இயற்கணிதத்தில், **பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல்** (*Partial fraction decomposition*) என்பது, ஒரு விகிதமுறு சார்பை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையினதும் ஒன்று அல்லது பல எளிய பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களினதும் கூடுதலாக எழுதும் செயலாகும். சில சமயங்களில், அவ்வாறு பிரித்து எழுதுவதில் இருக்கக்கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை பூச்சியமாகவும் இருக்கக் கூடும். இச்செயல் *பகுதிப் பின்னங்களாக விரித்தல்* (partial fraction expansion) எனவும் அழைக்கப்படும். விகிதமுறு சார்புகளின் எதிர்வகைக்கெழு காண்பதற்குப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

*ƒ* , *g* பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட விகிதமுறு சார்பு {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}} எனில் அதனைப் பின்வருமாறு பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்:

{\displaystyle \sum \_{j}{\frac {f\_{j}(x)}{g\_{j}(x)}}} இதில் *g**j* (*x*) என்பவை *g*(*x*) இன் காரணிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். எனவே அவற்றின் படி *g*(*x*) இன் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும்.
ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதும்போது அதிலுள்ள பின்னங்களின் பகுதிகள் காரணிப்படுத்தப்பட முடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும், தொகுதிகள் அவற்றுக்கான பகுதியை விடச் சிறிய படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}

வழிமுறை
-------

### வகை 1

{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},} இதில் {\displaystyle P(x)}, {\displaystyle Q(x)} இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.
{\displaystyle Q(x)} ஐக் காரணிப்படுத்த:

{\displaystyle Q(x)=(x-\alpha \_{1})(x-\alpha \_{2})\cdots (x-\alpha \_{n})}, இதில் *α**i* வெவ்வேறான மாறிலிகள்; deg *P* < *n*
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c\_{1}}{x-\alpha \_{1}}}+{\frac {c\_{2}}{x-\alpha \_{2}}}+\cdots +{\frac {c\_{n}}{x-\alpha \_{n}}}}
இதில், பிரதியிடல் மற்றும் *x* இன் ஒத்த அடுக்குகொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்தல் மூலமாக *c**i* களின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}
{\displaystyle x^{2}+2x-3} ஐக் காரணிப்படுத்த:

{\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}
எனவே பகுதிப்பின்னங்களின் வடிவம்:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}
*x*2 + 2*x* − 3 ஆல் பெருக்க

{\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}
*x* = −3 எனப் பதிலிட *A* = −1/4; *x* = 1 எனப் பதிலிட *B* = 1/4 எனக் கிடைக்கிறது.

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}
### வகை 2

சுருக்கவியலாக் காரணிகளால் ஆனதாக *Q*(*x*) அமையுமானால், ஒவ்வொரு பகுதிப் பின்னத்தின் தொகுதியும் அப்பின்னத்தின் பகுதியின் படியைவிடக் குறைந்த படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}
### வகை 3

{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}} இல் *Q*(*x*) = (*x* − *α*)*r**S*(*x*) , *S*(*α*) ≠ 0. எனில், *Q*(*x*) இன் மூலம் *α* இன் மடங்கெண் *r*. {\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}} ஐப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கும்போது அதில் *r* பின்னங்களின் பகுதிகள் (*x* − *α*) இன் அடுக்குகளாக அமையும்.
எடுத்துக்காட்டாக *S*(*x*) = 1 எனக் கொண்டால்:

{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c\_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c\_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c\_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}
எடுத்துக்காட்டு
{\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}
3*x* + 5 = *A* + *B*(1 − 2*x*).
*x* இன் அடுக்குகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த:

5 = *A* + *B* , 3*x* = −2*Bx*
இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து *A* , *B* இன் மதிப்புகள்: *A* = 13/2 and *B* = −3/2.
எனவே {\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}} இன் பகுதிப்பின்ன விரிவு:
{\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}
### வகை 4

deg *P*  {\displaystyle \geq }  deg *Q* எனில், பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தல் முறையில் *P* ஐ *Q* ஆல் வகுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இந்த வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதிச் சார்பின் படி வகுக்கும் சார்பின் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும். எனவே மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.

