படம் 1: {\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}
படம் 2: {\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\=&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}
படம் 3: {\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}
வடிவவியலில், **வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்** அல்லது சுருக்கமாக **நாண் தேற்றம்** (*intersecting chords theorem*, *chord theorem*) என்பது ஒரு வட்டத்துக்குள் இரு நாண்கள் வெட்டிக்கொள்வதால் உண்டாகும் நான்கு கோட்டுத்துண்டுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பைத் தருகிறது. 

தேற்றத்தின் கூற்று: 

ஒரு வட்டத்தின் இரு நாண்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும்போது ஒரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகை மற்றொரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
இக்கூற்று, யூக்ளிடின் *எலிமென்ட்சின்* மூன்றாவது புத்தகத்தில் காணப்படும் 35 ஆவது கூற்றாகும். 

வட்ட நாண்கள் *AC*, *BD* இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி *S* எனில்:

{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}
இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது:

இரு கோட்டுத்துண்டுகள் *AC*, *BD* வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி *S*, மேலும் {\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|} என்பதும் உண்மையாக இருக்குமானால், *A*, *B*, *C* , *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீதமையும். அதாவது நாற்கரம் *ABCD*, ஒரு வட்ட நாற்கரம்.
இத்தேற்றத்தின் முடிவில் காணப்படும் இரு பெருக்குத்தொகைகளின் மதிப்பு, வெட்டும் புள்ளி *S* ஆனது வட்ட மையத்திலிருந்து அமையும் தொலைவைப் பொறுத்தது. மேலும், அவற்றின் தனிமதிப்பு *S* இன் படி எனவும் அழைக்கப்படும்.

{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}
*r* - வட்டத்தின் ஆரம்; *d* = வட்ட மையத்துக்கும் (*M*) *S* புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரம்.
படம் 2 இல் வரையப்பட்டுள்ளது போல மூன்றாவது நாண் ஒன்றை வட்டமையம் *M*, *S* வழியாக வரைந்து தேற்றத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்தி இரு பெருக்குத்தொகைகளின் மதிப்பு {\displaystyle r^{2}-d^{2}} ஆக இருப்பதைக் காட்டலாம்.

தொடுகோடு-வெட்டுக்கோடு தேற்றம், வெட்டும் வெட்டுக்கோடுகள் தேற்றம், வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் தேற்றம் ஆகிய மூன்றும் இரு வெட்டும்கோடுகள் மற்றும் ஒரு வட்டம் பற்றிய பொதுவான தேற்றமான புள்ளியின் படியின் தேற்றத்தின் அடிப்படை வகைத் தேற்றங்களாகும்.

நிறுவல்
-------

வடிவொத்த முக்கோணங்களைக் கொண்டு இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்:

*ASD*, *BSC* முக்கோணங்களில்:
வட்டத்தின் நாண் ஒன்று வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள் எல்லாம் சமமாக இருக்குமென்பதால்,

{\displaystyle \angle ADS=\angle BCS\,} (நாண் AB வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள்)
{\displaystyle \angle DAS=\angle CBS\,}(நாண் CD வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள்)
{\displaystyle \angle ASD=\angle BSC\,}(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
எனவே *ASD*, *BSC* இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி அவற்றின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதகங்கள் சமம். இதன்படி:

{\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}

மேற்கோள்கள்
-----------

* Paul Glaister: *Intersecting Chords Theorem: 30 Years on*. Mathematics in School, Vol. 36, No. 1 (Jan. 2007), p. 22 (JSTOR)
* Bruce Shawyer: *Explorations in Geometry*. World scientific, 2010, ISBN 9789813100947, p. 14
* Hans Schupp: *Elementargeometrie.* Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, p. 149 (German).
* *Schülerduden - Mathematik I*. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, pp. 415-417 (German)

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* *Intersecting Chords Theorem* at cut-the-knot.org
* *Intersecting Chords Theorem* at proofwiki.org
* Weisstein, Eric W. "Chord", *MathWorld*.
* Two interactive illustrations:  and