Riemannova guľa môže byť znázornená ako komplexná rovina obalená okolo gule istým spôsobom stereografickej projekcie.
**Riemannova guľa** alebo **Riemannova sféra**, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

{\displaystyle 1/0=\infty }.
Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

* **Komplexná projektívna priamka**, označovaná {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} alebo
* **Rozšírená komplexná rovina**, prípadne **rozšírená Gaussova rovina**, označovaná {\displaystyle \mathbb {\hat {C}} } alebo {\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako **rozšírené komplexné čísla**. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Komplexná varieta
-----------------

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc {\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }, kde

{\displaystyle \zeta :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C} } je definovaná ako {\displaystyle \zeta (z)=z}
a

{\displaystyle \xi :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} } je definovaná ako {\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{z}}} pre {\displaystyle z\neq \infty } a 0 pre {\displaystyle z=\infty }.
Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú {\displaystyle \infty }). Počiatok {\displaystyle \zeta }-súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre {\displaystyle \xi }-súradnicu a naopak.

Stereografická projekcia
------------------------

Stereografická projekcia Riemannovej gule do Gaussovej roviny.
Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu *z* Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom *z* a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu *z*. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.

Referencie
----------

1. ↑  J. FECENKO - Ľ. PINDA. *Matematika 1*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-03-08]. ISBN 80-8078-091-9.
2. ↑  DOVCOVÁ, Katarína. *Neeuklidovská geometria* [online]. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2008, [cit. 2008-03-08]. Dostupné online.

Pozri aj
--------

* Komplexná analýza
* Gaussova rovina
* Stereografická projekcia

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Riemannova guľa**

Externé odkazy
--------------

* Riemannova guľa - PlanetMath (po anglicky)
* Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)

Zdroje
------

* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.*