Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla
**Determinant** je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie
--------

Determinant matice {\displaystyle \mathbf {A} } značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky {\displaystyle \mathbf {a} \_{ij}} nasledovným spôsobom: 

{\displaystyle \det \mathbf {A} }
V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov {\displaystyle \mathbf {a} \_{ij}} matice {\displaystyle \mathbf {A} } používame nasledujúce značenie:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\cdots &a\_{nn}\end{vmatrix}}},
Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie: 

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a\_{ij}\end{vmatrix}}}.

Definícia determinantu
----------------------

### Všeobecná definícia

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu {\displaystyle \mathbf {A} =({a\_{i}}\_{j})\,} rozmeru {\displaystyle n\times n} definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež *Leibnizova formula*):

{\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}{a}\_{i,\sigma (i)}}
Znak {\displaystyle \sum \_{\sigma \in S\_{n}}} znamená sumu cez všetky permutácie \sigma  čísel {\displaystyle {1,2,\cdots ,n}}. Znakom {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )} označujeme znamienko permutácie \sigma. Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel {\displaystyle {1,2,\cdots ,n}} sa v Leibnitzovej formule vyskytuje {\displaystyle n!} sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu {\displaystyle \varepsilon \_{j\_{1}j\_{2}\cdots j\_{n}}}:

{\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum \_{j\_{1},j\_{2},...j\_{n}}\varepsilon \_{j\_{1}j\_{2}\cdots j\_{n}}a\_{1j\_{1}}a\_{2j\_{2}}\cdots a\_{nj\_{n}}=\sum \_{j\_{1},j\_{2},...j\_{n}}\varepsilon \_{j\_{1}j\_{2}\cdots j\_{n}}a\_{j\_{1}1}a\_{j\_{2}2}\cdots a\_{j\_{n}n}}
### Špeciálny prípad

#### Matica rádu 1

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla {\displaystyle \mathbf {{a\_{1}}\_{1}} }. Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

{\displaystyle \det \mathbf {A} ={a\_{1}}\_{1}\,}
#### Matica rádu 2

Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

{\displaystyle \det \mathbf {A} ={a\_{1}}\_{1}{a\_{2}}\_{2}-{a\_{2}}\_{1}{a\_{1}}\_{2}\,}
#### Matica rádu 3

Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:

{\displaystyle \det \mathbf {A} ={a\_{1}}\_{1}{a\_{2}}\_{2}{a\_{3}}\_{3}+{a\_{1}}\_{3}{a\_{2}}\_{1}{a\_{3}}\_{2}+{a\_{1}}\_{2}{a\_{2}}\_{3}{a\_{3}}\_{1}-{a\_{1}}\_{3}{a\_{2}}\_{2}{a\_{3}}\_{1}-{a\_{1}}\_{1}{a\_{2}}\_{3}{a\_{3}}\_{2}-{a\_{1}}\_{2}{a\_{2}}\_{1}{a\_{3}}\_{3}\,}
Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu
--------------------

Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

### Sarrusovo pravidlo

Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

**Postup:** K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky *diagonálne súčiny*, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú *rovnobežné* s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

**Názorná schéma:**

{\displaystyle {\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}}  
  

Teda:  

{\displaystyle a\_{11}a\_{22}a\_{33}+a\_{12}a\_{23}a\_{31}+a\_{13}a\_{21}a\_{32}-a\_{13}a\_{22}a\_{31}-a\_{11}a\_{23}a\_{32}-a\_{12}a\_{21}a\_{33}}

### Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca

Majme štvorcovú maticu {\displaystyle A=(a\_{ij})\in M\_{n,n}(R)}. Potom pre každé {\displaystyle t\in {1,...n}} existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa *t-teho* riadka:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{k=1}^{n}a\_{tk}(-1)^{t+k}\det(M\_{tk})}
pričom matica {\displaystyle M\_{tk}} je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním *t-teho* riadka a *k-teho* stĺpca.
Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa *t-teho* stĺpca:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{k=1}^{n}a\_{kt}(-1)^{k+t}\det(M\_{kt})}
pričom matica {\displaystyle M\_{kt}} je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním *k-teho* riadka a *t-teho* stĺpca.

### Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu

Nech je daná matica {\displaystyle A=(a\_{ij})\in M\_{n,n}(R)}. Pevne zvoľme čísla {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}} (kde *k* je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ... n - 1}) také, že: {\displaystyle i\_{1}<i\_{2}<...<i\_{k}}. 

Potom:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{1\leq {j}\_{1}<...<j\_{k}\leq n}\det(A\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}})\cdot (-1)^{i\_{1}+...+i\_{k}+j\_{1}+...+j\_{k}}\cdot \det(M\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}})}
kde:

* {\displaystyle A\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}}} je podmatica matice {\displaystyle A=(a\_{ij}\in M\_{n,n}(R))} typu *k x k*, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}} a stĺpcov s indexami {\displaystyle j\_{1},...j\_{k}} (pričom platí: {\displaystyle j\_{1}<j\_{2}<...<j\_{k}}).
* {\displaystyle M\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}}} je matica typu *(n-k) x (n-k)*, ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami {\displaystyle i\_{1},...i\_{k}} a stĺpcov s indexami {\displaystyle j\_{1},...j\_{k}}
* Algebrický doplnok determinantu {\displaystyle \det(A\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}})} je prvok takéhoto tvaru: {\displaystyle (-1)^{i\_{1}+...+i\_{k}+j\_{1}+...+j\_{k}}\cdot \det(M\_{j\_{1},...j\_{k}}^{i\_{1},...i\_{k}})}

Základné vlastnosti determinantov
---------------------------------

* Pre každú štvorcovú maticu {\displaystyle A=M\_{n,n}(R)} platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda {\displaystyle \det(A)=\det(A^{T})}

* Ak matica B vznikne z matice {\displaystyle A=M\_{n,n}(R)} vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda

{\displaystyle \det(B)=-\det(A)}
* Nech {\displaystyle A=(a\_{ij})} je štvorcová matica stupňa *n* nad daným poľom R. Potom pre každé {\displaystyle r,s\in {1,...n}} existuje algebrický doplnok {\displaystyle A\_{rs}} a má tvar:

{\displaystyle A\_{rs}=(-1)^{r+s}\det(M\_{rs})}
pričom {\displaystyle M\_{rs}} je štvorcová matica typu {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}, ktorá vznikne z matice A vynechaním *r*-tého riadka a *s*-tého stĺpca.

* Ak matica {\displaystyle A=(a\_{ij})\in M\_{n,n}(R)} ({\displaystyle n\geq 2}) má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:

{\displaystyle \det(A)=0}
* Ak matica B vznikne z matice {\displaystyle A=(a\_{ij})\in M\_{n,n}(R)} tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme {\displaystyle \delta \in R}, tak:

{\displaystyle \det(B)=\delta \det(A)}
* Nech sú dané dve matice: {\displaystyle A=(a\_{ij})}, {\displaystyle B=(B\_{ij})\in M\_{n,n}(R)}. Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom *k*-tom riadku, pre niektoré {\displaystyle k\in {1,...n}}, tak potom platí:

{\displaystyle \det(A)+\det(B)=\det {\begin{pmatrix}a\_{11}&...&a\_{1n}\\...&...&...\\a\_{k-1,1}&...&a\_{k-1,n}\\a\_{k1}+b\_{k1}&...&a\_{kn}+b\_{kn}\\a\_{k+1,1}&...&a\_{k+1,n}\\...&...&...\\a\_{n1}&...&a\_{nn}\end{pmatrix}}}
* Ak je v matici {\displaystyle A\in M\_{n,n}(R)} aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:

{\displaystyle \det(A)=0}
* Majme maticu {\displaystyle A=(a\_{ij})\in M\_{n,n}(R)}, ({\displaystyle n\geq 2}). Ak matica *B* vznikne z matice *A* prirátaním {\displaystyle \alpha }-násobku ({\displaystyle \alpha \in R}) hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v *A*. Potom platí:

{\displaystyle \det(B)=\det(A)}

Pozri aj
--------

* Matica (matematika)
* Lineárny priestor

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Determinant (matematika)**

Literatúra
----------

* KORBAŠ, Július. *Lineárna algebra a geometria I*. [s.l.] : Vydavateľstvo U, Univerzita Komenského v Bratislave, Prvé vydanie, 2003.

Externé odkazy
--------------

* Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8
* Determinant (matematika)

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |