**Einsteinova (sumačná) konvencia** alebo **Einsteinova notácia** je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

{\displaystyle y=c\_{i}x^{i}\ }
automaticky znamená

{\displaystyle y=\sum \_{i=1}^{3}c\_{i}x^{i}=c\_{1}x^{1}+c\_{2}x^{2}+c\_{3}x^{3}.}
Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov
----------------------------

Ak máme priestor s metrickým tenzorom {\displaystyle g\_{ij}}, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

{\displaystyle g^{ac}g\_{cb}:=\delta \_{b}^{a},}
kde {\displaystyle \delta \_{b}^{a}} je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak {\displaystyle a=b} a rovný 0, ak {\displaystyle a\neq b}). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

{\displaystyle \sharp \_{g}\,:\quad \alpha \_{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha \_{b}}
{\displaystyle \flat \_{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v\_{a}:=g\_{ab}v^{b}}
Veličinám {\displaystyle v\_{a},v^{a}} sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora {\displaystyle v}. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore {\displaystyle g\_{ab}=\delta \_{ab}}, čísla {\displaystyle v\_{a}} a {\displaystyle v^{a}} sú rovnaké, pre každé {\displaystyle v}. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov
---------------------------

V každom vektorovom priestore {\displaystyle V}si možno zvoliť bázu. Ak {\displaystyle \dim V=n}, tak báza má {\displaystyle n} bázových prvkov {\displaystyle e\_{i}} a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent {\displaystyle v^{i}}. Zapisuje sa teda

{\displaystyle v=\sum \_{i=1}^{n}v^{i}e\_{i}=v^{i}e\_{i}=\left({\begin{array}{c}v\_{1}\\v\_{2}\\\vdots \\v\_{n}\end{array}}\right)}
K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor {\displaystyle V^{\ast }} lineárnych zobrazení {\displaystyle V\to \mathbb {R} } (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza {\displaystyle e^{i}}. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

{\displaystyle \langle e^{i},e\_{j}\rangle :=e^{i}(e\_{j})=\delta \_{j}^{i}.}
Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

{\displaystyle \alpha =\sum \_{i=1}^{n}\alpha \_{i}e^{i}=\alpha \_{i}e^{i}=\left(\alpha \_{1}\,\alpha \_{2}\,\cdots \,\alpha \_{n}\right)}

Bežné operácie
--------------

### Operácie s vektormi

**Skalárny súčin** dvoch vektorov {\displaystyle u,v}možno zapísať ako

{\displaystyle h(u,v)=h\_{ij}u^{i}v^{j}},
kde {\displaystyle h\_{ij}} je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene 

{\displaystyle h(u,v)=u\_{i}v^{i}=u^{i}v\_{i}}
**Vektorový súčin v E3** dvoch vektorov možno zapísať ako

{\displaystyle (u\times v)\_{i}=\varepsilon \_{ijk}u^{j}v^{k}},
kde {\displaystyle \varepsilon \_{ijk}} je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, {\displaystyle \varepsilon \_{123}=1}.

**Veľkosť vektora** v priestore s metrickým tenzorom {\displaystyle g\_{ij}} sa počíta ako

{\displaystyle \|v\|={\sqrt {g\_{ij}v^{i}v^{j}}}={\sqrt {v\_{i}v^{i}}}}.
### Operácie s operátorom {\displaystyle \nabla }

{\displaystyle \nabla } (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami 

{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left(\partial \_{1},\partial \_{2},\partial \_{3}\right),}
ktoré budeme označovať ako {\displaystyle \partial \_{i}}. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

{\displaystyle \left({\textrm {grad}}\,h\right)\_{i}=\left(\nabla h\right)\_{i}=\partial \_{i}h}
{\displaystyle \left({\textrm {rot}}\,{\textbf {A}}\right)\_{i}=\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)\_{i}=\varepsilon \_{ijk}\partial \_{j}A\_{k}}
{\displaystyle {\textrm {div}}\,{\textbf {A}}=\nabla \cdot {\textbf {A}}=\partial \_{i}A\_{i}}
{\displaystyle \triangle {\textbf {A}}=\partial \_{i}\partial \_{i}{\textbf {A}}}
### Maticové operácie

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

**Maticové násobenie**

{\displaystyle ({\textbf {A}}\cdot {\textbf {B}})\_{j}^{i}=A\_{k}^{i}B\_{j}^{k}}
**Stopa matice**

{\displaystyle {\textrm {Tr}}{\textbf {A}}=A\_{i}^{i}}

Matematické aplikácie
---------------------

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v **E3**. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

