இப்படத்தில், BD:DC = AB:AC.
வடிவவியலில், **கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது**(*Angle bisector theorem*) முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றமாகும். இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

தேற்றம்
-------

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம 
வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதாவது முக்கோணம் {\displaystyle \triangle ABC} -ஐ எடுத்துக் கொள்க.

* {\displaystyle \angle A} -ன் இருசமவெட்டி, {\displaystyle \ BC} பக்கத்தை {\displaystyle \ D} புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
* கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் {\displaystyle \ BD} மற்றும் {\displaystyle \ DC} -ன் விகிதமானது, {\displaystyle \ AB} மற்றும் {\displaystyle \ AC} பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}
* பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, {\displaystyle \ D} புள்ளியானது பக்கம் {\displaystyle \ BC} -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}
* இதிலிருந்து, கோணம் {\displaystyle \angle BAC} -ன் இருசமவெட்டியாக, {\displaystyle \ AD} இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

நிறுவல்
-------

* மேலேயுள்ள படத்தில், {\displaystyle \triangle ABD} மற்றும் {\displaystyle \triangle ACD} முக்கோணங்களுக்கு *சைன் விதியைப்* பயன்படுத்த:

{\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}} ..... (சமன்பாடு 1)
{\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}} ..... (சமன்பாடு 2)
* கோணங்கள் {\displaystyle \angle BDA} மற்றும் {\displaystyle \angle ADC} இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் *சைன்* மதிப்புகள் சமம்.
* கோணங்கள் {\displaystyle \angle BAD} மற்றும் {\displaystyle \angle DAC} இரண்டும் சமமானவை.
* எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

{\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}}
எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு {\displaystyle \ AD} கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

* கோணங்கள் {\displaystyle \angle BAD} மற்றும் {\displaystyle \angle DAC} இரண்டும் சமமில்லை.
* சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

{\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}}
{\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}}
கோணங்கள் {\displaystyle \angle BDA} மற்றும் {\displaystyle \angle ADC} இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

{\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}}
இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.

### நிறுவல்-மாற்றுமுறை

* {\displaystyle \triangle ABD} -க்கு, உச்சி {\displaystyle \ B} வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி ***B*1** என்க. {\displaystyle \triangle ACD} -க்கு, உச்சி {\displaystyle \ C} வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி ***C*1** என்க.
* {\displaystyle \triangle } ***DB*1*B*** மற்றும் {\displaystyle \triangle } ***DC*1*C*** இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள்.
* {\displaystyle \ D} புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு {\displaystyle \ BC} -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள் {\displaystyle \angle }***B*1*DB*** மற்றும்

{\displaystyle \angle }***C*1*DC*** இரண்டும் சர்வசமமாகவும்

* {\displaystyle \ D} புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு {\displaystyle \ BC} -ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
* எனவே முக்கோணங்கள், {\displaystyle \triangle }***DB*1*B*** மற்றும் {\displaystyle \triangle } ***DC*1*C*** இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).

{\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB\_{1}|}{|CC\_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}
எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
* Proof of angle bisector theorem at PlanetMath
* Another proof of angle bisector theorem at PlanetMath