நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சேர்ப்பு அணி** அல்லது **இணைப்பு அணி** (*adjugate matrix*) என்பது அச்சதுர அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியாகும்.

வரையறை
------

**A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** இன் இடமாற்று அணியானது **A** இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}~.}
*R* ஒரு பரிமாற்று வளையம்; *R* இலுள்ள உறுப்புகளாலான *n*×*n* அணி **A**.

* **M***ij* என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவை; இது **A** அணியின் i ஆவது நிரையையும் j ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (*n* − 1)×(*n* − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
* **C***ij* என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) இணைக்காரணி;

{\displaystyle \mathbf {C} \_{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} \_{ij}~.}
* **A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** என்பது ஒரு *n*×*n* அணி; இதன் (*i*,*j*) ஆவது உறுப்பு **A** அணியின் (*i*, *j*) ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
* **C** அணியின் இடமாற்று அணியே **A** அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது *n*×*n* வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (*i*,*j*) உறுப்பானது **A** அணியின் (*j*,*i*) இணைக்காரணியாக அமையும்:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )\_{ij}=\mathbf {C} \_{ji}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} \_{ji}\,}.
* **A** அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி, det(**A**) ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

|  |
| --- |
| {\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} ~.} |

* *R* இல், det(**A**) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, **A** அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}~,}
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~.}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

### 1 × 1 பொது அணி

எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: {\displaystyle \mathbf {I} =(1)}.

### 2 × 2 பொதுஅணி

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}} என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}.
மேலும் det(adj(**A**)) = det(**A**) என்பதும் adj(adj(**A**)) = **A** என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

### 3 × 3 பொதுஅணி

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{pmatrix}}}
இதன் இணைக்காரணி அணி:

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}
சேர்ப்பு அணி:

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}
#### 3 × 3 எண் அணி

{\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}}.
செயல்முறை:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}} அணியின் இணைக்காரணி அணி:
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}0&-2\\-4&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&-2\\3&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&0\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}2&-5\\-4&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&-5\\3&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&2\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}2&-5\\0&-2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&2\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}}
இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:

{\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}=\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}}

பண்புகள்
--------

சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:

**A** , **B** இரண்டும் *n*×*n* அணிகள் எனில்:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
{\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~}
*m* ஒரு முழு எண் எனில்:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}~}
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}~}
**A** ஒரு *n*×*n* அணி; மேலும் *n* ≥ 2 எனில்:

{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},}
மேலும் **A** ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க *n*×*n* அணி எனில்:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} ~,}
**A** நேர்மாற்றத்தக்கது, *n = 2* எனில்:

det(adj(**A**)) = det(**A**)
adj(adj(**A**)) = **A**
நேர்மாற்றத்தக்க அணி **A** க்கு k தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:

{\displaystyle \mathrm {adj} \_{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}
{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} \_{k}(\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Felix Gantmacher (1960). *The Theory of Matrices*. **1**. New York: Chelsea. பக். 76–89. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8218-1376-5. .

* Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), *Topics in Matrix Analysis*. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Matrix Reference Manual
* Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
* "adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". *வொல்பிராம் அல்பா*.