கணிதத்தில் **தொடர்ச்சியான சார்பு** (*continuous function*) என்ற கருத்தினை எளிதாகப் புரிந்து கொள்வதற்கு, உள்ளீடுகளில் ஏற்படும் சிறிய மாற்றங்களுக்கு வெளியீடுகளிலும் சிறிய மாற்றங்களைக் கொண்ட சார்பு, ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு எனக் கொள்ளலாம். அவ்வாறில்லாத சார்பு, **தொடர்ச்சியற்ற சார்பு** (*discontinuous function*) எனப்படும். ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பும் தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் அச் சார்பு *இரட்டைத் தொடர்ச்சியானது (bicontinuous).*

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளரும் செடியின் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு *h*(*t*) (இங்கு *t* காலத்தைக் குறிக்கிறது) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. மாறாக ஒரு வங்கிக் கணக்கிலுள்ள பணத்தின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு *M*(*t*) தொடர்ச்சியற்ற சார்பு.

வரலாறு
------

முதன்முதலாக 1817 ஆம் ஆண்டில் பொஹிமிய கணிதவியலாளர் பெர்னார்டு பொசானோவால், தொடர்ச்சியான சார்பின் எப்சிலான்-டெல்ட்டா வரையறை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி எல்லையின் வரையறையின் முன்வடிவைத் தந்தார்.

தொடர்ச்சியான சார்புக்கான கோஷியின் வரையறை:

*f* எனும் தொடர்ச்சியான சார்பு எனில் அதன் சாரா மாறி *x* இல் ஏற்படக்கூடிய மிகமிகச் சிறிய மாற்றத்தால் *f*(*x*) இல் ஏற்படும் மாற்றத்தின் அளவு மிகமிகச் சிறியதாகவே இருக்கும்.

தொடர்ச்சியான சார்பின் வரையறையும் புள்ளிவாரியான தொடர்ச்சிக்கும் சீரான தொடர்ச்சிக்கும் உள்ள வேறுபாடும் 1830 ஆம் ஆண்டு பொல்சானோவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும், அவை 1930 வரை படைப்புகளாக வெளியிடப்படவில்லை. 1872 இல் ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் எடார்டு ஹெயினால் (Eduard Heine) முதன்முதலாக சீரான தொடர்ச்சியின் முறையான வரையறையை வெளியிட்டார்.

தொடர்ச்சியான மெய்மதிப்புச் சார்புகள்
------------------------------------

### வரையறை

மெய்யெண்கள் கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கள் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பை கார்ட்டீசியன் தளத்தில் வரைபடமாக வரையலாம்; சார்பு, தொடர்ச்சியான சார்பு எனில் அதன் வரைபடம் எந்தவித உடைதலுமின்றி தொடர்ச்சியான வளைவரையாக இருக்கும்.

இவ்வாறு புரிந்து கொள்ளப்படும் தொடர்ச்சித் தன்மைக்கு சமான வரையறைகள் பல உள்ளன:

மெய்யெண்களின் கணம் **R** இன் உட்கணம் *I* இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbf {R} }.
இச்சார்பின் ஆட்களம் *I* கீழ்காண்பவற்றில் ஒன்றாக அமையலாம்:

* *I* = **R**
* {\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} |a<x<b\}} (திறந்த இடைவெளி)
* {\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} |a\leq x\leq b\}.} (மூடிய இடைவெளி)

இங்கு *a* , *b* இரண்டும் மெய்யெண்கள்.

#### சார்புகளின் எல்லைகள் வாயிலாக வரையறை

சார்பு *f* , அதன் ஆட்களத்திலமைந்த ஒரு புள்ளி *c* இல் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமானால், *x* இன் மதிப்பு *c* ஐ அணுகும்போது சார்பின் எல்லைமதிப்பு இருக்க வேண்டும்; மேலும் அந்த எல்லை மதிப்பு *f*(*c*) ஆகவும் இருக்க வேண்டும்.

கணிதக் குறியீட்டில்:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}{f(x)}=f(c).}
இதனை மேலும் தெளிவாக மூன்று நிபந்தனைகளாகத் தரலாம்:

1. *c* புள்ளியில் *f* வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.
2. {\displaystyle \lim \_{x\to c}{f(x)}} காணப்படக் கூடியதாயிருக்க வேண்டும்.
3. மேலும் இந்த எல்லையின் மதிப்பு *f*(*c*) க்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

தனது ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் *f* தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் அது தொடர்ச்சியான சார்பு எனப்படும்.

