เว็บย่อ* /0

ในทางคณิตศาสตร์ **การหารด้วยศูนย์** หมายถึงการหารที่มีตัวหารเท่ากับ 0 ซึ่งอาจสามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} โดยที่ *a* เป็นตัวตั้ง ค่าของนิพจน์นี้จะมีความหมายหรือไม่ขึ้นอยู่กับบทตั้งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบริบท แต่โดยทั่วไปในเลขคณิตของจำนวนจริง นิพจน์ดังกล่าวไม่มีความหมาย

สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ การหารด้วยศูนย์ในจำนวนเต็มอาจทำให้โปรแกรมเกิดข้อผิดพลาดจนหยุดทำงาน หรือในกรณีของจำนวนจุดลอยตัวอาจให้ผลลัพธ์เป็นค่าพิเศษที่เรียกว่าค่าไม่ใช่จำนวน (อังกฤษ: NaN (Not a Number))

การแปลความหมายในเลขคณิตมูลฐาน
-----------------------------

การหารในระดับพื้นฐานอธิบายได้ว่า เป็นการแบ่งเซตของวัตถุออกเป็นส่วน ๆ ที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้ามีแอปเปิล 10 ผล และต้องการแบ่งให้คน 5 คนเป็นจำนวนเท่ากัน ดังนั้นแต่ละคนจะได้รับแอปเปิล {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{5}}} = 2 ผล เป็นต้น

ใช้ปัญหาเดียวกันนี้อธิบายการหารด้วยศูนย์ คือถ้ามีแอปเปิล 10 ผล แล้วจะแบ่งให้คน คนละ 0 ผล แล้วหาว่าจะสามารถแบ่งให้ "คน" ได้ทั้งหมดกี่คน การคำนวณเพื่อหาค่า {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{0}}} จะกลับกลายเป็นไม่มีความหมาย เพราะตัวปัญหาเองก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เพราะการแจกแอปเปิลให้ "คน" คนใด คนนั้นก็จะไม่ได้รับแอปเปิล (แจกให้คนละ 0 ผล) หรือสามารถแจกให้คนได้อนันต์เพราะแอปเปิลที่จะแจก ย่อมไม่มีวันหมด นี่เป็นเหตุผลที่เลขคณิตมูลฐานกำหนดให้การหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย หรือไม่นิยาม

อีกทางหนึ่งที่สามารถใช้อธิบายการหารได้นั่นคือการลบซ้ำกันไปเรื่อย ๆ ซึ่งการหารด้วยวิธีนี้จะเป็นการลบตัวตั้งด้วยตัวหารหลาย ๆ ครั้งจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร และอาจเหลือเศษจากการหารอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น การหาร 13 ด้วย 5 เราสามารถนำ 5 ไปลบออกจาก 13 จำนวน 2 ครั้ง และจะเหลือเศษเท่ากับ 3 ซึ่งสามารถสรุปเป็น {\displaystyle \textstyle {\frac {13}{5}}} = 2 เศษ 3 แต่ในกรณีที่ตัวหารเป็น 0 ถึงแม้จะลบตัวตั้งไปถึงอนันต์ครั้ง ก็ยังไม่สามารถทำให้ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวหารได้ ดังนั้นการหารด้วยศูนย์จึงไม่นิยาม

ความพยายามในอดีต
----------------

ตำรา *พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ* (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) (ค.ศ. 598 - 668) ซึ่งเป็นตำราเล่มแรกสุดที่ค้นพบ ที่กำหนดให้เลข 0 เป็นตัวเลขพิเศษ เพื่อที่จะนิยามการกระทำทางเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับ 0 โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามพรัหมคุปตะก็ประสบความล้มเหลวในความพยายามที่จะอธิบายการหารด้วยศูนย์ เพราะคำนิยามของเขาสามารถพิสูจน์ได้ง่ายและนำไปสู่ความผิดพลาด ดังข้อความที่ยกมา

*"...จำนวนบวกและลบที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์ที่หารด้วยจำนวนบวกหรือลบ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนนั้นเป็นตัวส่วน อย่างใดอย่างหนึ่ง ศูนย์ที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์..."*

ใน ค.ศ. 830 มหวิระ (Mahavira) พยายามที่จะแก้ข้อผิดพลาดของพรัหมคุปตะแต่ก็ไม่สำเร็จ ซึ่งในหนังสือ *คณิตะ สาระ สังครหะ* กล่าวไว้ว่า

*"...ตัวเลขหนึ่งๆ จะมีค่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหารด้วยศูนย์..."*

ในเวลาต่อมาภาสกะระที่ 2 (Bhāskara II) (ค.ศ. 1114 - 1185) พยายามที่จะแก้ปัญหานี้โดยการนิยามให้ {\displaystyle \textstyle {\frac {n}{0}}=\infty } ซึ่งนิยามนี้สามารถมีความเป็นไปได้ แต่ก็อาจนำไปสู่ปฏิทรรศน์หากใช้อย่างไม่ระมัดระวัง ซึ่งปฏิทรรศน์เหล่านั้นก็ยังไม่สามารถแก้ได้จวบจนถึงปัจจุบัน (ดูตัวอย่างที่หัวข้อลิมิต)

