படம்-1: a, b என்ற இரு எண்களின் AM–GM சமனிலியின் பட விளக்கம்: O-வட்டமையம்; PR விட்டம்; ஆரம் AO ஆனது a, b இன் கூட்டுச் சராசரி. பெருக்கல் சராசரி தேற்றத்தின்படி PGR செங்கோண முக்கோணத்தை PQG, GQR என்ற இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பக்க விகிதங்கள் சமம் என்பதால் GQ / a = b / GQ. எனவே GQ = √(ab), a, b இன் பெருக்கல் சராசரி.
கணிதத்தில் **கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி**யின் (**inequality of arithmetic and geometric means**) கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் கூட்டுச்சராசரியானது அதே பட்டியலின் பெருக்கல் சராசரியைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.

இச்சமனிலி சுருக்கமாக *AM–GM சமனிலி* (*AM–GM inequality*) எனப்படுகிறது.

இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்களுக்கான சமனிலி:
x  y இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றின் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி: 

{\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}
*x* = *y* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.
தருவித்தல்:

ஒரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கம் எப்பொழுதும் எதிர்மமில்லா எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால்:

{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}}
(*x* + *y*)2 ≥ 4*xy*, 

(*x* − *y*)2 = 0, அதாவது. *x* = *y* ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.
சமனிலியின் இருபுறமும் நேர்ம வர்க்கமூலம் எடுத்து இரண்டால் வகுக்க:

{\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}
வடிவவியல் விளக்கம்:

படம்-2: (*x* + *y*)2 ≥ 4*xy* இன் நிறுவல். இச்சமனிலியின் இருபுறமும் வர்க்கமூலம் கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.
 x  y என்பன செவ்வகத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 2*x* + 2*y*; பரப்பளவு  xy. அதேபோல √*xy* பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தின் சுற்றளவு 4√*xy*; பரப்பளவு  xy. அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,

2*x* + 2*y* ≥ 4√*xy*
{\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}

பின்புலம்
---------

*x*1, *x*2,. .. , *xn* என்ற n எண்களின் கூட்டுத்தொகையை  n ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது இந்த எண்களின் *கூட்டுச்சராசரி* அல்லது *சராசரி* ஆகும். கூட்டுச்சராசரி **AM** (எனச் சுருக்கமாகக் குறிக்கப்படுகிறது. 

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் கூட்டுச்சராசரி:

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}.}
எதிர்மமில்லா எண்களுக்கு மட்டுமே *பெருக்கல் சராசரி* வரையறுக்கப்படுகிறது. *x*1, *x*2,. .. , *xn* என்ற n எண்களின் பெருக்கல் சராசரியானது இந்த எண்களின் பெருக்குத்தொகையின் Nஆம் படி மூலம் ஆகும். பெருக்கல் சராசரியின் சுருக்குக் குறியீடு: **GM**

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot x\_{2}\cdots x\_{n}}}.}
*x*1, *x*2,. .. , *xn* > 0 எனில் பெருக்கல் சராசரியானது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண்களின் இயல் மடக்கைகளின் கூட்டுச் சராசரியின் அடுக்கேற்றமாகும்:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot x\_{2}\cdots x\_{n}}}=\exp \left({\frac {\ln {x\_{1}}+\ln {x\_{2}}+\cdots +\ln {x\_{n}}}{n}}\right).}

சமனிலி
------

*x*1, *x*2,. .. , *xn* ஆகிய n எதிர்மமில்லா எண்களின் கூட்டு மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot x\_{2}\cdots x\_{n}}}\,,}
*x*1 = *x*2 = · · · = *xn* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

வடிவவியல் விளக்கம்
------------------

இருபரிமாணத்தில்,  *x*1,  *x*2 பக்க நீளங்கள் கொண்ட செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 2*x*1 + 2*x*2. மேலும் அச்செவ்வகத்தின் பரப்பளவு *x*1*x*2. இதே பரப்பளவு கொண்ட சதுரத்தின் சுற்றளவு 4√*x*1*x*2 ஆக இருக்கும். 

எனவே *n* = 2 எனில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின்படி,

தரப்பட்ட பரப்பளவுகொண்ட ஒரு செவ்வகமானது சதுரமாக இருந்தால் அதன் சுற்றளவு மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.
இக்கருத்தின் n பரிமாண நீட்டிப்பே முழுச் சமனிலியாகும்.

AM–GM சமனிலியின்படி,

n-பரிமாண பெட்டியானது சம கனவளவுள்ள மீகனசதுரமாக இருக்கும்போது அதன் ஒரு முனையுடன் இணைக்கப்பட்ட அதன் விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூடுதல் மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Hoffman, D. G. (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), *The Mathematical Gardner*, Springer, pp. 212–225, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7\_19
2. ↑  Steele, J. Michael (2004). *The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities*. MAA Problem Books Series. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-54677-5. இணையக் கணினி நூலக மையம்:54079548.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.