டெய்லர் தொடரின் கருத்துரு ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் *ஜேம்ஸ் கிரகரி*யால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, 1715 இல் ஆங்கில கணிதவியலாளர் *புரூக் டெய்லரால்* முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. டெய்லர் தொடர் பூச்சியத்தில் மையப்படுத்தப்படும்போது அது **மெக்லாரின் தொடர்** (*Maclaurin series*) என அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த டெய்லர் தொடரின் சிறப்பு வகையைப் பெரிதும் பயன்படுத்திய ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் *காலின் மெக்லாரின்* நினைவாக இப்பெயர் இடப்பட்டது.

* *ƒ*(*x*) சார்பின் டெய்லர் தொடர் (*a* புள்ளியில்) :

{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}
* *ƒ*(*x*) சார்பின் மெக்லாரின் தொடர் (பூச்சியத்தில்):

{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

வரையறை
------

*ƒ*(*x*) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. *a* என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:

{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}
இத் தொடரில் \* *a* = 0 எனப் பதிலிடக் கிடைப்பது மெக்லாரின் தொடர்:

{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}
* *n*! - *n* இன் தொடர் பெருக்கம்.
* *ƒ*(*n*)(*0*) - *0* இல், சார்பு *ƒ* இன் *n* ஆம் வகைக்கெழு.
* *ƒ* இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு *ƒ* மற்றும் (*x* − *a*)0 =1, 0! = 1.

மெக்லாரின் தொடர்கள்
-------------------

வழக்கமான சார்புகள் சிலவற்றின் மெக்லாரின் தொடர்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன இத் தொடர்கள் அனைத்தும் *x* இன் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்:

* படிக்குறிச் சார்பு

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \forall x\!}
* இயல் மடக்கை:

{\displaystyle \log(1-x)=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}
{\displaystyle \log(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}
* பெருக்குத் தொடர்:

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}\quad \ |x|<1\!}
* ஈருறுப்புத் தொடர் (*α* = 1/2 மற்றும் *α* = −1 உட்பட):

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum \_{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad |x|<1,{\text{ அனைத்து சிக்கலெண் }}\alpha \!}
{\displaystyle (1+x)^{0.5}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }
{\displaystyle (1+x)^{-0.5}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod \_{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}- பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடன்.
* முக்கோணவியல் சார்புகள்:

{\displaystyle \sin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad \forall x\!}
{\displaystyle \cos x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad \forall x\!}
{\displaystyle \tan x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
{\displaystyle \sec x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
{\displaystyle \arcsin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
{\displaystyle \arctan x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm i\!}
* அதிபரவளையச் சார்புகள்:

{\displaystyle \sinh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad \forall x\!}
{\displaystyle \cosh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \quad \forall x\!}
{\displaystyle \tanh x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
{\displaystyle \mathrm {arcsinh} (x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
{\displaystyle \mathrm {arctanh} (x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm 1\!}
tan(*x*) மற்றும் tanh(*x*) இன் தொடர்களிலுள்ள எண்கள் *B**k*, பெர்னொலி எண்கள் ஆகும். sec(*x*) தொடரிலுள்ள *E**k* ஆய்லர் எண்கள்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Maclaurin Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.