| Príklady grafov |
| --- |
| Rovinné | Nerovinné |
|  |   *K*5 |
|   Kompletný graf *K*4 |   *K*3,3 |

**Rovinný graf** alebo **planárny graf** je taký graf G = (V, H), ktorého diagram v rovine možno zostrojiť tak, že dve rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Inými slovami: graf je rovinný, ak sa dá nakresliť v rovine tak, že vrcholy sú body roviny, hrany sú oblúky (krivky) a žiadne dve hrany sa nepretínajú.

Medzi rovinné grafy patria všetky stromy a grafy {\displaystyle K\_{1},K\_{2},K\_{3},K\_{4}}, teda všetky grafy s počtom vrcholov minimálne jedna a maximálne štyri. Ďalšou charakteristikou je fakt, že Eulerova veta je platná pre akýkoľvek planárny graf.

Eulerova veta
-------------

**Eulerova veta**: v + s = h + 2; kde *v* – počet vrcholov, *s* – počet oblastí (štátov), *h* – počet hrán (hraníc).

### Dôkaz

Dôkaz Eulerovej vety urobíme indukciou vzhľadom na počet hrán {\displaystyle h}. Veta zrejme platí v grafoch bez hrán. Predpokladajme teraz, že platí pre všetky rovinné grafy, ktoré majú menej ako {\displaystyle h} hrán (indukčný predpoklad). Nech {\displaystyle G} je rovinný graf s {\displaystyle h} hranami. Budeme rozlišovať dva prípady:

a) Nech {\displaystyle G} obsahuje most. Potom po vynechaní mostu sa rozpadne na dva rovinné grafy {\displaystyle G\_{1}}, {\displaystyle G\_{2}}. Nech počet vrcholov, hrán a oblastí grafu {\displaystyle G\_{1}} je {\displaystyle v\_{1}}, {\displaystyle h\_{1}}, {\displaystyle s\_{1}} a grafu {\displaystyle G\_{2}} je {\displaystyle v\_{2}}, {\displaystyle h\_{2}}, {\displaystyle s\_{2}}. Pre {\displaystyle G\_{1}} a {\displaystyle G\_{2}} už (podľa indukčného predpokladu) veta platí. Teda máme 
{\displaystyle h\_{1}=v\_{1}+s\_{1}-2}, {\displaystyle h\_{2}=v\_{2}+s\_{2}-2}.
Ďalej {\displaystyle v\_{1}+v\_{2}=v} – počet vrcholov grafu {\displaystyle G}, {\displaystyle h\_{1}+h\_{2}=h-1}, {\displaystyle s\_{1}+s\_{2}=s+1} (vynechaním mostu sa počet oblastí nemení, ale v súčte {\displaystyle s\_{1}+s\_{2}} sa vonkajšia oblasť započíta dvakrát). Z posledných rovností a z uvedených vzťahov vyššie dostaneme: {\displaystyle h=h\_{1}+h\_{2}+1=(v\_{1}+s\_{1}-2)+(v\_{2}+s\_{2}-2)+1=(v\_{1}+v\_{2})+(s\_{1}+s\_{2})-3=v+(s+1)-3=v+s-2}.

b) Nech {\displaystyle G} neobsahuje most. Potom zoberme ľubovolnú hranu {\displaystyle h}. Hrana {\displaystyle h} je obsiahnutá v nejakej kružnici. Zoberme najkratšiu kružnicu {\displaystyle C}, v ktorej je hrana {\displaystyle h} obsiahnutá. Vnútri kružnice {\displaystyle C} sa pri vhodnom kreslení diagramu grafu nachádza nejaká oblasť, ktorá vynechaním hrany {\displaystyle h} zanikne. Teda, ak {\displaystyle G'} má práve o jednu oblasť menej ako {\displaystyle G}. Pritom má ten istý počet vrcholov. Pre {\displaystyle G'} však veta platí, preto platí aj pre {\displaystyle G}. Tým je dôkaz ukončený.

Dôsledky Eulerovej vety
-----------------------

### Dôsledok 1

Ak {\displaystyle G} je rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicami {\displaystyle C\_{n}}, tak {\displaystyle h={\frac {n(v-2)}{n-2}}}.

### Dôsledok 2

Keď {\displaystyle G} je rovinný graf s {\displaystyle v\geq 3} vrcholmi a s maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je {\displaystyle C\_{3}} a platí {\displaystyle h=3v-6}.

### Dôsledok 3

Ak v rovinnom grafe sú všetky oblasti ohraničené kružnicami {\displaystyle C\_{4}}, tak {\displaystyle h=2v-4}.

Predpokladajme, že máme diagram planárneho grafu, ktorý je nakreslený v zmysle definície, ktorá hovorí o zostrojení diagramu tak, že rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Takýto diagram rozdeľuje hranami rovinu na disjunktné oblasti (ak obsahuje aspoň jednu kružnicu) a tie budeme nazývať oblasťami planárneho grafu. Vonkajšia oblasť je tá z oblastí, ktorá je neohraničená.

Nech G = (V,H) je súvislý planárny graf a nech r je počet oblastí grafu G. Potom platí: 

|H| − |V| + 2 = r. (Eulerova formula)
Použitím cyklomatického čísla grafu môžeme Eulerov vzorec zapísať v tvare:

r = μ(G) + 1,
v ktorom má ľahko zrozumiteľnú interpretáciu – počet oblastí planárneho grafu je rovný počtu nezávislých kružníc grafu zväčšenému o 1 (za vonkajšiu oblasť). Cyklomatické číslo grafu G, ktoré nám vlastne udáva minimálny možný počet hrán, odobraním ktorých je možné z grafu odstrániť všetky kružnice, vieme matematicky vyjadriť nasledovne:

μ(G) = |H| − |V| + p,
kde p je počet komponentov. Komponentom grafu G patriacim k vrcholu v grafu G nazývame súhrn všetkých prvkov grafu G, ktoré patria do niektorej cesty začínajúcej sa vo vrchole v. Každý graf sa skladá z komponentov. Graf s jedným komponentom sa nazýva súvislý. Ak sa v slede neopakuje ani jedna hrana a ani jeden vrchol, nazýva sa cesta. Sledom z vrcholu u do vrcholu v nazývame konečnú postupnosť {\displaystyle [v\_{0},h\_{1},v\_{1},h\_{2},...v\_{(}n-1),n,v\_{n}],n\in N}, kde {\displaystyle v\_{0},..v\_{n}} sú vrcholy grafu {\displaystyle (v\_{0}=u,v\_{n}=v),h\_{1},...h\_{n}} sú hrany grafu. Pritom predpokladáme, že každá hrana {\displaystyle h\_{i}(i=1,..n)} spája vrcholy {\displaystyle v\_{(}i-1)av\_{i}}. Počet hrán v slede sa nazýva dĺžka sledu. Ak {\displaystyle u=v}, sled nazývame uzavretý, v opačnom prípade otvorený.

Eulerova veta formuluje iba nutnú podmienku pre planaritu grafu, nie postačujúcu. Vyplýva z nej však viacero dôsledkov použiteľných na charakterizáciu planarity.

### Veta

Graf G je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s niektorým z grafov {\displaystyle K\_{5}} a {\displaystyle K\_{3,3}}.

Táto veta rieši problematiku planárnosti grafov s využitím výhradne kombinatorických prostriedkov (bez kreslenia diagramu grafu). V roku 1930 ju dokázal poľský matematik Kuratowski.

Grafy {\displaystyle G\_{1}} a {\displaystyle G\_{2}} sú homeoformné, ak sú izomorfné, alebo konečným počtom rozpoľovania hrán v týchto grafoch dostaneme také grafy, ktoré budú izomorfné.

### Tvrdenie (Maximálny počet hrán rovinného grafu)

* Nech G = (V, E) je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi. Potom |E|≤ 3|V|-6. Navyše rovnosť nastáva pre každý maximálne rovinný graf; t. j. rovinný graf, ku ktorému nejde pridať žiadnu hranu (pri zachovaní množiny vrcholov) tak, aby zostal rovinným.
* Ak neobsahuje najviac uvažovaný rovinný graf trojuholník (t. j. K3 ako podgraf) a má aspoň 3 vrcholy, potom |E|≤2|V|−4.

V tomto tvrdení nepripúšťame grafy s násobnými hranami.

Neplanárne grafy
----------------

Graf, ktorý nie je planárny, sa nazýva **neplanárny**. Všeobecne pre neplanárne grafy je možné nakresliť diagram grafu len tak, že niektoré hrany sa krížia v nekoncových bodoch. Pre daný graf G môžeme určiť:

* **priesečníkové číslo grafu G** je minimálny počet dvojíc hrán, ktoré sa krížia (pretínajú) pri ľubovoľnom nakreslení diagramu grafu G
* **hrúbka grafu G** je minimálny počet jeho planárnych podgrafov zjednotením ktorých dostávame graf G
* **jemnosť grafu G** je maximálny počet hranovo disjunktných neplanárnych podgrafov grafu G

Tieto miery možno nazvať kombinatorickými mierami neplanárnosti grafov. Existuje ešte jedna miera, ktorá má čisto geometrickú interpretáciu: rod grafu – je to minimálny počet premostení, ktoré treba pridať ku guli, aby sa na jej povrchu dal nakresliť diagram príslušného grafu bez pretínania sa hrán. Planárne grafy majú teda rod 0, rod 1 majú grafy, ktorých diagramy môžeme nakresliť na anuloid ("pneumatiku").

