**Bernoulliho schéma** sa používa na výpočet pravdepodobnosti pri opakovanom pokuse.
Urobíme sériu nezávislých náhodných pokusov, v ktorých nastáva sledovaný výsledok, náhodný jav {\displaystyle A}, s pravdepodobnosťou {\displaystyle P(A)=p}, {\displaystyle 0<p<1}. Pravdepodobnosť, {\displaystyle P\_{n}(k)} toho, že sa v sérii vyskytne náhodný jav {\displaystyle A} práve k-krát, {\displaystyle k=0,1,2,...n} je rovná 

{\displaystyle P\_{n}(k)={\begin{pmatrix}n\\k\\\end{pmatrix}}p^{k}(1-p)^{n-k}} , {\displaystyle 0\leq k\leq n}

Príklady
--------

**Príklad č.1:** Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve 4-krát padne číslo 6?

Keďže ide o sériu nezávislých javov (daný hod nezávisí od predchádzajúceho), môžeme použiť Bernoulliho schému. Pravdepodobnosť priaznivého javu je {\displaystyle {\frac {1}{6}}} a pravdepodobnosť nepriaznivého javu je {\displaystyle {\frac {5}{6}}}. (Pretože môžu padnúť čísla 1,2,3,4 alebo 5.)
{\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{4}({\frac {5}{6}})^{6}=210\cdot {\frac {1}{6^{4}}}\cdot {\frac {5^{6}}{6^{6}}}={\frac {210\cdot 5^{6}}{6^{10}}}\doteq 0,05}

Teda pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne práve 4-krát číslo {\displaystyle 6} je {\displaystyle 5\%}.
**Príklad č.2:** Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň 4-krát padne číslo {\displaystyle 6}?
V tomto prípade sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že padne číslo {\displaystyle 6} aspoň {\displaystyle 4} krát, teda vlastne sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že číslo {\displaystyle 6} padne 4-krát, alebo 5-krát, alebo 6-krát, alebo 7-krát, alebo 8-krát, alebo 9-krát, alebo 10-krát?

{\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{4}({\frac {5}{6}})^{6}+{\begin{pmatrix}10\\5\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{5}({\frac {5}{6}})^{5}+{\begin{pmatrix}10\\6\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{6}({\frac {5}{6}})^{4}+{\begin{pmatrix}10\\7\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{7}({\frac {5}{6}})^{3}+{\begin{pmatrix}10\\8\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{8}({\frac {5}{6}})^{2}+{\begin{pmatrix}10\\9\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{9}({\frac {5}{6}})+{\begin{pmatrix}10\\10\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{10}\doteq 0,07}

Pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne aspoň 4-krát číslo {\displaystyle 6} je {\displaystyle 7\%}.
**Príklad č.3:** Hádžeme hracou kockou 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve raz padne číslo {\displaystyle 3}?

{\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{1}({\frac {5}{6}})^{2}={\frac {25}{72}}\doteq 0,347}

Pravdepodobnosť, že z {\displaystyle 3} hodov hracou kockou padne práve raz číslo {\displaystyle 3} je {\displaystyle 34,7\%}.
**Príklad č.4:** Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou {\displaystyle 0,7} pričom vystrelil {\displaystyle 10} krát. Aká je pravdepodobnosť, že trafil ciel práve 4-krát?

{\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}(0,7)^{4}(0,3)^{6}=0,036}

Pravdepodobnosť, že z {\displaystyle 10} výstrelov trafí práve 4-krát cieľ je {\displaystyle 3,6\%}.
**Príklad č.5:** Na teste v autoškole je {\displaystyle 30} otázok z ktorých v každej z nich sú na výber {\displaystyle 3} odpovede, pričom správna je vždy len jedna. Uchádzač o vodičský preukaz uspeje, ak označí správne aspoň {\displaystyle 27} otázok. Je takéto testovanie spoľahlivé ?

Aspoň {\displaystyle 27} znamená {\displaystyle 27} alebo {\displaystyle 28} alebo {\displaystyle 29} alebo {\displaystyle 30}.

{\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}30\\3\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{3}({\frac {1}{3}})^{27}+{\begin{pmatrix}30\\2\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{2}({\frac {1}{3}})^{28}+{\begin{pmatrix}30\\1\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{1}({\frac {1}{3}})^{29}+{\begin{pmatrix}30\\0\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{0}({\frac {1}{3}})^{30}\doteq 0}

Ak by uchádzač prišiel na test nepripravený a náhodne by vyberal otázky, pravdepodobnosť, že si tipne aspoň {\displaystyle 27} otázok správne je prakticky nulová, teda test je spoľahlivý.

Referencie
----------

1. ↑   *Opakované pokusy a Bernoulliho schema* [online].. Dostupné online.
2. ↑  P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. *Prehľad matematiky*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-09-23].

Pozri aj
--------

* Problém náhrdelníka
* Problém šatniarky


|  |  |
| --- | --- |
| Portal | Matematický portál |