கணிதத்தில் **முற்றொருமை** (*identity*) என்பது வெவ்வேறான பல கருத்துக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகளின் சிறப்புவகைகளையும் கணங்களில் முற்றொருமை உறுப்புகளையும் சார்புகளில் முற்றொருமைச் சார்புகளையும் குறிக்கிறது.

முற்றொருமைகள்
-------------

ஒரு **முற்றொருமை** என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகக் கூடிய ஒரு உறவு.

இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாடு, அதில் அமைந்துள்ள மாறிகளுக்கு தரப்படும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு ஒரு *முற்றொருமை* எனப்படும். ஒரு சமன்பாடு, முற்றொருமையாக இருக்கும்போது அச்சமன்பாட்டிலுள்ள சமன் குறிக்குப் பதிலாக மூன்று கிடைக்கோடுகள் குறியீடு ≡, பயன்படுத்தப்படுவது மரபு.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{\displaystyle (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}}
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \equiv 1\!} (பித்தாகரசின் முற்றொருமை)
சைன் மற்றும் கோசைன் இரண்டின் ஆட்களமும் கலப்பெண் கணம் {\displaystyle \mathbb {C} } -ஆக அமைவதால் இது {\displaystyle \theta } -ன் அனைத்து சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.)

{\displaystyle \cos \theta =1,\,} இது ஒரு முற்றொருமை அல்ல. ஏனெனில்
{\displaystyle \theta } -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது உண்மையாக இராது. {\displaystyle \theta =0,\,} எனில் உண்மையாகவும் {\displaystyle \theta =2\,} எனில் உண்மையாக இல்லாமலும் இருக்கிறது.

≡ என்ற குறியீடுட்டுக்குச் *சமானமானது* போன்ற பிற பயன்பாடுகளும் உண்டு

முற்றொருமை உறுப்பு
------------------

முதன்மைக் கட்டுரை: முற்றொருமை உறுப்பு
ஒரு கணம் *S* -ன் முற்றொருமை அல்லது முற்றொருமை உறுப்பு *e* என்பது *S* -லுள்ள எந்தவொரு உறுப்பு *a* -உடன் சேர்ந்து ஈருறுப்புச் செயலிக்குப் உட்படுத்தப்படும்போது கிடைக்கும் விடை *a* -ஆகவே இருக்குமாறுள்ள ஒரு உறுப்பாகும்.

{\displaystyle e\*a=a=a\*e\,}.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

* மெய்யெண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 0.

{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}

{\displaystyle 0+a=a,\,}
{\displaystyle a+0=a,\,} :{\displaystyle 0+0=0.\,}
* மெய்யெண்கள் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 1.

{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}
{\displaystyle 1\times a=a,\,}
{\displaystyle a\times 1=a,\,} and
{\displaystyle 1\times 1=1.\,}
* அணிகளின் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு முற்றொருமை அணி {\displaystyle \mathbf {I} .}
* அணிகளின் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு பூச்சிய அணி {\displaystyle \mathbf {0} .}

முற்றொருமைச் சார்பு
-------------------

முதன்மைக் கட்டுரை: முற்றொருமைச் சார்பு
*S* கணத்திலிருந்து *S* -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட முற்றொருமைச் சார்பு பொதுவாக {\displaystyle \mathrm {id} } அல்லது {\displaystyle \mathrm {id} \_{S}} எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இச்சார்பின் கீழ், *S* -ன் அனைத்து உறுப்புகளின் பின்னுருக்கள் அந்தந்த உறுப்புகளாகவே அமையும்.

*S* -ன் அனைத்து உறுப்புகள் *x* -க்கும்:

{\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}
{\displaystyle f\colon S\rightarrow S} என வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் கணத்திற்குச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து முற்றொருமை உறுப்பாக முற்றொருமைச் சார்பு அமையும்.
முற்றொருமைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு *முற்றொருமை வரிசை மாற்றமாகும்*. முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} அல்லது {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}\}} உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&\cdots &n\\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}&\cdots &n\end{pmatrix}}.}

ஒப்பிடல்
--------

முற்றொருமை என்பதன் வெவ்வேறு பயன்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புள்ளவையாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களின் குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து அமைகிறது.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* A Collection of Algebraic Identities