சிக்கலெண் தலத்தில் *i*. கிடைமட்ட அச்சில் (மெய் அச்சு) மெய்யெண்களும் கற்பனை எண்கள் குத்து அச்சில் (கற்பனை அச்சு) அமைகின்றன.
**கற்பனை அலகு** அல்லது **அலகு கற்பனை எண்** (*imaginary unit*, *unit imaginary number*) என்றழைக்கப்படும் {\displaystyle i} ஆனது, மெய்யெண்களை (ℝ) சிக்கலெண்களுக்கு (ℂ) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் *P*(*x*) குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.

*i* இன் முக்கியப் பண்பு: 

*i*2 = −1
வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் *i* ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் *i* என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக *j* அல்லது கிரேக்க எழுத்தான ι பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

வரையறை
------

| *i* இன் அடுக்குகள் மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்: |
| --- |
| ... (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன) |
| *i*−3 = *i* |
| *i*−2 = −1 |
| *i*−1 = −*i* |
| *i*0 = 1 |
| *i*1 = *i* |
| *i*2 = −1 |
| *i*3 = −*i* |
| *i*4 = 1 |
| *i*5 = *i* |
| *i*6 = −1 |
| ... (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன) |

*i* இன் வரையறையானது, *i* இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

{\displaystyle i^{2}=-1\ .}
ஆனால் *i* இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, *i*, -*i* என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, *i*ஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள *i*2 இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் *i* இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை −*i*, 1, i, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:

{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,}
{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,}
{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,}
இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே *i* க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:

{\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,}
சிக்கலெண் *i* இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:

{\displaystyle i=0+i} (*i* இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)
சிக்கலெண் *i* இன் போலார் வடிவம்:

*i* = 1 cis π/2, (*i* இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு π/2 ஆகவும் உள்ளது.)
சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக *i* இருக்கும்.

பண்புகள்
--------

### வர்க்க மூலங்கள்

#### *i* இன் வர்க்கமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் *i* இன் இரு வர்க்கமூலங்கள்
*i*இன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்

{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}}
இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}
*x* = π/2 எனப் பதிலிட,

{\displaystyle e^{i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=0+i1=i\,\!.}
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,

{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm e^{i(\pi /4)}\,\!,}
ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\pm (\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4))\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}}
#### −*i* இன் வர்க்கமூலம்

*i* இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}
*x* = 3π/2 எனப் பதிலிட:

{\displaystyle e^{i(3\pi /2)}=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=0-i1=-i\,\!.}
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

{\displaystyle {\sqrt {-i}}=\pm e^{i(3\pi /4)}\,\!,}
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {-i}}&=\pm (\cos(3\pi /4)+i\sin(3\pi /4))\\&=-{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+i{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {-1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1).\\\end{aligned}}}
*i* இன் வர்க்கமூலத்தை *i* ஆல் பெருக்க, -*i* இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {-i}}=(i)\cdot (\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i))\\&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1i+i^{2})\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)\\\end{aligned}}}
### பெருக்கலும் வகுத்தலும்

பெருக்கல்
எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் *i* ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

{\displaystyle i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.}
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

வகுத்தல்
*i* ஆல் வகுப்பது, *i* இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:

{\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.}
இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை *i* ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.}
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

### அடுக்குகள்

*i* இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன (*n* ஏதேனுமொரு முழு எண்):

{\displaystyle i^{4n}=1\,}
{\displaystyle i^{4n+1}=i\,}
{\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}
{\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}
எனவே,

{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}
{\displaystyle i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)}
#### i இன் அடுக்கு i

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

{\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}} ({\displaystyle k\in \mathbb {Z} }, முழுஎண்களின் கணம்)
இதன் முதன்மை மதிப்பு ( *k* = 0): :*e*−π/2 அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)

### தொடர்பெருக்கம்

கற்பனை அலகு*i* இன் தொடர்பெருக்கம்:

{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}
மேலும்,

{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}}

மாற்றுக் குறியீடுகள்
--------------------

* மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு *i*(*t*) அல்லது *i* எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு *j* எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
* பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு *j* பயன்படுத்தப்படுகிறது.
* மேட்லேப் *i*, *j* இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
* சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) (ι) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  கீழுள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அந்த எண்ணைக் காணமுடியும்:
(*x* + *iy*)2 = *i*
*x*2 + 2*ixy* − *y*2 = *i*
*x*2 − *y*2 + 2*ixy* = 0 + *i*
மெய், கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த:
*x*2 − *y*2 = 0
2*xy* = 1
*y* = 1/2*x* என முதல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:
*x*2 − 1/4*x*2 = 0
*x*2 = 1/4*x*2
4*x*4 = 1
*x* மெய்யெண் என்பதால் இச்சமன்பாட்டிற்கு இரு பெய்யெண் தீர்வுகள் உள்ளன: {\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {2}}}}, {\displaystyle x=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}}.

இவை இரண்டையும் 2*xy* = 1 சமன்பாட்டில் பதிலிட, *y* க்கும் அதே மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன.

எனவே *i* இன் வர்க்கமூலங்கள்: 
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {i}{\sqrt {2}}},}
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2}}}+{\frac {-i}{\sqrt {2}}}}.
(University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
2. ↑  "abs(i!)", *WolframAlpha*.
3. ↑  "MATLAB Product Documentation". .

மேலும் படிக்க
-------------

* Nahin, Paul J. (1998). *An Imaginary Tale: The Story of √−1*. Chichester: Princeton University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-691-02795-1.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence பரணிடப்பட்டது 2006-02-12 at the வந்தவழி இயந்திரம்