எண் கோட்பாட்டில், ஒரு முழு எண் n இன் **p-வழி மதிப்பீடு** அல்லது **p -வழி வரிசை** என்பது n ஐ வகுக்கும் ஒரு பகாஎண் p இன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஆகும். இது, {\displaystyle \nu \_{p}(n)} எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சமானமாக, {\displaystyle \nu \_{p}(n)} என்பது n -இன் முதன்மை காரணியாக்க வடிவில் பகாஎண் {\displaystyle p} தோன்றும் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது .

p -வழி மதிப்பீடு என்பது ஒரு மதிப்பிடல் முறையாக இருப்பதுடன் வழக்கமான தனி மதிப்பு காண்பதற்கு ஒத்தமுறையாகவும் அமைகிறது. விகிதமுறு எண்களைத் தனி மதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய மெய்யெண்கள் {\displaystyle \mathbb {R} } கிடைப்பதுபோல, விகிதமுறு எண்களை {\displaystyle p}-வழி தனிமதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய {\displaystyle p}-வழி எண்கள் {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} கிடைக்கும். 

 இயல் எண்களை அவற்றின் 2-வழியான மதிப்பீட்டின் பரவல்; ஒத்த இரண்டின் அடுக்குகள் தசமத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. பூச்சியம், முடிவிலா மதிப்பீடைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறையும் பண்புகளும்
---------------------

p ஒரு பகா எண்.

### முழு எண்கள்

ஒரு முழு எண் n-இன் **p -வழி மதிப்பீடு** கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

{\displaystyle \nu \_{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}
இங்கு {\displaystyle \mathbb {N} } இயல் எண்களின் கணத்தைக் குறிக்கிறது. மற்றும் {\displaystyle m\mid n} ஆனது n ஐ {\displaystyle m} ஆல் வகுக்கும் தன்மையைக் குறிக்கிறது.

{\displaystyle \nu \_{p}} ஒரு [[சார்பு|சார்பாக]] அமைகிறது:
{\displaystyle \nu \_{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}
எடுத்துக்காட்டாக:

> {\displaystyle \nu \_{2}(-12)=2}, {\displaystyle \nu \_{3}(-12)=1}, {\displaystyle \nu \_{5}(-12)=0} ஆகியவற்றிலிருந்து, {\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}.
> 
> 

{\displaystyle p^{k}\parallel n} என்ற குறியீடு சில சமயங்களில் {\displaystyle k=\nu \_{p}(n)} என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 

n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில்,

{\displaystyle \nu \_{p}(n)\leq \log \_{p}n}
இது, {\displaystyle n\geq p^{\nu \_{p}(n)}} என்பதிலிருந்து நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.

### விகிதமுறு எண்கள்

p -வழி மதிப்பீட்டை கீழ்வரும் சார்பாக விகிதமுறு எண்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்:

{\displaystyle \nu \_{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}};
{\displaystyle \nu \_{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu \_{p}(r)-\nu \_{p}(s).}
எடுத்துக்காட்டாக, {\displaystyle \nu \_{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3} மற்றும் {\displaystyle \nu \_{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2} இலிருந்து {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}.

சில பண்புகள்:

{\displaystyle \nu \_{p}(r\cdot s)=\nu \_{p}(r)+\nu \_{p}(s)}
{\displaystyle \nu \_{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu \_{p}(r),\nu \_{p}(s){\bigr \}}}
மேலும், {\displaystyle \nu \_{p}(r)\neq \nu \_{p}(s)} எனில்,

{\displaystyle \nu \_{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu \_{p}(r),\nu \_{p}(s){\bigr \}}}

p-வழி தனிமதிப்பு
----------------

விகிதமுறு எண்களின் கணம் {\displaystyle \mathbb {Q} } இன் மீதான p -வழி தனிமதிப்பு என்பது பின்வரும் சார்பாக அமையும்:

{\displaystyle |\cdot |\_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \_{\geq 0}}
{\displaystyle |r|\_{p}=p^{-\nu \_{p}(r)}.}
இதன் மூலம், 

{\displaystyle p} இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்,
{\displaystyle |0|\_{p}=p^{-\infty }=0} எனப் பெறப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக, 

{\displaystyle |{-12}|\_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}
{\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}\_{2}=2^{-(-3)}=8.}
p -வழி தனி மதிப்பு பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது.

|  |  |
| --- | --- |
| எதிர்மமற்றதன்மை | {\displaystyle |r|\_{p}\geq 0} |
| நேர்ம-வரைவுத்தன்மை | {\displaystyle |r|\_{p}=0\iff r=0} |
| பெருக்கல் தன்மை | {\displaystyle |rs|\_{p}=|r|\_{p}|s|\_{p}} |
| ஆர்க்கிமீடியதற்றதன்மை | {\displaystyle |r+s|\_{p}\leq \max \left(|r|\_{p},|s|\_{p}\right)} |

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  Ireland, K.; Rosen, M. (2000). *A Classical Introduction to Modern Number Theory*. New York: Springer-Verlag. பக். 3.
2. ↑  with the usual order relation, namely
{\displaystyle \infty >n},
and rules for arithmetic operations,
{\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty },
on the extended number line.
3. ↑  Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). *p-adic Deterministic and Random Dynamics*. Kluwer Academic Publishers. பக். 9.