இயல் எண்களின் எண்ணுதல் பயன்பாடு (ஒரு ஆப்பிள், இரண்டு ஆப்பிள்கள், மூன்று ஆப்பிள்கள், …)
மெய்யெண்களின் கணமானது (ℝ), விகிதமுறு எண்களையும் (ℚ), விகிதமுறு எண்களின் கணம் முழு எண்களையும் (ℤ), முழுவெண்கள் கணம் இயல் எண்களையும் (ℕ) உள்ளடக்கியுள்ளதை விளக்கும் படம்.
கணிதத்தில், **இயல் எண்** (*natural number*) என்பது முதல் வரிசை நேர்ம முழு எண்கள் (1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும், எதிர்ம எண் அல்லாத முழு எண்கள் வரிசை (0, 1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும் வரையறுக்கப்படுகின்றது. அதாவது, இயலெண் குறித்த சில வரையறைகள்
இயலெண்களை 0 இலிருந்து தொடங்குகின்றன. இவ்வரையறைகளில் இயலெண்கள் எதிர்மமில்லா முழு எண்களோடு ஒத்ததாக அமைகின்றன (0, 1, 2, 3, …). மேலும், இயலெண்கள் 1 இலிருந்து துவங்குவதாகக் கொள்ளும் வரையறைகளில் இயலெண்கள் நேர்ம முழுவெண்களை ஒத்து அமைகின்றன (1, 2, 3, …). முந்தைய வரைவிலக்கணம் எண் கோட்பாட்டிலும், பிந்தையது கணக் கோட்பாட்டிலும் கணினி அறிவியலிலும் விரும்பப்படுகிறது.

இயல் எண்களின் கணத்தை {\displaystyle \mathbb {N} } என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது

{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}}.
இயல் எண்களுக்கு இரண்டு இயல்பான பயன்கள் உள்ளன. பொருட்களை எண்ணப் பயன்படுத்தலாம் (எ-கா:*தட்டில் 4 மாம்பழங்கள் உள்ளன*). மேலும் எண்ணிக்கை அளவில் எத்தனையாவது என்று வரிசைமுறைமையைக் காட்டலாம் (எ-கா:*சென்னை இந்தியாவிலேயே 4 ஆவது பெரிய நகரம்*). எண்ணுதலின் போது இயலெண்கள் "முதலெண் அல்லது கார்டினல் எண்"கள் முதலெண்கள் எனவும், வரிசையைக் குறிக்கும்போது அவை "வரிசை எண் அல்லது ஆர்டினல் எண்"கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எண் கோட்பாட்டுத் துறையில், இந்த இயல் எண்களின் வகு நிலை வகு படா நிலை என்பதைக் குறிக்கும் வகுமைப் பண்புகள் பற்றியும், பகா எண்கள் எப்படி விரவி உள்ளன என்பது பற்றியும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றது.

இயலெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் நீட்சியாக ஏனைய எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

* இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (*n*) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−*n*) சேர்த்தால் முழு எண்களின் கணம் பெறப்படுகிறது; \*இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (*n*) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−*n*), ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற இயல் எண்ணின் பெருக்கல் நேர்மாறுகளையும் (1/*n*) சேர்க்க விகிதமுறு எண்கள் பெறப்படுகின்றன.
* இவற்றுடன் விகிதமுறா எண்கள் சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.
* மெய்யெண்களோடு -1 இன் வர்க்கமூலம் சேர்க்கப்படுபோது சிக்கலெண்கள் பெறப்படுகின்றன.

இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.

குறியீடு
--------

பெரும்பான்மையாக இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு.
இயலெண்களின் கணத்தை **N** அல்லது ℕ என்ற குயீடுகளால் கணிதவியலாளர்கள் குறிக்கின்றனர். பழைய புத்தகங்களில் அரிதாக *J* என்ற குறியீடும் இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது. இயலெண்களின் கணம் முடிவுறா கணமாகவும். அதே சமயத்தில் எண்ணத்தக்க கணமாகவும் உள்ளது. இக்கணம் எண்ணத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கும்வகையில் இதன் முதலெண் ℵ0 என்ற குறிக்கப்படுகின்றன.

"0" சேர்க்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்படாத இயலெண்கள் கணமா என்பதைத் தெளிவுபடுத்தும்வகையாக பின்னதற்கு "\*" அல்லது என்ற "+"மேலொட்டும், முன்னதற்கு ">0" என்பது மேலொட்டு அல்லது கீழொட்டாகச் சேர்க்கப்படுகிறது.

ℕ0 = ℕ0 = {0, 1, 2, …}
ℕ\* = ℕ+ = ℕ1 = ℕ>0 = {1, 2, …}.
மாறாக, நேர்ம முழுஎண்களிலிருந்து இயலெண்களை சுட்டெண் குறியீடு மூலம் வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். ஆனால் இரு குறியீடுகளுமே பயன்படுத்தப்படுவதால் அந்தந்தச் சூழலைக் கொண்டே புரிந்து கொள்ளல் வேண்டும்.

ℕ = {0, 1, 2, …}.
ℤ+= {1, 2, …}.

பண்புகள்
--------

### கூட்டல்

இயலெண்களில் கூட்டல் செயலைக் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

*a* + 0 = *a*
*a* + *S*(*b*) = *S*(*a* + *b*) {\displaystyle \forall } *a*, *b*.
இதில் *S* என்பது ஒரு இயலெண்ணின் தொடரியெண்ணைக் குறிக்கிறது.

இதனால் இயலெண்கள் கணம் (ℕ, +) ஒரு பரிமாற்று ஒற்றைக்குலம்; அதன் முற்றொருமை உறுப்பு  0. இந்த ஒற்றைக்குலம் நீக்கல் விதிகளை நிறைவு செய்யும்; மேலும் இந்த ஒற்றைக்குலத்தை ஒரு குலத்தில் உட்பொதிவு செய்யலாம். இயலெண்களைக் கொண்ட மிகச் சிறிய குலம் முழு எண்களாகும்.

*S*(0) = "1" வரையறுக்கப்பட்டால்,
*b* + 1 = *b* + *S*(0) = *S*(*b* + 0) = *S*(*b*).
அதாவது *b* + 1 என்பது *b* இன் தொடரி (அடுத்த எண்) ஆகும்.

### பெருக்கல்

கூட்டல் வரையறையுடன் ஒத்ததாகப் பெருக்கல் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

*a* × 0 = 0
*a* × S(*b*) = (*a* × *b*) + *a*.
இந்த வரையறையால் இயலெண்களின் கணம் (ℕ\*, ×),  1 ஐ பெருக்கல் சமனியாகக் கொண்ட பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகிறது. இக்குலத்தின் பிறப்பாக்கி பகா எண்களின் கணமாகும்.

### கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்குமான தொடர்பு

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் ஒத்தியங்கும் தன்மை, பங்கீட்டுப் பண்பால் விளங்கும்:

*a* × (*b* + *c*) = (*a* × *b*) + (*a* × *c*).
இப்பண்பினால் இயலெண்களின் கணம் ஒரு பரிமாற்று அரைவளையமாகும். இயலெண்களின் கணத்தில் கூட்டல் நேர்மாறு (எதிர்ம எண்கள்) கிடையாதென்பதால் இயலெண்களின் கணம் வளையமாக முடியாது; அது ஒரு அரைவளையம் மட்டுமே ஆகும்.

"0" ஐத் தவிர்த்துவிட்டு, "1" இலிருந்து துவங்கும் இயலெண்களுக்கும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் வரையறைகள், *a* + 1 = *S*(*a*); *a* × 1 = *a* என்பதைத் தவிர மேலுள்ளவாறே அமையும்.

### வரிசைமுறை

இப்பகுதியில் *ab* என்பது *a* × *b* ஐக் குறிக்கும்.

இயலெண்களின் முழுவரிசைமுறையின் வரையறை:

*a* + *c* = *b* என்றவாறு *c* என்ற இயலெண் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *a* ≤ *b* ஆகும்.
இந்த வரிசைமுறை இயலெண்களில் எண்கணிதச் செயல்களோடு ஒத்தியங்கக் கூடியது:

*a*, *b*, *c* மூன்றும் இயலெண்கள்; *a* ≤ *b* எனில்,
*a* + *c* ≤ *b* + *c* மற்றும் *ac* ≤ *bc* ஆகும்.
### வகுத்தல்

இப்பகுதியில் *ab* என்பது *a* × *b* ஐக் குறிக்கும். மேலும் வழக்கமான செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை பின்பற்றப்படும்.

ஒரு இயலெண்ணை மற்றொரு இயலெண்ணால் வகுத்து ஒரு இயலெண்ணை விடையாகப் பெறுவதென்பது, எல்லா இயலெண்களுக்கும் பொருந்தாது. அதற்குப் பதிலாக மீதிவரக்கூடிய *வகுத்தல்முறை உள்ளது.*

*a*, *b* இரு இயலெண்கள்; *b* ≠ 0 எனில் கீழ்வரும் முடிவினை நிறைவு செய்யும் *q*, *r* என்ற இரு இயலெண்களைக் காண முடியும்:
*a* = *bq* + *r*      ;      *r* < *b*.
*a* ஐ  *b* ஆல் வகுத்தலில் *q* *ஈவு* என்றும் *r* *மீதி* என்றும் அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு *a*, *b* இணைக்கும் அந்தந்த *q*, *r* இன் மதிப்புகள் தனித்துவமானவை. பல பண்புகள் (எகா: வகுதன்மை,) படிமுறைத்தீர்வுகள் (எகா: யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு மற்றும் எண்கோட்டின் கருத்துக்களுக்கு யூக்ளிடிய வகுத்தல் அடிப்படையாக அமைகிறது.

### இயலெண்கள் நிறைவுசெய்யும் இயற்கணிதப் பண்புகள்

* கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான அடைவுப் பண்பு:

அனைத்து இயலெண்கள் *a*, *b* ஆகியவற்றுக்கு, *a* + *b* , *a* × *b* இரண்டும் இயலெண்களே.
* சேர்ப்புப் பண்பு:

அனைத்து இயலெண்கள் *a*, *b*, *c* ஆகியவற்றுக்கு,
*a* + (*b* + *c*) = (*a* + *b*) + *c*;
*a* × (*b* × *c*) = (*a* × *b*) × *c*.
* பரிமாற்றுத்தன்மை:

அனைத்து இயலெண்கள் *a*, *b* என்பனவற்றுக்கு, 

*a* + *b* = *b* + *a*;
*a* × *b* = *b* × *a*.
* முற்றொருமை உறுப்பு:

ஒவ்வொரு இயலெண்ணுக்கும் (*a*):
*a* + 0 = *a*;
*a* × 1 = *a*.
* கூட்டல்-பெருக்கல் பங்கீட்டுப் பண்பு;

*a*, *b*, *c* இயலெண்கள் எனில்:
*a* × (*b* + *c*) = (*a* × *b*) + (*a* × *c*).
* *a* , *b* இயலெண்கள்;

*a* × *b* = 0 எனில், *a* = 0 அல்லது *b* = 0 (அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம்).

மேற்கோள்கள்
-----------

1. 1 2  "Standard number sets and intervals". *ISO 80000-2:2009*. சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம். பக். 6. .
2. ↑  
Weisstein, Eric W. "Natural Number", *MathWorld*.
3. ↑  
"natural number", *Merriam-Webster.com*, Merriam-Webster, 4 October 2014 அன்று பார்க்கப்பட்டது
4. ↑  (Carothers 2000) says: "ℕ is the set of natural numbers (positive integers)" (p. 3)
5. ↑  (Mac Lane & Birkhoff 1999) include zero in the natural numbers: 'Intuitively, the set ℕ = {0, 1, 2, ...}
 of all *natural numbers* may be described as follows: ℕ contains an "initial" number 0; ...'. They follow that with their version of the Peano Postulates. (p. 15)
6. ↑  (Mendelson 2008) says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)
7. ↑  (Bluman 2010): "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)
8. ↑  Rudin, W. (1976). *Principles of Mathematical Analysis*. New York: McGraw-Hill. பக். 25. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-07-054235-8. .
9. ↑  Weisstein, Eric W. "Cardinal Number", *MathWorld*.
10. ↑  Grimaldi, Ralph P. (2003). *A review of discrete and combinatorial mathematics* (5th ). Boston, MA: Addison-Wesley. பக். 133. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0201726343.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* எண்களின் பட்டியல்
* சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்