நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் இரண்டிலும் *n*, *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட **ஈருறுப்பு பரவல்** (*binomial distribution*) ஒரு தனிநிலை நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். *n* - ஆனது சார்பற்ற, "வெற்றி" அல்லது "தோல்வி" என்ற இரு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட, சார்பற்ற, தொடர்ச்சியான பெர்னௌலி முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையையும், *p* ஆனது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கும் (தோல்வியின் நிகழ்தகவு ({\displaystyle q=1-p})). *n* = 1, எனில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெர்னௌலியின் பரவல் எனப்படும். புள்ளியியல் பொருளுண்மையின் ஈருறுப்புச் சோதனைக்கு ஈருறுப்புப் பரவலே அடிப்படையானதாகும்
இந்தப் பரவல் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னெளலியால் கண்டறியப்பட்டது. பெர்னௌலி *p* = *r*/(*r* + *s*) (*p* - வெற்றியின் நிகழ்தகவு; *r* , *s* இரண்டும் நேர்ம முழுஎண்கள்) எனவும் பிலைசு பாஸ்கல் *p* = 1/2 எனவும் எடுத்துக்கொண்டனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* ஒரு சீரான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 10 மற்றும்*p* = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

* ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 3 மற்றும் *p* = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

வரையறைகள்
---------

### நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

சமவாய்ப்பு மாறி *K* இன் *n* மற்றும் *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

*K* ~ B(*n* , *p*)
ஈருறுப்புப் பரவலில், *n* சார்பற்ற முயற்சிகளில் சரியாக *k* வெற்றிகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் (நிகழ்தகவுப் பொருண்மச் சார்பு) தரப்படுகிறது:

{\displaystyle \Pr(K=k)=f(k;n,p)}
{\displaystyle \Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},} *k* = 0, 1, 2, ... *n*
இதிலுள்ள

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} என்பது ஈருறுப்புக் குணகமாதலால் இப்பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலெனப்படுகிறது.
ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை *n* /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. ஏனெனில் *k* > *n* /2 ஆக இருக்கும்போது, நிகழ்தகவுகள் முன்னவற்றின் நிரப்பிகளாக இருக்கும்.

{\displaystyle f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!}
### எடுத்துக்காட்டு

சுண்டப்பட்ட நாணயம் சமச்சீரானதாக இல்லமால், தலை விழுவதற்கான (வெற்றி) நிகழ்தகவு 0.3 எனில், 6 நாணயச் சுண்டல்களில் சரியாக 4 தலைகள் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு:

{\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}
### குவிப் பரவல் சார்பு

குவிப் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum \_{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.}
{\displaystyle \lfloor x\rfloor } என்பது *x* க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

பண்புகள்
--------

### சராசரியும் பரவற்படியும்

*X* ~ *B*(*n*, *p*); அதாவது சமவாய்ப்பு மாறி *X* ஆனது, *n* முயற்சிகளையும் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு *p* ஆகவும் கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில்,
பரவலின் சாராசரியின் மதிப்பு (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு)
{\displaystyle {\bar {X}}=\operatorname {E} [X]=np.}
ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறியும் p ஐ எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகக் கொண்ட, n முற்றொத்த பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சமவாய்ப்பு மாறி X இருக்கும். அதாவது, {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} என்பவை முற்றொத்த, சாராத பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகள்; அவை ஒவ்வொன்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும் p எனில்:

{\displaystyle X=X\_{1}+\cdots +X\_{n}}
{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X\_{1}+\cdots +X\_{n}]=\operatorname {E} [X\_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X\_{n}]=p+\cdots +p=np.}
பரவற்படி
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}
### விலக்கப் பெருக்குத் தொகை

சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள் இருவகைப்படும்.

* ஆதியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்
* சராசரியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகை அல்லது மைய விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்

ஆதியைப் பொறுத்த முதல் இரு விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}
பொதுவான வரையறை:

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum \_{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}
இதில், {\displaystyle \textstyle \left\{{c \atop k}\right\}} இசுடர்லிங் உட்கண எண்கள்; {\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)} என்பது n இன்{\displaystyle k} ஆவது வீழும் தொடர்பெருக்கம்.

