Ҳамаи функсияҳои тригонометрии кунҷи θ бо истифода аз доираи радиусаш воҳид ва марказаш нуқтаи *O* ба таври геометрӣ баён карда мешаванд.
Дар риёзиёт, **Функсияҳои тригонометрӣ** гуфта функсияҳои кунҷро меноманд; Онҳо барои омӯзиши секунҷаҳо, тарҳрезии ҳодисаҳои даврӣ ва бисёр татбиқоти дигар заруранд. Онҳо одатан ҳамчун нисбати ду тарафи секунҷаи росткунҷа, ки дорои кунҷест баён карда мешаванд. Инчунин, онҳоро чун дарозии порчаҳои гуногун аз давраи воҳидӣ таъриф додан мумкин аст. Таърифҳои нави функсияҳои тригонометрӣ онҳоро чун қаторҳои беохир ё ҳалҳои муодилаҳои дифференсиалии маълуме тавсиф дода, соҳаи қиматҳои онҳоро то ададҳои манфиву мусбат ва ҳатто комплексӣ муайян менамоянд. 

Дар айни замон шаш функсияи асосии тригонометриро истифода мебаранд, ки ном ва муодилаҳои вобастагии онҳо аз ҳамдигар дар ҷадвали дар поёнбуда оварда шудаанд. Хусусан, барои чаҳор функсияи охирин, ин вобастагиҳо чун *таърифи* ин функсияҳо дода шудаанд, вале шумо метавонед онҳоро ба тарзи геометрӣ ё дигар намуд тасвир кунед ва ин вобастагиҳоро бароред. Чанд функсияи дигар ҳастанд, ба монанди версинус (1 − cos θ) ва экссекант (sec θ − 1), ки пештар дар ҷадвалҳои куҳан буданд, вале дар айни замон истифода намешаванд. Вобастагиҳои бештари ин функсияҳоро дар ин ҷо хоҳед ёфт.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Функсия** | **Ихтисорот** | **Вобастагӣ** |
| **Синус** | sin | {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **Косинус** | cos | {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **Тангенс** | tan | {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}\,} |
| **Котангенс** | cot | {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}\,} |
| **Секанс** | sec | {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |
| **Косеканс** | csc(or cosec) | {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,} |

Таърих
------

Мақолаи асосӣ Таърихи функсияҳои тригонометрӣ
Калимаи ***синус*** бори аввал дар асари қадимии риёзидонони ҳинд *Сулба Сутрас* (асрҳои VIII-VI пеш аз милод) истифода шудааст. Функсияҳои тригонометриро баъдтар Ҳиппархи Никея (180-125 пеш аз милод), Птоломей, Ариабҳата (476–550), Вараҳамиҳира, Браҳмагупта, Муҳаммад ибн Мӯсо ал-Хоразмӣ, Абулвафо, Умари Хайём, Бҳаскара II, Носируддин Тӯсӣ, Ғиёс Кошӣ (асри XIV), Улуғбек (асри XIV), Региомонтанус (1464), Ретикус ва шогирди Ретикус Валентин Ото омӯхтанд. Мадҳава (c. 1400) қадамҳои авввалинро дар таҳлили функсияҳои тригонометрӣ чун қаторҳои беохир кардааст. Леонард Эйлер дар асари *Introductio in analysin infinitorum* (1748) аввалин шахсе буд, ки дар Аврупо ба таҳлили функсияҳои тригонометрӣ пардохт. Ӯ, инчунин, онҳоро чун пайдарпайиҳои беохир ва формулаҳои Эйлер тавсиф дода, ихтисороти ба ихтисороти имрӯза наздики *sin. cos. tang. cot. sec.* ва *cosec.* ҷорӣ наамуд.

Ҳамон даме ки мо нисбати якхела доштани тарафҳои секунҷаҳои монандро мефаҳмем, андеша барои он, ки дар байни дарозии тарафҳои секунҷа ва кунҷи секунҷаҳо бояд ягон вобастагие бошад, пайдо мешавад. Аз ин рӯ, барои ҳар як секунҷаи монанд нисбати (масалан) гипотенуза ва тарафи дигар як хел мемонад. Агар гипотенуза ду маротиба афзояд, тарафҳо низ ҳамин қадар меафзоянд. Ана ҳамин нисбатҳоро функсияҳои тригонометрӣ ифода мекунанд.

Таъриф бо истифодаи секунҷаи росткунҷа
--------------------------------------

 Секунҷаи росткунҷа ҳамеша дорои кунҷи 90° (π/2 радиан) мебошад, ки дар ин ҷой бо C ишора шудааст. Кунҷҳои A ва B метавонанд тағйир ёбанд. Функсияҳои тригонометрӣ муносибатҳои байни дарозии тарафҳо ва кунҷҳои дохилии секунҷаи росткунҷаро ифода мекунанд.
Барои таъриф додани функсияҳои тригонометрии кунҷи *A* ягон секунҷаи ростакунҷаи дилхоҳро интихоб кунед, ки кунҷи *A* дошта бошад:

Барои тарафҳои секунҷа аз номҳои зерин истифода мебаранд:

* *Тарафи муқобили кунҷи ростбуда ё ба тарзи дигар тарафи дарозтарини секунҷаи росткунҷаро гипотенуза* меноманд. Дар ҳолати мо бо ҳарфи **h** ишора шудааст.
* *Тарафи муқобил* ин тарафе мебошад, ки дар муқобили кунҷи интихобкардаи мо хобидааст. Дар ҳолати мо бо ҳарфи **a** ишора шудааст.
* *Тарафи ҳамсоя* аз рӯи номаш, тарафе мебошад, ки бо кунҷи интихобкардаи мо ва кунҷи рост часпидааст. Дар ҳолати мо бо ҳарфи **b** ишора шудааст..

Ҳамаи секунҷаҳо дар ҳамвории эвклидӣ гирифта шудаанд ва ҳамин тавр суммаи умумии кунҷҳои ҳар як секунҷа бояд π радиан (ё 180°) бошад; Аз ин рӯ, барои секунҷаи росткунҷа бузургии ду кунҷи ғайрирост байни қиматҳои нул ва π/2 радиан мехобад. Дар назар гиред, ки таърифҳои зерин қиматҳои функсияҳои тригонометриро танҳо барои кунҷ муайян мекунанд. Мо соҳаи қиматҳои ин функсияҳоро бо ворид кардани мафҳуми давраи воҳидӣ ва ё функсияҳои даврӣ то аргументҳои ҳақиқӣ вусъат хоҳем дод.

1) **Синуси** кунҷ гуфта нисбати дарозии тарафи муқобил ба дарозии гипотенузаро меноманд. Дар ҳолати мо

{\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.}
Дар назар гиред, ки ин нисбат аз ягон секунҷаи росткунҷаи махсус интихобшуда , ки кунҷи "А" дорад, вобаста нест, чунки ҳамаи ин секунҷаҳо монанданд.

Маҷмӯи нулҳои синус инҳо мебошанд

{\displaystyle \left\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \right\}.}
2) **Косинуси** кунҷ гуфта нисбати дарозии тарафи ба кунҷ часпидаро ба дарозии гипотенуза меноманд. Дар ҳолати мо 

{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}
Маҷмӯи нулҳои косинус инҳо мебошанд

{\displaystyle \left\{{\frac {\pi }{2}}+n\pi {\bigg |}n\in \mathbb {Z} \right\}.}
3) **Тангенси** кунҷ гуфта нисбати дарозии тарафи муқобил ба дарозии тарафи ба кунҷ часпидаро меноманд. Дар ҳолати мо 

{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}.}
Маҷмӯи нулҳои тангенс инҳо мебошанд

{\displaystyle \left\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \right\}.}
Ҳамон маҷмӯи синус аст, зеро ки

{\displaystyle \tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}.}
Се функсияи боқимонда бо истифодаи ин се функсияи дар болобуда таъриф дода мешаванд.

4) **Косеканс** csc(*A*) баръакси sin(*A*) мебошад, яъне он ба нисбати дарозии гипотенуза ба дарозии тарафи муқобил баробар аст:

{\displaystyle \csc A={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}}.
5) **Секанс** sec(*A*) баръакси cos(*A*) мебошад, яъне он ба нисбати дарозии гипотенуза ба дарозии тарафи ба кунҷ часпида баробар аст:

{\displaystyle \sec A={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}}}.
6) **Котангенс** cot(*A*) баръакси зарбии tan(*A*) буда, ба нисбати дарозии тарафи ба кунҷ часпида ба дарозии кунҷи муқобил баробар аст:

{\displaystyle \cot A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {b}{a}}}.

Таъриф бо истифодаи давраи воҳидӣ
---------------------------------

Давраи воҳидӣ
Ин шаш функсияи тригонметрӣ метавонанд бо истифода аз давраи воҳидӣ низ таъриф дода шаванд. Давраи воҳидӣ давраест, ки радиуси он дар ибтидои координатаҳо ҷойгир аст. Дар самти ҳисоби татбиқӣ давраи воҳидӣ аҳамияти кам дорад; албатта он барои аксари кунҷҳо ба секунҷаҳои росткунҷа такя мекунад. Вале таърифи давраи воҳидӣ имкон медиҳад, ки функсияҳои тригонометрӣ натанҳо қиматҳои мусбатро дар соҳаи 0 and π/2 радиан балки қиматҳои манфиро низ қабул кунанд. Вай, инчунин, тасвири умумии ҳамаи секунҷаҳои то ҳозир истифодашударо таъмин менамояд. Муодилаи давраии воҳидӣ чунин аст:

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}
Дар сурат чандин кунҷҳои маъмули бо радианҳо ченшуда дода шудаанд. Кунҷҳои мусбат ба самти муқобили гардиши ақрабаки соат ва кунҷҳои манфӣ ба самти гардиши ақрабаки соат мебошанд. 

Функсияҳои *f*(*x*) = sin(*x*) ва *f*(*x*) = cos(*x*), ки дар ҳамвории декартӣ тасвир ёфтаанд.
Вобастагии байни хати рост ва давра дар мисоли sin(x).
Барои кунҷҳои аз 2π калон ва ё аз −2π хурд, танҳо даврзаниро давом диҳед. Ҳамин тавр, синус ва косинус функсияҳои даврӣ бо даври 2π мебошанд:

{\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}
{\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}
Барои ҳама гуна кунҷи θ ва адади бутуни *k*.

Дар боло, танҳо синус ва косинус бо давраи воҳидӣ таъриф дода шуданд, аммо дигар функсияҳои тригонометриро низ бо ин усул таъриф додан мумкин аст:

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
Функсияи *f*(x) = tan(x) дар ҳамвории декартӣ.
*Ҳамаи* функсияҳои тригонометрӣ бо истифода аз давраи воҳидии марказаш *O* ба таври геометрӣ баён карда мешавванд.

Таъриф бо истифодаи қаторҳо
---------------------------

Функсияи синус (ранги кабуд) ба қимати полиноми Тейлори дараҷаи 7 (ранги бунафш) дар давра хеле наздик аст.
Бо истифода аз геометрия ва хосиятҳои лимитҳо нишон додан мумкин аст, ки ҳосилаи синус косинус буда, ҳосилаи косинус синус бо аломати манфист. (Дар ин ҷой ва умуман дар ҳисоб ҳамаи кунҷҳо бо радиан чен мешаванд. Бо истифода аз назарияи қаторҳои Тейлор метавон айниятҳои зерро барои ҳама ададҳои ҳақиқии *x* собит намуд:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
Ин айниятҳо одатан чун "таърифҳои" функсияҳои синус ва косинус қабул шудаанд.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \tan x\,} | {\displaystyle {}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {U\_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} |
|  | {\displaystyle {}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}} |
|  | {\displaystyle {}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\mbox{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}} |

ки дар ин ҷо

{\displaystyle U\_{n}\,} адади *n*-уми боло/поёнӣ,
{\displaystyle B\_{n}\,} адади *n*-уми Бернуллӣ ва
{\displaystyle E\_{n}\,} (поён) адади *n*-уми Эйлер мебошанд.
### Вобастагӣ ба функсияҳои экспонентиалӣ ва ададҳои комплексӣ

Таърифҳо бо истифодаи муодилаҳои дифференсиалӣ
----------------------------------------------

Аз таъриф бо истифодаи қаторҳо дида мешавад, ки функсияҳои синус ва косинус, мувофиқан, қисмҳои мавҳум ва ҳақиқии функсияи экспоненсиалии комплексӣ мебошанд, агар аргументи он пурра мавҳум бошад. :

{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,.}
Ин вобастагиро бори аввал Эйлер мушоҳида намудааст ва айният номи формулаи Эйлерро гирифтааст. Ҳамин тавр, функсияҳои тригонометрӣ дар таҳлили комплексӣ муҳиманд.

