**வகையிடல் விதிகள்** (*differentiation rules*) என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும் தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.

வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்
---------------------------

கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.

### வகையிடலின் நேரியல்பு

*f* மற்றும் *g* எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; *a* மற்றும் *b* மெய்யெண்கள் எனில்,

*h*(*x*) = *af*(*x*) + *bg*(*x*) என்ற சார்பின் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}
இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
சிறப்பு வகைகள்:

* வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி

{\displaystyle (af)'=af'\,}
* வகையிடலின் கூட்டல் விதி

{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
* *வகையிடலின் கழித்தல் விதி*

{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
### பெருக்கல் விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி
வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

தரப்பட்ட இரு சார்புகள் *f* , *g* எனில்,

*h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) -சார்பின் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
### சங்கிலி விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: சங்கிலி விதி
வகையிடலின் சங்கிலி விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,

*h*(*x*) = *f*(*g*(*x*)) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x)\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}
இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.

{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}
### நேர்மாறுச் சார்பு விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: நேர்மாறுச் சார்பு விதி
இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

*f* சார்பின் நேர்மாறு சார்பு *g* எனில்,

*g*(*f*(*x*)) = *x*, *f*(*g*(*y*)) = *y*, என இருந்தால்:

{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}\,}
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}}
### அடுக்கு விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் அடுக்கு விதி
வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று:
{\displaystyle f(x)=x^{n}}, *n* ஒரு முழு எண் எனில்:

{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}
இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:

* *மாறிலி விதி*:

*f* ஒரு மாறிலிச் சார்பு, {\displaystyle f(x)=c}எனில்:

{\displaystyle f'(x)=0}
* {\displaystyle f(x)=x} (முற்றொருமைச் சார்பு எனில்,

{\displaystyle f'(x)=1}
* *நேரியல் சார்பின் வகைக்கெழு ஒரு மாறிலியாகும்*:

{\displaystyle f(x)=ax+b} எனில்,
{\displaystyle f'(x)=a}
இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.

### தலைகீழி விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் தலைகீழி விதி
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}\ } ( *f* (*x*) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}\ }
இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}\,}
அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

### வகுத்தல் விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி
*f* , *g* என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }, (*g* பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)
பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து *f*(*x*) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி

*f* , *g* என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.

சிறப்பு வகைகள்:

* *a* ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் *x* நேர்மம் எனில்:

{\displaystyle f(x)=x^{a}} என்பதன் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
{\displaystyle f'(x)=ax^{a-1}}
* *g*(*x*) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

அடுக்குக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள்
----------------------------------------------------

{\displaystyle \left(c^{ax}\right)'={c^{ax}\ln c\cdot a}\qquad c>0}
இச்சமன்பாடு, *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c < 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
{\displaystyle \left(\log \_{c}x\right)'={1 \over x\ln c}\qquad c>0,c\neq 1}
மேலுள்ள சமன்பாடு *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

{\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x}\qquad x\neq 0}
{\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}
{\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[\ln(f(x))]={\frac {f'(x)}{f(x)}}}
மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log \_{b}(e)}{x}}}
### மடக்கை வகையிடல்

மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.

{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad } இங்கு *f* நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
---------------------------------------

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} | {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,} |
| {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,} | {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,} |
| {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,} | {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,} |
| {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,} | {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,} |
| {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,} | {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,} |
| {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,} | {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,} |

மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
-----------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} | {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}} |
| {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} | {\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} |
| {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}} | {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x} | {\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x} | {\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}} |
| {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x} | {\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}} |

சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
------------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| காமா சார்பு
{\displaystyle \Gamma '(x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
{\displaystyle =\Gamma (x)\left(\sum \_{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)} |  |

|  |
| --- |
| ரீமன் சீட்டா சார்பியம்
{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}
{\displaystyle =-\sum \_{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod \_{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!} |

தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்
----------------------------

*x* ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-

{\displaystyle F(x)=\int \_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;}
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),} {\displaystyle x\_{0}\leq x\leq x\_{1}\,} இரண்டையும் உள்ளடக்கிய {\displaystyle (t,x)\,} தளத்தின் ஒரு பகுதியில், {\displaystyle f(x,t),\,} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,} என்ற இரு சார்புகளும் {\displaystyle t\,} மற்றும் {\displaystyle x\,} களில் தொடர்ச்சியானவையாகவும்;
{\displaystyle x\_{0}\leq x\leq x\_{1}\,} இடைவெளியில், சார்புகள் {\displaystyle a(x)\,} and {\displaystyle b(x)\,} இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:

{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int \_{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt,\,} {\displaystyle \,x\_{0}\leq x\leq x\_{1}\,\,}
இவ்வாய்ப்பாடு *லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதி*யின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை *நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப்* பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

*n* ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்
----------------------------

### ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum \_{\{k\_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod \_{m=1}^{n}{\frac {1}{k\_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k\_{m}}}
இங்கு {\displaystyle r=\sum \_{m=1}^{n-1}k\_{m},} {\displaystyle \{k\_{m}\}} இரண்டும்,

{\displaystyle \sum \_{m=1}^{n}mk\_{m}=n} -*டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின்* எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை
### பொது லைப்னிட்ஸ் விதி

வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும்.

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}

மேற்கோள்கள்
-----------

1. ↑  *Calculus (5th edition)*, F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
2. ↑  *Advanced Calculus (3rd edition)*, R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
3. ↑  *Complex Variables*, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3

மூல நூல்களும் மேலும் படிப்பதற்கும்
----------------------------------

* *Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)*, S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
* *The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
* *Mathematical methods for physics and engineering*, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
* *NIST Handbook of Mathematical Functions*, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

வெளி இணைப்புகள்
---------------

* வகையீடுகள் கணிப்பான்
* வகையீடுகளின் பட்டியல் பரணிடப்பட்டது 2012-10-31 at the வந்தவழி இயந்திரம்