சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் ஐந்தாம் படிமூலங்களின் வரைபடம்
ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது **ஒன்றின் படிமூலம்** (*root of unity*) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது **டி மாவரின் எண்** எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை
------

{\displaystyle z} ஒரு சிக்கலெண்; {\displaystyle n} ஒரு முழுஎண் என்க:
{\displaystyle z^{n}=1} என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் {\displaystyle z} ஆனது "ஒன்றின் nஆம் படிமூலம்" என வரையறுக்கப்படுகிறது.
### தொடக்கநிலை மூலம்

n ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் {\displaystyle z} இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், {\displaystyle z} ஆனது "ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது {\displaystyle z} ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனில்,

{\displaystyle z^{n}=1,}
{\displaystyle z^{k}\neq 1\qquad (k=1,2,3,\dots ,n-1),} ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle i^{8}=1} என்பது உண்மை; ஆனால்,
{\displaystyle i^{4}=1} என்பதும் உண்மை என்பதால் {\displaystyle i} ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.

சில அடிப்படை முடிவுகள்
----------------------

* ஒன்றின் ஒவ்வொரு *n* ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு *a* (1 ≤ *a* ≤ *n*)க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை *a*வதுபடி மூலமாக இருக்கும்.

* ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலம் *z*; *a* ≡ *b* (mod *n*) எனில் {\displaystyle z^{a}=z^{b}.}

விளக்கம்
சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி,
*a* ≡ *b* (mod *n*) என்பதால் *a* = *b* + *kn* (*k* ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:
{\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}
* ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n*ஆம் படிமூலம் *z* எனில்:

{\displaystyle z^{a}=z^{b}\iff a\equiv b{\pmod {n}}.}
*z* தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}\implies z^{a}=z^{b}.} என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.
* {\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}

* {\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.} (இணைச் சிக்கலெண்)

* *n*ஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான *n* தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் *z* எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள்,

*z* , *z*2, … , *z**n* − 1, *z**n* = *z*0 = 1 ஆகியவை ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.

ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு
---------------------------------------------

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில் *x* = 2π/*n* எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n* ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.} (*x* மெய்யெண், *n* முழுஎண்)
இதில் *x* = 2π/*n* எனப் பதிலிட,

{\displaystyle \left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,} எனக் கிடைக்கிறது.
எனவே {\displaystyle \left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)} ஆனது ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலம் ஆகும்.

மேலும் {\displaystyle 0<k<n.} எனும்போது,

{\displaystyle \left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{k}=\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}\neq 1} எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.
{\displaystyle \cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}},\quad (\*)}
இந்த வாய்ப்பாடு, *k* =0, 1, 2, ⋯ , *n* − 1 மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது. 

வாய்ப்பாட்டில் *k* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்: 

{\displaystyle 1,} {\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}},} {\displaystyle \cos {\tfrac {4\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {4\pi }{n}}}....{\displaystyle \cos {\tfrac {(n-1)2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {(n-1)2\pi }{n}}}
மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம். 

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} (*x* இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)
இதனை வாய்ப்பாடு {\displaystyle (\*)} இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}=e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\qquad 0\leq k<n.}
இவ் வாய்ப்பாட்டில் *k*/*n* சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது *k* , *n* இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:

{\displaystyle 1,} {\displaystyle e^{i{\frac {2\pi }{n}}},} {\displaystyle e^{i{\frac {4\pi }{n}}},} {\displaystyle e^{i{\frac {6\pi }{n}}}....} {\displaystyle e^{i{\frac {2(n-1)\pi }{n}}},}
### முடிவுகள்

{\displaystyle \omega =e^{i{\frac {2\pi }{n}}}=\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)} எனக் கொண்டால் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:

{\displaystyle 1,\omega ,{\omega }^{2},{\omega }^{3},{\omega }^{4},....{\omega }^{(n-1)}}
* {\displaystyle {\omega }^{n}=1}
* ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0

{\displaystyle 1+\omega +{\omega }^{2}+{\omega }^{3}+{\omega }^{4}+....{\omega }^{(n-1)}=0}
* {\displaystyle 1,\omega ,{\omega }^{2},{\omega }^{3},{\omega }^{4},....{\omega }^{(n-1)}} {\displaystyle \omega } ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் {\displaystyle \omega })
* சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட *n* பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்
-----------------------

முதலாம் படிமூலம்
*z*1 = 1 சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)
இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)
*z*2 = 1 சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம்.
±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.
முப்படி மூலங்கள்
ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள்
{\displaystyle z^{3}-1=0}
{\displaystyle (z-1)(z^{2}-z-1)=0}
இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:
{\displaystyle 1,\left\{e^{\frac {2\pi i}{3}},e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}\right\}=1,\left\{{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}
இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க).
நான்காம் படிமூலங்கள்
{\displaystyle z^{4}-1=0}
{\displaystyle (z^{2}-1)(z^{2}+1)=0}
{\displaystyle (z+1)(z-1)(z+i)(z-i)=0}
இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:
{\displaystyle 1,-1,\left\{e^{\frac {2\pi i}{4}},e^{-{\frac {2\pi i}{4}}}\right\}=1,-1,\left\{\pm {\sqrt {-1}}\right\}=1,-1,\left\{+i,-i\right\}.}
இவற்றில் {\displaystyle \left\{+i,-i\right\}} இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள்.
ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன.
தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்
{\displaystyle \left\{\left.e^{\frac {2\pi ik}{5}}\right|1\leq k\leq 4\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v\,i\,{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}\;\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.}
தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்
{\displaystyle \left\{e^{\frac {2\pi i}{6}},e^{-{\frac {2\pi i}{6}}}\right\}=\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}
இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.

இதேபோல *n* இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Hadlock, Charles R. (2000). *Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14*. Cambridge University Press. பக். 84–86. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-88385-032-9. .
2. ↑  Lang, Serge (2002). "Roots of unity". *Algebra*. Springer. பக். 276–277. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-95385-4. .

* வார்ப்புரு:Lang Algebra
* Milne, James S. (1998). "Algebraic Number Theory". *Course Notes*.
* Milne, James S. (1997). "Class Field Theory". *Course Notes*.
* வார்ப்புரு:Neukirch ANT
* Neukirch, Jürgen (1986). *Class Field Theory*. Berlin: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-540-15251-2.
* Washington, Lawrence C. (1997). *Cyclotomic fields* (2nd ). New York: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-94762-0.
* Derbyshire, John (2006). "Roots of Unity". *Unknown Quantity*. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-309-09657-X. .

வெளி இணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***ஒன்றின் மூலங்கள்***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன.