கணிதத்தில் **சதுர முக்கோண எண்** அல்லது **வர்க்க முக்கோண எண்** (*Square triangular number*) என்பது முக்கோண எண் மற்றும் சதுர எண்ணாகவும் (முழு வர்க்கம்) உள்ள ஒரு வடிவ எண்ணாகும். சதுர முக்கோண எண்ணை *முக்கோண சதுர எண்* எனவும் அழைக்கலாம். எண்ணிலடங்கா சதுர முக்கோண எண்கள் உள்ளன. அவற்றுள் முதலிலுள்ள சில:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (OEIS-இல் வரிசை A001110)
.

வாய்ப்பாடுகள்
-------------

*k* -ஆம் சதுர முக்கோண எண், {\displaystyle N\_{k}\,} என்க. இதற்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே {\displaystyle s\_{k}\,}, {\displaystyle t\_{k}\,} எனில்:

{\displaystyle N\_{k}=s\_{k}^{2}={\frac {t\_{k}(t\_{k}+1)}{2}}.\,}
{\displaystyle N\_{k}\,}, {\displaystyle s\_{k}\,}, {\displaystyle t\_{k}\,} தொடர் வரிசைகள் முறையே, OEIS தொடர் வரிசைகளான A001110, A001109, மற்றும் A001108 ஆகும்.

சதுர முக்கோண எண்கள் காண 1778 -ல் ஆய்லர் உருவாக்கிய வாய்ப்பாடு::12–13

{\displaystyle N\_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.\,}
இவ்வாய்ப்பட்டையே வேறுவிதமாக மாற்றியமைக்கக் கிடைப்பது:

{\displaystyle {\begin{aligned}N\_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}
இதற்குரிய {\displaystyle s\_{k}\,} மற்றும் {\displaystyle t\_{k}\,} காணும் வாய்ப்பாடுகள்::13

{\displaystyle s\_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}
{\displaystyle t\_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}

பெல்லின் சமன்பாடு
-----------------

சதுர முக்கோண எண்களைக் காணும் முறையானது பெல்லின் சமன்பாடாகப் (Pell's equation) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது:

ஒரு முக்கோண எண்ணின் வடிவம்: 

{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}.}
இந்த எண் சதுர எண்ணாகவும் இருந்தால்

{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.} என்றபடி ஒரு {\displaystyle s,} இருக்க வேண்டும்.
இதை சற்றே மாற்றியமைக்க:

{\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}
{\displaystyle x=(2t+1)}; {\displaystyle y=2s,} எனப் பிரதியிட:
{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}
இச்சமன்பாடு ஒரு பெல்லின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு பெல் எண்களான *P**k* மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

{\displaystyle x=P\_{2k}+P\_{2k-1},\quad y=P\_{2k};}
ஃ {\displaystyle s\_{k}={\frac {P\_{2k}}{2}},\quad t\_{k}={\frac {P\_{2k}+P\_{2k-1}-1}{2}},\quad N\_{k}=\left({\frac {P\_{2k}}{2}}\right)^{2}.}

மீள்வரு தொடர்புகள்
------------------

சதுர முக்கோண எண்கள், அவற்றுக்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கான மீள்வரு தொடர்பு::(12):13

{\displaystyle N\_{k}=34N\_{k-1}-N\_{k-2}+2,\,} {\displaystyle N\_{0}=0\,} மற்றும் {\displaystyle N\_{1}=1.\,}
{\displaystyle N\_{k}=\left(6{\sqrt {N\_{k-1}}}-{\sqrt {N\_{k-2}}}\right)^{2},\,} {\displaystyle N\_{0}=1\,} மற்றும் {\displaystyle N\_{1}=36.\,}
{\displaystyle s\_{k}=6s\_{k-1}-s\_{k-2},\,} {\displaystyle s\_{0}=0\,} மற்றும் {\displaystyle s\_{1}=1;\,}
{\displaystyle t\_{k}=6t\_{k-1}-t\_{k-2}+2,\,} {\displaystyle t\_{0}=0\,} மற்றும் {\displaystyle t\_{1}=1.\,}

பிற பண்புகள்
------------

சதுர முக்கோண எண்கள் எண்ணற்றவை என்பதற்கான நிறுவலை *எ. வி. சில்வெஸ்டர்* தந்துள்ளார்:
*n*(*n*+1)/2 என்ற முக்கோண எண் ஒரு வர்க்கம் எனில் மிகப்பெரிய முக்கோண எண்ணும் அவ்வாறே வர்க்கமாக அமையும்:

{\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.}
ஒரு சதுர முக்கோண எண்ணைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

{\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots .}

எண் தரவு
--------

*k* -ன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக *t**k* / *s**k* விகிதம் {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421} -யும் தொடர்ந்து அமையும் இரு சதுர முக்கோண எண்களின் விகிதம் {\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056} -யும் நெருங்கும்..

{\displaystyle {\begin{array}{rrrrll}k&N\_{k}&s\_{k}&t\_{k}&t\_{k}/s\_{k}&N\_{k}/N\_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1&\\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&1.41379&33.97061\\6&48\,024\,900&6\,930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2  
Leonard Eugene Dickson (1999) [1920]. *History of the Theory of Numbers*. **2**. Providence: American Mathematical Society. பக். 16. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9780821819357.. பார்த்த நாள்: 2009-05-10.
2. 1 2 3  
Leonhard Euler (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)" (in Latin). *Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg* **4**: 3–17.. பார்த்த நாள்: 2009-05-11. "According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.".
3. ↑  
Barbeau, Edward (2003). *Pell's Equation*. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. பக். 16–17. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9780387955292.. பார்த்த நாள்: 2009-05-10.
4. ↑  
G. H. Hardy; E. M. Wright (1979). *An Introduction to the Theory of Numbers* (5th ). Oxford University Press. பக். 210. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0198531710. "Theorem 244"
5. ↑  Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number", *MathWorld*.
6. ↑  
Pietenpol, J. L.; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten (February 1962). "Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers". *American Mathematical Monthly* (Mathematical Association of America) **69** (2): 168–169. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:00029890. .
7. ↑  Plouffe, Simon (1992). "1031 Generating Functions" (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. p. A.129. 2013-02-06 அன்று மூலம் (PDF) பரணிடப்பட்டது. 2009-05-11 அன்று பார்க்கப்பட்டது. Unknown parameter `|month=` ignored (`|date=` suggested) (உதவி)

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
* Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number", *MathWorld*.