**Ortonormálna báza** unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory
--------------------------

Nech {\displaystyle V} je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }, ktorý indukuje normu: {\displaystyle \|\cdot \|}. Pod ortonormálnou bázou priestoru {\displaystyle V} potom rozumieme bázu {\displaystyle B=\{b\_{1},\ldots ,b\_{n}\}} z {\displaystyle V} s týmito vlastnosťami:

* {\displaystyle \|b\_{i}\|=1} pre všetky {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}.
* {\displaystyle \langle b\_{i},b\_{j}\rangle =0} pre všetky {\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}} s {\displaystyle i\neq j}.

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom). 

{\displaystyle {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}
Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad
----------------

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru {\displaystyle V} nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom {\displaystyle S} vo {\displaystyle V} taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo {\displaystyle V}.

Úplný ortonormálny systém S má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok {\displaystyle v\in V} môžeme písať fourierov rozvoj: 

{\displaystyle v=\sum \_{u\in S}\langle v,u\rangle u}.
Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok {\displaystyle v} sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z {\displaystyle S}), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z {\displaystyle S}, teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru {\displaystyle V}, leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj
--------

* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |