தோராயமான மற்றும் உண்மையான தங்கச் சுருள்கள்: பச்சை நிறச் சுருளானது, ஒவ்வொரு சதுரத்தின் உட்புறத்தைத் தொடும் கால் வட்டங்களிலிலிருந்து உருவான சுருள். சிவப்பு நிறச் சுருள் ஒரு தங்கச் சுருள். இது மடக்கைச் சுருளின் ஒரு சிறப்பு வகை. இரு சுருள்களும் ஒன்றின்மேல் ஒன்று படியும் இடங்கள் மஞ்சள் நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. பெரிய சதுரத்தின் பக்க அளவுக்கும் அதற்கடுத்துள்ள சதுரத்தின் பக்க அளவிற்குமுள்ள விகிதம் தங்க விகிதமாகும்.
வடிவவியலில் **தங்கச் சுருள்** (*Golden spiral*) என்பது தங்க விகிதத்தை (φ) வளர்ச்சிக் காரணியாகக் கொண்ட ஒரு மடக்கைச் சுருளாகும். ஒரு தங்கச் சுருளின் அகலம் அதன் ஒவ்வொரு கால் வட்டத் திருப்பத்திற்கும் φ அளவு அதிகரிக்கிறது.

வாய்ப்பாடு
----------

தங்கச் சுருளின் போலார் சமன்பாடானது மற்ற மடக்கைச் சுருள்களின் சமன்பாடுகளைப் போன்றே அமைகிறது. ஆனால் ஒரேயொரு வேறுபாடு உண்டு. வளர்ச்சிக் காரணி b- ன் மதிப்பில் தங்கச் சுருளானது மற்ற மடக்கைச் சுருள்களில் இருந்து வேறுபடுகிறது.

{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}
அல்லது

{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}
e இயற்கை மடக்கையின் அடிமானம், a ஒரு குறிப்பில்லா நேர்ம மெய் மாறிலி மற்றும் θ ஒரு செங்கோணம் (ஒரு கால் வட்டத்திருப்பம் -இரு திசைகளிலும்) என்றபடியுள்ள b:

{\displaystyle e^{b\theta \_{\mathrm {right} }}\,=\phi }
எனவே b -ன் மதிப்பு:

{\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta \_{\mathrm {right} }}.}
செங்கோணமானது பாகைகளில் (90°) அல்லது ரேடியனில் ({\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}) அளக்கப்படுவதைப் பொறுத்து b -ன் எண் மதிப்பு அமையும்; அதன் குறி, செங்கோணம் அளக்கப்படும் திசையைப் பொறுத்து அமையும். எனவே {\displaystyle b} -ன் தனியளவு:

{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,} ( θ -பாகைகளில்);
{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,} ( θ ரேடியன்களில்).
தங்கச் சுருள் மற்றும் மடக்கைச் சுருளுக்கான வேறொரு சமன்பாடு:

{\displaystyle r=ac^{\theta }\,}
இங்கு மாறிலி c -ன் மதிப்பு:

{\displaystyle c=e^{b}\,}
தங்கச் சுருளுக்கு, c -ன் மதிப்பு:

{\displaystyle c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611} ( θ -பாகையில்)
{\displaystyle c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.} ( θ ரேடியனில்)

தோராயமான தங்கச் சுருள் அமைப்புகள்
---------------------------------

கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருள் போன்ற அமைப்புகள் பல உள்ளன. இவை பெரும்பாலும் தவறுதலாக தங்கச் சுருள்களாக கருதப்பட்டு விடுவதும் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

ஒரு சுழலும் செவ்வகப் படம் கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருளைப் போன்றே இருக்கும். இந்த சுழலும் செவ்வகப் படத்தில் தங்கச் செவ்வகங்களைச் சுருட்டும்போது ஏற்படும் சதுரத்தின் எதிர் முனைகள் கால் வட்டங்களால் இணைக்கப்படுகின்றன. இதன் விளைவு உண்மையான தங்கச் சுருளைப் போன்று தோற்றமளிக்கும். 

