**Slaterov determinant** je pojem používaný v kvantovej mechanike pre matematické vyjadrenie viacčasticovej vlnovej funkcie. Pre fermióny platí vo všeobecnosti princíp antisymetrie: Po výmene dvoch častíc v Slaterovom determinante sa vymení aj znamienko vlnovej funkcie. Determinant bol navrhnutý významným teoretickým fyzikom, Johnom Slaterom, ktorý takto pomocou maticovej matematiky vytvoril cenný nástroj kvantovej chémie.

Odvodenie
---------

### Dva fermióny

Najjednoduchšou metódou ako vytvoriť mnohočasticovú vlnovú funkciu (molekulový orbitál) je vynásobiť patrične zvolené jednoelektrónové vlnové funkcie (atómové orbitály, resp. spinorbitály):

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2}),}
pričom 
{\displaystyle \chi (\mathbf {x} \_{i})}predstavuje jednoelektrónovú vlnovú funkciu pre i-tý elektrón so súradnicami {\displaystyle \mathbf {x} \_{i}.} Problémom je, že tento výraz nevyhovuje podmienkam antisymetrie:

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=\Psi (\mathbf {x} \_{2},\mathbf {x} \_{1}).}
Keďže elektróny sú nerozlíšiteľné, upravíme viacelektrónovú vlnovú funkciu tak, aby v nej figurovali všetky permutácie elektrónov v jednoelektrónových vlnových funkciách. To možno najjednoduhšie urobiť vytvorením lineárnej kombinácie všetkých možností. 

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=\{\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2})-\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{1})\}}
Takáto funkcia po vymenení dvoch elektrónov už zmení znamienko. Aby sme ďalej pracovali s normalizovanou viacelektrónovou funkciou funckiou, musíme ešte tento výraz vynásobiť normalizačným faktorom. Vychádzame z toho, že jednoelektrónové funkcie už sú ortonormálne:

{\displaystyle \int \_{V}\chi \_{1}^{2}(\mathbf {x} \_{1})\,dV=1,}
{\displaystyle \int \_{V}\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2})\,dV=0,} takže ak máme vlnovú funkciu
{\displaystyle \Psi (norm)=k\Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})}
{\displaystyle 1=\int \_{V}\Psi ^{2}(norm)\,dV=k^{2}\int \_{V}\Psi ^{2}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})\,dV=2k^{2}}, čo znamená, že normalizačný faktor je
{\displaystyle k={\frac {1}{\sqrt {2}}}}
Tento fakt môžeme zapísať v podobe determinantu:

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2})-\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{1})\}}
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{vmatrix}\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})&\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{1})\\\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})&\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2})\end{vmatrix}}}
Táto funkcia je antisymetrická vzhľadom na výmenu fermiónov, ktoré sa stali nerozlíšiteľné. Všimnime si navyše, že ak {\displaystyle \chi (\mathbf {x} \_{1})=\chi (\mathbf {x} \_{2})}, to jest v jednom spinorbitále sú dva elektróny (ktoré preto musia mať rovnaké všetky kvantové čísla), vyjde elektrónová hustota nulová:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})&\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})\\\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})&\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})\end{vmatrix}}=0}
Toto je vyjadrením Pauliho vylučovacieho princípu: situácia, v ktorej by boli dva elektróny v rovnakom kvantovom stave nie je prípustná.

### Zovšeobecnenie

Sériou predchádzajúcich krokov je možné vytvoriť Slaterov determinant pre ľubovoľne veľa častíc. 
Pre N-elektrónový systém dostávame 

{\displaystyle \Psi (\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2},\ldots ,\mathbf {x} \_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{1})&\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{1})&\cdots &\chi \_{N}(\mathbf {x} \_{1})\\\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{2})&\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{2})&\cdots &\chi \_{N}(\mathbf {x} \_{2})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\chi \_{1}(\mathbf {x} \_{N})&\chi \_{2}(\mathbf {x} \_{N})&\cdots &\chi \_{N}(\mathbf {x} \_{N})\end{matrix}}\right|.}

  

Slaterove determinanty slúžia na vyjadrenie vlnových funkcií pri teoretických výpočtoch, napríklad pri použití Hartree-Fockovej metódy. Majú tak široké uplatnenie v kvantovej chémii.

Referencie
----------

1. ↑  Slater, John. C. (1929). *Theory of Complex Spectra* Physics. Review. vol. *34* Retrieved on 13. august 2007 from "APS Physics: Physics Review Online Archive" on
2. ↑  Slater, John. C. (1929). p 1293

Literatúra
----------

* ZÁHRADNÍK, R.; POLÁK, R. *Základy kvantové chemie*, SNTL Praha 1976

Pozri aj
--------

* Pauliho vylučovací princíp
* Vlnová funkcia
* Molekulový orbitál
* Hartree-Fock