மாடுலோ கணித ஆய்வுகளைப் பற்றி காஸ் வெளியிட்ட நூலின் முதல் பதிப்பு. புத்தகத்தின் தலைப்பு *டிஸ்க்விசிசனே அரித்மெட்டிக்கே* என்பதாகும்.
கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், **சமானம், மாடுலோ n** (Congruence modulo n) என்பது சுழற்சி அடிப்படையில் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்னும் ஜெர்மானியக் கணிதப் பேரறிஞரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு
------------------------------------------

காலம் கணக்கிட உதவும் இக்கடிகாரம் மாடுலோ 12 இன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.
இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் *சமான எண்கணிதம்* (Congruence arithmetic).

வரலாறு
------

சமான எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் யூக்ளிடால் அவரது படைப்பான, *எலிமென்ட்சின்* ஏழாவது பாகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

கணிதத்தில் வரையறை
-----------------

{\displaystyle a,b,n} முழு எண்களானால் {\displaystyle a} யும் {\displaystyle b} யும் n மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:

* {\displaystyle a-b,} எண் n இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

இதற்குக்குறியீடு:

{\displaystyle a\equiv b} (mod n)
இதன் உச்சரிப்பு:

{\displaystyle a} சமானம் {\displaystyle b}, மாடுலோ n
இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.

உடன்விளைவு
----------

'சமானம் மாடுலோ n' ஒரு சமான உறவு. ஏனென்றால்,

* அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, {\displaystyle a\equiv a} (mod n)
* அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, {\displaystyle a\equiv b} (mod n) {\displaystyle \Rightarrow b\equiv a} (mod n)
* அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, {\displaystyle a\equiv b} (mod n) மற்றும் {\displaystyle b\equiv c} (mod n) {\displaystyle \Rightarrow a\equiv c} (mod n)

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* {\displaystyle 17\equiv 5} (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12
* {\displaystyle 365\equiv 1} (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
* {\displaystyle 27\equiv 0}(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
* {\displaystyle 100\equiv 34} (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
* {\displaystyle -13\equiv 2} (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம். 

17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன
365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.
27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.
100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.
இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்:
n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் {\displaystyle a\equiv b} (mod n) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:

* {\displaystyle a} யும் {\displaystyle b} யும் n ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.

எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள்

{\displaystyle a\equiv b} (modulo n) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக {\displaystyle 100\equiv 34} (modulo 6)

மேலும், {\displaystyle a\equiv 0} (mod n) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

எல்லாப்பட்சத்திலும் {\displaystyle a\equiv b} (mod n) {\displaystyle \Longleftrightarrow \exists } முழு எண் {\displaystyle q\ni a=nq+b}

மற்ற விளைவுகள்
--------------

* {\displaystyle a\equiv b}(mod n), மற்றும் {\displaystyle c\equiv d}(mod n) என்றால்

{\displaystyle a+c\equiv (b+d)} (mod n)
{\displaystyle a-c\equiv (b-d)} (mod n)
{\displaystyle k} ஒரு முழு எண்ணானால், {\displaystyle ka\equiv kb} (mod n)
{\displaystyle ac\equiv bd} (mod n)
{\displaystyle m} ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், {\displaystyle a^{m}\equiv b^{m}} (mod n)
இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் **மாடுலோ எண் கணிதம்** (modular arithmetic) எனப்படும்.

எச்சத் தொகுதிகள்
----------------

மட்டு *n* இன் ஒவ்வொரு எச்சத் தொகுதியையும் அத்தொகுதிக்குரிய எந்தவொரு உறுப்பைக் கொண்டும் அடையாளப்படுத்தலாம். எனினும் அத்தொகுதிக்குரிய மிகச்சிறிய எதிர்மமில்லா முழுஎண்ணே அத்தொகுதியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மட்டு *n* இன் இரு வெவ்வேறு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்புகள் மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து சமானமானதாக இருக்காது. மேலும், ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் மட்டு *n* இன் ஏதாவது ஒரேயொரு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.

