**ஜேக்கோபியின் நான்கு-இருமடியெண் தேற்றம்,** (*Jacobi's four-square theorem*) கொடுக்கப்பட்ட நேர்ம முழு எண் *n* -ஐ நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாட்டை அளிக்கிறது.

வரலாறு
------

இத்தேற்றம் 1834 இல் கார்ல் குஸ்தாவ் ஜேக்கோப் ஜேக்கோபி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றம்
-------

குறிப்பு
ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன:

{\displaystyle {\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}
தேற்றத்தின் கூற்று
நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, *n* ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் *n இன்* வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், *n* சமமாக இருந்தால் *n* இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( வகுப்பான் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்), அதாவது:

{\displaystyle r\_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits \_{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits \_{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}
இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது:

{\displaystyle r\_{4}(n)=8\sum \_{m\mid n,\,4\nmid m}m.}
இதனை பின்னுள்ளவாறும் எழுதலாம்:

{\displaystyle r\_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\,}
*n* 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு பகா எண்ணுக்கான வெளிப்படையான வாய்பாடு: 

*r*4(*p*) = 8(*p* + 1). 
*n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது,* *r* 4 ( *n* ) இன் சில மதிப்புகள் *r*4(*n*) = *r*4(2*m**n*) *r* 4 ( *n* ) எனப் பெரும்பாலும் அமையலாம். மேலும், *r*4(*n*) இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது, *r* 4 ( *n* ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும். 

ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். 

*

குறிப்புகள்
-----------

1. 1 2  Williams 2011.
2. ↑  Hirschhorn, Michael D. (2000). "Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory". *The American Mathematical Monthly* **107** (3): 260–264. doi:10.2307/2589321. .

மேற்கோள்கள்
-----------

* Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Algebraic Consequences of Jacobi's Two— and Four—Square Theorems". *Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics*. Developments in Mathematics. **4**. Springer. பக். 107–132. doi:10.1007/978-1-4613-0257-5\_7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4020-0101-7.
* Hirschhorn, Michael D. (1987). "A simple proof of Jacobi's four-square theorem". *Proceedings of the American Mathematical Society* **101** (3): 436. doi:10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9.
* Williams, Kenneth S. (2011). *Number theory in the spirit of Liouville*. London Mathematical Society Student Texts. **76**. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-17562-3.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.