*f* is a function from domain *X* to codomain *Y*. The yellow oval inside *Y* is the image of *f*.
கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் **வீச்சு** (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை **முன்னுரு**. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.

துல்லியமான வரையறை
-----------------

{\displaystyle f\colon A\rightarrow B} என்ற சார்பை நோக்குக.

{\displaystyle f} வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle x} க்கும் அதன் **எதிருரு** என்பது, {\displaystyle B} இல் {\displaystyle f} இனால் {\displaystyle x} உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது {\displaystyle f(x)} என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.
{\displaystyle f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}} என்ற கணத்திற்கு {\displaystyle f} இன் **வீச்சு** என்று பெயர்.இதையே {\displaystyle f} இன் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே {\displaystyle Im(f)} என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் {\displaystyle Im(f)} என்ற குறியீடு {\displaystyle f} இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.
{\displaystyle f} இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது {\displaystyle R(f)} என்ற குறியீடு. {\displaystyle R(f)} ஐ {\displaystyle f} இன் வழியாக {\displaystyle A} இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு {\displaystyle Im\_{f}[A]}. சூழ்நிலையிலிருந்து {\displaystyle f} தெரிந்துகொள்ளப்படின், {\displaystyle Im[A]} என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக {\displaystyle Im(A)} என்று எழுதுவதும் உண்டு.
{\displaystyle f} இன் இணையாட்களம் {\displaystyle B} என்ற கணம்.

முன்னுரு
--------

{\displaystyle f\colon A\rightarrow B} என்று கொள்க.

### எதிருருவே ஒரு கோப்பு

{\displaystyle Im(f}) என்பது {\displaystyle A} இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம் {\displaystyle X} ஐயும் {\displaystyle Im\_{f}(X)=Y} என்ற ({\displaystyle B} இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் {\displaystyle Im(f}) ஐ {\displaystyle A} இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), {\displaystyle B} இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,
{\displaystyle Im(f)\colon 2^{A}\rightarrow 2^{B}} : வரையறை: {\displaystyle (Im(f))(X)=Im\_{f}(X)}
### முன்னுருவின் வரையறை

ஒவ்வொரு {\displaystyle Y\subseteq B} க்கும் அதனுடைய **முன்னுரு** (Pre-image or Inverse image) என்பது

*f*−1[*Y*] = {*x* ∈ *A* | *f*(*x*) ∈ *Y*}
என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.

Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் *f*−1[{*y*}], ஒரு **நார்** (fibre/fiber) எனப்படும்.
மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, {\displaystyle f}−1[*Y*] ஐ {\displaystyle f} −1(*Y*) என்று எழுதி, *f*−1 ஐ {\displaystyle B} இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து {\displaystyle A} இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். {\displaystyle f}−1 ஐ நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. {\displaystyle f} ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

சார்பு: h(x) = x2. D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்
* {\displaystyle f\colon } **R**{\displaystyle \rightarrow } **R** : {\displaystyle f(x)=x^{2}}

*f* இன் வீச்சு = **R**+ = {\displaystyle \{f(x):0\leq f(x)<\infty \}} = [0, {\displaystyle \infty })
{-2,3} இன் எதிருரு: *f*({-2,3}) = {4,9},
{4,9} இன் முன்னுரு : *f*−1({4,9}) = {-3,-2,2,3}.
* {\displaystyle g\colon } **R**{\displaystyle \rightarrow } **R**  : {\displaystyle g(x)=2x}

*g* இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே **R** தான்.
* {\displaystyle h\colon } **Z** {\displaystyle \to } **Z** : {\displaystyle h(x)\ :=x^{2}} (படிமம் பார்க்க)

இச்சார்புக்கு

{\displaystyle h(\{0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\ }
{\displaystyle h(\{-3,-2,-1,0\})=\{0,1,4,9\}\ }
{\displaystyle h(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\ }
{\displaystyle R(h)=\operatorname {im} h=\{0,1,4,9,16,25,36,49,...\}\ }
* {\displaystyle f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}}. வரையறை:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{x=1}}\\d&{\text{x=2}}\\c&{\text{x=3}}\end{cases}}}
{\displaystyle f} வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :*f*({2,3}) = {*d,c*},
{\displaystyle f} இன் வீச்சு :{ {\displaystyle a,d,c}}
{{\displaystyle a,c}} இன் முன்னுரு: *f*−1({*a,c*}) = {1,3}.
* *f*: **R**2 → **R** : வரையறை:*f*(*x*, *y*) = *x*2 + *y*2.

*f*−1({*a*})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.
*a* > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;
*a* = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;
*a* < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.

விளைவுப் பண்புகள்
-----------------

*f*: *A* → *B* ஒரு சார்பு என்றும் *X* , *Y* இரண்டும் *A* இன் உட்கணங்கள் என்றும்  *M* , *N* இரண்டும் *B* இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால், 

* {\displaystyle f(\varnothing )=\varnothing }
* {\displaystyle f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)}
* {\displaystyle f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)}. இங்கு, {\displaystyle f} ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
* {\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow f(X)\subseteq f(Y)}
* {\displaystyle f} ஒரு முழுக்கோப்பு {\displaystyle \Longleftrightarrow } {\displaystyle \operatorname {im} f=B}.
* *f*−1(*M* ∪ *N*) = *f*−1(*M*) ∪ *f*−1(*N*)
* *f*−1(*M* ∩ *N*) = *f*−1(*M*) ∩ *f*−1(*N*)
* *f*(*f*−1(*M*)) ⊆ *M*
* *f*−1(*f*(*X*)) ⊇ *X*
* *M* ⊆ *N* {\displaystyle \Rightarrow } *f*−1(*M*) ⊆ *f*−1(*N*)
* *f*−1(*M*C) = (*f*−1(*M*))C
* (*f* |*X*)−1(*M*) = *X* ∩ *f*−1(*M*).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* சார்பு
* முழுக்கோப்பு
* உள்ளிடுகோப்பு
* இருவழிக்கோப்பு
* ஆட்களம்
* இணையாட்களம்