கணிதத்தில், **அரை-முழுவெண்** (*half-integer*) என்பது பின்வரும் வடிவிலமைந்த ஒரு எண்: 



n
+

1
2

,

{\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}},}

{\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}},} (இங்கு n ஒரு பூச்சியமில்லா முழு எண்)
எடுத்துக்காட்டு:



4

1
2

,

7

/

2
,

−

13
2

,

8.5

{\displaystyle 4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5}

{\displaystyle 4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5}
ஒரு முழுவெண்ணை இரண்டால் வகுக்கக் கிடைப்பது எப்பொழுதும் அரை-முழுவெண்ணால இருப்பதில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வது அவசியம். ஒற்றை முழுவெண்களை இரண்டால் வகுக்கும்போது மட்டுமே அரை-முழுவெண்கள் கிடைக்கும். இக்காரணத்தினால் சில சமயங்களில் அரை-முழுவெண்கள், "அரை-ஒற்றை முழுவெண்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு முழுவெண்ணை இரண்டின் அடுக்குகளால் வகுக்கக் கிடைக்கும் எண்களின் (இருபடி விகிதமுறுஎண்) கணத்தின் உட்கணமாக அரை முழுவெண்கள் அமைகின்றன.

குறியீடும் இயற்கணித அமைப்பும்
-----------------------------

அரை-முழுவெண்களின் கணக் குறியீடு: 


Z

+

1
2

=

(

1
2

Z

)

∖

Z

 
.

{\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}

{\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}
முழுவெண்களும் அரை-முழுவெண்களும் சேர்ந்து கூட்டல் செயலியின்கீழ் ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தின் குறியீடு:



1
2

Z

 
.

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}
எனினும் இவ்விரு எண்களும் வளையமாக இருக்காது. ஏனெனில் இரு அரை-முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகை மீண்டுமொரு அரை-முழுவெண்ணல்ல. எடுத்துக்காட்டாக {\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.} இவ்வெண்களை உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வளையம், இருபடி விகிதமுறு எண்களின் வளையம் ({\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]}) ஆகும்.

பண்புகள்
--------

* n ஒரு ஒற்றையெண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" n அரை-முழுவெண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒரு அரை-முழுவெண்ணாக இருக்கும்.{\displaystyle n=0} உம் இதில் அடங்கும்.
* ஒரு அரை-முழுவெண்ணின் எதிரெண்ணும் ஒரு அரை-முழுவெண்ணாகும்.
* முழுவெண்கள் கணத்திலிருந்து அரை-முழுவெண்கள் கணத்திற்கு {\displaystyle f:x\to x+0.5}, ({\displaystyle x} ஒரு முழுவெண்) என்ற இருவழிக்கோப்பு அமையுமென்பதால், அரை-முழுவெண்கள் கணத்தின் எண்ணளவை, முழுவெண்கள் கணத்தின் எண்ணளவைக்குச் சமமாகும்.

பயன்பாடு
--------

தொடர் பெருக்கச் சார்பானது முழுவெண்கள் தருமதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டாலும் அதனை காமா சார்பைப் பயன்படுத்திப் பின்னவடிவத் தருமதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். {\displaystyle R} ஆரமுள்ள n-பரிமாணப் பந்தின் கனவளவின் வாய்பாட்டில் காமா சார்பு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது:


V

n

(
R
)
=

π

n

/

2

Γ
(

n
2

+
1
)

R

n

 
.

{\displaystyle V\_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}

{\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}
அரை-முழுவெண்களின் காமா சார்பானது, {\displaystyle \pi } -இன் வர்க்கமூலத்தின் முழுவெண் மடங்குகளாக இருக்கும்:



Γ

(

1
2

+
n

)

 
=
 

(
2
n
−
1
)
!
!

2

n


π

 
=
 

(
2
n
)
!

4

n

n
!



π

 

{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}

{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~} ({\displaystyle n!!} என்பது இரட்டைத் தொடர் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது)

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Sabin, Malcolm (2010). *Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes*. Geometry and Computing. **6**. Springer. பக். 51. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9783642136481. .
2. ↑  Turaev, Vladimir G. (2010). *Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds*. De Gruyter Studies in Mathematics. **18** (2nd ). Walter de Gruyter. பக். 390. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9783110221848.
3. ↑  Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). *Computability and Logic*. Cambridge University Press. பக். 105. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9780521007580. .
4. ↑  "Equation 5.19.4". U.S. National Institute of Standards and Technology. 2013-05-06. Release 1.0.6. .