2 จะมีทางเลือกสี่ทาง คือ (*Oo*,*Fo*), (*Oo*,*Ff*), (*Of*,*Fo*) และ (*Of*, *Ff*) ซึ่งเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ตามตารางนี้

|  | (*Oo*,*Fo*) | (*Oo*,*Ff*) | (*Of*,*Fo*) | (*Of*,*Ff*) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *O* | 3,2 | 3,2 | 0,0 | 0,0 |
| *F* | 0,0 | 0,0 | 2,3 | 2,3 |

### เกมแบบร่วมมือ

การนิยามทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ ไม่ได้นิยามในลักษณะทางเลือกในการตัดสินใจเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย แต่เป็นฟังก์ชันของกลุ่มผู้เล่น (*coalition*) โดยค่าของฟังก์ชันนั้นคือค่าอรรถประโยชน์หากว่าผู้เล่นในกลุ่มนั้นตกลงร่วมมือกัน การนิยามเกมในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือเรียกโดยทั่วไปว่าเป็นเกมรูปแบบการจัดกลุ่ม (*coalitional form*) เกมลักษณะนี้แบ่งออกได้เป็นสองประเภทหลัก คือ เกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (*transferable utility*) และเกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (*non-transferable utility*) 

ในเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ การจับกลุ่มผู้เล่นแต่ละกลุ่มจะมีค่าอรรถประโยชน์ร่วมกันหนึ่งค่า ซึ่งสมาชิกในกลุ่มนั้นๆ จะแบ่งกันอย่างไรก็ได้ กล่าวคือ อรรถประโยชน์มีลักษณะที่ยกให้กันในอัตราส่วนคงที่ เกมในลักษณะนี้สามารถเปรียบได้ว่าอรรถประโยชน์มีลักษณะเหมือนมูลค่าที่เป็นเงินตรา นิยามเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ ประกอบไปด้วย เซตผู้เล่น {\displaystyle N} และฟังก์ชันจำนวนจริงที่ระบุค่า {\displaystyle v(S)} สำหรับทุกเซตย่อย {\displaystyle S\subseteq N} โดยแต่ละเซตย่อย {\displaystyle S} ที่ไม่เป็นเซตว่างนี้ เรียกว่าเป็นกลุ่มผู้เล่น โดยทั่วไปจะกำหนดให้ค่าของเซตว่าง {\displaystyle v(\emptyset )} เท่ากับศูนย์

เกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ จะไม่สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่ง โดยการนิยามเกมประเภทนี้จะระบุเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของแต่ละกลุ่มผู้เล่น {\displaystyle S\subseteq N} เป็น {\displaystyle V(S)\subset \mathbb {R} ^{S}}

แนวคิดผลเฉลย
------------

แนวคิดผลเฉลย (*solution concept*) หมายถึงฟังก์ชันหรือวิธีการที่ระบุผลลัพธ์จากเกมแต่ละเกม โดยนิยามของแนวคิดผลเฉลยแต่ละชนิดจะเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ

### เกมแบบไม่ร่วมมือ

#### สมดุลแบบแนช

ดูบทความหลักที่: สมดุลแบบแนช
แนวคิดสมดุลแบบแนช (*Nash equilibrium*; เรียกตามชื่อของจอห์น แนช) เป็นแนวคิดผลเฉลยสำคัญของทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ หลักสำคัญของแนวคิดนี้คือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกทางเลือกที่ดีสุดสำหรับตนเอง เมื่อพิจารณาถึงทางเลือกของผู้เล่นอื่นในจุดสมดุลนั้นๆ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายจึงไม่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการเปลี่ยนทางเลือกของตัวเองแต่เพียงฝ่ายเดียวได้ในจุดสมดุล

จากนิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์ข้างต้น หากกำหนดให้ {\displaystyle s\_{-i}} หมายถึงโพรไฟล์กลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนยกเว้นผู้เล่น {\displaystyle i} โพรไฟล์กลยุทธ์ {\displaystyle s} สามารถเขียนได้ในอีกรูปแบบหนึ่งเป็น {\displaystyle (s\_{i},s\_{-i})}

โพร์ไฟล์กลยุทธ์ {\displaystyle s^{\*}=(s\_{1}^{\*},s\_{2}^{\*},\dots ,s\_{n}^{\*})} ถือว่าเป็นจุดสมดุลแบบแนช ถ้ากลยุทธ์ {\displaystyle s\_{i}^{\*}} ที่ผู้เล่น {\displaystyle i} เลือก เป็นกลยุทธ์ที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุดแก่ผู้เล่น {\displaystyle i} เมื่อผู้เล่นคนอื่นๆ เลือกเล่นกลยุทธ์ที่ระบุใน {\displaystyle s^{\*}} กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผู้เล่นแต่ละคนในเกมไม่สามารถทำให้อรรถประโยชน์ของตัวเองสูงขึ้นด้วยการเลือกกลยุทธ์อื่นที่ไม่ใช่ {\displaystyle s\_{i}^{\*}} ตราบใดที่ผู้เล่นคนอื่นทุกคนเลือกกลยุทธ์ของตัวเองตามที่กำหนดในโพรไฟล์กลยุทธ์ {\displaystyle s^{\*}} เงื่อนไขนี้เขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า



∀
i
∈
N
,
∀

s

i

′

∈

S

i

:

u

i

(

s

∗

)
≥

u

i

(

s

i

′

,

s

−
i

∗

)

