An example of using Newton-Raphson method to solve the equation {\displaystyle f(x)=0} என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காணும் நியூட்டன்-ராப்சன் முறைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.
இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கப் பயன்படும் இருபடி வாய்ப்பாடு.
கணிதத்தில் **சமன்பாட்டின் தீர்வு காணல்** அல்லது **சமன்பாடு தீர்த்தல்** (*Equation solving*) என்பது அச்சமன்பாடு தரும் நிபந்தனையை நிறைவுசெய்யும் மதிப்புகளைக் காணும் செயலாகும். இந்த மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டின் "தீர்வுகள்" எனப்படும். ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் 
அச்சமன்பாட்டைப் பொறுத்து எண்கள், சார்புகள், கணங்கள் என அமையலாம். பொதுவாக ஒரு சமன்பாடு சமன் குறிக்கு இருபுறமும் அமையும் இரு கோவைகளைக் கொண்டதாயிருக்கும்.

தீர்வு காணும்போது ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கட்டற்ற மாறிகள் "அறியப்படாதவை"யாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. சமன்பாட்டிலுள்ள சமன்தன்மையை உண்மையாக்கும் மதிப்புகளை அறியப்படாத மாறிகளுக்கு கண்டுபிடிப்பதே அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதாகும். அதாவது சமன்பாட்டிலுள்ள அறியா மாறிகளுக்கு பதிலிடும்போது அச்சமன்பாட்டினை முற்றொருமை ஆக்கக்கூடிய கோவைகளே தீர்வுகளாகும்.

தீர்வுகாணும் முறைகள்
--------------------

சமன்பாடுகளின் தீர்வுகாணும் முறைகள் பொதுவாக சமன்பாடுகளின் வகையைப் பொறுத்தது. சமன்பாட்டில் உள்ள கோவைகள் மற்றும் அறியாமாறிகள் ஏற்கக்கூடிய மதிப்புகளின் வகைக்களைப் பொறுத்து அச்சமன்பாட்டின் தீர்வுமுறை அமையும். சமன்பாடுகள் வகைகள் மிகவும் அதிகம் என்பதால் தீர்வுகாணும் முறைகளும் ஏராளமாக உள்ளன. இக்கட்டுரையில் ஒருசில குறிப்பிட்ட முறைகளே தரப்பட்டுள்ளன.

சில வகையான சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகாணக்கூடிய படிமுறைகள் கண்டுபிடிக்க முடியாமலும் இருக்கலாம்; இதற்குப் போதுமான அளவு கணித அறிவு இல்லாதது காரணமாக இருக்கலாம். சில சமன்பாடுகள் பல நூற்றாண்டு காலம் பலரது கடின உழைப்பிற்குப்பின் தீர்வு காணப்பட்டுள்ளன. 1970 இல் "ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது கணக்கு" தீர்க்கவே முடியாத ஒன்றென 1970 இல் நிறுவப்பட்டுள்ளது. இதேபோல் படிமுறைத்தீர்வு முறையில் விடை காணமுடியாதவையும் உள்ளன1970.

சிலவகைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு, படிமுறைகள் கண்டறியப்பட்டாலும் அவை கணினி இயற்கணித முறைமைகளில் செயற்படுத்தப்படுகின்றன. சிலவகைகளுக்கு நாடியறியும் முறைகள் (heuristic method) கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும் அவை எல்லா சமயத்திலும் சரியான விடைகளைத் தருமென உறுதியில்லை.

முரட்டுவழித் தேடல், சோதித்துப் முயன்று தெரிதல், ஊகித்தல்
--------------------------------------------------------

ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்களின் கணம் முடிவுறு கணமாகக் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், தீர்வுகளை முரட்டுவழிமுறையில் ([Brute-force search) காணலாம். அதாவது தீர்வுகளாக இருக்கக்கூடும் என்ற மதிப்புகளை ஒவ்வொன்றாகச் சமன்பாட்டில் பதிலிட்டு சமன்பாடு நிறைவுபெறுகிறாதா இல்லையா எனக் காணலாம். பதிலிட வேண்டிய மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவுறு எண்ணாக இருப்பினும், மிகப்பெரிய எண்ணாக இருக்கும்பட்சத்தில் அவை அனைத்தையும் பிரதியிட்டு தீர்வா இல்லையா என்ற முடிவெடுப்பதற்கு அதிகக் காலவளவும் முயற்சியும் தேவைப்படும். எனவே இது நடைமுறையில் எளிதானதல்ல.

சிக்கல் தீர்வுகாணும் முறைகளில், சில நேரங்களில் முயன்று தெரிதல் முறை வெற்றியைத் தரலாம். ஒரு சமன்பாட்டின் வகையைக் கொண்டோ அல்லது அதே வகையிலான வேறொரு ஒத்த, ஏற்கனவே தீர்வறியப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வின் தன்மையைக் கொண்டோ அச்சமன்பாட்டின் தீர்வினை ஊகிக்கலாம். ஊகிக்கப்பட்டத் தீர்வு தவறாக இருந்தால், முதல்முறையின் ஊகத்தின் அனுபத்தினால் அடுத்தமுறை சரியான வழியில் ஊகிக்க இயலும்.

### அடிப்படை இயற்கணிதம்

ஒரு மெய்மாறியிலமைந்த நேரியல் மற்றும் எளிய விகதமுறு சார்புகளை அடிப்படை இயற்கணிதமுறையில் தீர்க்கலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 1:

{\displaystyle 8x+7=4x+35\,,}
{\displaystyle 8x+7=4x+35}
{\displaystyle 8x-7x=35-7}
{\displaystyle x=28}
எடுத்துக்காட்டு 2:

{\displaystyle {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,}
{\displaystyle 4x+9=2\times (3x+4)\,}
{\displaystyle 4x+9=6x+8\,}
{\displaystyle 4x-6x=8-9\,}
{\displaystyle -2x=-1\,}
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\,}
### நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகள்

சிறிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளை அடிப்படை இயற்கணித முறைகளில் தீர்க்கலாம். பெரிய தொகுப்புகள் நேரியல் இயற்கணித அடிப்படையிலமைந்த படிமுறைகளைக் கொண்டு தீர்க்கப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளில் எளியவை இரு மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு சமன்பாடுகள்: 

{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}}
இத்தொகுதியின் தீர்வைப் பிரதியிடல் மற்றும் நீக்கல் ஆகிய இருமுறைகளில் காணலாம்.

பிரதியிடல் முறை:

முதலில், மேலே உள்ள முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து {\displaystyle x} என்னும் மாறியை {\displaystyle y} மாறி மூலமாக மாற்றிக் கொள்ள:

{\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}
இப்பொழுது, *x* என்னும் மாறிக்கு மாற்றீடாக இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இதனை இடுக:

{\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}
இது இப்பொழுது {\displaystyle y} என்னும் ஒரேயொரு மாறியினால் ஆன ஒருபடியச் சமன்பாடு, ஆகவே எளிதாகத் தீர்வைக் காணலாம்: {\displaystyle y=1}.

இப்பொழுது {\displaystyle y} -யின் இம்மதிப்பை {\displaystyle x} ஐக் கணிக்கும் சமன்பாட்டில் இட்டால் {\displaystyle x=3/2} எனத் தீர்வு காணலாம். இதே முறையைப் பல மாறிகள் இருக்கும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தொகுதிக்கும் பயன்படுத்தலாம்.

### பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகள்

நான்கு படிகள் வரைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளை இயற்கணித முறைகளில் தீர்க்கமுடியும். இருபடி வாய்ப்பாடு இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாகுச் சார்பும். ஐந்து அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட படிகள் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பொதுவான எண்முறைகளில் அல்லது சிறப்புச் சார்புகள் கொண்டு தீர்க்கலாம்.

எனினும் அவற்றுள் சிலவற்றை இயற்கணித முறையிலும் தீர்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக,

* 4*x*5 − *x*3 − 3 = 0; இச்சமன்பாட்டை விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்.
* *x*6 − 5*x*3 + 6 = 0; இச்சமன்பாட்டில் *x* = *z*1/3 எனப் பதிலிட்டால் சமன்பாடு *z* மாறியிலமைந்த இருபடிச் சமன்பாடாகச் சுருங்கும். அதன் பின்னர் இருபடி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் தீர்வுகளைக் காணலாம்.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Quadratic equations", *MathWorld*.