கணிதத்தில் **சுழல் வரிசைமாற்றம்** அல்லது **வட்ட வரிசைமாற்றம்** (*cyclic permutation* அல்லது *Circular permutation*) என்பது வரிசைமாற்றங்களில் ஒரு சிறப்புவகையாகும். *X* கணத்தின் மீதான ஒரு வரிசைமாற்றம், *X* இன் ஒரு உட்கணம் *S* இன் உறுப்புகளை அவற்றுக்குள்ளாகவே ஒரு சுழலமைப்பில் வரிசைமாற்றப்படுத்தி, *S* இல் இல்லாத ஏனைய *X* இன் உறுப்புகளை தமக்குத்தாமே வரிசைமாற்றப்படுத்துமானால் அது வட்ட வரிசைமாற்றம் எனப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 
{1, 2, 3, 4} என்ற கணத்தின் ஒரு வரிசைமாற்றம்: 

* {\displaystyle \sigma \_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&2&1\end{pmatrix}}}

1 → 3, 3 → 2, 2 → 4, 4 → 1 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சுழலமைப்பில் மாறுகின்றன. இது ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றமாகும்.
* {\displaystyle \sigma \_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{pmatrix}}} என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1 என ஒரு சுழலும்; 2 → 2, 4 → 4 (2, 4 ஆகிய உறுப்புகளும் தமக்குத்தாமே இணைக்கப்படுகின்றன) என அமைகிறது. இவ்வரிசைமாற்றமும் வட்ட வரிசைமாற்றமாகும்.

மாறாக, 

{\displaystyle \sigma \_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix}}} என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1; 2 → 4, 4 → 2 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒரே சுழலாக அமையாமல் (1 3), (2, 4) என இரு சோடி உறுப்புகளாகப் பிரிந்து இரு சுழல்களாக அமைவதால் இது வட்ட வரிசைமாற்றமாகாது.
ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் **சுழல்** என்பது வட்ட வரிசைமாற்றத்துக்குட்படும் உறுப்புகளின் ஒரு உட்கணம் ஆகும். 

முதல் எடுத்துக்காட்டில் (1 3 2 4) ஒரு சுழலாகும்.
இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் (1, 3), (2, 4) என இரு சுழல்கள் உள்ளன.
கணம் *S* ஆனது, சுழலின் சுற்றுப்பாதை (orbit (குலம்)) என அழைக்கப்படும். சேர்ப்பில்லாச் சுற்றுப்பாதைக் கணங்களின் மீதான சுழல்களின் தொகுப்பாக, ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்தையும் எழுதலாம்; சில சமயங்களில் ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றம் முழுவதும் ஒரே சுழலாகவும் அமையும்.

வரையறை
------

mapping of permutationmapping of permutation
ஒரு வரிசைமாற்றத்துக்கு 1 விட அதிக நீளமுள்ள ஒரு சுழல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வரிசைமாற்றம் வட்டவரிசை மாற்றமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&2&7&6&5&8&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&8&3&7&2&5\\4&6&8&3&7&1&2&5\end{pmatrix}}=(146837)(2)(5)}
சில கணித அறிஞர்கள் ஒரே சுழலாக அமையும் வரிசை மாற்றங்களை மட்டுமே வட்ட வரிசை மாற்றங்களாகக் கருதுகின்றனர்.

mapping of permutationmapping of permutation
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&5&7&6&8&2&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&2&5&8&3&7\\4&6&2&5&8&3&7&1\end{pmatrix}}=(14625837)}
*X* இல் வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாகவுள்ள வரிசைமாற்றம்
{\displaystyle \sigma :X\to X} வட்ட வரிசைமாற்றமாக அமையவேண்டுமானால், ஒன்றுக்குமேல் உறுப்புகள் கொண்ட சுற்றுப்பாதை அதிகபட்சம் ஒன்றாவது இருக்கவேண்டும். *X* முடிவுறுகணமாக இருக்கும்போது (அதன் மிகப்பெரிய சுற்றுப்பாதை *S* உம் முடிவுறுகணமாகவே இருக்கும்) வட்ட வரிசைமாற்றத்திற்கான வரையறை இவ்விதமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.

*S* இன் ஏதேனுமொரு உறுப்பு {\displaystyle s\_{0}} மற்றும் {\displaystyle s\_{i}=\sigma ^{i}(s\_{0}),i\in \mathbf {Z} \,} என்க. *S* முடிவுறு கணமாக இருந்தால் {\displaystyle s\_{k}=s\_{0}} எனப் பொருந்துமாறு ஒரு மிகச்சிறிய எண் {\displaystyle k\geq 1} இருக்கும். இப்போது {\displaystyle S=\{s\_{0},s\_{1},\ldots ,s\_{k-1}\}} ஆகும். மேலும் வரிசைமாற்றம் {\displaystyle \sigma } இன் வரையறை:

{\displaystyle \sigma (s\_{i})=s\_{i+1}\quad {\mbox{for }}0\leq i<k}
{\displaystyle \sigma (x)=x,} {\displaystyle x\in X\setminus S}.
{\displaystyle \sigma } ஆல் மாற்றமடையாத உறுப்புகள் தவிர *S* இன் ஏனைய உறுப்புகளின் மாற்றத்தை பின்வருமாறு காட்டலாம்:

{\displaystyle s\_{0}\mapsto s\_{1}\mapsto s\_{2}\mapsto \cdots \mapsto s\_{k-1}\mapsto s\_{k}=s\_{0}}.
ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றத்தை சுழல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

{\displaystyle \sigma =(s\_{0}~s\_{1}~\dots ~s\_{k-1})}
சுழலிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அச்சுழலின் மிகப்பெரிய சுற்றுப்பாதையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையாகும். *k* நீளமுள்ள சுழலானது  ***k*-சுழல்** எனப்படும்.
1-சுழலின் சுற்றுப்பாதை வரிசைமாற்றத்தின் *நிலைத்த புள்ளி* எனப்படும். எனினும் ஒரு வரிசைமாற்றமாகக் கருதும்போது ஒவ்வொரு 1-சுழலும் ஒரு வரிசைமாற்றமாகும். ஒரு வரிசைமாற்றத்தை சுழல் குறியீட்டில் எழுதும்போது பொதுவாக 1-சுழல்கள் குறிக்காமல் விட்டுவிடப்படுகின்றன.

இடமாற்றங்கள்
------------

ஒரு வரிசைமாற்றத்தில், இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்ட சுழல், **இடமாற்றல்** (*transposition*) என அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
{1, 2, 3, 4} கணத்தில் 1 → 1, 2 → 4, 3 → 3, 4 → 2 என மாற்றும் வரிசைமாற்றம் ஒரு இடமாற்றம் ஆகும்.

இவ்வரிசைமாற்றத்தின் சுழல் குறியீடு:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&4&3\\1&4&2&3\end{pmatrix}}=(24)(1)(3)}
இவ்வரிசைமாற்றத்தில் உள்ள சுழல் இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டுள்ளது.

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑  Bogart, Kenneth P. (1990), *Introductory Combinatorics* (2nd ed.), Harcourt, Brace, Jovanovich, p. 486, ISBN 0-15-541576-X
2. ↑  Gross, Jonathan L. (2008), *Combinatorial Methods with Computer Applications*, Chapman & Hall/CRC, p. 29, ISBN 978-1-58488-743-0
3. ↑  Fraleigh 1993, p. 103
4. ↑  Rotman 2006, p. 108
5. ↑  Sagan 1991, p. 2

மேற்கோள்கள்
-----------

* Anderson, Marlow and Feil, Todd (2005), *A First Course in Abstract Algebra*, Chapman & Hall/CRC; 2nd edition. ISBN 1-58488-515-7.
* Fraleigh, John (1993), *A first course in abstract algebra* (5th ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
* Rotman, Joseph J. (2006), *A First Course in Abstract Algebra with Applications* (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
* Sagan, Bruce E. (1991), *The Symmetric Group / Representations, Combinatorial Algorithms & Symmetric Functions*, Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-15540-7

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Permutations as a Product of Transpositions
* cycle பரணிடப்பட்டது 2015-12-25 at the வந்தவழி இயந்திரம், PlanetMath