ஓர் உருளையைச் சுற்றி சுழிப்புப் பரப்பு.ரெனால்ட்ஸ் எண் 250-க்கும் 200,000-க்கும் இடையில் இருக்கும் பட்சத்தில் ஓர் உருளையைச் சுற்றி இது ஏற்படுகிறது. இது உருளையின் அளவு, பாய்மத்தின் வகை, பாய்மத்தின் வேகம் ஆகியவற்றைச் சார்ந்ததல்ல. Picture courtesy, Cesareo de La Rosa Siqueira. 
பாய்ம இயக்கவியலில், ரெனால்ட்ஸ் எண் {\displaystyle \mathrm {Re} } ஒரு பரிமாணமற்ற எண்ணாகும். இவ்வெண் நிலைம விசை {\displaystyle \left({{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }^{2}} \over {L}}\right)}க்கும் பாகு விசை {\displaystyle \left({{\mu {\mathbf {\mathrm {V} } }} \over {L}^{2}}\right)} க்கும் உள்ள விகிதமாகும். அதாவது, இவ்வெண் ஒரு குறிப்பிட்ட பாய்ம ஓட்டத்துக்கும் இவ்விரு விசைகளுக்கும் உள்ள முக்கியத்துவத்தைக் குறிக்கிறது. இதன் கோட்பாடு முதன்முதலில் ஜார்ஜ் கேப்ரியல் ஸ்டோக்ஸ்  1851-ஆம் வருடம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டாலும், இதனைப் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் முக்கியத்துவம் பெற வைத்த ஆஸ்போர்ன் ரெனால்ட்ஸ்(1842-1912) என்பவரின் பெயரால் வழங்கப்படுகிறது.

பாய்ம இயக்கவியலில் பரிமாணப் பகுப்பாய்வுகளை மேற்கொள்ளும்போது ரெனால்ட்ஸ் எண் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவ்வாறு பயன்படுத்தி வெவ்வேறு சோதனை நிகழ்வுகளில் காணும் இயக்க நிலை ஒற்றுமைகளை வரையறுக்கலாம். இவ்வெண்ணை பயன்படுத்தி வெவேறு வகை பாய்ம ஓட்டங்களை வகைப்படுத்தி சிறப்பியல்புகளை தெரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக் காட்டாக வரிச்சீர் ஓட்டம், வரிச்சீரற்ற ஓட்டம். வரிச்சீர் ஓட்டம் குறைந்த ரெனால்ட்ஸ் எண் அளவுகளில் ஏற்படுகிறது. மேலும் அப்போது பாகு விசைகள் ஆட்சி செலுத்துகின்றன. திரவத்தின் இயக்கம் வழுவழுப்பான, நிரந்தரமான வகையில் காணலாம். வரிசீரற்ற ஓட்டம் அதிக ரெனால்ட்ஸ் எண் அளவுகளில் ஏற்படுகிறது. பாய்ம ஓட்டம் நிலைம விசைகளால் ஆளப்படுகிறது. சீரற்ற சுழிப்புகள், சுழிப்பு பரப்புகள் மற்றும் இதர பாய்ம நில்லாமைகள் காணலாம்.

வரையறை
------

ரேய்னால்ட்ஸ் எண் என்பதை பல வேறுபட்ட சூழ்நிலைகளுக்கு வரையறை செய்யலாம், இதில் ஒரு திரவமானது ஒரு மேற்பரப்புடன் கொண்ட சார்பு இயக்கத்தின் தன்மையை விளக்குகிறது (ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணுக்கு அளிக்கப்பட்ட வரையறையை ரேய்னால்ட்ஸ் சமன்பாடு அல்லது மசகிடுதல் சமன்பாட்டுடன் குழப்பக்கூடாது). இவ்வகையான வரையறைகளில் பொதுவாக திரவத்தின் தன்மைகளான அடர்த்தி மற்றும் பாகுத்தன்மை, வேகம் மற்றும் ஒரு *சிறப்பியல்பான நீளம்* அல்லது *சிறப்பியல்பான பரிமாணம்* போன்றவை அடங்கும். இந்தப் பரிமாணம் மரபு சார்ந்தது ஆகும் - எடுத்துக்காட்டாக வட்டங்கள் மற்றும் கோளங்களுக்கு ஆரம் அல்லது விட்டம் இரண்டுமே சமமாக ஏற்கத்தக்கதாகும், ஆனால் இதில் ஒன்றை மரபு சார்ந்த முறையில் தெரிவு செய்கிறோம். விமானங்கள் மற்றும் கப்பல்களுக்கு, நீளம் அல்லது அகலம் தெரிவு செய்யலாம். குழாய் வழியாக ஒரு திரவம் பாயும்பொழுது அல்லது ஒரு திரவத்தில் நகர்ந்து கொண்டிருக்கும் ஒரு கோளம் போன்ற சூழ்நிலைகளில், பொதுவாக உட்புற விட்டம் பயன்படுத்தலாம். இதர வடிவங்கள், (சதுர குழாய்கள் அல்லது கோள வடிவில்லாத பொருட்கள்) போன்ற பொருட்களுக்கு ஒரு *சமமான விட்டம்* வரையறுக்கலாம். அடர்த்தி வேறுபடும் தன்மை கொண்ட திரவங்களுக்கு (எ.கா. அமுக்கப்படுமியல்புடைய வளிமங்கள்) அல்லது வேறுபடும் பாகுத்தன்மை கொண்ட (நியூட்டன் விதிக்கடங்காத பாய்மங்கள்) சில சிறப்பு விதிகளுக்கு கட்டுப்பட்டவையாகும். திசைவேகம் என்பதும் சில நேரங்களில் மரபு சார்ந்ததாக அறியப்படும், குறிப்பாக கிண்டும் பாத்திரங்களை பயன்படுத்தும் பொழுது.

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\nu }}={{{\mathbf {\mathrm {Q} } }L} \over {\nu }A}}
இதில்:

* {\displaystyle {\mathbf {\mathrm {V} } }}என்பது சராசரி திரவத்தின் திசைவேகம் ஆகும் (அனைத்துலக அலகுகள் முறை: மீட்டர்கள் பிரதி நொடிக்கு)
* {\displaystyle {L}} என்பது நேரடி பரிமாணத்தின் சிறப்பியல்பு ஆகும், (திரவம் கடந்து சென்ற தூரத்தை கணக்கிடுவது, அல்லது நதிகளின் முறைமைகளைப் பற்றிய ஆய்வுகளில் நீரியல் ஆரம்) (மீட்டர்)
* {\displaystyle {\mu }} என்பது திரவத்தின் இயக்கவாற்றல் பாகுத்தன்மை (பாசுக்கல் அளவு Pa·s அல்லது N·s/m² அல்லது kg/m·s)
* {\displaystyle {\nu }} என்பது இயங்கியல் பாகுமை ({\displaystyle \nu =\mu /}*ρ* ) (m²/s)
* {\displaystyle {\rho }\,} என்பது திரவத்தின் அடர்த்தி (kg/m³)
* {\displaystyle {\mathrm {Q} }} என்பது கொள்ளளவு நீரோட்ட வேகம் (m³/s)
* {\displaystyle {A}} என்பது குழாய் *குறுக்குவெட்டுப்* பரப்பளவு (மீ²).

