**Lagrangeova funkcia** (iné názvy: **Lagrangeov výraz, lagrangeián, lagrangián, lagranžián** [výslovnosť vždy "lagra(n)ž..."], značka *L*) dynamického systému predstavuje východiskový bod lagrangeovej formulácie klasickej mechaniky. Je pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea.

V klasickej mechanike je lagrangeián definovaný ako zovšeobecnená kinetická energia T systému mínus jeho zovšeobecnená potenciálna energia {\displaystyle V}:

{\displaystyle L=T-V.\quad }
Priamou substitúciou lagrangeiánu do Eulerovej-Lagrangeovej rovnice získame systém parciálnych diferenciálnych rovníc predstavujúcich pohybové rovnice študovaného systému.

Lagrangeova formulácia
----------------------

### Dôležitosť

Lagrangeova formulácia mechaniky je dôležitá nielen pre jej širokú aplikáciu, ale aj pre jej úlohu v pokroku hlbšieho chápania fyziky. Hoci sa Lagrange snažil len opísať klasickú mechaniku, *akčný princíp*, ktorý sa používa na odvodenie Lagrangeovej rovnice sa teraz uznáva za aplikovateľný na kvantovú mechaniku. 

Fyzická akcia a kvantovomechanická fáza sú prepojené prostredníctvom Planckovej konštanty, a princíp stacionárnej akcie možno pochopiť v pojmoch konštruktívnej interferencie vlnových funkcií. 

Rovnaký princíp a Lagrangeov formalizmus sú úzko prepojené na Noetherovej teorému, ktorá prepája fyzickú konzervovanú kvantitu na kontinuálne symetrie fyzického systému.

Lagrangeovská mechanika a Noetherovef teoréma spolu dávajú prirodzený formalizmus pre prvú kvantizáciu prostredníctvom zahrnutia komutátorov medzi určitými pojmami lagrangeovských rovníc pre fyzikálny systém.

### Výhody nad inými metódami

* Formulácia nie je napojená na žiadnu sústavu súradníc – namiesto toho môžu byť akékoľvek vhodné premenné {\displaystyle \varphi \_{i}(s)} použité na opísanie systému; tieto premenné sa nazývajú "zovšeobecnené súradnice" a môže ísť o akúkoľvek nezávislú premennú systému (napríklad sila magnetického poľa magnetického poľa na konkrétnej pozícii; uhol ťahu; pozícia častice v priestore; alebo stupeň excitácie konkrétneho eigenmódu v komplexnom systéme). Vďaka tomu je možné ľahko zakomponovať obmedzenia do teórie definovaním súradníc, ktoré popisujú iba stavy systému, ktorý vyhovuje obmedzeniam.
* Ak je lagrangeián invariantný na symetrii, potom výsledné rovnice pohybu sú taktiež invariantné na tejto symetrii. Toto je veľmi nápomocné pri ukazovaní, že teórie sú v súlade buď so špeciálnou relativitou alebo všeobecnou relativitou.
* Rovnice odvodené od lagrangeiánu budú takmer určite jednoznačné a konzistentné, na rozdiel od rovníc, ktoré sú výsledkom viacerých formulácií.

### "Cyklické súradnice" a konzervačné zákony

Dôležitou vlastnosťou lagrangeiánu je, že konzervačné zákony z nich možno ľahko odčítať. Napríklad, ak lagrangeián {\displaystyle {\mathcal {L}}} závisí od *časovej derivácie* {\displaystyle {\dot {q}}\_{i}} zovšeobecnenej súradnice, ale *nie* od {\displaystyle q\_{i}} samotnej, potom *zovšeobecnená hybnosť*,

{\displaystyle p\_{i}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}},
je konzervovanou kvantitou. toto je špeciálny prípad Noetherovej teorémy, pozri nižšie. Takéto koordinanty sa nazývajú "cyklické".

