வெக்டர் இயற்கணிதத்தில் **திசையிலி முப்பெருக்கம்** (*scalar triple product*) என்பது தரப்பட்ட மூன்று திசையன்களில் முதலில் ஏதேனும் இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கம் கண்டுபிடித்துக் கொண்டு பின் அதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் திசையனுடன் மூன்றாவது திசையனின் புள்ளிப் பெருக்கம் காண்பதாகும்.

குறியீடு
--------

தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் **a**, **b**, **c** எனில் அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வழக்கமான குறியீடு:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}
இம்முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு ஒரு திசையிலியாக அமைவதால் இது திசையிலி முப்பெருக்கம் என அழைக்கப்படுகிறது.

இதனைப் பின்வரும் குறியீட்டிலும் எழுதலாம்.

{\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} ]}
இவ்வாறு பெட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் தரப்படுவதால் இம்முப்பெருக்கம், *பெட்டிப்பெருக்கம்* எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

இம்முப்பெருக்கத்தில் புள்ளிப் பெருக்கம் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் இரண்டும் உள்ளதால், இது *கலப்புப் பெருக்கம்* எனவும் அழைக்கப்படும்.

வடிவவியல் விளக்கம்
------------------

மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் தனிமதிப்பு அம்மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவாகும்.

### விளக்கம்

மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மம்.
திசையன்கள் **a** = (*a*1, *a*2, *a*3), **b** = (*b*1, *b*2, *b*3) மற்றும் **c** = (*c*1, *c*2, *c*3) ஆகிய மூன்றையும் ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் **a** · (**b** × **c**) -ன் தனிமதிப்பாகும்:

{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}
**b** மற்றும் **c** -இரண்டையும் இணைகரத்திண்மத்தின் அடிப்பக்க இணைகரத்தின் அடுத்துள்ள விளிம்புகளாகக் கொண்டால், குறுக்குப் பெருக்கத்தின் வடிவவியல் விளக்கத்தின்படி:

*A* = |**b**| |**c**| sin *θ* = |**b** × **c**|,
இங்கு *θ* , **b** மற்றும் **c** -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்:

*h* = |**a**| cos *α*,
இங்கு *α* , **a** மற்றும் *h* -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள உட்கோணம்.

படத்திலிருந்து கோணம் α -ன் மதிப்பு: 0° ≤ *α* < 90°.

மாறாக திசையன் **b** × **c** , **a** திசையனுடன் உருவாக்கும் கோணம் *β* , 90°-ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கலாம்:

(0° ≤ *β* ≤ 180°).
**b** × **c** , *h* -க்கு இணையாக அமைவதால்:

*β* = *α* அல்லது *β* = 180° − *α*. 

ஃ cos *α* = ±cos *β* = |cos *β*|,
*h* = |**a**| |cos *β*|.
எனவே இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு:

*V* = *Ah* = |**a**| |**b** × **c**| |cos *β*|,
திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வரையறைப்படி, மேலுள்ள கனஅளவு **a** · (**b** × **c**) -ன் தனிமதிப்பிற்குச் சமம்.

{\displaystyle V=\left|a.(b\times c)\right|.}

பண்புகள்
--------

* பின்வரும் திசையிலி முப்பெருக்கங்கள் மூன்றுமே a ,b ,c திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தைத் தரும் சமான வடிவங்களாகும்:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}
* குறுக்குப் பெருக்கல் காணும் இரு திசையன்களின் வரிசை மாற்றப்பட்டால் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் குறி எதிர்மமாக மாறிவிடும்:

{\displaystyle \mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}.
* திசையிலி முப்பெருக்கத்தை அதன் மூன்று திசையன்களை நிரையாகவோ அல்லது நிரலாகவோ கொண்ட (ஒரு அணி மற்றும் அதன் நிரல் மாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவை மதிப்புகளும் சமம்.) 3 × 3 அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பாகவும் கொள்ளலாம்:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\\\end{bmatrix}}.}
* திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியம் எனில் திசையன்கள் **a**, **b**, மற்றும் **c** மூன்றும் ஒரேதள அமைவு திசையன்கள். ஏனெனில் இம்மூன்று திசையன்களைக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவின் மதிப்பு பூச்சியம் என்றால் அத்திண்மம் தட்டையானதாக அமையும். எனவே இந்நிலையில் இம்மூன்று திசையன்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன.
{\displaystyle [\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )]\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}

வெளி இணைப்புகள்
---------------

Weisstein, Eric W. "Scalar Triple Product." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.