கணிதத்தில் **பல்லுறுப்புத் தேற்றம்** (*multinomial theorem*) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

தேற்றம்
-------

*m* ஒரு நேர்ம முழு எண்; *n* ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}\prod \_{t=1}^{m}x\_{t}^{k\_{t}}\,,}
இதில் {\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}={\frac {n!}{k\_{1}!\,k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}} ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும். 
இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள *x**i* இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை *n* ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் *x*0 என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (*x* = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).

*m* = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.

### எடுத்துக்காட்டு

மூவுறுப்புக்கோவை *a* + *b* + *c* இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:

{\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}
{\displaystyle (a+b+c)^{3}} இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:
{\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}} இன் கெழு {\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}
{\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}} இன் கெழு {\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.}
### மாற்று வடிவம்

பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle (x\_{1}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}
இதில்,

{\displaystyle \alpha =(\alpha \_{1},\alpha \_{2},\dots ,\alpha \_{m})}
மற்றும்

{\displaystyle x^{\alpha }=x\_{1}^{\alpha \_{1}}x\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots x\_{m}^{\alpha \_{m}}}
### நிறுவல்

ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் *m* மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:

* படிநிலை 1

*m* = 1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் *x*1*n* என சமமாக உள்ளன.
* படிநிலை 2

*m* இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு *m* + 1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:

{\displaystyle {\begin{aligned}&(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m}+x\_{m+1})^{n}=(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +(x\_{m}+x\_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+K=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}(x\_{m}+x\_{m+1})^{K}\end{aligned}}}
வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:

{\displaystyle =\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+K=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}\sum \_{k\_{m}+k\_{m+1}=K}{K \choose k\_{m},k\_{m+1}}x\_{m}^{k\_{m}}x\_{m+1}^{k\_{m+1}}}
{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}{K \choose k\_{m},k\_{m+1}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k\_{m}!k\_{m+1}!}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m+1}!}}={n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},k\_{m},k\_{m+1}},} என்பதால்
{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m}+x\_{m+1})^{n}=\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+k\_{m}+k\_{m+1}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},k\_{m},k\_{m+1}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}x\_{m}^{k\_{m}}x\_{m+1}^{k\_{m+1}}}
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.

பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்
-----------------------

பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}} "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}={\frac {n!}{k\_{1}!\,k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}={k\_{1} \choose k\_{1}}{k\_{1}+k\_{2} \choose k\_{2}}\cdots {k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m} \choose k\_{m}}}
பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை:
பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:

{\displaystyle \sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}=m^{n}.}
விளக்கம்:

பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:
{\displaystyle \sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m}^{k\_{m}}=(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}}
இதில் {\displaystyle x\_{i}=1,(\forall i)} எனப் பதிலிட:

{\displaystyle \sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}=m^{n}.}
சேர்வியல் விளக்கம்:

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான *n* பொருட்களை, வெவ்வேறான *m* பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் *k*1 பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் *k*2 பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் *k*3 பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  National Institute of Standards and Technology (May 11, 2010). "NIST Digital Library of Mathematical Functions". Section 26.4. August 30, 2010 அன்று பார்க்கப்பட்டது.