கணிதத்தில், **கூட்டுத் தொடர்வரிசை அல்லது கூட்டுத் தொடர்முறை** அல்லது **எண்கணிதத் தொடர்முறை** (*Arithmetic progression*) என்பது, அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரு எண்களுக்கும் இடையே *ஓரே எண்* வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள். 

எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு *பொது வேறுபாடு* எனப்படும்.

கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் வரும் முதல் எண் {\displaystyle a\_{1}} என்றும், பொது வேறுபாடு *d* என்றும் கொண்டால், வரிசையில் *n*-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d,}
இதையே, இன்னும் பொதுமைப்படுத்தி,

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d.} எழுதலாம்.
இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசை முடிவிலியாய்ப் போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். *வரம்புடைய* எண்ணிக்கையில் அதாவது முடிவுறு உறுப்புகள் கொண்ட கூட்டுத்தொடர்வரிசையை, *வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசை* என்று அழைப்பர் அல்லது பொதுவான சொல்லான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்றும் அழைப்பர்.

ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை எப்படி வளர்கின்றது என்பது, அதன் பொதுவேறுபாட்டு எண்ணைப் பொருத்துள்ளது. பொதுவேறுபாட்டு எண்ணானது,

* நேர்ம எண்ணாக இருந்தால், அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் பெருகிக்கொண்டே போய் முடிவிலிக்குப் போகும்;
* எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால், எதிர்திசையில் பெருகிக்கொண்டே போய் எதிர்ம முடிவிலிக்குப் போகும்.

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின், கூட்டுத்தொகை
-------------------------------------

முதல் *n* முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை (1+2+...+n) காணும் வாய்பாட்டின் நிறுவல்
ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைக் கூட்டி அதன் *கூட்டல் மதிப்பு* அல்லது *கூட்டுத்தொகை*யைக் கணிக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை {\displaystyle S\_{n}} எனக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இந்தக் கூட்டுத்தொகையை இருவேறு விதமாக எழுதலாம் (இப்படி இருவேறு விதமாகக் கணக்கிடும் முறை, நிறுவலுக்குப் பயன்படும் ஒரு தனி முறையாகவும் கொள்ளப்படுகின்றது):

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}.}
மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது {\displaystyle a\_{1}} ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் *கூட்டிக்கொண்டே* போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய {\displaystyle a\_{n}} இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக *கழித்துக்கொண்டே* செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான *d* ஒன்றோடு ஒன்று *கழிபட்டுப்* போகின்றது:

{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n}).}
சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்து கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}(a\_{1}+a\_{n}).}
இன்னொரு மாற்று வடிவத்தைப் பெற, மீண்டும் {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d} எனப் பதிலிட்டுப் பெறலாம்:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}[2a\_{1}+(n-1)d].}
499 கி.பி யில் இந்திய வானியல், கணித வல்லுநர் ஆரியபட்டா என்பவர் தன்னுடைய ஆரியபட்டியம் என்னும் நூலில் இம்முறையைத் தந்துள்ளார். (section 2.18)
.

எடுத்துக்காட்டாக, *a**n* = 3 + (*n*-1)(5) குறிக்கும் கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 50 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை:

{\displaystyle S\_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.}

உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை
---------------------------

ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி *a*1 என்றும், பொதுவேறுபாடு *d* என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை *n* என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகையை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle a\_{1}a\_{2}a\_{3}\cdots a\_{n}=a\_{1}(a\_{1}+d)(a\_{1}+2d)...(a\_{1}+(n-1)d)=\prod \_{k=0}^{n-1}(a\_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a\_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a\_{1}}{d}}\right)}}}
இதில் காணப்படும் {\displaystyle \Gamma } என்பது காமா சார்பியம். ({\displaystyle a\_{1}/d} என்பது எதிர்ம எண்ணாகவோ சுழியாகவோ இருந்தால் இந்த வாய்பாடு செல்லாது).

தொடர்பெருக்கம் {\displaystyle n!=1\times 2\times \cdots \times n} மற்றும்

{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!={\frac {n!}{(m-1)!}}.} என்ற இரு முடிவுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக மேலுள்ள பெருக்குத்தொகை அமைகிறது
எடுத்துக்காட்டு:
மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் n ஆவது உறுப்பை *a**n* = 3 + (*n*-1)(5) எனக்கொண்டு 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்க:

{\displaystyle P\_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}}
இப்பொழுது கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஒன்றைக் கருதுக:

{\displaystyle a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)}
இதில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை

{\displaystyle a(a+d)(a+2d)}
{\displaystyle =(a^{2}+ad)(a+2d)}
{\displaystyle =a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}}

இது கீழ்க்காணும் வடிவில் உள்ளது:

{\displaystyle a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}}
ஆகவே, {\displaystyle n} உறுப்புகளின் இன் பெருக்குத்தொகை:

{\displaystyle a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}}
இதற்கு முடிவுதரும் தீர்வுகள் இல்லை.

திட்டவிலக்கம்
-------------

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் திட்டவிலக்கத்தைக் கீழுள்ள வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
{\displaystyle n} = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
{\displaystyle d} = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு

கூட்டுத் தொடர்வரிசைக்கான வாய்பாடுகள்
------------------------------------

{\displaystyle a\_{1}} -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு.
{\displaystyle a\_{n}} -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n ஆவது உறுப்பு.
{\displaystyle d} -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு.
{\displaystyle n} -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.
{\displaystyle S\_{n}} -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல்.
{\displaystyle {\overline {n}}} கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் சராசரி மதிப்பு.
வாய்பாடுகள்: 

1. {\displaystyle \ a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d,}
2. {\displaystyle \ a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d.}
3. {\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}[2a\_{1}+(n-1)d].}
4. {\displaystyle S\_{n}={\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}}
5. {\displaystyle {\overline {n}}} = {\displaystyle S\_{n}/n}
6. {\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a\_{1}+a\_{n}}{2}}.}

உசாத்துணை
---------

1. ↑  *Aryabhatiya பரணிடப்பட்டது 2011-08-15 at Archive.today மராத்தி: आर्यभटीय*, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.95, ISBN 978-81-7434-480-9

* Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer-Verlag. பக். 259–260. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-95419-8.

மேலும் காண்க
------------

* பெருக்குத் தொடர்வரிசை

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Arithmetic series", *MathWorld*.