**Päťuholník** alebo **pentagón** je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s piatimi vrcholmi a stranami. Súčet jeho vnútorných uhlov je presne 540° (3π).
Päťuholníky môžu byť pravidelné alebo všeobecné

Matematické vzťahy
------------------

Pre pravidelný päťuholník

|  |  |
| --- | --- |
| Obsah | {\displaystyle S={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}} |
| Opísaná kružnica | {\displaystyle r\_{o}=a\cdot {\sqrt {\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}}} |
| Vpísaná kružnica | {\displaystyle r\_{v}={\frac {a}{2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}} |
| Uhlopriečka | {\displaystyle l\_{u}={\frac {a}{2}}\left({1+{\sqrt {5}}}\right)} (zlatý rez) |
| Výška | {\displaystyle h=r\_{u}+r\_{i}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} |
| Obvod | {\displaystyle u=5\cdot a} |
| Uhol ramien | {\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }} |

**Obsah inak**

{\displaystyle S=5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \tan 54^{\circ }\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {5}{4}}\cdot a^{2}\cdot \tan 54^{\circ }\approx a^{2}\cdot 1{,}7204774.}
{\displaystyle S={\frac {5}{8}}\cdot r\_{o}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
tiež

{\displaystyle S={\frac {5}{2}}\cdot r\_{o}^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}\approx r\_{o}^{2}\cdot 2{,}3776413.}
**strana a**

{\displaystyle a=2\cdot r\_{o}\cdot \cos 54^{\circ }}
tiež

{\displaystyle a=r\_{o}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx r\_{o}\cdot 1{,}1755705.}

Vlastnosti
----------

Vnútorný päťuholník vymedzený uhlopriečkami
Pomer dĺžok uhlopriečky a strany je rovný zlatému rezu
Jedna uhlopriečka pretína druhú tak, že dĺžky vzniknutých častí sú v pomere zlatého rezu
Uhlopriečky pravidelného '*päťuholníka* v jeho vnútri vymedzujú oblasť, ktorá má taktiež tvar pravidelného päťuholníka.
*Vnútorné* a *vonkajšie* päťuholníky majú rovnaký stred (geometria), sú opačne orientované a dĺžky ich strán sú v pomere {\displaystyle 1:1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}.

História
--------

Pravidelný **päťuholník** vždy hral významnú úlohu v mystike a symbolike. Od pravidelného päťuholníka je tiež odvodený symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sekte ako poznávací znak. Jedným z dôvodov, prečo bol pravidelný päťuholník uctievaný, bolo zrejme to, že sa v ňom hneď na niekoľkých miestach ukazuje "najdokonalejší pomer" - zlatý rez.

Konštrukcia
-----------

Konštrukcia pravidelného päťuholníka bola známa už v starovekom Grécku.  

Jedna z metód zostavenia pravidelného päťuholníka:  

Konštrukcia pravidelného päťuholníkaKonštrukcia pravidelného päťuholníka

Iné projekty
------------

Commons
* Spolupracuj na Commons Commons ponúka multimediálne súbory na tému **Päťuholník**

| * z
* d
* u
Pravidelné mnohouholníky |
| --- |
| 1 - 10 strán | 
* jednouholník (henagón)
* dvojuholník (digón)
* trojuholník (trigón)
* štvorec (tetragón)
* päťuholník (pentagón)
* šesťuholník (hexagón)
* sedemuholník (heptagón)
* osemuholník (oktogón)
* deväťuholník (nonagón)
* desaťuholník (dekagón)

 |
| 10 - 20 strán | 
* jedenásťuholník (undekagón)
* dvanásťuholník (dodekagón)
* trinásťuholník (tridekagón)
* štrnásťuholník (tetradekagón)
* pätnásťuholník (pentadekagón)
* šestnásťuholník (hexadekagón)
* sedemnásťuholník (heptadekagón)
* osemnásťuholník (oktodekagón)
* devätnásťuholník (nonadekagón)
* dvadsaťuholník (ikozagón)

 |
| Iné | 
* tridsaťuholník (triakontagón)
* štyridsaťuholník (tetrakontagón)
* tisícuholník (chiliagón)
* miriagón
* miliónuholník (megagón)

 |