கணிதத்தில் **பெருக்கல் வாய்பாடு**, (*multiplication table*) என்பது ஒரு இயற்கணித முறைமைக்காக பெருக்கல்) செயலியை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு கணித அட்டவணை ஆகும்.

அடிப்படை எண்கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பகுதியாகத் தசமப்பெருக்கல் வாய்பாடு பலகாலமாகக் கற்பிக்கப்பட்டு வருகிறது. பல கல்வியாளர்கள் 9 × 9 பெருக்கல் வாய்பாடு வரைக் கற்றல் போதுமானது எனக் கருதுகின்றனர். வேகமாக பெருக்கல் செய்யயும் திறன் கணக்குகளை கணிப்பதற்கு உதவும்.

| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 |
| 12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 |
| 13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 |
| 14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 |

வரலாறு
------

சீனாவின் போரிடும் நாடுகள் கால (கிமு 305) "டிசுங்குவா மூங்கில் பட்டை"களில் மிகப்பழமையான பத்தடிமான பெருக்கல் வாய்பாடு
4000 ஆண்டுகளுக்கு முன்னர் பாபிலோனியர்கள் பயன்படுத்திய பெருக்கல் வாய்பாடுகளே மிகவும் பழமையான பெருக்கல் வாய்பாடாகும். அவர்கள் அடிமானமாக 60 ஐப் பயன்படுத்தினர். சீன டிசுங்குவா மூங்கில் பட்டைகளே (Tsinghua Bamboo Slips), பத்தடிமான பெருக்கல் வாய்ப்பாடுகளில் மிகவும் பழமையானவையாகும்; இவை கிமு 305 களில் சீனாவின் போரிடும் நாடுகள் காலத்தவை.

"பித்தாகரசின் பெருக்கல் அட்டவணை"  
பெருக்கல் அட்டவணை சிலசமயங்களில் பண்டைய கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் பித்தாகரசுக்கு (570–495 BC) உரியதாகக் கருதப்படுகிறது. பெருக்கல் வாய்ப்பாடானது, பிரென்பல மொழிகளில் "பித்தாகரசின் அட்டவணை" என அழைக்கப்படுகிறது. கிரேக்க-ரோமானியக் கணிதவியலாளரான நிக்கோமாக்கசு, "எண்கணிதத்திற்கு ஒரு அறிமுகம்" (Introduction to Arithmetic) என்ற நூலில் பெருக்கல் வாய்பாட்டை சேர்த்திருந்தார். பிரித்தானிய அருங்காட்சியகத்தில் காட்சிப்படுத்தப்பட்டுள்ள கிரேக்க மெழுகுப் பலகை பெருக்கல் வாய்ப்பாடுதான் இன்றளவும் கிடைத்துள்ள பழைய பெருக்கல் வாய்பாடு ஆகும். இது கிபி 1 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது.

கிபி 493  இல் "விக்டோரியாவின் அக்விட்டைன்" என்ற கணிதவியலாளர் ரோம எண்ணுருக்கள் கொண்ட 98 நிரலுள்ள பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டை எழுதினார். அவ்வாய்பாடு 2 முதல் 50 வரையான எண்களால் ஒவ்வொரு எண்ணையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகையைக் கொண்டிருந்தது. அவ்வாய்பாட்டில் நிரைகள் ஒரு ஆயிரத்தில் துவங்கி, நூறுகளாகக் குறைந்து இறுதியில் ஒரு நூறு வரையும், பின்னர் பத்துக்களாகக் குறைந்து இறுதியில் ஒரு பத்து வரையும், அடுத்து ஒன்றுகளாகக் குறைந்து இறுதியில் ஒரு ஒன்று வரையும், பின்னர் 1/144 வரையான கீழிறங்கு பின்னங்களையும் கொண்டிருந்தது."

1820 இல் இயற்பியலாளர் ஜான் லெஸ்லி 99 × 99 வரையிலான பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டைத் தனது *எண்கணிதத்தின் தத்துவம் (The Philosophy of Arithmetic)* என்ற நூலில் வெளியிட்டார். இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் எண்களை ஒரே சமயத்தில் இரண்டு இலக்கங்கள் கொண்டு பெருக்குவது சாத்தியமானது.

வழக்கமாக பள்ளிகளில் கற்பிக்கப்படும் 12 × 12 பெருக்கல் அட்டவணை:

| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 |
| 12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 |

பாரம்பரியமாக மனனம் செய்யப்படும் பெருக்கல் அட்டவணையின் வடிவம்-பத்தாம் வாய்பாடு:

  1 × 10 = 10  

  2 × 10 = 20  

  3 × 10 = 30  

  4 × 10 = 40  

  5 × 10 = 50  

  6 × 10 = 60  

  7 × 10 = 70  

  8 × 10 = 80  

  9 × 10 = 90

நுண்புல இயற்கணிதத்தில்
----------------------

குலங்கள், களங்கள், வளையங்கள் மற்றும் வேறு இயற்கணித முறைமைகளில் ஈருறுப்புச் செயலிகளை வரையறுப்பதற்கு அட்டவணைகள் பயன்படுகின்றன. அத்தகைய அட்டவணைகள் கெய்லி குல அட்டவணைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

களம் **Z5** இன் மீதான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணைகள்:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |

 | 

| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

 |

சீனப் பெருக்கல் வாய்பாடு
------------------------

சீன பெருக்கல் வாய்பாடு எண்பத்தியொரு வாக்கியங்கள் கொண்டது; ஒவ்வொரு வாக்கியமும் நான்கு அல்லது ஐந்து சீன உருக்கள் (characters) கொண்டவையாய் மனப்பாடம் செய்ய எளியதாக உள்ளது. இவ்வாய்ப்பாட்டின் சுருங்கிய வடிவில் நாற்பத்தைந்து வாக்கியங்கள் மட்டுமே உள்ளன (8 x 9 =72; 9 x 8 = 72 இரண்டும் ஒத்தவை என்பதால் இருமுறை கற்க வேண்டிய அவசியமில்லை).

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Trivett, John (1980), "The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!", *For the Learning of Mathematics*, **1** (1): 21–25, JSTOR 40247697.
2. 1 2 3  Jane Qiu (January 7, 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". *Nature News*. doi:10.1038/nature.2014.14482. .
3. ↑  Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
4. ↑  for example in *An Elementary Treatise on Arithmetic* by John Farrar
5. ↑  David E. Smith (1958), *History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics*. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), ISBN 0-486-20429-4, pp. 58, 129.
6. ↑  David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". *Classical Philology*, 96/4 (October 2001), p. 383.
7. ↑  Leslie, John (1820). *The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand*. Edinburgh: Abernethy & Walker.