การแปลความหมายในพีชคณิต
-----------------------

สิ่งหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับในหมู่นักคณิตศาสตร์ด้วยกันว่า วิธีธรรมดาที่สุดที่จะใช้อธิบายความหมายของการหารด้วยศูนย์ คือการนิยามการหารด้วยการกระทำทางเลขคณิต กฎเกณฑ์พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งภายใต้กฎเกณฑ์ดังกล่าวการหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกนิยาม และจะต้องคงไว้อยู่อย่างนั้นในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ เพื่อให้เป็นกฎเกณฑ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในฟีลด์ เหตุผลคือการหารถูกนิยามให้เป็นอินเวิร์สของการคูณ นั่นหมายความว่า ค่าของ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จะมีค่าเท่ากับคำตอบของ *x* ในสมการ *bx* = *a* ตราบใดที่ค่านั้นยังคงมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียว นอกเหนือจากนั้นจะปล่อยให้เป็นไม่นิยาม

หากกำหนดให้ *b* = 0 ในสมการ *bx* = *a* จะสามารถเขียนเป็น 0*x* = *a* หรือ 0 = *a* ดังนั้นสมการ *bx* = *a* ในกรณีนี้จึง (1) ไม่มีคำตอบเมื่อ *a* ไม่เท่ากับ 0 และ (2) มีคำตอบของสมการเป็นค่า *x* ใดๆ เมื่อ *a* เท่ากับ 0 ในกรณีดังกล่าวไม่มีค่าใดที่เป็นหนึ่งเดียว ดังนั้น {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จึงไม่นิยาม และในทางกลับกัน นิพจน์ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จะถูกนิยามว่า *b* ต้องมีค่าไม่เท่ากับ 0 เสมอ

### เหตุผลวิบัติที่เกิดจากการหารด้วยศูนย์

เราสามารถปลอมแปลงกรณีพิเศษของการหารด้วยศูนย์ด้วยความขัดแย้งทางพีชคณิต โดยใช้การพิสูจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลว่า 1 = 2 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่า

{\displaystyle 0\times 1=0}
{\displaystyle 0\times 2=0}
ดังนั้นสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}
จากนั้นนำศูนย์ไปหารทั้งสองข้างของสมการ

{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2}
ตัดทอนผลลัพธ์สุดท้าย จะได้

{\displaystyle 1=2\,}
เหตุผลวิบัติ (fallacy) อยู่ที่การตั้งสมมติฐานที่ไม่สมบูรณ์ ว่าการหารด้วยศูนย์ทำให้ {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} เท่ากับ 1

คนทั่วไปอาจรับรู้ได้ง่ายว่าการพิสูจน์ข้างต้นนั้นไม่สมเหตุสมผล สำหรับความขัดแย้งเดียวกันนี้สามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบอื่นซึ่งทำให้ยากขึ้นต่อการชี้จุดข้อผิดพลาด ดังเช่นตัวอย่างนี้ ถ้าเปลี่ยน 1 ให้เป็น *x* แล้วค่าของ 0 จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ *x* - *x* และค่าของ 2 ก็จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ *x* + *x* จากตัวอย่างด้านบนจึงสามารถเขียนให้อยู่ในอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

{\displaystyle (x-x)x=x^{2}-x^{2}=0\,}
{\displaystyle (x-x)(x+x)=x^{2}-x^{2}=0\,}
ดังนั้น

{\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x)\,}
หารด้วย {\displaystyle x-x\,} ทั้งสองข้างของสมการ

{\displaystyle x=x+x\,}
จากนั้นหารด้วย {\displaystyle x\,} ทั้งสองข้าง จะได้

{\displaystyle 1=2\,}
### พีชคณิตนามธรรม

แนวความคิดที่ใช้กับเลขคณิตพื้นฐาน มีความคล้ายกันกับโครงสร้างเชิงพีชคณิตทั่วไป เช่นในเรื่องของริงและฟีลด์ ในฟีลด์หนึ่งๆ องค์ประกอบทุกอย่างที่ไม่เป็นศูนย์จะสามารถอินเวิร์สได้ภายใต้การคูณ ดังนั้นการหารจึงเป็นปัญหาอยู่ที่การหารด้วยศูนย์เท่านั้น เหตุผลดังกล่าวยังคงเป็นจริงในสกิวฟีลด์ (skew field) (ด้วยเหตุผลนี้จึงเรียกได้ในอีกชื่อว่า *ริงการหาร*) แต่อย่างไรก็ตาม การหารด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อาจทำให้เกิดปัญหาได้ในริงอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาริง **Z**/6**Z** ของจำนวนเต็ม mod 6 คำถามคือเราจะให้ความหมายกับนิพจน์ {\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}} ได้อย่างไร ซึ่งควรจะมีคำตอบ *x* เพียงหนึ่งเดียวสำหรับสมการ 2*x* = 2 ในจำนวนจริง แต่ 2 ไม่สามารถมีอินเวิร์สของการคูณภายใต้ริง **Z**/6**Z** และสมการนี้มีคำตอบได้สองอย่างคือ *x* = 1 และ *x* = 4 ดังนั้นนิพจน์ {\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}} จึงไม่นิยาม

ลิมิตกับการหารด้วยศูนย์
-----------------------

กราฟของฟังก์ชัน *y* = 1/*x* เมื่อ *x* มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้ว *y* จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์
เราอาจสามารถนิยาม {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} ได้โดยการพิจารณาลิมิตของ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} เมื่อ *b* มีค่าเข้าใกล้ 0

สำหรับค่า *a* ที่เป็นบวก จะได้ว่า

{\displaystyle \lim \_{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }
และสำหรับค่า *a* ที่เป็นลบ จะได้ว่า

{\displaystyle \lim \_{b\to 0^{+}}{a \over b}={-}\infty }
ดังนั้น เราอาจนิยามให้ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} มีค่าเป็น +∞ เมื่อ *a* เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น −∞ เมื่อ *a* เป็นจำนวนลบ อย่างไรก็ตามการนิยามนี้อาจทำให้เกิดความยุ่งยากด้วยเหตุผลสองประการ

1. อนันต์ที่เป็นบวกและลบไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นถ้าหากเราต้องการคงเหลือบริบทไว้ให้เป็นจำนวนจริง เราจะต้องไม่นิยามอะไรที่มีความหมายพิเศษมากไปกว่าจำนวนจริง และถ้าหากต้องการใช้นิยามดังกล่าว เราจะต้อง *ขยายเส้นจำนวนจริงออกไป*
2. การหาลิมิตทางขวาเพียงอย่างเดียวเป็นการเลือกโดยไม่มีกฎเกณฑ์ เราอาจสามารถหาลิมิตทางซ้ายและได้นิยามของ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} มีค่าเป็น −∞ เมื่อ *a* เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น +∞ เมื่อ *a* เป็นจำนวนลบ (สลับกัน) ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นโดยใช้สมการดังนี้ (สมมติว่าเส้นจำนวนจริงได้ถูกขยายออกไปถึงอนันต์แล้ว)

{\displaystyle +\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty }
ซึ่งไม่ค่อยสมเหตุสมผล กลายเป็นว่า {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} สามารถเป็นบวกและลบได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นการขยายที่ควรใช้มีเพียง *อนันต์ที่ไม่มีเครื่องหมาย* เท่านั้น
นอกเหนือไปจากนั้น นิยามของ {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} ไม่สามารถกำหนดได้โดยการหาลิมิตบนเศษส่วน เนื่องจากลิมิต

{\displaystyle \lim \_{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}}
นั้นไม่มีคำตอบ ส่วนลิมิตที่อยู่ในรูปแบบ

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}
ในกรณีที่เมื่อ *x* มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ทั้ง *f (x)*  และ *g (x)*  มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ คำตอบของลิมิตอาจจะลู่เข้าไปยังค่าใดค่าหนึ่ง หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ (โดยใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลช่วยคำนวณ) ซึ่งแนวความคิดนี้ก็ยังไม่สามารถนำไปสู่การนิยาม {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} ได้อยู่ดี (เพราะมีหลายคำตอบ)

การแปลความหมายแบบรูปนัย
-----------------------

การคำนวณแบบรูปนัย (formal calculation) เป็นตัวอย่างหนึ่งที่นำมาอธิบายการคำนวณในกฎเกณฑ์ทางเลขคณิต โดยไม่มีการพิจารณาว่าผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกนิยามไว้แล้วเป็นอย่างดีหรือไม่ ดังนั้นการกำหนดให้ {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} มีค่าเป็น ∞ เมื่อ *a* มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เป็นกฎเกณฑ์อย่างหยาบ (rule of thumb) ในบางครั้งก็อาจมีประโยชน์ ซึ่งค่าอนันต์นี้จะสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ หรือไม่มีเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับบริบทที่แวดล้อม ดังตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณแบบรูปนัย

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0}{{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {\lim \limits \_{x\to 0}{1}}{\lim \limits \_{x\to 0}{x^{2}}}}}={\frac {1}{+0}}=+\infty }
ซึ่งจะเกิดผลลัพธ์ที่ไม่น่ายอมรับแต่ก็สามารถนำไปใช้ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณแบบรูปนัยอื่นๆ สำหรับความถูกต้องตามตรรกะซึ่งตรงข้ามกับแบบรูปนัยอาจจะกล่าวเพียงว่า

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=+\infty }
(+∞ ไม่ใช่จำนวน แต่เป็นวัตถุอย่างหนึ่งที่นำแนวคิดไปสู่เส้นจำนวนจริง คล้ายกับแนวคิดที่ว่า เซตของจุดเป็นสมาชิกของการยุบขนาดมิติ (compactification) บนส่วนของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุด ในทอพอโลยี)

อ้างอิง
-------

1. ↑  "Zero". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-12-04. สืบค้นเมื่อ 2007-07-29.