Napríklad konzerváciu zovšeobecnenej hybnosti

{\displaystyle p\_{2}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{2}}}},
možno pozorovať, ak lagrangeián systému má formu

{\displaystyle {\mathcal {L}}(q\_{1},q\_{3},q\_{4},\dots ;{\dot {q}}\_{1},{\dot {q}}\_{2},{\dot {q}}\_{3},{\dot {q}}\_{4},\dots ;t)\,.}
Rovnako, ak čas *t* sa neobjavuje v {\displaystyle {\mathcal {L}}}, potom nasleduje konzervovanie Hamiltonianu. Toto je konzervovanie energie až kým potenciálna energia nedosiahne rýchlosť ako v elektrodynamike. Viac detailov je možné nájsť v akejkoľvek učebnici týkajúcej sa teoretickej mechaniky.

Vysvetlenie
-----------

Rovnice pohybu sa získavajú prostredníctvom princípu akcie, zapísaného ako:

{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi \_{i}}}=0\,.}
kde *akcia*, {\displaystyle {\mathcal {S}}} je funkciou závislých premenných {\displaystyle \varphi \_{i}(s)} spolu s ich derivátmi samotným *s*

{\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi \_{i},{\frac {\partial \varphi \_{i}}{\partial s}}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left[\varphi \_{i}[s],{\frac {\partial \varphi \_{i}[s]}{\partial s^{\alpha }}},s^{\alpha }\right]\,\mathrm {d} ^{n}s}}
a kde {\displaystyle s=\{s^{\alpha }\}\!} popisuje súbor *n* nezávislých premenných systému, indexovaného ako {\displaystyle \alpha =1,2,3,\ldots ,n.}

Rovnice pohybu získané z tejto funkcionálnej derivácie sú Euler–Lagrangeove rovnice tohto atómu. Napríklad, v klasickej mechanike častíc, jedinou nezávislou premennou je čas *t*. A tak Euler-Lagrangeove rovnice sú

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}\_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi \_{i}}}.}
Dynamické systémy, ktorých rovnice pohybu je možné získať prostredníctvom akčného princípu na vhodne vybranom lagrangeiáne sú známe ako Lagrangeovské dynamické systémy. Príklady Lagrangeovských dynamických systémov siahajú od klasickej verzie Štandardného modelu po Newtonove rovnice a čisto matematickým problémom ako sú geodézne rovnice a Plateauov problém.

Príklad klasickej mechaniky
---------------------------

### V pravouhlej sústave súradníc

Predpokladajme, že máme trojrozmerný priestor a lagrangeián

{\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})}.
Potom Eulerova–Lagrangeova rovnica znie:

{\displaystyle {\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}\_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x\_{i}}}\ =\ 0}
kde {\displaystyle i=1,2,3}.

Derivácia dáva:

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x\_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x\_{i}}}}
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}\_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}\_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}\_{i}}}\,\left(\,{\dot {x}}\_{i}\,{\dot {x}}\_{i}\,\right)=\ m\,{\dot {x}}\_{i}}
{\displaystyle {\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}\_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}\_{i}}
Eulerove–Lagrangeove rovnice preto možno zapísať ako:

{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}
kde derivácia času je zapísaná konvenčne ako bod nad diferencovaným objemom a {\displaystyle \nabla } je del operátor.

Použijúc tento výsledok je možno ľahko ukázať, že lagrangeovský prístup je ekvivalentný newtonovskému. 

Ak je sila zapísané v pojmoch potenciálu {\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}; výsledná rovnica je {\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}, čo je presne rovnaké rovnica ako v newtonovskom prístupe pre objekt konštantnej hmotnosti. 

Veľmi podobnou dedukciou dostávame výraz {\displaystyle {\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t}, ktorý je Newtonovým druhým zákonom v jeho všeobecnej podobe.

### V sústave sférických súradníc

Predpokladajme, že máme trojdimenzionálny priestor použijúc sférické súradnice {\displaystyle r,\theta ,\phi } s lagrangeiánom

{\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}
Potom Eulerove–Lagrangeove rovnice sú:

{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}
Tu je súbor {\displaystyle s\_{i}} len časom {\displaystyle t}, a dynamické premenné {\displaystyle \phi \_{i}(s)} sú trajektóriami {\displaystyle {\vec {x}}(t)} častice.

Napriek použitiu štandardných premenný ako x, lagrangeián dovoľuje použitie akýchkoľvek súradníc, ktoré nemusia byť ortogonálne. Sú to "zovšeobecnené súradnice".

Lagrangeián testovacej častice
------------------------------

Testovacia častica je časticou, ktorej hmotnosť a náboj sú pravdepodobne tak malé, že jej vplyv na externý systém nie je dôležitý. Je to často hypoteticky zjednodušené bodová častica, ktorá má len hmotnosť a náboj. Reálne častice ako elektróny a horné kvarky sú komplexnejšie a majú dodatočné pojmy vo svojich lagrangeiánoch.

### Klasická testovacie častica s Newtonovskou gravitáciou

predpokladajme, že máme časticu s hmotnosťou {\displaystyle m\!} kilogramov a pozíciou {\displaystyle {\vec {x}}} metrov v newtonovskom gravitačnom poli s potenciálom {\displaystyle \zeta \!} joulov na kilogram. Línia častice je parametrizovaná časom {\displaystyle t\!} v sekundách. Kinetická energia častice je:

{\displaystyle T[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]}
a gravitačná potenciálna energia častice je:

{\displaystyle V[t]=m\zeta [{\vec {x}}[t],t].}
Potom lagrangeián je {\displaystyle L\!} joulov, kde

{\displaystyle L[t]=T[t]-V[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]-m\zeta [{\vec {x}}[t],t].}
Variujúc {\displaystyle {\vec {x}}\!} v integráli (ekvivalentom Euler–Lagrangeovej diferenciálnej rovnici), dostávame

{\displaystyle 0=\delta \int {L[t]\,\mathrm {d} t}=\int {\delta L[t]\,\mathrm {d} t}}
{\displaystyle =\int {m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\delta {\vec {x}}}}[t]-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]\cdot \delta {\vec {x}}[t]\,\mathrm {d} t}.}
Integrujme prvý pojem po častiach and zrušme celkový integrál. Potom rozdeľme variáciu, aby sme dostali

{\displaystyle 0=-m{\ddot {\vec {x}}}[t]-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]}
a tak

{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}[t]=-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}
je rovnica pohybu – dva rozdielne výrazy vyjadrujúce silu.

### Špeciálna relativistická testovacia častica s elektromagnetizmom

V špeciálnej relativite, forma pojmu, ktorý vyvodzuje deriváciu hybnosti musí byť zmenená; už nejde o kinetickú energiu. Stáva sa:

{\displaystyle -mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}
{\displaystyle =-mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}[t]+{1 \over 8}m{\frac {v^{4}[t]}{c^{2}}}+\dots }
(V špeciálnej relativite, energia voľnej testovacej častice je {\displaystyle mc^{2}{\frac {dt}{d\tau [t]}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}=+mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}[t]+{3 \over 8}m{\frac {v^{4}[t]}{c^{2}}}+\dots })

kde {\displaystyle c\!} metrov za sekundu je rýchlosť svetla vo vákuu, {\displaystyle \tau \!} sekúnd vo vhodnom čase (t.e. čas meraný hodinami pohybujúcimi sa s časticou) a {\displaystyle v^{2}[t]={\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t].}. Druhý pojem v sérii je len klasická kinetická energia. Predpokladajme, že častica má elektrický náboj {\displaystyle q\!} coulombov a je v elektromagnetickom poli so skalárnym potenciálom {\displaystyle \phi \!} voltov (volt je joule na coulomb) a vektorový potenciál {\displaystyle {\vec {A}}} voltsekúnd za meter. Lagrangeián špeciálnej relativistickej testovacej častice je elektromagnetické pole:

{\displaystyle L[t]=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}-q\phi [{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]}
Variáciami s ohľadom na {\displaystyle {\vec {x}}}, dostávame

{\displaystyle 0=-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\vec {x}}}[t]}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}\right)-q\nabla \phi [{\vec {x}}[t],t]-q\partial \_{t}{\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]-q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot \nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]+q\nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]}
čo je

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\vec {x}}}[t]}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}\right)=q{\vec {E}}[{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\times {\vec {B}}[{\vec {x}}[t],t]}
čo je rovnica, ktorá je rovnicou pre Lorentzovu silu, kde

{\displaystyle {\vec {E}}[{\vec {x}},t]=-\nabla \phi [{\vec {x}},t]-\partial \_{t}{\vec {A}}[{\vec {x}},t]}
{\displaystyle {\vec {B}}[{\vec {x}},t]=\nabla \times {\vec {A}}[{\vec {x}},t]}
### Všeobecná relativistická testovacia častica

Vo všeobecnej relativite, prvý pojem zovšeobecňuje ako klasickú kinetickú energiu a interakciu medzi newtonovským gravitačným potenciálom. Stáva sa:

{\displaystyle -mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}}
{\displaystyle =-mc{\sqrt {-g\_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}.}
Lagrangeián všeobecnej relativistickej testovacej častice v elektromagnetickom poli je:

{\displaystyle L[t]=-mc{\sqrt {-g\_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}+q{\frac {dx^{\gamma }[t]}{dt}}A\_{\gamma }[x[t]].}
A štvorrozmerné priestorovočasové súradnice {\displaystyle x^{\alpha }\!} sú dané v arbitrárnych jednotkách (t. j. bezjednotkových), potom {\displaystyle g\_{\alpha \beta }\!} metrov štvorcových je symetrické na úrovni 2 metrického tenzoru, čo je taktiež gravitačným potenciálom. Taktiež, {\displaystyle A\_{\gamma }\!} voltsekúnd je elektromagnetický 4-vektorový potenciál. Všimnite si, že faktor *c* bol absorbovaný do druhej mocniny, pretože toto sa rovná 

{\displaystyle c\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}={\sqrt {-(-c^{2}+v^{2}[t])}}.}
Všimnite si, že tento pojem bol vo všeobecne odvodený od špeciálnej relativity.

Lagrangeiány a hustoty lagrangeiánu v teórii poľa
-------------------------------------------------

Časový integrál lagrangeiánu sa nazýva akcia popísaná prostredníctvom S.  

V teórii poľa, rozdiel je niekedy robený medzi lagrangeiánom {\displaystyle L}, ktoré je akcia integrálom času:

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {L\,\mathrm {d} t}}
a *hustota Lagrangeiánu* {\displaystyle {\mathcal {L}}}, ktorý sa integruje ponad všetok časopriestor aby sa získala akcia:

{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi \_{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi \_{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}}
Lagrangeián je potom priestorovým integrálom lagrangeiánskej hustoty. {\displaystyle {\mathcal {L}}} sa však takisto často nazýva lagrangeián, hlavne vo svojom modernom používaní; je oveľa užitočnejší v relativistických teóriách, keďže ide o definíciu lokálne definovanú Lorentzovým skalárnym poľom. Obe definície lagrangeiánu možno vidieť ako špeciálne prípady všeobecnej formy, v závislosti na tom, či priestorová premenná {\displaystyle {\vec {x}}} je zahrnutá do indexu {\displaystyle i} alebo parametrov {\displaystyle s} v {\displaystyle \varphi \_{i}(s)}. Teórie kvantového poľa v časticovej fyzike, ako kvantová elektrodynamica, sú obvykle popísané v pojmoch {\displaystyle {\mathcal {L}}}, a pojmy v tejto forme lagrangeiánu sa rýchlo transformujú do pravidiel používaných pri hodnotení Feynmanových diagramov.

