கணிதத்தில் **புள்ளிப் பெருக்கல்** என்பது இரு திசையன்களுக்கு இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே (**R**) தவிர ஒரு திசையன் அல்ல. மாறாக இதே இரு திசையன்களைக் கொண்டு செய்யும் குறுக்குப் பெருக்கலில் கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு திசையன் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது யூக்ளீடிய இட வெளியில் உள்முகப் பெருக்கல் எனப்படும்.

வரையறை
------

**a**, **b** என்னும் இரு திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு திசையன்களும் திசையன் வெளியில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம். ஈவிரு திசையன்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால்
**a** = [*a*1, *a*2, … , *a**n*] மற்றும் **b** = [*b*1, *b*2, … , *b**n*], புள்ளிப்பெருக்கலானது:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}b\_{i}=a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+\cdots +a\_{n}b\_{n}}
மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு திசையன்கள் [1, 3, −5] மற்றும் [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
அணி கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த திசையன்களை *n*×1 அணிகளாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} \,}
மேலுள்ளதில் **a**T **a** யின் அணித் திருப்பம் என்பதைக் குறிக்கும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1×3 அணி (இங்கு திசையனைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3×1 அணி (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது 1×1 அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.):

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}.}

வடிவவியல் விளக்கம்
------------------

|**a**|•cos(θ) என்பது **b**யின் மீது படியும் **a**யின் படிநிழல்
யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. **a** என்னும் திசையன் தொடர்பாக **a**•**a** என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது திசையன் **b** ஆக இருக்குமானால்

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,}
மேலுள்ளதில் |**a**| யும் |**b**| யும் **a** மற்றும் **b** நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும். θ என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும்.

|**a**|•cos(θ) என்பது **b** யின் மீது படியும் **a** யின் நிழல் ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது **b** யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் **a** யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம்.

cosine 90° இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). **a** , **b** ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பைத் தரும். எனவே இரு திசையன்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்:

{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).}

இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கல்
------------------------------

இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

* செய்யப்படும் வேலை என்பது விசை, நகரும் தொலைவு ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (திசையன் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.

சில பண்புகள்
------------

**a**, **b**, மற்றும் **c** ஆகிய மூன்றும் திசையன்களாக இருப்பின், *r* என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்:

புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative):

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}
புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear):

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}
புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive): 

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}
பரும அளவால் பெருக்கப்பட்டால் புள்ளிப்பெருக்கல் கீழ்க்காணும்படி இயங்கும்: 

{\displaystyle (c\_{1}\mathbf {a} )\cdot (c\_{2}\mathbf {b} )=(c\_{1}c\_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}
(இந்த கடைசி இரண்டு பண்புகளும் முதல் இரண்டு பண்புகளில் இருந்து பெறப்படும்).

* **a** • **b** = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, திசையன்கள் **a** மற்றும் **b** இரண்டும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

சாதாரண எண்களின் நீக்கல்விதி:

*ab* = *ac* எனில் *b* = *c*. (*a* ≠ 0) இவ்விதி புள்ளிப் பெருக்கத்திற்குப் பொருந்தாது.
திசையன்களுக்கு:

**a** • **b** = **a** • **c** மற்றும் **a** ≠ **0** எனில்,
**a** • (**b** − **c**) = 0 (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)
எனவே **a** மற்றும் (**b** − **c**) திசையன் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைகின்றன. இம்முடிவினால்:

(**b** − **c**) ≠ **0**, அதாவது **b** ≠ **c**.

அணிக் கணித ஒப்புரு
------------------

உள்முக பெருக்கலை அணிக் கணித ஒப்புரு வழிக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக இரு திசையன்ங்கள்:

{\displaystyle \mathrm {a} ={\begin{bmatrix}a\_{u}\\a\_{v}\\a\_{w}\end{bmatrix}},\mathrm {b} ={\begin{bmatrix}a\_{u}\\a\_{v}\\a\_{w}\end{bmatrix}}}
என்பதை அடிப்படைக் கணம் வழிக் குறிப்பிடலாம்.

{\displaystyle \mathrm {S} }:

{\displaystyle \mathrm {S} =\{\mathrm {u} ,\mathrm {v} ,\mathrm {w} \}=\{{\begin{bmatrix}u\_{1}\\u\_{2}\\u\_{3}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}v\_{1}\\v\_{2}\\v\_{3}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}w\_{1}\\w\_{2}\\w\_{3}\end{bmatrix}}\}}
இதன் எந்த உள்முகப் பெருக்கலையும் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:

{\displaystyle <\mathrm {a} ,\mathrm {b} >=\mathrm {a^{T}} \cdot \mathrm {M} \cdot \mathrm {b} }
இங்கு உள்முகப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் 3x3 அணி {\displaystyle \mathrm {M} }

{\displaystyle \mathrm {S} } மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி {\displaystyle \mathrm {C\_{S}} } எனில், {\displaystyle \mathrm {M} } -ன் மதிப்பைப் பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்:

{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} ={\begin{bmatrix}<u,u>&<u,v>&<u,w>\\<v,u>&<v,v>&<v,w>\\<w,u>&<w,v>&<w,w>\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u^{T}\cdot M\cdot u&u^{T}\cdot M\cdot v&u^{T}\cdot M\cdot w\\v^{T}\cdot M\cdot u&v^{T}\cdot M\cdot v&v^{T}\cdot M\cdot w\\w^{T}\cdot M\cdot u&w^{T}\cdot M\cdot v&w^{T}\cdot M\cdot w\end{bmatrix}}}

### எடுத்துக்காட்டுகள்

அடிப்படைக் கணங்களைக் கீழ்க்காணுமாறு கொடுத்தால்

{\displaystyle \mathrm {S} =\{\mathrm {u} ,\mathrm {v} ,\mathrm {w} \}=\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}\}}
{\displaystyle \mathrm {S} } மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி:

{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} ={\begin{bmatrix}5&2&0\\2&6&2\\0&2&7\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} }-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பின்வருமாறு இரு அடிப்படைத் திசையன்களின் உள்முகப் பெருக்கலுக்குச் சமப்படுத்தலாம்.

{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} [i,j]=<\mathrm {S} [i],\mathrm {S} [j]>}
{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} [0,0]=5=<\mathrm {u} ,\mathrm {u} >={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}\cdot \mathrm {M} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \mathrm {C\_{S}} [0,1]=2=<\mathrm {u} ,\mathrm {v} >={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}\cdot \mathrm {M} \cdot {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \cdots }
இது ஒன்பது சமன்பாடுகளையும் ஒன்பது மதிப்பறியா மாறிகளையும் தருகிறது.

இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:

{\displaystyle \mathrm {M} ={\begin{bmatrix}5&-3&-2\\-3&7&-2\\-2&-2&9\end{bmatrix}}}

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Dot product", *MathWorld*.
* A quick geometrical derivation and interpretation of dot product
* Interactive GeoGebra Applet
* Java demonstration of dot product
* Another Java demonstration of dot product
* Explanation of dot product including with complex vectors
* "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.