கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான **ஈருறுப்பு உறவு** (*binary relation*) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.

அதாவது *A* கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, *A* கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (*A*2 = *A* × *A*) உட்கணமாக இருக்கும்.
*A* , *B* எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு *A* × *B* இன் உட்கணம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்:

* முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு

*A* = {1, 2, 3, 4, 5}
இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் *விடப் பெரியது* என்ற ஈருறுப்பு உறவு:
{\displaystyle R=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}}
* முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு

பகா எண்களின் கணம் **P**, முழு எண்களின் கணம் **Z** இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் *p* ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. *p* இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் *p* தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது

கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது" போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை
------

(*X*, *Y*, *G*) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு *R* குறிக்கப்படுகிறது. இதில், *X* , *Y* எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் *X* × *Y* இன் உட்கணம் *G*. 
*X* , *Y* இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும், *G* - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

(*x*,*y*) ∈ *G* எனில் *x* , *R*-இன் கீழ் *y* உடன் உறவு கொண்டிருக்கும். 

இதன் குறியீடு:
*xRy* (அல்லது) *R*(*x*,*y*)
*R*(*x*,*y*) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, *X* × *Y* இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக *R* எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
*G* இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. *a* ≠ *b* எனில் *aRb* , *bRa* இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் *வகுஎண்* என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், *3R9* என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் *9R3* என்பது உண்மை இல்லை.

(*X*, *Y*, *G*) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் *தொடர்பு* எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை.
எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle G=\{(1,2),(1,3),(2,7)\}} எனில், 

{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ,G)},
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathbb {N} ,G)},
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,G)} மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் ({\displaystyle \mathbb {Z} } முழு எண்கள் கணம், {\displaystyle \mathbb {R} } மெய்யெண்கள் கணம், {\displaystyle \mathbb {N} } இயல் எண்கள் கணம்).
கணக் கோட்பாட்டில்
கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.
ஆட்களம்:

{\displaystyle X=\{x:\exists y:(x,y)\in R\}}
வீச்சு:

{\displaystyle Y=\{y:\exists x:(x,y)\in R\}}
ஈருறுப்பு உறவு: 

{\displaystyle R=(x,y)}

பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்
-------------------------

* வரிசை உறவுகள்
	+ விடப் பெரியது
	+ விடப் பெரியது அல்லது சமம்
	+ விடச் சிறியது
	+ விடச் சிறியது அல்லது சமம்
	+ வகுக்கும்
	+ உட்கணம்
* சமான உறவுகள்
	+ சமன்
	+ இணை
	+ இருவழிக்கோப்பு
	+ சமஅமைவியம்
* சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
* சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.

ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
-----------------------------

*n*-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2*n*2 (OEIS-இல் வரிசை A002416)
:

| பல்வேறு *n*-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை |
| --- |
| *n* | அனைத்தும் | கடப்பு | எதிர்வு | முன்வரிசை உறவு | பகுதி வரிசை உறவு | முழு முன்வரிசை உறவு | முழு வரிசை உறவு | சமான உறவு |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
| 4 | 65536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
| OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |

வகைகள்
------

*X* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு *R* இன் சில வகைகள்:

* **எதிர்வு**:

{\displaystyle \forall x\in X,\ xRx}
எடுத்துக்காட்டு:
∀ *x*, *x* ≥ *x* என்பது உண்மை என்பதால்
"விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு
* **எதிர்வற்றது**

{\displaystyle \forall x\in X,\lnot R(x,x).}
எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.
* **சமச்சீர்**

{\displaystyle \forall x,y\in X,\ xRy\Rightarrow \;yRx.}
* **எதிர்சமச்சீர்**

{\displaystyle \forall x,y\in X,\ R(x,y)\land R(y,x)\;\Rightarrow \;x=y}
*விடப்பெரியது அல்லது சமம்* ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.
* **சமச்சீரற்றது**

{\displaystyle \forall x,y\in X,\ xRy\;\Rightarrow \lnot (yRx)}
ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்.
* **கடப்பு**

{\displaystyle \forall x,y,z\in X:(xRy\wedge yRz)\Rightarrow xRz}
ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.
* **முழுமை**

{\displaystyle \forall x,y\in X,\ xRy\lor yRx.}
* **முப்பிரிவு**

{\displaystyle \forall x,y\in X,\ xRy\lor yRx\lor x=y}
அதாவது, *xRy*, *yRx* , *x* = *y* ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.

ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்
--------------------------------

*X* , *Y* கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் *R*, *S* எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் *X* , *Y* மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:

* **ஒன்றிப்பு**

*R* ∪ *S* = { (*x*, *y*) | (*x*, *y*) ∈ *R* அல்லது (*x*, *y*) ∈ *S* } எனில்:
*R* ∪ *S* ⊆ *X* × *Y*
எடுத்துக்காட்டு: > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு ≥ .
* **வெட்டு**

*R* ∩ *S* = { (*x*, *y*) | (*x*, *y*) ∈ *R* மற்றும் (*x*, *y*) ∈ *S* } எனில்:
*R* ∩ *S* ⊆ *X* × *Y*
* **தொகுப்பு**

*X* , *Y* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R*; *Y* , *Z* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *S* எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, *X* , *Z* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.
* **நேர்மாறு** அல்லது **மறுதலை**

*R* இன் நேர்மாறு:
*R* −1 = { (*y*, *x*) | (*x*, *y*) ∈ *R* }.
எடுத்துக்காட்டு:
"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).

*X* கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R* எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:

* **எதிர்வு அடைப்பு**  - *R* =

*R* = = { (*x*, *x*) | *x* ∈ *X* } ∪ *R*
இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.
* **எதிர்வு ஒடுக்கம்** - *R* ≠

*R* ≠ = *R* \ { (*x*, *x*) | *x* ∈ *X* }
இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.
* **கடப்பு அடைப்பு** - *R* +

கடப்பு அடைப்பு உறவானது, *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.
### நிரப்பி

*X* , *Y* மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R* எனில்:

* *R* இன் நிரப்பி உறவு *S* ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

*x* *S* *y* என்பது உண்மையானால் *x* *R* *y* உண்மையாக இருக்காது.
{\displaystyle \lnot (xRy)\;\Rightarrow \ xSy}
எடுத்துக்காட்டு:
மெய்யெண்களில், > இன் நிரப்பி ≤.
* ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.

*X* = *Y* எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

* சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
* எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.

நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
### ஒடுக்கம்

*X* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு *R* இன் ஒடுக்கம் என்பது *X* ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (*S*) ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு ***R* இன் ஒடுக்கம்** எனப்படுகிறது.

எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑   *Encyclopedic dictionary of Mathematics*. MIT. 2000. பக். 1330–1331. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-262-59020-4. .
2. ↑  
Patrick Suppes (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. *Axiomatic Set Theory*. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-61630-4.
3. ↑  
Raymond Smullyan; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. *Set Theory and the Continuum Problem*. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-486-47484-7. .
4. ↑  
Azriel Levy (2002) [republication of the work published by Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York in 1979]. *Basic Set Theory*. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-42079-5.
5. ↑  Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006), *A Transition to Advanced Mathematics* (6th ed.), Brooks/Cole, p. 160, ISBN 0-534-39900-2
6. ↑  Nievergelt, Yves (2002), *Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography*, Springer-Verlag, p. 158.
7. ↑  Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). *Transitive Closures of Binary Relations I*. Prague: School of Mathematics – Physics Charles University. பக். 1 இம் மூலத்தில் இருந்து 2013-11-02 அன்று. பரணிடப்பட்டது... பார்த்த நாள்: 2015-10-11.  Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".

மேற்சான்றுகள்
-------------

* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, *Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs*, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
* Gunther Schmidt, 2010. *Relational Mathematics*. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binary relation", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104