#### தொடர்முறைகளின் எல்லைகள் வாயிலாக

{\displaystyle (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} தொடர்முறை *c* க்கு ஒருங்கினால், அதன் ஒத்த தொடர்வரிசை {\displaystyle \left(f(x\_{n})\right)\_{n\in \mathbb {N} },} *f*(*c*) -க்கு ஒருங்கும்.

கணிதக் குறியீட்டில்:

{\displaystyle \forall (x\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }\subset I:\lim \_{n\to \infty }x\_{n}=c\Rightarrow \lim \_{n\to \infty }f(x\_{n})=f(c)\,.}
#### வியர்ஸ்ட்ராஸ் வரையறை (ε-δ)

ε-δ-வரையறையின் விளக்கம்: ε=0.5, c=2 எனில், δ=0.5 வரையறையின் நிபந்தனையை நிறைவு செய்கிறது.
சார்பு *f* இன் ஆட்களம் *I* இன் ஒரு புள்ளி *c* எனில் பின்வருமாறு இருந்தால் *c* புள்ளியில் *f* ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்கும்:

*f* இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து *x* க்கும்,

{\displaystyle c-\epsilon <x<c+\epsilon .} எனில்,
{\displaystyle f(c)-\epsilon <f(x)<f(c)+\epsilon .}
என்றிருக்குமாறு *ε* > 0 என்ற எண் எவ்வளவு சிறியதாக இருப்பினும், *δ* > 0 என்ற எண்ணைக் காண முடியும்.

மாற்றாக,

*f* : *I* → *R* , *c* ∈ *I* புள்ளியில் தொடர்ச்சியான சார்பு எனில், ஒவ்வொரு  *ε* > 0 இன் மதிப்பிற்கும் கீழேதரப்பட்டுள்ள கூற்று உண்மையாக இருக்கும்படி ஒரு *δ* > 0 ஐக் காணமுடியும்:

{\displaystyle |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon .\forall x\in I\,}
#### அலைவு வாயிலாக

சார்பு, ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இல்லாமல் இருப்பது அப்புள்ளியில் சார்பின் அலைவால் அளவிடப்படுகிறது.
அலைவு மூலமாகவும் தொடர்ச்சியை வரையறுக்கலாம்:

ஒரு புள்ளியில் சார்பு *f* இன் அலைவின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பானது அப்புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்த வரையறை தொடர்ச்சியின்மையை அளவிட உதவுகிறது. ஒரு புள்ளியில் சார்பின் அலைவின் அளவு, அப்புள்ளியில் சார்பின் தொடர்ச்சியின்மையின் அளவாகும்.

மேலும் இந்த வரையறை மூலம் ஒரு சார்பின் தொடர்ச்சியான மற்றும் தொடர்ச்சியில்லாத புள்ளிகளின் கணங்களைக் காண முடியும். ஒரு சார்புக்கு *ε* க்கும் குறைவான அலைவுடைய புள்ளிகளின் கணங்களின் வெட்டுக்கணமே அச்சார்பின் தொடர்ச்சியான புள்ளிகளின் கணமாகும்.

### எடுத்துக்காட்டுகள்

முப்படிச் சார்பின் வரைபடத்தில் எந்தவித உடைவும் (குதிப்போ அல்லது துளையோ) இல்லாததால் அது ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு.
பல்லுறுப்புக் கோவைச் சார்புகள் அனைத்துமே தொடர்ச்சியானவை.
(எகா:{\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+11}) ஏனென்றால் 

{\displaystyle f,g\colon I\rightarrow \mathbf {R} } இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளெனில் அவற்றின் கூடுதல் *f* + *g* , அவற்றின் பெருக்கல் *fg* ஆகிய இரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியானவையாக இருக்கும். மேலும் {\displaystyle {\frac {f}{g}}\colon \{x\in I|g(x)\neq 0\}\rightarrow \mathbf {R} ,x\mapsto {\frac {f(x)}{g(x)}}} என்பதும் தொடர்ச்சியான சார்பு.
{\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x+2}}} சார்பின் வரைபடம். சார்பு *x*=−2 க்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. இப்புள்ளியில் வரையப்படும் கிடைக்கோடும் குத்துக்கோடும் வளைவரைக்கு அணுகுகோடுகளாக உள்ளன.
*f*/*g* சார்பை வரையறுப்பதற்கு *g*(*x*) இன் மதிப்பு பூச்சியமாகும் *x* இன் மதிப்புகளை *g* இன் ஆட்களத்திலிருந்து நீக்கிவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

