Grafy hyperbolických funkcií
Pojem **hyperbolické funkcie** označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií
--------------------------------

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde {\displaystyle e} označuje Eulerovo číslo:

* Hyperbolický sínus:

{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}} ; kde {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
* Hyperbolický kosínus:

{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}} ; kde {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
* Hyperbolický tangens:

{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} ; kde {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
* Hyperbolický kotangens:

{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}} ; kde {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )/\{0\}}

Vlastnosti
----------

* Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

* Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

{\displaystyle {\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1} pre všetky {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
* Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cdot \cosh y+\sinh x\cdot \sinh y} pre všetky {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cdot \cosh y+\cosh x\cdot \sinh y} pre všetky {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
{\displaystyle \cosh(2x)={\cosh }^{2}{x}+{\sinh }^{2}{x}}
{\displaystyle \sinh(2x)=2\cosh x\cdot \sinh x}
### Monotónnosť a parita

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale {\displaystyle (-\infty ,\infty )}, pričom limitne platí nasledovné: 

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\sinh x=\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\sinh x=-\infty }

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale {\displaystyle (-\infty ,0)} a rastúca je na intervale {\displaystyle x\in (0,\infty )}. Limitne pre túto funkciu platí nasledovné: 

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\cosh x=\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\cosh x=\infty }

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale {\displaystyle (-\infty ,\infty )}. Limitne pre ňu platí: 

* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\tanh x=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\tanh x=-1}

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale {\displaystyle (-\infty ,0)} a {\displaystyle (0,\infty )}. Pre túto funkciu limitne platí: 

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0\_{+}}\coth x=\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to 0\_{-}}\coth x=-\infty }
* {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\coth x=1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\coth x=-1}

Derivácie
---------

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

Integrály
---------

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

{\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}
{\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
kde {\displaystyle C} je integračná konštatnta.

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Hyperbolická funkcia**

Zdroj
-----

* NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. *Matematická analýza I*. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online. Archivované 2009-12-27 z originálu.
* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.*

| * z
* d
* u
Goniometrické a súvisiace funkcie |
| --- |
| Goniometrické funkcie | 
* sínus
* kosínus
* tangens
* kotangens
* sekans
* kosekans
* historické
	+ sínus versus
	+ kosínus versus
	+ sínus koversus
	+ kosínus koversus
	+ exsekans
	+ exkosekans

 |
| Cyklometrické funkcie | 
* arkussínus
* arkuskosínus
* arkustangens
* arkuskotangens
* arkussekans
* arkuskosekans

 |
| Hyperbolické funkcie | 
* hyperbolický sínus
* hyperbolický kosínus
* hyperbolický tangens
* hyperbolický kotangens
* hyperbolický sekans
* hyperbolický kosekans

 |
| Hyperbolometrické funkcie | 
* argument hyperbolického sínusu
* argument hyperbolického kosínusu
* argument hyperbolického tangensu
* argument hyperbolického kotangensu
* argument hyperbolického sekansu
* argument hyperbolického kosekansu

 |