Drôtený model trojrozmernej gule
**Guľa** alebo presnejšie **uzavretá guľa** je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. **stredu gule**) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. **polomer gule**). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá **guľová plocha** (iné názvy: **hranica gule, sféra, sférická plocha**).Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. **Otvorená guľa** alebo **vnútro gule** je uzavretá guľa bez guľovej plochy. 

V topológii znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí {\displaystyle B\_{n}}) topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Objem a povrch všeobecnej gule v euklidovskom priestore
-------------------------------------------------------

N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom

{\displaystyle V\_{nD}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n}}
alebo tiež:

{\displaystyle V\_{nD}={\begin{cases}\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}}
kde {\displaystyle \Gamma (1+n/2)} je prirodzené zobecnenie výrazu {\displaystyle (n/2)!} pre nepárne n (pozri Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (pozri sféra). Veľkosť jej *povrchu* (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je

{\displaystyle S\_{nD}=n{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n-1}}
alebo

{\displaystyle S\_{nD}={\begin{cases}n\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\2^{\frac {n+1}{2}}{\frac {n}{(n!!)}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}}
Všeobecne pre n-rozmernú guľu platí:

{\displaystyle S\_{nD}(r)={\frac {\mathrm {d} V\_{nD}}{\mathrm {d} r}}=V\_{nD}'(r)=n{\frac {V\_{nD}(r)}{r}}}

Vzorce pre 3-rozmernú guľu
--------------------------

3-rozmerná guľa a jej koordináty
Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

| Vzorce pre guľu |
| --- |
| Obvod (najväčší) | {\displaystyle U\,=\,2\pi r} |
| Povrch | {\displaystyle A\_{O}\,={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}\,=\,4\pi r^{2}} |
| Objem | {\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}} |
| Projekčná plocha (plocha tieňa) | {\displaystyle A\_{PF}\,=\,\pi r^{2}} |
| Objem guľového výseku | {\displaystyle V\_{KS}\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)} |
| Povrch guľového segmentu | {\displaystyle A\_{KK}\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)} |
| Polomer gule | {\displaystyle r\,} |
| Výška guľového segmentu | {\displaystyle h\,} |
| Moment zotrvačnosti (os prechádza cez stred gule) | {\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}} |
| Steradián | {\displaystyle \alpha \,} |

Pôvod vzorca pre výpočet objemu
-------------------------------

Každodenný vzorec pre výpočet objemu gule, teda {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}pramení z integrálu 3D priestoru, zahrnujúc priestorové uhly:

1) {\displaystyle V=\int \limits \_{0}^{2\pi }\int \limits \_{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits \_{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi }

2) {\displaystyle \int \limits \_{0}^{2\pi }\int \limits \_{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits \_{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi =\int \limits \_{0}^{2\pi }\int \limits \_{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi }

3) {\displaystyle \int \limits \_{0}^{2\pi }\int \limits \_{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }[\sin \theta ]\_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi }

4) {\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }[\sin \theta ]\_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi }

5) {\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi }

6) {\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits \_{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi ={\frac {2r^{3}}{3}}[\phi ]\_{0}^{2\pi }={\frac {2r^{3}}{3}}2\pi ={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}

Referencie
----------

1. ↑  guľa. In:  *Encyclopaedia Beliana*. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 393. ; guľová plocha. In:  *Encyclopaedia Beliana*. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 396.
2. ↑   *Na čo sú dobré integrály? Ako vznikol vzorec pre výpočet objemu gule | To ako prečo* [online]. [Cit. 2023-04-06]. Dostupné online.

Pozri aj
--------

* kruh
* elipsoid
* teleso

Iné projekty
------------

CommonsWikicitáty
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Guľa (matematika)**
* Spolupracuj na Wikicitátoch Wikicitáty ponúkajú citáty od alebo o **Guľa (matematika)**

Externé odkazy
--------------

* Objem a povrch gule