*x* = 2 + cos *z* வளைகோட்டின் ஒரு பகுதியை z-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பு.
யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது **சுழற்சி மேற்பரப்பு** (*surface of revolution*) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

* சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
* சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
* ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

பண்புகள்
--------

* ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் *நெடுவரை வெட்டுகள்* (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
* சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
* சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

பரப்பளவு வாய்பாடு
-----------------

சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின் 

1. துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: *x*(*t*), *y*(*t*), (t இன் மதிப்பு [*a*,*b*] இடைவெளியில் அமையும்);
2. சுழற்சி அச்சு: y-அச்சு
3. சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு (Ay) எனில்:

{\displaystyle A\_{y}=2\pi \int \_{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}
இவ்வாய்பாட்டில் a, b ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் *x*(*t*) ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி {\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}} ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் 2π*x*(*t*) ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு x-அச்சாக இருந்து *y*(*t*) ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:

{\displaystyle A\_{x}=2\pi \int \_{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}

  

வளைகோடானது *y* = *f*(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b* (*a* ≥ 0) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

* சுழற்சி அச்சாக x-அச்சு இருக்கும்போது:

{\displaystyle A\_{x}=2\pi \int \_{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int \_{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}
* சுழற்சி அச்சாக *y*-அச்சு இருக்கும்போது:

{\displaystyle A\_{y}=2\pi \int \_{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}
எடுத்துக்காட்டாக,

*y*(*t*) = sin(*t*), *x*(*t*) = cos(*t*), (t இன் மதிப்பு [0,π] இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:

{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int \_{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}
கோளத்தின் ஆரம் r, சமன்பாடு *y*(*x*) = √*r*2 − *x*2, சுழற்சி அச்சு x-அச்சு எனில் பரப்பளவு:

{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int \_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int \_{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int \_{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}

சுருள்வளையங்கள்
---------------

சதுரத்தின் சுழற்சியால் உருவான சுருள்வளையம்
ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 

* ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும்.
* சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Middlemiss; Marks; Smart. "15-4. Surfaces of Revolution". *Analytic Geometry* (3rd ). பக். 378.
2. ↑  Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), *Analytic Geometry* (Revised ed.), D.C. Heath and Co. p. 227
3. ↑  Thomas, George B.. "6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus". *Calculus* (3rd ). பக். 206–209, 217–219.
4. ↑  Singh, R.R. (1993). *Engineering Mathematics* (6 ). Tata McGraw-Hill. பக். 6.90. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-07-014615-2. .
5. ↑  Swokowski, Earl W. (1983), *Calculus with analytic geometry* (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
6. ↑  Weisstein, Eric W. "Toroid", *MathWorld*.