நாற்கரம் -ABCD.
வடிவவியலில் **பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு** (*Bretschneider's formula*) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு. 

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}
இங்கு *a*, *b*, *c*, *d* – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், *s* -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு, மற்றும் {\displaystyle \alpha \,}, {\displaystyle \gamma \,} -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள். எதிரெதிர்க் கோணங்கள் {\displaystyle \beta \,}, {\displaystyle \delta \,} -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =360} என்பதும் {\displaystyle cos(\theta )=cos(360-\theta )} என்பதும் உண்மை.

பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் *கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர்* இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் *கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும்* இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.

நிறுவல்
-------

நாற்கரத்தின் பரப்பை *K* எனக் குறித்தால்:

{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of}}\triangle ADB+{\text{area of}}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}2K=ad\sin \alpha +bc\sin \gamma .\end{aligned}}}
வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

{\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,} ------(1)
கொசைன் விதிப்படி:

{\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma ,\,}

{\displaystyle {\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}}=ad\cos \alpha -bc\cos \gamma ,\,}

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,}----------(2)
(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:

{\displaystyle 4K^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot (2\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)-1).\,}
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}+8abcd-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}
{\displaystyle 16K^{2}=(2(ad)+2(bc))^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}
இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}
அரைச்சுற்றளவு:

{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},} -ஐப் பயன்படுத்த:
{\displaystyle (b+c+d-a)=2(s-a)}
{\displaystyle (a+c+d-b)=2(s-b)}
{\displaystyle (a+b+d-c)=2(s-c)}
{\displaystyle (a+b+c-d)=2(s-d)}
இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

{\displaystyle 16K^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
{\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}

தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள்
--------------------------

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula", *MathWorld*.