கணங்கள், கணிதத்தின் அடிப்படை பொருட்களாகும். உள்ளுணர்வின்படி கணங்கள், குறிப்பிட்ட சில உறுப்புகளின் தொகுப்பாகும். இக்கணங்கள் பல்வேறான **கணக் குறியீடு**களால் (*Set notation*) குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு கணத்தின் பண்புகளைப் பொறுத்து அக்கணத்தைக் குறிப்பதற்கான பொருத்தமான குறியீடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

கணத்தை ஒரு பொருளாகக் குறித்தல்
------------------------------

ஒரு கணத்தைப் பகுக்கவியலா உருப்படியாகக் கருதவேண்டிய சூழ்நிலையில், அக்கணமானது ஒரேயொரு பெரிய ஆங்கில எழுத்தால் குறிக்கப்படும். குறிப்பிலா, பொதுவான கணத்திற்கான குறியீடாக *S* பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரே சமயத்தில் பல கணங்களைக் கையாளும்போது அவை சில முதலாவதாக வரும் ஆங்கில எழுத்துக்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன: *A*, *B*, *C*, ... .

சில குறிப்பிட்ட எண் கணங்களுக்குத் தனிப்பட்ட குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

**∅** – வெற்றுக் கணம் ({\displaystyle \emptyset }, {\displaystyle \varnothing }, {} எனவும் குறிக்கப்படும்)
**Z** – முழு எண்கள் (*எண்* என்ற பொருள்தரும் செர்மானியச் சொல் *Zahl* இன் முதலெழுத்து).
**N** – இயல் எண்கள்
**Q** – விகிதமுறு எண்கள் (*ஈவு* என்ற பொருள்படும் ஆங்கில வார்த்தை "Quotient" இன் முதலெழுத்து)
**R** – மெய்யெண்கள் (மெய்யெண்கள் என்பதற்கான ஆங்கிலச் சொல் "Real numbers" என்பதன் முதலெழுத்து)
**C** – சிக்கலெண்கள் (சிக்கலெண்கள் என்பதற்கான ஆங்கிலச் சொல் "Complex numbers" என்பதன் முதலெழுத்து)
இக்குறிப்பிட்ட எண்களின் கணங்களைக் குறிப்பதற்கு சில நூலாசிரியர்கள் {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {N} } போன்ற தடித்த எழுத்துருக்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர். இம்முறையானது கையெழுத்துப் பிரதிகளுக்குப் பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. எனினும் டொனால்ட் குனுத் போன்ற கணித அச்சுக்கலை வல்லுநர்கள் இம்முறையை அச்சுப்பிரதிகளுக்கு ஏற்கவில்லை.

உறுப்புகளை முன்னிலைப்படுத்தும் குறியீடுகள்
------------------------------------------

கணங்களை ஒரே உருப்படியாகக் கொள்வைதைக் காட்டிலும் அவற்றின் உறுப்புகளுக்கு முக்கியத்துவம் அளிக்கப்படும் நிலைகளும் உண்டு.

### விவரித்தல் அல்லது வருணனை முறை

கணங்களை அவற்றின் உறுப்புகளின் பண்பினை விளக்கும் சொற்களைக் கொண்டு குறிக்கும் முறை விவரித்தல் முறை அல்லது வருணனை முறை (Desciption Methed) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக:
*A* = முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.
*B* = இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளின் கணம்
### பட்டியல் முறை

இம்முறையில் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் இரட்டை அடைப்புக்குறிக்குள் பட்டியலிடப்படுகின்றன.

முடிவுறு கணங்களை இம்முறைப்படி குறித்தல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

* இரட்டைப் பகா எண்களின் கணம் = {2}
* இந்திய தேசியக் கொடியின் நிறங்களின் கணம் = {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
* முதல் பத்து வர்க்க எண்களின் கணம் = {1, 4, 9}

கணங்களின் வரையறையின்படி ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளானது ஒரு கணத்தின் உறுப்பாக இருக்குமா இல்லையா என்பதுதான் முக்கியமானதே தவிர, அவை அக்கணத்தில் எத்தனையாவது உறுப்பாக உள்ளது என்பது அவசியமில்லை.

