ในคณิตศาสตร์ **ผลคูณอนันต์**ของลำดับ *a*1, *a*2, *a*3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย 

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }a\_{n}=a\_{1}a\_{2}a\_{3}...}

นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย *a*1*a*2...*an* เมื่อ *n* เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า*ลู่เข้า* เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้*ลู่ออก* โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ *an* เมื่อ *n* เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง 

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ: 

{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}...}

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}...=\prod \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}

เกณฑ์ในการลู่เข้า
-----------------

ผลคูณของจำนวนจริงบวก 

{\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }a\_{n}}

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\log(a\_{n})}

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี *an* เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้ 

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ {\displaystyle a\_{n}\geq 1}หรือเขียนเป็น {\displaystyle a\_{n}=1+p\_{n},\ p\_{n}\geq 0}จะได้อสมการ 

{\displaystyle 1+\sum \_{n=1}^{N}p\_{n}\leq \prod \_{n=1}^{N}(1+p\_{n})\leq \exp \left(\sum \_{n=1}^{N}p\_{n}\right)}

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ *p**n* ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า {\displaystyle p\_{n}\to 0}แล้ว 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\log(1+p\_{n})}{p\_{n}}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\log(1+p\_{n})}และ {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }p\_{n}}

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ 

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก {\displaystyle a\_{n}=1-q\_{n},\ 0\leq q\_{n}<1}แล้ว {\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1-q\_{n})}ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q\_{n}}ลู่เข้า 

หากอนุกรม {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\log(a\_{n})}ลู่ออกไปสู่ {\displaystyle -\infty }แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ *an* จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า**ลู่ออกไปสู่ศูนย์** 

สำหรับ {\displaystyle p\_{n}\ }ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }p\_{n}}ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ {\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }(1+p\_{n})}ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|p\_{n}|}ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม(ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์)กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }|p\_{n}|^{2}}ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน

รูปผลคูณของฟังก์ชัน
-------------------

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) *f*(*z*) ทุกฟังก์ชัน(นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า *f* มีรากอันดับ *m* ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ *u*1, *u*2, *u*3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว 

{\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u\_{n}}}\right)\exp \left\{{\frac {z}{u\_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u\_{n}}}\right)^{2}+...+{\frac {1}{\lambda \_{n}}}\left({\frac {z}{u\_{n}}}\right)^{\lambda \_{n}}\right\}}

เมื่อ *λ**n* เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ *φ(z)* เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ *λ**n* อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด *p* ที่เมื่อ '**λ'** *n* = *p* แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) *p* นี้เรียกว่า*อันดับ* (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ *p* = 0 จะได้เป็น 

{\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u\_{n}}}\right)}

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ *φ* (*z*) เป็นค่าคงที่ 

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น: 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| ขั้วอย่างง่าย (simple pole) | {\displaystyle {\frac {c}{c-z}}=\prod \_{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}} |  |
|  | {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\prod \_{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)} |  |
| ฟังก์ชัน sinc | {\displaystyle {\textrm {sinc}}(\pi z)=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} | มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ |
| ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ | {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}=z\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}} |  |
| ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส | {\displaystyle \sigma (z)=z\prod \_{\omega \in \Lambda \_{\*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}} | {\displaystyle \Lambda \_{\*}}หมายถึงแลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด |
| เครื่องหมาย q-Pochhammer | {\displaystyle (z;q)\_{\infty }=\prod \_{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})} | ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ |
| ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน | {\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod \_{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}} | แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี |
| ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ | {\displaystyle \zeta (z)=\prod \_{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-z}}}} | *p* หมายถึงลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์ |

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก *ζ* ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ *ζ* (*z*) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (*z*) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า *ζ* (*z*)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด *z* = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

ดูเพิ่ม
-------

* อนุกรมอนันต์
* เศษส่วนต่อเนื่อง
* การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

อ้างอิง
-------

1. ↑  Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). *Methods of Mathematical Physics*. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.
2. ↑  Trench, William F. (1999). "Conditional Convergence of Infinite Products" (PDF). *American Mathematical Monthly*. **106**: 646–651. สืบค้นเมื่อ December 10, 2018.
3. ↑  Knopp, Konrad (1954). *Theory and Application of Infinite Series*. London: Blackie & Son Ltd.