**Operátor nabla** (iné názvy: **nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián**) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla {\displaystyle \nabla } alebo {\displaystyle {\vec {\nabla }}} (v anglosaských krajinách {\displaystyle {\underline {\nabla }}}), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V *n*-rozmernom priestore **R***n* vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie **R***n* podľa **R**, čo je presne gradient funkcie *f*.

Ako *n*-vektor má nabla tvar: {\displaystyle {\nabla }\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x\_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}\right)}

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako *Hamiltonov operátor* (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla
------------------------------------------------

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) *trojdimenzionálny euklidovský priestor* **R**3 s pravouhlými súradnicami *x*, *y* a *z*.

* Aplikáciou na skalárne pole {\displaystyle {\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}} dostávame gradient tohto skalárneho poľa:

{\displaystyle \operatorname {grad\ } \Phi =\nabla \Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {e} \_{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {e} \_{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {e} \_{z},}
kde {\displaystyle \mathbf {e} \_{x},\ \mathbf {e} \_{y},\ \mathbf {e} \_{z}} sú jednotkové vektory priestoru **R**3.
* Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}} dostávame divergenciu tohto poľa:

{\displaystyle \operatorname {div\ } \mathbf {V} ={\nabla }\cdot \mathbf {V} ={\frac {\partial V\_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V\_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V\_{z}}{\partial z}}.}
* Rotáciu vektorového poľa {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {V} (x,y,z)\end{matrix}}} potom získame vektorovým súčinom {\displaystyle \nabla } s týmto poľom.

{\displaystyle \operatorname {rot\ } \mathbf {V} ={\nabla }\times \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V\_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V\_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V\_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}.}
Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia **A** a **B** platia nasledujúce operácie:

{\displaystyle \nabla (\psi \varphi )=\psi \nabla \varphi +\varphi \nabla \psi }
{\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}
{\displaystyle \nabla f(r)={\frac {df}{dr}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}}
{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {A} )=\varphi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \varphi }
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi \equiv \Delta \varphi } (pozri aj Laplaceov operátor)
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} }
{\displaystyle \nabla \times \varphi \mathbf {A} =\varphi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times \nabla \varphi }
{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \nabla )\mathbf {A} -\mathbf {B} (\nabla \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \nabla )\mathbf {B} }
{\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} }
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A} }