Connects homology and cohomology groups for oriented closed manifoldsในคณิตศาสตร์ **ภาวะคู่กันปวงกาเร** (อังกฤษ: Poincaré duality) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าถ้า {\displaystyle M} เป็นแมนิโฟลด์มิติ {\displaystyle n} ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิด (เป็นแมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้ แล้วกรุปคอฮอมอโลยีตัวที่ {\displaystyle k} ของ {\displaystyle M} จะสมสัณฐานกับกรุปฮอมอโลยีตัวที่ {\displaystyle n-k} สำหรับทุกจำนวนเต็ม {\displaystyle k} หรือเขียนได้ว่า

{\displaystyle H^{k}(M)\cong H\_{n-k}(M)}

ภาวะคู่กันปวงกาเรเป็นจริงสำหรับทุกริงสัมประสิทธิ์ ตราบเท่าที่เลือกใช้การกำหนดทิศทางบนแมนิโฟลด์ที่สอดคล้องกับริงนั้น และเนื่องจากทุกแมนิโฟลด์มีการกำหนดทิศทางเพียงหนึ่งเดียวมอดุโล 2 แล้วจะได้ว่าภาวะคู่กันปวงการเรเป็นจริงมอดุโลสองโดยไม่ต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม

ประวัติ
-------

รูปแบบหนึ่งของภาวะคู่กันปวงกาเรถูกกล่าวขึ้นเป็นครั้งแรกโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปีค.ศ. 1893 โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ ปวงกาเรตั้งทฤษฎีบทนี้ในเทอมของจำนวนเบ็ตตีว่าจำนวนเบ็ตตีตัวที่ *{\displaystyle k}* และ {\displaystyle n-k} ของแมนิโฟลด์ปิด (แมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้มิติ {\displaystyle n} จะเท่ากันเสมอ แนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีต้องรอไปอีก 40 ปีจากขณะนั้นถึงจะชัดเจนสมบูรณ์ ในปีค.ศ. 1895 ในรายงานวิจัย *Analysis Situs* ปวงกาเรได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผ่านทฤษฎีการตัดขวางเชิงทอพอโลยี (topological intersection theory) ซึ่งปวงกาเรเป็นผู้ประดิษฐ์ขึ้นมา แต่คำวิจารณ์จาก Poul Heegaard ชี้ให้ปวงกาเรเห็นว่าบทพิสูจน์ของเขาผิดพลาด ในส่วนเพิ่มเติมของรายงาน *Analysis Situs* ที่ตีพิมพ์ภายหลัง ปวงกาเรให้บทพิสูจน์ใหม่ผ่าน dual triangulations

ภาวะคู่กันปวงกาเรปรากฎในรูปแบบปัจจุบันภายหลังแนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีปรากฎขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 1930 เมื่อ เอดูอาร์ด เช็ค และ แฮสเลอร์ วิทนีร์ นิยามผลคูณถ้วย (cup product) และผลคูณหมวก (cap product) จากนั้นใช้แนวคิดทั้งสองเพื่อเขียนภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบใหม่

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบัน
---------------------------------

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันนิยมกล่าวผ่านฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยี

**ภาวะคู่กันปวงกาเร** — ให้ {\displaystyle M} เป็นแมนิโฟลด์มิติ {\displaystyle n} ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ แล้วจะมีฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุป {\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H\_{n-k}(M,\mathbb {Z} )} ในรูปแบบบัญญัติสำหรับทุกจำนวนเต็ม {\displaystyle k}

เพื่อนิยามฟังก์ชันสมสัณฐานดังกล่าว เราเลือกชั้นมูลฐาน (fundamental class) {\displaystyle [M]} ของ {\displaystyle M} ซึ่งนิยามถ้า {\displaystyle M} กำหนดทิศทางได้ จะได้ว่าฟังก์ชันสมสัณฐานเป็นการส่งสมาชิก {\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)} ไปยังผลคูณหมวก {\displaystyle [M]\frown \alpha }.

กรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีนิยามให้เป็นศูนย์สำหรับดีกรีเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้นภาวะคู่กันของปวงกาเรจึงบ่งว่ากรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์มิติ {\displaystyle n} ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดีกรีที่สูงกว่า {\displaystyle n}

ในรูปแบบข้างต้นกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แต่ภาวะสมสัณฐาณนี้เป็นจริงไม่ว่าใช้ริงสัมประสิทธิ์ใด ๆ ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ไม่กระชับ จะต้องเปลี่ยนฮอมอโลยีเป็น Borel–Moore homology

{\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H\_{n-i}^{BM}(X)}
หรือเปลี่ยนคอฮอมอโลยีเป็นคอฮอมอโลยีมีส่วนค้ำจุนกระชับ (cohomology with compact support)

{\displaystyle H\_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H\_{n-i}(X)}

บทประยุกต์กับแคแรกเทอริสติกออยเลอร์
-----------------------------------

ผลที่ตามมาโดยทันทีจากภาวะคู่กันปวงกาเรคือทุกแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ {\displaystyle M} ที่มีมิติเป็นจำนวนเต็มคี่ จะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เท่ากับศูนย์ และจะได้ตามมาว่าทุกแมนิโฟลด์มีขอบเขตจะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เป็นเลขคู่

การวางนัยทั่วไป
---------------

ภาวะคู่กันปวงกาเร-เล็ฟเชตซ์ (Poincaré–Lefschetz duality theorem) เป็นการวางนัยทั่วไปของภาวะคู่กันปวงกาเรสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางไม่ได้ เราสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับภาวะคู่กันได้โดยพิจารณาชีพของการกำหนดทิศทางเฉพาะที่ เรียกว่า ภาวะคู่กันปวงกาเรทวิสต์ (twist Poincare duality)

รายการอ้างอิง
-------------

1. ↑  Hatcher, Allen (2002). *Algebraic Topology* (ภาษาอังกฤษ) (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401. MR 1867354.

อ่านเพิ่ม
---------

* Blanchfield, Richard C. (1957), "Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory", *Annals of Mathematics*, **65** (2): 340–356, doi:10.2307/1969966, JSTOR 1969966, MR 0085512
* Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), *Principles of algebraic geometry*, Wiley Classics Library, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523