**Seibergove-Wittenove invarianty** sú invarianty kompaktnej 4-rozmanitosti zavedené Edwardom Wittenom (pozri Witten 1994), používajúce Seiberg-Wittenovu teóriu skúmanú Seibergom a Wittenom (Seiberg a Witten 1994a, Seiberg a Witten 1994b) počas ich skúmania Seibergovej-Wittenovej kalibračnej teórie.

Seibergove-Wittenove invarianty sú podobné Donaldsonovým invariantom a možno ich použiť na dokázanie podobných (no niekedy o niečo silnejších) výsledkov ohľadom hladkých 4-rozmanitostí. Po technickej stránke sa s nimi narába oveľa ľahšie ako s Donaldsonovými invariantmi; napríklad, moduli priestory riešení Seibergových-Wittenových rovníc majú tendenciu ku kompaktnosti, takže sa možno vyhnúť vážnym problémom, ktoré súvisia s kompaktifikáciou moduli priestorov Donaldsonovej teórie.

Detailný opis Seibergových-Wittenových invariantov pozri v (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005). O vzťahoch k sympletickej rozmanitosti a Gromovovým-Wittenovým invariantom pozri (Taubes 2000). O ranej histórii pozri (Jackson 1995).

Štruktúry spin *c*
------------------

Seiberg-Wittenove rovnice závisia na výbere komplexnej spinovej štruktúry, spinu *c*, na 4-rozmanitosti *M*. V 4 dimenziách je skupina spin*c*

(*U*(1)×Spin(4))/(**Z**/2**Z**),
a je z nej homomorfizmus do SO(4). Štruktúra spin*c* na *M* je výťah prirodzenej SO(4) štruktúry tangentového zhluku (za predpokladu Riemannianovej metriky a orientácie) k skupine spin *c*. Každá hladká kompaktná 4-rozmanitosť *M* má štruktúry typu spin *c* ( hoci väčšina nemá spinové štruktúry.

Seiberg-Witten rovnice
----------------------

Stanovte hladkú kompaktnú 4-rozmanitosť *M*, vyberte štruktúru spin*c* *s* na *M* a
napíšte *W*+, *W*− pre asociované spinorové zhluky a *L* pre determinujúci líniový zhluk. Napíšte φ pre samoduálne spinorové pole (sekcia *W*+) a *A* pre U(1) pripojenie na *L*.
Seiberg-Wittenove rovnice pre for (φ,*A*) sú

{\displaystyle D^{A}\phi =0}
{\displaystyle F\_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }
kde *D**A* je Diracov operátor *A*, *F**A* je zakrivenie 2-formy *A*, 
a *F**A*+ je jej samoduálna častica a σ je umocnená mapa od *W*+ na imaginárne samoduálne 2-formy a {\displaystyle \omega } 
je reálne samoduálna dvojforma, často reprezentovaná ako nula alebo harmonická.
Riešenie (φ,*A*) pre Seiberg-Wittenove rovnice sa nazýva **monopoly**, keďže tieto rovnice sú rovnice poľa bezváhových magnetických monopolov na rozmanitosti *M*.

The moduli priestor riešení
---------------------------

Priestor riešení je v réžii kalibračnej skupiny a kvocient pri tejto akcii sa nazýva **moduli priestor** monopolov.

Moduli priestor je obvykle rozmanitosť. Riešenia sa nazýva **redukovateľné**, ak je fixované nejakým netriviálnym elementom kalibračnej skupiny, ktorý je ekvivalentný k {\displaystyle \phi =0}. Nevyhnutnou
a dostatočnou podmienkou pre redukovateľné riešenia pre metriku na *M* a samoduálne 2-formy {\displaystyle \omega } je, že samoduálna časť harmonického zástupcu kohomologickej triedy určujúceho líniového zhluku je ekvivalentná harmonickej časti {\displaystyle \omega /2\pi }.
Moduli priestor je rozmanitosť s výnimkou u redukovateľných monopolov. Takže ak *b*2+(*M*)≥1, potom moduli priestor je (pravdepodobne prázdna) rozmanitosť pre všeobecné metriky. Navyše, všetky komponenty majú rozmer

{\displaystyle (c\_{1}(s)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))/4.}
Moduli priestor je prázdny pre všetky s výnimkou konečného počtu spinu*c* štruktúr *s*, a je vždy kompaktný.

O rozmanitosti *M* sa hovorí, že je **jednoduchého typu**, ak je moduli priestor konečný pre všetky *s*. **Zbiehavosť jednoduchého typu** udáva, že ak *M* je jednoducho pripojené a *b*2+(*M*)≥2, potom je moduli priestor konečný. Toto platí pre sympletické rozmanitosti.
Ak *b*2+(*M*)=1, potom existujú príklady rozmanitostí s moduli priestormi arbitrárne vysokých dimenzií.

Seiberg-Wittenove invarianty
----------------------------

Seiberg-Witten invarianty sa najľahšie definujú pre rozmanitosti *M* jednoduchého typu. V tomto prípade je invariantom mapa spinu*c* štruktúr *s* na **Z**, priberajúc *s*k počtu elementov moduli priestoru počítaných so znakmi.

Ak má rozmanitosť *M* metriku pozitívnej skalárnej zakrivenosti a *b*2+(*M*)≥2, potom všetky Seiberg-Wittenove invarianty *M* miznú.

Ak je rozmanitosť *M* jednoducho pripojená a sympletická a *b*2+(*M*)≥2, potom má spin*c* štruktúru *s*, na ktorej je Seiberg-Wittenov invariant 1. Podstatné je, že nemôže byť rozdelený ako pripojená suma rozmanitostí s *b*2+≥1.

Referencie
----------

* Donaldson, S. K. (1996), „The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology." (anglicky), *Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)* 33: 45–70, doi:10.1090/S0273-0979-96-00625-8,
* Jackson, Allyn (1995), *A revolution in mathematics*,
* Morgan, John W. (1996), *The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds*, Mathematical Notes, 44, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. viii+128, ISBN  0-691-02597-5,
* Moore, John Douglas (2001), *Lectures on Seiberg-Witten invariants*, Lecture Notes in Mathematics, 1629, Berlin: Springer-Verlag, str. viii+121, doi:10.1007/BFb0092948, ISBN  3-540-41221-2
* Nash, Ch. *Seiberg-Witten equations*, S/s120080
* Nicolaescu, Liviu I. (2000), *Notes on Seiberg-Witten theory*, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, str. xviii+484, ISBN  0-8218-2145-8,
* Scorpan, Alexandru (2005), *The wild world of 4-manifolds*, American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-3749-8
* Seiberg, N.; Witten, E. (1994a), „Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory", *Nuclear Phys. B* 426: 19–52, doi:10.1016/0550-3213(94)90124-4
* „Erratum", *Nuclear Phys. B* 430: 485–486, 1994, doi:10.1016/0550-3213(94)00449-8
* Seiberg, N.; Witten, E. (1994b), „Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD", *Nuclear Phys. B* 431: 484–550, doi:10.1016/0550-3213(94)90214-3
* Taubes, Clifford Henry (2000), Wentworth, ed. *Seiberg Witten and Gromov invariants for symplectic 4-manifolds*, First International Press Lecture Series, 2, International Press, str. vi+401, ISBN  1-57146-061-6
* Witten, Edward (1994), „Monopoles and four-manifolds.", *Math. Res. Lett.* 1: 769–796,