**L’Hospitalove pravidlá** alebo **L'Hôpitalove pravidlá** (vyslovuje sa *lopitalove*) slúžia na výpočet limít tzv. *neurčitých výrazov* typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}} a {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu {\displaystyle 0\cdot \infty }, {\displaystyle 0^{0}}, {\displaystyle 1^{\infty }}, {\displaystyle \infty ^{0}} alebo {\displaystyle \infty -\infty }, ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}} alebo {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}.

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vety
-----------

Ak máme funkcie {\displaystyle f(x),g(x)}, pre ktoré v bode *c* platí {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=0} a {\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=0}, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}, platí

{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}
kde {\displaystyle {}^{\prime }} označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie {\displaystyle f(x),g(x)}, pre ktoré v bode *c* platí {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=+-\infty } a {\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=+-\infty }. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}, potom opäť platí vzťah 

{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}
Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je {\displaystyle {\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}} v bode *c* opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla
---------------------------------------------------

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}} alebo {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie {\displaystyle f(x),g(x)}, ktoré v bode *c* naberajú hodnôt 0 alebo {\displaystyle \infty }.

* Ak {\displaystyle f(x)\cdot g(x)} predstavuje v *c* výraz {\displaystyle 0\cdot \infty }, potom ho môžeme upraviť na {\displaystyle {\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}}, čo je výraz typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}}, alebo na {\displaystyle {\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}}, čo je výraz typu {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}.
* Ak {\displaystyle f(x)-g(x)} predstavuje v *c* výraz typu {\displaystyle \infty -\infty }, potom ho možno upraviť na {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{\frac {1}{f(x)\cdot g(x)}}}}, čo je výraz typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}}.
* Ak {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}} predstavuje v *c* výraz typu {\displaystyle 0^{0}}, potom ho upravíme na {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}, kde v exponente je výraz {\displaystyle 0\cdot \infty }, ktorý možno ďalej upraviť na výraz {\displaystyle {\frac {0}{0}}} alebo {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. Pri riešení potom využijeme toho, že {\displaystyle \lim \_{x\to c}\mathrm {e} ^{g(c)\cdot \ln f(x)}=\mathrm {e} ^{\lim \_{x\to c}[g(x)\cdot \ln f(c)]}}.
* Ak {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}} predstavuje v *c* výraz typu {\displaystyle \infty ^{0}}, potom ho upravíme na {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}, kde v exponente je výraz {\displaystyle 0\cdot \infty }, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
* Ak {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}} predstavuje v *c* výraz typu {\displaystyle 1^{\infty }}, potom ho upravíme na {\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}, kde v exponente je výraz {\displaystyle \infty \cdot 0}, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

Príklady
--------

* Výraz {\displaystyle {\frac {\ln x}{x^{3}}}} predstavuje pre {\displaystyle x\to +\infty } neurčitý výraz typu {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{3}}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {\frac {1}{x}}{3x^{2}}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {1}{3x^{3}}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {1}{\infty }}=0}
* Neurčitý výraz typu {\displaystyle (0\cdot \infty )} prevedieme úpravou súčinu *f(x)g(x)* na podiel {\displaystyle {\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}} alebo {\displaystyle {\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}} získame tak neurčitý výraz typu {\displaystyle {\frac {0}{0}}} alebo {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.

{\displaystyle \lim \_{x\to 0\_{+}}(x\cdot \ln x)=\lim \_{x\to 0\_{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim \_{x\to 0\_{+}}{\frac {(\ln x)^{'}}{(x^{-1})'}}=\lim \_{x\to 0\_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-x^{-2}}}=-\lim \_{x\to 0\_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=-\lim \_{x\to 0\_{+}}x=0}

Pozri aj
--------

* Limita
* Derivácia
* Priebeh funkcie
* Stolzova veta

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.*

Externé odkazy
--------------

* L’Hospitalovo pravidlo na www.math.sk