**Russellov paradox** alebo **Russellova antinómia** je paradox, objavený v roku 1901 Bertrandom Russellom, ktorý ukazuje, že Cantorova intuitívna teória množín (naivná teória množín) je vnútorne sporná.

Princíp paradoxu
----------------

Označme *S* množinu všetkých množín, ktoré nie sú svojim vlastným prvkom (tj. množín, ktoré neobsahujú samých seba).

{\displaystyle S=\{X|X\notin X\}}
Táto množina je v Cantorovom systéme dobre definovaná, tzn. teraz by malo byť pre ľubovoľnú množinu *M* možno rozhodnúť, či táto množina *M* je alebo nie je prvkom množiny *S*. Toto však sa nedá rozhodnúť v prípade samotnej množiny *S*. Obe možnosti totiž vedú k sporu s ich definíciou. (Ak *S* nie je svojim vlastným prvkom, mala by podľa definície do *S* patriť; ak však *S* je svojim vlastným prvkom, potom podľa definície do *S* by patriť nemala.)

Varianty
--------

Táto antinómia má radu populárnych variant, ktoré ju používajú v rôznych jednoduchšie predstaviteľných kontextoch.

### Paradox holiča

V malom meste je jediný holič, ktorý holí práve tých mužov v meste, ktorí sa neholia sami. Také mesto však nemôže existovať, lebo tu opäť dochádza ku sporu: Holí holič sám seba? Sám seba má holiť práve vtedy, kedy sám seba holiť nebude.

### Zoznamy vo Wikipédii

Paradox sa dá aplikovať i na Wikipédiu: Vo Wikipédii existuje článok *Zoznam zoznamov*, obsahujúci zoznam všetkých článkov, ktoré sú zoznamy. Ak by však existoval článok nazvaný *Zoznam všetkých zoznamov, ktoré sa neobsahujú*, musí byť buď neúplný (ak neobsahuje sám seba), alebo chybný (ak sám sebe obsahuje).

Tieto vysvetľujúce varianty Russelovho paradoxu majú oproti jeho exaktnej množinovej verzii istú výhodu: paradoxu je možné sa vyhnúť tým, že sa daný jav odmietne. V paradoxe holiča sa prehlási, že taký holič (či mesto) jednoducho nemôže existovať, vo Wikipédii žiadny taký článok takisto neexistuje atď. Význam Russelovho paradoxu spočíva v tom, že v matematike sa nedá odmietnuť existencia nejakej množiny, ktorá plne vyhovuje definícii, len preto, že vedie k sporným záverom. Odmietnuť existenciu takej množiny totiž znamená, že sama príslušná definícia množiny je nevyhovujúca.

Riešenie paradoxu
-----------------

Po predložení tohoto paradoxu bola intuitívna teória množín pretvorená na axiomatickú teóriu množín, pričom boli axiómy formulované tak, aby sa tomuto a podobným problémom predišlo. Sám Russell, spolu s Alfredom Whiteheadom vytvorili vo svojej knihe *Principia Mathematica* komplikovaný systém typov, ktoré sa známym paradoxom vyhýbal, ale nebol širšie prijatý. Dnes sa najčastejšie používa Zermelo-Fraenkelova teória množín, ktorá sa Russelovmu paradoxu vyhýba tak, že ich axiómy neumožňujú zostrojenie množiny *S*; *S* v tejto teórii nie je množina, ale vlastná trieda.

Existujú i ďalšie teórie, ktoré poskytujú riešenie Russelovho paradoxu, napr. tzv. *New Foundations* amerického matematika van Quina.

Pozri aj
--------

* Paradoxy naivnej teórie množín
* Paradox klamára
* Gödelova veta
* Problém zastavenia
* Zermelova-Fraenkelova teória množín
* Buraliho-Fortiho paradox
* Cantorov paradox

  


| * z
* d
* u
Teória množín |
| --- |
| Axiómy | 
* axióma dvojice
* axióma extenzionality
* axióma nekonečna
* axióma potenčnej množiny
* axióma regularity
* axióma sumy
* axióma výberu
* hypotéza kontinua
* Martinova axióma
* schéma axióm substitúcie
* schéma axióm vymedzenia

 | Vennov diagram prieniku množín |
| Operácie | 
* de Morganove zákony
* doplnok
* karteziánsky súčin
* potenčná množina
* prienik
* rozdiel množín
* symetrická diferencia
* zjednotenie

 |
| Konceptya metódy | 
* bijektívne zobrazenie
* Cantorova diagonálna metóda
* kardinálne číslo
* konštruovateľná množina
* mohutnosť
* ordinálne číslo
* prvok množiny
* rodina množín
* transfinitná indukcia
* trieda
* Vennov diagram

 |
| Množiny | 
* konečná množina
* nekonečná množina
* neostrá množina
* nespočítateľná množina
* podmnožina
* prázdna množina
* rekurzívna množina
* spočítateľná množina
* tranzitívna množina
* základná množina

 |
| Teória | 
* alternatívna teória množín
* axiomatická teória množín
* Buraliho-Fortiho paradox
* Cantorova veta
* forcing
* Morseho-Kelleyho teória množín
* naivná teória množín
* paradoxy naivnej teórie množín
* Principia Mathematica
* Russellov paradox
* Suslinova hypotéza
* von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teória množín
* Zermelova teória množín
* Zermelova-Fraenkelova teória množín

 |
| Teoretici | 
* Paul Bernays
* Georg Cantor
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Adolf Fraenkel
* Kurt Gödel
* Thomas Jech
* John von Neumann
* Willard Van Orman Quine
* Bertrand Russell
* Petr Vopěnka
* Lotfi Zadeh
* Ernst Zermelo

 |