**Moment zotrvačnosti** alebo **moment inercie** telesa je fyzikálna veličina, ktorá vystupuje pri skúmaní jeho otáčavého pohybu. Je mierou náročnosti uvedenia telesa do otáčavého pohybu vzhľadom na os rotácie. Označujeme ju väčšinou {\displaystyle I} (v staršej literatúre to je väčšinou {\displaystyle J}), jednotkou v SI je {\displaystyle \mathrm {kg\,m} ^{2}}. Moment zotrvačnosti závisí od tvaru a hmotnosti telesa, ale aj od osi otáčania, ktorú si zvolíme.

Súvis medzi posuvným a otáčavým pohybom
---------------------------------------

Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu {\displaystyle 1/2\,mv^{2}} je kinetická energia rotačného pohybu {\displaystyle 1/2I\omega ^{2}} ({\displaystyle \omega } je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu {\displaystyle v}). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu {\displaystyle mv} sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom {\displaystyle I\omega }. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb {\displaystyle F=ma} máme pre otáčavý pohyb tzv. druhú vetu impulzovú, podľa ktorej {\displaystyle M=I\varepsilon } ({\displaystyle M} je moment pôsobiacej sily, {\displaystyle \varepsilon } je uhlové zrýchlenie telesa).

Výpočet momentu zotrvačnosti
----------------------------

Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu {\displaystyle 1/2\,I\omega ^{2}} vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu {\displaystyle 1/2\,m\_{k}v\_{k}^{2}}, kde {\displaystyle m\_{k}} je hmotnosť daného malého kúska a {\displaystyle v\_{k}} je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania {\displaystyle r\_{k}} podľa vzťahu {\displaystyle v\_{k}=\omega r\_{k}}. Ak si teraz jednotlivé malé kúsky očíslujeme číslami od 1 do {\displaystyle n}, celkovú kinetickú energiu otáčajúceho sa telesa môžeme napísať ako

{\displaystyle E\_{k}={\frac {1}{2}}m\_{1}r\_{1}^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}m\_{2}r\_{2}^{2}\omega ^{2}+\dots +{\frac {1}{2}}m\_{n}r\_{n}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}{\Big (}m\_{1}r\_{1}^{2}+\dots +m\_{n}r\_{n}^{2}{\Big )}\omega ^{2}.}
Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti {\displaystyle v} vystupuje uhlová rýchlosť {\displaystyle \omega }. Porovnaním so vzťahom {\displaystyle 1/2\,I\omega ^{2}} je jasné, že moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na danú os je vyjadrený súčtom v zátvorke, teda

{\displaystyle I=m\_{1}r\_{1}^{2}+\dots +m\_{n}r\_{n}^{2}.}
Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Je nutné použiť integrálny počet, pomocou ktorého dokážeme zapísať moment zotrvačnosti spojito rozdeleného telesa vzťahom

{\displaystyle I=\int r^{2}\,\mathrm {d} m,}
pričom tu integrujeme cez celý objem telesa.

Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom {\displaystyle r} a hmotnosťou {\displaystyle m}, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú {\displaystyle r}, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať {\displaystyle I=mr^{2}}. Momenty zotrvačnosti niekoľkých ďalších telies sú v nasledujúcom zozname.

* guľa (os otáčania prechádzajúca stredom): {\displaystyle I={\frac {2}{5}}mr^{2}}
* valec (os otáčania totožná s osou valca): {\displaystyle I={\frac {1}{2}}mr^{2}}
* tenká tyč dĺžky {\displaystyle L} (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej stredom): {\displaystyle I={\frac {1}{12}}mL^{2}}
* tenká tyč dĺžky {\displaystyle L} (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej koncom): {\displaystyle I={\frac {1}{3}}mL^{2}}

Steinerova veta
---------------

Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti {\displaystyle I\_{0}} vzhľadom na s ňou **rovnobežnú** os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou. Podľa nej ak je hmotnosť telesa {\displaystyle m} a vzdialenosť dvoch spomínaných osí {\displaystyle d}, moment zotrvačnosti {\displaystyle I} vzhľadom na tú, ktorá neprechádza ťažiskom sa dá vypočítať pomocou vzťahu:

{\displaystyle I=I\_{0}+md\_{}^{2}.}

Pozri aj
--------

* Vzorce pre výpočet momentu zotrvačnosti