கணிதத்தில் நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில் **நேரியல் சார்பின்மை**(Linear independence) யும் *நேரியல் சார்புடைமையும்* (Linear dependence) அடிப்படைக் கருத்துகள். V என்ற திசையன் வெளி யில் {\displaystyle S=\{u\_{1},u\_{2},...u\_{n}\}} என்ற திசையன்களின் கணம் நேரியல் சார்புடையது என்பதற்குப் பொருள், அவைகளில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வு என்பதே. எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle V\_{3}} இல்

{(1,0,0), (1,2,-3), (0,1,-3/2)} என்ற கணம் நேரியல் சார்புடையது. ஏனென்றால்,

(1,2,-3) = 1(1,0,0) + 2(0,1,-3/2).

S இல் எதுவுமே மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வாக இல்லையானால், அது *நேரியல் சார்பின்மை* என்ற பண்பை உடையது அல்லது *நேரியல் சார்பற்றது* எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle V\_{3}} இல்

{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} என்ற கணம் நேரியல் சார்பற்றது.

அதாவது, இதனில் எதுவும் மற்ற இரண்டின் நேரியல் சேர்வாக இருக்கமுடியாது. துல்லியமான மாதிரி நிறுவலுக்குக் கீழே பார்க்கவும்.

வரையறை
------

{\displaystyle V=V^{\mathbf {F} }} என்பது ஒரு திசையன் வெளி. அதனில் {\displaystyle S=\{u\_{1},u\_{2},...u\_{n}\}} என்பது ஒரு உட்கணம், அல்லது திசையன்களின் குழு. இக்குழு **நேரியல் சார்பின்மை உடையது** என்பதன் இலக்கணம் பின்வருமாறு:

**(\*):{\displaystyle \alpha \_{1}u\_{1}+\alpha \_{2}u\_{2}+...+\alpha \_{n}u\_{n}} சூனியத்திசையன் ஆகவேண்டுமானால் {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{n}} என்ற எல்லா அளவெண்களும் சூனியங்களாக இருக்கவேண்டும்.**

(\*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லையானால், S **நேரியல் சார்புடையது** எனப்படும்.

**குறிப்பு**: நேரியல் சார்பின்மை, நேரியல் சார்புடைமை ஆகிய பண்புகள் திசையன்களைக்கொண்ட ஒரு உட்கணம் அல்லது குழுவைப்பற்றியது. தனிப்பட்ட ஒரு திசையனின் பண்பல்ல.

**விளக்கம்**: S நேரியல் சார்புடையது என்றால் (\*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லை என்று பொருள். அதாவது, ஏதாவது ஒரு, அல்லது சில, அளவெண்கள் {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{n}} சூனியமல்லாததாகவே இருக்க,

{\displaystyle \alpha \_{1}u\_{1}+\alpha \_{2}u\_{2}+...+\alpha \_{n}u\_{n}=\mathbf {0} }

என்ற சமன்பாடும் உண்மையாக இருக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது, {\displaystyle u\_{1},u\_{2},...u\_{n}} என்ற திசையன்களில் ஏதாவதொன்று மற்ற திசையன்களின் நேரியல் சேர்வு என்பதுதான்.

உட்கணத்தின் அளாவல்
------------------

V என்ற திசையன் வெளியில் S என்ற உட்கணத்தின் **அளாவல்** (Span) என்பது S இலுள்ள உறுப்புகளின் எல்லாமுடிவுறு நேரியல் சேர்வுகளும் கொண்ட கணம். அதற்குக் குறியீடு [S]. விரித்துச்சொன்னால்,

[S] = {{\displaystyle \alpha \_{1}u\_{1}+\alpha \_{2}u\_{2}+...+\alpha \_{n}u\_{n}:\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{n}} ஏதாவது அளவெண்கள், *n* ஒரு இயல்பெண், மற்றும், {\displaystyle u\_{1},u\_{2},...u\_{n}\in S}}.

[S] ஒரு உள்வெளி. அது மட்டுமல்ல. அது **Sஐ உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி**.

n = 1: [S] = {{\displaystyle \alpha \_{1}u\_{1}:\alpha \_{1}\in \mathbf {F} }}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், {\displaystyle u\_{1}} வழியாகவும் செல்லும் நேர்கோடு.

n = 2: [S] = {{\displaystyle \alpha \_{1}u\_{1}+\alpha \_{2}u\_{2}:\alpha \_{1},\alpha \_{2}\in \mathbf {F} }}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், {\displaystyle u\_{1},u\_{2}} வழியாகவும் செல்லும் தளம்.

நேரியல் சார்பின்மையின் இதர பண்புகள்
-----------------------------------

V என்ற திசையன் வெளியில்

* {\displaystyle u=\mathbf {0} } ஆக இருந்தால், இருந்தால் தான், {\displaystyle \{u\}} நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
* இரண்டு திசையன்கள் {\displaystyle u\_{1},u\_{2}} களில் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவெண் பெருக்கலாக இருந்தால், இருந்தால் தான், {\displaystyle \{u\_{1},u\_{2}\}} நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
* n திசையன்கள் {\displaystyle u\_{1},u\_{2},...u\_{n}} களில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் அளாவலில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை நேரியல் சார்புடையதாய் இருக்கும்.
* ஒரு கணம் நேரியல் சார்பற்றதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த வெற்றற்ற உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றது.
* ஒரு கணம் நேரியல் சார்புடையதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த மேற்கணமும் நேரியல் சார்புடையது.
* {{\displaystyle u\_{1}\neq 0,u\_{2},...u\_{n}}} என்பது திசையன்களின் ஒரு வரிசையுள்ள கணமானால், அது நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், இருந்தால் தான், {\displaystyle u\_{2},u\_{3},...u\_{n}} களில் ஏதாவதொன்று ({\displaystyle u\_{k}} என்று சொல்லலாமே) அதற்கு முந்தினவைகளின், அதாவது, {\displaystyle u\_{1},u\_{2},...u\_{k-1}} களின் அளாவலில் இருக்கும். குறியீட்டில் சொன்னால் {\displaystyle u\_{k}\in [u\_{1},u\_{2},...u\_{k-1}]}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

1. {\displaystyle V\_{3}}: S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

{\displaystyle \alpha (1,0,0)+\beta (0,1,0)+\gamma (0,0,1)=\mathbf {0} =(0,0,0)} 
என்று கொண்டால், 
நமக்குக்கிடைப்பது: {\displaystyle \alpha =0,\beta =0,\gamma =0}.

ஆக, S நேரியல் **சார்பற்றது**.

2. {\displaystyle V\_{4}} : S = {A=(1,1,0,2), B=(0,1,1,2), C=(0,0,1,1), D=(1,0,0,1)}

{\displaystyle \alpha (1,1,0,2)+\beta (0,1,1,2)+\gamma (0,0,1,1)+\delta (1,0,0,1)=(0,0,0,0)}

{\displaystyle \alpha =1,\beta =-1,\gamma =1,\delta =-1} இதை சரியாக்குகிறது.

ஆக, S நேரியல் **சார்புடையது**. இதை உறுதிப்படுத்தும் வழியில் ஏதாவதொன்றை மற்றவைகளின் சேர்வாகச்சொல்லலாம்:

(1,0,0,1) = 1(1,1,0,2) -1(0,1,1,2) +1(0,0,1,1)

இதற்கு வடிவியற்பொருள் குறிப்பிடத்தக்கது: D என்ற புள்ளி A, B, C, ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் ஆக்கப்பட்ட தளத்தில் இருக்கிறது.

அணிக்கோட்பாட்டிலிருந்து ஒரு தேற்றம்
-----------------------------------

பார்க்கவும்: அணிகளின் அளவை

**{\displaystyle {V\_{n}}^{\mathbf {R} }} இலிருந்து m திசையன்கள் எடுத்து அவைகளை ஒரு {\displaystyle n\times m} அணி M இன் நிரல் திசையன்களாகக்கொண்டு, அவ்வணியைக் குறுவரிசைப்படி(row-reduced echelon form) ஆக்கினதும், வெற்றில்லாத நிரல்களின் எண்ணிக்கை *r* என்று கண்டால்,முதலில் எடுத்த m திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிககை *r* ஆகும்.**

இதன் கிளைத்தேற்றம்: **{\displaystyle {V\_{n}}^{\mathbf {R} }} இலிருந்து எடுக்கப்பட்ட *n* திசையன்களை நிரல் திசையன்களாகக்கொண்ட ஒரு *n*-பரிமாண சதுர அணி *M* இன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு சூனியமானால், ஆனால் தான், அவை நேரியல் சார்புடையவை**.

இதனால், எ.கா. #2 க்கு, அணிக்கோவை கருத்து மூலம் மாற்று வழி:

அணிக்கோவை {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\2&2&1&1\end{vmatrix}}}

இதைச்சுருக்கி மதிப்பு கணித்தால், கிடைப்பது 0. ஆக நான்கு நிரல் திசையன்களும் நேரியல் சார்புடையது என்பது தேற்றத்திலிருந்து அறிகிறோம்.

முடிவுறாக்கணங்களின் நேரியல் சார்பின்மை
--------------------------------------

திசையன் வெளி *V* இன் ஒரு முடிவுறாக்கணம் *S* நேரியல் சார்பற்றது என்று சொல்லப்பட வேண்டுமென்றால், அதன் ஒவ்வொரு முடிவுள்ள உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.

எ.கா.: பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வெளியான {\displaystyle {\mathcal {P}}} ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் S = {1, x, x2, x3, .... } ஒரு நேரியல் சார்பற்ற முடிவுறாக்கணம்.

{\displaystyle {\mathcal {P}}} என்ற குறியீட்டுக்கு திசையன் வெளி கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.

துணை நூல்கள்
------------

* Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
* V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9