  

மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:

வரையறை
{\displaystyle \mu \_{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}
முதல் 6 மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \_{1}&=0,\\\mu \_{2}&=np(1-p),\\\mu \_{3}&=np(1-p)(1-2p),\\\mu \_{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\\mu \_{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\\mu \_{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).\end{aligned}}}
### முகடு

*B*(*n*, *p*) என்ற ஈருறுப்புப் பரவலின் முகடு {\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor } ஆகும். இதில் {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } ஆனது மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு.

* (*n* + 1)*p* ஒரு முழுஎண்ணாகவும், *p* இன் மதிப்பு, 0 அல்லது 1 ஆகவும் இல்லாமல் இருந்தால் ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு (*n* + 1)*p*, (*n* + 1)*p* − 1 என்ற இரு முகடுகள் இருக்கும்.
* *p* இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் முகடு முறையே 0 அல்லது *n* ஆக இருக்கும்.

இவற்றைப் பின்னுள்ளவாறு ஒன்றுபடுத்தி எழுதலாம்:

{\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}
நிறுவல்
{\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.} எனக் கொள்க.
வகை 1

{\displaystyle p=0} அல்லது {\displaystyle p=1}:
* {\displaystyle p=0} ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே {\displaystyle f(0)} க்கு சுழியமற்ற மதிப்பாக {\displaystyle f(0)=1} ஆக இருக்கும்.
* {\displaystyle p=1} எனில் {\displaystyle f(n)=1} மற்றும் {\displaystyle f(k)=0} ({\displaystyle k\neq n}) எனக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

மேற்கண்ட இரு முடிவுகளிலுமிருந்து

{\displaystyle p=0} எனில் முகடு = 0; {\displaystyle p=1} எனில் முகடு = 1 எனப் பெறப்படுகிறது.
வகை 2

{\displaystyle 0<p<1}
{\displaystyle 0<p<1} எனில்:

{\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}. இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:
{\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}
எனவே {\displaystyle (n+1)p-1} ஒரு முழுஎண்ணாக இருந்தால், {\displaystyle (n+1)p-1,} {\displaystyle (n+1)p} இரண்டும் முகடுகள். {\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} } (முழுஎண் இல்லையெனில்) {\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor } மட்டுமே முகடு.

### இடைநிலையளவு

பொதுவாக ஈருறுப்புப் பரவலின் இடைநிலையளவைக் காண்பதற்கான தனித்த வாய்பாடு எதுமில்லை. எனினும் இடைநிலையளவு குறித்து பல முடிவுகள் எட்டப்பட்டுள்ளன.

* *np* ஒரு முழு எண் எனில் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு ஆகிய மூன்றும் *np* க்குச் சமமாக இருக்கும்.
* இடைநிலையளவு *m* எனில், ⌊*np*⌋ ≤ *m* ≤ ⌈*np*⌉.
* இடைநிலையளவு *m*, சராசரியிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருக்க முடியாது:

|*m* − *np*| ≤ min{ ln 2, max{*p*, 1 − *p*} }.
* |*m* − *np*| ≤ min{*p*, 1 − *p*} (*p* = 1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில், இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது; *m* = முழுமை(*np*)
* *p* ஒரு விகிதமுறு எண் (*p* = 1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில் இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது.
* *p* = 1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் எனில், 1/2(*n* − 1) ≤ *m* ≤ 1/2(*n* + 1) என்ற இடைவெளியிலமைந்த எந்தவொரு எண் *m* உம் இடைநிலையளவாக இருக்கும்.
* *p* = 1/2 மற்றும் *n* இரட்டையெண் எனில், *m* = *n*/2 என்பது முகட்டின் தனித்த மதிப்பாகும்.

