எண்ணுறு (countable) கணங்களும் எண்ணுறா (uncountable) கணங்களும் முதன் முதலில் கியார்கு கேன்ட்டர் என்ற கணிதவியலரால் 1874 இலிருந்து 1897 வரையில் எழுதப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளில் அறிமுகப் படுத்தப்பட்டன. அக்கட்டுரைகள் கணித உலகின் அடித்தளத்தில் ஒரு புரட்சியை உண்டு பண்ணியதோடு மட்டுமல்லாமல் இருபதாவது நூற்றாண்டின் கணிதத்திற் கெல்லாம் ஒரு தவிர்க்க முடியாத அடித்தளமாக அமைந்தன.

முடிவிலாத கணம்
--------------

இயல்பெண்களின் (அதாவது, நேர்ம முழு எண்களின்) கணத்தை N என்று கொள்வோம்: N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }. இது ஒரு முடிவிலாத கணம். ஒரு முடிவிலாத கணத்திலிருந்து பல (ஏன் இன்னும் சொல்லபோனால், முடிவிலா) உறுப்புகளை எடுத்துவிட்டபின்பும் அதன் முடிவிலாமையின் **எண்ணிக்கை அளவை** (Cardinal number) அப்படியே இருக்கக்கூடிய வாய்ப்பு உண்டு. உதாரணமாக, N இலிருந்து எல்லா ஒற்றைப்படை எண்களையும் எடுத்துவிட்டபின், மீதமுள்ளதை E = {2, 4, 6, 8, 10, ...} என்ற கணமாக எழுதலாம். இப்பொழுது வியப்பு என்னவென்றால் N –ம் E –ம் ஒரே எண் அளவைகளைக் கொண்டுள்ளன! எப்படி? ஒரு தாய்க்கணமும் அதற்குள் உள்ளடங்கிய உட்கணமும் ஒரே எண் அளவையுள்ளதாக எப்படி இருக்கமுடியும்? முடியும், கணங்கள் முடிவிலாதவையாக இருந்தால். எப்படி என்று பார்ப்போம்.

ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு
--------------------

இரு கணங்கள், A, B, என்போம், ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு பெற்றுள்ளன என்றால், அவைகளின் உறுப்புகளை ஒன்றுக்கொன்றாக இரட்டை (ஜோடி) சேர்க்கமுடியும் என்று பொருள். அதாவது, A இன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுடன் B இன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுடன் இரட்டை சேர்த்தல். இதை ‘இருவழிக்கோப்பு முறை’ என்றும் சொல்வதுண்டு. இப்பொழுது மேலே உள்ள கணங்கள் N, E இரண்டிற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்குவோம். கீழே பார்க்கவும்.

1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8 …

இந்த பரிமாற்ற முறையினால் ஒவ்வொரு இயல்பெண்ணுக்கும் (அ-து N இன் உறுப்புக்கும்) தனித்துவம் கொண்ட ஒரு இரட்டைப்படை எண்ணும் (E இன் உறுப்பு), ஒவ்வொரு இரட்டைப்படை எண்ணுக்கும் (அ-து E இன் உறுப்புக்கும்) ஒரு தனித்துவம் கொண்ட இயல்பெண்ணும் (N இன் உறுப்பு), கோர்க்கப்பட்டு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கப்பட்டுவிட்டது. இதனால் நாம் அறிவது: அவ்விரண்டு கணங்களும் ஒரே எண்ணிக்கை அளவையுள்ளன என்பதே.

N என்ற இயல்பெண்களின் கணத்தினுடைய எண் அளவைக்கு (அதனால் E –உடைய எண்ணிக்கை அளவைக்கும்) கணித உலகெங்கும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட எழுத்துக்குறிப்பு : אo. இதை ‘ஆலப்ஃ-சுழி’ என்று பலுக்குவார்கள் (உச்சரிப்பார்கள்)). இந்த ஆலஃப் (א) எழுத்து ஹிப்ரூ அகரவரிசையில் முதல் எழுத்தாகும். எந்தெந்த கணங்களுக்கு N–உடன் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு அமையுமோ அந்த கணங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் எண்ணிக்கை அளவை இதே ஆலப்ஃ-சுழி தான். இந்த கணங்களெல்லாம் ‘எண்ணுறு கணங்கள்’ (countable sets) என்ற, அல்லது ‘எண்ணுறு முடிவிலிக் கணங்கள்’ (countably infinite sets) என்ற வகையில் சேர்வன.

