ஐந்தைந்து கொண்ட மூன்று கூறுகாளாக 17 பிரிக்கப்படும்போது இரண்டு மீதியாகிறது. இதில் வகுபடுஎண்: 17; வகுஎண் 5; ஈவு 3; மீதி 2.  
17 = 5 × 3 + 2
எண்கணிதத்தில் **யூக்ளிடிய வகுத்தல்** (*Euclidean division*) என்பது இரு முழு எண்களின் வகுத்தலைக் குறிக்கிறது. இரு முழுஎண்களின் வகுத்தலின் விளைவாக ஒரு ஈவும் மீதியும் கிடைக்கின்றன. இவ்வாறு பெறப்படும் ஈவும் மீதியும் தனித்தவை என்பதையும், அவற்றுக்கான சில பண்புகளையும் தருகின்ற தேற்றமொன்று உள்ளது. முழுஎண் வகுத்தலின் படிமுறைத் தீர்வுகள், இரு முழுஎண்களை வகுத்து ஈவையும் மீதியையும் கணக்கிட உதவுகின்றன. அவற்றுள் நெடுமுறை வகுத்தல் மிகவும் அறியப்பட்ட ஒன்றாகும். முழுஎண்கள் குறித்த பல கேள்விகளுக்கு, யூக்ளிடிய வகுத்தலும் அதைச் செய்வதற்கான படிமுறைத்தீர்வுகளும் அடிப்படையாக உள்ளன. இரு முழுஎண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி காண்பதற்குப் பயன்படும் யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வையும், மீதியை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளும் சமானம், மாடுலோ nஐயும் இதற்கு எடுத்துக்காட்டாகக் கூறலாம்.

உள்ளுணர்வுவழியான எடுத்துக்காட்டு
--------------------------------

படத்தில் காணும் உணவுப்பண்டம் 9 துண்டுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒருவருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் 4 பேருக்குத் தந்தபின் 1 மீதியாக உள்ளது.
9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குச் சமமாகப் பிரிக்கவேண்டுமெனில், யூக்ளிடிய வகுத்தலின் படி, 9 ஐ 4 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு = 2; மீதி = 1. எனவே ஒருத்தருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் நால்வருக்கும் பகிர்ந்தளித்த பின்னர் 1 துண்டு மீதியிருக்கும்.

வகுத்தலின் எதிர்மாறுச் செயலான பெருக்கலைக் கொண்டு இதைச் சரிபார்க்கலாம்:
ஒருவருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் 4 பேருக்குக் கொடுக்கப்பட்டது எனில், 4 × 2 = 8 துண்டுகள் அளிக்கப்பட்டு விட்டன; ஒன்று மீதமுள்ளது. எனவே மொத்தத் துண்டுகள் 4 × 2 = 8 + 1 = 9. அதாவது 9 = 4 × 2 + 1.

இதனைப் கீழுள்ளவாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்:

*a* எண்ணிகையிலான துண்டுகளை *b* நபர்களுக்குச் சமமாகப் பகிர்ந்தளிக்கும்போது ஒவ்வொருவருக்கும் *q* துண்டுகள் (ஈவு) கிடைத்தது போக *r* (< *b*) துண்டுகள் மீதமிருக்கும்.

*a* = *bq* + *r* .
9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குப் பதில் 3 பேருக்குச் சமமாகப் பிரித்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் 3 துண்டுகள் கிடைக்கும். மீதியிருக்காது. இங்கு மீதி = 0. இந்த வகுத்தலில் 3 ஆனது 9 ஐச் சரியாக வகுக்கிறது எனப்படும். மேலும், 3 ஆனது 9 இன் வகுஎண் எனப்படும்.

எதிர்ம முழுஎண்களுக்கும் யூக்ளிடிய வகுத்தலை நீட்டிக்கலாம்:

−9 = 4 × (−3) + 3. எனவே −9 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் ஈவு = ; மீதி = 3

தேற்றம்
-------

தரப்பட்ட இரு முழுஎண்கள் *a*, *b*, *b* ≠ 0 எனில்,

*a* = *bq* + *r*
என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும் இரு தனித்த இரு முழுஎண்கள் *q*, *r* இருக்கும். மேலும்,

0 ≤ *r* < |*b*|, |*b*| என்பது *b* இன் தனிமதிப்பைக் குறிக்கும்
இத்தேற்றத்திலுள்ள நான்கு முழுஎண்களில், *a* வகுபடுஎண்; *b* வகுஎண்; *q* ஈவு; *r* மீதி.

வகுபடுஎண், வகுஎண் கொண்டு ஈவையும் மீதியையும் கண்டுபிடிக்கும் செயலானது, வகுத்தல் அல்லது யூக்ளிடிய வகுத்தல். *b* = 0 எனில் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை (பூச்சியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படாத ஒன்று)

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* *a* = 7, *b* = 3, எனில், *q* = 2, *r* = 1, (7 = 3 × 2 + 1).
* *a* = 7, *b* = −3, எனில், *q* = −2, *r* = 1, (7 = −3 × (−2) + 1).
* *a* = −7, *b* = 3, எனில், *q* = −3, *r* = 2, (−7 = 3 × (−3) + 2).
* *a* = −7, *b* = −3, எனில், *q* = 3, *r* = 2, (−7 = −3 × 3 + 2).

