Δ*ABC*-ன் உள்வட்டம் (நீலம்), உள்மையம் (நீலம்-**I** ), கெர்கோனின் தொடுமுக்கோணம் (சிவப்பு- Δ*T**a**T**b**T**c*) மற்றும் கெர்கோன் புள்ளி (பச்சை-Ge)
ஒரு முக்கோணத்தின் **உட்தொடு முக்கோணம்** அல்லது **தொடு முக்கோணம்** (*Intouch triangle* or *contact triangle*) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமானது அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் மூன்று புள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் ஆகும். உட்தொடு முக்கோணமானது **கெர்கோன் முக்கோணம்** ( Gergonne triangle) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle \triangle ABC} -ன் உள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள்: 

*TA* , உச்சி *A* -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி;
*TB* , உச்சி *B* -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி
*TC* , உச்சி *C* -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி
இம் மூன்று தொடுபுள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் {\displaystyle \triangle T\_{A}T\_{B}T\_{C}} உட்தொடு முக்கோணமாகும். {\displaystyle \triangle ABC}-ன் உள்வட்டமானது {\displaystyle \triangle }*TATBTC* -க்கு சுற்றுவட்டமாக இருக்கும்.

{\displaystyle \triangle ABC} -ன் பக்கங்கள் {\displaystyle \ BC,} {\displaystyle \ CA,} {\displaystyle \ AB,} -க்கு வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம், வெளித்தொடு முக்கோணம் ஆகும். {\displaystyle \triangle ABC} -ன் உட்கோண இருசமவெட்டிகளானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணம், **உள்மைய முக்கோணம்** (incentral triangle) எனப்படும்.

உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள்
------------------------------

உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் (Trilinear coordinates)

{\displaystyle A-{\text{vertex}}=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
{\displaystyle B-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
{\displaystyle C-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}

பக்க நீளங்கள்
-------------

மூல முக்கோணம் {\displaystyle \triangle ABC} இன் பக்கநீளங்கள் a, b, c மற்றும் கோணங்கள் A, B, C எனில் உட்தொடு முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்:

{\displaystyle a^{,}=(-a+b+c)cos(1/2A)}
{\displaystyle b^{,}=(a-b+c)cos(1/2B)}
{\displaystyle c^{,}=(a+b-c)cos(1/2C)}.

பரப்பளவு
--------

உட்தொடு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடுகள்:
{\displaystyle \Delta ^{,}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{(4abc)}}\Delta }

{\displaystyle ={\frac {2r^{2}s}{abc}}\Delta }
{\displaystyle ={\frac {\Delta ^{2}}{2Rs}}}
{\displaystyle \Delta }, r, s, R முறையேமூல முக்கோணம் {\displaystyle \triangle ABC}இன் பரப்பளவு, உள்வட்ட ஆரம், அரைச்சுற்றளவு, சுற்றுவட்ட ஆரம் ஆகும். வெளித்தொடு முக்கோணம், உட்தொடு முக்கோணம் இரண்டின் பரப்பளவும் சமமானவை.

கெர்கோன் புள்ளி
---------------

*ATA*, *BTB* மற்றும் *CTC* கோடுகள் மூன்றும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளியானது, {\displaystyle \triangle ABC}-இன் **கெர்கோன் புள்ளி** *Ge* – *X(7)* எனப்படும். {\displaystyle \triangle ABC}-இன் கெர்கோன் புள்ளியானது நாகெல் புள்ளியின் ஐசோட்டாமிக் இணையியமாகவும் உட்தொடு முக்கோணத்தின் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுப் புள்ளியாகவும் இருக்கும். மேலும் கெர்கோன் புள்ளி ஒரு முக்கோண மையமாகும்.

### கெர்கோன் புள்ளியின் ஆட்கூறுகள்

கெர்கோன் புள்ளியின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:

{\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)},
(அல்லது சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி)
{\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Dekov, Deko (2009). "Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point". *Journal of Computer-generated Euclidean Geometry* **1**: 1–14.. Archived from the original on 2010-11-05.. பார்த்த நாள்: 2015-01-14.

* "Contact Triangle." From MathWorld
* "Gergonne Point." From MathWorld