**குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்** (*direct product of groups*) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி. *G* , *H* எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக (*G* × *H*) இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.

ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் (*G* ⊕ *H*) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.

வரையறை
------

தரப்பட்ட இரு குலங்கள் *G*, *H* எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் *G* × *H* பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle G\times H=\{(g,h):g\in G,h\in H\}}
(*g*1, *h*1) · (*g*2, *h*2)  =  (*g*1·*g*2, *h*1·*h*2) என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து *G* × *H* இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:
சேர்ப்பு விதி
*G* × *H* இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது

முற்றொருமை உறுப்பு
இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு (1*G*, 1*H*). இதில் 1*G*, *G* இன் முற்றொருமை உறுப்பு; 1*H*,  *H* இன் முற்றொருமை உறுப்பு.

நேர்மாறு உறுப்புகள்
*G* × *H* இன் உறுப்பு (*g*, *h*) இன் நேர்மாறு உறுப்பு:

(*g*−1, *h*−1),

இங்கு *G* இல் *g* இன் நேர்மாறு உறுப்பு *g*−1; *H* இல் *h* இன் நேர்மாறு உறுப்பு *h*−1

{\displaystyle (g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் **(R,+)** எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:

{\displaystyle R\times R=\{(x,y):x,y\in R\}}
இதன் உறுப்புகள் (*x*, *y*) திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.

திசையன் கூட்டல்:

(*x*1, *y*1) + (*x*2, *y*2)  =  (*x*1+*x*2, *y*1+*y*2).
* *G*, *H* என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 

*G*| \* | 1 | *a* |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | *a* |
| *a* | *a* | 1 |

 |  | 

*H*| \* | 1 | *b* |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | *b* |
| *b* | *b* | 1 |

 |

இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் *G* × *H*, கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:

*G* × *H*| \* | (1, 1) | (*a*, 1) | (1, *b*) | (*a*, *b*) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| (1, 1) | (1, 1) | (*a*, 1) | (1, *b*) | (*a*, *b*) |
| (*a*, 1) | (*a*, 1) | (1, 1) | (*a*, *b*) | (1, *b*) |
| (1, *b*) | (1, *b*) | (*a*, *b*) | (1, 1) | (*a*, 1) |
| (*a*, *b*) | (*a*, *b*) | (1, *b*) | (*a*, 1) | (1, 1) |

அடிப்படைப் பண்புகள்
-------------------

* *G* × *H* குலத்தின் கிரமம் *G* மற்றும் *H* குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:

| *G* × *H* |  =  | *G* | | *H* |.
* *G* × *H* இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு (*g*, *h*) இன் கிரமம் *g*, *h* இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்காகும்:

| (*g*, *h*) |  =  lcm( | *g* |, | *h* | ).
குறிப்பாக | *g* |, | *h* | இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில்  (*g*, *h*)  இன் கிரமம்,  *g*  மற்றும்  *h*  இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.
* *G* , *H* இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் *G* × *H* ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.

*m* , *n* இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்

( **Z** / *m***Z** ) × ( **Z** / *n***Z** )  ≅  **Z** / *mn***Z**.

பொதுமைப்படுத்தல்
----------------

இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.

தரப்பட்ட குலங்கள் *G*1, ... *G**n* எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}G\_{i}\;=\;G\_{1}\times G\_{2}\times \cdots \times G\_{n}}
பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

* *G*1 × ··· × *G**n* உறுப்புகள் (*g*1, ... *g**n*), *gi* ∈ *Gi* (ஒவ்வொரு *i* க்கும்) வடிவில் அமையும்.
* *G*1 × ··· × *G**n* இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி: (*g*1, ... *gn*)(*g*1′, ... *gn*′)  =  (*g*1*g*1′, ... *gngn*′).

இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Artin, Michael (1991), *Algebra*, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
* Herstein, Israel Nathan (1996), *Abstract algebra* (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
* Herstein, Israel Nathan (1975), *Topics in algebra* (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
* Lang, Serge (2005), *Undergraduate Algebra* (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.
* Robinson, Derek John Scott (1996), *A course in the theory of groups*, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.