கணிதத்தில் **அடுக்குத் தொடர்** (*power series*) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\left(x-c\right)^{n}=a\_{0}+a\_{1}(x-c)^{1}}{\displaystyle +a\_{2}(x-c)^{2}+a\_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:

*an* *n* ஆம் உறுப்பின் கெழு;
*c* ஒரு மாறிலி;
*x* ஆனது *c* இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.
பெரும்பாலான சமயங்களில் *c* இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+a\_{3}x^{3}+\cdots .}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் *n*+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).
* எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் *c* உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.

{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3} என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் {\displaystyle c=0} எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:
{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}
அல்லது மையத்தை {\displaystyle c=1} எனக்கொண்டால்:

{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}
* பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}, இவ் வாய்ப்பாடு {\displaystyle |x|<1} எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.
* அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
சைன் சார்பின் தொடர்:

{\displaystyle \sin(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,} இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.
அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது: 

{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
இதேபோல {\displaystyle x^{1/2}} போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி {\displaystyle x} ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}

கணிதச் செயல்கள்
---------------

### கூட்டலும் கழித்தலும்

*f* , *g* ஆகிய இரு சார்புகள் *c* எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}}
{\displaystyle g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}} எனில்:
{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(a\_{n}\pm b\_{n})(x-c)^{n}.}
### பெருக்கலும் வகுத்தலும்

{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}\right)}
{\displaystyle =\sum \_{i=0}^{\infty }\sum \_{j=0}^{\infty }a\_{i}b\_{j}(x-c)^{i+j}}
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left(\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}b\_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}
{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n} \over \sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}}=\sum \_{n=0}^{\infty }d\_{n}(x-c)^{n}}
{\displaystyle f(x)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum \_{n=0}^{\infty }d\_{n}(x-c)^{n}\right)}
### வகையிடலும் தொகையிடலும்

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு

{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {a\_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}

மேற்கோள்கள்
-----------

* Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel (ed.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Formal Power Series", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Power Series", *MathWorld*.
* Complex Power Series Module by John H. Mathews
* Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.