குலக்கோட்பாட்டில் **ஈவு குலம்** அல்லது **காரணி குலம்** (*quotient group* or *factor group*) என்பது சமான உறவு மூலம் ஒரு பெரிய குலத்தின் ஒரேமாதிரியான உறுப்புகளை குழுப்படுத்தக் கிடைக்கும் குலமாகும். எடுத்துக்காட்டாக *n* இன் மடங்குகளால் வேறுபடும் எண்களை முழு எண்களின் கணத்திலிருந்து எடுத்துக்கொண்டு தக்க ஈருறுப்புச் செயலியை வரையறுப்பதன்மூலம் கூட்டல் மாடுலோ *n* -சுழற் குலத்தைப் பெறலாம்.

ஈவு குலத்தில் முற்றொருமை உறுப்பின் சமானப் பகுதி மூல குலத்தின் இயல்நிலை உட்குலமாகவும், மற்ற சமானப் பகுதிகள் அந்த இயல்நிலை உட்குலத்தின் இணைக்கணங்களாகவும் இருக்கும். மூலக் குலம் *G*; அதன் இயல்நிலை உட்குலம் *N* எனில் ஈவுக்குலத்தின் குறியீடு *G* / *N*. இதனை "*G* மாடுலோ *N*" என வாசிக்க வேண்டும்

குலத்தின் உட்கணங்களின் பெருக்கம்
--------------------------------

ஈவு குலத்தை வரையறுக்க குலத்தின் உட்கணங்களின் பெருக்கம் என்ற ஈருறுப்புச் செயலி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

*G* குலத்தின் உட்கணங்களின் மீது *உட்கணங்களின் பெருக்கம்* பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

*S* , *T* என்பன *G* இன் இரு உட்கணங்கள். இவற்றின் பெருக்கம்:

{\displaystyle ST=\{st:s\in S,t\in T\}}
இந்த ஈருறுப்புச் செயலி 

* சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்கிறது
* முற்றொருமை உறுப்பு {*e*}, (குலம் *G* இன் முற்றொருமை உறுப்பு *e* ).

எனவே *G* குலத்தின் அனைத்து உட்கணங்களின் கணமானது இச்செயலியைப் பொறுத்து ஒற்றைக்குலம்.

வரையறை
------

குலம் *G* இன் இயல்நிலை உட்குலம் *N* எனில் ஈவு குலம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle G/N=\{aN:a\in G\}}
இக்கணத்தில் உட்கணங்களின் பெருக்கம் செயலி, குலத்தின் நான்கு பண்புகளையும் நிறைவு செய்கிறது:

* *N* இன் இரு இடது இணைக்கணங்களின் பெருக்கமும் அதன் மற்றொரு இடது இணைக்கணமாகும் என்பதால் அடைவு விதி நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

{\displaystyle aN,bN\in G/N} எனில்,
{\displaystyle (aN)(bN)=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)(NN)=(ab)N}
* உட்கணங்களின் பெருக்கம் செயலி சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்கிறது.
* இச்செயலியைப் பொறுத்து இடது இணைக்கணங்களின் கணத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு *N*
* *aN* இன் நேர்மாறு உறுப்பு *a*−1*N* எனும் மற்றொரு இடது இணைக்கணமாக உள்ளதால் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் நேர்மாறு உறுப்பு உள்ளது.

குலத்தின் நான்கு பண்புகளும் நிறைவு செய்யப்படுவதால் உட்கணங்களின் பெருக்கல் செயலிக்கு *G*/*N* குலமாகும். இக்குலம் *G* இன் ஈவு குலம் என அழைக்கப்படுகிறது.

*N* இயல்நிலை உட்குலமாதலால் அதன் இடது மற்றும் வலது இணைக்கணங்கள் சமம்.

{\displaystyle aN=Na,a\in G}. எனவே இடது இணைக்கணங்களுக்குப் பதில் வலது இணைக்கணங்களைக் கொண்டும் ஈவு குலத்தை வரையறுக்கலாம்.
*G*/*N* - *G* இன் பிரிவினையாக அமையும். அப்பிரிவினையின் சிறுசிறு பகுதிகள் *N* இன் இணைக்கணங்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக :

*G* = {0, 1, 2, 3, 4, 5} கூட்டல் மாடுலோ 6 குலத்தின் இயல்நிலை உட்குலம் *N* = {0, 3}.
ஈவுக்குலம்:

*G*/*N* = { *aN* : *a* ∈ G } = { *a*{0, 3} : *a* ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} } =
{ 0{0, 3}, 1{0, 3}, 2{0, 3}, 3{0, 3}, 4{0, 3}, 5{0, 3} } =
{ {(0+0) mod 6, (0+3) mod 6}, {(1+0) mod 6, (1+3) mod 6},
{(2+0) mod 6, (2+3) mod 6}, {(3+0) mod 6, (3+3) mod 6},
{(4+0) mod 6, (4+3) mod 6}, {(5+0) mod 6, (5+3) mod 6} } =
{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {3, 0}, {4, 1}, {5, 2} } =
{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} } =
{ {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} }.
ஈவுக் குலம் என்ற பெயர்க் காரணம் முழுஎண்களின் வகுத்தலிலிருந்து பெறப்படுகிறது. 12 பொருள்களை மூன்று மூன்றாகப் பிரிக்க 4 தொகுப்புகள் கிடைக்கும் என்பதன் அடிப்படையில், 12 ஐ 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு 4 எனப்படுகிறது. ஈவுக் குலமும் அதே அடிப்படையில் அமைகிறது. முழு எண்களின் வகுத்தலில் ஈவாக ஒரு எண் கிடைக்கிறது. ஆனால் குலத்தில் அதுவே ஒரு குலமாகக் (ஈவுக் குலம்) கிடைக்கிறது. ஈவுக் குலம் *G*/*N* இல் குல அமைப்பைப் பயன்படுத்தி G இன் உறுப்புகள் மாறுபட்ட குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. அவை *G* இல் *N* இன் இணைக்கணங்களாக உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

ஒன்றின் பனிரெண்டாம் படிமூலங்கள் குலம் *G* இல் ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்களின் குலம் *N* இன் இணைக்கணங்கள்.
* முழு எண்களின் கூட்டல் குலம்: (**Z, +**); அதன் உட்குலம், இரட்டை முழு எண்களின் கூட்டல் குலம்: (**2Z, +)**.

**Z** ஏபெல் குலமாதலால் **2Z** ஒரு இயல்நிலை உட்குலம். **Z** இல் **2Z** இன் இணைக்கணங்கள் இரட்டை எண்களின் கணம், ஒற்றை முழு எண்களின் கணம் ஆகிய இரண்டு மட்டுமே. எனவே ஈவு குலம் **Z**/2**Z** இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலமாக ({ 0, 1 }, +2)  குலத்துடன் சம அமைவியமுடையதாக இருக்கும்.

இதனைப் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்:

முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் (**Z, +**) இன் உட்குலம் (**nZ, +)** (*n* ஒரு நேர் முழுஎண்) ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம். **Z** ஏபெல் குலமாதலால் **nZ** ஒரு இயல்நிலை உட்குலம்.

**Z** இல் **nZ** இன் இணைக்கணங்கள்: 

{*n***Z**, 1+*n***Z**, ... (*n*−2)+*n***Z**, (*n*−1)+*n***Z**}.
*n* ஐ ஏதேனுமொரு முழுஎண் *k* ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி *r* எனில், *k* இருக்கும் இணைக்கணம் *r*+*n***Z** .
ஈவு குலம் **Z**/*n***Z** கூட்டல் மாடுலோ *n* இன் மீதங்களின் குலமாகும். இது *n* கிரம சுழற் குலம்.

* ஒன்றின் பனிரெண்டாம் படிமூலங்கள், பெருக்கல் ஏபெல் குலம் (*G*). இம்மூலங்கள் அலகு வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகளாக இருக்கும். இவை படத்தில் அலகு வட்டத்தின் மீது மூன்று வண்ணப் புள்ளிகளால் அவற்றின் கோணவீச்சுகளுடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் -*N* (சிவப்புப் புள்ளிகள்), *G* இன் இயல்நிலை உட்குலமாகும்.

*N* இன் இணைக்கணங்கள் மூன்று. ஒவ்வொரு இணைக்கணமும் மூன்று சிவப்பு அல்லது மூன்று பச்சை அல்லது மூன்று ஊதா புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும். ஒவ்வொரு இணைக்கணமும் ஒரு பெருக்கல் குலமாகவும் இருப்பதைக் காணலாம் (ஒரு சிவப்பு மற்றும் ஊதா வண்ண உறுப்புகளின் பெருக்கல் ஒரு பச்சை வண்ண உறுப்பு; ஊதா வண்ண உறுப்பின் நேர்மாறு பச்சை,...). எனவே ஈவு குலம் *G*/*N* மூன்று உறுப்புகள் (*N* இன் மூன்று இணைக்கணங்கள்) கொண்ட சுழற் குலமாக இருக்கும்.

பண்புகள்
--------

* ஈவுக் குலம் *G* / *G* மிகஎளிய குலத்துடன் (trivial group) சம அமைவியமுடையது; *G* / {*e*} , *G* உடன் சம அமைவியமுடையது.
* ஈவுக் குலம் *G* / *N* இன் கிரமம் *G* இல் *N* இன் குறியெண்ணுக்குச் சமம்.

{\displaystyle O(G/N)=|G:N|}
*G* முடிவுறு குலமெனில், இக்குறியெண் *G* இன் கிரமத்தை *N* இன் கிரமத்தால் வகுக்கக் கிடைக்கும் எண்ணாக இருக்கும். *G* , *N* இரண்டும் முடிவுறா குலங்களாக இருப்பினும் *G* / *N* முடிவுறு குலமாக இருக்கலாம். (எ.கா **Z** / 2**Z**).

* {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow G/N,} என்பது *G* இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அவ்வுறுப்பைக் கொண்டுள்ள *N* இன் இணைக்கணத்துடன் இணைக்கும் முழுக்கோப்பான காப்பமைவியமாகும்.

{\displaystyle \pi (g)=gN}.
கோப்பு *π* , G / N *மீதான* G *இன்* நியமன வீழல் *எனப்படும்.*

* *N* ஐக் கொண்டுள்ள *G* இன் உட்குலங்களுக்கும் ஈவுக்குலம் *G* / *N* இன் உட்குலங்களுக்குமிடையே ஒரு இருவழி இணைப்பு உள்ளது.

*H* என்பது *N* ஐ உள்ளடக்கிய *G* இன் உட்குலமெனில், *G* / *N* இல் அதற்குரிய இணைப்பாக அமையும் உட்குலம் *π*(*H*) ஆகும்.

* *G* ஏபெல் குலம் எனில் *G* / *N* ம் ஏபெல் குலமாகும்.
* *G* சுழற் குலமாகவோ அல்லது பிறப்பிக்கப்பட்ட முடிவுறு குலமாகவோ இருந்தால் *G* / *N* ம் அவ்வாறே இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), *Abstract Algebra* (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
* Herstein, I.N. (1975), *Topics in Algebra* (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X