வரிசைமாற்றங்கள் என்பது கணிதத்தில் மாத்திரமல்ல, பற்பல சூழ்நிலைகளிலும் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் நேரக்கூடிய ஒரு கணிதக் கருத்து. வரிசை மாற்றங்கள் அவைகளின் சேர்வு என்ற செயல்பாட்டினால் குலம் என்ற கணித அமைப்பாகக் கூடும். அப்படி ஏற்படும் **வரிசைமாற்றக் குலம்** (Permutation Group) ஒவ்வொன்றுக்கும் அதைத் தனிப்படுத்திக் காட்டக் கூடிய ஒரு கருத்து தான் அவைகளின் **சுழற் குறியீடு** (Cycle Index). ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் ஒரு சுழலமைப்பு உண்டு. ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத் திலுள்ள வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பிற்கு அதன் சுழற்குறியீடு என்று பெயர்.

முறையான வரையறை
--------------

n குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் குலம் {\displaystyle G} ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். {\displaystyle G} இனுடைய **சுழற்குறியீடு** என்பது கீழே வரையறுக்கப்பட்டபடி நேரும் {\displaystyle Z(G)} என்ற ஓர் அடையாளப் பல்லுறுப்புக் கோவை. அதன் மாறிகளாகத் திகழ்வது {\displaystyle s\_{1},s\_{2},...s\_{n}} என்ற தேரவியலாக் குறியீடுகள்:

{\displaystyle Z(G)=Z(G:s\_{1},s\_{2},...s\_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum \_{g\in G}s\_{1}^{\lambda \_{1}(g)}s\_{2}^{\lambda \_{2}(g)}...s\_{n}^{\lambda \_{n}(g)}} ; இங்கு,
{\displaystyle \lambda \_{k}(g)} என்பது {\displaystyle g} -இன் சுழற்பிரிவினையில் உள்ள {\displaystyle k}-சுழல்களின் எண்ணிக்கை.
{\displaystyle s\_{1}^{\lambda \_{1}(g)}s\_{2}^{\lambda \_{2}(g)}...s\_{n}^{\lambda \_{n}(g)}} என்பது {\displaystyle g} -இன் சுழலமைப்பு. அதனால் {\displaystyle Z(G)} ஐ {\displaystyle G}-இலுள்ள **வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பு** என்று சொல்லலாம்.
ஏதாவதொரு {\displaystyle \lambda \_{k}(g)} வெறும் 1 ஆக இருந்தால், {\displaystyle s\_{k}^{\lambda \_{k}(g)}} ஐ {\displaystyle s\_{k}} என்றே எழுதலாம்.

{\displaystyle s\_{1}^{\lambda \_{1}(g)}s\_{2}^{\lambda \_{2}(g)}...s\_{n}^{\lambda \_{n}(g)}} ஐ {\displaystyle s\_{(\lambda )}} என்றும் எழுதுவதுண்டு. இங்கு, {\displaystyle (\lambda )} என்பது {\displaystyle (1^{\lambda \_{1}}2^{\lambda \_{2}}...n^{\lambda \_{n}})} என்ற சுழலமைப்பைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* {\displaystyle S\_{2}=\{e,(12)\}}

{\displaystyle Z(S\_{2}:s\_{1},s\_{2})={\frac {1}{2}}(s\_{1}^{2}+s\_{2})}
* {\displaystyle S\_{3}=\{e,(1)(23),(2)(31),(3)(12),(123),(132)\}}

| வரிசைமாற்றம் | அதிலுள்ள சுழல்கள் | சுழலமைப்பு |
| --- | --- | --- |
| e | மூன்று 1-சுழல்கள் | {\displaystyle s\_{1}^{3}} |
| (1)(23) | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும் | {\displaystyle s\_{1}s\_{2}} |
| (2)(31) | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும் | {\displaystyle s\_{1}s\_{2}} |
| (3)(12) | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும் | {\displaystyle s\_{1}s\_{2}} |
| (123) | ஒரு 3-சுழல் | {\displaystyle s\_{3}} |
| (132) | ஒரு 3-சுழல் | {\displaystyle s\_{3}} |

{\displaystyle \therefore Z(S\_{3}:s\_{1},s\_{2},s\_{3})={\frac {1}{6}}(s\_{1}^{3}+3s\_{1}s\_{2}+2s\_{3})}
* இதேபோல் {\displaystyle Z(S\_{4})={\frac {1}{24}}\left(s\_{1}^{4}+3s\_{2}^{2}+8s\_{1}s\_{3}+6s\_{1}^{2}s\_{2}+6s\_{4}\right)}

சமச்சீர் குலத்தின் சுழற் குறியீடு
---------------------------------

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து n-கிரமச் சமச்சீர் குலத்தின் (அதாவது, {\displaystyle S\_{n}} இன்) சுழற்குறியீட்டைக் கணிப்பதற்கு நமக்குத்தெரிய வேண்டியதெல்லாம் ஒன்றே ஒன்றுதான்: அ-து, {\displaystyle S\_{n}} **இலுள்ள ஒவ்வொரு சுழலமைப்பு வகையிலும் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன**, என்பதுதான். இக்கேள்விக்கு விடை கோஷி தேற்றத்தில் இருக்கிறது. அதைப் பயன்படுத்தினால்,

{\displaystyle Z(S\_{n}:s\_{1},s\_{2},...)=\left(\sum \_{\lambda \_{1}+2\lambda \_{2}+...+k\lambda \_{k}=n}{\frac {s\_{1}^{\lambda \_{1}}s\_{2}^{\lambda \_{2}}...s\_{k}^{\lambda \_{k}}}{1^{\lambda \_{1}}2^{\lambda \_{2}}...k^{\lambda \_{k}}\lambda \_{1}!\lambda \_{2}!...\lambda \_{k}!}}\right)}
அல்லது, {\displaystyle Z(S\_{n})=\sum \_{(\lambda )\vdash n}{\frac {s\_{(\lambda )}}{\Pi (\lambda )}}={\frac {1}{n!}}\sum \_{(\lambda )\vdash n}g\_{\lambda }s\_{\lambda }.}

இங்கு {\displaystyle \Pi (\lambda )=1^{\lambda \_{1}}2^{\lambda \_{2}}...k^{\lambda \_{k}}\lambda \_{1}!\lambda \_{2}!...\lambda \_{k}!}. மற்றும் {\displaystyle g\_{\lambda }={\frac {n!}{\Pi ({\lambda })}}}

நான்முகியின் சமச்சீர்கள்
------------------------

ஓர் ஒழுங்கு நான்முகியின் சுழற்சிச் சமச்சீர் குலத்தில் இவை பன்னிரண்டும் அடக்கம்:

* நான்கு உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து போகும் நடு அச்சுகளைச் சுற்றி வலச்சுற்றாக {\displaystyle 120^{\circ }} சுழற்சிகள், இடச்சுற்றாக {\displaystyle 120^{\circ }} சுழற்சிகள்; ஆக 8 சுழற்சிகள்;
* எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சைச் சுற்றிய {\displaystyle 180^{\circ }} சுழற்சிகள்; இவை மூன்று;
* ஒரு முற்றொருமைச் செயல்பாடு.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் பாதிப்புகளை மாதிரிக்காக கீழ்க்கண்டபடி அட்டவணைப் படுத்தலாம்:(குறிப்பு: உச்சிகளை 1,2,3,4 என்றும், ஓரக்கோடுகளை 1-2, 1-3, 3-4, .. என்றும் முகங்களை 1-2-3, 2-3-4, .. என்றும் குறிப்போம்).