{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},} (deg *R* < *n*)
இதில் deg *R* < deg *Q* என்பதால் {\displaystyle {\frac {R(x)}{Q(x)}},} ஐப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}
{\displaystyle x^{3}+16} ஐ {\displaystyle x^{3}-4x^{2}+8x} ஆல் வகுக்க:
{\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}
(−4)2 − 4×8 = −16 < 0, என்பதால் *x*2 − 4*x* + 8 ஒரு சுருக்கவியலாக் காரணியாகும். எனவே,

{\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}
இருபுறமும் *x*3 − 4*x*2 + 8*x* ஆல் பெருக்க,

{\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}
இதில், 

*x* = 0 எனப் பதிலிட, 16 = 8*A*, *A* = 2 எனக் கிடைக்கிறது.
*x*2 இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, 4 = *A* + *B* = 2 + *B*, *B* = 2 ஆகும்.
*x* இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, −8 = −4*A* + *C* = −8 + *C*, *C* = 0.
*A* , *B* ,*C* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,
{\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}
### கலப்பு வகை

மேலே தரப்பட்ட அனைத்து வகைகளும் கலந்த ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தை பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தலுக்கான ஓர் எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}
இப்பின்னத்தில் தொகுதியின் படியானது பகுதியின் படியை விடப் பெரியதாக இருப்பதால், முதலில் நீள்வகுத்தல் மூலம் கீழுள்ள வடிவிற்கு மாற்றப்படுகிறது.

{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}
மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னமாக்க,

{\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}}
இருபுறமும் (*x* − 1)3(*x*2 + 1)2 ஆல் பெருக்க,

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}
இதில்,

*x* = 1 எனப் பதிலிட, 4 = 4*C*, *C* = 1.
*x* = *i* எனப் பதிலிட, 2 + 2*i* = (*Fi* + *G*)(2 + 2*i*), *Fi* + *G* = 1. இதிலுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த, *F* = 0 , *G* = 1 எனக் கிடைக்கிறது.
*x* = 0 எனப் பதிலிட, *A* − *B* + 1 − *E* − 1 = 0, *E* = *A* − *B*.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\&=A((x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+(x-1)^{3}(x^{2}+1))+B((x-1)(x^{2}+1)-(x-1)^{3}(x^{2}+1))+(x^{2}+1)^{2}+Dx(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\end{aligned}}} ஐ விரித்து x இன் அடுக்குகளின் படி பிரித்தெழுத,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}
x இன் சம அடுக்கு உறுப்புகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த,

{\displaystyle {\begin{aligned}A+D&=&2\\-A-3D&=&-4\\2B+4D+1&=&5\\-2B-4D+1&=&-3\\-A+2B+3D-1&=&1\\A-2B-D+3&=&3,\end{aligned}}}
*A* = 2 − *D* , −*A* −3 *D* =−4 இரண்டையும் தீர்க்க, *A* = *D* = 1 எனக் கிடைக்கிறது.
2B + 4D + 1 &=& 5 இல் *D* = 1 எனப் பதிலிட, *B* = 0 ஆகும்.
*E* = *A* − *B* = 1
*A* , *B* *C* *D*, *E* *F* *G* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,

{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  "தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழக வெளியீடு: வெளியீடு (2007), கணிதவியல்-மேல்நிலை முதலாம் ஆண்டு -பக்க எண் 86" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-11-20. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2016-01-22.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Rao, K. R.; Ahmed, N. (1968). "Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function". *IEEE Trans. Educ.* **11** (2): pp. 152–154. doi:10.1109/TE.1968.4320370.
* Henrici, Peter (1971). "An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions". *Z. f. Angew. Mathem. Physik* **22** (4): pp. 751–755. doi:10.1007/BF01587772.
* Chang, Feng-Cheng (1973). "Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles". *Proc. IEEE* **61** (8): pp. 1139–1140. doi:10.1109/PROC.1973.9216.
* Kung, H. T.; Tong, D. M. (1977). "Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition". *SIAM Journal on Computing* **6** (3): 582. doi:10.1137/0206042.
* Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "On the coefficients of a partial fraction decomposition". *American Mathematical Monthly* **86** (6): pp. 478–480.
* Mahoney, J. J.; Sivazlian, B. D. (1983). "Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency". *J. Comp. Appl. Math.* **9**: pp. 247–269. doi:10.1016/0377-0427(83)90018-3.
* Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). *Fundamentals of College Algebra* (3rd ). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc.. பக். 364–370. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-673-38638-4. .
* Westreich, David (1991). "partial fraction expansion without derivative evaluation". *IEEE Trans. Circ. Syst.* **38** (6): pp. 658–660. doi:10.1109/31.81863.
* Kudryavtsev, L. D. (2001), "Undetermined coefficients, method of", in Hazewinkel, Michiel (ed.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* Velleman, Daniel J. (2002). "Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta". *Am. Math. Monthly* **109** (8): pp. 746–749.
* Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression". **33516**. pp. 659–662. doi:10.1007/11428862\_89.
* Kung, Sidney H. (2006). "Partial fraction decomposition by division". *Coll. Math. J.* **37** (2): 132–134.
* Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Partial fractions decompositions of some rational functions". *Appl. Math. Comput.* **197**: pp. 328–336. doi:10.1016/j.amc.2007.07.048.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition", *MathWorld*.
* Blake, Sam. "Step-by-Step Partial Fractions".
* Make partial fraction decompositions with Scilab.