நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை** (*characteristic polynomial*) என்பது, அணிச் சீர்மையின் கீழ் மாற்றமடையாததும், ஐகென் மதிப்புகளை மூலங்களாகக் கொண்டதுமானதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் அணிக்கோவையையும் சுவட்டையும் அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் திசையன் வெளியின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (அடுக்களம் எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு **சிறப்பியல்பு சமன்பாடு** (*characteristic equation*) என அழைக்கப்படுகிறது.

நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுருவின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

உந்துதல்
--------

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஐகென் மதிப்புகள் முக்கிய பங்குவகிக்கின்றன. ஒரு உருமாற்றத்தால் திசையில் மாற்றமில்லாது அளவில் மட்டும் மாற்றமடையும் திசையனானது "ஐகென் திசையன்" என அழைக்கப்படுகிறது. அத்திசையனின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றமானது ஐகென் மதிப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த உருமாற்றமானது {\displaystyle A} என்ற சதுர அணியாலும், ஐகென்திசையன்யானது {\displaystyle \mathbf {v} } எனவும், அதற்குரிய ஐகென்மதிப்பானது {\displaystyle \lambda } எனவும் குறிக்கப்பட்டால் கீழ்வரும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்படும்:



A

v

=
λ

v

,

{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}

{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}
அல்லது சமானமாக,



(
λ
I
−
A
)

v

=

0

{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }

{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} } ({\displaystyle I} முற்றொருமை அணி, and {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} })
பூச்சியத் திசையன் இச்சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் என்றாலும் {\displaystyle \lambda ,} இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பூச்சியத் திசையனானது ஐகென் திசையனாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை. 

{\displaystyle (\lambda I-A),} ஒரு வழு அணியாகும். எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்:



det
(
λ
I
−
A
)
=
0

{\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}

{\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}

அதாவது, A இன் ஐகென் மதிப்புகள் 


det
(
x
I
−
A
)

{\displaystyle \det(xI-A)}

{\displaystyle \det(xI-A)} இன் மூலங்களாக இருக்கும். A, ஒரு *n*×*n* அணியாக இருந்தால், இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது x மாறியிலமைந்த n படிகொண்ட தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை. மேலும் இதுவே A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையுமாகும்.

முறையான வரையறை
--------------

{\displaystyle A.} என்பது ஒரு {\displaystyle n\times n} அணி எனில்:

* அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: {\displaystyle p\_{A}(t).}
* வரையறை:


p

A

(
t
)
=
det
(
t
I
−
A
)

{\displaystyle p\_{A}(t)=\det(tI-A)}

{\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)} ({\displaystyle I} என்பது {\displaystyle n\times n} முற்றொருமை அணி).
சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்:

{\displaystyle \det(A-tI).}
முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து {\displaystyle (-1)^{n},} என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் {\displaystyle A} அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் n இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

எடுத்துக்காட்டு 1:



A
=

(

2

1

−
1

0

)

.

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.} என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் அணிக்கோவையைக் காணவேண்டும்:

t
I
−
A
=

(

t
−
2

−
1

1

t
−
0

)

{\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}

{\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}
அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, {\displaystyle A} அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது:

{\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}
எடுத்துக்காட்டு 2 (மீவளையக் கோணம் φ இன் மீவளைச் சார்பு):

அணி:



A
=

(

cosh
⁡
(
φ
)

sinh
⁡
(
φ
)

sinh
⁡
(
φ
)

cosh
⁡
(
φ
)

)

.

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}
சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:



det
(
t
I
−
A
)
=
(
t
−
cosh
⁡
(
φ
)

)

2

−

sinh

2

⁡
(
φ
)
=

t

2

−
2
t
 
cosh
⁡
(
φ
)
+
1
=
(
t
−

e

φ

)
(
t
−

e

−
φ

)
.

{\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}

{\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}

பண்புகள்
--------

* {\displaystyle n\times n} வரிசை அணி {\displaystyle A} இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை {\displaystyle p\_{A}(t),} ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை.
* {\displaystyle n\times n} வரிசை அணி {\displaystyle A} இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை {\displaystyle p\_{A}(t),} இன் படி {\displaystyle n.}.
* {\displaystyle A} இன் ஐகென்மதிப்புகள் {\displaystyle p\_{A}(t)} இன் மூலங்களாகும்.
* சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் {\displaystyle A} இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் 

* + மாறிலி உறுப்பு ({\displaystyle t^{0}} இன் கெழு) = {\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}
	+ {\displaystyle t^{n}} இன் கெழு = 1
	+ {\displaystyle t^{n-1}} இன் கெழு = tr(−*A*) = −tr(*A*), (tr(*A*) = {\displaystyle A} இன் சுவடு) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி)
	+ மாற்று வரையறையின்படி முறையே {\displaystyle \det(A),} (−1)*n* – 1 tr(*A*) )

{\displaystyle 2\times 2} வரிசை {\displaystyle A} அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:


t

2

−
tr
⁡
(
A
)
t
+
det
(
A
)
.

{\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}

{\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}
* இரு ஒத்த அணிகளின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது.

* {\displaystyle A,} அதன் இடமாற்று அணி இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Ernst\_Guillemin (1953). *Introductory Circuit Theory*. Wiley. பக். 366, 541. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471330663. .
2. ↑  Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations". *Mathematics of Computation* **6** (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0.. பார்த்த நாள்: 3 October 2020.
3. ↑  Frank, Evelyn (1946). "On the zeros of polynomials with complex coefficients". *Bulletin of the American Mathematical Society* **52** (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2.
4. ↑  "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". .
5. ↑  Steven Roman (1992). *Advanced linear algebra* (2 ). Springer. பக். 137. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3540978372. .
6. ↑  Theorem 4 in these lecture notes

* T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) *Basic Linear Algebra*, p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
* John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) *Linear Algebra* 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
* Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", *American Mathematical Monthly*, **111** (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
* Werner Greub (1974) *Linear Algebra* 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
* Paul C. Shields (1980) *Elementary Linear Algebra* 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
* Gilbert Strang (1988) *Linear Algebra and Its Applications* 3rd edition, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .