146 காந்தப் பந்துகள் எண்முக வடிவில் அடுக்கப்பட்டுள்ளன.
கணிதத்தில் **எண்முக எண்** (*octahedral number*) என்பது எண்முகி வடிவில் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்டப் பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு வடிவ எண்.

*n* -ஆம் எண்முக எண் காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle O\_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}
முதல் எண்கோண எண்கள் சில:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (OEIS-இல் வரிசை A005900)
.

பண்புகளும் பயன்பாடுகளும்
------------------------

எண்முக எண்களைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

{\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }O\_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}
1850 -ல் *சர் ஃபிரெடிரிக் பொல்லாக்*, ஒவ்வொரு எண்ணும் அதிகபட்சம் 7 எண்முக எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும் என்ற அனுமானக்கூற்றைத் தந்துள்ளார்.

வேதியியலில், எண்முகக் கொத்துக்களில் உள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கையை விளக்குவதற்கு பயன்படும் எண்முக எண்கள், *மாய எண்கள்* என அழைக்கப்படுகின்றன.

மற்ற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு
----------------------------

### சதுர பிரமிடு எண்கள்

ஒவ்வொரு மட்டத்திலும் மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணிக்கையிலான கனசதுரங்களுடைய சதுர பிரமிடுகள். ஒவ்வொரு பிரமிடிலுமுள்ள கனசதுரங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு எண்முக எண்.
எண்முக வடிவ பந்து-அடுக்கை இரு பிரிவாக நடுப்புறத்தில் சதுர குறுக்கு வெட்டு மூலம் பிரித்தால் இரு சதுர பிரமிடுகள் கிடைக்கும். இவ்விரண்டு சதுரப்பிரமிடுகளும் ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்று தலைகீழாக அமைந்த தோற்றத்தில் இருக்கும். எனவே ஒரு எண்முக எண், இரு அடுத்தடுத்த சதுர பிரமிடு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும்.

*n* -ஆம் எண்முக எண் - {\displaystyle O\_{n}},
*n* -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - {\displaystyle P\_{n}},
*n* -1 -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - {\displaystyle P\_{n-1}} எனில்
{\displaystyle O\_{n}=P\_{n-1}+P\_{n}.}
### நான்முக எண்கள்

*n* -ஆம் எண்முக எண் - {\displaystyle O\_{n}},
*n* -ஆம் நான்முக எண் - {\displaystyle T\_{n}} எனில்
{\displaystyle O\_{n}+4T\_{n-1}=T\_{2n-1}.}
{\displaystyle O\_{n}=T\_{n}+2T\_{n-1}+T\_{n-2}.}
### கன எண்கள்

ஒரு எண்முகியின் எதிர்ப்பக்கங்களுடன் இரு நான்முகிகளைச் சேர்த்தால் ஒரு சாய்சதுரத்திண்மம் கிடைக்கும். ஒரு சாய்சதுரத் திண்மத்துக்குள் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு கன எண்ணாக இருக்கும். அதாவது,

{\displaystyle O\_{n}+2T\_{n-1}=n^{3}.}
### மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள்

இரு அடுத்தடுத்த எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாக இருக்கும்:

{\displaystyle O\_{n}-O\_{n-1}=C\_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}
### மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண்

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண் என்பது இரு அடுத்தடுத்த எண்கோண எண்களின் கூடுதலாகும்.

முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள் சில:

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (OEIS-இல் வரிசை A001845)

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle O\_{n}+O\_{n-1}={\frac {(2n+1)(2n^{2}+2n+3)}{3}}.}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2 3  Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), *The Book of Numbers*, Springer-Verlag, p. 50, ISBN 9780387979939.
2. ↑  Dickson, L. E. (2005), *History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis*, New York: Dover, pp. 22–23.
3. ↑  Teo, Boon K.; Sloane, N. J. A. (1985), "Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters" (PDF), *Inorganic Chemistry*, **24** (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, archived from the original (PDF) on 2012-03-13, retrieved 2012-01-16.
4. ↑  Feldheim, Daniel L.; Foss, Colby A. (2002), *Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications*, CRC Press, p. 76, ISBN 9780824706043.
5. ↑  Burke, John G. (1966), *Origins of the science of crystals*, University of California Press, p. 88.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Octahedral Number", *MathWorld*.

| * பா
* உ
* தொ
வடிவ எண்கள் |
| --- |
| ஈரளவு வெளி | 

|  |  |
| --- | --- |
| மையப்படுத்தப்பட்டவை | 
* மையப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட எழுகோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட தசகோண எண்கள்
* விண்மீன் எண்கள்

 |
| மையப்படுத்தப்படாதவை | 
* முக்கோண எண்கள்
* சதுர எண்கள்
* ஐங்கோண எண்கள்
* அறுகோண எண்கள்
* எழுகோண எண்கள்
* எண்கோண எண்கள்
* நவகோண எண்கள்
* தசகோண எண்கள்
* பன்னிருகோண எண்கள்

 |

 |
| முப்பரிமாண வெளி | 

|  |  |
| --- | --- |
| மையப்படுத்தப்பட்டவை | 
* மையப்படுத்தப்பட்ட நான்முக எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட கனசதுர எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட பன்னிருமுக எண்கள்
* மையப்படுத்தப்பட்ட இருபதுமுக எண்கள்

 |
| மையப்படுத்தப்படாதவை | 
* நான்முக எண்கள்
* கன எண்கள்
* எண்முக எண்கள்
* Dodecahedral numbers
* Icosahedral numbers
* Stella octangula numbers

 |
| பிரமிடு எண் | 
* சதுர பிரமிடு எண்கள்
* ஐங்கோண பிரமிடு எண்கள்
* அறுகோண பிரமிடு எண்கள்
* எழுகோண பிரமிடு எண்கள்

 |

 |
| நாற்பரிமான வெளி | 

|  |  |
| --- | --- |
| மையப்படுத்தப்படாதவை | 
* Pentatope numbers
* வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள்
* Tesseractic numbers

 |

 |
| உயர் பரிமான வெளிகள் | 

|  |  |
| --- | --- |
| மையப்படுத்தப்படாதவை | 
* 5-hypercube numbers
* 6-hypercube numbers
* 7-hypercube numbers
* 8-hypercube numbers

 |

 |