ปิแยร์ เดอ แฟร์มา
**ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา** (อังกฤษ: Fermat's little theorem) กล่าวว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว {\displaystyle a^{p}-a} จะเป็นพหุคูณของ p สำหรับทุกจำนวนเต็ม {\displaystyle a} หรือเขียนในรูปเลขคณิตมอดุลาร์ได้เป็น

{\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\,\!}
ตัวอย่างเช่น เมื่อ {\displaystyle a=2} และ {\displaystyle p=7} พบว่า {\displaystyle 2^{7}-2=128-2=126=7\times 18} ดังนั้น {\displaystyle 2^{7}-2} จึงเป็นพหุคูณของ 7

ทฤษฎีบทนี้กล่าวอีกแบบหนึ่งได้ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ {\displaystyle a} เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p แล้ว จะได้ว่า

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\,\!}
ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเป็นพื้นฐานของการทดสอบจำนวนเฉพาะของแฟร์มา และเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตาม ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ผู้ได้เสนอทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1640 และได้ชื่อว่าเป็น "ทฤษฎีบทเล็ก" เพื่อแยกแยะให้แตกต่างกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

บทพิสูจน์
---------

ปีแยร์ เดอ แฟร์มาได้ตั้งทฤษฎีบทนี้ในจดหมายจากเขาถึง เฟรนิเกล เดอ เบสซี โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ จดหมายฉบับนั้นลงวันที่ 18 ตุลาคม ค.ศ. 1640 ต่อมา กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้โดยไม่ได้ตีพิมพ์และไม่ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน ค.ศ. 1683 ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ติพิมพ์บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1736

บทพิสูจน์ด้านล่าง เป็นบทพิสูจน์สำหรับรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทดังกล่าวที่ว่า: *ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ {\displaystyle a} เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p แล้ว จะได้ว่า {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\,\!}*

**พิสูจน์** — 
สมมติให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ {\displaystyle a} เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p

แนวคิดของบทพิสูจน์อาศัยข้อสังเกตที่ว่า ลำดับของจำนวนเต็มต่อไปนี้

{\displaystyle a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a}
เป็นลำดับเดียวกับ {\displaystyle 1,2,3,\dotsc ,p-1} ในมอดุโล {\displaystyle p} แต่ต่างกันแค่การเรียงลำดับเท่านั้น

เพื่อพิสูจน์ข้อความข้างต้น เราสังเกตว่า จำนวนทุกตัวในลำดับ {\displaystyle a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a} ไม่มีจำนวนใดคอนกรูเอนซ์กับ 0 ในมอดุโล {\displaystyle p} ซึ่งเห็นได้ชัดจากการที่ทุกจำนวน {\displaystyle k} ในลำดับ {\displaystyle 1,2,3,\dotsc ,p-1} ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ {\displaystyle p} และ {\displaystyle a} ก็ไม่มีตัวประกอบร่วมกับกับ {\displaystyle p} ด้วย ดังนั้นผลคูณ {\displaystyle ka} ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ {\displaystyle p} (ดูเพิ่มที่ บทตั้งของยุคลิด)

ต่อไป เราพิสูจน์ว่าทุกสมาชิกในลำดับ {\displaystyle a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a} แตกต่างกันทั้งหมดในมอดุโล {\displaystyle p}

สมมติให้ {\displaystyle k} และ m เป็นจำนวนเต็มในลำดับ {\displaystyle 1,2,3,\dotsc ,p-1} ที่ทำให้ {\displaystyle ka\equiv ma{\pmod {p}}}

จากสมบัติการตัดออกในเลขคณิตมอดุลาร์จะได้ 

{\displaystyle k\equiv m{\pmod {p}}}
แต่จาก {\displaystyle k,m} มีค่าอยู่ในช่วง {\displaystyle 1,2,3,\dotsc ,p-1} จึงบังคับให้ {\displaystyle k=m} เท่านั้น

จากการพิสูจน์ข้างต้น เมื่อลดทอนลำดับ {\displaystyle a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a} ในมอดุโล p จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด แต่เนื่องจาก {\displaystyle a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a} เป็นลำดับที่มีสมาชิกทั้งหมด {\displaystyle p-1} ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้นเมื่อลดทอนแล้วจะต้องได้เป็นการเรียงลำดับใหม่ของ {\displaystyle 1,2,3,\dotsc ,p-1} เท่านั้น

จึงทำให้ได้ว่า

{\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle a\times 2a\times 3a\times \dotsb \times (p-1)a&\equiv 1\times 2\times 3\times \dotsb \times (p-1){\pmod {p}}\\a^{p-1}(p-1)!&\equiv (p-1)!{\pmod {p}}\end{aligned}}}
และจาก {\displaystyle (p-1)!} เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ {\displaystyle p} จึงส่งผลให้สามารถตัดออกจากทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์ได้ จึงสรุปได้ว่า {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

บทพิสูจน์ข้างต้น ค้นพบโดย James Ivory ก่อนจะถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดย ดีรีเคล นอกจากนี้ยังมีบทพิสูจน์ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น พิสูจน์จากทฤษฎีบทของออยเลอร์ ใช้วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ หรือทางทฤษฎีกรุป

จำนวนเฉพาะเทียม
---------------

ดูบทความหลักที่: จำนวนเฉพาะเทียม
ถ้า {\displaystyle a} และ p เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ {\displaystyle \,a^{p-1}-1} หารด้วย p ลงตัว แล้ว p ไม่จำเป็นจะต้องจำนวนเฉพาะเสมอไป ถ้า p ไม่เป็นจำนวนเฉพาะในกรณีดังกล่าว เราจะเรียก p ว่าเป็น *จำนวนเฉพาะเทียม* (*pseudoprime*) ฐาน {\displaystyle a} ใน ค.ศ. 1820 F. Sarrus พบว่า {\displaystyle 341=11\times 31} เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก

จำนวนเต็ม p ที่เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน {\displaystyle a} สำหรับทุกจำนวนเต็ม {\displaystyle a} ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p เรียกว่า จำนวนคาร์ไมเคิล (Carmichael number) ตัวอย่างจำนวนคาร์ไมเคิล เช่น 561

อ้างอิง
-------

1. 1 2  Burton, David M. (2011). *The history of mathematics : an introduction* (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 514. ISBN 978-0-07-338315-6. OCLC 476835570.
2. ↑  Ore, Øystein (1988). *Number theory and its history*. New York: Dover. p. 273. ISBN 0-486-65620-9. OCLC 17413345.
3. ↑  Hardy, G. H. (2008). *An introduction to the theory of numbers*. E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, Joseph H. Silverman (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. OCLC 214305907.
4. ↑  Ivory, James (1806), "Demonstration of a theorem respecting prime numbers", *New Series of the Mathematical Depository*, **1** (II): 6–8
5. ↑  Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1828), "Démonstrations nouvelles de quelques théorèmes relatifs aux nombres", *Journal für die reine und angewandte Mathematik* (ภาษาฝรั่งเศส), **3**: 390–393
6. ↑  Golomb, S. W. (1956). "Combinatorial Proof of Fermat's "Little" Theorem". *The American Mathematical Monthly*. **63** (10): 718–718. doi:10.2307/2309563. ISSN 0002-9890.
7. ↑  Weil, André (1979). *Number Theory for Beginners* (ภาษาอังกฤษ). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-9957-8. ISBN 978-0-387-90381-1.