### Príklady pre neplanarne grafy

Príkladom sú už uvedené grafy K5, K3, 3. Uvedené grafy predstavujú zároveň minimálne neplanárne grafy: K5 má najmenší počet vrcholov (5) a K 3,3 má najmenší počet hrán (9). Ukazuje sa, že tieto dva grafy hrajú veľmi významnú úlohu v súvislosti s planaritou grafov.

Kuratowského veta
-----------------

Graf G je rovinný práve vtedy, ak nie je žiadny jeho podgraf izomorfným delením grafu K5 ani K3,3. K5 označuje úplný graf na piatich vrcholoch; K3,3 je úplný bipartitný graf.

Mnohosteny (Platónske telesá)
-----------------------------

Antická škola mysliteľov spájaná s Platónovým menom sa zaoberala pravidelnými geometrickými útvarmi, takzvané pravidelné mnohosteny, a hľadala ich v základoch stavby vesmíru. Pravidelný mnohosten je trojrozmerné teleso, ohraničené konečným počtom stien – rovnakých pravidelný mnohouholníkov, kde sa v každom vrchole spája rovnaký počet stien (strán) a hrán.

Konvexný mnohosten je planárnymi grafom ak: 

1. Všetky jeho strany sú zhodné konvexné mnohouholníky,
2. Žiadne jeho steny sa nepretínajú inde ako na hrane,
3. Rovnaký počet strán sa dotýka v každom vrchole.

Každý planárny graf môže byť preto označený znakom {p,q} , kde:

* p = počet hrán každej strany (alebo počet vrcholov každej strany),
* q = počet strán stretávajúcich sa v každom vrchole (alebo počet hrán stretávajúcich sa vo vrchole)

Znak {p,q} sa nazýva Schälfiho znak, dáva kombinatoricky popis mnohostena.

História planárnych (rovinných) grafov
--------------------------------------

Planárne grafy sú známe už od antiky. Ich ornamentové modely môžu byť nájdené medzi ozdobnými kamennými guľami vyrobenými v neskorom neolite v Škótsku najmenej 1000 rokov pred Platónom. Antickí Gréci rozsiahlo študovali planárne grafy. Niektoré zdroje pripisujú objavenie Pytagorovi. Iné hovoria o tom, že bol iba oboznámený so štvorstenom, kockou a 12-stenom a že objavenie osemstena a 20-stena patri Theaetetovi, jednému z Platónových žiakov. Theaetetus dal matematický popis všetkým piatim útvarom a je zodpovedný za prvý známy dôkaz, že nie sú žiadne iné vypuklé pravidelné mnohosteny. Euklides dal kompletný matematický popis planárnych grafov v *Elementoch*, poslednej knihe, ktorá bola zasvätená ich vlastnostiam. V knihe popisuje zostrojenie štvorstena, kocky, osemstena, dvanásťstena a dvadsať stena. Pre každý útvar Euklides našiel pomer priemeru opísanej guľe k dĺžke hrany. Taktiež tvrdil, že nie je viac vypuklých pravidelných mnohostenov.

V 16. storočí sa nemecký astronóm Johannes Kepler pokúsil nájsť závislosť medzi vtedy známymi planétami a piatimi planárnymi grafmi. V 1596 predložil model slnečnej sústavy, v ktorej týchto 5 grafov bolo posadených dovnútra ďalšieho a oddelených sériou vpísaných a ohraničených oblastí. 6 oblastí, pričom každá z nich súhlasila s jednou z planét (Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter a Saturn). Grafy boli zoradené od najvnútornejšieho osemstena, nasledoval dvadsaťsten, dvanásťsten, štvorsten a nakoniec kocka. Týmto spôsobom štruktúra slnečnej sústavy a vzťah medzi vzdialenosťami planét boli určené planárnymi grafmi. Nakoniec od Keplerovho originálneho nápadu muselo byt upustené, ale jeho výskum dospel k tomu, že obežné dráhy planét sú elipsy, taktiež jeho dva zákony orbitálnej dynamiky ovplyvnili fyziku a astronómiu, plus objavil Keplerove grafy.

Silne rovinný graf
------------------

Rovinný graf sa nazýva silne rovinný ak ho možno v rovine nakresliť tak, že všetky vrcholy ležia na hranici jednej oblasti.

### Veta

Silne rovinný v-vrcholový graf má maximálne {\displaystyle 2v-3} hrán.

Literatúra
----------

* Znám, Š: *Kombinatorika a teória grafov*. Bratislava, Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského. 1982, s. 60 – 61