சாய்சதுர வடிவங்கள்
 சாய்சதுரம் சதுரத்திலோ பட்டத்திலோ அல்லது இணைகரத்திலோ மாற்றம் ஏற்படுத்தும் பொது உருவாகிறது.
இயூக்ளீட் வடிவியலில், **சாய்சதுரம்** (*rhombus*) என்பது எளிய பல்கோணம் (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாது). அதன் நான்கு பக்கமும் சம அளவில் கொண்டுள்ளது. இதனை சமபக்க நாற்கரம் என்றும் அழைப்பார்கள். இதனைச் சிலர் வைரம் என்று அழைப்பார்கள் ஏனெனில், இது சீட்டுக்கட்டிலுள்ள டயமண்ட் போன்று இருப்பதால் அவ்வாறு அழைப்பார்கள். இந்த வடிவம் எண்முக முக்கோணகத்தின் அல்லது லோஜெங்கேயின் முன்னிருத்தலைப் போன்றுள்ளது. எண்முக முக்கோணகத்தின் 60°யிலும் லோஜெங்கேயின் 45° யிலும், ஒரு சாய்சதுரத்தையும் காணலாம்.

அனைத்து சாய்சதுரமும் இணைகரம் மற்றும் பட்டமே. எல்லா கோணங்களையும் செங்கோணமாகக் கொண்ட சாய்சதுரம் சதுரம் ஆகும். .

சொற்பிறப்பியல்
--------------

சரிவகம்(ஆங்கிலத்தில் ரொம்பஸ்) என்னும் சொல் ரோம்போஸ் என்ற கிரேக்க சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டுள்ளது. ரோம்போஸ் என்ற சொல்லுக்கு மீண்டும் மீண்டும் சுற்றுதல் (கிரேக்கத்தில் ரெம்போ) என்று பொருள். ,  யூக்ளிடு, ஆர்க்கிமிடீஸ் என்ற இரு அறிஞர்களும் இந்த சொல்லைப் பயன்படுத்தியுள்ளனர். அவர்கள் ஒரே அடிப்பாகத்தைக் கொண்ட இரு செங்கோண வட்டக் கூம்பினை "திடமான சரிவகம்" என்று அழைக்கின்றனர். 

சாய்சதுரம் என்ற இந்த வடிவம், திடமான சாய்சதுரத்தில் இரு கூம்பின் உச்சியில் குறுக்காக வெட்டும் பொது ஏற்படுகிறது.

குணங்கள்
--------

ஒரு எளிய பல்கோணம்(தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாது) கீழ்க்கண்ட நிபந்தங்களைச் சந்திக்கும் பட்சத்தில் மட்டுமே அது ஒரு சாய்சதுரம் என்று அழைக்கப்படும்:

* நான்கு சமபக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
* இரண்டு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக இருகூறாக வெட்டும் நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்
* எதிர் எதிர் உள்கோணங்களை இருகூறாகவெட்டும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
* உள்கோணங்களை இருகூறாக்கும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
* அடுத்தடுத்த இரு பக்கங்களும் சமமான அளவைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
* செங்குத்தான இரு மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும். ( செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்).

அடிப்படை இயல்புகள்
------------------

எல்லா சாய்சதுரமும் எதிர் எதிர் உச்சிகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டத்தைகயும், இரு சோடி இணை கோடுகளையும் கொண்டுள்ளது. சர்வசமமான முக்கோணத்தைக் கொண்டு, சாய்சதுரம் மூலைவிட்டத்தின் இருபக்கமும் சர்வசமமாக உள்ளது என்று நிரூபிக்கலாம். கீழ்க்கண்டவை சாய்சதுரத்தின் இயல்புகள் ஆகும்.

* சாய்சதுரத்தின் எதிர்க்கோணங்கள் ஒரே அளவிலானவை.
* சாய்சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் செங்குத்தாக உள்ளன; சாய்சதுரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் ஆகும்.
* சாய்சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் எதிர் எதிர் கோணங்களை இருசமக்கூறாக்குகிறது.

முதல் இயல்பிலிருந்து எல்லா சரிவகமும் ஒரு இணைகரம் என்று புரிகிறது. ஒரு சாய்சதுரம் இணைகரத்தின் எல்லா இயல்புகளையும் கொண்டுள்ளது. உதாரணத்திற்கு, எதிர் எதிர் பக்கங்கள் இணைகோடுகள்;அருகிலிருக்கும் கோணங்கள் துணைக் கோணங்கள் ஆகும். இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றை ஒன்று இருசமக்கூறாக்குகின்றது. நடுப்புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் எந்த கோட்டுத்துண்டும் பரப்பளவை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. நான்கு பக்கங்களின் சதுக்கத்தின் கூட்டுத் தொகையும் இரண்டு மூலைவிட்டத்தின் சதுக்கத்தின் கூட்டுத் தொகையும் ஒன்றே. (இணைவக விதி). ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ‘a’ என்ற எழுத்தாலும், இரு மூலைவிட்டங்களை ‘p’, ‘q’ என்ற எழுத்தாலும் குறிக்கலாம். 