தோராயமாக தங்கச் சுருளை ஒத்திருக்கும் ஃபிபனாச்சி சுருள். இச்சுருளானது தங்க விகிதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட சுழலும் செவ்வகப் படத்தைப் போலல்லாமல் ஃபிபனாச்சி எண்களைப் (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, மற்றும் 34)பக்கமாகக் கொண்ட சதுரங்களினுள் வரையப்பட்ட கால் வட்டங்களைப் பயன்படுத்தி அமைகிறது..
மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, பிபனாச்சி சுருளாகும். இது ஒரு மடக்கைச் சுருள் அல்ல. தொடர்ந்து கூடிக்கொண்டே போகும் ஃபிபனாச்சி எண்களை ஆரங்களாகக் கொண்ட கால்வட்டவில் தொடர்களால் ஆனது இச்சுருள். ஒவ்வொரு கால் வட்டத் திருப்பத்திற்கும் இச்சுருளின் அகலம் வளரும் காரணி φ அல்ல, ஃபிபனாச்சித் தொடரிலுள்ள ஒரு உறுப்புக்கும் அதற்கு முந்தைய உறுப்புக்குமுள்ள விகிதம்தான் இச்சுருளின் அகலத்தின் வளர்ச்சிக் காரணியாக அமையும். ஃபிபனாச்சித் தொடரில் அடுத்தடுத்துள்ள இரு உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள விகிதங்கள் கிட்டத்தட்ட φ -ன் மதிப்பிற்கு மிகமிக அருகில் உள்ளதால், ஃபிபனாச்சி சுருளானது கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருளைப் போன்றே தோற்றமளிக்கிறது.

இயற்கையில்
----------

சுருள் விண்மீன் திரள்.
நாட்டிலஸ் ஓட்டின் குறுக்குவெட்டு முகம். உள்ளே அறைகள் ஏறத்தாழ மடக்கைச் சுருள் அமைப்பில் இருப்பதைக் காண்க.
மடக்கைச் சுருளின் தோராயத் தோற்றங்கள் பலவற்றை இயற்கையில் காண இருக்கலாம். (எடுத்துக்காட்டு: சுருள் விண்மீன் திரள்கள்). சிலசமயங்களில் *நாட்டிலஸ் ஓடுகள்* தங்கச் சுருள் வடிவில் அகலமாகின்றன என்பதால் அவை φ மற்றும் ஃபிபனாச்சித் தொடரோடு தொடர்புடையன எனக் கூறப்படுகிறது. உண்மையில் நாட்டிலஸ் ஓடுகள் (மற்றும் பல மெல்லுடலிகள்) மடக்கைச் சுருள் போன்ற வளர்ச்சியைக் கொண்டிருந்தாலும் அவை தங்கச் சுருளிலிலிருந்து சற்றே மாறுபட்டவையாகத்தான் உள்ளன. இந்தச் சுருள் அமைப்பு, உயிரினங்கள் வடிவமைப்பு மாறாமல் வளர வழிவகுக்கிறது. இயற்கையில் காணப்படும் சுருள்களில் தங்கச் சுருள்கள் ஒரு சிறப்புவகையாகும்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Chang, Yu-sung, "Golden Spiral", The Wolfram Demonstrations Project.
2. ↑  Priya Hemenway (2005). *Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science*. Sterling Publishing Co. பக். 127–129. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:1402735227. .
3. ↑  Klaus Mainzer (1996). *Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science*. Walter de Gruyter. பக். 45, 199–200. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3110129906. .
4. ↑  Charles B. Madden (1999). *Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis*. High Art Press. பக். 14–16. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0967172764. .
5. ↑  Peterson, Ivars (2005-04-01). "Sea Shell Spirals". *Science News*. Society for Science & the Public. 2012-10-03 அன்று மூலம் பரணிடப்பட்டது. 2011-12-14 அன்று பார்க்கப்பட்டது.