**லியோனார்டு ஆய்லர்** (*Leonhard Euler*, ஏப்ரல் 15, 1707 – செப்டம்பர் 18 [யூ.நா. செப்டம்பர் 7] 1783) என்பவர் சுவிட்சர்லாந்து நாட்டின் மிக புகழ் பெற்ற ஒரு கணிதவியல், மற்றும் அறிவியல் அறிஞர். இவர் யாவரைக்காட்டிலும் மிக அதிகமான அளவில் கணிதவியல் மற்றும் அறிவியல் ஆய்வுக் கண்டுபிடிப்புகள் செய்த பேரறிஞர். நுண்கணிதம் முதல் கோலக் கோட்பாடு வரையிலான கணிதத்துறையின் பல்வகைப்பட்ட பிரிவுகளில் ஈடுபாடு காட்டினார். இவருடைய கண்டுபிடிப்புகள் 70க்கும் மேலான எண்ணிக்கையில் பெரும் புத்தகங்களாக வெளிவந்துள்ளன. அதனிலும் அவருடைய கடைசி 17 ஆண்டுகள் முழுக்கண்ணும் தெரியாமல் அவர் வாயால் சொல்லி மற்றவர்கள் எழுதினார்கள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. உலகக்கணித வரலாற்றில் கணித இயலாளர்களின் பட்டியலில் ஆய்லருக்கு முதல் ஐந்தாறு இடங்களிலேயே ஓர் இடம் உண்டு. இவர் தற்காலக் கணிதத்துறையில் பயன்படும் பெரும்பாலான கலைச்சொற்களையும் குறியீடுகளையும் அறிமுகப்படுத்தினார். இவர் விசையியல் (mechanics), ஒளியியல், வானியல் ஆகிய துறைகளிலும் பங்களிப்புக்களைச் செய்துள்ளார். "ஆய்லரை வாசியுங்கள், ஆய்லரை வாசியுங்கள் அவரே எங்கள் எல்லோருக்கும் குரு" என்று பியரே-சைமன் லாப்பிளாஸ் கூறியதாகச் சொல்லப்படுகிறது.

ஆய்லரின் உருவப் படங்கள் சுவிஸ் 10 பிராங்க் நாணயத்தாளின் ஆறாவது தொடரிலும், சுவிட்சர்லாந்து, ஜெர்மனி, ரஷ்யா ஆகிய நாடுகள் வெளியிட்ட பல அஞ்சல் தலைகளிலும் இடம் பெற்றுள்ளன. 2002 ஆய்லர் என்னும் சிறுகோளின் பெயர் இவரது பெயரைத் தழுவியே வைக்கப்பட்டது. லூதரன் திருச்சபையும் இவரை தமது புனிதர்களின் நாட்காட்டியில், மே 24 ஆம் நாளில் இடம்பெறச் செய்து மதிப்பளித்தது. இவர் கிறிஸ்து சமயத்தை உறுதியாகப் பின்பற்றி வந்தார். அக்காலத்தில் பெயர் பெற்றிருந்த இறைமறுப்பாளர்களுக்கு எதிராக கடுமையாக வாதம் புரிந்துள்ளார்.

வாழ்க்கை
--------

ஆய்லர் சுவிட்சர்லாந்தில் உள்ள பாசெல் என்னுமிடத்தில் பவுல் ஆய்லர் என்பவருக்கும், மார்கரீட் புரூக்கர் என்பவருக்கும் மகனாகப் பிறந்தார். தந்தை பவுல் ஆய்லர் சீர்திருத்தத் திருச்சபையைச் சேர்ந்த ஒரு மதகுரு. தாயாரும் ஒரு குருவானவரின் மகளே. லியொனார்டுக்கு இரண்டு தங்கைகள் இருந்தனர். லியொனார்டு பிறந்ததுமே ஆய்லர் குடும்பத்தினர் பாசெல்லிலிருந்து ரீஹென் என்னும் நகருக்கு இடம் பெயர்ந்தனர். லியொனார்டு தனது சிறு பராயத்தின் பெரும் பகுதியை இந்நகரிலேயே கழித்தார். பவுல் ஆய்லர், அக்காலத்தில் ஐரோப்பாவில் பெயர் பெற்ற கணிதவியலாளரான ஜொஹான் பர்னோலி என்பவரின் குடும்பத்துக்கு நண்பராக இருந்தார். இது இளம் லியொனார்டின் கணித ஆர்வத்துக்குப் பெரும் பங்களிப்புச் செய்தது.

கணிதத்துடன் முதல் உரசல்
-----------------------

சுவிசர்லாந்தில் பிறந்த லியனார்ட் ஆய்லர் படித்த பள்ளியில் கணிதம் பாடமாகவே இல்லை. அதனால் கணிதத்தில் ஆர்வமுடைய இவருடைய தந்தை பால் ஆய்லர் இவரை ஜான் பெர்னோவிலி (1667 – 1748) என்ற ஒரு புகழ் பெற்ற கணிதப் பேராசிரியரிடம் தனி மாணவனாகப் பாடம் கற்றுக் கொள்ள அனுப்பித்தார். ஆனால் பெர்னோவிலி இவரை சனிக்கிழமைகளில் மாத்திரம் வரச்சொல்லி உன் சந்தேகங்களைக் கேட்டுக்கொள் என்று சொல்லிவிட்டார். அதுவே ஆய்லருக்கு ஒரு வரப் பிரசாதமாகியது. ஏனென்றால் கணிதம் கற்றுக் கொள்ள இதைவிட வேறு நல்ல வழி கிடையாது என்று ஆய்லரே பிற்காலத்தில் சொல்லியிருக்கிறர். அவருடைய உழைப்பையும் கத்திமுனை புத்தியையும் பார்த்த இன்னும் இரு பெர்னோவிலிகள்தான் (டேனியல் பெர்னோவிலி, நிக்கொலாஸ் பெர்னோவிலி இருவரும்) இவன் பெரிய கணித மேதையாவான் என்று கண்டுகொண்டு, மதப் படிப்பில் இவரை ஈடுபடுத்த முயன்ற தந்தையின் மனதை மாற்றினார்கள்.

இரு பெரிய அரச வள்ளல்கள்
-----------------------

பிரஷ்யாவின் மன்னர் (1740 – 1786) இரண்டாம் பிரெடெரிக்கும் ருஷ்யாவின் அரசி (1762 -1796) முதலாம் காதெரினும் கணித உலகத்திற்குச் செய்திருக்கும் சேவை சரித்திரப் பிரசித்தி பெற்றது. பெர்லினில் ஜெர்மானிய கலைக்கூடமும், செய்ண்ட் பீடர்ஸ்பர்க்கில் ருஷ்யக் கலைக்கூடமும் அக்காலத்தில் ஐரோப்பா முழுவதற்குமே கலை, விஞ்ஞானம் இவைகளுக்குத் தலையாயதாய் இருந்தது. அங்கு வேலை பார்த்த பெரிய விஞ்ஞானிகள் எல்லோரும் அரசுக்கு வேண்டியிருந்த ஆய்வுகளையோ அல்லது ஆசிரியத் தொழிலையோ செய்ததோடு மட்டுமல்லாமல், தம் தமக்குப் பிடித்திருந்த விஞ்ஞான ஆய்வுகளைச் செய்வதில் துடியாய் இருந்தனர். அப்படி இருப்பதற்கே அவர்கள் ஊதியம் பெற்றனர். இப்பேர்ப்பட்ட ஒரு சூழ்நிலையில் தான் ஆய்லர் அந்த இரண்டு கலைக்கூடங்களில் தன் ஆய்வுகளை நடத்தினார்.

ரஷ்யாவில் 13 ஆண்டுகள்
---------------------

ஆய்லரின் 250வது பிறந்த நாளையொட்டி சோவியத் ஒன்றியம் 1957 இல் வெளியிட்ட அஞ்சற்தலை
ஆய்லர் 1727 இல் செய்ண்ட் பீடர்ஸ்பர்க் கலைக்கூடத்தில் உடற்றொழிலியல் பிரிவில் உதவியாளராகப் பணி ஏற்றார். அரசியல் காரணங்களால் வெளி உலகில் மாற்றங்கள் ஏற்பட்டுக் கொண்டிருந்த அச்சமயம் அவர் கணிதப் பிரிவிலேயே பணி ஆற்றுவது கவனிக்கப்படாமலே போயிற்று. 1733 இல் டேனியல் பெர்னோவிலி விட்டுச் சென்றபோது ஆய்லர் இயற்பியல் பேராசிரியர் ஆனார். ஒரு எட்டு ஆண்டுகள் உழைத்து, நிலையியக்கவியலில் (Mechanics) இருபாகம் கொண்ட ஒரு நூல் ('மெக்கானிக்கா')உள்பட, 55 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் எழுதினார். இதற்கு நடுவில், அவர் அரசுக்காகச் செய்துகொண்டிருந்த வேலைகள்:

