**Vektorový podpriestor** alebo **lineárny podpriestor** je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia
---------

Nech {\displaystyle V(F)} je vektorový priestor a nech S je neprázdna podmnožina množiny {\displaystyle V}. Potom S nazývame podpriestor vektorového priestoru {\displaystyle V(F)} , ak spolu s operáciami {\displaystyle V(F)} tvorí vektorový priestor nad poľom {\displaystyle F} .

Veta
----

Nech {\displaystyle V(F)} je vektorový priestor a nech S je neprázdna podmnožina množiny {\displaystyle V} .Potom S je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky {\displaystyle \alpha ,\beta \in S} a {\displaystyle c\in F} platí

1. a) {\displaystyle \alpha +\beta \in S}
2. b) {\displaystyle c.\alpha \in S}

Veta 1
------

Podpriestory {\displaystyle A\_{r}}, {\displaystyle A\_{s}} majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú
vektory {\displaystyle {\vec {v}}\in V\_{r}} a {\displaystyle {\vec {w}}\in V\_{s}} také, že platí {\displaystyle A-B={\vec {v}}+{\vec {w}}}

### Špeciálny prípad vety 1.

Priamky {\displaystyle p[A;{\vec {u}}]} a {\displaystyle q[{B;{\vec {v}}}]} majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}}

### Dôkaz

1. {\displaystyle P=A+\alpha .{\vec {v}}} , {\displaystyle P=B+\beta .{\vec {v}}}
2. {\displaystyle A+\alpha .{\vec {v}}=B+\beta .{\vec {v}}}
3. {\displaystyle A-B=-\alpha .{\vec {v}}+\beta .{\vec {v}}}

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2
------

Ak {\displaystyle A\_{r}} a {\displaystyle A\_{s}} sú podpriestory {\displaystyle A\_{n}} s neprázdnym prienikom, tak ich prienik
{\displaystyle A\_{r}\cap A\_{s}} je afinný podpriestor so zameraním {\displaystyle V\_{r}\cap V\_{s}}.

### Dôkaz

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

1. a) Ak body {\displaystyle M} a {\displaystyle N} patria do {\displaystyle A\_{r}\cap A\_{s}} , tak vektor {\displaystyle {\vec {u}}=M-N} patrí do

{\displaystyle Vr\cap Vs}.

1. b) Ak bod {\displaystyle M} patrí do {\displaystyle A\_{r}\cap A\_{s}} a {\displaystyle {\vec {u}}} patrí do {\displaystyle Vr\cap Vs}, tak bod {\displaystyle X=M+{\vec {u}}} patrí do {\displaystyle A\_{r}\cap A\_{s}}.

Toto je však triviálne, lebo ak bod {\displaystyle X\in A\_{r}} aj {\displaystyle X\in A\_{s}} , tak {\displaystyle X\in A\_{r}\cap A\_{s}} pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3
------

Podpriestory {\displaystyle A\_{r}} a {\displaystyle A\_{s}} sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich
prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

### Náznak dôkazu

Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. {\displaystyle V\_{n}\not \subset V\_{s}}), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu
vyplýva, že existuje vektor {\displaystyle {\vec {u}}\in V\_{r}} a súčasne {\displaystyle {\vec {u}}\not \in V\_{n-1}}. Bez ujmy
na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu {\displaystyle V\_{r}} tak, aby {\displaystyle {{\vec {v\_{1}}},{\vec {v\_{2}}},...{\vec {v}}\_{r-1},{\vec {v}}\_{r}={\vec {u}}}}.
Nech {\displaystyle {{\vec {w\_{1}}},{\vec {w\_{2}}},...,{\vec {w}}\_{n-1}}}. je bázou {\displaystyle V\_{n-1}}. (Z predpokladu {\displaystyle {{\vec {v}}\_{r}={\vec {u}}}} vyplýva, že každý z vektorov {\displaystyle {{\vec {v\_{1}}},{\vec {v\_{2}}},...{\vec {v}}\_{r-1}}} je lineárnou kombináciou vektorov {\displaystyle {{\vec {w\_{1}}},{\vec {w\_{2}}},...,{\vec {w}}\_{n-1}}}. Pretože
{\displaystyle {{\vec {w\_{1}}},{\vec {w\_{2}}},...,{\vec {w}}\_{n-1},{\vec {v}}\_{r}}} je báza {\displaystyle V\_{n}} pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory {\displaystyle A\_{r}} a {\displaystyle V\_{n-1}} sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3
---------------

Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:

1. Dve priamky v {\displaystyle A\_{2}} nemôžu mať práve dva spoločné body.
2. Dve priamky v {\displaystyle A\_{2}} sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
3. Rovina a priamka v {\displaystyle A\_{3}} sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
4. Dve roviny v {\displaystyle A\_{3}} sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

A mnohé ďalšie.

Literatúra
----------

* M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
* M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri aj
--------

* Vektor (matematika)
* Skalár
* Vektorový priestor
* Priamka
* Rovina\_(geometria)

Externé odkazy
--------------

* Algebra - Vektorový priestor
* Lineárna algebra

  


| * z
* d
* u
Lineárna algebra |
| --- |
| Základné pojmy | 
* skalár
* vektor
* vektorový priestor
* podpriestor
* násobenie skalárom
* lineárny obal
* lineárne zobrazenie
* projekčná matica
* lineárna nezávislosť
* lineárna kombinácia
* báza
* jadro
* vlastný vektor
* sústava lineárnych rovníc

 |  |
| Matice | 
* bloková matica
* regulárna matica
* rozklad matice
* subdeterminant
* transpozícia matice
* násobenie matíc
* inverzná matica
* hodnosť matice
* matica lineárneho zobrazenia
* Cramerovo pravidlo
* Gaussova eliminačná metóda
* Frobeniova veta

 |
| Bilineárne zobrazenia | 
* ortogonalita
* skalárny súčin
* unitárny priestor
* ortonormálna báza
* vonkajší produkt
* Kroneckerov súčin matíc
* Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

 |
| Multilineárna algebra | 
* determinant
* vektorový súčin
* zmiešaný súčin
* geometrická algebra
* vonkajšia algebra
* bivektor
* multivektor
* tenzor
* vonkajší morfizmus

 |
| Numerická lineárna algebra | 
* pohyblivá rádová čiarka
* stabilita numerickej metódy
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* riedka matica

 |