**Vytvárajúca funkcia** alebo **generujúca funkcia** je v matematike formálny mocninový rad o jednej premennej, ktorého koeficienty obsahujú informáciu o danej postupnosti čísel. Formálnosť mocninového radu znamená, že sa s ním narába ako s čisto algebraickým objektom a neštudujú sa jeho analytické vlastnosti ako napríklad polomer konvergencie a pod. Metóda vytvárajúcich funkcií býva často považovaná za najsilnejšiu metódu manipulácie s číselnými postupnosťami. 

Súvis medzi operáciami na postupnostiach a operáciami na ich vytvárajúcich funkciách sa využíva predovšetkým na riešenie rekurentných vzťahov, čo má dôležité aplikácie pri enumerácii diskrétnych štruktúr. Myšlienka použitia formálnych mocninových radov na riešenie rekurentných vzťahov siaha k Abrahamovi de Moivrovi, ktorý túto metódu použil na zistenie uzavretého tvaru pre Fibonacciho čísla.

Podľa spôsobu konštrukcie formálneho mocninového radu k danej postupnosti je možné rozlíšiť viacero typov vytvárajúcich funkcií. Medzi najznámejšie patria **obyčajné vytvárajúce funkcie**, **exponenciálne vytvárajúce funkcie**, **Poissonove vytvárajúce funkcie**, **Lambertove vytvárajúce funkcie** a **Dirichletove vytvárajúce funkcie**. Teóriu je možné z postupností rozšíriť aj na viacrozmerné štruktúry, v takom prípade nie je vytvárajúca funkcia formálnym mocninovým radom o jednej premennej, ale o toľko premenných, aká je dimenzia danej štruktúry.

Definície
---------

### Obyčajná vytvárajúca funkcia

Nech {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=0}^{\infty }=(a\_{0},a\_{1},\ldots )} je číselná postupnosť. Obyčajná vytvárajúca funkcia k postupnosti {\displaystyle a\_{n}} je formálny mocninový rad

{\displaystyle G(a\_{n};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}.}
### Exponenciálna vytvárajúca funkcia

Nech {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=0}^{\infty }=(a\_{0},a\_{1},\ldots )} je číselná postupnosť. Exponenciálna vytvárajúca funkcia k postupnosti {\displaystyle a\_{n}} je formálny mocninový rad

{\displaystyle \operatorname {EG} (a\_{n};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}
Názov exponenciálna vytvárajúca funkcia pochádza zo skutočnosti, že pre Taylorov rad exponenciálnej funkcie {\displaystyle e^{x}} platí

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}
### Poissonova vytvárajúca funkcia

Nech {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=0}^{\infty }=(a\_{0},a\_{1},\ldots )} je číselná postupnosť. Poissonova vytvárajúca funkcia k postupnosti {\displaystyle a\_{n}} je formálny mocninový rad

{\displaystyle \operatorname {PG} (a\_{n};x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a\_{n};x)\,.}
### Lambertova vytvárajúca funkcia

Nech {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }=(a\_{1},a\_{2},\ldots )} je číselná postupnosť. Lambertova vytvárajúca funkcia k postupnosti {\displaystyle a\_{n}} je formálny mocninový rad

{\displaystyle \operatorname {LG} (a\_{n};x)=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}
Prítomnosť výrazu {\displaystyle 1-x^{n}} v menovateli člena vytvárajúcej funkcie implikuje nutnosť indexovať postupnosť od čísla 1, nie od čísla 0.

### Dirichletova vytvárajúca funkcia

Nech {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }=(a\_{1},a\_{2},\ldots )} je číselná postupnosť. Dirichletova vytvárajúca funkcia k postupnosti {\displaystyle a\_{n}} je formálny mocninový rad

{\displaystyle \operatorname {DG} (a\_{n};x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n}}{n^{x}}}.}
Opäť je nutné indexovať postupnosť od čísla 1, čo spôsobila prítomnosť člena {\displaystyle n^{x}} v menovateli vytvárajúcej funkcie.

Zdroje
------

1. ↑  Wilf, H. S.: *Generatingfunctionology*. Academic Press, 1994.
2. ↑  Graham, R. L. Knuth, D. E. Patashnik, O.: *Concrete Mathematics*. Addison-Wesley, 1990.
3. ↑  Matoušek, J. Nešetřil, J.: *Kapitoly z diskrétní matematiky.* Karolinum, 2007.
4. ↑  Knuth, D. E.: *The Art of Computer Programming, vol. I: Fundamental Algorithms.* Addison-Wesley, 1997.

Externé odkazy
--------------

* Generujúce funkcie - Cut The Knot (po anglicky).
* Generujúce funkcie - Wolfram MathWorld (po anglicky).
* 1031 vytvárajúcich funkcií (po francúzsky).
* Stiahnutie knihy *Genratingfunctionology* (po anglicky).