பிழைச் சார்பின் வரைபடம்
கணிதத்தில் **பிழைச் சார்பு** அல்லது **காஸ் பிழைச் சார்பு** (*error function*, *Gauss error function*) என்பது நிகழ்தகவு, புள்ளியியல் பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erf*) :

{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}
நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfc*) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \_{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfi*) :

{\displaystyle \operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).}

  

பிழைச் சார்புக்கும் குவிவுப் பரவல் (cumulative distribution) {\displaystyle \Phi } க்குமுள்ள தொடர்பு:

{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left(x/{\sqrt {2}}\right).}
*x* இன் நேர் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு அளவீடானது, திட்ட விலக்கம் {\displaystyle \sigma } கொண்டு இயல்நிலைப் பரவலாக அமையும் பிழைகளின் தாக்கத்தால் அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து x க்கும் குறைவான தொலைவிலிருக்கும் என்ற நிகழ்தகவின் மதிப்பை, {\displaystyle {\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}} இல் கணக்கிடப்படும் பிழைச் சார்பின் மதிப்பானது தருகிறது. புள்ளியியலில், முழுத்தொகுதியின் சராசரியைப் பொறுத்து அம் முழுத்தொகுதியின் எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரியும் எவ்வாறு இருக்கும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள இச் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவிவுப் பரவற் சார்பின் நிரப்புச் சார்பான Q-சார்பின் பயன்பாட்டைப் போல இது அமைகிறது. Q-சார்பைப் பிழைச் சார்பின் மூலமாக எழுத முடியும்.

வரைபடம்
-------

சிக்கலெண் தளத்தில் வரைபடம்தொகையிடப்படும் சார்பு (Integrand): exp(−*z*2)erf(*z*)
* *z* ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

{\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}
இதில் *z* இன் இணையியச் சிக்கலெண் {\displaystyle {\overline {z}}}.

படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் *ƒ* = exp(−*z*2)மற்றும் *ƒ* = erf(*z*) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான *z*-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.

* Im(*ƒ*) = 0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
* Im(*ƒ*) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும்
* Im(*f*) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
* இடைப்பட்ட Im(*ƒ*) = மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
* இடைப்பட்ட Re(*ƒ*) = மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

மெய் அச்சில் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, *z* → +∞ எனில் 1 ஐயும், *z* → −∞ எனில் −1 ஐயும் erf(*z*) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.

பண்புகள்
--------

* பிழைச் சார்பு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.

{\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}
* பிழைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் அல்லது டெய்லர் விரிவு:

{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:

{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum \_{n=0}^{\infty }\left(z\prod \_{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod \_{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}
* +∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1

* பிழைச் சார்பின் வகைக்கெழு:

{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}
* பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு):

{\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}
* நேர்மாறு பிழைச் சார்பு

நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:

{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {c\_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!}
*c*0 = 1 மற்றும்

{\displaystyle c\_{k}=\sum \_{m=0}^{k-1}{\frac {c\_{m}c\_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.}

  

{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\ }
* நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:

{\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}
* நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion):

*x* இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,

{\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,}
(2*n* – 1)!! என்பது (2*n* – 1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம். 

* தொடரும் பின்ன விரிவு

நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:

{\displaystyle \mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a\_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a\_{2}}{1+{\cfrac {a\_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a\_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a\_{1}=1,\quad a\_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.}

தொடர்புள்ள சார்புகள்
--------------------

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}
Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:

{\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

{\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}

  

### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்புகளின் வரைபடம் *E*n(*x*):  

சாம்பல் வளைவரை: *E*1(*x*) = (1 − e−*x*)/{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}  

சிவப்பு வளைவரை: *E*2(*x*) = erf(*x*)  

பச்சை வளைவரை: *E*3(*x*)  

நீல வளைவரை : *E*4(*x*)  

பொன்வண்ண வளைவரை : *E*5(*x*).
பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:

{\displaystyle E\_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \_{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum \_{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}
* *E*0(*x*) என்பது ஆதிவழிச் செல்லும் கோடு

{\displaystyle \scriptstyle E\_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}
* *E*2(*x*) என்பது பிழைச் சார்பு erf(*x*).

