G = {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.
*G* ஒரு குலம்; அதன் ஒரு உட்குலம் *H* ; *g* என்பது *G* இன் ஒரு உறுப்பு எனில்:

{\displaystyle gH=\{gh:h\in H\}} என்பது **H இன் இடது இணைக்கணம்** என்றும்;
{\displaystyle Hg=\{hg:h\in H\}} என்பது **H இன் வலது இணைக்கணம்** என்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
*H* இன் ஒவ்வொரு இடது இணைக்கணமும் அதன் வலது இணைக்கணத்துடன் பொருந்தினால், *H* இயல்நிலை உட்குலமாகும். உட்குலத்திலிருந்து வரையறுக்கப்பட்டாலும் வலது மற்றும் இடது இணைக்கணங்கள் *G* இன் உட்குலங்களாக இல்லாமல், உட்கணங்களாக மட்டுமே இருக்கும். *G* இன் எந்தவொரு உட்குலத்தின் வலது இணைக்கணம் அல்லது இடது இணைக்கணமானது பொதுவில் **இணைக்கணம்** என அழைக்கப்படுகிறது.

{\displaystyle Hg=g(g^{-1}Hg)}
இதில் இடப்புறமானது *H* இன் வலது இணைக்கணமாகவும், வலப்புறமானது *H* இன் இணையிய உட்குலமான *g*−1*Hg* ) இன் இடது இணைக்கணமாகவும் இருக்கிறது. எனவே ஒரு உட்குலத்தின் வலது இணைக்கணம், வேறொரு உட்குலத்தின் இடது இணைக்கணமாகவும் இருக்கலாம். ஒரே உட்குலத்தின் ஒவ்வொரு வலது இணைக்கணமும் அதன் இடது இணைக்கணத்துக்குச் சமமாக இருப்பின் அந்த உட்குலம் இயல்நிலை உட்குலமாகும். அத்தகைய இணைக்கணங்கள் அனைத்தும் அடங்கிய குலம் காரணி குலம் எனப்படும்.

{\displaystyle gH\rightarrow (gH)^{-1}=Hg} எனும் கோப்பு, *H* இன் இடது மற்றும் வலது இணைக்கணங்களுக்கிடையே ஒரு இருவழிக்கோப்பாக அமைகிறது. எனவே *H* இன் இடது இணக்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் வலது இணைக்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம்; மேலும் அந்த எண் *G* இல் *H* இன் குறியெண் என அழைக்கப்படுகிறது. ஏபெல் குலங்களுக்கு வலது மற்றும் இடது இணைக்கணங்கள் ஒன்றாக இருக்கும்.
முற்றொருமை உறுப்பு ஏதாவதொரு வலது அல்லது இடது இணைக்கணத்தில் இருக்க வேண்டும். *H* உட்குலமாகையால் முற்றொருமை உறுப்பு *H* இல் இருக்கும். எனவே *H* தனக்குத்தானே ஒரு இடது மற்றும் வலது இணைக்கணமாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* *G* = { -1, 1 }

இதன் மிகஎளிய (trivial) உட்குலம் *H* = (1,\*).
இந்த உட்குலத்தின் இணைக்கணங்கள்: -1*H* = {-1}, 1*H* = *H*
* *G* : கூட்டல் குலம் **Z** = {... −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

இதன் உட்குலம் *H*: *m***Z** = {... −2*m*, −*m*, 0, *m*, 2*m*, ...}, இங்கு *m* ஒரு நேர் முழு எண்
*G* இல் *H* இன் *m* இணைக்கணங்கள்: 

*m***Z**, *m***Z**+1, ... *m***Z**+(*m*−1),
இங்கு, 

*m***Z**+*a* = {... −2*m*+*a*, −*m*+*a*, *a*, *m*+*a*, 2*m*+*a*, ...}.
*m***Z**+*m* = *m*(**Z**+1) = *m***Z** என்பதால் *m* இணைக்கணங்களுக்கு மேல் கிடையாது. இணைக்கணம் *m***Z**+*a* , *a* மாடுலோ *m* இன் சமானத் தொகுப்பு.

* ஒரு திசையன் வெளியிலுள்ள திசையன்கள் அனைத்தும் திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து ஒரு ஏபெல் குலமாகும். திசையன் வெளியின் உள்வெளிகள் இந்த ஏபெல் குலத்தின் உட்குலங்கள்.

