**Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti)** (iné názvy: **Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia
---------

Nech X je náhodná premenná, nech {\displaystyle x>0}, a nech {\displaystyle m} a {\displaystyle n} sú prirodzené čísla. Hovoríme, že X má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s {\displaystyle m} a {\displaystyle n} stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

{\displaystyle f\_{m,n}(x)={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}(1+{\frac {m}{n}}x)^{-{\frac {m+n}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}}

kde označenie {\displaystyle \Gamma (\alpha )} označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

{\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}

Označenie:

* {\displaystyle \operatorname {X} \sim F(m,n)}

### Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch {\displaystyle \chi ^{2}}-kvadrátov, a to nasledovne:  

Majme dve náhodné premenné {\displaystyle Y} a {\displaystyle Z}, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že {\displaystyle Y} má {\displaystyle \chi ^{2}}-kvadrát rozdelenie s {\displaystyle m} stupňami voľnosti a {\displaystyle Z} nech má {\displaystyle \chi ^{2}}-kvadrát rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, teda: {\displaystyle \operatorname {Y} \sim \chi ^{2}(m)} a {\displaystyle \operatorname {Z} \sim \chi ^{2}(n)}. Potom náhodná premenná {\displaystyle F} definovaná vzťahom:  

{\displaystyle F={\frac {\frac {Y}{m}}{\frac {Z}{n}}}}

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s {\displaystyle m} a {\displaystyle n} stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:  

Majme náhodný výber {\displaystyle (X\_{1},...X\_{m})} z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie {\displaystyle N(\mu \_{1};\sigma \_{1}^{2})}, ďalej majme náhodný výber {\displaystyle (Y\_{1},...Y\_{n})} z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie {\displaystyle N(\mu \_{2};\sigma \_{2}^{2})}. Nech {\displaystyle S\_{1}^{2}} a {\displaystyle S\_{2}^{2}} sú výberové rozptyly a nech pre {\displaystyle m}, {\displaystyle n}, {\displaystyle \sigma \_{1}^{2}} a {\displaystyle \sigma \_{2}^{2}} platí nasledovné:

* {\displaystyle m\geq 2}
* {\displaystyle n\geq 2}
* {\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}}

Potom náhodná premenná {\displaystyle F} definovaná vzťahom:

{\displaystyle F={\frac {S\_{1}^{2}}{S\_{2}^{2}}}}

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s {\displaystyle m-1} a {\displaystyle n-1} stupňami voľnosti (alebo: {\displaystyle (m-1,n-1)}-stupňami voľnosti).

Vlastnosti
----------

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.  

Pokiaľ má náhodná premenná X Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej {\displaystyle k-ty} začiatočný moment má nasledovný tvar:

{\displaystyle \mu \_{k}=\left({\frac {n}{m}}\right)^{k}{\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+k)\Gamma ({n}{2}-k)}{\Gamma ({m}{2})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej X s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

{\displaystyle E(X)={\frac {n}{n-2}}} ; pre {\displaystyle n>2}

{\displaystyle D(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}} ; pre {\displaystyle n>4}

Kritická hodnota
----------------

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s {\displaystyle m} a {\displaystyle n} stupňami voľnosti. Potom hodnotu {\displaystyle \operatorname {F} (m,n,\alpha )}, ktorú náhodná premenná X presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou {\displaystyle \alpha } nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

{\displaystyle P(X>F(m,n,\alpha ))=\int \_{F(m,n,\alpha )}^{\infty }f\_{m,n}(x)\mathrm {d} x=\alpha }

Externé odkazy
--------------

* Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia

Zdroje
------

* RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika*. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
* JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. *Pravdepodobnosť a štatistika*. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
* BARNOVSKÁ, Mária, kol. *Cvičenia z matematickej analýzy III.*. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.