| முதல் வகைச் சுழற்சியால் பாதிப்பு: | மாதிரிச் செயற்பாடு | சுழல் | சுழலமைப்பு |
| --- | --- | --- | --- |
| உச்சிகளில் | {\displaystyle 1\rightarrow 1;2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2} | (1)(234) | {\displaystyle s\_{1}s\_{3}} |
| ஓரக்கோடுகளில் | {\displaystyle 1-2\rightarrow 1-3\rightarrow 1-4\rightarrow 1-2;2-3\rightarrow 3-4\rightarrow 4-2\rightarrow 2-3} | (1-2 1-3 1-4)(2-3 3-4 4-2) | {\displaystyle s\_{3}^{2}} |
| முகங்களில் | {\displaystyle 1-2-3\rightarrow 1-3-4\rightarrow 1-4-2;2-3-4\rightarrow 2-3-4} | (1-2-3 1-3-4 1-4-2)(2-3-4) | {\displaystyle s\_{1}s\_{3}} |
|

| 2-வது சுழற்சியால் பதிப்பு | மாதிரிச்செயற்பாடு | சுழல் | சுழலமைப்பு |
| --- | --- | --- | --- |
| உச்சிகளில் | {\displaystyle 1\rightarrow 3\rightarrow 1;2\rightarrow 4\rightarrow 2} | (13)(24) | {\displaystyle s\_{2}^{2}} |
| ஓரக்கோடுகளில் | {\displaystyle 1-2\rightarrow 3-4\rightarrow 1-2;1-4\rightarrow 3-2\rightarrow 1-4;1-3\rightarrow 1-3;2-4\rightarrow 2-4} | (1-2 3-4)(1-4 3-2)(1-3)(2-4) | {\displaystyle s\_{1}^{2}s\_{2}^{2}} |
| முகங்களில் | {\displaystyle 1-2-3\rightarrow 1-3-4\rightarrow 1-2-3;1-2-4\rightarrow 2-3-4\rightarrow 1-2-4} | (1-2-3 1-3-4)(1-2-4 2-3-4) | {\displaystyle s\_{2}^{2}} |

* **உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{12}}\left(s\_{1}^{4}+8s\_{1}s\_{3}+3s\_{2}^{2}\right)}.
* **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{12}}\left(s\_{1}^{6}+8s\_{3}^{2}+3s\_{1}^{2}s\_{2}^{2}\right)}.
* **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{12}}\left(s\_{1}^{4}+8s\_{1}s\_{3}+3s\_{2}^{2}\right)}

கன சதுரத்தின் சமச்சீர்கள்
-------------------------

முதற்கண் **சுழற்சிச் சமச்சீர்களை** கவனிப்போம். இவை 24. அதாவது:

* எதிரெதிர் உச்சிகளைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச்சுற்றி {\displaystyle 120^{\circ }} வலச்சுற்றுச்சுழற்சிகள், {\displaystyle 120^{\circ }} இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; ஆக 8.
* எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி {\displaystyle 180^{\circ }} சுழற்சிகள்; இவை 6.
* எதிர் முகங்களின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி {\displaystyle 90^{\circ }} வலச்சுற்றுச் சுழற்சிகள், {\displaystyle 90^{\circ }} இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; இவை 6.
* அதே அச்சுகளைச்சுற்றி {\displaystyle 180^{\circ }} சுழற்சிகள்; இவை 3.
* ஒரு முற்றொருமைச் சுழற்சி.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால்

* **உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(s\_{1}^{8}+6s\_{4}^{2}+9s\_{2}^{4}+8s\_{1}^{2}s\_{3}^{2}\right)}.
* **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(s\_{1}^{12}+6s\_{4}^{3}+3s\_{2}^{6}+8s\_{3}^{4}+6s\_{1}^{2}s\_{2}^{5}\right)}.
* **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

{\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(s\_{1}^{6}+6s\_{1}^{2}s\_{4}+3s\_{1}^{2}s\_{2}^{2}+8s\_{3}^{2}+6s\_{2}^{3}\right)}

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம்

சமச்சீர் பல்லுறுப்பு