வகை நுண்கணிதத்தில், ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு {\displaystyle f\,} -ன் ஆட்களத்தில் அமையும் ஒரு புள்ளி x -ல், சார்பின் வகைக்கெழு பூச்சியமாகுமானால், ({\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0}) அப்புள்ளி சார்பின் **நிலைப்புள்ளி** (*stationary point*) எனப்படும். நிலைப்புள்ளியில் சார்பின் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வு பூச்சியமாகும். நிலைப்புள்ளிக்கு இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழுவின் குறி நேர்மத்திலிருந்து எதிர்மமாகவோ (எதிர்மத்திலிருந்து நேர்மமாகவோ) மாறலாம் அல்லது மாறாமல் இருபுறமும் ஒரே குறியுடனும் அமையலாம். நிலைப்புள்ளியின் இருபுறமும் கூடும் அல்லது குறையும் தன்மையுடன் இருந்தாலும், நிலைப்புள்ளியில் சார்பானது ஓரியல்புத்தன்மை எதுவும் இல்லாமல் நிலைப்பதால் இப்புள்ளி, நிலைப்புள்ளி எனப் பெயரிடப்பட்டுள்ளது.ஒரு சார்பின் நிலைப்புள்ளிகளில் சில பெருமம் மற்றும் சிறுமப் புள்ளிகளாகவும், சில வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளாகவும் அமையும்.

நிலைப்புள்ளி-மாற்றுப்புள்ளி வேறுபாடு
------------------------------------

ஒரு புள்ளியில் சார்பின் ஓரியல்புத்தன்மை மாறினால், அதாவது கூடும் சார்பிலிருந்து குறையும் சார்பாகவோ அல்லது குறையும் சார்பிலிருந்து கூடும் சார்பாகவோ மாறினால் அப்புள்ளி **நிலைமாற்றுப் புள்ளி** (*turning point*) எனப்படும். எனவே நிலைமாற்றுப் புள்ளிக்கு இருபுறமும் சார்பின் முதல்வகைக்கெழுவின் குறி மாறுபடும். ஆனால் நிலைப் புள்ளியின் இருபுறமும் முதல்வகைக்கெழுவின் குறி மாறலாம் அல்லது மாறாமலும் இருக்கலாம். எனவே நிலைமாற்றுப் புள்ளிகளெல்லாம் நிலைப்புள்ளிகள். ஆனால் நிலைப் புள்ளிகளெல்லாம் நிலைமாற்றுப்புள்ளிகள் அல்ல.
எடுத்துக்காட்டு:
{\displaystyle f(x)=x^{3}} சார்புக்கு, x=0 ஒரு நிலைப்புள்ளி, ஆனால் இது ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகவும் அமைவதால் இப்புள்ளியின் இருபுறமும் முதல்வகைக்கெழுவின் குறி மாறுவதில்லை. எனவே இப்புள்ளி நிலைமாற்றுப்புள்ளி அல்ல.

நிலைப்புள்ளி-மாறுநிலைப்புள்ளி வேறுபாடு
--------------------------------------

ஒரு மாறுநிலைப் புள்ளியில், சார்பின் முதல் வகைக்கெழு வரையறுக்கப்படாமலோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ இருக்கும். எனவே ஒரு சார்பின் எல்லா நிலைப்புள்ளிகளும் மாறுநிலைப்புள்ளிகள். ஆனால் எல்லா மாறுநிலைப் புள்ளிகளும் நிலைப்புள்ளிகள் அல்ல. முடிவுறா வகையீட்டுச் சார்புகளுக்கு மட்டும், நிலைப் புள்ளிகளும் மாறிநிலைப் புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருக்கும்.

வகைப்பாடு
---------

நிலைப்புள்ளிகள்(சிவப்பு), வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகள்(பச்சை). இந்த வரைபடத்திலுள்ள நிலைப்புள்ளிகள் எல்லாம் இடஞ்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகள்
{\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} } என்ற மெய்மதிப்புச் சார்பை எடுத்துக்கொள்க.

முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையின் மூலம் சார்பின் ஆட்களத்தின் இடைவெளி ஒன்றில் அமையும் நிலைப்புள்ளிகளை நான்கு வகையாகப் பிரிக்கலாம்:

ஒரு நிலைப்புள்ளியின் இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழுவின் குறி நேர்மத்திலிருந்து எதிர்மமாக மாறினால் அப்புள்ளி இடஞ்சார்ந்த பெருமப்புள்ளி.

ஒரு நிலைப்புள்ளியின் இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழுவின் குறி எதிர்மத்திலிருந்து நேர்மமாக மாறினால் அப்புள்ளி இடஞ்சார்ந்த சிறுமப்புள்ளி. 

சேணப்புள்ளிகள்(நிலைப்புள்ளி மற்றும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி இரண்டுமாக உள்ள புள்ளிகள். ஒன்று ஏறும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி. மற்றொன்று வீழும் வளவுமாற்றுப் புள்ளி.
ஒரு நிலைப்புள்ளியின் இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழுவின் குறி மாறாமல் நேர்மமாக இருந்தால் அப்புள்ளி *ஏறும் வளைவுமாற்றுப்புள்ளி*. இப்புள்ளியில் சார்பின் குழிவுத்தன்மை மாறும்.

ஒரு நிலைப்புள்ளியின் இருபுறமும் முதல் வகைக்கெழுவின் குறி மாறாமல் எதிர்மமாக இருந்தால் அப்புள்ளி *வீழும் வளைவுமாற்றுப்புள்ளி.* இப்புள்ளியில் சார்பின் குழிவுத்தன்மை மாறும்.

இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை மூலமும் நிலைப்புள்ளிகளை வகைப்படுத்தலாம்:

{\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0} சமன்பாட்டின் தீர்வுகள், சார்பின் நிலைப்புள்ளிகளின் x அச்சுதூரங்களைத் தரும். {\displaystyle f,\,} இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால் இம்மதிப்புகளை இரண்டாம் வகைக்கெழுவில் பிரதியிட,

* {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0} எனில், {\displaystyle \ x} -ல் {\displaystyle \ f} க்கு இடஞ்சார்ந்த பெருமம் உண்டு.
* {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0} எனில், {\displaystyle \ x} -ல் {\displaystyle \ f} க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம்.
* {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0} எனில் {\displaystyle \ x} புள்ளி, ஒருவேளை வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக அமையலாம். புள்ளியின் இருபுறமும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி மாறினால் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி. குறி எதிர்மத்திலிருந்து நேர்மமாக மாறினால் சார்பு கீழ்நோக்கிக் குழிவிலிருந்து மேல்நோக்கிக் குழிவாக மாறுவதால் ஏறும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும்.குறி நேர்மத்திலிருந்து எதிர்மமாக மாறினால் சார்பு மேல்நோக்கிக் குழிவிலிருந்து கீழ் நோக்கிக் குழிவாக மாறுவதால் வீழும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும் .

குறிப்பு: மீப்பெரு பெருமம் மற்றும் மீச்சிறு சிறுமம் இரண்டும் நிலைப்புள்ளிகளில் அமையாது. அவை இடைவெளியின் முடிவுப்புள்ளிகளிலோ அல்லது இடைவெளிக்குள் அமையும் மாறுநிலைப் புள்ளிகளிலோதான் அமையும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "Turning points and stationary points". *TCS FREE high school mathematics 'How-to Library',*. 30 October 2011 அன்று பார்க்கப்பட்டது.CS1 maint: extra punctuation (link)

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot