a இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு அரைமுப்படிப் பரவளைவு.
கணிதத்தில், **அரைமுப்படிப் பரவளைவு** , *அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு* அல்லது **நுதிக்குரிய கனவடிவடிம்** (*semicubical parabola*, *cuspidal cubic*) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்: {\displaystyle y^{2}-a^{2}x^{3}=0} (*a* ≠ 0).

y -க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.

{\displaystyle y=\pm ax^{\frac {3}{2}},}. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும்
*x* ≥ 0 என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள *x*  இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும் அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: *y* = *ax*2.)

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை x -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:

{\displaystyle x=\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}.}
{\textstyle t={\frac {y}{ax}}.} என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:

{\displaystyle \quad x=t^{2},\quad y=at^{3}}
ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.

பண்புகள்
--------

### வடிவொப்புமை

{\displaystyle (t^{2},at^{3})} -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும் {\displaystyle (u^{2},u^{3})}. என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.

*நிறுவல்:* {\displaystyle (x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)} என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம், {\displaystyle (t^{2},at^{3})} என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக {\displaystyle ((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})} ({\displaystyle u=at}.) என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.

### தொடுகோடுகள்

{\displaystyle y=\pm x^{3/2}} என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:

{\displaystyle y={\frac {\sqrt {x\_{0}}}{2}}\left(3x-x\_{0}\right).}
இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:

{\displaystyle \left({\frac {x\_{0}}{4}},-{\frac {y\_{0}}{8}}\right).}
### வில்லின்நீளம்

{\displaystyle (x(t),y(t))} என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:

{\textstyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt.}
அரைமுப்படிப் பரவளைவு {\displaystyle (t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b,} இன் வில்லின் நீளம்: 

{\displaystyle \int \_{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int \_{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]\_{0}^{b}\;.}
( {\displaystyle u=4+9a^{2}t^{2}} என்ற பதிலீட்டு முறையில் இத்தொகையீடு கணக்கிடப்படுகிறது.)

*எடுத்துக்காட்டு:*
*a* = 1 (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும் *b* = 2 எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0), (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.

### மலரி

{\displaystyle (t^{2},t)} என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து *x*-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:

{\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}
### கோண-தூர ஆயதொலைவுகள்

{\displaystyle (t^{2},at^{3})} என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு, {\displaystyle y=mx} என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:

{\displaystyle m\neq 0} எனில், {\displaystyle (0,0)} மற்றும் {\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right).}
இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: {\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}
{\displaystyle m=\tan \varphi ,} {\displaystyle \sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi } என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:
{\displaystyle r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}
இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Pickover, Clifford A. (2009), "The Length of Neile's Semicubical Parabola", *The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics*, Sterling Publishing Company, Inc. p. 148, ISBN 9781402757969.
2. ↑  August Pein: *Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten* ,p.2
3. ↑  August Pein: *Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten* ,p.26
4. ↑  August Pein: *Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten* ,p. 10

* August Pein: *Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten* , 1875, Dissertation
* Clifford A. Pickover: *The Length of Neile's Semicubical Parabola*

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Neile's Semi-cubical Parabola", *MacTutor History of Mathematics archive*, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.