பின்னிழுவிசை என்பதைக் குறிக்கும் (ஓர் எண் காரணி, பின்னிழுவிசை கெழுவின் பாதி அளவு) {\displaystyle {\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }^{2}} \over {L}}, மற்றும் {\displaystyle {{\mu {\mathbf {\mathrm {V} } }} \over {L}^{2}}}, பாகுத்தன்மை காரணம் ஏற்படும் விசை (பாய்மையின் வடிவத்தை பொறுத்த ஓர் எண் காரணி) ஆகிய இரு காரணிகளுக்கு இடையிலேயான விகிதத்தை குறிப்பதாகும்.

### குழாய்வழி பாய்மம்

குழாய் அல்லது தூம்பு வழியாக திரவம் பாயும் பொழுது, அதற்கான ரேய்னால்ட்ஸ் எண் பொதுவாக கீழே கொடுத்தபடி வரையறுக்கலாம்:

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\nu }}={{{\mathbf {\mathrm {Q} } }D} \over {\nu }A}}
இதில்:

* {\displaystyle {D}} என்பது குழாயின் நீரியல் விட்டம் ஆகும் (மீ).

### வட்டமிலா குழாய் அல்லது குழல் வழியான பாய்மம்

சதுர, செவ்வக அல்லது வட்ட இடை வடிவு கொண்ட குழல்களில் (உயரம் மற்றும் அகலம் சற்று ஒப்பிட்டுப் பார்க்கும் வகையிலானது) திரவம் உட்புறம் பாயும் பொழுது, எடுத்துக் கொள்ள வேண்டிய சிறப்பியல்பு பரிணாமம் அதனுடைய *நீரியல் விட்டம்* ஆகும், {\displaystyle D\_{H}}, இந்தப்பரிமாணமானது குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பளவின் நான்கு மடங்குடன், அதனுடைய **நனைந்த சுற்றளவின்** எண்ணைக் கொண்டு வகுத்தால் கிடைக்கும் எண்ணாகும். ஒரு (சேனலின்) கால்வாயின் நனைந்த சுற்றளவு என்பது திரவம் பாயும் பொழுது நனையக்கூடிய அனைத்துக் கால்வாய் சுவர்களின் சுற்றளவாகும்.

{\displaystyle D\_{H}={\frac {4A}{P}}.}
ஒரு வட்டமான குழாயின் நீரியல் விட்டம், அந்தக்குழாயின் உட்புற விட்டத்துடன் சரியாக ஒத்துப்போகும், இதை கணிதம் மூலமாகவும் கண்டறியலாம்.

வட்ட இடை வடிவு கொண்ட குழல்களில், எடுத்துக்காட்டாக தூம்பிற்கு-உள்-தூம்பு போன்ற வெப்பப் பரிமாற்றியின் வெளிப்புறக் குழல், அதன் நீரியல் விட்டம் இயற்கணித முறையில் கீழே கொடுத்த படி குறைந்து விடும்

{\displaystyle D\_{H,\mathrm {annulus} }=D\_{o}-D\_{i}}
பின்வருமிடத்தில்

{\displaystyle D\_{o}} என்பது வெளிப்புறக் குழாயின் உட்புற விட்டம் ஆகும், மற்றும்
{\displaystyle D\_{i}} என்பது உட்புறக்குழாயின் வெளிப்புற விட்டமாகும்.
வட்டமிலா குழாய் அல்லது குழல் வழியிலான பாய்மங்களை கணக்கிடுவதற்கு, நீரியல் விட்டத்திற்கு பதிலாக ஒரு வட்ட வடிவிலான குழாயின் விட்டத்தை பயன்படுத்தலாம், மேலும் இந்தக் கணிப்பு அறிவுக்குப்பொருந்திய அளவிற்குத் துல்லியமானதுமாகும்.

### அகலமான குழல் வழியான பாய்மம்

இரு பரந்த இணையான தட்டுகளின் பரப்புகளுக்கிடையே ஒரு திரவம் பாயும் பொழுது, (இங்கே இரு தட்டுக்களின் அகலமானது இரு தட்டுக்களுக்கும் நடுவே விளங்கும் இடைவெளியை விட மிகவும் அதிகமானதாகும்), அப்பொழுது சிறப்பியல்பு பரிமாணம் இரு தட்டுக்களின் இடைவெளி தூரத்தின் இரு மடங்காகும்.

### திறந்த கால்வாய் வழியான பாய்மம்

திறந்த மேற்பரப்புடன் கொண்ட திரவத்தின் பாய்மத்திற்கு, *நீரியல் ஆரம்* என்பது வரையறுக்கவேண்டும். இதன் பெறுமதியானது கால்வாயின் குறுக்குவெட்டு வெட்டுப்பரப்பளவு அளவினை நனைத்த சுற்றளவால் வகுக்கும் பொழுது கிடைக்கும் எண் ஆகும். அரை வட்டம் கொண்ட கால்வாயில், இது ஆரத்தின் பாதியாகும். செவ்வகத்தில் அமைந்த கால்வாய்க்கு, அதன் நீரியல் ஆரம் அதன் குறுக்குவெட்டு வெட்டுப்பரப்பளவை அதன் நனைத்த சுற்றளவால் வகுத்தால் கிடைக்கும் எண் ஆகும். சில உரைகளில் நீரியல் ஆரத்தை விட நான்கு மடங்கு கொண்ட ஒரு சிறப்பியல்பு பரிமாணத்தை பயன்படுத்துகின்றனர் (குழாய் பாய்மத்தில் கிடைக்கப்பெறும் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணிற்கான Re பெறுமதியைப் போன்றே, இதிலும் கொந்தளிப்புடன் கூடிய பாய்மத்தின் தொடக்கத்தில் கிடைக்கப்பெறும் காரணத்திற்காக இவ்வாறு தெரிவு செய்தது) மற்றும் வேறுசிலர் நீரியல் ஆரத்தை சிறப்பியல்பு கொண்ட நீட்ட அளவாக எடுத்துக் கொண்டு மேலுமதனால் நிலை மாற்றம் மற்றும் கொந்தளிப்பு வகையிலான பாய்மத்திற்கு வெவ்வேறு பெறுமதி கொண்ட ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

### திரவத்தில் ஒரு பொருளுடன்

திரவத்தில் இருக்குமொரு பொருளின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண், துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் எனப்படுவது, மற்றும் அடிக்கடி **Rep** என்ற குறியீட்டால் சுட்டுவது, மிகவும் முக்கியமானதாகும், அதுவும் குறிப்பாக அத்துணுக்கை சுற்றிப் பாயும் திரவத்தின் இயல்பை சார்ந்ததாகவும், மேலும் அதனால் சுழல் குறைப்பு என்ற நிகழ்வு நடந்தேறுமா என்பதையும், மேலும் அதன் வீழ்ச்சிக்கான வேகத்தையும் பொறுத்திருக்கும்.

