கணிதத்தில், முக்கியமாக நுண்புல இயற்கணிதத்தில், அமைவியம் (Morphism) என்பது கணித அமைப்புகளுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. அமைப்பை சிதறாமல் காக்கக்ககூடிய அமைவியத்திற்கு **காப்பமைவியம்** (Homomorphism) என்று பெயர். இவையிரண்டுமே நுண்புலக் கருத்துக்கள். இவைகள் கணிதக் கண்டிப்புடன் வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் நாம் விகுதிக் கோட்பாடுக்கும் (Category Theory), அனைத்தியற்கணிதத்துக்கும் (Universal Alagebra) செல்லவேண்டும். இக்கட்டுரையில், இதற்குக்கீழ்ப்படியில், குறிப்பிட்ட கணித அமைப்புகளுக்கே இவை பேசப்படுகின்றன.

குலம் காப்பமைவியம்
------------------

இது ஆங்கிலத்தில் Group Homomorphism எனப்படும். இரண்டு குலங்கள் G, H என்றும், அவைகளில் செயலிகள் முறையே \*1, \*2 என்றும் கொண்டால்,

{\displaystyle f:G\rightarrow H} ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

{\displaystyle G} இலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle a,b} க்கும் {\displaystyle f(a\*\_{1}b)=f(a)\*\_{2}f(b)}
### விளைவுகள்

* {\displaystyle G,H} இவைகளுடைய முற்றொருமை உறுப்புக்களை முறையே {\displaystyle e\_{G},e\_{H}} என்று கொண்டால், {\displaystyle f(e\_{G})=e\_{H}}. ஏனென்றால்,

{\displaystyle e\_{H}=f(e\_{G})\*\_{2}(f(e\_{G}))^{-1}}
{\displaystyle =f(e\_{G}\*\_{1}e\_{G})\*\_{2}((f(e\_{G}))^{-1}}
{\displaystyle =f(e\_{G})\*\_{2}f(e\_{G})\*\_{2}((f(e\_{G}))^{-1}}
{\displaystyle =f(e\_{G})}
இதன் பொருள்: காப்பமைவியம் முற்றொருமையை முற்றொருமைக்கே எடுத்துச்செல்கிறது.

* {\displaystyle a\in G} என்று கொள். இப்பொழுது, {\displaystyle f(a^{-1})=((f(a))^{-1}}, ஏனென்றால்,

{\displaystyle f(a^{-1})=f(a^{-1})\*\_{2}e\_{H}}
{\displaystyle =f(a^{-1})\*\_{2}f(a)\*\_{2}(f(a))^{-1}}
{\displaystyle =f(a^{-1}\*\_{1}a)\*\_{2}((f(a))^{-1}}
{\displaystyle =f(e\_{G})\*\_{2}((f(a))^{-1}}
{\displaystyle =e\_{H}\*\_{2}((f(a))^{-1}}
= {\displaystyle ((f(a))^{-1}.}
இதன் பொருள்: காப்பமைவியமும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது பரிமாறிக்கொள்கின்றன. அதாவது,

நேர்மாறின் காப்பமைவிய பிம்பம் = காப்பமைவிய பிம்பத்தின் நேர்மாறு.
### எடுத்துக்காட்டுகள்

* {\displaystyle \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle x\mapsto 2x}
இது கூட்டல் குலம் {\displaystyle \mathbf {R} } இலிருந்து அதற்கே செல்லும் ஒரு குலம் காப்பமைவியம்; ஏனென்றால் 

{\displaystyle f(a+b)=2(a+b)=f(a)+f(b).}
* {\displaystyle ln:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle x\mapsto lnx}
இது பெருக்கல் குலம் {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}} இலிருந்து கூட்டல் குலம் {\displaystyle \mathbf {R} } க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால், 

{\displaystyle ln(a\times b)=lna+lnb}
* {\displaystyle exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}}

{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
இது கூட்டல் குலம் {\displaystyle \mathbf {R} } இலிருந்து பெருக்கல் குலம் {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}} க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்

{\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}}
* {\displaystyle \mathbf {R} \rightarrow } அலகுவட்டம் {\displaystyle \{z\in \mathbf {C} :|z|=1\}}

