கணிதத்தில் **ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு** (*Euler's formula*), முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் மெய்ப்புனை (சிக்கலெண்) அடுக்குறிச் சார்புக்கும் இடையிலான தொடர்பைத் தருகிறது. கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் பெயரால் இவ்வாய்ப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
 *x* என்ற ஏதேனுமொரு மெய்யெண்ணுக்கு,

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }
இங்கு கணித மாறிலி *e* , இயல்மடக்கையின் அடிமானம்; *i* கற்பனை அலகு; cos மற்றும் sin இரண்டும், *x* (ரேடியன்களில்) கோணத்தின் முக்கோணவியல் சார்புகள்.

{\displaystyle \cos x+i\sin x\ } என்பதை {\displaystyle cisx\ } எனச் சுருக்கி,
{\displaystyle e^{ix}=cisx\ } எனவும் இவ் வாய்ப்பாடு எழுதப்படுகிறது
*x* ஒரு சிக்கலெண்ணாக இருந்தாலும் இவ்வாய்ப்பாடு பொருந்தும்.

இயற்பியலாளர் ரிச்சர்டு ஃபேய்ன்மேன் (Richard Feynman) இவ்வாய்ப்பாட்டை "கணிதத்தின் மிக முக்கியமான வாய்ப்பாடு" என அழைத்தார்.

சிக்கலெண் கோட்பாட்டில் பயன்பாடு
-------------------------------

ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின் முப்பரிமாணக் காட்சி
*x* இன் மெய்மதிப்புகளுக்குச் சார்பு *e**ix* சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டமாக அமைகிறது. *x* என்பது அலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியை ஆதியுடன் இணைக்கும் கோட்டிற்கும் மெய் அச்சின் நேர்ப் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட கோணம். இக் கோணம் எதிர்கடிகாரதிசையில், ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்படுகிறது.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் நிறுவல் (கீழே தரப்பட்டுள்ளது) அடுக்குறிச் சார்பு *e**z* (*z* ஒரு சிக்கலெண்) மற்றும் sin *x*, cos *x* (*x* ஒரு மெய்யெண்) ஆகியவற்றைச் சார்ந்துள்ளது.

சிக்கலெண் தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியைக் கார்ட்டீசியன் ஆயகூறுகள் மூலம் குறிக்கலாம். ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு கார்ட்டீசியன் ஆயகூறுகளுக்கும் போலார் ஆயதொலைவுகளுக்கும் இடைப்பட்ட தொடர்பாக அமைகிறது. சிக்கலெண்களை போலார் ஆயதொலைவுகளைக் கொண்டு எழுதுவது, சிக்கலெண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கலை எளிதாக்குகிறது.

*z* ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

{\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }\ }
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=re^{-i\phi }\ }
இதில்:

{\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,} மெய்ப் பகுதி
{\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,} கற்பனைப் பகுதி
{\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} *z* இன் மட்டு மதிப்பு அல்லது எண்ணளவை
{\displaystyle \phi =\arg z=\,} atan2(*y*, *x*) .
{\displaystyle \phi \,} *z*— இன் கோணவீச்சு (argument). அதாவது நேர் *x* -அச்சுக்கும் திசையன் *z* க்கும் இடைப்பட்ட எதிர்கடிகார திசையில் ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்பட்ட கோணம்.

இதன் வாயிலாகச் சிக்கலெண்ணின் மடக்கையை வரையறுக்க ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இதற்காக மடக்கைச் சார்பானது அடுக்குக்குறிச் சார்பின் நேர்மாறு என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.

{\displaystyle a=e^{\ln(a)}\ }
{\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}\ }
இதில் *a* , *b* இரண்டும் சிக்கலெண்கள்.

{\displaystyle z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\ } (*z* ≠ 0).
இருபுறமும் மடக்கை காண:

{\displaystyle \ln z=\ln |z|+i\phi \ .}
{\displaystyle \phi } ஒரு பன்மதிப்புடையது என்பதால் சிக்கலெண்ணின் மடக்கையும் பன்மதிப்புச் சார்பு ஆகும்.

முக்கோணவியலுடன் தொடர்பு
-----------------------

சைன், கொசைன் மற்றும் அடுக்குக்குறிச் சார்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு
ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:

* {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}
* {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}

இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால் கொசைன் மதிப்பும், கழித்தால் சைன் மதிப்பும் கீழுள்ளவாறு கிடைக்கிறது.

* {\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
* {\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}

இவற்றைப் பயன்படுத்தி மெய்ப்புனை கோணங்களுக்கு முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.

