யூக்ளீடிய வடிவவியலில் **பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு** என்பது (*Brahmagupta's formula*) வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு ஆகும். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் போது இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அந்த வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காணலாம்.

அடிப்படைப் படிவம்
-----------------

பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிமையானதும் எளிதில் மனதில் பதியக்கூடியதுமான படிவம், *a*, *b*, *c*, *d* -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைத் தருகிறது:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
இங்கு *s*, நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு.

{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot }
{\displaystyle s-a={\frac {-a+b+c+d}{2}}}
{\displaystyle s-b={\frac {a-b+c+d}{2}}}
{\displaystyle s-c={\frac {a+b-c+d}{2}}}
{\displaystyle s-d={\frac {a+b+c-d}{2}}}
இவ்வாய்ப்பாடு முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஹீரோனின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டப் படிவமாக அமைகிறது. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டில் **d** -ன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்குவதாக எடுத்துக் கொண்டால் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். அதாவது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் பூச்சியமாக உள்ள நாற்கரமாக முக்கோணத்தைக் கொள்ளலாம்.

நிறுவல்
-------

இப்பகுதியின் நிறுவலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் வட்ட நாற்கரத்தின் படம்.
இப்பகுதியில் உள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ள வட்ட நாற்கரத்தின் அளவுகளுக்கான குறியீடுகள் பரப்பு காணும்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வட்ட நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பு

{\displaystyle =\triangle ADB} -ன் பரப்பு+ {\displaystyle \triangle BDC} -ன் பரப்பு
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}
{\displaystyle ABCD}, ஒரு வட்ட நாற்கரம் என்பதால்:

{\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}
{\displaystyle \sin A=\sin C\,}
ஃ {\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
{\displaystyle ({\mbox{Area}})={\frac {1}{2}}\sin A(pq+rs)}
{\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}
{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}=(pq+rs)^{2}-\cos ^{2}A(pq+rs)^{2}.\,}
{\displaystyle \triangle }*ADB* மற்றும் {\displaystyle \triangle }*BDC*, இரண்டின் பொதுப்பக்கம் DB-ன் மதிப்பைக் கொசைன் விதி மூலம் காண:

{\displaystyle DB=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}
{\displaystyle \cos C=\cos(\pi -A)=-\cos A\,} ({\displaystyle A}, C மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்.)
இதனைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}+2rs\cos A.\,}
உறுப்புகளை மாற்றித் தொகுக்க:

{\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}
{\displaystyle \cos A(pq+rs)={\frac {p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}}{2}}.\,}
வர்க்கப்படுத்த:

{\displaystyle \cos ^{2}A(pq+rs)^{2}={\frac {(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}{4}}.\,}
இதனைப் பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட:

{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}
{\displaystyle =(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})(2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})\,}
{\displaystyle =((r+s)^{2}-(p-q)^{2})((p+q)^{2}-(r-s)^{2})\,}
{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,}
{\displaystyle S={\frac {p+q+r+s}{2}},} என எடுத்துக் கொண்டால்

{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}
{\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}=(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}
வர்க்கமூலம் காண:

{\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}

மாற்றுப் படிவம்
---------------

இவ்வாய்ப்பாட்டின் மற்றொரு படிவம்:

{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }
### நிறுவல்

பரப்பு காணும் வாய்பாடின் பொதுப் படிவம்:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
{\displaystyle s-a={\frac {-a+b+c+d}{2}}}
{\displaystyle s-b={\frac {a-b+c+d}{2}}}
{\displaystyle s-c={\frac {a+b-c+d}{2}}}
{\displaystyle s-d={\frac {a+b+c-d}{2}}} இம்மதிப்புகளைப் பரப்பு வாய்பாடில் பிரதியிட:
{\displaystyle K={\sqrt {({\frac {-a+b+c+d}{2}})({\frac {a-b+c+d}{2}})({\frac {a+b-c+d}{2}})({\frac {a+b+c-d}{2}})}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(c+d)-(a-b)][(c+d)+(a-b)][(a+b)-(c-d)][(a+b)+(c-d)]}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(c+d)^{2}-(a-b)^{2}][(a+b)^{2}-(c-d)^{2}]}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab+2cd][(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2ab+2cd]}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(2ab+2cd)-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})][(2ab+2cd)+(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})]}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab+2cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}+8abcd)-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2a^{2}d^{2}-2b^{2}c^{2}-2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2})}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2})+8abcd-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})+8abcd-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}}

வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களுக்கு நீட்டிப்பு
------------------------------------------------

வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களின் பரப்பு காண்பதற்கு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். இதற்கு நாற்கரங்களின் எதிர்க் கோணங்களின் அளவுகளைக் கருத்தில் கொள்ளல் வேண்டும்.

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}} இது பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாடாகும்.
இங்கு θ, நாற்கரத்தின் ஏதேனும் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதி. இரண்டு சோடி எதிர்க் கோணங்களில் எந்த சோடியை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் மற்றொரு சோடி எதிர்க்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியானது, (180- θ) -ஆக இருக்கும். cos(180° − θ) = −cosθ, cos2(180° − θ) = cos2θ.

தரப்பட்ட பக்க நீளங்களைக் கொண்ட நாற்கரங்களிலேயே வட்ட நாற்கரங்கள் தான் மீப்பெரு பரப்புடையவை.

பொது நாற்கரங்களின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து வட்ட நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பெறுதல்:

வட்ட நாற்கரங்களின் பண்பின்படி அதன் எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் கூடுதல் 180°, இக்கூடுதலின் பாதியளவு 90°

ஃ {\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}
எனவே பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் இதைப் பிரதியிட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கிறது:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
ஜூலியன் கூலிட்ஜ் -ஆல் நிறுவப்பட்ட பொதுக் குவிவு நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}
இங்கு *p* மற்றும் *q* -நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்.

டாலமியின் தேற்றப்படி, ஒரு வட்ட நாற்கரத்திற்கு, {\displaystyle pq=ac+bd} -ஆக இருக்கும். இம்மதிப்பைப் பிரதியிட கூலிட்ஜின் வாய்ப்பாடு, பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடாக மாறும்.

தொடர்புள்ள பிற தேற்றங்கள்
-------------------------

* முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு - நாற்கரத்தின் பக்க நீளம் *d* = 0 எனக் கொள்வதால் கிடைக்கும் சிறப்பு வகை.
* பிரம்மகுப்தரின் பொது வாய்ப்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டிற்கும் உள்ள தொடர்பு, கொசைன் விதியானது பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின் நீட்டிப்பாக அமைதலுக்குச் சமமானது.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* MathWorld: Brahmagupta's formula

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", *American Mathematical Monthly*, **46** (1939) pp. 345-347.

*This article incorporates material from ப்ளேனட் மேத் தளத்தில் proof of Brahmagupta's formula, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.*