**Magický štvorec** je štvorcová tabuľka typu {\displaystyle n\times n}, ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu {\displaystyle 1} až {\displaystyle n^{2}} a súčet je rovný {\displaystyle {\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}.

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva **magická konštanta**.

Identické magické štvorce
-------------------------

Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

Počet rôznych tradičných magických štvorcov
-------------------------------------------

Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo **n** okrem čísla 2. 
Počet riešení s rastúcim n prudko narastá.
Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre **n=3** existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre **n=4** ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na 
(1.7745 ± 0.0016) × 1019

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

Prvočíselné magické štvorce
---------------------------

Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil
Rudolf Ondrejka:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |

História
--------

Obrázok č. 1
Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l.

Magické štvorce a astrológia
----------------------------

Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:

  


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Saturn=15 |
| --- |
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |

 | 

| Jupiter=34 |
| --- |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 16 | 2 | 3 | 13 |

 | 

| Mars=65 |
| --- |
| 11 | 24 | 7 | 20 | 3 |
| 4 | 12 | 25 | 8 | 16 |
| 17 | 5 | 13 | 21 | 9 |
| 10 | 18 | 1 | 14 | 22 |
| 23 | 6 | 19 | 2 | 15 |

 | 

| Slnko=111 |
| --- |
| 6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
| 7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
| 19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
| 18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
| 25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
| 36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |

 |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Venuša=175 |
| --- |
| 22 | 47 | 16 | 41 | 10 | 35 | 4 |
| 5 | 23 | 48 | 17 | 42 | 11 | 29 |
| 30 | 6 | 24 | 49 | 18 | 36 | 12 |
| 13 | 31 | 7 | 25 | 43 | 19 | 37 |
| 38 | 14 | 32 | 1 | 26 | 44 | 20 |
| 21 | 39 | 8 | 33 | 2 | 27 | 45 |
| 46 | 15 | 40 | 9 | 34 | 3 | 28 |

 | 

| Merkúr=260 |
| --- |
| 8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
| 49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
| 41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
| 32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
| 40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
| 17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
| 9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
| 64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |

 | 

| Mesiac=369 |
| --- |
| 37 | 78 | 29 | 70 | 21 | 62 | 13 | 54 | 5 |
| 6 | 38 | 79 | 30 | 71 | 22 | 63 | 14 | 46 |
| 47 | 7 | 39 | 80 | 31 | 72 | 23 | 55 | 15 |
| 16 | 48 | 8 | 40 | 81 | 32 | 64 | 24 | 56 |
| 57 | 17 | 49 | 9 | 41 | 73 | 33 | 65 | 25 |
| 26 | 58 | 18 | 50 | 1 | 42 | 74 | 34 | 66 |
| 67 | 27 | 59 | 10 | 51 | 2 | 43 | 75 | 35 |
| 36 | 68 | 19 | 60 | 11 | 52 | 3 | 44 | 76 |
| 77 | 28 | 69 | 20 | 61 | 12 | 53 | 4 | 45 |

 |

Magický štvorec s operáciou násobenia
-------------------------------------

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:

2*a*, 2*b* a 2*c*, ich násobok je 2*a*+*b*+*c*
Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným číslam. Príklady:

| *M* = 32 768 |
| --- |
| 16 | 512 | 4 |
| 8 | 32 | 128 |
| 256 | 2 | 64 |

  


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| *M* = 216 |
| --- |
| 2 | 9 | 12 |
| 36 | 6 | 1 |
| 3 | 4 | 18 |

 | 

| *M* = 6 720 |
| --- |
| 1 | 6 | 20 | 56 |
| 40 | 28 | 2 | 3 |
| 14 | 5 | 24 | 4 |
| 12 | 8 | 7 | 10 |

 | 

| *M* = 6 227 020 800 |
| --- |
| 27 | 50 | 66 | 84 | 13 | 2 | 32 |
| 24 | 52 | 3 | 40 | 54 | 70 | 11 |
| 56 | 9 | 20 | 44 | 36 | 65 | 6 |
| 55 | 72 | 91 | 1 | 16 | 36 | 30 |
| 4 | 24 | 45 | 60 | 77 | 12 | 26 |
| 10 | 22 | 48 | 39 | 5 | 48 | 63 |
| 78 | 7 | 8 | 18 | 40 | 33 | 60 |

 |

Konštrukcia magických štvorcov
------------------------------

Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo **n** okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla **n**, pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

### Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3

V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde **a**, **b**, **c** sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami: 

**0 < a < b < c − a , b ≠ 2a**

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| *c* − *b* | *c* + (*a* + *b*) | *c* − *a* |
| *c* − (*a* − *b*) | *c* | *c* + (*a* − *b*) |
| *c* + *a* | *c* − (*a* + *b*) | *c* + *b* |

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

Referencie
----------

1. ↑   dmoz.org, [cit. 2016-06-29]. Dostupné online. (angličtina)
2. ↑  Pinn K. and Wieczerkowski C. (1998) "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo", *Int. J. Mod. Phys. C* **9** 541
3. ↑  "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo, arxiv.org, April 9, 1998. Retrieved November 2, 2013.
4. ↑   *Magic Square* [online]. , 2010, [cit. 2016-09-07]. Dostupné online. (english)
5. ↑  DRURY, Nevill. *Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions*. Bridport, Dorset : Prism Press, 1992. ISBN 1-85327-075-X.

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Magický štvorec**

Externé odkazy
--------------

* Magické štvorce

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Magic square na anglickej Wikipédii.*