Vybrané polia
-------------

Pre pokračovanie v sekcii o testovacích časticiach vyššie, tu sú rovnice pre polia v ktorých sa pohybujú. Rovnice nižšie sa týkajú polí, v ktorých testovacie častice popísané vyššie sa pohybujú a dovoľujú výpočet týchto polí. Tieto rovnice nedajú rovnice pohybu testovacej častice, ale dávajú potenciál (pole) vyvolaný kvantitami ako sú hmotnosť alebo hustota náboja v akomkoľvek bode {\displaystyle [{\vec {x}},t]}. Napríklad, ak v prípade newtonovskej gravitácie je lagrangeiánska hustota integrovaná v časopriestore, dáva rovnicu, ktorá, ak je vyriešená, poskytne {\displaystyle \zeta [{\vec {x}},t]}. Toto {\displaystyle \zeta [{\vec {x}},t]}, keď je substituované späť v rovnici (1), Lagrangeova rovnica pre testovaciu časticu je Newtonovské gravitačné pole, pričom poskytuje informáciu potrebnú pre výpočet akcelerácie častice.

### Newtonovská gravitácia

Lagrangeián (hustota) je {\displaystyle {\mathcal {L}}} joulov na meter 3 (kubický). Interakčný pojem {\displaystyle m\zeta \!} je nahradený pojmom zahŕňajúcim kontinuálnu hustotu hmotnosti {\displaystyle \mu \!} kilogramov na meter kubický. Toto je nevyhnutné, pretože používajúc podobný zdroj pre pole by vyústilo v matematické ťažkosti. Výsledný lagrangeián pre klasické gravitačné pole je:

{\displaystyle {\mathcal {L}}[{\vec {x}},t]=-\mu [{\vec {x}},t]\zeta [{\vec {x}},t]-{1 \over 8\pi G}(\nabla \zeta [{\vec {x}},t])^{2}}
kde {\displaystyle G\!} metrov kubických na kilogram sekundu na druhú je gravitačná konštanta. Variácia integrálu s ohľadom na {\displaystyle \zeta \!} dáva:

{\displaystyle 0=-\mu [{\vec {x}},t]\delta \zeta [{\vec {x}},t]-{2 \over 8\pi G}(\nabla \zeta [{\vec {x}},t])\cdot (\nabla \delta \zeta [{\vec {x}},t]).}
Integrujte časti a zrušte celkový integrál. Potom vydeľte prostredníctvom {\displaystyle \delta \zeta \!} aby ste dostali:

{\displaystyle 0=-\mu [{\vec {x}},t]+{1 \over 4\pi G}\nabla \cdot \nabla \zeta [{\vec {x}},t]}
a tak

{\displaystyle 4\pi G\mu [{\vec {x}},t]=\nabla ^{2}\zeta [{\vec {x}},t]}
čo dáva Gaussov zákon pre gravitáciu.

### Elektomagnetizmus v špeciálnej relativite

Interakčný pojem {\displaystyle -q\phi [{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]} je nahradený pojmami zahŕňajúcimi kontinuálnu hustotu náboja {\displaystyle \rho \!} coulombov na meter kubický a aktuálnu hustotu {\displaystyle {\vec {j}}\!} ampérov na meter štvorcový. Výsledný lagrangeián pre elektromagnetickú pole je:

{\displaystyle {\mathcal {L}}[{\vec {x}},t]=-\rho [{\vec {x}},t]\phi [{\vec {x}},t]+{\vec {j}}[{\vec {x}},t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}},t]+{\epsilon \_{0} \over 2}{E}^{2}[{\vec {x}},t]-{1 \over {2\mu \_{0}}}{B}^{2}[{\vec {x}},t].}
Variujúc toto s ohľadom na {\displaystyle \phi \!}, dostávame

{\displaystyle 0=-\rho [{\vec {x}},t]+\epsilon \_{0}\nabla \cdot {\vec {E}}[{\vec {x}},t]}
čo dáva Gaussov zákon.