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் உறுப்புகளின் வரிசை மாறுவதால் அந்த கணங்களில் மாற்றமில்லாததைக் காணலாம்: 

* இந்திய தேசியக் கொடியின் நிறங்களின் கணம் = {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {வெள்ளை, பச்சை, சிவப்பு}
* முதல் பத்து வர்க்க எண்களின் கணம் = {1, 4, 9} = {1, 9, 4}

இம்முறையில் வெற்றுக் கணமானது { } எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

ஏராளமான உறுப்புகளைக் கொண்ட பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புகளையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் மிகவும் கடினமானது. எடுத்துக்காட்டாக, *E* = {முதல் ஆயிரம் நேர்ம முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விரித்துரைப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவர்:

*E* = {1, 2, 3, ... 1000}
வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட *E* போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விளக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளி (**...**) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவுறாக் கணங்களையும் முப்புள்ளியைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக:
அனைத்து இரட்டை முழுவெண்களின் கணம்:

{2, 4, 6, 8, ... }.
இக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புகள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:

*X* = {1, 2, ... 16}
அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக, 

*F* = {–4, –3, 0, ... 357}
என்பதை வாசிக்கும்போது இக்கணமானது, 

*F* = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்}.
என்பது வெளிப்படையாகவோ தெளிவாகவோ தெரியவில்லை. இக்குறைபாட்டைக் கணக்கட்டமைப்பு முறை நிவர்த்தி செய்கிறது.

### கணிதக்கட்டமைப்பு முறை

ஒரு கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் பண்புகளை நிறைவு செய்யும் வகையில் அமைவது கணிதக்கட்டமைப்பு முறையாகும் (Set Builder Notation).
கணிதக்கட்டமைப்பு முறையில் கணத்தை விளக்குவதற்கு கணிதக் குறியீடுகளும் சில மரபான குறிப்பு மொழிகளும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக:
*F* = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்} - வருணனை முறை
*F* = {–4, –3, 0, ... 357} - பட்டியல் முறை
*F* = {{\displaystyle n^{2}} – 4 **:** *n* ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ *n* ≤ 19} -கணக்கட்டமைப்பு முறை
கணக்கட்டமைப்பு முறையில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கால் புள்ளி அல்லது விளக்கக்குறி (**:**) என்பதனை "எப்படி எனில்" அல்லது ஆங்கிலத்தில் **such that** என்று படிக்க வேண்டும். 

கணக்கட்டமைப்பு முறையை வாசிக்க வேண்டிய விதம்:
"மேற்கண்ட F என்னும் கணத்தின் உறுப்புகளாவன {\displaystyle n^{2}} – 4 என்னும் வகையான எண்களாகும் - எப்படி எனில் n என்னும் முழு எண்ணானது 0 முதல் 19 வரை, இவ்விரு எண்களும் உட்பட, உள்ள எண்களாகும்".

முக்கால் புள்ளி (:)என்னும் விளக்கக் குறிக்குப் பதிலாக சில நேரங்களில் பைப் (pipe) என்னும் நெடுங்கோடும் **|** குறியாகப் பயன்படுத்தப்படும்.

பிற குறியீடுகள்
---------------

*S* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட உறவு *R* எனில், *S* இன் உறுப்புகளோடு (*x*) உறவு *R* ஆல் இணைக்கப்படும் பொருட்களின் கணமானது *S**R*(x) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
எண்கோட்பாட்டில், *வகுக்கும்* (குறியீடு: |) என்ற உறவிற்கு, *n* என்ற முழு எண்ணின் காரணிகளின் (வகுஎண்கள்) கணமானது **Z** | (*n*) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Krantz, S. *Handbook of Typography for the Mathematical Sciences*, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2001, p. 35.