**Doxastická logika** je odvetvie logiky, ktoré skúma logickú štruktúru *viery* a *presvedčenia*, s ktorými klasická výroková alebo predikátová logika nedokážu plnohodnotne narábať. Napríklad výrok

„Verí sa, že tráva má zelenú farbu."
je z hľadiska klasickej výrokovej logiky atomárny. To znamená, že výroková logika ho chápe ako ďalej nedeliteľný celok a nezaujíma sa o jeho vnútornú štruktúru. Doxastická logika ide hlbšie a rozlišuje v tomto výroku dve komponenty: takzvanú **doxastickú modalitu** "Verí sa, že" a samotný výrok pod modalitou "Tráva má zelenú farbu". Niektorí logici považujú doxastickú logiku za variantu epistemickej logiky.

V užšom význame pojem **doxastická logika** označuje konkrétny logický kalkul študovaný v rámci doxastickej logiky vo vyššie uvedenom zmysle.

Indexované doxastické modality
------------------------------

Namisto doxastickej modality "Verí sa, že" ktorá priamo referuje na všetky bytosti schopné veriť, sa vo väčšine doxastických kalkulov uvažujú adresné modality typu "Osoba {\displaystyle a} verí, že". V takom prípade sa hovorí o **indexovanej** doxastickej modalite. Doxastické a epistemické logiky sú obľúbenym nástrojom v umelej inteligencii v teórii multiagentových systémov kde sa s ich pomocou študuje podstata a povaha presvedčenia a viery, tak ako si ju o stave okolitého sveta vytvárajú jednotlivé agenty. V tomto kontexte sa indexované modality čítajú "Agenta {\displaystyle a} verí, že".

Jazyk doxastických kalkulov
---------------------------

Abeceda jazyka väčšiny výrokových doxastických kalkulov obsahuje:

* konečnú alebo spočítateľnú množinu atomárnych symbolov.
* niektoré štandardné spojky výrokovej logiky, ako {\displaystyle \{\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg ,\vee ,\wedge \}}.
* a doxastický modálny operátor {\displaystyle \textstyle \mathrm {B} } ak ide o doxastickú logiku bez indexovaných modalít alebo nanajvýš spočítateľne veľa indexovaných operátorov {\displaystyle \{\mathrm {B} \_{a},\mathrm {B} \_{b},\mathrm {B} \_{c},\ldots \}} ak ide o doxastickú logiku s indexovanými modalitami.

Písmeno "B" v názve doxastického operátora poukazuje na anglické "belief", čiže "viera". Správne sformované formule v jazyku doxastickej logiky môžu vyzerať napríklad takto:

* {\displaystyle \mathrm {B} \,\varphi }, čo sa číta: "Verí sa, že \varphi ".
* {\displaystyle \mathrm {B} \_{a}\,\varphi }, čo sa číta: "Osoba {\displaystyle a} verí, že \varphi ".
* V jazyku doxastickej logiky sa dajú aj veľmi zložité tvrdenia zapísať mimoriadne jednoducho a úsporne. Napríklad formula {\displaystyle \mathrm {B} \_{a}\mathrm {B} \_{c}\neg \varphi \rightarrow \neg \mathrm {B} \_{b}\mathrm {B} \_{c}\,\varphi } sa môže čítať takto: "Ak osoba {\displaystyle a} verí, že osoba {\displaystyle c} verí, že \varphi  nie je pravda, potom osoba {\displaystyle b} neverí, že osoba {\displaystyle c} verí, že \varphi  je pravda".

Vzťah k epistemickej logike
---------------------------

V epistemickej logike sa pracuje s operátorom {\displaystyle \textstyle \mathrm {K} } alebo s jeho indexovanou verziou {\displaystyle \textstyle \mathrm {K} \_{a}}, pričom formula

{\displaystyle \mathrm {K} \_{a}\,\varphi }
sa číta "Osoba {\displaystyle a} vie, že \varphi ". Pri výstavbe niektorých epistemických kalkulov sa vychádza z doxastickej logiky a operátor {\displaystyle \textstyle \mathrm {K} \_{a}} sa v nich definuje iba ako syntaktická skratka, napríklad predpisom

{\displaystyle \mathrm {K} \_{a}\,\varphi \Leftrightarrow \_{\!\_{\mathit {def}}}\mathrm {B} \_{a}\,\varphi \wedge \varphi }.
Čiže to, že osoba {\displaystyle a} niečo vie, znamená práve tolko, že je o tom osoba {\displaystyle a} presvedčená a navyše to tak naozaj je.

Pozri aj
--------

* Epistemická logika

Referencie
----------

* John-Jules Ch. Meyer: *Modal epistemic and Doxastic Logic*. pp. 1-38, v "Handbook of Philosophical Logic", Springer 2004 ISBN 1402016441