**Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces** (iné názvy: **Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia**) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie *n* môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou *n*-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie
----------------------

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy
-------------------

Nech {\displaystyle {\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2},\cdots ,\mathbf {x} \_{n})} je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi {\displaystyle \mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2},\cdots ,\mathbf {x} \_{n}}. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov {\displaystyle c\_{1},c\_{2},\cdots ,c\_{n}}, že systém {\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {c} =0} má riešenie. Hľadáme také vektory {\displaystyle \mathbf {y} \_{1},\mathbf {y} \_{2},\cdots ,\mathbf {y} \_{n}} s vlastnosťou   

{\displaystyle (\mathbf {q} \_{i},\mathbf {q} \_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.}

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Proces ortogonalizácie
----------------------

### Ortogonalizácia

Najprv teda položíme {\displaystyle \mathbf {x} \_{1}=\mathbf {y} \_{1}}. Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom  

{\displaystyle \mathbf {y} \_{k}=\mathbf {x} \_{k}-{\frac {\langle \mathbf {y} \_{1},\mathbf {x} \_{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} \_{1},\mathbf {y} \_{1}\rangle }}\mathbf {y} \_{1}-{\frac {\langle \mathbf {y} \_{2},\mathbf {x} \_{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} \_{2},\mathbf {y} \_{2}\rangle }}\mathbf {y} \_{2}-\cdots -{\frac {\langle \mathbf {y} \_{k-1},\mathbf {x} \_{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} \_{k-1},\mathbf {y} \_{k-1}\rangle }}\mathbf {y} \_{k-1}}

čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu

{\displaystyle \mathbf {y} \_{k}=\mathbf {x} \_{k}-\sum \_{i=1}^{k-1}{\frac {\langle \mathbf {y} \_{i},\mathbf {x} \_{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} \_{i},\mathbf {y} \_{i}\rangle }}\mathbf {y} \_{i}}

Treba poznamenať vlastnosť {\displaystyle k\leq n}, kde {\displaystyle n=\dim {\mathcal {M}}}. Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný  

{\displaystyle {\text{proj}}\_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )={\frac {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y} }

Ortogonálnou projekciou vektora {\displaystyle \mathbf {x} } na priestor generovaný vektorom {\displaystyle \mathbf {y} } nazývame vektor {\displaystyle \mathbf {y} '} a platí {\displaystyle \mathbf {y} '\in {\text{span}}(\mathbf {y} )}. Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom {\displaystyle \mathbf {y} } je potom rozdiel {\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} '}. Platí teda, že skalárny súčin {\displaystyle \langle \mathbf {x} -\mathbf {y} ',\mathbf {y} \rangle } je nulový.

### Normalizácia

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor {\displaystyle \mathbf {q} \_{i}}, preto môžeme písať   

{\displaystyle \mathbf {q} \_{i}={\frac {\mathbf {y} \_{i}}{\Vert \mathbf {y} \_{i}\Vert }}}

Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora {\displaystyle \mathbf {y} \_{i}} prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ  

{\displaystyle \mathbf {q} \_{i}=\left({\frac {q\_{1}}{\Vert \mathbf {y} \_{i}\Vert }},{\frac {q\_{2}}{\Vert \mathbf {y} \_{i}\Vert }},\cdots ,{\frac {q\_{n}}{\Vert \mathbf {y} \_{i}\Vert }}\right)}

Pod normou vektora {\displaystyle \Vert \mathbf {q} \_{i}\Vert } sa chápe norma definovaná nasledovne  

{\displaystyle \Vert \mathbf {y} \_{i}\Vert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} \_{i},\mathbf {y} \_{i}\rangle }}}

Príklad
-------

Majme vektorový priestor {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov {\displaystyle \left\{(1,1)^{T},(1/2,2)^{T}\right\}}. Postupujeme najprv voľbou {\displaystyle \mathbf {y} \_{1}=(1,1)^{T}}. Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť   

{\displaystyle \mathbf {y} \_{2}={\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {(1,1){\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}}{(1,1){\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\end{pmatrix}}}

Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru {\displaystyle (1,1)^{T}}. Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu  

{\displaystyle \left\Vert {\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\end{pmatrix}}\right\Vert ={\sqrt {{\frac {9}{16}}+{\frac {9}{16}}}}={\frac {3}{2{\sqrt {2}}}}}

Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar  

{\displaystyle \mathbf {q} \_{2}=\left(-{\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}

Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor {\displaystyle (1,1)^{T}}, ktorého norma je {\displaystyle \Vert (1,1)^{T}\Vert ={\sqrt {2}}} a odtiaľ  

{\displaystyle \mathbf {q} \_{1}=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}

Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.

Použitie ortogonalizácie na iné priestory
-----------------------------------------

Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom   

{\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle =\int \_{a}^{b}f(x)g(x)\,{\text{d}}x}

Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom   

{\displaystyle \langle P\_{1}(x),P\_{2}(x)\rangle =\int \_{-1}^{1}P\_{1}(x)P\_{2}(x)\,{\text{d}}x}

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |

Externé odkazy
--------------

* EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY