**Gama rozdelenie** je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia
---------

Nech X je náhodná veličina a nech {\displaystyle \alpha \in R^{+}} a {\displaystyle \beta \in R^{+}}. Hovoríme, že táto náhodná veličina X má gama rozdelenie s parametrami {\displaystyle \alpha } a {\displaystyle \beta }, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}}

kde označenie {\displaystyle \Gamma (\alpha )} označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

{\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}

Parameter {\displaystyle \alpha } nazývame parameter tvaru a {\displaystyle \beta } zase paramater škály.

Označenie:

* {\displaystyle \operatorname {X} \sim Gama(\alpha ,\beta )}
* {\displaystyle \operatorname {X} \sim \Gamma (\alpha ,\beta )}

### Ďalšie vyjadrenia

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech X a {\displaystyle Y} sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami {\displaystyle \operatorname {(} \alpha ,\beta \_{1})} a {\displaystyle \operatorname {(} \alpha ,\beta \_{2})}, ďalej nech pre parametre platí nasledovné: {\displaystyle \alpha \in R^{+}}, {\displaystyle \beta \_{1}\in R^{+}} a {\displaystyle \beta \_{2}\in R^{+}}. Potom náhodná veličina {\displaystyle \operatorname {Z} =X+Y}, má tiež gama rozdelenie s parametrami {\displaystyle \operatorname {(} \alpha ,\beta \_{1}+\beta \_{2})}

Majme {\displaystyle n} nezávislých náhodných premenných {\displaystyle X\_{1},...X\_{n}}, pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami {\displaystyle (\alpha ,\beta \_{1}),\cdots ,(\alpha ,\beta \_{n})}. Pre parametre platí: {\displaystyle \alpha \in R^{+}} a {\displaystyle \beta \_{j}\in R^{+}} pre {\displaystyle j=1,\cdots ,n}. Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

{\displaystyle X=\sum \_{j=1}^{n}X\_{j}}

má tiež gama rozdelenie s parametrami {\displaystyle (\alpha ,\sum \_{j=1}^{n}\beta \_{j})}.

### Vzťah k iným rozdeleniam

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter {\displaystyle \alpha =1}, tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom {\displaystyle \beta }, teda:

{\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{1}}{\Gamma (1)}}x^{1-1}e^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x}}

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter {\displaystyle \alpha ={\frac {n}{2}}}, pričom {\displaystyle n} je celé kladné číslo a druhý parameter {\displaystyle \beta =2}, tak dostaneme {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, teda {\displaystyle \chi ^{2}(n)}

Vlastnosti
----------

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

{\displaystyle \mu \_{r}={\frac {\Gamma (r+\alpha )}{\beta ^{r}\Gamma (\alpha )}}}

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej X:

* {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta }}}
* {\displaystyle \operatorname {D} (X)={\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}}

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

{\displaystyle \operatorname {\gamma } \_{1}={\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}}

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

{\displaystyle m(t)=({\frac {\beta }{\beta -t}})^{\alpha }}

pre {\displaystyle t<\beta }.

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

{\displaystyle \varphi (t)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(\beta -it)^{\alpha }}}}

pričom pre parametre platí: {\displaystyle \alpha >0}, {\displaystyle \beta >0} a {\displaystyle t\in R}.

Poznámky
--------

* V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen {\displaystyle \alpha } a {\displaystyle \beta } sa zvyknú používať písmená našej abecedy, {\displaystyle a} a {\displaystyle b} (pričom v niektorej literatúre potom parameter {\displaystyle \alpha } zodpovedá {\displaystyle b} a parameter {\displaystyle \beta } zodpovedá {\displaystyle a}).

Zdroje
------

* RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika*. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
* ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. *Pravděpodobnost a matematická statistika*. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
* PACÁKOVÁ, Viera. *Aplikovaná poistná štatistika*. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
* BARNOVSKÁ, Mária, kol. *Cvičenia z matematickej analýzy III.*. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
* HARMAN, Radoslav. *Stochastické simulačné metódy* [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online.