**Relácia kongruencie** alebo **kongruencia** je ekvivalencia na algebre, ktorá je zlučiteľná so všetkými operáciami na tejto algebre (teda napríklad, ak sú tri páry prvkov ekvivalentné a výsledky nejakej operácie na týchto pároch sú tiež ekvivalentné, potom existuje pre tieto páry zhodnosť).

Definícia
---------

Predpokladajme, že {\displaystyle (X,O\_{1},O\_{2},\ldots ,O\_{n})\,\!} je algebrická štruktúra s množinou prvkov {\displaystyle X\,\!} a operáciami {\displaystyle O\_{1},O\_{2},\ldots ,O\_{n}\,\!}, operácia {\displaystyle O\_{i}\,\!} je {\displaystyle m\_{i}\,\!} - árna. Predpokladajme ďalej, že {\displaystyle R\,\!} je relácia ekvivalencie na množine {\displaystyle X\,\!}. {\displaystyle R\,\!} je **kongruencia** na {\displaystyle X\,\!}, ak pre každú z vymenovaných operácií platí:  

{\displaystyle a\_{1}\sim \_{R}b\_{1},a\_{2}\sim \_{R}b\_{2},\ldots ,a\_{m\_{i}}\sim \_{R}b\_{m\_{i}}\implies O\_{i}(a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{m\_{i}})\sim \_{R}O\_{i}(b\_{1},b\_{2},\ldots ,b\_{m\_{i}})\,\!}

Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.

Príklad - zhodnosť zvyškových tried
-----------------------------------

Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t. j. patria do tej istej zvyškovej triedy.

Hovoríme, že dve čísla {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom {\displaystyle m}, ktoré nazývame modulo. Formálne  

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}

Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar  

{\displaystyle a-b=k\cdot m}  

{\displaystyle a=k\cdot m+b}  

### Príklad

Z predchádzajúceho vidno, že číslo {\displaystyle a} dáva po delení modulom zvyšok {\displaystyle b}. Pomocou axióm modulárnej aritmetiky je možné ľahko dokázať deliteľnosť veľkých čísel určitým modulom. Je zrejmé, že číslo 4 dáva po delení číslom (modulom) 3 zvyšok 1. Ale aj čísla 7,10,13,16 ... dávajú ten istý zvyšok a teda platí  

{\displaystyle 4\equiv 4+3k{\pmod {3}}}  

Odtiaľ vyplýva, že podľa relácie kongruencie sú čísla 4, 7, 10,... ekvivalentné, lebo dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom 3.

Vlastnosti kongruencií
----------------------

Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.  

**1. reflexívnosť**  

{\displaystyle a\equiv a{\pmod {m}}}  

Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť {\displaystyle m|(a-a)}, čo je zrejme pravda, pretože {\displaystyle m|0}.{\displaystyle \blacksquare }  

**2. symetria**  

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}\;\Rightarrow \;b\equiv a{\pmod {m}}}  

Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže {\displaystyle m|(a-b)\Rightarrow m|(b-a)}, čo sa dá prepísať {\displaystyle (a-b=k\cdot m)\Rightarrow (b-a=k\cdot m)}, po úprave {\displaystyle (a=k\cdot m+b)\Rightarrow (a=-k\cdot m+b)}.{\displaystyle \blacksquare }  

**3. tranzitívnosť**  

{\displaystyle (a\equiv b{\pmod {m}}\wedge b\equiv c{\pmod {m}})\Rightarrow (a\equiv c{\pmod {m}})}  

Dôkaz:  

{\displaystyle {\begin{array}{l}a-b=k\_{1}\cdot m\\b-c=k\_{2}\cdot m\end{array}}}  

Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica  

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a-c&=&k\_{1}\cdot m+k\_{2}\cdot m\\a-c&=&(k\_{1}+k\_{2})\cdot m\\a&\equiv &c{\pmod {m}}\blacksquare \end{array}}}

### Príklad

Názorný príklad ukazuje, že číslo {\displaystyle 29^{21}+1} je deliteľné desiatimi. Ak si zápis prepíšeme do formy kongruencie, potom  

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}29^{21}+1&\equiv &0{\pmod {10}}\\29^{21}&\equiv &-1\\29\cdot 29\cdots 29&\equiv &-1\\9\cdot 9\cdots 9&\equiv &-1\\9^{21}&\equiv &-1\\9^{20}\cdot 9&\equiv &-1\\81^{10}\cdot 9&\equiv &-1\\9&\equiv &-1\end{array}}}

Referencie
----------

1. ↑  KOŘÍNEK, Vladimír. *Základy algebry*. Praha: Nakladatelství československé akademie věd, 1953, [cit. 1953-03-08]. (český)