**Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy** je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.

{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }
kde {\displaystyle \rho } je hustota kontinua, {\displaystyle {\vec {\vec {\sigma }}}} je tenzor napätia, a {\displaystyle \mathbf {f} } je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou. {\displaystyle \mathbf {v} } je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.

Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:

{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\vec {\vec {\tau }}}}
kde {\displaystyle \scriptstyle {\vec {\vec {\tau }}}} je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a {\displaystyle \scriptstyle {p}} je tlak (normálové napätie). 

Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu. 

Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),   

v stacionárnom stave {\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=0\right)}   

a mimo gravitačného pôsobenia ({\displaystyle \mathbf {f} =0}) dostaneme rovnicu:   

{\displaystyle \rho \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p}
Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:

{\displaystyle p\_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{1}^{2}=p\_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{2}^{2}}
Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.

Odvodenie Cauchyho rovnice
--------------------------

Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak {\displaystyle \Sigma } je plocha, ktorá ho obopína: 

{\displaystyle dma\_{i}=dF\_{i}\,}
{\displaystyle \rho \int \_{V}{\frac {dv\_{i}}{dt}}\,dV=\oint \_{\Sigma }{\sigma \_{ij}}\,dS+\int \_{V}f\_{i}\,dV}
Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme

{\displaystyle \rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }
Keďže vektorové pole rýchlosti {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)} je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia: 

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+\nabla \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}
Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:

{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }
Q.E.D.

Literatúra
----------

* Šesták, J. Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998