**Spojitá funkcia** je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty x sa funkčná hodnota {\displaystyle f(x)} zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

Definícia
---------

Hovoríme, že funkcia {\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} } je spojitá v bode {\displaystyle a}, ak platí  

{\displaystyle \forall O(f(a))\exists O(a)\forall x\in O(a)\cap D(f):f(x)\in O(f(a))}  

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia {\displaystyle f} je v bode {\displaystyle a} spojitá ak pre každé kladné {\displaystyle \varepsilon } existuje kladné {\displaystyle \delta }, že pre všetky x z definičného oboru funkcie {\displaystyle f}, pre ktoré {\displaystyle |x-a|<\delta } platí, že {\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak {\displaystyle (X,d\_{X}),(Y,d\_{Y})} sú metrické priestory a {\displaystyle f:\ X\to Y} tak hovoríme, že {\displaystyle f} je spojitá v bode {\displaystyle a\in X}, ak je pravda {\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ d\_{X}(x,a)<\delta \ \Rightarrow \ d\_{Y}(f(a),f(x))<\epsilon }. 

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.

Definícia pomocou limity
------------------------

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia {\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} } je spojitá v bode {\displaystyle a} práve vtedy keď 

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=f(a).}
A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z {\displaystyle \mathbb {R} } do {\displaystyle \mathbb {R} }
-------------------------------------------------------------------------------------------

* Ak je funkcia {\displaystyle f:\ [a,b]\to \mathbb {R} } spojitá ({\displaystyle [a,b]} je uzavretý interval) a číslo {\displaystyle r} leží medzi hodnotami {\displaystyle f(a),\ f(b)}, tak existuje číslo {\displaystyle c:\ c\in [a,b]} také, že {\displaystyle r=f(c)}. Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia {\displaystyle f(x)=e^{x}+2x^{3}} má hodnoty {\displaystyle f(0)=1,\ f(-1)=1/e-2<0}. Takže vieme, že niekde v intervale {\displaystyle (-1,0)} existuje číslo {\displaystyle c} také, že {\displaystyle e^{c}+2c^{3}=0} .

* Spojitá funkcia {\displaystyle f:\ [a,b]\to \mathbb {R} } je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia {\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto x} je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia {\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto 1/x} je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Princíp spojitého rozšírenia
----------------------------

Nech funkcie {\displaystyle f} a {\displaystyle g} sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode {\displaystyle a}. Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu {\displaystyle a} existuje bod {\displaystyle x\neq a} taký, že {\displaystyle f(x)=g(x)}, potom {\displaystyle f(a)=g(a)}

Weierstrassova veta o ohraničenosti spojitej funkcie
----------------------------------------------------

Ak funkcia {\displaystyle f} je spojitá na {\displaystyle [a,b]} potom {\displaystyle f} je ohraničená na {\displaystyle [a,b]}.

Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie
------------------------------------------------------

Ak funkcia je spojitá na {\displaystyle [a,b]} potom {\displaystyle \exists c\_{1},c\_{2}\in [a,b]} také, že {\displaystyle f(c\_{1})\leq f(x)\leq f(c\_{2})}, pre {\displaystyle \forall x\in [a,b]}

Nespojité funkcie
-----------------

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia {\displaystyle x\mapsto 1/x} je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť *definície* spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu 

{\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,\ \lim \_{x\to 0^{-}}\operatorname {sgn}(x)=-1,\ \lim \_{x\to 0^{+}}\operatorname {sgn}(x)=+1.}
Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0: 

{\displaystyle \chi (x)=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {Q} \\0\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{array}}\right.}
Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.