**Kvadratická forma** nad poľom reálnych čísel je v matematike ľubovoľný výraz tvaru

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}x\_{i}x\_{j},}
kde {\displaystyle a\_{ij}\in \mathbb {R} } sú reálne koeficienty a {\displaystyle x\_{1}\ldots x\_{n}} sú premenné, pre ktoré platí komutatívny zákon {\displaystyle x\_{i}x\_{j}=x\_{j}x\_{i}}. Podobne možno definovať kvadratickú formu nad ľubovoľným poľom, vo fyzike sú obzvlášť dôležité kvadratické formy s komplexnými koeficientami {\displaystyle a\_{ij}}.

Kvadratické formy majú širokú škálu aplikácií. Využívajú sa napríklad v teórii čísel, riemannovskej geometrii, matematickej analýze, algebraickej topológii, Lieovej teórii, ale aj vo fyzike, či chémii, kde zvyknú opisovať energiu systému.

História
--------

V histórii sa pravdepodobne najviac skúmali kvadratické formy s celočíselnými koeficientami. Za matematické výsledky využívajúce kvadratické formy možno z dnešného pohľadu považovať napr. aj problém hľadania pytagorejských trojíc, či Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov.

Ako počiatok moderného výskumu kvadratických foriem možno považovať rok 1801, keď nemecký matematik Carl Friedrich Gauss publikoval knihu o teórii čísel, *Disquisitiones Arithmeticae,* veľká časť ktorej sa zaoberala binárnymi kvadratickými formami s celočíselnými koeficientami. Odvtedy bol pojem viackrát zovšeobecnený a boli objavené súvislosti napr. s kvadratickými poľami, či modulárnymi grupami.

Rozdelenie kvadratických foriem
-------------------------------

Asi najdôležitejšie rozdelenie kvadratických foriem je ich rozdelenie podľa poľa, do ktorého patria koeficienty pri jednotlivých jej členoch. Na základe toho rozlišujeme napr.:

* Reálne kvadratické formy
* Komplexné kvadratické formy
* Celočíselné kvadratické formy
* Kvadratické formy nad ľubovoľným poľom {\displaystyle (F,+,\cdot )}.

Ďalej možno kvadratické formy rozdeliť podľa počtu premenných na:

* Unárne kvadratické formy s jednou premennou, {\displaystyle q(x)=ax^{2}}
* Binárne kvadratické formy s dvoma premennými, {\displaystyle q(x)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}
* Ternárne kvadratické formy s troma premennými, {\displaystyle q(x)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz}
* {\displaystyle n}-árne kvadratické formy s {\displaystyle n} premennými,

{\displaystyle q(x)=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}x\_{i}x\_{j}}.

Maticový zápis
--------------

Každú kvadratickú formu

{\displaystyle q(x)=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}x\_{i}x\_{j}}
možno zapísať v tvare súčinu vektora premenných, nejakej matice *A* a transponovaného vektora premenných, teda

{\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\cdot \left({\begin{array}{cccc}a\_{11}&a\_{12}&\ldots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\ldots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\ldots &a\_{nn}\end{array}}\right)\cdot (x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})^{T}}.
Tvrdenie možno overiť priamo, vynásobením týchto matíc. Teda, napríklad kvadratickú formu

{\displaystyle q(x)=x\_{1}^{2}+4x\_{1}x\_{2}+2x\_{2}^{2}}
možno písať v tvare

{\displaystyle q(x)=(x\_{1},x\_{2})\cdot \left({\begin{array}{cc}1&4\\0&2\end{array}}\right)\cdot (x\_{1},x\_{2})^{T}}.
Ak však prepíšeme tú istú kvadratickú formu ako napr.

{\displaystyle q(x)=x\_{1}^{2}+3x\_{1}x\_{2}+x\_{2}x\_{1}+2x\_{2}^{2}},
dostávame maticové vyjadrenie

{\displaystyle q(x)=(x\_{1},x\_{2})\cdot \left({\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}}\right)\cdot (x\_{1},x\_{2})^{T}}.
To znamená, že maticový tvar kvadratickej formy nie je jednoznačný. Ale naopak, matica kvadratickej formy určuje danú kvadratickú formu jednoznačne.

Symetrické kvadratické formy
----------------------------

Maticový tvar kvadratickej formy síce nie je jednoznačný, ale vyjadrenie kvadratickej formy pomocou symetrickej matice už jednoznačné je. Navyše, v ľubovoľnom poli s charakteristikou rôznou od 2 (a práve toto je prípad najčastejšie používaných polí, ako napr. reálne čísla alebo komplexné čísla), existuje pre kvadratickú formu vyjadrenie pomocou symetrickej matice.

Externé odkazy
--------------

* Článok o kvadratických formách v *Encyclopaedia of Mathematics* (po anglicky)
* Text o kvadratických formách