சார்பு ƒ மற்றும் அதன் நேர்மாறு ƒ–1. ƒ, *a* -ஐ 3 -ஆக மாற்றுகிறது. அதன் நேர்மாறு ƒ–1, மறுபடி 3 -ஐ *a* -ஆக மாற்றுகிறது.
கணிதத்தில் **நேர்மாறுச் சார்பு** (*inverse function*) என்பது ஒரு சார்பினால் ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். *x* எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு *y* எனில் நேர்மாறுச் சார்பு *g* ஆனது *y* -ஐ உள்ளிடாகவும் *x* -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:

ƒ(*x*)=*y* எனில், *g*(*y*)=*x*.
இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் *g*(ƒ(*x*))=*x* எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, *g*(*x*) சார்பை ƒ(*x*) சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி *x* -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.

ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு *நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு* எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ−1 (வாசிக்க: *f -ன் நேர்மாறு*. இக்குறியீட்டைத் தவறாக ƒ -ன் அடுக்கு -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)

வரையறை
------

 ƒ சார்பு *X* கணத்தை *Y* கணமாக மாற்றினால் ƒ–1 மறுபடியும் *Y* கணத்தை *X* கணமாக மாற்றுகிறது.
ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X*, வீச்சு *Y* எனில்:

*Y* -ஐ ஆட்களமாகவும் *X* -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,
{\displaystyle f(x)=y\,\,{\text{if and only if}}\,\,g(y)=x{\text{.}}\,\!}
என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு *g* இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். *g* சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ−1.
ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவு அச்சார்பின் வீச்சு *Y* -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு *y* ∈ *Y* -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (*x* ∈ *X*) எதிருருறுப்பாக இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்புகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

### நேர்மாறல் சார்பும் எதிர்மாறல் சார்பும்

*நேர் மாறல் சார்பு* :

{\displaystyle y=kx.}
இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல். பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல். பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.

*எதிர்மாறல் சார்பு*: 

{\displaystyle y=kx.}
### வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும்

வர்க்கச் சார்பு:

{\displaystyle f(x)=x^{2}}
வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலச் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும்

ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் *X*, வீச்சு *Y* எனில்:

{\displaystyle f^{-1}\left(\,f(x)\,\right)=x,\forall x\in X{\text{.}}}
சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle f^{-1}\circ f=\mathrm {id} \_{X}{\text{,}}}
இதில் id*X* என்பது *X* கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.

### குறியீடு பற்றி ஒரு குறிப்பு

ƒ−1(*x*), ƒ(*x*)−1 இரண்டும் ஒன்றல்ல. ƒ−1(*x*) -லுள்ள "−1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே தொடரும் சார்புகளும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ2 என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

ƒ(*x*) = *x*2 − 1 எனில்:

ƒ2(*x*) = ƒ(ƒ(*x*)) = ƒ(*x*2 − 1) = (*x*2 − 1)2 − 1 = *x*4 − 2*x*2.

குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x).}
நுண்கணிதத்தில், ƒ(*n*) என்பது ƒ சார்பின் *n* -ம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,

{\displaystyle f^{(2)}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x).}
முக்கோணவியலில் sin2 *x* என்பது வழக்கமாக sin *x* -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:

{\displaystyle \sin ^{2}x=(\sin x)^{2}.\,\!}
எனினும் sin−1 *x* என்பது sin *x* -ன் பெருக்கல் தலைகீழியைக் குறிப்பதில்லை, மாறாகச் சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் "arc" என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பானது sin−1 *x* என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

{\displaystyle \sin ^{-1}x=\arcsin x.\,\!}
 (sin *x*)–1 என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி csc *x*:

{\displaystyle \csc x=(\sin x)^{-1}={\frac {1}{\sin x}}.\,\!}

பண்புகள்
--------

### தனித்தன்மை

ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.

### சமச்சீர்

ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.

ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y* கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் ஆட்களம் *Y* கணமாகவும் வீச்சு *X* கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ−1 -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.

ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y*. *g* சார்பின் ஆட்களம் *Y* மற்றும் வீச்சு *X* எனில்:

{\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} \_{X}} எனில்
{\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} \_{Y}} ஆகும்.
ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

{\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.\,\!}
 *g* o ƒ  -ன் நேர்மாறு  ƒ–1 o *g*–1.
இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:

{\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}
இதில் *g* மற்றும் *f* -ன் வரிசை மாறுகிறது. *f* -ஐ தொடர்ந்த *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் *f* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

*f*(*x*) = 3*x*
*g*(*x*) = *x* + 5.
சேர்ப்பு சார்பு  *g* o *f* என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:

{\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5}
இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:

{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}(y-5)}
இது  (*f*–1 o g–1) (*y*) என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.

### தன் நேர்மாறு

*X* என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:

{\displaystyle \mathrm {id} \_{X}^{-1}=\mathrm {id} \_{X}}
பொதுவாகச் சார்பு  ƒ: *X* → *X* -க்கு, 

ƒ o ƒ = id*X* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.

நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள்
-----------------------------------

ஒரு-மாறி நுண்கணிதத்தில் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:

{\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.\,\!}
சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:

| சார்பு ƒ(*x*) | நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1(*y*) | குறிப்புகள் |
| --- | --- | --- |
| *x* + *a* | *y* – *a* |  |
| *a* – *x* | *a* – *y* |  |
| *mx* | *y* / *m* | *m* ≠ 0 |
| *1 / x* | *1 / y* | *x*, *y* ≠ 0 |
| *x*2 | {\displaystyle {\sqrt {y}}} | *x*, *y* ≥ 0 மட்டும் |
| *x*3 | {\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}} | *x* மற்றும் *y* மீது கட்டுப்பாடு இல்லை |
| *x**p* | *y*1/*p* (i.e. {\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}) | பொதுவாக *x*, *y* ≥ 0 , *p* ≠ 0 |
| *e**x* | ln *y* | *y* > 0 |
| *a**x* | log*a* *y* | *y* > 0 and *a* > 0 |
| முக்கோணவியல் சார்புகள் | நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் | கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி\* |

* 

| சார்பு | வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு |
| --- | --- |
| sin−1 | –π⁄2 ≤ sin−1(*x*) ≤ π⁄2 |
| cos−1 | 0 ≤ cos−1(*x*) ≤ π |
| tan−1 | –π⁄2 < tan−1(*x*) < π⁄2 |
| cot−1 | 0 < cot−1(*x*) < π |
| sec−1 | 0 ≤ sec−1(*x*) ≤ π |
| csc−1 | −π⁄2 ≤ csc−1(*x*) ≤ π⁄2 |
|

### நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு

*y* = ƒ(*x*) என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து *x* -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}\,\!}
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}
நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.\,\!}
சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)=x-\sin x,\,\!}
இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

{\displaystyle f^{-1}(y)=\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {y^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim \_{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right)}
### நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம்

*y* = ƒ(*x*) and *y* = ƒ–1(*x*) சார்புகளின் வரைபடம். இடையிட்டக் கோடு: *y* = *x*.
{\displaystyle y=f(x)} எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வரைபடம் {\displaystyle x=f(y)} எனும் சமன்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கும்.
இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு *y* = ƒ(*x*) என்பதில் *x* மற்றும் *y* இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் *x* மற்றும் *y*, அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ−1 -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் *y* = *x* கோட்டில் பிரதிபலிப்பதற்குச் சமம்.

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும்

ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)=x^{3}+x\,\!} இச்சார்பின் வகைக்கெழு:
{\displaystyle f\prime (x)=3x^{2}+1\,\!} இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.
சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில்,  ƒ′(*x*) ≠ 0 என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:

{\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.}
*x* = ƒ–1(*y*) எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}

நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள்
--------------------------------------------------

* ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:

{\displaystyle f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;\,\!}
இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:

{\displaystyle f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),\,\!}
{\displaystyle f^{-1}\left(\,f(C)\,\right)=f^{-1}\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)={\tfrac {5}{9}}\left(\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)-32\right)=C{\text{, for every }}C{\text{.}}}
* ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.

ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.

அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.

எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

* {\displaystyle f({\text{mathivathani}})=2005,} {\displaystyle f^{-1}(2005)={\text{mathivathani}}}
* {\displaystyle f({\text{poonkuzali}})=2007,} {\displaystyle f^{-1}(2007)={\text{poonkuzali}}}
* {\displaystyle f({\text{yaazhini}})=2009,} {\displaystyle f^{-1}(2009)={\text{yaazhini}}}

பொதுமைப்படுத்தல்
----------------

### பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள்

ƒ(*x*) = *x*2 -ன் பகுதி நேர்மாறுச் சார்பு *x* -ன் வர்க்கமூலம் காணும் சார்பு.
சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு *பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை* வரையறுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle f(x)=x^{2}\,\!}
{\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ,} இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை  *x* ≥ 0 எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:{\displaystyle f\colon \mathbb {R^{+}} \rightarrow \mathbb {R} } என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.
{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}
### இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்

* ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *இடது நேர்மாறுச் சார்பு*  *g* : *Y* → *X* என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

{\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} \_{X}.\,\!}
அதாவது சார்பு *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

{\displaystyle f(x)=y} எனில்
{\displaystyle g(y)=g(f(x))=x.}
ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f−1 ஆகவும் வீச்சிலில்லாத *Y* கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு *g* அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

* ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *வலது நேர்மாறுச் சார்பு*  *h* : *Y* → *X* என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

{\displaystyle f\circ h=\mathrm {id} \_{Y}.\,\!}
அதாவது சார்பு *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.

{\displaystyle h(y)=x} எனில்
{\displaystyle f(x)=f(h(y))=x.}
சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )}
{\displaystyle f(x)=x^{2},} {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,} மற்றும்
{\displaystyle g\colon [0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle g(x)={\sqrt {x}},} x≥0 எனில்:
{\displaystyle f(g(x))=x,} {\displaystyle \forall x\in [0,\infty ),}
அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு *g*. ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :{\displaystyle g(f(-1))=1\not =-1.}

மேற்கோள்கள்
-----------

* Spivak, Michael (1994), *Calculus* (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
* Stewart, James (2002), *Calculus* (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7