**ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்** (Fermat's Little Theorem) என்பது கணிதத்தில் எண்கோட்பாட்டுப்பிரிவில் அடிப்படையான முதல் தேற்றம். மற்ற பல பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுவது. அது என்ன சொல்கிறதென்றால்,

n ஒரு முழு எண்ணாகவும், {\displaystyle p} ஒரு பகா எண்ணாகவும் இருந்தால், {\displaystyle n^{p}-n} என்ற எண் {\displaystyle p} ஆல் சரியாக வகுபடும்.
எ.கா.

{\displaystyle 5^{3}-5=120=3\times 40}
{\displaystyle 2^{11}-2=2046=11\times 186;}
{\displaystyle 4^{5}-4=1020=5\times 204.}
ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் என்று வரலாற்றுப் புகழ் பெற்ற தேற்றம், வேறு ஒன்று. அதனிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுவதற்குத்தான் மேலேயுள்ள தேற்றம் *சிறிய* தேற்றம் என வழங்குகிறது.

சிறிய தேற்றம் என்று பெயரிருந்தாலும் இதன் கீர்த்தி பெரிதாகையால் இதற்கு மூன்று வித நிறுவல்களைக் கீழே பார்க்கலாம்.

எளிய முதல் நிறுவல்
------------------

இந்நிறுவல் உய்த்தறிதல் முறையில் செல்லும். {\displaystyle p|n^{p}-n} என்பது தேற்றம். {\displaystyle n=1} க்கு நிச்சயமாக இது உண்மை; ஏனென்றால்,{\displaystyle 1^{p}-1=0,p} ஆல் வகுபடுகிறது. இப்பொழுது {\displaystyle p|n^{p}-n} என்பது உண்மையானால்

{\displaystyle p|(n+1)^{p}-(n+1)}
என்று காட்டவேண்டும்.

{\displaystyle (n+1)^{p}-(n+1)}
{\displaystyle =n^{p}-n+\sum \_{i=1}^{i=(p-1)}{\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}}
இது {\displaystyle p} ஆல் வகுபடுகிறது; ஏனென்றால், உய்த்தறிதல் கருதுகோளினால் {\displaystyle n^{p}-n,p} ஆல் வகுபடுகிறது; மற்றும், ஒவ்வொரு {\displaystyle {\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}} ம் {\displaystyle p} ஆல் வகுபடுகிறது.

இரண்டாவது நிறுவல்
-----------------

இந்நிறுவல் எண்களின் சமான உறவுக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது.முதலில் உ.பொ.கா(n,p) = 1 என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,

{\displaystyle n,2n,3n,...(p-1)n} (\*)
என்ற தொடரைப் பார். இதனில் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் மாடுலோ {\displaystyle p} சமானமல்ல; ஏனென்றால்,

{\displaystyle i\times n\equiv k\times n(modp)} என்றால் ,
{\displaystyle i\equiv k(modp)} ; அ-து, {\displaystyle i=k}
இதனால் (\*) இலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் {\displaystyle 1,2,3,...(p-1)} இல் வெவ்வேறு எண்களுக்கு, அதுவும் ஒரே ஒரு எண்ணுக்கு சமானமாக இருக்கும். இந்த சமானங்களின் பெருக்குத்தொகை

{\displaystyle n^{p-1}.1.2.....(p-1)\equiv 1.2.3....(p-1)(modp)}
{\displaystyle (p-1)!} ம் {\displaystyle p} ம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாதலால் நமக்குக் கிடைப்பது
{\displaystyle n^{p-1}\equiv 1(modp)}
இதிலிருந்து, {\displaystyle n^{p}\equiv n(modp).}

மூன்றாவது நிறுவல்
-----------------

இந்நிறுவல் சேர்வியல் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது. {\displaystyle p} மணிகள் கொண்ட மணிமாலைகளைக்கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு மணியும் n நிறங்களில் கிடைப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இவைகளைக்கொண்டு நாம் {\displaystyle n^{p}} மாலைகள் உண்டாக்கலாம். அவைகளில் எல்லா மணிகளும் ஒரே நிறமாக உள்ள மாலைகளின் எண்ணிக்கை n. மீதமுள்ள {\displaystyle n^{p}-n} மாலைகளைப் பார்ப்போம். இவைகளில் ஒவ்வொன்றும் அவைகளைப் போலவே உள்ள மற்ற சில மாலைகளின் சுழல்மாற்றம் தான். சுழல்மாற்றத்தின் மூலம் ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இருக்கக்கூடிய மாலைகளின் எண்ணிக்கை {\displaystyle p}. இதனால்(சுழல் சமான மில்லாத) தனித்துவம் வாய்ந்த மாலைகளின் எண்ணிக்கை

{\displaystyle (n^{p}-n)\div p.}
இது ஒரு முழு எண்ணாதலால் {\displaystyle n^{p}-n,p} ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

மறுதலை உண்மையல்ல
----------------

இத்தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையல்ல என்பதற்கு ஒரு மாற்றுக்காட்டு:

{\displaystyle 2^{341}-2=2(2^{340}-1)=2(({2^{10})}^{34}-1^{34})=2(2^{10}-1)(.....)=2.3.341.(....)}

இதனால் {\displaystyle 2^{341}-2} ஐ 341 சரியாக வகுக்கிறது. ஆனாலும் 341 ஒரு பகா எண்ணல்ல; ஏனென்றால், {\displaystyle 341=31\times 11.}

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

சமான உறவு