*P* \* (1,2,3,4)T = (4,1,3,2)T  
  
நான்கு உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம்: 1 நிலைத்த புள்ளி; 1 3-சுழல்
கணிதத்தில் **S** என்ற முடிவுறு கணத்தின் மீதான வரிசைமாற்றம் *π* எனில் அவ்வரிசைமாற்றத்தின் **சுழல்கள்** (*cycles*) என்பவை, *S* இன் மீது செயற்படும் வரிசைமாற்றம் *π* இன் செயற்பாட்டால் உருவாகும் உட்குலங்களின் சுற்றுப்பாதைகளுக்கு (orbit) இருவழியொத்தவையாக அமைவன ஆகும். இந்த சுற்றுப்பாதைகள் **S** இன் உட்கணங்களாக அமையும்.

{ *c*1, ... *c**l* } ஒரு சுற்றுப்பாதை எனில்:

*π*(*c**i*) = *c**i* + 1, *i* = 1, ... *l* − 1, மற்றும் *π*(*c**l*) = *c*1.
இந்த சுற்றுப்பாதைக்குரிய *π* இன் சுழல் ( *c*1 *c*2 ... *c**n* ) என எழுதப்படுகிறது. *c*1 ஆக சுற்றுப்பாதையின் எந்தவொரு உறுப்பும் எடுத்துக்கொள்ளப்படலாம் என்பதால், இம்முறையில் எழுதுவது தனித்தவொரு முறையாகா இருக்காது.

ஒரு சுற்றுப்பாதையின் அளவு *l* எனில் அதுவே, அச்சுற்றுப்பாதையின் சுழலின் நீளம் ஆகும். *l* = 1 எனில் சுற்றுப்பாதையில் ஒரேயொரு உறுப்பு மட்டுமேயிருக்கும்; அந்த உறுப்பு வரிசைமாற்றத்தின் நிலைத்த புள்ளி எனப்படும்.

ஏதாவது ஒரு வரிசைப்படி ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் சுழல்களை அடுத்தடுத்து எழுதுவதன் மூலம் அவ்வரிசைமாற்றம் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&6&7&2&5&4&8&3\\2&8&7&4&5&3&6&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&4&3&5&6&7&8\\2&4&3&1&5&8&7&6\end{pmatrix}}}
இதில் 1 ----> 2, 2---->4, 4---->3, 3---->1; 6 ----> 8, 5---->5, 7--->7. எனவே இவ்வரிசைமாற்றத்தைப் பின்வரும் விதங்களில் எழுதலாம்.

*π* = ( 1 2 4 3 ) ( 5 ) ( 6 8 ) (7) = (7) ( 1 2 4 3 ) ( 6 8 ) ( 5 ) = ( 4 3 1 2 ) ( 8 6 ) ( 5 ) (7) = ...
இதில் *π*(5)=5, *π*(7)=7 என்பதால் 5, 7 இரண்டும் *π* இன் நிலைத்த புள்ளிகள். ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் நிலைத்தபுள்ளிகளை அதாவது 1 நீளமுள்ள சுழலைக் குறிக்கவேண்டியது அவசியமில்லை என்பதால் வரிசைமாற்றத்தினை எழுதும் சரியானமுறை:

π = (1 2 4 3)(6 8)

விளக்கம்
--------

S = {a\_1, a\_2, ... a\_n} என்று கொள்வோம். இதனுடைய வரிசைமாற்றம் ஒவ்வொன்றும் {\displaystyle \sigma :S\mapsto S} என்ற இருவழிக்கோப்பு. இதை சுழல்முறையில் குறிகாட்ட, ஏதாவது ஒரு உறுப்பிலிருந்து தொடங்கலாம். a\_1 இலிருந்து தொடங்கினால் அது {\displaystyle \sigma (a\_{1})} க்குப்போகிறது. இது {\displaystyle \sigma (\sigma (a\_{1}))} = {\displaystyle \sigma ^{2}(a\_{1})} க்குப்போகிறது. ஆக,

{\displaystyle a\_{1}\rightarrow \sigma (a\_{1})\rightarrow \sigma ^{2}(a\_{1})\rightarrow ....\rightarrow \sigma ^{k\_{1}}(a\_{1})=a\_{1}}.
இங்கு இந்தச்சுழலின் நீளம் k\_1.

