**Integrál** je spolu s deriváciou najdôležitejší pojem matematickej analýzy. Pojem integrálu je zovšeobecnením pojmov ako plocha, objem, súčet či suma. Integrovanie je opačná operácia k derivovaniu.

Neurčitý integrál
-----------------

*Definícia:* Funkcia *F* sa nazýva primitívna funkcia k funkcii *f* na otvorenom intervale *I*, ak platí *F'* = *f* na intervale *I*.

{\displaystyle \int {f(x)}\,\mathrm {d} x=F(x)+c.}
Hľadanie neurčitého integrálu (primitívnej funkcie) je opačný proces k určovaniu derivácie. Pri výpočte sa vychádza zo známych integrálov (tzv. tabuľkové integrály) a využíva sa lineárnosť, metóda per partes a substitučná metóda.

Určitý integrál
---------------

Integrál ako plocha pod krivkou.
Jednoducho povedané, určitý integrál nezápornej funkcie *f(x)* medzi nejakými dvoma bodmi *a, b* je rovný ploche obrazca ohraničeného priamkami *x = a, x = b*, osou *x* a krivkou definovanou funkciou *f*. Formálnejšie povedané, taký integrál je rovný miere množiny *S* definovanej ako

{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}.}
Integrál sa označuje štylizovaným pretiahnutým písmenom *ſ* (tzv. dlhé s; z lat. *ſumma*, *summa*). Toto značenie zaviedol matematik Gottfried Leibniz. 

Integrál opísaný v predchádzajúcom odseku by sa zapísal ako {\displaystyle {\begin{matrix}\int \_{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}}, kde znak {\displaystyle {\begin{matrix}\int \end{matrix}}}
označuje integrovanie, *a* a *b* sú integračné medze (len pri určitom integrále), d*x* označuje premennú, podľa ktorej sa integruje (pôvodne označovalo infinitezimálnu hodnotu, ale dnes slúži len ako rýdzo symbolické označenie bez ďalšieho významu).

### Príklad

Plocha pod krivkou fx=2x+3, pre 4<x<7:
  

{\displaystyle \int \_{4}^{7}{\ 2x+3}\,\mathrm {d} x=\left[x^{2}+3x\right]\_{4}^{7}=70-28=42}

Tabuľkové integrály
-------------------

{\displaystyle \int {0}\,\mathrm {d} x=c}
{\displaystyle \int {x^{n}}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c;n\in \mathbb {R} -\lbrace -1\rbrace }
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+c}
{\displaystyle \int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c;a\in {\mathbb {R} }^{+}-\lbrace 1\rbrace }
{\displaystyle \int {e^{x}}\,\mathrm {d} x=e^{x}+c}
{\displaystyle \int {\sin x}\,\mathrm {d} x=-\cos x+c}
{\displaystyle \int {\cos x}\,\mathrm {d} x=\sin x+c}
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=-\operatorname {cotg} \,x+c}
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {tg} \,x+c}
{\displaystyle \int {1}\,\mathrm {d} x=x+c}
### Aplikované tabuľkové integrály

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int {x^{-2}}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{-2+1}}{-2+1}}+c=-{\frac {1}{x}}+c}

Presnejšia definícia
--------------------

Existuje veľa definícií integrálu, ktoré pre *rozumne správajúce sa funkcie*[chýba zdroj] vedú k rovnakým výsledkom. Z nich najdôležitejšie sú Riemannov integrál a Lebesgueov integrál. 

Riemannov integrál navrhol Bernhard Riemann roku 1854 a išlo o prvú definíciu integrálu zodpovedajúcu dnešným pomerom. Lebesgueov integrál vytvoril Henri Lebesgue. 
Lebesgueov integrál a ďalšie, ešte pokročilejšie integrály, umožňujúce integrovať širšie triedy funkcií, platia pre ne silnejšie verzie mnohých tvrdení a poskytujú mnohé výhody. 
Patrí sem napríklad Kurzweilov integrál.

Komplexný integrál
------------------

V komplexných číslach sa spravidla používajú krivkové integrály. Ak tieto integrály prebiehajú po uzavretej krivke v komplexnej rovine, potom je spravidla možné ich spočítať pomocou reziduálnej vety, Cauchy-ovho vzorca alebo Cauchy-ovej vety.

Referencie
----------

1. ↑  AlejTech.sk. *Určitý integrál - Leibnitz a Newtonova metóda* [online]. priklady.eu, [cit. 2021-11-07]. Dostupné online.
2. 1 2  CHEMNITIUS, Fritz. *Riešené príklady derivácie a spätnej integrácie funkcií*. Preklad prof. Anton Dubec. 6.. vyd. Bratislava : Slovénské vydavateľstvo technickej literatúry, 1966. 252 s. Kapitola Základné integrály, s. XI,7.
3. ↑  P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. *Prehľad matematiky*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-03-08].