{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}
**ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்** அல்லது **ஆய்லரின் நாற்கர விதி** (*Euler's quadrilateral theorem*, *Euler's law on quadrilaterals*) ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, *ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம்* (*Euler–Pythagoras theorem*) என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.

வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} இல், சுழற்சி கோட்டுருவாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.

தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும்
--------------------------

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் {\displaystyle a,b,c,d}; மூலைவிட்டங்கள் {\displaystyle e,} {\displaystyle f}; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு {\displaystyle g} எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}
நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே {\displaystyle g} கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}} (இணைகர விதி)
which is the parallelogram law.

நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}
இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}
அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.

மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும்
--------------------------------

இணைகரத்தின் ஆய்லரின் தேற்றம்
இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் {\displaystyle ABCD}. {\displaystyle ABED} ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு {\displaystyle E} புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:

{\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}\qquad \qquad (1)}
நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத C புள்ளிக்கும் {\displaystyle E} புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட {\displaystyle |CE|} தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.

{\displaystyle AC} இன் நடுப்புள்ளி {\displaystyle M} எனில்: 

{\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2\qquad \qquad (2)}.
{\displaystyle AE}, {\displaystyle BD} இரண்டும் {\displaystyle ABED} இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் {\displaystyle BD} இன் நடுப்புள்ளி N ஆனது {\displaystyle AE} இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:

{\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2\qquad \qquad (3)}
**2**, **3** இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:

{\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}.
எனவே இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி:

{\displaystyle CE}, {\displaystyle NM} இரண்டும் இணை மற்றும் {\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}.
{\displaystyle |CE|^{2}=4|NM|^{2}} என **1** இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:
{\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4|NM|^{2}} (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று)

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Geoffrey A. Kandall: *Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals*. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov. 2002), pp. 403–404 (JSTOR)
2. ↑  Lokenath Debnath: *The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute*. World Scientific, 2010, ISBN 9781848165267, pp. 105–107
3. 1 2  Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: *The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons*. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, pp. 137–139

மேற்கோள்கள்
-----------

* Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: *The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons*. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, pp. 137–139
* Lokenath Debnath: *The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute*. World Scientific, 2010, ISBN 9781848165267, pp. 105–107
* C. Edward Sandifer: *How Euler Did It*. MAA, 2007, ISBN 9780883855638, pp. 33–36
* Geoffrey A. Kandall: *Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals*. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov. 2002), pp. 403–404 (JSTOR)
* Dietmar Herrmann: *Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen*. Springer, 2013, ISBN 9783642376122, p. 418

வெளியிணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***Euler's theorem for quadrilaterals***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன. 

* Weisstein, Eric W. "Quadrilateral", *MathWorld*.