**Reciproká rovnica** alebo **recipročná rovnica** n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica
{\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0}\,,\,\,a\_{n}\neq 0.}

kde 

* {\displaystyle a\_{k}=a\_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n} je reciproký mnohočlen *1. druhu* (kladne reciproký)
* {\displaystyle a\_{k}=-a\_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n} je reciproký mnohočlen *2. druhu* (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

Postup riešenia
---------------

* každá reciproká rovnica *druhého druhu, nepárneho stupňa* má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu *prvého druhu*.
* každá reciproká rovnica *prvého druhu, nepárneho stupňa* má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu *prvého druhu, párneho stupňa*.
* reciprokú rovnicu *prvého druhu, párneho stupňa n* je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom {\displaystyle x^{\dfrac {n}{2}}} a substitúciou:

{\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}
{\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}}
{\displaystyle y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}}
{\displaystyle y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}}
Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo {\displaystyle c} riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo {\displaystyle 1/c} je jej riešením. V prípade koreňa {\displaystyle c=1} je to {\displaystyle c={\frac {1}{1}}=1}, čo je triviálny prípad.

Príklady reciprokých rovníc
---------------------------

{\displaystyle 1)} {\displaystyle 2x^{3}+3x^{2}+3x+2=0}

{\displaystyle a\_{3}=2=a\_{0}}
{\displaystyle a\_{2}=3=a\_{1}}
Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

{\displaystyle 2)} {\displaystyle 3x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+3=0}

{\displaystyle a\_{4}=3=a\_{0}}
{\displaystyle a\_{3}=-5=-a\_{1}}
{\displaystyle a\_{2}=8=-a\_{2}}
Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

{\displaystyle 3)} {\displaystyle 12x^{4}-25x^{3}+25x-12=0}

{\displaystyle a\_{4}=12=-a\_{0}}
{\displaystyle a\_{3}=-25=-a\_{1}}
Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

{\displaystyle 4)} {\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}

{\displaystyle a\_{4}=1=a\_{0}}
{\displaystyle a\_{3}=1=a\_{1}}
{\displaystyle a\_{2}=1=a\_{2}}
Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

{\displaystyle 5)} {\displaystyle 12x^{4}-25x^{3}+5x^{2}+25x-12=0}

{\displaystyle a\_{4}=12=-a\_{0}}
{\displaystyle a\_{3}=-25=-a\_{1}}
{\displaystyle a\_{2}=5\neq -a\_{2}}
a teda to nie je reciproká rovnica.

Príklady
--------

Riešte rovnicu
{\displaystyle 1)} {\displaystyle 4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0}

Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom {\displaystyle x^{2}}
{\displaystyle 4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0\quad /\cdot {\frac {1}{x^{2}}}}
{\displaystyle 4x^{2}+5x+2+5{\frac {1}{x}}+4{\frac {1}{x^{2}}}=0} | rovnicu si vhodne upravíme
{\displaystyle 4(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+5(x+{\frac {1}{x}})+2=0} | zavedieme substitúcie {\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}} a {\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}
{\displaystyle 4(y^{2}-2)+5y+2=0}
{\displaystyle 4y^{2}-8+5y+2=0}
{\displaystyle 4y^{2}+5y-6=0}
{\displaystyle D=b^{2}-4ac=5^{2}-4.4.(-6)=25+96=121} a teda {\displaystyle y\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-5\pm {\sqrt {121}}}{8}}}=
{\displaystyle y\_{1}={\frac {-5-11}{8}}=-{\frac {16}{8}}=-2} , {\displaystyle y\_{2}={\frac {-5+11}{8}}={\frac {6}{8}}={\frac {3}{4}}}
Spätným dosadením do {\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}} dostávame

{\displaystyle -2=x+{\dfrac {1}{x}}} {\displaystyle \quad /\cdot x}
{\displaystyle -2x=x^{2}+1}
{\displaystyle x^{2}+2x+1=0}
{\displaystyle (x+1)^{2}=0}
{\displaystyle x\_{1}=-1} , {\displaystyle x\_{1}} je teda dvojnásobný koreň.
ďalšie dva korene dostaneme z:

{\displaystyle {\frac {3}{4}}=x+{\dfrac {1}{x}}}
{\displaystyle {\frac {3}{4}}x=x^{2}+1}
{\displaystyle x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1=0}
{\displaystyle D=(-{\frac {3}{4}})^{2}-4.1.1=-{\frac {55}{16}}} keďže diskriminant je záporný, rovnica {\displaystyle x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1} nemá reálne korene a riešením je teda {\displaystyle P=\{-1\}}

Referencie
----------

1. ↑   *Reciproké rovnice* [online]. rovnice.kosanet.cz, 2008, [cit. 2016-05-10]. Dostupné online.
2. ↑   *Reciproké rovnice* [online]. , 2010-201, [cit. 2016-05-10]. Dostupné online.

Pozri aj
--------

* Kvadratická rovnica

Externé odkazy
--------------

* Riešenie sústavy lineárnych rovníc  Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
* Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk  Postup riešenia.