கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், **இணை இயத்தல்** (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

இணையியம்
--------

G ஒரு குலம் என்று கொள்க. {\displaystyle b\in G,a\in G} இனுடைய **இணையியம்** (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு {\displaystyle g\in G} க்கு, {\displaystyle b=gag^{-1}}.
எளிதாகவே **இணையியத்தல்** ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

{\displaystyle a} என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், {\displaystyle a} இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

{\displaystyle a} இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = {\displaystyle \{gag^{-1}:g\in G\}}. இதற்குக்குறியீடு: {\displaystyle Cl(a).}

அவதானக் குறிப்பு
----------------

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு {\displaystyle b=gag^{-1}} ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் {\displaystyle gag^{-1}}.

வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்
-------------------------------------------

* {\displaystyle S\_{3}} ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு {\displaystyle (b)(ca),} உறுப்பு {\displaystyle (a)(bc)} இன் இணையியம். ஏனென்றால், {\displaystyle g=(c)(ab)} என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,

{\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab))^{-1}}
= {\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab));}
= {\displaystyle ((c)(ab))(acb);} ஏனென்றால், {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow a,c\rightarrow c\rightarrow b.}
= {\displaystyle (b)(ac)} ஏனென்றால், {\displaystyle a\rightarrow c\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow b,c\rightarrow b\rightarrow a.}
* மறுபடியும், {\displaystyle S\_{3}} இல்,

{\displaystyle Cl((c)(ab))=\{(c)(ab),(b)(ac),(a)(bc)\}}
{\displaystyle Cl(abc)=\{(abc),(acb)\}}

இணையியமும் சுழலமைப்பும்
-----------------------

**தேற்றம்**: {\displaystyle S\_{n}} இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் {\displaystyle \sigma } வையும் அதன் இணையியம் {\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}} ஐயும் பார்ப்போம்.

{\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}} = {\displaystyle {\begin{pmatrix}i\\\tau (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i\\\sigma (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau (i)\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tau (i)\\\tau \sigma (i)\end{pmatrix}}} இதன் சுழலமைப்பு {\displaystyle \sigma } வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, {\displaystyle \sigma } {\displaystyle \sigma ^{\*}} என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:

{\displaystyle \sigma =(a\_{1}...a\_{r})(b\_{1}...b\_{s})(c\_{1}...c\_{t})...(f\_{1})(f\_{2})...(f\_{q})}
{\displaystyle \sigma ^{\*}=(a\_{1}^{\*}...a\_{r}^{\*})(b\_{1}^{\*}...b\_{s}^{\*})(c\_{1}^{\*}...c\_{t}^{\*})...(f\_{1}^{\*})(f\_{2}^{\*})...(f\_{q}^{\*})}
இப்பொழுது, {\displaystyle \sigma } வும் {\displaystyle \sigma ^{\*}} ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.

{\displaystyle \tau } என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:

{\displaystyle \tau (a\_{i})=a\_{i}^{\*},i=1,...r}
{\displaystyle \tau (b\_{i})=b\_{i}^{\*},i=1,...s}
{\displaystyle \tau (c\_{i})=c\_{i}^{\*},i=1,...t}
.....
{\displaystyle \tau (f\_{i})=f\_{i}^{\*},i=1,...q}
ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, {\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{\*}} என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். 
{\displaystyle \therefore \sigma } வும் {\displaystyle \sigma ^{\*}} ம் இணையியங்கள். Q.E.D.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

இயல்நிலை உட்குலம்