இயல் மடக்கைச் சார்பின் வரைபடம். *x* இன் மதிப்பு அதிகரிக்க, அதிகரிக்க வளைவரை +{\displaystyle \infty }யையும், *x* சுழியை அணுகும்போது -{\displaystyle \infty }யையும் நோக்கிச் செல்கிறது. வளைவரைக்கு y-அச்சு அணுகுகோடாக உள்ளது.
ஒரு எண்ணின் மடக்கையின் அடிமானம் *e* ஆக இருக்கும்போது அந்த மடக்கை **இயல் மடக்கை** (*natural logarithm*) எனப்படுகிறது. இங்கு *e* ஆனது விகிதமுறா எண்ணாகவும் விஞ்சிய எண்ணாகவும் உள்ள கணித மாறிலியாகும். *e* இன்அதன் தோராய மதிப்பு 2.718.281828. எண் *x* இன் இயல் மடக்கை ln *x* அல்லது log*e* *x* என எழுதப்படுகிறது. சிலசமயங்களில் அடிமானம் *e* இல்லாமல் சுருக்கமாக log *x* எனவும் எழுதப்படுகிறது. மடக்கை காணும் எண்ணானது ஒரு தனிஎண்ணாக இல்லாதபோது, தெளிவாகக் காட்டுவதற்காக அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி ln(*x*), log*e*(*x*), log(*x*) என்றும் எழுதப்படுவதும் வழக்கம்.

*x* க்குச் சமமான மதிப்பை அடைய *e* இன் அடுக்கை எந்த எண்ணுக்கு உயர்த்த வேண்டியிருக்குமோ அந்த எண்ணே *x* இன் இயல் மடக்கை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

* ln(7.5) = 2.0149... ஏனென்றால் *e*2.0149...=7.5.
* ln(*e*) = 1 ஏனென்றால் *e*1 = *e*,
* ln(1) = 0 ஏனென்றால் *e*0 = 1.

இயல் மடக்கையை குறிப்பிட்ட வளைவரையின்கீழ், குறிப்பிட்ட எல்லைக்குட்பட்ட பரப்பளவாகவும் கூறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

*a* ஏதாவது ஒரு நேர் மெய்யெண் எனில், log*e* *a* இன் மதிப்பு, *y* = 1/*x* என்ற வளைவரையின்கீழ், 1 முதல் *a* வரையிலான பரப்பளவாகும்.

இயல் மடக்கையின் வரையறையை எதிர் எண்களுக்கும், சுழியற்ற சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். மெய்யெண் மாறியின் மெய்மதிப்புச் சார்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, இயல் மடக்கைச் சார்பானது அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும். இதிலிருந்து பெறப்படும் முற்றொருமைகள்:

{\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!}
{\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}
பிற மடக்கைகளைப் போன்றே இயல் மடக்கையும் பெருக்கலைக் கூட்டலாக மாற்றுகிறது.

{\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\!\,}
நேர்மெய்யெண் பெருக்கல் குலத்திலிருந்து, மெய்யெண் கூட்டல் குலத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் சம அமைவியமாக (சம அமைவியம்) மடக்கைச் சார்பு அமையும் ({\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}).

அடிமானம் *e* க்கு மட்டுமில்லாமல் எண் 1 ஐத் தவிர பிற நேரெண் அடிமானங்களுக்கும் மடக்கையை வரையறுக்கலாம். அவ்வாறு பிற அடிமானங்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் மடக்கைகள் இயல் மடக்கையிலிருந்து ஒரு மாறிலி மடங்கால் மட்டுமே வேறுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle \log \_{2}(x)={\frac {\log \_{e}(x)}{\log \_{e}(2)}}.\,}

குறியீடுகள்
-----------

*x* இன் இயல் மடக்கையைக் குறிப்பதற்கு "ln *x*", "log*e* *x*" ஆகிய இரு குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. "log *x*" என அடிமானம் குறிக்கப்படாத குறியீடும் பொதுவாக இயல் மடக்கையையே குறிக்கும். எனினும் சிலசமயங்களில் அடிமானம் 10 க்குரிய *x* மடக்கையைக் குறிப்பதற்கும் "log *x*" பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை
------

*f*(*x*) = 1/*x* சார்பின் வளைவரையின் கீழ் 1 முதல் *a* வரையிலமையும் பரப்பளவாக ln(*a*) வரையறுக்கப்படுகிறது. *a* < 1 எனில், *a* முதல் 1 வரையிலான பரப்பளவு எதிர்மதிப்பு கொண்டதாகும்.
தொகையீடாக ln(*a*) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \ln(a)=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!} என்ற மடக்கையின் பண்பை இது நிறைவு செய்கிறது:

{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(ab)=\int \_{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx&=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \_{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx\\&=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \_{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)\\&=\int \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \_{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt\\&=\ln(a)+\ln(b).\end{aligned}}}
ln(*a*) = 1 ஆக அமையும் தனித்த மெய்யெண் *a* ஆக கணித மாறிலி *e* ஐ வரையறுக்கலாம். மாறாக படிக்குறிச் சார்பு முதலில் வரையறுக்கப்பட்டால், இயல் மடக்கையை அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வரையறுக்கலாம் (exp(ln(*x*)) = *x*).

பண்புகள்
--------

* {\displaystyle \ln(1)=0\,}
* {\displaystyle \ln(-1)=i\pi \,}
* {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,}
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}
* {\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,}
* {\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,}
* {\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Mortimer, Robert G. (2005). *Mathematics for physical chemistry* (3rd ). Academic Press. பக். 9. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-12-508347-5. . , Extract of page 9
2. ↑  Including C, சி++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and BASIC