யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் திசையன்களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள **திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்** (*vector algebra relations*) பொருந்தும். இத்தொடர்புகளில் சில, மூன்றுக்கும் மேற்பட்டப் பரிமாணங்களில் அமையும் திசையன்களுக்கும் பொருந்திவரும். ஆனால் அனைத்துத் தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் எல்லா உயர்ப் பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தாது.

அளவுகள்
-------

ஒரு திசையன் **A** -ன் **அளவு** (*magnitude*) பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று திசைகளில் அமையும் அதன் கூறுகளினால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A\_{1}^{2}+A\_{2}^{2}+A\_{3}^{2}\ }
ஒரு திசையனின் அளவு, புள்ளிப் பெருக்கல் வாயிலாகவும் தரப்படுகிறது:

{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )\ }

சமனின்மைகள்
-----------

* {\displaystyle {\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\leq 1\ } -முப்பரிமாண கோஷி-ஷ்வார்ஸ் சமனின்மை.
{\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|} -முப்பரிமாண முக்கோண சமனின்மை
{\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq \|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|} -முப்பரிமாண நேர்மாறு முக்கோண சமனின்மை.

இங்கு (**A · B**) என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

கோணங்கள்
--------

இரு திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் θ, அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கலால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathbf {A\times B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )}
வலது-கை விதிப்படி, θ -ன் நேர்ம மதிப்பிற்கு, **B** ஆனது **A** -லிருந்து கடிகாரத்திசைக்கு எதிராகவும், எதிர்ம மதிப்பிற்கு கடிகாரதிசையிலும் அமையும்.

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )}
இங்கு **A × B** என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

பித்தாகரசின் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!}
{\displaystyle \|\mathbf {A\times B} \|^{2}+(\mathbf {A\cdot B} )^{2}=\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}}
திசையன் **A** = (*Ax, Ay, Az*) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் மூன்று ஆயஅச்சுகள் *x-*, *y-* மற்றும் *z* -க்களுடன் உண்டாக்கும் கோணங்கள் முறையே α, β, γ எனில்:

{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A\_{x}}{\sqrt {A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}}}}={\frac {A\_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {A\_{y}}{\sqrt {A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}}}}={\frac {A\_{y}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {A\_{z}}{\sqrt {A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}}}}={\frac {A\_{z}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}
இதிலிருந்து:

{\displaystyle \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right)\ ,}
இங்கு {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}} மூன்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று ஆயஅச்சுகளின் திசையில் அமைந்த அலகுத்திசையன்களாகும்.

பரப்பும் கனஅளவும்
-----------------

*A* மற்றும் *B* திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பு Σ :

{\displaystyle \Sigma =AB\ \sin \theta \ ,}
இங்கு θ - *A* மற்றும் *B* திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.

{\displaystyle \Sigma =\|\mathbf {A\times B} \|={\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}-(\mathbf {A\cdot B} )^{2}}}\ .}
இதன் வர்க்க மதிப்பு:

{\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )\ ,}
இதேபோல **A**, **B** மற்றும் **C** -திசையன்களால் அமையும் ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவின் வர்க்கம்:

{\displaystyle V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ .}
இதனை *n*-பரிமாணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

திசையன்களின் கூட்டலும் பெருக்கலும்
----------------------------------

பின்வரும் தொடர்புகளில் சில புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் சம்பந்தப்பட்டது.

* {\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} } -திசையன்களின் கூட்டல் மீதான, திசையிலிப் பெருக்கலின் பங்கீட்டுப் பண்பு.
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} } -திசையன் கூட்டலின் பரிமாற்றுப் பண்பு.
{\displaystyle \mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} } -திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} } -புள்ளிப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மை.
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} } -குறுக்குப் பெருக்கலின் பரிமாறாத்தன்மை.
{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} } -புள்ளிப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} } -குறுக்குப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \cdot \left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)=\mathbf {C} \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)}

{\displaystyle =\left|{\begin{array}{ccc}A\_{x}&B\_{x}&C\_{x}\\A\_{y}&B\_{y}&C\_{y}\\A\_{z}&B\_{z}&C\_{z}\end{array}}\right|=[\mathbf {A,\ B,\ C} ]} -திசையிலி முப்பெருக்கம்
* {\displaystyle \mathbf {A\times } \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {C} } -திசையன் முப்பெருக்கம்
{\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)} -முப்பரிமாண பினேட்–கோஷி முற்றொருமை
* மேலுள்ள முற்றொருமையில் **A** = **C** and **B** = **D** எனில்:

{\displaystyle \mathbf {(A\times B)^{2}=(A\cdot A)(B\cdot B)-(A\cdot B)^{2}} } -முப்பரிமாணத்தில் லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை
* திசையன் நாற்பெருக்கம்:

{\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]\mathbf {C} -[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]\mathbf {D} =[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} ]\mathbf {B} -[\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} ]\mathbf {A} }
இங்கு [**A, B, C**] என்பது திசையிலி முப்பெருக்கம் **A · (B × C)** -ஐக் குறிக்கும்.

* **A, B, C** என்பன ஒரே கோட்டில் அமையாத தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் எனில், ஏதேனும் ஒரு திசையன் **D** பின்வருமாறு தரப்படும்:

{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {D\cdot (B\times C)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D\cdot (C\times A)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D\cdot (A\times B)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {C} \ .}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2  See, for example, Lyle Frederick Albright (2008). "§2.5.1 Vector algebra". *Albright's chemical engineering handbook*. CRC Press. பக். 68. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0824753623. .
2. ↑  
Francis Begnaud Hildebrand (1992). *Methods of applied mathematics* (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ). Courier Dover Publications. பக். 24. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0486670023. .
3. 1 2  
Richard Courant, Fritz John (2000). "Areas of parallelograms and volumes of parallelpipeds in higher dimensions". *Introduction to calculus and analysis, Volume II* (Reprint of original 1974 Interscience ). Springer. பக். 190–195. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3540665692. .
4. ↑  
Vidwan Singh Soni (2009). "§1.10.2 Vector quadruple product". *Mechanics and relativity*. PHI Learning Pvt. Ltd.. பக். 11–12. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:8120337131. .
5. ↑  This formula is applied to spherical trigonometry by

Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs (1901). "§42 in *Direct and skew products of vectors*". *Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics*. Scribner. பக். 77 *ff*. .
6. ↑  
Joseph George Coffin (1911). *Vector analysis: an introduction to vector-methods and their various applications to physics and mathematics* (2nd ). Wiley. பக். 56. .

வெளி இணைப்புகள்
---------------