மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*]-ல் தொடர்ச்சியானதும் திறந்த இடைவெளி (*a*, *b*) -ல் வகையிடத்தக்கதுமான ஒருசார்புக்கு [*a*, *b*] இடைவெளியின் முனைகளை இணைக்கும் வெட்டுக்கோட்டிற்கு (secant) இணையான தொடுகோடு (tangent), (*a*, *b*) இடைவெளியில் உள்ள ஒரு புள்ளி *c* -ல் அமையும்.
வகைநுண்கணிதத்தில் **இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்** (*mean value theorem*) கூற்றின்படி, வகையிடத்தக்கதாகவும் தொடர்ச்சியானதுமான ஒரு சார்பின் வளைவரையின் ஒரு வில்லின்மீது, வில்லின் சராசரி வகைக்கெழுவிற்குச் சமமான வகைக்கெழு (சாய்வு) கொண்ட புள்ளி குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது இருக்கும். சுருக்கமாகச் சொன்னால், வில்லின் முனைகளை இணைக்கும் நாணிற்கு இணையாக வில்லின் ஒரு பொருத்தமான நுண்ணிய பகுதி இருக்கும்.

மேலும் துல்லியமாக, சார்பு *f*(*x*) , மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்; திறந்த இடைவெளி (*a*, *b*) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், (*a*, *b*) -ல் பின்வரும் முடிவைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி *c* இருக்கும்.

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.}
இத்தேற்றத்தைப் பின்வரும் விளக்கத்தின் மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்: ஒரு கார் ஒரு மணி நேரத்தில் 100 மைல் தூரம் செல்கிறது என்றால் அக்காரின் சராசரி வேகம் 100 மைல்/மணி ஆகும். இச்சராசரி வேகத்திற்கு கார், பயணநேரம் முழுவதும் மாறாமல் 100 மைல் வேகத்தில் செல்லலாம் அல்லது சில நேரங்களில் 100 மைலுக்கும் அதிகமான வேகத்திலும் மற்ற நேரங்களில் அதற்கும் குறைவான வேகத்திலும் பயணப்பட்டு சராசரி வேகத்தை 100 மைல்/மணியாக கொண்டிருக்கலாம். இடை மதிப்புப் தேற்றப்படி, பயணத்தின் நடுவில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் கார் சராசரி வேகமான 100 மைல்/மணி வேகத்தில் பயணம் செய்திருக்கும்.

கேரள வானவியலாளர் மற்றும் கணிதவியலாளர் *பரமேஷ்வரரால்* (1370-1460) பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் *கோவிந்தசுவாமி* மற்றும் இரண்டாம் பாஸ்கரர் பற்றிக் விவாதிக்கும்போது முதலாவதாக இத்தேற்றத்தின் சிறப்புவகை விளக்கப்பட்டுள்ளது. பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் *அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியால்* (1789-1857) தற்போதைய இடைமதிப்புத் தேற்றம் வடிவமைக்கப்பட்டது. வகை நுண்கணித்திலும் கணித பகுப்பியலிலும் இத்தேற்றம் முக்கியம் வாய்ந்ததாகும். நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் அவசியமான ஒன்றாகும்.

முறையான கூற்று
--------------

{\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} } என்ற சார்பு, 

* மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*]-ல் தொடர்ச்சியானது,
* திறந்த இடைவெளி (*a*, *b*) -ல் வகையிடத்தக்கது எனில், (*a* < *b*)

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
என்றவாறு (*a*, *b*) -ல் *c* என்ற ஒரு மதிப்பு இருக்கும்.

இடைமதிப்புத் தேற்றம், ரோலின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். ரோலின் தேற்றத்தில் *f*(*a*) = *f*(*b*) என எடுத்துக் கொள்ளப்படுவதால் மேலேயுள்ள கூற்றின் வலதுபுற மதிப்பு பூச்சியமாகும்.

மேலும் சிறிது பொதுவான அமைப்பிலும் இத்தேற்றம் பொருந்தும்:

{\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} } என்ற சார்பு, 

* மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்,
* திறந்த இடைவெளி (*a*, *b*) -லுள்ள ஒவ்வொரு *x* -க்கும்:

{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
என்ற எல்லை மதிப்பு இருந்து அது ஒரு முடிவுறு எண், +∞ அல்லது −∞ என இருந்தால் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் முடிவு உண்மை.

