கணிதத்தில் **தொகையீட்டுச் சமன்பாடு** (*integral equation*) என்பது தெரியாத சார்பைத் தொகையீட்டுக் குறியீட்டின்கீழ் கொண்ட ஒரு கணிதச் சமன்பாடாகும். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் நெருங்கிய தொடர்புள்ளது.

கண்ணோட்டம்
----------

* மிக அடிப்படையான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடுகள் (Fredholm equation) ஆகும்.

முதல் வகை :

{\displaystyle f(x)=\int \limits \_{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}
இங்கு, 

φ -தெரியாத ஒரு சார்பு
*K* -இருமாறிகளில் அமைந்த தெரிந்த சார்பு. இச்சார்பு பெரும்பாலும் *கெர்னல் சார்பு* என அழைக்கப்படுகிறது.
தொகையீட்டு எல்லைகள் இரண்டும் மாறிலிகள்
இரண்டாம் வகை:

இவ்வகையில் தொகையீட்டுக்குறிக்கு உள்ளும் புறமும் தெரியாத சார்புகள் அமையும்.

{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits \_{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}
இங்கு λ தெரியாத காரணி.

* தொகையீட்டின் எல்லைகள் இரண்டும் சார்புகளாக இருந்தால் மேலே தரப்பட்டுள்ள இரு சமன்பாடுகளும் வோல்டரா தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகை சமன்பாடுகளாக (Volterra integral equation) மாறும்.

{\displaystyle f(x)=\int \limits \_{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt}
{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits \_{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}
மேலே தரப்பட்ட நான்கிலும் சார்பு *f* பூச்சியத்துக்கு ஒப்பானால் சமன்பாடுகள் *சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்* எனவும் பூச்சியமாக இல்லையெனில் *சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்* எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

வகைப்பாடு
---------

தொகையீட்டில் எல்லைகள், தெரியாத சார்பு இடம்பெறும் நிலை மற்றும் தெரிந்த சார்பின் தனமை ஆகிய மூன்று கருத்துக்களைக் கொண்டு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எட்டு வகைச் சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம்:

தொகையீட்டு எல்லைகள்
**இரண்டும் மாறிலிகள்:** ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடு
**ஒரு மாறி:** வோல்டெர்ரா சமன்பாடு
தெரியாத சார்புகள் அமையும் இடம்
**தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்:** முதல் வகை
**தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்ளும் வெளியிலும்:** இரண்டாம் வகை
தெரிந்த சார்பு *f* -ன் தன்மை
**பூச்சியம்:** சமபடித்தானது
**பூச்சியம் அல்ல:** அசமபடித்தானது
தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமான பல பயன்பாடுகள் கொண்டவை. கதிரியக்கச் சக்தி மாற்றல், கம்பி, அச்சு, சவ்வு போன்றவற்றின் அலைவு ஆகியவற்றில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. அலைவு கணக்குகளுக்கு வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மூலமாகவும் தீர்வு காணப்படலாம்.

சார்பு φ(x) -ன் நேரியல் தன்மையால், ஃபிரெதோல்ம் மற்றும் வோல்டெர்ரா சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகள்.

நேரியலற்ற வோல்டெர்ரா தொகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்:

{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits \_{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt.},
இங்கு தெரியாத சார்பு -F.

மேற்கோள்கள்
-----------

* George Arfken and Hans Weber. *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press, 2000.
* Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov *Handbook of Integral Equations*. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
* E. T. Whittaker and G. N. Watson. *A Course of Modern Analysis* Cambridge Mathematical Library.
* M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, *Problems and Exercises in Integral Equations*, Mir Publishers, Moscow, 1971
* Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (3rd ). New York: Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-88068-8. .

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.