**Mnohouholník** alebo **polygón** alebo **n-uholník** je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: **mnohouholník** je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

Všeobecne
---------

Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú **vrcholy** mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú *susedné* vrcholy, sa nazývajú **strany** mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú *nesusedné* vrcholy, sa nazývajú **uhlopriečky**. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú **vnútorné uhly** mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je *rovnaký* a tento počet určuje *názov* mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

Znázornenie
-----------

Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.

Znázornenie mnohouholníkaZnázornenie mnohouholníka

Druhy mnohouholníkov
--------------------

Okrem mnohouholníkov líšiacich sa počtom vrcholov, sa mnohouholníky delia na:

* **pravidelné** (všetky strany a vnútorné uhly sú zhodné) a **nepravidelné**.
* **konvexné** (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a **nekonvexné** (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)

Vlastnosti
----------

Obvod mnohouholníka {\displaystyle o} sa vypočíta ako súčet všetkých jeho strán: {\displaystyle o=a+b+c+...}, kde {\displaystyle a,b,c,...} sú jednotlivé strany mnohouholníka.

Obsah všeobecného mnohouholníka S sa vypočíta pomocou *rozloženia* mnohouholníka na *vhodné* vzájomne sa neprekrývajúce trojuholníky, obdĺžniky alebo štvorce, ktorých obsahy {\displaystyle S\_{1},S\_{2},...} sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú: {\displaystyle S=S\_{1}+S\_{2}+...}

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný {\displaystyle \pi (n-2)\;\mathrm {rad} }

Počet uhlopriečok všeobecného {\displaystyle n}-úholníka určíme zo vzťahu {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n-3)}

Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku opísaná. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva *tetivový* (jeho strany sú tetivami opísanej kružnice).

Súčet uhlov všetkých trojuholníkov n uholníka dotýkajucich sa jeho stredu sa rovná 360°.

Vlastnosti pravidelného mnohouholníka
-------------------------------------

Veľkosť vnútorného uhla pravidelného {\displaystyle n}-uholníka má hodnotu {\displaystyle \alpha \_{n}={\frac {n-2}{n}}\pi }

Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná {\displaystyle \alpha \_{n}^{\prime }={\frac {2\pi }{n}}}

Pravidelnému mnohouholníku je možné opísať a zároveň vpísať kružnicu. Stredy oboch kružníc ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.

Ak označíme dĺžku strany pravidelného {\displaystyle n}-uholníka ako {\displaystyle a\_{n}} a polomer opísanej kružnice ako {\displaystyle r\_{n}}, potom polomer {\displaystyle \rho \_{n}} vpísanej kružnice je možné určiť zo vzťahu {\displaystyle \rho \_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4r\_{n}^{2}-a\_{n}^{2}}}}

Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:

### Vpísaný n-uholník

Pre vpísaný polygón platí:

v=|KW|

r=|KV|

{\displaystyle S\_{n}={\frac {nr^{2}\operatorname {sin} {\alpha }}{2}}}

### Opísaný n-uholník

Pre opísaný polygón platí:

R=|KL|

r=|KV|

{\displaystyle S\_{N}=nR^{2}\operatorname {tan} {\frac {\alpha }{2}}}

Referencie
----------

1. ↑  K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. *Kompendium matematiky*. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-03-26]. ISBN 80-242-1227-7.
2. ↑  P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. *Prehľad matematiky*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-03-26].
3. ↑  J. FECENKO - Ľ. PINDA. *Matematika 1*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-03-26]. ISBN 80-8078-091-9.

Pozri aj
--------

* Planimetria
* Mnohosten

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Mnohouholník**