ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் **தொடர் பெருக்கம்** (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இது *n*! எனக் குறிக்கப்படும்.

எ.கா:

{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ }
{\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\ }
{\displaystyle 3!=3\times 2\times 1=6\ }
{\displaystyle 2!=2\times 1=2\ }
{\displaystyle 1!=1\ }
{\displaystyle 0!=1\ } (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படி).
தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான *n* பொருட்களை *n*! வழிகளில் தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது. பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார்.

வரைவிலக்கணம்
------------

தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle n!=\prod \_{k=1}^{n}k\!}
அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

{\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

{\displaystyle n!=D^{n}x^{n}\;}
மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :{\displaystyle 0!=1,\ } என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

பயன்பாடுகள்
-----------

பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில் தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

* வெவ்வேறான *n* பொருட்களை வெவ்வேறான *n*! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான *n* பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை *n*! ஆகும்.
* வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
*n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:

{\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}
இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட *k* பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய *k*! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, *n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}
இந்த வாய்ப்பாடு (1 + *X*)*n* விரிவில் *X**k* இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு ({\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

* நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:

*k* ≥ 1 ஒரு முழு எண்; *a* ∈ **R** புள்ளியில், சார்பு *f* : **R** → **R** *k* தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில், *hk* : **R** → **R** என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h\_{k}(x)(x-a)^{k},}
{\displaystyle {\mbox{and}}\quad \lim \_{x\to a}h\_{k}(x)=0}

* நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:

* பாய்சான் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}
இவ்வாய்ப்பாட்டில், 

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி *X*; *λ* > 0; *k* =0,1,2,…, *e* = 2.71828....

எண் கோட்பாடு
------------

* *n* மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் *n*! வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
	+ *n* > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}.}
* + *p* ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}} (வில்சனின் தேற்றம்)
* பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  *n*! ± 1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
* 1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

தலைகீழிகளின் தொடர்
------------------

தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e\,.}
இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}\ldots =1\,.}
இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது.

ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்
-----------------------------------

கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:

### பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்

பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும். (OEIS-இல் வரிசை A002110)

*n* வது பகா எண் *pn* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *pn#* என்பது முதல் *n* பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle p\_{n}\#=\prod \_{k=1}^{n}p\_{k}}
*pk* என்பது *k* -வது பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டாக:

{\displaystyle p\_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}
முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:

1, 2, 6, 30, 210, 2310.
(இதில் *p0#* = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.))

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் *n* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *n#* என்பது *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle n\#=\prod \_{i=1}^{\pi (n)}p\_{i}=p\_{\pi (n)}\#}
இங்கு, {\displaystyle \scriptstyle \pi (n)} பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு (OEIS-இல் வரிசை A000720)
, *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:

{\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}
எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது 12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:

{\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}
### இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்

ஒற்றை நேர் எண் *n* வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு *n*!!.

{\displaystyle (2k-1)!!=\prod \_{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {\_{2k}P\_{k}}{2^{k}}}={\frac {{(2k)}^{\underline {k}}}{2^{k}}}.}
எடுத்துக்காட்டு: 

9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.
*n* = 1, 3, 5, 7, ... எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... (OEIS-இல் வரிசை A001147)

முக்கோணவியல் தொகையீட்டில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

### பல்தொடர்பெருக்கம்

எதிரிலா முழு எண்களின் *k*-வது தொடர்பெருக்கம் {\displaystyle n!^{(k)}}:

{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k,\\n((n-k)!^{(k)}),&&{\mbox{if }}n\geq k\,,\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
தொடர்பெருக்கம் {\displaystyle n!} எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் {\displaystyle n!!} எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் {\displaystyle n!^{(k)}} {\displaystyle k} ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) *Concrete Mathematics*, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
2. ↑  N. L. Biggs, *The roots of combinatorics*, Historia Math. 6 (1979) 109−136
3. ↑
4. ↑  Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), *Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale*, (N. 67, p.XVII-XIX): Fratelli Bocca ed.`{{citation}}`: CS1 maint: location (link)
5. ↑  Spivak, Michael (1994), *Calculus* (3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
6. ↑  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Taylor formula", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
7. ↑  Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, Roy D. Yates, David Goodman, page 60.
8. ↑  Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", *Unsolved problems in number theory* (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
9. 1 2  Weisstein, Eric W. "Primorial", *MathWorld*.
10. ↑  (OEIS-இல் வரிசை A002110)
11. ↑  (OEIS-இல் வரிசை A034386)
12. ↑  Callan, David (2009), *A combinatorial survey of identities for the double factorial*, arXiv:0906.1317.
13. ↑  Meserve, B. E. (1948), "Classroom Notes: Double Factorials", *The American Mathematical Monthly*, **55** (7): 425–426, doi:10.2307/2306136, MR 1527019