நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் சங்கிலி விதி** அல்லது **சங்கிலி விதி** (*chain rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்றாகும். இவ்விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இதன் வாய்ப்பாட்டில், *f* , *g* எனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பான *f ∘ g* இன் வகைக்கெழு *f* , *g* இன் வகைக்கெழுக்கள் மூலம் தரப்படுகிறது.

வகையிடலிலுள்ள இந்தச் சங்கிலி விதிக்கு ஒத்ததாக தொகையிடலிலுள்ள விதி, பிரதியிடல் விதியாகும்.

வரலாறு
------

சங்கிலி விதி முதன்முதலில் லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரியவருகிறது. {\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}} என்ற சார்பை வகையிடும் போது இவ்விதி லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலே தரப்பட்ட சார்பானது, வர்க்கமூலம் காணல் மற்றும் {\displaystyle a+bz+cz^{2}} ஆகிய சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமைகிறது. அவரது நினைவுக் குறிப்பொன்றில் அவரால் இதுபற்றிய குறிப்பு தரப்பட்டுள்ளது. சங்கிலி விதியின் பொதுக் குறியீடு, லைப்னிட்சினுடையதாகும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் *லோபிதால்* (L'Hôpital) தனது *Analyse des infiniment petits* புத்தகத்தில் சங்கிலி விதியை மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தியிருந்தாலும் வெளிப்படையாக அதுபற்றி எதுவும் குறிப்பிடவில்லை. லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பிற்கு நூறாண்டுகளுப்பின் எழுதப்பட்ட ஆய்லரின் பகுப்பியல் புத்தகங்களிலும் சங்கிலி விதி குறித்த எந்தவிதமானதொரு கருத்தும் காணப்படவில்லை.

ஒரு பரிமாணத்தில்
----------------

### எடுத்துக்காட்டு 1

வானூர்தியிலிருந்து ஒருவர் வானில் குதித்த *t* வினாடிகளுக்குப் பின்,

கடல் மட்டத்திலிருந்து அவருள்ள இடத்தின் உயரம், *g*(*t*) = 4000 − 4.9*t*2.
*h* அலகு உயரத்தில் வளிமண்டல அழுத்தம், *f*(*h*) = 101325 *e*−0.0001*h*.
இவ்விரண்டு சார்புகளையும் வகையிட்டும், இரண்டையும் சேர்த்தும் பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

* {\displaystyle g'(t)=-9.8t} இது குதித்தவரின் திசைவேகத்தை *t* நேரத்தில் தருகிறது.
* {\displaystyle f'(h)=-10.1325e^{-0.0001h}} இது *h* உயரத்தில், வளிமண்டல அழுத்தத்தின், உயரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதத்தைத் தருகிறது. மேலும் இது கடல் மட்டத்திலிருந்து *h* மீட்டர் உயரத்தில், குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
* {\displaystyle (f\circ g)(t)} இது குதித்து *t* வினாடிகள் ஆனபின், குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தமாகும்.
* {\displaystyle (f\circ g)'(t)} இது, குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப்பின் குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தத்தின், நேரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதமாகும். மேலும் இது குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப் பின் குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.

சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle (f\circ g)'(t)=f'(g(t))g'(t).}
இவ்வாய்ப்பாட்டின்படி மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வளிமண்டல அழுத்தத்தின் மாறுவீதம்:

{\displaystyle (f\circ g)'(t)={\big (}{\mathord {-}}10.1325e^{-0.0001(4000-4.9t^{2})}{\big )}\cdot {\big (}{\mathord {-}}9.8t{\big )}.}
### சங்கிலி விதியின் கூற்று

ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்யெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இவ்விதி எளிய வடிவில் அமைகிறது.

*g* என்ற சார்பு *c* புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் (*g*′(*c*) உள்ளது), *f* சார்பு *g*(*c*) இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு *f* ∘ *g* -ம் *c* இல் வகையிடத் தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அதன் வகைக்கெழு:

{\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c)}
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\,} எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.
*y* = *f*(*u*), *u* = *g*(*x*) எனில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
வகையிடப்படும் இடங்களைக் குறிப்பிட்டுப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|\_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|\_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|\_{x=c}.\,}
#### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். *f*, *g*, *h* சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), *f* சார்புடன் *g* ∘ *h* சார்பின் சேர்ப்பாகும். *f* ∘ *g* ∘ *h* சார்பின் வகைக்கெழு காண, *f* இன் வகைக்கெழுவும் *g* ∘ *h* இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். *f* இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும் *g* ∘ *h* இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்.

*x* = *a* புள்ளியில்,

{\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))(g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))g'(h(a))h'(a)}
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|\_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|\_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|\_{x=a}}
அல்லது சுருக்கமாக,

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}}
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle y=e^{\sin {x^{2}}}}
இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்:

{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}
இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin {x^{2}}}\cdot \cos {x^{2}}\cdot 2x}
*f* ∘ *g* ∘ *h* சார்பை *f* ∘ *g* மற்றும் *h* சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))h'(a)=f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).}
இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம் 

{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)} என்பதே.
#### வகுத்தல் விதி

சில வகையிடல் விதிகளைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி அடையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வகுத்தல் விதியைச் சங்கிலி விதி, பெருக்கல் விதி இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறலாம்.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}}
பெருக்கல் விதிப்படி இம்முடிவு கிடைத்துள்ளது. இதற்குப்பின் 1/*g*(*x*) சார்பானது, *g* மற்றும் தலைகீழிச் சார்பின் சேர்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு கொண்டு சங்கிலி விதிப்படி வகையிடப்படுகிறது. தலைகீழிச் சார்பு *x* உடன் 1/*x* ஐ இணைக்கிறது. 1/*x* இன் வகைக்கெழு −1/*x*2.

என்வே மேலுள்ள முடிவிற்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},}
இதுவே வகையிடலின் வகுத்தல் விதியாகும்.

#### நேர்மாறுச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

*y* = *g*(*x*) சார்புக்கு, நேர்மாறுச் சார்பு உள்ளது எனில் அதனை *f* எனக் கொண்டால், *x* = *f*(*y*) ஆகும். *f* இன் வகைக்கெழுவை, *g* இன் வகைக்கெழு மூலம் காண முடியும்.

*g* இன் நேர்மாறுச் சார்பு *f* என்பதால்,

{\displaystyle f(g(x))=x.}
எனவே இருபுறமுமுள்ள சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களும் சமமாக இருக்கும். *x* இன் வகைக்கெழு 1.

**பாகுபடுத்தல் தோல்வி (கூடுமாயின் MathML (சோதனை): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/ta.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f'(g(x))g'(x) = 1.}**

{\displaystyle f(y)=x}எனப் பிரதியிட,
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{aligned}}}
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle g(x)=e^{x}} எனில்,
இதன் நேர்மாறுச் சார்பு: {\displaystyle f(y)=\ln y}

மேலும் வகைக்கெழு,

{\displaystyle g'(x)=e^{x}.}
எனவே நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு காண மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின்படி:

{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}.}
*g* , அதன் நேர்மாறு *f* இரண்டும் வகையிடத் தக்கவையாக இருந்தால் இவ்வாய்ப்பாடு உண்மையாகும். இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்று வகையிடத் தக்கதாக இல்லையெனில் இவ்வாய்ப்பாடு பயனளிக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக,

{\displaystyle g(x)=x^{3}.} எனில் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு:
{\displaystyle f(y)=y^{\frac {1}{3}}}
இச்சார்பு x=0 இல் வகையிடத்தக்கது இல்லை. எனவே சார்பு *f* இன் வகைக்கெழுவை x=0 இல் மேற்கூறப்பட்ட வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காண முற்பட்டால் 1/0 எனக் கிடைக்கும். இது வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகும். எனவே இங்கு இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.

### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

*ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு*, சங்கிலி விதியை உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது.

{\displaystyle {\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}
{\displaystyle {\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}}
{\displaystyle {\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.}

உயர்பரிமாணங்களில் சங்கிலி விதி
------------------------------

உயர்பரிமாணங்களுக்கு சங்கிலி விதியின் எளிமையான பொதுமைப்படுத்தலில் முழு வகைக்கெழு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சார்பின் முழு வகைக்கெழு அச்சார்பு எல்லாத் திசைகளிலும் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் நேரியல் உருமாற்றமாகும்.

*f* : **R***m* → **R***k**g* : **R***n* → **R***m* இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள். *D* முதல் வகைக்கெழுச் செயலி எனில்,

**R***n* இல் அமைந்த ஒரு புள்ளி **a** எனில், உயர்பரிமாணச் சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle D\_{\mathbf {a} }(f\circ g)=D\_{g(\mathbf {a} )}f\circ D\_{\mathbf {a} }g,}
அல்லது சுருக்கமாக,

{\displaystyle D(f\circ g)=Df\circ Dg.}
ஜேக்கோபிய அணிகளின் வாயிலாக இவ்விதி:

{\displaystyle J\_{\mathbf {a} }(f\circ g)=J\_{g(\mathbf {a} )}(f)J\_{\mathbf {a} }(g),}
பகுதி வகைக்கெழுவிற்கு:

**y** = *f*(**u**) = (*f*1(**u**), ... *f**k*(**u**)) மற்றும் **u** = *g*(**x**) = (*g*1(**x**), ... *g**m*(**x**)) எனில்:

{\displaystyle {\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{n})}}={\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial (u\_{1},\ldots ,u\_{m})}}{\frac {\partial (g\_{1},\ldots ,g\_{m})}{\partial (x\_{1},\ldots ,x\_{n})}}.}
{\displaystyle {\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial x\_{i}}}={\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial (u\_{1},\ldots ,u\_{m})}}{\frac {\partial (g\_{1},\ldots ,g\_{m})}{\partial x\_{i}}}.}
{\displaystyle {\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial x\_{i}}}=\sum \_{\ell =1}^{m}{\frac {\partial (f\_{1},\ldots ,f\_{k})}{\partial u\_{\ell }}}{\frac {\partial g\_{\ell }}{\partial x\_{i}}}.}
*k* = 1 எனில், *f* ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பாகும். இதற்கான வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}=\sum \_{\ell =1}^{m}{\frac {\partial f}{\partial u\_{\ell }}}{\frac {\partial g\_{\ell }}{\partial x\_{i}}}.}
### எடுத்துக்காட்டு

{\displaystyle \,u=x^{2}+2y,} {\displaystyle \,x=r\sin(t),} {\displaystyle \,y=\sin ^{2}(t)}
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\left(2x\right)\left(\sin(t)\right)+\left(2\right)\left(0\right)=2r\sin ^{2}(t)}
மற்றும்

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}=\left(2x\right)\left(r\cos(t)\right)+\left(2\right)\left(2\sin(t)\cos(t)\right)}
{\displaystyle =2\left(r\sin(t)\right)r\cos(t)+4\sin(t)\cos(t)=2\left(r^{2}+2\right)\sin(t)\cos(t).}
### பலமாறிச் சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது.

*u* = *g*(*x*) இன் சார்பாக *f* இருந்தால் *f* ∘ *g* இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(f\circ g)}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}=\sum \_{k}{\frac {\partial f}{\partial u\_{k}}}{\frac {\partial ^{2}g\_{k}}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}+\sum \_{k,\ell }{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\_{k}\partial u\_{\ell }}}{\frac {\partial g\_{k}}{\partial x\_{i}}}{\frac {\partial g\_{\ell }}{\partial x\_{j}}}.}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule". *The Montana Mathematics Enthusiast* **7**: 321–332. 2010.. பார்த்த நாள்: 2012-09-13.
2. ↑  Tom Apostol (1974). *Mathematical analysis* (2nd ed. ). Addison Wesley. Theorem 5.5. .

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 84.  பரணிடப்பட்டது 2012-11-20 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* Weisstein, Eric W. "Chain Rule", *MathWorld*.
* Khan Academy Lesson 1 பரணிடப்பட்டது 2012-01-04 at the வந்தவழி இயந்திரம் Lesson 3 பரணிடப்பட்டது 2012-01-04 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* 
* The Chain Rule explained பரணிடப்பட்டது 2015-05-14 at the வந்தவழி இயந்திரம்