நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் பெருக்கல் விதி** அல்லது **பெருக்கல் விதி** (*product rule*) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.

இவ்விதியின் கூற்று:

*f* , *g* வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:

{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}.
வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}.
இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:

{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}.

லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு
--------------------------

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.

*u*(*x*) , *v*(*x*) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் *uv* இன் வகையீடு:

{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
*du*·*dv* மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,

{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}
இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.

*dx* ஆல் வகுக்க,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}
இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* வகையிட வேண்டிய சார்பு

{\displaystyle f(x)=x^{2}sinx} எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,
{\displaystyle (f(x))'=sinx(x^{2})'+x^{2}(sinx)'\,\!}
{\displaystyle =sinx(2x)+x^{2}(cosx)\,\!}
{\displaystyle =2xsinx+x^{2}cosx\,\!}
* பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம்.

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.

பெருக்கல் விதிப்படி,

{\displaystyle (cf(x))'=c(f(x))'+f(x)(c)'\,\!}
மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,

{\displaystyle (cf(x))'=cf'(x)\,\!} இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.

பொதுவான பிழை
------------

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (*uv*) இன் வகைக்கெழுவை (*u* ′)(*v* ′) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.

நிறுவல்
-------

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.

{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}
*ƒ* , *g* -என்பவை *x* இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

{\displaystyle h'(x)=\lim \_{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim \_{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}\qquad \qquad (1)}
இதிலுள்ள {\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)} என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:

{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}
{\displaystyle \qquad (2)} = {\displaystyle \qquad (3)} என்பதால்,

{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)=f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}\qquad \qquad (4)}
இதை (1) இல் பயன்படுத்த,

{\displaystyle \lim \_{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right)\qquad (4)}
இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,

{\displaystyle \left(\lim \_{w\to x}f(x)\right)\left(\lim \_{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim \_{w\to x}g(w)\right)\left(\lim \_{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right)\qquad (5)}
இப்பொழுது

* {\displaystyle \lim \_{w\to x}f(x)=f(x),} ( *w* → *x* எனும்போது *f*(*x*) மாறுவதில்லை)
* {\displaystyle \lim \_{w\to x}g(w)=g(x),\,} (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
* {\displaystyle \lim \_{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}    and    {\displaystyle \lim \_{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)} (*f* , *g* இரண்டும் *x* இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,

{\displaystyle h'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,} எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.
வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.

பொதுமைப்படுத்துதல்
------------------

### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:

* மூன்று சார்புகளுக்கு:

{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}\,\!}.
* {\displaystyle f\_{1},\dots ,f\_{k}} ஆகிய *k*-சார்புகளுக்கு:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod \_{i=1}^{k}f\_{i}(x)\right]=\sum \_{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f\_{i}(x)\prod \_{j\neq i}f\_{j}(x)\right)=\left(\prod \_{i=1}^{k}f\_{i}(x)\right)\left(\sum \_{i=1}^{k}{\frac {f'\_{i}(x)}{f\_{i}(x)}}\right).}
### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் *n* ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

### உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:

{\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x\_{1}\,\cdots \,\partial x\_{n}}(uv)=\sum \_{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod \_{i\in S}\partial x\_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod \_{i\not \in S}\partial x\_{i}}}
மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}+{\partial u \over \partial x\_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}+{\partial u \over \partial x\_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{3}}+{\partial u \over \partial x\_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x\_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x\_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x\_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Michelle Cirillo (August 2007). "Humanizing Calculus". *The Mathematics Teacher* **101** (1): 23–27.. பார்த்த நாள்: 2012-09-09.
2. ↑  The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – *ƒ*(*w*) need not be greater than *ƒ*(*x*) and *g*(*w*) need not be greater than *g*(*x*). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.

* Child, J. M. (2008) "The early mathematical manuscripts of Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote 58.

* கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79.  பரணிடப்பட்டது 2012-11-20 at the வந்தவழி இயந்திரம்