கணிதவியலில் **டிரிழ்ச்லெட் தொடர்** (Dirichlet series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமைந்த எந்த கணிதத் தொடருக்குமான பெயர் ஆகும்.

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n}}{n^{s}}},}
மேலுள்ளதில் *s* மற்றும் *a**n*,  *n* = 1, 2, 3, ... என்பன சிக்கலெண்கள்.

டிரிழ்ச்லெட் தொடர் எண்கோட்பாட்டுக் கூறாய்வு இயலில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றது. ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் இந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடராகவே அறியப்படுகின்றது. இது போலவே டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியங்களும் டிரிழ்ச்லெட் தொடரால் அமைந்தவை. டிரிழ்ச்லெட் தொடர் யோஃகான் பீட்டர் இகுசுட்டாவ் லெயூன் டிரிழ்லெட் (1805-1859) என்னும் டாய்ட்சு கணிதவியலரைப் பெருமைப்படுத்தும் முகமாக சூட்டப்பட்ட பெயர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

பெரிதும் அறிந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடர்:

{\displaystyle \zeta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
என்னும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ஆகும்.

மற்றொன்று:

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
மேலுள்ளதில் μ(*n*) என்பது மோபியசு சார்பியம் (Möbius function). இதுவும் கீழ்க்காணும் மற்ற தொடர்களும், பிற அறிந்த தொடர்களின் மோபியசுத் தலைமாற்றல் (Möbius inversion) மற்றும் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவு(Dirichlet convolution) என்னும் கணிதவினைகள் மூலம் பெறக்கூடியது. எடுத்துக்காட்டாக டிரிழ்ச்லெட் எழுச்சி சார்பியம் (Dirichlet character) {\displaystyle \scriptstyle \chi (n)} என்பது தரப்பட்டால்,

{\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}
மேலுள்ளதில் {\displaystyle L(\chi ,s)} என்பது ஒரு டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியம்(Dirichlet L-function).

மற்ற ஈடுகோள்களில் சில:

{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}
மேலுள்ளதில் φ(*n*) என்பது டோழ்சன்ட் சார்பியம்(totient function), மற்றும்

{\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)}{n^{s}}}}
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)\sigma \_{b}(n)}{n^{s}}}}
மேலுள்ளதில் σ*a*(*n*) என்பது வகு எண் சார்பியம் (divisor function). வகு எண் சார்பியங்கள் *d*=σ0 வரும் மற்ற ஈடுகோள்கள்:

{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}
இசீட்டா சார்பியத்தின் மடக்கை:

{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum \_{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}
தளம்: Re(*s*) > 1. இதில், {\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)} என்பது வான் மான்கோல்ட் சார்பியம் (von Mangoldt function). மடக்கை நுண்வகையீடு (logarithmic derivative):

{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
கடைசி இரண்டும் டிரிழ்ச்லெட் தொடர்களின் நுண்வகையீடுகளின் பொதுவான பண்புகளின் சிறப்பு உருப்படிகள்.

லியோவில் சார்பியம்(Liouville function) {\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)} ஐத் தருவதாகக் கொண்டால், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்:

{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}
மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இராமனுசன் கூட்டு என்னும் கருத்தைக்கொண்டது:

{\displaystyle {\frac {\sigma \_{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {c\_{n}(m)}{n^{s}}}.}

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* இசீட்டா சார்பிய சீராக்கம்
* ஆய்லர் பெருக்கல்

உசாத்துணை
---------

* G. H. Hardy, and Marcel Riesz, *The general theory of Dirichlet's series*, Cambridge Tracts in Mathematics, No. **18** (Cambridge University Press, 1915).
* The general theory of Dirichlet's series  by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
* Dirichlet series பிளாநெட்மேத்தில்