விகிதமுறு நேர்ம எண்களின் கணம் Q+
--------------------------------

Q+ = {… ½, …, 2/3, …. 1, … 3/2, … 4/3, … 2, …. 7/3, … 3, …355/113, …4, …..}

மேலெழுந்தவாறு பார்த்தால் Q+ இல் N-ஐவிட பற்பல உருப்படிகள் அதிகப்படியாக உள்ளன. இந்த அதிகப்படியே ஒரு முடிவிலாத அளவு. அப்படியிருந்தும் இரண்டிற்கும் ஒரே எண்ணிக்கை அளவை தான் என்கிறார் கேண்டர். இதை நிறுவ வேண்டுமென்றால் நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் இதுதான். Q+ இலுள்ள உறுப்புகளை 1, 2, 3, .... என்று வரிசைப் படுத்திவிட வேண்டும். அப்படி வரிசைப்படுத்திவிட்டால் Q+ க்கும் N க்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாகிவிடும். இதோ அந்த வரிசை கேண்டரின் கோணல்கோட்டு முறை என்ற செய்முறையால் செய்யப்படுகிறது.

Q+ வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது
--------------------------

எல்லா விகிதமுறு நேர்ம எண்களையும் பல நிரை (row) களில் நிரப்புவதாக வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் p/q வுக்கும் p என்ற தொகுதியும் q என்ற பகுதியும் இருக்கும். முழு எண்ணாக இருந்தாலும் p/q என்று எழுத முடியும்.

நாம் முதல் நிரையில் பகுதி 1 உள்ள எல்லா விகிதமுறு எண்களையும், இரண்டாவது நிரையில் பகுதி 2 உள்ளவை களையும், மூன்றாவது நிரையில் பகுதி 3 உள்ளவைகள், நான்காவது நிரையில் பகுதி 4 உள்ளவைகள், ... இப்படி எழுதிக்கொண்டே போவோம்.

ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணும் இந்தப் பட்டியலில் எங்கோ ஒரு இடத்தில் நிச்சயமாக அமைந்து விடுகிறது, ஒன்றும் விட்டுப்படவில்லை, என்பதில் சந்தேகமில்லை. இம்முறையில் ஒரே விகிதமுறு எண் பல முறை வர்லாம். உதாரணமாக 2/1, 4/2 ஆகவும் வரும். வரட்டும், அதை நாம் எப்படி சரிக்கட்டுகிறோம் என்பது போகப்போகத் தெரியும். இப்பொழுது படத்தைப்பார். அம்புக்குறிகளுடைய போக்கு தான் நாம் எதிர்பார்க்கும் வரிசை. முதலில் 1/1. பிறகு 2/1, அதாவது 2. பிறகு 1/2, பிறகு 1/3 அடுத்து வரும் 2/2 ஐ ஒதுக்கிவிடுவோம்; ஏனென்றால் அது 1 = 1/1 ஆக ஏற்கனவே வரிசையில் சேர்க்கப்பட்டுவிட்டது. பிறகு 3/1, பிறகு 4/1, அடுத்து, 3/2, 2/3, பிறகு 1/4, பிறகு 1/5 ..... இப்படிப்போகிறது வரிசை.

```
:{\displaystyle {\begin{matrix}1/1&\rightarrow &2/1)&&3/1&\rightarrow &4/1&\\&\swarrow &&\nearrow &&\swarrow &&\\1/2&&2/2)&&3/2&&\ddots &\\\downarrow &\nearrow &&\swarrow &&&&\\1/3&&2/3&&\ddots &&&\\&\swarrow &&&&&&\\1/4&&\ddots &&&&&\\\downarrow &&&&&&&\\\vdots &&&&&&&\end{matrix}}}
```

இதனால் நமக்குத் தெரிவதென்னவென்றால் Q+ ம் N ம் சம எண் அளவையை உடையவை.

எண்ணுறு கணங்கள்
---------------

எப்பொழுதெல்லாம் ஒரு முடிவிலாத கணத்தின் உறுப்புகளை 1, 2, 3, .... என வரிசைப்படுத்திவிட முடியுமோ அப்பொழுதெல்லாம் அந்த கணத்தின் எண் அளவை אo என்று கண்டுகொள்ளலாம். இப்படிப்பட்ட கணங்கள் எல்லாம் எண்ணுறு கணங்கள் எனப் பெயர் பெறுகின்றன. ஆக, N, E, Q+, மற்றும் இவைகளுடைய உட்கணங்கள், அவை முடிவிலாததாக இருக்கும் பட்சத்தில், இவை எல்லாம் எண்ணுறு கணங்களே.

அப்படியென்றால் எல்லா முடிவிலா கணங்களும் எண்ணுறு கணங்கள் தானா? இல்லை. இது கேண்டர் கண்டுபிடித்த அடுத்த ஆச்சரியமான விஷயம்.

எண்ணுறா கணங்கள்
---------------

முதன்மைக் கட்டுரை: எண்ணுறா முடிவிலிகள்
எப்பொழுதெல்லாம் ஒரு முடிவிலாத கணத்தின் உறுப்புகளை 1, 2, 3, ... என்று வரிசைப்படுத்தமுடியாது என்று நிறுவப்பட்டதோ அப்படிப்பட்ட கணத்தை எண்ணுறா கணம் என்பர். ‘எண்ணவியலா கணம்’ என்றும் கூறலாம். இம்மாதிரி கணம் ஒன்று, -- ஒன்றென்ன, பல, ஏன், முடிவில்லாமல் பல—இருக்கமுடியும் என்பதுதான் கேண்ட்டரின் அடுத்த எதிர்பாராத கண்டுபிடிப்பு.

A என்ற ஒரு முடிவிலா கணத்திலிருந்து அதனுடைய உட்கணங்கள் (A என்ற கணம் உட்பட) எல்லாவற்றினுடைய திரள் (aggregate) ஒரு புது கணம் ஆகிறது. இப்படி படைக்கப்பட்ட கணம் ,{\displaystyle 2^{A}} என்று குறிக்கப்படும். அதற்கு A இன் அடுக்கு கணம் (Power set of A) என்று பெயர். இப்பொழுது கேண்ட்டரின் முதல் முக்கிய தேற்றம் "A இன் அடுக்குக்கணத்தின் எண் அளவை A இனுடையதை விட கண்டிப்பான பெரிது" என்பதாம். இத்தேற்றத்தின் நிறுவலில்தான் கேண்ட்டரின் கோணல் கோடு நிறுவல் முறை வெகு நேர்த்தியாகப் பயன்படுகிறது.

நிறுவலைத்தாண்டி தேற்றத்தின் விளைவுகளைப்பார்ப்போம்.

*முதல் விளைவு*: A ஒரு எண்ணுறு கணமானால், அதன் அடுக்குக்கணம் ஒரு எண்ணுறா கணமாகத்தான் இருக்கவேண்டும். ஏனென்றால் {\displaystyle 2^{A}} யும் A யும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு கொண்டிருக்காது.

*இரண்டாவது விளைவு*: N இன் அடுக்குக்கணம் ஒரு எண்ணுறா கணம். அதன் எண் அளவை N இன் எண் அளவையைவிடப் பெரியது. {\displaystyle 2^{N}} இன் எண் அளவையை 2^אo என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிட்டால், நமக்கு אo ஐ விட ஒரு பெரிய எண் அளவை கிடைக்கிறது.

*மூன்றாவது விளைவு*: இப்பொழுது {\displaystyle 2^{N}} இன் அடுக்குக் கணத்திற்குப் போனோமானால் அதனுடைய எண் அளவை 2^אo ஐ விட இன்னும் பெரியதாக இருக்கும். இப்படி போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். இதற்கு முடிவே கிடையாது. விளைவு: எண் அளவைகளின் கணம் ஒரு முடிவிலா கணம்.

