Runge-Kutta முறைமைகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான முறைகள் ஆகும்

{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)\,}
இது வடிவம் எடுக்கிறது

{\displaystyle y\_{n+1}=y\_{n}+h\sum \_{i=1}^{s}b\_{i}k\_{i}\,}
{\displaystyle k\_{1}=f(t\_{n},y\_{n}),}
{\displaystyle k\_{2}=f(t\_{n}+c\_{2}h,y\_{n}+h(a\_{21}k\_{1})),}
{\displaystyle k\_{3}=f(t\_{n}+c\_{3}h,y\_{n}+h(a\_{31}k\_{1}+a\_{32}k\_{2})),}
{\displaystyle \vdots }
{\displaystyle k\_{i}=f\left(t\_{n}+c\_{i}h,y\_{n}+h\sum \_{j=1}^{i-1}a\_{ij}k\_{j}\right),}
இந்தப் பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்ட ஒவ்வொரு முறையும் அதன் புத்செர் tableau மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அட்டவணையில் உள்ள வழிமுறையின் குணகங்களை பின்வருமாறு வைக்கிறது:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c\_{1}&a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1s}\\c\_{2}&a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\_{s}&a\_{s1}&a\_{s2}&\dots &a\_{ss}\\\hline &b\_{1}&b\_{2}&\dots &b\_{s}\\\end{array}}}

வெளிப்படையான முறைகள்
--------------------

வெளிப்படையான முறைகள், [a\_ {ij}] குறைந்த முக்கோணமாகும்.

### முன்னோக்கு ஆய்லர்

யூலரின் முறை முதல் வரிசையாகும். உறுதியான தன்மை மற்றும் துல்லியம் ஆகியவற்றின் பற்றாக்குறை முக்கியமாக ஒரு எண் தீர்வு முறையின் ஒரு எளிய அறிமுகமான உதாரணமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது.

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}}
### வெளிப்படையான இடர்ப்பாட்டு முறை

(வெளிப்படையான) இடைநிலை முறை இரண்டு நிலைகளுடன் இரண்டாம் வரிசை முறையாகும் (கீழே உள்ள உள்ளீடான இடைப்பட்ட வழிமுறையும் பார்க்கவும்):

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}
### ஹியூன் முறை

ஹியூன் முறையானது இரண்டு கட்டங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை முறையாகும் (இது வெளிப்படையான பாரியளவிலான விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது):

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
### ரால்ஸ்டனின் முறை

ரால்ஸ்டனின் முறையானது இரண்டு கட்டங்களாக இரண்டாவது வரிசை முறையாகும், மேலும் குறைந்தபட்சமான உள்ளூர் பிழை உள்ளது:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
### பொதுவான இரண்டாவது வரிசை முறை

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}
### கூட்டாவின் மூன்றாவது ஆணை முறை

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
### கிளாசிக் நான்காண்டு முறை

"அசல்" ரன்டே-கூட்டா முறை.

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}
### 3/8-ஆவது நான்காம் வரிசை முறை

இந்த முறையானது "பாரம்பரிய" முறையாக மிகத் துல்லியமானதல்ல, ஆனால் அது அதே தாளில் (குட்டா, 1901) முன்மொழியப்பட்டது என்பதால் கிளாசிக்கல் போன்றது.

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}

உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள்
------------------------

உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ஒற்றை ரன்ஜ்-குட்டா படிப்படியின் உள்ளூர் துண்டான பிழை மதிப்பீடு செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, தடையை கட்டுப்பாட்டு வழிமுறைகளுடன் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இது tableau இல் இரண்டு முறைகள் கொண்டது, ஒழுங்கு p மற்றும் ஒன்று order-with-1 உடன்.

{\displaystyle y\_{n+1}^{\*}=y\_{n}+h\sum \_{i=1}^{s}b\_{i}^{\*}k\_{i},}
இங்கு k\_ {i} உயர் வரிசை முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். பின்னர் பிழை

{\displaystyle e\_{n+1}=y\_{n+1}-y\_{n+1}^{\*}=h\sum \_{i=1}^{s}(b\_{i}-b\_{i}^{\*})k\_{i},}
இது O (h ^ {p}) ஆகும். இந்த வகையான முறைக்கான புஷர் டேபிள்ஹவுல் b\_ {i} ^ {\*}

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c\_{1}&a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1s}\\c\_{2}&a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\_{s}&a\_{s1}&a\_{s2}&\dots &a\_{ss}\\\hline &b\_{1}&b\_{2}&\dots &b\_{s}\\&b\_{1}^{\*}&b\_{2}^{\*}&\dots &b\_{s}^{\*}\\\end{array}}}
### க்யூன்-ஆய்லர்

