கொஞ்சு வட்டம்
ஆர்க்கிமிடியச் சுருளின் கொஞ்சு வட்டங்கள்
வளைகோடுகளின் வகையீட்டு வடிவவியலில் இழைவான தள வளைகோடு ஒன்றின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி *p* இல் வளைகோட்டின் **கொஞ்சு வட்டம்** அல்லது **ஒட்டு வட்டம்** (*osculating circle*) என்பது, *p* மற்றும் *p* க்கு நுண்ணளவு அருகாக வட்டத்தின் மீதமையும் இரண்டு புள்ளிகள் ஆகியவற்றின் வழியாகச் செல்லும் வட்டம் என வழக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. கொஞ்சு வட்டத்தின் மையம் வளைகோட்டின் உட்செங்கோட்டின் மீதமைவதோடு அதன் வளைவானது *p* புள்ளியில் மூல வளைகோட்டின் வளைவுக்குச் சமமாக இருக்கும். *p* இல் அவ்வளைகோட்டிற்கானத் தொடு வட்டங்களுள் ஒன்றாக கொஞ்சு வட்டம் இருக்கும். இவ் வட்டத்திற்கு கணிதவியலாளர் லைப்னிட்சு, 'முத்தமிடும் வட்டம்' எனப் பொருள்படும் *circulus osculans* என்ற இலத்தீன் மொழிப் பெயரிட்டார். ஒரு புள்ளியில் கொஞ்சு வட்டத்தின் மையமும் ஆரமும் முறையே மூல வளைகோட்டின் அப்புள்ளியிலான வளைவு மையம் மற்றும் வளைவு ஆரமாகும்

கணித விளக்கம்
-------------

*γ*(*s*) (s, (வில்லின் நீளம்), வளைகோடு; **T**(*s*), அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன்; **N**(*s*), அலகு செங்கோட்டு திசையன்; *k*(*s*), வளைவு (குறியிடப்பட்டது); *R*(*s*), வளைவின் ஆரம் எனில்:



T
(
s
)
=

γ
′

(
s
)
,

T
′

(
s
)
=
k
(
s
)
N
(
s
)
,

R
(
s
)
=

1

|

k
(
s
)

|

.

{\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}

{\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}
*P* ஆனது *γ* மீதுள்ள ஒரு புள்ளி; அப்புள்ளியில் *k* ≠ 0 எனில் அப்புள்ளியில் வளைகோட்டின் வளைவு மையம் *Q* ஆனது அலகு செங்கோட்டுத் திசையன் (*N*) மீது *R* தொலைவில் இருக்கும். மேலும் *k* நேர் மதிப்பாக இருந்தால் *N* இன் திசையிலும் *k* எதிர் மதிப்பாக இருந்தால் எதிர்த்திசையிலும் வளைவு மையம் இருக்கும் *Q* வை மையமாகவும் *R* ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது *P* புள்ளியில், *γ* வளைகோட்டின் கொஞ்சு வட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது..

தள வளைகோடானது வேறொரு சீரான அளபுருவாக்கத்தில் கீழுள்ளாவறு தரப்பட்டால்:



γ
(
t
)
=

[

x

1

(
t
)


x

2

(
t
)

]

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x\_{1}(t)\\x\_{2}(t)\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}} (சீரான என்பது {\displaystyle \gamma '(t)\neq 0,} {\displaystyle \forall <math>t}). *k*(*t*), *N*(*t*), *R*(*t*), *Q*(*t*) அனைத்தும் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:


k
(
t
)
=

x

1

′

(
t
)

x

2

″

(
t
)
−

x

1

″

(
t
)

x

2

′

(
t
)

(

x

1

′

(
t
)

2

+

x

2

′

(
t
)

2

)

3

/

2


,

N
(
t
)
=

1

‖

γ
′

(
t
)
‖


[

−

x

2

′

(
t
)


x

1

′

(
t
)

]

{\displaystyle k(t)={\frac {x\_{1}'(t)\,x\_{2}''(t)-x\_{1}''(t)\,x\_{2}'(t)}{\left(x\_{1}'\left(t\right)^{2}+x\_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x\_{2}'(t)\\x\_{1}'(t)\end{bmatrix}}}

{\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}

R
(
t
)
=

|

(

x

1

′

(
t
)

2

+

x

2

′

(
t
)

2

)

3

/

2


x

1

′

(
t
)

x

2

″

(
t
)
−

x

1

″

(
t
)

x

2

′

(
t
)

|

and

Q
(
t
)
=
γ
(
t
)
+

1

k
(
t
)
‖

γ
′

(
t
)
‖


[

−

x

2

′

(
t
)


x

1

′

(
t
)

]

.

{\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x\_{1}'\left(t\right)^{2}+x\_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x\_{1}'(t)\,x\_{2}''(t)-x\_{1}''(t)\,x\_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x\_{2}'(t)\\x\_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}

{\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}
### கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகள்

*f* என்ற ஏதேனுமொரு சார்புக்கு *t* = *x*, *y* = *f*(*x*) எனப் பதிலிட்டு, கொஞ்சு வட்ட மையத்தின் கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகளைக் காணலாம்:


x

c

=
x
−

f
′

1
+

f

′

2


f
″


and

y

c

=
f
+

1
+

f

′

2


f
″


{\displaystyle x\_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y\_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}

{\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}

பண்புகள்
--------

தேவையான அளவு இழைவான துணையலகுச் சமன்பாட்டுகளைக் (இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கது) கொண்ட ஒரு வளைகோடு *C* க்கு அதன் மீதுள்ள புள்ளி *P* இல் அமையும் கொஞ்சு வட்டத்தை எல்லை முறையில் காணலாம்:

*C* இன் மீதுள்ள வெவ்வேறான மூன்று புள்ளிகளும் *P* ஐ நெருங்கும்போது, அம்மூன்று புள்ளிகளின் வழியே செல்லும் வட்டங்களின் எல்லை கொஞ்சு வட்டமாக இருக்கும். இது, வட்டத்தின் மீதுள்ள வெவ்வேறான இருபுள்ளிகளின் வழியே செல்லும் வெட்டுக்கோட்டின் எல்லையாக தொடுகோட்டைக் காண்பதற்கு ஒத்ததாக அமையும்.
*C* வளைகோட்டுக்கு *P* புள்ளியிலமையும் கொஞ்சு வட்டம் *S* பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

* வட்டம் *S* ஆனது *P* வழியே செல்லும்.
* வட்டம் *S*, வளைகோடு *C* ஆகிய இறன்டும் *P* இல் பொதுத் தொடுகோட்டினையும் பொது செங்கோட்டையும் கொண்டிருக்கும்.

* *P* க்கு மிக அருகில் *C* மீதும் *S* மீதுமுள்ள புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரமானது, (செங்கோட்டுத் திசையில்) *P* இலிருந்து அமையும் தொலைவின் (தொடுகோட்டுத் திசையுல்) கனவடுக்கு அல்லது அதற்கும் உயரடுக்குகளின் விகிதத்தில் குறையும். இது பொதுவாக, வளைகோடும் அதன் கொஞ்சு வட்டமும் *P* இல், இரண்டாம் வரிசை தொடுகை கொண்டவை எனப்படுகிறது.

*P* இல் வளைவின் வகைக்கெழு *s* ப்பொறுத்து பூச்சியமாக இருந்தால், கொஞ்சு வட்டமானது *P* இல் வளைகோட்டை வெட்டும். வளைவரையின் வகைக்கெழு பூச்சியமாகும் *P* புள்ளிகள் வளைகோட்டின் உச்சிகள் எனப்படும். *P* புள்ளியானது உச்சியாக இருந்தால், வளைகோடும் கொஞ்சு வட்டமும் குறைந்தபட்சமாக மூன்றாம் வரிசைத் தொடுகை கொண்டிருக்கும். மேலும் *P* இல் வளைவின் மதிப்பு பூச்சியமற்ற இடஞ்சார் பெருமம் அல்லது சிறுமமாக இருந்தால், கொஞ்சு வட்டமானது வளைகோட்டை *P* இல் தொடும் ஆனால் வெட்டாது.

