கணிதத்தில் *X* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு *R* ஒரு **கடப்பு உறவு** (*transitive relation*) எனில், *R* இன் கீழ் அக்கணத்திலுள்ள ஒரு உறுப்பு *a* ஆனது *b* உடன் தொடர்புள்ளதாகவும், *b* ஆனது *c* உடன் தொடர்புள்ளதாகவும் இருந்தால், *a* ஆனது *c* உடன் தொடர்பு கொண்டிருக்கும். பகுதி வரிசை உறவுகளுக்கும், சமான உறவுகளுக்கும் கடப்புத்தன்மை முக்கியமான பண்பு ஆகும்.

வரையறை
------

கணக்கோட்டின்படி, கடப்புறவின் வரையறை:

{\displaystyle \forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

"விடப் பெரியது," "குறைந்தபட்சப் பெரியது," "விடச் சிறியது," "சமம்" ஆகியவை கடப்புறவுகள்:

A > B, B > C எனில், A > C
A ≥ B, B ≥ C எனில், A ≥ C
A < B, B < C எனில், A < C
A ≤ B, B ≤ C எனில், A ≤ C
A = B, B = C எனில், A = C.
"உட்கணம்," "வகுக்கும்," என்பவையும் கடப்புறவுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

பண்புகள்
--------

### அடைவுப் பண்புகள்

* ஒரு கடப்புறவின் மறுதலையும் கடப்புறவாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

கடப்புறவு *விடப் பெரியது* என்பதன் மறுதலை *விடச் சிறியது* ஆகும். இதுவும் ஒரு கடப்பு உறவு.

* இரு கடப்புறவுகளின் வெட்டு, எப்போதும் ஒரு கடப்புறவாகவே இருக்கும்.

≥ , ≤ ஆகிய இரு கடப்புறவுகளின் வெட்டாக அமையும் உறவு *=* ஆகும். இதுவும் ஒரு கடப்புறவே.
* இரு கடப்புறவுகளின் ஒன்றிப்பும் ஒரு கடப்புறவாகும்.
* ஒரு கடப்புறவின் நிரப்பியாக அமையும் உறவு கடப்புறவாக இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக, "சமம்" ஒரு கடப்புறவு. இதன் நிரப்பியான "சமமல்ல" என்பது கடப்புறவு இல்லை. (அதிகபட்சமாக ஒரு உறுப்பு கொண்டுள்ள கணத்தில் மட்டும் இது கடப்புறவாக இருக்கும்).

### பிற பண்புகள்

எதிர்வு உறவாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு கடப்பு உறவு, சமச்சீர்மையற்றதாக இருக்க முடியும்.

கடப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
--------------------------

ஒரு முடிவுறு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய கடப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடக்கூடிய பொது வாய்ப்பாடுகள் இல்லை (OEIS-இல் வரிசை A006905)
. எனினும், எதிர்வு-சமச்சீர்-கடப்பு உறவுகள் (சமான உறவுகள்) – (OEIS-இல் வரிசை A000110)
, சமச்சீர்-கடப்பு உறவுகள் சமச்சீர்-கடப்பு-எதிர்சமச்சீர் உறவுகள் முழு-கடப்பு-எதிர்சமச்சீர் உறவுகள் ஆகியவற்றின் எண்ணிக்கையைக் காணும் வாய்ப்பாடு உள்ளது.

| பல்வேறு *n*-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை |
| --- |
| *n* | அனைத்தும் | கடப்பு | எதிர்வு | முன்வரிசை உறவு | பகுதி வரிசை உறவு | முழு முன்வரிசை உறவு | முழு வரிசை உறவு | சமான உறவு |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
| 4 | 65536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
| OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). *Transitive Closures of Binary Relations I*. Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. பக். 1. Archived from the original on 2013-11-02.. பார்த்த நாள்: 2015-09-29.  Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
2. ↑  Steven R. Finch, "Transitive relations, topologies and partial orders" பரணிடப்பட்டது 2007-06-28 at the வந்தவழி இயந்திரம், 2003.
3. ↑  Götz Pfeiffer, "Counting Transitive Relations", *Journal of Integer Sequences*, Vol. 7 (2004), Article 04.3.2.
4. ↑  Gunnar Brinkmann and Brendan D. McKay,"Counting unlabelled topologies and transitive relations"

உசாத்துணை
---------

* Ralph P. Grimaldi, *Discrete and Combinatorial Mathematics*, ISBN 0-201-19912-2.
* Gunther Schmidt, 2010. *Relational Mathematics*. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Transitivity", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* Transitivity in Action at cut-the-knot