நுண்புல இயற்கணிதத்தில் **குலச் சமஅமைவியம்** (*group isomorphism*) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் *சமஅமைவியமுடைய குலங்கள்* எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

வரையறையும் குறியீடும்
---------------------

(G, \*) , (H, {\displaystyle \odot }) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

*வரையறை*:

{\displaystyle f:G\rightarrow H}
{\displaystyle f(u\*v)=f(u)\odot f(v),\forall u,v\in G}.
*குறியீடு*:
(G, \*) , (H, {\displaystyle \odot }) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

{\displaystyle (G,\*)\cong (H,\odot )}
இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

{\displaystyle G\cong H}
சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, \*); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு {\displaystyle f:G\rightarrow H} மூன்றும் தரப்பட்டால்,

{\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u\*v)}
என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை (H, {\displaystyle \odot }) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G , {\displaystyle \odot } = \* எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ({\displaystyle \mathbb {R} },+), நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ({\displaystyle \mathbb {R} }+,×): சமஅமைவியமுடையது:

{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}
சமஅமைவியம்:

{\displaystyle f(x)=e^{x},\forall x\in \mathbb {R} }
* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ({\displaystyle \mathbb {R} },+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் ({\displaystyle \mathbb {Z} }, +). காரணி குலம் {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,} தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ({\displaystyle S^{1}}, ×) சமஅமைவியமுடையது:

{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}
சமஅமைவியம்:

{\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi},\forall x\in \mathbb {R} }
* கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம், {\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் ({\displaystyle \mathbb {Z} \_{2}\times \mathbb {Z} \_{2}}) சமஅமைவியமுடையது.
* (*G*, \*) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (*G*, \*) சமஅமைவியம் கொண்டது.
* மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ({\displaystyle \mathbb {R} }, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் ({\displaystyle \mathbb {C} }, +) சமாமைவியமுடையது.
* பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் ({\displaystyle \mathbb {C} }\*, ·) தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ({\displaystyle S^{1}}, ×) சமஅமைவியமுடையது.

பண்புகள்
--------

* (*G*, \*) லிருந்து (*H*, {\displaystyle \odot }) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {eG} ஆக இருக்கும். இங்கு eG, (*G*, \*) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
* (*G*, \*) , (*H*,{\displaystyle \odot }) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது *G* ஏபெல் குலமாக இருந்தால் *H* ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
* (*G*, \*) , (*H*, {\displaystyle \odot }) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (*f*), *G* இன் ஒரு உறுப்பு *a* இன் வரிசை *n* எனில், *H* இல் *f(a)* இன் வரிசையும் *n* ஆக இருக்கும்.
* (*G*, \*) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (*H*, {\displaystyle \odot }) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
* குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

சுழற் குலங்கள்
--------------

தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் {\displaystyle (\mathbb {Z} \_{n},+\_{n})} உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

நிறுவல்
*G* , *n* கிரம குலம் என்க. *G* ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

{\displaystyle <x>=\{e,x,...x^{n-1}\}}.
{\displaystyle \varphi } எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \varphi :G\rightarrow \mathbb {Z} \_{n}=\{0,1,...n-1\},} :{\displaystyle \varphi (x^{a})=a}.
இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

{\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+\_{n}\varphi (x^{b})}
எனவே,

{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} \_{n},+\_{n}}.

விளைவுகள்
---------

{\displaystyle f:G\rightarrow H} எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது: 

{\displaystyle f(e\_{G})=e\_{H}};
அதேபோல் *G* இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை *H* இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:

{\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}}
பொதுவாக,

{\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n},\forall u\in G}
மேலும் *f* இன் நேர்மாறு {\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G} ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

{\displaystyle f:G\rightarrow H} என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம் H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

தன்னமைவியம்
-----------

குலம் (G,\*) லிருந்து (G,\*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

{\displaystyle f:G\rightarrow G,}

{\displaystyle f(u)\*f(v)=f(u\*v),\forall u,v\in G}.
தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் *தன்னமைவியக் குலம்* என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

மேற்கோள்கள்
-----------

* Herstein, I. N. *Topics in Algebra*, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), ISBN 0-471-01090-1.