**Binomická veta** je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme *n*-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov *n+1* sčítancov.  
 Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety
-----------

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo ***n***, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla *x* a *y* platí:  

{\displaystyle {(x+y)}^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}y^{k}}  

kde {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}} je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}  

Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú **binomické koeficienty** Pascalovho trojuholníka a číslo ***n!*** je faktoriál čísla *n*.  
  

Iný zápis vyzerá takto:  

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+\dots +{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+\dots +{n \choose n}y^{n},}  
  

pričom pre *k-ty* člen v tomto výraze platí:  

{\displaystyle A\_{k}={\begin{pmatrix}n\\{k-1}\end{pmatrix}}x^{n-k+1}y^{k-1}}

Dôkaz
-----

Použijeme matematickú indukciu. 

* Keď *n* = 0, rovnosť platí:

{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum \_{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}
* Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent *m*. Potom pre {\displaystyle n=m+1}:

{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}
z indukčného predpokladu:
{\displaystyle =a\sum \_{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum \_{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}
násobené číslami {\displaystyle a} a {\displaystyle b}:
{\displaystyle =\sum \_{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \_{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
vyjmutie {\displaystyle k=0} zo sumy:
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \_{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
substitúciou {\displaystyle j=k-1}:
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \_{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}
vyjmutie {\displaystyle k=m+1} zo sumy:
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}
zloženie dvoch súm:
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum \_{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}
z Pascalovho pravidla:
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum \_{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
pridaním {\displaystyle m+1} mocniny do výrazu:
{\displaystyle =\sum \_{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}} .
Q.E.D.

Príklady
--------

Príklady použitia binomickej vety pre *n* = 2, *n* = 3 a *n* = 4:

{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
{\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}

Newtonova binomická veta
------------------------

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.  

Nech je teda ***a*** reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla *x* a *y* také, že {\displaystyle |{\frac {x}{y}}|<1} platí:  

{\displaystyle {(x+y)}^{a}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{a-k}}  
 kde:  

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}=1}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}={\frac {a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}}}, kde *k > 0*

Referencie
----------

1. ↑  J. FECENKO - Ľ. PINDA. *Matematika 1*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-05-02]. ISBN 80-8078-091-9.
2. ↑  P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. *Prehľad matematiky*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-05-02].
3. ↑  K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. *Kompendium matematiky*. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-05-02]. ISBN 80-242-1227-7.

Pozri aj
--------

* Binomické rozdelenie
* Pascalov trojuholník
* Kombinatorika
* Multinomická veta