#### திரவத்தில் ஒரு கோளம்

திரவத்தில் ஒரு கோளம் இருந்தால், அதற்கான சிறப்பியல்பு நீள அளவு கோளத்தின் விட்டமாகும் மேலும் திசைவேகத்தின் சிறப்பியல்பு கோளம் மற்றும் திரவத்திற்கு இடையே சிறிது தூரத்தில் காணப்படும் இடைவெளி (அந்த நிலைமையில் கோளத்தின் இயக்கம் திரவத்தின் குறிப்புதவி சிப்பங்களை பாதிக்காத நிலையாக இருத்தல் வேண்டும்). அடர்த்தி மற்றும் பாகுத்தன்மை திரவத்தை சார்ந்ததாகும். சுத்தமான அடுக்கமைவு பாய்வுநிலையின் பெருமதிப்பு Re = 0.1 வரை மட்டுமே இந்த வரையறைக்குள் உட்பட்டிருப்பதை குறித்துக் கொள்ளுங்கள்.

சிறிய அளவிலான Re பெருமதிப்பு கொண்டவை என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில், (ஸ்டோக்சு) தோக்கின் விதியானது விசை மற்றும் இயக்கத்தின் வேகம் இரண்டிற்கும் இடையே நிலவும் உறவை உறுதி செய்கிறது.

#### திரவத்தில் ஒரு நீள் சதுர வடிவம் கொண்ட ஒரு பொருள்

திரவத்தில் ஒரு நீள் சதுர வடிவம் கொண்ட ஒரு பொருளின் சமன்பாடு கோளத்தின் ஒப்புமை கொண்டது, மேலும் வசதி கருதி அந்தப்பொருள் ஒரு நீள்வட்டக் கோளம் ஆக தோராயமாகக் கருதப்படுகிறது மேலும் இடைநிலையில் உள்ள அச்சு சார்ந்த அளவு சிறப்பியல்பு நீள அளவாக தெரிவு செய்யப் படுகிறது. இது போன்ற காரணிகள் இயற்கையில் காணப்படும் ஆறுகளில் முக்கியமானதாகும், ஏன் என்றால், அங்கே கோள வடிவம் கொண்ட தானியங்கள் மிகவும் குறைவாகும். மிகச்சிறிய வடிவம் கொண்ட தானியம் அல்லது மணல் போன்ற பொருட்களில், ஒவ்வொரு அச்சிலுமுள்ள நீளத்தை கண்டுபிடிப்பது நடைமுறையில் ஒவ்வாததாகும், (எ.கா. அவை மிகவும் சிறியதாக இருப்பது) அப்பொருளின் சிறப்பியல்பு நீள அளவுக்குப் பதிலாக சல்லடையின் விட்ட அளவை பயன்படுத்தலாம். இந்த இரு தோராய முறைகளிலும் கிடைக்கப்பெறும் மாறுநிலை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அதன் பெருமதிப்பில் மாறுபடுகிறது.

#### வீழ்ச்சி வேகம்

ஒரு துணிக்கையின் திசைவேகத்தின் அளவை நிர்ணயிப்பதில் துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் மிகவும் முக்கியமானதாகும். துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அடுக்கமைவு நீரோட்டத்தை சுட்டும் பொழுது, (ஸ்டோக்சு)தோக்கின் விதியை அனுசரித்து அதன் வீழ்ச்சி திசைவேகத்தை கணக்கிடலாம். துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொந்தளிப்பு நீரோட்டத்தை சுட்டும் பொழுது, ஒரு கொந்தளிப்பு பின்னிழுவிசை விதியை அடிப்படையாகக்கொண்ட ஒரு முன்மாதிரியை உருவாக்கிய பிறகு, அந்த முன்மாதிரியை வைத்துக்கொண்டு அதற்கான உரையாகும் திசைவேகத்தை தோராயமாக அறியலாம்.

### திணிமப் படுகை

ஒரு திரவம் சுமாரான கோள வடிவம் கொண்ட மற்றும் ***D*** அளவில் விட்டம் கொண்ட துணிக்கைப்படுகையின் ஊடாக பாயும் பொழுது, துணிக்கைகள் ஒன்றோடொன்று தொட்டுக்கொண்டிருப் பவையாகும், மேலும் படுகையில் காணப்படும் திணிவுறாமை காரணமாக காலியாக இருக்கும் இடம் (துணிக்கைகளால் நிரப்பப்படாத இடங்களின் பின்னம்) **ε** யாக இருந்தால், மற்றும் திரவத்தின் மேலெழுந்தவாறு காணப்படும் திசைவேகம் **V** ஆக இருந்தால், (அதாவது இந்தப் படுகைக்குள் துணிக்கைகள் இல்லாமல் இருந்தால் கிடைக்கும் உண்மையான திசைவேகம் இதை விட அதிகமாக இருக்கும்), இவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது போல் வரையறுக்கலாம்:

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\varrho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu (1-\epsilon )}}.}
Re = 10 வரையில் அடுக்கமைவு நிலைமையை சார்ந்திருக்கும், மேலும் 2000 க்கும் மேல் இருந்தால் அது முழு கொந்தளிப்பு நீரோட்டத்தை சார்ந்ததாக இருக்கும்.

