**Postupnosť** (symbol je {\displaystyle (a\_{n})\_{n=1}^{\infty }} alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - *f*(*n*) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (*n* je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu *f*(*n*) nazývame *n*-tý člen postupnosti a značíme an.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ... *m*}, kde *m* je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o **číselnej postupnosti** alebo **postupnosti čísiel**, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o **funkcionálnej postupnosti**.

Vlastnosti
----------

Postupnosť je

* *neklesajúca*, ak pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}\geq a\_{i-1}},
* *nerastúca*, ak pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}\leq a\_{i-1}},
* *rastúca*, ak pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}>a\_{i-1}},
* *klesajúca*, ak pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}<a\_{i-1}},
* *zdola ohraničená* v množine *A*, ak existuje také {\displaystyle L\in {\mathit {A}}}, že pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}\geq L},
* *zhora ohraničená* v množine *A*, ak existuje také {\displaystyle K\in {\mathit {A}}}, že pre všetky *i* platí {\displaystyle a\_{i}\leq K}.

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je *monotónna*, ak je rastúca alebo klesajúca, je *rýdzo monotónna*.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je *ohraničená*.

Limita
------

Hovoríme, že postupnosť

* *konverguje*, ak má konečnú limitu (napr. {\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots } konverguje k 0),
* *diverguje*, ak má nekonečnú limitu (napr. {\displaystyle 1,2,3,\ldots } diverguje k {\displaystyle \infty }),
* *osciluje*, ak limitu nemá (napr. {\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }).

Vybraná postupnosť
------------------

Ak je {\displaystyle (a\_{n})\_{n=1}^{\infty }} postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a {\displaystyle (k\_{n})\_{n=1}^{\infty }} rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz {\displaystyle (a\_{k\_{n}})\_{n=1}^{\infty }} nazývame *vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z {\displaystyle a\_{n}}* (inými slovami, z {\displaystyle a\_{n}} vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: *Ak je {\displaystyle {\mathit {(}}a\_{n})} ohraničená postupnosť v {\displaystyle \mathbb {R} }, potom z nej možno vybrať postupnosť {\displaystyle {\mathit {(}}a\_{k\_{n}})}, ktorá je konvergentná*.

Referencie
----------

1. ↑  K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. *Kompendium matematiky*. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-03-08]. ISBN 80-242-1227-7.
2. ↑  P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. *Prehľad matematiky*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-03-08].
3. ↑  F. JIRÁSEK, J. BENDA. *Matematika pro bakalářské studium*. Praha: Ekopress, s.r.o. 2006, [cit. 2006-03-08]. ISBN 80-86929-02-7. (český)
4. ↑  J. FECENKO - Ľ. PINDA. *Matematika 1*. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-03-08]. ISBN 80-8078-091-9.

Pozri aj
--------

* Cauchyovská postupnosť
* Aritmetická postupnosť
* Geometrická postupnosť
* Rad