கெய்லி(1821-1895) என்ற கணித இயலர்தான் 1854 இல் முதன் முதலில் குலம் என்ற கருத்தை அதன் உறுப்புகளின் பெருக்கல் அட்டவணையின் மூலம் காண்பித்தார். அதிலிருந்து இன்றும், சிறிய முடிவுறு குலங்களை ஒரு நொடியில் ஆராய அவைகளின் பெருக்கல் அட்டவணையைப் பார்ப்பது வழக்கமாகி விட்டது. அதனால் ஒரு குலத்தின் பெருக்கல் அட்டவணைக்கு **கெய்லி குல அட்டவணை** (Cayley Group Table) என்றே பெயர்.

அட்டவணையின் அடிப்படையும் பயனும்
-------------------------------

எந்த உறுப்புகளுக்கு எவை எதிர்மாறுகள், குலத்தின் மையம் என்ன, குலத்தின் கிரமம், அது பரிமாற்றுக் குலமா, பரிமாறாக்குலமா, -- போன்ற குலத்தின் பண்புகள் கெய்லி அட்டவணையைப் பார்த்தவுடனே தெரிந்துவிடும்.

குலத்தை {\displaystyle G} எனக்கொள்வோம். அட்டவணை {\displaystyle xy} ஐ க்காட்டுகிறது. ஒவ்வொரு நிரையிலும் முதல் காரணி {\displaystyle x} எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும். ஒவ்வொரு நிரலிலும் இரண்டாவது காரணி {\displaystyle y} எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும்.

முதலில் அட்டவணையில் தலைப்பு நிரலிலும் தலைப்பு நிரையிலும் உறுப்புகள் ஒரே வரிசையில் எழுதப்பட்டிருப்பது அவசியம். அப்படியிருந்தபின், {\displaystyle k-}ஆவது நிரையும் {\displaystyle k-}ஆவது நிரலும் உறுப்புகளிலும் வரிசையிலும் ஒன்றாக இருந்தால், அந்நிரையின் தலைப்பிலுள்ள உறுப்பு, குலத்தின் மையத்திலிருக்கும் என்று பொருள் கொள்ளலாம். ஏனென்றால், அவ்வுறுப்பை {\displaystyle x\_{k}} எனக்கொண்டால், அந்நிரை

{\displaystyle x\_{k}x\_{1},x\_{k}x\_{2},x\_{k}x\_{3},...}
என்ற வரிசையில் {\displaystyle G} இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும். அதேபோல்,{\displaystyle k}-ஆவது நிரல்

{\displaystyle x\_{1}x\_{k},x\_{2}x\_{k},x\_{3}x\_{k}...}
என்ற வரிசையில் {\displaystyle G} இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும்.

இவையிரண்டும் சமமானால், {\displaystyle x\_{k}} என்ற உறுப்பு எல்லா உறுப்புகளுடன் பரிமாறுகிறது என்று பொருள். {\displaystyle \therefore x\_{k}\in G}இன் மையம்.

எப்பொழுதும், எல்லா குலங்களிலும், {\displaystyle e\in G}-இன் மையம்.

சமச்சீர்குலம் S3
----------------

சமச்சீர் குலம் {\displaystyle S\_{3}} இன் பெருக்கல் அட்டவணை (கீழே உள்ளது) அது ஒரு பரிமாற்றாக்குலம் என்பதைக் காட்டும். இதுதான் மிகச்சிறிய பரிமாற்றாக்குலம்.இதன் கிரமம் 6. இது 3 கூறியீடுகளின் வரிசைமாற்றுக்குலம்.

{\displaystyle S\_{3}=\{e;a=(1)(23);b=(2)(13);c=(3)(12);d=(123);(f)=(132)\}}

| {\displaystyle {\frac {y\rightarrow }{x\downarrow }}} | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **e** | **e** | a | b | c | d | f |
| **a** | a | **e** | d | f | b | c |
| **b** | b | f | **e** | d | c | a |
| **c** | c | d | f | **e** | a | b |
| **d** | d | c | a | b | f | **e** |
| **f** | f | b | c | a |  **e** | d |

இதனுடைய மையம் = {\displaystyle \{e\}}. ஏனென்றால் மற்ற ஒரு நிரையும் அதற்கொத்த நிரலும் சமமாக இல்லை.

ஆறாவது கிரம இருமுகக்குலம்: D3
-----------------------------

ஒரு ஒழுங்கு முக்கோணத்தின் சமச்சீர்களினால் ஏற்படும் இருமுகக்குலம் 6 உறுப்புகளுடையது:

மூன்று சுழற்சிகள் -- {\displaystyle e}, {\displaystyle s=120^{\circ }} சுழற்சி, {\displaystyle t=240^{\circ }} சுழற்சி
மூன்று எதிர்வுகள் -- முக்கோணத்தின் மூன்று நடுவரைக்கோடுகளில் மூன்று எதிர்வுகள். இவை {\displaystyle r\_{1},r\_{2},r\_{3}} எனப்படும்.
இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் குலத்தின் அட்டவணை:

| {\displaystyle {\frac {y\rightarrow }{x\downarrow }}} | e | s | t | r1 | r2 | r3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **e** | **e** | s | t | r1 | r2 | r3 |
| **s** | s | t | **e** | r3 | r1 | r2 |
| **t** | t | **e** | s | r2 | r3 | r1 |
| **r1** | r1 | r2 | r3 | **e** | s | t |
| **r2** | r2 | r3 | r1 | t | **e** | s |
| **r3** | r3 | r1 | r2 | s | t | **e** |

S3யும் D3 யும் சம அமைவியங்கள்
-----------------------------

கெய்லி அட்டவணையின் ஒத்தாசையால் நாம் {\displaystyle S\_{3}} யும் {\displaystyle D\_{3}} யும் சம அமைவியங்கள் என்பதைத்தெரிந்துகொள்ளலாம். ஏனென்றால்

{\displaystyle s\leftrightarrow (123)}
{\displaystyle t\leftrightarrow (132)}
{\displaystyle r\_{1}\leftrightarrow (1)(23)}
{\displaystyle r\_{2}\leftrightarrow (2)(31)}
{\displaystyle r\_{3}\leftrightarrow (3)(12)}
என்ற இருவழிக்கோப்பை செயல்படுத்தினால், இரண்டு அட்டவணைகளும் ஒன்றாவதைப்பார்க்கலாம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
----------------------

* வரிசைமாற்றுக் குலம்
* இருமுகக் குலங்கள்