கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான நேரியல் இயற்கணிதத்தில் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன் கூடவே திசையன் **உள்வெளி** (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு.

வரையறை
------

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய *(திசையன்) உள்வெளி* எனப் பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் {\displaystyle V\_{2}} வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி.

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி {\displaystyle V\_{3}} இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும், எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே.

சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு {\displaystyle u\_{0}} இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும்.

வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி,

**V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்:**

**(உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், {\displaystyle u+v\in S};**

**(உ.வெ. 2) {\displaystyle \alpha } ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த u க்கும், {\displaystyle \alpha u\in S.}**

சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள்
-------------------------------

**குறிப்பு**: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும்.

கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே:

{\displaystyle {\mathcal {P}}\_{\mathbf {R} }[a,b]\subset {\mathcal {F}}\_{\mathbf {R} }[a,b]},

ஒவ்வொரு {\displaystyle 1\leq m\leq n} க்கும், {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{\mathbf {R} }^{\infty }[a,b]\subset {\mathcal {C}}\_{\mathbf {R} }^{(n)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}\_{\mathbf {R} }^{(m)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}\_{\mathbf {R} }^{(1)}[a,b]\subset {\mathcal {C}}\_{\mathbf {R} }[a,b]\subset {\mathcal {F}}\_{\mathbf {R} }[a,b]}.

உள்வெளிகளின் வெட்டு
-------------------

V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம்.

* {\displaystyle U} வும் {\displaystyle W} வும் இரண்டு உள்வெளிகளானால், {\displaystyle U\cap W} வும் ஒரு உள்வெளிதான்.

இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்:

{\displaystyle W=\{{\overline {x}}=(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})\in V\_{n}} : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது}
{\displaystyle \alpha \_{1}x\_{1}+\alpha \_{2}x\_{2}+...+\alpha \_{n}x\_{n}=0} ....... (1)
{\displaystyle \beta \_{1}x\_{1}+\beta \_{2}x\_{2}+...+\beta \_{n}x\_{n}=0} ....... (2)
{\displaystyle \gamma \_{1}x\_{1}+\gamma \_{2}x\_{2}+...+\gamma \_{n}x\_{n}=0} .......(3)
இதனால் {\displaystyle W=W\_{1}\cap W\_{2}\cap W\_{3}}; இங்கு {\displaystyle W\_{i}}, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.

உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு
----------------------

U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.

இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் {\displaystyle [U\cup W],} அதாவது, {\displaystyle U\cup W} இன் அளாவல் {\displaystyle U\cup W} ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும் {\displaystyle U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}} ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில்,

{\displaystyle U+W=[U\cup W]}
என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம்.

இதற்கு மேலும் {\displaystyle U\cap W=\{{\overline {0}}\}} ஆக இருக்குமானால், U + W ஐ ஒரு **நேரிடைக்கூட்டல்** (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து, {\displaystyle U\oplus W}.

முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியின் உள்வெளி
--------------------------------------------

V ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியென்று கொள்வோம்.

* V இன் ஒவ்வொரு உள்வெளி U க்கும்,

{\displaystyle dimU\leqslant dimV} .
U , V இரண்டும் ஒன்றாக ஆகும்போதுதான் பரிமாணங்களும் சமமாக இருக்கும்.
* U, W இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

{\displaystyle dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)}
* {\displaystyle U,W} இரண்டும் {\displaystyle U\cap W=\{{\overline {0}}\}} ஆக இருக்கும்படி இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

{\displaystyle dim(U\oplus W)=dimU+dimW}

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  The term *linear subspace* is sometimes used for referring to flats and affine subspaces. In the case of vector spaces over the reals, linear subspaces, flats, and affine subspaces are also called *linear manifolds* for emphasizing that there are also manifolds.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  (Halmos 1974) pp. 16-17, § 10
2. ↑  (Anton 2005, ப. 155)