Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami
Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici
**Bernoulliho rovnica** je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením 
zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie
---------

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad
ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny
trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do
trubice {\displaystyle S\_{1}}, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme {\displaystyle v\_{1}}. Obdobne označme
plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako {\displaystyle S\_{2}} a {\displaystyle v\_{2}}. Keďže
prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a
vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

{\displaystyle \Delta M=\rho \_{1}S\_{1}v\_{1}\Delta t=\rho \_{2}S\_{2}v\_{2}\Delta t}
Máme teda rovnosť:

{\displaystyle \rho \_{1}S\_{1}v\_{1}=\rho \_{2}S\_{2}v\_{2}}
Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do
{\displaystyle S\_{1}} je {\displaystyle p\_{1}S\_{1}v\_{1}\Delta t} zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je
{\displaystyle p\_{2}S\_{2}v\_{2}\Delta t}. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi {\displaystyle S\_{1}} a
{\displaystyle S\_{2}} je preto:

{\displaystyle p\_{1}S\_{1}v\_{1}\Delta t-p\_{2}S\_{2}v\_{2}\Delta t}
a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti {\displaystyle \Delta M} pri prechode z {\displaystyle S\_{1}} do {\displaystyle S\_{2}}. Teda:

{\displaystyle p\_{1}S\_{1}v\_{1}\Delta t-p\_{2}S\_{2}v\_{2}\Delta t=\Delta M(E\_{2}-E\_{1})}
pričom {\displaystyle E\_{1}} je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a {\displaystyle E\_{2}} na
výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

{\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\varphi +W}
Kde {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}} je kinetická energia na jednotku hmotnosti, {\displaystyle \varphi } je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a {\displaystyle W} je člen, ktorý
reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej
rovnice potom dostávame:

{\displaystyle {\frac {p\_{1}S\_{1}v\_{1}\Delta t-p\_{2}S\_{2}v\_{2}\Delta t}{\Delta M}}={\frac {1}{2}}v\_{2}^{2}+\varphi \_{2}+W\_{2}-{\frac {1}{2}}v\_{1}^{2}-\varphi \_{1}-W\_{1}}
Keďže však {\displaystyle \Delta M=\rho Sv\Delta t}, tak dostaneme výraz:

{\displaystyle {\frac {p\_{1}}{\rho \_{1}}}+{\frac {1}{2}}v\_{1}^{2}+\varphi \_{1}+W\_{1}={\frac {p\_{2}}{\rho \_{2}}}+{\frac {1}{2}}v\_{2}^{2}+\varphi \_{2}+W\_{2}}
známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu
-----------------------------------------

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

{\displaystyle {\frac {p\_{1}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v\_{1}^{2}+\varphi \_{1}={\frac {p\_{2}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v\_{2}^{2}+\varphi \_{2}}
### Vymedzenie platnosti

Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:

1. stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
2. ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
	* nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
	* vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
	* vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
	* skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

### Prúdenie v gravitačnom poli

Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom {\displaystyle \varphi =gh\ } Potom je platí:

{\displaystyle {\frac {p\_{1}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v\_{1}^{2}+gh\_{1}={\frac {p\_{2}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v\_{2}^{2}+gh\_{2}}
Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.

### Iné formy rovnice

Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice:
Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:

{\displaystyle {\frac {p\_{1}}{\rho g}}+{\frac {v\_{1}^{2}}{2g}}+h\_{1}={\frac {p\_{2}}{\rho g}}+{\frac {v\_{2}^{2}}{2g}}+h\_{2}}
kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:

* tlaková výška
* rýchlostná výška
* výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:

{\displaystyle p\_{1}+{\frac {v\_{1}^{2}\rho }{2}}+\rho gh\_{1}=p\_{2}+{\frac {v\_{2}^{2}\rho }{2}}+\rho gh\_{2}}
kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

* tlak
* dynamický tlak
* hydrostatický tlak

### Zjednodušená Bernoulliho rovnica

Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:

{\displaystyle p\_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{1}^{2}=p\_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{2}^{2}}
Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký. 

* *ρ* – hustota kvapaliny
* *p* – tlak v kvapaline
* *v* – rýchlosť prúdenia kvapaliny

Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici
----------------------------------------

V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:

{\displaystyle p\_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{1}^{2}=p\_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v\_{2}^{2}}
Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať *hustotou tlakovej práce*, často sa však stretneme aj s pojmom *hustota tlakovej energie*. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu *hustota tlakovej energie* a
hovoriť miesto toho o *hustote tlakovej práce*

Zdroje
------

* Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)

Referencie
----------

1. ↑  Gančo Martin: Mechanika tekutín. 2. vydanie. Bratislava, Alfa. 1990 (SVŠT SjF)