Таърифҳои функсияҳои тригонометрӣ барои аргументҳои комплексии *z*:

{\displaystyle \sin z\,=\,\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{iz}-e^{-iz} \over 2i}=-i\sinh \left(iz\right)}
{\displaystyle \cos z\,=\,\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{iz}+e^{-iz} \over 2}=\cosh \left(iz\right)}
where *i*2 = −1. Инчунин, барои адади пурра ҳақиқии *x*,

{\displaystyle \cos x\,=\,{\mbox{Re }}(e^{ix})}
{\displaystyle \sin x\,=\,{\mbox{Im }}(e^{ix})}
Инчунин маълум аст, ки равандҳои экспоненсиалӣ ба хосиятҳои даврӣ пайвастагии зич доранд.

Функсияҳои баръакс
------------------

Мақолаи асосӣ: Функсияҳои баръакси тригонометрӣ

Функсияҳои тригонометрии баръакси асосӣ инҳоянд:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin(x)&{\mbox{if}}&x=\sin(y)\\\\{\mbox{for}}&0\leq y<\pi ,&y=\arccos(x)&{\mbox{if}}&x=\cos(y)\\\\{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan(x)&{\mbox{if}}&x=\tan(y)\\\\{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc}(x)&{\mbox{if}}&x=\csc(y)\\\\{\mbox{for}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec}(x)&{\mbox{if}}&x=\sec(y)\\\\{\mbox{for}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot}(x)&{\mbox{if}}&x=\cot(y)\end{matrix}}}
Барои функсияҳои тригонометрии баръакс ихтисороти намуди sin−1 ва cos−1 барои арксинус ва арккосинус баъзан истифода мешаванд.

Ба монанди синус ва косинус функсияҳои тригонометрии баръаксро низ бо воситаи қаторҳои беохир таъриф додан мумкин аст. Масалан,

{\displaystyle \arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
Ин функсияҳо, инчунин, бо исботи он ки он онҳо зиддиҳосилаи диагр функсияҳо мебошанд, таъриф дода мешаванд. Масалан, арксинусро бо истифодаи ин интеграл навиштан мумкин аст:

{\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1}
Бо истифода аз логарифми ададҳои комплексӣ, ҳамаи ин функсияҳоро барои аргументҳои комплексӣ тавсиф додан мумкин аст:

{\displaystyle \arcsin(z)=-i\log \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
{\displaystyle \arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}
{\displaystyle \arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}

Адабиёт
-------

* Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, Dover, New York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
* Boyer, Carl B. *A History of Mathematics*, John Wiley & Sons, Inc. 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
* Joseph, George G. *The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics*, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
* Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," *IEEE Trans. Computers* **45** (3), 328-339 (1996).
* Maor, Eli, *Trigonometric Delights Бойгонӣ шудааст 4 апрели 2004  сол.*, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Нигаред инчунин
---------------

* Функсияҳои ҳиперболӣ
* Теоремаи Пифагор
* Арккосинус
* Пи

Пайвандҳо
---------

* nanoSouffle Online Grapher Бойгонӣ шудааст 23 июли 2013  сол. - Extensible features for graphing functions... works in just about every browser, and JavaScript is simply a plus for real-time updates, and not a requirement.
* Sine and cosine function with an implementation in Rexx.
* Trigonomic Functions(пайванди дастнорас) - An interactive sketch showing the trigonometric functions in terms of the unit circle. (Requires Java.)
* A chart of trigonometric functions and their values in respect to angles, in both degrees and radians(пайванди дастнорас)
* An excellent Flash animation for learning the unit circle