•ரஷ்யப் பள்ளிக்கூடங்களுக்கு கீழ் மட்டத்தில் பாட புத்தகங்கள் எழுதுவது;

•அரசின் பூகோளத்துறையை மேற்பார்வை பார்ப்பது;

•நிறைகளையும் அளவைகளையும் சீர்திருத்துவது;

•தராசுகளை தரம் பார்ப்பதற்கு புதுச்செய் முறைகளை உண்டாக்குவது, மற்றும்

•கப்பல் துறையிலுள்ள தொழில் நுட்ப விஞ்ஞானப் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க ஆய்வு செய்வது.

இத்தனையும் செய்வதில் அவர் ஒருபொழுதும் சளைத்ததே இல்லை. அவருக்கு குழந்தைகள் என்றால் பிடிக்குமாம். அவருக்கே 13 குழந்தைகள் (அவைகளில் ஐந்து தான் வளர்ந்து ஆளானவை). மடியில் ஒரு குழந்தையும் அவரைச் சுற்றி மற்ற குழந்தைகளும் விளையாடிக் கொண்டே இருக்கும்போதே தான் அவர் தன்னுடைய கணித ஆய்வுக் கட்டுரைகள் எழுதுவாராம். 1738 இல் அவருக்கு ஒரு கண் பார்வை போய்விட்டது.

கோனிக்ஸ்பெர்க் பாலங்கள்
-----------------------

1736 இல் ஆய்லர் மக்களின் கவனத்தை ஈர்த்த ஒரு பிரச்சினையை விளையாட்டுப்போல் எளிதில் விடுவித்தார். அந்த பிரச்சினையும் அதன் நிறுவலில் இருந்த தத்துவமும் மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு இடவியல், கோலக்கோட்பாடு என்ற இரண்டு தற்காலக் கணிதப் பிரிவுகளுக்கு அடிக்கோலிட்டது.

ஒரு ஆறு. அதில் இரண்டு பெரிய தீவுகள். படத்தில் காட்டியபடி ஆற்றின் குறுக்கே ஏழு பாலங்கள். ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கவேண்டும். போன பாலத்திலேயே இரண்டாம் முறை போகக்கூடாது. இது முடியுமா? இதுதான் பிரச்சினை. கோனிக்ஸ்பர்க் மக்களுக்கு இது உண்மைப் பிரச்சினை. ஏனென்றால் அவர்கள் ஊரில் தான் இத்தீவுகளும் பாலங்களும். மக்கள் நடந்து நடந்து சோதனை செய்தே அயர்ந்தனர். ஆய்லர் இதை நுண்பியப்படுத்தி கணித முறைத் தர்க்கத்தினால் விடுவித்தார். அவருடைய தீர்ப்பு: ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கமுடியாது. ஏன் என்பதற்கு படத்தைப் பார்ப்போம்.

 →
 →

ஆய்லர் கணித மரபுப்படி பிரச்சினையிலிருந்த சம்பந்தமில்லாத விஷயங்களை ஒதுக்கிவிட்டு, அதன் அடித்தளத்திலிருந்த உயிர் நாடிப்பிரச்சினையை வெளிக்கொணர்வதற்காக, பாலங்கள் பிரச்சினையை கோலம் மூலமாக எளிதாக்கினார். நிலப்பரப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியாகவும், பாலங்களை அவைகளை இணைக்கும் கோடுகளாகவும் (அவை நேர் கோடாக இருக்கவேண்டிய தேவையில்லை) செய்ததில் படத்தில் தெரிவதுபோல் ஒரு கோலமாகியது. 4 கோணப்புள்ளிகளும் 7 இணைக்கும் கோடுகளும் உள்ள இந்தக் கோலத்தில், ஒருபுள்ளியிலிருந்து 5 கோடுகளும் மற்ற 3 புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் 3 கோடுகளும் செல்கின்றன. இந்த சூழ்நிலைக்கு ஆய்லர் ஒரு கணிதத் தேற்றத்தையே நிறுவினார். அதாவது, எல்லா கோடுகளையும் கடக்கக்கூடிய ஒரு நடை இருக்க வேண்டுமென்றால், ஒன்று, எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள் கோடுகள் செல்லக்கூடாது, அல்லது, இரண்டே புள்ளிகளிலிருந்து ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்லவேண்டும்.

இந்த கோனிக்ச்பெர்க் பாலப்பிரச்சினையில், 4 புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்வதால், நடை சாத்தியமில்லை.

இதற்கும் இடவியலுக்கும் என்ன சம்பந்தமென்றால், இந்தப்பிரச்சினையில் புள்ளிகளிலிருந்து செல்லும் கோடுகள் எத்தனை என்ற ஒரே கேள்விதான் பிரச்சினையின் வேர். இந்த வேர் பிரச்சினையில் வேறு வடிவியல் விவகாரம் இல்லை. புள்ளிகளிலிருந்து எத்தனை கோடுகள் செல்கின்றது என்பது கோலத்தை எவ்வளவு கோணலாக்கினாலும் – அதாவது, கோடுகளை நீட்டி, மடக்கி, வளைத்தாலும் – மாறாமலிருக்கும் ஒரு எண். இந்த மாதிரி கருத்துகளைத்தான் இயற்கணித இடவியல் ஆய்வு செய்கிறது.

பெர்லின் கலைக்கூடத்தில் 25 ஆண்டுகள்
-----------------------------------

1741ம் ஆண்டு பெர்லின் கலைக்கூடத்தில் சேர்ந்தார். இங்கு அவருடைய கணித ஆய்வைத்தவிர அவர் செய்த மற்ற வேலைகள்:

•அரசுத்தோட்டங்களின் மேற்பார்வையும் மேம்படுத்தலும்;

•பரிசுச்சீட்டுகள் மேற்பார்வை;

•நாட்குறிப்புகளும் பூகோள வரைபடங்களும் (இதில் அரசுக்கு வருமானம் உண்டு)

•மக்கள்தொகையைப் பற்றிய ஆய்வும், ஆயுள்காப்பு முறைகளும்.

•நாணய மாற்று முறைகளும், ஓய்வு ஊதியங்களும்.

1748, 1755, 1768, 1770 களில் அவர் எழுதிய நுண்கணித நூல்கள் வெளிவந்த அக்கணமே ஐரோப்பா முழுதும் பரவி ஒரு நூற்றாண்டுக்குக் குறையாமல் கணித வல்லுனர்களுக்கு அது கைப்புத்தகமாகத் திகழ்ந்தது. 1744இல் அவர் எழுதிய மாறுபாடுகளின் நுண்கணிதம் (*Calculus of Variations*) அவரை கணிதமேதைகளில் முதல் வகுப்புக்கு ஏற்றியது,

திரும்பவும் செய்ண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்
-----------------------------------

அரசி காத்தரீன் ஆய்லருக்கு அரசமரியாதை செய்து வரவேற்றாள். இதற்கு முன்னமேயே 1760 இல் பெர்லினில் ஆய்லரின் பண்ணையும் சொத்தும் சூறையாடப்பட்டபோது ரஷ்ய-ராணி எலிசபெத் அவருக்கு அளவுக்கு அதிகமாகவே உதவி செய்திருக்கிறாள். ஏறக்குறைய இந்த சமயத்தில்தான் ஆய்லரின் மற்றொரு கண்ணில் காடராக்ட் ஏற்பட்டு சிறிது சிறிதாகக் கண் பார்வை மங்க ஆரம்பித்தது. மீதமிருந்த ஒரே கண்ணின் பார்வையும் போய்விடப் போகிறது என்ற சூழ்நிலையில், ஆய்லர் சிலேட்டில் பெரிய எழுத்தில் கணித வாய்பாடுகளை கண் மூடியே எழுதிப் பழகினார். பார்வை போனபின்பு அவர் இன்னும் அதிகமாகவே கணித ஆய்வில் ஈடுபட்டார். அவருடைய வியப்பூட்டும் நினைவாற்றலும் இதற்கு உதவி செய்தது.

