எண் கோட்பாட்டில், **இருபடி முழுவெண்கள்** என்பது வழக்கமான முழுவெண்களை இருபடி களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இருபடி முழுவெண்கள், படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழு எண்களாகும். அதாவது பின்வரும் வடிவச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாக இருக்கும்:

*x*2 + *bx* + *c* = 0
b, c இரண்டும் வழக்கமான முழு எண்கள். இயற்கணித முழுவெண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, வழக்கமான முழுவெண்கள் பெரும்பாலும் *விகிதமுறு முழுவெண்கள்* என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இருபடி முழுவெண்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் விகிதமுறு முழுவெண்களின் வர்க்க மூலங்களான √2, மற்றும் காஸியன் முழுவெண்களை உருவாக்கும் சிக்கலெண் *i* = √−1 ஆகும். மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு ஒன்றின் கன படிமூலங்களில் ஒன்றான −1 + √−3/2 ஆகும். இக் கனபடிமூலம் [[ஐசேன்ஸ்டைன் முழுவெண்]]களை உருவாக்குகிறது.

பெல்லின் சமன்பாடுகள் போன்ற [[டியோஃபன்டைனே சமன்பாடு]]களின் தீர்வுகளில் இருபடி முழுவெண்கள் இடம்பெறுகின்றன. **இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்களின்** ஆய்வு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பல கேள்விகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.

வரையறை
------

**இருபடி முழுவெண்** என்பது படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழுவெண் ஆகும். மேலும் இது:

*x*2 + *bx* + *c* = 0 (*b*, *c முழுவெண்கள்)* என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமைகின்ற {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}} என்ற சிக்கலெண்ணாகும்.
முழுவெண்ணாக இல்லாத ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணும் விகிதமுறு எண்ணல்ல; அதாவது, *b*2 − 4*c* > 0 என்றால் மெய் விகிதமுறா எண்ணாகவும், *b*2 − 4*c* < 0 என்றால் அது மெய்யற்றதாகவும் இருக்கும். இத்தகைய இருபடி முழுவெண்கள் {\displaystyle \mathbb {Q} } இன் நீட்டிப்பாக அமையும் இருபடிக் களம் {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} இல் அமைகின்றன. {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} ஆனது,முழு எண் e க்கு *b*2 − 4*c* = *De*2 என்பதை நிறைவுசெய்யும் தனித்துவமான வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் D இன் வர்க்க மூலத்தால் பிறப்பிக்கப்படுகிறது. D நேரெண்ணாக இருந்தால் இருபடி முழுவெண் மெய்யெண்ணாகவும், *D* < 0 எனில், அது *கற்பனையெண்ணாகவும் இருக்கும்* (அதாவது சிக்கலெண், மெய்யற்றது).

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} என்ற இருபடி களத்தைச் சேர்ந்த இருபடி முழுவெண்கள் (சாதாரண முழுவெண்கள் உட்பட) "{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).} இன் முழுவெண்களின் வளையம்" என அழைக்கப்படும் முழு ஆட்களத்தை உருவாக்கும்.

தரப்பட்ட இருபடிக் களத்திற்குரிய இருபடி முழுவெண்கள் ஒரு வளையமாக இருக்கும். ஆனால், "அனைத்து" இருபடி முழுவெண்களின் கணமானது கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெறாததால் வளையமாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle 1+{\sqrt {2}},} {\displaystyle {\sqrt {3}}} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள்; ஆனால் அவற்றின் கூட்டுதொகையான {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},} பெருக்குத்தொகையான {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள் இல்லை (அவற்றின் சிறுமப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி நான்காக இருப்பதால்).

வெளிப்படையான உருவகிப்பு
-----------------------

இங்கும் பின்வரும் பகுதிகளிலும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபடி முழுவெண்கள், {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} (D என்பது வர்க்கமற்றகாரணி முழுவெண்) என்ற இருபடிக் களத்தைச் சேர்ந்தவை. இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது, √*a*2*D* = *a* √*D* {\displaystyle \implies \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,)} (a ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுவெண்) என்பதால் பொதுத்தன்மை கட்டுப்படுத்தப்படுவதில்லை.

{\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}
அல்லது, 

*D* − 1 = 4 இன் மடங்காக இருக்கும்போது
{\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},} (a, b இரண்டும் ஒற்றை எண்கள்)
என்பதை நிறைவு செய்யும் இரு முழுவெண்கள் a, b "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" {\displaystyle x\in \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}} ஆனது ஒரு இருபடி முழுவெண்ணாகும்.

மாற்றாக, ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணையும் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :*a* + *ωb* , (a, b முழுவெண்கள்; ω இன் வரையறை: {\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}})

குறிப்பு: D வர்க்கமற்ற காரணியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதால் {\displaystyle D\equiv 0{\pmod {4}}} ஆக இருக்காது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருக்கும்பட்சத்தில D ஆனது வர்க்க எண் 4 ஆல் வகுபடும்; அதாவது வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் அல்ல என்ற முரண்பாடு ஏற்படும்.

நெறிமமும் இணையியமும்
--------------------

A quadratic integer in {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} இலுள்ள ஒரு இருபடி முழுவெண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: 

*a* + *b*√*D* (a, b இரண்டும் முழுவெண்கள் அல்லது *D* ≡ 1 (mod 4) எனும்போது மட்டும் இரண்டும் அரை-முழுவெண்கள்.
இத்தகைய இருபடிமுழுவெண்ணின் "நெறிமம்" (*norm*):

*N* (*a* + *b*√*D* ) = *a*2 − *Db*2.
ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம் எப்போதும் ஒரு முழுவெண்ணாகவே இருக்கும். *D* < 0 எனில், ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம், அதன் தனிமதிப்பின் வர்க்கமாக (சிக்கலெண்ணுக்குப் போலவே) இருக்கும். இது *D* > 0 எனில் இது உண்மையாகாது. இரண்டு இருபடி முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகையின் நெறிமமானது தனித்தனியே அவ்விரண்டின் நெறிமங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணுக்கும் ஒரு இணையெண் உண்டு. 

*a* + *b*√*D* இன் "இணையெண்" (*conjugate*)

{\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}
ஒரு இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் ஆகிய இரண்டின் நெறிமமும் சமம்; மேலும் இந்த நெறிமமானது இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையாகவும் இருக்கும். இரு இருபடி முழுவெண்களின் கூட்டுதொகையின் (பெருக்குத்தொகை) இணையெண் அவ்விரண்டின் இணையெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக (பெருக்குத்தொகை) இருக்கும்.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  "Why is quadratic integer ring defined in that way?". *math.stackexchange.com*. 2016-12-31 அன்று பார்க்கப்பட்டது.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Dedekind, Richard (1871), *Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet* (2 ed.), Vieweg. Retrieved 5. August 2009
* Dummit, D. S. and Foote, R. M. 2004. *Abstract Algebra*, 3rd ed.
* Artin, M, *Algebra*, 2nd ed. Ch 13.

மேலதிக வாசிப்புக்கு
-------------------

* J.S. Milne. *Algebraic Number Theory*, Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes