*P* -புள்ளியிலிருந்து முக்கோணம் *ABC* (கருப்பு) இன் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துகளின் (நீலம்) அடிப்புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைக்கும் முக்கோணம் *LMN* (சிவப்பு) பாத முக்கோணம் ஆகும்.
**பாத முக்கோணம்** (*pedal triangle*) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் மீது ஒரு புள்ளியை வீழ்த்துவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

முக்கோணம் *ABC* இன் பக்கங்களின் மீது *P* என்ற புள்ளியை வீழ்த்தும்போது, அதாவது *P* லிருந்து முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் செங்குத்துகள் வரையப்படும்பொழுது, அச்செங்குத்துகளின் அடிப்புள்ளிள் *L*, *M*, *N* எனில், இம்மூன்று புள்ளிகளையும் இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணம் *LMN* பாத முக்கோணம் ஆகும்.

*P* புள்ளியைப் பொறுத்து பாத முக்கோணம் *ABC* முக்கோணத்தின் சில சிறப்புவகை முக்கோணங்களாகவும் அமையும்:

* *P =* செங்கோட்டுச்சந்தி எனில், *LMN =* ஆர்த்திக் முக்கோணம்.
* *P =* உள்வட்டமையம் எனில், *LMN =* உள்தொடு முக்கோணம்

 *ABC* முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின்மீது புள்ளி *P* அமையும்பொழுது பாத முக்கோணம் ஒரு கோடாக (சிவப்பு) அமைகிறது.
* *ABC* முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின்மீது புள்ளி *P* அமையும்பொழுது பாத முக்கோணம் ஒரு கோடாகி விடுகிறது. இக்கோடு **பாதக் கோடு** (*pedal line*) என்றும் சில சமயங்களில் கணிதவியலாளர் ராபர்ட் சிம்சனின் பெயரால் **சிம்சன் கோடு** (*Simson line*) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

மூல முக்கோணத்தின் உட்புறமாக அமையும் புள்ளி *P* இன் பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகள் மூல முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் கீழே தரப்பட்டுள்ள முடிவை நிறைவு செய்யும் விதமாகப் பிரிக்கின்றன.:85-86

{\displaystyle AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}.}

முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்
----------------------

புள்ளி *P* இன் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள் *p* : *q* : *r* எனில், பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *L, M, N* இன் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

* *L = 0 : q + p* cos C*: r + p* cos *B*
* *M = p + q* cos *C : 0 : r + q* cos *A*
* *N = p + r* cos *B : q + r* cos *A : 0*

எதிர்பாத முக்கோணம்
------------------

மூல முக்கோணம் *ABC* இன் உச்சிகளையும் புள்ளி *P* ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் *AP*, *BP*, *CP*. இம்மூன்று கோட்டுத்துண்டுகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் *P* லிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் மூன்றும் இரண்டிரண்டாக வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் (*L* ' *M* ' *N* ') மூன்றையும் இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணமே *P* இன் எதிர்பாத முக்கோணம் ஆகும்.

எதிர்பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

* *L'* *= − (q + p* cos *C)(r + p* cos *B) : (r + p* cos *B)(p + q* cos *C) : (q + p* cos *C)(p + r* cos *B)*
* *M'* *= (r + q* cos *A)(q + p* cos *C) : − (r + q* cos *A)(p + q* cos *C) : (p + q* cos *C)(q + r* cos *A)*
* *N'* *= (q + r* cos *A)(r + p* cos *B) : (p + r* cos *B)(r + q* cos *A) : − (p + r* cos *B)(q + r* cos *A)*

எடுத்துக்காட்டு:

ஒரு முக்கோணத்தின்மூன்று வெளிவட்டமையங்களாலான முக்கோணமானது அந்த மூல முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் எதிர்பாத முக்கோணமாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் *BC, CA, AB,*க்களின்இன் நீட்டிப்புகளின் மீது புள்ளி *P* அமையாதநிலையில், *P* இன் சமகோண இணையியப் புள்ளி *P*−1 ஆக இருந்தால்,, *P* இன் பாத முக்கோணமானது *P*−1 இன் எதிர்பாத முக்கோணத்துடன் ஒத்தநிலை கொண்டதாயிருக்கும். ஒத்தநிலை மையத்தின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

*ap(p + q* cos *C)(p + r* cos *B) : bq(q + r* cos *A)(q + p* cos *C) : cr(r + p* cos *B)(r + q* cos *A)*.
*P* ஒரு முக்கோண மையமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" இந்த ஒத்தநிலை மையமும் ஒரு முக்கோண மையமாக இருக்கும்.

*P* இன் பாத முக்கோணம் மற்றும் *P*−1 இன் எதிர்பாத முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகையானது மூல முக்கோணமான முக்கோணம் *ABC* இன் பரப்பளவின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்..

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, *Challenging Problems in Geometry*, Dover Publishing Co. second revised edition, 1996.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Simson's line பிளாநெட்மேத்தில்
* Mathworld: Pedal Triangle
* Java Applet of the Perpendiculars பரணிடப்பட்டது 2003-01-21 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* Simson Line
* Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy