கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு **லெஜாண்டர் குறியீடு** (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.

இருபடிய எச்சம்
--------------

{\displaystyle a} என்ற எண் {\displaystyle p} என்ற எண்ணின் **இருபடிய எச்சம்** என்பதற்கு இலக்கணம்:
ஏதாவதொரு எண் {\displaystyle x} க்கு, {\displaystyle a\equiv x^{2}(modp)} என்ற சமான உறவு.
'{\displaystyle a} என்ற எண் {\displaystyle p} என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'
என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

'மாடுலோ {\displaystyle p} க்கு, {\displaystyle a} ஒரு இருபடிய எச்சம்'
என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

{\displaystyle 2\equiv 3^{2}(mod7)\therefore 2,7} இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.

லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு
-----------------------------

a, p இரண்டும் **பரஸ்பரப்பகாதனிகள்** (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}
என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது

மாடுலோ {\displaystyle p} க்கு, {\displaystyle a} ஒரு **இருபடிய எச்சம்** என்பதை {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=+1} என்றும்

மாடுலோ {\displaystyle p} க்கு, {\displaystyle a} ஒரு **இருபடிய எச்சமல்லாதது** என்பதை {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1} என்றும்

குறிகாட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு
---------------

{\displaystyle {25}^{2}=13(mod17)\therefore \left({\frac {13}{17}}\right)=+1.}

{\displaystyle x^{2}=5(mod17)} க்கு தீர்வு கிடையாது. {\displaystyle \therefore \left({\frac {5}{17}}\right)=-1.}

லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்
-----------------------------------

* {\displaystyle a\equiv b(modp),} என்றால்

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}

* {\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}
* {\displaystyle a,p} இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், {\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=+1}
* {\displaystyle a,p} பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், {\displaystyle b,p} பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,

{\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}
* {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)} = {\displaystyle (-1)^{(p-1)/2}} ={\displaystyle {\begin{cases}1&ifp\equiv 1(mod4)\\-1&ifp\equiv 3(mod4)\end{cases}}}

* + {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}}

* {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}}
* {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}\end{cases}}}
* p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

{\displaystyle \left({\frac {5}{p}}\right)={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}\end{cases}}}

இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்
----------------------------------------------------

காஸின்  **இருபடிய நேர் எதிர்மை**  இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:

p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,
{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}}

குறியீட்டின் பயன்பாடு
---------------------

எ.கா.: {\displaystyle -70,93} இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:

{\displaystyle \left({\frac {-70}{93}}\right)=\left({\frac {(-1)(7)(2)(5)}{93}}\right)}
= {\displaystyle \left({\frac {-1}{93}}\right)\left({\frac {7}{93}}\right)\left({\frac {2}{93}}\right)\left({\frac {5}{93}}\right)}

{\displaystyle =(-1)^{46}\left({\frac {93}{7}}\right)(-1)^{1081}\left({\frac {93}{5}}\right)=(-1)\times \left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3}{5}}\right)=(-1)\times (+1)(-1)=+1}

{\displaystyle \therefore -70,93} இன் இருபடிய எச்சமே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* சமானம், மாடுலோ n