கணிதத்தில் **பாசுக்கலின் வாய்பாடு** அல்லது **பாசுக்கலின் விதி** (*Pascal's rule* அல்லது *Pascal's formula*) என்பது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பற்றியதொரு சேர்வியல் முற்றொருமையாகும்.

பாசுக்கலின் விதி:

{\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k},} (*n* , *k* இயல் எண்கள்)
இதில் {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ஒரு ஈருறுப்புக் குணகம்; இந்த ஈருறுப்புக் குணகமானது (1 + *x*)*n* -இன் பல்லுறுப்புக்க்கோவை விரிவிலுள்ள *x**k* உறுப்பின் குணகமாகும். n மற்றும் k ஆகிய இரண்டின் சார்மதிப்புகளுக்கு கட்டுப்பாடு எதுவும் இல்லை. ஏனெனில் *n* < *k* இருந்தால் இந்த ஈருறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகி, இந்நிலையிலும் பாசுக்கலின் வாய்பாடு உண்மையாகும்.

"{\displaystyle {\frac {(x+y)!}{x!y!}}={x+y \choose x}={x+y \choose y}} என்ற வாய்பாடானது, இயல் எண்களில்

{\displaystyle N\_{x,y}=N\_{x-1,y}+N\_{x,y-1},\quad N\_{0,y}=N\_{x,0}=1} என்ற நேரியல் இருபரிமாண வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்"
என்ற கூற்றாகவும் பாசுக்கலின் விதியைக் கருதலாம். இதனால் பாசுக்கலின் முக்கோணத்திலுள்ள எண்களுக்கான வாய்பாடு பற்றிய கூற்றாகவும் இவ்விதியுள்ளது.

இவ்விதியினை பல்லுறுப்புக் கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

சேர்வியல் நிறுவல்
-----------------

பாசுக்கலின் விதிக்குள்ள இயல்புணர்வான சேர்வியல் பண்பினைக் கீழுள்ள எண்ணுதல் நிறுவலில் காணலாம் இந்த நிறுவல் முறையில் {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ஆனது *n* உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து தேர்வுசெய்யப்படும் *k* உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் என்ற கூற்றிலிருந்து பாசுக்கலின் விதி நிறுவப்படுகிறது:

நிறுவல்:

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் *n* உறுப்புகளில் குறிப்பிட்டதொரு உறுப்பு *X* எனில்,

* *X* உட்பட்ட *k* உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:

*X* நீங்கலான மீதமுள்ள *n* − 1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான 
*k* − 1 உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

{\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}}.
* *X* நீங்கலாக *k* உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:

*X* நீங்கலான மீதமுள்ள *n* − 1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான 
*k* உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

{\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}
இவை இரண்டிலிருந்து *k* உறுப்புகள் கொண்ட (*X* உட்பட்ட மற்றும் நீங்கலான) மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

{\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}.
எனவே

{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}.

இயற்கணித நிறுவல்
----------------

பாசுக்கலின் விதி இயற்கணித முறையில் பின்வருமாறு நிறுவப்படுகிறது:

{\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}

பொதுமைப்படுத்தல்
----------------

பாசுக்கலின் விதியைப் பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.
*p* ஏதேனுமொரு முழு எண் மற்றும் {\displaystyle p\geq 2}, {\displaystyle k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,} மேலும் {\displaystyle n=k\_{1}+k\_{2}+k\_{3}+\cdots +k\_{p}\geq 1} எனில், பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கான பாசுக்கலின் விதி: 

{\displaystyle {n-1 \choose k\_{1}-1,k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}+{n-1 \choose k\_{1},k\_{2}-1,k\_{3},\dots ,k\_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}-1}={n \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}}
இதில் {\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}} ஆனது {\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{p})^{n}} விரிவிலுள்ள {\displaystyle x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\dots x\_{p}^{k\_{p}}} உறுப்பின் கெழுவாகும்.

இவ்விதியின் இயற்கணிதமுறை நிறுவல்:

*p* ஒரு முழு எண் மற்றும் {\displaystyle p\geq 2}, {\displaystyle k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,} மேலும் {\displaystyle n=k\_{1}+k\_{2}+k\_{3}+\cdots +k\_{p}\geq 1} எனில்,

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k\_{1}-1,k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}+{n-1 \choose k\_{1},k\_{2}-1,k\_{3},\dots ,k\_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k\_{1}-1)!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k\_{1}!(k\_{2}-1)!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots (k\_{p}-1)!}}\\&={\frac {k\_{1}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+{\frac {k\_{2}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}+\cdots +{\frac {k\_{p}(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={\frac {(k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{p})(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!k\_{3}!\cdots k\_{p}!}}={n \choose k\_{1},k\_{2},k\_{3},\dots ,k\_{p}}.\end{aligned}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Mazur, David R. (2010), *Combinatorics / A Guided Tour*, Mathematical Association of America, p. 60, ISBN 978-0-88385-762-5
2. ↑  Brualdi, Richard A. (2010), *Introductory Combinatorics* (5th ed.), Prentice-Hall, p. 44, ISBN 978-0-13-602040-0
3. 1 2  Brualdi, Richard A. (2010), *Introductory Combinatorics* (5th ed.), Prentice-Hall, p. 144, ISBN 978-0-13-602040-0

நூலடைவு
-------

* Merris, Russell. *Combinatorics*. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Central binomial coefficient பிளாநெட்மேத்தில்
* Binomial coefficient பிளாநெட்மேத்தில்