1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... பெருக்குத் தொடர் வெளிர் நாவல்நிறச் சதுரங்களாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வெளிற்நாவல்நிறச் சதுரத்தின் பரப்பளவும் அதற்கடுத்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் 1/4 பங்காக இருக்கும். (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, ...). இந்த வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களின் மொத்தப்பரப்பளவு மிகப்பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.
மற்றொரு பெருக்குத் தொடர்: முதல் உறுப்பு: *a* = 4/9; பொதுவிகிதம் *r* = 1/9; உறுப்புகள் வெளிர்நாவலநிறச் சதுரங்களாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அச்சதுரங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு: S = *a* / (1 - *r*) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2. இம்மதிப்பை, மூல அலகுs சதுரத்தை முடிவிலா L-வடிவப் பரப்பளவுகளாகவும் அவை ஒவ்வொன்றையும் நான்கு வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களாகவும் நான்கு மஞ்சள் சதுரங்களாகவும் பிரித்துக் காண்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.
1 + *r* + *r*2 + *r*3 ... என்ற பெருக்குத் தொடரின் முதல் ஏழு உறுப்புகள் சார்புகளாக வரையப்பட்டுள்ளன (|*r*| < 1). மூடிய-வடிவத் தொடரின் வரைபடம் கருப்பு இடையிட்டக் கோட்டால் காட்டப்பட்டுள்ளது.
கணிதத்தில், **பெருக்குத் தொடர்** (*geometric series*) என்பது அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான விகிதம் மாறாத எண்ணாகவுள்ள முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டலாகும். 

எடுத்துக்காட்டு:கீழுள்ள தொடர்
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots } என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடராகும்.
இதன் ஒவ்வொரு தொடரும் உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பை {\displaystyle 1/2} ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணாகவுள்ளது.. ஒரு பெருக்குத்தொடரின் பொதுவடிவம்:

{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}; {\displaystyle a}முதல் உறுப்பு; இரு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையிலான பொதுவிகிதம் {\displaystyle r}.
கணிதத்தில் முழுமையாக இடம்பெற்றுள்ள பெருக்குத் தொடரானது, நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியிலும் முக்கிய பங்கபெற்றுள்ளது. மேலும் டெய்லர் தொடர், வூரியே தொடர், அணி அடுக்குக்குறிச் சார்பு ஆகியவற்றின் அறிமுகங்களிலும் பயன்பாடுடையது.

கூறுகள்
-------

### கெழு-*a*

பெருக்குத் தொடர், *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ... என விரிவான வடிவில் எழுதப்பட்டுள்ளது. பெருக்குத் தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் சமமாகவுள்ளது. அடுக்குத் தொடர் *a*0 + *a*1*r* + *a*2*r*2 + *a*3*r*3 + ... இன் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் (*a*i) வெவ்வேறாக உள்ளது. எனவே பெருக்குத் தொடரானது, அடுக்குத் தொடரின் ஒரு சிறப்புவகையாகும். விரித்தெழுதப்பட்டப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு, அத்தொடரின் கெழு *a* ஆகும்.

* விரித்தெழுதும் முறையைத் தவிர பெருக்குத்தொடருக்கு பிறப்பாக்கி வடிவமும் உள்ளது:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}}
* பெருக்குத் தொடரின் மேலுமொரு வடிவம் மூடிய-வடிவம்:

{\displaystyle {\frac {a}{1-r}}{\text{ for }}|r|<1.}
பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவிலிருந்து நெடுமுறை வகுத்தல் முறையில் *a* ஐ (1 - *r*) ஆல் வகுத்து, *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ... , என்ற அதன் விரிவான வடிவைப் பெறமுடியும்

கணக்கீடுகளின்போது, பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை *s* என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

*s* = *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + *ar*4 + ...
### பொதுவிகிதம் *r*

*r*=1/2; *a*=1/2 கொண்ட பெருக்குத்தொடரின் ஒருங்குதல்
*r*=1/2 and *a*=1 கொண்ட பெருக்குத்தொடரின் ஒருங்குதல்
பெருக்குத் தொடர் *a* + *ar* + *ar*2 + *ar*3 + ... ஆனது இரண்டே இரண்டு அளவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது: ஒன்று அதன் கெழு *a*; மற்றது அதன் பொது விகிதம் *r*. 

ஒரு பெருக்குத்தொடரின் ஏதாவதொரு உறுப்பை அதற்கு முந்தைய உறுப்பால் வகுக்கக் கிடைப்பதே அப்பெருக்குத் தொடரின் பொது விகிதமென அழைக்கப்படுகிறது. பெருக்குத் தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பையும் பொது விகிதத்தால் பெருக்க அதற்கடுத்த உறுப்பு கிறைக்கும். கீழுள்ள அட்டவணையில் சில பெருக்குத் தொடர்கள் தரப்பட்டுள்ளன:

| *a* | *r* | பெருக்குத் தொடர் |
| --- | --- | --- |
| 4 | 10 | 4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ··· |
| 3 | 1 | 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ··· |
| 1 | 2/3 | 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81 + ··· |
| 1/2 | 1/2 | 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ··· |
| 9 | 1/3 | 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ··· |
| 7 | 1/10 | 7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ··· |
| 1 | −1/2 | 1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ··· |
| 3 | −1 | 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ··· |

### ஒருங்குதல்

ஒரு பெருக்குத் தொடரின் ஒருங்குதல் அதன் பொதுவிகிதமான *r* இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது:

* If |*r*| < 1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகளின் தனி மதிப்பு குறைந்து, குறைந்துகொண்டே போய் பூச்சியத்தை நெருங்கும்; பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை *a* / (1 - *r*) ஆக, பெருக்குத் தொடர் ஒருங்கும்..

* If |*r*| = 1எனில், பெருக்குத் தொடர் ஒருங்குவதில்லை.
	+ *r* = 1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமாக அமைவதோடு தொடரும் முடிவிலியாக இருக்கும்.
	+ *r* = −1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகள் அளவில் சமமானவையாகவும் ஓருறுப்பு விட்டு அடுத்த உறுப்பு குறியில் எதிரானவையாகவும் இருக்கும் எடுத்துக்காட்டாக *r*=-1; *a*=2 கொண்ட 2, −2, 2, −2, 2,... பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு 2, 0, 2, 0, 2,... என இருமதிப்புகளுக்கிடையே மாறுபட்டுக்கொண்டிருக்கும்

* |*r*| > 1 எனில், உறுப்புகளின் மதிப்பு அளவில் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும்; கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பும் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும். எனவே, பெருக்குத் தொடரானது ஒருங்குவதில்லை.

### மூடிய-வடிவத்தை வடிவவியல்முறையில் தருவித்தல்

பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவினை வடிவவியல் முறையில் தருவித்தல்
மேலுள்ள படம்:

* *s*/*a* இன் முதல் n+1 உறுப்புகளை ஒன்றுடனொன்று மேற்படிந்த வடிவொத்த முக்கோணங்களாக வரைந்து கொள்ளவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மேற்படிந்துள்ள முதலாவது மிகப்பெரிய (சிவப்பு) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2)(1)/2 = 1, இதுவே பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு.

* இரண்டாவது மேற்படிந்துள்ள இரண்டாவது பெரிய (பச்சை) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2*r*1/2)(*r*1/2)/2 = *r*, இது பெருக்குத் தொடரின் இரண்டாவது உறுப்பாகும். தொடரும் ஒவ்வொரு சிறிய முக்கோணத்தின் அளவுகள் *r*1/2 காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. இதனால் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் தொடர்முறையானது, 1, *r*, *r*2, *r*3, ... என்ற தொடர்முறையாகக் கிடைக்கிறது.

நடுவிலுள்ள படம்:

பெரியதிலிருந்து சிறியது என்ற வரிசைப்படி ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் மேற்படிந்த பரப்பளவை நீக்க வேண்டும். இந்தப் பரப்பளவுகள் அந்தந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் *r* அளவு பின்ன விகிதத்தில் அமைந்திருக்கும். முக்கோணங்களின் மேற்படியாத 1−*r* பரப்பளவுகளை 1/(1−*r*) விகிதமாக்க, முன்னதாக மேற்படிந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகவும், இப்போது மேற்படியாத சரிவகத்தின் பரப்பளவாகும் உள்ள பரப்பளவானது மாறாதிருக்கும்.

