நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு அணியின் **சிற்றணிக்கோவை** (*minor*) என்பது அவ்வணியிலிருந்து அதன் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிரைகளையோ, நிரல்களையோ நீக்கக் கிடைக்கும் சிறிய சதுர அணியின் அணிக்கோவையாகும். ஒரு சதுர அணியிலிருந்து ஒரேயொரு நிரையையும், நிரலையும் மட்டும் நீக்கிப் பெறப்படும் சிற்றணிக்கோவைகள், **முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்** (*first minors*) எனப்படுகின்றன. இவை அச்சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பினைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவ்வணியின் நேர்மாறு அணி காண்பதற்கும் பயன்படுகின்றன.

வரையறை
------

### முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்

*A* ஒரு சதுர அணி எனில் அதன் *i*-வது நிரை மற்றும் *j*-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை (**(*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவை** அல்லது **முதல் சிற்றணிக்கோவை**)) என்பது *A* அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும். (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M*i,j*

பொதுவான வரையறை
**A** ஒரு *m* × *n* அணி; *k* ஒரு முழு எண்; 0 < *k* ≤ *m*, *k* ≤ *n* எனில்: 

**A** இன் *k* × *k* சிற்றணிக்கோவை என்பது **A** அணியிலிருந்து *m* − *k* நிரைகளையும் *n* − *k* நிரல்களையும் நீக்கிய பின் கிடைக்கும் *k* × *k* அணியின் அணிக்கோவையாகும்.
#### இணைக்காரணிகள்

குறியிடப்பட்ட சிற்றணிக்கோவைகள் இணைக்காரணிகள் என அழைக்கப்படும்.

(*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவையை {\displaystyle (-1)^{i+j}} ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C*i,j*.
{\displaystyle \mathbf {C} \_{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} \_{ij}.\,}
#### 3 x 3 அணியின் சிற்றணிக்கோவை, இணைக்காரணி காணல்

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}
மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை *M*23 காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.

{\displaystyle M\_{23}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13}
இதற்குரிய இணைக்காரணி *C*23:

{\displaystyle \ C\_{23}=(-1)^{2+3}(M\_{23})=-13.}
#### இணைக்காரணி அணி

ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு {\displaystyle \mathbf {C} }

3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{pmatrix}}}
இதன் இணைக்காரணி அணி:

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c\_{11}&c\_{12}&c\_{13}\\c\_{21}&c\_{22}&c\_{23}\\c\_{31}&c\_{32}&c\_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}

சிற்றணிக்கோவைகள், இணைக்காரணிகளின் பயன்பாடுகள்
---------------------------------------------

### அணிக்கோவைகளின் விரிவு

{\displaystyle n\times n} அணி {\displaystyle (a\_{ij})} எனில்

*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *j*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:
{\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a\_{1j}C\_{1j}+a\_{2j}C\_{2j}+a\_{3j}C\_{3j}+...+a\_{nj}C\_{nj}=\sum \_{i=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}}
*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *i*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:
{\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a\_{i1}C\_{i1}+a\_{i2}C\_{i2}+a\_{i3}C\_{i3}+...+a\_{in}C\_{in}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}C\_{ij}}
### அணியின் நேர்மாறு

முதன்மைக் கட்டுரை: நேர்மாற்றத்தக்க அணி
கிரமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம்.

இணைக்காரணிகளாலான அணி:

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C\_{11}&C\_{12}&\cdots &C\_{1n}\\C\_{21}&C\_{22}&\cdots &C\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C\_{n1}&C\_{n2}&\cdots &C\_{nn}\end{bmatrix}}}
**A** அணியின் இணைக்காரணி அணியின் ({\displaystyle \mathbf {C} }) இடமாற்று அணி, **A** இன் சேர்ப்பு அணி எனப்படும்.

**A** அணியின் நேர்மாறு அணி:

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}
### அணியின் அளவை

மெய்யெண்களாலான *m* × *n* அணியின் தரம் *r* எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா *r* × *r* சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) *Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form*.
2. ↑   பரணிடப்பட்டது 2016-11-20 at the வந்தவழி இயந்திரம் கணிதவியல், மேல்நிலை முதலாமாண்டு-தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம், 2007 பதிப்பு

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* PlanetMath entry of *Cofactors* பரணிடப்பட்டது 2012-04-08 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* Springer Encyclopedia of Mathematics entry for *Minor*