{\displaystyle \forall i\in N,\forall s\_{i}'\in S\_{i}:u\_{i}(s^{\*})\geq u\_{i}(s\_{i}',s\_{-i}^{\*})}

{\displaystyle \forall i\in N,\forall s_{i}'\in S_{i}:u_{i}(s^{*})\geq u_{i}(s_{i}',s_{-i}^{*})}
เกมบางเกมอาจไม่มีจุดสมดุลแบบแนชในกลยุทธ์แท้ ผลงานสำคัญของแนชคือการพิสูจน์ว่า เกมทุกเกมจะมีจุดสมดุลลักษณะนี้ในกลยุทธ์แบบผสมอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ แนชพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยการใช้ทฤษฎีบทจุดตรึง แนวทางการพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทจุดตรึงนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีนัยทั่วไปกว่าทฤษฎีบทของแนชว่า หากว่าเกมมีเซตกลยุทธ์เป็นเซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิดที่กระชับ คอนเวกซ์ และไม่เป็นเซตว่าง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในเซตโพรไฟล์กลยุทธ์ และกึ่งเว้าต่อกลยุทธ์ของตัวเอง เกมนั้นก็จะมีจุดสมดุลแบบแนชอย่างน้อยหนึ่งจุด กล่าวได้ว่า ทฤษฎีบทของแนชเป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบททั่วไปนี้

#### สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย

เกมนี้มีจุดสมดุลแบบแนชคือ (*A*,*d*) และ (*B*,*c*) แต่ (*A*,*d*) ไม่ใช่จุดสมดุลที่สมบูรณ์ในเกมย่อย
สมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดคำตอบที่นิยามจากเกมในรูปแบบกลยุทธ์ ซึ่งสามารถนำมาใช้กับเกมที่มีการตัดสินใจเป็นลำดับก่อนหลังได้เนื่องจากสามารถเขียนเกมออกไปในรูปแบบกลยุทธ์ได้โดยเปรียบเสมือนว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์ของตนเองทั้งเกมก่อนที่จะเริ่มเล่นเกมจริงๆ แต่สมดุลของแนชในเกมที่มีลำดับก่อนหลังอาจมีลักษณะที่มองได้ว่าเป็นการตัดสินใจที่ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากผู้เล่นสามารถเลือกกลยุทธ์ที่เรียกว่า "คำขู่ที่ไม่น่าเชื่อถือ" (*non-credible threat*) ซึ่งมีลักษณะเหมือนกับการที่ผู้เล่นขู่ไว้ล่วงหน้าว่าจะเลือกทางที่ทำให้ตนเองเสียประโยชน์ เพื่อกดดันผู้เล่นฝ่ายอื่นที่ตัดสินใจก่อนหน้าให้เลือกทางเลือกอื่นแทน

สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย (*subgame perfect equilibrium*) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดว่าการตัดสินใจของผู้เล่นจะต้องเป็นจุดสมดุลแบบแนชในทุกเกมย่อย (*subgame*) ที่เริ่มจากจุดยอดใดๆ ในเกม จุดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อยสามารถหาได้ด้วยวิธีการนิรนัยย้อนกลับ (*backward induction*) ซึ่งหมายถึงการพิจารณาตัดทางเลือกที่ไม่สมเหตุสมผลจากสิ้นสุดของเกมย้อนไปหาจุดเริ่มต้นของเกม

### เกมแบบร่วมมือ

แนวทางการวิเคราะห์เกมแบบร่วมมือ มักประกอบด้วยการเลือกวิธีการจับกลุ่มของผู้เล่นหรือแบ่งผลประโยชน์ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข (สัจพจน์) บางประการที่กำหนด เช่น ประสิทธิภาพ ความสมมาตร ความเท่าเทียม ความเสถียร เป็นต้น แนวคิดผลเฉลยของเกมแบบร่วมมือ อาจมีลักษณะเป็นเซต เช่น คอร์ เซตเสถียร หรือมีลักษณะเป็นจุดเดียว เช่น ค่าแชปลีย์ นิวคลีโอลัส เป็นต้น

#### คอร์

คอร์ (*core*) เป็นเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่ไม่มีกลุ่มผู้เล่นใดๆ ที่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการแยกไปตั้งกลุ่มของตนเองได้ ในเกมแบบที่สามารถยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ที่มีผู้เล่น *n* ฝ่าย คอร์หมายถึงเซตของเวกเตอร์การแบ่งผลประโยชน์ {\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})} ที่


∑

i
∈
S

x

i

≥
v
(
S
)

{\displaystyle \sum \_{i\in S}x\_{i}\geq v(S)}

{\displaystyle \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)}
สำหรับทุกกลุ่มผู้เล่น {\displaystyle S} ที่เป็นซับเซตของผู้เล่นทั้งหมด

#### ค่าแชปลีย์

แนวคิดค่าแชปลีย์ (*Shapley value*) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดการแบ่งอรรถประโยชน์แบบเจาะจงหนึ่งรูปแบบให้กับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกม แนวคิดนี้เรียกตามชื่อของลอยด์ แชปลีย์ ผู้ที่เสนอแนวคิดนี้ในปี 1953 ค่าแชปลีย์เป็นการแบ่งอรรถประโยชน์รูปแบบเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไขสี่ประการนี้