{\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }}
இது இடது பக்கத்து கூட்டல் குலத்திலிருந்து வலது பக்கத்து பெருக்கல் குலத்திற்குச் செல்லும் ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால், 

{\displaystyle e^{i(\theta +\phi )}=e^{i\theta }\times e^{i\phi }}
* ஒரு சமபக்க நான்முகியில், ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்முகத்திற்குப்போகும் அச்சைச்சுற்றிப்போகும் சுழற்சிகளில் மூன்று சுழற்சிகள் {\displaystyle (0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ })} நான்முகிவடிவத்தை இடமாற்றாது. இம்மூன்று சுழற்சிகளும் சுழற்சிச்சேர்வைக்கு ஒரு குலமாகிறது. இது {0, 1, 2} என்ற modulo 3 கூட்டல் குலத்திற்கு காப்பமைவியம் உள்ளதாக இருக்கும்.
* சமச்சீர் குலம் {\displaystyle S\_{n}} க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் {\displaystyle C\_{2}=\{+1,-1\}} க்கும் இடையில் {\displaystyle \chi } என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

{\displaystyle \chi :S\_{n}\rightarrow \{+1,-1\}}
{\displaystyle A\mapsto sgn(A)}
இது ஒரு காப்பமைவியம்.

வளையம் காப்பமைவியம்
-------------------

இது Ring Homomorphism. {\displaystyle (X,+\_{1},\circ \_{1})(Y,+\_{2},\circ \_{2})} இரண்டு வளையங்கள் என்று கொண்டால்,

{\displaystyle f:X\rightarrow Y} ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

{\displaystyle X} இலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle a,b} க்கும் , {\displaystyle f(a+\_{1}b)=f(a)+\_{2}f(b)}, மற்றும்,
{\displaystyle f(a\circ \_{1}b)=f(a)\circ \_{2}f(b)}
### விளைவுகள்

* ஒவ்வொரு வளையம் காப்பமைவியமும், {\displaystyle (X,+\_{1}),(Y,+\_{2})} ஆகிய குலங்களுக்கிடையே ஒரு குலம் காப்பமைவியமாகவும் ஆகிறது. இதனால்

{\displaystyle f(0\_{X})=(0\_{Y});} மற்றும்
ஒவ்வொரு {\displaystyle a\in X} க்கும் {\displaystyle f(-a)=-f(a).}
* {\displaystyle kerf=\{x\in X:f(x)=0\_{Y}\}} என்ற {\displaystyle f} இன் உட்கரு {\displaystyle X} இல் ஒரு சீர்மமாகும்.

### எடுத்துக்காட்டுகள்

* {\displaystyle \mathbf {Z} \rightarrow \mathbf {Z} \_{n}}

{\displaystyle a\mapsto a}(mod n)
* {\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f\mapsto f(x\_{0})} , இங்கு {\displaystyle x\_{0}} என்பது {\displaystyle [a,b]} யில் ஒரு நிலையான புள்ளி.
* {\displaystyle {\mathcal {P}}\rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f\mapsto f(1)}
அ-து: {\displaystyle a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+...+a\_{n}x^{n}\mapsto a\_{0}+a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n}}

திசையன் வெளி காப்பமைவியம்
-------------------------

இரண்டு அமைப்புகளும் ஒரே அளவெண்களத்தையுடைய திசையன் வெளி யாக இருக்கும் பட்சத்தில், அமைப்பைக் காக்கும் காப்பமைவியங்கள் நேரியல் கோப்பு களே.

காப்பமைவியங்களுக்குள் பாகுபாடுகள்
---------------------------------

மேலுள்ள எல்லா சூழ்நிலையிலும், ஒரு காப்பமைவியம், கூடவே,

* முழுக்கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **முழு அமைவியம்** (epimorphism) எனவும்,
* உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **ஒன்றமைவியம்** (monomorphism)எனவும்,
* முழுகோப்பாகவும், உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **சம அமைவியம்** (isomorphism) எனவும்,
* ஓர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயே செல்வதாயிருந்தால் அது **உள்ளமைவியம்** (endomorphism) எனவும்,
* ஒர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயெ செல்வதாகவும், முழுக்கோப்பாகவும், உள்ளிடு கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **தன்னமைவியம்** (automorphism) எனவும் சொல்லப்படும்.