கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாட்டில் **முற்றிசைவுப்பகுதிகள்** (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.

வரையறை
------

{\displaystyle a} என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், n என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, {\displaystyle a} (mod n) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு {\displaystyle a} (mod n) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: {\displaystyle [a]\_{n}}. ஆக,

* {\displaystyle [a]\_{n}=\{x\in \mathbf {Z} :x\equiv a(modn)\}}

முக்கிய விளைவு
--------------

கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.

எடுத்துக்காட்டு
---------------

7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் {\displaystyle \mathbf {Z} } பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:

{\displaystyle [0]\_{7}} = { ... -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}
{\displaystyle [1]\_{7}} = { ... -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...}
{\displaystyle [2]\_{7}} = { ... -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...}
{\displaystyle [3]\_{7}} = { ... -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...}
{\displaystyle [4]\_{7}} = { ... -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...}
{\displaystyle [5]\_{7}} = { ... -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...}
{\displaystyle [6]\_{7}} = { ... -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}

முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்
----------------------------

இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:

{\displaystyle \{[0]\_{7},[1]\_{7},[2]\_{7},[3]\_{7},[4]\_{7},[5]\_{7},[6]\_{7}\}}
இதை **மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்** என்று சொல்வோம். குறியீடு {\displaystyle \mathbf {Z} \_{7}}.
இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:

2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, {\displaystyle [2]\_{7}}. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது {\displaystyle [2]\_{7}=[9]\_{7}}. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்

... {\displaystyle [-5]\_{7}=[2]\_{7}=[9]\_{7}} = .....
... {\displaystyle [-21]\_{7}=...=[0]\_{7}....}
இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு {\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.

இப்பொழுது {\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.

### கூட்டல் வரையறை

{\displaystyle [a]\_{n}+[b]\_{n}=[a+b]\_{n}}
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக, 

{\displaystyle [2]\_{7}+[6]\_{7}=[2+6]\_{7}=[8]\_{7}=[1]\_{7}}
{\displaystyle [2]\_{7}} க்கு பதிலாக, {\displaystyle [9]\_{7}} ஐயும், {\displaystyle [6]\_{7}} க்கு பதிலாக {\displaystyle [-15]\_{7}} ஐயும் எடுத்தாலும்,
{\displaystyle [9]\_{7}+[-15]\_{7}=[9-15]=[-6]\_{7}=[1]\_{7}} என்ற அதே விடைதான் வரும்.
### பெருக்கல் வரையறை

{\displaystyle [a]\_{n}\times [b]\_{n}=[a\times b]\_{n}}
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,

{\displaystyle [2]\_{7}\times [6]\_{7}=[2\times 6]\_{7}=[12]\_{7}=[5]\_{7}.}
{\displaystyle [2]\_{7}} க்கு பதிலாக, {\displaystyle [9]\_{7}} ஐயும், {\displaystyle [6]\_{7}} க்கு பதிலாக {\displaystyle [-15]\_{7}} ஐயும் எடுத்தாலும்,
{\displaystyle [9]\_{7}\times [-15]\_{7}=[9\times (-15)]\_{7}=[-135]\_{7}=[-2]\_{7}=[5]\_{7}} என்ற அதே விடைதான் வரும்.

சுழி வகுப்பான் சுழி
-------------------

{\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} இலுள்ள {\displaystyle [a]\_{n}} என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,

ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி {\displaystyle [b]\_{n}} க்கு, {\displaystyle [a]\_{n}\times [b]\_{n}=[0]\_{n}}
{\displaystyle [a]\_{n}} (அதனால் {\displaystyle [b]\_{n}} ம்) ஒரு **சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n** (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.
எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle [2]\_{6}\times [3]\_{6}=[0]\_{6}}

{\displaystyle \therefore [2]\_{6}} ம் {\displaystyle [3]\_{6}} ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.

பெருக்கல் நேர்மாறு
------------------

{\displaystyle [a]\_{n}\times [b]\_{n}=[1]\_{n}} ஆக இருக்குமானால்,
{\displaystyle [a]\_{n}} ம் {\displaystyle [b]\_{n}} ம் ஒன்றுக்கொன்று **பெருக்கல் நேர்மாறு** எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle [3]\_{7}\times [5]\_{7}=[1]\_{7}}

{\displaystyle \therefore [3]\_{7}} ம் {\displaystyle [5]\_{7}} ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.

சில விளைவுகள்
-------------

* ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,

[{\displaystyle a]\_{n}} க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.
* {\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
* n ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:

n ஒரு பகா எண் (prime number).
{\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} இல் {\displaystyle [0]\_{n}} ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.
{\displaystyle \mathbf {Z} \_{n}} இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* சமான உறவு (கணிதம்)