**รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า** คือรูปสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น *รูปสามเหลี่ยมปรกติ*

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ {\displaystyle a\,\!} หน่วย จะมีส่วนสูง (altitude) เท่ากับ {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a} หน่วย และมีพื้นที่เท่ากับ {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}} ตารางหน่วย

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด คือมีสมมาตรแบบสะท้อนสามเส้น และสมมาตรแบบหมุนที่อันดับสามรอบศูนย์กลาง กรุปสมมาตรของรูปสามเหลี่ยมนี้จัดว่าเป็นกรุปการหมุนรูปของอันดับหก (dihedral group of order 6) หรือ *D3*

ทรงสี่หน้าปรกติ สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในโครงสร้างทางเรขาคณิตอื่นๆ หลายอย่าง เช่น รูปวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันสองวงตัดกัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวงหนึ่ง ทำให้เกิดส่วนโค้งขนาดเท่ากัน และสามารถแสดงได้ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมนี้ยังเป็นส่วนหนึ่งของการสร้างทรงหลายหน้า ทรงตันเพลโตสามในห้าชิ้นประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หนึ่งในนั้นคือทรงสี่หน้าปรกติ ซึ่งประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสี่หน้า นอกจากนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถนำมาเรียงติดต่อกันบนระนาบ จนเกิดเป็นรูปแบนราบสามเหลี่ยม (triangular tiling)

การหารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จากทฤษฎีบทสามส่วนของมอร์ลีย์ (Morley's trisector theorem)

การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
-----------------------------

การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยสันตรงและวงเวียน เริ่มต้นจากวาดวงกลมรัศมี *r* หน่วยด้วยวงเวียน จากนั้นวาดวงกลมอีกวงหนึ่งด้วยรัศมีเท่ากัน โดยให้จุดศูนย์กลางของวงใหม่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมแรก วงกลมทั้งสองจะตัดกันสองจุด ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางทั้งสอง และลากจากจุดศูนย์กลางทั้งสองไปยังจุดตัดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวง ส่วนของเส้นตรงทั้งสามเส้นจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ *r* หน่วย

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า
-----------------------------------

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนหมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนตรรกยะ จะให้พื้นที่เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่มีทางเป็นฮีโรเนียน อย่างไรก็ตาม มีลำดับของรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนชุดหนึ่งและเป็นชุดเดียวที่ "คล้ายด้านเท่า" เพราะว่าด้านทั้งสามที่มีความยาวเท่ากับ *n* − 1, *n*, *n* + 1 และเป็นจำนวนเต็ม จากตัวอย่างต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

| ความยาวของด้าน | พื้นที่ |
| --- | --- |
| *n* − 1 | *n* | *n* + 1 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 13 | 14 | 15 | 84 |
| 51 | 52 | 53 | 1170 |
| 193 | 194 | 195 | 16296 |

ลำดับจำนวนของ *n* สามารถหาได้จากการคูณจำนวนก่อนหน้าด้วย 4 และลบด้วยสองจำนวนก่อนหน้า นั่นคือ

{\displaystyle q\_{n}=4q\_{n-1}-q\_{n-2}\,\!}
ตัวอย่างเช่น 52 = 4 × 14 − 4 และ 194 = 4 × 52 − 14 เป็นต้น ลำดับจำนวนนี้สามารถสร้างขึ้นจากผลเฉลยของสมการของเพลล์ {\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1} ซึ่งถูกถ่ายทอดมาจากการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของ √3

อ้างอิง
-------

1. ↑  Takeaki Murasaki (2004) , *On the Heronian Triple (n+1, n, n−1)*  เก็บถาวร 2009-06-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, Sci. Rep. Fac. Educ. Gunma Univ. 52, 9-15.

ดูเพิ่ม
-------

* ตรีโกณมิติ
* ทฤษฎีบทของวีวีอานี (Viviani's theorem)

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------

* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Construction" จากแมทเวิลด์.