### கிண்டும் பாத்திரம்

ஒரு உருளை வடிவம் கொண்ட கலனின் மத்தியில் ஒரு சுற்றும் துடுப்பு, விசைக்சுழலி இயந்திரம் அல்லது செலுத்தி போன்றவைகளை வைத்து சுழல வைத்தால், இந்த நிலைமையில் அதன் சிறப்பியல்பான விட்டம் {\displaystyle D} அதன் துடுப்பின் விட்டமாகும். அதன் திசைவேகம் {\displaystyle ND} ஆகும் மற்றும் அதன் சுற்றும் வேகம் N (சுழற்சிகள் பிரதி வினாடியாகும்). அப்பொழுது அதன் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் என்பது:

{\displaystyle \mathrm {Re} ={{\varrho ND^{2}} \over {\mu }}.}
Re யின் பெருமதிப்பு 10 000.க்கும் மேல் இருந்தால்  இந்த முறைமை அனைத்தும் கொந்தளிப்பு முறையை சார்ந்ததாகும்.

நிலை மாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்
---------------------------

ஒரு தட்டையான பரப்பளவின் மீது ஒரு திரவம் எல்லை ஏடு பாய்மத்துடன் பொழிந்தால், சோதனைகளில் உறுதி செய்த படி, சிறிது தூரத்திற்குப்பாய்ந்த பிறகு, அடுக்கமைவு எல்லை ஏடு அதன் தன்மையை இழந்து மேலும் அதன் பாய்மம் கொந்தளிப்புடன் காணப்படுகிறது. இந்த நிலையில்லாமை பலவகைகள் கொண்ட அளவுடனும் மற்றும் வெவ்வேறு திரவங்களுடன் காணப்படுகிறது, பொதுவாக {\displaystyle \mathrm {Re} \_{x}\approx 5\times 10^{5}} என்ற நிலையில் காணலாம், மற்றும் {\displaystyle x} என்ற அளவு பரந்த தட்டின் முனையில் இருந்து அளந்த தூரத்தைக் குறிக்கும், மற்றும் நீரோட்ட திசைவேகமானது, முற்றிலும் தடையில்லாத பாய்மத்தின் திசைவேகம் ஆகும், குறிப்பாக திரவத்தில் காணப்படும் எல்லை ஏட்டுக்கு புறமான வேகமாகும்.

{\displaystyle D} என்ற அளவுடன் கூடிய விட்டத்துடன் ஒரு குழாய் வழியாக ஒரு திரவம் பாயும் பொழுது, சோதனைக் கூடங்களில் நிரூபித்தவை என்ன என்றால், முற்றிலும் மேம்படுத்திய பாய்மத்தின் பொழுது, (குறிப்பு: ), அடுக்குமுறை நீரோட்டம் {\displaystyle \mathrm {Re} \_{D}} ஆக இருக்கும் பொழுது நடைபெறுகிறது மற்றும் {\displaystyle \mathrm {Re} \_{D}>4000} ஆக இருக்கும் பொழுது, கொந்தளிப்புப் பாய்மம் நிகழ்கிறது. 2300 மற்றும் 4000 இடையே நிலவும் இடைவெளியில், நீரோட்டாமானது அடுக்கமைவு முறையிலோ, அல்லது கொந்தளிப்பு பாய்மமாகவோ இருக்கலாம் (நிலைமாறும் பாய்மங்கள்), அவை குழாயின் உராய்வுக் காரணி மற்றும் நீரோட்டத்தின் தன்மை போன்ற காரணிகளைத் தழுவி இருக்கும். இந்த முடிவுகளை ஆதாரமாகக்கொண்டு அவற்றை வட்ட வடிவமல்லாத கால்வாய்களுக்கும், நீரியல் விட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மேலும் நிலைமாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்களையும் இதர கால்வாயின் வடிவங்களுக்கு ஏற்றதாக கணக்கிடலாம்.

இவ்வகை நிலைமாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்கள் *மாறுநிலை ரேய்னால்ட்ஸ் எண்கள்* என வழங்குகின்றன, மற்றும் சுமார் 1895 ஆம் ஆண்டுகளில் இது பற்றி விரிவாக ஒஸ்போர்ன் ரேய்னால்ட்ஸ் என்பவர் ஆராய்ந்து வந்தார். [ரொட்டைப் பாருங்கள்].

குழாய் உராய்வில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்
---------------------------------

குழாய்கள் மூலமாக முழுமையாக வளர்க்கப்பட்ட திரவங்கள் பாயும் பொழுது காணப்படும் அழுத்த வீழ்ச்சிகளை, மூடி விளக்க வரைபடத்தை வைத்துக்கொண்டு முன்னுரைக்க இயலும், இந்த விளக்கப்படத்தில் டார்சி–வேயச்பச் உராய்வுக் காரணி {\displaystyle f}, ரேய்னால்ட்ஸ் எண் {\displaystyle {\mathrm {Re} }} மற்றும் சுரசுரப்பு சார்ந்த காரணிகளுக்கு {\displaystyle \epsilon /D}எதிராக வரைந்துள்ளது. இந்தப்படத்தில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணுக்கு எதிராக, அந்த எண் வளர வளர, அடுக்கமைவு, மாறுநிலை, மற்றும் கொந்தளிப்புப் பாய்மம் சார்ந்த பாய்மங்களைக் குறிக்கும் வீச்சுகளை மிகவும் தெளிவாகக் காணலாம்.
குழாய் மூலமாக ஒரு திரவம் பாயும் இயல்பானது, அந்தப் பாய்மம் அடுக்கமைவு பாய்ம முறையை சார்ந்ததா அல்லது கொந்தளிப்பு பாய்ம முறையை சார்ந்ததா என்பதைப் பொறுத்து மாறுபடுகிறது.

பாய்மங்களில் காணப்படும் ஒப்புடமை
--------------------------------

இரு வெவ்வேறு பாய்மங்கள் ஒரே போன்று இருக்க வேண்டுமென்றால், அந்த இரு வகைகளும் ஒத்த வடிவவியல் தன்மையுடன் இருக்க வேண்டும். அவற்றின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அளவீடு மற்றும் ஆய்லர் எண்களின் (Euler numbers) அளவீடுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு மாதிரி வடிவமைப்பில் மற்றும் முழு அளவிலான பாய்வில், இரு திரவங்களின் பாயும் தன்மைகளை ஒப்புமை நிலைகளில் ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பதற்கு, கீழே கொடுத்தபடி இருப்பது மிகவும் முக்கியமானதாகும்:

{\displaystyle \mathrm {Re} \_{m}=\mathrm {Re} \;}
{\displaystyle \mathrm {Eu} \_{m}=\mathrm {Eu} \;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p\_{m} \over \varrho \_{m}{v\_{m}}^{2}}={p \over \varrho v^{2}}\;,}
'm' என்ற குறியீட்டுடன் கூடியவை மாதிரியைச் சுற்றியமைந்த பாய்மத்தைக் குறிப்பதாகும் மேலும் மற்றவை உண்மையான பாய்மத்தைக் குறிப்பதாகும். இதன் காரணமாக குறைந்த அளவு கொண்ட முன்மாதிரிகளை வைத்துக்கொண்டு தண்ணீர் கால்வாய்கள் அல்லது காற்றுப் புழைகளில் பொறியாளர்கள் தமது ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டு, அதன் அடிப்படையில் அவற்றை உண்மையில் நிகழும் பாய்மங்களுடன் தொடர்புடமை காட்டலாம், இப்படி செய்வதால் ஆய்வுகளை மேற்கொள்வதற்கான கணிசமான அளவில் காலத்தையும் நேரத்தையும் மிச்சப்படுத்தி, செலவுகளையும் குறைக்கலாம். மேலும் உண்மையான இயக்கவாற்றல் ஒப்புமையை அடைவதற்கு இதர பரிமானமிலா எண்களும் ஒப்புமையுடன் இருத்தல் அவசியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக அமுக்கப்படுமியல்புடைய நீரோட்டத்தில் பயன்படும் மக் எண், அல்லது திறந்த கால்வாய்களில் நீரோட்டத்தை முறைப்படுத்தும் ஃபிரௌடே எண் போன்றவை. சில நீரோட்டங்களில் மேலும் அதிகமான பரிமாணமில்லா சுட்டளவுகள் இடைபெடுகின்றன மேலும் நடைமுறையில் கிடைக்கப்பெறும் உபகரணங்கள் மற்றும் திரவங்களைக் கொண்டு அவை அனைத்தையும் மதிப்பிடுவது சாத்தியமல்ல, (எடுத்துக்காட்டாக காற்று அல்லது தண்ணீர்), மேலும் அதனால் நாம் எந்தெந்த சுட்டளவுகளை முக்கியமாகக் கருதுகிறோமோ, அவற்றிற்கேற்ப நாம் நடந்துகொள்ள வேண்டும். சோதனைமுறையிலான நீரோட்ட முன்மாதிரி ஓட்டங்கள் பயன்படுபவையாக இருப்பதற்கு, அதை வழி நடத்தும் பொறியாளருக்கு ஒரு நல்ல விதமான அனுபவமும் மற்றும் கண்டறியும் திறனும் அவசியமாகும்.

வெவ்வேறு பொருட்களுக்கான மாதிரி ரேய்னால்ட்ஸ் எண் பெறுமதிப்பு

* நுண்ணுயிரிகள் ~10−5
* வளர்ச்சியுற்ற விந்தணு~10−4
* பிசிருயிர் ~10−1
* மிகச்சிறிய மீன் ~1
* மூளையில் இரத்தப் பாய்மம் ~ 1 × 102
* பெருநாடியில் இரத்தப் பாய்மம் ~ 1 × 103

**கொந்தளிப்புப் பாய்வின் தொடக்கம்** ~ 2.3 × 103 முதல் 5.0 × 104 குழாய்ப் பாய்வில் மற்றும் 106 வரை எல்லைப்படலங்களுக்கு 

* மேஜர் லீக் பேஸ்பாலில் மாதிரி சுருதி ~ 2 × 105
* நீச்சல் அடிப்பது ~ 4 × 106
* மிகவும் வேகத்துடன் கூடிய மீன் ~106
* நீல திமிங்கலம் ~ 3 × 108
* ஒரு பெரிய கப்பல்(ஆர்எம்எஸ் க்வீன் எலிசபெத் 2) ~ 5 × 109

கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் மிகச்சிறிய அளவு கூட ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் ஆதிக்கத்தில் நடக்கின்றன
----------------------------------------------------------------------------------------

கொந்தளிப்புப் பாய்வு முறையில், நேரத்துடன் மாறுபாடு கொண்ட திரவத்தின் இயக்கத்தின் அளவு பல வீச்சுக்களைக் கொண்டது. திரவ இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவுகள் (சில நேரங்களில் எதிர்ச்சுழிப்புகள் என அறியப்படுவது) பாய்வின் ஒட்டுமொத்தமான வடிவவியலைச் சார்ந்து வேறுபடுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொழில்துறை புகைபோக்கியில், திரவ இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவுகள் புகைபோக்கியின் விட்டத்திற்கு சமமாகக் காணப்படும். மிகச்சிறிய அளவுகோலின் அளவு ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைச் சார்ந்ததாக காணப்படும். ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அதிகரிக்கும் பொழுது, பாய்மத்தின் சிறிய மற்றும் சிறிய அளவுகள் கண்ணுக்குத் தெரிகின்றன. ஒரு புகைபோக்கியில், பாயும் புகையானது, பல வகைகளில் மிகச்சிறிய திசைவேகம் கொண்ட கொந்தளிப்புகள் அல்லது எதிர்சுழிப்புகளுடன் காணப்படும், மேலும் கூடுதலாக பெரிய பருமனான எதிர்சுழிப்புகளும் காணப்படும். இதன் படி, ரேய்னால்ட்ஸ் எண் ஆனது, பாய்மத்தில் இருக்கும் இது போன்ற பல அளவுகள் கொண்ட வீச்சுக்கு ஒரு சுட்டிக்காட்டியாக இருக்கலாம். ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் அளவு உயர உயர, வீச்சின் அளவுமுயர்ந்துகொண்டே போகிறது. மிகப்பெரிய எதிர்சுழிப்புகள் எப்பொழுதும் ஒரே அளவைக் கொண்டதாக இருந்தாலும், மிகச் சிறிய எதிர்சுழிப்புக்கள் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைச் சார்ந்ததாகவே காணப்படும்.

