இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள *a*, *b* ,*c* ஆகிய மூன்றும் மாறி *x* ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்
--------------------------

### எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்

{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ 0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L}. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:

{\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }x\_{n}=\lim \_{n\to \infty }\left(\sup \_{m\geq n}x\_{m}\right)}
ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }x\_{n}=\lim \_{n\to \infty }\left(\inf \_{m\geq n}x\_{m}\right)}.
சார்பின் தொடர்ச்சி:

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=f(c)}.
> 
> 

 என்பது உண்மையெனில் சார்பு {\displaystyle f(x)} ஆனது *c* புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
### அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

{\displaystyle {\text{If }}\lim \_{x\to c}f(x)=L{\text{ then:}}}

{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,af(x)=aL}
{\displaystyle L\not =0} எனில், {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer, and if }}n{\text{ is even, then }}L>0}
பொதுவாக, *L* இல் *g(x)* தொடர்ச்சியானதாகவும் {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L} எனவும் இருந்தால்:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}
### அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்

{\displaystyle {\text{If }}\lim \_{x\to c}f(x)=L\_{1}{\text{ and }}\lim \_{x\to c}g(x)=L\_{2}{\text{ then:}}}

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L\_{1}\pm L\_{2}}
> 
> 
> {\displaystyle \lim \_{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L\_{1}\cdot L\_{2}}
> 
> 
> {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L\_{1}}{L\_{2}}}\qquad {\text{ if }}L\_{2}\neq 0}
> 
> 

### வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்

இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது {\displaystyle \Delta x} அல்லது {\displaystyle \delta x} எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

{\displaystyle x} இல், {\displaystyle f(x)} வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்: 

{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}.
இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,

> {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).
> 
> 

> {\displaystyle \lim \_{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).
> 
> 

{\displaystyle \lim \_{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
{\displaystyle f(x),} {\displaystyle g(x)} இரண்டும் *c* ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=\lim \_{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty } எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
> 
> 

### சமனிலிகள்

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} ஆகவும், {\displaystyle f(x),} {\displaystyle g(x)} இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)\leq \lim \_{x\to c}g(x)}
> 
> 

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) {\displaystyle {\text{If }}\lim \_{x\to c}f(x)=\lim \_{x\to c}h(x)=L} ஆகவும், {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)} ஆகவும் இருந்தால்:

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=L}. 
> 
> 

f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் *xa* வடிவச் சார்புகளும்
----------------------------------------------

{\displaystyle \lim \_{x\to c}a=a}
### x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to c}x=c}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}(ax+b)=ac+b}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}x^{n}=c^{n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}
பொதுவாக {\displaystyle p(x)} ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

> {\displaystyle \lim \_{x\to c}p(x)=p(c)}
> 
> 

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

### *xa* வடிவச் சார்புகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to c}x^{a}=c^{a}.} குறிப்பாக:
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}. குறிப்பாக:
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x^{1/a}=\lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim \_{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }ax^{-1}=\lim \_{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}

அடுக்கேற்றச் சார்புகள்
----------------------

### *ag(x)* வடிவச் சார்புகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to c}e^{x}=e^{c}} ({\displaystyle e^{x}} தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim \_{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}
### *xg(x)* வடிவச் சார்புகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim \_{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}
### *f(x)g(x)* வடிவச் சார்புகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad }.
### கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}xe^{-x}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }xe^{-x}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}

மடக்கைச் சார்புகள்
------------------

### இயல் மடக்கைகள்

{\displaystyle \ln {x}} இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}\ln {x}=\ln c} குறிப்பாக,
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log x=\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x\ln x=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}
### குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்

*a* > 1 எனில்:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}x=-\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}x=\infty }
*a* < 1 எனில்:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}x=\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}x=-\infty }

முக்கோணவியல் சார்புகள்
----------------------

{\displaystyle x} ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

{\displaystyle \lim \_{x\to a}\sin x=\sin a}
{\displaystyle \lim \_{x\to a}\cos x=\cos a}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}. அல்லது பொதுவாக,
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}, (*a* ≠ 0)
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}, (*b* ≠ 0)
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty } (*n* ஒரு முழு எண்)
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \ \sin \ \ldots \sin(x\_{0})} \_{n}=0} (x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \ \cos \ \ldots \cos(x\_{0})} \_{n}=d}, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

கூட்டுத்தொகைகள்
---------------

பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும். 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty }. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma }. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்
----------------------------------

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} \_{n}=\pi }.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  "Basic Limit Laws". *math.oregonstate.edu*. 2019-07-30 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2019-07-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  "Limits Cheat Sheet - Symbolab". *www.symbolab.com* (ஆங்கிலம்). 2019-07-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
3. 1 2 3 4 5 6 7 8  "Section 2.3: Calculating Limits using the Limit Laws" (PDF).
4. 1 2 3  "Limits and Derivatives Formulas" (PDF).
5. 1 2 3 4 5 6  "Limits Theorems". *archives.math.utk.edu*. 2019-08-02 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2019-07-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. 1 2 3 4 5  "Some Special Limits". *www.sosmath.com*. 2019-07-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
7. 1 2 3 4  "SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas". *www.pioneermathematics.com*. 2019-07-31 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2019-07-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.