கணிதத்தில் ஏற்படும் சாதாரண கணக்குகள் தவிர எந்த உயர்மட்ட கணக்குகளையும் அவர் எவ்வளவு தூரம் மனதாலேயே செய்தார் என்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஆய்லருடைய இரு மாணவர்கள் ஒரு கடினமான ஒருங்குத் தொடரை (convergent series) 17 உறுப்புகள் வரையில் கூட்டுத்தொகை கண்டுபிடிக்க முயன்றபோது, இருவர் விடைகளும் 50 வது இலக்கத்தில் ஒரு எண்ணளவு வித்தியாசம் காட்டின. இதை சரிபார்ப்பதற்காக ஆய்லரிடம் வந்தபோது அவர் மனதாலேயே கணிப்பு செய்து சரியான விடையைப் பகர்ந்தார். இந்த சாமர்த்தியமெல்லாம் அவருக்கு கண் போனபோது மிகவும் உதவியது.

இடவியலுக்கு விதை
----------------

1640 இலேயே டேக்கார்ட் யால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, திரும்பவும் ஆய்லரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின்வரும் ஒரு வாய்பாடு தான் இருபதாவது நூற்றாண்டின் இடவியலுக்கு ஒருவிதத்தில் மூல விதையாகியது என்று சொல்வதுண்டு.

V - E + F = 2

என்ற இந்த வாய்பாடு ஒரு சாதாரண பன்முகியைப் பற்றியது. V, E, F மூன்றும் முறையே கோண உச்சிகள், விளிம்புகள், முகங்கள் இவைகளுடைய எண்ணிக்கை. இந்த வாய்பாடு அவைகளின் எண்ணிக்கையை மட்டும் கவனிப்பதால், பன்முகியை ரப்பரால் செய்து அதை பலவிதமாகவும் மாற்றி அமைத்தாலும் இவ்வாய்பாட்டில் மாறுதல் ஏற்படாது. கோனிக்ச்பெர்க் பாலப் பிரச்சினையை ஆய்லர் தெளிவாக்கியது போல் இதைத் தெரிந்து கொண்டு தெளிவுபெற்றது தான் இடவியலின் தொடக்கம். புவான்காரெ காலத்தில் ஏற்பட்டது.

கணித முடிவுகளைப் பிரசுரிப்பதில் ஒரு திருப்புமுனை
------------------------------------------------

ஆய்லரின் காலம் வரையில், குறிப்பாக ஃபெர்மா முதலியோர் காலத்தை ஒப்பிட்டால், கணிதமுடிவுகள் அவரவர்களின் ரகசியச் சொத்தாக இருந்து வந்தன. ஆய்லரின் ஏராள பிரசுரங்களில் தன் முடிவுகளை அறிவித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், அவைகளை அடைவதற்கு தான் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட முயற்சிகளையும், அவை தோல்வியடைந்த விபரங்களையும் அதன் காரண காரியங்களையும் விவரித்து எழுதினார். சில வழிமுறைகள் எவ்விதம் பயனில்லாமல் போயின என்பதை அலசினார். ஏற்கனவே மற்றவர்கள் எழுதிவிட்டுப் போயிருந்த கட்டுரைகளையும் விமரிசித்து பல தவறுகளைத் திருத்தினார். இவைகளுக்கெல்லாம் அவர் காலத்தில் தோன்றிய கணித ஆய்வுப் பத்திரிகைகளும் கழகங்களும் ஒரு காரணமாக விளங்கின. இதைத் தவிர ஆய்லர் கணிதத் துறையின் பல பிரிவுகளின் அன்றைய நிலையைப் பற்றி பொதுக்கட்டுரைகள் பல எழுதினார். கணித உலகத்தில் இவையெல்லாம் புது முன்மாதிரிகளாக அமைந்தன.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு
* கணிதத்தின் நிலைப்பிகள்
* ஆய்லர் மாறிலி
* ஆய்லர் திட்டம்

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Heinrich Tietze. Famous Problems of Mathematics. 1965.p.288

துணை நூல்கள்
------------

•E.T. Bell. Men of Mathematics. 1937, 1965. Simon & Schuster, New York. ISBN 0-671-46401-9

•R. Parthasarathy. Paths of Innovators. 2000. East West Books (Madras) Pvt. Ltd. Chennai ISBN 81-8685-40-1

•Richard Courant and Herbert Robbins. What is Mathematics? 1941 O.U.P. New York. ISBN 0-19-502517-2 pbk

* Heinrich Tietze. Famous Problems of Mathematics. 1965 Graylock Press. Baltimore.

•V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. 1990. Wiley Eastern Limited. New Delhi. ISBN 81-224-0272-0