**2 x 2 அணியொன்றின் வர்க்கமூல அணி**யானது, (*square root of a 2x2 matrix*) மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும், மேலும் அதனை அதனோடு பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும். 

2 x 2 அணி *R* இன் வர்க்கமூல அணி *M* எனில், அது ஒரு 2 x 2 அணியாகவும் *M* = *R*2 என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும்.
ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு நேர்ம-வரைவு அணியின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். *R* என்பது *M* இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில், –*R* உம் *M* இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–*R*)(–*R*) = (–1)(–1)(*RR*) = *R*2 = *M*).

வாய்பாடு
--------

{\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)}
*A*, *B*, *C*, *D* என்பன மெய்யெண்களாகவோ சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கலாம்.
*τ = A + D* என்பது *M* இன் சுவடு.
*δ = AD - BC* என்பது *M* இன் அணிக்கோவை.
*s* என்பது *s*2 = *δ*,
*t* என்பது *t*2 = *τ* + 2*s*.
{\displaystyle s=\pm {\sqrt {\delta }},\quad \quad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.}
*t* ≠ 0 எனில் *M* இன் வர்க்கமூல அணி:

{\displaystyle R={\frac {1}{t}}\left({\begin{array}{cc}A+s&B\\C&D+s\end{array}}\right).}
*R* இன் வர்க்கம் *M* ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்: 

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}R^{2}&=&\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}\left({\begin{array}{cc}(A+s)^{2}+BC&(A+s)B+B(D+s)\\C(A+s)+(D+s)C&(D+s)^{2}+BC\end{array}}\right)\\[3ex]{}&=&\displaystyle {\frac {1}{A+D+2s}}\left({\begin{array}{cc}A(A+D+2s)&(A+D+2s)B\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{array}}\right)\;=\;M.\end{array}}}
*M* இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் *R* இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். *s>0* , *t>0* எனில் *R* நேர்மமாக இருக்கும்.

### சிறப்பு நிலைகள்

* *M* ஒரு தன்னடுக்கு அணி அணியாக இருந்து (*MM* = *M*), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் தரமும் சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் *s* = 0 {\displaystyle \tau } = 1 ஆக அமையும். இதனால், அணி *M* இன் வர்க்கமூலங்களாக *M* , -*M* இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.

* *s* மற்றும் *t* இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (*R*) கிடைக்கும்.
* அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு *τ* பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
* *δ* பூச்சியமற்றதாகவும் *τ*2 = 4*δ* எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில் *s* இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான *t* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
* *δ* , *τ* இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, *D* = −*A* மற்றும் *A*2 = −*BC* ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை *δ* மற்றும் சுவடு *τ* இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்

*M* ஒரு பூச்சிய அணியாக இருந்தால் (*A* = *B* = *C* = *D* = 0): 

*b* , *c* இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு
{\displaystyle R=\left({\begin{array}{cc}0&0\\c&0\end{array}}\right)\quad {\text{and}}\quad R=\left({\begin{array}{cc}0&b\\0&0\end{array}}\right)} ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் *M* இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.
மற்றபடி, *M* அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.

### சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்

#### மூலைவிட்ட அணி

*M* ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (*B* = *C* = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:

{\displaystyle R=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&d\end{array}}\right)}
*a* = ±√*A*
*d* = ±√*D*
*a* , *d* இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, *A* மற்றும் *D* இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.

#### முற்றொருமை அணி

2 × 2 முற்றொருமை அணி {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}} முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது: 

{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\s&r\\r&-s\end{smallmatrix}}{\bigr )},} {\displaystyle {\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\s&-r\\-r&-s\end{smallmatrix}}{\bigr )},} {\displaystyle {\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-s&r\\r&s\end{smallmatrix}}{\bigr )},} {\displaystyle {\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-s&-r\\-r&s\end{smallmatrix}}{\bigr )},} {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\1&0\\0&\pm 1\end{smallmatrix}}{\bigr )},} and {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-1&0\\0&\pm 1\end{smallmatrix}}{\bigr )},}
(*r, s, t*) என்பன பித்தகோரசு மும்மைகளாகும். அதாவது, {\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}.} என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும். மேலும் {\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}} முடிவை நிறைவு செய்யும் *r, s, t* -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.

#### முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி

முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2 அணி (*B* = 0; *A* , *D* ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:

{\displaystyle R=\left({\begin{array}{cc}a&0\\C/(a+d)&d\end{array}}\right).}
இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் *A* = *D* எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். *C* = 0; *A* , *D* ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Levinger, Bernard W.. 1980. "The Square Root of a 2 × 2 Matrix". Mathematics Magazine 53 (4). Mathematical Association of America: 222–24. doi:10.2307/2689616.
2. ↑  P. C. Somayya (1997), *Root of a 2x2 Matrix*, *The Mathematics Education*, Vol.. XXXI, no. 1. Siwan, Bihar State. INDIA
3. ↑  Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of *I*2". *The Mathematical Gazette* 87, November 2003, 499-500.