கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில்,**ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு** (*Euler's totient function*) ஒரு முக்கியமான சார்பு.

வரையறை
------

n ஒரு நேர்ம முழு எண் ணானால், n-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், n-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,n-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை {\displaystyle \varphi (n)} எனப்படும். {\displaystyle \varphi :n\mapsto \varphi (n)} என்ற சார்பிற்கு **ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு** அல்லது **ஆய்லர் {\displaystyle \varphi }-சார்பு** எனப் பெயர்.

எ.கா.: 

* {\displaystyle \varphi (6)=|\{1,5\}|=2.}

* {\displaystyle \varphi (20)=|\{1,3,7,9,11,13,17,19\}|=8}.

* சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: {\displaystyle p} ஒரு பகா எண்ணானால், {\displaystyle \varphi (p)=p-1}.

டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்
-------------------------------------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle n\,} | 1 | **2** | **3** | 4 | **5** | 6 | **7** | 8 | 9 | 10 | **11** | 12 | **13** | 14 | 15 | 16 | **17** | 18 | **19** | 20 |
| {\displaystyle \varphi (n)} | 1 | **1** | **2** | 2 | **4** | 2 | **6** | 4 | 6 | 4 | **10** | 4 | **12** | 6 | 8 | 8 | **16** | 6 | **18** | 8 |
|  |
| {\displaystyle n\,} | 21 | 22 | **23** | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | **29** | 30 | **31** | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | **37** | 38 | 39 | 40 |
| {\displaystyle \varphi (n)} | 12 | 10 | **22** | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | **28** | 8 | **30** | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | **36** | 18 | 24 | 16 |
|  |
| {\displaystyle n\,} | **41** | 42 | **43** | 44 | 45 | 46 | **47** | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | **53** | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | **59** | 60 |
| {\displaystyle \varphi (n)} | **40** | 12 | **42** | 20 | 24 | 22 | **46** | 16 | 42 | 20 | 32 | 24 | **52** | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | **58** | 16 |
|  |
| {\displaystyle n\,} | **61** | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | **67** | 68 | 69 | 70 | **71** | 72 | **73** | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | **79** | 80 |
| {\displaystyle \varphi (n)} | **60** | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | **66** | 32 | 44 | 24 | **70** | 24 | **72** | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | **78** | 32 |
|  |
| {\displaystyle n\,} | 81 | 82 | **83** | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | **89** | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | **97** | 98 | 99 | 100 |
| {\displaystyle \varphi (n)} | 54 | 40 | **82** | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | **88** | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | **96** | 42 | 60 | 40 |

சார்பின் பண்புகள்
-----------------

### பெருக்குச்சார்பு

{\displaystyle m,n} என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,

{\displaystyle \varphi (m)\times \varphi (n)=\varphi (m\times n).}
எ.கா.: {\displaystyle \varphi (4)\times \varphi (15)=2\times 8=16=\varphi (60)}

### பகா எண்ணின் அடுக்குகள்

{\displaystyle p} ஒரு பகா எண்ணாகவும், {\displaystyle k} ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், {\displaystyle p^{k}} உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் {\displaystyle p}-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் {\displaystyle p^{k}} ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : {\displaystyle 1.p,2.p,3.p,...p^{k-1}.p}. இதனால்,

{\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
எ.கா.: {\displaystyle \varphi (81)=\varphi (3^{4})=3^{4}-3^{3}=3^{4}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=54}

### சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு

{\displaystyle n=\prod \_{p|n}p^{k\_{p}}}
{\displaystyle \varphi (n)=\prod \_{p|n}p^{k\_{p}-1}(p-1)=n\prod \_{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
### கணிப்பு

{\displaystyle \varphi (60)=\varphi (5.2^{2}.3)=60.\left(1-{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=16}