G = {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.
**லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்** (*Lagrange's theorem*) கணிதத்தில் குலக் கோட்பாட்டுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.

தேற்றம்
-------

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று
ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்).

விளக்கம்
ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் {\displaystyle G}; அதன் உட்குலம் {\displaystyle H} எனில், 

{\displaystyle H}இன் வரிசை {\displaystyle |H|}
{\displaystyle G} இன் வரிசை {\displaystyle |G|}
லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, {\displaystyle |G|} ஐ {\displaystyle |H|} மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}} இன் மதிப்பு ஒரு முழு எண்ணாகும். இம்மதிப்பு, {\displaystyle G} இல் {\displaystyle H} இன் குறியெண் எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு {\displaystyle [G:H].}

{\displaystyle [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}} Associative law, closure property, Existence of Identity, Existence of Inverse these are staying it's [G]

நிறுவல்
-------

வலது இணைக்கணம் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்.

{\displaystyle G} இன் உறுப்புக்களிடையே {\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow xy^{-1}\in H} என்ற உறவை ஏற்படுத்தினால், இவ்வுறவு சமான உறவாகும். மேலும் இது {\displaystyle G} ஐ சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். இச்சமானப் பகுதிகள் {\displaystyle H} இன் வலது இணைக்கணங்கள் எனப்படும். உட்குலம் {\displaystyle H} ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது முற்றொருமை உறுப்பு {\displaystyle e} ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி. இச்சமானப் பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்.

{\displaystyle Ha,Hb} என்ற ஏதாவது இரு வலது இணைக்கணங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்கிடையே,

{\displaystyle f:Ha\rightarrow Hb,} {\displaystyle f(x)=xa^{-1}b}
என்ற கோப்பினை வரையறுக்க, {\displaystyle \forall y\in } {\displaystyle Hb,} {\displaystyle f^{-1}(y)=yb^{-1}a} என்பதும் உண்மையாவதால் இக்கோப்பு ஓர் இருவழிக் கோப்பாக அமையும். இந்த இருவழிக்கோப்பின் ஆட்களம் {\displaystyle Ha} மற்றும் இணை ஆட்களம் {\displaystyle Hb} இரண்டின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே {\displaystyle G} இன் அனைத்து சமானப்பகுதிகளின் ({\displaystyle H} உட்பட) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் {\displaystyle |H|} க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

{\displaystyle \Rightarrow |G|=|H|\times [G:H]} ([G : H] = சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.)
{\displaystyle \Rightarrow |G|} ஐ {\displaystyle |H|} மீதியின்றி வகுக்கும். லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

விளைவுகள்
---------

* குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் கிரமம் அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.
* இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் பகா எண்ணாக இருக்குமானானால் அது சுழற்குலமாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.
* லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை

{\displaystyle |G|=[G:H]\times |H|}
என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் {\displaystyle G,H} க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள்
* லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு)
* லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்

வெளியிணைப்புகள்
---------------