முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.
வடிவவியலில் **முக்கோண எண்** (*triangular number*) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு **முக்கோண எண்** என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு எண்ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) *n* -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு *n* புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என இயல் எண் களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். *n* -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் *n* வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை (OEIS-இல் வரிசை A000217)
:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....

வாய்பாடு
--------

* *n* -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் *n* வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle T\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}}
இவ்வாய்பாட்டை காட்சி நிறுவல் மூலம் விளக்கலாம்.வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு ஈருறுப்புக் கெழு. இக்கெழு, *n* + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. பெருக்கலில் உள்ள தொடர் பெருக்கத்தைப் போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் *n* !, 1 முதல் *n* வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் {\displaystyle T\_{n},} 1 முதல் *n* வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

* ஒவ்வொரு புள்ளியையும் இணைத்து வரையக் கூடிய கோடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:

{\displaystyle L\_{n}=L\_{n-1}+3(n-1)}
புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தின் குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {T\_{n}}{L\_{n}}}={\frac {1}{3}}}
ஒவ்வொரு முக்கோண எண் {\displaystyle T\_{n}} க்கும், அதற்குச் சமமான என்ணிக்கையிலான பொருட்களை கீழேயுள்ள படத்திலுள்ளதுபோல ஒரு அரைச்-செவ்வக வடிவில் அமைப்பதாகக் கொள்ளலாம். இதே அமைப்பின் படிமத்தைச் சுழற்றி முழுச் செவ்வகமாக உருவாக்கினால் அதிலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாவதோடு அச்செவ்வகத்தின் அளவானது {\displaystyle n\times (n+1)} ஆக இருக்கும். மேலும் {\displaystyle n\times (n+1)} இன் மதிப்பு செவ்வகத்திலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருக்கும். எனவே:

{\displaystyle T\_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}.

எடுத்துக்காட்டு:

{\displaystyle 2T\_{4}=4(4+1)=20} (பச்சையும் மஞ்சளும்)
{\displaystyle T\_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10} (பச்சை)
இவ்வாய்பாட்டை கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவமுடியும்.

{\displaystyle n=1} எனில், இவ்வாய்பாடு உண்மையாவதை எளிதாகக் காணலாம்:


T

1

=

∑

k
=
1

1

k
=

1
(
1
+
1
)

2

=

2
2

=
1.

{\displaystyle T\_{1}=\sum \_{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}

{\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}
{\displaystyle m} என்ற இயலெண்ணுக்கு இவ்வாய்ப்பாடு மெய் என எடுத்துக்கொள்ள:

{\displaystyle T\_{m}=\sum \_{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}.
இருபுறமும் {\displaystyle m+1} ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது:



∑

k
=
1

m

k
+
(
m
+
1
)

=

m
(
m
+
1
)

2

+
m
+
1



=

m
(
m
+
1
)
+
2
m
+
2

2



=

m

2

+
m
+
2
m
+
2

2



=

m

2

+
3
m
+
2

2



=

(
m
+
1
)
(
m
+
2
)

2

,



{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}
அதாவது, வாய்பாடு {\displaystyle m} என்ற மதிப்பிற்கு உண்மையாக இருக்கும்போது அது {\displaystyle m+1} மதிப்பிற்கும் உண்மையாகிறது. 

எனவே, கணிதத்தொகுத்தறிதலின்படி வாய்பாடு அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.

வரலாறு
------

செருமானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ், அவரது இளமைக்காலத்தில் இதனைக் கண்டறிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது. எனினும் இதனை முதன்முதலாகக் கண்டறிந்தவர் காஸ் அல்ல. கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டிலேயே இது அறியப்பட்டிருந்தது என்ற கருத்தும் உள்ளது 816 இல், அயர்லாந்தைச் சேர்ந்த துறவி திக்குய்ல் என்பவரும் அவரது இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பில் இதனைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். திக்குய்லின் குறிப்புகளுக்கான ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் உள்ளது.

### கைகுலுக்கல் சிக்கல்

"கைகுலுக்கல் சிக்கலுக்கான" தீர்வை முக்கோண எண் *T**n* தருகிறது. *n* + 1 நபர்கள் உள்ள ஓர் அறையில் ஒருவர் மற்ற ஒவ்வொருவருடனும் கைகுலுக்கினால் நிகழும் மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கையை முக்கோண் எண் *T**n* அளிக்கிறது In other words, the solution to the handshake problem of *n* நபர்களின் கைகுலுக்கல் கணக்குக்கான விடை *T**n*−1 ஆகும்.

### தொடர்கூட்டல் சார்பு

அமெரிக்கக் கணினி அறிவியலாளரான டோனால்டு நத், தனது நூலில் *n* முழுஎண்களின் தொடர்பெருக்கத்துடன் ஒத்தவொன்றாக "தொடர்கூட்டல் சார்பு" ("Termial function") என்பதை உருவாக்கினார்.  இத்தொடர்கூட்டலின் குறியீடு ***n?*** .இது முக்கோண எண் *T**n* க்குச் சமம். 

தொடர் பெருக்கம்:

***n!*** = 1.2.3....n
தொடர் கூட்டல்:



n
?
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
.
.
.
+
n
=

n
(
n
+
1
)

2

=

T

n

{\displaystyle n?=1+2+3+4+5+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}=T\_{n}}

{\displaystyle n?=1+2+3+4+5+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}=T_{n}}
எடுத்துக்காட்டாக:



10
?
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
10
=
55
=

T

(

10
)

{\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55=T\_{(}10)}

{\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55=T_{(}10)}

ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு
----------------------------

முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

* அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு வர்க்க எண் (சதுர எண்). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகும்.

{\displaystyle T\_{n}+T\_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T\_{n}-T\_{n-1})^{2}.}

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 6 + 10 = 16 |  |     | 10 + 15 = 25 |  |

மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.

* எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

{\displaystyle S\_{n+1}=4S\_{n}\left(8S\_{n}+1\right).} இதில், {\displaystyle S\_{1}=1.}
அனைத்து வர்க்க முக்கோண எண்களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

{\displaystyle S\_{n}=34S\_{n-1}-S\_{n-2}+2.}
இதில் {\displaystyle S\_{0}=0} மற்றும் {\displaystyle S\_{1}=1.}
* *n* -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் *n* வரையிலான முழு எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

{\displaystyle T\_{n}^{2}=\sum \_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dotsb +n^{3}=({\frac {n(n+1)}{2}})^{2}}
* 1 முதல் *n* வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் *n* ஆம் நான்முக எண்ணாகும்.

{\displaystyle T\_{1}+T\_{2}+T\_{3}+....+T\_{n}={\frac {(n)(n+1)(n+2)}{6}}.}
* பொதுவாக, *n* -ஆம் *m* -பலகோண எண் மற்றும் *n* -ஆம் (*m* + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (*n* – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆறாம் எழுகோண எண் = 81. ஆறாம் அறுகோண எண் = 66
இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்ணையும் காணமுடியும்.
*n* -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட *k*-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

{\displaystyle Ck\_{n}=kT\_{n-1}+1.\ }
இங்கு {\displaystyle T\_{(}n-1)} -முக்கோண எண்;
{\displaystyle Ck\_{n}} -*n* -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட *k*-கோண எண்.
இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு சரிவக எண்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  "Triangular Number Sequence". *Math Is Fun*.
2. ↑  Michael Spivak (2008). *Calculus* (4th ). Houston, Texas: Publish or Perish. பக். 21–22. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-914098-91-1. .
3. ↑  Hayes, Brian. "Gauss's Day of Reckoning". *American Scientist*. Computing Science. Archived from the original on 2015-04-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2014-04-16.
4. ↑  Eves, Howard. "Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS". Mathcentral. பார்க்கப்பட்ட நாள் 28 March 2015.
5. ↑  Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.
6. ↑  Ross, H.E. & Knott, B.I."Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. .
7. ↑  "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". *MathCircles.org*. Archived from the original on 10 March 2016. பார்க்கப்பட்ட நாள் 12 January 2022.
8. ↑  Knuth, Donald. *The Art of Computer Programming*. **1** (3rd ). பக். 48.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***triangular numbers***   
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன. 

* Triangular numbers at cut-the-knot
* There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
* Weisstein, Eric W. "Triangular Number", *MathWorld*.
* Triangular numbers via 12 days of Christmas பரணிடப்பட்டது 2013-05-15 at the வந்தவழி இயந்திரம் by Vi Hart

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* சதுர எண்
* பல்கோண எண்
* முக்கோண சதுர எண்