**மீத்தொடர் பெருக்கம்** (*Superfactorial*) கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில், மிகை முழு எண்ணின் **மீத்தொடர் பெருக்கம்** {\displaystyle n} என்பது 1 முதல் 
{\displaystyle n}வரையிலான தொடர்பெருக்கங்கங்களின் பெருக்குத்தொகை ஆகும்.

இது ஒரு சிறப்பு வகை ஜோர்டான்-போல்யா எண்களின், பெருக்களின் விதிக்கட்டுப்பாடற்ற சேகரிப்புகளின் காரணிகளாகும்.

வரையரை
------

இங்கு {\displaystyle n} ஆவது மீத்திற காரணியாக்கல் என்பது {\displaystyle {\mathit {sf}}(n)} கீழ்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:




s
f

(
n
)

=
1
!
⋅
2
!
⋅
⋯
n
!
=

∏

i
=
1

n

i
!
=
n
!
⋅

s
f

(
n
−
1
)



=

1

n

⋅

2

n
−
1

⋅
⋯
n
=

∏

i
=
1

n

i

n
+
1
−
i

.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod \_{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod \_{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}}
வெற்று பெருக்கலின் வழக்கமான மரபைப் பின்பற்றி, 0 இன் மீத்திற காரணியாக்கம் 1 ஆகும். இங்கு மீத்திற காரணியாக்க வரிசை தொடங்குகிறது.{\displaystyle {\mathit {sf}}(0)=1} ஆகும்.
எ.கா 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, .....

பண்புகள்
--------

காமா சார்புகள் மூலம் காரணிகளை தொடர்ச்சியாக இடையீட்டுக்கணிப்பது போல, மீத்தொடர் பெருக்கத்தை பார்ன்ஸ் ஜி-சார்பின் மூலம் தொடர்ந்து இடையீட்டுக்கணிக்க முடியும்.

  

இங்கு வில்சனின் தேற்றத்தின் படி ஒப்பிடும் போது, எப்போதும் காரணிகளின் {\displaystyle p} மட்டு எப்போதும் ஒற்றை பகா எண்ணாகும் 


s
f

(
p
−
1
)
≡
(
p
−
1
)
!
!

(
mod

p
)

,

{\displaystyle {\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},}

{\displaystyle {\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},} இங்கு {\displaystyle !!} என்பது இரட்டை காரணிக்கான குறியீடாகும்.

  

ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் {\displaystyle k}, எண் {\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)/(2k)!} என்பது ஒரு வர்க்க எண் ஆகும்.

  

இது, சூத்திரத்தில் கூறுவது போல் வெளிப்படுத்தலாம் {\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)} ஒரு பெருக்களின் காரணிகளாக, காரணிகளில் ஒன்றைத் தவிர்த்து (நடுவான, {\displaystyle (2k)!}). முடிவாக சதுர பெருக்கம் கிடைக்கிறது. 

  

கூடுதலாக, {\displaystyle n+1} கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்கள் ஏதேனும் இருந்தால் , அவற்றின் ஜோடிவரிசை வேறுபாடுகளின் பெருக்கல் எப்போதும் பல மடங்கு {\displaystyle {\mathit {sf}}(n)} ஆகும். மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் போது மீத்தொடர் பெருக்கத்திற்க்கு சமமாகும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2 3  சுலோன், N. J. A. (ed.), "Sequence A000178 (Superfactorials: product of first n factorials)", *நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம்*, நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சிய அறக்கட்டளை
2. ↑  Barnes, E. W. (1900), "The theory of the G-function", *The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics*, **31**: 264–314, JFM 30.0389.02
3. ↑  Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizations of Wilson's theorem for double-, hyper-, sub- and superfactorials", *The American Mathematical Monthly*, **122** (5): 433–443, doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR 3352802, S2CID 207521192
4. ↑  White, D.; Anderson, M. (October 2020), "Using a superfactorial problem to provide extended problem-solving experiences", *PRIMUS*, **31** (10): 1038–1051, doi:10.1080/10511970.2020.1809039, S2CID 225372700

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Superfactorial", *MathWorld*.