**Studentovo rozdelenie** (iné názvy: **Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t**) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia
---------

Nech X je náhodná premenná, nech {\displaystyle n} je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná X má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

{\displaystyle f\_{n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}){\sqrt {n\pi }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}

pre {\displaystyle x\in (-\infty ;\infty )}. Označenie {\displaystyle \Gamma (\alpha )} označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

{\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

{\displaystyle f\_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {n}}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}

Beta funkciu vo vzorci označuje {\displaystyle B(\alpha ,\beta )} a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

{\displaystyle B(\alpha ,\beta )=\int \_{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\mathrm {d} x}

Označenie:

* {\displaystyle \operatorname {X} \sim t(n)}
* {\displaystyle \operatorname {X} \sim t\_{n}}

### Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: {\displaystyle Y} a {\displaystyle Z}, pričom {\displaystyle Y} má normálne normované rozdelenie a {\displaystyle Z} má {\displaystyle \chi ^{2}}-rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti, teda: {\displaystyle \operatorname {Y} \sim N(0,1)} a {\displaystyle \operatorname {Z} \sim \chi ^{2}(n)}, pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná {\displaystyle t} definovaná vzťahom:

{\displaystyle t={\frac {Y}{\sqrt {\frac {Z}{n}}}}}

má Studentovo rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:  

Majme náhodný výber {\displaystyle (X\_{1},...X\_{n})} z normálneho rozdelenia {\displaystyle \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})}. Nech {\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \_{j=1}^{n}(X\_{j}-{\bar {X}})^{2}}. Potom náhodná premenná {\displaystyle t}, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

{\displaystyle t={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{S}}}

má Studentovo rozdelenie s {\displaystyle (n-1)} stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:  

Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: {\displaystyle (X\_{1},...X\_{m})} a {\displaystyle (Y\_{1},...Y\_{n})} z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber {\displaystyle (X\_{1},...X\_{m})} je z rozdelenia {\displaystyle \operatorname {N} (\mu \_{1},\sigma ^{2})} a náhodný výber {\displaystyle (Y\_{1},...Y\_{n})} je z rozdelenia {\displaystyle \operatorname {N} (\mu \_{2},\sigma ^{2})} (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech {\displaystyle {\bar {X}}} a {\displaystyle {\bar {Y}}} sú výberové priemery a {\displaystyle S\_{X}^{2}} a {\displaystyle S\_{Y}^{2}} sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

{\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}-(\mu \_{1}-\mu \_{2})}{S{\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}}}}

má Studentovo rozdelenie s {\displaystyle (m+n-2)} stupňami voľnosti. Premenná S vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

{\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{m+n-2}}\left[(m-1)S\_{X}^{2}+(n-1)S\_{Y}^{2}\right]}}}

Vlastnosti
----------

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode {\displaystyle x=0}. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

{\displaystyle \mu \_{2r}={\frac {\Gamma (r+{\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}}-r)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}n^{r}}

pre {\displaystyle n=1,2,\cdots }.

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

* Ak {\displaystyle n>1}, potom: {\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}
* Ak {\displaystyle n>2}, potom {\displaystyle \operatorname {D} (X)={\frac {n}{n-2}}}

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

{\displaystyle F\_{X}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\int \_{-\infty }^{x}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\mathrm {d} x}

Kritická hodnota
----------------

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s {\displaystyle n} stupňami voľnosti. Potom hodnotu {\displaystyle \operatorname {t} (n,\alpha )}, ktorú náhodná premenná X v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou {\displaystyle \alpha } nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

{\displaystyle P(|X|>t(n,\alpha ))=2P(X>t(n,\alpha ))=2\int \_{t(n,\alpha )}^{\infty }f\_{n}(x)\mathrm {d} x=\alpha }

Zdroje
------

* RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika*. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
* LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. *Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy*. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
* JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. *Pravdepodobnosť a štatistika*. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
* BARNOVSKÁ, Mária, kol. *Cvičenia z matematickej analýzy III.*. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
* POTOCKÝ, Rastislav, kolektív *Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky*. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
* *Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.*