பித்தாகரசின் வழிநின்றவர்களின் கருத்தின்படி, கோளம் ஒரு சிறந்த வெளி வடிவம் ஆகும். மேலும் கோளமானது, யூக்ளிடிய வெளியின் தற்காலப் புரிதலுக்கு ஒரு முக்கியக் கருத்துருவாகவும் உள்ளது.
வடிவவியலில் **யூக்ளிடிய வெளி** (*Euclidean space*) என்பது முக்கியமாக இருபரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தையும், யூக்ளிடிய வடிவவியலின் முப்பரிமாண வெளியையும் உள்ளடக்கியதாகும். வடிவவியலின் இப்பிரிவு, கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் யூக்ளிடின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடிய வெளிகள் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

மரபார்ந்த கிரேக்க வடிவவியலில், யூக்ளிடிய தளமும் யூக்ளிடிய முப்பரிமாண வெளியும் குறிப்பிட்டச் சில மெய்கோட்களைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன; இவற்றின் பண்புகள் தேற்றங்களாக உய்த்தறியப்பட்டுள்ளன; வடிவவியல் வரையும்முறைகளைப் பயன்படுத்தி, விகிதமுறு எண்கள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன.

இக்காலத்தில் யூக்ளிடிய வெளியை வரையறுப்பதற்கு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையும் பகுமுறை வடிவவியல் கருத்துருக்களும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதாவது மெய்யெண்களின் தொகுப்பாக வெளியின் புள்ளிகளும், சமன்பாடுகள், சமனிலிகளால் வடிவவியல் வடிவங்களும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த அணுக்கத்தால் இயற்கணிதம், நுண்கணிதம் மூலம் வடிவவியலில் எழும் கேள்விகளுக்கு விடைகாணவும் யூக்ளிடிய வெளியை முப்பரிமாணத்திற்கும் மேற்பட்ட உயர்பரிமாணங்களுக்கு எளிதாகப் பொதுமைப்படுத்தவும் முடிகிறது.

தற்காலக் கண்ணோட்டத்தின்படி ஒவ்வொரு பரிமாணத்திற்கும் ஒரேயொரு யூக்ளிடியன் வெளி மட்டுமே உள்ளது. இது, கார்ட்டீசியன் ஆட்கூறுகளுடன் மெய் ஆள்கூற்று வெளியான **R***n* உடன் மாதிரிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு பரிமாணத்தில் இது மெய்யெண் கோடு; இருபரிமாணத்தில் காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை; உயர்பரிமாணத்தில் மூன்று அல்லது மூன்றுக்கு மேற்பட்ட ஆள்கூறுகள் கொண்ட ஆட்கூற்று வெளி ஆகும்.

முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் மூன்று ஆட்கூறுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.
யூக்ளிடியதன்மையை வலியுறுத்துவதற்காக கணிதவியலாளர்கள் n-பரிமாண வெளியை **E***n* எனவும் குறிக்கின்றனர். வெளி **R***n*, அமைவில் யூக்ளிடிய வெளிக்கு ஒத்துள்ளதால் **R***n* குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இவ்விரு அமைப்புகளும் எப்பொழுதும் வேறுபடுத்தப்படுவதில்லை. யூக்ளிடிய வெளிகள் முடிவுறு பரிமாணம் கொண்டவை.

யூக்ளிடிய அமைப்பு
-----------------

**R***n* இல் உட்பெருக்கத்தை (புள்ளிப் பெருக்கம்) வரையறுத்து அதன்மூலம் புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரங்களும், கோடுகள், திசையன்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் பெறப்படுகின்றன.

n-பரிமாண மெய்யெண் வெளியிலமைந்த **x**, **y** திசையன்களின் உட்பெருக்கம்:

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}=x\_{1}y\_{1}+x\_{2}y\_{2}+\cdots +x\_{n}y\_{n},}
இதில், **x** திசையனின் *i* வது ஆட்கூறு *x*i ; **y** திசையனின் *i* வது ஆட்கூறு *y*i;

இரு திசையன்களின் உட்பெருக்கத்தின் பலன் எப்பொழுதும் ஒரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்கும்.

### தூரம்

முதன்மைக் கட்டுரை: யூக்ளிடிய தொலைவு
**x** திசையனின் தனக்குத்தானேயான உட்பெருக்கத்தின் மதிப்பு ஒரு எதிரிலா எண்ணாகும். இந்த உட்பெருக்கத்தின் வர்க்கமூலம் காண்பதன் மூலம் **x** திசையனின் நீளம் பெறப்படுகிறது:

{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i})^{2}}}.}
இந்த நீளச் சார்பு நெறிமத்திற்குத் தேவையான பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது. **R***n* இல் இச்சார்பு *யூக்ளிடிய நெறிமம்* என அழைக்கப்படுகிறது.

**R***n* இல், தொலைவுச் சார்பு (மெட்ரிக்) நெறிமத்தைப் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}}}.}
இந்த தொலைவுச் சார்பானது யூக்ளிடிய மெட்ரிக் என அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வாய்ப்பாடு, பித்தாகரசு தேற்றத்தின் சிறப்புவகையாக உள்ளது.

முழு யூக்ளிடிய வடிவவியலையும் (புள்ளிப் பெருக்கம் உட்பட) வரையறுக்க தொலைவுச் சார்பு போதுமானது. எனவே இந்த யூக்ளிடிய அமைப்புடன் கூடிய ஒரு மெய் ஆட்கூற்று வெளியானது *யூக்ளிடிய வெளி* எனப்படுகிறது.

### கோணம்

முதன்மைக் கட்டுரை: கோணம்
திசைப்போக்குடைய தளத்தில் நேர் கோணங்களும் எதிர் கோணங்களும்
**x** , **y** திசையன்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் *θ* (0° ≤ *θ* ≤ 180°):

{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}
இதில் arccos என்பது கொசைனின் நேர்மாறுச் சார்பு. கோணத்திற்கான இந்த வாய்ப்பாடு *n* > 1 என்பதற்கு மட்டுமே பொருந்தும். *n* = 2 எனில் யூக்ளிடிய தளமாகிறது. திசைப்போக்குடைய யூக்ளிடிய தளத்தில் இரு திசையன்களுக்கிடையே உள்ள கோணத்தை மாடுலோ 1 சுற்று (2π அல்லது 360°) எண்ணாக வரையறுக்கலாம்.

**x** , **y** திசையன்கள் நேர் எண்களால் பெருக்கப்பட்டாலும் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள கோணத்தின் அளவு மாறுவதில்லை.

பொதுவாக, தூரங்கள் அனைத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியால் பெருக்கப்பட்டாலும் கோணங்களில் மாற்றம் ஏற்படாது. பரிமாணங்களற்ற அளவாகக் கோணம் கொள்ளப்படுகிறது. கோணங்களை அளவிடப் பயன்படுத்தப்படும் அலகுகள் ரேடியன்கள், பாகைகள் ஆகும்.

அடிக்குறிப்புகள்
----------------

1. ↑  On the real line (*n* = 1) any two non-zero vectors are either parallel or antiparallel depending on whether their signs match or oppose. There are no angles between 0 and 180°.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  W. W. Rouse Ball (1960) [1908]. *A Short Account of the History of Mathematics* (4th ). Dover Publications. பக். 50–62. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-20630-0. .
2. 1 2  E.D. Solomentsev (7 February 2011). "Euclidean space". *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. 1 May 2014 அன்று பார்க்கப்பட்டது.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Euclidean space", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104