கணிதத்தில் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும் **மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்** (*List of logarithmic identities*) இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.

எளிய முற்றொருமைகள்
------------------

* *b* ≠ 0 எனில், {\displaystyle b^{0}=1\Rightarrow } {\displaystyle \log \_{b}(1)=0}
* {\displaystyle b^{1}=b\Rightarrow } {\displaystyle \log \_{b}(b)=1}

அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல்
------------------------

கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.

{\displaystyle b^{\log \_{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}\_{b}(\log \_{b}(x))=x}
{\displaystyle \log \_{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log \_{b}({\mbox{antilog}}\_{b}(x))=x}
இவ்விரு முடிவுகளும் {\displaystyle b^{c}=x\iff \log \_{b}(x)=c} என்ற மடக்கை வரையறையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.

விளக்கம்:

* இடப்புறச் சமன்பாடான {\displaystyle b^{c}=x} இல் வலப்பக்க சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும் c இன் மதிப்பைப் பதிலிட

*b*log*b*(*x*) = *x*
* வலப்பக்கச் சமன்பாடான {\displaystyle \log \_{b}(x)=c} இல் இடப்புறச் சமன்பாடுதரும் x இன் மதிப்பைப் பதிலிட

log*b*(*b**c*) = *c*.
c க்குப் பதில் x ஐப் பதிலிட

log*b*(*b**x*) = *x*

எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள்
-------------------------------------------------

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

### பெருக்கல் முற்றொருமை

இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:

{\displaystyle \log \_{b}(xy)=\log \_{b}x+\log \_{b}y.\,}
### வகுத்தல் முற்றொருமை

இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:

{\displaystyle \log \_{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log \_{b}x-\log \_{b}y.\,}
### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை

ஒரு எண்ணின் *p* அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:

{\displaystyle \log \_{b}(x^{p})=p\log \_{b}x.\,}
### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை

ஒரு எண்ணின் *p* மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :

{\displaystyle \log \_{b}({\sqrt[{p}]{x}}\,)={\frac {\log \_{b}x}{p}}.\,}

அடிமானங்களை மாற்றுதல்
---------------------

log*b*(*x*) எனும் *x* , *b* உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான *k* க்கு மாற்றுவதாயின்:

{\displaystyle \log \_{b}{x}={\frac {\log \_{k}{x}}{\log \_{k}{b}}}.\,}
இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:

{\displaystyle \log \_{b}x={\frac {\log \_{10}x}{\log \_{10}b}}={\frac {\log \_{e}x}{\log \_{e}b}}.\,}
அதாவது தரப்பட்ட எண் *x* மற்றும் அதன் மடக்கை log*b*(*x*) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:

{\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log \_{b}(x)}}.}
### கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள்


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(a+c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)} | because | {\displaystyle \left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)} |
| {\displaystyle \log \_{b}(a-c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)} | because | {\displaystyle \left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)} |

பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால் {\displaystyle a=c} எனும்போது கழித்தல் முற்றொருமையை வரையறுக்க முடியாது.

பொதுவாக:

{\displaystyle \log \_{b}\sum \limits \_{i=0}^{N}a\_{i}=\log \_{b}a\_{0}+\log \_{b}\left(1+\sum \limits \_{i=1}^{N}{\frac {a\_{i}}{a\_{0}}}\right)=\log \_{b}a\_{0}+\log \_{b}\left(1+\sum \limits \_{i=1}^{N}b^{\left(\log \_{b}a\_{i}-\log \_{b}a\_{0}\right)}\right)}
### அடுக்குக்குறிகள்

{\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}
அல்லது பொதுவாக:

{\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}
### பிற முற்றொருமைகள்

{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log \_{x}(a)}}+{\frac {1}{\log \_{y}(a)}}}}=\log \_{xy}(a)}
{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log \_{x}(a)}}-{\frac {1}{\log \_{y}(a)}}}}=\log \_{\frac {x}{y}}(a)}

சமனின்மைகள்
-----------

மடக்கை சமனின்மைகள்

{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}-1<x}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\&{\mbox{ for }}0\leq x{\mbox{, reverse for }}-1<x\leq 0\end{aligned}}}
{\displaystyle x=0} மதிப்புக்கு அருகில் இச்சமனின்மைகள் துல்லியமானவையாக இருக்கும். பெரிய மதிப்புகளுக்குத் துல்லியமாக இருக்காது.

நுண்கணித முற்றொருமைகள்
----------------------

### சார்புகள்

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x^{b}\log \_{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\log \_{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}
### மடக்கை சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}
{\displaystyle {d \over dx}\log \_{b}x={1 \over x\ln b},}
இதில் {\displaystyle x>0}, {\displaystyle b>0}, {\displaystyle b\neq 1}.

### மடக்கையின் தொகையீடு

{\displaystyle \ln x=\int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}
### மடக்கை சார்புகளின் தொகையீடுகள்

{\displaystyle \int \log \_{a}x\,dx=x(\log \_{a}x-\log \_{a}e)+C}
{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H\_{n})}
இதில் {\displaystyle H\_{n}} என்பது *n*th இசை எண்:

{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}
{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}
எனில்:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}
{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2  "Logarithm: The Complete Guide (Theory & Applications)". *Math Vault* (ஆங்கிலம்). 2016-05-08. 2020-08-29 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Logarithm". *mathworld.wolfram.com* (ஆங்கிலம்). 2020-08-29 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
3. ↑  "4.3 - Properties of Logarithms". *people.richland.edu*. 2020-08-29 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
4. ↑  "காப்பகப்படுத்தப்பட்ட நகல்" (PDF). 2016-10-20 அன்று மூலம் (PDF) பரணிடப்பட்டது. 2021-04-26 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
5. ↑
6. ↑

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Logarithm in Mathwords