இது போன்ற தோற்றப்பாடிற்கான விளக்கம் தான் என்ன? பெரிய அளவில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் காணப்பட்டால் அதன் காரணமாக பெரிய அளவிலான பாய்மதத்தின் பொழுது பாகு விசைகள் அத்தனை முக்கியத்துவம் கொண்டதாக தெரியவில்லை. உறழ்விசையின் ஆற்றல் பாகுத் தன்மையின் விசையாற்றலை விட பன்மடங்கு உயர்ந்ததாக இருக்கும் பொழுது, திரவ இயக்கத்தின் மிகப் பெரிய அளவிலான எதிர்சுழிப்பு கூட தடையராமல் காணப்படும்- இந்த இயக்கங்களை சிதறவைப்பதற்கான போதிய அளவு பாகுத் தன்மை இல்லாதிருப்பதே அதன் காரணமாகும். பெரிய அளவிலான எதிர்சுழிப்புகளில் இருந்து அதன் இயக்கநிலை ஆற்றல் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக சிறிய அளவுகளுக்கு "அடுத்தடுத்த" நிலைகளுக்குத் முன்னேற்றத்துடன் தாவிக் கொண்டே செல்ல வேண்டும் மற்றும் ஒரு காலகட்டத்தில் பாகுத்தன்மையின் விசையாற்றலின் அளவு முக்கியமானதாக மாறும் (அதாவது, பாகுத்தன்மை கொண்ட விசைகள் உறழ்விசையின் ஆற்றலுக்கு சமமாக உயர்ந்துவிடும்). இது போன்ற சிறிய அளவிலான நிலைமைகளில் மட்டுமே இறுதியாக பாகுத்தன்மையின் செயல்பாட்டினால் விசையாற்றல் தொடர்ந்து சிதறுகிறது. எந்த அளவில் இது போன்ற பாகுத்தன்மை காரணம் சிதறுகிறது என்பதை ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் அடிப்படையில் தெரிந்து கொள்ளலாம். அதனால், மிகப்பெரிய எதிசுழிப்புகள் பாய்ம வடிவவியலை சார்ந்ததாக இருப்பதும் மற்றும் மிகச்சிறிய அளவிலான எதிர்சுழிப்புகள் பாகுத்தன்மையை சார்ந்து இருப்பதாலும், இதன் மூலமாக ரேய்னால்ட்ஸ் எண் என்பது கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவு மற்றும் சிறிய அளவிலான கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் அளவு ஆகிய இரு அளவுகளின் விகிதமாகும் என்பதை அறிந்துகொள்ளலாம்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் முக்கியத்துவத்தைக் குறிக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள்
---------------------------------------------------------------------

ஒரு விமானத்தின் சிறகுகளை சோதிக்க, அந்த விமானத்தின் அளவு குறைக்கப்பட்ட முன் மாதிரியை, ஒரு காற்றுப்புழையில் இயற்கையாக வானத்தில் கிடைக்கப்பெறும் அதே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட சூழ்நிலைகளில் சோதிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக அளவு குறைந்த முன்மாதிரியின் நேரோடி பரிமாணங்கள் முழு வடிவத்தின் கால் பாகமாக இருந்தால், அப்போது ஒரே போன்ற ஒத்திசைவுடன் கூடிய பாய்ம நிலை கிடைப்பதற்கு, முன் மாதிரியின் பாய்ம திசைவேகத்திற்கான காரணியை நான்கு மடங்காக பெருக்கவேண்டும்.

இல்லாவிட்டால், இந்த சோதனைகளை வளிமண்டலத்திற்கு பதிலாக தண்ணீருக்குள்ளும் நடத்தலாம் (அதாவது அழுந்தும் தன்மையால் ஏற்படும் விளைவுகளால் பாதிப்பு ஏற்படவில்லை என்றால்). 15 °C வெப்ப அளவில் தண்ணீரின் இயங்கியல் பாகுமை பாகுத்தன்மை காற்றை விட 13 மடங்கு குறைவாகக் இருப்பதால், இதன் படி முன்மாதிரியின் அளவு அனைத்து பரிமாணங்களிலும் ஒன்றில் பதிமூன்று பாகமாக இருந்தாலே போதுமானது, மேலும் முழு - அளவிலான பாய்ம திசைவேகங்கள் பயன்படும் என்ற அடிப்படையான அனுமானத்துடன் சோதனையை மேற்கொண்டால், அப்போது தேவைப்படும் அதே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட சூழ்நிலையை உருவாக்கி, சோதனையை நிகழ்த்தலாம்.

ஆய்வுக்கூடத்தில் கண்டறிந்த சோதனைகளின் முடிவுகளும் அசல் விமானத்தின் சிறகுகளுக்கு ஒப்பாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அதனால் முழு அளவிலான ஒரு விமானத்தை ஆய்வுக் கூடத்திற்கு கொண்டு வந்து சோதனை செய்ய வேண்டிய கட்டாயம் இல்லாமல் போகிறது. இது ஒரு "இயக்கவாற்றல் ஒப்புமைக்கான" ஒரு நல்ல எடுத்துக்காட்டாகும்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண் ஆனது ஒரு பொருளின் பின்னிழுவிசை சிறப்பியல்புகளை கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் முக்கியமான ஒரு காரணியாகும். ஒரு குறிப்பிடும்படியான எடுத்துக்காட்டு, ஒரு உருளை அல்லது கலனைச்சுற்றி ஒரு திரவத்தின் பாய்மம் ஆகும். சுமார் 3×106 Re எண்ணிற்கு பின்னிழுவிசை கெழு கணிசமான அளவுக்கு குறைந்து காணப்படும். விமானங்கள் குறைந்த பின்னிழுவிசையுடன் பறக்கும் பொழுது (மற்றும் அதன் காரணாமாக ஒரு நீண்ட வீச்சுக்கு உட்படும் பொழுது) உகம வேகத்தில் விமானத்தைப் பறக்க விடுவதற்கான கணக்குகளை புரிவதற்கு இது மிகவும் முக்கியமானதாகும்.

உடலியக்கவியலில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்
--------------------------------

நமது உடலின் இரத்த ஓட்டம் போய்சூய்லே விதிகளின் அடிப்படையில் அடுக்கமைவு பாய்மம் கொண்டதாகும். கொந்தளிப்புப் பாய்வில் நீரோட்ட வேகம் ஆனது அழுத்த மாறுபாட்டுக் கோட்டின் இருபடி மூலத்துடன் நேரடி விகிதம் கொண்டதாகும், ஆனால் இதின் எதிர்மறையாக, அடுக்கமைவு பாய்வில் அது அழுத்த மாறுபாட்டுக் கோட்டுடன் நேரடி விகிதம் கொண்டதாகக் காணப்படும்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணுக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரையறையைப் பயன்படுத்தி நாம் பார்த்தோமானால், வேகமான பாய்ச்சலுடன் ஒரு பெரிய விட்டம் வழியாக, மிகையான அடர்த்தி கொண்ட இரத்தம் பாயுமானால், அது கொந்தளிப்புடன் கொண்ட பாய்வாகவே இருக்கும். இரத்தம் பாயும் நாளங்களில் மிக விரைவான மாற்றங்கள் ஏற்பட்டால், அது கொந்தளிப்புப் பாய்விற்கு கொண்டு சென்று விடும், அதிலும் குறிப்பாக ஒரு சிறிய அளவுடைய நாளத்தில் இருந்து அகலமான நாளத்திற்குள் இரத்தம் பாயும் பொழுது அப்படி ஏற்படும். மேலும், கொந்தளிப்புப் பாய்விற்கான காரணம் ஒரு கூழ்மைக்கரடு பிரச்சினையாகவும் இருக்கலாம், மேலும் இதயத்துடிப்பு மானியை வைத்துக்கொண்டு கொந்தளிப்பு கண்டு பிடிக்கப்பட்டால், இந்த நோய்க்கான அறிகுறியாகவும் இருக்கலாம்.

பாகுத்தன்மையுள்ள திரவங்களின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்
---------------------------------------------

ஒரு கோளத்தைத் தாண்டிச்செல்லும் ஊர்வுப் பாய்வு: அருவிக்கோட்டுப்பாய்வு வரிகள், பின்னிழு விசை Fd மற்றும் 
புவியீர்ப்பு விசை Fg.
பலபடிச் சேர்ம கரைசல்கள் மற்றும் உருக்கிய பலபடிச் சேர்மங்கள் போன்றவைகளில், பொதுவாகவே பாகுத்தன்மை மிகையாக இருக்கும், மேலும் அவை ஒழுகும் பொழுது, பொதுவாக அடுக்கமைவு சார்ந்த பாய்மமாகவே அது இருக்கும். அதன் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் மிகவும் சிறிய எண்ணாக இருக்கும் மேலும் (ஸ்டோக்சு) தோக்கின் விதி யைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட திரவத்தின் பாகுத்தன்மையை அளந்திடலாம். குறிப்பிட்ட திரவத்திற்குள் கோளங்களை இயல்பாக கீழ்நோக்கி விழ வைத்தால், அப்படி செய்யும் பொழுது, அவை மிகவும் விரைவாக அதன் முற்று திசைவேகத்தை அடைகின்றன, இதிலிருந்து திரவத்தின் பாகுத்தன்மையை விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டுப் பெறலாம்.

பலபடிச் சேர்ம கரைசல்களில் காணப்படும் அடுக்கமைவு பாய்மத்தைப் போலவே, இயற்கையாக, மீன் மற்றும் ஓங்கில் போன்ற கடல்வாழ் இனங்கள் தன்னலப்படுத்துகின்றன, அவை தண்ணீருக்குள் நீந்தும் பொழுது, நீச்சல் எளிதாக இருப்பதற்காக, அவற்றின் உடல்களில் இருந்து பாகுத்தன்மை கொண்ட கரைசல்களை வெளியேற்றுகின்றன. இதே போன்று பாய்மரப்படகுப் போட்டிகளில் கலந்து கொள்ளும் போட்டியாளர்கள், தமது பாய்மரப்படகு எளிதாக அதிக வேகத்தை அடைவதற்கு, பாய்மரப்படகின் நனையும் வெளிப்பரப்பில், குறைந்த மூலக்கூறு எடை கொண்ட, தண்ணீரில் போலிஆக்ஸிஎதிலின் கலந்த கரைசலை எக்கி மூலமாக படியவிட்டு, தமது பந்தையத்தில் வேகமாக படகை செலுத்த விழைகின்றனர். இருந்தாலும், பலபடிச் சேர்மங்களைக் கலக்குவது என்பது மிகவும் சிரமமானதாகும், எடுத்துக்காட்டாக அவற்றில் காணப்படும் மிகவும் நயமான நிரப்புப் பொருளை படகின் வெளிபாகத்தில் நன்றாக விதரணம் செய்வதற்கு நல்ல பாய்ச்சலுடன் கூடிய கொந்தளிப்பு தேவைப்படுகிறது. "துவாரத்தில் இடம் மாற்றும் கலப்பி" போன்ற புதிய கண்டுபிடிப்பு உபகரணங்கள் தற்பொழுது பயன்பாட்டில் உள்ளன, அவை கலக்கும் செயல்திறமையைக் கூட்டுவதற்காக ஒரு நகரும் உருக்கிலிருந்து பன்மை மடிப்புகளை தயாரிக்க மேம்பாடுகள் செய்யப்பட்டுள்ளன. இக்கருவியை கலக்குவதை எளிதுபடுத்த பிதுக்கிகள் போன்ற இயந்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்.

அது எங்கிருந்து வருகிறது?
-------------------------

ஒருவர் அமுக்க இயலாத நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளின் பரிமானமிலா வடிவத்தை பயன்படுத்தினால் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்னை அடையலாம்:

{\displaystyle \varrho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}
மேலே கொடுத்துள்ள சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லும் கனவளவு ஆட்பலத்தின் அலகு கொண்டதாகும் அல்லது சமவலுவுடன் கூடிய முடுக்கத்துடன் அடர்த்தியைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் அலகு கொண்டதாகும். அதனால் இந்த சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லும் பாய்மத்திற்கு ஏற்ற துல்லியமான அளவுகளை சார்ந்ததாகும். இந்த சமன்பாட்டை பரிமாணமில்லா வடிவத்தில் மாற்றியமைக்கும் பொழுது, அதாவது நாம் அந்த அடிப்படை சமன்பாட்டின் தலைகீழ் காரணிகள் கொண்ட அலகுகளுடன் பெருக்கும் பொழுது, நேராக அதன் உடல் சார்ந்த அளவிகளுடன் தொடர்பில்லாத ஒரு வடிவத்தை நாம் பெறுகிறோம்.
பரிமாணமில்லா சமன்பாட்டினை அடைவதற்கு உள்ள ஒரு ஏற்கக்கூடிய வழி, மொத்த சமன்பாட்டையும் கீழே கொடுத்துள்ள காரணியுடன் பெருக்குவதாகும்:

{\displaystyle {\frac {D}{\varrho V^{2}}}}
மேலே கொடுத்த சமன்பாட்டின் குறியீடுகள் யாவும் முதலில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் சமன்பாட்டுக்காக வரையறை செய்த குறியீடுகளே.
இப்பொழுது நாம் இப்படி அமைத்தால்:

{\displaystyle \mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},\ p'=p{\frac {1}{\varrho V^{2}}},\ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\varrho V^{2}}},\ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},\ \nabla '=D\nabla }
நாம் நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டினை பரிமாணம் இல்லாதவாறு அமைக்கப்பெறலாம்:

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\varrho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'} }
இங்கே இந்தச் சொல்லானது:{\displaystyle {\frac {\mu }{\varrho DV}}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}.}

இறுதியாக, எளிதாக வாசிப்பதற்காக நாம் பகா எண்களைத் தவிர்த்தால்:

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}
இதன் காரணமாகத்தான் கணித முறைகளில் ஒரே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட அனைத்து வித பாய்மங்களும் ஒப்பிட்டுப்பார்க்கும் வண்ணம் உள்ளது.

