*f*(*x*) = sin(2*x*) -ன் வரைபடம் −*π*/4 லிருந்து 5*π*/4 வரை; *f″*(*x*) = –4sin(2*x*). தொடுகோடு(நீலம்). வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவாக உள்ள பகுதியில் தொடுகோட்டிற்கு(நீலம்) மேலும், கீழ்நோக்கி குழிவாக உள்ள பகுதியில் தொடுகோட்டிற்கு(பச்சை) கீழும் அமைகிறது. வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளில் தொடுகோடு(சிவப்பு) : 0, *π*/2 மற்றும் *π*
வகை நுண்கணிதத்தில் **வளைவுமாற்றுப் புள்ளி அல்லது திரும்பல் புள்ளி** (*point of inflection*) என்பது ஒரு வளைவரையின் வளைவுத்தன்மை மாறும் இடமாகும். வளைவரையின் மீது அமையும் இப்புள்ளியில், அவ்வளைவரையின் வளைவுத்தன்மை மேல்நோக்கி குழிவிலிருந்து கீழ்நோக்கி குழிவாகவோ அல்லது கீழ்நோக்கி குழிவிலிருந்து மேல்நோக்கி குழிவாகவோ மாறுகிறது. ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் வளவரையின் வளைவுத்தன்மையின் அளவின் குறி நேர்மத்திலிருந்து எதிர்மமாகவோ எதிர்மத்திலிருந்து நேர்மமாகவோ மாறும்.

சமான விளக்கங்கள்
----------------

வளைவுமாற்றுப் புள்ளியை பின்வரும் விதங்களிலும் தரலாம்:

* வளைவரையின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளியில் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி மாறினால் அப்புள்ளி ஒரு வளைவுமாற்றப் புள்ளியாகும். இது கிட்டத்தட்ட மேலே தரப்பட்ட வரையரையைப் போன்றதே. ஏனென்றால் வரைவரையின்மேல் எந்தவொரு புள்ளியிலும், வளைவுத்தன்மையின் குறியும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறியும் சமமாகவே அமையும்.(குறிகள் மட்டுமே சமம், அளவுகள் அல்ல).
* (*x*, *y*) என்ற புள்ளியில் f(*x*) -சார்பின் முதலாம் வகைக்கெழு *f′*(*x*), ஒரு முகட்டு மதிப்பு கொண்டிருந்தால்( அதாவது இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது சிறுமம்) அப்புள்ளி ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளி.
* வளைவரையின்மீது அமையும் ஒரு புள்ளியில் வளவரையின் தொடுகோடு வளவரையை வெட்டினால் அப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளி..

தேவையான ஆனால் போதுமானதற்ற கட்டுப்பாடு
-------------------------------------

*y* = *x*4 – *x* -ன் வரைபடம். (0,0) புள்ளியில் இரண்டாம் வகைக்கெழு 0. ஆனால் அது வளைவுமாற்றுப் புள்ளி அல்ல. ஏனென்றால் பூச்சியமல்லா முதல் உயர்வரிசை வகைக்கெழு, நான்காம் வகைக்கெழு ஆகும்.
சார்பு *f* -ன் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் அச்சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு *f″*(*x*) காண முடியுமானால் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாகும். ஆனால் இக்கட்டுப்பாடு, ஒரு புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக அமைவதற்குப் போதுமானது அல்ல. பூச்சியமல்லாத கீழ்வரிசை வகைக்கெழுக்களின் வரிசைகள் ஒற்றையெண் வரிசைகளாக (மூன்றாம், ஐந்தாம்,...) இருப்பதும் அவசியம். மாறாக பூச்சியமில்லாத கீழ்வரிசை வகைக்கெழுக்களின் வரிசைகள் இரட்டையெண்களாக இருந்தால் அப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக இருக்க முடியாது.(எடுத்துக்காட்டு: *y* = *x*4).

வளைவுமாற்றுப் புள்ளியின் வரையறையிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழு, *f′*(*x*) -ன் குறி ஒரேமாதிரியாக இருக்குமென அறியலாம். இக்குறி நேர்மமாக இருந்தால் இப்புள்ளி *உயரும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி* என்றும் எதிர்மமாக இருந்தால் *வீழும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி* என்றும் அழைக்கப்படும்.

வகைப்படுத்தல்
-------------

*y* = *x*³ -ன் வரைபடம். (0,0) வளைவுமாற்றுப் புள்ளி மற்றும் சேணப் புள்ளி.
சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாக அல்லது பூச்சியமற்றதாக அமைவதைப் பொறுத்து வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளை வகைப்படுத்தலாம்.

* *f′*(*x*) பூச்சியம் எனில் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி *நிலையான வளைவுமாற்றுப் புள்ளி* அல்லது *சேணப் புள்ளி* எனப்படும்.
* *f′*(*x*) பூச்சியம் இல்லையெனில், எனில் *நிலையிலா வளைவுமாற்றுப் புள்ளி* எனப்படும்.

*y* = *x*3 சார்பின் வளைவரை மீது புள்ளி (0,0) ஒரு சேணப் புள்ளி. இப்புள்ளியில் வரைவரைக்கு *x*- அச்சு தொடுகோடாகும். இத்தொடுகோடு வளைவரையை (0,0) புள்ளியில் வெட்டுகிறது.

இதே வளைவரையை ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்து சிறிதளவு சுழற்றுவதன் மூலம் நிலையிலா வளைவுமாற்றுப் புள்ளியைக் காணமுடியும். இதில் ஆதிப்புள்ளியில் அமையும் தொடுகோடு வளைவரையை இரண்டாக வெட்டினாலும் அதன் சாய்வு பூச்சியமாக இருக்காது.

ஈற்றணுகும் சார்புகள்
--------------------

சில சார்புகளுக்கு வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகள் இல்லாவிடினும் அவற்றின் வளைவுத்தன்மை மாறுகின்றன. அவை நிலைக்குத்தான ஈற்றணுகு கோடுகளைச் சுற்றி அல்லது தொடர்ச்சியின்மை இடங்களில் வளைவுத்தன்மையில் மாறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{2}-1}},\,} என்ற சார்பு:

|*x*| > 1 எனில் மேல்நோக்கி குழிவு.

|*x*| < 1 எனில் கீழ்நோக்கி குழிவு.

ஆனால் 1, -1 இரண்டும் சார்பின் ஆட்களத்தில் அமையாமையால் வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளாக இருக்கமுடியாது.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Weisstein, Eric W. "Inflection Point", *MathWorld*.
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Point of inflection", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Inflection Points of Fourth Degree Polynomials