வளைவரை (சிவப்பு) மீதுள்ள புள்ளி P இல் தொடுகோணம்: {\displaystyle \varphi .}
வடிவவியலில் கார்ட்டீசியன் தளத்தில், ஒரு வளைவரையின் மேலமையும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அவ் வளைவரையின் **தொடுகோணம்** (*tangential angle*) என்பது அப் புள்ளியில் அந்த வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் *x*-அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ஆகும்.

சமன்பாடுகள்
-----------

* வளைவரையின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: {\displaystyle (x(t),\ y(t))} எனில்,

{\displaystyle t} எனும் புள்ளியில் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

{\displaystyle {\frac {(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}
{\displaystyle (x'(t),\ y'(t))} என்பது {\displaystyle (x(t),\ y(t))} இன் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கிறது. தொடுகோணம் {\displaystyle \varphi ,} திசைவேக வெக்டர்{\displaystyle (x'(t),\ y'(t))} இன் திசையைத் தருகிறது. திசையன் {\displaystyle {\frac {(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|}},} *அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன்* என அழைக்கப்படுகிறது.

* வளைவரையின் சமன்பாடு: {\displaystyle (x(s),\ y(s))} என, அதன் வில்லின் நீளத்தைத் ({\displaystyle s}) துணையலகாகக் கொண்டும், {\displaystyle |x'(s),\ y'(s)|=1} எனவும் இருந்தால்

தொடுகோணத்தின் வரையறை:

{\displaystyle (x'(s),\ y'(s))=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}.
இவ் வகையில் வளைவின் மதிப்பு:

{\displaystyle \kappa =\varphi '(s)} ஆகும். வளைவரை இடப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு நேர் மதிப்பாகவும், வளைவரை வலப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு எதிர் மதிப்பாகவும் இருக்கும்.
* வளைவரையின் சமன்பாடு: {\displaystyle y=f(x)} எனில்,

தொடுகோணம்: 

{\displaystyle \varphi =\arctan f'(x)}.
இங்கு தொடுகோணத்தின் மதிப்பு {\displaystyle -\pi /2,} {\displaystyle \pi /2} க்கு இடையில் இருக்கும்.

போலார் ஆயதொலைவுகளில்
--------------------

போலார் ஆயதொலைவுகளில், தரப்பட்ட புள்ளியில், வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் ஆதியிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு வரையப்பட்ட கதிருக்கும் இடைப்பட்ட கோணம், **போலார் தொடுகோணம்** (*polar tangential angle*) என வரையறைக்கப்படுகிறது. போலார் தொடுகோணம் {\displaystyle \psi ,} மற்றும் புள்ளியின் போலார் ஆயதொலைவுகளின் ஒரு கூற்றான போலார் கோணம் {\displaystyle \theta } மற்றும் {\displaystyle \varphi } மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோணம் எனில்,

{\displaystyle \psi =\varphi -\theta .}
போலார் ஆயதொலைவுகளில் வளைவரையின் சமன்பாடு {\displaystyle r=f(\theta )} எனில் போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

{\displaystyle {\frac {(f'(\theta ),\ f(\theta ))}{|f'(\theta ),\ f(\theta )|}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}.
வளைவரையின் சமன்பாடு வில்லின் நீளத்தைத் ({\displaystyle s}) துணையலகாகக் கொண்டமைக்கப்பட்டால் சமன்பாடு: 

{\displaystyle r=r(s),\ \theta =\theta (s)}, {\displaystyle |r'(s),\ r\theta '(s)|=1}
இப்பொழுது போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை:
{\displaystyle (r'(s),\ r\theta '(s))=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}.

போலார் தொடுகோணம் மாறிலியாகவுள்ள வளைவரையாக மடக்கைச் சுருள் உள்ளது.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "Natural Equation" at MathWorld
2. ↑  For example W. Whewell "Of the Intrinsic Equation of a Curve, and its Application" *Cambridge Philosophical Transactions* Vol. VIII (1849) pp. 659-671. Google Books uses φ to mean the angle between the tangent and tangent at the origin. This is the paper introducing the Whewell equation, an application of the tangential angle.
3. ↑  MathWorld "Tangential Angle"
4. ↑  MathWorld "Natural Equation" differentiating equation 1
5. 1 2  ""Logarithmic Spiral" at *Planet Math*". 2011-08-05 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2013-11-23 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. ↑  Williamson for section unless otherwise noted.

* Weisstein, Eric W. "Tangential Angle", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Natural Equation", *MathWorld*.
* "Notations" at *Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables*
* R.C. Yates (1952). *A Handbook on Curves and Their Properties*. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. பக். 123–126.
* "Angle between Tangent and Radius Vector" in *An elementary treatise on the differential calculus* By Benjamin Williamson p222 9th ed. (1899) online