முழுக்கோப்பு; உள்ளிடுகோப்பல்ல
 உள்ளிடுகோப்பு; முழுக்கோப்பல்ல
இருவழிக்கோப்பு.
{\displaystyle f:X\rightarrow Y} என்ற ஒரு கோப்பில் / சார்பில் ஒவ்வொரு {\displaystyle y\in Y} க்கும் {\displaystyle f(x)=y} ஆக இருக்கும்படி குறைந்த பட்சம் ஒரு {\displaystyle x\in X} ஆவது இருக்குமானால் அக்கோப்பு/சார்பு **முழுக்கோப்பு** (*Surjection*) அல்லது **முழுக்கோப்புடைய சார்பு** (*Surjective function*) எனப்படும். வேறு விதமாகச்சொன்னால் ஒவ்வொரு {\displaystyle y\in Y} க்கும் {\displaystyle X} இல் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

ஒரு முழுக்கோப்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்துவிட்டால், அது இருவழிக்கோப்பு எனப்படும்.

துல்லியமான வரையறை
-----------------

{\displaystyle f} என்பது {\displaystyle X} இலிருந்து {\displaystyle Y} க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம். 

{\displaystyle f} ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

{\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\ \backepsilon f(x)=y} .
முழுக்கோப்பின் வீச்சும் இணையாட்களமும் சமமாக இருக்கும்.

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு
-------------------------------

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது *முழுக்கோப்பு* (surjective map; surjection; onto map).

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது *உள்ளிடுகோப்பு* (injective map; injection; one-one map).

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது *இருவழிக்கோப்பு* (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
---------------------------------------------

மெய்யெண் சார்புகள்:

* {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f(x)=x^{2}}
இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle f(x)=-4} க்குச்சரியான {\displaystyle x} கிடையாது. ஆனால் நாம் வரையறையை மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}} ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.
* {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f(x)=2x-1}
இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால் எந்த மெய்யெண் {\displaystyle y} க்கும் {\displaystyle y=2x-1} என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, {\displaystyle x=(y+1)/2} என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் {\displaystyle \mathbf {R} } இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.
* {\displaystyle g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }

{\displaystyle f(x)=(cosx)^{2}}
இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle f(x)=-1} க்கு சரியான {\displaystyle x} கிடையாது.
* {\displaystyle h:\mathbf {R} \rightarrow [0,1]}

{\displaystyle h(x)=(cosx)^{2}}
இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு {\displaystyle y} க்கும் {\displaystyle cos^{-1}(\surd {y}),} மற்றும் {\displaystyle cos^{-1}(-\surd {y})} என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.
* {\displaystyle f:\mathbf {N} \rightarrow \mathbf {R} }

இந்த {\displaystyle f} எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால் வீச்சுக்கணம் = {\displaystyle \{f(1),f(2),f(3),...\}}; இதனுடைய எண்ணளவை {\displaystyle \mathbf {R} } இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.

சில விளைவுகள்
-------------

சேர்வை முழுக்கோப்பு: ஆனாலும் முதல் கோப்பு முழுக்கோப்பல்ல.
* {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} } ஒரு முழுக்கோப்பானால் அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
* {\displaystyle f:Y\rightarrow Z}; {\displaystyle g:X\rightarrow Y}

{\displaystyle f\circ g}: {\displaystyle X\rightarrow Z} முழுக்கோப்பானால் {\displaystyle f} முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். {\displaystyle g} முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
* {\displaystyle f,g} இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால் {\displaystyle f\circ g} முழுக்கோப்பாகும்.
* {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் {\displaystyle B\subset Y} க்கும்,

{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}.
* ஒரு சார்பு வலது நீக்கலைக் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* இருவழிக்கோப்பு
* உள்ளிடுகோப்பு

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "Injective, Surjective and Bijective". *www.mathsisfun.com*. 2019-12-07 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
2. ↑  "Bijection, Injection, And Surjection | Brilliant Math & Science Wiki". *brilliant.org* (ஆங்கிலம்). 2019-12-07 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
3. ↑  Farlow, S. J. "Injections, Surjections, and Bijections" (PDF). *math.umaine.edu*. 2019-12-06 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
4. ↑  "Arrows – Unicode" (PDF). 2013-05-11 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
5. ↑  Goldblatt, Robert (2006). *Topoi, the Categorial Analysis of Logic* (Revised ). Dover Publications. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-486-45026-1.. பார்த்த நாள்: 2009-11-25.

நூலாதாரம்
---------

* Nicolas Bourbaki (2004). *Theory of Sets*. Elements of Mathematics. **1**. Springer. doi:10.1007/978-3-642-59309-3. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-540-22525-6. .