**Kvadratický odhad** je úloha pri ktorej je potrebné nájsť najmenšie číslo {\displaystyle k} resp. najväčšie číslo {\displaystyle h} také, že: {\displaystyle k\leq ax^{2}+bx+c}, resp. {\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq h}.

Ak {\displaystyle a>0}, tak najväčšie zo všetkých takých čísel {\displaystyle k}, že pre každé x platí {\displaystyle k\leq ax^{2}+bx+c}, je {\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}.

Ak {\displaystyle a<0}, tak najväčšie zo všetkých takých čísel {\displaystyle h}, že pre každé x platí **Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (MathML s fallbackom na SVG alebo PNG (odporúčané pre moderné prehliadače a nástroje pre zjednodušenie prístupu): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.") od serveru „http://localhost:6011/sk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle ax^2+bx+c\le h}**
, je {\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}.

Pomocou týchto poznatkov, prípadne samotnej techniky doplnenia na štvorec, možno nájsť podobné odhady aj v zložitejších situáciach.

Príklady
--------

{\displaystyle 1)} Nájdite najväčšie také číslo {\displaystyle k}, aby nerovnosť 

{\displaystyle k\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}} platila pre všetky {\displaystyle x>0}.

Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} pre {\displaystyle x>0}. Nájdeme najväčšie možné číslo {\displaystyle k} také, že {\displaystyle k\leq 5-3y+y^{2}}, pre každé {\displaystyle y}. To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:

{\displaystyle 5-3y+y^{2}=(y^{2}-3y+{\frac {9}{4}})+5-{\frac {9}{3}}=(y-{\frac {3}{2}})^{2}+{\frac {11}{4}}} pre kazdé {\displaystyle y}. Preto {\displaystyle {\frac {11}{4}}\leq 5-3y+y^{2}} a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle y={\frac {3}{2}}}. Platí teda {\displaystyle {\frac {11}{4}}\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}} pre každé {\displaystyle x>0}. Navyše pre {\displaystyle x={\frac {2}{3}}} nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo {\displaystyle k}, že pre každé {\displaystyle x>0} platí {\displaystyle k\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}}, je {\displaystyle {\frac {11}{4}}}.

{\displaystyle 2)} Nájdite najmenšie také číslo {\displaystyle v}, že pre každé {\displaystyle x\neq -5} platí {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}. 

* Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
* a) existuje číslo {\displaystyle v} také, že {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} platí pre každé {\displaystyle x\neq -5}?
* b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
* c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?

Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže {\displaystyle (5+x)^{2}>0} pre {\displaystyle x\neq -5}, nerovnosť {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} platí pre niektoré {\displaystyle x\neq -5} práve vtedy, keď {\displaystyle x\leq (5+x)^{2}}, čiže {\displaystyle 0<vx^{2}+(10v-1)x+25v=v[(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}+25-(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}]} za predpokladu, že {\displaystyle v\neq 0}. Ak však {\displaystyle v} je také číslo, že {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} platí pre každé {\displaystyle x\neq -5}, tak {\displaystyle v>0}, lebo výraz na ľavej strane vzťahu {\displaystyle 0<vx^{2}+(10v-1)x+25v=v[(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}+25-(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}]} je pre každé {\displaystyle x>0} kladný. Keďže {\displaystyle v>0}, tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé x vtedy a len vtedy keď 
{\displaystyle 25-({\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0} pretože {\displaystyle (x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0} pre každé x, pričom rovnosť nastáva pre {\displaystyle x={\frac {10v-1}{2v}}}. Nerovnosť {\displaystyle 25-({\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0} platí práve vtedy, keď {\displaystyle 20v-1\leq 0}, číže {\displaystyle v\leq {\frac {1}{20}}}. Teda ak {\displaystyle v\leq {\frac {1}{20}}}, tak {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} platí pre všetky {\displaystyle x\neq -5}. Navyše keď vezmeme {\displaystyle v={\frac {1}{20}}} a z {\displaystyle x={\frac {10v-1}{2v}}} vypočítané {\displaystyle x=5\neq -5}, tak v {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel {\displaystyle v}, ktoré spĺňajú {\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v} pre každé {\displaystyle x\neq -5} je {\displaystyle {\frac {1}{20}}}.

{\displaystyle 3)} Ukážme, že existujú také čísla {\displaystyle u}, že nerovnosť {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} platí pre každé x, a že jedno z nich je najväčšie.

Riešenie: Všimnime si najprv, že 

* {\displaystyle x^{2}+x+4=(x-{\frac {1}{2}})^{2}+{\frac {15}{4}}>0} pre každé číslo x. Preto {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} platí vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle ux^{2}+(u-1)x+4u\leq 0}. Keď však {\displaystyle u\neq 0}, vtedy {\displaystyle ux^{2}+(u-1)x+4u=u((x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}} pre všetky x. Navyše pravá strana výrazu {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} je pre záporné x záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé x len vtedy, keď {\displaystyle u<0}. Teda uvedený výraz platí pre všetky x vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle u<0} a zároveň {\displaystyle (x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}. Keďže {\displaystyle (x+({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}, pre každé x, pričom rovnosť platí pre {\displaystyle x={\frac {1-u}{2u}}}, bude nerovnosť {\displaystyle (x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0} platiť pre všetky x vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle 4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}. Teda {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} platí pre každé číslo x vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle u<0} a nerovnosť {\displaystyle 4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0} je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď {\displaystyle -2\leq {\frac {u-1}{2u}}\leq 2}.
* Keďže vyššie uvedený zlomok je pre {\displaystyle u<0} kladný, číslo {\displaystyle u<0} vyhovuje nerovnostiam {\displaystyle -2\leq {\frac {u-1}{2u}}\leq 2} práve vtedy, keď {\displaystyle {\frac {u-1}{2u}}\leq 2}, čiže práve vtedy, keď {\displaystyle u-1\geq 4u}, čiže {\displaystyle u\leq -{\frac {1}{3}}}. Takto sme zistili, že nerovnosť {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} platí pre každé číslo x vtedy a len vtedy, keď {\displaystyle u=-{\frac {1}{3}}}. Teda {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} je najväčšie zo všetkých takých čísel {\displaystyle u}, že nerovnosť {\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}} platí pre každé číslo x.

Pozri aj
--------

* Doplnenie na štvorec

Literatúra
----------

* I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67