கணிதத்தில் **எல்லை** (*limit*) என்பது ஒரு சார்பு அல்லது தொடர்வரிசையில், சார்பின் உள்ளீடு அல்லது தொடர்வரிசையின் சுட்டெண்ணானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அணுகும்போது அச்சார்பு அல்லது தொடர்வரிசை அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. நுண்கணிதம் மற்றும் பகுவியலில் எல்லைகள் முக்கியமானவை. மேலும் தொடர்ச்சியான சார்பு, வகையிடல் மற்றும் தொகையீடு ஆகியவற்றை வரையறுப்பதற்கும் எல்லைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பொதுவாக சார்பின் எல்லை கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L,}
இது, x மாறியின் மதிப்பானது c ஐ நெருங்கும்போது சார்பு *f* சார்பின் மதிப்பு = *L*" என வாசிக்கப்படுகிறது.

உண்மையில் x மாறியின் மதிப்பானது c ஐ நெருங்கும்போது சார்பு *f* ஆனது *L*" ஐ நோக்கி நெருங்குவதால் சில சமயங்களில் சார்பின் எல்லை வலப்பக்க அம்புக்குறிகொண்டும் குறிக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c}
இது, x மாறியின் மதிப்பானது c ஐ நெருங்கும்போது சார்பு *f* சார்பின் மதிப்பு *L*" ஐ நெருங்குகிறது என வாசிக்கப்படுகிறது.

சார்பின் எல்லை
--------------

ஒரு புள்ளி x இன் மதிப்பு c இலிருந்து δ தொலைவுக்குள் இருக்கும்போது *f*(*x*) இன் மதிப்பு L இலிருந்து ε தொலைவுக்குள் இருக்கும்.
*x* > *S* ஆகவுள்ள அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் *f*(*x*) இன் மதிப்பு *L* இலிருந்து ε தொலைவுக்குள் இருக்கும்.
*f* ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு மற்றும் c ஒரு மெய்யெண் எனில்,

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L}
x ஐத் தேவையான அளவு c க்கு மிகஅருகில் நெருங்கினால், *f*(*x*) இன் மதிப்பு தேவையான அளவு *L* க்கு மிகஅருகாமையில் நெருங்கும் என்பது இதன் பொருளாகும். 
"x இன் மதிப்பு c ஐ நெருங்கும்போது *f*(*x*) இன் எல்லைமதிப்பு *L*" என இவ்வரையறை வாசிக்கப்படும்.

1821 இல் அகுஸ்டின்-லூயி கோசியும் அவரைத் தொடர்ந்து கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசும் ஒரு சார்பின் எல்லைக்கான வரையறையை (எல்லையின் (ε, δ) வரையறை) ஏதேனுமொரு சிறிய நேர்ம எண்ணைக் குறிக்க ε ஐப் பயன்படுத்தி முறைப்படுத்தினர்.

"*f*(*x*) ஆனது *L* க்கு மிக அருகாமையில் அமைகிறது" என்ற சொற்றொடரை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, 

* (*L* − *ε*, *L* + *ε*) இடைவெளியில் *f*(*x*) அமைகிறது எனவும்,

தனிமதிப்பைப் பயன்படுத்தி,

* |*f*(*x*) − *L*| < *ε*. எனவும் கூறலாம்.

x ஆனது c ஐ நெருங்குகும்போது" என்ற சொற்றொடரைக் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: 

* x இன் மதிப்பானது (*c* − *δ*, *c*) அல்லது (*c*, *c* + *δ*) இடைவெளிகளில் அமையும்.
* 0 < |*x* − *c*| < *δ*.

இதிலுள்ள முதல் சமனிலியானது x, c இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு 0 விட அதிகம் மற்றும் *x* ≠ *c* என்பதையும், இரண்டாவது சமனிலியானது x ஆனது of c இலிருந்து δ அளவு தொலைவுக்குள் இருக்குமென்பதையும் சுட்டுகின்றன.

*f*(*c*) ≠ *L* என்றாலுங்கூட மேற்கண்ட சார்பின் எல்லை வரையறை உண்மையாக இருக்கும். மேலதிகமாக, சார்பு *f* ஆனது c புள்ளியில் வரையறுக்கப்படாவிட்டாலுங்கூட இவ்வரையறை பொருந்தும்..

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
*f*(1) வரையறுக்கப்படவில்லை (தேரப்பெறா வடிவம்). எனினும் x இன் மதிப்பானது 1 ஐ நெருங்கும்போது அதனையொத்து *f*(*x*) இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *f*(0.9) | *f*(0.99) | *f*(0.999) | *f*(1.0) | *f*(1.001) | *f*(1.01) | *f*(1.1) |
| 1.900 | 1.990 | 1.999 | வரையறுக்கப்படாதது | 2.001 | 2.010 | 2.100 |

இந்த அட்டவணையிலிருந்து x இன் மதிப்பு 1 க்கு அருகாமையில் நெருங்க நெருங்க *f*(*x*) இன் மதிப்பு 2 க்கு அருகே நெருங்குவதைக் காணலாம். அதாவது,

{\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}
இயற்கணிதமுறையிலும் இதனைக் காணலாம்:

{\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1} (*x* ≠ 1)
*x* + 1 சார்பானது x = 1 புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. எனவே x = 1 என உள்ளிட,

{\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}
முடிவுறு மதிப்புகளில் மட்டுமன்றி முடிவுறா மதிப்புகளிலும் சார்புகளுக்கு எல்லை மதிப்புகள் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}
* *f*(100) = 1.9900
* *f*(1000) = 1.9990
* *f*(10000) = 1.9999

x இன் மதிப்பு மிகமிக அதிகமாகும்போது *f*(*x*) இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது. தேவையான அளவு x இன் மதிப்பைப் பெரிதாக்குவதன் மூலம் *f*(*x*) இன் மதிப்பை 2 க்கு மிகவருகில் வரவைக்கலாம். எனவே x இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது இச்சார்பின் எல்லை 2 ஆகும். அதாவது,

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}

தொடர்வரிசையின் எல்லை
--------------------

1.79, 1.799, 1.7999, … என்ற தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்கள் 1.8 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.

*a*1, *a*2, … என்பது மெய்யெண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை எனில்:

ஒவ்வொரு மெய்யெண் *ε* > 0 எனும் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும்,
|*a**n* − *L*}} < *ε* (அனைத்து *n* > *N* க்கும்) என்றவாறு ஒரு இயல் எண் *N* இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே: 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L} ஆகும் (இத்தொடர்வரிசையின் எல்லை *L*).
இவ்வரையறையானது, "*n* இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது *an* தொடர்வரிசையின் எல்லை மதிப்பு *L*" என வாசிக்கப்படுகிறது.
அனைத்து தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லை இருக்காது. எல்லை மதிப்புகொண்ட தொடர்வரிசைகள் *ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்* என்றும் எல்லை மதிப்புகளற்ற தொடர்வரிசைகள் *விரி தொடர்வரிசைகள்* என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஒருங்கு தொடர்வரிசைக்கும் ஒரேயொரு எல்லை மதிப்பு மட்டுமே இருக்கும்.

அடிக்குறிப்புகள்
----------------

1. ↑  James Stewart (mathematician) (2008). *Calculus: Early Transcendentals* (6th ). Brooks/Cole. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-495-01166-8. .
2. 1 2  "List of Calculus and Analysis Symbols". *Math Vault* (ஆங்கிலம்). 2020-05-11. 2020-08-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Epsilon-Delta Definition". *mathworld.wolfram.com* (ஆங்கிலம்). 2020-08-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
4. 1 2 3  Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). *Calculus of a single variable* (Ninth ). Brooks/Cole, Cengage Learning. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-547-20998-2.
5. ↑  "limit | Definition, Example, & Facts". *Encyclopedia Britannica* (ஆங்கிலம்). 2020-08-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
6. ↑  Weisstein, Eric W. "Limit". *mathworld.wolfram.com* (ஆங்கிலம்). 2020-08-18 அன்று பார்க்கப்பட்டது.

மேற்கோள்கள்
-----------

* Apostol, Tom M. (1974), *Mathematical Analysis* (2nd ed.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473