O priestorovom uhle pozri *priestorový uhol.*
**Uhol** alebo **rovinný uhol** je časť roviny určený dvoma polpriamkami so spoločným začiatkom.

Pomenovania
-----------

Polpriamky určujúce uhol v rovine sa volajú *ramená uhla*, spoločný bod ramien sa volá *vrchol uhla*. Množina bodov roviny vyseknutej uhlom sa nazýva *vnútorné body uhla* (vnútrajšok uhla), ostatné body z roviny voláme *vonkajšie body uhla* (vonkajšok uhla). Uhol sa znázorňuje pomocou ramien, medzi ktorými sa vyznačí oblúčikom vrchol uhla. Zápis vnútorného uhla sa vykonáva pomocou písmen gréckej abecedy napr. {\displaystyle \alpha }, {\displaystyle \beta }, {\displaystyle \gamma }, vonkajší uhol sa označuje znakom vnútorného uhla s čiarkou {\displaystyle \alpha }', {\displaystyle \beta }', {\displaystyle \gamma }'. Iným spôsobom označovania je pomocou symbolu uhla a troch bodov v poradí bod ramena – vrchol – bod na druhom ramene, napr. {\displaystyle \angle AVB}.

Druhy uhlov
-----------

* **Nulový uhol** je uhol, ktorého ramená ležia na sebe (všetky ich body sú totožné). Má presne 0°.
* **Ostrý uhol** je uhol menší ako pravý uhol. Má viac ako 0° ale menej ako 90°.
* **Pravý uhol** je polovica priameho uhla. Označujeme ho bodkou v oblúčiku, alebo hranatým "oblúčikom". Má presne 90°.
* **Tupý uhol** je väčší ako pravý uhol. Má viac ako 90° ale menej ako 180°.
* **Priamy uhol** je uhol, ktorého ramená sú navzájom opačné polpriamky, čiže spolu vytvárajú priamku. Má presne 180°.
* **Plný uhol** je uhol, ktorého ramená sú totožné (ležia na sebe). Za uhol považujeme celú rovinu okolo nich. Je to doplnok nulového uhla v rovine. Má presne 360°.
* **Kosý uhol** je uhol, ktorý nie je nulový, pravý, priamy ani plný (šikmý, nepriamy, nerovnobežný).
* **Dutý uhol** je uhol, ktorý je menší ako priamy.

* **Konvexný uhol** je uhol priamy, alebo menší než priamy
* **Konkávny uhol** je väčší než priamy

Dvojice uhlov
-------------

* **Vrcholové uhly** sú dva uhly, ktorých ramená sú opačné polpriamky. Vrcholové uhly sú zhodné.

* **Vedľajšie (susedné) uhly** sú dva uhly, ktorých jedno rameno je spoločné a druhé ramená sú opačné polpriamky. Súčet vedľajších uhlov je priamy uhol, teda dva susedné uhly zvierajú 180°.

* **Súhlasné uhly** sú dva uhly, ktorých prvé ramená ležia na jednej priamke a druhé ramená sú rovnobežné, pritom smer príslušných ramien je rovnaký (súhlasný). Súhlasné uhly sú *zhodné*.

* **Striedavé uhly** sú dva uhly, ktorých prvé ramená ležia na jednej priamke a druhé ramená sú rovnobežné, pritom smer príslušných ramien je opačný (striedavý). Striedavé uhly sú *zhodné*.

Súmernosť
---------

Všetky uhly sú osovo súmerné, os uhla prechádza vrcholom a rozdeľuje uhol na dve zhodné časti (polovice uhla).

Orientovaný uhol
----------------

Orientovaným uhlom nazývame usporiadanú dvojicu polpriamok {\displaystyle {\vec {VA}}}, {\displaystyle {\vec {VB}}} so spoločným bodom {\displaystyle V}, pričom polpriamku {\displaystyle {\vec {VA}}} nazveme *počiatočným ramenom uhla* a polpriamku {\displaystyle {\vec {VB}}} nazveme *koncovým ramenom uhla*. Bod {\displaystyle V} je vrcholom orientovaného uhla.

Veľkosť uhla
------------

Veľkosť uhla je nezáporné číslo, ktoré sa dá priradiť každému uhlu. Platí pritom, že zhodné uhly majú rovnakú veľkosť a tiež, že súčet veľkostí uhlov {\displaystyle \angle AVX} a {\displaystyle \angle XVB} je rovný veľkosti uhla {\displaystyle \angle AVB}.

Číselná veľkosť uhla je daná voľbou nenulového uhla, ktorému priradíme veľkosť 1. V praxi sa pre meranie uhla používa

### Oblúková (radiánová) miera

Hodnota jednotkového uhla v oblúkovej miere je zvolená tak, že uhol o veľkosti 1 vymedzuje na kružnici so stredom vo vrchole uhla oblúk, ktorého dĺžka je rovná polomeru danej kružnice. Hodnotu oblúkovej miery uhla {\displaystyle \alpha } značíme {\displaystyle \operatorname {arc} \alpha }.

Veľkosť ľubovoľného uhla je možné určiť ako pomer dĺžky oblúka vymedzeného ramenami na kružnici opísanej okolo vrcholu k polomeru tejto kružnice, tzn.

{\displaystyle \alpha ={\frac {s}{r}}},
kde {\displaystyle s} je dĺžka kruhového oblúka medzi priamkami, ktoré vymedzujú uhol, a {\displaystyle r} je polomer kruhového oblúka. Veľkosť pravého uhla je v oblúkovej miere rovná {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}.

Uhlová jednotka oblúkovej miery je v radiánoch (skratka *rad*).

### Stupňová miera

Stupňová miera je určená tak, že pravý uhol je rozdelený na 90 dielov, ktoré sa nazývajú *(uhlové) stupne*. Vzťah medzi stupňovou a oblúkovou mierou je možné zapísať ako

1° = π/180 rad
Uhlový stupeň sa delí na 60 *(uhlových) minút*, tzn. 1°=60′, a každá uhlová minúta sa delí na 60 *(uhlových) sekúnd*, tzn. 1′=60′′.

### Stotinná miera

Stotinná miera je určená tak, že pravý uhol je rozdelený na 100 dielov, ktoré nazývame grady, gony alebo stotinné stupne. Vzťah medzi stotinnou a oblúkovou mierou je možné zapísať ako 

{\displaystyle 1^{g}={\frac {\pi }{200}}rad}
Vzťah medzi 100-tinnou a 60-tinnou (stupňovou) mierou vyjadruje 

1g = 9/100 = 0,90

10 = 10/9 g

Ďalej pozri článok grad (uhol).

### Príklady

Jeden stupeň je 1/180 priameho uhla, čiže priamy uhol má veľkosť 180°. Zlomky stupňov sa vyjadrujú buď v desiatkovej, alebo v šesťdesiatkovej sústave, pozri nasledujúce príklady:

* pol stupňa = 0,5° = 0° 30’ t. j. 30 uhlových minút
* osmina stupňa = 0,125° = 0° 7’ 30" t. j. 7 uhlových minút a 30 sekúnd.

Jeden radián je 1/π priameho uhla.

Veľkosť ďalších uhlov:

* Nulový uhol: 0°, tzn. 0 rad
* Ostrý uhol: medzi 0° a 90°, tzn. medzi 0 a π/2 rad
* Pravý uhol: 90°, tzn. π/2
* Tupý uhol: medzi 90° a 180°, tzn. π/2 a π rad
* Kosý uhol: 0°<α<90° alebo 90°<α<180°
* Dutý uhol: 0°<α<180°
* Konvexný uhol: 0°≤α≤180°
* Nekonvexný (vypuklý) uhol: medzi 180° a 360°, tzn. π a 2π rad
* Priamy uhol: 180°, tzn. π rad
* Plný uhol: 360°, tzn. 2π rad

Stupne sa používajú predovšetkým z historických dôvodov a tiež pre relatívne ľahké vykonávanie jednoduchých výpočtov. Radiány majú výhodu pri zložitejších výpočtoch – zvlášť pri derivovaní či integrácii nie je potrebné počítať so špeciálnymi konštantami. Radián je navyše relatívne intuitívna jednotka. Vyjadruje priamo dĺžku oblúka, vytýčeného daným uhlom na jednotkovej kružnici.

### Veľkosť orientovaného uhla

Veľkosť orientovaného uhla je (v oblúkovej miere) rovná {\displaystyle \alpha +k2\pi }, kde {\displaystyle \alpha } je veľkosť rovnakého neorientovaného uhla a {\displaystyle k} je celé číslo. Veľkosť orientovaného uhla je uhol, ktorým musí prejsť počiatočné rameno pri otočení do koncového ramena. Člen {\displaystyle k2\pi } predstavuje počet celých otáčok okolo vrcholu uhla.

