Jednorozmerná pravoúhla potenciálová bariéra.  

Bodkovanou čiarou je vyjadrený možný reálny potenciál a plnou modrou čiarou je jeho aproximácia pravouhlou potenciálovou bariérou.
**Potenciálová bariéra** alebo **potenciálový val** sa vo fyzike označuje také rozloženie potenciálu, že jeho hodnota je v určitej (obmedzenej) oblasti nenulová, pričom sa predpokladá, že je (aspoň približne) konštantná, konečná a kladná, zatiaľ čo mimo túto oblasť je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozmernom prípade je možné potenciálovú bariéru vyjadriť potenciálom

{\displaystyle V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}x<0\quad {\mbox{ a }}\quad x>a\\V\_{0}&{\mbox{ pre }}0<x<a\end{matrix}}\right.}
Potenciálová bariéra umožňuje v kvantovej mechanike popísať základné vlastné vlastnosti kvantového tunelovania.

Obdobným prípadom ako potenciálová bariéra je tzv. potenciálová jama, kedy je {\displaystyle V\_{0}<0}.

Klasická mechanika
------------------

V klasickej mechanike je pohyb častíc povolený iba v oblasti, kde energia {\displaystyle E} častice je menšia ako hodnota potenciálu.

Pokiaľ sa teda častica s {\displaystyle E<V\_{0}} pohybuje smerom k potenciálovej bariére, potom sa môže pohybovať iba mimo oblasť {\displaystyle 0<x<a}. Do oblasti {\displaystyle 0<x<a} takáto častica nemôže vstúpiť. V klasickej mechanike sa teda častice nachádzajúce v oblasti {\displaystyle x<0} nemôžu dostať do oblasti {\displaystyle x>a} a naopak. Potenciálová bariéra je pre takéto častice nepriepustnou stenou, ktorá oddeľuje obe oblasti {\displaystyle x<0} a {\displaystyle x>a}.

Častice s {\displaystyle E>V\_{0}} sa môžu pohybovať i v oblasti {\displaystyle 0<x<a} a môžu teda cez potenciálovú bariéru prechádzať. Takáto klasická častica pohybujúca sa smerom k potenciálovej bariére cez túto bariéru vždy prejde, tzn. nikdy nedôjde ku jej odrazu. K odrazu častice od bariéry dochádza iba v prípade {\displaystyle E<V\_{0}}.

Kvantová mechanika
------------------

V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice.

Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť {\displaystyle x<0}, oblasť {\displaystyle 0<x<a} a pre oblasť {\displaystyle x>a}. V bodoch {\displaystyle x=0} a {\displaystyle x=a} je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie.

Schrödingerove rovnice teda majú tvar

{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi \_{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi \_{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi \_{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V\_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi \_{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi \_{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi \_{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}}
Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice {\displaystyle E} je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry {\displaystyle V\_{0}}. Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti {\displaystyle x<0}). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti {\displaystyle 0<x<a}. V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu {\displaystyle x=a}, kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opäť čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti {\displaystyle x>a}. V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna {\displaystyle \psi \_{I}} opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere {\displaystyle +x} a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere {\displaystyle -x}. Podobne v oblasti {\displaystyle 0<x<a} je možné výslednú vlnu {\displaystyle \psi \_{II}} opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti {\displaystyle x>a} je možné nájsť iba prešlú vlnu {\displaystyle \psi \_{III}} pohybujúcu sa v smere {\displaystyle +x}.

Prípad E>V0
-----------

Ak zavedieme konštanty

{\displaystyle k\_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}
{\displaystyle k\_{II}^{2}={\frac {2m(E-V\_{0})}{\hbar ^{2}}}}
potom je možné všeobecné riešenie vyjadriť v tvare

{\displaystyle \psi \_{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{I}x}}
{\displaystyle \psi \_{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{II}x}}
{\displaystyle \psi \_{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{I}x}}
Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient u člena opisujúceho v oblasti {\displaystyle x>a} pohyb smerom k bariére nulový, tzn. {\displaystyle G=0}.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch {\displaystyle x=0} a {\displaystyle x=a}, tzn. na základe rovností {\displaystyle \psi \_{I}(0)=\psi \_{II}(0)}, {\displaystyle \psi \_{I}^{\prime }(0)=\psi \_{II}^{\prime }(0)}, {\displaystyle \psi \_{II}(a)=\psi \_{III}(a)} a {\displaystyle \psi \_{II}^{\prime }(a)=\psi \_{III}^{\prime }(a)}, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty {\displaystyle A,B,C,D,F}, tzn.

{\displaystyle A+B=C+D}
{\displaystyle \mathrm {i} k\_{I}(A-B)=\mathrm {i} k\_{II}(C-D)}
{\displaystyle C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}a}}
{\displaystyle \mathrm {i} k\_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{II}a}\right)=\mathrm {i} k\_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}a}}
Pravdepodobnosť prechodu kvantovej častice cez bariéru je možné pre {\displaystyle E>V\_{0}} vyjadriť vzťahom

{\displaystyle T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V\_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V\_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V\_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}}
Pravdepodobnosť odrazu od bariéry sa rovná

{\displaystyle R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T}
Pre ľubovoľne široký a vysoký potenciálový val je táto pravdepodobnosť nenulová. Táto pravdepodobnosť však s rastúcou šírkou valu a rastúcim rozdielom energií {\displaystyle V\_{-}E} veľmi rýchlo klesá. Z tohto dôvodu je teda pri makroskopických procesoch tento jav zanedbateľný a nie je ho potrebné uvažovať.

Prípad E<V0
-----------

Ak zavedieme konštanty

{\displaystyle k\_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}
{\displaystyle k\_{II}^{2}={\frac {2m(V\_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}}
potom je všeobecné riešenie možné vyjadriť v tvare

{\displaystyle \psi \_{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{I}x}}
{\displaystyle \psi \_{II}=C\mathrm {e} ^{-k\_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k\_{II}x}}
{\displaystyle \psi \_{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k\_{I}x}}
Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient člena opisujúceho v oblasti {\displaystyle x>a} pohyb smerom k bariére nulový, tzn. {\displaystyle G=0}.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch {\displaystyle x=0} a {\displaystyle x=a}, tzn. na základe rovnosti {\displaystyle \psi \_{I}(0)=\psi \_{II}(0)}, {\displaystyle \psi \_{I}^{\prime }(0)=\psi \_{II}^{\prime }(0)}, {\displaystyle \psi \_{II}(a)=\psi \_{III}(a)} a {\displaystyle \psi \_{II}^{\prime }(a)=\psi \_{III}^{\prime }(a)}, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty {\displaystyle A,B,C,D,F}, tzn.

{\displaystyle A+B=C+D}
{\displaystyle \mathrm {i} k\_{I}(A-B)=-k\_{II}(C-D)}
{\displaystyle C\mathrm {e} ^{-k\_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k\_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}a}}
{\displaystyle -k\_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k\_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k\_{II}a}\right)=\mathrm {i} k\_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\_{I}a}}
Pravdepodobnosť prechodu častice bariérou je možné vyjadriť ako

{\displaystyle T=={\frac {1}{1+{\frac {V\_{0}^{2}\sinh ^{2}(k\_{II}a)}{4E(V\_{0}-E)}}}}}
Častica dopadajúca na potenciálový val sa teda podľa kvantovej mechaniky nemusí vždy odraziť, ale môže bariérou s určitou pravdepodobnosťou prejsť. Prechod častice bariérou je čisto kvantový jav, s kterým sa v klasickej mechanike nestretneme. Tento jav sa označuje ako tunelový jav alebo kvantové tunelovanie.

Pozri aj
--------

* Potenciálna energia
* Potenciálový skok
* Potenciálová jama
* Tunelový jav

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Potenciálová bariéra na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).*