*f* மற்றும் *g* -சார்புகளின் இணைப்புச் சார்பு *g* ∘ *f*.   

(*g* ∘ *f*)(c) = #.
கணிதத்தில் **சார்புகளின் தொகுப்பு** அல்லது **சார்புகளின் இணைப்பு** (*composition of functions*) என்பது ஒரு சார்பின் விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். *f*: *X* → *Y* மற்றும் *g*: *Y* → *Z* என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், *f* சார்பின்படி உள்ளீடு *x* -ன் வெளியீடு *f*(*x*) -ஐ *g* சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

தொகுப்புச் சார்பு *g* ∘ *f*: *X* → *Z* பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x)),} {\displaystyle \forall a\in \mathbb {X} }
சேர்ப்புப் பண்பு:

சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.

*f*, *g*, மற்றும் *h* மூன்றும் தகுந்த ஆட்களம், இணையாட்களம் கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:

{\displaystyle g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h}
அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.

பரிமாற்றுப் பண்பு:

{\displaystyle g\circ f=f\circ g} எனில் *g* மற்றும் *f* ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.
பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.

{\displaystyle x\geq 0} என்னும்போது மட்டுமே

{\displaystyle \left|x\right|+3=\left|x+3\right|\,} என்பது உண்மை.

எடுத்துக்காட்டு
---------------

முக்கோணம் *EFA* -ஐ முக்கோணம் *ATB* -ஆக மாற்றும் வடிவொப்புமை உருமாற்றமானது ஒத்தநிலை உருமாற்றம் *H*  மற்றும் சுழற்சி உருமாற்றம் *R* ஆகிய இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பாகும். இவ்விரு உருமாற்றங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளி(*S*) ஆகும். *R*  -சுழற்சியால் *A*  -ன் எதிருரு *U*, அதாவது, *R* ( *A* ) = *U.*  மேலும் *H* ( *U* ) = *B.* , *H* ( *R* ( *A* ) )  =  (*H* ○ *R*) ( *A* )  =  *B.*
*t* நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு *h*(*t*) மற்றும் *x* உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு *c*(*x*) எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு (*c* ∘ *h*)(*t*) , *t* நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.

சார்பின் அடுக்குகள்
-------------------

{\displaystyle Y\subseteq X} எனில் {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.

அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: {\displaystyle f^{2}\,}.

{\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}
{\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}
ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது சார்புத் தொடர்தல் எனப்படும்.

{\displaystyle f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1},} {\displaystyle n\,} இயல் எண்
* {\displaystyle f^{0}=id\_{D(f)}\,} ({\displaystyle f{\big )}} -ன் ஆட்களத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு).
* {\displaystyle f\colon X\rightarrow X} நேர்மாற்றத்தக்கது மற்றும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு {\displaystyle (f^{-1}\,} எனில்:

{\displaystyle f^{-k}=f^{-1})^{k}\,} {\displaystyle (k>0\,)}
**குறிப்பு:** *f* -ன் மதிப்புகள் ஒரு வளையத்தில் அமையுமானால் *f n* என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது *f*, -ன் *n* மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:

*f* 2(*x*) = *f*(*x*) · *f*(*x*).

எடுத்துக்காட்டு:

sin2(*x*) = sin(*x*) · sin(*x*).
இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக −1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:

tan−1 = arctan (≠ 1/tan).

மாற்றுக் குறியீடுகள்
--------------------

* பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் *g* ∘ *f* என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு *gf* எனக் குறிக்கின்றனர்.
* இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு *f* ஐயும் அடுத்து சார்பு *g* -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு "*g* ∘ *f*" எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் "*f*(*x*)" என்பதற்குப் பதிலாக "*xf*"எனவும் மற்றும் "*g*(*f*(*x*))" என்பதற்குப் பதிலாக "(*xf*)*g*" எனவும் பயன்படுத்தினர்.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.