நிறுவல்
-------

இத்தேற்றத்தின் நிறுவல் இரு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. *q* , *r* உள்ளமைக்கான நிறுவல்
2. *q* , *r* இன் தனித்தன்மையை நிறுவல்

### முதற்பகுதி

வகை 1
{\displaystyle a\geq 0,b>0}
{\displaystyle a=bq\_{1}+r\_{1}} என்பதை நிறைவு செய்யக்கூடிய இரு எதிர்மமில்லா எண்கள் {\displaystyle q\_{1},r\_{1}} என்க. (எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle q\_{1}=0,r\_{1}=a})
இதில் {\displaystyle r\_{1}<b} ஆக இருந்தால் தேற்ற முடிவு உண்மை.
மாறாக {\displaystyle r\_{1}>b} எனில்,
{\displaystyle a=bq\_{2}+r\_{2},0\leq r\_{2}<r\_{1}} நிறைவு செய்யும் வகையில் {\displaystyle q\_{2}=q\_{1}+1,r\_{2}=r\_{1}-b} ஐக் காணலாம்.
இதிலும் {\displaystyle r\_{2}>b} எனில்,
மேலுள்ள முறையில் தொடர்ந்தோமானால், ஒருநிலையில்
{\displaystyle a=bq+r,0\leq r<b} என்பதை நிறைவு செய்யக்கூடிய {\displaystyle q=q\_{k},r=r\_{k}} இரண்டையும் காண முடியும்.
எனவே தேற்றமானது {\displaystyle a\geq 0,b>0} எனில் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது. அத்துடன் ஈவு மற்றும் மீதியைக் கணிக்கடுவதற்கான ஒரு எளிய வகுத்தல் படிமுறைத் தீர்வும் கிடைக்கிறது. எனினும் இத்தீர்வுமுறைக்கு *q* படிகள் தேவைப்படும்.

வகை 2
{\displaystyle b<0}
{\displaystyle b'=-b,q'=-q} என எடுத்துக்கொண்டால்,
{\displaystyle a=bq+r} ஆனது {\displaystyle a=b'q'+r} எனவும், {\displaystyle 0\leq r<|b|} ஆனது {\displaystyle 0\leq r<|b'|} ஆகவும் மாறும். எனவே, *b* < 0 இன் வகை, ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட முதல் வகையாக மாறிவிடுகிறது.
வகை 3
{\displaystyle a<0,b>0},
{\displaystyle a'=-a,q'=-q-1,r'=b-r} என எடுத்துக்கொண்டால்,
{\displaystyle a=bq+r} ஆனது {\displaystyle a'=bq'+r'} எனவும், {\displaystyle 0\leq r<|b|} ஆனது {\displaystyle 0\leq r'<|b|} ஆகவும் மாறும். எனவே இந்த வகை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட முதல் வகையாகிவிடுகிறது.
### தனித்தன்மை

{\displaystyle a=bq+r,\quad 0\leq r<b} ஐ நிறைவு செய்யும் {\displaystyle q,r}
{\displaystyle a=bq'+r',\quad 0\leq r'<b} ஐ நிறைவு செய்யும் {\displaystyle q',r'} உள்ளன என்க.
{\displaystyle 0\leq r<|b|,} {\displaystyle -|b|<-r'\leq 0\quad } இரண்டையும் கூட்ட,
{\displaystyle -|b|<r-r'<|b|\quad } எனக் கிடைக்கிறது. அதாவது,
{\displaystyle |r-r'|<|b|}
{\displaystyle a=bq+r} , {\displaystyle a=bq'+r'} இரண்டையும் கழிக்க,
{\displaystyle b(q-q')=(r-r')} கிடைக்கிறது.
எனவே {\displaystyle |r-r'|} ஐ {\displaystyle |b|} வகுக்கும்.
{\displaystyle |r-r'|\not =0} எனில் {\displaystyle |b|\leq |r-r'|}ஆகும். இது முந்தைய சமனிலியோடு முரண்படுகிறது.
எனவே {\displaystyle r=r'} ; {\displaystyle b(q-q')=0}
{\displaystyle b\not =0} என்பதால், {\displaystyle q=q'}
எனவே *q*, *r* இன் தனித்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Burton, David M. (2010). *Elementary Number Theory*. McGraw-Hill. பக். 17–19. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-07-338314-9. .

மேற்கோள்கள்
-----------

* Fraleigh, John B. (1993), *A First Course in Abstract Algebra* (5th ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
* Rotman, Joseph J. (2006), *A First Course in Abstract Algebra with Applications* (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8