{\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}
எல்லா இணைகரங்களும் சாய்சதுரம் ஆகாது. செங்குத்தான மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரம்(இரண்டாவது குணம்) சாய்சதுரம் ஆகும். பொதுவாக, எந்த சரிவாகத்தில் செங்குத்தான மூலைவிட்டங்கள் உள்ளதோ, அதில் ஒன்று, சமச்சீரான நேர்கோட்டாக இருந்தால் அது பட்டம் என்று அழைக்கப்படும். எல்லா சாய்சதுரமும் ஒரு பட்டமே. எந்த சாய்சதுரம் பட்டமாகவும் இணைகரமாகவும் உள்ளதோ அது சாய்சதுரம் ஆகும்

ஒரு சாய்சதுரம் தொடுகோட்டு நாற்கரம் ஆகும். இந்த  இந்த வடிவம் சாய்சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களுக்கும் தொடுகோடாக ஒரு உள்தொடு வட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பரப்பளவு
--------

ஒரு சரிவகம். கருப்பு புள்ளியால் குறிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கோணங்களும் செங்கோணங்கள் ஆகும். அடுத்தடுத்து இலாத இரு பக்கங்களுக்கும் நடுவில் உள்ள செங்குத்தான தூரத்தை *h* என்று குறிப்பார்கள். அது உள்தோடு வட்டத்தின் விட்டத்தின் நீளத்தைக் கொண்டிருக்கும். மூளைவிட்டங்கள் *p* மற்றும் *q* சிவப்புக் கோட்டால் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.
இணைவகத்தைப் பொறுத்த வரைக்கும், சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு *K*, அதன் அடிக்கும் உயரத்திற்குமான( *h*) பெருக்கலின் அளவு. அடி என்பது பக்கத்தின் நீலம் *a*:

{\displaystyle K=a\cdot h.}
மாறாக, பரப்பளவு அடியின் சதுக்கத்திற்கும் கோணத்தின் சைனிற்குமான பெருக்கலின் மதிப்பு. :

{\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}
அல்லது உயரம் மற்றும் உச்சி கோணத்தின் அடிப்படையில்:

{\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}
அல்லது இரு மூளைவிட்டங்களைப் பெருக்கி, அதில் பாதியைக் கண்டுபிடித்தால் பரப்பளவு கிடைக்கும்:

{\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}
அல்லது, சாய்சதுரத்தின் உள்தொடு வட்டத்தின் ஆரத்தையும், சாய்சதுரத்தின் அரைச்சுற்றளவையும் பெருக்குவதால் பரப்பளவு கிடைக்கும். :

{\displaystyle K=2a\cdot r.}

உள்ஆரம்
-------

உள்ஆரம்(உள்தொடுவட்டத்தின் ஆரம்) r, மூலைவிட்டம் p, q யின் அடிப்படையில் : 

{\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}

இரட்டை குணங்கள்
---------------

சாய்சதுரத்தின் இரட்டை பலகோணம் செவ்வகம் ஆகும் :

* சாய்சதுரத்தின் எல்லா பக்கங்களும் ஒரே அளவுடையவை; செவ்வகத்தின் எல்லா கோணங்களும் ஒரே அளவுடையவை.
* சாய்சதுரத்தின் எதிர் எதிர் கோணங்கள் ஒரே அளவிலானவை; செவ்வகத்தின் எதிர் எதிர் பக்கங்கள் ஒரே அளவிலானவை.
* சாய்சதுரம் உள்தொடு வட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது;செவ்வகம் சூழ்தொடுவட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.
* சாய்சதுரம் எதிர் எதிர் உச்சிக் கோணங்கள் வழியாக செல்லும் ஒரு சோடி சமச்சீர் அச்சினைக் கொண்டுள்ளது; செவ்வகம் எதிர் எதிர் பக்கங்கள் வழியாகச் செல்லும் ஒரு சோடி சமச்சீர் அச்சினைக் கொண்டுள்ளது.
* சாய்சதுரத்தின் நீள்வட்டங்கள் சமகோணத்தில் ஒன்றை ஒன்று வெட்டிக் கொள்கிறது;செவ்வகத்தின் நீள்வட்டங்கள் ஒரே நீளமுடையவை.
* சாய்சதுரத்தின் பக்கங்களின் மையப்புள்ளியை இணைத்தால் ஒரு செவ்வகம் உருவாகும். இந்த விதியின் மறுதலையாகவும் பொருந்தும்.

பலகோணத்திண்மத்தின் பக்கங்கள்
----------------------------

சாய்சதுரத்திண்மம் என்பது கனசதுரத்தைப் போன்ற மூன்று பரிமாண உருவம். அதன் ஆறு பக்கங்களும் சாய்சதுரம் ஆகும். 
சாய்சதுர பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் என்பது ஒரு குவி பல்கோணத்திண்மம் ஆகும்; அதன் 12 பக்கங்களும் சர்வசமமான சாய்சதுரம் ஆகும்.

பார்க்கவும்
-----------

* சாய்செவ்வகம், இணைகரத்திண்மையைக் குறிக்கும்; சாய்சதுரமும் அல்லாது செவ்வகமும் அல்லாது.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Note: யூக்ளிடு's original definition and some English dictionaries' definition of rhombus excludes squares, but modern mathematicians prefer the inclusive definition.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Square", *MathWorld*. inclusive usage
3. ↑  ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, *A Greek-English Lexicon*, on Perseus
4. ↑  ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, *A Greek-English Lexicon*, on Perseus
5. ↑  "The Origin of Rhombus". 2015-04-02 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2016-03-30 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. ↑  Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 55-56.
7. ↑  Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, *Methods for Euclidean Geometry*, Mathematical Association of America, 2010, p. 53.
8. 1 2  Weisstein, Eric W. "Rhombus", *MathWorld*.
9. ↑  de Villiers, Michael, "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons", *Mathematical Gazette* 95, March 2011, 102-107.