ஒரு நேர்ம முழு எண் n என்ற **எண்ணின் பிரிவினை** என்பது கீழ்க்கண்ட பண்புடன் கூடிய {\displaystyle a,b,c,d,...r} என்ற நேர்ம முழு எண்களாலான ஒரு முடிவுறுத் தொடர்:

{\displaystyle a+b+c+d+...+r=n.}
எ.கா.: 4, 3, 3, 2 என்ற தொடர்வு 12 என்ற எண்ணின் பிரிவினை. 4,3,3,2 - இவை அப்பிரிவினையின் *பாகங்கள்*. 
இப்பிரிவினையை பாகங்களுக்கு நடுவில் 'கமா' இல்லாமல் 4332 என்றே எழுதுவது வழக்கம். மற்றும் பிரிவினை எழுதுவதில் இன்னொரு மரபு பாகங்களை இறங்குவரிசையில் எழுதுவது.

522111 என்பது 12 இன் இன்னொரு பிரிவினை.

முதல் கேள்வி
------------

n என்ற ஒரு எண்ணிற்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கமுடியும்? அப்படி இருக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை {\displaystyle ''p''(n)} என்ற குறியீட்டால் காட்டப்படும்.

சில முதல் மதிப்புகள் :

*p*(1) = 1

*p*(2) = 2; ஏனென்றால் 2 இன் பிரிவினைகள் 2; 11 மட்டுமே.

*p*(3) = 3: ஏனென்றால் 3 இன் பிரிவினைகள் 3; 21; 111.

*p*(4) = 5; *p*(5) = 7; *p*(6) = 11; *p*(7) = 15; *p*(8) = 22; *p*(9) = 30; *p*(10) = 42;

*p*(20) = 627;

*p*(100) = 190,569,292

*p*(200) = 397299029388.

*p*(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 1031

ஆக, p(n) வெகு வேகமாக பெரிய எண்ணிக்கையை எட்டிவிடுகிறது.
p(n) க்கு ஒரு பொது வரையறை கொடுப்பதற்காக p(0) = 1 என்றும் p(-n) = 0 என்றும் வைத்துக்கொள்வது வழக்கம்.

ஹார்டி யும் இராமானுசனும் 1918 இலும் உஸ்பென்ஸ்கி 1920இலும் கண்டுபிடித்தது: 

{\displaystyle p(n)\sim {\frac {\exp \left(\pi {\sqrt {2n/3}}\right)}{4n{\sqrt {3}}}}{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty .}

பொதுவான வரையறை
--------------

இப்பொது வரையறையின் மூலம் குறிப்பிட்ட n என்ற எண் எவ்வளவு பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கிறது என்பதும் வெளிப்படையாகத் தெரியும்.

எப்பொழுதெல்லாம் λ1, λ2, ... , λm என்ற நேர்ம முழு எண்கள் கீழ்க்கண்ட இரண்டு பண்புகளுக்குட்பட்டு இருக்கின்றனவோ,

λ1 + λ2 + ... + λm = n
λ1≥λ2≥ ... ≥ λm≥ 1
அப்பொழுதெல்லாம் λ1,λ2, ... , λm என்ற தொடர்வு n -இன் பிரிவினை என்று சொல்லப்படும். இதை λ = (λ1, λ2, ... , λm) என்றோ அல்லது, காற்புள்ளியோ அடைப்போ இல்லாமல் λ1λ2 ... λm என்றோ எழுதுவது வழக்கம்.

இதற்கு சுருக்கமான குறியீடு λ {\displaystyle \vdash } n.

எ.கா. எண் 14 இன் ஒரு பிரிவினை, கீழ்க்கண்டபடி பலவிதமாக எழுதப்படலாம்:
4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1
4,3,3,2,1,1
433211
432212

பிரிவினையைக்காட்ட ஃபெற்றர்ஸ் படிமங்கள்
--------------------------------------

ஓர் எண் பிரிவினை λ {\displaystyle \vdash } n இன் **ஃபெற்றர்ஸ் படிமம்** என்பது i-ஆவது *நிரலில்* λi புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை.

|  |
| --- |
|  |
| 6 4 3 1 |

இது 14 இன் பிரிவினை. 14 புள்ளிகள், 4 நிரல்களில் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு நிரலின் அளவும் பிரிவினையின் ஒரு பாகமே.

இதே முறையில் 4 இன் ஐந்து பிரிவினைகளும் கீழே படிமங்களாகக் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 4 |  | 31 |  | 22 |  | 211 |  | 1111 |

**முக்கிய குறிப்பு**: ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தை சிலர் ' i-ஆவது *வரிசையில்* λi புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை' என்றும் வரையறுப்பதுண்டு.

இணைப்பிரிவினை
-------------

ஒரு எண் பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் நிரல்களை வரிசைகளாக மாற்றினால் கிடைக்கும் படிமமும் அதே எண்ணின் மற்றொருபிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் ஆகும். இவ்விரண்டு பிரிவினைகளும் ஒன்றுக்கொன்று **இணைப்பிரிவினை** (Conjugate partition) என்று சொல்லப்படும்.

எ.கா.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | ↔ |  |
| 6 4 3 1 | = | 4 3 3 2 1 1 |

ஆக, 6431 ம் 433211 ம் 14 இன் இணைப்பிரிவினைகள்.
இணைப்பிரிவினையை ஃபெர்ரர்ஸ் படிமத்தின் மூலமே மூன்று விதமாகக் கண்டுபிடிக்கலாம்:

நிரல்களை வரிசையாக்கலாம்
வரிசைகளை நிரல்களாக்கலாம்
படிமத்தின் குறுக்கு மையக்கோட்டில் கீழுள்ளதை மேலும் மேலுள்ளதைக் கீழுமாக பிரட்டிப்போடலாம். இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், குறுக்குக் கோட்டை கண்ணாடியாகக் கொண்டு எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் எதிர்வு காணலாம். மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டில் குறுக்குக்கோட்டிலுள்ள புள்ளிகள் சிவப்பாகக் காண்பிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

படிம அமைப்பைக்கொண்டே சில தேற்றங்கள்
-----------------------------------

ஒரு முழு எண் n இன் ஒரு பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் m நிரல்கள் இருந்தால் அப்பிரிவினையின் பாகங்களின் எண்ணிக்கையும் m தான். இதே படிமத்தை அதன் வரிசைகளை பிரிவினையின் பாகங்களாகக் கொண்டால் அதுவும் அதே n இன் மற்றொரு பிரிவினையாகும்.(சொல்லப்போனால் இது முதல் பிரிவினையின் இணைப் பிரிவினையாகும்). ஆனால் இப்பொழுது m என்பது பிரிவினையின் மீப்பெரு பாகத்தைக் குறிக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது கீழே யுள்ள தேற்றம்:

**தேற்றம் 1**. *ஒரு முழு எண்ணுக்கு, m பாகங்கள் உள்ள பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் மீப்பெருபாகம் m ஆகவுள்ள பிரிவினைகள்.*
எ.கா. எண் 10 என்று கொள். நான்கு பாகங்கள் உள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் மீப்பெரு பாகம் 4 ஆகவுள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவுள்ளபடி கீழே சோடி சேர்க்கப் பட்டிருக்கின்றன :
4321 {\displaystyle \leftrightarrow } 4321
4411 {\displaystyle \leftrightarrow } 4222
4222 {\displaystyle \leftrightarrow } 4411
5311 {\displaystyle \leftrightarrow } 42211
5221 {\displaystyle \leftrightarrow } 43111
6211 {\displaystyle \leftrightarrow } 421111
7111 {\displaystyle \leftrightarrow } 4111111
3331 {\displaystyle \leftrightarrow } 433
3322 {\displaystyle \leftrightarrow } 442
குறிப்பு: மேலேயுள்ள 9 சோடிகளில் முதல் சோடியில் உள்ள பிரிவினை ஒவ்வொன்றும் தனக்கே இணையாக உள்ளன. இவ்விதம் தனக்கே இணையாகவுள்ள பிரிவினையை **தன்னிணைப்பிரிவினை** (self-conjugate partition) என்று சொல்வோம்.
**தேற்றம் 2**: ஒரு முழு எண்ணுக்கு தன்னிணைப் பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களைக்கொண்ட பிரிவினைகள்.
இதனுடைய நிறுவலில் துருப்புச்சீட்டு என்னவென்றால் படிமத்தில் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை பாகத்தையும்
மையத்தில் 'மடித்தால்' ஒரு தன்னிணைப் பிரிவினையின் படிமம் கிடைக்கும்.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | ↔ |  |

அதனால் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களாலேற்பட்ட பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும், தன்னிணைப் பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்கமுடியும். கீழே இதற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | ↔ |  |
| 9 7 3 | {\displaystyle \leftrightarrow } | 5 5 4 3 2 |
| வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்கள் |  | தன்னிணைப்பிரிவினையின் பாகங்கள் |

தேற்றம் 2 க்கு ஒரு முழு எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 க்குள்ள 42 பிரிவினைகளுள் இரண்டேஇரண்டு தான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்ப்படை பாகங்களையுடையவை. இவை

9 1 மற்றும் 7 3.
இவை ஒவ்வொன்றுக்கும் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் நிறுவி, ஒவ்வொரு நிரலையும் மையப் புள்ளியில் மடித்தால், கிடைக்கும் படிமங்களுக்குரிய பிரிவினைகள் முறையே

52111 மற்றும் 4321.
இவையிரண்டும் தன்னிணைப் பிரிவினைகள். அது மாத்திரமல்ல, இதர 40 பிரிவினைகளும் தன்னிணைப் பிரிவினைகளல்ல.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: பிரிவினைச் சார்பு

துணை நூல்கள்
------------

* G.H. Hardy & E.M. Wright. The Theory of Numbers. Oxford Clarendon Press 1971
* V. Krishnamurthy. Combinatorics. Theory and Applications.Ellis Horwood. 1986