அடி *b* இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு *y* = *b**x* சார்பின் வரைபடம்:

|  |  |
| --- | --- |
|   | 10 அடிமானம், |

|  |  |
| --- | --- |
|   | *e* அடிமானம், |

|  |  |
| --- | --- |
|   | 2 அடிமானம், |

|  |  |
| --- | --- |
|   |  1/2 இன் அடிமானம். |

எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் (0, 1) என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் *x* = 1 எனும்போது *y* இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.
**அடுக்கேற்றம்** (*Exponentiation*) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை ***b**n*** என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், b என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், n ஐ *அடுக்கு* அல்லது *படி* எனவும் அழைப்பர். n நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், b ஐ n தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.

{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} \_{n},}
பொதுவாக *அடுக்கானது*, *அடிமான* எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். ***b**n*** என்னும் அடுக்கேற்றத்தை b இன் n ஆவது அடுக்கு என்றோ, b இன் n ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம். சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக *b* இன் அடுக்கு இரண்டு (*b*2) என்பது b இன் வர்க்கம் எனவும், *b* இன் அடுக்கு 3 (*b*3) என்பது b இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

* *b*1 = *b*
* m, n இரு நேர்ம எண்களெனில்,

*b**n* ⋅ *b**m* = *b**n*+*m*.
இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

*b**0* = 1
*b*−*n* = 1/*b**n* (n நேர்ம எண்; b பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,
*b*−1 = 1/*b* (b இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).
மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.

சொல்லியல்
---------

*b* அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு *b*2 ஆகும். எனவே *b*2 = *b* ⋅ *b* என்பது "*b* இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல *b* பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு *b*3 என்பதால் *b*3 = *b* ⋅ *b* ⋅ *b* ஆனது "*b* இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.
35 என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக *b**n* என்பதுதை "*b* இன் *n* ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகள்
-------------------

முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

### நேர்ம அடுக்குகள்

{\displaystyle b^{1}=b} மற்றும் {\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.} ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:
m, n இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,

{\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}.}
### பூச்சிய அடுக்கு

பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு 0 க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 ஆகிறது:

{\displaystyle b^{0}=1.}
### எதிர்ம அடுக்குகள்

b பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:

{\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}} (n ஒரு முழுவெண்).
பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் (∞) கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.

b பூச்சிய மதிப்பற்றது; n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:

{\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}
இதனை மாற்றியெழுத:

{\displaystyle b^{n}={\frac {b^{n+1}}{b}},\quad n\geq 1.}
எந்தவொரு பூச்சியமற்ற b மற்றும் முழுவெண் n இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:

{\displaystyle {\begin{aligned}b^{0}&={\frac {b^{1}}{b}}=1,\\[3pt]b^{-1}&={\frac {b^{0}}{b}}={\frac {1}{b}},\end{aligned}}}
{\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.}
### முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்

அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:

{\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}
* அடுக்கேற்றச் செயல் பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :23 = 8 ≠ 32 = 9.
* சேர்ப்புப் பண்பு கிடையாது. எடுத்துக்காட்டு:

(23)4 = 84 = 4096
2(34) = 281 = 2417851639229258349412352.
* அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( *வலது*- சேர்ப்பு) அமையும்.


அதாவது: 

{\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}
இது {\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.} இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.

குறிப்புகள்
-----------

1. 1 2 3 4 5  Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". .
2. ↑  "Compendium of Mathematical Symbols" (in en-US). 2020-03-01. .
3. ↑  Weisstein, Eric W.. "Power" (in en). .
4. ↑  Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). *Abstract Algebra: an inquiry based approach*. CRC Press. பக். 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4665-6706-1. .
5. ↑  Achatz, Thomas (2005). *Technical Shop Mathematics* (3rd ). Industrial Press. பக். 101. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8311-3086-2. .
6. ↑  "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers". *Proceedings of the American Mathematical Society* (University of California, Berkeley, California, USA) **9** (5): 673–681 [677]. October 1958. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7.. பார்த்த நாள்: 2020-06-28.
7. ↑  "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke". written at Leipzig, Germany (in de). *Taschenbuch der Mathematik*. **1**. Weiß, Jürgen (23 ). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). 1987. பக். 115–120, 802. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-87144-492-8. "Regel 7: Ist *F*(*A*) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und *F* eine Funktionenkonstante und *A* eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf *F A* dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung *F**n*(*A*) für (*F*(*A*))*n* üblich. Dabei kann *F* sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]"
8. ↑  Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F. ஏனையோர். தொகுப்பாசிரியர்கள் (2010). *NIST Handbook of Mathematical Functions*. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-19225-5.  பரணிடப்பட்டது 2013-07-03 at Archive.today
9. ↑  
de:Eberhard Zeidler, தொகுப்பாசிரியர் (2013) (in de). *Springer-Handbuch der Mathematik I*. **I** (1 ). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. பக். 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-658-00284-8.  (xii+635 pages)