எளிமையான தகவல்தொடர்பு ரன்டே-குட்டா முறை ஹ்யூன் முறையை இணைப்பதுடன், ஒழுங்குமுறை 2, இது யூலர் முறையுடன், வரிசை 1 ஆகும். அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}
### ஃபெல்பெர்க்  RK1 (2)

அவர் ஃபெல்பெர்க் முறை 1 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகள் உள்ளன. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் Tableau உள்ளது:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 1 | 1/256 | 255/256 |
| 1/256 | 255/256 | 0 |
| 1/512 | 255/256 | 1/512 |

B கோணங்களின் முதல் வரிசை முதல் வரிசையில் துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.

### போகக்கி-ஷாம்பைன்

பொகாக்-ஷம்பம்பின் முறையானது 3 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 3/4 | 0 | 3/4 |
| 1 | 2/9 | 1/3 | 4/9 |
| 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |
| 7/24 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |

B கோணங்களின் முதல் வரிசை மூன்றாம் வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.

### ஃபெல்பெர்க்

Runge-Kutta-Fehlberg முறையானது 5 மற்றும் 4 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/4 | 1/4 |
| 3/8 | 3/32 | 9/32 |
| 12/13 | 1932/2197 | −7200/2197 | 7296/2197 |
| 1 | 439/216 | −8 | 3680/513 | −845/4104 |
| 1/2 | -8/27 | 2 | −3544/2565 | 1859/4104 | −11/40 |
| 16/135 | 0 | 6656/12825 | 28561/56430 | −9/50 | 2/55 |
| 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | −1/5 | 0 |

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.

### காச்-கார்ப்

பணமும் கார்ப் ஃபெல்ல்பெர்க்கின் அசல் யோசனையும் மாற்றியுள்ளது. பண-கார்ப் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |
| 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |
| 7/8 | 1631/55296 | 175/512 | 575/13824 | 44275/110592 | 253/4096 |
| 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |
| 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 |

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.

### டார்மன்ட்-ப்ரின்ச்

டோர்மாண்ட்-பிரின்ஸ் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை

|  |
| --- |
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |
| 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |
| 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |
| 1 | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 |
| 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |
| 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 |

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் நான்காவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது.

உள்ளார்ந்த முறைகள்
------------------

###  பின்னோக்கு யூலர்

பின்தங்கிய யூலர் முறை முதல் வரிசையாகும். நேரியல் பரவல் சிக்கல்களுக்கு நிபந்தனையற்ற வகையில் நிலையான மற்றும் அல்லாத அலைக்கற்ற.

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}
### உள்ளார்ந்த இடையில்

உள்ளார்ந்த இடையில் உள்ள முறை இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது. காஸ் முறைகள் என அழைக்கப்படும் collocation முறைகள் வகுப்பில் இது எளிய முறையாகும். இது ஒரு சிம்பிளான ஒருங்கிணைப்பாளியாகும்

{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}
### காஸ்-லெஜெண்டரே முறைகள்

இந்த முறைகள், காஸ்-லெஜெண்டேட் குவாட்ரெச்சின் புள்ளிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. கவுஸ்-லெஜெண்டேர் வரிசை வரிசையில் நான்கு நான்கு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}
கோஸ்-லெஜெண்ட்ரே முறை வரிசையில் ஆறு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}
### லோபாட்டோ முறைகள்

II, IIIB மற்றும் IIIC எனப்படும் லோபாட்டோ முறைகளில் மூன்று முக்கிய குடும்பங்கள் உள்ளன (வகுப்பு கணித இலக்கியத்தில், I மற்றும் II குறியீடுகள் இரண்டு வகைகள் Radau முறைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன). இவை ரெஹுவல் லோபாட்டோவின் பெயரிடப்பட்டது. அனைத்து மறைமுக முறைகள் உள்ளன, வரிசை 2 கள் - 2 மற்றும் அவை அனைத்தையும் c1 = 0 மற்றும் cs = 1. எந்த வெளிப்படையான முறையையும் போலல்லாமல், இந்த முறைகள் நிலைகளின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமான வரிசையில் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் நான்காம் வரிசை முறை ரன்ஜே மற்றும் குட்டா ஆகியவற்றால் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு லோபோத் வாழ்ந்தார்.

