Obelisk s podstavou päťuholníka
**Obelisk** je mnohosten, vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky. Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa, ktorého podstava je kruh, no možná je aj podstava elipsy podobne ako u eliptického valca. Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

Vlastnosti
----------

Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť {\displaystyle n}-krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskov
----------------------------

### Základný (štvorcový) obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany {\displaystyle a} (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany {\displaystyle a} v dolnej podstave štvorca. Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka {\displaystyle c} ktorá je zhodná s dĺžkou strany {\displaystyle a} v hornej podstave štvorca. Preto:

{\displaystyle a\_{1}=A} a {\displaystyle c=a}
Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=4A}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=4a}
Objem vypočítame ako:

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}(A^{2}+Aa+a^{2})h}
Obsah plášťa vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{L}=4{\frac {(a\_{1}+c)\cdot v}{2}}}
Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako {\displaystyle S={\frac {(a\_{1}+c)\cdot v}{2}}}, a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+(S\_{1}+S\_{2})}
kde:

{\displaystyle a} je strana hornej štvorcovej podstavy
{\displaystyle a\_{1}} je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka
{\displaystyle c} je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka
{\displaystyle A} je strana dolnej štvorcovej podstavy
{\displaystyle h} je výška
{\displaystyle S} je obsah lichobežníka
{\displaystyle S\_{1}}je obsah dolnej podstavy
{\displaystyle S\_{2}} je obsah hornej podstavy
### Obdlžníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana {\displaystyle c} je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy {\displaystyle a}. Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana {\displaystyle c\_{1}}je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, {\displaystyle b}. Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov {\displaystyle a\_{1}} je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany {\displaystyle a\_{2}} sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, {\displaystyle B}. Preto:

{\displaystyle c=a}, {\displaystyle c\_{1}=b}, {\displaystyle a\_{1}=A} a {\displaystyle a\_{2}=B}
Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=2(A+B)}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=2(a+b)}
Objem vypočítame ako:

{\displaystyle V\_{1}={\frac {h}{6}}(Ab+aB+2(ab+AB))}
Alebo ako: 

{\displaystyle V\_{2}={\frac {1}{6}}h[AB+ab+(A+a)(B+b)]}
Obsah plášťa vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{L}=2{\frac {(a\_{1}+c)}{2}}+2{\frac {(a\_{2}+c\_{1})}{2}}}
Povrch vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+AB+ab}
kde:

{\displaystyle a} je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)
{\displaystyle b} je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)
{\displaystyle A} je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)
{\displaystyle B} je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)
{\displaystyle c} je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov
{\displaystyle c\_{1}} je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov
{\displaystyle a\_{1}} je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov
{\displaystyle a\_{2}} je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkov{\displaystyle A}
{\displaystyle h} je výška
### Rovnostranný trojuholníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy {\displaystyle a} a dolnej podstavy {\displaystyle A}. Horná, najkratšia strana lichobežníka {\displaystyle c} je rovnako dlhá ako strana {\displaystyle a}. Dolná, najdlhšia strana lichobežníka {\displaystyle a\_{1}}je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. Preto:

{\displaystyle c=a} a {\displaystyle a\_{1}=A}
Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=3A}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=3a}
Objem vypočítame ako: 

{\displaystyle V={\frac {h}{3}}(S\_{1}+S\_{2}+{\sqrt {S\_{1}S\_{2}}})}
Obsah plášťa vypočítame ako: 

{\displaystyle A\_{L}=3{\frac {(a\_{1}+c)}{2}}}
Povrch vypočítame ako: 

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+S\_{1}+S\_{2}}
kde:

{\displaystyle a} je strana hornej podstavy
{\displaystyle A} je strana dolnej podstavy
{\displaystyle c} je horná, najkratšia strana lichobežníka
{\displaystyle a\_{1}} je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
{\displaystyle S\_{1}} je obsah hornej podstavy
{\displaystyle S\_{2}} je obsah dolnej podstavy
{\displaystyle h} je výška
### Pentagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy {\displaystyle a} a strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. Najkratšia, horná strana lichobežníka {\displaystyle c} má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy {\displaystyle a}. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka {\displaystyle a\_{1}} má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. Preto:

{\displaystyle c=a} a {\displaystyle a\_{1}=A}
Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=5A}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=5a}
Objem vypočítame ako:

{\displaystyle V={\frac {h}{3}}(S\_{1}+S\_{2}+{\sqrt {S\_{1}S\_{2}}})}
Obsah plášťa vypočítame ako: 

{\displaystyle A\_{L}=5{\frac {(a\_{1}+c)}{2}}}
Povrch vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+S\_{1}+S\_{2}}
kde:

{\displaystyle a} je strana hornej podstavy
{\displaystyle A} je strana dolnej podstavy
{\displaystyle c} je horná, najkratšia strana lichobežníka
{\displaystyle a\_{1}} je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
{\displaystyle S\_{1}} je obsah hornej podstavy
{\displaystyle S\_{2}} je obsah dolnej podstavy
{\displaystyle h} je výška
### Hexagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy {\displaystyle a} a strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. Najkratšia, horná strana lichobežníka {\displaystyle c} má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy {\displaystyle a}. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka {\displaystyle a\_{1}} má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy {\displaystyle A}. Preto:

{\displaystyle c=a} a {\displaystyle a\_{1}=A}
Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=6A}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=6a}
Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

{\displaystyle V={\frac {h}{3}}(S\_{1}+S\_{2}+{\sqrt {S\_{1}S\_{2}}})}
Obsah plášťa vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{L}=6{\frac {(a\_{1}+c)}{2}}}
Povrch vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+S\_{1}+S\_{2}}
kde:

{\displaystyle a} je strana hornej podstavy
{\displaystyle A} je strana dolnej podstavy
{\displaystyle c} je horná, najkratšia strana lichobežníka
{\displaystyle a\_{1}} je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
{\displaystyle S\_{1}} je obsah hornej podstavy
{\displaystyle S\_{2}} je obsah dolnej podstavy
{\displaystyle h} je výška
### Zrezaný kužeľ

Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°. Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa. Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O=2\pi r\_{1}}
Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

{\displaystyle O\_{1}=2\pi r\_{2}}
Objem vypočítame ako:

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi (r\_{1}^{2}+r\_{1}r\_{2}+r\_{2}^{2})h}
Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

{\displaystyle k={\sqrt {(r\_{1}-r\_{2})^{2}+h^{2}}}}
Obsah plášťa vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{L}=\pi k(r\_{1}+r\_{2})}
Alebo ako:

{\displaystyle A\_{L}=\pi (r\_{1}+r\_{2}){\sqrt {(r\_{1}-r\_{2})^{2}+h^{2}}}}
Povrch vypočítame ako:

{\displaystyle A\_{T}=\pi (r\_{1}^{2}+r\_{2}^{2})+\pi k(r\_{1}+r\_{2})}
Alebo ako:

{\displaystyle A\_{T}=A\_{L}+(2\pi r\_{1})+(2\pi r\_{2})}
kde:

{\displaystyle r\_{1}} je polomer dolnej podstavy
{\displaystyle r\_{2}} je polomer hornej podstavy
{\displaystyle h} je výška

Referencie
----------

1. 1 2 3 4   *Volume of a obelisk Calculator* [online]. High accuracy calculation for life or science. [cit. 2021-12-07]. Dostupné online. Archivované 2021-12-07 z originálu. (po anglicky)
2. 1 2 3 4 5 6 7   *Volume of a circular truncated cone Calculator* [online]. High accuracy calculation for life or science. [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. Archivované 2021-12-21 z originálu. (po anglicky)
3. ↑   *High accuracy calculation for life or science.* [online]. keisan.casio.com, [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. Archivované 2021-12-21 z originálu.
4. ↑   *Volume of an elliptic truncated cone Calculator* [online]. High accuracy calculation for life or science. [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. Archivované 2021-12-21 z originálu. (po anglicky)
5. 1 2   *Volume of a truncated square pyramid Calculator* [online]. High accuracy calculation for life or science. [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. Archivované 2021-12-21 z originálu. (po anglicky)
6. 1 2   *Volume of a frustum Calculator* [online]. High accuracy calculation for life or science. [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. Archivované 2021-12-21 z originálu. (po anglicky)