கணிதத்தில் வரிசைமாற்றங்களை சுழல்களின் சேர்வைகளாக மட்டுமல்ல, வெட்டாத (disjoint)சுழல்களின் சேர்வைகளாகக் குறிகாட்டலாம். இப்படிச் செய்வதால் வரிசைமாற்றங்களின் பண்புகள் எளிதாக்கப்படுகின்றன. **வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு** (Cycle Structure of a Permutation) வரிசைமாற்றக் குலங்களின் கோட்பாட்டில் ஒரு அடித்தளக் கருத்து.

வரிசைமாற்றங்களின் சேர்வைக்கு எடுத்துக்காட்டு
--------------------------------------------

{1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}}
என்றால்,

{\displaystyle \sigma \circ \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&2&5&3\end{pmatrix}}}
அதாவது, முதலில் {\displaystyle \tau }; பிறகு {\displaystyle \sigma }. வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. இதை மாற்றிச்சொல்லும் நூல்களும் பழக்கமும் உண்டு. ஆனால், குழப்பமில்லாமலிருப்பதற்காக இக்கட்டுரையில் ஒரே வழி பின்பற்றப்படுகிறது.

{\displaystyle \sigma \circ \tau } வை {\displaystyle \sigma \tau } என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

சமச்சீர் குலம்
--------------

n பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் {\displaystyle S\_{n}} என்று குறிக்கப்படும். இதனில் {\displaystyle n!} வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது **n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம்** (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது {\displaystyle n!} உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

{\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}}.
மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. ::{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}} என்றால் அதன் நேர்மாறு

= {\displaystyle \sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&3&2&1\end{pmatrix}}}

சுழல்
-----

{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}a\_{1}&a\_{2}&\dots &a\_{n}\\\sigma (a\_{1})&\sigma (a\_{2})&\dots &\sigma (a\_{n})\end{pmatrix}}} என்ற வரிசைமாற்றத்தை
{\displaystyle a\_{1}\rightarrow \sigma (a\_{1})\rightarrow \sigma (\sigma (a\_{1}))......}என்று எழுதும்போது தொடக்கப்பொருளும் முடிவுப்பொருளும் ஒன்றாக இருந்தால் அவ்வரிசைமாற்றம் **சுழல்** எனப்படும்.
எ.கா.: {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&3&4&1&2\end{pmatrix}}}

இதனில் {\displaystyle 1\rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1} என்ற கணக்கில் பொருள்கள் மாறுகின்றன.

இதே சுழலை எளிதான முறையில் (15234) என்றும் குறிப்பிடலாம். ஆனால் இப்படி எழுதும்போது, இதையே ஐந்து விதமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது கவனத்துக்குரியது. அதாவது,

(15234) = (52341) = (23415) = (34152) =(41523).
வேறு விதமாகச்சொன்னால், ஒரு சுழலை எந்த உறுப்பிலும் தொடங்குவதாகக் காட்டலாம். ஒரு சுழலின் 'நீளம்' என்பது அதனில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையே.

வரிசைமாற்றக் குலத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு **கிரமம்** (Order) உண்டு. **ஒரு உறுப்பின் 'கிரமம்' என்பது அதன் எத்தனையாவது அடுக்கு முற்றொருமையாகும் என்பதைச் சொல்வது**. ஒரு சுழலின் கிரமம் அதனுடைய நீளத்திற்குச் சமம். {\displaystyle S\_{5}} இல் {\displaystyle \sigma } = (15234) இன் கிரமம் 5; ஏனென்றால்

{\displaystyle (\sigma )^{5}=e}
ஒரே உறுப்புள்ள சுழல், அவ்வொரு உறுப்பை நிலைப்படுத்துகிறது என்று பொருள்.

வெட்டாத சுழல்கள்
----------------

சுழல்களின் சிறப்புகளில் முக்கியமானது பின்வரும் பண்பு:

{\displaystyle S\_{n}} இல் முற்றொருமையல்லாத எந்த வரிசைமாற்றத்தையும் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டலாம்.
எ.கா.: {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\6&4&3&9&1&5&7&2&8\end{pmatrix}}} = {\displaystyle (165)(2498)(3)(7)}

வெட்டாத சுழல்கள் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றக்கூடியது. எ.கா. {\displaystyle (165)(2498)=(2498)(165)}

ஒரு வரிசைமாற்றம் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் குறிகாட்டப்பட்டால் அதனுடைய அடுக்குகளையும் நேர்மாறையும் எளிதில் குறிப்பிட்டுவிடலாம்.

எ.கா.: {\displaystyle \sigma =(3)(7)(165)(2498)}

{\displaystyle (\sigma )^{-1}=(3)(7)(561)(2894)}
{\displaystyle (\sigma )^{2}=(3)(7)(156)(48)(92)}
{\displaystyle (\sigma )^{3}=(3)(7)(1)(6)(5)(4289)}
{\displaystyle (\sigma )^{4}=(3)(7)(165)(4)(2)(8)(9)}
{\displaystyle (\sigma )^{5}=(3)(7)(156)(2498)}
.........
{\displaystyle (\sigma )^{12}=(3)(7)(1)(6)(5)(4)(2)(8)(9)} = {\displaystyle e}
* வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டப்பட்ட ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கிரமம் அச்சுழல்களின் நீளங்களுடைய அதமப் பொதுமடங்கு.

எ.கா.: (3)(7)(165)(2498) இன் கிரமம் 1,3,4 இவைகளின் அ.பொ.ம. , அதாவது 12.

(23)(1456) இன் கிரமம் 2,4 இவைகளின் அ.பொ.ம. அதாவது 4.

சுழலமைப்பு
----------

ஒரு வரிசைமாற்றத்தை வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக்குறிகாட்டும்போது அதனில்

நீளம் 1 உள்ள {\displaystyle \lambda \_{1}} சுழல்களும்
நீளம் 2 உள்ள {\displaystyle \lambda \_{2}} சுழல்களும்
நீளம் 3 உள்ள {\displaystyle \lambda \_{3}} சுழல்களும்
......
நீளம் {\displaystyle k} உள்ள {\displaystyle \lambda \_{k}} சுழல்களும்
இருக்குமானால், அதனுடைய **சுழலமைப்பு**

{\displaystyle 1^{\lambda \_{1}}2^{\lambda \_{2}}3^{\lambda \_{3}}...k^{\lambda \_{k}}}
எனப்படும். ஏதாவதொரு {\displaystyle \lambda } 1 ஆக இருந்தால், அந்த 1ஐக் குறிக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.

எ.கா. {\displaystyle \tau =(3)(7)(561)(2894)}. இதன் சுழலமைப்பு {\displaystyle 1^{2}34}

**தேற்றம்**: ஒரே சுழலமைப்புள்ள வரிசைமாற்றங்களின் கிரமங்கள் சமம்.

ஏனென்றால், சுழல்களின் நீளங்களைப் பொருத்தது தான் கிரமம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* வரிசைமாற்றம்