Rovnobežník
**Rovnobežník** je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

Vlastnosti
----------

Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je {\displaystyle 2\pi } (360°).
Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

{\displaystyle a=|AB|=|CD|=c,\qquad d=|AD|=|BC|=b.}
Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

{\displaystyle \alpha =\angle DAB=\angle BCD=\gamma ,\qquad \beta =\angle ABC=\angle CDA=\delta .}
Pretože {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =2(\alpha +\beta )=2\pi }, platí

{\displaystyle \alpha =\pi -\beta .}
Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. {\displaystyle a\neq b}, a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. {\displaystyle \alpha \neq \beta }. Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. {\displaystyle a=b=c=d}, nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\delta =\pi /2}, nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:

{\displaystyle e=|AC|={\sqrt {a^{2}+d^{2}+2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a+h\_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h\_{a}^{2}}}\,,}
{\displaystyle f=|BD|={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a-h\_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h\_{a}^{2}}}\,.}

Obsah
-----

Obsah rovnobežníka je rovný:

{\displaystyle S=ah\_{a}=bh\_{b}=ab\sin \alpha },
kde {\displaystyle a=|AB|} a {\displaystyle b=|AD|} sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a {\displaystyle h\_{a}} je výška k strane {\displaystyle AB}, obdobne {\displaystyle h\_{b}} je výška k strane {\displaystyle AD}, {\displaystyle \alpha } je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

### V rovine

Ak sú vrcholy {\displaystyle A,B,C,D} zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. {\displaystyle A=(x\_{A},y\_{A})}, {\displaystyle B=(x\_{B},y\_{B})}, atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

{\displaystyle S=\left|\det \left({\begin{array}{cc}x\_{B}-x\_{A}&x\_{D}-x\_{A}\\y\_{B}-y\_{A}&y\_{D}-y\_{A}\end{array}}\right)\right|=|(x\_{B}y\_{D}-x\_{D}y\_{B})-(x\_{A}y\_{D}-x\_{D}y\_{A})+(x\_{A}y\_{B}-x\_{B}y\_{A})|.}
Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol {\displaystyle A} s počiatkom súradnicového systému, t. j. {\displaystyle A=(0,0)}, potom teda:

{\displaystyle S=|x\_{B}y\_{D}-x\_{D}y\_{B}|.}
Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného {\displaystyle n} – rozmerného nadrovnobežnostenu (v {\displaystyle n} – rozmernom priestore).

### V trojrozmernom priestore

Ak sú vrcholy {\displaystyle A,B,C,D} zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. {\displaystyle A=(x\_{A},y\_{A},z\_{A})}, {\displaystyle B=(x\_{B},y\_{B},z\_{B})}, atď, a zavedieme ak stranové vektory

{\displaystyle \mathbf {a} =(x\_{B}-x\_{A},y\_{B}-y\_{A},z\_{B}-z\_{A}),\qquad \mathbf {b} =(x\_{D}-x\_{A},y\_{D}-y\_{A},z\_{D}-z\_{A}),}
je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} },
kde „{\displaystyle \times }" značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

{\displaystyle S=\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|\_{2}={\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}}
kde „{\displaystyle \,\cdot \,}" značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi {\displaystyle z}, t. j.

{\displaystyle \mathbf {a} =(x\_{B}-x\_{A},y\_{B}-y\_{A},0),\qquad \mathbf {b} =(x\_{D}-x\_{A},y\_{D}-y\_{A},0),}
potom:

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}0,0,(x\_{B}y\_{D}-x\_{D}y\_{B})-(x\_{A}y\_{D}-x\_{D}y\_{A})+(x\_{A}y\_{B}-x\_{B}y\_{A}){\Big )},}
čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol {\displaystyle A} s počiatkom súradnicového systému, t. j. {\displaystyle A=(0,0,0)}, potom

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(y\_{B}z\_{D}-y\_{D}z\_{B},x\_{D}z\_{B}-x\_{B}z\_{D},x\_{B}y\_{D}-x\_{D}y\_{B})}
vo všeobecnom prípade , respektíve:

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(0,0,x\_{B}y\_{D}-x\_{D}y\_{B})}
v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi {\displaystyle z}.

Zovšeobecnením vektorového súčinu do {\displaystyle n} – rozmerného priestoru (ide o o súčin {\displaystyle (n-1)} lineárne nezávislých vektorov dĺžky {\displaystyle n}, ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného {\displaystyle (n-1)} – rozmerného nadrovnobežníka v {\displaystyle n} – rozmernom priestore.

### V n-rozmernom (reálnom) priestore

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom {\displaystyle n} – rozmernom priestore

{\displaystyle \mathbf {a} =(a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b\_{1},b\_{2},b\_{3},\ldots ,b\_{n}),}
potom jeho obsah je daný vzťahom:

{\displaystyle S={\sqrt {\|\mathbf {a} \|\_{2}^{2}\|\mathbf {b} \|\_{2}^{2}-\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}={\Big (}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}{\Big )}^{1/2},}
kde „{\displaystyle \langle \,,\,\rangle }", resp. „{\displaystyle \,\cdot \,}" značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

{\displaystyle \mathbf {a} =(x\_{B}-x\_{A},y\_{B}-y\_{A},0,\ldots ,0),\qquad \mathbf {b} =(x\_{D}-x\_{A},y\_{D}-y\_{A},0,\ldots ,0),}
opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

Pozri aj
--------

* Geometrický útvar
* Štvoruholník
* Kváder

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Rovnoběžník na českej Wikipédii.*