அலகு அதிபரவளையம் {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} இன் மையத்தின் வழியே செல்லும் கதிர், அதிபரவளையத்தை சந்திக்கும் புள்ளி {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a).} இதில் {\displaystyle \scriptstyle a} இன் மதிப்பு கதிர், அதிபரவளையம், {\displaystyle \scriptstyle x}-அச்சு இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பின் இருமடங்கு ஆகும்.
கணிதத்தில் **அதிபரவளைவுச் சார்பு**கள் அல்லது **அதிபரவளையச் சார்பு**கள் (*hyperbolic functions*) என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் முக்கோணவியல் சார்புகளுடன் ஒத்த சார்புகள் ஆகும்.

அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்:

* அதிபரவளைவு சைன்: "sinh"
* அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh"
* அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: "tanh"
* அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: "csch" அல்லது "cosech"
* அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: "sech"
* அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: "coth"

ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினைக் குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு *area hyperbolic* (அ) "ar" (அ) "a" (அ) "arc" என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது. (cos *t*, sin *t*) என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh *t*, sinh *t*), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன.

அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது. ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு *Sc.* மற்றும் *Cc.* (*[co]sinus circulare*) குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு *Sh.* மற்றும் *Ch.* (*[co]sinus hyperbolico*) ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார். சுருக்கக் குறியீடுகள் *sh* , *ch* இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.

திட்ட இயற்கணித வடிவம்
---------------------

அதிபரவளையச் சார்பு:

* அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine):

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
* அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine):

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
* அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent):

{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}
* அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent):

{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}
* அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant):

{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}
* அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant):

{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}
கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்:

* அதிபரவளைய சைன்:

{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
* அதிபரவளைய கொசைன்:

{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
* அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்:

{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
* அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்:

{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
* அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்:

{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
* அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்:

{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
இங்கு *i* என்பது கற்பனை அலகு; *i*2 = −1.

பயனுள்ள தொடர்புகள்
------------------

* ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
எனவே:

{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
cosh *x* மற்றும் sech *x* இரண்டும் இரட்டைச் சார்புகளாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

* நேர்மாறுச் சார்புகள்

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
* அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:

{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
இம்முற்றொருமை பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை ஒத்துள்ளது.

மேலும் பிற சார்புகளுக்கு:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0} இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது.
* cosh (*x*) இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

{\displaystyle {\text{area}}=\int \_{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{வில்லின் நீளம்}}}
* கோணங்களின் கூட்டல்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}}
குறிப்பாக,

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}
* cosh மற்றும் sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}

மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள்
-------------------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}}

வகைக்கெழுக்கள்
--------------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} \,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} \,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

தொகையீடுகள்
-----------

அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் பார்க்கவும்.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}
இவற்றில் *C* -தொகையீட்டு மாறிலி.

டெய்லர் தொடர்கள்
----------------

அதிபரவளையச் சார்புகளை டெய்லர் தொடர்களாக எழுத முடியும்:

{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும்.

{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}
இங்கு,

{\displaystyle B\_{n},\,} *n* ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number)
{\displaystyle E\_{n},\,} *n* ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)

வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு
---------------------------

வட்டம்:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=2} வட்டமும் {\displaystyle xy=1} அதிபரவளையமும் (1,1) புள்ளியில் தொடுகின்றன.
வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய முக்கோணவியலின் நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, வட்டக் கோணம் மற்றும் அதிபரவளையக் கோணத்தைச் சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் *r* = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு {\displaystyle {\frac {r^{2}u}{2}}=u.}. இத்தகைய வட்டம் (*r* = √2) அதிபரவளையம் *x y* = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி அதிபரவளையப் பகுதியின் கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது.

*u* கோணத்தை வரையறுக்கும் கதிரை, செம்பக்கமாகக் கொண்ட இரு செங்கோண முக்கோணங்களின் தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள் மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)

முற்றொருமைகள்
-------------

முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன: 

* {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\end{aligned}}}

* {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh 2x&=2\sinh x\cosh x\\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\\\tanh 2x&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\end{aligned}}}

* அரைக்கோண முற்றொருமைகள்:

{\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x-1)}}\,} :{\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x+1)}}\,}
{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x.}

சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள்
--------------------------------------

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}
எனவே:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh ix&=i\tan x\\\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}
அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு {\displaystyle 2\pi i} ({\displaystyle \pi i} -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. .

சிக்கலெண் தளத்தில் அதிபரவளயச் சார்புகள்|  |  |  |  |  |  |
| {\displaystyle \operatorname {sinh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {cosh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {tanh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {coth} (z)} | {\displaystyle \operatorname {sech} (z)} | {\displaystyle \operatorname {csch} (z)} |

வரைபடங்கள்
----------

sinh, cosh, tanh
csch, sech, coth
 *ex* மற்றும் *e−x* இன் சராசரி cosh(*x*).
 *ex* மற்றும் *e−x* இரண்டின் வித்தியாசத்தில் பாதி sinh(*x*).

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  tanh
2. ↑  Some examples of using **arcsinh** found in Google Books.
3. ↑  Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. *Euler at 300: an appreciation.* Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
4. ↑  Georg F. Becker. *Hyperbolic functions.* Read Books, 1931. Page xlviii.
5. ↑  
Eric W. Weisstein. "Hyperbolic Tangent". MathWorld. 2008-10-20 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. ↑  
N.P. Bali (2005). *Golden Integral Calculus*. Firewall Media. பக். 472. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:81-7008-169-6. . , Extract of page 472
7. ↑  
Peterson, John Charles (2003). *Technical mathematics with calculus* (3rd ). Cengage Learning. பக். 1155. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-7668-6189-9. . , Chapter 26, page 1155