சிக்கலெண் தளத்தில் சிக்கலெண் *z* , அதன் இணைச் சிக்கலெண் *z̅* இரண்டின் வடிவவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. மெய்யச்சில் *z* இன் பிரதிபலிப்பே அதன் இணைச் சிக்கலெண் *z̅* ஆகும்.
கணிதத்தில் **இணைச் சிக்கலெண்கள்** அல்லது **இணையியச் சிக்கலெண்கள்** (*complex conjugates*) என்பவை சமமான மெய்ப்பகுதிகளையும், குறியில் மட்டும் எதிராகவும் அளவில் சமமாகவும் உள்ள கற்பனைப் பகுதிகளையும் கொண்ட சிக்கலெண் சோடியைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,
3 + 4*i* , 3 − 4*i* இரண்டும் இணைச் சிக்கலெண்கள்.

{\displaystyle z=a+ib} ({\displaystyle a,} {\displaystyle b} மெய்யெண்கள்) எனில், அதன் இணைச் சிக்கலெண்
{\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}
எடுத்துக்காட்டுகள்
{\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}
{\displaystyle {\overline {7}}=7}
{\displaystyle {\overline {i}}=-i.}
சில இடங்களில், இணைச் சிக்கலெண்ணானது {\displaystyle z^{\*}\!} என்ற குறியீட்டாலும் குறிக்கப்படுகிறது.

சிக்கலெண்கள், சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த புள்ளிகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் *x*-அச்சு, *y*-அச்சு இரண்டும் ஆதியில் வெட்டிக்கொள்ளும் மெய்யெண் கோடுகளாகும். சிக்கலெண் தளத்தில், *y*-அச்சானது {\displaystyle \pm i,} உடன் பெருக்கக் கிடைக்கும் மெய்யெண்களால் ஆனதாகும். *x*-அச்சானது *மெய் அச்சு* என்றும் (குறியீடு *Re*), *y*-அச்சானது *கற்பனை அச்சு*, (குறியீடு *Im*) என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த *Re* , *Im* அச்சுகளால் தீர்மானிக்கப்படும் தளத்தில் அனைத்து சிக்கலெண்களும் அமைகின்றன. இதுவே சிக்கலெண் தளமாகும். இத் தளத்தில், *x*-அச்சில் பிரதிபலிக்கப்படும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் எதிருரு, அச் சிக்கலெண்ணின் இணைச் சிக்கலெண்ணாக இருக்கும். வடிவவியல் விளக்கமாக, இப் பிரதிபலிப்பு அச் சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலின் மெய் அச்சைப் பொறுத்த 180 பாகைகள் சுழற்சிக்குச் சமானமானதாகும்.

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையில் {\displaystyle re^{i\phi }} இன் இணைச் சிக்கலெண் {\displaystyle re^{-i\phi }} ஆகும். ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் வாயிலாக இதனைப் பெறலாம்.

பண்புகள்
--------

கீழே தரப்பட்டுள்ள பண்புகள் அனைத்து சிக்கலெண்கள் *z* , *w* அனைத்துக்கும் உண்மையாகும். *z* , *w* இரண்டையும் *a* + *ib* வடிவில் எடுத்துக்கொண்டு இப் பண்புகளை நிறுவ முடியும்.

{\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }
{\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!\ }
{\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }
{\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}\!\ } (இங்கு w சுழியற்றதாக இருக்க வேண்டும்)
{\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ } *z* மெய்யெண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே)
{\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}} (*n*, ஏதேனுமொரு முழு எண்)
{\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}
{\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }
{\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}} (*z*, சுழியற்றது)
{\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}
{\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!} (*z* சுழியற்றது)
மெய்யெண் கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை {\displaystyle p;} மேலும் {\displaystyle p(z)=0} எனில், {\displaystyle p({\overline {z}})=0} என்பதும் உண்மையாகும். அதாவது, மெய்யெண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மெய்யெண்ணல்லாத மூலங்கள் இணை சிக்கலெண்களாக அமையும்.

ஒரு மாறியாகப் பயன்பாடு
----------------------

ஒரு சிக்கலெண் {\displaystyle z=x+iy} அல்லது {\displaystyle z=\rho e^{i\theta }} தரப்பட்டால் அதன் இணைச் சிக்கலெண்ணைக்கொண்டு z-மாறியின் பகுதிகளைப் பெறமுடியும்:

* மெய்ப் பகுதி: {\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}
* கற்பனைப் பகுதி: {\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}
* மட்டு மதிப்பு/தனி மதிப்பு: {\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}
* கோண வீச்சு (Argument): {\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}} எனவே,

{\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Complex Conjugates", *MathWorld*.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Imaginary Numbers", *MathWorld*.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Budinich, P. and Trautman, A. *The Spinorial Chessboard*. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).