**Hausdorffova miera** alebo **Hausdorffova dimenzia** alebo **Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia** je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená {\displaystyle \mathbf {H} ^{s}}) je "dolnodimenzionalnou" mierou na {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé" podmnožiny {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Základnou myšlienkou je, že množina {\displaystyle \mathbf {A} } je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, kde platí
{\displaystyle 0<H^{s}(A)<\infty }, i keď {\displaystyle \mathbf {A} } je veľmi komplikovaná. {\displaystyle \mathbf {H} ^{s}} je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery
-----------------------------

**Definícia**: Nech {\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbb {R} ^{n},0\leq s<\infty ,0<\delta \leq \infty } definujeme:

{\displaystyle (i)\mathbf {H} \_{\delta }^{s}(A)=\inf\{\sum \_{i=1}^{\infty }\alpha (s)({\frac {diam(C\_{i})}{2}})^{s}|A\subset {\cup \_{j=1}^{\infty }C\_{j}},diam(C\_{j})\leq \delta \},}

kde

{\displaystyle \alpha (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}}

túto

{\displaystyle \Gamma (r)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty ),}

je obyčajná gamma funkcia.

{\displaystyle \mathbf {(} ii)}Pro {\displaystyle \mathbf {A} } a {\displaystyle \mathbf {s} } s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

{\displaystyle H^{s}(A)=\lim \_{\delta \to 0}H\_{\delta }^{s}(A)=\sup \_{\delta >0}H\_{\delta }^{s}(A)}
{\displaystyle \mathbf {H} ^{s}} nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie
---------------------------------------------

{\displaystyle \mathbf {H} ^{s}} je Borelova regulárna miera pre {\displaystyle 0\leq s<\infty }, nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

{\displaystyle (i)\mathbf {H} \_{\delta }^{s}} je miera.

{\displaystyle (ii)\mathbf {H} ^{s}} je miera.

{\displaystyle (iii)\mathbf {H} ^{s}} je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

{\displaystyle (i)\mathbf {H} ^{0}} je čítacia miera.

{\displaystyle (ii)\mathbf {H} ^{1}=\mathbf {L} ^{1}} na {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, kde {\displaystyle \mathbf {L} ^{1}} je Lebesgueova miera.

{\displaystyle (iii)\mathbf {H} ^{s}=0} na {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} pre všetky {\displaystyle \mathbf {s>n} }.

{\displaystyle (iv)\mathbf {H} ^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}\mathbf {H} ^{s}(A)} pre všetky {\displaystyle \lambda >0,A\subset \mathbb {R} ^{n}}.

{\displaystyle (v)\mathbf {H} ^{s}(L(A))=\mathbf {H} ^{s}(A)} pre všetky afinné izometrie {\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},A\subset \mathbb {R} ^{n}}.

Literatúra
----------

* Steven G. Krantz: *Measure Theory and Fine Properties of Functions*, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.