வட்ட நாற்கரங்கள்
நாற்கரம் ஒன்றின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் அமையும் போது அந்த நாற்கரம், **வட்ட நாற்கரம்** அல்லது **வட்ட நாற்பக்கல்** (*Cyclic Quadrilateral*) எனப்படும். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். எந்த சதுரத்தையோ அல்லது செவ்வகத்தையோச் சுற்றியும் அவைகளின் உச்சிகளை தொட்டுக்கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைய இயலும். எனவே அவையெல்லாம் வட்ட நாற்கரங்கள் தாம். ஆனால் எல்லா நாற்கரங்களும் இப்பண்பு கொண்டவை அல்ல. வட்ட நாற்கரம் அல்லாத நாற்கரத்துக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு சாய்சதுரமாகும்.

சிறப்பு வகைகள்
--------------

சதுரம், செவ்வகம், இருசமபக்க சரிவகம், எதிர் இணைகரம் ஆகியவை அனைத்தும் வட்ட நாற்கரங்களாகவே அமையும். ஒரு பட்ட நாற்கரத்தின் இரு கோணங்கள் செங்கோணங்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது வட்ட நாற்கரமாக இருக்க முடியும். இரு மைய நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாகவும் தொடு நாற்கரமாகவும் இருக்கும். அதேபோல வெளி-இரு மைய நாற்கரமும் வட்ட நாற்கரமாகவும் வெளி-தொடு நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.

பண்புகள்
--------

* ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களின் நடுக்குத்துக் கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திப்பவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்நாற்கரம், வட்ட நாற்கரமாக இருக்க முடியும். அவை சந்திக்கும் பொதுப்புள்ளி வட்ட நாற்கரத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மையமாகும்.

* ஒரு குவிவு நாற்கரம் *ABCD* இன் எதிரெதிர் கோணங்களின் கூடுதல் மிகைநிரப்புக் கோணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும்.

{\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}
இப்பண்பினை ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு வெளிக்கோணமும் அதன் எதிர் உட்கோணத்துக்குச் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாகும் எனவும் கூறலாம்.

* ஒரு குவிவு நாற்கரம் *ABCD* வட்ட நாற்கரமாக இருப்பதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு, அந்த நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கத்துக்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்துக்கும் இடைப்பட்ட கோணமும், அப்பக்கத்திற்கு எதிர்ப் பக்கத்திற்கும் மற்றொரு மூலைவிட்டத்துக்கும் இடைப்பட்ட கோணமும் சமமாக இருத்தல் வேண்டும் என்பதாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

{\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}
* டாலெமியின் தேற்றப்படி, ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்ட நீளங்களின் (*p* , *q*) பெருக்குத்தொகை அந்த வட்ட நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையின் கூடுதலுக்குச் சமம்::p.25

{\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}
இத்தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும். அதாவது, ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கு மேற்காணும் முடிவு உண்மையானால் அது ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும்.

* ஒரு வட்டத்தின் நாண்கள் *AC* , *BD* இரண்டும் வெட்டும் புள்ளி *X*.

{\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}
என்ற முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே *A*, *B*, *C*, *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீது அமையும். அதாவது *ABCD* ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும்.

வெட்டும் புள்ளி *X* உட்புறமாகவோ அல்லது வெளிப்புறமாகவோ வெட்டலாம். உட்புறம் எனில் வட்ட நாற்கரம் *ABCD* எனவும், வெளிப்புறமாக எனில் வட்ட நாற்கரம் *ABDC* எனவும் அமையும்.

உட்புறமாக வெட்டும்புள்ளி இருக்கும்போது மேற்காணும் முடிவின் படி, வெட்டும் புள்ளி *X* ஆல் வெட்டப்பட்ட ஒரு மூலைவிட்டத்தின் இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்குத்தொகையும், மற்றொரு மூலைவிட்டத்தின் இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்குத்தொகையும் சமம் என்றாகிறது. வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சுற்றுவட்டத்தின் நாண்களாக அமைவதால் இதுவே இடைவெட்டுத் தேற்றமுமாகும்.

* {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}

என்ற முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு குவிவு நாற்கரம் *ABCD* வட்ட நாற்கரமாக இருக்கும்.

பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரம்
------------------------

வடிவவியலில் வட்ட நாற்கரத்தைப் பற்றிப் பற்பல வாய்பாடுகளை உண்டாக்கிய பிரம்மகுப்தர் (598-668) பெயரால் ஒரு வட்ட நாற்கரத்திற்கே **பிரம்மகுப்தர் நாற்கரம்** எனப் பெயர் ஏற்பட்டது. பக்கங்கள், மூலைவிட்டங்கள், பரப்பு, சுற்றுவட்ட ஆரம் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் அனைத்தையும் முழு எண்களாகக் கொண்ட ஒரு வட்ட நாற்கரம் தான் பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரம் என அழைக்கப்படுகிறது. 

ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின்:

* பக்கங்கள் *a, b, c, d*;
* மூலைவிட்டங்கள் *e, f*;
* பரப்பு *K*;
* சுற்றுவட்ட ஆரம் *R* எனில்,

பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி இவற்றின் மதிப்புகளை முழுஎண்களாக அடைந்து அனைத்து பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரங்களையும் காணலாம்:

{\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}
{\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}
{\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}
{\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}
{\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}
{\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}
{\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}
{\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}
இதில் *t*, *u*, *v* என்பவை விகிதமுறு துணையலகுகள்:

வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாட்டு பிரம்மகுப்தர் உருவாக்கியதாகும். இவ்வாய்ப்பாடு பிரம்ம குப்தரின் வாய்ப்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது.

வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு
------------------------

வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு S அதன் பக்கங்களின் நீளங்களை மாத்திரம் பொறுத்தது.

{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.} (பிரம்ம குப்தரின் வாய்ப்பாடு)
இங்கு {\displaystyle a,b,c,d}, என்பவை வரிசையாக நான்கு பக்கங்கள்; 

{\displaystyle s={\frac {(a+b+c+d)}{2}}.} (வட்ட நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு)
* வட்ட நாற்கரத்தில் எதிரெதிராக அமையும் இரு கோணங்களின் கூடுதல் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் (180°) என்பதால் இந்த வாய்ப்பாட்டை, பொது நாற்கரங்களின் பரப்பு காணப் பயன்படும் பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாட்டின் கிளை முடிவாகக் கொள்ளலாம்.

* *d* = 0 எனில், வட்ட நாற்கரம் ஒரு முக்கோணமாகி விடும். இந்நிலையில் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு, முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்ப்பாடாக மாற்றமடையும்.

* ஒரே வரிசைமுறையில் அமையும் சமமான பக்க அளவுகளைக் கொண்ட எல்லா நாற்கரங்களுக்குள் வட்ட நாற்கரம் தான் மிகைப் பரப்புடையது. இது பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாட்டின் மற்றொரு கிளைமுடிவாகும். இதை நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

நான்கு பக்க நீளங்களில் ஏதேனும் ஒன்று மற்ற மூன்று நீளங்களின் கூடுதலை விட சிறியதாக உள்ளபடி எடுத்துக் கொண்டால் சர்வசமமற்ற மூன்று வட்ட நாற்கரங்கள் கிடைக்கும். இம்மூன்றும் சமமான பரப்புடையதாக இருக்கும்.

பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d* மற்றும் *a* , *b* பக்கங்களுக்கு இடையிலான கோணம் *B* எனில் அவ்வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு:

{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}:p.25
(அல்லது)
{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}:p.26, இங்கு *θ*, மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையிலுள்ள கோணம்.
*A* செங்கோணம் இல்லையெனில் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}}
:p.26

வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் மற்றொரு வாய்ப்பாடு: 

{\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}:p.83
இங்கு *R* வட்ட நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம். 

இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவு:

{\displaystyle K\leq 2R^{2}}
வட்ட நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, மேற்காணும் முடிவில் சமக்குறி பொருந்தும்.

பயன்பாடுகள்
-----------

{\displaystyle a=b=c=d} என்று கொண்டால் சதுரத்தின் பரப்பு = {\displaystyle {\sqrt {a^{4}}}=a^{2}} என்று கிடைக்கிறது.

{\displaystyle a=c=L,b=d=l} என்று கொண்டால், நீள்சதுரத்தின் பரப்பு = {\displaystyle {\sqrt {{L^{2}}\times {l^{2}}}}=L\times l} என்று கிடைக்கிறது.

வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்
--------------------------------

வட்ட நாற்கரம் *ABCD* இன் பக்க அளவுகள் *a* = *AB*, *b* = *BC*, *c* = *CD*, *d* = *DA*. 

அதன் மூலைவிட்ட நீளங்கள் *p* = *AC*, *q* = *BD* காணும் வாய்ப்பாடுகள்:p.25,:

{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}
{\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.}
இதிலிருந்து கிடைக்கும் முடிவுகள்:

{\displaystyle pq=(ac+bd)} (டாலெமியின் தேற்றம்)
{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}}:p.25, (டாலெமியின் இரண்டாவது தேற்றம்)
{\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}
மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, கடைசி முடிவின் சமக்குறி பொருந்தும்.

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் நாற்கரத்தை நான்கு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றன. வட்ட நாற்கரங்களில் அந்நான்கு முக்கோணங்களில் எதிரெதிராக உள்ள சோடி முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவையாக இருக்கும்.

*M* , *N* இரண்டும், முறையே மூலைவிட்டங்கள் *AC* , *BD* இன் நடுப்புள்ளிகள் எனில்

{\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}:
இங்கு *E* , *F* இரண்டும் நீட்டிக்கப்பட்ட எதிர்ப்பக்கங்கள் சந்திக்கும் புள்ளிகள்.

கோணங்கள்
--------

வட்ட நாற்கரத்தின் பக்க அளவுகள் *a*, *b*, *c*, *d*. அரைச்சுற்றளவு *s*. 

பக்கங்கள் *a* , *d* இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் *A* காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},}
{\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}
{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}
இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் *θ* காணும் வாய்ப்பாடு:p.26:

{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}
எதிரெதிர்ப் பக்கங்கள் *a* , *c* வெட்டிக் கொள்ளும் கோணம் *{\displaystyle \phi }* எனில்:

{\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}:p.31

பரமேசுவரரின் வாய்ப்பாடு
-----------------------

ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் பக்க அளவுகள் *a*, *b*, *c*, *d*. அரைச்சுற்றளவு *s*. 

அதன் சுற்றுவட்ட ஆரம்:

{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}
இந்த வாய்ப்பாட்டைக் கண்டறிந்தவர் 15 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த இந்தியக் கணிதவியலாளர் வடசேரி பரமேசுவரர்.

பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இதைப் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.

{\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}
இங்கு *K* , வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பாகும்.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  எந்த 3 புள்ளிகளும் ஒரு வட்டத்தில் அமையும் என்பது உண்மை. சதுரம், செவ்வகம் முதலிய வடிவங்களின் எந்த மூன்று புள்ளியை எடுத்துக்கொண்டாலும் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் 90° ஆகும். எனவே அவைகளின் மூலை விட்டமே வட்டத்தின் விட்டமும் ஆகும். ஆகவே ஒரு சதுர அல்லது செவ்வகத்தின் நாலாவது புள்ளியும் அதே வட்டத்தில் அமரும் ஒரு புள்ளியாகும் (ஒரே வட்டத்தின் விட்டம்).
2. 1 2  Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), *The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition*, Information Age Publishing, pp. 63–65, ISBN 1593116950.
3. ↑  Book 3, Proposition 22 of Euclid's Elements.
4. ↑  Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), *Mathematical olympiad treasures*, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc. pp. 44–46, 50, ISBN 0-8176-4305-2, MR 2025063.
5. 1 2 3 4 5 6 7 8  Durell, C. V.; Robson, A. (2003), *Advanced Trigonometry*, Dover.
6. ↑  Bradley, Christopher J. *The algebra of geometry. Cartesian, Areal and Projective co-ordinates*, Highperception, 2007, p. 179.
7. ↑  Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), *Forum Geometricorum*, **8**: 103–106.
8. ↑  Sastry, K.R.S. "Brahmagupta quadrilaterals", *Forum Geometricorum* 2, 2002, 167–173.
9. ↑  Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", *The College Mathematics Journal*, **34** (4): 315–316.
10. ↑  Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967), *Geometry Revisited*, pp. 57, 60.
11. ↑  Prasolov, Viktor, *Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry* (PDF), 2018-09-21 அன்று மூலம் (PDF) பரணிடப்பட்டது, 2012-08-24 அன்று பார்க்கப்பட்டது
12. ↑  Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*, Mathematical Association of America, p. 64.
13. 1 2 3  Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), *Forum Geometricorum*, **7**: 147–149.
14. ↑  Inequalities proposed in *Crux Mathematicorum*, 2007, Problem 2975, p. 123,
15. ↑  Post at *Art of Problem Solving*, 2010, 
[*தொடர்பிழந்த இணைப்பு*]
16. ↑  Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), *Trigonometry*, Cambridge Univ. Press, p. 202.
17. ↑  Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", *Mathematical Gazette*, **84**: 69–70.