**Kovariančná matica** (iné názvy: **variančná matica**, **variančno-kovariančná matica**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku *i*-teho riadku a *j*-teho stĺpca kovarianciu medzi *i*-tym a *j*-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia
---------

Majme *p*-rozmerný náhodný vektor {\displaystyle {\mathbf {X} }=(X\_{1},X\_{2},\cdots ,X\_{p})^{T}}. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných {\displaystyle X\_{k}}, kde {\displaystyle k=1,\cdots ,p}, platí, že sú konečné, teda: {\displaystyle D(X\_{k})<\infty }. Potom symetrická matica rozmeru {\displaystyle p\times p}, ktorá má na priesečníku *i*-teho riadku a *j*-teho stĺpca kovarianciu prvkov {\displaystyle X\_{i}} a {\displaystyle X\_{j}}, teda číslo {\displaystyle cov(X\_{i},X\_{j})}, pre {\displaystyle i,j=1,2,\cdots ,p}, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora {\displaystyle {\mathbf {X} }}.

Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora {\displaystyle {\mathbf {X} }} označíme symbolom {\displaystyle \Sigma \_{ij}}, teda:

{\displaystyle \Sigma \_{ij}=\operatorname {cov} \left(X\_{i},X\_{j}\right)=\operatorname {E} [(X\_{i}-E[X\_{i}])(X\_{j}-E[X\_{j}])]}
Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí: 

{\displaystyle \operatorname {cov} (X\_{i},X\_{i})=\operatorname {var} (X\_{i})}
Matica bude potom vyzerať nasledovne:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\Sigma \_{11}&\Sigma \_{12}&\cdots &\Sigma \_{1p}\\\\\Sigma \_{21}&\Sigma \_{22}&\cdots &\Sigma \_{2p}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\Sigma \_{p1}&\Sigma \_{p2}&\cdots &\Sigma \_{pp}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [(X\_{1}-E[X\_{1}])(X\_{1}-E[X\_{1}])]&\operatorname {E} [(X\_{1}-E[X\_{1}])(X\_{2}-E[X\_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X\_{1}-E[X\_{1}])(X\_{p}-E[X\_{p}])]\\\\\operatorname {E} [(X\_{2}-E[X\_{2}])(X\_{1}-E[X\_{1}])]&\operatorname {E} [(X\_{2}-E[X\_{2}])(X\_{2}-E[X\_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X\_{2}-E[X\_{2}])(X\_{p}-E[X\_{p}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [(X\_{p}-E[X\_{p}])(X\_{1}-E[X\_{1}])]&\operatorname {E} [(X\_{p}-E[X\_{p}])(X\_{2}-E[X\_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X\_{p}-E[X\_{p}])(X\_{p}-E[X\_{p}])]\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\operatorname {var} \left(X\_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X\_{1},X\_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X\_{1},X\_{p}\right)\\\\\operatorname {cov} \left(X\_{2},X\_{1}\right)&\operatorname {var} \left(X\_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X\_{2},X\_{p}\right)\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {cov} \left(X\_{p},X\_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X\_{p},X\_{2}\right)&\cdots &\operatorname {var} \left(X\_{p}\right)\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}

### Označenie

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }} (príp. {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} })}) alebo {\displaystyle {\mathcal {D}}({\mathbf {X} })}.

Vlastnosti
----------

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }=\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\rm {T}}\right]}
a

{\displaystyle \mu =\mathrm {E} ({\textbf {X}})}
* Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných {\displaystyle X\_{1},\cdots ,X\_{p}}.

* Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:

{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\mathbf {XX^{\rm {T}}} )-\mathbf {\mu } \mathbf {\mu ^{\rm {T}}} }
* Majme maticu {\displaystyle {\mathbf {A} }}, ktorá má rozmery {\displaystyle k\times p} a *k*-rozmerný náhodný vektor {\displaystyle {\mathbf {B} }}. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora {\displaystyle {\mathbf {Y} }} definovaného nasledovným vzťahom:

{\displaystyle {\mathbf {Y} }={\mathbf {A} }{\mathbf {X} }+{\mathbf {B} }}
platí, že:

{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {Y} })={\mathbf {A} }{\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} }){\mathbf {A} }^{T}}

Zdroj
-----

* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory. s. 344.
* ŠTULAJTER, František. *Odhady v náhodných procesoch*. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
* FILOVÁ, Lenka. *Náhodné vektory* [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
* JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. *Pravdepodobnosť a štatistika*. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu. s. 150.

* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.*