ஒர் உள்ளக எண் (real number) r, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புச் சமன்பாட்டை (polynomial equation with integral coefficients) சரி செய்யுமானால் அது ஓர் **இயற்கணித எண்** (*Algebraic number*) எனப்படும். இயற்கணித எண் அல்லாத உள்ளக எண்களுக்கு **விஞ்சிய எண்கள்**(*Transcendental number*) என்று பெயர். 19 வது நூற்றாண்டில் **இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்** கணித இயலர்களின் ஆய்வுக்கு இலக்காகியதும் இவைகளைப் பற்றிய உண்மைகள் சிறிது சிறிதாக வெளிப்படத் தொடங்கின.0

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

எடுத்துக்காட்டாக, *a/b* என்ற ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணும் இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அவை

{\displaystyle bx-a=0}

என்ற சமன்பாட்டைச் சரி செய்கின்றன.

ஆகவே, ஓர் எண் இயற்கணித எண்ணாக இல்லாவிட்டால் அது விகிதமுறா எண்ணாகத்தான் இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் இதன் மாற்றுத் தீர்மானம் உண்மையல்ல. விகிதமுறா எண்ணெல்லாம் இயற்கணித எண்ணல்ல என்று சொல்லிவிட முடியாது. உதாரணத்திற்கு {\displaystyle \surd {2}} ஐ எடுத்துக்கொள்ளலாம். இது

{\displaystyle x^{2}-2=0}

என்ற சமன்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. இதனால் {\displaystyle \surd {2}} ஓர் இயற்கணித எண்ணாகும். சொல்லப்போனால் இயற்கணிதத்தில் பொதுமட்டத்தில் நாம் சந்திக்கும் எண்கள் அநேகமாக இயற்கணித எண்களாகத்தான் இருக்கும். உ-ம்:

-1 ஒரு இயற்கணித எண்; எனென்றால் அது  *x + 1 = 0* ஐ சரிசெய்கிறது.

355/113 ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது 113 *x* - 355 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது.

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}} ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது {\displaystyle x^{6}-2x^{3}-1=0} ஐ சரிசெய்கிறது.

ஆக, விகிதமுறா எண்களில் இயற்கணித விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம், இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம்.

கற்பனை எண் என்று சொல்லப்படும் அமைகண எண் *i* உம் ஒரு இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அது *x^2* + 1 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது
*a* உம் *b* உம் இயற்கணித எண்ணானால் *a + ib* உம் இயற்கணித எண்தான்.

வரலாறு
------

ஆனால் 19ம் நூற்றாண்டு வரையில் இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்கள் ஒன்று கூட கண்டுபிடிக்கப் படவில்லை. அப்படி ஒரு பகுப்பு இருக்குமா என்பதே தெரியவில்லை. 1844 இல் தான் ஜோசப் லியோவில் (1809-1882) இயற்கணிதமற்ற எண்கள், அதாவது, விஞ்சிய எண்கள், இருக்கமுடியும் என்பதை நிறுவினார். அவருடைய நிறுவல் வெகு நிரடலானது. ஆனால் அந்நிறுவல் பல விஞ்சிய எண்களைக் காட்ட வல்லதாயிருந்தது.

லியோவில் எண்
------------

கீழே காட்டப்பட்ட எண்ணுக்கு **லியோவில் எண்** என்று பெயர்:

{\displaystyle {\frac {1}{10^{1!}}}+{\frac {1}{10^{2!}}}+{\frac {1}{10^{3!}}}+{\frac {1}{10^{4!}}}....}

இதனுடைய தசம விரிவாக்கம்

0.1100010000000000000000010000......

இதனில் 1, 2, 6, 24, 120, ... வது இலக்கங்கள் 1 ஆகவும் மற்ற இலக்கங்கள் 0 வாகவும் இருக்கும். இந்த எண் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று லியோவில் காட்டினார்.

