**Najväčší spoločný deliteľ** (značený **NSD**, **D**, príp. **GCD** z anglického *greatest common divisor*) dvoch celých čísel je najväčšie číslo také, že bezo zvyšku delí obe čísla, tzn. najväčšie číslo, ktorým sú obe čísla deliteľné. Napríklad najväčší spoločný deliteľ čísel 15 a 20 je 5 (číslo 5 delí obe čísla, žiadne väčšie číslo s touto vlastnosťou už neexistuje; napr. číslo 10 delí druhé číslo, ale nie prvé).

Všeobecnejšie je možné hovoriť o najväčšom spoločnom deliteli celej množiny čísel - tým je najväčšie číslo také, že bezo zvyšku delí všetky čísla v množine.

Definícia
---------

{\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\max\{n\in \mathbb {N} :n\mid a\wedge n\mid b\}}

Vlastnosti
----------

* Určenie najväčšieho spoločného deliteľa je matematická operácia, ktorá je
	+ idempotentná,{\displaystyle \operatorname {NSD} (a,a)=a}
	+ asociatívna{\displaystyle \operatorname {NSD} (\operatorname {NSD} (a,b),c)=\operatorname {NSD} (a,(\operatorname {NSD} (b,c))}
	+ a komutatívna.{\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (b,a)}
* Súčin najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel sa rovná súčinu týchto dvoch čísel:
{\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)\operatorname {nsn} (a,b)=ab}
* {\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)} (pre {\displaystyle b>a}). Túto vlastnosť využíva Euklidov algoritmus:
Označme {\displaystyle D\_{1}} množinu spoločných deliteľov čísel {\displaystyle a,b} a {\displaystyle D\_{2}} množinu spoločných deliteľov čísel {\displaystyle a,b-a}. Uvedomíme si, že
{\displaystyle d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow d\mid a\land d\mid b\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b-a)\in D\_{1}}
{\displaystyle d\mid a\land d\mid b\Rightarrow d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b)\in D\_{2}}
Ak by {\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)>\operatorname {NSD} (a,b-a)}, dostali by sme spor, pretože v množine {\displaystyle D\_{2}} by bol väčší prvok ako {\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b-a)}. Podobný spor by sme dostali, ak by {\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)<\operatorname {NSD} (a,b-a)}. Preto {\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)}.

Výpočet
-------

Najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (a vďaka asociatívnosti i ľubovoľne mnohých) možno určiť prostredníctvom prvočíselného rozkladu oboch čísel, ako súčin prvočísel umocnený na najmenší z exponentov pri príslušnom prvočísle v rozkladoch:

Nech {\displaystyle \prod \_{i}p\_{i}^{e\_{i}}} je prvočíselný rozklad čísla {\displaystyle a} a {\displaystyle \prod \_{i}p\_{i}^{f\_{i}}} prvočíselný rozklad čísla {\displaystyle b}.
Potom

{\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\prod \_{i}p\_{i}^{\min {(e\_{i},f\_{i})}}}.
Napríklad najväčšieho spoločného deliteľa čísel 136 a 204 možno nájsť tak, že zistíme, že 136=2³ × 17 a 204= 2² × 3 × 17. V rozkladoch sa vyskytujú prvočísla 2, 3 a 17 s exponentmi 3, 0, 1 pri menšom čísle a 2, 1, 1 pri väčšom čísle. Výsledný NSD je potom súčinom prvočísel vyskytujúcich sa v oboch rozkladoch umocnených na príslušné najmenšie exponenty, teda 2² × 17=68.

Tento výpočet je ľahko pochopiteľný, ale v praxi úplne nepoužiteľný s výnimkou veľmi malých čísel, pretože získanie rozkladu na prvočísla je extrémne náročná operácia.

Pre praktické výpočty slúžia výrazne rýchlejšie algoritmy, hlavne tzv. Euklidov algoritmus.

Referencie
----------

1. ↑   *Najväčší spoločný deliteľ* [online]. , [cit. 2019-07-31]. Dostupné online.

Pozri aj
--------

* Najmenší spoločný násobok
* Nesúdeliteľné čísla
* Euklidov algoritmus

Externé odkazy
--------------

* Najväčší spoločný deliteľ

Zdroj
-----

*Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Největší společný dělitel na českej Wikipédii.*