ในทางเรขาคณิต **รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน** คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สมบัติ
------

* ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
* ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
* มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
* มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180°)
* พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการแบ่งด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น
* พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ยังเท่ากับขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ของด้านที่อยู่ติดกัน
* เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
* เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่พอดี
* การแปลงสัมพรรค (affine transformation) ที่ไม่ใช่ภาวะลดรูป ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกรูปหนึ่ง การแปลงสัมพรรคที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเป็นจำนวนอนันต์
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรเชิงวงกลม) ในอันดับสอง (หมุนครั้งละ 180°) และถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบสะท้อนสองแกน แสดงว่ามันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือไม่ก็รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
* เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากับ 2 (*a* + *b*) เมื่อ *a* และ *b* คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน
* ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมทั้งสอง  ดูเพิ่มที่กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ประเภท
------

* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก (rhomboid) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในไม่เป็นมุมฉาก ความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
* รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)
* รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
* รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
----------------------------------------------

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน *ABCD*
การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

{\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE} (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
{\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE} (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน *AB* และ *DC*

นอกจากนี้ ด้าน *AB* ก็ยาวเท่ากับ *DC* เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม *ABE* กับรูปสามเหลี่ยม *CDE* เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้

{\displaystyle AE=CE\,}
{\displaystyle BE=DE\,}
เนื่องจากเส้นทแยงมุม *AC* กับ *BD* ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

สูตรพื้นที่
-----------

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

{\displaystyle A\_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}
และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ

{\displaystyle A\_{\text{tri}}={\frac {1}{2}}A\times H\,}
ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &=A\_{\text{rect}}-2\times A\_{\text{tri}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}}
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ *a* และ *b* และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ

{\displaystyle {\text{Area}}=ab\sin \theta \,}
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ *a* และ *b* โดยที่ *a* ≠ *b* และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้ 

{\displaystyle {\text{Area}}={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}
### พื้นที่บนระบบพิกัด

กำหนดให้ **a** และ **b** เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}\\b\_{1}&b\_{2}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|=|a\_{1}b\_{2}-a\_{2}b\_{1}|}
กำหนดให้ **a** และ **b** เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ *n* มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&\dots &a\_{n}\\b\_{1}&b\_{2}&\dots &b\_{n}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}={\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}
กำหนดให้จุด *a*, *b*, *c* เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้

{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&1\\b\_{1}&b\_{2}&1\\c\_{1}&c\_{2}&1\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|}

อ้างอิง
-------

1. ↑  Dunn, J. A. and J. E. Pretty, "Halving a triangle", *Mathematical Gazette* 56, May 1972, p. 105.
2. ↑  Posamentier, Alfred S. and Charles T. Salkind, *Challenging Problems in Geometry*, Dover, second edition, 1996: p. 217, item 10-5.
3. ↑  Mitchell, Douglas W. "The area of a quadrilateral", *Mathematical Gazette*, July 2009.

ดูเพิ่ม
-------

* กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
* รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลักมูล

แหล่งข้อมูลอื่น
---------------


คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:  
**รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน**

* Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
* เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Parallelogram" จากแมทเวิลด์.
* Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
* Area of Parallelogram at cut-the-knot
* Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
* Definition and properties of a parallelogram with animated applet
* Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet

| * ด
* ค
* ก
รูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ |
| --- |
| รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน | ด้านขนาน **·**  ขนมเปียกปูน (ข้าวหลามตัด, ด้านเท่า) **·**  ด้านขนานมุมไม่ฉาก **·**  มุมฉาก (ผืนผ้า) **·**  จัตุรัส (ปรกติ, ด้านเท่ามุมเท่า) |
| รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ | รูปว่าว **·**  เส้นทแยงมุมตั้งฉาก **·**  คางหมู **·**  คางหมูหน้าจั่ว **·**  วงกลมล้อม **·**  วงกลมสัมผัส **·**  วงกลมล้อมและสัมผัส **·**  ด้านไม่ขนาน (ด้านไม่เท่า, ไม่ปรกติ) |
| รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ | หัวลูกศร **·**  ไขว้ (ผีเสื้อ, หูกระต่าย) **·**  เบ้ |