கணிதத்தில் ஒரு **அடிப்படை ஆதாரம்** (*elementary proof*) என்பது அடிப்படை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு கணித நிறுவல் ஆகும். மேலும் குறிப்பாக, சிக்கலான பகுப்பாய்வின் பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்தாத சான்றுகளைக் குறிப்பிடுவதற்காக எண் கோட்பாட்டில் இந்த சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில நேரங்களில், பகா எண் கோட்பாடு போன்ற சில கோட்பாடுகளை "உயர்" கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே நிரூபிக்க முடியும். எனினும், காலப்போக்கில், இந்த முடிவுகள் பல அடிப்படையான நுட்பங்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி நிருபிக்கப்பட்டுள்ளன.

இதன் பொருள் எப்போதுமே துல்லியமாக வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும், இந்த சொல் பொதுவாக கணித வாசகங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு அடிப்படை ஆதாரம் அவசியம் எளிதானது அல்ல, புரிந்து கொள்ள எளிதாக இருக்கும்: சில அடிப்படை ஆதாரங்கள் மிகவும் சிக்கலான முடியும்.

பகா எண் தேற்றம்
---------------

பகா எண் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அடிப்படை மற்றும் அடிப்படை அல்லாத சான்றுகளுக்கு இடையே வேறுபாடு இருப்பதாக முக்கியமாக கருதப்படுகிறது. இந்தக் தேற்றம் 1896 ஆம் ஆண்டில் முதன்முதலில் சாக் அதாமார்ட் மற்றும் சார்லசு சீன் டி லா வள்ளி-பௌசுசின் ஆகியோரால் சிக்கலான பகுப்பாய்வு மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டது. பல கணிதவியலாளர்கள் பின்னர் தத்துவத்தின் அடிப்படை ஆதாரங்களைத் தயாரிக்க முயன்றனர். சி. எச். ஆர்டி வலுவான இட ஒதுக்கீட்டை வெளியிட்டார்: அவர் முடிவுகளின் அத்தியாவசிய "ஆழம்" அடிப்படை ஆதாரங்களை நிராகரித்தது என்று கருதினார்: 

> பகா எண் தேற்றம் எந்த அடிப்படை ஆதாரமும் இல்லை, மற்றும் ஒன்றை கேட்கலாம் அதை எதிர்பார்பதை நியாயமாது என்பதை.. இப்போது அந்த தேற்றம் ஒரு பகுப்பாய்வு சார்பின் தேற்றத்திற்கு தோராயமாக சமமானதாக இருக்கிறது, ரிமானின் சீட்டா செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட வரியில் வேர்கள் இல்லை என்று தேற்றம் உள்ளது. அத்தகைய ஒரு தேற்றத்தின் ஆதாரம், செயல்பாட்டுக் தேற்றத்தின் அடிப்படையிலேயே சார்ந்து இருக்கவில்லை, அசாதாரணமான சாத்தியம் எனக்குத் தோன்றுகிறது. ஒரு கணித தேற்றத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் நிரூபிக்க முடியாது என்பது உறுதி செய்யத் துடிப்பாகும்; ஆனால் ஒன்று தெளிவாகத் தெரிகிறது. தேற்றத்தின் தர்க்கத்தை பற்றி சில கருத்துக்கள் உள்ளன; நாம் சில தேற்றங்கள், நாம் "ஆழமான பொய்" மற்றும் மற்றவர்கள் மேற்பரப்பில் நெருக்கமாக என்று சொல்கிறது. பகா எண் தேற்றம் ஒரு அடிப்படை ஆதாரத்தை யாராவது தயாரிக்கிறார்களானால், இந்த கருத்துக்கள் தவறானவை என்று அவர் காண்பிப்பார், நாம் கூறும் விதத்தில் பொருள் ஒன்றிணைக்கப்படாமல், புத்தகங்களை ஒதுக்கி வைக்கவும், திருத்தியமைக்கப்பட வேண்டும்.
> 
> —சி. எச். ஆர்டி (1921). விரிவுரையாளர் கோபன்கேகனில் கணிதவியல் சங்கம். கோல்ட்பெல்ட் (2003), ப. 3
> 

இருப்பினும், 1948 ஆம் ஆண்டில், அட்லெல்பெர்க் புதிய முறைகளை உருவாக்கி, பகா எண் தேற்றத்தின் அடிப்படை ஆதாரங்களை கண்டுபிடித்தார்.

பல-தத்துவார்த்த விளைவின் ஆதாரத்துடன் தொடர்புடைய "அடிப்படை" என்ற கருத்தின் ஒரு சாத்தியமான முறையானது, பீனோ கணிதத்தில் சான்றுகள் மேற்கொள்ளப்படக்கூடிய கட்டுப்பாடு ஆகும். இந்த அர்த்தத்தில், இந்த  அடிப்படை ஆதாரமாகும்.

பிரீடுமேனின்  அனுமானங்கள்
-------------------------

ஆர்வி பிரீடுமேன், "கணித ஆண்டுத்தொகுப்பேடுகளில் வெளியிட்ட ஒவ்வொரு கோட்பாடும், அதன் அறிக்கையானது மட்டுமே கணித பொருள்களை உள்ளடக்கியது. இதனை அடிப்படை எண்கணிதத்தில் நிரூபிக்க முடியும்" இந்த அனுமானத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள அடிப்படை எண்கணிதத்தின் வடிவம் முழுமையான எண்கணித மற்றும் கணித தூண்டுதல் பற்றிய சிறிய தொகுதிகள் ஆகும். உதாரணமாக, இந்த அனுமானத்தின் படி, பெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் ஒரு அடிப்படை ஆதாரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்; பெர்மாவின் கடைசி கோட்பாட்டின் துல்லியமான ஆதாரம் அடிப்படை அல்ல. எனினும்,  இந்த கோட்பாட்டில் நிரூபிக்க முடியாத வகையில், அதிவேக விரிவான சார்புகள் இருப்பதைப் போன்ற எண்கணிதம் பற்றிய மற்ற எளிய அறிக்கைகள் உள்ளன.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Diamond, Harold G. (1982), "Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers", *Bulletin of the American Mathematical Society*, **7** (3): 553–89, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15057-1, MR 0670132.
2. ↑  Goldfeld, Dorian M. (2003), *The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective* (பி.டி.எவ்), p. 3, October 31, 2009 அன்று பார்க்கப்பட்டது
3. ↑  Avigad, Jeremy (2003), "Number theory and elementary arithmetic" (PDF), *Philosophia Mathematica*, **11** (3): 257, at 258, doi:10.1093/philmat/11.3.257.