* ประสิทธิภาพแบบปาเรโต: ผลรวมของค่าของผู้เล่นทุกฝ่าย จะต้องเท่ากับค่าอรรถประโยชน์ {\displaystyle v(N)}
* สมมาตร: หากผู้เล่นสองฝ่ายมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (นั่นคือ หากแทนที่ผู้เล่นฝ่ายหนึ่งด้วยผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่งในกลุ่มผู้เล่นใดๆ แล้ว มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง) ผู้เล่นสองฝ่ายจะต้องได้รับค่าเท่ากัน
* ผู้เล่นศูนย์: หากว่ามีผู้เล่นที่ไม่ทำให้มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นใดๆ เปลี่ยนแปลง ค่าที่ผู้เล่นนั้นได้รับจะเท่ากับศูนย์
* สมบัติการบวก: หากว่านำเกมสองเกมมาบวกกัน ค่าแชปลีย์ของเกมนั้นจะเท่ากับผลบวกของค่าแชปลีย์ของแต่ละเกม

ค่าแชปลีย์สามารถนิยามได้ในลักษณะต่อไปนี้



S

h

i

(
N
;
v
)
=

∑

S
⊆
N
∖
{
i
}



|

S

|

!
×
(
n
−

|

S

|

−
1
)
!

n

(
v
(
S
∪
{
i
}
)
−
v
(
S
)
)

{\displaystyle Sh\_{i}(N;v)=\sum \_{S\subseteq N\backslash \{i\}}{\frac {|S|!\times (n-|S|-1)!}{n}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}

{\displaystyle Sh_{i}(N;v)=\sum _{S\subseteq N\backslash \{i\}}{\frac {|S|!\times (n-|S|-1)!}{n}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}

ประวัติ
-------

### ก่อนปี 1928

ในการศึกษาที่มีลักษณะทางทฤษฎีเกมก่อนปี 1950 มีหัวใจสำคัญคือแนวคิดแบบมินิแมกซ์ นั่นคือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดที่เป็นไปได้ของทางเลือกแต่ละทางของตัวเอง แล้วเลือกทางเลือกการันตีผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (นั่นคือ ผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกนั้น ดีกว่ากว่าผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกอื่นๆ) การวิเคราะห์เกมในลักษณะของมินิแมกซ์มีหลักฐานย้อนไปถึงปี 1713 ที่การวิเคราะห์เกมไพ่ เลอ แอร์ (ฝรั่งเศส: *le Her*) ของของเจมส์ วอลด์เกรฟ ได้รับการเขียนถึงในจดหมายจากปีแยร์ เรมง เดอ มงมอร์ถึงนีโคเลาส์ แบร์นูลลี

ในปี 1913 แอ็นสท์ แซร์เมโล นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยการประยุกต์ทฤษฎีเซตในด้านทฤษฎีหมากรุก" (เยอรมัน: *Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels*) ซึ่งพิสูจน์ว่า ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์ของเกมหมากรุกสากลมีผลแพ้ชนะเพียงหนึ่งแบบ แต่ไม่มีการพิสูจน์ว่า ผลมินิแมกซ์ของเกมมีลักษณะเป็นฝ่ายใดชนะหรือเสมอกัน เกมที่ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์มีผลแพ้ชนะแบบเดียวนี้เรียกว่าเป็นเกมที่กำหนดแล้วโดยแท้ (*strictly determined*) ทฤษฎีบทของแซร์เมโลใช้ได้กับกับเกมแบบขยายที่มีผู้เล่นสองคน มีทางเลือกที่จำกัด มีผลแพ้ชนะและผู้เล่นมีสารสนเทศสมบูรณ์ (ไม่มีการเดินพร้อมกัน และสารสนเทศทุกอย่างเปิดเผยให้ผู้เล่นทุกฝ่ายทราบ) เช่น หมากฮอส หมากล้อม เฮกซ์ เป็นต้น

เอมีล บอแรล นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตีพิมพ์บทความฉบับในปี 1921, 1924 และ 1927 โดยเป็นการวิเคราะห์กลยุทธ์ผสมและผลเฉลยแบบมินิแมกซ์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบครั้งแรก แต่บอแรลพิสูจน์เฉพาะในกรณีอย่างง่าย และสันนิษฐานว่าผลเฉลยแบบมินิแมกซ์นี้ไม่ได้มีอยู่เป็นการทั่วไป แต่ข้อสันนิษฐาน ฟอน นอยมันน์ ได้พิสูจน์ในภายหลังว่าไม่เป็นจริง

แนวคิดสมดุลแบบแนชก็มีการใช้ในการวิเคราะห์ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์มาก่อนหน้าเช่นกัน ในปี 1838 อ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน ได้ตีพิมพ์หนังสือ "งานวิจัยว่าด้วยหลักคณิตศาสตร์ของทฤษฎีทรัพย์" (ฝรั่งเศส: *Recherches sur les principes mathématiques de la théorie de la richesses*) โดยมีเนื้อหาบทหนึ่งที่มีทฤษฎีวิเคราะห์ตลาดผูกขาดโดยผู้ขายน้อยราย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกูร์โนใช้การวิเคราะห์ที่มีลักษณะเป็นสมดุลแบบแนชรูปแบบหนึ่ง นับว่าเป็นงานเขียนชิ้นแรกที่มีการใช้แนวคิดสมดุลแบบแนช แต่กูร์โนไม่ได้เล็งเห็นว่าแนวคิดการวิเคราะห์ของเขาสามารถมีนัยทั่วไปที่ใช้กับสถานการณ์เชิงกลยุทธ์ใดๆ

### ฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น

จอห์น ฟอน นอยมันน์
ในปี 1928 จอห์น ฟอน นอยมันน์ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยทฤษฎีของเกมนันทนาการ" (เยอรมัน: *Zur Theorie der Gesellschsftsspiele*) บทความของฟอน นอยมันน์นำเสนอทฤษฎีของเกมที่มีลักษณะทั่วไปกว่างานก่อนหน้า โดยตั้งคำถามว่า "ผู้เล่น n คน S1, S2,...Sn เล่นเกม G ผู้เล่น Sm คนใดคนหนึ่งจะต้องเล่นอย่างไรจึงจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด" ในบทความนี้ ฟอน นอยมันน์ได้กำหนดเกมรูปแบบขยาย และนิยาม "กลยุทธ์" ว่าหมายถึงแผนการเล่นที่ระบุการตัดสินใจของผู้เล่นที่จุดต่างๆ ในเกม โดยขึ้นกับสารสนเทศที่ผู้เล่นมีในจุดนั้นๆ ซึ่งเป็นลักษณะเดียวกับแนวคิดวิธีการเล่นของบอแรล การนิยามกลยุทธ์ในลักษณะนี้ทำให้ฟอน นอยมันน์สามารถลดรูปเกมแบบขยายให้เหลือเพียงการเลือกกลยุทธ์ของผู้เล่นแต่ละฝ่ายโดยอิสระจากกันก่อนเริ่มเกมเท่านั้น ฟอน นอยมันน์พิสูจน์ว่า ในเกมที่มีผู้เล่นสองฝ่ายที่ผลรวมเป็นศูนย์และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด หากว่าผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมได้ เกมนี้จะมีจุดมินิแมกซ์หนึ่งจุดเสมอ เนื้อหาการพิสูจน์ทฤษฎีบทของฟอน นอยมันน์มีลักษณะที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์ แม้ว่าฟอน นอยมันน์ไม่ได้เขียนการพิสูจน์ในลักษณะของจุดตรึงในบทความ ฟอน นอยมันน์ยกตัวอย่างเกมนันทนาการในบริบทนี้ว่าอาจหมายถึงเกมหลายประเภท เช่น รูเล็ตต์และหมากรุกสากล แต่ก็กล่าวถึงด้วย ความสัมพันธ์ในลักษณะของเกมนี้สามารถอธิบายสถานการณ์อื่นๆ ได้ด้วย โดยได้เขียนในเชิงอรรถว่าคำถามนี้มีลักษณะเหมือนคำถามในวิชาเศรษฐศาสตร์

อ็อสคาร์ มอร์เกินสแตร์น เป็นนักเศรษฐศาสตร์ที่ในขณะนั้นสนใจเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างการตัดสินใจของบุคคลหลายฝ่าย ในหนังสือเรื่องการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจที่ตีพิมพ์ในปี 1928 มอร์เกินสแตร์นได้ยกตัวอย่างการต่อกรกันระหว่างตัวละครเชอร์ล็อก โฮมส์กับมอริอาร์ตี ที่โฮมส์พิจารณาหลายชั้นว่ามอริอาร์ตีคิดว่าเขาจะทำอย่างไร มอร์เกินสแตร์น มอร์เกินสแตร์นได้รับคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์เอดูอาร์ด เช็คระหว่างนำเสนอบทความที่งานสัมมนาในกรุงเวียนนาในปี 1935 ว่าหัวข้องานของมอร์เกินสแตร์นมีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับงานทฤษฎีเรื่องเกมของฟอน นอยมันน์ หลังจากการผนวกออสเตรียเข้ากับนาซีเยอรมนีในปี 1938 มอร์เกินสแตร์นย้ายจากเวียนนาไปยังมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในสหรัฐอเมริกา ทำให้เขาได้พบและมีโอกาสได้ร่วมงานกับฟอน นอยมันน์ จนมีผลงานเป็นหนังสือ "ทฤษฎีว่าด้วยเกมและพฤติกรรมทางเศรษฐกิจ" (*Theory of games and economic behavior*) ที่ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1944

### ทศวรรษ 1950

จอห์น แนช
หลังจากที่หนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นได้รับการตีพิมพ์ ทศวรรษ 1950 เป็นช่วงที่มีผลงานด้านทฤษฎีเกมที่สำคัญหลายอย่าง โดยมีสถาบันสำคัญที่เป็นศูนย์กลางสองแห่งคือมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน และแรนด์ คอร์เปอเรชัน สถาบันวิจัยเอกชนที่ตั้งขึ้นใหม่ที่มุ่งเน้นการทำวิจัยด้านความมั่นคงให้กับรัฐบาลสหรัฐ

ในช่วงปี 1950 ถึง 1953 จอห์น แนช ได้ตีพิมพ์บทความสำคัญสี่บทความซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างมากต่อสาขาทฤษฎีเกม จากนิยามเกมรูปแบบทั่วไปของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น แนชได้นิยามแนวคิดสมดุลสำหรับเกมในรูปแบบทั่วไปที่เรียกในภายหลังว่าเป็นสมดุลแบบแนช และพิสูจน์ว่าเกมรูปแบบทั่วไปที่มีผู้เล่นและกลยุทธ์จำกัดทุกเกมที่ผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมจะมีจุดสมดุลอย่างน้อยหนึ่งจุด ผลงานนี้ตีพิมพ์ครั้งแรกในบทความสั้นชื่อ "จุดสมดุลในเกมที่มีผู้เล่น n ฝ่าย" (*Equilibrium points in n-person games*) ในปี 1950 แนชเขียนถึงแนวคิดสมดุลนี้ในวิทยาพนธ์ปริญญาเอก และตีพิมพ์เนื้อหาฉบับสมบูรณ์ยิ่งขึ้นในบทความปี 1951 ชื่อ "เกมแบบไม่ร่วมมือ" (*Non-cooperative games*)

จากเดิมที่เนื้อหาในหนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นไม่ได้แยกระหว่างการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์อย่างเป็นอิสระจากกันและการร่วมมือกัน แนชเป็นคนแรกที่จำแนกทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ โดยแนวคิดสมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดแบบไม่ร่วมมือ แนชยังได้ตีพิมพ์บทความในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยในบทความปี 1950 ชื่อ "ปัญหาการต่อรอง" (*The bargaining problem*) แนชได้เสนอผลลัพธ์ของเกมการต่อรองระหว่างผู้เล่นสองฝ่ายโดยใช้สัจพจน์สี่ประการ บทความนี้ของแนชเป็นงานชิ้นแรกในสาขาทฤษฎีเกมที่ไม่ใช้สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ระหว่างผู้เล่น บทความนี้มีที่มาจากข้อเขียนของแนชตั้งแต่สมัยเรียนวิชาเศรษฐศาสตร์ระหว่างประเทศในระดับปริญญาตรี ในปี 1953 แนชตีพิมพ์บทความ "เกมแบบร่วมมือที่มีผู้เล่นสองฝ่าย" (*Two-person cooperative games*) ผลงานของแนชด้านทฤษฎีเกมทำให้แนชได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1994

อัลเบิร์ต ทักเคอร์ (ซึ่งเป็นที่ปรึกษาปริญญาเอกของจอห์น แนช, ลอยด์ แชปลีย์, และเดวิด เกล) และฮาโรลด์ คุห์น นักคณิตศาสตร์ที่พรินซ์ตัน ได้เป็นบรรณาธิการตีพิมพ์ชุดหนังสือรวมเล่มผลงานวิจัยในด้านทฤษฎีเกม โดยตีพิมพ์เล่มแรกใน 1950 ในหนังสือเล่มที่สองที่ตีพิมพ์ในปี 1953 ลอยด์ แชปลีย์ นักศึกษาปริญญาเอกที่พรินซ์ตัน ได้ตีพิมพ์บทความที่นำเสนอแนวคิดคำตอบที่เรียกในภายหลังว่าค่าแชปลีย์ นอกจากนี้ แชปลีย์ ร่วมกับดอนัลด์ จิลลีส ได้เสนอแนวคิดคอร์

### ทศวรรษ 1960 เป็นต้นมา

ในปี 1965 ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน ได้ตีพิมพ์บทความที่วิเคราะห์แบบจำลองการผูกขาดโดยผู้ขายน้อยรายด้วยทฤษฎีเกม ในบทความนี้ เซ็ลเทินได้เสนอแนวคิดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย ซึ่งเป็นการนิยามสมดุลแบบแนชที่ละเอียดขึ้นเพื่อแยกสมดุลแบบแนชที่มีลักษณะไม่สมเหตุสมผลในเกมที่มีลำดับก่อนหลังออกไป การนิยามสมดุลที่ละเอียดยิ่งขึ้นเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 โดยในปี 1975 เซ็ลเทินได้เสนอแนวคิดสมดุลแบบสมบูรณ์ ที่นิยามจุดสมดุลที่สมมติว่าผู้เล่นอาจจะ "มือลั่น" เลือกกลยุทธ์ที่ผิดจากกลยุทธ์ในจุดสมดุลได้

พัฒนาการสำคัญในทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือที่เกิดขึ้นในทศวรรษ 1960 อีกข้อหนึ่งคือการจำลองสถานการณ์ที่ผู้เล่นมีสารสนเทศไม่เท่ากัน จอห์น ฮาร์ชาญี ได้ตีพิมพ์บทความที่เสนอแนวคิดเกมแบบเบยส์ (*Bayesian game*) ที่ตอนเริ่มเกมผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีสารสนเทศส่วนตัวที่ทราบแต่เพียงฝ่ายเดียว เรียกว่าเป็น "ประเภท" ของผู้เล่น และระบุว่าผู้เล่นฝ่ายอื่นเชื่อว่า ประเภทของผู้เล่นนี้มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแต่ละแบบอย่างไร

ความสำคัญของทฤษฎีเกมในสาขาเศรษฐศาสตร์ ทำให้นักวิจัยสาขาทฤษฎีเกมได้รับรางวัลเพื่อระลึกถึงอัลเฟรด โนเบล สาขาเศรษฐศาสตร์หลายคน โดยในปี 1994 จอห์น แนช, ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน และจอห์น ฮาร์ชาญี ได้รับรางวัลในปี 1994 ต่อมา รอเบิร์ต ออมันน์ และทอมัส เชลลิง ได้รับรางวัลร่วมกันในปี 2005 โดยเชลลิงศึกษาทางด้านแบบจำลองพลวัต ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกๆ ของทฤษฎีเกมเชิงวิวัฒนาการ ออมันน์เน้นศึกษาเกี่ยวกับดุลยภาพ ได้ริเริ่มดุลยภาพแบบหยาบ ดุลยภาพสหสัมพันธ์ และพัฒนาการวิเคราะห์ที่เป็นระเบียบมากขึ้นสำหรับสมมติฐานที่เกี่ยวกับความรู้ร่วมและผลที่ตามมา เลออนิด คูร์วิช, เอริก มัสกิน และโรเจอร์ ไมเออร์สัน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 2007 จาก "การวางรากฐานทฤษฎีการออกแบบกลไก" และอัลวิน รอธ และลอยด์ แชปลีย์ ได้รับรางวัลในปี 2012 "สำหรับทฤษฎีการจัดสรรอย่างคงที่และการใช้การออกแบบตลาด"

