**Kombinačné číslo** (iné názvy: **binomické číslo**, **binomický koeficient**) je matematická funkcia, ktorá udáva 
počet kombinácií *k*-tej triedy z *n*-prvkovej množiny, tzn. počet spôsobov, ako vybrať *k*-prvkovú podmnožinu z *n*-prvkovej množiny (*k* a *n* sú prirodzené čísla). Kombinačné číslo sa značí v tvare {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} a číta sa „*n* nad *k*". Alternatívne značenia sú {\displaystyle C(n,k)}, {\displaystyle C\_{k}(n)}, {\displaystyle \_{n}C\_{k}} alebo {\displaystyle C\_{n}^{k}}.

S využitím faktoriálu je možné kombinačné číslo definovať nasledovne:

{\displaystyle {n \choose k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,&&{\mbox{ pre }}n\geq k\geq 0;\\0\,&&{\mbox{inak}}\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Platí rovnosť:

{\displaystyle 1={0 \choose 0}={n \choose 0}={n \choose n}.}
Kombinačné číslo sa používa hlavne v kombinatorike, veľmi dôležité je využitie v binomickej vete (pričom je tu označované ako *binomický koeficient*) alebo v Leibnizovom pravidle.

Vlastnosti
----------

Pre prirodzené čísla *n* a *k*, kde {\displaystyle 0\leqq k\leqq n} a {\displaystyle m\in \mathbb {N} } platí

{\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}},}
{\displaystyle {{n} \choose {1}}=n,}
{\displaystyle {{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1,}
{\displaystyle {n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}},}
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}},}
{\displaystyle {n \choose {k}}={{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}},}
{\displaystyle {{n+1} \choose {k}}={n \choose {k-1}}+{n \choose k},}
{\displaystyle \sum \_{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}},}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n},}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n},}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose {i}}=0,}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}={2n \choose {n}}}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{m}{{n+i} \choose {n}}={{n+m+1} \choose {n+1}}}
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{m}{{n+i} \choose k}={{n+m+1} \choose {k+1}}-{{n+1} \choose {k+1}}}
{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}{i}={{n+1} \choose {2}}={{n+1} \choose {n-1}}={\frac {n}{2}}(n+1)}

Zovšeobecnenie kombinačných čísel
---------------------------------

Ak definujeme kombinačné číslo ako:

{\displaystyle {z \choose k}={\frac {z^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}
kde *k* je nezáporné celé číslo (a {\displaystyle z^{\underline {k}}} je *k*-ty klesajúci faktoriál zo *z*), potom je zrejmé, že pravá strana má zmysel, aj keď {\displaystyle z} nebude obmedzené na celé nezáporné čísla. Na {\displaystyle z} dokonca nemusíme klásť žiadne podmienky, môže ísť aj o číslo komplexné. Vzťah je teda prirodzeným zovšeobecnením kombinačných čísel a je používaný hlavne v zovšeobecnenej binomickej vete.

Ďalšiu možnú definíciu umožňuje náhrada faktoriálu gama funkciou:

{\displaystyle {z \choose k}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (z-k+1)\Gamma (k+1)}}}
kde *z* aj *k* môžu byť komplexné čísla. V takom prípade však nebudú platiť popísané vlastnosti kombinačných čísel pre všetky hodnoty.

Referencie
----------

1. ↑  kombinačné číslo. In:  *Encyclopaedia Beliana* [online]. Bratislava: Slovenská akadémia vied, [cit. 2021-11-07]. Dostupné online.
2. 1 2 3  ŠKOVIERA, Martin. *Úvod do diskrétnej matematiky*. Bratislava : FMFI UK, 2007. 30 s. Dostupné online. S. 14 – 19.
3. 1 2 3 4  WINCZER, Michal. *Diskrétna matematika*. Bratislava : FMFI UK, 2003. Dostupné online. Kapitola 8. Kombinatorické počítanie.

Pozri aj
--------

* Pascalov trojuholník
* Binomická veta
* Kombinatorika

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Kombinačné číslo**

Externé odkazy
--------------

* Kombinačné číslo v encyklopédii MathWorld (po anglicky)
* Kalkulátor kombinačného čísla (po česky)

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Kombinační číslo na českej Wikipédii.*