*y* = 1/*x* சார்பு. *x* வலப்புறமிருந்து 0 ஐ அணுகும்போது *y* இன் மதிப்பு முடிவிலியையும், *x* இடப்புறமிருந்து 0 ஐ அணுகும்போது *y* இன் மதிப்பு எதிர்ம முடிவிலியையும் அணுகுகிறது.
கணிதத்தில் **சுழியால் வகுத்தல்** அல்லது **பூச்சியத்தால் வகுத்தல்** (*division by zero*) என்பது 0 ஐ வகுஎண்ணாகக் கொண்ட வகுத்தல் ஆகும். பூச்சியத்தால் வகுத்தலை ***a*/0** (*a* வகுபடு எண்) என்ற கோவையாகக் குறிக்கலாம். 0 ஆல் பெருக்கப்படும்போது விடையாக *a* ( *a*≠0) கிடைக்கும்விதமான எண் எதுவும் கிடையாது என்பதால், சாதாரண எண்கணிதத்தில் இக்கோவைக்குப் பொருளில்லை. எனவே பூச்சியத்தால் வகுத்தல் என்பது வரையறுக்கப்படாதது. எந்த எண்ணையும் பூச்சியத்தால் பெருக்கக் கிடைப்பது பூச்சியம் என்பதால், 0/0 க்கு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு எதுவும் கிடையாது. மேலும் 0/0 இன் எல்லை மதிப்பு ஒரு தேரப்பெறா வடிவாக இருக்கும்.

*a*/0 க்கு மதிப்புக் காண்பது இயலாது என்ற கருத்தின் முதல் பதிவு கணிதவியலாளர் ஜியார்ஜ் பெர்க்லியின் *தி அனாலிஸ்ட்* நூலில் நுண்கணிதம் பற்றிய குறிப்புகளில் காணப்பட்டுள்ளது.

அடிப்படை எண்கணிதம்
------------------

அடிப்படை எண்கணிதத்தில் ஒரு கணத்திலுள்ள பொருட்களை சமபங்குகளாகப் பிரிக்கும் செயலாக வகுத்தல் விளக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 

10 பொருட்களை 5 நபர்களுக்கு சமமாகக் பங்கிட்டால் ஒவ்வொருவருக்கும் {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{5}}} = 2 பொருட்கள் கிடைக்கும்.
அதே சமயம் 10 பொருட்களை ஒரேயொரு நபருக்குக் கொடுத்தால் அவருக்கு ஒவ்வொருவருக்கும் {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{1}}} = 10 பொருட்கள் கிடைக்கும்.
10 பொருட்களை 0 நபர்களுக்கு சமமாகக் பங்கிட்டால் ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு கிடைக்கும் எனக் கணக்கிட்டால், அவ்வாறு பங்கிடவே முடியாது என்ற பதில்தான் கிடைக்கும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை 0 உட்கணங்களாகப் பிரிக்க முடியாது. எனவே அடிப்படை எண்கணிதத்தில் {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{0}}} என்பது பொருளில்லாததாக, வரையறுக்கப்படாததாக அமைகிறது
பூச்சியத்தால் வகுப்பதை பெருக்கல் மூலமாகவும் அணுகலாம்:

x = 10/0 எனில், 10 = *x* 0. இச்சமன்பாட்டிலிருந்து, எந்த எண்ணைப் பூச்சியத்தால் பெருக்கினால் 10 கிடைக்குமோ அந்த எண் *x* இன் மதிப்பாகும். ஆனால் பூச்சியத்தால் பெருக்கப்படும்போது 10 ஐத் தரும் எண் எதுவும் கிடையாது.
x=10/0 க்குப் பதில் x=0/0 என இருந்தால் 0 = *x* 0 , எந்த எண்ணைப் பூச்சியத்தால் பெருக்கும்போது பூச்சியம் கிடைக்கும் என்ற வினாவிற்கான விடையாக *x* இருக்கும். எனவே *x* இன் எல்லா மதிப்புகளும் 0/0 க்கு விடையாக அமையும்
### பண்டைக்காலக் குறிப்புகள்

பிரம்மகுப்தரின் (598–668) "பிரம்மசுபுடசித்தாந்தம்" என்ற நூல்தான் 0 என்ற எண்ணையும், அதனைக் கொண்டு செய்யக்கூடிய செயல்களையும் பற்றிய குறிப்புகளைக் கொண்ட காலத்தால் முந்தைய நூலாகும். எனினும் 0 ஆல் வகுத்தலை அவர் சரியாக வரையறுக்கவில்லை.

பிரம்மகுப்தரின் கூற்று:

> ஒரு நேர்ம அல்லது எதிர்ம எண்ணானது பூச்சியத்தால் வகுக்கக் கிடைப்பது பூச்சியத்தைப் பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு பின்னமாகும். பூச்சியத்தை ஒரு நேர்ம அல்லது எதிர்ம எண்ணால் வகுக்கக் கிடைப்பது பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தைத் தொகுதியாகவும் வகுஎண்ணைப் பகுதியாகவும் கொண்ட பின்னமாகவோ இருக்கும். பூச்சியத்தை பூச்சியத்தால் வகுக்கக் கிடைப்பது பூச்சியம் ஆகும்.
> 
> 

830 இல் மகாவீரர் "கணித சார சம்கிரகா" என்ற நூலில் குறிப்பிட்டுள்ள, பிரம்மகுப்தரின் கருத்துக்கான மாற்றுக் கருத்து: 

"பூச்சியத்தால் வகுபடும்போது ஒரு எண் மாறுவதில்லை."

இயற்கணிதம்
----------

முழு எண், விகிதமுறு எண், மெய்யெண், சிக்கலெண்களில், பூச்சியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை. பெருக்கலின் எதிர்ச்செயலாக வகுத்தல் வரையறுக்கப்படுவதால், களத்தின் அடிக்கோள்களை நிறைவுசெய்யும் எந்தவொரு கணிதத் தொகுதியிலும் பூச்சியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகவே அமையும்.

* *bx* = *a* என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு *x* = *a*/*b* .

இத்தீர்வின் மதிப்பு காணக்கூடியதாயின் தனித்ததாகவும், காணக்கூடியதல்ல எனில் வரையறுக்கப்படாததாகவும் இருக்கும்.

நிலை 1:
*b* = 0 எனில், *bx* = *a* சமன்பாடு 0*x* = *a* அல்லது 0 = *a* என்றாகிறது. இதில், 

* *a* ≠ 0 எனில் தீர்வு கிடையாது;
* *a* = 0 எனில் *x* இன் எந்த மதிப்பும் தீர்வாகும்.

இருவகையிலும் தனித்த தீர்வெதுவும் இல்லாததால் *b* = 0 எனும்போது {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} வரையறுக்கப்படவில்லை.

நிலை 2:

*b* ≠ 0 எனில், ஒரு களத்தில் எப்பொழுதுமே வரையறுக்கப்பட்டதாக {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} இருக்கும்.
### பெருக்கலின் நேர்மாறாக வகுத்தல்

இயற்கணிதத்தில் பெருக்கலின் நேர்மாறுச் செயலாக வகுத்தல் விளக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

* {\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}

{\displaystyle ?\times 3=6} என்பதன் விடை 2 என்பது உண்மையென்பதால் இந்த வகுத்தல் வரையறுக்கப்பட்டதாகும்.
* {\displaystyle {\frac {6}{0}}=\,x}

{\displaystyle x\times 0=6} என்பதை நிறைவு செய்யும் மதிப்பு காணப்பட வேண்டும். ஆனால் எந்தவொரு எண்ணையும் 0 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண் 0 தான் என்பதால் இதற்கான தீர்வு இல்லை.
* {\displaystyle {\frac {0}{0}}=\,x}

{\displaystyle x\times 0=0.} என்பதை நிறைவு செய்யும் மதிப்பு காணப்பட வேண்டும். ஆனால் எந்தவொரு எண்ணையும் 0 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண் 0 தான் என்பதால் எல்லா எண்களுமே தீர்வுகளாக அமையும். எனவே 0/0 க்கு தனியொரு தீர்வு இல்லை.
எனவே ஒரு பின்னத்தின் பகுதி 0 ஆக இருக்கும்போது அதன் மதிப்பு வரையறுக்கப்படாததாக உள்ளது. 0/0 தேரப்பெறாதது என அறியப்படுகிறது.

### போலிகள்

முதன்மைக் கட்டுரை: போலி (கணிதம்)
{\displaystyle 0\times 1=0}, {\displaystyle 0\times 2=0} என எடுத்துக்கொண்டால்:
{\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}
பூச்சியத்தால் வகுக்க:

{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.}
மேலும் சுருக்கக் கிடைப்பது:

{\displaystyle 1=2.\,}
பூச்சியத்தால் வகுப்பதை மற்ற எண்களால் வகுப்பதைப் போல சரியானதாகக் எடுத்துக் கொண்டதால் கிடைத்த கணிதப்போலி இதுவாகும்.

நுண்கணிதம்
----------

### நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோடு

இதனையும் பார்க்க: லாபிதாலின் விதி
மேற்பார்வைக்கு, *b* இன் மதிப்பு 0 ஐ அணுகும்போது *a*/*b* இன் எல்லையாக *a*/0 ஐ வரையறுக்க முடியுமெனத் தோன்றலாம். ஆனால் அது சரியல்ல என்பதைக் கீழுள்ள விளக்கங்களின் மூலம் காணலாம்.

