Vennov diagram pre {\displaystyle A\triangle B}.  

Symetrická diferencia množín je   

zjednotenie množín bez ich prieniku.  

 {\displaystyle ~\setminus ~}  {\displaystyle ~=~} 

Vennov diagram pre {\displaystyle A\triangle B\triangle C}  
  

 {\displaystyle ~\triangle ~}  {\displaystyle ~=~} 

**Symetrická diferencia** alebo **symetrický rozdiel** dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.

Symetrická diferencia množín *A* a *B* sa značí ako

{\displaystyle A\,\triangle \,B} 
alebo

{\displaystyle A\div B} [chýba zdroj]
alebo

{\displaystyle A\oplus B.} [chýba zdroj]
Napríklad symetrická diferencia množín {\displaystyle \{1,2,3\}} a {\displaystyle \{3,4\}} je množina {\displaystyle \{1,2,4\}}. Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Vlastnosti
----------

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)} 
a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)} 
alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

{\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.} 
Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

{\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B,}
pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak {\displaystyle A} a {\displaystyle B} sú disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

{\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}
{\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).} 
Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

{\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C).} 
Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

{\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A,}
{\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing .} 
Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.

Referencie
----------

1. 1 2 3 4 5 6  SLEZIAK, Martin. *2-UMA-115 Teória množín* [online]. Bratislava: Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, 2011-11-16, [cit. 2018-07-22]. S. 27 – 29. Dostupné online.
2. 1 2 3   *Symmetric difference* [online]. PlanetMath, [cit. 2018-07-23]. Dostupné online.

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.*

| * z
* d
* u
Teória množín |
| --- |
| Axiómy | 
* axióma dvojice
* axióma extenzionality
* axióma nekonečna
* axióma potenčnej množiny
* axióma regularity
* axióma sumy
* axióma výberu
* hypotéza kontinua
* Martinova axióma
* schéma axióm substitúcie
* schéma axióm vymedzenia

 | Vennov diagram prieniku množín |
| Operácie | 
* de Morganove zákony
* doplnok
* karteziánsky súčin
* potenčná množina
* prienik
* rozdiel množín
* symetrická diferencia
* zjednotenie

 |
| Konceptya metódy | 
* bijektívne zobrazenie
* Cantorova diagonálna metóda
* kardinálne číslo
* konštruovateľná množina
* mohutnosť
* ordinálne číslo
* prvok množiny
* rodina množín
* transfinitná indukcia
* trieda
* Vennov diagram

 |
| Množiny | 
* konečná množina
* nekonečná množina
* neostrá množina
* nespočítateľná množina
* podmnožina
* prázdna množina
* rekurzívna množina
* spočítateľná množina
* tranzitívna množina
* základná množina

 |
| Teória | 
* alternatívna teória množín
* axiomatická teória množín
* Buraliho-Fortiho paradox
* Cantorova veta
* forcing
* Morseho-Kelleyho teória množín
* naivná teória množín
* paradoxy naivnej teórie množín
* Principia Mathematica
* Russellov paradox
* Suslinova hypotéza
* von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teória množín
* Zermelova teória množín
* Zermelova-Fraenkelova teória množín

 |
| Teoretici | 
* Paul Bernays
* Georg Cantor
* Paul Cohen
* Richard Dedekind
* Adolf Fraenkel
* Kurt Gödel
* Thomas Jech
* John von Neumann
* Willard Van Orman Quine
* Bertrand Russell
* Petr Vopěnka
* Lotfi Zadeh
* Ernst Zermelo

 |