ஆய்லரின் தேற்றம்:  
{\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}
**வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்** (*Euler's theorem in geometry*), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது:

{\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}
(அல்லது)



1

R
−
d

+

1

R
+
d

=

1
r

,

{\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}

{\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}
இதில் *R* - சுற்றுவட்ட ஆரம், *r* - உள்வட்ட ஆரம்.

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை

{\displaystyle R\geq 2r} *ஆய்லரின் சமனின்மை* என அழைக்கப்படுகிறது.. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்
---------------------------------

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்:



R
r

≥

a
b
c
+

a

3

+

b

3

+

c

3

2
a
b
c

≥

a
b

+

b
c

+

c
a

−
1
≥

2
3

(

a
b

+

b
c

+

c
a

)

≥
2
,

{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}

{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}
{\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c} ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.

நிறுவல்
-------

இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).
* முக்கோணம் *ABC* -ன் சுற்றுவட்ட மையம் *O* , உள்வட்ட மையம் *I* என்க.
* கோட்டுத்துண்டு *AI* -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி *L* -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் *BC* -ன் நடுப்புள்ளியாக *L* இருக்கும்.
* கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி *M* என்க.
* *I* -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
* {\displaystyle ID=r\,}.

{\displaystyle \triangle ADI\sim \triangle MBL\,} (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)
{\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}
{\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}
{\displaystyle 2Rr=AI\times BL\,}----------------(1)
* {\displaystyle BI} வரைக.

{\displaystyle \triangle BIL} -ல்:
{\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}} --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)
{\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}
(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)
{\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}
எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

{\displaystyle BL=IL\,},
இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:
{\displaystyle 2Rr=AI\times IL}--------(2)
* {\displaystyle OI} -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் *P* , *Q* என்க.

{\displaystyle PI\times QI=AI\times IL} ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)
{\displaystyle PI\times QI=2Rr\,}-----( (1)-ன் படி)
{\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr\,} --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)
{\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Johnson, Roger A. (2007) [1929], *Advanced Euclidean Geometry*, Dover Publ. p. 186
2. ↑  Dunham, William (2007), *The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work*, Spectrum Series, **2**, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584
3. ↑  Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", *The Mathematical Gazette*, **91** (522): 436–452, JSTOR 40378417
4. ↑  Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", *Miscellanea Curiosa Mathematica*, **4**: 117–124. The formula for the distance is near the bottom of p.123.
5. ↑  Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*, Dolciani Mathematical Expositions, **36**, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429
6. ↑  Debnath, Lokenath (2010), *The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute*, World Scientific, p. 124, ISBN 9781848165250
7. 1 2  Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", *Forum Geometricorum*, **12**: 197–209; see p. 198

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Euler's theorem on MathWorld