**Sigma-algebra** alebo **\sigma -algebra** je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.

Definícia
---------

**\sigma -algebra** je usporiadaná dvojica (\Omega ,S), kde \Omega  je ľubovoľná množina a S\subseteq 2^{\Omega }, pričom platí:

* \Omega \in S,
* ak M\in S, potom aj \Omega \backslash M\in S,
* ak M\_{1},M\_{2},\ldots \in S je postupnosť množín z S, potom \bigcup \_{{i=1}}^{\infty }M\_{i}\in S.

(2^{\Omega } je zápis pre potenčnú množinu množiny \Omega .)

Keďže triviálna \sigma -algebra (v ktorej \Omega =\emptyset ) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou \Omega \neq \emptyset ).

Na \sigma -algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

Príklady
--------

* najjednoduchšia \sigma -algebra nad ľubovoľnou množinou \Omega : (\Omega ,\{\emptyset ,\Omega \}),
* \left(\{1,2,3\},\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},\{1,2,3\}\}\right),
* (\Omega ,S), kde \Omega  je ľubovoľná nespočítateľná množina a S je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
* Borelova \sigma -algebra (\sigma -algebra borelovských množín) je \sigma -algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

Vlastnosti
----------

Nie je ťažké ukázať, že každá \sigma -algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú \sigma -algebru (\Omega ,S) platia nasledujúce tvrdenia:

* ak M\_{1},M\_{2}\ldots ,\in S, potom \cap \_{{i=1}}^{\infty }M\_{i}\in S,
* ak M\_{1},M\_{2},\ldots ,M\_{n}\in S, potom \cap \_{{i=1}}^{n}M\_{i}\in S,
* ak M\_{1},M\_{2},\ldots ,M\_{n}\in S, potom \cup \_{{i=1}}^{n}M\_{i}\in S.

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá \sigma -algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik \sigma -algebier (teda (\Omega ,S\_{1}\cap S\_{2}) pre \sigma -algebry (\Omega ,S\_{1}) a (\Omega ,S\_{2})) je znova \sigma -algebra.

Sigma-algebra generovaná množinou
---------------------------------

Ak máme danú nejakú množinu \Omega , je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou S\subseteq 2^{\Omega } nemusia tvoriť \sigma -algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia \sigma -algebra obsahujúca celú množinu S.

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina \Omega  a množina S\subseteq 2^{\Omega }. Nech S\_{\sigma }=\bigcap \{T\supseteq S~|~T\subseteq 2^{\Omega };(\Omega ,T)~je~\sigma -algebra\} (teda S\_{\sigma } je prienik všetkých systémov T podmnožín množiny \Omega , ktoré obsahujú S, a súčasne (\Omega ,T) je \sigma -algebra). Potom hovoríme, že \sigma -algebra (\Omega ,S\_{\sigma }) je \sigma -algebra *generovaná množinou* (systémom množín) S.

Významným príkladom \sigma -algebry generovanej množinou je \sigma -algebra borelovských množín.

Pozri aj
--------

* Sigma okruh