Variujúc namiesto toho s ohľadom na {\displaystyle {\vec {A}}}, dostávame

{\displaystyle 0={\vec {j}}[{\vec {x}},t]+\epsilon \_{0}\partial \_{t}{\vec {E}}[{\vec {x}},t]-{1 \over \mu \_{0}}\nabla \times {\vec {B}}[{\vec {x}},t]}
čo dáva Ampèrov zákon.

### Elektromagnetizmus vo všeobecnej relativite

Pre lagrangeián gravitácie vo všeobecnej relativite, pozri Einstein-Hilbertova akcia. Lagrangeián elektromagnetického poľa je:

{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]=+J^{\gamma }[x]A\_{\gamma }[x]-{1 \over 4\mu \_{0}}F\_{\mu \nu }[x]F\_{\alpha \beta }[x]g^{\mu \alpha }[x]g^{\nu \beta }[x]{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}\mathrm {det} [g[x]]}}.}
V štvorrozmerných časopriestorových súradniciach {\displaystyle x^{\alpha }\!} sú dané arbitrárne jednotky, potom: {\displaystyle {\mathcal {L}}} joulsekúnd lagrangeián, skalárna hustota; {\displaystyle J^{\gamma }\!} coulombov je prúd, vektorová hustota denzity; a {\displaystyle F\_{\mu \nu }\!} voltsekúnd is elektromagnetický tenzor, kovariantný antisymetrický tenzor radu dva. Všimnite si, že determinant pod znakom druhej odmocniny je aplikovaný na maticu komponentov kovariantného metrického tenzoru {\displaystyle g\_{\alpha \beta }\!}, a {\displaystyle g^{\alpha \beta }\!} je jeho inverzia. Všimnite si, že jednotky lagrangeiánu sa menia, pretože integrujeme ponad {\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\!}, ktoré sú bezjednotkové, a nie ponad {\displaystyle t,x,y,z\!}, ktoré majú jednotky v sekundometroch kubických. Elektromagnetický tenzor poľa je formovaný antisymetrizáciou čiastkových derivácií elektromagnetického vektorového potenciálu; takže to nie je nezávislá premenná. Druhá odmocnina je potrebná na konverziu tohto pojmu na skalárnu hustotu namiesto len skalára a tiež pre kompenzáciu zmien v jednotkách premenných integrácie. Faktor {\displaystyle {\frac {-1}{c^{2}}}} vnútri druhej odmocniny je potrebný na normalizáciu, aby ho druhá odmocnina zredukovala na pojem špeciálnej relativity (keďže determinant je {\displaystyle -c^{2}\!} v špeciálnej relativity).

Lagrangeiány v kvantovej teórii poľa
------------------------------------

### Diracov lagrangeián

Lagrangeiánska hustota pre Diracove pole je:

{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\not \!D-mc^{2})\psi }
kde {\displaystyle \psi \!} je Diracov spinor, {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} je jeho Diracova prípojka, {\displaystyle D\!} je kalibračná kovariantná derivácia, a {\displaystyle \not \!D} je Feynmanova anotácia pre {\displaystyle \gamma ^{\sigma }D\_{\sigma }\!}.

### Kvantovo elektrodynamický lagrangeián

Lagrangeiánska hustota pre QED je:

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c\not \!D-mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu \_{0}}F\_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
kde {\displaystyle F^{\mu \nu }\!} je elektromagnetický tenzor.

