**Čínska zvyšková veta** alebo **čínska veta o zvyškoch** je veta v teórii čísel objavená čínskym matematikom Sun-c'  hovoriaca o riešeniach systémov lineárnych kongruencií. Medzi hlavné aplikácie vety patrí dôkaz bezpečnosti šifrovacieho algoritmu RSA.

Znenie vety
-----------

Nech {\displaystyle m\_{1},m\_{2},\ldots ,m\_{n}} sú po dvoch nesúdeliteľné prirodzené čísla väčšie ako 1. Nech {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}} sú ľubovoľné celé čísla. Potom existuje riešenie *x* sústavy kongruencií

{\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &a\_{1}\ ({\text{mod }}m\_{1})\\x&\equiv &a\_{2}\ ({\text{mod }}m\_{2})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &a\_{n}\ ({\text{mod }}m\_{n})\end{array}}\right\},}
pričom všetky takéto riešenia *x* sú navzájom kongruentné modulo {\displaystyle M:=m\_{1}m\_{2}\ldots m\_{n}}.

Dôkaz
-----

### Existencia

Vyriešime najprv špeciálny prípad uvedenej sústavy kongruencií:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{i-1})\\x&\equiv &1\ ({\text{mod }}m\_{i})\\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{n})\\\end{array}}\right\}.}
Nech {\displaystyle k\_{i}=m\_{1}m\_{2}\ldots m\_{i-1}m\_{i+1}\ldots m\_{n}}. Čísla {\displaystyle m\_{i}} a {\displaystyle k\_{i}} sú zrejme nesúdeliteľné, čo znamená, že existujú celé čísla *r,s* také, že platí

{\displaystyle rk\_{i}+sm\_{i}=1\!,}
z čoho vyplývajú kongruencie

{\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk\_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}k\_{i})\\rk\_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m\_{i})\end{array}}\right\}.}
Keďže sú ale všetky čísla {\displaystyle m\_{1},m\_{2},\ldots ,m\_{i-1},m\_{i+1},\ldots ,m\_{n}} deliteľmi čísla {\displaystyle k\_{i}}, z uvedenej sústavy dvoch kongruencií vyplýva platnosť sústavy

{\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk\_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk\_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{i-1})\\rk\_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m\_{i})\\rk\_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk\_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m\_{n})\\\end{array}}\right\},}
čo znamená, že hodnota {\displaystyle x\_{i}:=rk\_{i}} je riešením uvedeného špeciálneho prípadu systému kongruencií. Z toho už ale triviálnou úvahou vyplýva, že riešenie všeobecného systému kongruencií má tvar

{\displaystyle x:=a\_{1}x\_{1}+a\_{2}x\_{2}+\ldots +a\_{n}x\_{n},}
čo znamená, že existencia riešenia je dokázaná.

### Jednoznačnosť modulo {\displaystyle M}

Nech {\displaystyle x,x'} sú riešenia uvedenej sústavy kongruencií. Z toho vyplýva, že pre každé *i* platí

{\displaystyle x-x'\equiv 0\ ({\text{mod }}m\_{i}).}
Inými slovami, hodnota {\displaystyle m\_{i}} delí {\displaystyle x-x'} pre každé *i*. Z toho vyplýva, že aj najmenší spoločný násobok čísel {\displaystyle m\_{1},\ldots ,m\_{n}} delí {\displaystyle x-x'}. Ale keďže sú čísla {\displaystyle m\_{1},\ldots ,m\_{n}} po dvoch nesúdeliteľné, má tento najmenší spoločný násobok hodnotu *M*, čo znamená, že 

{\displaystyle x\equiv x'\ ({\text{mod }}M),}
čo bolo treba dokázať.

Referencie
----------

1. 1 2 3 4  Yan, S. Y.: *Number Theory for Computing.* 2. vydanie, Springer, 2002.
2. ↑  Koblitz, N.: *A Course in Number Theory and Cryptography*. 2. vydanie, Springer-Verlag, 1994.
3. ↑  Paj's Home: Cryptography: RSA: Mathematics

Externé odkazy
--------------

* Čínska veta o zvyškoch - Wolfram MathWorld (po anglicky).
* Čínska veta o zvyškoch - Cut-The-Knot (po anglicky).