திசையன் வெளி *V*, அதன் உள்வெளி *W*, *V* இன் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையன் *a* எனில் கீழ்க்காணும் கணம் *V* இல் *W* இன் இணைக்கணங்களைத் தரும்:

{\displaystyle \{x\in V\colon x=a+n,n\in W\}} ஏபெல் குலமாததால் இடது மற்றும் வலது இணைக்கணங்கள் ஒன்றானவை.

இரட்டை இணைக்கணங்கள்
-------------------

குலம் *G* இன் இரு உட்கணங்கள் *H* , *K* எனில், *G* இல் *H* மற்றும் *K* இன் இரட்டை இணைக்கணங்கள்:

{\displaystyle HgK=\{hgk:h\in H,k\in K\}}
இவை *h* = 1; *k* = 1 எனும்போது, *K* இன் இடது இணைக்கணங்களாகவும் *H* இன் வலது இணைக்கணங்களாகவும் அமைகின்றன.

குறியீடு
--------

குலம் *G* இன் இரு உட்கணங்கள் *H* , *K* எனில்:

* *G* இல் *H* இன் இடது இணைக்கணங்கள் கொண்ட கணத்தின் குறியீடு {\displaystyle G/H}

{\displaystyle G/H=\{gH:g\in G\}}
* *G* இல் *H* இன் வலது இணைக்கணங்கள் கொண்ட கணத்தின் குறியீடு {\displaystyle H\backslash G}

{\displaystyle H\backslash G=\{Hg:g\in G\}}
* *G* இல் *H* மற்றும் *K* இன் இரட்டை இணைக்கணங்கள் கொண்ட கணத்தின் குறியீடு {\displaystyle K\backslash G/H}

{\displaystyle K\backslash G/H=\{KgH:g\in G\}}
### உட்குலத்தின் குறியெண்

*H* இன் இடது இணக்கணங்கள் மற்றும் வலது இணைக்கணங்கள் ஒவ்வொன்றின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் *H* -இன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். மேலும் *H* இன் இடது இணக்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் வலது இணைக்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம். அந்த எண் *G* இல் *H* இன் குறியெண் என அழைக்கப்படுகிறது. இக்குறியெண்ணின் குறியீடு: [*G* : *H* ]. *G* , *H* இரண்டும் முடிவுறு குலங்களாக இருந்தால் லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் மூலம் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டால் இக்குறியெண்ணைக் காணலாம்:

{\displaystyle [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}}
இதில் {\displaystyle |H|} = {\displaystyle H}இன் வரிசை
{\displaystyle |G|} = {\displaystyle G} இன் வரிசை
### இணைக்கணங்களும் இயல்நிலையும்

*G* இல் *H* இன் ஒவ்வொரு இடது இணைக்கணமும் அதன் வலது இணைக்கணத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் *H* இயல்நிலை உட்குலம் எனப்படும். 
அதாவது *G* இன் ஒரு உட்குலம் *N* எனில்: 

{\displaystyle gN=Ng,\forall g\in G}
என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே *N* ஒரு இயல்நிலை உட்குலமாக இருக்க முடியும்.

இந்நிலையில் அனைத்து இணைக்கணங்களின் கணம், (*aN* )∗(*bN* ) = *abN* என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியிடன் சேர்ந்து ஒரு குலமாக அமையும். அக்குலம் (*G* / *N*) காரணி குலம் என அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு வலது இணைக்கணமும் இடது இணைக்கணமாகவும் உள்ளபடியால் வலது, இடது இணைக்கணங்களென வேறுபடுத்திச் சொல்ல வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Joshi p. 323
2. ↑  Scott p. 19

* Scott, W.R. (1987). "§1.7 Cosets and index". *Group Theory*. Courier Dover Publications. பக். 19 ff.. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-65377-3. .
* Joshi, K. D. (1989). "§5.2 Cosets of Subgroups". *Foundations of Discrete Mathematics*. New Age International. பக். 322 ff.. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:81-224-0120-1.
* Hans Zassenhaus (1999). "§1.4 Subgroups". *The Theory of Groups*. Courier Dover Publications. பக். 10 ff.. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-40922-8. .

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Nicolas Bray, "Coset", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Left Coset", *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Right Coset", *MathWorld*.
* Ivanova, O.A. (2001), "Coset in a group", in Hazewinkel, Michiel (ed.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* *Coset* at PlanetMath.
* "Coset". *groupprops*. The Group Properties Wiki.