**Kvadrika** alebo **kvadratická plocha** je plocha 2. stupňa v trojrozmernom priestore. Teda ide o plochy, ktoré v pravouhlej súradnicovej sústave {\displaystyle \{0,x,y,z\}} môžeme zapísať v tvare {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+ezy+fxz+gx+hy+iz+j=0}

Definícia
---------

V priestore majme danú rovinu {\displaystyle k}, v nej kužeľosečku {\displaystyle K} a bod {\displaystyle V} mimo nej. Množina bodov všetkých priamok {\displaystyle V,X}, kde {\displaystyle X\in K}, sa nazýva kvadratická kužeľová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby {\displaystyle V=[0,0,0]} a {\displaystyle K:z=c}, kde {\displaystyle c\neq 0}. Potom rovnice kvadratických kužeľových plôch budú:

{\displaystyle {\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0} ... eliptická kužeľová plocha,

{\displaystyle {\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0} ... hyperbolická kužeľová plocha,

{\displaystyle c(y-{\frac {n}{c}}z)^{2}-2p(x-{\frac {m}{c}}z)z=0} ... parabolická kužeľová plocha.

V priestore majme danú rovinu {\displaystyle k}, v nej kužeľosečku {\displaystyle K} a priamku {\displaystyle p} rôznobežnú s rovinou {\displaystyle k} mimo nej. Množina bodov všetkých priamok, ktoré sú rovnobežné s {\displaystyle p} a pretínajú {\displaystyle K} sa nazýva kvadratická valcová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby {\displaystyle p\equiv {P;{\vec {v}}=(v\_{1},v\_{2},v\_{3})}}. Potom rovnice kvadratických valcových plôch budú:

{\displaystyle {\frac {(x-{\frac {v\_{1}}{v\_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-{\frac {v\_{2}}{v\_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1} ... eliptická valcová plocha,

{\displaystyle {\frac {(x-{\frac {v\_{1}}{v\_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {v\_{2}}{v\_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1} ... hyperbolická valcová plocha,

{\displaystyle (y-{\frac {v\_{2}}{v\_{3}}}z)^{2}-2p(x-{\frac {v\_{1}}{v\_{3}}}z)=0} ... parabolická valcová plocha.

Elipsoid
--------

*Bližšie informácie v hlavnom článku: Elipsoid*
Elipsoid
Elipsoid je stredová kvadrika s tromi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v elipsách. Kanonické rovnice elipsoidu sú 
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} 
Ak {\displaystyle a=b}, tak daný elipsoid je rotačný. V prípade {\displaystyle a=b=c} je daný elipsoid guľovou plochou.

Hyperboloid
-----------

Jednodielny hyperboloid
Dvojdielny hyperboloid
Kanonické rovnice hyperboloidu sú 

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} ... jednodielny hyperboloid,

{\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} ... dvojdielny hyperboloid.

Jednodielny resp. dvojdielny hyperboloid sú stredové kvadriky s tromi rovinami súmernosti, pričom roviny {\displaystyle x=0} a {\displaystyle y=0} pretínajú plochu v hyperbolách a rovina {\displaystyle z=0} v elipse resp. nemá s plochou žiaden spoločný bod. Hyperboloidy, pre ktoré platí {\displaystyle a=b}, sú rotačné hyperboloidy.

Paraboloid
----------

Hyperbolický paraboloid
Paraboloid je nestredová kvadrika s dvomi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v parabolách. Kanonické rovnice paraboloidu sú 

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{p}}+{\frac {y^{2}}{q}}=2z} ... eliptický paraboloid,

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{p}}-{\frac {y^{2}}{q}}=2z} ... hyperbolický paraboloid,

kde {\displaystyle p,q} sú kladné čísla. Dotyková rovina kvadrickej plochy {\displaystyle a(x-s\_{1})^{2}+b(y-s\_{2})^{2}+c(z-s\_{3})^{2}+d=0} v dotykovom bode {\displaystyle M=[m\_{1},m\_{2},m\_{3}]} má rovnicu {\displaystyle a(m\_{1}-s\_{1})(x-s\_{1})+b(m\_{2}-s\_{2})(y-s\_{2})+c(m\_{3}-s\_{3})(z-s\_{3})+d=0}. 

Dotyková rovina kvadrickej plochy {\displaystyle a(x-s\_{1})^{2}+b(y-s\_{2})^{2}-c(z-s\_{3})^{2}=0} v dotykovom bode {\displaystyle M=[m\_{1},m\_{2},m\_{3}]} má rovnicu {\displaystyle a(m\_{1}-s\_{1})(x-s\_{1})+b(m\_{2}-s\_{2})(y-s\_{2})+c(z+m\_{3}-{2\_{s}}\_{3})=0}

Pozri aj
--------

* Kužeľosečka
* Guľová plocha
* Kvadratická forma
* Geometria

Literatúra
----------

* M. Billich - M. Trenkler: *Zbierka úloh z geometrie*. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 65

Externé odkazy
--------------

* Kvadratické plochy, Výukový materiál
* Kvadriky