e என்னும் மாறிலியைப் பலவாறு விளக்கலாம். ஒரு எளிய முறை, இவ்வரைபடம். *y* = 1/*x* என்று வரையப்படும் கோட்டின் கீழ் 1 ≤ *x* ≤ *e* இடையே உள்ள பரப்பளவு 1 ஆகும்.
**e என்னும் கணித மாறிலி**  கணிதத்திலேயே மிகச்சிறப்பான மூன்று மாறிலிகளில் ஒன்று. பை யும் *i* யும் மற்ற இரண்டு. 1614 இல் மடக்கைகளை அறிமுகப்படுத்தின நேப்பியருக்காக e யை *நேப்பியர் மாறிலி* என்றும், 1761 இல் அதை பல பதின்ம (தசம) இலக்கங்களுக்குக் கணித்து மெக்கானிக்கா என்ற தன் கணித நூலில் புகுத்திய ஆய்லரின் நினைவாக *ஆய்லர் மாறிலி* என்றும் சொல்வதுண்டு. ஆய்லருடைய கணிப்புப்படி *e* = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 4 …

வரலாறு
------

**1618**: நேபியரின் இயல் மடக்கைகள், ஔட்ரெட் என்பவரால் தொகுக்கப்பட்டு பிரசுரிக்கப்பட்ட நூலில் அனுபந்தம்.

**1624**: பிரிக்ஸ் என்பவர் ஒரு எண்ணுக்கு தசம அடிப்படையில் மடக்கை கணித்திருக்கிறார். அது *e* யாகத்தான் இருக்கமுடியும்.

**1647**: க்ரிகரி வின்செண்ட் என்பவர் மிகைவளையத்திற்கு அடியில் உள்ள பரப்பை கணித்திருக்கிறார். ஆனால் *e* யைப்பற்றி குறிக்கவில்லை.

**1661**: ஹ்யூஜென்ஸ் என்பவர் இந்த மிகைவளயித்திற்கடியிலுள்ள பரப்பிற்கும் இயல் மடக்கைக்குமுள்ள உறவைப் பற்றித் தெரிந்தவராயிருக்கவேண்டும். "மடக்கை வளைவரை" (logarithmic curve) என்று ஒரு வளைவரையை அவர் பயன்படுத்துகிறர். ஆனால் அது இக்காலத்தில் நாம் அடுக்குச்சார்பு (exponential curve) என்று சொல்வதைத்தான் அப்படிச்சொல்கிறர். இதனிலிருந்து *e* இனுடைய மடக்கையை (அடி 10) 17 தசமப்புள்ளிகளுக்கு கணிக்கிறார். எனினும் ஏதோ கணிதத்தில் ஒரு மாறா எண்ணைக்கணிப்பதாக் எடுத்துக்கொள்கிறார். *e* இனுடைய முக்கிய உருவத்தை தவறவிட்டு விடுகிறார்.

**1668**: மர்காடர் "Logarithmotechnia" என்ற நூலைப்பிரசுரித்து அதனில் *log(1+x)* இன் விரிவாக்கத்தைக்கொடுக்கிறார். "இயல் மடக்கை" (Natural logarithm) என்ற சொற்றொடர் முதன்முதல் அவருடைய நூலில் தான் வருகிறது. ஆனாலும் *e* மட்டும் இன்னும் மேடையில் முன்னால் வரவில்லை.

**1683**: முதன்முதலில் *e* ஒரு முக்கியமான எண் என்பது ஜாகப் பெர்னொவிலி வட்டிக் கணிப்புகளைப் பற்றி எழுதியபோது ஏற்பட்டது. அவர் {\displaystyle (1+1/n)^{n}} என்ற தொடர்வினுடைய எல்லையைப்பற்றி ஆய்வு செய்தார். அவ்வெல்லை 2க்கும் 3க்கும் இடையில் இருப்பதாக ஈருறுப்புத்தேற்றத்தின் உதவியால் நிறுவுகிறார். 
ஆனாலும், மடக்கைகளுக்கும் இதற்கும் உள்ள உறவைப்பற்றி ஒன்றும் காட்டிக்கொள்ளவில்லை.

