மெய்யெண் அச்சின் பகுதியில் காமா சார்பியத்தின் மதிப்பு
கணிதத்தில் **காமா சார்பியம்** அல்லது **காமா செயற்கூறு** (*Gamma function*) என்பது தொடர்பெருக்கம் என்னும் கணிதச் சார்பியத்தின் ஒரு நீட்சி ஆகும். அதாவது கீழ்நோக்கி ஓரெண் குறைவான தொடர்பெருக்கம், மெய்யெண்ணாக இருப்பினும் சிக்கலெண்ணாக இருப்பினும். இந்த சார்பியத்தை கிரேக்கப் பெரிய எழுத்தாகிய காமா **Γ** என்பதால் குறிப்பது வழக்கம். *n* என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால்,

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
காமா சார்பியம் என்பது நேர்ம எண்ணாக அல்லாத எல்லா சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்று. நேர்ம மெய்யெண் பகுதி கொண்ட சிக்கலெண்களுக்கு, குவிந்தடையும் ஏதேனும் ஓரெல்லையாவது முடிவிலியாக அல்லது அடைவெல்லையாக அமைந்த செவ்வியதல்லாத நுண்தொகையீடு வழியாக வரையறை செய்யப்படும்:

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx}
இந்தக் காமா சார்பியம் பல்வேறு நிகழ்தகவு பகிர்வமைப்புகளில் (probability-distribution) காணப்படுகின்றது. பல்வேறு புள்ளியியல் சேர்வியல் துறைகளிலும் காணப்படுகின்றது.

வரையறை
------

### முதன்மையான வரையறை

Γ(*z*) என்னும் குறியீடு இலெகந்தர்( Legendre) என்பாரால் வழங்கப்பெற்றது *z* என்னும் ஒரு சிக்கெலெண்ணின் மெய்யெண் பகுதி நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் (Re(*z*) > 0), தொகையீடு

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx}
முற்றாகக் குவிந்தடையும் (converges absolutely) ஒன்றாகும்; இது ஆய்லரின் இரண்டாம் வகைத் தொகையீடு என்று அறியப்படுகின்றது (ஆய்லரின் முதல்வகைத் தொகையீடு என்பது பீட்டா சார்பியம் ஆகும்). பகுதியாக செய்யப்படும் தொகையீட்டு முறைப்படி கீழ்க்கண்டவாறு அறியலாம்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int \_{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&=\left[-x^{z}e^{-x}\right]\_{0}^{\infty }+\int \_{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim \_{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}}
{\displaystyle x\to \infty } ஆக {\displaystyle -x^{z}e^{-x}\to 0,}
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}}
{\displaystyle \Gamma (1)} என்பதைக் கணக்கிடலாம்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int \_{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&=\left[-e^{-x}\right]\_{0}^{\infty }\\&=\lim \_{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1\end{aligned}}}
{\displaystyle \Gamma (1)=1} என்னும் உண்மையையும் {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)} என்பதையும் கருத்தில் கொண்டால்,

{\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!\,}
என்பது எல்லா n நேர்ம எண்களுக்கும் பொருந்தும். இதனை அடுத்துத்தூண்டல் நிறுவல் (proof by induction) முறை எனக் கொள்ளலாம். 
முற்றொருமையான {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}} என்பதைப் பயன்படுத்தி {\displaystyle \Gamma (z)} சார்பியத்தை தொகையீட்டு அமைப்பில் 
சுழியமாகவோ அதற்கும் கீழானதாகவோ இல்லாத {\displaystyle z} என்னும் எல்லாச் சிக்கலெண்ணுக்கும் பொருந்துமாறு மேரோவுருவ சார்பியமாக நீட்சி பெறச் செய்யலாம்.

இந்த நீட்சிபெற்ற பார்வையிலும் வடிவத்திலும்தான் பொதுவாக காமா சார்பியம் என அறியப்படுகின்றது.

### மாற்று வரையறைகள்

#### முடிவிலாப் பெருக்கல் வடிவில் ஆய்லர் தரும் வரையறை

சிக்கலெண் *z* இன் தொடர் பெருக்கமாகிய *z*! என்பதற்கு தோராயம் கண்டறிய கீழ்க்காணும் முறை பயன்படும் ஒன்றாகத் தெரிகின்றது. முதலில் பெரிய முழு எண்ணாகிய ஒரு *n* என்பதன் தொடர்பெருக்கமாகிய *n*! -ஐக் கணக்கிடலாம். பின்னர் அதனைப் பயன்படுத்தித் தோராயமாக (*n*+*z*)! என்பதைக் கணக்கிடலாம், பின்னர் மீளுறும் சமன்பாட்டை *n* முறை பின்னோக்கிப் பயன்படுத்தி, *z*! என்பதனைத் தோராயமாகக் கண்டறியலாம். கடைசியாக *n* என்பது முடிவிலியாக சென்றடையும்பொழுது தோராயம் என்பது முழுதும் சரியானதாக ஆகிவிடும்.

குறிப்பாக, ஒரு குறிப்பிட்ட முழுவெண் m -உக்கு, கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம். 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,,}
இதே சமன்பாடு அந்த ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட m என்பதை ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட சிக்கெலெண் z -ஆக மாற்றினாலும் பொருந்துவதாகும். 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}
*z*! ஆல் இருபக்கத்தையும் பெருக்கினால்,

{\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\lim \_{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}(n+1)^{z}\\&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left[\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]^{z}\\&=\prod \_{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}
இந்த முடிவிலிப் பெருக்க வாய்பாடு எதிர்ம முழுவெண் அல்லாத எல்லா z சிக்கலெண்களுக்கும் குவியடைவு பெறும். எதிர்ம முழுவெண் இருந்தால் 
*m*! = *m* (*m*−1)! என்னும் மீளுறும் சமன்பாட்டில் பின்னோக்கிச் செல்லும்பொழுது *m* = 0 என்பதில் சுழியத்தால் வகுபடும் நிலை வரும்.

### சில காமா சார்பிய மதிப்புகள்

காமா சார்பியத்தின் மதிப்புகள் சில:

{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}

அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும்
--------------------------------

1. 1 2 3 4  Davis, P. J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function". *American Mathematical Monthly* **66** (10). doi:10.2307/2309786.. பார்த்த நாள்: 3 December 2016.
2. ↑  meros (μέρος) என்னும் கிரேக்கச்சொல்லின் பொருள் *பகுதி* (*part*))