**Maxwellove rovnice** sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc
------------------------------

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla *c* a {\displaystyle 4\pi } (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

### Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)

**integrálny tvar**

{\displaystyle \oint \_{c}\mathbf {H} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =I+{\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}},}{\displaystyle \Psi \equiv \int \_{S}\mathbf {D} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} ,} {\displaystyle I=\int \_{S}\mathbf {j} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .}
Cirkulácia vektoru **H** po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke *c* je rovná súčtu celkového vodivého prúdu *I* a posuvného prúdu {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}}}, uzavretého krivkou *c*, Krivka *c* a ľubovolná plocha *S*, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

**diferenciálny tvar**

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}
Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa **H** je rovná hustote vodivého prúdu **j** a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}

### Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)

**integrálny tvar**

{\displaystyle \oint \_{c}\mathbf {E} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}},}{\displaystyle \Phi \equiv \int \_{S}\mathbf {B} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .}
Cirkulácia vektoru **E** po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke *c* je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou *S*, ktorá je ohraničená krivkou *c*. Krivka *c* a ľubovolná plocha *S*, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

**diferenciálny tvar**

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa **E** je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie **B** .

### Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)

**integrálny tvar**

{\displaystyle \oint \_{S}\mathbf {D} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q,}{\displaystyle Q=\int \_{V}\rho \,\mathrm {d} V.}
Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou *S* je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti *V* ohraničenej plochou *S*.

**diferenciálny tvar**

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .}
Divergencia vektoru elektrickej indukcie **D** je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

### Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

**integrálny tvar**

{\displaystyle \oint \_{S}\mathbf {B} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} =0.}
Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou *S* je rovný nule.

**diferenciálny tvar**

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}
Divergencia vektoru magnetickej indukcie **B** je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

| Označenie | Význam | Jednotka SI |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {E} } | intenzita elektrického poľa | V/m |
| {\displaystyle \mathbf {H} } | intenzita magnetického poľa | A/m |
| {\displaystyle \mathbf {D} } | elektrická indukcia | C/m² |
| {\displaystyle \mathbf {B} } | magnetická indukcia | T |
| {\displaystyle \ \rho \ } | hustota voľného náboja | C/m³ |
| {\displaystyle \mathbf {j} } | hustota prúdu | A/m² |

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou
--------------------------------------------------------

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie **P** (C/m2) a hustota magnetizácie **M** (A/m) vyjadrené ako:

{\displaystyle \mathbf {P} =\chi \_{e}\varepsilon \_{0}\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {M} =\chi \_{m}\mathbf {H} }
a že pole **D** a **B** sú s **E** a **H** sú zviazané vzťahmi:

{\displaystyle \mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon \_{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi \_{e})\varepsilon \_{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {B} \ \ =\ \ \mu \_{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi \_{m})\mu \_{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H} ,}
kde:

{\displaystyle \chi \_{e}} je elektrická susceptibilita materiálu,

{\displaystyle \chi \_{m}} je magnetická susceptibilita materiálu,

**ε** je elektrická permitivita materiálu a

**μ** je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

{\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho }
{\displaystyle \nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

{\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} ,}
kde *γ* je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov
-------------------------------------------------

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu {\displaystyle \Phi \,\!} a {\displaystyle {\vec {A}}\,\!}, ktoré sú definované tak, aby platilo

{\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}
{\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.}
{\displaystyle {\vec {E}}\,\!} a {\displaystyle {\vec {B}}\,\!} sa pritom nezmenia, ak od potenciálu {\displaystyle \Phi \,\!} odčítame ľubovolnú {\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial t}}}, alebo k {\displaystyle {\vec {A}}\,\!} pričítame {\displaystyle \nabla \xi }, kde {\displaystyle \xi \,\!} je ľubovolná skalárna funkcia. 
Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}+\varepsilon \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0.}
Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

{\displaystyle \square \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }},}
{\displaystyle \square {\vec {A}}=-\mu \,{\vec {j}},}
kde {\displaystyle \square } je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál {\displaystyle A^{\nu }.} D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

{\displaystyle \Box A^{\nu }=-\mu J^{\nu },}

kde {\displaystyle J^{\nu }}je elektrický štvorprúd a {\displaystyle \mu } je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

Zdroj
-----

* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Maxwellovy rovnice na českej Wikipédii.*