**โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป** หากแบ่ง {\displaystyle \square ABCD} ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ {\displaystyle \triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD} ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง
ใน เรขาคณิต **ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม** (อังกฤษ: Japanese theorem for cyclic quadrilaterals) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle) และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม  (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิสูจน์
-------

รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์
**โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป** กำหนดให้ {\displaystyle \square ABCD} คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ {\displaystyle M\_{1},M\_{2},M\_{3},M\_{4}} เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ {\displaystyle M\_{1},M\_{2},M\_{3},M\_{4}} คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม {\displaystyle \triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD} ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า {\displaystyle \angle ACD=\angle ABD} เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ {\displaystyle \angle C=\angle B=\alpha ={\frac {AD}{2}}}
จาก {\displaystyle \triangle ACD} จะพบว่า {\displaystyle \angle AM\_{4}D=90+{\frac {\alpha }{2}}}
จาก {\displaystyle \triangle ADB} จะพบว่า {\displaystyle \angle AM\_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}}
เนื่องจาก {\displaystyle \angle AM\_{4}D=\angle AM\_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}} ดังนั้น {\displaystyle \square AM\_{1}M\_{4}D} เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว
เนื่องจาก {\displaystyle \square AM\_{1}M\_{4}D} เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า {\displaystyle \angle M\_{1}} (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ
{\displaystyle \angle ADM\_{4}=\angle {\frac {ADC}{2}}} เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม 
ในทำนองเดียวกัน {\displaystyle \square AM\_{1}M\_{2}B} เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป
เนื่องจาก {\displaystyle \square AM\_{1}M\_{2}B} เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า {\displaystyle \angle M\_{1}} (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ
{\displaystyle \angle ABM\_{2}=\angle {\frac {ABC}{2}}}  ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม {\displaystyle \angle M\_{1}}
เนื่องจาก {\displaystyle \square ABCD} เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา 
{\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180}
จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม {\displaystyle \angle M\_{1}} ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ {\displaystyle \angle ABM\_{2}+\angle ADM\_{4}=\angle {\frac {ABC}{2}}+\angle {\frac {ADC}{2}}={\frac {\angle ABC+\angle ADC}{2}}={\frac {180}{2}}=90} ซึ่งจะได้ว่ามุม {\displaystyle \angle M\_{1}} ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก
ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม {\displaystyle \angle M\_{2}}, {\displaystyle \angle M\_{3}} และ {\displaystyle \angle M\_{4}} เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน
ดังนั้นแสดงว่า {\displaystyle \square M\_{1}M\_{2}M\_{3}M\_{4}} เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า **ซตพ.**

หมายเหตุ
--------

**ก.** **^**  ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
**ข.** **^**  รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม 
**ค.** **^**  จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ 
* เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector)
* จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด

ดูเพิ่ม
-------

* Carnot's theorem
* Sangaku
* Wasan

อ้างอิง
-------

1. ↑  The Incenter of a triangle properties
2. ↑  Incenters in Cyclic Quadrilateral: What is this about? A Mathematical Droodle
3. ↑  An Old Japanese Theorem
4. ↑  พิสูจน์ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
5. ↑  "Cyclic Quadrilaterals Properties" (PDF). คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2013-04-01. สืบค้นเมื่อ 2013-04-29.
6. 1 2  Incircle Properties
7. ↑  Cyclic Quadrilateral
8. ↑  The Incircle of a triangle Properies