**Diferenciálna rovnica** je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine 
oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia
---------

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare  

{\displaystyle F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0}  

Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc
----------------------------

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

* *obyčajné diferenciálne rovnice* (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
* *parciálne diferenciálne rovnice* (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
* *stochastické diferenciálne rovnice* (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
* *diferenciálne algebrické rovnice* (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice
--------------------------

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá. 

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach. 

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie {\displaystyle x(t)}, ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady
--------

### 1. príklad

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica  

{\displaystyle x'\left(t\right)+x\left(t\right)=0}   

kde pod {\displaystyle x'(t)} rozumieme deriváciu funkcie {\displaystyle x(t)}. Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu {\displaystyle x(t)}:  

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{{\textrm {d}}t}}+x(t)&=&0\\{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{{\textrm {d}}t}}&=&-x(t)\\{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}&=&-{\textrm {d}}t\end{array}}}

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

{\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}=-\int {\textrm {d}}t}

**Poznámka:** *Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov*:

{\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}=\ln(x(t))}  

{\displaystyle -\int {\textrm {d}}t=-t+\ln |C|}

**Poznámka:** *Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia* {\displaystyle x(t)}

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu {\displaystyle x(t)}:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\\ln x(t)-\ln |C|&=&-t\\\ln {\dfrac {x(t)}{|C|}}&=&-t\\{\textrm {e}}^{-t}&=&{\dfrac {x(t)}{|C|}}\\x(t)&=&|C|\cdot {\textrm {e}}^{-t}\end{array}}}  

V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka {\displaystyle x(0)}.

### 2. príklad

Riešme diferenciálnu rovnicu {\displaystyle y'(x)={\frac {y(x)}{x}}} bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že {\displaystyle y(x)} oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{{\textrm {d}}x}}&=&{\dfrac {y(x)}{x}}\\{\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{y(x)}}&=&{\dfrac {{\textrm {d}}x}{x}}\end{array}}}

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať {\displaystyle \int \limits {\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{y(x)}}=\int {\dfrac {{\textrm {d}}x}{x}}} a dostaneme rovnicu:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\\ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}}}

Softvér
-------

* ExpressionsinBar
* Maple: dsolve
* SageMath
* Xcas: desolve(y'=k\*y,y)

Referencie
----------

1. ↑  KLUVÁNEK, I.. *Prípravný kurz k diferencialnému a integrálnemu počtu*. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2006, [cit. 2006-03-08]. ISBN 80-8084-069-5.
2. ↑   *dsolve - Maple Programming Help* [online]. www.maplesoft.com, [cit. 2020-05-16]. Dostupné online.
3. ↑   *Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0* [online]. doc.sagemath.org, [cit. 2020-05-16]. Dostupné online.
4. ↑   *Symbolic algebra and Mathematics with Xcas* [online]. [Cit. 2020-05-16]. Dostupné online.