கணிதத்தில் **பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி** (*generalized mean*) அல்லது **அடுக்குச் சராசரி** (*power mean*) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.

வரையறை
------

*p* ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், {\displaystyle x\_{1},\dots ,x\_{n}} என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் *p* -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{p}\right)^{1/p}}
*p* -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:

{\displaystyle M\_{0}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt[{n}]{\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}}}}
மேலும் {\displaystyle w=\sum w\_{i}} என அமையும் நேர்ம எடைகள் {\displaystyle w\_{i}} -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\left({\frac {1}{w}}\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)^{1/p}}
{\displaystyle M\_{0}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt[{w}]{\prod \_{j=1}^{n}x\_{j}^{w\_{j}}}}}
இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:

அதாவது, {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{w\_{i}}=1}

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)^{1/p}}
{\displaystyle M\_{0}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}}
சம எடைகள் ( *1/n*) கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).

{\displaystyle M\_{\infty }(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\max(x\_{1},\dots ,x\_{n})}
{\displaystyle M\_{-\infty }(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\min(x\_{1},\dots ,x\_{n})}

சிறப்பு வகைகள்
--------------

 *n=2*-வகையின் படவிளக்கம்.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\min\{x\_{1},\dots ,x\_{n}\}} | சிறும மதிப்பு |
| {\displaystyle M\_{-1}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x\_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x\_{n}}}}}} | இசைச் சராசரி |
| {\displaystyle \lim \_{p\to 0}M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot \dots \cdot x\_{n}}}} | பெருக்கல் சராசரி |
| {\displaystyle M\_{1}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\frac {x\_{1}+\dots +x\_{n}}{n}}} | கூட்டுச் சராசரி |
| {\displaystyle M\_{2}(x\_{1},\dots ,x\_{n})={\sqrt {\frac {x\_{1}^{2}+\dots +x\_{n}^{2}}{n}}}} | இருபடிச் சராசரி |
| {\displaystyle \lim \_{p\to \infty }M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\max\{x\_{1},\dots ,x\_{n}\}} | பெரும மதிப்பு |

பண்புகள்
--------

* எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.

*b* ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.
{\displaystyle M\_{p}(bx\_{1},\dots ,bx\_{n})} = {\displaystyle bM\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}

* {\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n\cdot k})=M\_{p}(M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{k}),M\_{p}(x\_{k+1},\dots ,x\_{2\cdot k}),\dots ,M\_{p}(x\_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x\_{n\cdot k}))}

### சமனின்மை

*p* < *q* எனில்,

{\displaystyle M\_{p}(x\_{1},\dots ,x\_{n})\leq M\_{q}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}=\cdots =x\_{n}} என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே{\displaystyle M\_{p}}, {\displaystyle M\_{q}} இரண்டும் சமம்.

*p* -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக {\displaystyle p\in \{-1,0,1\}} எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

{\displaystyle w\_{i}\in (0;1]}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}=1} எனவும்,
எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ {\displaystyle w\_{i}={\frac {1}{n}}} எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

### எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

*p* மற்றும் *q* எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
இதிலிருந்து

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}{\frac {w\_{i}}{x\_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}{\frac {w\_{i}}{x\_{i}^{q}}}}}} என எழுதலாம்.
இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

{\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}{\frac {1}{x\_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}{\frac {1}{x\_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-q}}}}
எனவே அடுக்குகள், −*p* மற்றும் −*q* -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

### பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

*q* அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}...................(*q* -நேர்மம்).
{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}}.....................(*q* -எதிர்மம்).
இருபுறமும் அடுக்கு *q* -க்கு உயர்த்த:

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}\cdot q}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}\cdot q}}
இவ்விரண்டும் {\displaystyle x\_{i}^{q}} என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}\log(x\_{i})\leq \log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}\right)}
{\displaystyle \log \left(\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\right)\leq \log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}\right)}
இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}}
எனவே எந்தவொரு நேர்ம *q* - மதிப்பிற்கும்:

{\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{-q}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

### இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

*p* < *q* - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
*p* எதிர்மம், *q* நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq \prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
*p* , *q* இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

{\displaystyle f:{\mathbb {R} \_{+}}\rightarrow {\mathbb {R} \_{+}},} {\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}.
*f* அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}
*f* -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் *q* > *p* என்பதால் *f* குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

{\displaystyle f\left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}f(x\_{i}^{p})}
{\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq \sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}
இருபுறமும் 1/*q* அடுக்குக்கு உயர்த்த:

{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{q}}}}
முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, *p* , *q* -க்குப் பதிலாக முறையே −*q* and −*p*, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை *p* , *q* இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

### பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim \_{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}=\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\end{aligned}}}
இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}\log(x\_{i})}
இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle \lim \_{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim \_{p\to 0}{\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)'=}
{\displaystyle ={\frac {1}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}}}\cdot \lim \_{p\to 0}\sum \_{i=1}^{n}(w\_{i}\cdot \log(x\_{i})\cdot x\_{i}^{p})=\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}\log(x\_{i})}
அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim \_{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}=\lim \_{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim \_{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}\log(x\_{i})\right)=\prod \_{i=1}^{n}x\_{i}^{w\_{i}}\end{aligned}}}
என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

### சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, {\displaystyle -\infty } மற்றும் {\displaystyle +\infty } -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து *xi* -களில் பெரும மதிப்பு - *x*1, சிறும மதிப்பு - *xn* என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

{\displaystyle \lim \_{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)\right)=0}
*p* நேர்மம் எனில்:

{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w\_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w\_{1}x\_{1}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{1}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}
இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)=\lim \_{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x\_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)=\lim \_{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x\_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim \_{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x\_{1})+0=\ln(x\_{1})} என நிறுவலாம்.
இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

{\displaystyle \lim \_{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}=\lim \_{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim \_{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)\right)=x\_{1}}
*p* எதிர்மம் என்க:

{\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{n}^{p}}{x\_{n}^{p}}}\right)\right)=0}
*p* < 0 எனில்:

{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w\_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w\_{n}x\_{n}^{p}}{x\_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{n}^{p}}{x\_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}
எனவே:

{\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)=\lim \_{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x\_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim \_{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}{x\_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x\_{n})}
மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

{\displaystyle \lim \_{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim \_{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}x\_{i}^{p}\right)\right)=x\_{n}}

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட {\displaystyle f}-சராசரி
---------------------------------------------

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட {\displaystyle f}- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

{\displaystyle M\_{f}(x\_{1},\dots ,x\_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}{f(x\_{i})}}\right)}

சான்றுகள்
---------

1. ↑  de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?". *The American Statistician* **70** (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632. .
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Power Mean", *MathWorld*. (retrieved 2019-08-17)

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Power mean at MathWorld
* Examples of Generalized Mean
* A proof of the Generalized Mean on PlanetMath