ตัวอย่างเกมที่มีชื่อเสียง
-------------------------

### เกมความลำบากใจของนักโทษ

เกมความลำบากใจของนักโทษ (Prisoner's dilemma) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง แนวคิดของเกมนี้ได้สร้างขึ้นโดย เมอร์ริล ฟลูด และ เมลวิน เดรชเชอร์ ใน พ.ศ. 2493 โดยมีลักษณะเป็นเกมที่ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายพยายามเลือกทางเลือกที่ได้ผลตอบแทนมากที่สุด แต่กลับทำให้ผลตอบแทนรวมที่ได้ต่ำลง มีสถานการณ์ดังนี้

คนร้ายสองคนคือ *A* และ *B* ถูกตำรวจจับและถูกแยกไปสอบปากคำทีละคน ตำรวจไม่สามารถดำเนินคดีกับคนร้ายทั้งสองได้ทันทีเพราะไม่มีพยาน คนร้ายแต่ละคนมีทางเลือกสองทางคือ รับสารภาพ และไม่รับสารภาพ ถ้าคนร้ายคนหนึ่งรับสารภาพแต่อีกคนไม่รับ ตำรวจจะกันคนที่รับสารภาพไว้เป็นพยานและปล่อยตัวไป และจะส่งฟ้องคนที่ไม่รับสารภาพซึ่งมีโทษจำคุก 20 ปี ถ้าทั้งสองคนรับสารภาพ จะได้รับการลดโทษเหลือจำคุกคนละ 10 ปี แต่ถ้าทั้งสองคนไม่รับสารภาพ ตำรวจจะสามารถส่งฟ้องได้เพียงข้อหาเล็กน้อยเท่านั้นซึ่งมีโทษจำคุก 1 ปี
เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | รับสารภาพ | ไม่รับสารภาพ |
| รับสารภาพ | -10, -10 | 0, -20 |
| ไม่รับสารภาพ | -20, 0 | -1, -1 |

จะเห็นว่ากลยุทธเด่นของผู้เล่นทั้งสองฝ่ายคือการรับสารภาพ เพราะไม่ว่าผู้เล่นอีกฝ่ายจะตัดสินใจอย่างไร ก็จะได้ผลตอบแทนที่ดีกว่าเสมอ แต่เมื่อทั้งสองฝ่ายเลือกทางเลือกนี้ กลับไม่ให้ผลตอบแทนที่ดีที่สุด ถึงแม้ผู้เล่นจะทราบว่าผลตอบแทนที่ดีที่สุดจะเกิดขึ้นเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่รับสารภาพ แต่ทั้งคู่อาจไม่กล้าทำเพราะไม่ไว้ใจอีกฝ่ายว่าจะรับสารภาพหรือไม่ จึงทำให้ทั้งสองฝ่ายต้องได้รับผลตอบแทนที่ต่ำลง และจุด (-10, -10) ก็เป็นจุดสมดุลของแนชในเกมนี้ เพราะผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่สามารถเปลี่ยนไปเลือกทางเลือกอื่นที่ได้ผลตอบแทนดีกว่านี้

### เกมไก่ตื่น

เกมไก่ตื่น (Chicken) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนขับรถด้วยความเร็วสูงเข้าหากัน ฝ่ายที่หักหลบรถก่อนจะเป็นผู้แพ้ แต่ถ้าผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่หักหลบรถ รถจะชนกันและจะทำให้ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายเกิดความเสียหายอย่างมาก
เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | หลบ | ไม่หลบ |
| หลบ | 0, 0 | -1, +1 |
| ไม่หลบ | +1, -1 | -10, -10 |

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (-1, +1) และ (+1, -1) แต่วิธีทางจิตวิทยาสำหรับผู้เล่นเกมนี้คือ พยายามส่งสัญญาณให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามเห็นว่า ตนจะไม่หักหลบอย่างแน่นอน ซึ่งจะทำให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามต้องยอมหักหลบไปเอง มิฉะนั้นจะเสียผลตอบแทนอย่างมาก

### เกมแห่งความร่วมมือ

เกมแห่งความร่วมมือ (Stag hunt) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง ซึ่งเป็นทางเลือกระหว่างทางที่ปลอดภัยกับการให้ความร่วมมือกับอีกฝ่าย มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนต้องการเลือกล่าสัตว์ชนิดหนึ่งระหว่างกวางกับกระต่าย ซึ่งกวางมีราคาดีกว่ากระต่ายมาก แต่ก็ล่ายากกว่าเช่นกัน จำเป็นต้องใช้สองคนร่วมมือกันจึงจะล่าได้ ในขณะที่กระต่ายมีราคาต่ำแต่ล่าได้ง่าย สามารถล่าได้โดยใช้เพียงคนเดียว
เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | ล่ากวาง | ล่ากระต่าย |
| ล่ากวาง | +10, +10 | 0, +3 |
| ล่ากระต่าย | +3, 0 | +3, +3 |

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (+10, +10) และ (+3, +3) ซึ่งการที่ผู้เล่นทั้งสองจะได้ผลตอบแทนสูงสุดนั้น จะต้องอาศัยความร่วมมือร่วมใจกัน คือเลือกล่ากวางทั้งคู่ ซึ่งผู้เล่นจะต้องมีความไว้วางใจผู้เล่นอีกฝ่ายด้วย

การประยุกต์ใช้
--------------

### รัฐศาสตร์

มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านรัฐศาสตร์ เช่น การหาเสียงเลือกตั้ง ในปี พ.ศ. 2500 แอนโทนี ดาวน์ส ได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง *An Economic Theory of Democracy* ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับการเลือกตำแหน่งในการหาเสียงเลือกตั้งให้ได้ผลดีที่สุด

### เศรษฐศาสตร์

| เศรษฐศาสตร์ |
| --- |
| * ประวัติศาสตร์และการจำแนก
 |
| 
* เศรษฐศาสตร์จุลภาค
* เศรษฐศาสตร์มหภาค
* ประวัติแนวคิด
* เศรษฐศาสตร์กระแสหลัก
* เศรษฐศาสตร์กระแสรอง

 |
| * แนวคิดและระเบียบวิธี
 |
| 
* ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์
* คณิตเศรษฐศาสตร์
* เศรษฐมิติ
* เศรษฐศาสตร์เชิงทดลอง
* ทฤษฎีเกม
* การวิจัยดำเนินการ
* เศรษฐศาสตร์เชิงคณนา

 |
| 
สาขาย่อย |
| 
* กฎหมาย
* การเกษตร
* การเงิน
* การจัดการ
* การพัฒนา
* การเมือง
* การศึกษา
* เงินตรา
* ชนบท
* ทรัพยากรธรรมชาติ
* ธุรกิจ
* ประชากร
* พฤติกรรม
* เมือง
* ระหว่างประเทศ
* แรงงาน
* วิวัฒนาการ
* สวัสดิการ
* สาธารณะ
* สารสนเทศ
* สิ่งแวดล้อม
* สุขภาพ
* อุตสาหกรรม

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

ในทางเศรษฐศาสตร์ ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาช่วยในการตัดสินใจในหลาย ๆ ด้านมาเป็นเวลานานแล้ว เช่น การต่อรองผลประโยชน์ การประมูล การแข่งขันของผู้ผลิต การรวมกลุ่มทางเศรษฐกิจ โดยมีแนวคิดสำคัญที่ใช้คือเรื่องจุดสมดุลของแนช อย่างไรก็ตาม ในเกมการแข่งขันทางธุรกิจ อาจมีการปรับเปลี่ยนกลยุทธได้ตลอดเวลาเพื่อให้ได้รับผลตอบแทนที่สูงขึ้น และผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเข้าสู่จุดสมดุลของแนช ซึ่งเป็นจุดที่ทุกฝ่ายไม่สามรถเปลี่ยนกลยุทธเพื่อให้ได้ผลตอบแทนสูงกว่านี้อีกแล้ว

### ชีววิทยา

มีการใช้ทฤษฎีเกมเพื่ออธิบายถึงปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางชีววิทยา เช่น ในปี พ.ศ. 2473 โรนัลด์ ฟิชเชอร์ ได้ใช้ทฤษฎีเกมในการอธิบายถึงอัตราส่วนของสัตว์เพศผู้ต่อเพศเมียที่เป็น 1:1 เนื่องจากเป็นอัตราส่วนที่สามารถสืบพันธุ์ได้จำนวนมากที่สุด นอกจากนี้ นักชีววิทยายังใช้ทฤษฎีเกมเพื่อช่วยในการศึกษาพฤติกรรมต่าง ๆ ของสัตว์ เช่น การใช้เกมไก่ตื่นในการอธิบายถึงการต่อสู้ของสัตว์

### วิทยาการคอมพิวเตอร์

มีการพัฒนาในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมเพื่อหาขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดในการเล่นเกมในสถานการณ์หนึ่งเป็นระยะเวลานาน

### สังคมวิทยา

ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านสังคมวิทยา เช่น วิลลาร์ด แวน ออร์มาน ไควน์ และ เดวิด ลูอิส ได้พัฒนาการศึกษาด้านประเพณีนิยม และมีการวิเคราะห์เกี่ยวกับเกมต่าง ๆ ที่ต้องเลือกระหว่างศีลธรรมกับผลประโยชน์ของตนเอง เช่น เกมความลำบากใจของนักโทษ

ในวัฒนธรรมร่วมสมัย
------------------

* ชีวิตของนักทฤษฎีเกมและนักคณิตศาสตร์ จอห์น แนช ได้ถูกนำมาสร้างเป็นหนังอิงชีวประวัติในปี 2001 ในชื่อ A Beautiful Mind โดยอิงจากหนังสือปี 1998 โดยซิลเวียร์ นาซาร์ นำแสดงโดยรัสเซลล์ โครว์ที่เล่นเป็นแนช
* ในปี 1959 นวนิยายวิทยาศาสตร์สงคราม Starship Troopers โดย โรเบิร์ต เอ ไฮน์ไลน์ ได้อ้างถึง "ทฤษฎีเกม" และ "ทฤษฎีแห่งเกม" ในภาพยนตร์เรื่องเดียวกันในปี 1997 ตัวละครที่ชื่อ คาร์ล เจนกินส์ ได้อ้างถึงงานด้านการข่าวกรองทางการทหารนี้ว่าเป็นการมอบหมายงานด้าน "เกมและทฤษฎี"

