Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku
E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005
**Einsteinov vzťah** je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou {\displaystyle E\,\!} a hmotnosťou {\displaystyle m\,\!} telesa:

{\displaystyle E=m\cdot c^{2}\,\!}
kde *c* je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica **E = mc²** opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy", používa sa ako príklad „zložitej vedy", čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²
Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad". Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare *m* = *L* / *c*² (pre energiu použil označenie *L* namiesto *E*).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

* 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
* 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
* čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

Odvodenie
---------

Keďže mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu. 

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu *Ek*:

{\displaystyle E\_{k}=W=\int \_{\mathbf {r\_{1}} (v\_{1}=0)}^{\mathbf {r\_{2}} (v\_{2}\neq 0)}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int \_{\mathbf {r\_{1}} }^{\mathbf {r\_{2}} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int \_{\mathbf {r\_{1}} }^{\mathbf {r\_{2}} }\mathbf {v} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =}
{\displaystyle =\int \_{\mathbf {r\_{1}} (v\_{1}=0)}^{\mathbf {r\_{2}} (v)}\mathbf {v} \,\mathrm {d} (m\cdot \mathbf {v} )=}.
Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

{\displaystyle =\int \_{0}^{v}v(v\mathrm {d} m+m\mathrm {d} v)=\int \_{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+mv\mathrm {d} v)},
druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

{\displaystyle m={\frac {m\_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},
{\displaystyle m^{2}={\frac {m\_{0}^{2}}{\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}},
{\displaystyle m^{2}(c^{2}-v^{2})=m\_{0}^{2}c^{2}\,\!}.
Urobíme diferenciál tejto rovnice,

{\displaystyle 2m(c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m+m^{2}(-2v\mathrm {d} v)=0\,\!},
{\displaystyle (c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m=mv\mathrm {d} v\,\!}
a dosadíme do pôvodnej rovnice:

{\displaystyle E\_{k}=\int \_{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+(c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m)=\int \_{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+c^{2}\mathrm {d} m-v^{2}dm)=}
{\displaystyle =\int \_{0}^{v}c^{2}\mathrm {d} m=c^{2}\int \_{0}^{v}1\mathrm {d} m=c^{2}[m]\_{0}^{v}=c^{2}(m-m\_{0})}
{\displaystyle E\_{k}=mc^{2}-m\_{0}c^{2}\,\!}.
Na ľavej strane je kinetická energie, {\displaystyle m\_{0}c^{2}} je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

{\displaystyle E=E\_{k}+E\_{0}=mc^{2}\,\!}
je teda celková energia telesa.