இந்த எல்லை மதிப்பு ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருந்தால் அது {\displaystyle f'(x)} -க்குச் சமம்.

*x* → *x*1/3 க்கு இணைக்கும் கனமூலம் காணும் மெய்மதிப்புச் சார்பு இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் இக்கூற்றுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இச்சார்பின் வகைக்கெழு, ஆதிப்புள்ளியில் முடிவிலியை (∞) அணுகும்.

சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இத்தேற்றம் உண்மையாகாது.

*f*(*x*) = *eix* (அனைத்து மெய்யெண் *x* -க்கும்) எனில்:

*f*(2π) − *f*(0) = 0 = 0(2π − 0)
ஆனால், |f′(x)| = 1

நிறுவல்
-------

f -ன் வளைவரைமேல் அமையும் (*a*, *f*(*a*)), (*b*, *f*(*b*)) புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சாய்வு:

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
வளைவரை மீதுள்ள (*x*, *f*(*x*)) புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வு.

{\displaystyle \ f'(c).}
இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்படி நாணின் சாய்வும் தொடுகோட்டின் சாய்வும் சமமாக இருக்குமாறு ஒரு புள்ளி காணமுடிய வேண்டும்.

{\displaystyle \ g(x)=f(x)-rx}, *r* ஒரு மாறிலி என *g* சார்பை வரையறுத்துக் கொள்க.

*f*, மூடிய இடைவெளி [*a*, *b*]-ல் தொடர்ச்சியானது, திறந்த இடைவெளி (*a*, *b*) -ல் வகையிடத்தக்கது என்பதால் *g* -ம் அவ்வாறே அமையும்.

*r* -ன் மதிப்பை {\displaystyle \ g(a)=g(b)} என இருக்குமாறு எடுத்துக்கொள்ள:

{\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}}.
*g* சார்புக்கு ரோலின் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பொருந்துவதால் அத்தேற்றத்தின்படி:

{\displaystyle g'(c)=0} என்றவாறு (*a*, *b*) -ல் ஒரு *c* மதிப்பைக் காணமுடியும்.

{\displaystyle \ g(x)=f(x)-rx} என்பதால்:

{\displaystyle f'(c)=g'(c)+r=0+r=\ r}
ஃ {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
இடைமதிப்புத் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

எளிய பயன்பாடு
-------------

மெய்யெண் கோட்டின் மீதான இடைவெளி {\displaystyle \ I} -ல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு {\displaystyle \ f,} தொடர்ச்சியானது; இடைவெளியினுள் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இச்சார்புக்கு வகைக்கெழு உள்ளது; மேலும் அதன் மதிப்பு பூச்சியம் எனில் சார்பு {\displaystyle \ f,} ஒரு மாறிலிச் சார்பு.

நிறுவல்:

இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் அனைத்தும் சார்பு {\displaystyle \ f} -க்குப் பொருந்துவதால், தேற்ற முடிவின்படி இடைவெளி {\displaystyle \ (a,b)} -ல் உள்ள ஒரு மதிப்பு *c* -க்கு:

{\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
{\displaystyle \ (a,b)} -ல்: 

{\displaystyle \ f(a)=f(b).}
எனவே {\displaystyle \ f,}, இடைவெளிக்குள் மாறிலிச் சார்பு. சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையினால் இடைவெளி முழுவதும் மாறிலிச் சார்பாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Weisstein, Eric. "Mean-Value Theorem". *MathWorld*. Wolfram Research. 24 March 2011 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
2. ↑  J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara பரணிடப்பட்டது 2015-04-02 at the வந்தவழி இயந்திரம், *MacTutor History of Mathematics archive*.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* PlanetMath: Mean-Value Theorem பரணிடப்பட்டது 2009-11-18 at the வந்தவழி இயந்திரம்
* Weisstein, Eric W. "Mean value theorem", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Cauchy's Mean-Value Theorem", *MathWorld*.
* "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy