**சைன் விதி** எனப்படுவது திரிகோண கணிதத்திலும் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

விதி
----

சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி
யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}} ஆகும்.

நிறுவல்
-------

### கூர்ங்கோண முக்கோணி

கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி
இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,

{\displaystyle asinB=bsinA}
ஆகவே,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,}
*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

{\displaystyle csinB=bsinC}
ஆகவே,

{\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,}
இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}} என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.
### விரிகோண முக்கோணி

விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி
இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,

{\displaystyle asin(180-B)=bsinA}
{\displaystyle asinB=bsinA}
ஆகவே,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,}
*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

{\displaystyle csinB=bsinC} எனக் கிடைக்கும்.
ஆகவே,

{\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,}
இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}} என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.

சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு
-------------------------

சைன் விதியின் விகிதங்களின் பொதுமதிப்பு சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமென வருவித்தலுக்கான படம்.



a

sin
⁡

α

=

b

sin
⁡

β

=

c

sin
⁡

γ

,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}

{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},} என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.

### நிறுவல்

{\displaystyle \triangle ABC} இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் **O** வழிச் செல்லும் முக்கோணம் {\displaystyle \triangle ADB} இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.

{\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }} (அரைவட்டக் கோணம்)
இப்போது {\displaystyle \triangle ABD} முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே



sin
⁡

δ

=

opposite
hypotenuse

=

c

2
R

,

{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}

{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},} {\displaystyle R={\frac {d}{2}}} = சுற்றுவட்ட ஆரம்
{\displaystyle {\gamma }={\delta }} (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்

sin
⁡

δ

=
sin
⁡

γ

=

c

2
R

.

{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}

{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}
இதனை மாற்றியமைக்க:



2
R
=

c

sin
⁡

γ

.

{\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}

{\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}
{\displaystyle \triangle ADB} முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் {\displaystyle 2R} க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.} |

### முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு

{\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }; *a*, *b* முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {\displaystyle \theta } .
{\displaystyle \sin \theta } இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் {\displaystyle R} உடனுள்ள தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:



T
=

1
2

a
b
⋅

c

2
R

.

{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}

{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}

|  |
| --- |
| {\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.} |

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:





a
b
c

2
T



=

a
b
c

2

s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)



=

2
a
b
c

(

a

2

+

b

2

+

c

2

)

2

−
2
(

a

4

+

b

4

+

c

4

)

,



{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}; *T* = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, *s* {\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.} = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு
இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடாக சுருக்கலாம்.

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:
{\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}} = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:

|  |
| --- |
| {\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}} |

. ({\displaystyle R} முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; {\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}.)

கோள சைன் விதி
-------------

ஒரு கோளத்தின் பெருவட்டங்களின் விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் *a*, *b*, *c* எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே *A*, *B*, *C* எனில் கோள சைன்விதி:

{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}
கோள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் சைன் விதியை ஒத்திருக்கும்.

### நிறுவல்

சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40). 

{\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A} முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட {\displaystyle \cos A} மதிப்பைப் பதிலிட:
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}
இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் {\displaystyle a,\;b,\;c} இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே 

{\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}}.
{\displaystyle {\frac {\sin C}{\sin c}}={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}}.
ஃ{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.} என நிறுவப்படுகிறது.

### திசையன் நிறுவல்

அலகு கோளத்தின் மையம் **O** இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: **OA**, **OB**, **OC**. BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு *a*. **OA** ஐ *z*-அச்சிலும், *xz*-தளத்தில் **OB** ஆனது *z*-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் *c* எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, *xy*- தளத்தில் **OC** இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, *x*-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் *A* ஆகவும் இருக்கும். எனவே **OA**, **OB**, **OC** திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:


O
A

=

(

0

0

1

)

,

O
B

=

(

sin
⁡
c

0

cos
⁡
c

)

,

O
C

=

(

sin
⁡
b
cos
⁡
A

sin
⁡
b
sin
⁡
A

cos
⁡
b

)

.

{\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}

{\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}

  

திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:




(

O
A

⋅
(

O
B

×

O
C

)

)

2


=

(

det

(

O
A

O
B

O
C

)

)

2



=

|

0

0

1

sin
⁡
c

0

cos
⁡
c

sin
⁡
b
cos
⁡
A

sin
⁡
b
sin
⁡
A

cos
⁡
b

|

2

=

(

sin
⁡
b
sin
⁡
c
sin
⁡
A

)

2

.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}
**OA** ⋅ (**OB** × **OC**) திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு, **OA**, **OB**, **OC** திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனவளவுக்குச் (**V**) சமம். மேலும் **OA**, **OB**, **OC** திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே 

*z*-அச்சை **OB** வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் (sin *c* sin *a* sin *B*)2 எனவும், *z*-அச்சை **OC** வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண (sin *a* sin *b* sin *C*)2 எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, (sin *a* sin *b* sin *c*)2 ஆல் வகுக்க:




sin

2

⁡
A

sin

2

⁡
a

=

sin

2

⁡
B

sin

2

⁡
b

=

sin

2

⁡
C

sin

2

⁡
c

=

V

2

sin

2

⁡
(
a
)

sin

2

⁡
(
b
)

sin

2

⁡
(
c
)

,

{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}

{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}
இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

### வடிவவியல் நிறுவல்

* கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், 

O
A
=
O
B
=
O
C
=
1

{\displaystyle OA=OB=OC=1}

{\displaystyle OA=OB=OC=1}:

* {\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }} என்றவாறு {\displaystyle D,} {\displaystyle E} புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

* {\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }} என்றவாறு {\displaystyle A'} புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

* இதிலிருந்து {\displaystyle \angle ADA'=B,} {\displaystyle \angle AEA'=C} ஆக இருக்கும்.

* {\displaystyle A'} ஆனது, {\displaystyle OBC} தளத்தில் {\displaystyle A} இன் வீழலாகும். எனவே:

{\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}
* முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:



A
D
=
sin
⁡
c

{\displaystyle AD=\sin c}

{\displaystyle AD=\sin c}

A
E
=
sin
⁡
b

{\displaystyle AE=\sin b}

{\displaystyle AE=\sin b}
* ஆனால் {\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}

* இவற்றை இணைக்க:



sin
⁡
c
sin
⁡
B
=
sin
⁡
b
sin
⁡
C

{\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}

{\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}


sin
⁡
B

sin
⁡
b

=

sin
⁡
C

sin
⁡
c


{\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}

{\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
* இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:



sin
⁡
A

sin
⁡
a

=

sin
⁡
B

sin
⁡
b

=

sin
⁡
C

sin
⁡
c


{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}

{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. *Geometry Revisited*. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. pp. 1–3, 1967
2. 1 2  "Law of Sines". *www.pballew.net*. 2018-09-10 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2018-09-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
3. ↑  Mr. T's Math Videos (2015-06-10), *Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle*, 2021-12-11 அன்று மூலதளத்திலிருந்து பரணிடப்பட்டது எடுக்கப்பட்டது, 2018-09-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது
4. ↑  Mitchell, Douglas W. "A Heron-type area formula in terms of sines," *Mathematical Gazette* 93, March 2009, 108–109.
5. ↑  Isaac Todhunter (1886). *Spherical Trigonometry* (5th ). MacMillan.. பார்த்த நாள்: 2013-07-28.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Sine theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* The Law of Sines at cut-the-knot
* Degree of Curvature
* Finding the Sine of 1 Degree
* Generalized law of sines to higher dimensions