**Banachova veta o pevnom bode**, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako **veta o kontrakcii**, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície
---------

### Pevný bod

*Bližšie informácie v hlavnom článku: Pevný bod*
Nech {\displaystyle f:X\to X} je zobrazenie. Bod {\displaystyle x\in X} nazveme *pevným bodom* zobrazenia *f*, ak {\displaystyle f(x)=x\,}.

### Kontraktívne zobrazenie

*Bližšie informácie v hlavnom článku: Kontrakcia (matematika)*
Nech {\displaystyle (X,d)\,} je metrický priestor, nech {\displaystyle A\subseteq X\,}. Nech {\displaystyle f:A\to A} je zobrazenie. Zobrazenie *f* nazývame *kontraktívne zobrazenie* alebo *kontrakcia,* ak existuje reálna konštanta *L*, {\displaystyle 0<L<1} taká, že pre všetky {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in A} platí 

{\displaystyle d(f(x\_{1}),f(x\_{2}))\leq L\cdot d(x\_{1},x\_{2}).}
Inými slovami, zobrazenie *f* je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre {\displaystyle 0<L<1}.

Znenie vety
-----------

Nech {\displaystyle (X,d)\,} je úplný metrický priestor. Nech {\displaystyle f:X\to X} je kontraktívne zobrazenie. Potom *f* má práve jeden pevný bod {\displaystyle u=f(u)}. Navyše, pre každé {\displaystyle x\in X} platí {\displaystyle f^{n}(x)\to u} pre {\displaystyle n\to \infty } (symbol {\displaystyle f^{n}\,} označuje *n*-tú iteráciu zobrazenia *f*), pričom pre rýchlosť konvergencie platí {\displaystyle d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)}.

Dôkaz
-----

### Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia *f* možno matematickou indukciou dokázať, že platí

{\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+1}(x))\leq L^{n}\cdot d(x,f(x)).}
Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla *n,k* platí 

{\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+k}(x))\leq \sum \_{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x))\leq \sum \_{i=n}^{n+k-1}L^{i}\cdot d(x,f(x))\leq \sum \_{i=n}^{\infty }L^{i}\cdot d(x,f(x))={\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x)).}
Keďže

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x))=0,}
je postupnosť {\displaystyle \{f^{n}(x)\}\_{n=0}^{\infty }} fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru {\displaystyle (X,d)\,} potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu *u*. Potom platí

{\displaystyle f(u)=f(\lim \_{n\to \infty }f^{n}(x))=\lim \_{n\to \infty }f^{n+1}(x)=\lim \_{n\to \infty }f^{n}(x)=u,}
čiže *u* je pevný bod zobrazenia *f*.

### Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech {\displaystyle u\neq v} sú dva rôzne pevné body zobrazenia *f*. Z kontraktívnosti zobrazenia *f*:

{\displaystyle 0<d(u,v)=d(f(u),f(v))\leq L\cdot d(u,v)<d(u,v),}
z čoho {\displaystyle d(u,v)<d(u,v)}, čo je spor.

### Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie 

{\displaystyle d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)}
dokážeme matematickou indukciou:

1. Nech {\displaystyle n=1}. Potom z kontraktívnosti *f*:
{\displaystyle d(u,f^{n}(x))=d(u,f(x))=d(f(u),f(x))\leq L\cdot d(u,x)=L^{n}\cdot d(u,x).}
2. Nech tvrdenie platí pre {\displaystyle n=k}. Ukážeme, že platí aj pre {\displaystyle n=k+1}:
{\displaystyle d(u,f^{k+1}(x))=d(f(u),f^{k+1}(x))\leq L\cdot d(u,f^{k}(x))\leq L\cdot L^{k}\cdot d(u,x)=L^{k+1}\cdot d(u,x).}

Aplikácie
---------

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra
----------

* Agrawal, R. P. Meehan, M. O'Regan, D.: *Fixed Point Theory and Applications.* Cambridge University Press, 2004.
* Švec, M. Šalát, T. Neubrunn, T.: *Matematická analýza funkcií reálnej premennej.* Alfa, 1987.

Externé odkazy
--------------

* Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode na Bourbawiki (po anglicky).
* Banach Fixed Point Theorem (po anglicky).
* Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath (po anglicky).