இக்காலத்தில் தான் *a* இன் அடிப்படையில் கணிக்கப்பட்ட மடக்கைச் சார்புக்கும் *a* இன் அடிப்படையில் உண்டான அடுக்குச் சார்புக்கும் உள்ள தொடர்பைப் பற்றி ஆராயும் நிலை வாய்த்தது. உலகம் *e* யைக்கண்டுபிடிக்கும் வாய்ப்புக்கள் உண்டாயின. லெப்னீஸு க்கு ஹ்யூஜென்ஸ் எழுதிய ஒரு கடிதத்தில் *e* தான் இயல் மடக்கையின் அடி என்பது குறிப்பிடப்பட்டது. அப்பொழுதும் அதற்குக் குறியீடு *b* என்ற எழுத்துதான் இருந்ததே தவிர  *e* யாக இருக்கவில்லை.

**1727**: ஆய்லருக்கு இருபது வயதாகும்போது ‘துப்பாக்கிகளைச் சுடுவதில் சமீபத்தில் செய்த சோதனைகள்’ என்ற ஒரு கையெழுத்துப் பிரதி எழுதப்பட்டு 1862 இல் பிரசுரிக்கப்பட்டது. அதனில் 2.71828... க்கு e என்ற குறியீடு காணப்படுகிறது

**1731**: *e* என்ற குறியீடு மறுபடியும் ஆய்லர் கோல்ட்பாக் க்கு எழுதிய ஒரு கடிதத்தில் உள்ளது. அதை மிகைவளைய மடக்கை 1 ஆக இருக்கக்கூடிய எண் என்று குறிப்பிடுகிறார்.

**1736**: முதன்முதலில் ஒர் அச்சடிக்கப்பட்ட நூலில் (ஆய்லருடைய ‘மெகானிகா’) குறியீடு e காணப்படுகிறது. அந்நூல் தான் தற்காலத்தில் பகுநிலையியக்கவியல் (Analytical Mechanics) என்று முக்கியமாக இருக்கும் கணித உட்பிரிவின் அடிப்படை நூல்.

நான்கு சரிசமமான வரையறைகள்
-------------------------

1. தொடர்வட்டிக்கருத்துக்களைக்கொண்டு உண்டான வரையறை:

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
2. ஆய்லரின் முடிவிலாச்சரம் (Infinite Series):

{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }
3. நேபியரின் மடக்கைக்கருத்தை அடிப்படையாகக்கொண்டது: *e* என்பது கீழுள்ள பண்பை தனக்கு மட்டும் உடைய உள்ளக எண்:

{\displaystyle \int \_{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}
4. *e* என்பது கீழுள்ள பண்பை தனக்கு மட்டும் உடைய உள்ளக எண்:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}={e^{t}}}

e இன் சில இதர பண்புகள்
----------------------

1. எண் e இயல் மடக்கைகளின் அடி. (Base of Natural logarithms).
2. {\displaystyle e=lim\_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
3. {\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}.
4. {\displaystyle y=e^{x}} இனுடைய அடுக்கு-வளர்ச்சி (exponential growth) யை கருத்தில் கொண்டு கணித மாறிலி e க்கு 'அடுக்குமாறிலி e' என்றும் பெயர் உண்டு. இது ஒரு விகிதமுறா எண் மட்டுமல்ல, இது ஒரு விஞ்சிய எண்ணே.
5. {\displaystyle y=e^{x}} என்னும் வரைவில் x =- infinity to x = 1 வரையில் வரைவுக்கடியில் உள்ள பரப்பு e. என்று கணக்கிடலாம்.
6. அதே வரைவில் x = 1 அதை சந்திக்கும் இடத்தில் அதன் சரிவும் தான்; ஏனென்றால் d/dx (e^x) = e^x.
7. y = 1/x என்பது ஒரு மிகை வளையம் (hyperbola). இதனில் x = 1க்கும் x = e க்கும் இடையே வரைவுக்கடியில் இருக்கும் பரப்பு 1 என்று கணக்கிடலாம்.

கணித மாறிலி e ஒரு விகிதமுறா எண்
-------------------------------

கணிதத்தில் **e (கணித மாறிலி) (the exponential)  *e* ஒரு விகிதமுறா எண்**.இதை நிறுவியவர் லியோனார்டு ஆய்லர். 1737 இல் *e* மட்டுமல்ல, *e2* ம் விகிதமுறா எண்கள் என்று நிறுவினார். பிற்காலத்தில் ஹெர்மைட் என்ற ப்ரென்சு கணிதவியலர் 1873 இல் அது விகிதமுறா எண் மட்டுமல்ல, அது உண்மையில் ஒரு விஞ்சிய (transcendental) எண் என்றும் நிறுவினார்.

### *e* ஒரு விகிதமுறா எண்: நிறுவல்

முரண்பாட்டு வழியில் நிறுவுவோம். *e* ஒரு விகிதமுறு எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது அது இரண்டு இயல்பெண்களின் விகிதமாக இருக்கவேண்டும் என்பது கருதுகோள். ஆக *e = m/n*. இங்கு *m*ம் *n* ம் இயல்பெண்கள். அதனால் *n!e* ம் ஒரு இயல்பெண்தான்.

ஆனால் ஏற்கனவே நமக்குத்தெரிவது:

{\displaystyle e=\sum \_{k=0}^{\infty }{1 \over {k!}}}

இதிலிருந்து,

{\displaystyle n!e=n!\sum \_{k=0}^{\infty }{1 \over {k!}}}

{\displaystyle =\sum \_{k=0}^{n}{n! \over {k!}}+\sum \_{k=n+1}^{\infty }{n! \over {k!}}}

இடதுபக்கத்திலுள்ளது இயல்பெண். அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ளதும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

வலது பக்கத்தில் உள்ள முதல் தொகை நிச்சயமாக இயல்பெண் என்று தெரிகிறது. அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ள இரண்டாவது தொகையும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும். ஆனாலும்,

{\displaystyle \sum \_{k=n+1}^{\infty }{n! \over {k!}}}

{\displaystyle =1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+....}

{\displaystyle <\sum \_{k=1}^{\infty }{1 \over {(n+1)^{k}}}}

{\displaystyle =1/n}

இதன் பொருள் இயல்பெண்ணல்லாதது. இந்த முரண்பாடு நம் கருதுகோள் செல்லாது என்பதைக் காண்பிக்கிறது.

ஆக, *e* ஒரு விகிதமுறா எண் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுவிட்டது.

{\displaystyle e,i,\pi } இவைகளுடன் உறவாடும் எண்கள்
--------------------------------------------------

கணிதத்தில் {\displaystyle e,i,\pi } இவைகளுடன் உறவாடும் எண்கள் மிக்க ஆர்வத்தைத் தூண்டக்கூடியவை. இவ்விதம் பற்பல உறவுகள் உள்ளன.

{\displaystyle e+\pi =5.859874482...}
{\displaystyle e{\times }\pi =8.539734223...}
{\displaystyle e^{e}=15.15426224...}
{\displaystyle \pi ^{e}=22.45915772...}
{\displaystyle e^{-e}=0.065988036...} .

[இதற்கும் {\displaystyle e^{1/e}} க்கும் இடையே *x* இருக்குமானால் {\displaystyle lim{x^{x^{x^{x^{.}....}}}}<infinity.}. இது ஆய்லருடைய தேற்றங்களில் ஒன்று].

லிண்டெமன் {\displaystyle \pi } விஞ்சிய எண் ணென்றும் ஹெர்மைட் {\displaystyle e} விஞ்சிய எண்ணென்றும் கண்டுபிடித்து உலகசாதனைகள் புரிந்தனர். மேலே குறிப்பிட்ட மற்ற 'உறவாடும் எண்கள்' இயற்கணித எண்களா அல்லது விஞ்சிய எண்களா என்பது இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை.

