பிழிவுத் தேற்றத்தின் விளக்கம்
ஒரே எல்லையைக் கொண்ட இரு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்வரிசை அமைந்தால் அத்தொடர்வரிசையும் அதே எல்லைக்கே ஒருங்கும்.
நுண்கணிதத்தில் **பிழிவுத் தேற்றம்** (*squeeze theorem*) என்பது சார்பின் எல்லை குறித்த தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. π இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீசு மற்றும் யூடாக்சசால் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் காசால் வடிவமைக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் கூற்று
------------------

பிழிவுத் தேற்றம் முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

> 
> *a* ஐ எல்லைப் புள்ளியாகக் கொண்ட இடைவெளி *I*. இந்த இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று சார்புகள் *g*, *f*, *h* ( *a* புள்ளியைத் தவிர்த்தும் வரையறுக்கப்படலாம்). 
> 
> 
> *I* இடைவெளியில் *a* க்குச் சமமில்லாத ஒவ்வொரு *x* க்கும் 
> 
> 
> {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}
> {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)=\lim \_{x\to a}h(x)=L.} எனில்:
> {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=L.}
> 

* {\textstyle g} , {\textstyle h} ஆகிய இரு சார்புகளும் முறையே {\textstyle f} இன் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன.
* {\textstyle a} ஆனது {\textstyle I} இடைவெளியின் உட்புறப் புள்ளியாகத்தான் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. {\textstyle I} இடைவெளியின் ஓரப்புள்ளியாக (இட/வலது ஓரப்புள்ளி) {\textstyle a} இருக்குமானால் மேலுள்ள எல்லைகள் இடக்கை/வலக்கை எல்லைகளெனப்படுகின்றன.
* முடிவிலா இடைவெளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:

{\textstyle I=(0,\infty )} எனில், {\textstyle x\rightarrow \infty } என எடுத்துக்கொண்டு தேற்றத்தின் கூற்று அமைகிறது.
இத்தேற்றம் தொடர்வரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்:

{\displaystyle (a\_{n}),(c\_{n})} என்ற இரு தொடர்வரிசைகளும் {\displaystyle \ell } க்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்; {\displaystyle (b\_{n})} மற்றொரு தொடர்வரிசை என்றால் இத்தேற்றத்தின்படி:
{\displaystyle \forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N} } மற்றும் {\displaystyle a\_{n}\leqslant b\_{n}\leqslant c\_{n}} எனில் {\displaystyle (b\_{n})} தொடர்வரிசையும் {\displaystyle \ell } க்கு ஒருங்கும்.
### நிறுவல்

உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள:

{\displaystyle L=\lim \_{x\to a}g(x)\leq \liminf \_{x\to a}f(x)\leq \limsup \_{x\to a}f(x)\leq \lim \_{x\to a}h(x)=L,}
இத்தேற்றத்தை நிறுவ, {\textstyle \epsilon >0} என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் {\displaystyle |x-a|<\delta } ({\displaystyle x} இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } என இருக்கக்கூடியவாறு {\displaystyle \delta >0} என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும்.

இதனையே குறியீட்டில்

{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .} எனலாம்.
சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி, 

{\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)=L}
{\displaystyle \lim \_{x\to a}h(x)=L} ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை:
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta \_{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta \_{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).\qquad (1)}
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta \_{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta \_{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),\qquad (2)}
மேலும் {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}. எனவே

{\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}
{\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta \_{1},\delta \_{2}\right\}} எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது:

{\displaystyle |x-a|<\delta } எனில்,
{\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}
{\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon },
எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. {\displaystyle \blacksquare }

தொடர்வரிசைக்கான தேற்றக்கூற்று
-----------------------------

>  {\displaystyle \sum \_{n}a\_{n},\sum \_{n}c\_{n}} இரண்டும் ஒருங்கும் தொடர்கள். மேலும் {\displaystyle \forall n>N,a\_{n}\leqslant b\_{n}\leqslant c\_{n}} என்றவாறு {\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} } எனில், {\displaystyle \sum \_{n}b\_{n}} தொடரும் ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.
> 
> 

### நிறுவல்

{\displaystyle \sum \_{n}a\_{n},\sum \_{n}c\_{n}} இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் {\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\right)\_{n=1}^{\infty },\left(\sum \_{k=1}^{n}c\_{k}\right)\_{n=1}^{\infty }} ஆகிய இரண்டும் கோசித் தொடர்களாக இருக்கும்.

இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன:

{\displaystyle \epsilon >0} எனில்,
{\displaystyle \exists N\_{1}\in \mathbb {N} } such that {\displaystyle \forall n>m>N\_{1},\left|\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}-\sum \_{k=1}^{m}a\_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum \_{k=m+1}^{n}a\_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum \_{k=m+1}^{n}a\_{k}<\epsilon } (1)
{\displaystyle \exists N\_{2}\in \mathbb {N} } such that {\displaystyle \forall n>m>N\_{2},\left|\sum \_{k=1}^{n}c\_{k}-\sum \_{k=1}^{m}c\_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum \_{k=m+1}^{n}c\_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum \_{k=m+1}^{n}c\_{k}<\epsilon } (2).
மேலும் தேற்றத் தரவின்படி, 

{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} } {\displaystyle \forall n>N,a\_{n}\leqslant b\_{n}\leqslant c\_{n}} என்பதால்:
{\displaystyle \exists N\_{3}\in \mathbb {N} } such that {\displaystyle \forall n>N\_{3},a\_{k}\leqslant b\_{k}\leqslant c\_{k}} (3). 

{\displaystyle \forall n>m>\max\{N\_{1},N\_{2},N\_{3}\}} என எடுத்துக்கொண்டு (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது:

{\displaystyle a\_{k}\leqslant b\_{k}\leqslant c\_{k}\Longrightarrow \sum \_{k=m+1}^{n}a\_{k}\leqslant \sum \_{k=m+1}^{n}b\_{k}\leqslant \sum \_{k=m+1}^{n}c\_{k}\Longrightarrow -\epsilon <\sum \_{k=m+1}^{n}b\_{k}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum \_{k=m+1}^{n}b\_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}-\sum \_{k=1}^{m}b\_{k}\right|<\epsilon }.

இதிலிருந்து {\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}\right)\_{n=1}^{\infty }} தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே {\displaystyle \sum \_{n}b\_{n}} ஒருங்கும் தொடராகும்.

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. {\displaystyle \blacksquare }

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

### எடுத்துக்காட்டு 1

x இன் மதிப்பு 0 ஐ நெருங்கும் எல்லையில் சார்பு *x*2 sin(1/*x*) பிழியப்படல்
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})} - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி ({\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim \_{x\to a}f(x)\cdot \lim \_{x\to a}g(x),}) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,

{\displaystyle -1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.}
{\displaystyle \implies -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}}
ஆனால் {\displaystyle \lim \_{x\to 0}-x^{2}=\lim \_{x\to 0}x^{2}=0}

எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி,

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})=0}
### எடுத்துக்காட்டு 2

Comparing areas:  
{\displaystyle {\begin{aligned}&\,A(\triangle ADF)\geq A({\text{sector}}\,ADB)\geq A(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
*x* இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும்.

{\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}  அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி *x* இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை *x* இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\cos x\leq \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\leq \lim \_{x\to 0}1}
மேலும் {\displaystyle \lim \_{x\to 0}\cos(x)=1} என்பதால்,

{\displaystyle 1\leq \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}
{\displaystyle \implies \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Sohrab, Houshang H. (2003). *Basic Real Analysis* (2nd ). Birkhäuser. பக். 104. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4939-1840-9. .
2. ↑  Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: *Vorstufe zur höheren Mathematik*. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, pp.
 80-81 (German). See also Sal Khan: *Proof: limit of (sin x)/x at x=0* (video, கான் அகாதமி)

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Squeezing Theorem", *MathWorld*.
* Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
* Squeeze Theorem on ProofWiki.