|  |  |
| --- | --- |
| ค.ศ. | บทความนี้อ้างอิงคริสต์ศักราช/คริสต์ทศวรรษ/คริสต์ศตวรรษ ซึ่งเป็นสาระสำคัญของเนื้อหา  |

**อสมการโคชี-ชวาร์ซ** (อังกฤษ: Cauchy–Schwarz inequality บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์  อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

ประวัติ
-------

อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859  และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885

อสมการโคชี-ชวาร์ซ
-----------------

ให้ {\displaystyle X} เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ {\displaystyle x,y\in X}

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ,}
โดยที่ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}
โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ {\displaystyle x} และ {\displaystyle y} เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต, {\displaystyle x} และ {\displaystyle y} ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี {\displaystyle \mathbb {C} } เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}\in \mathbb {C} } และ {\displaystyle y\_{1},\ldots ,y\_{n}\in \mathbb {C} } อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

{\displaystyle |x\_{1}{\bar {y\_{1}}}+\cdots +x\_{n}{\bar {y\_{n}}}|^{2}\leq (|x\_{1}|^{2}+\cdots +|x\_{n}|^{2})(|y\_{1}|^{2}+\cdots +|y\_{n}|^{2}).}
โดยที่ *x*1, ... *x**n*, and *y*1, ... *y**n* เป็นสมาชิกของเวกเตอร์ {\displaystyle x} และ {\displaystyle y}

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

{\displaystyle \left|\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}{\bar {y\_{i}}}\right|^{2}\leq \sum \_{j=1}^{n}|x\_{j}|^{2}\sum \_{k=1}^{n}|y\_{k}|^{2}.}

การพิสูจน์
----------

พิจารณา กรณี {\displaystyle y=0} จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี {\displaystyle y\neq 0}
ถ้า {\displaystyle a} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ 
จากอสมการจะได้ว่า {\displaystyle 0\leq \langle x-ay,x-ay\rangle =\langle x,x\rangle -a\langle y,x\rangle -{\bar {a}}\langle x,x\rangle +|a|^{2}\langle y,y\rangle }

พบว่าถ้าแทน {\displaystyle a} ด้วย {\displaystyle a={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}} แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง

อ้างอิง
-------

1. ↑   พัฒนี อุดมกะวานิช, ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง (Real Analysis), พ.ศ. 2545 โรงพิมพ์พิทักษ์การพิมพ์
2. ↑  J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1, Cambridge University Press (April 26, 2004), ISBN 052154677X, ISBN 978-0521546775
3. ↑  W. V.Ya. Bunyakovskii Bounjakowsky, "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finis" Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg (7), 1 (1859)
4. ↑  Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
5. ↑  The Bunyakovskii inequality is also known as the Schwarz inequality; however, Bunyakovskii published his study as early as 1859, whereas in H.A. Schwarz' work this inequality appeared as late as 1884 (without any reference to the work of Bunyakovskii)
6. ↑  วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ,ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง, สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2546 (ISBN 974-13-2533-9) หน้า 280