{\displaystyle {\textbf {e}}\_{i}\cdot {\textbf {e}}\_{j}=\delta \_{ij}} (ortonormovanosť bázy)
{\displaystyle {\textbf {e}}\_{i}\times {\textbf {e}}\_{j}=\varepsilon \_{ijk}{\textbf {e}}\_{k}} (pravotočivosť bázy)
{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}=\varepsilon \_{jki}=\varepsilon \_{kij}} (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)
{\displaystyle \varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{mnk}=\delta \_{im}\delta \_{jn}-\delta \_{in}\delta \_{jm}} (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

| {\displaystyle {\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right){\textbf {b}}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right){\textbf {c}}\,} |
| --- |
| Pre {\displaystyle i}-tu zložku vektora vľavo dostávame

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)\_{i}\,} | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}a\_{j}\left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\_{k}} |
|  | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}a\_{j}\varepsilon \_{klm}b\_{l}c\_{m}\,} |
|  | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}\varepsilon \_{lmk}a\_{j}b\_{l}c\_{m}\,} |

Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)\_{i}\,} | {\displaystyle =\left(\delta \_{il}\delta {jm}-\delta \_{im}\delta \_{jl}\right)a\_{j}b\_{l}c\_{m}} |
|  | {\displaystyle {\stackrel {(1)}{=}}a\_{j}b\_{i}c\_{j}-a\_{j}b\_{j}c\_{i}} |
|  | {\displaystyle =\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)b\_{i}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right)c\_{i}} |

V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda {\displaystyle \delta \_{ij}v\_{i}=v\_{j}}. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v {\displaystyle i}-tej zložke. Index {\displaystyle i} ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu. |

| {\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)\,} |
| --- |
| V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,} | {\displaystyle =\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\_{i}\left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\_{i}} |
|  | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}a\_{j}b\_{k}\varepsilon \_{ilm}c\_{l}d\_{m},} |
|  | {\displaystyle =\varepsilon \_{jki}\varepsilon \_{lmi}a\_{j}b\_{k}c\_{l}d\_{m}\,} |

Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,} | {\displaystyle =\left(\delta \_{jl}\delta {km}-\delta \_{jm}\delta \_{kl}\right)a\_{j}b\_{k}c\_{l}d\_{m}} |
|  | {\displaystyle =a\_{j}b\_{k}c\_{j}d\_{k}-a\_{j}b\_{j}c\_{k}d\_{j}} |
|  | {\displaystyle =\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)} |

 |

| {\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\triangle {\textbf {A}}\,} |
| --- |
| Pre {\displaystyle i}-tu zložku vektora vľavo platí

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)\_{i}\,} | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}\partial \_{j}\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)\_{k}} |
|  | {\displaystyle =\varepsilon \_{ijk}\partial \_{j}\varepsilon \_{klm}\partial \_{l}A\_{m},} |

Keďže {\displaystyle \varepsilon \_{klm}} je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie {\displaystyle \partial \_{j}}. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)\_{i}\,} | {\displaystyle =\left(\delta \_{il}\delta \_{jm}-\delta \_{im}\delta \_{jl}\right)\partial \_{j}\partial \_{l}A\_{m}} |
|  | {\displaystyle =\partial \_{j}\partial \_{i}A\_{i}-\partial \_{j}\partial \_{j}A\_{i}} |

Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť.

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)\_{i}\,} | {\displaystyle =\partial \_{i}\left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)\_{i}} |
|  | {\displaystyle =\left(\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)\right)\_{i}-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)\_{i}} |

Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí. |

Fyzikálne aplikácie
-------------------

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

* **Hookov zákon** v tenzorovom tvare

{\displaystyle \sigma \_{ij}=c\_{ijkl}\varepsilon \_{kl},}
kde {\displaystyle \sigma {ij}} je tenzor napätia, {\displaystyle \varepsilon \_{kl}} tenzor deformácie a tenzor {\displaystyle c\_{ijkl}} je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má {\displaystyle 3^{4}=81} komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

  

* **Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy** obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako

{\displaystyle \varrho \left(\partial \_{t}v\_{i}+v\_{i}\partial \_{j}v\_{j}\right)=\partial \_{j}\sigma \_{ij}+f\_{i}},
kde {\displaystyle \partial \_{t}} označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda {\displaystyle t} neznamená voľný index.

  

* **Christoffelove symboly** (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom

{\displaystyle \Gamma \_{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left(g\_{lj,k}+g\_{lk,j}-g\_{jk,l}\right),}
kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

  

* **Riemannov tenzor krivosti** sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

{\displaystyle R\_{\,jkl}^{i}=\Gamma \_{jl,k}^{i}-\Gamma \_{jk,l}^{i}+\Gamma \_{jl}^{m}\Gamma \_{mk}^{i}-\Gamma \_{jk}^{m}\Gamma \_{ml}^{i}}

Referencie
----------

* M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky:
* M. Fecko: *Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov*. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.