கணிதத்தில்  *n* என்ற ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும், அதன் காரணிகளின் (1 உள்பட) கூட்டுத்தொகை σ(n) என்று குறிக்கப்படும். அக்காரணிகளில் n ம் ஒன்றாகும். n ஐ நீக்கிவிட்டு மீதமுள்ள எல்லா காரணிகளையும் கூட்டி வரும் தொகை s(n) என்று குறிக்கப்படும். இப்பொழுது மூன்றுவித சூழ்நிலைகள் உருவாகக்கூடும்.

1. σ(n) = 2n ; இதுவே s(n) = n என்பதற்குச் சமம்.

2. σ(n) < 2n ; இதுவே s(n) < n என்பதற்குச் சமம்.

3. σ(n) > 2n ; இதுவே s(n) > n என்பதற்குச் சமம்.

முதல் சூழ்நிலையில் n ஒரு **நிறைவெண்** (*Perfect Number*) அல்லது **செவ்விய எண்** என்றும் இரண்டாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'குறைவெண்' (Deficient number) என்றும், மூன்றாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'மிகையெண்' (Abundant Number) என்றும் பெயர் பெறும். இக்கட்டுரை நிறைவெண் பற்றியது.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

முதல் நிறைவெண் 6. அதன் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. σ(n) = 12; s(n) = 6.

அடுத்த நிறைவெண் 28. ஏனென்றால், 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28.

அடுத்த நிறைவெண் 496. ஏனென்றால் 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 (OEIS-இல் வரிசை A000396)
.

கண்டுபிடிப்பு
-------------

முதல் நான்கு நிறைவெண்கள் கிரேக்ககாலத்திலேயே புழங்கப்பட்டவை. நான்காவது நிறைவெண் 8128 என்பதை நிக்கொமாகசு என்ற கிரேக்க அறிவியலர் கி.மு100 இல் கண்டுபிடித்தார்.

1456 -ல், பெயர் அறியப்படாத ஒரு கணிதவியலாளர் ஐந்தாவது செவ்விய எண் 33,550,336 என்பதற்கான குறிப்பை முதலாவதாகப் பதிவு செய்துள்ளார்.

1588 -ல், இத்தாலிய கணிதவியலாளர் *பியேட்ரோ கடால்டி*, ஆறாவது செவ்விய எண் (8,589,869,056) எனவும் ஏழாவது செவ்விய எண் (137,438,691,328)  எனவும் கண்டுபிடித்துள்ளார்.

ஒற்றைப்படை நிறைவெண்கள் உண்டா?
-----------------------------

சூன் 2010 வரை 47 நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. அவையெல்லாமே இரட்டைப்படை எண்கள்தாம். ஒரு நிறைவெண் ஒற்றைப்படையாக இருக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை இன்று (2011) வரை யாராலும் விடுவிக்க முடியவில்லை.

இரட்டை நிறைவெண்கள்
------------------

முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை யூக்ளிட் கண்டறிந்தார்:

2*p*−1(2*p*−1), *p* ஒரு பகா எண்

*p* = 2 எனில்:   21(22−1) = 6
*p* = 3 எனில்:   22(23−1) = 28
*p* = 5 எனில்:   24(25−1) = 496
*p* = 7 எனில்:   26(27−1) = 8128.
இந்நான்கிலும் 2*p*−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2*p*−1 பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2*p*−1(2*p*−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).

2*p*−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு *p* ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு துறவி *மேரின் மெர்சேன்* பெயரால் 2*p*−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், *மெர்சேன் பகா எண்கள்* என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும் 2*p*−1, (*p* ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 211−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் *p* -களில், 33 மட்டுமே, 2*p*−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.

யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான *இப்னு அல் ஹேத்தம்* ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2*p*−1(2*p*−1) (இதில் 2*p*−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை. 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் ஆய்லர், 2*p*−1(2*p*−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு **யூக்ளிட்-ஆய்லர் தேற்றம்** எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஜூன், 2010 -தரவின்படி 47 மெர்சேன் பகா எண்களும் அதனால் 47 இரட்டை நிறை எண்களும் காணப்பட்டுள்ளன. இவற்றில் மிகப் பெரியது 25,956,377 இலக்கங்கள் கொண்ட 243,112,608 × (243,112,609−1) ஆகும்.

முதல் 41 இரட்டை நிறைவெண்கள்:

2*p*−1(2*p*−1)
*p* = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011 (OEIS-இல் வரிசை A000043)
, மற்றும் 24036583.

மற்ற 6 நிறைவெண்கள்: *p* = 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, மற்றும் 43112609.

இவற்றுக்கிடையில் வேறு இரட்டை நிறைவெண்கள் உள்ளனவா இல்லையா என்பது அறியப்படவில்லை. எண்ணற்ற மெர்சேன் பகா எண்களும் இரட்டை நிறைவெண்களும் இருப்பதற்கான நிரூபணமும் இல்லை.

ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2*p*−1(2*p*−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2*p*−1) -வது முக்கோண எண்ணாகவும் 2*p*−1 -வது அறுகோண எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2*p*+1)/3) -வது மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்ணாகவும் முதல் 2(*p*−1)/2, ஒற்றைக் கன எண்களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:

{\displaystyle {\begin{aligned}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Smith, DE (1958). *The History of Mathematics*. New York: Dover. பக். 21. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-20430-8. .
2. ↑  Peterson, I (2002). *Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles*. Washington: Mathematical Association of America. பக். 132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:8-88358-537-2. .
3. ↑  Pickover, C (2001). *Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning*. Oxford: Oxford University Press. பக். 360. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-19-515799-0. .
4. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", *MacTutor History of Mathematics archive*, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.
5. ↑  "GIMPS Home". Mersenne.org. 2010-11-10 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. ↑  GIMPS Milestones Report. Retrieved 2011-12-03

மேற்கோள்கள்
-----------

* Euclid, *Elements*, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
* H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", *Journal für die Reine und Angewandte Mathematik*, 183 (1941), pp. 98–109.
* R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", *S.-B. Bayer. Akad. Wiss.*, 1937, pp. 69–72.

மேலும் படிப்பதற்கு
------------------

* Dickson, L.E.: *History of the Theory of Numbers*, 1, Chelsea, reprint, 1952.
* Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
* Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", *Mathematics of Computation* 27, (1973), 951–953.
* Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): *Computational Methods in Number Theory*, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
* Riesel, H. *Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation*, Birkhauser, 1985.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
* Perfect numbers - History and Theory
* OddPerfect.org பரணிடப்பட்டது 2018-11-06 at the வந்தவழி இயந்திரம் A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers
* Great Internet Mersenne Prime Search
[*தொடர்பிழந்த இணைப்பு*]
* Perfect Numbers, Math forum at Drexel