விஞ்சிய எண்ணுக்கு இன்னொரு உதாரணம்:

0.123456789101112131415161718192021......

இங்குள்ள இலக்கங்களை எளிதில் எழுதிவிடலாம். ஏனென்றால் அவைகள் வெறும் இயல்பெண்கள் தான்; அவைகளின் வரிசையிலேயே ஒன்றன்பின் ஒன்றாகக் கொடுக்கப் பட்டிருக்கின்றன.

முக்கியமான விஞ்சிய எண்கள்
-------------------------

ஆனால் இந்த விஞ்சிய எண்களெல்லாம் விஞ்சிய எண்கள் என்ற நிறுவலுக்காகவே முயற்சியெடுத்து உண்டாக்கப்பட்டவை. வழக்கிலிருக்கும் எண்கள் ஏதாவது விஞ்சிய எண்கள் என்ற பகுப்பில் இருக்கின்றனவா என்பது நியாயமான கேள்வி. முக்கியமாக {\displaystyle \pi ,e} இரண்டினுடைய நிலை என்ன? 1737 இல் ஆய்லர் {\displaystyle e,e^{2}} இரண்டும் விகிதமுறா எண்கள் என்று நிறுவினார். 1768 இல் லாம்பர்ட் {\displaystyle \pi } இன் விகிதமுறாப்பண்பை நிறுவினார். ஆனால் {\displaystyle \pi ,e} இரண்டையுமே விஞ்சிய எண்களாகக்கூட இருக்கும் என்று தான் கணித உலகத்தின் எதிர்பார்ப்பு இருந்தது.

லியோவில் செய்த ஆய்வுகளில் எண் *e* முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடு எதையும் சரிசெய்யாது என்ற தீர்வை இருந்தது. ஆனால் *e* ஒரு விஞ்சிய எண் என்று காட்டுவதற்கு இது போதவே போதாது. அதற்கு, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக்கொண்ட எந்த பல்லுருப்புச்சமன்பாட்டையும் அது சரி செய்யாது என்று காட்டவேண்டும். **இந்த சாதனையைப் புரிந்தவர்** சார்ல்ஸ் ஹெர்மைட் (1822 - 1901). அவருடைய இந்த நிறுவல் 1873 இல் ஒரு 30-பக்க நூலாகப் பிரசுரமாகியது.

'பை'யும் ஒரு விஞ்சிய எண்
------------------------

லிண்டெமன் என்பவர் 1882 இல் {\displaystyle \pi }உம் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிறுவல் கொடுத்தார். அவருடைய தேற்றம்:

{\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{n},a\_{1},a\_{2},...a\_{n}} எல்லாம் இயற்கணித எண்களாகவும், {\displaystyle a\_{i}}கள் வெவ்வேறு உள்ளக எண்களாகவோ பலக்க எண்களாகவோ இருக்குமானால்,

{\displaystyle A\_{1}e^{a\_{1}}+A\_{2}e^{a\_{2}}+...+A\_{n}e^{a\_{n}}}

ஒருபோதும் சூன்யமாகாது.

ஆனால் ஆய்லர் சமன்பாடு {\displaystyle e^{\pi i}+1=0} என்று சொல்கிறது. இதையே {\displaystyle e^{\pi i}+e^{0}=0} என்றும் எழுதலாம். இப்பொழுது லிண்டெமன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், {\displaystyle \pi i} இயற்கணித எண்ணாக இருக்கமுடியாது என்று புலப்படும். ஆனால் *i* ஒரு இயற்கணித எண். **அதனால் {\displaystyle \pi } ஒரு விஞ்சிய எண் தான்**.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

e (கணித மாறிலி)

துணை நூல்கள்
------------

* Richard Courant, Herbert Robbins, and Ian Stewart , What is Mathematics? Oxford University Press, New York, 1996 ISBN 978-0195105193
* Krishnamurthy, V. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.Wiley Eastern Limited. New Delhi. 1990 ISBN 81-224-0272-0