**Wishartovo rozdelenie** (iné názvy: **Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice"). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.

Definícia
---------

Majme náhodný výber {\displaystyle {\mathbf {X} \_{1}},{\mathbf {X} \_{2}},\cdots ,{\mathbf {X} \_{n}}} z normálneho {\displaystyle p}-rozmerného rozdelenia s parametrami {\displaystyle {\mathbf {O} }} a {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}, teda {\displaystyle N\_{p}({\mathbf {O} },{\mathbf {\Sigma } })}. Ďalej nech {\displaystyle {\mathbf {X} }} je matica typu *n*  ×  *p* definovaná nasledovne: {\displaystyle {\mathbf {X} ^{T}}=({\mathbf {X} \_{1}},{\mathbf {X} \_{2}},\cdots ,{\mathbf {X} \_{n}})}. Potom matica {\displaystyle {\mathbf {W} }} definovaná nasledovným vzťahom:

{\displaystyle {\mathbf {W} }={\mathbf {X} ^{T}}{\mathbf {X} }}

má Wishartovo rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti.

Označenie:

* {\displaystyle {\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} \_{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)}

Vlastnosti
----------

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }={\mathbf {I} \_{p}}}, tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: {\displaystyle W\sim {\mathbf {W} \_{p}}(I\_{p},n)}

Pre {\displaystyle p=1}, teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelením s *n* stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

{\displaystyle \operatorname {W} \sim W\_{1}(\sigma ^{2},n)\sim \sigma ^{2}\chi ^{2}(n)}

Pokiaľ máme maticu {\displaystyle {\mathbf {W} }}, ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, teda {\displaystyle {\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} \_{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)} a maticu {\displaystyle {\mathbf {A} }}, ktorá je typu *p*  ×  *q*, tak matica {\displaystyle {\mathbf {B} }}, ktorú dostaneme prenásobením matice {\displaystyle {\mathbf {W} }} zľava aj sprava maticou {\displaystyle {\mathbf {A} }}, má tiež Wishartovo rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

{\displaystyle {\mathbf {B} }={\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {W} }{\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} \_{q}}({{\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {\Sigma } }{\mathbf {A} }},n)}

Zdroje a referencie
-------------------

1. ↑  WISHART, John. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. *Biometrika*, 1928, roč. 20A, čís. 1-2, s. 32–52.

* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wishart distribution na anglickej Wikipédii.*