கீழுள்ள படம்:

இவ்வாறு பெறப்பட்ட n+1 மேற்படியாத சரிவகங்களை மேற்படியாத ஒரே சரிவகமாக மாற்றி அதன் பரப்பளவைக் காண, அது பகுதித் தொடரின் மதிப்பைத் தரும். மேலும் அதன் மதிப்பு வெளிப்புறமாக உள்ள மிகப்பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் முனையிலுள்ள வெற்று முக்கோணத்திற்குமான வேறுபாடாக இருக்கும்:

*s*n/*a* = (1−*r*n+1) / (1−*r*), இதன் மதிப்பானது, n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்க, |*r*| < 1 ஆகவும் இருக்கும்போது *s*/*a* = 1/(1−*r*) ஆகிறது.
### கூட்டுத்தொகை

பெருக்குத் தொடரின் முதல் *n* உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது பின்வரும் மூடிய-வடிவ வாய்பாட்டால் தரப்படுகிறது:



s

n


=
a

r

0

+
a

r

1

+
⋯
+
a

r

n
−
1



=

∑

k
=
0

n
−
1

a

r

k

=

∑

k
=
1

n

a

r

k
−
1



=

{

a

(

1
−

r

n

1
−
r

)

r
≠
1

a
n

otherwise





{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum \_{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum \_{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}
இங்கு *r* என்பது பெருக்குத் தொடரின் விகிதமாகும்.

பகுதிக் கூட்டுத்தொகையை (*s*n) வருவித்தல்:
பல தன் ஒப்புமை உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடு பெறப்படுகிறது.



s

n


=
a

r

0

+
a

r

1

+
⋯
+
a

r

n
−
1

,

r

s

n


=
a

r

1

+
a

r

2

+
⋯
+
a

r

n

,


s

n

−
r

s

n


=
a

r

0

−
a

r

n

,


s

n

(

1
−
r

)

=
a

(

1
−

r

n

)

,


s

n


=
a

(

1
−

r

n

1
−
r

)

,

 for 

r
≠
1.



{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1},\\rs\_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n},\\s\_{n}-rs\_{n}&=ar^{0}-ar^{n},\\s\_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n}\right),\\s\_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1},\\rs_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n},\\s_{n}-rs_{n}&=ar^{0}-ar^{n},\\s_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n}\right),\\s_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}}
*n* முடிவியை அணுகும்போது இத்தொடர் ஒருங்குவதற்கு *r* இன் தனி மதிப்பு '1' ஐவிடக் குறைவானதாக இருக்கவேண்டும். இப்போது கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு:




s

=
a
+
a
r
+
a

r

2

+
a

r

3

+
a

r

4

+
⋯



=

∑

k
=
0

∞

a

r

k

=

∑

k
=
1

∞

a

r

k
−
1



=

a

1
−
r

,

 for 

|

r

|

<
1.



{\displaystyle {\begin{aligned}s&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\sum \_{k=1}^{\infty }ar^{k-1}\\&={\frac {a}{1-r}},{\text{ for }}|r|<1.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }ar^{k-1}\\&={\frac {a}{1-r}},{\text{ for }}|r|<1.\end{aligned}}}

குறிப்புகள்
-----------

1. 1 2  Riddle, Douglas F. *Calculus and Analytic Geometry, Second Edition* Belmont, California, Wadsworth Publishing, p. 566, 1970.
2. ↑  Hairer E.; Wanner G. (1996). *Analysis by Its History*. Springer. பக். 188.  Section III.2, Figure 2.1
3. ↑  (Abramowitz & Stegun 1972, ப. 10)
4. ↑  (Moise 1967, ப. 48)
5. ↑  (Protter & Morrey 1970, ப. 639–640)

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Geometric progression", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series", *MathWorld*.
* *Geometric Series* at PlanetMath.
* Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University.
* Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series". Archived from the original (Applet) on 2007-09-29.
* "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.