கணிதத்தில் **வரிசைமாற்ற அணி** (*permutation matrix*) என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி (P) ஒவ்வொன்றும் m உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி A உடன் பெருக்கப்படும்போது முன்பெருக்கத்தில் (PA), A அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் (AP), A அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.

வரையறை
------

*m* உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் π என எடுத்துக்கொண்டால்: 

{\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}}
வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக *m* × *m* முற்றொருமை அணி, I*m* இன் நிரல்களை π இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை π இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.

I*m* இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற அணி ஒரு *m × m* அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு *P*π = (*p**ij*) எனில்:
ஒவ்வொரு *i* க்கும், *j* = π(*i*) எனில் *p**ij* = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால் *p**ij* = 0 ஆகவும் இருக்கும்.
அதாவது *i* ஆவது நிரையில் π(*i*) நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும்.
எனவே வரிசைமாற்ற அணி *P*π கீழுள்ளவாறு அமைகிறது:
{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (m)}\end{bmatrix}},}
இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான {\displaystyle \mathbf {e} \_{j}} என்பது *m* நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் *j* ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},} என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:
{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\mathbf {e} \_{\pi (3)}\\\mathbf {e} \_{\pi (4)}\\\mathbf {e} \_{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}\\\mathbf {e} \_{4}\\\mathbf {e} \_{2}\\\mathbf {e} \_{5}\\\mathbf {e} \_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.}
முற்றொருமை அணி I5 இன் *j* ஆவது நிரலானது *P*π அணியின் π(*j*) ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.

பண்புகள்
--------

(கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)

* {\displaystyle P\_{\pi }} ஆல் நிரல் திசையன் **g** ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:

{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\_{1}\\g\_{2}\\\vdots \\g\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g\_{\pi (1)}\\g\_{\pi (2)}\\\vdots \\g\_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.}
மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் M ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான {\displaystyle P\_{\pi }M} ஆனது M இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக் காணலாம்.

எனினும் ஒவ்வொரு k க்கும்,

{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {e} \_{k}^{\mathsf {T}}=\mathbf {e} \_{\pi ^{-1}(k)}^{\mathsf {T}}} என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் π−1 ஆகும். (M அணியின் இடமாற்று அணி {\displaystyle M^{\mathsf {T}}})
* வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e. {\displaystyle P\_{\pi }P\_{\pi }^{\mathsf {T}}=I}) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle P\_{\pi }^{-1}=P\_{\pi ^{-1}}=P\_{\pi }^{\mathsf {T}}.}
* ஒரு நிரை திசையன் **h** ஐ {\displaystyle P\_{\pi }} ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:

{\displaystyle \mathbf {h} P\_{\pi }={\begin{bmatrix}h\_{1}\;h\_{2}\;\dots \;h\_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h\_{\pi ^{-1}(1)}\;h\_{\pi ^{-1}(2)}\;\dots \;h\_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}}
மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் M அணியை வரிசைமாற்ற அணியான *P*π ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் *M P*π ஆனது M இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை காணலாம். மேலும்,

{\displaystyle \mathbf {e} \_{k}P\_{\pi }=\mathbf {e} \_{\pi (k)}.}
* *m* உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் π, σ எனில் நிரல் திசையன் **g** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் *P*π, *P*σ இரண்டின் தொகுப்பு:

{\displaystyle P\_{\sigma }P\_{\pi }\,\mathbf {g} =P\_{\pi \,\circ \,\sigma }\,\mathbf {g} .}
* *m* உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் π, σ எனில் நிரை திசையன் **h** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் *P*π, *P*σ இரண்டின் தொகுப்பு:

{\displaystyle \mathbf {h} P\_{\sigma }P\_{\pi }=\mathbf {h} P\_{\pi \,\circ \,\sigma }.}
{\displaystyle \pi \,\circ \,\sigma (k)=\pi \left(\sigma (k)\right).}
* π வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு {\displaystyle Q\_{\pi }} எனில், {\displaystyle Q\_{\pi }=P\_{\pi }^{\mathsf {T}}=P\_{{\pi }^{-1}}.} என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.

குறிப்பாக,
{\displaystyle Q\_{\pi }\mathbf {e} \_{k}^{\mathsf {T}}=P\_{{\pi }^{-1}}\mathbf {e} \_{k}^{\mathsf {T}}=\mathbf {e} \_{(\pi ^{-1})^{-1}(k)}^{\mathsf {T}}=\mathbf {e} \_{\pi (k)}^{\mathsf {T}}.}
இதிலிருந்து,
{\displaystyle Q\_{\sigma }Q\_{\pi }\,\mathbf {g} =Q\_{\sigma \,\circ \,\pi }\,\mathbf {g} .}
இதேபோல,
{\displaystyle \mathbf {h} \,Q\_{\sigma }Q\_{\pi }=\mathbf {h} \,Q\_{\sigma \,\circ \,\pi }.}

அணிக் குலம்
-----------

(1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில் *P*(1) ஆனது முற்றொருமை அணியாகும்.

{1,2,...*n*} மீதான சமச்சீர் குலம் அல்லது வரிசைமாற்றுக் குலம் என்க. மொத்தம் *n*! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், *n*! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும். இந்த *n* × *n* வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை முற்றொருமை உறுப்பாகக் கொண்ட குலமாக அமையும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Brualdi (2006) p.2

* Brualdi, Richard A. (2006). *Combinatorial matrix classes*. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. **108**. Cambridge: கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-86565-4.
* Joseph, Najnudel; Ashkan, Nikeghbali (2010), *The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices* (PDF)