கொஞ்சு வட்டங்களின் ஒரு-துணையலகுக் குடும்பத்தின் சூழ்வாக வளைகோடு *C* ஐப் பெறலாம். இக் கொஞ்சு வட்டங்களின் மையங்கள் (வளைவு மையங்கள்), *C* இன் மலரி என அழைக்கப்படும் வளைகோட்டை உருவாக்கும். *C* இன் உச்சிகள், மலரியின் ஒற்றைப் புள்ளிகளாக அமையும்.

*C* இன் ஒரு வில்லானது, *C* இன் ஏதாவதொரு உச்சியிலிருந்து விலகியிருக்கும் புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால் அவ்வில்லுக்குள்ளமையும் புள்ளிகளின் கொஞ்சு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாதவையாகவும் ஒன்றுக்குள்ளொன்று பொதிந்தவையாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

### பரவளையம்

பரவளையத்தின் உச்சியில் கொஞ்சு வட்டம். இதன் ஆரம் 0.5, நான்காம் வரிசை தொடுகை கொண்டுள்ளது.

γ
(
t
)
=

[

t


t

2


]

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}} என்ற பரவளைவின் வளைவு ஆரம்:



R
(
t
)
=

|

(

1
+
4

t

2

)

3

/

2

2

|

{\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}

{\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}
பரவளைவின் உச்சியில் ({\displaystyle \gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}) வளைவின் ஆரம் *R*(0) = 0.5. பரவளைவிற்கும் அதன் கொஞ்சு வட்டத்திற்கும் உச்சியில் தொடுகையின் வரிசை நான்காகும். t இன் மதிப்பு அதிகரிக்கரிக்க, வளைவு ஆரத்தின் அதிகரிப்பு ~ *t*3. ஆக இருக்கும். அதாவது வளைகோடு மேலும் மேலும் நேராகிக்கொண்டே வரும்.

### வட்டவுரு

வட்டப்புள்ளியுரு (நீலம்), அதன் கொஞ்சு வட்டம் (சிவப்பு), மலரி (பச்சை).
r ஆரமுள்ள வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:



γ
(
t
)
=

[

r

(

t
−
sin
⁡
t

)


r

(

1
−
cos
⁡
t

)

]

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}
அதன் வளைவு:



κ
(
t
)
=
−

|

csc
⁡

(

t
2

)

|

4
r


{\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}

{\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}

R
(
t
)
=

4
r

|

csc
⁡

(

t
2

)

|


{\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}

{\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Actually, point *P* plus two additional points, one on either side of *P* will do. See Lamb (on line): Horace Lamb (1897). *An Elementary Course of Infinitesimal Calculus*. University Press. பக். 406.. "osculating circle."
2. ↑  Étienne Ghys; Sergei Tabachnikov; Timorin, Vladlen (2013). "Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem". *The Mathematical Intelligencer* **35** (1): 61–66. doi:10.1007/s00283-012-9336-6. .
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Cycloid", *MathWorld*.

மேலதிக வாசிப்புக்கு
-------------------

வளைவின் ஆய்வுகுறித்த வரலாற்றுக் குறிப்புகளுக்கு காண்க:

* Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). *From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History*. Princeton University Press. பக். 72. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-691-07082-2. .
* Roy Porter, தொகுப்பாசிரியர் (2003). *The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science*. Cambridge University Press. பக். 313. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-57243-6. .

For application to maneuvering vehicles see

* JC Alexander and JH Maddocks (1988): *On the maneuvering of vehicles* எஆசு:10.1137/0148002
* Murray S. Klamkin (1990). *Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review*. Society for Industrial and Applied Mathematics. பக். 1. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-89871-259-9. .

வெளியிணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***Osculating circles***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன. 

* Weisstein, Eric W. "Osculating Circle", *MathWorld*.
* math3d : osculating\_circle