கணிதத்தின் எல்லாத்துறைகளிலும் மற்றும் கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் சமச்சீர் கருத்து அடிக்கடி தோன்றுமென்பது எதிர்பார்க்கத்தக்கதே.பல்லுறுப்பு என்ற கணிதக்கருத்தோடு சமச்சீர் கருத்து உறவாடும்போது ஏற்படும் எல்லா கணிதச் சூழ்நிலைகளையும் உருவகப்படுத்துவதுதான் **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை** (*Symmetric polynomial*) அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** பற்றிய கோட்பாடு. இது முக்கியமாக சேர்வியல் என்ற கணிதத்துறையில் ஆய்வு பெறப்படும்.

வரையறை
------

{\displaystyle {\mathcal {P}}}(α1, α2, ... , αn) என்ற பல்லுறுப்பின் மாறிகள் α1, α2, .... , αn இன் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும் பல்லுறுப்பு மாறாமல் இருந்தால் அப்பல்லுறுப்பு **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** எனப்படும். குறிப்பாக, இதை n மாறிகளின் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு என்று கூறுவதுண்டு.

எடுத்துக்காட்டுகள்
------------------

1. α3 + β3 + γ3.

2.α2β + α2γ + β2α + β2γ +γ2α + γ2β

3. α1.α2... .αn

இவைகளை '**Σ'** குறியீடு கொண்டும் குறிப்பிடமுடியும்; ஆனால் அதற்கு, எத்துணை மாறிகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன என்ற கருதுகோள் தொக்கிநிற்கவேண்டும். அப்படி நின்றால் மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கீழே கண்டபடி எழுதலாம்:

1.**Σ**α3

2.**Σ**α2β

3.α1.α2... .αn இதனில் இருப்பதே ஓருறுப்பு தான். அதனால் '**Σ'** குறியீடு தேவையில்லை.

மாற்று வரையறைக்கான முன்னோடி
---------------------------

α1, α2, ... , αn ஆகிய n குறியீடுகளைக்கொண்டு தொடங்கலாம். இவைகள் கணிதமாறிகளாக இருக்கவேண்டியதுமில்லை. N என்பது ஒரு முழு நேர்ம எண்ணாகவும்,
λ = (λ1 λ2....λp) என்பதை N இன் ஒரு பிரிவினை (partition)யாகவும் கொள். இப்பிரிவினையில் ஓர் அடிப்படை மரபொழுங்கையும் பின்பற்றுவோம்; அ-து,
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp > 0 ; மற்றும் p ≤ n.
λ, N இன் பிரிவினை என்பதை λ {\displaystyle \vdash } N என்ற குறியீட்டால் சுருக்கமாக எழுதலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக (31) என்பது எண் 4 இன் பிரிவினை. (31) {\displaystyle \vdash } 4
(22) என்பதும் எண் 4 இன் பிரிவினை. இதையே (22) என்றும் எழுதுவதுண்டு. (22) {\displaystyle \vdash } 4.
(5), (41), (32), 4.
(312), ((22)1),(213), (15)
ஆகிய ஏழும் எண் 5 இன் பிரிவினைகள்.

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பு
---------------------

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பின் (Monomial symmetric function) குறியீடு kλ. இதன் விரிவாக்கத்தை சில எடுத்துக்காட்டுகளால் புரிந்துகொள்வது எளிது.

k(31) = **Σ**α13α2
= α13α2 + α13α3 + α13α4 + ... + α13αn + α23α1 + α23α3 + α23α4 + ..... .Σ. + ....
k(22) = **Σ**α1<Σsup>2 α22
= α12 α22 + α12 α32 + α12 α42 + .... + α22 α32 + α22 α42 + .... + α32 α42 + .... + ....
பொதுவாக, kλ = Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp. இன்னொரு குறியீடும் இதற்கு உண்டு. அ-து, 

kλ = <λ>.

ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு
--------------------------------

ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு (Complete Homogeneous Symmetric Function):

hN = Σλ{\displaystyle \vdash }N kλ.
எடுத்துக்காட்டாக,

h4 = <4> + <31> + <22> + <212> + <14> (\*)
= Σ α14 + Σ α13 α2 + Σ α12 α22 + Σ α12 α2 α3 + Σ α1 α2 α3 α4.
இங்கு ஒரு விஷயம் கவனிக்கப்படவேண்டும். குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை n ஐப்பற்றியது.

n < 1 ஆக இருக்குமானால், (\*)இல், பின் நான்கு உறுப்புகளும் இருக்காது, அ-து, மறைந்துவிடும்.

n = 2 ஆக இருக்குமானால், (\*)இல், பின் இரண்டு உறுப்புகளும் மறைந்துவிடும்.

n = 3 ஆக இருக்குமானால், (\*)இல்,கடைசி உறுப்பு மறைந்துவிடும்.

n ≥ 4 ஆக இருக்குமானால், (\*)இல், எல்லாஐந்து உறுப்புகளும் மறையாமல் இருக்கும்.

இப்பொழுது ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

 **hλ = hλ1 hλ2 ... hλp**
எடுத்துக்காட்டாக,

h(31) = h3 h1 = (Σ α13 + Σ α12 α2 + Σ α1 α2 α3)(Σα1).
h(22) = h2 h2 = (Σ α12 + Σ α1α2)2.

தனித்த சமச்சீர் சார்பு
----------------------

தனித்த சமச்சீர் சார்பு (Elementary Symmetric Function):

aN = k(1N).
எ.கா. a4 = Σ α1α2α3α4

a4 சூன்ய உறுப்பாக இல்லாமல் இருப்பதற்கு, n ≥ 4 உண்மையாக இருக்கவேண்டும்.

இப்பொழுது தனித்த சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

**aλ = aλ1 aλ2 ... aλp.**
எ.கா. a(31) = a3 a1 = (Σ α1α2α3)(Σα1).

a(22) = a2a2 = (Σ α1α2)2.

அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு
-----------------------------

அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு (Power Sum Symmetric function):

sN = k(N) = Σα1N
குறிப்பு: ஒரு குறியீடு இருந்தாலும் sN சூன்யமாகாது.

இப்பொழுது அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது

**sλ = sλ1 sλ2 ... sλp.**
எ.கா.: s4 = Σα14.

s(31) = (Σα13) (Σα1).
s(22) = s2s2 = (Σα12)2
முக்கிய விளைவு: (λ) = (1,1, ...λ1முறை,2,2, ...λ2முறை, ... p,p, ...λpமுறை) என்று கொண்டால், அதாவது, (λ) = (1λ12λ23λ3 .... ) என்று கொண்டால்,
**sλ = s1λ1s2λ2s3λ3 ....**

சமச்சீர் சார்புகளின் நேரியல் அளாவல்
-----------------------------------

ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் N உடைய எல்லாப்பிரிவினைகள் λ வுக்கும் அவைகளுக்கு இணைவான kλ க்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தை SYMN என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவோம். இக்கணத்தில்,

Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp + Σ α1μ1 α2μ2 .... αqμq ::
என்பது கூட்டல் வரையறை ஆகும்.

மற்றும் **Q** என்ற விகிதமுறு எண்களின் களத்தை அளவெண்களமாகக் கொண்டால்,
a x Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp = Σaα1λ1 α2λ2 .... αpλp
என்ற வரையறை அளவெண் பெருக்கலின் வரையறை ஆகும்.
இவ்விரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு SYMN நேரியல் வெளியாகின்றது.

இவ்வெளிக்கு அடுக்களம் {kλ, λ {\displaystyle \vdash } N} : பரிமாணம் p(N), அ-து, N உடைய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை. இதைவிட மேலாக பின்வரும் தேற்றமே நிறுவப்படக்கூடியது .

**தேற்றம்**: *{kλ, λ {\displaystyle \vdash } N}, {aλ, λ {\displaystyle \vdash } N}, {hλ, λ {\displaystyle \vdash } N}, {sλ, λ {\displaystyle \vdash } N}, -- இவை நான்குமே ஒவ்வொன்றும் SYMN க்கு அடுக்களமாக அமைகின்றது*.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  V. Krishnamurthy. Combinatorics: Theory & Applications. Ellis Horwood. 1986. p.57