**Vektorový priestor** (niekedy sa používa aj pomenovanie **lineárny priestor**) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤*n* s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia
---------

Nech *F* je pole. Nech *V* je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému {\displaystyle c\in F}, {\displaystyle \alpha \in V} priradený prvok {\displaystyle c.a\in V}, pričom:  

1) {\displaystyle (V,+)} je komutatívna grupa
pre ľubovoľné {\displaystyle \alpha }, {\displaystyle \beta } {\displaystyle \in } *V* a *c*,*d* {\displaystyle \in } *F* platí:

2) {\displaystyle c.(\alpha +\beta )=c.\alpha +c.\beta } (distributívny zákon)
3) {\displaystyle (c+d).\alpha =c.\alpha +d.\alpha }
4) {\displaystyle (c.d).\alpha =c(d.\alpha )} (asociativita)
5) {\displaystyle 1.\alpha =\alpha }
potom {\displaystyle V} je vektorový priestor nad poľom {\displaystyle F}.

Vektorové priestory vo fyzike
-----------------------------

### Bra-Ket formalizmus

Vektory {\displaystyle \mid \alpha \_{i}\rangle } tvoria **vektorový priestor** (alebo **lineárny priestor**), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

{\displaystyle \sum \_{i}\lambda \_{i}\mid \alpha \_{i}\rangle }

patrí taktiež do tohoto priestoru. 

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty {\displaystyle \lambda \_{i}} komplexné čísla.
Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

{\displaystyle \sum \_{i}\lambda \_{i}\mid \alpha \_{i}\rangle \rightarrow \sum \_{i}\langle \alpha \_{i}\mid \lambda \_{i}^{\*}},

kde hviezdička {\displaystyle \*} označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory {\displaystyle \mid \alpha \_{i}\rangle } vlnové funkcie {\displaystyle \phi \_{i}} a bra-vektory {\displaystyle \langle \alpha \_{i}\mid } sú komplexne združené vlnové funkcie {\displaystyle \psi \_{i}^{\*}}. 
Skalárny súčin

{\displaystyle \langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle }

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor {\displaystyle \mid \alpha \rangle } a bra-vektor {\displaystyle \langle \alpha ^{'}\mid }. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

{\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{\*}}.

Dôsledkom toho je, že {\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle } je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné: 

{\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle >0}.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že {\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle } zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru {\displaystyle \mid \alpha \rangle }.
V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

{\displaystyle \int \psi ^{'\*}\psi ,dx}, ktorý má zjavne vlastnosť {\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{\*}}, rovnako ako

{\displaystyle \int \psi ^{\*}\psi ,dx} má vlastnosť {\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle >0}, pretože {\displaystyle \psi ^{\*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}} je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že {\displaystyle \mid \alpha \rangle } a {\displaystyle \lambda \mid \alpha \rangle } vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo {\displaystyle \lambda }.

Pozri aj
--------

* Vektor (matematika)
* Vektorový podpriestor

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |