Lineárny systém s troma premennými definovanými ako roviny. Riešenie systému je prienik rovín (bod).
V matematike a v lineárnej algebre sa ako **Sústava lineárnych rovníc** označuje množina lineárnych rovníc. Napríklad

{\displaystyle 3x\_{1}+2x\_{2}+x\_{3}=1\,\!}
{\displaystyle 2x\_{1}+2x\_{2}+4x\_{3}=-2\,\!}
{\displaystyle -x\_{1}+3x\_{2}-x\_{3}=0\,\!}
Úlohou pri riešení je nájsť také hodnoty *x*1, *x*2 a *x*3 pre ktoré platia všetky rovnice zároveň.

Použitie
--------

Riešenie sústav lineárnych rovníc patrí v matematike k najstarším problémom a má veľa aplikácii, napríklad pri odhadovaní, v predpovediach a v lineárnom programovaní.

Zápis
-----

Všeobecne môže byť sústava *m* lineárnych rovníc s *n* neznámymi zapísaná ako

*a*11*x*1 + *a*12*x*2 + *…* + *a*1*n**x**n* = *b*1
*a*21*x*1 + *a*22*x*2 + *…* + *a*2*n**x**n* = *b*2
    :
    :
*a**m*1*x*1 + *a**m*2*x*2 + *…* + *a**mn**x**n* = *b**m*,
kde premenné *x*1, … ,*x**n* sú premenné a *a**ij* sú koeficienty sústavy rovníc. Čísla {\displaystyle b\_{i}}, kde {\displaystyle i=1,2,...m}, sú *absolútne členy sústavy* (alebo tiež tzv. *pravá strana sústavy*). Vo všeobecnosti môžu byť koeficienty aj absolútne členy komplexnými číslami.

Koeficenty je možné zapísať v tvare matice:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{pmatrix}}}
Túto maticu označujeme ako "maticu sústavy"

Premenné a pravú stranu sústavy je možné vyjadriť ako vektory

{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}}}
{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{pmatrix}}}
Celú sústavu rovníc je možné vyjadriť ako

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{pmatrix}}}
alebo skrátene v maticovom zápise:

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {x}}={\vec {b}}}
prípadne pomocou notácie podľa sumy:

{\displaystyle \sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}x\_{j}=b\_{i}}
pre {\displaystyle i=1,2,...m}.

### Metódy riešenia

* Gaussova eliminačná metóda
* Cramerovo pravidlo
* Pomocou Inverznej matice
* Metóda najmenších štvorcov
* LU rozklad
* Choleského rozklad

Súvisiace články
----------------

* Sústava rovníc
* Rovnice

Externé odkazy
--------------

* Online výpočet sústavy lineárnych rovníc

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Soustava lineárních rovnic na českej Wikipédii.*


|  |  |
| --- | --- |
| Portal | Matematický portál |

| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |