Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens
**Arkustangens** je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii tangens. Obvykle sa značí arctgx alebo arctanx, v anglickej literatúre sa taktiež používa ATANx alebo tan-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu {\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}, prípadne v stupňovej miere z intervalu (-90 °;90 °), ktorého tangens je x. Je to jedna z najdôležitejších funkcií matematickej analýzy.

Definícia
---------

Funkcia arctgx je inverzná funkcia k funkcii tg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval {\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}. Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti
----------

Funkcia {\displaystyle y={\mbox{arctg }}x} v oblúkovej miere je bijektívne zobrazenie medzi množinou reálnych čísel {\displaystyle \mathbb {R} } a intervalom {\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}, čo okrem iného dokazuje, že každý interval má rovnakú mohutnosť ako množina reálnych čísel.

Ďalej má táto funkcia nasledujúce vlastnosti:

|  |  |
| --- | --- |
| Definičný obor | {\displaystyle \mathbb {R} } |
| Obor hodnôt | {\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})} |
| Ohraničenosť | Je **ohraničená** |
| Monotónnosť | Je **rýdzo rastúca**, a teda **prostá** |
| Symetria | Je **nepárna** |
| Periodicita | Nie **periodická** |
| Limity | {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }{\mbox{arctg }}x=-{\tfrac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\rightarrow 0}{{\mbox{arctg }}x \over x}=1,} Takže v okolí nuly je {\displaystyle {\mbox{arctg }}x\approx x} |
| Inverzné funkcie | {\displaystyle x={\mbox{tg }}y} (Tangens) |
| Derivácia | {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arctg }}x={1 \over {1+x^{2}}}} |
| Integrál | {\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arctg }}x-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C} |

Vzorce
------

{\displaystyle {\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}

{\displaystyle {\mbox{arctg }}(-x)=-{\mbox{arctg }}x}

{\displaystyle {\mbox{arctg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x={\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x>0\\-{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x=-\pi +{\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x<0\end{cases}}}

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,{\mbox{arctg }}x={\mbox{arctg}}\,{x \over 1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}

{\displaystyle 2\,{\mbox{arctg }}x\equiv {\mbox{arctg}}\,{2x \over 1-x^{2}}{\pmod {\pi }},\quad x\neq \pm 1} 

{\displaystyle {\mbox{arctg }}x+{\mbox{arctg }}y\equiv {\mbox{arctg}}\,{x+y \over 1-xy}{\pmod {\pi }},\quad xy\neq 1}

Poznámky
--------

1. ↑  Dosadením x = y do vzorca pre arctg x + arctg y

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Arkus tangens na českej Wikipédii.*

Externé odkazy
--------------

* Cyklometrické funkcie

| * z
* d
* u
Goniometrické a súvisiace funkcie |
| --- |
| Goniometrické funkcie | 
* sínus
* kosínus
* tangens
* kotangens
* sekans
* kosekans
* historické
	+ sínus versus
	+ kosínus versus
	+ sínus koversus
	+ kosínus koversus
	+ exsekans
	+ exkosekans

 |
| Cyklometrické funkcie | 
* arkussínus
* arkuskosínus
* arkustangens
* arkuskotangens
* arkussekans
* arkuskosekans

 |
| Hyperbolické funkcie | 
* hyperbolický sínus
* hyperbolický kosínus
* hyperbolický tangens
* hyperbolický kotangens
* hyperbolický sekans
* hyperbolický kosekans

 |
| Hyperbolometrické funkcie | 
* argument hyperbolického sínusu
* argument hyperbolického kosínusu
* argument hyperbolického tangensu
* argument hyperbolického kotangensu
* argument hyperbolického sekansu
* argument hyperbolického kosekansu

 |