V oblasti ohraničenej kružnicou nie je zdroj ani prepad, divergencia poľa v nej je preto nulová
**Divergencia** je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

*Divergenciu* využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

Definícia
---------

Ak sú *x, y, z* karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a **e**x, **e**y, **e**z je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a 

{\displaystyle \mathbf {F} =F\_{x}\mathbf {e} \_{x}+F\_{y}\mathbf {e} \_{y}+F\_{z}\mathbf {e} \_{z}}
je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F\_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F\_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F\_{z}}{\partial z}}.}
Napriek tomu, že je **divergencia** definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V *n*-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru **v**, tzn.

{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v\_{k}}{\partial x\_{k}}}={\frac {\partial v\_{1}}{\partial x\_{1}}}+{\frac {\partial v\_{2}}{\partial x\_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial v\_{n}}{\partial x\_{n}}}},
kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako

{\displaystyle \mathrm {div} =\nabla \cdot }

  

Deriváciou tenzora **T** *n*-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa *n*+1 so zložkami {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {T} \_{ij\cdots rs}}{\partial x\_{t}}}}. Kontrakciou indexu *t* proti indexu *s* získame *divergenciu tenzoru* **T**, čo je tenzor stupňa *n*-1.

{\displaystyle \mathbf {D} \_{ij\cdots r}={\frac {\partial \mathbf {T} \_{ij\cdots rs}}{\partial x\_{s}}}}
Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.

Vlastnosti
----------

Ak označíme **F**, **G** ako vektorové polia, *f* ako skalárne pole, *a*,*b* reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

{\displaystyle \nabla \cdot (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\nabla \cdot \mathbf {F} +b\;\nabla \cdot \mathbf {G} ,}
aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

{\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {F} )=\nabla f\cdot \mathbf {F} +f\;\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathrm {grad} f\cdot \mathbf {F} +f\;\mathrm {div} \mathbf {F} }.
Pre **divergenciu** vektorového súčinu platí

{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )=(\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\mathrm {rot} \,\mathbf {G} )},
kde ∇ × **F** je rotácia **F**.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0}.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách
----------------------------------------

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie **divergencie** v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je *F* vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r}{\partial (rF\_{r}) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial F\_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial F\_{z} \over \partial z}}
Vo sférických súradniciach:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}F\_{r}) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(F\_{\theta }\sin \theta )+{1 \over r\sin \theta }{\partial F\_{\varphi } \over \partial \varphi }}
Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice *x*1,*x*2,*x*3, ktorej *Laméove koeficienty* sú v tomto poradí *h*1,*h*2,*h*3

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h\_{2}h\_{3}F\_{1}\right)}{\partial x\_{1}}}+{\frac {\partial \left(h\_{1}h\_{3}F\_{2}\right)}{\partial x\_{2}}}+{\frac {\partial \left(h\_{1}h\_{2}F\_{3}\right)}{\partial x\_{3}}}\right)}
V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

{\displaystyle \nabla \_{\underline {m}}\left({F}^{k}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}\right)={F^{k}}\_{;k}={F^{k}}\_{,k}+{\Gamma ^{i}}\_{ij}{F^{j}}}

  

**Dohovor**: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.