நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் வகுத்தல் விதி** அல்லது சுருக்கமாக **வகுத்தல் விதி** (*quotient rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.

இவ்விதியின் கூற்று:

* லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}};\qquad h(x)\not =0} எனில் அதன் வகைக்கெழு,
{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}
இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}};\qquad h(x)\not =0} என்பதை

{\displaystyle f(x)=g(x)(h(x))^{-1}}
என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:

{\displaystyle f''(x)={\frac {g''(x)[h(x)]^{2}-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^{2}-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^{3}}}.}
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle y={\frac {u}{v}}\,},
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{du}}}{v^{2}}}\,}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* {\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)} இன் வகைக்கெழு:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}
* {\displaystyle {\frac {sinx}{x^{2}}};x\not =0} இன் வகைக்கெழு:

{\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}
* {\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}} இன் வகைக்கெழு:

{\displaystyle g(x)=2x^{2};} {\displaystyle h(x)=x^{3}}
{\displaystyle g'(x)=4x;} {\displaystyle h'(x)=3x^{2}}.
வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle f'(x)={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}=-{\frac {2}{x^{2}}}}
இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:

{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}={\frac {2}{x}}=2x^{-1}}
{\displaystyle f'(x)=-2x^{-2}=-{\frac {2}{x^{2}}}}
### குறைபாடு

ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)={\frac {|x|+1}{|x|+1}},}

|*x*| என்பது *x* இன் தனிமதிப்பு.

இச்சார்பை {\displaystyle f(x)={\frac {|x|+1}{|x|+1}}=1} என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.

இதன் வகைக்கெழு,

{\displaystyle f'(x)=0}
ஆனால் இதே சார்பை, {\displaystyle x=0} இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |*x*| இன் மதிப்பு *x* = 0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.

நிறுவல்கள்
----------

### அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}};\qquad h(x)\neq 0}
{\displaystyle g,} {\displaystyle h} இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:
{\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}
தொகுதியில் {\displaystyle g(x)h(x)} ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,

{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}
{\displaystyle ={\frac {\lim \_{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim \_{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)\lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)}}}
வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,

{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
### சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

{\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}
இந்த முற்றொருமையை {\displaystyle x} ஐப் பொறுத்து வகையிட:

{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}
வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]}
வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:

{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]}
{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}
### பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

{\displaystyle y={\frac {u}{v}}} எனில்,
{\displaystyle y={\frac {u}{v}}=uv^{-1}.}

பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=u'v^{-1}-v^{-2}uv'={\frac {u'}{v}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}
தொகுதி, பகுதி இரண்டையும் {\displaystyle v} ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {vu'}{v^{2}}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  James Stewart (mathematician) (2008). *Calculus: Early Transcendentals* (6th ). Brooks/Cole. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-495-01166-5.
2. ↑  Ron Larson (mathematician); Edwards, Bruce H. (2009). *Calculus* (9th ). Brooks/Cole. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-547-16702-4.
3. ↑  George B. Thomas; Weir, Maurice D.; Joel Hass (2010). *Thomas' Calculus: Early Transcendentals* (12th ). Addison-Wesley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-321-58876-2. .

* கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 82.  பரணிடப்பட்டது 2012-11-20 at the வந்தவழி இயந்திரம்