*B* இன் தகு உட்கணம் *A*; மறுதலையாக *A* இன் தகு மேற்கணம் *B* என்பதை விளக்கும் ஆய்லர் படம்.
கணிதத்தில், குறிப்பாகக் கணக் கோட்பாட்டில், *A* என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் *B* என்னும் இன்னொரு கணத்தில் அமைந்திருந்தால், *A* கணமானது *B* இன்**உட்கணம்** (*Subset*) என்று வழங்கப்படும். சமானமாக, *B* கணமானது *A* கணத்தின் **மேற்கணம்** அல்லது **மிகை கணம்** (*superset*) எனப்படும். *A* , *B* ஆகிய இரு கணங்களும் ஒன்றிடனொன்று ஒன்றலாம்.

உட்கண உறவானது கணங்களின் மீது ஒரு பகுதி வரிசையை (partial order) வரையறுக்கும். உட்கணங்களின் இயற்கணிதமானது, உட்கண உறவை "உள்ளடக்கலாகக்" (inclusion) கருதும் பூலிய இயற்கணிதத்தை உருவாக்கும்.

வரையறை
------

பொதுவாகக் கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கும். உட்கணமும் ஒரு கணத்தையே குறிக்கும். *B* என்பது ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. அதில் *A* என்பது *B* யின் உட்கணம் எனில், *A* யில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் *B* யின் உறுப்பாகும். மாறாக, *B* ஆனது *A* யின் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் அழைக்கலாம்.

*A* இன் உறுப்பு ஒவ்வொன்றும் *B* இன் உறுப்பாகவும் இருந்தால், *A* என்பது *B* இன் உட்கணம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
இதன் குறியீடு:

{\displaystyle A\subseteq B},
இதற்குச் சமானமாகப் *B* என்பது *A*இன் மிகைக் கணம் அல்லது மேற்கணம் எனவும் வரையறுக்கப்படும்.
குறியீடு:

{\displaystyle B\supseteq A.}

பண்புகள்
--------

A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C
* ஒரு முடிவுறு கணம் *A* , மற்றுமொரு கணம் *B* இரண்டின் வெட்டு கணத்தின் எண்ணளவையும், *A* இன் எண்ணளவையும் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *A* ஆனது *B* இன் உட்கணமாக இருக்கும். அதாவது,

{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow |A\cap B|=|A|} என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, {\displaystyle A\subseteq B} ஆகும்.
* A ⊆ B ; B ⊆ C எனில் A ⊆ C ஆக இருக்கும்.

⊂ , ⊃ குறியீடுகள்
-----------------

உட்கணம் மற்றும் மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்குச் சில நூலாசிரியர்கள் ⊊ and ⊋ என்பவற்றுக்குப் பதில் ⊂ , ⊃ என்ற குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். எடுத்துக்காட்டாக, இவர்களைப் பொறுத்தவரை ஒவ்வொரு கணம் *A* க்கும், *A* ⊂ *A*.

வேறுசிலர் தகு உட்கணம், தகு மிகைக்கணம் இரண்டையும் குறிப்பதற்கு ⊊ , ⊋ குறிகளுக்குப் பதில் முறையே ⊂ , ⊃ இரண்டையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

ஒழுங்கு பல்கோணிகளின் கணமானது பல்கோணிகள் கணத்தின் உட்கணமாக அமையும்
* A = {1, 2} ஆனது B = {1, 2, 3} இன் தகு உட்கணமாகும். எனவே A ⊆ B , A ⊊ B என்ற இரு குறியீடுகளுமே உண்மையாகும்.
* D = {1, 2, 3} ஆனது E = {1, 2, 3} இன் உட்கணமாகும். எனவே D ⊆ E உண்மை; D ⊊ E உண்மையில்லை.
* எந்தவொரு கணமும் தனக்குத்தானே உட்கணமாக இருக்கும், ஆனால் தகு உட்கணமாக இருக்காது. (X ⊆ X என்பது உண்மை, ஆனால் X ⊊ X உண்மையில்லை.)
* எந்தவொரு கணத்துக்கும் வெற்றுக் கணம் (∅) ஒரு உட்கணமாக இருக்கும். வெற்றுக்கணமானது தன்னைத் தவிரப் பிற கணங்கள் அனைத்திற்கும் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.
* {*x*: *x* ஒரு பகா எண்; *x* > 10} என்பது {*x*: *x* ஒரு ஒற்றையெண்; *x* > 10} என்ற கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்.
* இயல் எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும்;கோட்டுத்துண்டிலுள்ள புள்ளிகளின் கணமானது ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த புள்ளிகளின் கணத்தின் தகு உட்கணமாகும். இவ்விரு எடுத்துக்காட்டுகளிலும் முழு கணங்களும் உட்கணங்களும் முடிவிலி கணங்களாகவும் சமமான எண்ணளவைகள் கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
* ஆய்லர் படத்தில் மற்றுமொரு எடுத்துக்காட்டு:

* A ஆனது B இன் தகு உட்கணம்A ஆனது B இன் தகு உட்கணம்
* C ஆனது B இன் உட்கணம், ஆனால் தகு உட்கணமல்ல.C ஆனது B இன் உட்கணம், ஆனால் தகு உட்கணமல்ல.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Rudin, Walter (1987), *Real and complex analysis* (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
2. ↑  *Subsets and Proper Subsets* (PDF), 2013-01-23 அன்று மூலம் (PDF) பரணிடப்பட்டது, 2012-09-07 அன்று பார்க்கப்பட்டது

* Thomas Jech (2002). *Set Theory*. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-540-44085-2.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Subset", *MathWorld*.