மேலும் காண்க
------------

* டார்சி–வேய்ஸ்பேச் சமன்பாடு
* ஹகேன்–போய்சூய்லே சட்டம் அல்லது விதி
* நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள்
* ரேய்னால்ட்ஸ் பெயர்ச்சித்தேற்றம்
* தோக்கின் விதி

குறிப்புதவிகள் மற்றும் குறிப்புகள்
----------------------------------

1. ↑  George Gabriel Stokes (1851). "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums". *Transactions of the Cambridge Philosophical Society* **9**: 8-106.
2. ↑  Osborne Reynolds (1883). "An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels". *Philosophical Transactions of the Royal Society* **174**: 935–982. doi:10.1098/rstl.1883.0029. JSTOR.
3. ↑  ரொட், என், "ரேய்னால்ட்ஸ் எண் பற்றிய வரலாற்றில் ஒரு குறிப்பு," பாய்ம இயக்கவியல் ஆண்டு மறுஆய்வு, புத்தகப்பகுதி. 22, 1990, பப. 1–11.
4. ↑  வலைத்தளம்:www.grc.nasa.gov
5. ↑  வலைத்தளம்:Reynolds number (engineeringtoolbox.com)
6. ↑  ஜே.பி. ஹோல்மன், *(Heat Transfer) வெப்பப் பெயர்ச்சி* , மக்க்ராவ் ஹில்.
7. ↑  ஆர். W. போக்ஸ், ஏ. டி. மக்டோனட், பில்லிப் ஜே. பரிட்சார்ட் *பாய்ம இயக்கவியலுக்கு அறிமுகம்,* 6 ஆவது பதிப்பு ஆ (ஜான் விலே அண்ட் சன்ஸ்) ISBN 0-471-20231-2 பக்கம் 348
8. ↑  வி. எல். ஸ்ட்ரீட்டர் (1962)*பாய்ம இயக்கவியல்* , 3 ஆவது பதிப்பு, (மக்க்ராவ் ஹில்)
9. 1 2  எம். ரோடெஸ் (1989) *இன்ட்றொடக்சன் டு பார்டிகிள் டெக்நோலோஜி* விலே ISBN 0-471-98482-5  **கூகிள் பூக்ஸில்**
10. ↑  ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). *லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல்* , ப.49. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். ISBN 978-0-674-03116-6.
11. ↑  ஆர். கே. சின்னோட் *கொவ்ல்சன் அண்ட் ரிச்சர்ட்சன்ஸ் கெமிகல் எஞ்சினீரிங், பதிப்பு 6: கெமிகல் எஞ்சினீரிங் டிசைன்,*  4 ஆவது பதிப்பு (பட்டர்வார்த்-ஹெயநேமன்) ISBN 0-7506-6538-6 பக்கம் 473
12. ↑  நீரோட்டம் குழாய்க்குள் நுழையும் வேளை நீரோட்டம் முழுக்க முழுக்க மேம்பாடு அடைந்து, எல்லையில் காணப்படும் ஏடு மேலும் கெட்டியடைகிறது மற்றும் பல விட்ட அளவு தூரங்களைக் கடந்த பிறகு நிலையான தன்மையை அடைகிறது.
13. ↑  ஜே.பி. ஹோல்மன் *(Heat Transfer) வெப்பப் பெயர்ச்சி* , மக்க்ராவ் ஹில், 2002, ப.207
14. ↑  படேல், வி. சி. W. ரோடி, மற்றும் ஜி. ச்யூறேர். "டர்புலென்ஸ் மோடல்ஸ் போர் நியர்-வால் அண்ட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர் ப்ளோஸ்- ஏ ரிவியூ." ஏஐஏஏ ஜெர்னல் 23.9 (1985): 1308-19.
15. ↑  [12] ^ ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). *லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல்* , ப.136. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். ISBN 978-0-674-03116-6.
16. ↑  விக்கின்ஸ், சி. எச். மற்றும் ஆர். ஈ. கோல்ட்ச்டீன்."ஃப்லெக்சிவ் அண்ட் ப்ரோபல்சிவ் டைனாமிக்ஸ் ஓப் எலாச்டிகா அட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர்." ஃபிசிகல் ரெவியூ லெட்டர்ஸ் 80.17 (1998): 3879-82.

### கூடுதல் வாசிப்பு

* சகரோல, எம். வி. அண்ட் ஸ்மித்ஸ், ஏ. ஜே. "எக்ஸ்பெரிமென்ட்ஸ் இன் ஹை ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர் டர்புலன்ட் ப்லோ." ஏஐஏஏபேப்பர் #96-0654, 34 ஆவது ஏஐஏஏ ஏரோஸ்பேஸ் சயன்சஸ் மீட்டிங், ரெனோ, நெவாடா, ஜனவரி 15 - 18, 1996.
* ஜெர்மி எம். "ஃப்லூயிட் டைனாமிக்ஸ் ஏ கோர்ஸ் ரீடர்," மெகானிகல் எஞ்சினீரிங் டிப்ட். கன்டபரி பல்கலைக்கழகம், 2005, பப. டி5.10.
* ஹுஜெஸ், ரோஜர் "சிவில் எஞ்சினீரிங் ஹைட்ராலிக்ஸ்," சிவில் அண்ட் என்வைரன்மென்டல் டெப்ட். மெல்பேர்ண் பல்கலைக்கழகம் 1997, பப. 107–152
* ஃபௌஸ், இன்பாஸ் "ஃப்லூயிட் டைனாமிக்ஸ்," மெகானிகல் எஞ்சினீரிங் டிப்ட். ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகம், 2001, பப 96
* ஈ. எம். புர்செல். "லைப் அட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர்", அமெரிக்கன் ஜெர்னல் ஓப் ஃபிசிக்ஸ் தொ 45, ப. 3-11 (1977)
* ட்றுஸ்கீ, ஜி. ஏ. யுஆன், எப், கட்ஸ், டி. எப். (2004). *ட்ரான்ஸ்போர்ட் பிநோமினா இன் பையோலோஜிகள் சிஸ்டம்ஸ்* ப்ரென்டிஸ் ஹால், பப. 7. ISBN 0-13-042204-5 ISBN 978-0-13-042204-0.

வெளிப்புற இணைப்புகள்
--------------------

* வளிம இயக்கவியல் கருவிப்பெட்டி விஎச்எஸ் முன்மாதிரி முறையில் வலிம வாயுக்களின் கலவையின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கணிப்பது.
* உலாவி அடிப்படையிலான ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கணிப்புப் பொறி

வார்ப்புரு:NonDimFluMech