அட்டவணை
-------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| x | erf(x) | erfc(x) |  | x | erf(x) | erfc(x) |
| 0.00 | 0.0000000 | 1.0000000 | 1.30 | 0.9340079 | 0.0659921 |
| 0.05 | 0.0563720 | 0.9436280 | 1.40 | 0.9522851 | 0.0477149 |
| 0.10 | 0.1124629 | 0.8875371 | 1.50 | 0.9661051 | 0.0338949 |
| 0.15 | 0.1679960 | 0.8320040 | 1.60 | 0.9763484 | 0.0236516 |
| 0.20 | 0.2227026 | 0.7772974 | 1.70 | 0.9837905 | 0.0162095 |
| 0.25 | 0.2763264 | 0.7236736 | 1.80 | 0.9890905 | 0.0109095 |
| 0.30 | 0.3286268 | 0.6713732 | 1.90 | 0.9927904 | 0.0072096 |
| 0.35 | 0.3793821 | 0.6206179 | 2.00 | 0.9953223 | 0.0046777 |
| 0.40 | 0.4283924 | 0.5716076 | 2.10 | 0.9970205 | 0.0029795 |
| 0.45 | 0.4754817 | 0.5245183 | 2.20 | 0.9981372 | 0.0018628 |
| 0.50 | 0.5204999 | 0.4795001 | 2.30 | 0.9988568 | 0.0011432 |
| 0.55 | 0.5633234 | 0.4366766 | 2.40 | 0.9993115 | 0.0006885 |
| 0.60 | 0.6038561 | 0.3961439 | 2.50 | 0.9995930 | 0.0004070 |
| 0.65 | 0.6420293 | 0.3579707 | 2.60 | 0.9997640 | 0.0002360 |
| 0.70 | 0.6778012 | 0.3221988 | 2.70 | 0.9998657 | 0.0001343 |
| 0.75 | 0.7111556 | 0.2888444 | 2.80 | 0.9999250 | 0.0000750 |
| 0.80 | 0.7421010 | 0.2578990 | 2.90 | 0.9999589 | 0.0000411 |
| 0.85 | 0.7706681 | 0.2293319 | 3.00 | 0.9999779 | 0.0000221 |
| 0.90 | 0.7969082 | 0.2030918 | 3.10 | 0.9999884 | 0.0000116 |
| 0.95 | 0.8208908 | 0.1791092 | 3.20 | 0.9999940 | 0.0000060 |
| 1.00 | 0.8427008 | 0.1572992 | 3.30 | 0.9999969 | 0.0000031 |
| 1.10 | 0.8802051 | 0.1197949 | 3.40 | 0.9999985 | 0.0000015 |
| 1.20 | 0.9103140 | 0.0896860 | 3.50 | 0.9999993 | 0.0000007 |

 | 

| x | erfc(x)/2 |
| --- | --- |
| 1 | 7.86496e−2 |
| 2 | 2.33887e−3 |
| 3 | 1.10452e−5 |
| 4 | 7.70863e−9 |
| 5 | 7.6873e−13 |
| 6 | 1.07599e−17 |
| 7 | 2.09191e−23 |
| 8 | 5.61215e−30 |
| 9 | 2.06852e−37 |
| 10 | 1.04424e−45 |
| 11 | 7.20433e−55 |
| 12 | 6.78131e−65 |
| 13 | 8.69779e−76 |
| 14 | 1.51861e−87 |
| 15 | 3.6065e−100 |
| 16 | 1.16424e−113 |
| 17 | 5.10614e−128 |
| 18 | 3.04118e−143 |
| 19 | 2.45886e−159 |
| 20 | 2.69793e−176 |
| 21 | 4.01623e−194 |
| 22 | 8.10953e−213 |
| 23 | 2.22063e−232 |
| 24 | 8.24491e−253 |
| 25 | 4.15009e−274 |
| 26 | 2.8316e−296 |
| 27 | 2.61855e−319 |

 |

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Andrews, Larry C.; *Special functions of mathematics for engineers*
2. 1 2  Greene, William H.; *Econometric Analysis* (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
3. ↑  Van Zeghbroeck, Bart; *Principles of Semiconductor Devices*, University of Colorado, 2011.  பரணிடப்பட்டது 2013-11-02 at the வந்தவழி இயந்திரம்
4. ↑  Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). *Handbook of Continued Fractions for Special Functions*. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4020-6948-2.

* Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function", *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* MathWorld – Erf