**Matica** je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu. 

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má {\displaystyle m} riadkov a {\displaystyle n} stĺpcov, hovorí sa o *matici typu {\displaystyle m} krát {\displaystyle n}*. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny {\displaystyle A} hovorí sa o *matici nad množinou {\displaystyle A}*. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0&-6&4&11\\6&-1&4&1&13\\\end{pmatrix}}.}
Prvky matice A zvyčajne označujeme ako {\displaystyle a\_{ij}}, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou {\displaystyle \{0,1\}} sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami
-------------------

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice. 

### Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}
### Skalárne násobenie

Každý prvok v matici *A* sa vynásobí číslom *c*. Napríklad:

{\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}
Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

### Násobenie matíc

**Násobenie** môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak *A* je *m*-krát-*n* matica a *B* je *n*-krát-*r* matica, tak ich **maticový produkt** *AB* má rozmery *m*-krát-*r* (*m* počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- *r* počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [*i*,*j*] je:

{\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[m,j]}
pre každé *i* a *j*.

Napríklad:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}}
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}
Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\times 1+1\times -1)&(3\times 0+1\times 3)&(3\times 2+1\times 1)\\(2\times 1+1\times -1)&(2\times 0+1\times 3)&(2\times 2+1\times 1)\\(1\times 1+0\times -1)&(1\times 0+0\times 3)&(1\times 2+0\times 1)\\\end{bmatrix}}}
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\\\end{bmatrix}}}
Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&2\\0&0\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}

Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne, 

{\displaystyle A(BC)=(AB)C.}
Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda 

{\displaystyle A(B+C)=AB+AC\qquad {\text{a}}\qquad (B+C)A=BA+CA}
(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar
---------------------------------------

Matice *A* a *B* sú **riadkovo ekvivalentné** vtedy (označujeme {\displaystyle A\approx B}), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných *elementárne riadkové operácie*:

1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

{\displaystyle \approx } je reláciou ekvivalencie.
Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica *A* je v **stupňovitom tvare** ak platí:

* ak {\displaystyle a\_{ij}} a {\displaystyle a\_{st}} sú vedúce prvky *A* a {\displaystyle i<s}, tak potom nutne {\displaystyle j<t}
* nad nenulovým riadkom v *A* nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

* vedúci prvok každého riadku je 1
* ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa *A* nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice
--------------

**Hodnosť matice** je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy
--------------

* FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
* Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)
* Operácie s maticami

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |