**Lineárne zobrazenie** (alebo tiež **lineárny operátor**) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} prípadne {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Definícia
---------

Nech {\displaystyle N,M} sú vektorové priestory nad telesom {\displaystyle K}. Zobrazenie {\displaystyle \varphi :N\to M} sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:  

{\displaystyle {\begin{array}{ll}({\textrm {i}})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii}})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}}}  

### Príklad

Zobrazenie {\displaystyle \omega :\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x} +k;\;k\geq 1} nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)  

{\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k}  

{\displaystyle \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}  

Tu ale neplatí {\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\neq \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )}, pretože {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} +k\neq \mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia
----------------------------

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak \varphi  je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať  

{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} ;\;\mathbf {A} =\Vert a\_{ij}\Vert \_{m,n}}  

Vektor {\displaystyle \mathbf {x} } je chápaný ako matica {\displaystyle \mathbf {x} =\Vert x\_{i}\Vert \_{m,1}}. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice {\displaystyle \mathbf {A} } je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) {\displaystyle \mathbf {x} }. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu {\displaystyle m,1}. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti  

{\displaystyle \varphi (e\_{k})=\mathbf {A} \cdot e\_{k}=a\_{k}}  

kde vektor {\displaystyle e\_{k}} je k-ty jednotkový vektor a {\displaystyle a\_{k}} je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

### Príklad

Nájdime maticu {\displaystyle \mathbf {A} } lineárneho zobrazenia \varphi , ktoré ku každému vektoru {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}} priradí jeho {\displaystyle \lambda }-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).  

{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }  

{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }  

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom  

{\displaystyle \varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }  

{\displaystyle \alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }  

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory {\displaystyle \mathbf {e} \_{1},\mathbf {e} \_{2}} ortonormálnej bázy priestoru {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj {\displaystyle \lambda }-násobok, teda  

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\end{array}}\right)}  

{\displaystyle \mathbf {e} \_{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\lambda \end{array}}\right)}  

Matica tohto lineárneho zobrazenia je   

{\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)\_{2\times 2}}  

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia \varphi  je jeho {\displaystyle \lambda }-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom  

{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}x\_{1}\\x\_{2}\end{array}}\right)=\varphi (\mathbf {x} )}

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení
-------------------------------------------

| Zobrazenie | Matica zobrazenia |
| --- | --- |
| {\displaystyle \lambda }-násobok vektora | {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)} |
| rotácia roviny o uhol {\displaystyle \gamma } | {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\cos \gamma &-\sin \gamma \\\sin \gamma &\cos \gamma \end{array}}\right)} |
| osová súmernosť podľa osi *x* | {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)} |
| osová súmernosť podľa osi *y* | {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}}\right)} |
| kolmá projekcia na os *x* | {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)} |

Základná veta o lineárnych zobrazeniach
---------------------------------------

Nech {\displaystyle \alpha \_{1},...\alpha \_{m}} je ľubovolná báza vektorového priestoru {\displaystyle V(F)} a nech {\displaystyle \beta \_{1},...\beta \_{m}} sú ľubovolné vektory priestoru {\displaystyle W(F)}. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie {\displaystyle \varphi :V(F)\to W(F)} pre ktoré platí: {\displaystyle \varphi (\alpha \_{1})=\beta \_{1}} , {\displaystyle \varphi (\alpha \_{2})=\beta \_{2}} , ... , {\displaystyle \varphi (\alpha \_{m})=\beta \_{m}}

Literatúra
----------

* Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
* Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |