กราฟระบุทิศทาง
ในทฤษฎีกราฟ **กราฟระบุทิศทาง** หรือ **ไดกราฟ** คือกราฟซึ่งเส้นเชื่อมมีทิศ กล่าวคือกราฟ {\displaystyle G=(V,A)} (หรืออาจจะใช้ {\displaystyle G=(V,E)} ก็ได้) โดยที่

* เซต *V* เป็นเซตซึ่งสมาชิกคือจุดยอด หรืออาจเรียกว่าโหนด หรือปม
* เซต *A* เป็นเซตของเส้นเชื่อมมีทิศทาง ซึ่งเป็นคู่อันดับของจุดยอด สำหรับเส้นเชื่อมของกราฟระบุทิศทาง อาจเรียกว่าเส้นเชื่อมมีทิศทางหรือลูกศร (และสำหรับเซตของเส้นเชื่อม (edge) นี้ ในบางครั้งอาจใช้ *E* แทน *A*)

กราฟระบุทิศทางแตกต่างจากกราฟไม่ระบุทิศทางตรงเซตของเส้นเชื่อม ซึ่งเส้นเชื่อมของกราฟระบุทิศทางจะเป็นคู่อันดับของจุดยอด ในขณะที่เส้นเชื่อมของกราฟไม่ระบุทิศทางจะเป็นคู่ไม่อันดับของจุดยอด

เนื่องจากกราฟอาจจะเป็นกราฟอย่างง่ายหรือมัลติกราฟก็ได้ บางครั้งจึงอาจเรียกประเภทเข้าไปด้วยว่า **กราฟระบุทิศอย่างง่าย** หรือ **มัลติกราฟที่มีทิศทาง** ซึ่งสำหรับมัลติกราฟนั้น *A* จะเป็นมัลติเซตแทนที่เซต เพื่อให้สามารถมีเส้นเชื่อมมากกว่า 1 เส้นระหว่างคู่ของจุดยอดได้ อย่างไรก็ตาม มัลติกราฟจะสามารถมีวงวน (เส้นเชื่อมที่ปลายทั้งสองด้านต่อกับจุดยอดจุดเดียวกัน) ได้หรือไม่ก็ยังแตกต่างกันไปตามแต่ที่กำหนดให้

นิยามทั่วไป
-----------

เส้นเชื่อมมีทิศทาง {\displaystyle e=(x,y)} เป็นเส้นเชื่อม*จาก* {\displaystyle x} *ไป* {\displaystyle y} โดยที่ {\displaystyle y} เรียกว่า*หัว* ส่วน {\displaystyle x} เรียกว่า*หาง*ของเส้นเชื่อม นอกจากนี้ *y* นั้นถือว่าเป็น*จุดยอดข้างหลังโดยตรง* ในขณะที่ *x* ถือว่าเป็น*จุดยอดก่อนหน้าโดยตรง* สำหรับวิถีจาก *x* ไปยัง *y* จะได้ว่า *y* เป็น*จุดยอดข้างหลัง* ส่วน *x* เป็น*จุดยอดก่อนหน้า* เส้นเชื่อมมีทิศทาง {\displaystyle (y,x)} จะถูกเรียกว่าเป็นเส้นเชื่อมกลับทิศของ {\displaystyle (x,y)}

กราฟระบุทิศทาง *D* จะถูกเรียกว่า*สมมาตร* ก็ต่อเมื่อทุกๆเส้นเชื่อมนั้น มีเส้นเชื่อมกลับทิศอยู่ในกราฟด้วย ในแง่การไปถึงกันได้ กราฟระบุทิศทางที่สมมาตร D จะเทียบเท่ากับกราฟไม่ระบุทิศทาง G โดยที่เส้นเชื่อม (x,y) และ (y,x) เทียบเท่ากับเส้นเชื่อม {x,y} ดังนั้น หากเปรียบเทียบระหว่างกราฟระบุทิศทางที่สมมาตรและกราฟไม่ระบุทิศทางที่เทียบเท่ากัน จะได้ว่า |*E*| = |*A*|/2

การกำหนดทิศทาง คือการนำกราฟไม่ระบุทิศทางอย่างง่ายมากำหนดทิศทางของแต่ละเส้นเชื่อมอย่างไรก็ได้ให้กลายเป็นกราฟระบุทิศทาง กราฟที่ได้จากการกำหนดทิศทางนี้เรียกว่ากราฟกำหนดทิศทาง มีคุณสมบัติคือจะไม่มีวงวนหรือวัฏจักรขนาด 2 

กราฟระบุทิศทางถ่วงน้ำหนัก คือกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักด้วย อาจเรียกกราฟระบุทิศทางถ่วงน้ำหนักว่า*เครือข่าย*

การเก็บข้อมูลกราฟระบุทิศทางนั้น อาจทำได้โดยการใช้เมทริกซ์ประชิด ในกรณีที่กราฟเป็นกราฟเทียม (นั่นคือมีวงวนและเส้นเชื่อมขนานได้) เมทริกซ์เก็บข้อมูลจะเป็นเมทริกซ์ของตัวเลขขนาด {\displaystyle n\times n} โดย *n* คือจำนวนจุดยอดของกราฟ *aij* ซึ่ง {\displaystyle i\neq j} แสดงถึงจำนวนเส้นเชื่อมมีทิศทางจากจุดยอด *i* ไป *j* ส่วน *aii* แสดงถึงจำนวนของวงวนที่จุดยอด *i* หากเป็นกราฟอย่างง่าย จะได้ว่าเมทริกซ์ที่กล่าวมานี้จะเป็นเมทริกซ์ฐานสอง

นอกจากนี้ การเก็บข้อมูลกราฟระบุทิศทาง อาจใช้เมทริกซ์ตกกระทบก็ได้

ระดับขั้นเข้าและระดับขั้นออก
----------------------------

กราฟระบุทิศทาง แต่ละจุดยอดแสดงถึง (ระดับขั้นเข้า, ระดับขั้นออก)
สำหรับจุดยอดใดๆ *ระดับขั้น*เข้าคือจำนวนเส้นเชื่อมที่พุ่งเข้าจุดยอดนั้นๆ (จุดยอดนั้นเป็นหัวของเส้นเชื่อม) ในขณะที่*ระดับขั้นออก*คือจำนวนเส้นเชื่อมที่พุ่งออกจากจุดยอดนั้นๆ (จุดยอดนั้นเป็นหางของเส้นเชื่อม) สำหรับต้นไม้ ระดับขั้นออกคือระดับแตกกิ่ง

ระดับขั้นเข้าเขียนได้ว่า {\displaystyle \deg ^{-}(v)} ส่วนระดับขั้นออกเขียนได้ว่า {\displaystyle \deg ^{+}(v).} จุดยอดที่มี {\displaystyle \deg ^{-}(v)=0} เรียกว่า *ต้นทาง* ในขณะที่จุดยอดที่มี {\displaystyle \deg ^{+}(v)=0} เรียกว่า *ปลายทาง*

จาก*สูตรผลรวมระดับขั้น* สำหรับกราฟระบุทิศทางจะได้ว่า

{\displaystyle \sum \_{v\in V}\deg ^{+}(v)=\sum \_{v\in V}\deg ^{-}(v)=|A|}
ถ้าหากทุกๆจุดยอดนั้น {\displaystyle \deg ^{+}(v)=\deg ^{-}(v)} กราฟนี้จะเป็น*กราฟสมดุล*

ความต่อเนื่องของกราฟระบุทิศทาง
------------------------------

ดูบทความหลักที่: ความต่อเนื่อง (ทฤษฎีกราฟ)
กราฟระบุทิศทาง *G* จะเรียกว่า*กราฟต่อเนื่องแบบอ่อน* (weakly connected) หรืออาจเรียกว่า*กราฟต่อเนื่อง* (connected) ก็ต่อเมื่อนำกราฟระบุทิศทางนั้นมาเปลี่ยนเส้นเชื่อมที่มีทิศทางให้กลายเป็นเส้นเชื่อมไม่มีทิศทางให้หมด แล้วกราฟไม่ระบุทิศทางที่ได้เป็นกราฟต่อเนื่อง และกราฟระบุทิศทาง *G* จะเรียกว่า*กราฟต่อเนื่องแบบเข้ม* (strongly connected) ก็ต่อเมื่อทุกๆวิถีจาก *u* ไป *v* มีวิถีจาก *v* ไป *u* ด้วย นอกจากนี้ *ส่วนประกอบแบบเข้ม* (strongly components) คือกราฟย่อยที่มีขนาดมากที่สุดที่เป็นกราฟต่อเนื่องแบบเข้ม แนวคิดนี้นำไปสู่การแบ่งกราฟออกเป็นหลายๆส่วนโดยการหาส่วนประกอบแบบเข้มและลบออกจากกราฟเดิมไปเรื่อยๆ สุดท้ายจะได้ส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้ม (strongly connected component)

กราฟระบุทิศทางประเภทต่างๆ
-------------------------

กราฟอวัฏจักรระบุทิศทางอย่างง่าย
* กราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง (directed acyclic graph: DAG) คือ กราฟระบุทิศทาง ที่ไม่มีวัฏจักร
	+ multitrees
	+ oriented trees
	+ rooted trees
* tournament
* quiver

อ้างอิง
-------

1. ↑  Bang-Jensen & Gutin (2000). Diestel (2005), Section 1.10. Bondy & Murty (1976), Section 10.
2. ↑  Diestel (2005),
Section 1.10.
3. ↑  Satyanarayana, Bhavanari; Prasad, Kuncham Syam, *Discrete Mathematics and Graph Theory*, PHI Learning Pvt. Ltd. p. 460, ISBN 978-81-203-3842-5; Brualdi, Richard A. (2006), *Combinatorial matrix classes*, Encyclopedia of mathematics and its applications, vol. 108, Cambridge University Press, p. 51, ISBN 978-0-521-86565-4.
4. ↑  Bang-Jensen & Gutin (2000) p. 19 in the 2007 edition; p. 20 in the 2nd edition (2009).