**Wilksovo lambda rozdelenie** (iné názvy: **Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, {\displaystyle \Lambda }-rozdelenie**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia
---------

Majme dva matice {\displaystyle {\mathbf {A} }} a {\displaystyle {\mathbf {B} }}. Nech matica {\displaystyle {\mathbf {A} }} má *p*-rozmerné Wishartovo rozdelenie s *m* stupňami voľnosti, teda: {\displaystyle {\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} \_{p}}({\mathbf {I} };m)} a nech matica {\displaystyle {\mathbf {B} }} má tiež *p*-rozmerné Wishartovo rozdelenie s *n* stupňami voľnosti, teda: {\displaystyle {\mathbf {B} }\sim {\mathbf {W} \_{p}}({\mathbf {I} };n)}, pričom platí, že {\displaystyle m\geq p} a symbolom {\displaystyle {\mathbf {I} }} označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina {\displaystyle \Lambda } definovaná nasledovným vzťahom:

{\displaystyle {\mathbf {\Lambda } }={\frac {det|{\mathbf {A} }|}{det|{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }|}}=det|{\mathbf {I} }+{\mathbf {A} }^{-1}{\mathbf {B} }|^{-1}}
má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami *p*, *m* a *n*. 

### Označenie

V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda {\displaystyle {\mathbf {\Lambda } }(p,m,n)}. Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda {\displaystyle {\mathbf {\lambda } }}.

Vlastnosti a vzťahy
-------------------

Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda *n* nezávislých náhodných premenných {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\cdots ,A\_{n}}, pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

{\displaystyle A\_{j}\sim Beta\left({\frac {m+j-p}{2}};{\frac {p}{2}}\right)}
kde {\displaystyle j=1,2,\cdots ,p}. Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: {\displaystyle A=\prod \_{j=1}^{p}A\_{j}}

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami *p*, *m* a *n*, teda: {\displaystyle A\sim \Lambda (p,m,n)}.

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi {\displaystyle \Lambda }–rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

* {\displaystyle {\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}{{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(p;m-p+1)}

* {\displaystyle {\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}{{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}}\sim {\frac {n}{m}}F(n;m)}

* {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(2p;2(m-p+1))}

* {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}\sim {\frac {n}{m-1}}F(2n;2(m-1))}

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre *p* a *n* použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter *m* je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

{\displaystyle -\left[m-{\frac {p-n+1}{2}}\right]\ln \Lambda (p,m,n)\sim \chi ^{2}(np)}
pričom {\displaystyle \chi ^{2}(np)} označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj
-----

* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.