இயற்கணிதத்தில் **விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்** அல்லது ***p*/*q* தேற்றம்** (*rational root theorem* , *rational zero theorem*, p*/*q *theorem*) 

{\displaystyle a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{0}=0,} ({\displaystyle a\_{i}\in \mathbb {Z} } , {\displaystyle a\_{0},a\_{n}\neq 0}) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளை **விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்** அல்லது ***p*/*q* தேற்றம்** (*rational root theorem* , *rational zero theorem*, p*/*q *theorem*
{\displaystyle a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{0}=0} ({\displaystyle a\_{i}\in \mathbb {Z} } , {\displaystyle a\_{0},a\_{n}\neq 0} பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
தேற்றத்தின் கூற்று:
மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள் *x* = *p⁄q* ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது *p* , *q* இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள்) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:

* மாறிலி உறுப்பு *a*0 இன் முழுவெண் வகுத்தியாக *p* இருக்கும்.
* முதன்மைக் கெழு *an* இன் முழுவெண் வகுத்தியாக *q* இருக்கும்.

பயன்பாடு
--------

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம் *x* = *r* கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம் (*x* – *r*) காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.

### முப்படிச் சமன்பாடு

முப்படிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} (கெழுக்கள் முழு எண்கள்)
இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு *r* என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், (*x* – *r*) காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை இருபடி வாய்பாடு கொண்டு காணலாம்.

நிறுவல்
-------

{\displaystyle P(x)\ =\ a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}} ({\displaystyle a\_{0},\ldots a\_{n}\in \mathbb {Z} .})
இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் *p*/*q*. அதாவது *P*(*p*/*q*) = 0 (*p*, *q* இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள், *p*, *q* ∈ **ℤ**) எனில்:

{\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a\_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a\_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a\_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a\_{0}=0.}
இருபுறமும் *q**n* ஆல் பெருக்க:

{\displaystyle a\_{n}p^{n}+a\_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a\_{1}pq^{n-1}+a\_{0}q^{n}=0.}
* *a*0 உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி pயை வெளியிலெடுக்க:

{\displaystyle p\left(a\_{n}p^{n-1}+a\_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a\_{1}q^{n-1}\right)=-a\_{0}q^{n}.}
எனவே p ஆனது *a*0*qn* ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் p, q இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால் p ஆனது, *qn* ஐ வகுக்காது. எனவே p ஆனது மீதியுள்ள காரணி *a*0யை வகுக்கும்.

* இதேபோல *a**n* உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி qயை வெளியிலெடுக்க:

{\displaystyle q\left(a\_{n-1}p^{n-1}+a\_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a\_{0}q^{n-1}\right)=-a\_{n}p^{n}.}
மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும் q ஆனது *an*யை வகுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

எடுத்துக்காட்டு 1:

{\displaystyle P(x)=2x^{3}+x-1,}
விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:

±1/2 , ±1
ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 2:

{\displaystyle P(x)=x^{3}-7x+6}
இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6. 

இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3
இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில விகிதமுறா மூலங்களாகவும் அமையலாம்).

அடிக்குறிப்புகள்
----------------

1. ↑  Arnold, D.; Arnold, G. (1993). *Four unit mathematics*. Edward Arnold. பக். 120–121. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-340-54335-3.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: *Fundamentals of College Algebra*. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
* Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: *The historical roots of elementary mathematics*. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (கூகுள் புத்தகங்களில் *online copy*)
* Ron Larson: *Calculus: An Applied Approach*. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (கூகுள் புத்தகங்களில் *online copy*)

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem", *MathWorld*.
* *RationalRootTheorem* பரணிடப்பட்டது 2011-06-28 at the வந்தவழி இயந்திரம் at PlanetMath
* Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
* *The Rational Roots Test* at purplemath.com