{\displaystyle \sigma (a\_{1}),\sigma ^{2}(a\_{1}),...\sigma ^{k\_{1}}(a\_{1})} இவைகள் *n* உறுப்புகளையும் கொண்டுவிட்டால், இத்திரிபில் மொத்தமே ஒரு சுழல்தான். இல்லாவிட்டால், இவைகளில் இல்லாத ஒரு உறுப்பிலிருந்து தொடங்கி மேற்படி செயல்பாட்டைத் திரும்பச்செய்ய வேண்டும். எல்லாஉறுப்புகளும் சுழல்களுக்குள் வரும் வரையில் இதையே தொடர்ந்து செய்தால், கடைசியில் கீழுள்ளபடி ஒரு சுழற்பிரிவு கிடைக்கும்:

நீளம் 1 உள்ள {\displaystyle j\_{1}} சுழல்கள்,
நீளம் 2 உள்ள {\displaystyle j\_{2}} சுழல்கள்,
... ...
நீளம் k உள்ள {\displaystyle j\_{k}} சுழல்கள்.
எனவே இந்த வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்புக் குறியீடு:

{\displaystyle \sigma } = {\displaystyle 1^{j\_{1}}2^{j\_{2}}...k^{j\_{k}}}
{\displaystyle 1j\_{1}+2j\_{2}+...+kj\_{k}=n.} ஆக இருக்கும்.
இந்த சுழலமைப்பிலுள்ள வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை (தேற்றத்தின்படி): 

{\displaystyle {\frac {n!}{1^{j\_{1}}2^{j\_{2}}...k^{j\_{k}}{j\_{1}}!{j\_{2}}!...{j\_{k}}!}}}
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\4&9&6&5&1&3&7&8&2\end{pmatrix}}}.
இதன் 

சுழல்முறைக்குறியீடு: (1 4 5)(2 9)(3 6)(7)(8) = (1 4 5)(2 9)(3 6)
சுழலமைப்பு: 32211 அல்லது {\displaystyle 32^{2}1^{2}}
இந்த சுழலமைப்பிலுள்ள எல்லா வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = {\displaystyle {\frac {9!}{1^{2}.2^{2}.3.1!.2!.2!}}} = 7,560.

சுழல்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக் காணல்
-------------------------------------------------------------------

சரியாக *j* சேரா சுழல்களைக்கொண்ட *k* உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் என்ணிக்கையை குறியிடப்படாத முதல்வகை ஸ்டெர்லிங் எண் *s*(*k*, *j*) தருகிறது.

* அனைத்து *k* > 0 மதிப்புகளுக்கும் *s*(*k*, *k*) = 1

*k* உறுப்புகளை, *k* சுழல்கள் கொண்டதாக வரிசைமாற்றும் வழி ஒன்றே ஒன்றுதான். இந்த வரிசைமாற்றத்தில் ஒவ்வொரு சுழலின் நீளமும் 1 ஆக இருக்க வேண்டும். அதாவது ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலைத்த புள்ளியாக இருக்கவேண்டும்.
* அனைத்து *k* > 0 மதிப்புகளுக்கும் *s*(*k*, 1) = (*k* − 1)!.

*k* உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தில் சுழல்களின் எண்ணிக்கை 1 எனில் அச்சுழல்களின் நீளம் *k* ஆக இருக்கும். அதாவது அச்சுழல்கள் ஒவ்வொன்றும் *k* உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 1 முதல் *k* வரையிலான உறுப்புகளை *k*! வழிகளில் வரிசைமாற்றலாம். அதேசமயம் *k* நீளமுள்ள ஒரு சுழலை வெவ்வேறுவிதமாக *k* வழிகளில் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 4 நீளமுள்ள சுழல் ( 1 2 4 3 ) = ( 2 4 3 1 ) = ( 4 3 1 2 ) = ( 3 1 2 4 ) என நான்கு விதங்களில் எழுதப்படுவதைக் காணலாம். எனவே
*s*(*k*, 1) = *k*!/*k* = (*k* − 1)!.
* அனைத்து *k* > *j* > 1 மதிப்புகளுக்கும், *s*(*k*, *j*) = *s*(*k* − 1,*j* − 1) + *s*(*k* − 1, *j*)·(*k* − 1)

*j* சுழல்கள் கொண்டதாக *k* உறுப்புகளை இருவேறு வழிகளில் வரிசைமாற்றலாம்:

உறுப்பு *k* ஐ ஒரு நிலைத்த புள்ளியாக எடுத்துக்கொண்டால் *j* − 1 சுழல்கள் கொண்ட *k* − 1 உறுப்புகளின் *s*(*k* − 1, *j* − 1) வரிசைமாற்றங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து *k* உறுப்பை 1 நீளமுடைய சுழலாக அதனுடன் சேர்த்துக்கொள்ளலாம். (*s*(*k* − 1,*j* − 1) )
உறுப்பு *k* ஐ ஒரு நிலைத்த புள்ளியாக எடுத்துக்கொள்ளாவிட்டால் *j* சுழல்கள் கொண்ட *k* − 1 உறுப்புகளின் *s*(*k* − 1, *j* ) வரிசைமாற்றங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து *k* உறுப்பை ஒவ்வொரு சுழலிலுமுள்ள *k* − 1 உறுப்புகளில் ஏதேனும் ஒன்றின்முன் சேர்த்துக்கொள்ளலாம் ( *s*(*k* − 1, *j*)·(*k* − 1).
எனவே,

*s*(*k*, *j*) = *s*(*k* − 1,*j* − 1) + *s*(*k* − 1, *j*)·(*k* − 1)
### சில மதிப்புகள்

|   k   | j |   |
| --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | sum |
| 1 | 1 |   | 1 |
| 2 | 1 | 1 |   | 2 |
| 3 | 2 | 3 | 1 |   | 6 |
| 4 | 6 | 11 | 6 | 1 |   | 24 |
| 5 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |   | 120 |
| 6 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |   | 720 |
| 7 | 720 | 1,764 | 1,624 | 735 | 175 | 21 | 1 |   | 5,040 |
| 8 | 5,040 | 13,068 | 13,132 | 6,769 | 1,960 | 322 | 28 | 1 |   | 40,320 |
| 9 | 40,320 | 109,584 | 118,124 | 67,284 | 22,449 | 4,536 | 546 | 36 | 1 | 362,880 |
|   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | sum |

நிலைத்தபுள்ளிகளின் எண்ணிக்கைகொண்டு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை காணல்
--------------------------------------------------------------------

*j* நிலைப்புள்ளிகள் கொண்ட *k* உறுப்புகளை வரிசைமாற்றும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை *f*(*k*, *j*) தருகிறது.

* ஒவ்வொரு *j* < 0 அல்லது *j* > *k* மதிப்புகளுக்கு:

*f*(*k*, *j*) = 0.
* *f*(0, 0) = 1.
* ஒவ்வொரு *k* > 1 ; *k* ≥ *j* ≥ 0 மதிப்புகளுக்கு:

*f*(*k*, *j*) = *f*(*k* − 1, *j* − 1) + *f*(*k* − 1, *j*)·(*k* − 1  − *j*) + *f*(*k* − 1, *j* + 1)·(*j* + 1)
### சில மதிப்புகள்

|   k   | j |   |
| --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | sum |
| 1 | 0 | 1 |   | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |   | 2 |
| 3 | 2 | 3 | 0 | 1 |   | 6 |
| 4 | 9 | 8 | 6 | 0 | 1 |   | 24 |
| 5 | 44 | 45 | 20 | 10 | 0 | 1 |   | 120 |
| 6 | 265 | 264 | 135 | 40 | 15 | 0 | 1 |   | 720 |
| 7 | 1,854 | 1,855 | 924 | 315 | 70 | 21 | 0 | 1 |   | 5,040 |
| 8 | 14,833 | 14,832 | 7,420 | 2,464 | 630 | 112 | 28 | 0 | 1 |   | 40,320 |
| 9 | 133,496 | 133,497 | 66,744 | 22,260 | 5,544 | 1,134 | 168 | 36 | 0 | 1 | 362,880 |
|   | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | sum |

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Gerstein 1987, p. 240
2. ↑  Cameron 1994, p. 80
3. ↑  Brualdi 2010, p. 290

மேற்கோள்கள்
-----------

* Brualdi, Richard A. (2010), *Introductory Combinatorics* (5th ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-602040-0
* Cameron, Peter J. (1994), *Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms*, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
* Gerstein, Larry J. (1987), *Discrete Mathematics and Algebraic Structures*, W.H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-1804-9