{0, 1, 2, ... *n*−1} என்ற முழுஎண் கணம், மட்டு ***n*** இன் "மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி" எனவும், மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இல்லாத *n* முழுஎண்களின் கணம், மட்டு ***n*** இன் "முழுமையான எச்சத் தொகுதி" எனவும் அழைக்கப்படும்..

மீச்சிறு எச்சத் தொகுதியானது முழுமையான எச்சத்தொகுதியாகவும் இருக்கும். மட்டு *n* இன் எச்சத் தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்டதாக முழுமையான எச்சத் தொகுதி அமையும்.

மட்டு 4 இன் மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி: {0, 1, 2, 3}.
மட்டு 4 இன் முழுமையான எச்சத் தொகுதிகளில் சில:
* {1, 2, 3, 4}
* {13, 14, 15, 16}
* {−2, −1 ,0, 1}
* {−13, 4, 17, 18}
* {−5, 0, 6, 21}
* {27, 32, 37, 42}

மட்டு 4 இன் முழுமையற்ற எச்சத் தொகுதிகளில் சில:
* {−5, 0, 6, 22} (மட்டு 4 ஐப் பொறுத்து 6, 22 க்குச் சமானம் இல்லை)
* {5, 15} (மட்டு 4 இன் எச்சத்தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு உறுப்பு என ஒரு மட்டு 4 இன் ஒரு முழுமையான எச்சத் தொகுதி 4 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்)

முற்றிசைவுப் பகுதிகள்
---------------------

சமானம் மட்டு *n* ஒரு சமான உறவாகும். ஏதேனுமொரு முழு எண் *a* க்குரிய சமானப் பகுதி

{\displaystyle {\overline {a}}\_{n}=\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}}.
இது மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து *a* க்குச் சமானமாக உள்ள முழுஎண்களைக் கொண்ட கணமாகும். இக்கணம்  மட்டு *n* இன் "முற்றிசைவுப் பகுதி" அல்லது "எச்சப் பகுதி" அல்லது "மட்டு *n* க்கான முழுஎண் *a* இன் எச்சம்" என அழைக்கப்படுகிறது. *n* அறியப்பட்ட நிலையில் இதனைச் சுருக்கமாக, {\displaystyle \displaystyle [a]} எனவும் குறிக்கலாம்.

முழுஎண்கள் மட்டு *n*
--------------------

மட்டு *n* க்கான a இன் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம், "முழுஎண்கள் மட்டு *n* கணம்" என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }, {\displaystyle \mathbb {Z} /n} அல்லது {\displaystyle \mathbb {Z} \_{n}}.

முழுஎண்கள் மட்டு *n* கணத்தின் வரையறை:

{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}\_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.}
*n*≠0 எனில், {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } *n* உறுப்புகள் கொண்டிருக்கும்:

{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}\_{n},{\overline {1}}\_{n},{\overline {2}}\_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}\_{n}\right\}.}
When *n* = 0 எனில், {\displaystyle {\overline {a}}\_{0}=\left\{a\right\}} என்பதால் {\displaystyle \mathbb {Z} } உடன் சமஅமைவியம் கொண்டதாக {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } இருக்கும்.

{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } இல் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

* {\displaystyle {\overline {a}}\_{n}+{\overline {b}}\_{n}={\overline {(a+b)}}\_{n}}
* {\displaystyle {\overline {a}}\_{n}-{\overline {b}}\_{n}={\overline {(a-b)}}\_{n}}
* {\displaystyle {\overline {a}}\_{n}{\overline {b}}\_{n}={\overline {(ab)}}\_{n}.}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  (Pettofrezzo & Byrkit 1970, ப. 90)
2. ↑  (Long 1972, ப. 78)

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Congruence", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* In this modular art பரணிடப்பட்டது 2006-01-01 at the வந்தவழி இயந்திரம் article, one can learn more about applications of modular arithmetic in art.
* Weisstein, Eric W. "Modular Arithmetic", *MathWorld*.
* An article பரணிடப்பட்டது 2016-02-20 at the வந்தவழி இயந்திரம் on modular arithmetic on the GIMPS wiki
* Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables
* Whitney Music Box—an audio/video demonstration of integer modular math