Arkus sínus a Arkus kosínus
**Cyklometrická funkcia** je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

Definícia
---------

Medzi cyklometrické funkcie patria:

* Arkus sínus ({\displaystyle \arcsin })
* Arkus kosínus ({\displaystyle \arccos })
* Arkus tangens ({\displaystyle \operatorname {arctg} })
* Arkus kotangens ({\displaystyle \operatorname {arccotg} })

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

### Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

|
|  |
| **Goniometrické funkcie** | **Cyklometrické funkcie** |
| Sínus: {\displaystyle \sin(x)} pre {\displaystyle x\in \mathbb {R} } | Arkus sínus: {\displaystyle \arcsin(x)} pre {\displaystyle x\in <-1;1>} |
| Cosínus: {\displaystyle \cos(x)} pre {\displaystyle x\in \mathbb {R} } | Arkus cosínus: {\displaystyle \arccos(x)} pre {\displaystyle x\in <-1;1>} |
| Tangens: {\displaystyle \operatorname {tg} (x)} pre {\displaystyle x\in \mathbb {R} -\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \};k\in \mathbb {Z} } | Arkus tangens: {\displaystyle \operatorname {arctg} (x)} pre {\displaystyle x\in R} |
| Cotangens: {\displaystyle \operatorname {ctg} (x)} pre {\displaystyle x\in \mathbb {R} -\{k\pi \};k\in \mathbb {Z} } | Arkus cotangens: {\displaystyle \operatorname {arcctg} (x)} pre {\displaystyle x\in R} |

Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami
--------------------------------------------------------

### sin a arcsin

{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ |x|\leq {\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ |x|\leq 1}
### cos a arccos

{\displaystyle \arccos(\cos x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ 0\leq x\leq \pi }
{\displaystyle \cos(\arccos x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ |x|\leq 1}
### tg a arctg

{\displaystyle \operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x\!}
### cotg a arccotg

{\displaystyle \operatorname {arccotg} (\operatorname {cotg} x)=x\!}, ak platí {\displaystyle \ 0<x<\pi }
{\displaystyle \operatorname {cotg} (\operatorname {arcotg} x)=x\!}

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami
--------------------------------------

{\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x}
{\displaystyle \operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x}
Pre {\displaystyle x>0} platí

{\displaystyle \operatorname {arccotg} x=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}}
Pre {\displaystyle x<0} platí

{\displaystyle \operatorname {arccotg} x=\pi +\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}}

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi
----------------------------------------------------------------------

{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
{\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\!}
{\displaystyle \operatorname {arccotg} (-x)=\pi -\operatorname {arccotg} x\!}

Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií
----------------------------------------

### arcsin *x* + arcsin *y*

{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ xy\leq 0} alebo {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1}
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1}
### arcsin *x* - arcsin *y*

{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ xy\geq 0} alebo {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1}
{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1}
### arccos *x* + arccos *y*

{\displaystyle \arccos x+\arccos y=\arccos[xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x+y\geq 0}
{\displaystyle \arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos[xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x+y<0}
### arccos *x* - arccos *y*

{\displaystyle \arccos x-\arccos y=-\arccos[xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x\geq y}
{\displaystyle \arccos x-\arccos y=\arccos[xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],} ak platí {\displaystyle \ x<y}
### arctg *x* + arctg *y*

{\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},} ak platí {\displaystyle \ xy<1}
{\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},} ak platí {\displaystyle \ x>0,xy>1}
{\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=-\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},} ak platí {\displaystyle \ x<0,xy>1}
### arctg *x* - arctg *y*

{\displaystyle \operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},} ak platí {\displaystyle \ xy>-1}
{\displaystyle \operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=\pi +\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},} ak platí {\displaystyle \ x>0,xy<-1}
{\displaystyle \operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=-\pi +\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},} ak platí {\displaystyle \ x<0,xy<-1}
### arccotg *x* + arccotg *y*

{\displaystyle \operatorname {arccotg} x+\operatorname {arccotg} y=\operatorname {arccotg} {\frac {xy-1}{x+y}},} ak platí {\displaystyle \ x>-y}
{\displaystyle \operatorname {arccotg} x+\operatorname {arccotg} y=\operatorname {arccotg} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,} ak platí {\displaystyle \ x<-y}
### arcsin *x* + arccos *x*

{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},} ak platí {\displaystyle \ |x|\leq 1}
### arctg *x* + arccotg *x*

{\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}}

Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare
--------------------------------------------------------

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}\\\arccos x&{}=-i\,\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}\\\operatorname {arctg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-i\,x\right)-\log \left(1+i\,x\right)\right)=\operatorname {arccotg} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arccotg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}

Pozri aj
--------

* Goniometrické funkcie

Literatúra
----------

* Rektorys, K. a spol.: *Přehled užité matematiky I.*, Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
* Bartch, Hans-Jochen: *Matematické vzorce*, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání

| * z
* d
* u
Goniometrické a súvisiace funkcie |
| --- |
| Goniometrické funkcie | 
* sínus
* kosínus
* tangens
* kotangens
* sekans
* kosekans
* historické
	+ sínus versus
	+ kosínus versus
	+ sínus koversus
	+ kosínus koversus
	+ exsekans
	+ exkosekans

 |
| Cyklometrické funkcie | 
* arkussínus
* arkuskosínus
* arkustangens
* arkuskotangens
* arkussekans
* arkuskosekans

 |
| Hyperbolické funkcie | 
* hyperbolický sínus
* hyperbolický kosínus
* hyperbolický tangens
* hyperbolický kotangens
* hyperbolický sekans
* hyperbolický kosekans

 |
| Hyperbolometrické funkcie | 
* argument hyperbolického sínusu
* argument hyperbolického kosínusu
* argument hyperbolického tangensu
* argument hyperbolického kotangensu
* argument hyperbolického sekansu
* argument hyperbolického kosekansu

 |