จุดในระบบพิกัดเชิงขั้วกับขั้ว *O* และแกนเชิงขั้ว *L* ในเส้นสีเขียว จุดกับพิกัดรัศมี 3 และพิกัดมุม 60 องศาหรือ (3,60°) ในเส้นสีฟ้า จุด (4,210°)
ในทางคณิตศาสตร์ **ระบบพิกัดเชิงขั้ว** (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบค่าพิกัดสองมิติในแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง 

จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่า**ขั้ว**, และลากรังสีจากขั้วเข้ากับทิศทางตรึงคือ**แกนเชิงขั้ว** ระยะทางจากขั้วเรียกว่า**พิกัดรัศมี**หรือ**รัศมี** และมุมคือ**พิกัดมุม**, **มุมเชิงขั้ว**, หรือ**มุมทิศ**

ประวัติ
-------

ดูเพิ่ม: ประวัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อฮิปปาร์คอส (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว
ใน *On Spirals (ว่าด้วยเส้นเกลียว)* อาร์คิมิดีสบรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์

ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสู่มักกะหฺ นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ราวๆคริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของทรงกลมท้องฟ้า

มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด *Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว)* ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดย จูเลียน คูลิดจ์ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์ฮาร์วาร์ด เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมาแบลซ ปัสกาลได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูปพาราโบลา

ใน *Method of Fluxions (วิธีการไหล)* (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์ไอแซก นิวตันพิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด ในวารสาร *Acta Eruditorum* (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า *ขั้ว* และ *แกนเชิงขั้ว* ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้

คำว่า *พิกัดเชิงขั้ว* โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจากเกรโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็นภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอร์จ พีค็อก (George Peacock) ที่ชื่อ *แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์* ของลาครัว (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816 อาแล็กซี แกลโรเป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง

สัญนิยม
-------

เส้นกริดขั้วและแถบบอกมุมในแต่ละองศา
พิกัดรัศมีมักใช้ *r* แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ *t* แสดงแทน 

มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ในการเดินเรือ, การสำรวจ, และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ฟิสิกส์

ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา

### ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว

ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน  (*r*, θ ± *n*×360°) หรือ  (−*r*, θ ± (2*n* + 1) 180°) เมื่อ *n* คือจำนวนเต็มใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0, θ) สำหรับมุม θ ใดๆ

เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช้ *r* เป็นจำนวนไม่เป็นลบ (*r* ≥ 0) และ θ ในช่วง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π])  และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ = 0

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว
---------------------------------------------------

แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน
ค่าของพิกัดเชิงขั้ว *r* และ θ สามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน *x* and *y* โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:

{\displaystyle x=r\cos \theta \,}
{\displaystyle y=r\sin \theta \,}
ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน *x* และ *y* ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว *r* โดย

{\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad } (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ
{\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{if }}x\geq 0\\-\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\\end{cases}}}
ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคาร์ทีเซียน *x* และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน *y* มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]

สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°)

θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้

{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}}
ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°)

θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้

{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}}
ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า *x* และ *y* โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน `atan2` (*y*,*x*) ในภาษาซี และ `atan` (*y*,*x*) ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง
------------------------

สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่า**สมการเชิงขั้ว** ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่ายๆโดยนิยาม *r* ตามฟังก์ชันของ θ (*r* = *f(θ)* หรือ *F(r, θ)* = *0*) เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ (*r*(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว *r*

รูปแบบสมมาตรที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว *r* ถ้า *r*(−θ) = *r*(θ) เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า *r*(π − θ) = *r*(θ) จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า *r*(θ − α°) = *r*(θ) จะสมมาตรแบบหมุน α° ทวนเข็มนาฬิกา รอบขั้ว

เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลายๆเส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่ายๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่กลีบกุหลาบ, วงก้นหอย, ริบบิ้น, ลีมาซอง และ หัวใจ

### วงกลม

วงกลมตามสมการ *r* (θ) = 1
โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่  (*r0*, φ) และรัศมี *a* คือ

{\displaystyle r^{2}-2rr\_{0}\cos(\theta -\varphi )+r\_{0}^{2}=a^{2}\,}
สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ

{\displaystyle r(\theta )=a\,}
สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี *a*

### เส้นตรง

เส้น*รัศมี* (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ

{\displaystyle \theta =\varphi \,},
เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น; φ = arctan *m* เมื่อ *m* คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี θ = φ ตั้งฉากที่จุด (*r0*, φ) มีสมการดังนี้

{\displaystyle r(\theta )={r\_{0}}\sec(\theta -\varphi )\,}
### กลีบกุหลาบ

กลีบกุหลาบตามสมการ *r*(θ) = 2 sin 4θ
กลีบกุหลาบเป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้

{\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi \_{0})\,}
สำหรับทุกๆค่าคงที่ φ0 (รวมถึงค่า 0) ถ้า *k* คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ *k* กลีบถ้า *k* คือ จำนวนคี่ หรือ 2*k* กลีบถ้า *k* คือจำนวนคู่ ถ้า *k* คือเลขเศษส่วนแต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่นๆ กลีบได้ ตัวแปร *a* จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้

### วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส

แขนมุมของวงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสตามสมการ *r*(θ) = θ เมื่อ 0 < θ < 6π
เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว

{\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}

จำนวนเชิงซ้อน
-------------

ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน *z* ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อน
ภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้สูตรของออยเลอร์
ทุกๆจำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่าแบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่าแบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน *z* สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้

{\displaystyle z=x+iy\,}
เมื่อ *i* คือหน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้

{\displaystyle z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )}
และลดรูปเป็น

{\displaystyle z=re^{i\theta }\,}
เมื่อ *e* คือตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์ (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับการคูณ, การหาร, และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

* การคูณ:

{\displaystyle r\_{0}e^{i\theta \_{0}}\cdot r\_{1}e^{i\theta \_{1}}=r\_{0}r\_{1}e^{i(\theta \_{0}+\theta \_{1})}\,}
* การหาร:

{\displaystyle {\frac {r\_{0}e^{i\theta \_{0}}}{r\_{1}e^{i\theta \_{1}}}}={\frac {r\_{0}}{r\_{1}}}e^{i(\theta \_{0}-\theta \_{1})}\,}
* การยกกำลัง (สูตรของเดอ มัวฟ์):

{\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,}

แคลคูลัส
--------

แคลคูลัสสามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้

พิกัดมุม *θ* ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส

### แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ให้ *x* = *r* cos(*θ*) และ *y* = *r* sin(*θ*) ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน *u*(*x*,*y*) ตามสมการ

{\displaystyle r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial r}}+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial r}},}
{\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}={\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial \theta }}+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial \theta }},}
หรือ

{\displaystyle r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}\cos(\theta )+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}\sin(\theta )=x{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+y{\tfrac {\partial u}{\partial y}},}
{\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\tfrac {\partial u}{\partial x}}r\sin(\theta )+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}r\cos(\theta )=-y{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+x{\tfrac {\partial u}{\partial y}}}
เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:

{\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}}
หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว *r*(θ) ในทุกๆจุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบสมการอิงตัวแปรเสริม

{\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \,}
{\displaystyle y=r(\theta )\sin \theta \,}
ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ

{\displaystyle {\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,}
{\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \,}
หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (*r*, *r*(θ)):

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}}
### แคลคูลัสเวกเตอร์

แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ {\displaystyle \mathbf {r} } เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (*r*cos(θ) *r*sin(θ)), *r* และ θ ขึ้นกับเวลา *t*

ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\theta ),\sin(\theta ))}
ในทิศทางของ **r** และ

{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\sin(\theta ),\cos(\theta ))}
ที่มุมฉากถึง **r** อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}
{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\quad {\dot {\overbrace {r^{2}{\dot {\theta }}} }}\quad {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}

การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก
-----------------------------------

ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก

การประยุกต์
-----------

ดูเพิ่ม
-------

* ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

อ้างอิง
-------

1. ↑  Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason (บ.ก.). *Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis*. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
2. ↑  Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2011-03-20. สืบค้นเมื่อ 2006-09-10.
3. ↑  T. Koetsier, L. Bergmans (2005), *Mathematics and the Divine*, Elsevier, p. 169, ISBN 0444503285
4. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews.
5. ↑  David A. King (1996), "Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping", in Roshdi Rashed (ed.), *Encyclopedia of the History of Arabic Science*, Vol. 1, pp. 128–184 [153], Routledge, London and New York
6. 1 2  Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". *American Mathematical Monthly*. **59**: 78–85. doi:10.2307/2307104.
7. ↑  Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". *American Mathematical Monthly*. **56**: 73–78. doi:10.2307/2306162.
8. ↑  Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 1999-10-03. สืบค้นเมื่อ 2006-09-10.
9. ↑  Smith, David Eugene (1925). *History of Mathematics, Vol II*. Boston: Ginn and Co. p. 324.
10. ↑  Serway, Raymond A.; Jewett, Jr.; John W. (2005). *Principles of Physics*. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.
11. ↑  "Polar Coordinates and Graphing" (PDF). 2006-04-13. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2012-02-15. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22.
12. ↑  Lee, Theodore; David Cohen; David Sklar (2005). *Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry* (4th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0534402305.
13. ↑  Stewart, Ian; David Tall (1983). *Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)*. Cambridge University Press. ISBN 0521287634.
14. ↑  Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). *The Student's Introduction to Mathematica*. Cambridge University Press. ISBN 0521594618.
15. ↑  Claeys, Johan. "Polar coordinates". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2000-03-02. สืบค้นเมื่อ 2006-05-25.
16. ↑  Smith, Julius O. (2003). "Euler's Identity". *Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)*. W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2006-09-15. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22.
17. ↑  Husch, Lawrence S. "Areas Bounded by Polar Curves". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2000-03-01. สืบค้นเมื่อ 2006-11-25.
18. ↑  Lawrence S. Husch. "Tangent Lines to Polar Graphs". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2019-11-21. สืบค้นเมื่อ 2006-11-25.