|  |
| --- |
| บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
| แคลคูลัส |
| * ทฤษฎีบทมูลฐาน

* ลิมิตของฟังก์ชัน
* ความต่อเนื่อง

* ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
* ทฤษฎีบทของโรลล์

 |
| **แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์**

| 
นิยาม |
| --- |
| * อนุพันธ์ (ภาพรวม)

* ผลต่างอนุพัทธ์
	+ กณิกนันต์
	+ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน
	+ ผลต่างอนุพัทธ์รวม

 |
| 
แนวคิด |
| 
* สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
* อนุพันธ์อันดับสอง
* อนุพันธ์อันดับสาม
* การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
* การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
* อัตราสัมพัทธ์
* ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

 |
| กฎและเอกลักษณ์ |
| 
* กฎผลรวม
* กฎผลคูณ
* กฎลูกโซ่
* กฎเลขยกกำลัง
* กฎผลหาร
* กฎไลบ์นิซทั่วไป
* สูตรของฟาดีบรูโน

 |

 |
| **แคลคูลัสเชิงปริพันธ์**

|  |
| --- |
| * รายชื่อปริพันธ์
 |
| 
นิยาม |
| * ปฏิยานุพันธ์
* ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ)
* ปริพันธ์รีมันน์
* ปริพันธ์เลอเบก
* ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ
 |
| 
การหาปริพันธ์ |
| * ทีละส่วน
* จาน
* แบบเปลือกทรงกระบอก
* แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
* แยกเป็นเศษส่วนย่อย
* Order
* Reduction formulae
 |

 |
| **อนุกรม**

|  |
| --- |
| * อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต)
* อนุกรมฮาร์มอนิก
* อนุกรมสลับ
* อนุกรมกำลัง
* อนุกรมทวินาม
* อนุกรมเทย์เลอร์
 |
| การทดสอบการลู่เข้า |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* Integral
* Direct comparison
* Limit comparison
* Alternating series
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* Abel
 |

 |
| **แคลคูลัสเวกเตอร์**

|  |
| --- |
| * เกรเดียนต์
* ไดเวอร์เจนซ์
* เคิร์ล
* Laplacian
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
ทฤษฎีบท |
| * ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
* ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
* ทฤษฎีบทของกรีน
* ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
 |

 |
| **แคลคูลัสหลายตัวแปร**

| 
Formalisms |
| --- |
| * แคลคูลัสเมทริกซ์
* แคลคูลัสเทนเซอร์
* Exterior
* แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต
 |
| 
นิยาม |
| * อนุพันธ์ย่อย
* ปริพันธ์หลายชั้น
* ปริพันธ์ตามเส้น
* ปริพันธ์เชิงพื้นผิว
* ปริพันธ์เชิงปริมาตร
* Jacobian
* Hessian matrix
 |

 |
| **พิเศษ**
* แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
* Malliavin
* สโทแคสติกแคลคูลัส
* แคลคูลัสของการแปรผัน

 |
| * ด
* ค
* ก
 |

**ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส** กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน

ภาพโดยทั่วไป
------------

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน *x*(*t*) เมื่อ *t* คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ *x* ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว *v* ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t)}
เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

{\displaystyle dx=v(t)\,dt}
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน *x* ที่เรียกว่า {\displaystyle \Delta x} คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ *dx* มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ
ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

เนื้อหาของทฤษฎีบท
-----------------

ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] ถ้า *F* เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [*a*, *b*] ว่า

{\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}f(t)\,dt}
แล้ว

{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
สำหรับทุก *x* ที่อยู่ใน [*a*, *b*]

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] ถ้า *F* เป็นฟังก์ชันที่

{\displaystyle f(x)=F'(x)\,}สำหรับทุก *x* ที่อยู่ใน [*a*, *b*]
แล้ว

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
### ผลที่ตามมา

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*]. ถ้า *F* เป็นฟังก์ชันที่

{\displaystyle f(x)=F'(x)\,} สำหรับทุก *x* ที่อยู่ใน [*a*, *b*]
แล้ว

{\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)}
และ

{\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int \_{a}^{x}f(t)\,dt}

บทพิสูจน์
---------

### ส่วนที่ 1

กำหนดให้

{\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}f(t)dt}
ให้ *x*1 และ *x*1 + Δ*x* อยู่ในช่วง [*a*, *b*] จะได้

{\displaystyle F(x\_{1})=\int \_{a}^{x\_{1}}f(t)dt}
และ

{\displaystyle F(x\_{1}+\Delta x)=\int \_{a}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt}
นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

{\displaystyle F(x\_{1}+\Delta x)-F(x\_{1})=\int \_{a}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int \_{a}^{x\_{1}}f(t)dt\qquad (1)}
เราสามารถแสดงได้ว่า

{\displaystyle \int \_{a}^{x\_{1}}f(t)dt+\int \_{x\_{1}}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int \_{a}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt}
(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)
ย้ายข้างสมการได้

{\displaystyle \int \_{a}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int \_{a}^{x\_{1}}f(t)dt=\int \_{x\_{1}}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt}
นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

{\displaystyle F(x\_{1}+\Delta x)-F(x\_{1})=\int \_{x\_{1}}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt\qquad (2)}
ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี *c* อยู่ในช่วง [*x*1, *x*1 + Δ*x*] ที่ทำให้

{\displaystyle \int \_{x\_{1}}^{x\_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x}
แทนค่าลงใน (2) ได้

{\displaystyle F(x\_{1}+\Delta x)-F(x\_{1})=f(c)\Delta x\,}
หารทั้งสองข้างด้วย Δ*x* จะได้

{\displaystyle {\frac {F(x\_{1}+\Delta x)-F(x\_{1})}{\Delta x}}=f(c)}
สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ *F* ที่ *x*1
ใส่ลิมิต Δ*x* → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {F(x\_{1}+\Delta x)-F(x\_{1})}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}f(c)}
สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ *F* ที่ *x*1

{\displaystyle F'(x\_{1})=\lim \_{\Delta x\to 0}f(c)\qquad (3)}
เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า *c* อยู่ในช่วง [*x*1, *x*1 + Δ*x*] ดังนั้น *x*1 ≤ *c* ≤ *x*1 + Δ*x*

จาก {\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}x\_{1}=x\_{1}} และ {\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}x\_{1}+\Delta x=x\_{1}}

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}c=x\_{1}}
แทนค่าลงใน (3) จะได้

{\displaystyle F'(x\_{1})=\lim \_{c\to x\_{1}}f(c)}
ฟังก์ชัน *f* มีความต่อเนื่องที่ *c* ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

{\displaystyle F'(x\_{1})=f(x\_{1})\,}
จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

### ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

ภาพแสดงแนวคิดของ **ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์** ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก
ให้ *f* เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] และ *F* เป็นปฏิยานุพันธ์ของ *f* พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

{\displaystyle F(b)-F(a)\,}
ให้ {\displaystyle a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<\ldots <x\_{n-1}<x\_{n}=b} จะได้

{\displaystyle F(b)-F(a)=F(x\_{n})-F(x\_{0})\,}
แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

{\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x\_{n})\,+\,[-F(x\_{n-1})\,+\,F(x\_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x\_{1})+F(x\_{1})]\,-\,F(x\_{0})\,\\&=&[F(x\_{n})\,-\,F(x\_{n-1})]\,+\,[F(x\_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x\_{1})]\,+\,[F(x\_{1})\,-\,F(x\_{0})]\,\end{matrix}}}
เขียนใหม่เป็น

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}[F(x\_{i})-F(x\_{i-1})]\qquad (1)}
เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ *f* เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [*a*, *b*] และมีอนุพันธ์บนช่วง (*a*, *b*) แล้ว จะมี c อยู่ใน (*a*, *b*) ที่ทำให้ 

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
และจะได้

{\displaystyle f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\,}
ฟังก์ชัน *F* เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [*a*, *b*] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง *x**i*-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

{\displaystyle F(x\_{i})-F(x\_{i-1})=F'(c\_{i})(x\_{i}-x\_{i-1})\,}
แทนค่าลงใน (1) จะได้

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}[F'(c\_{i})(x\_{i}-x\_{i-1})]}
จาก {\displaystyle F'(c\_{i})=f(c\_{i})\,}
และ {\displaystyle x\_{i}-x\_{i-1}} สามารถเขียนในรูป {\displaystyle \Delta x} ของผลแบ่งกั้น {\displaystyle i}

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}[f(c\_{i})(\Delta x\_{i})]\qquad (2)}
สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า {\displaystyle \Delta x\_{i}} ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ {\displaystyle i} หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม {\displaystyle n} รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ {\displaystyle n} มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

{\displaystyle \lim \_{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim \_{\|\Delta \|\to 0}\sum \_{i=1}^{n}[f(c\_{i})(\Delta x\_{i})]\,dx}
ทั้ง *F*(*b*) และ *F*(*a*) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ *F*(*b*) - *F*(*a*)

{\displaystyle F(b)-F(a)=\lim \_{\|\Delta \|\to 0}\sum \_{i=1}^{n}[f(c\_{i})(\Delta x\_{i})]}
และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ *f* จาก *a* ไป *b* ดังนั้น เราจะได้

{\displaystyle F(b)-F(a)=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx}
จบการพิสูจน์

ตัวอย่าง
--------

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

{\displaystyle \int \_{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x}
ให้ {\displaystyle f(x)=x^{2}} เราจะได้ {\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}} เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

{\displaystyle \int \_{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39}
ถ้าเราต้องการหา

จะได้ {\displaystyle \int \_{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}\_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3}

นัยทั่วไป
---------

เราไม่จำเป็นต้องให้ f ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง {\displaystyle [a,b]} และ {\displaystyle x\_{0}} เป็นจำนวนในช่วง {\displaystyle [a,b]} ซึ่ง f ต่อเนื่องที่ {\displaystyle x\_{0}} จะได้

{\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t}
สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ {\displaystyle x=x\_{0}} และ {\displaystyle F(x\_{0})=f(x\_{0})} เราสามารถคลายเงื่อนไขของ f เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน {\displaystyle F} นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ {\displaystyle F'(x)=f(x)} จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า **ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก**

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ {\displaystyle F} (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ {\displaystyle U} เป็นเซตเปิดใน {\displaystyle \mathbb {C} } และ {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ {\displaystyle F} ใน {\displaystyle U} ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง {\displaystyle \gamma :[a,b]\to U} ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))}
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้

อ้างอิง
-------


* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In *Calculus: early transcendentals*. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. *Calculus of a single variable*. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
* Leithold, L. (1996). *The calculus 7 of a single variable*. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.