Operácie s uhlami
-----------------

**Sčítanie uhlov**

* Dva uhly sa sčítajú tak, že vezmete kružidlo a ľubovoľne ním pretnite uhol ktorý máte narysovaný, kružidlo zapichnite ne ľubovoľné miesto na dolnej čiare a prejdite čiarou k čiare 2.
* Dole na uhla od čiary kružidla zapichnite kružidlo do dolnej čiary do miesta kde sa pretínajú čiary uhla a kružidla a druhý koniec kružidla na druhú čiaru kde sa pretína čiara uhla a kružidla a nechajte v kružidle veľkosť ktorú ste si z uhla vytiahli.
* Ak máte 2 uhly na sčítanie nechajte si ešte stále veľkosť kružidla z prvého uhla a na druhom narysujte tak že ľubovoľne zapichnete kružidlo s veľkosťou z minulého uhla na čiaru druhého uhla a nakreslite oblúk na druhú čiaru a veľkosť na kružidle si o opäť ponechajte.
* Narysujte čiaru s jedným bodom a kružidlo so stále rovnakou veľkosťou zapichnite do bodu (bod musí bít na ľavej strane) a narysujte kružidlom oblúk doľava.
* Na oboch uhloch zanikli ramená tam kde sa pretína oblúk kružidla a uhol tak tam zapichnite kružidlo a nakreslite oblúk do druhého ramena. Nechajte si veľkosť a zapichnite kružidlo na narysovanú čiaru a na bode zapichnite a narysujte oblúk do predchádzajúceho oblúka od kružidla než sa stretnú a potom odtiaľ kde sa stretli pravítkom narysujte čiaru do bodu a to isté s druhým uhlom a na obrázku vidíte výsledok.

**Odčítanie uhlov**

* Dva uhly sa odčítajú tak, že sa jedným ramenom priložia dovnútra seba a výsledný uhol vznikne medzi druhými dvoma ramenami. Výpočtovo stačí odčítať veľkosti uhlov.

**Násobenie uhlov prirodzeným číslom**

* Násobenie uhla prirodzeným číslom sa vykonáva na opakované sčítanie toho istého uhla toľkokrát, koľko je dané prirodzené číslo. Číselne sa vynásobí veľkosť uhla daným prirodzeným číslom.

**Delenie uhlov dvoma**

* Uhol sa delí dvoma zostrojením osi uhla. číselne sa vydelí veľkosť uhla dvoma. Konštrukčne nie je možné vykonať presné delenie všeobecného uhla troma, úloha je známa pod menom trisekcia uhla.

### Operácie s orientovanými uhlami

Pri operáciách s orientovanými uhlami je nutné zohľadniť ich znamienka.

Ak teda k orientovanému uhlu {\displaystyle \alpha } pripočítame orientovaný uhol {\displaystyle \beta }, ktorý je však opačne orientovaný, je výsledok rovnaký ako by sme od neorientovaného uhla o rovnakej veľkosti ako má uhol {\displaystyle \alpha } odčítali neorientovaný uhol o rovnakej veľkosti ako má uhol {\displaystyle \beta }. Výsledkom takejto operácie je opäť orientovaný uhol, ktorý má rovnakú orientáciu ako {\displaystyle \alpha }, ak {\displaystyle \alpha >\beta }, má orientáciu ako uhol {\displaystyle \beta }, ak {\displaystyle \alpha <\beta }.

Meracie prístroje
-----------------

Meranie a určovanie uhlov je v praxi veľmi dôležité. Využíva ich astronómia, geodézia a mnoho ďalších odborov. Preto sa tiež vyvinul rad meracích prístrojov. 

* uhlomer – najjednoduchšie meradlo – ide o polkruhovú dosku so stupnicou po obvode. Zložitějšie prístroje majú pohyblivé rameno.
* Jakubova palica – jednoduchý stredoveký astronomický prístroj merajúca na princípe porovnávania strán trojuholníka
* kvadrant, sextant, oktant – používané v navigácii
* teodolit – základný prístroj používaný v geodézii na meranie a určovanie zvislých a vodorovných uhlov

Pozri aj
--------

* Priestorový uhol
* Steradián
* Trisekcia uhla

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **uhly**.

Externé odkazy
--------------

* Stupňová a oblúková miera