கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் **அடுக்களம்** (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் **பரிமாணம்** (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

1. {\displaystyle V=V\_{3}}. *B* = {***i, j, k***} என்று கொள்வோம். இங்கு ***i*** = (1,0,0), ***j*** = (0,1,0) மற்றும் ***k*** = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் *B* நிறைவேற்றுவதால், *B* ஒரு அடுக்களமாகும். {\displaystyle V\_{3}} க்கு இந்த அடுக்களத்தை **இயற்கை அடுக்களம்** என்று சொல்வர்.

2. V = {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{n}}: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் {\displaystyle B=\{1,x,x^{2},...x^{n}\}} இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் *B* ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ *B* ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim {\displaystyle {\mathcal {P}}\_{n}=n+1}.

அடிப்படை உண்மைகள்
-----------------

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

* ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,

{\displaystyle [\{v\_{1},v\_{2},...v\_{n}\}]=V} ஆகவும், {\displaystyle \{w\_{1},w\_{2},...w\_{m}\}} நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், {\displaystyle m\leq n.}
* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

* n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,

(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;
(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.
* {\displaystyle B=\{v\_{1},v\_{2},...v\_{n}\},} மற்றும் {\displaystyle [B]=V} ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:

(a): {\displaystyle B} நேரியல் சார்பற்றது.
(b):{\displaystyle V} இலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle v} க்கும், {\displaystyle v=\alpha \_{1}v\_{1}+\alpha \_{2}v\_{2}+...+\alpha \_{n}v\_{n}} என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

ஆயத்திசையன்
-----------

இதனால்  **B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை** இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

{\displaystyle B\subset V;[B]=V;} **மற்றும்,** {\displaystyle V} **இலுள்ள ஒவ்வொரு** {\displaystyle v} **க்கும்** {\displaystyle B} **இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும்**  {\displaystyle v=\alpha \_{1}v\_{1}+\alpha \_{2}v\_{2}+...+\alpha \_{n}v\_{n}} **என்ற கோவை தனிப்பட்டது** .

ஒரு அடுக்களம் {\displaystyle B} இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, {\displaystyle B=\{v\_{1},v\_{2},...v\_{n}\}}, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, {\displaystyle V} இலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle v} க்கும், {\displaystyle B} இன் உறுப்புகளின் மூலம் {\displaystyle v=\alpha \_{1}v\_{1}+\alpha \_{2}v\_{2}+...+\alpha \_{n}v\_{n}} என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை {\displaystyle (\alpha \_{1},\alpha \_{2},...\alpha \_{n})} ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு {\displaystyle v} இன் **ஆயத்திசையன்** (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி {\displaystyle V\_{3}} ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.
B = {\displaystyle \{(1,1,0),(1,0,1)(0,1,1),\}} எனக்கொள்க. {\displaystyle B} ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
{\displaystyle v} = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், {\displaystyle v} = **3**(1,1,0) **-1**(1,0,1) +**0**(0,1,1)
அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன் {\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle v=(2,3,-1)} என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் {\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}}. ஏனென்றால்
(2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை
-----------------------

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், {\displaystyle A=\{v\_{1},v\_{2},...v\_{k}\}} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால்,{\displaystyle k\leqslant n} ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.
{\displaystyle k=n} என்ற பட்சத்தில், {\displaystyle A} யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
{\displaystyle k<n} என்ற பட்சத்தில், {\displaystyle [A]\neq V}. அதனால், {\displaystyle V} இல் {\displaystyle [A]}க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை {\displaystyle v\_{k+1}} என்று அழைப்போம். இப்பொழுது {\displaystyle \{v\_{1},v\_{2},...v\_{k},v\_{k+1}\}} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். {\displaystyle k+1=n} என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். {\displaystyle k+1\neq n} என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை
------------------------------

{\displaystyle U,V} ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். {\displaystyle U} வின் ஒரு அடுக்களமாக {\displaystyle B=\{u\_{1},u\_{2},...u\_{n}\}} ஐக்கொள்க. இப்பொழுது {\displaystyle T(u\_{i})} ஐ ({\displaystyle i=1,2,...n)V} இல் **எந்தத் திசையன்களாகவும்** கொண்டு {\displaystyle T} யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

{\displaystyle T(\alpha \_{1}u\_{1}+\alpha \_{2}u\_{2}+...+\alpha \_{n}u\_{n})=\alpha \_{1}T(u\_{1})+\alpha \_{2}T(u\_{2})+....+\alpha \_{n}T(u\_{n})}
எ.கா.: {\displaystyle V\_{2}\rightarrow V\_{4}}
{\displaystyle B=\{(1,1),(1,-1)\}.} இது {\displaystyle V\_{2}} வில் ஒரு அடுக்களம்.
{\displaystyle T(1,1)} = ? {\displaystyle \in V\_{4}}
{\displaystyle T(1,-1)} = ? {\displaystyle \in V\_{4}.}
(\*) {\displaystyle T(1,1)=(1,1,0,0)} என்றும்
(\*\*) {\displaystyle T(1,-1)=(0,0,0,0)} என்றும் கொள்வோமாக.
{\displaystyle V} இல் {\displaystyle (x,y)} ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது {\displaystyle (x,y)} = ?(1,1) + ?(1,-1).
எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.
{\displaystyle (x,y)={\frac {x+y}{2}}(1,1)+{\frac {x-y}{2}}(1,-1)}
ஃ {\displaystyle T(x,y))={\frac {x+y}{2}}T(1,1)+{\frac {x-y}{2}}T(1,-1)}
= {\displaystyle {\frac {x+y}{2}}(1,1,0,0)+{\frac {x-y}{2}}(0,0,0,0)}
= {\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}},{\frac {x+y}{2}},0,0\right).}
ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு {\displaystyle T:(x,y)\mapsto \left({\frac {x+y}{2}},{\frac {x+y}{2}},0,0\right).}
(\*), (\*\*) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* திசையன் வெளியின் பரிமாணம்

துணை நூல்கள்
------------

* Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
* V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9