**Matematická indukcia** je metóda dokazovania matematických viet a tvrdení, ktorá sa používa, ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť.

Typický dôkaz indukciou sa skladá z dvoch krokov:

1. Báza: Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie číslo z postupnosti.
2. Indukčný krok: Ukážeme, že ***ak*** tvrdenie platí pre *n* = *m*, ***tak*** platí aj pre *n* = *m* + 1 (Časť nasledujúca bezprostredne po *ak* sa niekedy nazýva **indukčný predpoklad**).

Tento postup sa niekedy prirovnáva k dominu. Obidve tieto časti sú totiž podobné dominovému efektu:

1. Spadne prvá kocka domina
2. Ak spadne nejaká kocka domina, spadne aj jej najbližší sused.

Výsledkom potom je, že spadnú **všetky** kocky.

Príklad
-------

Majme nasledujúce tvrdenie:

{\displaystyle 0+1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
pre všetky prirodzené čísla *n*. Dôkaz pravdivosti tohto tvrdenia je uvedený v nasledujúcej podkapitole.

### Dôkaz

  

**Báza:**

Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre *n* = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.

  

**Indukčný krok:**

Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre *n* = *m*, platí aj pre *n* = *m* + 1.

Predpokladajme teda, že pre *n* = *m* tvrdenie platí, čiže

{\displaystyle 0+1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}}
Pridaním *m* + 1 k obidvom stranám rovnice dostaneme

{\displaystyle 1+2+\cdots +m+(m+1)={\frac {m(m+1)}{2}}+(m+1)}
čo sa rovná

{\displaystyle ={\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {2(m+1)}{2}}={\frac {(m+2)(m+1)}{2}}}
a máme teda

{\displaystyle 1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)((m+1)+1)}{2}}}
Toto je tvrdenie pre *n* = *m* + 1. Dokázali sme, že je pravdivé, pokiaľ je pravdivé tvrdenie pre *n* = *m*.

Tvrdenie teda platí pre všetky prirodzené čísla, pretože

1. Platí pre 0.
2. Ak platí pre 0, platí aj pre 1
3. Ak platí pre 1, platí aj pre 2
4. Ak platí pre 2, platí aj pre 3
5. ...

Všetky kone majú rovnakú farbu
------------------------------

Všetky kone majú rovnakú farbu je paradox, ktorý vznikne z nesprávneho použitia matematickej indukcie. Bol predstavený maďarským matematikom George Pólya. Ukazuje na chyby, čo môžu nastať pri dôkazoch matematickou indukciou.

### Argument

Chceme dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu.

**Báza:**

Pre {\displaystyle n=1} to zjavne platí. Ak máme v skupine jedného koňa, tak má celá skupina rovnakú farbu a to farbu toho jedného koňa.

  

**Indukčný krok:**

Predpokladáme, že výrok platí pre {\displaystyle n} koní a chceme ho dokázať pre {\displaystyle n+1} koní. Kone si očíslujeme {\displaystyle 1,2,3,...n+1}, kde farba i-teho koňa je {\displaystyle f\_{i}}. Pozrieme sa na farbu prvých {\displaystyle n} koní {\displaystyle f\_{1},f\_{2},...f\_{n}}. Podľa indukčného predpokladu môžeme usúdiť, že sú všetky rovnakej farby. Teraz sa pozrieme na farbu koní {\displaystyle f\_{2},f\_{3},f\_{4},...f\_{n+1}}. Tých koní je {\displaystyle n}, takže znova použijeme indukčný predpoklad a môžeme povedať, že aj tie sú všetky rovnakej farby. Keďže vieme, že {\displaystyle f\_{1}=f\_{2}=f\_{3}...=f\_{n}} a zároveň aj {\displaystyle f\_{2}=f\_{3}=f\_{4}=...=f\_{n+1}}, môžeme povedať, že {\displaystyle f\_{1}=f\_{n+1}}. 
Teraz sme dokázali, že ak výrok platí pre {\displaystyle n} tak platí pre {\displaystyle n+1}.

Výrok platí pre {\displaystyle n=1}.

Výrok platí pre všetky kladné celé čísla.

Každá podmnožina koní má navzájom rovnakú farbu.

Koní je konečný počet.

Všetky kone majú rovnakú farbu.

### Vysvetlenie

V indukčnom kroku (od {\displaystyle n} do {\displaystyle n+1}) sa predpokladá, že {\displaystyle n\geq 2}. Indukcia by platila iba keby bola báza dokázaná pre {\displaystyle n\geq 2}.

Referencie
----------

1. ↑  PÓLYA, George. *Induction and Analogy in Mathematics*. [s.l.] : [s.n.], 1954.

Externé odkazy
--------------

* Dôkaz matematickou indukciou na pohodovamatematika.sk