*y* = *ix* எனப் பதிலிடக் கிடைக்கும் வாய்ப்பாடுகள்:

* {\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)}
* {\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .}

முக்கோணவியல் சார்புகளைக் கொண்டு கணித அடிப்படைச் செயல்களைச் செய்யும்பொழுது அச்சார்புகளை அடுக்குக்குறிச் சார்புகள் வாயிலாக எடுத்துக் கொள்வது கணக்கிடுதலை எளிதாக்கும். எடுத்துக்காட்டாக:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} \_{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} \_{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} \_{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}}

நிறுவல்கள்
----------

### அடுக்குத் தொடர் வாயிலாக

டெய்லர் தொடரையும் கற்பனை அலகு *i* இன் அடுக்குகளின் பண்புகளைக் கொண்டு ஆய்லர் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது:

{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}}....
மேலும் *x* இன் மெய்மதிப்புகளுக்கு,

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}
கடைசிப்படியில் *cos(x)* மற்றும் *sin(x)* இன் மெக்லாரின் தொடர்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

### எல்லையின் வரையறை வாயிலாக

{\displaystyle e^{z}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}. இந்த அசைபடத்தில், *z*=*iπ*/3 மற்றும் *n* ஆனது 1 முதல் 100 வரையிலான கூடும் மதிப்புகளை எடுக்கிறது. *n* இன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக புள்ளிகள் சிக்கலெண் தளத்தின் அலகு வட்டத்தை அணுகுகின்றன.
{\displaystyle e^{z}} இன் எல்லை வரையறை மூலம் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு நிறுவப்படுகிறது:

{\displaystyle e^{z}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}.
{\displaystyle z=ix} எனப் பதிலிட்டு, *n* ஐ மிகப் பெரிய முழு எண்ணாகக் கொண்டால், 

{\displaystyle 1,\,\left(1+{\frac {ix}{1}}\right)^{1},\,\left(1+{\frac {ix}{2}}\right)^{2},\ldots ,\,\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}} -தொடர்முறையின் கடைசி உறுப்பு *e**ix* ஐ நெருங்குகிறது. இத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளைச் சிக்கலெண் தளத்தில் குறித்தால் அவை தோராயமாக அலகு வட்டமாக அமையும். ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதற்கு முந்தைய புள்ளியிலிருந்து எதிர்கடிகார திசையில் *x*/*n* ரேடியனில் அமையும். எனவே *n*→∞ எனும்போது, தொடர்முறையின் கடைசி உறுப்பான (1 + *ix*/*n*)*n* இன் புள்ளி அலகு வட்டத்தின் மீது +1 புள்ளியிலிருந்து எதிர்கடிகார திசையில் *x* ரேடியன் அளவில் அமையும். அதாவது அப்புள்ளி cos *x* + *i* sin *x* ஆக இருக்கும். எனவே *e**ix* = cos *x* + *i* sin *x*.
### நுண்கணிதம் வாயிலாக

நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம். இந் நிறுவலுக்கு ஒரு சிக்கலெண்ணின் போலார் ஆயதொலைவு வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

{\displaystyle e^{ix}=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))\,.}
இதனை இருபுறமும் வகையிட,

{\displaystyle ie^{ix}=(\cos(\theta )+i\sin(\theta )){\frac {dr}{dx}}+r(-\sin(\theta )+i\cos(\theta )){\frac {d\theta }{dx}}\,.}
இதில் {\displaystyle e^{ix}=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}எனப் பதிலிட்டு, இருபுறமுமுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தக் கிடைப்பது:

{\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dx}}=0}
{\displaystyle \textstyle {\frac {d\theta }{dx}}=1}.
{\displaystyle e^{i0}=1} என்பதால் {\displaystyle r(0)=1}மற்றும் {\displaystyle \theta (0)=0} ஆகும்.
எனவே {\displaystyle r=1} மற்றும் {\displaystyle \theta =x} எனக் காணலாம்.

ஃ {\displaystyle e^{ix}=1(\cos(x)+i\sin(x))} என நிறுவப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Moskowitz, Martin A. (2002). *A Course in Complex Analysis in One Variable*. World Scientific Publishing Co.. பக். 7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:981-02-4780-X.
2. ↑  Feynman, Richard P. (1977). *The Feynman Lectures on Physics, vol. I*. Addison-Wesley. பக். 22-10. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-201-02010-6.
3. ↑  A Modern Introduction to Differential Equations, by Henry J. Ricardo, p428
4. ↑  *Ordinary differential equations*, by Vladimir Igorevich Arnolʹd, p166
5. ↑  Strang, Gilbert (1991). *Calculus*. Wellesley-Cambridge. பக். 389. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-9614088-2-0. .  *(Second proof on page)*