{\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x+2}}} சார்பு *x* ≠ −2 ஐத் தவிர ஏனைய மெய்யெண்கள் அனத்திற்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது; மேலும் அது எல்லாப் புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது. *x* = −2 என்ற புள்ளி சார்பின் ஆட்களத்தில் இல்லை என்பதால் இப்புள்ளியில் சார்பு தொடர்ச்சியானதா இல்லையா என்ற கேள்விக்கே இடமில்லை.
*g*(*x*) = (sin *x*)/*x*, *x*≠0 ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. இச்சார்பை கீழ்க்காணுமாறு வரையறுப்பதால் அதனை அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் தொடர்ச்சியானதாக்கலாம்.

{\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}
(ஏனெனில் {\displaystyle \lim \_{x\to 0}g(x)=1})

*x*=0 என்பது சார்பு *g* க்கு நீக்கக்கூடிய வழுப்புள்ளி எனப்படும்..

{\displaystyle f\colon I\rightarrow J(\subset \mathbf {R} ),g\colon J\rightarrow \mathbf {R} ,} ஆகிய இரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியானவை எனில்,
{\displaystyle g\circ f\colon I\rightarrow \mathbf {R} ,x\mapsto g(f(x))} -அவற்றின் சேர்ப்புச் சார்பும் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
### தொடர்ச்சியற்ற சார்பு-எடுத்துக்காட்டுகள்

* {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}

ε = 1⁄2 என்க. ε-அண்மையகத்தில் *f*(*x*) இன் மதிப்பு *f*(0) ஆக இருக்குமாறு *x* = 0 க்கு ஒரு δ-அண்மையகத்தைக் காண முடியாது. எனவே இது ஒரு தொடர்ச்சியற்ற சார்பு.

குறிச் சார்பின் வரைபடம்.
* குறிச் சார்பு,

{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}}
*x* = 0 இல் தொடர்ச்சியற்றது. எனினும் *x* = 0 தவிர மற்ற புள்ளிகளில் தொடர்ச்சியானது.

* {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin({\frac {1}{x^{2}}})&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}

இச்சார்பு *x* = 0 தவிர ஏனைய இடங்களில் தொடர்ச்சியானது..

* {\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&x:irrationalnumber(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&x:rationalnumber(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}

இச் சார்பு எவ்விடத்தும் தொடர்ச்சியானது அல்ல.

### பயன்பாடுகள்

#### இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்

இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தின் கூற்று:

மெய்மதிப்புச் சார்பு *f* ஆனது மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*] இல் தொடர்ச்சியானது; *k* என்பது *f*(*a*) , *f*(*b*) இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட ஒரு எண் எனில், 

*f*(*c*) = *k*
என்றவாறு [*a*, *b*] இல் ஒரு எண் *c* இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குழந்தையின் உயரம் இரண்டு முதல் ஆறு வயதுவரை 1 மீ லிருந்து 1.5 மீ வரை அதிகரிக்கிறது எனில் 2-6 வயதுக்கு இடையே ஏதேனுமொரு கட்டத்தில் அக்குழந்தைக் கண்டிப்பாக 1.25 மீ உயரம் கொண்டிருந்திருக்கும்.

இத் தேற்றத்தின் விளைவாக, [*a*, *b*] இடைவெளியில் சார்பு *f* தொடர்ச்சியானது; *f*(*a*) , *f*(*b*) இரண்டும் எதிர்க் குறிகளை உடையன எனில், [*a*, *b*] க்கும் இடையே ஒரு புள்ளி *c* இல், *f*(*c*) = 0 ஆக இருக்கும்.

#### அறுதி மதிப்புத் தேற்றம்

அறுதி மதிப்புத் தேற்றத்தின் கூற்று: மூடிய இடைவெளி [*a*,*b*] இல் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு *f* அந்த இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானதாகவும் இருப்பின்

{\displaystyle f(c)\geq f(x),\forall x\in [a,b]} என்றவாறு ஒரு *c* ∈ [*a*,*b*] இருக்கும். அதாவது ஒரு பெரும மதிப்பு இருக்கும்.
இதேபோல சிறும மதிப்பும் உண்டு. ஆனால் சார்பு மூடிய இடைவெளிக்குப் பதில் திறந்த இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் இக் கூற்று உண்மையாக இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக, 

*f*(*x*) = 1/*x* சார்பு, திறந்த இடைவெளியில் (0,1) வரையறுக்கப்பட்டிருக்கிறது. ஆனால் இச்சார்பு பெருமமதிப்பு அடைவதில்லை.
#### வகையிடல், தொகையிடலுடன் தொடர்பு

மெய்யெண்கள் கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கள் கணத்துக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ({\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbf {R} }) வகையிடத்தக்க சார்புகள் எல்லாம் தொடர்ச்சியானவையாகவும் இருக்கும்.

ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை. அதாவது தொடர்ச்சியான சார்புகள் எல்லாம் வகையிடத்தக்கவையாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக தனிமதிப்புச் சார்பு,

{\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}x{\text{ if }}x\geq 0\\-x{\text{ if }}x<0\end{cases}}} எல்லாவிடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது; ஆனால் *x* = 0 இல் வகையிடக் கூடியதில்லை. (*x* = 0 தவிர்த்த ஏனைய எல்லாப் புள்ளிகளிலும் வகையிடத் தக்கது.)
ஒரு வகையிடத்தக்கச் சார்பு *f*(*x*) இன் வகைக்கெழு *f′*(*x*) தொடர்ச்சியானதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. அவ்வாறிருந்தால், *f*(*x*) தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கச் சார்பு ஆகும். தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் கணத்தின் குறியீடு: *C*1(*a*, *b*).

பொதுவாக, 

{\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbf {R} } எனும் சார்பு
( Ω, **R** இன் ஒரு திறந்த இடைவெளி) *n* தடவைகள் வகையிடத்தக்கதாய் இருந்து அதன் *n*-ஆம் வகைக்கெழு தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் அதன் குறியீடு: *C**n*(Ω).

மெய்யெண்களின் கணத்தின் ஒரு மூடிய இடைவெளியிலிருந்து மெய்யெண்களின் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்ச்சியான சார்புகள்

{\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbf {R} }- ஒவ்வொன்றும் தொகையிடத் தக்கவையாக இருக்கும். ஆனால் அதன் மறுதலை உண்மையில்லை. இதற்கு எடுத்துக்காட்டு குறிச் சார்பு ஆகும்.
#### புள்ளிவாரியாக மற்றும் சீரான எல்லைகள்

*f**n*(*x*) எனும் சார்புகளின் தொடர்முறையின் புள்ளிவாரியான எல்லையாக அமையும் சார்பு, சீராக ஒருங்காமையால் தொடர்ச்சியற்ற சார்பாயுள்ளது.
{\displaystyle f\_{1},f\_{2},\dotsc \colon I\rightarrow \mathbf {R} } என்பது ஒரு தரப்பட்ட சார்புகளின் தொடர்முறை; மேலும்
{\displaystyle f(x):=\lim \_{n\rightarrow \infty }f\_{n}(x)\forall x\in I} இந்த எல்லையின் மதிப்பு காணத்தக்கதெனில், தொடர்முறை
(*f**n*)*n*∈**N** இன் புள்ளிவாரியான எல்லையென *f*(*x*) அழைக்கப்படுகிறது. தொடர்முறையின் ஒவ்வொரு சார்பும் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருந்தாலும், புள்ளிவாரியான எல்லைச் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.ஆனால் இச்சார்புகளின் தொடர்முறை சீராக ஒருங்குமானால், *f*(*x*) தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும். இதனைப் பயன்படுத்தி, அடுக்குகுறிச் சார்புகள், மடக்கைச் சார்புகள், வர்க்கமூலச் சார்புகள், முக்கோணவியல் சார்புகள் ஆகியவை தொடர்ச்சியான சார்புகள் என்பதை நிறுவலாம்.

குறிப்புகள்
-----------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***Continuity (functions)***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன. 


1. ↑  Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". *The American Mathematical Monthly* **90** (3): 185–194. doi:10.2307/2975545. Archived from the original on 2003-03-30.. பார்த்த நாள்: 2013-09-19.
2. ↑  Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano and uniform continuity", *Historia Mathematica*, **32** (3): 303–311
3. ↑  Lang, Serge (1997), *Undergraduate analysis*, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6, section II.4
4. ↑  *Introduction to Real Analysis,* updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
5. ↑  *Introduction to Real Analysis,* updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

மேற்கோள்கள்
-----------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Continuous function", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* Visual Calculus பரணிடப்பட்டது 2011-09-24 at the வந்தவழி இயந்திரம் by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)

வெளி இணைப்புகள்
---------------

*