கணிதத்தின் மிக விசித்திரமான, புதியவர்களை அச்சுறுத்தக்கூடிய, இந்த மூன்று எண்களிடையே மிகச்சுவையான, எளிமையான உறவு ஒன்று உண்டு:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
லாம்பர்ட் 1768 இல் சூன்யமல்லாத ஒரு விகிதமுறு எண் x க்கு {\displaystyle e^{x}} விகிதமுறு மதிப்பைப் பெறமுடியாது என்று நிறுவிக் காட்டினார். இதனால் நமக்கு ஒரு அரிய உண்மை புலப்படுகிறது. {\displaystyle y=e^{x}} இன் வரைவில் (0, 1) என்ற ஒரு புள்ளியைத் தவிர இதர புள்ளிகளில் ஒன்றுமே விகிதமுறு புள்ளியாக இருக்க முடியாது. (விகிதமுறு புள்ளி (a, b) என்றால் a, b இரண்டுமே விகிதமுறு எண்களாயிருக்க வேண்டும்). இதையே வேறு விதமாகச் சொன்னால், {\displaystyle y=e^{x}} வரைவு ஒரு சிக்கலான சாதனை செய்கிறது. (x, y) – தளத்தில் விகிதமுறு புள்ளிகள் அடர்த்தியாக இருப்பது தெரிந்ததே. அப்படி அடர்த்தியாயிருக்கும் அத்தனை புள்ளிகளையும் தொடாமலேயே {\displaystyle e^{x}} வரைவு அவைகளினூடே புகுந்து செல்கிறது!

தொடர்வு எல்லைக்கும் முடிவிலாச்சரத்திற்கும் ஓர் ஒப்பிடல்
-------------------------------------------------------

{\displaystyle e=lim\_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\cdots }
இவையிரண்டுமே *e* இன் மதிப்பிற்கு ஒருங்குகின்றன. *n* சூன்யத்திலிருந்து 20 வரையில் போனால் இரண்டு வகையில் கிடைக்கும் மதிப்புகளை ஒப்பிட்டுப்பார்க்கும் வாய்பாடு கீழே உள்ளது:

|   **n**   |    {\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}}    |     {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}}     |
| --- | --- | --- |
|    **1** |    2.00000000 |   2.00000000 |
|    **2** |    2.25000000 |   2.50000000 |
|    **3** |    2.37037037 |   2.66666667 |
|    **4** |    2.44140625 |   2.70833333 |
|    **5** |    2.48832000 |   2.71666667 |
|    **6** |    2.52162637 |   2.71805556 |
|    **7** |    2.54649970 |   2.71825397 |
|    **8** |    2.56578451 |   2.71827877 |
|    **9** |    2.58117479 |   2.71828153 |
|  **10** |    2.59374246 |   2.71828180 |
|  **11** |    2.60419901 |   2.71828183 |
|  **12** |    2.61303529 |   2.71828183 |
|  **13** |    2.62060089 |   2.71828183 |
|  **14** |    2.62715156 |   2.71828183 |
|  **15** |    2.63287872 |   2.71828183 |
|  **16** |    2.63792850 |   2.71828183 |
|  **17** |    2.64241438 |   2.71828183 |
|  **18** |    2.64642582 |   2.71828183 |
|  **19** |    2.65003433 |   2.71828183 |
|  **20** |    2.65329771 |   2.71828183 |

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* கணிதத்தின் நிலைப்பிகள்

துணை நூல்கள்
------------

* Infinite Products for {\displaystyle \pi e} and {\displaystyle \pi /e} Z. A. Melzak. The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 1 (Jan. 1961), pp. 39–41
* Eli Maor. e: The story of a Number.Princeton University Press. 1994. Princeton, NJ. ISBN 0-691-05854-7
* David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. Dover reprint. 1959. New York.