தொடர்புள்ள பிற பரவல்கள்
-----------------------

### ஈருறுப்புப் பரவல்களின் கூட்டுத்தொகை

*X* ~ B(*n*, *p*), *Y* ~ B(*m*, *p*) இரண்டும் சார்பற்ற ஆனால் சம நிகழ்தகவு *p* உடைய இரு ஈருறுப்புப் பரவல்கள் எனில், *X* + *Y* என்ற சமவாய்ப்பு மாறியும் அதே நிகழ்தகவுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்: *Z=X+Y* ~ B(*n+m*, *p*):

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum \_{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}
ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் *X* ~ B(*n*, *p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறியை, *n* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலாகக் கொள்ளமுடியும். *X* ~ B(*n*, *p*), *Y* ~ B(*m*, *p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதல் *n* + *m* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். அதாவது *Z=X+Y* ~ B(*n+m*, *p*). 

*X* , *Y* இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவைக் (*p*) கொண்டிருக்காவிட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைப் பரவலின் பரவற்படியானது, {\displaystyle B(n+m,{\bar {p}}).\,} இன் பரவற்படியைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

### பெர்னௌலி பரவல்

பெர்னௌலி பரவல் என்பது *n* = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, *X* ~ B(1, *p*) என எழுதப்படுகிறது

### பாய்ஸான் பரவல்

ஈருறுப்பு பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் பெறப்படுகிறது. *np* பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை *n* முடிவிலியை நோக்கியும் ஒவ்வொரு முயற்சியின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு *p* இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கியும் செல்லும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் அமைகிறது.

மேற்குறிப்புகள்
---------------

1. Westland, J. Christopher (2020). *Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession*. Chicago, IL, USA: Springer. பக். 53. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-030-49091-1.
2. ↑  Westland, J. Christopher (2020). *Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession*. Chicago, IL, USA: Springer. பக். 53. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-030-49091-1.
3. ↑  See Proof Wiki
4. ↑  Knoblauch, Andreas (2008), "Closed-Form Expressions for the Moments of the Binomial Probability Distribution", *SIAM Journal on Applied Mathematics*, **69** (1): 197–204, doi:10.1137/070700024, JSTOR 40233780
5. ↑  Nguyen, Duy (2021), "A probabilistic approach to the moments of binomial random variables and application", *The American Statistician*, **75** (1): 101–103, doi:10.1080/00031305.2019.1679257 Unknown parameter `|s2cid=` ignored (உதவி)
6. ↑  See also Nicolas, André (January 7, 2019). "Finding mode in Binomial distribution". *Stack Exchange*.
7. ↑  Neumann, P. (1966). "Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung" (in de). *Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden* **19**: 29–33.
8. ↑  Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.
9. 1 2  Kaas, R.; Buhrman, J.M. (1980). "Mean, Median and Mode in Binomial Distributions". *Statistica Neerlandica* **34** (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x.
10. ↑  Hamza, K. (1995). "The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions". *Statistics & Probability Letters* **23**: 21–25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U.
11. ↑  Nowakowski, Sz. (2021). "Uniqueness of a Median of a Binomial Distribution with Rational Probability". *Advances in Mathematics: Scientific Journal* **10** (4): 1951–1958. doi:10.37418/amsj.10.4.9. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:1857-8365.
12. ↑  Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopohaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). *A Modern Introduction of Probability and Statistics* (1 ). Springer-Verlag London. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-84628-168-6. .

புற இணைப்புகள்
--------------

* கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ், <> [accessed 25 October 2006]
* பைனோமியல் ப்ராபபிலிடீஸ் ஸிம்ப்பிள் எக்ஸ்ப்ளனேஷன் பரணிடப்பட்டது 2008-02-18 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* SOCR பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் அப்லெட்
* CAUSEweb.org பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் உட்பட புள்ளியியல் கற்பிக்க பல கருத்துக்கள்
* க்ரிஸ் பௌசர் எழுதிய "பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்" வொல்ஃராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட், 2007.
* கட்-தெ-நாட்லிருந்து பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் ப்ராபர்டீஸ் அண்ட் ஜாவா ஸிமுலேஷன்
* ஸ்டேடிஸ்டிக்ஸ் டுடோரியல்: பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் பரணிடப்பட்டது 2010-03-26 at the வந்தவழி இயந்திரம்