கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன்  என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. 

 **ராமானுசரின்** நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த **ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின்** ஒரு பக்கம் .
தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: 

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு {\displaystyle f(x)}-ன் விரிவாக்கமானது

{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}


f
(
x
)
=

∑

k
=
0

∞


ϕ
(
k
)

k
!

(
−
x

)

k


{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}

எனவே {\displaystyle f(x)} {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\end{aligned}}} மெல்லின் உருமாற்றமானது பின்வருமாறு உள்ளது. 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)}


∫

0

∞

x

s
−
1

f
(
x
)

d
x
=
Γ
(
s
)
ϕ
(
−
s
)

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}
இங்கு {\displaystyle \Gamma (s)\!} என்பது காமா சார்பு ஆகும்

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும். 

இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன. 

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார்.

மாற்றுவடிவ சூத்திரம்
--------------------

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு: 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)}
மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் {\displaystyle \lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!} என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு .

சார்பு {\displaystyle \phi }வளர்நிலைகளை பொறுத்து {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1} என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.

நிரூபணம்
--------

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள்
--------------------------------------------

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை {\displaystyle B\_{k}(x)\!} களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

{\displaystyle frac{ze^{xz}}{e^{z}-1}=\sum \_{k=0}^{\infty }B\_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}}



z

e

x
z


e

z

−
1

=

∑

k
=
0

∞

B

k

(
x
)

z

k

k
!



{\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum \_{k=0}^{\infty }B\_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}

{\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}{\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum \_{k=0}^{\infty }B\_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}
இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: 

  


ζ
(
s
,
a
)
=

∑

n
=
0

∞

1

(
n
+
a

)

s



{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}

{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}{\displaystyle zeta(s,a)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}

{\displaystyle n\geq 1}க்கு {\displaystyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B\_{n}(a)}{n}}\!} என்றவாறு உள்ளது. 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}

  



∫

0

∞

x

s
−
1

(

e

−
a
x

1
−

e

−
x


−

1
x

)

d
x
=
Γ
(
s
)
ζ
(
s
,
a
)

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}{\displaystyle int\_{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}

இது 


0
<
Re
⁡
(
s
)
<
1

{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}

{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!} {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}க்கு உண்மையாகும் .

காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்
-------------------------

காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை 

{\displaystyle Gamma(x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}



Γ
(
x
)
=

e

−
γ
x

x

∏

n
=
1

∞

(

1
+

x
n

)

−
1

e

x

/

n


{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}

{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}
இது {\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும் 

```
  {\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
```

{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}

  


log
⁡
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+

∑

k
=
2

∞


ζ
(
k
)

k

(
−
x

)

k


{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}

{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}{\displaystyle log\Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}

இங்கு


ζ
(
k
)

{\displaystyle \zeta (k)\!}

{\displaystyle \zeta (k)\!} என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும். 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்: 


∫

0

∞

x

s
−
1


γ
x
+
log
⁡
Γ
(
1
+
x
)

x

2


d
x
=

π

sin
⁡
(
π
s
)



ζ
(
2
−
s
)

2
−
s



{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}

இது 


0
<
Re
⁡
(
s
)
<
1

{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}

{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!} {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும் 

இங்கு {\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}{\displaystyle 0<Re(s)<1\!}{\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!} மற்றும் {\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!} {\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!} ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,dx={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Berndt, B. (1985). *Ramanujan’s Notebooks, Part I*. New York: Springer-Verlag.
2. ↑  González, Iván. "A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams". .
3. ↑  Glaisher, J. W. L. (1874). "A new formula in definite integrals". *The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science* **48** (315): 53–55.
4. ↑  Amdeberhan, Tewodros; Gonzalez, Ivan; Harrison, Marshall; Moll, Victor H.; Straub, Armin (2012). "Ramanujan's Master Theorem". *The Ramanujan Journal* **29** (1–3): 103–120. doi:10.1007/s11139-011-9333-y.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* 
*