எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலடங்கிய கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காசின் புத்தகம் (*Disquisitiones Arithmeticae* 1801). இப்புத்தகத்தில் இத் தேற்றமானது காஸால், ’இருபடித் தலைகீழித்தன்மையின் விதி’ (law of quadratic reciprocity) எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளாது.
**எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்** (*fundamental theorem of arithmetic*) 

தேற்றத்தின் கூற்று
1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பகாஎண்ணாகவோ அல்லது பகாஎண்களின் பெருக்கமாகவோ இருக்கும்.

இவ்வாறு ஒரு முழுஎண் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும்போது அவ்வமைப்பில் காணப்படும் பகாஎண்களில் ஒருபோதும் மாற்றம் இருக்காது. ஆனால் அவற்றின் இடவரிசை மாறலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

1200 = 24 × 31 × 52 = 3 × 2× 2× 2× 2 × 5 × 5 = 5 × 2× 3× 2× 5 × 2 × 2 = etc.

அதாவது இத் தேற்றத்தின்படி,

* 1200 ஆனது பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமைகிறது
* 1200ஐ எவ்விதமாக பாகாக்காரணியாக்கம் செய்து எழுதினாலும் அப்பெருக்கத்தில் கண்டிப்பாக நான்கு 2களும், ஒரு 3ம், இரண்டு 5களும் இருக்கும். இவற்றைத் தவிர வேறு பகாஎண் எதுவும் அக்காரணியாக்கத்தில் ஒருபோதும் இடம்பெறாது.

இத்தேற்றத்தின்படி முழுஎண்ணின் காரணிகள் பகாஎண்களாக இருக்கவேண்டியது அவசியம். ஏனென்றால் காரணிகள் பகுஎண்களாக அமையும்போது அம் முழுஎண்ணின் காரணிப்பெருக்க அமைப்பு தனித்த ஒன்றாக இராமல் பல்வேறு விதங்களில் அமைய வாய்ப்புள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, 12 = 2 × 6 = 3 × 4 என அமையலாம்.

இத்தேற்றம் **தனித்த காரணியாக்கத் தேற்றம்** (*unique factorization theorem*) அல்லது **தனித்த பகாக்காரணியாக்கத் தேற்றம்** (*unique-prime-factorization theorem*) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது

வரலாறு
------

யூக்ளிடின் படைப்பான ‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII இல் காணப்படும் கூற்றுகள் 30, 32 இரண்டும் எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் கூற்றாகவும் நிறுவலாகவும் அமைந்துள்ளன.

>  இரு எண்களைப் பெருக்குவதால் கிடைக்கும் எண்ணை அளவிடும் எந்தவொரு பகாஎண்ணும் இரு மூலஎண்களில் ஏதாவது ஒன்றையும் அளவிடும் (If two numbers by multiplying one another make some number,and any prime number measure the product, it will also measure one of the original numbers)
> 
> 
> 
>   
> 
> 
> 
>  – யூக்ளிட், *‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 30*
> 
> 

 கூற்று 30 ஆனது, யூக்ளிடின் முற்கோள் (Euclid's lemma) எனப்படும். இக் கூற்றே எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான முக்கியக் குறிப்பாக அமைகிறது.

>  எந்தவொரு பகுஎண்ணும் ஏதேனுமொரு பகாஎண்ணால் அளவிடப்படும். (Any composite number is measured by some prime number)
> 
> 
> 
>   
> 
> 
> 
>  – யூக்ளிட், *‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 31*
> 
> 

 31 ஆவது கூற்றானது கூற்று 30 இலிருந்து வருவிக்கப்படுகிறது.

>  எந்தவொரு எண்ணும் பகா எண்ணாகவோ அல்லது ஒரு பகாஎண்ணால் அளவிடபடுவதாகவோ அமையும். (Any number either is prime or is measured by some prime number)
> 
> 
> 
>   
> 
> 
> 
>  – யூக்ளிட், *‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 32*
> 
> 

32 ஆவது கூற்றானது கூற்று 31 இலிருந்து வருவிக்கப்படுகிறது.

கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காசின் புத்தகத்தில் பிரிவு 16 ஆனது (*Disquisitiones Arithmeticae*) எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நவீனக் கூற்று மற்றும் நிறுவலாக உள்ளது. இதில் சமானம், மாடுலோ n பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

பயன்பாடுகள்
-----------

### விதிமுறை வடிவம்

1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண்ணையும் ஓரேயொரு விதத்தில் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுதலாம்:

{\displaystyle n=p\_{1}^{\alpha \_{1}}p\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots p\_{k}^{\alpha \_{k}}=\prod \_{i=1}^{k}p\_{i}^{\alpha \_{i}}}
இங்கு 
*p*1 < *p*2 < ... < *p*k பகாஎண்கள்; α*i* நேர்முழுஎண்கள்.

இது *n* இன் *விதிமுறை வடிவம்* (canonical representation) அல்லது *நியம வடிவம்* (standard form) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

999 = 33×37
1000 = 23×53
1001 = 7×11×13
*n* இன் மதிப்பு மாறாமல், *p*0 = 1 போன்ற காரணிகளை இவ் வடிவினுள் நுழைக்கலாம்.

1000 = 23×30×53
இதனால் பூச்சிய அடுக்குகொண்ட எத்தனை பகாக்காரணிகளை சேர்ப்பதன் மூலம், ஒரு நேர் முழுஎண்ணைப் பகாஎண்களின் முடிவிலாப் பெருக்கமாக எழுத முடிகிறது:

{\displaystyle n=2^{n\_{2}}3^{n\_{3}}5^{n\_{5}}7^{n\_{7}}\cdots =\prod p\_{i}^{n\_{p\_{i}}}.}
இதில் *n**i* இன் முடிவுறு மதிப்புகள் நேர் முழுஎண்களாகவும் மற்றவை பூச்சியமாகவும் இருக்கும். எதிரடுக்கள், நேர் விகிதமுறு எண்களின் விதிமுறை வடிவினைத் தரும்.

### எண்கணிதச் செயல்கள்

எண்களை இவ்வாறு நியம வடிவில் எழுதுவதால், பெருக்கல், மீப்பெரு பொது வகுத்தி காணல், மீச்சிறு பொது மடங்கு காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களை எளிதாகச் செய்ய முடிகிறது:

{\displaystyle a\cdot b=2^{a\_{2}+b\_{2}}\,3^{a\_{3}+b\_{3}}\,5^{a\_{5}+b\_{5}}\,7^{a\_{7}+b\_{7}}\cdots =\prod p\_{i}^{a\_{p\_{i}}+b\_{p\_{i}}},}
{\displaystyle \gcd(a,b)=2^{\min(a\_{2},b\_{2})}\,3^{\min(a\_{3},b\_{3})}\,5^{\min(a\_{5},b\_{5})}\,7^{\min(a\_{7},b\_{7})}\cdots =\prod p\_{i}^{\min(a\_{p\_{i}},b\_{p\_{i}})},}
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=2^{\max(a\_{2},b\_{2})}\,3^{\max(a\_{3},b\_{3})}\,5^{\max(a\_{5},b\_{5})}\,7^{\max(a\_{7},b\_{7})}\cdots =\prod p\_{i}^{\max(a\_{p\_{i}},b\_{p\_{i}})}.}
### எண்கணிதச் சார்புகள்

நியம வடிவைப் பயன்படுத்தி பல எண்கணிதச் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, பகாஎண்களின் அடுக்குகளின் மீதான சார்பலன்களின் மதிப்புகளைக் கொண்டு கூட்டல் சார்பு மற்றும் பெருக்கல் சார்பு இரண்டும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

நிறுவல்
-------

இத் தேற்றம் யூக்ளிடின் முற்கோளைப் (*எலிமெண்ட்ஸ்* VII, 30) பயன்படுத்தி நிறுவப்படுகிறது (*a* , *b* என்ற இரு இயல் எண்களின் பெருக்கத்தைப் பகாஎண் *p* வகுக்குமானால், கண்டிப்பாக அது *a* அல்லது *b* அல்லது இரண்டையும் வகுக்கும்). )

தேற்றத்தின் கூற்று: *1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும்*

இந் நிறுவலில் தொகுத்தறிதல்முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நிறுவலின் படிநிலைகள்: 

* நிறுவலுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் முழுஎண் *n*.
* 1 க்கும், *n* க்கும் இடையிலான அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் இக்கூற்று உண்மையென அனுமானம் கொள்ள வேண்டும்.
* *n* பகாஎண் எனில், அது ஒரேயொரு பகாக்காரணி கொண்ட மிகஎளிய பெருக்கமாக (trivial product) உள்ளது. எனவே தேற்றத்தின் கூற்று உண்மை ஆகிறது.
* மாறாக *n* பகுஎண் எனில், *n* = *ab*

, 1 < *a* ≤ *b* < *n*. (*a*, *b* முழுஎண்கள்) என அமையும்.

* 1 க்கும், *n* க்கும் இடையிலான அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் தேற்றத்தின்கூற்று உண்மையென அனுமானம் செய்யப்பட்டுள்ளதால் *a*, *b* இரண்டும் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும்:

*a* = *p*1*p*2...*p**j*

*b* = *q*1*q*2...*q**k*

* இவை இரண்டையும் பெருக்க,

*n* = *ab* = *p*1*p*2...*p**j**q*1*q*2...*q**k*

அதாவது *n* ம் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமைகிறது. 

* எனவே தொகுத்தறிதல்முறையில் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

### தனித்தன்மை

* தனித்தன்மையை நிறுவுவதற்காக, *s* > 1 என்ற முழுஎண் இருவிதமாகப் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக உள்ளதென அனுமானித்துக் கொள்ளலாம்:

{\displaystyle {\begin{aligned}s&=p\_{1}p\_{2}\cdots p\_{m}\\&=q\_{1}q\_{2}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
* தேற்றத்தின் படி ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் ஒரேயொரு விதத்தில்தான் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும் என்பதை நிறுவ, *m* = *n* என்றும் *q**j* ஆனது *p**i* க்களின் மாற்றமைப்பு எனவும் காட்டவேண்டும்.

நிறுவற் படிநிலைகள்
* யூக்ளிடின் முற்கோளின்படி, *p*1 ஆனது *q**j* க்களில் ஏதாவது ஒன்றையாவது வகுக்கும்; அதனைக் *q*1 எனக் கொள்ளலாம். இப்போது *q*1 ஒரு பகாஎண்ணாகவும் உள்ளது, அதேசமயம் *p*1 இன் வகுஎண்ணாகவும் உள்ளது எனவே *p*1 = *q*1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும்.

*p*1 = *q*1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p\_{1}}}&=p\_{2}\cdots p\_{m}\\&=q\_{2}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
* இதேபோல் *p*2 ம் *q**j* க்களில் ஒன்றாக இருக்கும். *p*2 = *q*2 எனக் கொள்ள:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p\_{1}p\_{2}}}&=p\_{3}\cdots p\_{m}\\&=q\_{3}\cdots q\_{n}.\end{aligned}}}
* இதிலிருந்து, ஒவ்வொரு *p**i* ம் ஏதாவதொரு *q**j* க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் *m* ≤ *n* என்பதையும் அறியலாம்.
* இப்பொழுது {\displaystyle p} க்குப் பதில் {\displaystyle q}வையும் மற்றும் {\displaystyle q}க்குப் பதிலாக {\displaystyle p}வையும் மாற்றிக் கொண்டு இம் முயற்சியைத் தொடர, ஒவ்வொரு *q**i* ம் ஏதாவதொரு *p**j* க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் *n* ≤ *m* என்பதையும் அறியலாம்.
* எனவே, *m* = *n* மற்றும் அனைத்து *p**i* க்களும் *q**i* க்களும் சமகாரணிகள்.
* இதனால் ஒரு முழுஎண்ணை ஒரேயொரு விதத்தில் மட்டுமே பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுத முடியும் என்ற தனித்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.

குறிப்புகள்
-----------

1. 1 2  (Gauss & Clarke 1986, Art. 16)
2. ↑  (Gauss & Clarke 1986, Art. 131)
3. ↑  Using the empty product rule one need not exclude the number 1, and the theorem can be stated as: every positive integer has unique prime factorization.
4. ↑  (Long 1972, ப. 44)
5. ↑  (Pettofrezzo & Byrkit 1970, ப. 53)
6. ↑  (Hardy & Wright 2008, Thm 2)
7. ↑  (Long 1972, ப. 45)
8. ↑  (Pettofrezzo & Byrkit 1970, ப. 55)
9. ↑  (Hardy & Wright 2008, § 1.2)

மேற்கோள்கள்
-----------

The *Disquisitiones Arithmeticae* has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

* Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), *Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition)*, New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
* Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), *Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition)*, New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § *n*". Footnotes referencing the *Disquisitiones Arithmeticae* are of the form "Gauss, DA, Art. *n*".

* Gauss, Carl Friedrich (1828), *Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima*, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
* Gauss, Carl Friedrich (1832), *Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda*, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's *Werke*, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the *Disquisitiones*.

* Baker, Alan (1984), *A Concise Introduction to the Theory of Numbers*, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
* Euclid; Heath, Thomas L. (translator into English) (1956), *The thirteen books of the Elements*, 2 (Books III-IX) (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008), *An Introduction to the Theory of Numbers* (sixth ed.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5
* A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), "Fundamental theorem of arithmetic", *Formalized Mathematics*, **12** (2): 179–185
* Long, Calvin T. (1972), *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), *Elements of Number Theory*, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766.
* Riesel, Hans (1994), *Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition)*, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
* Weisstein, Eric W. "Abnormal number", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Arithmetic", *MathWorld*.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
* PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
* Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
* "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* Grime, James. "1 and Prime Numbers". *Numberphile*. Brady Haran.
[*தொடர்பிழந்த இணைப்பு*]