Ilustrácia Pytagorovej vety
**Pytagorova veta** je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. 
Slovne sa veta dá formulovať takto:

*Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.*
Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou 

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}},
kde {\displaystyle a}, {\displaystyle b} sú dĺžky odvesien a {\displaystyle c} je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Dejiny
------

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: 
Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý. 

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety
-------------------------------

### Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou. 

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti {\displaystyle k} je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca {\displaystyle k}-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou {\displaystyle k} a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

### Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory {\displaystyle \mathbf {a} }, {\displaystyle \mathbf {b} }, {\displaystyle \mathbf {c} }, pre ktoré platí

{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a} \qquad \mathbf {a} \perp \mathbf {b} .}
Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka: 

{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {c} \|^{2},}
kde {\displaystyle \|\cdot \|} je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. 
Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku {\displaystyle ABC} s pravým uhlom pri vrchole {\displaystyle C} označíme

{\displaystyle \mathbf {a} =B-C,\ \ \mathbf {b} =A-C,\ \ \mathbf {c} =A-B,}
potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety
-----------------------

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich. 

### Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi
Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou {\displaystyle a+b} je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

* zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami {\displaystyle a} a {\displaystyle b}
* zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou {\displaystyle c}.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

### Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

* Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka {\displaystyle a} a {\displaystyle b}. Pre jeho obsah teda platí:

{\displaystyle S=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}.
* Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou {\displaystyle c}. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ({\displaystyle {\begin{matrix}4{\frac {ab}{2}}=2ab\end{matrix}}}) a bieleho štvorca so stranou c ({\displaystyle c^{2}}). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

{\displaystyle S=2ab+c^{2}}.
Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}
a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
### Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov
Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ({\displaystyle DCB} a {\displaystyle DAC}, ktorý sa rovná uhlu {\displaystyle BAC}) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné). 

#### Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ({\displaystyle \pi } {\displaystyle \mathrm {rad} }). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. {\displaystyle {\mathit {|BAC|+|ACB|+|CBA|}}=180^{\circ }}
2. {\displaystyle {\mathit {|CBD|+|BDC|+|DCB|}}=180^{\circ }}
3. {\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|+|CDA|}}=180^{\circ }}

z uvedeného vyplýva, že

1. {\displaystyle {\mathit {|BAC|+|CBA|}}=90^{\circ }}
2. {\displaystyle {\mathit {|CBD|+|DCB|}}=90^{\circ }}
3. {\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|}}=90^{\circ }}

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly {\displaystyle BAC} a {\displaystyle DAC} sú zhodné), že platí |{\displaystyle CBA}| = |{\displaystyle ACD}|. Ak {\displaystyle CBA} dosadíme do 3. rovnice na miesto {\displaystyle ACD}, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |{\displaystyle BCD}| = |{\displaystyle DAC}|. Trojuholníky sú si teda podobné.

#### Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že 

{\displaystyle a/p=c/a\quad \Rightarrow \quad a^{2}/p=c\quad \Rightarrow \quad a^{2}=cp}
a rovnako platí aj

{\displaystyle b/q=c/b\quad \Rightarrow \quad b^{2}/q=c\quad \Rightarrow \quad b^{2}=cq.}
Z oboch rovníc potom vyplýva, že

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=cp+cq\quad \Rightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c(p+q).}
Zo spomínaného obrázka vyplýva, že {\displaystyle c=p+q}, čo po dosadení dá:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Pytagorejské čísla
------------------

Pytagorejské trojice, vyznačené dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka v bodovom grafe.
*Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.*

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel {\displaystyle a}, {\displaystyle b} a {\displaystyle c}, pre ktoré platí {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

### Základné pytagorejské trojice

* Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
* Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
* Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

* Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel ***a, b, c*** je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}
### Použitie pytagorejských čísel

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...

Referencie
----------

1. ↑  K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. *Kompendium matematiky*. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-11-11].
2. ↑
3. ↑  PYTHAGOREJSKÉ TROJÚHELNÍKY, 
H.Lišková. *Investice do rozvoje a vzdělávání* [online]. home.pf.jcu.cz, [cit. 2022-01-03]. Dostupné online. (po česky)

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Pytagorova veta**

Externé odkazy
--------------

* Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)