#### லோபாட்டோ IIIA முறைகள்

அவர் லோபாட்டோ IIIA முறைகள் கொலொகேசன்மு றைகள். இரண்டாம் ஒழுங்கு முறையானது பைரவர்ஜீயல் ஆட்சி என அழைக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
இந்த முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல

#### லோபாட்டோ IIIB முறைகள்

லோபாட்டோ IIIB முறைகள் collocation முறைகள் அல்ல, ஆனால் அவை இடைவிடாத தொகுதிகள் (ஹையர், லுபிஷ்& வன்னர் 2006, §II.1.4) என்று கருதப்படலாம். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
லோபாட்டோ IIIB முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல.

#### லோபாட்டோ IIIC முறைகள்

லோபாட்டோ IIIC முறைகள் இடைவிடாமல் இடமாற்ற முறைகள் ஆகும். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
அவர்கள் எல்-நிலையாக உள்ளனர். அவை இயல்பான நிலையாகவும், பி-நிலையாகவும் இருக்கின்றன, அவை கடினமான சிக்கல்களுக்கு பொருத்தமானவையாக இருக்கின்றன.

#### லோபாட்டோ IIIC\* முறைகள்

லோபாட்டோ IIIC \* முறைகள் லோபாட்டோ III முறைகள் (புஷ்சர், 2008), புஷ்சரின் லோபாட்டோ முறைகள் (ஹெயர் எட் அல், 1993), மற்றும் லோபாட்டோ IIIC முறைகள் (சன், 2000) இலக்கியத்தில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
இந்த முறைகள் A- நிலையான, B- நிலையான அல்லது L- நிலையானவை அல்ல. {\ Displaystyle s = 2} க்கான லோபாட்டோ IIIC \* முறையே சில நேரங்களில் வெளிப்படையான ட்ரேப்சாய்டல் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

#### பொதுவான லோபாட்டோ முறைகள்

வடிவத்தின் லோபாட்டோ குணகங்களைப் பரிசீலிப்பதன் மூலம் மூன்று உண்மையான அளவுருக்கள்

{\displaystyle a\_{i,j}(\alpha \_{A},\alpha \_{B},\alpha \_{C})=\alpha \_{A}a\_{i,j}^{A}+\alpha \_{B}a\_{i,j}^{B}+\alpha \_{C}a\_{i,j}^{C}+\alpha \_{C\*}a\_{i,j}^{C\*}},
எங்கே

{\displaystyle \alpha \_{C\*}=1-\alpha \_{A}-\alpha \_{B}-\alpha \_{C}}.
உதாரணமாக, லோபாட்டோ IIID குடும்பத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (னார்செட் வென்னெர் 1981), மேலும் லோபாட்டோ IIINW என்றும் அழைக்கப்படுகிறது,

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
மற்றும்

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
{\ Displaystyle \ alpha \_ {A} = 2}, {\ displaystyle \ alpha \_ {B} = 2}, {\ displaystyle \ alpha \_ {C} = - 1} மற்றும் {\ displaystyle \ alpha \_ {சி \*} = - 2}. வழிமுறைகள் L- நிலையானவை. அவை இயற்கணித நிலையாகவும் பி-நிலையாகவும் உள்ளன.

### ராடு முறைகள்

ராடு முறைகள் முழுமையாக உள்ளார்ந்த முறைகள் (அத்தகைய முறைகள் ஒரு அணி எந்த அமைப்பு இருக்க முடியும்). ராடுமுறைகள் வரிசை 2 கள் - 1 நிலைகளில் 1 அடைய. ராடு முறைகள் ஒரு நிலையான, ஆனால் செயல்படுத்த செலவு. மேலும் அவர்கள் வரிசையில் குறைக்கப்படலாம். முதல் வரிசையில் ராடு முறை பின்னோக்கி யூலர் முறையை ஒத்திருக்கிறது ..

#### ராடு IA முறைகள்

மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}
#### ராடு IIA முறைகள்

இந்த முறைகள் சிஐஎஸ் பூஜ்யங்களாக உள்ளன

{\displaystyle P\_{s}(2x-1)-P\_{s-1}(2x-1)=0,}
எங்கே P\_ {s} டிகிரிகளின் லெஜெண்ட்ரோ பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}
ஐந்தாவது ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), *Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems*, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 More than one of `|ISBN=` மற்றும் `|isbn=` specified (உதவி).
* Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), *Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems*, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 More than one of `|ISBN=` மற்றும் `|isbn=` specified (உதவி).
* Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), *Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations* (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4 More than one of `|ISBN=` மற்றும் `|isbn=` specified (உதவி).