### Kvantovo chromodynamický lagrangeián

Lagrangeiánska hustota pre kvantovú chromodynamiku je   :

{\displaystyle {\mathcal {L}}\_{\mathrm {QCD} }=\sum \_{n}{\bar {\psi }}\_{n}(i\hbar c\not \!D-m\_{n}c^{2})\psi \_{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}\_{\mu \nu }G\_{\alpha }{}^{\mu \nu }}
kde {\displaystyle D\!} je QCD kalibračná kovariantná derivácia, 
{\displaystyle n=1...6} počíta kvarkové typy, a {\displaystyle G^{\alpha }{}\_{\mu \nu }\!} je gluónový tenzor silového poľa.

Matematická formalizácia
------------------------

predpokladajme, že máme *n*-dimenzionálnu rozmanitosť, {\displaystyle M}, a cieľovú rozmanitosť, T. Nech {\displaystyle {\mathcal {C}}} je konfiguračný priestor hladkej funkcie z {\displaystyle M} na T.

### Príklady

* V klasickej mechanike, Hamiltonianskom formalizme, {\displaystyle M} je jednorozmerná rozmanitosť {\displaystyle \mathbb {R} }, reprezentujúca čas a cieľový priestor v kotangentnom zhluku priestoru zovšeobecnených pozícií.
* V teórii poľa, {\displaystyle M} je časopriestorová rozmanitosť a cieľový priestor je súbor hodnôt polí v akomkoľvek bode. Napríklad, ak existujú m reálne=číselné skalárne polia, {\displaystyle \phi \_{1},...\phi \_{m}}, potom cieľová rozmanitosť je {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}. Ak pole je reálne vektorové pole, potom cieľová rozmanitosť je izomorfná pre {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. V skutočnosti existuje omnoho elegantnejší spôsob použitia tangentného zhluku nad {\displaystyle M}, ale budeme trvať len na tejto verzii.

### Matematický vývoj

Uvažujme funkctionálne, {\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }, nazvané akcia. Fyzické dôvody určujú, že to je mapovanie na {\displaystyle \mathbb {R} }, ne {\displaystyle \mathbb {C} }.

Za účelom toho, aby akcia bola lokálna, potrebujeme dodatočné obmedzenia ohľadom akcie. Ak {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}}, predpokladáme, že {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]} je integrál nad {\displaystyle M} funkcie {\displaystyle \phi }, jej derivátov a pozície zvanej **lagrangeián**, {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,...x)}. Inými slovami,

{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {C}},\ \ {\mathcal {S}}[\varphi ]\equiv \int \_{M}\mathrm {d} ^{n}x{\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial \varphi (x),\partial \partial \varphi (x),...x{\big )}.}
Nižšie sa na dôvažok predpokladá, že Lagreangian závisí len na hodnote poľa a jeho prvej derivácii, ale nie od ďalších derivácií.

Za predpokladu hraničných podmienok, v zásade špecifikácia hodnoty {\displaystyle \phi } na hranici ak {\displaystyle M} je kompaktný ale bo nejaký limit na {\displaystyle \phi } keďže x pristupuje {\displaystyle \infty } (toto pomôže urobiť integráciu po častiach), podpriestoru {\displaystyle {\mathcal {C}}} pozostávajúc z funkcií, {\displaystyle \phi }, t. j. že všetky funkcionálne derivácie na S pri {\displaystyle \phi } sú nulové a {\displaystyle \phi } uspokojujúce dané hraničné podmienky je podpriestorom na škrupine riešení.

Riešenie je dané prostredn9ctvom Euler–Lagrangeových rovníc (vďaka hraničným podmienkam),

{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=-\partial \_{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \_{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=0.}
Ľavá strana je funkcionálna derivácia akcie s ohľadom {\displaystyle \phi }.

Poznámky
--------

1. ↑  TORBY, Bruce. *Advanced Dynamics for Engineers*. United States of America : CBS College Publishing, 1984. ISBN 0-03-063366-4. Energy Methods.

Referencie
----------

* Christoph Schiller (2005), *Global descriptions of motion: the simplicity of complexity*, Motion Mountain
* David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)