சேவாவின் தேற்றம், வகை 1: மூன்று கோடுகளும் *ABC* முக்கோணத்துக்குள் *O* புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.
சேவாவின் தேற்றம், வகை 1: மூன்று கோடுகளும் *ABC* முக்கோணத்துக்கு வெளியே *O* புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.
**சேவாவின் தேற்றம்** (*Ceva's theorem*) யூக்ளீடிய வடிவவியலில் முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றமாகும்.

முக்கோணம் *ABC* இல் அதன் எந்தவொரு பக்கத்தின் மீதும் அமையாத புள்ளி *O* இலிருந்து அதன் உச்சிப்புள்ளிகளுக்கு வரையப்படும் கோடுகள் *AO*, *BO*, *CO* மூன்றும் அந்தந்த உச்சிகளுக்கு எதிரமைந்த முக்கோணப் பக்கங்களை முறையே வெட்டும்புள்ளிகள் முறையே *D*, *E*, *F* எனில். (கோட்டுத்துண்டுகள் *AD, BE,* *CF* முக்கோணத்தின் விழுகோடுகள் எனப்படுகின்றன.)திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களைக் கொண்டு இத்தேற்றத்தின் முடிவு:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}
*XY* கோட்டின் நிலையான திசைப்போக்குடன், *Y* இன் இடப்புறமாக *X* இருந்தால் *XY* நீளமானது நேர்மமாகவும் *Y* இன் வலப்புறமாக *X* இருந்தால் *XY* நீளமானது எதிர்ர்மமாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

*A* , *B* இரண்டுக்கும் இடையில் *F* இருந்தால், விகிதம் *AF*/*FB* = +, மாறாக இருந்தால் *AF*/*FB* = -
சற்றே மாற்றியமைக்கப்பட்ட மாறுதலைக் கூற்றும் உண்மையாக இருக்கும்:

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் *BC*, *AC* and *AB* மூன்றின் மீதும் முறையே *D*, *E*, *F* ஆகிய புள்ளிகள் : {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,} என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும் வகையில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால்:

*AD*, *BE*, *CF* மூன்றும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் அல்லது மூன்றும் இணைகோடுகளாக இருக்கும்.
1678 ஆம் ஆண்டில் தனது நூலில் (*De lineis rectis*) இத்தேற்றத்தை பதிப்பிட்ட இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் ஜியோவான்னி சேவாவின் பெயரால் அழைக்கப்பட்டாலும் இது பதினோராம் நூற்றாண்டிலேயே சரகோசா அரசரால் (Yusuf al-Mu'taman ibn Hud) நிறுவப்பட்டது. சரகோசா.

இத்தேற்றம், மெனலாசின் தேற்றத்தை ஒத்துள்ளது. இரண்டு தேற்றங்களிலுமுள்ள சமன்பாடுகள் இரண்டும் குறியளவில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரு தேற்றங்களும் ஒன்றுக்கொன்று வீழ்ப்பு இருமமாக அமைகின்றன.

நிறுவல்கள்
----------

இத்தேற்றத்துக்குப் பல நிறுவல்கள் உள்ளன.

### முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

புள்ளி *O*, முக்கோணத்துள் இருக்கும்போது தேற்ற முடிவின் இடப்பக்கத்திலுள்ள விகிதங்கள் மூன்றுமே நேர்மமாகவும், புள்ளி *O* முக்கோணத்துக்கு வெளியே இருந்தால், ஒரு விகிதம் நேர்மமாகவும் மற்ற இரு விகிதங்களும் எதிர்மமாகவும் இருக்கும். எனவே இடப்பக்க விகிதப் பெருக்கற்பலன் *O* இன் இருநிலையிலும் நேர்மமாகவே இருக்கும்.

தரப்பட்ட உயரம் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் அடிப்பக்க நீளத்துடன் விகிதசமமாக இருக்குமென்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:

{\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}
இதிலிருந்து:

{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}
(*A*, *O* இரண்டும் *BC* இன் எதிர்ப்புறங்களில் இருந்தால் - குறிக்குப் பதில் + ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.)

இதேபோல,

{\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}
இம்மூன்று சமன்பாடுகளையும் பெருக்க தேற்றத்தின் முடிவு கிடைக்கிறது:

{\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1,}
### மெனலாசின் தேற்றத்தை பயன்படுத்தி நிறுவல்

மெனலாசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் இத்தேற்றத்தை எளிதாக நிறுவலாம்.

*ACF* முக்கோணத்தில் *BOE* ஒரு குறுக்குவெட்டி. எனவே மெனலாசின் தேற்றப்படி,

{\displaystyle {\frac {AB}{BF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1}
இதேபோல *BCF* முக்கோணத்தில் *AOD* ஒரு குறுக்குவெட்டியாதலால்,

{\displaystyle {\frac {BA}{AF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}=-1.}
இவ்விரு முடிவுகளையும் ஒன்றையொன்றால் வகுக்க சேவாவின் தேற்றத்தின் முடிவு பெறப்படுகிறது:

{\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1,}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Holme, Audun (2010). *Geometry: Our Cultural Heritage*. Springer. பக். 210. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-642-14440-0. .
2. ↑  Benitez, Julio (2007). "A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry". *Journal for Geometry and Graphics* **11** (1): 39-44. .
3. ↑  Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". *Pure Geometry*. Clarendon Press. .
4. ↑  Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind (1996), *Challenging Problems in Geometry*, pages 177–180, Dover Publishing Co. second revised edition.
5. ↑  Follows Hopkins, George Irving (1902). "Art. 986". *Inductive Plane Geometry*. D.C. Heath & Co.. .

மேலதிக வாசிப்புக்கு
-------------------

* Hogendijk, J. B. (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician". *Historia Mathematica* **22**: 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Menelaus and Ceva at MathPages
* Derivations and applications of Ceva's Theorem at cut-the-knot
* Trigonometric Form of Ceva's Theorem at cut-the-knot
* Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
* Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
* *Ceva's Theorem* by Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
* Weisstein, Eric W. "Ceva's Theorem", *MathWorld*.
* Experimentally finding the centroid of a triangle with different weights at the vertices: a practical application of Ceva's theorem at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Ceva theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104