**{\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie** (iné názvy: **{\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) {\displaystyle \chi ^{2}}, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

{\displaystyle \chi ^{2}} rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia
---------

Nech X je náhodná premenná a nech {\displaystyle n} je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná X má {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

{\displaystyle f\_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}}

kde označenie {\displaystyle \Gamma (\alpha )} označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

{\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}

Označenie:

* {\displaystyle \operatorname {X} \sim \chi ^{2}(n)}
* {\displaystyle \operatorname {X} \sim \chi \_{n}^{2}}

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy
--------------------------

Pokiaľ máme náhodnú premennú X, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda {\displaystyle X\sim N(0,1)}, tak náhodná premenná {\displaystyle Y=X^{2}} má {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda {\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(1)}.

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme {\displaystyle k} nezávislých náhodných premenných {\displaystyle X\_{1},...X\_{k}}, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda {\displaystyle X\_{j}\sim N(0,1)} pre {\displaystyle j=1,...k}. Potom nasledovná náhodná premenná:

{\displaystyle X=\sum \_{j=1}^{k}X\_{j}^{2}}

má {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie s {\displaystyle k} stupňami voľnosti, teda {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}.

Vlastnosti
----------

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

{\displaystyle \mu \_{r}={\frac {2^{r}\Gamma (r+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej X:

* {\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}
* {\displaystyle \operatorname {D} (X)=2n}

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

{\displaystyle \gamma \_{1}={\frac {2}{\sqrt {\frac {n}{2}}}}}

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

{\displaystyle \gamma \_{2}={\frac {12}{n}}}

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

{\displaystyle F\_{X}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int \_{0}^{x}t^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {t}{2}}}\mathrm {d} t}

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra {\displaystyle n} nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

{\displaystyle {\frac {X-E(X)}{\sqrt {D(X)}}}={\frac {X-n}{\sqrt {2n}}}}

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra {\displaystyle n} väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty
----------------

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná s {\displaystyle \chi ^{2}} rozdelením s {\displaystyle n} stupňami voľnosti. Potom hodnoty {\displaystyle \operatorname {\chi } ^{2}(n,\alpha )}, ktoré náhodná premenná X presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou {\displaystyle \alpha } nazývame kritické hodnoty {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenia. Matematicky zapísané:

{\displaystyle P(X>\chi ^{2}(n,\alpha ))=\int \_{\chi ^{2}(n,\alpha )}^{\infty }f\_{n}(x)\mathrm {d} x=\alpha }

Zdroje
------

* RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika*. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
* JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. *Pravdepodobnosť a štatistika*. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
* ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. *Pravděpodobnost a matematická statistika*. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
* BARNOVSKÁ, Mária, kol. *Cvičenia z matematickej analýzy III.*. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
* POTOCKÝ, Rastislav, kolektív *Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky*. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.