**Kombinácia**, presnejšie **kombinácia *k - tej* triedy z *n* prvkov množiny M** je ľubovoľná *k*-prvková podmnožina *n*-prvkovej množiny *M*. Počet všetkých kombinácií *k*-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi *n* prvkov skupinu *k* prvkov, pričom nezáleží na poradí výberu.

Takto definované kombinácie sa niekedy tiež označujú ako **kombinácie bez opakovania**, keďže koncept množiny a podmnožiny neumožňuje zachytiť fenomén opakovania prvkov. Existujú však aj **kombinácie s opakovaním,** ktorých počet je počet možností, ako vybrať *k* prvkov spomedzi *n* tak, že sa môžu aj opakovať.

Kombinácie bez opakovania
-------------------------

### Definícia

Kombinácie bez opakovania *k*-tej triedy z *n* prvkov množiny *M* je ľubovoľná *k*-prvková podmnožina množiny *M*. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií *k*-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny *M* (označujeme *P(M)*) takú, že obsahuje práve všetky *k*-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme {\displaystyle P\_{k}(M)}. Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania *k*-tej triedy z množiny *M* je definovaná ako:

{\displaystyle {M \choose k}=P\_{k}(M)}
### Počet kombinácií bez opakovania

Aj keď uvedená definícia korektne definuje kombinácie bez opakovania ako kombinatorické štruktúry, nedáva ešte žiadnu informáciu o ich počte. Preto vzorec poskytujúci túto informáciu treba dokázať ako samostatnú vetu.

Ak definujeme symbol

{\displaystyle {n \choose k}={{\prod \_{i=n-k+1}^{n}i} \over {k!}}={n! \over k!(n-k)!}},
(tento symbol nazývame kombinačné číslo, alebo, pre súvis s binomickou vetou aj binomický koeficient) tak potom pre počet všetkých kombinácií *k*-tej triedy z *n* prvkov množiny *M* platí:

{\displaystyle C\_{k}(n)=\left|{M \choose k}\right|={|M| \choose k}={n \choose k}}.
Táto veta sa dokazuje s pomocou vety o počte variácií bez opakovania *k*-tej triedy z *n* prvkov množiny *M*. Pri dôkaze sa využíva fakt, že počet kombinácií bez opakovania je rovnaký ako počet tried ekvivalencie na množine všetkých variácií, kde dve variácie sú spolu v jednej triede práve vtedy, keď je obraz obi dvoch (variácia je špeciálny druh zobrazenia) rovnaká množina a fakt, že počet variácií v jednej takejto triede ekvivalencie je *k!*.

### Príklad

V spoločnosti 5 osôb (a, b, c, d, e) každá osoba podá každej osobe ruku. Koľko bude podaní rúk?  

Riešenie: {\displaystyle C\_{2}(5)={\frac {5!}{(5-2)!\cdot 2!}}=10}

* dvojice, ktoré si podajú ruky: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de

Kombinácie s opakovaním
-----------------------

### Definícia

Kombinácie s opakovaním *k*-tej triedy z *n* prvkov množiny *M* definujeme ako triedy ekvivalencie na množine všetkých variácií s opakovaním, kde dve variácie s opakovaním sú v relácii ekvivalencie práve vtedy, ak sa na každý prvok množiny *M* zobrazí v oboch variáciách rovnaký počet prvkov, t. j. ak pre variácie *f*, *g* platí:

{\displaystyle \forall x\in M:|f^{-1}(x)|=|g^{-1}(x)|}.
Alternatívne definície využívajú napr. pojem multimnožiny.

### Počet kombinácií s opakovaním

Počet všetkých kombinácií s opakovaním *k*-tej triedy z *n* prvkov množiny *M* je:

{\displaystyle C\_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose k}}
alebo  

{\displaystyle C\_{k}^{\prime }(n)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}}}
### Príklad

Koľko rôznych súčinov dvoch činiteľov možno utvoriť z čísel 2, 3, 5, 7, 11?  

Riešenie: {\displaystyle C\_{2}^{\prime }(5)={\frac {(5+2-1)!}{(5-1)!\cdot 2!}}=15}

* hľadané dvojice: 15

Pozri aj
--------

* Kombinatorika
* Binomická veta
* Permutácia (kombinatorika)
* Variácia (kombinatorika)
* Faktoriál

Použitá literatúra
------------------

* Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: *Kapitoly z diskrétní matematiky*, Karolinum, 2007
* Martin Knor: *Kombinatorika a teória grafov I*, Univerzita Komenského v Bratislave, 2000
* Marián Olejár a kol.: *Zbierka vzorcov z matematiky*, Vydavateľstvo Young Scientist