கணிதத்தில் {\displaystyle f:X\rightarrow Y} என்ற சார்பில்/கோப்பில் ஒவ்வொரு {\displaystyle y\in Y} க்கும் {\displaystyle X} இல் {\displaystyle f(x)=y} ஆகும்படி அதிக பட்சம் ஒரு {\displaystyle x} தான் இருக்குமானால் {\displaystyle f} **உள்ளிடுகோப்பு** (*Injection*) எனப்படும்; அதாவது, முன்னுரு உள்ள எந்த {\displaystyle y\in Y} க்கும் முன்னுரு ஓருறுப்புக் கணமாகத்தான் இருக்கும்.

இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால், {\displaystyle X} இன் உறுப்புகள் {\displaystyle x\_{1},x\_{2}} க்கு {\displaystyle f(x\_{1})=f(x\_{2})}ஆக இருக்குமானால் {\displaystyle x\_{1}} ம் {\displaystyle x\_{2}} ம் சமமாக இருந்தாகவேண்டும். அதாவது, ஆட்களத்திலுள்ள தனித்தனி {\displaystyle x} க்கு இணை ஆட்களத்தில் தனித்தனி {\displaystyle f(x)} இருந்தாகவேண்டும்.

துல்லியமான வரையறை
-----------------

{\displaystyle f:X\rightarrow Y} ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

{\displaystyle \forall (x,y)\in X^{2},\,\left(x\neq y\,\Longrightarrow \,f(x)\neq f(y)\right)}

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு
-------------------------------

உள்ளிடுகோப்பு.
முழுக்கோப்பு. இருவழிக்கோப்பும் கூட.
உள்ளிடுகோப்பல்ல.
சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (*injective map; injection; one-one map*).

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (*surjective map; surjection; onto map*).

சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (*into map*) என்று மட்டும் சொல்லலாம்.

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (*bijective map; bijection; one-one onto map*). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
---------------------------------------------------

* {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f(x)=2x-1}
இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால் {\displaystyle 2x\_{1}-1=2x\_{2}-1\Rightarrow x\_{1}=x\_{2}.}
* {\displaystyle g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle g(x)=x^{2}}
இது உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).
* {\displaystyle h:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle h(x)=x^{2}}
இது உள்ளிடுகோப்பு.
* அடுக்குச் சார்பு:

{\displaystyle exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto e^{x}}
* மடக்கைச்சார்பு{\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}

இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.

சில விளைவுகள்
-------------

சேர்வை உள்ளிடு கோப்பு.ஆனாலும் 2வது கோப்பு உள்ளிடு கோப்பல்ல
* எந்த {\displaystyle X} க்கும் {\displaystyle I:X\rightarrow X} என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
* {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} } என்ற சார்பு :ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான் சந்திக்கும்.
* {\displaystyle g\circ f} என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், {\displaystyle f} ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் {\displaystyle g} உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
* {\displaystyle f,g} இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால் {\displaystyle g\circ f} ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
* {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ஒரு உள்ளிடுகோப்பு, {\displaystyle A\subset X}, {\displaystyle B\subset X} என்றால்

{\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}, மற்றும்
{\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}
* X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், {\displaystyle f:X\rightarrow Y} உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
* {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் எண்ணளவை X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.

உள்ளிடுகோப்புகளுக்கு நேர்மாற்றுக்கோப்புகள்
------------------------------------------

உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது 

{\displaystyle f:X\rightarrow Y} உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால்,
{\displaystyle g\circ f} = {\displaystyle I:X\rightarrow X} ஆக இருக்கும்படி
{\displaystyle g:Y\rightarrow X} என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.
ஆனால் இந்த {\displaystyle g} ஐ {\displaystyle f} இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால் {\displaystyle f\circ g} முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.
எனினும், {\displaystyle f} இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது, {\displaystyle Y} க்கு பதிலாக, {\displaystyle f} இன் வீச்சை எடுத்துக்கொள்வதால் {\displaystyle f\circ g} யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Bartle, Robert G. (1976), *The Elements of Real Analysis* (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 *ff*.
* Halmos, Paul R. (1974), *Naive Set Theory*, New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 *ff*.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***Injectivity***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன. 



|  |  |
| --- | --- |
| Search Wiktionary | விக்சனரியில் ***injective*** என்னும் சொல்லைப் பார்க்கவும். |

* Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
* Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* முழுக்கோப்பு
* இருவழிக்கோப்பு