கணிதத்தில் **கேய்சியின் தேற்றம்** (*Casey's theorem*) என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொலெமியின் தேற்றம் ஆகும். இத்தேற்றம், ஐரிய கணிதவியலாளர் ஜான் கேய்சியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளீடிய வடிவவியலில் அமைந்த பல கூற்றுகளின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் பயன்படுகிறது.:411.

தேற்றத்தின் கூற்று
------------------

{\displaystyle t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}-t\_{13}\cdot t\_{24}=0}
{\displaystyle \,O} வட்டத்தின் ஆரம் {\displaystyle \,R}; {\displaystyle \,O\_{1},O\_{2},O\_{3},O\_{4}} (இதே வரிசையில்) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ளாத, {\displaystyle \,O} வட்டத்துக்குள் அதனைத் தொட்டவாறு உள்ள நான்கு வட்டங்கள்; {\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} வட்டங்களின் பொது வெளித்தொடுகோட்டின் நீளம் {\displaystyle \,t\_{ij}} எனில்:

{\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}.}
இதன் சிதைவுவகையில் நான்கு வட்டங்களும் புள்ளிகாகக் மாறுவதால் தேற்றமும் தொலெமியின் தேற்றமாகி விடும்.

நிறுவல்
-------

கேய்சியின் தேற்றம் சக்காரியசு என்பவரால் நிறுவப்பட்டது.

{\displaystyle \,O\_{i}} என்ற வட்டத்தின் ஆரம் {\displaystyle \,R\_{i}}; அது {\displaystyle \,O} வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி {\displaystyle \,K\_{i}} ஆகும். வட்டங்களின் மையங்களையும் {\displaystyle \,O,O\_{i}} புள்ளிகளால் குறித்துக் கொள்ளலாம்.

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி:

{\displaystyle \,t\_{ij}^{2}={\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}.}
இந்நீளத்தை {\displaystyle \,K\_{i},K\_{j}} புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவதற்கு, {\displaystyle \,O\_{i}OO\_{j}} முக்கோணத்தில் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}={\overline {OO\_{i}}}^{2}+{\overline {OO\_{j}}}^{2}-2{\overline {OO\_{i}}}\cdot {\overline {OO\_{j}}}\cdot \cos \angle O\_{i}OO\_{j}}
{\displaystyle \,O,O\_{i}} வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடுவதால்:

{\displaystyle {\overline {OO\_{i}}}=R-R\_{i},\,\angle O\_{i}OO\_{j}=\angle K\_{i}OK\_{j}}
{\displaystyle \,C} என்பது {\displaystyle \,O} வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியெனில், {\displaystyle \,K\_{i}CK\_{j}} முக்கோணத்தில் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\overline {K\_{i}K\_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K\_{i}CK\_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}}
எனவே,

{\displaystyle \cos \angle K\_{i}OK\_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K\_{i}OK\_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K\_{i}K\_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
இவற்றை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=(R-R\_{i})^{2}+(R-R\_{j})^{2}-2(R-R\_{i})(R-R\_{j})+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
{\displaystyle {\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}=((R-R\_{i})-(R-R\_{j}))^{2}+(R-R\_{i})(R-R\_{j})\cdot {\frac {{\overline {K\_{i}K\_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
இறுதியாகத் தொடுகோட்டின் நீளம்:

{\displaystyle t\_{ij}={\sqrt {{\overline {O\_{i}O\_{j}}}^{2}-(R\_{i}-R\_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R\_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{j}}}\cdot {\overline {K\_{i}K\_{j}}}}{R}}}
இடப்பக்கத்திற்கு, {\displaystyle \,K\_{1}K\_{2}K\_{3}K\_{4}} நாற்கரத்தில் தொலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\begin{aligned}&t\_{12}t\_{34}+t\_{14}t\_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{2}}}\cdot {\overline {K\_{3}K\_{4}}}+{\overline {K\_{1}K\_{4}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R\_{1}}}{\sqrt {R-R\_{2}}}{\sqrt {R-R\_{3}}}{\sqrt {R-R\_{4}}}\left({\overline {K\_{1}K\_{3}}}\cdot {\overline {K\_{2}K\_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t\_{13}t\_{24}\end{aligned}}}

மேலதிகப் பொதுமைப்படுத்தல்
-------------------------

நான்கு சிறு வட்டங்களும் பெரிய வட்டத்தினுள் மட்டுமே அமையவேண்டியதில்லை. வெளிப்புறமாகத் தட்டவாறும் அமையலாம்::

{\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} இரண்டும் {\displaystyle \,O} வட்டத்தின் ஒரே பக்கமாக (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, {\displaystyle \,t\_{ij}} ஆனது பொது வெளித்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்.

{\displaystyle \,O\_{i},O\_{j}} இரண்டும் {\displaystyle \,O} வட்டத்தின் வெவ்வேறு பக்கத்தில் (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, {\displaystyle \,t\_{ij}} ஆனது பொது உட்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்..

கேய்சியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது:

{\displaystyle \,t\_{12}\cdot t\_{34}+t\_{14}\cdot t\_{23}=t\_{13}\cdot t\_{24}.} உண்மையானால், நான்கு வட்டங்களும் ஒரு பொது வட்டத்தைத் தொடும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2  
Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". *Proceedings of the Royal Irish Academy* **9**: 396–423.
2. ↑  
Bottema, O. (1944). *Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde*. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
3. ↑  
Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". *Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung* **52**: 79–89.
4. 1 2  
Johnson, Roger A. (1929). *Modern Geometry*. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

வெளி இணைப்புகள்
---------------

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,  
 ***கேய்சியின் தேற்றம்***   
என்பதின் ஊடகங்கள் உள்ளன. 

* Weisstein, Eric W. "Casey's theorem", *MathWorld*.
* Crux Mathematicorum volume 22 issue 2 (it contains the article above)