கணிதத்தில் **இசுடர்லிங் எண்கள்** (*Sterling numbers*) இருவகைப்படும். ஒரு *n*-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.

முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்
--------------------------

ஒரு *n*-கணத்தை *k* சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை **முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்** எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை *n*-திரிபுகள் *k* சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு ***s(n,k).*** இக்கட்டுரையில் 
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}} என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}}} = 11

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:

***a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc***
அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் **ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்** என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

முதல்வகை எண்அட்டவணை
-------------------

{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}

| {\displaystyle n\downarrow k\rightarrow } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 1 |  |  |  |  |  |  |
| **2** | 1 | 1 |  |  |  |  |  |
|  **3** | 2 | 3 | 1 |  |  |  |  |
| **4** | 6 | 11 | 6 | 1 |  |  |  |
| **5** | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |  |  |
| **6** | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |  |
| **7** | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |
|

இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்
------------------------------

ஒரு *n*-கணத்தை *k* உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை **இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்** எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு ***S(n,k)***. இக்கட்டுரையில்
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}} என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}} = 7

ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:

 ***{a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.***
அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் **ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்** என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை
-------------------------

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}

| {\displaystyle n\downarrow k\rightarrow } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 1 |  |  |  |  |  |
| **2** | 1 | 1 |  |  |  |  |  |
| **3** | 1 | 3 | 1 |  |  |  |  |
| **4** | 1 | 7 | 6 | 1 |  |  |  |
| **5** | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |  |  |
| **6** | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |  |
| **7** | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |
|

சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்
------------------------

* {\displaystyle n\geqslant 2} ஆக இருந்தால் {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}} = {\displaystyle 2^{n-1}-1}.

* {\displaystyle n\geqslant 1} ஆக இருந்தால் {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}}} = {\displaystyle (n-1)!}

* {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}}} = {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}} = 1

* {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}}} = {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}} = {\displaystyle {\binom {n}{2}}}

செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்
-------------------------

முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

(\*) {\displaystyle x(x-1)(x-2)...(x-n+1)=\sum \_{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}}.
இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

(\*\*) {\displaystyle x^{n}=\sum \_{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)...(x-k+1)}
(\*)ஐ (\*\*) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:

{\displaystyle x^{n}=\sum \_{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\sum \_{m}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}x^{m}}
= {\displaystyle \sum \_{m}{\biggl (}\sum \_{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}{\biggr )}x^{m}}

ஆனால் {\displaystyle x^{n}} பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.

ஃ (**செ.உ.1**): {\displaystyle \sum \_{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}=\delta \_{nm}}. இங்கு {\displaystyle \delta \_{nm}={\begin{cases}1,n=m\\0,n\neq m\end{cases}}}.
மாற்றாக, (\*\*)ஐ (\*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):

ஃ (**செ.உ.2**):{\displaystyle \sum \_{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}\left\{{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}=\delta \_{nm}}
ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.