**Normálne rozdelenie** (iné názvy: **Gaussovo rozdelenie**, **normálne rozdelenie pravdepodobnosti**, **Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti**) je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako *zákon chýb*. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti
---------------------------

Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti
Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami {\displaystyle \mu } a {\displaystyle \sigma ^{2}}, pre {\displaystyle -\infty <\mu <\infty } a {\displaystyle \sigma ^{2}>0}, je pre {\displaystyle -\infty <x<\infty } definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(x-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}.
Normálne rozdelenie sa väčšinou značí {\displaystyle \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})}. Rozdelenie {\displaystyle \operatorname {N} (0,1)} býva označované ako **normované** (alebo **štandardizované**) **normálne rozdelenie**. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}

Charakteristiky rozdelenia
--------------------------

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }
Normálne rozdelenie má rozptyl

{\displaystyle \operatorname {D} (X)=\sigma ^{2}}
Pre medián dostaneme

{\displaystyle x\_{0,5}=\mu }
Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

{\displaystyle \gamma \_{1}=0}
{\displaystyle \gamma \_{2}=1}
Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

{\displaystyle m(z)=\mathrm {e} ^{z\mu +{\frac {z^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}

  

Pre prirodzené čísla {\displaystyle k} možno momenty písať ako

{\displaystyle \mu \_{2k-1}=0}
{\displaystyle \mu \_{2k}={\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}\sigma ^{2k}}

Distribučná funkcia
-------------------

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

{\displaystyle F(x)=\int \_{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(t-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\;\mathrm {d} t}
Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie
-----------------------

Keď máme {\displaystyle s}-rozmerný náhodný vektor X, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

{\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...x\_{s})={\frac {1}{\sqrt {{(2\pi )}^{s}{\left|\mathbf {C} \right|}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}^{T}\mathbf {C} ^{-1}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}}}
pre {\displaystyle -\infty <x\_{i}<\infty }, {\displaystyle i=1,2,...s}, kde {\displaystyle \mathbf {C} } je symetrická, pozitivne definitná matica a {\displaystyle \mathbf {x} ={(x\_{1},x\_{2},...x\_{s})}^{T}} a {\displaystyle \mathbf {\mu } ={(\mu \_{1},\mu \_{2},...\mu \_{s})}^{T}} sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o *{\displaystyle s}-rozmernom normálnom rozdelení*, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

### Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

{\displaystyle m(z\_{1},z\_{2},...z\_{s})=\mathrm {e} ^{\left(\mathbf {z} ^{T}\mathbf {\mu } +{\frac {\mathbf {z} ^{T}\mathbf {C} \mathbf {z} }{2}}\right)}}
Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že {\displaystyle \mathbf {\mu } } predstavuje vektor stredných hodnôt a {\displaystyle \mathbf {C} } kovariančnú maticu.

### Marginálne rozdelenie

Marginálnym rozdelením veličiny {\displaystyle X\_{i}} je jednorozmerné normálne rozdelenie {\displaystyle \operatorname {N} (\mu \_{i},\sigma \_{i}^{2})}, marginálnym rozdelením veličín {\displaystyle X\_{i},X\_{j}} pre {\displaystyle i\neq j} je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj
--------

* Rozdelenie pravdepodobnosti

Zdroje
------

* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Normální rozdělení na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).*