**Umocňovanie** je matematická funkcia, ktorá vyjadruje opakované násobenie. Umocňovanie je s násobením v podobnom vzťahu, v akom je samo násobenie ku sčítaniu. Výsledok umocňovania sa nazýva **mocnina**.

Umocňovanie slúži na skrátenie zápisu viacnásobného násobenia:

{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} &=a^{b}\\{b}\end{matrix}}}
V tomto vzorci sa *a* označuje ako **základ mocniny** alebo **mocnenec** a *b* sa nazýva **exponent (mocniny)** alebo **mocniteľ**. Výsledkom je *b*-tá *mocnina* čísla *a*, *a* na *b*-tu. Špeciálnym prípadom prázdneho súčinu je *a*0 = 1 (pre *a* ≠ 0, pozri nižšie).

Keď sa nedá písať exponent na hornú pozíciu, používa sa často zápis v tvare *a^b*, niekedy tiež aj *a\*\*b*.

Zovšeobecnenie definície
------------------------

Vyššie uvedená definícia umocňovania ako opakovaného násobenia je použiteľná iba pre prirodzené exponenty. Záporné exponenty označujú mocninu prevráteného čísla:

{\displaystyle a^{-n}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}={\frac {1}{a^{n}}}}
Zovšeobecnenie pre racionálny exponent poskytuje definícia:

{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}.
Zovšeobecnenie na celý obor reálnych čísel (tj. rozšírenie definície o mocniny s iracionálnymi exponentami) sa potom dosahuje dodefinovaním pomocou limity.

Mocniny s komplexným základom sú definované nasledujúcim spôsobom: Ak je {\displaystyle a+bi=r\cdot e^{i\varphi }} s reálnymi číslami *a, b, n, r* > 0 a *φ*, potom platí

{\displaystyle z^{n}\equiv (a+b\;i)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))}
Ak je navyše exponent *a* číslo všeobecne komplexné, potom je mocnina daná ako

{\displaystyle z^{a}=e^{a\operatorname {Ln\ } z}=e^{a\left(\operatorname {ln} |z|+i\varphi \right)},}
kde argument *φ* má nutne skok, ktorého polohu však možno zvoliť. Volí sa spravidla *φ* z intervalu <0;2π) alebo (-π;π>. Teda mocnina je všeobecne viacznačná funkcia a pokiaľ nie je *a* celé číslo, mocnina nie je na celej komplexnej rovine holomorfná.

Vlastnosti
----------

* {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}}
* {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}},\quad b\neq 0}
* {\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}
* {\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}},\quad a\neq 0}
* {\displaystyle {\frac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y},\quad a\neq 0}
* {\displaystyle \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}}
* {\displaystyle a^{0}=1} pre *a* ≠ 0 (pre 00 pozri nižšie)

Umocňovanie nie je všeobecne komutatívne (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

Nula na nultú
-------------

Výraz 00 nie je celkom všeobecne definovaný. Napríklad limita v tomto tvare je tzv. neurčitý výraz a pre jej vyčíslenie je potrebné použiť inú techniku (napr. L’Hospitalovo pravidlo). Dôvodom pre túto nedefinovanosť je dvojitý pohľad na tento výraz: Prvý pohľad na výraz hľadí ako na funkciu *x*0, ktorá je všade (okrem nuly) rovná jednej, takže je možno ju v nule dodefinovať rovnako a kladie sa 00 = 1. Naopak druhý pohľad vychádza z funkcie 0*x*, ktorá je všade (okrem nuly) nulová, takže sa v nule dodefinuje 00 = 0.

V bežných situáciach sa používa hlavne prvá definícia, podľa ktorej je

00 = 1,
inokedy je 00 ponechané nedefinované, v niektorých kontextoch je možné sa stretnúť i s použitím druhej definície.

Pre použitie prvej definície existuje niekoľko závažných dôvodov, medzi najdôležitejšie patrí binomická veta, pre ktorej všeobecnú platnosť je táto definícia vyžadovaná.

Mocniny nuly
------------

Ak je mocniteľ kladný, tak je mocnina nuly nula. 0*x* = 0, kde *x* > 0.

Pokiaľ je mocniteľ záporný, potom je mocnina nuly (0−*x*, kde *x* > 0) nedefinovaná, pretože delenie nulou nie je na množine reálnych čísel definované.

Zvláštne mocniny
----------------

V každodennom živote často používame mocniny so základom desať (to sú 1, 10, 100, 1000, …). Tieto mocniny tvoria základ našej desiatkovej číselnej sústavy, ako i v sústave SI sú predpony násobkov jednotiek označením mocnín desiatich – 1 kg = 10³ g apod.

Počítače pri spracovaní dát používajú dvojkovú sústavu, založenú na mocninách čísla 2. Z toho dôvodu sa niekedy v informatike používajú násobky jednotiek ako mocniny so základom 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (pozri tiež binárny prefix.)

V matematike sú zvlášť dôležité mocniny so základom *e* ≅ 2,71828, takzvaného Eulerovho čísla.

Rýchlosť rastu
--------------

Mocnina je veľmi rýchlo rastúca funkcia, jedna z najrýchlejšie rastúcich bežne používaných funkcií. Príkladom rýchlosti rastu je nasledujúce pozorovanie: 

Príklad 1
List papiera sa dá obvykle preložiť (na polovicu) iba asi sedemkrát. Výsledkom je 128 (27) vrstiev papiera. Ak by (teoreticky) takýto papier bol preložený 42-krát, vrstva papiera by mala hrúbku rovnajúcu sa vzdialenosti zo Zeme na Mesiac.

Príklad 2
Každý človek má dvoch biologických rodičov, štyroch prarodičov, osem praprarodičov atď. Ak sledujeme tento rodokmeň ďalej, dajme tomu 70 generácií, dostaneme sa až do doby narodenia Ježiša Krista. V tomto prípade počet predkov každého človeka predstavuje 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 ľudí. To výrazne presahuje počet všetkých doposiaľ žijúcich ľudí.

Referencie
----------

1. ↑  K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. *Kompendium matematiky*. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-03-08].

Pozri aj
--------

* Odmocnina
* Logaritmus
* Mocninová funkcia
* Exponenciálna funkcia
* Geometrický rad
* Koreň (matematika)

Externé odkazy
--------------

* (po anglicky) Koľko je 00? v sci.math FAQ