**Schrödingerova rovnica** je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému formalizmom vlnovej mechaniky. Je ústrednou rovnicou kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa Erwina Schrödingera, ktorý ju sformuloval v roku 1926.

Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.

Schrödingerova rovnica
----------------------

V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.

### Všeobecný kvantový systém

Pre všeobecný kvantový systém platí:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }
kde

* {\displaystyle \,\!\Psi } je vlnová funkcia
* {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}} je operátor energie ({\displaystyle i} je imaginárna jednotka a {\displaystyle \hbar } je Planckova konštanta vydelená číslom 2{\displaystyle \pi }),
* {\displaystyle {\hat {H}}} je Hamiltonián.

### Jedna častica s potenciálnou energiou

Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}
kde

* {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}} je operátor kinetickej energie (*m* je hmotnosť častice),
* {\displaystyle \nabla ^{2}} je Laplaceov operátor. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}, kde *x*, *y* a *z* sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
* {\displaystyle V\left(\mathbf {r} \right)} je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom **r**,
* {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)} je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom **r**.

### Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou *V* má tvar:

{\displaystyle {E}\psi (r)=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (r)+V(r)\psi (r).}

Odvodenie
---------

### Krátke heuristické odvodenie

Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.[chýba zdroj]

#### Predpoklady

1. Celková energia častice *E* je
{\displaystyle E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V.}
Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou *m*, kde celková energia *E* je daná súčtom kinetickej energie *T* a potenciálnej energie *V* (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). *p* je hybnosť častice a *m* jej hmotnosť.
2. Einsteinova hypotéza kvánt energie z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie *ν* (alebo uhlovej frekvencie *ω* = 2π*ν*) korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.
{\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \;,}
3. de Broglieho hypotéza z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice *p* je vo vzťahu ku vlnovej dĺžke *λ* (alebo vlnového čisla *k*) takom, že platí: 
{\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\;,}
4. Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre rovinnú vlnu. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje princíp superpozície, a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je lineárna.

#### Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny

Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}
kde A je komplexná konštanta
Platí:

{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}
Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

{\displaystyle \hbar \omega ={\hbar ^{2}\ k^{2} \over 2m}}
Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,t)=\hbar \omega \Psi (\mathbf {x} ,t)}

  

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (\mathbf {x} ,t)={\hbar ^{2}\ k^{2} \over 2m}\Psi (\mathbf {x} ,t)}

  

Keďže platí (ii), platí aj

  

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (\mathbf {x} ,t),}

  

čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:

  

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }

Referencie
----------

1. ↑
2. ↑  
SHANKAR, F.. *Principles of Quantum Mechanics*. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 143. (angličtina)
3. ↑  Kurz kvantovej mechaniky na Kalifornskej univerzite v San Diegu
4. ↑  
SHANKAR, F.. *Principles of Quantum Mechanics*. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 143. (angličtina)
5. ↑  
SHANKAR, F. *Principles of Quantum Mechanics*. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 145. (angličtina)

Zdroj
-----

* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Schrödinger equation na anglickej Wikipédii.*