**Asymptotická hustota** je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota {\displaystyle d(A)} množiny {\displaystyle A} prirodzených čísel definovaná vzťahom

{\displaystyle d(A)=\lim \_{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}}
kde {\displaystyle A(n)=\left|A\cap \{1,2,3,\ldots ,n\}\right|} je počet všetkých prvkov množiny {\displaystyle A}, ktoré sú menšie než prirodzené číslo {\displaystyle n}. Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina {\displaystyle A} má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota
----------------------------------

**Horná asymptotická hustota** podmnožiny {\displaystyle A} prirodzených čísel je číslo

{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup \_{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}}
zatiaľ čo jej **dolná asymptotická hustota** je

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}.}
Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre *každú* podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady
--------

* Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
* Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
* Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
* Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti *{an+b}* s diferenciou *a* má asymptotickú hustotu *1/a*.
* Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
* Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je

{\displaystyle A=\bigcup \_{n\in \mathbb {N} }\{n\in \mathbb {N} \,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\leq n\leq 2^{2n+1}\}}.
* O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti
----------

* Ak množina {\displaystyle A} má asymptotickú hustotu, potom platí {\displaystyle d(A^{c})=1-d(A)}, kde {\displaystyle A^{c}} je komplement množiny {\displaystyle A} vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme {\displaystyle {\overline {d}}(A^{c})=1-{\underline {d}}(A)}.
* Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí {\displaystyle 0\leq {\underline {d}}(A)\leq {\underline {d}}(B)\leq 1}.
* Pre disjunktné množiny {\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {N} } platí

{\displaystyle {\underline {d}}(A)+{\underline {d}}(B)\leq {\underline {d}}(A\cup B)\leq {\underline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)\leq {\overline {d}}(A\cup B)\leq {\overline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)}
Špeciálne, ak {\displaystyle A} aj {\displaystyle B} majú hustotu, tak dostaneme {\displaystyle d(A\cup B)=d(A)+d(B)}. Teda asymptotická hustota je konečne aditívna.

Literatúra
----------

* KOLIBIAR, Milan; LEGÉŇ, Anton; ŠALÁT, Tibor; ZNÁM, Štefan. *Algebra a príbuzné disciplíny*. Bratislava : Alfa, 1992. ISBN 80-05-00721-3.

Pozri aj
--------

* Schnirelmannova hustota