கணிதத்தில் **நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்** (*inverse trigonometric functions*) என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகளாகும். இச்சார்புகளின் வீச்சுகள் மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்களின் உட்கணங்களாக இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை வரையறுப்பதற்கு ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக:
{\displaystyle y={\sqrt {x}},} -வர்க்கமூலச் சார்பு *y*2 = *x*, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல 

*y* = arcsin(*x*) -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(*y*) = *x* என வரையறுக்கப்படுகிறது.

sin(*y*) = *x* -ஐ நிறைவு செய்யும் *y* -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, .... ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு *x* -க்கும் arcsin(*x*) -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு *முதன்மை மதிப்பு* (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும்,

முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன.

| பெயர் | வழக்கமான குறியீடு | வரையறை | *x* -ன் ஆட்களம் (மெய் மதிப்புகளுக்கு) | முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு  (ரேடியன்) | முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு  (பாகை) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **arcsine** | *y* = arcsin *x* | *x* = sin *y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | −π/2 ≤ *y* ≤ π/2 | −90° ≤ *y* ≤ 90° |
| **arccosine** | *y* = arccos *x* | *x* = cos *y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | 0 ≤ *y* ≤ π | 0° ≤ *y* ≤ 180° |
| **arctangent** | *y* = arctan *x* | *x* = tan *y* | அனைத்து மெய்யெண்கள் | −π/2 < *y* < π/2 | −90° < *y* < 90° |
| **arccotangent** | *y* = arccot *x* | *x* = cot *y* | அனைத்து மெய்யெண்கள் | 0 < *y* < π | 0° < *y* < 180° |
| **arcsecant** | *y* = arcsec *x* | *x* = sec *y* | *x* ≤ −1 அல்லது 1 ≤ *x* | 0 ≤ *y* < π/2 அல்லது π/2 < *y* ≤ π | 0° ≤ *y* < 90° or 90° < *y* ≤ 180° |
| **arccosecant** | *y* = arccsc *x* | *x* = csc *y* | *x* ≤ −1 அல்லது 1 ≤ *x* | −π/2 ≤ *y* < 0 அல்லது 0 < *y* ≤ π/2 | -90° ≤ *y* < 0° அல்லது 0° < *y* ≤ 90° |
|

*x* ஒரு சிக்கலெண் எனில் *y* -ன் வீச்சு *x* -ன் மெய்ப்பகுதிக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

sin−1, cos−1,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகள்
-------------------------------------------------------

arctan(*x*) (சிவப்பு) மற்றும் arccot(*x*) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில். 
arcsec(*x*)(சிவப்பு) மற்றும் arccsc(*x*) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம்கார்ட்டீசியன் தளத்தில்
arcsin(*x*) (சிவப்பு) மற்றும் arccos(*x*) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்

  

  

நிரப்பு கோணங்கள

{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}
எதிர்ம கோணங்கள்:

{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}
தலைகீழிக் கோணங்கள்:

{\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}
{\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}
{\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}
{\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}
சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்:

{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}
{\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.).

டேன்ஜெண்டின் அரைக்கோண வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}, -லிருந்து:

{\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}

முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகள்
----------------------------------------------------------------------------------------

{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
{\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
{\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}

பொதுத்தீர்வுகள்
---------------

ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் கோணத்தின் மெய்ப்பகுதியில் காலமுறைமை உடையதாக உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் 2π அளவு இடைவெளியில் தனது அனைத்து மதிப்புகளையும் இருமுறை அடைகின்றது. 

* சைன் மற்றும் கோசீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* − π/2 (*k* ஒரு முழு எண்) -ல் ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடிக்கின்றன. மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π/2 -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றன.

* கோசைன் மற்றும் சீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π -ல் முடித்து மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கின்றன.

* டேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k* − π/2, -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும், அதேபோல (முன்னோக்கி) 2π*k* + π/2-லிருந்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றது .

* கோடேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k*-லிருந்து 2π*k* + π -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும் அதேமாதிரி (முன்னோக்கி) 2π*k* + π -லிருந்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கிறது..

பொது நேர்மாறுகளில் காலமுறைமை பிரதிபலிக்கப்படுகிறது. (இங்கு *k* ஏதேனும் ஒரு முழு எண்)

{\displaystyle \sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin(x)+2k\pi }
{\displaystyle \cos(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos(x)+2k\pi }
{\displaystyle \tan(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan(x)+k\pi }
{\displaystyle \cot(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot}(x)+k\pi }
{\displaystyle \sec(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi }
{\displaystyle \csc(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi }

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
------------------------------------------------

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய வகைக்கெழுக்கள்:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}
*x* -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: 

{\displaystyle \theta =\arcsin x\!} எனில்,

{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

வரையறுத்த தொகையீடுகளாக
----------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int \_{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int \_{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int \_{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&{}=\pi +\int \_{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int \_{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int \_{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\end{aligned}}}
*x* = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட தொகையீடுகள், முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.

முடிவிலாத் தொடர்களாக
--------------------

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்: 

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}

  

{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}

  

{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}

  

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}

  

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}

  

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}

  

arctan -க்கு ஆய்லரால் இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum \_{n=0}^{\infty }\prod \_{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
(இக்கூட்டுதொகையில் *n*= 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.)

  

இதனையே பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

{\displaystyle \arctan z=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{\,2n+1}}{\left(1+z^{2}\right)^{n+1}}}}

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறாத் தொகையீடுகள்
------------------------------------------------------

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
*x* ≥ 1 ஆகவுள்ள மெய்மதிப்புகளுக்கு:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
இவற்றைப் பகுதி தொகையிடல் மூலம் பெறலாம்.

### எடுத்துக்காட்டு

பகுதி தொகையிடலில்:

{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}, 

{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}}
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle k=1-x^{2}.\,}
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
*x* -க்கு மீண்டும் பிரதியிட:

{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

மடக்கை வடிவங்கள்
----------------

சிக்கலெண் மடக்கைகள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் தளத்திற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&{}=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-i\,x\right)-\ln \left(1+i\,x\right)\right)&{}=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&{}={\tfrac {1}{2}}i\left(\ln \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\ln \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)&{}=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&{}=-i\,\ln \left(i\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&{}=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&{}=-i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&{}=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
### எடுத்துக்காட்டு

{\displaystyle \theta =\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} -ஐப் பின்வருமாறு நிறுவலாம்.
{\displaystyle \arcsin x=\theta \,}
{\displaystyle {\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}=x}
(சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை)

{\displaystyle k=e^{i\,\theta }.\,} என்க:
{\displaystyle {\frac {k-{\frac {1}{k}}}{2i}}=x}
{\displaystyle k^{2}-2\,i\,k\,x-1\,=\,0}
{\displaystyle k=ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}}=e^{i\theta }\,}
(நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.)

{\displaystyle \theta =\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}

**சிக்கலெண் தளத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்**|  |  |  |  |  |  |
| {\displaystyle \arcsin(z)} | {\displaystyle \arccos(z)} | {\displaystyle \arctan(z)} | {\displaystyle \operatorname {arccot}(z)} | {\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)} | {\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)} |

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent", *MathWorld*.