* {\displaystyle \lim \_{b\to 0}{a \over b}}

*a* இன் மதிப்பு நேர்மம் எனில், 

வலப்புறமிருந்து எல்லை மதிப்பு:
{\displaystyle \lim \_{b\to 0^{+}}{a \over b}=+\infty }
இடப்புறமிருந்து எல்லை மதிப்பு
{\displaystyle \lim \_{b\to 0^{-}}{a \over b}=-\infty }
வலப்புறமிருந்து எல்லையும் இடப்புறமிருந்து எல்லையும் சமமாக இல்லாததால் {\displaystyle \lim \_{b\to 0}{a \over b}} வரையறுக்கப்படவில்லை. இதேபோல *a* இன் எதிர்ம மதிப்பிற்கும் இவ்வெல்லை வரையறுக்கப்படவில்லையென்பதும் தெளிவாகும்.

மேலும் 

* ஒரு விகிதத்தின் எல்லையாகக் கொண்டு பெறக்கூடிய எந்தவொரு வரையறையும் 0/0 க்கு இல்லை:

{\displaystyle \lim \_{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}} என்ற எல்லைக்கு மதிப்பு காணமுடியாது.
*x* இன் மதிப்பு 0 ஐ அணுகும்போது, *ƒ*(*x*) ,*g*(*x*) இரண்டும் பூச்சியத்தை அணுகுமானால் *ƒ* , *g* ஐப் பொறுத்து, {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{f(x) \over g(x)}} என்ற எல்லையின் மதிப்பு ஒரு மெய்மதிப்பாகவோ, முடிவிலியாகவோ அல்லது காண முடியாததாகவோ இருக்கும்.

எனவே 0/0 ஒரு எல்லையாக நன்கு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பது தெளிவு.

இக்காரணங்களால் *b* இன் மதிப்பு 0 ஐ அணுகும்போது *a*/*b* இன் எல்லையாக *a*/0 ஐ வரையறுக்க முடியாது என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.

#### முறைசார் செயல்கள்

கணக்கிடுதலின் முடிவு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதா இல்லையா என்பதைக் கருத்தில் கொள்ளாமல் எண்கணித விதிமுறைகளைக் கொண்டு செய்யப்படுவது முறைசார் கணக்கிடுதல் எனப்படும். எனவே *a*/0 ( *a* ≠ 0) இன் மதிப்பு {\displaystyle \infty } ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த முடிவிலியானது சந்தர்ப்பங்களைப் பொறுத்து நேர்மமாகவோ, எதிர்மமாகவோ அல்லது குறியற்றதாகவோ இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits \_{x\to 0}{1}}{\lim \limits \_{x\to 0}{x}}}}=\infty .}
முறைசார் கணக்கிடுதலில் செல்லுபடியாகாத விடை கிடைப்பது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவதால் இந்த எல்லையின் மதிப்பு {\displaystyle \infty .} ஆகும்.

முறைசார் கணக்கிடலுக்கு மாறான ஏரணமுறைக் கணக்கிடலில் கீழ்வரும் மதிப்புகளே கிடைக்கும்:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty {\text{ and }}\lim \limits \_{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}
இந்த ஒருபுற எல்லைகள் வெவ்வேறாக இருப்பதால் இருபுற எல்லை மதிப்பை மெய்யெண்களில் காண முடியாது. மேலும் நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டில் 1/0 ன் மதிப்பு வரையறுக்கப்படாததாக உள்ளது. எனவே, 
1/0, {\displaystyle {\frac {\lim \limits \_{x\to 0}1}{\lim \limits \_{x\to 0}x}}} இரண்டும் பொருளில்லாத கோவைகளாகும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

### ஆதாரங்கள்

1. ↑  Cajori, Florian, "Absurdities due to division by zero: An historical note", *The Mathematics Teacher*: 366–368, JSTOR 27951153.
2. 1 2  Kaplan, Robert (1999). *The Nothing That Is: A Natural History of Zero*. New York: Oxford University Press. பக். 68–75. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-19-514237-3.

### குறிப்புகள்

* Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), *Introduction to Logic*, Dover Publications, Inc. Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 *The Problem of Division by Zero* begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 **Five Approaches to Division by Zero** he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
* Charles Seife 2000, *Zero: The Biography of a Dangerous Idea*, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
* Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), *Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences*, Dover Publications, Inc. Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarski's §53 **Definitions whose definiendum contains the identity sign** discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.\*)" (p. 183). The \* points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: *There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y*"