อ้างอิง
-------

1. 1 2 3  Myerson, Roger B. (1991). *Game theory: Analysis of conflict*. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-34116-3.
2. 1 2 3  Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). *A course in game theory*. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-65040-1.
3. ↑  Falster, Daniel S.; Westoby, Mark (2003). "Plant height and evolutionary games". *Trends in Ecology & Evolution*. **18** (7): 337–343. doi:10.1016/S0169-5347(03)00061-2.
4. ↑  Brams, Steven J. (1980). *Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament*. MIT Press. ISBN 9780262021449.
5. 1 2 3 4 5 6 7  Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013). *Game theory*. แปลโดย Hellman, Ziv. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00548-8.
6. 1 2  Nash, John (1951). "Non-cooperative games". *Annals of Mathematics*. **54** (2): 286–295.
7. 1 2  Harsanyi, John C.; Selten, Reinhard (1988). *A general theory of equilibrium selection in games*. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-08173-3.
8. 1 2 3 4  Aumann, R.J. (2008). "Game theory". *New Palgrave dictionary of economics*. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5\_942-2. ISBN 978-1-349-95121-5.
9. ↑  van Damme, Eric (2015). "Game theory: Noncooperative games". ใน Wright, James D. (บ.ก.). *International encyclopedia of the social & behavioral sciences*. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 582–591. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8. ISBN 978-0-08-097087-5.
10. 1 2 3 4 5 6 7 8  Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). *Game theory*. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4.
11. 1 2  von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (2007) [1944]. *Theory of games and economic behavior* (60th anniversary ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13061-3.
12. ↑  Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). *Handbook of game theory with economic applications*. Vol. 1. Elsevier. pp. 19–40. doi:10.1016/S1574-0005(05)80005-0.
13. 1 2 3  Hokari, Toru; Thomson, William (2015). "Cooperative game theory". ใน Wright, James D. (บ.ก.). *International encyclopedia of the social & behavioral sciences*. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 867–880. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7. ISBN 978-0-08-097087-5.
14. ↑  Kannai, Yakar (1992). "The core and balancedness". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). *Handbook of game theory with economic applications*. Vol. 1. Elsevier. pp. 356–395. doi:10.1016/S1574-0005(05)80015-3.
15. ↑  Dimand, Robert W.; Dimand, Mary Ann (1992). "The early history of the theory of strategic games from Waldegrave to Borel". ใน Weintraub, E. Roy (บ.ก.). *Toward a history of game theory*. Duke University Press. pp. 15–27. doi:10.1215/00182702-24-Supplement-15. ISBN 978-0-8223-1253-6.
16. ↑  von Neumann, J. (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele". *Mathematische Annalen*. **100** (1): 295–320. doi:10.1007/BF01448847.
17. 1 2  Myerson, Roger B. (1999). "Nash equilibrium and the history of economic theory". *Journal of Economic Literature*. **37** (3): 1067–1082. doi:10.1257/jel.37.3.1067.
18. ↑  Kjeldsen, Tinne Hoff (2001). "John von Neumann's conception of the minimax theorem: A journey through different mathematical contexts". *Archive for History of Exact Sciences*. **56** (1): 39–68. doi:10.1007/s004070100041.
19. ↑  Leonard, Robert (2010). *Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900–1960*. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56266-9.
20. 1 2  Leonard, Robert J. (1995). "From parlor games to social science: von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory 1928-1944". *Journal of Economic Literature*. **33** (2): 730–761.
21. 1 2  Morgenstern, Oskar (1976). "The collaboration between Oskar Morgenstern and John von Neumann on the theory of games". *Journal of Economic Literature*. **14** (3): 805–816.
22. ↑  Nash, John F. (1950). "Equilibrium points in n-person games". *Proceedings of the National Academy of Sciences*. **36** (1): 48–49. doi:10.1073/pnas.36.1.48.
23. ↑  Nash, John F. (1950). "The bargaining problem". *Econometrica*. **18** (2): 155–162. doi:10.2307/1907266.
24. ↑  Leonard, Robert J. (1994). "Reading Cournot, reading Nash: The creation and stabilisation of the Nash equilibrium". *Economic Journal*. **104** (424): 492–511. doi:10.2307/2234627.
25. ↑  Nash, John F. (1953). "Two-person cooperative games". *Econometrica*. **21** (1): 128–140. doi:10.2307/1906951.

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

วิกิตำราภาษาอังกฤษ มีคู่มือ ตำรา หรือวิธีการเกี่ยวกับ: **ทฤษฎีเกม**

* (อังกฤษ) Game Theory จาก Stanford Encyclopedia of Philosophy
* (อังกฤษ) รายการวิชาเรียนทฤษฎีเกม ที่สามารถดาวน์โหลดเนื้อหาได้ฟรีจาก เอ็มไอที โอเพนคอร์สแวร์
* (อังกฤษ) Giacomo Bonanno (2018). Game Theory (2 ed.) ตำราทฤษฎีเกมเบื้องต้นที่เผยแพร่ด้วยสัญญาอนุญาตแบบครีเอทีฟคอมมอนส์