கணிதத்தில் **ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்** (*distance from a point to a line*) என்பது ஒரு புள்ளிக்கும் ஒரு கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும். அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்கள்
---------------------

கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:

ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:

*ax* + *by* + *c* = 0, ( *a*, *b* , *c* மெய்யெண்கள். *a* , *b* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது.)

(*x*0,*y*0) என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x\_{0},y\_{0}))={\frac {|ax\_{0}+by\_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

நிறுவல் 1 (இயற்கணித முறை)
-------------------------

தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,

தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)

இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.

இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு:

{\displaystyle {\frac {n-y}{m-x}}={\frac {b}{a}}\,}
{\displaystyle a(n-y)-b(m-x)=0,}
{\displaystyle (a(n-y)-b(m-x))^{2}=0,}
{\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}-2ab(m-x)(n-y)=0.}
{\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}=2ab(m-x)(n-y).}--------(1)
மேலும்,

{\displaystyle [a(m-x)+b(n-y)]^{2}=a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}+2ab(m-x)(n-y),}
{\displaystyle a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}-2ab(m-x)(n-y),}--------(2)
(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:

{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((m-x)^{2}+(n-y)^{2})=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=(am+bn+c)^{2}.}
{\displaystyle [(m-x)^{2}+(n-y)^{2}]={\frac {(am+bn+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}---------(3)
(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

{\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}}----------(4)
ஃ {\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

நிறுவல் 2 (வடிவவியல் முறை)
--------------------------

தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)

தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.

S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).

S -லிருந்து ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0

y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:

{\displaystyle |{\frac {c-d}{b}}|=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}
முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} ஆக இருக்கும்.

இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்: 

{\displaystyle GF=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}
இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.

ஃ {\displaystyle SG={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\,}

திசையன் அமைப்பு
---------------

திசையன்கள் மூலம் தரப்படும் விளக்கம்.
கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:

{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }
இங்கு **n** ஒரு அலகு திசையன்.

ஏதாவது ஒரு புள்ளி **p**-லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

### விளக்கம்

{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } என்பது புள்ளி **p** -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி **a** -க்கு வரையப்பட்ட திசையன்.
{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} } என்பது தரப்பட்ட கோட்டின் மீது {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } திசையனின் வீழலின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது.
அதாவது {\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
என்பது கோட்டின் மீதான {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } -ன் வீழல் திசையனைக் குறிக்கிறது.

இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத் திசையில் {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } -ன் கூறு:

{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
எனவே இத்திசையனின் அளவே **p** -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் துரமாகும்.

{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}