**Trojčlenka** je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny {\displaystyle b} v závislosti od veličiny {\displaystyle a} podľa vzorca {\displaystyle b=c.a}, pričom {\displaystyle c} je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny {\displaystyle a} a {\displaystyle b} sú v priamej úmere. Ich podiel {\displaystyle {\frac {b}{a}}} sa rovná konštante {\displaystyle c}. Ak sa veličina {\displaystyle a} zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina {\displaystyle b}.

Úlohy
-----

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

### Metóda postupného výpočtu

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky?
Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy.
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje {\displaystyle {\frac {3}{2}}} konzervy.
Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia {\displaystyle {\frac {3.4}{2}}} konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti
--------------------------------

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina {\displaystyle b} závisí od veličiny {\displaystyle a}, {\displaystyle a\neq 0} podľa vzorca, kde {\displaystyle b={\frac {c}{a}}} je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny {\displaystyle a} a {\displaystyle b} sú nepriamo úmerné. Ich súčin {\displaystyle a.b} je konštantný. Ak sa veličina {\displaystyle a} zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina {\displaystyle b}.

### Príklad na nepriamu úmernosť.

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov?
Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny).
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje {\displaystyle 3.2} h.
Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje {\displaystyle {\frac {3.2}{6}}}.
Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka
------------------

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami {\displaystyle (a\_{1},b\_{1})} a {\displaystyle (a\_{2},b\_{2})}. V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami {\displaystyle (a\_{1},b\_{1},c\_{1})} a {\displaystyle (a\_{2},b\_{2},c\_{2})}. Hľadanou hodnotou je vždy {\displaystyle c\_{2}}.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. {\displaystyle (a\_{1},b\_{1})} vzťah medzi hodnotami oboch veličín
2. {\displaystyle (1,\approx )} výsledok pre jednotku
3. {\displaystyle (a\_{2},\approx )} dopočítanie údajov v druhej dvojici
Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. {\displaystyle (a\_{1},b\_{1},c\_{1})} vzťah medzi hodnotami troch veličín
2. {\displaystyle (1,b\_{1},\approx )} výsledok pre jednotku odpovedajúcej {\displaystyle a\_{1}}
3. {\displaystyle (1,1,\approx )} výsledok pre jednotku odpovedajúcej {\displaystyle b\_{1}}
4. {\displaystyle (1,b\_{2},\approx )} dopočítanie druhej dvojice z {\displaystyle b\_{2}}
5. {\displaystyle (a\_{2},b\_{2},\approx )} dopočítanie druhej dvojice
V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame {\displaystyle c\_{1}}, prípadne {\displaystyle c\_{2}}, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom {\displaystyle \approx )}. Rozdiel spočíva v tom, že páry {\displaystyle (a\_{1},b\_{1})} a {\displaystyle (a\_{2},b\_{2})}, {\displaystyle (a\_{1},c\_{1})} a {\displaystyle (a\_{2},x)}, {\displaystyle (b\_{1},c\_{1})} a {\displaystyle (b\_{2},x)} sú priamo čí nepriamo úmerné.

### Príklad 1)

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, {\displaystyle {\frac {30}{5}}} žemle
Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, {\displaystyle {\frac {30}{5.3}}} žemle
Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, {\displaystyle {\frac {30.2}{5.3}}} žemle
Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, {\displaystyle {\frac {30.2.8}{5.3}}=32} žemlí
Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

### Príklad 2)

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, {\displaystyle {\frac {20}{10000}}} hodín
Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, {\displaystyle {\frac {20.5}{10000}}} hodín
Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, {\displaystyle {\frac {20.5}{10000.2}}} hodín
Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, {\displaystyle {\frac {20.5.8000}{10000.2}}=40} hodín
Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

### Príklad 3)

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, {\displaystyle 8} hodín
Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, {\displaystyle 8.3} hodín
Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, {\displaystyle {\frac {8.3}{48}}} hodiny
Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, {\displaystyle {\frac {8.3.20}{48}}} hodiny
Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, {\displaystyle {\frac {8.3.20}{48.5}}=2} hodiny
Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

### Príklad 4)

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h, {\displaystyle 3} dni
Krok 2: 1 robotník, 8 h, {\displaystyle 3.3} dni
Krok 3: 1 robotník, 1 h, {\displaystyle 3.3.8} dni
Krok 4: 1 robotník, 2 h, {\displaystyle {\frac {3.3.8}{2}}} dni
Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, {\displaystyle {\frac {3.3.8}{2.9}}=4} dni
Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné.
V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a\_1, potom b\_1 a až potom násobíme hodnotou b\_2 a a\_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

Literatúra
----------

* K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: *Kompendium matematiky* Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

Pozri aj
--------

* Kvadratický odhad
* Násobenie