நேரியல் இயற்கணிதத்தில் {\displaystyle M} என்ற சமச்சீர், n × n மெய்யெண் அணியானது, n மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் {\displaystyle z} க்கும் திசையிலி {\displaystyle z^{\mathrm {T} }Mz} இன் மதிப்பை நேர்மமாகக் கொண்டிருந்தால் அது ஒரு **நேர்ம வரைவு அணி** (*positive definite*) எனப்படும். இங்கு {\displaystyle z^{\mathrm {T} }} என்பது {\displaystyle z} இன் இடமாற்று அணியாகும்.

மேலும் பொதுமைப்படுத்த, n × n ஹெர்மைட் அணி {\displaystyle M} ஆனது ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால், n சிக்கலெண்கள் கொண்ட அனைத்து பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் {\displaystyle z} களுக்கும் {\displaystyle z^{\*}Mz} எனும் திசையிலியின் மதிப்பு நேர்ம மெய்யெண்ணாக இருக்க வேண்டும். இங்கு {\displaystyle z^{\*}} என்பது {\displaystyle z} இன் இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிக்கிறது.

இதைபோலவே *எதிர்ம-வரைவு*, *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* ஆகிய மூன்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* அணிகளுக்கு பூச்சியங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அதாவது *எதிர்ம-வரைவு*, *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* அணிகளாக இருப்பதற்கு, {\displaystyle z^{\mathrm {T} }Mz} அல்லது {\displaystyle z^{\*}Mz} இன் மதிப்பு முறையே எதிர்மமாக, எதிர்மமற்றதாக, நேர்மமற்றதாக இருக்கவேண்டும். சில கணித நூலாசிரியர்கள் சமச்சீரற்ற மெய்யெண் அணிகளுக்கும் ஹெர்மைட் அணியாக இல்லாத சிக்கலெண் அணிகளுக்கும் நேர்ம வரைவணி கருத்துருவை நீட்டித்துள்ளனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

* முற்றொருமை அணி {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}, ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.

முற்றொருமை அணி ஒரு சமச்சீர் அணி.
இதனை மெய்யெண் அணியாகக் கருத, *a* , *b* எனும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* க்கு:
{\displaystyle z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}}, *z* பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.
இதனை சிக்கலெண் அணியாகக் கருத, *a* , *b* எனும் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* க்கு:
{\displaystyle z^{H}Iz={\begin{bmatrix}a^{\*}&b^{\*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{\*}a+b^{\*}b=|a|^{2}+|b|^{2}}, *z* பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.
* கீழுள்ள சமச்சீர், மெய்யெண் அணி ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}
*a*, *b* , *c* ஆகிய உறுப்புகளைக்கொண்ட ஏதேனுமொரு பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* எனில்:
{\displaystyle {\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}\end{aligned}}}
இறுதியாகக் கிடைத்துள்ள {\displaystyle {a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}} ஆனது வர்க்கங்களின் கூடுதலாக இருப்பதால் அதன் மதிப்பு எதிர்மம் அற்றதாகும்; *z* = 0 அதாவது *a* = *b* = *c* = 0 எனும்போது மட்டும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்.
* {\displaystyle A} ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியானால் {\displaystyle A^{\mathrm {T} }A} என்பது நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

{\displaystyle z} ஒரு பூச்சியமற்ற நிரலணி எனில்,

{\displaystyle z^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Az=\|Az\|^{2}>0,} ({\displaystyle A} ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி என்பதால் {\displaystyle Az\neq 0.})

எதிர்ம-வரைவு, அரை-வரைவு, வரைவற்ற அணி
------------------------------------

ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் ஐகென் மதிப்பு எதிர்மமாக, நேர்மமற்றதாக, எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி முறையே எதிர்ம-வரைவு, எதிர்ம-அரைவரைவு, நேர்ம-அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.

### எதிர்ம-வரைவு

*n* × *n* ஹெர்மைட் அணி *M* *எதிர்ம-வரைவு* எனில்:

{\displaystyle x^{\*}Mx<0\,}
*x* ≠ 0, {\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}} (மெய்யெண் அணி எனில் *x* ≠ 0, {\displaystyle x\in R^{n}})
*x\** என்பது *x* இன் இணையிய இடமாற்று அணி
ஒரு அணியின் *k-* ஆவது வரிசை தலைமை முதன்மைச் சிற்றணியானது (leading principal minor) *k* ஒற்றையாக இருக்கும்போது எதிர்மமாகவும், *k* இரட்டையாக இருக்கும்போது நேர்மமாகவும் இருந்தால் அந்த அணியானது எதிர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

### நேர்ம-அரைவரைவு

M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணி (எதிர்மமற்ற வரைவு) எனில்:

{\displaystyle x^{\*}Mx\geq 0}, {\displaystyle \forall x\in C^{n}} (மெய்யெண் அணிக்கு {\displaystyle \forall x\in R^{n}}).
எந்தவொரு அணி *A*க்கும், *A\*A* ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும். மேலும் (*A*) இன் தரம்= (*A\*A*) இன் தரம்.
ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் அனைத்து முதன்மை சிற்றணிகளும் எதிர்மமற்றதாக
இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த அணி ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.

### எதிர்ம-அரைவரைவு

*M* ஒரு எதிர்ம அரைவரைவு அணி எனில்,

{\displaystyle x^{\*}Mx\leq 0}, {\displaystyle \forall x\in C^{n}} (மெய்யெண் அணிக்கு {\displaystyle \forall x\in R^{n}}).
### வரைவற்றது

நேர்ம வரைவு அணியாகவோ, எதிர்ம வரைவு, நேர்ம அரைவரைவு, எதிர்ம வரைவு, எதிர்ம அரைவரைவு ஆகிய எதுவொன்றாகவும் இல்லாத ஒரு ஹெர்மைட் அணியானது *வரைவற்ற அணி* எனப்படும். நேர்ம மற்றும் எதிர்ம ஐகென்மதிப்புகளைக் கொண்டவையாகவும் வரைவற்ற அணிகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

மேலும் சில பண்புகள்
-------------------

* *M* ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில் *M* ≥ 0 என்றும், *M* ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க *M* > 0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.

* *M*, *N* என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு *M* − *N* ≥ 0 எனில் *M* ≥ *N*. அதாவது, *M* − *N* அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்" வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (*M* > *N*) வரையறுக்கலாம்.

* ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

*M* ≥ *N* > 0 எனில், *N*−1 ≥ *M*−1 > 0. *M* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பானது *N* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும்.
* *M* ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் *r* > 0 ஒரு மெய்யெண் எனில்

*rM* அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்.
*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், *M* + *N*, *MNM*, *NMN* ஆகிய மூன்றும் நேர்ம வரைவு அணிகளாகும்.
மேலும் *MN* = *NM*, எனில், *MN* அணியும் நேர்ம வரைவு ஆகும்.
* ஒரு நேர்ம வரைவு அணியின் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

* *M* நேர்ம அரைவரைவு அணியெனில், *QT M Q* உம் நேர்ம வரைவு அணியாகும். M நேர்ம வரைவு அணியாகவும் *Q* முழுத்தரமும் கொண்டிருந்தால், *QT M Q* உம் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

* மூலைவிட்ட உறுப்புகள் *mii* மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் சுவடு, tr(*M*) ≥ 0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,

{\displaystyle |m\_{ij}|\leq {\sqrt {m\_{ii}m\_{jj}}}\leq {\frac {m\_{ii}+m\_{jj}}{2}}}
இவற்றிலிருந்து
{\displaystyle \max |m\_{ij}|\leq \max |m\_{ii}|}
* *B*2 = *M* என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி *B* இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *M* ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் *B* அணி தனித்ததாக இருக்கும். மேலும் *M* இன் வர்க்கமூலம் (*B* = *M*1/2) என்றும் அழைக்கப்படும்.

*M* > *N* > 0 எனில் *M*1/2 > *N*1/2 > 0.
* *M* ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (*mij* = *m*(*i*−*j*)), {\displaystyle \sum \nolimits \_{j\neq 0}|m(j)|<m(0)} ஆகவும் இருந்தால்,

*M* ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
* *M* > 0, *N* ஒரு ஹெர்மைட் அணி; *MN* + *NM* ≥ 0 (*MN* + *NM* > 0) எனில்,

*N* ≥ 0 (*N* > 0).
* *M* > 0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில்,

*M* > δI, δ > 0. இதில் *I* என்பது முற்றொருமை அணி.
* நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு குவிவுக் கணம் ஆகும்.

*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், α*M* + (1−α)*N* நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும்.
*x* என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு:
{\displaystyle x^{\mathrm {T} }(\alpha M+(1-\alpha )N)x=\alpha x^{\mathrm {T} }Mx+(1-\alpha )x^{\mathrm {T} }Nx\geq 0.}
* *M* = (*mij*) ≥ 0, *N* ≥ 0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள

{\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits \_{i}m\_{ii}.}
det(*M* ○ *N*) ≥ det(*M*) det(*N*).
* *M* = (*mij*) ≥ 0, *N* ≥ 0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள

{\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits \_{i}m\_{ii}.}
det(*M* ○ *N*) ≥ det(*M*) det(*N*).

குறிப்புகள்
-----------

1. ↑
2. ↑  This may be confusing, as sometimes nonnegative matrices are also denoted in this way. A common alternative notation is {\displaystyle M\succeq 0} and {\displaystyle M\succ 0} for positive semidefinite and positive definite matrices, respectively.
3. ↑  (Horn & Johnson 1985), p. 397
4. ↑  (Horn & Johnson 1985), Corollary 7.7.4(a)
5. 1 2  (Horn & Johnson 1985), Observation 7.1.3
6. ↑  Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "7.1 Definitions and Properties". *Matrix Analysis (Second Edition)*. கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பக். 431. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-83940-2. " 
**Observation 7.1.8** Let {\displaystyle A\in M\_{n}} be Hermitian and let {\displaystyle C\in M\_{n,m}}:  
\* Suppose that A is positive semidefinite. Then {\displaystyle C^{\*}AC} is positive semidefinite, nullspace({\displaystyle C^{\*}AC}) = nullspace(AC), and rank({\displaystyle C^{\*}AC})=rank({\displaystyle AC})  
\* Suppose that A is positive definite. Then rank({\displaystyle C^{\*}AC})=rank(C), and {\displaystyle C^{\*}AC} is positive definite if and only if rank(C)=m"
7. ↑  (Horn & Johnson 1985), p. 398
8. ↑  (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.2.6 with *k* = 2
9. ↑  (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.8.6
10. 1 2  (Styan 1973)
11. ↑  (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.8.6

மேற்கோள்கள்
-----------

* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). *Matrix Analysis*. கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-38632-6.
* Rajendra Bhatia (2007). *Positive definite matrices*. Princeton Series in Applied Mathematics. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-691-12918-1.

வெளியிணைப்புகள்
---------------

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Positive-definite form", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1556080104
* Wolfram MathWorld: Positive Definite Matrix