**தொடரகக்கருதுகோள்** (Continuum Hypothesis)
-------------------------------------------

கேண்டரின் பல தேற்றங்களில் இன்னொருமுக்யமான ஒன்றைச்சொல்லாமல் இக்கட்டுரை முடிவு பெறாது. N இன் அடுக்குக்கணம் {\displaystyle 2^{N}}. இதனுடைய எண் அளவை 2^אo. இது ஒரு எண்ணுறா முடிவிலி. இதுதான் மெய்யெண்களின் கணத்தினுடைய எண் அளவை என்பது அந்த முக்யமான தேற்றம். இந்த எண் அளவைக்கு c என்று இன்னொரு குறியீடு உண்டு. ஆக, 2^אo = c.

இந்த இடத்தில் தான் கேண்டர் ஒரு நியாயமான கேள்வியை எழுப்பினார். אo ஒரு எண்ணுறு முடிவிலி. c அதைவிடப் பெரிய முடிவிலி, மற்றும் எண்ணுறாதது. இரண்டிற்கும் இடையில், அவையிரண்டையும் விட வித்தியாசமாய் வேறு ஒரு முடிவிலி உள்ளதா, இல்லையா? வேறு விதமாகச்சொன்னால், எந்த முடிவிலா கணத்திற்கு எண் அளவை אo ஐவிட பெரியதாகவும் c ஐவிட சிறியதாகவும் இருக்கும்? அப்படியொரு கணம் இருக்கிறதா இல்லையா? இருக்க நியாயமில்லை என்று நினைத்தார் கேண்டர். ஆனால் அவரிடம் அதற்கு நிறுவல் இல்லை. அவருடைய நினைப்பு சரி என்று வைத்துக்கொள்வதுதான் தொடரகக்கருதுகோள். இதை ‘CH’ என்று கணித உலகில் சுருக்கமாகச் சொல்வார்கள். CH உண்மையா இல்லையா? இது தான் கேள்வி. இது இருபதாவது நூற்றாண்டில் கணித உலகில் ஒரு சரித்திரமே படைத்துவிட்டது.

**இருபதாவது நூற்றாண்டில் CH**
-----------------------------

1900 இல் பாரிஸ் நகரில் நடந்த அகில உலகக்கணிதவியலர்கள் மகாநாட்டில் டேவிட் ஹில்பர்ட் இருபதாவது நூற்றாண்டில் கணித உலகிற்கு சவாலாக இருக்கப்போகின்றன என்று 23 கணித பிரச்சினைகளை பட்டியலிட்டார். அப்பட்டியலில் முதலிடம் வகுத்தது இந்த CH தான். 1938 இல் கர்ட் கோடெல் ஒரு ஆழமான தேற்றத்தை தோற்றுவித்தார். அது, CH உண்மையாகவே இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வதால் கணிதவியலில் ஒரு புது முரண்பாடும் ஏற்பட்டுவிடாது என்பதுதான். இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால் CH உண்மையல்ல என்பதை கணிதத்தர்க்க ரீதியில் நிறுவமுடியாது என்பது கோடெல்லின் தேற்றம். 1963 இல் பால் கோஹென் இப்பிரச்சினையின் மறுபக்க விளைவை நிறுவினார். அதாவது, CH உண்மை என்பதையும் கணிதத்தர்க்க ரீதியில் நிறுவமுடியாது. இவ்விரண்டு தேற்றங்களினால் கணித உலகு முதன்முதலாக, உண்மையா இல்லையா என்று எந்தப்பக்கமும் நிறுவமுடியாத கணிதப் பிரச்சினைகள் இருந்துதான் தீரும் என்று அறிந்துகொண்டது.

இவற்றையும் பார்க்க
------------------

* எண்ணவியலா முடிவிலிகள்

துணை நூல்கள்
------------

* Richard Courant, Herbert Robbins, and Ian Stewart , What is Mathematics? Oxford University Press, New York, 1996 ISBN 978-0195105193
* Krishnamurthy, V. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.Wiley Eastern Limited. New Delhi. 1990 ISBN 81-224-0272-0